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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
APLICADA E ESTATÍSTICA
Estudo da Transformada Rápida Wavelet e sua Conexão
com Banco de Filtros
Dissertação apresentada como requisito
parcial para a obtenção do título de
Mestre em Matemática Aplicada (Área
de Concentração: Modelagem Matemá-
tica).
Autor: Francisco Márcio Barboza
Orientador: Joaquim Elias de Freitas
Natal, Setembro de 2008
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
APLICADA E ESTATÍSTICA
BANCA EXAMINADORA
Orientador:
Prof. Dr. Joaquim Elias de Freitas
Examinador externo:
Prof. Dr. Edemerson Solano Batista de Morais
Examinador interno:
Prof. Dr. Marcelo Gomes Pereira (Co-orientador)
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
Natal, 17 de setembro de 2008
Autor: Francisco Márcio Barboza
Título: Estudo da Transformada Rápida Wavelet
e sua Conexão com Banco de Filtros
Departamento: Departamento de Matemática Aplicada
e Estatística
Grau: Ms.
Data da defesa: 17 de julho de 2008
F rancisco M´arcio Barboza
Assinatura do Autor
“Lutar para ser admirado pelos outros é tolice. Realize sonhos com a
naturalidade de um rio que sabe por onde corre e não para que alguém o
aplauda”...
Roberto Shinyashiki
Agradecimentos
Gostaria de expressar meus sinceros agradecimentos a todos aqueles que me ajudaram, de
uma forma ou de outra, a desenvolver e realizar este trabalho.
Agradeço primeiramente a Deus.
Agradeço ao meu mestre e orientador, Professor Doutor Joaquim Elias de Freitas , cuja com-
petência, criatividade e dedicação foram essências para o êxito deste trabalho. A sua simplici-
dade, clareza e objetividade influenciaram definitivamente o meu modo de trabalhar. Agradeço
especialmente o apoio que me deu durante estes anos. Sem sua ajuda a realização de um grande
sonho estaria comprometida.
Ao meu co-orientador professor Doutor Marcelo Gomes pela ajuda sempre presente e de
grande importância.
Ao amigo Raimundo Nonato cujas palavras de apoio e incentivo muito me ajudaram em mo-
mentos difíceis.
Ao amigo Hermes pelas grandes ajudas em momentos difíceis de relacionamento com o
L
A
T
E
X. Sem sua ajuda eu nunca teria conseguido. Muito obrigado.
Aos demais colegas do PPGMAE, pelo companheirismo e ensinamentos.
Ao professores e funcionários do PPGMAE e CCET, pelo apoio fundamental dado durante
a realização deste trabalho.
A paciência recebida de toda a minha família, durante as incansáveis noites em que, sem
dormir, eu necessitava de apoio.
Natal, 17 de setembro de 2008.
Sumário
Lista de Figuras
Resumo
Abstract
Apresentação
1 Wavelets e Análise de Multiresolução p.14
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.14
1.2 Transformada Wavelet Contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16
1.3 Transformada Wavelet Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 17
1.4 A Base Wavelet de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.19
1.5 Análise de Multiresolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23
1.6 Construção de um Sistema Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26
2 Análise de Fourier e Teoria Wavelet p.28
2.1 Análise de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28
2.2 Relações Básicas da Teoria Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.31
2.2.1 Quando temos uma expansão wavelet? . . . . . . . . . . . . . . . . p.31
2.2.2 Como construir Wavelets mães a partir da wavelet pai . . . . . . . . p.37
2.2.3 Observações adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.39
3 Banco de Filtros p.40
3.1 Banco de Filtros de Duas Bandas Uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.40
3.1.1 Filtros Espelhados em Quadratura (QMF) Clássicos . . . . . . . . . p.42
3.1.2 Filtros em Quadratura Conjugada (CQF) . . . . . . . . . . . . . . . p.43
3.1.3 Filtros Espelhados em Quadratura (QMF) Generalizados . . . . . . . p.45
4 Transformada Rápida Wavelet p.47
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.47
4.2 Inicialização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47
4.3 Decomposição em Multi-Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48
4.4 A Transformada Rápida Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 49
4.5 Algoritmos Piramidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.51
5 Considerações Finais p.57
Apêndice A -- Conceitos Básicos em Processamento de Sinal p.58
A.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.58
A.1.1 Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 58
A.1.2 Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.58
A.1.3 Filtros passa baixa e Filtros passa alta. . . . . . . . . . . . . . . . . p.60
A.1.4 Dizimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.60
A.1.5 Interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 63
Apêndice B -- Coeficientes dos filtros wavelet p.66
B.1 Alguns coeficientes referentes aos filtros passa baixa h
k
. . . . . . . . . . . . p.66
Referências p.70
Lista de Figuras
1 Exemplo de uma wavelet de Morlet e duas de suas dilatações. . . . . . . . . . p. 16
2 Gráfico da função de escalonamento de Haar ϕ(x) . . . . . . . . . . . . . . p.20
3 Gráfico da wavelet de Haar ψ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 21
4 Banco de Filtros em 2 canais ; análise e síntese de uma estrutura de Banco de
Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.40
5 Algoritmo pirâmidal de decomposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 52
6 Algoritmo pirâmidal de recuperação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.53
7 Decomposição de uma onda Doppler com ruído. . . . . . . . . . . . . . . . . p.56
8 Dizimação por um fator de M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 61
9 Dizimando um sinal X(e
jω
) no domínio da freqüência por um fator M = 3.
(a) aspectro original. (b) As três replicas do sinal após a dizimação e a soma
deles para formar Y (e
jw
). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.63
10 Interpolação um fator de M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 63
11 Característica espectral da dizimação por 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 64
12 Característica espectral da interpolação por 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 65
Resumo
Neste trabalho apresentamos uma exposição da teoria matemática das wavelets ortogonais de
suporte compacto no contexto de análise de multiresolução. Estas wavelets são particularmente
atraentes porque conduzem a um algoritmo estável e muito eficiente, isto é, a Transformada
Rápida Wavelet (FWT). Um dos nossos objetivos é desenvolver algoritmos eficientes para o
calculo dos coeficientes wavelet (FWT) através do algoritmo pirâmidal de Mallat e discutir sua
conexão com Banco de Filtros.
Estudamos também o conceito de análise de multiresolução, que é o contexto em que wa-
velets podem ser entendidas e construídas naturalmente, tomando um importante passo na mu-
dança do universoMatemático (Domínio Contínuo) para o Universo da representação (Domínio
Discreto).
Palavras chave: Análise de Multiresolução, Banco de Filtros, Wavelets e Transformada Rápida
Wavelet.
Abstract
In this work we presented an exhibition of the mathematical theory of orthogonal compact
support wavelets in the context of multiresoluction analysis. These are particularly attractive
wavelets because they lead to a stable and very efficient algorithm, that is Fast Transform Wa-
velet (FWT). One of our objectives is to develop efficient algorithms for calculating the coef-
ficients wavelet (FWT) through the pyramid algorithm of Mallat and to discuss his connection
with filters Banks .
We also studied the concept of multiresoluction analysis, that is the context in that wavelets
can be understood and built naturally, taking an important step in the change from the Mathe-
matical universe (Continuous Domain) for the Universe of the representation (Discret Domain).
Key Words: Multiresoluction Analysis, filters Banks, Wavelets and Fast Transform Wavelet.
Apresentação
Quando se trata do assunto wavelets, é comum ouvirmos perguntas do tipo “O que são wa-
velets?”, “Para que servem as wavelets ?” ou, “Que ferramentas matemáticas podemos aplicar
às wavelets ?”.
Muitos pesquisadores acham que a utilização da teoria Wavelet abre uma nova perspectiva
na análise de sinais. Desde a década de 80, a teoria Wavelet tem despertado enorme interesse
em diversas áreas. A formalização desta teoria foi realizada recentemente, nesta mesma década
de 80, com base na generalização de conceitos já conhecidos, originados de vários campos de
pesquisa, como análise e compressão de sinais, astronomia, acústica, música, fractais, geofísica,
matemática e física, o que tem despertado um grande interesse dos cientistas[12].
O termo wavelet
1
foi originariamente introduzido por J. Morlet, sendo a base matemática de
suas idéias formalizada pelo físico teórico Alex Grossmann. Os dados sísmicos estudados por
Morlet exibiam conteúdos de freqüência que mudavam rapidamente ao longo do tempo, para os
quais a Transformada de Fourier (TF) não era adequada como ferramenta de análise [4], [15] e
[14]. Mais adiante a teoria wavelet foi tratada por Meyer, Daubechies, Mallat e outros na dé-
cada de 80 [39]. Em particular, trabalhos de Daubechies e Mallat estabeleceram a conexão entre
wavelets e Banco de Filtros digitais que, como resultado , gerou muito interesse e progressos
nas respectivas áreas. Apesar deste progresso está claro para nós que as relações entre Banco de
Filtros e bases wavelets [8] constituem uma consistente e indispensável essência para a teoria e
aplicações das wavelets, sendo muito util apresentar estas relações em detalhes.
A teoria de Banco de Filtros multirate, por outro lado, foi desenvolvida nos anos 70 por Croi-
sier, Esteban e Galand que introduziu uma classe especial de filtros chamado filtros espelhados
em quadratura ( QMF- quadrature mirror filters) [40] e [39], e também Smith e Barnwel [35]
que introduziram os filtros em quadratura conjugada (conjugate quadrature filters (CQF)) que
são de grande importância na construção de wavelets de suporte compacto [10].
O objetivo desta dissertação é apresentar, de uma forma condensada, os principais resultados
da teoria das wavelets, na direção da implementação de um algoritmo para a Transformada Rá-
pida Wavelet dando ênfase especial às suas ligações com o processamento de sinal, em especial
à conexão em Banco de Filtros.
Esta dissertação está dividida em cinco capítulos e dois apêndices. No primeiro capítulo ,
introduzimos as idéias básicas e um levantamento geral para depois passarmos para um apro-
fundamento matemático, começando com a Base de Haar e a análise de multiresolução. Dis-
cutimos também a Transformada Wavelet Contínua e Transformada Wavelet Discreta, que são
usados em análise de sinal.
1
O termo wavelet vem do vocábulo francês ondelette
No Capítulo 2 apresentamos alguns fatos da teoria de Fourier e vários aspectos da teoria das
wavelets.
No Capítulo 3 apresentamos uma discussão teórica da reconstrução perfeita e Bancos de
Filtro de 2 canais com ênfase em filtros de resposta de impulso finita.
No Capítulo 4 realiza-se um breve estudo acerca da Transformada Rápida Wavelet e sua im-
plementação prática através dos filtros do algoritmo rápido de Mallat. Terminamos o capítulo
com uma discursão sobre as conexões com Banco de Filtros.
No capítulo 5 , são relatadas as considerações finais sobre todo o desenvolvimento realizado
neste trabalho . Finalmente no Apêndice A apresentamos uma discursão dos conceitos e fer-
ramentas em Processamento de Sinal e no Apêndice B uma lista de alguns filtros passa baixa h
λ
.
13
1 Wavelets e Análise de Multiresolução
“A transformada wavelet é uma ferramenta que fatia dados ou funções
ou operadores em componentes frequenciais diferentes, e então estuda
cada componente com uma resolução casada com sua escala”
I. Daubechies [11]
1.1 Introdução
Joseph Fourier anunciou em 1807 que toda função periódica podia ser representada com
série de senos e cossenos. Desde então, a análise espectral de funções usando séries e integrais
de Fourier tem sido uma ferramenta poderosa na solução de numerosos problemas físicos e ma-
temáticos [8]. Entretanto, essa representação tem uma desvantagem importante: não pode ser
usada para aproximar sinais não estacionários
1
.
A representação de Fourier somente nos fornece o conteúdo espectral
2
sem a indicação sobre
a localização no tempo desses componentes espectrais. Então, para fazer uma análise de um
sinal não-estacionário cujo conteúdo espectral muda no tempo, será necessária uma represen-
tação em Tempo-Frequência. Assim começaram as modificações na transformada de Fourier
para permitir a análise de sinais não periódicos.
A primeira modificação na transformada de Fourier para a análise de sinais não-estacionários
foi a transformada de Fourier em intervalos pequenos de tempo (Short Time Fourier Transform
- STFT) cuja idéia era segmentar o sinal em intervalos de tempo (janelas) e então executar a
análise em cada segmento. Depois da transformada ser computada em todas as janelas do seg-
mento do sinal a STFT fornece uma representação de tempo freqüência. Dennis Gabor foi o
primeiro a modificar a transformada de Fourier tradicional em STFT em 1946 [13].
Muitas transformadas foram desenvolvidas entre os últimos anos da década de 1940 e os pri-
meiros anos da década de 1970, cada qual diferindo apenas na seleção dessa função janela que
particiona os sinais. Entretanto, essas transformadas possuíam uma desvantagem importante,
1
As funções que apresentam suas propriedades estatísticas variantes no tempo são ditas não estacionárias.
2
Representação de um sinal (função) no domínio da freqüência.
14
todas elas usavam a mesmo tamanho da janela para análise do sinal inteiro. E foi esse motivo
que fez com que ao final dos anos 70 Morlet [15] , tivesse a idéia de usar diferentes funções
janelas para analisar diferentes bandas de freqüência. Além disso, todas as janelas eram gera-
das por dilatação ou contração de um protótipo de uma função gaussiana. Devido à natureza
destas funções janelas (pequenas e oscilantes), Morlet nomeou sua função base de Wavelets
3
.
Desde então as pesquisas em wavelets cresceram exponencialmente e são usadas em diferentes
campos da pesquisa aplicada tais como astronomia, acústica, engenharia nuclear, codificação
em sub-bandas, neurofisiologia, música, ressonância magnética, reconhecimento de voz, ótica,
fractais, turbulência, previsão de terremoto, radar, visão humana, equações diferenciais parci-
ais, processamento de sinais e imagem [14, 22, 17, 27].
Wavelets são funções de energia
4
finita com propriedades de localização que podem ser usa-
das com muita eficiência para representar sinais de pequena duração no domínio do tempo, ou
seja, sinais breves. A eficiência significa que às vezes somente um número finito de coeficientes
é necessário para representar um sinal complexo. Em contraste com as funções senoidais de
extensão infinita (ondas longas), as wavelets ψ(x) são ondas breves (curtas) cuja área sob seu
gráfico é zero, isto é,
+∞
−∞
ψ(x)dx = 0. No domínio do espectro, esta propriedade é equivalente
a
ˆ
ψ(0) = 0
5
, ou seja, o espectro da wavelet tem um valor de zero em u = 0 [4].
