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A FASE SUPERCONDUTORA DE COR
DA MAT
´
ERIA ESTRANHA NO
MODELO CROMODIEL
´
ETRICO E
ESTRELAS DE QUARKS
LUIS PAULO FERNANDES LIBERTO LINARES
Orientador:
MANUEL M
´
AXIMO BASTOS MALHEIRO DE OLIVEIRA
UFF
Niter´oi
2005
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A FASE SUPERCONDUTORA DE COR
DA MAT
´
ERIA ESTRANHA NO
MODELO CROMODIEL
´
ETRICO E
ESTRELAS DE QUARKS
LUIS PAULO FERNANDES LIBERTO LINARES
1
Orientador:
MANUEL M
´
AXIMO BASTOS MALHEIRO DE OLIVEIRA
Disserta¸c˜ao apresentada ao Instituto de F´ısica
da Universidade Federal Fluminense como parte
dos requisitos para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre
em F´ısica.
Niter´oi
2005
2
Este trabalho contou com apoio financeiro da CAPES.
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`
A minha m˜ae
Maria Luisa
i
Agradecimentos
Ao amigo e orientador Manuel Malheiro pelo est´ımulo, participa¸c˜ao intensa, segu-
ran¸ca, motiva¸c˜ao e paciˆencia ao longo deste trabalho.
`
A minha amada esposa Sabrina Linares pela dedica¸c˜ao, incentivo, paciˆencia e com-
panheirismo.
Ao professor Manuel Fiolhais e ao Andr´e Taurines, pela contribui¸c˜ao imprescind´ıvel.
Aos amigos e funcion´arios do Instituto de F´ısica.
Ao apoio financeiro da CAPES para a realiza¸c˜ao deste trabalho.
ii
Resumo
Resultados recentes obtidos no Modelo Cromodiel´etrico (CDM) mostram que a
mat´eria estranha de quarks a densidades muito altas pode aparecer em duas fases,
uma fase quiral sim´etrica e outra quebrada que n˜ao ´e absolutamente est´avel. A altas
densidades, a abundˆancia dos quarks u, d e s ´e a mesma na fase quiral sim´etrica e n˜ao
h´a el´etrons. Estas duas propriedades tamb´em s˜ao obtidas numa nova fase que deve
ocorrer na QCD a altas densidades, conhecida como fase fechada de cor e sabor (CFL).
Isto sugere que a mat´eria estranha possa fazer uma transi¸c˜ao para a fase CFL, na qual
a energia ´e diminu´ıda pelo emparelhamento BCS dos quarks. Acredita-se que o estado
CFL (ao menos para densidades assint´oticas) ´e provavelmente o estado fundamental
mesmo para massas de quarks diferentes.
Nesta tese fazemos um estudo numa vers˜ao estendida do modelo CDM onde im-
plementamos o emparelhamento BCS dos quarks e analisamos a fase supercondutora
fechada de cor e sab or. No modelo CDM existe um potencial confinante que origina uma
constante de sacola B. Mostramos que a inclus˜ao de um termo negativo na densidade
de energia livre, devido ao condensado dos pares de quarks, mant´em a estabilidade da
mat´eria de quarks mesmo para uma energia potencial grande. A raz˜ao para isto ´e que
quando a energia de gap do par de Cooper da QCD aumenta, a energia potencial pode
tamb´em aumentar e a mat´eria estranha permanecer ainda absolutamente est´avel (i.e
sua energia por part´ıcula fica abaixo da massa do nucleon). Investigamos as transi¸c˜oes
de fase entre as diversas equ¸c˜oes de estado e conclu´ımos que para altas densidades a
mat´eria supercondutora de cor n˜ao pode fazer a transi¸c˜ao para a mat´eria de quarks
estranha n˜ao emparelhada. Assim, o estado CFL ´e o verdadeiro estado fundamental
da mat´eria estranha no modelo CDM.
Este estudo ´e tamb´em relevante para a astrof´ısica, em particular para o entendi-
mento da forma¸c˜ao e estrutura das estrelas compactas formadas de quarks. Mostramos
explicitamente que as estrelas CFL podem ser absolutamente est´aveis e at´e mais com-
pactas que as estrelas estranhas.
iii
Abstract
Recent results obtained in the Chromodielectric model (CDM) show that strange
quark matter at very high densities may appear in two phases, namely a chiral broken
and a chiral symmetric phase, which may be not absolutely stable. At high densities,
the abundance of quarks u, d and s are the same in the chiral symmetric phase and
there are no electrons. These two properties are also obtained in a new phase which is
expected to o ccur in QCD at very high densities, known as color flavor locked (CFL)
phase. This suggests that strange matter can make a transition to the CFL phase, in
which the energy is lowered by the quark BCS pairing. It is now generally believed
that the CFL state (at least for asymptotic densities) is likely to be the ground state
even for different quark masses.
In this thesis we perform a study in an extended version of the Chromodielectric
model (CDM) with the BCS quark pairing implemented, and analyze the supercon-
ducting color flavor locked phase. In the CDM there is a confining potential which
originates a bag constant B. We show that the inclusion in the free energy density of
a negative term of the diquark condensate keeps the stability of quark matter even for
a large potential energy. The reason for that is because when the gap energy of the
QCD Cooper pairs increases, the confining potential energy can also increase and the
strange matter still remains absolutely stable (i.e., its energy per particle lies bellow
the nucleon mass). We investigated the phase transition among the equations of state
and conclude that at high densities the color superconducting phase cannot make a
transition to the strange unpaired quark matter. So the the CFL state is the real
ground state of strange quark matter in the CDM mo del.
This study is also relevant for astrophysics in particular for understanding the
formation and structure of compact quark stars. We explicitly show that CFL stars
can be absolutely stable and even more compact than strange stars.
iv
Sum´ario
Resumo iii
Introdu¸c˜ao 5
1 O modelo cromodiel´etrico 10
1.1 Equa¸c˜oes de autoconsistˆencia para os campos . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Compara¸c˜ao com o modelo da sacola do MIT . . . . . . . . . . . . . . 16
2 A fase supercondutora de cor (CFL) 19
2.1 Modelo CDM na fase CFL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Resultados 33
3.1 Equa¸c˜ao de estado com emparelhamento fraco . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Equa¸c˜ao de estado com emparelhamento forte . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Transi¸c˜ao de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Estrelas de quarks CFL 48
4.1 A mat´eria estranha como o verdadeiro estado fundamental . . . . . . . 49
4.2 Equa¸c˜oes TOV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 Massas e raios das estrelas CFL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Varia¸c˜ao da press˜ao e densidade de energia nas estrelas CFL . . . . . . 57
4.4.1 A importˆancia das corre¸c˜oes relativ´ısticas . . . . . . . . . . . . . 61
5 Conclus˜ao 65
Bibliografia 69
A Equa¸c˜ao de gap pelo m´etodo variacional 73
1
Lista de Figuras
2.1 Diagrama de fase para trˆes sabores de quarks sem massa, conforme [5]. . . . 26
2.2 Diagrama de fase para 2+1 sabores `a T = 0, conforme [5]. . . . . . . . . . . 28
3.1 Curva da estabilidade da mat´eria de quarks sem emparelhamento. . . . . . 34
3.2 Equa¸c˜ao de estado sem emparelhamento com η = 0.0966 para a solu¸c˜ao nova. 35
3.3 Equa¸c˜ao de estado sem emparelhamento com η = 0.0966 para a solu¸c˜ao normal. 35
3.4 Energia por part´ıcula em fun¸c˜ao da densidade para a solu¸c˜ao nova com η =
0.0966 fixo introduzindo o emparelhamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5 Densidade de energia e seus termos na solu¸c˜ao nova com η = 0.0966 fixo para
∆ = 0 e ∆ = 100 MeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6 Energia p or part´ıcula em fun¸c˜ao da densidade para a solu¸c˜ao normal com
η = 0.0966 fixo introduzindo o emparelhamento. . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7 Momento de fermi em fun¸c˜ao da densidade para a solu¸c˜ao nova com η =
0.0966 fixo introduzindo o emparelhamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.8 Densidade de energia e seus termos na solu¸c˜ao normal com η = 0.0966 fixo
para ∆ = 0 e ∆ = 100 MeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.9 Equa¸c˜ao de estado com emparelhamento para a solu¸c˜ao nova. . . . . . . . . 41
3.10 Equa¸c˜ao de estado com emparelhamento para a solu¸c˜ao normal. . . . . . . 41
3.11 Valores dos pares (g,η) com ∆ = 100 MeV para a curva da estabilidade na
solu¸c˜ao nova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.12 Valores dos pares (g,η) com ∆ = 150 MeV para a curva da estabilidade na
solu¸c˜ao nova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.13 Energia por part´ıcula para a solu¸c˜ao nova com g = 23 MeV e η = 0.1053 para
∆ = 100 MeV, e η = 0.1137 para ∆ = 150 MeV. . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.14 Equa¸c˜ao de estado com emparelhamento ∆ = 150 MeV, g = 23 MeV e trˆes
valores do parˆametro η. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.15 Transi¸c˜ao de fase para η = 0.0966 fixo com a introdu¸c˜ao do emparelhamento. 46
3.16 Transi¸c˜ao de fase com ∆ = 100 MeV fixo para dois valores do parˆametro η. . 46
3.17 Transi¸c˜ao de fase da mat´eria no CDM+CFL para a mat´eria em equil´ıbrio β. 47
4.1 Massa × densidade central para η = 0.0966 fixo com a introdu¸c˜ao do empa-
relhamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Massa × densidade central com o emparelhamento fixo aumentando a energia
potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3 Massa × raio com η = 0.0966 para trˆes valores de ∆. . . . . . . . . . . . . 56
4.4 Massa × raio com ∆ = 150 MeV e trˆes valores de η. . . . . . . . . . . . . . 56
4.5 Densidade de energia em fun¸c˜ao do raio com η = 0.0966 para trˆes valores de ∆. 58
4.6 Press˜ao em fun¸c˜ao do raio com η = 0.0966 para trˆes valores de ∆. . . . . . . 59
2
4.7 Densidade de energia em fun¸c˜ao do raio com ∆ = 150 MeV para trˆes valores
de η. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.8 Press˜ao em fun¸c˜ao do raio para ∆ = 150 MeV com trˆes valores de η. . . . . 60
4.9 Fatores relativ´ısticos em fun¸c˜ao do raio da estrela hiperˆonica de massa m´axima
para o modelo de Walecka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.10 Fatores relativ´ısticos em fun¸c˜ao do raio da estrela hiperˆonica de massa m´axima
para o modelo de Zimmany-Moszkowski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.11 Fatores relativ´ısticos em fun¸c˜ao do raio da estrela CFL para ∆ = 0 e ∆ = 150
MeV com η = 0.0966 fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.12 Fatores relativ´ısticos em fun¸c˜ao do raio da estrela CFL para η = 0.0966 e
η = 0.1137 com ∆ = 150 fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3
Lista de Tabelas
4.1 Valores de M, R e ε
c
para a estrela est´avel de massa m´axima com diversos
valores de η e ∆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4
Introdu¸c˜ao
Nesta disserta¸c˜ao vamos estudar a mat´eria sujeita a alt´ıssimas densidades e
baixas temperaturas. Neste regime, os graus de liberdade relevantes, conforme a teoria
da Cromodinˆamica Quˆantica (QCD), s˜ao os quarks e gl´uons. Como veremos, a mat´eria
a altas densidades e baixas temperaturas ´e bastante diferente da encontrada a altas
temperaturas e baixas densidades. A altas temperaturas as simetrias do estado de mais
baixa energia est˜ao bem definidas. Neste regime espera-se a restaura¸c˜ao da simetria
quiral e recentes c´alculos da QCD na rede para potencial qu´ımico µ = 0, indicam de
fato uma transi¸c˜ao quiral que coincide com o desconfinamento dos quarks para uma
temperatura T ∼ 180 MeV. Este regime ´e conhecido na literatura como o plasma de
quarks e gl´uons onde todas as simetrias da QCD, de cor, quiral e do n´umero bariˆonico
est˜ao preservadas.
Como veremos neste nosso estudo, na mat´eria a altas densidades e baixas tem-
peraturas as simetrias do estado de menor energia s˜ao bem diferentes e de fato todas
as simetrias da QCD est˜ao quebradas. Neste regime os graus de liberdade relevantes
s˜ao os quarks com momento perto da superf´ıcie de fermi. H´a aproximadamente 20
anos Bailin e Love [1, 2] propuseram que a intera¸c˜ao atrativa da QCD via troca de
um gl´uon poderia formar pares de quarks com momentos iguais e opostos perto da
superf´ıcie de fermi, exatamente como na f´ısica da mat´eria condensada. A teoria BCS
[3] explica a supercondutividade como surgindo exatamente da forma¸c˜ao de pares, que
neste caso s˜ao pares de el´etrons part´ıcula-buraco. Para a forma¸c˜ao destes pares basta
uma intera¸c˜ao atrativa, mesmo que muito pequena. No caso do estado s´olido, a in-
tera¸c˜ao entre el´etrons ´e repulsiva e portanto essa for¸ca atrativa vem da intera¸c˜ao com
os f´onons da rede. J´a na QCD surge uma intera¸c˜ao atrativa naturalmente com a troca
de um gl´uon.
Esta intera¸c˜ao atrativa da QCD leva os quarks perto da superf´ıcie de fermi a
formar pares de Cooper, e que como sendo b´osons condensam. Estes condensados
geram gaps no espectro fermiˆonico, exatamente como na mat´eria condensada, e que
podem ser entendidos como massas para esses quasi-quarks. Como os pares de quarks
n˜ao podem pela teoria da QCD ser singletos de cor, a simetria de cor ´e quebrada:
5
6
este fenˆomeno ´e conhecido como supercondutividade de cor. A fase supercondutora de
cor da QCD, que ser´a apresentada no cap´ıtulo (2), s´o mais recentemente recebeu uma
investiga¸c˜ao mais profunda, an´alise esta reiniciada essencialmente por Wilczek, Alford
e Rajagopal [4, 5, 6, 7, 8]. Como veremos, na fase 2SC onde s´o consideramos apenas
os quarks leves u e d, dois sabores e trˆes cores, a simetria de cor est´a quebrada (os
pares s˜ao estados antisim´etricos na cor) mas a simetria quiral n˜ao, pois o par ´e um
isosingleto no espa¸co dos sabores (quiral).
No caso de 3 sab ores, onde inclu´ımos o quark estranho e consideramos inici-
almente as massas dos quarks nulas, um novo fenˆomeno ocorre na condensa¸c˜ao dos
pares de quarks. Como neste caso, os pares de Cooper n˜ao podem ser isosingletos no
sabor, tanto a simetria quiral como a simetria de cor est˜ao quebradas. Os condensa-
dos formados pelo canal atrativo da troca de um gl´uon apresentam o que ´e conhecido
na literatura como o fechamento da cor-sabor (em inglˆes este fenˆomeno ´e conhecido
por CFL que quer dizer Color Flavour Locking) [7]. Explicaremos em mais detalhes
a fase CFL no cap´ıtulo (2), mas para entendermos a raz˜ao deste termo, consideremos
por exemplo um espinor de helicidade m˜ao esquerda. As transforma¸c˜oes de rota¸c˜ao no
espa¸co do sabor SU(3)
L
est˜ao ligadas (”locked”) com as rota¸c˜oes SU(3)
cor
no espa¸co da
cor, no sentido que o condensado n˜ao ´e sim´etrico por nenhuma dessas transforma¸c˜oes
separadamente, mas ´e sim´etrico apenas pelas transforma¸c˜oes simultˆaneas da cor-sabor
SU(3)
L+cor
(o mesmo ocorre para espinores de helicidade m˜ao direita se consideramos
as rota¸c˜oes SU(3)
R
). Assim, a simetria quiral est´a quebrada na fase CFL devido a este
novo fenˆomeno e n˜ao `a forma¸c˜ao de qualquer condensado quark-antiquark que para
estas densidades j´a s˜ao essencialmente nulos.
Esta nova fase da mat´eria de quarks estranha n˜ao tem nenhuma das simetrias
do plasma de quarks e gl´uons. De fato apresenta as simetrias da mat´eria bariˆonica
estranha, a mat´eria hiperˆonica, e por isso pode ser que n˜ao exista nenhuma transi¸c˜ao
de fase entre estes dois regimes. A ´unica diferen¸ca entre eles ´e o desconfinamento. Isto
´e conhecido na literatura como dualidade quark-h´adron ou continuidade quark-h´adron
[9]. Como o momento de fermi ´e muito alto, a superf´ıcie de fermi dos h´ıperons e dos
nucleons ´e essencialmente a mesma e pares de p(n)-h´ıperons ou mesmo apenas h´ıperon-
h´ıperon podem ser criados, fazendo com que devido `a existˆencia destes condensados a
simetria quiral continue quebrada como na fase CFL. Na realidade, ´e poss´ıvel escrever
o esp ectro de part´ıculas continuamente da mat´eria hipernuclear para a mat´eria de
quarks CFL [8, 9]. Os p´ıons tornam-se o octeto pseudoescalar dos b´osons de Nambu-
Goldstone da fase CFL, os m´eson vetoriais relacionam-se com os gl´uons massivos e
os b´arions com os quarks. Portanto, considerando apenas o espectro de excita¸c˜oes,
os dois regimes mat´eria hipernuclear-CFL s˜ao indistingu´ıveis. O diagrama de fase da
QCD para quarks sem massa e os efeitos nesse diagrama ao considerarmos a massa do
7
quark estranho n˜ao nula ser˜ao apresentados e discutidos no cap´ıtulo (2).
A altas densidades e baixas temperaturas a mat´eria de quarks estranha na
fase CFL, com um estado fundamental tipo BCS formado de pares quark-quark, ´e
energeticamente favor´avel em rela¸c˜ao a uma mat´eria de quarks sem emparelhamento, no
sentido de que possui uma energia livre menor [4, 5]. Isto ´e de fato esperado pela teoria
BCS ao explicar que na presen¸ca de intera¸c˜oes atrativas, por pequenas que sejam, a
superf´ıcie de fermi ´e inst´avel, o que significa que o estado fundamental n˜ao ´e trivial: um
estado formado apenas pelos quarks ocupando todos os n´ıveis de energia at´e o momento
de fermi (uma superf´ıcie de fermi desnuda). O verdadeiro estado fundamental ´e um
estado formado por pares de quarks perto do n´ıvel de fermi, os pares de Cooper. Assim,
podemos dizer que mesmo que a propriedade da liberdade assint´otica da QCD indique
que a for¸ca entre os quarks torna-se arbitrariamente pequena conforme o momento
aumenta, a descri¸c˜ao da mat´eria a altas densidades e baixas temperaturas como sendo
a de uma superf´ıcie de fermi de quarks livres, cuja dinˆamica depende essencialmente
dos quarks de momento alto que se encontram perto do n´ıvel de fermi, n˜ao parece ser
correta.
O estudo destas fases supercondutoras de cor da mat´eria de quarks pode ter
importantes consequˆencias na astrof´ısica. Dentro das estrelas de nˆeutrons, s˜ao encon-
tradas densidades na ordem de dez vezes a mat´eria nuclear, com potenciais qu´ımicos
µ ∼ 400 `a 500 MeV e maiores que a massa do quark estranho, exatamente o regime
de densidades da fase CFL. A forma¸c˜ao de caro¸cos de mat´eria de quarks dentro dessas
estrelas ou at´e mesmo a possibilidade de existirem estrelas feitas puramente de mat´eria
de quarks motiva este nosso estudo.
Nesta tese vamos investigar a fase supercondutora de cor CFL no modelo Cro-
modiel´etrico (CDM) [10, 11, 12]. A escolha deste modelo de quarks interagindo com
m´esons escalares e pseudoescalares, que vamos introduzir no cap´ıtulo (1), deve-se a que
ele possui simetria quiral quebrada espontˆaneamente gerando uma massa dinˆamica para
os quarks e de possuir confinamento a baixas energias. Este confinamento ´e obtido via
um campo efetivo χ que pode ser entendido como vindo da integra¸c˜ao dos gl´uons [13].
A baixas energias ele reproduz bem a fenomenologia do n´ucleon [14, 15]. Al´em disto,
foram realizados estudos neste modelo da mat´eria de quarks n˜ao emparelhada em dois
sabores [16] e em 3 sabores sujeitos `a condi¸c˜ao de equil´ıbrio β [17, 18]. Problemas
com a estabilidade desta mat´eria estranha a altas densidades foram encontrados no
modelo CDM [19 ] o que sugere a an´alise neste mesmo mo delo da mat´eria na fase su-
percondutora descrita anteriormente, cuja energia por part´ıcula ´e menor. Resultados
preliminares deste estudo j´a foram apresentados em duas conferˆencias [20, 21]. A in-
clus˜ao da energia de emparelhamento, como veremos no cap´ıtulo (2), possibilita uma
faixa maior para os parˆametros do modelo CDM onde a mat´eria estranha ´e est´avel.
