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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
FERNANDA DE MELLO GARCIA
A IDÉIA DE VARIABILIDADE ABORDADA NO 8º ANO DO
ENSINO FUNDAMENTAL
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
São Paulo
2008
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
FERNANDA DE MELLO GARCIA
A IDÉIA DE VARIABILIDADE ABORDADA NO 8º ANO DO
ENSINO FUNDAMENTAL
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial
para obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM
ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a orientação do(a) Prof(a).
Dr(a). Cileda de Queiros e Silva Coutinho.
São Paulo
2008
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Banca Examinadora
________________________________________
________________________________________
________________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta
Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________
AGRADECIMENTO
Agradeço a Deus, que está à minha frente para me mostrar o caminho
certo, que está ao meu lado para me proteger, que está atrás de mim para evitar
que os maus me armem ciladas, que está perto de mim para me amparar quando
tropeço, que está dentro de mim para me consolar quando estou triste e que está
acima de mim para me dar sabedoria, força e acima de tudo para me abençoar.
Agradeço ao meu esposo Wagner pelo apoio, compreensão, ajuda e amor.
Agradeço aos meus pais por sempre acreditarem em mim e me
sustentarem em oração.
Aos amigos da Unidade Atual Pueri Domus e da E. E. Prof. Oscavo de
Paula e Silva, por estarem sempre ao meu lado a me encorajar.
Às minhas queridas diretoras Viviane Passarini e Ivone Ozório pelo
carinho, amizade e compreensão.
Às professoras Ana Lúcia Manrique e Dione Lucchesi de Carvalho,
membros da banca avaliadora, pelos conselhos e sugestões.
À amiga e orientadora Profª Dra Cileda de Queiros e Silva Coutinho, pela
paciência, e auxílio em todos os momentos.
À Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, pela oportunidade à
mim conferida para realizar esta etapa essencial à minha formação acadêmica.
GARCIA, Fernanda de Mello. A idéia de variabilidade abordada no 8º ano do
Ensino Fundamental. Dissertação de Mestrado em Ensino da Matemática. São
Paulo: PUC-SP, 2008.
RESUMO
Os Parâmetros Curriculares Nacionais, publicados em 1997, inserem, pela
primeira vez no currículo da Escola Básica, um Bloco de conteúdos denominado
“Tratamento da Informação”, contendo assuntos relacionados a Estatística, a
Probabilidade e a Análise Combinatória. Surge assim a necessidade dos
professores de Matemática trabalhar com esses “novos” conteúdos. Pesquisas
atuais indicam o pouco conhecimento dos professores sobre esse tema, uma vez
que em sua formação inicial não o estudaram, ou fizeram-no em uma abordagem
tecnicista. Neste trabalho, buscamos responder a seguinte questão: Quais os
significados atribuídos por alunos de 8º ano do Ensino Fundamental, para a
variabilidade quando trabalhada num contexto escolar em aulas de Matemática?
Que contribuições há na compreensão de conteúdos Estatísticos quando os
alunos os apreendem em um enfoque exploratório, com uso das medidas
separatrizes e com foco na variabilidade? Para isso, elaboramos e aplicamos uma
seqüência didática que abordou a idéia de variabilidade pelo uso das medidas
separatrizes. Nossos sujeitos de pesquisa foram alunos do 8º ano do atual Ensino
Fundamental de 9 anos. Pudemos observar que os alunos envolvidos atribuíram
significados à variação dos dados, aos valores observados na determinação das
medidas. Observou-se também a necessidade de mais atividades específicas que
trabalhem a compreensão do gráfico Box-plot, associando-o a outras
representações gráficas.
Palavras-Chave: Análise Exploratória de dados, Variabilidade, Medidas Separatrizes, Pensamento
Estatístico.
GARCIA, Fernanda de Mello. The idea of variability approached in the 8th year
of secondary school. Master’s Dissertation in Mathematics Teaching. São Paulo:
PUC-SP, 2008.
ABSTRACT
The National Curricular Parameters, published in 1997, introduce for the
first time in the primary and secondary school curriculum a set of concepts named
“Information Handling”, with issues regarding to statistic, probability, and
combining analyses. Hereby, springs the need for mathematic teachers working
with these “new” concepts. Current researches reveal the little knowledge
teachers hold on the subject, since in their initial graduation they didn’t study these
“new” concepts or if they did, it was with a very technical approach. This work
seeks to answer the following question: What are the meanings attributed by 8
th
year students from secondary school to the variability when worked in a schooling
context of mathematic classes? What are the contributions to the understanding of
the statistic’s content when the learning takes place in an exploratory way, making
use of the separatrix measures and focusing in the variability? For that, we
elaborated and applied a sequence of didactics that approached the idea of
variability by using the separatrix measures. Our objects of research were 8
th
year
students from the 9 year length current primary/secondary school. We noticed that
the involved students were able to attribute meaning to the data variation, to the
values observed in the determination of measures. It was also noticed the need for
more specific activities that develop the graphic Box-plot comprehension
associated with other graphic representations.
Keywords: Key words: Exploratory Analyses of date, Variability, Separatrix Measures and Statistical
thinking.
SUMÁRIO
1 . JUSTIFICATIVA ....................................................................................................................... 12
2 . REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .................................................................................................. 18
2.1 . PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS ............................................................................ 18
2.2 . PESQUISAS SOBRE O TEMA ..................................................................................................... 24
2.2.1 . O Ensino de Estatística ................................................................................................. 24
2.2.2 . Pesquisas com foco em variação/variabilidade ............................................................ 30
3 . REFERENCIAL TEÓRICO ..................................................................................................... 34
3.1 . PENSAMENTO ESTATÍSTICO ................................................................................................... 34
3.1.1 . A variação/variabilidade como ponto de partida ......................................................... 34
4.1.2 . Estrutura do Pensamento Estatístico ............................................................................ 35
3.2 . MODELO EPISTEMOLÓGICO DO ENSINO E DA APRENDIZAGEM DA VARIABILIDADE ............... 39
4 . PROBLEMÁTICA ..................................................................................................................... 42
4.1 . O PROBLEMA DE PESQUISA .................................................................................................... 42
4.2 . PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ...................................................................................... 43
4.2.1. Estudo-Piloto ................................................................................................................. 45
4.2.2 . Estudo principal ............................................................................................................ 45
5 . FASE EXPERIMENTAL .......................................................................................................... 47
5.2 . AS ATIVIDADES E ELEMENTOS DA ANÁLISE TEÓRICA ............................................................. 47
5.3 ANÁLISE A POSTERIORI ........................................................................................................... 65
6 . CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................................................... 98
REFERÊNCIAS ............................................................................................................................ 101
APÊNDICES .................................................................................................................................. 104
Lista de Figuras
FIGURA 1: EXEMPLO DE UM BOX-PLOT ............................................................................................................ 16
FIGURA 2: ESTRUTURA DO PENSAMENTO ESTATÍSTICO, CONFORME SILVA (2007) .......................................... 36
FIGURA 3: EXEMPLO DE REPRESENTAÇÃO DE DADOS POR UM DIAGRAMA DE COLUNAS JUSTAPOSTAS. ............ 50
FIGURA 4: REPRESENTAÇÃO DE DADOS POR UM DIAGRAMA DE COLUNAS JUSTAPOSTAS REFERENTE AO GOSTO
DOS ALUNOS DO 8º ANO A PELA MATEMÁTICA. ...................................................................................... 53
FIGURA 5: REPRESENTAÇÃO DE DADOS POR UM DIAGRAMA DE COLUNAS JUSTAPOSTAS REFERENTE AO GOSTO
DOS ALUNOS DO 8º ANO B PELA MATEMÁTICA. ...................................................................................... 53
FIGURA 6: REPRESENTAÇÃO DAS ORGANIZAÇÕES DIDÁTICAS POSSÍVEIS, SEGUNDO GASCÓN (2002). .............. 60
FIGURA 7: EXEMPLO DE REPRESENTAÇÃO DE DADOS POR UM GRÁFICO BOX-PLOT. ......................................... 62
FIGURA 8: EXEMPLO DE REPRESENTAÇÃO DE DADOS POR UM GRÁFICO BOX-PLOT. ......................................... 63
FIGURA 9: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE UMA DUPLA DE ALUNOS REFERENTE À CONSTRUÇÃO DE GRÁFICO. . 69
FIGURA 10: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À ANÁLISE DE GRÁFICO. ............................... 69
FIGURA 11: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À ANÁLISE DE GRÁFICO. ............................... 70
FIGURA 12: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À ANÁLISE DE GRÁFICO. ............................... 70
FIGURA 13: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À ANÁLISE COLETIVA DE GRÁFICO. ............... 71
FIGURA 14: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À CONSTRUÇÃO DE GRÁFICO. ....................... 72
FIGURA 15: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À CONSTRUÇÃO DE GRÁFICO. ....................... 73
FIGURA 16: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À ANÁLISE DE GRÁFICO. ............................... 74
FIGURA 17: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À ANÁLISE DE GRÁFICO. ............................... 74
FIGURA 18: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À ANÁLISE DE GRÁFICO. ............................... 74
FIGURA 19: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À ANÁLISE COLETIVA DE GRÁFICO. ............... 75
FIGURA 20: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À ANÁLISE DE GRÁFICO. ............................... 77
FIGURA 21: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À ANÁLISE DE GRÁFICO. ............................... 77
FIGURA 22: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À ANÁLISE DE GRÁFICO. ............................... 79
FIGURA 23: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À ANÁLISE DE GRÁFICO. ............................... 79
FIGURA 24: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À ANÁLISE DE GRÁFICO. ............................... 80
FIGURA 25: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE AO CÁLCULO DA MEDIANA. .......................... 82
FIGURA 26: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE AO CÁLCULO DA MEDIANA. .......................... 83
FIGURA 27: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE AO CÁLCULO DO 3º QUARTIL. ........................ 84
FIGURA 28: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE AO CÁLCULO DO 1º QUARTIL. ........................ 84
FIGURA 29: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À UMA PRIMEIRA CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO
BOX-PLOT. .............................................................................................................................................. 85
FIGURA 30: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE AO CÁLCULO DA MEDIANA. .......................... 85
FIGURA 31: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE AO CÁLCULO DA MEDIANA. .......................... 86
FIGURA 32: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE AO CÁLCULO DO 3º QUARTIL. ........................ 87
FIGURA 33: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE AO CÁLCULO DO 1º QUARTIL. ........................ 87
FIGURA 34: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À UMA PRIMEIRA CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO
BOX-PLOT. .............................................................................................................................................. 87
FIGURA 36: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À CONSTRUÇÃO DE GRÁFICO. ....................... 89
FIGURA 37: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À CONSTRUÇÃO DE GRÁFICO. ....................... 90
FIGURA 38: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À ANÁLISE DE GRÁFICO. ............................... 90
FIGURA 39: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À ANÁLISE DE GRÁFICO. ............................... 91
FIGURA 40: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À ORGANIZAÇÃO DE DADOS. ......................... 91
FIGURA 41: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À CONSTRUÇÃO DE GRÁFICO. ....................... 92
FIGURA 42: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À CONSTRUÇÃO DE GRÁFICO. ....................... 92
FIGURA 43: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À ANÁLISE DE GRÁFICO. ............................... 93
FIGURA 44: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À ANÁLISE DE GRÁFICO. ............................... 93
FIGURA 45: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À ANÁLISE DE GRÁFICO. ............................... 93
FIGURA 46: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À ANÁLISE DE GRÁFICO. ............................... 94
FIGURA 47: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À ANÁLISE DE GRÁFICO. ............................... 96
FIGURA 48: PROTOCOLO DE ATIVIDADE DE ALUNOS REFERENTE À ANÁLISE DE GRÁFICO. ............................... 96
Lista de Quadros
QUADRO 1: CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA POR SÉRIE E POR BIMESTRE DO ENSINO FUNDAMENTAL ............... 22
QUADRO 2:SÍNTESE DO MODELO EPISTEMOLÓGICO DESENVOLVIDO POR GARFIELD E BEN-ZVI (2005, APUD
SILVA, 2007, P.125 E 126) ..................................................................................................................... 40
QUADRO 3 : PRIMEIRA ATIVIDADE (PARTE A) .................................................................................................. 47
QUADRO 4 : PRIMEIRA ATIVIDADE (PARTE B) .................................................................................................. 48
QUADRO 5: BANCO DE DADOS A SER CONSTRUÍDO PELOS ALUNOS. ................................................................. 48
QUADRO 6 : SEGUNDA ATIVIDADE (PARTE A) .................................................................................................. 49
QUADRO 7 : SEGUNDA ATIVIDADE (PARTE B) .................................................................................................. 52
QUADRO 8 : SEGUNDA ATIVIDADE (PARTE C) .................................................................................................. 53
QUADRO 9 : TERCEIRA ATIVIDADE .................................................................................................................. 54
QUADRO 10 : QUARTA ATIVIDADE ................................................................................................................... 60
QUADRO 11 : QUINTA ATIVIDADE .................................................................................................................... 64
Lista de Tabelas
TABELA 1 : ESPORTE PREFERIDO DOS ALUNOS DO 8º ANO A ............................................................................. 68
TABELA 2 : ESPORTE PREFERIDO DOS ALUNOS DO 8º ANO B ............................................................................. 71
12
1 . Justificativa
Desde nossa formação inicial (Licenciatura em Matemática), o estudo de
Estatística despertou-nos grande interesse, pois além de estar ligada a vários
ramos da atividade humana, contribui com a obtenção de informações e
proporciona meios de interpretá-las, questioná-las e tomar decisões através das
mesmas.
Durante dois anos, lecionamos estatística em um curso Técnico de Gestão
Empresarial promovido pelo Senac, no qual os alunos demonstraram muito
interesse pela disciplina, porém muitos não haviam tido contato com a mesma em
sua Educação Básica e, em decorrência disso, demonstraram algumas
dificuldades em seu aprendizado. Essa situação provocou-no uma primeira
reflexão sobre o Ensino da Estatística, trouxe-nos inúmeras inquietações e, dentre
elas, questionamos-nos sobre “o porquê” dos professores não tratarem, em sala
de aula, desse tema tão importante na formação do cidadão. Segundo Gal (2002),
os conhecimentos básicos de Estatística são uma capacidade essencial, que se
espera que possuam os cidadãos nas sociedades saturadas de informação, e
são, por ele, definidos como a capacidade de interpretar, avaliar criticamente,
comunicar a informação e as mensagens estatísticas.
Pudemos, portanto, ao iniciar nosso Mestrado Profissional em Educação
Matemática, ter contato novamente com a reflexão sobre o ensino e a
aprendizagem de Estatística, o que trouxe à tona novamente nossas inquietações
e então decidimos que o foco de nossa pesquisa seria a Educação Estatística.
Dentre os autores estudados, no curso que abordava Tópicos de
Estatística, chamou-nos a atenção Batanero (2001), ao afirmar que a análise
exploratória de dados consiste no estudo dos dados com o propósito de extrair
um maior número de informações a respeito do que se deseja descobrir dentro de
um contexto. Citamos também Snee (1990, apud WILD e PFANNKUCH, 1999)
que define Pensamento Estatístico como sendo o desenvolver de processos de
pensamento que reconhecem que a variação está em tudo que nos rodeia e
presente em qualquer coisa que fazemos. Para esse autor, todo trabalho é uma
série de processos interconectados e a identificação, a caracterização, a
13
quantificação, o controle e a redução da variação proporcionam oportunidades
para o melhoramento.
Baseados nestes autores, sugerimos que os temas de estudo possibilitem
uma visão ampla e consistente da realidade vivida pelo aluno, e que o estudo da
variabilidade possa ser introduzido o quanto antes na formação do mesmo, para
que, em momento oportuno, possa posicionar-se em relação às questões sociais
e interpretar a tarefa educativa como uma intervenção da realidade.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais sugerem que, ao final da segunda
etapa do Ensino Fundamental, o aluno posicione-se de maneira crítica,
responsável e construtiva nas diferentes situações sociais, e acreditamos que os
conhecimentos estatísticos serão uma alavanca para que isso aconteça. Porém
ao deparar-se somente com as medidas de tendência central – média, moda e
mediana - o aluno do Ensino Fundamental não terá condições de cumprir com tais
objetivos e, além disso, terá uma visão fragmentada dos conhecimentos
estatísticos, demonstrando assim dificuldades, no Ensino Médio, para o
entendimento da idéia de variabilidade ao iniciar o estudo de Variância e Desvio
Padrão.
Observe-se que, em um primeiro contato com as medidas de tendência
central, não é associada nem mesmo a idéia de amplitude para a percepção da
variação dos dados, ainda que essa seja uma medida bastante simples e intuitiva.
Para exemplificar o que entendemos por visão fragmentada, supomos uma
situação em que um cidadão interessado em investir seu dinheiro, buscando as
possibilidades viáveis, encontra no site https://www.agorainvest.com.br um gráfico
que faz um comparativo sobre a rentabilidade da Bolsa, Poupança e Renda Fixa,
com a seguinte frase acompanhando o gráfico:
Gráfico de rentabilidade do índice Bovespa ao longo dos últimos anos
comparado com Poupança e Renda Fixa: repare que em longo prazo, a Bolsa é o
investimento que apresentou a maior rentabilidade.
14
Fonte:https://www.agorainvest.com.br, acesso: janeiro/2008
Podemos perceber que esta afirmação está correta, porém se o cidadão
não souber ler e interpretar corretamente o gráfico, poderá, de repente, até sair
prejudicado se necessitar do seu dinheiro em curto ou médio prazo, pois devido à
grande oscilação (variabilidade) da bolsa, houve momentos, neste período
observado, em que o seu rendimento foi mais baixo que o da Renda Fixa e em
alguns momentos até mesmo que o da poupança. Logo, o cidadão que investir na
Bolsa deve ter a consciência de que quando a mesma estiver em baixa será mais
prudente de sua parte esperar que mude esta situação para que ele possa
resgatar seu dinheiro.
Uma deformação no eixo vertical pode também aumentar ou diminuir as
diferenças entre estes três tipos de aplicação, podendo provocar uma decisão
errônea. Por exemplo, um “achatamento” ou “alongamento” do eixo pode
minimizar ou maximizar diferenças, deformando a informação.
Esperamos que o aluno, que conclua o Ensino Médio, tenha condições
para este e outros tipos de análise e acreditamos que se o estudo da variabilidade
começar o mais cedo possível e ir se aprofundando ao passar dos anos de estudo
(abordagem em espiral), o aluno terá mais chances de evoluir na construção do
15
pensamento e do raciocínio estatístico.
Emergem dessa discussão nossas questões de pesquisa:
Quais os significados atribuídos por alunos de 8º ano
1
do Ensino
Fundamental, para a variabilidade quando trabalhada num contexto escolar
em aulas de Matemática? Que contribuições há na compreensão de
conteúdos Estatísticos quando os alunos os apreendem em um enfoque
exploratório, com uso das medidas separatrizes e com foco na
variabilidade?
Buscando elementos para responder nossas questões de pesquisa,
elaboramos uma seqüência didática, baseada numa atividade proposta por
Batanero (2001), na qual se propunha conhecer o aluno típico da turma. Tal
atividade visa colocar o aluno em uma situação de pesquisa estatística, desde a
idéia inicial de investigação até a obtenção das conclusões.