Pode-se verificar, para qualquer wavelet e seu espectro, que a energia da wavelet é concen-
trada em certa região de ambos os eixos de tempo e de freqüência (ou tempo e escala). Esta
propriedade de localização é uma importante caracterização das wavelets. Se a wavelet é mais
localizada (isto é, a energia da wavelet é concentrada numa pequena região), ela fornece uma
melhor representação do sinal no plano tempo-freqüência (ou tempo-escala) [4].
Para a análise de Fourier, toda função periódica de período 2π, quadrática integrável, ou seja,
definida no espaço L
2
(0, 2π), é produzida por uma superposição de funções exponenciais com-
plexas, w
n
(x) = e
inx
, n = 0, ±1, . . ., obtidas por dilatações da função w(x) = e
ix
: w
n
(x) =
w(nx). O objetivo é estender essa idéia para o espaço L
2
(R), ou seja, gerar esse espaço a partir
de uma única função , por exemplo. Isto é obtido por dilatações (ou contrações) e translações
de uma determinada wavelet ψ(x) [28]:
ψ
a,b
(x) =
1
√
a
ψ(
x − b
a
), a, b ∈ R, a = 0. (1.1)
Sendo que o parâmetro a corresponde à escala e deve obedecer à condição de a > 0 enquanto b
é o parâmetro de translação.
Na Figura 1 (veja abaixo) mostra-se um exemplo de uma wavelet-mãe e duas de suas di-
3
O termo original provém do Francês “ondelette”, portado para o inglês como “wavelet”.
4
A energia de uma função é igual a
1
2
2π
0
|f(x)|
2
dx.
5
ˆ
ψ é a transformada de Fourier da funcão ψ
15
latações. A wavelet da Figura 1 é uma wavelet de Morlet, cuja primitiva é a função ψ(t) =
e
−αt
2
e
jwt
.
Figura 1: Exemplo de uma wavelet de Morlet e duas de suas dilatações.
1.2 Transformada Wavelet Contínua
A Transformada Wavelet Contínua (TWC) de um sinal f(x) é uma transformada linear
definida [15] pela integral:
W
ψ
[f](a, b) =
∞
−∞
f(x)
ψ
ab
(x)dx
=
1
√
a
∞
−∞
f(x)
ψ(
x − b
a
)dx (1.2)
= f(x), ψ
ab
(x)
sendo que b ∈ R representa o parâmetro de translação, enquanto a > 0 define o parâmetro
de escala da transformada wavelet. Além disso,
ψ é o complexo conjugado da wavelet ψ . A
última expressão em (1.2) representa o produto interno das duas funções, definido no espaço
L
2
(R) por
f, h =
∞
−∞
f(x)
h(x)dx. (1.3)
A Transformada Wavelet Contínua , assim como a Transformada de Fourier, é inversível.
Com isso, a recuperação da função original f (x) é possível. Dado W
ψ
[f](a, b), f(x) pode ser
obtida usando a transformada wavelet contínua inversa [11]
f(x) =
1
C
ψ
∞
0
∞
−∞
W
ψ
[f](a, b)
ψ
ab
(x)
a
2
dbda (1.4)
sendo que C
ψ
é uma constante dada pela integral
C
ψ
=
∞
−∞
ˆ
ψ(u)
2
|u|
du. (1.5)
16
As equações (1.4) e (1.5) definem uma transformada inversa, contanto que o critério de
admissibilidade C
ψ
< ∞ seja satisfeito.
Conforme as propriedades da transformada wavelet, a função de base ψ deve satisfazer as
condições que são [28]:
1.
∞
−∞
ψ(x)dx = 0 (admissibilidade).
2.
∞
−∞
|ψ(x)|dx < ∞.
3.
∞
−∞
|
ˆ
ψ(u)
|
2
|u|
du < ∞.Uma condição necessária para (3) valer é que
ˆ
ψ(0) = 0, que é
equivalente a (1).
4. Os primeiros r −1 momentos de ψ anulam-se, isto é,
∞
−∞
x
j
ψ(x)dx = 0, j = 0, 1, . . . , r −1,
para algum r ≥ 1 e
∞
−∞
|x
r
ψ(x)|dx < ∞.
1.3 Transformada Wavelet Discreta
Na prática, para obter algoritmos eficientes para determinar a transformada de uma funçãof
e reconstruir f a partir dos coeficientes da transformada, devemos realizar uma amostragem dos
parâmetros de escala a e de translação b a valores discretos, ou seja, calcular
j,k∈Z
W
ψ
[f](a, b)
apenas numa rede discreta do plano tempo-escala, essa representação mais compacta pode ser
encontrada na Transformada Wavelet Discreta (DWT) onde só os coeficientes da wavelet são
exigidos para a reconstrução de f. Basta fazer [40]
a = a
−j
0
e b = kb
0
a
−j
0
(1.6)
onde
a
0
> 1
b
0
= 0
j, k ∈ Z
(1.7)
a
0
é uma de escala de referência arbitrária, b
0
é uma de posiçãono tempo de referência arbitrária,
e j e k são novas variáveis de escalomento e deslocamentos, respectivamente. Escolhendo
17
a
0
= 2 e b
0
= 1 nos conduz para a Transformada Wavelet Discreta , onde
a = 2
−j
e b = k2
−j
(1.8)
e a função base wavelet ψ
ab
(x) se torna
ψ
jk
(x) = 2
j/2
ψ(2
j
x − k) (1.9)
A Transformada Wavelet Discreta e sua inversa podem então, ser definidas respectivamente,
como
W (j, k) =
∞
−∞
ψ
jk
f(x)dx = f(x), ψ
jk
(1.10)
para j, k ∈ Z, e
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
W (j, k)ψ
jk
, (1.11)
onde a operação ·, · em (1.10) representa o produto interno entre duas funções. As funções
bases ψ
jk
na equação (1.9) agora fornecem uma base ortonormal que não é redundante [40]. Po-
rém a equação (1.11) ainda requer um número infinito de termos para descrever f , Tornando-se
um pouco impraticável, precisamos reduzir a representação de domínio wavelet para um nú-
mero finito de termos. Isto pode ser feito definindo uma nova família de funções base chamada
funções de escalonamento, ϕ
jk
(x), que são derivadas, como as wavelets, de uma única função
mãe de escalonamento, ϕ(x), de acordo com
ϕ
jk
(x) = 2
j/2
ϕ(2
j
x − k). (1.12)
A função de escalonamento representa uma base complementar para as funções bases
wavelet, tal que
k
a(l, k)ϕ
lk
(x) =
k
l−1
j=−∞
b(jk)ψ
jk
(x) (1.13)
onde
a(l, k) = ϕ
lk
, f(x). (1.14)
A equação (1.13) indica que sinal de detalhes representados por wavelets na escala −∞ < j < l
pode ser representado por funções de escalonamento num nível j = l. Isto significa que as
funções de escalonamento num nível l fornecem uma base ‘complementar’ para as funcões
base wavelet num nível l, cobrindo juntas todas as escalas para −∞ < j < l. Como veremos
adiante, isto conduz naturalmente à idéia de análise de multiresolução.
18
1.4 A Base Wavelet de Haar
A base de Haar
6
é conhecida desde 1910 [11]. Considere a base de Haar em R e descre-
veremos algumas de suas propriedades que serão utéis para a construção de conjuntos wavelets
mais gerais. Seja L
2
(R) o espaço das funções complexas
7
f sobre R em que sua norma em L
2
seja finita, isto é:
f
2
=
+∞
−∞
|f(x)|
2
dx
1/2
< ∞.
Este espaço está dotado com o produto escalar
f, g =
+∞
−∞
f(x)
g(x)dx.
Onde g(x) denota o conjugado complexo de g(x). Dizemos que f, g ∈ L
2
(R) são ortogonais
entre si se f, g = 0 ( Neste caso escreveremos f ⊥ g).
Um conjunto de funções {ϕ
k
, k ∈ Z}, ϕ
k
∈ L
2
(R), é chamado de ortonormal se
+∞
−∞
ϕ
k
ϕ
j
dx = δ
jk
,
onde δ
jk
é o delta de Kronecker. Um conjunto ortonormal{ϕ
k
, k ∈ Z} é chamado de base
ortonormal de um subespaço V de L
2
(R) se toda função f ∈ V tem uma representação
f(x) =
k
c
k
ϕ
k
(x),
onde os coeficientes c
k
satisfazem
k
|c
k
|
2
< ∞ [17].
Considere o seguinte subespaço V
0
de L
2
(R):
V
0
= {f ∈ L
2
(R) : f ´e constante em (k, k + 1] , k ∈ Z}.
Portanto,
f ∈ V
0
⇐⇒ f(x) =
k
c
k
ϕ(x − k),
pois
k
|c
k
|
2
< ∞, a série converge em L
2
(R) e
ϕ(x) = I {x ∈ (0, 1]} =
1, x ∈ (0, 1],
0, x /∈ (0, 1].
(1.15)
Denotaremos
ϕ
0k
(x) = ϕ(x − k), k ∈ Z.
6
Base ortonormal gerada por dilatações e translações de uma função protótipo, construída por Alfred Haar [16]
7
Podemos pensar no caso particular em que L
2
(R) é o espaço das funções reais, sem mudança de notação.
19
Figura 2: Gráfico da função de escalonamento de Haar ϕ(x)
Observação 1.1 O conjunto {ϕ
0k
} é uma base ortonormal em V
0
.
Agora definimos um novo espaço linear de L
2
(R) como
V
1
= {h(x) = f(2x) : f ∈ V
0
}.
O espaço V
1
contém todas as funções em L
2
(R) que são constantes sobre os intervalos da forma
k
2
,
k+1
2
, k ∈ Z.
Obviamente V
0
⊂ V
1
, é uma base ortonormal em V
1
dado pelo conjunto de funções { ϕ
1k
},
onde
ϕ
1k
=
√
2ϕ(2x − k), k ∈ Z.
Podemos iterar este processo e definir, em geral, o espaço
V
j
= { h(x) = f(2
j
x) : f ∈ V
0
}.
Então V
j
é um subespaço linear de L
2
(R) com a base ortonormal
ϕ
jk
= 2
j/2
ϕ(2
j
x − k), k ∈ Z.
e
V
0
⊂ V
1
⊂ V
2
. . . V
j
⊂ V
j+1
⊂ . . .
Da mesma maneira definimos os espaços V
j
para j < 0, j ∈ Z, e temos as inclusões
. . . V
−1
⊂ V
0
⊂ V
1
. . .
Continuando este processo infinitamente , aproximamos para todo espaço L
2
(R).
Proposição 1.4.1 ∪
∞
j=0
V
j
(e consequentemente ∪
∞
j=−∞
V
j
) é densa em L
2
(R).
A prova segue imediatamente do fato que toda f ∈ L
2
(R) pode ser aproximada por funções
constantes por partes
˜
f ∈ L
2
(R) da forma
m
˜c
m
I {x ∈ A
m
} onde A
m
são intervalos, e cada
I {x ∈ A
m
} pode ser aproximada por somas de funções indicadoras de intervalos da forma
k
2
j
,
k+1
2
j
. Em outras palavras, o gerador linear do conjunto de funções {{ϕ
0k
}, {ϕ
1k
}, . . .}
20
é denso em L
2
(R). È possível verificar que este conjunto não é uma base em L
2
(R). Mas
podemos transformá-lo numa base por meio da ortogonalização. A questão agora é como
ortogonalizá-lo?
Denotaremos W
0
como o complemento ortogonal de V
0
em V
1
:
W
0
= V
1
⊖ V
0
.
(Em outros termos V
1
= V
0
⊕ W
0
. Isto significa que todo v
1
∈ V
1
pode ser representado com
v
1
= v
0
+ w
0
,v
0
∈ V
0
, w
0
∈ W
0
, onde v
0
⊥ w
0
. Como podemos descrever o espaço W
0
?
Mostraremos que W
0
é um subspaco linear de L
2
(R) gerado por um certa base ortonormal.
Responderemos a pergunta escolhendo a seguinte função
ψ(x) =
1, x ∈ (0,
1
2
],
−1, x /∈ (
1
2
, 1].
(1.16)
Figura 3: Gráfico da wavelet de Haar ψ(x)
Proposição 1.4.2 O conjunto {ψ
0k
} onde
ψ
0k
(x) = ψ(x −k), k ∈ Z,
é uma base ortonormal em W
0
. Em outras palavras, W
0
é subespaço linear de L
2
(R) que é
composto de funções da forma
f(x) =
k
c
k
ψ(x − k)
onde
k
|c
k
|
2
< ∞, e a série converge em L
2
(R).
Prova Basta verificar os seguintes fatos:
(i) {ψ
0k
} é um conjunto ortonormal. Isto é óbvio, já que {ψ
0k
} e {ψ
0l
} não se sobrepõem para
k = l, e ψ
0k
2
= 1 .
21
(ii) {ψ
0k
} é ortogonal a V
0
, isto é
ψ
0k
, ϕ
0l
=
ψ
0k
(x)ϕ
0l
(x)dx = 0, ∀l, k.
Se l = k isto é trivial ( suporte de ψ
0k
e ϕ
0l
não se entrelaçam). Se l = k segue da
definição de ψ
0k
e ϕ
0l
:
ψ
0k
(x)ϕ
0l
(x)dx =
1
0
ψ(x)ϕ(x)dx =
1
0
ψ(x)dx = 0.
(iii) Toda f ∈ V
1
possui uma única representação em termos do conjunto
{{ϕ
0k
}, {ψ
0k
}, k ∈ Z}.
Seja f ∈ V
1
. Então
f(x) =
k
c
k
ϕ
1k
(x),
k
|c
k
|
2
< ∞.
Esta representação é única já que {ϕ
1k
} é uma base ortonormal em V
1
, deste modo é
suficiente provar que ϕ
1k
é uma combinação linear de ϕ
0k
e ψ
0k
para cada k. É suficiente
considerar o caso onde k = 0 e k = 1. Facilmente se mostra que :
ϕ
10
=
√
2ϕ(2x) =
√
2I
x ∈ (0,
1
2
]
=
√
2
2
I {ϕ
00
(x) + ψ
00
(x)} =
1
√
2
I {ϕ
00
(x) + ψ
00
(x)}
Analogamente mostra-se que ϕ
11
=
√
2ϕ(2x) =
1
√
2
I {ϕ
00
(x) − ψ
00
(x)}.
