ads:
RICARDO DE SOUSA COSTA
Estudo do espectro das massas de blindagem de cor em
QCD na rede a temperatura finita
Rio de Janeiro
2008
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
Centro de Tecnologia e Ciência
Instituto de Física Armando Dias Tavares
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
RICARDO DE SOUSA COSTA
Estudo do espectro das massas de blindagem de cor em
QCD na rede a temperatura finita
Orientador: Prof. Dr. Marcelo Chiapparini
Co-orientadora: Profa. Dra. Tereza Cristina Mendes
Rio de Janeiro
2008
Tese apresentada, como requisito
parcial para obtenção do título de
Doutor, ao Programa de Pós-
Graduação em Física, da Universidade
do
Estado do Rio de Janeiro. Área de
Concentração: Física Hadrônica.
ads:
CATALOGAÇÃO NA FONTE
UERJ/REDE SIRIUS/ BIBLIOTECA CTC-D
Autorizo, apenas para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta
tese.
_______________________________ _________________________
Assinatura Data
C837 Costa, Ricardo de Sousa
.
Estudo do espectro das massas de blindagem de cor em QCD na
rede a temperatura finita / Ricardo de Sousa Costa. – 2008.
173f. : il.
Orientador: Prof. Dr. Marcelo Chiapparini.
Co-orientadora: Profa. Dra. Tereza Cristina Mendes.
Tese (Doutorado) – Universidade do Estado do Rio de
Janeiro, Instituto de Física Armando Dias Tavares.
1. Cromodinâmica quântica – Teses. 2. Hádrons – Teses
I. Chiapparini, Marcelo. II.Mendes, Tereza Cristina. III.
Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto de Física
Armando Dias Tavares. IV. Título.
CDU 539.184
RICARDO DE SOUSA COSTA
Estudo do espectro das massas de blindagem de cor em
QCD na rede a temperatura finita
Aprovado em 2 de Julho de 2008
Banca Examinadora:
___________________________________________________
Prof. Dr. Marcelo Chiapparini
Instituto de Física Armando Dias Tavares (IFADT-UERJ)
___________________________________________________
Prof. Dr. Antonio Delfino Junior
Universidade Federal Fluminense (IF-UFF)
___________________________________________________
Prof. Dr. Sergio Barbosa Duarte
Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF)
___________________________________________________
Prof ª. Dra. Mirian Enriqueta Bracco
Instituto de Física Armando Dias Tavares (IFADT-UERJ)
___________________________________________________
Prof. Dr. César Augusto Linhares da Fonseca Junior
Instituto de Física Armando Dias Tavares (IFADT-UERJ)
___________________________________________________
Prof. Dr. José de Sá Borges Filho
Instituto de Física Armando Dias Tavares (IFADT-UERJ)
___________________________________________________
Prof. Dr. Sebastião Alves Dias
Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF)
Rio de Janeiro
2008
Tese apresentada, como requisito parcial
para obtenção do título de Doutor, ao
Programa de Pós-Graduação em Física,
da Universidade do Estado do Rio de
Janeiro. Área de Concentração: Física
Hadrônica.
AGRADECIMENTOS
Gostaria de expressar meus mais sinceros agradecimentos para todos aqueles, que, de uma
forma ou de outra, contribu´ıram para a realiza¸c˜ao deste trabalho. N˜ao necessariamente na
ordem de importˆancia, s˜ao os que cito.
Agrade¸co, portanto, `a minha m˜ae, Maria de F´atima de Sousa Costa, e a meu tio, Ilauro
Bento de Sousa, pelo apoio incondicional, moral e financeiro ao longo de toda minha jornada
pela F´ısica. N˜ao existem palavras ou atos que possam retribuir o que fizeram por mim.
A minha namorada Lucia Helena que tem me ajudado e apoiado, na horas mais dif´ıcies, e
apesar do pouco tempo que passamos juntos, a conseguir meus objetivos.
Agrade¸co ao meu orientador, Prof. Marcelo Chiapparini, pela orienta¸c˜ao e enorme paciˆen-
cia, sempre estando disposto a tirar minhas diversas d´uvidas sobre os programas em Fortran;
me auxiliando bastante nas figuras desta Tese; me ajudando na elabora¸c˜ao e apresenta¸c˜ao
dos trabalhos apresentados em congressos. Enfim, me mostrando os verdadeiros valores da
pesquisa cient´ıfica e me ensinou a ver a F´ısica com mais seriedade de um jeito simples, belo
e eficiente. N˜ao poderia deixar de agradecer, tamb´em, a minha co-orientadora, Profa. Tereza
Mendes, pela sua co-orienta¸c˜ao e seu acolhimento no Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos (USP)
e na sua casa, nas vezes que precisei estar em S˜ao Carlos. Foi a Profa. Mendes quem
sugeriu o tema dessa Tese, como continua¸c˜ao dos trabalhos iniciados em [1]. Agrade¸co-
a pela sua enorme paciˆencia, sempre mostrando-se disposta a tirar minhas d´uvidas, fossem
elas te´oricas ou sobre programa¸c˜ao. Desde a fase inicial deste trabalho e at´e a final as d´uvidas
eram enormes e foi preciso muita intera¸c˜ao seja com ela, seja com meu orientador, seja com
todos juntos, para que obtivessemos nossos primeiros resultados em QCD na rede. Agrade¸co
tamb´em ao Professor Att´ılio Cucchieri do Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, pois sempre
que precisei estava disposto a tirar minhas enormes d´uvidas sobre simula¸c˜oes num´ericas, me
disponibilizando salas e computadores. Enfim, agrade¸co o acolhimento que tive no Instituto
de F´ısica de S˜ao Carlos e na cidade de S˜ao Carlos, onde tive toda liberdade de desenvolver
parte do meu trabalho. Espero continuar indo l´a e a aprender cada vez mais.
Agrade¸co, ainda, aos meus colegas Antonio Mihara e Fernando Henrique pelo companhe-
rismo, estando sempre dispostos a me dar suporte na cidade de S˜ao Carlos, na indica¸c˜ao de
bares, restaurantes, hoteis e etc. N˜ao podeira deixar de mencionar aqui que foi no Intituto
de F´ısica de S˜ao Carlos, no ano de 2003, na primeira Escola de Computa¸c˜ao de Alto De-
sempenho para Sistemas Complexos, que juntamente com meu orientador e estimulados pelo
Prof. Gast˜ao Krein, come¸camos os estudos nessa ´area.
Gostaria de agradecer aos meus colegas Graziela Grize e Andr´e Taurines pela ajuda que
me deram na parte inicial da minha tese, onde comecei a dar meus primeiros passos em
QCD na rede. Agrade¸co, tamb´em, ao meu colega Gino Annanos pela ajuda que me ofecereu,
principalmente, na parte referente ao desenvolvimento dos programas em Fortran. Sempre
fazendo compara¸c˜oes com os seus programas em rela¸c˜ao aos feitos por mim.
N˜ao poderia deixar de agradecer o grande suporte computacional fornecido pela Hep-Grid-
UERJ, pois na parte mais trabalhosa desta Tese seu aux´ılio foi fundamental. Logo, agrade¸co
ao Professor Alberto Santoro, por ter me possibilitado o acesso e a Eduardo Revoredo, Jose
Afonso e Patricia Bittencourt, do apoio t´ecnico, por estarem sempre dispostos a me ajudar
quando por qualquer motivo meus programas em Fortran na Hep-Grid ficavam travados.
N˜ao devo deixar de citar os professores que foram importantes na minha forma¸c˜ao,
Profs. Anibal Leonardo, Arnaldo Jos´e Santiago (orientador de mestrado), Marcelo Chiap-
parini e James Skea.
Gostaria de fazer um agradecimento especial a professora Miriam Bracco do Instituto
de F´ısica da UERJ, pois na fase inicial deste trabalho aceitou a propasta de ser minha co-
orientadora, me ajudando a consolidar fundamentos te´oricos e logo em seguida passando a
responsabibilidade dessa co-orienta¸c˜ao `a professora Tereza Mendes.
Agrade¸co ainda ao Programa de P´os Gradua¸c˜ao em F´ısica da Universidade do Estado
do Rio de Janeiro - UERJ pela oportunidade de realizar este trabalho. Em particular aos
coordenadores Profs. Marcelo Chiapparini, Henrique de Oliveira e Rudinei de Oliveira Ramos.
Bem como as secret´arias Fernanda, Fl´avia, Keyla e Laurimar e ao secret´ario Rog´erio.
`
A CAPES pelo apoio financeiro.
Aos meus grandes amigos e colegas de que j´a passaram ou est˜ao cursando o Programa de
P´os Gradua¸c˜ao em F´ısica, pelo companherismo de todos os dias.
E, finalmente, a todos aqueles que por um motivo ou outro n˜ao est˜ao presentes nesta
injusta carta de agradecimento.
RESUMO
COSTA, Ricardo de Sousa. Estudo do espectro das massas de blindagem de cor em QCD na
rede a temperatura finita. 2008. 173f. Tese (Doutorado)-Instituto de Física, Universidade
do Estado do Rio de Janeiro, 2008.
Neste trabalho estudamos o espectro das massas de blindagem mais baixas em teorias
do tipo Yang-Mills na rede. Utilizamos os grupos de calibre SU(2) e SU(3) em 2 + 1 e 3 + 1
dimensões. Os cálculos foram realizados perto da temperatura crítica da transição de fase
confinamento-desconfinamento. Obtivemos valores para as razões entre as massas
consistentes com os valores previstos a partir de argumentos de universalidade.
Palavras-Chaves: Massas de blindagem. Laço de Polyakov. Função de correlação. QCD
pura. QCD na Rede. Monte Carlo.
ABSTRACT
In this work we study the spectrum of the lowest screening masses for Yang-Mills
theories on the lattice. We used the gauge groups SU(2) and SU(3) in 2 + 1 and 3 + 1
dimensions. Calculations were done near the critical temperature of the confinement-
desconfinement phase transition. We obtained values for the ratios of the screening masses
consistent with predictions from universality arguments.
Keywords: Screening masses. Polyakov Loop. Correlation function. Quenched QCD. Lattice
QCD. Monte Carlo.
LISTA DE FIGURAS
1.1 Discretização no intervalo de tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.2 Trajetória de uma partícula no espaço tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.3 Rotação de Wick da parte imaginaria para a parte real da coordenada de tempo . . .
32
1.4 Uma rede tri-dimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.5 Trajetória C entre x e y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.6 Elo b =< x; y > entre os pontos x e y da rede. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
1.7 Plaqueta U (x)
µν
nas direções µ e ν da rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
1.8 Laço deWilson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
1.9 Correlações de plaquetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.10 Redes bi-dimensionais com incremento do comprimento de correlação. . . . . . . . . .
55
1.11 Cenário da escala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
2.1 Densidades de probabilidades p(x) e q(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.1 Os grampos Σ
(+)
e Σ
( - )
no caso de d = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.2 Representação comparativa das funções f (x) (Eq. (3.34), linha cheia), a proposta
para majorar utilizada por Creutz (exponencial, linha pontilhada) e a proposta
deste trabalho g*(x) (linha tracejada, Eq. (3.37)), para h = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
3.3 Probabilidade de aceitabilidade Eq. (3.42), para a função exponencial (linha
tracejada) e a função proposta neste trabalho Eq. (3.37) (linha cheia) . . . . . . . . . . .
87
3.4 Probabilidades de aceitabilidade Eq. (3.42) geradas pelos métodos de Creutz (linha
pontilhada), Kennedy-Pendleton (linha tracejada) e a proposta deste trabalho Eq.
(3.37) (linha cheia). As curvas de Creutz e Kennedy-Pendleton foram obtidas da
referência [63] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
3.5 A plaqueta media em função dos passos de Monte Carlo MM C para uma teoria de
calibre pura Z
2
e β = 0,42, onde e evidente a termalização a partir de MM C ≥ 140
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
3.6 A plaqueta media em função dos passos de Monte Carlo MM C para uma teoria de
calibre pura Z
2
e β = 0,455, onde e evidente a termalização a partir de MM C ≥
160. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
3.7 A plaqueta média em função da constante de acoplamento β para uma teoria de
calibre pura Z
2
. Note a transição de fase ocorre para β
≅
0,44. . . . . . . . . . . . . . . . .
96
4.1 Diagrama de fases para um sistema líquido-gás. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
4.2 Diagrama de fases para o magneto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
4.3 Gráfico da temperatura adimensionalizada T/T
c
em função da densidade
adimensionalizada ρ= ρ
c
para oito sistemas gasosos. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
100
4.4 Representação esquemática de um sistema de spins unidimensional. . . . . . . . . . . . .
102
4.5 Representação esquemática de um onda de spins numa rede unidimensional (para
clareza da figura, o tamanho de alguns spins foi modificado) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
4.6 Representação do laço de Polyakov ao redor da direção temporal em duas
dimensões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
4.7 Dois laços de Polyakov, ao redor da direção temporal, usados para medir a energia
livre de um par qq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
4.8 Ocorrências do laço de Polyakov em β > β
c
(fase desconfinada) para o grupo
SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
4.9 Gráfico do módulo do laço de Polyakov em função da constante de acoplamento β
e para diversos tamanhos de rede da forma N
2
x 4 no caso de puro calibre SU(2). . .
112
4.10 Blindagem do campo elétrico produzido por uma carga Q negativa no centro. . . . .
117
4.11 Visão quântica da blindagem de um campo elétrico produzido por uma carga Q no
centro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
5.1 Ajustes na curva de correlação para SU(2) em 2 + 1 dimensões com β = 6,5 em
uma rede de 180
2
x 4 sítios onde as curvas representam de baixo para cima os
ajustes com a massa do estado fundamental m
1
; estado fundamental m
1
e primeiro
excitado m
2
; estado fundamental m
1
, primeiro excitado m
2
e segundo excitado m
3
;
estado fundamental m
1
, primeiro excitado m
2
, segundo excitado m
3
e terceiro
excitado m
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
5.2 Espectro das massas de blindagem gluônicas apresentado na Tabela 5.2. . . . . . . . .
126
5.3 Função de Correlação do Laço de Polyakov para SU(2) em 2 + 1 dimensões com β
= 6,55 numa rede de 180
2
x 4 sítios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
5.4 Ajustes na curva de correlação para SU(2) em 2 + 1 dimensões com β = 6,55 em
uma rede de 180
2
x 4 sítios onde as curvas representam de baixo para cima os
ajustes com a massa do estado fundamental m
1
; estado fundamental m
1
e primeiro
excitado m
2
; estado fundamental m
1
, primeiro excitado m
2
e segundo excitado m
3
;
estado fundamental m
1
, primeiro excitado m
2
, segundo excitado m
3
e terceiro
excitado m
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
5.5 Espectro das massas de blindagem gluônicas apresentado na Tabela 5.4 . . . . . . . . .
130
5.6 Razão entre as massas dos estados excitados em relação ao fundamental
apresentada na Tabela 5.5. As linhas tracejadas horizontais representam as mesmas
razões para o Modelo de Ising 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
5.7 Razão entre as massas dos estados excitados em relação ao fundamental
apresentada na Tabela 5.6. As linhas tracejadas horizontais representam as mesmas
razões para o Modelo de Ising 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
5.8 Função de correlação para SU(2) em 3+1 dimensões para uma rede de 100
3
x 4 e β
= 2,4, onde os ajustes da função de correlação foram feitos com a Eq.(5.6) a partir
da massa m
1
até a m
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
5.9 Espectro das massas de blindagem gluônicas obtidos na Tabela 5.8. . . . . . . . . . . . .
136
5.10 Razão entre a massa dos estados excitados em relação ao fundamental obtidos na
Tabela 5.9. A linha tracejada horizontal representa a mesma razão para o Modelo
de Ising 3D, com sua incerteza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
5.11 Função de correlação para SU(2) em 3+1 dimensões no canal 0
+
para β = 2,4 numa
rede 20
3
x 4, onde a linha tracejada representa o ajuste da função de correlação
feito com a Eq. (5.6) com apenas a massa do estado fundamental (m
1
). . . . . . . . . . .
138
5.12 Função de correlação para SU(2) em 3+1 dimensões no canal 2
+
para β = 2,4 numa
rede 20
3
x 4, onde a linha tracejada representa o ajuste da função de correlação
feito com a Eq.(5.6) com apenas a massa do estado fundamental (m
1
). . . . . . . . . . .
139
5.13 Gráfico da parte real e imaginária do laço de Polyakov em redes de 32
2
x 4 para
SU(3) em 2 + 1 dimensões e para diferentes valores de β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
B.1 Representação dos spins posicionados nos vértices de uma rede bi-dimensional . . .
149
B.2 Representação gráfica dos spins na rede. O símbolo ↑ está associado ao valor 1 e o
símbolo ↓ está associado ao valor -1. Na Figura a) todos os spins na rede estão
alinhados para cima. Na Figura c) todos os spins na rede estão alinhados para
baixo. Na Figura b) os spins na rede estão alinhados de forma desordenada e na
Figura d) metade dos spins na rede estão alinhados para baixo e a outra metade
para cima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
B.3 A magnetização versus os passos de Monte Carlo M
mc
, para uma rede 100
2
em β =
0,4, onde a termalização acontece para M
mc
≥ 90. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
B.4 A magnetização versus os passos de Monte Carlo M
mc
, em uma rede 100
2
na
região do ponto cítico β = 0,4406. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155
B.5 A magnetização versus os passos de Monte Carlo M
mc
, para uma rede 100
2
em β =
0,45, onde a termalização acontece para M
mc
≥ 900. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155
B.6 A magnetização versus os passos de Monte Carlo M
mc
, para uma rede 100
2
em β =
0,5, onde a termalização acontece para M
mc
≥ 3200. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
B.7 A magnetização versus os passos de Monte Carlo M
mc
, para uma rede 100
2
em β =
0,55, onde a termalização acontece para M
mc
≥ 2700. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
C.1 Diagrama de auto-energia do fóton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
LISTA DE TABELAS
1.1 Equivalência entre as Teorias de Campos Euclidiana e a mecânica estatística . . .
38
4.1 Valores para o espaçamento de rede a e temperatura T para diferentes valores de
β numa teoria de puro calibre SU(2) em 2+1 dimensões correspondentes a uma
rede de extensão temporal Nτ = 4. Os valores com asterisco correspondem aos
valores críticos de transição de fase de desconfinamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
4.2 Valores para o espaçamento de rede a e temperatura T para diferentes valores de
β numa teoria de puro calibre SU(2) em 3+1 dimensões, correspondentes a uma
rede de extensão temporal Nτ = 4. Os valores com asterisco correspondem aos
valores críticos de transição de fase de desconfinamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
5.1 Tempo de correlação para diversos tamanhos de rede na região do ponto crítico
(β = 6,5), para SU(2) em 2+1 dimensões e diversos tamanhos de rede. . . . . . . . . .
123
5.2 Espectro das massas de blindagem na região do ponto critico (β = 6,5) para
SU(2) em 2+1 dimensões e diversos tamanhos de rede N (os valores entre
parênteses são a incerteza no ultimo digito) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
5.3 Tempo de correlação para diversos tamanhos de rede N na região do ponto
critico (β = 6, 55) para SU (2) em 2+1 dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
5.4 Espectro das massas de blindagem na região do ponto crítico (β = 6, 55) para
SU(2) em 2+1 dimensões e diversos tamanhos de rede N (os valores entre
parênteses são a incerteza no último digito ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
5.5 Razão entre as massas de blindagem dos primeiros estados excitados e o
fundamental na região do ponto crítico (β = 6,5) para SU(2) em 2+1 dimensões e
diversos tamanhos de rede N (os valores entre parênteses são a incerteza no
último dígito ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
5.6 Razão entre as massas dos primeiros estados excitados e o fundamental na região
do ponto crítico (β = 6, 55) para SU(2) em 2+1 dimensões e diversos tamanhos
de rede N (os valores entre parênteses são a incerteza no último dígito) . . . . . . . .
131
5.7 Tempo de correlação para diversos tamanhos de redes N na região do ponto
crítico (β = 2,4) para SU(2) em 3+1 dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
5.8 Espectro das massas de blindagem na região do ponto crítico (β = 2,4) para
SU(2) em 3+1 dimensões e diversos tamanhos de rede N (os valores entre
parênteses são a incerteza no último dígito) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
5.9 Razão entre as massas dos primeiros estados excitados e o fundamental na região
do ponto crítico (β=2,4) para SU(2) em 3+1 dimensões e para diversos tamanhos
de rede N (os valores entre parênteses são a incerteza no último dígito). . . . . . . .
135
5.10 Valores das massas de blindagem dos canais 0
+
e 2
+
(este último ainda
preliminar) na região do ponto crítico (β =2,4) para SU(2) em 3+1 dimensões (os
valores entre parênteses são a incerteza no último dígito) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
5.11 Valor preliminar para a razão entre as massas de blindagem dos canais 0+ e 2+
na região do ponto crítico (β=2,4) para SU(2) em 3+1 dimensões (valores entre
parênteses são a incerteza no último dígito) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1 TEORIAS DE CALIBRE NA REDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.1 A formulação de rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.2 Campos quânticos na rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.2.1
A integral de trajetória na mecânica quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.2.2
Teoria Quântica de Campos com integrais funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.2.3
Teoria de campos euclidianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.2.4
Discretização na rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.3 Teorias de calibre na rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.3.1
Transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.3.2
Campos de calibre na rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.3.3
Alguns observáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
1.4 QCD na rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.4.1
Variáveis de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.4.2
Discretizando a ação na QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
1.4.3
Aproximação quenched . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
1.5 Limite do contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2 MONTE CARLO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.1 O método de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.1.1
O método de amostragem por importância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.1.2
O método da rejeição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
2.1.3
Geração de números aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.2 Algoritmos Markovianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.2.1
Cadeias de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.2.2
Algoritmo de Metrópolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.2.3
O método de Banho Térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
2.3 O cálculo dos erros no método de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
2.3.1
Erro para quantidades primárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
2.3.2
Erro para as quantidades secundárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3 SIMULAÇÕES NA REDE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.1 Simulações na rede para SU (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.1.1
Reescrevendo a ação gluônica em termos dos grampos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
3.1.2
O método de banho térmico para SU (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
3.1.3
O método de Metrópolis para SU (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
3.1.4
Atualização microcanônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
3.2 Simulações na rede para SU (N ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
3.2.1
O algoritmo de Banho Térmico para o SU (N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
3.3
Aplicação das técnicas de Monte Carlo na rede para o grupo de calibre
Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
3.3.1
O algoritmo de banho térmico para Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
4 QCD NA REDE A TEMPERATURA FINITA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
4.1 Transições de fase e fenômenos críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
4.2 Fenômenos críticos em modelos de spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
4.3 A transição de desconfinamento na QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
4.3.1
Ação da QCD a temperatura finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
4.4
O laço de Polyakov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
4.4.1
Quebra da simetria de centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
4.4.2
Universalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
4.4.3
A transição de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
4.4.4
Temperatura crítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.5 As massas de blindagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
4.5.1
Blindagem dos campos elétricos em um plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
4.5.2
Blindagem da carga de cor dos quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
4.5.3
O método das múltiplas exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
5 RESULTADOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
5.1 SU (2) em 2 + 1 dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.1.1
Configurações correlacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
5.1.2
Configurações descorrelacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
5.2 SU (2) em 3 + 1 dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
5.3 Resultados preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
5.3.1
Canal 2
+
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
5.3.2
SU(3) em 2+1 dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
6 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
A DETALHES DA CONTA (I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
A.1 Integrais de Caminho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
B TERMALIZAÇÃO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
148
B.1 Modelo de Ising 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
148
B.2 Solução exata do modelo de Ising em 2 dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
B.3 Sorteios dos spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
B.4 Termalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
C DETALHES DA CONTA (II). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
C.1 Auto-energia do fóton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
D OS GRUPOS SU(2) e SU(3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
D.1 SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
D.2 SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
REFERÊNCIAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
PREF
´
ACIO
Foi utilizado nesta Tese o formalismo de QCD na rede. Trata-se de uma t´ecnica para
o estudo das caracter´ısticas da QCD no limite de baixas energias. Este m´etodo parte da
discretiza¸c˜ao do espa¸co-tempo, ou seja o espa¸co-tempo cont´ınuo ´e transformado em uma
rede de pontos tetra-dimensional. Os campos de mat´eria (campos fermiˆonicos) s˜ao definidos
nestes pontos e os campos de intera¸c˜ao (campos bosˆonicos) s˜ao definidos nos elos que ligam
um ponto a outro da rede. Este assunto, QCD na rede, ser´a o objetivo central desta Tese,
onde procuraremos discutir em pormenores as caracter´ısticas desse formalismo e os resulta-
dos que obtivermos ao longo de nossa pesquisa. Esta Tese consiste numa compila¸c˜ao de toda
a pesquisa feita nestes cinco anos de doutorado no Instituto de F´ısica da UERJ em conjunto
com nossos colaboradores do Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos-USP. Parte dos resultados
desta pesquisa pode ser encontrado no trabalho publicado em [2] e os demais resultados j´a se
encontram em prepara¸c˜ao para serem publicados. Durante este per´ıodo, tivemos que apren-
der o formalismo tanto te´orico como computacional sobre o tema QCD na rede. Logo, foi
preciso reproduzir os resultados j´a existentes na literatura sobre o tema [3–5] com os nossos
pr´oprios algoritmos e compar´a-los. Com nossos algoritmos conclu´ıdos e revisados, partimos
na busca dos c´alculos do tema proposto nesta Tese, ou seja as massas de blindagem a qual esta
relacionada `a transi¸c˜ao de fase de confinamento-desconfinamento da QCD. Para ter maior
confiabilidade em nossa pesquisa, tivemos a necessidade de utilizar volumes de redes cada
vez maiores. Isto, devido a toda uma problem´atica que discutiremos no decorrer desta Tese,
nos custou um tempo significativo em nossas simula¸c˜oes, havendo a necessidade dos c´alculos
serem feitos numa rede de computadores (Hep-Grid-UERJ), pois apenas nosso computador
pessoal j´a n˜ao era mais suficiente. Contudo, no decorrer desta Tese, utilizamos o m´etodo das
m´ultiplas exponenciais para os c´alculos das massas de blindagem. Esta escolha foi motivada
pelo fato dos c´alculos das massas de blindagem utilizando outros m´etodos existentes na li-
teratura [6, 7] estarem ainda em desenvolvimento. Apesar do tempo e de toda dificuldade
encontrada em nossas simula¸c˜oes num´ericas fomos capazes de encontrar resultados consisten-
tes que contribuir˜ao para pesquisas j´a existentes [8, 9] e posteriores sobre o tema, que est˜ao
longe de estarem encerradas.
N˜ao nos preocupamos em fornecer explica¸c˜oes sobre Cromodinˆamica Quˆantica. Para
tal nos referimos a literatura existente [10, 11]. Desta forma, esta Tese foi escrita para o
leitor j´a experiente em QCD e com pouca experiˆencia em simula¸c˜oes num´ericas na rede.
Neste sentido, o corpo do texto foi desenvolvido de forma a deixar a leitura fluir, com o
m´aximo de detalhes t´ecnicos poss´ıveis. Nos preocupamos em fornecer um embasamento
te´orico detalhado sobre o tema, fornecendo detalhes sobre os algoritmos e as simula¸c˜oes
num´ericas desenvolvidos neste trabalho e ainda propondo um novo algoritmo original n˜ao
encontrado na literatura. Desnecess´ario dizer, esta Tese est´a longe de ser o fim desta pesquisa
e muito deve ser investigado ainda para uma compreens˜ao completa sobre a transi¸c˜ao de fase
de confinamento-desconfinamento da QCD. Esperamos que o leitor se divirta ao ler esta Tese
tanto quanto n´os nos divertimos ao desenvolvˆe-la.
INTRODUÇÃO
A Cronodinâmica Quântica (QCD) [10, 11] é uma teoria de campo com simetria de calibre
dada pelo grupo SU (3), correspondendo a três possíveis cores. Esta teoria tem sido bem
sucedida e contém ingredientes peculiares da interação forte, ou seja, o confinamento dos
quarks e glúons em hádrons [12]. Os quarks possuem cargas de cor, e interagem entre si via
troca de glúons. A QCD é escrita de forma simples e elegante. Seus parâmetros são apenas
as massas dos vários tipos (chamados sabores) de quarks considerados e o valor da constante
de acoplamento forte. As vezes, por conveniência, o número de cores N pode ser tomado
como variável e passamos a considerar o grupo de calibre SU(N). No caso do grupo SU(3)
temos N
2
– 1 = 8 bósons de calibre, chamados glúons, e os quarks de spin ½ que as partículas de
matéria. Temos, então, seis famílias de quarks ou seis diferentes sabores:
up, down, strange,
charm, bottom e top
. O número de sabores é denominado
N
f
. Os quarks
charm, botton e top
são
considerados pesados, sendo suas massas maiores do que 100
MeV.
O quark
strange
é
considerado intermediário. Os quarks
up
e
down
são considerados de massas leves, sendo estas da
ordem de poucos
MeVs.
A forma da lagrangiana da QCD é a mesma que a da Eletrodinâmica Quântica (QED), com
os quarks correspondendo aos elétrons e os glúons aos fótons (os dois primeiros são
férmions e os dois últimos são bósons vetoriais sem massa). Analogamente, a constante de
acoplamento forte α
s
corresponde à constante de estrutura fina α ~ 1/137. Porém, o fato de o
grupo de calibre da QCD não ser abeliano introduz diferenças qualitativas entre as duas
teorias, refletindo as diferenças entre as interações fortes e as interações eletromagnéticas. Em
particular, obtém-se que os glúons possuem carga de cor e, portanto, interagem entre si, ao
contrário dos fótons.
Uma característica importante da interação forte e que a constante de acoplamento
α
s
torna-se desprezível somente no limite de pequenas distâncias, ou equivalentemente, no limite
de altas energias ou momentos. Esta propriedade é chamada de
liberdade assintótica
. A
distâncias maiores (i.e. a energias menores) há um aumento da intensidade da interação e
acredita-se que a grandes distâncias a força de atração entre quarks seja constante, determinando
o confinamento de quarks e glúons dentro de hâdrons. O fato de α
s
não ser
18
desprez´ıvel a baixas energias faz com que o estudo de fenˆomenos importantes como o meca-
nismo de confinamento, o espectro de massas dos h´adrons e a transi¸c˜ao de desconfinamento
a temperatura finita seja inacess´ıvel a c´alculos utilizando teoria de perturba¸c˜oes, a qual se
baseia em uma expans˜ao de acoplamentos fracos. Estes fenˆomenos devem, portanto, ser
estudados de maneira n˜ao-perturbativa.
Apesar de ser sido desenvolvida h´a aproximadamente trinta anos, s´o apartir de meados
dos anos noventa o formalimo das Teorias de Calibre na rede tornou-se vi´avel para a resolu¸c˜ao
de problemas reais. Atualmente, este ´e um dos m´etodos mais utilizados no contexto da f´ısica
conteporˆanea de altas energias, sendo o mais importante m´etodo existente para c´alculos
n˜ao-pertubativos na QCD. De fato, o estudo n˜ao-perturbativo da QCD torna-se poss´ıvel na
formula¸c˜ao de rede [13], a qual consiste na quantiza¸c˜ao por meio de integrais de trajet´oria,
na continua¸c˜ao para tempos imagin´arios ou euclidianos e na regulariza¸c˜ao de rede (dada
pela discretiza¸c˜ao do espa¸co-tempo). Desta forma, a teoria pode ser vista como um modelo
de Mecˆanica Estat´ıstica Cl´assica. O limite do cont´ınuo, no qual s˜ao obtidos os resultados
f´ısicos, ´e dado pelo ponto cr´ıtico deste modelo, que pode ser estudado atrav´es dos m´etodos
usuais em Mecˆanica Estat´ıstica. Em particular, podem ser aplicadas simula¸c˜oes num´ericas
de Monte Carlo, que se baseiam em uma descri¸c˜ao estoc´astica dos sistemas considerados
[14]. Devido `a maior complexidade da intera¸c˜ao e ao grande n´umero de graus de liberdade,
estas simula¸c˜oes s˜ao muito mais elaboradas para a QCD do que para os modelos usuais em
Mecˆanica Estat´ıstica, requerendo consider´aveis recursos computacionais.
A populariza¸c˜ao desta t´ecnica s´o foi poss´ıvel gra¸cas ao enorme avan¸co computacional
ocorrido nos ´ultimos vinte anos, que tornou vi´avel sua utiliza¸c˜ao em problemas de relevˆancia
f´ısica. A alta demanda computacional ´e um fator restritivo at´e hoje, limitando a precis˜ao
dos resultados e, muitas vezes, levando o pesquisador a fazer algumas simplifica¸c˜oes no pro-
blema que pretende resolver. De fato, em geral ´e necess´aria a simula¸c˜ao em potentes super-
computadores paralelos, alguns dos quais foram projetados e produzidos especificamente
para o estudo da QCD na rede, como o QCDOE nos EUA, o Hitachi/CP-PACS no Jap˜ao e o
APE-Mext na Europa. Apenas recentemente tornou-se poss´ıvel a simula¸c˜ao da QCD em sis-
temas de computadores de pequeno porte, os chamados clusters de PCs. Estes sistemas n˜ao
apresentam ainda a mesma eficiˆencia de paraleliza¸c˜ao das m´aquinas de arquitetura paralela,
mas seu custo ´e muito menor.
Al´em da potˆencia computacional, s˜ao muito importantes nesta ´area as t´ecnicas num´ericas
e anal´ıticas utilizadas nas simula¸c˜oes e na interpreta¸c˜ao dos dados produzidos. Progressos
significativos tˆem sido alcan¸cados atrav´es do desenvolvimento de algoritmos de simula¸c˜ao
19
mais eficientes, de novos m´etodos de interpola¸c˜ao e extrapola¸c˜ao dos dados num´ericos e de
um melhor entendimento dos efeitos sistem´aticos a que os resultados das simula¸c˜oes podem
estar sujeitos, como efeitos de volume finito e efeitos de discretiza¸c˜ao.
H´a atualmente um grande interesse nos resultados das simula¸c˜oes descritas acima e espera-
se que sejam finalmente resolvidas diversas quest˜oes te´oricas a respeito do Modelo Padr˜ao
e da QCD [15]. Apesar da grande dificuldade computacional, estudos num´ericos de QCD
na rede tˆem fornecido importantes contribui¸c˜oes recentemente, como c´alculos acurados da
constante de acoplamento forte [16] e do espectro de massas hadrˆonicas [17]. Em particular,
simula¸c˜oes de rede constituem a ´unica evidˆencia te´orica para a transi¸c˜ao de desconfinamento
de quarks a temperatura finita [18–23], sendo suas previs˜oes de direto interesse para os atuais
experimentos de busca de novos estados da mat´eria nos laborat´orios Brookhaven e, em breve,
no CERN.
Acredita-se que em condi¸c˜oes extremas de temperatura ou press˜ao os quarks e gl´uons pos-
sam ser encontrados desconfinados fora dos h´adrons, formando o chamado Plasma e Quarks
e Gl´uons (QGP) [24]. A natureza do QGP na fase de desconfinamento n˜ao est´a totalmente
entendida ainda. Este plasma se comportaria como um l´ıquido interagente com fortes efeitos
coletivos da mat´eria que o comp˜oe. Este estado n˜ao est´a em desacordo com o conceito de
confinamento. Ao contr´ario disto, os efeitos coletivos fazem com que as part´ıculas interajam
fortemente umas com as outras, formando o equivalente de um grande h´adron contendo todas
elas.
Surge, ent˜ao, o interesse em investigar a transi¸c˜ao da fase hadrˆonica para esta fase de
plasma. Trabalharemos nesta Tese com um sistema simplificado, onde incluiremos apenas
os gl´uons, deixando de lado os quarks dinˆamicos na chamada aproxima¸c˜ao quenched. Este
sistema possui uma simetria global Z
N
que ´e quebrada espontaneamente ao passar para a
fase desconfinada. Assim, podemos acompanhar a evolu¸c˜ao temporal do sistema atrav´es de
um parˆametro de ordem que assume valores diferentes, que dependem de a simetria estar
quebrada ou restaurada, ou seja, adquirindo diferentes valores para cada uma das fases.
Com argumentos relacionados `a sua classe de universalidade, mostra-se que este parˆametro
de ordem, o la¸co de Polyakov [25, 26], tem o mesmo comportamento cr´ıtico dos sistemas de
spins Z(N).
Estudos de QCD a temperatura finita [25, 27] tˆem indicado que o QGP, assim como seu
an´alogo eletromagn´etico, deve sofrer efeitos de blindagem de Debye [21,23, 28–31] devido ao
desconfinamento das cargas de cor. Este efeito dotaria os gl´uons de uma massa dinˆamica de
Debye, o que transformaria o potencial de longo alcance em uma vers˜ao do tipo Yukawa. Um
20
dos objetivos principais desta Tese ´e obter estas massas de blindagem gluˆonicas no caso de
uma teoria de calibre pura SU(2) em 2 + 1 e em 3 + 1 dimens˜oes.
Mais precisamente, tratamos neste trabalho de diversos problemas relacionados a c´alculos
de QCD na rede, procurando associar teoria, m´etodos computacionais e an´alises dos erros
nos resultados. Estudamos tamb´em uma diversidade de m´etodos e problemas, abordando,
por exemplo, c´alculos com os grupos de calibre SU(2) e SU(3), m´etodos computacionais
variados e problemas a temperarura finita, tais como c´alculos das j´a mencionadas massas de
blindagem de Debye.
Esta Tese esta organizada da seguinte maneira. No Cap´ıtulo 1 apresentamos os elemen-
tos das Teorias de Calibre no contexto do formalismo de rede. Come¸camos o cap´ıtulo fa-
zendo uma introdu¸c˜ao ao formalismo de integrais de trajet´oria de Feymann, apresentado para
Mˆecanica Quˆantica e generalizado para fun¸c˜oes de Green bosˆonicas e fermiˆonicas. Em seguida
estendemos essas express˜oes para o espa¸co euclidiano, fazendo uma continua¸c˜ao anal´ıtica da
vari´avel temporal a tempos imagin´arios e, em seguida, a discretiza¸c˜ao do espa¸co-tempo na
rede. Implementaremos assim, os trˆes ingredientes essenciais para a formula¸c˜ao na rede: o
formalismo de integrais de trajet´oria de Feymann, a formula¸c˜ao euclidiana e a introdu¸c˜ao
da rede discreta para o espa¸co-tempo. Posteriormente introduzimos a rede em si, discutindo
a discretiza¸c˜ao do espa¸co-tempo para Teorias de Calibre e calculamos alguns observ´aveis.
Finalmente apresentamos uma vers˜ao discretizada da a¸c˜ao da QCD, a aproxima¸c˜ao utilizada
neste trabalho e o retorno para o cont´ınuo.
O Cap´ıtulo 2 descreve o m´etodo de Monte Carlo. Nele est˜ao descritos todos os m´etodos
utilizados, de maneira bastante detalhada. Explicamos de in´ıcio o que ´e o m´etodo de Monte
Carlo e o porquˆe de sua utiliza¸c˜ao. Em seguida, detalhamos os principais algoritmos de
atualiza¸c˜ao utilizados na ´area, a saber: m´etodo de Metr´opolis e Banho T´ermico. H´a ainda
um t´opico dedicado inteiramente ao c´alculo de erros, de fundamental importˆancia j´a que
estamos utilizando procedimentos estat´ısticos na solu¸c˜ao de integrais.
O Cap´ıtulo 3 fornece explica¸c˜oes espec´ıficas dos algoritmos de atualiza¸c˜ao para cada um
dos grupos de calibre utilizados nesta Tese (SU(2) e SU(3)). Por fim, encerramos este
cap´ıtulo com uma aplica¸c˜ao do m´etodo de Monte Carlo para o grupo de calibre Z
2
, onde
fizemos uma compara¸c˜ao dos resultados obtidos com os resultados de [4] e apresentamos
ainda um m´etodo alternativo para o sorteio de matrizes do SU(2).
No Cap´ıtulo 4 introduzimos a a¸c˜ao da QCD a temperatura finita. Discutimos tamb´em a
transi¸c˜ao de fase de desconfinamento da QCD, tendo o la¸co de Polyakov como o parˆametro
de ordem da teoria. Como esta transi¸c˜ao de fase corresponde a um fenˆomeno cr´ıtico, dedi-
21
camos a primeira se¸c˜ao do cap´ıtulo a uma breve revis˜ao sobre este t´opico. Em seguida, o
formalismo da QCD a temperatura finita, empregado na investiga¸c˜ao da mat´eria hadrˆonica
em condi¸c˜oes extremas, ´e introduzido e utilizado no c´alculo do la¸co de Polyakov. Devido `as
simula¸c˜oes num´ericas de Monte Carlo sofrerem efeitos dos erros num´ericos estat´ısticos [32]
e erros sistem´aticos provenientes do tamanho finito das redes empregadas, que restringem
a determina¸c˜ao acurada de uma temperatura cr´ıtica via c´alculos do la¸co de Polyakov, na
escolha da temperatura cr´ıtica utilizaremos dos resultados obtidos por [1] atrav´es do m´etodo
do Cumulante de Binder [14] para um Teoria de Calibre SU(2) em 2 + 1 dimens˜oes e dos
encontrados usando outros m´etodos [32]. Para SU(2) em 3 + 1 dimens˜oes utilizamos o resul-
tado de [33], tamb´em via o m´etodo do Cumulante de Binder. Determinada a temperatura
cr´ıtica, calculamos a correla¸c˜ao entre dois la¸cos de Polyakov perto desta temperatura. Dita
correla¸c˜ao est´a relacionada `a energia livre de um par quark-antiquark est´atico [13]. As massas
de blindagem gluˆonicas s˜ao extra´ıdas a partir do ajuste destas correla¸c˜oes, utilizando-se para
isso do m´etodo de m´ultiplas exponenciais. Antes de chegarmos ao c´alculos dessas massas de
blindagem de Debye, fizemos uma breve revis˜ao de como essas massas surgem em um plasma
eletromagn´etico e em seguida mostraremos que este conceito de massa de blindagem pode
ser estendido para o caso do plasma de quaks e gl´uons.
No Cap´ıtulo 5, apresentamos nossos resultados, sub-divididos em quatro partes. Na
primeira, mostramos nossos resultados para o c´alculo do espectro das massas de blindagem
via m´etodo das m´ultiplas exponenciais, trabalhando com dados descorrelacionados para uma
teoria de calibre SU(2) em 2+1 dimens˜oes. Na segunda parte, apresentamos nossos resultados
para as massas de blindagem, tamb´em em uma teoria de calibre SU(2) em 2+1 dimens˜oes. No
entanto, desta vez, trabalhamos com dados descorrelacionados, onde o custo computacional
foi bem maior em rela¸c˜ao aos dados correlacionados. Na terceira parte, apresentamos nossos
resultados para o c´alculo do espectro das massas de blindagem, trabalhando com dados
correlacionados em uma teoria de calibre SU(2) em 3 + 1 dimens˜oes. Nesta se¸c˜ao fizemos
c´alculos preliminares com momentum angular diferente de zero, considerando o segundo
conjunto de operadores no canal 2
+
inspirado em [34]. Na quarta parte, aprentamos nossos
resultados para o la¸co de Polyakov na teoria de calibre SU(3) em 2 + 1 dimens˜oes.
No Cap´ıtulo 6 resumimos os principais resultados das nossas investiga¸c˜oes, concluimos
com as suas implica¸c˜oes e apresentamos nossas perspectivas. H´a quatro apˆendices que tem
como objetivo o complemento do trabalho.
22
Cap´ıtulo 1
TEORIAS DE CALIBRE NA REDE
1.1 A formula¸c˜ao de rede
Uma dificuldade no estudo da QCD, comum a virtualmente todas as Teorias Quˆanticas de
Campos, ´e o aparecimento de divergˆencias ultra-violeta (i.e. para altas energias ou curtas
distˆancias) no c´alculo de quantidades f´ısicas [35]. S´o ap´os a remo¸c˜ao destes infinitos, atrav´es
de algum procedimento de renormaliza¸c˜ao, s˜ao obtidos resultados finitos, que podem ser
comparados aos experimentos. Portanto ´e necess´ario em primeiro lugar regularizar a teoria,
escrevendo-a de modo que sejam isoladas as singularidades, para depois removˆe-las atrav´es
de uma redefini¸c˜ao dos parˆametros da lagrangiana. A formula¸c˜ao da QCD na rede, intro-
duzida em 1974 por Wilson [36], oferece uma regulariza¸c˜ao n˜ao-perturbativa conveniente,
preservando a invariˆancia de calibre da teoria. Quarks s˜ao representados por pontos da rede
e gl´uons por elos entre pontos vizinhos. Os campos gluˆonicos s˜ao dados por matrizes SU(3).
