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MANUEL RAMÓN VILLAFAÑE SALDARRIAGA
ATENUAÇÃO DE VIBRAÇÕES EM MÁQUINAS
ROTATIVAS FLEXÍVEIS USANDO MATERIAIS
VISCOELÁSTICOS NOS SUPORTES
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
2007
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ii
MANUEL RAMÓN VILLAFAÑE SALDARRIAGA
ATENUAÇÃO DE VIBRAÇÕES EM MÁQUINAS ROTATIVAS FLEXÍVEIS
USANDO MATERIAIS VISCOELÁSTICOS NOS SUPORTES
UBERLÂNDIA – MG
2007
Tese
apresentada ao Programa de Pós-
graduação em Engenharia Mecânica da
universidade Federal de Uberlândia, como
parte dos requisitos para a obtenção do
título de DOUTOR EM ENGENHARIA
MECÂNICA.
Área de Concentração: Mecânica dos
Sólidos e Vibrações
Orientador: Prof. Dr. Valder Steffen Junior.
ads:
iii
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
V713a
Villafañe Saldarriaga, Manuel Ramón, 1976-
Atenuação de vibrações em máquinas rotativas flexíveis usando mate-
riais viscoelásticos nos suportes / Manuel Ramón Villafañe Saldarriaga. -
2007.
103 f. : il.
Orientador: Valder Steffen Junior.
Tese (doutorado) – Universidade Federal de Uberlândia, Programa de
de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica.
Inclui bibliografia.
1. Vibração - Teses. 2. Rotores - Vibração - Teses. I. Steffen Junior,
Valder. II. Universidade Federal de Uberlândia. Programa de Pós-Gradua-
ção em Engenharia Mecânica. IV. Título.
CDU: 621:534
Elaborada pelo Sistema de Bibliotecas da UFU / Setor de Catalogação e Classificação
iv
MANUEL RAMÓN VILLAFAÑE SALDARRIAGA
ATENUAÇÃO DE VIBRAÇÕES EM MÁQUINAS ROTATIVAS
FLEXÍVEIS USANDO MATERIAIS VISCOELÁSTICOS NOS
SUPORTES
Banca Examinadora:
_________________________________________________
Prof. Dr. Valder Steffen Jr (Orientador) - UFU
_________________________________________________
Prof. Dra. Elaine Gomes de Assis - UNIMINAS
_________________________________________________
Prof. Dr. Francisco Paulo Lépore Neto - UFU
_________________________________________________
Prof. Dra. Katia Lucchesi Cavalca - UNICAMP
_________________________________________________
Prof. Dr. Mario Olavo M. de Carvalho - UnB
_________________________________________________
Prof. Dr. Oscar Saúl Hernandez Mendoza - UFU
Uberlândia, 13 de Agosto de 2007.
Tese
APROVADA
pelo Programa de Pós-graduação em
Engenharia Mecânica da universidade Federal de
Uberlândia.
Área de Concentração: Mecânica dos Sólidos e Vibrações.
v
A mi Papá
vi
AGRADECIMENTOS
Ao Professor Valder Steffen Jr., por seu apoio, incentivo e inestimáveis sugestões durante
o transcurso do trabalho.
Aos professores Francisco Paulo Lépore Neto e Marcelo Braga dos Santos e ao
doutorando Patrick Magalhães Cardoso pela Colaboração constante ao longo desta
pesquisa, a qual foi indispensável para o avance dos testes experimentais e o
desenvolvimento dos modelos dos amortecedores viscoelásticos.
Ao Professor Jarir Mahfoud pela grande ajuda e apoio durante a etapa da identificação da
bancada de rotação.
Aos Colegas e demais Professores da FEMEC pela amizade e colaboração.
À FEMEC, pela oportunidade.
À FAPEMIG, pelo apoio financeiro, sem o qual não seria possível a realização deste
trabalho de pesquisa.
À comunidade hispano-falante de Uberlândia pela amizade e apoio.
À minha família, pelo amor e compreensão, e pela constante motivação que eles
significaram para a culminação deste trabalho.
vii
Saldarriaga. M. V. Atenuação de Vibrações em Máquinas Rotativas Flexíveis Usando Materiais
Viscoelásticos nos Suportes. 2007. 111p. Tese de Doutorado. Universidade Federal de Uberlândia,
Uberlândia.
Resumo
O objetivo deste trabalho é o estudo de uma metodologia para o controle passivo de vibração
aplicada a rotores flexíveis, baseada no uso de absorvedores viscoelásticos. Desta forma é
aproveitado o alto potencial que oferecem estes materiais para uso em aplicações industriais como
absorvedores de ruído e vibrações. Para este fim foi projetado um sistema de absorção de
vibrações composto por um conjunto de absorvedores colocados em cada um dos apoios de um
rotor flexível. Foi desenvolvida uma metodologia para a identificação e ajuste dos modelos do rotor
flexível, os amortecedores viscoelásticos e do sistema rotor-mancais-apoios viscoelásticos. Nesta
tese foram considerados dois modelos viscoelásticos, a saber, o modelo viscoelástico dos campos
de deslocamento anelásticos (anelastic displacement fields – ADF) e o modelo caracterizado pelo
modulo de rigidez complexo. A resposta obtida através do modelo adotado para o sistema rotor
flexível contendo os absorvedores viscoelásticos, é comparada com aquela obtida
experimentalmente observando-se que a modelagem desenvolvida permite identificar
satisfatoriamente as velocidades críticas. A aplicação dos absorvedores viscoelásticos permitiu
diminuir consideravelmente o nível de vibração inicialmente medido no sistema, apesar do
aparecimento de não-linearidades associadas ao sistema de acionamento.
Palavras Chave: Rotores Flexíveis, Materiais Viscoelásticos, Identificação de Modelos.
viii
Saldarriaga. M.V. Vibration Attenuation of Flexible Rotating Machines by Using Viscoelastic Absorbers
in the Supports. 2007. 111p. PhD Thesis. Federal University of Uberlandia, Uberlândia.
Abstract
The purpose of this work is the study of a passive vibration control methodology applied to flexible
rotors based on the use of viscoelastic vibration absorbers. In this way, the capability of the
viscoelastic material to reduce mechanical vibrations is taken into account. A device composed by
a set of viscoelastic absorbers is designed to be used in the supports of a flexible rotating machine.
A methodology for the identification and model-updating of the flexible rotor, the viscoelastic
absorbers, and the rotor-bearing-viscoelastic absorber system was performed. Two viscoelastic
models were used in this work, namely the anelastic displacement fields (ADF) model and the
complex modulus based model. The analytic response obtained by using the model composed by
the flexible rotor and the viscoelastic absorbers was compared with the experimental one. The
model allows the identification of the critical speeds observed in the experimental test.
Experimentally, it was observed that the application of viscoelastic absorbers was able to reduce
the initial vibration measured in the system, satisfactorily.