8
Trabalhar com um modelo efetivo de quarks, que a baixas densidades tem a
simetria quiral quebrada e a altas densidades esta simetria ´e restaurada, possibilita
estudar se existe alguma interface entre esta mat´eria e a descrita pela fase supercondu-
tora de cor. Este tipo de an´alise n˜ao ´e poss´ıvel fazer na QCD, pois esta teoria ainda n˜ao
´e sol´uvel no regime de baixas densidades onde temos o confinamento dos quarks. Al´em
disto, na vers˜ao do modelo CDM com um potencial qu´artico que vamos usar neste
trabalho, duas equa¸c˜oes de estado (EOS) aparecem para a mat´eria de quarks estranha
em equil´ıbrio β [17, 18]. Uma para baixas densidades que apresenta a simetria quiral
quebrada e outra para altas densidades onde a simetria quiral est´a restaurada. Nesta
equa¸c˜ao para altas densidades gerada de um modo auto-consistente dentro do modelo
CDM, os momentos de fermi dos 3 quarks s˜ao todos iguais, a mat´eria ´e neutra e os
el´etrons s˜ao expulsos. Esta fenomenologia ´e exatamente a prevista na fase CFL super-
condutora de cor, mas neste caso a energia do gap ´e nula. Deste modo, esta equa¸c˜ao de
estado para a mat´eria de quarks em equil´ıbrio β, encontrada no modelo CDM para al-
tas densidades, parece ser a transi¸c˜ao natural da fase CFL com emparelhamento forte,
visto que quando a densidade diminui o emparelhamento dever´a desaparecer. A an´alise
desta transi¸c˜ao de fase ser´a apresentada no cap´ıtulo (3).
Por ´ultimo, estrelas constitu´ıdas puramente de quarks foram geradas pela EOS
de altas densidades em equil´ıbrio β. Contudo, estrelas bem compactas com raios me-
nores que 8 Km s˜ao meta-est´aveis neste caso [17, 18]. Como mostraremos no capitulo
(4) ao calcular a rela¸c˜ao M × R das estrelas CFL, nessa fase supercondutora, ´e poss´ıvel
obter estrelas bem compactas, com massa m´axima M/M
= 1.43 e raio R ∼ 7.5 Km
onde a mat´eria de quarks ´e est´avel (ε < ρM). Este resultado indica que as estrelas de
quarks, se existirem na natureza, devem estar na fase CFL. Neste trabalho, n˜ao consi-
deramos a possibilidade de uma transi¸c˜ao de fase quark-h´adron, usando alguma EOS
hadrˆonica. O nosso intuito nesta disserta¸c˜ao foi apenas estudar a mat´eria de quarks.
Contudo, ´e de se esperar que a baixas densidades aconte¸ca essa transi¸c˜ao o que sugere
a existˆencia de estrelas h´ıbridas formadas por um caro¸co de mat´eria de quarks na fase
CFL e uma crosta de mat´eria hadrˆonica.
Considerando tudo o que apresentamos at´e agora, podemos dizer que o nosso
trabalho tem essencialmente trˆes objetivos: estudar como a fase supercondutora de cor
melhora a estabilidade da mat´eria de quarks estranha no mo delo CDM, investigar o
efeito do emparelhamento na EOS e as transi¸c˜oes de fase entre a mat´eria de quarks na
fase CFL e a n˜ao emparelhada em equil´ıbrio β e, por ´ultimo, estudar as estrelas CFL
formadas puramente de quarks, sua estabilidade e sua fenomenologia.
A tese est´a organizada da seguinte maneira: no cap´ıtulo (1) introduzimos o
modelo CDM, as equa¸c˜oes auto-consistentes para os campos mesˆonicos e apresentamos
uma compara¸c˜ao com o modelo de sacola do MIT; no cap´ıtulo (2) abordamos a fase
9
supercondutora de cor na QCD (onde os c´alculos para obter a equa¸c˜ao do gap s˜ao
apresentados em um apˆendice), distinguindo a fase 2SC da CFL, e apresentamos a
formula¸c˜ao do modelo CDM na fase CFL; no cap´ıtulo (3) estudamos o efeito da energia
de emparelhamento na EOS, dando uma aten¸c˜ao especial `a condi¸c˜ao de estabilidade
da mat´eria de quarks na fase CFL e analisando as poss´ıveis transi¸c˜oes de fase entre
as diversas equa¸c˜oes de estado; as estrelas CFL, sua metaestabilidade, a rela¸c˜ao M ×
R e a importˆancia das corre¸c˜oes relativ´ısticas s˜ao analisadas no cap´ıtulo (4) e por fim
apresentamos nossas conclus˜oes.
Cap´ıtulo 1
O modelo cromodiel´etrico
Como sabemos, a teoria que estuda a intera¸c˜ao forte entre os quarks que s˜ao
os constituintes dos h´adrons, ´e a cromodinˆamica quˆantica (QCD). No regime de altas
densidades e temperaturas ocorre o desconfinamento dos quarks e a forma¸c˜ao do plasma
de quarks e gl´uons, onde estas part´ıculas est˜ao livres. Neste regime a QCD fornece
resultados, pois a constante de acoplamento α
s
da teoria ´e pequena e podemos fazer o
estudo perturbativo at´e primeira ordem nesta constante. Entretanto a QCD a baixas
densidades n˜ao ´e sol´uvel at´e o momento, pois a constante de acoplamento α
s
´e grande
o que n˜ao permite fazer um tratamento perturbativo neste regime.
Neste regime em que a QCD n˜ao fornece nenhuma previs˜ao, os modelos de
quarks s˜ao essenciais para descrever algumas propriedades hadrˆonicas esperadas pela
QCD, como o confinamento dos quarks, a quebra e restaura¸c˜ao da simetria quiral.
Por exemplo, os resultados obtidos pelo modelo de sacola do MIT [22] assemelham-se
aos previstos pela QCD em trˆes aspectos: o dos b´arions serem compostos por trˆes
quarks (qqq), o do confinamento (os quarks est˜ao no interior de uma sacola) e o da
liberdade assint´otica (os quarks est˜ao livres dentro da sacola). Neste modelo, a massa
dos quarks ´e a massa corrente , bem baixas na escala da QCD, e a constante da sacola
B ´e constante. Um dos problemas do modelo de MIT ´e que ele n˜ao possui simetria
quiral e esta simetria ´e quebrada devido `a existˆencia da sacola, mesmo no caso de
quarks sem massa [23]. Para resolver este problema foi proposto o modelo de sacola
com nuvem de m´esons, onde o m´eson π ´e respons´avel pela conserva¸c˜ao da simetria
quiral [24, 25]. Uma caracter´ıstica comum a estes modelos ´e que a massa dos quarks ´e
fixa.
Uma outra classe de modelos de quarks s˜ao aqueles onde estes f´ermions inici-
almente sem massa (ou apenas com a massa corrente), adquirem ela dinamicamente
atrav´es de uma intera¸c˜ao pois n˜ao s˜ao mais livres. Um dos modelos mais conhecidos
desta classe e que possui s´o graus de liberdade de quarks, foi proposto por Nambu-Jona-
10
CAP
´
ITULO 1. O MODELO CROMODIEL
´
ETRICO 11
Las´ınio (NJL) [ 26]. Neste modelo existe uma intera¸c˜ao de contato entre os quarks, que
na aproxima¸c˜ao de campo m´edio produz a massa dinˆamica para os quarks via um pro-
cesso de condensa¸c˜ao de pares quark-antiquark que quebra espontaneamente a simetria
quiral [27, 28, 29, 30] . Outros modelos, nesta mesma classe, misturam graus de liber-
dade mesˆonicos aos de quarks: neste caso os quarks interagem via a troca de m´esons
escalares e pseudo-escalares (alguns modelos consideram tamb´em a intera¸c˜ao repulsiva
devida aos m´esons vetoriais). O modelo mais conhecido com intera¸c˜ao m´eson-quark ´e
o modelo σ-linear [31], que por constru¸c˜ao possuiu simetria quiral devido `a inclus˜ao
de uma intera¸c˜ao de Yukawa e uma pseudo-escalar entre os quarks e os m´esons esca-
lares σ e pseudo-escalar π respectivamente. O modelo possui al´em desta intera¸c˜ao um
potencial de auto-intera¸c˜ao mesˆonico conhecido na literatura com o nome de chap´eu
mexicano. Este modelo foi utilizado tamb´em para estudar a mat´eria nuclear e de quarks
na sua vers˜ao linear [32] e n˜ao linear [33]
Nestes modelos de quarks com gera¸c˜ao de massa dinˆamica, o mecanismo da
restaura¸c˜ao da simetria quiral a altas densidades (massa dos quarks tendendo a zero)
aparece naturalmente, mas eles tˆem o defeito de n˜ao possu´ırem, em contraste com o
modelo de sacola, o confinamento dos quarks. No sentido de conseguir uma massa
dinˆamica para os quarks e al´em disso um mecanismo de confinamento para eles, foi
proposto o modelo cromodiel´etrico de cor (CDM) [10, 11, 12]. Este modelo ´e essenci-
almente o modelo σ-linear mais um novo campo escalar χ (um isosingleto de cor que
pode ser entendido como vindo da integra¸c˜ao dos campos gluˆonicos [13]) que produz
o confinamento dos quarks a baixas densidades. Este campo χ ´e dinˆamico e possuiu
uma energia potencial com a forma mais comum usada na literatura que ´e a de um
oscilador harmˆonico. Neste nosso trabalho vamos usar uma forma qu´artica para este
potencial. Neste caso teremos dois m´ınimos, um m´ınimo global para χ perto de zero
(que ´e o caso do potencial harmˆonico) e outro local para valores maiores deste campo.
Como veremos ao longo deste trabalho, este m´ınimo local para valores grandes de χ
ser´a fundamental para garantir a existˆencia de uma nova equa¸c˜ao de estado da mat´eria
de quarks estranha obtida neste modelo no caso de alt´ıssimas densidades.
A principal raz˜ao que nos levou a escolher o modelo CDM neste trabalho foi esta
propriedade do confinamento dos quarks devido `a existˆencia do campo escalar χ. Neste
modelo ´e poss´ıvel obter uma boa descri¸c˜ao para o nucleon [14, 15]. Al´em disto, estudos
na mat´eria de quarks estranha em equil´ıbrio β tinham sido desenvolvidos anteriormente
na vers˜ao quadr´atica do potencial confinante [16] e pelo meu orientador na vers˜ao
qu´artica [17], como j´a descrevemos na introdu¸c˜ao. Assim, nada mais natural que
procurar continuar este estudo incluindo a mat´eria de quarks na fase supercondutora
de cor.
Vamos agora descrever sucintamente o modelo Cromodiel´etrico. A densidade
CAP
´
ITULO 1. O MODELO CROMODIEL
´
ETRICO 12
lagrangiana do CDM pode ser escrita como: [10, 11, 12]
L = L
q
+ L
σ,π
+ L
q−meson
+ L
χ
(1.1)
O primeiro termo descreve a densidade lagrangiana de Dirac dos quarks, onde
apenas escrevemos o termo cin´etico , omitindo o termo de massa por estarmos traba-
lhando neste modelo no caso onde a massa corrente dos quarks ´e nula. Este termo ´e
dado por:
L
q
= i
¯
ψγ
µ
∂
µ
ψ (1.2)
O segundo termo ´e a densidade lagrangiana dos campos mesˆonicos escalar σ e
pseudo-escalar π, que ´e igual `a do modelo σ-linear
L
σ,π
=
1
2
(∂
µ
σ∂
µ
σ + ∂
µ
π · ∂
µ
π) − W(π, σ) (1.3)
a qual ´e composta de suas partes cin´eticas e de um termo de auto-intera¸c˜ao mesˆonico
W(σ, π) =
m
2
σ
8f
2
π
(σ
2
+ π
2
− f
2
π
)
2
(1.4)
que, como j´a fizemos referˆencia, ´e conhecido com o nome de potencial chap´eu mexicano
onde f
π
´e a constante de decaimento do p´ıon.
O terceiro termo descreve a intera¸c˜ao m´eson-quark. Assumindo dois sabores de
quarks, u e d, temos:
L
q−meson
=
g
χ
¯
ψ(σ + iτ ·πγ
5
)ψ (1.5)
onde aparece o campo confinante χ no denominador, resultado da integra¸c˜ao dos cam-
pos gluˆonicos conforme [13]. Sem a presen¸ca deste campo ter´ıamos a intera¸c˜ao quark-
m´eson do modelo σ-linear, a intera¸c˜ao de Yukawa e a pseudo-escalar j´a discutidas
anteriormente.
´
E este termo que na aproxima¸c˜ao de campo m´edio gera dinamicamente
as massas dos quarks leves.
O ´ultimo termo na densidade lagrangiana da Eq. (1.1), est´a relacionado ao
campo dinˆamico χ por:
L
χ
=
1
2
∂
µ
χ∂
µ
χ − U(χ) (1.6)
onde temos al´em do termo cin´etico um potencial U(χ). Como j´a referimos anterior-
mente, vamos trabalhar com um potencial qu´artico para o campo χ da forma:
U(χ) =
1
2
m
2
χ
χ
2
1 +
8η
4
γ
2
− 2
χ
γm
χ
+
1 −
6η
4
γ
2
χ
γm
χ
2
(1.7)
CAP
´
ITULO 1. O MODELO CROMODIEL
´
ETRICO 13
onde m
χ
´e a massa do campo χ. Este potencial escrito nesta forma permite que as duas
constantes adquiram um significado simples: γ define a posi¸c˜ao do segundo m´ınimo
local em χ = γm
χ
e η o valor do potencial neste segundo m´ınimo U(γm
χ
) = (ηm
χ
)
4
.
Fixando η neste potencial, o valor de U(χ) ´e constante neste segundo m´ınimo e pode
ser interpretado como sendo a press˜ao da sacola [34], a constante B do modelo do MIT.
Veremos ao fazer posteriormente a compra¸c˜ao do modelo CDM a altas densidades com
o modelo do MIT que esta identifica¸c˜ao ´e correta. A faixa de valores de η usadas
neste trabalho foi obtida atrav´es de valores considerados razo´aveis na literatura para
a constante B [17, 19]. Al´em disso, este potencial possui um m´ınimo global em χ = 0
que n˜ao depende dos valores de γ e η , o que ´e exatamente o que ocorre no caso do
potencial quadr´atico (tipo oscilador harmˆonico). Por isso, podemos dizer que para
valores de χ perto de zero o potencial da Eq. (1.7) engloba os resultados obtidos nos
trabalhos anteriores onde foi considerado apenas um potencial quadr´atico [16].
Para incluir o setor estranho no modelo, devemos acrescentar mais um termo de
intera¸c˜ao na Eq. (1.1) que seja compat´ıvel com o acoplamento entre o quark estranho
e o campo χ. Este termo ser´a tomado como sendo [35]:
L
s−meson
=
g
s
χ
¯
ψ
s
ψ
s
(1.8)
Na aproxima¸c˜ao de campo m´edio, onde os campos mesˆonicos s˜ao descritos por
campos cl´assicos constantes, a densidade de energia por unidade de volume para um
sistema homogˆeneo de quarks u, d e s, interagindo com os campos χ e σ ´e dada por
[17, 18, 19]:
ε = α
k
u
0
d
3
k
(2π)
3
k
2
+ m
u
(σ, χ)
2
+ α
k
d
0
d
3
k
(2π)
3
k
2
+ m
d
(σ, χ)
2
+α
k
s
0
d
3
k
(2π)
3
k
2
+ m
s
(χ)
2
+ U(χ) +
m
2
σ
8f
2
π
(σ
2
− f
2
π
)
2
(1.9)
onde, por raz˜oes de paridade, os termos que dependem do valor esperado do campo
do p´ıon s˜ao nulos nesta aproxima¸c˜ao. α ´e o fator de degenerescˆencia, α = 2 (spin) ×
3 (cor) = 6, f
π
= 93 MeV e m
σ
= 1.2 GeV. Os trˆes primeiros termos da Eq. (1.9)
constituem a energia cin´etica de um g´as de f´ermions relativ´ısticos, correspondentes aos
trˆes sabores de quarks e, como estamos tratando de um sistema infinito e homogˆeneo,
os mesmos s˜ao descritos por ondas planas. Os dois ´ultimos termos correspondem a
energia potencial dos campos mesˆonicos.
Os momentos de fermi de cada quark (k
i
) se relacionam com suas densidades
(ρ
i
) atrav´es de:
ρ
i
= α
k
3
i
6π
2
=
k
3
i
π
2
(1.10)
CAP
´
ITULO 1. O MODELO CROMODIEL
´
ETRICO 14
onde i = u, d e s.
Devido as intera¸c˜oes m´eson-quark , descritas nas Eqs. (1.5) e (1.8), as massas
dinˆamicas dos quarks s˜ao todas elas diferentes [35] e dadas por
m
u
(σ, χ) =
g
u
σ
χf
π
, m
d
(σ, χ) =
g
d
σ
χf
π
, m
s
(χ) =
g
s
χ
. (1.11)
As constantes de acoplamento dos quarks u, d e s s˜ao respectivamente
g
u
= g(f
π
+ ξ
3
) , g
d
= g(f
π
− ξ
3
) , g
s
= g(2f
K
− f
π
) (1.12)
onde ξ
3
= -0.75 MeV e f
K
= 113 MeV. Os parˆametros que melhor reproduzem as
propriedades do nucleon neste modelo s˜ao a constante de acoplamento g = 0.023 GeV
e a massa do campo χ dada por m
χ
= 1.7 GeV [16, 18], como veremos no pr´oximo
cap´ıtulo ao estudar a estabilidade da mat´eria de quarks variaremos um pouco o valor da
constante de acoplamento. O parˆametro γ ser´a fixado em 0.2, pois como mostrado em
estudos anteriores da mat´eria de quarks neste modelo ele afeta muito pouco a equa¸c˜ao
de estado a altas densidades [16, 17] e os valores para o parˆametro
η
ser˜ao discutidos
no pr´oximo cap´ıtulo. Por fim, no caso da mat´eria estranha em que consideramos o
equil´ıbrio β, faz-se tamb´em necess´ario a inclus˜ao de um g´as relativ´ıstico de el´etrons
livres [17, 19] na express˜ao da densidade de energia Eq. (1.9).
1.1 Equa¸c˜oes de autoconsistˆencia para os campos
Munidos da densidade de energia (Eq. (1.9)) aplicaremos nesta o princ´ıpio
variacional em rela¸c˜ao os campos mesˆonicos σ e χ, no qual encontraremos duas equa¸c˜oes
autoconsistentes, tamb´em chamadas de Equa¸c˜oes de Gap.
Antes de calcularmos tais equa¸c˜oes, iremos definir:
I
i
=
k
i
0
k
2
dk
k
2
+ m
i
(σ, χ)
2
(1.13)
onde i = u e d, e tamb´em:
I
s
=
k
s
0
k
2
dk
k
2
+ m
s
(χ)
2
(1.14)
simplesmente por simplifica¸c˜ao de nota¸c˜ao futura. As massas dos quarks m
i
, s˜ao dadas
pela Eq. (1.11).
CAP
´
ITULO 1. O MODELO CROMODIEL
´
ETRICO 15
A primeira equa¸c˜ao autoconsistente, que obtemos ao fazer
∂ε
∂σ
= 0, ´e dada por:
α
2π
2
I
u
g
u
χf
π
2
σ + I
d
g
d
χf
π
2
σ
+
m
2
σ
(σ
2
− f
2
π
)σ
2f
2
π
= 0 (1.15)
onde utilizamos a simetria esf´erica (d
3
k = 4πk
2
dk), a Eq. (1.13) e as duas primeiras
Eqs. de (1.11).
Esta primeira equa¸c˜ao autoconsistente pode ser reescrita de uma forma mais
simples como:
α(g
2
u
I
u
+ g
2
d
I
d
) + (πχm
σ
)
2
(σ
2
− f
2
π
) = 0 (1.16)
onde as constantes de acoplamento g
u
e g
d
s˜ao dadas pelas duas primeiras equa¸c˜oes de
(1.12). Como vemos esta equa¸c˜ao depende ao mesmo tempo de σ e de χ e necessita
ser resolvida para cada momento de fermi k
i
.
Analogamente, a segunda equa¸c˜ao autoconsistente surge ao minimizar a densi-
dade de energia em rela¸c˜ao ao campo χ
∂ε
∂χ
= 0
e pode ser escrita como:
−
α
2π
2
1
χ
I
u
g
u
σ
χf
π
2
+ I
d
g
d
σ
χf
π
2
+ I
s
g
s
χ
2
+
∂U(χ)
∂χ
= 0 (1.17)
onde utilizamos a Eq. (1.14) e a ´ultima equa¸c˜ao de (1.11). Esta ´ultima equa¸c˜ao pode
tamb´em ser reescrita como:
σ
2
f
2
π
g
2
u
I
u
+ g
2
d
I
d
+ g
2
s
I
s
−
2π
2
χ
3
α
∂U(χ)
∂χ
= 0 (1.18)
De acordo com a Eq. (1.7) temos que a derivada do potencial U(χ) em rela¸c˜ao
ao campo χ ´e
∂U(χ)
∂χ
= m
2
χ
χ
1 +
3
2
8η
4
γ
2
− 2
χ
γm
χ
+ 2
1 −
6η
4
γ
2
χ
γm
χ
2
(1.19)
Desta forma, substituindo a Eq. (1.19) em (1.18), a segunda equa¸c˜ao autocon-
sistente pode ser simplificada numa forma mais fechada
σ
2
f
2
π
g
2
u
I
u
+ g
2
d
I
d
+ g
2
s
I
s
−
2π
2
m
2
χ
χ
4
α
×
×
1 +
3
2
8η
4
γ
2
− 2
χ
γm
χ
+ 2
1 −
6η
4
γ
2
χ
γm
χ
2
= 0 (1.20)
CAP
´
ITULO 1. O MODELO CROMODIEL
´
ETRICO 16
Esta equa¸c˜ao tamb´em depende de σ e χ. Assim, estas duas equa¸c˜oes s˜ao aco-
pladas e necessitam ser resolvidas autoconsistentemente para cada valor da densidade
de quarks.