A a¸c˜ao de rede ´e escrita em termos de produtos das vari´aveis de elos ao longo de percursos
fechados, de forma a preservar a simetria de calibre da a¸c˜ao original. Uma excelente in-
trodu¸c˜ao `a QCD na rede ´e a Ref. [13]. Os ingredientes essenciais para a formula¸c˜ao de rede
s˜ao:
1. O formalismo de integrais de trajet´oria de Feynman, em que os valores esperados dos
observ´aveis de interesse s˜ao escritos como integrais sobre todos os graus de liberdade
do problema, com um peso dado pela exponencial da a¸c˜ao cl´assica da teoria.
2. A formula¸c˜ao euclidiana, obtida pela continua¸c˜ao anal´ıtica da vari´avel temporal a tem-
pos imagin´arios. Desta forma a exponencial complexa oscilat´oria presente nas integrais
descritas em 1 torna-se real, e pode ser interpretada como uma distribui¸c˜ao de proba-
bilidades.
23
3. A introdu¸c˜ao da rede discreta para o espa¸co-tempo. Correspondentemente, operadores
diferenciais s˜ao re-escritos como diferen¸cas finitas dos campos discretizados.
A combina¸c˜ao dos dois primeiros ingredientes evidˆencia a equivalˆencia das Teorias Quˆanti-
cas de Campo com a Mecˆancia Estat´ıstica Cl´assica: no espa¸co euclidiano uma integral de
trajet´oria para a Teoria Quˆantica equivale a uma m´edia t´ermica para o sistema estat´ıstico
correspondente. Para a QCD, o quadrado da constante de acoplamento nua g
0
da Teoria de
Campos corresponde diretamente `a temperatura 1/
β do modelo estat´ıstico.
O terceiro ingrediente — a discretiza¸c˜ao de rede — representa uma regulariza¸c˜ao ultra-
violeta. De fato, o espa¸camento a de rede corresponde a um corte para momentos altos,
j´a que n˜ao podem ser representados na rede momentos acima de ∼ 1/a. Desta forma s˜ao
suprimidos os modos causadores de divergˆencias e a teoria ´e bem definida, ou seja os valores
esperados dos observ´aveis s˜ao finitos. Para que seja recobrada a teoria no espa¸co cont´ınuo
´e preciso tomar-se o limite a → 0. Neste processo ´e necess´ario “sintonizar” os parˆametros
nus da teoria — por exemplo a constante de acoplamento g
0
— de forma que quantidades
f´ısicas (fun¸c˜oes de correla¸c˜ao, massas, etc.) convirjam para valores finitos, que podem ent˜ao
ser comparados a resultados experimentais. Em particular, comprimentos de correla¸c˜ao ξ
(correspondendo a massas inversas) medidos em unidades f´ısicas — por exemplo fermis —
devem tender a limites finitos `a medida que o espa¸camento a (medido em fermis) tende a
zero. Isto significa que o comprimento de correla¸c˜ao medido em unidades do espa¸camento
de rede ξ/a deve tender a infinito. Em outras palavras, a teoria de rede considerada deve
se aproximar de um ponto cr´ıtico, ou transi¸c˜ao de fase de segunda ordem. O estudo do
limite do cont´ınuo em Teorias Quˆanticas de Campo na rede ´e portanto an´alogo ao estudo de
fenˆomenos cr´ıticos em Mecˆanica Estat´ıstica. A correspondˆencia entre as Teorias de Campos
Euclidianas e a Mecˆanica Estat´ıstica Cl´assica permite a aplica¸c˜ao de m´etodos usuais de
Mecˆanica Estat´ıstica ao estudo da QCD. Podem ser usadas, por exemplo, expans˜oes de altas
e baixas temperaturas, correspondendo respectivamente `as expans˜oes em acoplamentos fortes
e fracos para a Teoria de Campo. Outro exemplo de intera¸c˜ao entre Teorias de Campos e
Mecˆanica Estat´ıstica ´e o m´etodo de Grupo de Renormaliza¸c˜ao, desenvolvido para ambas
as ´areas paralelamente [35]. Uma t´ecnica estat´ıstica particularmente importante, sobretudo
para a QCD, ´e a simula¸c˜ao de Monte Carlo, que permite um estudo n˜ao-perturbativo dos
modelos considerados.
24
1.2 Campos quˆanticos na rede
Esta Se¸c˜ao ´e uma introdu¸c˜ao aos principais conceitos das Teorias de Calibre na rede listados
acima: Teorias Quˆanticas de Campos em sua formula¸c˜ao por integrais de trajet´oria, rota¸c˜ao
de Wick para a coordenada de tempo imagin´aria (levando a uma Teoria de Campos Euclidi-
ana) e a discretiza¸c˜ao do espa¸co tempo na forma da rede. Ilustraremos estes conceitos com
uma Teoria de Campo Escalar.
1.2.1 A integral de trajet´oria na Mecˆanica Quˆantica
Desde sua introdu¸c˜ao por Feynman [37], o m´etodo de integral de trajet´oria transformou-
se em uma ferramenta muito importante para os f´ısicos de part´ıculas elementares. Muitos
dos desenvolvimentos modernos na f´ısica te´orica das part´ıculas elementares s˜ao baseados
neste m´etodo. Um destes desenvolvimentos ´e a formula¸c˜ao na rede das Teorias Quˆanticas
de Campos, que abriu a passagem a um estudo n˜ao pertubativo de teorias como a QCD. Na
literatura [38] ´e habitual derivar a representa¸c˜ao de integral de trajet´oria de fun¸c˜oes de Green
no espa¸co de minkowski. Ent˜ao, para entender o conceito de uma integral de trajet´oria e seus
conceitos b´asicos come¸caremos com um caso simples. Estudaremos a dinˆamica de um sistema
n˜ao relativ´ıstico com um grau de liberdade e uma part´ıcula movendo-se livremente ou sob
a influˆencia de um potencial em apenas uma dimens˜ao. Na formula¸c˜ao de Hamilton para
a Mecˆantica Quˆantica o sistema ´e descrito por uma coordenada espacial x e seu momento
canˆonico conjugado de coordenada p. Ent˜ao a Hamiltoniana pode ser escrita como
H =
1
2m
p
2
+ V (1.1)
onde m ´e a massa da part´ıcula e V o pontencial.
A amplitude de transi¸c˜ao da Mecˆanica Quˆantica ´e dada por
x, t|x
0
, t
0
= x|e
−iH(t−t
0
)
|x
0
. (1.2)
Inserindo nesta equa¸c˜ao uma completeza de auto estados de coordenadas do tipo
dx
1
|x
1
x
1
| = 1, (1.3)
e fazendo T = (t − t
0
) e ∆t = (t
1
− t
0
), obtemos a seguinte express˜ao para a amplitude de
transi¸c˜ao
25
x, t|x
0
, t
0
= x|
dx
1
|x
1
x
1
|e
−iH(t−t
0
)
|x
0
= x|
dx
1
|x
1
x
1
|e
−iH(t−t
0
)
e
−iH(t
1
−t
0
)
e
iH(t
1
−t
0
)
|x
0
=
dx
1
x|e
−iH(t−t
0
)
e
iH(t
1
−t
0
)
|x
1
x
1
|e
−iH(t
1
−t
0
)
|x
0
=
dx
1
x|e
−iH(T −∆t)
|x
1
x
1
|e
−iH∆t
|x
0
. (1.4)
Figura 1.1: Discretiza¸c˜ao no intervalo de tempo.
Fonte: M
¨
UNSTER, G.; WALZL, M. Lattice Gauge Theory A Short Primer. Dispon´ıvel em: arXiv:
hep-lat/0012005 v1. Acesso em: 5 dezembro 2000.
Dividindo T em n partes iguais, T = n∆t, como na Fig. 1.1, e inserindo (n − 1) rela¸c˜oes de
completeza do tipo (1.3) no lado direito da Eq. (1.2), teremos ent˜ao
x, t|x
0
, t
0
=
dx
1
dx
2
dx
N−1
x, t|x
N−1
, t
N−1
×
x
N−1
, t
N−1
|x
N−2
, t
N−2
× ··· × x
1
, t
1
|x
0
, t
0
, (1.5)
onde t
0
< t
1
< ··· < t
N−1
< t, ou de modo equivalente
x, t|x
0
, t
0
=
dx
1
···
dx
N−1
x
N
|e
−iH∆t
|x
N−1
x
N−1
|e
−iH∆t
|x
N−2
···x
1
|e
−iH∆t
|x
0
. (1.6)
Para encontrarmos os elementos de matriz de Eq. (1.6), faremos uso da f´ormula de Baker-
Campbell-Hausdorff [39]
e
A
e
B
= e
A+B+
1
2
[A,B]
+ ··· (1.7)
desprezando os termos dependentes de comutadores, que s˜ao proporcionais a ∆t
n
, com n ≥ 2.
Teremos ent˜ao
e
−i∆t
1
2m
p
2
−i∆tV
≈ e
−i∆t
1
2m
p
2
e
−i∆tV
. (1.8)
26
Note que esta equa¸c˜ao s´o ´e v´alida se ∆t for infinitesimal. Com o resultado acima podemos
resolver a Eq. (1.6) da seguinte forma
x
k
|e
−iH∆T
|x
k−1
= x
k
|e
−i∆T
1
2m
p
2
k
e
−i∆T V (x
k
)
|x
k−1
= x
k
|e
−i∆T
1
2m
p
2
k
|x
k−1
e
−i∆T V (x
k
)
. (1.9)
Para encontrarmos x
k
|e
−i∆t
1
2m
p
2
|x
k−1
, precisamos inserir uma rela¸c˜ao de completeza no
espa¸co de momentos antes e outra depois de e
−i∆t
1
2m
p
2
(veja apˆendice A para detalhes). O
resultado fica ent˜ao
x
k
|e
−iH∆t
|x
k−1
=
m
2πi∆T
1
2
e
i∆T
»
m
˙
x
2
k
2
−V (x
k
)
–ff
(1.10)
Precisamos substituir esse resultado na Eq. (1.6) e encontramos
x, t|x
0
, t
0
=
dx
1
...
dx
N−1
x
N
m
2πi∆T
1
2
e
i∆T
»
m
˙
x
2
N
2
−V (x
N
)
–ff
x
N−1
×
x
N−1
m
2πi∆T
1
2
e
i∆T
»
m
˙
x
2
N−1
2
−V (x
N−1
)
–ff
x
N−2
. . .
x
1
m
2πi∆T
1
2
e
i∆T
»
m
˙
x
2
1
2
−V (x
1
)
–ff
x
0
. (1.11)
Podemos fazer as integra¸c˜oes sobre os momentos e ficamos com
x, t|x
0
, t
0
=
m
2πi∆t
N
2
N−1
k=1
d
3
x
k
e
n
i∆t
P
N−1
k=0
h
1
2m
˙
x
2
k
−V
io
. (1.12)
O ´unico passo que falta ´e fazer ∆t → 0, ou seja, N → ∞, mantendo N∆t = (t − t
0
) fixo e
introduzir uma nota¸c˜ao especial para integral de caminho
N−1
k=1
d
3
x
k
→
Dx,
N−1
k=1
d
3
p
k
2π
→
Dp. (1.13)
Finalmente temos
x, t|x
0
, t
0
=
x
x
0
D[x
(t)]e
iS
C
[x
]
, (1.14)
onde S
C
[x] ´e a a¸c˜ao cl´assica para uma trajet´oria x(t) de x a x
com x
k
= x(N∆t), represen-
tada na Fig. 1.2
S
C
[x] =
t
t
0
dt
L
x
(t
),
˙
x
(t
)
, (1.15)
27
Figura 1.2: Trajet´oria de uma part´ıcula no espa¸co tempo.
sendo L a lagrangiana cl´assica e D[x
(t)] um operador de infinitas dimens˜oes definido nor-
malmente por
x
x
0
D[x
(t)] ≡
N−1
k=1
dx
k
. (1.16)
Esse c´alculo est´a feito em v´arios livros de Mecˆanica Quˆantica [39] e Teorias de Campos
[40], mas tem como referˆencia b´asica o livro que o pr´oprio Feynman escreveu junto com
Hibbs [37].
De acordo com a Eq. (1.14), as trajet´orias s˜ao somadas com peso e
iS[x
]
, que ´e uma fun¸c˜ao
oscilat´oria, j´a que a a¸c˜ao ´e necessariamente real. Como esta oscila¸c˜ao torna-se extremamente
violenta em uma grande regi˜ao do espa¸co de fases, usualmente a integral de trajet´oria nesta
forma ´e intrat´avel numericamente. Por outro lado, sabemos que a matriz de densidade
estat´ıstica em equil´ıbrio a uma temperatura T tem, formalmente, a mesma estrutura do
operador de evolu¸c˜ao temporal. Assim, a extens˜ao anal´ıtica do tempo t para um tempo
puramente imagin´ario
β = 1/T no formalismo acima nos fornece a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao do
sistema em equil´ıbrio. Quando estendemos analiticamente o tempo para tempo imagin´ario
puro, passamos a lidar com um espa¸co euclidiano ao inv´es de minkowskiano. No espa¸co-
tempo euclidiano, n˜ao teremos problemas associados `as oscila¸c˜oes mencionadas acima, j´a
que a nossa exponencial se tornar´a real. Este espa¸co ser´a introduzido na se¸c˜ao sobre Teorias
de Campos Euclidianas.
28
1.2.2 Teoria Quˆantica de Campos com integrais funcionais
Em Mecˆanica Quˆantica toda a informa¸c˜ao f´ısica sobre o sistema quˆantico est´a contida na
Eq. (1.2). Nas Teorias de Campos, por outro lado, esta informa¸c˜ao ´e armazenada em um
conjunto infinito de valores esperados de produtos ordenados temporalmente de operadores
de Heisenberg no v´acuo. No exemplo considerado aqui o operador ´e um campo escalar real
φ(x) ≡ φ(x, t). Sua evolu¸c˜ao temporal ´e dada por
φ(x, t) = e
iHt
φ(x, 0) e
−iHt
, (1.17)
onde H ´e a Hamiltoniana do sistema. A coordenada x = (x, t) indexa as coordenadas de
espa¸co-tempo. Os objetos de interesse em Teorias de Campos s˜ao os valores esperados no
v´acuo de produtos de operadores de campos, ou seja as fun¸c˜oes de Green dadas por
0|φ(x
1
)φ(x
2
) ···φ(x
l
)|0, (t
1
> t
2
> ··· > t
l
). (1.18)
Bons exemplos s˜ao os propagadores
0|φ(x
1
) ···φ(x
4
)|0. (1.19)
Estendemos nossa discuss˜ao `a representa¸c˜ao de integrais funcionais para Teoria Quˆantica e
desde o in´ıcio nos limitamos a transportar os conceitos de Mecˆanica Quˆantica de Campos para
as Teorias de Campos principalmente por analogia. Com este fim ´e necess´ario transformar as
vari´aveis b´asicas x
i
(t) em campos φ(x, t). As regras para esta transforma¸c˜ao s˜ao as seguintes
x
i
(t) ←→ φ(x, t)
i ←→ x
t,i
dx
i
(t) ←→
t,x
dφ(x, t) ≡ Dφ
S =
dtL ←→ S =
dtd
3
xL, (1.20)
onde S ´e a a¸c˜ao cl´assica.
No caso de uma Teoria de Campo escalar consideramos a seguinte densidade de lagran-
giana [40]
L =
1
2
(
˙
φ(x)
2
− (∇φ(x))
2
−
m
2
0
2
φ(x)
2
−
g
0
4!
φ(x)
4
=
1
2
(∂
µ
φ)(∂
µ
φ) −
m
2
0
2
φ(x)
2
−
g
0
4!
φ(x)
4
. (1.21)
A massa m
0
e a constante de acoplamento g
0
nuas s˜ao parˆamentros n˜ao-renormalizados.
29
Seguindo a mesma analogia referente `a integral de trajet´oria da Mecˆanica Quˆantica,
podemos escrever uma representa¸c˜ao das fun¸c˜oes de Green em termos do que chamamos
de integrais funcionais
0|φ(x
1
)φ(x
2
) ···φ(x
l
)|0 =
1
Z
Dφ φ(x
1
) φ(x
2
) ···φ(x
l
) e
iS
, (1.22)
com
Z =
Dφ e
iS
. (1.23)
Estas express˜oes envolvem integrais sobre todas as configura¸c˜oes cl´assicas de campos.
Como mencionamos acima, n˜ao podemos justificar qualquer deriva¸c˜ao de integrais funci-
onais para as Teorias de Campos, apenas queremos motivar sua forma por analogia. Al´em
do mais, no caso da Mecˆanica Quˆantica, n´os consideramos somente a amplitude de transi¸c˜ao,
visto que escrevemos a f´ormula para as fun¸c˜oes de Green.
At´e agora derivamos todas as express˜oes das integrais de trajet´oria no espa¸co de min-
kowski. Acontece que a aplica¸c˜ao direta dessas express˜oes em c´alculos num´ericos n˜ao ´e
vi´avel, j´a que as trajet´orias s˜ao ponderadas de acordo com fun¸c˜oes oscilat´orias, impedindo
a convergˆencia dos resultados. Por outro lado, sabemos que a continua¸c˜ao anal´ıtica destas
express˜oes para tempos imagin´arios nos fornece exatamente a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao do ensem-
ble canˆonico do sistema. Esse espa¸co ´e conhecido como espa¸co euclidiano. Ent˜ao, na se¸c˜ao
seguinte apresentaremos a formula¸c˜ao euclidiana para tempos imagin´arios.
1.2.3 Teoria de campos euclidianas
Retornemos agora aos conceitos da Mecˆanica Quˆantica, onde tamb´em podemos introduzir as
fun¸c˜oes de Green como
G(t
1
, t
2
) = 0|X(t
1
)X(t
2
)|0 para t
1
> t
2
, (1.24)
onde X ´e o operador de coordenada. Vamos agora demonstrar que estas fun¸c˜oes de Green
est˜ao relacionadas `as amplitudes da Mecˆanica Quˆantica em tempos imagin´arios pela conti-
nua¸c˜ao anal´ıtica. Considere o seguinte elemento de matriz
x
, t
|X(t
1
)X(t
2
)|x, t = x
|e
−iH(t
−t
1
)
X e
−iH(t
1
−t
2
)
X e
−iH(t
2
−t)
|x, (1.25)
para t
> t
1
> t
2
> t. Agora fa¸camos a seguinte substitui¸c˜ao para tempos imagin´arios
t = −iτ, (1.26)
30
ordenando novamente, τ
> τ
1
> τ
2
> τ. Com isto o membro direito de (1.25) fica
x
|e
−H(τ
−τ
1
)
Xe
−H(τ
1
−τ
2
)
Xe
−H(τ
2
−τ)
|x. (1.27)
Inserindo uma completeza de auto estados de energia, a express˜ao do operador de evolu¸c˜ao
temporal em tempos imagin´arios fica com a seguinte forma
e
−Hτ
=
∞
n=0
e
−E
n
τ
|nn| = |00| + e
−E
1
τ
|11| + ···, (1.28)
onde o estado fundamental de energia foi normalizado a E
0
= 0. Para grandes valores de
τ isto fica reduzido ao projetor sobre o estado fundamental. Conseq¨uentemente, no limite
τ
→ ∞ e τ
→ −∞ o elemento de matriz da Eq. (1.27) torna-se ent˜ao
x
|00|X e
−H(τ
1
−τ
2
)
X|00|x, (1.29)
e analogamente
x
|e
−H(τ
−τ)
|x → x
|00|x. (1.30)
Logo, as fun¸c˜oes de Green em tempos imagin´arios tˆem a seguinte express˜ao
G
E
(τ
1
, τ
2
) = 0|X e
−H(τ
1
−τ
2
)
X|0, (1.31)
e podem ser escritas como
G
E
(τ
1
, τ
2
) = lim
τ
→ ∞
τ → −∞
x
|e
−iH(τ
−τ
1
)
X e
−iH(τ
1
−τ
2
)
X e
−iH(τ
2
−τ)
|x
x
|e
−H(τ
−τ)
|x
. (1.32)
Agora podemos representar o denominador assim como o numerador pelas integrais de tra-
jet´oria como foi visto anteriormente. A diferen¸ca ´e que para tempos imagin´arios teremos
x|e
−H∆τ
|y ≈
m
2π∆τ
e
−∆τ
n
m
2
(
x−y
∆τ
)
2
+V (x)
o
. (1.33)
Isto conduz `a seguinte representa¸c˜ao da integral de trajet´oria
G
E
(τ
1
, τ
2
) =
1
Z
Dx(τ
1
) x(τ
2
) e
−S
E
, (1.34)
onde
Z =
Dx e
−S
E
, (1.35)
e
S
E
=
dτ
m
2
dx
dτ
2
+ V (x(τ))
. (1.36)
31
As fun¸c˜oes de Green em tempo real G podem ser obtidas a partir das fun¸c˜oes de Green
em tempo imagin´ario G
E
, pela continu¸c˜ao anal´ıtica, G(t
1
, t
2
) = G
E
(it
1
, it
2
). A continua¸c˜ao
anal´ıtica tem que ser feita de tal forma que todos os argumentos de tempo sejam alternados
simultaneamente no sentido anti-hor´ario no plano complexo. Isto ´e a chamada rota¸c˜ao de
Wick, ilustrada na Fig. 1.3.
Figura 1.3: Rota¸c˜ao de Wick da parte imagin´aria para a parte real da coordenada de tempo.
Fonte: M
¨
UNSTER, G.; WALZL, M. Lattice Gauge Theory A Short Primer. Dispon´ıvel em: arXiv:
hep-lat/0012005 v1. Acesso em: 5 dezembro 2000.
Vamos retornar agora `as Teorias de Campos. As fun¸c˜oes de Green
G(x
1
, . . . , x
n
) = 0|T (φ(x
1
) ···φ(x
n
)|0 (1.37)
continuadas a tempos imagin´arios t = −iτ s˜ao as conhecidas fun¸c˜oes de Schwinger
G
E
((x
1
, τ
1
), . . . , (x
n
, τ
n
)) = G((x
1
, −iτ
1
), . . . , (x
n
, −iτ
n
)). (1.38)
Em analogia ao caso da Mecˆanica Quˆantica, sua representa¸c˜ao em termos da integral funci-
onal tem a seguinte forma
G
E
(x
1
, . . . , x
2
) =
1
Z
Dφ φ(x
1
) ···φ(x
l
) e
−S
E
, (1.39)
com
Z =
Dφ e
−S
E
(1.40)
e
S
E
=
d
3
x dτ
1
2
dφ
dτ
2
+
1
2
(∇φ)
2
+
m
2
0
2
φ
2
+
g
0
4!
φ
4
=
d
4
x
1
2
(∂
µ
φ)
2
+
m
2
0
2
φ
2
+
g
0
4!
φ
4
. (1.41)
32
Como podemos ver na parte cin´etica contida em S
E
, a m´etrica do espa¸co de minkowski
−ds
2
= −dt
2
+ dx
2
1
+ dx
2
2
+ dx
2
3
(1.42)
foi trocada por
−ds
2
= dτ
2
+ dx
2
1
+ dx
2
2
+ d
2
x
3
, (1.43)
que ´e a m´etrica de um espa¸co euclidiano. Sendo assim, falamos de fun¸c˜oes de Green eu-
clidianas G
E
e de integrais funcionais euclidianas. Estes s˜ao os pontos de partida para a
investiga¸c˜ao n˜ao-pertubativa das Teorias de Campos e para estudos construtivos.
Como S
E
´e real, as integrais de interesse s˜ao agora reais e n˜ao ocorrem oscila¸c˜oes in-
desejadas. Por´em, desde que S
E
seja limitado inferiormente, o fator e
−S
E
no integrando ´e
limitado superiormente. Flutua¸c˜oes de campos que tenham alto valor de a¸c˜ao euclidiana S
E
ser˜ao suprimidas pelo fator e
−S
E
. Isto deixa as integrais funcionais euclidianas mais atrativas
do que o seu an´alogo minkowskiano.
Pode parecer que no dom´ınio euclidiano os resultados n˜ao s˜ao f´ısicos e n˜ao h´a possibili-
dades de obter resultados f´ısicos diretamente das fun¸c˜oes de Green euclidianas. No entanto,
isto n˜ao ´e o caso. Por exemplo, o espectro da teoria pode ser obtido da seguinte maneira.
Vamos considerar o seguinte valor esperado do v´acuo
0|A
1
e
−Hτ
A
2
|0, (1.44)
onde os A
i
s˜ao constru´ıdos a partir do campo φ, por exemplo A = φ(x, 0) ou A =
d
3
x φ(x, 0).
Agora, com a inser¸c˜ao de uma completeza de auto-estados de energia, n´os teremos
0|A
1
e
−Hτ
A
2
|0 =
n
0|A
1
|ne
−E
n
τ
n|A
2
|0. (1.45)
No caso de um espectro cont´ınuo a soma ´e substitu´ıda por uma integral. Por outro lado, a
representa¸c˜ao do valor esperado como uma integral funcional conduz `a seguinte express˜ao
1
Z
Dφ e
−S
E
A
1
(τ) A
2
(0) =
n
0|A
1
|nn|A
2
|0e
−E
n
τ
. (1.46)
Para grandes valores de τ , os estados de energia mais baixos dominar˜ao a soma e poderemos
obter assim o espectro de mais baixa energia a partir do comportamento assint´otico deste
valor esperado. Escolhendo agora A
1
e A
2
na forma
A ≡ A
1
= A
2
=
d
3
x φ(x, 0), (1.47)
33
de forma que 0|A|1 = 0 para uma estado |1 de uma part´ıcula com momento p = 0 e massa
m
1
, obteremos
1
Z
Dφ e
−S
E
A
1
(τ) A
2
(0) = |0|A|1|
2
e
−m
1
τ
+ ···, (1.48)
de onde podemos extrair a massa da part´ıcula.
Na pr´oxima se¸c˜ao permaneceremos no espa¸co euclidiano e suprimiremos o subscrito E,
de modo que S ≡ S
E
.
1.2.4 Discretiza¸c˜ao na rede
Temos agora todo o formalismo de integrais de trajet´oria apresentado no espa¸co euclidiano,
fundamental para a simula¸c˜ao computacional da QCD. Falta, entretanto, discurtimos a dis-
cretiza¸c˜ao do espa¸co-tempo para chegarmos de fato a uma formula¸c˜ao da QCD na rede,
pass´ıvel de ser utilizada em simula¸c˜oes.
Um dos pontos mais importantes para atingirmos tal objetivo ´e a redu¸c˜ao dr´astica do
n´umero de graus de liberdade envolvidos no problema. Uma integral de trajet´oria tem,
em princ´ıpio, infinitos graus de liberdade. Acontece que s´o podemos utilizar procedimentos
como o m´etodo de Monte Carlo se estivermos tratando com um n´umero finito de graus de
liberdade. Precisamos, portanto, de aproxima¸c˜oes que reduzam para um n´umero finito os
graus de liberdade do sistema.
Nas Teorias de Campos, os graus de liberdade s˜ao indexados pelas coordenadas x e,
eventualmente, por algum outro ´ındice discreto. Assim, para reduzirmos os graus de liberdade
a um n´umero finito, vamos precisar discretizar o espa¸co-tempo, ou seja, seremos for¸cados a
introduzir uma rede discreta no espa¸co-tempo. Notemos que este prodecimento fornece dois
tipos de regulariza¸c˜oes dentro da teoria: a altos momentos, devido ao tamanho finito do
parˆametro de rede (regulariza¸c˜ao ultravioleta), e a baixos momentos, devido ao tamanho
finito da pr´opria rede (regulariza¸c˜ao infravermelha).
A integra¸c˜ao infinito-dimensional sobre todas as configura¸c˜oes de campos ´e dada pela
seguinte express˜ao
Dφ =
x
dφ(x), (1.49)
relembrando que o caminho utilizado para derivar a representa¸c˜ao da integral de trajet´oria
da Mecˆanica Quˆantica foi obtido com um limite de uma discretiza¸c˜ao na vari´avel temporal.
Nas Teorias de Campos, os campos dependem das quatro coordenadas euclidianas. Logo,
introduziremos um espa¸co-tempo discreto em forma de uma rede, por exemplo uma rede
34
Figura 1.4: Uma rede tri-dimensional.
Fonte: M
¨
UNSTER, G.; WALZL, M. Lattice Gauge Theory A Short Primer. Dispon´ıvel em: arXiv:
hep-lat/0012005 v1. Acesso em: 5 dezembro 2000.
c´ubica, especificada por
x
µ
= an
µ
, n
µ
∈ Z; µ = 1, 2, 3, 4; a > 0, (1.50)
a qual est´a representada na Fig. 1.4, para o caso de 2+1 dimens˜oes.
A quantidade a ´e chamada de espa¸camento da rede. Todo ponto na rede ´e, ent˜ao, es-
pecificado por quatro inteiros que representamos coletivamente por n ≡ (n
1
, n
2
, n
3
, n
4
). Por
conven¸c˜ao o ´ultimo componente representar´a o tempo euclidiano. O campo escalar
φ(x), x ∈ rede, (1.51)
´e agora definido somente nos pontos da rede. As derivadas parciais s˜ao representadas por
diferen¸cas finitas,
∂
µ
φ → ∇
µ
φ(x) ≡
1
a
(φ(x + aµ) − φ(x)) (1.52)
e as integrais no espa¸co-tempo pela soma
d
4
x →
x
a
4
. (1.53)
A a¸c˜ao discretizada da teoria φ
4
na Eq. (1.41) pode ser escrita como
S =
x ∈ rede
a
4
1
2
4
µ=1
(∇
µ
φ(x))
2
+
m
2
0
2
φ(x)
2
+
g
0
4!
φ(x)
4
. (1.54)
35
Nas integrais funcionais a medida da Eq. (1.49) envolve somente os pontos x da rede. Por
isso temos um conjunto discreto de vari´aveis para integrar. Consideremos agora o campo
φ(x) como sendo de uma vari´avel cont´ınua. Se seu valor absoluto for integr´avel, ent˜ao φ(x)
ter´a a seguinte representa¸c˜ao de Fourier:
φ(x) =
∞
−∞
d
4
p
(2π)
4
e
ipx
˜
φ(p). (1.55)
Por outro lado, se x ´e restrita a um m´ultiplo do espa¸camento de rede a, x = na (veja
Eq. (1.50)) sendo n inteiro, ent˜ao φ(x) pode ser escrito como
φ(na) =
π
a
−
π
a
d
4
p
(2π)
4
e
ipna
˜
φ(p), (1.56)
onde
˜
φ(−π/a) =
˜
φ(π/a). Assim, a integra¸c˜ao dos momentos s˜ao restritos `a chamada pri-
meira zona de Brillouin [−π/a, π/a].
˜
φ(p) pode ser representado por uma s´erie de Fourier na
forma
˜
φ(p) =
na ∈ rede
a
4
e
−ipna
φ(na). (1.57)
Em particular, em um espa¸co-tempo quatri-dimensional, todas as quatro componentes do
momento ficaram restritas ao intervalo [−π/a, π/a]:
−π/a < p
µ
< π/a. (1.58)
Assim a introdu¸c˜ao de uma rede promove um corte no espa¸co dos momentos da ordem do
inverso do espa¸camento de rede a, ou seja
|p
µ
| ≤
π
a
. (1.59)
Desta forma, as Teorias de Campos na rede s˜ao regularizadas naturalmente.
A ordem para dar in´ıcio a um procedimento bem definido de discretiza¸c˜ao na rede ´e a
seguinte:
1. Come¸camos com uma rede finita. Vamos considerar uma rede hiperc´ubica com com-
primentos L
1
= L
2
= L
3
= L nas dire¸c˜oes espaciais e comprimento L
4
= T no tempo
euclidiano. Escrevemos as coordenadas na forma
x
µ
= an
µ
n
µ
= 0, 1, 2, . . . , L
µ
− 1, (1.60)
a rede tem assim um volume finito V = L
3
T .
36
2. Em uma rede de volume finito temos que especificar as condi¸c˜oes de contorno. Uma
escolha usual s˜ao as condi¸c˜oes de contorno peri´odicas, dadas por
φ(x) = φ(x + aL
µ
µ), (1.61)
onde µ ´e o vetor unit´ario na dire¸c˜ao µ. Isto implica que os momentos s˜ao, tamb´em,
discretizados,
p
µ
=
2π
a
l
µ
L
µ
com l
µ
= 0, 1, 2, 3, . . . , L
µ
− 1, (1.62)
e a integra¸c˜ao no espa¸co dos momentos ´e representada pela soma finita
d
4
p
(2π)
4
→
1
a
4
L
3
T
l
µ
. (1.63)
Desta forma, toda integral funcional ´e regularizada e tem um valor finito.
3.
´
E claro que gostar´ıamos de retornar fisicamente ao cont´ınuo e ao espa¸co-tempo infinito.
Isto significa tomar o limite de volume infinito,
L , T → ∞, (1.64)
e, posteriormente, tomar o limite do cont´ınuo,
a → 0. (1.65)
Alcan¸car o limite do cont´ınuo de uma Teoria de Campos na rede ´e usualmente uma
tarefa n˜ao-trivial e requer muito esfor¸co.
Como dito anteriormente, a formula¸c˜ao euclidiana das Teorias Quˆanticas de Campos numa
rede tem uma analogia ´util com a Mecˆanica Estat´ıstica. Integrais funcionais tˆem a forma de
fun¸c˜oes de parti¸c˜ao. Esta forma an´aloga permite usar os m´etodos j´a bem estabelecidos da
Mecˆanica Estat´ıstica em Teorias de Campos e vice-versa. Para mencionar alguns exemplos,
em Teorias de Campos empregamos expans˜oes de altas temperaturas e aproxima¸c˜oes de
campo m´edio. Em Mecˆanica Estat´ıstica aplicamos o Grupo de Renormaliza¸c˜ao.
37
Teoria de Campo euclidiana Mecˆanica Estat´ıstica
Funcional Gerador Fun¸c˜ao de Parti¸c˜ao
Dφe
−S
e
−βH
A¸c˜ao Hamiltoniana
S βH
Massa m Inverso do comprimento de correla¸c˜ao 1/ξ
G ∼ e
−mt
G ∼ e
−
x
ξ
Tabela 1.1: Equivalˆencia entre as Teorias de Campos Euclidiana e a Mecˆanica Estat´ıstica.
1.3 Teorias de calibre na rede
Nesta Se¸c˜ao definiremos as vari´aveis de campos de calibre, alguns aspectos de uma Teoria
de Calibre pura e a implementaremos num espa¸co-tempo dicreto, discutindo brevemente o
confinamento de quarks est´aticos e o espectro de glueballs.
1.3.1 Transporte paralelo
Vamos iniciar com uma pequena revis˜ao de transforma¸c˜oes de calibre numa Teoria de Campos
no cont´ınuo [41]. Para um campo escalar complexo de N componentes φ(x) = (φ
i
(x)),
i = 1, . . . , N escrevemos
φ(x) =
φ
1
(x)
φ
2
(x)
.
.
.
φ
N
(x)
e
φ(x) = (φ
1
(x), φ
2
(x), . . . , φ
N
(x)), (1.66)
onde as transforma¸c˜oes de calibre s˜ao definidas como
φ(x) → Λ(x) φ(x), (1.67)
sendo Λ(x) uma matriz N × N tal que
Λ(x)
†
Λ(x) = 1, (1.68)
detΛ(x) = 1, (1.69)
ou seja, Λ(x) ∈ SU(N ), onde SU(N) ´e o grupo de calibre considerado.
Para restaurar a invariˆancia de calibre da lagrangiana sob estas transforma¸c˜oes se introduz
a derivada covariante
D
µ
φ(x) = (∂
µ
− ig
0
A
a
µ
(x) T
a
) φ(x), (1.70)
38
onde os T
a
s˜ao os geradores do grupo de calibre e A
a
µ
(x) ´e o campo de calibre. Para SU(N)
existem N
2
−1 geradores T
a
, a = 1, 2, 3, ···, N
2
−1, os quais satisfazem as seguintes rela¸c˜oes
[T
a
, T
b
] = if
abc
T
c
(1.71)
com as constantes de estrutura f
abc
de SU(N). Para SU(2), os trˆes geradores s˜ao dados pelas
matrizes de Pauli
T
a
=
σ
a
2
, a = 1, 2, 3, (1.72)
e para SU(3) s˜ao as matrizes de Gell-Mann (veja apˆendice D para detalhes)
T
a
=
λ
a
2
, a = 1, ···, 8. (1.73)
A derivada covariante de um campo escalar transforma-se covariantemente sob as trans-
forma¸c˜oes de calibre da seguinte forma
D
µ
φ(x) → Λ(x) D
µ
φ(x) (1.74)
portanto, o termo cin´etico D
µ
φ(x) · D
µ
φ(x) ´e invariante sob as transforma¸c˜oes de calibre.
Associado ao campo de calibre est´a o tensor
F
a
µν
(x) = ∂
µ
A
a
ν
(x) − ∂
ν
A
a
µ
+ g
0
f
abc
A
b
µ
(x) A
c
ν
(x). (1.75)
Com a ajuda do termo acima, podemos escrever uma a¸c˜ao para o campo de calibre. A
chamada a¸c˜ao de Yang-Mills pode ser escrita como
S
Y M
=
1
4
d
4
x F
a
µν
(x) F
a
µν
(x). (1.76)
Agora vamos considerar um produto de campos em pontos diferentes,
φ(x) · φ(y) =
i
φ
i
(x) φ
i
(y). (1.77)
Esta quantidade n˜ao ´e invariante sob transforma¸c˜oes de calibre. S´o ser´a poss´ıvel a invariˆancia
sob tais transforma¸c˜oes se for introduzido um termo cin´etico na Teoria de Campos. Para
isso, precisamos de matrizes U(x, y) ∈ SU(N) que se transformem da seguinte forma
U(x, y) → Λ(x) U(x, y) Λ
−1
(y), (1.78)
de forma que o novo produto φ(x)·U(x, y) φ(y) seja invariante. Para a solu¸c˜ao deste problema,
tomamos um trajeto C de x a y e definimos a quantidade
U(x, y; C) ≡ P
e
ig
0
R
y
x
A
a
µ
(z) T
a
dz
µ
, (1.79)
39
Figura 1.5: Trajet´oria C entre x e y.
onde a integral ´e levada ao longo de uma trajet´oria C e o s´ımbolo P indica o ordenamento ao
longo do caminho dos fatores anti-comutantes A
a
µ
(z)T
a
. Um exemplo de caminho pode ser
visto na Fig. 1.5
Ent˜ao U(x, y; C) transforma-se como desejado. Este objeto ´e o chamado transporte para-
lelo, em analogia a objetos similares na geometria diferencial, os quais mapeiam vetores de
um ponto a outro de uma curva. O transporte paralelo depende da escolha da trajet´oria C
entre os pontos x e y. Ele obedece a seguinte regra de composi¸c˜ao
U(x, y; C) = U(x, y; C
1
) · U(x, y; C
2
), (1.80)
onde a trajet´oria C ´e dividida em dois caminhos C
1
e C
2
.
No caso Abeliano, onde o grupo ´e o U(1), o ordenamento de caminho P n˜ao ´e necess´ario,
e temos ent˜ao
U(x, y; C) = e
ig
0
R
y
x
A
a
µ
(z) dz
µ
. (1.81)
1.3.2 Campos de calibre na rede
Vamos agora verificar como ocorrem as rela¸c˜oes dos campos escalares na rede, atrav´es dos
conceitos de transporte paralelo. O termo cin´etico para campos escalares na rede envolve o
produto de campos em pontos vizinhos, separados pelo espa¸camento da rede a. Para que seja
verificada a invariˆancia de calibre neste caso, precisamos de pequenos transportes paralelos
que fa¸cam a conex˜ao em pontos vizinhos pr´oximos. As trajet´orias correspondentes s˜ao os
chamados elos, como pode ser visto na Fig. 1.6. A cada elo da forma
b = < x, y > = < x, x + aµ > (1.82)
40
na dire¸c˜ao µ da rede associamos um elemento de transporte paralelo, a vari´avel de elo
Figura 1.6: Elo b =< x, y > entre os pontos x e y da rede.
Fonte: M
¨
UNSTER, G.; WALZL, M. Lattice Gauge Theory A Short Primer. Dispon´ıvel em: arXiv:
hep-lat/0012005 v1. Acesso em: 5 dezembro 2000.
U(b) ≡ U(x, x + aµ) ≡ U
µ
(x) ∈ SU(N). (1.83)
As vari´aveis de elo U(x, y) est˜ao definidas no espa¸co-tempo discreto ao passo que os campos
de calibre A
a
µ
(x) est˜ao definidos no espa¸co-tempo cont´ınuo. Elas transformam-se na forma
U(x, y) → Λ(x) U(x, y) Λ
−1
(y) (1.84)
e por isso na a¸c˜ao temos um termo na forma
x,µ
φ(x) U
µ
(x) φ(x + aµ), (1.85)
que ´e invariante de calibre. Existem outras express˜oes invariantes de calibre na rede. As
quantidades invariantes de calibre mais simples de serem constru´ıdas, usando apenas vari´aveis
de elo, s˜ao os tra¸cos de produtos de elos ordenados ao longo de um caminho fechado na
rede, chamado la¸cos. Focaremos nossa aten¸c˜ao nos menores la¸cos poss´ıveis. Assim, vamos
considerar o produto de elos que formam uma plaqueta, o menor la¸co poss´ıvel de lado a que
podemos construir
T r(U
1
(b
1
)U(b
2
) ···U(b
n
)). (1.86)
Vamos supor esta plaqueta contida no plano µν, como pode ser visto na Fig. 1.7.
A vari´avel de plaqueta, que foi usada por Wilson para construir uma a¸c˜ao de Yang-Mills
na rede, pode ser escrita como
U(p) = U
µν
(x) ≡ U
µ
(x) U
ν
(x + aµ) U
†
µ
(x + aν) U
†
ν
(x). (1.87)
41
Figura 1.7: Plaqueta U (x)
µν
nas dire¸c˜oes µ e ν da rede.
Mais precisamente, Wilson [36] propˆos a seguinte a¸c˜ao
S
W
= −
p
β
N
Re(T r(U(p)), (1.88)
a qual ´e invariante de calibre e puramente real por constru¸c˜ao. A constante β ´e determinada
no limite do cont´ınuo exigindo que a a¸c˜ao usual de Yang-Mills seja recuperada neste caso.
Se as vari´aveis de campo de calibre forem da forma
U
µ
(x) ≡ e
ig
0
aA
b
µ
(x)T
b
, (1.89)
vejamos o que acontece ao introduzi-la no produto da Eq. (1.87). Usando a equa¸c˜ao de
Baker-Campell-Hausdorff da Eq. (1.7), escrevemos
U
µν
(x) = exp
ig
0
a
1
a
A
b
ν
(x + aµ) T
b
− A
b
ν
(x) T
b
− A
b
µ
(x + aµ)T
b
− A
b
µ
(x) T
b
−
g
0
2
A
l
µ
(x) A
m
ν
(x + aµ) − A
l
ν
(x) A
m
µ
(x + aν) − A
l
µ
(x) A
m
ν
(x)
−A
l
ν
(x + aµ) A
m
µ
(x + aν) − A
l
ν
(x + aµ) A
m
ν
(x) − A
l
µ
(x + aν) A
m
ν
(x)
f
lmb
T
b
= exp
ig
0
a
2
(∂
µ
A
b
ν
(x) − ∂
ν
A
b
µ
(x) − g
0
f
lmb
A
l
µ
(x) A
m
ν
(x)) T
b
= exp
ig
0
a
2
F
b
µν
(x) T
b
, (1.90)
onde utilizamos uma vers˜ao discretizada do tensor F
a
µν
(x) da Eq. (1.75). Temos, ent˜ao
U
µν
(x) + U
†
µν
(x) = e
ig
0
a
2
F
b
µν
(x) T
b
+ e
−ig
0
a
2
F
b
µν
(x) T
b
≈ 2 − g
2
0
a
4
F
b
µν
(x) T
b
F
b
µν
(x) T
b
, (1.91)
onde, neste caso, n˜ao h´a soma impl´ıcita em µ e ν. Podemos ent˜ao escrever
a
4
1
2
T r
F
b
µν
(x) T
b
F
b
µν
(x)T
b
=
2
g
2
0
T r
x
µ,ν
1 −
1
2
(U
µν
(x) + U
†
µν
(x))
42
=
2N
g
2
0
x
µ,ν
1 − T r
1
2N
(U
µν
(x) + U
†
µν
(x))
. (1.92)
Substituindo as somas µ e ν por uma soma sobre todas as plaquetas p, e usando a Eq. (1.87)
podemos finalmente escrever a a¸c˜ao do grupo de simetria SU(N) na forma
S
SU(N)
= β
p
1 −
1
2N
T r(U(p) + U
†
(p))
, (1.93)
onde
β =
2N
g
2
0
. (1.94)
Na Teoria Quˆantica de Campos temos que especificar como fazer as integrais funcionais.