Keywords: Flexible Rotors, Viscoelastic Materials, Model Identification
ix
TABELA DE SÍMBOLOS
σ
- Função da tensão
r
G
- Módulo de elasticidade do material viscoelástico (módulo estático, ou módulo de
baixa freqüência).
ε
- Função da deformação.
ω
- Freqüência de Oscilação
0
σ
- Tensão constante.
0
t
- Tempo inicial.
η
- Fator de Perda
T
α
- O fator de deslocamento usado em base ao principio de superposição freqüência-
temperatura
'
K
- Rigidez complexa do material viscoelástico.
γ
- Fator de forma.
B
C
- Velocidade de propagação da onda mecânica
ρ
- Densidade do Material
n
α
- Expoente fracionário usado no modelo das derivadas fracionárias.
n
β
- Expoente fracionário usado no modelo das derivadas fracionárias.
α
D
- Operador de derivada fracionária.
Γ
- Função gamma, usada no modelo das derivadas fracionárias.
N
- Número de campos de deslocamento considerado.
φ
&
-
Velocidade angular do rotor. Quando é assumida como sendo constante é
Ω
.
W
δ
- Trabalho virtual das forças atuando sobre o eixo, devido ao desbalanceamento.
A
i
q
-
Referente às coordenadas generalizadas do i-esimo deslocamento anelástico
∞
v
K
- Rigidez do sólido viscoelástico a altas freqüências
{
}
1
∆
- Vetor de constantes usado na equação dos deslocamentos produzidos num rotor
x
devido a forças de desbalanceamento.
{
}
2
∆
- Vetor de constantes usado na equação dos deslocamentos produzidos num rotor
devido a forças de desbalanceamento.
*
Tv
K
- Matriz devida ao efeito viscoelástico dos absorvedores localizados nos suportes.
Dr
-
Vetor de receptância complexa.
T
F
- Vetor das forças de excitação aplicadas sobre o sistema.
j
F
1
- Função objetivo usada para o ajuste das freqüências naturais relacionadas com os
modos de vibração que aparecem na direção j
j
k
1
- Rigidez do mancal superior na direção j
j
k
2
- Rigidez do mancal inferior na direção j
j
m
1
- Massa concentrada do mancal superior na direção j
j
m
2
- Massa concentrada do mancal inferior na direção j
f
- Matriz diagonal contendo as freqüências naturais.
j
D
- Vetor contendo os coeficientes de amortecimento (coeficientes dos mancais e
coeficientes de amortecimento modais):
*
S
- Rigidez dinâmica do sistema
γ
- Fator de Forma
ψ
- Rotação medida sobre o plano inercial XY.
θ
- Rotação medida sobre o plano não inercial y
1
z
1
.
φ
- Rotação medida sobre o plano não inercial xz.
α
αα
α
- Ângulo de fase da massa concentrada
Ω
- Velocidade de rotação do sistema
ν
- Módulo de Poisson
ε
A
- Deslocamento anelástico interno.
σ
A
- A tensão no amortecedor, no modelo dos campos de deslocamento anelástico,
considerando um único campo de deslocamento.
ε
E
- Deslocamento elástico.
Ω
i
- Inverso do tempo de relaxação com deformação constante correspondente ao
campo anelástico i.
∆
i
- Relação entre o módulo de rigidez relaxado e a rigidez do campo de deslocamento
xi
anelástico i.
T
- Temperatura medida no espécime.
{q}
- Vetor contendo o conjunto de coordenadas generalizadas necessárias para
descrever o movimento da estrutura.
{v}
- Vetor que contem as freqüências naturais calculadas para o modelo analítico do
rotor
A
- Matriz de Estado do sistema completo
b
- Altura da esponja de material viscoelástico usada na construção do apoio.
B
- Matriz de Estado do sistema completo
C
b
- Coeficientes de amortecimento dos rolamentos ou mancais hidrodinâmicos
C
i
- Parâmetro que permite relacionar o processo físico de relaxação ao deslocamento
total.
d
- Excentricidade da massa concentrada.
E
- Módulo de Young
F
0
- Força axial sobre o Elemento de Árvore
F
u
F
w
-
Componentes das forças generalizadas, devido ao desbalanceamento.
G
- Módulo de cisalhamento do material.
G’
- Parte real do modulo de cisalhamento complexo do material viscoelástico (Módulo
de armazenamento).
G’’
- Parte imaginaria do modulo de cisalhamento complexo do material viscoelástico
(Módulo de Perda).
G
D
- Matriz giroscópica do elemento de Disco.
H
- Largura da esponja de material viscoelástico usada na construção do apoio.
I
- Momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutra do elemento de
Árvore.
I
Dx
,
I
Dy
,
I
Dz
- Elementos da diagonal principal do tensor de inércia dos elementos de Disco.
K
b
- Coeficientes de rigidez dos rolamentos ou mancais hidrodinâmicos
K
c
- Matriz clássica de rigidez do elemento de Árvore.
K
F
- Matriz de rigidez devida às forças axiais
L
- Espessura de material viscoelástico usada na construção do apoio.
xii
M
1
- Matriz clássica de massa do Elemento de Árvore:
M
2
- Matriz clássica de massa do Elemento de Árvore:
M
3
- Matriz de massa devido à influência do efeito da inércia rotatória do Elemento de
Árvore:
M
4
- Matriz de massa devido à influência do efeito da inércia rotatória do Elemento de
Árvore
M
5
- Matriz de massa devido ao efeito giroscópico do Elemento de Árvore
M
D
- Matriz de massa do elemento de Disco.
m
u
- Massa concentrada excêntrica
N
1
- Primeiro vetor de funções de forma.
N
2
- Segundo vetor de funções de forma.
R
i
- Referente ao sistema inercial (fixo) XYZ
R
ni
- Referente ao sistema não inercial (rotativo) xyz.
S
- Seção transversal do elemento de Árvore.
S
r
- Área reduzida da seção transversal do elemento de Arvore.
Tg
- Temperatura de transição vítrea
T
o
- Temperatura de referencia, usada na aplicação do principio de superposição
freqüência-temperatura. (Usualmente considerada 290 K).
T
U
-
Energia cinética da massa concentrada m
u
.
u
- Coordenadas generalizadas em relação ao sistema de coordenadas inercial.
U
s
- Energia de deformação do elemento de Árvore.
w
- Coordenadas generalizadas em relação ao sistema de coordenadas inercial.
Y
p
-
Posição da massa em relação ao eixo y.
xiii
TABELA DE SUBÍNDICES
M
- Relativo aos graus de liberdade associados aos deslocamentos nas posições dos
suportes.
L
- Relativo aos graus de liberdade associados aos deslocamentos nas posições
diferente dos suportes.
v
- Relativo à rigidez viscoelástica ou à módulo viscoelástico
e
- Relativo à rigidez elástica ou à módulo elástico
i
-
Correspondente ao campo i de deslocamento anelástico
g
- Corresponde aos pontos de excitação para a obtenção da resposta dinâmica.
h
- Corresponde aos pontos de medição para a obtenção da resposta dinâmica.