1.2 Compara¸c˜ao com o modelo da sacola do MIT
Nesta se¸c˜ao vamos fazer a compara¸c˜ao entre os modelos CDM e o do MIT.
Primeiramente apresentaremos a equa¸c˜ao de estado (EOS) para a mat´eria de quarks
do MIT. A EOS deste modelo para a mat´eria de quarks estranho a altas densidades
´e essencialmente a EOS de um g´as ultra-relativ´ıstico, ou seja p = ε/3, visto p m,
menos o termo da energia de volume que vem da constante da sacola B .
Usando a aproxima¸c˜ao de g´as de fermi livre para um sistema homogˆeneo, a
densidade de energia, a press˜ao e a densidade bariˆonica s˜ao dadas, respectivamente,
por:
ε =
i=u,d,s
γ
i
k
i
0
d
3
k
(2π)
3
k
2
+ m
2
i
+ B (1.21)
p =
i=u,d,s
γ
i
3
k
i
0
d
3
k
(2π)
3
k
2
k
2
+ m
2
i
− B (1.22)
ρ =
i=u,d,s
γ
i
3
k
i
0
d
3
k
(2π)
3
(1.23)
onde a constante B ´e a constante da sacola e representa o deslocamento de energia
positiva por volume entre o v´acuo desconfinante e o v´acuo confinante. O fator de
degenerescˆencia ´e γ
i
= 2 (spin) × 3 (cor) e na express˜ao da densidade de b´arions ρ, o
fator 1/3 aparece por termos trˆes quarks p or b´arion.
Integrando as Eqs.(1.21), (1.22) e (1.23) e utilizando a condi¸c˜ao de simetria
esf´erica, elas podem ser escritas em express˜oes anal´ıticas como
ε =
i=u,d,s
3
4π
2
µ
i
k
i
µ
2
i
−
1
2
m
2
i
−
1
2
m
4
i
ln
µ
i
+ k
i
m
i

+ B (1.24)
p =
i=u,d,s
1
4π
2
µ
i
k
i
µ
2
i
−
5
2
m
2
i
−
3
2
m
4
i
ln
µ
i
+ k
i
m
i

− B (1.25)
ρ =
i=u,d,s
k
3
i
3π
2
(1.26)
onde o momento de fermi de cada quark k
i
´e definido em termos do potencial qu´ımico,
µ
i
=
m
2
i
+ k
2
i
. Vale a pena salientar que a constante da sacola B, sendo um escalar,
CAP
´
ITULO 1. O MODELO CROMODIEL
´
ETRICO 17
contribui positivamente para a densidade de energia mas negativamente para a press˜ao,
fazendo com que esta diminua.
Para o limite ultra-relativ´ıstico, m
i
→ 0, as Eqs. (1.24) e (1.25) tornam-se,
respectivamente:
ε =
i=u,d,s
=
3k
4
i
4π
2
+ B (1.27)
p =
i=u,d,s
=
k
4
i
4π
2
− B (1.28)
o que nos permite escrever a EOS do modelo da sacola no caso ultra-relativ´ıstico na
forma que ´e bem conhecida na literatura
p =
ε
3
−
4B
3
. (1.29)
Se compararmos a Eq. (1.9) para a densidade de energia do modelo CDM com a
Eq. (1.21) no modelo de sacola , vemos que no lugar da constante B temos os potencias
mesˆonicos em U(χ) + W (σ, π). Al´em disso, como j´a fizemos referˆencia, no modelo do
MIT as massas dos quarks s˜ao fixas e baixas enquanto que no modelo CDM elas variam
com a densidade e dependendo do valor de χ podem ser grandes.
Conforme o estudo realizado para a mat´eria de quarks em equil´ıbrio β no modelo
CDM detalhado em [17, 18, 19], ao resolver as equa¸c˜oes autoconsistentes apresentadas
na se¸c˜ao anterior a solu¸c˜ao para o campo σ aproxima-se sempre muito do valor de
f
π
para qualquer valor da densidade bariˆonica, de tal modo que a contribui¸c˜ao para
a energia proveniente do potencial tipo chap´eu mexicano (W (σ, π)) ´e essencialmente
nula. Por outro lado o campo confinante χ possui duas solu¸c˜oes est´aveis. Na primeira
solu¸c˜ao o campo χ est´a perto de zero e ´e uma fun¸c˜ao que aumenta pouco como fun¸c˜ao
da densidade (esta solu¸c˜ao ´e exatamente a mesma que a obtida para potenciais U(χ)
harmˆonicos), fazendo com que tamb´em neste caso a contribui¸c˜ao do potencial U(χ)
para a densidade de energia seja desprez´ıvel. Nesta solu¸c˜ao, nomeada no estudo apre-
sentado em [17] de solu¸c˜ao I e por n´os neste trabalho de solu¸c˜ao normal, como o valor
deste campo ´e muito pequeno as massas dos quarks s˜ao grandes (s˜ao inversamente
proporcionais a χ e na ordem de 100 a 150 MeV). Estes quarks podem ser vistos como
quarks com massas constituintes em analogia aos modelos de quarks n˜ao relativ´ısticos
e o sistema encontra-se numa fase onde a simetria quiral est´a quebrada (´e nesta solu¸c˜ao
normal que obtemos a forma¸c˜ao dos b´arions no modelo CDM). Para esta solu¸c˜ao, visto
os termos dos potenciais mesˆonicos n˜ao contribu´ırem e as massas dos quarks serem
altas, a dinˆamica obtida ´e bem diferente da do modelo de sacola.
Por outro lado j´a na outra solu¸c˜ao, χ ´e grande e constante com a varia¸c˜ao da
CAP
´
ITULO 1. O MODELO CROMODIEL
´
ETRICO 18
densidade, χ ∼ γm
χ
(perto do valor de χ no segundo m´ınimo do potencial, o m´ınimo
local). Sendo assim, o valor do potencial U(χ) para esta solu¸c˜ao ´e grande, constante
e ∼ (ηm
χ
)
4
n˜ao dependendo da densidade. Sendo constante, no caso desta solu¸c˜ao
nomeada em [17] de solu¸c˜ao II e neste trabalho de solu¸c˜ao nova, podemos identificar
o potencial confinante U(χ) com a constante B do mo delo da sacola. Finalmente,
para esta solu¸c˜ao, como a massa dinˆamica dos quarks ´e inversamente proporcional ao
campo χ, o fato de χ ser grande fornece massas muito pequenas , quase nulas para
todos os trˆes sabores de quarks, e portanto esta solu¸c˜ao corresponde `a solu¸c˜ao quiral.
Desta forma, n˜ao s´o B = U(χ) ∼ (ηm
χ
)
4
, como tamb´em o termo de energia cin´etica
do g´as de fermi no CDM ´e essencialmente idˆentico ao do modelo do MIT no limite
ultra-relativ´ıstico. Sendo assim, os resultados obtidos para a solu¸c˜ao nova s˜ao muito
similares aos obtidos no modelo do MIT com quarks sem massa [36]. Como veremos
no pr´oximo cap´ıtulo, esta identifica¸c˜ao tamb´em ser´a v´alida mesmo com a introdu¸c˜ao
do termo de emparelhamento devido `a condensa¸c˜ao dos pares quark-quark.
Cap´ıtulo 2
A fase supercondutora de cor (CFL)
Como j´a apresentamos na introdu¸c˜ao, a QCD a altas densidades, visto a in-
tera¸c˜ao entre os quarks ser atrativa pela troca de um gl ´uon, permite que os quarks
se emparelhem perto da superf´ıcie de fermi. Exatamente como na f´ısica da mat´eria
condensada, esperamos que na presen¸ca de intera¸c˜oes atrativas a superf´ıcie de fermi
seja inst´avel, o que significa que o estado fundamental n˜ao ´e trivial, ou seja t˜ao simples
assim: um estado formado apenas pelos quarks ocupando todos os n´ıveis de energia
at´e o momento de fermi (uma superf´ıcie de fermi desnuda). O verdadeiro estado fun-
damental ´e um estado formado por pares de quarks perto do n´ıvel de fermi, os pares de
Cooper, cujo nome tem sua origem na teoria de Bardeen, Cooper e Shrieffer, conhecida
na literatura pelas iniciais destes autores como teoria BCS [3]. Assim, podemos dizer
que mesmo que a propriedade da liberdade assint´otica da QCD indique que as for¸cas
entre os quarks torna-se arbitrariamente pequena conforme o momento aumenta, a
descri¸c˜ao da mat´eria a altas densidades e baixas temperaturas como sendo a de uma
superf´ıcie de fermi de quarks livres cuja dinˆamica depende essencialmente dos quarks de
momento alto que se encontram perto do n´ıvel de fermi n˜ao ´e completamente correta.
Como veremos mais adiante a instabilidade do estado fundamental, mesmo no
caso de um intera¸c˜ao atrativa muito fraca, s´o pode ser resolvida pelo surgimento de
pares. A cria¸c˜ao de um par n˜ao custa energia livre para a superf´ıcie de fermi, visto a
intera¸c˜ao atrativa entre os quarks resultar na diminui¸c˜ao da energia livre. A energia
necess´aria para a forma¸c˜ao desses pares, normalmente denominada na literatura de
energia do gap ∆ pode ser identificada, como ficar´a mais claro em seguida, com a massa
de uma quasi-part´ıcula, os pares de Cooper quark-quark. Como a intera¸c˜ao atrativa
favorece a forma¸c˜ao destes pares de f´ermions, que ser˜ao criados perto da superf´ıcie
de fermi, e como s˜ao b´osons formar˜ao um condensado quebrando esp ontaneamente as
simetrias da QCD.
Como veremos nesta se¸c˜ao a QCD a alt´ıssimas densidades, com trˆes cores e
19
CAP
´
ITULO 2. A FASE SUPERCONDUTORA DE COR (CFL) 20
trˆes sabores, possui um estado fundamental com uma energia menor que a do estado
fundamental trivial, onde todos os graus de liberdade de cor e sabor adquirem gaps.
A simetria de cor e quiral s˜ao quebradas, os quarks e gl´uons adquirem massa e novos
modos coletivos sem massa (b´osons de Nambu-Goldstone) aparecem . Como os pares,
no caso de 3 cores, n˜ao podem ser singletos de cor, o condensado quebrar´a a simetria
SU(3)
cor
: este fenˆomeno ´e chamado de supercondutividade de cor. Esta hip´otese de
emparelhamento na QCD foi de fato proposta h´a mais de 20 anos por Bailin e Love
[1, 2], mas s´o recentemente estudos mais detalhados foram feitos deste emparelhamento
e das fases supercondutoras da QCD, essencialmente por Wilczek, Alford and Rajagopal
onde bons artigos de revis˜ao destes autores podem ser encontrados em [4, 5].
Vamos aqui mostrar como estimar a energia do gap dos pares de quarks na vers˜ao
da QCD apenas com dois sabores, quarks u e d e 3 cores no limite de acoplamento
fraco (altas densidades) [6]. Nesta fase conhecida na literatura como 2SC, a ´algebra e
os c´alculos s˜ao mais simples e mostram os passos necess´arios para se calcular o valor
da energia do gap ∆. Depois apresentaremos as principais diferen¸cas ao incluir o quark
estranho e explicaremos a origem do nome fase fechada de cor e sabor (a fase CFL que
significa em inglˆes color-flavor-locked) [7]. Esta fase CFL supercondutora da mat´eria
de quarks estranha ´e esperada a altas densidades onde o potencial qu´ımico ´e bem maior
que a massa do quark estranho [8].
Escolhendo um Hamiltoniano com uma intera¸c˜ao pontual de quatro f´ermions
(que tem sua origem no v´ertice de instantons) e que respeita as simetrias quiral e
de cor da QCD, Alford, Rajagopal e Wilczek acharam uma instabilidade BCS [6].
Com esta intera¸c˜ao efetiva semelhante `a do modelo de Nambu Jona-Las´ınio (NJL), um
condensado n˜ao nulo pode existir e possui a forma:
Gq
α
i
Cγ
5
q
β
j
=
ij
αβ3
∆ (2.1)
onde G ´e a constante de acoplamento, C = iγ
0
γ
2
, os ´ındices latinos referem-se aos
sabores e os gregos `as cores e ∆ no lado direito ´e o parˆametro do energia do gap. A
escolha da dire¸c˜ao privilegiada ”3”no espa¸co de cor (a cor azul) ´e arbitr´aria. Existe
claramente uma assimetria entre as duas cores ativas (vermelho e verde) que participam
na condensa¸c˜ao e a terceira (azul) que n˜ao participa neste processo. Esta assimetria ´e
inevit´avel neste caso que envolve apenas dois sabores de quarks leves devido `a diferen¸ca
entre o n´umero de cores e o n´umero de sabores.
Para calcularmos nesta fase 2SC a energia do condensado (o gap) da Eq. (2.1)
usamos a energia livre do tipo NJL dada por:
Ω =
d
3
x
¯
ψ(x)(∇/ − µγ
0
)ψ(x) + H
I
(2.2)
CAP
´
ITULO 2. A FASE SUPERCONDUTORA DE COR (CFL) 21
onde a Hamiltoniana de intera¸c˜ao,
H
I
=
3
8
G
d
3
x F
¯
ψ(x)γ
µ
T
A
ψ(x)
¯
ψ(x)γ
µ
T
A
ψ(x)
(2.3)
descreve a intera¸c˜ao entre quatro f´ermions com a estrutura, cor e sabor gerada p ela
troca de um gl´uon e onde T
A
representam os geradores do grupo SU(3)
cor
(proporci-
onais `as matrizes de Gellman). Na QCD real´ıstica a intera¸c˜ao torna-se fraca a altos
momentos e por isso introduzimos um fator de forma F. Usando um c´alculo variacional
neste Hamiltoniano, mostramos no apˆendice (A) como obter a equa¸c˜ao do gap. Neste
c´alculo usamos a forma mais simples para este fator de forma (uma fun¸c˜ao degrau)
F =
1 para p < Λ
0 para p > Λ
(2.4)
onde o parˆametro de corte Λ ter´a que ser definido. Outras formas para F como uma
fun¸c˜ao degrau mais suave ou com uma forma de lei de potˆencias tamb´em foram usadas
na literatura [6, 7].
Partindo desta Hamiltoniana e usando um ansatz BCS para a fun¸c˜ao de onda
do estado fundamental mostramos nesse apˆendice que a equa¸c˜ao do gap ∆ ´e dada por:
1 =
2G
V
p
1
(|p| − µ)
2
+ ∆
2
+
1
(|p| + µ)
2
+ ∆
2
(2.5)
O primeiro termo do lado direito da Eq. (2.5) conduz a uma divergˆencia lo-
gar´ıtmica na superf´ıcie de fermi se ∆ for pequeno. Este termo ´e a contribui¸c˜ao da
equa¸c˜ao de gap para o par part´ıcula-buraco (o quasi-quark no nosso caso), e a di-
vergˆencia logar´ıtmica ´e a manifesta¸c˜ao da instabilidade BCS, j´a referida anteriormente.
Por causa da divergˆencia do lado direito para ∆ → 0, deve haver uma solu¸c˜ao para a
equa¸c˜ao de gap com ∆ = 0 mesmo para valores pequenos da constante de acoplamento
G. Para isso basta que G seja positivo (atrativo), visto o lado direito desta equa¸c˜ao
ter que ser positivo. O segundo termo, com (|p|+ µ) no denominador, ´e a contribui¸c˜ao
das antipart´ıculas. Vale a pena salientar que a contribui¸c˜ao das antipart´ıculas para a
equa¸c˜ao de gap ´e p equena pois o seu denominador j´a ´e sempre maior que µ.
Para um sistema infinito pode-se escrever:
1
V
p
=
d
3
p
(2π)
3
CAP
´
ITULO 2. A FASE SUPERCONDUTORA DE COR (CFL) 22
Desta maneira a Eq. (2.5), pode ser reescrita como:
∆ = 2G
d
3
p
(2π)
3
∆
(|p| − µ)
2
+ ∆
2
+
∆
(|p| + µ)
2
+ ∆
2
(2.6)
A Eq. (2.6) ´e a vers˜ao integral da Eq. (2.5) mas multiplicada por ∆ apenas
porque a usaremos em seguida nessa forma para obter a energia livre.
Usando a fun¸c˜ao de onda dada no apˆendice (A) para o valor de ∆ que ´e solu¸c˜ao
da equa¸c˜ao do gap (Eq. (2.5)), obtemos a rela¸c˜ao de disp ers˜ao para a quasi-part´ıcula
formada pelo di-quark
E(p) =
(|p| − µ)
2
+ ∆
2
(2.7)
Nesta rela¸c˜ao E ´e a energia necess´aria para remover o par de quarks. Esta
equa¸c˜ao mostra que ∆ ´e o gap no espectro de excita¸c˜ao fermiˆonico exatamente como
na teoria da supercondutividade da mat´eria condensada: a energia exigida para formar
uma excita¸c˜ao part´ıcula-buraco ´e no m´ınimo igual a 2∆ [3]. Assim, o par de Cooper
de spin 0 para os quarks leves condensa e tem a forma (ud − du) pois ´e um singleto
quiral que ´e antisim´etrico na troca de sabor e na troca de cor pois est´a no estado
¯
3 que
´e o canal atrativo na intera¸c˜ao de troca de um gl´uon. Devido `a condensa¸c˜ao, os pares
de quarks com cor vermelha e verde adquirem um gap ∆ que ´e a massa das excita¸c˜oes
em torno da superf´ıcie de fermi (quasi-quarks) mas os quarks de cor azul n˜ao adquirem
massa (pela nossa escolha da dire¸c˜ao ”3” no espa¸co de cor).
Como mostramos no apˆendice (A) a energia do gap ´e exatamente o valor do
condensado multiplicado pela constante de acoplamento G. No limite de acoplamento
fraco previsto para altas densidades, onde o valor de G ´e pequeno (e consequentemente
∆ tamb´em) podemos integrar analiticamente a Eq. (2.5) e expandir a solu¸c˜ao para
∆ µ, Λ. Neste caso conseguimos obter uma express˜ao simples para a energia do gap,
v´alida apenas para o caso de acoplamento fraco [4]
∆ = 2
Λ
2
− µ
2
exp
Λ
2
− 3µ
2
2µ
2
exp
−
π
2
2µ
2
G
(2.8)
Nesta express˜ao os termos que s˜ao fun¸c˜ao de Λ dependem de modelo, especi-
ficamente do fator de forma F escolhido, mas na ´ultima exponencial o fator 2(µ/π)
2
que multiplica a constante de acoplamento G ´e universal, ´e a densidade de estados
exatamente como previsto pela teoria BCS [3] para os quarks u e d com cores vermelho
e verde.
Para obter a contribui¸c˜ao da energia de emparelhamento para a energia livre
CAP
´
ITULO 2. A FASE SUPERCONDUTORA DE COR (CFL) 23
podemos calcular o valor esperado de Ω na fun¸c˜ao de onda BCS obtida pelo princ´ıpio
variacional, com o valor de ∆ que ´e solu¸c˜ao da Eq. (2.5). Uma outra alternativa ´e
usar o fato de que a equa¸c˜ao Eq. (2.6) deve ser entendida como vindo de um principio
de minimiza¸c˜ao, ou seja de que a energia livre tem que ser estacion´aria em rela¸c˜ao ao
parˆametro do gap,
∂Ω
∂∆
= 0. Assim, se integrarmos a equa¸c˜ao do gap em rela¸c˜ao a ∆ a
energia livre Ω pode ser escrita da forma
Ω = Ω
livre
+ V
∆
solucao
0
d∆
−
∆
2G
+
d
3
p
(2π)
3
integrando
(2.9)
onde o “integrando” ´e exatamente o mesmo que o do lado direito da equa¸c˜ao Eq. (2.6)
e ∆
solucao
´e o valor de ∆ que ´e solu¸c˜ao dessa equa¸c˜ao. Ω
livre
´e a express˜ao usual para a
energia livre de f´ermions n˜ao-interagentes (livres).
A contribui¸c˜ao do emparelhamento para a energia livre pode ser obtida exa-
tamente no limite de acoplamento fraco onde ∆ ´e dado pela Eq. ( 2.8). Integrando
explicitamente a Eq. (2.9) no limite em que G → 0 (o que significa considerar que
∆ µ, Λ) e depois usando a express˜ao de ∆ neste limite, dada pela Eq. (2.8), para
eliminar G, obtemos [4]
Ω − Ω
livre
V
= −
∆µ
π
2
(2.10)
Este resultado mostra que desapareceram a constante G e o parˆametro de corte
Λ que s˜ao dependentes de modelo e que apenas o observ´avel f´ısico , a energia do gap ∆,
permaneceu. Assim, ´e razo´avel aceitar que caso este c´alculo tivesse sido feito mesmo
na QCD no limite de acoplamento fraco e tiv´essemos obtido o valor do gap, o resultado
obtido acima para a energia de condensa¸c˜ao no limite assint´otico deveria ser v´alido (a
menos de algum prefator num´erico).