A integral sobre todas as configura¸c˜oes de campos de calibre na rede soma-se a uma integral
sobre todas as vari´aveis de elos U(b). Por isso, para o valor esperado de qualquer observ´avel
O podemos escrever
O =
1
Z
b
dU(b) Oe
−S
SU(N)
, (1.95)
com
Z =
b
dU(b) e
−S
SU(N)
(1.96)
onde a integral dU(b) para um dado elo b ´e entendida como a integra¸c˜ao invariante sobre o
grupo de calibre (uma esfera tri-dimencional para SU(2)), normalizada a
dU = 1. (1.97)
Como uma abrevia¸c˜ao podemos escrever
DU ≡
b
DU(b). (1.98)
´
E importante ressaltar que aqui n˜ao ´e necess´ario fixar o calibre. O volume total do grupo de
calibre ´e a unidade.
1.3.3 Alguns observ´aveis
No caso de uma Teoria de Calibre pura surgem algumas quantidades de interesse f´ısico.
Consideraremos duas delas a seguir.
1. O la¸co de Wilson ´e definido como o tra¸co de um transporte paralelo sobre uma curva
fechada C de comprimento R e extens˜ao de tempo T , (veja Fig. 1.8). No limite T → ∞
podemos demonstrar que [13]
T r(U(C)) ∼ C e
−T V (R)
, (1.99)
43
Figura 1.8: La¸co de Wilson.
Fonte: M
¨
UNSTER, G.; WALZL, M. Lattice Gauge Theory A Short Primer. Dispon´ıvel em: arXiv:
hep-lat/0012005 v1. Acesso em: 5 dezembro 2000.
com V (R) sendo o potencial est´atico entre as cargas de cor, o chamado potencial est´atico
quark-antiquark. A partir deste potencial est´atico podemos definir a tens˜ao na corda
σ ≡ lim
R→∞
V (R)
R
. (1.100)
Se σ for constante o potencial est´atico cresce linearmente com a separa¸c˜ao entre os
quarks sugerindo um cen´ario de confinamento. De fato, fala-se em confinamento de
quarks est´aticos quando o la¸co de Wilson tem o seguinte comportamento
lim
R,T →∞
T r(U(C)) ∼ C e
−σRT
. (1.101)
A express˜ao acima ´e conhecida como a lei da ´area do la¸co de Wilson e foi a indica¸c˜ao
obtida por Wilson em 1974 [36], no limite de acoplamento forte, de que os quarks est˜ao
confinados.
2. Correla¸c˜oes de plaquetas s˜ao os valores esperados do produto de duas plaquetas espa-
ciais p
1
e p
2
, separadas por um tempo T como ilustrado em Fig. 1.9.
Nas Teorias de Calibre n˜ao-abelianas encontramos que estas correla¸c˜oes diminuem de
acordo com a lei de exponencial
T r(U(p
1
) T r(U(p
2
)) ∼ e
−mT
, (1.102)
onde m ´e a massa da part´ıcula na teoria, desde que existam somente graus de liberdade
gluˆonicos. Esta part´ıcula massiva ´e chamada de glueball.
44
Figura 1.9: Correla¸c˜oes de plaquetas.
Fonte: M
¨
UNSTER, G.; WALZL, M. Lattice Gauge Theory A Short Primer. Dispon´ıvel em: arXiv:
hep-lat/0012005 v1. Acesso em: 5 dezembro 2000.
1.4 QCD na rede
Para uma descri¸c˜ao completa das intera¸c˜oes fortes, uma implementa¸c˜ao de campos de quarks
na rede ´e necess´aria. Apresentaremos as origens, t´ecnicas e dificuldades da representa¸c˜ao
usual de f´ermions como vari´aveis de Grassmann, e discutiremos diversos Ansatz para discre-
tizar esta descri¸c˜ao do cont´ınuo.
1.4.1 Vari´aveis de Grassmann
Iniciaremos nossa discurs˜ao relembrando os campos escalares no limite do cont´ınuo. Campos
cl´assicos s˜ao fun¸c˜oes ordin´arias e satisfazem a condi¸c˜ao
[φ(x), φ(y)] = 0, (1.103)
a qual pode ser considerada como o limite → 0 de rela¸c˜oes quˆanticas de comuta¸c˜ao.
Estat´ısticas fermiˆonicas implicam que campos quˆanticos fermiˆonicos tenham as conhecidas
rela¸c˜oes de anti-comuta¸c˜ao em tempos iquais
{ψ(x, t), ψ(y, t)} = 0. (1.104)
Tendo isto em mente, introduziremos um limite cl´assico, no qual os campos fermiˆonicos
satisfazem a seguinte rela¸c˜ao
{ψ(x), ψ(y)} = 0, (1.105)
45
para todo x, y. Campos fermiˆonicos cl´assicos s˜ao vari´aveis que anti-comutam, que s˜ao co-
nhecidas como vari´aveis de Grassmann.
Em geral, uma algebra de Grassmann complexa ´e formada pelos elementos η
i
e η
i
, os
quais obedecem `as seguintes rela¸c˜oes
{η
i
, η
j
} = 0, (1.106)
{η
i
, η
j
} = 0, (1.107)
{η
i
, η
j
} = 0. (1.108)
Integra¸c˜oes das vari´aveis de Grassmann podem ser definidas como
dη
i
(a + bη
i
) = b (1.109)
para n´umeros complexos arbitr´arios a e b.
Nas Teorias de Campos fermiˆonicas temos campos de Grassmann, os quais est˜ao associa-
dos `as vari´aveis de Grassmann em cada ponto do espa¸co-tempo. Por exemplo, um campo de
Dirac tem vari´aveis anti-comutantes ψ
α
(x) e ψ
α
(x), onde α = 1, 2, 3, 4 ´e o ´ındice de Dirac.
Os campos cl´assicos de Dirac obedecem as rela¸c˜oes
{ψ
α
(x), ψ
β
(y)} = 0. (1.110)
Para escrever integrais de trajet´orias fermiˆonicas sobre configura¸c˜oes de campos fermiˆonicos
e anti-fermiˆonicos, podemos escrever
Dψ Dψ =
x
α
dψ
α
(x) dψ
α
(x). (1.111)
Ent˜ao a fun¸c˜ao de Green fermiˆonica tem a forma
0|A|0 =
1
Z
DψDψ A e
−S
F
, (1.112)
com uma a¸c˜ao S
F
para f´ermions. Para um campo livre de Dirac a a¸c˜ao ´e escrita como
S
F
[ψ, ψ] =
d
4
x ψ(x) (γ
µ
∂
µ
+ M) ψ(x), (1.113)
onde M ´e a massa do f´ermion. No contexto do Modelo Padr˜ao, a¸c˜oes fermiˆonicas s˜ao sempre
bilineares nos campos fermiˆonicos. Com a ajuda das regras de integra¸c˜ao de Grassmann
acima podemos, ent˜ao, demonstrar que as integrais funcionais s˜ao formalmente simples de
calcular
Dψ Dψ e
−
R
d
4
x
Ψ(x) Q Ψ(x)
= det[Q]. (1.114)
Este ´e o famoso determinante fermiˆonico. O principal problema permanece, ´e calcular o
determinante da matriz Q, a qual tem um enorme n´umero de elementos.
46
1.4.2 Discretizando a a¸c˜ao na QCD
Conforme constru´ıdo em [11], a lagrangiana da QCD ´e dada por
L[ψ,
ψ] = ψ(x) (iγ
µ
D
µ
− M) ψ(x) −
i
4
(F
a
µν
(x))
2
, (1.115)
onde F
a
µν
(x) ´e dado em Eq. (1.75). A a¸c˜ao da QCD fica ent˜ao dada por
S
QCD
=
d
4
x L[ψ,
ψ] =
d
4
x ψ(x) (iγ
µ
D
µ
− M) ψ(x) −
i
4
d
4
x (F
a
µν
(x))
2
= S
F
+ S
G
. (1.116)
Queremos conseguir fazer c´alculos de QCD no formalismo da rede e, portanto, precisamos
de uma vers˜ao euclidiana e discreta desta a¸c˜ao. A vers˜ao euclidiana da parte fermiˆonica da
a¸c˜ao ´e dada pela Eq. (1.113). Substituindo nesta equa¸c˜ao a derivada normal pela covariante
temos ent˜ao
S
F
[ψ,
ψ] =
d
4
x ψ(x) (γ
µ
D
µ
+ M) ψ(x). (1.117)
Para encontrarmos a vers˜ao euclidiana da parte gluˆonica da a¸c˜ao S
G
, precisamos fazer uso
da Eq. (1.26) nas componentes temporais da coordenada e do campo gluˆonico, temos ent˜ao
x
0
→ −ix
4
,
A
0
→ +iA
4
. (1.118)
Com essas substitui¸c˜oes, S
G
transforma-se em
S
G
→
1
4
d
4
x F
a
µν
(x) F
a
µν
(x). (1.119)
Assim, a vers˜ao euclidiana da a¸c˜ao S
QCD
em Eq. (1.116) fica
S
QCD
=
d
4
xψ(x)(γ
µ
D
µ
+ M)ψ(x) +
1
4
d
4
x(F
a
µν
(x))
2
= S
F
+ S
G
. (1.120)
O segundo passo, bem mais complicado, ´e a discretiza¸c˜ao desta a¸c˜ao euclidiana. Faremos
isso por partes, come¸cando com a parte fermiˆonica da a¸c˜ao S
QCD
.
A a¸c˜ao fermiˆonica
Para fazer a discretiza¸c˜ao do termo fermiˆonico de Eq. (1.120) usaremos a a¸c˜ao do campo
livre de Dirac dada em Eq. (1.113). A fun¸c˜ao de Green euclidiana para este campo ´e dada
por
ψ
α
(x) ···ψ
β
(x) ··· =
DψDψ (ψ
α
(x) ···ψ
β
(x) ···) e
−S
F
[ψ,
ψ]
Dψ Dψ e
−S
F
[ψ,
ψ]
. (1.121)
47
Precisamos introduzir uma rede no espa¸co-tempo, de modo a dar um significado preciso
para as integrais na Eq. (1.121). Assim como foi feito na se¸c˜ao anterior, os campos ψ e
ψ s´o est˜ao definidos nos s´ıtios da rede. Essa discretiza¸c˜ao faz com que nossas medidas
de integra¸c˜ao se transformem em produt´orios de medidas de integra¸c˜ao simples dadas na
Eq. (1.111), substituindo x por na.
Devemos ent˜ao reescrever Eq. (1.113) e Eq. (1.121) em termos de novas vari´aveis adimen-
sionais que s˜ao vers˜oes na rede de suas vari´aveis originais. Assim, reescalamos M, ψ e ψ com
o parˆametro de rede a de acordo com suas dimens˜oes. Ent˜ao da Eq. (1.60), teremos
M →
1
a
M,
ψ
α
(x) →
1
a
3/2
ψ
α
(x),
ψ
α
(x) →
1
a
3/2
ψ
α
(x),
∂
µ
ψ
α
(x) →
1
a
5/2
∂
µ
ψ
α
(x). (1.122)
Como definido na Eq. (1.52), a derivada parcial para os campos fermiˆonicos na rede ´e dada
por
∂
ψ
α
(x) =
1
2
ψ
α
(x + aµ) −
ψ
α
(x − aµ)
. (1.123)
Com a introdu¸c˜ao da rede, a integral em Eq. (1.117) torna-se uma soma nos ´ındices α e
β, x e y. Substituindo nesta equa¸c˜ao as vari´aveis da rede, temos
S
F
=
x,y
α,β
ψ
α
(x)
M
ψ
β
(y) +
1
2
γ
µ
(
ψ
β
(y + aµ) −
ψ
β
(y − aµ))
, (1.124)
que pode ainda ser reescrita de modo mais conveninte como
S
F
=
x,y
α,β
ψ
α
(x) Q
αβ
(x, y)
ψ
β
(y), (1.125)
com
Q
αβ
(x, y) =
1
2
(γ
µ
)
αβ
[δ
x,y+abµ
− δ
x,y−abµ
] +
M δ
x,y
δ
αβ
. (1.126)
Esta ´e discretiza¸c˜ao mais simples que podemos fazer de uma a¸c˜ao fermiˆonica na rede.
Acontece que se tentarmos fazer o limite para o cont´ınuo a → 0, por exemplo, da fun¸c˜ao
de correla¸c˜ao f´ısica ψ(x)ψ(y) usando a Eq. (1.125), encontramos um resultado que n˜ao
corresponde ao real. Esse problema ´e conhecido como contagem dupla. Para mais detalhes
sobre esse problema, consultar o Cap´ıtulo 4 em [13].
Existem muitas discretiza¸c˜oes poss´ıveis para uma mesma a¸c˜ao no cont´ınuo. A a¸c˜ao acima
recupera a a¸c˜ao original no limite para o cont´ınuo, mas leva a resultados incorretos quando
48
tentamos calcular fun¸c˜oes de correla¸c˜ao. Sendo assim, precisamos modific´a-la para que ela
passe a ter limite correto tamb´em para fun¸c˜oes de correla¸c˜ao quando fazemos a → 0.
Isso pode ser conseguido adicionando-se um termo `a Eq. (1.125) que v´a a zero no limite
para o cont´ınuo e corrija o problema na fun¸c˜ao de correla¸c˜ao. Vamos ent˜ao considerar a a¸c˜ao
S
W
F
= S
F
−
r
2
x
ψ(x)
✷
ψ(x), (1.127)
onde r ´e um parˆametro real conhecido como parˆametro de Wilson e
✷ ´e o Laplaciano em sua
vers˜ao na rede, dado por:
✷
ψ(x) =
µ
ψ(x + aµ) +
ψ(x − aµ) −
ψ(x)
. (1.128)
Este termo adicional vai a zero linearmente com a. Podemos ainda reescrever essa a¸c˜ao,
conhecida como a a¸c˜ao de Wilson fermiˆonica, na forma
S
W
F
=
x,y
α,β
ψ
α
(x) Q
W
αβ
(x, y)
ψ
β
(y), (1.129)
com
Q
W
αβ
(x, y) = (
M + 4r) δ
x,y
δ
αβ
−
1
2
µ
[(r − γ
µ
)
αβ
δ
x,y+abµ
+ (r + γ
µ
)
αβ
δ
x,y−abµ
] . (1.130)
Encontramos assim a discretiza¸c˜ao da Eq. (1.113), que ainda n˜ao ´e a vers˜ao discreta da
parte fermiˆonica da Eq. (1.120). Para encontrarmos essa vers˜ao, precisamos impor invariˆancia
de calibre sob transforma¸c˜oes do SU(3) a S
W
F
, definida na Eq. (1.129).
A Eq. (1.129) ´e a a¸c˜ao fermiˆonica para uma dada cor de quark. Explicitando uma soma
no n´umero quˆantico de cor, que estamos deixando de 1, . . . , N para que possa ser v´alido para
qualquer grupo de simetria SU(N), esta a¸c˜ao pode ser escrita como
S
W
F
= (M
0
+ 4r)
x
N
b=1
ψ
b
(x)ψ
b
(x)
−
1
2
x
N
b=1
ψ
b
(x) (r − γ
µ
)ψ
b
(x + aµ)
+
ψ
b
(x + aµ) (r + γ
µ
) ψ
b
(x)
, (1.131)
onde retiramos os “chap´eus”de ψ
a
(x) e ψ
a
(x) para suavizar a nota¸c˜ao, considerando que
est´a claro que estamos tratando de vari´aveis adimensionais na rede. Para N-componentes de
49
campo fermiˆonico ψ(x) = (ψ
i
(x)), i = 1, . . . , N temos
ψ(x) =
ψ
1
(x)
ψ
2
(x)
.
.
.
ψ
N
(x)
e
ψ(x) = (ψ
1
(x) ψ
2
(x), . . ., ψ
N
(x)). (1.132)
Para facilitar a nota¸c˜ao, podemos reescrever a a¸c˜ao S
W
F
da seguinte forma
S
W
F
= (M
0
+ 4r)
x
ψ(x)ψ(x)
−
1
2
x
ψ(x) (r − γ
µ
) ψ(x + aµ)
+ ψ(x + aµ) (r + γ
µ
) ψ(x)
. (1.133)
Esta a¸c˜ao ´e invariante sob transforma¸c˜oes globais na seguinte forma
ψ(x) → Gψ(x)
ψ(x) → ψ(x)G
†
, (1.134)
de modo que
ψ(x) ψ(y) → ψ(x) G
†
(x) G(y) ψ(y), (1.135)
onde G ´e um elemento do SU(N ) (G
†
= G
−1
). Queremos que este termo seja invariante
tamb´em sob transforma¸c˜oes locais do grupo SU(N), ou seja, com G = G(x) dependendo do
s´ıtio da rede. O segundo termo da Eq. (1.133) n˜ao ´e diagonal nos campos e, portanto, n˜ao ´e
invariante sob essas transforma¸c˜oes.
Precisamos incluir um termo que dependa do potencial de calibre e compense a varia¸c˜ao
que ocorre na transforma¸c˜ao da Eq. (1.135). Ou seja, precisamos de um termo, que chama-
remos de U(x, y), que dependa de x e y e se transforme do seguinte modo
U(x, y) → G(x) U(x, y) G
†
(y). (1.136)
Este fator, j´a apresentado na se¸c˜ao 1.3.2, ´e o comparador ou, mais abrangentemente, integral
de Schwinger. Como estamos tratando da QCD, tendo como grupo de calibre o SU(3), esse
termo ´e dado por
U
p
(x, y) = P
e
ig
0
R
y
x
dz
µ
A
a
µ
λ
a
2
, (1.137)
onde λ
a
, a = 1, . . . , 8 s˜ao as matrizes de Gell-Mann.
50
Vamos supor que y e x est˜ao infinitesimalmente separados, ou seja, y = x + m. Para que
os termos bilineares nos campos sejam de fato invariantes, devemos fazer
ψ(x) ψ(x + m) → ψ(x) U(x, x + m) ψ(x + m)
ψ(x + m) ψ(x) → ψ(x + m) U
†
(x, x + m) ψ(x), (1.138)
onde U(x, x + m) pode ser aproximado por
U(x, x + m) ≈ e
ig
0
m
µ
A
a
µ
λ
a
2
. (1.139)
Assim, para chegarmos a uma vers˜ao invariante de calibre da a¸c˜ao em Eq. (1.133), usaremos
as seguintes substitui¸c˜oes:
ψ(x) (r − γ
µ
) ψ(x + aµ) → ψ(x) (r − γ
µ
)U(x, x + aµ) ψ(x + aµ)
ψ(x + aµ) (r + γ
µ
) ψ(x) → ψ(x + aµ) (r + γ
µ
) U(x + aµ, x) ψ(x), (1.140)
onde U(x + aµ, x) = U
†
(x, x + aµ). De acordo com a Eq. (1.139), para espa¸camentos de rede
a suficientemente pequenos, U(x, x + aµ) pode ser escrito como
U
†
(x + aµ, x) = U(x, x + aµ) = e
ig
0
a A
a
µ
λ
a
2
, (1.141)
onde se torna o espa¸camento de rede a e o produto escalar desaparece, porque escolhemos o
deslocamento na dire¸c˜ao µ. Devido `a conex˜ao entre U(x, x + aµ) e A
µ
, passaremos a utilizar
a seguinte nota¸c˜ao
U
µ
(x) ≡ U(x, x + aµ). (1.142)
Fazendo as substitui¸c˜oes dadas pela Eq. (1.140) na Eq. (1.133), temos a a¸c˜ao de Wilson
fermiˆonica na rede
S
W
F
= (M
0
+ 4r)
x
ψ(x) ψ(x)
−
1
2
x,µ
ψ(x) (r − γ
µ
) U
µ
(x) ψ(x + aµ)
+
ψ(x + aµ) (r + γ
µ
)U
†
µ
(x) ψ(x)
, (1.143)
invariante sob as seguintes transforma¸c˜oes
ψ(x) → G(x) ψ(x)
ψ(x) → ψ(x) G
†
(x)
U
µ
(x) → G(x) U
µ
(x) G
†
(x + aµ)
U
†
µ
(x) → G(x + aµ) U
†
µ
(x) G
†
(x). (1.144)
51
´
E importante ressaltar que os elementos U
µ
(x) est˜ao nos elos que conectam dois pontos
vizinhos da rede, e n˜ao nos pr´oprios pontos da rede, como os campos de mat´eria. Assim,
passaremos a trat´a-los como vari´aveis de elo.
A Eq. (1.143) ´e a vers˜ao discretizada da parte fermiˆonica da a¸c˜ao da QCD, que est´avamos
procurando. Faremos agora a vers˜ao na rede da parte gluˆonica da Eq. (1.120).
A a¸c˜ao gluˆonica
A vers˜ao discrezada da a¸c˜ao gluˆonica
S
G
=
1
4
d
4
x F
a
µν
(x) F
a
µν
(x) (1.145)
contˆem produtos de vari´aveis de elo, j´a que estas s˜ao as ´unicas que dependem dos potencias
{A
a
µ
(x)}. Al´em disso, ela tamb´em precisa ser invariante de calibre. As quantidades invariantes
de calibre mais simples s˜ao os tra¸cos de produto de elos ordenados ao longo de uma trajet´oria
fechada na rede, chamadas de la¸cos.
Na Eq. (1.93) da se¸c˜ao 1.3.2, calculamos a a¸c˜ao gluˆonica discretrizada com o grupo de
calibre SU(N). Como estamos considerando o SU(3) como o grupo de calibre da QCD, a
a¸c˜ao gluˆonica fica ent˜ao
S
G
=
6
g
2
0
p
1 −
1
6
T r(U(p) + U
†
(p))
. (1.146)
Terminamos assim o processo de discretiza¸c˜ao da a¸c˜ao da QCD, tendo obtido vers˜oes na
rede tanto da parte fermiˆonica quanto da gluˆonica.
Uma fun¸c˜ao de correla¸c˜ao arbitr´aria envolvendo vari´aveis fermiˆonicas e de elo ´e dada pela
seguinte integral de trajet´oria
ψ
a
1
α
1
(x
1
) ···ψ
b
1
β
1
(y
1
) ···U
cd
µ
1
(k
1
) ···
=
1
Z
DU Dψ Dψ ψ
a
1
α
1
(x
1
) ···ψ
b
1
β
1
(y
1
) ···U
cd
µ
1
···e
−S
CQD
, (1.147)
onde
Z =
DU Dψ Dψ e
−S
QCD
. (1.148)
A partir da Eq. (1.147) podemos escrever tamb´em a express˜ao em integrais de trajet´oria na
rede para um observ´avel que dependa de U, ψ e ψ, como
O[U, ψ, ψ] =
DU Dψ Dψ O[U, ψ, ψ] e
−S
QCD
. (1.149)
52
1.4.3 Aproxima¸c˜ao quenched
Na se¸c˜ao anterior encontramos as express˜oes discretizadas para a a¸c˜ao da QCD e para m´edias
de observ´aveis. Ambas as express˜oes est˜ao escritas em termos dos campos fermiˆonicos ψ e
ψ e dos campos gluˆonicos U. Entretanto, n˜ao conseguimos calcular numericamente m´edias
de ensemble dos campos ψ e ψ, ou seja, de vari´aveis de Grassmann, mas apenas de U.
Ainda assim podemos utilizar m´etodos estat´ısticos para estudarmos a QCD numericamente,
resolvendo as integrais em ψ e ψ e levando em considera¸c˜ao que S
W
F
[U, ψ, ψ] ´e bilinear nos
campos ψ e ψ. Aqui, por simplicidade, vamos supor que nosso observ´avel s´o dependa dos
campos gluˆonicos U. Temos, ent˜ao
O[U] =
1
Z
DU Dψ Dψ O[U] e
−S
QCD
. (1.150)
J´a que os computadores n˜ao podem lidar com a anti-comuta¸c˜ao de n´umeros, em c´alculos
de Monte Carlo as integrais s˜ao feitas explicitamente sobre os campos fermiˆonicos com a
Eq. (1.114), trabalhando com uma a¸c˜ao efetiva para os campos gluˆonicos, a qual formalmente
fica
e
−S
eff
≡ e
−S
G
[U]
· det Q[U]. (1.151)
De acordo com a equa¸c˜ao acima, O[U] se escreve
O[U] =
DU O[U] e
−S
eff
DU e
−S
eff
, (1.152)
com
S
eff
= S
G
[U] − ln det Q[U], (1.153)
onde S
G
[U] ´e dada por Eq. (1.146) e Q[U] por Eq. (1.130). Esta a¸c˜ao efetiva depende,
de modo altamente n˜ao-local, dos potenciais gluˆonicos U, o que torna os c´alculos na rede
envolvendo f´ermions muito pesados. Este ´e um dos motivos por que n˜ao fazemos nenhum
c´alculo envolvendo f´ermions neste trabalho.
O termo ln det Q[U] ´e referente a efeitos de polariza¸c˜ao do v´acuo pelos f´ermions. Ignorar
esses efeitos ´e supor que as massas dos quarks s˜ao infinitas, de modo que elas n˜ao polarizem
o v´acuo. Isso significa fazer det Q[U] = 1, ou ln Q[U] = 0. A a¸c˜ao efetiva ent˜ao se torna
simplesmente a a¸c˜ao gluˆonica, tornando a teoria de puro calibre. Essa aproxima¸c˜ao, chamada
aproxima¸c˜ao quenched, ser´a usada em todos os c´alculos deste trabalho. O valor esperado do
observ´avel fica ent˜ao
O[U] =
DU O[U] e
−S
G
[U]
DU e
−S
G
[U]
, (1.154)
onde S
G
´e dado pela Eq. (1.146). Essa ´e a express˜ao b´asica que usaremos nos nossos c´alculos
computacionais.
53
1.5 Limite do cont´ınuo
No formalismo de rede, a regulariza¸c˜ao aparece naturalmente com a introdu¸c˜ao da discre-
tiza¸c˜ao do espa¸co-tempo. Ou seja, a imposi¸c˜ao de que o espa¸co-tempo seja discreto implica
em um corte nas freq¨uˆencias ultra-violeta no espa¸co de momentos. Assim, as integrais no
espa¸co de momentos ser˜ao limitadas a momentos da ordem do inverso do espa¸camento de
rede a.
A defini¸c˜ao de fun¸c˜oes de Green renormalizadas corresponde, no formalismo de rede, ao
limite para o cont´ınuo, ou seja, `a remo¸c˜ao da rede. Esse ´e com certeza o passo mais dif´ıcil
do processo, exigindo que os parˆametros nus da teoria dependam do espa¸camento de rede
de modo bastante espec´ıfico, j´a que observ´aveis f´ısicos n˜ao podem depender da estrutura de
rede.
No limite do cont´ınuo o espa¸camento a ´e suposto ir a zero, e as massas f´ısicas m se
aproximariam de um limite finito. O espa¸camento da rede, por´em, n˜ao ´e uma quantidade
adimensional, por isso temos que fixar alguma escala de massa, e considerar o limite am → 0.
O inverso de am,
1
am
≡ ξ (1.155)
pode ser considerado como um comprimento de correla¸c˜ao. No limite do cont´ınuo, ξ tem
assim, que ir a infinito. Este ponto ´e chamado de ponto cr´ıtico da teoria. Isto ´e ilustrado na
Fig. 1.10 numa rede de duas dimens˜oes com diferentes comprimentos de correla¸c˜ao.
Em uma Teoria de Calibre pura, h´a uma ´unica constante adimensional de acoplamento
nua g
0
e am ´e uma fun¸c˜ao de g
0
. Para aproximar-se do limite do cont´ınuo, temos que variar
g
0
de forma que am → 0. Este procedimento ´e controlado por uma equa¸c˜ao do Grupo de
Renormaliza¸c˜ao
−a
∂g
0
∂a
= β
L
(g
0
) = −β
0
− β
1
g
5
0
+ ..., (1.156)
onde o primeiro termo da expans˜ao ´e
β
0
=
11
3
N
1
16π
2
. (1.157)
No regime perturbativo de g
0
esta equa¸c˜ao implica que para diminuir am a constante de
acoplamento nua ´e, tamb´em, diminu´ıda, indo a zero. Sendo assim, o limite do cont´ınuo est´a
associado com o limite
g
0
→ 0 (limite do cont´ınuo). (1.158)
A solu¸c˜ao da equa¸c˜ao do Grupo de Renormaliza¸c˜ao at´e a segunda ordem em g
0
´e
a = Λ
−1
L
exp
−
1
2β
0
g
2
0
(β
0
g
2
0
)
−
β
1
2β
2
0
1 + O(g
2
0
)
, (1.159)
54
Figura 1.10: Redes bi-dimensionais com incremento do comprimento de correla¸c˜ao.
Fonte: M
¨
UNSTER, G.; WALZL, M. Lattice Gauge Theory A Short Primer. Dispon´ıvel em: arXiv:
hep-lat/0012005 v1. Acesso em: 5 dezembro 2000.
onde Λ
L
´e uma constante de integra¸c˜ao que revela o aparecimento espontˆaneo de uma escala
de energia durante o processo de renormaliza¸c˜ao (transmuta¸c˜ao dimensional). Solucionando
a equa¸c˜ao acima para g
0
temos
g
2
0
=
−1
β
0
log a
2
Λ
2
L
+ ···, (1.160)
na qual, novamente, a constante de acoplamento g
0
se anula no limite do cont´ınuo:
g
2
0
→ 0 para a → 0. (1.161)
Podemos observar que
am ∝ exp
−
1
2β
0
g
2
0
, (1.162)
o que demonstra uma origem n˜ao-pertubativa da massa m.
Estas considera¸c˜oes motivam a seguinte hip´otese: o limite do cont´ınuo de uma Teoria de
Gauge na rede ´e obtido quando g
0
se anula.
55
O cen´ario para aproxima¸c˜ao ao limite do cont´ınuo ´e o seguinte: calculamos as massas em
unidades de rede, em termos de am. Diminuindo g
0
, conseguimos uma regi˜ao onde quan-
tidades adimensionais am seguem um comportamento como aquele dado pela Eq. (1.162).
Graficando am logaritmicamente versus 1/g
2
0
, como na Fig. 1.11, um comportamento apro-
ximadamente linear ´e esperado, o que ´e chamado de escala assint´otica.
Figura 1.11: Cen´ario da escala.
Fonte: M
¨
UNSTER, G.; WALZL, M. Lattice Gauge Theory A Short Primer. Dispon´ıvel em: arXiv:
hep-lat/0012005 v1. Acesso em: 5 dezembro 2000.
Para as raz˜oes das massas pode ser demonstrado que a dependˆencia em rela¸c˜ao `a expo-
nencial 1/g
2
0
se cancela pr´oximo ao limite do cont´ınuo.
m
1
m
2
= const. × (1 + O(a
2
)). (1.163)
Tal comportamento, m
1
/m
2
≈ constante, ´e chamada de escala.
56
Cap´ıtulo 2
MONTE CARLO
´
E bastante comum que os problemas atacados pelos f´ısicos tenham um n´umero de graus de
liberdade extremamente alto; nestes casos, uma abordagem estat´ıstica ´e quase indispens´avel,
j´a que a capacidade computacional necess´aria para m´etodos determin´ısticos ainda est´a longe
de ser alcan¸cada. O procedimento estat´ıstico mais utilizado ´e o m´etodo de Monte Carlo
[14], bastante comum em estudos de Estado S´olido e F´ısica Estat´ıstica, onde o n´umero de
part´ıculas ´e da ordem de 10
23
.
Tradicionalmente uma ´area de resultados anal´ıticos, a Teoria Quˆanticas de Campos, com
seus infinitos graus de liberdade, tamb´em pode ser investigada numericamente quando tra-
duzida para o formalismo de rede euclidiana. Como j´a vimos no Cap´ıtulo 1, a discretiza¸c˜ao
do espa¸co-tempo e a considera¸c˜ao de uma rede finita tornam o n´umero de graus de liberdade
finito, adequado para sua implementa¸c˜ao num´erica.
2.1 O m´etodo de Monte Carlo
O m´etodo de Monte Carlo fornece solu¸c˜oes aproximadas para uma variedade de problemas
matem´aticos realizando “experimentos” de amostragens estat´ısticas num computador. O
m´etodo se aplica tanto a problemas sem conte´udo probabil´ıstico quanto a problemas com
uma estrutura probabil´ıstica inerente. Dentre todos os m´etodos num´ericos que se baseam em
evolu¸c˜oes de N pontos num espa¸co de M dimens˜oes para produzir uma solu¸c˜ao aproximada,
o m´etodo de Monte Carlo tem um erro que decresce como N
−1/2
ao passo que, na ausˆencia
de qualquer estrutura explor´avel em particular, todos os outros tem erros que decrescem,
tipicamente, como N
−1/M
. Um dom´ınio geral de aplica¸c˜ao dos m´etodos de Monte Carlo s˜ao
os sistemas com muitos graus de liberdade, longe do regime perturbativo, como os que s˜ao
de grande interesse, em Mecˆanica Estat´ıstica e Teoria Quˆantica de Campos.
57
Hist´oria
O m´etodo leva o nome da cidade no principado de Mˆonaco, devido `a roleta dos seus casinos,
um gerador de n´umeros aleat´orios simples. O nome e o desenvolvimento sistem´atico do
m´etodo de Monte Carlo data de aproximadamente 1944.
Existem, no entanto, v´arias instˆancias isoladas e n˜ao desenvolvidas em ocasi˜oes muito
anteriores.
Por exemplo, na segunda metade do s´eculo 19 pessoas faziam experiˆencias, nas quais
jogavam uma agulha em forma aleat´oria sobre uma placa com linhas retas paralelas e inferiam
o valor de π observando o n´umero de vezes que a agulha interceptava as linhas
1
.
Em 1899 Lord Rayleigh mostrou que um caminhada aleat´oria unidimensional, sem bar-
reiras absorventes, fornecia uma solu¸c˜ao aproximada de uma equa¸c˜ao diferencial parab´olica.
No come¸co do s´eculo 20, a escola estat´ıstica brit´anica se permitia uma grande quantidade
de trabalho utilizando um m´etodo de Monte Carlo primitivo. A maioria deste trabalho
parece ter sido de car´ater did´atico e raramente utilizado em pesquisa. Somente em poucas
e raras ocasi¸c˜oes a ˆenfase foi na descoberta original mais do que na verifica¸c˜ao. Em 1908
Student (W.S. Gosset) utilizou uma amostragem experimental para ajud´a-lo na descoberta
da distribui¸c˜ao do coeficiente de correla¸c˜ao [42]. No mesmo ano, Student tamb´em utilizou
amostragens para dar suporte a sua confian¸ca na distribui¸c˜ao t, a qual foi derivada a partir
de an´alises te´oricas incompletas e, em certa medida, duvidosas [43].
O uso real do m´etodo de Monte Carlo como uma ferramenta de pesquisa consolidou-se a
partir do trabalho realizado no Projeto Manhattan durante a Segunda Guerra Mundial. Este
trabalho envolvia a simula¸c˜ao de problemas relacionados com a difus˜ao aleat´oria de nˆeutrons
no material fission´avel. O cr´edito por ter inventado o m´etodo de Monte Carlo ´e de Stanislaw
Ulam, um matem´atico polonˆes que trabalhou com John von Neumann em tal projeto. Ele
inventou o m´etodo de Monte Carlo em 1946, enquanto estimava as probabilidades de ganhar
o jogo de baralho solit´ario
2
. No entanto, o desenvolvimento sistem´atico destas id´eias teve
1
Um exemplo destas atividades l´udicas foram as experiˆencias realizadas pelo Capit˜ao O.C. Fox,
baseadas num problema proposto por George Louis Leclerc, Conde de Buffon, duzentos anos antes
(http://www.riskglossary.com/link/monte
carlo method.htm).
2
Ulam descreve o incidente da seguinte maneira [44]: Os primeiros pensamentos e tentativas que fiz para
ensaiar [o m´etodo de Monte Carlo] foram sugeridos por uma quest˜ao que me ocorreu em 1946 quando estava
convalescente de uma doen¸ca e jogava solit´ario. A pergunta era qual as chance de que um solit´ario Canfiels
jogado com 52 cartas termine bem sucedido? Depois de gastar muito tempo tratando de estim´a-las atrav´es
de c´alculos puramente combinat´orios, me perguntei se um m´etodo mais pr´atico que o “pensamento abstrato”
n˜ao seria jogar as cartas, digamos, umas cem vezes e simplesmente observar e contar o n´umero de jogos
bem sucedidos. Isto era poss´ıvel de implementar com o come¸co da nova era dos computadores r´apidos, e
58
que esperar pelos trabalhos de Harris e Herman Kahn em 1948. No mesmo ano, Metr´opolis
e Ulam obtiveram estimativas de Monte Carlo para os autovalores da equa¸c˜ao de Scr¨odinger.
Ulam n˜ao inventou a amostragem estat´ıstica. Sua contribui¸c˜ao foi reconhecer o potencial
dos recentemente inventados computadores na automatiza¸c˜ao de tais amostragems. Traba-
lhando com John von Neuman e Nicholas Metr´opolis, ele desenvolveu algoritmos para a im-
plementa¸c˜ao computacional, assim como pesquisou formas de levar problemas n˜ao aleat´orios
a formula¸c˜oes aleat´orias que pudessem facilitar sua resolu¸c˜ao via amostragems estat´ısticas.
Este trabalho transformou a amostragem estat´ıstica de uma curiosidade matem´atica numa
metodologia formal aplic´avel a uma grande variedade de problemas. Foi Metr´opolis quem
batizou a nova metodologia, inspirado nos casinos de Monte Carlo. Ulam e Metr´opolis pu-
blicaram o primeiro trabalho sobre o m´etodo de Monte Carlo em 1949.
Aproximadamente em 1970, a nova teoria da complexidade computacional come¸cou a
fornecer uma base mais precisa e persuasiva para a utiliza¸c˜ao do m´etodo de Monte Carlo. A
teoria identificou uma classe de problemas para os quais o tempo de c´alculo da solu¸c˜ao exata
de um problema dentro da classe crescia, no m´ınimo, exponencialmente com M, onde M ´e
o n´umero de dimens˜oes. A quest˜ao a ser resolvida era se o m´etodo de Monte Carlo podia
ou n˜ao estimar uma solu¸c˜ao de um problema pertencente a esta classe intrat´avel dentro de
uma dada precis˜ao estat´ıstica num tempo limitado por um polinˆomio em M. Numerosos
exemplos deram suporte a esta conjectura [Karp (1985) mostrou esta propriedade para es-
timar a confiabilidade de uma rede planar de m´ultiplos terminais com extremos falhando
aleat´oriamente; Dyer (1989) a estabeleceu estimando o volume de um corpo convexo num
espa¸co euclidiano de M dimens˜oes; Broder (1986) e Jerrum e Sinclair (1988) estabeleceram
esta propriedade estimando o permanente de uma matriz ou, equivalentemente, o n´umero de
combina¸c˜oes perfeitas num grafo bipartido].
O m´etodo de Monte Carlo pode ser utilizado na solu¸c˜ao de integrais. Vamos supor que
queremos calcular uma integral bastante complicada, com a seguinte forma
b
a
g(x) dx. (2.1)
Se pudermos decompor g(x) como um produto de uma fun¸c˜ao f(x) e uma fun¸c˜ao de proba-
imediatamente pensei em problemas de difus˜ao de nˆeutrons e outras quest˜oes de f´ısica-matem´atica, e, em
forma mais geral, como mudar processos descritos por certas equa¸c˜oes diferenciais numa forma equivalente,
interpret´avel como uma sucess˜ao de opera¸c˜oes aleat´orias. Posteriormente... [em 1946 eu] apresentei a id´eia
a John von Neumann, e come¸camos a planejar c´alculos.
59
bilidade p(x) definida no intervalo [a, b], ent˜ao temos
b
a
g(x) dx =
b
a
f(x) p(x)dx = f(x)
p(x)
, (2.2)
ou seja, a integral pode ser escrita com um valor esperado de f(x) sobre a probabilidade
p(x). Assim, se conseguimos sortear vari´aveis aleat´orias {x
1
, x
2
, . . . , x
n
} de acordo com p(x),
ent˜ao a integral da Eq. (2.1) pode ser escrita como
b
a
g(x)dx = f(x)
p(x)
≈
1
n
n
t=1
f(x
t
). (2.3)
Esse tipo de procedimento ´e conhecido como integra¸c˜ao de Monte Carlo.
Para conseguirmos resolver uma integral utilizando esse m´etodo, precisamos de um algo-
ritmo para gerar um ensemble {x
t
}
t=1,...n
de configura¸c˜oes de acordo com p(x). Aqui, estamos
chamando de configura¸c˜ao cada x
t
sorteado, e de ensemble o conjunto destas configura¸c˜oes,
supondo que este tenha muitos elementos. Existem v´arios m´etodos de se gerar esse ensemble.
Os m´etodos mais simples s˜ao os m´etodos de amostragem por importˆancia e de rejei¸c˜ao (ver
se¸c˜ao 16.2.3 da referˆencia [45]). M´etodos mais complexos, em particular o de Metr´opolis [46]
e o de Banho T´ermico [3], baseados em algoritmos Markovianos [47], ser˜ao detalhados nas
se¸c˜oes 2.2.2 e 2.2.3, respectivamente.
Os m´etodos de amostragem por importˆancia e de rejei¸c˜ao, explicados a seguir para o caso
de sorteio de uma vari´avel aleat´oria, podem ser generalizados para problemas multidimensi-
onais.
2.1.1 O m´etodo de amostragem por importˆancia
Seja x uma vari´avel aleat´oria com distribui¸c˜ao de probabilidade p(x), normalizada no inter-
valo [a, b], de modo que
b
a
p(x)dx = 1. (2.4)
Suponhamos que queremos sortear x de acordo com p(x). Para isso definimos a nova vari´avel
y na forma
y(x) =
x
a
p(x)dx. (2.5)
Por constru¸c˜ao y pertence ao intervalo [0, 1] e est´a uniformemente distribu´ıda nele:
y(a) = 0, (2.6)
y(b) = 1, (2.7)
1
0
dy = 1. (2.8)
60
Devido a y estar uniformemente distribu´ıdo, x resulta distribuido segundo p(x). Com efeito,
a partir de (2.5) vemos que
dy = p(x)dx. (2.9)
Para obter N pontos x distribu´ıdos segundo p(x) se procede ent˜ao da seguinte maneira:
1. Sorteiam-se N pontos {y
1
, y
2
, . . . , y
N
} uniformemente distribu´ıdos em [0, 1].
2. Inverte-se a rela¸c˜ao (2.5) para obter N pontos {x
1
, x
2
, . . . , x
N
} distribu´ıdos segundo
p(x) no intervalo [a, b].
