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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
Centro de Ciˆencias F´ısicas e Matem´aticas – CFM
Departamento de F´ısica
Estudo dos eclipses da nova-an˜a
HT Cassiopeiae em quiescˆencia e erup¸c˜ao.
∗
Bernardo Walmott Borges
Tese realizada sob orienta¸c˜ao do Prof. Dr. Ray-
mundo Baptista e apresentada ao Departamento de
F´ısica da UFSC em preenchimento parcial dos requi-
sitos para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor em F´ısica.
Florian´opolis
2008
∗
Trabalho financiado pelo Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient´ıfico e Tecnol´o-
gico (CNPq).
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Dedico essa tese inteiramente a minha amada filha Sofia, que
por mais de 3 anos ao longo de meu doutorado, possibilitou a
maior felicidade que tive na vida. Sua ausˆencia hoje me faz
encerrar esta tese em minha mais profunda tristeza.
Meu amor e minhas saudades s˜ao eternos.
“Oh, peda¸co de mim
Oh, metade amputada de mim
Leva o que h´a de ti
Que a saudade d´oi latejada
´
E assim como uma fisgada
No membro que j´a perdi.”
Chico Buarque
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O autor utilizou o L
A
T
E
Xpara confec¸c˜ao desta tese. O L
A
T
E
X ´e um programa de edi¸c˜ao
de textos e documentos. Elaborado por Leslie Lamport na d´ecada de 80, o L
A
T
E
X ´e um
conjunto de macros do programa T
E
X. O T
E
X foi criado por Donald Knuth no final dos
anos 70.
iv
RESUMO
Nesta tese de doutorado, apresenta-se um amplo estudo dos eclipses da nova-an˜a
HT Cassiopeia em quiescˆencia e erup¸c˜ao, com dados obtidos por fotometria de banda
larga no ´otico. Inicialmente reporta-se a identifica¸c˜ao de varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo or-
bital no objeto. Foram medidos novos instantes de meio-eclipse da an˜a-branca que foram
combinados com os existentes na literatura para constru¸c˜ao de um diagrama observado-
menos-calculado que compreende 29 anos de observa¸c˜oes. Os dados exibem uma modu-
la¸c˜ao com per´ıodo de 36 anos e amplitude ∼ 40 s, com significˆancia estat´ıstica maior que
99.9% em rela¸c˜ao a um per´ıodo constante. Esses resultados foram combinados com aque-
les da literatura com objetivo de revisar o tema de varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital em
vari´aveis catacl´ısmicas e sua interpreta¸c˜ao em termos de um ciclo magn´etico do tipo solar
na estrela secund´aria. Um diagrama da varia¸c˜ao fracional de per´ıodo orbital (∆P/P )
versus a velocidade angular da estrela ativa (Ω) para vari´aveis catacl´ısmicas, RS CVn,
W UMa, e Algols, revela que bin´arias compactas com per´ıodo orbital acima do period
gap (secund´arias com envelopes convectivos) satisfazem uma rela¸c˜ao ∆P/P ∝ Ω
−0.7±0.1
.
Vari´aveis catacl´ısmicas abaixo do period gap (com secund´arias totalmente convectivas)
est˜ao mais de 3-σ distantes dessa rela¸c˜ao, com varia¸c˜ao fracional de per´ıodo orbital m´edia
≃ 6 vezes menor que aqueles sistemas acima do period gap.
A seguir, foi analisada a curva hist´orica de HT Cas constru´ıda a partir de observa¸c˜oes
de astrˆonomos amadores. O tempo m´edio de recorrˆencia das erup¸c˜oes T
C
do objeto ´e
de 800 dias. Por´em, o diagrama O−C dos instantes de m´aximo brilho revela que tempo
de recorrˆencia sofre varia¸c˜oes bruscas, como, por exemplo, um per´ıodo de 6 anos sem
erup¸c˜oes – entre 1989 e 1995 – seguido por um per´ıodo igual em que ocorrem 7 erup¸c˜oes,
com recorrˆencia m´edia de 400 dias. Foi aplicada uma concep¸c˜ao tridimensional do m´etodo
de mapeamento por eclipse aos dados do objeto coletados por 3 noites durante uma
erup¸c˜ao em novembro de 1995. A implementa¸c˜ao desse m´etodo permitiu, al´em de obter
as distribui¸c˜oes superficiais de intensidade de brilho do disco e da borda, estimar tamb´em
os ˆangulos β de semi-abertura do disco de acr´escimo ao longo da erup¸c˜ao, que variam
entre entre 3
◦
e 5
◦
, o que equivale a um intervalo de 0.05 − 0.1 na escala de altura da
fotosfera do disco de acr´escimo. Os mapas de eclipse revelam que ao longo da primeira e
da terceira noite de observa¸c˜oes surge uma componente assim´etrica no lado do disco onde
est´a o gas stream. Na segunda noite, os progressivos adiantamentos do instante de m´ınimo
do eclipse revelam uma assimetria que se torna cada vez mais evidente no lado oposto ao
gas stream no disco. As distribui¸c˜oes radiais de intensidade obtidas sugerem a presen¸ca de
uma onda de aquecimento que propaga-se para fora do disco durante a subida e uma onda
de resfriamento que move-se no sentido da prim´aria durante o decl´ınio. Estima-se uma
velocidade da onda de aquecimento de v
heat
= +1.4 km s
−1
e o valor da velocidade da onda
de resfriamento calculado foi de v
cool
= −0.4 km s
−1
. N˜ao existe evidˆencia de desacelera¸c˜ao
da frente de onda de resfriamento como previsto pelo modelo de instabilidade no disco.
A distribui¸c˜ao radial de temperatura de brilho do disco de acr´escimo do objeto evolui
de um perfil plano nas regi˜oes centrais na subida ao m´aximo, para uma distribui¸c˜ao que
segue a lei T (r) ∝ r
−3/4
no decl´ınio. Os resultados sugerem que as erup¸c˜oes de HT Cas
s˜ao causadas por pulsos de transferˆencia aumentada de mat´eria proveniente da estrela
secund´aria.
vi
ABSTRACT
This thesis presents a eclipses study of the dwarf novae HT Cassiopeiae in quiescence
and in outburst, using data from optical broad band photometry. Initially, we report
identification of cyclical changes in the orbital period of the object. We measured new
white-dwarf mid-eclipse timings and combined them with published measurements to
construct an observed-minus-calculated diagram covering 29 years of observations. The
data present a 36 yr period modulation of semi-amplitude ∼ 40 s, with a statistical
significance greater than 99.9 percent with respect to a constant period. We combine
our results with those in the literature to revisit the issue of cyclical period changes in
cataclysmic variables and their interpretation in terms of a solar-type magnetic activity
cycle in the secondary star. A diagram of fractional period change (∆P/P ) versus the
angular velocity of the active star (Ω) for cataclysmic variables, RS CVn, W UMa, and
Algols, reveal that close binaries with periods above the gap (secondaries with convective
envelopes) satisfy a relationship ∆P/P ∝ Ω
−0.7±0.1
. Cataclysmic variables below the
period gap (with fully convective secondaries) deviate from this relationship by more
than 3−σ, with average fractional period changes ≃ 6 times smaller than those of the
systems above the gap.
Thereafter, we analyzed the long term light curve of HT Cas constructed from obser-
vations of amateurs astronomers. The average outburst recurrence time T
C
is 800 days.
However, the O−C diagram of the timings of maximum brightness reveals sudden chan-
ges in the outburst recurrence time. For example, from 1989 to 1995 the object did not
show any outburst. This interval was followed by the same 6-yr period in which 7 out-
bursts were observed with an average recurrence time of 400 days. A 3-D version of the
eclipse mapping method was applied to eclipse light curves of the object collected along
3 nights in 1995 November, when the object was in outburst. The implementation of this
method allows the construction of the superficial brightness maps of the disc and ribbon,
and also allows the estimative of the accretion disc semi-opening angles β. These angles
varied between 3
◦
and 5
◦
along the outburst, equivalent to a interval of 0.05−0.1 in the
height-scale of the photosphere of the accretion disc. The eclipse maps reveal that an
asymmetric component appears in the side of the gas stream in the first and third nights
of observations. In the second night, the observed behavior of the minimum eclipse ti-
mings was translated in the maps as an asymmetry in the opposite side of the gas stream.
The radial intensity distribution suggest the presence of outward-moving heating wave
during the rise and an inward-moving cooling wave in the decline. The inferred speed
of the outward-moving heating wave is of v
heat
= +1.4 km s
−1
, while the speed of the
cooling wave is v
cool
= −0.4 km s
−1
. There is no evidence of deceleration of the cooling
wave as predicted by disc instability model. The radial brightness temperature profile
of the accretion disc evolves from a flat profile in the inner regions during the rise, to a
distribution that is in reasonably good agreement with the T (r) ∝ r
−3/4
law during the
decline. The results suggest that the outbursts of the HT Cas are driven by episodes of
enhanced mass-transfer from its secondary star.
SUM
´
ARIO
1. Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Revis˜ao bibliogr´afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1 Estrelas vari´aveis catacl´ısmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 A classifica¸c˜ao de VCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Discos de acr´escimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital e o modelo evolutivo . . . . . . . . . . . . . 12
3.1 Modelo de evolu¸c˜ao de VCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital em HT Cas . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Discuss˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.1 Modula¸c˜oes de per´ıodo orbital em VCs . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.2 Uma compara¸c˜ao das modula¸c˜oes observadas acima e abaixo do
period gap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs . . . . . . 34
4.1 Modelos de erup¸c˜oes de NAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 O m´etodo de mapeamento por eclipses (MME) . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.1 A vers˜ao tridimensional do MME (MME3D) . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Dados de HT Cas em erup¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.1 HT Cassiopeiae: uma NA do tipo SU UMa . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.2 Dados utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.3 Curva de luz hist´orica de HT Cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Sum´ario ix
4.3.4 A an´alise de Ioannou et al. (1999) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.5 Descri¸c˜ao das curvas de eclipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3.6 O raio do disco de acr´escimo (R
d
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4 Mapeamento por eclipse de HT Cas em erup¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4.1 Simula¸c˜oes: estimativa de β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4.2 Mapas de eclipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4.3 Estruturas do disco de acr´escimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4.4 Velocidade das frentes de transi¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4.5 Distribui¸c˜oes radiais de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.5 Resultados: a origem das erup¸c˜oes de HT Cas . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5. Considera¸c˜oes finais e perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
Novas-an˜as (NAs) representam uma classe de Vari´aveis Catacl´ısmicas (VCs) caracteri-
zada por aumentos repentinos de brilho (erup¸c˜oes) que podem ter amplitude, dura¸c˜ao
e tempo de recorrˆencia bastante variados. Sua denomina¸c˜ao surgiu na observa¸c˜ao das
erup¸c˜oes em U Gem e SS Cyg, que apresentam amplitudes reduzidas, como uma “nova
pequena, an˜a”
1
(Warner 1995). O objetivo principal da pesquisa de doutorado do autor
´e a utiliza¸c˜ao de fotometria CCD de banda larga no ´otico no estudo dessa classe de obje-
tos, dando suporte observacional na avalia¸c˜ao dos modelos que descrevem a evolu¸c˜ao de
VCs e as erup¸c˜oes de NAs. Na presente tese essa avalia¸c˜ao ser´a feita utilizando dados de
fotometria de um mesmo objeto, a NA HT Cassiopeiae (HT Cas).
A utilidade dessa t´ecnica observacional no estudo de VCs/NAs j´a est´a consolidada h´a
d´ecadas (Warner 1995; Hilditch 2001). No entanto, as novidades decorrentes da aplica¸c˜ao
da fotometria CCD de banda larga ainda s˜ao enormes, em particular nas investiga¸c˜oes no
dom´ınio temporal em NAs, onde ´e necess´ario uma grande disponibilidade de tempo de
telesc´opio. Erup¸c˜oes e supererup¸c˜oes s˜ao eventos imprevis´ıveis e a busca por fenˆomenos
peri´odicos – em todas escalas de tempo, de segundos a anos – requer monitorias longas,
1
No contexto hist´orico a denomina¸c˜ao seguiu essa ordem por amplitude das erup¸c˜oes – supernovas,
novas, novas-an˜as. Na concep¸c˜ao atual, as origens f´ısicas dessas erup¸c˜oes s˜ao bastante distintas.
´
E
interessante notar tamb´em que apesar da maioria das NAs exibirem erup¸c˜oes menores em amplitude, ´e
conhecida uma categoria de NA, as WZ Sge, que podem apresentar erup¸c˜oes mais brilhantes que novas
(e s˜ao confundidas com essa classe ainda hoje).
Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 2
quase ininterruptas. Essa disponibilidade est´a presente hoje em dias em telesc´opios de
m´edio e pequeno porte, como os do Observat´orio do Pico dos Dias (LNA/MCT, Brasil).
A partir deles, a observa¸c˜ao de objetos intrinsicamente fracos como NAs exige o desen-
volvimento de ferramentas e/ou oportunidades que utilizem dados de fotometria.
´
E neste
nicho que esta tese se insere: todos os dados utilizados neste trabalho foram coletados
utilizando fotometria CCD de banda larga em telesc´opios de m´edio e pequeno porte.
A inova¸c˜ao necess´aria para a caracteriza¸c˜ao de uma tese aparece em dois aspectos:
uma nova abordagem e uma nova ferramenta para an´alise. No Cap´ıtulo 3, a observa¸c˜ao de
varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital em HT Cas permite um estudo geral sem precedentes
desse fenˆomeno entre VCs eclipsantes e outras bin´arias compactas. O Cap´ıtulo 4 apresenta
a aplica¸c˜ao definitiva da vers˜ao tridimensional do prida
2
a dados de HT Cas ao longo de
uma (rara) erup¸c˜ao em 1995. Apesar das avalia¸c˜oes dos modelos serem feitas com dados
oriundos de uma mesma t´ecnica observacional (fotometria CCD), os conceitos envolvidos
em cada caso variam bastante. Evitando tornar a revis˜ao bibliogr´afica muito longa e
carregada, ser˜ao apresentados a seguir, no Cap´ıtulo 2, somente os conceitos comuns aos
dois outros cap´ıtulos. De forma abreviada, os modelos ser˜ao descritos no come¸co de cada
cap´ıtulo em que ser˜ao avaliados. O Cap´ıtulo 5, por fim, apresenta as considera¸c˜oes finais
e perspectivas do autor.
2
Programa de Reconstru¸c˜ao de Imagens de Discos de Acr´escimo (Baptista & Steiner 1991,1993),
algoritmo utilizado no mapeamento por eclipses.
Cap´ıtulo 2
Revis˜ao bibliogr´afica
Antes de conceituar uma VC, ´e conveniente apresentar algumas rela¸c˜oes gerais de sistemas
bin´arios compactos, que ´e a classe geral de sistema bin´arios a qual pertence HT Cas.
Num sistema bin´ario de ´orbita circular e s´ıncrona
1
, e cujas estrelas componentes possuam
massas M
1
e M
2
, a separa¸c˜ao orbital a est´a relacionada com o per´ıodo orbital P
orb
atrav´es
da terceira lei de Kepler,
P
2
orb
=
4π
2
a
3
G(M
1
+ M
2
)
, (2.1)
e define-se a raz˜ao de massa do sistema por q ≡
M
2
M
1
. Isolando a separa¸c˜ao orbital a
(distˆancia entre o centro das duas componentes), pode-se escrever a rela¸c˜ao acima de uma
forma mais pr´atica:
a = 3.53 × 10
10
M
1
M
⊙
1/3
(1 + q)
1/3
P
orb
h
2/3
cm. (2.2)
Para expressar o potencial total Φ (que ´e a soma do potencial gravitacional φ
G
e do
potencial rotacional φ
ω
) toma-se um sistema de coordenadas girante com a origem no
1
No caso das vari´aveis catacl´ısmicas, intera¸c˜oes de mar´e de amplitude vari´avel levam sistemas com ´orbi-
tas excˆentricas e n˜ao sincronizadas a esse estado de m´ınima energia em escalas de tempo de τ
sinc
< 10
4
anos
(sincroniza¸c˜ao) e τ
circ
< 10
6
anos (circulariza¸c˜ao). Estas escalas s˜ao bastantes curtas se comparadas `as
escalas de tempo de evolu¸c˜ao e dura¸c˜ao da fase como bin´aria catacl´ısmica (10
8
− 10
10
anos) (Hilditch
2001).
Cap´ıtulo 2. Revis˜ao bibliogr´afica 4
centro da estrela de massa M
1
, com o eixo z perpendicular ao plano orbital e com o eixo
x crescente na dire¸c˜ao da linha que une os centros das estrelas. O centro da estrela de
massa M
2
est´a localizado em (a, 0, 0) e o centro de massa do sistema em (µa, 0, 0), onde
µ =
M
2
M
1
+M
2
=
q
1+q
´e a massa reduzida. Nesse sistema de coordenadas e valendo-se da
aproxima¸c˜ao de Roche (Pringle 1985; Hilditch 2001), o potencial Φ ´e dado por
Φ = −
GM
1
(x
2
+ y
2
+ z
2
)
1
2
−
GM
2
[(x − a)
2
+ y
2
+ z
2
]
1
2
−
1
2
ω
2
[(x − µa)
2
+ y
2
], (2.3)
onde w =
2π
P
orb
´e a velocidade angular. As superf´ıcies de Φ constante (chamadas de eq
¨
uipo-
tenciais de Roche) est˜ao mostradas na Figura 2.1. Os pontos cr´ıticos (ou seja, de derivada
nula) deste potencial s˜ao conhecidos por pontos Lagrangeanos, sendo particularmente ´util
o ponto Lagrangeano interno L
1
, que ´e um ponto de sela de Φ. A superf´ıcie definida pelo
potencial que assume o valor de Φ em L
1
chama-se lobo de Roche, e ´e a maior eq
¨
uipotencial
fechada que pode conter uma das estrelas.
Denotando por Φ(x, 0, 0) o potencial total na dire¸c˜ao do eixo-x, as posi¸c˜oes dos pontos
L
1
, L
2
e L
3
podem ser obtidas j´a que
∂Φ
∂x
y=z=0
= 0 (s˜ao pontos cr´ıticos). Portanto, a
distˆancia do centro da prim´aria at´e o ponto L
1
, indicada por R
L
1
e de grande utilidade
adiante, pode ser estimada pela express˜ao anal´ıtica de Silber (1992),
R
L
1
a
= (1.0015 + q
0.4056
)
−1
, (2.4)
v´alida no intervalo de raz˜ao de massa 0.04 ≤ q ≤ 1.
Quando as duas estrelas do sistemas est˜ao perfeitamente contidas dentro de seus lobos
de Roche, o sistema ´e chamado de destacado. Se uma das estrelas preenche seu lobo
de Roche de modo que come¸ca haver transferˆencia de massa para a estrela companheira
atrav´es do ponto L
1
, o sistema ´e conhecido por semi-destacado ou semi-ligado. Bin´arias
de contato ocorrem quando ambas estrelas preenchem seu lobo de Roche.
Cap´ıtulo 2. Revis˜ao bibliogr´afica 5
Fig. 2.1: Eq
¨
uipotenciais de Roche para um sistema bin´ario de q = 0.25. Est˜ao representados os
pontos Lagrangeanos (L
1
−L
5
) e o centro de massa do sistema (CM). As eq
¨
uipotenciais
est˜ao indicadas de 1 a 4 no sentido de Φ crescente. L
1
´e um ponto de sela de Φ e ´e
chamado de ponto Lagrangeano interno. L
4
e L
5
s˜ao pontos de m´aximo local de
Φ (tamb´em conhecidos como pontos dos aster´oides Troianos). Extra´ıdo de Iben &
Livio (1993).
Cap´ıtulo 2. Revis˜ao bibliogr´afica 6
2.1 Estrelas vari´aveis catacl´ısmicas
VCs s˜ao sistemas bin´arios semi-ligados onde uma estrela an˜a dos tipos espectrais M, K ou
G da Seq
¨
uˆencia Principal (compreendendo per´ıodos orbitais entre 1.3
<
∼
P
orb
<
∼
9 horas),
ou at´e uma estrela evolu´ıda (subgigante, P
orb
>
∼
9 horas), preenche seu lobo de Roche
e transfere mat´eria para uma an˜a branca (chamada prim´aria, de massa M
1
) pelo ponto
Lagrangeano interno L
1
. A estrela doadora de mat´eria ´e chamada secund´aria (de massa
M
2
).
Quando a prim´aria n˜ao possui campos magn´eticos intensos (B
<
∼
10
5
G), o jato de
g´as que sai de L
1
´e defletido pela for¸ca de Coriolis e n˜ao colide diretamente com a an˜a
branca, chocando-se com ele pr´oprio ap´os contornar o objeto central. Esse choque faz com
que a energia cin´etica do g´as seja irradiada, mantendo o momento angular constante: ´e
formado um anel. Qualquer processo viscoso existente nesse anel produzir´a calor devido
`a sua rota¸c˜ao diferencial (tens˜oes de cisalhamento entre as camadas do anel).
`
A medida
que a energia liberada pelas tens˜oes viscosas ´e irradiada, as part´ıculas v˜ao movendo-se em
dire¸c˜ao `a prim´aria. No entanto, pela conserva¸c˜ao do momento angular, algumas poucas
part´ıculas movem-se no sentido oposto. A viscosidade do g´as ´e o mecanismo de transporte
de momento angular e dissipa¸c˜ao de energia (Shakura & Sunyaev 1973). Enfim, quando
as part´ıculas que movem-se para raios menores alcan¸cam a an˜a branca, depositando g´as
em sua superf´ıcie, ´e formado um disco de acr´escimo.
A origem do mecanismo fundamental para a existˆencia desses discos de acr´escimo, a
viscosidade, ainda n˜ao foi determinada. Entre os esfor¸cos realizados para descrever as cau-
sas desse mecanismo, pode-se citar modelos utilizando turbulˆencia ou campos magn´eticos
(Warner 1995). O formalismo de Shakura & Sunyaev (1983) para descri¸c˜ao de discos
com viscosidade (“discos-α”) ´e tomado atualmente como padr˜ao e ser´a apresentado na
Subse¸c˜ao 2.3. Um modelo alternativo propˆos choques espirais como mecanismo de trans-
porte de momento angular (Sawanda, Matsuda & Hachisu 1986). O g´as do disco perde
momento angular quando passa pelos bra¸cos espirais. Esse momento ´e ent˜ao transferido
para o momento angular orbital via intera¸c˜oes de mar´e.
Cap´ıtulo 2. Revis˜ao bibliogr´afica 7
Se a mat´eria continua a fluir da secund´aria durante a forma¸c˜ao do disco, o jato de g´as
proveniente do ponto L
1
choca-se com a borda do disco formando uma mancha brilhante
(o bright spot) na ´area do impacto. O bright spot ´e localizado na intersec¸c˜ao da trajet´oria
do g´as com a borda externa do disco. A concep¸c˜ao de uma bin´aria desta classe, vista
perpendicularmente ao plano orbital, ´e mostrada na Figura 2.2.
Fig. 2.2: Representa¸c˜ao esquem´atica de uma VC n˜ao-magn´etica em vista superior do plano
orbital do sistema bin´ario. Extra´ıdo de Warner (1995).
Se o vetor normal a este plano formar um ˆangulo de inclina¸c˜ao i suficientemente grande
(i ∼ 70
◦
−90
◦
) em rela¸c˜ao a um observador na Terra, a secund´aria oculta periodicamente
as partes centrais do disco e o sistema ´e dito eclipsante. A Figura 2.3 mostra o exemplo
de um curva de luz t´ıpica de um sistema eclipsante. Nela est˜ao indicados os pontos de
oculta¸c˜ao (ingresso) e reaparecimento (egresso) das principais componentes do disco que
s˜ao eclipsadas. Vari´aveis catacl´ısmicas eclipsantes – como HT Cas – s˜ao particularmente
´uteis pois a oculta¸c˜ao do disco de acr´escimo e da prim´aria pela secund´aria pode ser
utilizada para estimar os parˆametros orbitais da bin´aria, medir varia¸c˜oes de per´ıodo orbital
e permite inferir a estrutura espacial do disco atrav´es de t´ecnicas de mapeamento por
eclipses que ser˜ao descritas posteriormente.
Cap´ıtulo 2. Revis˜ao bibliogr´afica 8
Fig. 2.3: Curva de luz de eclipse do sistema IY UMa onde est˜ao indicados os pontos de egresso e
ingresso do bright spot e da an˜a branca. Extra´ıdo de Rolfe, Haswell & Patterson (2001).
Cap´ıtulo 2. Revis˜ao bibliogr´afica 9
2.2 A classifica¸c˜ao de VCs
A classifica¸c˜ao desses objetos foi inicialmente baseada na morfologia das curvas de luz
que diferentes sistemas apresentavam. Por´em com a descoberta de classes de VCs n˜ao
eruptivas, fez-se necess´ario a inclus˜ao de novos sub-tipos baseados em caracter´ısticas es-
pectrosc´opicas do sistema ou na intensidade do campo magn´etico apresentado pela an˜a
branca. As defini¸c˜oes seguem a“taxonomia”padr˜ao, como apresentada por Warner (1995):
• Novas Cl´assicas s˜ao sistemas que, por defini¸c˜ao, apresentam uma ´unica erup¸c˜ao
observada, de amplitude entre 6 e 19 magnitudes, que pode ser bem compreendida
como resultante de uma explos˜ao termonuclear do material que ´e depositado na
superf´ıcie da an˜a branca.
• Novas-an˜as s˜ao sistemas que apresentam erup¸c˜oes com amplitudes entre 2 e 5 mag-
nitudes e intervalos de recorrˆencia entre 10 dias e dezenas de anos, com uma escala
bem definida para cada objeto. A dura¸c˜ao das erup¸c˜oes variam de 2 a 20 dias.
Existem trˆes subtipos de NAs a saber:
– Z Cam s˜ao sistemas que apresentam ocasionalmente patamares de alto brilho
constante (standstills).
– SU UMa possuem supererup¸c˜oes ocasionais mais brilhantes (∼ 0.7 − 1.0 mag)
e ∼ 3 − 5 vezes mais longas que erup¸c˜oes normais. Durante essas supere-
rup¸c˜oes, os sistemas SU UMa apresentam modula¸c˜oes fotom´etricas (chamadas
superhumps) com per´ıodos muito pr´oximos ao per´ıodo orbital. Uma categoria
extrema desse subtipo, os sistemas WZ Sge ou TOADs (Tremendous Outburst
Amplitude Dwaf nova), exibem somente supererup¸c˜oes, com amplitude de no-
vas cl´assicas e com um tempo de recorrˆencia de d´ecadas.
– U Gem s˜ao NAs que n˜ao foram classificadas como Z Cam ou SU UMa, ou seja,
foram observadas somente erup¸c˜oes normais.
Cap´ıtulo 2. Revis˜ao bibliogr´afica 10
• Novas Recorrentes s˜ao novas cl´assicas j´a reconhecidas em que foram observadas
repeti¸c˜oes das erup¸c˜oes.
• Sistemas do tipo nov´oide ou nova-like s˜ao as VCs n˜ao-eruptivas. Existem quatro
sub-tipos: RW Tri, SW Sex, UX UMa e sistemas VY Scl.
• Sistemas magn´eticos podem ser classificados em dois sub-tipos: polares e polares
intermedi´arios, dependendo da intensidade do campo magn´etico da prim´aria.
2.3 Discos de acr´escimo
Discos de acr´escimo em VCs compreendem diferentes taxas de transferˆencia de mat´eria
˙
M
e regimes de viscosidade
2
. Discos em NAs apresentam
˙
M variando entre 10
−11
M
⊙
ano
−1
(em quiescˆencia) e 10
−9
M
⊙
ano
−1
(em erup¸c˜ao). Os modelos de erup¸c˜oes desses objetos
utilizam em seus esfor¸cos para a reprodu¸c˜ao desses eventos, desde discos opticamente finos,
frios e de baixa viscosidade at´e discos quentes, opticamente espessos e de alta viscosidade.
Acredita-se que nov´oides apresentam discos em constante estado de alta viscosidade e alto
˙
M. As temperaturas podem variar de 50 000 K, nas partes internas do disco (pr´oximo `a
an˜a branca), a 5 000 K nas proximidades da borda externa do disco. A referˆencia indicada
para a f´ısica do acr´escimo ´e o livro de Frank, King & Raine (2002).
Considerando um disco de acr´escimo muito fino descrito em coordenadas cil´ındricas
(r, θ, z) no plano z = 0 e considerando que esse g´as possui velocidade angular Kepleriana
Ω(r) =
GM
1
r
3
1
2
em torno da prim´aria, pode-se mostrar que a equa¸c˜ao
∂Σ
∂t
=
3
r
∂
∂r
r
1
2
∂
∂r
νΣr
1
2
, (2.5)
rege o comportamento de discos de acr´escimo Keplerianos, onde Σ = 2
∞
0
ρdz ´e a densi-
dade superficial e ν ´e o coeficiente de viscosidade cinem´atica do g´as. A equa¸c˜ao acima ´e
conhecida como equa¸c˜ao de difus˜ao n˜ao-linear.
2
Convenciona-se chamar
˙
M
d
de taxa de acr´escimo (no disco) e
˙
M
2
de taxa de transferˆencia de mat´eria
(pela secund´aria). Neste trabalho a nota¸c˜ao
˙
M se refere `a taxa de acr´escimo.
Cap´ıtulo 2. Revis˜ao bibliogr´afica 11
Igualando as varia¸c˜oes temporais da equa¸c˜ao acima a zero (
∂
∂t
→ 0), obt´em-se o caso
de um disco fino em estado estacion´ario. Considerando-se ainda que o disco possui uma
emiss˜ao opticamente espessa na dire¸c˜ao z, pode-se obter a express˜ao da distribui¸c˜ao radial
de temperatura para r ≫ R
1
T (r) ≃ T
∗
r
R
1
−
3
4
, (2.6)
onde
T
∗
=
3GM
1
˙
M
8πσR
3
1
1
4
, (2.7)
R
1
´e o raio da an˜a branca e σ ´e a constante de Stefan-Boltzmann.
A equa¸c˜ao acima ´e a famosa distribui¸c˜ao radial de temperatura de um disco opticamente
espesso em estado estacion´ario. No modelo de discos-α, que utiliza a parametriza¸c˜ao de
ν de Shakura & Sunyaev (1973), a viscosidade ´e dada por
ν = αc
s
H, (2.8)
onde α ´e uma constante, c
s
´e a velocidade do som no g´as e H ´e a espessura vertical do
disco. Uma conseq
¨
uˆencia direta da prescri¸c˜ao α, para o caso em que α ´e constante, ´e a
obten¸c˜ao de uma express˜ao da forma H ∝ r
9
8
para r ≫ R
1
(considerando uma opacidade
de Kramers), indicando que o disco de acr´escimo nessas condi¸c˜oes ´e cˆoncavo e pode ser
irradiado pela an˜a branca e por suas pr´oprias regi˜oes centrais.
Cap´ıtulo 3
Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital
e o modelo evolutivo
3.1 Modelo de evolu¸c˜ao de VCs
Como primeiro passo na apresenta¸c˜ao do modelo evolutivo atualmente aceito para VCs,
ser´a discutida a transferˆencia de massa e momento angular nesses sistemas. O momento
angular total de uma VC pode ser expresso por
J =
G
1
2
M
1
M
2
[M
1
+ M
2
]
1
2
a
1
2
(3.1)
=
M
1
M
2
M
1
+ M
2
a
2
ω , (3.2)
onde ω =
2π
P
orb
. Os momentos angulares individuais de cada estrela, resultantes da rota¸c˜ao
em torno do seu pr´oprio eixo, foram desprezados pois as estrelas s˜ao objetos centralmente
condensados e os momentos de in´ercia I
1
e I
2
s˜ao suficientemente pequenos para serem
ignorados na express˜ao acima. Combinando as equa¸c˜oes acima e a terceira lei de Kepler
(Eq. 2.1) e diferenciando-as em rela¸c˜ao ao tempo, obt´em-se
Cap´ıtulo 3. Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital e o modelo evolutivo 13
˙
P
orb
P
orb
= 3
˙
J
J
−
2 + 3q
1 + q
˙
M
1
M
1
−
3 + 2q
1 + q
˙
M
2
M
2
(3.3)
e
˙a
a
= 2
˙
J
J
−
1 + 2q
1 + q
˙
M
1
M
1
−
2 + q
1 + q
˙
M
2
M
2
(3.4)
=
2
3
˙
P
orb
P
orb
+
1
3(1 + q)
˙
M
1
M
1
+
1
3(1 + q)
˙
M
2
M
2
, (3.5)
onde
˙
M
2
< 0 (i.e., perda de massa), e os termos
˙
P
orb
, ˙a,
˙
M
1
e
˙
M
2
correspondem a derivadas
temporais das respectivas grandezas. Para um caso conservativo, tem-se
˙
M
1
= −
˙
M
2
(ou
M
1
+M
2
= constante) e
˙
J = 0. Portanto, as equa¸c˜oes acima, ap´os algumas simplifica¸c˜oes,
ficam
˙
P
orb
P
orb
= 3(q − 1)
˙
M
2
M
2
(3.6)
e
˙a
a
= 2(q − 1)
˙
M
2
M
2
. (3.7)
Nos casos em que ocorre uma transferˆencia de massa est´avel, espera-se que a separa¸c˜ao
orbital e o per´ıodo orbital diminuam de modo que a consequente redu¸c˜ao do lobo de Roche
assegure a transferˆencia cont´ınua de mat´eria. As equa¸c˜oes acima mostram que, no caso
conservativo, a e P
orb
decrescem somente para q > 1. Partindo da Eq. 3.7 do caso
conservativo e da aproxima¸c˜ao anal´ıtica de Paczynski (1971)
R
L(2)
a
= 0.462
q
1 + q
1
3
, (3.8)
onde 0.01 < q < 1 e R
L(2)
´e o raio de uma esfera de mesmo volume do lobo de Roche da
secund´aria, pode-se rever o limite em q do caso conservativo de transferˆencia de massa
Cap´ıtulo 3. Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital e o modelo evolutivo 14
considerando-se a varia¸c˜ao do lobo de Roche,
˙
R
L(2)
R
L(2)
=
2q −
5
3
˙
M
2
M
2
. (3.9)
A express˜ao acima implica que a raz˜ao de massa m´ınima para que ocorra transferˆencia
est´avel de mat´eria ´e q =
5
6
. Raz˜oes de massa entre
5
6
e 1, apesar do aumento de a e P
orb
,
continuam resultando numa redu¸c˜ao do tamanho do lobo de Roche da estrela doadora.
