( PDF ) Cálculo de Grupos de Homotopia dos Grupos Clássicos

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Universidade Estadual Paulista

Campus de S˜ao Jos´e do Rio Preto

Instituto de Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas

C´alculo de Grupos de Homotopia dos Grupos

Cl´assicos

Paulo Henrique Gal˜ao

Orientador: Jo˜ao Peres Vieira

Disserta¸c˜ao apresentada ao Instituto de Biociˆencias,

Letras e Ciˆencias Exatas da Universidade Estadual

Paulista, Campus S˜ao Jos´e do Rio Preto, como parte dos

requisitos necess´arios para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre

em Matem´atica.

S˜ao Jos´e do Rio Preto

Abril - 2008

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Gal˜ao, Paulo Henrique.

C´alculo de grupos de homotopia dos grupos cl´assicos / Paulo

Henrique Gal˜ao. - S˜ao Jos´e do Rio Preto : [s.n.], 2008.

74 f. : il. ; 30 cm.

Orientador: Jo˜ao Peres Vieira

Disserta¸c˜ao (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de

Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas

1. Seq

uˆencias (Matem´atica). 2. Grupos de homotopia. 3. Fibrados.

4. Grupos cl´assicos. 5. Sequˆencias exatas (Matem´atica). I. Vieira, Jo˜ao

Peres. II. Universidade Estadual Paulista, Instituto de Biociˆencias,

Letras e Ciˆencias Exatas. III. T´ıtulo.

CDU - 517.52

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Comiss

ao Julgadora

Membros Titulares

Prof. Dr. Jo˜ao Peres Vieira

Profa. Dra. Erm´ınia de Lourdes Campello Fanti

Profa. Dra. Denise de Mattos

Membros Suplentes

Profa. Dra. Maria Gorete Carreira Andrade

Prof. Dr. Dirceu Penteado

“Comece por fazer o necess´ario,

depois o poss´ıvel, e de repente

estar´a por fazer o imposs´ıvel.”

(S˜ao Francisco de Assis)

Aos meus pais,

Gal˜ao e Cidinha,

dedico.

Agradecimentos

O meu maior agradecimento ´e

Aquele a quem devo tudo, que estar´aaomeu

lado sempre e por toda vida: Deus. T˜ao bondoso e generoso Ele ´e, que colocou em

meu caminho pessoas imprescind´ıveis para que eu pudesse atingir esse objetivo e,

por isso, quero ao menos tentar agradecer a todos que me ajudaram:

• meus pais Luiz e Cidinha, que sempre me deram ´otimos exemplos e nunca deixaram

que eu desistisse de estudar, mesmo que isso lhes custassem sacrif´ıcios;

• meu irm˜ao Luiz Carlos, minha cunhada N´agila e meu extraordin´ario sobrinho e

aﬁlhado, Gustavo, que veio para somar alegrias em minha vida;

• minha tia Lena, a primeira pessoa que me fez gostar de matem´atica, sempre

presente, de prontid˜ao a tudo que eu precisasse;

• meus av´os, Alcides e Deira, os quais amo muito, e tamb´em os que j´an˜ao est˜ao

mais aqui, Antˆonia, Luiz e Thereza, sei que ﬁzeram muito por mim;

• o Prof. Dr. Jo˜ao Peres Vieira, por toda dedica¸c˜ao, paciˆencia, aten¸c˜ao e

compreens˜ao para comigo, pela orienta¸c˜ao, pela ajuda no meu crescimento pessoal

e por enriquecer meus conhecimentos;

• o Prof. Dr. Jo˜ao Carlos F. Costa, pela disponibilidade em preparar e desenvolver

o est´agio de docˆencia.

• a Profa. Dra. Erm´ınia de Lourdes C. Fanti, pela orienta¸c˜ao durante a gradua¸c˜ao,

por despertar em mim o gosto pela Topologia Alg´ebrica, al´em de toda colabora¸c˜ao

no mestrado e por ter aceito fazer parte da banca de defesa da desta dissert˜a¸c˜ao;

• a Profa. Dra. Denise de Mattos, pela aten¸c˜ao e dicas para melhorar este trabalho

e por tamb´em ter aceito estar presente na banca;

• a Profa. Dra. Maria Gorete C. Andrade, sou muito grato pela coopera¸c˜ao, sempre

disposta a ajudar;

• a Profa. Dra. Rita de C´assia P. Lamas, minha primeira orientadora da gradua¸c˜ao,

nunca deixou de me apoiar e aconselhar, at´e mesmo durante a p´os-gradua¸c˜ao;

• o Prof. Dr. Pedro Paulo Scandiuzzi, por ajudar na minha forma¸c˜ao, pela carona

a Rio Claro e pela conversa que, talvez mesmo sem saber, me ajudou em decis˜oes

importantes;

• todos os professores que colaboraram com minha forma¸

c˜ao

durante esses anos;

• os meus amigos de mestrado, alguns com os quais tive pouco contato, mas s˜ao

grandes pessoas e admiro-os demais: Pedro, Rafael, Marcos, Aline, Cibele, Durval

e Valdir;

• Eduardo e Alessandra, amigos da matem´atica aplicada que s˜ao extraordin´arios;

• Juliana, Andr´eia e Liliane. Sem elas minha gradua¸c˜ao n˜ao teria sido a mesma.

Formid´aveis e inesquec´ıveis;

• os meus amigos de Mirassol, aqueles que ajudaram em todos os momentos,

principalmente nos pessoais, Fl´avia Manzano, Ana, Fernandinha, Fl´avia Zonta,

S´ılvia, Eduardo e Felipe. Podem n˜ao saber, mas tˆem grande importˆancia em minha

vida;

• minha amiga Luana, pelo aux´ılio nas ﬁguras desse trabalho.

• Carlos e Lindsay, amigos que est˜ao longe, mas nem por isso perdemos o contato,

ao contr´ario, s˜ao amizades que se fortalecem cada vez mais. Adoro-os.

• meus amigos do Handebol. Fam´ılia Handebol Rio Preto, em especial, Lara,

Luciane, Leda, Ariadine, Aline, Mafˆe e Elton com os quais tenho mais contato.

Muitas foram as viagens e os momentos de alegria, sempre unidos, e mesmo quando

eu precisava estudar todos compreendiam. Respons´aveis por grande parte dos

meus bons momentos de descontra¸c˜ao. Nesses amigos tamb´em incluo o Handebol

IBLCE/Unesp, Handebol FAMERP, Handebol Catanduva;

• os meus amigos do mestrado, com os quais caminhei parte da gradua¸c˜ao e esses

dois anos. Foram os pilares que me sustentaram. Obrigado Carol e Agnaldo, por

toda ajuda e companheirismo, at´e mesmo nos momentos cr´ıticos que passamos.

Grasiele, valeu pela disponibilidade, pela alegria que contagia e pelo carinho.

Vinicius, por todo aux´ılio, at´e mesmo em v´arias caronas, pelos momentos de risadas

e divertimento, meu muito obrigado. E sou eternamente grato `a Ligia, que me

incentivou a fazer o ver˜ao para o mestrado, nunca deixou que eu desistisse, me

auxiliou em tudo e, at´e mesmo quando eu estava chateado, encontrava palavras para

me por para cima. Por mais que eu tente, n˜ao tenho palavras para agradecˆe-los.

• a CAPES, pelo ﬁnanciamento desses estudos.

Obrigado a todos, de cora¸c˜ao.

Resumo

Este trabalho tem como objetivo principal o c´alculo do grupo de homotopia de

alguns grupos cl´assicos, como o grupo das rota¸c˜oes do espa¸co euclidiano R

, SO(n),

o grupo unit´ario U(n), seu subgrupo especial unit´ario SU(n) e o grupo simpl´etico

Sp(n). Para esses c´alculos usaremos seq

uˆencias exatas e propriedades relacionadas

`a ﬁbrados.

Palavras-chave: Seq

uˆencias Exatas, Fibrados, Grupos Cl´assicos, Grupos de

Homotopia.

Abstract

The main purpose of this work is to calculate homotopy groups of some classical

groups as the rotation groups of the euclidean space R

, SO(n), the unitary group

U(n), your special unitary subgroup SU(n) and the symplectic group Sp(n). For

these calculus we will use exact sequences and properties relacionated to the ﬁbre

bundle.

Keywords: Exact Sequences, Fibre Bundle, Classical Groups, Homotopy Groups.

Sum´ario

Introdu¸c˜ao vii

1 Preliminares 1

1.1 Seq

uˆencias Exatas de R-M´odulos .......................... 1

1.2 Espa¸cos S´olidos . ................................... 2

1.3 Posto de uma Aplica¸c˜ao ............................... 3

1.4 Espa¸co Projetivo Real ................................ 4

1.5

Algebra dos Quat´ernios ................................ 4

1.6 Homotopia....................................... 6

2 Grupo de Homotopia 11

2.1 Grupo Fundamental . ................................ 11

2.2 GruposdeHomotopiadeOrdemSuperior ..................... 12

2.3 Propriedades Elementares .............................. 20

3 Fibrados 29

3.1 Seq

uˆencia de Homotopia de um Fibrado ...................... 30

4 Grupos Cl´assicos 41

4.1 Grupo das Rota¸c˜oes do R

(SO(n))......................... 41

4.2 Grupos Unit´arios (U(n)eSU(n)).......................... 41

4.3 Grupo Simpl´etico (Sp(n)) .............................. 42

4.4 Exemplos de Fibrados ................................ 42

4.5 Algumas Propriedades dos Grupos Cl´assicos .................... 46

5C´alculo de Grupos de Homotopia dos Grupos Cl´assicos 59

5.1 Grupo SO(n) ..................................... 59

5.2 Grupo U(n)eSU(n)................................. 63

5.3 Grupo Sp(n) ..................................... 66

5.4 Mais c´alculos de Grupos de Homotopia dos Grupos Cl´assicos........... 68

5.5 Resultados obtidos .................................. 72

Referˆencias Bibliogr´aﬁcas 72

Indice Remissivo 74

Introdu¸c˜ao

Ano¸c˜ao de grupo fundamental de um espa¸co X com ponto base x

em X,

(X, x

), deve-se ao matem´atico francˆes Henri Poincar´e (1854-1912) e ´e o invariante

topol´ogico mais simples associado ao conceito de homotopia, que por sua vez ´ea

id´eia mais importante da topologia alg´ebrica. O grupo de homotopia de ordem

superior do espa¸co X, usualmente denotado por π

(X, x

) n ≥ 2, ´e, de certo modo,

uma extens˜ao natural do conceito de grupo fundamental e sua deﬁni¸c˜ao foi dada nos

anos 1932-1935 por Eduard Cech (1893-1960) e Witold Hurewicz (1904-1956). Foi

Hurewicz quem deu a deﬁni¸c˜ao mais satisfat´oria para os grupos de homotopia de

ordem superior e provou as propriedades fundamentais. J´a o conceito de ﬁbrados

ganhou espa¸co na matem´atica no per´ıodo de 1935-1940 e sua primeira deﬁni¸c˜ao

geral foi dada por H. Whitney.

Neste trabalho, mostraremos que a todo ﬁbrado pode ser associado uma

seq

uˆencia exata e, atrav´es de tal seq

uˆencia, pode-se calcular o grupo fundamental

e o grupo de homotopia de ordem superior de um espa¸co topol´ogico X. Aqui,

trabalharemos especiﬁcamente com os grupos cl´assicos, isto ´e, o grupo das rota¸c˜oes

do espa¸co euclidiano R

, o grupo unit´ario e seu subgrupo especial unit´ario, al´em do

grupo simpl´etico.

No cap´ıtulo 1 apresentaremos os pr´e-requisitos b´asicos para o desenvolvimento

deste trabalho. Dentre eles destacam-se a deﬁni¸c˜ao de ´algebra dos quat´ernios,

necess´aria para deﬁnir o grupo simpl´etico, bem como para mostrar algumas

propriedades dos grupos cl´assicos, e o conceito de homotopia, em especial,

homotopia de caminhos fechados (la¸cos), de onde se deﬁne o grupo fundamental.

No cap´ıtulo 2 deﬁniremos o grupo fundamental e o grupo de homotopia de ordem

superior. Relacionado ao grupo fundamental, deﬁniremos o importante conceito

de espa¸cos simplesmente conexos. Em rela¸c˜ao ao grupo de homotopia de ordem

vii

superior, daremos ˆenfase ao grupo de homotopia relativa e, atrav´es do operador

bordo e do homomorﬁsmo induzido, deﬁniremos a seq

uˆencia de homotopia de uma

tripa (X, A, x

), sendo X um espa¸co topol´ogico, A um subespa¸co de X e x

o ponto

base de X. Mostraremos ainda que tal seq

uˆencia ´e exata.

O cap´ıtulo 3 ´e inteiramente dedicado a ﬁbrados. Nele, al´em da deﬁni¸c˜ao,

mostraremos que a todo ﬁbrado est´a relacionado uma seq

uˆencia exata de homotopia.

O principal resultado deste cap´ıtulo ´e o Corol´ario 3.1.1 que nos permite deﬁnir a

seq

uˆencia de homotopia de um ﬁbrado e em seguida provarmos que ela ´e exata.

No cap´ıtulo 4 estudaremos os grupos cl´assicos, que s˜ao eles: grupo das

rota¸c˜oes do espa¸co euclidiano R

, grupo unit´ario, grupo especial unit´ario e o grupo

simpl´etico, denotados respectivamente por SO(n), U(n), SU(n)eSp(n); e veremos

v´arias propriedades relacionadas a tais grupos, como por exemplo a existˆencia de

um homeomorﬁsmo entre o grupo U(n) e o produto cartesiano de seu subgrupo

SU(n) e a esfera S

. Tamb´em deﬁniremos ﬁbra¸c˜oes localmente triviais e daremos

alguns exemplos.

Por ﬁm, no cap´ıtulo 5 calcularemos o grupo fundamental e o grupo de homotopia

de ordem superior dos grupos cl´assicos. Para o grupo de homotopia de ordem

superior at´eon´ıvel 3 faremos os c´alculos para todo n. Por´em, quando o n´ıvel varia

de 4 a 6, os c´alculos s˜ao espec´ıﬁcos para alguns grupos. Terminamos exibindo uma

tabela contendo todos os resultados obtidos neste trabalho.

viii

Cap

ıtulo

Preliminares

1.1 Seq

uˆencias Exatas de R-M´odulos

Seja R um anel comutativo com unidade.

Deﬁni¸c˜ao 1.1.1 Uma seq

uˆencia ﬁnita ou inﬁnita

...−→ X

−→ Y

−→ Z −→ ...

de homomorﬁsmos de R-m´odulos, ´e dita uma seq

uˆencia exata no R-m´odulo Y se a imagem do

homomorﬁsmo f coincide com o Kernel do homomorﬁsmo g (Im(f)=Ker(g)). A sequˆencia

´e dita simplesmente exata se isso acontece em todo R-m´odulo.

Uma seq

uˆencia exata do tipo

0 −→ X

−→ Y

−→ Z −→ 0

´e dita uma seq

uˆencia exata curta.

Deﬁni¸c˜ao 1.1.2 Seja A um subm´odulo de um R-m´odulo X. Diz-se que um subm´odulo A

⊂ X

´e um suplementar de A se X = A ⊕ A

Um subm´odulo que admite um suplementar diz-se um somando direto de X.

Deﬁni¸c˜ao 1.1.3 Uma sequˆencia exata curta de R-m´odulos

0 −→ X

−→ Y

−→ Z −→ 0

cinde se X

∼

Im(f)=Ker(g) ´e um somando direto de Y .Da´ı, Y

∼

X ⊕ Z.

1.1 Seq

uˆencias Exatas de R-M´odulos

Deﬁni¸c˜ao 1.1.4 Um R-m´odulo M ´e livre se existe um subconjunto X ⊂ M tal que

(1) Dado m ∈ M, existe x

, ..., x

∈ X e λ

, ..., λ

∈ R tal que

m = λ

+ ... + λ

;

(2) Se x

, ..., x

∈ X e λ

, ..., λ

∈ R s˜ao tais que

+ ... + λ

=0∈ M ⇒ λ

= λ

= ... = λ

=0∈ R.

Em outras palavras, dizemos que, M ´eumR-m´odulo livre se ele admite uma base.

Deﬁni¸c˜ao 1.1.5 Uma fam´ılia {x

}

i∈I

de elementos de um R-m´odulo X diz-se livre se para

todo (λ

)

i∈I

∈ R

(I)

tem-se



i∈I

=0⇒ λ

=0, ∀i ∈ I.

Exemplo 1.1.1 anel Z dos n´umeros inteiros ´eumZ-m´odulo livre.

Proposi¸c˜ao 1.1.1 Dada uma seq

uˆencia exata curta de R-m´odulos

0 −→ X

−→ Y

−→ Z −→ 0,

se Z ´e livre, a seq

uˆencia cinde. Ent˜ao Y

∼

X ⊕ Z.

Demonstra¸c˜ao: ([6], Corol´ario 1, p. 65). 

1.2 Espa¸cos S´olidos

Deﬁni¸c˜ao 1.2.1 Um espa¸co Y ´e chamado s´olido se, para quaisquer espa¸co normal X,

subconjunto fechado A de X e aplica¸c˜ao f : A −→ Y , existe uma aplica¸c˜ao f



: X −→ Y

tal que a restri¸c˜ao f



= f.

Observa¸c˜ao 1.2.1 O Teorema da Extens˜ao de Tietze (veja [8], p. 212) aﬁrma que qualquer

intervalo de n´umeros reais (aberto ou fechado) ´e um espa¸co s´olido. Dessa forma, o produto

topol´ogico de uma fam´ılia de espa¸cos s´olidos tamb´em ´e um espa¸co s´olido, basta estender cada

componente da fun¸c˜ao. Da´ı segue-se que o espa¸co euclidiano R

e o cubo fechado n-dimensional

s˜ao s´olidos. Assim, as n-c´elulas abertas e fechadas tamb´em s˜ao s´olidos, por serem homeomorfas

ao R

e ao cubo fechado n-dimensional, respectivamente, e pelo fato que ser s´olido ´e propriedade

topol´ogica.

V´arias propriedades est˜ao intimamente relacionadas ao conceito de espa¸cos s´olidos. Para

enunciarmos a propriedade que nos interessa usaremos a seguinte

1.2 Espa¸cos S´olidos

Deﬁni¸c˜ao 1.2.2 Sejam Z um espa¸co topol´ogico e Y um subespa¸co de Z. Uma aplica¸c˜ao

cont´ınua r : Z −→ Y chama-se uma retra¸c˜ao quando se tem r(y)=y para todo y ∈ Y ,

ou seja, quando r |

= id

Quando existe uma retra¸c˜ao r : Z −→ Y o subespa¸co Y chama-se um retrato do espa¸co Z.

Um espa¸co m´etrico compacto Y ´e chamado um retrato absoluto se for retrato de qualquer

espa¸co m´etrico separ´avel que cont´em Y .

Propriedade 1.2.1 Para um espa¸co m´etrico compacto Y , ser retrato absoluto ´e equivalente a

ser s´olido.

Demonstra¸c˜ao: (Ver [9], p. 55). 

1.3 Posto de uma Aplica¸c˜ao

Deﬁni¸c˜ao 1.3.1 O posto de uma transforma¸c˜ao linear T : R

−→ R

´e a dimens˜ao de

sua imagem T (R

), isto ´e, o n´umero m´aximo de vetores linearmente independentes entre

T (e

), ..., T (e

), onde {e

, ..., e

} ´e a base canˆonica de R

, ou, equivalentemente, o n´umero

m´aximo de colunas linearmente independentes da matriz de T.

Deﬁni¸c˜ao 1.3.2 O posto de uma aplica¸c˜ao diferenci´avel f : U −→ R

num ponto x ∈ U ⊂ R

´e o posto de sua derivada f



(x):R

−→ R

Quando o posto de uma aplica¸c˜ao f ´e o mesmo, para qualquer ponto do aberto U a qual

est´a deﬁnida, dizemos que f possui posto constante.

Deﬁni¸c˜ao 1.3.3 Uma imers˜ao do aberto U ⊂ R

no espa¸co euclidiano R

´e uma aplica¸c˜ao

diferenci´avel f : U −→ R

tal que, para cada x ∈ U, a derivada f



(x):R

−→ R

´e uma

transforma¸c˜ao linear injetiva.

Deﬁni¸c˜ao 1.3.4 Uma aplica¸c˜ao diferenci´avel f : U −→ R

, deﬁnida num aberto U ⊂ R

chama-se uma submers˜ao quando, para cada x ∈ U, sua derivada f



(x):R

−→ R

´e uma

transforma¸c˜ao linear sobrejetiva.

Uma imers˜ao f : U −→ R

, deﬁnida num aberto U ⊂ R

, tem posto m em todos os pontos

x ∈ U e uma submers˜ao tem posto n em qualquer ponto

Deﬁni¸c˜ao 1.3.5 Seja U ⊂ R

um aberto. Uma aplica¸c˜ao f : U −→ R

´e dita localmente

injetiva se todo ponto x ∈ U possui uma vizinhan¸ca V tal que f|

´e injetiva.