O ensemble {x
1
, x
2
, . . . , x
N
} gerado desta maneira ser´a o utilizado para calcular a integral da
Eq. (2.3). No entanto, deve notar-se que o procedimento acima s´o resulta de utilidade se a
rela¸c˜ao (2.5) pode ser invertida, para obter x a partir de y. Os casos de interesse s˜ao aqueles
onde existe uma fun¸c˜ao F tal que p = dF/dx. Nestes casos podemos re-escrever (2.5) na
forma y = F (x). Se a fun¸c˜ao F pode ser invertida, ent˜ao dados N pontos {y
1
, y
2
, . . . , y
N
}
uniformemente distribu´ıdos em [0, 1], o conjunto {F
−1
(y
1
), F
−1
(y
2
), . . . , F
−1
(y
N
)} estar´a dis-
tribu´ıdo segundo p(x) em [a, b].
Apesar de ser eficiente, raramente podemos fazer uso deste algoritmo, j´a que ele s´o ´e
cab´ıvel quando conseguimos inverter a integral na Eq. (2.5). Um dos poucos casos onde isso
´e poss´ıvel ´e, por exemplo, quando p(x) ´e uma disdribui¸c˜ao gaussiana [48, 49].
2.1.2 O m´etodo da rejei¸c˜ao
Vamos supor agora que queremos sortear uma vari´avel x em um intervalo [a, b] de acordo com
uma probabilidade p(x), complicada demais para utilizarmos amostragem por importˆancia.
Assim, o sorteio ser´a poss´ıvel se conhecermos uma densidade proposta q(x) (n˜ao normali-
zada), mais simples que p(x), a partir da qual conseguimos gerar uma amostra de x. A
densidade de probabilidade q(x) precisa ser maior que p(x) para todo x ∈ [a, b]. O m´etodo
da rejei¸c˜ao tem os seguintes passos:
1. Gera-se x
p
de acordo com q(x), por exemplo, usando amostragem por importˆancia.
2. Aceita-se x
p
de acordo com p(x)/q(x). Ou seja: sortear-se uma outra vari´avel aleat´oria
ξ no intervalo [0, 1]. Se
ξ <
p(x
p
)
q(x
p
)
, (2.10)
ent˜ao x
p
ir´a compor o ensemble que usaremos para calcular a Eq. (2.3). Do contr´ario,
descarta-se x
p
. Em ambos os casos come¸ca-se o procedimento novamente, at´e gerar o
ensemble desejado.
61
Figura 2.1: Densidades de probabilidades p(x) e q(x).
Para aumentar a eficiˆencia deste m´etodo ´e necess´ario que a fun¸c˜ao proposta q(x) seja t˜ao
pr´oxima de p(x) quanto poss´ıvel, minimizando assim o n´umero de pontos rejeitados, como
podemos ver na Fig. 2.1.
2.1.3 Gera¸c˜ao de n´umeros aleat´orios
O ponto em comum entre todos os algoritmos para gerar configura¸c˜oes a partir de uma
dada probabilidade ´e a utiliza¸c˜ao de geradores de n´umeros aleat´orios no processo. Toda vez
que supomos poder sortear uniformemente um n´umero aleat´orio no intervalo [0, 1], estamos
contando com a existˆencia de um algoritmo para a gera¸c˜ao deste n´umero e, portanto, este
tipo de algoritmo ´e parte fundamental nos c´alculos de Monte Carlo.
´
E no m´ınimo estranho falar em gera¸c˜ao de n´umeros aleat´orios computacionalmente, sendo
os computadores m´aquinas absolutamente determin´ısticas. De fato, nenhuma subrotina com
essa fun¸c˜ao a realizar´a. Toda seq¨uˆencia de n´umeros gerada por um desses programas ´e,
na verdade, completamente determinada pela semente escolhida. Ou seja, inicializando uma
dada subrotina de n´umeros aleat´orios com uma semente espec´ıfica, ela sempre gerar´a a mesma
seq¨uˆencia de n´umeros, a qual voltar´a a repertir-se, depois de um certo n´umero de termos,
chamado de per´ıodo.
Para chegarmos perto do ideal, ou seja, de uma seq¨uˆencia infinita de n´umeros comple-
tamente aleat´orios, ´e necess´ario criarmos subrotinas que gerem seq¨uˆencias com per´ıodos t˜ao
grandes quanto o programador necessite. Sendo assim, ´e muito importante para o progra-
mador conhecer detalhes da subrotina de n´umeros aleat´orios que utiliza, para evitar erros no
programa por efeitos de tamanho da seq¨uˆencia gerada, ou de correla¸c˜ao entre os n´umeros, que
deveriam ser aleat´orios. Ao escolher a subrotina que ir´a utilizar, o programador tem ainda
62
que levar em conta a eficiˆencia da subrotina em gerar esse n´umeros. Subrotinas que geram
seq¨uˆencias muito grandes costumam ser muito lentas e, se n˜ao ´e necess´ario uma seq¨uˆencia
t˜ao extensa, pode-se optar por usar uma subrotina mais r´apida com uma seq¨uˆencia menor.
Assim, uma subrotina pode ser eficiente para gerar n´umeros aleat´orios ou n˜ao, dependendo
da necessidade do programador.
2.2 Algoritmos Markovianos
Algumas classes destes algoritmos, ditas locais, tˆem uma vasta gama de aplicabilidade, ser-
vindo, por exemplo, para a simula¸c˜ao de sistemas de spins-cont´ınuos e Teorias de Calibre.
Portanto, nesta Se¸c˜ao nos dedicaremos ao estudo dos m´etodos utilizados neste trabalho para
o sorteio de configura¸c˜oes de acordo com uma dada probabilidade. S˜ao estes o algoritmo de
Banho T´ermico e o algoritmo de Metr´opolis. Ambos s˜ao algoritmos baseados em cadeias de
Markov, ou seja, o sorteio de uma dada configura¸c˜ao, nestes m´etodos, depende unicamente do
valor da configura¸c˜ao anterior. Assim, faremos uma breve explica¸c˜ao a respeito de algoritmos
Markovianos antes de abordarmos cada um destes m´etodos especificamente.
2.2.1 Cadeias de Markov
O m´etodo de Monte Carlo visa resolver o seguinte problema [50]: dada uma medida de
probabilidade π sobre um espa¸co de configura¸c˜ao S, se deseja gerar v´arias amostras aleat´orias
a partir de π. Como isto ´e feito?
Os m´etodos de Monte Carlo podem ser classificados em est´aticos ou dinˆamicos. Os
m´etodos est´aticos s˜ao aqueles que geram uma seq¨uˆencia estat´ısticamente independente de
amostras para a distribui¸c˜ao desejada π. Estas t´ecnicas s˜ao amplamente utilizadas em in-
tegra¸c˜oes em espa¸cos de dimens˜oes n˜ao muito altas [51]. Mas n˜ao s˜ao apropriadas para a
maioria das aplica¸c˜oes em Mecˆanica Estat´ıstica e Teoria Quˆantica de Campos, onde π ´e a
medida de Boltzmann-Gibbs de algum sistema mais o menos complicado, com muitos graus
de liberdade acoplados.
A id´eia dos m´etodos de Monte Carlo dinˆamicos ´e inventar um processo aleat´orio cujo
espa¸co de estados seja S tendo π como sua ´unica distribui¸c˜ao de equil´ıbrio. Ent˜ao simula-se
este processo aleat´orio num computador, come¸cando de uma configura¸c˜ao inicial arbitr´aria;
quando o sistema atinge seu estado de equil´ıbrio, medem-se valores m´edios temporais, os quais
convergem, quando o tempo de execu¸c˜ao tende a infinito, aos valores m´edios sobre π. Em
termos f´ısicos, se inventa uma evolu¸c˜ao estoc´astica para o sistema dado. No entanto, deve
63
enfatizar-se que esta evolu¸c˜ao temporal n˜ao corresponde a nenhuma dinˆamica fisicamente
real, a dinˆamica ´e simplesmente um algoritmo num´erico, e deve ser escolhido, como todos os
algoritmos num´ericos, na base de sua eficiˆencia computacional.
Na pr´atica, o processo estoc´astico ´e sempre escolhido como sendo uma cadeia de Markov.
Uma cadeia de Markov com espa¸co de estados S ´e uma seq¨uˆencia de vari´aveis aleat´orias
3
{X
0
, X
1
, X
2
, . . .} com valores em S, tal que as transi¸c˜oes sucessivas X
t
→ X
t+1
s˜ao es-
tat´ısticamente independentes. Mais precisamente, uma cadeia de Markov ´e especificada
dando dois ingredientes:
1. A distribui¸c˜ao inicial α. Aqui α ´e uma distribui¸c˜ao de probabilidades em S, e o processo
estar´a definido de forma tal que P(X
0
= x) = α
x
.
2. A matriz de probabilidades de transi¸c˜ao P = {p
xy
}
x,y∈S
= {p(x → y)}
x,y ∈ S
. Aqui P
´e uma matriz que satisfaz p
xy
≥ 0 para todos os pares de valores {x, y}, e
y
p
xy
= 1
para todo x.
Ent˜ao, a cadeia de Markov est´a completamente definida pelas probabilidades conjuntas
P(X
0
= x
0
, X
1
= x
1
, X
2
= x
2
, . . . , X
n
= x
n
) ≡ α
x
0
p
x
0
,x
1
p
x
1
,x
2
···p
x
n−1
,x
n
.
Esta estrutura de produtos expressa o fato das sucessivas transi¸c˜oes serem independentes.
Define-se tamb´em a probabilidade de transi¸c˜ao de n passos na forma
p
(n)
xy
= P(X
t+n
= y|X
t
= x).
Claramente p
(0)
xy
= δ
xy
, p
(1)
xy
= p
xy
, e {p
(n)
xy
} s˜ao os elementos de matriz de P
n
.
Uma cadeia de Markov se diz irredut´ıvel se desde cada estado ´e poss´ıvel alcan¸car um
outro estado: isto ´e, para cada par x, y ∈ S, existe um n ≥ 0 para o qual p
(n)
xy
> 0. Na
pr´atica se consideram quase que exclusivamente cadeias de Markov irredut´ıveis.
Para cada estado x, se define o per´ıodo de x, denotado d
x
, como o maior m´aximo divisor
comum de todos os n´umeros n para os quais p
(n)
xx
> 0. Se d
x
= 1, o estado x chama-se
aperi´odico. Pode ser provado que, numa cadeia irredut´ıvel, todos os estados tˆem o mesmo
per´ıodo; assim, podemos falar de cadeias de per´ıodo d. Mais ainda, o espa¸co de estados
pode ser particionado em subconjuntos {S
1
, S
2
, . . . , S
d
} entre os quais a cadeia se movimenta
ciclicamente, ou seja, p
(n)
xy
= 0 cada vez que x ∈ S
i
, y ∈ S
j
com j −i = n (mod
d
). Finalmente,
pode ser mostrado que uma cadeia ´e irredut´ıvel e aperi´odica se e somente se, para cada par
{x, y}, existe N
xy
tal que p
(n)
xy
> 0 para todo n ≥ N
xy
.
3
Sem perda de generalidade, consideram-se aqui espa¸cos de estados S discretos.
64
O t´opico fundamental na teoria das cadeias de Markov refere-se ao problema da con-
vergˆencia ao equil´ıbrio. Uma medida de probabilidades π = {π
x
}
x ∈ S
´e uma distribui¸c˜ao
estacion´aria (ou distribui¸c˜ao invariante ou distribui¸c˜ao de equil´ıbrio) para a cadeia de Mar-
kov P se
x
π
x
p
xy
= π
y
para todo y.
Uma distribui¸c˜ao de probabilidades estacion´aria n˜ao necessariamente existe; mas se existir,
ent˜ao vale o seguinte
Teorema: Seja P a probabilidade de transi¸c˜ao de uma cadeia de Markov irredut´ıvel de
per´ıodo d. Se existe uma distribui¸c˜ao de probabilidade estacion´aria π, ent˜ao ela ´e
unica, e π
x
> 0 para todo x. Mais ainda
lim
n→∞
p
(nd+r)
xy
=
dπ
y
se x ∈ S
i
, y ∈ S
j
com j − i = r (mod
d
)
0 se x ∈ S
i
, y ∈ S
j
com j − i = r (mod
d
)
(2.11)
para todo {x, y}. Em particular, se P ´e aperi´odica, ent˜ao
lim
n→∞
p
(n)
xy
= π
y
.
Este Teorema mostra que a cadeia de Markov converge, quando t → ∞, `a distribui¸c˜ao de
equil´ıbrio π, independentemente da distribui¸c˜ao inicial α.
Ent˜ao, para configurar um m´etodo de Monte Carlo dinˆamico que gere amostras com dis-
tribui¸c˜ao de probabilidades π, ´e suficiente inventar uma matriz de probabilidades de transi¸c˜ao
P = {p
xy
} = {p(x → y)} satisfazendo as duas seguintes condi¸c˜oes:
1. Irredutibilidade. Para cada par {x, y} ∈ S, existe um n ≥ 0 para o qual p
(n)
xy
> 0.
2. Estacionariedade de π. Para cada y ∈ S,
x
π
x
p
xy
= π
y
. (2.12)
O Teorema mostra que a simula¸c˜ao da cadeia de Markov P constitui um m´etodo de
Monte Carlo leg´ıtimo para estimar valores m´edios com respeito a π. A cadeia pode come¸car
em qualquer estado x (que corresponde a escolher α
y
= δ
yx
) que est´a garantida a convergˆencia
ao equil´ıbrio quando t → ∞ (no sentido da Eq. (2.11)). Os valores m´edios tomados para
tempos longos de qualquer observ´avel f convergir˜ao, com probabilidade 1, aos valores m´edios
sobre π, e o far˜ao com flutua¸c˜oes da ordem de n
−1/2
.
65
Note-se que uma forma conveniente de satisfazer a condi¸c˜ao da Eq. (2.12) ´e satisfazendo
a seguinte condi¸c˜ao :
π
x
p
xy
= π
y
p
yx
para cada par {x, y} ∈ S, (2.13)
conhecida como condi¸c˜ao de balan¸co detalhado. Uma cadeia de Markov que satisfaz a
Eq. (2.13) chama-se revers´ıvel.
A principal dificuldade do m´etodo de Monte Carlo dinˆamico reside em que os estados
sucessivos {X
0
, X
1
, X
2
, . . .} da cadeia de Markov est˜ao correlacionados, provavelmente muito
fortemente
4
, de forma que a variˆancia das estimativas produzidas pela simula¸c˜ao podem ser
muito maiores que no caso do Monte Carlo est´atico. Sem entrar em detalhes, seja f =
{f(x)}
x ∈ S
uma fun¸c˜ao real definida no espa¸co de estados S, a qual ´e de quadrado integr´avel
com respeito a π, e consideremos a cadeia de Markov estacion´aria, “equilibrando” o sistema
por um per´ıodo longo anterior `a observa¸c˜ao. Definindo o valor m´edio da amostra na forma
¯
f =
1
n
n
t=1
f
t
,
onde n ´e o n´umero de amostras, ´e poss´ıvel provar [50, 52] que este valor m´edio tem uma
variˆancia dada por
σ
2
(
¯
f) ≈
1
n
2τ
f
2
−
¯
f
2
,
onde τ ´e o chamado tempo de autocorrela¸c˜ao integrado. Assim, a variˆancia de
¯
f ´e um
fator 2τ maior do que seria no caso do conjunto {f
t
} ser estat´ısticamente independente.
Colocado de outra forma, o n´umero de “amostras efetivamente independentes” numa rodada
de comprimento n ´e, aproximadamente, n/2τ. O tempo de autocorrela¸c˜ao ´e o an´alogo, na
vari´avel tempo de Monte Carlo, de uma distˆancia de correla¸c˜ao.
Finalmente, alguns coment´arios sobre transi¸c˜oes de probabilidades P constru´ıdas a partir
de outras transi¸c˜oes de probabilidades {P
1
, P
2
, . . . , P
n
}:
1. Se {P
1
, P
2
, . . . , P
n
} satisfaz a condi¸c˜ao de estacionariedade da Eq. (2.12) para π (ou
a condi¸c˜ao de balan¸co detalhado da Eq. (2.13)), ent˜ao tamb´em a verifica qualquer
combina¸c˜ao convexa P =
n
i=1
λ
i
P
i
, onde λ
i
≥ 0 e
n
i=1
λ
i
= 1.
2. Se {P
1
, P
2
, . . . , P
n
} satisfaz a condi¸c˜ao de estacionariedade para π, ent˜ao tamb´em a
verifica o produto P =
n
i=1
P
i
(embora esta P n˜ao satisfa¸ca a condi¸c˜ao de balan¸co
detalhado, mesmo se cada P
i
o fa¸ca).
4
Situa¸c˜ao que acontece, por exemplo, quando o sistema encontra-se perto de uma transi¸c˜ao de fase,
situa¸c˜ao denominada retardamento cr´ıtico (critical slowing down).
66
Algoritmicamente, a combina¸c˜ao convexa corresponde a escolher, aleat´oriamente, com
probabilidades {λ
i
}, dentre as opera¸c˜oes P
i
. De forma similar, o produto corresponde a
realizar as opera¸c˜oes {P
1
, P
2
, . . . , P
n
} seq¨uˆencialmente.
2.2.2 Algoritmo de Metr´opolis
Queremos, novamente, gerar amostras de uma distribui¸c˜ao p(x) em um intervalo [a, b]. O al-
goritmo de Metr´opolis gera uma seq¨uˆencia de amostras a partir desta distribui¸c˜ao do seguinte
modo:
1. Escolhemos um valor inicial x
0
para x, com a ´unica restri¸c˜ao de que ele satisfa¸ca
p(x
0
) > 0.
2. Usando o ´ultimo valor escolhido para x, ou seja, x
t−1
, (x
0
no caso do primeiro passo)
sorteamos um poss´ıvel novo valor x
p
a partir de alguma distribui¸c˜ao q(y, z), que ser´a
a probabiblidade de x assumir um valor z dado que seu valor anterior era y. A ´unica
restri¸c˜ao a essa distribui¸c˜ao ´e que seja sim´etrica: q(y, z) = q(z, y).
3. Dado x
p
, calculamos e raz˜ao
α =
p(x
p
)
p(x
t−1
)
(2.14)
4. Se α > 1, ou seja se o valor teste for mais prov´avel que o anterior, aceitamos o mesmo
(ou seja, fazemos x
t
= x
p
) e voltamos ao passo 2. Do contr´ario, sorteamos uma vari´avel
uniforme ξ no intervalo [0, 1]. Se ξ < α fazemos x
t
= x
p
e voltamos ao passo 2, se ξ > α
rejeitamos x
t
(i.e. tomamos x
t
= x
t−1
e voltamos ao passo 2.
Esse procedimento gera uma cadeia de Markov {x
0
, x
1
, . . . , x
t
, . . .}. Aplicando-se esse
procedimento suficientes vezes, a cadeia se aproxima da sua distribui¸c˜ao estacion´aria p(x).
O transit´orio anterior ao alcance da estacionariedade ´e conhecido como termaliza¸c˜ao (veja
apˆendice B para detalhes). Usamos ent˜ao o ensemble {x
0
, x
1
, . . . , x
t
, . . .} para calcularmos a
Eq. (2.3).
O m´etodo ´e bastante simples, mas precisamos provar que ele de fato nos leva a uma
distribui¸c˜ao estacion´aria. Uma condi¸c˜ao suficiente para isso ´e a de que as probabilidades
obede¸cam a Eq. (2.13), que ´e a equa¸c˜ao do balan¸co detalhado. Precisamos ent˜ao demonstrar
que a probabilidade de transi¸c˜ao de y para z, juntamente com p(x), satisfazem a Eq. (2.13).
67
Estamos sorteando segundo q(y, z) = P (y → z) e ent˜ao aceitando a troca com probabili-
dade igual α(y, z). Assim, a probabilidade de transi¸c˜ao ´e dada por
P (y → z) = q(y, z) α(y, z) = q(y, z) = min
p(z) q(z, y)
p(y) q(y, z)
, 1
. (2.15)
A equa¸c˜ao do balan¸co detalhado fica ent˜ao
P (y → z)p(y) = P (z → y) p(z), (2.16)
ou ainda
q(y, z) α(y, z) p(y) = q(z, y) α(z, y) p(z), ∀ y, z. (2.17)
Mostraremos que esta equa¸c˜ao ´e de fato satisfeita considerando os trˆes casos a seguir:
1. Se q(y, z) p(y) = q(z, y) p(z):
Neste caso,
α(y, z) = min
p(z) q(z, y)
p(y) q(y, z)
, 1
= min[1, 1] = 1,
α(z, y) = min
p(y) q(y, z)
p(z) q(z, y)
, 1
= min[1, 1] = 1. (2.18)
Logo,
P (y → z)p(y) = q(y, z) p(y),
P (z → y)p(z) = q(z, y) p(z). (2.19)
e chegamos `a equa¸c˜ao do balan¸co detalhado
P (y → z)p(y) = P (z → y) p(z). (2.20)
2. Se q(x, z) p(x) > q(z, x) p(z):
Neste caso,
α(y, z) = min
p(z) q(z, y)
p(y) q(y, z)
, 1
=
p(z) q(z, y)
p(y) q(y, z)
,
α(z, y) = min
p(y) q(y, z)
p(z) q(z, y)
, 1
= 1. (2.21)
68
Logo,
P (y → z)p(y) = q(y, z) p(y)
p(z) q(z, y)
p(y) q(y, z)
= p(z) q(z, y),
= P (z → y) p(z) (2.22)
e chegamos novamente `a equa¸c˜ao de balan¸co detalhado
P (y → z) p(y) = P (z → y) p(z).
3. Se q(x, z) p(x) < q(z, x) p(z):
Neste caso,
α(y, z) = min
p(z) q(z, y)
p(y) q(y, z)
, 1
= 1,
α(z, y) = min
p(y) q(y, z)
p(z) q(z, y)
, 1
=
p(y) q(y, z)
p(z) q(z, y)
. (2.23)
Logo,
P (y → z)p(y) = q(y, z) p(y)
p(y) q(y, z)
p(z) q(z, y)
= p(z) q(z, y),
= P (z → y) p(z) (2.24)
e obtemos novamente `a equa¸c˜ao de balan¸co detalhado
P (y → z) p(y) = P (z → y) p(z).
Est´a, assim, demonstrado que o m´etodo de Metr´opolis nos leva `a termaliza¸c˜ao e que,
portanto, podemos us´a-lo para gerar um ensemble de acordo com uma probabilidade p(x).
Uma explica¸c˜ao do M´etodo de Metr´opolis para o caso multidimensional pode ser obtida
em [53–55].
2.2.3 O m´etodo de Banho T´ermico
O algoritmo de Metr´opolis foi apresentado para o sorteio de uma ´unica vari´avel aleat´oria x
de acordo com uma probabilidade p(x) em um dado intervalo [a, b]. O m´etodo do Banho
T´ermico, entretanto, s´o pode ser utilizado em problemas de pelos menos duas dimens˜oes.
69
Temos ent˜ao um vetor x com N vari´aveis aleat´orias, e nosso objetivo ´e sortear x de
acordo com uma probabilidade p(x), dependente dessas N vari´aveis. A id´eia ´e, a cada
passo da simula¸c˜ao, alterar uma das vari´aveis aleat´orias, mantendo todas as outras fixas. A
atualiza¸c˜ao de uma vari´avel por este m´etodo n˜ao depende do seu valor anterior, apenas dos
valores das outras vari´aveis.
O nome Banho T´ermico vem de uma interpreta¸c˜ao termodinˆamica: considera-se todas as
vari´aveis que n˜ao ser˜ao modificadas naquele passo como uma esp´ecie de banho t´ermico com
o qual a vari´avel a ser escolhida est´a em contato. Como alteramos uma vari´avel por vez, o
Banho T´ermico ´e um algoritmo de altualiza¸c˜ao local.
Vamos supor ent˜ao que temos uma distribui¸c˜ao p(x) dependente das N vari´aveis aleat´orias
x = (x
1
, x
2
, . . . , x
N
), e que queremos gerar v´arias configura¸c˜oes x
t
de acordo com esta distri-
bui¸c˜ao. Esse m´etodo pressup˜oe o conhecimento das probabilidades condicionais
p(x
1
|x
2
= x
2
0
, . . . , x
N
= x
N
0
)
p(x
2
|x
1
= x
1
0
, x
3
= x
3
0
, . . . , x
N
= x
N
0
)
.
.
.
p(x
N
|x
1
= x
1
0
, . . . , x
N−1
= x
N−1
0
). (2.25)
Temos ent˜ao o seguinte algoritmo para gerar novos x
t
:
1. Inicializamos x
2
0
, x
3
0
, . . . , x
N
0
aleatoriamente.
2. • Sorteamos x
1
1
apartir da distribui¸c˜ao p(x
1
|x
2
= x
2
0
, . . . , x
N
= x
N
0
).
• Sorteamos x
2
1
apartir de p(x
2
|x
1
= x
1
1
, x
3
= x
3
0
, . . . , x
N
= x
N
0
).
.
.
.
• Sorteamos x
i
apartir de p(x
i
|x
1
= x
1
1
, . . . , x
i−1
= x
i−1
1
, x
i+1
= x
i+1
0
, . . . , x
N
= x
N
0
).
.
.
.
• Sorteamos x
N
apartir de p(x
N
|x
1
= x
1
1
, . . . , x
N−1
= x
N−1
1
).
Ao final deste processo, teremos obtido o vetor x
1
.
3. Podemos usar x
1
= (x
1
1
, x
2
1
, . . . , x
N
1
) para encontrar x
2
, e assim por diante.
Assim como o m´etodo de Metr´opolis, esse m´etodo gera uma cadeia de Markov que, ter-
minada a termaliza¸c˜ao, nos d´a um ensemble {x
t
}
t=1,...,N
distribu´ıdo de acordo com p(x). A
chegada `a distribui¸c˜ao estacion´aria ´e garantida, pois estamos supondo que conseguimos sor-
tear exatamente a partir das probabilidades condicionais. Assim, apesar de muito eficiente,
70
este m´etodo s´o pode ser utilizado quando conhecemos as probabilidades condicionais e elas
s˜ao simples ao ponto de sabermos sortear a partir delas.
2.3 O c´alculo dos erros no m´etodo de Monte Carlo
O m´etodo de Monte Carlo ´e baseado em procedimentos estat´ısticos, estando sujeito `as in-
certezas intr´ınsecas a esses procedimentos. Descrevemos, at´e aqui, dois algoritmos diferentes
que nos geram ap´os a termaliza¸c˜ao um conjunto {x
t
}
t=1,...,n
, dado por uma cadeia de Mar-
kov. A partir desse ensemble, podemos calcular quantidades prim´arias, que tˆem a forma
da Eq. (2.3), ou quantidades secund´arias, que s˜ao fun¸c˜oes de um determinada quantidade
prim´aria.
Assim ´e fundamental sabermos como calcular o erro envolvido nas nossas estimativas, para
entendermos qual ´e a validade dos resultados que encontramos. Nesta Se¸c˜ao descreveremos
m´etodos para o c´alculo de erros de quantidades prim´arias e secund´arias, supondo que elas
foram obtidas a partir de amostras correlacionadas, como no caso das obtidas com algoritmos
Markovianos.
2.3.1 Erro para quantidades prim´arias
Uma quantidade prim´aria pode ser calculada pela Eq. (2.3),
b
a
f(x)p(x)dx = f(x)
p(x)
≈ f(x). (2.26)
onde f(x) = 1/n
n
t
f(x
t
). Se tiv´essemos mesmo um ensemble estat´ıstico, com n → ∞, a
aproxima¸c˜ao acima seria exata e n˜ao haveria nenhum erro no c´alculo. Na pr´atica, por´em
temos apenas um n´umero finito de configura¸c˜oes. No caso ideal onde essas configura¸c˜oes s˜ao
completamente descorrelacionadas, o erro ser´a dado simplesmente pela variˆancia
σ
2
=
1
n − 1
(f(x) − f (x))
2
≈
f
2
(x) − f(x)
2
n
. (2.27)
Infelizmente, as configura¸c˜oes tamb´em s˜ao correlacionadas, tornando-se a estimativa ingˆenua
acima inexata. Assim, a partir de Eq. (2.27), encontramos um erro menor do que o verdadeiro,
obtido considerando-se as correla¸c˜oes entre as amostras.
Temos duas op¸c˜oes para evitar o c´alculo subestimado do erro: calcular fun¸c˜oes de cor-
rela¸c˜ao ou utilizar o m´etodo de reamostragem direta simples, conhecido como binning.
71
C´alculo das fun¸c˜oes e tempos de correla¸c˜ao
A fun¸c˜ao de correla¸c˜ao mede o quanto uma determinada configura¸c˜ao em uma dado passo t
est´a correlacionado com outra em um passo t + n. Assim, ela ´e definida como
C(t) ≡ f(x
t
)f(x
t+n
) − f(x
t
)f(x
t+n
)
= f(x
t
)f(x
t+n
) − f(x
t
)
2
= (f(x
t
) −
f(x))(f(x
t+n
) − f(x)). (2.28)
Aqui, supomos que f(x
t
) = f(x
t+n
) = f(x) = f(x). Podemos ver que se as medidas
f(x
t
) e f(x
t+n
) tiverem alguma correla¸c˜ao, ent˜ao C(t) = 0. Espera-se que, quando maior t,
menor seja a correla¸c˜ao, j´a que a distˆancia temporal separando as duas medidas ser´a maior.
A partir de C(t) podemos definir uma quantidade, chamada tempo de correla¸c˜ao inte-
grado, dado por
τ
int
≡
1
2
∞
t=−∞
C(t)
C(0)
, (2.29)
que estimado fica
τ
int
≡
1
2
n−1
t=−(n−1)
C(t)
C(0)
, (2.30)
sendo n o comprimento da cadeia. Note que
1
n
C(0) = σ
2
. Supondo que nossas medidas
s˜ao correlacionadas, precisamos reescrever a express˜ao para a variˆancia σ
2
levando isso em
considera¸c˜ao. Teremos ent˜ao
σ
2
cor
=
1
n
n−1
t=−(n−1)
1 −
|t|
n
C(t), (2.31)
se multiplicarmos e dividirmos o lado direito da equa¸c˜ao acima pela fun¸c˜ao de correla¸c˜ao da
Eq. (2.28) a tempo t = 0, obteremos a seguinte rela¸c˜ao
σ
2
cor
=
1
n
n−1
t=−(n−1)
1 −
|t|
n
C(t)
C(0)
C(0)
≈ 2τ
int
1
n
C(0)
= 2τ
int
σ
2
para n τ
int
(2.32)
Assim, quando estamos trabalhando com uma amostra correlacionada, devemos substituir
a variˆancia σ
2
por σ
2
cor
. Desta forma, o erro estimado, levando em conta a correla¸c˜ao, ´e
2τ
int
maior que o erro ingˆenuo. Dito de outro modo, o n´umero de configura¸c˜oes de fato
72
independentes em nossa amostra ser´a n/2τ
int
. Podemos continuar usando a Eq. (2.27) para
calcular o erro, se passarmos a guardar s´o configura¸c˜oes a cada 2τ
int
passos de Monte Carlo,
que j´a estar˜ao descorrelacionadas.
Um fato importante na implementa¸c˜ao de τ
int
´e que as flutua¸c˜oes estat´ısticas, ou seja os
ru´ıdos presentes na cauda do decaimento exponencial da fun¸c˜ao de correla¸c˜ao normalizada
C(t)/C(0) [50] tornam-se significativos. Ent˜ao, ser´a necess´ario a ado¸c˜ao de um m´etodo
que possa lidar com esse fenˆomeno. Neste caso introduziremos uma janela auto consistente
de acordo com [50]. Nesta abordagem apenas o modo mais lento de decaimento de τ
int
´e computado durante as simula¸c˜oes, uma vez que o somat´orio em (2.30) ´e limitado a um
n´umero m´aximo M
mc
de termos. Para calcularmos τ
int
na pr´atica, se introduz uma fun¸c˜ao
janela λ(t), que seja aproximadamente igual a 0 se |t| τ. Escrevemos ent˜ao
τ
int
≡
1
2
∞
t=−∞
λ(t)
C(t)
C(0)
, (2.33)
Uma escolha razo´avel para λ(t) ´e uma janela retangular dada por :
λ(t) =
1, se |t| ≤ M
mc
0, se |t| > M
mc
. (2.34)
Na pr´atica, escolhemos M
mc
como o menor inteiro maior que c.τ
int
(M
mc
), para alguma cons-
tante c. Supondo que
C(t)
C(0)
tem decaimento exponencial, ´e suficiente tomarmos a constante
c = 4, j´a que c
−4
≈ 0.02.
O m´etodo de Binning
O outro m´etodo para a obten¸c˜ao de uma estimativa correta do erro envolvido em determinada
m´edia ´e o m´etodo de Binning. Neste caso, n˜ao descartamos nenhuma configura¸c˜ao gerada.
O algoritmo ´e basicamente o seguinte:
1. O primeiro passo ´e calcularmos o erro ingˆenuo do problema, a partir da Eq. (2.27). Ele
servir´a de base de compara¸c˜ao para os pr´oximos passos.
2. Agora, ao inv´es de guardar todas as configura¸c˜oes x
t
, guardaremos apenas
x
t
=
x
2t
+ x
2t−1
2
. (2.35)
Naturalmente, se t´ınhamos n configura¸c˜oes x
t
, passamos a ter agora n/2 configura¸c˜oes
x
t
. Utilizando essas novas configura¸c˜oes, calculamos ent˜ao o erro usando a f´ormula
tradicional, dada por Eq. (2.27).
73
3. Tendo calculado o erro das configura¸c˜oes x
t
, fazemos ent˜ao uma compara¸c˜ao entre os
dois resultados encontrados para o erro ingˆenuo. Se os dois erros forem grosseiramente
iguais (digamos, da mesma ordem de grandeza) ent˜ao as configura¸c˜oes j´a est˜ao suficien-
temente descorrelacionadas e este ´e o erro correto para a quantidade na Eq. (2.3). Por
outro lado, se o erro encontrado neste passo for substancialmente maior que o anterior,
ent˜ao segue-se ao pr´oximo passo.
4. Este passo ´e semelhante ao segundo mas, ao inv´es de guardamos as m´edias de x
t
duas
a duas, guardamos as m´edias de x
t
quatro a quatro. Desta vez, teremos
x
t
=
x
2t
+ x
2t−1
2
. (2.36)
Calculamos novamente o erro na Eq. (2.27) com as n/4 configura¸c˜oes x
t
, e o compa-
ramos com o calculado a partir das configura¸c˜oes x
t
. Novamente, se os erros forem
grosseriamente iguais, o erro encontrado ´e o erro verdadeiro.
5. Repetimos esse procedimento, sempre dividindo por dois o n´umero de configura¸c˜oes
finais, e comparamos o erro encontrado com o anterior at´e que tenhamos dois erros
da mesma ordem de grandeza. Neste momento, o procedimento de Binning estar´a
terminado e o erro desejado ter´a sido encontrado.
2.3.2 Erro para as quantidades secund´arias
Quando calculamos uma quantidade secund´aria H, devemos escrevˆe-la como fun¸c˜ao da m´edia
da quantidade prim´aria f(x):
H = H(f (x)). (2.37)
Deste modo, n˜ao podemos calcular o erro de H do mesmo modo que calculamos o erro
de f (x). Qual deve ser ent˜ao o procedimento usado para estimarmos o erro de H? Em
princ´ıpio, precisar´ıamos de N m´edias de f(x), cada uma calculada a partir de uma seq¨uˆencia
{x
t
}
t=1,...,n
. Como n˜ao temos essa N m´edias, podemos gerar uma amostra para H a partir
de reamostragem dentro do universo de f(x). A id´eia ficar´a mais clara com a explica¸c˜ao dos
m´etodos, ambos baseados em t´ecnicas de reamostragem.
74
O m´etodo de Jackknife
Suponha que temos uma amostra com n medidas independentes da quantidade prim´aria f(x).
Ao inv´es de gerar um m´edia f(x) como
f(x) =
1
n
n
t=1
f(x
t
), (2.38)
podemos gerar n m´edias de f(x), cada uma feita sobre a amostra inicial menos uma de suas
medidas:
f(x)
j
=
1
n
n
t = 1
t == j
f(x
t
), j = 1, 2, 3, . . . , n. (2.39)
Desta forma, estamos fazendo uma reamostra seq¨uencial da amostra.
Tendo agora n m´edias {
f(x)
t
}
t=1,...,n
, podemos calcular a m´edia da quantidade secund´aria
na forma
H(f(x)
t
) =
1
n
n
t=1
H(
f(x)
t
), (2.40)
junto com a variˆancia:
σ
2
=
1
(n − 1)
n
t=1
H(
f(x)
t
) − H
2
. (2.41)
Este m´etodo ´e conhecido como m´etodo de Jackknife. Maiores detalhes sobre este m´etodo
podem ser escontrados em [56–58].
O m´etodo de Bootstrap
Novamente partimos de uma amostra de n medi¸c˜oes independentes da quantidade prim´aria
f(x), da forma A = {f(x
1
), f (x
2
), . . . , f(x
n
)}. Dentro deste conjunto reamostramos n
medi¸c˜oes aleatoriamente (podendo haver repeti¸c˜oes), de forma de obter um novo ensembles
A
(1)
= {f
(1)
(x
1
), f
(1)
(x
2
), . . . , f
(1)
(x
n
)}. Cada elemento de A
(1)
´e, por constru¸c˜ao, um ele-
mento de A, podendo haver em A
(1)
elementos repetidos de A. Agora repetimos esta reamos-
tragem m vezes, de forma de obter m ensembles A
(j)
= {f
(j)
(x
1
), f
(j)
(x
2
), . . . , f
(j)
(x
n
)}, j =
1, . . . , m. Definimos ent˜ao a m´edia de f(x) em cada ensemble A
(j)
na forma
¯
f
(j)
(x) =
1
n
n
i=1
f
(j)
(x
i
), j = 1, . . . , m, (2.42)
obtendo assim um conjunto {
¯
f
(1)
(x),
¯
f
(2)
(x), . . . ,
¯
f
(m)
(x)} de m m´edias de f(x). Sobre este
conjunto calculamos o valor m´edio da grandeza H da seguinte maneira
H(
¯
f(x)) =
1
m
m
j=1
H(
¯
f
(j)
(x)), (2.43)
75
juntamente com a sua variˆancia
σ
2
=
1
m
m
j=1
H(
¯
f
(j)
(x)) − H
2
. (2.44)
Este m´etodo ´e conhecido como m´etodo de Bootstrap. Maiores detalhes sobre ele podem ser
encontrados em [59].
Falta determinar agora um crit´erio para estabelecer o n´umero m´aximo de reamostragens
m
max
, de forma de n˜ao realizar reamostragens de mais, que n˜ao acrescentam informa¸c˜ao no
c´alculo. Nesta Tese escolheu-se m
max
como sendo o menor m a parir do qual a variˆancia
definida em (2.44) estabiliza com dois algarismos significativos.
76
Capítulo 3
SIMULAÇÕES NA REDE
Os problemas abordados nesta Tese envolvem o cálculo de observáveis da QCD, de acordo
com a seção 1.4.3, onde apresentamos a aproximação utilizada neste trabalho. Em geral, o
valor médio de um observável é dado pela Eq. (1.154), onde S
SU (N )
em Eq. (1.93) é a ação
gluôica, que depende do grupo de calibre utilizado.
Apresentamos a seguir uma descrição genérica de dois importantes algoritmos: os algo-
ritmos de Metrópolis e de Banho Térmico. Este último será utilizado na maioria dos cálculos em
nosso trabalho. Para cada um desses algoritmos, faremos um exposição detalhada de sua
aplicação nos casos específicos que vamos tratar, com o SU (2) e o SU (3) como grupos de
calibre da QCD. Explicaremos ainda o método de atualização Microcanônico que, associado aos
outros algoritmos, pode eventualmente aumentar a eficiência do programa.
3.1 Simulações na rede para SU (2)
Queremos calcular observáveis dados pela seguinte expressão (ver Eq. (1.154)):
.
][
][
][
][
∫
∫
−
−
>=<
US
US
G
G
DUe
eUDUO
UO
Podemos reescrever
>
<
][UO utilizando o método de Monte Carlo na seguinte forma
∑
=
>=<
n
t
t
UO
n
UO
1
],[
1
][
(3.1)
onde
U
t
é a t-ésima configuração dos elos da rede, gerada de acordo com a probabilidade
][US
G
e
−
utilizando alguns dos algoritmos já explicados no capítulo anterior.
Na grande maioria das simulações que fizemos utilizamos o SU(2) como grupo de calibre
da QCD. A justificativa para usar este grupo de calibre é o menor custo computacional
envolvido, uma vez que a algebra do grupo permite reduzir operações matriciais a operações
77
de n´umeros reais. Esta redu¸c˜ao n˜ao ´e poss´ıvel de realizar com o grupo SU(3), o verdadeiro
grupo de calibre da QCD. Espera-se que os resultados utilizando o grupo SU(2) descrevam
qualitativamente o caso realista de SU(3). A procura da economia computacional tamb´em
se reflete nas dimens˜oes do espa¸co-tempo utilizado nas simula¸c˜oes, onde os c´alculos s˜ao
realizados em 2 + 1 dimens˜oes, no lugar de 3 + 1 dimens˜oes. Assim, explicaremos nesta Se¸c˜ao
os algoritmos de atualiza¸c˜ao de Metr´opolis e do Banho T´ermico especificamente para este
caso. Como ambos os m´etodos podem ser considerados de atualiza¸c˜ao local, nosso primeiro
passo ser´a isolar na a¸c˜ao S
G
[U] o termo que depende de um elo espec´ıfico, que ser´a o elo a
ser atualizado naquele passo.
3.1.1 Reescrevendo a a¸c˜ao gluˆonica em termos dos grampos
No cap´ıtulo 2, Eq. (1.93), encontramos a seguinte express˜ao para a a¸c˜ao gluˆonica na rede
S
SU(N)
[U] = β
p
1 −
1
2N
T r(U(p) + U
†
(p))
,
onde
β =
2N
g
2
0
.
Estamos interessados apenas no peda¸co desta a¸c˜ao que dependa de um elo espec´ıfico, aquele
que queremos atualizar. Precisamos ent˜ao escrever essa a¸c˜ao em fun¸c˜ao deste elo. Faremos
isso mantendo a a¸c˜ao gen´erica do SU(N), para podermos utilizar o resultado tamb´em com
o grupo de calibre SU(3), al´em do SU(2).
O termo na equa¸c˜ao da a¸c˜ao gluˆonica acima que depende dos elos ´e
S[U] = −
β
2N
p
T r(U(p) + U
†
(p))
, (3.2)
ou, equivalentemente,
S[U] = −
β
2N
x
d
µ, ν = 1
µ < ν
T r(U
µν
(x) + U
†
µν
(x))
, (3.3)
com a plaqueta U
µν
(x) dada por Eq. (1.90) e sendo d igual `a dimens˜ao do espa¸co-tempo.
Podemos reescrever S[U] como
S[U] = −
β
2N
x
d
µ, ν = 1
µ < ν
2[T r(U
µν
(x))] ,
= −
β
2N
x
d
µ=ν
[T r(U
µν
(x))] , (3.4)
78
Figura 3.1: Os grampos Σ
(+)
e Σ
(−)
no caso de d = 2.
onde ´e a parte real. S´o importam os termos da a¸c˜ao acima que dependam de um elo U
µ
(x)
espec´ıfico. Assim, precisamos separar S[U] do seguinte modo
S[U] = −
β
2N
T r
x
µ,µ
(U
µ
(x)U
ν
(x + aµ) + U
†
µ
(x + aν)U
†
ν
(x)
+U
µ
(x)U
†
ν
(x + aµ − aν)U
†
µ
(x − aν)U
ν
(x − aν))
, (3.5)
ou
S[U] = −
β
N
T r
x
µ
(U
µ
(x)Σ
µν
(x))
, (3.6)
onde definimos
Σ
µν
(x) =
1
2
Σ
(+)
µν
(x) + Σ
(−)
µν
(x)
(3.7)
Σ
(+)
µν
(x) = U
ν
(x + aµ)U
†
µ
(x + aν)U
†
ν
(x) (3.8)
Σ
(−)
µν
(x) = U
†
ν
(x + aµ − aν)U
†
µ
(x − aν)U
ν
(x − aν). (3.9)
Aqui, Σ
(+)
µν
≡ Σ
(+)
e Σ
(−)
µν
(x) ≡ Σ
(−)
s˜ao os produtos dos elos chamados grampos, dese-
nhados em Fig. 3.1.