Temos que V
1
= V
0
⊕ W
0
. Pode estender esta construção a todo V j, tomando
V
j+1
= V
j
⊕ W
j
onde W
j
= V
j+1
⊖ V
j
é o complemento ortogonal de V
j
em V
j+1
. Em particular o conjunto
{ψ
jk
, k ∈ Z}, onde ψ
jk
(x) = 2
j/2
ψ(2
j
x − k) é uma base ortonormal em W
j
. Formalmente
podemos escrever isto como :
V
j+1
= V
j
⊕ W
j
= V
j−1
⊕ W
j−1
⊕ W
j
= . . . = V
0
⊕ W
0
⊕ W
1
. . . ⊕ W
j
= V
0
⊕
j
l=0
W
l
.
Sabemos que ∪
j
V
j
é denso em L
2
(R), ou em outros termos,
∪
j
V
j
= L
2
(R).
22
Usando a soma da decomposição ortogonal de V
j
, temos também
L
2
(R) = V
0
⊕
∞
j=0
W
j
.
Daí concluímos que toda f ∈ L
2
(R) pode ser representada como uma série (convergente em
L
2
(R)) da forma :
f(x) =
k
a
0k
ϕ
0k
(x) +
∞
j=0
k
b
jk
ψ
jk
(x) (1.17)
onde a
0k
e b
jk
são os coeficientes desta expansão. Por simplicidade usaremos freqüentemente a
notação a
k
em vez de a
0k
.
Corolário 1.4.1 O conjunto de funções
{{ϕ
0k
}, {ψ
0k
}, k ∈ Z, j = 0, 1, 2, . . .}
é uma base ortonormal em L
2
(R).
Observação 1.2 A expansão (1.17) tem a propriedade de localização no tempo e freqüência.
De fato, a soma em k corresponde à localização no tempo ( deslocamentos de ϕ
j0
(x) e ψ
j0
(x)).
Por outro lado, a soma em j corresponde à localização no domínio da freqüência [4].
Na realidade,(1.17) representa um exemplo especial de expansão wavelet que corresponde
à nossa escolha especial de ϕ e ψ , dado por (1.15) e (1.16). Pode-se supor que exista outras
escolhas de ϕ e ψ que fornecem tal expansão[10]. Isto será discutido depois. A função ϕ é
chamada wavelet pai, ψ é wavelet mãe ( ϕ
0k
e ψ
jk
são as “filhas”).
1.5 Análise de Multiresolução
O sistema de Haar não é muito conveniente para aproximação de funções lisas. Na re-
alidade, qualquer aproximação de Haar é uma função descontínua. Pode-se mostrar que até
mesmo se a função f é muito lisa, os coeficientes de Haar ainda diminuem lentamente [38]. Por
essa razão tem-se objetivado construir wavelets que tenham melhores propriedades de aproxi-
mação [10].
Seja ϕ alguma função de L
2
(R), tal que a família de translações de ϕ, isto é {ϕ
0k
, k ∈ Z} =
{ϕ(. − k), k ∈ Z} é um conjunto ortonormal. Fazendo
ψ
jk
(x) = 2
j/2
ψ(2
j
x − k).
23
Definindo os espaços lineares
V
0
= {f(x) =
k
c
k
ϕ(x − k) :
k
|c
k
|
2
< ∞},
V
1
= {h(x) = f(2x) : f ∈ V
0
: f ∈ V
0
},
.
.
.
V
j
=
h(x) = f(2
j
x) : f ∈ V
0
: f ∈ V
0
, j ∈ Z.
Dizemos que ϕ gera a sequência dos espaços {V
j
: j ∈ Z}. suponhamos que a função ϕ é
escolhida de tal forma que os espaços estão aninhados:
V
j
⊂ V
j+1
, j ∈ Z, (1.18)
e que
j≥0
V
j
é densa em L
2
(R) (1.19)
Provamos na seção anterior que (1.18) e (1.19) são satisfeitas pela base de Haar.
Definição 1.5.1 Seja ϕ
0k
um conjunto ortonormalem L
2
(R). A sequência dosespaços {V
j
: j ∈ Z},
gerados por ϕ é chamada de Análise de Multiresolução de L
2
(R) se satisfizer as condições
(1.18) e (1.19).
A noção de análise de multiresolução foi introduzida por Mallat [21] e Meyer [26, 27] nos
anos 1988-89.
Definição 1.5.2 Se {V
j
, j ∈ Z} , é uma análise de multiresolução de L
2
(R), dizemos que a
função ϕ gera uma análise de multiresolução de L
2
(R), e chamamos ϕ de wavelet pai.
suponhamos que {V
j
, j ∈ Z} é uma análise de multiresolução. Definimos
W
j
= V
j+1
⊖ V
j
, j ∈ Z.
Então, como no caso de Haar, temos
V
j
= V
0
⊕
j
l=0
W
l
,
como (1.18) acontece. Iterando isto infinitas vezes, encontramos
∞
j=0
V
j
= V
0
⊕
∞
j=0
W
j
. (1.20)
24
Por (1.19) e (1.20) obtemos
L
2
(R) = V
0
⊕
∞
j=0
W
j
.
Isto significa que toda f ∈ L
2
(R) pode ser representada como uma série (convergente em
L
2
(R)) da forma :
f(x) =
k
a
k
ϕ
0k
(x) +
∞
j=0
k
b
jk
ψ
jk
(x) (1.21)
onde α
0k
e ψ
jk
são os coeficientes e {ψ
jk
}, k ∈ Z é uma base para W
j
. Note que há uma dife-
rença entre (1.17) e (1.21) :
em (1.17), ψ
jk
(x) = 2
j/2
ψ(2
j
x − k), onde ψ é definido por (1.16),
em (1.21), {ψ
jk
(x)} é uma base geral para W
j
.
A relação (1.21) é chamada de expansão em multiresolução de f .Voltando a (1.21) na ex-
pansão wavelet precisamos justificar o uso de
ψ
jk
(x) = 2
j/2
ψ(2
j
x − k)
em (1.21), isto é a existência de uma tal função ψ chamada wavelet mãe.
O espaço W
j
é chamado nível de resolução da análise de multiresolução. Na Análise de
Fourier temos só um nível de resolução. Em análise de multiresolução há muitos níveis de
resolução que é a origem de seu nome [11].
Em seguinte, sem abuso de notação, escreveremos freqüentemente “resolução no nível j ” ou
simplesmente “nível j”.
Algumas vezes na literatura define-se análise de multiresolução de L
2
como um aninhamento
de subespaços de L
2
. . . ⊂ V
−1
⊂ V
0
⊂ V
1
⊂ . . .
que satisfaz as seguintes condições.
1. ∩
j∈Z
V
j
= {0},
2.
∪
j∈Z
V
j
= L
2
,
3. f(·) ∈ V
j
se somente se f(2·) ∈ V
j+1
, e
4. existe uma função ϕ ∈ V
0
tal que {ϕ(x − n)}
n∈Z
é uma base incondicional
8
de V
0
, isto
é {φ(x − n)}
n∈Z
é uma base de V
0
, e existe duas constantes A, B > 0 tal que, para todo
8
Esta é uma condição mais fraca do que exigir que {ϕ(x − n)} seja uma base ortonormal em V
0
25
(c
n
) ∈ l
2
, temos as seguintes inequações:
A
|c
n
|
2
≤
c
n
ϕ(· − n)
2
≤ B
|c
n
|
2
. (1.22)
Na literatura, uma base incondicional é chamada também uma base de Riesz e a condição
(1.22) é chamada condição estável, e uma função ϕ satisfazendo (1.22) é chamada função está-
vel [8].
1.6 Construção de um Sistema Wavelet
A estrutura geral da construção de um sistema wavelet possui as seguintes etapas [10]:
1. Escolher uma função ϕ (wavelet pai) tal que {ϕ
0k
} seja um conjunto ortonormal e (1.18)
, (1.19) sejam satisfeitas, isto é ϕ gere uma análise de multiresolução de L
2
(R).
2. Encontrar uma função ψ ∈ W
0
tal que {ψ
0k
, k ∈ Z} = {ψ(· − k), k ∈ Z}, seja uma
base ortonormal em W
0
. Esta função é chamada wavelet mãe. Então , consequentemente ,
{ψ
jk
, k ∈ Z} é uma base ortonormal em W
j
. Note que o wavelet mãe sempre é ortogonal
a wavelet pai.
3. Concluir que qualquer f ∈ L
2
(R) tem representação única em termos de séries conver-
gentes em L
2
:
f(x) =
k
a
k
ϕ
0k
(x) +
∞
j=0
k
b
jk
ψ
jk
(x), (1.23)
onde os coeficientes wavelet são
a
k
=
f(x)
ϕ
0k
(x)dx, b
jk
=
f(x)ψ
jk
(x)dx.
a relação (1.23) é chamada expansão wavelet não homogênea. Também pode-se conside-
rar a expansão wavelet homogênea
f(x) =
∞
−∞
k
b
jk
ψ
jk
(x),
onde o espaço referência V
0
é eliminado . Os coeficientes a
k
resumem a forma geral da
função e os b
jk
representam a inovação dessa forma geral , os detalhes locais. Por isso
que os b
jk
são chamados freqüentemente de coeficientes de detalhe.
O fato da expansão (1.23) começar do espaço V
0
é somente uma convenção. Podemos tam-
bém escolher V
j
0
para algum j
0
∈ Z no lugar de V
0
. Então a expansão wavelet não homogênea
26
é da forma [4]
f(x) =
k
a
j
0
ϕ
j
0
k
(x) +
∞
j=j
0
k
b
jk
ψ
jk
(x)
onde
a
jk
=
f(x)
ϕ
jk
(x)dx
Uma consequência imediata da expansão wavelet é que a projeção ortogonal P
V
j+1
de f
sobre V
j+1
é da forma
P
V
j+1
=
k
a
j+1,k
ϕ
j+1,k
(x) =
k
a
jk
ϕ
jk
(x) +
k
b
jk
ψ
jk
(x). (1.24)
27
2 Análise de Fourier e Teoria Wavelet
2.1 Análise de Fourier
Nesta pequena secção resumimos os fatos clássicos de análise de Fourier que usaremos nos
próximos capítulos. Omitimos algumas provas . Elas podem ser encontradas em livros, como
por exemplo [17], [22] e [36].
Assumimos que f ∈ L
1
(R), onde f ∈ L
1
(R) é o espaço da funções em R, tal que
+∞
−∞
|f(x)|dx < ∞ . A Transformada de Fourier de f é
F[f](ξ) =
ˆ
f(ξ) =
+∞
−∞
e
−ıxξ
f(x)dx. (2.1)
A função
ˆ
f é contínua e tende a zero quando |ξ| → ∞ (Lema Riemann - Lebesgue ). Se
ˆ
f(ξ) também é absolutamente integrável, lá existe um versão contínua de f e podemos definir
a transformada inversa de Fourier
F
−1
[
ˆ
f(x)] =
1
2π
+∞
−∞
e
ıxξ
ˆ
f(ξ)dξ, (2.2)
e
f(x) =
1
2π
+∞
−∞
e
ıxξ
ˆ
f(ξ)dξ = F
−1
[
ˆ
f(x)] (2.3)
em quase todo ponto x. Daí asseguramos que f é idêntica a suas versões contínuas, sempre que
ˆ
f(ξ) for absolutamente integrável. Assim, em particular, as últimas igualdades valem para todo
x.
Recorde as seguintes propriedades da transformada de Fourier que são bem conhecidas.
Fórmulas de Plancherel. Sef ∈ L
1
(R) ∩ L
2
(R), então
f
2
2
=
1
2π
−∞
+∞
ˆ
f(ξ)
2
dξ, (2.4)
f, g =
1
2π
−∞
+∞
ˆ
f(ξ)
ˆg(ξ)dξ. (2.5)
28
Através de extensão, a transformada de Fourier pode ser definida para qualquer f ∈ L
2
(R). De
fato, o espaço L
1
(R) ∩ L
2
(R) é denso em L
2
(R). Conseqüentemente, através de isometria (até
o fator
1
2π
) definimos F[f ] para qualquer f ∈ L
2
(R), e que (2.4) e (2.5) permaneça verdadeiro
para qualquer f, g ∈ L
2
(R)[17].
Transformada de Fourier de uma função transladada e uma função dilatada .
F[f(x − k)](ξ) =
e
−ıxξ
f(x − k)dx = e
−ıxξ
ˆ
f(ξ). (2.6)
∀a > 0 : F[f(ax)](ξ) =
e
−ıxξ
f(ax)dx =
1
a
ˆ
f(
ξ
a
). (2.7)
Convolução.
Escrevemos h = f ∗ g para a convolução
h(x) =
f(x − t)g(t)dt, (2.8)
definida para todo par de funções f e g tal que o lado direito desta fórmula exista quase sempre.
É bem conhecido no domínio da freqüência que temos
ˆ
h(ξ) =
ˆ
f(ξ)ˆg(ξ), se todas as transfor-
madas de Fourier nesta fórmula existirem.
Seja
f(x) =
f(−x). Então
F[f ∗
f] =
ˆ
f(ξ)
2
. (2.9)
Derivação.
Se f é tal que
|x|
N
dx < ∞, para algum inteiro N ≥ 1, então
d
N
dξ
N
ˆ
f(ξ) =
f(t)(−ıt)
N
e
−ıtξ
dt. (2.10)
Reciprocamente, se
|ξ|
N
ˆ
f(ξ)dξ < ∞, então
(ıξ)
N
ˆ
f(ξ) = F[f
N
](ξ). (2.11)
Além disso, temos o seguinte lema.
Lema 2.1.1 Se
ˆ
f
(j)
(ξ) é absolutamente integrável para j = 0, . . . , N, então
|x|
N
|f(x)| → 0, quando |x| → ∞. (2.12)
Séries de Fourier.
Seja f uma função periódica de período
1
2π sobre R. Escreveremos por brevidade f ∈
1
A partir de agora quando for dito “função periódica de período 2π” diremos somente função de período 2π
29
L
p
(0, 2π) se o produto de f pela função indicadora
f(x)I{x ∈ [0, 2π]} ∈ L
p
(0, 2π), p ≥ 1.
Toda função f de período 2π sobre R pode ser representada por séries de Fourier convergentes
em L
2
(0, 2π) :
f(x) =
k
c
k
e
ıkx
,
onde os coeficientes de Fourier são dados por
c
k
=
2π
0
f(x)e
−ıkx
dx.
