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IFT
Instituto de Física Teórica
Universidade Estadual Paulista
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO IFT–D.001/08
RELATIVIDADE DE DE SITTER E A MECÂNICA QUÂNTICA
Cristhian Said Osorio Mayor
Orientador
José Geraldo Pereira
Co-orientador
Juan Pablo Beltrán Almeida
Fevereiro de 2008
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Livros Grátis
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Agradecimentos
Agradeço ao meu pai e à minha mãe, que sempre estiveram ao meu lado com todo seu
amor.
À Samira, por fazer minha vida melhor.
Ao profe ssor José Geraldo, pela sua or ientação , assim como a todos os professores do
IFT, com os quais aprendi muito.
Ao Juan Pablo, pela sua ajuda no desenvolvimento deste trabalho.
À todos os meus amigos.
À CAPES pelo apoio financeiro.
i
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Resumo
Na presença de uma constante cosmológica, interpretada como uma entidade pura-
mente geométrica, a ausência de matéria é representada pelo espaço de De Sitter. Como
conseqüência, a relatividade especial de Poincaré não é mais válida e deve ser substituída
pela relatividade especial de De Sitter. Na primeira parte do trabalho mostramos que,
nesta teoria as transformações de Lorentz preservam, além da velocidade da luz, uma
escala de comprimento relacionada à constante cosmológi ca. Na segunda parte, con-
siderando a cinemática de uma partícula sem spin no espaço de De Sitter, estudamos as
geodésicas deste espaço, as novas definições de momento canônico, e exploramos possíveis
implicações para a mecânica quântica.
Palavras Chaves: Espaço de D e Sitter; Constante Cosmológica; Relatividade Esp eci al
Áreas do conhecimento: Relatividade e Gravitação; Teoria Geral de Partículas e
Campos.
ii
Abstract
In the presence of a cosmological constant, interpreted as a purely geometric entity,
absence of matter is represented by the de Sitter spacetime. As a consequence, ordinary
Poincaré special relativity is n o longer valid and must be replaced by a de Sitter spe-
cial relativity. In the first part of the work we show that, in this theory, the Lorentz
transformations leave invariant, in addition to the sp eed of light, a length-scale related
to the cosmological constant. In the second part, by considering the kinematics of a
spinless particle in a de Sitter spacetim e, we study the geodesics of this spacetime, the
ensuing definitions of canonical momenta, and explore possible implications for quantum
mechanics.
iii
Sumário
1 Introdução 1
1.1 Notas Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 O Espaço de De S itter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Transformações de De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Contrações de Grupos e Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Transformações de Lorentz no Espaço de De Sitter 8
2.1 Notas Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Princípio da Equivalência Forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Transformações de Lorentz no Espaço de De Sitter . . . . . . . . . . . . . 9
3 Relatividade de De Sitter e Física Quântica 12
3.1 Notas Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Revisão da Cinemática no Espaço de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Cinemática no Espaço de De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.1 Invariante de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.2 Equações de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4 O Campo Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 Física Quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Campos no Espaço de De Sitter 21
4.1 Notas Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Campos no Espaço de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3 Vetores de Killing e o Grupo de Isometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4 Equação para o Campo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.5 O Operador de Laplace–Beltrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.6 O Campo de Spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Conclusões 29
Apêndices 31
iv
A Representações Irredutíveis: Poincaré e De Sitter 32
A.1 O Grupo de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A.2 O Grupo de De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Referências Bibliográficas 35
v
Capítulo 1
Introdução
1.1 Notas Preliminares
Nosso entendimento de física de partículas está intimamente relacionado com as rep-
resentações de grupos e relatividade especial. De fato, todas as partículas da natureza
são classificadas de acordo com as representações irredutíveis do grupo de Poincaré P,
grupo de movimento da relatividade especial. Esta propriedade sugere que a simetria
da relatividade especial deve ser considerad a como uma simetria exata da natureza, um
fato corrob orado por muitas experiências. Em princípio, não há razão para substituir o
grupo de Poincaré como o grupo de movimento do espaço-tempo. No entanto, quando
se trata de unificar a física de partículas (teoria quântica de campos) com gravitação,
encontram-se problemas conceituais relacionados com a existência de um limite na escala
de distância, dado pela escala de Planck. Esta escala mostra o limiar de uma nova física,
representada pela gravitação quântica. Agora, se a gravitação é clássica ou quântica
não pode depender do observador. Isto significa que a escala de Planck — ou alguma
escala fundamental associada — deve permanecer invariante sob a cinemática relevante
em altas energias, isto é, perto da escala de Planck. Uma vez que na relatividade especial
ordinária uma escala de comprimento seria contraída pelas transformações de Lorentz, o
requerimento de invariância de tal escala parece indicar que a si metria de Lorentz deve
ser quebrada [1].
1
Ou seja, perto da escala de Planck, o grupo de Poincaré deve ser
substituído por um grupo mais geral, o qual governa a cinemática de altas energias.
Por outro lado, na presença de uma constante cosmológica Λ, o espaço-tempo de
Minkowski M não é mais uma solução das equações de Einstein no vácuo. Se assumir-
mos que Λ tem uma natureza geométrica, e as equações de Einstein definem todos os
espaços-tempos aceitáveis, Minkowski perde seu s ign ificado físico. De fato, para Λ posi-
tivo, aus ência de gravitação é representada pelo espaço de De Sitter dS(4, 1) [4], cuja cin-
emática é governada, não pelo grupo de Poincaré, mas pelo grupo de De Sitter SO(4, 1).
1
Várias deformações da relatividade especial tem sido propostas, como por exemplo aquelas baseadas
no grupo de Poincaré κ-deformado [2], ou aquelas baseadas em realizações lineares de grupos mais gerais
[3].
1
Neste caso, a relativida de especial de Poincaré não é mais válida e deve ser substituída
pela relatividade especial de De Sitter [5].
2
Uma propriedade crucial da relatividade de De Sitter é que ela preserva o caráter
quociente do espaço-tempo. Minkowski é definido como o quociente entre os grupos de
Poincaré (P) e Lorentz (L):
M = P/L.
Da mesma forma, o espaço de De Sitter é tamb ém um espaço quociente [7]:
dS(4, 1) = SO(4, 1)/L.
Vemos dessas relações que, assim como na relatividade especial ordinária, na relatividade
especial de De Sitter o grupo de Lorentz p ermanece responsável pela isotropia do espaço
(grupo de rotações) e equivalência entre referenciais inerciais (boosts). As quatro trans-
formações adicionais, dadas pela combinação de translações e transformações con formes
[8], definem a homogeneidade do espaço de De Sitter.
1.2 O Espaço de De Sitter
Os espaços com curvatura escalar constante R são maximalmente simétricos: ad-
mitem o mais alto número de vetores de Killing. Dada uma s igna tura para a métrica,
este espaço é único [9] para cada valor de R. O espaço de Minkowski M, com R = 0,
é o mais simples. Seu grupo de movimento é o grupo de Poincaré P = L T , que é o
produto semi-direto do grupo de Lorentz L = SO(3, 1) e o grupo de translações T . Este
último age transitivamente em M , e sua variedade de grupo pode ser identificada com
M.
Entre os espaços curvos, os espaços de De Sitter e anti-De Sitter são as únicas possi-
bilidades. Um deles tem curvatura escalar negativa, e o outro positiva. Imersos respec-
tivamente nos espaços pseudo-Euclideanos E
4,1
e E
3,2
, eles são superfícies cujos pontos,
em coordenadas cartesianas (χ
A
) = (χ
0
, χ
1
, χ
2
, χ
3
, χ
4
), satisfazem [4]
η
AB
χ
A
χ
B
≡ (χ
0
)
2
− (χ
1
)
2
− (χ
2
)
2
− (χ
3
)
2
− (χ
4
)
2
= −l
2
(1.1)
e
η
AB
χ
A
χ
B
≡ (χ
0
)
2
− (χ
1
)
2
− (χ
2
)
2
− (χ
3
)
2
+ (χ
4
)
2
= l
2
, (1.2)
onde l é o parâmetro de compri mento de De Sitter. Usando o alfabeto latino (a, b, c ··· =
0, 1, 2, 3) para denotar os índices em quatro dimensões, com η
ab
= di ag (1, −1, −1, −1),
2
Idéias similares foram exploradas na referência [6].
