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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
Instituto de Biociencias, Letras e Ciencias Exatas
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE COMPUTACAO E ESTATISTICA
ANALITICIDADE E EFEITO GR
´
AFICO DA
DILATAC¸
˜
AO EM FUNC¸
˜
OES OCTONI
ˆ
ONICAS
QUASECONFORMES DO TIPO F (Z) = Z
n
Luiz Fernando Landucci Benzatti
Disserta¸c˜ao de Mestrado
P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica
Rua Cristov˜ao Colombo, 2265
15054-000 - Sao Jos´e do Rio Preto - SP - Brasil
Telefone: (017) 3221-2444
Fax: (017) 3221-2445
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Analiticidade e Efeito Gr´afico da Dilata¸c˜ao em Fun¸c˜oes Octoniˆonicas
Quaseconformes do tipo f(z) = z
n
Luiz Fernando L. Benzatti
1
Disserta¸c˜ao apresentada ao Instituto de Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas da Universidade
Estadual Paulista “J´ulio de Mesquita Filho”, Campus de S˜ao Jos´e do Rio Preto, S˜ao Paulo, para
a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.
Orientador: Prof. Dr. Manoel Ferreira Borges Neto
S˜ao Jos´e do Rio Preto
23 de outubro de 2008
1
contato:b[email protected]
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Benzatti, Luiz Fernando Landucci.
Analiticidade e efeito gr´afico da dilata¸c˜ao em fun¸c˜oes octoniˆonicas
quaseconformes do tipo f (z) = z
n
/ Luiz Fernando Landucci Benzatti.
- S˜ao Jos´e do Rio Preto : [s.n.], 2008.
59f. ; 30 cm.
Orientador: Manoel Ferreira Borges Neto
Disserta¸c˜ao (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de
Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas
1. F´ısica matem´atica. 2. Octˆonios. 3. Quasiconformidade. 4.
Hipercomplexos. 5. Fun¸c˜oes octoniˆonicas - Dilata¸c˜ao. 6. Fun¸c˜oes
hipercomplexas. I. Borges Neto, Manoel Ferreira. II.
Universidade Estadual Paulista, Instituto de Bio ciˆencias, Letras e
Ciˆencias Exatas. III. T´ıtulo.
CDU- 53:51
Disserta¸c˜ao apresentada para obten¸c˜ao do t´ıtulo
de Mestre em Matem´atica do Instituto de
Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas da Universi-
dade Estadual Paulista “J´ulio de Mesquita Filho”,
Campus de S˜ao Jos´e do Rio Preto.
BANCA EXAMINADORA
Prof. Dr. Manoel Ferreira Borges Neto
Prof. Titular
UNESP - S˜ao Jos´e do Rio Preto
Prof. Dr. Masayoshi Tsuchida
Prof. Assistente Doutor
UNESP - S˜ao Jos´e do Rio Preto
Prof. Dr. Siovani Felipussi
Prof. Assistente Doutor
UFSCAR - Universidade Federal de S˜ao Carlos
S˜ao Jos´e do Rio Preto, 23 de Outubro de 2008.
“The mistakes are there, waiting to be made.”
(Savielly Tartakower)
iv
`
A minha fam´ılia.
v v
Agradecimentos
A Deus, pela sa´ude e pelas oportunidades.
Agrade¸co aos meus pais Luiz e Sandra, e ao meu querido irm˜ao Danilo, pelo amor, carinho, e
pelo apoio incondicional que sempre me dedicaram.
`
A minha namorada Amanda, agrade¸co o carinho, a compreens˜ao e os conselhos.
Em especial, agrade¸co ao Prof. Dr. Manoel Ferreira Borges Neto, pela amizade, orienta¸c˜ao e
paciˆencia na elabora¸c˜ao deste trabalho.
`
A todos os amigos presentes em minha vida durante a realiza¸c˜ao do mestrado, em especial ao
Nilton, que me acompanhou em grande parte dessa caminhada.
vi vi
Resumo
Neste trabalho estudamos transforma¸c˜oes quaseconformes no contexto dos octˆonios, que s˜ao
hipercomplexos de oito dimens˜oes. Por n˜ao preservar a magnitude dos ˆangulos, mapeamentos
quaseconformes causam uma dilata¸c˜ao linear.
A partir da defini¸c˜ao m´etrica de quaseconformidade, utilizamos a forma binomial para mostrar
que a distˆancia |f(y) − f(x)| pode ser escrita como um polinˆomio em r. Com isso, pudemos
desenvolver n˜ao s´o um conjunto de f´ormulas como tamb´em um m´etodo computacional simplificado
para o c´alculo anal´ıtico da dilata¸c˜ao.
Posteriormente, utilizamos ferramentas gr´aficas para vizualizar as consequˆencias da dilata¸c˜ao.
Palavras-chave: Octˆonios, transforma¸c˜oes quaseconformes, dilata¸c˜ao, hipercomplexos, mapea-
mentos, quasiconformidade.
vii vii
Abstract
In this work we study quasiconformal mappings related to octonionic algebra. Since quasicon-
formal mappings do not preserve the magnitude of the angles they cause a linear dilatation. We
show that it also happens to 8-dimensional hipercomplex.
Based on the metric definition of quasiconformal mapping we show that the distance |f(y) −f(x)|
is a polynomial of variable r. Then it´s possible to make not only a set of formulas but also a
computacional method to calculate the dilatation.
We also use some graphical tools to visualize the consequences of dilatation.
Keywords: Octonions, quasiconformal, dilatation, hipercomplex, mappings.
viii viii
SUM
´
ARIO SUM
´
ARIO
Sum´ario
1 Introdu¸c˜ao 1
1.1 Breve Hist´oria dos Octˆonios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Nota Hist´orica: Transforma¸c˜ao Quaseconforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Constru¸c˜ao dos Octˆonios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Octˆonios: Defini¸c˜ao e Opera¸c˜oes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Fun¸c˜oes Octoniˆonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 N˜ao-associatividade dos Octˆonios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Dilata¸c˜ao 8
2.1 Coordenadas Esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Desenvolvimento de f(x) = x
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Escrevendo |f(y) − f(x)| como um polinˆomio em r . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 Desenvolvendo |f(y) −f(x)| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2 F´ormula para h
2k
y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.3 Substituindo h
2k
y
em F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.4 Escrevendo F como um polinˆomio em r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.5 Substituindo h
2k
y
em F
i
, F
j
, ..., F
lk
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.6 Escrevendo F
i
, F
j
, ..., F
lk
como polinˆomios em r . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.7 Resultado: |f (y) − f(x)| =
P
(n)
s
r
s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Calculando a dilata¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 M´etodo computacional para o c´alculo da dilata¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.2 Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.3 Implementa¸c˜ao computacional do m´etodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.4 Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5.5 Testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 An´alise Gr´afica 42
3.1 Mapeamento do R
8
para o R
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Mapeamento para f(z) = z
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Mapeamento para f(z) = z
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 Varia¸c˜ao do Raio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5 Transla¸c˜ao da Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
ix ix
3.6 Uso da interface para gerar imagem no R
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7 Desempenho da Interface Gr´afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Conclus˜ao 58
5 Bibliografia 59
1 INTRODUC¸
˜
AO
1 Introdu¸c˜ao
Neste trabalho s˜ao utilizados dois resultados principais. Em primeiro lugar, a teoria dos octˆonios,
que ´e, de certo modo, uma extens˜ao n˜ao-associativa dos quat´ernios. Sua ´algebra de divis˜ao nor-
mada em 8 dimens˜oes sobre os reais ´e a mais vasta poss´ıvel que pode ser obtida a partir da
constru¸c˜ao de Cayley-Dickson. Em segundo, utilizamos o conceito de fun¸c˜oes quaseconformes , ou
seja, fun¸c˜oes que n˜ao preservam ˆangulos. Mais formalmente, uma fun¸c˜ao w = f(z) ´e quasecon-
forme em z
0
se n˜ao preserva os ˆangulos entre as curvas atrav´es de z
0
e z.
Com esses conceitos, desenvolveremos um estudo sobre a dilata¸c˜ao em fun¸c˜oes octoniˆonicas quase
conforme do tipo f(z) = z
n
. A dilata¸c˜ao ´e uma consequˆencia da transforma¸c˜ao quaseconforme.
Ao longo deste cap´ıtulo, introduziremos alguns conceitos e defini¸c˜oes necess´arias para execu¸c˜ao
desse trabalho.
1.1 Breve Hist´oria dos Octˆonios
Muitos matem´aticos conhecem a hist´oria de como Hamilton descobriu os quat´ernios. Em 1835,
com 30 anos de idade, ele havia descoberto como tratar n´umeros complexos como pares de n´umeros
reais. Fascinado pela rela¸c˜ao entre complexos e a geometria 2-dimensional, ele tentou por muitos
anos descobrir uma ´algebra maior, que tivesse o mesmo papel em uma geometria 3-dimensional.
Na linguagem moderna, ele estava procurando por uma ´algebra de divis˜ao normada 3-dimensional.
O problema, claro, era que n˜ao existe uma ´algebra de divis˜ao normada 3-dimensional. Em outubro
de 1843 ele chegou a um resultado importante. Enquanto caminhava com sua esposa em volta
do Canal Real, indo para uma reuni˜ao na Academia Real Irlandesa, fez sua descoberta hist´orica.
”Senti o circuito galvˆanico do meu pensamento se fechar; e a fa´ısca que resultou foram as equa¸c˜oes
fundamentais entre i,j e k. Exatamente da maneira que eu sempre as usei.” E em um famoso ato
de vandalismo, ele riscou estas equa¸c˜oes em uma pedra da ponte de Brougham:
i
2
= j
2
= k
2
= ijk = −1
Uma raz˜ao para que essa hist´oria seja t˜ao conhecida ´e que Hamilton passou o resto de sua
vida obscecado pelos quat´ernios e suas aplica¸c˜oes na geometria. E por um tempo, quat´ernios se
tornaram um assunto de destaque. Eles eram t´opico obrigat´orio em Dublin e em algumas univer-
sidades americanas. Muito do que fazemos hoje com escalares e vetores no R
3
foi feito utilizando
quat´ernios reais e imagin´arios. Uma escola de ”quaternionistas”foi desenvolvida e liderada, ap´os
1 1
1.1 Breve Hist´oria dos Octˆonios 1 INTRODUC¸
˜
AO
a morte de Hamilton, por Peter Tait de Edinburgh e Benjamin Peirce de Harvard. Tait escreveu
8 livros sobre quat´ernios, enfatizando suas aplica¸c˜oes na f´ısica. Quando Gibbs desenvolveu uma
nota¸c˜ao moderna para produto pontual e produto cruzado, Tait condenou isso como uma ”mon-
struosidade hermafrodita”. Uma guerra de polˆemicas surgiu desde ent˜ao, tendo os quat´ernios
como perdedores.
Menos conhecida ´e a descoberta dos octˆonios por um colega de faculdade de Hamilton, John T.
Graves. Foi o interesse de Graves em ´algebra que fez Hamilton come¸car a pensar sobre n´umeros
complexos e sua expans˜ao. No dia seguinte `a descoberta dos quat´ernios, Hamilton enviou uma
carta de 8 p´aginas descrevendo os quat´ernios para Graves. Graves respondeu ainda em outubro
para Hamilton, parabenizando-o por sua descoberta e tamb´em complementando: Ainda h´a algo
que me intriga nesse sistema. Eu n˜ao tenho ainda uma vis˜ao clara da nossa liberdade arbitr´aria
em criar n´umeros imagin´arios. E ent˜ao perguntou: Se com sua alquimia vocˆe pode criar 3 kg de
ouro, por que n˜ao continuar?
Em dezembro do mesmo ano, Graves escreveu para Hamilton descrevendo uma nova ´algebra 8-
dimensional, que ele denominou de ”octavos”. Ele demonstrou que sua nova descoberta era uma
´algebra de divis˜ao normada, e usou-a para expressar o produto de duas somas de oito quadrados
perfeitos como uma outra soma de oito quadrados perfeitos.
Em janeiro de 1844, Graves escreveu 3 vezes para Hamilton, expandindo sua descoberta. Ele
considerou a id´eia de uma teoria generalizada, e tentou construir uma ´algebra de divis˜ao nor-
mada 16-dimensional. Encontrou certas dificuldades e passou a duvidar que isso fosse poss´ıvel.
Hamilton se ofereceu para publicar as descobertas de Graves, mas, estando o cupado com suas
pesquisas sobre quat´ernios, adiou diversas vezes a publica¸c˜ao. Em julho Hamilton escreveu para
Graves, mostrando que os octˆonios eram n˜ao-associativos: ”A.BC=AB.C=ABC, se A,B e C s˜ao
quat´ernios. Mas n˜ao vale para seus octavos.” De fato, Hamilton criou o termo ”associativo”e os
octˆonios tiveram importante papel em mostrar a importˆancia desse conceito.
Enquanto isso, o jovem Arthur Cayley de Cambridge, vinha pensando nos quat´ernios desde
que Hamilton anunciou sua existˆencia. Ele parecia procurar rela¸c˜oes entre quat´ernios e fun¸c˜oes
hiperel´ıpticas. Em mar¸co de 1845, ele publicou um artigo sobre fun¸c˜oes hiperel´ıpticas e adicionou
no final um breve coment´ario sobre octˆonios. O artigo estava cheio de erros em rela¸c˜ao as fun¸c˜oes
el´ıpticas. No entanto, ele foi o primeiro a publicar algum coment´ario sobre os octˆonios.
Graves anexou um breve coment´ario a um artigo comentando que tinha conhecimento sobre
octˆonios desde dezembro de 1843. Em junho de 1847, Hamilton escreveu para Academia Real
Irlandesa confirmando a hist´oria de Graves. Mas era tarde demais: os octˆonios ficaram conheci-
dos como n´umeros de Cayley [4].
2 2
1.2 Nota Hist´orica: Transforma¸c˜ao Quaseconforme 1 INTRODUC¸
˜
AO
Uma raz˜ao para os octˆonios terem, inicialmente, menos destaque que os quat´ernios foi a falta de
um defensor como Hamilton. Outro motivo, foi a falta de uma aplica¸c˜ao clara na geometria e
na f´ısica. Os quat´ernios se encaixam perfeitamente no estudo de rota¸c˜oes e momento angular,
particularmente no contexto da mecˆanica quˆantica. Hoje em dia, tal fenˆomeno ´e conhecido como
teoria de Clifford. Apesar disso, muitos dizem que Hamilton exagerou na importˆancia atribu´ıda
aos quat´ernios. Mas sabemos que os quat´ernios se encaixam muito bem no nosso entendimento
de v´arios esquemas.