Finalmente para estimarmos o valor num´erico de ∆ necessitamos fixar a cons-
tante G e o parˆametro de corte Λ. Isto ´e feito calculando o gap do v´acuo quiral que gera
a massa dinˆamica M (massa constituinte) dos quarks, exatamente como no modelo de
NJL [26, 27]. A express˜ao do v´acuo quiral ´e dada por
1 =
8G
V
p
1
|p|
2
+ M
2
(2.11)
e que ´e obtida exatamente no mesmo modo que a nossa equa¸c˜ao do gap supercondu-
tor, por um c´alculo variacional, mas trabalhando agora no v´acuo (µ = 0). Um estudo
recente e bem completo da quebra espontˆanea da simetria quiral e das fases super-
condutora no modelo de Nambu foi feito por Buballa [37]. Este gap quiral M quebra
a simetria quiral esp ontaneamente, devido a que os pares agora de quark-antiquark
CAP
´
ITULO 2. A FASE SUPERCONDUTORA DE COR (CFL) 24
condensam. Neste caso n˜ao h´a instabilidade BCS quando M → 0 pois µ = 0 [38].
Portanto, agora tem que existir um valor m´ınimo para a constante de acoplamento,
um G
crit
na Eq. (2.11), para que M e portanto o condensado quiral sejam n˜ao nulos.
Escolhendo para massa dos quarks M = 400 MeV e Λ = 800 MeV (valores padr˜ao do
modelo de Nambu) a constante G esta fixada pela Eq. (2.11). Resolvendo a nossa
equa¸c˜ao do gap supercondutor Eq. (2.5) com esse G , encontramos que ∆ ∼ 100 MeV
para µ = 400 MeV e ∆ ∼ 150 MeV para µ = 500 MeV . Variando o parˆametro de
corte e usando um fator de forma F mais suave ou mais duro (uma fun¸c˜ao que seja
uma lei de potˆencias por exemplo) os resultados para ∆ n˜ao variam muito e com a
inclus˜ao de instantons este parˆametro pode chegar a ser maior na ordem de 200 MeV.
Como veremos em seguida, na fase CFL onde consideramos o quark estranho, o valor
previsto para ∆ permanece nesta ordem de grandeza, justificando os valores para ∆ de
100 e 150 MeV usados por n´os no pr´oximo cap´ıtulo para obter nossos resultados.
Como vimos at´e agora a supercondutividade de cor depende essencialmente dos
quarks perto da superf´ıcie de fermi. Como estamos interessados em altas densidades
onde o p otencial qu´ımico µ ∼ 400 a 500 MeV, bem maior que a massa m
s
do quark
estranho, n˜ao podemos deixar de considerar este sabor de quark. Al´em disso, devido `a
restaura¸c˜ao quiral com a diminui¸c˜ao do condensado s¯s a massa m
s
´e esperada que seja
bem pequena. Assim, vamos considerar primeiramente o caso em que as massas dos
quarks u, d, s s˜ao nulas e c, b e t s˜ao infinitamente grandes. A inclus˜ao de mais um
sabor de quark faz com que agora os pares de Cooper n˜ao possam mais ser singletos de
sabor como era o caso da fase 2SC explicada anteriormente. Assim, enquanto que na
fase 2SC a simetria quiral n˜ao foi quebrada, agora com 3 sabores n˜ao s´o a simetria local
de gauge referente ao espa¸co da cor SU(3)
cor
´e quebrada mas tamb´em a simetria global
quiral SU(3)
L
×SU(3)
R
. Assim tanto a simetria de cor como a de sabor s˜ao quebradas
o que torna a f´ısica neste caso muito mais rica como veremos em seguida. Vale a pena
aqui salientar que como consequˆencia do fechamento entre cor-sabor nesta fase CFL a
simetria quiral est´a quebrada espontaneamente mesmo a altas densidades em contraste
com a j´a bem estabelecida restaura¸c˜ao da simetria quiral a altas temperaturas.
A troca de um gl´uon ´e atrativa se os quarks s˜ao antisim´etricos na cor e o par,
portanto, est´a no canal
¯
3. No caso de acoplamento fraco, esta intera¸c˜ao domina e como
j´a fizemos referˆencia anteriormente no caso 2SC isto garante a condensa¸c˜ao no canal
¯
3. A intera¸c˜ao instanton tamb´em ´e atrativa no canal
¯
3 o que favorece ainda mais a
condensa¸c˜ao.
Neste canal a forma do condensado ´e dada por:
ψ
aα
iL
(p)ψ
bβ
jL
(−p)
ab
= −ψ(p)
aα
iR
ψ
bβ
jR
(−p)
ab
= ∆(p
2
)
αβA
ijA
(2.12)
CAP
´
ITULO 2. A FASE SUPERCONDUTORA DE COR (CFL) 25
onde (α, β), (i, j) e (a, b) s˜ao, respectivamente, os ´ındices de cor, sabor e spin. O
´ındice A ´e somado e portanto une a cor e o sabor. Aqui estamos usando a nota¸c˜ao
de spinor com duas componentes e o ´ındice L significa m˜ao esquerda e R m˜ao direita.
A importante informa¸c˜ao fornecida pelos spinores ´e que o condensado n˜ao viola a
invariˆancia de rota¸c˜ao. O sinal de menos relativo ao condensado de helicidade direita e
esquerda significa que o estado fundamental ´e um escalar, consequentemente a paridade
n˜ao ´e quebrada
1
.
Agora podemos explicar o termo CFL “Color-Flavor-Locking”. Escrevendo:
αβA
abA
= δ
α
a
δ
β
b
− δ
α
b
δ
β
a
o condensado da Eq. (2.12) apresenta uma dependˆencia com as fun¸c˜oes delta de Kro-
necker que relacionam os ´ındices de cor e sabor. Estes condensados n˜ao s˜ao invariantes
separadamente por transforma¸c˜oes de cor SU(3)
cor
ou de sabor SU(3)
L,R
. Agora, de-
vido as fun¸c˜oes delta, o condensado ´e sim´etrico se rodarmos simultaneamente, a cor e
o sabor. Num modo mais t´ecnico, por exemplo para o caso de spinores m˜ao esquerda,
o grupo de rota¸c˜oes de sabor SU(3)
L
fecha (esta ligado) com o grupo de rota¸c˜oes no
espa¸co da cor SU(3)
cor
, no sentido de que o condensado necessita tamb´em rodar no
espa¸co de cor de tal modo que ele s´o ´e invariante pela transforma¸c˜ao simultˆanea de
rota¸c˜oes SU(3)
L+cor
(no caso de spinores m˜ao de direita temos o mesmo fenˆomeno
tendo agora que considerar o grupo de rota¸c˜oes de sabor SU(3)
R
). Assim estas duas
simetrias est˜ao fechadas nesta fase, mas separadamente tanto a simetria de cor como de
sabor (quiral) est˜ao quebradas. interessante que todas as simetrias est˜ao quebradas
na fase CFL da mat´eria de quarks do mesmo modo que na fase hadrˆonica, ou seja
na mat´eria bariˆonica na presen¸ca de condensados de pares de b´arions (a dualidade
quark-h´adron discutida inicialmente em [9]) . Assim, pode ser que a fase CFL possa se
conectar continuamente com a mat´eria bariˆonica. No caso da fase 2SC, onde a simetria
quiral n˜ao est´a quebrada, a transi¸c˜ao entre esta fase e a mat´eria bariˆonica dever´a ser
mais abrupta e, o mais certo, de primeira ordem.
Nesta fase, todos os 3 sabores e 3 cores participam da condensa¸c˜ao. Os pares
de Cooper u −d, d −s e u −s formam-se, de tal modo que todos os 9 quarks adquirem
um gap (uma massa). A quebra da simetria de cor, via o mecanismo de Higgs, faz
com que tamb´em os 8 gl´uons adquiram massa. Al´em disso, temos o aparecimento
de 8 b´osons de Nambu-Goldstone sem massa devido `a quebra espontˆanea da simetria
1
De fato a condensa¸c˜ao no canal
¯
3 induz um condensado tamb´em no canal
¯
6 [7], embora este
novo condensado n˜ao seja muito favorecido energeticamente visto a intera¸c˜ao de troca de um gl´uon
ser repulsiva neste caso. Assim o condensado mais geral na fase CFL depende de duas fun¸c˜oes κ
1
e κ
2
sendo proporcional a
ab
(κ
1
(p
2
)δ
α
i
δ
β
j
+ κ
2
(p
2
)δ
α
j
δ
β
i
). O condensado puro no canal
¯
3 escrito na
Eq. (2.12) ´e o caso mais simples onde κ
2
= −κ
1
, o que ´e razo´avel pois este canal domina no limite
assint´otico de densidades em que estamos interessados [7, 8].
CAP
´
ITULO 2. A FASE SUPERCONDUTORA DE COR (CFL) 26
q
L
q
R
hyper−
nuclear
matter
color
q q
R R
q
L
q
L
L R
150
MeV
potential
chemical
Quark
superconducting
deconfined
confined
U(1)
V
SU(3)
SU(3)
V
Restoration of global symmetry
B
U(1)
Temperature
SU(3)
A
SU(3)
A
U(1)
U(1)SU(3) SU(3)
Figura 2.1: Diagrama de fase para trˆes sabores de quarks sem massa, conforme [5].
quiral (exatamente como o octeto mesˆonico pseudo-escalar a baixas energias). Temos
tamb´em a viola¸c˜ao do n´umero bariˆonico U(1) o que produz mais um b´oson de Nambu-
Goldstone. 0s dois mecanismos de quebra de simetria onde o estado fundamental
n˜ao tem a simetria da hamiltoniana est˜ao presentes na fase CFL: a local de gauge,
de cor, (mecanismo de Higgs) e a global, a quiral, (mecanismo de Nambu-Goldstone)
produzindo todo esse espectro de excita¸c˜oes e alguns novos fenˆomenos [7, 8, 42].
Apresentamos na Fig. (2.1) o diagrama de fase previsto para mat´eria no caso de
3 sabores de quarks sem massa. A altas densidades e baixas temperaturas temos a fase
CFL supercondutora. Ao aumentar a temperatura temos a restaura¸c˜ao da simetria
quiral e os quarks continuam desconfinados, que ´e a fase do plasma de quarks e gl´uons.
A baixas temperaturas e ao diminuir a densidade temos o surgimento de uma mat´eria
hiperˆonica, onde as simetrias s˜ao as mesmas da fase CFL e por isso pode ser que
n˜ao exista nenhuma transi¸c˜ao de fase entre estes dois regimes (n˜ao h´a uma linha no
diagrama T ×µ entre estas duas fases). A ´unica diferen¸ca entre estes dois regimes ´e o
desconfinamento. Como j´a fizemos referˆencia antes, isto ´e conhecido como dualidade
quark-h´adron ou continuidade quark-h´adron [9]. Como o momento de fermi ´e muito
alto, a superf´ıcie de fermi dos hiperons e dos nucleons ´e essencialmente a mesma e pares
de p(n)-h´ıperons ou mesmo apenas h´ıperon-h´ıperon podem ser criados, fazendo com
que devido `a existˆencia destes condensados a simetria quiral continue quebrada como
CAP
´
ITULO 2. A FASE SUPERCONDUTORA DE COR (CFL) 27
na fase CFL. Na realidade, ´e poss´ıvel escrever o espectro de part´ıculas continuamente
da mat´eria hipernuclear para a mat´eria de quarks CFL [ 8 , 9]. Os p´ıons tornam-se o
octeto pseudoescalar dos b´osons de Nambu-Goldstone, os m´eson vetoriais convertem-se
para os gl´uons massivos e os b´arions para os quarks. Portanto, considerando apenas o
espectro de excita¸c˜oes, os dois regimes da mat´eria hipernuclear-CFL s˜ao indistingu´ıveis.
Diminuindo mais o potencial qu´ımico (a densidade) aparece a mat´eria nuclear onde a
simetria quiral est´a quebrada agora pelo condensado quiral < q¯q > = 0 e a estranheza
e o n´umero bariˆonico U(1) s˜ao conservadas.
Vale a pena aqui fazer referˆencia que no mundo real a massa do quark estranho
n˜ao ´e nula e os efeitos deste fato alteram um pouco o diagrama de fase anterior previsto
para quarks sem massa. Conforme descrito em [5, 7] ao aumentar a massa do quarks
estranho m
s
na fase CFL, os condensados us e ds devem se anular (a diferen¸ca entre os
n´ıveis de fermi dos quarks leves com do estranho ´e grande) para um dado valor cr´ıtico
de m
s
e, neste caso, ter´ıamos uma fase quiral restaurada SU(2)
L
× SU(2)
R
, apenas
para os quarks leves (mas continuando com 3 sabores) n˜ao existindo mais o fechamento
da cor-sabor (conhecida como fase 2SC+s unlocked para m
s
= 0 e discutida em [8]).
No caso de m
s
ser muito grande de tal modo que µ < m
s
, n˜ao ´e poss´ıvel criar quarks
estranhos e ai ter´ıamos a uma transi¸c˜ao dessa fase quiral para a fase supercondutora
2SC s´o com dois sabores descrita anteriormente, onde a estranheza U(1)
S
´e conservada
pois n˜ao temos mais quarks estranhos. Esta discuss˜ao fica mais clara no diagrama
de fase de m
s
× µ. Esse diagrama est´a representado na Fig. (2.2), onde µ
o
∼ 300
MeV ´e o potencial qu´ımico de quarks referente `a mat´eria nuclear [5, 8]. Ao baixar o
potencial qu´ımico para perto de µ
o
temos a continuidade quark-h´adron j´a discutida,
onde surge uma pequena regi˜ao com a mat´eria hipernuclear onde a estranheza est´a
quebrada e para valores ainda menores de µ temos a usual mat´eria nuclear onde a
simetria U(1)
S
da estranheza ´e restaurada (n˜ao h´a b´arions estranhos) e a simetria
quiral SU(2)
L
× SU(2)
R
da fase 2SC est´a quebrada.
Neste nosso trabalho, como veremos no cap´ıtulo (3), as massas dinˆamicas dos
quarks u, d e s obtidos no modelo CDM na solu¸c˜ao para altas densidades s˜ao quase
nulas. Assim, vamos trabalhar na vers˜ao CFL com quarks sem massa. Neste caso,
como a forma do condensado CFL dado na Eq. (2.12) tem a mesma forma que no caso
da fase 2SC Eq. (2.1), a menos da cor que n˜ao condensa neste caso, o c´alculo para
a energia do gap, a equa¸c˜ao de gap, ´e o mesmo e a contribui¸c˜ao do emparelhamento
para energia livre tamb´em. A ´unica diferen¸ca ´e que temos agora trˆes tipos de pares de
quarks: u −d (como na fase 2SC), u −s e d −s o que faz com que o termo na energia
livre devido ao emparelhamento no limite de acoplamento fraco, na fase CFL seja
CAP
´
ITULO 2. A FASE SUPERCONDUTORA DE COR (CFL) 28
µ
V
µ
o
m
s
µ
m
s
cont
2SC +s
SU(2) SU(2)
L R
CFL
SU(2)
+CV
2SC
nuclear
SU(2)
U(1)
vacuum
U(1)
S
SU(2) SU(2)
RL
V
U(1)
S
S
strange
hadronic
Figura 2.2: Diagrama de fase para 2+1 sabores `a T = 0, conforme [5].
Ω
CF L
− Ω
livre
V
= −3
∆µ
π
2
. (2.13)
Este resultado mostra claramente que a fase CFL ´e favorecida em rela¸c˜ao `a fase
2SC, visto ter uma energia livre menor.
Na fase CFL o momento de cada quark tem que ser o mesmo, para que a
energia livre da fase CFL seja m´ınima, no sentido de favorecer a maior forma¸c˜ao de
pares (mesmo no caso de que os quarks tenham massa) [39]. Deste modo, devido
`as respectivas cargas dos quarks u, d e s a fase CFL ´e eletricamente neutra. Como
´e discutido nesse trabalho, a fase CFL funciona como um isolante e n˜ao permite a
presen¸ca de el´etrons. Recentemente, foi considerada a possibilidade de que os b´osons
de Nambu-Goldstone, que aparecem na fase CFL, condensem. Se o potencial qu´ımico
dos el´etrons for n˜ao nulo e maior que a massa do π
−
um condensado de p´ıons pode surgir
e como µ
e
= 0 teremos tamb´em um n´umero de el´etrons na fase CFL, tornando a fase
CFL carregada. Neste trabalho, os resultados mostram que esta carga ´e pequena na
fase CFL. Ao considerar esta condensa¸c˜ao de p´ıons (a contribui¸c˜ao de um condensado
de kaons ´e muito pequena [40]) temos que incluir novos termos na express˜ao da energia
livre da fase CFL devido `a contribui¸c˜ao destes b´osons (negativa) e `a dos el´etrons
(positiva) [41]. Ambos estes termos s˜ao proporcionais µ
e
e portanto no caso de µ
e
=0
n˜ao contribuem. Neste nosso trabalho vamos trabalhar com a express˜ao da energia
livre vinda apenas dos quarks (Eq.(2.13)) assumindo µ
e
= 0 (sem el´etrons) de acordo
com [39].
CAP
´
ITULO 2. A FASE SUPERCONDUTORA DE COR (CFL) 29
2.1 Modelo CDM na fase CFL
Nesta se¸c˜ao vamos apresentar o modelo Cromodiel´etrico na fase CFL, intro-
duzindo o termo de emparelhamento atrativo −3(
∆µ
π
)
2
que diminui a energia livre
conforme a discuss˜ao da se¸c˜ao anterior, e como ∆ apresenta uma pequena dependˆencia
com µ no caso de altas densidades (µ entre 400 a 500 MeV), vamos considerar a ener-
gia do gap constante. Mesmo que este novo termo n˜ao tenha sido derivado no modelo
CDM, a sua dedu¸c˜ao vem da QCD de uma maneira efetiva, ao linearizar (aproxima¸c˜ao
de campo m´edio) a intera¸c˜ao de quatro f´ermions que no modelo CDM est´a presente de
um certo modo no termo de intera¸c˜ao m´eson-quark. Como foi mostrado em [17, 18],
no regime de altas densidades a EOS obtida pela solu¸c˜ao nova no modelo CDM ´e es-
sencialmente a obtida pela QCD numa expans˜ao perturbativa [36], o que justifica a
introdu¸c˜ao do termo de emparelhamento no modelo cromodiel´etrico. Um estudo da
fase supercondutora CFL no modelo do MIT foi realizado em [43], onde esse termo
de emparelhamento foi tamb´em inclu´ıdo na energia livre no modelo de sacola. Como
no trabalho realizado no modelo do MIT, vamos considerar que a energia do gap a
altas densidades varia pouco com o potencial qu´ımico µ e pode ser tratada como um
parˆametro fixo que n˜ao varia com a densidade.
Da termodinˆamica sabemos que, no caso de sistemas cuja temperatura ´e zero,
o gran-potencial dividido pelo volume do sistema, ´e dado por:
Ω = ε − µρ (2.14)
onde ε ´e a densidade de energia, µ ´e o potencial qu´ımico e ρ ´e a densidade de part´ıculas.
Seguindo os mesmos passos desenvolvidos em [43] para o caso do modelo de
MIT, o gran-potencial do modelo CDM na fase supercondutora de cor (CFL), ´e dado
por
Ω
CF L
= α
i=u,d,s
k
i
0
d
3
k
(2π)
3
k
2
+ m
2
i
− µ
i
− 3
∆µ
π
2
+ U(χ) + W (σ, π) (2.15)
onde a massa dos quarks m
i
´e dado pela Eq. (1.11), U(χ) pela Eq. (1.7) e W (σ, π)
pela Eq. (1.4). Conforme discutido anteriormente o termo U(χ) + W (σ, π) pode ser
identificado com a constante da sacola B do modelo do MIT.
Utilizando α = 6 e a simetria esf´erica, a Eq. (2.15) torna-se:
Ω
CF L
=
3
π
2
i=u,d,s
k
i
0
k
2
k
2
+ m
2
i
− µ
i
dk − 3
∆µ
π
2
+ U(χ) + W (σ, π) (2.16)
CAP
´
ITULO 2. A FASE SUPERCONDUTORA DE COR (CFL) 30
que pode ser escrita como:
Ω
CF L
= ε
k
−
1
π
2
i=u,d,s
µ
i
k
3
i
− 3
∆µ
π
2
+ U(χ) + W (σ, π) (2.17)
onde
ε
k
=
3
π
2
i=u,d,s
k
i
0
k
2
(k
2
+ m
2
i
)
dk (2.18)
´e a energia cin´etica do g´as de quarks relativ´ıstico.
Substituindo (2.17) em (2.14), para os quarks u, d e s, a densidade de energia ´e
dada por:
ε = ε
k
−
1
π
2
i=u,d,s
µ
i
k
3
i
− 3
∆µ
π
2
+ U(χ) + W (σ, π) +
i=u,d,s
µ
i
ρ
i
(2.19)
Na fase CFL, conforme discutido anteriormente e para garantir a neutralidade
de carga, os momentos de fermi (k
i
=
µ
2
i
− m
2
i
) de todos os quarks s˜ao iguais, ou
seja:
k
f
= k
u
= k
d
= k
s
= 2µ −
µ
2
+
m
2
s
3
(2.20)
onde definimos o potencial qu´ımico µ dos quarks por
3µ =
i=u,d,s
µ
i
(2.21)
e consideramos que as massas dos quarks u e d s˜ao muito pequenas.