TABELA DE SUPERÍNDICES
e
- Relativo aos Campos de deslocamento elástico
a
- Relativo aos Campos de deslocamento anelástico
xiv
SUMÁRIO
1. -
INTRODUÇÃO
1
1.1.
-
MOTIVAÇÃO 1
1.2.
-
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA SOBRE ASPECTOS RELACIONADOS AO CONTROLE
DAS MÁQUINAS ROTATIVAS
3
1.2.1. -
Comportamento Dinâmico de Máquinas Rotativas 3
1.2.2. -
Técnicas de Controle 6
1.3. -
ORGANIZAÇÃO DA TESE
8
2. -
MATERIAIS VISCOELÁSTICOS
10
2.1 -
INFLUÊNCIA DE OUTROS EFEITOS NO COMPORTAMENTO VISCOELÁSTICO
14
2.1.1. -
Influência da Temperatura nas Propriedades Viscoelásticas 14
2.1.2. -
Influência das Cargas Estáticas nas Propriedades Viscoelásticas 17
2.2. -
CARACTERIZAÇÃO DO COMPORTAMENTO VISCOELÁSTICO
17
2.3. -
IDENTIFICAÇÃO DO COMPORTAMENTO VISCOELÁSTICO
19
xv
2.3.1. -
Ensaios Transientes 20
2.3.2. -
Ensaios Dinâmicos 20
2.3.3. -
Fontes de Erro na Realização dos Ensaios 24
2.4. -
MODELAGEM DO COMPORTAMENTO VISCOELÁSTICO
25
2.5. -
MODELO DOS CAMPOS DE DESLOCAMENTO ANELÁSTICOS (ADF)
28
3. -
MODELOS MATEMÁTICOS
31
3.1. -
MODELO MATEMÁTICO DE UM SISTEMA ROTATIVO
31
3.1.1. -
Elemento de Disco 32
3.1.2. -
Elemento de Árvore 34
3.1.3. -
Elemento de Mancal 38
3.1.4. -
Efeito das Massas de Desbalanceamento 41
3.2. -
MODELAGEM DE COMPONENTES VISCOELÁSTICOS USADOS EM APOIOS DE
SISTEMAS ROTATIVOS
43
3.2.1. -
Modelagem de Apoios Translacionais Viscoelásticos 44
4.
-
IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS DINÂMICOS DOS MODELOS
51
4.1 -
IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS DINÂMICOS DO ROTOR FLEXÍVEL
51
4.1.1. -
Modelo do Sistema Rotativo 52
xvi
4.1.2 -
Ajuste dos Parâmetros Dinâmicos do Rotor em Repouso (parado) 53
4.1.3. -
Determinação das forças de desbalanceamento – Sistema giroscópico 57
4.2. -
IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS DINÂMICOS DOS ABSORVEDORES DE
VIBRAÇÃO VISCOELÁSTICOS
58
5.
-
RESULTADOS
61
5.1. -
IDENTIFICAÇÃO DA BANCADA DE ROTOR FLEXÍVEL
61
5.1..1.
-
Resultados da Identificação 63
5.2. -
IDENTIFICAÇÃO DOS ABSORVEDORES VISCOELÁSTICOS
68
5.2.1. -
Bancada de identificação dos absorvedores Viscoelásticos 70
5.2.2 -
Resultados da identificação 71
5.3. -
RESULTADOS DA APLICAÇÃO DOS ABSORVEDORES VISCOELÁSTICOS NOS
SUPORTES DO ROTOR
78
5.4 -
ANALISE DOS RESULTADOS
80
6.
-
CONCLUSÕES
83
6.1. -
MODELAGEM
83
6.2.
- IDENTIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DINÂMICOS
84
6.2. -
PROPOSTA PARA TRABALHOS FUTUROS
86
7.
-
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
87
xvii
APÊNDICE A – MATRIZES DOS ELEMENTOS DE DISCO E EIXO
98
APÊNDICE B – GEOMETRIA DOS COMPONENTES MECÂNICOS DOS
ABSORVEDORES VISCOELÁSTICOS
101
APÊNDICE C – DADOS TÉCNICOS DO MATERIAL DA SORBUTHANE
102
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1. MOTIVAÇÃO
As condições atuais de alta competitividade nos mercados industriais representam um
constante desafio aos projetistas de equipamentos industriais, criando expectativas cada vez mais
exigentes por equipamentos de menor custo e tamanho, melhor desempenho, e ainda, exigindo
maior confiabilidade, baixas freqüências de manutenção, e o cumprimento das normas relativas
aos niveles máximos de ruído e vibração.
Neste panorama, o projeto dos sistemas rotativos é uma das áreas onde se observam
maiores exigências; dada sua importância estratégica em indústrias como as de geração de
energia elétrica, de exploração e refino de petróleo, nuclear e aeroespacial.
As máquinas rotativas atuam sob a influência de forças dinâmicas indesejadas que podem
ser extremamente elevadas. Estas forças são geralmente produto de desbalanceamentos,
desalinhamentos, folgas nos mancais ou atrito no eixo e podem ter conseqüências desastrosas,
sobretudo na passagem do rotor pelas velocidades críticas. As cargas dinâmicas comprometem os
componentes mecânicos, provocando diminuição geral do desempenho do sistema, além de
produzir desconforto. Geralmente o valor destas forças está diretamente relacionado com o nível
de vibrações presente no equipamento.
Existem diferentes alternativas para controlar as vibrações neste tipo de sistemas. Por um
lado, existem soluções obvias como balancear ou alinhar o rotor, eliminar o atrito no eixo, corrigir
as folgas ou substituir os mancais. Se estes procedimentos não conseguem reduzir os níveis de
vibração até os padrões aceitáveis, é necessário partir para o uso de técnicas de controle ativo,
passivo ou semi-ativo. Neste caso, geralmente a solução mais simples e econômica é o emprego
de técnicas de controle passivo, agregando amortecimento ao sistema. Desta maneira, parte da
energia (produto das cargas dinâmicas indesejadas) é eliminada em forma de calor, diminuindo os
níveis de vibração do equipamento. Ainda que estas técnicas apresentem limitações com relação
ao controle ativo, ou ao semi-ativo, podem ser também uma alternativa muito versátil; ademais
estas técnicas apresentam a vantagem de não precisar de nenhuma forma de energia externa,
garantindo a estabilidade do sistema.
2
Os procedimentos mais comuns para o incremento do amortecimento em sistemas
rotativos são o emprego de amortecedores de filme fluido (SFD) e o uso de suportes
viscoelásticos. Na atualidade os SFD são mais usados: estes são projetados para operar em série
com os mancais como um sistema integrado de apoio (Lund, 1974). No entanto, este tipo de
amortecedor apresenta algumas desvantagens devido à complexidade do mecanismo, alto custo,
funcionamento em faixas de freqüências limitadas e tolerâncias apertadas. Por outro lado, os
materiais viscoelásticos surgem como uma alternativa viável, dado o seu baixo custo, simplicidade
e alto desempenho, quando usados como suportes de mancais. O pouco uso deste tipo de suporte
pode ser explicado pela dificuldade do projeto destes sistemas, dado que é bastante recente o
desenvolvimento de modelos do comportamento viscoelástico adequados para aplicações
estruturais (Trindade, 2000). Muitas vezes o projeto de suportes viscoelásticos é desenvolvido a
partir de ensaios experimentais sem dispor de um modelo matemático do sistema (Bormann e
Gasch, 2002), o que pode tornar o procedimento excessivamente custoso.