Com os octˆonios foi diferente. Sua relevˆancia na geometria ficou obscura at´e 1925, quando
´
Elie
Cartan descreveu a ’trialidade’ - a simetria entre vetores ’spinors’ em espa¸cos Euclidianos de 8
dimens˜oes. Sua relevˆancia na f´ısica foi notada em 1934, em um artigo de Jordan, von Neumann e
Wigner [2]. No entanto, as tentativas em aplicar a teoria octoniˆonica `a f´ısica obteve pouco sucesso
at´e os anos 80, quando descobriram que octˆonios explicavam ferramentas interessantes da Teoria
das Cordas.
1.2 Nota Hist´orica: Transforma¸c˜ao Quaseconforme
O desenvolvimento moderno dessa teoria teve in´ıcio em meados dos anos 50 e, desde ent˜ao, vem
crescendo enormemente. Parte disso, deve-se ao grande n´umero de aplica¸c˜oes e conex˜oes com
outros campos da matem´atica.
Os trabalhos de Ahlfors tiveram grande impacto em mapeamentos quaseconformes, principalmente
na ´area de Espa¸cos de Teichmuller [6].
Por volta de 1920, Grotzsch foi o primeiro a considerar mapeamentos quaseconformes para di-
mens˜ao 2, em seus estudos sobre dom´ınios de planos simples [1].
Por´em, os estudos para dimens˜oes maiores, foram desenvolvidos por Lavrentev, com registros de
1938.
O passo mais importante foi dado por Teichm¨uler com mapeamentos quaseconformes em su-
perf´ıcies de Riemann [9], levando a uma conex˜ao com diferenciais holomorfas.
1.3 Constru¸c˜ao dos Octˆonios
A maneira elementar de se contruir um octˆonio ´e utilizando sua tabela de multiplica¸c˜ao [5]. Os
octˆonios s˜ao uma ´algebra 8-dimensional com base 1, i, j, k, l, li, lj e lk, e sua multiplica¸c˜ao ´e
dada pela seguinte tabela, que descreve o resultado da multiplica¸c˜ao de um elemento na i-´esima
linha por outro na j-´esima coluna.
Infelizmente, a tabela n˜ao esclarece muitas coisas. No entanto, podemos apontar alguns fatos
3 3
1.3 Constru¸c˜ao dos Octˆonios 1 INTRODUC¸
˜
AO
Figura 1: Tabela da multiplica¸c˜ao dos o ctˆonios
interessantes:
• i, j,..., lk s˜ao ra´ızes de -1
• se e
i
e e
j
s˜ao dois elementos da tabela, com i = j, ent˜ao e
i
e
j
= −e
j
e
i
. Al´em disso:
• e
i
e
j
= e
k
⇒ e
i+1
e
j+1
= e
k+1
. E tamb´em
• e
i
e
j
= e
k
⇒ e
2i
e
2j
= e
2k
Por´em, precisamos de uma maneira mais pr´atica para lembrar o produto dos octˆonios. Para
tanto, apresentamos o Plano Fano.
Plano Fano
Os quat´ernios s˜ao uma ´algebra 4-dimensional com bases 1, i, j e k. Para descrever seu pro-
duto, poder´ıamos utilizar a tabela de multiplica¸c˜ao, mas ´e bem mais f´acil notar que:
• 1 ´e a identidade de multiplica¸c˜ao;
• i, j e k s˜ao as ra´ızes de -1;
4 4
1.3 Constru¸c˜ao dos Octˆonios 1 INTRODUC¸
˜
AO
• temos que ij=k, ji=-k e todas as identidades s˜ao obtidas a partir de permuta¸c˜oes c´ıclicas
de (i, j, k).
Podemos resumir tais fatos na seguinte figura:
Figura 2: Diagrama da multiplica¸c˜ao dos quat´ernios
Quando multiplicamos dois elementos no sentido hor´ario, obtemos o pr´oximo elemento: por
exemplo, ij = k. Mas, quando multiplicamos no sentido anti-hor´ario, obtemos o sinal de menos:
ji = −k. Podemos utilizar o mesmo tipo de figura para multiplicar octˆonios.
Figura 3: Diagrama da multiplica¸c˜ao dos octˆonios
Esse ´e o Plano Fano, um dispositivo com 7 pontos e 7 linhas. As linhas s˜ao os lados do
triˆangulo, suas altitudes, e o c´ırculo contendo todos os pontos intermedi´arios dos lados. Cada par
de pontos distintos est´a em uma ´unica linha. Cada linha cont´em 3 pontos, e cada tripla possui
uma ordem c´ıclica definida pelas flechas.
5 5
1.4 Octˆonios: Defini¸c˜ao e Opera¸c˜oes Elementares 1 INTRODUC¸
˜
AO
1.4 Octˆonios: Defini¸c˜ao e Opera¸c˜oes Elementares
Definimos o conjunto dos octˆonios como
O={(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, x
7
, x
8
): x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, x
7
, x
8
∈ R}
sendo que, dado x ∈ O, podemos escrever:
x=(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, x
7
, x
8
)=x
1
+ ix
2
+ jx
3
+ kx
4
+ lx
5
+ lix
6
+ ljx
7
+ lkx
8
onde i, j, k, l, li, lj, lk s˜ao unidades imagin´arias
i
2
= j
2
= k
2
= l
2
= (li)
2
= (lj)
2
= (lk)
2
= −1
que respeitam a tabela de multiplica¸c˜ao introduzida no t´opico anterior[4,5].
A seguir, vamos definir as opera¸c˜oes elementares dos octˆonios:
Defini¸c˜ao 1. A norma |x| de um octˆonio x=(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, x
7
, x
8
) ´e o n ´umero real
|x| =
x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
+ x
2
4
+ x
2
5
+ x
2
6
+ x
2
7
+ x
2
8
Defini¸c˜ao 2. O octˆonio conjugado x de x=(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, x
7
, x
8
) ´e dado p or
x=(x
1
, −x
2
, −x
3
, −x
4
, −x
5
, −x
6
, −x
7
, −x
8
)
Defini¸c˜ao 3. Dado x, y ∈ O, tais que x=(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, x
7
, x
8
) e y=(y
1
, y
2
, y
3
, y
4
, y
5
, y
6
, y
7
, y
8
),
enunciamos as opera¸c˜oes:
• Adi¸c˜ao:
x + y = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, x
3
+ y
3
, x
4
+ y
4
, x
5
+ y
5
, x
6
+ y
6
, x
7
+ y
7
, x
8
+ y
8
) =
(x
1
+y
1
)+i(x
2
+y
2
)+j(x
3
+y
3
)+k(x
4
+y
4
)+l(x
5
+y
5
)+li(x
6
+y
6
)+lj(x
7
+y
7
)+lk(x
8
+y
8
)
• Multiplica¸c˜ao:
6 6
1.5 Fun¸c˜oes Octoniˆonicas 1 INTRODUC¸
˜
AO
xy = (x
1
y
1
− x
2
y
2
− x
3
y
3
− x
4
y
4
− x
5
y
5
− x
6
y
6
− x
7
y
7
− x
8
y
8
,
x
1
y
2
+ x
2
y
1
+ x
3
y
4
− x
4
y
3
− x
5
y
6
+ x
6
y
5
+ x
7
y
8
+ x
8
y
7
,
x
1
y
3
− x
2
y
4
+ x
3
y
1
+ x
4
y
2
− x
5
y
7
+ x
6
y
8
+ x
7
y
5
− x
8
y
6
,
x
1
y
4
+ x
2
y
3
− x
3
y
2
+ x
4
y
1
− x
5
y
8
− x
6
y
7
+ x
7
y
6
+ x
8
y
5
,
x
1
y
5
+ x
2
y
6
+ x
3
y
7
+ x
4
y
6
+ x
5
y
1
− x
6
y
2
− x
7
y
3
− x
8
y
4
,
x
1
y
6
− x
2
y
5
− x
3
y
8
+ x
4
y
7
+ x
5
y
2
+ x
6
y
1
− x
7
y
4
+ x
8
y
3
,
x
1
y
7
+ x
2
y
8
− x
3
y
5
− x
4
y
6
+ x
5
y
3
+ x
6
y
4
+ x
7
y
1
− x
8
y
2
,
x
1
y
8
− x
2
y
7
+ x
3
y
6
− x
4
y
5
+ x
5
y
4
− x
6
y
3
+ x
7
y
2
+ x
8
y
1
)
1.5 Fun¸c˜oes Octoniˆonicas
Sejam D e D
dom´ınios no espa¸co euclidiano 8-dimensional R
8
, D ⊂O, D
⊂ O. Uma fun¸c˜ao
f : D → D
´e uma fun¸c˜ao octoniˆonica se f ´e um mapeamento que faz corresponder a cada
x = (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, x
7
, x
8
) ∈ O um y = f(x), D
∈ O, ou seja
f : (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, x
7
, x
8
) → (y
1
, y
2
, y
3
, y
4
, y
5
, y
6
, y
7
, y
8
)
Sendo f uma fun¸c˜ao octoniˆonica, podemos decompˆo-la em parte escalar f
1
(x) = φ(x) e parte
vetorial if
2
(x) + jf
3
(x) + kf
4
(x) + lf
5
(x) + lif
6
(x) + ljf
7
(x) + lkf
8
(x) = ϕ(x), ou seja
f(x) = f
1
(x) + if
2
(x) + jf
3
(x) + kf
4
(x) + lf
5
(x) + lif
6
(x) + ljf
7
(x) + lkf
8
(x) = φ(x) + ϕ(x),
onde f
i
: R
8
→ R s˜ao fun¸c˜oes coordenadas de valores reais para i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Consequentemente,
|f(x)| =
f
1
(x)
2
+ f
2
(x)
2
+ f
3
(x)
2
+ f
4
(x)
2
+ f
5
(x)
2
+ f
6
(x)
2
+ f
7
(x)
2
+ f
8
(x)
2
,
´e sua norma.
7 7
1.6 N˜ao-associatividade dos Octˆonios 2 DILATAC¸
˜
AO
1.6 N˜ao-associatividade dos Octˆonios
Sabemos que os octˆonios s˜ao uma ´algebra 8-dimensional n˜ao-associativa, ou seja, dados a =
(y
1
, y
2
, y
3
, y
4
, y
5
, y
6
, y
7
, y
8
), b = (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, x
7
, x
8
) e c = (z
1
, z
2
, z
3
, z
4
, z
5
, z
6
, z
7
, z
8
), temos
que (a.b).c = a.(b.c).
No entanto, quando a = b = c, temos que (a.b).c = a.(b.c), conforme mostramos abaixo:
a.b = b.c = (y
2
1
− y
2
2
− y
2
3
− y
2
4
− y
2
5
− y
2
6
− y
2
7
− y
2
8
,
2y
1
y
2
, 2y
1
y
3
, 2y
1
y
4
, 2y
1
y
5
, 2y
1
y
6
, 2y
1
y
7
, 2y
1
y
8
)
(a.b).c = (−2y
1
y
2
2
−2y
1
y
2
3
−2y
1
y
2
4
−2y
1
y
2
5
−2y
1
y
2
6
−2y
1
y
2
7
−2y
1
y
2
8
+y
1
(y
2
1
−y
2
2
−y
2
3
−y
2
4
−y
2
5
−y
2
6
−y
2
7
−y
2
8
,
2y
2
1
y
2
+ y
2
(y
2
1
− y
2
2
− y
2
3
− y
2
4
− y
2
5
− y
2
6
− y
2
7
− y
2
8
),
2y
2
1
y
3
+ y
3
(y
2
1
− y
2
2
− y
2
3
− y
2
4
− y
2
5
− y
2
6
− y
2
7
− y
2
8
),
2y
2
1
y
4
+ y
4
(y
2
1
− y
2
2
− y
2
3
− y
2
4
− y
2
5
− y
2
6
− y
2
7
− y
2
8
),
2y
2
1
y
5
+ y
5
(y
2
1
− y
2
2
− y
2
3
− y
2
4
− y
2
5
− y
2
6
− y
2
7
− y
2
8
),
2y
2
1
y
6
+ y
6
(y
2
1
− y
2
2
− y
2
3
− y
2
4
− y
2
5
− y
2
6
− y
2
7
− y
2
8
),
2y
2
1
y
7
+ y
7
(y
2
1
− y
2
2
− y
2
3
− y
2
4
− y
2
5
− y
2
6
− y
2
7
− y
2
8
),
2y
2
1
y
8
+ y
8
(y
2
1
− y
2
2
− y
2
3
− y
2
4
− y
2
5
− y
2
6
− y
2
7
− y
2
8
)) =
a.(b.c)
Esse fato tem grande importˆancia neste trabalho, j´a que trabalharemos com fun¸c˜oes do tipo
f(z) = z
n
, com z ∈ O.
2 Dilata¸c˜ao
J´a foi dito anteriormente que a dilata¸c˜ao ´e uma consequˆencia de transforma¸c˜oes quaseconformes.
Sabendo que o objetivo principal deste trabalho ´e o c´alculo da dilata¸c˜ao em fun¸c˜oes octoniˆonicas
do tipo f(z) = z
n
, vamos definir transforma¸c˜ao quaseconforme.
Defini¸c˜ao M´etrica
Sejam D e D
dom´ınios no n-espa¸co Euclidiano R
n
com n ≥ 2 e seja f : D → D
um homeo-
morfismo(cont´ınua, bijetora e preserva topologia). Para x ∈ D e r > 0, considere B(x, r) a bola
fechada (com centro em x) em D. Seja
L(x, r) = max
|x−y|=r
|f(y) − f(x)|, l(x, r) = min
|x−y|=r
|f(y) − f(x)|,
8 8
2.1 Coordenadas Esf´ericas 2 DILATAC¸
˜
AO
H(x, r) =
L(x, r)
l(x, r)
e H(x) = lim sup
r→0
H(x, r),
ent˜ao dizemos que a fun¸c˜ao f ´e quaseconforme se a dilata¸c˜ao H(x) ´e uniformemente limitada
em D. Por conveniˆencia, definimos f sendo K-quaseconforme com 1 ≤ K < ∞ se f ´e quasecon-
forme e H(x) ≤ K.
Nos t´opicos seguintes, desenvolveremos os ajustes necess´arios para calcular a dilata¸c˜ao dada na
defini¸c˜ao acima.