2
e denotando η
44
= s, as expressões acima podem ser escritas na forma
η
ab
χ
a
χ
b
+ s (χ
4
)
2
= s l
2
. (1.3)
Para s = −1, temos o espaço de De Sitter dS(4, 1), cuja métrica é induzida pela métrica
pseudo-Euclideana η
AB
= (+1, −1, −1, −1, −1), e tem o grupo SO(4, 1) como grup o de
movimento. O caso s = +1 corresponde ao espaço de anti-De Sitter, denotado aqui por
dS(3, 2), cuja métrica vem de η
AB
= (+1, −1, −1, −1, +1), o qual tem o grupo SO(3, 2)
como grupo de movimento. Amb os são espaços homogêneos [7]:
dS(4, 1) = SO(4, 1)/L e dS(3, 2) = SO(3, 2)/L
e são soluções das equações de Einstein com termo cosmológico, o que implica na s egui nte
relação entre Λ e o parâmetro de comprimento de De Sitter l:
Λ = −
3s
l
2
. (1.4)
De agora em diante, iremos considerar apenas o espaço de De Sitter dS(4, 1), para o qual
a constante cosmológica é positiva: Λ > 0.
1.3 Transformações de De Sitter
Em termos das coordenadas 5-dimensionais, um a transformação de De Sitter é escrita
como
δχ
A
= − E
A
B
χ
B
, (1.5)
com E
A
B
os parâmetros da transformação. Os geradores correspondentes são
L
AB
= η
AC
χ
C
∂
∂χ
B
− η
BC
χ
C
∂
∂χ
A
. (1.6)
Considerando a projeção estereográfica desde a superfície de De Sitter s obre o espaço
de Minkowski, a transformação acima pode ser escrita numa forma 4-dimensional. As
coordenadas estereográficas {x
a
} são definidas por [10]
χ
a
= Ω(x) x
a
and χ
4
= −l Ω(x)
1 +
σ
2
4l
2
, (1.7)
onde
Ω(x) =
1 −
σ
2
4l
2
−1
, (1.8)
3
com σ
2
= η
ab
x
a
x
b
o intervalo invariante de Lorentz. As relaçõ es inversas são
x
a
= Ω
−1
(χ) χ
a
and
σ
2
4l
2
=
(χ
4
/l) + 1
(χ
4
/l) − 1
, (1.9)
com
Ω(χ) =
1
2
1 −
χ
4
l
. (1.10)
A métrica induzida pela projeção é
dτ
2
= g
ab
dx
a
dx
b
, (1.11)
com
g
ab
= Ω
2
η
ab
. (1.12)
Em coordenadas estereográficas, portanto, a métrica de De Sitter assume uma forma
conformalmente plana.
Em termos das coordenadas estereográficas, as transformações de De Sitter são dadas
por
δx
a
= −E
a
b
x
b
− E
4b
lδ
a
b
−
1
4l
2 η
bc
x
a
x
c
− σ
2
δ
a
b
. (1.13)
Em termos dos geradores, elas podem ser escritas como
δx
a
=
1
2
E
cd
L
cd
x
a
− E
4b
L
4b
x
a
, (1.14)
onde
L
ab
= η
ac
x
c
P
b
− η
bc
x
c
P
a
(1.15)
são os geradores de L orentz, e
L
4b
= lP
b
−
1
4l
K
b
(1.16)
são os geradores de “transl ações de De Sitter”, com
P
a
= ∂/∂x
a
e K
a
=
2η
ab
x
b
x
c
− σ
2
δ
c
a
∂/∂x
c
, (1.17)
respectivamente, o gerador de translações e o gerador de transformações especiais con-
forme. Os geradores L
ab
referem-se ao sub-grupo de Lorentz, e os geradores L
4a
definem
a transitividade no espaço d e De Sitter. Por esta razão, são chamados usualmente de
“translações” de De Sitter. Como se pode ver na Eq. (1.16), o espaço d e De S itter é
transitivo sob a combinação de translações e transformações especiais conformes. A im -
portância relativa de cada uma destas transformações é determinada pelo valor de l, ou
seja, pelo valor da constante cosmológica.
4
1.4 Contrações de Grupos e Álgebras
O procedimento de contração de grupos requer que, antes de se tomar o limite, os
geradores sejam escritos numa forma apropriada ao limite em questão. Estas alterações
são freqüentemente guiadas por considerações dimensionais, e são diferentes para difer-
entes limites [11]. Por esta razão, os limites de uma constante cosmológica muito grande
ou muito pequena devem ser considerados separadamente. Em particular, para uma
constante cosmológica pequena, é conveniente escrever os geradores na forma
L
ab
= η
ac
x
c
P
b
− η
bc
x
c
P
a
(1.18)
e
Π
a
≡
L
a4
l
= P
a
−
1
4l
2
K
a
. (1.19)
Para l → ∞, os geradores Π
a
se reduzem às translações ordinárias, e o grupo de De Sitter
contrai-se para o grupo de Poincaré P = L T . Concomitantemente, o espaço de De
Sitter dS(4, 1) se reduz ao espaço de Minkowski M = P/L, o qual é transitivo apenas
sob translações ordinárias.
Como um exemplo simples de um processo de contração de grupos, vamos considerar
a contração do grupo de Poincaré para o grupo de Galilei, a qual ocorre sempre que
consideramos o limite não relativístico de uma teoria. A álgebra do grupo de Poincaré é
[J
ab
, J
cd
] = η
bc
J
ad
+ η
ad
J
bc
− η
ac
J
bd
− η
bd
J
ac
(1.20a)
[J
ab
, P
c
] = η
ac
P
b
− η
bc
P
a
(1.20b)
[P
a
, P
b
] = 0. (1.20c)
O parâmetro de contração, neste caso, é a velocidade da luz c, que se encontra dentro da
coordenada x
0
. Assim, definimos
˜
T
i
≡
1
c
J
0i
= t∂
i
−
x
i
c
2
∂
t
, (1.21)
que no caso de c → ∞ fica
˜
T
i
→ T
i
= t∂
i
. (1.22)
Agora, tomamos o limite indicado e obtemos a seguinte álgebra:
[J
kl
, J
mn
] = η
kn
J
lm
+ η
lm
J
kn
− η
km
J
ln
− η
ln
J
km
(1.23a)
[T
k
, J
lm
] = η
kl
T
m
− η
km
T
l
(1.23b)
[J
kl
, P
m
] = η
km
P
l
− η
lm
P
k
(1.23c)
[T
i
, T
j
] = [T
i
, P
j
] = [P
k
, P
m
] = 0. (1.23d)
5
Os geradores J
kl
formam a álgebra do grupo de rotações SO(3), o gerador T
i
= t∂
i
gera
o “boost” galileanos, e o gerador P
i
gera as translações no espaço 3-dimensional. Esta é
a álgebra do grupo de Galilei. Das transformações finitas do grupo de Poincaré, pode-se
obter as transformações finitas do grupo de Galilei,
x
i
= λ
i
j
x
j
(1.24a)
x
i
= x
i
+ v
i
t (1.24b)
x
i
= x
i
+ a
i
(1.24c)
onde λ
i
j
denota um elemento do grupo de rotações. Note-se que durante o processo de
contração, perde-se o gerador P
0
que realizava as translações no tempo. Isto se deve ao
fato que o tempo não é mais uma coordenada, mas apenas um parâmetro externo. Em
outras palavras, o espaço de Minkowski se reduz ao espaço Euclid eano 3-dimensional.
O caso de De Sitter é mais interessante pois a álgebra tem dois parâmetros invari-
antes: a velocidade d a luz c e o parâmetro de comprimento de De S itter l. Vamos então
considerar a contração que leva o grupo de De Sitter ao grupo de Poincaré. Esta con-
tração é obtida com o limite l → ∞. Em termos dos geradores (1.18) e (1.19), a álgebra
do grupo de De Sitter é dada por
[J
ab
, J
cd
] = η
bc
J
ad
− η
ac
J
bd
− η
bd
J
ac
+ η
ad
J
bc
(1.25a)
[J
ab
, Π
c
] = η
bc
Π
a
− η
ac
Π
b
(1.25b)
[Π
a
, Π
b
] =
1
l
2
J
ab
. (1.25c)
Quando tomamos o limite l → ∞, os geradores das “translações de De Sitter se reduzem
às translações ordinárias:
Π
a
= P
a
−
1
l
2
K
a
−→ P
a
. (1.26)
Conseqüentemente, a álgebra de De Sitter se reduz àquela do grupo de Poincaré:
[J
ab
, J
cd
] = η
bc
J
ad
− η
ac
J
bd
− η
bd
J
ac
+ η
ad
J
bc
(1.27a)
[J
ab
, P
c
] = η
bc
P
a
− η
ac
P
b
(1.27b)
[P
a
, P
b
] = 0. (1.27c)
É importante observar que a contração de anti-De Sitter leva ao mesmo resultado, isto
é, ao grupo de Poincaré. Se tomamos agora o limite de c → ∞, a álgebra do grupo de
Poincaré se reduz à álgebra do grupo de Newton-Hooke.
6
1.5 Objetivos
Trabalhando no contexto descrito nas seções anteriores, os objetivos deste trabalho
são:
• Estudar as transformações de Lorentz no espaço de De Sitter.
• Discutir as modificações do princípio de equivalência decorrentes da mudança na
relatividade especial.
• Estudar possíveis modificações, introd uzid as pela constante cosmológica, na cin-
emática de partículas escalares, e também a relação desse problema com o campo
escalar.