Por´em, um fato observacional ´e que a imensa maioria das VCs conhecidas possuem
q <
5
6
(Warner 1995; Smith & Dhillon 1998) e ainda assim apresentam transferˆencia est´a-
vel de mat´eria. Isso implica que a transferˆencia de mat´eria nas VCs n˜ao ´e conservativa,
seja porque existe perda ou de massa de momento angular (ou ambas). As perdas de
massa por ventos estelares observadas (Warner 1995) s˜ao muito pequenas/desprez´ıveis
para sustentar uma solu¸c˜ao do tipo
˙
M
1
=
˙
M
2
. A ´unica sa´ıda para manter a estrela secun-
d´aria em contato constante com seu lobo de Roche ´e supor um mecanismo de perda de
momento angular em VCs. Portanto, a evolu¸c˜ao de VCs ´e movida por dois ingredientes
principais: a perda de momento angular, para sustentar o processo de transferˆencia de
massa, e a resposta da secund´aria `a perda de massa. Dois mecanismos foram propostos
para a perda de momento angular. O primeiro ´e radia¸c˜ao gravitacional, que ´e efetiva
somente em per´ıodos orbitais curtos (Patterson 1984). O segundo ´e o momento angular
levado por um vento estelar magneticamente acoplado `a superf´ıcie da secund´aria (meca-
nismo de freamento magn´etico; Rappaport et al. 1983; King 1988). Como as VCs s˜ao
bin´arias gravitacionalmente acopladas, qualquer momento angular perdido pela secund´a-
ria ´e tamb´em subtra´ıdo do momento angular orbital total J do sistema, causando um
decr´escimo no per´ıodo orbital.
No modelo de freamento interrompido para a evolu¸c˜ao das VCs (Rappaport et al. 1983;
Hameury et al. 1991), o reduzido n´umero de sistemas com per´ıodo entre 2.2 − 3.2 horas
(conhecido como period gap; Howell, Nelson & Rappaport 2001; Knigge 2006) ´e explicado
por uma queda s´ubita na eficiˆencia do freamento magn´etico quando a secund´aria evolui
Cap´ıtulo 3. Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital e o modelo evolutivo 15
at´e o limite superior dessa “lacuna”
1
. Neste modelo, espera-se que, para P
orb
> 3 h,
a redu¸c˜ao de per´ıodo seja dominada por perdas de momento angular pelo mecanismo
de freamento magn´etico via vento estelar vinculado `as linhas de campo magn´etico da
secund´aria (Rappaport, Verbunt & Joss 1983). Nessa fase, as taxas de transferˆencia de
massa v˜ao de ∼ 10
−9
a 10
−8
M
⊙
ano
−1
, e os per´ıodos orbitais evoluem de ∼ 9 a ∼ 3 horas.
A transferˆencia for¸cada e cont´ınua de mat´eria impede a estrela de alcan¸car o equil´ıbrio
t´ermico, fazendo com que as secund´arias sejam maiores que estrelas isoladas de mesma
massa (Rappaport, Joss & Webbink 1982; Smith & Dhillon 1998; Knigge 2006).
Ao alcan¸car P
orb
∼ 3 horas, a secund´aria torna-se totalmente convectiva (de massa
∼ 0.3M
⊙
) e, na concep¸c˜ao atualmente aceita, o freamento magn´etico ´e drasticamente
reduzido. A cessa¸c˜ao do freamento magn´etico reduz
˙
M
2
e permite que a secund´aria
encolha no sentido de alcan¸car seu raio de equil´ıbrio t´ermico. Isso causa o desligamento
tempor´ario do sistema, durante o qual
˙
M
2
cai praticamente a zero, at´e que – por perda de
momento angular via radia¸c˜ao gravitacional – o lobo de Roche encolha e entre novamente
em contato com a secund´aria. A retomada de contato do lobo de Roche ocorre para
per´ıodos de ∼ 2 horas. Quando
˙
M
2
recome¸ca, a evolu¸c˜ao ´e movida exclusivamente pelas
perdas por radia¸c˜ao gravitacional a taxas de ∼ 10
−11
− 10
−10
M
⊙
ano
−1
.
`
A medida que a
´orbita encolhe e M
2
decresce, a escala temporal de perda de massa aumenta, mas a escala
temporal t´ermica τ
KH
aumenta mais rapidamente devido a sua dependˆencia aproximada
de M
−2
(Kippenhahn & Weigert 1994). Num certo instante a escala t´ermica torna-se
maior do que a escala de transferˆencia de massa. Quando isso ocorre, a secund´aria torna-
se incapaz de ajustar-se devido `a transferˆencia de massa em sua escala τ
KH
e come¸ca a
expandir-se, em acordo com sua resposta adiab´atica. Neste ponto a secund´aria torna-se
completamente degenerada, com massa M
2
∼ 0.06M
⊙
. Deste ponto em diante, a massa
da secund´aria continua a decrescer (com escalas temporais de
˙
M cada vez maiores) e o
per´ıodo orbital volta a crescer (Howell, Rappaport & Politano 1997). O per´ıodo m´ınimo
1
S˜ao conhecidas cerca de duas dezenas de estrelas no period gap (Katysheva & Pavlenko 2003). Apro-
ximadamente metade delas s˜ao magn´eticas, majoritariamente polares, e a outra metade s˜ao sistemas do
tipo SU UMa.
Cap´ıtulo 3. Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital e o modelo evolutivo 16
observado para VCs ´e de ∼ 76.2 minutos (Knigge 2006).
A evolu¸c˜ao secular da bin´aria pode em princ´ıpio ser detectada medindo-se varia¸c˜oes
no per´ıodo orbital de VCs eclipsantes. Eclipses s˜ao marca¸c˜oes evidentes no tempo e
podem ser usados para determinar o per´ıodo orbital (e suas derivadas) com alta precis˜ao.
No entanto, os esfor¸cos feitos no sentido de medir o decr´escimo de longo-termo do P
orb
em VCs foi frustrante: nenhum dos objetos estudados por tempo suficiente apresentou
a taxa esperada de decr´escimo do per´ıodo orbital. Ao inv´es disso, a maioria das VCs
eclipsantes bem observadas
2
exibem varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital (Baptista et al.
2003 e referˆencias ali contidas). Varia¸c˜oes c´ıclicas de P
orb
tamb´em s˜ao observadas em
outras bin´arias compactas com um componente do tipo tardio – Algols, sistemas RS CVn
e W UMa (Lanza & Rodon`o 1999). A explica¸c˜ao mais promissora desse efeito parece ser
a existˆencia de ciclos de atividade magn´etica do tipo solar (quasi- e/ou multi-peri´odico)
na secund´aria. Foram propostos diversos mecanismos capazes de produzir modula¸c˜oes de
per´ıodo orbital na escala de tempo de d´ecadas, induzidas por um campo magn´etico vari´avel
na zona convectiva da componente de tipo tardio (Matese & Whitmire 1983; Applegate
& Patterson 1987; Warner 1988; Applegate 1992; Richman et al. 1994; Lanza et al. 1998;
Lanza 2006a). A amplitude relativamente larga dessas varia¸c˜oes c´ıclicas provavelmente
contribui para mascarar o decr´escimo secular, de baixa amplitude, do per´ıodo orbital.
A seguir ´e reportada a identifica¸c˜ao de varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital em HT Cas
utilizando dados de fotometria CCD. Isso permite uma ampla discuss˜ao sobre a existˆencia
de modula¸c˜oes de per´ıodo orbital em VCs acima e abaixo do period gap e, diante disso, o
modelo evolutivo descrito acima ´e avaliado
3
.
2
I.e., aqueles sistemas cujos diagramas observado-menos-calculado (O−C) dos instantes de eclipse s˜ao
bem amostrados e cobrem mais de uma d´ecada de observa¸c˜oes.
3
A an´alise descrita a seguir foi publicada no peri´odico Astronomy & Astrophysics em mar¸co de 2008.
O artigo est´a em anexo no final desta tese.
Cap´ıtulo 3. Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital e o modelo evolutivo 17
3.2 Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital em HT Cas
S´eries temporais de fotometria CCD em luz branca de HT Cas foram obtidas durante 5
noites em janeiro e fevereiro de 2007 com o telesc´opio de 1.2-m na Esta¸c˜ao Astronˆomica
Kryoneri (NOA, Gr´ecia). Os dados compreendem um total de 11 eclipses e foram obtidos
com um CCD SI-502 de 516×516 pixels. Todas as observa¸c˜oes tˆem resolu¸c˜ao temporal de
25 s. Um sum´ario dessas observa¸c˜oes ´e apresentado na Tabela 3.1. A redu¸c˜ao dos dados
foi feita utilizando rotinas do iraf
4
e inclu´ıram corre¸c˜oes de bias e flat-field. A fotometria
de abertura foi realizada com o pacote apphot. As s´eries temporais foram constru´ıdas
calculando-se a diferen¸ca de magnitude entre a vari´avel e uma estrela de compara¸c˜ao. HT
Cas estava 0.5 mag mais fraca em 18 e 20 de janeiro do que em rela¸c˜ao aos dados das
outras noites. Esse comportamento ´e similar `aquele visto anteriormente por Robertson &
Honeycutt (1996), que revelou que HT Cas transita entre estados quiescentes de baixo e
alto brilho com uma amplitude de 1.3 mag e em escalas de tempo que variam de dias a
meses (esse assunto ser´a retomado na Subse¸c˜ao 4.3.3). O espalhamento no fluxo fora do
eclipse, tanto em estado alto como em estado baixo, ´e muito menor que a transi¸c˜ao de
0.5 mag que ocorreu entre 20 e 21 de janeiro. Essa diferen¸ca sistem´atica de fluxo implicou
no agrupamento das curvas de luz por estado de brilho (baixo e alto) para a determina¸c˜ao
dos instantes (timings) de meio-eclipse.
Os instantes de meio-eclipse foram medidos a partir dos instantes de meio-ingresso e
meio-egresso do eclipse da an˜a branca, estimados utilizando a t´ecnica da derivada descrita
por Wood et al. (1985). Para cada estado de brilho, o eixo temporal das curvas de luz
foi convertido para fase orbital em rela¸c˜ao a uma efem´eride-teste. Todas as curvas foram
ent˜ao concatenadas e ordenadas em fase orbital para produzir uma curva de luz combi-
nada com maior resolu¸c˜ao temporal. A curva de luz combinada foi suavizada com um
filtro de mediana e sua derivada num´erica foi calculada. A curva de derivada, suavizada
4
Image Reduction and Analysis Facility, ´e um pacote de softwares de redu¸c˜ao e an´alise de dados
astronˆomicos. O iraf foi desenvolvido pelo National Optical Astronomy Observatories (NOAO, EUA),
que em 2006 decidiu encerrar o suporte ao pacote. A partir disso, o desenvolvimento do iraf passou
a ser conduzido voluntariamente pelo grupo inicial de programadores e pela comunidade de usu´arios
(www.iraf.net).
Cap´ıtulo 3. Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital e o modelo evolutivo 18
Tab. 3.1: Sum´ario das observa¸c˜oes
Data Hora UT Ciclos Qualidade
∗
Estado
(2007) quiesc.
Jan 18 17:27-19:17 141096, 141097 b baixo
Jan 20 16:45-21:15 141123, 141124 a baixo
Jan 21 17:38-20:53 141137, 141138 b alto
Jan 22 16:48-23:03 141150-141153 c alto
Fev 15 17:15-19:15 141476 b alto
∗
Qualidade da noite: a - fotom´etrica, b - boa (varia¸c˜oes de transparˆen-
cia atmosf´erica), c - ruim (com nuvens).
novamente por um filtro de mediana, foi analisada por um algoritmo que identifica os
pontos extremos (as fases de meio-ingresso/egresso da prim´aria). A fase de meio-eclipse,
φ
0
, ´e definida como a m´edia das duas fases medidas. Para ambos conjuntos de dados, a
diferen¸ca entre as fases de meio-ingresso e meio-egresso ´e consistente com a largura do
eclipse da an˜a branca observada anteriormente, ∆φ = 0.0493±0.0007 ciclos (Horne, Wood
& Stiening 1991). Finalmente, adotou-se um n´umero de ciclo representativo para cada
conjunto de curvas de luz e calculou-se o instante de meio-eclipse (HJD) correspondente a
esse ciclo usando o valor medido de φ
0
. Esse m´etodo permite uma estimativa simples e ro-
busta do timing de meio-eclipse a partir de uma amostra de curvas de luz. Essas medi¸c˜oes
tˆem precis˜ao de ≃ 5 s. Os instantes estimados (em HJD) para os ciclos representativos
dos conjuntos em estado baixo (E = 141110) e alto (E = 141194) s˜ao 2, 454, 120.29368(5)
e 2, 454, 126.48001(5), respectivamente (as incertezas est˜ao indicadas entre parˆenteses).
Feline et al. (2005) adicionaram novos timings de fotometria r´apida no ´optico `aqueles
listados por Patterson (1981), Zhang, Robinson & Nather (1986) e Horne et al. (1991) para
determinar uma efem´eride linear revisada para HT Cas. Esses autores n˜ao reportaram
evidˆencias de decr´escimo ou modula¸c˜oes de per´ıodo orbital, talvez por n˜ao inclu´ırem
os instantes no ´optico de Wood et al. (1995) e Ioannou et al. (1999) em sua an´alise.
No presente trabalho, o conjunto de timings utilizado inclui os instantes de meio-eclipse
medidos nas curvas de luz deste trabalho e todos aqueles da literatura
5
. O conjunto cobre
5
Somente timings de HT Cas em quiescˆencia foram considerados, incluindo um instante de meio-eclipse
no raio-X obtido por Mukai et al. (1997).
Cap´ıtulo 3. Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital e o modelo evolutivo 19
29 anos, de 1978 a 2007. Para HT Cas a diferen¸ca entre tempo universal (UT) e tempo
dinˆamico terrestre (TDT) alcan¸ca 26 s ao longo do conjunto. A amplitude da diferen¸ca
entre a corre¸c˜ao baricˆentrica e heliocˆentrica ´e de 4 s. Todos os instantes de meio-eclipse
foram corrigidos para tempo dinˆamico baricˆentrico (BJDD) de acordo com o c´odigo de
Stumpff (1980). Para os prop´ositos dessa an´alise, considera-se que as escalas de tempo
dinˆamico terrestre (TDT) e de tempo das efem´erides (ET) formem uma escala cont´ıgua.
Os instantes observado-menos-calculado em rela¸c˜ao a uma efem´eride-teste foram obti-
dos para cada timing no nosso conjunto de dados. Para um dado ano, a m´edia dos valores
de (O−C) para aquele ano foi calculada e a ela associado um n´umero de ciclo represen-
tativo. Finalmente, o instante de meio-eclipse m´edio (em BJDD) correspondente a esse
ciclo representativo (que corresponde a um dado ano) foi obtido pela adi¸c˜ao do valor de
(O−C) m´edio ao tempo de meio-eclipse previsto pela efem´eride-teste. As incertezas foram
consideradas como sendo o desvio-padr˜ao de cada conjunto de timings anuais. Os ins-
tantes de meio-eclipse m´edio est˜ao listados na Tabela 3.2. As respectivas incertezas est˜ao
indicadas entre parˆenteses no ´ultimo algarismo significativo. Os pontos foram ponderados
pelo inverso do quadrado das incertezas no instante de meio-eclipse. A Tabela 3.3 lista os
parˆametros das efem´erides linear, quadr´atica e linear mais senoidal de melhor ajuste, com
seus respectivos erros a 1-σ. Tamb´em lista os valores quadr´aticos m´edios dos res´ıduos, σ,
e o valor de χ
2
ν
para cada caso, onde ν ´e o n´umero de graus de liberdade (χ
2
-reduzido). No
intuito de checar a sensibilidade do resultados com a incerteza nos dados, repetiu-se todos
os ajustes considerando erros de 5 ×10
−5
d para todos os timings. Os parˆametros obtidos
dessa maneira s˜ao equivalentes, dentros das incertezas, aos apresentados na Tabela 3.2.
A Figura 3.1 apresenta o diagrama (O−C) em rela¸c˜ao a efem´eride linear da Tabela 3.3.
Os pontos da Tabela 3.2 est˜ao indicados por c´ırculos cheios e apresentam uma clara
modula¸c˜ao. Os quadrados abertos no painel superior indicam os timings individuais de
meio-eclipse da literatura (ver referˆencias na Tabela 3.2) e os timings individuais medidos
nas curvas de luz deste cap´ıtulo. A significˆancia de um termo adicional na efem´eride linear
foi estimada com o teste-F, seguindo o trabalho de Pringle (1975). A efem´eride quadr´atica
(linha pontilhada no painel superior) tem uma significˆancia estat´ıstica de 96.7% por cento
Cap´ıtulo 3. Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital e o modelo evolutivo 20
Tab. 3.2: Instante de meio-eclipse m´edios
Ano Ciclo BJDD (O−C)
†
Ref.
(+2400000 d) (×10
−5
d)
1978 1076 43807.18220(3) −23 1
1982 20824 45261.56732(6) −7 2,3
1983 25976 45640.99769(6) −9 2,3
1984 30766 45993.76780(5) −8 2
1991 63228 48384.50361(5) +23 4
1994 79770
‡
49602.77584(5) +43 5
1995 85616 50033.31752(4) +56 6
1997 92628 50549.73159(2) +44 6
2002 119542 52531.87205(3) +8 7
2003 125130 52943.41261(4) +8 7
2007 141152 54123.38773(3) −29 Essa tese
†
Em rela¸c˜ao a efem´eride linear da Tabela 3.3.
‡
Instante de meio-eclipse no raio-X.
Referˆencias: (1) Patterson 1981; (2) Zhang et al. 1986;
(3) Horne et al. 1991; (4) Wood et al. 1995; (5) Mukai
et al. 1997; (6) Ioannou et al. 1999; (7) Feline et al. 2005.
Tab. 3.3: Efem´erides de HT Cas
Efem´eride linear:
BJDD = T
0
+ P
0
· E
T
0
= 2443727.93804 (±3) d P
0
= 0.0736472029 (±3) d
χ
2
ν
1
= 56.9, ν
1
= 9 σ
1
= 29.0 × 10
−5
d
Efem´eride quadr´atica:
BJDD = T
0
+ P
0
· E + c · E
2
T
0
= 2443727.93768 (±3) d P
0
= 0.0736472230 (±9) d
c = (−137 ± 7) × 10
−14
d σ
2
= 11.8 × 10
−5
d
χ
2
ν
2
= 9.47, ν
2
= 8
Efem´eride senoidal:
BJDD = T
0
+ P
0
· E + A·cos [2π(E − B)/C]
T
0
= 2443727.93828 (±6) d B = (89 ± 4) × 10
3
ciclos
P
0
= 0.073647200 (±2) d C = (180 ± 20) × 10
3
ciclos
A = (46 ± 6) × 10
−5
d σ
S
= 6.79 × 10
−5
d
χ
2
ν
S
= 3.11, ν
S
= 6
Cap´ıtulo 3. Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital e o modelo evolutivo 21
com F (1, 9) = 15.1. Por outro lado, a significˆancia estat´ıstica da efem´eride linear mais
senoidal em rela¸c˜ao ao ajuste linear ´e maior que 99.95%, com F (3, 9) = 86.2. A dura¸c˜ao
do ciclo de melhor ajuste para HT Cas ´e de 36 ± 4 anos. O ajuste da efem´eride linear
mais senoidal ´e mostrado com uma linha s´olida no painel central da Figura 3.1, enquanto
os res´ıduos em rela¸c˜ao a essa efem´eride est˜ao no painel inferior.
A busca por uma dura¸c˜ao vari´avel para o ciclo ou por harmˆonicos da dura¸c˜ao do
ciclo principal (realizando diferentes ajustes em diferentes partes do conjunto de dados)
n˜ao ´e conclusivo nesse caso por causa do intervalo relativamente curto dos dados em
compara¸c˜ao com a dura¸c˜ao do ciclo. No entanto, os instantes de eclipse apresentam
desvios sistem´aticos e significativos com rela¸c˜ao `a efem´eride linear mais senoidal de melhor
ajuste. O fato de que χ
2
ν
> 1 indica que a efem´eride linear mais senoidal n˜ao descreve
completamente os dados, possivelmente porque o per´ıodo da modula¸c˜ao n˜ao ´e senoidal ou
n˜ao ´e estritamente peri´odico.
3.3 Discuss˜ao
Os resultados evidenciam que o per´ıodo orbital de HT Cas apresenta varia¸c˜oes de semi-
amplitude ∼ 40 s que parecem se repetir numa escala de tempo de cerca de 36 anos. O
presente trabalho aumenta a amostra de VCs eclipsantes nas quais modula¸c˜oes de per´ıodo
orbital foram observadas e serve de motiva¸c˜ao para atualizar a compara¸c˜ao de varia¸c˜oes
c´ıclicas de per´ıodo orbital acima e abaixo do period gap feita por Baptista et al. (2003).
3.3.1 Modula¸c˜oes de per´ıodo orbital em VCs
Essa se¸c˜ao revisa o cen´ario observacional atual da detec¸c˜ao de varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo
orbital em VCs. Primeiramente, aborda-se os requisitos observacionais que permitem
a detec¸c˜ao de modula¸c˜oes de per´ıodo orbital, e ent˜ao discute-se o cen´ario que emerge
quando uma amostra completa ´e constru´ıda baseada nesses requisitos. Varia¸c˜oes c´ıclicas
de per´ıodo orbital s˜ao vistas em v´arias VCs eclipsantes (ver Baptista et al. 2003). A
dura¸c˜ao dos ciclos varia de 5 anos em IP Peg (Wolf et al. 1993) at´e cerca de 36 anos em
Cap´ıtulo 3. Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital e o modelo evolutivo 22
Fig. 3.1: Diagrama (O−C) de HT Cas em rela¸c˜ao a efem´eride linear da Tabela 3.3. Os timings
individuais da literatura e os timings individuais medidos nas curvas de luz desta tese
est˜ao indicados por quadrados abertos, enquanto os instantes m´edios da Tabela 3.2
s˜ao indicados por c´ırculos s´olidos. A linha pontilhada no painel superior representa a
efem´eride quadr´atica de melhor ajuste e a linha s´olida no painel central a efem´eride
linear mais senoidal de melhor ajuste (Tabela 3.3). No painel inferior est˜ao plotados
os res´ıduos em rela¸c˜ao a efem´eride linear mais senoidal do painel central.
Cap´ıtulo 3. Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital e o modelo evolutivo 23
HT Cas (essa tese). As amplitude est˜ao no intervalo de 10 − 10
2
s.
A detec¸c˜ao bem sucedida dessas varia¸c˜oes c´ıclicas requer que o diagrama (O−C) cubra
ao menos um ciclo da modula¸c˜ao (i.e., ao menos cerca de uma d´ecada de observa¸c˜oes) e
que a incerteza nos instantes (m´edios anuais) de eclipse seja menor que a amplitude da
modula¸c˜ao do per´ıodo orbital para permitir sua clara detec¸c˜ao. Portanto, cobertura de
d´ecadas e instantes de eclipse de alta precis˜ao (melhor que 10 s e 20 s, respectivamente
para sistemas abaixo a acima do period gap) s˜ao requisitos b´asicos. Um terceiro aspecto
fundamental diz respeito `a amostragem temporal das observa¸c˜oes. Um diagrama (O−C)
constru´ıdo a partir de timings esparsos e infrequentes pode facilmente deixar de revelar
reais varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo. A Figura 3.2 ilustra esse argumento.
´
E apresentado
um diagrama (O−C) constru´ıdo a partir de uma modula¸c˜ao de 20 anos e amplitude 50 s
(linha pontilhada). Ru´ıdo gaussiano de amplitude 5 s foi adicionado aos timings anuais
para simular as incertezas em dados reais. A efem´eride de melhor ajuste est´a indicada por
reta ou curva s´olida em cada caso. O painel superior mostra o caso de m´a amostragem. As
lacunas em torno de ciclos ∼ 30000 e 60000−100000 mascaram a modula¸c˜ao do per´ıodo e
os dados dispon´ıveis (c´ırculos cheios) s˜ao ajustados por uma efem´eride linear (linha s´olida).
HT Cas em si ´e um bom exemplo do caso de m´a amostragem. A efem´eride revista por
Feline et al. (2005) foi baseada num diagrama (O−C) esparsamente amostrado. Se os
instantes de Wood et al. (1995), Mukai et al. (1997) e Ioannou et al. (1999) fossem
inclu´ıdos em seu diagrama, a modula¸c˜ao de per´ıodo orbital seria evidente.
O painel central da Figura 3.2 ilustra o efeito da cobertura temporal na detec¸c˜ao de
uma modula¸c˜ao de per´ıodo orbital. Nesse caso, as observa¸c˜oes cobrem apenas cerca de
metade de um per´ıodo do ciclo (c´ırculos cheios), levando a uma inferˆencia incorreta de
um decr´escimo de longo termo no per´ıodo orbital (linha s´olida). Uma cobertura longa ´e
necess´aria para permitir a identifica¸c˜ao da natureza c´ıclica das varia¸c˜oes. Z Cha ´e um
bom exemplo desse caso. Robinson et al. (1995) estimaram um incremento significativo
no per´ıodo orbital a partir de um diagrama (O−C) cobrindo 18 anos de observa¸c˜oes.
Somente quando a cobertura temporal foi ampliada para 30 anos ´e que o comportamento
c´ıclico do per´ıodo tornou-se evidente (Baptista et al. 2002).
Cap´ıtulo 3. Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital e o modelo evolutivo 24
Fig. 3.2: Influˆencia da amostragem (painel superior), cobertura temporal (painel central) e pre-
cis˜ao dos instantes de eclipse (painel inferior) na detec¸c˜ao de modula¸c˜oes de per´ıodo
orbital. A linha pontilhada representa valores de (O−C) constru´ıdos de uma modula-
¸c˜ao de 20 anos e amplitude 50 s (20 s no painel inferior). Ru´ıdo gaussiano de amplitude
5 s (pain´eis superior e central) e 20 s (painel inferior) foram adicionados aos instantes
(amostrados anualmente) para simular as incertezas de um conjunto de dados reais.
A linha s´olida representa a efem´eride de melhor ajuste obtida para os dados sint´eticos
(c´ırculos s´olidos) usados para ilustrar cada caso.
Cap´ıtulo 3. Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital e o modelo evolutivo 25
O painel inferior da Figura 3.2 mostra como a precis˜ao do instante de eclipse pode
afetar a capacidade de detectar modula¸c˜oes de per´ıodo orbital. Nesse caso a amplitude da
modula¸c˜ao foi reduzida para casar com a grande incerteza dos instantes de eclipse (20 s).
O per´ıodo da modula¸c˜ao ´e perdido no ru´ıdo, apesar do fato do diagrama (O−C) ter boa
amostragem e cobertura temporal (c´ırculos cheios), e a efem´eride de melhor ajuste ´e a
linear (linha s´olida). FO Aqr, com inclina¸c˜ao i ∼ 70
◦
e eclipses rasantes (Hellier et al.
1989), pode ser um exemplo desse caso. A grande incerteza de seus instantes de eclipse
(∼ 180 s) ´e suficiente para mascarar modula¸c˜oes c´ıclicas de amplitude similar `aquela vista
em outras VCs.
Em s´ıntese, para ser capaz de detectar modula¸c˜oes de per´ıodo orbital ´e necess´ario
um diagrama (O−C) bem amostrado (um ponto a cada 1−3 anos, sem grandes lacunas),
cobrindo ao menos um d´ecada de observa¸c˜oes, constru´ıdo a partir de instantes de eclipse
precisos (incerteza
<
∼
20 s).
Com o objetivo de construir uma amostra de acordo com esses requisitos, procurou-
se entre todas as VCs eclipsantes do CVCat
6
com inclina¸c˜ao i ≥ 70
◦
. A precis˜ao dos
instantes de eclipse abaixo desse limite n˜ao ´e suficiente para permitir a detec¸c˜ao das
modula¸c˜oes com amplitude
<
∼
200 s. Foram encontradas 14 VCs eclipsantes que satisfazem
os crit´erios acima, 6 sistemas abaixo e 8 sistemas acima do period gap. Eles est˜ao listados
na Tabela 3.4. Todos os sistemas da amostra apresentam varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo
orbital. Com a inclus˜ao de HT Cas, n˜ao h´a atualmente nenhuma VC com diagrama
(O−C) bem amostrado e preciso, cobrindo mais de uma d´ecada de observa¸c˜oes, que n˜ao
apresente varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital. Isso sustenta a conclus˜ao de Baptista
et al. (2003) de que essas varia¸c˜oes c´ıclicas s˜ao um fenˆomeno comum em VCs, estando
igualmente presente em sistemas abaixo e acima do period gap.
Movimento apsidal n˜ao ´e uma explica¸c˜ao v´alida para essas varia¸c˜oes de per´ıodo orbital
porque a excentricidade orbital para bin´aria compactas ´e desprez´ıvel. A presen¸ca de um
terceiro corpo no sistema foi algumas vezes sugerida como uma explica¸c˜ao alternativa.
6
CVcat/TPP ´e uma base de dados interativa de vari´aveis catacl´ısmicas (http://cvcat.net/).
Cap´ıtulo 3. Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital e o modelo evolutivo 26
Tab. 3.4: Modula¸c˜oes de per´ıodo orbital observadas em VCs
Objeto P
orb
P
mod
∆P/P Ref.
(hr) (ano) (×10
−6
)
V4140 Sgr 1.47 6.9 0.93 1
V2051 Oph 1.50 22 0.30 1
OY Car 1.51 35 0.52 2
EX Hya 1.64 17.5 0.55 3
HT Cas 1.77 36 0.44 Essa tese
Z Cha 1.79 28 0.85 4
IP Peg 3.80 4.7 8.00 5
U Gem 4.17 8 3.00 6
DQ Her 4.65 13.7 2.00 7
UX UMa 4.72 7.1, 10.7, 30.4
∗
2.60 8
T Aur 4.91 23 3.80 9, essa tese
EX Dra 5.03 5 7.90 10
RW Tri 5.57 7.6, 13.6
∗
2.10 11
AC Cnc 7.21 16.2 5.50 12
∗
Multiperi´odico (foram consideradas as modula¸c˜oes mais signi-).
ficativas estatisticamente).
Referˆencias: (1) Baptista et al. 2003; (2) Greenhill et al. 2006;
(3) Hellier & Sproats 1992; (4) Baptista et al. 2002; (5) Wolf et
al. 1993; (6) Warner 1988; (7) Zhang et al. 1995; (8) Rubenstein
et al. 1991; (9) Beuermann & Pakull 1984; (10) Shafter &
Holland 2003; (11) Robinson et al. 1991; (12) Qian et al. 2007b.
Cap´ıtulo 3. Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital e o modelo evolutivo 27
No entanto, um efeito tempo-luz implica uma modula¸c˜ao de per´ıodo orbital estritamente
peri´odica, o que n˜ao ´e observado usualmente quando existe uma cobertura de v´arios ciclos
da modula¸c˜ao. Se ´e procurada uma explica¸c˜ao geral para as modula¸c˜oes em VCs, ent˜ao
todos os efeitos peri´odicos (como um terceiro corpo no sistema) devem ser descartados j´a
que as varia¸c˜oes observadas em v´arios sistemas (e.g., UX UMa, RW Tri, V2051 Oph) s˜ao
c´ıclicas mas n˜ao estritamente peri´odicas.
Atualmente, a melhor explica¸c˜ao para a modula¸c˜ao observada ´e que ela ´e o resultado
de um ciclo de atividade magn´etica do tipo solar na estrela secund´aria. Dentre os v´arios
mecanismos propostos para explicar essas modula¸c˜oes, a hip´otese de Applegate (1992)
parece ser a mais plaus´ıvel. Ela relaciona a modula¸c˜ao de per´ıodo orbital `a opera¸c˜ao de
um d´ınamo hidrodinˆamico na zona convectiva da componente do tipo tardio de bin´arias
compactas. Mais precisamente, a hip´otese de Applegate considera que uma pequena
fra¸c˜ao do momento angular interno da componente ativa ´e ciclicamente transferida entre
as camadas convectivas internas e externas devido ao torque magn´etico interno vari´avel.
Isso afeta o achatamento e o momento de quadrupolo gravitacional da componente ativa,
que oscila em torno de um valor m´edio. Quando o momento de quadrupolo ´e m´aximo, a
estrela ativa sente uma for¸ca gravitacional maior, sendo for¸cada a mover-se mais pr´oximo
e mais r´apido em torno do centro de massa, alcan¸cando portanto o menor per´ıodo orbital
(m´ınimo da modula¸c˜ao). Por outro lado, quando o momento de quadrupolo ´e m´ınimo,
o per´ıodo orbital exibe seu m´aximo. Lanza et al. (1998) e Lanza & Rodon`o (1999)
elaboraram melhor essa id´eia. O modelo foi aplicado a uma amostra de VCs por Richman
et al. (1994). A varia¸c˜ao fracional de per´ıodo orbital ∆P/P est´a relacionada `a amplitude
∆(O − C) e ao per´ıodo do ciclo P
mod
da modula¸c˜ao por (Applegate 1992),
∆P
P
= 2π
∆(O − C)
P
mod
= 4π
A
C
. (3.10)
Usando os valores de A e C da Tabela 3.3, calcula-se ∆P/P = 4.4 ×10
−7
para HT Cas.