Proposi¸c˜ao 1.3.1 Seja f : U −→ R

de classe C

, com posto constante no aberto U ⊂ R

Ent˜ao:

i) f ´e localmente injetiva se, e somente se, ´e uma imers˜ao;

ii) f ´e aberta se, e somente se, ´e uma submers˜ao.

Demonstra¸c˜ao: Vide [2], Corol´ario, p.301.

1.4 Espa¸co Projetivo Real

O espa¸co projetivo real n-dimensional ´e o espa¸co quociente da esfera unit´aria S

pela rela¸c˜ao

de equivalˆencia ∼ segundo a qual, para cada ponto x ∈ S

, x ∼ x ou x ∼−x, onde −x denota

oant´ıpoda de x. Cada ponto a ∈ P

´e portanto uma classe de equivalˆencia a =[x]={x, −x},

x ∈ S

. Logo,

∼

isto ´e, P

= {[x]={x, −x}; x ∈ S

Indicaremos por p : S

−→ P

a proje¸c˜ao natural, que associa a cada ponto x ∈ S

sua

classe de equivalˆencia p(x)={x, −x}.

A topologia de P

´e a topologia quociente, isto ´e, um conjunto A ⊂ P

´e aberto se, e

somente se, sua imagem inversa p

−1

(A)´e um subconjunto aberto da esfera S

Esta topologia torna a aplica¸c˜ao quociente p cont´ınua. Ainda, o espa¸co P

´e um espa¸co de

Hausdorﬀ, o qual ´e compacto, por ser imagem do compacto S

pela aplica¸c˜ao cont´ınua p.

A propriedade fundamental da topologia quociente, neste caso, ´e a seguinte: se f : S

−→ Y

´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua tal que f(x)=f(−x) para todo x ∈ S

,ent˜ao existe uma ´unica

aplica¸c˜ao cont´ınua

f : P

−→ Y tal que f ◦ p = f. A aplica¸c˜ao f diz-se obtida de f por

passagem ao quociente. Em outras palavras, temos o diagrama comutativo:

✲

❄



✒

1.5

Algebra dos Quat´ernios

Nesse trabalho usaremos a

Algebra dos Quat´ernios, criada pelo matem´atico irlˆandes W.

Hamilton, com o objetivo de deﬁnir o Grupo Simpl´etico Sp(n), bem como relacionar o Grupo

SO(3) com o plano projetivo real P

O conjunto dos quat´ernios ´e o espa¸co euclidiano R

, munido da adi¸c˜ao usual e de uma

multiplica¸c˜ao com propriedades interessantes.

Um quat´ernio (w ∈ R

) ser´a denotado da seguinte forma

w = t + x · i + y · j + z · k.

Os vetores b´asicos 1, i, j, k s˜ao chamados unidades. A unidade real ´e 1 = 1+0·i+0·j +0·k

e as unidades imagin´arias s˜ao i, j, k. As opera¸c˜oes de espa¸co vetoriais s˜ao as usuais do R

1.5

Algebra dos Quat´ernios

No espa¸co R

dos quat´ernios destacam-se dois subespa¸cos especiais:

• R: conjunto dos quat´erinos reais t = t +0· i +0· j +0· k (tamb´em visto como o conjunto

dos escalares);

• R

: conjunto dos quat´ernios imagin´arios puros x · i + y · j + z · k (tamb´em visto como o

conjunto dos vetores).

Observa¸c˜ao 1.5.1 R

´e o complemento ortogonal de R em rela¸c˜ao ao produto interno canˆonico

de R

A multiplica¸c˜ao de quat´ernios ﬁca deﬁnida, por bilinearidade, a partir do produto dos

elementos b´asicos, da seguinte maneira:

= j

= k

= −1,

i · j = −j · i = k,

j · k = −k · j = i,

k · i = −i · k = j,

1 · i = i · 1=i,

1 · j = j · 1=j,

1 · k = k · 1=k.

Em rela¸c˜ao a esta multiplica¸c˜ao valem a distributividade, a associatividade, por´em n˜ao vale

a comutatividade, conforme tabela anterior.

O conjugado de um quat´ernio w = t+x·i+y ·j +z ·k ´e deﬁnido por

w = t −x· i−y ·j −z ·k.

Da´ı, se w = 0, tem-se:

w ·

w =(t + x · i + y · j + z · k) · (t − x · i − y · j − z · k)=t

+ x

+ y

+ z

= ||w||

Ent˜ao,

w ·

w = ||w||

⇒ w ·

||w||

=1⇒ w

−1

||w||

Portanto, todo quat´ernio n˜ao nulo w possui um inverso multiplicativo w

−1

||w||

Om´odulo de um quat´ernio satisfaz ||w·w



|| = ||w||·||w



||. Assim, a esfera S

⊂ R

(conjunto

dos quat´ernios de m´odulo 1) ´e um grupo relativamente `a multiplica¸c˜ao de quat´ernios.

Neste caso, como ||w|| =1,w

−1

= w.

Denotamos o corpo dos quat´ernios por H e, no espa¸co vetorial H

, os elementos s˜ao vetores

1.5

Algebra dos Quat´ernios

v =(v

, ..., v

)ew =(w

, ..., w

)den quat´ernios, cujo produto interno ´e

v, w =



r=1

· w

Diz-se que os vetores v e w s˜ao ortogonais quando v, w =0.

Lema 1.5.1 Se um quat´ernio w comuta com todo imagin´ario puro ent˜ao w ´e real. Se, al´em

disso, w ∈ S

, ent˜ao w = ±1.

Demonstra¸c˜ao: Seja w = a + b · i + c · j + d · k. Por hip´otese, w · i = i · w.Da´ı,

⎧

⎨

⎩

w · i =(a + b · i + c · j + d · k) · i = a · i − b − c · k + d · j

i · w = i · (a + b · i + c · j + d · k)=a · i − b + c · k − d · j

⇒ c = d =0.

Logo, w = a + b · i.

Mas, w · j = j · w.En

t˜ao

⎧

⎨

⎩

w · j =(a + b · i) · j = a · j + b · k

j · w = j · (a + b · i)=a · j − b · k

⇒ b =0.

Portanto, w = a ´e real.

Agora, se w ∈ S

, ||w|| = 1, de onde se conclui que w = ±1. 

1.6 Homotopia

Aplica¸c˜oes Homot´opicas: Sejam X e Y espa¸cos topol´ogicos. Duas aplica¸c˜oes cont´ınuas

f,g : X −→ Y dizem-se homot´opicas quando existe uma aplica¸c˜ao cont´ınua H : X × I −→ Y ,

onde I =[0, 1], tal que

H(x, 0) = f(x) eH(x, 1) = g(x), ∀x ∈ X.

A aplica¸c˜ao H chama-se uma homotopia entre f e g.

Nota¸c˜ao:

f  g ou H : f  g.

Observa¸c˜ao 1.6.1 Dar uma homotopia H : f  g,´e equivalente a dar uma aplica¸c˜ao cont´ınua

: X −→ Y , para todo t ∈ I, deﬁnida por H

(x)=H(x, t). Logo, dada uma homotopia H,

conseguimos uma “fam´ılia cont´ınua a um parˆametro” (H

)

t∈I

de aplica¸c˜oes de X em Y .

Note que, para t =0e t =1temos, respectivamente, H

(x)=H(x, 0) = f(x) e H

(x)=

H(x, 1) = g(x), ou seja, H

= f e H

= g.

Em outras palavras, a homotopia H deforma a aplica¸c˜ao f continuamente na aplica¸c˜ao g.

1.6 Homotopia

Para a prova da proposi¸c˜ao a seguir, usaremos o

Lema 1.6.1 (Lema da Colagem) Sejam X e Y espa¸cos topol´ogicos e A e B subconjuntos

fechados de X tais que A ∪ B = X. Sejam f : A −→ Y e g : B −→ Y aplica¸c˜oes cont´ınuas

satisfazendo a condi¸c˜ao: f(x)=g(x), para todo x ∈ A ∩ B. Ent˜ao a aplica¸c˜ao h : X −→ Y

deﬁnida por

h(x)=



f(x) sex∈ A

g(x) sex∈ B

´e cont´ınua.

Proposi¸c˜ao 1.6.1 Sejam X e Y espa¸cos topol´ogicos. A rela¸c˜ao de homotopia, f  g,´e uma

ela¸c˜ao de equivalˆencia no conjunto das aplica¸c˜oes cont´ınuas de X em Y .

Demonstra¸c˜ao: Sejam f,g,h : X −→ Y cont´ınuas.

Reﬂexiva:

Deﬁnamos H : X × I −→ Y por H(x, t)=f(x). Por f ser cont´ınua, H tamb´em

o´e. Al´em disso,

H(x, 0) = f(x) eH(x, 1) = f(x), ∀x ∈ X.

Portanto,

f  f.

Sim´etrica:

Seja H : X × I −→ Y uma homotopia entre f e g.Ent˜ao

H(x, 0) = f(x) eH(x, 1) = g(x), ∀x ∈ X.

Deﬁnamos K : X × I −→ Y por K(x, t)=H(x, 1 − t). K ´e cont´ınua pois H ´e cont´ınua.

Ainda,

K(x, 0) = H(x, 1) = g(x) eK(x, 1) = H(x, 0) = f(x), ∀x ∈ X.

Assim, K : g  f.

Portanto,

f  g ⇒ g  f.

1.6 Homotopia

Transitiva: Sejam H : f  g e K : g  h.Ent˜ao, para todo x ∈ X,

H(x, 0) = f(x) eH(x, 1) = g(x)

K(x, 0) = g(x) eK(x, 1) = h(x).

Deﬁnamos L : X × I −→ Y por:

L(x, t)=

⎧

⎨

⎩

H(x, 2t),se0 ≤ t ≤

K(x, 2t − 1),se

≤ t ≤ 1.

Se t =

H(x, 2

)=H(x, 1) = g(x) eK(x, 2

− 1) = K(x, 0) = g(x).

Assim, pelo fato de H e K serem cont´ınuas, segue pelo Lema 1.6.1 (Lema da Colagem) que

L ´e cont´ınua.

Como

L(x, 0) = H(x, 0) = f(x) eL(x, 1) = K(x, 1) = h(x),

L : f  h.

Portanto,

f  geg h ⇒ f  h.



As classes de equivalˆencia segundo a rela¸c˜ao de homotopia  s˜ao chamadas classes de

homotopia. A classe de homotopia de uma aplica¸c˜ao cont´ınua f : X −→ Y ´e indicada por [f].

Homotopia de Caminhos

Vamos considerar um caso particular do conceito de geral de homotopia. Deﬁniremos

homotopias de caminhos, isto ´e, de aplica¸c˜oes cont´ınuas a : I −→ X, deﬁnidas no intervalo

compacto I =[0, 1].

Na deﬁni¸c˜ao de homotopia de caminhos exigiremos que, durante a homotopia, os extremos

dos caminhos sejam mantidos ﬁxos. Assim, ´e necess´ario que os caminhos possuam as mesmas

extremidades.

Deﬁni¸c˜ao 1.6.1 Dizemos que a, b : I −→ X s˜ao caminhos homot´opicos quando existir uma

aplica¸c˜ao H : I × I −→ X tal que, para todo s, t ∈ I,

H(s, 0) = a(s)

1.6 Homotopia

H(s, 1) = b(s)

(0) = H(0,t)=a(0) = b(0) = x

(1) = H(1,t)=a(1) = b(1) = x

Neste trabalho, consideraremos os caminhos fechados: aqueles em que a(0) = a(1), tamb´em

chamados de la¸cos.

Deﬁni¸c˜ao 1.6.2 Dois caminhos fechados a, b : I −→ X s˜ao homot´opicos quando existe uma

aplica¸c˜ao cont´ınua H : I × I −→ X tal que, colocando a(0) = a(1) = b(0) = b(1) = x

∈ X,

tem-se

H(s, 0) = a(s)

H(s, 1) = b(s)

(0) = H

(1) = x

para quaisquer s, t ∈ I.

Indicaremos por α =[a] a classe de homotopia do caminho a : I −→ X, isto ´e, o conjunto

de todos os caminhos em X que possuem as mesmas estremidades que a eques˜ao homot´opicos

a a, com extremos ﬁxos durante a homotopia.

E indicaremos por e

o caminho constante, tal que e

(s)=x para todo s ∈ I. Para sua

classe de homotopia, usaremos a nota¸c˜ao ε

=[e

1.6 Homotopia

Deﬁni¸c˜ao 1.6.3 Sejam a, b : I −→ X caminhos tais que o ponto ﬁnal de a coincide com

o ponto inicial de b. Deﬁnimos a justaposi¸c˜ao dos caminhos a e b como sendo a aplica¸c˜ao

ab : I −→ X dada por:

ab(t)=

⎧

⎨

⎩

a(2t),se0 ≤ t ≤

b(2t − 1),se

≤ t ≤ 1.

Como a(1) = b(0), a aplica¸c˜ao ab : I −→ X ´e bem deﬁnida e cont´ınua. Portanto, ab ´eum

caminho que come¸ca em a(0) e termina em b(1).

Cap

ıtulo

Grupo de Homotopia

2.1 Grupo Fundamental

Nesta se¸c˜ao, consideraremos pares do tipo (X,x

), onde x

∈ X ser´a chamado o ponto base

do espa¸co topol´ogico X. Os caminhos fechados a :(I,

I) −→ (X, x

) ser˜ao chamados la¸cos

baseados em x

. O conjunto

I ´e a fronteira de I, ou seja,

I = {0, 1}.

Deﬁni¸c˜ao 2.1.1 O Grupo Fundamental do espa¸co X com ponto base em x

, denotado por

(X, x

),´e o conjunto formado pelas classes de homotopia de la¸cos baseados em x

, munido

da opera¸c˜ao “∗” deﬁnida por [a]∗[b]=[ab], sendo a e b la¸cos baseados em x

,eab a justaposi¸c˜ao

desses caminhos .

O elemento neutro ´e a classe de homotopia ε = ε

=[e

] do caminho constante no ponto

O elemento inverso de uma classe de homotopia α =[a]´e deﬁnido por α

−1

=[a

−1

], onde

−1

´e o caminho inverso do caminho a.

Exemplo 2.1.1 O grupo fundamental da circunferˆencia S

´e isomorfo ao grupo aditivo Z dos

inteiros.

A demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em [3], proposi¸c˜ao 4, p. 57.

Exemplo 2.1.2 Para n ≥ 2, o grupo fundamental do espa¸co projetivo P

possui dois

elementos, portanto ´e isomorfo a Z

A demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em [3], Corol´ario, p. 78.

Espa¸cos Simplesmente Conexos

2.1 Grupo Fundamental

Deﬁni¸c˜ao 2.1.2 Um espa¸co topol´ogico X ´e simplesmente conexo quando ´e conexo por

caminhos e π

(X, x

)={0} para todo x

∈ X.

Isto signiﬁca que, para todo la¸co a : I −→ X, baseado em x

, tem-se a  e

Exemplo 2.1.3 Se n>1, a esfera S

´e simplesmente conexa.

Veja [3], Proposi¸c˜ao 7, p. 44.

Observamos que, no caso em que n =1,ac´ırcunferˆencia n˜ao ´e simplesmente conexa, visto

que seu grupo fundamental n˜ao ´e o trivial.

2.2 Grupos de Homotopia de Ordem Superior

A deﬁni¸c˜ao do n-´esimo Grupo de Homotopia de um espa¸co X, π

(X, x

), ´e estritamente

an´aloga a do Grupo Fundamental. Substitu´ımos o intervalo I =[0, 1] pelo cubo n-dimensional

constitu´ıdo dos pontos t =(t

, ..., t

) pertencentes ao espa¸co R

tais que 0 ≤ t

≤ 1(i =

1, ..., n).

Uma (n-1)-face do cubo I

´e obtida fazendo-se um ou mais t

=0out

= 1. A uni˜ao das

(n-1)-faces forma o bordo

de I

Considerando as aplica¸c˜oes de I

em X que levam

em x

, os elementos de π

(X, x

)s˜ao

as classes de homotopia de tais aplica¸c˜oes.

Deﬁnamos a opera¸c˜ao “ + ” entre duas aplica¸c˜oes f

e f

por

+ f

)(t)=

⎧

⎨

⎩

(2t

, ..., t

); 0 ≤ t

≤

(2t

− 1,t

, ..., t

);

≤ t

≤ 1.

(2.1)

e assim temos a seguinte deﬁni¸c˜ao:

Deﬁni¸c˜ao 2.2.1 Sejam X um espa¸co topol´ogico e x

∈ X. π

(X, x

) ´e o conjunto das classes

de homotopias de aplica¸c˜oes f : I

−→ X, tais que f(

)={x

}. Esse conjunto, munido

da opera¸c˜ao “+” deﬁnida por [f]+[g]=[f + g],´e um grupo, chamado o n-´esimo Grupo de

Homotopia do espa¸co X.

Um elemento de π

(X, x

) ser´a denotado por [f].

Observa¸c˜ao 2.2.1 Se o bordo de um cubo n-dimensional ´e identiﬁcado a um ponto, obtemos

uma conﬁgura¸c˜ao topologicamente equivalente a da esfera S

e um ponto referencial s

em S

Da´ı segue-se que um elemento de π

(X, x

) pode ser visto como uma classe de homotopia de

uma aplica¸c˜ao de S

em X,coms

sendo levado em x

2.2 Grupos de Homotopia de Ordem Superior

A (n-1)-face inicial do cubo I

, denotada por I

n−1

,´e deﬁnida fazendo-se t

=0.

A uni˜ao de todas as (n-1)-faces restantes de I

´e denotada por J

n−1

Ent˜ao,

= I

n−1

∪ J

n−1

= I

n−1

∩ J

n−1

Quando n =2,

Vamos deﬁnir o Grupo de Homotopia Relativa de X m´odulo A.

Sejam X um espa¸co, A um subespa¸co de X e x

um ponto pertencente a A.

Uma aplica¸c˜ao

f :(I

n−1

) −→ (X, A, x

) (2.2)

´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua de I

em X,quelevaI

n−1

em A e J

n−1

em x

Em particular, f leva

em A e

n−1

em x

Denotaremos por F

(X, A, x

) o conjunto de todas as aplica¸c˜oes f :(I

n−1

) −→

(X, A, x

). Quando n˜ao houver d´uvidas sobre o espa¸co, subespa¸co e ponto b´asico que estamos

trabalhando, denotaremos F

(X, A, x

)apenasporF

Quando f

e f

pertencerem `a F

, a soma f

+ f

ser´a deﬁnida de acordo com a equa¸c˜ao

2.1.

Assim, se n ≥ 2et

, ambas fun¸c˜oes se reduzem a x

.Da´ı, f

pertence `a F

quando

n ≥ 2. Quando n =1,f

+ f

pertence `a F

se A = {x

Com isso, podemos deﬁnir:

Deﬁni¸c˜ao 2.2.2 Duas aplica¸c˜oes f

, f

pertencentes `a F

(X, A, x

) s˜ao homot´opicas em

(X, A, x

)(e denota-se f

 f

) se existir uma aplica¸c˜ao H : I

× I −→ X tal que, para

todo t pertencente `a I

H(t, 0) = f

(t),H(t, 1) = f

(t)

e para cada τ pertencente `a I, a aplica¸c˜ao H

: I

−→ X deﬁnida por

(t)=H(t, τ)

2.2 Grupos de Homotopia de Ordem Superior

pertence `a F

(X, A, x

Com uma adequada Topologia de Espa¸cosdeFun¸c˜oes em F

, podemos dizer que f

e f

s˜ao ligadas por uma curva em F

Sejam f,g ∈ F

(X, A, x

). A rela¸c˜ao de homotopia  ´e:

Reﬂexiva

: Deﬁna H : I

× I −→ X por H(t, τ)=f(t). H ´e cont´ınua pois f ´e cont´ınua.

Al´em disso, para todo t ∈ I

etodoτ ∈ I,

H(t, 0) = H(t, 1) = f(t),

n−1

)=f(I

n−1

) ⊂ A,

n−1

)=f(J

n−1

)={x

Logo,

f  f.

Sim´etrica

: Seja H : f  g.Ent˜ao, H(t, 0) = f(t), H(t, 1) = g(t), H

n−1

) ⊂ A e

n−1

)={x

}, para todo t ∈ I

etodoτ ∈ I.

Consideremos K : I

× I −→ X, K(t, τ )=H(t, 1 − τ ). Temos que K ´e cont´ınua e, para

todo t ∈ I

etodoτ ∈ I,

K(t, 0) = H(t, 1) = g(t),

K(t, 1) = H(t, 0) = f(t),

n−1

)=H

1−τ

n−1

) ⊂ A,

n−1

)=H

1−τ

n−1

)={x

Da´ı,

f  g ⇒ g  f.