• Na relatividade de De Sitter, as noções de energia e momentum são modificadas.
Pretendemos estudar as implicações para a mecânica quântica, bem como seu re-
flexo no princípio de incerteza.
• Obter as equações invariantes sob transformações do grupo de De Sitter para os
campos escalar, espinorial e vetorial, e encontrar a relação entre o operador de
Casimir e o operador de Laplace-Beltrami para o caso de campos bos ôni cos.
7
Capítulo 2
Transformações de Lorentz no Espaço de De Sitter
2.1 Notas Preliminares
Neste capítulo vamos explorar a relação entre referenciais equivalentes no contexto
de relatividade de De Sitter [5]. Em outras palavras, vamos estudar as propriedades das
transformações de Lorentz agindo no espaço de De Sitter. Recordemos que a maioria
destas propriedades são bem conhecidas. O que vamos fazer é considerá-las no contexto de
deformações e modificações da relatividade especial ordinária, com o propósito de estudar
uma possível cinemática de altas energias. A razão principal é que esta cinemática parece
oferecer uma boa estrutura para propiciar o questionamento que motiva a pesquisa de
modificações em relatividade especial. Começaremos revisando, na próxima seção, as
mudanças que ocorrem no princípio da equivalência forte, para em seguida passarmos a
analizar as bases das transformações de De Sitter, das quais as transformações de Lorentz
formam um subgrupo.
2.2 Princípio da Equivalência Forte
Numa de suas versões, o p rincíp io de equivalênci a diz que, na presença de um campo
gravitacional, é sempre possível achar um sistema de coordenadas local onde as leis da
física se reduzem àquelas da relatividade especial. Quando pensamos na relatividade
especial de Poincaré, esta idéia é facilmente representada notando-se que em cada ponto
p de um espaço-tempo qualquer há sempre um espaço tangente, dado p elo espaço de
Minkowski, o qual aproxima o espaço num pequeno dom íni o ao redor de p. Por outro
lado, n a presença de uma constante cos moló gica, a relatividade especial ordinária não é
mais válida e deve ser substituída pela relatividade especial de De Sitter. O grupo de
simetria local do espaço muda de Poincaré para De Sitter, e o princípio de equivalência
deve ser, assim, modificado. Sua versão modificada diz que, na presença de um ca mpo
gravitacional, sempre é possível achar um sistema de coordenadas local onde as leis da
física se reduzem àquelas da relatividade especial de De Sitter.
Coordenadas sempre assumem valores de algum subconjunto aberto de um espaço
8
Euclidiano (ou pseudo-Euclidiano), o qual é o espaço Minkowski para as coordenadas
estereográficas que estamos usando. A equação (1.13) representa uma transformação de
De Sitter naquele espaço coordenado, isto é, Minkowski. Este é um caminho matem-
aticamente conveniente para representar a simetria local do espaço porque, l ocalmente,
sempre podemos identificar o espaço com o espaço Minkowski tangente. Sobre cada es-
paço tangente, as leis da física devem ser invariantes sob as transformações de De Sitter
(1.13). Devemos ressaltar que esta não é a única forma de descrever a situação. De
fato, em vez de espaços Minkowski tangentes, podemos considerar espaços de De Sitter
osculantes em cada ponto do espaço tempo, cujas isometrias representam as simetrias
locais do espaço. Esta é uma forma diferente de representar a simetria local do espaço-
tempo, já que na presença de Λ o espaço-tempo é u m espaço de De Sitter na ausência
de matéria. Esta segunda forma de descrever a simetria local do espaço-tempo pode ser
considerada mais conveniente do ponto de vista físico, mas para nossos prop ósi tos, será
suficiente considerar as transformações de De Sitter em coordenadas de Minkowski.
2.3 Transformações de Lorentz no Espaço de De Sitter
Os geradores de Lorentz (1.15) constituem a parte orbital dos geradores, cuja forma
mais geral é
J
ab
= L
ab
+ S
ab
, (2.1)
onde a matriz S
ab
representa a parte de spin dos geradores. Para o caso esp ecífico de um
vetor de Lorentz, esta matriz é dada por [12]
(S
ab
)
c
d
= η
ad
δ
c
b
− η
bd
δ
c
a
. (2.2)
Os geradores L
ab
e S
ab
agem em espaços diferentes, sendo (2.1) na verdade uma soma
direta do tipo J = L ⊗ I ⊕ S, com I a matriz identidade. É importante l embrar que,
mesmo agindo no espaço de De Sitter, estes geradores ainda apresentam a álgebra de
Lie usual do grupo de Lorentz [5]. Esta é uma propriedade fundamental pois permite a
construção, no espaço de De Sitter, de uma relatividade bem definida algebricamente.
Esta possibilidade está relacionada com o fato do espaço de De Sitter, assim como no
Minkowski, ser homogêneo e isotrópico [13]. Deve ser ressaltado que, em princípio, temos
só a simetria de Lorentz para um ponto dado no espaço de De Sitter. No entanto, já que
este espaço é homogêneo (sob a combinação de translações e trans formações conformes),
esta simetria deve valer para qualquer outro ponto.
Um elemento do grupo de Lorentz é obtido calculando-se a exponencial dos geradores.
Para o caso específico da transformação dos x
a
, o elemento do grupo pode ser escrito
em termos dos geradores orbitais L
ab
, ou em termos dos geradores matriciais S
ab
. Em
9
termos de L
ab
, ele é dado por
Λ
c
d
=
exp
1
2
ab
L
ab
⊗ δ
c
d
. (2.3)
A correspondente transformação finita tem a forma
x
c
= Λ
c
d
x
d
. (2.4)
Agora, o grupo de Lorentz é definido como aquele que deixa a métrica de Minkowski
invariante:
η
ab
= Λ
a
c
Λ
b
d
η
cd
. (2.5)
Já que o fator conforme Ω é invariante de Lorentz, esta transformação também deixa
invariante a métrica de De Sitter
g
ab
= Λ
a
c
Λ
b
d
g
cd
. (2.6)
No espaço de De Sitter, portanto, as transformações de Lorentz deixam invariantes a
velocidade da luz c e o parâmetro de comp rimento l. Note-se que, diferentemente da
invariância de c, a qual é essencialmente cinemática, a invariância de l tem um caráter
geométrico.
É bem conhecido que, uma rotação de Lorentz no plano xt do espaço Minkowski
deixa invariante a forma quadrática
c
2
t
2
− x
2
, (2.7)
com t, x, y, z denotando as coordenadas cartesianas. Usando as mesmas letras t, x, y, z
para denotar as coordenadas estereográficas do espaço de De Sitter, uma rotação no
plano xt deste espaço co inci de com aquela da relatividade especia l ordinária:
x
=
x − vt
1 − v
2
/c
2
; t
=
t − vx/c
2
1 − v
2
/c
2
; y
= y; z
= z. (2.8)
Esta é uma característica crucial das coordenadas esterogáficas. Por esta razão — e
também pelo fato que nestas coordenadas a métrica de Minkowski é conformalmente
plana — pode ser considerada a versão de De Sitter das coordenadas cartesianas no
espaço de Minkowski.
Para completar, apresentamos agora a forma finita das “translações” de De Sitter,
transformações que definem a transitividade deste esp aço. A versão infinitesimal tem a
forma
δx
a
≡ −
b
Π
b
x
a
= −
b
δ
a
b
−
1
4l
2
2x
a
x
b
− σ
2
δ
a
b
, (2.9)
10
ou equivalentemente
δx
a
=
b
4l
2
2 x
a
x
b
− (σ
2
+ 4l
2
)δ
a
b
. (2.10)
Se identificarmos
˜
b
= −
b
4l
2
e ˜σ
2
= σ
2
+ 4l
2
, (2.11)
fica
δx
a
= −˜
b
2 x
a
x
b
− ˜σ
2
δ
a
b
, (2.12)
a qual pode ser integrada, resultando em
x
a
=
x
a
+ ˜
a
˜σ
2
1 + 2˜
c
x
c
+ ˜
2
˜σ
2
≡
x
a
−
a
1 + σ
2
/4l
2
1 −
c
x
c
/2l
2
+ (
2
/4l
2
) (1 + σ
2
/4l
2
)
. (2.13)
No limite l → ∞, estas transformações se convertem na s translações ordinárias. Por
outro lado, redefinindo o parâmetro para
˜
b
→ −
b
4l
2
, (2.14)
o limite l → 0 (com ˜
b
finito) leva às transformações especiais conformes.