Derivando o gran-potencial dado pela Eq. (2.17) em rela¸c˜ao ao potencial qu´ımico,
sabendo que todos os quarks possuem o mesmo momento de fermi e usando a Eq.
(2.21), obtemos que a densidade dos quarks u, d e s na fase CFL ´e a mesma, fazendo
com que a densidade bariˆonica ρ seja dada por:
ρ = ρ
u
= ρ
d
= ρ
s
=
1
π
2
(k
3
f
+ 2∆
2
µ) (2.22)
Vale a pena salientar que como o termo de emparelhamento na Eq. (2.17)
depende do potencial qu´ımico, a densidade bariˆonica na fase CFL depende tamb´em do
valor da constante de emparelhamento ∆ e n˜ao s´o de k
3
f
. Este resultado manifesta o
fato bem conhecido de que a teoria BCS viola a conserva¸c˜ao do n´umero de part´ıculas e
este n´umero depende agora n˜ao s´o do momento de fermi mas tamb´em do pr´oprio valor
do condensado (o gap). Assim, para uma dada densidade quanto maior for ∆ menor
ser´a o momento de fermi. Como veremos, isto afetar´a a contribui¸c˜ao para a densidade
CAP
´
ITULO 2. A FASE SUPERCONDUTORA DE COR (CFL) 31
de energia que vem do termo da energia cin´etica escrita na Eq. (2.19).
Substituindo (2.20), (2.22) e (2.21) na Eq. (2.19), temos:
ε = ε
k
−
3µk
3
f
π
2
− 3
∆µ
π
2
+ U(χ) + W (σ, π) +
3µ
π
2
(k
3
f
+ 2∆
2
µ) (2.23)
obtendo por fim uma express˜ao simples para a densidade de energia
ε = ε
k
+ 3
∆µ
π
2
+ U(χ) + W (σ, π) (2.24)
onde ε
k
e dado pela Eq. (2.18).
Comparando a Eq. (2.24) com a Eq. (1.9), observamos a introdu¸c˜ao do termo
de emparelhamento e que este contribui positivamente para a densidade de energia
no modelo CDM, da mesma forma que no modelo do MIT [43]. A Eq. (2.24) ´e
formalmente igual `a obtida no modelo do MIT, se identificarmos os potencias mesˆonicos
U(χ) + W (σ, π) com a constante da sacola B.
Como a press˜ao ´e dada por:
p = −Ω
CF L
(2.25)
obtemos pela Eq. ( 2.17 )
p =
3µk
3
f
π
2
− ε
k
+ 3
∆µ
π
2
− U(χ) − W (σ, π) (2.26)
onde utilizamos a Eq. (2.21).
Nota-se que o termo de emparelhamento tamb´em contribui positivamente para
a press˜ao enquanto o potencial confinante U(χ) tende a diminu´ı-la. Isto significa que o
emparelhamento aumentando a press˜ao diminui a energia livre tornando em principio o
sistema mais est´avel, enquanto que o potencial confinante conspira contra a estabilidade
do sistema [ 19].
As duas equa¸c˜oes acima constituem a EOS do modelo CDM na fase supercon-
dutora CFL. Para calcularmos as grandezas f´ısicas de interesse como a densidade de
energia ε, press˜ao p e as massas dos quarks m
i
, para os regimes de altas e baixas den-
sidades (conforme a solu¸c˜ao de χ), utilizamos um programa feito em fortran no qual
fixado o emparelhamento ∆, a constante de acoplamento g e o parˆametro η, resolvemos
para uma dada densidade o sistema formado pelas trˆes equa¸c˜oes: (1.16), (1.20) mais a
CAP
´
ITULO 2. A FASE SUPERCONDUTORA DE COR (CFL) 32
da conserva¸c˜ao da densidade bariˆonica
3ρ = ρ
u
+ ρ
d
+ ρ
s
(2.27)
utilizando o m´etodo num´erico de Newton-Raphson.
Para encontrar as trˆes solu¸c˜oes desse sistema, precisamos iniciar o m´etodo
num´erico com um valor inicial para as trˆes vari´aveis χ, σ e µ . Para escolher um
bom valor inicial para χ temos que analisar que tipo de regime estamos interessados
em estudar, ou seja, o regime de altas densidades (χ ∼ γm
χ
perto do segundo m´ınimo,
a solu¸c˜ao nova), ou o regime de baixas densidades (χ ∼ 0 pr´oximo do m´ınimo global,
solu¸c˜ao normal). Os valores iniciais escolhidos para o campo σ e o potencial qu´ımico
µ foram f
π
e um ter¸co da massa do nucleon respectivamente. Ap´os o programa ter
fornecido o valor de χ, σ e µ (e consequentemente k
f
) que s˜ao as solu¸c˜oes das trˆes
equa¸c˜oes descritas acima, podemos encontrar as massas dos quarks atrav´es da Eq.
(1.11), densidade de energia pela Eq. (2.24) e a press˜ao da Eq. (2.26) tanto para a
solu¸c˜ao Normal quanto a Nova. No cap´ıtulo seguinte, apresentaremos os resultados
obtidos pelo procedimento num´erico que acabamos de detalhar.
Cap´ıtulo 3
Resultados
Neste cap´ıtulo vamos apresentar os resultados obtidos no modelo cromodiel´etrico
na fase CFL descrito no cap´ıtulo anterior. Como no caso da mat´eria de quarks sem
emparelhamento [17, 18] temos duas solu¸c˜oes neste modelo: uma para valores de χ
pequeno (solu¸c˜ao normal) e outra para valores grandes deste campo, localizada perto
do segundo m´ınimo do potencial confiante, χ ∼ γm
χ
(solu¸c˜ao nova).
3.1 Equa¸c˜ao de estado com emparelhamento fraco
Nesta se¸c˜ao iremos estudar a mat´eria estranha de quarks u, d e s para esses dois
tipos de solu¸c˜ao (normal e nova) do potencial U(χ) no CDM para emparelhamento
fraco. Como o termo de emparelhamento para ∆ ≤ 20 MeV ´e pequeno comparado com
o potencial U(χ) podemos desprezar seu efeito.
´
E este o caso que aqui denominamos
de emparelhamento fraco. Sendo assim, vamos considerar ∆ = 0 nesta se¸c˜ao. Contudo
as outras condi¸c˜oes da fase CFL, como a igualdade dos momentos de fermi e como
consequˆencia a neutralidade de carga, ser˜ao mantidas.
Vamos primeiro considerar o caso da solu¸c˜ao nova. Como o emparelhamento
´e fraco, esta solu¸c˜ao ´e idˆentica `a solu¸c˜ao nova com equil´ıbrio β. Como discutimos
no cap´ıtulo anterior, nesta solu¸c˜ao da mat´eria de quarks sem emparelhamento, que
acontece a altas densidades, os quarks possuem massas quase nulas (regime quiral)
e para garantir a neutralidade de carga, a solu¸c˜ao auto-consistente para esta mat´eria
for¸ca todos os momentos de fermi dos quarks u, d e s a serem iguais, que como acabamos
de escrever, ´e uma caracter´ıstica da fase CFL. Em trabalhos anteriores sobre a mat´eria
estranha em equil´ıbrio β [17], foi discutida a estabilidade desta mat´eria na solu¸c˜ao nova
(ε < ρM), em fun¸c˜ao dos parˆametros do modelo. Definindo as massas dos m´esons e do
campo χ, os parˆametros livres no modelo s˜ao apenas a constante de acoplamento g, γ e
33
CAP
´
ITULO 3. RESULTADOS 34
0.096620 0.096635 0.096650 0.096665 0.096680
η
10.0
15.0
20.0
25.0
30.0
g
∆=0
Figura 3.1: Curva da estabilidade da mat´eria de quarks sem emparelhamento.
η, estes dois ´ultimos ligados ao segundo m´ınimo do potencial U(χ) e s´o s˜ao importantes
para esta solu¸c˜ao. Como, para este caso, a sensibilidade da EOS ao parˆametro γ ´e
pequena [17], apenas os parˆametros g e η s˜ao relevantes.
Para o valor de g = 23 MeV usado anteriormente na literatura [16], e que
reproduz bem as propriedades do nucleon, a mat´eria de quarks ´e inst´avel para η 0.1.
Para realizar um estudo da estabilidade da mat´eria de quarks na fase CFL, para a
solu¸c˜ao nova, vamos procurar o par (g,η) que satisfaz o limite de estabilidade ε = ρM.
Esta curva ´e mostrada na Fig. (3.1), na qual a regi˜ao `a esquerda da curva fornece
estabilidade (ε < ρM) e `a direita a mat´eria de quarks ´e inst´avel (ε > ρM). Nesta
figura podemos observar que ao variar g o parˆametro η praticamente n˜ao se altera.
Assim, para g = 23 MeV temos o parˆametro η = 0.0966 para a mat´eria de quarks com
emparelhamento fraco.
Uma vez fixado o parˆametro η, vejamos o quanto a escolha de g influencia no
modelo CDM. Para isso, iremos usar dois valores de g da Fig. (3.1) e juntamente com
η = 0.0966 obter a EOS sem emparelhamento para as solu¸c˜oes nova e normal (esta
independe de η). Estas duas equa¸c˜oes de estado podem ser vistas, respectivamente,
nas Figs. (3.2) e (3.3).
CAP
´
ITULO 3. RESULTADOS 35
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0
ε [fm
−4
]
−1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
p [fm
−4
]
g = 13
g = 28
Figura 3.2: Equa¸c˜ao de estado sem emparelhamento com η = 0.0966 para a solu¸c˜ao nova.
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0
ε [fm
−4
]
−1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
p [fm
−4
]
g = 13
g = 28
Figura 3.3: Equa¸c˜ao de estado sem emparelhamento com η = 0.0966 para a solu¸c˜ao normal.
CAP
´
ITULO 3. RESULTADOS 36
Para a solu¸c˜ao nova, a escolha de g n˜ao altera os resultados, algo que a Fig. (3.1)
de fato j´a indica pois para uma grande varia¸c˜ao de g, η mal se alterou e a densidade de
energia permaneceu a mesma na curva de estabilidade. O motivo pelo qual isto ocorre
pode ser observado na Fig. (3.5) onde apresentamos a contribui¸c˜ao da energia cin´etica
do g´as de quarks relativ´ısticos ε
k
(composto pelos trˆes primeiros termos da Eq. (1.9))
e do potencial U(χ) para a densidade de energia (a contribui¸c˜ao do potencial chap´eu
mexicano do campo σ ´e essencialmente nula visto que σ ≈ f
π
nas duas solu¸c˜oes). A
EOS dependente de g somente nas massas dos quarks, conforme pode ser observado na
Eq. (1.11) (o p otencial U(χ) indep ende de g e para esta solu¸c˜ao nova U( χ)=( ηm
χ
)
4
).
Como neste regime χ ´e grande, as massas dos quarks s˜ao desprez´ıveis em rela¸c˜ao ao
momento de fermi k
f
o que explica a independˆencia dos resultados da escolha de g
para esta solu¸c˜ao.
J´a para a solu¸c˜ao normal a escolha de g altera os resultados. Isto se deve ao
fato de que neste regime χ ´e pequeno e portanto as massas dos quarks n˜ao s˜ao mais
desprez´ıveis em rela¸c˜ao ao momento k
f
. Desta forma, com o aumento de g a energia
de cada b´arion torna-se crescente e consequentemente a densidade de energia tamb´em,
como pode ser observado na Fig. (3.8). Mesmo assim, a dependˆencia de g na EOS da
solu¸c˜ao normal ´e pequena. Sendo assim, escolhemos o valor de g = 23 MeV utilizado
na literatura [16, 17] e para a solu¸c˜ao nova η = 0.0966, que ´e o maior valor poss´ıvel de
η para termos ainda a mat´eria de quarks est´avel.
3.2 Equa¸c˜ao de estado com emparelhamento forte
Com os valores de g e η fixados e discutidos anteriormente, faremos agora o
estudo da energia por part´ıcula e da EOS, para os dois tip os de solu¸c˜ao, no caso de
emparelhamento forte, onde consideramos valores de ∆ 100 MeV.
Na Fig. (3.4), mostramos o gr´afico da energia por part´ıcula para a solu¸c˜ao nova
com a introdu¸c˜ao do emparelhamento. Como podemos observar, com o aumento do
emparelhamento a energia por part´ıcula diminui conduzindo a uma maior estabilidade
da mat´eria. Este resultado `a primeira vista ´e dif´ıcil de entender j´a que com a introdu¸c˜ao
do emparelhamento aumentar´ıamos a densidade de energia conforme Eq. (2.24). O
motivo pelo qual ocorre o decr´escimo da densidade de energia com a introdu¸c˜ao do
emparelhamento ´e mostrado na Fig. (3.5), onde apresentamos esta densidade e a
contribui¸c˜ao para ela de cada termo , ou seja, a energia cin´etica do g´as de quarks
relativ´ısticos ε
k
, o potencial U(χ) e o emparelhamento 3(∆µ/π)
2
(W n˜ao ´e mostrado
porque ´e nulo visto σ ≈ f
π
mesmo com ∆ grande). De acordo com a Eq. (2.22), o
acr´escimo no emparelhamento diminui o momento de fermi para uma dada densidade
CAP
´
ITULO 3. RESULTADOS 37
0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5
ρ [fm
−3
]
−3.0
−2.0
−1.0
0.0
1.0
2.0
ε/ρ − M [fm
−1
]
∆ = 0
∆ = 50
∆ = 65
∆ = 100
∆ = 150
Figura 3.4: Energia por part´ıcula em fun¸c˜ao da densidade para a solu¸c˜ao nova com η =
0.0966 fixo introduzindo o emparelhamento.
bariˆonica, como pode ser observado na Fig. (3.7). Desta maneira o termo de maior
contribui¸c˜ao para a densidade de energia (ε
k
), cuja integra¸c˜ao depende de k
f
, de acordo
com Eq. (2.18), tamb´em diminui, causando o decr´escimo da densidade de energia e
como consequˆencia da energia por part´ıcula.
A ocorrˆencia de um m´ınimo na Fig. (3.4) mostra que existe uma densidade de
satura¸c˜ao onde a press˜ao (ρ
2
∂(ε/ρ)/∂ρ) se anula como pode ser observado na equa¸c˜ao
de estado, Fig. (3.9). Maiores detalhes sobre esta equa¸c˜ao de estado ser˜ao apresentados
mais adiante.
Reparamos tamb´em que o efeito do emparelhamento na Fig. (3.4) come¸ca
mesmo a ser importante para valores de ∆ 100 MeV. S´o para valores de ∆ nesta
faixa, o emparelhamento torna-se relevante em compara¸c˜ao com o potencial U (χ), como
pode ser visto na Fig. (3.5) onde apresentamos a contribui¸c˜ao desses dois termos para
a densidade de energia.
CAP
´
ITULO 3. RESULTADOS 38
0.0 0.5 1.0 1.5
ρ [fm
−3
]
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
[fm
−1
]
∆=0
∆=100
ε/10
U(χ)
(ε
k
)/10
3(∆µ/π)
2
Figura 3.5: Densidade de energia e seus termos na solu¸c˜ao nova com η = 0.0966 fixo para
∆ = 0 e ∆ = 100 MeV.
No caso da solu¸c˜ao normal, como podemos observar na Fig. (3.6), a mat´eria s´o
´e est´avel para valores de ∆ 65 MeV. Isto deve-se porque somente para estes valores
de ∆, a press˜ao se anula conforme Fig. (3.10) gerando assim um m´ınimo na Fig. (3.6).
Para valores maiores do emparelhamento, a energia por part´ıcula deixa de ter m´ınimo
e a mat´eria colapsa para densidades baixas. Este resultado indica que nesta fase da
mat´eria os quarks massivos n˜ao buscam o emparelhamento. Isto ocorre porque como
o potencial U(χ) ´e pequeno nesta solu¸c˜ao e o efeito do emparelhamento j´a ´e muito
relevante para valores de ∆ relativamente baixos, como pode ser visto na Fig. (3.8).
Para energias do gap ∆ > 65 MeV, a energia de emparelhamento supera em m´odulo
a energia potencial e a press˜ao passa a ser sempre positiva, sendo imposs´ıvel o seu
anulamento e produzir assim, um m´ınimo na energia por part´ıcula.
CAP
´
ITULO 3. RESULTADOS 39
0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5
ρ [fm
−3
]
−3.0
−2.0
−1.0
0.0
1.0
2.0
ε/ρ − M [fm
−1
]
∆ = 0
∆ = 50
∆ = 65
∆ = 100
∆ = 150
Figura 3.6: Energia por part´ıcula em fun¸c˜ao da densidade para a solu¸c˜ao normal com
η = 0.0966 fixo introduzindo o emparelhamento.
0.0 1.0 2.0 3.0
ρ [fm
−3
]
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
k
f
[fm
−1
]
∆=0
∆=100
∆=150
Figura 3.7: Momento de fermi em fun¸c˜ao da densidade para a solu¸c˜ao nova com η = 0.0966
fixo introduzindo o emparelhamento.
CAP
´
ITULO 3. RESULTADOS 40
0.0 0.5 1.0 1.5
ρ [fm
−3
]
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
[fm
−1
]
∆=0
∆=100
ε/10
U(χ)
(ε
k
)/10
3(∆µ/π)
2
Figura 3.8: Densidade de energia e seus termos na solu¸c˜ao normal com η = 0.0966 fixo para
∆ = 0 e ∆ = 100 MeV.
Ap´os ter analisado o efeito do emparelhamento forte na densidade de energia,
vamos ver seu efeito na press˜ao investigando a equa¸c˜ao de estado (EOS) para os dois
tipos de solu¸c˜ao. Primeiramente iremos fixar o parˆametro η = 0.0966 de ∆ = 0 e
aumentar a energia do gap. Na Fig. (3.9) temos a equa¸c˜ao de estado para a solu¸c˜ao
nova, enquanto que na Fig. (3.10) temos a equa¸c˜ao de estado para a solu¸c˜ao normal.
Nestas duas figuras podemos observar que para uma dada densidade de energia o
aumento do emparelhamento conduz um acr´escimo na press˜ao. Este resultado nos
permite concluir que na fase CFL a equa¸c˜ao de estado ´e mais dura.
Vamos agora fazer o estudo da estabilidade da mat´eria na fase CFL, no caso
da solu¸c˜ao nova para altas densidades, para ∆ = 100 MeV e ∆ = 150 MeV: encontrar
o maior valor do par (g,η) para o qual a mat´eria de quarks ainda ´e est´avel. Na Fig.
(3.11) e Fig. (3.12), encontram-se a curva de estabilidade da mat´eria para a energia
do gap ∆ = 100 MeV e ∆ = 150 MeV, respectivamente. Como antes, temos que
`a esquerda dessas curvas a mat´eria ´e est´avel e `a direita a mat´eria torna-se inst´avel.
Devido `a independˆencia com g desta solu¸c˜ao discutida na se¸c˜ao anterior, o parˆametro
η varia muito pouco. Desta forma, para g = 23 MeV temos: η = 0.1053 para ∆ = 100
MeV e η = 0.1137 para ∆ = 150 MeV.
CAP
´
ITULO 3. RESULTADOS 41
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0
ε [fm
−4
]
−1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
p [fm
−4
]
∆ = 0
∆ = 50
∆ = 65
∆ = 100
∆ = 150
Figura 3.9: Equa¸c˜ao de estado com emparelhamento para a solu¸c˜ao nova.
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0
ε [fm
−4
]
−1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
p [fm
−4
]
∆ = 0
∆ = 50
∆ = 65
∆ = 100
∆ = 150
Figura 3.10: Equa¸c˜ao de estado com emparelhamento para a solu¸c˜ao normal.
CAP
´
ITULO 3. RESULTADOS 42
Figura 3.11: Valores dos pares (g,η) com ∆ = 100 MeV para a curva da estabilidade na
solu¸c˜ao nova.
Existe uma dependˆencia com g na EOS no caso da solu¸c˜ao normal, mas ela
n˜ao ´e grande. Como vimos anteriormente, esta solu¸c˜ao apresenta uma instabilidade a
baixas densidades para o caso de acoplamento forte o que nos leva a concluir que a fase
CFL n˜ao ´e bem descrita por esta solu¸c˜ao, onde os quarks n˜ao querem emparelhar.
Para termos uma id´eia do efeito conjunto de um forte emparelhamento e uma
grande energia potencial, apresentamos para os valores de η = 0.1053 e ∆ = 100 MeV
e η = 0.1137 para ∆ = 150 MeV a curva da energia por part´ıcula para a solu¸c˜ao nova,
que ´e a relevante na fase CFL na Fig. (3.13). Como podemos perceber, a densidade de
satura¸c˜ao da mat´eria de quarks aumenta conforme aumenta o emparelhamento. Isto ´e
importante para que tenhamos estrelas de quarks compactas, uma vez que as estrelas
tornam-se mais compactas conforme aumenta a densidade de satura¸c˜ao, visto neste
caso a press˜ao ser nula (que ´e a condi¸c˜ao que define o raio da estrela) a uma densidade
de energia maior. No Cap. ( 4) iremos fazer o estudo de tais objetos compactos.
Anteriormente fizemos um estudo no qual fixamos o valor do parˆametro η e
aumentamos o emparelhamento. Agora faremos o estudo inverso, ou seja, fixaremos o
emparelhamento e aumentaremos o valor do parˆametro η, o que significa aumentar a
energia potencial (U(χ) = (ηm
χ
)
4
(mantendo sempre a mat´eria est´avel). O valor da
constante de acoplamento, como discutido anteriormente, est´a fixo em g = 23 MeV.