Também, pela periodicidade, isto é verdade para todo x ∈ R.
A fórmula de somatório de Poisson é dada pelo seguinte teorema.
Teorema 2.1.1 Seja f ∈ L
1
(R). Então a série
S(x) =
l
f(x + 2lπ) (2.13)
converge quase sempre e pertence a L
1
(0, 2π). Além do mais os coeficientes de Fourier de S(x)
são dados por
c
k
=
1
2π
ˆ
f(k) = F
−1
[f](−k). (2.14)
Prova: Para a primeira parte basta provar que
2π
0
|f(x + 2lπ)|dx < ∞ .
Isto segue da igualdade com o termo com
+∞
−∞
|f(x)|dx, pois
2π
0
|S(x)|dx ≤
∞
l=−∞
2π
0
|f(x + 2lπ)|dx (2.15)
=
∞
l=−∞
2π(l+1)
2πl
|f(x)|dx =
+∞
−∞
|f(x)|dx. (2.16)
Para a segunda parte temos que calcular os coeficiente de Fourier
1
2π
2π
0
l
f(x + 2lπ)
e
−ıkx
dx.
Trocando o somatório e as variáveis de integração chegamos a
l
1
2π
2π
0
f(x + 2lπ)e
−ıkx
dx
30
=
l
1
2π
2π(l+1)
2πl
f(x + 2lπ)e
−ıkx
dx
=
1
2π
∞
−∞
f(x)e
−ıkx
dx =
1
2π
ˆ
f(k).
Observação 2.1 Uma condição necessária e suficiente para S em (2.13) ser igual a 1 quase
sempre
2
é que [41] F
−1
[f](0) = 1 e F
−1
[f](k) = 0, k ∈ Z − {0}.
Mais geralmente, se f ∈ L
1
(R) e T > 0, então
l
f(x + lT ) é convergente quase sempre e
define uma função T periódica cujos coeficientes de Fourier são dados por
1
T
T
0
l
f(x + lT )exp(−ıxk
2π
T
)dx =
1
T
ˆ
f(
2π
T
k). (2.17)
2.2 Relações Básicas da Teoria Wavelet
2.2.1 Quando temos uma expansão wavelet?
Formularemos as exatas condições nas funções ϕ e ψ que garantem que a expansão wavelet
(1.23) aconteça. Esta formulação está conectada com as seguintes perguntas .
Questão 1 Como podemos verificar que {ϕ
0k
}é um sistema ortonormal
3
?
Questão 2 Quais as condições suficientes para que V
j
⊂ V
j+1
aconteça ?
Questão 3 Quais são as condições para que (1.19) aconteça, i.e. quando ∪
j
V
j
é densa em
L
2
(R)?
Questão 4 Como podemos encontrar uma função ψ ∈ W
0
tal que{ψ
0k
, k ∈ Z} seja um sistema
ortonormal em W
0
?
Estas perguntas serão respondidas no decorrer deste capítulo. Uma resposta para Questão 1
é dada pelo seguinte lema.
Lema 2.2.1 Seja ϕ ∈ L
2
(R). O sistema de funções {ϕ
0k
, k ∈ Z} é um sistema ortonormal se
somente se
k
|ˆϕ(ξ + 2πk)|
2
= 1 (q.s). (2.18)
Prova Denote q = ϕ ∗ ˜ϕ onde ˜ϕ(x) =
ϕ(−x). Por (2.9),
k
|ˆϕ(ξ + 2πk)|
2
=
k
ˆq(ξ + 2πk).
2
Dizemos que certa propriedade vale quase sempre (denotaremos a partir de agora (q.s.)) se esta propriedade é
válida exceto em um conjunto de medida nula.
3
Um sistema de funções {ϕ
k
, k ∈ Z}, ϕ
k
∈ L
2
(R),é chamado de ortonormal se
+∞
−∞
ϕ
k
ϕ
j
dx = δ
jk
.
31
Como ˆq = |ˆϕ|
2
∈ L
1
(R), o Teorema 2.1.1 mostra que esta série converge quase sempre, e seus
coeficientes de Fourier são c
k
= F
−1
[ˆq](−k) = q(−k). A condição de ortonormalidade nos diz
que
ϕ(x − k)
ϕ(x − l)dx = δ
kl
, onde δ
kl
=
1 se k = l,
0 se k = l,
ou equivalentemente
ϕ(x)
ϕ(x − k)dx = δ
0k
. Isto dá
q(x) =
˜ϕ(x − k)ϕ(x)dx =
ϕ(x)
ϕ(x − k)dx = δ
0k
.
Usando a expansão de Fourier e a obsevação 2.1 , temos
k
ˆq(ξ + 2kπ) =
k
c
k
e
ikξ
=
k
q(k)e
−ikξ
=
k
δ
0k
e
−ikξ
= 1 (q.s.).
Vamos considerar agora a Pergunta 2 . Precisamos investigar os espaços V
j
.
Proposição 2.2.1 Os espaços V
j
estão aninhados,
V
j
⊂ V
j+1
, j ∈ Z,
se somente se existe uma função de período 2π m
0
(ξ), m
0
∈ L
2
(0, 2π), tal que
ˆϕ(ξ) = m
0
ξ
2
ˆϕ
ξ
2
(q.s.). (2.19)
Prova É suficiente provar esta proposição para o caso j = 0. Primeiro provaremos que (2.17) é
uma condição necessária. supondo que V
0
⊂ V
1
. Conseqüentemente ϕ ∈ V
1
. O sistema
{
√
2ϕ(2x − k)}
é uma base em V
1
, por definição de V
1
. Portanto, existe uma sequência {h
k
}, tal que
ϕ(x) =
√
2
k
h
k
ϕ(2x − k), (2.20)
h
k
=
√
2
ϕ(x)ϕ(2x − k)dx,
k
|h
k
|
2
< ∞.
Tomando a transformada de ambos os lados de (2.20). Então por (2.6) e (2.7) temos
ˆϕ(ξ) =
1
√
2
k
h
k
e
−iξk/2
ˆϕ
ξ
2
= m
0
ξ
2
ˆϕ
ξ
2
(q.s.),
onde
m
0
(ξ) =
1
√
2
k
h
k
e
−iξk
.
32
Observe que m
0
(ξ) é uma função de período 2π pertencente a L
2
(0, 2π). Voltaremos agora para
o restante da prova . Começamos com o seguinte lema.
Lema 2.2.2 Seja {ϕ
0k
, } um sistema ortonormal. Toda função de período 2 π m
0
satisfazendo
(2.19) tal que m
0
∈ L(0, 2 π), também satisfaz
|m
0
(ξ)|
2
+ |m
0
(ξ + π)|
2
= 1 (q.s). (2.21)
Prova Por (2.19)
|ˆϕ(2ξ + 2πk)|
2
= |m
0
(ξ + πk)|
2
|ˆϕ(ξ + πk)|
2
.
Somando em k e usando o fato que {ϕ
0k
} é um sistema ortonormal e que m
0
é de período 2π e
o Lema 2.2.1 temos que quase sempre
1 =
∞
k=−∞
|m
0
(ξ + πk)|
2
|ˆϕ(ξ + πk)|
2
=
∞
l=−∞
|m
0
(ξ + 2πl)|
2
|ˆϕ(ξ + 2πl)|
2
+
∞
l=−∞
|m
0
(ξ + 2πl + π)|
2
|ˆϕ(ξ + 2πl + π)|
2
=
∞
l=−∞
|ˆϕ(ξ + 2πl)|
2
|m
0
(ξ)|
2
+
∞
l=−∞
|ˆϕ(ξ + 2πl + π)|
2
|m
0
(ξ + π)|
2
= |m
0
(ξ)|
2
+ |m
0
(ξ + π)|
2
.
Uma conseqüência deste lema é que uma tal função m
0
é limitada. Agora terminamos a
prova de Proposição 2.2.1 . Está claro que se denotamos por
ˆ
V
0
(respectivamente
ˆ
V
1
) o conjunto
das funções da transformada de Fourier de V
0
(respectivamente V
1
) temos:
ˆ
V
0
= { m(ξ) ˆϕ(ξ) : m(ξ) é de período ; 2π m ∈ L
2
(0, 2π)},
ˆ
V
1
= { m(ξ/2) ˆϕ(ξ/2) : m(ξ) é de período m ∈ L
2
(0, 2π)},
A condição (2.19) implica que toda função em
ˆ
V
0
possui a forma m(ξ)m
0
(ξ/2) e pertence
a V
1
. De fato m(2ξ)m
0
(ξ) é uma função de período 2π pertencente a L
2
(0, 2π) desde que
m ∈ L
2
(0, 2π), e m
0
é limitada devido ao lema anterior.
Observação 2.2 Sempre é verdade que
j
V
j
= { 0},
onde 0 denota a função zero (veja [8], Teorema 1.1, pág. 12).
33
A resposta para Questão 3. é encontrada em [19] para isto é mostrado que se ϕ é um wavelet
pai, i.e. se (2.18) e (2.19) acontecem, então
j
V
j
é densa em L
2
(R) sempre que ϕ satisfaz a
uma condição moderada de integrabilidade.
A resposta para Questão 4 é determinada no seguinte lema
Lema 2.2.3 Seja ϕ a wavelet pai que gera uma análise de multiresolução de L
2
(R) e seja
m
0
(ξ) uma solução de (2.19). Então a transformada inversa de Fourier ψ de
ˆ
ψ(ξ) = m
1
ξ
2
ˆϕ
ξ
2
, (2.22)
onde m
1
(ξ) = m
0
(ξ + π)e
−iξ
, é uma wavelet mãe.
Observação 2.3 Em outras palavras, o lema nos diz que {ψ
0k
} é uma base ortonormal em W
0
.
Prova Precisamos provar os 3 fatos seguintes .
(i) {ψ
0k
} é um sistema ortonormal, i.e. pelo lema 2.1.1
k
ˆ
ψ(ξ + 2πk)
2
= 1 (q.s).
Mostraremos esta igualdade. Com Lema 2.1.2 e a periodicidade de m
0
obtemos
k
ˆ
ψ(ξ + 2πk)
2
=
k
m
1
ξ
2
+ πk
2
ˆϕ
ξ
2
+ πk
2
=
k
m
0
ξ
2
+ π + πk
2
ˆϕ
ξ
2
+ πk
2
=
∞
l=−∞
m
0
ξ
2
+ π + 2πl + π
2
ˆϕ
ξ
2
+ 2πl + π
2
+
∞
l=−∞
m
0
ξ
2
+ π + 2πl
2
ˆϕ
ξ
2
+ 2πl
2
=
∞
k=−∞
ˆϕ
ξ
2
+ 2πk
2
= 1 (q.s).
(ii) {ψ
0k
} é ortonormal a {ϕ
0k
}, isto é
ψ(x − k)
ϕ(x − l)dx = 0, ∀l, k.
É suficiente mostrar que
ψ(x)
ϕ(x − k)dx = 0, ∀k,
34
ou, equivalentemente
g(k) = ϕ ∗
ψ(k) = 0 ∀k,
onde g = ϕ ∗
ψ,
ψ(x) =
ψ(−x). A transformada de Fourier de g é
ˆg = ˆϕ
˜
ψ = ˆϕ
ˆ
ψ.
Aplicando a fórmula do somatório de Poisson (Teorema 2.1.1) para f = ˆg, temos que
os coeficientes de Fourier da função S(ξ) =
k
ˆg(ξ + 2πk) são F
−1
[ˆg](−k) = g(−k),
k ∈ Z. Deste modo, a condição g(k) = 0, ∀k é equivalente a S(ξ) = 0 (q.s.), ou
k
ˆϕ(ξ + 2πk)
ˆ
ψ(ξ + 2πk) = 0 (q.s.). (2.23)
Resta checar (2.23). Com a nossa definição de
ˆ
ψ , e usando (2.19), temos
k
ˆϕ(ξ + 2πk)
ˆ
ψ(ξ + 2πk)
=
k
ˆϕ
ξ
2
+ πk
m
0
ξ
2
+ πk
ˆϕ
ξ
2
+ πk
m
1
ξ
2
+ πk
=
k
ˆϕ
ξ
2
+ πk
2
m
0
ξ
2
+ πk
m
1
ξ
2
+ πk
= m
0
ξ
2
m
1
ξ
2
+ m
0
ξ
2
+ π
m
1
ξ
2
+ π
.
Assim (2.23) é equivalente a
m
0
(ξ)
m
1
(ξ) + m
0
(ξ + π) m
1
(ξ + π) = 0 (q.s.). (2.24)
Resta notar que (2.24) é verdade, desde que
m
0
(ξ) m
1
(ξ) + m
0
(ξ + π) m
1
(ξ + π) =
m
0
(ξ) e
iξ
m
0
(ξ + π) + m
0
(ξ + π) e
iξ+iπ
m
0
(ξ) = 0.
(iii) Toda f ∈ V
1
possui uma única representação
f(x) =
k
c
k
ϕ(x − k) +
k
c
′
k
ψ(x − k)
onde c
k
e c
′
k
são coeficientes tal que
k
|c
k
|
2
< ∞,
k
|c
′
k
|
2
< ∞ .
35
De fato, toda f ∈ V
1
possui únicarepresentação em termos dabase ortonormal {ϕ
1k
, k ∈ Z}
onde ϕ
1k
=
√
2ϕ(2x − k). No domínio de Fourier pode-se expressar isto como na prova da
Proposição 2.2.1 :
ˆ
f(ξ) = q
ξ
2
ˆϕ
ξ
2
(q.s.) (2.25)
onde
q(ξ) =
1
√
2
k
q
k
e
−iξk
.
Agora (2.19) e (2.22) acarreta
m
0
ξ
2
ˆϕ(ξ) =
m
0
ξ
2
2
ˆϕ
ξ
2
,
m
1
ξ
2
ˆ
ψ(ξ) =
m
1
ξ
2
2
ˆϕ
ξ
2
.
Somando estas duas igualdades temos
ˆϕ
ξ
2
m
0
ξ
2
2
+
m
1
ξ
2
2
=
m
0
ξ
2
ˆϕ(ξ) +
m
1
ξ
2
ˆ
ψ(ξ) (q.s.). (2.26)
Note que
m
1
ξ
2
2
=
m
0
ξ
2
+ π
2
.