O nosso foco, nessa sequência, foi o de aperfeiçoar o estudo de
Estatística, de modo a abordar, neste contexto de pesquisa feita pelo próprio
aluno, o estudo de variabilidade. O nosso objetivo, com esta seqüência didática,
foi levar os alunos pensar estatisticamente, levando em consideração, segundo os
termos de Wild e Pfannkuch (1999), “a onipresença da variabilidade nos contextos
estatísticos”, que é o ponto central de qualidade para o Pensamento Estatístico.
Propomos então um trabalho com as medidas separatrizes desde o Ensino
Fundamental a partir do 7º ano, processo já existente em outros países, como
França e Espanha, visando à introdução da idéia de variabilidade, para que o
aluno atinja os objetivos propostos nos Parâmetros Curriculares Nacionais.
Escolhemos as medidas separatrizes para este estudo, pois são as únicas
que possuem custo cognitivo compatível às séries finais do Ensino Fundamental.
Como custo cognitivo entendemos o nível de complexidade, quando se considera
o encadeamento e a mobilização dos conhecimentos (saber ou saber-fazer)
1
Neste trabalho as faixas de escolaridade serão identificadas de acordo com as séries
propostas no Ensino Fundamental de 9 anos, logo 8º ano representa a antiga 7ª série do Ensino
Fundamental.
16
necessários para o cumprimento da tarefa proposta. Para o estudo das medidas
separatrizes exige-se conhecimentos matemáticos adquiridos em séries
anteriores ao 8º ano, uma vez que, se nos limitarmos à análise de variáveis
quantitativas discretas, a determinação destas medidas é oriunda de uma simples
contagem.
Procuraremos também introduzir o estudo do gráfico Box-Plot, ilustrado na
Figura 1, que representa a distribuição dos dados em relação a cinco pontos:
máximo, mínimo, primeiro e terceiro quartis e mediana. Explicaremos melhor esta
representação de um conjunto de dados no quinto capítulo deste texto.
Figura 1: Exemplo de um Box-plot
Esse gráfico ainda não é utilizado na Educação Básica no Brasil, porém é
um gráfico que muito pode ajudar o entendimento da idéia de variabilidade, uma
vez que ilustra/representa a densidade do conjunto de dados em cada quarto da
distribuição.
Esperaremos assim contribuir com o ensino e a aprendizagem da
Estatística, pela elaboração e aplicação de uma seqüência de ensino, validando-a
pela análise didática das produções dos alunos participantes.
Após a breve apresentação sobre as questões a serem discutidas, faremos
aqui uma breve descrição de cada um dos capítulos desta dissertação.
No primeiro capítulo, procuramos situar o leitor sobre a problemática que
nos motivou a desenvolver esta pesquisa, fizemos algumas considerações sobre
a relevância do conhecimento da Estatística e ainda apresentamos nossas
questões de pesquisa.
No segundo capítulo, faremos um levantamento de estudos na área de
Educação Estatística e dos documentos oficiais brasileiros, com a intenção de
fundamentar nossas questões de pesquisa.
No terceiro capítulo, descreveremos duas teorias que nos orientaram para
17
a elaboração e a análise de nossa seqüência didática, o Pensamento Estatístico
e o Modelo Epistemológico do ensino e da aprendizagem da variabilidade.
Explicitaremos, no quarto capítulo, nosso problema de pesquisa e os
procedimentos metodológicos a serem utilizados neste trabalho.
No quinto capítulo, apresentaremos as atividades que compõem nossa
seqüência didática, a análise a priori dessas atividades e a análise didática das
produções dos alunos.
No sexto capítulo, apresentaremos nossas considerações finais, a partir
das análises realizadas no capítulo anterior, de forma a responder nossas
questões de pesquisa, bem como procuraremos apresentar sugestões para
futuras pesquisas.
18
2 . Revisão Bibliográfica
Na tentativa de buscar argumentos para fundamentar nossas questões de
pesquisa e analisar os dados coletados, buscamos levantar pesquisas na área
(em bibliotecas virtuais, em alguns artigos e livros publicados), verificando o que
pesquisadores abordam sobre a Educação Estatística. Fizemos também um
levantamento do que é proposto nos Documentos Oficiais brasileiros e ainda
descrevemos algumas destas pesquisas, de forma sucinta, destacando as partes
mais relevantes para nosso estudo.
2.1 . Parâmetros Curriculares Nacionais
Em 1997, foram publicados os Parâmetros Curriculares Nacionais para o
Ensino Fundamental (PCN-EF), no qual estava incluído um bloco de conteúdos
denominado “Tratamento da Informação”, contendo assuntos relacionados a
Estatística, a Probabilidade e a Análise Combinatória. De acordo com esses
parâmetros, os temas abordados, nesse bloco de conteúdos, possibilitam o
“desenvolvimento de formas particulares de pensamento e raciocínio, envolvendo
fenômenos aleatórios, interpretando amostras, fazendo inferências e
comunicando resultados por meio da linguagem estatística” (BRASIL, 1998,
p.134).
O trabalho com a Estatística é recomendado pelos PCN, com a finalidade
de propiciar ao aluno a construção de procedimentos para coletar, organizar,
analisar e comunicar dados, utilizando tabelas, gráficos e representações, que o
capacitem a interpretar sua realidade e descrevê-la, utilizando seus
conhecimentos matemáticos, ao mesmo tempo ressaltam a necessidade de
calcular medidas estatísticas, sem a preocupação de enfatizar que o mais
importante é saber o significado de cada medida e a sua utilidade na
interpretação dos dados.
Um dos objetivos do Ensino Fundamental, segundo os Parâmetros
Curriculares Nacionais, ciclos três e quatro
2
, é o de posicionar-se de maneira
2
Esses dois ciclos compreendem as quatro séries finais do Ensino Fundamental.
19
crítica, responsável e construtiva nas diferentes situações sociais, utilizando as
diferentes linguagens: verbal, musical, matemática, gráfica, plástica e corporal,
como meio para produzir, expressar e comunicar suas idéias, interpretar e usufruir
das produções culturais, utilizando para isso o pensamento lógico, a criatividade,
a intuição, a capacidade de análise crítica, selecionando procedimentos e
verificando sua adequação. Podemos então verificar a importância do estudo do
Tratamento da Informação como um todo e ressaltar o estudo da Estatística,
como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e
o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas.
Hoje, a leitura e interpretação de gráficos e tabelas têm uma grande
importância social, pois, diariamente, em revistas e jornais deparamos-nos com
tabelas, gráficos, cálculos e previsões estatísticas, e devemos saber considerá-los
para ter uma avaliação correta dos dados apresentados. Os Parâmetros
Curriculares Nacionais apontam estas competências como um de seus objetivos:
“saber utilizar diferentes fontes de informação (...) para adquirir e construir
conhecimentos” (BRASIL, 1998, p.31).
O estudo da Estatística, ainda, contempla um outro objetivo contido nos
PCN-EF: conhecer características fundamentais do Brasil nas dimensões sociais,
materiais e culturais como meio para construir progressivamente a noção de
identidade nacional e pessoal e o sentimento de pertinência ao país. Ressaltamos
que, além de conhecer estas características, a Estatística proporciona meios de
interpretar, questionar e tomar decisões através das mesmas.
Lopes (1998), em sua dissertação de mestrado, na qual desenvolveu uma
análise curricular sobre o ensino de Probabilidade e Estatística no Ensino
Fundamental, considera que o ensino da Probabilidade e da Estatística possa
contribuir para que a escola cumpra seu papel de preparar os estudantes para a
realidade, à medida que desenvolve a elaboração de questões para responder a
uma investigação, que possibilita fazer conjecturas, formular hipóteses,
estabelecer relações, processos necessários à resolução de problemas.
Os conteúdos propostos pelos PCN-EF se relacionam como leitura e
interpretação de informações de imagens, coleta e organização de informações,
interpretações e elaboração de tabelas e gráficos, produção de textos com
análises de gráficos e tabelas, construção de gráficos e tabelas baseados nas
20
informações de textos jornalísticos, científicos e outros, exploração da idéia de
probabilidade em situações-problema e identificação de maneiras de combinar
elementos de uma coleção.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais afirmam que a coleta, organização e
descrição de dados são procedimentos muito usados na resolução de problemas
e instigam os alunos ao questionamento, estabelecendo relações e construindo
justificativas para o desenvolvimento do espírito investigatório.
Para o terceiro ciclo do Ensino Fundamental, 6º e 7º anos, os PCN
sugerem que o aluno deve construir procedimentos para:
Coleta, organização de dados e utilização de recursos visuais adequados
(fluxogramas, tabelas e gráficos) para sintetizá-los, comunicá-los e permitir
a elaboração de conclusões;
Leitura e interpretação de dados expressos em tabelas e gráficos;
Compreensão de significado de média aritmética como um indicador da
tendência de pesquisa.
Para o quarto ciclo do Ensino Fundamental, 8º e 9º anos, os PCN sugerem
que o aluno deve construir procedimentos para:
Leitura e interpretação dos dados expressos em gráficos de colunas, de
setores, histogramas e polígonos de freqüência;
Organização de dados e construção de recursos visuais adequados, como
gráficos (de colunas, de setores, histogramas e polígonos de freqüência)
para apresentar globalmente os dados, destacar aspectos relevantes,
sintetizar informações e permitir a elaboração de inferências;
Compreensão de termos como frequência, frequência relativa, amostra de
uma população para interpretar informações de uma pesquisa;
Distribuição das frequências de uma variável em classes de modo que
resuma os dados com um grau de precisão razoável;
Obtenção de medidas de tendência central (média, moda e mediana),
compreendendo seus significados para fazer inferências;
Buscamos até aqui, dentre os objetivos expostos nos PCN (terceiro e
21
quarto ciclos) - tanto gerais, como específicos da Matemática, observar aqueles
em que o ensino da Estatística se torna necessário para que os mesmos possam
realmente ser atingidos.
O que nos deixa inquietos, enfim, não são os objetivos, e sim a falta de
orientações para professores trabalharem em suas aulas e conseguirem cumprir
com os mesmos, pois sabemos que a Estatística não foi tratada em grande parte
das formações iniciais dos professores e ainda em outras, apesar de ter sido
componente do currículo, não foram oferecidos subsídios para o
ensino/aprendizagem da mesma.
Relacionamos também os conteúdos sugeridos para as séries em questão,
e observamos que os mesmos poderiam ser mais ricos, pois os PCN, em nenhum
momento, sugerem o estudo da variabilidade que, segundo Wild e Pfannkuch
(1999), é o elemento central do Pensamento Estatístico. Desta forma, não faz
sentido trabalhar as medidas de tendência central sem relacioná-las com a
variabilidade em torno das mesmas. A variabilidade deve ser abordada pelos
professores ainda que de forma intuitiva, e a falta dessa abordagem pode
prejudicar a construção e o desenvolvimento do raciocínio no aprendizado do
aluno, pois quanto antes iniciarmos o estudo da variabilidade, os educandos
poderão melhor compreendê-la e relacioná-la, não só com a Estatística aprendida
na escola, mas também e principalmente com a Estatística presente em seu
cotidiano.
Temos hoje, para a rede estadual de ensino, a Proposta Curricular do
Estado de São Paulo (2008), que tem como principal objetivo “mapear as
informações relevantes e organizá-las em narrativas significativas, em cada
território disciplinar” (SÃO PAULO, 2008, p.41). Segundo este documento, uma
nova proposta deve estar especialmente atenta à incorporação crítica dos
inúmeros recursos tecnológicos disponíveis para a representação de dados e o
tratamento das informações na busca da transformação de informação em
conhecimento.
No entanto, essa proposta, apesar de apresentar um discurso de
incorporação ao Tratamento da Informação, deixa uma lacuna ainda maior no
Ensino de Estatística. E em contraposição ao que é proposto nos PCN, que
22
sugerem o trabalho com o Tratamento da Informação no decorrer de todos os
anos do Ensino Fundamental e Médio, essa nova proposta sugere, em seu
quadro de conteúdos por série e por bimestre, o ensino de Estatística apenas no
último bimestre do 6º ano,no 3º bimestre do 7º ano, e o ensino de Probabilidade
também no último bimestre do 9º ano, conforme o Quadro 1:
Quadro 1: Conteúdos de Matemática por Série e por Bimestre do Ensino Fundamental
6º ano
7º ano
8º ano
9º ano
1º Bimestre
Números Naturais
Frações
Sistema de
numeração
Números negativos
Números racionais
Números racionais
Potenciação
Números reais
2º Bimestre
Números decimais
Sistemas de medida
Geometria
Expressões
algébricas
Álgebra
Funções
3º Bimestre
Formas geométricas
Perímetros e áreas
Proporcionalidade
(construção do
gráfico de setores)
Equações
Gráficos
Proporcionalidade na
geometria
4º Bimestre
Estatística
Álgebra
Geometria
Corpos redondos
Probabilidade
Observe-se que nada se refere aos Problemas de Contagem, que
juntamente com a Probabilidade e a Estatística, formam o bloco “Tratamento da
Informação” no PCN.
A Proposta Curricular do Estado de São Paulo (2008) afirma que a lista de
23
conteúdos selecionada para cada série não se afasta muito da que é usualmente
apresentada nos diversos sistemas de ensino. Não concordamos, pois os
Parâmetros Curriculares Nacionais é que norteiam os sistemas de ensino hoje
atuantes em nosso país e, como já apresentamos anteriormente, os conteúdos
propostos nos PCN, principalmente os relacionados à Estatística, observamos
que estes não condizem com uma abordagem do tema tal como é proposto neste
documento.
É interessante notar que, nas próprias orientações da Proposta Curricular
do Estado de São Paulo para a disciplina de Matemática (2008) em relação ao
Tratamento da Informação, foi enfatizado que “não faltam justificativas razoáveis
para a exploração dos temas relacionados ao Tratamento da Informação ao longo
da segunda etapa do Ensino Fundamental e também do Ensino Médio” (SÃO
PAULO, 2008, p.47), o que não está explicito no quadro referente aos conteúdos
a serem trabalhados, que, conforme podemos observar, sugerem o estudo de
estatística no 6º ano, apenas a construção do gráfico de setores quando se
trabalha a proporcionalidade no 7º ano, e nem há a menção do estudo de
estatística nos 8º e 9º anos.
Esta proposta para o estudo de Estatística contradiz com estudos
recentemente realizados e também com os PCN, que propõem uma visão
curricular para a Matemática que seja diferente da linear, a proposta em espiral,
que segundo Lopes (1998) não devem se prender a um determinado ano da
escolaridade.
Outro ponto que nos preocupa é o fato dos conteúdos relacionados ao
Tratamento da Informação (Estatística no 6º ano e Probabilidade no 9º ano)
estarem propostos na Proposta Curricular do Estado de São Paulo (2008) apenas
para o último bimestre do ano letivo, esse fato apresenta um sério risco destes
conteúdos não serem abordados, ou ainda, serem tratados, por falta de tempo, de
uma forma superficial.
24
2.2 . Pesquisas sobre o tema
2.2.1 . O Ensino de Estatística
Muito preocupa-nos a forma que a Estatística é abordada hoje pelos
professores em sala de aula, pois além de muitos profissionais não a trabalharem
com seus alunos, os que o fazem abordam-na de forma muito mecanizada; os
Parâmetros Curriculares Nacionais incluem de forma subjetiva o estudo de
Estatística para os Ensinos Fundamental e Médio, e, para agravar, segundo
pesquisas realizadas, são poucos os professores que dominam esse assunto.
Em vista disso, hoje a Estatística é apresentada aos alunos como uma
mera e simples aplicação de fórmulas e cálculos, que foi a forma como,
provavelmente aprenderam em sua formação inicial.
Sabe-se também que os cursos de Licenciatura em Matemática e de
Pedagogia não preparam os professores para a abordagem destes conteúdos:
basta olharmos os currículos propostos nesses cursos. Segundo Carvalho e
César (2001), a Estatística ainda é apresentada de uma forma convencional,
como um conjunto de técnicas, concebidas como a simples aplicação do cálculo.
As autoras ainda esclarecem que, segundo pesquisadores que têm se dedicado
ao estudo do ensino e da aprendizagem da estatística:
“Os conteúdos dessa área de conhecimento devem promover nos alunos
o desenvolvimento de capacidades de comunicação, autonomia e
solidariedade, incluindo o espírito crítico e o rigor na análise das
problemáticas, a confiança nos raciocínios dos parceiros, o abordar de
novas situações com interesse e iniciativa, avaliá-las cuidadosamente e
só depois tomar decisões.” (CARVALHO e CÉSAR, 2001, p.3)
O atingir das competências acima referidas, segundo as autoras, não é
compatível com um ensino centrado no professor, com atividades rotineiras nas
quais apenas se espera que os alunos aprendam por meio de fórmulas e
procedimentos, em que a interpretação dos contextos fica em segundo plano.
Desta forma, baseadas nos currículos atuais, sugerem trabalhos com pequenos
grupos como forma ideal para trabalhar Estatística nas aulas de matemática,
promovendo assim interações horizontais (aluno/aluno).
25
Uma outra autora que referenciamos é Santos (2005), que em sua
dissertação de Mestrado, na qual realizou um estudo diagnóstico com professores
de Matemática, dos Ensinos Fundamental e Médio, buscando saber como esses
professores lidam com os conteúdos relacionados ao Tratamento da Informação e
se estes acreditam ser viável o trabalho com os mesmos nos ensinos
Fundamental e Médio, e observou que de modo geral estes professores
desconheciam a proposta dos PCN a respeito do bloco de conteúdos
relacionados ao tema tratamento da informação, e demonstram não ter clareza
sobre a importância desses conteúdos para a formação do aluno.
Este estudo diagnóstico realizado revelou que os professores pesquisados
acreditam que os conteúdos relacionados ao Tratamento da Informação não são
viáveis para o Ensino Fundamental. A autora ainda afirma que os professores
apresentam certa resistência em relação ao estudo desse tema por não
dominarem os conteúdos e ainda que os professores afirmam não ter estudado
estes conteúdos no curso de graduação.
Morais (2006), em sua dissertação de Mestrado, buscou estabelecer
relações entre as concepções de docentes, suas práticas de ensino e as formas
de apresentação dos conteúdos relacionados à Estatística em livros didáticos. Ao
analisar duas coleções de livros didáticos brasileiros, concluiu que eles exploram
atividades que privilegiam técnicas e procedimentos, uma vez que não propõem
situações que permitam o desenvolvimento dos demais componentes do
conhecimento estatístico (do contexto) e do pensamento específico (necessidade
dos dados, transnumeração e estudo da variabilidade) em conformidade com os
Parâmetros Curriculares Nacionais.
Podemos nos perguntar o que os livros didáticos têm a ver com o fato dos
professores tratarem de maneira formalizada o ensino dos conteúdos
relacionados ao Tratamento da Informação, ou ainda, segundo Santos (2005)
com o fato dos professores não conhecerem o que é proposto nos PCN? Morais
(2006) responde-nos que esse fato possivelmente reflete na realidade da prática
docente, uma vez que o professor baseia seu trabalho nos tipos de tarefas
sugeridas nos livros didáticos.