79
3.1.2 O m´etodo de banho t´ermico para SU (2)
Escrevendo a a¸c˜ao gluˆonica como feito na Eq. (3.6), espec´ıfica para SU(2), temos
S[U] = −
β
2
T r
x
µ
(U
µ
(x)Σ
µν
(x))
, (3.10)
com Σ
µν
(x) ≡ Σ dado pela Eq. (3.7). Os elos U
µ
(x) na Eq. (3.10) passam a ser agora matrizes
de SU(2).
O c´alculo dos valores m´edios da forma Eq. (1.95) requer, no caso estudado nesta Se¸c˜ao,
do sorteio de matrizes de SU(2) segundo a distribui¸c˜ao
P (U)dU ∝ e
−S[U]
dU. (3.11)
Usaremos para isso o m´etodo do Banho T´ermico, apresentado no cap´ıtulo anterior, e que
ser´a detalhado nesta Se¸c˜ao para o caso particular do SU(2).
Em nosso trabalho constru´ımos rotinas de amostragem para o grupo SU(2), cujos ele-
mentos g na representa¸c˜ao fundamental [60] s˜ao escritos como
g ≡ g
0
1 + ig · σ =
g
0
+ ig
3
g
2
+ ig
1
−g
2
+ ig
1
g
0
− ig
3
, (3.12)
onde σ ≡ (σ
1
, σ
2
, σ
3
) denotam as matrizes de Pauli e g = (g
1
, g
2
, g
3
) ∈
3
, g
0
∈ . Portanto,
os elementos inversos da Eq. (3.12) s˜ao da forma
g
†
= g
−1
= g
0
1 − ig · σ. (3.13)
Para obtermos o v´ınculo de unitariedade det(g)=1, impomos g
2
0
+g
2
1
+g
2
2
+g
2
3
= 1. Assim,
os coeficientes {g
i
} de uma matriz de SU(2) tamb´em podem ser interpretadas como um vetor
unit´ario quadri-dimensional. Portanto, utilizando esta representa¸c˜ao, as vari´aveis dos elos da
teoria s˜ao tratadas em estrita analogia com a Eq. (3.12), ou seja
U
µ
(x) = A
0
1 + i
A ·σ, (3.14)
onde A
0
∈ ,
A ∈
3
s˜ao n´umeros reais. A multiplica¸c˜ao de duas matrizes escritas nesta
forma ´e dada por
A · B =
A
0
1 + i
A ·σ)
·
B
0
1 + i
B ·σ)
=
A
0
B
0
−
A ·
B
1 + i
A
0
B + B
0
A −
A ×
B
·σ, (3.15)
sendo portanto, tamb´em, um elemento da forma g
0
1 + ig · σ. Usando essa propriedade, po-
demos passar a lidar somente com os parˆametros {g
0
,g}, que s˜ao n´umeros reais, precisando
80
utilizar a forma 2 ×2 complexa das matrizes do SU(2) s´o se quisermos explicit´a-las. Isso faz
com que as opera¸c˜oes envolvendo essas matrizes fiquem bem mas simples, evitando opera¸c˜oes
com n´umeros complexos, que s˜ao mais pesadas computacionalmente. Se estiv´essemos expli-
citando as matrizes no programa, estar´ıamos lidando com 8, ao inv´es de 4 parˆametros, o que
tamb´em sobrecarrega a mem´oria do computador.
´
E importante perceber que Σ
µν
(x) ≡ Σ, a soma dos grampos, n˜ao ´e dada por uma matriz
do SU(2), mas sim por uma soma dessas matrizes, que pode ser escrita como uma costante
ξ multiplicando uma matriz
˜
Σ de SU(2) da seguinte forma
Σ = Σ
0
1 + i
Σ ·σ (3.16)
sendo
Σ
2
0
+ |
Σ|
2
= 1. (3.17)
Escrevemos ent˜ao
Σ = ξ
˜
Σ, (3.18)
onde
ξ =
Σ
2
0
+ |
Σ|
2
1
2
(3.19)
e
˜
Σ ∈ SU(2).
Voltando `a medida de integra¸c˜ao da Eq. (3.11) e isolando explicitamente a contribui¸c˜ao
de um elo U, podemos escrever
P (U)dU ∝ e
βξ
2
[T r(
˜
ΣU)]
dU, (3.20)
onde agora o produto
˜
ΣU pertence a SU(2). Podemos ent˜ao, utilizando a invariˆancia da
medida de integra¸c˜ao, fazer uma mudan¸ca de vari´aveis escrevendo
a =
˜
ΣU, (3.21)
onde mais um vez a = a
0
1 + ia ·σ, com a
0
∈ , a ∈
3
.
Na nova vari´avel a distribui¸c˜ao fica da forma
P (a)da ∝ e
βξ
2
[T r(a)]
da. (3.22)
´
E necess´ario agora explicitar a medida de integra¸c˜ao:
da = δ(1 − a
2
0
− |a|
2
)da
0
da, (3.23)
81
que em coordenadas polares fica, fazendo r = |a|
da = da
0
r
2
sin(θ)drdθdφ δ(1 − a
2
0
− r
2
). (3.24)
Mas
δ(1 − a
2
0
− r
2
)r
2
dr =
r
2
2(1 − a
2
0
)
1
2
δ(r − (1 − a
2
0
)
1
2
) + δ(r + (1 − a
2
0
)
1
2
)
= (1 − a
2
0
)
1
2
δ(r − (1 − a
2
0
)
1
2
)dr. (3.25)
Temos ent˜ao
da = (1 − a
2
0
)
1
2
da
0
sin(θ)drdθdφ δ
r − (1 − a
2
0
)
1
2
. (3.26)
Assim, precisamos gerar uma distribui¸c˜ao para a
0
de acordo com
P (a
0
)da
0
∝ (1 − a
0
)
1
2
e
βξa
2
0
da
0
, (3.27)
e gerar a distribu´ıdo uniformente em uma esfera de raio r = (1 − a
2
0
)
1
2
.
Existem dois m´etodos b´asicos para a gera¸c˜ao de a
0
de acordo com a probabilidade acima,
um desenvolvido por Creutz [4] e outro por Kennedy e Pendlenton [61]. Ainda um terceiro
m´etodo, original deste trabalho, ser´a apresentado.
O m´etodo de Creutz para a gera¸c˜ao de a
0
Este m´etodo nos ensina a gerar a
0
de acordo com a distribui¸c˜ao da Eq. (3.27). Para isso,
vamos fazer a troca de vari´aveis
y = e
βξa
0
, (3.28)
ou, de forma equivalente,
a
0
=
ln(y)
βξ
. (3.29)
Com a distribui¸c˜ao da Eq. (3.27) estando definida para a
0
∈ [−1, 1], a nova vari´avel y satisfaz
y ∈ [e
−βξa
0
, e
+βξ
]. Usando essa nova vari´avel, se prop˜oe o seguinte m´etodo para o sorteio de
a
0
:
1. Geramos um n´umero aleat´orio ale1 uniformemente distribu´ıdo em [0, 1].
2. A partir de ale1, geramos a nova vari´avel y uniformente distribu´ıda no intervalo [e
−βξa
0
, e
+βξ
],
y = (e
βξ
− e
−βξ
)ale1 + e
−βξ
, (3.30)
82
e escrevemos um poss´ıvel novo a
0
na forma
a
p
0
=
ln(y)
βξ
. (3.31)
Por constru¸c˜ao, este a
p
0
est´a distribu´ıdo segundo e
βξa
p
0
em [−1, 1]. Falta agora fazer com
que a
p
0
tamb´em esteja distribu´ıdo de acordo com (1 − a
2
0
)
1
2
. Para isso utilizaremos o
m´etodo de rejei¸c˜ao:
3. Geramos um outro n´umero aleat´orio ale2 uniformemente distribu´ıdo em [0, 1].
4. Se ale2 ≤ (1 − (a
p
0
)
2
)
1
2
, ent˜ao fazemos a
0
= a
p
0
. Do contr´ario, voltamos ao primeiro
passo e repetimos todo o procedimento, para gerar outro a
p
0
.
O m´etodo de Kennedy e Pendleton para a gera¸c˜ao de a
0
O segundo m´etodo, devido a Kennedy e Pendleton [61], tamb´em funciona em duas etapas
que combinam as t´ecnicas de transforma¸c˜ao e rejei¸c˜ao. Inicialmente, efetua-se a seguinte
mudan¸ca de vari´aveis na Eq. (3.27) δ =
√
1 − a
0
, que resulta em uma distribui¸c˜ao para a
nova vari´avel δ com 0 ≤ δ, ≤
√
2, dada por
P (δ)dδ ∝
1 −
1
2
δ
2
δ
2
e
−βξδ
2
dδ. (3.32)
Para grandes valores de βξ esta distribui¸c˜ao est´a concentrada em torno de δ = 0. Logo,
a proposta em [61] ´e amostrar no intervalo 0 ≤ δ < ∞ a seguinte distribui¸c˜ao
P (δ)dδ ∝ δ
2
e
−βξδ
2
dδ, (3.33)
com o m´etodo de Box-Muller
1
[62] (pesado por um fator δ
2
) e finalmente, via rejei¸c˜ao, sortear
segundo
1 −
1
2
δ
2
, de onde ´e extra´ıdo a
0
= 1 − δ
2
.
Os passos para a gera¸c˜ao de a
0
pelo algoritmo de Kennedy e Pendlenton s˜ao os seguintes:
1. Geramos trˆes n´umeros aleat´orios {Ran1, Ran2, Ran3} uniformemente distribu´ıdos em
[0, 1].
2. Constru´ımos trˆes novas vari´aveis
X = −(ln Ran1)/βξ,
X
= −(ln Ran2)/βξ,
C = cos
2
(2πRan3).
1
M´etodo para gera¸c˜ao de distribui¸c˜oes aleat´orias segundo distribui¸c˜oes normais.
83
3. Definimos A = X · C.
4. Definimos δ = X
+ A.
5. Geramos outro n´umero aleat´orio Ran4 uniformemente distribu´ıdo em (0, 1].
6. Se Ran4
2
> 1 −
δ
2
, retornamos ao passo 1.
7. Definimos a
0
= 1 −
δ.
Note que no passo 4 fazendo B = X − A e usando B no lugar de A no passo 5 generali-
zar´ıamos um segundo valor independente para a
0
.
M´etodo alternativo para o sorteio de matrizes SU(2)
Apresentamos aqui um m´etodo original deste trabalho, e que resulta ser uma outra op¸c˜ao
aos m´etodos de Creutz e Kennedy-Pendleton.
Necessitamos amostrar a vari´avel aleat´oria x ∈ [−1, 1] segundo a fun¸c˜ao
f(x) = (1 − x
2
)
1/2
e
hx
, h > 0. (3.34)
A proposta aqui ´e usar o m´etodo de rejei¸c˜ao usando uma fun¸c˜ao g(x) normalizada que n˜ao
seja superior ao m´aximo de f(x) no intervalo de interesse. Os extremos de f(x) satisfazem
a equa¸c˜ao
f
(x) = −
x
(1 − x
2
)
1/2
e
hx
+ h(1 − x
2
)
1/2
e
hx
= 0,
que tem como solu¸c˜oes o conjunto {x
−
, x
+
}, onde
x
±
=
−1 ±
√
1 + 4h
2
2h
.
Uma vez que h > 0 a ´unica solu¸c˜ao dentro do intervalo [−1, 1] ´e
x
+
=
√
1 + 4h
2
− 1
2h
. (3.35)
Seja ent˜ao f(x
+
) o valor de f(x) neste ponto.
Vamos majorar f(x) por uma fun¸c˜ao constru´ıda a partir de e
hx
. Para isso definimos x
0
de forma tal que
f(x
+
) = e
hx
0
de onde obtemos
x
0
=
ln f (x
+
)
h
. (3.36)
84
Figura 3.2: Representa¸c˜ao comparativa das fun¸c˜oes f(x) (Eq. (3.34), linha cheia), a proposta para majorar
utilizada por Creutz (exponencial, linha pontilhada) e a proposta deste trabalho g
∗
(x) (linha tracejada,
Eq. (3.37)), para h = 2.
Definimos ent˜ao a fun¸c˜ao n˜ao normalizada g
∗
(x) na forma
g
∗
(x) =
e
hx
se x ≤ x
0
f(x
+
) se x > x
0
(3.37)
e a fun¸c˜ao normalizada g(x) na forma
g(x) =
Ne
hx
se x ≤ x
0
Nf(x
+
) se x > x
0
(3.38)
sendo
N =
e
hx
0
− e
−h
h
+ f(x
+
)(1 − x
0
)
−1
sua constante de normaliza¸c˜ao.
A fun¸c˜ao g(x) (3.38) ´e a fun¸c˜ao proposta para substituir a exponencial do m´etodo de
Creutz no sorteio por rejei¸c˜ao. Ela ´e apresentada na Fig. 3.2 em linha tracejada.
Para gerar pontos com probabilidade g(x) dada pela Eq. (3.38) definimos a nova vari´avel
y(x) =
x
−1
g(t)dt, (3.39)
de onde vemos que y ∈ [0, 1]. Vejamos como inverter y(x). Primeiro definimos y
0
na forma
y
0
=
x
0
−1
g(t)dt = N
x
0
−1
e
ht
dt =
N
h
e
hx
0
− e
−h
. (3.40)
Este y
0
permite escrever [0, 1] = [0, y
0
]
(y
0
, 1]. Agora analisemos os dois casos:
85
0 ≤ y ≤ y
0
: temos
y =
x
−1
g(t)dt =
N
h
e
hx
− e
−h
=⇒ x =
1
h
ln
hy
N
+ e
−h
.
y
0
< y ≤ 1: temos
y =
x
0
−1
g(t)dt +
x
x
0
g(t)dt = y
0
+ Nf(x
+
)(x − x
0
) =⇒ x =
y − y
0
Nf(x
+
)
+ x
0
.
Ent˜ao, para sortear segundo g(x) dada pela Eq. (3.38), primeiro sorteamos y uniformemente
em [0, 1] e depois definimos x(y) na forma
x =
1
h
ln
hy
N
+ e
−h
se y ≤ y
0
y − y
0
Nf(x
+
)
+ x
0
se y > y
0
. (3.41)
Vejamos agora como se compara este m´etodo com os dois m´etodos estudados anteri-
ormente: Creutz e Kenndy-Pendleton. Para isso necessitamos calcular a probabilidade de
aceitabilidade.
A probabilidade de aceitabilidade se define na forma
A =
1
−1
f(x)dx
1
−1
g
∗
(x)dx
. (3.42)
Na Fig. 3.3 se grafica a probabilidade de aceitabilidade da fun¸c˜ao g
∗
(x) (3.37) proposta
aqui, comparada com a aceitabilidade da fun¸c˜ao exponencial. Pode-se ver que a proposta
deste trabalho decai muito mais lentamente com h que no caso exponencial, apresentando
um m´aximo de A ≈ 0.9 num entorno de h = 2. Em h = 0 ambas fun¸c˜oes coincidem
(e
0
= g
∗
(x) = 1), dando lugar `a mesma probabilidade de aceitabilidade. Na Fig. 3.4 se
comparam as probabilidades de aceitabilidade obtidas com a fun¸c˜ao proposta neste trabalho
e com os m´etodos de Creutz e Kennedy-Pendleton [63]. Pode se ver como a proposta deste
trabalho ´e a que tem melhor probabilidade de aceitabilidade no intervalo 0 ≤ h ≤ 3.5. No
entanto para valores de h > 3.5 o modelo j´a consagrado de Creutz tem a melhor probabilidade
de aceitabilidade. Conseq¨uentemente neste trabalho de acordo com suas aceitabilidades,
como veremos, alternamos os modelos de Creutz e Kennedy-Pendlenton. Logo, o algoritmo
desenvolvido neste trabalho, apesar de apresentar a melhor probabilidade de aceitabilidade
entre 0 ≤ h ≤ 3.5 n˜ao ser´a usado em nossos c´alculos. Alguns testes de c´alculos de erros
referentes ao mesmo est˜ao sendo ainda realizados.
86
Figura 3.3: Probabilidade de aceitabilidade Eq. (3.42), para a fun¸c˜ao exponencial (linha tracejada) e a
fun¸c˜ao proposta neste trabalho Eq. (3.37) (linha cheia).
Figura 3.4: Probabilidades de aceitabilidade Eq. (3.42) geradas pelos m´etodos de Creutz (linha pontilhada),
Kennedy-Pendleton (linha tracejada) e a proposta deste trabalho Eq. (3.37) (linha cheia). As curvas de Creutz
e Kennedy-Pendleton foram obtidas da referˆencia [63].
87
Sorteio de a
Tendo gerado a
0
, falta apenas explicitar como ´e feito o sorteio de a na esfera de raio r =
(1 − a
2
0
)
1
2
. Temos a = {a
1
, a
2
, a
3
}, onde:
a
1
= r sin θ cos φ, (3.43)
a
2
= r sin θ sin φ, (3.44)
a
3
= r cos φ. (3.45)
O sorteio de a se realiza da seguinte maneira:
1. Geram-se dois n´umeros aleat´orios {ale1, ale2} uniformemente distribu´ıdos em [0, 1].
2. A partir deles, se geram duas outras vari´aveis u e θ na forma
u = 2ale1 − 1, (3.46)
θ = 2πale2. (3.47)
3. Definimos agora o vetor a na forma
a
3
= u(1 − a
2
0
)
1
2
a
1
= [(1 − a
2
0
)
1
2
− a
3
]
1
2
cos θ
a
2
= [(1 − a
2
0
)
1
2
− a
3
]
1
2
sin θ
De posse agora da matriz sorteada a, e conhecendo tamb´em
˜
Σ da Eq. (3.18), calculada a
partir dos grampos, podemos inverter a rela¸c˜ao (3.21) para obter a nova matriz U atualizada.
3.1.3 O m´etodo de Metr´opolis para SU (2)
Como j´a detalhamos esse m´etodo para o caso gen´erico, no cap´ıtulo anterior iremos agora
rapidamente explic´a-lo para o SU(2). Novamente queremos sortear matrizes de SU(2) para
cada elo da rede, de acordo com a distribui¸c˜ao de probabilidades
P (U)dU ∝ e
−S[U]
dU.
O m´etodo ent˜ao ´e o seguinte:
1. Inicializa-se os elos da rede com matrizes SU(2). Esta inicializa¸c˜ao pode ser “quente”ou
“fria”.
88
2. Para um elo U da rede por vez sorteamos uma nova matriz U
p
de SU(2), e recalculamos
a a¸c˜ao da rede a partir da Eq. (3.6).
3. Se a a¸c˜ao diminuir, aceitamos U
p
como a nova matriz associada a esse elo, ou seja,
fazemos U = U
p
e passamos ao sorteio do pr´oximo elo.
4. Se pelo contr´ario a a¸c˜ao aumenta, sorteamos um n´umero ξ uniformemente distribu´ıdo
em ∈ [0, 1] e o comparamos com α = e
−S[U
p
]
/e
−S[U]
.
5. Se ξ < α, aceitamos a matriz U
p
e passamos `a atualiza¸c˜ao do pr´oximo elo.
6. Se ξ > α, mantemos a antiga configura¸c˜ao U e passamos `a atualiza¸c˜ao do pr´oximo elo.
Agora que sabemos atualizar um elo da rede, podemos resumir o procedimento para gerar
uma configura¸c˜ao da rede como um todo da seguinte forma:
1. Inicializamos todos os elos da rede com matrizes SU(2). Essa inicializa¸c˜ao pode ser
“fria”, quando todos os elos recebem a mesma matriz, ou “quente”, quando cada elo
recebe uma matriz aleat´oria.
2. Atualizamos cada elo da rede segundo um dos algoritmos apresentados anteriormente:
Banho T´ermico ou Metr´opolis. No caso de Teorias de Calibre na rede o Banho T´ermico
tem uma maior eficiˆencia. Cada atualiza¸c˜ao da rede como um todo constitui uma
configura¸c˜ao da rede.
3. Guardamos a configura¸c˜ao obtida e voltamos ao passo 2. Repetimos os passos 2 e 3 N
vezes de forma a obter um ensemble de configura¸c˜oes da rede.
De posse deste ensemble de configura¸c˜oes para a rede estamos em condi¸c˜oes de calcular
o valor m´edio da Eq. (3.1).
3.1.4 Atualiza¸c˜ao microcanˆonica
A atualiza¸c˜ao microcanˆonica ´e uma t´ecnica para escolhermos, apartir de uma determinada
configura¸c˜ao, uma nova configura¸c˜ao que esteja, de alguma forma, o mais longe poss´ıvel da
antiga, de modo a varrermos mais efetivamente o espa¸co das configura¸c˜oes.
Suponha que, para determinado elo da rede, tenhamos uma matriz U
l
= U
µ
(x) associada.
Definimos a nova matriz U
p
l
por
U
p
l
= U
0
U
−1
l
U
0
(3.48)
89
onde, no caso do SU(2), escolhemos U
0
como o inverso da proje¸c˜ao da matriz dos grampos,
Σ ≡ Σ
µν
(x), onde Σ
µν
(x) ´e dado por Eq. (3.7), ou seja
U
0
= Σ
−1
det(Σ)
1
2
. (3.49)
Outra maneira de implementar a atualiza¸c˜ao microcanˆonica ´e definindo a nova matriz na
forma
U
p
l
= T r(U
l
Σ)
Σ
†
det(Σ)
− U
l
. (3.50)
A atualiza¸c˜ao de todos os elos da rede por esse m´etodo nos d´a a chamada atualiza¸c˜ao
microcanˆonica.
´
E importante notar que a atualiza¸c˜ao Microcanˆonica, s´o pode ser usada
associada a outro m´etodo de atualiza¸c˜ao, como Metr´opolis ou Banho T´ermico, pois ela mesma
n˜ao muda o valor da a¸c˜ao, alterando uma configura¸c˜ao sem alterar sua energia.
3.2 Simula¸c˜oes na rede para SU (N )
O SU(3) ´e o verdadeiro grupo de simetria da QCD. Ele tem uma estrutura mais complexa do
que o SU(2), estudado na se¸c˜ao anterior. Assim, os c´alculos envolvendo o SU(3) costumam
ser mais complicados e computacionalmente mais lentos que os feitos com o SU (2). Nesta
Se¸c˜ao detalharemos o algoritmo de Banho T´ermico tendo o SU(N) como grupo de calibre.
90
3.2.1 O algoritmo de Banho T´ermico para o SU (N )
Usaremos o algoritmo desenvolvido por Cabibbo e Marinari [64]. Esse m´etodo serve para
gerar matrizes de qualquer grupo do SU(N), a partir do sorteio de matrizes do SU(2) [65].
O algoritmo consiste dos seguintes passos:
1. Selecionamos um conjunto L de subgrupos SU(2) de SU(N):
{L : SU(2)
k
, k = 1, . . . , m}, (3.51)
tal que n˜ao haja subconjuntos de SU(N) invariantes sob uma multiplica¸c˜ao por qual-
quer elemento de L pela esquerda, exceto todo o grupo. Uma boa escolha para L ´e
dada pelo conjunto por subgrupos de SU(2) que tem elementos na forma
a
k
=
1 0
.
.
.
1
α
k
1
.
.
.
0 1
, (3.52)
onde α
k
´e uma matriz 2 ×2 localizada em k e (k + 1) linhas e colunas respectivamente
e onde m = N − 1, sendo N o elemento do grupo de SU(N).
2. Em cada passo a itera¸c˜ao de uma nova vari´avel de elo ´e obtida multiplicando os valores
dos elos anteriores por m matrizes dependendo do m subgrupo do SU(2)
k
escolhido:
U
= a
m
a
m−1
···a
1
U, (3.53)
a
k
∈ SU(2)
k
(k = 1, . . . , m).
`
E conveniente definir
U
(k)
= a
k
a
k−1
···a
1
U, U
(0)
= U,
tal que
U
= U
(m)
, U
(k)
= a
k
U
(k−1)
.
O elemento a
k
´e escolhido de forma probabil´ıstica (primeiro a
1
, depois a
2
e etc.) de
acordo com a seguinte distribui¸c˜ao de probabilidade
P (a
k
)d
(k)
a
k
∝ e
−βS(a
k
U
(k−1)
)
d
(k)
a
k
. (3.54)
91
Necessitamos, agora gerar as matrizes a
k
de acordo com a distribui¸c˜ao da Eq. (3.54).
Para isso escrevemos que
S(a
k
U) = (T ra
k
UΣ) = (T rα
k
s
k
) + termos independentes de α
k
, (3.55)
onde s
k
´e a submatriz 2×2 de UΣ que tem a mesma estrutura de blocos de α
k
. Podemos
escrever s
k
= s
0
1 + is ·σ e α
k
= α
0
1 + iα · σ, com α
0
, α reais e α
2
0
+ α
2
= 1. Com
estas defini¸c˜oes temos (T ra
k
s
k
) = 2α
0
s
0
− α · s. Nosso problema passa ent˜ao a
ser, dado s
k
, como sortear vetores unit´arios α ≡ (α
0
, α) de acordo com a distribui¸c˜ao
P (α
k
)dα
k
∝ δ(α
2
0
+ α
2
+ 1) e
−2β(α
0
s
0
−α·s)
dα
0
d
3
α. (3.56)
O m´etodo para fazer esse sorteio foi explicado no t´opico do Banho T´ermico para o
SU(2)
k
. Tendo obtido α
1
, α
2
e etc., podemos voltar para a
1
, a
2
e etc. e fazer a
atualiza¸c˜ao do elo.
3.3 Aplica¸c˜ao das t´ecnicas de Monte Carlo na rede para
o grupo de calibre Z
2
Como uma ilustra¸c˜ao das t´ecnicas de Monte Carlo nesta Tese, aplicaremos o visto nas se¸c˜oes
anteriores ao grupo Z
2
. O grupo Z
2
´e o grupo das ra´ızes quadradas da unidade, ou seja
Z
2
= {1, −1}. A opera¸c˜ao do grupo ´e o produto usual de n´umeros reais. Utilizamos uma
rede quadri-dimensional, onde em cada par de s´ıtios de vizinhos pr´oximos µ e ν na rede
introduzimos um campo de calibre ou vari´avel de elo U
µν
do grupo Z
2
na forma
U
µν
= e
2πn/N
, n = 1, 2. (3.57)
Os elos s˜ao orientados no sentido tal que
U
µν
= U
†
νµ
. (3.58)
A a¸c˜ao de Wilson para os elos deste sistema de campos de calibre ´e a seguinte
S = −
p
(T r(U
p
)), (3.59)
onde, como vimos no cap´ıtulo anterior, a plaqueta U(p) se escreve
U(p) = U
µν
≡ U
µ
(x) U
ν
(x + aµ) U
†
µ
(x + aν) U
†
ν
(x).
92
A fun¸c˜ao de parti¸c˜ao do sistema tem a forma
Z =
U
p
e
−S
, (3.60)
onde a soma ´e sobre todas configura¸c˜oes dos elos. A partir de Z, a energia livre do sistema
se obt´em como
F =
1
N
ln Z, (3.61)
onde N ´e o n´umero de s´ıtios da rede.
Para o sorteio dos elos e, conseq¨uentemente, o c´alculo das plaquetas em fun¸c˜ao da cons-
tante de acoplamento β, utilizamos o m´etodo do Banho T´ermico.
3.3.1 O algoritmo de Banho T´ermico para Z
2
Assim como foi feito para SU(2), precisamos escrever a a¸c˜ao da Eq. (3.6) em termos dos
grampos para Z
2
S[{U
µν
(x)}] = −[T r (U
µν
(x) Σ
µν
(x))] ,
Os sorteios dos elos ´e dado de acordo com a distribui¸c˜ao
P (U) dU ∝ e
−S[U]
dU.
Esta distribui¸c˜ao de probabilidade para o Z
2
fica ent˜ao
P (U) dU ∝ e
β[T r(U Σ)]
dU, (3.62)
onde Σ ´e a soma dos grampos.
Sorteio dos elos
O grupo Z
2
possui dois elementos: U
1
= e
iπ
e U
2
= e
i2π
, os quais podem ser reescritos da
seguinte forma
U
1
= cos(π) + i sin(π) = −1, (3.63)
U
2
= cos(2π) + i sin(2π) = 1. (3.64)
Podemos reescrever a distribui¸c˜ao de probabilidade da Eq. (3.62) da seguinte maneira
P (U) dU = C e
β(U Σ)
dU. (3.65)
93
Para encontrarmos o valor de constante C na equa¸c˜ao acima, escrevemos
U
P (U) = 1
P (−1) + P (1) = 1
C
e
−βΣ
+ e
βΣ
= 1
de onde
C =
1
(e
−β Σ
+ e
β Σ
)
. (3.66)
Ent˜ao, a distribui¸c˜ao de probabilidade em Eq. (3.62) fica da forma
P (U)dU =
1
(e
−β Σ
+ e
β Σ
)
e
βU Σ
dU,
=
e
β Σ
(1 + e
2β Σ
)
e
βU Σ
dU. (3.67)
Com esta distribui¸c˜ao podemos sortear os elos segundo o m´etodo do Banho T´ermico da
seguinte maneira:
1. Propomos um novo valor U
∈ Z
2
para o elo. Para isso, sorteamos um n´umero aleat´orio
ale1 uniformemente distribu´ıdo em [0, 1]. Se ale1 ≥ 0.5, propomos U
= 1. Caso
contr´ario propomos U
= −1.
2. Geramos outro n´umero aleat´orio ale2 uniformemente distribu´ıdo em [0, 1].
3. Se
e
β Σ
1+e
2 β Σ
e
β U
Σ
≥ ale2, aceitamos o novo elo U
. Caso contr´ario retornamos ao passo
1.
Resultados
O intuito desse c´alculo foi verificar a aplicabilidade do m´etodo de Monte Carlo, comparando
nossos resultados com os obtidos por [4] com a mesma estrutura de rede (5
4
s´ıtios) a T = 0.
N˜ao foram calculados erros estat´ısticos.
Podemos inicializar a rede com uma configura¸c˜ao fria, quando em cada elo da rede asso-
ciamos o mesmo valor 1 ou -1. Ou podemos inicializar a rede com uma configura¸c˜ao quente,
onde os elos na rede podem assumir os valores -1 ou 1 de forma aleat´oria.
Para verificar ap´os quantos passos de Monte Carlo a rede encontra-se termalizada, grafi-
camos juntas as duas seq¨uˆencias de configura¸c˜oes (quente e fria) pr´oximo a regi˜ao do ponto
cr´ıtico β = 0, 44 (onde supostamente os passos de Monte Carlo necess´arios para se termalizar
a rede sejam maiores) encontrado em [4]. Na Fig. 3.5 para β = 0, 42 a termaliza¸c˜ao da rede
94
ocorreu ap´os 140 passos de Monte Carlo. Na Fig. 3.6 para β = 0, 455 a termaliza¸c˜ao da
rede ocorreu ap´os 160. Logo, descartamos aproximadamente as 150 primeiras configura¸c˜oes
iniciais em nossos c´alculos.
Termalizada a rede, calculamos o valor da plaqueta m´edia para valores da constante de
acoplamento β no intervalo [0, 1]. Os nossos resultados s˜ao apresentados na Fig. 3.7 pelos
pontos circulares em negrito. Foram utilizadas 500 configura¸c˜oes correlacionadas e uma
inicializa¸c˜ao fria. Podemos verificar que nossos resultados para os valores de plaqueta m´edia
em fun¸c˜ao da constante de acoplamento β coincidem razoavelmente bem com os resultados
obtidos em [4], representados pelos pontos triangurales em negrito. Ambos os resultados
para uma teoria de calibre pura Z
2
apresentaram uma transi¸c˜ao de fase de primeira ordem
em torno do ponto β =
1
2
(1 +
√
2) = 0, 44.
Figura 3.5: A plaqueta m´edia em fun¸c˜ao dos passos de Monte Carlo M
MC
para uma teoria de calibre pura
Z
2
e β = 0, 42, onde ´e evidente a termaliza¸c˜ao a partir de M
MC
≥ 140.
95
Figura 3.6: A plaqueta m´edia em fun¸c˜ao dos passos de Monte Carlo M
MC
para uma teoria de calibre pura
Z
2
e β = 0, 455, onde ´e evidente a termaliza¸c˜ao a partir de M
MC
≥ 160.
Figura 3.7: A plaqueta m´edia em fun¸c˜ao da constante de acoplamento β para uma teoria de calibre pura
Z
2
. Note a transi¸c˜ao de fase ocorre para β 0, 44.
96
Cap´ıtulo 4
QCD NA REDE A TEMPERATURA FINITA
At´e aqui, tudo o que deduzimos foi feito para discurtir quantidades relacionadas `a QCD
no seu estado fundamental, ou seja, a temperatura zero. Sabe-se que o estudo da QCD
na rede permite a comprova¸c˜ao de aspectos fundamentais das intera¸c˜oes fortes, tais como
confinamento de cor, simetria quiral aproximada, e o espectro de h´adrons. Por´em, no limite
de altas temperaturas ou densidades surgem novas quest˜oes, tais como: A QCD prevˆe uma
transi¸c˜ao de uma fase confinada a baixas temperaturas, onde a simetria quiral ´e quebrada,
a uma fase de altas temperaturas onde os quarks est˜ao desconfinados e a simetria quiral
´e restaurada? Qual ´e a temperatura cr´ıtica da transi¸c˜ao de fase e qual a natureza desta
transi¸c˜ao? Esta transi¸c˜ao ´e de primeira ou segunda ordem? Qual a natureza da fase de
altas temperaturas? Esta fase constitui um plasma de quarks e gl´uons, onde as intera¸c˜oes
de quarks s˜ao inibidas por um mecanismo de blindagem de Debye? Qual ´e um poss´ıvel sinal
para a forma¸c˜ao de um plasma de quarks e gl´uons em colis˜oes de ´ıons pesados?
Um dos sistemas f´ısicos mais estudados na procura de algumas respostas para as quest˜oes
acima ´e o caro¸co das estrelas de nˆeutrons, onde acredita-se que possamos encontrar densida-
des significativamente maiores que a densidade nuclear [66, 67]. Normalmente estas estrelas
possuem densidades centrais na ordem de 4 a 5 vezes a densidade de satura¸c˜ao da mat´eria
nuclear, chegando a ter de 10 a 15 vezes essa densidade no caso de quarks desconfinados
estarem presentes. Outra possibilidade ocorre na colis˜ao de ´ıons pesados a altas energias,
onde estados de altas temperaturas e densidades de energia podem ser produzidos. Tais co-
lis˜oes tˆem sido realizadas em experimentos no RHIC −BNL [68] e em breve ser˜ao ralizadas
tamb´em no LHC −CERN a energias ainda mais altas. Nesses casos, o interesse est´a focado
na natureza da fase da mat´eria hadrˆonica. Se, conforme acredita-se, essas situa¸c˜oes extremas
levam a mat´eria a um estado desconfinado de quarks e gl´uons, um ponto que merece aten¸c˜ao
especial ´e a j´a mencionada transi¸c˜ao da fase hadrˆonica para a fase de plasma. Para tal tem-
se dedicado esfor¸cos tanto te´oricos quanto experimentais e num´ericos, os ´ultimos atrav´es de
97
simula¸c˜oes de QCD na rede [8, 21, 22, 30, 69–71].
Uma vez que neste trabalho iremos discurtir a transi¸c˜ao de fase de confinamento-descon-
finamento da QCD, a partir das teorias de calibre SU(2) e SU(3), faremos na se¸c˜ao abaixo
uma breve revis˜ao sobre transi¸c˜oes de fase e fenˆomenos cr´ıticos em outros sistemas f´ısicos,
tendo como base diversos livros texto e artigos cient´ıficos na ´area.
4.1 Transi¸c˜oes de fase e femˆomenos cr´ıticos
S˜ao chamadas de fenˆomenos cr´ıticos as propriedades de sistemas na vizinhan¸ca de uma
transi¸c˜ao de fase de segunda ordem, ou ponto cr´ıtico
1
. Como primeiro exemplo de transi¸c˜oes
de fase, consideremos a transi¸c˜ao l´ıquido-g´as em fluidos, cujo diagrama de fases em fun¸c˜ao
da press˜ao e da temperatura est´a representado na Fig. 4.1.
Figura 4.1: Diagrama de fases para um sistema l´ıquido-g´as.
Observamos que partindo da fase l´ıquida e considerando um valor fixo para a press˜ao pode-
mos representar o aumento de temperatura como um movimento da esquerda para a direita
come¸cando na fase l´ıquida para temperaturas mais baixas e passando para a fase gasosa ao
cruzar a linha de transi¸c˜ao l´ıquido-g´as. Ao longo da linha de transi¸c˜ao h´a diferen¸ca entre as
densidades da fase l´ıquida e gasosa, e a transi¸c˜ao ´e descont´ınua ou de primeira ordem, com
coexistˆencia de fases e calor latente. Esta diferen¸ca de densidades diminui at´e chegar a zero
no ponto cr´ıtico, e ´e tomada como parˆametro de ordem para o sistema.
1
O material desta se¸c˜ao foi extraido da ref. [72].
98
Este comportamento ´e an´alogo ao observado na vizinhan¸ca do ponto correspondente para
um material ferromagn´etico, cujos diagramas de fase est˜ao representados na Fig. 4.2. Neste
caso o parˆametro de ordem, que no fluido ´e a diferen¸ca de densidade entre as fases, ´e dado
pela magnetiza¸c˜ao. As duas fases tˆem magnetiza¸c˜oes opostas, alinhadas ao campo magn´etico
externo. Note que abaixo da temperatura cr´ıtica T
c
h´a magnetiza¸c˜ao mesmo quando o campo
B tende a zero.
Figura 4.2: Diagrama de fases para o magneto.
Nos dois casos o ponto que chamamos de cr´ıtico possuir´a propriedades muito especiais,
ligadas ao comportamento singular de v´arias grandezas f´ısicas. De fato, observa-se que gran-
dezas termodinˆamicas divergem no ponto cr´ıtico como potˆencias da temperatura reduzida t,
que mede a distˆancia da temperatura T ao seu valor cr´ıtico T
c
t ≡ (T − T
c
)/T
c
. (4.1)
99
Figura 4.3: Gr´afico da temperatura adimensionalizada T/T
c
em fun¸c˜ao da densidade adimensionalizada
ρ/ρ
c
para oito sistemas gasosos.
Fonte: STANLEY, H. E. Introduction to phase transition and critical phenomena. Cidade: Claren-
don Press, 1971.
O ponto cr´ıtico corresponde a t tendendo a zero, ao passo que t negativo corresponde a
estar abaixo e t positivo a estar acima de T
c
. Vemos abaixo o comportamento para t → 0 de
algumas quantidades associadas a um sistema macrosc´opico:
Calor espec´ıfico C ∼ |t|
−α
Parˆametro de ordem M ∼ |t|
β
Suscetibilidade χ ∼ |t|
−γ
Comprimento de correla¸c˜ao ξ ∼ |t|
−ν
.
Os expoentes {α, β, γ, ν} s˜ao chamados expoentes cr´ıticos do sistema. Estes s˜ao alguns
dos que podem ser definidos.
Grandezas com expoentes cr´ıticos negativos divergem, ao passo que o parˆametro de or-
dem ´e zero para t positivo e vai a zero com expoente β para t negativo. A suscetibilidade
est´a associada `a flutua¸c˜ao do parˆametro de ordem, e diverge a medida que o comprimento
de correla¸c˜ao ξ diverge. Este comportamento com potˆencias de t pode ser (i) observado
100
experimentalmente (ii) obtido da hip´otese de escala (que afirma que ξ ´e o comprimento de
escala relevante e diverge na temperatura cr´ıtica) usando-se an´alise dimensional (obtˆem-se
assim tamb´em as rela¸c˜oes de hiper-escala entre os expoentes) e (iii) dado pelo do Grupo de
Renormaliza¸c˜ao. A propriedade de universalidade pode ser vista na Fig. 4.3, a qual grafica a
temperatura adimensionalizada T/T
c
como fun¸c˜ao da densidade adimensionalizada ρ/ρ
c
, no
caso de oito sistemas gasosos. Os valores de T
c
e ρ
c
s˜ao muito diferentes, mas ap´os serem apro-
priadamente reescalonados, todos os pontos caem sobre a mesma curva. Podemos concluir
que um programa de estudo de transi¸c˜oes de fase de segunda ordem consiste em construir
um modelo para a intera¸c˜ao envolvida, dado pelo hamiltoniano H, e obter express˜oes para
os observ´aveis (e.g. M, χ) a partir da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao Z e energia livre F definidas por H
na forma
Z =
e
−βH
, (4.2)
F = −
1
β
log Z. (4.3)
Espera-se que um modelo simples, que incorpore as simetrias relevantes, seja suficiente para
a descri¸c˜ao do comportamento na regi˜ao cr´ıtica.
4.2 Fenˆomenos cr´ıticos em modelos de spins
O modelo de ferromagnetismo mais simples ´e o famoso modelo de Ising, o qual est´a definido
pelo hamiltoniano
H = −J
<i,j>
S
i
S
j
− B
i
S
i
. (4.4)
onde J quantifica a intera¸c˜ao entre os spins, B representa um campo magn´etico externo,
e representa primeiros vizinhos. O modelo incorpora o fato de spins vizinhos quererem
alinhar-se uns com os outros e com o campo, deixando aos spins apenas a liberdade entre
dois estados: apontando para cima (dire¸c˜ao do campo) ou para baixo (veja a Fig. 4.4).
Apesar de ser t˜ao simples, o modelo apresenta uma transi¸c˜ao de fase de segunda ordem
j´a em dimens˜ao d igual a 2, caso em que o modelo pode ser resolvido exatamente (com
campo externo nulo). Esta ´e a famosa solu¸c˜ao de Onsager [73], obtida na d´ecada de 1940,
que contribuiu muito para a Mecˆanica Estat´ıstica uma vez que na ´epoca n˜ao se acredi-
tava que a descri¸c˜ao das propriedades da transi¸c˜ao de fase, como por exemplo os expoentes
cr´ıticos, estivesse contida no hamiltoniano ou na fun¸c˜ao de parti¸c˜ao do sistema (faziam-se
tentativas de adicionar termos auxiliares ao hamiltoniano que contivessem informa¸c˜ao sobre a
101
Figura 4.4: Representa¸c˜ao esquem´atica de um sistema de spins unidimensional.
transi¸c˜ao). Em dimens˜ao 3, os resultados para os expoentes obtidos por teoria de perturba¸c˜ao
ou simula¸c˜oes de Monte Carlo est˜ao de acordo com observa¸c˜oes experimentais de diversos
sistemas de fluidos. O modelo reproduz o comportamento esperado para o parˆametro de
ordem — a magnetiza¸c˜ao — a campo nulo: tendendo a zero continuamente ao aproximar-se
da temperatura cr´ıtica por baixo, e valendo zero acima de T
c
. Note que o hamiltoniano
sem campo ´e sim´etrico por reflex˜ao simultˆanea de todos os spins. Esta simetria ´e quebrada
explicitamente pela introdu¸c˜ao do campo magn´etico, e n˜ao ´e respeitada pelo parˆametro de
ordem a baixas temperaturas, mesmo a campo nulo. Portanto, abaixo de T
c
tem-se uma
quebra espontˆanea de simetria, tratando-se neste caso de uma simetria discreta.
Uma outra classe de modelos ferromagn´eticos s˜ao os modelos O(n), ou n-vetoriais que
correspondem a uma generaliza¸c˜ao do modelo de Ising para o caso da simetria cont´ınua de
rota¸c˜ao. As vari´aveis de spin s˜ao tomadas como vetores numa esfera unit´aria em um espa¸co
de n dimens˜oes (n ≥ 2) e o hamiltoniano
H = −J
<i,j>
S
i
·
S
j
−
B ·
i
S
i
(4.5)
´e definido em termos do produto escalar de spins em s´ıtios vizinhos. A principal diferen¸ca
em rela¸c˜ao ao modelo de Ising ´e que s˜ao agora poss´ıveis configura¸c˜oes em que os spins se
encontrem localmente aproximadamente alinhados. Mas para grandes distˆancias o alinha-
mento ´e perdido, resultando em uma m´edia nula para a magnetiza¸c˜ao. Tais configura¸c˜oes —
chamadas ondas de spins — possuem energia arbitrariamente baixa, e tender˜ao a destruir a
ordem do sistema mesmo a temperaturas baixas (representadas na Fig. 4.5).