Em sua discuss˜ao sobre T Aur, Beuermann & Pakull (1984) destacam que a modu-
la¸c˜ao observada pode ser ajustada usando uma efem´eride quadr´atica de per´ıodo orbital
Cap´ıtulo 3. Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital e o modelo evolutivo 28
decrescente ou usando uma sen´oide de quasi-per´ıodo ∼ 23 anos. Os dados de Beuermann
& Pakull (1984) foram combinados com os timings recentes de Diethelm (2004) para obter
um diagrama (O−C) revisado para T Aur. A efem´eride quadr´atica n˜ao ´e mais estatistica-
mente significante (o termo quadr´atico ´e compar´avel ao seu erro), por´em uma sen´oide de
23 ±2 anos e amplitude 220 ±40 s alcan¸ca uma significˆancia de ajuste aos dados maior do
que antes (Baptista, comunica¸c˜ao privada). Isso leva a um valor de ∆P/P = 3.8 × 10
−6
para T Aur. Os valores de ∆P/P para todas as VCs de nossa amostra est˜ao listados na
quarta coluna da Tabela 3.4.
O aspecto cr´ıtico da hip´otese de Applegate ´e a conex˜ao do seu modelo de varia¸c˜oes
de quadrupolo gravitacional a um modelo de d´ınamo c´ıclico real capaz de produzir essas
modula¸c˜oes. Neste aspecto, R
¨
udiger et al. (2002) apresentam um modelo de α
2
d´ınamo
para estrelas RS CVn, incorporando um mecanismo d´ınamo ao modelo de Applegate.
Avan¸cos te´oricos e v´ınculos observacionais apareceram recentemente na literatura num
esfor¸co para superar as limita¸c˜oes encontradas quando o modelo de Applegate ´e aplicado
`as estrelas RS CVn (Lanza & Rodon`o 2002, 2004; Lanza 2005, 2006a, 2006b). Todos esses
resultados podem ser escalonados para VCs acima do period gap pois suas secund´arias
tamb´em possuem envelopes convectivos.
Por outro lado, espera-se que as secund´arias de VCs abaixo do gap sejam estrelas total-
mente convectivas (i.e., massas M
2
< 0.3 M
⊙
). Por n˜ao possu´ırem camada de overshoot, o
mecanismo de d´ınamo n˜ao pode atuar nessas estrelas (Dobler 2005). No entanto, estrelas
isoladas do tipo tardio da SP (tipos espectrais M5 e mais tardios) apresentam ind´ıcios
de campos magn´eticos intensos (Hawley 1993; Baliunas et al. 1995; West et al. 2004).
Al´em disso, se atividade magn´etica for usada como uma explica¸c˜ao para as modula¸c˜oes
observadas, as VCs abaixo do period gap representam a primeira amostra de estrelas an˜as
totalmente convectivas com ciclos de atividade magn´etica conhecidos. Modelos alterna-
tivos de d´ınamos em pequena escala foram propostos para sustentar campos magn´eticos
e induzir atividade magn´etica em estrela totalmente convectivas (Durney et al. 1993;
Haugen et al. 2004; Brandenburg et al. 2005; Dobler 2005 e referˆencias ali contidas).
Esses modelos indicam que uma camada de overshoot n˜ao ´e um ingrediente necess´ario `a
Cap´ıtulo 3. Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital e o modelo evolutivo 29
gera¸c˜ao de campos magn´eticos em larga escala.
A ocorrˆencia comum de modula¸c˜oes de P
orb
em VCs ´e consistente com os resultados de
Ak, Ozkan & Mattei (2001). Eles descobriram varia¸c˜oes c´ıclicas na magnitude quiescente e
no intervalo de erup¸c˜oes de uma amostra de VCs acima e abaixo do period gap, cuja origem
atribu´ıram a ciclos de atividade magn´etica na estrela secund´aria. Eles tamb´em mostraram
n˜ao haver correla¸c˜ao do per´ıodo do ciclo com o regime de rota¸c˜ao (i.e., per´ıodo orbital
para estrelas gravitacionalmente acopladas como as secund´arias em VCs). Considerando
as modula¸c˜oes de per´ıodo orbital de uma variedade de bin´arias compactas, Lanza &
Rodon`o (1999) encontraram evidˆencia observacional similar para sistemas acima e abaixo
do period gap.
3.3.2 Uma compara¸c˜ao das modula¸c˜oes observadas acima e abaixo do period gap
Dada a amostra de VCs bem observadas (nos requisitos descritos acima) que exibem varia-
¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital, essa se¸c˜ao pretende quantificar o comportamento comum
assim como evidenciar diferen¸cas sistem´aticas entre modula¸c˜oes observadas em sistemas
acima e abaixo do period gap. Estendeu-se a compara¸c˜ao considerando as modula¸c˜oes
observadas em outras bin´arias compactas de per´ıodo mais longo (Algols, estrelas RS CVn
e W UMa). Sua atividade magn´etica deve ser semelhante, em certo sentido, `a atividade
magn´etica de VCs acima do gap j´a que tamb´em possuem componente (ativa) do tipo
tardio com envelope convectivo.
A Figura 3.3 apresenta um diagrama da varia¸c˜ao fracional de per´ıodo ∆P/P versus a
velocidade angular Ω = 2π/P
orb
da componente ativa de tipo tardio em bin´arias compactas
(a rota¸c˜ao ´e um ingrediente-chave do mecanismo d´ınamo, ver Lanza & Rodon`o 1999). Ela
cont´em dados das 14 VCs listadas na Tabela 3.4 (c´ırculos abertos). O period gap est´a
indicado por linhas tracejadas verticais. As cruzes representam os valores de ∆P/P para
56 outras bin´arias compactas com modula¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital (Lanza & Rodon´o
1999; Qian et al. 1999, 2000a, 2000b, 2002, 2004, 2005, 2007a; Lanza et al. 2001; Kang
et al. 2002; Qian 2002a, 2002b, 2003; Yang & Liu 2002, 2003a, 2003b; Zavala et al. 2002;
¸Cakırlı et al. 2003; Kim et al. 2003; Qian & Boonrucksar 2003; Af¸sar et al. 2004; Lee
Cap´ıtulo 3. Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital e o modelo evolutivo 30
et al. 2004; Qian & Yang 2004; Yang et al. 2004, 2007; Zhu et al. 2004; Borkovits et
al. 2005; Qian & He 2005; Erdem et al. 2007; Pilecki et al. 2007; Szalai et al. 2007).
Sistemas com evidˆencia independente de que as modula¸c˜oes no diagrama (O−C) possam
ser explicadas por um terceiro corpo foram exclu´ıdos (na verdade, n˜ao ´e poss´ıvel excluir
a possibilidade que as modula¸c˜oes observadas em alguns dos sistemas ainda possam ser
causadas por um terceiro corpo; no entanto, para a maioria dos sistemas, as observa¸c˜oes
cobrem mais que um ciclo e h´a alguma indica¸c˜ao que a varia¸c˜ao n˜ao ´e peri´odica).
Existe uma clara correla¸c˜ao entre a varia¸c˜ao fracional de per´ıodo e a velocidade an-
gular. Os valores de ∆P/P decrescem uma ordem de magnitude desde estrelas RS CVn,
com rota¸c˜ao lenta (canto superior esquerdo da Figura 3.3), at´e VCs acima do period gap,
e quase outra ordem de magnitude destas at´e VCs abaixo do gap (no canto inferior es-
querdo da Figura 3.3). Quantificar essa correla¸c˜ao permite testar se essa diferen¸ca entre
VCs acima e abaixo do period gap (e.g., Baptista et al. 2003) ´e uma consequˆencia natural
desse comportamento ou n˜ao. Para esse prop´osito, ´e necess´ario determinar os erros afe-
tando os valores de ∆P/P . Lanza & Rodon`o (1999) apontaram que os valores de ∆P/P
podem ser incertos por um fator 2 para bin´arias de longo per´ıodo (possivelmente isto ´e
respons´avel por parte do espalhamento dos pontos da Figura 3.3). Ao inv´es de tentar es-
timar os erros em cada valor individual de ∆P/P da amostra, adotou-se uma abordagem
estat´ıstica.
Separou-se as VCs em dois grupos, um acima e um abaixo do period gap, e foi calculada
a mediana de ∆P/P para cada grupo. A incerteza foi obtida a partir do desvio absoluto
mediano em rela¸c˜ao `a mediana, e a mediana da velocidade angular foi tomada como o
valor correspondente no eixo-x. A mediana da varia¸c˜ao fracional de per´ıodo orbital para
VCs de curto per´ıodo (
∆P/P = 5.3 × 10
−7
) ´e menor do que aquela de VCs de longo
per´ıodo (
∆P/P ≃ 3.4 × 10
−6
) por um fator ≃ 6. Aplicou-se um procedimento similar
`as outras bin´arias de per´ıodo mais longo, dividindo o eixo log Ω em N = 6 bins de
largura 0.25 dex e calculando-se o valor mediano de ∆P/P para cada bin. Adotou-se a
mediana e o desvio absoluto mediano ao inv´es da m´edia e do desvio padr˜ao porque as
primeiras estimativas de valor representativo e dispers˜ao s˜ao mais robustas com rela¸c˜ao a
Cap´ıtulo 3. Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital e o modelo evolutivo 31
Fig. 3.3: Diagrama da varia¸c˜ao fracional de per´ıodo ∆P/P versus a velocidade angular Ω da
componente ativa para VCs (hex´agonos abertos) e outras bin´arias compactas da lite-
ratura (cruzes). Os valores medianos de ∆P/P para VCs acima e abaixo do period gap
e para outras bin´arias (em bins de 0.25 dex em log Ω) est˜ao plotados como quadrados
cheios com barras de erros. O period gap est´a indicado por linhas verticais tracejadas.
A rela¸c˜ao linear de melhor ajuste e seu n´ıvel de confian¸ca de 3-σ s˜ao mostrados como
linhas s´olidas e pontilhadas, respectivamente.
Cap´ıtulo 3. Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital e o modelo evolutivo 32
pontos discrepantes (outliers). Como um teste de consistˆencia, repetiu-se o procedimento
para valores no intervalo N = 3 − 7. O resultado foi o mesmo dentro das incertezas.
Para N > 7 o n´umero de pontos em cada bin tornou-se muito pequeno para usar a
mediana como estimativa confi´avel; para N < 3 existiriam pouco pontos (medianos) para
descrever o comportamento da amostra. Na discuss˜ao a seguir, considerou-se N = 6 bins.
A mediana dos valores de ∆P/P obtidos dessa forma est˜ao indicados como quadrados
cheios na Figura 3.3.
Adotou-se uma rela¸c˜ao do tipo ∆P/P ∝ Ω
γ
e realizou-se dois ajustes lineares por
m´ınimos quadrados ao pontos, um sem incluir e outro incluindo o ponto que corresponde
`as VCs abaixo do period gap. O ajuste linear para os pontos acima do period gap resultou
num γ = −0.7 ± 0.1 e est´a indicado como uma linha s´olida na Figura 3.3. Dentro da
concep¸c˜ao que VCs abaixo do gap seguem a mesma rela¸c˜ao, pode-se esperar que sua
inclus˜ao no conjunto de pontos aumenta a qualidade do ajuste, como consequˆencia de
uma base maior no eixo log Ω. No entanto, adicionar VCs abaixo do period gap `a amostra
deteriora o ajuste (o desvio padr˜ao em rela¸c˜ao ao ajuste aumenta 50%) e o χ
2
ν
aumenta
por um fator > 4. O ajuste parab´olico (com um termo quadr´atico negativo) ´e um ajuste
melhor que a reta nesse caso. Isso indica que VCs abaixo do period gap n˜ao ajustam-se `a
correla¸c˜ao exibida pelas outras bin´arias.
Quantificou-se a declara¸c˜ao acima com o seguinte procedimento. Considerou-se que os
dados das bin´arias acima do period gap tˆem distribui¸c˜ao normal em torno do melhor ajuste
(i.e., for¸cou-se um χ
2
ν
unit´ario) e o espalhamento observado foi utilizado para estimar a
matriz de covariˆancia dos parˆametros ajustados. A curva pontilhada da Figura 3.3 indica
as incertezas do ajuste ∆P/P ∝ Ω
−0.7
num n´ıvel de 3-σ, levando em conta a covariˆancia
entre os parˆametros. O valor mediano de ∆P/P para VCs de curto per´ıodo est´a mais que
3-σ abaixo da rela¸c˜ao ∆P/P ∝ Ω
−0.7
. Apesar da pequena amostra de objetos (14), existe
um diferen¸ca estatisticamente significativa entre o ∆P/P de VCs acima e abaixo do period
gap. Essa diferen¸ca n˜ao pode ser eliminada mesmo quando leva-se em conta a rela¸c˜ao
∆P/P versus Ω ajustada, que prevˆe valores de ∆P/P decrescentes para Ω crescente.
Chega-se `a conclus˜ao que VCs abaixo do period gap (com estrelas ativas completamente
Cap´ıtulo 3. Varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital e o modelo evolutivo 33
convectivas) comportam-se de maneira diferente de bin´arias acima do period gap (com
estrelas ativas de n´ucleo radiativo e envelopes convectivos).
Se a interpreta¸c˜ao de varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital como consequˆencia de um
ciclo de atividade magn´etica do tipo solar for correta, a existˆencia dessas varia¸c˜oes em
bin´arias com estrelas ativas completamente convectivas ´e uma indica¸c˜ao que essas estrelas
tˆem campos magn´eticos, n˜ao somente capazes de induzir atividade cromosf´erica intensa
(e.g., Hawley 1993), mas tamb´em ciclos de atividade magn´etica mensur´aveis (Ak et al.
2001; essa tese). Por outro lado, o fato de que a varia¸c˜ao fracional de per´ıodo de bin´arias
com estrelas completamente convectivas ser sistematicamente menor que daquelas estrelas
com n´ucleos radiativos ´e uma indica¸c˜ao que um mecanismo diferente ´e respons´avel por
gerar e sustentar seus campos magn´eticos. Nesse sentido, os menores valores de ∆P/P
observados servem como um v´ınculo observacional importante a quaisquer modelos que
vierem a ser desenvolvidos para descrever campos magn´eticos em estrelas completamente
convectivas.
Com o objetivo de explicar a existˆencia do period gap, o modelo de freamento interrom-
pido prevˆe uma redu¸c˜ao significativa na eficiˆencia do freamento magn´etico entre sistemas
acima e abaixo do period gap (Hameury et al. 1991). A diferen¸ca de ∆P/P observada
entre VCs acima e abaixo do period gap pode ser usada para testar essa previs˜ao se uma
conex˜ao entre varia¸c˜ao fracional de per´ıodo e eficiˆencia do freamento magn´etico puder ser
estabelecida.
Cap´ıtulo 4
O m´etodo de mapeamento por
eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de
NAs
4.1 Modelos de erup¸c˜oes de NAs
Independentemente do modelo considerado para descrevˆe-las, sabe-se que as erup¸c˜oes em
NAs s˜ao resultado de um aumento s´ubito da taxa de acr´escimo de mat´eria no disco. Cabe
aos modelos propostos para explicar estas erup¸c˜oes, portanto, esclarecer o porquˆe desse
aumento repentino de
˙
M em alguma regi˜ao do disco.
Dois modelos foram proposto na d´ecada de 70 para explicar as causas das erup¸c˜oes. No
modelo de instabilidade na transferˆencia de massa (MITM), as erup¸c˜oes s˜ao a resposta de
um disco de acr´escimo em alta viscosidade a pulsos de mat´eria provenientes da secund´aria
(Bath 1975). No modelo de instabilidade no disco (MID), as erup¸c˜oes s˜ao causadas por
um ciclo de instabilidade t´ermica no disco, onde um anel num estado de baixa viscosidade
alcan¸ca uma condi¸c˜ao cr´ıtica que propaga-se como uma frente de igni¸c˜ao em ondas de
combust˜ao (Meyer 1984) e progressivamente leva o disco a um estado de alta viscosidade,
causando a r´apida difus˜ao do g´as em dire¸c˜ao ao centro (Lasota 2001).
De acordo com o MID, h´a uma temperatura efetiva cr´ıtica T
crit
, abaixo da qual a
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 35
instabilidade t´ermica do g´as deve ocorrer, e acima da qual o g´as do disco deve-se manter
enquanto em erup¸c˜ao (Warner 1995; Hameury et al. 1998).
T
crit
(r) = 7476
r
R
L
1
−0.105
M
1
0.75M
⊙
−0.15
. (4.1)
Nas ´ultimas duas d´ecadas, o MID tornou-se o modelo dominante para descrever as
erup¸c˜oes de NAs. Isso deve-se principalmente `a identifica¸c˜ao de um mecanismo f´ısico
para a instabilidade, a ioniza¸c˜ao parcial do hidrogˆenio, o que n˜ao ´e o caso do MITM
(Lasota 2001). Al´em disso, a capacidade de reproduzir melhor os fenˆomenos observados
colaborou para sua plena ado¸c˜ao (Cannizzo 1993a).
No entanto, o cen´ario atual ´e mais complexo. Varia¸c˜oes na transferˆencia de massa
tornaram-se um importante elemento no MID. Muitos aspectos das erup¸c˜oes de NAs
podem ser razoavelmente bem reproduzidos por simula¸c˜oes no MID com a inclus˜ao de
varia¸c˜oes na transferˆencia de massa da estrela secund´aria (Duschl & Livio 1989; Schreiber
et al. 2000,2003; Buat-M´enard et al. 2001a,2001b). Por outro lado, h´a ainda v´arios proble-
mas n˜ao resolvidos pelo MID (Smak 2000) e observa¸c˜oes recentes de algumas NAs est˜ao
em contradi¸c˜ao com o modelo de instabilidade no disco (Hellier et al. 2000; Baptista &
Bortoletto 2004; Borges & Baptista 2005; Baptista et al. 2007; Schreiber & Lasota 2007).
4.2 O m´etodo de mapeamento por eclipses (MME)
O m´etodo de mapeamento por eclipses (MME) (Horne 1985; uma s´ıntese dos conceitos
e resultados pode ser encontrada em Baptista 2001) processa a informa¸c˜ao contida na
curva de luz de um eclipse para construir um mapa da distribui¸c˜ao de brilho superficial
do disco de acr´escimo. Juntamente com a Tomografia Doppler (Marsh & Horne 1988),
´e um m´etodo de imageamento indireto que permite estudos espacialmente resolvidos na
escala de microsegundo de arco, al´em de qualquer poder de resolu¸c˜ao existente atualmente
(inclusive interferometria).
Trˆes conceitos s˜ao supostos pelo MME: (i) a superf´ıcie da secund´aria ´e dada pelo lobo
de Roche, (ii) a distribui¸c˜ao de brilho est´a restrita ao plano orbital (z = 0), e (iii) o fluxo
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 36
emitido ´e independente da fase orbital. A geometria do eclipse ´e definida pela inclina¸c˜ao
i, pela raz˜ao de massa q e pela fase de conjun¸c˜ao inferior φ
0
. A partir de uma curva
de eclipse (referida a partir de agora como curva de dados) pode-se obter um mapa de
eclipse. O mapa de eclipse ´e definido no plano orbital como uma matriz de N × N pixels
centrada na an˜a branca, de lado igual a λR
L
1
, que representa a distribui¸c˜ao superficial de
intensidades do disco. Cada pixel possui ´area igual a
(λR
L1
)
2
N
2
e intensidade I
j
. O valor de
λ define a ´area do mapa e N define a resolu¸c˜ao espacial.
A partir de um mapa de eclipse, calcula-se uma curva modelo que representa a distri-
bui¸c˜ao de intensidades para a geometria dada atrav´es de
m(φ) = θ
2
N
2
j=1
I
j
V
j
(φ), (4.2)
onde θ
2
=
(λR
L
1
)
2
N
2
d
2
cos i ´e o ˆangulo s´olido compreendido por cada pixel conforme visto da
Terra a uma distˆancia d, e φ ´e a fase orbital. V
j
(φ) ´e a fun¸c˜ao oculta¸c˜ao, que especifica
a visibilidade fracional de cada pixel em fun¸c˜ao da fase orbital. Pode-se checar a quali-
dade da curva-modelo, gerada a partir do mapa, em rela¸c˜ao `a curva de dados usando as
estat´ısticas χ
2
e R (Baptista & Steiner 1993),
χ
2
=
1
M
M
φ=1
m(φ) − d(φ)
σ(φ)
2
=
1
M
M
φ=1
r(φ)
2
, (4.3)
R =
1
√
M − 1
M−1
φ=1
r(φ)r(φ + 1), (4.4)
onde d(φ) s˜ao os dados da curva real, σ(φ) as correspondentes incertezas e M ´e o n´umero
de pontos da curva de luz. r(φ) ´e o res´ıduo na fase orbital φ.
Diante disso, pode-se implementar um algoritmo computacional que ajuste as intensi-
dades do mapa, de modo a reproduzir uma curva modelo que satisfa¸ca a curva de dados
dentro de uma qualidade de ajuste representada pelas Equa¸c˜oes 4.3 e 4.4, e tomar esse
mapa como produto final do MME. No entanto, nesse processo de relacionar uma dis-
tribui¸c˜ao bidimensional de brilho a uma curva de dados unidimensional – atrav´es das
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 37
express˜oes descritas acima – h´a a possibilidade de infinitas solu¸c˜oes, j´a que um grau de
liberdade continua sobrando. Associa-se ent˜ao uma grandeza chamada entropia (deno-
tada por S) a cada mapa e, dentre as poss´ıveis solu¸c˜oes, seleciona-se aquela que possui
maior entropia. Esse procedimento, chamado de maximiza¸c˜ao da entropia (ME), ´e de uso
amplo em reconstru¸c˜ao de imagens e uma descri¸c˜ao mais detalhada pode ser encontrada
em Narayan & Nityananda (1986) e Skilling & Bryan (1984).
Matematicamente, a tarefa do MME consiste em resolver o seguinte problema de
otimiza¸c˜ao: “maximizar S sujeita aos v´ınculos de χ
2
= χ
2
aim
e R = R
aim
”, onde χ
2
aim
e R
aim
s˜ao os valores desejados para a qualidade do ajuste. A rotina utilizada para
maximiza¸c˜ao da entropia ´e o Prida, que concebe a maximiza¸c˜ao da entropia como um
“problema vinculado” de programa¸c˜ao n˜ao-linear e utiliza um m´etodo de fun¸c˜ao-pˆenalti
para maximizar S nessas condi¸c˜oes. Esse ´ultimo m´etodo transforma o problema vinculado
numa seq
¨
uˆencia de problemas n˜ao-vinculados que s˜ao resolvidos utilizando um m´etodo
cl´assico de descida por gradientes conjugados (Luenberger 1973).
A entropia de um mapa de eclipse pode ser definida em rela¸c˜ao a um mapa padr˜ao
por
S = −
N
2
j=1
p
j
ln
p
j
q
j
, (4.5)
onde p
j
e q
j
s˜ao dados por
p
j
=
I
j
k
I
k
e q
j
=
D
j
k
D
k
. (4.6)
D
j
s˜ao as intensidades dos pixels do mapa padr˜ao e, usualmente, D
j
´e definido como
a intensidade m´edia ponderada do mapa de eclipse D
j
=
ω
jk
I
k
ω
jk
. A fun¸c˜ao-peso ω
jk
´e
um parˆametro de entrada escolhido de acordo com as informa¸c˜oes a priori que se tem a
respeito do disco (a partir da inspe¸c˜ao das curvas de luz), como a existˆencia de simetria
axial ou de estruturas assim´etricas, por exemplo. A escolha correta de ω
jk
permite que a
solu¸c˜ao do m´etodo seja guiada na dire¸c˜ao de um tipo de mapa. Uma lista de diferentes
express˜oes para ω
jk
usadas na literatura pode ser encontrada em Baptista (2001).
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 38
Um subproduto obtido dos mapas reconstru´ıdos s˜ao os perfis radiais de intensidade
ou de temperatura de brilho, que permitem a compara¸c˜ao direta com a teoria de discos
de acr´escimo (a Eq 2.6, por exemplo). A aplica¸c˜ao do MME a dados de NAs em erup-
¸c˜ao permite acompanhar a evolu¸c˜ao dos disco durante esse fenˆomeno – onde cada mapa
representa uma fotografia do disco em diferentes fases da erup¸c˜ao – e comparar os perfis
com o que ´e previsto pelos modelos de erup¸c˜ao (Baptista 2001).
Rutten, van Paradijs & Tinbergen (1992a) utilizaram a fun¸c˜ao entropia para obter
a fra¸c˜ao da luz que n˜ao ´e emitida pelo disco de acr´escimo, a componente n˜ao-eclipsada.
Eles descobriram que estruturas esp´urias colocadas pelo m´etodo na parte traseira do disco
(mais distante da secund´aria), que aumentam o valor de S (j´a que a entropia ´e uma medida
da existˆencia de estruturas do mapa), podem ser devidas a luz adicional na curva de dados
que n˜ao ´e proveniente do disco (a contribui¸c˜ao da secund´aria, por exemplo).
4.2.1 A vers˜ao tridimensional do MME (MME3D)
Observando o que foi colocado no final da Se¸c˜ao 2.3, pode-se concluir que a concep¸c˜ao
de disco de acr´escimo geometricamente fino suposta pelo MME (item “iii” na Subse¸c˜ao
anterior) n˜ao condiz com o que ´e previsto pela teoria: que os disco devem ser cˆoncavos,
ou seja, que devem possuir uma altura em rela¸c˜ao ao plano z = 0 que aumenta em fun¸c˜ao
do raio r a partir do centro. Designando por β o ˆangulo formado entre o plano orbital
e o segmento de reta que une o centro do disco e um ponto na superf´ıcie do disco cuja
proje¸c˜ao no plano orbital dista r do centro, essa concavidade traduz-se em β = β(r)
(monotonamente crescente). O ˆangulo β ´e chamado de ˆangulo de semi-abertura do disco.
C´alculos da estrutura vertical de discos feitos por Meyer & Meyer-Hofmeister (1982) e
Smak (1992) reafirmam a previs˜ao de concavidade dos discos (flared discs) e indicam que
essa abertura deve ser particularmente importante para sistemas de alta taxa de acr´escimo
˙
M. A altura da fotosfera h
d
(τ = 1) na borda do disco ´e fun¸c˜ao de muitos parˆametros, e
pode ser aproximada por
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 39
h
d
R
d
≃ 0.038
˙
M
10
16
g s
−1
3
20
, (4.7)
onde R
d
´e o raio do disco no plano orbital. A an´alise feita por Smak (1992), utilizando um
modelo com parˆametro α fixo, obteve valores t´ıpicos para discos em regime estacion´ario de
alto
˙
M – como acontece em NAs em erup¸c˜ao de acordo com o MID – de
h
d
R
d
∼ 0.05 −0.1.
NAs em quiescˆencia, que possuem discos frios com perfis de temperatura planos (T
eff
∼
constante) de acordo com o MID, tˆem valores
h
d
R
d
∼ 0.02. Outro resultado importante
neste trabalho ´e a expectativa de que discos em VCs sejam opticamente espessos, a exce¸c˜ao
sendo as partes internas e de baixa temperatura (T
eff
<
∼
4000 K) de discos em NAs em
quiescˆencia, que s˜ao opticamente finas.
Os principais efeitos (fotom´etricos) da existˆencia desses discos com semi-abertura n˜ao
nula s˜ao a contribui¸c˜ao de uma borda brilhante, a possibilidade de oculta¸c˜ao das partes
internas do disco pela pr´opria borda (auto-oculta¸c˜ao) e o efeito de proje¸c˜ao (na linha de
visada) de um elemento da superf´ıcie – inclinada em rela¸c˜ao ao plano orbital – desse disco
cˆoncavo. O grau de importˆancia desses efeitos depende essencialmente da inclina¸c˜ao i do
sistema e do ˆangulo de semi-abertura na borda do disco.
Na concep¸c˜ao pr´oxima a tridimensional do Prida que ´e aplicada aos dados de HT Cas
na pr´oxima Se¸c˜ao, a entropia de um mapa de N ×(N +2) pixels ´e maximizada pelo mesmo
procedimento descrito na Se¸c˜ao anterior. Os 2N pixels adicionais ao mapa de N ×N pixels
levam em conta a contribui¸c˜ao de uma borda situada a uma distancia R
d
do centro do
disco. A superf´ıcie do disco ´e cˆonica, com uma inclina¸c˜ao β constante em rela¸c˜ao ao
plano orbital (z = 0) e, portanto,
h
d
R
d
= tan β. Apesar dessa considera¸c˜ao (β = constante)
representar uma concavidade nula, ela permite a compara¸c˜ao com resultados te´oricos como
os descritos acima sem a necessidade de adotar um modelo f´ısico a priori (o que determina
a fun¸c˜ao β = β(r), como exposto na Se¸c˜ao 2.3). R
d
e β s˜ao parˆametros adicionais de
entrada no MME3D. Juntamente com i e q, s˜ao necess´arios para o c´alculo da geometria
do eclipse utilizada na constru¸c˜ao da curva-modelo, essencial para a determina¸c˜ao de χ
2
e R do ajuste.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 40
Os efeitos de proje¸c˜ao dos pixels dessa superf´ıcie inclinada s˜ao levados em conta na
fun¸c˜ao oculta¸c˜ao V
j
(φ) usada no c´alculo da curva de luz (Eq. 4.2). A oculta¸c˜ao das
partes internas do disco pela sua borda externa – a auto-oculta¸c˜ao – ocorre nos sistemas
que satisfazem a condi¸c˜ao i + β > 90
◦
. Esse regime implica em maior complexidade no
c´alculo da fun¸c˜ao V
j
(φ) e n˜ao ser´a considerado na implementa¸c˜ao do MME3D utilizada
aqui. Simula¸c˜oes feitas por Rutten (1998) indicam que n˜ao ´e poss´ıvel reconstruir de forma
confi´avel a distribui¸c˜ao radial de temperatura do disco quando esta condi¸c˜ao ocorre.
Aplica¸c˜oes de t´ecnicas de MME que consideram discos com ˆangulo de semi-abertura
n˜ao nulos j´a apareceram na literatura (Se¸c˜ao 2.5 de Baptista 2001). Assimetrias frente-
fundo similares `aquelas utilizadas para isolar a componente n˜ao-eclipsada podem ser pro-
duzidas ou removidas quando se considera discos com abertura. Essas assimetrias s˜ao
causadas pelo efeito de proje¸c˜ao citado acima: um elemento de ´area na parte traseira
do disco (mais distante da secund´aria) aparenta ser mais brilhante que um elemento da
parte frontal devido `a diferen¸ca da ´area efetiva vista pelo observador. Robinson, Wood
& Wade (1999) mostram que ´e poss´ıvel remover a assimetria frente-fundo na distribui¸c˜ao
radial de temperatura observada no m´aximo de uma erup¸c˜ao em Z Cha considerando um
disco com β = 6
◦
. Uma explica¸c˜ao similar pode ser utilizada para OY Car em erup¸c˜ao
(Rutten et al. 1992b).
Smak (1994) sugere que distor¸c˜oes na distribui¸c˜ao de temperatura em sistemas de alta
inclina¸c˜ao (i > 75
◦
) s˜ao introduzidas quando se utiliza a aproxima¸c˜ao de disco fino do
MME padr˜ao. Entretanto, simula¸c˜oes feitas por Rutten (1998) mostram que, quando
temos i + β < 90
◦
, a distribui¸c˜ao radial de temperatura ´e ainda corretamente recuperada
mesmo com a hip´otese de disco plano, e que o efeito do ˆangulo de abertura negligen-
ciado ´e o de produzir um espalhamento na distribui¸c˜ao. Outras simula¸c˜oes feitas por
Wood (1994) apontam a indistinguibilidade entre os ajustes feitos quando se considera
que as assimetrias s˜ao causadas por uma componente n˜ao-eclipsada ou por um disco com
semi-abertura n˜ao nula.
Ioannou et al. (1999) reportam a an´alise de dados de HT Cas obtidos durante a erup¸c˜ao
de novembro de 1995 – os mesmos dados utilizados neste cap´ıtulo. A imposi¸c˜ao de um
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 41
modelo de disco opticamente espesso em estado estacion´ario resultou na interpreta¸c˜ao por
aqueles autores de que o disco tinha uma abertura consider´avel, entre 10
◦
e 15
◦
, maior
inclusive que a prevista. A disponibilidade desses dados foi motiva¸c˜ao para uma an´alise
mais profunda utilizando o MME3D, sem a imposi¸c˜ao de um modelo para a distribui¸c˜ao de
temperatura. A revis˜ao dos valores dos ˆangulos de semi-abertura β obtidos por Ioannou et
al. (1999) tamb´em foi motivo para uma investiga¸c˜ao sobre a possibilidade de estimar esse
ˆangulo atrav´es da maximiza¸c˜ao da entropia. Buscando contornar as indistinguibilidades
apontadas por Wood (1994), avaliou-se a capacidade do m´etodo em diferenciar os dois
efeitos – disco com semi-abertura n˜ao nula ou componente n˜ao-eclipsada – atrav´es da
entropia dos poss´ıveis ajustes.
Essa rean´alise dos dados de HT Cas permitiu uma revis˜ao na natureza da erup¸c˜ao do
sistema. Apesar de algumas similaridades com outras erup¸c˜oes de sistemas do tipo SU
UMa de curto per´ıodo (e.g. OY Car, Z Cha, V2051 Oph), a an´alise dos resultados – e
do comportamento do objeto anterior `a erup¸c˜ao de 1995 – indicam possibilidade de um
evento de instabilidade na transferˆencia de massa. Al´em do caso particular do objeto,
a motiva¸c˜ao para implementar um m´etodo de mapeamento por eclipse tridimensional ´e
a possibilidade de ampliar o leque da aplica¸c˜ao da t´ecnica a discos de acr´escimo. Essa
possibilidade ampliada permite, por fim, uma compara¸c˜ao mais realista com os modelos
te´oricos.