Batanero (2001) também afirma que, em suas práticas em sala de aula,
são poucos os professores que incluem o Ensino de Estatística como tema de
26
estudo, e, em outros casos, tratam brevemente o assunto e o fazem de forma
excessivamente formalizada, o que nos mostra que isto não acontece apenas no
Brasil.
Em razão desta abordagem formal e suas conseqüências no
desenvolvimento do Pensamento Estatístico, muitos pesquisadores têm se
dedicado ao ensino e a aprendizagem de Estatística, e ressaltam que o mesmo
não deve estar centrado em técnicas e fórmulas, mas sim na análise exploratória
de dados, que traz ao estudante um sentido para todos aqueles cálculos.
Lopes e Carvalho (2005) afirmam que apesar da Educação Estatística
estar atrelada ao bloco de conteúdo “Tratamento da Informação”, a ênfase nas
aulas de Matemática ainda tem estado na construção de tabelas e gráficos e em
cálculos com as medidas de posição. Porém para o ensino de Estatística e
Probabilidade deve-se priorizar as conexões entre a matemática e o mundo,
abandonando assim a memorização de fórmulas e algoritmos.
Nessa mesma linha, Mandarino e Coutinho (2006) propõem acabar com
uma estrutura didática que privilegia o treino de procedimentos, sem que o aluno
perceba porque eles são necessários. As autoras afirmam que a resolução de
problemas não pode ser vista somente como “simples aplicação da habilidade de
calcular, mas, principalmente, como uma oportunidade de analisar situações,
tomar decisões e investigar estratégias” (MANDARINO e COUTINHO, 2006, p.1).
Essas autoras ainda afirmam que o maior propósito de se trabalhar
privilegiando a resolução de problemas é preparar o aluno para aprender com
autonomia sendo capaz de olhar criticamente o mundo em que vive.
Segundo Ponte (2003), a Estatística pode tornar-se um dos temas de
matemática mais “aborrecidos” de ensinar e aprender, se focado apenas em
como se calcular a média ou o desvio padrão, ou ainda, em como se construir um
determinado tipo de gráfico. O autor sugere então um trabalho baseado na idéia
de Carmen Batanero, em seu livro Didáctica de la Estadística, com foco na
análise exploratória de dados.
Para Batanero (2001), o interesse pelo ensino da Estatística, dentro da
Educação Matemática, está ligado ao rápido desenvolvimento da Estatística como
27
ciência e sua utilidade à investigação, com isto os conteúdos estatísticos inseridos
na disciplina de Matemática exigem que os professores se adaptem a essa
realidade, aprimorando seu conhecimento sobre esse conteúdo de maneira que
lhe permitam desenvolver atividades didáticas motivadoras e que tenham
significado para o aluno.
Baseada nas idéias desses e também de outros autores sobre o ensino e a
aprendizagem da Estatística, Megid (2002) desenvolveu um projeto de para duas
realidades escolares diferentes, investigando a construção dos saberes de alunos
e professores, por meio da interação desses sujeitos.
A questão central que orientou sua pesquisa foi: Como professores e
alunos de 6ª série de escolas pública e privada interagem e constroem saberes
em um projeto de estatística?
Para tratar essa questão, realizou um trabalho sobre Estatística em duas
classes de 6ª série do Ensino Fundamental (atual 7º ano), uma da rede pública
estadual e outra da rede privada de Campinas-SP, durante um período de quatro
meses aproximadamente, entre o 1º e o 2º semestres letivos de 2001.
Segundo a autora, a utilização de contextos escolares distintos, um de
escola pública e outro de escola privada, não teve a intenção de fazer
comparações, porém, algumas vezes, isso ocorreu durante a pesquisa. Mas a
intenção da autora foi a de descrever, em paralelo, as atividades com as duas
turmas, apontando o percurso, as dificuldades e os avanços obtidos em cada uma
para a posterior análise da produção dos conhecimentos por parte dos alunos e
professoras.
Num primeiro momento do Megid procurou estabelecer passos para
identificar os conhecimentos prévios dos alunos acerca de Estatística. Organizou
algumas atividades em que pode verificar o que cada turma entendia por
Estatística por meio de um questionário, e ainda, perceber de que maneira
interpretavam tabelas e gráficos veiculados pela mídia, por meio de uma atividade
envolvendo gráficos e tabelas extraídos de jornais e revistas sobre os assuntos
escolhidos pelos alunos.
Num segundo momento, após já ter construído uma maior familiaridade
28
com as tabelas e gráficos divulgados na mídia, a autora solicitou aos alunos das
duas turmas a construção de um projeto da pesquisa estatística.
Num terceiro momento, após a realização da pesquisa dos alunos com o
público e o tema definidos por eles mesmos, partiu-se para a organização e
sistematização dos dados, para que pudessem tirar algumas conclusões. Para
isso, foi necessário estabelecer, sempre com os alunos, a melhor maneira de
realizar a tarefa.
Sobre o que foi construído, a autora pôde perceber que apesar das
diferenças, a investigação mostrou que a interação entre os alunos, entre esses e
as professoras, a socialização dos seus conhecimentos e de suas opiniões,
podem ser importantes nos avanços sociais e cognitivos dos alunos bem como
para o aprimoramento do conhecimento e da prática pedagógica da professora.
Aprender Estatística não ocorre simplesmente pela observação dos
gráficos e tabelas da mídia ou dos livros. Segundo Megid, perceber que aqui
cresce ou que ali diminui, não é o suficiente para entender a amplitude do tema.
Mais que isso, é necessário entender o porquê da utilização deste ou daquele
modelo de gráfico; porque não é possível utilizar algumas vezes o gráfico de
setores; quais as intenções de divulgar uma pesquisa desta ou daquela maneira;
qual população foi envolvida; entre tantas outras questões associadas ao assunto.
Ainda nessa direção, a autora afirma “captar”, por meio dos diálogos
ocorridos entre os alunos e professora, benefícios da aprendizagem da Estatística
para o aluno-cidadão. Com seu uso, fica mais fácil a visualização de uma grande
quantidade de dados; a pesquisa estatística pode ser útil na
resolução/interferência nos problemas sociais, talvez se antecipando às tragédias.
Megid (2002) também discutiu com as turmas os aspectos éticos no campo
da Estatística. Se o pesquisador não tiver objetivos e procedimentos honestos, a
favor de toda a população e não somente da parcela privilegiada dela poderá
manipular os dados, distorcendo os fatos. Uma pesquisa superficial pode enganar
a população, trazendo informações total ou parcialmente infundadas,
manipulando as novas idéias que se estabelecerão sobre determinado assunto.
Assim, a autora afirma que ao professor deve estar bem claro o objetivo de
atividades como as usadas na investigação, devendo interagir com os alunos,
29
combinando a intervenção adequada com a observação constante e perspicaz.
A pesquisa de Megid (2002) contribuiu para ampliar os aportes
experienciais, estimulando a continuar nessa linha de trabalho em Matemática, se
possível, também articulada a outras disciplinas.
Um outro trabalho que queremos citar e discutir é o de Médici (2007) que
propôs uma sequência didática visando criar condições para o desenvolvimento
do Pensamento Estatístico em crianças da 5ª série do Ensino Fundamental (hoje
6º ano), com o objetivo de contribuir para o ensino e a aprendizagem na área de
Estatística. Procurou estudar as condições didáticas para a introdução do trabalho
com representações de uma distribuição de freqüências com alunos de 11-12
anos.
As questões que orientaram sua pesquisa foram: Quais as condições
didáticas que favorecem a evolução autônoma do aluno na resolução de
problemas de organização, representação e interpretação de um conjunto de
dados? Que tipo de seqüência didática o professor pode utilizar visando favorecer
a construção do pensamento estatístico?
Como referencial teórico, a autora baseou-se em Curcio (1987) e
Brousseau (1975). Curcio (1987) propôs três níveis para a compreensão dos
dados representados graficamente, referentes à leitura dos dados, à leitura entre
os dados e à leitura além dos dados. Um dos objetivos, com a seqüência didática
que a autora elaborou, foi fazer com que os alunos da 5ª série evoluam da leitura
de dados para a leitura além dos dados.
Já Brousseau (1975) propôs um modelo teórico visando a construção, a
análise e a experimentação de Situações Didáticas, fundamentado na noção do
milieu, que, segundo o autor, é tudo o que interage com o aluno durante a
resolução do problema: conhecimentos dos alunos, dos colegas, dos professores,
dos livros, entre outros. Nesse quadro teórico, visa-se estabelecer relações entre
o milieu, o conhecimento a ser construído e entre as situações.
Como a autora havia previsto em sua análise teórica da atividade, apesar
dos alunos estarem construindo gradativamente o pensamento estatístico, as
representações foram muitas vezes pouco organizadas e/ou com informações
30
inexatas ou faltantes. Assim, muitos alunos se esqueciam de colocar a fonte da
sua pesquisa ou colocavam o total ao lado da tabela, ao invés de registrá-lo no
final, ou mesmo colocavam títulos pouco explicativos da sua representação.
Médici também verificou que as discussões, em sala de aula, trouxeram
novas informações ao grupo, assim como sistematizaram alguns procedimentos e
representações e que, de fato, houve uma homogeneização do milieu.
Com a intenção de analisar os resultados segundo a classificação de
Curcio, Médici propôs aos alunos duas atividades escritas, uma em grupo e outra
individual. Na atividade em grupo 53% dos grupos de alunos atingiram o nível de
leitura além dos dados, já na atividade individual foram 30% dos alunos que
conseguiram atingir este objetivo, o que a autora considerou um bom resultado,
tendo em vista que os alunos realizaram uma única atividade explorando esse
tipo de análise.
2.2.2 . Pesquisas com foco em variação/variabilidade
Alguns pesquisadores realizaram estudos sobre como pode ser abordada a
variabilidade em diferentes séries do Ensino Fundamental. Citaremos brevemente
algumas destas pesquisas, que foram analisadas no trabalho desenvolvido por
Silva (2007), o qual abordaremos mais adiante neste texto.
Watson e Kelly (2002, apud SILVA 2007) realizaram uma pesquisa com
setenta e dois alunos da 3ª série do Ensino Fundamental, na Austrália, para
verificar a possibilidade de iniciar o ensino de variabilidade, enfatizando acaso,
dados e variação já em início de escolaridade.
Silva (2007) mostra que dentre as atividades desenvolvidas pelas
pesquisadoras, a primeira delas era especialmente interessante e solicitava aos
alunos contar o número de chocolates em uma embalagem (semelhante ao
M&Ms brasileiro). Em duplas, fizeram a contagem, classificando-os por cor e, ao
final, fizeram um gráfico de barras para as cores. Com isso, os alunos
perceberam não só a quantidade, mas também a variação das cores no
conteúdo das embalagens. Foi feita uma tabela para cada classe e feita a
comparação por classes.
Watson e Kelly (2002, apud SILVA 2007) aplicaram um pré e um pós-teste
31
aos alunos com questões sobre aleatoriedade, variação e leitura de gráficos e
tabelas. As autoras compararam a quantidade de acertos no pré e no pós-teste e,
em todas as comparações, os alunos foram melhores no pós-teste, demonstraram
que é possível e proveitoso trabalhar com variabilidade com alunos de 3ª série do
Ensino Fundamental.
Uma segunda pesquisa analisada por Silva (2007) é a desenvolvida por
Lehrer e Schauble (2002, apud SILVA, 2007). Esses autores realizaram uma
pesquisa com vinte e dois alunos da 4ª série do Ensino Fundamental, nos
Estados Unidos com o intuito de auxiliar o entendimento de variação nos dados e
o entendimento de erro. Os alunos foram envolvidos em situações em que
existisse variação natural. Os pesquisadores trabalharam dois aspectos de
variação: devido ao erro e devido a uma situação natural, e para isso utilizaram a
mediana como medida de centro e a mediana das distâncias em torno da
mediana como medida de dispersão.
Ben-Zvi (2002, apud SILVA 2007) realizou um estudo com alunos de 7ª
série do Ensino Fundamental em Israel, para isso desenvolveu uma disciplina
denominada Análise Exploratória de Dados, no período de dez semanas,
utilizando planilha eletrônica. O objetivo era inferir o grau de entendimento e
disposição dos alunos para formular questões hipóteses de pesquisa utilizando
representações de dados, em particular, o uso de observações individuais ou
globais dos dados. Após duas semanas do término da disciplina, Ben-Zvi solicitou
que os alunos fizessem uma análise da imigração em Israel (observações reais
obtidas do Statistical Abstract of Israel de 1995). Esta análise mostrou que os
alunos tiveram habilidade para reconhecer e descrever ciclos com base na
variabilidade.
Silva (2007) mostra ainda que esse mesmo autor realizou uma outra
pesquisa, em 2004, com dois alunos de 7ª série do Ensino Fundamental com o
intuito de verificar o raciocínio sobre variabilidade quando são feitas comparações
entre dois grupos num ambiente informatizado (usando Microsoft Excel). O
objetivo da atividade proposta pelo pesquisador era proporcionar oportunidades
de observar, reconhecer, lidar intuitivamente com e descrever a variabilidade
dentro e entre as distribuições.
Os resultados observados por Ben-Zvi (2004, apud SILVA 2007) sugerem
32
que os alunos raciocinam sobre variabilidade começando a observar os valores
extremos para poder se encaminhar aos valores centrais.
Finalmente, apresentaremos o estudo feito por Silva (2007) sobre o
trabalho de Bakker (2004, apud SILVA 2007) que realizou uma experiência com
alunos de 8ª série do Ensino Fundamental de uma escola pública da Holanda, em
que os alunos não tinham nenhum conhecimento estatístico, com o intuito de
verificar o processo de aprendizagem dos alunos sobre conceitos-chave para a
análise de dados, especificamente, variabilidade.
O pesquisador desenvolveu duas atividades, a primeira tinha como objetivo
permitir ao aluno raciocinar sobre o formato da distribuição em relação aos
aspectos de amostragem, já, para segunda, o objetivo era verificar se os alunos
percebiam que quando o tamanho da amostra é muito pequeno, fica difícil permitir
conclusões. No decorrer de sua pesquisa, Bakker (2004, apud SILVA 2007) nota
que a variação pode se tornar um conceito disponível, como, no caso da variação,
em vez de dizer que os dados estão espalhados, os alunos começaram a dizer
que a variação é grande.
Sobre essa pesquisa aqui citada, Silva (2007) conclui que:
“Ficou implícito no trabalho de Bakker (2004) que os alunos
compreenderam que existia mais variação nas amostras pequenas, a
partir do avanço das estruturas elaboradas, mas isso não foi
explicitamente colocado”. (SILVA, 2007, p.127 e 128).
Podemos perceber que, dentre os pesquisadores citados, não temos
nenhum pesquisador brasileiro, pois, até o momento, não existem trabalhos, ou
ainda, não tivemos acesso a trabalhos publicados no Brasil com este tipo de
pesquisa envolvendo alunos de Ensino Fundamental.
Silva (2007) pesquisou a percepção da variabilidade com nove professores
da Escola Básica, com objetivo de identificar o raciocínio de variação/variabilidade
dos professores em cada etapa do ciclo investigativo proposto por Wild e
Pfannkuch (1999), de maneira que permitisse compreender a relação entre
pensamento estatístico e raciocínio sobre variação.
Ao iniciar a Formação Continuada com esse grupo de professores, a autora
33
aplicou um questionário para que fosse possível conhecer o perfil dos mesmos e
a sua experiência com a Estatística. Todos do grupo lecionavam no Ensino
Médio, porém apenas um deles já tinha trabalhado com medidas de tendência
central e dispersão, restringindo-se à média e ao desvio padrão, os demais nunca
ensinaram conteúdos estatísticos, ou trabalharam apenas com gráficos.
Como os participantes dessa pesquisa eram professores de Matemática, a
autora considerou que os mesmos já tinham aprendido sobre desvio padrão,
porém a fase inicial de sua pesquisa indicou a ausência de significado desse
conceito, com exceção de um participante.
Silva (2007) também observou que os poucos professores que já utilizavam
a “pesquisa” como metodologia de ensino de Estatística, o faziam de maneira
restrita, apenas trabalhando com tabelas de freqüência e sua representação
gráfica , o que indicou que os mesmos não abordam a idéia de variação em suas
aulas.
Essa formação continuada, segundo a autora, promoveu um bom
desenvolvimento em relação ao Pensamento Estatístico desses professores,
porém isto não implicou no desenvolvimento do raciocínio sobre variação. Em
relação à variabilidade, observou-se uma facilidade em admitir a existência de
variação, porém verificou a dificuldade de “viver e conviver diante dessa
variabilidade”. (SILVA, 2007, p.321)
34
3 . Referencial Teórico
3.1 . Pensamento Estatístico
Segundo Campos (2007), apesar de não ser possível ensinar o
“Pensamento Estatístico” diretamente aos alunos:
“É possível trabalhar na valorização de hábitos mentais que permitam
aos não estatísticos apreciar melhor o papel e a relevância desse tipo de
pensamento, provendo aos estudantes experiências que promovam e
reforcem os tipos de estratégias que desejamos que eles empreguem no
tratamento de novos problemas.” (CAMPOS, 2007, p.54)
Nesta parte do trabalho, iremos abordar o Pensamento Estatístico
baseados nas idéias de Wild e Pfannkuch (1999), destacando suas dimensões e
com foco na variabilidade que é o ponto central deste tipo de pensamento.
3.1.1 . A variação/variabilidade como ponto de partida
Segundo as definições da ASA
3
(Associação Estatística Americana), o
ponto central de qualidade para o Pensamento Estatístico é a variação ou
variabilidade. Qualquer discussão séria sobre Pensamento Estatístico deve
considerar o papel da variação e, se a variação é o que em estatística precisa-se
apreender, há a necessidade de chegar-se a uma concepção comum de
estatística em termos de variação.
Assim como no trabalho de Silva (2007), em nossa pesquisa, “o termo
variabilidade será usado referindo-se à característica da entidade que é
observável e o termo variação será usado como descrição ou medida desta
característica” (READING e SHAUGHNESSY, 2004, apud SILVA, 2007, p.20).
As três primeiras características da variação/variabilidade, segundo Wild e
Pfannkuch (1999), são que ela é onipresente; a possibilidade de que ela
3
De acordo com Campos (2007) configura-se como uma organização científica e
educacional, que visa promover práticas, aplicações e pesquisas estatísticas, bem como
aperfeiçoar a Educação Estatística.
35
apresente sérias conseqüências práticas; e o fato da estatística apresentar um
meio para entender um mundo perseguido pela variação.
Segundo esses autores, ela é onipresente porque a variabilidade é uma
realidade observável e está presente em qualquer parte e em tudo, afetando
todos os aspectos da vida e tudo o que observamos.
Uma conseqüência dessa assumida onipresença são os impactos
práticos na vida das pessoas, o que acaba tornando imprevisível o resultado de
muitas de suas ações (dos processos desenvolvidos pelo desencadeamento
dessas ações). E é por causa da variação que a estatística desenvolve
métodos para traduzir e modelar as mensagens contidas nos dados.
Wild e Pfannkuch (1999) acreditam que não deve ser subestimada a
importância do pensamento estatístico, pois tem sua relevância em diversas
áreas do pensamento humano.