102
Figura 4.5: Representa¸c˜ao esquem´atica de um onda de spins numa rede unidimensional (para clareza da
figura, o tamanho de alguns spins foi modificado).
De fato, ao contr´ario do modelo de Ising, estes modelos n˜ao apresentam transi¸c˜ao de
fase com magnetiza¸c˜ao espontˆanea em duas dimens˜oes, como demonstrado pelo teorema de
Mermim-Wagner.
2
Em trˆes dimens˜oes h´a transi¸c˜ao de fase e a presen¸ca de magnetiza¸c˜ao
espontˆanea abaixo de uma temperatura cr´ıtica. Neste caso a quebra da simetria cont´ınua de
rota¸c˜ao a baixas temperaturas (dada pela magnetiza¸c˜ao espontˆanea) est´a associada a modos
de Goldstone, as ondas de spin, que causam divergˆencia da suscetibilidade a campo zero n˜ao
s´o ao redor da temperatura cr´ıtica, mas tamb´em para toda a fase de baixas temperaturas.
Os modelos O(n) s˜ao de interesse geral para a Mecˆanica Estat´ıstica: o caso n = 2, ou
modelo XY , descreve a transi¸c˜ao de fase para o h´elio super-fluido e o caso n = 3 corresponde
`a vers˜ao cl´assica do modelo de Heisenberg quˆantico para magnetos. Al´em disso, acredita-se
que o caso O(4) esteja diretamente relacionado `a transi¸c˜ao de fase quiral na cromodinˆamica
quˆantica com dois sabores de quarks.
Al´em de gerais, esses conceitos tamb´em permitem que efetuemos poderosas previs˜oes. Ci-
temos por exemplo [74,75] a existˆencia de classes de universalidade que associam o comporta-
mento de Teorias Quˆanticas de Calibre d-dimensionais a temperatura finita (na aproxima¸c˜ao
quenched para os grupos SU(N)) e de sistemas cl´assicos de spin (d − 1)-dimensionais com
simetria global Z
N
. Isto ´e devido `a correspondˆencia entre estes sistemas, j´a que em ambos
os sistemas os parˆametros de ordem (respectivamente la¸co de Polyakov e a magnetiza¸c˜ao)
s˜ao grandezas vetoriais e sinalizam `a quebra espontˆanea da simetria global Z
N
. A transi¸c˜ao
decorrente da quebra espontˆanea de simetria do centro do grupo SU(N), como ocorre na
2
Para o caso n = 2 h´a transi¸c˜ao de tipo Kosterlitz-Thouless, sem magnetiza¸c˜ao espontˆanea.
103
transi¸c˜ao de desconfinamento (vide demonstra¸c˜ao na pr´oxima se¸c˜ao), dever´a pertencer `a
mesma classe de universalidade da transi¸c˜ao ordem-desordem ferromagn´etica de sistemas de
spins com simetria global Z
N
[75].
4.3 A transi¸c˜ao de desconfinamento na QCD
O estudo de campos quˆanticos a temperatura finita ´e o objetivo da Teoria T´ermica de Campos
[76], que adotando tempos euclidianos (imagin´arios) permite a introdu¸c˜ao do conceito de
temperatura de equil´ıbrio
3
[74,76]. Quando regularizadas, no ˆambito da formula¸c˜ao na rede,
essas Teorias de Campos tornam-se formalmente modelos de Mecˆanica Estat´ıstica Cl´assica,
permitindo portanto o c´alculo num´erico de um vasto espectro de grandezas termodinˆamicas
analiticamente inalcan¸c´aveis [77]. Como exemplo, estudos num´ericos da QCD [18] revelam
que, em condi¸c˜oes extremas de densidade ou temperatura, a mat´eria hadrˆonica apresenta
uma transi¸c˜ao de fase de desconfinamento de cor [78, 79] que produz o ex´otico plasma de
quarks e gl´uons (QGP).
4.3.1 A a¸c˜ao da QCD a temperatura finita
Partindo da express˜ao de integrais de trajet´oria para as fun¸c˜oes de Green na QCD podemos
escrever a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao da teoria a temperatuta finita da seguinte forma
Z
QCD
= T r
e
−
b
βH
, (4.6)
onde H ´e o hamiltoniano da QCD e
β = 1/kT , com T a temperatura e k a constante de
Boltzmann, que daqui por diante consideramos igual a 1. Essa fun¸c˜ao de parti¸c˜ao pode ser
calculada pela integral de trajet´oria da Eq. (1.147),
Z =
DA DψDψ e
−S
QCD
, (4.7)
onde as integrais no tempo imagin´ario agora s˜ao restritas ao intervalo compacto [0,
β]. Assim,
a a¸c˜ao S
QCD
na Eq.(1.120) fica
S
QCD
= S
G
[A
µ
] + S
F
[A
µ
, ψ, ψ], (4.8)
com
S
G
[A
µ
] =
b
β
0
dx
0
V
d
3
x
1
2
T r
F
a
µν
(x)
λ
a
2
F
a
µν
(x)
λ
a
2
(4.9)
3
Neste formalismo a dimens˜ao temporal t ´e submetida a condi¸c˜oes peri´odicas de contorno, sendo identifi-
cada como inverso da temperatura de equil´ıbrio T pela identifica¸c˜ao: it →
1
T
.
104
e
S
F
[A
µ
, ψ, ψ] =
b
β
0
dx
0
V
d
3
x
ψ(x) (γ
µ
D
µ
+ M) ψ(x). (4.10)
Quando trabalhamos a temperatura finita, estamos supondo que o sistema estudado est´a
em equil´ıbrio, de modo que podemos trat´a-lo usando m´etodos estat´ısticos. Assim, n˜ao faz
sentido estudarmos a evolu¸c˜ao temporal do sistema. Na express˜ao para S
QCD
que acabamos
de escrever, portanto, o tempo imagin´ario τ n˜ao est´a mais relacionado com uma evolu¸c˜ao
temporal, ele passa a fazer o papel do inverso da temperatura do sistema, que chamamos
β =
1
T
.
A principal diferen¸ca em termos de c´alculo que temos entre um problema a temperatura
finita e um problema de evolu¸c˜ao temporal a temperatura zero, ´e que, no primeiro caso, a
dimens˜ao de τ ´e compacta e possui condi¸c˜oes de contorno peri´odicas.
Vamos nos restringir a problemas de calibre puro a temperatura finita, de modo que, daqui
por diante, vamos trabalhar na aproxima¸c˜ao quenched. Conforme deduzimos na sec˜ao 1.4.3,
nesta aproxima¸c˜ao a a¸c˜ao da QCD na Eq. (4.8) torna-se simplesmente sua parte gluˆonica:
S
QCD
= S
G
[A
µ
].
Utilizando o formalismo apresentado no Cap´ıtulo 1 para SU(2), podemos escrever a vers˜ao
na rede de S
G
[A
µ
] segundo a Eq. (1.93) na forma
S
G
[U] =
4
g
2
0
p
1 −
1
4
T r
U(p) + U
†
(p)
.
4.4 O la¸co de Polyakov
Em QCD na rede a temperatura zero, o potencial de um par quark-antiquark infinitamente
pesado ´e calculado estudando-se o la¸co de Wilson. Em temperatura finita a rede tem sua
dimens˜ao temporal compactada, e j´a n˜ao podemos mais utilizar o la¸co de Wilson para en-
contramos o potencial quark-antiquark. O objeto correspondente ao la¸co de Wilson em
temperatura finita ´e chamado de la¸co de Polyakov. Para deduzir este parˆametro, utiliza-
mos os operadores de cria¸c˜ao ψ
†
a
(x, t) e destrui¸c˜ao ψ
a
(x, t) de quaks (est´aticos e com cor a),
bem como seus conjugados de carga
4
ψ
c†
(x, t) e ψ
c
(x, t), para os quais valem as rela¸c˜oes de
anti-comuta¸c˜ao
{ψ
a
(x
i
, t), ψ
†
b
( x
j
, t)} = δ
ij
δ
ab
,
{ψ
c
a
(x
i
, t), ψ
c†
b
( x
j
, t)} = δ
ij
δ
ab
. (4.11)
4
Que criam e destroem quarks com a anti-cor a.
105
Tratando-se de quarks est´aticos, ou seja, infinitamente massivos, sua evolu¸c˜ao temporal
´e ditada pela seguinte equa¸c˜ao de Dirac
1
i
∂
∂t
− ig
0
A
a
4
(x, t) T
a
ψ(x, t) = 0, (4.12)
onde os operadores T
a
s˜ao os geradores do grupo SU(N). A integra¸c˜ao da Eq. (4.12) resulta
em
ψ(x, t) = P e
[
i
R
t
0
dt
g
0
A
a
4
(x,t
) T
a]
ψ(x, 0), (4.13)
onde P representa o produto temporalmente ordenado dos campos. Podemos agora utilizar
os operadores ψ e ψ
c
para obter uma express˜ao para a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao de uma configura¸c˜ao
de um quark e um anti-quark. A express˜ao procurada pode ser escrita como
Z =
|s
s|e
(−
b
βH)
|s, (4.14)
onde somamos sobre todos os estados |s de um quark e um anti-quark. Isto resulta na
express˜ao
Z =
|s
s
|
a,b
ψ
a
(x, 0) e
(−
b
βH)
ψ
c†
b
(y, 0)|s
=
|s
s
|e
(−
b
βH)
ψ
a
(x, 0) ψ
c†
b
(y, 0)|s
, (4.15)
em que a soma sobre |s
envolve apenas quarks leves (virtuais).
Fazendo-se uso da Eq.(4.13) e de seu conjugado de carga, simultaneamente com a Eq.(4.11)
e com a seguinte defini¸c˜ao do la¸co de Polyakov
L(x) ≡
1
N
T rP e
h
i
R
b
β
0
dtg
0
A
a
4
(x,t)T
a
i
, (4.16)
a express˜ao da Eq.(4.15) converte-se em
Z = T r
e
(−
b
βH)
L(x)
. (4.17)
A transcri¸c˜ao dessa quantidade para a rede euclidiana ´e feita mediante a introdu¸c˜ao do
transportador paralelo (ver se¸c˜ao 1.3.2) U
µ
(x) ≡ e
ig
0
a A
a
µ
(x) T
a
, que parte de um elo no s´ıtio
x com dire¸c˜ao µ. Em termos das vari´aveis de elo da Eq.(1.83), o la¸co de Polyakov ´e escrito
como
L(x) =
1
N
T r
N
τ
τ=1
U
τ
(x, τ )
. (4.18)
106
Figura 4.6: Representa¸c˜ao do la¸co de Polyakov ao redor da dire¸c˜ao temporal em duas dimens˜oes.
Fonte: ROTHE, H. J. Lattice gauge theories: An introduction. ed.2. Cingapura: World Scientific,
1997.
A express˜ao para o la¸co de Polyakov acima ´e constru´ıda tomando-se o tra¸co do produto
dos elos ao longo de uma linha na dire¸c˜ao temporal, que ser´a fechada com comprimento N
τ
,
como pode ser visto na Fig. 4.6. Assim, o la¸co de Polyakov pode ser visto como uma integral
de trajet´oria na dire¸c˜ao temporal, reduzindo em um o n´umero de dimens˜oes da rede.
A correspondente representa¸c˜ao da integral de trajet´oria da Eq.(4.17) ´e dada por
Z =
DA L(x) e
−S
G
[A
µ
]
, (4.19)
onde S
G
[A
µ
] ´e a a¸c˜ao de calibre a temperatura finita e onde a integra¸c˜ao estende-se sobre
todos os campos A
µ
(x) satisfazendo condi¸c˜oes peri´odicas de contorno. A partir da Eq.(4.19)
e fazendo uso de F = −
1
b
β
ln Z, podemos verificar que a energia livre de um sistema com um
´unico quark ´e dada por
e
−
b
βF
q
= L =
1
V
x
L(x), (4.20)
onde V ´e o volume espacial da rede e
β e F
q
s˜ao respectivamente o inverso da temperatura
e a energia livre medidos em unidades de rede.
Sendo o la¸co de Polyakov representado pelo produto de elos ao longo de uma linha na
dire¸c˜ao temporal, isto sugere que a energia livre de um quark e um anti-quark localizados nos
pontos x = an e y = am na rede pode ser obtida do valor esperado da fun¸c˜ao de correla¸c˜ao
de dois la¸cos com orienta¸c˜oes opostas, esquematizados na Fig. 4.7, na forma
e
−
b
βF
q
q
(r,T )
= L(0) L
†
(r), (4.21)
com L(0) L
†
(r) representando as fontes est´aticas (de quark e anti-quark) no ponto espacial
107
Figura 4.7: Dois la¸cos de Polyakov, ao redor da dire¸c˜ao temporal, usados para medir a energia livre de um
par qq.
Fonte: ROTHE, H. J. Lattice gauge theories: An introduction. 2.ed. Cingapura: World Scientific,
1997.
|x − y| = r. J´a no limite |r| → ∞, temos que
L(0) L
†
(r)
|r| → ∞
−→
|L|
2
. (4.22)
Conclu´ımos ent˜ao que, se |L| = 0, a energia livre aumenta para grandes valores de |r| com
a separa¸c˜ao dos quarks. Podemos interpretar isto como uma sinaliza¸c˜ao de confinamento
L = 0 (confinamento). (4.23)
Por outro lado, se L = 0, ent˜ao a energia livre de um par de quark e anti-quark se aproxima
de uma constante para grandes separa¸c˜oes. Interpretamos isto como uma sinaliza¸c˜ao de
desconfinamento
L = 0 (desconfinamento). (4.24)
O potencial qq na fase desconfinada ´e obtido dividindo a Eq.(4.21) por |L|
2
, a qual remove
as auto contribui¸c˜oes de quarks individuais:
e
−
b
βV
qq
(r,T )
=
L(
0) L
†
(r)
|L|
2
. (4.25)
A conex˜ao entre os valores esperados do la¸co de Polyakov e da energia livre de um quark
foi “derivada” supondo que n˜ao temos quarks de massa finita acoplados ao potencial de
calibre.
4.4.1 Quebra da simetria de centro
O la¸co de Polyakov ´e invariante sob transforma¸c˜oes globais de calibre dos elos, definidas na
forma
U
µ
(x, τ ) −→ G U
µ
(x, τ ) G
†
∀x τ ∈ rede, (4.26)
108
onde G ∈ SU(N).
Esta propriedade ´e imediata a partir da defini¸c˜ao (4.18) e da Eq. (4.26). Observemos
tamb´em que a a¸c˜ao gluˆonica S
G
[U] dada pela Eq. (1.93), ´e invariante sob as transforma¸c˜oes
(4.26), conseq¨uˆencia da propriedade c´ıclica do tra¸co.
Consideremos agora a seguinte transforma¸c˜ao, a qual n˜ao ´e uma transforma¸c˜ao de gauge,
definida da forma
U
µ
(x, τ ) −→ U
µ
(x, τ ) =
z · U
µ
(x, τ ), se τ = τ
0
U
µ
(x, τ ), se τ = τ
0
(4.27)
onde z = e
2πik
N
´e um elemento do grupo Z
N
das ra´ızes N-´esimas de 1. Desta forma estamos
multiplicando por z todos os elos que se encontram na fatia da rede definida por τ = τ
0
. Os
elos restantes da rede permanecem inalterados.
´
E imediato ver que esta transforma¸c˜ao deixa
inalterada a plaqueta U(p) definida em (1.87):
U
p
−→ U
(p) = U (p). (4.28)
No entanto, o la¸co de Polyakov n˜ao ´e invariante sob esta transforma¸c˜ao. Com efeito, a partir
de (4.18) podemos provar que
L(x) −→ L
(x) = z · L(x). (4.29)
S´o podemos obter L
(x) = L(x) no caso particular em que L(x) = 0, que, como vimos
anteriormente, corresponde `a fase confinada.
Dizemos ent˜ao que na transi¸c˜ao de fase do desconfinamento, ocorre a quebra espontˆanea
da simetria global do centro
5
Z
N
de SU(N). A quebra da simetria ´e espont´anea, porque quem
´e sens´ıvel `a quebra ´e o parˆametro de ordem, representado pelo la¸co de Polyakov (lembrar que
a a¸c˜ao ´e sempre invariante).
No caso de SU(2), na fase desconfinada onde a simetria est´a quebrada, o la¸co de Polyakov
apresenta dois valores {L
+
, L
−
}, de sinais diferentes e igual m´odulo, cada um deles associado a
um elemento do centro de SU(2), Z
2
= {1, −1}. Esta situa¸c˜ao se ilustra na Fig. 4.8. No caso
geral de um grupo de calibre SU(N), na fase desconfinada, o la¸co de Polyakov apresenta N
valores de igual m´odulo, cada um deles associado a um elemento de Z
N
= {z ∈C/z
N
= 1}.
5
Dado um grupo G, seu centro ´e o subgrupo de G constitu´ıdo pelos elementos g tais que u = gug
−1
para
todo elemento u de G. No caso de G = SU(N), seu centro ´e o grupo Z
N
das ra´ızes N-´esimas de 1.
109
Figura 4.8: Ocorrˆencias do la¸co de Polyakov em β > β
c
(fase desconfinada) para o grupo SU(2).
4.4.2 Universalidade
O formalismo canˆonico para tratar as Teorias Quˆanticas de Campos a temperatura finita
´e passar para o tempo euclidiano com condi¸c˜oes de contorno peri´odicas. Esse procedi-
mento de “fechar”a dimens˜ao temporal faz com que o n´umero de dimens˜oes dispon´ıveis
para o campo se expressar dinamicamente seja reduzido em um, situa¸c˜ao conhecida como
redu¸c˜ao dimensional. Para o caso estudado nesta Tese, da teoria de calibre SU(2) em 2 + 1 e
3 + 1 dimens˜oes, e para temperaturas maiores que a temperarura cr´ıtica T
c
, se conhece muito
pouco sobre a forma da teoria efetiva, produto desta redu¸c˜ao dimensional. No entanto, para
temperaturas pr´oximas de T
c
, podem ser utilizados argumentos de universalidade para definir
uma regi˜ao de escalonamento acima da temperatura cr´ıtica. Nesta regi˜ao de escalonamento
pode ser conjecturado que a teoria efetiva pertence `a classe de universalidade das teorias cujo
grupo de simetria global coincide com o centro de grupo de calibre. No caso do grupo SU(2)
em n + 1 dimens˜oes (n = 2, 3), a correspondente classe de universalidade ´e a do Modelo de
Ising em n dimens˜oes. Esta conjectura tem sido verificada estudando os valores dos expoen-
tes cr´ıticos [80], raz˜oes de amplitude universal [33] e fun¸c˜oes de correla¸c˜ao em T
c
[81]. Nessa
descri¸c˜ao efetiva, o grau de liberdade fundamental ´e o la¸co de Polyakov, que coincide com o
parˆametro de ordem da transi¸c˜ao para o desconfinamento. Nesta Tese estudamos o espectro
das massas de blindagem do grupo de calibre SU(2) procurando uma manifesta¸c˜ao da uni-
versalidade na regi˜ao de escalonamento. Estudos neste sentido em 3 + 1 dimens˜oes j´a foram
feitos, mas limitando-se `as primeiras duas massas, com pouca estat´ıstica, redes menores e
utilizando uma t´ecnica diferente da empregada nesta Tese [9]. No caso de SU(2) em 2 + 1
dimens˜oes a classe de universalidade correspondente ´e a do modelo de Ising em 2 dimens˜oes,
110
o qual ´e exatamente sol´uvel [32], e seu espectro de massas ´e dado por um n´umero inteiro
positivo vezes a massa do estado fundamental [81]. Este caso foi considerado tamb´em em [1],
utilizando outra t´ecnica e redes menores.
4.4.3 A transi¸c˜ao de fase
Um dos primeiros passos de nosso trabalho consistiu na implementa¸c˜ao de uma rotina que
medisse, ap´os certas varreduras iniciais de termaliza¸c˜ao, o valor m´edio do m´odulo do la¸co de
Polyakov numa teoria de calibre SU(2) em 2 + 1 dimens˜oes:
|L| =
1
2
x
T r
N
τ
τ=1
U
τ
(x, τ )
. (4.30)
Nossas simula¸c˜oes foram efetuadas para diversos tamanhos de redes, com dimens˜oes es-
paciais entre 40
2
a 200
2
e mantendo fixa a dimens˜ao de temperatura em N
τ
= 4. A constante
de acoplamento β foi variada no intervalo de [6, 0; 7, 0]. As redes foram preparadas com con-
figura¸c˜oes iniciais quentes e frias. Um n´umero de varreduras igual a 500 foi o suficiente para
garantir a independˆencia dos resultados quanto `as condi¸c˜oes iniciais (termaliza¸c˜ao).
Foram necess´arias redes bastante grandes, com lados de 150 e 200 s´ıtios, para que
pud´essemos notar uma regi˜ao cr´ıtica, para β no intervalo [6, 3; 6, 6], tal como pode ser visto
na Fig. 4.9.
Assim, devido `a marcante influˆencia do tamanho das redes no valor do la¸co de Polya-
kov, consideramos que esta grandeza n˜ao ´e adequada para uma precisa determina¸c˜ao, via
extrapola¸c˜oes, da constante de acoplamento cr´ıtica do sistema para volumes infinitos. Esta
tarefa s´o pode ser feita utilizando-se de outro m´etodo, tal como o m´etodo de cumulante de
Binder [14].
111
Figura 4.9: Gr´afico do m´odulo do la¸co de Polyakov em fun¸c˜ao da constante de acoplamento β e para
diversos tamanhos de rede da forma N
2
× 4 no caso de puro calibre SU (2).
4.4.4 Temperatura cr´ıtica
Uma precisa determina¸c˜ao da temperatura cr´ıtica de desconfinamento ´e essencial em nossas
simula¸c˜oes, haja vista que o procedimento de extra¸c˜ao de expoentes cr´ıticos que caracterizam
as classes de universalidade e os c´alculos de massas de blindagem dependem intrinsicamente
desta temperatura. Neste trabalho n˜ao fizemos c´alculos para a determina¸c˜ao exata da tempe-
ratura cr´ıtica. Para SU(2) em 2 + 1 utilizamos os resultados encontrados em [1], que fornece
β = 6, 50(5), obtido usando o m´etodo do cumulante de Binder, e o encontrado em [32] o qual
fornece β = 6, 52(3), utilizando outros m´etodos. Para SU(2) em 3 + 1 utilizamos o valor
da constante de acoplamento de β = 2, 29895(10) encontrado em [33], utilizando novamente
c´alculos do cumulante de Binder.
Com esses valores de constante de acoplamento cr´ıtica, tanto para SU(2) em 2 + 1 d
quanto para 3 + 1 d, tamb´em ´e poss´ıvel calcular os valores f´ısicos da temperatura cr´ıtica T
c
112
da transi¸c˜ao de fase e do espa¸camento de rede a. Em nossas simula¸c˜oes num´ericas os ´unicos
parˆametros ajust´aveis s˜ao o acoplamento β, que depende implicitamente do espa¸camento de
rede a, e o n´umero de s´ıtios da rede. Portanto, parece natural que seja poss´ıvel expressar
quaisquer observ´aveis f´ısicos como fun¸c˜oes dos parˆametros de rede.
Assim, podemos associar o valor dimensional experimentalmente mensurado de um ob-
serv´avel f´ısico, como a tens˜ao de corda σ, a um valor adimensional determinado com as
simula¸c˜oes na rede. Desse modo, s˜ao fixadas as escalas e as dimens˜oes f´ısicas dos parˆametros
livres.
Como exemplo, em 2+1 dimens˜oes, utilizamos a seguinte expans˜ao [5] da tens˜ao da corda
σ em termos do parˆametro da rede a:
a ·
σ(T = 0) =
1, 324(12)
β
+
1, 20(11)
β
2
+ ···, (4.31)
onde
σ(T = 0) ´e a raiz da tens˜ao da corda para SU(2) e β = 4/(a g
2
0
).
A partir da rela¸c˜ao
T
−1
= N
τ
· a, (4.32)
e utilizando-se de
σ(T = 0) = 0, 44 GeV [82], ´e poss´ıvel obter, a partir da f´ormula acima,
os valores de a e T para diferentes valores de β, os quais est˜ao apresentados na Tabela 4.1
N
τ
β a(GeV
−1
) T (MeV )
4 6,50 0,5275 474
6, 52(3)
∗
0,5255 476
∗
6,55 0,5230 478
Tabela 4.1: Valores para o espa¸camento de rede a e temperatura T para diferentes valores de β numa teoria
de puro calibre SU(2) em 2 + 1 dimens˜oes, correspondentes a uma rede de extens˜ao temporal N
τ
= 4. Os
valores com asterisco correspondem aos valores cr´ıticos de transi¸c˜ao de fase de desconfinamento.
Em particular, a partir do valor cr´ıtico β
c
= 6, 52(3) [32], ´e poss´ıvel obter a temperatura
T
c
da transi¸c˜ao de fase de desconfinamento numa teoria de calibre de puro gauge SU(2),
sendo T
c
= 476MeV .
No caso do SU(2) em 3 + 1 dimens˜oes, utilizamos a seguinte expans˜ao [83] da tens˜ao da
corda σ em termos do parˆametro de rede a para β > β
c
:
ln (σa
2
) = −
4π
2
β
0
β +
2β
β
2
0
ln
4π
2
β
0
+
4π
2
β
0
d
β
+ c, (4.33)
113
onde os parˆametros d e c foram determinados em [83] a partir do ajuste da express˜ao acima
com os dados exportados de [84], obtendo-se os seguintes valores
c = 4, 38(9), d = 1, 66(4). (4.34)
Logo, para uma teoria de calibre SU(N) temos
β
0
=
11N
3
β =
17N
2
3
. (4.35)
Seguindo os passos realizados no caso de 2 + 1 dimens˜oes, ´e poss´ıvel obter os valores de
a e T para diferentes valores de β, os quais est˜ao apresentados na Tabela 4.2
N
τ
β a(GeV
−1
) T (MeV )
4 2, 29895(10)
∗
0,8487 295
∗
2,35 0,7157 349
2,40 0,6066 412
Tabela 4.2: Valores para o espa¸camento de rede a e temperatura T para diferentes valores de β numa teoria
de puro calibre SU(2) em 3 + 1 dimens˜oes, correspondentes a uma rede de extens˜ao temporal N
τ
= 4. Os
valores com asterisco correspondem aos valores cr´ıticos de transi¸c˜ao de fase de desconfinamento.
A partir do valor cr´ıtico β
c
= 2, 29895(10) [33], obtemos T
c
= 295MeV como valor para
a temperatura da transi¸c˜ao de fase desconfinada numa teoria de puro calibre SU(2) em 3 + 1
dimens˜oes.
4.5 As massas de blindagem
As massas de blindagem de Debye se referem ao longo alcance da blindagem da carga el´etrica
devido a excita¸c˜oes do plasma, que converte o potencial de coulomb 1/r em um potencial
e
(−mr)
/r do tipo Yukawa, onde m = 1/r
D
, sendo r
D
a distˆancia de Debye. O fenˆomeno foi
inicialmente discutido no contexto dos eletr´olitos por Debye e Huckel [28], mas o conceito ´e
muito mais geral e pode ser aplicado a uma grande variedade de situa¸c˜oes. Em particular,
em um plasma de quarks e gl´uons, a carga de cor dos quarks est´a sujeita a blindagem pela
presen¸ca de outros quarks, anti-quarks e gl´uons. Como conseq¨uˆencia desta blindagem de
Debye, seria suprimida a produ¸c˜ao de m´esons J/Ψ, que s˜ao estados ligados c¯c, uma vez que
a intera¸c˜ao entre os quarks ´e enfraquecida pela blindagem da carga de cor. Em geral, a
supress˜ao de pares q¯q pesados depender´a da existˆencia do plasma de quarks e gl´uons e da
rela¸c˜ao entre o comprimento de blindagem de Debye e o tamanho do m´eson correspondente.
114
Para termos uma vis˜ao melhor de como essas massas de blindagem surgem, vamos seguir
os c´alculos e an´alises feitas por Gross, Pisarski e Yaffe para a massa de blindagem dos campos
el´etricos em um plasma [85]. Em seguida, estenderemos esses c´alculos ao caso da blindagem
da carga de cor dos quarks, seguindo de perto o que foi feito em [30].
4.5.1 Blindagem dos campos el´etricos em um plasma
Quando a temperatura de um g´as ´e elevada a valores muitos altos, os ´atomos que comp˜oem
este g´as se ionizam facilmente, deixando os el´etrons livres. Isto caracteriza um estado da
mat´eria chamado de plasma eletromagn´etico. Se uma carga positiva Q for introduzida neste
plasma, os el´etrons rapidamente ser˜ao atra´ıdos por ela, distribuindo-se em torno dela de
maneira a neutraliza-la. A este fenˆomeno d´a-se o nome de blindagem. O campo el´etrico
produzido pela carga Q perde intensidade a medida que nos afastamos de seu centro. O
potencial criado por essa carga tem a forma
V (r) =
Q
r
e
−r/r
D
, (4.36)
onde r
D
caracteriza o raio de blindagem da carga, ou seja, a distˆancia a partir da qual o
potencial ´e praticamente nulo. Este comprimento ´e conhecido como raio de Debye e seu
inverso caracteriza a massa el´etrica do meio, m
el
= 1/r
D
. Um g´as ionizado ´e considerado um
plasma se o raio de Debye r
D
for pequeno em rela¸c˜ao a outras dimens˜oes f´ısicas de interesse.
Em uma escala maior que r
D
, os el´etrons tendem a cooperar de maneira a neutralizar um
excesso de cargas positivas em um determinado ponto.
´
E esta resposta coletiva `as flutua¸c˜oes
de carga que d´a origem `as oscila¸c˜oes do plasma em larga escala.
As massas el´etrica e magn´etica est˜ao relacionadas ao tensor de auto-energia do f´oton. Elas
s˜ao definidas como sendo os p´olos Π
L
e Π
T
presentes no propagador do f´oton (ver Apˆendice
C para detalhes)
D
µν
=
1
κ
2
− Π
T
P
µν
T
+
1
κ
2
− Π
L
P
µν
L
,
no chamado limite est´atico, κ
0
= 0. Lembremos que κ ´e o quadri-momento do f´oton, e que
o f´oton ´e o resp´onsavel pela transmiss˜ao dos campos eletromagn´eticos. Quando κ
µ
= (0,
k),
temos que a freq¨uˆencia associada aos campos eletromagn´eticos ´e nula, ou seja, estamos diante
de campos est´aticos, o que caracteriza o limite est´atico. A massa el´etrica corresponde ao p´olo
da parte longitudinal do propagador e a massa magn´etica ao p´olo da parte transversal. Elas
s˜ao definidas por
m
2
el
≡ Π
L
(κ
0
= 0,
k), (4.37)
115
m
2
mag
≡ Π
T
(κ
0
= 0,
k). (4.38)
Usando os resultados Π
L
=
e
2
T
2
3
e Π
T
= 0 (Veja Apˆendice C para detalhes), obtemos no
limite a altas temperaturas
m
2
el
= Π
L
(k
0
= 0,
k → 0) =
e
2
T
2
3
, (4.39)
m
2
mag
= 0. (4.40)
Portanto, campos el´etricos est´aticos em um plasma a altas temperaturas s˜ao blindados, e
campos magn´eticos n˜ao.
A massa el´etrica pode ser entendida como uma massa efetiva adquirida pelo f´oton dentro
do plasma. Se o f´oton adquire uma massa, o alcance de sua intera¸c˜ao n˜ao ´e mais infinito
como antes, o que corresponde a dizer que o campo el´etrico gerado pela carga tem um alcance
finito, al´em do qual ele n˜ao atua mais.
´
E a blindagem de que estamos falando. Quando maior
a temperatura, maior a massa el´etrica, e portanto menor o raio de blindagem. Isto significa
que o alcance do campo el´etrico vai dimimuindo com o aumento da temperatura, at´e o limite
em que a carga passa a se comportar como se fosse neutra, para T → ∞.
Classicamente este fenˆomeno ´e conhecido na f´ısica de plasmas. A vis˜ao cl´assica ´e a de
que h´a uma polariza¸c˜ao das cargas, formando dipolos el´etricos em torno da carga central, o
que provoca sua blindagem. Isto pode ser melhor visualizado na Fig. 4.10. Cargas positivas
se aproximam da carga central e cargas negativas s˜ao repelidas. Sucessivamente outras
cargas positivas s˜ao atra´ıdas e negativas repelidas, levando a uma neutralidade do ponto de
vista macrosc´opico. Do ponto de vista quˆantico podemos representar a blindagem da carga
conforme a Fig. 4.11. Os f´otons, que s˜ao os respons´aveis pela intera¸c˜ao eletromagn´etica da
carga com ´ıons do plasma, podem, segundo a QED, sofrer os processos representados pelos
diagramas de 1-la¸co. Isto acarreta uma gera¸c˜ao efetiva de massa para o f´oton, que portanto
deixa de ter o seu alcance infinito, ou seja, o campo el´etrico associado a este f´oton tem uma
a¸c˜ao finita, deixando de agir a partir de uma certa distˆancia, o que caracteriza a blindagem
da carga.
4.5.2 Blindagem da carga de cor dos quarks
Como ponto de partida para encontrarmos as massas de blindagem da carga de cor dos
quarks, iniciaremos com a representa¸c˜ao da fun¸c˜ao de correla¸c˜ao entre dois la¸cos de Polyakov,
separados por uma distˆancia espacial |x| = r,
G(r, T ) = L(0)L(r) − L
2
, (4.41)
116
Figura 4.10: Blindagem do campo el´etrico produzido por uma carga Q negativa no centro.
Fonte: GROSS, D. J.; PISARSKI, D.; YAFFE, L. G.. QCD and instantons at finite temperature. Reviews
of Modern Physics, v.53, p.43-80, 10 Janeiro 1981.
onde L(x) ´e dado pela Eq. (4.18).
Trabalharemos em uma rede N
x
×N
y
×N
z
×N
τ
, onde o espa¸camento de rede ´e dado por
a e a temperatura por T = 1/N
τ
a, como visto na Eq. (4.32). Para obter G(r, T ), calculamos
L(x)L(y) =
elos
dUe
−S(U)
L(x)L(y)
/
elos
dUe
−S(U)
(4.42)
sendo S(U) a a¸c˜ao de Wilson definida na Eq. (1.93) onde, por simplicidade, consideramos
apenas separa¸c˜oes pararelas |x − y| = r.
Sup˜oe-se que a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao G(r, T ) decaia exponencialmente acima e abaixo de
um ponto de transi¸c˜ao para grandes distˆancias de r
G(r, T ) ∼ e
−r/ξ(T )
, (4.43)
onde ξ(T ) ´e o comprimento de correla¸c˜ao. Vamos ver agora como esta fun¸c˜ao de correla¸c˜ao
relaciona-se com os parˆametros do sistema de quarks.
Abaixo de uma temperatura cr´ıtica T
c
, na regi˜ao de confinamento, e apesar de sofrermos
os efeitos de volume finito da rede, podemos considerar que L tende a zero. Logo temos a
seguinte rela¸c˜ao (ver Eq. (4.25))
G(r, T ) = L(0)L(r) ∼ e
−V (r,T )/T
, (4.44)
117
Figura 4.11: Vis˜ao quˆantica da blindagem de um campo el´etrico produzido por uma carga Q no centro.
Fonte: GROSS, D. J.; PISARSKI, D.; YAFFE, L. G.. QCD and instantons at finite temperature. Reviews
of Modern Physics, v.53, p.43-80, 10 Janeiro 1981.
onde V (r, T ) ´e o potencial entre os dois quarks. Em T = 0, o potencial toma a seguinte
forma para grandes valores de r
V (r, 0) = σ · r −
c
r
, (4.45)
sendo σ a tens˜ao na corda. Para T > 0, em particular rT 1, a Eq. (4.45) modifica-se da
seguinte maneira [86,87]
V (r, T ) =
σ(0) −
π
3
T
2
+ O(T
3
)
r + T ln 2rT. (4.46)
Por isso temos agora
G(r, T ) = N(T )
e
−σ(T )r/T
r
, (4.47)
onde definimos σ(T ) = σ(0) −
π
3
T
2
+ O(T
3
) como a tens˜ao na corda dependente da tempe-
ratura, e N(T ) representa um fator de normaliza¸c˜ao, tamb´em dependente da temperatura.
Para T < T
c
, podemos definir o comprimento de correla¸c˜ao na forma
ξ(T ) = T/σ(T ). (4.48)
Quando T aumenta, no limite do desconfinamento T → T
c
a tens˜ao na corda σ(T ) decair´a a
σ(T ) = 0.
118
Para T > T
c
, na regi˜ao de desconfinamento, n˜ao h´a mais efeitos de tens˜ao na corda, e
temos ent˜ao
G(r, T ) = L
2
(e
−V (r,T )/T
− 1), (4.49)
com
V (r, T ) = −
c(T )
r
e
−r/r
D
(T )
. (4.50)
Aqui r
D
(T ) representa o raio efetivo das massas de blindagem da carga de cor dos quarks. No
regime perturbativo de altas temperaturas, a constante de acoplamento c ´e dependente da
temperatura c(T ) = a
efetiva
(T ) [88] e r
−1
D
torna-se a massa efetiva dos gl´uons. Para grandes
valores de r temos
G(r, T )
e
−r/r
D
(T )
r
, (4.51)
onde o comprimento de correla¸c˜ao ξ(T ) = r
D
(T ) agora mede as massas de blindagem da
carga de cor dos quarks. Para grandes valores de T ,
N(T ) = L
2
a
efetiva
(T )/T (4.52)
determina o fator de normaliza¸c˜ao.
Na pr´oxima se¸c˜ao, apresentaremos o m´etodo das m´ultiplas exponenciais, que ser´a usado
nesta Tese para o c´alculo das massas de blindagem das cargas de cor dos quarks.
4.5.3 O m´etodo das m´ultiplas exponenciais
Considere-se a seguinte fun¸c˜ao de correla¸c˜ao do la¸co de Polyakov numa rede com N
x
×N
y
×
N
z
× N
t
s´ıtios e espa¸camento a [9]
G(|z
1
− z
2
|) ≡
¯
L(z
1
)
¯
L(z
2
) −
¯
L(z
1
)
¯
L(z
2
), (4.53)
onde
¯
L(z) =
1
N
x
N
y
N
x
n
1
=1
N
y
n
2
=1
L(n
1
a, n
2
a, z) (4.54)
´e o valor m´edio do la¸co de Polyakov
L(x, y, z) =
1
N
T r
N
τ
τ=1
U
τ
(x, y, z, n
4
a)
(4.55)
sobre o plano xy num dado z. A fun¸c˜ao de correla¸c˜ao G(|z
1
−z
2
|) recebe contribui¸c˜oes de todas
as massas de blindagem no canal 0
+
, ou seja, a partir da menor massa m
1
, correspondente
119
ao estado fundamental, passando pela massa do primeiro estado excitado m
2
, e assim com
os outros. Para uma rede peri´odica se tem
G(|z
1
− z
2
|) = C
0
+ C
1
e
−m
1
|z
1
−z
2
|
+ e
−m
1
(L
z
−|z
1
−z
2
|)
+C
2
e
−m
2
|z
1
−z
2
|
+ e
−m
2
(L
z
−|z
1
−z
2
|)
+ ···, (4.56)
onde L
z
= aN
z
. Os pontos representam contribui¸c˜oes de excita¸c˜oes de massas maiores. As
massas de blindagem de cor s˜ao obtidas calculando na rede a fun¸c˜ao (4.53) e parametrizando
posteriormente os resultados obtidos com o Anzatz (4.56).
At´e o presente momento todos os c´alculos que apresentamos envolvendo o la¸co de polya-
kov (Eq. 4.18) e conseq¨uentemente a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao entre os la¸cos que esta associada
ao c´alculo das massas de blindagem correspondente ao estado com momento angular nulo
(canal 0
+
). No entanto, temos, tamb´em, a inten¸c˜ao de calcular essas massas de blindagem
em estados de momento angular diferente de zero. Logo, para chegarmos a esses c´alculos,
consideraremos o operador obtido a partir do la¸co de polyakov num plano xy (Eq. 4.55)
inspirado em [34]. No caso particular para o canal 2
+
temos
¯
L
η
(z) =
1
N
x
N
y
N
x
n
1
=1
N
y
n
2
=1
L(n
1
a, n
2
a, z) (4.57)
× [L(n
1
a + ηa, n
2
a, z) − L(n
1
a, n
2
a + ηa, z)] ,
com η = 1 e L(n
1
a, n
2
a, z) dado pela Eq. (4.55).
Como veremos no decorrer deste trabalho, a dependˆencia espacial da fun¸c˜ao de correla¸c˜ao
(4.53) ´e influenciada fortemente pela massa do estado fundamental do espectro, o que preju-
dica o estudo dos estados excitados. Uma forma de estudar os estados excitados ´e utilizando o
chamado m´etodo variacional [6,7]. O m´etodo consiste em: (i) definir uma base de operadores
{O
α
}, (ii) calcular a matriz de correla¸c˜ao entre estes operadores,
C
αβ
(z) = O
α
(z)O
β
(0) − O
α
(z)O
β
(0) (4.58)
(iii) diagonalizar C
αβ
(z) para obter seus autovalores {λ
i
(z)} e, finalmente, (iv) extrair as
massas atrav´es das parametriza¸c˜oes
λ
i
(z) = c
0
+ c
e
−m
i
z
+ e
m
i
(L
z
−z)
. (4.59)
A massa m
1
do estado fundamental corresponde ao maior autovalor λ
1
, a massa m
2
do
primeiro excitado corresponde ao seguinte maior autovalor λ
2
, e assim por diante. Na pr´atica,
nas simula¸c˜oes, para cada valor de z tem-se uma determina¸c˜ao num´erica de uma “massa
120
efetiva” m
i
(z), atrav´es da Eq. (4.59). A medida que z aumenta, m
i
(z) atinge um patamar
cujo valor se identifica com a massa de blindagem m
i
.
Uma maior defini¸c˜ao dos estados de energia por este m´etodo pode ser obtida resolvendo-se
o chamado problema de autovalores generalizados [89].
A eficiˆencia deste m´etodo reside na escolha de um bom conjunto de operadores {O
α
},
sendo conveniente definir operadores em diferentes escalas de comprimento. Este m´etodo
n˜ao foi utilizado nesta Tese. Na obten¸c˜ao das massas de blindagem utilizamos apenas o
m´etodo representado pela Eq. (4.56), isto ´e, parametrizamos a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao do la¸co
de Polyakov.
121
Cap´ıtulo 5
RESULTADOS
5.1 SU (2) em 2 + 1 dimens˜oes
Apresentamos aqui nossos resultados para o espectro das massas de blindagem na regi˜ao
do ponto cr´ıtico para diversos tamanhos de rede, numa teoria de calibre SU(2) em 2+1 di-
mens˜oes e para N
t
= 4. Os valores de β utilizados foram β = 6, 5 e β = 6, 55, pr´oximos
do valor cr´ıtico β = 6, 52(3) [33]. Os c´alculos foram realizados com dois conjuntos de dados
diferentes: primeiramente trabalhamos com dados descorrelacionados e posteriormente apri-
moramos a qualidade dos dados gerando configura¸c˜oes descorrelacionadas. Nos dois casos
foram estudados diferentes tamanhos espaciais de rede com o intuito de identificar poss´ıveis
efeitos de volume finito do sistema. Tamb´em apresentamos resultados para as massas de
blindagem de SU(2) em 3+1 dimens˜oes, para um valor de β pr´oximo do valor cr´ıtico nesta
dimensionalidade.
5.1.1 Configura¸c˜oes correlacionadas
Foram estudadas redes com tamanhos da forma N
2
× 4, com N tomando valores entre 50 e
180. O procedimento seguido pode ser esquematizado da seguinte maneira:
1. Para cada tamanho de rede foram geradas M = 25000 configura¸c˜oes de rede diferentes,
partindo de inicializa¸c˜oes frias. Destas configura¸c˜oes, M
t
= 5000 foram utilizadas para
termalizar a rede. Este valor foi determinado visualmente a partir do transciente do
la¸co de Polyakov. Descartadas as configura¸c˜oes do transciente, o tempo de correla¸c˜ao
τ foi obtido a partir da express˜ao (2.33), utilizando as M
mc
= M − M
t
configura¸c˜oes
restantes. Os valores resultantes para τ podem ser observados na Tabela 5.1.