11
Capítulo 3
Relatividade de De Sitter e Física Quântica
3.1 Notas Preliminares
Quando a constante cosmológica Λ é zero, a solução das equações de Einstein sem
fonte é o espaço de Minkowski, que representa portanto ausência de gravitação. As
transformações de isometrias deste espaço são aqu elas do grupo de Poincaré, que é o
grupo que governa a cin emática da relatividade especial. Para um Λ não nulo, Minkowski
não é mais solução da correspondente equação de Einstein Λ–modificada e torna-se,
neste sentido, sem significado físico. Neste caso, se interpretamos Λ como uma entidade
puramente geométrica, a ausência de gravitação vai ser representada pelo esp aço de De
Sitter. Por outro lado, o grupo que governa a cinemática no espaço de De Sitter não é
mais Poincaré, mas sim o grupo de De Sitter. Isto significa que, na presença de Λ, a
relatividade especial de Poincaré não será mais válida e deverá ser substituída por uma
relatividade especial de De Sitter [5].
1
Um ponto importante desta teoria é que ela preserva o caráter quociente do espaço-
tempo, e portanto a noção de homogeneidade. Como na relatividade especial ord inári a,
na qual o espaço de Minkowski M é o espaço quociente entre o grupo de Poincaré e o grupo
de Lorentz, o espaço subjacente da relatividade de De Sitter será o espaço quociente entre
o grupo de De Sitter e o grupo de Lorentz. Vemos assim que, como na relatividade especial
ordinária, na relatividade es pecial de De Sitter o grupo de Lorentz permanece responsável
pela isotropia do espaço (grupo de rotações) e pela equi valência entre referenciais inerciais
(boosts) [14]. As quatro transformações adicionais, dadas pela combinação de translações
e transformações esp ecia is conformes, definem a homogeneidade do espaço.
Por outro lado, um espaço é dito transitivo — ou homogêneo — sob um conjunto de
transformações quando quaisquer dois pontos podem ser unidos por uma transformação
desse conjunto. Por exemplo, o espaço-tempo de Minkowski é transitivo sob translaçõ es
no espaço-tempo. No entanto, o espaço de De Sitter é transitivo, não sob translações,
mas sim sob uma combinação de translações e transformações especiais conformes, com
1
Idéias similares foram exploradas na referência [6].
12
a importância relativa de contribuição sendo determinada pelo valor da constante cos-
mológica. Uma conseqüência imediata desta propriedade é que a s noções ordinárias de
momento e en ergia vão mudar [15]. De fato, o momento conservado vai ser obtido da
invariância do sistema, não sob translações, mas sim sob a combinação de translações e
transformações especiais conformes. O momento conservado, portanto, será uma combi-
nação do momento ordinário e do momento “conforme” [8].
Dado que a constante cosmológica observada é muito pequena, a diferença entre a
relatividade ordi nária e a relatividade de De Sitter vai ser pequena também. No entanto,
existem situações onde esta diferença pode ser significativa. Por exemplo, de acordo
com nossa teoria atual de campos e partículas, as transições de fase associadas à quebra
espontânea de simetrias podem ser consideradas uma fonte primária para a constante
cosmológica Λ [16]. Deste ponto de vista, uma experiência de altas energias poderia
modificar a estrutura local do espaço por um curto período de tempo , de tal forma que a
vizinhança imediata da colisão deixaria de ser Minkowski, e passaria a ser um epaço de De
Sitter — ou anti-De Sitter [17]. Neste caso, passaria a existir uma conexão entre a escala
de energia da experiência e o valor local da constante cosmológica Λ. Quanto mais alta a
energia, maior o valor local de Λ, e conseqüentemente, maior a importância da simetria
conforme. Isto é consistente com a idéia de que em energias al tas as massas tornam-
se desprezíveis, e a simetria conforme torna-se a simetria relevante. Para uma energia
suficientemente alta, a cinemática lo cal passaria a ser determinada pela relativid ade
especial de De Sitter.
O propósito básico deste capítulo é estudar a cinemática subjacente à relatividade
especial de De Sitter. Em particular, estudaremos a equações de movimento de partículas
sem spin, as quais definem as geodésicas d o espaço. Em seguida, através de uma análise
normal de variação funcional da ação, obteremos a energia canônica, e exploraremos as
conseqüências desta definição para a mecân ica quântica [18]. Começaremos por introduzir
as noções básicas associadas ao espaço e grupo de De Sitter.
3.2 Revisão da Cinemática no Espaço de Minkowski
A ação que descreve uma partícula livre de massa m no espaço de Minkowski é
S = −mc
b
a
ds, (3.1)
onde
−ds
2
= η
ab
dx
a
dx
b
(3.2)
é o intervalo invariante de Lorentz. O grupo que governa a cinemática no espaço de
Minkowski é o grupo de Poincaré P = L T , dado pelo produto semi-direto entre o
grupo de Lorentz L e o grupo de translações T . O primeiro invariante de Casimir do
13
grupo de Poincaré é
C
P
= η
ab
p
a
p
b
= −m
2
c
2
, (3.3)
onde p
a
= mcu
a
é o 4-momento da partícula, com u
a
= dx
a
/ds a 4-velocidade. Con-
siderando que a ação S e a lagrangiana L são relacionados por
S =
1
c
b
a
L ds, (3.4)
a correspondente lagrangiana pode ser escrita na forma
L = −c (−η
ab
p
a
p
b
)
1/2
= −c
−C
P
. (3.5)
A identidade η
ab
p
a
p
b
= −m
2
c
2
é um vínculo fraco no sentido que s ó é usado depois de
realizar a variação da ação. As equações de movimento resultantes são
dp
a
ds
= 0. (3.6)
As equações de movimento, portanto, coincidem com a conservação do 4-momento da
partícula, a qual provem da invariância do sistema físico sob translações. Suas soluções
determinam as geodésicas do espaço de Minkowski. A invariância do sistema sob trans-
formações de Lorentz, por outro lado, leva à conservação de momento angular λ
ab
=
x
a
p
b
− x
b
p
a
, isto é,
dλ
ab
ds
= 0. (3.7)
3.3 Cinemática no Espaço de De Sitter
3.3.1 Invariante de Casimir
Para uma partícula sem s pin de massa m, o primeiro invariante de Casimir do grupo de
De Sitter é dado por [10]
C
dS
= −
1
2l
2
η
AC
η
BD
λ
AB
λ
CD
, (3.8)
onde
λ
AB
= m c
χ
A
dχ
B
dτ
− χ
B
dχ
A
dτ
(3.9)
é o momento angular 5-dimensional. Em termos das coordenadas es tereográficas {x
a
}, o
invariante de Casimir (3.8) adquire a forma
C
dS
= η
ab
π
a
π
b
−
1
2l
2
η
ac
η
bd
λ
ab
λ
cd
, (3.10)
14
onde
2
π
a
≡
λ
a4
l
= Ω
2
p
a
−
k
a
4l
2
, π
a
≡
λ
a
4
l
= p
a
−
k
a
4l
2
(3.11)
representa o momento de De Sitter, com
p
a
= m c
dx
a
dτ
e k
a
≡
¯
δ
a
b
p
b
= (2η
cb
x
c
x
a
− σ
2
δ
a
b
) p
b
, (3.12)
respectivamente, o momento linear e o m omento conforme,
3
e
λ
ab
= Ω
2
x
a
p
b
− x
b
p
a
, λ
ab
= η
ac
x
c
p
b
− η
bc
x
c
p
a
(3.13)
representa o momento angular orbital. Nas expressões acima,
¯
δ
a
b
= 2η
bc
x
c
x
a
− σ
2
δ
a
b
(3.14)
é uma espécie de “delta de Kroenecker conforme”. Já que λ
AB
é conservado, temos
também que
dλ
ab
dτ
= 0 e
dπ
a
dτ
= 0. (3.15)
Recordemos que λ
ab
é a corrente de Noether associada à invariância do sistema sob
transformações geradas por L
ab
.
3.3.2 Equações de Movimento
Como no caso de Minkowski, a lagrangiana de uma partícula de massa m sem spin
no espaço de De Sitter pode ser assumida como sendo −c
√
−C
dS
. No entanto, em 5
dimensões, é necessário adicionar um vínculo que restrinja a partícula para que esta se
mova n o espaço de De Sitter. Nesse caso, a lagrangiana fica
L = −c
− C
dS
1/2
+ β
η
AB
χ
A
χ
B
+ l
2
, (3.16)
onde β é um multiplicador de Lagrange. Usando a E q. (3.8), a ação correspondente é
escrita na forma
S = −
b
a
1
2l
2
η
AC
η
BD
λ
AB
λ
CD
1/2
+ β
η
AB
χ
A
χ
B
+ l
2
dτ, (3.17)
com dτ o intervalo invariante de De Sitter, definido por (1.11). Realizando a variação
funcional, e desprezan do o termo de superfície que vem da integração por partes, a
2
Análogamente aos geradores, usamos uma parametrização apropriada para uma constante cosmológ-
ica pequena.
3
Como na identificação p
a
= T
a0
, com T
ab
o tensor de energia-momento, o momento conforme k
a
é
definido por k
a
= K
a0
, com K
ab
a corrente conforme [19].