2.1 Coordenadas Esf´ericas
Neste t´opico explicitamos o processo que nos leva a escrever bolas de oito dimens˜oes, com a fi-
nalidade de calcular a distˆancia |f (y) − f(x)|, onde x ´e o centro da hiperesfera de raio r e y um
ponto de sua fronteira.
Considerando as nota¸c˜oes:
cos(t
i
) = c
i
e sin(t
i
) = s
i
,
escrevemos as coordenadas de um ponto na fronteira da hiperesfera como:
y
1
= rc
1
c
2
...c
n−2
c
n−1
, 0 ≤ t
n−1
≤ 2π;
y
2
= rc
1
c
2
...c
n−2
s
n−1
, −
1
2
π ≤ t
n−2
≤
1
2
π;
y
3
= rc
1
c
2
...s
n−2
, −
1
2
π ≤ t
n−3
≤
1
2
π;
............, ...;
y
j
= rc
1
...c
n−j
s
n−j+1
, ...;
............, ...;
y
n
= rs
1
, −
1
2
π ≤ t
1
≤
1
2
π.
Para n = 3, temos uma esfera no R
3
definida por:
y
1
= rc
1
c
2
, 0 ≤ t
2
≤ 2π;
y
2
= rc
1
s
2
, −
1
2
π ≤ t
1
≤
1
2
π;
y
3
= rs
1
, 0 ≤ r < ∞
Para n = 8, que ´e o caso de nosso interesse nesse trabalho, temos:
9 9
2.2 Desenvolvimento de f (x) = x
n
2 DILATAC¸
˜
AO
y
1
= rc
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
c
7
, 0 ≤ t
7
≤ 2π;
y
2
= rc
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
, −
1
2
π ≤ t
6
≤
1
2
π;
y
3
= rc
1
c
2
c
3
c
4
c
5
s
6
, −
1
2
π ≤ t
5
≤
1
2
π;
y
4
= rc
1
c
2
c
3
c
4
s
5
, −
1
2
π ≤ t
4
≤
1
2
π;
y
5
= rc
1
c
2
c
3
s
4
, −
1
2
π ≤ t
3
≤
1
2
π;
y
6
= rc
1
c
2
s
3
, −
1
2
π ≤ t
2
≤
1
2
π;
y
7
= rc
1
s
2
, −
1
2
π ≤ t
1
≤
1
2
π;
y
8
= rs
1
, 0 ≤ r < ∞
2.2 Desenvolvimento de f(x) = x
n
Tendo como objetivo calcular a dilata¸c˜ao, atrav´es do quociente entre o m´aximo e o m´ınimo da
distˆancia |f(y) −f(x)|, precisamos estudar o desenvolvimento das fun¸c˜oes hipercomplexas f(x) =
x
n
.
Seja
x = x
1
+ ix
2
+ jx
3
+ kx
4
+ lx
5
+ lix
6
+ ljx
7
+ lkx
8
= x
1
+ h
x
,
onde h
x
´e a parte vetorial dada por
h
x
= ix
2
+ jx
3
+ kx
4
+ lx
5
+ lix
6
+ ljx
7
+ lkx
8
Pelas leis da multiplica¸c˜ao, temos que
h
2
x
= −x
2
2
− x
2
3
− x
2
4
− x
2
5
− x
2
6
− x
2
7
− x
2
8
´e um n ´umero real.
Para n ∈ N, h
2
x
´e real e h
2n+1
x
= h
x
h
2n
x
= h
2n
x
h
x
imagin´ario da forma
h
2n
x
(ix
2
+ jx
3
+ kx
4
+ lx
5
+ lix
6
+ ljx
7
+ lkx
8
)=ix
2
h
2n
x
+ jx
3
h
2n
x
+ kx
4
h
2n
x
+ lx
5
h
2n
x
+ lix
6
h
2n
x
+
l jx
7
h
2n
x
+ lkx
8
h
2n
x
Assim
h
2n+1
x
= ix
2
h
2n
x
+ jx
3
h
2n
x
+ kx
4
h
2n
x
+ lx
5
h
2n
x
+ lix
6
h
2n
x
+ ljx
7
h
2n
x
+ lkx
8
h
2n
x
Ent˜ao, segue-se que
x
n
= (x
1
+ h
x
)
n
=
n
k=0
n
k
x
n−k
1
h
k
x
=
10 10
2.3 Escrevendo |f(y) − f(x)| como um polinˆomio em r 2 DILATAC¸
˜
AO
n
0
x
n
1
h
0
x
+
n
2
x
n−2
1
h
2
x
+...+
n
2k
x
n−2k
1
h
2k
x
+
n
1
x
n−1
1
h
1
x
+
n
3
x
n−3
1
h
3
x
+...+
n
2k + 1
x
n−(2k+1)
1
h
2k+1
x
=
2k≤n
k=0
n
2k
x
n−2k
1
h
2k
x
+
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
x
n−(2k+1)
1
h
2k+1
x
=
2k≤n
k=0
n
2k
x
n−2k
1
h
2k
x
+
Re(x
n
)
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
h
x
I(x
n
)
= Re(x
n
) + I(x
n
)
2.3 Escrevendo |f(y) − f(x)| como um polinˆomio em r
Neste t´opico, desenvolveremos uma id´eia central desse trabalho. Vamos mostrar que a express˜ao
|f(y)−f(x)|, quando x ε O e y ε O s˜ao escritos em coordenadas esf´ericas, ´e a raiz de um polinˆomio
na vari´avel r e de grau 2n da forma
P
(n)
2
r
2
+ P
(n)
3
r
3
+ ... + P
(n)
2n
r
2n
(2.1)
Tal resultado j´a foi demonstrado v´alido para os quat´ernios [3].
Antes de demonstrar que isso ´e poss´ıvel, devemos discutir sua finalidade. Dada a defini¸c˜ao de
dilata¸c˜ao e a distˆancia |f(y) − f(x)| definida como (2.1), segue-se que
H(x) = lim sup
r→0
H(x, r) = lim sup
r→0
L(x, r)
l ( x, r)
= lim sup
r→0
max |f(y) − f(x)|
min |f(y) − f(x)|
=
= lim sup
r→0
max
P
2
r
2
+ P
3
r
3
+ ... + P
2n
r
2n
min
P
2
r
2
+ P
3
r
3
+ ... + P
2n
r
2n
= lim sup
r→0
max r
P
2
+ P
3
r + ... + P
2n
r
2n−2
min r
P
2
+ P
3
r + ... + P
2n
r
2n−2
=
=
max
√
P
2
min
√
P
2
=
max P
2
min P
2
Com isso, chegamos a duas conclus˜oes importantes. Em primeiro, a dilata¸c˜ao n˜ao depende
do raio r da hiperesfera. Em segundo, a dilata¸c˜ao s´o depende dos termos multiplicados por r
2
de |f(y) − f(x)|. Logo, nosso pr´oximo passo ser´a extrair o termo P
2
de |f(y) − f(x)|. Contudo,
precisamos mostrar que a distˆancia |f(y) − f(x)| ´e realmente um polinˆomio em r.
11 11
2.3 Escrevendo |f(y) − f(x)| como um polinˆomio em r 2 DILATAC¸
˜
AO
2.3.1 Desenvolvendo |f(y) − f(x)|
Consideremos x = (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, x
7
, x
8
) o centro da bola 8-dimensional de raio r e y =
(y
1
, y
2
, y
3
, y
4
, y
5
, y
6
, y
7
, y
8
) um ponto de sua fronteira, parametrizado por
y
1
= x
1
+ rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)cos(t
4
)cos(t
5
)cos(t
6
)cos(t
7
)
y
2
= x
2
+ rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)cos(t
4
)cos(t
5
)cos(t
6
)sen(t
7
)
y
3
= x
3
+ rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)cos(t
4
)cos(t
5
)sen(t
6
)
y
4
= x
4
+ rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)cos(t
4
)sen(t
5
)
y
5
= x
5
+ rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)sen(t
4
)
y
6
= x
6
+ rcos(t
1
)cos(t
2
)sen(t
3
)
y
7
= x
7
+ rcos(t
1
)sen(t
2
)
y
8
= x
8
+ rsen(t
1
),
com a forma abreviada
y
1
= x
1
+ rc
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
c
7
y
2
= x
2
+ rc
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
y
3
= x
3
+ rc
1
c
2
c
3
c
4
c
5
s
6
y
4
= x
4
+ rc
1
c
2
c
3
c
4
s
5
y
5
= x
5
+ rc
1
c
2
c
3
s
4
y
6
= x
6
+ rc
1
c
2
s
3
y
7
= x
7
+ rc
1
s
2
y
8
= x
8
+ rs
1
,
e queremos calcular |f(y) − f(x)| para f(z) = z
n
.
Temos
|f(y) − f(x)| =
|Re(y
n
) − Re(x
n
) + I(y
n
) − I(x
n
)| =
2k≤n
k=0
n
2k
(y
n−2k
1
h
2k
y
− x
n−2k
1
h
2k
x
)
12 12
2.3 Escrevendo |f(y) − f(x)| como um polinˆomio em r 2 DILATAC¸
˜
AO
+i
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
y
2
−
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
x
2
+j
2k+1≤n
k
=0
n
2k + 1
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
y
3
−
2k+1≤n
k
=0
n
2k + 1
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
x
3
+k
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
y
4
−
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
x
4
+l
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
y
5
−
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
x
5
+li
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
y
6
−
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
x
6
+lj
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
y
7
−
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
x
7
+lk
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
y
8
−
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
x
8
=
2k≤n
k=0
n
2k
(y
n−2k
1
h
2k
y
− x
n−2k
1
h
2k
x
)
+i
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
y
2
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
− x
2
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
+j
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
y
3
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
− x
3
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
+k
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
y
4
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
− x
4
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
+l
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
y
5
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
− x
5
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
+li
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
y
6
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
− x
6
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
+lj
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
y
7
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
− x
7
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
13 13
2.3 Escrevendo |f(y) − f(x)| como um polinˆomio em r 2 DILATAC¸
˜
AO
+lk
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
y
8
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
− x
8
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
=
= |F + iF
i
+ jF
j
+ kF
k
+ lF
l
+ liF
li
+ ljF
lj
+ lkF
lk
| =
=
F
2
+ F
2
i
+ F
2
j
+ F
2
k
+ F
2
l
+ F
2
li
+ F
2
lj
+ F
2
lk
,
onde
F =
2k≤n
k=0
n
2k
(y
n−2k
1
h
2k
y
− x
n−2k
1
h
2k
x
),
F
i
=
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
(y
2
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
− x
2
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
),
F
j
=
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
(y
3
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
− x
3
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
),
F
k
=
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
(y
4
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
− x
4
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
),
F
l
=
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
(y
5
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
− x
5
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
),
F
li
=
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
(y
6
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
− x
6
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
),
F
lj
=
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
(y
7
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
− x
7
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
),
F
lk
=
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
(y
8
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
− x
8
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
),
Precisamos mostrar agora que todos os elementos de F , F
i
, F
j
, F
k
, F
l
, F
li
, F
lj
, F
lk
est˜ao
multiplicados por algum r
n
, com n ∈ I. Em outras palavras, se F, F
i
, ..., F
lk
s˜ao polinˆomios em r,
ent˜ao |f(y) − f(x)|
2
tamb´em o ser´a.
14 14
2.3 Escrevendo |f(y) − f(x)| como um polinˆomio em r 2 DILATAC¸
˜
AO
2.3.2 F´ormula para h
2k
y
Buscamos agora uma f´ormula para o fator h
2k
y
, que aparece em F, F
i
, ..., F
lk
.
h
2
y
= −y
2
2
− y
2
3
− y
2
4
− y
2
5
− y
2
6
− y
2
7
− y
2
8
Substituindo pela forma parametrizada
h
2
y
= −[x
2
2
+ x
2
3
+ x
2
4
+ x
2
5
+ x
2
6
+ x
2
7
+ x
2
8
+ 2x
2
rc
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
+ 2x
3
rc
1
c
2
c
3
c
4
c
5
s
6
+
2x
4
rc
1
c
2
c
3
c
4
s
5
+ 2x
5
rc
1
c
2
c
3
s
4
+ 2x
6
rc
1
c
2
s
3
+ 2x
7
rc
1
s
2
+ 2x
8
rs
1
+ r
2
(c
2
1
c
2
2
c
2
3
c
2
4
c
2
5
c
2
6
c
2
7
− 1)]
e denominando
−c
2
1
c
2
2
c
2
3
c
2
4
c
2
5
c
2
6
c
2
7
+ 1 = −c
2
+ 1 = s
2
e
= x
2
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
+ x
3
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
s
6
+ x
4
c
1
c
2
c
3
c
4
s
5
+ x
5
c
1
c
2
c
3
s
4
+ x
6
c
1
c
2
s
3
+ x
7
c
1
s
2
+ x
8
s
1
Temos
h
2
y
= h
2
x
− 2r
+r
2
s
2
Como h
2k
y
= (h
2
y
)
k
, onde 0 ≤ 2k ≤ n, ent˜ao
h
2k
y
= (h
2
x
(−2r
+(rs)
2
))
k
=
k
0
(h
2
x
)
k
(−2r
+(rs)
2
)
0
+
+
k
1
(h
2
x
)
k−1
(−2r
+(rs)
2
)
1
+
15 15
2.3 Escrevendo |f(y) − f(x)| como um polinˆomio em r 2 DILATAC¸
˜
AO
+
k
2
(h
2
x
)
k−2
(−2r
+(rs)
2
)
2
+
.......
+
k
m
(h
2
x
)
k−m
(−2r
+(rs)
2
)
m
+
.......