4.3 Dados de HT Cas em erup¸c˜ao
4.3.1 HT Cassiopeiae: uma NA do tipo SU UMa
HT Cas ´e uma NA de magnitude V ∼ 16.5
1
e per´ıodo orbital de 106 minutos (1.77 horas,
Cap. 2). Uma supererup¸c˜ao ocorrida em janeiro de 1985, e a simultˆanea observa¸c˜ao de
superhumps, caracterizaram o objeto como pertencente `a subclasse SU UMa (Zhang et
1
Magnitude m´edia, fora do eclipse, para o estado alto de quiescˆencia na ´epoca de 1994-1995 (Robertson
& Honeycutt 1996). O sistema apresenta varia¸c˜oes sistem´aticas entre estados quiescentes de alto e baixo
brilho, como se ver´a adiante.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 42
al. 1986).
´
E um objeto bem conhecido e que cont´em extensa literatura, portanto segue
uma breve revis˜ao de trabalhos cujos resultados s˜ao necess´arios `a compreens˜ao do presente
trabalho.
A determina¸c˜ao dos parˆametros da bin´aria (a geometria e as massas do sistema) j´a
foi realizada por diversos autores. Horne et al. (1991) discutiram criticamente as deter-
mina¸c˜oes realizadas (ver a Se¸c˜ao 4 daquele artigo) e, diante dessa discuss˜ao, optou-se por
utilizar os valores estimados por esses autores no decorrer deste trabalho. Nesse referido
artigo, os autores utilizaram um modelo puramente fotom´etrico (Smak 1979; Cook &
Warner 1984) para a determina¸c˜ao dos parˆametros da bin´aria
2
, utilizando medi¸c˜oes dos
instantes de contato da an˜a branca e do bright spot. Os dados de HT Cas utilizados para es-
sas medi¸c˜oes foram obtidos por fotometria r´apida nas bandas UBV R, simultaneamente, e
compreendem 16 eclipses observados em setembro de 1982 (4 ciclos) e novembro-dezembro
de 1983 (12 ciclos). Apesar de n˜ao haver referˆencia direta ao estado de brilho em que a
bin´aria encontrava-se na ocasi˜ao, pode-se verificar que o n´ıvel de brilho fora de eclipse dos
dados de Horne et al. (1991) corresponde ao estado alto de quiescˆencia.
Utilizando as curvas m´edias de eclipse de HT Cas observadas em 1983 (Horne et
al. 1991), Wood, Horne & Vennes (1992) estimaram a temperatura da an˜a branca T
wd
e
a distˆancia d ao sistema. Para isso, ajustaram modelos de atmosfera (log = 8, hidrogˆenio
puro) e corpo negro aos fluxos UBV R da an˜a branca (medidos pelo eclipse da prim´aria);
espectros UV observados (IUE ) ainda serviram como limite superior. Ap´os subtrair as
contribui¸c˜oes da an˜a branca e da secund´aria `as curvas de luz m´edias, Wood et al. (1992)
realizaram o mapeamento por eclipse do disco de acr´escimo de HT Cas em quiescˆencia
nas quatro bandas. Esses mapas UBV R mostraram que o disco apresenta um perfil
de temperatura de brilho plano (com temperaturas no intervalo 5 000 − 7 000 K, como
reproduzido na Figura 4.1), similar `aqueles perfis de OY Car (Wood et al. 1989) e Z
Cha (Wood et al. 1986) em quiescˆencia. Perfis planos n˜ao s˜ao compat´ıveis com discos em
2
Na realidade, somente a raz˜ao de massa q, a inclina¸c˜ao i e o raio da an˜a branca R
wd
(≡ R
1
) s˜ao
determinados diretamente das medi¸c˜oes, os demais parˆametros dependem da hip´otese que a an˜a branca
obedece uma dada rela¸c˜ao massa-raio te´orica.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 43
estado estacion´ario. No entanto, isso n˜ao necessariamente significa uma baixa viscosidade,
conforme previsto pelo MID. Se o g´as do disco ´e opticamente fino, n˜ao ´e poss´ıvel comparar
temperaturas de corpo negro com a distribui¸c˜ao de temperatura efetiva prevista pelo
modelo de disco opaco e estacion´ario. E de fato, as observa¸c˜oes em diferentes bandas
permitiram concluir que a emiss˜ao no ´otico de HT Cas ´e produzida por um g´as opticamente
fino. O ajuste de modelos de camada isot´ermica em LTE aos mapas UBV R revelou uma
temperatura efetiva do g´as entre ∼ 3 300 − 5 400 K, indicando que a temperatura efetiva
cr´ıtica para que ocorram erup¸c˜oes n˜ao deve ser menor que ∼ 5 400 K (Wood et al. 1992).
O alto valor do parˆametro de viscosidade α obtido a partir desses ajustes – na faixa de
∼ 10 − 200 – ´e inconsistente com o MID (se o modelo de camada isot´ermica for correto),
j´a que HT Cas apresenta longos intervalos em quiescˆencia (Robertson & Honeycutt 1996)
requerendo um valor muito baixo para esse parˆametro.
Tab. 4.1: Parˆametros de HT Cas utilizados
q 0.15 ± 0.03 Horne et al. (1991)
i 81
◦
± 1
◦
Horne et al. (1991)
M
wd
0.61 ± 0.04 M
⊙
Horne et al. (1991)
R
wd
0.0118 ± 0.0009 R
⊙
Horne et al. (1991)
d 140 pc Wood et al. (1992)
T
wd
14 000 K Wood et al. (1992)
P
orb
0.073647200 d Essa tese (Cap. 2)
Mais recentemente, Vrielmann, Hessman & Horne (2002) reconstru´ıram as tempera-
turas e as densidades superficiais de HT Cas em quiescˆencia usando um Mapeamento
por Eclipse de Parˆametros F´ısicos. Os dados utilizados foram os mesmos de Horne et
al. (1991). Aplicando um modelo de camada simples de hidrogˆenio, estimaram (erronea-
mente) uma distˆancia de 207 pc. Tamb´em estimaram que HT Cas tem um disco pequeno
(0.3−0.4 R
L1
) e opticamente fino, tornando-se espesso pr´oximo `a prim´aria. As discrepˆan-
cias encontradas (
˙
M e α excessivamente altos) s˜ao resolvidas considerando um disco com
estrutura vertical, cujas regi˜oes mais pr´oximas ao plano orbital s˜ao escuras, frias e densas,
contendo a maior parte da massa. Feline et al. (2005) aplicaram o MME a HT Cas em
quiescˆencia a partir de dados da ULTRACAM (Dhillon & Marsh 2001) coletados em 2002
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 44
Fig. 4.1: Perfis radiais de temperatura de brilho do disco de acr´escimo de HT Cas em quies-
cˆencia nas banda U, B, V e R (considerando uma distˆancia de 140 pc). Os eixos das
abcissas e ordenadas indicam temperatura de brilho (em K) e raio em unidade de R
L1
,
respectivamente. As linhas cheias representam perfis de disco estacion´ario opticamente
espesso para taxas de transferˆencia de massa
˙
M de 10
−10
e 10
−11
M
⊙
ano
−1
(Eq. 2.6).
Extra´ıdo de Wood et al. (1992).
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 45
e 2003. A estrutura do disco varia neste per´ıodo: ´e praticamente invis´ıvel em 2002 (com
exce¸c˜ao de um bright spot na borda) e apresenta claramente uma regi˜ao interna brilhante
(e um bright spot bem mais fraco) em 2003. A partir das cores, os autores estimaram
um disco opticamente fino, tanto nas regi˜oes internas como externas, e inferiram uma
temperatura de ∼ 14 000 K para a an˜a branca.
A Tabela 4.1 resume os principais parˆametros (fixos) da literatura que ser˜ao utilizados
no decorrer desta an´alise. M
wd
e R
wd
s˜ao a massa e o raio da an˜a branca (a prim´a-
ria), respectivamente (M
wd
≡ M
1
e R
wd
≡ R
1
). Outro parˆametro necess´ario `a aplica¸c˜ao
do MME3D ´e o raio do disco R
d
. Harrop-Allin & Warner (1996) utilizaram uma abor-
dagem geom´etrica para estimativa de R
d
de duas formas distintas; um desses m´etodos
ser´a aplicados adiante para estimar o raio do disco nos dados utilizados neste trabalho
3
.
Valores de 0.35 e 0.58 R
L1
para o raio do disco de HT Cas em quiescˆencia e erup¸c˜ao,
respectivamente, foram obtidos por Harrop-Allin & Warner (1996). Horne et al. (1991)
e Hessman et al. (1992), valendo-se de medi¸c˜oes dos timings do bright spot, estimaram
raios de ∼ 0.32 R
L1
(quiescˆencia) e 0.57 R
L1
(erup¸c˜ao), em bom acordo com os valores
encontrados por Harrop-Allin & Warner (1996).
4.3.2 Dados utilizados
Os dados de HT Cas utilizados neste trabalho s˜ao oriundos de fotometria CCD nas bandas
V e R realizada com o James Gregory Telescope (JGT) de 0.95 m (University of St.
Andrews, RU) (Bell, Hilditch & Edwin 1993). As observa¸c˜oes foram efetuadas por M.
S. Catal´an (Ioannou et al. 1999), que utilizou rotinas padr˜ao para redu¸c˜ao das imagens
de fotometria CCD. Detalhes dos procedimentos podem ser encontrados em Ioannou et
al. (1999) e nas referˆencias ali contidas. A importˆancia desse conjunto de dados, como
ser´a descrito a seguir, reside na observa¸c˜ao do objeto ao longo do ciclo de uma erup¸c˜ao
que ocorreu em 1995, nas fases de subida e decl´ınio do m´aximo brilho. Al´em do fato
3
Por tratar-se de uma grandeza vari´avel (dependendo, por exemplo, do estado de brilho do disco,
da simetria da curva de eclipse e outros fatores que modificam o formato desta curva na ocasi˜ao das
observa¸c˜oes), R
d
n˜ao encontra-se cotado como parˆametro fixo na Tab. 4.1 e ser´a determinado diretamente
dos dados.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 46
de existirem poucas NAs eclipsantes conhecidas, as erup¸c˜oes desses objetos s˜ao eventos
imprevis´ıveis, tornando o conjunto de curvas de eclipse utilizado nesse trabalho algo raro
e valioso.
4.3.3 Curva de luz hist´orica de HT Cas
HT Cas encontrava-se em erup¸c˜ao na ocasi˜ao das observa¸c˜oes, em novembro de 1995. A
cobertura dos dados utilizados (Ioannou et al. 1999) inicia-se na fase de aumento r´apido de
brilho no dia 17/11 (JD 2450039), em um ponto pr´oximo (mas presumivelmente anterior)
ao m´aximo da erup¸c˜ao. Nessa noite foram observados 4 eclipses do objeto. Na noite
seguinte (dia 18/11, JD 2450040), no in´ıcio do decl´ınio do m´aximo, foram coletados outros
4 eclipses de HT Cas. Por fim, os ´ultimos ciclos observados (3 eclipses) compreendem a
fase final de decl´ınio, no dia 19/11 (JD 2450041), quando o objeto ainda encontrava-se
1.5 mag (V ) acima do brilho quiescente da ´epoca (V ≃ 16.5). A Figura 4.2 apresenta
a curva hist´orica do objeto constru´ıda a partir de observa¸c˜oes de astrˆonomos amadores
da AAVSO
4
e VSNET
5
em novembro de 1995, e permite localizar os dados no ciclo
daquela erup¸c˜ao. Na figura observa-se uma erup¸c˜ao de amplitude ∆V ∼ 3 mag e dura¸c˜ao
aproximada de 4 dias. A subida ao m´aximo ocorre numa escala de tempo de 1 dia e o
decl´ınio ocorre tamb´em num intervalo de tempo bastante curto, cerca de 3 dias.
A curva de luz hist´orica da AAVSO possui outras 5 erup¸c˜oes
6
que tˆem amostragem
suficiente para estimar suas caracter´ısticas (dura¸c˜ao, amplitude, escalas de tempo de su-
bida e descida), permitindo uma compara¸c˜ao dessas erup¸c˜oes entre si e com a erup¸c˜ao
de novembro de 1995. Os perfis dessas erup¸c˜oes foram ajustados em data e est˜ao repre-
sentados pelos c´ırculos fechados em cinza claro na Figura 4.2. A partir do perfil m´edio
dessas erup¸c˜oes na banda V , estima-se que as erup¸c˜oes normais de HT Cas tˆem dura¸c˜ao
m´edia de W ≃ 4 dias, amplitude de 3 − 3.5 mag (em rela¸c˜ao ao n´ıvel de quiescˆencia
cotado por Robertson & Honeycutt 1996, V ≃ 16.5) e escalas de tempo de subida τ
r
e
4
American Association of Variable Stars Observers (http://www.aavso.org).
5
An Intensive International Mailing List of Variable Stars (http://ooruri.kusastro.kyoto-
u.ac.jp/mailman/listinfo).
6
Ocorridas em mar¸co de 1997, mar¸co de 1998, julho de 1999, fevereiro de 2002 e janeiro de 2008.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 47
Fig. 4.2: Curva de luz hist´orica de HT Cas na erup¸c˜ao de novembro de 1995, entre os dias 15 e
28, constru´ıda a partir de observa¸c˜oes de astrˆonomos amadores da AAVSO (quadrados
fechados) e VSNET (c´ırculos fechados em cinza escuro) na banda V . Observa¸c˜oes do
Ouda Team (60 cm, Ouda, Jap˜ao) est˜ao indicadas por quadrados abertos (Kato 1995)
e asteriscos (Nogami & Baba 1995). Os pontos entre fases orbitais −0.1 e +0.1 foram
exclu´ıdos para evitar o eclipse da bin´aria. A linha pontilhada horizontal representa a
magnitude m´edia do objeto em quiescˆencia no per´ıodo 1994-1995 (Robertson & Ho-
neycutt 1996). As linha tracejadas verticais s˜ao os instantes de m´ınimo das curvas de
eclipse utilizadas neste trabalho (11 curvas indicadas na Tab. 4.2, na pr´oxima subse¸c˜ao)
e os triˆangulos fechados indicam as magnitudes medianas, fora do eclipse, das obser-
va¸c˜oes feitas na banda V . Os perfis das demais erup¸c˜oes normais do objeto (ocorridas
em mar¸co de 1997, mar¸co de 1998, julho de 1999, fevereiro de 2002 e janeiro de 2008;
ver texto) foram ajustados em data e est˜ao representados pelos c´ırculos fechados em
cinza claro.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 48
decl´ınio τ
d
de ≃ 0.4 e ≃ 0.9 dias mag
−1
, respectivamente. Os perfis das erup¸c˜oes s˜ao
bastante similares entre si, sugerindo que a erup¸c˜ao de 1995 foi uma erup¸c˜ao normal do
objeto. Para compara¸c˜ao, conv´em citar que a supererup¸c˜ao de 1985 teve uma dura¸c˜ao de
aproximadamente 20 dias, alcan¸cando uma magnitude visual no m´aximo ∼ 10.8 (Waagen
et al. 1985), e durante a qual superhumps foram observados (P
sh
= 1.033 P
orb
, Zhang et
al. 1986). O perfil assim´etrico comum a todas essas erup¸c˜oes normais (com subida mais
r´apida que a descida) tamb´em sugere que todas foram do tipo A
7
.
Os valores de W , τ
r
e τ
d
obtidos para HT Cas s˜ao consistentes com as rela¸c˜oes emp´ıricas
W (dias) = 1.56 P
orb
(h) + 1.87, (4.8)
τ
r
(dias mag
−1
) = 0.12 P
orb
(h) + 0.26 e (4.9)
τ
d
(dias mag
−1
) = 0.33 P
orb
(h) + 0.27, (4.10)
obtidas por Ak, Ozkan & Mattei (2002) para uma ampla amostra de novas an˜as (57
sistemas), acima e abaixo do period gap. Ajustando uma rela¸c˜ao te´orica entre a largura
da erup¸c˜ao e o per´ıodo orbital (Smak 1999), esses autores obtiveram um parˆametro de
viscosidade α ≃ 0.2 a partir dos valores de sua amostra. De acordo com as considera¸c˜oes
anal´ıticas de Smak (1999), esse valor de α pode ser associado tanto ao parˆametro de
viscosidade do estado alto do MID (α
hot
) como ao parˆametro de viscosidade constante (e
alto) do MITM.
Ao contr´ario dos valores obtidos para W , τ
r
e τ
d
, o tempo de recorrˆencia m´edio T
C
da
erup¸c˜oes de HT Cas ´e bastante diferente daqueles cotados por Ak et al. (2002) para novas
7
De acordo com o MID, a regi˜ao do disco que alcan¸ca a condi¸c˜ao cr´ıtica deve estabelecer uma conti-
nuidade termodinˆamica e hidrodinˆamica com o anel adjacente, uma conex˜ao do efeito local com o global,
permitindo que ocorra a erup¸c˜ao. As frentes de transi¸c˜ao, que levam o disco do estado baixo ao estado
alto, podem iniciar-se nas regi˜oes internas e propagar-se para fora (inside-out) ou nas regi˜oes externas
em dire¸c˜ao ao centro (outside-in). Os dois casos possuem propriedades f´ısicas distintas (Lasota 2001),
implicando em diferentes escalas de tempo para subida e decl´ınio na erup¸c˜ao. Erup¸c˜oes do tipo A (com
subida mais r´apida que a descida) s˜ao outside-in e do tipo B (subida e descida iguais) s˜ao inside-out. Sob
a ´otica do MITM, um pulso de mat´eria da secund´aria pode penetrar o disco e ser depositado pr´oximo ao
raio de circulariza¸c˜ao, levando uma erup¸c˜ao inside-out (Baptista et al. 2007).
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 49
an˜as de per´ıodo orbital similar (sistemas SU UMa). Esse valor foi estimado identificando-
se os instantes de m´aximo brilho da erup¸c˜ao diretamente da curva de luz hist´orica de
HT Cas da AAV SO, em conjunto com os instantes obtidos por Wenzel (1987). O painel
inferior da Figura 4.3 apresenta a curva de luz hist´orica constru´ıda a partir de todas as ob-
serva¸c˜oes do objeto feitas pela AAV SO at´e 2008 no visual (pontos pretos) e em V (pontos
cinzas). A linha horizontal pontilhada indica o n´ıvel de quiescˆencia V ∼ 16.5 (Robertson
& Honeycutt 1996). Os triˆangulos indicam os 13 instantes de m´aximo das erup¸c˜oes cota-
dos por Wenzel (1987) entre 1953 e 1985 (a supererup¸c˜ao de 1985 est´a indicada por um
triˆangulo s´olido). A partir de 1985, os instantes de m´aximos da erup¸c˜ao (identificados
diretamente da curva hist´orica) est˜ao indicados pelas marcas verticais (a marca da erup-
¸c˜ao de 1995 est´a diferenciada por um estilo tracejado). Alguns instantes suspeitos foram
confirmados utilizando tamb´em as curvas hist´oricas da VSNET e da AFOEV
8
. Foram
identificados 12 eventos al´em daqueles citados por Wenzel (1987), totalizando 25 instantes
de m´aximo de erup¸c˜oes normais de HT Cas (e uma supererup¸c˜ao) no intervalo 1953-2008.
A baixa amostragem e os erros sistem´aticos nas magnitudes visuais nas observa¸c˜oes mais
antigas da AAV SO (antes de 1985) impedem a determina¸c˜ao confi´avel desses instantes
de m´aximo. A partir dos instantes de m´aximo das erup¸c˜oes de HT Cas, foi obtida a
efem´eride linear revisada
JD
max
= T
max,0
+ T
C
E
out
= 2434466 + 814 E
out
d, (4.11)
onde E
out
´e o n´umero do ciclo da erup¸c˜ao. O tempo m´edio de recorrˆencia obtido ´e o dobro
daquele de ∼ 400 dias estimado por Wenzel (1987) e bem discrepante da m´edia obtida
para as SU UMa (∼ 45 d), inclusive, sendo maior que o intervalo m´edio de supererup¸c˜oes
nesses sistemas (∼ 310 d) (Ak et al. 2002). De acordo com o MID (Lasota 2001), em
erup¸c˜oes do tipo outside-in,
8
Association Fran¸caise des Observateurs D’Etoiles Variables (http://cdsweb.u-strasbg.fr/afoev).
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 50
T
C
∝ α
−1
cool
˙
M
2
−2
, (4.12)
onde α
cool
´e o parˆametro de viscosidade associado ao estado baixo do MID (quiescˆencia).
Dessa maneira, considerando que as SU UMa mant´em uma taxa de transferˆencia de massa
da secund´aria
˙
M
2
similar entre si em longo termo (Kolb & Baraffe 1999), ´e necess´ario um
α
cool
uma ordem de magnitude menor que o valor usualmente empregado no MID (∼ 0.01).
O valor quadr´atico m´edio dos res´ıduos do ajuste linear ´e de σ = 811 dias, indicando
que existem grandes varia¸c˜oes no intervalo de tempo entre cada uma das erup¸c˜oes de
HT Cas. No intuito de investigar se essas varia¸c˜oes de T
C
s˜ao aleat´orias ou seguem
alguma tendˆencia, foi constru´ıdo um diagrama O−C dos instantes de m´aximo brilho
da erup¸c˜oes do objeto, de forma similar ao que foi feito no Cap´ıtulo 2 para o estudo das
varia¸c˜oes de per´ıodo orbital. O painel superior da Figura 4.3 apresenta esse diagrama O−C
calculado em rela¸c˜ao a efem´eride linear da Equa¸c˜ao 4.11. Os 26 instantes de m´aximo
est˜ao representados por quadrados s´olidos e os valores de O−C est˜ao em escala de 20
dias. Seguindo o comportamento dos pontos, s˜ao not´aveis duas varia¸c˜oes bruscas no
tempo de recorrˆencia das erup¸c˜oes. Entre 1961 e 1965 o tempo de recorrˆencia foi de
apenas ∼ 250 dias, e entre 1995 e 2003 de ∼ 400 dias. Essas duas varia¸c˜oes traduzem-se,
naturalmente, em uma incidˆencia maior de erup¸c˜oes nesses per´ıodos, o que ´e ilustrado no
histograma sobreposto ao diagrama O−C no painel superior da Figura 4.3 (a escala do
n´umero de eventos est´a `a direita do painel). No per´ıodo de cerca de 30 anos que separa
essas ´epocas, o tempo de recorrˆencia m´edio ´e cerca 1100 dias (com um valor quadr´atico
m´edio dos res´ıduos de um ajuste linear nesse intervalo menor por um fator ∼ 1.5). De
uma forma geral, varia¸c˜oes dessa forma, com segmentos de tempo com T
C
relativamente
est´avel, separados por epis´odios de mudan¸cas r´apidas e bruscas, foram observados em
outras NAs (Ak et al. 2001;
ˇ
Simon 2004).
Sob a ´otica do MID, essas varia¸c˜oes no tempo de recorrˆencia s˜ao explicadas de forma
bastante insatisfat´oria. Nesse modelo, essas varia¸c˜oes podem ser produzidas por mudan¸cas
nos parˆametros α
cool
ou
˙
M
2
(inversamente proporcionais a T
C
, vide Eq. 4.12). Dispor
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 51
Fig. 4.3: Curva de luz hist´orica de HT Cas (painel inferior) constru´ıda a partir de todas as
observa¸c˜oes da AAVSO no visual (ponto pretos) e na banda V (pontos cinzas). A
linha horizontal pontilhada indica o n´ıvel de quiescˆencia V ∼ 16.5 (Robertson & Ho-
neycutt 1996). Os triˆangulos indicam os 13 instantes de m´aximo das erup¸c˜oes cotados
por Wenzel (1987) entre 1953 e 1985 (a supererup¸c˜ao de 1985 est´a indicada por um
triˆangulo s´olido). As marcas verticais indicam os instantes de m´aximo obtidos direta-
mente da curva de luz hist´orica (a marca da erup¸c˜ao de 1995 est´a diferenciada por um
estilo tracejado). O painel superior representa o diagrama O−C para os 26 instantes
de m´aximo brilho da erup¸c˜ao de HT Cas (quadrado s´olidos, em escala de 20 dias),
calculados em rela¸c˜ao `a efem´eride linear de melhor ajuste (Eq. 4.11). O histograma
representa o n´umero de erup¸c˜oes por per´ıodo de 3 anos (o n´umero de eventos na escala
`a direita). Os c´ırculos s´olidos s˜ao os valores de O−C para os instantes de meio-eclipse
listados na Tabela 3.2 (em escala de segundos). A sen´oide representa a efem´eride linear
mais senoidal que melhor se ajusta ao timings de meio-eclipse (Tabela 3.3) extrapolada
at´e 1949.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 52
de um α
cool
vari´avel nos per´ıodo de quiescˆencia ´e bastante improv´avel quando se busca
uma explica¸c˜ao comum. Em v´arios sistemas, os m´aximos dos ciclos de longo termo na
magnitude (aparente) em quiescˆencia coincidem com as ´epocas de maior T
C
, contrariando
frontalmente essa possibilidade (
ˇ
Simon 2004). Considerando que as varia¸c˜oes do tempo de
recorrˆencia s˜ao causadas por varia¸c˜oes em
˙
M
2
, pode-se associar essas varia¸c˜oes aos ciclos
de atividade magn´etica do tipo solar na secund´aria, mecanismo tamb´em empregado para
explicar varia¸c˜oes de longo termo na magnitude quiescente (Ak et al. 2001) e no per´ıodo
orbital (Cap´ıtulo 2) atrav´es da hip´otese de Applegate (1992). Nesse cen´ario, a varia¸c˜ao no
momento de quadrupolo gravitacional dentro de um ciclo de atividade magn´etica causa
uma varia¸c˜ao no raio do lobo de Roche (que implica numa varia¸c˜ao em
˙
M
2
) e no per´ıodo
orbital P
orb
.
A varia¸c˜ao fracional na taxa de transferˆencia de massa da secund´aria ao longo do ciclo
pode ser estimada por (Richman et al. 1994)
∆
˙
M
2
˙
M
2
= 1.22 × 10
5
1 + q
q
2
3
∆Ω
10
−3
Ω
−1
∆P
P
, (4.13)
onde ∆Ω/Ω ´e a varia¸c˜ao fracional na taxa de rota¸c˜ao da camada externa da secund´aria
envolvida na varia¸c˜ao c´ıclica do momento de quadrupolo gravitacional. Para os valores
de q e ∆P/P listados nas Tabelas 4.1 e 3.4 e considerando ∆Ω/Ω ≃ (1 − 3) × 10
−3
(Baptista et al. 2003), obt´em-se uma varia¸c˜ao fracional entre ∆
˙
M
2
/
˙
M
2
≃ 10 −20% como
efeito dessa varia¸c˜ao do lobo de Roche em HT Cas. Essa amplitude de varia¸c˜ao em
˙
M
2
´e muito menor do que a necess´aria para que haja mudan¸cas significativas no tempo de
recorrˆencia seguindo o MID (King & Cannizzo 1998; Schreiber et al. 2000). Buat-M´enard
et al. (2001b) estudaram os efeitos de um
˙
M
2
vari´avel no MID (utilizando condi¸c˜oes de
contorno corretas e incluindo efeitos de aquecimento pelo jorro de g´as e de dissipa¸c˜ao por
mar´e nas partes externas do DA). Os autores consideraram aumentos de
˙
M
2
por um fator
10, em escalas de tempo bem menores do que aquelas observadas nos ciclos de varia¸c˜ao
da magnitude quiescente e do per´ıodo orbital (escalas de centenas de dias comparadas
a escalas de anos a d´ecadas), que n˜ao causaram varia¸c˜oes bruscas em T
C
. Al´em disso,
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 53
quando a efem´eride linear mais senoidal que descreve a varia¸c˜ao de P
orb
(Tabela 3.3)
´e extrapolada at´e 1949 e sobreposta ao histograma da Figura 4.3 (curva pontilhada no
painel superior), percebe-se que os per´ıodos de maior incidˆencia de erup¸c˜oes coincidem
com as ´epocas de per´ıodo orbital m´aximo. Os c´ırculos s´olidos s˜ao os valores de O−C para
os instantes de meio-eclipse listados na Tabela 3.2. De acordo com o modelo de Applegate
(1992), as ´epocas de P
orb
m´aximo est˜ao associadas `as ´epocas de menor transferˆencia de
massa da secund´aria (ou de maior raio do lobo de Roche). Essa previs˜ao do modelo de
Applegate (1992) ´e contradit´oria com a rela¸c˜ao inversa entre T
C
e
˙
M
2
(Eq. 4.12) esperada
pelo MID. Ainda na tentativa de compreender as varia¸c˜oes no tempo de recorrˆencia como
resultado do ciclo de atividade magn´etica na secund´aria, pode-se supor que exista um
mecanismo vari´avel de remo¸c˜ao de momento angular das partes externas do DA, causado
pelo campo magn´etico da estrela companheira que permeia essa regi˜ao (Meyer-Hofmeister
et al. 1996). Durante o m´aximo de atividade magn´etica, a remo¸c˜ao de momento angular
´e maior nessas regi˜oes e, de acordo com o MID, o anel onde o disco alcan¸ca a condi¸c˜ao
cr´ıtica deve ocorrer num raio mais interno. Isso torna o tempo de recorrˆencia menor nessas
fases.
De qualquer maneira, nesses dois casos em que se tenta conciliar as previs˜oes do MID
aos poss´ıveis efeitos de um ciclo magn´etico na secund´aria de HT Cas (um
˙
M
2
vari´avel ou
uma taxa de remo¸c˜ao de J das partes externas vari´avel ao longo do ciclo), a escala de
tempo em que ocorrem as varia¸c˜oes no intervalo de recorrˆencia das erup¸c˜oes do objeto ´e
bem menor do que aquela de 36 anos observada no ciclo de varia¸c˜ao de P
orb
do Cap´ıtulo 2
(considerando que a hip´otese de Applegate 1992 ´e valida). Dificilmente a varia¸c˜ao de uma
dessas duas grandezas (supostamente suave no caso de um ciclo de atividade magn´etica
que cause o ciclo em P
orb
) seria respons´avel, por exemplo, pelo per´ıodo de 6 anos sem
erup¸c˜oes – entre 1989 e 1995 – seguido por um per´ıodo igual em que ocorrem 7 erup¸c˜oes
como observado em HT Cas (ver o painel inferior da Figura 4.3). A baixa viscosidade
necess´aria aos DAs em quiescˆencia no MID torna mesmo varia¸c˜oes bruscas em
˙
M
2
, cau-
sadas por algum outro mecanismo, incapazes de reproduzir tais descontinuidades em T
C
(Buat-M´enard et al. 2001b).
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 54
No caso do MITM, o tempo de recorrˆencia entre as erup¸c˜oes ´e ditado pelo inter-
valo de instabilidades na secund´aria (bursts), que no caso de HT Cas, podem ter sua
freq
¨
uˆencia associada, de algum modo ainda desconhecido (flares?), ao ciclo de atividade
magn´etica respons´avel pelas varia¸c˜oes observadas no per´ıodo orbital. A presen¸ca de va-
ria¸c˜oes bastante irregulares e bruscas na atividade magn´etica foi verificada, por exemplo,
no Sol, reveladas atrav´es de suas manchas. Durante o final do s´eculo XVII, no m´ınimo de
Maunder, a atividade magn´etica solar sofreu uma redu¸c˜ao brusca em intensidade e forma,
inclusive desaparecendo por v´arios ciclos (Ossendrijver 2003).
Em resumo, as varia¸c˜oes bruscas observadas no tempo de recorrˆencia das erup¸c˜oes em
HT Cas s˜ao incompat´ıveis com a baixa viscosidade necess´aria ao DAs em quiescˆencia no
MID. As escalas de tempo em que ocorrem as mudan¸cas em T
C
s˜ao tamb´em distintas
daquelas observadas nos ciclos de varia¸c˜ao de per´ıodo orbital descritos no Cap´ıtulo 2. A
possibilidade de um disco de alta viscosidade em quiescˆencia no MITM, que responde
rapidamente a uma varia¸c˜ao em
˙
M
2
, d´a a liberdade de associar essas varia¸c˜oes bruscas
no tempo de recorrˆencia de HT Cas (e de v´arias outras VCs;
ˇ
Simon 2004) diretamente
`as instabilidades da estrela secund´aria. Se toma-se como exemplo o Sol, onde as escalas
de tempo observadas na varia¸c˜ao de seu formato (Emilio et al. 2007) s˜ao diferentes das
observadas em sua superf´ıcie (Ossendrijver 2003), pode-se ainda conciliar as varia¸c˜oes de
T
C
de HT Cas com a varia¸c˜ao observada em seu per´ıodo orbital, que ocorre numa escala
de tempo maior.
Por ´ultimo, ´e interessante comentar o comportamento de HT Cas no estado quiescente
prolongado anterior `a erup¸c˜ao de 1995 (e possivelmente em qualquer ocasi˜ao da quiescˆen-
cia). Robertson & Honeycutt (1996) observaram o objeto entre 1991 e 1995, estudando o
comportamento de longo-termo do n´ıvel de quiescˆencia do objetos. Os autores observaram
– al´em da ausˆencia de erup¸c˜oes – varia¸c˜oes fotom´etricas caracterizadas por transi¸c˜oes de
1.8 mag, passando de um estado alto a um estado baixo de quiescˆencia (comportamento
reproduzido na Figura 4.4). Essas transi¸c˜oes ocorrem em uma escala de tempo de dias a
meses, e apresentam tamb´em dura¸c˜ao de dias a meses. Igualmente observado em outras
classes de VCs, esse comportamento ´e raro em NAs (foi observado tamb´em em BZ UMa e
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 55
WW Cet; Robertson & Honeycutt 1996). Esse comportamento de HT Cas foi destacado
por Berriman, Kenyon & Boyle (1987); Wood et al. (1995) e Feline et al. (2005). O ob-
jeto foi novamente observado numa dessas transi¸c˜oes nos dados utilizados no Cap´ıtulo 2
dessa tese. Wood et al. (1995) observaram que emiss˜ao em raio-X ´e eclipsada durante um
desses estados baixos, indicando ainda haver acr´escimo sobre a an˜a branca, numa taxa
bastante reduzida. Varia¸c˜oes na taxa de transferˆencia de massa da secund´aria podem
explicar a varia¸c˜ao do brilho do bright spot nos mapas de eclipse de Feline et al. (2005),
usados para estudar o DA do objeto nos dois estados. Nas simula¸c˜oes do MID feitas por
Buat-M´enard et al. (2001b), redu¸c˜oes de
˙
M
2
por um fator 100 (ocasionando a cess˜ao
da transferˆencia) ainda resultaram na ocorrˆencia de erup¸c˜oes (com amplitudes reduzidas
e tempo de recorrˆencia aumentado) nesses estados baixos, o que n˜ao foi observado em
HT Cas nem em outras NAs. A explica¸c˜ao usualmente aceita para modelar esses estados
altos e baixos ´e a passagem de manchas escuras da superf´ıcie estelar no ponto L
1
(Livio
& Pringle 1994), mecanismo similar ao utilizado para explicar as oscila¸c˜oes em sistemas
VY Scl (novas-like) e AM Her (polares intermedi´arios).