15
invariância da ação leva às equações do movimento
d
2
χ
A
dτ
2
+
1
l
2
− 2 β
χ
A
= 0. (3.18)
Usando os vínculos
η
AB
χ
A
χ
B
= −l
2
e η
AB
dχ
A
dτ
dχ
B
dτ
= −1, (3.19)
o valor do multiplicador de Lagrange é
β =
1
l
2
, (3.20)
e a equação do movimento fica
d
2
χ
A
dτ
2
−
χ
A
l
2
= 0. (3.21)
Em termos das coordenadas estereográficas, esta equação pode ser escrita na forma
d
dτ
p
a
+
1
4l
2
k
a
+
x
c
u
c
l
2
Ω
p
a
+
1
4l
2
k
a
−
m c
l
2
Ω
x
a
= 0. (3.22)
A equação correspond ente para as componentes covariantes do momento é
d
dτ
p
a
+
1
4l
2
k
a
−
m c Ω
l
2
η
ab
x
b
= 0. (3.23)
Naturalmente, devido à universalid ade da gravitação, esta equação é independente da
massa quando escrita em termos da 4-velocidade. De fato, ela é igual a
d
dτ
u
a
+
1
4l
2
¯
δ
a
c
u
c
−
Ω
l
2
η
ab
x
b
= 0, (3.24)
com
¯
δ
a
c
dado pela Eq. (3.14). Esta é a equação de movimento para uma partícula sem
spin de massa m no espaço de De Si tter. Suas soluções determinam as geodésicas deste
espaço.
Usando a segunda das leis de conservação (3.15), é possível obter equações de evolução
separadas p ara p
a
e k
a
. Por exemplo, a equação de movimento para o momento linear
p
a
é
dp
a
dτ
−
m c Ω
2 l
2
η
ab
x
b
= 0, (3.25)
ou equivalentemente,
dp
a
dτ
+
x
c
u
c
l
2
Ω
p
a
−
m c
2l
2
Ω
x
a
= 0. (3.26)
16
Esta equação nada mais é do que a equação da geodésica
dp
a
dτ
+ Γ
a
bc
p
b
u
c
= 0, (3.27)
com Γ
a
bc
a conexão de Levi–Civita para a métrica d e De Sitter (1.12). Por outro lado,
a equação de movimento para o momento conforme k
a
toma a forma
dk
a
dτ
+
x
c
u
c
l
2
Ω
k
a
−
2 m c
Ω
x
a
= 0. (3.28)
Ao contrário do momento ordinário p
a
, que é conservado com a derivada covariante, o
momento conforme k
a
não é conservado covaria ntemente. Ele satisfa z a equação
dk
a
dτ
+ Γ
a
bc
k
b
u
c
=
2mc
Ω
1 −
1
4l
2
2
Ω
2
u
b
u
c
x
b
x
c
− σ
2
x
a
. (3.29)
No entanto, juntos estes dois momento levam ao verdadeiro momento total conservado,
que é π
a
.
3.4 O Campo Escalar
Consideremos o invariante de Casimir (3.10), escrito em sua forma de operador
C
dS
= η
ab
Π
a
Π
b
−
1
2l
2
η
ac
η
bd
L
ab
L
cd
, (3.30)
sendo Π
a
e L
ab
os geradores de De Sitter, d ados pelas equações. (1.18) e (1.19). Quan do
este operador a ge sobre um campo escalar de De Sitter φ, isto é, um invariante sob trans-
formações de De Sitter, ele é igual a uma constante. De fato, da teoria de representações
de grupos, encontra-se que [20]
C
dS
= −m
2
c
2
+
1
l
2
[s(s + 1) − 2] , (3.31)
com m a massa e s o spin do campo ( = 1). Para um campo escalar, s = 0, e temos
4
C
dS
=
−m
2
−
2
l
2
c
2
c
2
≡ α
2
(m) c
2
. (3.32)
Agora, para um campo escalar, podemos identificar
C
dS
= , (3.33)
4
Algumas vezes α(m) é chamada de “massa de De Sitter”. Entretanto, preferimos não usar esta
terminologia porque, estritamente falando, α(m) não representa uma massa [21]. A única massa presente
é a massa fisica m.
17
onde
= g
ab
∇
a
∇
b
(3.34)
é o d’Alembertiano, com ∇
a
a derivada covariante com a conexão de Levi–Civita da
métrica de De Sitter (1.12). Assim, a equação de campo para φ é
φ + m
2
c
2
φ +
R
6
φ = 0, (3.35)
onde R = 12/l
2
é a curvatura escalar do espaço de De Sitter. Para um campo sem massa,
esta equação é invariante conforme. Isto mostra de uma forma simples que a constante
cosmológica introduz a simetria conforme em qualquer problema físico. Esta simetria é
imposta pelo segundo termo do operador de Cas imi r (3.31). De fato, ele é responsável
pelo termo de curvatura na equação de Klein–Gordon (3.35), que é essencial para a
invariância conforme desta equação. Observe que, no caso do campo eletromagnético
(s = 1), que é naturalmente conforme na falta de fontes, este termo não contribui para
a correspondente equação de camp o.
A equação (3.3 5), com massa zero e sem auto-interação, já foi obtida no estudo de
equações invariantes conformes para partículas sem massa [22, 23]. Também aparece
em relação ao chamado tensor energia-momento “melhorado” para o campo escalar [24].
Aqui, ela foi obtida s imp lesm ente considerando-se que, em vez d e um campo es calar de
Lorentz, o campo é um escalar de De Sitter.
3.5 Física Quântica
De novo, consideremos a ação (3.17). Sua total variação é dada por
δS = m c
b
a
d
2
χ
A
dτ
2
−
χ
A
l
2
δχ
A
dτ −
b
a
m c
dχ
A
dτ
δχ
A
, (3.36)
onde já fizemos uso da Eq. (3.20). Se admitirmos somente trajetórias físicas, o primeiro
termo é zero. Então, o segundo termo, com o limite superior considerado como variável,
dá a diferencial da ação como função das coordenadas:
δS = − m c
dχ
A
dτ
δχ
A
. (3.37)
Nas coordenadas estereográficas, esta equação fica
δS = − p
b
δx
b
. (3.38)
18
Conseqüentemente, podemos escrever
δS
δx
b
= − p
b
, (3.39)
onde
p
b
= m c u
b
(3.40)
é o momento canonicamente conjugado à coordenada x
b
.
Agora, definimos o operador quântico
ˆp
b
= −i ∂
b
. (3.41)
Como é conhecido, ele satisfaz a relação de comutação
[ˆx
a
, ˆp
b
] = − i δ
a
b
. (3.42)
Análogamente ao momento, definimos então o operador
ˆ
k
b
=
¯
δ
b
c
ˆp
c
, (3.43)
com
¯
δ
b
c
dado pela Eq. (3.14). Usando a relação de comutação fundamental (3.42), é fácil
ver
[ ˆx
a
,
ˆ
k
b
] = − i
¯
δ
a
b
. (3.44)
Agora, sob uma inversão espaço-temporal
x
a
→ y
a
= −
x
a
σ
2
, (3.45)
o gerador de translações é transformado no gerador de transformações especiais con-
formes, e vice–versa [1 9]. Usando esta propriedade, obtemos
[ˆy
a
,
ˆ
k
b
] = − i δ
a
b
. (3.46)
Isto significa que o momento conforme k
b
é o momento canonicamente conjugado à co-
ordenada y
a
.
É importante observar que o momento total da partícula é dado por π
a
= p
a
−
(1/4l
2
) k
a
, com p
a
representando a parte relacionada às translações, e k
a
representando
a parte relacionada à s transformações especiais conformes. Isto vem do fato de que
o espaço de De Sitter é transitivo sob a combinação de translações e transformações
especiais conformes. Por exemplo, a energia total da partícula será dada pela componente
temporal de π
a
, isto é,
E
c
≡ π
0
= p
0
−
1
4l
2
k
0
. (3.47)
19
Em outras palavras,
E = E
p
−
1
4l
2
E
k
, (3.48)
com E
p
= p
0
e E
k
= k
0
. Assim, o operador de momento total é
ˆπ
b
= ˆp
b
−
1
4l
2
ˆ
k
b
, (3.49)
que satisfaz a relação de comutação
[ ˆx
a
, ˆπ
b
] = − i
δ
a
b
−
1
4l
2
¯
δ
a
b
. (3.50)
Esta é a regra de comutação da relatividade especial de De Sitter. Naturalmente, já
que π
b
não é o momento conjugado à coordenada x
a
, o lado direito não é um delta de
Kroenecker.