E segundo Wild e Pfannkuch (2004, apud CAMPOS, 2007), “o
desenvolvimento do pensamento estatístico deve ser visto pelos educadores
como crucial para se entender e operar com o meio ambiente atual e para
perceber a realidade do mundo” (p.56).
4.1.2 . Estrutura do Pensamento Estatístico
More (1997, apud WILD e PFANNKUCH, 1999, p.224) apresentou a
seguinte lista com elementos estatísticos aprovada pela ASA (Associação
Estatística Americana): a necessidade dos dados; a importância da produção de
dados; a onipresença da variabilidade; a medida e a modelação da variabilidade.
Todavia para Wild e Pfannkuch este é apenas um subconjunto do que os
estatísticos entendem por “pensamento estatístico”.
Já Snee (1990, apud WILD e PFANNKUCH, 1999) define pensamento
estatístico como:
Processos de pensamento que reconhecem que a variação está em tudo
que nos rodeia e presente em qualquer coisa que fazemos, todo o
trabalho é uma série de processos interconectados, e a identificação, a
caracterização, a quantificação, o controle e a redução da variação
proporcionam oportunidades para o melhoramento. (1990, SNEE apud
WILD e PFANNKUCH, 1999, p.224).
36
Wild e Pfannkuch (1999) ampliam as definições acima e constroem uma
estrutura de quatro dimensões de modo a organizar alguns elementos do
pensamento estatístico: o ciclo investigativo, os tipos de pensamento, o ciclo
interrogativo e as disposições, e Silva (2007) complementa o esquema proposto
pelos autores, explicitando o objetivo de cada uma das etapas, conforme Figura 2:
Figura 2: Estrutura do Pensamento Estatístico, conforme Silva (2007)
Explicaremos brevemente cada um desses ciclos.
O ciclo investigativo, que representa a primeira dimensão, tem a ver com
a forma com que se pensa em uma investigação estatística. Wild e Pfannkuch
(1999) adaptaram o modelo PPDAC (Problema, Plano, Dados, Análise e
Conclusões) de Mackay e Oldford (1994, apud WILD e PFANNKUCH 1999),
37
modelo esse que busca compreender a dinâmica de um sistema, a formulação de
um problema e os assuntos do planejamento e da medição.
O conhecimento obtido e as necessidades identificadas, dentro do ciclo
investigativo, podem iniciar ciclos de investigação mais avançados, para isso,
segundo Wild e Pfannkuch (1999), é necessário encontrar objetivos claros de
aprendizagem para se chegar ao nível de compreensão desejado, gerando assim
qualidade ao Pensamento Estatístico.
Os tipos de pensamento caracterizam a segunda dimensão proposta
pelos autores, que se divide em pensamentos fundamentais da estatística e
pensamentos gerais.
Os pensamentos fundamentais envolvem o reconhecimento da
necessidade dos dados, análises estatísticas dos dados e o reconhecimento da
importância da variação nos contextos estatísticos. Wild e Pfannkuch (1999)
afirmam que as matérias primas com que se trabalha o pensamento estatístico
são o conhecimento estatístico, o conhecimento do contexto e a informação
contida nos dados, e esses elementos são a base para construir “implicações,
perspicácias e conjecturas” (p.7).
Pensamentos gerais são pensamentos dirigidos ao que faremos, isto inclui
ações tais como: planejar como abordar uma tarefa, dividir tarefas em sub-tarefas,
estabelecer data limite para a realização das mesmas, divisão do trabalho, a
antecipação de problemas e o plano para evitá-los. Esse tipo de pensamento,
segundo Wild e Pfannkuch (1999), pode ser entendido também como pensamento
estratégico, e, em decorrência deste pensamento, algumas pessoas serão
melhores que outras fazendo conexões úteis e compreendendo características
especiais.
O ciclo interrogativo, terceira dimensão, é caracterizado pelo processo
genérico do pensamento de uso constante na resolução de problemas estatísticos
que, para melhor entendê-lo, se divide em quatro partes:
1) Produção de possíveis causas, explicações e mecanismos para inter-
relacionar as partes do sistema entre si e com outros blocos de construção de
modelos estatísticos.
38
2) Busca de causas internas, nos próprios dados do problema, ou externas,
que busca causas em outras fontes e inclui a leitura de literatura relevante.
3) Interpretação, que consiste em extrair, traduzir, comparar e processar os
resultados dessa busca.
4) Confrontar resultados é a fase do juízo crítico em que se pergunta: Isto
é correto? Isto tem sentido? Isto está de acordo com os demais que já
conhecemos?, argumentando com nós mesmos e julgando o que devemos
manter, o que devemos descartar, para isso aplicamos juízo às coisas como : a
confiabilidade da informação, a utilidade das idéias, a viabilidade dos planos,
entre outros.
A quarta dimensão, das disposições, ressalta que as qualidades pessoais
afetam ou iniciam o comportamento diante dos resultados obtidos. A
curiosidade e a consciência auxiliam a descobrir e relacionar perguntas internas
como “Por quê?” ou “Como posso explorar isto?”, e são fontes do processo de
geração de perguntas que resultam em uma aprendizagem inovadora.
Os autores ainda afirmam que as pessoas são mais observadoras nas
áreas que são para elas mais interessantes, logo as disposições variam de
acordo com o grau em que a pessoa está envolvida com o problema. O
envolvimento gera o compromisso que intensifica cada elemento da disposição:
curiosidade, consciência, imaginação e perseverança.
Wild e Pfannkuch (1999) afirmam que apesar de proporem quatro
dimensões diferentes, as mesmas encontram-se tão relacionadas que existem
momentos em que se opera de uma vez nas quatro dimensões, como por
exemplo:
O pensador poderia ser colocado na categoria, como freqüentemente
ocorre, da etapa do pensamento do Ciclo Investigativo (Dimensão 1) que
tem a ver com algum aspecto da variação na Dimensão 2 (Tipos de
Pensamento) avaliando um possível plano na Dimensão 3 (Ciclo
Interrogativo) conduzido por meio do ceticismo da Dimensão 4
(Disposições). (WILD e PFANNKUCH, 1999, p.226).
39
Segundo Wild e Pfannkuch (1999), sempre que se realiza uma pesquisa
estatística, mesmo que inconsciente, usa-se o Pensamento Estatístico e a
interação entre o estatístico e o contextual, gerando a qualidade a esse tipo de
pensamento. As investigações reais, hoje, utilizadas, em contraste com as
aplicações mecânicas das técnicas estatísticas, podem melhor preparar o
Pensamento Estatístico do educando.
Procuramos, em nossa sequência didática, promover esta interação acima
mencionada, de tal forma que o contexto de pesquisa dos alunos, que consiste
em observar seus próprios gostos, características e preferências, auxiliem-nos a
gerar esta qualidade esperada ao Pensamento Estatístico.
3.2 . Modelo Epistemológico do Ensino e da Aprendizagem
da variabilidade
“Um entendimento completo de variabilidade significa desenvolver um
modelo cognitivo que inclui vários componentes e suas conexões, de maneira a
usar este modelo para raciocinar sobre variabilidade em diversos contextos”.
(GARFEILD e BEN-ZVI, 2005, apud SILVA, 2007, p.176)
Segundo esses autores, a variabilidade deveria ser enfatizada de maneira
central desde as séries iniciais (com atividades e discussões formais e informais)
até o ensino médio e o início da graduação, para isso se faz necessário preparar
os professores de Matemática para lidar com o conteúdo de Estatística, tarefa
esta que pode ser difícil pois, possivelmente, eles tiveram apenas uma disciplina
de Estatística em sua formação.
Para que melhor se entenda o processo de ensino e de aprendizagem
relacionado à variabilidade, Garfield e Ben-Zvi (2005, apud SILVA, 2007)
desenvolvem um modelo epistemológico, destacando os componentes desse
modelo, as idéias chaves e a verificação, conforme o quadro abaixo:
40
Quadro 2:Síntese do modelo epistemológico desenvolvido por Garfield e Ben-Zvi
(2005, apud SILVA, 2007, p.125 e 126)
Componentes do
Modelo
epistemológico
Idéias chave
Avaliação e/ou verificação
Desenvolvimento de
idéias intuitivas de
variabilidade
Reconhecer que a variabilidade está
em todo lugar (onipresença da
variabilidade).
Existe variação entre medidas repetidas
da mesma variável e existe variação
nas observações de variáveis coletadas
de diferentes indivíduos.
Variabilidade é uma entidade ao invés
de pontos individuais ou uma
combinação de centro e valores
extremos.
Descrever variáveis como idade
e altura das crianças,
descrevendo a variabilidade ou
o formato da distribuição.
Pedir aos alunos para prever a
distribuição de uma variável.
Comparar dois ou mais gráficos
e buscar razões para que um
tenha medidas de variabilidade
maior ou menor que o outro.
Descrição e
representação de
variabilidade
Diferentes gráficos podem revelar
aspectos diferentes da variabilidade
num conjunto de dados e é importante
estudar mais do que um simples
gráfico.
Uso de um número para representar a
variação tais como o desvio padrão,
amplitude ou intervalo interquartílico,
aliado a sua medida de centro.
Interpretar a variabilidade de
uma variável que esteja
representada graficamente ou
numericamente.
Escolher entre medidas
apropriadas para distribuições
assimétricas (mediana e o
intervalo interquartílico) e
simétricas (média e desvio
padrão).
O efeito dos outliers nas
medidas de variabilidade.
Uso da variabilidade
para fazer
comparações
A partir de gráficos com a mesma
escala e medidas de centro e variação
ao invés de comparar dados individuais
ou partes do gráfico.
Tomada de decisão diante de
dois gráficos ou explicar em
qual dos dois gráficos apresenta
menos ou mais variabilidade.
Reconhecimento de
variabilidade em
tipos especiais de
distribuições
Numa distribuição normal, a partir do
conhecimento do desvio padrão e da
média, é possível determinar a
porcentagem de observações dentro de
um, dois e três desvios padrões da
média.
Numa distribuição bivariada, conhecer
a variabilidade de y para os valores
individuais de cada x.
A variabilidade de um conjunto
bivariado de dados (covariação) pode
revelar uma relação entre as variáveis.
Apresentação da média e
desvio padrão de uma
distribuição normal e pedir ao
aluno que utilize estes dados
para elaborar gráficos
mostrando esta variação.
Apresentação de gráficos para
dados bivariados e solicitar aos
alunos verificar se a
variabilidade de y pode ser
explicada pela variabilidade de
x.
Identificar padrões
de variabilidade no
ajustamento de
modelos.
Ajustar uma curva normal para uma
distribuição de dados ou uma reta para
um gráfico de dispersão de dados
bivariados.
Verificar se um conjunto de
dados assemelha-se a uma
distribuição normal ou se um
gráfico de dados bivariados
sugerem uma relação linear.
41
Uso de variabilidade
para predizer
amostras ou
resultados aleatórios
“Amostras maiores têm mais
variabilidade do que amostras menores,
quando retiradas aleatoriamente de
uma mesma população. Entretanto, as
estatísticas de amostras maiores
variam menos do que as estatísticas de
amostras menores.” (GARFIELD e
BEN-ZVI, 2005, apud SILVA, 2007,p.
126)
Escolher estatísticas amostrais
(por exemplo, proporções) de
uma população especifica (por
exemplo, doces coloridos) para
um dado tamanho amostral e
perguntar qual seqüência de
estatísticas é mais provável.
Perguntar aos alunos qual
resultado é mais provável em
um experimento aleatório em
que todos os resultados são
igualmente prováveis.
Consideração da
variabilidade como
parte do
pensamento
estatístico
Na exploração de dados e na solução
de problemas estatísticos: inicia-se
discutindo a variabilidade nos dados;
pensando na variabilidade na produção
dos dados; tentando explicar a
variação, procurando efeitos
sistemáticos escondidos na
variabilidade aleatória. Tudo isso faz
parte do pensamento estatístico.
Dar um problema para que os
alunos investiguem com um
conjunto de dados, que requeira
gráficos, descrição e explicação
da variabilidade.
Permitir ao aluno realizar os
passos de uma investigação
estatística, revelando se e como
os alunos consideram a
variabilidade dos dados.
Silva destaca que esses autores indicam uma lista de idéias cada vez mais
sofisticadas que oferecem:
1) as maneiras nas quais este conjunto de conhecimento pode ser
estruturado para que possa ser compreendido pelo aluno; 2) uma
seqüência efetiva para apresentar o material relacionado com a
variabilidade; 3) um planejamento para re-visitar variabilidade como um
progresso do aluno no currículo estatístico e 4) um suporte para construir
novos níveis de entendimento profundo de variabilidade (GARFIELD e
BEN-ZVI, 2005, apud SILVA, 2007, p.126).
Para Silva (2007), esses pesquisadores trabalham com uma perspectiva
construtivista de aprendizagem, em que a construção do significado não é linear,
mas complexa e melhor entendida numa imagem de progressão espiral.
Para a seqüência didática que desenvolvemos, trabalhamos apenas com o
desenvolvimento de idéias intuitivas de variabilidade, a descrição e representação
de variabilidade e o uso da variabilidade para fazer comparações (as três
primeiras linhas do Quadro 2), que dentre os componentes de modelos
epistemológicos desenvolvidos por Garfield e Ben-Zvi (2005, apud SILVA, 2007)
são os que possuem custo cognitivo compatível para alunos do Ensino
Fundamental.
42
4 . Problemática
4.1 . Retomando o problema de pesquisa
Conforme citamos nos capítulos anteriores, o ensino-aprendizagem de
Estatística não deve estar centrado em fórmulas e técnicas de resoluções, mas
sim na análise exploratória de dados, o que consiste em um enfoque que permite
gerar situações de aprendizagem com temas de interesse dos alunos e com
atividades motivadoras que tenham significado para os mesmos.
Segundo Batanero (2001), para a análise exploratória de dados não se
necessita de uma teoria matemática complexa, já que as atividades propostas
para esse tipo de estudo necessitam apenas de “noções matemáticas muito
elementares e procedimentos gráficos fáceis de realizar” (BATANERO, 2001,
p.29).
De acordo com os PCN, para o quarto ciclo do Ensino Fundamental é
proposto que os alunos construam procedimentos para a obtenção de medidas de
tendência central (média, moda e mediana), compreendendo seus significados
para fazer inferências. Acreditamos que os alunos possam compreender os
significados das medidas de tendência central, não apenas estudando-as
separadamente, como já vimos anteriormente que acontece nas salas de aula,
mas sim com o estudo exploratório dessas, verificando a variabilidade existente
em torno das mesmas.
Diante desses estudos, emergem nossas questões de pesquisa:
Quais os significados atribuídos por alunos de 8º ano do Ensino
Fundamental, para a variabilidade quando trabalhada num contexto escolar
em aulas de Matemática? Que contribuições há na compreensão de
conteúdos Estatísticos quando os alunos os apreendem em um enfoque
exploratório, com uso das medidas separatrizes e com foco na
variabilidade?
Para responder nossas questões desenvolvemos uma sequência didática
que visa o trabalho com a análise exploratória de dados, buscando conhecer
43
como são, o que pensam e o que mais gostam adolescentes de idade 12 e 13
anos, correspondente a alunos do 8º ano do Ensino Fundamental.
Inseridos nesse contexto de pesquisa e acreditando que o tema é de
interesse dos alunos, procuramos abordar o estudo de variabilidade,
primeiramente, de modo intuitivo e, logo em seguida com o auxílio das medidas
separatrizes e do gráfico Box-plot, buscando levantar os significados atribuídos à
variabilidade pelos alunos e quais as contribuições desses significados na
compreensão de conteúdos estatísticos aprendidos de modo exploratório.
4.2 . Procedimentos Metodológicos
Para responder à nossa questão de pesquisa, foi proposto um trabalho
baseado nos princípios da análise exploratória de dados, que, segundo Batanero
(2001), tem o propósito de extrair dos dados o maior número possível de
informações e gerar “hipóteses” novas, no sentido de conjecturar sobre as
informações que dispomos.
Elaboramos uma seqüência didática baseada numa atividade proposta por
Batanero (2001), buscando conhecer o aluno típico da turma, ou seja, os alunos
deveriam descrever as características dos alunos daquele grupo. O nosso foco
nessa seqüência foi o de aperfeiçoar o estudo de Estatística, de modo a introduzir
a idéia de variabilidade. Nosso trabalho foi realizado com alunos de 8º ano (antiga
7ª série) do Ensino Fundamental de 9 anos, pois temos nos Parâmetros
Curriculares Nacionais como sugestão trabalhar as medidas de posição – média,
moda e mediana – no oitavo ano de escolaridade, e foi a partir de uma das
medidas de tendência central, a mediana, que focamos nosso estudo de
variabilidade.
Observe-se que fizemos a opção de seguir as orientações dos PCN e não
da Proposta Curricular do Estado de São Paulo, pois além dos PCN ser um
documento de âmbito nacional, como já explicitado no capítulo dois, esse
documento propõe o estudo da Estatística em todas as séries de escolaridade,
em forma de espiral, no qual o educando constrói gradativamente procedimentos
para coletar, organizar, analisar e comunicar dados, utilizando tabelas, gráficos e
representações que o capacitem a interpretar a sua realidade e descrevê-la.
44
O nosso objetivo com essa seqüência didática foi que os alunos
pensassem estatisticamente, levando em consideração a onipresença da
variabilidade, que de acordo com Wild e Pfannkuch (1999) é o ponto central de
qualidade para o Pensamento Estatístico.
Percebemos que no Brasil, em documentos oficiais, não existe a
preocupação de abordar a variabilidade desde as séries iniciais, tanto que os
Parâmetros Curriculares Nacionais só fazem menção dessa no currículo do
Ensino Médio (contrariamente aos resultados recentes de pesquisa na área), e
como a variação está presente em tudo, merece que se estude o tema e o
enfatize em diversas situações e em diferentes séries de escolaridade.
O grupo de pesquisa Pea-Estat
4
, coordenado pela Prof
a
Dr
a
Cileda
Coutinho, vem percebendo esta necessidade, e hoje temos em andamento,
trabalhos que visam o estudo da variabilidade em diferentes séries da
escolaridade básica, por meio das medidas separatrizes, e também com
professores em exercício nas redes públicas e privadas.
Focados nessa necessidade é que desenvolvemos uma seqüência didática
com intenções de iniciar o estudo de variabilidade, com alunos de 8º ano do
Ensino Fundamental. Acreditamos que esta não seria a série ideal para este início
de estudo, pois a variabilidade pode ser trabalhada em diversas séries, inclusive
nas iniciais de uma forma mais intuitiva e nas séries seqüentes ser aprofundado o
seu estudo de forma a aprimorá-lo, pois segundo Silva (2007), quanto mais
situações o aluno vivenciar, mais elevado é o seu nível de raciocínio sobre
variação.
Esta nossa escolha pelo 8º ano do Ensino Fundamental deu-se pelo fato
de pensarmos também em uma abordagem das medidas separatrizes, que, para
serem calculadas, é necessário que o aluno tenha habilidades com o cálculo de
porcentagens e os Parâmetros Curriculares Nacionais sugerem a abordagem do
assunto no 6º ano quando se estudam as frações e no 7º ano quando se estuda a
regra de três, logo o julgamos ser apropriado o 7º ou 8º ano para esse estudo.