4.3.4 A an´alise de Ioannou et al. (1999)
Em sua an´alise dos dados da erup¸c˜ao de 1995, Ioannou et al. (1999) utilizaram um modelo
que sup˜oe um disco de acr´escimo opticamente espesso em estado estacion´ario (uma dis-
tribui¸c˜ao espectral de corpo negro e lei de temperatura efetiva T (r) ∝ r
−3/4
, Eq. 2.6) com
se¸c˜ao radial triangular, especificada pelo seu raio externo (R
d
), raio interno, e o ˆangulo
de abertura do disco. Al´em disso, o modelo aplicado leva em conta efeitos de irradia¸c˜ao
da secund´aria e limb darkening. Fixados os parˆametros bem conhecidos na literatura
(entre alguns da Tabela 4.1), eles implementaram uma busca no espa¸co de parˆametros
minimizando o χ
2
do ajuste da curva-modelo em rela¸c˜ao `a curva de dados.
Apesar de aparentar uma completeza maior na descri¸c˜ao do disco que o MME3D (pelo
n´umero de parˆametros ajustados), o modelo utilizado por Ioannou et al. (1999) imp˜oe ao
disco um estado estacion´ario opticamente espesso. Entretanto, erup¸c˜oes de novas an˜as
correspondem a eventos de transporte de mat´eria e momento angular pelo disco e n˜ao ´e
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 56
Fig. 4.4: Curva de luz de longo-termo de HT Cas entre agosto de 1991 e dezembro de 1995, ap´os
a erup¸c˜ao. Os c´ırculos abertos s˜ao pontos durante o eclipse da prim´aria. Extra´ıdo de
Robertson & Honeycutt (1996).
seguro (ou mesmo razo´avel) supor que um regime estacion´ario seja alcan¸cado pelo disco
de acr´escimo nesta situa¸c˜ao, em particular numa erup¸c˜ao como a de HT Cas em novembro
de 1995 – curta e sem fase de platˆo bem vis´ıvel. O modelo tamb´em n˜ao levava em conta
um bright spot nem o fluxo de um jato de g´as (gas stream), o que permite concluir que ele
n˜ao admite qualquer assimetria nas curvas de luz. Os atrasos evidentes nos timings, por
exemplo (ver Fig. 6 de Ioannou et al. 1999), n˜ao podem ser interpretados como assimetrias
na distribui¸c˜ao de brilho, causadas talvez por bra¸cos espirais, discos el´ıpticos ou um gas
stream brilhante. Al´em disso, a contribui¸c˜ao da secund´aria ou os efeitos de limb darkening
s´o s˜ao evidentes em observa¸c˜oes na regi˜ao do infravermelho ou do UV, respectivamente
(Smith & Dhillon 1998; Diaz, Wade & Hubeny 1996).
Uma das principais conclus˜oes do trabalho foi a caracteriza¸c˜ao da erup¸c˜ao como do tipo
outside-in, iniciando-se num raio de ∼ 0.4R
L1
e propagando-se em dire¸c˜ao ao centro. O
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 57
modelo utilizado obt´em ˆangulos de semi-abertura β da ordem de 10
◦
durante a subida e de
15
◦
pr´oximo ao m´aximo, maiores do que o previsto teoricamente (Eq. 4.7). Este resultado
vem do fato de que a ´unica forma de reproduzir os eclipses relativamente largos e rasos que
se observa durante a erup¸c˜ao com um disco de gradiente de brilho bastante pronunciado
(consequˆencia da imposi¸c˜ao T (r) ∝ r
−3/4
) ´e fazendo com que as partes mais internas e
brilhantes da distribui¸c˜ao de brilho considerada sejam ocultadas por uma borda do disco
verticalmente extensa. Em outras palavras, os grandes ˆangulos de abertura obtidos s˜ao
consequˆencia da escolha (ad hoc) da distribui¸c˜ao de brilho do disco durante a erup¸c˜ao.
Diante da baixa qualidade dos ajustes, Ioannou et al. (1999) conclu´ıram tamb´em que um
disco estacion´ario opticamente espesso n˜ao ´e suficiente para a descri¸c˜ao das curvas de luz
durante as fases de subida e in´ıcio do decl´ınio. Por outro lado, os ajustes s˜ao satisfat´orios
para as observa¸c˜oes do decl´ınio tardio.
4.3.5 Descri¸c˜ao das curvas de eclipse
A Tabela 4.2 apresenta um resumo das caracter´ısticas das curvas de luz utilizadas, onde
∆t ´e a resolu¸c˜ao temporal m´edia e N o n´umero de pontos. A coluna “Curva” indica a
identifica¸c˜ao utilizada para as curvas de agora em diante. Os dados do dia 18 apresentam
um comportamento anˆomalo com rela¸c˜ao `as demais noites. Em rela¸c˜ao ao previsto pela
efem´eride linear mais senoidal da Tabela 3.3, os instantes de m´ınimo da curva de eclipse
ocorrem progressivamente adiantados nesta data – chegando a um adiantamento de quase
80 segundos no ´ultimo ciclo observado na noite – e voltam `a normalidade na noite seguinte.
Esses adiantamentos s˜ao reais e n˜ao devem-se a erros grosseiros durante as observa¸c˜oes
9
. A
Figura 4.5 apresenta o diagrama O-C dos instantes de m´ınimo de HT Cas em erup¸c˜ao em
novembro de 1995 e ilustra esse fato. Os valores foram calculados em rela¸c˜ao `a efem´eride
linear mais senoidal da Tabela 3.3. Os c´ırculos abertos s˜ao os instantes de m´ınimo dos
eclipses listados na Tabela 4.2, os triˆangulos fechados s˜ao os instantes de eclipse do objeto
em quiescˆencia em 1995 (Ioannou et al. 1999) e o quadrado fechado ´e o instante m´edio
9
“Observations of other objects on the same night show this is not a computer-clock problem.”, Ioannou
et al. (1999), pg. 400.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 58
para 1995 (listado na Tabela 3.2).
Tab. 4.2: Dados de HT Cas utilizados para o MME3D
Data Curva Ciclo(s) Banda ∆t N Estado de brilho
(s)
1995 Novembro 17 n1a 85700 R 20 176 subida
n1b 85701 R 25 47 subida
n1c 85702 R 20 145 subida
n1d 85703 R 20 156 subida
1995 Novembro 18 n2a 85712 R 20 100 decl´ınio (cedo)
n2b 85713 R 20 187 decl´ınio (cedo)
n2c 85714 R 20 97 decl´ınio (cedo)
n2d 85715 V 25 112 decl´ınio (cedo)
1995 Novembro 19 n3a 85727 R 20 183 decl´ınio (tardio)
n3b 85728 R 20 200 decl´ınio (tardio)
n3c 85730 V 25 115 decl´ınio (tardio)
A Figura 4.6 apresenta as curvas de luz calibradas em fluxo que foram utilizadas neste
trabalho. O eixo temporal dos dados (inicialmente em dias julianos) foi convertido em fase
orbital em rela¸c˜ao `a efem´eride linear mais senoidal da Tabela 3.3. A Figura 4.7 apresenta
as curvas de luz na banda R em sequˆencia ao longo do ciclo de erup¸c˜ao. Os eclipses
foram arbitrariamente colocados em fases orbitais consecutivas para efeito de visualiza¸c˜ao,
portanto o espa¸camento em tempo entre os eclipses ´e maior que o indicado no gr´afico.
Observando a evolu¸c˜ao das curvas de eclipse em R nessas duas Figuras, percebe-se que o
formato dos eclipse evolui de um perfil em “∨” nos dias 17 e 18, para um perfil em “∪” no
dia 19, indicando que houve uma redu¸c˜ao do brilho relativo das partes externas do disco
ao longo da cobertura dos dados.
Na banda R, estima-se um fluxo mediano fora de eclipse de 11.7 ± 0.2 mJy nos ciclos
n1a e n1b, 15.2 ± 0.4 mJy nos ciclos n1c e n1d, 12.7 ± 0.4 mJy na segunda noite e
4.7 ± 0.2 mJy na terceira noite das observa¸c˜oes. O percentual dessa luz que ´e ocultada
no m´ınimo do eclipse varia entre 57 − 60% no dia 17, 68 − 73% no dia 18 e 83 − 87%
no dia 19, ou seja, ocorre um aumento da profundidade relativa do eclipse ao longo da
erup¸c˜ao. Isso sugere que a distribui¸c˜ao de brilho torna-se mais concentrada no centro do
disco e que a componente n˜ao-eclipsada torna-se menor ao longo da erup¸c˜ao. Em V , os
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 59
Fig. 4.5: Diagrama O-C dos eclipses em erup¸c˜ao de HT Cas. Os pontos representam os valores
calculados em rela¸c˜ao `a efem´eride linear mais senoidal da Tabela 3.3. Os c´ırculos
abertos s˜ao os instantes de m´ınimo dos eclipses listados na Tabela 4.2, os triˆangulos
fechados s˜ao os instantes de eclipse do objeto em quiescˆencia em 1995 (Ioannou et
al. 1999) e o quadrado fechado ´e o instante m´edio para 1995 (listado na Tabela 3.2)
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 60
Fig. 4.6: Curvas de luz de HT Cas nas bandas V (painel superior) e R (painel inferior). A linha
cheia representa o n´ıvel zero de cada curva e a identifica¸c˜ao de cada curva segue a
Tab. 4.2.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 61
Fig. 4.7: Curvas de luz de HT Cas na banda R em seq
¨
uˆencia ao longo do ciclo de erup¸c˜ao
em novembro de 1995. Os eclipses foram arbitrariamente colocados em fases orbitais
consecutivas para efeito de visualiza¸c˜ao. A identifica¸c˜ao de cada curva segue a Tab. 4.2.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 62
fluxos medianos estimados s˜ao de 13.2 ± 0.3 mJy e de 3.8 ± 0.1 mJy nos ciclos n2d e
n3c, respectivamente (ver triˆangulos fechados na Figura 4.2). Observa¸c˜oes do Ouda Team
(Kato 1995) indicam que o objeto j´a reapresentava nos dias 21 e 22, os padr˜oes marcantes
de ingresso e egresso da prim´aria que s˜ao observados usualmente em seu estado quiescente,
por´em o objeto ainda estava num estado de brilho maior que a quiescˆencia (V ∼ 15.9).
A Figura 7 de Ioannou et al. (1999) permite inferir que o objeto apresentava ´ındice de
cor (V − R) ∼ +0.08 mag (fora de eclipse) em 17 de novembro. A partir dos fluxos
medianos acima, calcula-se que o ´ındice (V − R) variou de −0.04 ± 0.04 mag no dia 18
para −0.23 ±0.05 mag no dia 19. Em 26 de dezembro (JD 2450078.4946), 37 dias ap´os o
´ultimo conjunto de dados utilizado neste trabalho, um ´ındice (V −R) = +0.44±0.07 mag
foi inferido a partir de outras observa¸c˜oes feitas no JGT (Baptista, comunica¸c˜ao privada).
Zhang et al. (1986) obtiveram o ´ındice de cor (V − R) m´edio de +0.60 ± 0.06 mag para
HT Cas em quiescˆencia (estado alto).
Os deslocamentos dos instantes de m´ınimo em rela¸c˜ao `a fase zero s˜ao evidˆencias de
que o m´aximo da distribui¸c˜ao de brilho se move em rela¸c˜ao ao centro do disco durante
a cobertura dos dados. Em 18 de novembro, esse comportamento sugere que o pico da
distribui¸c˜ao move-se para o lado do disco oposto (em rela¸c˜ao ao eixo que passa pelo centro
das estrelas) ao lado do gas stream. N˜ao h´a ind´ıcios de modula¸c˜oes orbitais nas curvas de
luz que possam sugerir a presen¸ca de bright spot durante a erup¸c˜ao, nem ´e observado o
surgimento de superhumps. Modula¸c˜oes largas, de baixa amplitude (∼ 0.05 mag) foram
observadas por Nogami & Baba (1995) nos dias 18 e 19, com per´ıodo de algumas horas.
Kato (1995) registrou essa mesma escala de tempo para as modula¸c˜oes observadas nos
dias 21 e 22, sugerindo a presen¸ca de superhumps. No entanto, como o evento de novembro
de 1995 certamente n˜ao foi uma supererup¸c˜ao, ´e bastante prov´avel que essas modula¸c˜oes
sejam as mesma modula¸c˜oes de origem desconhecida observadas anteriormente em quies-
cˆencia, que surgem e desaparecem em fases orbitais aleat´orias em escalas de tempo de
horas (Zhang et al. 1986; Wood et al. 1995; Feline et al. 2005). Por fim, as curvas de luz
n˜ao apresentam uma atividade de flickering intensa.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 63
4.3.6 O raio do disco de acr´escimo (R
d
)
Os m´etodos utilizados usualmente para a estimativa direta do raio do disco R
d
s˜ao base-
ados em considera¸c˜oes geom´etricas do sistema, sendo aplic´aveis quando a raz˜ao de massa
q e a inclina¸c˜ao i foram bem determinadas, como em HT Cas. O m´etodo usado por
Sulkanen, Brasure & Patterson (1981) utiliza as fases de primeiro e ´ultimo contato do
eclipse do disco. A abordagem de Schwarzenberg-Czerny (1984) faz uso das larguras do
eclipse em v´arias profundidades. Uma estimativa do intervalo de poss´ıveis valores do raio
do disco ´e ent˜ao obtida pela combina¸c˜ao das duas solu¸c˜oes. A simplifica¸c˜ao feita por
ambos os m´etodos ´e considerar uma estrela secund´aria esf´erica, desprezando suas distor-
¸c˜oes. A aplica¸c˜ao dos m´etodos a v´arias VCs, numa busca de diferen¸cas sistem´aticas entres
as subclasses, pode ser encontrada em Harrop-Allin & Warner (1996). Nesse artigo, foi
estimado o valor t´ıpico de R
d
∼ 0.4 R
L1
para NAs em quiescˆencia (com a exce¸c˜ao de
IP Peg), e ainda verificou-se que esses objetos apresentavam raios maiores que 0.5 R
L1
quando em erup¸c˜ao. Como o m´etodo proposto por Schwarzenberg-Czerny (1984) sup˜oe
uma distribui¸c˜ao sim´etrica de brilho e os dados mostram claramente que a distribui¸c˜ao ´e
assim´etrica em HT Cas, utilizou-se somente o m´etodo descrito por Sulkanen, Brasure &
Patterson (1981) para a estimativa de R
d
.
Esse m´etodo baseia-se na medi¸c˜ao de φ
E
, a fase de meia-largura do eclipse (i.e., o
intervalo de tempo entre o primeiro e o ´ultimo contato do eclipse, dividido por dois). A
dura¸c˜ao do eclipse (ou seja, 2 φ
E
ciclos) ´e fun¸c˜ao de R
d
e de R
c
, a meia-corda da secund´aria
(Fig. 1 de Harrop-Allin & Warner 1996). A rela¸c˜ao geom´etrica entre essas grandezas ´e
dada aproximadamente por
R
d
+ R
c
= a sin i sin(2πφ
E
), (4.14)
onde
R
c
a
=
R
2
a
2
− cos
2
i uma vez que foi suposta a esfericidade da secund´aria. O raio
volum´etrico da secund´aria pode ser estimado pela rela¸c˜ao te´orica de Eggleton (1983),
R
2
a
=
0.49q
2/3
0.6q
2/3
+ ln(1 + q
1/3
)
. (4.15)
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 64
Em suma, esse m´etodo permite estimar
R
d
a
a partir de φ
E
medido graficamente das
curvas de luz, atrav´es do perfil de eclipse. Para isso, ajustou-se uma reta ao fluxo fora
de eclipse e identificou-se os instantes onde o fluxo da curva de luz cai abaixo do n´ıvel de
1-σ do desvio padr˜ao em rela¸c˜ao ao fluxo mediano. A Tabela 4.3 apresenta as grandezas
medidas e os raios inferidos. Os raios est˜ao em unidades de R
L1
(Equa¸c˜oes 2.2 e 2.4; para
HT Cas calcula-se a = 0.66 R
⊙
e R
L1
= 0.45 R
⊙
). As incertezas t´ıpicas na determina¸c˜ao
de φ
E
s˜ao de 0.006 ciclo, o que leva a uma incerteza de ∼ 0.05 R
L1
na estimativa do raio
do disco. A exce¸c˜ao ´e o perfil de eclipse n1b, que, devido a sua pequena cobertura orbital
antes e depois do contato do eclipse, leva a erros de ∼ 0.1 R
L1
. O valor representativo de
R
d
para a segunda noite (n2) foi obtido a partir dos instantes de contato da curva n2a
(entrada e sa´ıda do eclipse do disco) e somente do instante de sa´ıda do eclipse n2c (as
curvas n2b e n2d est˜ao incompletas).
Tab. 4.3: Estimativa do raio do disco de acr´escimo de HT Cas
Curva Banda φ
E
R
d
(ciclos) (R
L1
)
n1a R 0.078 0.43
n1b R 0.076 0.41
n1c R 0.076 0.41
n1d R 0.076 0.41
n2 R, V 0.068 0.35
n3a R 0.062 0.30
n3b R 0.062 0.30
n3c V 0.058 0.26
Comparando os valores obtidos na Tabela 4.3 com as determina¸c˜oes anteriores do
raio do disco de acr´escimo de HT Cas (0.35 R
L1
em quiescˆencia e 0.58 R
L1
em erup¸c˜ao),
percebe-se que n˜ao houve aumento significativo de R
d
durante a erup¸c˜ao de 1995 em
rela¸c˜ao ao raio do disco em estado quiescente da literatura. O raio do disco manteve-se
na faixa t´ıpica de NAs em quiescˆencia, mesmo durante o m´aximo da erup¸c˜ao. Esses raios,
cotados por Harrop-Allin & Warner (1996), foram medidos a partir de todas as curvas
em U, B, V e luz branca, em quiescˆencia e erup¸c˜ao, dispon´ıveis na literatura naquela
ocasi˜ao (Hessman et al. 1992; Horne et al. 1991). Utilizando perfis de eclipse te´oricos,
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 65
os autores estimaram que, para NAs, o espalhamento entre as medi¸c˜oes de φ
E
em trˆes
diferentes bandas (U, B e V ) ´e de aproximadamente 4%. Esse espalhamento ´e menor
do que as incertezas das medi¸c˜oes de φ
E
realizadas, que ´e da ordem de 10%. Portanto a
compara¸c˜ao entre os valores do raio do disco de acr´escimo de HT Cas listados na Tabela 4.3
com aqueles cotados por Harrop-Allin & Warner (1996) ´e v´alida, mesmo representando
bandas diferentes. A Figura 4.8 ilustra essa compara¸c˜ao entre os perfis de eclipse utilizados
aqui para determina¸c˜ao de R
d
e os valores de φ
E
em erup¸c˜ao e quiescˆencia listados na
literatura.
O comportamento observado para o raio do disco de acr´escimo de HT Cas ao longo da
erup¸c˜ao de novembro de 1995 n˜ao parece inconsistente com as previs˜oes dos dois modelos
de erup¸c˜ao de NAs (Se¸c˜ao 4.1). Em ambos os modelos, uma erup¸c˜ao outside-in se inicia
nas partes externas do disco
10
e o raio do disco aumenta com a redistribui¸c˜ao de momento
angular, enquanto a onda de aquecimento avan¸ca para o centro do disco. O m´aximo raio
n˜ao necessariamente coincide com o m´aximo de brilho da erup¸c˜ao. Nesse aspecto n˜ao
existe contradi¸c˜ao entre a previs˜ao dos dois modelos e as observa¸c˜oes da Tabela 4.3. O
menor raio observado no final da erup¸c˜ao (R
d
∼ 0.26R
L1
) ´e compar´avel ao menor raio
esperado para HT Cas, que corresponde ao raio de um disco de acr´escimo sem viscosidade,
estimado pela express˜ao (Hessman & Hopp 1990)
R
d
(min) = 0.0859 q
−0.426
, (4.16)
e cujo valor para o objeto ´e de ∼ 0.28 R
L1
. Por outro lado, raio do disco nunca aproxima-
se do raio de mar´e R
d
(max) ≃
0.6
1+q
∼ 0.76 R
L1
(Warner 1995), que representa a limita¸c˜ao
te´orica para as regi˜oes externas do disco que seriam perturbadas pela influˆencia gravita-
cional da secund´aria. Portanto, o comportamento anˆomalo observado no diagrama O-C,
os aumentos de brilho ou os ind´ıcios de superhumps relatados (Kato 1995) s˜ao dif´ıceis
de explicar com o modelo de instabilidade t´ermico-gravitacional usualmente aplicado `a
10
Na fase inicial da erup¸c˜ao pode ocorrer (MITM) ou n˜ao (MID) uma redu¸c˜ao no raio do disco,
dependendo do modelo (Smak 1989). Como as observa¸c˜oes n˜ao cobrem essa fase, nada pode ser conclu´ıdo.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 66
Fig. 4.8: Compara¸c˜ao ilustrativa entre os perfis de eclipse da noite do dia 17/11 (painel inferior)
e 19/11 (painel superior). Os pontos pretos s˜ao dados em R (n1a e n3b, identifica¸c˜ao
de cada curva segue a Tab. 4.2.) e os pontos cinzas em V (n1d e n3c). As linhas
verticais s´olidas representam φ
E
= 0.069 ciclos, que equivale ao raio do disco em
quiescˆencia (0.35 R
L1
) cotado por Harrop-Allin & Warner (1996). As linhas tracejadas
representam φ
E
= 0.100 ciclos, equivalente a um raio de 0.58 R
L1
, cotado por Harrop-
Allin & Warner (1996) como valor de R
d
de HT Cas em erup¸c˜ao.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 67
supererup¸c˜oes de sistemas SU UMa (Osaki 1996; Warner 1995).
Os valores obtidos por Ioannou et al. (1999) para o raio externo do disco de acr´escimo
de HT Cas s˜ao consistentes ao n´ıvel de 1-σ com os valores listados na Tabela 4.3. Os
autores estimaram um raio de 0.41 R
L1
durante a subida ao m´aximo e durante a fase de
decl´ınio inicial (dias 17 e 18/11), e R
d
< 0.32 R
L1
no est´agio de decl´ınio tardio (dia 19/11).
4.4 Mapeamento por eclipse de HT Cas em erup¸c˜ao
Uma vez preparadas as curvas de luz, listadas na Tabela 4.2, inicia-se a aplica¸c˜ao do
m´etodo de mapeamento por eclipse aos dados. As curvas apresentam uma resolu¸c˜ao em
fase t´ıpica de 0.003 ciclos, que implica na utiliza¸c˜ao de um mapa de lado 2R
L
1
(ou seja,
λ = 2, ver Subse¸c˜ao 4.2) com 75 × 75 pixels (Baptista & Steiner 1993). Foi adotado
tamb´em um mapa padr˜ao de espalhamento azimutal limitado (Rutten et al. 1992), mais
adequado para reconstru¸c˜oes de estruturas assim´etricas (Baptista, Steiner & Horne 1996)
que os instantes de m´ınimo sugerem existir na distribui¸c˜ao de brilho do disco.
A geometria do eclipse ´e definida por q, i e pelo ˆangulo de semi-abertura β do disco
(Subse¸c˜ao 4.2). O raio do disco R
d
define a distˆancia do centro do disco (a posi¸c˜ao da
prim´aria) aos 150 pixels que representam a borda. Os valores de q e i s˜ao conhecidos
da literatura (Tab. 4.1) e R
d
´e estimado diretamente das curvas de luz (Subse¸c˜ao 4.3.6),
restando ainda determinar o ˆangulo de semi-abertura β do disco para que o MME3D
possa ser aplicado aos dados.
4.4.1 Simula¸c˜oes: estimativa de β
N˜ao h´a um m´etodo para determina¸c˜ao direta de β a partir das curvas de eclipse, como
existe no caso de R
d
. Como foi citado na Subse¸c˜ao 4.2, os efeitos de um disco com
abertura ou de uma componente n˜ao-eclipsada nas curvas de eclipse s˜ao indistingu´ıveis.
Portanto, a qualidade do ajuste da curva-modelo `a curva de dados, quantificada atrav´es
das estat´ısticas χ
2
e R, n˜ao pode ser utilizada para diferenciar uma solu¸c˜ao de disco com
ˆangulo β de uma solu¸c˜ao de disco plano mais componente n˜ao-eclipsada. Uma op¸c˜ao ´e
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 68
selecionar, dentre as solu¸c˜oes poss´ıveis, aquela de maior entropia. Isso pode ser visto como
a inclus˜ao de um parˆametro adicional – o ˆangulo β – na busca pelo m´aximo de S feita
pelo Prida. Isso n˜ao exclui a solu¸c˜ao de disco com abertura nula (mais componente n˜ao
eclipsada), j´a que β pode ser zero.
Nessa linha, o procedimento ´e ent˜ao aplicar o MME3D `as curvas de dados utilizando di-
versos ˆangulos de semi-abertura (mantendo os demais parˆametros de geometria de eclipse
fixos) e identificar qual ˆangulo β corresponde `a reconstru¸c˜ao de maior entropia. Por´em ´e
prudente realizar simula¸c˜oes para verificar se a estimativa de β dessa maneira ´e confi´avel.
Segue uma descri¸c˜ao das simula¸c˜oes efetuadas e dos resultados obtidos a partir delas.
Tomando uma geometria de eclipse com ˆangulo de semi-abertura β
input
conhecido,
foram geradas N
c
curvas de eclipse sint´eticas. A partir desse conjunto de curvas, foram
feitas N
c
reconstru¸c˜oes considerando uma geometria com ˆangulo β
r
qualquer, calculando-
se ao final um valor representativo para a entropia (
¯
S) e para sua dispers˜ao (σ
¯
S
) neste
conjunto de mapas de eclipse. Variando β
r
discretamente dentro de um intervalo de busca
de m´aximo S, pˆode-se construir uma rela¸c˜ao β
r
versus
¯
S, onde cada valor assumido por
β
r
possui seu respectivo valor
¯
S. Nesta rela¸c˜ao localizou-se o ˆangulo β
max
que apresenta
o maior valor de
¯
S. Para HT Cas i = 81
◦
, portanto a condi¸c˜ao para que n˜ao ocorra
auto-oculta¸c˜ao (β < 90
◦
− i) sugere que o intervalo de busca seja de 0
◦
a 9
◦
.
Por fim, variando β
input
discretamente dentro de um intervalo adequado (novamente
entre 0
◦
e 9
◦
), foi poss´ıvel estudar o comportamento da rela¸c˜ao β
input
× β
max
. A partir
desta rela¸c˜ao pode-se testar se o m´etodo – dada uma curva de luz de entrada com ˆangulo
de semi-abertura conhecido – reproduz como solu¸c˜ao de maior entropia a distribui¸c˜ao
de mesmo ˆangulo de semi-abertura com que foi gerada a curva de luz de entrada. O
comportamento desejado para a rela¸c˜ao β
input
vs β
max
´e de uma reta do tipo y = x. Isso
indicaria que, a partir da curva de luz de entrada (gerada com ˆangulo β
input
), poder-se-ia
obter, localizando β
max
, o mesmo valor do ˆangulo utilizado para a gera¸c˜ao dessa curva
(β
input
= β
max
). Por´em, como se ver´a a seguir, o m´etodo n˜ao se comporta exatamente
assim.
As curvas de luz sint´eticas foram criadas a partir de um mapa inicial e de uma geo-
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 69
metria β
input
11
. O mapa inicial representa uma distribui¸c˜ao de brilho de um disco op-
ticamente espesso em estado estacion´ario (Eq. 2.6) com uma taxa de acr´escimo
˙
M de
10
−9.5
M
⊙
ano
−1
e demais parˆametros conforme a Tabela 4.2
12
. Ru´ıdo gaussiano foi adici-
onado `as curvas artificiais para simular uma rela¸c˜ao sinal-ru´ıdo (S/N) de 50, valor t´ıpico
das curvas de dados. Foram supostos erros poissonianos, ou seja, as barras de erro se
escalonam com a raiz quadrada do fluxo. As curvas possuem resolu¸c˜ao em fase de 0.003
ciclos e as intensidades dos pixels da borda foram tomadas como zero (ou seja, as curvas
n˜ao apresentam modula¸c˜oes orbitais).
Segue um exemplo para maior compreens˜ao do procedimento utilizado para obten¸c˜ao
de β
r
vs
¯
S: utilizando β
input
= 5
◦
, foram geradas 20 curvas sint´eticas com o procedimento
descrito acima. Aplicou-se o MME3D a essas 20 curvas utilizando uma geometria β
r
= 0
◦
,
e dessas 20 reconstru¸c˜oes obteve-se o valor de
¯
S. A seguir, as reconstru¸c˜oes foram feitas
com β
r
= 0.5
◦
, obtendo-se outro valor de
¯
S. O processo segue at´e β
r
varrer o intervalo de
busca
13
. Ao final, obt´em-se a rela¸c˜ao desejada para determinar β
max
. Na Figura 4.9 pode-
se visualizar esse procedimento para diferentes ˆangulos β
input
. Cada ponto representa
o valor mediano de S, e as barras de erros s˜ao obtidas a partir dos desvios absolutos
medianos. A grande dispers˜ao dos pontos ´e um indicativo da sensibilidade do m´etodo na
busca pelo m´aximo: pequenas modifica¸c˜oes nas curvas de entrada geram grandes varia¸c˜oes
nos parˆametros de sa´ıda
14
. Em alguns casos, majoritariamente para ˆangulos β
r
distantes
de β
input
, essa sensibilidade ´e evidenciada pela n˜ao convergˆencia do m´etodo. Nesses casos,
a mediana foi obtida num conjunto menor do que 20 reconstru¸c˜oes, o que implica em uma
dispers˜ao ainda maior em
¯
S. Apesar disso, os gr´aficos permitem a f´acil identifica¸c˜ao do
11
Como o ´unico parˆametro vari´avel na geometria do eclipse ´e o ˆangulo de semi-abertura do disco,
enquanto os demais parˆametros (i, q e R
d
) s˜ao fixos, o termo “geometria β” passa a significar a geometria
de eclipse com ˆangulo de semi-abertura β.
12
A utiliza¸c˜ao de um disco de acr´escimo opticamente espesso em estado estacion´ario, com taxa
˙
M de
10
−9.5
M
⊙
ano
−1
foi baseada nos resultado de Ioannou et al. [1999] e representa uma estimativa inicial para
as simula¸c˜oes. Verificou-se, ap´os obter os perfis radiais de temperatura dos dados (pr´oxima Subse¸c˜ao), que
as diferen¸cas entre essa distribui¸c˜ao suposta e os perfis verdadeiros n˜ao altera o resultado das simula¸c˜oes.
13
O intervalo de busca ´e varrido com incrementos de 0.5
◦
para β
r
entre entre 0
◦
e 5
◦
, e incrementos de
1
◦
entre 5
◦
e 9
◦
.
14
Um resultado intuitivo confirmado em alguns testes durante as simula¸c˜oes ´e a rela¸c˜ao entre a dispers˜ao
em
¯
S e a rela¸c˜ao S/N das curvas de eclipse de entrada.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 70
ˆangulo de m´axima entropia β
max
(indicados pelas marcas verticais na Figura 4.9).
Pode-se perceber que os valores de β
max
n˜ao s˜ao os mesmos valores utilizados para gerar
as curvas de entrada (β
input
). Seguindo o processo das simula¸c˜oes, os pares (β
max
, β
input
)
foram determinados a partir de curvas como as exibidas na Figura 4.9 e est˜ao mostrados
na Figura 4.10. Como se pode notar, os ˆangulos de m´axima entropia s˜ao sistematicamente
subestimados em rela¸c˜ao ao ˆangulo de entrada β
input
. Os ˆangulos de m´axima entropia s˜ao
iguais a zero at´e β
input
∼ 2
◦
, apresentando uma rela¸c˜ao linear aproximada β
input
≃ β
max
+
1.5
◦
a partir desse valor. Essa rela¸c˜ao linear permite estimar o ˆangulo de semi-abertura
a partir da localiza¸c˜ao de β
max
nas reconstru¸c˜oes feitas sobre os dados. No entanto, ´e
importante lembrar que outros elementos – como modula¸c˜oes orbitais ou assimetrias na
distribui¸c˜ao de brilho – n˜ao foram considerados nas simula¸c˜oes. Testes de consistˆencia
feitos levando em conta esses elementos confirmam uma rela¸c˜ao linear do mesmo tipo. As
incertezas na determina¸c˜ao de β
max
foram estimadas de modo a considerar as poss´ıveis
diferen¸cas causadas por esses elementos adicionais.