Como é conhecido, as relações de comutação são usadas para construir as relações de
incerteza na mecânica quântica. Por exemplo, a relação de comutação (3.42) implica que
∆x
a
∆p
b
≥
1
2
|[ ˆx
a
, ˆp
b
]| =
2
δ
a
b
. (3.51)
Analogamente, a relação de comutação (3.44) i mpl ica que
∆x
a
∆k
b
≥
1
2
[ ˆx
a
,
ˆ
k
b
]
=
2
¯
δ
a
b
. (3.52)
A relação de incerteza para o momento total é, portanto,
∆x
a
∆π
b
≥
1
2
|[ ˆx
a
, ˆπ
b
]| =
2
δ
a
b
−
1
4l
2
¯
δ
a
b
. (3.53)
Para valores pequenos da constante cosmológica Λ, as correções na mecânica quântica vão
ser pequenas. No entanto, para grandes valores de Λ, as correções que vêm do gerador de
transformações especiais conformes será importante, dando lugar a um a nova mecânica
quântica.
20
Capítulo 4
Campos no Espaço de De Sitter
4.1 Notas Preliminares
Nos capítulos anteriores, trabalhamos basicamente com a relatividade de De Sitter,
bem como com suas conseqüências. Além disso, foi introduzido o campo es calar de
De Sitter, e usando a teoria de representações, encontramos a equação que governa a
dinâmica deste campo. Neste capíitulo, vamos estudar as equações de campo para outras
representações, quais sejam, campo eletromagnético e campo espinorial.
4.2 Campos no Espaço de Minkowski
As equações de campo para as representações irredutíveis do grupo de Poincaré podem
ser encontradas fazendo uso dos Invariantes de Casimir. Para o grupo de Poincaré existem
dois invariantes,
P
2
≡ η
ab
P
a
P
b
e W
2
≡ η
ab
W
a
W
b
, (4.1)
onde
W
a
≡
1
2
abcd
P
b
J
cd
(4.2)
é o vetor de Pauli-Lubanski. Estes dois operadores classificam todas as partículas da
natureza, dependendo do auto-valor que eles tomam. Agindo sobre uma representação
irredutível do grupo de Poincaré, eles a dquirem os seguintes valores (c=1)
P
2
= −m
2
(4.3)
W
2
= −m
2
s(s + 1). (4.4)
Usando as equações acima, po d emos facilmente encontrar as equações dos campos bosôni-
cos (os campos fermiônicos tem equações de prim eira ordem). Assim, para o cam po de
spin zero, ou escalar, que chamaremos de φ, temos que,
η
ab
∂
a
∂
b
φ = −m
2
φ, (4.5)
21
que é a equação de Klein-Gordon. Do segundo Casimir obtemos uma identidade (0 = 0).
O caso do campo eletromagnético é mais elaborado, já que sua equação provém do
segundo Casimir. Para isto, devemos achar o vetor de Pauli-Lubanski, mas como o
campo agora tem uma estrutura maior — o spin — devemos achar a representação de
spin 1 para a álgeb ra de Lorentz. Pode-se mostrar
1
que ela é dada por [12]
(S
ab
)
c
d
= i(η
ad
δ
c
b
− η
bd
δ
c
a
). (4.6)
A representação do momento angular total, portanto, é
(J
ab
)
c
d
= L
ab
δ
c
d
+ (S
ab
)
c
d
. (4.7)
Usando as equações (4.2) (4.3), bem como as equações acima, podemos encontrar o
segundo Casimir, cujo resultado é:
∂
a
∂
a
A
b
− ∂
b
∂
a
A
a
= 0. (4.8)
Esta é a equação que governa a dinâmica do campo eletromagnético (as outras equações
são dadas p ela identidade de Bianchi).
4.3 Vetores de Killing e o Grupo de Isometria
A equação para o campo escalar de De Sitter foi encontrada no capítulo anterior. Para
encontrarmos a equação do camp o eletromagnético devemos encontrar a representação
de spin 1 para o grupo de De Sitter. Para is so, vamos estudar a relação entre os vetores
de Killing e o grupo de isometria.
O espaço de De Si tter nas coordenadas estereográficas é descrito pela métrica
g
ab
= Ω
2
η
ab
, (4.9)
onde
Ω
−1
= 1 −
σ
2
4l
2
com σ
2
= η
ab
x
a
x
b
. (4.10)
Para encontrarmos as transformações que deixam invariante esta métrica, usamos a
equação de Killing, ou seja, tomamos a derivada de Lie da métrica e igualamos a zero,
(L
X
g)
ab
= X
c
∂
c
g
ab
+ ∂
a
X
c
g
cb
+ ∂
b
X
c
g
ca
= 0, (4.11)
onde X
a
são os chamados vetores de Killing. É fácil verificar que os vetores que satisfazem
1
O procedimento para encontrar esta representação vai se r mostrado quando estudarmos o caso do
grup o de De Sitter.
22
esta equação são:
L
c
= ω
ab
L
c
(ab)
= ω
ab
(η
ad
x
d
δ
c
b
− η
bd
x
d
δ
c
a
) (4.12a)
Π
c
=
1
l
b
a
L
c
(4a)
= b
a
[δ
c
a
+
1
4l
2
(σ
2
δ
c
a
− 2η
ad
x
d
x
c
)], (4.12b)
onde (ω
ab
, b
a
) são constantes arbitrárias, e ω
ab
deve ser anti-simétrica. Devido a esta
anti-simetria, só é possível escolher 6 + 4 parâmetros. Portanto, temos 10 vetores de
Killing (que é o número máximo permitido para espaços 4-dimensionai s), o que confirma
que o espaço de De Sitter é um espaço maximalmente simétrico. Os vetores de Killing
satisfazem a álgebra de SO(4, 1), isto é,
L
(ab)
, L
(cd)
= η
bc
L
(ad)
+ η
ad
L
(bc)
− η
bd
L
(ac)
− η
ac
L
(bd)
(4.13)
Π
(a)
, Π
(b)
=
1
l
2
L
(ab)
, (4.14)
com
L
(ab)
= L
c
(ab)
∂
c
= η
ad
x
d
∂
b
− η
bd
x
d
∂
a
(4.15a)
Π
(a)
=
1
l
L
c
(4a)
∂
c
= ∂
a
+
1
4l
2
(σ
2
δ
c
a
− 2η
ad
x
d
x
c
)∂
c
. (4.15b)
Isso mostra que este é o grupo de isometrias do espaço de De Sitter.
Agora, para encontrar a representação de spin 1 para o grupo de De Sitter, devemos
estudar como s e transformam os diferentes campos. O campo escalar é definido como
aquele que não muda sob as transformações do grupo. Para estudar como se transforma
o campo vetorial, d evemos calcular a derivada de Lie na direção dos vetores de Killing,
e assim obter as com ponentes dos geradores de spin. Fazendo isso, obtemos
δ
0
A
d
= (L
L
A)
d
= ω
ab
L
c
(ab)
∂
c
A
d
+ ω
ab
∂
d
L
c
(ab)
A
c
(4.16)
δ
0
A
d
= (L
Π
A)
d
= l
a
Π
c
(a)
∂
c
A
d
+ l
a
∂
d
Π
c
(a)
A
c
. (4.17)
Daqui, obtemos que
S
(ab)
c
d
= ∂
d
L
c
(ab)
= η
ad
δ
c
b
− η
bd
δ
c
a
(4.18a)
S
(4a)
c
d
= ∂
d
π
c
(a)
=
1
2l
2
(η
db
x
b
δ
c
a
− η
ad
x
c
− η
da
x
b
δ
c
b
), (4.18b)
que é a representação que estávamos procurando.
23
4.4 Equação para o Campo Vetorial
Agora que conhecemos como se transforma o campo vetorial sob transformações do
grupo de De Sitter, que é o grupo de isometria do espaço-tempo neste caso, podemos
encontrar a equação que deve reger a dinâmica deste campo. Assim, como no espaço de
Minkowski, usamos os invariantes do grupo para encontrar esta equação. O grupo de De
Sitter tem dois invariantes de Casimir,
C
2
= η
AC
η
BD
J
AB
J
CD
(4.19)
C
4
= η
AF
ABCDE
F GHIJ
J
BC
J
DE
J
GH
J
IJ
, (4.20)
onde
J
ab
= L
(ab)
+ S
(ab)
(4.21)
J
4a
= lΠ
(a)
+ lS
(4a)
. (4.22)
A grande diferença com relação a Minkowski é que aqui o primeiro Casimir é suficiente
para encontrar a equação satisfeita por um cam po vetorial. Isto se deve ao fato que
a equação obtida é de segunda ordem, enquanto que o segundo Casimir fornece uma
equação de quarta ordem.