CAP
´
ITULO 3. RESULTADOS 43
Figura 3.12: Valores dos pares (g,η) com ∆ = 150 MeV para a curva da estabilidade na
solu¸c˜ao nova.
Este estudo pode ser observado na Fig. (3.14) onde temos a EOS com o valor do
emparelhamento fixo em ∆ = 150 MeV e trˆes valores para o parˆametro η. Como
podemos observar, ao aumentar o valor do parˆametro η aumentamos a densidade de
energia da mat´eria e diminuirmos a press˜ao, o que torna a equa¸c˜ao de estado mais
mole. Isto ocorre porque o termo da energia potencial U(χ) ´e positivo na densidade de
energia e negativo na express˜ao da press˜ao do sistema.
Desta an´alise da EOS podemos concluir que os efeitos do aumento da energia do
gap e da energia potencial do campo χ competem entre si: o aumento de ∆ aumenta
a press˜ao (diminui a energia livre) e ajuda a estabilizar a mat´eria de quarks enquanto
que o aumento da energia potencial (de η) ao diminuir a press˜ao desestabiliza o sis-
tema. Deste modo, a mat´eria na fase CFL com emparelhamento forte pode existir com
energias potenciais maiores no modelo CDM sem tornar-se metaest´avel, resolvendo
assim um problema encontrado anteriormente para o caso da mat´eria de quarks n˜ao
emparelhada. [17, 19]
CAP
´
ITULO 3. RESULTADOS 44
0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5
ρ [fm
−3
]
−3.0
−2.0
−1.0
0.0
1.0
2.0
ε/ρ − M [fm
−1
]
∆=100
∆=150
Figura 3.13: Energia por part´ıcula para a solu¸c˜ao nova com g = 23 MeV e η = 0.1053 para
∆ = 100 MeV, e η = 0.1137 para ∆ = 150 MeV.
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0
ε [fm
−4
]
−2.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
p [fm
−4
]
η=0.0966
η=0.1053
η=0.1137
Figura 3.14: Equa¸c˜ao de estado com emparelhamento ∆ = 150 MeV, g = 23 MeV e trˆes
valores do parˆametro η.
CAP
´
ITULO 3. RESULTADOS 45
3.3 Transi¸c˜ao de fase
Nesta se¸c˜ao iremos fazer o estudo da transi¸c˜ao de fase da mat´eria de quark
estranha no CDM na fase CFL e verificar se ocorre ou n˜ao transi¸c˜ao para esta mat´eria
em equil´ıbrio β. Como j´a fizemos referˆencia a equa¸c˜ao de estado para altas densidades
da mat´eria de quarks n˜ao emparelhada, obtida no modelo CDM, apresenta as condi¸c˜oes
de igualdade nos momentos de fermi dos quarks e a neutralidade de carga (µ
e
= 0) que
s˜ao comuns `a fase CFL. Assim, seria muito conveniente fisicamente que a transi¸c˜ao entre
este dois regimes acontecesse para alguma densidade. Como escrevemos na introdu¸c˜ao
deste trabalho estamos apenas interessados em estudar transi¸c˜oes de fase a densidades
altas, no regime de desconfinamento dos quarks (µ > 350 `a 400 MeV) e por isso n˜ao
consideramos nenhuma transi¸c˜ao quark-h´adron.
Na Fig. (3.15), apresentamos o gr´afico da press˜ao em fun¸c˜ao do potencial
qu´ımico da mat´eria no CDM e em equil´ıbrio β para g = 23 MeV e η = 0.0966 fixo (n˜ao
levamos em conta a solu¸c˜ao normal para ∆ = 100 MeV porque a mat´eria neste regime
colapsa para densidades mais baixas). Como podemos observar n˜ao ocorre transi¸c˜ao de
fase da solu¸c˜ao nova da mat´eria no regime CDM+CFL para a mat´eria em equil´ıbrio β,
pois o efeito do emparelhamento torna essas duas curvas paralelas. Isto ocorre porque
ao fixarmos η e aumentarmos o emparelhamento a press˜ao aumenta para uma mesma
densidade de energia, conforme podemos observar nas Figs. (3.9) e (3.10).
J´a na Fig. (3.16), fizemos o mesmo estudo anterior por´em fixando g = 23 MeV,
∆ = 100 MeV e introduzindo dois valores do parˆametro η. Como podemos observar
n˜ao ocorre transi¸c˜ao de fase da mat´eria entre estes dois regimes se aumentarmos a
energia potencial do sistema. A raz˜ao disto adv´em de que ao aumentarmos a energia
potencial a press˜ao diminui para a mesma densidade de energia, como pode ser visto
na Eq. (3.14).
Para vermos a sensibilidade destes resultados aos parˆametros usados, estudamos
a transi¸c˜ao de fase para o caso extremo de m´aximo emparelhamento e m´axima energia
potencial, ∆ = 150 MeV e η = 0.1137. Como podemos observar na Fig.(3.17) ocorre
uma transi¸c˜ao de fase entre a mat´eria CFL (solu¸c˜ao nova) para a mat´eria na solu¸c˜ao
normal em equil´ıbrio β. Esta mat´eria ´e considerada no modelo CDM como sendo a
fase quiral quebrada, onde os quarks s˜ao massivos, e que mais se aproxima do regime
hadrˆonico. Esta transi¸c˜ao indica a existˆencia de uma fase mista entre estes dois regimes.
O sistema muda de uma densidade, aproximadamente, 0.67 fm
−3
da fase CDM+CFL
com ∆ = 150 MeV para uma densidade menor de 0.41 f m
−3
da mat´eria em equil´ıbrio
β. Como vemos, estamos numa transi¸c˜ao de fase a altas densidades: de ρ ∼ 4.5ρ
o
para ρ ∼ 3.0ρ
o
onde ρ
o
= 0.15 fm
−3
´e a densidade da mat´eria nuclear. Este resultado
mostra que no modelo CDM ´e poss´ıvel ter, uma regi˜ao onde a fase CDM coexista com
CAP
´
ITULO 3. RESULTADOS 46
uma fase quiral quebrada onde a mat´eria estranha n˜ao est´a emparelhada. Como a
press˜ao desta transi¸c˜ao ´e bem baixa, perto de zero, que ´e a press˜ao da mat´eria nuclear,
pode ser que exista outra transi¸c˜ao quark-mat´eria nuclear.
0.0 1.0 2.0 3.0
µ [fm
−1
]
−1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
p [fm
−4
]
CDM+CFL ∆=100 NOVA
CDM+CFL ∆=0 NOVA
CDM+CFL ∆=0 NORMAL
Figura 3.15: Transi¸c˜ao de fase para η = 0.0966 fixo com a introdu¸c˜ao do emparelhamento.
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
µ [fm
−1
]
−1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
p [fm
−4
]
CDM+CFL η=0.0966 NOVA
CDM+CFL η=0.1053 NOVA
Figura 3.16: Transi¸c˜ao de fase com ∆ = 100 MeV fixo para dois valores do parˆametro η.
CAP
´
ITULO 3. RESULTADOS 47
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0
µ [fm
−1
]
−2.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
p [fm
−4
]
η=0.1137 ∆=150 NOVA
η=0.0966 ∆=0 NOVA
η=0.0966 ∆=0 NORMAL
Figura 3.17: Transi¸c˜ao de fase da mat´eria no CDM+CFL para a mat´eria em equil´ıbrio β.
Cap´ıtulo 4
Estrelas de quarks CFL
Como mostramos no ´ultimo cap´ıtulo, a mat´eria de quarks na fase supercondu-
tora CFL ´e absolutamente est´avel, ´e o estado mais baixo de energia da mat´eria estranha
apresentando uma transi¸c˜ao de fase para uma mat´eria em equil´ıbrio β com quarks mas-
sivos apenas para press˜oes nulas. Este fato justifica a possibilidade de estrelas feitas
puramente de quarks nesta fase supercondutora que vamos chamar de estrelas CFL.
Como a superf´ıcie da estrela ´e definida quando a press˜ao se anula, estas estrelas seriam
feitas completamente dessa nova mat´eria de quarks emparelhada e seriam est´aveis. A
densidade na superf´ıcie seria bem alta, como vimos no cap´ıtulo anterior, na ordem de 4
a 5 vezes a densidade da mat´eria nuclear e a densidade de energia tamb´em (ε ∼ ρM).
No modelo CDM com mat´eria de quarks n˜ao emparelhada em equil´ıbrio β foram
previstas estrelas estranhas bem compactas por´em metaest´aveis, ε/ρ > M (ou Fe), o
que ´e um problema j´a que estas estrelas poderiam decair. Agora, depois de fazer
este estudo no modelo CDM na fase supercondutora, sabemos que a mat´eria estranha
n˜ao emparelhada n˜ao ´e mesmo o estado fundamental da mat´eria de quarks a altas
densidades. Como s˜ao as estrelas CFL? Podem ser mais compactas que as estrelas
estranhas e mesmo assim absolutamente est´aveis? O objetivo deste cap´ıtulo ´e responder
a estas perguntas. Para isso vamos analisar a estrutura dessas estrelas formadas de
uma mat´eria que satisfaz a equa¸c˜ao de estado CFL apresentada no cap´ıtulo anterior,
mantendo a estabilidade desta mat´eria e n˜ao permitindo assim o decaimento dessas
estrelas CFL.
Estudos da importˆancia da fase CFL em estrelas compactas, receberam recen-
temente muita aten¸c˜ao, visto ser este atualmente o ´unico sistema f´ısico aplic´avel, ou
seja, que pode possuir estas alt´ıssimas densidades onde se espera encontrar a fase su-
percondutora de cor [16, 41, 44, 45]. Estas estrelas CFL foram estudadas recentemente
no modelo de sacola do MIT com quarks estranhos massivos e sua estabilidade inves-
tigada [46]. Estrelas h´ıbridas, com um caro¸co de mat´eria CFL e uma crosta hadrˆonica
48
CAP
´
ITULO 4. ESTRELAS DE QUARKS CFL 49
tamb´em foram investigadas recentemente [47, 48]. Um recente artigo de revis˜ao sobre
o estado da arte na f´ısica de estrelas de nˆeutrons e suas variantes pode ser encontrado
em [49].
Para estudar a estrutura destas estrelas CFL teremos que resolver a equa¸c˜ao de
Tollman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) [50, 51] com a equa¸c˜ao de estado dessa mat´eria
e obtermos o diagrama M × R . Posteriormente, veremos o perfil da estrela formada
com a massa m´axima M
max
, ou seja como a densidade de energia ρ e press˜ao p variam
dentro da estrela. Investigaremos tamb´em como a rela¸c˜ao M × R varia para diversos
valores da energia do gap ∆ e para diversos valores da energia potencial.
Come¸caremos com a discuss˜ao da hip´otese da existˆencia de uma estrela pura-
mente constitu´ıda de quarks, no qual o estado fundamental ´e composto por quarks u,
d e s. Em seguida, apresentaremos a equa¸c˜ao TOV , os resultados para as massas em
fun¸c˜ao da densidade central e a importˆancia dos termos relativ´ısticos nas estrelas CFL.
4.1 A mat´eria estranha como o verdadeiro estado
fundamental
A possibilidade da existˆencia de quarks se baseia na hip´otese da mat´eria es-
tranha, proposta por Witten, na qual o verdadeiro estado fundamental das intera¸c˜oes
fortes ´e o estado desconfinado da mat´eria de quarks consistindo de uma igual pro-
por¸c˜ao, aproximadamente, de quarks u, d e s. Mat´eria em tal estado ´e conhecida como
Mat´eria Estranha. Como vimos no cap´ıtulo anterior, modelos efetivos da QCD de
fato mostram isso.
Sup˜oe-se que o estado fundamental da mat´eria hadrˆonica seja um estado no qual
os quarks estejam confinados nos h´adrons. Entretanto, atualmente n˜ao h´a evidˆencias
que comprovem que o estado fundamental (o estado de mais baixa energia) da mat´eria
deva ser esse onde os quarks est˜ao confinados em h´adrons. Numa longa escala de tempo
talvez seja poss´ıvel que a mat´eria hadrˆonica converta-se em mat´eria estranha. Esta
convers˜ao p oderia acontecer no interior de estrelas de nˆeutrons que possuem n´ucleos
bem densos, onde essa transi¸c˜ao h´adron-quark pode ocorrer [52]. Neste processo um
ter¸co dos quarks converteriam-se em quarks estranhos porque a altas densidades, tal
estado tem uma energia mais baixa (uma superf´ıcie de fermi) que a mat´eria formada
apenas de quarks u e d. De fato esta hip´otese que n˜ao d´a para confirmar nem refutar,
baseia-se essencialmente no fato de que, a energia por nucleon da mat´eria de quarks
(n˜ao estranha) est´a acima da energia da mat´eria hadrˆonica. Mas isto ´e verdade a baixas
densidades. Se a densidade for muito grande, tal que o potencial qu´ımico seja maior
CAP
´
ITULO 4. ESTRELAS DE QUARKS CFL 50
que a massa do quark estranho ent˜ao o n´umero bariˆonico pode ser compartilhado com
os trˆes mares de fermi diminuindo assim a energia por part´ıcula.
´
E esta a hip´otese que d´a sustenta¸c˜ao `a possibilidade de existirem estrelas de
nˆeutrons com grandes caro¸cos formados de mat´eria estranha, ou mesmo, formadas
totalmente por quarks como ´e o caso das estrelas que estamos considerando neste
cap´ıtulo. Poss´ıveis candidatos a estrelas puras de quarks foram discutidos em [53], e
faixas de massas e raios imposs´ıveis de ser explicadas por qualquer EOS hadrˆonica, fo-
ram definidas como um poss´ıvel crit´erio para a sua identifica¸c˜ao [54, 55]. At´e hoje n˜ao
existe nenhum dado observacional categ´orico que garanta a existˆencia destas estrelas.
Recentemente, foi proposto que um dos modos de vibra¸c˜ao de uma estrela compacta
poderia em princ´ıpio identificar uma estrela de quarks [56]. Mas at´e o momento, pode-
mos dizer que o estudo de estrelas de quarks permanece ainda no terreno especulativo.
Distinguir uma estrela estranha de uma estrela CFL talvez seja ainda mais dif´ıcil, visto
que a t˜ao altas densidades o efeito do termo de emparelhamento, sendo um fenˆomeno
na superf´ıcie de fermi, representa como vimos um efeito entre 5 `a 10 % na equa¸c˜ao de
estado. Contudo ´e importante notar, como j´a fizemos referˆencia, que as estrelas CFL
sendo formadas de mat´eria estranha est´avel tˆem a possibilidade de existir sem decair
para uma estrela hadrˆonica.
4.2 Equa¸c˜oes TOV
No caso de uma estrela muito compacta como as estrelas de nˆeutrons e de
quarks, a equa¸c˜ao de equil´ıbrio hidrost´atico Newtoniana ´e modificada por corre¸c˜oes
relativ´ısticas que surgem por mudan¸cas da m´etrica do espa¸co-tempo devido ao efeito
das altas densidades. Proposta por Tollman-Oppenheimer-Volkoff [50, 51], a solu¸c˜ao
dessas equa¸c˜oes fornece a estrutura interna de uma estrela relativ´ıstica tais como sua
massa M e raio R. Tais estrelas s˜ao relativ´ısticas pois seus potenciais gravitacionais
envolvidos possuem tal intensidade que a formula¸c˜ao Newtoniana deixa de ter validade.
Para verificarmos as equa¸c˜oes TOV faremos algumas hip´oteses no sentido de simplificar
a solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Einstein.
A primeira hip´otese ser´a que a mat´eria no interior da estrela se comporte como
um flu´ıdo perfeito. Desta forma o tensor energia-momento ´e dado por [57]:
T
µν
= −pg
µν
+ (p + ε)u
µ
u
ν
(4.1)
onde g
µν
´e o tensor m´etrico, p ´e a press˜ao, ε ´e a densidade de energia e u
µ
≡ dx
µ
/dτ ´e
a quadri-velocidade de um elemento do flu´ıdo.
CAP
´
ITULO 4. ESTRELAS DE QUARKS CFL 51
A segunda hip´otese ´e que a estrela seja esf´erica. A m´etrica mais geral nesta
condi¸c˜ao ´e dada por:
dτ
2
= g
µν
dx
µ
dx
ν
= e
2ν(r)
dt
2
− e
2λ(r)
dr
2
− r
2
dθ
2
− r
2
sen
2
θdφ
2
(4.2)
Com essa m´etrica podemos identificar os componentes do tensor m´etrico
g
00
= e
2ν(r)
g
11
= −e
2ν(r)
g
22
= −r
2
g
33
= −r
2
sen
2
θ (4.3)
e esta ´e conhecida como a m´etrica de Schwarzschild [58].
Decorrente da m´etrica de Schwarzschild, as componentes do tensor de Ricci s˜ao:
R
00
= (−ν

+ λ
ν
− ν
2
−
2ν
r
)e
2(ν−λ)
R
11
= −ν

− λ
ν
+ ν
2
−
2ν
r
R
22
= (1 + rν
− rλ
)e
2λ
− 1
R
33
= R
22
sen
2
θ (4.4)
Fora da estrela, que ´e o espa¸co vazio, as equa¸c˜oes de Einstein s˜ao:
R
µν
=
1
2
R (4.5)
o que conduz usando a defini¸c˜ao da curvatura escalar
R ≡ g
µν
R
µν
(4.6)
`a R = 0 e R
µν
= 0.
Aplicando estas rela¸c˜oes na Eq. (4.4), encontramos a mesma solu¸c˜ao obtida por
Schwarzschild [59] para a regi˜ao exterior a estrela (r ≥ R), ou seja:
g
00
(r) =
1 −
2M
r
g
11
(r) = −
1 −
2M
r
−1
(4.7)
CAP
´
ITULO 4. ESTRELAS DE QUARKS CFL 52
Agora para a regi˜ao interna da estrela (r ≤ R), devido a presen¸ca de mat´eria,
as equa¸c˜oes de Einstein precisam incluir o tensor energia momento (T
µν
) da forma:
G
µν
= −8πT
µν
(4.8)
onde G
µν
≡ R
µν
−
1
2
R ´e o tensor de Einstein.
Com isso a curvatura escalar n˜ao mais se anula e precisamos calcul´a-la. A partir
da defini¸c˜ao da curvatura escalar (Eq. 4.6) encontramos:
R = e
−2λ
−2ν

+ 2λ
ν
− 2ν
2
−
2
r
2
+ 4
λ
r
− 4
ν
r
+
2
r
2
(4.9)
e com isso podemos obter as componentes de G
µν
, uma vez que j´a temos os elementos
de R
µν
, Eq. (4.4).
A ´ultima hip´otese ´e de que a estrela seja est´atica, ou seja:
u
m
= 0 (m = 1, 2, 3) (4.10)
observando que u
µ
u
µ
= 1, temos:
u
0
=
1
√
g
00
(4.11)
Substituindo esses resultados na Eq. (4.1), temos
T
0
0
= ε
T
m
m
= −p (4.12)
Combinando as Eqs. (4.4), (4.9) e (4.12) encontramos as componentes do tensor
de Einstein
G
0
0
= e
−2λ
1
r
2
−
2λ
r
−
1
r
2
= 8πε (r) (4.13)
G
1
1
= e
−2λ
1
r
2
+
2ν
r
−
1
r
2
= 8πp(r) (4.14)
G
2
2
= e
−2λ
ν

+ ν
2
− λ
ν
+
ν
− λ
r
= 8πp(r) (4.15)
G
3
3
= G
2
2
= 8πp (r) (4.16)
CAP
´
ITULO 4. ESTRELAS DE QUARKS CFL 53
Integrando a Eq. (4.13), temos:
e
−2λ(r)
= 1 −
8π
r
r
0
ε(r)r
2
dr (4.17)
Definiremos a massa gravitacional da estrela contida num volume de raio r como:
M(r) ≡ 4π
r
0
ε(r)r
2
dr (4.18)
Agora ´e necess´ario expressarmos λ
, ν
e ν

em fun¸c˜ao de grandezas f´ısicas como
massa, raio, densidade de energia e press˜ao. Desta forma isolando λ
da Eq. (4.13),
temos:
2rλ
= (1 − 8πr
2
ε)e
2λ
− 1 (4.19)
e ν
da Eq. (4.14):
2rν
= (1 + 8πr
2
ε)e
2λ
− 1 (4.20)
Tomando a derivada radial da Eq. (4.20), temos:
2r
2
ν

= 1 + (16πr
2
p + 8πr
3
p
)e
2λ
− (1 − 8πr
2
ε)e
4λ
(4.21)
Finalmente substituindo (4.19), (4.20) e (4.21) na Eq. (4.15) temos:
dp
dr
= −
M(r)ε(r)
r
2
1 +
p(r)
ε(r)
1 +
4πr
2
p(r)
M(r)
1 −
2M(r)
r
−1
(4.22)
As Eqs. (4.18) e (4.22) s˜ao conhecidas com equa¸c˜oes Tollman-Oppenheimer-
Volkoff (TOV) [50, 51], no qual trabalhamos com G = c = 1. Estas equa¸c˜oes devem
ser integradas desde a origem, onde M(0) = 0 e ε(0) ≡ ε
c
, at´e que se atinja um raio R
em que a press˜ao ´e nula. N˜ao sendo poss´ıvel suportar mais massa, define-se este raio
como o raio da estrela e M(R) como a massa gravitacional medida nas observa¸c˜oes.