Transitiva

: Sejam H : f  g e K : g  h.Da´ı,

H(t, 0) = f(t),H(t, 1) = g(t),H

n−1

) ⊂ A, H

n−1

)={x

}

K(t, 0) = g(t),K(t, 1) = h(t),K

n−1

) ⊂ A, K

n−1

)={x

para todo t ∈ I

etodoτ ∈ I.

Deﬁnamos L : I

× I −→ X por L(t, τ )=

⎧

⎨

⎩

H(t, 2τ),se0 ≤ τ ≤

K(t, 2τ − 1),se

≤ τ ≤ 1

2.2 Grupos de Homotopia de Ordem Superior

Pelo Lema da Colagem 1.6.1, a aplica¸c˜ao H ´e cont´ınua e est´a bem deﬁnida pois, se τ =

H(t, 1) = K(t, 0) = g(t), para todo t ∈ I

Al´em disso, para todo t ∈ I

etodoτ ∈ I,

L(t, 0) = H(t, 0) = f (t),

L(t, 1) = K(t, 1) = h(t),

n−1

⎧

⎨

⎩

n−1

), 0 ≤ τ ≤

n−1

≤ 0 ≤ τ

⇒ L

n−1

) ⊂ A,

n−1

⎧

⎨

⎩

n−1

), 0 ≤ τ ≤

n−1

≤ 0 ≤ τ

⇒ L

n−1

)={x

Portanto,

f  geg h ⇒ f  h.

Desse modo, deﬁnimos

(X, A, x



Se f

 f



(i =1, 2) em F

, podemos combinar as duas homotopias para obter uma

homotopia f

+ f

 f



+ f



. Sendo assim, se α, β s˜ao elementos em π

com f

∈ α e f

∈ β,

todaa as somas f

+ f

pertencem `auma´unica classe de homotopia γ de π

. Desta forma,

deﬁnimos a adi¸c˜ao em π

por α + β = γ.

Com rela¸c˜ao `a essa adi¸c˜ao, π

´e um grupo. A lei associativa ´e demonstrada exibindo uma

homotopia (f

+ f

)+f

 f

+(f

+ f

). Tal homotopia ´e baseada na homotopia do eixo t

onde alongamos o intervalo [0,

]em[0,

], transladamos [

]em[

] e contra´ımos [

, 1] em

[

, 1].

O zero

do grupo ´e a classe de homotopia da aplica¸c˜ao constante: f

)={x

}. A rela¸c˜ao

+ f  f para toda f ´e provada deformando-se o intervalo I do eixo t

de forma que [0,

]

reduza a 0 e [

, 1] dilate para [0, 1].

Al´em do mais, uma aplica¸c˜ao f ∈ F

com imagem contida em A representa o zero.

Isso pode ser visto do seguinte modo: seja H a homotopia de I

sobre si mesmo, a qual

contrai I

na face onde t

= 1. Tal homotopia ´e dada por

H(t, τ)=(t

, ..., t

n−1

, (1 − τ)t

+ τ).

Tomando t =(t

, ..., t

) ∈ I

H(t, 0) = (t

, ..., t

n−1

)=t,

2.2 Grupos de Homotopia de Ordem Superior

H(t, 1) = (t

, ..., t

n−1

, 1) ∈ J

n−1

Ent˜ao, H



(t, τ)=f(H(t, τ )) ´e uma homotopia em F

de f em f

, pois



(t, 0) = f(t),



(t, 1) = f(t

, ..., t

n−1

, 1) = x

= f

(t),



n−1

)=f(H

n−1

)) ⊂ f(I

) ⊂ A,



n−1

)=f(H

n−1

)) ⊂ f(J

n−1

)={x

para quaisquer t ∈ I

e τ ∈ I.

Se f ∈ F

,ent˜ao

f(t)=f(1 − t

, ..., t

)

tamb´em est´aemF

.Ef + f , f + f s˜ao ambas homot´opicas a uma aplica¸c˜ao constante. Desde

que

f = f, para ver isto ´e suﬁciente considerar f + f.

Temos

(f +

f)(t)=

⎧

⎨

⎩

f(2t

, ..., t

); 0 ≤ t

≤

f(2t

− 1,t

, ..., t

);

≤ t

≤ 1.

Considerando H(t

, ..., t

,τ)=

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

f(2t

, ..., t

); 0 ≤ t

≤

f(τ,t

, ..., t

);

≤ t

≤ 1 −

f(2t

− 1,t

, ..., t

); 1 −

≤ t

≤ 1

, tem-se

H(t

, ..., t

, 0) =

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

f(0,t

, ..., t

); se t

f(0,t

, ..., t

); se 0 ≤ t

≤ 1

f(0,t

, ..., t

); se t

⇒ H(t, 0) = x

H(t

, ..., t

, 1) =

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

f(2t

, ..., t

); se 0 ≤ t

≤

f(1,t

, ..., t

); se t

f(2t

− 1,t

, ..., t

); se

≤ t

≤ 1

⇒ H(t, 1) = (f +

f)(t),

pois, se t

, f(2.

− 1,t

, .., t

)=f(1,t

, ..., t

2.2 Grupos de Homotopia de Ordem Superior

Al´em disso,

n−1

) ⊂ A

n−1

)={x

Dessa forma, tomando G(t

, ..., t

,τ)=H(t

, ..., t

, 1 − τ ), obtemos uma homotopia entre

f +

f e uma constante.

Deﬁni¸c˜ao 2.2.3 O conjunto π

(X, A, x

), formado pelas classes de homotopias das aplica¸c˜oes

f ∈ F

(X, A, x

) e com a opera¸c˜ao “+”,´e um grupo chamado o Grupo de Homotopia Relativa

n-dimensional de X mod A com ponto base x

Tal grupo ´e deﬁnido para n ≥ 2. No caso em que A = {x

}, o grupo tamb´em ´e deﬁnido para

n = 1 e coincide com o grupo fundamental π

(X, x

). Em geral, quando A = {x

}, escrevemos

(X, x

A nota¸c˜ao aditiva tem sido usada porque π

(X, x

)´e abeliano para n>1, e π

(X, A, x

)

´e abeliano para n>2. A id´eia da demonstra¸c˜ao para o caso n = 3 est´a apresentada abaixo e

pode ser visualizada na ﬁgura seguinte:

Escolhemos um homeomorﬁsmo ϕ entre o cubo de dimens˜ao 3 e um cilindro, cujo plano

´e um plano diametral. Uma rota¸c˜ao do cilindro em 180

permutar´a suas duas metades.

A menos de homeomorﬁsmo, a rota¸c˜ao anterior corresponde a “rota¸c˜ao” do cubo. Se f ´euma

aplica¸c˜ao do cubo, a composi¸c˜ao de f e a rota¸c˜ao do cilindro ´e uma homotopia de f na aplica¸c˜ao

. Como a rota¸c˜ao permuta as duas metades do cilindro, obtemos, para f

∈ F

+ f

 (f

+ f

)

= f

+ f

 f

+ f

2.2 Grupos de Homotopia de Ordem Superior

que ´e o resultado desejado.

Quando n = 2, a homotopia de rota¸c˜ao n˜ao mant´em o conjunto J

n−1

em x

. No entanto,

a homotopia de rota¸c˜ao se move em A. Mas se A = {x

}, o mesmo argumento mostra que

(X, x

)´e abeliano. A demosntra¸c˜ao para n>3´e a mesma; visto que a rota¸c˜ao ser´a no plano

) e as vari´aveis restantes n˜ao entram na constru¸c˜ao.

Observa¸c˜ao 2.2.2 Observe que f :(I

n−1

) −→ (X, A, x

) satisfaz f(I

n−1

) ⊂ A e

f(J

n−1

)={x

}. Mas,

= I

n−1

∪ J

n−1

e x

∈ A. Logo, f (

) ⊂ A.

Desse modo, a aplica¸c˜ao f tamb´em pode ser vista da seguinte maneira:

f :(I

n−1

) −→ (X, A, x

Desde que

(

n−1

) ≈ (D

n−1

uma deﬁni¸c˜ao alternativa para os elementos do grupo π

(X, A, x

) ´e a classe de homotopia de

aplica¸c˜oes f :(D

n−1

) −→ (X, A, x

), onde D

´e o disco n-dimensional e s

um ponto em

n−1

Observa¸c˜ao 2.2.3 Para os c´alculos do cap´ıtulo 5 necessitaremos do conhecimento dos grupos

de homotopia da esfera S

, 1 ≤ n ≤ 6, para os n´ıveis de homotopia de 1 a 6.

(Os resultados abaixo podem ser vistos em [1],p.339 e [7],p.215).

•

)

n 1 2 3 4 5 6

1 Z 0 0 0 0 0

2 0 Z Z Z

3 0 0 Z Z

4 0 0 0 Z Z

5 0 0 0 0 Z Z

6 0 0 0 0 0 Z

• π

)=0, ∀k<n;

• π

)=Z, ∀n;

• π

)=0, ∀k>1.

O Operador Bordo:

´e um homomorﬁsmo

δ : π

(X, A, x

) −→ π

n−1

(A, x

) (2.3)

2.2 Grupos de Homotopia de Ordem Superior

deﬁnido escolhendo uma aplica¸c˜ao f representando α em π

(X, A, x

) e restringindo f `a face

inicial I

n−1

de I

Temos f(J

n−1

)={x

}. Mas

n−1

= I

n−1

∩ J

n−1

,ent˜ao f(

n−1

)={x

Como

n−1

= I

n−2

∪ J

n−2

, f restrita `a face I

n−1

´e uma aplica¸c˜ao

δf :(I

n−1

n−2

) −→ (A, x

A homotopia de f

em f

,emF

, restrita `a I

n−1

× I fornece uma homotopia de δf

em δf

em F

n−1

(A, x

). Portanto, f −→ δf induz uma aplica¸c˜ao de classes de homotopia. E,

δ(f

+ f

)=δf

+ δf

A aplica¸c˜ao 2.3 est´a bem deﬁnida e ´e um homomorﬁsmo.

Desse modo, δ([f]) = [δf].

O Homomorﬁsmo Induzido:

Seja h :(X, A, x

) −→ (Y, B,y

) uma aplica¸c˜ao cont´ınua.

Para toda f pertencente a F

(X, A, x

) a composi¸c˜ao h ◦ f pertence a F

(Y,B, y

Desse modo, h deﬁne uma aplica¸c˜ao

∗

: π

(X, A, x

) −→ π

(Y,B, y

)

por h

∗

([f]) = [h ◦ f ], que ´e um homomorﬁsmo, chamado homomorﬁsmo induzido por h.

Proposi¸c˜ao 2.2.1 O grupo de homotopia de um produto cartesiano X × Y ´e isomorfo ao

produto cartesiano dos grupos de homotopia de X e Y .

Demonstra¸c˜ao: Consideremos os espa¸cos X, Y e x

, y

seus respectivos pontos base.

Consideremos tamb´em as aplica¸c˜oes proje¸c˜oes q

: X × Y −→ X e q

: X × Y −→ Y dadas

respectivamente por q

(x, y)=x e q

(x, y)=y.

Deﬁnimos η : π

(X × Y, (x

)) −→ π

(X, x

) × π

(Y,y

)porη([f]) = (q

1∗

([f]),q

2∗

([f])).

Sendo [f], [g] ∈ π

(X × Y, (x

)), a aplica¸c˜ao η est´a bem deﬁnida pois

[f]=[g] ⇒ f  g ⇒

⎧

⎨

⎩

◦ f  q

◦ g

◦ f  q

◦ g

⇒

⎧

⎨

⎩

◦ f]=[q

◦ g]

◦ f]=[q

◦ g]

⇒ η([f]) = η([g]).

Al´em disso,

η([f]+[g]) = (q

1∗

([f]+[g]),q

2∗

([f]+[g])) = (q

1∗

([f]) + q

1∗

([g]),q

2∗

([f]) + q

2∗

([g])) =

=(q

1∗

([f]),q

2∗

([f]))+(q

1∗

([g]),q

2∗

([g])) = η([f]) + η([g]),

o que torna η um homomorﬁrsmo.

2.2 Grupos de Homotopia de Ordem Superior

Tem-se tamb´em

η([f]) = η([g]) ⇒ (q

1∗

([f]),q

2∗

([f])) = (q

1∗

([g]),q

2∗

([g])) ⇒

⎧

⎨

⎩

1∗

([f]) = q

1∗

([g])

2∗

([f]) = q

2∗

([g])

⇒

⎧

⎨

⎩

◦ f]=[q

◦ g]

◦ f]) = [q

◦ g]

⇒

⎧

⎨

⎩

◦ f  q

◦ g

◦ f  q

◦ g

⇒ f  g ⇒ [f]=[g].

Desse modo, η ´e injetiva.

Tomando ([f], [g]) ∈ π

(X, x

) × π

(Y,y

), temos [f] ∈ π

(X, x

)e[g] ∈ π

(Y,y

). Ent˜ao

f : I

−→ X ´e tal que f(

)={x

} e g : I

−→ Y ´e tal que g(

)={y

Com isso, deﬁnimos h : I

−→ X × Y por h(t)=(f(t),g(t)), onde h(

)={(x

)}.

Logo, [h] ∈ π

(X × Y, (x

)) e

η([h]) = (q

1∗

([h]),q

2∗

([h])) = ([q

◦ h], [q

◦ h]) = ([f], [g]),

pois q

◦ h(t)=f(t)eq

◦ h(t)=g(t), para todo t ∈ I

Ent˜ao η ´e sobrejetiva.

Nessas condi¸c˜oes, η ´e isomorﬁsmo. 

2.3 Propriedades Elementares

O grupo π

e os dois tipos de homomorﬁsmos δ e h

∗

, possuem algumas propriedades b´asicas.

Para enunciarmos uma das propriedades que necessitamos, precisamos da seguinte deﬁni¸c˜ao:

Deﬁni¸c˜ao 2.3.1 Sejam i :(A, x

) −→ (X, x

) e j :(X, x

) −→ (X, A, x

) as aplica¸c˜oes

inclus˜oes.

Aseq

uˆencia inﬁnita de grupos e homomorﬁsmos

...

−→ π

(A, x

)

∗

−→ π

(X, x

)

∗

−→ π

(X, A, x

)

−→

n−1

(A, x

)

∗

−→ ...

∗

−→ π

(X, A, x

)

−→ π

(A, x

)

∗

−→ π

(X, x

)

´e chamada aseq

uˆencia de homotopia da tripla (X, A, x

Para mostrar que a seq

uˆencia acima ´e exata, necessitaremos da seguinte:

Proposi¸c˜ao 2.3.1 (Crit´erio da Compress˜ao) Uma aplica¸c˜ao f :(D

n−1

) −→

(X, A, x

) representa o zero em π

(X, A, x

) se, e somente se, f ´e homot´opica relativamente a

n−1

`a uma aplica¸c˜ao que possui imagem contida em A.

2.3 Propriedades Elementares

Demonstra¸c˜ao:(=⇒) Suponhamos que f :(D

n−1

) −→ (X, A, x

) representa o zero em

(X, A, x

), ou seja, [f] = 0. Ent˜ao existe uma homotopia entre a aplica¸c˜ao f e uma aplica¸c˜ao

constante em x

Seja F : D

× I −→ X tal homotopia. Da´ı, para todo x ∈ D

F (x, 0) = f (x) eF(x, 1) = x

e para todo t ∈ I etodou ∈ S

n−1

(u) ∈ AeF

)=x

Observe que existe uma fam´ılia de n-discos (a menos de homeomorﬁsmos) em D

× I,

iniciando em D

×{0} e terminando em D

×{1}∪S

n−1

× I, a saber, F =(



)

t∈I

, dados por



= D

×{t}∪S

n−1

× [0,t].

Ilustrando para o caso n =2.

Note que ∂



= S

n−1

×{0}⊂D

× I, para todo t ∈ I, ou seja, todos os discos dessa

fam´ılia possuem o mesmo bordo e D

× I =



t∈I



Deﬁnamos uma homotopia

F : D

× I −→ X, onde

F = F |

F (x, 0) = F |

(x, 0) = F (x, 0) = f(x), ∀x ∈ D

Deﬁnamos g(x):=

F (x, 1).

g(D

F (D

×{1})=F |

×{1})=F (D

×{1})={x

}⊂A.

Ent˜ao

g(D

) ⊂ A.

Al´em disso, para todo t ∈ I e para todo u ∈ S

n−1

F (u, t)=F |

(u, t) ∈ A

F (s

,t)=F |

,t)=x

2.3 Propriedades Elementares

Nessas condi¸c˜oes, f ´e homot´opica a uma aplica¸c˜ao g em F

(X, A, x

), onde g possui imagem

contida em A.

(⇐=) Suponhamos que f :(D

n−1

) −→ (X, A, x

) seja homot´opica `a uma aplica¸c˜ao

g :(D

n−1

) −→ (X, A, x

)emF

(X, A, x

) e tal que g(D

) ⊂ A.

Sendo H : D

× I −→ X tal homotopia, temos

H(x, 0) = f(x) eH(x, 1) = g(x), ∀x ∈ D

e para todo t ∈ I,

n−1

)=H(S

n−1

× I) ⊂ AeH

)=H({s

}×I)={x

Aﬁrma¸c˜ao 2.3.1 [g]=0em π

(X, A, x

De fato, como D

´e convexo, ent˜ao deﬁnamos uma aplica¸c˜ao cont´ınua F : D

× I −→ D

por

F (x, t)=(1− t)s

+ tx (segmento ligando s

`a x).

F (x, 0) = (1 − 0)s

+0s

= s

eF(x, 1) = (1 − 1)s

+1x = x = id

(x),

para qualquer x ∈ D

Tomemos a aplica¸c˜ao F



: D

× I −→ X dada por F



(x, t)=g ◦ F (x, t).



(x, 0) = g ◦ F (x, 0) = g(s

)=x



(x, 1) = g ◦ F (x, 1) = g(x),

para qualquer x ∈ D

. E para todo t ∈ I,



n−1

)=F



n−1

× I)=g ◦ F (S

n−1

× I) ⊂ g(D

) ⊂ A



)=g ◦ F (s

)=g((1 − t)s

+ ts

)=g(s

− ts

+ ts

)=g(s

)=x

Portanto,

g  cte(x

) ⇒ [g]=0.

Nessas condi¸c˜oes,

[f]=[g] e [g]=0 em π

(X, A, x

Logo,

[f]=0 em π

(X, A, x



2.3 Propriedades Elementares

A propriedade que necessitamos ´e a seguinte:

Propriedade 2.3.1 Asequˆencia de homotopia da tripla (X, A, x

) ´e exata.

Demonstra¸c˜ao: Mostremos que Im(j

∗

)=Ker(δ)emπ

(X, A, x

(X, x

)

∗

−→ π

(X, A, x

)

−→ π

n−1

(A, x

)

Sejam α ∈ π

(X, x

)ef ∈ F

(X, x

) tal que α =[f]. Da´ı,

f : I

−→ X

f(I

n−1

)={x

}

f(J

n−1

)={x

}

Como j :(X, x

) −→ (X, A, x

), tem-se

j ◦ f : I

−→ X

j ◦ f(I

n−1

)={x

}⊂A

j ◦ f(J

n−1

)={x

}

Ent˜ao

∗

(α)=[j ◦ f].

Assim,

δ(j

∗

(α)) = δ([j ◦ f]).

Mas, pela deﬁni¸c˜ao de δ,

δ([j ◦ f]) = [(j ◦ f) |

n−1

]=[x

]=0.

Logo,

δ(j

∗

(α)) = 0 ⇒ j

∗

(α) ∈ Ker(δ).

Portanto,

Im(j

∗

) ⊂ Ker(δ).

Sejam agora f :(I

n−1

) −→ (X, A, x

) tal que δ([f]) = 0 ∈ π

n−1

(A, x

Ent˜ao, f |

n−1

 g, g :(I

n−1

n−2

) −→ (A, x

)eg(I

n−1

)={x

Seja H : I

n−1

× I −→ A tal homotopia. Ent˜ao,

H(x, 0) = f |

n−1

(x),

2.3 Propriedades Elementares

H(x, 1) = g(x)=x

n−2

)={x

n−2

)={x

Estenderemos H a uma aplica¸c˜ao H



da seguinte forma:



(x, t)=

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

H(x, t),se(x, t) ∈ I

n−1

× I

f(x),se(x, t) ∈ I

×{0}

,se(x, t) ∈ J

n−1

× I

Dessa forma, H



passa a ser deﬁnida em E =(I

×{0}) ∪ (

× I)e´e cont´ınua.

O conjunto E ´e exatamente uma n-c´elula sobre o bordo da (n +1)-c´elula I

× I. Dessa

forma, pela observa¸c˜ao 1.2.1, E ´eums´olido.

Al´em disso, E ´e um espa¸co m´etrico compacto. Ent˜ao, pela propriedade 1.2.1, E ´e um retrato

absoluto. Dessa forma, existe uma retra¸c˜ao r : I

× I −→ E.