2
O primeiro Casimir pode ser escrito como:
C
2
= η
ac
η
bd
J
ab
J
cd
− 2η
ab
J
4a
J
4b
≡ J
2
− 2J
2
4
(4.23)
C
2
= L
2
+ L · S + S · L + S
2
− 2l
2
Π
2
− 2l
2
Π · S
4
− 2l
2
S
4
· Π − 2l
2
S
2
4
. (4.24)
Usando as equações (4.15) e (4.18), bem como a equação aci ma, podemos calcular ex-
plicitamente o primeiro Casimir, cujo resultado é:
C
2
= −2l
2
Ω
−2
η
ab
∂
a
∂
b
δ
c
d
− 2Ω
−1
(x
c
∂
d
− η
dλ
η
c
x
λ
∂
) − 2Ω
−1
δ
c
d
+
1
l
2
η
dλ
x
λ
x
c
. (4.25)
No caso do cam po escalar, não há componente de spin. Neste caso, o Casimir se redu z a
C
2
= L
2
− 2l
2
Π
2
= −2l
2
Ω
−2
η
ab
∂
a
∂
b
− 2Ω
−1
x
a
∂
a
. (4.26)
Se a representação é irredutível, o Casimir é proporcional à identidade, e adquire o
seguinte valor para o caso de SO(1, 4):
C
2
−2l
2
= −m
2
+
1
l
2
[s(s + 1) − 2]. (4.27)
2
No caso do grupo de Poincaré, os dois Casimir são de segunda ordem, e as ordens superiores do
segundo Casimir se cancelam identicamente.
24
4.5 O Operador de Laplace–Beltrami
Existe uma relação estreita entre o invariante de Casimir do grupo e o operador de
Laplace-Beltrami. Para ver isto, vamos calcular explicitamente o operador de Laplace-
Beltrami para a métrica (4.9). Por definição, temos
∇
a
∇
a
A
d
= g
ab
∇
b
∇
a
A
d
= Ω
−2
η
ab
[∂
b
(∇
a
A
d
) − Γ
α
ba
∇
α
A
d
− Γ
α
bd
∇
a
A
α
] (4.28)
∇
a
A
d
= ∂
a
A
d
− Γ
λ
ad
A
λ
(4.29)
Γ
a
db
= (δ
a
d
δ
c
b
+ δ
a
b
δ
c
d
− η
db
η
ac
)∂
c
ln(Ω). (4.30)
Usando estas equaçõ es, depois de alguma manipulação algébrica obtemos:
∇
a
∇
a
A
d
=Ω
−2
η
ab
∂
a
∂
b
A
d
+
Ω
−1
l
2
(x
c
∂
d
A
c
− η
dλ
η
c
x
λ
∂
A
c
)
+
Ω
−1
l
2
A
d
−
1
2l
4
η
dλ
x
λ
x
c
A
c
−
3
l
2
A
d
.
(4.31)
Comparando esta última equação com (4.25), pode-se ver que
∇
a
∇
a
A
d
= −
C
2
2l
2
A
d
−
3
l
2
A
d
. (4.32)
Se fizermos a mesma conta no caso do campo escalar, obteremos a igualdade dos dois
operadores:
∇
a
∇
a
φ = −
C
2
2l
2
φ. (4.33)
No caso geral, esta express ão assume a forma
∇
a
∇
a
= −
C
2
2l
2
+ A(s), (4.34)
onde A(s) é uma constante que depende do spin do campo.
4.6 O Campo de Spin 1/2
Para encontrar a dinâmica d o campo de spin 1/2 devemos encontrar uma represen-
tação da álgebra do grupo de De Sitter. Entretanto, não podemos fazer da mesma forma
que no caso do campo vetorial pois não sabemos como age a derivada de Lie sobre es-
pinores. Vamos então usar nossa intuição para estender a álgebra das matrizes gama
para o grupo de De Sitter. Sabemos que
{γ
a
, γ
b
} = 2η
ab
, (4.35)
25
e que
S
ab
≡
i
4
[γ
a
, γ
b
] (4.36)
satisfaz a álgebra do grupo de Lorentz. Além disso, podemos definir uma matriz a mais
que anti-comuta com o resto das matrizes gama:
˜γ
5
≡ iγ
0
γ
1
γ
2
γ
3
. (4.37)
Esta matriz tem as segu intes propriedades:
(˜γ
5
)
2
= 1, (4.38)
(˜γ
5
)
†
= ˜γ
5
. (4.39)
Já que o quadrado desta matriz é 1, ela não é adequada para álgebra do grupo de De
Sitter. Para isto, definimos:
γ
5
≡ γ
0
γ
1
γ
2
γ
3
. (4.40)
Com esta matriz temos que (i = 1, 2, 3, 5)
{γ
A
, γ
B
} = 2η
AB
(4.41)
(γ
0
)
†
= γ
0
(4.42)
(γ
i
)
†
= γ
0
γ
i
γ
0
= −γ
i
. (4.43)
Consequentemente, a matriz
S
AB
=
i
4
[γ
A
, γ
B
] (4.44)
será uma representação de SO(4, 1).
Usando a representação acima, bem como o primeiro Casimir de De Sitter, a equação
para o campo de spin 1/2 pode ser escrita na forma
−
C
2
2l
2
= (L + S)
2
(4.45)
−
L
2
2l
2
−
S
2
2l
2
−
L · S
l
2
= −m
2
+
1
l
2
[s(s + 1) − 2]. (4.46)
O primeiro termo do la do esquerdo já conhecemos; ele é dado por
−
L
2
2l
2
= . (4.47)
O segundo termo é fácil de ser calculado fazendo uso das propriedades das matrizes
gamma. O resultado é
S
2
= −5. (4.48)
26
Para calcular o terceiro termo, definimos
∇ ≡ −
1
l
S
AB
L
AB
= −
1
4l
γ
A
γ
B
L
AB
. (4.49)
Pode-se então mostrar que [25]
∇
2
= −
3
l
∇. (4.50)
Assim, podemos escrever o segundo Casimir em termos de ∇:
∇
2
+
4
l
∇ +
15
4l
= −m
2
. (4.51)
Agora, para a representação irredutível de spin 1/2 o valor de m
2
tem que ser maior que
1/(4l
2
). Então, é conveniente escrever a equação anterior em termos de
µ
2
= m
2
−
1
4l
2
. (4.52)
Com isso, obtemos finalmente
∇
2
ψ +
4
l
∇ψ +
4
l
2
ψ = −µ
2
ψ, (4.53)
que pode ser fatorizado n a forma
i∇ +
2i
l
+ µ
i∇ +
2i
l
− µ
ψ = 0. (4.54)
A equação de Dirac para o campo de spin 1/2 no espaço de De Sitter, da última
equação, pode ser escrita como
i∇ +
2i
l
− µ
ψ = 0. (4.55)
Para escrever esta equação de uma m aneira mais sugestiva, definimos [26]
D = ∇ +
2
l
= −
1
4l
γ
A
γ
B
L
AB
+
2
l
. (4.56)
Com isso, a equação de Dirac assume a forma
(iD −µ)ψ = 0. (4.57)
No limite da constante cosmológica indo a zero, que corresponde ao o limite de l → ∞,
esta equação reduz-se a
(iγ
5
γ
a
∂
a
− m)ψ = 0. (4.58)
Definindo a matriz γ
a
≡ γ
5
γ
a
, a qual também satisfaz a álgebra de Dirac, obtemos a
27
forma usual da equação de Dirac:
(iγ
a
∂
a
− m)ψ = 0. (4.59)
Note-se que para obter esta equação, tivemos que mudar para outra representação. A
razão desta mudança deve-se ao fato que no processo de contração, algumas represen-
tações do grupo de De Sitter não vão em representações do grupo de Poincaré. Isto ocorre
porque o grupo de De Sitter tem uma estrutura mais rica do que o grupo de Poincaré, e
portanto uma maior variedade de representações. No apêndice, examinaremos com mais
detalhes as representações irredutíveis do grupo de Poincaré e o grupo de De Sitter.
Como comentário final, observemos que as equações obtidas para os campo escalar
e vetorial são invariantes conformes. Isto significa que, quando a massa é nu la, temos
invariância de escala. Seria interessante estudar a relação entre esta invariância com a
invariância de “gauge” e a propagação de partículas no cone de Luz. Um outro ponto de
interesse seria estudar uma possível invariância conforme da equação do campo espinorial.
28
Capítulo 5
Conclusões
As transformações de Lorentz agindo no espaço de De Sitter deixam invariante a veloci-
dade da luz c e o parâmetro de comprimento l. Como l =
Λ/3, as transformações de
Lorentz deixam invariante, na verdade, a constante cosmológica Λ. Para preservar uma
escala de comprimento, portanto, a simetria de Lorentz não precisa ser quebrada ou mod-
ificada. Até certo ponto, esta propriedade pode ser considerada trivial, porque sabemos
da relatividade especial ordinária que as transformações de Lorentz deixam invariante a
constante cosmológica nula associada ao espaço Minkowski. No entanto, este resultado
pode ter importantes conseqüências para a física de altas energias, e em particular para
a gravitação quântica.