Todas as reconstru¸c˜oes que convergiram, o fizeram respeitando os v´ınculos de χ
2
aim
= 1
e R
aim
= 0 no ajuste da curva-modelo aos dados. Portanto a escolha entre os poss´ıveis
ˆangulos de semi-abertura deveria ser pelo que apresentasse a maior entropia. Por´em, as
simula¸c˜oes descritas nos par´agrafos anteriores indicam que a m´axima entropia acontece
num ˆangulo menor do que o ˆangulo correto. Foi sugerido logo acima, que uma rela¸c˜ao
linear simples permite relacionar β
max
obtido ao β verdadeiro do disco de acr´escimo, que
n˜ao
seria a solu¸c˜ao de maior entropia. O que confirma que essa solu¸c˜ao – que pode ser
obtida conhecendo-se o ˆangulo β para o m´aximo S – seja a mais fiel em rela¸c˜ao ao mapa
de entrada? O que garante que a solu¸c˜ao dita “real” reproduz melhor aquilo de maior
interesse, os perfis radiais de intensidade do disco de acr´escimo?
A resposta pode ser indicada por um exemplo. A Figura 4.11 apresenta os perfis radiais
de intensidade do mapa mediano para diversos ˆangulos de reconstru¸c˜ao β
r
(o ˆangulo de
m´axima entropia obtido est´a indicado). Foram geradas 100 curvas de luz a partir de uma
geometria β
input
= 5
◦
e ´e mostrado em cada painel da Figura o perfil de intensidade do
mapa de entrada (linha cheia) para compara¸c˜ao com os perfis medianos. A Figura 4.12
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 71
Fig. 4.9: Alguns exemplos das rela¸c˜oes β
r
×
¯
S para diferentes ˆangulos β
input
. Cada ponto repre-
senta o valor mediano de S das reconstru¸c˜oes v´alidas (convergentes) realizadas sobre
20 curvas sint´eticas, essas ´ultimas geradas utilizando uma geometria β
input
. As barras
de erros s˜ao os desvios absolutos medianos. As marcas verticais indicam os ˆangulos de
m´axima entropia β
max
.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 72
Fig. 4.10: Gr´afico do ˆangulo de m´axima entropia β
max
em fun¸c˜ao do ˆangulo de entrada β
input
.
As barras de erro em β
max
foram estimadas a partir das incertezas na determina¸c˜ao
do m´aximo. A linha tracejada representa uma rela¸c˜ao linear β
input
≃ β
max
+ 1.5
◦
e a
linha pontilhada uma reta y = x.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 73
apresenta algumas grandezas relacionadas a cada bloco de 100 reconstru¸c˜oes por geometria
β
r
utilizada. Os pain´eis da esquerda exibem o comportamento da entropia em fun¸c˜ao de
β
r
(o painel inferior representa uma amplia¸c˜ao do superior pr´oximo ao m´aximo). Os
dois pain´eis `a direita apresentam a contribui¸c˜ao percentual mediana ao fluxo total dos
pixels da borda (painel superior) e da componente n˜ao-eclipsada (painel inferior). Com as
duas figuras em m˜aos, percebe-se que as reconstru¸c˜oes feitas com o pr´oprio ˆangulo β
input
apresentam uma distor¸c˜ao na reprodu¸c˜ao das partes externas do perfil radial. Esses pixels
representam a parte do disco que nunca ´e eclipsada. Uma vez que n˜ao existe informa¸c˜ao
sobre a intensidade destes pixels no perfil do eclipse, o m´etodo tem a liberdade para
transpor este fluxo para a componente n˜ao-eclipsada. Essa componente contribui com
cerca de 10% do fluxo total.
A reprodu¸c˜ao da distribui¸c˜ao radial de brilho nas partes externas do mapa ´e ainda
pior para as reconstru¸c˜oes feitas com β
r
< β
input
(= 5
◦
). Para reproduzir a mesma dura¸c˜ao
de eclipse, essas reconstru¸c˜oes com ˆangulos menores que 5
◦
diminuem as intensidades dos
pixels dos raios externos e consideram a contribui¸c˜ao desses pixels ao fluxo como uma
componente n˜ao-eclipsada (esp´uria) elevada. J´a as reconstru¸c˜oes feitas com ˆangulos de
6
◦
e 7
◦
, apesar de aparentarem uma reprodu¸c˜ao melhor do perfil de entrada (por´em com
maior espalhamento) e uma componente n˜ao-eclipsada menor, produzem valores de en-
tropia muito reduzidos. Isso pode ser entendido pela Figura 4.13, que mostra os perfis das
reconstru¸c˜oes separados em parte frontal (fs) e parte traseira (bs) do disco. Em ˆangulos
de 6
◦
e 7
◦
, a entropia reduzida ´e devida a uma grande assimetria frente-fundo artificial-
mente colocada no disco, em consequˆencia da necessidade do programa de reproduzir a
dura¸c˜ao de eclipse maior imposta pelas curvas de luz de entrada (geradas com um ˆan-
gulo de semi-abertura menor). A ´area efetiva dos pixels da borda ainda n˜ao ´e grande
o suficiente para contribuir com o fluxo sem decr´escimos significativos na entropia. As
reconstru¸c˜oes com ˆangulos ainda maiores (8
◦
e 9
◦
) achatam as partes centrais da distri-
bui¸c˜ao e apresentam uma borda que contribui significativamente no fluxo total. Ainda na
Figura 4.13, pode-se especular que a entropia n˜ao ´e m´axima em β
r
= 5
◦
devido `a consi-
dera¸c˜ao, pelo m´etodo, daqueles pixels nunca eclipsados como componente n˜ao-eclipsada.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 74
Fig. 4.11: Perfis radiais de intensidade do mapa mediano (de 100 reconstru¸c˜oes) para diversos
ˆangulos de reconstru¸c˜ao β
r
. As curvas de eclipse de entrada foram geradas para uma
geometria β
input
= 5
◦
. O ˆangulo cujas reconstru¸c˜oes alcan¸caram, na mediana, a maior
entropia est´a indicado por β
max
. A linha cheia representa a distribui¸c˜ao de brilho de
entrada, um disco opticamente espesso em estado estacion´ario (Eq. 2.6) com uma taxa
de acr´escimo
˙
M de 10
−9.5
M
⊙
ano
−1
(e demais parˆametros da Tabela 4.2).
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 75
Fig. 4.12: Grandezas relacionadas a cada bloco de 100 reconstru¸c˜oes por geometria β
r
. Nos
pain´eis `a esquerda est´a representada a rela¸c˜ao β
r
×
¯
S (em detalhe no painel inferior).
`
A direita est´a a contribui¸c˜ao percentual mediana ao n´ıvel fora de eclipse dos pixels da
borda (painel superior) e da componente n˜ao eclipsada (painel inferior).
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 76
Isso for¸ca uma pequena assimetria frente-fundo na distribui¸c˜ao de brilho do disco quando
o m´etodo procura reproduzir a mesma forma do eclipse de entrada.
`
A luz dessas constata¸c˜oes, a reconstru¸c˜ao feita com o ˆangulo “real” (5
◦
) representa
uma reprodu¸c˜ao mais fiel se comparada `a reconstru¸c˜ao de maior entropia ou `as demais,
apesar de apresentarem a mesma qualidade de ajuste de suas curvas-modelo. Todos os
efeitos citados acima ficam mais evidenciados se ´e considerado uma distribui¸c˜ao radial
plana (como esperado pelo MID para NAs em quiescˆencia). Para ilustrar esse fato, a
Figura 4.14 apresenta uma s´erie de reconstru¸c˜oes similares `a Figura 4.11, onde foi utilizado
como entrada um perfil plano (de temperatura central igual a T
wd
) cujo patamar de brilho
se estende at´e ∼ 0.5R
L
1
.
A an´alise do comportamento descrito acima – de todas as reconstru¸c˜oes β
r
que se
afastam da geometria de entrada β
input
e das pr´oprias reconstru¸c˜oes feitas com β
r
= β
input
– foi estendida a ˆangulos de entrada no intervalo de 0
◦
a 9
◦
. A an´alise da confiabilidade na
estimativa de β atrav´es do ˆangulo de m´axima entropia, como feita acima para β
input
= 5
◦
,
indica que essa determina¸c˜ao funciona bem para os ˆangulos no intervalo de β citado acima.
A Figura 4.15 indica que as distor¸c˜oes do m´etodo afetam as partes externas do mapa de
eclipse (r
>
∼
0.5R
L1
) em regi˜oes onde a intensidade cai a menos de 10% do m´aximo da
distribui¸c˜ao de brilho, mas que o m´etodo reproduz satisfatoriamente a distribui¸c˜ao para
r
<
∼
0.5R
L1
. Cabe ressaltar que essas distor¸c˜oes tornam-se mais evidentes para os ˆangulos
pr´oximos ao limite superior do intervalo de β considerado no estudo. Quanto maior for o
ˆangulo de abertura, maior a emiss˜ao nas partes nunca eclipsadas do disco (regi˜oes mais
afastadas do ponto L
1
) e maior se torna a componente n˜ao eclipsada esp´uria, uma vez
que o programa perde a capacidade de distinguir entre as duas coisas. Isto indica que o
MME3D torna-se menos confi´avel no limite dos grandes ˆangulos de abertura (β
input
>
∼
9
◦
)
e das grandes inclina¸c˜oes (i ∼ 90
◦
).
O painel superior da Figura 4.16 ilustra a componente n˜ao-eclipsada esp´uria indu-
zida pelo m´etodo. J´a o painel inferior da Figura 4.16 apresenta as intensidades m´edias
esp´urias introduzidas na borda do disco de acr´escimo pelo m´etodo, consideradas nulas
na distribui¸c˜ao de brilho inicial do disco em estado estacion´ario usado nas simula¸c˜oes e
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 77
Fig. 4.13: Perfis radiais da Figura 4.11 separados em parte frontal (fs) e parte traseira (bs) do
disco de acr´escimo. A nota¸c˜ao ´e a mesma da Figura 4.11.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 78
Fig. 4.14: Perfis radiais de intensidade do mapa mediano (de 100 reconstru¸c˜oes) para diversos
ˆangulos de reconstru¸c˜ao β
r
. As curvas de eclipse de entrada foram geradas sob uma
geometria β
input
= 5
◦
. O ˆangulo cujas reconstru¸c˜oes alcan¸caram, na mediana, a maior
entropia est´a indicado por β
max
. A linha cheia representa uma distribui¸c˜ao de brilho
plana com temperatura central igual a 14 000 K (T
wd
). Nota-se que o ˆangulo de
m´axima entropia β
max
nesse caso ´e diferente daquele obtido para uma distribui¸c˜ao de
brilho de um disco opticamente espesso em estado estacion´ario (Figura 4.11). Essa
diferen¸ca sistem´atica entre os dois casos ´e menor que as incertezas assumidas na
rela¸c˜ao β
input
× β
max
.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 79
Fig. 4.15: Perfis radiais de intensidade do mapa mediano (de 100 reconstru¸c˜oes) para ˆangulos de
reconstru¸c˜ao β iguais ao ˆangulo de entrada β
input
. Ou seja, cada painel apresenta perfil
das reconstru¸c˜oes feitas com o mesmo ˆangulo de entrada (β = β
input
). Isso permite
analisar as distor¸c˜oes inerentes ao m´etodo. A linha cheia representa uma distribui¸c˜ao
de brilho de um disco opticamente espesso em estado estacion´ario (Eq. 2.6) com uma
taxa de acr´escimo
˙
M de 10
−9.5
M
⊙
ano
−1
(e demais parˆametros da Tabela 4.2).
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 80
assim igualmente reconstru´ıda, como ilustra a figura. Quando a distribui¸c˜ao de brilho ´e
sim´etrica e n˜ao existe fluxo na borda, o valor de R
d
´e irrelevante, visto que n˜ao afeta a
distribui¸c˜ao de brilho nem a largura do eclipse. A borda serve apenas para levar em conta
alguma modula¸c˜ao orbital. No caso das simula¸c˜oes, o raio adotado foi de R
d
= 0.35R
L1
.
E no caso do ˆangulo de semi-abertura real ser muito maior do que o intervalo de β
utilizado nas simula¸c˜oes (no regime de auto-oculta¸c˜ao i > 90
◦
−β)? Para estes casos, testes
indicam que os mapas apresentam distribui¸c˜oes de brilho com forte assimetria frente-fundo
e grande componente n˜ao-eclipsada (esp´uria) para todas as geometrias feitas com ˆangulos
sistematicamente menores que os reais. Essa assimetria mostrou-se imposs´ıvel de ser
removida com os ˆangulos no intervalo entre 0
◦
e 9
◦
. Portanto, se a aplica¸c˜ao do m´etodo
aos dados de HT Cas resultar em mapas que n˜ao apresentam assimetrias frente-fundo
not´aveis, n˜ao existe raz˜ao para considerar que o verdadeiro β seja maior que o intervalo
considerado no presente trabalho.
Em s´ıntese, ´e poss´ıvel utilizar a entropia do mapa de eclipse como crit´erio para esti-
mar o ˆangulo de semi-abertura do disco com uma precis˜ao de ±1
◦
para os casos em que
(i + β) < 90
◦
, bem como recuperar corretamente a distribui¸c˜ao de brilho do disco para
regi˜oes n˜ao muito pr´oximas `a borda externa. Para ˆangulos crescentes – em consequˆencia
do fato que uma parcela maior do hemisf´erio do disco mais afastado da secund´aria n˜ao
sofre eclipse (e, portanto, n˜ao existe informa¸c˜ao sobre a distribui¸c˜ao de brilho desta re-
gi˜ao na forma do eclipse) – o m´etodo tende a introduzir uma componente n˜ao-eclipsada
esp´uria. Nesta condi¸c˜ao particular n˜ao ´e mais poss´ıvel distinguir a existˆencia de disco
com abertura n˜ao desprez´ıvel de uma real componente n˜ao-eclipsada, confirmando os re-
sultados de Wood (1994). Assim estabelecemos a confiabilidade na aplica¸c˜ao do esquema
para estimativa de β e esclarecemos as distor¸c˜oes inerentes ao m´etodo, servindo ambos
como referˆencia para uma an´alise cautelosa dos resultados obtidos atrav´es do MME3D. O
pr´oximo passo foi, portanto, a aplica¸c˜ao do mapeamento por eclipse ao dados de HT Cas
em erup¸c˜ao.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 81
Fig. 4.16: Fluxo percentual mediano (do n´ıvel fora de eclipse) da componente n˜ao eclipsada
(painel superior) e da borda (painel inferior) para ˆangulos de reconstru¸c˜ao β (eixo-x)
iguais ao ˆangulo de entrada β
input
. Ou seja, cada ponto representa a grandeza (f
bg
ou f
rim
) das reconstru¸c˜oes feitas com o mesmo ˆangulo de entrada (β = β
input
). Note
que o painel inferior est´a em escala logar´ıtmica, indicando que a contribui¸c˜ao m´edia
da borda em todos os casos ´e praticamente zero.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 82
4.4.2 Mapas de eclipse
Uma vez estabelecido o m´etodo para a determina¸c˜ao do ˆangulo de semi-abertura β do
disco de acr´escimo, aplicou-se o MME3D `as curvas de dados de HT Cas listadas na
Tabela 4.2. Os parˆametros de entrada (ou de geometria) utilizados foram q = 0.15 e
i = 81
◦
(Tabela 4.1) e os diferentes raios do disco de acr´escimo ao longo da erup¸c˜ao est˜ao
listados na Tabela 4.3. O ˆangulo β para cada curva de luz foi estimado pelo m´etodo
descrito anteriormente: buscou-se o ˆangulo de m´axima entropia e a partir desse obteve-se
o ˆangulo de semi-abertura real. A ´unica diferen¸ca, no caso das curvas de dados, foi uma
busca adicional pelos v´ınculos (χ
2
e R) que permitissem a convergˆencia do m´etodo de
mapeamento por eclipse tridimensional.
A solu¸c˜ao obtida para a curva n1b foi descartada devido `a sua pequena cobertura
orbital fora de eclipse, o que n˜ao permitiu uma convergˆencia confi´avel do algoritmo de
mapeamento. Da mesma forma, a solu¸c˜ao obtida para a curva n2b, que apresenta baixa
cobertura durante as fases de eclipse, tamb´em foi descartada. Apesar da amostragem
incompleta de outras curvas do conjuntos, elas possuem informa¸c˜ao suficiente para reali-
za¸c˜ao de um mapeamento confi´avel (ver as simula¸c˜oes realizadas por Baptista 2001). As
Figuras 4.17, 4.18 e 4.19 apresentam o resultado da aplica¸c˜ao do MME3D `as curvas de
dados de HT Cas ao longo da erup¸c˜ao de 1995. As reconstru¸c˜oes alcan¸caram um χ
2
final
pr´oximo ou igual a 1 para todas as curvas de luz. A nomenclatura dos dados segue a Ta-
bela 4.2. Nos pain´eis centrais s˜ao mostrados os mapas de eclipse em escala logar´ıtmica de
tons de cinza (comum a todas as reconstru¸c˜oes). Regi˜oes mais brilhantes est˜ao indicadas
em preto, e as menos brilhantes em branco. A barra horizontal inferior indica o n´ıvel de
intensidade da escala logar´ıtmica de tons de cinza utilizada. O n´umero no canto inferior
esquerdo de cada mapa de eclipse representa o tempo em dias em rela¸c˜ao ao instante de
meio-eclipse do ciclo n1a. Plotadas `a esquerda est˜ao as curvas de eclipse (pontos com
barras de erros) e as curvas-modelo resultantes das reconstru¸c˜oes (linha cheia). A escala
temporal est´a ampliada entre fases orbitais −0.2 e +0.2, o que permite uma melhor visu-
aliza¸c˜ao do ajuste do modelo `as fases de ingresso e egresso do eclipse. O tra¸co horizontal
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 83
inferior representa o fluxo da componente n˜ao-eclipsada em cada caso.
`
A direita est˜ao
representadas as distribui¸c˜oes azimutais de intensidade da borda. O ˆangulo de azimute
de um pixel da borda, distante R
d
, ´e medido em rela¸c˜ao `a linha que une os centros das
duas estrelas, tomando valores positivos (negativos) no sentido anti-hor´ario (hor´ario) (com
centro do azimute na prim´aria), e variando entre −π e +π.
As incertezas estat´ısticas nos mapas de eclipse foram estimadas por um procedimento
de Monte Carlo (Rutten et al. 1992b). Para uma dada curva de luz, 20 curvas de luz
artificiais foram geradas nas quais suas incertezas foram variadas independente e aleato-
riamente de acordo com uma distribui¸c˜ao Gaussiana com desvio padr˜ao igual `a incerteza
em cada ponto. As curvas de luz artificiais s˜ao ajustadas com o MME3D para produzir
um conjunto de mapas de eclipse aleat´orios. Esses s˜ao combinados para produzir um
mapa mediano e um mapa dos res´ıduos em rela¸c˜ao `a mediana, que corresponde `a incer-
teza estat´ıstica em cada pixel. Um mapa da significˆancia estat´ıstica (ou o inverso do erro
relativo) foi obtido dividindo o mapa de eclipse original pelo mapa dos desvios padr˜oes.
As incertezas obtidas com esse procedimento tamb´em foram usadas para estimar os erros
nas distribui¸c˜oes radiais de intensidade e temperatura de brilho. Para todos os mapas de
HT Cas, a regi˜ao dos mapas de eclipse mostrada nas Figuras 4.17, 4.18 e 4.19 est´a acima
de um n´ıvel de confian¸ca de 6-σ.
A Figura 4.20 apresenta a evolu¸c˜ao do ˆangulo de semi-abertura β do DA de HT
Cas ao longo da erup¸c˜ao de 1995, estimado atrav´es do m´etodo descrito anteriormente.
O eixo temporal ´e contado em dias a partir instante de meio-eclipse do ciclo n1a. Os
pontos podem ser relacionados ao mapas atrav´es dos valores exibidos no canto inferior
esquerdo dos pain´eis centrais das Figuras 4.17, 4.18 e 4.19. Os ˆangulo de semi-abertura
estimados (quadrados fechados) s˜ao sistematicamente menores que os obtidos por Ioannou
et al. (1999), que est˜ao indicados na figura por quadrados abertos. Note que os ˆangulos
estimados por Ioannou et al. (1999) est˜ao no regime em que ocorre a auto-oculta¸c˜ao das
partes internas do disco de acr´escimo, indicada pela linha pontilhada. O ˆangulo de semi-
abertura do DA do objeto varia entre 3
◦
e 5
◦
ao longo da erup¸c˜ao, o que equivale a um
intervalo de 0.05−0.1 na escala de altura da fotosfera do DA (
h
d
R
d
= tan β). Esse intervalo
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 84
Fig. 4.17: Curvas de luz e mapas de eclipse de HT Cas na noite de 17/11. Centro: Mapas de
eclipse em escala logar´ıtmica de tons de cinza. A nomenclatura segue a Tab. 4.2 e
o n´umero no canto inferior esquerdo de cada painel indica o tempo em rela¸c˜ao ao
instante de meio-eclipse do ciclo n1a. Regi˜oes brilhantes est˜ao indicadas em preto
e as regi˜oes menos brilhantes em branco. A cruz indica o centro do disco, as linhas
pontilhadas representam o lobo de Roche, a trajet´oria bal´ıstica do jato de g´as e o raio
do disco de acordo com a Tabela 4.3. A secund´aria est´a `a direita do mapa. A escala
inferior corresponde a uma escala linear do logaritmo das intensidades entre -7 e -2.
Esquerda: Curvas de dados (pontos com barras de erros) com suas correspondentes
curvas-modelo (linhas cheias) obtidas a partir dos mapas de eclipse. O tra¸co horizontal
inferior representa o fluxo da componente n˜ao-eclipsada obtida. Direita: Distribui¸c˜oes
azimutais de intensidade da borda .
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 85
Fig. 4.18: Curvas de luz e mapas de eclipse de HT Cas na noite de 18/11. A nomenclatura segue
a Tab. 4.2 e a nota¸c˜ao ´e a mesma da Figura 4.17.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 86
Fig. 4.19: Curvas de luz e mapas de eclipse de HT Cas na noite de 19/11. A nomenclatura segue
a Tab. 4.2 e a nota¸c˜ao ´e a mesma da Figura 4.17.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 87
de valores ´e compat´ıvel ao intervalo obtido por Smak (1992) para discos opticamente
espessos em estado estacion´ario, e sistematicamente maior que valor estimado para novas
an˜as em quiescˆencia (
h
d
R
d
∼ 0.02). Existe evidˆencia marginal de que o ˆangulo de abertura
do disco diminui ao longo do decl´ınio da erup¸c˜ao.
A contribui¸c˜ao da componente n˜ao-eclipsada ´e n˜ao-nula somente nas solu¸c˜oes n1c e
n1d, mesmo assim, representando apenas 5% do fluxo m´edio fora de eclipse nos dois ciclos.
Isso ´e conseq
¨
uˆencia de um disco extenso cujas as partes externas n˜ao s˜ao totalmente
eclipsadas pela secund´aria, como confirmado projetando a sombra da secund´aria sobre
essas duas distribui¸c˜oes de brilho. As solu¸c˜oes obtidas para os ciclos n2c e n2d apresentam
uma contribui¸c˜ao significativa da borda no fluxo observado. Nesses ciclos, a posi¸c˜ao
azimutal da regi˜ao brilhante da borda acompanha as assimetrias que surgem no disco no
lado oposto ao do jato de g´as proveniente da secund´aria (essas assimetrias ser˜ao discutidas
na Subse¸c˜ao a seguir). Para o ciclo n3b tamb´em foi obtida uma solu¸c˜ao com borda que
contribui significativamente para o fluxo do objeto e cuja posi¸c˜ao azimutal da regi˜ao
brilhante corresponde, ao contr´ario da noite anterior, `a regi˜ao do gas stream. Essa borda
auxilia no ajuste de uma curva de luz com fluxo m´edio anterior ao eclipse maior do que
aquele posterior ao eclipse, como particularmente observado nesse ciclo.
4.4.3 Estruturas do disco de acr´escimo
Os primeiros resultados qualitativos podem ser obtidos analisando o conjunto de mapas
de eclipse na banda R da Figura 4.21. A seq
¨
uˆencia dos “retratos” da erup¸c˜ao inicia-se no
topo do lado esquerdo, seguindo a nomenclatura da Tab. 4.2. O n´umero no canto inferior
esquerdo de cada mapa de eclipse representa o tempo em dias em rela¸c˜ao ao instante de
meio-eclipse do ciclo n1a. Os progressivos adiantamentos ilustrados no diagrama O−C
da Figura 4.5, sugerem a existˆencia de estruturas bastante assim´etricas na segunda noite.
Para acompanhar a evolu¸c˜ao dessas estruturas, os contornos de n´ıveis de log I
ν
= −4.5,
−4.25 e −4.0 da componente assim´etrica das distribui¸c˜oes de brilho foram sobrepostos
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 88
Fig. 4.20: Evolu¸c˜ao do ˆangulos de semi-abertura β do DA de HT Cas ao longo da erup¸c˜ao de
1995. O eixo temporal ´e contado em dias a partir instante de meio-eclipse do ciclo
n1a. O quadrados abertos representam os valores (ou intervalo de valores) dos ˆangulos
obtidos por Ioannou et al. (1999), enquanto os quadrados abertos indicam os valores
obtidos nesta tese. A linha pontilhada representa o limite de auto-oculta¸c˜ao das partes
internas do disco de acr´escimo (uma vez que i = 81
◦
).
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 89
aos mapas
15,16
. Usando a mesma nota¸c˜ao, a Figura 4.22 apresenta a evolu¸c˜ao dos mapas
em V .
Nas figuras, a evolu¸c˜ao da emiss˜ao total (em tons de cinza) segue a descri¸c˜ao do
formato das curvas de eclipse feita na Subse¸c˜ao 4.3.5: inicialmente as regi˜oes externas do
disco aumentam de brilho mais rapidamente. A seguir, o centro torna-se mais brilhante
enquanto as partes externas v˜ao progressivamente diminuindo de brilho. Na terceira noite,
o disco segue a tendˆencia de diminui¸c˜ao global de brilho, mantendo ainda uma distribui¸c˜ao
de brilho concentrada nas regi˜oes centrais. Os contornos indicam que ao longo da primeira
noite surge uma fraca e extensa componente assim´etrica no lado do disco onde est´a o gas
stream. Na noite seguinte, os sucessivos adiantamentos do m´ınimo de eclipse revelam uma
assimetria que se torna cada vez mais evidente no lado oposto do disco. Durante a fase
de decl´ınio tardio, uma assimetria volta a ser percept´ıvel no lado do jato de g´as.
´
E dif´ıcil argumentar que essas assimetrias ao longo da erup¸c˜ao sejam causadas por
instabilidades de mar´e produzidas pela secund´aria (bra¸cos espirais ou superhumps), pois
o raio do disco ´e menor que o raio onde come¸cam a ocorrer esses fenˆomenos (Warner 1995;
Steeghs & Stehle 1999). Al´em disso, no caso de bra¸cos espirais, espera-se a forma¸c˜ao de
dois bra¸cos (Armitage & Murray 1998; Boffin 2001), enquanto as assimetrias observadas
est˜ao somente de um dos lados do disco. Nos mapas da primeira e da ´ultima noite, uma
alternativa seria considerar uma transferˆencia de massa da secund´aria aumentada. Isso
evidenciaria o jato de g´as, justificando assim a assimetria (e o elevado raio do disco na
primeira noite). No entanto, na segunda noite, a assimetria concentra-se progressivamente
do lado oposto do gas stream. Essa movimenta¸c˜ao da assimetria, partindo da parte frontal
do disco em dire¸c˜ao ao lado oposto ao jato, pode ser ind´ıcio da forma¸c˜ao de um disco
el´ıptico precessionante, mesmo que o DA n˜ao alcance o raio te´orico para que isso ocorra.
Tamb´em pode ser um caso extremo em que um pulso de mat´eria suficientemente denso
penetra num disco de baixa densidade, causando efeitos na continua¸c˜ao da trajet´oria
15
A componente assim´etrica dos mapas ´e obtidas subtra´ındo-se de cada pixel o valor da componente
sim´etrica da emiss˜ao do disco, cuja determina¸c˜ao ser´a descrita na pr´oxima Subse¸c˜ao (4.4.4).
16
Somente dois contornos est˜ao indicados sobre o mapa do ciclo n1a pois o pico de sua componente
assim´etrica n˜ao alcan¸ca log I
ν
= −4.0.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 90
Fig. 4.21: Seq
¨
uˆencia de mapas de eclipse em R ao longo da erup¸c˜ao de 1995. A nomenclatura
segue a Tab. 4.2. A nota¸c˜ao e a escala logar´ıtmica de tons de cinza s˜ao as mesmas
da Figura 4.17. Os contornos representam n´ıveis de log I
ν
= −4.5, −4.25 e − 4.0 da
componente assim´etrica dos mapas.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 91
Fig. 4.22: Seq
¨
uˆencia de mapas de eclipse em V ao longo da erup¸c˜ao de 1995. A nomenclatura
segue a Tab. 4.2. A nota¸c˜ao e a escala logar´ıtmica de tons de cinza s˜ao as mesmas
da Figura 4.17. Os contornos representam n´ıveis de log I
ν
= −4.5, −4.25 e − 4.0 da
componente assim´etrica dos mapas.
bal´ıstica do jato de g´as, do lado oposto do disco. No entanto, essa hip´otese parece ser
contradit´oria com o fato de a erup¸c˜ao ser do tipo outside-in. De qualquer forma, ´e
importante lembrar a caracter´ıstica marcante de HT Cas de n˜ao apresentar modula¸c˜oes
orbitais causadas pela emiss˜ao anisotr´opica de um bright spot – em contraste com o
pronunciado hump orbital visto nas curvas de luz de outras NAs como OY Car (Wood et
al. 1989), Z Cha (Wood et al. 1986) e IP Peg (Wood & Crawford 1986).
4.4.4 Velocidade das frentes de transi¸c˜ao
No intuito de obter uma descri¸c˜ao quantitativa das mudan¸cas que ocorrem no disco du-
rante a erup¸c˜ao, foram analisadas as distribui¸c˜oes radiais de intensidade I
ν
(r). O MID
prevˆe que ondas de aquecimento e resfriamento propagam-se atrav´es do disco durante a
transi¸c˜ao entre o estado quiescente de baixa viscosidade e a erup¸c˜ao, com alta viscosidade.
Os mapas de eclipse podem ser utilizados para medir a movimenta¸c˜ao dessas frentes. No
intuito de testar a presen¸ca de frentes e acompanh´a-las ao longo da erup¸c˜ao de HT Cas,
definiu-se um n´ıvel de referˆencia arbitr´ario de log I
f
= −4.5. Com o objetivo de minimizar
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 92
a contribui¸c˜ao das assimetrias supostamente causadas pelo aumento da transferˆencia de
mat´eria da secund´aria (revelado pelas estruturas dos mapas), calculou-se a componente
sim´etrica de emiss˜ao do disco. Essa componente ´e obtida dividindo o disco em um con-
junto de bins radiais de 0.03 R
L1
e ajustando um spline aos valores medianos do quartil
inferior das intensidades na metade de cada bin. Esse spline ajustada em cada sec¸c˜ao
radial do disco ´e tomada com sendo a componente sim´etrica da emiss˜ao do disco. Esse
processo preserva a base da distribui¸c˜ao radial enquanto remove toda estrutura azimutal.
Ao fazer isso, considera-se que as mudan¸cas na estrutura do DA com o tempo (como as
frentes de transi¸c˜ao) tˆem simetrial axial. As incertezas obtidas nas intensidades ajustadas
para a componente sim´etrica foram estimadas com o m´etodo de Monte Carlo descrito
anteriormente.
Observa-se uma mudan¸ca significativa na posi¸c˜ao radial do n´ıvel de referˆencia (log I
f
=
−4.5) ao longo da erup¸c˜ao de HT Cas. Essa posi¸c˜ao radial se move para fora do disco
na subida ao m´aximo da erup¸c˜ao (17/11), invertendo o sentido ao longo do decl´ınio. Es-
sas mudan¸cas sugerem a presen¸ca de uma onda de aquecimento durante a subida, e de
uma onda de resfriamento durante o decl´ınio. Considerando que a mudan¸ca na posi¸c˜ao
radial do n´ıvel log I
f
= −4.5 representa mudan¸cas na posi¸c˜ao das ondas de aquecimento e
resfriamento, usou-se as posi¸c˜oes medidas juntamente com o intervalo de tempo entre os
instantes de meio-eclipse para estimar a velocidade da frente ao longo da erup¸c˜ao. Entre
os mapas de uma mesma noite, s´o foi poss´ıvel medir uma velocidade da frente estatisti-
camente significativa na primeira noite. Entres os mapas n1a e n1d, o deslocamento e
o intervalo de tempo eram significativamente maiores que suas incertezas. Nesse caso, a
velocidade da frente de aquecimento ´e v
heat
= +1.15 ± 0.10 km s
−1
. A seguir, calculou-se
a velocidade de deslocamento entre a posi¸c˜ao radial no mapa n1d e a posi¸c˜ao m´edia re-
presentativa dos mapas em R da segunda noite (para determinar o intervalo de tempo,
tomou-se o instante de meio-eclipse m´edio) obtendo-se uma velocidade de resfriamento de
v
cool1,R
≤ −0.42 ±0.04 km s
−1
. Esse valor ´e tomado como limite superior, pois ´e prov´avel
que, na parte inicial do intervalo entre n1d e
n2R, ainda havia a frente de aquecimento
movimentando-se para fora do disco. A Figura 4.23 apresenta a evolu¸c˜ao da intensidade
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 93
Fig. 4.23: Evolu¸c˜ao da intensidade m´edia em R dos pixels centrais (com distˆancia ao centro
menor que 0.1 R
L1
) dos mapas de eclipse ao longo da erup¸c˜ao de 1995. O eixo temporal
´e contado em dias a partir instante de meio-eclipse do ciclo n1a.
m´edia R dos pixels centrais (i.e., com distˆancia ao centro menor que 0.1 R
L1
) dos mapas
de eclipse ao longo da erup¸c˜ao e, a partir dela, infere-se que houve um m´aximo de brilho
das partes centrais em algum ponto entre a primeira e a segunda noite. Na sequˆencia,
calculou-se uma velocidade de v
cool2,R
= −0.46 ± 0.03 km s
−1
entre o ciclo
n2R e o ciclo
n3R (este ´ultimo obtido de forma similar ao primeiro). Essa velocidade ´e coerente com a
velocidade na banda V de v
cool,V
= −0.43 ± 0.04 km s
−1
, calculada entre os mapas n2d e
n3c. Esses resultados est˜ao sumarizados na Tabela 4.4, onde R
f
´e o raio onde a intensi-
dade cai abaixo de log I
f
= −4.5, ∆t ´e o intervalo de tempo entre os ciclos (individuais
ou representativos) e v
f
= (∆R
f
/∆t) ´e a velocidade da frente de se move.