Em anos recentes, pesquisadores têm procurado soluções para problemas de vibração
tentando mesclar a simplicidade, segurança e economia decorrentes do uso de materiais
viscoelásticos, com o alto desempenho, capacidade de adaptação e potencial para atuar numa
faixa ampla de freqüências, associadas à utilização do controle ativo, mediante o uso atuadores
piezoelétricos (Benjeddou,2001; Inman e Lam, 1997; Lesieutre e Lee, 1996).
A partir deste panorama, foi realizado este trabalho com o objetivo de estudar a aplicação
de materiais viscoelásticos no projeto de máquinas rotativas, visando o melhoramento das
características dinâmicas do sistema. Com este objetivo, foi projetado um sistema de
absorvedores viscoelásticos adequado para sua implementação nos apoios de um rotor flexível.
Foi implementado um procedimento para a identificação das características dinâmicas do rotor e,
das características viscoelásticas dos absorvedores, posteriormente se desenvolvem modelos
matemáticos que permitem a inclusão do efeito viscoelástico no comportamento dinâmico do rotor
de forma que seja possível otimizar as características do suporte, procurando que os parâmetros
dinâmicos do sistema rotativo (respostas dinâmicas, velocidades críticas e estabilidade) se
enquadrem dentro de níveis aceitáveis.
A partir dos modelos desenvolvidos é possível determinar a resposta dinâmica, velocidades
críticas e a velocidade limite de estabilidade e projetar ferramentas de controle ativo e semi-ativo, a
partir do conhecimento das características dinâmicas dos absorvedores viscoelásticos, e as
características do sistema rotor-mancais. Os modelos do sistema rotor-suporte viscoelástico até
agora propostos na bibliografia (Panda e Dutt, 1999, Shabaneh e Zu, 2000, Dutt e Toi, 2003,
3
Panda e Dutt, 2003, Bormann e Gasch, 2002), concentram seu trabalho na modelagem dos
componentes viscoelásticos e não consideram a flexibilidade do rotor, impedindo a determinação
do comportamento dinâmico do sistema para os modos flexíveis do rotor, aspecto que é
melhorado nesta tese, outro aspecto é que, dos anteriores trabalhos, unicamente Bormann e
Gasch apresentaram um estudo analítico-experimental do problema. Neste trabalho foram
considerados dois modelos viscoelásticos na abordagem do problema: o modelo viscoelástico dos
campos de deslocamento anelásticos (ADF) e o modelo do modulo de rigidez complexo, sendo
este simplificado considerando diretamente a rigidez complexa dos absorvedores determinada
experimentalmente, sem considerar o fator de forma. Isto devido às dificuldades práticas na
aplicação das cargas sobre os absorvedores nas condições ideais, o que modifica
consideravelmente a resposta dinâmica do absorvedor, comparada com a determinada em função
do fator de forma multiplicado pelo módulo complexo do material.
O modelo matemático do rotor flexível obtido foi determinado usando o método dos
elementos finitos.
1.2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA SOBRE ASPECTOS RELACIONADOS AO CONTROLE
DAS MÁQUINAS ROTATIVAS
Para aplicar convenientemente técnicas de controle é necessário ter conhecimento do
comportamento dinâmico das máquinas rotativas e também saber quais parâmetros dinâmicos
devem ser controlados. Por esse motivo, é feita uma revisão sobre os aspectos importantes do
comportamento dinâmico de rotores e, em seguida, são apresentadas as alternativas de controle
para tais sistemas.
1.2.1. COMPORTAMENTO DINÂMICO DE MÁQUINAS ROTATIVAS
A seguir são mencionados os aspectos do comportamento dinâmico mais importantes de
um sistema rotativo:
(i) Velocidades críticas: Nestas velocidades (e em suas proximidades) o eixo do rotor pode
atingir grandes amplitudes de vibração, sendo recomendável controlar a passagem pelas
mesmas, até a máquina atingir sua velocidade de operação. É também recomendável
manter a velocidade de operação em uma distancia cautelosa das velocidades críticas. As
4
velocidades críticas se apresentam quando a velocidade de rotação da máquina coincide
com uma de suas freqüências naturais. Para identificar estas velocidades, é comum o uso
do diagrama de Campbell, onde se observa a variação das freqüências naturais do
sistema, em função da velocidade de rotação do rotor.
(ii) Resposta Dinâmica: Dado que quanto maiores sejam as amplitudes de vibração, maiores
serão as forças laterais que podem provocar falhas prematuras nos mancais, fadiga na
estrutura e diminuição geral no desempenho do equipamento, além de produzir desconforto
devido ao ruído e às próprias vibrações, o estudo do comportamento dinâmico do sistema
rotor-mancais torna-se imperativo. A resposta dinâmica é geralmente determinada a partir
do gráfico de resposta ao desbalanceamento (figura 1.1), onde as máximas amplitudes
correspondem às velocidades críticas. Basicamente, os procedimentos usados para
diminuir a resposta dinâmica são o balanceamento do rotor ou o aumento do
amortecimento. Evidentemente, técnicas de controle podem ser também utilizadas com
esta finalidade.
Figura 1.1 – Resposta Dinâmica ao Desbalanceamento
(iii) Estabilidade: Sendo a instabilidade um problema pouco comum, recebe menor atenção dos
pesquisadores que outros problemas mais usuais como, por exemplo, o desbalanceamento
(Silveira, 2001). Porém, o tema merece atenção especial dado que determinadas
5
condições de velocidade e carga podem levar ao rotor a amplitudes catastróficas. O
problema reveste-se de especial importância quando se trabalha com rotores montados
sobre mancais hidrodinâmicos, uma vez que os coeficientes cruzados presentes nestes
mancais (nas matrizes de rigidez e amortecimento) atuam de maneira similar ao
amortecimento interno, com efeito desestabilizador (Childs, 1993). As principais
características deste fenômeno são as seguintes:
• Antes de uma determinada velocidade denominada ″Velocidade Limite de Estabilidade″
(VLE), o rotor é estável e síncrono. A partir desta velocidade aparece uma componente
subsíncrona no movimento do rotor provocando instabilidade. A VLE sempre excede a
primeira velocidade crítica.
• Para velocidades de rotação superiores à VLE, a componente subsíncrona diverge
exponencialmente com o tempo. O movimento (precessional) associado com a
componente subsíncrona tem a mesma direção que a rotação do rotor.
• A ocorrência (ou ausência) de instabilidade dependente muito do estado de equilíbrio
das forças sobre o rotor.