+
k
k
(h
2
x
)
k−k
(−2r
+(rs)
2
)
k
, (0 ≤ m ≤ k)
Logo,
h
2k
y
=
k
0
(h
2
x
)
k
+
k
1
(h
2
x
)
k−1
1
0
(−2r
)
1−0
(r
2
s
2
)
0
+
1
1
(−2r
)
1−1
(r
2
s
2
)
1
+
k
2
(h
2
x
)
k−2
2
0
(−2r
)
2−0
(r
2
s
2
)
0
+
2
1
(−2r
)
2−1
(r
2
s
2
)
1
+
2
2
(−2r
)
2−2
(r
2
s
2
)
2
+
......
k
m
(h
2
x
)
k−m
m
0
(−2r
)
m−0
(r
2
s
2
)
0
+
m
1
(−2r
)
m−1
(r
2
s
2
)
1
+
2
2
(−2r
)
m−2
(r
2
s
2
)
2
+
... +
m
q
(−2r
)
m−q
(r
2
s
2
)
q
+ ... +
m
m
(−2r
)
m−m
(r
2
s
2
)
m
+
......
k
k
(h
2
x
)
k−k
k
0
(−2r
)
k−0
(r
2
s
2
)
0
+
k
1
(−2r
)
k−1
(r
2
s
2
)
1
+
k
2
(−2r
)
k−2
(r
2
s
2
)
2
+ ... +
k
k
(−2r
)
k−k
(r
2
s
2
)
k
,
Agora podemos separar r de cada termo
h
2k
y
=
k
0
(h
2
x
)
k
r
0
+
k
1
(h
2
x
)
k−1
1
0
(−2
)
1−0
(s
2
)
0
r
1
+
k
1
(h
2
x
)
k−1
1
1
(−2
)
1−1
(s
2
)
1
+
k
1
(h
2
x
)
k−1
2
0
(−2
)
2−0
(s
2
)
0
r
2
+
k
2
(h
2
x
)
k−2
2
1
(−2
)
2−1
(s
2
)
1
+
k
3
(h
2
x
)
k−3
3
0
(−2
)
3−0
(s
2
)
0
r
3
+
16 16
2.3 Escrevendo |f(y) − f(x)| como um polinˆomio em r 2 DILATAC¸
˜
AO
k
2
(h
2
x
)
k−2
2
2
(−2
)
2−2
(s
2
)
2
+
k
3
(h
2
x
)
k−3
3
1
(−2
)
3−1
(s
2
)
1
+
k
4
(h
2
x
)
k−4
4
0
(−2
)
4−0
(s
2
)
0
r
4
+
...........+
f
m+q=
r
m+q
+
........... + (s
2
)
k
r
2k
,
O elemento gen´erico dessa sequˆencia, ser´a definido como
f
m+q=
=
k
m
m
q
(h
2
x
)
k−m
(−2
)
m−q
(s
2
)
q
+
k
m + 1
m + 1
q −1
(h
2
x
)
k−(m+1)
(−2
)
m−q+2
(s
2
)
q−1
+...
k
m + q
m + q
0
(h
2
x
)
k−(m+q)
(−2
)
m+q
(s
2
)
0
,
onde 0 ≤ m + q ≤ 2k, 0 ≤ q ≤ m ≤ k e f
m+q=
= 0 se m > k.
Por fim, definimos a f´ormula para h
2k
y
h
2k
y
=
2k
m+q=0
f
m+q=
r
m+q
(2.2)
2.3.3 Substituindo h
2k
y
em F
Nosso objetivo ´e obter F, F
i
, ..., F
lk
como polinˆomios em r. Para tanto, vamos come¸car calculando
F . Anteriormente, obtivemos que
F =
2k≤n
k=0
n
2k
(y
n−2k
1
h
2k
y
− x
n−2k
1
h
2k
x
)
Vamos definir ent˜ao
f
n
2k
=
n
2k
(y
n−2k
1
h
2k
y
− x
n−2k
1
h
2k
x
)
Substituindo y
1
pela forma parametrizada e h
2k
y
pela f´ormula definida
f
n
2k
=
n
2k
(x
1
+ rc)
n−2k
(
2k
m+q=0
f
m+q=
r
m+q
) − x
n−2k
1
h
2k
x
=
17 17
2.3 Escrevendo |f(y) − f(x)| como um polinˆomio em r 2 DILATAC¸
˜
AO
n
2k
n − 2k
0
x
n−2k
1
(rc)
0
+
n − 2k
1
x
n−2k−1
1
(rc)
1
+ ......+
n − 2k
p
x
n−2k−p
1
(rc)
p
+ ..... +
n − 2k
n − 2k
x
0
1
(rc)
n−2k
.
f
m+q=0
r
0
+ f
m+q=1
r
1
+ ..... + f
m+q=2k
r
2k
− x
n−2k
1
h
2k
x
=
Separando em fun¸c˜ao de r
n
2k
n − 2k
0
x
n−2k
1
c
0
f
m+q=0
r
0
+
n − 2k
0
x
n−2k
1
c
0
f
m+q=1
+
n − 2k
1
x
n−2k−1
1
c
1
f
m+q=0
r
1
+
n − 2k
0
x
n−2k
1
c
0
f
m+q=2
+
n − 2k
1
x
n−2k−1
1
c
1
f
m+q=1
+
n − 2k
2
x
n−2k−3
1
c
3
f
m+q=0
r
2
+
+............+
n − 2k
0
x
n−2k
1
c
0
f
m+q=t
+ ... +
n − 2k
p
x
n−2k−p
1
c
p
f
m+q=t−p
+ ... +
n − 2k
t
x
0
1
c
t
f
m+q=0
r
t
+
+............+
n − 2k
0
x
n−2k
1
c
0
f
m+q=n
+ ... +
n − 2k
n − 2k
x
0
1
c
n−2k
f
m+q=2k
r
n
−
−x
n−2k
1
h
2k
x
O primeiro e o ´ultimo termo se anulam. Logo
f
(n)
2k
=
n
2k
n − 2k
0
x
n−2k
1
c
0
f
m+q=1
+
n − 2k
1
x
n−2k−1
1
c
1
f
m+q=0
r
1
+
n
2k
n − 2k
0
x
n−2k
1
c
0
f
m+q=2
+
n − 2k
1
x
n−2k−1
1
c
1
f
m+q=1
+
n − 2k
2
x
n−2k−2
1
c
2
f
m+q=2
r
2
+
+..............+
n
2k
n − 2k
0
x
n−2k
1
c
0
f
m+q=n
+ ... +
n − 2k
n − 2k
x
0
1
c
n−2k
f
m+q=2k
r
n
+
Para facilitar a visualiza¸c˜ao de f
n
2k
, definimos
f
(2k,t)
=
n
2k
t
p=0
n − 2k
p
x
n−2k−p
1
c
p
f
m+q=t−p
Portanto
f
(n)
2k
=
n
t=1
f
(2k,t)
r
t
(2.3)
18 18
2.3 Escrevendo |f(y) − f(x)| como um polinˆomio em r 2 DILATAC¸
˜
AO
2.3.4 Escrevendo F como um polinˆomio em r
Temos que
F =
2k≤n
k=0
n
2k
(y
n−2k
1
h
2k
y
− x
n−2k
1
h
2k
x
)
Portanto
F =
2k≤n
k=0
f
(n)
2k
=
2k≤n
k=0
n
t=1
f
(2k,t)
r
t
=
= f
(0,1)
r
1
+ f
(0,2)
r
2
+ ... + f
(0,t)
r
t
+
f
(2,1)
r
1
+ f
(2,2)
r
2
+ ... + f
(2,t)
r
t
+
+........+
f
(2k,1)
r
1
+ f
(2k,2)
r
2
+ ... + f
(2k,t)
r
t
=
=
2k≤n
k=0
f
(2k,1)
r
1
+
2k≤n
k=0
f
(2k,2)
r
2
+ ..... +
2k≤n
k=0
f
(2k,t)
r
t
Por fim, denominamos
f
t
=
2k≤n
k=0
f
(2k,t)
e obtemos F como um polinˆomio em r
F =
n
t=1
f
t
r
t
(2.4)
2.3.5 Substituindo h
2k
y
em F
i
, F
j
, ..., F
lk
Nesse t´opico, vamos escrever F
i
como um polinˆomio em r. Seja
F
i
=
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
(y
2
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
− x
2
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
),
e, separamos f
(n)
i2k
como
f
(n)
i2k
=
n
2k + 1
(y
2
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
− x
2
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
)
19 19
2.3 Escrevendo |f(y) − f(x)| como um polinˆomio em r 2 DILATAC¸
˜
AO
Note que o desenvolvimento de f
(n)
i2k
ser´a semelhante para F
j
, ...F
lk
.
Substituindo y
1
pela forma parametrizada, temos
f
(n)
i2k
=
n
2k + 1
y
2
(x
1
+ rc)
n−(2k+1)
(
2k
m+q=0
f
m+q=
r
m+q
) − x
2
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
Desenvolvendo (x
1
+ rc)
n−(2k+1)
pela forma binomial
f
(n)
i2k
=
n
2k + 1
y
2
n − (2k + 1)
0
x
n−(2k+1)
1
(rc)
0
+
n − (2k + 1)
1
x
n−(2k)
1
(rc)
1
+ ...
+
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k+1)−p
1
(rc)
p
+ ... +
n − (2k + 1)
n − (2k + 1)
x
0)
1
(rc)
n−(2k+1)
.
f
m+q=0
r
0
+ f
m+q=1
r
1
+ ... + f
m+q=2k
r
2k
− x
2
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
Substituindo y
2
pela forma parametrizada e separando em fun¸c˜ao de r, temos
f
(n)
i2k
=
n
2k + 1
(x
2
+ rc
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
)
n − (2k + 1)
0
x
n−(2k+1)
1
c
0
f
m+q=0
r
0
+
n − (2k + 1)
0
x
n−(2k+1)
1
c
0
f
m+q=1
+
n − (2k + 1)
1
x
n−(2k)
1
c
1
f
m+q=0
r
1
+
+...................+
+
t−1
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k+1)−p
1
c
p
f
m+q=t−(p+1)
r
t−1
+
+
t−1
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k+1)−p
1
c
p
f
m+q=t−p
r
t
+
+...................+
+
n − (2k + 1)
n − (2k + 1)
x
0
1
c
n−(2k+1)
f
m+q=2k
r
n−1
− x
2
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
Sabendo que f
m+q=0
=
k
0
0
0
(h
2
x
)
k−0
(−2
)
0−0
(s
2
)
0
= h
2k
x
, temos
f
(n)
i2k
=
n
2k + 1
x
2
1
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k+1)−p
1
c
p
f
m+q=1−p
+ c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
r
1
+
+
x
2
2
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k+1)−p
1
c
p
f
m+q=2−p
+
20 20
2.3 Escrevendo |f(y) − f(x)| como um polinˆomio em r 2 DILATAC¸
˜
AO
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
1
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k+1)−p
1
c
p
f
m+q=2−p
r
2
+
+.........+
+
x
2
t
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k+1)−p
1
c
p
f
m+q=t−p
+
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
t−1
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k+1)−p
1
c
p
f
m+q=t−p−1
r
t
+ ....
+
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
n − (2k + 1)
n − (2k + 1)
x
0
1
c
n−(2k+1)
f
m+q=2k
r
n
Podemos ent˜ao, definir um termo gen´erico de f
(n)
i2k
como
f
i(2k,t)
=
n
2k + 1
x
2
t
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k+1)−p
1
c
p
f
m+q=t−p
+
+
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
t−1
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k−1)−p
1
c
p
f
m+q=t−p−1
Logo
f
(n)
i2k
=
n
t=1
f
i(2k,t)
r
t
Os c´alculos da substitui¸c˜ao de h
2k
y
em F
j
, ..., F
lk
segue de maneira similar a F
i
. Desse modo,
definimos tamb´em
a) f
j(2k,t)
=
n
2k + 1
x
3
t
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k+1)−p
1
c
p
f
m+q=t−p
+
+
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
s
6
t−1
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k−1)−p
1
c
p
f
m+q=t−p−1
⇒ f
(n)
j2k
=
n
t=1
f
j(2k,t)
r
t
;
b) f
k(2k,t)
=
n
2k + 1
x
4
t
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k+1)−p
1
c
p
f
m+q=t−p
+
21 21
2.3 Escrevendo |f(y) − f(x)| como um polinˆomio em r 2 DILATAC¸
˜
AO
+
c
1
c
2
c
3
c
4
s
5
t−1
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k−1)−p
1
c
p
f
m+q=t−p−1
⇒ f
(n)
k2k
=
n
t=1
f
k(2k,t)
r
t
;
c) f
l(2k,t)
=
n
2k + 1
x
5
t
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k+1)−p
1
c
p
f
m+q=t−p
+
+
c
1
c
2
c
3
s
4
t−1
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k−1)−p
1
c
p
f
m+q=t−p−1
⇒ f
(n)
l2k
=
n
t=1
f
l(2k,t)
r
t
c) ;
d) f
li(2k,t)
=
n
2k + 1
x
6
t
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k+1)−p
1
c
p
f
m+q=t−p
+
+
c
1
c
2
s
3
t−1
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k−1)−p
1
c
p
f
m+q=t−p−1
⇒ f
(n)
li2k
=
n
t=1
f
li(2k,t)
r
t
e) f
lj(2k,t)
=
n
2k + 1
x
7
t
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k+1)−p
1
c
p
f
m+q=t−p
+
+
c
1
s
2
t−1
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k−1)−p
1
c
p
f
m+q=t−p−1
⇒ f
(n)
lj2k
=
n
t=1
f
lj(2k,t)
r
t
;
22 22
2.3 Escrevendo |f(y) − f(x)| como um polinˆomio em r 2 DILATAC¸
˜
AO
f) f
lk(2k,t)
=
n
2k + 1
x
8
t
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k+1)−p
1
c
p
f
m+q=t−p
+
+
s
1
t−1
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k−1)−p
1
c
p
f
m+q=t−p−1
⇒ f
(n)
lk2k
=
n
t=1
f
lk(2k,t)
r
t
;
2.3.6 Escrevendo F
i
, F
j
, ..., F
lk
como polinˆomios em r
Seja
F
i
=
2k+1≤n
k=0
n
2k + 1
(y
2
y
n−(2k+1)
1
h
2k
y
− x
2
x
n−(2k+1)
1
h
2k
x
),
dado
f
(n)
i2k
=
n
t=1
f
i(2k,t)
r
t
Temos
F
i
=
2k+1≤n
k=0
n
t=1
f
i(2k,t)
r
t
=
= f
i(0,1)
r
1
+ f
i(0,2)
r
2
+ ... + f
i(0,t)
r
t
+
+f
i(2,1)
r
1
+ f
i(2,2)
r
2
+ ... + f
i(2,t)
r
t
+
+............+
+f
i(2k,1)
r
1
+ f
i(2k,2)
r
2
+ ... + f
i(2k,t)
r
t
=
2k+1≤n
k=0
f
i(2k,1)
r
1
+
2k+1≤n
k=0
f
i(2k,2)
r
2
+ ... +
2k+1≤n
k=0
f
i(2k,t)
r
t
Definimos ent˜ao
f
it
=
2k+1≤n
k=0
f
i(2k,t)
23 23
2.3 Escrevendo |f(y) − f(x)| como um polinˆomio em r 2 DILATAC¸
˜
AO
com 1 ≤ t ≤ n.