O valor da velocidade da frente de resfriamento obtido para HT Cas na primeira noite
ap´os o m´aximo (n2 → n3 : v
f
∼ 0.4 km s
−1
) ´e similar aos valores obtidos para EX Dra
(v
cool
∼ 0.4 − 0.7 km s
−1
; Baptista & Catal´an 2001), V4140 Sgr (v
cool
∼ 0.5 km s
−1
;
Borges & Baptista 2005) e V2051 Oph (v
cool
∼ 0.3 km s
−1
na primeira noite ap´os o
m´aximo do objeto; Baptista et al. 2007). Esse valor est´a entre o estimado para OY Cas
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 94
Tab. 4.4: Medi¸c˜ao da velocidade das frentes de transi¸c˜ao
Sequˆencia de R
f
∆R
f
∆t v
f
ciclos (R
L1
) (R
L1
) (dias) (km s
−1
)
n1a → n1d 0.31 → 0.38 +0.07 0.221 +1.15 ± 0.10
n1d →
n2R 0.38 → 0.29 −0.09 0.773 −0.42 ± 0.05
n2R → n3R 0.29 → 0.16 −0.13 1.031 −0.46 ±0.04
n2d → n3c 0.29 → 0.16 −0.13 1.105 −0.43 ± 0.04
(v
cool
∼ 0.14 km s
−1
; Bruch, Beele & Baptista 1996) e para IP Peg (v
cool
∼ 0.8 km s
−1
;
Bobinger et al. 1997). Levando-se em conta que v
cool1,R
´e um limite superior para a
velocidade da frente na primeira noite ap´os o m´aximo, n˜ao
existe evidˆencia de que ocorre
uma desacelera¸c˜ao da frente de resfriamento `a medida que a mesma viaja ao longo do
disco, em contradi¸c˜ao com as previs˜oes do MID (Menou et al. 1999).
Em termos da parametriza¸c˜ao de Shakura & Sunyaev (1973) (Eq. 2.8), o parˆametro
de viscosidade do estado alto pode ser escrito como a raz˜ao entre a velocidade da frente
de aquecimento ao longo do disco (v
heat
) e a velocidade do som dentro da frente (c
s
) (Lin
et al. 1985; Canizzo 1993),
α
hot
≃
v
heat
c
s
= 0.082
v
heat
km s
−1
T
f
18 000 K
−
1
2
, (4.17)
onde T
f
´e a temperatura da frente de aquecimento. Supondo T
f
= 18 000 K como limite
inferior da temperatura da frente de aquecimento (Menou et al. 1999), obt´em-se α
hot
> 0.1
para HT Cas em erup¸c˜ao.
4.4.5 Distribui¸c˜oes radiais de temperatura
Um jeito simples de testar os modelos te´oricos ´e converter as intensidades dos mapas de
eclipse em temperatura de brilho de corpo negro T
b
, que podem ser comparadas direta-
mente `as temperaturas efetivas previstas para um disco opticamente espesso em estado
estacion´ario (Eq. 2.6) ou `a temperatura cr´ıtica (Eq. 4.1), acima da qual o g´as do disco
deve manter-se em erup¸c˜ao. Cabe ressaltar que a rela¸c˜ao entre a temperatura efetiva e a
temperatura de brilho monocrom´atica n˜ao ´e trivial, requerendo a constru¸c˜ao de modelos
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 95
de estrutura vertical do disco de acr´escimo (Baptista et al. 1998). A modelagem detalhada
do espectro do disco est´a fora do escopo deste trabalho, portanto a an´alise das distribui-
¸c˜oes radiais de temperatura de brilho deve ser considerada com cuidado. Por outro lado,
a compara¸c˜ao com as Eqs. 2.6 e 4.1 pode ser satisfatoriamente aplicada `as regi˜oes opti-
camente espessas do disco, onde se espera que a temperatura de brilho seja pr´oxima `a
temperatura efetiva. Portanto, a an´alise pode ser um bom indicador do comportamento
do disco, se a hip´otese de emiss˜ao opticamente espessa em novas-an˜as em erup¸c˜ao for
v´alida.
As Figuras 4.24, 4.25 e 4.26 mostram a evolu¸c˜ao das distribui¸c˜oes radiais de tem-
peratura de brilho ao longo da erup¸c˜ao de 1995 em escala logar´ıtmica. A temperatura
de brilho que reproduz o brilho superficial de cada pixel foi calculada considerando uma
distˆancia de 140 pc (Tabela 4.1). O disco foi dividido em bins radiais de 0.03 R
L1
e uma
temperatura de brilho mediana foi calculada para cada bin. Esse perfil mediano ´e repre-
sentado pelos c´ırculos cheios nas figuras, e a linha tracejada indica os limites de ±1σ das
temperaturas medianas de cada bin. Os valores elevados de σ nas distribui¸c˜oes da segunda
noite, principalmente nos ciclos n2c e n2d, refletem as assimetrias dos mapas de eclipse.
As linhas pontilhadas representam os modelos de discos opticamente espessos em estado
estacion´ario para taxas de acr´escimo de massa de 10
−8.5
(linha superior), 10
−9.0
, 10
−9.5
,
10
−10.0
e 10
−10.5
M
⊙
ano
−1
(linha inferior)
17
. A linha tra¸co-ponto indica a temperatura
efetiva cr´ıtica T
crit
, abaixo da qual a instabilidade t´ermica do g´as deve ocorrer de acordo
com o MID (Eq. 4.1).
No mapa do ciclo n1a, as temperaturas variam de ≃ 15 000 K nas partes centrais
(r = 0.1 R
L1
) at´e ≃ 7 000 K na borda do disco (r = 0.4 R
L1
). Ao longo dessa primeira
noite, o disco todo aumenta de brilho, alcan¸cando temperaturas de ≃ 20 000 K nas partes
centrais (r = 0.1 R
L1
) e ≃ 8 000 K na borda do disco (r = 0.4 R
L1
) no mapa n1d. Nessa
fase de subida ao m´aximo, o DA de HT Cas apresenta distribui¸c˜oes de temperatura mais
planas que a lei T(r) ∝ r
−3/4
esperada para o acr´escimo de massa em estado estacion´ario
17
Os modelos foram calculados atrav´es da Eq. 2.6, assumindo valores de M
1
= M
wd
= 0.61 M
⊙
e de
R
1
= M
wd
= 0.0118 R
⊙
(Tab. 4.1).
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 96
Fig. 4.24: Evolu¸c˜ao das distribui¸c˜oes radiais de temperatura de brilho durante a primeira noite
do conjunto de dados (17/11). A nomenclatura segue a Tab. 4.2. As linhas ponti-
lhadas representam os modelos de discos opticamente espessos em estado estacion´ario
para taxas de acr´escimo de massa de 10
−8.5
(linha superior), 10
−9.0
, 10
−9.5
, 10
−10.0
e
10
−10.5
M
⊙
ano
−1
(linha inferior). A linha tra¸co-ponto indica a temperatura efetiva
cr´ıtica T
crit
, abaixo da qual a instabilidade t´ermica do g´as deve ocorrer de acordo com
o MID.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 97
Fig. 4.25: Evolu¸c˜ao das distribui¸c˜oes radiais de temperatura de brilho durante a segunda noite
do conjunto de dados (18/11). A nomenclatura segue a Tab. 4.2 e a nota¸c˜ao ´e a
mesma da Figura 4.24.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 98
Fig. 4.26: Evolu¸c˜ao das distribui¸c˜oes radiais de temperatura de brilho durante a terceira noite
do conjunto de dados (19/11). A nomenclatura segue a Tab. 4.2 e a nota¸c˜ao ´e a
mesma da Figura 4.24.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 99
(Eq. 2.6) para r < 0.4 R
L1
, semelhantes `aquelas observadas durante sua quiescˆencia e de
outras NAs (Wood et al. 1986,1989,1992). Apesar do aumento da temperatura das partes
centrais do DA, tamb´em observa-se uma aumento da temperatura das partes externas,
mantendo os perfis planos durante as observa¸c˜oes.
Na segunda noite de observa¸c˜oes, as temperaturas centrais na banda R (r = 0.1 R
L1
)
caem de ≃ 25 000 K (n2a) para ≃ 20 000 K (n2c), enquanto as temperaturas das regi˜oes
externas (r = 0.4 R
L1
) mant´em-se constantes (≃ 7 000 K) durante essa fase (decl´ınio
inicial). Devido a esse fato, o DA inicialmente segue bem a lei T (r) ∝ r
−3/4
(ciclo n2a),
tornando-se mais plano em suas partes centrais ao longo da noite (ciclo n2c). Apesar da
grande dispers˜ao causada pela assimetria dos mapas, a distribui¸c˜ao na banda V (n2d)
parece em bom acordo com a distribui¸c˜ao na banda R (n2c), sugerindo que o DA era
opticamente espesso nessa fase e que as temperaturas de brilho s˜ao boas aproxima¸c˜oes
da temperatura efetiva do g´as. Na ´ultima noite, as temperaturas centrais mant´em-se em
≃ 20 000 K, enquanto as temperaturas de ≃ 7 000 K s˜ao observadas em raios mais internos
(r = 0.2 R
L1
), tamb´em mantendo-se constantes ao longo do decl´ınio tardio. Dessa forma,
todas as distribui¸c˜oes observadas na noite est˜ao em bom acordo com a lei T (r) ∝ r
−3/4
de
DAs em estado estacion´ario, mas para uma taxa de acr´escimo menor que a verificada na
noite anterior. Observa-se, como na noite anterior, uma semelhan¸ca entre a distribui¸c˜ao
na banda V (n3c) e a distribui¸c˜ao na banda R (n3b).
De uma forma geral, a distribui¸c˜ao de temperatura de brilho do DA de HT Cas evolui
de um perfil plano nas regi˜oes centrais na subida ao m´aximo, para uma distribui¸c˜ao que
segue a lei T(r) ∝ r
−3/4
no decl´ınio. Ao longo desse decl´ınio, o perfil do disco evolui entre
estados estacion´arios, variando sua taxa de acr´escimo
˙
M. Ajustando esses modelos de
discos em estado estacion´ario `as distribui¸c˜oes, estima-se uma taxa de acr´escimo de
˙
M
n2
=
(7.2 ±0.8) ×10
−10
M
⊙
ano
−1
no decl´ınio inicial e de
˙
M
n3
= (2.3±0.5) ×10
−10
M
⊙
ano
−1
no
decl´ınio tardio. No cen´ario do MITM, a evolu¸c˜ao durante o decl´ınio pode ser interpretada
como resposta de um disco viscoso a uma redu¸c˜ao na taxa de transferˆencia de massa por
um fator ∼ 3, que corresponde a uma redu¸c˜ao de brilho de 1.2 mag. Esse valor est´a
de acordo com o observado nos dados de HT Cas em erup¸c˜ao em 1995, onde calcula-se
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 100
∆R ≃ 1.1 mag e ∆V ≃ 1.3 mag entre 18/11 e 19/11 (ver Subse¸c˜ao 4.3.5, onde estima-se
o n´ıvel de brilho fora de eclipse).
De acordo com o MID, existe uma temperatura efetiva cr´ıtica, T
crit
, abaixo da qual o
disco deve estar enquanto em quiescˆencia, permitindo que ocorra a instabilidade t´ermica;
e acima da qual o DA deve manter-se, num regime de alta viscosidade e transferˆencia
de massa enquanto est´a em erup¸c˜ao (Eq. 4.1). Em outras palavras, discos em erup¸c˜ao
devem ser mais quentes que T
crit
. Essa temperatura cr´ıtica est´a indicada como uma li-
nha tra¸co-ponto nas Figuras 4.24–4.26. No caso de HT Cas, a evolu¸c˜ao das distribui¸c˜oes
radiais de temperatura ´e consistente com o MID: as regi˜oes do DA onde observam-se
mudan¸cas durante a erup¸c˜ao est˜ao sempre acima de T
crit
. No intuito de testar a con-
sistˆencia desse resultado, as reconstru¸c˜oes foram refeitas ap´os a remover o fluxo de uma
an˜a branca de temperatura T
wd
= 14 000 K das curvas de eclipse, considerando seus dois
hemisf´erios vis´ıveis
18
. Em nenhum dos ciclos, a subtra¸c˜ao da an˜a branca (mesmo com
fluxo superestimado) foi suficiente para trazer as partes centrais das distribui¸c˜oes abaixo
de T
crit
.
4.5 Resultados: a origem das erup¸c˜oes de HT Cas
Foi analisada a curva hist´orica de HT Cas constru´ıda a partir de observa¸c˜oes de astrˆonomos
amadores. A seguir, foi aplicada uma concep¸c˜ao tridimensional do m´etodo de mapeamento
por eclipse aos dados do objeto, coletados durante uma erup¸c˜ao em novembro de 1995.
A implementa¸c˜ao desse m´etodo permitiu, al´em de obter as distribui¸c˜oes superficiais de
intensidade de brilho do disco e da borda, estimar tamb´em os ˆangulos β de semi-abertura
do disco de acr´escimo ao longo da erup¸c˜ao. A seguir, sumariza-se os resultados obtidos:
(i) A erup¸c˜oes normais de HT Cas tˆem dura¸c˜ao m´edia de W ≃ 4 dias, amplitude de
3−3.5 mag e escalas de tempo de subida τ
r
e decl´ınio τ
d
de ≃ 0.4 e ≃ 0.9 dias mag
−1
,
respectivamente;
18
Que representa um limite superior, uma vez que se espera que o disco de acr´escimo em novas-an˜as em
erup¸c˜ao seja opticamente espessso e, portanto, somente um dos hemisf´erios estaria vis´ıvel (Smak 1992).
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 101
(ii) O tempo m´edio de recorrˆencia das erup¸c˜oes T
C
do objeto ´e de 800 dias. Por´em,
o diagrama O−C dos instantes de m´aximo brilho revela que tempo de recorrˆencia
sofre varia¸c˜oes bruscas, como, por exemplo, um per´ıodo de 6 anos sem erup¸c˜oes –
entre 1989 e 1995 – seguido por um per´ıodo igual em que ocorrem 7 erup¸c˜oes, com
recorrˆencia m´edia de 400 dias;
(iii) N˜ao houve aumento significativo no raio do disco de acr´escimo (R
d
) durante a erup-
¸c˜ao de novembro de 1995. O raio m´aximo alcan¸cado pelo objeto foi de ≃ 0.4 R
L1
durante a subida ao m´aximo, valor compar´avel ao cotado na literatura para o objeto
em quiescˆencia (0.35 R
L1
);
(iv) Os ˆangulos de semi-abertura β estimados ao longo da erup¸c˜ao s˜ao sistematicamente
menores que os obtidos por Ioannou et al. (1999), variando entre 3
◦
e 5
◦
, o que
equivale a um intervalo de 0.05 −0.1 na escala de altura da fotosfera do DA. Existe
evidˆencia marginal de que o ˆangulo de abertura do disco diminui ao longo do decl´ınio
da erup¸c˜ao;
(v) Os mapas de eclipse revelam que ao longo da primeira e da terceira noite de obser-
va¸c˜oes surge uma componente assim´etrica no lado do disco onde est´a o gas stream.
Na noite seguinte, os progressivos adiantamentos do instante de m´ınimo do eclipse
revelam uma assimetria que se torna cada vez mais evidente no lado oposto do disco;
(vi) Estima-se uma velocidade da onda de aquecimento de v
heat
= +1.4 km s
−1
na subida
ao m´aximo brilho da erup¸c˜ao. Durante o decl´ınio, o valor da velocidade da onda de
resfriamento calculado foi de v
cool
= −0.4 km s
−1
;
(vii) A distribui¸c˜ao radial de temperatura de brilho do DA de HT Cas evolui de um perfil
plano nas regi˜oes centrais na subida ao m´aximo, para uma distribui¸c˜ao que segue a
lei T (r) ∝ r
−3/4
no decl´ınio.
(viii) O perfil das erup¸c˜oes, a varia¸c˜ao do formato das curvas de eclipse e dos mapas de
eclipse sugerem a caracteriza¸c˜ao da erup¸c˜ao de 1995 como do tipo outside-in.
Cap´ıtulo 4. O m´etodo de mapeamento por eclipse e o modelo de erup¸c˜oes de NAs 102
Quando comparados `as previs˜oes te´oricas, nenhum dos resultados individuais sumari-
zados acima e discutidos no texto, se tomados separadamente, s˜ao suficientes para descar-
tar o MID como mecanismo respons´avel pelas erup¸c˜oes de HT Cas. No entanto, quando
considerados em conjunto, os resultados expostos tornam-se uma forte evidˆencia contr´aria
ao MID, favorecendo o MITM como causa das erup¸c˜oes do objeto. Pode ser argumentado
a favor do MITM que (a) n˜ao ´e poss´ıvel explicar as varia¸c˜oes no intervalo de recorrˆencia
das erup¸c˜oes de HT Cas no contexto do MID; (b) existe evidˆencia de
˙
M
2
aumentada na
primeira noite (emiss˜ao assim´etrica no jorro de g´as); e (c) n˜ao existe evidˆencia de desace-
lera¸c˜ao da frente de onda de resfriamento como previsto pelo MID. Por outro lado, o MID
se vale do fato de que as regi˜oes do DA, onde se observam mudan¸cas durante a erup¸c˜ao,
est˜ao sempre acima da temperatura efetiva cr´ıtica T
crit
.
Ponderando todos os argumentos listados no par´agrafo acima, sugere-se que as erup-
¸c˜oes de HT Cas s˜ao causadas por epis´odios de transferˆencia aumentada de massa pro-
veniente da estrela secund´aria (bursts). De maneira semelhante a V2051 Oph (Baptista
et al. 2007) e V4140 Sgr (Borges & Baptista 2005), o presente trabalho prop˜oe que a
viscosidade do disco de acr´escimo de HT Cas ´e sempre alta, independente da taxa de
transferˆencia de massa. Nesse cen´ario, n˜ao existe ac´umulo de mat´eria nas regi˜oes exter-
nas do DA nem a ocorrˆencia das instabilidades t´ermicas prevista pelo MID. O cen´ario que
surge, com trˆes objetos cujas erup¸c˜oes n˜ao s˜ao causadas pelo MID (HT Cas, V4140 Sgr,
V2051 Oph), n˜ao necessariamente elimina esse modelo como poss´ıvel explica¸c˜ao: serve
como alerta que o cen´ario atual de erup¸c˜oes de NAs deve ser revisto, incluindo a possi-
bilidade de coexistˆencia dos dois mecanismos, talvez em diferentes subtipos de NAs que
ainda n˜ao foram claramente distinguidos.
Cap´ıtulo 5
Considera¸c˜oes finais e perspectivas
“Isso n˜ao ´e o fim. N˜ao ´e nem
mesmo o come¸co do fim. Mas
´e, talvez, o fim do come¸co.”
Winston Churchill
Como desejado para toda atividade cient´ıfica, apesar de muitas quest˜oes terem sido res-
pondidas no presente trabalho, muitas outras surgiram. Desse modo, a an´alise desenvol-
vida aqui permitiu o estabelecimento de dois projetos de pesquisa que permitir˜ao respon-
der algumas das quest˜oes que emergiram.
A investiga¸c˜ao de varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo em VCs feita no Cap´ıtulo 3 vai se
beneficiar enormemente com o aumento da pequena amostra de sistemas que tˆem diagrama
(O−C) cobrindo mais de uma d´ecada de observa¸c˜oes. Isso demanda a coleta paciente
e sistem´atica de instantes de eclipse precisos ao longo de v´arios anos.
´
E conveniente
mencionar que existe um bom n´umero de VCs eclipsantes para as quais uns poucos timings
anuais adicionais s˜ao necess´arios para resolver as ambiguidades ilustradas na Figura 3.2
e para permitir uma detec¸c˜ao estatisticamente significativa de modula¸c˜oes de per´ıodo
orbital. Essa amostra de objetos ´e um subproduto da busca por VCs eclipsantes do
CVCat realizada na Subse¸c˜ao 3.3.1 e cont´em cerca de duas dezenas de objetos (cuja
maioria, por raz˜oes hist´oricas, est˜ao no c´eu boreal). Esse projeto de longa dura¸c˜ao est´a
Cap´ıtulo 5. Considera¸c˜oes finais e perspectivas 104
sendo executado juntamente com colaboradores do National Observatory of Athens (NOA,
Gr´ecia), respons´aveis pela observa¸c˜ao dos objetos no Hemisf´erio Norte. Nele pretende-se
observar anualmente os objetos da amostra por um per´ıodo entre 5 e 10 anos.
Nenhum sistema dentro do period gap foi observado por tempo suficiente para permitir
a identifica¸c˜ao de varia¸c˜oes c´ıclicas de per´ıodo orbital. Seria interessante checar se desses
sistemas seguem a rela¸c˜ao ∆P/P ∝ Ω
−0.7
ou apresentam comportamento semelhante ao
de VCs abaixo do period gap. Diante disso, insere-se tamb´em no projeto acima o objetivo
de se observar por um per´ıodo de 10 anos, dois sistemas com per´ıodo orbital dentro
do period gap, V348 Pup e V Per (objetos austral e boreal, respectivamente). Se, por
um lado, a longa dura¸c˜ao (10 anos) ´e um ponto negativo deste projeto; por outro lado,
sua simplicidade (fotometria diferencial CCD) e versatilidade (podendo ser realizado sob
tempo ruim, em pequenos e m´edios telesc´opios) s˜ao fortes pontos positivos e confirmam
sua viabilidade.
O outro projeto, de dura¸c˜ao muito menor, pretende realizar o mapeamento das fontes
de flickering em HT Cas. Um dos problemas mais enigm´aticos na f´ısica do acr´escimo
est´a relacionado a causa do flickering. Esse termo ´e usado para nomear a flutua¸c˜ao
intr´ınseca e aleat´oria de 0.01−1 mag, em escalas de tempo que variam de segundos a
dezenas de de minutos, observadas em curvas de luz de estrelas T Tauri (e.g., Herbst &
Schevchenko 1999), bin´arias em intera¸c˜ao (e.g., Augusteijn et al. 1992; Baptista et al. 2002;
Sokoloski et al. 2001; Bruch 2000; Baptista & Bortoletto 2004,2008) e n´ucleos ativos de
gal´axias (e.g., Garcia et al. 1999). Flickering ´e considerado uma assinatura b´asica do
processo de acr´escimo (Warner 1995). Apesar do estudo do flickering poder fornecer
informa¸c˜oes cruciais ao entendimento da viscosidade em DAs, sua natureza ´e ainda pouco
estudada, sendo um dos aspectos menos entendidos do processo de acr´escimo.
Do ponto de vista observacional, definir as regi˜oes do DA que est˜ao produzindo flic-
kering atrav´es do mapeamento por eclipse, certamente vai impor v´ınculos aos poss´ıveis
modelos f´ısicos de sua forma¸c˜ao (Pearson, Horne & Skidmore 2005). Em HT Cas, o re-
sultado mais desejado nessa an´alise ´e a determina¸c˜ao do parˆametro de viscosidade α
cool
do objeto em estado quiescente. Se o flickering do disco ´e causado por flutua¸c˜oes na taxa
Cap´ıtulo 5. Considera¸c˜oes finais e perspectivas 105
de dissipa¸c˜ao de energia induzida por turbulˆencia magnetohidrodinˆamica, sua amplitude
relativa permite a determina¸c˜ao da magnitude e da dependˆencia radial do parˆametro de
viscosidade α
cool
. Esse parˆametro poder´a ser comparado com o parˆametro α
hot
(> 0.1)
estimado no Cap´ıtulo 3, servindo como teste fundamental para a validade do MID no
objeto.
A Tabela 5.1 sumariza o conjunto de dados que ser´a utilizado no mapeamento do
flickering de HT Cas. Esses dados foram observados em luz integral durante 16 noites
entre janeiro de 2007 e agosto de 2008 com o telesc´opio de 1.2-m na Esta¸c˜ao Astronˆomica
Kryoneri (NOA) (parte desses dados foram utilizados na an´alise feita no Cap´ıtulo 3, ver
Tabela 3.1). A terceira coluna representa a resolu¸c˜ao temporal das curvas de luz em
segundos (∆t), a quarta coluna o intervalo de massas de ar X em que ocorreram as
observa¸c˜oes, a quinta coluna ´e o seeing e a sexta coluna o n´umero de pontos em cada
noite (N). Como detalhado na Tabela 5.2, os dados compreendem 51 eclipses, sendo
que destes, 40 foram observados no estado alto da quiescˆencia e ser˜ao utilizados para a
constru¸c˜ao das curvas de espalhamento utilizadas para o mapeamento do flickering.
Tab. 5.1: Sum´ario das observa¸c˜oes
Data Hora UT ∆t X seeing N Estado
(s) (interv.) (”) Quiesc.
2007 Jan 18 17.452-20.677 25 1.12-1.54 2.0-2.4 349 baixo
2007 Jan 20 16.748-20.925 25 1.10-1.64 1.4-1.6 526 baixo
2007 Jan 21 17.645-20.890 25 1.15-1.65 2.0-2.6 449 baixo
2007 Fev 15 17.252-19.963 25 1.26-1.87 2.4-3.1 300 alto
2007 Ago 21 22.276-02.943 25 1.08-1.28 1.4-1.5 636 alto
2007 Ago 22 20.067-02.900 25 1.08-1.72 1.4-1.6 753 alto
2007 Ago 23 20.357-02.869 25 1.08-1.62 1.5-1.7 801 alto
2007 Set 18 19.158-03.497 20 1.08-1.50 1.4-1.5 1433 alto
2007 Set 19 19.619-03.461 20 1.08-1.40 1.4-1.6 1063 alto
2007 Set 23 20.089-03.461 20 1.08-1.36 1.5-1.6 1238 alto
2007 Nov 08 17.974-02.506 20 1.08-1.89 1.4-1.6 1519 baixo
2008 Ago 01 21.192-02.580 20 1.08-1.79 1.5-2.0 924 alto
2008 Ago 02 21.125-02.658 20 1.08-1.79 1.4-1.8 972 alto
2008 Ago 03 21.855-02.553 20 1.08-1.56 1.4-1.5 825 alto
2008 Ago 04 21.258-02.207 20 1.08-1.70 1.4-1.6 793 alto
2008 Ago 05 21.207-02.630 20 1.08-1.70 1.3-1.5 947 alto
Cap´ıtulo 5. Considera¸c˜oes finais e perspectivas 106
Tab. 5.2: Sum´ario dos ciclos utilizados para o mapeamento do flickering
Date Ciclos N
ciclos
2007 Jan 18
†
141096,141097 2
2007 Jan 20
†
141122
∗
,141123,141124,141125
∗
2
2007 Jan 21
†
141136
∗
,141137,141138 2
2007 Fev 15 141476,141477
∗
1
2007 Ago 21 144018,144019,144020 3
2007 Ago 22 144030,144031,144032,144033,144034
∗
4
2007 Ago 23 144044,144045,144046,144047 4
2007 Set 18 144396
∗
,144397,144398,144399,144400,144401
∗
4
2007 Set 19 144410,144411,144412,144413,144414 5
2007 Set 23 144464
∗
,144465,144466,144467,144468,144469
∗
4
2007 Nov 08
†
145088,145089,145090,145091,145092,145093
∗
5
2008 Ago 01 148715
∗
,148716,148717,148718 3
2008 Ago 02 148729,148730,148731,148732
∗
3
2008 Ago 03 148743,148744,148745 3
2008 Ago 04 148756,148757,148758,148759
∗
3
2008 Ago 05 148769
∗
,148770,148771,148772 3
Total 51
Total
alto
40
∗
Ciclos incompletos.
†
Ciclos em estado baixo.
A curvas de luz individuais de HT Cas s˜ao mostradas sobrepostas em fase orbital na
Figura 5.1. O painel superior ilustra a curva de luz de uma estrela de compara¸c˜ao de
brilho similar. A constˆancia de seu n´ıvel de fluxo sobre todo o intervalo de tempo das
oberva¸c˜oes confirma que todas as varia¸c˜oes observadas no painel inferior s˜ao intr´ınsecas `a
vari´avel. HT Cas foi observada em estado baixo da quiescˆencia (Robertson & Honeycutt
1996; Cap´ıtulo 4) em janeiro e novembro de 2007. Nessas duas ocasi˜oes, o objeto apresen-
tava uma diferen¸ca do n´ıvel de fluxo entre si e suas curvas individuais est˜ao representadas
em diferentes tons de cinza na Figura 5.1. Por constitu´ırem um conjunto estatisticamente
insignificante para a constru¸c˜ao das curvas de espalhamento do mapeamento do flickering
(Bortoletto 2006), esses dados n˜ao ser˜ao utilizados na an´alise. Dentro deste mesmo pro-
jeto e num prazo de mais um ano, pretende-se tamb´em concluir a coleta de dados para
realiza¸c˜ao o mapeamento do flickering em UX UMa, GY Cnc, J2354-4700 e J1300-3052.
Cap´ıtulo 5. Considera¸c˜oes finais e perspectivas 107
Fig. 5.1: Painel inferior: Curvas de luz de HT Cas em estado alto da quiescˆencia em 2007 e
2008 (pontos pretos). As observa¸c˜oes feitas em estado baixo da quiescˆencia em janeiro
e novembro de 2007 est˜ao representadas em diferentes tons de cinza, escuro e claro,
respectivamente. Painel superior: Curvas de luz de uma estrela de compara¸c˜ao de
brilho similar. As linhas verticais marcam as fases de ingresso/egresso da an˜a branca.
O espalhamento em torno do fluxo m´edio ´e uma indica¸c˜ao da amplitude do flickering
em cada fase orbital.
Cap´ıtulo 5. Considera¸c˜oes finais e perspectivas 108
O espalhamento em torno do fluxo m´edio em HT Cas em estado alto quiescente ´e per-
ceptivelmente maior que o da estrela de compara¸c˜ao, de brilho similar, e ´e causado pelo
flickering. O espalhamento ´e maior pr´oximo ao m´aximo da modula¸c˜ao orbital (sugerindo
que o bright spot contribui para o flickering) e menor durante o eclipse (indicando que as
fontes de flickering s˜ao ocultadas nessas fases). As curvas de luz de entrada do mapea-
mento por eclipse do flickering representam a dependˆencia orbital de sua amplitude. Elas
ser˜ao constru´ıdas medindo-se as varia¸c˜oes aleat´orias de brilho causadas pelo flickering
do conjunto de curvas de luz (i.e., a curva de espalhamento) em fun¸c˜ao da fase orbital.
Existem duas abordagem complementares para constru¸c˜ao dessas curvas (Baptista, Bor-
toletto & Harlaftis 2002): o m´etodo single (Bruch 2000) e o m´etodo ensemble (Horne &
Steining 1985), dominados respectivamente pelas componentes de alta e baixa freq
¨
uˆencia
do flickering.
Por fim, numa perspectiva de complementar as t´ecnicas de estudo de VCs conhecidas
pelo aluno, emerge a necessidade de utilizar dados oriundos de espectroscopia. Nessa li-
nha, o aluno pretende consolidar, durante seu p´os-doutorado, a aplica¸c˜ao simultˆanea dos
m´etodos de imageamento indireto (mapeamento por eclipse, tomografia Doppler, tomo-
grafia Roche) a um mesmo conjunto de dados de espectroscopia de VCs (chamada de
imageamento m´ultiplo), implementando uma ferramenta que permitir´a a amplia¸c˜ao sig-
nificativa da quantidade de detalhes e da qualidade das informa¸c˜oes obtidas dos objetos
em estudo, otimizando n˜ao somente a an´alise mas tamb´em a coleta dos dados. Para isso
disp˜oe-se de dados de espectroscopia Cassegrain de alta resolu¸c˜ao temporal, obtidos no
European Southern Observatory (ESO - La Silla, Chile) ao longo de 7 noites de obser-
va¸c˜oes em dezembro de 2002 para uma amostra de 3 vari´aveis catacl´ısmicas (a nova-like
V347 Pup e as novas-an˜as GY Cnc e HL CMa, ambas em erup¸c˜ao).
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[169] Yang, Y.-L., & Liu, Q.-Y. 2003b, PASP, 115, 748
[170] Yang, Y.-G., Qian, S.-B., & Zhu, C.-H. 2004, PASP, 116, 826
[171] Yang, Y.-G., Dai, J.-M., Yin, X.-G., & Xiang, F.-Y. 2007, AJ, 134, 179
[172] Zavala, R. T., McNamara, B. J., Harrison, T. E., et al. 2002, AJ, 123, 450
[173] Zhang, E.-H., Robinson, E. L., & Nather, R. E. 1986, ApJ, 305, 740
[174] Zhang, E., Robinson, E. L., Stiening, R. F., & Horne, K. 1995, ApJ, 454, 447
[175] Zhu, L.-Y., Qian, S.-B., & Xiang, F.-Y. 2004, PASJ, 56, 809
A&A 480, 481–487 (2008)
DOI: 10.1051/0004-6361:20078596
c
ESO 2008
Astronomy
&
Astrophysics
Cyclical period changes in HT Cassiopeiae: a difference
between systems above and below the period gap
B. W. Borges
1
, R. Baptista
1
, C. Papadimitriou
2
, and O. Giannakis
2
1
Departamento de Física, Universidade Federal de Santa Catarina, CEP 88040-900, Florianópolis, Brazil
e-mail: [bernardo;bap]@astro.ufsc.br
2
Institute of Astronomy and Astrophysics, National Observatory of Athens, PO Box 20048, Athens 11810, Greece
e-mail: [cpap;og]@astro.noa.gr
Received 31 August 2007 / Accepted 26 December 2007
ABSTRACT
Aims.