O termo cosmológico Λ introduz naturalmente o gerador das transformações especi-
ais conformes na definição da transitividade do espaço-tempo. Como conseqüência, esta
transformação aparece naturalmente na cinemática, e muda as correspondentes correntes
de Noether. Para um termo cosmológico pequeno, as modificações conformes vão ser pe-
quenas, e a física ordinária permanece válida. Para g randes valores de Λ, as contribuições
conforme às grandezas físicas não podem ser desprezada s, e dão lugar à mudanças con-
ceituais profundas. Por exemplo, a relatividade especial ordi nária , que está baseada no
grupo de Poincaré, não é mais válida e deve ser substituída por uma nova relatividade
especial baseada no grupo de De Sitter. Isto implica que as noções ordinárias de energia
e momento vão mudar [15]. O momento co nservado, por exemplo, vai ser obtido da
invariância do sistema físico, não pelas translações ordinárias, mas pela combinação de
translações e transformações especiais conformes. Portanto, nessa nova teoria o momento
será dado pela combinação do momento ordinário e do momento conforme. A energia,
que é a componente temporal do momento, mudará da mesma forma. Devido ao papel
fundamental da energia e do momento, estas modificações afetam todas as áreas da física,
incluindo a mecânica quântica [18].
Adicionalmente, com o uso dos invariantes do Casimir, foi possível encontrar as
equações de campo invariantes sob transformações do grupo de De Sitter. Em par-
ticular, as equações para os campos escalar e vetorial têm também invariância conforme
29
quando suas massas são nulas. Os termos extras que são proporcionais à constante
cosmológica podem trazer correções para a teoria quântica de campos. Embora, para
valores pequenos da constante cosmológica, estas correções sejam pequenas e os efeitos
na cinemática sejam insignificantes, existem situações onde esta diferença podem vir a
ser muito importantes.
Por exemplo, as transições de fase associadas à quebra espontânea de simetria são
usualmente consideradas como uma fonte primária para um Λ não nulo [16]. Torna-se
assim concebível assumir que um fenômeno de alta energia possa modificar a estrutura
local do espaço por um período de tempo cu rto, de tal forma que a vizinhança do fenômeno
deixa de ser um espaço Minkowski, e torna-se um espaço d e De Sitter — ou anti-De
Sitter [17]. Existiria, então, uma conexão entre a escala de energia da experiência e o
valor local de Λ. Para um fenômeno de altíssima energia, o parâmetro l ficaria perto da
escala de Planck, e a cinemática local seria aquela da relatividade de De Sitter. Nesta
experiência o valor local de Λ será da ordem Λ ∼ 10
66
cm
−2
, o qual difere da constante
cosmológica observada por 120 ordens de magnitude [27]. Neste caso, o espaço local
se aproximaria de um espaço cônico [8], o qual é transitivo somente sob transformações
conformes. Nesta situação extrema, a relatividade de De Sitter se reduz à relatividade
conforme, onde as no ções de momento e energia conforme serão as únicas a sobreviver.
Um mundo quântico muito peculiar vai emergir, cuja física precisa ai nda ser desenvolvida.
É importante mencionar que há um argumento consistente por trás destas hipóte-
ses. Como a constante cosmológica Λ introd uz os geradores conformes na definição da
transitividade do espaço-tempo, estas transformações são naturalmente incorporadas na
cinemática local, e a correspondente corrente conforme aparece como parte da corrente
de Noether. Para grandes valores de Λ, a simetria conforme adquire naturalmente um
papel relevante. Isto está de acordo com a idéia de que a simetria conforme é a simetria
relevante em altas energias, onde as massas podem ser desprezadas.
Além disso, este cenário ajusta-se bem com a idéia que as altas energia podem causar
pequenas flutuações na textura do espaço-tempo. O ponto importante é que a relativi-
dade de De Sitter, junto com a hipótese de uma conexão entre energia e o valor local de
Λ, dá um significado preciso a estas flutuações. Devido à presença de um horizonte na
distância l, a estrutura causal do espaço-tempo, definida pelo cone de luz, será também
modificado de uma forma bem precisa [8]. A relatividade de De Sitter, dá origem a
uma fenomenologia de altas energias muito precisa, abrindo as portas para uma eventual
confrontação experimental.
Um exemplo concreto desta possibilidade podem ser as observações recentes do atraso
em raios gamma extragaláticos de energias muito altas em relação aos de energia menores [28].
Uma das explicações para tal atraso é que as flutuações do espaço poderiam estar agindo
como lentes microscópicas, diminuindo a velocidade de propagação dos fotons de altas
energias. Inclusive, já se demonstrou que, na presença de uma constante cosmológica, a
30
luz se propaga com velocidade menor do que c [29]. A análise destes problemas faz parte
de nossos trabalhos futuros [30].
31
Apêndice A
Representações Irredutíveis: Poincaré e De Sitter
A.1 O Grupo de Poincaré
O grupo de isometrias do espaço de Minkowski é o grupo de Poincaré, o qual está
composto pelas transformações de Lorentz e as translações uniformes no espaço-tempo.
A transformação mais geral do grupo é dada por:
x
a
→ x
a
= Λ
a
b
x
b
+ a
a
. (A.1)
A álgebra dos geradores do grupo, por outro lado, é
[J
ab
, J
cd
] = η
bc
J
ad
− η
ac
J
bd
− η
bd
J
ac
+ η
ad
J
bc
(A.2a)
[J
ab
, P
c
] = η
bc
P
a
− ηacP
b
(A.2b)
[P
a
, P
b
] =0. (A.2c)
Devido a que as translações não comutam com as transformações de Lorentz, o grupo de
Poincaré é o produto semi-direto L P do grupo de Lorentz e o grupo de translações.
Como já discutido, este grupo tem dois operadores de Casimir, den otados por P
2
e W
2
,
onde
P
a
= mu
a
(A.3)
é o momento linear, e
W
a
=
1
2
abcd
P
b
J
cd
(A.4)
é o vetor de Pauli-Lubanski.
As representações irredutíveis são classificadas pelos autovalores [31]. Assim, temos
os seguintes casos:
• P
2
= −m
2
< 0 W
2
= −m
2
s(s + 1)
Esta representação refere-se à partículas com mass a não nula e spin s = 0, 1/2, 1, ....
32
• P
2
= 0 W
2
= 0
Esta representação refere-se à partículas sem massa. Os estados são caracterizados pela
helicidade h = 0, ±1/2, ±1, ...
• P
2
= 0 W
2
< 0
Este tipo de representação não se encontra na natureza. Corresponde a uma partícula
sem massa com infinitas polarizações.
• P
2
= −m
2
> 0
Esta última é a rep resentação dos tachyons.
A.2 O Grupo de De Sitter
No caso do espaço de De Sitter, o grupo de isometrias é o grupo de De Sitter SO(4, 1).
A álgebra deste grupo é dada por:
[J
AB
, J
CD
] = η
BC
J
AD
− η
AC
J
BD
− η
BD
J
AC
+ η
AD
J
BC
. (A.5)
Para se ter uma melhor visão da álgebra, vamos decompor os geradores em transformações
de Lorentz e “translações” de De Sitter. Para isso, definimos:
Π
a
=
1
l
J
4a
. (A.6 )
Em termos deste novo gerador, temos
[J
ab
, J
cd
] = η
bc
J
ad
− η
ac
J
bd
− η
bd
J
ac
+ η
ad
J
bc
(A.7a)
[J
ab
, Π
c
] = η
bc
Π
a
− η
ac
Π
b
(A.7b)
[Π
a
, Π
b
] =
1
l
2
J
ab
. (A.7c)
Os operadores de Casimir para este grupo são
C
2
= −
1
2l
2
η
AB
η
CD
J
AC
J
BD
= Π
2
−
1
2l
2
J
2
(A.8a)
C
4
= η
AB
W
A
W
B
(A.8b)
com
W
A
=
1
8l
ABCDE
J
BC
J
DE
. (A.9)
Como no caso de Minkowski, as representações irredutíveis podem ser classificadas de
acordo com os auto-valores destes dois operadores [20]. A série principal é dada por
33
• b
m,s
C
2
= −m
2
+ l
−2
[s(s + 1) − 2] C
4
= −m
2
s(s + 1)
a qual representa partículas com massa m
2
> 0 para spin inteiro, e com massa m > 1/4l
2
para spin semi-inteiro. A série complementar
•
˜
b
m,s
C
2
= −m
2
+ l
−2
[s(s + 1) − 2] C
4
= −m
2
s(s + 1)
que pode ser interpretada representando os tachyons, pois −
2
l
2
< m
2
<
1
4l
2
para s = 0,
ou 0 < m
2
<
1
4l
2
para s = 1, 2, .... Por último, temos a série discreta
• π
p,q
l
2
C
2
= p(p + 1) + q(q − 1) − 2 l
2
C
4
= p(p + 1)q(q −1)
onde p, q só podem tomar os valores p = 1/2, 1, 3/2, ... e q = p, p −1, p −2, ...1 (ou 1/2).
Alguns autores a consideram como representando partículas sem massa.
34
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