Por fim, escrevemos F
i
em sua forma polinomial
F
i
=
n
t=1
f
it
r
t
(2.5)
Analogamente
F
j
=
2k+1≤n
k=0
n
t=1
f
j(2k,t)
r
t
=⇒ f
jt
=
2k+1≤n
k=0
f
j(2k,t)
=⇒ F
j
=
n
t=1
f
jt
r
t
(2.6)
e ainda:
a) F
k
=
2k+1≤n
k=0
n
t=1
f
k(2k,t)
r
t
=⇒ f
kt
=
2k+1≤n
k=0
f
k(2k,t)
=⇒ F
k
=
n
t=1
f
kt
r
t
; (2.7)
b) F
l
=
2k+1≤n
k=0
n
t=1
f
l(2k,t)
r
t
=⇒ f
lt
=
2k+1≤n
k=0
f
l(2k,t)
=⇒ F
l
=
n
t=1
f
lt
r
t
; (2.8)
c) F
li
=
2k+1≤n
k=0
n
t=1
f
li(2k,t)
r
t
=⇒ f
lit
=
2k+1≤n
k=0
f
li(2k,t)
=⇒ F
li
=
n
t=1
f
lit
r
t
; (2.9)
d) F
lj
=
2k+1≤n
k=0
n
t=1
f
lj(2k,t)
r
t
=⇒ f
ljt
=
2k+1≤n
k=0
f
lj(2k,t)
24 24
2.3 Escrevendo |f(y) − f(x)| como um polinˆomio em r 2 DILATAC¸
˜
AO
=⇒ F
lj
=
n
t=1
f
ljt
r
t
; (2.10)
e) F
lk
=
2k+1≤n
k=0
n
t=1
f
lk(2k,t)
r
t
=⇒ f
lkt
=
2k+1≤n
k=0
f
lk(2k,t)
=⇒ F
lk
=
n
t=1
f
lkt
r
t
(2.11)
Por fim, escrevemos toda a parte vetorial F
j
, ...F
lk
como polinˆomios em r.
2.3.7 Resultado: |f(y) − f(x)| =
P
(n)
s
r
s
Vimos at´e aqui que
|f(y) − f(x)| =
F
2
+ F
2
i
+ F
2
j
+ F
2
k
+ F
2
l
+ F
2
li
+ F
2
lj
+ F
2
lk
,
onde,
F =
n
t=1
f
t
r
t
, F
i
=
n
t=1
f
it
r
t
, F
j
=
n
t=1
f
jt
r
t
, F
k
=
n
t=1
f
kt
r
t
F
l
=
n
t=1
f
lt
r
t
, F
li
=
n
t=1
f
lit
r
t
, F
lj
=
n
t=1
f
ljt
r
t
, F
lk
=
n
t=1
f
lkt
r
t
Por isso
F
2
=
n
t=1
f
t
r
t
2
= (f
1
r
1
+ f
2
r
2
+ ... + f
n
r
n
)
2
=
=
n
v=1
(f
v
r
v
)
2
+ 2
n
w=1
n
z=1
f
w
r
w
f
z
r
z
=
p
2
r
2
+ p
3
r
3
+ .... + p
2n
r
2n
=
2n
s=2
p
s
r
s
,onde p
s
fica definido como
p
s
=
s−1
p=1
f
p
f
s−p
, para 2 ≤ s ≤ n + 1;
n−p
k=0
f
p+k
f
n−k
, para s = n + p, p > 1
25 25
2.3 Escrevendo |f(y) − f(x)| como um polinˆomio em r 2 DILATAC¸
˜
AO
De maneira an´aloga, temos
F
i
=
2n
s=2
p
is
r
s
onde,
p
is
=
s−1
p=1
f
ip
f
i(s−p)
, para 2 ≤ s ≤ n + 1;
n−p
k=0
f
i(p+k)
f
i(n−k)
, para s = n + p, p > 1
e tamb´em:
a) F
j
=
2n
s=2
p
js
r
s
onde
p
js
=
s−1
p=1
f
jp
f
j(s−p)
, para 2 ≤ s ≤ n + 1;
n−p
k=0
f
j(p+k)
f
j(n−k)
, para s = n + p, p > 1
b) F
k
=
2n
s=2
p
ks
r
s
onde
p
ks
=
s−1
p=1
f
kp
f
k(s−p)
, para 2 ≤ s ≤ n + 1;
n−p
k=0
f
k(p+k)
f
k(n−k)
, para s = n + p, p > 1
c) F
l
=
2n
s=2
p
ls
r
s
onde
p
ls
=
s−1
p=1
f
lp
f
l(s−p)
, para 2 ≤ s ≤ n + 1;
n−p
k=0
f
l(p+k)
f
l(n−k)
, para s = n + p, p > 1
26 26
2.3 Escrevendo |f(y) − f(x)| como um polinˆomio em r 2 DILATAC¸
˜
AO
d) F
li
=
2n
s=2
p
lis
r
s
onde
p
lis
=
s−1
p=1
f
lip
f
li(s−p)
, para 2 ≤ s ≤ n + 1;
n−p
k=0
f
li(p+k)
f
li(n−k)
, para s = n + p, p > 1
e) F
lj
=
2n
s=2
p
ljs
r
s
onde
p
ljs
=
s−1
p=1
f
ljp
f
lj(s−p)
, para 2 ≤ s ≤ n + 1;
n−p
k=0
f
lj(p+k)
f
lj(n−k)
, para s = n + p, p > 1
f) F
lk
=
2n
s=2
p
lks
r
s
onde
p
lks
=
s−1
p=1
f
lkp
f
lk(s−p)
, para 2 ≤ s ≤ n + 1;
n−p
k=0
f
lk(p+k)
f
lk(n−k)
, para s = n + p, p > 1
Logo,
F
2
+ F
2
i
+ F
2
j
+ F
2
k
+ F
2
l
+ F
2
li
+ F
2
lj
+ F
2
lk
=
2n
s=2
p
s
r
s
+
2n
s=2
p
is
r
s
+
2n
s=2
p
js
r
s
+
2n
s=2
p
ks
r
s
+
2n
s=2
p
ls
r
s
+
2n
s=2
p
lis
r
s
2n
s=2
p
ljs
r
s
+
2n
s=2
p
lks
r
s
=
2n
s=2
(p
s
+ p
is
+ p
js
+ p
ks
+ p
ls
+ p
lis
+ p
ljs
+ p
lks
)r
s
=
2n
s=2
P
(n)
s
r
s
Portanto
|f(y) − f(x)| =
2n
s=2
P
(n)
s
r
s
(2.12)
27 27
2.4 Calculando a dilata¸c˜ao 2 DILATAC¸
˜
AO
2.4 Calculando a dilata¸c˜ao
Exemplo 1: Calculando a dilata¸c˜ao na hiperesfera 8-dimensional causada pela transforma¸c˜ao
quaseconforme f(z) = z
2
, onde z ∈ O.
Seja x = (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, x
7
, x
8
) o centro da hiperesfera 8-dimensional de raio r e y =
(y
1
, y
2
, y
3
, y
4
, y
5
, y
6
, y
7
, y
8
) um ponto em sua fronteira.
Sabemos que o fator de expans˜ao ser´a P
(2)
2
.
|f(y) − f(x)| =
2n
s=2
P
(n)
s
r
s
=
=
F
2
+ F
2
i
+ F
2
j
+ F
2
k
+ F
2
l
+ F
2
li
+ F
2
lj
+ F
2
lk
Como n = 2, temos
P
(2)
2
= p
2
+ p
i2
+ p
j2
+ p
k2
+ p
l2
+ p
li2
+ p
lj2
+ p
lk2
e
p
2
= f
1
f
1
= f
2
1
, p
i2
= f
2
i1
, p
j2
= f
2
j1
, p
k2
= f
2
k1
,
p
l2
= f
2
l1
, p
li2
= f
2
li1
, p
lj2
= f
2
lj1
e p
lk2
= f
2
lk1
Por isso
P
(2)
2
= f
2
1
+ f
2
i1
+ f
2
j1
+ f
2
k1
+ f
2
l1
+
f
2
li1
+ f
2
lj1
+ f
2
lk1
Temos
f
t
=
2k≤n
k=0
f
(2k,t)
=⇒ f
1
= f
(0,1)
+ f
(2,1)
,
f
it
=
2k+1≤n
k=0
f
i(2k,t)
=⇒ f
i1
= f
i(0,1)
,
f
jt
=
2k+1≤n
k=0
f
j(2k,t)
=⇒ f
j1
= f
j(0,1)
,
f
kt
=
2k+1≤n
k=0
f
k(2k,t)
=⇒ f
k1
= f
k(0,1)
,
28 28
2.4 Calculando a dilata¸c˜ao 2 DILATAC¸
˜
AO
f
lt
=
2k+1≤n
k=0
f
l(2k,t)
=⇒ f
l1
= f
l(0,1)
,
f
lit
=
2k+1≤n
k=0
f
li(2k,t)
=⇒ f
li1
= f
li(0,1)
,
f
ljt
=
2k+1≤n
k=0
f
lj(2k,t)
=⇒ f
lj1
= f
lj(0,1)
,
f
lkt
=
2k+1≤n
k=0
f
lk(2k,t)
=⇒ f
lk1
= f
lk(0,1)
,
Dada a f´ormula
f
(2k,t)
=
n
2k
t
p=0
n − 2k
p
x
n−2k−p
1
c
p
f
m+q=t−p
,
calculemos f
1
= f
(0,1)
+ f
(2,1)
. Ent˜ao,
f
(0,1)
=
2
0
1
p=0
2
p
x
2−p
1
c
p
f
m+q=1−p
= 2x
1
c,
e
f
(2,1)
=
2
2
1
p=0
0
p
x
−p
1
c
p
f
m+q=1−p
= −2
,
Por isso
f
1
= 2x
1
c − 2
Agora, lembramos que
f
i(2k,t)
=
n
2k + 1
x
2
t
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k+1)−p
1
c
p
f
m+q=t−p
+
+
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
t−1
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k−1)−p
1
c
p
f
m+q=t−p−1
,
por isso,
f
i(0,1)
=
2
1
x
2
1
p=0
1
p
x
1−p
1
c
p
f
m+q=1−p
+ c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
1
0
x
1
1
c
0
f
m+q=0
Logo
29 29
2.4 Calculando a dilata¸c˜ao 2 DILATAC¸
˜
AO
f
i(0,1)
= 2(x
1
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
+ x
2
c)
De maneira an´aloga, encontramos
f
j(0,1)
= 2(x
1
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
s
6
+ x
3
c),
f
k(0,1)
= 2(x
1
c
1
c
2
c
3
c
4
s
5
+ x
4
c),
f
l(0,1)
= 2(x
1
c
1
c
2
c
3
s
4
+ x
5
c),
f
li(0,1)
= 2(x
1
c
1
c
2
s
3
+ x
6
c),
f
lj(0,1)
= 2(x
1
c
1
s
2
+ x
7
c)
e
f
lk(0,1)
= 2(x
1
s
1
+ x
8
c)
Como
P
(2)
2
= f
2
1
+ f
2
i1
+ f
2
j1
+ f
2
k1
+ f
2
l1
+
f
2
li1
+ f
2
lj1
+ f
2
lk1
temos
P
(2)
2
= [2x
1
c −2
]
2
+ [2(x
1
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
+ x
2
c)]
2
+ [2(x
1
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
s
6
+ x
3
c)]
2
+ [2(x
1
c
1
c
2
c
3
c
4
s
5
+
x
4
c)]
2
+ [2(x
1
c
1
c
2
c
3
s
4
+ x
5
c)]
2
+ [2(x
1
c
1
c
2
s
3
+ x
6
c)]
2
+ [2(x
1
c
1
s
2
+ x
7
c)]
2
+ [2(x
1
s
1
+ x
8
c)]
2
Agora, lembrando que a dilata¸c˜ao ´e dada por
H(x) =
max P
2
min P
2
,
segue a tabela com a dilata¸c˜ao H(x) para diferentes centros da hiperesfera
x = (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, x
7
, x
8
) Max(P
(2)
2
) Min(P
(2)
2
) H(x)
x = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 32 4 2
√
2
x = (12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12) 4608 576 2
√
2
x = (1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0) 16 4 2
x = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 4 4 1
30 30
2.4 Calculando a dilata¸c˜ao 2 DILATAC¸
˜
AO
Com o resultado da primeira e segunda linha, vemos que a transla¸c˜ao n˜ao causou altera¸c˜ao
no valor da dilata¸c˜ao. Com a quarta linha, vemos que a fun¸c˜ao f(z) = z
2
´e conforme para os reais.
Obs: Para encontrar o m´aximo e o m´ınimo de P
(2)
2
, foi utilizado o software Mathem´atica 5.2.
Os comandos necess´arios s˜ao ”NMaximize”e ”NMinimize”.
Exemplo 2: Calcular a dilata¸c˜ao na hiperesfera 8-dimensional causada pela transforma¸c˜ao
quaseconforme f(z) = z
3
, onde z ∈ O.