4
Subgrupo do grupo Pea-Mat do Programa de Estudos Pós-graduados em Educação
Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP), que é cadastrado no
CNPq e coordenado pelo prof. Dr. Saddo Ag Almouloud.
45
Esta pesquisa tem o caráter de aproximação crítica, no qual o pesquisador
insere-se no ambiente educativo, com o papel de professor, não só para
compreendê-lo, mas também para promover possíveis mudanças em direções
que permitam aos participantes maior liberdade de ação e de aprendizagem.
Segundo Fiorentini e Lorenzato (2006), esta aproximação crítico-
sociológica apresenta-se como transformadora, libertadora, provocando
mudanças de significado, assemelhando-se ao que se entende por pesquisa-
ação.
4.2.1. Estudo-Piloto
Realizamos um estudo-piloto com quatro alunos do 8º ano, de uma escola
da rede pública estadual no município de Santo André. Nosso intuito foi verificar
se as questões, tal como foram elaboradas, estavam claras aos alunos e se
propiciavam resultados que nos permitissem responder a nossa questão de
pesquisa.
Como este estudo-piloto foi realizado com apenas quatro alunos ficou difícil
trabalhar com a idéia de aluno típico com esse grupo pela pequena quantidade de
alunos participantes, logo no momento em que foi necessário recolher os dados
da turma, estes alunos foram para sua sala de aula e realizaram a pesquisa.
4.2.2 . Estudo principal
A fase experimental de nossa pesquisa foi realizada com duas turmas de 8º
ano, do Ensino Fundamental de 9 anos, de uma escola da rede particular de
ensino no município de Santo André, com 47 alunos, sendo 23 do 8º A e 24 do 8º
B.
As atividades propostas foram realizadas em duplas, que se formaram de
maneira espontânea, sem a intervenção do professor, porém foi sugerido que
dentro do possível formassem duplas mistas (um menino e uma menina). A razão
dessa sugestão foi para facilitar o trabalho de transcrição das áudio-gravações
para posterior análise.
Esses alunos estudam com um sistema apostilado de ensino que trata os
assuntos em espiral, de modo que os conteúdos estatísticos não serão uma
completa novidade para eles. Nas séries anteriores, foram trabalhados os
46
seguintes conteúdos em Estatística:
Leitura e interpretação de dados em tabelas e gráficos;
Reconhecimento e construção de tipos de gráficos estatísticos;
Estabelecimento de relação entre tipos de gráficos estatísticos;
Coleta e organização de dados de pesquisas de opinião;
Utilização de recursos visuais para apresentar os resultados de uma
pesquisa de opinião;
Aplicação de cálculos percentuais para a leitura, interpretação e construção
de gráficos estatísticos;
Interpretação do conceito de média e resolução de problemas concretos
utilizando-a;
Escolha do tipo de representação gráfica mais adequada para expressar
dados estatísticos em determinada situação.
Como se pode observar, os conceitos de mediana e quartis não foram
estudados por esses alunos, sendo portanto uma novidade para eles.
47
5 . Fase Experimental
5.2 . As atividades e elementos da análise teórica
A proposta de atividades foi elaborada com antecedência em relação à
aplicação das mesmas, porém assim que houve a formação do banco de dados
das turmas adaptamos os temas e as variáveis de acordo com o que cada turma
havia escolhido.
Para iniciar o trabalho, foi proposta aos alunos uma primeira atividade com
as seguintes questões:
Quadro 3 : Primeira atividade (parte A)
1ª Atividade (parte A)
Como são os alunos desta turma?
Existem diferenças entre preferências, gostos e características dos meninos e
das meninas?
E entre os alunos do 8º A e do 8º B?
Essa atividade é uma parte da seqüência didática na qual os alunos,
orientados pelo professor, levantarão as características da turma para serem
pesquisadas em debate coletivo.
Esperamos que, nessa fase os alunos possam se motivar a descobrir se
realmente existem ou não as diferenças sugeridas nas questões. Como
conseqüência destes questionamentos, espera-se surgir a necessidade de coletar
os dados. Para a parte A desta 1ª atividade, espera-se que os alunos pensem em
dados físicos, sociais, culturais, etc. para serem coletados, devido à sua vida
cotidiana, pois esses tipos de dados são comumente abordados pela mídia.
Nesta fase do trabalho, caso haja necessidade, o professor pode realizar
interferências sutis de modo que apareçam categorias referentes a variáveis
48
qualitativas (nominais e ordinais) e quantitativas (discretas e contínuas) para que
o desenvolvimento desta seqüência aconteça de forma completa.
Espera-se o engajamento dos alunos na atividade, com base nos
resultados observados em Megid (2002) e Médici (2007) que também
promoveram atividades para o estudo de Estatística por meio da análise
exploratória de dados.
Quadro 4 : Primeira Atividade (parte B)
1ª Atividade (parte B)
Prepare questões que possam ser respondidas pelos colegas, de maneira a
contemplar cada uma das características escolhidas na parte A desta atividade.
Assim como na parte A desta atividade, também trabalharemos na forma
de debate coletivo na parte B, para que os alunos com o auxílio do professor
formulem as questões. É necessário que alguns tipos de questões sejam
fechadas, e isso requer que o professor demonstre isso quando eles estiverem
elaborando as questões, para facilitar a tabulação. Algumas questões abertas
podem apresentar determinados tipos de dificuldade na tabulação dos dados, pois
a análise do discurso não é ainda uma habilidade esperada nesse nível de
escolaridade.
Os alunos devem então realizar a coleta dos dados da classe e organizá-
los, anotando todos numa única planilha, conforme sugerido no Quadro 5. O
objetivo, desta fase, é a construção de um banco de dados. Segue um exemplo
de planilha a ser construída:
Quadro 5: Banco de dados a ser construído pelos alunos.
Nome
Idade
Esporte
preferido
Estilo de
música
Time do
coração
Gosto pela
matemática
Notas de
Português
1
2
3
49
Essa primeira atividade visa introduzir nos alunos a construção do
Pensamento Estatístico, que na concepção de Wild e Pfannkuch (1999) tem a ver
com a forma com que se pensa em uma investigação estatística. Desta forma,
inicia-se o ciclo investigativo, que busca compreender a dinâmica do sistema, a
formulação do problema e os assuntos do planejamento e da medição, conforme
apresentamos nas páginas 36 e 37.
Quadro 6 : Segunda Atividade (parte A)
2ª Atividade (parte A)
Observando o tipo de esporte preferido dos seus colegas, elabore um gráfico que
lhe permita observar possíveis diferenças entre as preferências dos meninos e
das meninas.
Observe o gráfico que você desenhou e escreva uma pequena análise do
mesmo.
Espera-se que, na parte A da segunda atividade, o aluno possa desenhar
um gráfico de barras diferenciando, por exemplo, as preferências das meninas
para a esquerda e dos meninos para a direita, ou ainda um gráfico de colunas
duplas que permitam fazer a representação num mesmo tipo de gráfico. Justifica-
se pelo fato desse tipo de representação já ser um conhecimento disponível,
conforme apresentamos na página 46.
Pode ser que algumas duplas decidam fazer dois gráficos como, por
exemplo, dois gráficos de setores, um para os meninos e outro para as meninas,
por este gráfico ser bastante utilizado na mídia e já ter sido explorado em séries
anteriores.
Segue exemplo de um possível gráfico a ser construído pelos alunos do 8º
ano A.
50
Esporte preferido dos alunos do
8º ano A
0
1
2
3
4
5
6
7
8
futebol
handbol
volei
basquete
outros
tipo de esporte
número de alunos
meninos
meninas
Figura 3: Exemplo de representação de dados por um diagrama de colunas justapostas.
Embora tenhamos apresentado um gráfico construído com o auxilio da
planilha eletrônica Excel, esclarecemos que os alunos deveriam resolver o
problema proposto em ambiente “papel-lápis”.
Quando observados os gráficos por eles mesmos desenhados, é esperado
que os alunos identifiquem o esporte preferido entre os meninos, que pode ser
igual ou diferente que o das meninas. Pode-se observar se há uma preferência
concentrada de algum esporte, ou ainda, se existem diferentes esportes
preferidos entre os alunos.
Os alunos que ainda não tenham desenvolvido habilidades para uma
análise crítica e comparativa a partir das séries anteriores de escolaridade, talvez
simplesmente nomeiem a quantidade de alunos que preferem futebol, vôlei,
basquete, natação, etc. de acordo com o que foi desenhado no gráfico, fazendo
uma leitura dos dados, conforme Curcio (1987).
Como esses alunos já estudaram Estatística, tanto no 6º e 7º anos como
nos anos correspondentes à primeira etapa do Ensino Fundamental, acreditamos
que os mesmos tenham os conhecimentos prévios necessários para a construção
de gráficos. Para a análise, talvez existam algumas inseguranças, visto que os
51
alunos estão mais acostumados a responder perguntas relacionadas ao gráfico
do que escrever livremente sobre o que se possa observar nos mesmos.
Acreditamos que a análise seja muito importante, pois segundo Curcio
(1987) existem três níveis distintos para amparar a literatura sobre compreensão
gráfica, são eles: leitura dos dados, leitura entre os dados e leitura além dos
dados.
A leitura dos dados, para Curcio (1987), é o mais simples de todos os
níveis de compreensão: o leitor simplesmente identifica os dados explícitos no
gráfico e as informações encontradas nas etiquetas dos eixos. Nesse nível não
existe interpretação e o nível cognitivo esperado ou exigido é muito baixo.
A leitura entre os dados, dentre os níveis de compreensão, é aquele que
além da interpretação inclui a integração do dado no gráfico, o leitor compara
quantidades (maior que, menor que, mais alto, etc.), utiliza outros conceitos
matemáticos e habilidades, como as quatro operações. Requer que o leitor
identifique as relações matemáticas expressas no gráfico e faça “ao menos um
degrau de inferência lógica” (PEARSON e JONSON, 1978, apud CURCIO, 1987,
p.5).
Por fim temos a leitura além dos dados, que é o nível desejado não
somente para alunos, mas para todos os cidadãos. Esse é o nível que requer do
leitor uma predição ou uma inferência a partir dos dados. Para a leitura entre os
dados, o leitor faz uma inferência baseado nos dados apresentados no gráfico, já
na leitura além dos dados a inferência é feita com base em um banco de dados
da memória do leitor e não do gráfico.
Esperamos que os alunos, mesmo os que iniciarem suas análises apenas
na leitura dos dados, possam ao terminar essa seqüência didática atinjam a
leitura além dos dados, ou ainda para os que não atingirem, pelo menos evoluam
para a leitura entre os dados.
Para finalizar essa atividade, como um momento de institucionalização, o
professor mostrará à turma os diferentes tipos de gráficos que foram construídos
e sua adequação ao tipo de variável, podendo ao final dessa observação, os
alunos decidirem qual foi o gráfico que melhor pôde auxiliar na observação dos
dados. Para as análises, o professor parte da fala dos alunos para que,
52
conjuntamente possam elaborar uma análise coletiva, sem anular a que cada
grupo havia feito anteriormente. Ou seja, uma análise que complemente o que foi
desenvolvido por cada dupla.
De acordo com o modelo epistemológico desenvolvido por Garfield e Ben-
Zvi (2005, apud SILVA, 2007) essa atividade contempla o desenvolvimento de
idéias intuitivas de variabilidade, pois os alunos irão comparar os dados escritos
no gráfico e buscar razões para que um tenha variabilidade maior ou menor que o
outro.
Quadro 7 : Segunda Atividade (parte B)
2ª Atividade (parte B)
Escolha uma das variáveis que pesquisamos e para essa:
Organize os dados;
Construa um gráfico para representar esses dados;
Analise esses dados;
Apresente para a turma a sua atividade.
A parte B dessa atividade é menos direcionada, e espera-se que os alunos,
após terem realizado a parte A do trabalho, tenham um pouco de autonomia para
organizar, construir, analisar e apresentar-se para a turma.
A intenção de que cada dupla escolha um item possibilita-nos observar
como os alunos organizam cada tipo de variável, e ainda quando apresentarem,
para classe suas análises e conclusões não serão apresentações repetitivas,
otimizando o engajamento do grupo com a atividade.
53
Quadro 8 : Segunda Atividade (parte C)
2ª Atividade (parte C)
Observe os dados referentes às preferências de cada grupo de alunos
(meninos e meninas) em relação ao gosto pela matemática e faça uma
comparação entre os grupos.
Gosto dos alunos do 8º ano A
pela Matemática
0 10 20 30 40 50 60
não gosto
às vezes gosto
gosto
gosto muito
gosto pela
matemática
porcentagem de alunos
meninas
meninos
Figura 4: Representação de dados por um diagrama de colunas justapostas referente ao
gosto dos alunos do 8º ano A pela Matemática.
Para o 8º ano B foi colocado o mesmo enunciado na atividade, porém o
gráfico correspondente a esta série foi o seguinte:
Gosto do alunos do 8º ano B pela
Matemática
0 10 20 30 40 50
não gosto
às vezes gosto
gosto
gosto muito
gosto pela
matemática
porcentagem de alunos
meninas
meninos
Figura 5: Representação de dados por um diagrama de colunas justapostas referente ao
gosto dos alunos do 8º ano B pela Matemática.
54
Essa atividade visa a comparação entre dois grupos de forma que o aluno
possa lidar e descrever intuitivamente a variabilidade, cada turma realizou as
comparações com os dados de sua classe.
A atividade proposta sugere a comparação de grupos, que de acordo com
o modelo epistemológico desenvolvido por Garfield e Ben-Zvi (2005, apud SILVA,
2007), pode acontecer a partir de gráficos com a mesma escala e visa a tomada
de decisão diante dos mesmos ou a explicação de qual dos dois gráficos
apresenta menos ou mais variabilidade.
Segundo Ben-Zvi (2004, apud SILVA, 2007), essa forma de comparação é
um tipo de problema que o aluno não sabe, inicialmente, como lidar e o desafio
pode permanecer mesmo depois de extensos períodos de ensino. O autor ainda
sugere que os conhecimentos necessários para este tipo de comparação são o
entendimento de distribuição, a representatividade e a variabilidade nos dados.
Quadro 9 : Terceira Atividade
3ª Atividade
Observe as notas obtidas pelos meninos e pelas meninas no 1º trimestre em
matemática e procure responder às questões, primeiramente com os dados dos
meninos e depois com os das meninas:
a) Qual a menor nota a ser considerada se o professor fosse premiar os 50% dos
alunos que tiraram as maiores notas do grupo?
b) E se fossem apenas 25% dos alunos com as melhores notas?
c) Se for preciso encaminhar para o núcleo de apoio 25% dos alunos com as
piores notas, qual a maior nota a ser considerada?
d) Escreva os valores encontrados nos itens a), b) e c) numa reta numérica e
assinale ainda nessa reta o valor da menor nota e também o da maior nota
obtida.
Essa atividade por nós proposta foi elaborada de acordo com a dialética
das situações adidáticas propostas por Brousseau (1986): ação, formulação,
55
validação e institucionalização, em que os alunos, a partir de conhecimentos
anteriores, juntamente com outros elementos que possam interagir com o aluno,
fazem-no evoluir em suas estratégias, construindo novos conhecimentos.
Ao resolver as questões a), b) e c) dessa atividade, os alunos estarão
calculando a mediana, e os quartis, mesmo ainda sem saber ao certo o
significado destas medidas estatísticas, que será abordado na institucionalização
realizada pela professora. Na questão d) em que os alunos colocarão os valores
na reta numérica, estarão trabalhando com uma primeira versão do gráfico box-
plot que será construído pelos alunos, pois os mesmos já terão condições de
assinalar na reta numérica os pontos de máximo, mínimo, primeiro e terceiro
quartis e mediana, faltando apenas o desenho da “caixa” que será também
introduzido na institucionalização.
Segue abaixo a resolução esperada para essa atividade (com os dados
dos meninos e logo em seguida com os dados das meninas do 8º ano B).
A) Meninos
a) Qual a menor nota a ser considerada se o professor fosse premiar os 50% dos
alunos que tiraram as maiores notas do grupo?
Resolução: O aluno deverá localizar na tabela, com os dados da classe
(confeccionada na parte B da primeira atividade), as notas obtidas pelos meninos,
que são as seguintes: 7 – 9,5 – 7 – 8 – 8 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7
Logo em seguida colocá-las em ordem crescente ou decrescente:
7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 8 – 8 – 9,5
Como 50% equivale à metade dos alunos, temos:
Logo, a menor nota a ser considerada será a nota 7 (nota que ocupa 6ª
posição no ranking construído). O fato de que as notas anteriores à 6ª posição no
ranking também serem 7 pode gerar dúvidas nos alunos, fazendo com que exista
56
um bloqueio na resolução do problema.
Uma opção para que esse tipo de problema não surgisse, seria o professor
garantir a diversidade de valores, seja fornecendo ele mesmo um conjunto de
dados, seja escolhendo uma variável estatística com maior variação no banco de
dados.
b) E se fossem apenas 25% dos alunos com as melhores notas?
Resolução: Como queremos os 25% das melhores notas, devemos
encontrar
4
1
das maiores notas, ou seja, a metade da metade dessas notas
(utilizando as notas dos meninos já organizadas), como segue:
A menor nota a ser considerada será a nota 8 (nota que ocupa a 9ª
posição).
c) Se for preciso encaminhar para o núcleo de apoio 25% dos alunos com as
piores notas, qual a maior nota a ser considerada?
Resolução: Agora queremos os 25% das notas mais baixas, logo devemos
fazer o mesmo que no item b, porém com as menores notas:
A maior nota a ser considerada será a nota 7 (nota que ocupa a 3ª
57
posição). O fato de que notas anteriores e também posteriores à 3ª posição no
ranking também serem 7 pode gerar dúvidas nos alunos, fazendo com que
novamente exista um bloqueio na resolução do problema.
d) Escreva os valores encontrados nos itens a), b) e c) numa reta numérica, ainda
assinale nesta reta o valor da menor nota e também o da maior nota obtida.
B) Meninas
a) Qual a menor nota a ser considerada se o professor fosse premiar os 50% dos
alunos que tiraram as maiores notas do grupo?
Resolução: Assim como foi feito com os dados dos meninos, o aluno
deverá localizar na tabela as notas obtidas pelas meninas, que são as seguintes:
6,5 – 4,5 – 10 – 9,5 – 9,5 – 6 – 7,5 – 9 – 8 – 7,5 – 8,5 – 7,5 – 7,5
Logo em seguida colocá-las em ordem crescente ou decrescente:
4,5 – 6 – 6,5 – 7,5 – 7,5 – 7,5 – 7,5 – 8 – 8,5 – 9 – 9,5 – 9,5 – 10
Como 50% equivale à metade dos alunos, temos:
Logo, a menor nota a ser considerada será a nota 7,5 (nota que ocupa a 7ª
posição).
58
b) E se fossem apenas 25% dos alunos com as melhores notas?