2. Para cada configura¸c˜ao k, k = 1, . . . , M
mc
, foram calculados os valores do la¸co de
122
β Rede τ
6,5 50
2
× 4 158
80
2
× 4 312
100
2
× 4 400
120
2
× 4 435
150
2
× 4 501
164
2
× 4 532
180
2
× 4 606
Tabela 5.1: Tempo de correla¸c˜ao para diversos tamanhos de rede na regi˜ao do ponto cr´ıtico (β = 6, 5),
para SU(2) em 2+1 dimens˜oes e diversos tamanhos de rede.
Polyakov L
k
0
e do produto L
k
0
L
k
n
na forma
L
k
0
=
1
N
2
N
i,j=1
L
k
i,j
, (5.1)
L
k
0
L
k
n
=
1
2N
2
N
i,j=1
L
k
i,j
L
k
i+n,j
+ L
k
i,j
L
k
i,j+n
, n = 1, . . . , N (5.2)
onde L
k
i,j
representa o valor do la¸co de Polyakov no s´ıtio espacial de rede (i, j) na
configura¸c˜ao k.
3. A partir do conjunto {L
k
0
, L
k
0
L
k
n
}
k=1,...,M
mc
;n=1,...,N
, foram calculados os valores m´edios
L
0
e L
0
L
n
na forma
L
0
=
1
M
mc
M
mc
k=1
L
k
0
, (5.3)
L
0
L
n
=
1
M
mc
M
mc
k=1
L
k
0
L
k
n
, n = 1, . . . , N (5.4)
junto com seus erros estat´ısticos, utilizando-se do tempo de correla¸c˜ao τ da Tabela 5.1
na Eq. (2.32).
4. Para cada distˆancia na rede n foi constru´ıda a correla¸c˜ao G
n
do la¸co de Polyakov na
forma
G
n
= L
0
L
n
− L
0
2
. (5.5)
123
Posteriormente, com o intuito de obter as massas de blindagem gluˆonicas, a fun¸c˜ao de
correla¸c˜ao (5.5) foi parametrizada segundo a express˜ao
G
n
= c
0
+
R
i=1
c
i
e
−m
i
n
+ e
−m
i
(N−n)
, (5.6)
onde {c
0
, c
i
} s˜ao n´umeros reais positivos e {m
i
}
i=1,...,R
representam as massas de blinda-
gem gluˆonicas, ordenadas na forma m
k
< m
k+1
, sendo R o n´umero m´aximo de termos
da parametriza¸c˜ao.
5. O n´umero m´aximo de termos R foi uma vari´avel do ajuste: para obter e estabilizar
a k-´esima massa de blindagem m
k
foi utilizado R = k + 1, come¸cando com k = 1,
correspondente `a massa do estado fundamental m
1
. Para obter cada massa m
k
, foi
realizado um procedimento indutivo, definindo uma janela [n
k
, N/2] para o espa¸camento
n em (5.6), com 1 < n
k+1
< n
k
< N/2, de forma que a parametriza¸c˜ao (5.6) fica da
forma
G
n
= c
0
+
k+1
i=1
c
i
e
−m
i
n
+ e
−m
i
(N−n)
, (5.7)
aplicando-se unicamente no intervalo [n
k
, N/2] para obter a massa m
k
, havendo obtido
primeiro as {m
k−1
, m
k−2
, . . . , m
1
} massas anteriores. O valor de n
k
associado a cada
massa m
k
foi determinado estudando a estabilidade da parametriza¸c˜ao (5.7) perante
varia¸c˜oes de n
k
. O erro nos valores das massas foi determinado estudando as flutua¸c˜oes
dos valores das massas frente `as varia¸c˜oes do extremo inferior n
k
.
Na Fig. 5.1 se ilustra o m´etodo para obter at´e m
4
numa rede de 180
2
×4. Esses ajustes
foram feitos da seguinte maneira: (i) ajustamos a curva da fun¸c˜ao de correla¸c˜ao com
apenas a massa do estado fundamental m
1
; (ii) posteriormente inclu´ımos a massa do
primeiro estado excitado m
2
no ajuste da fun¸c˜ao de correla¸c˜ao e verificamos se o mesmo
´e poss´ıvel; (iii) prosseguimos com este processo at´e encontrar o maior n´umero de massas
que podem ser inclu´ıdas no ajuste da curva de correla¸c˜ao. Neste gr´afico ilustramos as
distintas curvas de cada parametriza¸c˜ao, e podemos verificar que a medida que mais
termos de massa s˜ao inclu´ıdos, o ajuste global da curva melhora sensivelmente.
Os resultados, para as primeiras massas de blindagem, s˜ao mostrados na Tabela 5.2. Um
fato interessante que pode ser observado nesta Tabela ´e que os efeitos de volume finito do
sistema estabilizam-se a partir de redes de lado espacial N = 150, onde as massas come¸cam
a tomar valores aproximadamente independentes do tamanho da rede. Na Fig. 5.2 pode se
visto a dependˆencia das massas de blindagem com o tamanho do sistema, onde ´e evidente a
124
Figura 5.1: Ajustes na curva de correla¸c˜ao para SU(2) em 2 + 1 dimens˜oes com β = 6, 5 em uma rede de
180
2
× 4 s´ıtios onde as curvas representam de baixo para cima os ajustes com a massa do estado fundamental
m
1
; estado fundamental m
1
e primeiro excitado m
2
; estado fundamental m
1
, primeiro excitado m
2
e segundo
excitado m
3
; estado fundamental m
1
, primeiro excitado m
2
, segundo excitado m
3
e terceiro excitado m
4
.
estabilidade a partir de L = 150. Isto sem d´uvida foi um comportamento bem interessante
de nossa pesquisa publicado em [2], onde se pode observar que as grandezas f´ısicas calculadas
na rede s˜ao independentes da estrutura da mesma.
Mais uma vez salientamos o fato de que, para ter bem definida m
k
, devemos incluir m
k+1
na parametriza¸c˜ao (5.7). Isto ´e evidente na Fig. 5.2 , onde a ´ultima massa ainda oscila
apreciavelmente com o tamanho da rede.
Na literatura, em geral, esses espectros de massas de blindagem gluˆonicas s˜ao obtidos com
o chamado m´etodo variacional [6, 7] o qual foi apresentado no final da subse¸c˜ao 4.5.3. Este
m´etodo consiste na an´alise conjunta dos modos de decaimento de uma fam´ılia de operadores,
constru´ıda iterativamente a partir do parˆametro de ordem, o la¸co de Polyakov, o que conduz
`a sondagem de diferentes comprimentos de correla¸c˜ao, cada um devido a uma escala (massa
de blindagem) diferente dentro do espectro.
125
β N
2
× 4 m
1
m
2
m
3
m
4
6,5 50
2
× 4 0,1461(1) 0,303(2) 0,60(5)
80
2
× 4 0,0879(1) 0,174(3) 0,279(7) 0,478(5)
100
2
× 4 0,0828(1) 0,168(4) 0,26(1) 0,456(5)
120
2
× 4 0,0711(4) 0,152(6) 0,25(1) 0,416(5)
150
2
× 4 0,0527(2) 0,116(6) 0,18(2) 0,391(5)
164
2
× 4 0,0518(8) 0,133(9) 0,17(2) 0,374(9)
180
2
× 4 0,0564(2) 0,113(5) 0,178(2) 0,406(3)
Tabela 5.2: Espectro das massas de blindagem na regi˜ao do ponto cr´ıtico (β = 6, 5) para SU(2) em 2+1
dimens˜oes e diversos tamanhos de rede N (os valores entre parenteses s˜ao a incerteza no ´ultimo d´ıgito).
Figura 5.2: Espectro das massas de blindagem gluˆonicas apresentado na Tabela 5.2.
126
5.1.2 Configura¸c˜oes descorrelacionadas
Posteriormente, para aprimorar e complementar os c´alculos da se¸c˜ao anterior, geramos con-
figura¸c˜oes de rede descorrelacionadas, ainda na regi˜ao do ponto cr´ıtico, mas desta vez com
β = 6, 55. O custo computacional desta etapa foi maior do que no caso anterior, uma vez
que as configura¸c˜oes eram armazenadas a cada τ passos de Monte Carlo. Para compensar
a redu¸c˜ao na estat´ıstica gerada desta forma, a amostragem foi melhorada utilizando-se do
m´etodo de Bootstrap (veja subse¸c˜ao 2.3.2). O procedimento seguido neste caso foi semelhante
ao exposto na subse¸c˜ao anterior, e pode ser resumido da seguinte maneira:
1. Com o intuito de determinar corretamente o tempo de correla¸c˜ao τ para cada tamanho
de rede, inicialmente escolheu-se um n´umero de passos de Monte Carlo de forma tal
que o τ calculado a partir da Eq. (2.33) escalona-se linearmente com o tamanho da
rede. Na Tabela 5.3 se apresentam os valores obtidos para τ desta maneira.
β N
2
× 4 τ
6,55 50
2
× 4 141
80
2
× 4 239
100
2
× 4 303
120
2
× 4 361
150
2
× 4 451
164
2
× 4 481
180
2
× 4 542
Tabela 5.3: Tempo de correla¸c˜ao para diversos tamanhos de rede N na regi˜ao do ponto cr´ıtico (β = 6, 55)
para SU(2) em 2+1 dimens˜oes.
2. De posse do valor de τ para cada N, e uma vez termalizado o sistema, foram geradas
1000 configura¸c˜oes aproximadamente independentes guardando uma configura¸c˜ao de
cada τ geradas.
3. Para melhorar a estat´ıstica, sobre as 1000 configura¸c˜oes obtidas no passo anterior, foi
aplicado o m´etodo de Bootstrap para assim gerar, no total, N
mc
= 20000 configura¸c˜oes
aproximadamente independentes. Este n´umero foi determinado estudando a partir de
que momento a variˆancia (2.44) da amostra comen¸cava a ficar independente do n´umero
de r´eplicas geradas com o Bootstrap.
127
4. Foram obtidos, para cada configura¸c˜ao, os valores de L
0
e L
0
L
n
conforme Eqs. (5.3)
e (5.4). Uma vez que as configura¸c˜oes s˜ao independentes, o erro estat´ıstico associado a
estas quantidades ´e o erro estat´ıstico ingˆenuo da Eq. (2.27).
5. As massas de blindagem, com seu erro, foram obtidas a partir das correla¸c˜oes G
n
(5.5)
do la¸co de Polyakov, juntamente com as parametriza¸c˜oes (5.6). Na Fig. 5.3 mostramos
a forma de G
n
para o caso particular de N = 180. Na Fig. 5.4 se ilustra o m´etodo
para obter as massas at´e m
4
numa rede de 180
2
× 4 para β = 6, 55, com os mesmos
procedimentos realizados para obter as massas at´e m
4
numa rede de mesma dimens˜ao
para β = 6, 5 (Fig. 5.1). Os erros nas massas foram estimados a partir do estudo da
estabilidade da parametriza¸c˜ao de G
n
, conforme o m´etodo exposto na subse¸c˜ao anterior.
Figura 5.3: Fun¸c˜ao de Correla¸c˜ao do La¸co de Polyakov para SU(2) em 2 + 1 dimens˜oes com β = 6, 55
numa rede de 180
2
× 4 s´ıtios.
Na Tabela 5.4 mostra-se o espectro de massas de blindagem resultante. Novamente, ´e
claro o efeito de volume finito do sistema na estabilidade das massas de blindagem: s´o a partir
de N = 150 ´e que temos massas de blindagem definidas independentemente do tamanho da
rede. Na Fig. 5.5 pode ser vista a dependˆencia das massas de blindagem com o tamanho do
sistema, onde novamente ´e evidente a estabilidade a partir de N = 150.
Nas Tabelas 5.5 e 5.6 apresentamos as raz˜oes das massas dos primeiros estados excitados
relativas `a do estado fundamental para os casos de β = 6, 5 e β = 6, 55 correspondentes `as
128
Figura 5.4: Ajustes na curva de correla¸c˜ao para SU(2) em 2 + 1 dimens˜oes com β = 6, 55 em uma rede de
180
2
× 4 s´ıtios onde as curvas representam de baixo para cima os ajustes com a massa do estado fundamental
m
1
; estado fundamental m
1
e primeiro excitado m
2
; estado fundamental m
1
, primeiro excitado m
2
e segundo
excitado m
3
; estado fundamental m
1
, primeiro excitado m
2
, segundo excitado m
3
e terceiro excitado m
4
.
Tabelas 5.2 e 5.4 respectivamente
1
. Nelas podemos ver um excelente acordo com o resultado
correspondente ao Modelo de Ising 2D como esperado a partir do discutido na subse¸c˜ao 4.4.2:
as massas escalonam como m
k
= k m
1
, pelo menos para as primeiras trˆes massas, mesmo na
regi˜ao onde as massas ainda n˜ao estabilizaram (N < 150). A quarta massa m
4
encontra-se
fora deste escalonamento, mas isto pode ser explicado lembrando que necessitamos da massa
m
k+1
para estabilizar o valor da massas m
k
no Anzats (4.56). Em rela¸c˜ao a m
4
a obten¸c˜ao
de m
5
´e bastante dif´ıcil.
Nas Fig. 5.6 e 5.7 se graficam os valores das Tabelas 5.5 e 5.6 respectivamente, com o
intuito de colocar em evidˆencia o comportamento com o tamanho do sistema N e comparar
com o valor correspondente ao Modelo de Ising 2D.
1
Utilizando-se da express˜ao (1.122) na regi˜ao do ponto cr´ıtico β = 6, 5 para SU(2) em 2 + 1 dimens˜oes
com lado de rede de 180, obtemos os seguintes valores das massas f´ısicas do estado fundamental, primeiro
excitado, segundo excitado e terceiro excitado em GeV s: m
1
≈ 0, 11 GeV , m
2
≈ 0, 26 GeV , m
3
≈ 0, 34 GeV
e m
4
≈ 0, 77 GeV , respectivamente. Na regi˜ao do ponto cr´ıtico β = 6, 55 para SU(2) em 2 + 1 dimens˜oes
com lado de rede de 180, obtemos os seguintes valores das massas f´ısicas do estado fundamental, primeiro
excitado, segundo excitado e terceiro excitado em GeV s: m
1
≈ 0, 09 GeV , m
2
≈ 0, 18 GeV , m
3
≈ 0, 29 GeV
e m
4
≈ 0, 54 GeV , respectivamente.
129
Figura 5.5: Espectro das massas de blindagem gluˆonicas apresentado na Tabela 5.4.
β N
2
× 4 m
1
m
2
m
3
m
4
6,55 50
2
× 4 0,151(5) 0,31(2) 0,62(2)
80
2
× 4 0,089(1) 0,188(3) 0,38(2)
100
2
× 4 0,0737(7) 0,153(2) 0,23(1) 0,41(2)
120
2
× 4 0,0560(4) 0,113(2) 0,172(9) 0,34(2)
150
2
× 4 0,0459(2) 0,0979(5) 0,149(8) 0,28(2)
160
2
× 4 0,0464(2) 0,0982(4) 0,151(8) 0,27(2)
180
2
× 4 0,04595(9) 0,0965(4) 0,151(7) 0,28(3)
Tabela 5.4: Espectro das massas de blindagem na regi˜ao do ponto cr´ıtico (β = 6, 55) para SU(2) em 2+1
dimen¸c˜oes e diversos tamanhos de rede N (os valores entre parenteses s˜ao a incerteza no ´ultimo d´ıgito).
130
β N
2
× 4 m
2
/m
1
m
3
/m
1
m
4
/m
1
6,5 50
2
× 4 2,07(1) 4,14(1)
80
2
× 4 1,99(3) 3,17(8) 5,44(5)
100
2
× 4 2,03(4) 3,1(2) 5,51(6)
120
2
× 4 2,14(8) 3,5(2) 5,85(8)
150
2
× 4 2,2(1) 3,4(3) 7,42(9)
164
2
× 4 2,6(2) 3,3(3) 7,2(2)
180
2
× 4 2,01(9) 3,2(2) 7,20(7)
Tabela 5.5: Raz˜ao entre as massas de blindagem dos primeiros estados excitados e o fundamental na regi˜ao
do ponto cr´ıtico (β = 6, 5) para SU(2) em 2+1 dimens˜oes e diversos tamanhos de rede N (os valores entre
parenteses s˜ao a incerteza no ´ultimo d´ıgito).
β N
2
× 4 m
2
/m
1
m
3
/m
1
m
4
/m
1
6,55 50
2
× 4 2,0(2) 4,1(2)
80
2
× 4 2,11(4) 4,3(2)
100
2
× 4 2,08(3) 3,1(1) 5,4(3)
120
2
× 4 2,01(4) 3,1(2) 6,1(4)
150
2
× 4 2,13(1) 3,2(2) 6,1(4)
160
2
× 4 2,12(1) 3,3(2) 5,8(4)
180
2
× 4 2,102(9) 3,3(2) 6,1(7)
Tabela 5.6: Raz˜ao entre as massas dos primeiros estados excitados e o fundamental na regi˜ao do ponto
cr´ıtico (β = 6, 55) para SU (2) em 2+1 dimens˜oes e diversos tamanhos de rede N (os valores entre parenteses
s˜ao a incerteza no ´ultimo d´ıgito).
131
Figura 5.6: Raz˜ao entre as massas dos estados excitados em rela¸c˜ao ao fundamental apresentada na Tabela
5.5. As linhas tracejadas horizontais representam as mesmas raz˜oes para o Modelo de Ising 2D.
Figura 5.7: Raz˜ao entre as massas dos estados excitados em rela¸c˜ao ao fundamental apresentada na Tabela
5.6. As linhas tracejadas horizontais representam as mesmas raz˜oes para o Modelo de Ising 2D.
132
5.2 SU (2) em 3 + 1 dimens˜oes
C´alculos em 2+1 dimens˜oes s˜ao computacionalmente mais econˆomicos que os feitos em 3+1
dimens˜oes, uma vez que o n´umero de opera¸c˜oes envolvidas escalona como N
n
, sendo N o
lado da rede e n o n´umero de dimens˜oes. Podemos assim, gerar uma boa estat´ıstica em
2+1 dimens˜oes investindo relativamente pouco tempo computacional, conjecturando poste-
riormente que os resultados n˜ao ser˜ao muito diferentes daqueles correspondentes `a teoria em
3+1 dimens˜oes.
No entanto, o espa¸co-tempo f´ısico tem 4 dimens˜oes, e gostar´ıamos de estudar o resultados
da teoria nesta dimensionalidade. Assim, esta Se¸c˜ao est´a dedicada `a obten¸c˜ao da massas de
blindagem para o caso de SU(2) em 3+1 dimens˜oes.
Devido ao aumento no n´umero de dimens˜oes, c´alculos para descorrelacionar as confi-
gura¸c˜oes da rede demonstraram-se proibitivos em termos de tempo. Devido a este problema,
as diferentes configura¸c˜oes de rede foram geradas como feito na subse¸c˜ao 5.1.1.
Nesta dimensionalidade, a temperatura cr´ıtica da teoria para a transi¸c˜ao de fase de des-
confinamento ´e de β = 2, 2895(1) [33]. Realizamos ent˜ao nossas simula¸c˜oes com N
t
= 4 e
β = 2, 4, acima da transi¸c˜ao de fase de desconfinamento. Utilizar valores de β mais proxi-
mos do valor cr´ıtico implicava num valor de tempo de correla¸c˜ao maior e, conseq¨uentemente,
num maior valor para o erro estat´ıstico associado aos valores m´edios calculados. Os valores
obtidos para τ e diferentes tamanhos de rede, s˜ao apresentados na Tabela 5.7.
β N
3
× 4 τ
2,4 50
3
× 4 17
60
3
× 4 23
70
3
× 4 29
80
3
× 4 32
90
3
× 4 35
100
3
× 4 40
Tabela 5.7: Tempo de correla¸c˜ao para diversos tamanhos de redes N na regi˜ao do ponto cr´ıtico (β = 2, 4)
para SU(2) em 3+1 dimens˜oes.
Na Fig. 5.8 apresentamos a forma da fun¸c˜ao de correla¸c˜ao da Eq. (5.5) para uma rede de
100
3
×4, com os ajustes das trˆes primeiras massas: estado fundamental m
1
, primeiro excitado
m
2
e segundo excitado m
3
. Podemos ver como a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao cai mais rapidamente
com a distˆancia do que no caso em 2+1 dimens˜oes (Fig. 5.3).
133
Figura 5.8: Fun¸c˜ao de correla¸c˜ao para SU(2) em 3 + 1 dimens˜oes para uma rede de 100
3
× 4 e β = 2, 4,
onde os ajustes da fun¸c˜ao de correla¸c˜ao foram feitos com a Eq.(5.6) a partir da massa m
1
at´e a m
3
.
Na Tabela
2
5.8 apresentamos nossos resultados para o espectro das massas de blindagem.
Nesta Tabela podemos observar como os efeitos de volume finito s˜ao muito menos severos
em 3 + 1 dimens˜oes do que em 2 + 1 (veja Tabela 5.2 e Tabela 5.4), uma vez que as massas
estabilizam rapidamente com o lado da rede N. Na Fig. 5.9 graficamos os resultados da Tabela
5.8.
´
E importante salientar que a queda r´apida da fun¸c˜ao de correla¸c˜ao com a distˆancia,
evidˆenciada na Fig. 5.8 , dificulta a obten¸c˜ao das massas de blindagem dos estados excitados,
quando comparado com o caso em 2+1. Por este motivo, na Tabela 5.8 s´o consiguiu-se obter
at´e m
3
, ao passo que em 2+1 obtivemos at´e m
4
(Tabelas 5.2 e 5.4).
Nesta dimensionalidade, a classe de universalidade para o grupo SU(2) ´e aquela do Mo-
delo de Ising 3D. Na Tabela 5.9 apresentamos a raz˜ao entre as massas dos primeiros estados
excitados referentes ao fundamental, ao passo que na Fig. 5.10 graficamos esses resultados,
comparando-os com os do Modelo de Ising 3D. A raz˜ao entre a massa do primeiro excitado
e do estado fundamental est´a ligeiramente acima do resultado do Modelo de Ising 3D, que
assume o valor m
2
/m
1
= 1, 83(3) [90]. Isto pode ser devido ao fato de estarmos realizando
nossos c´alculos relativamente longe do valor da temperatura cr´ıtica, e portanto, a universa-
2
Na regi˜ao do ponto cr´ıtico β = 2, 4 para SU (2) em 3+ 1 dimens˜oes com lado de rede de 100, obtemos os
seguintes valores das massas f´ısicas do estado fundamental, primeiro excitado e segundo excitado em GeV s:
m
1
≈ 1, 26 GeV , m
2
≈ 2, 51 GeV e m
3
≈ 4, 81 GeV , respectivamente.
134
β N
3
× 4 m
1
m
2
m
3
2,4 50
3
× 4 0,7(1) 1,4(4) 2,9(3)
60
3
× 4 0,78(8) 1,5(4) 2,9(3)
70
3
× 4 0,78(8) 1,5(3) 3,0(4)
80
3
× 4 0,77(9) 1,5(4) 2,9(3)
90
3
× 4 0,76(8) 1,5(3) 2,9(2)
100
3
× 4 0,76(5) 1,5(2) 2,9(2)
Tabela 5.8: Expectro das massas de blindagem na regi˜ao do ponto cr´ıtico (β = 2, 4) para SU(2) em 3+1
dimen¸c˜oes e diversos tamanhos de rede N (os valores entre parenteses s˜ao a incerteza no ´ultimo d´ıgito).
β N
3
× 4 m
2
/m
1
m
3
/m
1
2,4 50
3
× 4 1,9(6) 3,8(8)
60
3
× 4 2,0(5) 3,7(6)
70
3
× 4 2,0(5) 3,8(6)
80
3
× 4 1,9(5) 3,7(6)
90
3
× 4 1,9(4) 3,8(5)
100
3
× 4 1,9(3) 3,8(3)
Tabela 5.9: Raz˜ao entre as massas dos primeiros estados excitados e o fundamental na regi˜ao do ponto
cr´ıtico (β = 2, 4) para SU(2) em 3+1 dimens˜oes e para diversos tamanhos de rede N (os valores entre
parenteses s˜ao a incerteza no ´ultimo d´ıgito).
lidade ´e satisfeita apenas marginalmente.
135
Figura 5.9: Espectro das massas de blindagem gluˆonicas obtidos na Tabela 5.8.
Figura 5.10: Raz˜ao entre a massa dos estados excitados em rela¸c˜ao ao fundamental obtidos na Tabela 5.9.
A linha tracejada horizontal representa a mesma raz˜ao para o Modelo de Ising 3D, com sua incerteza.
136
5.3 Resultados preliminares
5.3.1 Canal 2
+
Assim como foi feito na se¸c˜ao 5.2 onde obtivemos os resultados das massas de blindagem para
SU(2) em 3 + 1 dimens˜oes em momento angular nulo (canal 0
+
), utilizando-se da fun¸c˜ao de
correla¸c˜ao (5.5) contru´ıda a partir do valor m´edio do la¸co de Polyakov (Eq. (5.3)) e do valor
m´edio do seu produto (Eq. (5.4)). Agora, no caso das massas de blindagem de momento
angular diferente de zero (canal 2
+
), utilizamos do operador obtido em [34] para construir a
fun¸c˜ao de correla¸c˜ao correspondente a esse operador da seguinte forma
L
η
0
=
1
M
mc
M
mc
k=1
(L
η
0
)
k
, (5.8)
L
η
0
L
η
n
=
1
M
mc
M
mc
k=1
(L
η
0
)
k
(L
η
n
)
k
, n = 1, . . . , N (5.9)
onde L
η
foi calculado em Eq. (4.57) e N ´e o lado de rede. Constru´ımos assim, a fun¸c˜ao de
correla¸c˜ao associada ao valor m´edio do operador L
η
e do seu produto L
η
0
L
η
n
:
G
η
n
= L
η
0
L
η
n
− L
η
0
2
. (5.10)
Realizamos nossas simula¸c˜oes com N
t
= 4 e β = 2, 4, acima do ponto de transi¸c˜ao
de fase de desconfinamento (β
c
= 2, 29895(10)), onde neste ponto seria realmente v´alido a
classe de universalidade entre os modelos SU(2) em 3 + 1 dimens˜oes e Ising 3D. Com o
intuito de verificarmos as raz˜oes entre as massas de blindagem com momento angular nulo
e momento angular diferente de zero, calculamos a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao (5.5) associada ao
canal 0
+
para uma rede 20
3
×4 e a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao (5.10) associada ao canal 2
+
com a
mesma dimens˜ao de rede e extra´ımos suas massas de blindagem atrav´es do ajuste Eq. (5.6)
como pode ser visto nas figuras 5.11 e 5.12 respectivamente. Fica evidente como a fun¸c˜ao
de correla¸c˜ao associada ao canal ao canal 2
+
(Fig. 5.12) tem decaimento exponencial muito
mais acentuado com a distˆancia quando comparada a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao associada ao canal
0
+
(Fig. 5.11). Logo, tornando os c´alculos das massas de blindagem (que j´a eram dif´ıcies
para SU(2) em 3 + 1 dimens˜oes em momento angular nulo) para este operador, via ajuste
da Eq. (5.6), bem mais dif´ıcil. Na Tabela 5.10 apresentamos nosso resultado para a massa
de blindagem do estado fundamental no canal 2
+
e o valor da massa de blindagem no canal
0
+
, onde em ambos os canais os ajustes foram feitos com apenas uma massa. Na Tabela
5.11 apresentamos o valor da raz˜ao entre as massas do estado fundamental no canal 2
+
e a
137
massa do estado fundamental no canal 0
+
. Este valor encontra-se ligeiramente pr´oximo do
valor m
2
+
1
/m
0
+
1
= 2, 56(2) correspondente `a mesma classe
3
de universalidade do Modelo de
Ising 3D [34]. Novamente, assim como foi dito, no caso da raz˜ao entre as massas do primeiro
excitado e estado fundamental para SU(2) em 3 + 1 dimens˜oes em momento angular nulo
(se¸c˜ao 5.2) ser satisfeita apenas marginalmente quando comparada ao Modelo de Ising 3D,
devido a estarmos realizando nossas simula¸c˜oes acima do ponto cr´ıtico. Logo, esse fato,
tamb´em, foi relevante no caso da raz˜ao entre as massas do estado fundamental no canal 2
+
e no canal 0
+
estarem, tamb´em, a margens do resultado do Modelo de Ising 3D.
Figura 5.11: Fun¸c˜ao de correla¸c˜ao para SU(2) em 3 + 1 dimens˜oes no canal 0
+
para β = 2, 4 numa rede
20
3
× 4, onde a linha tracejada representa o ajuste da fun¸c˜ao de correla¸c˜ao feito com a Eq. (5.6) com apenas
a massa do estado fundamental (m
1
).
3
Esta raz˜ao de massa foi atualmente calculado em [34]: por´em, esta dualidade implica [90] que na fase de
quebra de simetria o espectro de massa no caso de uma teoria de calibre SU(2) em 3 + 1 dimens˜oes coincide
com o Modelo de Ising 3D.
138
Figura 5.12: Fun¸c˜ao de correla¸c˜ao para SU(2) em 3 + 1 dimens˜oes no canal 2
+
para β = 2, 4 numa rede
20
3
× 4, onde a linha tracejada representa o ajuste da fun¸c˜ao de correla¸c˜ao feito com a Eq.(5.6) com apenas
a massa do estado fundamental (m
1
).
β N
3
× 4 m
(0
+
)
1
m
(2
+
)
1
2,4 20
3
× 4 2,03(5) 4,29(2)
Tabela 5.10: Valores das massas de blindagem dos canais 0
+
e 2
+
(este ultimo ainda preliminar) na regi˜ao
do ponto cr´ıtico (β = 2, 4) para SU (2) em 3+1 dimens˜oes (os valores entre parenteses s˜ao a incerteza no
´ultimo d´ıgito).
β N
3
× 4 m
(2
+
)
1
/m
(0
+
)
1
2,4 20
3
× 4 2,11(3)
Tabela 5.11: Valor preliminar para a raz˜ao entre as massas de blindagem dos canais 0
+
e 2
+
na regi˜ao do
ponto cr´ıtico (β = 2, 4) para SU(2) em 3 + 1 dimens˜oes (valores entre parenteses s˜ao a incerteza no ´ultimo
d´ıgito).
139
5.3.2 SU (3) em 2+1 dimens˜oes
Para as nossas simula¸c˜oes para uma teoria de puro calibre SU(3) em 2+ 1 dimens˜oes, utiliza-
mos redes de 32
2
×4 com 1000 passos de Monte Carlo. Variamos a constante de acoplamento
β de 14, 60 a 14, 65.
Na Fig. 5.13 fizemos uma ilustra¸c˜ao do la¸co de Polyakov numa teoria de puro calibre SU(3)
em 2 + 1 dimens˜oes. Assim que ocorre a transi¸c˜ao de fase para o desconfinamento, a simetria
do centro de SU (3) ´e quebrada, segundo foi visto em 4.4.1. No caso de SU(3), o centro ´e o
grupo Z
3
= {1; −1/2 + i
√
3/2; −1/2 −i
√
3/2} das ra´ızes c´ubicas de 1. Cada um dos l´obulos
da Fig. 5.13 corresponde a um elemento de Z
3
situado no plano complexo. Para temperaturas
superiores mas pr´oximas `a da transi¸c˜ao de fase, o la¸co de Polyakov explora facilmente todo
o grupo Z
3
, situa¸c˜ao ilustrada nas Figuras 5.13(a) e 5.13(b). A medida que a temperatura
aumenta, o la¸co de Polyakov fica localizado num dos elementos de Z
3
, dependendo das
condi¸c˜oes iniciais da simula¸c˜ao. Esta situa¸c˜ao fica aparente nas Figuras 5.13(c) e 5.13(d).
´
E
vis´ıvel que o la¸co de Polyakov nesta teoria e dimens˜ao de rede ´e bastante sens´ıvel a pequenas
varia¸c˜oes da costante de acoplamento β. Haja vista que bastou modificar os valores de β na
segunda casa decimal para ocorrerem mudan¸cas significativas nas estruturas das Figuras.
140
Figura 5.13: Gr´afico da parte real e imagin´aria do la¸co de Polyakov em redes de 32
2
× 4 para SU(3) em
2 + 1 dimens˜oes e para diferentes valores de β.
141
Cap´ıtulo 6
CONCLUS
˜
OES E PERSPECTIVAS
A QCD ´e uma teoria compacta e elegante na sua formula¸c˜ao. Ela representa o ´apice do
paradigma de Yang-Mills para descrever as intera¸c˜oes fundamentais utilizando campos de
calibre e recebe o respaldo necess´ario quando as evidˆencias experimentais sugerem que ela ´e,
de fato, a teoria das intera¸c˜oes fortes.
No entanto, assim como a QCD ´e atraente na sua formula¸c˜ao, ela ´e quase intrat´avel
na sua resolu¸c˜ao. O regime de altos momentos transferidos, onde a liberdade assint´otica
permite aplicar m´etodos perturbativos para realizar c´alculos, deixa de fora v´arios problemas
de grande importˆancia no universo das intera¸c˜oes fortes: o confinamento e o espectro de
massas hadrˆonicas, para citar apenas dois deles. Estes problemas s˜ao t´ıpicos da escala de
energias onde a QCD mostra seu car´ater particular de teoria n˜ao abeliana, e at´e pouco
tempo atr´as a forma mais comum de trat´a-los era substituindo a QCD por um modelo
fenomenol´ogico mais simples, constru´ıdo de forma a manter algumas das caracter´ısticas da
QCD. O tipo de modelo utilizado depende ent˜ao fortemente do problema a ser tratado, uma
vez que n˜ao existe nenhum modelo fenomenol´ogico que simule completamente a QCD. Tem-se
assim com um conjunto de modelos diferentes, cada um simulando alguns poucos aspectos da
QCD. Os modelos s˜ao quase sempre utilizados no limite de suas possibilidades, pelo simples
fato de que foram concebidos para uma determinada situa¸c˜ao e pretendemos aplic´a-los em
outras. Assim, sempre est´a presente a d´uvida de qual teria sido a resposta da QCD nessas
situa¸c˜oes.
A iniciativa pioneira de Wilson em formular a QCD numa rede finita visa resolver esse
problema, permitindo um entendimento qualitativo (anal´ıtico) do confinamento na QCD a
partir de primeiros princ´ıpios. Al´em disso, o formalismo de rede fornece um m´etodo para
obter resultados quantitativos, embora num´ericos, diretamente da QCD. Tais c´alculos est˜ao
limitados pela capacidade computacional dispon´ıvel em cada momento (provavelmente a
procura por maiores recursos computacionais seja um dos melhores exemplos de onde “mais
142
´e melhor”). Mas, mesmo assim, a formula¸c˜ao na rede, chamada de QCD na rede, permite
obter respostas da QCD para problemas que s´o podem ser tratados analiticamente utilizando
modelos fenomenol´ogicos
1
.
Com o intuito de reduzir as demandas computacionais, muitas vezes se trabalha com
uma vers˜ao reduzida da QCD. Esta redu¸c˜ao pode envolver o n´umero de cores, quando se
trabalha com duas cores e o SU(2) como grupo de calibre, o n´umero de dimens˜oes, quando
se trabalha em 2+1 dimens˜oes, ou ambos. Espera-se que os resultados obtidos desta maneira
n˜ao estejam muito longe daqueles que se obteriam da QCD original.
Uma vez que a QCD na rede est´a formulada para tempos imagin´arios, ela pode fornecer
somente respostas de problemas ligados ao equil´ıbrio. Dentro deste conjunto, o problema de
determinar os espectros de massas, tanto hadrˆonicas quanto de glue-balls, ocupa um lugar
preponderante.
´
E dentro deste marco que a presente Tese se encaixa, onde se obtiveram as massas de
blindagem (ou massas de glue-balls) mais baixas associadas ao canal 0
+
da QCD pura (sem
campos de quarks ou quenched) com dois sabores em 2 + 1 e 3 + 1 dimens˜oes. A t´ecnica
utilizada foi o ajuste do decaimento da fun¸c˜ao de correla¸c˜ao entre dois la¸cos de Polyakov
utilizando-se de uma soma finita de exponenciais. Os resultados obtidos perto da transi¸c˜ao de
fase confinamento-desconfinamento, est˜ao em bom acordo com a conjectura de universalidade,
segundo a qual, na transi¸c˜ao de fase, as teorias de calibre a temperatura finita pertencem
`a mesma classe de universalidade das teorias cujo grupo de simetria global coincide com o
centro do grupo de calibre. No caso do grupo de calibre SU(2) em d + 1 dimens˜oes, a classe
de universalidade ´e aquela do Modelo de Ising em d dimens˜oes (a redu¸c˜ao em 1 no n´umero
de dimens˜oes ´e devido `as condi¸c˜oes de contorno peri´odicas impostas na vari´avel temporal
nas teorias de calibre a temperatura finita, fenˆomeno conhecido como redu¸c˜ao dimensional).
Tamb´em foi obtida, para a mesma vers˜ao da QCD de duas cores do caso anterior, a primeira
massa de blindagem associada ao canal 2
+
em 3 + 1 dimens˜oes, embora este resultado seja
ainda preliminar.
Como bˆonus, durante o trabalho foi desenvolvido um m´etodo original alternativo de amos-
tragem de matrizes SU(2), o qual apresenta, dentro de um reduzido dom´ınio de aplicabilidade,
uma melhor probabilidade de aceitabilidade que os modelos consagrados na literatura. No
entanto, n˜ao sendo usado em nossos c´alculos devido ao seu tratamento estat´ıstico em rela¸c˜ao
`a c´alculos de observ´aveis esta ainda em andamento.
Como continua¸c˜ao de nosso trabalho, pretendemos calcular as massas de blindagem do
1
Al´em da satisfa¸c˜ao intelectual de conhecer a resposta da “teoria de verdade”.
143
canal 2
+
para a QCD com duas cores (grupo de calibre SU(2)) em 3 + 1 dimens˜oes, assim
como as massas de blindagem da QCD com trˆes cores (grupo de calibre SU(3)) em 2 + 1 e
3 + 1 dimens˜oes. Em todos os casos continuar´a a ser aplicada a aproxima¸c˜ao quenched.
Para o ajuste da massa de um determinado estado excitado do campo de gl´uons, o m´etodo
das m´ultiplas exponenciais requer do ajuste pr´evio das massas de todos os estados excitados
de menor energia. Assim, o conhecimento das massas dos estados excitados torna-se um
procedimento cada vez mais complicado conforme a energia aumenta. Por esta raz˜ao, na
continua¸c˜ao deste trabalho, pretende-se utilizar outro m´etodo para o c´alculo das massas
de blindagem. Este m´etodo, conhecido como m´etodo variacional [7, 89, 91, 92], utiliza-se
de uma base de operadores interpolantes e considera o problema de achar os autovalores
da matriz de correladores entre estes operadores. Os autovalores achados s˜ao as diferentes
massas de blindagem da teoria. Neste m´etodo, a diferen¸ca do m´etodo utilizado nesta Tese, os
estados fundamental e excitados est˜ao desacoplados, e cada massa aparece como um autovalor
diferente. Al´em disso, uma maior defini¸c˜ao dos estados de energia pelo m´etodo pode ser
obtida resolvendo-se o chamado problema de autovalores generalizados. No entanto, deve ser
observado que o m´etodo ´e t˜ao bom quanto a base de operadores utilizada e v´arias propostas
para os operadores interpolantes existem na literatura [93–95]. Pretende-se ent˜ao realizar
tamb´em um estudo da eficiˆencia computacional destes m´etodos.
144
Apˆendice A
DETALHES DA CONTA (I)
A.1 Integrais de Caminho
Na formula¸c˜ao de Hamilton para Mecˆantica Quˆantica o sistema ´e descrito por uma coorde-
nada espacial x e seu momento canˆonico conjugado de coordenada p. Devido a quantiza¸c˜ao
canˆonica as coordenadas s˜ao representadas por operadores que satisfazem a seguinte rela¸c˜ao
de comuta¸c˜ao (considere = c = 1 em nossas contas)
[p, x] = −i. (A.1)
Os auto estados destes operadores tem dimens˜ao m´axima do espa¸co de Hilbert. Pela descri¸c˜ao
de Schr¨odinger temos [96]
x|x = x|x,
p|p = p|p. (A.2)
Os estados vetoriais s˜ao normalizados pelas fun¸c˜oes delta
x
|x = δ(x
− x), (A.3)
p
|p = 2πδ(p
− p), (A.4)
e est˜ao sujeitas as seguintes rela¸c˜oes de completeza
dx|xx| = 1, (A.5)
dp
2π
|pp| = 1. (A.6)
A representa¸c˜ao do espa¸co de coordenadas do auto-estado do momento ´e uma fun¸c˜ao de onda
plana
x|p = e
ipx
. (A.7)
145
O fator 2π em Eq. (A.4) e Eq. (A.6) foi escolhido de tal maneira que (A.7) n˜ao esteja contido
um fator de normaliza¸c˜ao.
Inserindo uma rela¸c˜ao de completeza do tipo da Eq. (A.6) no espa¸co de momentos antes
e depois em Eq. (1.9) encontramos a seguinte rela¸c˜ao
x
k
|e
[
−i∆T
1
2m
p
2
k
]
|x
k−1
e
−i∆T V (x
k
)
= x
k
|
d
3
p
k
2π
|p
k
p
k
|e
[
−i∆T
1
2m
p
2
k
]
|x
k−1
e
−i∆T V (x
k
)
=
d
3
p
k
2π
x
k
|p
k
p
k
|x
k−1
e
[
−i∆T
1
2m
p
2
k
]
× e
−i∆T V (x
k
)
. (A.8)
Inserindo a equa¸c˜ao da onda plana de (A.7) em (A.8) obtemos
x
k
|e
[
−i∆T
1
2m
p
2
k
]
|x
k−1
e
−i∆T V (x
k
)
=
d
3
p
k
2π
e
[ip
k
x
k
]
e
[ip
k
x
k+1
]
e
[
−i∆T
1
2m
p
2
k
]
e
[−i∆T V (x
k
)]
=
e
[−i∆T V (x
k
)]
2π
d
3
p
k
e
[ip
k
x
k
]
e
[−ip
k
x
k+1
]
e
[
−i∆T
1
2m
p
2
k
]
=
e
[−i∆T V (x
k
)]
2π
d
3
p
k
e
−i∆T
h
1
2m
p
2
k
−p
k
(
x
k+1
−x
k
∆T
)
i
. (A.9)
Sabendo-se que
˙
x
k
=
x
k+1
−x
∆t
(A.10)
e inserindo esta equa¸c˜ao em (A.9) obtemos
x
k
|e
[
−i∆T
1
2m
p
2
k
]
|x
k−1
e
−i∆T V (x
k
)
=
e
[−i∆T V (x
k
)]
2π
d
3
p
k
e
−i∆T
»
p
2
k
2m
−p
k
˙
x
k
–ff
.