Sabemos que
|f(y) − f(x)| =
6
s=2
P
(3)
s
r
s
=
=
P
(3)
2
r
2
+ P
(3)
3
r
3
+ P
(3)
4
r
4
+ P
(3)
5
r
5
+ P
(3)
6
r
6
Precisamos encontrar P
(3)
2
. Logo
P
(3)
2
= p
2
+ p
i2
+ p
j2
+ p
k2
+ p
l2
+ p
li2
+ p
lj2
+ p
lk
e
p
2
= f
1
f
1
= f
2
1
, p
i2
= f
2
i1
, p
j2
= f
2
j1
, p
k2
= f
2
k1
,
p
l2
= f
2
l1
, p
li2
= f
2
li1
, p
lj2
= f
2
lj1
e p
lk2
= f
2
lk1
Por isso
P
(3)
2
= f
2
1
+ f
2
i1
+ f
2
j1
+ f
2
k1
+ f
2
l1
+
f
2
li1
+ f
2
lj1
+ f
2
lk1
Temos
f
t
=
2k≤n
k=0
f
(2k,t)
=⇒ f
1
= f
(0,1)
+ f
(2,1)
,
31 31
2.4 Calculando a dilata¸c˜ao 2 DILATAC¸
˜
AO
f
it
=
2k+1≤n
k=0
f
i(2k,t)
=⇒ f
i1
= f
i(0,1)
+ f
i(2,1)
,
f
jt
=
2k+1≤n
k=0
f
j(2k,t)
=⇒ f
j1
= f
j(0,1)
+ +f
j(2,1)
,
f
kt
=
2k+1≤n
k=0
f
k(2k,t)
=⇒ f
k1
= f
k(0,1)
+ f
k(2,1)
,
f
lt
=
2k+1≤n
k=0
f
l(2k,t)
=⇒ f
l1
= f
l(0,1)
+ f
l(2,1)
,
f
lit
=
2k+1≤n
k=0
f
li(2k,t)
=⇒ f
li1
= f
li(0,1)
+ f
li(2,1)
,
f
ljt
=
2k+1≤n
k=0
f
lj(2k,t)
=⇒ f
lj1
= f
lj(0,1)
+ f
lj(2,1)
,
f
lkt
=
2k+1≤n
k=0
f
lk(2k,t)
=⇒ f
lk1
= f
lk(0,1)
+ f
lk(2,1)
,
Dada a f´ormula
f
(2k,t)
=
n
2k
t
p=0
n − 2k
p
x
n−2k−p
1
c
p
f
m+q=t−p
,
calculemos f
1
= f
(0,1)
+ f
(2,1)
.
f
(0,1)
=
3
0
1
p=0
3
p
x
3−p
1
c
p
f
m+q=1−p
=
3
0
x
3
1
c
0
f
m+q=1
+
3
1
x
2
1
c
1
f
m+q=0
= 3x
1
c
f
(2,1)
=
3
2
1
p=0
1
p
x
1−p
1
c
p
f
m+q=1−p
= 3
1
0
x
1
1
c
0
f
m+q=1
+
1
1
x
0
1
c
1
f
m+q=0
=
3
x
1
1
1
1
0
(h
x
)
0
(−2
)
1
(s
2
)
0
+ c
1
0
(h
2
x
)
1
= 3h
2
x
c − 6x
1
Portanto
f
1
= 3x
2
1
c + 3h
2
x
c − 6x
1
Agora, lembramos que
32 32
2.4 Calculando a dilata¸c˜ao 2 DILATAC¸
˜
AO
f
i(2k,t)
=
n
2k + 1
x
2
t
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k+1)−p
1
c
p
f
m+q=t−p
+
+
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
t−1
p=0
n − (2k + 1)
p
x
n−(2k−1)−p
1
c
p
f
m+q=t−p−1
,
Ent˜ao
f
i(0,1)
=
3
1
x
2
1
p=0
2
p
x
2−p
1
c
p
f
m+q=1−p
+ c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
2
0
x
2
1
c
0
f
m+q=0
=
3x
2
2
0
x
2
1
f
m+q=1
+
2
1
x
1
1
c
1
f
m+q=0
+ x
2
1
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
=
3x
2
0 + 2x
1
c
+ x
2
1
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
Logo
f
i(0,1)
= 6x
1
x
2
c + 3x
2
1
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
Agora
f
i(2,1)
=
3
3
x
2
1
p=0
0
p
x
−p
1
c
p
f
m+q=1−p
+ c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
0
p=0
0
p
x
−p
1
c
p
f
m+q=−p
=
= x
2
f
m+q=1
+ c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
f
m+q=0
=
x
2
1
1
1
0
(h
2
x
)
0
(−2
)
1
+ c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
(h
2
x
)
1
= −2x
2
+h
2
x
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
Por fim
f
i1
= (3x
2
1
+ h
2
x
)c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
+ 2x
2
(3x
1
c −
)
E, de maneira an´aloga, temos
f
j1
= (3x
2
1
+ h
2
x
)c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
s
6
+ 2x
3
(3x
1
c −
),
f
k1
= (3x
2
1
+ h
2
x
)c
1
c
2
c
3
c
4
s
5
+ 2x
4
(3x
1
c −
),
f
l1
= (3x
2
1
+ h
2
x
)c
1
c
2
c
3
s
4
+ 2x
5
(3x
1
c −
),
f
li1
= (3x
2
1
+ h
2
x
)c
1
c
2
s
3
+ 2x
6
(3x
1
c −
),
33 33
2.4 Calculando a dilata¸c˜ao 2 DILATAC¸
˜
AO
f
lj1
= (3x
2
1
+ h
2
x
)c
1
s
2
+ 2x
7
(3x
1
c −
)
e
f
lk1
= (3x
2
1
+ h
2
x
)s
1
+ 2x
8
(3x
1
c −
)
Como
P
(3)
2
= f
2
1
+ f
2
i1
+ f
2
j1
+ f
2
k1
+ f
2
l1
+
f
2
li1
+ f
2
lj1
+ f
2
lk1
temos
P
(3)
2
= [3x
2
1
c + 3h
2
x
c − 6x
1
]
2
+ [(3x
2
1
+ h
2
x
)c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
+ 2x
2
(3x
1
c −
)]
2
+
+[(3x
2
1
+ h
2
x
)c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
s
6
+ 2x
3
(3x
1
c −
)]
2
+ [(3x
2
1
+ h
2
x
)c
1
c
2
c
3
c
4
s
5
+ 2x
4
(3x
1
c −
)]
2
+[(3x
2
1
+ h
2
x
)c
1
c
2
c
3
s
4
+ 2x
5
(3x
1
c −
)]
2
+ [(3x
2
1
+ h
2
x
)c
1
c
2
s
3
+ 2x
6
(3x
1
c −
)]
2
+[(3x
2
1
+ h
2
x
)c
1
s
2
+ 2x
7
(3x
1
c −
)]
2
+ [(3x
2
1
+ h
2
x
)s
1
+ 2x
8
(3x
1
c −
)]
2
Agora, sabendo que a dilata¸c˜ao ser´a dada por
H(x) =
max P
(3)
2
min P
(3)
2
temos
x = (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, x
7
, x
8
) Max(P
(3)
2
) Min(P
(3)
2
) H(x)
x = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 1, 19.10
7
331776 6
x = (12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12) 576 16 6
x = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 9 9 1
x = (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 441 49 3
Exemplo 3: Calcular a dilata¸c˜ao na hiperesfera 8-dimensional causada pela transforma¸c˜ao quasec-
onforme f(z) = z
4
, onde z ∈ O.
Seguindo os mesmos passos dos dois exemplos anteriores, concluimos que o termo P
(4)
2
do nosso
polinˆomio ser´a:
34 34
2.5 M´etodo computacional para o c´alculo da dilata¸c˜ao 2 DILATAC¸
˜
AO
P
(4)
2
= [4(x
3
1
c − 3x
2
1
+3x
1
h
2
x
c − h
2
x
)]
2
+
(4(x
3
1
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
+ 3x
2
1
x
2
c + (h
2
x
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
s
7
− 2x
2
)x
1
+ x
2
h
2
x
c))
2
+
(4(x
3
1
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
s
6
+ 3x
2
1
x
3
c + (h
2
x
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
s
6
− 2x
3
)x
1
+ x
3
h
2
x
c))
2
+
(4(x
3
1
c
1
c
2
c
3
c
4
s
5
+ 3x
2
1
x
4
c + (h
2
x
c
1
c
2
c
3
c
4
s
5
− 2x
4
)x
1
+ x
4
h
2
x
c))
2
+
(4(x
3
1
c
1
c
2
c
3
s
4
+ 3x
2
1
x
5
c + (h
2
x
c
1
c
2
c
3
s
4
− 2x
5
)x
1
+ x
5
h
2
x
c))
2
+
(4(x
3
1
c
1
c
2
s
3
+ 3x
2
1
x
6
c + (h
2
x
c
1
c
2
s
3
− 2x
6
)x
1
+ x
6
h
2
x
c))
2
+
(4(x
3
1
c
1
s
2
+ 3x
2
1
x
7
c + (h
2
x
c
1
s
2
− 2x
7
)x
1
+ x
7
h
2
x
c))
2
+
(4(x
3
1
s
1
+ 3x
2
1
x
8
c + (h
2
x
s
1
− 2x
8
)x
1
+ x
8
h
2
x
c))
2
Agora, sabendo que a dilata¸c˜ao ser´a dada por
H(x) =
max P
(4)
2
min P
(4)
2
temos
x = (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, x
7
, x
8
) Max(P
(4)
2
) Min(P
(4)
2
) H(x)
x = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 8192 576 3.77124
x = (12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12) 1, 28.10
8
9, 0.10
6
3.77124
x = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 16 16 1
x = (1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0) 1024 64 4
2.5 M´etodo computacional para o c´alculo da dilata¸c˜ao
2.5.1 Introdu¸c˜ao
Como vimos, o c´alculo da dilata¸c˜ao requer o uso de um grande n´umero de f´ormulas. Conforme
aumentamos o valor de n em f(z) = z
n
, os c´alculos ficam ainda mais extensos. Logo, o c´alculo
manual ´e bastante demorado e ainda est´a sujeito a erros. Por isso, buscamos o uso de computa-
dores, que garantem um resultado confi´avel em tempo reduzido.
35 35
2.5 M´etodo computacional para o c´alculo da dilata¸c˜ao 2 DILATAC¸
˜
AO
2.5.2 Algoritmo
Tendo mostrado que o desenvolvimento de |f(x) − f(y)| resulta em um polinˆomio em r, pode-
mos adotar um m´etodo mais simples para calcular a dilata¸c˜ao. Sabendo que todos os termos de
|f(x) − f(y)| estar˜ao multiplicados por r
s
, com s = 2, 3, ...n , e que, o fator de expans˜ao ´e dado
pelos termos multiplicados por r
2
, seguiremos o seguinte m´etodo para o c´alculo da dilata¸c˜ao k.
1. Desenvolver f(y) = y
n
, com y escrito em coordenadas esf´ericas;
2. Desenvolver f(x) = x
n
;
3. Calcular a diferen¸ca f(y) − f(x)
4. Calcular a norma do resultado anterior, ou seja, |f(y) −f(x)|. No entanto, n˜ao extra´ımos a
raiz ainda;
5. Expandir o polinˆomio resultante;
6. Dividir o resultado anterior por r
2
, tornando somente o fator de expans˜ao constante(independente
de r);
7. Fazer r = 0, eliminando toda parte do polinˆomio que n˜ao influencia na dilata¸c˜ao;
8. Calcular o m´aximo e o m´ınimo do resultado, em fun¸c˜ao de t
1
, t
2
, ...t
7
;
9. Extrair a raiz do m´aximo sobre o m´ınimo.
2.5.3 Implementa¸c˜ao computacional do m´etodo
Para desenvolver o m´etodo computacional descrito, foi desenvolvida uma interface em Java, que
utiliza o software Mathematica para resolver opera¸c˜oes matem´aticas.
Podemos destacar as seguintes vantagens do m´etodo computacional e do uso da interface:
1. A implementa¸c˜ao computacional do m´etodo descrito acima ´e mais simples do que a imple-
menta¸c˜ao das f´ormulas deduzidas para o c´alculo da dilata¸c˜ao;
2. Esse m´etodo computacional ´e mais r´apido;
36 36
2.5 M´etodo computacional para o c´alculo da dilata¸c˜ao 2 DILATAC¸
˜
AO
3. A interface permite que uma pessoa sem conhecimentos avan¸cados do software Mathematica
calcule a dilata¸c˜ao e produza cortes no R
3
;
Os passos do algoritmo ser˜ao todos desenvolvidos pelo Mathem´atica, no entanto, o usu´ario
n˜ao perceber´a esse processo, j´a que a entrada e sa´ıda de dados ser´a feita na interface. Por isso,
podemos discutir a implementa¸c˜ao do m´etodo computacional na linguagem do Mathematica, e
posteriormente, mostrar o desenvolvimento da interface em Java.