Usando isto e Lema 2.2.2, temos de (2.26) que
ˆϕ
ξ
2
=
m
0
ξ
2
ˆϕ(ξ) +
m
1
ξ
2
ˆ
ψ(ξ) (q.s.).
Substituindo isto em (2.25):
ˆ
f(ξ) = q
ξ
2
m
0
ξ
2
ˆϕ(ξ) + q
ξ
2
m
1
ξ
2
ˆ
ψ(ξ) (q.s.).
Passando para o domínio de tempo, deduzimos que f possui única representação em termos de
{ϕ
0k
} e {ψ
0k
}.
Observação 2.4 A afirmação do Lema 2.2.3 é verdadeira se escolhermos m
1
numa forma mais
geral
m
1
(ξ) = θ(ξ)
m
0
(ξ + π)e
−iξ
,
onde θ(ξ) é uma função de período π arbitrária tal que |θ(ξ)| = 1 [17].
36
2.2.2 Como construir Wavelets mães a partir da wavelet pai
Chega-se a algumas conclusões das respostas para as Perguntas de 1 a 4.
Conclusão 1: Assim que conhecemos a wavelet pai ϕ(x), e conseqüentemente ˆϕ(ξ) , pode-
mos construir uma wavelet mãe imediatamente com ajuda dos Lemas 2.2.2 e 2.2.3. Realmente,
de (2.19) temos m
0
(ξ) = ˆϕ(2ξ)/ ˆϕ(ξ) e, de (2.22) temos,
ˆ
ψ(ξ) =
m
0
ξ
2
+ π
e
−iξ/2
ˆϕ
ξ
2
. (2.27)
A wavelet mãe ψ é encontrada pela transformada inversa de Fourier de
ˆ
ψ.
Conclusão 2: Ainda não está claro como encontrar uma wavelet pai ϕ, mas provamos algu-
mas fórmulas úteis que podem ajudar. Estas fórmulas são
4
k
|ˆϕ(ξ + 2πk)|
2
= 1,
ˆϕ(ξ) = m
0
ξ
2
ˆϕ
ξ
2
,
onde
|m
0
(ξ)|
2
+ |m
0
(ξ + π)|
2
= 1
e m
0
é de período 2π , m
0
∈ L
2
(0, 2π).
Para isto é mostrado em [11] que para todos os exemplos razoáveis de wavelets pai devería-
mos ter |ˆϕ(0)| =
ϕdx
= 1, que resulta imediatamente
m
0
(0) = 1
Acrescentando esta condição às anteriores, obtemos o seguinte conjunto de relações:
k
|ˆϕ(ξ + 2πk)|
2
= 1 , (2.28)
ˆϕ(ξ) = m
0
ξ
2
ˆϕ
ξ
2
, (2.29)
e
|m
0
(ξ)|
2
+ |m
0
(ξ + π)|
2
= 1
m
0
é de período 2π , m
0
∈ L
2
(0, 2π)
m
0
(0) = 1
. (2.30)
As relações (2.27) - (2.30) fornecem um conjunto de condições suficientes para construir
wavelets pai e mãe no domínio de Fourier. Seus análogos no domínio do tempo têm a seguinte
forma (recorde que m
0
(ξ) =
1
√
2
k
h
k
e
−ikξ
).
4
Na seqüência suponhamos que ˆϕ e m
0
são contínuos, de forma que retiraremos (q.s.) em todas as relações.
37
Lema 2.2.4 A wavelet mãe satisfaz
ψ(x) =
√
2
k
λ
k
ϕ(2x − k), (λ
k
) ∈ l
2
(2.31)
onde λ
k
= (−1)
k+1
¯
h
1−k
. Para a wavelet pai
ϕ(x) =
√
2
k
h
k
ϕ(2x − k), (h
k
) ∈ l
2
(2.32)
temos as relações
k
¯
h
k
h
k+2l
= δ
0l
,
1
√
2
k
h
k
= 1 .
(2.33)
Prova Temos
m
0
ξ
2
+ π
=
1
√
2
k
h
k
e
−ik(ξ/2+π)
=
1
√
2
k
¯
h
k
e
ik(ξ/2+π)
=
1
√
2
k
¯
h
k
(−1)
k
e
ikξ/2
.
Conseqüentemente, por (2.27)
ˆ
ψ(ξ) =
√
2
k
¯
h
k
(−1)
k
e
i(k−1)ξ/2
1
2
ˆϕ
ξ
2
=
√
2
k
¯
h
1−k
′
(−1)
k
′
+1
e
−ik
′
ξ/2
1
2
ˆϕ
ξ
2
(k
′
= 1 − k)
=
√
2
k
λ
k
e
−ikξ/2
1
2
ˆϕ
ξ
2
.
Tomando a transformada inversa de Fourier de ambos os lados, chegamos a (2.31).
Provamos a primeira relação agora em (2.33). Ela é a versão no domínio de tempo da igual-
dade (2.21) no Lema 2.2.2. De fato, a igualdade
m
0
(ξ)
m
0
(ξ) + m
0
(ξ + π)m
0
(ξ + π) = 1
é lida como
1 =
1
2
k,k
′
¯
h
k
h
′
k
e
−iξ(k
′
−k)
=
1
2
k,k
′
¯
h
k
h
k
′
e
−iξ(k
′
−k)−i(k
′
−k)π
=
1
2
k,k
′
¯
h
k
h
k
′
e
−iξ(k
′
−k)
1 + e
−i(k
′
−k)π
=
∞
l=−∞
k
¯
h
k
h
k+2l
e
−2iξl
.
38
A segunda relação em (2.33) é direta desde que m
0
(0) = 1
2.2.3 Observações adicionais
Observação 2.5 Em alguns trabalhos sobre wavelets encontramos (2.31) de uma forma dife-
rente , com λ
k
= (−1)
k
¯
h
1−k
, ou com outra definição de λ
k
que pode ser obtida para uma certa
escolha de uma função θ(ξ) (veja Observação 2.4). Isto reflete o fato novamente que a wavelet
mãe não é única, dada uma wavelet pai.
Observação 2.6 De (2.21) deduzimos que |m
0
(π)|
2
= 1 − |m
0
(0)|
2
= 0 . Conseqüentemente
m
0
(π) = 0 (2.34)
o qual, devido a (2.27), temos
ˆ
ψ(0) = 0 (2.35)
Em outras palavras
+∞
−∞
ψ(x)dx = 0 (2.36)
Note que
ϕ(x)dx = 0 , e é sempre possível impor
ϕ(x)dx = 1, basta dividir ϕ por sua
norma.
Observação 2.7 A wavelet mãe ψ(x) pode ser escrita como (2.31), porém usando a relação
h
k
=
√
2a
k
, onde h
k
está definido em (2.20), temos:
ψ(x) =
√
2
k
(−1)
k+1
¯
h
1−k
ϕ(2x − k) (2.37)
= 2
k
(−1)
k
¯a
k
ϕ(2x − 1 + k). (2.38)
39
3 Banco de Filtros
3.1 Banco de Filtros de Duas Bandas Uniformes
O sinal
1
de entrada em uma freqüência ou representação no domínio de tempo-freqüência.
Como o nome sugere, é determinado por um Banco de Filtros que dividem o espectro do sinal
em subbandas de freqüência ou canais e gera séries de tempo-indexadas de coeficientes que
representam a energia do sinal em freqüência localizada dentro de cada banda [30].
Figura 4: Banco de Filtros em 2 canais ; análise e síntese de uma estrutura de Banco de Filtros
Um Banco de Filtro de dois canais uniforme é mostrado na 4. No estágio de análise, o sinal
de entrada x(n) é filtrado pelos filtros passa baixa H
0
(z) e passa alta H
1
(z) e então dizimados
(down sampled) por um fator 2 para produzir subbandas de sinais y
0
e y
1
, respectivamente. No
estágio de síntese as subbandas de sinais y
0
e y
1
são inicialmemte interpolados (up sampled)
por um fator 2 [Apêndice A], e então passado através dos filtros passa baixa G
0
e passa alta G
1
,
respectivamente , finalmente se somam para produzir o sinal reconstruído ˆx(n) [4] .
No domínio Z, as operações de dizimação (down sampling) e interpolação (up sampling)
podem ser expressas como [Apêndice A]
g(n) = (↓ 2)f(n) : G(z) =
1
2
F (z
1/2
) + F (−z
1/2
)
(3.1)
g(n) = (↑ 2)f(n) : G(z) =
F (z
2
)
. (3.2)
Usando as equações (3.1) e (3.2) e relações de entrada e saída do Banco de Filtro na figura 3.1,
1
Os sinais são funções de uma variável contínua neste capítulo um sinal será tratado como uma função de
tempo, representado por uma sequência de números que podem ser amostras do sinal.
40
obtemos
ˆ
X(z) =
1
2
{H
0
(z)G
0
(z) + H
1
(z)G
1
(z)}X( z)
+
1
2
{H
0
(−z)G
0
(z) + H
1
(−z)G
1
(z)}X( −z) (3.3)
onde o primeiro termo representa a amplitude e distorção de fase que resultam das operações de
filtragem e o segundo termo representa o aliasing
2
e distorções de imagem resultado das opera-
ções down sampling e up sampling . O primeiro termo é chamado a função de transferência de
distorção, T(z), e o segundo termo é chamado a função de transferência de aliasing , A(z), i.e.
T (z) =
1
2
{H
0
(z)G
0
(z) + H
1
(z)G
1
(z)}, (3.4)
e
A(z) =
1
2
{H
0
(−z)G
0
(z) + H
1
(−z)G
1
(z)}. (3.5)
Considerando que qualquer distorção causada pelo Banco de Filtro é indesejável, especialmente
erro de aliasing , o desígnio da análise e síntese de filtros gira ao redor das exigências do cance-
lamento do alias (CA) e a reconstrução perfeita (RP)[39]. As condições para CA e PR podem
seja resumidas como segue.
• Cancelamento do Alias: Escolhendo os filtros de síntese como
G
0
(z) = H
1
(−z), (3.6)
G
1
(z) = −H
0
(−z). (3.7)
Então,
A(z) =
1
2
{H
0
(−z)H
1
(−z) −H
1
(−z)H
0
(−z)} = 0. (3.8)
Note que a condição de CA simplifica o desígnio, projetando somente filtros H
0
(z) e
H
1
(z) minimizando a distorção em T (z).
• Reconstrução Perfeita: Para RP precisamos
T (z) = cz
−l
, (3.9)
onde c = constante , l ∈ Z, e
A(z) = 0, (3.10)
2
Aliasing corresponde ás freqüências ’fantasmas‘ que surgem em um sinal digitalizado, quando o correspon-
dente analógico é amostrado a uma taxa insuficiente[38].
41
de forma que ( com c = 1 )
ˆ
X(z) = T (z)X(z) + A(z)X(−z)
= z
−l
X(z) + (0)X(−z)
= z
−l
X(z), (3.11)
onde o sinal reconstruído é apenas uma dilatação do sinal de entrada por z
−l
.
3.1.1 Filtros Espelhados em Quadratura (QMF) Clássicos
Os Filtros Espelhados em Quadratura (quadrature mirror filters-QMF) Clássicos propostos
por Croisier, Esteban, e Galand [38] projetaram a relação
H
1
(z) = H
0
(−z) ou h
1
(n) = (−1)
n
h
0
(n), (3.12)
que relaciona o filtro passa baixa e passa alta por uma alteração simples de sinal .A Equação
(3.12) também podem ser expressa no domínio de Fourier como
H
1
(e
jw
)
=
H
0
(e
j(π−w)
)
. (3.13)
|H
1
(e
jw
)| na equação (3.13) representa o filtro passa alta cuja resposta é uma imagem espelhada
do filtro resposta passa-baixa
H
0
(e
j(π−w)
)
com respeito à freqüência em quadratura
π
2
. Usando
as equações (3.6) e (3.7), a equação (3.12) , a função de transferência de distorção pode ser
simplificada agora para
T (z) =
1
2
{H
0
(z)G
0
(z) + H
1
(z)G
1
(z)}
=
1
2
{H
0
(z)H
1
(−z) − H
0
(−z)H
1
(z)}
=
1
2
H
2
0
(z) −H
2
0
(−z)
. (3.14)
Note que o desígnio de filtros QMF de acordo com (3.1 4) só envolve um filtro, H
0
(z). Vá-
rias soluções bem conhecidas para isto existem e algumas logo serão brevemente descritas.
Primeiro, note que para RP precisamos
T (z) =
1
2
H
2
0
(z) −H
2
0
(−z)
= z
−l
. (3.15)
A única solução para (3.15) usando um filtro de impulso resposta finito (FIR) é o filtro trivial
de Haar.
42
3.1.2 Filtros em Quadratura Conjugada (CQF)
Os Filtros em Quadratura Conjugada (conjugate quadrature filters (CQF)) propostos por
Smith e Barnwell [35] oferecem uma solução baseado no CA e a relação
H
1
(z) = −z
−N
H
0
(−z
−1
), (3.16)
onde os filtros H
0
e H
1
(bem como G
0
e G
1
) são filtros FIR de ordem impar N. Também cha-
mados de filtros de Smith-Barnwell, estes filtros fornecem a propriedade espelhada em quadra-
tura como os filtros QMF. A função distorção T (z) pode ser simplificado usando as equações
(3.6), (3.7) e (3.16) como
T (z) =
1
2
{H
0
(z)G
0
(z) + H
1
(z)G
1
(z)}
=
1
2
{H
0
(z)H
1
(−z) − H
0
(−z)H
1
(z)}
=
z
−N
2
H
0
(z)H
0
(z
−1
) + H
0
(−z)H
0
(−z
−1
)
. (3.17)
Note que o delineamento dos filtros CQF também envolve só um filtro, H
0
(z). Os outros
três podem ser derivados usando as equações (3.6), (3.7) e (3.16). Para obter o RP na equação
(3.17), precisamos
H
0
(z)H
0
(z
−1
) + H
0
(−z)H
0
(−z
−1
) = 2. (3.18)
Se definirmos
P (z) = H
0
(z)H
0
(z
−1
), (3.19)
então podemos reescrever (3.18) como
P (z) + P (−z) = 2. (3.20)
P (z) representa um filtro de meia-banda (half-band) em que todos os termos pares indexados
sao nulos exceto o termo z
0
. Já foram discutidos extensivamente descrições e desígnios de
filtros de meia-banda na literatura de Banco de Filtros, por exemplo [39]. Uma vez projetado o
filtro de meia-banda P (z) , o filtro H
0
(z) pode ser obtido por fatoração simétrica de (3.19) [1].