Resolução: Como queremos os 25% das melhores notas, devemos
encontrar
4
1
das maiores notas, ou seja, a metade da metade destas notas
(utilizando as notas dos meninos já organizadas), como segue:
Como um quarto das maiores notas neste caso é um valor entre 9 e 9,5,
basta encontrar a média aritmética destes valores, sendo que a menor nota a ser
considerada é 9,25. No entanto, consideraremos 9,5 como uma possível resposta
correta, já que ainda não estamos tratando dos quartis e o enunciado pede a
menor nota a ser considerada.
c) Se for preciso encaminhar para o núcleo de apoio 25% dos alunos com as
piores notas, qual a maior nota a ser considerada?
Resolução: Agora queremos os 25% das notas mais baixas, logo devemos
fazer o mesmo que no item b, porém com as menores notas:
A maior nota a ser considerada será a nota 7, resultado da média
aritmética de 6,5 e 7,5. Assim como no item b consideraremos 6,5 também uma
59
solução correta para este caso.
d) Escreva os valores encontrados nos itens a), b) e c) numa reta numérica, ainda
assinale nesta reta o valor da menor nota e também o da maior nota obtida.
A atividade proposta aos alunos caracteriza-se como a uma situação-
problema. Segundo Brito (2006), isso não aconteceria se os alunos conhecessem
a solução. Em uma situação-problema é necessário que o indivíduo transforme e
busque mecanismos que possibilite atingir o estado final desejado. A solução de
problemas é entendida como uma forma complexa de combinação de
mecanismos cognitivos disponibilizados a partir do momento em que o indivíduo
se depara com uma situação para qual precisa buscar alternativas de solução.
Com base nessas idéias, fizemos a análise didática da atividade como um todo, já
que a seqüência de sua resolução era parte do conhecimento a ser construído
pelos alunos.
Segundo Gascón (2002), um modelo do espaço das Organizações
Didáticas (OD) possíveis é formado por uma representação tridimensional que
permite situar, nos eixos representados, os momentos unidimensionais da
atividade matemática: tecnológico-teórico (teoricista), trabalho da técnica
(tecnicista) e o exploratório (modernista). Temos, nesse mesmo modelo, a
representação de OD, ideais bidimensionais, que se situam em cada um dos
planos coordenados: as clássicas (combinando momentos tecnológicos-teóricos
com o trabalho da técnica), empiristas (momentos exploratórios e trabalho da
técnica) e os construtivistas (momentos tecnológico-teórico e exploratório).
60
Figura 6: Representação das organizações didáticas possíveis,
segundo Gascón (2002).
Baseados nesse modelo de Organização Didática, verificamos que a
atividade apresenta um aspecto construtivista, contextualizando e dirigindo-se
para a elaboração de estratégias de resolução dos problemas. São relacionados o
momento exploratório e o momento tecnológico-teórico nas questões. A
aprendizagem é considerada como um processo do conhecimento adquirido
seguindo as fases da atividade (seqüência) e a mobilização do conhecimento
anterior do indivíduo.
Quadro 10 : Quarta Atividade
4ª Atividade
Ainda em relação às notas obtidas pelos alunos de sua turma no 1º trimestre em
matemática:
Organize os dados da turma;
Construa um gráfico (Box-plot) para representar estes dados;
Analise as notas da turma com base nos dados por vocês organizados e no
gráfico que vocês construíram.
61
O foco desta atividade foi a construção do gráfico box-plot e a análise do
mesmo. Acreditamos que a construção desse tipo de gráfico requer um baixo
custo cognitivo, pois estamos trabalhando com variáveis discretas (as notas são
representadas de meio em meio ponto), logo espera-se que o aluno, nesta fase
de escolaridade, não encontre sérias dificuldades em localizar os valores de
máximo e mínimo, nem os valores correspondentes à mediana e aos quartis, já
que foram trabalhados na atividade anterior.
Cobo e Batanero (2000) afirmam que, na análise exploratória de dados,
deve se dar mais peso às estatísticas de ordem que consideram a posição
relativa de certos elementos dentro de um conjunto de dados. Essa atividade
visou uma representação gráfica baseada nestas estatísticas de ordem, no caso,
mediana e quartis. E segundo o modelo de Organização Didática idealizada por
Gascón (2002), a atividade apresenta um aspecto empirista, combinando
momentos exploratórios com o trabalho da técnica.
A resolução esperada para essa atividade segue primeiramente com os
dados dos alunos do 8º ano A e em seguida com os dados do 8º ano B.
8º ano A
Observando a tabela elaborada pelos alunos da turma, temos as seguintes
notas de matemática: 8,5 – 4,5 – 7,5 – 4,5 – 7 – 9 – 5 – 7 – 7 – 8,5 – 7,5 – 7,5 –
7,5 – 7 – 7,5 – 7 – 8 – 8 – 8 – 8,5 – 7 – 7 – 7 .
Organizando estas notas temos:
4,5 – 4,5 – 5 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7,5 – 7,5 – 7,5 – 7,5 – 7,5 – 8
– 8 – 8 – 8,5 – 8,5 – 8,5 – 9.
Após essa organização, deve-se encontrar a mediana e os quartis:
Encontradas as medidas de posição, pode-se partir para a construção do
gráfico, seguindo os seguintes passos:
1. localizar em uma reta numerada os seguintes valores: mínimo, 1º quartil,
62
mediana, 3º quartil e máximo;
2. construir um retângulo passando pelos pontos Q
1
e Q
3
;
3. marcar no interior do retângulo a linha vertical que passa pela Mediana.
Figura 7: Exemplo de representação de dados por um gráfico Box-plot.
A leitura do Box-plot leva em conta a definição de quartis: “valores que
ocupam posições tais que o conjunto de dados fique dividido em quatro
subconjuntos com o mesmo número de elementos”. Assim, esse gráfico indica a
densidade do conjunto em cada um dos seus quartos, já que cada um comporta
25% do total observado.
Para a análise espera-se que os alunos identifiquem que as notas dos
alunos do 8º ano A em matemática variam entre 4,5 e 9. Espera-se também que
os alunos percebam que a mediana é o valor central dessas notas e equivale a
7,5, e ainda que existe uma grande concentração de notas em torno da
mediana,mais precisamente, concentração entre o 1º ao 3º quartis e isto significa
50% das notas entre 7 e 8. Completando a leitura dos dados (1º nível de leitura),
25% das notas localizam-se entre 4,5 e 7, enquanto 25% estão entre 8 e 9.
Evoluindo no nível de leitura gráfica, o aluno pode trabalhar com as densidades
dos dados: os 25% menores estão mais dispersos do que os 25% maiores. Por
sua vez, os 50% localizados entre os dois quartis estão muito mais concentrados
do que os demais. Da leitura do gráfico, fazendo análises dentro do contexto, no
qual os dados foram coletados, o aluno pode evoluir para uma leitura além dos
dados, segundo Curcio (1987).
8º ano B
Observando a tabela elaborada pelos alunos da turma, temos as seguintes
notas de matemática: 6,5 – 4,5 – 10 – 9,5 – 9,5 – 6 – 7,5 – 7 – 9,5 – 9 – 8 – 7 –
7,5 – 8,5 – 8 – 8 – 7 – 7 – 7 – 7,5 – 7 – 7 – 7 – 7,5 .
63
Organizando estas notas temos:
4,5 – 6 – 6,5 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7,5 – 7,5 – 7,5 – 7,5 – 8 – 8 –
8 – 8,5 – 9 – 9,5 – 9,5 – 9,5 – 10.
Após essa organização, deve-se encontrar a mediana e os quartis:
Encontradas as medidas de posição, pode-se partir para o desenho do
gráfico:
Figura 8: Exemplo de representação de dados por um gráfico Box-plot.
Para a análise, espera-se que os alunos identifiquem que as notas dos
alunos do 8º ano B em matemática variam entre 4,5 e 10, espera-se também que
os alunos percebam que a mediana é o valor central dessas notas e equivale a
7,5, e ainda que existe uma grande concentração de notas em torno da mediana,
mais especificamente entre o 1º quartil e a mediana, com 25% das notas entre 7 e
7,5 e ainda uma concentração um pouco menor acima da mediana, no intervalo
entre a mediana e o 3º quartil, também com 25% das notas entre 7,5 e 8,25.
Completando a leitura dos dados (1º nível de leitura), 25% das notas localizam-se
entre 4,5 e 7, enquanto 25% estão entre 8,25 e 10. Os alunos ainda podem
trabalhar com as densidades dos dados: os 25% menores estão mais dispersos
do que os 25% maiores, evoluindo no nível de leitura gráfica. Porém, os 50%
localizados entre os dois quartis estão muito mais concentrados do que os
demais. Da leitura do gráfico, fazendo análises dentro do contexto no qual os
dados foram coletados, o aluno pode evoluir para uma leitura além dos dados,
segundo Curcio (1987).
64
Quadro 11 : Quinta Atividade
5ª Atividade
Observe os dados referentes às observações de cada grupo de alunos
(8ºA e 8ºB) em relação às notas obtidas pelos alunos de sua turma no 1º trimestre
em português e faça uma comparação entre os grupos.
Notas dos alunos dos 8
os
anos em Português
Esta atividade trabalha com a comparação de grupos, porém agora
comparando dados por meio do gráfico box-plot, utilizando a mediana, os quartis
e os valores de máximo e mínimo para a realização da comparação. Devido ao
nível de escolaridade, não se trabalhada com a idéia de valores discrepantes.
Para verificarmos a análise, comparando os dois grupos pelos alunos,
optamos por apresentar os gráficos que representam um comparativo entre as
turmas (8º A e 8º B), de forma que não houvesse como o aluno não tentar realizar
a análise pelo fato de não conseguir construir o gráfico, visto que o nosso foco
são os significados dados à variabilidade.
Esse tipo de análise visa a interpretação, que consiste em extrair, traduzir,
comparar e processar os resultados, e está inserida no ciclo interrogativo, que de
acordo com Wild e Pfannkuch (1999), é caracterizado pelo processo genérico do
pensamento de uso constante na resolução de problemas estatísticos.
65
Como essas atividades foram propostas para serem realizadas em duplas,
poderá ocorrer o confronto de resultados, que, de acordo com Wild e Pfannkuch
(1999), é a fase do juízo crítico onde se pergunta: Isto é correto? Isto tem
sentido? Isto está de acordo com os demais que já conhecemos?, argumentando
e julgando o que devem manter, o que devem descartar, para isso aplica-se juízo
às coisas como: a confiabilidade da informação, a utilidade das idéias, a
viabilidade dos planos, entre outros.
Ainda de acordo com Wild e Pfannkuch (1999), as qualidades pessoais
podem afetar ou iniciar o comportamento diante dos resultados obtidos. A
curiosidade e a consciência auxiliam a descobrir e relacionar perguntas internas
como “Por quê?” ou “Como posso explorar isto?”, principalmente se houver
diferenças pontuais entre os resultados das turmas como no nosso caso, e são
fontes do processo de geração de perguntas que resultam em uma aprendizagem
inovadora.
Os autores ainda afirmam que as pessoas são mais observadoras nas
áreas que são para elas mais interessantes, logo as disposições variam de
acordo com o grau em que a pessoa está envolvida com o problema.
5.3 Análise a Posteriori
Nesta etapa, fizemos a análise e a interpretação dos resultados extraídos
da experimentação. Esses dados referem-se às produções escritas dos alunos
durante as aulas, às observações a respeito da participação dos mesmos em sala
de aula e às transcrições das áudio-gravações.
1ª Atividade (parte A)
Iniciamos a atividade, nas duas turmas, questionando os alunos sobre as
preferências e as características de adolescentes, os alunos também foram
questionados sobre as possíveis diferenças em relação aos meninos e as
meninas, e em seguida entre os alunos do 8º ano A e do 8º ano B. Esses
questionamentos visaram uma primeira motivação para a pesquisa a ser realizada
pelos próprios alunos.
66
Desses questionamentos surgiram algumas hipóteses como “as meninas
são mais inteligentes que os meninos”, “a outra classe é mais bagunceira do que
esta”, “o esporte preferido dos meninos com certeza é o futebol”, entre outros. a
partir disso foi gerada a necessidade de um levantamento de dados e, como havia
a intenção de possíveis comparações, algumas variáveis que os alunos julgaram
necessárias foram comuns às duas turmas, conforme nossa análise a priori.
No 8º ano A, os alunos decidiram pesquisar, com os próprios alunos da
turma, sobre estilo de música preferido, comida que mais gosta, canal preferido,
esporte que mais gosta de praticar, estatura dos alunos, estilo de roupa, matéria
preferida, notas trimestrais de português e matemática, comportamento dos
alunos, cor do cabelo, cor dos olhos, união da turma e gosto pela matemática.
Para algumas dessas variáveis os alunos acharam prudente a escolha de
opções de resposta, ou seja, resolveram trabalhar com perguntas fechadas. Por
exemplo, para o estilo de música preferido deixaram como opções de resposta:
pop, axé, pagode, rock, funk, nenhum e todos. As outras questões em que os
alunos optaram por trabalhar com perguntas fechadas, estarão descritas nesta
mesma atividade na parte B.
A pesquisa realizada pelo 8º ano B, também com os próprios alunos da
turma, contemplou as seguintes variáveis: cor dos olhos, cor dos cabelos, matéria
preferida, união da turma, gosto pela matemática, time do coração, seriado que
assiste, cor preferida, estilo de filme, atividade extracurricular que pratica, esporte
preferido, estilo de música, estatura, canal preferido e as notas de português e
matemática do trimestre anterior. O 8º ano B não sentiu muita necessidade de
utilizar perguntas fechadas, somente o fez para a escolha do esporte preferido e
do time do coração.
1ª Atividade (parte B)
A preparação do questionário e a recolha dos dados no 8º ano A ocorreram
da seguinte maneira, os alunos optaram por fazer um questionário escrito, para
que todos os alunos respondessem e elegeram um aluno para transportar os
dados para a planilha da classe, após esse aluno escrever os dados na planilha
cada dupla ganhou uma. As questões elaboradas pelos alunos estão descritas a
seguir:
67
1. Qual a cor dos seus olhos? ______________
2. Qual a cor dos seus cabelos? ____________
3. Você acha que o 8º A é unido?
( ) sim ( ) não ( ) mais ou menos
4. Você gosta de matemática?
( ) sim ( ) não ( ) mais ou menos
5. Qual é o seu tipo de comportamento?
( ) atencioso ( ) engraçado ( ) falante ( ) não sei
6. Qual a sua nota de Português?_____ E de Matemática?____
7. Qual sua matéria preferida?____________
8. Que estilo de roupa você prefere?
( ) Patricinha/Mauricinho ( ) skatista ( ) esportista ( ) outros
9. Que canal você mais gosta? _____________
10. Qual a sua estatura?_____
11. Qual o tipo de comida que você prefere?
( ) massa ( ) churrasco ( ) bacon ( ) strogonof ( ) feijoada
( ) hambúrguer ( ) todas
12. Que estilo de música você prefere?
( ) pop ( ) axé ( ) pagode
( ) rock ( ) funk ( ) nenhum ( ) todos
13. Qual o seu esporte preferido?
( ) hand ( ) basquete ( ) futebol ( ) vôlei ( ) outros
Já no 8º ano B, a preparação do questionário e a recolha dos dados
ocorreram de uma forma mais simples e “prática”, os alunos optaram por escrever
os dados direto na planilha. A turma elegeu dois representantes, um que fazia as
perguntas e outro que anotava as respostas na planilha (banco de dados). Para
68
os dois ou três primeiros alunos a responder as questões ainda foram feitas
perguntas completas, como por exemplo “qual a cor dos seus olhos?”, porém para
os demais se dizia apenas “cor dos olhos?” e o colega já respondia. Para as
perguntas fechadas, que foram somente duas, as opções de resposta ficaram na
lousa.
2ª Atividade (parte A)
Foi proposta aos alunos nesta atividade a construção de um gráfico, que
permitisse observar possíveis diferenças entre as preferências dos meninos e das
meninas e uma análise do mesmo. Cada turma construiu o gráfico referente aos
dados de seus colegas de classe.
Para a turma do 8º ano A, o gráfico foi construído com base nos seguintes
dados:
Tabela 1 : Esporte preferido dos alunos do 8º ano A
meninos
meninas
futebol
7
2
handebol
2
1
voleibol
0
0
basquetebol
3
2
outros
5
0
Total
17
5
Observe-se que o número total de alunos nesta tabela é 22 em vez de 23
que é o número total de alunos nessa turma, visto que uma aluna faltou na aula
no dia da recolha dos dados, e esta atividade foi realizada nesse mesmo dia.
Os tipos de gráfico desenhados pelos alunos do 8º A foram: gráfico de
colunas duplas ou justapostas (7 duplas), gráfico de barras para a esquerda e
para a direita (3 duplas) e apenas uma dupla utilizou um gráfico de colunas
sobrepostas. No momento de institucionalização os alunos escolheram o gráfico
69
de barras duplas como o gráfico que melhor representou o esporte preferido da
turma, como podemos observar no exemplo a seguir:
Figura 9: Protocolo de atividade de uma dupla de alunos referente à construção de gráfico.
Para a análise do gráfico percebemos que muitos alunos não tiveram a
preocupação de iniciar a análise dizendo do que se tratava o gráfico, outros foram
muito sucintos em suas análises. Como segue o exemplo:
Figura 10: Protocolo de atividade de alunos referente à análise de gráfico.
Já algumas duplas demonstraram um pouco mais de habilidade para a
análise, como:
70
Figura 11: Protocolo de atividade de alunos referente à análise de gráfico.
Podemos notar que esses alunos observaram que a quantidade de
meninas é menor que a de meninos, logo ao fazer a comparação entre os grupos
perceberam que houve mais votos de meninos em todos os esportes, além dessa
mais quatro duplas também fizeram observações desse tipo. Este tipo de
comparação, com grupos de tamanhos diferentes, segundo Ben-Zvi (2004, apud
SILVA 2007) é um tipo de comparação que os alunos não estão acostumados e
requer o raciocínio proporcional. Observe-se que os alunos não sentiram
necessidade de transformar as freqüências em porcentagem, mobilizando apenas
parte do raciocínio proporcional.
Uma outra dupla que observou não somente o gráfico, mas também os
dados tabelados, percebeu que nenhum aluno tem preferência pelo voleibol e
ainda alguns meninos não preferem nenhum dos esportes que a turma optou por
deixar como opção em seu questionário, como segue:
Figura 12: Protocolo de atividade de alunos referente à análise de gráfico.
Após os alunos terem feito suas análises em duplas, foi proposto que as
duplas pudessem lê-las para a turma, com a intenção de que, ao final da leitura, a
classe construísse uma análise coletiva sobre a preferência dos esportes do 8º
71
ano A. O objetivo desta análise coletiva foi auxiliar os alunos em suas futuras
análises. A seguir temos a análise coletiva do 8º ano A.
Figura 13: Protocolo de atividade de alunos referente à análise coletiva de gráfico.
Assim como trabalhada no 8º ano A, a atividade também foi proposta no 8º
ano B. Nessa turma o gráfico sobre o tipo de esporte preferido pelos alunos foi
construído com base nos seguintes dados:
Tabela 2 : Esporte preferido dos alunos do 8º ano B
meninos
meninas
futebol
5
1
handebol
0
2
voleibol
0
9
basquetebol
1
0
outros
4
0
Total
10
12
Observe-se que o número total de alunos nesta tabela é 22 em vez de 24
que é o número total de alunos nesta turma, visto que dois alunos (um menino e
uma menina) faltaram na aula no dia da recolha dos dados, e esta atividade foi
72
realizada neste mesmo dia.