Para cada EOS que introduzimos nestas equa¸c˜oes obtemos uma rela¸c˜ao ´unica entre a
massa da estrela e sua densidade central.
Os trˆes termos entre parˆenteses no lado direito da equa¸c˜ao anterior s˜ao os fatores
de corre¸c˜ao relativ´ısticos `a teoria Newtoniana provenientes da Teoria da Relatividade.
Todos esses termos s˜ao positivos e garantindo assim que o gradiente de press˜ao seja
sempre negativo, ou seja, tanto maior quanto mais nos aproximamos do centro da
estrela.
CAP
´
ITULO 4. ESTRELAS DE QUARKS CFL 54
4.3 Massas e raios das estrelas CFL
Vamos agora analisar a importˆancia dessa nova mat´eria na estrutura da estrela.
Para isso usaremos a equa¸c˜ao de estado na fase CFL para alguns valores de ∆. O
objetivo aqui ´e estudar se as estrelas de quarks na fase CFL s˜ao mais compactas que
as estrelas de quarks em equil´ıbrio β no regime de altas densidades (solu¸c˜ao nova),
trabalhando sempre com uma equa¸c˜ao de estado da mat´eria supercondutora est´avel.
Utilizaremos a mesma linha de racioc´ınio apresentada ao longo deste trabalho, ou seja,
iremos fixar a energia potencial (η) e aumentaremos o emparelhamento, posteriormente
faremos o inverso e fixaremos o emparelhamento e aumentaremos a energia potencial
at´e o maior valor poss´ıvel de η tal que a mat´eria ainda permane¸ca est´avel.
Na Fig. (4.1) apresentamos a curva M × ε
c
para η = 0.0966 fixo com a in-
trodu¸c˜ao do emparelhamento. Como podemos observar o aumento do emparelhamento
fornece estrelas mais massivas com densidade de energia central menor. A raz˜ao disto
vem de que ao aumentar a energia do gap a equa¸c˜ao de estado torna-se mais dura, a
press˜ao interna aumenta para um dada energia central suportando mais massa.
J´a na Fig. (4.2) temos o gr´afico M × ε
c
com ∆ = 150 MeV fixo e variando a
energia potencial. Como podemos observar, o aumento da energia potencial conduz a
estrelas menos massivas e com densidade de energia central maior, pois neste caso a
EOS torna-se mais mole, isto ´e, para um dada energia central a press˜ao interna diminui
suportando assim menos massa.
Prosseguindo o estudo, na Fig. (4.3) apresentamos a curva M × R com a energia
potencial fixa e o aumento da energia do gap. Como podemos observar a introdu¸c˜ao do
emparelhamento conduz a estrelas com raios maiores e consequentemente as estrelas
em equil´ıbrio β s˜ao mais compactas do que as estrelas CFL. Agora se mantivermos o
emparelhamento fixo e aumentarmos a energia potencial obtemos estrelas CFL mais
compactas do que estrelas em equil´ıbrio β, conforme podemos observar na Fig. (4.4).
A raz˜ao das estrelas CFL terem raios maiores depende do perfil da press˜ao dentro da
estrela , ou seja, de como o gradiente da press˜ao varia com o raio, o que define com
que rapidez a press˜ao vai a zero na superf´ıcie (r=R). Veremos isto detalhadamente na
pr´oxima se¸c˜ao.
CAP
´
ITULO 4. ESTRELAS DE QUARKS CFL 55
0.0 7.0 14.0 21.0
ε
c
[fm
−4
]
0.0
1.0
2.0
3.0
M
sum
∆=0
∆=100
∆=150
Figura 4.1: Massa × densidade central para η = 0.0966 fixo com a introdu¸c˜ao do empare-
lhamento.
0.0 7.0 14.0 21.0
ε
c
[fm
−4
]
0.0
1.0
2.0
3.0
M
sum
η=0.0966
η=0.1053
η=0.1137
Figura 4.2: Massa × densidade central com o emparelhamento fixo aumentando a energia
potencial.
CAP
´
ITULO 4. ESTRELAS DE QUARKS CFL 56
0.0 5.0 10.0 15.0
R [km]
0.0
1.0
2.0
3.0
M
sum
∆=0
∆=100
∆=150
Figura 4.3: Massa × raio com η = 0.0966 para trˆes valores de ∆.
0.0 5.0 10.0 15.0
R [km]
0.0
1.0
2.0
3.0
M
sum
η=0.1137
η=0.1053
η=0.0966
Figura 4.4: Massa × raio com ∆ = 150 MeV e trˆes valores de η.
CAP
´
ITULO 4. ESTRELAS DE QUARKS CFL 57
η ∆ [MeV] M [M
] R [Km] ε
c
[fm
−4
]
0.0966 0 1.56 8.48 9.62
100 1.81 9.61 7.18
150 2.11 10.81 5.72
0.1053 100 1.49 7.94 10.62
150 1.72 8.89 8.46
0.1137 150 1.43 7.45 11.87
Tabela 4.1: Valores de M, R e ε
c
para a estrela est´avel de massa m´axima com diversos
valores de η e ∆.
Os resultados discutidos anteriormente est˜ao colocados na Tabela [4.1], onde
apresentamos os valores da massa m´axima em unidades de massa solar (M [M
]),
do raio (R [km]) e da densidade de energia central (ε
c
[fm
−4
]) das estrelas estranhas
na fase CFL para os valores de η em que a mat´eria ainda permanece est´avel. Como
podemos ver nesta tabela, obtemos massas m´aximas relativamente grandes para as
estrelas CFL. A maior parte das estrelas de nˆeutrons possuem massas M ∼ 1.4 M
.
Mesmo assim, ´e bastante interessante que no limite m´aximo de estabilidade da mat´eria
(maior η) para ∆ = 100 MeV e ∆ = 150 MeV as massas m´aximas estejam em torno
desse valor mas com raios menores, R ≤ 8 Km, em compara¸c˜ao com os raios de 10 a
14 Km de uma estrela de nˆeutrons.
4.4 Varia¸c˜ao da press˜ao e densidade de energia nas
estrelas CFL
Vamos aqui estudar o efeito da energia do gap na varia¸c˜ao da press˜ao e da
densidade de energia com raio (perfil) dentro de uma estrela CFL.
Na Fig. (4.5) mostramos o perfil da estrela de massa m´axima com η = 0.0966
fixo para diversos valores do emparelhamento. Como podemos observar, o aumento
do emparelhamento atenua a densidade de energia ao longo da estrela ficando quase
que constante para ∆ = 150 MeV al´em de que esta estrela ´e menos compacta. Outra
observa¸c˜ao ´e que a densidade de energia n˜ao se anula na superf´ıcie tendo, aproxima-
damente, 2 fm
−4
de densidade de energia. Esta ´e a principal diferen¸ca entre uma
estrela de quarks e uma estrela de nˆeutrons, onde a densidade de energia se anula na
superf´ıcie.
CAP
´
ITULO 4. ESTRELAS DE QUARKS CFL 58
0.0 4.0 8.0 12.0
R [km]
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
ε [fm
−4
]
∆=0
∆=100
∆=150
Figura 4.5: Densidade de energia em fun¸c˜ao do raio com η = 0.0966 para trˆes valores de ∆.
J´a na Fig. (4.6) mostramos como a press˜ao varia ao longo da estrela com
o parˆametro η fixo e a introdu¸c˜ao do emparelhamento. Como podemos observar, a
estrela que possui emparelhamento maior tem uma menor press˜ao no centro da estrela
e um raio R maior porque a press˜ao demora para ir a zero. Isto ´e consequˆencia de
que o gradiente de press˜ao (dp/dr), que ´e a derivada da Fig. (4.6), diminui lentamente
e consequentemente a energia varia mais lentamente perto da superf´ıcie. Isto explica
porque a estrela com maior energia do gap, mesmo tendo uma densidade de energia
central menor, possui uma maior massa: como a press˜ao varia muito lentamente perto
da superf´ıcie com o aumento do gap, a energia tamb´em ´e aproximadamente constante
nesses 1 Km perto da superf´ıcie, e neste caso a massa da estrela vai com o volume que
´e grande r ∼ 10 Km.
Por outro lado se fixarmos o emparelhamento ∆ = 150 MeV e aumentarmos
a energia potencial a energia central aumenta mas varia muito rapidamente, como
podemos observar na Fig. (4.7). J´a a estrela com a maior energia potencial ´e a mais
compacta conforme Fig. (4.8). Nesta figura podemos observar que com o aumento de
η o gradiente de press˜ao aumenta muito rapidamente, o que faz com que a energia v´a
a zero muito rapidamente diminuindo a massa da estrela.
CAP
´
ITULO 4. ESTRELAS DE QUARKS CFL 59
0.0 4.0 8.0 12.0
R [km]
0.0
1.0
2.0
3.0
p [fm
−4
]
∆=0
∆=100
∆=150
Figura 4.6: Press˜ao em fun¸c˜ao do raio com η = 0.0966 para trˆes valores de ∆.
0.0 4.0 8.0 12.0
R [km]
0.0
4.0
8.0
12.0
ε [fm
−4
]
η=0.1137
η=0.1053
η=0.0966
Figura 4.7: Densidade de energia em fun¸c˜ao do raio com ∆ = 150 MeV para trˆes valores de
η.
CAP
´
ITULO 4. ESTRELAS DE QUARKS CFL 60
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0
R [km]
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
p [fm
−4
]
η=0.0966
η=0.1053
η=0.1137
Figura 4.8: Press˜ao em fun¸c˜ao do raio para ∆ = 150 MeV com trˆes valores de η.
Resumindo, vemos que devido aos efeitos opostos que a energia de emparelha-
mento e a energia potencial tˆem na equa¸c˜ao de estado, o aumento da primeira produz
estrelas maiores e mais massivas enquanto que o aumento da energia potencial (pro-
porcional a η) gera estrelas menos massivas e mais compactas. Com os parˆametros
considerados no nosso modelo, o limite m´aximo para a energia potencial e a energia
do gap s˜ao η = 0.1137 e ∆ = 150 MeV respectivamente , e neste caso obtemos estrelas
CFL muito compactas (linha marrom da Fig. (4.4)) e est´aveis, o que n˜ao ´e poss´ıvel
obter no caso da mat´eria de quarks n˜ao emparelhada, sem cair na metaestabilidade
[17]. Assim, podemos concluir que nas estrelas CFL a mat´eria supercondutora de cor
´e est´avel e as estrelas podem ser muito compactas.
CAP
´
ITULO 4. ESTRELAS DE QUARKS CFL 61
4.4.1 A importˆancia das corre¸c˜oes relativ´ısticas
O objetivo desta se¸c˜ao ´e verificar a importˆancia dos fatores relativ´ısticos na
equa¸c˜ao TOV originados da mat´eria estranha na fase CFL e comparar com os resul-
tados obtidos para estrelas h´ıbridas. Este estudo foi realizado num recente trabalho
[60] onde analisamos a importˆancia das corre¸c˜oes relativ´ısticas na equa¸c˜ao TOV para
estrelas h´ıbridas para dois modelos relativ´ısticos, o modelo de Walecka (W) e Zimmany-
Moszkowski (ZM). Os dois primeiros fatores de corre¸c˜ao relativ´ısticos s˜ao:
f
1
= 1 +
p(r)
ε(r)
(4.23)
f
2
= 1 +
4πr
2
p(r)
M(r)
(4.24)
que dependem da equa¸c˜ao de estado. Eles s˜ao mais importantes no centro da estrela
onde a press˜ao ´e maior do que em sua superf´ıcie.
O fator proveniente da m´etrica
f
3
=
1 −
2M(r)
r
−1
(4.25)
´e muito pequeno no centro da estrela tornando-se dominante a partir do meio da
estrela, ou seja, r ≥ R/2.
O fator global
f = f
1
× f
2
× f
3
(4.26)
´e sempre maior e constante ao longo da estrela e este comportamento geral independe
da EOS, conforme pode ser observado nas Figuras (4.9) e (4.10). Estes resultados
permitiram nos concluir, n˜ao s´o que as corre¸c˜oes relativ´ısticas s˜ao importantes f
W
=
3.8 e f
ZM
= 2.4, mas que dependem fortemente da incompressibilidade da mat´eria
hadrˆonica, que est´a relacionada com a relatividade do modelo usado [60]. No modelo
de Walecka que ´e muito duro, estas contribui¸c˜oes s˜ao bem maiores que no modelo de
ZM que apresenta uma EOS bem mole, como podemos ver ao comparar as Figuras
(4.9) e ( 4.10).
CAP
´
ITULO 4. ESTRELAS DE QUARKS CFL 62
0.0 5.0 10.0 15.0
R [km]
1.0
2.0
3.0
4.0
Fatores
f
1
f
2
f
f
3
=
f
1
x
f
2
x
f
3
Figura 4.9: Fatores relativ´ısticos em fun¸c˜ao do raio da estrela hiperˆonica de massa m´axima
para o modelo de Walecka.
0.0 4.0 8.0 12.0
R [km]
1.0
1.5
2.0
2.5
Fatores
f
1
f
2
f
3
f
=
f
1
x
f
2
x
f
3
Figura 4.10: Fatores relativ´ısticos em fun¸c˜ao do raio da estrela hiperˆonica de massa m´axima
para o modelo de Zimmany-Moszkowski.
CAP
´
ITULO 4. ESTRELAS DE QUARKS CFL 63
Vamos ver agora a imp ortˆancia destes fatores nas estrelas CFL. Mantendo a
energia potencial η = 0.0966 fixa e aumentando o emparelhamento podemos observar
o aumento dos fatores f
1
, f
2
e f. Tamb´em podemos observar a diminui¸c˜ao do fator
f
3
, conforme Fig. (4.11). O aumento dos fatores f
1
e f
2
deve-se por que ambos s˜ao
proporcionais `a raz˜ao p/ε que aumenta com a introdu¸c˜ao do emparelhamento, p ois a
EOS torna-se mais dura conforme Fig. (3.9). O fator f
3
diminui com a introdu¸c˜ao do
emparelhamento. Isto ocorre porque ao introduzir o emparelhamento obtemos estrelas
maiores e mais massivas conforme Fig. (4.3) e esse termo ´e igual a f
3
= (1 −2M/r)
−1
.
Numa estrelas de quarks a massa cresce essencialmente com o volume, M ´e proporcional
a r
3
e por isso a raz˜ao M/r cresce com o aumento do gap, fazendo com que f
3
seja
sempre uma fun¸c˜ao crescente com r.
Por outro lado se mantivermos o emparelhamento ∆ = 150 MeV fixo e variarmos
a energia potencial, os fatores f
1
, f
2
e f diminuem , como para as estrelas h´ıbridas,
porque a EOS torna-se mais mole enquanto o fator f
3
aumenta, conforme pode ser
observado na Eq. (4.12), exatamente pelo j´a explicado acima, visto neste caso a massa
e o raio diminu´ırem conforme Fig. (4.4) e portanto M/r diminuir com o aumento de
η.
Desta compara¸c˜ao entre as corre¸c˜oes relativ´ısticas para as estrelas h´ıbridas e
estrelas CFL, conclu´ımos para ambos os casos que quando a EOS torna-se mais dura
(mole) a importˆancia destes fatores cresce (decresce), e f >> 1 o que por si s´o mostra
que uma estrela de nˆeutrons ou de quarks n˜ao pode ser considerada uma estrela New-
toniana. A ´unica diferen¸ca entre as estrelas h´ıbrida e CFL, est´a no fator da m´etrica
f
3
. Perto da superf´ıcie da estrela, a m´etrica n˜ao possui um m´aximo como numa estrela
h´ıbrida, ela ´e sempre crescente numa estrela de quarks. Isto ocorre , porque como j´a
explicamos antes, como f
3
= (1 − 2M/r)
−1
e numa estrela de quarks a massa cresce
essencialmente com o volume (densidade de energia varia pouco), M ´e proporcional a
r
3
e portanto f
3
´e sempre uma fun¸c˜ao crescente com o raio. Isto n˜ao ´e verdade numa
estrelas h´ıbrida (nˆeutrons), onde perto da superf´ıcie a massa cresce pouco com o raio,
porque a densidade de energia ´e muito baixa.
CAP
´
ITULO 4. ESTRELAS DE QUARKS CFL 64
0.0 4.0 8.0 12.0
R [km]
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Fatores
∆ = 0
∆ =150
f
1
f
2
f
3
f
=
f
1
x
f
2
x
f
3
Figura 4.11: Fatores relativ´ısticos em fun¸c˜ao do raio da estrela CFL para ∆ = 0 e ∆ = 150
MeV com η = 0.0966 fixo.
0.0 4.0 8.0 12.0
R [km]
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Fatores
η = 0.1137
η = 0.0966
f
1
f
2
f
f
3
=
f
1
x
f
2
x
f
3
Figura 4.12: Fatores relativ´ısticos em fun¸c˜ao do raio da estrela CFL para η = 0.0966 e
η = 0.1137 com ∆ = 150 fixo.
Cap´ıtulo 5
Conclus˜ao
Nesta disserta¸c˜ao estudamos a influˆencia do termo de emparelhamento da fase
supercondutora CFL, obtido por uma intera¸c˜ao efetiva que tem sua origem na troca de
um gl´uon prevista pela QCD, no modelo Cromodiel´etrico (CDM). Introduzimos esse
termo de emparelhamento diretamente no modelo CDM, pois este modelo a altas den-
sidades representa bem a equa¸c˜ao de estado prevista pela QCD [36]. Trabalhamos no
caso em que a mat´eria CFL ´e neutra [39] pois, como vimos no cap´ıtulo (3), procuramos
uma transi¸c˜ao de fase entre a mat´eria na fase CFL e a n˜ao emparelhada em equil´ıbrio
β onde o potencial qu´ımico dos el´etrons ´e nulo ( µ
e
= 0). Assim, a escolha de uma fase
CFL neutra ´e consistente visto na transi¸c˜ao µ
e
necessitar ser cont´ınuo, ou seja, ter o
mesmo valor nas duas fases. Como no caso da mat´eria de quarks n˜ao emparelhada
[17, 18], encontramos para a fase CFL, duas equa¸c˜oes de estado, uma para valores de
χ pequenos perto de zero e outra para valores deste campo grande (χ ∼ γm
χ
).
Na primeira solu¸c˜ao a massa dos quarks ´e relativamente grande ∼ 100 MeV
sendo a massa do quark estranho maior. Identificamos esta fase como a que tem
simetria quiral quebrada por um condensado quark-antiquark. Devido a isto, esta
EOS ´e referida neste trabalho como a de baixas densidades. Esta EOS, como no caso
n˜ao emparelhado, n˜ao depende dos parˆametros γ e η que s˜ao importantes apenas para
definir o m´ınimo local do potencial U(χ) onde se encontra a outra solu¸c˜ao. Este regime
´e sens´ıvel apenas ao valor da constante de acoplamento g do modelo, visto as massas
dos quarks variarem linearmente com ela. Usando o valor desta constante que reproduz
bem as propriedades do nucleon (g = 23 MeV) mostramos que a mat´eria nesta fase
n˜ao gosta de emparelhar: ela s´o ´e est´avel para valores do parˆametro de gap baixos
(∆ 65 MeV) pois para maiores valores deste parˆametro a energia por part´ıcula deixa
de ter m´ınimo e a mat´eria colapsa. Isto deve-se, a que nesta solu¸c˜ao o potencial U(χ) ´e
pequeno e quando ∆ cresce a press˜ao associada ao termo de emparelhamento torna-se
maior que esse potencial, n˜ao sendo mais poss´ıvel anular a press˜ao e o sistema colapsa.
65
CAP
´
ITULO 5. CONCLUS
˜
AO 66
Este resultado permitiu-nos concluir que esta solu¸c˜ao de baixas densidades prevista no
modelo CDM n˜ao existe na fase supercondutora de cor CFL para os valores da energia
do gap previstos nos c´alculos apresentados no capitulo (2), onde 100 ∆ 150
MeV. Assim, podemos dizer que no modelo CDM com quarks massivos (densidades
baixas) que a fase de supercondutividade de cor CFL s´o ´e poss´ıvel apenas para um
emparelhamento muito fraco. Este resultado ´e consistente com a descri¸c˜ao da fase CFL
como sendo o regime previsto para a mat´eria a densidades muito altas. Encontramos
uma poss´ıvel transi¸c˜ao de fase, no caso em que a energia do gap ´e grande (∆ = 150
MeV) e a energia potencial associada ao camp o χ tamb´em, entre a fase CFL e a da
mat´eria de quarks n˜ao emparelhada em equil´ıbrio β obtida com esta solu¸c˜ao de baixas
densidades. Esta transi¸c˜ao ocorre para valores da press˜ao bem perto de zero e temos
uma descontinuidade na densidade, formando uma pequena fase mista onde estas duas
fases coexistem.