Além da RP, os filtros de Smith-Barnwell também fornecem a propriedade de ortogonalidade
que descreveremos agora. Primeiro, usando equação (3.16) em (3.18), obtemos
H
1
(z)H
1
(z
−1
) + H
1
(−z)H
1
(−z
−1
) = 2. (3.21)
Em seguida, podemos reescrever a equação (3.16) e obter
H
0
(z) = −z
−N
H
1
(−z
−1
), (3.22)
43
e usando a relação de igualdade dada por
H
0
(z
−1
)H
1
(z) = H
0
(z
−1
)H
1
(z), (3.23)
podemos substituir (3.23) nas equações (3.16) e (3.22) para obter
H
0
(z
−1
)H
1
(z) = (−z
N
H
1
(−z))(z
−N
H
0
(−z
−1
))
H
0
(z
−1
)H
1
(z) = −H
1
(−z)H
0
(−z
−1
)
H
0
(z
−1
)H
1
(z) + H
1
(−z)H
0
(−z
−1
) = 0 (3.24)
As equações (3.18), (3.21), e (3.24) representam a condição de ortogonalidade no domínio z. O
termo H
i
(z)H
i
(z −1) nas equações (3.18) e (3.19) representam a auto-correlação de H
i
(z), e o
termo H
0
(z −1)H
1
(z) em (3.24) representa a correlação cruzada entre H
0
(z) e H
1
(z) [40]. As
equações (3.18) e (3.21) também são conhecidos como a propriedade de poder simétrica (power
symmetric property) [39]. No domínio de tempo, as equações (3.18), (3.21) e (3.24) podem ser
expressas como
n
h
0
(n)g
0
(n + 2k) = δ(k), (3.25)
n
h
1
(n)g
1
(n + 2k) = δ(k), (3.26)
n
h
0
(n)g
1
(n + 2k) = 0, (3.27)
ou mais sucintamente como
n
h
i
(n)g
j
(n + 2k) = δ(i − j)δ(k) (3.28)
onde
h = filtro de análise
g = filtro de síntese
i, j = 0 para passa baixa, 1 para passa alta
k ∈ Z
Em geral, os filtros de Smith-Barnwell fornecem a RP, suporte finito, e ortogonalidade.
44
3.1.3 Filtros Espelhados em Quadratura (QMF) Generalizados
Filtros QMF generalizados representam soluções de RP que sacrificam ortogonalidade.
Usando a equação (3.4) e a condição CA, obtemos
T (z) =
1
2
{H
0
(z)G
0
(z) + H
1
(z)G
1
(z)}
=
1
2
{H
0
(z)H
1
(−z) − H
0
(−z)H
1
(z)} (3.29)
onde filtros H
0
(z) e H
1
(−z) podem ser até mesmo de ordem par ou impar e os comprimentos
dos dois não são necessariamente iguais. Ao contrário, o delineamento dos filtros CQF envol-
vem primeiro dois filtros de análise H
0
(z) e H
1
(−z), e então obtendo os dois filtros de síntese
usando as equações (3.6) e (3.7). Para satisfazer o RP, impomos
H
0
(z)H
1
(−z) −H
0
(−z)H
1
(z) = 2z
−2l−1
(3.30)
onde l ∈ Z. Definindo
P (z) = z
2l+1
H
0
(z)H
1
(z) (3.31)
podemos reformular a condição de RP como
P (z) + P (−z) = 2, (3.32)
que representa novamente um filtro de meio-banda (half-band). Porém, como a ortogonalidade
já não é requerida, P (z) em (3.31) não é fatorado simetricamente mas fatorado para fornecer
simetria em H
0
(z) e H
1
(z) separadamente. Detalhes e exemplos deste procedimento podem
ser encontrados em [39]. Semelhante à condição de ortogonalidade dada no domínio z e no
domínio do tempo, podemos resumir a condição de biortogonalidade no domínio z como [41]
H
0
(z)G
0
(z) + H
1
(z)G
1
(z) = 2 (3.33)
H
0
(−z)G
0
(z) + H
1
(−z)G
1
(z) = 0 (3.34)
e no domínio do tempo como
n
h
i
(n)g
j
(2k − n) = δ(i − j)δ( k) (3.35)
45
onde
h = filtro de análise
g = filtro de síntese
i, j = 0 para passa baixa, 1 para passa alta
k ∈ Z
Note que biortogonalidade é uma condição mais geral que fornece ortogonalidade através de
filtros de análise e síntese [34], os filtros de análise e síntese são chamados de biortogonais.
46
4 Transformada Rápida Wavelet
4.1 Introdução
Seja ϕ um gerador ortonormal da análise de multiresolução e ψ a correspondente wavelet
ortonormal para ϕ. Como {ψ
jk
}
j,k∈Z
é uma base ortonormal de L
2
, vimos no capítulo 2 que
qualquer função f ∈ L
2
pode ser expandida numa série wavelet
f(x) =
j∈Z
k∈Z
b
jk
ψ
jk
, (4.1)
onde b
jk
= f, ψ
jk
. A forma de se calcular os coeficientes b
jk
da série wavelet de f(x) é
semelhante a forma de se calcular os coeficientes de uma série de Fourier. Entretanto não
é vantajoso calcular essas integrais da estrutura em multi-nível de wavelets [37]. Stépheane
Mallat [21] em 1989 descobriu um modo rápido para calcular os coeficientes em séries de
wavelet. Introduziremos o método de Mallat agora.
4.2 Inicialização
O método de Mallat encontra uma aproximação de f primeiro em um subespaço dentro
da análise de multiresolução, digamos uma função f
n
∈ V
n
. Pela propriedade de análise de
multiresolução, se n é bastante grande, então o erro de aproximação f − f
n
tenderá a zero
[28]. Este passo é chamado de inicialização da transformada rápida wavelet [22]. Podemos
obter f
n
pela projeção ortogonal. Pela ortogonalidade da base (φ
nk
; n ∈ Z) a projeção de f
sobre V
n
é
f
n
=
k∈Z
f, ϕ
nk
ϕ
nk
.
Porém, às vezes a integral f, ϕ
nk
não é fácil de calcular, ou f é obtido experimentalmente de
forma que só os valoresde f em pontos amostrais são conhecidos. Nestes casos, a interpolação é
freqüentemente usadapara inicialização[22]. Uma funçãof
n
∈ V
n
é chamadauma interpolação
47
de f se
f
n
(2
−n
k) = f (2
−n
k), k ∈ Z. (4.2)
Em muitas aplicações, não temos determinados os dados amostrais, digamos f(2
−n
k), k ∈
Z , mas dada uma certa média de f ao redor cada ponto amostral x = 2
−n
k. Escrevendo os
determinados dados como (c
k
)
k∈Z
. Então, podemos assumir aproximadamente c
k
= f, ϕ
n,k
para uma certa função f ∈ L
2
. Deste modo, a função f
n
:=
c
n
ϕ
j,k
representa os dados (c
k
).
Esta é a inicialização para a transformada rápida wavelet.
4.3 Decomposição em Multi-Escala
Suponhamos agora que a inicialização está completada (de um certo modo). Isto é , temos
f
n
:=
a
nk
ϕ
n,k
, (4.3)
onde (a
nk
)
k∈Z
é uma seqüência conhecida. Por (4.1), f
n
também pode ser representada como
f
n
=
j<n
k∈Z
b
j,k
ψ
j,k
. (4.4)
O algoritmo de Mallat calcula (b
j,k
) de (a
n,k
). Para explicar a idéia de Mallat , adotamos uma
expressão concisa de (4.4):
f
n
=
j<n
g
j
, (4.5)
onde g
j
=
k∈Z
b
j,k
ψ
j,k
∈ W
j
.
Para evitar a infinidade de índices j em (4.5), aplicaremos a relação
V
l
=
j<l
W
j
, l ∈ Z.
Conseqüentemente, existe uma função f
l
∈ V
l
tal que f
l
=
j<l
g
j
. Assim, para qualquer
l < n , f
n
pode ser expadida como
f
n
= f
l
+
n−1
j=l
g
j
, f
l
∈ V
l
, g
j
∈ W
j
,
ou equivalentemente ,
a
n,k
ϕ
n,k
=
k∈Z
a
l,k
ϕ
k
+
n−1
j=l
k∈Z
b
j,k
ψ
j,k
. (4.6)
48
Particulamente,
a
n,k
ϕ
n,k
=
k∈Z
a
n−1,k
ϕ
k
+
k∈Z
b
n−1,k
ψ
n,k
,
a
n−1,k
ϕ
n,k
=
k∈Z
a
n−2,k
ϕ
k
+
k∈Z
b
n−2,k
ψ
n,k
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
l+1,k
φ
n,k
=
k∈Z
a
l,k
ϕ
k
+
k∈Z
b
l,k
ψ
n,k
.
Essas equações fornecem um modo para calcular (a
l,k
), (b
l,k
), ··· , (b
n−l,k
) a partir de (a
n,k
).
Por conveniência, sem perda de generalidade, assumimos sempre que n > 0 e fixamos l = 0
em (4.6).
O algoritmo usado no cálculo dos coeficientes (a
j−l,k
) e (b
j−l,k
) a partir de (a
j,k
) é chamado
de Transformada Rápida Wavelet (FWT), e seu inverso é chamado de Transformada Rápida
Wavelet Inversa (FIWT). O algoritmo que calcula os coeficientes (a
0,k
) e (b
j,k
), 0 ≤ j ≤
n − 1 , de (a
n,k
) é chamado Algoritmo Pirâmidal de decomposição e seu inverso é chamado de
Algoritmo Pirâmidal de recuperação. Eles também são chamados algoritmos de Mallat porque
eles foram desenvolvidos primeiro por S. Mallat (em 1989)[21].
4.4 A Transformada Rápida Wavelet
Desenvolveremos agora a Transformada Rápida Wavelet (FWT) e a Transformada Rápida
Wavelet Inversa (FIWT). Seja f
j
∈ V
j
possuindo a expansão
f
j
=
a
j,k
ϕ
j,k
(4.7)
que pode ser representado como
f
j
= f
j−1
+ g
j−1
,
onde
f
j−1
(x) =
a
j−1,k
ϕ
j−1,k
(x) ∈ V
j−1
(4.8)
e
g
j−1
(x) =
b
j−1,k
ψ
j−1,k
(x) ∈ W
j−1
. (4.9)
Primeiro, definimos o algoritmo cascata para o coeficientes wavelet a
j,k
= f, ϕ
j,k
e b
j,k
=
f, ψ
j,k
de uma dada função f. Suponhamos ao longo desta dissertação que só lidamos com as
bases wavelets de suporte compacto construídas a partir de uma função m
0
=
1
√
2
k
h
k
e
−ikξ
(Veja capítulo 2), onde os coeficientes h
k
são números reais, tal que só um número finito dos
49
h
k
são diferentes de zero. Esta suposição está satisfeita para bases de Daubechies, coiflets e
symmlets [11].
O Lemma 2.2.4 implica que os coeficientes a
jk
e b
jk
satisfaça, para qualquer j, k em Z, as
relações
a
j,k
=
l
h
l−2k
a
j+1,l
(4.10)
e
b
j,k
=
l
λ
l−2k
a
j+1,l
(4.11)
onde
λ(k) = (−1)
k+1
¯
h
1−k
e {h
k
} são os coeficientes
1
do polinômio trigonométrico m
0
(ξ). De fato,
de (2.31) temos
b
jk
=
f(x)ψ
jk
(x)dx = 2
j/2
f(x)ψ(2
j
x − k)dx
= 2
(j+1)/2
s
λ
s
f(x)ϕ(2(2
j
x − k) − s)dx
= 2
(j+1)/2
s
λ
s
f(x)ϕ(2
j+1
x − (2 k + s))dx
=
s
λ
s
a
j+1,s+2k
=
l
λ
l−2k
a
j+1,l
Isto dá (4.11). A relação (4.10) é obtida similarmente, com o uso de (2.32).
Juntos (4.10) e (4.11) definem o algoritmo cascata. A transformação dada por (4.10) é um
filtro passa baixa, enquanto (4.11) é um filtro passa alta (veja apêndice A, para explicação da
terminologia de filtragem). Assumimos que f é de suporte compacto. Então, como lidamos
com bases wavelets de suporte compacto , só um número finito de coeficientes, a
jl
é diferente
de zero em cada nível j. Consequentemente, se o vetor de coeficientes y = {a
j
1
,l
} para o
nível j
1
é dado, pode-se reconstruir recursivamente o coeficientes a
jk
e b
jk
para o nível j ≤ j
1
,
com o uso das fórmulas recursivas lineares (4.10) e (4.11). Note que, sob nossa suposição da
finitude do vetor h
k
, o número de coeficientes não nulos a
jk
e b
jk
diminuem com o nível j,
desde que as convoluções discretas em (4.10) e (4.11) são amostradas em 2k pontos . Se o
procedimento (4.10) e (4.11) parar num nível j
0
, o vetor resultante dos coeficientes wavelet
w = ({a
j
0
k
}, {b
j
0
k
}, . . . , {b
j
1
−1,k
})
T
pode ser apresentado como
w = W y, (4.12)
onde W é uma matriz.
É possível inverter o algoritmo cascata e assim adquirir os valores dos coeficientes y, a partir
1
Uma lista de alguns coeficientes h
k
se encontram no Apêndice B
50
de w. O algoritmo inverso pode ser apresentado pelo seguinte esquema recursivo :
a
j+1,s
=
k
h
s−2k
a
jk
+
k
λ
s−2k
b
jk
, (4.13)
observe que a
j+1,s
= P
V +1
(f), ϕ
j+1,s
, onde P
V +1
(f) é a projeção ortogonal de f no espaço
V
j+1
. Então, aplicando (1.24) temos
a
j+1,s
=
k
a
jk
ϕ
jk
, ϕ
j+1,s
+
k
b
jk
ψ
jk
, ϕ
j+1,s
. (4.14)
Mas, devido a (2.32),
ϕ
jk
, ϕ
j+1,s
=
l
h
l
ϕ
j+1,2k+l
ϕ
j+1,s
=
l
h
l
δ
2k+ l,s
= h
s−2k
,
e, similarmente,
ψ
jk
, ϕ
j+1,s
= λ
s−2k
Estas relações e (4.14) resultam em (4.13).