=
e
[−i∆T V (x
k
)]
2π
d
3
p
k
e
−i∆T
»
p
2
k
−2mp
k
˙
x
k
2m
–ff
. (A.11)
Completando o quadrado em p
k
na equa¸c˜ao acima com a seguinte express˜ao
p
2
k
− 2m
˙
xp
k
+ m
2
˙
x
2
k
− m
2
˙
x
2
k
= (p
2
k
− 2m
˙
x)
2
− m
2
˙
x
2
k
(A.12)
e deslocando a vari´avel de integra¸c˜ao p
k
= p
k
− m
˙
x, obtemos uma integral padr˜ao do tipo
x
k
|e
[
−i∆T
1
2m
p
2
k
]
|x
k−1
e
−i∆T V (x
k
)
e
[−i∆T V (x
k
)]
2π
∞
−∞
d
3
p
k
e
(
−i∆T
"
(p
2
k
−m
˙
x
k
)
2
−m
2
˙
x
2
k
2m
#)
e
[−i∆T V (x
k
)]
2π
∞
−∞
d
3
p
k
e
(
−i∆T
"
(p
2
k
−m
2
˙
x
2
k
)
2m
#)
.
e
[−i∆T V (x
k
)]
2π
e
i∆T
»
m
˙
x
2
k
2
–
×
∞
−∞
d
3
p
k
e
(
−i∆T
"
p
2
k
2m
#)
. (A.13)
146
Isto pode ser solucionado pela F´ormla da integral Gaussiana
∞
−∞
d
3
p
k
e
−zx
2
=
π
z
, z =
i∆T
2m
. (A.14)
Logo
x
k
|e
[
−i∆T
1
2m
p
2
k
]
|x
k−1
e
−i∆T V (x
k
)
=
1
2π
2πm
i∆T
1
2
e
i∆T
»
m
˙
x
2
2
−V (x
k
)
–ff
=
m
2πi∆T
1
2
e
i∆T
»
m
˙
x
2
2
−V (x
k
)
–ff
. (A.15)
147
Apêndice B
TERMALIZAÇÃO
B.1 Modelo de Ising 2D
Para exemplificarmos o significado do termo termalização, utilizaremos uma teoria microscópica
da transição ferromagnética que incorpora interações de curto alcance entre os spins numa
rede bi-dimensional. Ou seja o modelo de Ising.
O modelo de Ising, proposto por Wilhelm Lenz em 1924 a Ernst Ising para sua Tese de
doutorado, consiste na tentativa de explicar o magnetismo por meio de interações locais entre
spins vizinhos (situados nos vértices de redes d-dimensionais). A forma da interação entre os
spins-vizinhos é bastante simples, pois quaisquer spins
S
i
assumem valores ± 1, em uma só
direção espacial. Sendo assim, sua hamiltoniana de interação com o campo magnético externo
B é definido por
∑
∑
−−=
>< i
iJ
ji
i
SBSSJH ,
,
(B.1)
de modo que este modelo, na ausência do campo
B,
é exatamente solúvel em até duas dimensões.
As variáveis de spins podem ser pensadas de diversas maneiras:
(i)
como componentes do spin
dos átomos na direção do campo externo que podem “apontar para cima ou para baixo “;
(ii)
como
uma indicação de que o sítio
i
pode ser ocupado por um átomo do tipo A, ou por um átomo do tipo
B, como uma ligação binária do tipo AB ( vizinhos iguais contribuiram com uma energia
-J
;
vizinhos distintos, com uma energia
+J
);
(iii)
como um número de ocupação, que assinala a
presença ou ausência de uma molécula numa determinada célula de um “gás de rede”.
Uma das principais propriedades para o modelo de Ising é que este apresenta uma transição de
fase de segunda ordem em dimensões iguais ou superiores a duas, cuja mag-
148
netiza¸c˜ao
m =
N
i
S
i
, (B.2)
assume o papel do parˆamentro de ordem do sistema. Logo, `a medida que o esfriamos,
aproximando-se da temperatura cr´ıtica T
c
, ocorre uma progressiva ordena¸c˜ao espontˆanea dos
spins.
B.2 Solu¸c˜ao exata do modelo de Ising em 2 dimens˜oes
A solu¸c˜ao exata do modelo de Ising em 2 dimens˜oes pode ser usada para calcular o ex-
poente cr´ıtico exato para sua correspondente classe de universalidade. Em 2 dimens˜oes, a
hamiltoniana do modelo pode ser escrita como
H = −J
N
i,j=1
(S
i−1,j
S
i,j
+ S
i,j
S
i+1,j
+ S
i,j−1
S
i,j
+ S
i,j
S
i,j+1
) − B
N
i,j=1
S
i,j
(B.3)
onde os spins s˜ao posicionados por dois ´ındices que correspondem a um ponto na rede bi-
dimensional (Veja Fig. B.1).
Figura B.1: Representa¸c˜ao dos spins posicionados nos v´ertices de uma rede bi-dimensional.
Impondo condi¸c˜oes de contorno peri´odicas de modo que S
i−1,j
= S
N,j
, S
i+1,j
= S
1,j
, S
i,j−1
=
S
i,N
e S
i,j+1
= S
i,1
. Assim, a topologia do espa¸co dos spins corresponde a um toroide.
Introduzindo a seguinte nota¸c˜ao para hamiltoniana H
H =
N
j=1
[E(µ
j
, µ
j−1
, µ
j+1
) + E(µ
j
)] (B.4)
149
onde
E(µ
j
, µ
k
) = −
N
i=1
S
i,j
S
i,k
E(µ
j
) = −J
N
i=1
(S
i−1,j
S
i,j
+ S
i,j
S
i+1,j
) − B
N
i,j
S
i,j
(B.5)
e µ
j
´e definido como um conjunto de spins em uma coluna em particular
µ
j
= {S
1j
, . . . , S
Nj
}. (B.6)
Ent˜ao, definindo uma matriz P de transferˆencia com os seguintes elementos de matriz
µ
j
|P |µ
k
= e
−{β[E(µ
j
,µ
k
)+E(µ
j
)]}
(B.7)
a qual corresponde `a uma matriz 2
N
× 2
N
. Onde a fun¸c˜ao ∆ ´e expressada como
∆ = T r(P
N
) (B.8)
e, como, no caso de uma dimens˜ao, o maior auto-valor correspondente a P , tamb´em, ´e
procurado. Este ´e um problema n˜ao trivial que pode ser encontrado com maior detalhes
em [97].
Para encontrarmos um certo valor para a temperatura cr´ıtica na regi˜ao de transi¸c˜ao de
fase, vamos nos limitar ao registro de alguns resultados de Onsager [73].
No limite termodinˆamico, a energia livre (na rede quadrada com primeiros vizinhos, a
campo nulo) pode ser escrita na seguinte forma
g(T ) = −kT ln [cosh(2βJ)] −
T
2π
π
0
dφ ln
1
2
1 +
1 − κ
2
sin
2
φ
(B.9)
onde
κ =
2
cosh(2βJ) coth(2βJ)
. (B.10)
A energia interna ´e escrita como
ε(T ) = −2J tanh(2βJ) +
κ
2π
dκ
dβ
π
0
dφ
sin
2
φ
Λ(1 + Λ)
(B.11)
onde
Λ =
1 − κ
2
sin
2
φ. (B.12)
A magnetiza¸c˜ao torna-se ent˜ao
m =
1 − [sinh(2βJ)]
−4
1
8
(B.13)
150
para T < T
c
= 0 e T > T
c
= 0, indicando a presen¸ca de uma transi¸c˜ao de fase de
ordem-desordem a campo zero. A condi¸c˜ao para determinar a temperatura cr´ıtica T
c
em que
ocorre uma transi¸c˜ao de fase ´e a seguinte
2 tanh
2
(2β
c
J) = 1
tanh(2β
c
J) =
1
√
2
tanh(2β
c
J) ≈ 0, 707161
2β
c
J ≈ tanh
−1
(0, 707161)
β
c
J ≈ 0, 440686
kt
c
J ≈ 2, 26185. (B.14)
Proximo a temperatura cr´ıtica T ≈ T
c
, a capacidade t´ermica ´e dada por
C(t)
k
=
2
π
2J
kT
c
2
−ln
1 −
T
T
c
+ ln
kT
c
2J
−
1 +
π
4
. (B.15)
Assim, a capacidade t´ermica pode divergir logaritmicamente a T → T
c
.
B.3 Sorteios dos spins
Antes de ser feito os sorteios dos spins na rede, temos que inicia-la. Podemos fazer a inicia-
liza¸c˜ao de algumas maneiras bem distintas. Ou seja, com todos spins alinhados nos v´ertices
da rede para cima, como pode ser visto na Fig. B.2 a); com todos os spins alinhados nos
v´ertices da rede para baixo, como como pode ser visto na Fig. B.2 c); com todos os spins
desordenados nos v´ertices da rede, como pode ser visto na Fig. B.2 b) e com metade dos
ordenados para baixo e a outra metade para cima, como pode ser visto na Fig. B.2 d). Asso-
ciamos o s´ımbolo ↑ referente ao spins de valor 1 e o s´ımbolo ↓ referente ao spins de valor −1.
Nas Figs. B.2 a) e c) temos exemplos de configura¸c˜oes iniciais “frias”onde todos os spins na
rede assumem o mesmo valor 1 ou −1. Nas Figs. B.2 c) e d) temos exemplos de configura¸c˜oes
“quentes”onde todos ou parte dos spins na rede assumem valores distintos 1 ou −1.
Iniciada a rede com uma configura¸c˜ao “fria”ou “quente”, daremos in´ıcio ao sorteio dos
spins:
1. De acordo com a hamiltoniana da (Eq. B.3) chegamos a seguinte distribui¸c˜ao de pro-
babilidade da configura¸c˜ao inicial dos spins na rede a campo nulo (B = 0), ou seja
P = e
βH
onde
H = −J
N
i,j=1
(S
i−1,j
S
i,j
+ S
i,j
S
i+1,j
+ S
i,j−1
S
i,j
+ S
i,j
S
i,j+1
) .
151
Figura B.2: Representa¸c˜ao gr´afica dos spins na rede. O s´ımbolo ↑ esta associado ao valor 1 e o s´ımbolo ↓
esta associado ao valor −1. Na Figura a) todos os spins na rede est˜ao alinhados para cima. Na Figura c)
todos os spins na rede est˜ao alinhados para baixo. Na Figura b) os spins na rede est˜ao alinhados de forma
desordenada e na Figura d) metade dos spins na rede est˜ao alinhados para baixo e a outra metade para cima.
2. Em seguida gera-se uma nova configura¸c˜ao de spins S
i,j
, tendo a seguinte distribui¸c˜ao
de probabilidade P
= e
βH
. Onde
H
= −J
N
i,j=1
S
i−1,j
S
i,j
+ S
i,j
S
i+1,j
+ S
i,j−1
S
i,j
+ S
i,j
S
i,j+1
.
3. Se e
βH
/e
βH
≥ 1 aceita-se uma nova configura¸c˜ao de spins S
i,j
.
4. Caso contr´ario gera-se um n´umero aleat´orio R entre [0, 1].
5. Se e
βH
/e
βH
≥ R aceita-se uma nova configura¸c˜ao de spins S
i,j
.
6. Caso contr´ario ´e gerado uma nova configura¸c˜ao S
i,j
e retorna-se ao passo 2 novamente
at´e que todo espa¸co de configura¸c˜oes seja “varrido”v´ertice a v´ertice na rede.
152
B.4 Termaliza¸c˜ao
Inicializada a rede e sorteado os spins, plotamos a magnetiza¸c˜ao
m =
|N ↑ −N ↓ |
N
(B.16)
que pode ser escrita como a soma dos n´umeros de spins para cima (N ↑) → 1 menos o
n´umero de spins para baixo (N ↓) → −1, dividido pelo n´umero total de spins na rede N
versus os passos de Monte Carlo M
mc
para redes de dimens˜oes espaciais 100
2
nas regi˜oes
abaixo, acima e na regi˜ao do ponto cr´ıtico. Na Fig. B.3 (abaixo do ponto cr´ıtico) podemos
observar a magnetiza¸c˜ao versus os passos de Monte Carlo M
mc
com inicializa¸c˜ao de redes
“frias”e “quentes”. Nesta Figura, para passos de Monte Carlo M
mc
≥ 90 as configura¸c˜oes
se encontraram. Neste ponto dissemos que ocorreu a termaliza¸c˜ao do sistema. Ou seja
estabilizando-se num determinado valor de magnetiza¸c˜ao. Para as regi˜oes acima (βJ =
0, 45; βJ = 0, 5 e βJ = 0, 55) repetimos o mesmo procedimento como pode ser visto nas
Figuras B.5, B.6 e B.7 respectivamente. Em βJ = 0, 45 a termaliza¸c˜ao ocorreu para passos
Monte Carlo M
mc
≥ 900; para βJ = 0, 5 a termaliza¸c˜ao ocorreu para passos Monte Carlo
M
mc
≥ 3200 e para βJ = 0, 55 a termaliza¸c˜ao ocorreu para passos Monte Carlo M
mc
≥ 2700
.
153
Figura B.3: A magnetiza¸c˜ao versus os passos de Monte Carlo M
mc
, para uma rede 100
2
em β = 0, 4, onde
a termaliza¸c˜ao acontece para M
mc
≥ 90.
Coment´arios
Quando nos referimos as regi˜oes acima do ponto cr´ıtico, no ponto cr´ıtico e abaixo, estamos,
na verdade, observando as regi˜oes pr´oximos a temperatura T
c
cr´ıtica do sistema. Isto ´e para
βJ = 0, 55 → kT J = 1, 82. Em βJ = 0, 5 → kT J = 2, 0. Em βJ = 0, 45 → kT J = 2, 2. Em
βJ = 0, 4406 → kT
c
J ≈ 2, 269185 e em βJ = 0, 4 → kT J = 2, 5. Como podemos observar
nas Figuras B.7, B.6, B.5, B.4 e B.3 a medida que esquentamos a temperatura do sistema
aumentamos a desordem dos spins do mesmo, conseq¨uentemente a magnetiza¸c˜ao m tende a
zero para regi˜oes acima de uma temperatura cr´ıtica T
c
.
154
Figura B.4: A magnetiza¸c˜ao versus os passos de Monte Carlo M
mc
, em uma rede 100
2
na regi˜ao do ponto
c´ıtico β = 0, 4406.
Figura B.5: A magnetiza¸c˜ao versus os passos de Monte Carlo M
mc
, para uma rede 100
2
em β = 0, 45,
onde a termaliza¸c˜ao acontece para M
mc
≥ 900.
155
Figura B.6: A magnetiza¸c˜ao versus os passos de Monte Carlo M
mc
, para uma rede 100
2
em β = 0, 5, onde
a termaliza¸c˜ao acontece para M
mc
≥ 3200.
Figura B.7: A magnetiza¸c˜ao versus os passos de Monte Carlo M
mc
, para uma rede 100
2
em β = 0, 55,
onde a termaliza¸c˜ao acontece para M
mc
≥ 2700.
156
Apˆendice C
DETALHES DA CONTA (II)
C.1 Auto-energia do f´oton
Vamos ver agora como fica o c´alculo de 1 − loop para o caso a temperatura finita. Para isso
vamos analizar o caso espec´ıfico da auto-energia do f´oton, representado pelo diagrama da
Fig. C.1.
Figura C.1: Diagrama de auto-energia do f´oton.
FONTE: PESKIN, M. E.; SCHROEDER, D. V..An Introduction to Quantum Field Theory. Massa-
chusettts: Adison-Wesley Publishing Company, 1995.
O quadri-momento do f´oton ser´a representado por k, portanto q → k. A auto-energia pode
ser representada em termos do propagador livre D
µν
e do propagador exato D
µν
por
Π
µν
= D
−1
µν
− D
−1
0µν
, (C.1)
onde o propagador est´a relacionado ao seu inverso por
D
µα
D
−1
αν
= η
µ
ν
. (C.2)
157
No entanto, o propagador e a auto-energia devem satisfazer a alguns v´ınculos. Denotando
K
µ
o quadri-momento do f´oton, a conserva¸c˜ao da corrente requer que Π
µν
seja transversal
ao quadri-momento do f´oton
k
µ
Π
µν
= 0, (C.3)
e a invariˆancia de gauge requer que
k
µ
k
ν
D
µν
= ξ, (C.4)
onde ξ especifica uma escolha de gauge. No caso a temperatura finita , o tensor de auto-
energia do f´oton π
µν
depende somente de η
µν
e do momento externo k
µ
do f´oton, conforme
Π
µν
(q) = −iη
µν
q
2
I(q
2
) + q
µ
q
ν
J(q
2
). (C.5)
Agora, a temperatura finita, precisamos de mais um quadri-vetor para especificar o sistema
corretamente, e este quadrivetor ´e representado por u
µ
. Ele ´e o quadrivetor que representa
a velocidade do reservat´orio t´ermico onde o sistema se encontra, e o caso u
µ
= (1, 0, 0, 0)
especifica o sistema de repouso desse reservat´orio. Em c´alculos espec´ıficos podemos sempre
adotar este sistema como o de referˆencia, o que indica que estamos no sistema do reservat´orio
t´ermico. Ent˜ao, a auto-energia, o propagador e seu inverso s˜ao tensores sim´etricos de segunda
ordem formados pelas estruturas acima. Para que satisfa¸ca as rela¸c˜oes (C.1) a (C.4) pode-se
mostrar que eles devem ter as formas
Π
µν
(k) = Π
T
P
µν
+ Π
L
P
µν
L
, (C.6)
D
µν
=
1
k
2
− Π
T
P
µν
T
+
1
k
2
− Π
L
P
µν
L
+
ξ
k
2
k
µ
k
ν
k
2
, (C.7)
(D
−1
)
µν
= (k
2
− Π
T
)P
µν
T
+ (k
2
− Π
L
)P
µν
L
+
k
µ
k
ν
ξ
, (C.8)
onde Π
T
e Π
L
s˜ao fun¸c˜oes escalares que podem ser determinadas. Vamos nos restrigir
1
ao
sistema de referˆencia do reservat´orio t´ermico, u
µ
= (1, 0, 0, 0) e ao limite est´atico, k
0
= 0. A
parte tensorial fica por conta dos operadores
P
µν
L
= u
µ
u
ν
(C.9)
P
µν
T
= η
µν
− u
µ
u
ν
−
k
µ
k
ν
k
2
, (C.10)
1
Para o caso geral ver p´ags. 70-71 da ref. [98] ou p´ags. 118-119 da ref. [76].
158
e satisfazem as seguintes propriedades:
P
µν
L
P
Lµν
= 1
P
µν
T
P
T µν
= (d − 2),
k
µ
P
µν
T
= k
µ
P
µν
L
= 0,
P
µν
L
P T µν = 0, (C.11)
onde d ´e a dimens˜ao do espa¸co-tempo e vem da contra¸c˜ao η
µν
η
µν
= d. Usando (C.6) a (C.11)
pode-se verificar que as rela¸c˜oes (C.2) a (C.4) s˜ao de fato satisfeitas. Com estas rela¸c˜oes os
coeficientes Π
L
e Π
T
podem ser determinadas contraindo-se os dois lados de (C.6) por P
µν
L
e
P
µν
T
, e usando as rela¸c˜oes (C.11) obtemos
P
µν
L
Π
µν
= Π
L
P
µν
T
Π
µν
= (d − 2)Π
T
. (C.12)
Vamos ent˜ao calcular Π
µν
.
Usando as regras de Feynman a temperatura finita, a express˜ao para o diagrama que
representa Π
µν
´e , conforme a Fig. C.1,
Π
µν
= −e
2
T
l
d
3
p
(2π)
3
γ
µ
1
p + k − m
γ
ν
1
p − m
, (C.13)
onde P
0
= (2l+1)πT i est´a associada `a freq¨uˆencia para f´ermions e k
0
= 2nT i `a freq¨uˆencia para
o f´oton. Pode-se mostrar que sempre podemos escrever o tensor de auto-energia como a soma
de uma parte de v´acuo Π
µν
(vac)
(independente T) e uma parte de mat´eria Π
µν
(mat)
(dependente
de T), na forma
Π
µν
= Π
µν
(vac)
+ Π
µν
(mat)
, (C.14)
de tal maneira que
Π
µν
(vac)
= lim
T → 0
µ → 0
Π
µν
(mat)
. (C.15)
A parte de v´acuo ´e exatamente igual a “auto-energia do f´oton”, como era de se esperar. A
parte de mat´eria n˜ao pode ser calculada exatamente, no entanto alguns de seus limites e
v´arios outras aplica¸c˜oes envolvendo esta express˜ao foram extensivamente estudadas por J.I.
Kapusta e v´arios outros autores, conforme [98–103]. Vamos discutir aqui apenas um dos
limites da express˜ao (C.13), que ´e o limite est´atico a altas temperaturas
2
. Para obtermos
2
Na literatura ´e comum a nomenclatura Hard thermal loop approximation, ou simplesmente limite HTL.
159
este limite basta tomar o momento interno ao loop p muito maior que o momento externo k
e a massa m, de forma que a express˜ao (C.13) fica
Π
µν
= −e
2
T
l
d
3
p
(2π)
3
T r
γ
µ
1
p
γ
ν
1
p
= −e
2
T
l
d
3
p
(2π)
3
T r
γ
µ
p
p
2
γ
ν
p
p
2
= −e
2
T
l
d
3
p
(2π)
3
p
α
p
β
p
4
T r(γ
µ
γ
α
γ
ν
γ
β
)
= −4e
2
T
l
d
3
p
(2π)
3
2p
µ
p
ν
p
4
−
η
µν
p
2
, (C.16)
onde foi usada a propriedade do tra¸co
T r(γ
µ
γ
α
γ
ν
γ
β
) = 4(η
µα
η
νβ
+ η
µβ
η
να
− η
µν
η
αβ
). (C.17)
Usando (C.12) podemos determinar os coeficientes Π
L
e Π
T
. No sistema de repouso do
reservat´orio, temos
Π
L
= Π
00
= −4e
2
T
l
d
3
p
(2π)
3
2p
00
p
4
−
η
00
p
2
= −4e
2
T
l
d
3
p
(2π)
3
1
p
2
+
2|p|
2
p
4
= −4e
2
d
3
p
(2π)
3
T
l
1
[(2l + 1)πT i]
2
− p
2
+
2|p|
2
([(2l + 1)πT i]
2
− p
2
)
2
= −4e
2
d
3
p
(2π)
3
η
F
(|p|)
|p|
+ 2|p|
2
η
F
(|p|)
2|p|
2
−
η
F
(|p|)
2|p|
3
= −4e
2
d
3
p
(2π)
3
η
F
(|p|)
= −
16πe
2
(2π)
3
∞
0
p
2
1
e
βp
+ 1
dp
=
e
2
T
2
3
, (C.18)
onde η
F
(|p|) ´e a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de Dirac
η
F
(|p|) =
1
(e
βp
+ 1)
. (C.19)
Procedendo de forma an´aloga obtemos
Π =
1
2
P
µν
T
Π
µν
= 0. (C.20)
160
Apˆendice D
OS GRUPOS SU (2) e SU (3)
D.1 SU (2)
Para SU(2) as transforma¸c˜oes das matrizes U s˜ao parametrizadas como
U = e
iσ
j
θ
j
/2
, (j = 1, 2, 3) (D.1)
onde θ
j
s˜ao parˆametros cont´ınuos e as trˆes matrizes σ
j
s˜ao os geradores do grupo. Tal que
estas matrizes de SU(2) sejam restritas ao seguinte determinante
Det U = e
T r(iσ
j
θ
j
/2)
= 1, (D.2)
e o tra¸co dos geradores sejam necessariamente
T r(σ
j
) = 0. (D.3)
Portanto, o inverso e o conjugado Hermitiano de U s˜ao
U
−1
= e
−iσ
j
θ
j
/2
(D.4)
U
†
= e
−iσ
†
j
θ
j
/2
. (D.5)
Por´em as matrizes de SU(2) s˜ao unit´arias (U
†
= U
−1
) e isto requer que
σ
†
j
= σ
j
. (D.6)
Portanto, fica estabelecido que as matrizes σ
j
para a representa¸c˜ao do estado fundamental
s˜ao N × N = 2 × 2 de tra¸co nulo e hermitianas. Havendo somente trˆes possibilidades
independentes para estas matrizes. Uma escolha usual s˜ao as matrizes de Pauli
σ
1
=
0 1
0 1
σ
2
=
0 −i
i 0
σ
3
=
1 0
0 −1
161
as quais satisfazem a seguintes rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao
σ
i
2
,
σ
j
2
= i
ijk
σ
k
2
. (D.7)
Os comutadores (equa¸c˜ao acima) geralmente n˜ao desaparecem e SU(2) ´e um grupo n˜ao
abeliano.
D.2 SU (3)
Considerando o grupo de calibre SU(3) que tem N
2
−1 = 8 geradores cuja sua presenta¸c˜ao
canˆonica ´e a seguinte
U = e
λ
k
α
k
/2
(k = 1, 2, 3, . . . , 8), (D.8)
onde os geradores do grupo s˜ao os λ
k
/2, com as seguintes escolhas padr˜oes para λ
k
(matrizes
de Gell-Mann)
λ
1
=
0 1 0
1 0 0
0 0 0
λ
2
=
0 −i 0
i 0 0
0 0 0
λ
3
=
1 0 0
0 −1 0
0 0 0
λ
4
=
0 0 1
0 0 0
1 0 0
λ
5
=
0 0 −i
0 0 0
i 0 0
λ
6
=
0 0 0
0 0 1
0 1 0
λ
7
=
0 0 0
0 0 −i
0 i 0
λ
8
=
1
√
3
1 0 0
0 1 0
0 0 −2
(D.9)
com λ
3
e λ
8
escolhidos como os dois geradores diagonais. Os λ
k
satisfazem a ´algebra de Lie
λ
i
2
,
λ
j
2
= if
ijk
λ
k
2
, (D.10)
onde os f
ijk
tem as seguintes representa¸c˜oes
f
123
= 1
f
147
= f
246
= f
257
= f
345
=
1
2
f
156
= f
367
= −
1
2
f
458
= f
678
=
√
3
2
, (D.11)
162
sendo f
ijk
totalmente antissim´etrico na troca dos ´ındices. Os geradores s˜ao nomalizados tal
que
T r
λ
i
2
·
λ
j
2
=
1
2
δ
ij
. (D.12)
Esta ´e uma normaliza¸c˜ao uniforme empregada para os grupos de SU(N). Geralmente uma
forma compacta do grupo de Lie com os geradores τ
a
pode ser normalizada da seguinte forma
T r(τ
a
τ
b
) = constant × δ
ab
,
com a constante escolhida de maneira conveniente. Os geradores (D.9) tamb´em satisfazem a
seguinte rela¸c˜ao de anti-comuta¸c˜ao
λ
i
2
,
λ
j
2
=
1
3
δ
ij
+ d
ijk
λ
k
2
. (D.13)
Os coeficientes d
ijk
s˜ao sim´etricos sobre a troca dos ´ındices; os com valores diferentes de zero
s˜ao os seguintes
d
118
= d
228
= d
338
= −d
888
=
1
√
3
d
146
= d
157
= d
256
= −d
344
= d
355
=
1
2
d
247
= d
366
= d
377
= −
1
2
d
448
= d
558
= d
668
= −d
778
=
1
2
√
3
. (D.14)
163
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] FRIGORI, R. B.
Estudos Numéricos da Transição de Fase na QCD a Temperatura
Finita
. 2005. 96 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Física, Departamento de Instituto de
Física de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2005.
[2] SOUSA, S.; CHIAPPARINI, M.; MENDES, T.; CUCCHIERI, A. Gluonic screening
masses for SU (2) gauge theory.
International Journal of Modern physics E
. v.16, n.9,
31 maio 2007.
[3] CREUTZ, M. Monte Carlo study of quantized SU (2) gauge theory.
Physical Review
D
, v.21, p.2308-2315, 14 dezembro 1980. 2315, 14 dezembro 1980.
[4] CREUTZ, M. Phase diagrams for coupled spin-gauge systems.
Physical Review
D, v.21,
n.4, p.1006-1012, 27 agosto 1980.
[5] TEPER, M. SU(N) gauge theories in 2 + 1 dimensions
. Physical Review D
, v.59,
p.014512(1)-014512(37), 9 Dezembro 1998.
[6] KRONFELD, A. S. Improved methods for computing masses from numerical simulati-
ons.
Nuclear Physics B - Proceedings Supplements
, v.17, p.313-316, 20 Setembro
1990.
[7] L ÜSKER, M.; WOLFF, U. How to calculate the elastic scattering matrix in two-
dimensional quantum ‾eld theories by numerical simulation
. Nuclear Physics B
,
v.339, p.222-252, 23 Julho 1990.
[8] FALCONE, R.; FIORE, R.; GRAVINA, M.; PAPA, A.
Screening masses in the SU(3) pure
gauge theory and universality
. Disponível em : < arXiv:hep-lat/0704.3882 v1 >. Acesso em :
30 abril 2007.
164
[9] FIORE, R.; PAPA, P.; PROVERO, P. Spectrum of screening masses near T
c
: predictions
from universality. Physical Review D, v.67, p.114508(1)-114508(5), 25 junho 2003.
[10] ALTARELLI, G. A QCD Primer. Dispon´ıvel em : arXiv:hep-ph/0204179 v1 . Acesso
em 16 Abril 2002
[11] MUTA, T. Foundations of Quantum Chromodynamics: an introduction to
pertubative methods in gauge theories. Cingapura: World Scientific, 1987.
[12] MORIYASU, K. An Elementary Primer for Gauge Theory. Cingapura: World
Scientific, 1983.
[13] ROTHE, H. J. Lattice gauge theories: An introduction. Cingapura: World Scien-
tific, 1997.
[14] LANDAU, D. P.; BINDER, K.A guide to Monte Carlo simulations in Statistical
Physics. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.
[15] MENDES, T. Cronodinˆamica Quˆantica na Rede: Simulando Quarks e Gl´uons
no Computador. Dispon´ıvel em : arXiv.org/abs/hep-lat/0212041 . Acesso em: 30
janeiro 2003.
[16] HINCHLIFFE, I.. Quantum chromodynamics. Physical Review D,v.66, p.010001, 01
julho 2002.
[17] AOKI, S. Quenched light hadron spectrum. Physical Review Letters, v.84, p.238-241,
02 maio 2000.
[18] LESSAS, W.; MATHELITSCH, L. Lectures on Quark Matter. 583.ed. New York:
Springer, 2002. (Lecture Notes in Physics). 209
[19] TEPER, M. The finite-temperature phase transition of S(2) gauge fields in 2 + 1 dimen-
sions. Phyical Letters B, v.313, p.417, 30 abril 1993.
[20] FIORE, R.; PAPA, P.; PROVERO, P.. Finite-size scaling and deconfinement tran-
sition in gauge theories. Dispon´ıvel em: arXiv:hep-lat/0110017 v1 . Acesso em: 8
Outubro 2001.
[21] GAO, M. Debye screening in the QCD gluonic plasma. Physical Review D, v.41, n.2,
p.626-633, 15 Janeiro 1990.
165
[22] DIGAL, S.; FORTUNATO, S. Heavy quark free enegies and screening in SU(2) gauge
theory. Physical Review D, v.68, p.034008(1)-034008(9), 12 Agosto 2003.
[23] KACZMAREK, 0.; ZANTOW, F. Quark antiquark energies and the screening
mass in a quark-gluon plasma at low and high temperatures. Dispon´ıvel em:
arXiv:hep-lat/0512031 v1 . Acesso em: 22 Dezembro 2005.
[24] GYULASSY, M.; MCLERRAN, L. New forms de QCD matter discovered at RHIC.
Nuclear Physics A, v.750, p.30-63, 21 mar¸co 2005.
[25] POLYAKOV, A. M. Thermal propriedades of gauge fields and quark liberation. Physi-
cal Letters B, v.72, p.477-480, 16 janeiro 1978.
[26] MCLERRAN, D. L.; SVETITSKY. B. Quarks liberation at hight temperature: A Monte
Carlo study of SU(2) gauge theory Physical Review D, v.24, p.450-460, 2 Mar¸co 1981.
[27] SUSSKIND, L. Lattice models of Quark liberation at high temperature.Physical Re-
view D, v.24, p.450-460, 2 Mar¸co 1981.
[28] DEBYE, P.; HUCKEL, E.. The Collected Papers of Peter J. W. Debye. 120. ed.
New York: Interscience, 1954.
[29] JACSON, J. D. Classical Eletrodynamics. New York: John Wiley and Sons Inc.,
1975.
[30] KANAYA, K.; SATZ, H. Correlation and Screening in finite-temperature SU (2) gauge
theory. Physical Review D, v.34, n.10, p.3193-3197, 15 Novembro 1986.
[31] AGASIAN, O. N.; SIMONOV, A. YU. New nonperturbative approach to the Debye
mass in hot QCD. Physics Letters B, v.639, p.82-87, 3 agosto 2006.
[32] LEGELAND, C.; ENGELS. J.; KARSCH. F.; LAERMANN. E.; L
¨
UTGEMEIER, M.;
PETERSON, B.; SCHEIDELER. T. A study of finite temperature gauge theory in 2 + 1
dimensions. Nuclear Physics B (Proceedings Supplements), v.53, p.420-422, 30
maio 1997.
[33] ENGELS, J.; SCHEIDELER, T. The calculation of critical amplitudes in SU(2) lattice
gauge theory. Nuclear Physics B, v.539, p.557-576, 9 novembro 1998.
166
[34] AGOSTINI, V.; CARLINO, G.; CASELLE, M.; HASENBUSH, M. The spectrum of
the 2 + 1-dimensional gauge Ising model. Nuclear Physics B, v.484, p.331-352, 23
setembro 1996.
[35] LE BELLAC, M. Quantum and Statistical Field Theory. New York: Oxford Uni-
versity Press Inc., 1994.
[36] WILSON, K. G. Confinement of quarks. Physical Review D, v.10, p.2445-2459, 8
outubro 1974.
[37] FEYNMAN, R. P.; HIBBS, A. R. Quantum Mechanics and Path. New York:
McGraw-Hill, 1965.
[38] GREINER, W.; REINHARDT, J. Field Quantization. New York: Springer, 1996.
[39] SAKURAI, J. J. Advanced Quantum Mechanics. 11. ed. Nassachusetts: Addison-
wesley Publishing Company, Inc, 1967.
[40] PESKIN, M. E.; SCHROEDER. D. V. An Introduction to Quantum Field Theory.
Massachusettts: Adison-Wesley Publishing Company, 1995.
[41] M
¨
UNSTER, G.; WALZL. M. Lattice Gauge Theory A Short Primer. Dispon´ıvel
em: arXi: hep-lat/0012005 v1. Acesso em: 5 dezembro 2000.
[42] STUDENT. THE PROBABLE ERROR OF A MEAN. Biometrika. v.6, p.1-25, 12
mar¸co 1908.
[43] STUDENT. PROBABLE ERROR OF A CORRELATION COEFFICIENT. Biome-
trika. v.6, p.302-310, 10 setembro 1908.
[44] ECKHARDT, R. Stan Ulan, John von Neumann and the Monte Carlo method.
15. ed. New York: Los Alamos Science Special Issue, 1987.
[45] NEWMAN, M. E. J.; BARKENA, G. T. Monte Carlo methods in statistical phy-
sics. Nova Iorque: Oxford University Press, 1999.
[46] METROPOLIS, N.; ROSENBLUTH, A. W.; ROSENBLUTH, M. N.; TELLER, A.
H.; TELLER, E. Equation of state calculations by fast computing machines. Jornal
Chemical Physics, v. 21, p.1087-1092, 12 agosto 1953.
167
[47] HAMERSLEY, J. M.; HANDSCOMB, D. Monte Carlo methods. Londres: methuen’s
Monographs, 1975.
[48] HAGIWARA, K. etal. Physical Review D, v.66, p.010001-010975, 1 Julho 2002.
[49] WEINZIERL, S. Introduction to Monte Carlo methods. Dispon´ıvel em: hep-
ph/0006269 v1. Acesso em: 23 junho 2000.
[50] SOKAL, A. D. Monte Carlo methods in statistical mechanics: foundations and
new algorithms. Dispon´ıvel em: citeseer.ist.psu.edu/sokal96monte.html. Acesso em:
12 Setembro 1996.
[51] HAMMERSLEY, M. J.; HANDSCOMB, D. Monte Carlo methods: Monte Carlo
method. London: Methuen, 1964. 178 p. (Methuen’s Monographs on Applied Probability
and Statistics).
[52] LANDAU, D.P.; BINDER, K. A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical
Physics. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.
[53] BINDER, K.; HEERMANN, D. W. Monte Carlo Simulation in Statistical Physics:
An Introduction. Berlin: Springer-verlag 1992.
[54] MENDES, T. M´etodos de Monte Carlo e de Otimiza¸c˜ao. Dispon´ıvel em:
http://lattice.if.sc.usp.br/CADSC03/escola.html . Acesso em: 02 Agosto 2003.
[55] CUCCHIERI, A. F´ısica de Part´ıculas e QCD na Rede. Dispon´ıvel em:
http://lattice.if.sc.usp.br/CADSC03/escola.html . Acesso em: 02 Agosto 2003.
[56] QUENOUILLE, H. M. Notas on Bias in Estimation. Biometrika, v. 43, n. 3-4, p.
353-360, 10 Dezembro 1956.
[57] TUKEY, W. J. Bias and Confidence in Not-quite Large Samples. Annals of Mathe-
matical Statistics v. 29, n.2, p.614-623, 26 Dezembro 1957
[58] MILLER, R. The Jackkinife: a Review. Biometrika, v. 61, p. 1-15, 19 Abril 1974.
[59] EFRON, B. Bootstrap Methods Bootstrap: another Look at the Jackknife Annals of
statistics v. 7, n.1, p. 1-26, 12 Maio 1979.
[60] CHEN, Q. J. Group Representation Theory for Physicists. Cidade: World Scien-
tific, 1989.
168
[61] KENNEDY, A. D.; PENDLENTON, B. J. Improved heatbath method for Monte Carlo
calculations in lattice gauge theories. Physical Letters B, v.156, n.5-6, p.393-399, 27
junho 1985.
[62] PRESS, W. H.; TEUKOLSKY, S. A.; VETTERLING, W. T.; FLANNERY, B. P. Nu-
merical Recipes in Fortran. Cambridge: Cambridge University Press, 1992.
[63] EDWARDS, G. R.; FERREIRA, J. S.; GOODMAN, J.; SOKAL, D. A. Multi-Grid
Monte Carlo III. two-dimensional O(4)-symmetric nonlinear σ-model. Dis-
poni´ıvel em: arXiv:hep-lat/9112002 v1 . Acesso em: 8 Abril 1992.
[64] CABBIBO, N.; MARINARI, E. A New method for updating SU(N) matrices in com-
puter simulations of gauge theories. Physics Letters B, v.119, p.387-390, 30 setembro
1982.
[65] CREUTZ, M. Quarks gluons and lattice. Cambridge: Cambridge University Press,
1983.
[66] GLENDENNING, N. K. Compact Stars-Nuclear Physics, Particle Physics and
general Relativity. New York: Springer, 2000.
[67] COSTA, R.; SANTIAGO, A. J.; RODRIGUES, H.; SA BORGES, J. Nucleon Finite
Volume Effect and Nuclear Matter Properties in a Relativistic. Commun. Theor.
Phys., v.46, n.6, p.1052-1058, 15 Dezembro 2006.
[68] REINHARD, S. Relativistic nucleus-nucleus collisions: from the BEVALAC to RHIC.
Jornal of Physics G, v.30, p.S633-S648. 19 Julho 2004.
[69] LAERMANN, E.; PHILIPSEN, O. Philipsen. Ann. Rev. Nucl. Part. Sci., v.53,
p.163, 25 setembro 2003.
[70] CASELLE, M.; GRINZA. P.; RAGO. A. Amplitude ratios for the mass spectrum
of the 2d Ising model in the high-T, H = 0 phase. Dispon´ıvel em : arXiv:hep-
lat/0408004 v1 30. Acesso em: 30 agosto 2004.
[71] KANAYA, k. An Introduction to finite temperature quantum chomodynamics
on the lattice. Dispon´ıvel em :arXiv: hep-lat/9804006 v1 6. Acesso em: 14 mar¸co
1998.
169
[72] MENDES, T.; CUCCHIERI, A. Teoria de Transi¸c˜ao de Fase e Fenˆomenos
Cr´ıticos. Dispon´ıvel em: http://lattice.if.sc.usp.br/FC01/programa.html. Acesso em:
10 de mar¸co de 2002.
[73] HUANG, M. E. Statistic Mechanics. ed.2. New York: John Wiley e Sons, 1987.
[74] KARSCH, F. Lectures on Quark Matter: Lattice QCD at high temperature and
density. 583. ed. New York: Springer, 2002. 209.
[75] SVETITSKY, B.; YAFFE, L. G. Critical Beavior at finite-temperature confinement
transitions. Nuclear Physics B, v.210, p.423-447 13 dezembro 1982.
[76] LE BELLAC, M. Thermal Field Theory. Cambridge: Cambridge University Press,
1996.
[77] LINDE, A. D. Infrared problem in the thermodynamics of the Yang-Mills gas. Physics
Letters B, v.96, p.289-292 5 agosto 1980.
[78] SATZ, H.. Quark Gluon Plasma. R. C. Hwa: World Scientific, 1990.
[79] RAFELSKI, J.; LETESSIER, J.. Quark-Gluon Plasma and Strangeness.Jornal of Phy-
sics G: Nuclear and Particle Physics, v. 30, p.S1-S28, 11 dezembro 2003.
[80] FORTUNATO, S.; KARCSH, F.; PETRECZKY, P.; SATZ, H.. Percolation and critical
behaviour in SU(2) gauge theory. Nuclear Physics B, v.94, p.398-401 15 Mar¸co 2001.
[81] DELFINO, G.. Integrable field and critical phenomena: the Ising model in a magnetic
field.Jornal of Physics A: Math. Gen., v.37, p.R45-R78, 23 mar¸co 2004.
[82] PERKINS, H. D. Introduction to High Energy Physics. New York: Addison-Wesley
Publishing Company Inc., 1987.
[83] BLOCH, R. C. J.; CUCCHIERI, A.; LANGFELD, K.; MENDES, T. Propagators and
running coupling from SU(2) lattice gauge theory. Nuclear Physics B. v. 687, p.76-
100, 24 Maio 2004.
[84] FINGBERG, T.; HELLER, M. U.; KARSCH, F. Scaling and asymptotic scaling in the
SU(2) gauge theory. Nuclear Physics B, v.392, p.493-517, 8 Mar¸co 1993.
[85] GROSS, D. J.; PISARSKI, D.; YAFFE, L. G.. QCD and instantons at finite tempera-
ture. Reviews of Modern Physics, v.53, p.43-80, 10 Janeiro 1981.
170
[86] L
¨
USKER, M.; SZYMANZIK, K.; WEISZ, P.. Anomalies of the free loop wave equation
in the WKB approximation. Nuclear Physics B, v.173, p.365-396, 27 Outubro 1980.
[87] FORCRAND, P. H. Glueball and torelon masses from lattice gauge theory. Physical
Letters B, v.160, p.137, 30 julho 1985.
[88] KAPUSTA, J. Quantum chromodynamics at high temperature. Nuclear Physics B,
v.1 48, p.461-498, 5 Mar¸co 1979.
[89] GATTRINGER, C. arXiv:0711.0622v1 [hep-lat].
[90] CASELLE. M.; HASENBUSCH, M.; PROVERO, P. Non pertubative effects in 3Dφ
4
theory. Nuclear Physics B, v.556, p.575-600, 2 junho 1999.
[91] MICHEL, C. Nuclear Physics B, v.259, p.58, 30 setembro 1985.
[92] DANZER, J.; GATTRINGER, C. Xiv:0710.1711v1 [hep-lat].
[93] MCNEILE, C. PoS(LATTICE 2007)019. arXiv:0710.0985 [hep-lat].
[94] BURCH, T et al. Physical Review D, v.74, p.01405, 30 maio 2006.
[95] BASAK et al. Physical Review D, v.72, p.074501, 14 abril 2005.
[96] DIRAC, M. A. P. The Principles of Quantum Mechanics. New York, Oxford Uni-
versity Press, 1999.
[97] HUANG, K. Statistical Mechanics. 2.ed. New York: John Wiley and Sons, Inc., 1987.
[98] KAPUSTA. J. I. Finite Temperatura Field Theory. Cambridge: Cambridge Uni-
versity Press, 1989.
[99] LE BELLAC, M. L. Thermal Field Theory. Cambride: Cambride University Press,
1996.
[100] DAS, A. Finite Temperatura Field Theory. NY: World Scientific, 1997.
[101] KAPUSTA, J. I.; LANDSHOFF, P.V. Finite-temperature field theory. Jornal of Phy-
sical G: Nuclear and Particle Physical, v.15, p.267-, 12 fevereiro 1989.
[102] FRADKIN, E. S. Proc. Lebedev Inst., v.29, p.6, 15 maio 1965.
171
[103] WELDON, H. A. Effective fermion masses of order gT in high-temperature gauge theo-
ries with exact chiral invariance. Physical Review D, v.26, p.2789-2796, 10 Novembro
1982.
172
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