× I

−→ E



−→ X

Da composi¸c˜ao entre a homotopia H



e a retra¸c˜ao r resulta uma homotopia H



◦r : I

×I −→

Consideremos uma aplica¸c˜ao f



: I

−→ X, de forma que f



(

)={x

}. Como

n−1

∪ J

n−1

, tem-se



n−1

)={x

} ef



n−1

)={x

ou seja,



∈ F

(X, x

Compondo j com f



, obtemos a aplica¸c˜ao j ◦ f



:(I

n−1

) −→ (X, A, x

), e vamos

deﬁni-la por j ◦ f



(x)=H



◦ r(x, 1). Ent˜ao,



◦ r(x, 0) = H



(x, 0) = f(x),



◦ r(x, 1) = j ◦ f



(x),



◦ r ∈ F

(X, A, x

), pois

⎧

⎨

⎩



◦ r(I

n−1

× I) ⊂ A



◦ r(J

n−1

× I)={x

}

Logo,

[j ◦ f



]=[f] ⇒ j

∗

([f]) = [f] ⇒ [f] ∈ Im(j

∗

Portanto, Ker(δ) ⊂ Im(j

∗

2.3 Propriedades Elementares

Nessas condi¸c˜oes,

Ker(δ)=Im(j

∗

Exatid˜ao em π

(X, x

Seja f :(D

n−1

) −→ (A, x

) uma aplica¸c˜ao de forma que [f]´e um elemento em

(A, x

). Compondo as aplica¸c˜oes j, i e f, obtemos a aplica¸c˜ao

j ◦ i ◦ f :(D

n−1

) −→ (X, A, x

Mas,

f(D

) ⊂ A ⇒ j ◦ i ◦ f(D

) ⊂ A,

ou seja, j ◦ i ◦ f  j ◦ i ◦ f em F

(X, A, x

)ej ◦ i ◦ f(D

) ⊂ A. Logo, pelo Crit´erio da

Compress˜ao, [j ◦ i ◦ f] representa o zero em π

(X, A, x

). Assim,

[j ◦ i ◦ f]=0⇒ j

∗

◦ i

∗

([f]) = 0.

Portanto,

Im(i

∗

) ⊂ Ker(j

∗

De maneira an´aloga, seja f :(D

n−1

) −→ (X, x

) tal que j

∗

([f]) = 0 em π

(X, A, x

ou seja, [j ◦ f ] = 0. Pelo Crit´erio da Compress˜ao, j ◦ f  g, g :(D

n−1

) −→ (X, A, x

g(D

) ⊂ A.Ent˜ao, existe H : D

× I −→ X de forma que

H(x, 0) = j ◦ f (x)

H(x, 1) = g(x)

n−1

) ⊂ A

)=x

Consideremos h :(D

n−1

) −→ (A, x

) deﬁnida por

⎧

⎨

⎩

h(x)=g(x),sex∈ Int(D

h(x)=x

,sex∈

= S

n−1

Compondo h com a aplica¸c˜ao i, obtemos i ◦ h :(D

n−1

) −→ (X, x

Observe que, se x ∈ Int(D

i ◦ h(x)=i ◦ g(x)=g(x).

Esex ∈ S

n−1

i ◦ h(x)=f(x)=g(x)=x

2.3 Propriedades Elementares

Vamos deﬁnir K : D

× I −→ X por K(x, t)=

⎧

⎨

⎩

H(x, t),sex∈ Int(D

,sex∈ S

n−1

Dessa forma,

K(x, 0) =

⎧

⎨

⎩

H(x, 0) = j ◦ f (x)=f(x),sex∈ Int(D

= f(x),sex∈ S

n−1

K(x, 1) =

⎧

⎨

⎩

H(x, 1) = g(x)=i ◦ h(x),sex∈ Int(D

= i ◦ h(x),sex∈ S

n−1

)={x

}

)={x

Assim, f ´e homot´opica `a i ◦ h, de onde resulta que

[i ◦ h]=[f] ⇒ i

∗

[h]=[f],

ou seja,

Ker(j

∗

) ⊂ Im(i

∗

Logo,

Ker(j

∗

)=Im(i

∗

Exatid˜ao em π

(A, x

Seja [f] ∈ π

n+1

(X, A, x

), onde f :(I

n+1

) −→ (X, A, x

Temos que δ([f]) = [f |

], e f |

:(I

n−1

) −→ (A, x

). Compondo com a aplica¸c˜ao

i, i ◦ f |

:(I

n−1

) −→ (X, x

Consideremos g :(I

n−1

) −→ (X, x

) a aplica¸c˜ao constante em x

(g(x)=x

, ∀x ∈

Deﬁnimos H : I

× I −→ X por

H(x, τ)=H(t

, ..., t

,τ)=i ◦ f |

((1 − τ)t

+ τ,(1 − τ )t

, ..., (1 − τ)t

sendo x =(t

, ..., t

Com isso,

H(x, 0) = H(t

, ..., t

, 0) = i ◦ f |

, ..., t

)=i ◦ f |

(x)

H(x, 1) = H(t

, ..., t

, 1) = i ◦ f |

(1, 0, ..., 0) = x

= g(x)

n−1

)=i ◦ f |

n−1

)={x

}

2.3 Propriedades Elementares

n−1

)=i ◦ f |

n−1

)={x

Dessa forma, i ◦ f |

 g.Ent˜ao, [i ◦ f |

]=0.

Da´ı,

∗

◦ δ([f]) = i

∗

([f |

]) = [i ◦ f |

]=0.

Portanto,

Ker(i

∗

) ⊂ Im(δ).

Tomemos agora, [f] ∈ Ker(i

∗

), f :(I

n−1

) −→ (A, x

). Da´ı, i

∗

([f])=[i ◦ f]=0

em π

(X, x

). Pelo crit´erio da compress˜ao, i ◦ f  g, onde g :(I

n−1

) −→ (X, x

g(I

)={x

Sendo F : I

× I −→ X a homotopia entre i ◦ f e g, temos

F (x, 0) = g(x)=x

F (x, 1) = i ◦ f(x)

n−1

)={x

}

n−1

)={x

}

quaisquer que sejam x ∈ I

e τ ∈ I.

Consideremos as aplica¸c˜oes h :(I

n+1

) −→ (X, A, x

) deﬁnida por h(x, t

n+1

h(t

, ..., t

n+1

)=F ((t

, ..., t

), 1 − t

n+1

), e g



:(I

n−1

) −→ (A, x

) deﬁnida por



(x)=g(x).

Note que h(I

) ⊂ A e h(J

)={x

} .Al´em disso, Im(g)={x

} ent˜ao Im(g



) ⊂ A. Desse

modo, h e g s˜ao bem deﬁnidas.

De acordo com as deﬁni¸c˜oes de h e g, temos que h |

= g



, de onde resulta que δ([h]) =

[h |

]=[g



Assim, deﬁnimos a aplica¸c˜ao H : I

× I −→ A por H(x, t)=

⎧

⎨

⎩

f(tx),sex∈ Int(I

,sex∈

Da´ı,

H(x, 0) =

⎧

⎨

⎩

f(0) = x

= g



(x),sex∈ Int(I

= g



(x),sex∈

H(x, 1) =

⎧

⎨

⎩

f(x),sex∈ Int(I

= f(x),se x ∈

n−1

)={x

}

n−1

)={x

2.3 Propriedades Elementares

Logo,

f  g



⇒ [f]=[g



e assim

δ([h]) = [f ].

Portanto,

Ker(i

∗

) ⊂ Im(δ).

Nessas condi¸c˜oes,

Ker(i

∗

)=Im(δ).



Cap

ıtulo

Fibrados

Deﬁni¸c˜ao 3.0.2 Um ﬁbrado B consiste do seguinte:

i) Um espa¸co topol´ogico B chamado de espa¸co ﬁbrado;

ii)Um espa¸co topol´ogico X chamado de espa¸co base;

iii)Uma aplica¸c˜ao cont´ınua p : B −→ X chamada de proje¸c˜ao;

iv)Um espa¸co Y

chamado de ﬁbra.

O conjunto Y

= p

−1

(x) ´e chamado de ﬁbra sobre o ponto x de X.

E exigido que Y

seja

homeomorfo a Y , para qualquer x ∈ X.

E mais, que para todo x ∈ X, existe uma vizinhan¸ca V de x e um homeomorﬁsmo φ

V × Y −→ p

−1

(V ) tal que

p ◦ φ

= p

onde p

: V × Y −→ V ´e a proje¸c˜ao na primeira coordenada. Nestas condi¸c˜oes dizemos

que p ´e uma ﬁbra¸c˜ao localmente trivial com ﬁbra t´ıpica Y , φ

´e uma trivializa¸c˜ao local e

B = {B, p, X, Y } ´e um ﬁbrado sobre X.

Para a demonstra¸c˜ao do corol´ario 3.0.1 abaixo necessitamos do

Lema 3.0.1 Sejam p : B → X uma ﬁbra¸c˜ao localmente trivial, a : J → X um caminho, com

J =[s

] e z

∈ B um ponto tal que p(z

)=a(s

). Ent˜ao existe um caminho ˜a : J → B tal

que p ◦ ˜a = a e ˜a(s

)=z

Demonstra¸c˜ao: Vide [3], p.82 

Corol´ario 3.0.1 Seja p : B −→ X uma ﬁbra¸c˜ao localmente trivial. Se a base X e a ﬁbra

t´ıpica Y s˜ao conexas por caminhos ent˜ao o espa¸co total B tamb´em ´e conexo por caminhos.

Demonstra¸c˜ao: De fato, dados x, y ∈ B, existe um caminho em X ligando p(x)ap(y). O

levantamento desse caminho a partir de x liga este ponto a um ponto z ∈ p

−1

(p(y)). Como a

ﬁbra t´ıpica ´e conexa por caminhos o mesmo ocorre com p

−1

(p(y)), logo z pode ser ligado a y

por um caminho nesta ﬁbra sobre p(y). Justapondo estes caminhos, obtemos um caminho em

B ligando x a y. 

Deﬁni¸c˜ao 3.0.3 Um espa¸co X ´eumC

-espa¸co se X for normal, localmente compacto e

qualquer cobertura de X por abertos admite uma subcobertura enumer´avel.

Deﬁni¸c˜ao 3.0.4 Uma homotopia H



: X × I −→ Y ´e estacion´aria com H : X × I −→ Z

se, para cada t ∈ X e para cada τ ∈ I tal que H(t, τ ) ´e constante, ent˜ao H



(t, τ) tamb´em ´e

constante.

Teorema 3.0.1 (Teorema de Convergˆencia de Homotopia)

Seja B = {B, p, X, Y } um ﬁbrado sobre X.

Sejam X



um C

-espa¸co, f

: X



−→ B uma aplica¸c˜ao e H : X



× I −→ X uma homotopia

iniciando em p ◦ f

. Ent˜ao existe uma homotopia H



: X



× I −→ B de f

revestindo p ◦ f

(isto ´e,p◦ H



= H), ou seja, H



´e um levantamento da homotopia H.Al´em disso, H



´e

estacion´aria com H.

Demonstra¸c˜ao:([9], Teorema 11.7, p. 54). 

3.1 Seq

uˆencia de Homotopia de um Fibrado

Teorema 3.1.1 Teorema Fundamental

Seja B um ﬁbrado sobre X, A ⊂ X, B

= p

−1

(A), y

∈ B

e x

= p(y

). Ent˜ao

∗

: π

(B,B

)

∼

(X, A, x

),n≥ 2.

Demonstra¸c˜ao: Desde que p :(B, B

) −→ (X, A, x

)´e cont´ınua, ent˜ao p

∗

(B,B

) −→ π

(X, A, x

)´e um homomorﬁsmo.

Suponhamos p

∗

(α) = 0, onde α ∈ π

(B,B

) e seja f ∈ F

(B,B

) o seu representante.

Ent˜ao,

f :(I

n−1

) −→ (B, B

)

f(I

n−1

) ⊂ B

ef(J

n−1

)={y

Compondo a aplica¸c˜ao p com f temos p ◦ f :(I

n−1

) −→ (X, A, x

)

p ◦ f(I

n−1

)=p(f(I

n−1

)) ⊂ p(B

) ⊂ A ⇒ p ◦ f(I

n−1

) ⊂ A

3.1 Seq

uˆencia de Homotopia de um Fibrado

p ◦ f(J

n−1

)=p(f(J

n−1

)) = p({y

})={x

}⇒p ◦ f(J

n−1

)={x

Ent˜ao, p ◦ f ∈ F

(X, A, x

Mas,

∗

(α)=p

∗

([f]) = [p ◦ f]=0.

Logo, existe uma homotopia H : I

× I −→ X entre p ◦ f e a contante x

, tal que, para

todo t ∈ I

H(t, 0) = p ◦ f(t),H(t, 1) = x

(t)=H(t, τ) ∈ F

(X, A, x

), ∀τ ∈ I,

ou seja,

:(I

n−1

) −→ (X, A, x

)

n−1

) ⊂ A, ∀τ ∈ I ⇒ H(I

n−1

× I) ⊂ A

n−1

)={x

}, ∀τ ∈ I ⇒ H(J

n−1

× I)={x

✲

❙

❙✇

✓

✓✴

p ◦ fp

Pelo Teorema 3.0.1 de Convergˆencia de Homotopia, existe uma homotopia H



: I

×I −→ B

que ´e um levantamento da homotopia H (isto ´e, p ◦ H



= H), onde H



(t, 0) = f(t)eH



´e

estacion´aria com H.

Temos,

p(H



n−1

× I)) = p ◦ H



n−1

× I)

p◦H



= H(I

n−1

× I) ⊂ A,

ou seja,



n−1

× I) ⊂ B

Ainda, como H(J

n−1

× I)={x

} e H



´e estacion´aria com H, temos que H



n−1

× I)´e

constante, ou seja,



(t, τ)=k, ∀(t, τ) ∈ J

n−1

× I,

onde k ´e a constante.

Mas, em particular, para todo t em J

n−1

, H



(t, 0) = f(t)=k e, como f(J

n−1

)={y

temos f(t)=y

Logo,

k = y

⇒ H



n−1

× I)={y

3.1 Seq

uˆencia de Homotopia de um Fibrado

Assim, H



´e uma homotopia em F

(B,B

Consideremos a aplica¸c˜ao f



:(I

n−1

) −→ (B, B

), deﬁnida por f



(t)=H



(t).

Ent˜ao, H



´e uma homotopia entre f e f



pois, para todo t ∈ I



(t, 0) = f(t) eH



(t, 1) = H



(t)=f



(t).

Portanto,

f  f



Agora, vamos deﬁnir K : I

× I −→ I

por

K(t, τ)=K(t

, ..., t

,τ)=(t

, ..., t

n−1

, (1 − τ)t

+ τ).

K(t, 0) = K(t

, ..., t

, 0) = (t

, ..., t

n−1

, (1 − 0)t

+0)=(t

, ..., t

n−1

)=t.

K(t, 1) = K(t

, ..., t

, 1) = (t

, ..., t

n−1

, (1 − 1)t

+1)=(t

, ..., t

n−1

, 1).

Ent˜ao, K ´e uma homotopia de I

sobre a sua pr´opria face (t

= 1). Tal face est´a contida

em J

n−1

visto que t

=0.

Deﬁnimos ent˜ao a homotopia K



: I

× I

−→ I



−→ B por K



(t, τ)=f



◦ K(t, τ).

Ent˜ao,



(t, 0) = f



(K(t, 0)) = f



(t).



(t, 1) = f



(K(t, 1)) = y

, pois K(t, 1) ∈ J

n−1



n−1

)={y

Ainda, para todo τ ∈ I,



n−1

)=K



n−1

×{τ}) ⊂ K



n−1

× I)=f



(K(I

n−1

× I)) ⊂ f



) ⊂ B

pois p ◦ f



)=p ◦ H



)=p ◦ H



×{1})=H(I

×{1})={x

}⊂A,e



n−1

)=K



n−1

× I)=f



(K(J

n−1

× I)) ⊂ f



n−1

)={y

Logo, K



´e uma homotopia em F

(B,B

)entref



e a constante em y

Mas,

f  f



 cte(y

) ⇒ f  cte(y

Portanto, α = 0, ou seja, Ker(p

∗

)={0}.

Assim, p

∗

´e um monomorﬁsmo.

3.1 Seq

uˆencia de Homotopia de um Fibrado

Agora, sejam β ∈ π

(X, A, x

)ef seu representante em F

(X, A, x

). Ent˜ao, f :

n−1

) −→ (X, A, x

), onde

f(I

n−1

) ⊂ Aef(J

n−1

)={x

Seja K a mesma homotopia deﬁnida anteriormente e consideremos a aplica¸c˜ao H : I

×I −→

X dada por

H(t, τ)=f (K(t, τ)).

Ent˜ao

H(t, 0) = f(K(t, 0)) = f(t)

H(t, 1) = f(K(t, 1)) = f(t

, ..., t

n−1

, 1) = x

pois K(t, 1) ∈ J

n−1

ef(J

n−1

)={x

Assim, H ´e uma homotopia entre f e a aplica¸c˜ao constante em x

Note que, em geral, H n˜ao ´e uma homotopia em F

(X, A, x

) pois, tomando t =

, ..., t

n−1

, 0) ∈ I

n−1

(t)=H(t, τ)=f (K(t, τ)) = f(t

, ..., t

n−1

,τ)

e pode acontecer de (t

, ..., t

n−1

,τ)n˜ao pertencer `a I

n−1

Mas, mesmo assim, para todo τ ∈ I,

n−1

)=H(J

n−1

×{τ})=f (K(J

n−1

×{τ})) ⊂ f(J

n−1

)={x

}⇒

⇒ H

n−1

)={x

Consideremos a aplica¸c˜ao f



: I

−→ { y

Ent˜ao

p ◦ f



(t)=p(f



(t)) = p(y

)=x

, ∀t ∈ I

Logo, p ◦ f



(t)=H(t, 1) = H

(t), para todo t em I

✲

}

❙

❙✇

✓

✓✴



p ◦ f



Como H ´e uma homotopia entre f e p◦f



, pelo Teorema 3.0.1 de Convergˆencia de Homotopia,

existe uma homotopia H



: I

× I −→ { y

} de f



revestindo H (isto ´e, p ◦ H



= H), de forma

que H



(t, 1) = f



(t), e que seja estacion´aria com H.

3.1 Seq

uˆencia de Homotopia de um Fibrado

Seja f



: I

−→ B tal que f



(t)=H



(t, 0).

Para qualquer t em I

p ◦ f



(t)=p ◦ H



(t, 0) = H(t, 0) = f(t) ⇒ p ◦ f



= f.

Tomando t ∈ I

n−1

p ◦ f



(t)=f(t) ∈ A ⇒ f



(t) ∈ p

−1

(A)=B

Logo, f



n−1

) ⊂ B

Al´em disso,



n−1

)=H



n−1

)={y

}⇒f



n−1

)={y

Nessas condi¸c˜oes, f



∈ F

(B,B

)e´e o representante de α em π

(B,B

). A saber,

α =[f



Da´ı,

∗

(α)=p

∗

([f



]) = [p ◦ f



]=[f]=β.

Portanto, p

∗

´e um epimorﬁsmo.

Logo, p

∗

´e um isomorﬁsmo. 

Tomando A = {x

}, como B

= p

−1

(A)eY

= p

−1

({x

}), obtemos B

= Y

Ent˜ao, do Teorema Fundamental segue o seguinte Corol´ario.

Corol´ario 3.1.1 p

∗

: π

(B,Y

)

∼

(X, x

), n ≥ 2.

Sequˆencia de Homotopia de um Fibrado.

Sejam B = {B, p, X, Y } um ﬁbrado, Y

a ﬁbra sobre x

em X e y

pertencente `a Y

Sejam i :(Y

) −→ (B, y

)ej :(B,y

) −→ (B, Y

) as aplica¸c˜oes de inclus˜ao.

Ent˜ao, a seq

uˆencia de homotopia de (B,Y

)´e:

... −→ π

)

∗

−→ π

(B,y

)

∗

−→ π

(B,Y

)

−→ π

n−1

)

−→ ... −→ π

(B,y

Como y

´e o ponto base dos espa¸cos B e Y

, podemos escrever a seq

uˆencia da seguinte forma:

... −→ π

)

∗

−→ π

(B)

∗

−→ π

(B,Y

)

−→ π

n−1

) −→ ... −→ π

(B).

Na seq

uˆencia acima, δ ´e o operador bordo que restringe a aplica¸c˜ao f `a face inicial I

n−1

sendo [f]=α ∈ π

(B,Y

Consideremos a aplica¸c˜ao p

:(B,Y

) −→ (X, x

) a restri¸c˜ao da aplica¸c˜ao p :

(B,B

) −→ (X, A, x

3.1 Seq

uˆencia de Homotopia de um Fibrado

Pelo Corol´ario 3.1.1, p

1∗

: π

(B,Y

) −→ π

(X, x

)´e um isomorﬁsmo, para n ≥ 2.