1
o
Passo: Desenvolvimento de f(y) = y
n
Para calcular f(y) = y
n
, basta multiplicarmos y n-vezes seguidas
a3=y1; b3=y2; c3=y3; d3=y4; e3=y5; f3=y6; g3=y7; h3=y8; a1=a3;
b1=b3; c1=c3; d1=d3; e1=e3; f1=f3; g1=g3; h1=h3;
For [i=1 , i< n , i++;
var1=a3*a1-b3*b1-c3*c1-d3*d1-e3*e1-f3*f1-g3*g1-h3*h1;
var2=a3*b1+b3*a1+c3*d1-d3*c1-e3*f1+f3*e1-g3*h1+h3*g1;
var3=a3*c1-b3*d1+c3*a1+d3*b1-e3*g1+f3*h1+g3*e1-h3*f1;
var4=a3*d1+b3*c1-c3*b1+d3*a1-e3*h1-f3*g1+g3*f1+h3*e1;
var5=a3*e1+b3*f1+c3*g1+d3*h1+e3*a1-f3*b1-g3*c1-h3*d1;
var6=a3*f1-b3*e1-c3*h1+d3*g1+e3*b1+f3*a1-g3*d1+h3*c1;
var7=a3*g1+b3*h1-c3*e1-d3*f1+e3*c1+f3*d1+g3*a1-h3*b1;
var8=a3*h1-b3*g1+c3*f1-d3*e1+e3*d1-f3*c1+g3*b1+h3*a1;
a3=var1; b3=var2; c3=var3; d3=var4; e3=var5; f3=var6; g3=var7; h3=var8;
];
Agora, basta substituir os valores de y = (y
1
, y
2
, y
3
, y
4
, y
5
, y
6
, y
7
, y
8
) em coordenadas esf´ericas:
37 37
2.5 M´etodo computacional para o c´alculo da dilata¸c˜ao 2 DILATAC¸
˜
AO
y
1
= a + r ∗ Cos[t1] ∗ Cos[t2] ∗ Cos[t3] ∗ Cos[t4] ∗ Cos[t5] ∗ Cos[t6] ∗ Cos[t7];
y
2
= b + r ∗ Cos[t1] ∗ Cos[t2] ∗ Cos[t3] ∗ Cos[t4] ∗ Cos[t5] ∗ Cos[t6] ∗ Sin[t7];
y
3
= c + r ∗ Cos[t1] ∗ Cos[t2] ∗ Cos[t3] ∗ Cos[t4] ∗ Cos[t5] ∗ Sin[t6];
y
4
= d + r ∗ Cos[t1] ∗ Cos[t2] ∗ Cos[t3] ∗ Cos[t4] ∗ Sin[t 5];
y
5
= e + r ∗ Cos[t1] ∗ Cos[t2] ∗ Cos[t3] ∗ Sin[t4];
y
6
= f + r ∗Cos[t1] ∗ Cos[t2] ∗ Sin[t3];
y
7
= g + r ∗Cos[t1] ∗ Sin[t2];
y
8
= h + r ∗ Sin[t1];
2
o
Passo: Desenvolvimento de f(x) = x
n
a3=a; b3=b; c3=c; d3=d; e3=e; f3=f; g3=g; h3=h; a1=a3; b1=b3;
c1=c3; d1=d3; e1=e3; f1=f3; g1=g3; h1=h3;
For [i=1 , i< n , i++;
cen1=a3*a1-b3*b1-c3*c1-d3*d1-e3*e1-f3*f1-g3*g1-h3*h1;
cen2=a3*b1+b3*a1+c3*d1-d3*c1-e3*f1+f3*e1-g3*h1+h3*g1;
cen3=a3*c1-b3*d1+c3*a1+d3*b1-e3*g1+f3*h1+g3*e1-h3*f1;
cen4=a3*d1+b3*c1-c3*b1+d3*a1-e3*h1-f3*g1+g3*f1+h3*e1;
cen5=a3*e1+b3*f1+c3*g1+d3*h1+e3*a1-f3*b1-g3*c1-h3*d1;
cen6=a3*f1-b3*e1-c3*h1+d3*g1+e3*b1+f3*a1-g3*d1+h3*c1;
cen7=a3*g1+b3*h1-c3*e1-d3*f1+e3*c1+f3*d1+g3*a1-h3*b1;
cen8=a3*h1-b3*g1+c3*f1-d3*e1+e3*d1-f3*c1+g3*b1+h3*a1;
a3=cen1; b3=cen2; c3=cen3; d3=cen4; e3=cen5; f3=cen6; g3=cen7; h3=cen8;
];
3
o
Passo: Calcular a diferen¸ca f(y) − f(x)
dif1=var1-cen1; dif2=var2-cen2; dif3=var3-cen3; dif4=var4-cen4;
dif5=var5-cen5; dif6=var6-cen6; dif7=var7-cen7; dif8=var8-cen8;
38 38
2.5 M´etodo computacional para o c´alculo da dilata¸c˜ao 2 DILATAC¸
˜
AO
Agora, o octˆonio (dif1,dif2,...,dif8) cont´em o resultado de f(y) − f(x)
4
o
Passo: Calculando |f(y) − f(x)|, sem extrair a raiz
p1=dif1
2
; p2=dif2
2
; p3=dif3
2
; p4=dif4
2
;
p5=dif5
2
; p6=dif6
2
; p7=dif7
2
; p8=dif8
2
;
raizp = p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 + p7 + p8;
Temos agora
√
raizp = |f(y) − f(x)|
5
o
Passo: Pegar os elementos multiplicados por r
2
temp=ExpandAll[raizp]; Expandimos o polinˆomio
temp1=temp/r
2
; Dividimos por r
2
temp2=ExpandAll[temp1]; Expandimos o resultado
r=0; Anulamos o raio, para manter somente o fator de expans˜ao
final=temp2;
Atribuimos `a vari´avel final os termos denominados anteriormente por P
2
.
6
o
Passo: Calcular a m´aximo e o m´ınimo e encontrar o valor de k
maior=NMaximize[{final, −P i/2 < t1 < P i/2 && −P i/2 < t2 < P i/2 && −P i/2 < t3 < P i/2
&& −P i/2 < t4 < P i/2 && −P i/2 < t5 < P i/ 2 && −P i/2 < t6 < P i/2 && 0 < t7 < 2 ∗ P i},
{t1,t2,t3,t4,t5,t6,t7}];
menor=NMinimize[{final, −P i/2 < t1 < P i/2 && −P i/2 < t2 < P i/2 && −P i/2 < t3 < P i/2
&& −P i/2 < t4 < P i/2 && −P i/2 < t5 < P i/ 2 && −P i/2 < t6 < P i/2 && 0 < t7 < 2 ∗ P i},
{t1,t2,t3,t4,t5,t6,t7}];
k=Sqrt[maior/menor];
39 39
2.5 M´etodo computacional para o c´alculo da dilata¸c˜ao 2 DILATAC¸
˜
AO
2.5.4 Interface
O funcionamento da inferface baseia-se no envio de informa¸c˜oes para o sotware Mathematica e no
recebimento de respostas para as opera¸c˜oes requisitadas. Segue como exemplo, a implementa¸c˜ao
em Java de uma opera¸c˜ao simples para ilustrar o funcionamento da interface:
• A interface cria uma conex˜ao com o Mathematica;
• Envia-se uma opera¸c˜ao matem´atica;
• O Mathematica resolve a opera¸c˜ao e envia o resultado para interface;
• Interface imprime na tela o resultado
KernelLink ml = null;
String[] argv1 = { -linkmode”, ”launch”, -linkname”,
”c:/program files/wolfram research//mathematica//5.2//mathkernel.exe”};
try {
ml = MathLinkFactory.createKernelLink(argv1);
} catch (MathLinkException e) {
System.out.println(”Erro criando conex˜ao: ”+ e.getMessage());
return;
}
ml.evaluate(”2+2”);
ml.waitForAnswer();
int resultado = ml.getInteger();
System.out.println(”2 + 2 = ”+ resultado);
40 40
2.5 M´etodo computacional para o c´alculo da dilata¸c˜ao 2 DILATAC¸
˜
AO
2.5.5 Testes
Veremos o funcionamento da interface e os resultados gerados por ela. Tamb´em ser´a ´util comparar
seus resultados com aqueles obtidos anteriormente por meio das f´ormulas.
Exemplo: Calculando a dilata¸c˜ao para f (z) = z
2
e centro x = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
Figura 4: Exemplo da Interface
Segue uma tabela com os valores obtidos pelo m´etodo computacional. Tais resultados coinci-
dem com aqueles obtidos anteriormente.
Tabela da dilata¸c˜ao para n = 2
x = (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, x
7
, x
8
) H(x)
x = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 2.82843
x = (12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12) 2.82843
x = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 1
x = (1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0) 2
41 41
3 AN
´
ALISE GR
´
AFICA
x = (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, x
7
, x
8
) H(x)
x = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 6
x = (12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12) 6
x = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 1
x = (1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0) 3, 35.10
12
Tabela da dilata¸c˜ao para n = 3
x = (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, x
7
, x
8
) H(x)
x = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 3.77124
x = (4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4) 3.77124
x = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 1
x = (1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0) 4
Tabela da dilata¸c˜ao para n = 4
3 An´alise Gr´afica
Neste t´opico, utilizaremos ferramentas gr´aficas para visualizar e discutir as consequˆencias da
dilata¸c˜ao.
3.1 Mapeamento do R
8
para o R
3
Como n˜ao ´e poss´ıvel visualizarmos a dilata¸c˜ao numa hiperesfera 8-dimensional, temos de fazer um
mapeamento para o R
3
.
Para que fique claro como funciona esse procedimento, basta trabalharmos com um exemplo no
R
3
. Seja a esfera B(y
1
, y
2
, y
3
) definida por:
y
1
= rcos(t
1
)cos(t
2
) −
π
2
≤ t
1
≤
π
2
y
2
= rcos(t
1
)sen(t
2
) 0 ≤ t
2
≤ 2π
y
3
= rsen(t
1
)
42 42
3.1 Mapeamento do R
8
para o R
3
3 AN
´
ALISE GR
´
AFICA
Fazendo t
1
= 0, anula-se a terceira coordenada e resulta uma proje¸c˜ao da esfera no R
2
dada
por B(y
1
, y
2
)
y
1
= rcos(t
2
) 0 ≤ t
2
≤ 2π
y
2
= rsen(t
2
)
Figura 5: Mapeamento do R
3
para R
2
43 43
3.1 Mapeamento do R
8
para o R
3
3 AN
´
ALISE GR
´
AFICA
O mesmo esquema deve ser feito para obtermos uma proje¸c˜ao do R
8
para o R
3
.
Seja ent˜ao a bola B(x, r) 8-dimensional com centro x = (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, x
7
, x
8
) e raio r =
|y −x| onde y = (y
1
, y
2
, y
3
, y
4
, y
5
, y
6
, y
7
, y
8
) ´e um p onto na hip ersuperf´ıcie da bola.
Podemos escrever ent˜ao
y
1
= x
1
+ rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)cos(t
4
)cos(t
5
)cos(t
6
)cos(t
7
)
y
2
= x
2
+ rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)cos(t
4
)cos(t
5
)cos(t
6
)sen(t
7
)
y
3
= x
3
+ rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)cos(t
4
)cos(t
5
)sen(t
6
)
y
4
= x
4
+ rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)cos(t
4
)sen(t
5
)
y
5
= x
5
+ rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)sen(t
4
)
y
6
= x
6
+ rcos(t
1
)cos(t
2
)sen(t
3
)
y
7
= x
7
+ rcos(t
1
)sen(t
2
)
y
8
= x
8
+ rsen(t
1
)
Fazendo t
1
= t
2
= t
3
= t
4
= t
5
= 0 e x
4
= x
5
= x
6
= x
7
= x
8
= 0 obtemos uma proje¸c˜ao do
R
8
no R
3
:
B(y
1
, y
2
, y
3
) :
y
1
= x
1
+ rcos(t
6
)cos(t
7
)
y
2
= x
2
+ rcos(t
6
)sin(t
7
)
y
3
= x
3
+ rsin(t
6
)
´
E interessante observar que a proje¸c˜ao da hiperesfera 8-dimensional no R
3
´e exatamente uma
esfera. No entanto, nosso objetivo ´e visualizar as consequˆencias da dilata¸c˜ao. Para isso, devemos
submeter a bola B(x, r) 8-dimensional a uma transforma¸c˜ao quaseconforme. No caso do nosso
estudo, essa transforma¸c˜ao ser´a dada por alguma f(z) = z
n
.
Com isso, devemos esperar que nossa proje¸c˜ao no R
3
passe a ser uma esfera distorcida.
44 44
3.2 Mapeamento para f(z) = z
2
3 AN
´
ALISE GR
´
AFICA
Figura 6: Proje¸c˜ao do R
8
para R
3
3.2 Mapeamento para f(z) = z
2
Seja z ε O um ponto na hipersuperf´ıcie da bola B(x, r), com x = (a, b, c, d, e, f, g, h). Temos:
f(z) = z
2
= (y
1
+ iy
2
+ jy
3
+ ky
4
+ ly
5
+ liy
6
+ ljy
7
+ lky
8
)
2
e ent˜ao obtemos
B
(x, r) :
y
1
= y
2
1
− y
2
2
− y
2
3
− y
2
4
− y
2
5
− y
2
6
− y
2
7
− y
2
8
y
2
= 2y
1
y
2
y
3
= 2y
1
y
3
y
4
= 2y
1
y
4
y
5
= 2y
1
y
5
y
6
= 2y
1
y
6
y
7
= 2y
1
y
7
y
8
= 2y
1
y
8
Substituindo pela forma parametrizada, segue uma hiperesfera 8-dimensional dilatada, devido
`a transforma¸c˜ao quaseconforme f(z) = z
2
.
45 45
3.2 Mapeamento para f(z) = z
2
3 AN
´
ALISE GR
´
AFICA
y
1
= (a + rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)cos(t
4
)cos(t
5
)cos(t
6
)cos(t
7
))
2
− (b + rcos(t
1
)
cos(t
2
)cos(t
3
)cos(t
4
)cos(t
5
)cos(t
6
)sin(t
7
))
2
− (c + rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)
cos(t
4
)cos(t
5
)sin(t
6
))
2
− (d + rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)cos(t
4
)sin(t
5
))
2
−
(e + rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)sin(t
4
))
2
− (f + rcos(t
1
)cos(t
2
)sin(t
3
))
2
−
(g + rcos(t
1
)sin(t
2
))
2
− (h + rsin(t
1
))
2
y
2
= 2(a + rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)cos(t
4
)cos(t
5
)cos(t
6
)cos(t
7
))(b+
rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)cos(t
4
)cos(t
5
)cos(t
6
)sin(t
7
))
y
3
= 2(a + rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)cos(t
4
)cos(t
5
)cos(t
6
)cos(t
7
))(c+
rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)cos(t
4
)cos(t
5
)sin(t
6
))
y
4
= 2(a + rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)cos(t
4
)cos(t
5
)cos(t
6
)cos(t
7
))(d+
rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)cos(t
4
)sin(t
5
))
y
5
= 2(a + rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)cos(t
4
)cos(t
5
)cos(t
6
)cos(t
7
))(e+
rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)sin(t
4
))
y
6
= 2(a + rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)cos(t
4
)cos(t
5
)cos(t
6
)cos(t
7
))(f + rcos(t
1
)cos(t
2
)sin(t
3
))
y
7
= 2(a + rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)cos(t
4
)cos(t
5
)cos(t
6
)cos(t
7
))(g + rcos(t
1
)sin(t
2
))
y
8
= 2(a + rcos(t
1
)cos(t
2
)cos(t
3
)cos(t
4
)cos(t
5
)cos(t
6
)cos(t
7
))(h + rsin(t
1
))
Fazendo t
1
= t
2
= t
3
= t
4
= t
5
= 0 e d = e = f = g = h = 0, obtemos uma proje¸c˜ao de B
(x, r)
no R
3
, dada por:
B(y
1
, y
2
, y
3
) :
y
1
= (a + rcos(t
6
)cos(t
7
))
2
− (b + rcos(t
6
)sen(t
7
))
2
− (c + rsen(t
6
))
2
y
2
= 2(a + rcos(t
6
)cos(t
7
))(b + rcos(t
6
)sen(t
7
))
y
3
= 2(a + rcos(t
6
)cos(t
7
))(c + rsen(t
6
))
e satisfazendo: −
π
2
≤ t
6
≤
π
2
e 0 ≤ t
7
≤ 2π.
Podemos agora observar as consequˆencias da dilata¸c˜ao causada pela transforma¸c˜ao f(z) = z
2
na hiperesfera 8-dimensional.
46 46
3.2 Mapeamento para f(z) = z
2
3 AN
´
ALISE GR
´
AFICA
Figura 7: Proje¸c˜ao de B(y
1
, y
2
, y
3
)
Podemos encontrar outras proje¸c˜oes de B
(x, r), como por exemplo, fazendo t
1
= t
2
= t
3
=
t
5
= t
6
= 0 e c = d = f = g = h = 0:
B(y
1
, y
2
, y
5
) :
y
1
= (a + rcos(t
4
)cos(t
7
))
2
− (b + rcos(t
4
)sin(t
7
))
2
− (e + rsin(t
4
))
2
y
2
= 2(a + rcos(t
4
)cos(t
7
))(b + rcos(t
4
)sin(t
7
))
y
5
= 2(a + rcos(t
4
)cos(t
7
))(e + rsin(t
4
))
Podemos novamente observar as consequˆencias da dilata¸c˜ao na esfera B(y
1
, y
2
, y
5
) projetada.