No caso da outra solu¸c˜ao para valores grandes de χ, como tamb´em ocorre
para a mat´eria de quarks n˜ao emparelhada, a EOS depende essencialmente apenas
do parˆametro η que define a energia potencial do campo χ no segundo m´ınimo local,
(U(χ) = ( ηM)
4
), que como discutimos no cap´ıtulo (1) pode ser associada com a cons-
tante de sacola B do modelo do MIT. Nesta solu¸c˜ao, as massas dos quarks s˜ao quase
nulas e portanto ao variar a constante de acoplamento g elas n˜ao mudam. Variar γ
afeta tamb´em muito pouco a EOS , p orque as massas dos quarks s˜ao inversamente
proporcionais a χ (γm
χ
), desde que γ n˜ao seja muito pequeno. No caso de γ pequeno
a posi¸c˜ao do segundo m´ınimo aproxima-se muito do m´ınimo global localizado em χ =
0 e esta solu¸c˜ao torna-se degenerada com a solu¸c˜ao de baixas densidades, onde pas-
samos a ter o caso do potencial quadr´atico para U(χ), tipo oscilador harmnico, que
s´o possui uma solu¸c˜ao. Assim, esta solu¸c˜ao depende essencialmente de apenas um dos
parˆametro do potencial confinante, a constante η. Como neste caso as massas dos
quarks s˜ao muito pequenas, identificamos esta EOS com a mat´eria de quarks na fase
CFL de altas densidades. Algo bastante interessante, e que j´a fizemos referˆencia na
introdu¸c˜ao deste trabalho, ´e que na EOS para a mat´eria de quarks sem emparelha-
mento, gerada de um modo auto-consistente dentro do modelo CDM, os momentos de
fermi dos 3 quarks s˜ao todos iguais, a mat´eria ´e neutra e os el´etrons s˜ao expulsos (µ
e
= 0) [17, 18]. Esta fenomenologia ´e exatamente a prevista na fase supercondutora de
cor CFL, mas neste caso onde n˜ao temos a forma¸c˜ao dos pares de Cooper de quarks, a
energia do gap ´e nula. Deste modo, esta equa¸c˜ao de estado para a mat´eria de quarks em
equil´ıbrio β, encontrada no modelo CDM para altas densidades, parece ser a transi¸c˜ao
natural da fase CFL com emparelhamento forte, visto que quando a densidade diminui
o emparelhamento desaparece. Contudo, n˜ao encontramos tal transi¸c˜ao para os valores
de energia do gap e do parˆametro η utilizados: a mat´eria na fase supercondutora tem
CAP
´
ITULO 5. CONCLUS
˜
AO 67
sempre uma press˜ao maior (menor energia livre) que a fase de quarks n˜ao emparelhada
em equil´ıbrio β.
Um dos problemas desta EOS para altas densidades sem emparelhamento ´e que
existe um η
max
para o qual a mat´eria ´e est´avel: para valores de η ≥ 0.0966 a mat´eria de
quarks, n˜ao emparelhada e em equil´ıbrio β, torna-se muito metaest´avel (ε < ρ M) [ 19].
Isto significa que n˜ao podemos ter grandes valores para a energia potencial do campo
χ. Ao introduzir o emparelhamento conclu´ımos que este conduz a uma diminui¸c˜ao da
energia por part´ıcula tornando a mat´eria mais est´avel. Este efeito surge, n˜ao devido
ao termo de emparelhamento (que ´e positivo na densidade de energia) e que, como
mostramos no cap´ıtulo (3), ´e 10 vezes menor que o termo da densidade de energia
cin´etica dos quarks. A raz˜ao da diminui¸c˜ao da densidade de energia no estado CFL
deve-se ao fato de que, como a teoria BCS viola o n´umero de part´ıculas, a densidade
de part´ıculas na fase sup ercondutora n˜ao depende somente do momento de fermi mas
tamb´em da energia do gap ∆, conforme Eq. (2.22). Assim, para uma densidade de
part´ıculas fixa, o aumento do gap conduz a uma diminui¸c˜ao do momento de fermi, o
que ao integrar a energia at´e um momento de fermi menor, faz com que a densidade de
energia cin´etica do g´as relativ´ıstico de quarks ε
k
diminua, e este ´e o termo dominante
na densidade de energia. Tamb´em conclu´ımos que o efeito do emparelhamento s´o ´e
importante para valores de ∆ 100 MeV, pois s´o para estes valores de ∆, a energia
de emparelhamento torna-se compar´avel com a energia potencial U(χ).
Como a inclus˜ao do emparelhamento melhora a estabilidade da mat´eria de
quarks diminuindo a energia por part´ıcula, o estado CFL permite que usemos no mo-
delo valores maiores para o parˆametro η. Assim, fizemos uma an´alise da estabilidade
da mat´eria CFL (exigindo ε = ρM) para esta solu¸c˜ao de altas densidades (nomeada
como nova neste trabalho), fazendo variar a constante de acoplamento g e η
max
para
o caso de ∆ = 100 MeV e ∆ = 150 MeV, o que chamamos de Emparelhamento Forte.
Como j´a explicamos antes, a dependˆencia desta EOS na constante de acoplamento ´e
muito pequena o que permite que ela varie bastante (ente 10 e 30 MeV) enquanto que
η varia muito pouco. Para o valor da constante usado no nosso trabalho g = 23 MeV,
obtivemos para ∆ = 100 MeV o valor de η
max
= 0.1053 e para ∆ = 150 MeV o valor
η
max
= 0.1137, o que mostra que na fase CFL podemos ter energias potenciais maiores.
Como exigimos que a mat´eria sature em ε = ρM, o potencial qu´ımico dos quarks est´a
fixo em µ = M/3 neste ponto onde a press˜ao se anula. Assim, ´e poss´ıvel mostrar que
para esta solu¸c˜ao onde os quarks tˆem massa nula µ = k
f
, existe uma rela¸c˜ao entre η
max
e a energia do gap ∆ e que portanto eles n˜ao s˜ao independentes. De fato η
max
depende
de ∆, na forma η
max
∝ (1 + (6∆/M)
2
)
1/4
, o que explica que para varia¸c˜oes de 50% no
parˆametro do gap , η
max
tenha variado t˜ao pouco.
Estudamos a dependˆencia da EOS da fase CFL desta solu¸c˜ao nova com a energia
CAP
´
ITULO 5. CONCLUS
˜
AO 68
do gap, com η fixo no seu valor m´aximo para ∆ = 0 e conclu´ımos que ao aumentar ∆ a
press˜ao aumenta para uma dada densidade de energia e que a satura¸c˜ao ocorre a uma
densidade de energia menor. Depois fixamos ∆ = 150 MeV e variamos o η: mostramos
que ao aumentar este parˆametro (a energia potencial aumenta) a press˜ao diminui para
uma dada densidade de energia (a contribui¸c˜ao de U (χ) para a press˜ao ´e negativa). O
efeito do aumento de η ´e exatamente o oposto do obtido com o aumento de ∆, pois
ao diminuir a press˜ao, aumenta a energia livre e a mat´eria torna-se mais inst´avel. De
fato, a press˜ao vai a zero (o ponto de satura¸c˜ao que corresponde ao m´ınimo da curva
ε/ρ) numa densidade de energia maior.
Este fato de que a press˜ao vai a zero numa densidade de energia menor quanto
∆ aumenta, e numa densidade de energia maior quando η cresce, tem imp ortantes
consequˆencias na an´alise da estrutura das estrelas CFL que apresentamos no cap´ıtulo
(4). Como o raio da estrela ´e definido para o valor de r onde p(r ) = 0, obtivemos,
para um η fixo, que o aumento da energia do gap produz estrelas mais massivas, o
que podemos ver ao fazer o diagrama M × R. Isto, tamb´em nos permitiu concluir
que o efeito do emparelhamento conduz a estrelas de raios maiores em compara¸c˜ao
com as estrelas de quarks em equil´ıbrio β (onde ∆ = 0). Por outro lado, pelo mesmo
argumento, obtivemos estrelas mais compactas fixando o valor de ∆ e aumentando
o valor do parˆametro η. Um efeito conjunto destes dois parˆametros , com ∆ = 150
e η
max
= 0.1137, produziu estrelas CFL mais compactas que no caso das estrelas
de quarks obtidas com a mat´eria de quarks sem emparelhamento e, o que ´e mais
importante, estrelas est´aveis, resolvendo assim o problema da metaestabilidade das
estrelas de quarks encontrado no modelo CDM em [17, 18].
Finalmente, estudamos a varia¸c˜ao da press˜ao e da densidade de energia com o
raio para as estrelas de massa m´axima obtidas com diversos valores de ∆ e η (vide
tabela (4.1)). O perfil da densidade de energia em fun¸c˜ao do raio evidencia uma carac-
ter´ıstica das estrelas puramente feitas de quarks, a de que estas possuem, em contraste
com as estrelas de nˆeutrons, uma superf´ıcie dura: a press˜ao vai a zero na superf´ıcie mas
a densidade de energia ´e grande, enquanto numa estrela hadrnica, na superf´ıcie dessas
estrelas a press˜ao vai a zero s´o quando a densidade de energia se anula . Mostramos
que as corre¸c˜oes relativ´ısticas para as estrelas de quarks s˜ao importantes. O car´ater
predominante at´e o meio da estrela dos termos dependentes f
1
e f
2
provenientes da
EOS, s˜ao gerais (fun¸c˜oes que decrescem monotonicamente com o raio e se anulam na
superf´ıcie onde a press˜ao ´e zero) [60] e mais importantes com o aumento do empare-
lhamento pois a press˜ao aumenta. Ap´os o meio da estrela o termo predominante ´e o da
m´etrica (f
3
) que ´e sempre crescente o que n˜ao acontece para as estrelas de nˆeutrons,
visto numa estrela de quarks a massa crescer aproximadamente com o volume (∝ r
3
),
enquanto que numa estrela de nˆeutrons isto n˜ao acontece.
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Apˆendice A
Equa¸c˜ao de gap pelo m´etodo
variacional
A intera¸c˜ao atrativa entre os quarks produz uma instabilidade no estado fun-
damental trivial, onde todos o momentos dos quarks est˜ao ocupados at´e a superf´ıcie
de fermi. Bardeen, Cooper e Schrieffer os pais da teoria BCS, argumentaram que a
resolu¸c˜ao dessa instabilidade ´e o estado emparelhado [3]. Este estado fundamental ´e
caracterizado por um gap de energia ∆, devido ao emparelhamento dos quarks perto da
superf´ıcie de fermi que cria pares part´ıcula-buraco (os quasiquarks que como veremos
adquirem uma massa). Neste apndice faremos o c´alculo deste gap, usando o principio
variacional, na Hamiltoniana de intera¸c˜ao da troca de um gl´uon para o caso em que
temos apenas dois sabores de quarks u e d.
A teoria BCS pode ser bem entendida no formalismo Hamiltoniano fazendo uso
de um m´etodo n˜ao perturbativo: o principio variacional da minimiza¸c˜ao da energia
atrav´es de um fun¸c˜ao de onda teste que depende de alguns parmetros. O modelo
que vamos usar para a Hamiltoniana est´a baseada na intera¸c˜ao de troca de um gl´uon
que ´e atrativa no canal
¯
3 e portanto para pares de quarks pr´oximos superf´ıcie de
fermi condensa a onda-s (spin 0) no canal singleto de cor. O pioneiro trabalho de
Nambu e Jona Las´ınio [26], modelo NJL, aplicou esta id´eia da teoria BCS para o
emparelhamento de part´ıcula-antipart´ıcula, onde um condensado destes pares se forma
e a simetria quiral ´e espontaneamente quebrada gerando massa para os quarks. Para
isso, utilizaram uma intera¸c˜ao de contato de quatro f´ermions para os quarks e uma
fun¸c˜ao de onda teste com o objetivo de diagonalizar esta Hamiltoniana. Aplicaremos,
neste apndice a id´eia da teoria BCS em modelos tipos-NJL, que simulam de um modo
efetivo a QCD, mas para o emparelhamento quark-quark. Como estamos considerando
apenas os dois quarks leves, o c´alculo que vamos aqui apresentar para a energia do gap
∆, refere-se fase 2SC apresentada no cap´ıtulo 3.
73
AP
ˆ
ENDICE A. EQUAC¸
˜
AO DE GAP PELO M
´
ETODO VARIACIONAL 74
A express˜ao para a energia livre para quarks sem massa ´e dada por
Ω =
d
3
x
¯
ψ(x)(∇/ − µγ
0
)ψ(x) + H
I
(A.1)
onde a Hamiltoniana de intera¸c˜ao,
H
I
=
3
8
G
d
3
x F
¯
ψ(x)γ
µ
T
A
ψ(x)
¯
ψ(x)γ
µ
T
A
ψ(x)
(A.2)
descreve a intera¸c˜ao entre quatro f´ermions com a estrutura, cor e sabor gerada p ela
troca de um gl´uon e onde T
A
representa os geradores do grupo SU(3)
cor
(proporcionais
s matrizes de Gellman). Na QCD real´ıstica a intera¸c˜ao torna-se fraca a altos momentos
(altas densidades) e por isso introduzimos um fator de forma F.
Conforme ´e utilizado na literatura [6], substituiremos o fator de forma pela
fun¸c˜ao mais simples uma fun¸c˜ao degrau:
F (p) =
1 se p < Λ
0 se p > Λ
(A.3)
onde o parmetro de corte Λ ter´a que ser fixado. Com esta fun¸c˜ao as integrais no
espa¸co dos momentos s˜ao cortadas para momentos maiores que Λ. Considerando os
dois sabores de quarks u e d e utilizando os procedimentos efetuados em [4, 6, 42],
procuramos um condensado fazendo o “ansatz” BCS para a fun¸c˜ao de onda do estado
fundamental:
|Ψ = A
†
L
A
†
R
|0
A
†
L
=
p,α,β
cos θ
L
(p) +
αβ3
e
iξ
L
(p)
sin θ
L
(p) a
†
Luα
(p) a
†
Ldβ
(−p)
A
†
R
=
p,α,β
cos θ
R
(p) +
αβ3
e
iξ
R
(p)
sin θ
R
(p) a
†
Ruα
(p) a
†
Rdβ
(−p)
(A.4)
onde α, β s˜ao ´ındices de cor, u,d s˜ao os sabores e a
†
´e o operador cria¸c˜ao. Os ´ındices L
e R referem-se a quarks sem massa com quiralidade (helicidade) m˜ao esquerda e m˜ao
direita respectivamente.
Os pares de Cooper descritos por este ansatz s˜ao antisim´etricos na cor e no
sabor devido as rela¸c˜oes de anticomuta¸c˜ao relacionadas a esses operadores. Os θ’s and
ξ’s s˜ao os parmetros variacionais do nosso ansatz e ser˜ao escolhidos para minimizar a
energia livre deste estado BCS. Temos tamb´em que levar em conta o emparelhamento
AP
ˆ
ENDICE A. EQUAC¸
˜
AO DE GAP PELO M
´
ETODO VARIACIONAL 75
das anti-part´ıculas o que introduz mais um termo na fun¸c˜ao de onda BCS. Isto apenas
aumenta o n´umero de equa¸c˜oes, mas no final, ao obter a equa¸c˜ao de gap incluiremos a
contribui¸c˜ao das anti-part´ıculas e veremos que ´e pequena.
Ao fazer o c´alculo do condensado para a quiralidade m˜ao esquerda
Γ
L
≡ −
1
2
Ψ|
ij
αβ3
ψ
iα
(r)CL ψ
jβ
(r)|Ψ (A.5)
na fun¸c˜ao de onda teste vemos que n˜ao ´e nulo. Aqui, C = iγ
0
γ
2
e L = (1 − γ
5
)/2 ´e o
usual operador de proje¸c˜ao m˜ao esquerda.
Ao fazer o c´alculo explicito usando a fun¸c˜ao de onda BCS, o condensado Γ
L
pode ser expresso em termos dos parmetros variacionais como:
Γ
L
=
4
V
p
sin θ
L
(p) cos θ
L
(p)e
i(ξ
L
(p)−φ(p))
(A.6)
onde V ´e o volume do sistema e a dependncia no ngulo φ aparece ao utilizar as con-
ven¸c˜oes para os spinores descrita em [2, 6, 7].
A express˜ao para o condensado quiral m˜ao direita Γ
R
´e essencialmente a mesma
que a da Eq. (A.6), a menos de uma fase, e ´e dada por:
Γ
R
=
4
V
p
sin θ
R
(p) cos θ
R
(p)e
i(ξ
R
(p)−(π−φ(p)))
(A.7)
Ao considerarmos um sistema infinito, podemos fazer a seguinte substitui¸c˜ao
nestas equa¸c˜oes:
1
V
p
→
d
3
p
(2π)
3
Nossa escolha simplificada do fator de forma restringe o limite de integra¸c˜ao
desta integral para |p| < Λ. Al´em disso, a fun¸c˜ao de onda trivial pode ser obtida pela
fun¸c˜ao de onda BCS para os ngulos quirais:
θ
L
(p) = θ
R
(p) =
π/2 para |p| > µ
0 para |p| < µ
(A.8)
que s˜ao exatamente os ngulos que tornam nulos os condensados.
Podemos calcular explicitamente o valor esperado da energia livre (A.1) no
AP
ˆ
ENDICE A. EQUAC¸
˜
AO DE GAP PELO M
´
ETODO VARIACIONAL 76
estado |Ψ e obtemos:
Ψ|Ω|Ψ = 4
p
(|p| − µ) sin
2
θ
L
(p) + 4
p
(|p| − µ) sin
2
θ
R
(p) + H
I
(A.9)
onde
H
I
= −
GV
2
|Γ
L
|
2
+ |Γ
R
|
2
(A.10)
est´a escrito em fun¸c˜ao dos condensados que s˜ao fun¸c˜oes dos parmetros variacionais.
N˜ao consideramos a contribui¸c˜ao para Ω devida terceira cor do quark, pois esta n˜ao
participa do emparelhamento.
Aplicando a princ´ıpio variacional em rela¸c˜ao aos ξ’s, encontramos que eles devem
cancelar as fases φ(p) na Eq. (A.6). Deste modo, n´os obtemos a maior coerncia na
soma em p, o que nos fornece o maior valor para o condensado e consequentemente o
menor valor para a energia livre. Para que aconte¸ca este cancelamento das fases nas
express˜oes dos condensados
ξ
L
(p) = φ(p) + ϕ
L
ξ
R
(p) = π − φ(p) + ϕ
R
(A.11)
onde ϕ
L
e ϕ
R
s˜ao ngulos arbitr´arios p-independentes. Estas fases constantes n˜ao afetam
a energia livre - elas correspondem aos b´osons de Goldstone da quebra de simetria
quiral, m˜ao direita e m˜ao esquerda - e portanto n˜ao s˜ao fixos pelo m´etodo variacional.
Por convenincia, definimos ϕ
L
= ϕ
R
= 0, e obtemos condensados e parmetros do gap
∆ puramente reais ao anular as exponenciais nas express˜oes dos condensados.
Agora, aplicamos o princ´ıpio variacional para determinar os ngulos quirais θ(p)
L,R
nas nossas fun¸c˜oes de onda BCS teste, minimizando a energia livre:
∂Ω
∂θ(p)
L,R
= 0
Como os resultados s˜ao os mesmos para o condensado m˜ao esquerda ou m˜ao direita,
vamos eliminar os ´ındices L e R dos ngulos quirais e dos condensados. Fazendo estas
derivadas explicitamente na express˜ao do valor esperado da energia livre dada acima,
facilmente obtemos que
tan 2θ(p) =
∆
|p| − µ
(A.12)
onde ∆ = GΓ. Com os ngulos θ expressos agora em termos de ∆, podemos usar a
fun¸c˜ao de onda |Ψ para obter a rela¸c˜ao de dispers˜ao de quasi-part´ıculas
AP
ˆ
ENDICE A. EQUAC¸
˜
AO DE GAP PELO M
´
ETODO VARIACIONAL 77
E(p) =
(|p| − µ)
2
+ ∆
2
(A.13)
onde E ´e o custo de energia livre para remover um par e substituir ele por um quark
u com momento p e um quark d com momento −p. Este resultado confirma que ∆ ´e
o gap no espectro de excita¸c˜oes fermiˆonicas.
Substituindo θ da Eq. (A.12) na Eq. (A.6) e usando a rela¸c˜ao ∆ = GΓ, obtemos
a equa¸c˜ao para o gap ∆
1 =
2G
V
p
1
(|p| − µ)
2
+ ∆
2
+
1
(|p| + µ)
2
+ ∆
2
(A.14)
O primeiro termo do lado direito da equa¸c˜ao de gap, Eq. (A.14) conduz a uma
divergncia logar´ıtmica na superf´ıcie de fermi se ∆ → 0. Este termo ´e a contribui¸c˜ao da
equa¸c˜ao de gap para a part´ıcula-buraco (a quasi-part´ıcula), e a divergncia logar´ıtmica
´e a manifesta¸c˜ao da instabilidade BCS. Por causa da divergncia do lado direito para
∆ → 0, deve haver uma solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao de gap com ∆ = 0 mesmo para valores
pequenos da constante de acoplamento G, bastando para isso que G seja positivo
(atrativo) visto o lado direito da equa¸c˜ao do gap ter ser positivo. O segundo termo, com
(|p|+ µ) no denominador, ´e a contribui¸c˜ao das antipart´ıculas, que n˜ao foi considerado
nos c´alculos mas que inclu´ımos agora.
´
E interessante notar que apesar de ∆ aparecer
tanto na parte de anti-part´ıculas quanto na de part´ıcula-buraco , a contribui¸c˜ao das
anti-part´ıculas para a equa¸c˜ao do gap ´e pequena, pois o seu denominador ´e sempre
maior que µ.
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