Consideremos ent˜ao

−1

1∗

: π

(X, x

) −→ π

(B,Y

Da´ı, obtemos

(X, x

)

−1

1∗

−→ π

(B,Y

)

−→ π

n−1

Denotaremos por Δ a aplica¸c˜ao δ ◦ p

−1

1∗

: π

(X, x

) −→ π

n−1

Consideraremos sempre y

e x

os pontos bases dos espa¸cos B e X, respectivamente.

Portanto, vamos omitir tais pontos das nota¸c˜oes de seq

uˆencias exatas.

Assim, temos a seguinte deﬁni¸c˜ao.

Deﬁni¸c˜ao 3.1.1 Asequˆencia

... −→ π

)

∗

−→ π

(B)

∗

−→ π

(X)

−→ π

n−1

) −→ ... −→ π

(X)

−→ π

)

∗

−→ π

(B)

∗

−→ π

(X)

´e chamada sequˆencia de homotopia do ﬁbrado B com base em y

Teorema 3.1.2 Asequˆencia de Homotopia de um ﬁbrado ´e exata.

Demonstra¸c˜ao: De fato, pela propriedade 2.3.1, a sequˆencia de homotopia de (B, Y

)´e

exata.

Substitu´ımos os termos π

(B,y

) da seq

uˆencia de homotopia de (B, Y

) pelos termos

(X) e acrescentamos π

(X) ao ﬁnal da seq

uˆencia. Substitu´ımos tamb´em os homomorﬁrmos

correspondentes aos grupos substitu´ıdos, e inclu´ımos o homomorﬁsmo que corresponde ao termo

novo da seq

uˆencia. Dessa forma, obtemos a seq

uˆencia exata de homotopia de um ﬁbrado B.

Ent˜ao, tinhamos a seq

uˆencia:

... −→ π

(B)

∗

−→ π

(B,Y

)

−→ π

n−1

) −→ ...

onde Ker(δ)=Im(j

∗

) e, ap´os as substitui¸c˜oes, passamos a ter:

... −→ π

(B)

∗

−→ π

(X)

−→ π

n−1

) −→ ...

Note que o homomorﬁsmo p

∗

pode ser obtido pela seguinte composi¸c˜ao:

(B)

∗

−→ π

(B,Y

)

1∗

−→ π

(X),

ou seja, p

1∗

◦ j

∗

= p

∗

3.1 Seq

uˆencia de Homotopia de um Fibrado

Lembremos que o homomorﬁsmo Δ foi constru´ıdo atrav´es da composi¸c˜ao

(X)

−1

1∗

−→ π

(B,Y

)

−→ π

n−1

Vamos ent˜ao veriﬁcar a exatid˜ao em π

(X), n ≥ 2,

... −→ π

(B)

∗

−→ π

(X)

−→ π

n−1

) −→ ...

Seja α ∈ Im(p

∗

). Ent˜ao, existe β ∈ π

(B) tal que p

∗

(β)=α.

Mas,

Δ(α)=δ(p

−1

1∗

(α)) = δ(β)

visto que

−1

1∗

(α)=p

−1

∗

(α)=β

pois p

´e a restri¸c˜ao da aplica¸c˜ao p.

Como

β ∈ π

(B) ej

∗

(β)=β ∈ π

(B,Y

ent˜ao

β ∈ Im(j

∗

)=Ker(δ).

Logo,

Δ(α)=δ(β)=0.

Portanto,

α ∈ Ker(Δ).

Assim,

Im(p

∗

) ⊂ Ker(Δ).

Agora, seja α ∈ Ker(Δ).

Temos, usando a deﬁni¸c˜ao de Δ, que

Δ(α)=δ(p

−1

1∗

(α)) = 0,

onde p

−1

1∗

(α) ∈ π

(B,Y

Seja β = p

−1

1∗

(α).

Da´ı,

1∗

(β)=α.

Mas,

1∗

(β)=p

∗

(β)=α.

3.1 Seq

uˆencia de Homotopia de um Fibrado

Ent˜ao, α ∈ Im(p

∗

Logo,

Ker(Δ) ⊂ Im(p

∗

Assim, temos Ker(Δ) = Im(p

∗

A exatid˜ao em π

(B), n ≥ 2.

A seq

uˆencia

... −→ π

)

∗

−→ π

(B)

∗

−→ π

(X) −→ ...

pode ser vista como

... −→ π

)

∗

−→ π

(B)

∗

−→ π

(B,Y

)

1∗

−→ π

(X) −→ ...

Se α ∈ π

), ent˜ao

∗

(α) ∈ Ker(j

∗

), pois Im(i

∗

)=Ker(j

∗

Da´ı,

∗

(α)) = 0.

Agora,

1∗

∗

(α))) = 0 ⇒ p

1∗

◦ j

∗

◦ i

∗

(α)=0⇒ p

∗

◦ i

∗

(α)=0.

Portanto, Im(i

∗

) ⊂ Ker(p

∗

Seja agora β ∈ Ker(p

∗

Ent˜ao, como p

1∗

´e isomorﬁsmo,

∗

(β)=0⇒ p

1∗

◦ j

∗

(β)=0⇒ j

∗

(β)=p

−1

1∗

(0) = 0.

Assim, β ∈ Ker(j

∗

)=Im(i

∗

Portanto, Ker(p

∗

) ⊂ Im(i

∗

Nessas condi¸c˜oes, Ker(p

∗

)=Im(i

∗

Vejamos ent˜ao a exatid˜ao no termo π

), n ≥ 1.

A seq

uˆencia

... −→ π

n+1

(X)

−→ π

)

∗

−→ π

(B) −→ ...

pode ser vista como

... −→ π

n+1

(X)

−1

1∗

−→ π

n+1

(B,Y

)

−→ π

)

∗

−→ π

(B) −→ ...

3.1 Seq

uˆencia de Homotopia de um Fibrado

Tomando α ∈ π

n+1

(X), temos

∗

◦ Δ(α)=i

∗

◦ δ ◦ p

−1

1∗

(α).

Mas, δ ◦ p

−1

1∗

(α) ∈ Im(δ)=Ker(i

∗

Ent˜ao,

∗

◦ δ ◦ p

−1

1∗

(α)=0.

Logo, Im(Δ) ⊂ Ker(i

∗

Seja β ∈ Ker(i

∗

)=Im(δ).

Ent˜ao existe α ∈ π

n+1

(B,Y

) tal que δ(α)=β.

Como p

−1

1∗

´e isomorﬁsmo, portanto sobrejetora, existe γ ∈ π

n+1

(X) de forma que p

−1

1∗

(γ)=α.

Da´ı,

δ ◦ p

−1

1∗

(γ)=β ⇒ Δ(γ)=β ⇒ β ∈ Im(Δ).

Assim, Ker(i

∗

) ⊂ Im(Δ).

Logo, Ker(i

∗

)=Im(Δ).

Portanto, a parte da seq

uˆencia de homotopia do ﬁbrado B

... −→ π

)

∗

−→ π

(B)

∗

−→ π

(X)

−→ π

n−1

) −→ ...

... −→ π

(X)

−→ π

)

∗

−→ π

(B)

´e exata.

Veriﬁquemos ent˜ao a exatid˜ao no termo π

(B) devido `a inclus˜ao do termo π

(X).

... −→ π

)

∗

−→ π

(B)

∗

−→ π

(X).

Para o acr´escimo de tal termo, utilizamos o homomorﬁsmo p

∗

que, como j´a vimos, pode ser

obtido pela composi¸c˜ao p

1∗

◦ j

∗

= p

∗

...π

)

∗

−→ π

(B)

∗

−→ π

(B,Y

)

1∗

−→ π

(X)

Seja f : I −→ Y

um la¸co baseado em y

.Ent˜ao, [f] ∈ π

Da´ı,

∗

◦ i

∗

([f]) = p

∗

([i ◦ f]) = p

1∗

◦ j

∗

([i ◦ f]) = p

1∗

([j ◦ i ◦ f]) = [p

◦ j ◦ i ◦ f].

Mas, como Im(f) ⊂ Y

i ◦ f(I) ⊂ Y

⇒ j ◦ i ◦ f(I) ⊂ Y

⇒ p

◦ j ◦ i ◦ f(I)={x

3.1 Seq

uˆencia de Homotopia de um Fibrado

pois p

:(B,Y

) −→ (X, x

Assim,

◦ j ◦ i ◦ f]=[x

]=0.

Portanto, p

∗

◦ i

∗

([f]) = 0, ou seja, Im(i

∗

) ⊂ Ker(p

∗

Consideremos agora C um la¸co em B baseado em y

, de forma que [C] ∈ Ker(p

∗

). Ent˜ao,

∗

([C]) = 0 ⇒ [p ◦ C]=[x

] ⇒ p ◦ C  x

Existe ent˜ao uma homotopia H : I × I −→ X tal que

H(t, 0) = p ◦ C(t),H(t, 1) = x

eH(0,τ)=H(1,τ)=x

para todo t, τ em I.

Pelo Teorema 3.0.1 de Convergˆencia de Homotopia, existe uma homotopia H



: I × I −→ B

tal que p ◦ H



= H, H



(t, 0) = C(t) para todo t em I e H



´e estacion´aria com H.

Vamos deﬁnir f : I −→ B por f (t)=H



(t, 1).

Consideremos agora a aplica¸c˜ao

f : I −→ Y

= p

−1

({x

})), onde f(t)=f (t), para todo

t em I.

Temos que, para qualquer t pertencente a I,

p ◦

f(t)=p ◦ f(t)=p ◦ H



(t, 1) = H(t, 1) = x

o que nos mostra que

f est´a bem deﬁnida.

Al´em disso,

f(0) = f(0) = H



(0, 1) e f(1) = f(1) = H



(1, 1).

Mas, como H



´e estacion´aria com H, tem-se que, para todo τ em I,



(0,τ)=H



(1,τ)=y

Logo,

f(0) = f(1) = y

⇒ [f] ∈ π

Note que f : I −→ B,

f : I −→ Y

e i : Y

−→ B, ou seja, f = i ◦ f.

Da´ı,

∗

([f]) = [i ◦ f ]=[f]=[C].

Portanto, Ker(p

∗

) ⊂ Im(i

∗

Nessas condi¸c˜oes,

Ker(p

∗

)=Im(i

∗

Com isso, conclu´ımos que a seq

uˆencia de homotopia de um ﬁbrado B ´e exata. 

3.1 Seq

uˆencia de Homotopia de um Fibrado

Proposi¸c˜ao 3.1.1 Seja B = {B, p, X, Y } um ﬁbrado. Se a ﬁbra t´ıpica Y ´e conexa por

caminhos, se a base X ´e simplesmente conexa e se, al´em disso, π

(X)=0ent˜ao o grupo

fundamental de B ´e isomorfo ao grupo fundamental de Y .

Demonstra¸c˜ao: Dada a seq

uˆencia exata

... −→ π

(X)

−→ π

(Y )

∗

−→ π

(B)

∗

−→ π

(X)

e sendo X simplesmente conexa, temos, por hip´otese, π

(X)=π

(X)=0.

Ent˜ao,

... −→ 0 −→ π

(Y )

∗

−→ π

(B) −→ 0

o que torna i

∗

um isomorﬁsmo.

Logo,

(B)

∼

(Y ).



Proposi¸c˜ao 3.1.2 Seja B = {B, p, X, Y } um ﬁbrado. Se a base X ´e simplesmente conexa e a

ﬁbra t´ıpica Y ´e conexa por caminhos, ent˜ao o grupo fundamental de B ´e isomorfo a um grupo

quociente do grupo fundamental de Y .

Demonstra¸c˜ao: Consideremos a seq

uˆencia exata

... −→ π

(Y )

∗

−→ π

(B)

∗

−→ π

(X).

Como a base X ´e simplesmente conexa, ent˜ao π

(X)=0.

Da´ı, temos a seq

uˆencia exata

... −→ π

(Y )

∗

−→ π

(B)

∗

−→ 0.

Logo, Im(i

∗

)=Ker(p

∗

)=π

(B), ou seja, i

∗

´e um epimorﬁsmo. Pelo Teorema do

isomorﬁsmo,

(B)

∼

(Y )

Ker(i

∗

)



Cap

ıtulo

Grupos Cl´assicos

4.1 Grupo das Rota¸c˜oes do R

(SO(n))

Deﬁni¸c˜ao 4.1.1 O grupo das rota¸c˜oes do espa¸co euclidiano R

, denotado por SO(n),´e

formado pelas transforma¸c˜oes lineares T : R

−→ R

que preservam produto interno, ou

seja,

T (x),T(y) = x, y

para quaisquer x, y ∈ R

e, al´em disso, det(T )=1.

A multiplica¸c˜ao (composi¸c˜ao) de transforma¸c˜oes lineares faz de SO(n) um grupo.

Os elementos do SO(n) tamb´em podem ser vistos como matrizes reais ortogonais n × n,

com determinante 1.

Observa¸c˜ao 4.1.1 Analisando tais matrizes como solu¸c˜oes do sistema de equa¸c˜oes quadr´aticas

X · X

= I, podemos provar, com o Teorema das Fun¸c˜oes Impl´ıcitas, que SO(n) ´e uma

superf´ıcie compacta de dimens˜ao n(n − 1)/2 no espa¸co R

das matrizes n × n. (Veja [2],

p. 313).

4.2 Grupos Unit´arios (U(n)eSU(n))

Deﬁni¸c˜ao 4.2.1 O Grupo Unit´ario, denotado por U(n),´e o conjunto de todas as

tansforma¸c˜oes lineares T : C

−→ C

que preservam produto interno, ou seja, que cumprem a

condi¸c˜ao 

(

)

(

)





z,w



, para quaisquer

z,w

∈

Identiﬁcando T com sua matriz relativa `a base canˆonica de C

, podemos considerar U(n)

como o conjunto das matrizes complexas n × n cujas colunas (e linhas) tˆem comprimento (ou

norma) 1 e s˜ao duas a duas perpendiculares (matrizes unit´arias).

4.2 Grupos Unit´arios (U(n)eSU (n))

A descri¸c˜ao por meio de matrizes mostra que U(n)´e um subconjunto limitado e fechado de

(ou R

), logo ´e compacto.

Deﬁni¸c˜ao 4.2.2 O grupo especial unit´ario, SU(n),´e o subgrupo de U(n) formado pelas

matrizes unit´arias que tˆem determinante igual a 1.

Como subconjunto fechado de U(n), o grupo SU(n)´e compacto.

4.3 Grupo Simpl´etico (Sp(n))

Deﬁni¸c˜ao 4.3.1 O grupo simpl´etico Sp(n) ´e o grupo cujos elementos s˜ao matrizes n× n cujas

colunas (e linhas) s˜ao vetores em H

, unit´arios e dois a dois ortogonais.

Para cada n ∈ N, Sp(n)´e um conjunto limitado e fechado em H

= R

,logo´e compacto.

4.4 Exemplos de Fibrados

Exemplo 4.4.1 B = {SO(n),p,S

n−1

,SO(n−1)} ´e um ﬁbrado sobre S

n−1

, onde p : SO(n) −→

n−1

,n ≥ 2,´e deﬁnida por p(T )=T (e

), para toda T ∈ SO(n), sendo e

o primeiro vetor da

base canˆonica B do R

Observemos que, identiﬁcando T como a matriz da transforma¸c˜ao linear relativa `abase

canˆonica B, p(T )´e a primeira coluna da matriz T .

Consideremos o aberto V ⊂ S

n−1

, formado pelos vetores unit´arios x =(x

, ..., x

), com

> 0.

Sendo B = {e

, ..., e

} a base canˆonica do R

, consideremos a matriz

[x, e

, ..., e

⎛

⎜

⎝

00... 0

10... 0

01... 0

00... 1

⎞

⎟

⎠

Calculando seu determinante, obtemos:

det[x, e

, ..., e

]=x

> 0,

ou seja, determinante de [x, e

, ..., e

] > 0, para todo x ∈ V .

Como x

> 0, o conjunto {x, e

, ..., e

} ´e linearmente independente e assim, podemos aplicar

o Processo de Gramm-Schmidt para obtermos uma base ortonormal B



= {w

, ..., w

De acordo com o Processo de Gramm-Schmidt,

 x 

= x, pois  x =1.

4.4 Exemplos de Fibrados

Assim, B



= {x, w

, ..., w

}, onde w

||f

com f

= e

−

i−1



j=1

e

w

,i=2,...,n.

Dessa forma, a matriz [x, w

,...,w

]´e uma matriz ortogonal tendo como primeira coluna

o vetor x e mais, det[x, w

,...,w



i=2

||f

> 0 e portanto deve ser igual a 1.

Logo,

[x, w

,...,w

] ∈ SO(n).

Denotaremos [x, w

,...,w

]porσ(x). Assim, podemos deﬁnir uma aplica¸c˜ao que depende

continuamente do vetor x, σ : V −→ SO(n), onde para cada x em V associamos `a sua matriz

σ(x) constru´ıda da forma anterior.

Mas,

p(σ(x)) = x ∈ V ⇒ σ(x) ∈ p

−1

(V ).

Ent˜ao podemos deﬁnir σ : V −→ p

−1

(V ).

A partir de σ, deﬁnimos uma aplica¸c˜ao cont´ınua

: V × SO(n − 1) −→ p

−1

(V )

pondo ϕ

(x, M)=σ(x).M, onde a matriz M ∈ SO(n − 1) ´e vista em SO(n) acrescentando `a

sua primeira linha e primeira coluna o vetor (1, 0, ..., 0) ∈ R

As matrizes σ(x)eM s˜ao ortogonais, ent˜ao [σ(x)]

−1

=[σ(x)]

e M

−1

= M

Da´ı,

[σ(x).M]

−1

= M

−1

.[σ(x)]

−1

= M

.[σ(x)]

=[σ(x).M]

det[σ(x).M] = det[σ(x)]. det M =1.1=1.

Al´em disso,

p(σ(x).M)=x.

Logo, σ(x).M ∈ p

−1

(V ), o que nos mostra que ϕ

est´a bem deﬁnido.

Observemos que sendo p

: V ×SO(n−1) −→ V a proje¸c˜ao da primeira coordenada, temos:

(x, M)=x = p ◦ ϕ

(x, M),

ou seja

p ◦ ϕ

= p

Portanto, ϕ

´e uma trivializa¸c˜ao local cujo homeomorﬁsmo inverso ´e ψ

: p

−1

(V ) −→ V ×

SO(n − 1), dado por ψ

(T )=(x, σ(x)

−1

· T ), onde x = p(T).

4.4 Exemplos de Fibrados

O aberto V ´e uma vizinhan¸ca de e

em S

n−1

. A ﬁm de obter trivializa¸c˜oes locais sobre

vizinhan¸cas dos demais pontos, tomamos, para todo y ∈ S

n−1

, uma transforma¸c˜ao T ∈ SO(n)

de forma que T (e

)=y.Ent˜ao, sendo W = T (V ) a vizinhan¸ca aberta de y, deﬁnimos a

trivializa¸c˜ao local

: W × SO(n − 1) −→ p

−1

(W )

pondo ϕ

(w, M)=T.σ(T

−1

(w)).M, visto que p(T.σ(T

−1

(w)).M)=w ∈ W .

Temos, portanto, que p ´e uma ﬁbra¸c˜ao localmente trivial com ﬁbra t´ıpica SO(n − 1) e

B = {SO(n),p,S

n−1

,SO(n − 1)} ´e um ﬁbrado sobre S

n−1

Exemplo 4.4.2 B = {SU(n),p,S

2n−1

,SU(n − 1)} ´e um ﬁbrado sobre S

2n−1

, onde p :

SU(n) −→ S

2n−1

,n ≥ 2,´e deﬁnida por p(T )=T (e

), para toda T ∈ SU(n), sendo e

primeiro vetor da base canˆonica B do C

Considere o aberto V ⊂ S

2n−1

formado pelos vetores unit´arios z =(z

, ..., z

), com z

=0.

Da´ı, B = {z, e

, ..., e

}⊂C

´e uma base.

Aplicando o Processo de Gramm-Schmidt, obtemos uma base ortonormal B



= {z, v

, ..., v

pois

 z 

= z (pois  z =1).

Consideremos a matriz [z,v

, ..., v

] e suponhamos que seu determinante seja Δ. Ent˜ao a

matriz [z,

, ..., v

]´e tal que

det[z,

, ..., v

.det[z,v

, ..., v

.Δ=1.

Seja σ(z) a matriz [z,

, ..., v

]. Ent˜ao tal matriz ´e unit´aria (pois suas colunas s˜ao duas a

duas ortogonais) e possui determinante igual a 1.

Da´ı, podemos deﬁnir uma aplica¸c˜ao cont´ınua σ : V −→ SU(n)(σ dependendo

continuamente do vetor z) onde para cada z em V associamos a sua matriz σ(z) constru´ıda da

forma anterior.

Mas, como σ(z) possui o vetor z como primeira coluna,

p(σ(z)) = z ∈ V ⇒ σ(z) ∈ p

−1

(V ).