47 47
3.3 Mapeamento para f(z) = z
3
3 AN
´
ALISE GR
´
AFICA
Figura 8: Proje¸c˜ao de B(y
1
, y
2
, y
3
)
3.3 Mapeamento para f(z) = z
3
Seja novamente z ∈ O um ponto na hipersuperf´ıcie da bola B(x, r), com x = (a, b, c, d, e, f, g, h).
Temos:
f(z) = z
3
= (y
1
+ iy
2
+ jy
3
+ ky
4
+ ly
5
+ liy
6
+ ljy
7
+ lky
8
)
3
e cada y
i
ser´a representado como segue abaixo:
y
1
= (y
2
1
− y
2
2
− y
2
3
− y
2
4
− y
2
5
− y
2
6
− y
2
7
− y
2
8
)y
1
− 2y
1
y
2
2
− 2y
1
y
2
3
− 2y
1
y
2
4
− 2y
1
y
2
5
−
2y
1
y
2
6
− 2y
1
y
2
7
− 2y
1
y
2
8
y
2
= (y
2
1
− y
2
2
− y
2
3
− y
2
4
− y
2
5
− y
2
6
− y
2
7
− y
2
8
)y
2
+ 2y
2
1
y
2
y
3
= (y
2
1
− y
2
2
− y
2
3
− y
2
4
− y
2
5
− y
2
6
− y
2
7
− y
2
8
)y
3
+ 2y
2
1
y
3
y
4
= (y
2
1
− y
2
2
− y
2
3
− y
2
4
− y
2
5
− y
2
6
− y
2
7
− y
2
8
)y
4
+ 2y
2
1
y
4
y
5
= (y
2
1
− y
2
2
− y
2
3
− y
2
4
− y
2
5
− y
2
6
− y
2
7
− y
2
8
)y
5
+ 2y
2
1
y
5
y
6
= (y
2
1
− y
2
2
− y
2
3
− y
2
4
− y
2
5
− y
2
6
− y
2
7
− y
2
8
)y
6
+ 2y
2
1
y
6
y
7
= (y
2
1
− y
2
2
− y
2
3
− y
2
4
− y
2
5
− y
2
6
− y
2
7
− y
2
8
)y
7
+ 2y
2
1
y
7
y
8
= (y
2
1
− y
2
2
− y
2
3
− y
2
4
− y
2
5
− y
2
6
− y
2
7
− y
2
8
)y
8
+ 2y
2
1
y
8
48 48
3.3 Mapeamento para f(z) = z
3
3 AN
´
ALISE GR
´
AFICA
Substituindo os y
i
’s pela forma parametrizada e fazendo t
1
= t
2
= t
3
= t
4
= t
5
= 0, com
d = e = f = g = h = 0, obtemos a seguinte proje¸c˜ao:
B(y
1
, y
2
, y
3
) :
y
1
= ((a + rcos(t
6
)cos(t
7
))
2
− (b + rcos(t
6
)sin(t
7
))
2
− (c + rsin(t
6
))
2
)(a+
rcos(t
6
)cos(t
7
)) − 2( a + rcos(t
6
)cos(t
7
))(b + rcos(t
6
)sin(t
7
))
2
−
2(a + rcos(t
6
)cos(t
7
))(c + rsin(t
6
))
2
y
2
= ((a + rcos(t
6
)cos(t
7
))
2
− (b + rcos(t
6
)sin(t
7
))
2
− (c + rsin(t
6
))
2
)(b+
rcos(t
6
)sin(t
7
)) + 2(a + rcos(t
6
)cos(t
7
))
2
(b + rcos(t
6
)sin(t
7
))
y
3
= ((a + rcos(t
6
)cos(t
7
))
2
− (b + rcos(t
6
)sin(t
7
))
2
− (c + rsin(t
6
))
2
)(c+
rsin(t
6
)) + 2(a + rcos(t
6
)cos(t
7
))
2
(c + rsin(t
6
))
Podemos ent˜ao visualizar a dilata¸c˜ao causada por f (z) = z
3
:
Figura 9: Proje¸c˜ao de B(y
1
, y
2
, y
3
)
49 49
3.3 Mapeamento para f(z) = z
3
3 AN
´
ALISE GR
´
AFICA
Uma outra proje¸c˜ao pode ser obtida de B
(x, r) fazendo t
2
= t
3
= t
4
= t
5
= t
7
= 0 e
b = c = d = e = f = g = 0
B(y
1
, y
3
, y
8
) :
y
1
= ((a + rcos(t
1
)cos(t
6
))
2
− r
2
cos(t
1
)
2
sin(t
6
)
2
− (h + rsin(t
1
))
2
)(a+
rcos(t
1
)cos(t
6
)) − 2( a + rcos(t
1
)cos(t
6
))r
2
cos(t
1
)
2
sin(t
6
)
2
− 2(a+
rcos(t
1
)cos(t
6
))(h + rsin(t
1
))
2
y
3
= ((a + rcos(t
1
)cos(t
6
))
2
− r
2
cos(t
1
)
2
sin(t
6
)
2
− (h + rsin(t
1
))
2
)rcos(t
1
)sin(t
6
)+
2(a + rcos(t
1
)cos(t
6
))
2
rcos(t
1
)sin(t
6
)
y
8
= ((a + rcos(t
1
)cos(t
6
))
2
− r
2
cos(t
1
)
2
sin(t
6
)
2
− (h + rsin(t
1
))
2
)(h + rsin(t
1
))+
2(a + rcos(t
1
)cos(t
6
))
2
(h + rsin(t
1
))
E visualizamos a proje¸c˜ao no R
3
:
Figura 10: Proje¸c˜ao de B(y
1
, y
3
, y
8
)
50 50
3.4 Varia¸c˜ao do Raio 3 AN
´
ALISE GR
´
AFICA
3.4 Varia¸c˜ao do Raio
Como vimos anteriormente no t´opico (2.3), a dilata¸c˜ao independe do raio da hiperesfera. Tamb´em
vimos que a transforma¸c˜ao quaseconforme, por n˜ao preservar ˆangulos, deforma a imagem que rep-
resenta. Nosso objetivo agora ´e visualizar as consequˆencias da varia¸c˜ao do raio de uma hiperesfera.
Para isso, veremos um mesmo tipo de corte no R
3
, originados de hiperesferas de mesmo centro e
raios diferentes.
Exemplo 1: Seja B(x, r) e B(x, r) duas hiperesferas definidas no R
8
, ambas com centro
definido em x = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1). Submetendo ambas a uma mesma transforma¸c˜ao quasecon-
forme, f (z) = z
2
, teremos uma dilata¸c˜ao H(x) = 2, 82843 para B(x, r) e B(x, r). Fazendo r = 1
e r = 12, e criando uma mesma proje¸c˜ao, obtemos
Figura 11: Proje¸c˜oes com mesmo valor de dilata¸c˜ao
Devemos observar que apesar da dilata¸c˜ao, que causa a deforma¸c˜ao, ser a mesma, as imagens
no R
3
possuem uma distor¸c˜ao diferente, causada pela varia¸c˜ao do raio [11].
Exemplo 2: Seja B(x, r) e B(x, r) duas hiperesferas definidas no R
8
, ambas com centro
definido em x = (1, −3, 1, 1, 1, 7, 1, 1). Submetendo ambas a uma mesma transforma¸c˜ao quasec-
onforme, f(z) = z
3
, teremos uma dilata¸c˜ao H(x) = 3, 2 para B(x, r) e B(x, r). Fazendo r = 2 e
r = 13, e criando uma mesma proje¸c˜ao, obtemos
51 51
3.4 Varia¸c˜ao do Raio 3 AN
´
ALISE GR
´
AFICA
Figura 12: Proje¸c˜oes com mesmo valor de dilata¸c˜ao
Da mesma maneira, podemos observar que, apesar da dilata¸c˜ao ser a mesma, a distor¸c˜ao nas
imagens no R
3
´e diferente.
52 52
3.5 Transla¸c˜ao da Imagem 3 AN
´
ALISE GR
´
AFICA
3.5 Transla¸c˜ao da Imagem
Vimos nos exemplos anteriores que a varia¸c˜ao do centro da hiperesfera n˜ao alterou o valor da
dilata¸c˜ao. Agora, vamos observar graficamente as consequˆencias da transla¸c˜ao da imagem no
espa¸co.
Seja ent˜ao a hiperesfera B(x, r) com centro em x = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) e B(x, r) com centro em
x = (4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4). Calculando a dilata¸c˜ao para ambas, com f (z) = z
2
, obtemos o mesmo
valor H(x) = 2, 82843. Observando a proje¸c˜ao de ambas, temos:
Ou seja, diferentemente do raio, a varia¸c˜ao da posi¸c˜ao da imagem no espa¸co, para alguns casos,
n˜ao altera a distor¸c˜ao da esfera projetada no R
3
.
53 53
3.6 Uso da interface para gerar imagem no R
3
3 AN
´
ALISE GR
´
AFICA
3.6 Uso da interface para gerar imagem no R
3
Podemos utilizar a interface gr´afica para calcular cortes no R
3
. No entanto, foi definido somente
um tipo de corte, com t
1
= t
2
= t
3
= t
4
= t
5
= 0. O objetivo principal do uso dessa ferra-
menta ´e analisar as consequˆencias da varia¸c˜ao do raio para um dado n e centro fixos. Tamb´em
pode ser destacada a praticidade com que a interface gera as imagens comparado com o software
Mathem´atica. Algumas imagens seguem como exemplo.
Exemplo de mapeamento atrav´es da interface
Figura 13: Proje¸c˜ao no R
3
54 54
3.6 Uso da interface para gerar imagem no R
3
3 AN
´
ALISE GR
´
AFICA
Figura 14: Proje¸c˜ao no R
3
55 55
3.6 Uso da interface para gerar imagem no R
3
3 AN
´
ALISE GR
´
AFICA
Figura 15: Varia¸c˜ao do raio e mesmo valor da dilata¸c˜ao
56 56
3.7 Desempenho da Interface Gr´afica 3 AN
´
ALISE GR
´
AFICA
3.7 Desempenho da Interface Gr´afica
Conforme dito anteriormente, quanto maior o valor de n nas fun¸c˜oes f (z) = z
n
, maior ser´a o grau
do polinˆomio resultante da distˆancia |f(y) −f(x)|. Consequentemente, o tempo para o c´alculo da
dilata¸c˜ao atrav´es do algoritmo definido pela interface ser´a aumentado. Espera-se que para valores
de n muito grandes, o c´alculo da dilata¸c˜ao seja invi´avel. Segue abaixo uma tabela com valores do
tempo de execu¸c˜ao m´edio para cada valor de n.
n tempo(seg)
2 2
3 4
4 11
5 70
Foi observado um aumento exponencial no tempo de execu¸c˜ao. N˜ao pudemos calcular a com-
plexidade do algoritmo, j´a que utilizamos comandos do software Mathematica.
57 57
4 CONCLUS
˜
AO
4 Conclus˜ao
Nosso objetivo principal nesse trabalho foi o c´alculo da dilata¸c˜ao no contexto dos hipercomplexos
de oito dimens˜oes. Seguindo a defini¸c˜ao m´etrica de quaseconformidade, utilizamos o caso partic-
ular de transforma¸c˜oes do tipo f(z) = z
n
.
A ´algebra octoniˆonica p ossui aplica¸c˜oes em diversas ´areas [8]. Os octˆonios j´a foram utilizados para
explicar as bases da mecˆanica quˆantica, por´em sem sucesso. Atualmente, os octˆonios tem sido
utilizados como base para a Teoria das Cordas [10], podendo provar seu valor na descri¸c˜ao do uni-
verso. Tantos os octˆonios quanto os quat´ernios podem ser utilizados em computa¸c˜ao gr´afica para
produzir rota¸c˜oes em imagens. Ainda podemos citar a relevˆancia dos octˆonios em outras ´areas da
f´ısica como relatividade especial e l´ogica quˆantica. No entanto, a discuss˜ao dessas aplica¸c˜oes n˜ao
fizeram parte do objetivo desse trabalho.
Mapeamentos quaseconformes e mapeamentos relacionados formam a mais vasta classe de ma-
peamentos que pode ser estudada por m´etodos anal´ıticos. Suas teorias e aplica¸c˜oes se encontram
na intersec¸c˜ao da geometria e da an´alise, al´em de possuir conex˜oes com muitas outras ´areas da
matem´atica e da f´ısica. Enquanto quest˜oes fundamentais da teoria quaseconforme permanecem
em aberto, recentes avan¸cos em espa¸cos m´etricos aumentaram o campo das aplicabilidades desses
mapeamentos [7].
Esperamos que a uni˜ao da ´algebra octoniˆonica e de mapeamentos quaseconformes sejam ´uteis fu-
turamente n˜ao s´o para matem´atica como tamb´em para outras ´areas como a f´ısica e a computa¸c˜ao.
Para trabalhos futuros, podemos sugerir a busca de uma rela¸c˜ao entre o valor da dilata¸c˜ao e a
deforma¸c˜ao causada em suas proje¸c˜oes, uma nota¸c˜ao mais simplificada para o c´alculo anal´ıtico da
dilata¸c˜ao e tamb´em um aprimoramento na interface gr´afica.
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5 BIBLIOGRAFIA
5 Bibliografia
[1]Rickman, S. - Quasiconformal Mappings - Annales Ac. Scientiarum Fennicae, S´eries A, I.
Math, Volume 13, 1988
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[4]Mar˜ao, J.A.P. - Hipercomplexos: um estudo da analiticidade e da hiperperiodicidade de
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[5]Pendeza, C.A. -
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Algebras n˜ao associativas octoniˆonicas e rela¸c˜oes extensivas do tipo ”De
Moivre” - Disserta¸c˜ao de Mestrado, UNESP, 2006.
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[10]Baez, J. - My Favorite Numbers - The Ranking Lectures - 2008
[11]Benzatti, L.F.;Borges, M.F. - Estudo Gr´afico da Dilata¸c˜ao em Fun¸c˜oes Octoniˆonicas
Quase Conforme - XXVI Col´oquio de Matem´atica - IMPA, 2007.
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