We report identification of cyclical changes in the orbital period of the eclipsing cataclysmic variable HT Cas.
Methods.
We measured new white-dwarf mid-eclipse timings and combined them with published measurements to construct an
observed-minus-calculated diagram covering 29 years of observations.
Results.
The data present a 36 yr period modulation of semi-amplitude ∼40 s, with a statistical significance greater than 99.9 percent
with respect to a constant period.
Conclusions.
We combine our results with those in the literature to revisit the issue of cyclical period changes in cataclysmic variables
and their interpretation in terms of a solar-type magnetic activity cycle in the secondary star. A diagram of fractional period change
(∆P/P) versus the angular velocity of the active star (Ω) for cataclysmic variables, RS CVn, W UMa, and Algols, reveal that close
binaries with periods above the gap (secondaries with convective envelopes) satisfy a relationship ∆P/P ∝ Ω
−0.7±0.1
. Cataclysmic
variables below the period gap (with fully convective secondaries) deviate from this relationship by more than 3-σ, with average
fractional period changes 6 times smaller than those of the systems above the gap.
Key words. accretion, accretion disks – stars: dwarf novae – stars: evolution – stars: binaries: eclipsing – stars: individual: HT Cas
1. Introduction
HT Cassiopeiae (HT Cas) is a short-period (P
orb
= 1.77 h)
eclipsing cataclysmic variable (CV). In these binaries, a late-
type star (the secondary) overfills its Roche lobe and transfers
matter to a companion white dwarf (Warner 1995). The evolu-
tion of CVs is mainly driven by two ingredients: angular mo-
mentum loss, to sustain the mass transfer process, and the re-
sponse of the secondary to the mass loss. Two mechanisms were
proposed for angular momentum loss in CVs. The first is grav-
itational radiation, which is effective only for short orbital peri-
ods (Patterson 1984). The second is angular momentum carried
away by a stellar wind magnetically coupled to the secondary
surface (magnetic braking mechanism; Rappaport et al. 1983;
King 1988). As CVs are tidally locked binaries, any momentum
lost by the secondary is also subtracted from the total orbital mo-
mentum of the system, causing a secular decrease of the orbital
period.
In the disrupted braking model of CV evolution (Rappaport
et al. 1983; Hameury et al. 1991), the observed dearth of sys-
tems with periods in the range 2–3 h (known as “period gap”;
Knigge 2006) is explained by a sudden drop in the efficiency
of the magnetic braking mechanism when the secondary, evolv-
ing from longer orbital periods, reach P
orb
∼ 3 h and be-
comes fully convective (M
2
∼ 0.3 M
). However, there are some
key assumptions in the standard model, most notably concern-
ing angular momentum loss, that are inconsistent with both the
observed spin-down of young, low-mass stars and theoretical
Based on observations made at the Astronomical Station Kryoneri,
owned by the National Observatory of Athens, Greece.
developments in our understanding of stellar winds (Andronov
et al. 2003).
The secular evolution of the binary can in principle be de-
tected by measuring the changes in the orbital period of eclips-
ing CVs. Eclipses provide a fiducial mark in time and can usu-
ally be used to determine the orbital period (and its derivative)
with high precision. However, attempts to measure the long-
term orbital period decrease in CVs have been disappointing:
none of the studied stars show the expected rate of orbital
period decrease. Instead, most of the well observed eclipsing
CVs
1
show cyclical period changes (Baptista et al. 2003,and
references therein). Cyclical orbital period variations are also
observed in other close binaries with late-type components –
Algols, RS CVn and W UMa systems (Lanza & Rodonò 1999).
The most promising explanation of this effect seems to be the
existence of a solar-type (quasi- and/or multi-periodic) mag-
netic activity cycle in the secondary star. A number of mech-
anisms have been proposed which are capable of producing a
modulation of the orbital period on time scales of decades, in-
duced by a variable magnetic field in the convective zone of the
late-type component (Matese & Whitmire 1983; Applegate &
Patterson 1987;Warner1988; Applegate 1992; Richman et al.
1994; Lanza et al. 1998; Lanza 2006a). The relatively large am-
plitude of these cyclical period changes probably contributes to
mask the low amplitude, secular period decrease.
This paper reports the results of an investigation of orbital
period changes in HT Cas. The observations and data analysis
1
I.e., those with well-sampled observed-minus-calculated (O−C)
eclipse timings diagram covering more than a decade of observations.
Article published by EDP Sciences
482 B. W. Borges et al.: Cyclical period changes in HT Cas
Table 1. Log of the observations.
Date UT time Cycles Night Quiesc.
(2007) quality
∗
state
Jan. 18 17:27–19:17 141096, 141097 b low
Jan. 20 16:45–21:15 141123, 141124 a low
Jan. 21 17:38–20:53 141137, 141138 b high
Jan. 22 16:48–23:03 141150–141153 c high
Feb. 15 17:15–19:15 141476 b high
∗
Quality: a – photometric, b – good, c – poor.
are described in Sect. 2. A discussion of cyclical orbital period
changes in CVs, above and below the period gap, are presented
in Sect. 3.
2. Observations and data analysis
Time-series of white light CCD photometry of HT Cas were
obtained during 5 nights on 2007 January/February with the
1.2-m telescope at the Astronomical Station Kryoneri (Greece).
The data cover a total of 11 eclipses and were obtained with
a SI-502 CCD array with 516 × 516 pixels. All observations
have a time resolution of 25 s. A summary of these observa-
tions is given in Table 1. The CCD data reductions were done
with IRAF
2
routines and included bias and flat-field corrections.
Aperture photometry was carried out with the APPHOT pack-
age. Time-series were constructed by computing the magnitude
difference between the variable and a reference comparison star.
HT Cas was 0.5 mag fainter on Jan. 18 and 20 with respect to
the data of the remaining nights. This behavior is reminiscent
of that previously seen by Robertson & Honeycutt (1996), who
found that HT Cas switches between high and low brightness
states differing by 1.3 mag on time-scales from days to months.
The spread in out-of-eclipse flux within either the low or high
states is much smaller than the 0.5-mag transition occurred be-
tween Jan. 20 and 21. This systematic flux difference lead us to
group the eclipse light curves per brightness state (low and high)
for the determination of the mid-eclipse timings.
Mid-eclipse times were measured from the mid-ingress and
mid-egress times of the white dwarf eclipse using the deriva-
tive technique described by Wood et al. (1985). For each bright-
ness state, the light curves were phase-folded according to a test
ephemeris and sorted in phase to produce a combined light curve
with increased phase resolution. The combined light curve is
smoothed with a median filter and its numerical derivative is cal-
culated. A median-filtered version of the derivative curve is then
analyzed by an algorithm which identifies the points of extrema
(the mid-ingress/egress phases of the white dwarf). The mid-
eclipse phase, φ
0
, is the mean of the two measured phases. For
both data sets the difference between the measured mid-egress
and mid-ingress phases is consistent with the expected width of
the white dwarf eclipse, ∆φ = 0.0493 ± 0.0007 cycles (Horne
et al. 1991). Finally, we adopt a cycle number representative of
the ensemble of light curves and compute the corresponding ob-
served mid-eclipse time (HJD) for this cycle including the mea-
sured value of φ
0
. This yields a single, robust mid-eclipse timing
estimate from a sample of eclipse light curves. These measure-
ments have a typical accuracy of 5 s. The inferred HJD tim-
ings for the representative cycles of the low- (E = 141110)
and high-state (E = 141194) sets are 2, 454, 120.29368(5) and
2
IRAF is distributed by the National Optical Astronomy Observatory,
which is operated by the Association of Universities for Research in
Astronomy Inc., under contract with the National Science Foundation.
Table 2. Average mid-eclipse timings.
Year Cycle BJDD (O−C)
†
Ref.
(+2400000 d) (×10
−5
d)
1978 1076 43807.18220(3) −23 1
1982 20824 45261.56732(6) −72,3
1983 25976 45640.99769(6) −92,3
1984 30766 45993.76780(5) −82
1991 63228 48384.50361(5) +23 4
1994 79770
‡
49602.77584(5) +43 5
1995 85616 50033.31752(4) +56 6
1997 92628 50549.73159(2) +44 6
2002 119542 52531.87205(3) +87
2003 125130 52943.41261(4) +87
2007 141152 54123.38773(3) −29 This work
†
O−C times with respect to the linear ephemeris of Table 3.
‡
X-ray
mid-eclipse timing. References: (1) Patterson (1981); (2) Zhang et al.
(1986); (3) Horne et al. (1991); (4) Wood et al. (1995); (5) Mukai et al.
(1997); (6) Ioannou et al. (1999); (7) Feline et al. (2005).
2 454 126.48001(5), respectively (the uncertainties are given in
parenthesis).
Feline et al. (2005) added new optical timings from high-
speed photometry to those listed by Patterson (1981), Zhang
et al. (1986)andHorneetal.(1991) to derive a revised linear
ephemeris for HT Cas. These authors do not report evidence of
period decrease or modulation, perhaps because their analysis
does not include the optical timings of Wood et al. (1995)and
Ioannou et al. (1999). In the present work, the set of timings used
includes mid-eclipse timings measured from our light curves and
all mid-eclipse timings from the literature
3
. It covers a time in-
terval of 29 yr, from 1978 to 2007. For HT Cas the difference be-
tween universal time (UT) and terrestrial dynamical time (TDT)
scales amounts to 26 s over the data set. The amplitude of the
difference between the barycentric and the heliocentric correc-
tion is about 4 s. All mid-eclipse timings have been corrected to
the solar system barycenter dynamical time (BJDD), according
to the code by Stumpff (1980). The terrestrial dynamical (TDT)
and ephemeris (ET) time scales were assumed to form a contigu-
ous scale for our purposes.
Observed-minus-calculated times with respect to a test
ephemeris were evaluated for each timing in our data set. For a
given year, annual average values of (O−C) were computed for
a representative cycle number. Finally, the average mid-eclipse
timing (in BJDD) corresponding to the representative cycle are
obtained by adding the average (O−C) value to the mid-eclipse
time predicted by the test ephemeris. The uncertainties were as-
sumed to be the standard deviation of each annual timing set.
The average mid-eclipse timings are listed in Table 2. The corre-
sponding uncertainties in the last digit are indicated in parenthe-
sis. The data points were weighted by the inverse of the squares
of the uncertainties in the mid-eclipse times. Table 3 presents the
parameters of the best-fit linear, quadratic and linear plus sinu-
soidal ephemerides with their 1-σ formal errors quoted. We also
list the root-mean-square values of the residuals, σ,andtheχ
2
ν
value for each case, where ν is the number of degrees of freedom.
In order to check the sensitivity of the results to the uncertainty
of the timings, we repeated each fit assuming equal errors of
5 × 10
−5
d to the data points. The parameters obtained this way
are equivalent to those given in Table 2 within the uncertainties.
3
Only timings while HT Cas was in quiescence were considered, in-
cluding an X-ray timing obtained by Mukai et al. (1997).
B. W. Borges et al.: Cyclical period changes in HT Cas 483
Table 3. Ephemerides of HT Cas.
Linear ephemeris:
BJDD = T
0
+ P
0
· E
T
0
= 2443727.93804 (±3) d P
0
= 0.0736472029 (±3) d
χ
2
ν
1
= 56.9,ν
1
= 9 σ
1
= 29.0 × 10
−5
d
Quadratic ephemeris:
BJDD = T
0
+ P
0
· E + c · E
2
T
0
= 2443727.93768 (±3) d P
0
= 0.0736472230 (±9) d
c = (−137 ± 7) × 10
−14
d σ
2
= 11.8 × 10
−5
d
χ
2
ν
2
= 9.47,ν
2
= 8
Sinusoidal ephemeris:
BJDD = T
0
+ P
0
· E + A· cos [2π(E − B)/C]
T
0
= 2443727.93828 (±6) d B = (89 ± 4) × 10
3
cycles
P
0
= 0.073647200 (±2) d C = (180 ± 20) × 10
3
cycles
A = (46 ± 6) × 10
−5
d σ
S
= 6.79 × 10
−5
d
χ
2
ν
S
= 3.11,ν
S
= 6
Figure 1 presents the (O−C) diagram with respect to the
linear ephemeris of Table 3. The annual average timings of
Table 2 are indicated by solid circles and show a clear mod-
ulation. Open squares show the individual mid-eclipse timings
taken from the literature (see references in Table 2) and individ-
ual eclipse timings measured from our light curves. The signif-
icance of adding additional terms to the linear ephemeris was
estimated with the F-test, following the prescription of Pringle
(1975). The quadratic ephemeris has a statistical significance
of 96.7 per cent with F(1, 9) = 15.1. On the other hand, the
statistical significance of the linear plus sinusoidal ephemeris
with respect to the linear fit is larger than 99.95 per cent, with
F(3, 9) = 86.2. The best-fit cycle length of the modulation in
HT Cas is 36± 4 yr. The best-fit linear plus sinusoidal ephemeris
is shown as a solid line in the middle panel of Fig. 1, while the
residuals with respect to this ephemeris are shown in the lower
panel.
A search for variable cycle length or for harmonics of the
main cycle length (by performing separated fits to different parts
of the data set) is not conclusive in this case because of the
relatively short time span of the data in comparison to the cy-
cle length. However, the eclipse timings show systematic and
significant deviations from the best-fit linear plus sinusoidal
ephemeris. The fact that χ
2
ν
> 1 emphasizes that the linear plus
sinusoidal ephemeris is not a complete description of the data,
likely signaling that the period modulation is not sinusoidal or
not strictly periodic.
3. Discussion
Our results reveals that the orbital period of HT Cas shows con-
spicuous period changes of semi-amplitude ∼40 s which seems
to repeat on a time-scale of about 36 yr. The present work
increases the sample of eclipsing CVs in which orbital period
modulations were observed and motivated us to update the com-
parison of cyclical period changes of CVs above and below the
period gap performed by Baptista et al. (2003).
3.1. Orbital period modulations in CVs
This section reviews the current observational picture on the
detection of cyclical period changes in eclipsing CVs. We
first address the observational requirements needed to allow
Fig. 1. The O−C diagram of HT Cas with respect to the linear ephemeris
of Table 3. The individual timings from the literature and eclipse tim-
ings measured from our light curves are shown as open squares, while
the average timings of Table 2 are denoted by solid circles. The dotted
line in the upper panel depicts the best-fit quadratic ephemeris while the
solid line in the middle panel shows the best-fit linear plus sinusoidal
ephemeris of Table 3. The lower panel displays the residuals with re-
spect to the linear plus sinusoidal ephemeris of the middle panel.
detection of cyclical period modulations and then discuss the
observational scenario which emerges when a complete sample
is constructed based on these requirements. Cyclical orbital pe-
riod changes are seen in many eclipsing CVs (see Baptista et al.
2003). The cycle lengths range from 5 yr in IP Peg (Wolf et al.
1993) to about 36 yr in HT Cas, whereas the amplitudes are in
the range 10−10
2
s.
A successful detection of these cyclical period changes de-
mands an (O−C) diagram covering at least one cycle of the
modulation (i.e., at least about a decade of observations) and
that the uncertainty in the (annually averaged) eclipse timings is
smaller than the amplitude of the period modulation to allow a
clean detection of the latter. Therefore, decade-long time cover-
age and high precision eclipse timings (better than 10 s and 20 s,
respectively for systems below and above the period gap) are
basic requirements. A third key aspect concerns the time sam-
pling of the observations. An (O−C) diagram constructed from
sparse and infrequent eclipse timing measurements may easily
fail to reveal a cyclical period change. Figure 2 illustrates this
argument. It shows synthetic (O−C) diagrams constructed from
a period modulation of 20 yr and amplitude 50 s (dotted line).
Gaussian noise of amplitude 5 s was added to the annual tim-
ings to simulate the typical uncertainties of a real data set. The
best-fit ephemeris is indicated by a solid curve/line in each case.
484 B. W. Borges et al.: Cyclical period changes in HT Cas
Fig. 2. Influence of data sampling (upper panel), time coverage (mid-
dle panel) and accuracy of the eclipse timings (lower panel) in the de-
tection of orbital period modulations. The dotted line represents (O−C)
values constructed from a period modulation of 20 yr and amplitude
50 s (20 s in the lower panel). Gaussian noise of amplitudes 5 s (upper
and middle panels) and 20 s (lower panel) were added to the (annually
sampled) timings to simulate the uncertainties of a real data set. The
solid line depicts the best-fit ephemeris obtained for the synthetic data
used (solid circles) to illustrate each case.
The upper panel shows the case of poor data sampling. The gaps
around eclipse cycles ∼30 000 and 60 000−100 000 mask the pe-
riod modulation and the avaliable data (solid circles) is best fit
by a linear ephemeris (solid line). HT Cas itself is a good exam-
ple of the poor sampling case. The revised linear ephemeris of
Feline et al. (2005) was based on a sparsely sampled (O−C) di-
agram. If the timings of Wood et al. (1995), Mukai et al. (1997)
and Ioannou et al. (1999) were included in their diagram the or-
bital period modulation would have become clear.
The middle panel of Fig. 2 illustrates the effect of the time
coverage on the detection of a period modulation. In this case
the observations cover only about half of the cycle period (solid
circles), leading to an incorrect inference of a long-term orbital
period decrease (solid curve). A longer baseline is needed to al-
low identification of the cyclical nature of the period changes.
Z Cha is an illustrative example of this case. Robinson et al.
(1995) inferred a significant period increase from an (O−C) di-
agram covering 18 yr of observations. Only when the time cov-
erage was increased to 30 yr the cyclical behavior of the period
changes became clear (Baptista et al. 2002).
The lower panel of Fig. 2 shows how the accuracy of the
eclipse timings affect the ability to detect period modulations. In
this case the amplitude of the modulation was reduced to match
the larger uncertainty of the eclipse timings (20 s). The period
Table 4. Observed orbital period modulations in CVs.
Object P
orb
P
mod
∆P/P Ref.
(h) (yr) (×10
−6
)
V4140 Sgr 1.47 6.9 0.93 1
V2051 Oph 1.50 22 0.30 1
OY Car 1.51 35 0.52 2
EX Hya 1.64 17.5 0.55 3
HT Cas 1.77 36 0.44 This work
Z Cha 1.79 28 0.85 4
IP Peg 3.80 4.7 8.00 5
U Gem 4.17 8 3.00 6
DQ Her 4.65 13.7 2.00 7
UX UMa 4.72 7.1, 10.7, 30.4
∗
2.60 8
T Aur 4.91 23 3.80 9, this work
EX Dra 5.03 5 7.90 10
RW Tri 5.57 7.6, 13.6
∗
2.10 11
AC Cnc 7.21 16.2 5.50 12
∗
Multiperiodic (the best determined periodicities are considered).
References: (1) Baptista et al. (2003); (2) Greenhill et al. (2006);
(3) Hellier & Sproats (1992); (4) Baptista et al. (2002); (5) Wolf et al.
(1993); (6) Warner (1988); (7) Zhang et al. (1995); (8) Rubenstein et al.
(1991); (9) Beuermann & Pakull (1984); (10) Shafter & Holland (2003);
(11) Robinson et al. (1991); (12) Qian et al. (2007b).
modulation is lost in the noise, despite the fact that the (O−C) di-
agram has good sampling and time coverage (solid circles), and
the best-fit ephemeris is the linear one (solid line). FO Aqr, with
inclination i ∼ 70
◦
and grazing eclipses (Hellier et al. 1989), may
be an example of this case. The large uncertainty of its eclipse
timings (∼180 s) is enough to mask cyclical period modulations
of amplitude similar to those seen in other eclipsing CVs.
In summary, in order to be able to detect a period modulation
one needs a well-sampled (one data point every 1−3 yr, no big
gaps) (O−C) diagram covering at least a decade of observations,
constructed from precise eclipse timings (uncertainty
<
∼
20 s).
In order to construct a sample according to these require-
ments, we searched the CVcat database
4
for all eclipsing CVs
with inclination i ≥ 70
◦
. The accuracy of eclipse timings below
this limit is not enough to allow detection of period modulations
with amplitudes
<
∼
200 s. We find 14 eclipsing CVs satisfying the
above criteria, 6 systems below and 8 systems above the period
gap. They are listed in Table 4. All systems in the sample show
cyclical period changes. With the inclusion of HT Cas, there
is presently no CVs with well sampled and precise (O−C) dia-
gram covering more than a decade of observations that do not
show cyclical period changes. This underscores the conclusion
of Baptista et al. (2003) that cyclical period changes seem a com-
mon phenomenon in CVs, being present equally among systems
above and below the period gap.
Apsidal motion is not a viable explanation for such period
changes because the orbital eccentricity for close binaries is neg-
ligible. The presence of a third body in the system has often been
invoked as an alternative explanation. However, a light-time ef-
fect implies a strictly periodic modulations in orbital period,
which is usually not observed when data covering several cy-
cles of the modulation are available. If one is to seek a common
explanation for the orbital period modulation seen in CVs, then
all periodic effects (such as a third body in the system) must be
discarded, since the observed period changes in several of the
systems (e.g., UX UMa, RW Tri, V2051 Oph) are cyclical but
clearly not strictly periodic.
4
CVcat/TPP is a web-based interactive database on cataclysmic vari-
able stars (http://cvcat.net/).
B. W. Borges et al.: Cyclical period changes in HT Cas 485
The best current explanation for the observed cyclical pe-
riod modulation is that it is the result of a solar-type magnetic
activity cycle in the secondary star. Amongst several mecha-
nisms proposed to explain such modulations, the hypothesis of
Applegate (1992) seems the most plausible. It relates the or-
bital period modulation to the operation of a hydromagnetic dy-
namo in the convective zone of the late-type component of close
binaries. More precisely, Applegate’s hypothesis assumes that
a small fraction of the internal angular momentum of the ac-
tive component is cyclically exchanged between an inner and an
outer convective shell due to a varying internal magnetic torque.
This affects the oblateness and the gravitational quadrupole mo-
ment of the active component, which oscillates around its mean
value. When the quadrupole moment is maximum, the compan-
ion star feels a stronger gravitational force, so that it is forced
to move closer and faster around the center of mass, thus at-
taining the minimum orbital period. On the other hand, when
the quadrupole is minimum, the orbital period exhibits its max-
imum. Lanza et al. (1998) and Lanza & Rodonò (1999)have
elaborated more on this idea. The model was applied to a sam-
ple of CVs by Richman et al. (1994). The fractional period
change ∆P/P is related to the amplitude ∆(O−C) and to the cycle
length P
mod
of the modulation by (Applegate 1992),
∆P
P
= 2π
∆(O−C)
P
mod
= 4π
A
C
· (1)
Using the values of A and C in Tables 3,wefind∆P/P = 4.4 ×
10
−7
for HT Cas.
In their discussion about T Aur, Beuermann & Pakull (1984)
remarked that the observed period modulation could be fit-
ted with a quadratic ephemeris of decreasing period or with
a sinusoid of quasi-period ∼23 yr. We combined the data of
Beuermann & Pakull (1984) with the more recent timing of
Diethelm (2004) to obtain a revised (O−C) diagram for T Aur.
A quadratic ephemeris is no longer statistically significant (the
quadratic term is comparable to its uncertainty), but a 23 ± 2yr
sinusoid of amplitude 220 ± 40 s yields an even more signifi-
cant fit to the data than before. This leads to a revised value of
∆P/P = 3.8 × 10
−6
for T Aur. The values of ∆P/P for all the
CVs in our sample are listed in the fourth column of Table 4.
The critical aspect of Applegate’s hypothesis is the
connection of his model of gravitational quadrupole changes to
a realistic cyclic dynamo model capable of produce such modu-
lations. In this regard, Rüdiger et al. (2002) presented an α
2
dy-
namo model for RS CVn stars, adding a dynamo mechanism to
Applegate’s model. Also, theoretical improvementsand observa-
tional constrains appeared recently in the literature in an attempt
to overcome the limitations faced when Applegate’s model is
applied to RS CVn stars (Lanza & Rodonò 2002, 2004; Lanza
2005, 2006a,b). All these results can be scaled to CVs above the
period gap because their secondaries also have convective en-
velopes.
On other hand, secondaries of CVs below the gap are thought
to be fully convective (i.e., masses M
2
< 0.3 M
). Because
fully convective stars have no overshoot layer, the usual dy-
namo mechanisms cannot be at work in these stars (Dobler
2005). However, isolated late-type main sequence stars (spectral
type M5 and later) show indications of the presence of strong
magnetic fields (Hawley 1993;Baliunasetal.1995;Westetal.
2004). Moreover, if magnetic activity in the secondary star is
used as an explanation for the observed period modulations, the
CVs below the period gap represent the first sample of fully con-
vective dwarfs with magnetic cycles known. Alternative small-
scale dynamo models have been proposed to sustain magnetic
Fig. 3. Diagram of the fractional period change ∆P/P versus the angular
velocity Ω of the active component star for CVs (open circles) and other
close binaries from the literature (crosses). Median values of ∆P/P for
the CVs above and below the gap and for the other binaries (in bins
of 0.25 dex in log Ω) are shown as filled squares with error bars. The
period gap is indicated by vertical dashed lines. The best-fit linear re-
lation and its 3-σ confidence level are shown as solid and dotted lines,
respectively.
fields and induce magnetic activity cycles in fully convective
stars (Durney et al. 1993;Haugenetal.2004; Brandenburg et al.
2005; Dobler 2005, and references therein). These models indi-
cate that an overshoot layer is not a necessary ingredient for the
generation of large scale magnetic fields.
The common occurrence of P
orb
modulations in CVs is con-
sistent with the results of Ak et al. (2001). They found cyclical
variations in the quiescent magnitude and outburst interval of a
sample of CVs above and below the period gap, which they at-
tributed to solar-type magnetic activity cycles in the secondary
stars. They also found no correlation of the cycle length with
the rotation regime of the secondary star (i.e., orbital period, for
the phase-locked secondary stars in CVs). Considering the pe-
riod modulations of a variety of close binary systems, Lanza &
Rodonò (1999) found similar observational evidence for system
above and below the period gap.
3.2. A comparison of the observed orbital period
modulations above and below the period gap
Given the sample of well observed CVs which exhibit cyclical
orbital period changes, this section attempts to quantify the com-
mon behavior as well as to address the systematic differences
between the observed modulations in systems above and below
the period gap. We extended the comparison by considering the
period modulations observed in other longer-period close bina-
ries (Algols, RS CVn and W UMa stars). Their magnetic activity
should resemble, in some sense, the magnetic activity of the CVs
above the gap since they also have a late-type (active) component
with a convective envelope.
Figure 3 shows a diagram of the fractional period change
∆P/P versus the angular velocity Ω=2π/P
orb
of the active,
late-type component star in close binaries (rotation is a key in-
gredient of the dynamo action, see Lanza & Rodonò 1999). It
includes data from the 14 eclipsing CVs listed in Table 4 (open
circles). The period gap is indicated by vertical dashed lines. The
486 B. W. Borges et al.: Cyclical period changes in HT Cas
crosses depict ∆P/P values for 56 other close binaries with cycli-
cal period modulations (Lanza & Rodonó 1999;Qianetal.1999,
2000a,b, 2002, 2004, 2005, 2007a; Lanza et al. 2001;Kang
et al. 2002;Qian2002a,b, 2003;Yang&Liu2002, 2003a,b;
Zavala et al. 2002; Çakırlı et al. 2003; Kim et al. 2003;Qian&
Boonrucksar 2003;Af¸sar et al. 2004; Lee et al. 2004;Qian&
Yang 2004;Yangetal.2004, 2007; Zhu et al. 2004; Borkovits
et al. 2005;Qian&He2005; Erdem et al. 2007;Pileckietal.
2007; Szalai et al. 2007). Systems with independent evidence
that the observed (O−C) modulations can be explained by a third
body were excluded (actually, it is not possible to exclude the
possibility that the observed modulation of some of the systems
plotted may still be caused by a third body. However, for most
of the systems the observation of the modulation covers more
than one cycle and there is some indication that the variation is
non-periodic).
There is a clear correlation between the fractional period
change and the angular velocity. The ∆P/P values decrease by
an order of magnitude from the slowly rotating RS CVn stars
(at the upper left corner of Fig. 3) to the CVs above the period
gap, and almost another order of magnitude from these to the
CVs below the period gap (at the bottom right corner of Fig. 3).
By quantifying this correlation it is possible to test whether the
systematic differences in ∆P/P values between CVs above and
below the period gap (e.g., Baptista et al.
2003) are a natural
consequence of this behavior or not. For this purpose we need to
address the errors affecting the ∆P/P values. Lanza & Rodonó
(1999) remark that ∆P/P values may be uncertain by up to a
factor of 2 for the long-period binaries (this is likely responsi-
ble for part of the scatter in the data shown in Fig. 3). Instead of
trying to evaluate the error of each individual ∆P/P value in our
sample, we adopted a statistical approach.
We separated the CVs in two groups of systems, one above
and one below the period gap, and computed the median
∆P/P value for each group. The uncertainty is derived from
the median absolute deviation with respect to the median, and
the median angular velocity of the sample is taken as the corre-
sponding x-axis value. The median fractional period change of
the short-period CVs (
∆P/P = 5.3 × 10
−7
) is lower than that of
the long-period CVs (
∆P/P 3.4 × 10
−6
) by a factor 6. We ap-
plied a similar procedure to the other, longer period binaries by
slicing the log Ω axis into N = 6 bins of width 0.25 dex and com-
puting the median ∆P/P value for each bin. We adopt the median
and the absolute deviation instead of the mean and the standard
deviation because the former estimators are more robust against
outliers. As a consistency check we repeated the procedure for
values in the range N = 3−7. The results are the same within the
uncertainties. For N > 7 the number of data points in each bin
becomes too low for the use of the median as a reliable estima-
tor; for N < 3 there are too few samples to properly represent
the behavior of the data. In the following discussion we present
the results for N = 6 bins. The median ∆P/P values obtained
this way are plotted in Fig. 3 as filled squares.
We adopted a relationship of the type ∆P/P ∝ Ω
γ
and per-
formed separated least-squares linear fits to the data with and
without the inclusion of the point corresponding to the CVs be-
low the period gap. The best linear fit to the data above the pe-
riod gap yields γ = −0.7 ± 0.1 and is indicated by a solid line
in Fig. 3. Within the assumption that the CVs below the period
gap fit the same relationship, one might expect that their inclu-
sion in the data set improves the quality of the fit as a conse-
quence of the longer baseline in the log Ω axis. However, adding
the CVs below the period gap to the sample degrades the fit (the
standard deviation with respect to the fit increases by 50 per cent)
and χ
2
ν
increases by a factor >4. A parabolic fit (with a negative
quadratic term) is a better fit than the straight line in this case.
This indicates that the CVs below the period gap do not fit into
the correlation observed for the other binaries.
We quantified the above statement with the following pro-
cedure. We assumed that the data for the binaries above the
period gap have a normal distribution around the best-fit line
(i.e., we enforced a unity χ
2
ν
value) and used the observed scat-
ter to estimate the variance-covariance matrix for the fitted pa-
rameters. The dotted curves in Fig. 3 show the uncertainties of
the ∆P/P ∝ Ω
−0.7
fit at the 3-σ confidence level, the covari-
ances between the parameters taken into account. The median
∆P/P value of the short-period CVs is more than 3-σ below the
∆P/P ∝ Ω
−0.7
relation. Despite the small sample (14 objects),
there is a statistically significant difference between the ∆P/P
values of the CVs above and below the period gap. This dif-
ference cannot be eliminated even if we take into account the
fitted ∆P/P versus Ω relation that predicts decreasing ∆P/P val-
ues for increasing Ω. We are thus lead to the conclusion that the
CVs below the period gap (with fully convective active stars)
behave differently from the binaries above the period gap (with
active stars of radiative cores and convective envelopes).
If the interpretation of cyclical period changes as the con-
sequence of a solar-like magnetic activity cycle is correct, the
existence of cyclical period changes in binaries with fully con-
vective active stars is an indication that these stars do have mag-
netic fields, not only capable of inducing strong chromospheric
activity (e.g., Hawley 1993), but also measurable magnetic ac-
tivity cycles (Ak et al. 2001; this paper). On the other hand, the
fact that the fractional period changes of binaries with fully con-
vective stars is systematically smaller than those of stars with ra-
diative cores is a likely indication that a different mechanism is
responsible to generate and sustain their magnetic fields. In this
regard, the observed lower ∆P/P values yield a useful constrain
to any model that might be developed to account for magnetic
fields in fully convective stars.
The investigation of cyclical period changes in CVs will
greatly benefit from the increase in the (presently small) sample
of systems with well-sampled (O−C) diagrams covering more
than a decade of observations. This demands the patient but sys-
tematic collection of precise eclipse timings over several years. It
is worth mentioning that there is a good number of well-known
eclipsing CVs for which a few years of additional eclipse tim-
ings observations would suffice to overcome the ambiguities il-
lustrated in Fig. 2 and to allow statistically significant detec-
tion of period modulations. We also remark that none of the
systems inside the period gap has been yet observed for long
enough time to allow identification of cyclical period changes. It
would be interesting to check whether these systems will fit the
∆P/P ∝ Ω
−0.7
relation or will display a behavior similar to that
of the CVs below the period gap.
In order to explain the CV period gap, the disrupted braking
model predicts a significant reduction in magnetic braking ef-
ficiency between the systems above and below the period gap
(Hameury et al. 1991). The observed difference in ∆P/P be-
tween CVs above and below the period gap could be used to test
this prediction if a connection between fractional period changes
and braking efficiency could be established.
Acknowledgements. B.W.B. acknowledges financial support from
CNPq-MCT/Brazil graduate research fellowship. R.B. acknowledges fi-
nancial support from CNPq-MCT/Brazil throught grants 300.345/96-7 and
200.942/2005-0.
B. W. Borges et al.: Cyclical period changes in HT Cas 487
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