Na figura (1.2), tomada de Atkins e Perez (1988), é apresentada a função de resposta em
freqüência para um compressor centrifugo de 5 estágios medida em diferentes velocidades
de rotação. A VLE é aproximadamente 8500 rpm. É possível observar como a componente
subsíncrona é a metade da velocidade de rotação e cresce até exceder a componente
síncrona.
6
Figura 1.2 – Diagrama em Cascata mostrando um caso de instabilidade num rotor.
(iv) Vibrações transmitidas através do suporte e/ou acoplamentos: Durante sua operação, o
rotor pode ver-se afetado por vibrações transmitidas através dos acionamentos ou outros
acessórios, produzindo forças assíncronas, forças estas que podem provocar alteração das
velocidades críticas (Lalanne e Ferraris, 1998). Também é possível o aparecimento de
problemas de instabilidade, dependendo das características dinâmicas dos suportes
(Childs, 1993). Outro aspecto que merece consideração é que acionamentos que
transmitem vibrações residuais podem afetar o desempenho do equipamento e provocar
falhas prematuras (e.g., no caso de acoplamentos deficientes entre o motor e o eixo
rotativo).
1.2.2. TÉCNICAS DE CONTROLE
As técnicas para controlar os aspectos anteriormente mencionados são usualmente
divididas em três tipos.
O primeiro deles tem a ver com as Técnicas de Controle Ativo, onde é introduzido algum
tipo de energia ao sistema, usando atuadores. No caso das máquinas rotativas, estas técnicas são
divididas em duas categorias, sendo a primeira o controle de vibração ativo, no qual são aplicadas
7
forças laterais sobre o rotor para contrapor as forças causadas pelas vibrações (Zhou e Shi, 2001).
Por ser o eixo do rotor um elemento móvel, é necessário que as forças aplicadas pelos atuadores
sejam sem contato (e.g. usando atuadores eletromagnéticos ou mancais magnéticos), ou
aplicando-as sobre o suporte (atuadores piezoelétricos, hidráulicos, etc.). Em Adams e McCloskey
(1990) e Zhou e Shi (2001) pode-se encontrar revisões sobre o estado da arte destas técnicas
aplicadas às máquinas rotativas. A outra categoria é o balanceamento ativo, onde o objetivo é
procurar uma redistribuição da massa ao longo do eixo, com a ajuda de atuadores, visando
balancear o rotor (e.g. Alauze,1998, Dyer e Ni, 1999 e Dyer et al, 2002).
O segundo tipo engloba as Técnicas de Controle Semi-Ativo, onde se procura controlar os
fatores críticos do rotor (velocidades críticas, VLE, nível de vibrações) modificando as
características dinâmicas do sistema (De Lima, 2003). Estas técnicas têm sido aplicadas em
máquinas rotativas mudando as características dos amortecedores de filme fluido por meio do
controle da pressão do óleo lubrificante (Burrow e Sahinkaya,1984), mediante a mudança da
pressão de injeção de óleo em mancais de sapatas deslizantes (Heinrichson, Santos e Fuerst,
2007a, 2007b), ou pelo uso de mancais híbridos: tais como os magnéticos-hidrodinâmicos (Tian e
Bornis, 1995), ou ainda usando fluidos electrorelogicos (Forte et al, 2004). Não se acha
documentado até o momento o controle semi-ativo usando suportes híbridos com materiais
piezoelétricos e viscoelásticos, embora pareça ser este um campo promissor de estudos, dado seu
sucesso em outras aplicações (Trindade e Benjeddou, 2002).
O último tipo a ser considerado envolve as Técnicas de Controle Passivo, onde são feitas
modificações nas características dinâmicas do sistema (massa, rigidez e amortecimento) visando
uma diminuição das vibrações e/ou aumento da estabilidade.
Segundo Mead (1999) as técnicas de controle passivo podem ser divididas em 4 tipos
característicos:
(i) Controle de Vibrações pela modificação do projeto original: onde, antecipando problemas
em um dado produto, ainda no estado de protótipo, é possível fazer modificações alterando
suas características originais com a finalidade de garantir um comportamento dinâmico
adequado.
(ii) Controle de vibrações agregando dispositivos: estes dispositivos permitem uma apropriada
redução das vibrações, como por exemplo massas concentradas que permitem diminuir a
amplitude das vibrações (balanceamento).
(iii) Controle de vibrações aumentando o amortecimento externo: procura-se diminuir a
resposta dinâmica nas velocidades críticas pelo acréscimo de materiais com características
8
viscoelásticas, os quais têm uma alta capacidade de absorver energia. Dessa forma,
localizados em pontos estratégicos do sistema, conseguem dissipar uma quantidade de
energia considerável, atenuando as vibrações.
(iv) Controle de vibrações por isolamento do sistema: muitas das vibrações resultam de fontes
conectadas com o mesmo. Neste caso, é conveniente promover o isolamento da máquina
através de pontos de conexão com materiais resilientes que permitem minimizar os efeitos
indesejáveis.
Na área de dinâmica de rotores é comum o uso de diversas combinações destes métodos.
Alguns exemplos são as aplicações de materiais viscoelásticos na fundação da máquina,
procurando aumentar a VLE (Panda e Dutt, 1999); a instalação de tais materiais no suporte dos
mancais (Dutt e Toi, 2003, Bormann e Gash, 2002), cobrindo totalmente o eixo rotativo (Silveira,
2001); aumentando o amortecimento externo usando mancais hidrodinâmicos (Childs, 1993), ou
ainda a diminuição do efeito das reações nos mancais usando amortecedores de filme fluido
(SFD), (Chu e Holmes, 2000).
As técnicas de controle ativo e semi-ativo têm a vantagem de poder corrigir problemas de
vibrações em uma faixa maior de freqüências que as técnicas passivas, porém são geralmente
mais custosas e mais complexas na hora de ser aplicadas. Nestes casos, as técnicas de controle
passivo podem ser uma melhor opção. Outro aspecto que as torna viáveis é que não necessitam
de nenhuma fonte externa de energia, fato que garante inerente estabilidade, e as tornam mais
adaptadas a aplicações de grande porte (De Lima, 2003). Este aspecto também assegura seu
funcionamento caso aconteçam problemas como o corte de energia elétrica ou falhas em
determinados sensores. Deve-se notar que as técnicas de controle ativo e semi-ativo partem dos
mesmos fundamentos teóricos que as técnicas passivas, ou seja, fundamentam-se nas equações
diferenciais que caracterizam a dinâmica do sistema.
1.3. ORGANIZAÇÃO DA TESE
Este documento esta dividido da seguinte maneira:
No capítulo 2 é apresentada uma revisão bibliográfica dos conceitos fundamentais sobre
materiais viscoelásticos, procedimentos para a identificação das características dinâmicas destes
materiais e os modelos de viscoelasticidade utilizados.
9
No capítulo 3 são apresentados os procedimentos adotados para a modelagem matemática
do sistema composto por um rotor flexível e os procedimentos adotados para incluir o efeito
viscoelástico no modelo matemático do rotor.