Assim podemos deﬁnir σ : V −→ p

−1

(V ) dada por z → σ(z).

A partir da´ı, deﬁnamos

: V × SU(n − 1) −→ p

−1

(V )

pondo ϕ

(z,M)=σ(z).M, onde a matriz M ∈ SU(n − 1) ´e vista em SU(n) acrescentando `a

sua primeira linha e primeira coluna o vetor (1, 0, ..., 0) ∈ C

4.4 Exemplos de Fibrados

As matrizes σ(z)eM s˜ao unit´arias, ent˜ao [σ(x)]

−1

= [σ(z)]

e M

−1

= M

Da´ı,

[σ(z).M]

−1

= M

−1

.[σ(z)]

−1

= M

.[σ(z)]

= M

.[σ(z)]

= [σ(z).M]

det[σ(z).M] = det[σ(z)]. det M =1.1=1.

Al´em disso,

p(σ(z).M)=z.

Logo, σ(z).M ∈ π

−1

(V ), o que nos mostra que ϕ

est´a bem deﬁnida.

A aplica¸c˜ao cont´ınua

: p

−1

(V ) −→ V × SU(n − 1),

deﬁnida por

(T )=(z, σ(z)

−1

· T ),

onde z = T (e

), ´e a inversa de ϕ

, logo ϕ

´e um homeomorﬁsmo.

Sendo p

: V × SU(n − 1) −→ V a proje¸c˜ao da primeira coordenada, temos:

(z,M)=z = p ◦ ϕ

(z,M),

ou seja

p ◦ ϕ

= p

e portanto ϕ

´e uma trivializa¸c˜ao local.

Como no caso de SO(n), para cada y ∈ S

2n−1

, consideramos uma transforma¸c˜ao T ∈ SU(n)

tal que T (e

)=y.Ent˜ao, W = T(V )´e uma vizinhan¸ca de y em S

2n−1

, sobre a qual deﬁnimos

a trivializa¸c˜ao local

: W × SU(n − 1) −→ p

−1

(W )

pondo ϕ

(w, M)=T.σ(T

−1

(w)).M.

Portanto p ´e uma ﬁbra¸c˜ao localmente trivial com ﬁbra t´ıpica SU(n − 1) e B =

{SU(n),p,S

2n−1

,SU(n − 1)} ´e um ﬁbrado sobre S

2n−1

Exemplo 4.4.3 Analogamente aos exemplos anteriores, B = {Sp(n),p,S

4n−1

,Sp(n−1)} ´eum

ﬁbrado sobre S

4n−1

, onde p : Sp(n) −→ S

4n−1

,n ≥ 2,´e deﬁnida por p(T )=T (e

), para toda

T ∈ Sp(n), sendo e

o primeiro vetor da base canˆonica B do R

Observa¸c˜ao 4.4.1 A deﬁni¸c˜ao das ﬁbra¸c˜oes localmente triviais dos exemplos anteriores

s˜ao dadas aplicando-se a transforma¸c˜ao linear no primeiro vetor da base canˆonica do

respectivo espa¸co. Por´em, tais aplica¸c˜oes tamb´em poderiam ter sido deﬁnidas aplicando-se

as tranforma¸c˜oes lineares em qualquer outro vetor da base canˆonica.

4.5 Algumas Propriedades dos Grupos Cl´assicos

Propriedades do Grupo SO(n)

Proposi¸c˜ao 4.5.1 O grupo SO(2) ´e isomorfo a S

(grupo multiplicativo dos n´umeros

complexos de m´odulo 1).

Demonstra¸c˜ao: Inicialmente observemos que se M ∈ SO(2) ent˜ao M =



a −c



. De fato,

se M =





∈ SO(2), temos que

det(M)=1⇒ ad − bc =1.

Al´em disso,



















 = (x

), (x

)

para quaisquer (x

), (x

) ∈ R

, ou equivalentemente,

+ c

+(ab + cd)x

+(ab + cd)y

+(b

+ d

= x

+ y

para quaisquer (x

), (x

) ∈ R

Da´ı,

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

+ c

ab + cd =0

ad − bc =1

+ d

Considerando as trˆes primeiras equa¸c˜oes do sistema acima obtemos b = −c e d = a como

quer´ıamos.

Agora, deﬁnamos uma aplica¸c˜ao φ : SO(2) → S

que associa a cada matriz M =



a −c



∈ SO(2) o n´umero complexo z = a + ci ∈ S

Ent˜ao, sendo M =



a −c









−c





∈ SO(2),

φ(M.M



)=φ(





− cc



−ac



− a



+ ac



− cc





)=(aa



−cc



)+(ca



+ac



)i =(a+ci).(a



i)=φ(M).φ(M



4.5 Algumas Propriedades dos Grupos Cl´assicos

Dessa forma, φ ´e um homomorﬁsmo.

Tamb´em Ker(φ)=





pois φ(



a −c



)=1⇒ a =1ec = 0 e portanto φ ´e

injetor.

Ainda, dado z = a + ci ∈ S

tome M =



a −c



∈ SO(2). Ent˜ao φ(M)=z e

φ ´e sobrejetor. Assim φ deﬁne um isomorﬁsmo entre SO(2) e S

. De fato, φ deﬁne um

homeomorﬁsmo entre SO(2) e S

. 

Proposi¸c˜ao 4.5.2 SO(n) ´e conexo por caminhos, para todo n.

Demonstra¸c˜ao: Provemos por indu¸c˜ao.

Para n =1,

SO(1) = {1},

que ´e conexo por caminhos.

Para n =2,

SO(2)

∼

que tamb´em ´e conexo por caminhos.

Suponhamos o resultado verdadeiro para n − 1, isto ´e, SO(n − 1) ´e conexo por caminhos.

Ent˜ao para n, consideremos a aplica¸c˜ao

p : SO(n) −→ S

n−1

Pelo Exemplo 4.4.1, p ´e uma ﬁbra¸c˜ao localmente trivial com base B = S

n−1

conexa por

caminhos e ﬁbra t´ıpica F = SO(n − 1) conexa por caminhos pela hip´otese de indu¸c˜ao. Assim,

pelo Corol´ario 3.0.1, temos que E = SO(n)´e conexo por caminhos. 

Para o que segue, R

denota o conjunto dos quat´ernios, R

denota o conjunto dos quat´ernios

imagin´arios puros, R denota o conjunto dos quat´ernios reais, S

denota o conjunto dos

quat´ernios de m´odulo 1 e “ · ” denota a multiplica¸c˜ao de quat´ernios.

Proposi¸c˜ao 4.5.3 Existe um homomorﬁsmo cont´ınuo sobrejetivo ϕ : S

−→ SO(3), cujo

n´ucleo ´e {1, −1}.

Demonstra¸c˜ao: Seja u ∈ S

. Consideremos a aplica¸c˜ao ϕ



: R

−→ R

dada por ϕ



(w)=

u · w · u

−1

, w ∈ R

Ent˜ao ϕ



´e um operador linear. De fato, sejam w, w

∈ R

e λ ∈ R.

 ϕ



+ w

)=u · (w

+ w

) · u

−1

=(u · w

+ u · w

) · u

−1

= u · w

· u

−1

+ u · w

· u

−1



)+ϕ



4.5 Algumas Propriedades dos Grupos Cl´assicos

 ϕ



(λw)=u · λw · u

−1

λ∈R

= λ(u · w · u

−1

)=λϕ



(w).

Al´em disso,

||ϕ



(w)|| = ||u · w · u

−1

|| = ||u||·||w||·||u

−1

|| = ||w||

pois u, u

−1

∈ S

Desse modo, o operador ϕ



´e um operador ortogonal.

Ainda, ϕ



(1) = u · 1 · u

−1

= u · u

−1

= 1. Assim, para qualquer w ∈ R



(w)=ϕ



(w1) = w · ϕ



(1) = w · 1=w.

Portanto ϕ



(R) ⊂ R. Logo, ϕ



torna o subespa¸co R invariante.

Como R

´e o complemento ortogonal de R em R

, ϕ



tamb´em deixa R

invariante.

Restringindo ϕ



ao subespa¸co R

, obtemos um operador ortogonal ϕ

: R

−→ R

, deﬁnido

por ϕ

(w)=ϕ



(w)=u · w · u

−1

, ∀w ∈ R

, o qual est´a bem deﬁnido pois ϕ

) ⊂ R

A matriz de ϕ

em rela¸c˜ao `abase{i, j, k} de R

tem como colunas os vetores u.i.u

−1

, u.j.u

−1

e u.k.u

−1

, que dependem continuamente de u ∈ S

. Temos det(ϕ

)=±1 para todo u ∈ S

Como S

´e conexa, e para u

= 1, vale det(ϕ

) = 1, segue-se que det(ϕ

) = 1 para todo

u ∈ S

, pois se existesse u

∈ S

tal que det(ϕ

)=−1ent˜ao a aplica¸c˜ao g : S

−→ { − 1, 1}

dada por g(u) = det(ϕ

) seria uma aplica¸c˜ao cont´ınua e sobrejetora de S

em {−1, 1}, o que

acarretaria S

desconexa (absurdo).

Logo ϕ

∈ SO(3), qualquer que seja u ∈ S

, o que nos d´a uma fun¸c˜ao cont´ınua ϕ : S

−→

SO(3), onde a cada u ∈ S

associamos o operador ortogonal ϕ

: R

−→ R

deﬁnido acima.

Desde que para todo w ∈ R

e u, v ∈ S

u·v

(w)=(u · v) · w · (u · v)

−1

= u · (v · w · v

−1

) · u

−1

= u · (ϕ

(w)) · u

−1

= ϕ

(ϕ

(w)) = ϕ

◦ ϕ

(w),

temos ϕ

u·v

= ϕ

◦ ϕ

e portanto ϕ ´e um homomorﬁsmo de grupos.

Calculando o Ker(ϕ), temos

Ker(ϕ)={u ∈ S

; ϕ(u)=id

} = {u ∈ S

; u · w · u

−1

= w, ∀w ∈ R

Assim,

Ker(ϕ)={u ∈ S

; u · w = w · u, ∀w ∈ R

ou seja, u comuta com todo w ∈ R

, em particular, comuta com todo imagin´ario puro e al´em

disso u ∈ S

.Ent˜ao, pelo Lema 1.5.1, u = ±1. Logo,

Ker(ϕ)={− 1, 1}.

4.5 Algumas Propriedades dos Grupos Cl´assicos

Em outras palavras, dados x, y ∈ S

ϕ(x)=ϕ(y) ⇔ ϕ(x)◦(ϕ(y))

−1

= id

⇔ ϕ(x)◦ϕ(y

−1

)=id

⇔ ϕ(x·y

−1

)=id

⇔ x·y

−1

= ±1

⇔ y = ±x.

Em particular, ϕ ´e localmente injetiva. Para concluir a demonstra¸c˜ao, resta-nos apenas

provar que ϕ ´e sobrejetiva. Como S

´e compacta e SO(3) ´e conexo, basta mostrar que ϕ ´e

uma aplica¸c˜ao aberta. De fato, como S

´e compacta e ϕ ´e cont´ınua, ϕ(S

)´e compacto em

SO(3). Como SO(3) ´e um espa¸co Hausdorﬀ, segue que ϕ(S

)´e fechado em SO(3). Por outro

lado, se ϕ ´e uma aplica¸c˜ao aberta, ϕ(S

)´e um subconjunto aberto de SO(3). Logo ϕ(S

)´eum

subconjunto n˜ao vazio, aberto e fechado de SO(3). Como SO(3) ´e conexo ent˜ao ϕ(S

)=SO(3)

e ϕ ´e sobrejetiva.

Mostremos agora que ϕ ´e uma aplica¸c˜ao aberta. Come¸camos observando que ϕ ´euma

aplica¸c˜ao de classe C

∞

pois para cada u ∈ S

, os elementos da matriz de ϕ

s˜ao fun¸c˜oes

inﬁnitamente diferenci´aveis de u. Como ϕ ´e um homomorﬁsmo de grupos, seu posto ´e constante.

Pela Proposi¸c˜ao 1.3.1, ϕ ´e uma imers˜ao (visto que ϕ ´e localmente injetiva), logo seu posto

´em´aximo, isto ´e, igual a 3, visto que pela observa¸c˜ao 4.1.1, SO(3) ´e uma superf´ıcie compacta

de dimens˜ao 3. Em particular ϕ ´e uma submers˜ao e portanto pela Proposi¸c˜ao 1.3.1, ϕ ´euma

aplica¸c˜ao aberta. 

Do fato que Kerϕ = {−1, 1} e portanto dados w, w



∈ S

ϕ(w)=ϕ(w



) ⇔ w = ±w



e ainda ϕ ´e sobrejetiva, obtemos uma bem deﬁnida bije¸c˜ao cont´ınua

ϕ : P

= S

/{−1, 1}−→SO(3)

dada por

ϕ([x]) = ϕ(x).

Como P

´e compacto e SO(3) ´e Hausdorﬀ, ent˜ao ϕ ´e um homeomorﬁsmo. Da´ı resulta o

Corol´ario 4.5.1 O espa¸co topol´ogico SO(3) ´e homeomorfo ao espa¸co projetivo P

. 

Proposi¸c˜ao 4.5.4 O espa¸co topol´ogico SO(4) ´e homeomorfo ao espa¸co topol´ogico SO(3) × S

Demonstra¸c˜ao: Seja h : SO(4) −→ SO(3) × S

a aplica¸c˜ao cont´ınua que associa a cada

operador ortogonal T : R

−→ R

em SO(4) o par (T



,w) ∈ SO(3) × S

, onde w = T (1)

´e o quat´ernio de m´odulo 1 (imagem do quat´ernio 1 por T ), e T



: R

−→ R

´e dada por



(v)=T (v) · w

−1

(multiplica¸c˜ao de quat´ernios) para todo v ∈ R

Como T



(1) = 1, ent˜ao T



(R) ⊂ R. Logo, T



) ⊂ R

4.5 Algumas Propriedades dos Grupos Cl´assicos

Al´em disso, w = T (1) ∈ R

e ||T (1)|| = 1, ou seja, w ∈ S

||T



(v)|| = ||T (v) · w

−1

|| = ||T (v)||.||w

−1

|| = ||v||

e portanto T



´e uma isometria de R

. Como T



(0) = T(0) · w

−1

=0ent˜ao T



´eumoperador

ortogonal do R

. Ainda, desde que detT = 1 segue que det[w, T(i),T(j),T(k)] = 1 e portanto

det[1,T(i) · w

−1

,T(j) · w

−1

,T(k) · w

−1

] = 1, ou equivalentemente, det[1,T



(i),T



(j),T



(k)] = 1.

Logo det[T



(i),T



(j),T



(k)] = 1 e portanto T



∈ SO(3).

Assim h est´a bem deﬁnida.

Dados T,U ∈ SO(4),

h(T )=h(U) ⇒ (T



,w)=(U



,z) ⇒

⎧

⎨

⎩



= U



T (1) = w = z = U(1)

Mas, para qualquer v ∈ R

⎧

⎨

⎩



(v)=T (v) · w

−1



(v)=U(v) · z

−1

⇒

⎧

⎨

⎩



(v) · w = T (v)



(v) · z = U(v)

⇒ T (v)=U(v).

Como T (1) = U(1), tem-se T = U. Logo, h ´e injetora.

Agora, dado (T



,w) ∈ SO(3) × S

, deﬁnamos T : R

−→ R

por

T (1) = w, T(i)=T



(i) · w, T(j)=T



(j) · w e T(k)=T



(k) · w

e estendamos por linearidade para todo R

. Assim, ´ef´acil veriﬁcar que para todo x ∈ R

||T (x)|| = ||x||,

pois T



∈ SO(3) e w ∈ S

Como T (0) = 0 ent˜ao T ´e um operador ortogonal do R

. Por outro lado temos detT =

det[w, T



(i) · w, T



(j) · w, T



(k) · w] = det[1,T



(i),T



(j),T



(k)] = det[T



(i),T



(j),T



(k)] = 1 e

assim T ∈ SO(4).

Como h(T )=(T



,w), h ´e sobrejetora.

Ainda, h

−1

: SO(3) × S

→ SO(4) dada por h

−1



,w)=T onde T : R

→ R

´e deﬁnida

como acima, ´e a inversa cont´ınua de h. Portanto h ´e um homeomorﬁsmo. 

Grau de uma Aplica¸c˜ao

Para a deﬁni¸c˜ao seguinte usaremos a homologia da esfera S

(veja [4], p.38).

Deﬁni¸c˜ao 4.5.1 Para uma aplica¸c˜ao g : S

→ S

com n>0, a aplica¸c˜ao induzida g

∗

4.5 Algumas Propriedades dos Grupos Cl´assicos

) → H

) ´e um homomorﬁsmo de um grupo c´ıclico inﬁnito nele pr´oprio e assim deve

ser da forma g

∗

(α)=dα para algum inteiro d dependendo somente de g. Este inteiro d ´e

chamado o grau de g, e ser´a denotado por deg(g).

Alguns resultados do grau de uma aplica¸c˜ao de S

→ S

s˜ao:

a) deg(f ◦ g)=deg(f).deg(g);

b) a aplica¸c˜ao ant´ıpoda a : S

−→ S

, deﬁnida por a(x)=−x para todo x ∈ S

, tem grau

(−1)

n+1

;

c) Se i

denota a identidade de S

, deg(i

)=1;

d) f,g : S

→ S

s˜ao homot´opicas se, e somente se, deg(f)=deg(g).

Observa¸c˜ao 4.5.1 Para cada x ∈ S

, seja f(x) a reﬂex˜ao de R

n+1

sobre o hiperplano

ortogonal a x. Ent˜ao f : S

→ O(n +1) ´e cont´ınua e, considerada como uma aplica¸c˜ao

de S

no espa¸co das fun¸c˜oes F (S

), f tem uma adjunta



f : S

× S

−→ S

, dada por



f(x, y)=f(x)(y).

Lema 4.5.1 A aplica¸c˜ao



f : S

× S

−→ S

´e do tipo (1 − (−1)

, −1); isto ´e,



f |

×y

tem

grau 1 − (−1)



f |

x×S

tem grau −1, para cada x, y ∈ S

Demonstra¸c˜ao: Veja [10], p. 197. 

Se f(x) denota a reﬂex˜ao de R

n+1

sobre o hiperplano ortogonal `a x, considere f

n−1

: S

n−1

−→ SO(n), onde f

: S

−→ SO(n +1)´e deﬁnida por f

(x)=f(x) ◦ f(e

onde e

´e o primeiro vetor da base canˆonica do R

n+1

e S

n−1

´e visto como o conjunto de pontos

, ..., x

n−1

, 0) ∈ S

Teorema 4.5.1 A aplica¸c˜ao f

n−1

: S

n−1

−→ SO(n) representa o elemento (−1)

n+1

n−1

∈

n−1

(SO(n)).

Demonstra¸c˜ao: Para cada x ∈ S

, seja f(x) a reﬂex˜ao de R

n+1

sobre o hiperplano ortogonal

a x.

Vamos ilustrar para o caso n =1:

4.5 Algumas Propriedades dos Grupos Cl´assicos

Os vetores x e y − y s˜ao paralelos, ent˜ao y − y = λx, λ ∈ R.

Da´ı,



y − y, x = λx, x⇒y, x−y, x = λ||x||

x∈S

⇒y,x−y, x = λ.

Seja θ oˆangulo entre os vetores x e y.Ent˜ao (π − θ)´eoˆangulo entre x e

Observe que

y, x = ||y||.||x||cosθ = ||y||cosθ,



y, x = ||y||.||x||cos(π − θ)=||y||cos(π − θ).

Mas, ||y|| = ||

y|| e cos(π − θ)=−cosθ. Logo,



y, x = ||y||(−cosθ)=−||y||cosθ = −y, x.

Assim,

λ = 

y, x−y, x = −y, x−y, x = −2x, y.

Como

y − y = λx,

y − y = −2x, yx ⇒ y = y − 2x, yx.

Desse modo, para qualquer y ∈ R

n+1

f(x)(y)=

y ⇒ f(x)(y)=y − 2x, yx.

Com isso, dados y, z ∈ R

n+1

, x ∈ S

e λ ∈ R,

f(x)(y + z)=y + z − 2x, y + zx =(y − 2x, yx)+(z − 2x, zx)=f (x)(y)+f(x)(z),

f(x)(λy)=λy − 2x, λyx = λ(y − 2x, yx)=λf(x)(y),

e, al´em disso,

f(x)(y),f(x)(z) = (y − 2x, y

x), (z − 2x, zx)

= y, z−2x, zy, x−2x, yx, z +4x, yx, zx, x

= y, z

ou seja, obtemos uma aplica¸c˜ao cont´ınua f : S

−→ O(n +1) (O(n +1)´e o grupo ortogonal

constitu´ıdo de todas as transforma¸c˜oes lineares T : R

n+1

−→ R

n+1

que preservam produto

interno), onde a cada x ∈ S

associamos a reﬂex˜ao f(x).