As relações (4.10) e (4.11) juntas nos dão a Transformada Rápida Wavelet (FWT), en-
quanto relação (4.13) dá a Transformada Rápida Wavelet Inversa (FIWT).
4.5 Algoritmos Piramidais
Baseado na FWT e FIWT, desenvolvemos os algoritmos piramidais que executam a decom-
posição e reconstrução wavelet em multinível. Começamos com a decomposição
f
n
= f
0
+
n−1
j=0
g
j
, f
0
∈ V
0
, g
j
∈ W
j
,
ou equivalentemente,
a
n,k
ϕ
n,k
=
k∈Z
a
0,k
ϕ
k
+
n−1
j=0
k∈Z
b
j,k
ψ
n,k
. (4.15)
Seja a
n
= (a
n,k
) e a
0
= (a
0,k
), b
0
= (b
0,k
), . . . , b
n−1
= (b
n−1,k
) os coeficientes das suces-
sões em (4.15). Nosso propósito agora é desenvolver algoritmos para decomposição de a
n
em
a
0
, b
0
, . . . , b
n−1
e recuperar a
n
de a
0
, b
0
, . . . , b
n−1
. Por representar os algoritmos concisamente,
introduziremos os seguintes operadores [10].
51
Seja H e L dois operadores l
2
→ l
2
definidos por:
Ha(n) =
k∈Z
a
k
h
k−2n
,
La(n) =
k∈Z
a
k
λ
k−2n
,
onde h = (h(n)) e λ = (λ(n)) são as sucessões em (2.31) e (2.32) respectivamente. Para um
operador F : l
2
→ l
2
, seu operador dual F
∗
. é definido por
Sa, b = a, S
∗
b, para todo a, b ∈ l
2
.
então
H
∗
a(n) =
k∈Z
a
k
h
k−2n
e
L
∗
a(n) =
k∈Z
a
k
λ
k−2n
respectivamente. Então, o algoritmo da FWT pode ser escrito como
a
j−1
= Ha
j
, b
j−1
= La
j
, (4.16)
e o algoritmo da FIWT pode ser escrito como
a
j
= H
∗
a
j−1
+ L
∗
a
j−1
. (4.17)
Repetindo a FWT, a
n
pode seja decomposta em a
0
, b
0
, . . . , b
n−1
como segue:
Figura 5: Algoritmo pirâmidal de decomposição
Iste é chamado algoritmo pirâmidal de decomposição, ou algoritmo de decomposição de
Mallat.
Invertendo , obtemos o algoritmo pirâmidal de recuperação, ou algoritmo de recuperação de
52
Mallat:
Figura 6: Algoritmo pirâmidal de recuperação
Observação 4.1 Na linguagem de processo de sinal, os filtros h(k) e λ(k) são chamados
filtros de impulso resposta finita (FIR)[Apêndice A]. Sob esta suposição, e usando idéias da
literatura de processamento de sinal multitaxa ( multirate) [39], é possível calcular os dois
somatórios em (4.10) e (4.11) usando dois filtros FIR. São calculadas saídas destes filtros só
para índices pares e os filtros são usados com índices negativados. Estas diferenças podem ser
incorporadas na operação de filtragem por dizimação da saída do filtro [39] e por inversão
na ordem dos coeficientes do filtro. Em outras palavras, é feita uma filtragem com o filtro
{
˜
h
k
} = {h
−k
} seguida de uma dizimação por fator dois, ou, simbolicamente
a
j,k
= [
˜
h
k
∗ a
j+1,l
](↓ 2) (4.18)
onde {h
k
} é o filtro da função escala ϕ.
De modo análogo,
b
j,k
= [
˜
λ
k
∗ a
j+1,l
](↓ 2) (4.19)
Por outro lado, vemos de (4.13), que para obter a sequência a
j+1
a custa das sequências a
j
e b
j
, teremos de introduzir zeros entre os coeficientes de cada uma dessas sequências e aplicar
uma convolução com as sequências assim obtidas com {h
k
} e {λ
k
}, respectivamente, somando
depois as sequências resultantes. Dito de outro modo, haverá que fazer o up sampling por dois
de cada uma das sequências, filtrar com {h
k
} e {λ
k
} e somar. Simbolicamente,
a
j+1,k
= [h
k
∗ a
j,l
](↑ 2) + [λ
k
∗a
j,l
](↑ 2) (4.20)
É natural pretender que cada passo da decomposição resulte num novo vetor com N compo-
nentes . As fórmulas (4.10) e (4.11) mostram que, se N for par, no primeiro passo de decompo-
sição são calculados N/2 coeficientes a
1k
e N/2 coeficientes b
1k
. Para que o processo se possa
repetir M vezes, deveremos portanto escolher um vetor inicial com um número de componentes
53
múltiplo de 2M.
Para comparar diferentes wavelets ortogonais , a matriz W em (4.12), deve ser implementada
rapidamente. Para um vetor s
n
de tamanho N = 2
n
uma matriz N × N é decomposta como
W
n
=
H
n
L
n
onde H e L, são matrizes de ordem 2
n−1
× 2
n
chamadas de filtros passa alta e passa baixa com
impulso respostas h e λ, respectivamente. Por exemplo, se n = 4 então as matrizes H e L são
H
n
=
h
1
h
2
h
3
h
4
0 . . . 0
0 0 h
1
h
2
h
3
h
4
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . h
1
h
2
h
3
h
4
h
3
h
4
. . . h
1
h
2
L
n
=
λ
1
λ
2
λ
3
λ
4
0 . . . 0
0 0 λ
1
λ
2
λ
3
λ
4
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . λ
1
λ
2
λ
3
λ
4
λ
3
λ
4
. . . λ
1
λ
2
Os coeficientes de filtro são envolvidos de forma circular ao redor da matrizes H
n
e L
n
. W
n
a
n
decompõe a
n
em uma parte lisa a
n−1
(médias) e uma parte detalhada a
n−1
(diferenças). Con-
tinuando este processo de decomposição recursiva dos vetores lisos a
j
, obtemos o transfor-
mada wavelet discreta do vetor a
n
. Em notação matricial, W a
n
= W
n
W
n−1
. . . W
n−l
a
n
=
[a
n−l
, b
n−l
, . . . , b
n−1
] e W
n−l
é uma matriz bloco diagonal da forma
W
n−j
=
H
n−j
L
n−j
0
0 I
N−N/2
j
onde I
N−N/2
j
é uma matriz identidade de posto N − N/2
j
.
Para um sinal representado por quatro amostras, o banco de filtros correspondente a matriz
54
de Haar no primeiro nível possui ondem 4 e é dada por :
H
2
L
2
=
0.7071067 0.70 71067 0 0
0 0 0.7071067 0.7071067
0.7071067 −0.7071067 0 0
0 0 0.7071067 −0.7071067
.
No próximo nível de escala a matriz é dada por
0.7071067 0.70 71067
0.7071067 −0.7071067
.
Portanto a matriz do Banco de Filtro é
0.7071067 0.70 71067 0 0
0.7071067 −0.7071067 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
.
0.7071067 0.7071067 0 0
0 0 0.7071067 0.7071067
0.7071067 −0.7071067 0 0
0 0 0.7071067 −0.7071067
Por exemplo seja S = a
2
= (4, 6, 10, 12)
T
um sinal pertencente a V
2
, então o primeiro nível
de decomposição da transformada de Haar é (a
1
|b
1
)
T
= (7.0711, 15.5563|−1.4142, −1.4142)
T
e segundo nível de decomposição é (a
0
|b
0
|b
1
)
T
= (16|b − 6| − 1.4142 − 1.4142)
T
.
O próximo exemplo foi um sinal “noisdopp (1024)”retirado do Tooobox do MATLAB uti-
lizando Daub4(Daubechies 4). O sinal S = a
10
foi amostrado em 1024 pontos, deste modo
j = 10 e s é suposto pertencer ao espaço V
10
e tomado como sendo zero em todos so pontos
k
2
10
, exceto para k = 0, 1, . . . 2
10
− 1. As aproximações a
l
são projeções de S no subspaço
V
10−l
para l = 1, . . . 5. O nível mais baixo de aproximação a
5
é a projeção sobre o subes-
paço V
5
. Existe somente 32 valores destintos no ultimo nível. Os detalhes b
l
são as projeções
de S sobre os subespaços wavelets W
10−l
. O sinal pode ser reconstruído de várias maneiras
S = a
5
+ b
5
+ b
6
+ b
7
+ b
8
+ b
9
ou S = a
9
+ b
9
. Note que o sinal é uma onda doppler com ruído
e que o conjunto dos detalhes d
9
parece ser o ruído, daí um caminho para reduzir o ruído seria
reconstruir o sinal fazendo b
9k
= 0 .
55
Figura 7: Decomposição de uma onda Doppler com ruído.
56
5 Considerações Finais
Neste trabalho, apenas apresentamos resultados referentes a wavelets ortogonais em uma
variável. No capítulo 1 estudamos o conceito de Análise de Multiresolução partindo da base
de Haar para bases mais gerais. No capítulo 2 estudamos as relações básicas da Análise de
Fourier e Teoria Wavelet, respondendo questões sobre ortogonalidade e condições suficientes
para uma análise de multiresolução. No capítulo 3 estudamos Banco de Filtros de 2 bandas
uniformes, discutindo conceitos tais como: Reconstrução Perfeita, Cancelamento do Alias ,
Filtros Espelhados em Quadratura e Filtros em Quadratura Conjugada. No capítulo 4 tentamos
mostrar que existem ligações entre Banco de Filtros e Wavelets. Isso de deve ao algoritmo de
Mallat que calcula os coeficientes wavelet dando origem a Transformada Rápida Wavelet que é
equivalente à filtragem por Banco de Filtros em duas bandas constantes.
A extensão para wavelets de várias variáveis, imprescindível para diversas aplicações, pode
ser vista, por exemplo, em [23, 21] e [27]. Uma continuação natural e importante deste trabalho,
são as chamadas wavelets biortogonais, introduzidas por Cohen, Daubechies e Feauveau, em
[9] e as chamadas wavelets packets introduzidas por Coifman e Meyer em [5, 6] e [7].
APÊNDICE A -- Conceitos Básicos em
Processamento de Sinal
A.1 Introdução
De modo a facilitar a compreensão dos principais aspectos da teoria de banco de filtros ,
será efetuada uma breve revisão preliminar de algumas noções básicas de processamento digital
de sinais. Para começar, apresenta-se um resumo teórico de alguns conceitos tais como sinais
e filtros. No final apresentam-se dois componentes básicos de um sistema de decomposição
utilizando banco de filtros, que são a dizimação (downsampling) e a interpolação (upsampling).
A.1.1 Sinais
Nesta seção, introduzimos os conceitos básicos de sinais. Matematicamente, um sinal uni-
dimensional surge como uma função de tempo, digamos x(t). Se a variável de tempo é mudada
continuamente, então o SINAL x(t) é chamado um sinal analógico ou um sinal contínuo. Se
a variável de tempo é percorrida por um conjunto discreto, então x(t) é chamado um sinal
discreto, ou um sinal digital, que é uma representação numérica de um sinal analógico.
Definição A.1.1 A transformada z de um sinal x é a série de Laurent
X(z) =
n∈Z
x(n)z
−n
.
A notação matemática reduzida (ou forma de Fourier ) da transformada z de x é
X(ω) =
n
x(n)e
−inω
, z = e
iω
.
A.1.2 Filtros
Para analisar, codificar, reconstruir sinais e assim por diante, os operadores espaciais
em sinais é necessário. Entre estes operadores, um filtro é o mais mais importante. Nesta
57
seção,introduzimos filtros lineares que são operadores de convolução em l
2
. Introduzimos pri-
meiro a base natural em l
2
. Seja δ
k
= (δ
kj
)
j∈Z
, que desaparece em todos lugares a não ser no
k-ésimo termo onde tem valor 1. Então {δ
k
)
k∈Z
}é uma base ortonormal em l
2
. Qualquer x ∈ l
2
pode ser representado como
x =
k∈Z
x(k)δ
k
. (A.1)
Em processo de sinal δ
k
é chamado de impulso unitário no tempo k.
Definição A.1.2 Um operador S em l
2
é chamado de operador deslocamento se
(Sx)(n) = x(n − 1), x ∈ l
2
,
um operador T em l
2
é chamado de invariante no tempo se
ST = T S,
e um operador T em l
2
é chamado de operador linear se para qualquer x ∈ l
2
,
T (x) =
k∈Z
x(k)T δ
k
. (A.2)
Um operador linear e invariante no tempo é chamado de filtro. Se F é um filtro, então Fx é
chamado resposta de x.
Definição A.1.3 A convolução (discreta) de duas seqüências h e x é uma seqüência h∗x dada
por
(h ∗ x)(n) =
k
h(k)x(n − k), n ∈ Z, (A.3)
contanto que as séries em (A.3) são convergentes para cada n ∈ Z.
O seguinte teorema identifica o filtro com uma sucessão, sua demonstração encontra-se em
[17].
Teorema A.1.1 H é um filtro se e só se existe uma sucessão h tal que Hx = h ∗x.
Considerando que um filtro pode ser identificado como uma sucessão, chamaremos h direta-
mente de filtro. Do ponto de vista computacional, filtros finitos são desejáveis.
Definição A.1.4 Se h for finito, então h é chamado de filtro de impulso resposta finito (filtro
FIR) , caso contrário é chamado de filtro de impulso resposta infinito (IIR filtro) . Um filtro
h com h(n) = 0, para todo n < 0, é chamado um filtro causal.
58
A.1.3 Filtros passa baixa e Filtros passa alta.
Filtros são freqüentemente exigidos na extração de componentes de freqüência de sinais.
Por exemplo, componentes de alta freqüência de um sinal normalmente contêm ruídos e flutu-
ações que freqüentemente têm que ser removidas do sinal. Usamos filtros passa baixa (lowpass
filters) e filtros passa alta (highpass filters) para decompor sinais pelas suas bandas de freqüên-
cia . Um filtro passa baixa atenua componentes de alta freqüência de um sinal, enquanto um
filtro passa alta faz o trabalho oposto. Considerando que um sinal é representado por uma
freqüência limitada com limite |ω| ≤ π , então sua região de baixa freqüência é centrada na
origem e a região de alta freqüência está próxima pi. Por exemplo, podemos dividir o domínio
de freqüência em duas regiões: |ω| ≤ π/2 e π/2 < |ω| ≤ π, onde a anterior é a região de baixa
freqüência e o posterior é a região de alta freqüência. Então o par mais simples de filtros passa
baixa e filtros passa alta está definido como segue.