O Capítulo 4 apresenta o procedimento proposto para a identificação das características
dinâmicas do rotor flexível y dos absorvedores viscoelásticos
No Capítulo 5 são apresentados os resultados experimentais da identificação do rotor e dos
absorvedores, a resposta exibida pelo modelo do sistema do rotor flexível contendo os
absorvedores viscoelásticos comparada com os resultados experimentais.
No capitulo 6 são apresentadas as conclusões obtidas a partir dos resultados do trabalho.
CAPÍTULO 2
MATERIAIS VISCOELÁSTICOS
Um material exibe comportamento viscoelástico quando sua resposta dinâmica apresenta
características tanto de fluido viscoso como de sólido elástico. Um material elástico recupera sua
posição original quando é retirada a carga que produz a deformação, enquanto um fluido viscoso
conserva a forma que lhe tem sido imposta. Os materiais viscoelásticos combinam estas duas
características, ou seja, eles recuperam a forma original depois de terem sido deformados,
contudo sua resposta é suficientemente lenta para ter conseqüências no próximo ciclo de vibração.
A caracterização de como estes materiais se comportam (elasticamente ou viscosamente)
depende, entre outros fatores, da temperatura e da freqüência da carga. Muitos materiais
poliméricos que tem longas cadeias moleculares exibem comportamento viscoelástico (plásticos,
borrachas, acrílicos, silicones, vinis, adesivos, etc). De fato, todos os materiais exibem
comportamento viscoelástico; em materiais reais não se observa uma resposta instantânea entre a
tensão e a deformação, não obstante, a hipótese de elasticidade é apropriadamente adotada nos
casos onde os efeitos viscoelásticos são o suficientemente pequenos para ser desconsiderados.
O mecanismo de amortecimento interno característico dos materiais viscoelásticos oferece
alto potencial de uso em aplicações industriais como absorvedores passivos de ruído e vibrações
(Nashif et al, 1998). No caso das máquinas rotativas, sua utilização também tem demonstrado
eficiência no controle das vibrações (Childs, 1993).
O modelo mais adequado para representar a resposta dinâmica dos materiais
viscoelásticos depende do nível de deformação a que é submetido o material, ou seja, para
pequenas deformações são considerados modelos lineares de viscoelasticidade, enquanto que
para grandes deformações outros tipos de modelos não-lineares devem ser elaborados
1
. Os
modelos não-lineares podem ser adequados para aplicações estruturais, no entanto oferecem
dificuldades quando são usados na modelagem de sistemas dinâmicos, devido a suas
características não lineares. O carregamento imposto experimentalmente sob os elementos
viscoelásticos utilizados neste trabalho gerou deformações máximas de 2%. Devido a esse nível
baixo de deformação, este estudo é baseado unicamente em modelos de viscoelasticidade linear,
considerando, portanto, pequenas deformações.
1
Modelos hipoelásticos ou hiperelásticos segundo o nível de deformação, sendo mais estendido o uso de modelos
hiperelásticos o quais são consistentes para maiores deformações que os modelos hipoelásticos.
11
Na teoria da viscoelasticidade linear se considera que nos materiais viscoelásticos a tensão
não é instantaneamente proporcional à deformação, sendo dependente da taxa de deformação.
Neste caso, a relação entre a tensão, deformação, e taxa de deformação é dependente da
freqüência de oscilação da carga. Uma forma aproximada de relacionar as tensões e as
deformações nos materiais viscoelásticos sob a ação de um carregamento uniaxial é a que usa o
modelo linear padrão (Zener, 1948), conforme expressa a equação (2.1).
dt
d
GG
dt
d
rr
ε
βε
σ
ασ
⋅⋅+⋅=⋅+ (2.1)
sendo:
(
)
t
σ
, tensão em função do tempo.
r
G , módulo de elasticidade do material (módulo estático, ou módulo de baixa freqüência).
(
)
t
ε
, deformação em função do tempo.
α
,
β
, são constantes dependentes do material
A equação anterior apresenta dificuldades para representar o comportamento real dos
materiais, mas é um bom ponto de partida para ilustrar alguns aspectos do comportamento
reológico. Considerando inicialmente que é aplicada uma tensão constante (
0
σ
) no tempo
0
t , e
considerando as condições iniciais 0
0
=t e 0
=
ε
, a equação diferencial (2.1) pode ser
solucionada da seguinte forma:
−⋅
=
−
β
σ
ε
t
r
e
G
1
0
(2.2)
Alternativamente, quando é aplicada uma deformação constante (
0
ε
) no tempo
0
t , com
condições iniciais 0
0
=t e
0
εσ
⋅=
g
G , a solução da equação diferencial é a seguinte:
( )
α
εεσ
t
rgr
eGGG
−
⋅⋅−+⋅=
00
(2.3)
12
Nesta equação, G
g
é conhecido como módulo vítreo do material, que é o módulo de elasticidade
do material no instante inicial em que este é afetado por um carregamento tipo degrau. A partir da
equação (2.3) é possível calcular a evolução no tempo do estado de tensões sofrido por um sólido
viscoelástico submetido a uma deformação constante, sendo que esta função recebe o nome de
função de relaxação. Usando a equação (2.2) é possível determinar o estado de deformações de
um sólido viscoelástico submetido a uma tensão constante. Neste caso, o resultado é conhecido
como função de fluência, como pode ser visto na figura (2.1).
Figura 2.1 – Funções de Relaxação e de Fluência.
Considerando que é aplicada uma tensão periódica da forma
(
)
ti
e
⋅⋅
⋅=
ω
σωσ
0
, que
conseqüentemente produzirá uma deformação do tipo
(
)
ti
e
⋅⋅
⋅=
ω
εωε
0
, a solução da equação (2.1)
será:
( )
(
)
0
2222
2
00
11
1
ε
αω
αβω
αω
βαω
εσ
⋅⋅
⋅⋅+
−⋅
⋅+
⋅+
⋅⋅+
=⋅⋅+=
r
G
i
iGiG '''
(2.4)
sendo a relação entre
0
σ
e
0
ε
dependente da freqüência de vibração.
A equação anterior mostra um comportamento similar ao dos materiais viscoelásticos reais,
porém a variação de G’ e G’’ é muito mais rápida do que se observa na realidade (Nashif et
al,1985). Devido a estes inconvenientes na representação, se faz necessária a introdução de
outras derivadas adicionais de
σ
e
ε
em função do tempo na equação (2.1), conforme se observa
na equação (2.5).
13
∑∑
==
⋅⋅+⋅=⋅+
r
n
n
n
nrr
r
n
n
n
n
dt
d
GG
dt
d
11
ε
βε
σ
ασ
(2.5)
O modelo se torna mais satisfatório na medida em que a ordem da derivada (r) é maior.