Os diferentes tipos de gráficos construídos pelo 8º B foram: gráficos de
colunas duplas (7 duplas), gráfico de barras para a direita e para a esquerda (3
duplas) e ainda uma dupla optou por desenhar dois gráficos de setores. Apesar
da maioria das duplas terem desenhado o gráfico de colunas duplas, no momento
de escolher qual o gráfico que melhor representou o tipo de preferência por
esportes do 8º ano B, os alunos ficaram divididos entre o gráfico de barras laterais
e o de setores, como seguem os exemplos:
Figura 14: Protocolo de atividade de alunos referente à construção de gráfico.
73
Figura 15: Protocolo de atividade de alunos referente à construção de gráfico.
A justificativa dos alunos pela preferência do gráfico de barras laterais
(para a esquerda e para a direita), foi pelo fato do mesmo facilitar a visualização
dos esportes que só os meninos ou só as meninas preferem. Segundo Garfield e
Ben-Zvi (2005, apud SILVA 2007), os tipos de gráfico podem revelar aspectos
diferentes da variabilidade num conjunto de dados.
Em relação à análise, os alunos do 8º ano B demonstraram um pouco mais
de habilidade estatística do que os alunos da outra turma (8º A), pois conseguiram
extrair, traduzir, comparar e processar os resultados dessa busca, que segundo
Wild e Pfannkuch (1999) faz parte do pensamento de uso constante na resolução
de problemas estatísticos.
Primeiramente destacamos a diferença de opiniões entre meninos e
meninas relatadas pelos alunos, como segue análise de uma dupla de alunos.
74
Figura 16: Protocolo de atividade de alunos referente à análise de gráfico.
Uma outra dupla que percebeu e explicitou em sua análise a diferença de
opiniões entre meninos e meninas, apresentou a seguinte conclusão:
Figura 17: Protocolo de atividade de alunos referente à análise de gráfico.
Essa dupla ressaltou as diferenças entre os gêneros de forma que em toda
a sua análise procurou explicitá-las, porém os alunos não quantificam as
afirmações feitas, apenas utilizam o termo genérico “maioria”. Uma outra dupla
percebeu e relatou a variabilidade dos dados em uma frase de sua análise.
Figura 18: Protocolo de atividade de alunos referente à análise de gráfico.
75
Após escutar todas as análises produzidas por seus colegas de classe,
esta turma também realizou uma análise coletiva:
Figura 19: Protocolo de atividade de alunos referente à análise coletiva de gráfico.
Observe-se que mesmo na análise coletiva, o grupo não quantifica os fatos
destacados, ficando em um nível de leitura dos dados, ainda bastante elementar.
2ª Atividade (parte B)
Na parte B dessa atividade, foi proposto aos alunos que escolhessem uma
das variáveis que pesquisamos e, para essa, organizassem os dados,
construíssem um gráfico para representá-los, analisassem-nos e ainda
apresentassem para a turma suas produções.
Como cada dupla ficou livre para escolher sua variável, logo apareceram
gráficos com assuntos repetidos. Isto não quer dizer que os alunos apresentaram
o mesmo tipo de gráfico ou análise, pois de acordo com o olhar de cada dupla
para a situação é que foram construídos seus gráficos e análises.
Percebemos que os alunos escolheram as variáveis que tinham mais
significado para eles, também pudemos perceber, no momento das
apresentações, que os alunos vêem no gráfico muito mais do que escrevem em
suas análises. Essa constatação se deu no momento da apresentação das duplas
(parte final dessa atividade), em que os gráficos foram expostos e cada
componente da dupla pôde falar aos colegas de classe sobre o que o gráfico lhe
mostrava e somente depois um dos componentes lia a análise para a turma.
76
Acreditamos que, uma das causas prováveis dos alunos não escreverem
em suas análises tudo o que realmente vêem no gráfico, dá-se pelo fato da falta
de hábito de escrever em Matemática. Em relação aos níveis de interpretação
gráfica propostos por Curcio (1987), notamos que, no discurso oral, grande parte
das duplas se encontram na leitura entre os dados, porém na análise escrita
apenas quatro duplas estavam nesse nível de compreensão, enquanto as demais
fizeram apenas a leitura dos dados.
2ª Atividade (parte C)
Essa atividade visou a comparação entre os grupos de meninos e meninas
de cada classe em relação ao gosto pela matemática. Com os dados dos alunos
do 8º ano A, construímos o seguinte gráfico para que as duplas (desta série)
pudessem analisá-lo de forma a fazer comparações entre os gêneros.
Gosto dos alunos do 8º ano A
pela Matemática
0 10 20 30 40 50 60
não gosto
às vezes gosto
gosto
gosto muito
gosto pela
matemática
porcentagem de alunos
meninas
meninos
As duplas procuraram construir um panorama geral da situação, dizendo
qual a preferência maior dos meninos e das meninas e também tentaram
estabelecer relações, porém algumas duplas apenas listaram numa sequência as
porcentagens correspondentes a cada item pesquisado.
A análise a seguir corresponde a uma dupla que procurou estabelecer
77
relações entre os grupos.
Figura 20: Protocolo de atividade de alunos referente à análise de gráfico.
Esses alunos explicitaram a moda dos meninos, já para a moda das
meninas, além de explicitá-la procuraram justificá-la também. Algo que chamou a
atenção dessa dupla foi o fato de nenhuma menina ter respondido na pesquisa
que gosta muito de matemática e também que pouquíssimos meninos votaram
nessa opção. Uma outra dupla também se atentou para este fato e tentou
justificá-lo, como segue:
Figura 21: Protocolo de atividade de alunos referente à análise de gráfico.
Como afirmam Wild e Pfannkuch (1999), as pessoas são mais
observadoras nas áreas que são para elas mais interessantes, logo as
disposições variam de acordo com o grau em que a pessoa está envolvida com o
problema.
78
Desta forma pudemos perceber um envolvimento maior nas partes A e B
desta segunda atividade, na qual um dos assuntos foi o esporte preferido e o
outro assunto foi de escolha de cada dupla de alunos, do que na parte C, e que,
ainda segundo Wild e Pfannkuch (1999), esse envolvimento gera o compromisso
que intensifica cada elemento da disposição: curiosidade, consciência,
imaginação e perseverança.
Os alunos do 8º ano B também realizaram essa atividade, porém os dados
analisados foram correspondentes aos da própria turma, como segue o gráfico.
Gosto do alunos do 8º ano B pela
Matemática
0 10 20 30 40 50
não gosto
às vezes gosto
gosto
gosto muito
gosto pela
matemática
porcentagem de alunos
meninas
meninos
Como já havíamos dito anteriormente, os alunos do 8º ano B
demonstraram um pouco mais de facilidade para analisar, interpretar e até
mesmo para escrever o que pensam em suas análises. Esses alunos ao
escreverem suas análises procuraram explicar o que analisavam e não somente
falarem diretamente os resultados observados no gráfico. Como segue a análise
de uma dupla (dividida em duas partes, pois estavam em páginas diferentes):
79
Figura 22: Protocolo de atividade de alunos referente à análise de gráfico.
Figura 23: Protocolo de atividade de alunos referente à análise de gráfico.
Podemos observar, nesse protocolo da produção de uma das duplas, a
percepção da variabilidade, que mesmo redigindo de uma maneira não muito
clara, ao escreverem “os votos das meninas foram mais divididos do que os
meninos”, entendemos que quiseram dizer que o gosto pela matemática das
meninas é mais distribuído que o dos meninos.
Uma outra dupla pode perceber a variabilidade de uma outra maneira, em
que ao final de sua análise, puderam concluir que a turma em geral gosta de
matemática, observando que os “extremos” foram os menos votados, como
segue.
80
Figura 24: Protocolo de atividade de alunos referente à análise de gráfico.
Essa dupla de alunos, segundo os níveis de compreensão gráfica
propostos por Curcio (1987), apresentou uma análise na qual fizeram uma
inferência a partir dos dados, baseados não só nos dados expostos no gráfico
como também em um banco de dados em sua memória, o que caracteriza para
Curcio (1987) a leitura além dos dados.
As duplas acima citadas e algumas outras duplas do 8º B puderam
trabalhar com o desenvolvimento de idéias intuitivas de variabilidade e o uso da
variabilidade para fazer comparações, que são componentes do modelo
epistemológico desenvolvido por Garfield e Ben-Zvi (2005, apud SILVA 2007), em
que ao fazer comparações buscaram razões para que um gráfico tenha medidas
de variabilidade maior ou menor que o outro.
3ª Atividade
Esta atividade visou à introdução da mediana e dos quartis, e a
aprendizagem do cálculo dessas medidas. Além do enunciado escrito, explicamos
oralmente o que deveria ser feito nas questões, pois os alunos das duas turmas
tiveram dificuldades em interpretar o enunciado.
O enunciado apresentado aos alunos foi o seguinte:
81
Observe as notas obtidas pelos meninos e pelas meninas no 1º trimestre
em matemática e procure responder às questões, primeiramente com os dados
dos meninos e depois com os das meninas:
a) Qual a menor nota a ser considerada se o professor fosse premiar os
50% dos alunos que tiraram as maiores notas do grupo?
b) E se fossem apenas 25% dos alunos com as melhores notas?
c) Se for preciso encaminhar para o núcleo de apoio 25% dos alunos com
as piores notas, qual a maior nota a ser considerada?
d) Escreva os valores encontrados nos itens a), b) e c) numa reta
numérica, ainda assinale, nessa reta, o valor da menor nota e também o da maior
nota obtida.
Devido às dúvidas dos alunos explicamos a parte a) do enunciado da
seguinte maneira: “Se a professora fosse premiar os 50% dos alunos com as
melhores notas, quais seriam esses alunos, ou melhor, quais seriam as maiores
notas? Dessas notas, correspondentes aos alunos premiados, qual a menor
delas?”. Para os outros enunciados, não houve necessidade de explicação, visto
que com a explicação da parte a) já ficou claro o que deveria ser feito nos outros
itens.
Iniciaremos analisando as produções correspondentes aos alunos do 8º
ano A. Nesta turma de 23 alunos temos 17 meninos e 6 meninas, e como
pedimos, no enunciado dessa atividade, que os alunos respondessem às
questões, primeiramente, com os dados dos meninos e, em seguida com os
dados das meninas, assim também faremos ao analisar o que foi produzido por
esta turma.
Para encontrar a menor nota a ser considerada, se o professor fosse
premiar os 50% dos alunos com as melhores notas (parte a) dessa atividade), dez
das 11 duplas optaram por utilizar o seguinte raciocínio proporcional:
Apenas uma dupla utilizou a regra de três para encontrar o que foi pedido.
82
Como metade de 17 é 8,5, cinco das 11 duplas arredondaram este valor para
nove e registraram as nove maiores notas, sendo a menor delas a nota 7, como
segue a organização de uma delas.
Figura 25: Protocolo de atividade de alunos referente ao cálculo da mediana.
As outras seis duplas consideraram as oito maiores notas, sendo a menor
delas 7,5. Neste momento de aprendizagem em que os alunos estão em
construção do conhecimento, é natural que ocorram esses e outros tipos de
“conflitos”, pois algumas duplas ao optarem pelas oito maiores notas relataram
que se considerassem as nove maiores notas, não seria justo um aluno que tirou
nota sete ser premiado sendo que existem mais alunos com esta nota.
Como o conceito de mediana ainda não foi formalizado, o que se observa
aqui é uma análise intuitiva dos centros dos dados, mas que já permite aprender a
variabilidade presente na distribuição dos dados.
Para as notas das meninas, todas as duplas encontraram as três maiores
notas e registraram que a menor nota a ser considerada seria a nota 7,5. Segue a
organização dos 50% das melhores notas das meninas, da mesma dupla de
alunos da Figura 25.
83
Figura 26: Protocolo de atividade de alunos referente ao cálculo da mediana.
Ao realizar a parte a) dessa atividade, os alunos puderam trabalhar com
dois tipos de grupos diferentes, o grupo dos meninos que é composto por um
número ímpar e o das meninas que é composto por um número par. Para realizar
a parte correspondente à das meninas, a turma não demonstrou dificuldade, pois
como já mencionamos todas as duplas apresentaram o mesmo tipo de resolução.
Em relação à segunda parte da atividade (questão b), na qual pedia-se
para encontrar a menor nota a ser considerada, se o professor fosse premiar
apenas os 25% dos alunos com as melhores notas, das onze duplas formadas no
8º A, dez utilizaram o mesmo raciocínio proporcional da parte a) dessa atividade,
nove delas dividindo o total em quatro partes iguais para encontrar o valor que
corresponde aos 25%, e uma dessas duplas considerou o resultado do exercício
anterior (os 50% das maiores notas) e o dividiu em duas partes iguais, como
segue:
Apenas uma dupla utilizou, novamente, a regra de três para encontrar os
25% dos alunos com as maiores notas. Segue o protocolo de resolução de uma
dupla de alunos.
84
Figura 27: Protocolo de atividade de alunos referente ao cálculo do 3º quartil.
Podemos observar no protocolo dessa dupla, também o cálculo para
encontrar os 25% das melhores notas das meninas. Temos, na seqüência, o
protocolo dessa mesma dupla em relação à parte c) dessa atividade, em que os
alunos precisavam encontrar os 25% das menores notas.
Figura 28: Protocolo de atividade de alunos referente ao cálculo do 1º quartil.
As duplas utilizaram o cálculo dos 25% do exercício anterior e, agora,
apenas localizaram os valores correspondentes às menores notas. Finalizando a
atividade, as duplas localizaram, numa reta numérica os dados encontrados nos
itens anteriores dessa atividade e ainda as maiores e as menores notas obtidas
pelos meninos e pelas meninas. Construindo assim um primeiro esboço do gráfico
Box-plot, que corresponde à localização dos pontos na reta numerada.
85
Figura 29: Protocolo de atividade de alunos referente à uma primeira construção do gráfico
Box-plot.
Da mesma forma que fizemos com os alunos do 8º ano A, analisaremos as
produções correspondentes à dos alunos do 8º ano B, turma composta por 24
alunos, sendo 11 meninos e 13 meninas.
Para encontrar os valores correspondentes aos 50% das melhores notas,
sete, das 12 duplas formadas nessa turma, optaram por utilizar o mesmo tipo de
raciocínio proporcional utilizado pelos alunos do 8º ano A e as outras cinco duplas
utilizaram a regra de três. Segue a organização de uma dupla de alunos:
Figura 30: Protocolo de atividade de alunos referente ao cálculo da mediana.
Apesar de uma possível confusão no momento da escrita, a parte de cima
desse protocolo é referente aos dados dos meninos e a parte debaixo aos dados
86
das meninas.
Uma outra dupla de alunos, além dos cálculos para encontrar o valor
central das notas, registrou algumas observações relacionadas aos resultados
encontrados, como na 1ª parte (esquerda) do seguinte protocolo que apresentou
um pequeno “conflito” ao relatar que a menor nota a ser considerada, se o
professor fosse premiar os 50% dos melhores meninos, é a nota sete, e apesar
de existirem oito alunos com nota sete, somente três deles seriam premiados.
Este tipo de observação também apareceu no cálculo referente às notas das
meninas, como podemos observar nesse mesmo protocolo.
Figura 31: Protocolo de atividade de alunos referente ao cálculo da mediana.
Para encontrar o valor correspondente a menor nota a ser considerada, se
fossem premiados apenas 25% dos alunos, algumas duplas utilizaram a regra de
três e outras apenas dividiram o total de alunos por quatro. Segue o protocolo de
uma dupla de alunos.
87
Figura 32: Protocolo de atividade de alunos referente ao cálculo do 3º quartil.
Como as duplas já haviam efetuado os cálculos referentes aos 25% no
item anterior, para encontrar os 25% dos alunos que precisariam participar do
núcleo de apoio apenas listaram as menores notas.
Figura 33: Protocolo de atividade de alunos referente ao cálculo do 1º quartil.
E, finalizando, a atividade os alunos registraram, numa reta numérica, os
valores encontrados nos itens anteriores e também a maior e a menor nota dos
meninos e das meninas, como segue:
Figura 34: Protocolo de atividade de alunos referente à uma primeira construção do gráfico
Box-plot.
88
No momento de institucionalização, foi realizada uma discussão sobre o
que os alunos podiam observar nesse tipo de representação. O primeiro ponto
destacado pelos alunos, nas duas turmas, foi o intervalo entre a menor e a maior
nota, e assim já apareceu um primeiro indício de compreensão da variabilidade
nessa atividade, quando os alunos expressaram que as notas das meninas estão
mais espalhadas que nota dos meninos.
No 8º ano A, alguns alunos apresentaram dificuldade em relacionar
dimensões diferentes à mesma porcentagem e uma aluna se expressou da
seguinte maneira: “É fácil se a gente pensar em duas latas de sardinha com três
sardinhas dentro, na lata grande as sardinhas estão mais espalhadas, mas, na
pequena, as três ficarão pertinho uma da outra, e de qualquer forma as duas tema
mesma quantidade.”. Esse relato da aluna ajudou os colegas a compreenderem a
visualização gráfica do Box-plot em relação à existência de diferentes dimensões
para uma mesma proporção.
Este exemplo mostra uma boa compreensão, por parte da aluna, do
conceito de densidade que é explorado no gráfico Box-plot. Na outra turma, 8º
ano B, utilizamos um exemplo similar ao da aluna.
Em seguida, apresentamos o desenho completo do gráfico Box-plot aos
alunos.
4ª Atividade
Foi proposta aos alunos, nessa atividade, a organização das notas de
matemática da turma, a construção do gráfico Box-plot e a análise das notas da
turma baseada nos dados organizados e no gráfico construído pelos alunos.
Detalharemos, primeiramente, a atividade desenvolvida pelos alunos do 8º
ano A, em que, para a organização inicial, os alunos escreveram os dados em
ordem crescente e localizaram a mediana e os quartis, como segue a organização
de uma dupla de alunos:
89
Dez das 11 duplas formadas nessa turma conseguiram realizar
corretamente os cálculos da mediana e dos quartis, apenas uma dupla de alunos
se confundiu e não apresentou resultados corretos.
Em relação à construção do gráfico Box-plot, em geral, os alunos
realizaram com certa “facilidade”, pois dez entre as 11 duplas formadas na sala
construíram corretamente o gráfico, como segue:
Figura 36: Protocolo de atividade de alunos referente à construção de gráfico.
Observa-se, na figura 36, que a dupla assinalou 25% a cada intervalo, essa
e também outras duplas perceberam e explicitaram, em suas análises, a
existência de diferentes dimensões para a mesma proporção. Esta dupla também
representa os dados em escala.
A única dupla que não acertou completamente a construção do gráfico
demonstrou ter assimilado a idéia, pois assinalou os cinco pontos necessários
para a construção do mesmo e, somente no momento de desenhar a “caixa”,
demonstrou algumas duvidas em saber como fazê-la, o que é compreensível,
visto que os alunos haviam tido apenas um primeiro contato com esse tipo de
gráfico na atividade anterior. Segue o gráfico construído por esta dupla.