4.5 Algumas Propriedades dos Grupos Cl´assicos

Como, para cada x ∈ S

, f(x) preserva produto interno, a aplica¸c˜ao est´a bem deﬁnida.

Considerando f : S

−→ F (S

) deﬁnida por

f(x)=f(x) |

pela Observa¸c˜ao 4.5.1, f possui uma adjunta



f : S

× S

−→ S

, dada por



f(x, y)=f(x)(y).

Ent˜ao, dados x =(x

, ..., x

) ∈ S

e {e

, ..., e

} a base canˆonica de R

n+1

f(x)(e

)=e

−2x, e

x = e

−2x

x = e

−2x



j=0

= e



j=0

(−2x



j=0

(δ

−2x

i =0, ..., n, onde δ

⎧

⎨

⎩

1,sei= j

0,sei= j

Desse modo, a matriz de f(x)´e

[f(x)] =

⎛

⎜

⎝

1 − 2x

−2x

... −2x

−2x

1 − 2x

... −2x

−2x

... 1 − 2x

⎞

⎟

⎠

Deﬁnamos f

: S

−→ SO(n + 1) pondo f

(x)=f(x) ◦ f(e

), sendo e

o primeiro vetor da

base canˆonica de R

n+1

Observemos que det[f(x)] = 1 − 2||x||

= −1 para todo x ∈ S

Calculando o determinante da matriz [f(e

)]:

f(e

)(e

)=e

− 2(e

· e

⎧

⎨

⎩

−e

,sei=0

,sei=0

Assim,

[f(e

)] =

⎛

⎜

⎝

−10... 0

01... 0

00... 1

⎞

⎟

⎠

e det[f(e

)] = −1.

Desse modo,

det([f(x) ◦ f(e

)]) = det([f(x)]). det([f(e

)]) = (−1)(−1) = 1,

4.5 Algumas Propriedades dos Grupos Cl´assicos

ou seja,

f(x) ◦ f(e

) ∈ SO(n +1).

Sejam E

o hemisf´erio norte da esfera S

e S

n−1

o seu bordo, fazendo x

= 0. A aplica¸c˜ao

envia (E

n−1

)em(SO(n +1),SO(n))).

De fato: f

) ⊂ SO(n +1)ent˜ao f

) ⊂ SO(n +1).

Ainda, se x ∈ S

n−1

, x =(x

, ..., x

n−1

, 0),

](x)=[f(x)◦f(e

)] =

⎛

⎜

⎝

1 − 2x

−2x

... −2x

n−1

−2x

1 − 2x

... −2x

n−1

−2x

n−1

−2x

n−1

... 1 − 2x

−

00... 01

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

−10... 0

01... 0

00... 1

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

−1+2x

−2x

... −2x

n−1

1 − 2x

... −2x

n−1

−2x

n−1

... 1 − 2x

n−1

00... 01

⎞

⎟

⎠

Logo, f

n−1

) ⊂ SO(n).

Obtemos ent˜ao E

−→ SO(n +1)

−→ S

, de forma que, dado x ∈ E

, p ◦ f

(x)=

(f(x) ◦ f(e

))(e

)( vide Observa¸c˜ao 4.4.1).

Tem-se que

f(e

)(e

)=e

− 2e

e

= e

Logo,

p ◦ f

(x)=f(x)(e

)=e

− 2x, e

x.

Deﬁnamos g : S

−→ S

por

g(x)=f(x)(−e

)=−e

+2x, e

x.

Da´ı, g |

n−1

: S

n−1

−→ { − e

De fato, se x ∈ S

n−1

g(x)=−e

+2x, e

x = −e

+2(x

, ..., x

n−1

, 0), (0, ..., 0, 1)x = −e

Considere g

= g |

e g

−

)={−e

}, sendo E

−

o hemisf´erio sul de S

4.5 Algumas Propriedades dos Grupos Cl´assicos

Desde que g

(x) = −x para todo x ∈ S

, g

: S

−→ S

´e homot´opica a identidade via a

homotopia G : S

×I → S

deﬁnida por G(x, t)=

tx +(1− t)g

(x)

||tx +(1− t)g

(x)||

e portanto deg(g

)=1.

Estenda p ◦ f

sobre toda S

pondo p ◦ f

−

)={e

Assim, p ◦ f

= −g

= a ◦ g

, onde a : S

−→ S

´e a aplica¸c˜ao ant´ıpoda.

Da´ı, p ◦ f

: S

−→ S

´e tal que

deg(p ◦ f

)=deg(a ◦ g

)=deg(a)deg(g

)=(−1)

n+1

1=(−1)

n+1

Seja i

: S

−→ S

a aplica¸c˜ao identidade. Ent˜ao, [i

]´e um gerador de π

)=Z.

Logo, [i

] = π

Na seq

uˆencia de homotopia do ﬁbrado B =(SO(n +1),p,S

,SO(n)) considere o

homomorﬁsmo π

)

−→ π

n−1

(SO(n)) e fa¸ca Δ([i

]) = w

n−1

∈ π

n−1

(SO(n)).

Observe que f

n−1

= f

n−1

e[p ◦ f

]=[p ◦ f

◦ i

]=(p ◦ f

)

∗

([i

]) = deg(p ◦ f

)[i

(−1)

n+1

Da´ı,

n−1

= Δ([i

]) ⇒ (−1)

n+1

n−1

=(−1)

n+1

Δ([i

])

Δ:hom.

= Δ((−1)

n+1

]) = Δ([p ◦ f

]) =

Δ=δ◦p

−1

∗

= δ ◦ p

−1

∗

◦ p

∗

([f

]) = δ([f

]) = [f

n−1

]=[f

n−1

Portanto, f

n−1

: S

n−1

−→ SO(n) representa o elemento (−1)

n+1

n−1

∈ π

n−1

(SO(n)). 

Segue do Lema 4.5.1 que a aplica¸c˜ao p ◦ f

n−1

: S

n−1

→ S

n−1

tem grau 2 se n ´e par. Isto

´e equivalente a dizer que [p ◦ f

n−1

]=2[i

n−1

]. Logo p

∗

([f

n−1

])=2[i

n−1

]. Pelo Teorema 4.5.1,

n−1

]=−w

n−1

∈ π

n−1

(SO(n)). Assim, p

∗

n−1

)=−2[i

n−1

] onde [i

n−1

]´e um gerador de

n−1

)=Z.

Portanto, se n ´e par, w

n−1



∼

−1

∗

(−2[i

n−1

]) e da´ı temos o

Corol´ario 4.5.2 Se n ´e par ent˜ao w

n−1

gera um subgrupo c´ıclico inﬁnito de π

n−1

(SO(n)). 

Propriedades dos Grupos U(n) e SU(n)

Proposi¸c˜ao 4.5.5 Para todo n, o espa¸co topol´ogico U(n) ´e homeomorfo ao espa¸co topol´ogico

× SU(n)

Demonstra¸c˜ao: Deﬁnamos a aplica¸c˜ao cont´ınua

f : S

× SU(n) −→ U(n)

4.5 Algumas Propriedades dos Grupos Cl´assicos

por f(u, T )=R, onde R ´e a matriz obtida multiplicando-se a primeira coluna de T por u e

mantendo ﬁxa as demais.

Sejam u ∈ S

e T ∈ SU(n).

Identiﬁcando a matriz T por [v

, ..., v

], temos que det(T )=1e

v

 = δ

⎧

⎨

⎩

1,sei= j

0,sei= j

Assim,

f(u, T )=R =[uv

, ..., v

Como

uv

 = uv

 =0,

para todo j =2, ..., n,e

||u.v

|| = |u|

||v

|| =1,

temos que R ´e uma matriz unit´aria. Logo f ´e bem deﬁnida.

Agora deﬁnamos a aplica¸c˜ao cont´ınua

g : U(n) −→ S

× SU(n)

dada por g(R) = (det(R),T), onde T ´e obtida de R dividindo-se a primeira coluna de R por

det(R).

Assim, sendo R =[w

, ..., w

], ent˜ao T =[

det(R)

, ..., w

Uma vez que



det(R)

 =

det(R)

w

 =0,

para todo j =2, ..., n,e

det(R)

|| =

||w

| det(R)|

=1,

temos que T ´e uma matriz unit´aria. Al´em disso,

det(T )=

det(R)

det(R)=1.

ou seja, T ∈ SU(n).

Por outro lado, como R ´e unit´aria, sendo I

´e a matriz identidade de ordem n, temos

= I

⇒ det(R). det(R

)=1⇒ det(R).det(R

)=1⇒ det(R).det(R)=1⇒

| det(R)| =1⇒ det(R) ∈ S

4.5 Algumas Propriedades dos Grupos Cl´assicos

Assim g ´e bem deﬁnida.

Veriﬁquemos agora que g ´eainversadef.

De fato, dados T =[v

, ..., v

] ∈ SU(n)eu ∈ S

, temos:

g ◦ f(u, T )=g(f(u, [v

, ..., v

]))

= g([uv

, ..., v

])

= (det[uv

, ..., v

], [

det[uv

,...,v

]

, ..., v

])

Como det[uv

, ..., v

]=u det[v

, ..., v

]) = u det(T )=u, pois det(T ) = 1, segue que

g ◦ f(u, T )=(u, [v

, ..., v

]) = (u, T ).

Analogamente, sendo R =[w

, ..., w

] ∈ U(n),

f ◦ g(R)=f(det(R), [

det(R)

, ..., w

]) = [det(R)

det(R)

, ..., w

]=[w

, ..., w

]=R.

Nessas condi¸c˜oes, temos que f ´e um homeomorﬁsmo. 

Proposi¸c˜ao 4.5.6 SU(n) ´e conexo por caminhos, para todo n.

Demonstra¸c˜ao: Provemos por indu¸c˜ao sobre n.

Para n =1,

SU(1) = {1}

que ´e conexo por caminhos.

Para n = 2, consideremos a ﬁbra¸c˜ao localmente trivial

p : SU(2) −→ S

que possui base S

e ﬁbra t´ıpica SU(1) ambas conexas por caminhos. Pelo Corol´ario 3.0.1,

tem-se que SU(2) ´e conexo por caminhos.

Suponhamos que o resultado seja v´alido para n−1, ou seja, SU(n−1) ´e conexo por caminhos.

Ent˜ao, para n consideremos a ﬁbra¸c˜ao localmente trivial

p : SU(n) −→ S

2n−1

Como a base B = S

2n−1

´e conexa por caminhos e a ﬁbra t´ıpica F = SU(n − 1) ´e conexa

por caminhos pela hip´otese de indu¸c˜ao, de acordo com o Corol´ario 3.0.1, SU(n)´e conexo por

caminhos. 

4.5 Algumas Propriedades dos Grupos Cl´assicos

Proposi¸c˜ao 4.5.7 O espa¸co topol´ogico SU(2) ´e homeomorfo a esfera S

Demonstra¸c˜ao: Consideremos a ﬁbra¸c˜ao localmente trivial p : SU(2) → S

dada no

Exemplo 4.4.2. Observemos que T ∈ SU(2) pode ser vista como uma matriz do tipo



d −¯c



com c, d ∈ C e |c|

+|d|

=1. Ent˜ao p(T )=T (1, 0) =





. Logo, p

−1

: S

→ SU(2) deﬁnida

por p

−1

(x, y)=



x −¯y

y ¯x



´e a inversa cont´ınua de p.

De fato, dado (x, y) ∈ S

, temos

p ◦ p

−1

(x, y)=p(



x −¯y

y ¯x





x −¯y

y ¯x





=(x, y).

Al´em disso, dada T =



d −¯c



∈ SU(2),

−1

◦ p(



d −¯c



)=p

−1

(

d, c)=



d −¯c



Portanto p ´e um homeomorﬁsmo. 

Cap

ıtulo

C´alculo de Grupos de Homotopia dos Grupos

Cl´assicos

5.1 Grupo SO(n)

Grupo Fundamental

O grupo SO(1) = {1} ´e formado por um ´unico elemento. Logo

(SO(1)) = 0.

Pela Proposi¸c˜ao 4.5.1, SO(2)

∼

,ent˜ao π

(SO(2)) = π

) o que implica

(SO(2)) = Z.

Pelo Corol´ario 4.5.1, SO(3) ´e homeomorfo ao espa¸co projetivo P

. Portanto, segue do

Exemplo 2.1.2 que

(SO(3)) = Z

Como conseq

uˆencia da Proposi¸c˜ao 3.1.1 temos o

Corol´ario 5.1.1 Para n ≥ 4, tem-se π

(SO(n)) = Z

Demonstra¸c˜ao: Faremos a prova por indu¸c˜ao sobre n.

Para n = 4, consideremos a aplica¸c˜ao

p : SO(4) −→ S

5.1 Grupo SO(n)

dada no Exemplo 4.4.1.

A aplica¸c˜ao

p ´e uma ﬁbra¸c˜ao localmente trivial com espa¸co total SO(4), base S

e ﬁbra

t´ıpica SO(3).

Como SO(3) ´e conexo por caminhos, S

´e simplesmente conexa e π

) = 0 (vide

Observa¸c˜ao 2.2.3), ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 3.1.1,

(SO(4))

∼

(SO(3)) = Z

Suponhamos o resultado v´alido para n − 1 ≥ 4, isto ´e, π

(SO(n − 1)) = Z

Provemos para n ≥ 5. Temos a ﬁbra¸c˜ao localmente trivial

p : SO(n) −→ S

n−1

dada no Exemplo 4.4.1. Esta ﬁbra¸c˜ao possui espa¸co total SO(n), base S

n−1

simplesmente

conexa e ﬁbra t´ıpica SO(n−1) conexa por caminhos, com π

n−1

) = 0 (vide Observa¸c˜ao 2.2.3).

Ent˜ao

(SO(n))

∼

(SO(n − 1)) = Z

Portanto,

(SO(n)) = Z

,n≥ 4.



Grupos de Homotopia de Ordem Superior

C´alculo do Grupo de Homotopia de SO(n)non´ıvel k =2:

• O grupo SO(1) possui somente o elemento neutro. Logo,

(SO(1)) = 0.

• Pela Proposi¸c˜ao 4.5.1, tem-se que SO(2)

∼

.Da´ı, π

(SO(2)) = π

). Ent˜ao, de

acordo com a Observa¸c˜ao 2.2.3,

(SO(2)) = 0.

• Para o grupo SO(3), usaremos a seq

uˆencia exata do ﬁbrado dado no exemplo 4.4.1

... −→ π

(SO(2))

∗

−→ π

(SO(3))

∗

−→ π

)

−→ π

(SO(2))

∗

−→ π

(SO(3))

∗

−→ π

Como π

) = 0, ent˜ao p

∗

´e o homomorﬁsmo nulo, de onde resulta que i

∗

´e epimorﬁsmo.

Logo, Im(i

∗

)=π

(SO(3)).

5.1 Grupo SO(n)

Pelo Teorema do Isomorﬁsmo,

(SO(2))

Ker(i

∗

)

∼

(SO(3)).

Mas π

(SO(2)) = Z, π

(SO(3)) = Z

e Ker(i

∗

)=Im(Δ). Assim,

Im(Δ)

= Z

⇒ Im(Δ) = 2Z.

Desse modo, Δ : π

) −→ π

(SO(2)) (Δ : Z −→ Z)´e monomorﬁsmo. Logo, Ker(Δ) =

{0}.Ent˜ao Im(p

∗

)={0}. Portanto p

∗

´e o homomorﬁsmo nulo.

Ent˜ao temos a seq

uˆencia exata

... −→ π

(SO(2))

∗

−→ π

(SO(3))

∗

−→ 0 −→ ...

Como π

(SO(2)) = 0,

(SO(3)) = 0.

• Para n = 4 temos a seq

uˆencia exata

... −→ π

(SO(3))

∗

−→ π

(SO(4))

∗

−→ π

) −→ ...

Como π

(SO(3)) = 0 e π

) = 0 segue que

(SO(4)) = 0.

• Para n ≥ 5, consideraremos a seq

uˆencia exata

... −→ π

n−1

)

−→ π

(SO(n − 1))

∗

−→ π

(SO(n))

∗

−→ π

n−1

) −→ ...

Pela Observa¸c˜ao 2.2.3, π

n−1

)=π

n−1

) = 0 sempre que n ≥ 5.

Assim,

... −→ 0

−→ π

(SO(n − 1))

∗

−→ π

(SO(n)) −→ 0 −→ ...

o que nos fornece π

(SO(n − 1))

∼

(SO(n)), n ≥ 5, ou seja,

0=π

(SO(4))

∼

(SO(5))

∼

(SO(6))

∼

...

Desse modo,

(SO(n)) = 0,n≥ 5.

C´alculo do Grupo de Homotopia de SO(n)non´ıvel k =3:

5.1 Grupo SO(n)

• Grupo SO(1) = {1}:

(SO(1)) = 0.

• Grupo SO(2): Pela Proposi¸c˜ao 4.5.1, π

(SO(2)) = π

). Portanto, pela Observa¸c˜ao

2.2.3:

(SO(2)) = 0.

• Para o grupo SO(3), consideremos a seq

uˆencia exata

... −→ π

(SO(2))

∗

−→ π

(SO(3))

∗

−→ π

)

−→ π

(SO(2)) −→ ...

Como π

(SO(2)) = π

(SO(2)) = 0, resulta que π

(SO(3))

∼

Mas pela Observa¸c˜ao 2.2.3, π

)=Z. Logo,

(SO(3)) = Z.

• Grupo SO(4): Consideremos a seq

uˆencia exata

... −→ π

)

−→ π

(SO(3))

∗

−→ π

(SO(4))

∗

−→ π

)

−→ π

(SO(3)) −→ ...

Temos π

(SO(3)) = 0 e π

)=Z (vide Observa¸c˜ao 2.2.3).

Al´em disso, por π

)=Z

(vide Observa¸c˜ao 2.2.3) e π

(SO(3)) = Z, temos a aplica¸c˜ao

Δ:Z

−→ Z.

Mas, Z

= {0, 1} e por Δ ser homomorﬁsmo, Δ(0) = 0 ∈ Z.

Seja Δ(

1) = x, para algum x ∈ Z.Da´ı,

1+1=0 ⇒ Δ(1+1) = Δ(0)

Δ: hom.

⇒ Δ(1)+Δ(1) = 0 ⇒ x + x =0⇒ 2x =0⇒ x =0.

Portanto Δ ´e o homomorﬁsmo nulo.

Desse modo, a seq

uˆencia exata passa a ser

... −→ 0 −→ Z

∗

−→ π

(SO(4))

∗

−→ Z −→ 0 −→ ...

e sendo Z livre (Exemplo 1.1.1), a seq

uˆencia cinde. Ent˜ao

(SO(4)) = Z ⊕ Z.

• Para o grupo SO(5), consideremos a seq

uˆencia exata

... −→ π

)

−→ π

(SO(4))

∗

−→ π

(SO(5))

∗

−→ π

) −→ ...

5.1 Grupo SO(n)

Como π

)=0,p

∗

´e o homomorﬁsmo nulo. Portanto, Ker(p

∗

)=π

(SO(5)) = Im(i

∗

Aplicando o Teorema do Isomorﬁsmo,

(SO(5))

∼

(SO(4))

Ker(i

∗

)

Mas, π

(SO(4)) = Z ⊕ Z e Ker(i

∗

)=Im(Δ). Logo

(SO(5))

∼

Z ⊕ Z

Im(Δ)

Agora, pelo Corol´ario 4.5.2, temos Im(Δ) = w

 e w

= Δ([i

]), sendo i

: S

−→ S

aplica¸c˜ao identidade.

Mas, [i

] = π

)=Z,ent˜ao Im(Δ) = w



∼

Da´ı,

(SO(5))

∼

Z ⊕ Z

⇒ π

(SO(5))

∼

• Para o grupo SO(n), n ≥ 6, consideremos a seq

uˆencia exata

... −→ π

n−1

))

−→ π

(SO(n − 1))

∗

−→ π

(SO(n))

∗

−→ π

n−1

)) −→ ...

Da Observa¸c˜ao 2.2.3, π

n−1

)=π

n−1

)=0sen−1 ≥ 5. Ent˜ao temos a seq

uˆencia exata

... −→ 0 −→ π

(SO(n − 1))

∗

−→ π

(SO(n)) −→ 0 −→ ...

de onde se conclui que π

(SO(n − 1))

∼

(SO(n)), sempre que n ≥ 6.

Logo, Z = π

(SO(5))

∼

(SO(6))

∼

(SO(7))

∼

...

Portanto,

(SO(n)) = Z,n≥ 6.

5.2 Grupo U(n)eSU(n)

Grupo Fundamental

Segue da deﬁni¸c˜ao do grupo SU(1) que ele s´o possui o elemento neutro, assim, SU(1) = {1}.

Ent˜ao

(SU(1)) = 0.

Como conseq

uˆencia da Proposi¸c˜ao 3.1.2 temos o

Corol´ario 5.2.1 Para todo n, SU(n) ´e simplesmente conexo e π

(U(n)) = Z.