A solução da equação (2.5), considerando um carregamento periódico
(
)
ti
e
⋅⋅
⋅=
ω
σωσ
0
, é a
seguinte:
( )
( )
∑
∑
=
=
⋅⋅+
⋅⋅+
⋅⋅=
r
n
n
n
r
n
n
n
r
i
i
G
1
1
00
1
1
ωα
ωβ
εσ
(2.6)
Considerando algumas simplificações, a equação (2.6) pode ser escrita da seguinte forma
(Nashif et al,1985):
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
siG
εωηωωσ
⋅⋅+⋅= 1' (2.7)
onde:
(
)
(
)
(
)
[
]
ωηωω
⋅+⋅= iGG 1' , é o módulo complexo do material.
(
)
ω
'G , é a parte real do modulo complexo, conhecida como módulo de armazenamento.
(
)
ω
"G , é a parte imaginária, denominada módulo de perda.
(
)
(
)
(
)
ωωωη
'" GG= , é conhecido como fator de perda.
Experimentalmente é possível determinar o fator de perda calculando a função arco-
tangente do ângulo de fase entre a tensão e a deformação. Este fator de perda é relacionado ao
amortecimento viscoelástico.
As funções típicas do módulo de armazenamento e do fator de perda de materiais
viscoelásticos com características similares às da borracha (os mais usados em aplicações
industriais) são mostradas na figura (2.2) para uma faixa de freqüência de dez décadas e
considerando a temperatura como sendo constante. Evidentemente, a figura apresentada deve ser
entendida apenas do ponto de vista qualitativo.
14
Figura 2.2 – Variação do módulo de armazenamento e do fator de perda em função da freqüência
(adaptado de Nashif et al,1985).
Na figura (2.2) é possível observar como o módulo de armazenamento aumenta seu valor,
na medida em que é aumentada a freqüência de oscilação da carga dinâmica. No caso do fator de
perda, seu valor aumenta até uma determinada freqüência e logo sofre uma diminuição gradual na
medida em que a freqüência é mais ainda aumentada.
2.1. INFLUÊNCIA DE OUTROS EFEITOS NO COMPORTAMENTO VISCOELÁSTICO
Além da freqüência existem outros fatores que modificam a resposta dinâmica dos
materiais viscoelásticos. Os mais importantes são a temperatura e as cargas estáticas e
dinâmicas. Outros fatores podem mudar as propriedades do material durante sua vida útil
(envelhecimento, fadiga, contaminação, etc.), dependendo de determinadas condições. Entretanto,
existem poucos estudos sobre a inclusão destes outros efeitos sobre os modelos matemáticos de
viscoelasticidade. Nesta seção é apresentada uma revisão sobre a influência da temperatura e das
cargas estáticas no efeito viscoelástico destes materiais.
2.1.1. Influência da Temperatura nas propriedades viscoelásticas
A temperatura é considerada o fator mais importante dentro dos fatores ambientais que
podem afetar a resposta dinâmica dos materiais viscoelásticos (Jones, 1974).
O efeito da temperatura sobre materiais viscoelásticos é ilustrado na figura (2.3). Podem-se
identificar claramente quatro regiões com características diferentes. A primeira, conhecida como
região vítrea, é a região em que o material é duro e quebradiço e o módulo de armazenamento é
15
alto e diminui lentamente com o aumento da temperatura, enquanto o fator de perda aumenta
significativamente com o incremento da temperatura. Logo começa a região de transição, onde o
módulo de armazenamento decresce rapidamente com o incremento da temperatura e o fator de
perda atinge um máximo local; o ponto onde este máximo local é atingido é conhecido como
temperatura de transição vítrea (Tg), sendo o ponto onde o material deixa de ter um
comportamento vítreo para ter um comportamento tipo borracha. Verifica-se que alguns polímeros
podem ter mais de uma temperatura de transição vítrea devido à mudança da estrutura interna do
material decorrente do aumento da temperatura.
Depois da transição, é identificada outra região, conhecida como região de borracha. Nesta
faixa, tanto o módulo de armazenamento como o fator de perda apresentam valores baixos e são
pouco influenciados pela temperatura.
Figura 2.3. – Variação do módulo de armazenamento e o fator de perda com relação à
temperatura, considerando a freqüência constante (adaptado de Nashif et al (1985)).
Em temperaturas superiores, alguns materiais viscoelásticos podem chegar até a uma
quarta região, conhecida como região de fluxo. Nesta região o módulo de armazenamento se
caracteriza por valores muito baixos e, inversamente, o fator de perda apresenta valores altos.
Devido às características da região de fluxo, sua aplicação em projetos de amortecedores é
bastante limitada, sendo que, na maioria destas aplicações, são utilizados materiais expostos a
temperaturas que os limitam entre a região de transição e a região de borracha.
Na figura (2.4) são representados o módulo de armazenamento e o fator de perda de três
diferentes materiais viscoelásticos usados na fabricação de anéis de suporte para máquinas
rotativas (Bormann e Gasch, 2002). Os materiais são o Perflour PFR 94 (Ausimont Technoflon), o
Parker Nitrilo NBR N674-70 e o Terpolímero de Etileno-Propileno-Dieno EPDM E3676. Nesta
16
figura é possível observar que, para a faixa de temperaturas estudada (entre –40°C e 70°C), o P94
passa pelas regiões vítrea e de transição. No caso do N674, passa-se pelas regiões de transição e
entra-se na região de borracha. Para o caso do E3676, nessa faixa ele está saindo da região de
transição e permanece, na maior parte do intervalo, na região de borracha.
Figura 2.4 – Propriedades dinâmicas de três materiais viscoelásticos representativos (temperatura
versus três freqüências de operação), (adaptado de Bormann e Gasch, 2002).
Na figura anterior também é possível observar como a freqüência e a temperatura estão
relacionadas. A influência exercida pela temperatura é dada pelo inverso do efeito da freqüência.
Não obstante, sua influência é “mais rápida”. Desta forma, é evidente que uma variação na
freqüência correspondendo a várias décadas representa a mesma mudança no comportamento do
material que aquela provocada por uma variação na temperatura correspondendo apenas a alguns
graus. Este fenômeno é evidente na maioria dos materiais viscoelásticos e é um dos mais
importantes aspectos da teoria da viscoelasticidade, sendo especialmente relevante na
caracterização destes materiais, como será discutido em outra seção. Este comportamento é a
base do principio de superposição freqüência-temperatura, que é usado para transformar as
propriedades do material do domínio da freqüência para o domínio da temperatura e vice-versa.
Os materiais que exibem o comportamento descrito pelo principio de superposição freqüência-
temperatura são conhecidos como termoreológicamente simples, já os que não exibem este
comportamento são conhecidos como termoreológicamente complexos. Felizmente a maioria dos
17
materiais viscoelásticos apresenta um comportamento termoreológicamente simples. No caso dos
materiais termoreológicamente complexos, são necessários procedimentos mais dispendiosos
para a modelagem do comportamento dinâmico em função da freqüência e da temperatura
(Klompen e Govaert, 1999).