Figura 35: Protocolo de atividade de alunos referente à organização de dados.
90
Figura 37: Protocolo de atividade de alunos referente à construção de gráfico.
Embora o gráfico represente linhas que não deveriam ser representadas, a
utilização da escala pode indicar percepção das densidades.
A análise, parte final dessa atividade, é considerada por nós a parte
principal da atividade, pois os alunos ao expressarem o que observam nos dados
e no gráfico, demonstram se realmente assimilaram todo o procedimento anterior,
ou se apenas realizaram essas partes da atividade como algo “mecanizado”, logo
entendemos que a construção de um gráfico vai além de um simples desenho, a
construção de um gráfico envolve também a compreensão do que se está
desenhando.
Em relação à análise realizada pelos alunos, percebemos que as duplas
demonstraram dificuldade para organizar seus textos, porém conseguimos
perceber também que houve uma compreensão do gráfico. Essa compreensão foi
um pouco maior para algumas duplas e para outras um pouco menor, porém
todas demonstraram indícios de compreensão do gráfico. A seguir temos uma
análise:
Figura 38: Protocolo de atividade de alunos referente à análise de gráfico.
91
Essa dupla inicia sua análise relatando que a concentração de alunos
acima da mediana é maior que a concentração abaixo da mesma, mesmo que
tenham se expressado de forma equivocada quando dizem que “a minoria dos
alunos está abaixo da mediana”, entendemos o que a dupla quis dizer devido ao
início de sua frase.
Esses alunos observam também que existe uma grande concentração de
notas em torno da mediana (50% das notas entre o Q
1
e o Q
3
) e, por fim, fazem
uma comparação desse gráfico com a média da escola, que é a nota 7, e afirmam
que 75% dos alunos dessa turma estão acima da média e 25% abaixo da média.
Esta comparação final demonstra que estes dois alunos, segundo os níveis
de compreensão gráfica propostos por Curcio (1987), fizeram uma análise além
dos dados, pois buscaram elementos para essa análise, não só nos dados do
gráfico, mas também nos dados de sua memória. Assim como essa, outras
duplas também fizeram comparação com a média da escola.
Dentre as análises das outras duplas, pudemos observar que oito duplas
de 11 perceberam e explicitaram, em suas análises, que 50% dos alunos tiraram
notas entre 7 e 8, o que corresponde ao intervalo entre o 1º e o 3º quartil, como
segue a parte final da análise de uma das oito duplas citadas:
Figura 39: Protocolo de atividade de alunos referente à análise de gráfico.
Essa atividade foi desenvolvida também pelos alunos do 8º ano B, em que
para a organização inicial, assim como os alunos da outra turma, os alunos
escreveram os dados em ordem crescente e localizaram a mediana e os quartis,
como segue a organização de uma dupla de alunos:
Figura 40: Protocolo de atividade de alunos referente à organização de dados.
92
Seis das 12 duplas confundiram-se com o cálculo do 3º quartil e colocaram
para o mesmo o valor 8 ou 8,5, em vez da média entre esses valores, mas isso
pode ser considerado como uma etapa na construção do conceito. Para um
primeiro contato com o conceito de quartis (de separatrizes), ainda não se espera
dos alunos a distinção entre as diversas maneiras de se determinar essas
medidas, de acordo com o tamanho do conjunto de dados.
Onze das doze duplas realizaram corretamente o desenho do gráfico,
como exemplo a seguir.
Figura 41: Protocolo de atividade de alunos referente à construção de gráfico.
A dupla que não construiu corretamente o gráfico, não se atentou na
proporcionalidade ao desenhar a reta numérica (escala), prejudicando assim sua
análise, pois todos os intervalos ficaram com o mesmo tamanho, como podemos
observar na figura a seguir:
Figura 42: Protocolo de atividade de alunos referente à construção de gráfico.
Em relação às análises elaboradas pelos alunos do 8º B, quatro das 12
duplas apenas listaram os valores da mediana, dos quartis e os valores de
máximo e mínimo, demonstrando assim que não encontraram significado para
93
esses valores. As outras oito duplas, apesar de apresentarem análises muito
confusas, puderam perceber em qual intervalo se encontra a maior quantidade de
notas iguais ou parecidas, como segue.
Figura 43: Protocolo de atividade de alunos referente à análise de gráfico.
E ainda uma outra dupla que escreveu de outra maneira essa percepção.
Figura 44: Protocolo de atividade de alunos referente à análise de gráfico.
Assim como os alunos do 8º ano A, algumas duplas dessa turma fizeram
comparações com a média da escola, a nota 7. Como segue.
Figura 45: Protocolo de atividade de alunos referente à análise de gráfico.
Em relação aos níveis de compreensão gráfica de Curcio (1987), as quatro
duplas de alunos que apenas listaram os valores de cada medida estatística,
apresentaram uma leitura dos dados apenas, que de acordo com Curcio (1987) é
o nível de compreensão mais simples, em que o leitor identifica somente as
informações encontradas nas etiquetas dos eixos. Apesar de ser o mais simples
entre os níveis de compreensão gráfica, consideramos esse um bom resultado,
devido ao fato dessa atividade ser a primeira que os alunos construíram e
analisaram esse tipo de gráfico.
As outras oito duplas do 8º ano B, apresentaram uma leitura entre os
dados, fazendo comparações com os dados apresentados no gráfico, e algumas
destas oito duplas estão “caminhando” para a leitura além dos dados, buscando
também fazer comparações com outros dados que não foram apresentados no
gráfico.
94
5ª Atividade
Esta última atividade teve como principal objetivo a interpretação de um
gráfico box-plot que comparava as notas trimestrais de Português dos alunos dos
8
os
anos A e B, segue o gráfico analisado pelos alunos.
Notas dos alunos dos 8
os
anos em Português
Em decorrência da observação dos alunos ao gráfico acima referido,
muitos afirmaram que o 8º ano B obteve notas melhores que o 8º ano A, como
segue:
Figura 46: Protocolo de atividade de alunos referente à análise de gráfico.
De acordo com Wild e Pfannkuch (1999), as qualidades pessoais afetam,
ou, até mesmo, interferem o comportamento diante dos resultados obtidos, essa
idéia ficou muito clara nesse primeiro ponto que trouxemos à discussão, pois das
12 duplas formadas pelo 8º B, dez explicitaram em suas análises o fato do 8º B
ter obtido melhores notas que o 8º A, enquanto das 11 duplas do 8º A, apenas
95
três relataram tal fato.
Wild e Pfannkuch (1999) ainda afirmam que as pessoas são mais
observadoras nas áreas que são para elas mais interessantes, e percebemos que
neste momento foi mais interessante para o 8º ano B o fato de suas notas serem
melhorem do que as notas da outra turma.
Besson (1995) chama de estatísticas os resultados de observações. Essas
estatísticas, segundo o autor, não refletem a realidade, mas sim o olhar da
sociedade sobre si mesma. O que podemos constatar, quando observamos as
análises dos alunos do 8º B, é que quando observam os gráficos têm o olhar
voltado para a própria turma e essa observação satisfaz a essa turma, o que não
aconteceu com os alunos do 8º A.
Acreditamos que, mesmo as duplas que não expressaram essa idéia em
suas análises escritas, puderam pelo menos observar esse fato, pois observando
a transcrição da áudio-gravação de uma dupla de alunos do 8º A, que em nenhum
momento de sua análise escreveu que os alunos do 8º B obtiveram melhores
notas que o 8º A, temos:
A
1
: A mediana deles é 7,75 e a nossa 7,5.
A
2
: É, mas é muito próximo.
A
1
: Mas a menor nota deles é 6,5.
A
2
: E a nossa é 5. Eles são mais “cdfs”.
O aluno A
2
ao declarar “eles são mais cdfs” (palavra utilizada pelos
estudantes para identificar os alunos com melhor rendimento escolar),
reconheceu que, no primeiro trimestre, os alunos do 8º ano B obtiveram melhores
notas que os alunos do 8º ano A. Por motivos diferenciados os alunos chegaram a
essa conclusão, como mostraremos a seguir.
96
Figura 47: Protocolo de atividade de alunos referente à análise de gráfico.
Essa dupla de alunos afirmou que as notas do 8º B foram melhores e
justificou sua afirmação observando a diferença entre as medidas de posição em
relação às duas turmas, pois tanto para a mediana como para os quartis o 8º ano
B obteve maiores notas que o 8º ano A.
Figura 48: Protocolo de atividade de alunos referente à análise de gráfico.
Podemos observar, na análise dessa dupla, que suas colocações têm o
objetivo de justificar o fato dos alunos do 8º ano B terem melhores notas que os
alunos do 8º ano A, apreciamos a observação dessa dupla de alunos quando
afirmam que a mediana do 8º A equivale ao primeiro quartil do 8º B, que
corresponde ao valor de 7,5, isto significa que 25% dos alunos do 8º B têm notas
menores ou iguais a 7,5, enquanto, no 8º A, 50% dos alunos têm notas menores
ou iguais a 7,5. Outros argumentos utilizados pela dupla foram as notas mínimas
das duas turmas e o valor da mediana.
Em relação à organização das idéias no momento de escrever as análises,
notamos uma considerável melhora nas produções dos alunos, pois estão
97
escrevendo de forma mais clara o que pensam e estão procurando registrar
melhor o que puderam observar nos gráficos, o que não aconteceu nas primeiras
análises realizadas nessa sequência didática. Isso mostra a necessidade de se
praticar a análise, explicitando-a por escrito, visando melhorar a capacidade de
expressão dos alunos.
98
6 . Considerações Finais
O objetivo desta pesquisa foi o de proporcionar momentos de
aprendizagem nos quais os alunos pensassem estatisticamente, desta forma
procuramos abordar o estudo da variabilidade, que é o elemento central do
Pensamento Estatístico.
Apesar dos Documentos Oficiais Brasileiros não indicarem o estudo de
variabilidade no Ensino Fundamental, pesquisas recentes vêm mostrando a
necessidade de se iniciar esse estudo desde as séries iniciais, de forma intuitiva,
e aprofundá-lo nos demais anos de escolaridade.
Este trabalho teve um caráter exploratório e buscou identificar indícios de
construção do Pensamento Estatístico nos alunos, por meio de uma seqüência
didática.
Para desenvolver e analisar nossa seqüência de atividades, buscamos
embasamento teórico nas pesquisas de Wild e Pfannkuch (1999) e de Garfield e
Ben-Zvi (2005, apud SILVA, 2007) que construíram modelos que auxiliam o
processo de ensino e de aprendizagem relacionado à variabilidade. Com essa
seqüência, buscamos elementos para responder nossas questões de pesquisa:
Quais os significados atribuídos por alunos de 8º ano do Ensino
Fundamental, para a variabilidade quando trabalhada num contexto escolar
em aulas de Matemática? Que contribuições há na compreensão de
conteúdos Estatísticos quando os alunos os apreendem em um enfoque
exploratório, com uso das medidas separatrizes e com foco na
variabilidade?
Consideramos que o modo exploratório contribuiu para o ensino de
conteúdos estatísticos, de tal forma que os alunos apresentaram-se envolvidos e
comprometidos com as atividades desenvolvidas, tendo em vista que os assuntos
apresentados em cada uma delas foram de interesse dos mesmos.
Logo na primeira atividade de construção e análise de gráfico (2ª atividade
– parte A) pudemos perceber que alguns alunos de forma intuitiva tiveram a
percepção da variabilidade, quando afirmaram “a preferência das meninas é
99
praticamente a mesma e a dos meninos é mais dividida e distribuída”.
Mesmo que essa percepção não foi da turma toda, no momento de
compartilhar o que cada dupla havia observado no gráfico para realizar uma
análise coletiva do mesmo, as outras duplas julgaram importante que esta
afirmação aparecesse na análise da turma.
Nessa mesma atividade, os alunos observaram que os tipos de esporte
preferido dos meninos não são os mesmos das meninas, porém cada gênero tem
três esportes preferidos, logo não houve diferença na quantidade de esporte
preferido e sim no tipo.
Na segunda atividade (parte C), que tratava sobre o gosto dos alunos em
relação à Matemática, os alunos também demonstraram indícios de percepção da
variabilidade quando afirmaram que “a opinião das meninas é mais distribuída
que a dos meninos” ou “os extremos foram os menos votados, logo, em geral, a
turma gosta de matemática”. Acreditamos que esses pequenos textos mostram
que os alunos constroem gradativamente significados para a variabilidade de
forma intuitiva, de onde parte a importância de um bom planejamento de
atividades introdutórias.
Nas atividades seguintes, em que abordamos as medidas separatrizes e a
construção do gráfico Box-plot, verificamos que os alunos não demonstraram
grandes dificuldades ao realizar os cálculos da mediana e dos quartis, como
também ao construir o gráfico.
Após a primeira construção do Box-plot, os alunos apresentaram,
oralmente, significados para cada intervalo observado no gráfico e ainda indícios
de compreensão do mesmo ao relatar que apesar de cada intervalo corresponder
a 25% dos alunos, os mesmos possuem tamanhos diferentes devido à
distribuição das notas, isto é, relataram a existência de diferentes dimensões para
a mesma proporção.
Esses alunos também apresentaram significados na forma escrita, porém,
muitas vezes, equivocaram-se ao escrever que a maioria dos alunos tem notas
entre o 1º quartil e a mediana, em vez de a maior concentração de notas dos
alunos está entre o 1º quartil e a mediana.
Acreditamos que esse e outros tipos de equívocos ou até mesmo enganos
100
em relação às análises dos gráficos se deram devido à pequena quantidade de
atividades envolvendo as medidas separatrizes e o gráfico Box-plot. Portanto há a
necessidade de mais atividades específicas que trabalhem a compreensão desse
tipo de gráfico, associando-o a outras representações gráficas.
Desta forma seria necessário que pesquisas futuras tratassem mais a
fundo esse tipo de representação gráfica, buscando assim o desenvolvimento do
Pensamento Estatístico dos alunos, que é fundamental para o aprendizado da
Estatística.
101
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2005.
MANDARINO, Mônica e COUTINHO, Cileda de Queiros e Silva. A Matemática
como uma rede de conhecimentos: o Tratamento da Informação. São Paulo:
2006. Disponível em:
http://www.redebrasil.tv.br/salto/boletins2006/dpm/060828_distutindo.doc
MEDICI, Michele. A Construção do Pensamento Estatístico: Organização,
Representação e Interpretação de Dados por alunos da 5ª série. Dissertação
de Mestrado em Educação Matemática. São Paulo: PUC-SP, 2007.
MEGID, Maria Auxiliadora Bueno Andrade. Professores e alunos construindo
saberes e significados em um projeto de estatística para 6ª série: estudo de
duas experiências em escolas pública e particular. Dissertação de Mestrado.
Campinas: UNICAMP, 2002.
MORAIS, Tula Maria Rocha. Um estudo sobre o Pensamento Estatístico:
“Componentes e Habilidades”. Dissertação de Mestrado em Educação
Matemática. São Paulo: PUC-SP, 2006.
PONTE, João Pedro da. Investigações em Estatística. In PONTE, João Pedro
103
da; BROCARDO, Joana e OLIVEIRA, Hélia. Investigações Matemáticas na Sala
de Aula. Belo Horizonte: Ed. Autêntica, 2003.
SANTOS, Clemente Ramos dos. O Tratamento da Informação: Currículos
Prescritos, Formação de Professores e Implementação na sala de aula.
Dissertação de Mestrado em Educação Matemática . São Paulo: PUC-SP, 2005.
São Paulo. Secretaria da Educação do Estado de São Paulo. Proposta
Curricular do Estado de São Paulo: Matemática (Ensino Fundamental – Ciclo II
e Ensino Médio). São Paulo: 2008.
SILVA, Claudia Borim. Pensamento Estatístico e Raciocínio sobre variação:
Um estudo com professores de Matemática. Tese de Doutorado em Educação
Matemática. São Paulo: PUC-SP, 2007.
WILD, Chris y PFANNKUCH, Maxine. Statistical thinking in empirical enquiry.
International Statistical Review. Auckland: v.67, n.3, p. 223-65, dezembro 1999.
104
Apêndices
2ª Atividade (parte A)
ATIVIDADE DE MATEMÁTICA
Nomes:
Série: 8
o
Professor: Fernanda de Mello
Disciplina: Matemática
Data:
Observando o tipo de esporte preferido dos seus colegas, elabore um
gráfico que lhe permita observar possíveis diferenças entre as preferências dos
meninos e das meninas.
Observe agora o gráfico que você desenhou e escreva uma pequena
análise do mesmo.
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105
2ª Atividade (parte B)
ATIVIDADE DE MATEMÁTICA
Nomes:
Série: 8
o
Professor: Fernanda de Mello
Disciplina: Matemática
Data:
Escolha uma das variáveis que pesquisamos e para essa:
Organize os dados;
Construa um gráfico para representar esses dados;
Analise esses dados;
Apresente para a turma a sua atividade.
106
2ª Atividade (parte C)
ATIVIDADE DE MATEMÁTICA
Nomes:
Série: 8
o
Professor: Fernanda de Mello
Disciplina: Matemática
Data:
Observe os dados referentes às preferências de cada grupo de alunos
(meninos e meninas) em relação ao gosto pela matemática e faça uma
comparação entre os grupos.
Gosto dos alunos do 8º ano A
pela Matemática
0 10 20 30 40 50 60
não gosto
às vezes gosto
gosto
gosto muito
gosto pela
matemática
porcentagem de alunos
meninas
meninos
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_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
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107
3ª Atividade
ATIVIDADE DE MATEMÁTICA
Nomes:
Série: 8
o
Professor: Fernanda de Mello
Disciplina: Matemática
Data:
Observe as notas obtidas pelos meninos e pelas meninas no 1º trimestre
em matemática e procure responder às questões, primeiramente com os dados
dos meninos e depois com os das meninas:
a) Qual a menor nota a ser considerada se o professor fosse premiar os 50% dos
alunos que tiraram as maiores notas do grupo?
b) E se fossem apenas 25% dos alunos com as melhores notas?
108
c) Se for preciso encaminhar para o núcleo de apoio 25% dos alunos com as
piores notas, qual a maior nota a ser considerada?
d) Escreva os valores encontrados nos itens a), b) e c) numa reta numérica e
assinale ainda nessa reta o valor da menor nota e também o da maior nota obtida.
109
4ª Atividade
ATIVIDADE DE MATEMÁTICA
Nomes:
Série: 8
o
Professor: Fernanda de Mello
Disciplina: Matemática
Data:
Ainda em relação às notas obtidas pelos alunos de sua turma no 1º trimestre em
matemática:
Organize os dados da turma
Construa um gráfico (Box-plot) para representar estes dados
Analise as notas da turma com base nos dados por vocês organizados e no gráfico
que vocês construíram.
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110
5ª Atividade
ATIVIDADE DE MATEMÁTICA
Nomes:
Série: 8
o
Professor: Fernanda de Mello
Disciplina: Matemática
Data:
Observe os dados referentes às observações de cada grupo de alunos
(8ºA e 8ºB) em relação às notas obtidas no 1º trimestre em português e faça uma
comparação entre os grupos.
Notas dos alunos dos 8
os
anos em Português
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