Definição A.1.5 O filtro ideal passa baixa h = (h(k)) está definido por
H(ω) =
h(k)e
ikω
=
1, |ω| < π/2,
0, π/2 ≤ |ω| ≤ π,
(A.4)
e o filtro ideal passa alta g = (g(k)) está definido por
G(ω) =
g(k)e
ikω
=
0, |ω| < π/2,
1, π/2 ≤ |ω| ≤ π.
(A.5)
A.1.4 Dizimação
Na figura 8 apresenta-se um sistema de dizimação por um fator M de sinais discretos no
tempo.
Inicialmente, podem-se analisar as propriedades do sistema dizimador representado na
Figura 8. A relação entre a entrada e a saída no domínio discreto no tempo é dada pela seguinte
equação:
y
d
[n] = x[nM] , com M ∈ Z. (A.6)
O sinal de saída, y
d
[n], é o resultado da amostragem do sinal de entrada x
d
[n] com um
período igual a M. Isto é, em cada conjunto de M amostras, é retida uma. Este processo é geral-
mente denominado por subamostragem ( downsampling ), uma vez que o número de amostras
do sinal de saída é menor.
Para se determinar a relação equivalente a (A.6) no domínio da freqüência, considere-se a
59
Figura 8: Dizimação por um fator de M.
formação de um sinal auxiliar, x
′
d
[n], com a mesma taxa de x
d
[n], definido por,
x
′
d
[n] = x
d
[n] .
∞
k=0
δ [n − kM] . (A.7)
Ou seja, (A.7) é o resultado do produto do sinal original por um trem de impulsos periódicos.
Como o trem de impulsos é periódico, então pode ser expresso a partir da série de Fourier
discreta no tempo [29], dada por:
∞
k=0
δ [n − kM] =
1
M
M−1
k=0
e
j2πnk/M
, (A.8)
o que permite reescrever a equação (A.7) da sequinte forma:
x
′
d
[n] =
1
M
M−1
k=0
x
d
[n] e
j2πnk/M
. (A.9)
Se for aplicada a transformada Z à equação (A.9), obtém-se após algumas manipulações, a
seguinte expressão,
X
′
(z) =
1
M
M−1
k=0
X(zW
k
), (A.10)
onde W = e
−j2π/M
e z = e
jw
. Neste momento, é possível determinar a transformada Z da
saída, dada por:
Y
d
(z) =
k=∞
k=−∞
x
′
[kM] z
−k
=
k=∞
k=−∞
x
′
[k] (z
1/M
)
−k
, (A.11)
ou
Y
d
(z) = X
′
(z
1/M
), (A.12)
60
Substituindo (A.9) em (A.12), obtém -se finalmente a transformada Z da saída do dizimador
por M, dada por,
Y
d
(z) =
1
M
M−1
k=0
X(z
1/M
W
k
). (A.13)
Uma vez conhecida a transformada Z de (A.6), pode-se saber a transformada de Fourrier.
Para isto, besta calcular (A.13) ao longo da circunferência de raio unitário, isto é,
Y
d
(e
jw
) = Y
d
(z)|
z=e
jw
=
1
M
M−1
k=0
X(e
j(ω−2πk)/M
). (A.14)
A expressão ( A.14) corresponde à soma de M réplicas de X(ω/M) (expansão na freqüência)
espaçadas de 2π/M rad. Como no caso do teorema de Nyquist
1
para sinais contínuos no tempo,
se o sinal não for de banda limitada, verificar-se-á um fenômeno destrutivo por perda de infor-
mação contida em x[n], denominado sobreposição de espectro (aliasing). Esta sobreposição
dos espectros pode ser vista na Figura 9.
1
Segundo o Teorema de Nyquist, a freqüência de amostragem de um sinal analógico, para que possa posteri-
ormente ser reconstituído sem perda de informação, deve ser igual ou maior a duas vezes a maior freqüência do
espectro desse sinal.
W
0
= 2W
61
Figura 9: Dizimando um sinal X(e
jω
) no domínio da freqüência por um fator M = 3. (a)
aspectro original. (b) As três replicas do sinal após a dizimação e a soma deles para formar
Y (e
jw
).
A.1.5 Interpolação
Analogamente, pode-se realizar um estudo similar para o interpolador representado pela
Figura 10.
A ação do interpolador no sistema resulta num aumento da variância do sinal de entrada,
Figura 10: Interpolação um fator de M.
por inserção de amostras nulas, ou seja, amostras de valores zeros. A relação entre a entrada e
a saída da função interpoladora no domínio discreto do tempo, é definida por
62
y
i
[n] =
x[n/M] , n = kM, k ∈ Z
o, caso contrário.
(A.15)
No domínio da transformada de Fourier, tem-se
Y (e
jw
) = X(e
jMω
). (A.16)
Aplicando a transformada Z na expressão (A.15), faci1mente prova-se o resultado da equa-
ção (A.17)
Y
e
(z) =
k=∞
k=−∞
x [k/M] z
−k
=
k=∞
k=−∞
x [k] (z
M
)
−k
= X(z
M
), (A.17)
A expressão (A.17) significa, em termos de freqüência, uma compresão por M do espectro
do sinal de entrada, seguido da formação de M réplicas ou imagens do mesmo espectro, devido
à periodicidade de X(ω). A este sistema normalmente está associado um filtro interpolador,
cuja função é eliminar as imagens do espectro indesejáveis.
Observação A.1 Para M = 2 , de (A.13) obtemos
Y
d
(z) =
1
2
1
k=0
X(z
1/2
W
k
) (A.18)
=
1
2
X(z
1/2
+ X(−z
1/2
)
(A.19)
e de (A.17)
Y
e
(z) = X(z
2
). (A.20)
Na figura abaixo temos a representação espectral da dizimação e interpolação em duas bandas.
Figura 11: Característica espectral da dizimação por 2.
63
Figura 12: Característica espectral da interpolação por 2.
64
65
APÊNDICE B -- Coeficientes dos filtros wavelet
B.1 Alguns coeficientes referentes aos filtros passa baixa h
k
• Haar :
{0.7071067, 0.7071067};
• Daub4 :
{4.82962913144e − 01, 8.36516303737e −01, 2.24143868042e − 01,
− 1.29409522551e − 01} ;
• Daub6 :
{3.32670552950e − 01, 8.06891509311e −01, 4.59877502118e − 01,
− 1.35011020010e − 01, −8.54412738820e − 0 2 , 3.52262918857e − 02};
• Daub8 :
{2.30377813308e − 01, 7.14846570552e −01, 6.30880767929e − 01,
− 2.79837694168e − 02, −1.87034811719e − 0 1 , 3.08413818355e − 02,
3.288301166 68e −02, −1.05974017850e − 02};
• Daub10 :
{1.60102397974e − 01, 6.03829269797e −01, 7.24308528437e − 01,
1.384281459 01e −01, −2.42294887066e − 01, −3.22448695846e − 02 ,
7.757149384 00e −02, −6.24149021279e − 03, −1.25807519990e − 02 ,
3.335725285 47e −03};
• Daub12 :
{1.11540743350e − 01, 4.94623890398e −01, 7.51133908021e − 01,
3.152503517 09e −01, −2.26264693965e − 01, −1.29766867567e − 01 ,
9.750160558 73e −02, 2.75228655303e − 02, −3.15820393174e − 02 ,
5.538422011 61e −04, 4.77725751094e − 03, −1.07730108530e − 03 } ;
• Daub14 :
{7.78520540850e − 02, 3.96539319481e −01, 7.29132090846e − 01,
4.697822874 05e −01, −1.43906003928e − 01, −2.24036184993e − 01 ,
7.130921926 68e −02, 8.06126091510e − 02, −3.80299369350e − 02 ,
− 1.65745416306e − 02, 1.25509985560e − 02, 4.29577972921e − 04,
− 1.80164070404e − 03, 3.53713799974e − 04};
• Daub16 :
{5.44158422431e − 02, 3.12871590914e −01, 6.75630736297e − 01,
5.853546836 54e −01, −1.58291052563e − 02, −2.84015542961e − 01 ,
4.724845739 13e −04, 1.28747426620e − 01, −1.73693010018e − 02 ,
− 4.40882539307e − 02, 1.39810279173e − 02, 8.74609404740e − 03,
− 4.87035299345e − 03, −3.91740373376e − 0 4 , 6.75449406450e − 04,
− 1.17476784124e − 04} ;
• Daub18 :
{3.80779473638e − 02, 2.43834674612e −01, 6.04823123690e − 01,
6.572880780 51e −01, 1.33197385825e − 01, −2.93273783279e − 01 ,
− 9.68407832229e − 02, 1.48540749338e − 01, 3.07256814793e − 02,
− 6.76328290613e − 02, 2.50947114831e − 04, 2.23616621236e − 02,
− 4.72320475775e − 03, −4.28150368246e − 0 3 , 1.84764688305e − 03,
2.303857635 23e −04, −2.51963188942e − 04, 3.93473203162e − 05};
• Daub20 :
{2.66700579005e − 02, 1.88176800077e −01, 5.27201188931e − 01,
6.884590394 53e −01, 2.81172343660e − 01, −2.49846424327e − 01 ,
− 1.95946274377e − 01, 1.27369340335e − 01, 9.30573646035e − 02,
− 7.13941471663e − 02, −2.94575368218e − 0 2 , 3.32126740593e − 02,
3.606553566 95e −03, −1.07331754833e − 02, 1.39535174705e − 03,
1.992405295 18e −03, −6.85856694959e − 04, −1.16466855129e − 04 ,
9.358867032 00e −05, −1.32642028945e − 05};
• Daub22 :
{1.86942977614e − 02, 1.44067021150e −01, 4.49899764356e − 01,
6.856867749 16e −01, 4.11964368947e − 01, −1.62275245027e − 01 ,
− 2.74230846817e − 01, 6.60435881966e − 02, 1.49812012466e − 01,
− 4.64799551166e − 02, −6.64387856950e − 0 2 , 3.13350902190e − 02,
2.084090436 01e −02, −1.53648209062e − 02, −3.34085887301e − 03 ,
66
4.928417656 05e −03, −3.08592858815e − 04, −8.93023250666e − 04 ,
2.491525235 52e −04, 5.44390746993e − 05, −3.46349841869e − 05 ,
4.494274277 23e −06};
• Daub24 :
{1.31122579572e − 02, 1.09566272821e −01, 3.77355135214e − 01,
6.571987225 79e −01, 5.15886478427e − 01, −4.47638856537e − 02 ,
− 3.16178453752e − 01, −2.37792572560e − 0 2 , 1.82478605927e − 01,
5.359569674 35e −03, −9.64321200965e − 02, 1.08491302558e − 02,
4.154627749 50e −02, −1.22186490697e − 02, −1.28408251983e − 02 ,
6.711499008 79e −03, 2.24860724099e − 03, −2.17950361862e − 03 ,
6.545128212 50e −06, 3.88653062820e − 04, −8.85041092082e − 05 ,
− 2.42415457570e − 05, 1.27769522193e − 05, −1.52907175806e − 06};
• Daub26 :
{9.20213353896e − 03, 8.28612438729e −02, 3.11996322160e − 01,
6.110558511 58e −01, 5.88889570431e − 01, 8.69857 261796e −02,
− 3.14972907711e − 01, −1.24576730750e − 0 1 , 1.79476079429e − 01,
7.294893365 67e −02, −1.05807618187e − 01, −2.64884064753e − 02 ,
5.613947710 02e −02, 2.37997225405e − 03, −2.38314207103e − 02 ,
3.923941448 79e −03, 7.25558940161e − 03, −2.76191123465e − 03 ,
− 1.31567391189e − 03, 9.32326130867e − 04, 4.92515251262e − 05,
− 1.65128988556e − 04, 3.06785375793e − 05, 1.04419305714e − 05,
− 4.70041647936e − 06, 5.22003509845e − 07};
• sym8:
{0.032223100604, −0.0126039 67262, −0.099219543577, 0.297857795606,
0.803738751 807, 0.497618 667633, −0.029635527646, −0.075765714789};
• sym16:
{0.001889950333, −0.0003029 20515, −0.014952258337,
0.003808752 014, 0.049137 179674, −0.027219029917,
− 0.051945838108, 0.364441894835, 0.777185751701,
0.481359651 258, −0.061273359068, −0.143294238351,
0.007607487 325, 0.031695 087811, −0.000542132332,
− 0.003382415951};
• coif6:
{−0.072732619513, 0.3378976 62458, 0.852572020212,
67
0.384864846 864, −0.072732619513, −0.015655728135};
• coif12:
{0.016387336464, −0.0414649 36782, −0.067372554722,
0.386110066 823, 0.812723 635450, 0.417005184424,
− 0.076488599079, −0.059434418647, 0.023680171946,
0.005611434 819, −0.001823208871, −0.000720549445};
• coif18:
{−0.003793512864, 0.0077825 96427, 0.023452696142,
− 0.065771911282, −0.061123390003, 0.405176902410,
0.793777222 626, 0.428483 476378, −0.071799821619,
− 0.082301927107, 0.034555027573, 0.015880544864,
− 0.009007976137, −0.002574517689, 0.001117518771,
0.000466216 960, −0.000070983303, −0.000034599773};
• coif24:
{0.000892313669, −0.0016294 92013, −0.007346166328,
0.016068943 965, 0.026682 300156, −0.081266699681,
− 0.056077313317, 0.415308407030, 0.782238930921,
0.434386056 491, −0.066627474263, −0.096220442034,
0.039334427 123, 0.025082 261845, −0.015211731528,
− 0.005658286687, 0.003751436157, 0.001266561929,
− 0.000589020756, −0.000259974552, 0.000062339034,
0.000031229 876, −0.000003259680, −0.000001784985};
• coif30:
{−0.000212080840, 0.0003585 89688, 0.002178236358,
− 0.004159358782, −0.010131117521, 0.023408156788,
0.028168028 974, −0.091920010569, −0.052043163181,
0.421566206 733, 0.774289 603730, 0.437991626216,
− 0.062035963969, −0.105574208714, 0.041289208754,
0.032683574 270, −0.019761778945, −0.009164231163,
0.006764185 449, 0.002433 373213, −0.001662863702,
− 0.000638131343, 0.000302259582, 0.000140541150,
− 0.000041340432, −0.000021315027, 0.000003734655,
0.000002063 762, −0.000000167443, −0.000000095177};
68
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71
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