5.2 Grupo U(n)eSU (n)

Demonstra¸c˜ao: Inicialmente, observemos que para todo n, SU(n)´e conexo por caminhos

(vide Proposi¸c˜ao 4.5.6).

Temos que SU(1) = {1} ´e simplesmente conexo, pois SU(1) ´e conexo por caminhos e

(SU(1)) = 0.

Para n = 2, consideremos a ﬁbra¸c˜ao localmente trivial

p : SU(2) −→ S

dada no Exemplo 4.4.2, que possui base S

simplesmente conexa e ﬁbra t´ıpica SU(1) conexa

por caminhos. Pela Proposi¸c˜ao 3.1.2 tem-se que o grupo fundamental de SU(2) ´e isomorfo a

um grupo quociente do grupo fundamental de SU(1). Mas π

(SU(1)) = 0. Logo

(SU(2)) = 0.

Suponhamos agora que SU(n − 1) ´e um espa¸co simplesmente conexo para n − 1 ≥ 2, isto ´e,

SU(n − 1) ´e conexo por caminhos e π

(SU(n − 1)) = 0.

Provemos para n ≥ 3. Para isto basta mostra que π

(SU(n)) = 0. De fato, consideremos a

ﬁbra¸c˜ao localmente trivial

p : SU(n) −→ S

2n−1

com base S

2n−1

e ﬁbra t´ıpica SU(n − 1), dada no Exemplo 4.4.2.

Como S

2n−1

´e simplesmente conexa (vide Exemplo 2.1.3) e SU(n − 1) ´e conexo por

caminhos, segue pela Proposi¸c˜ao 3.1.2 que π

(SU(n)) ´e isomorfo a um grupo quociente do

grupo fundamental π

(SU(n − 1)) = 0 (hip´otese de indu¸c˜ao).

Portanto

(SU(n)) = 0, ∀n.

Como, pela Proposi¸c˜ao 4.5.5, para todo n, temos

U(n) ≈ S

× SU(n)

ent˜ao

(U(n))

∼

) × π

(SU(n)) ⇒ π

(U(n)) = Z ×{0}.

Portanto,

(U(n)) = Z.



Grupos de Homotopia de Ordem Superior

5.2 Grupo U(n)eSU (n)

C´alculo do Grupo de Homotopia de SU(n)non´ıvel k =2:

• Como o grupo SU(1) possui somente o elemento neutro,

(SU(1)) = 0.

• Pela Proposi¸c˜ao 4.5.7, SU(2) ´e homeomorfo a S

, assim π

(SU(2))

∼

). Como, pela

Observa¸c˜ao 2.2.3, π

) = 0 segue que

(SU(2)) = 0.

• Para o grupo SU(n), n ≥ 3, consideremos a seq

uˆencia exata

... −→ π

2n−1

)

−→ π

(SU(n − 1))

∗

−→ π

(SU(n))

∗

−→ π

2n−1

) −→ ...

Como 2n − 1 ≥ 5, π

2n−1

)=π

2n−1

) = 0 (vide Observa¸c˜ao 2.2.3), e portanto obtemos

a seq

uˆencia exata

... −→ 0 −→ π

(SU(n − 1))

∗

−→ π

(SU(n)) −→ 0 −→ ...

de onde resulta que

(SU(n − 1))

∼

(SU(n)),n≥ 3.

Logo,

0=π

(SU(2))

∼

(SU(3))

∼

(SU(4))

∼

...

Portanto,

(SU(n)) = 0, ∀n.

C´alculo do Grupo de Homotopia de SU(n)non´ıvel k =3:

• Como SU(1) = {1}:

(SU(1)) = 0.

• Pela Proposi¸c˜ao 4.5.7, SU(2) ≈ S

e, pela Observa¸c˜ao 2.2.3, π

)=Z.Logo

(SU(2)) = Z.

• Para o grupo SU(n), n ≥ 3, consideremos a seq

uˆencia exata

... −→ π

2n−1

)

−→ π

(SU(n − 1))

∗

−→ π

(SU(n))

∗

−→ π

2n−1

) −→ ...

Como 2n − 1 > 4, sempre que n ≥ 3, pela Observa¸c˜ao 2.2.3 tem-se π

2n−1

)=π

2n−1

5.2 Grupo U(n)eSU (n)

Sendo assim, obtemos a seq

uˆencia exata

... −→ 0 −→ π

(SU(n − 1))

∗

−→ π

(SU(n)) −→ 0 −→ ...

Dessa forma, π

(SU(n))

∼

(SU(n − 1)), n ≥ 3.

Portanto,

(SU(n)) = Z,n≥ 3.

Paraoc´alculo do Grupo de Homotopia de U(n), lembramos que, conforme Proposi¸c˜ao 4.5.5,

U(n) ≈ S

× SU(n), para todo n. Logo, π

(U(n))

∼

) × π

(SU(n)), para todo k.

C´alculo do Grupo de Homotopia de U(n)non´ıvel k =2:

• Como π

(SU(n)) = 0 para todo n e π

)=0,

(U(n)) = 0, ∀n.

C´alculo do Grupo de Homotopia de U(n)non´ıvel k =3:

• Tem-se que π

(SU(1)) = 0 e π

) = 0 (vide Observa¸c˜ao 2.2.3). Logo,

(U(1)) = 0.

• Agora, π

(SU(n)) = Z para todo n ≥ 2eπ

) = 0 (vide Observa¸c˜ao 2.2.3). Portanto,

(U(n)) = Z, ∀n ≥ 2.

5.3 Grupo Sp(n)

Grupo Fundamental

• Inicialmente observemos que o grupo Sp(1) pode ser identiﬁcado com a esfera S

pois, se

M ∈ Sp(1), M =[w], com w ∈ R

e ||w|| =1. Ent˜ao Sp(1) = S

. Como π

) = 0 (vide

Observa¸c˜ao 2.2.3), ent˜ao

(Sp(1)) = 0.

• Para o grupo Sp(n), n ≥ 2, consideremos a seq

uˆencia exata

... −→ π

4n−1

)

−→ π

(Sp(n − 1))

∗

−→ π

(Sp(n))

∗

−→ π

4n−1

Sempre que n ≥ 2, tem-se 4n − 1 > 2. Logo, da Observa¸c˜ao 2.2.3, π

4n−1

)=π

4n−1

5.3 Grupo Sp(n)

Portanto,

(Sp(n))

∼

(Sp(n − 1)) = 0, ∀n ≥ 2.

Assim

0=π

(Sp(1))

∼

(Sp(2))

∼

(Sp(3))

∼

···

Portanto,

(Sp(n)) = 0, ∀n.

Grupos de Homotopia de Ordem Superior

C´alculo do Grupo de Homotopia de Sp(n)non´ıvel k =2:

• Desde que Sp(1) = S

e π

) = 0 (vide Observa¸c˜ao 2.2.3), ent˜ao

(Sp(1)) = 0.

• Para o grupo Sp(n), n ≥ 2, consideremos a seq

uˆencia exata

... −→ π

4n−1

)

−→ π

(Sp(n − 1))

∗

−→ π

(Sp(n))

∗

−→ π

4n−1

) −→ ...

Temos que 4n − 1 > 3, sempre que n ≥ 2. Assim, π

4n−1

)=π

4n−1

) = 0 (vide

Observa¸c˜ao 2.2.3). Logo,

(Sp(n))

∼

(Sp(n − 1)), ∀n ≥ 2.

Portanto,

(Sp(n)) = 0, ∀n ≥ 2.

C´alculo do Grupo de Homotopia de Sp(n)non´ıvel k =3:

• Desde que Sp(1) = S

, segue que π

(Sp(1))

∼

). Ent˜ao, conforme Observa¸c˜ao 2.2.3,

(Sp(1)) = Z.

• Para o grupo Sp(n), n ≥ 2, consideremos a seq

uˆencia exata

... −→ π

4n−1

)

−→ π

(Sp(n − 1))

∗

−→ π

(Sp(n))

∗

−→ π

4n−1

) −→ ...

Como, para todo n ≥ 2, 4n − 1 > 4, π

4n−1

)=π

4n−1

) = 0 e portanto,

(Sp(n − 1))

∼

(Sp(n)),n≥ 2.

5.3 Grupo Sp(n)

Logo,

(Sp(n)) = Z, ∀n ≥ 2.

5.4 Mais c´alculos de Grupos de Homotopia dos Grupos Cl´assicos

Nesta se¸c˜ao faremos mais alguns c´alculos de grupos de homotopia dos grupos cl´assicos SO(n),

SU(n), U(n)eSp(n) para alguns valores de n.

C´alculo do Grupo de Homotopia de SO(1) no n´ıvel k =4:

Como SO(1) = {1},ent˜ao

(SO(1)) = 0.

C´alculo do Grupo de Homotopia de SO(2) no n´ıvel k =4:

Como SO(2)

∼

(vide Proposi¸c˜ao 4.5.1), π

(SO(2))

∼

). Logo,

(SO(2)) = 0.

C´alculo do Grupo de Homotopia de SO(3) no n´ıvel k =4:

Considerando a seq

uˆencia exata

... −→ π

(SO(2))

∗

−→ π

(SO(3))

∗

−→ π

)

−→ π

(SO(2)) −→ ...

Como π

(SO(2)) = π

(SO(2)) = 0, obtemos a seq

uˆencia exata

0 −→ π

(SO(3))

∗

−→ π

) −→ 0

de onde se conclui que p

∗

´e isomorﬁsmo. Mas, pela Observa¸c˜ao 2.2.3, π

)=Z

, portanto

(SO(3)) = Z

C´alculo do Grupo de Homotopia de SO(4) no n´ıvel k =4:

O grupo SO(4) ´e homeomorfo a SO(3)× S

(vide Proposi¸c˜ao 4.5.4). Como π

(SO(3)) = Z

e π

)=Z

(vide Observa¸c˜ao 2.2.3), ent˜ao

(SO(4)) = Z

⊕ Z

C´alculo do Grupo de Homotopia de SO(1) no n´ıvel k =5:

Como SO(1) = {1},ent˜ao

(SO(1)) = 0.

C´alculo do Grupo de Homotopia de SO(2) no n´ıvel k =5:

5.4 Mais c´alculos de Grupos de Homotopia dos Grupos Cl´assicos

Pela Proposi¸c˜ao 4.5.1, SO(2)

∼

e π

) = 0 (vide Observa¸c˜ao 2.2.3). Ent˜ao

(SO(2)) = 0.

C´alculo do Grupo de Homotopia de SO(3) no n´ıvel k =5:

Consideremos a seq

uˆencia exata

... −→ π

(SO(2))

∗

−→ π

(SO(3))

∗

−→ π

)

−→ π

(SO(2)) −→ ...

Como π

(SO(2)) = π

(SO(2)) = 0, obtemos a seq

uˆencia exata

... −→ 0 −→ π

(SO(3))

∗

−→ π

) −→ 0 −→ ...

Pela Observa¸c˜ao 2.2.3, π

)=Z

, e como p

∗

´e isomorﬁsmo, segue que

(SO(3)) = Z

C´alculo do Grupo de Homotopia de SO(4) no n´ıvel k =5:

Temos que SO(4) ≈ SO(3) × S

(vide Proposi¸c˜ao 4.5.4).

Pela Observa¸c˜ao 2.2.3, π

)=Z

,ent˜ao

(SO(4)) = Z

⊕ Z

C´alculo do Grupo de Homotopia de SO(1) no n´ıvel k =6:

Como SO(1) = {1},ent˜ao

(SO(1)) = 0.

C´alculo do Grupo de Homotopia de SO(2) no n´ıvel k =6:

Pela Proposi¸c˜ao 4.5.1, SO(2)

∼

e π

) = 0 (vide Observa¸c˜ao 2.2.3). Ent˜ao

(SO(2)) = 0.

C´alculo do Grupo de Homotopia de SO(3) no n´ıvel k =6:

Consideremos a seq

uˆencia exata

... −→ π

(SO(2))

∗

−→ π

(SO(3))

∗

−→ π

)

−→ π

(SO(2)) −→ ...

Como π

(SO(2)) = π

(SO(2)) = 0, obtemos a seq

uˆencia exata

... −→ 0 −→ π

(SO(3))

∗

−→ π

) −→ 0 −→ ...

5.4 Mais c´alculos de Grupos de Homotopia dos Grupos Cl´assicos

Al´em disso, π

)=Z

(vide Observa¸c˜ao 2.2.3), ent˜ao

(SO(3)) = Z

C´alculo do Grupo de Homotopia de SO(4) no n´ıvel k =6:

Temos que SO(4) ≈ SO(3) × S

(vide Proposi¸c˜ao 4.5.4).

Pela Observa¸c˜ao 2.2.3, π

)=Z

,ent˜ao

(SO(4)) = Z

⊕ Z

C´alculo do Grupo de Homotopia de SU(1) e U(1) no n´ıvel k =4:

Temos SU(1) = {1}. Portanto,

(SU(1)) = 0.

Como U(1) ≈ S

× SU(1) (vide Proposi¸c˜ao 4.5.5) e π

) = 0 (vide Observa¸c˜ao 2.2.3),

ent˜ao

(U(1)) = 0.

C´alculo do Grupo de Homotopia de SU(2) e U(2) no n´ıvel k =4:

Temos que SU(2) ≈ S

(vide Proposi¸c˜ao 4.5.7) e π

)=Z

(vide Observa¸c˜ao 2.2.3).

Portanto,

(SU(2)) = Z

Como π

) = 0, segue da Proposi¸c˜ao 4.5.5 que

(U(2)) = Z

C´alculo do Grupo de Homotopia de SU(1) e U(1) no n´ıvel k =5:

Temos SU(1) = {1}. Portanto,

(SU(1)) = 0.

Como U(1) ≈ S

× SU(1) (vide Proposi¸c˜ao 4.5.5) e π

) = 0 (vide Observa¸c˜ao 2.2.3),

ent˜ao

(U(1)) = 0.

C´alculo do Grupo de Homotopia de SU(2) e U(2) no n´ıvel k =5:

Temos que SU(2) ≈ S

(vide Proposi¸c˜ao 4.5.7) e π

)=Z

(vide Observa¸c˜ao 2.2.3).

Portanto,

(SU(2)) = Z

5.4 Mais c´alculos de Grupos de Homotopia dos Grupos Cl´assicos

Como π

) = 0, segue da Proposi¸c˜ao 4.5.5 que

(U(2)) = Z

C´alculo do Grupo de Homotopia de SU(1) e U(1) no n´ıvel k =6:

Temos SU(1) = {1}. Portanto,

(SU(1)) = 0.

Como U(1) ≈ S

× SU(1) (vide Proposi¸c˜ao 4.5.5) e π

) = 0 (vide Observa¸c˜ao 2.2.3),

ent˜ao

(U(1)) = 0.

C´alculo do Grupo de Homotopia de SU(2) e U(2) no n´ıvel k =6:

Temos que SU(2) ≈ S

(vide Proposi¸c˜ao 4.5.7) e π

)=Z

(vide observa¸c˜ao 2.2.3).

Portanto,

(SU(2)) = Z

Como π

) = 0, segue da Proposi¸c˜ao 4.5.5 que

(U(2)) = Z

C´alculo do Grupo de Homotopia de Sp(1) no n´ıvel k =4:

Como Sp(1) = S

e π

)=Z

(vide Observa¸c˜ao 2.2.3), tem-se que

(Sp(1)) = Z

C´alculo do Grupo de Homotopia de Sp(n), n ≥ 2, no n´ıvel k =4:

Consideremos a seq

uˆencia exata

... −→ π

4n−1

)

−→ π

(Sp(n − 1))

∗

−→ π

(Sp(n))

∗

−→ π

4n−1

) −→ ...

Como n ≥ 2, ent˜ao 4n − 1 > 5, de onde resulta que π

4n−1

)=π

4n−1

) = 0. Dessa

forma,

(Sp(n))

∼

(Sp(n − 1)),n≥ 2.

Portanto,

(Sp(n)) = Z

,n≥ 2.

C´alculo do Grupo de Homotopia de Sp(1) no n´ıvel k =5:

Como π

)=Z

(vide Observa¸c˜ao 2.2.3) e Sp(1) = S

segue que

(Sp(1)) = Z

5.4 Mais c´alculos de Grupos de Homotopia dos Grupos Cl´assicos

C´alculo do Grupo de Homotopia de Sp(n), n ≥ 2, no n´ıvel k =5:

Consideremos a seq

uˆencia exata

... −→ π

4n−1

)

−→ π

(Sp(n − 1))

∗

−→ π

(Sp(n))

∗

−→ π

4n−1

) −→ ...

Como n ≥ 2, ent˜ao 4n − 1 > 6, e assim conclu´ımos que π

4n−1

)=π

4n−1

) = 0 (vide

Observa¸c˜ao 2.2.3). Logo,

(Sp(n − 1)) = π

(Sp(n)),n≥ 2.

Portanto,

(Sp(n)) = Z

,n≥ 2.

C´alculo do Grupo de Homotopia de Sp(1) no n´ıvel k =6:

Desde que Sp(1) = S

, π

(Sp(1))

∼

). Como π

)=Z

(vide Observa¸c˜ao 2.2.3)

segue que

(Sp(1)) = Z

5.5 Resultados obtidos

Finalmente, apresentamos uma tabela com os resultados obtidos :

X k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6

SO(1) 0 0 0 0 0 0

SO(2) Z 0 0 0 0 0

SO(3) Z

0 Z Z

SO(4) Z

0 Z ⊕ Z Z

⊕ Z

SO(n), n ≥ 5 Z

0 Z

SU(1) 0 0 0 0 0 0

SU(2) 0 0 Z Z

SU(n), n ≥ 3 0 0 Z

U(1) Z 0 0 0 0 0

U(2) Z 0 Z Z

U(n), n ≥ 3 Z 0 Z

Sp(1) 0 0 Z Z

Sp(n), n ≥ 1 0 0 Z Z

Referˆencias Bibliogr´aﬁcas

[1] HATCHER, A. Algebraic Topology. Cambridge: Cambridge University Press, 2001.

[2] LIMA, E.L. Curso de An´alise. Instituto de Matem´atica Pura e Aplicada, vol. 2, Rio de

Janeiro, 2000.

[3] LIMA, E.L. Grupo Fundamental e Espa¸cos de Recobrimento. Instituto de

Matem´atica Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 1998.

[4] MASSEY, W. S. Singular Homology Theory. Springer-Verlag, New York, 1980.

[5] MENEGUESSO, E. Algumas Considera¸c˜oes sobre Espa¸cos de Eilenberg-

MacLane. Disserta¸c˜ao de Mestrado, IBILCE-UNESP, S˜ao Jos´e do Rio Preto, 2007.

[6] MILIES, F.C.P. An´eis e M´odulos. Universidade de S˜ao Paulo, 1972.

[7] MIMURA, M.; TODA, H. Topology of Lie Groups, I and II. Copyright, vol. 1, 1978.

[8] MUNKRES, J. R. Topology: A First Course. Prentice-Hall, Englewood Cliﬀs, NJ,

1975.

[9] STEENROD, N. The Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press, 1951.

[10] WHITEHEAD, G.W. Elements of Homotopy Theory. G.T.M. 61, Springer-Verlag,

New York, 1978.

Indice Remissivo

´algebra dos quat´ernios, 4

aplica¸c˜ao localmente injetiva, 3

-espa¸co, 30

crit´erio da compress˜ao, 20

espa¸co projetivo, 4

espa¸co simplesmente conexo, 11

espa¸cos s´olidos, 2

ﬁbra¸c˜ao localmente trivial, 29

ﬁbrado, 29

grau de uma aplica¸c˜ao, 50

grupo das rota¸c˜oes do R

(SO(n)), 41

grupo de homotopia de SO(n), 60

grupo de homotopia de Sp(n), 67

grupo de homotopia de SU(n), 64

grupo de homotopia de U(n), 64

grupo de homotopia relativa, 13, 17

grupo especial unit´ario (SU(n)), 42

grupo fundamental, 11

grupo fundamental de SO(n), 59

grupo fundamental de Sp(n), 66

grupo fundamental de SU(n), 63

grupo fundamental de U(n), 63

grupo simpl´etico (Sp(n)), 42

grupo unit´ario (U(n)), 41

grupos cl´assicos, 41

gurpo de homotopia, 12

homomorﬁsmo induzido, 19

homotopia, 6

homotopia de caminhos, 8

homotopia estacion´aira, 30

imers˜ao, 3

Lema da colagem, 7

operador bordo, 18

posto de uma aplica¸c˜ao diferenci´avel, 3

posto de uma transforma¸c˜ao linear, 3

retra¸c˜ao, 2

retrato absoluto, 2

seq

uˆencia de homotopia, 20

seq

uˆencia de homotopia de um ﬁbrado, 30, 34

seq

uˆencia de homotopia exata, 23

seq

uˆencia de homotopia exata de um ﬁbrado,

seq

uˆencia

exata,

seq

uˆencia exata curta, 1

submers˜ao, 3

Teorema da convergˆencia de homotopia, 30

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