2.1.2. Influência das Cargas Estáticas nas Propriedades Viscoelásticas
Quando são usados materiais viscoelásticos no projeto de amortecedores de estruturas
dinâmicas, a introdução de pré-cargas é quase inevitável. Os efeitos destas pré-cargas no módulo
de armazenamento e no fator de perda podem ser vistos na figura (2.5), onde é possível observar
como o valor do módulo de armazenamento aumenta com o aumento da pré-carga, enquanto o
fator de perda diminui com o incremento da pré-carga. Os valores destes deslocamentos podem
ser calculados a partir de dados experimentais.
Figura 2.5 – Variação das propriedades dos materiais viscoelásticos em função da pré-carga
(adaptado de Nashif et al (1985)).
2.2. CARACTERIZAÇÃO DO COMPORTAMENTO VISCOELÁSTICO
A relação inversa entre a freqüência e a temperatura (principio de superposição) permite
representar o comportamento de materiais viscoelásticos para diferentes temperaturas e
freqüências de forma simplificada usando os fatores de deslocamento adequados. O fator de
deslocamento (
T
α
) é um recurso usado para calcular o deslocamento das curvas de módulo de
armazenamento e do fator de perda a partir de uma temperatura de referencia (T
o
), quando esta
temperatura varia para um determinado valor (T). Desta forma, os valores do módulo de
18
armazenamento e do fator de perda são calculados para uma freqüência reduzida (
ωα
⋅
T
), dada
pelo produto da freqüência de vibração pelo fator de deslocamento. Teoricamente, um
carregamento aplicado sob o material com uma freqüência
ω
, sendo T a temperatura do material,
levaria à mesma resposta viscoelástica caso fosse aplicada a mesma amplitude de carga sobre o
material, estando este na temperatura de referência, mas com a freqüência reduzida
correspondente à temperatura T.
Partindo do recurso da freqüência reduzida é possível representar o valor das propriedades
dinâmicas do material viscoelástico usando os diagramas apresentados na figura (2.6). Desta
forma, é determinado o fator de deslocamento em função da temperatura e são também
determinadas as propriedades para a temperatura de referência. É evidente que, para a
temperatura de referência (T
o
=290 K), o valor do fator de deslocamento é igual à unidade.
Figura 2.6 – a) Variação de G’, G’’ e
η
ηη
η
em função da freqüência reduzida; b) variação do fator de
deslocamento em função da temperatura (Material ISD112
2
) (Soovere et al, 1984).
Um procedimento mais simples para a representação das propriedades de um material
viscoelástico foi proposto por Jones (1978 e 1981), onde toda a informação se acha incluída em
um único nomograma. Na figura (2.7) é ilustrada esta metodologia na apresentação das
propriedades do material ISD112 (3M Viscoelastic Damping Polymer 110, Technical Data, 2003).
Para determinar o módulo de armazenamento e o fator de perda usando este nomograma é
necessário traçar uma linha horizontal na freqüência desejada até cruzar a isoterma da
2
Produzido pela 3M
19
temperatura escolhida. Então, a partir deste ponto de interseção é traçada uma linha vertical que
intercepta as curvas do módulo de armazenamento e do fator de perda, cujos valores podem ser
lidos à esquerda do nomograma.
Figura 2.7 – Nomograma das propriedades viscoelásticas do material ISD112 (Adaptado de 3M
Viscoelastic Damping Polymer 110, Technical Data, 2003).
2.3. IDENTIFICAÇÃO DO COMPORTAMENTO VISCOELÁSTICO
As características viscoelásticas de um sólido podem ser determinadas através de
diferentes tipos de ensaios, dependendo das características geométricas e físicas do espécime a
identificar, da região na qual se pretende obter as características viscoelásticas (ver seção 2.1.1),
da faixa de freqüência investigada, da magnitude e do tipo de deformação, etc. No caso da
identificação dos parâmetros viscoelásticos em lâminas com camadas de materiais viscoelásticos,
pode ser aplicado o procedimento proposto pela norma ASTM E-756 (2004). De maneira geral os
ensaios para a determinação das propriedades viscoelásticas de espécimes sólidos podem ser
classificados em dois grupos, dependendo do tipo de carregamento aplicado: ensaios transientes,
através dos quais, a partir da resposta no tempo, é possível determinar as funções de fluência e
relaxação; e ensaios dinâmicos, divididos em sub-ressonantes e ressonantes, através dos quais é
possível determinar os parâmetros dependentes da freqüência, ou seja, o modulo de
20
armazenamento, o fator de perda, o coeficiente de Poisson
3
, etc. Segundo a bibliografia, a partir
de qualquer um destes ensaios é possível fazer uma identificação completa de todos os
parâmetros viscoelásticos no domínio do tempo e no da freqüência (Bergström e Boyce, 1999).
Não obstante, na prática, isto implica muitas dificuldades na determinação acertada dos
parâmetros dinâmicos através dos ensaios transientes e, da mesma forma, dos parâmetros das
funções de fluência e relaxação, através dos ensaios dinâmicos. Por este motivo é normalmente
recomendado realizar uma combinação de ensaios. Por outro lado, deve ser considerada a
anisotropia do material. Adicionalmente, deve-se lembrar que caso o estado de
tensões/deformações aplicado experimentalmente no ensaio não corresponder ao considerado no
modelo, os resultados estarão fortemente comprometidos. De uma forma geral, é preferível a
realização de ensaios em que se coloca o espécime numa câmara com temperatura controlada.
Em seguida, dependendo da faixa de freqüências e temperaturas de análise, é usado o principio
de superposição freqüência-temperatura (ver seção anterior) para reduzir o número de ensaios
necessários numa determinada faixa de freqüências. A seguir, são apresentadas as bases para a
realização destes ensaios.
2.3.1. Ensaios Transientes
Este tipo de ensaios é usado para determinar as funções de fluência e relaxação. No caso
do ensaio de fluência é necessário colocar uma carga estática atuando sobre o espécime de forma
que se produza uma tensão constante ao longo de sua seção transversal. Considera-se que a
deformação decorrente é o suficientemente pequena para não modificar significativamente a área
da seção transversal do espécime. O carregamento acima mencionado não pode ser aplicado de
forma instantânea como seria o ideal. Ao invés disso, a carga se aplica gradualmente até alcançar
seu valor nominal num período que geralmente leva entre 0,5 e 1,0 segundos. Geralmente a
aquisição dos dados experimentais é iniciada depois de transcorrido 10 vezes o tempo necessário
para o carregamento. De maneira geral, as bancadas usadas para a identificação das
propriedades dinâmicas de materiais viscoelásticos também podem ser utilizadas para a
identificação das funções transientes (Lakes, 2004).
3
Teoricamente o coeficiente de Poisson (
ν
) de materiais viscoelásticos é um valor complexo, dependente da freqüência
(Etchessahar et al, 2005). Mas, em termos práticos, na maioria das vezes este coeficiente é considerado como um valor
real e independente da freqüência. Para materiais com características de borracha, observa-se que seu valor oscila entre
0.49 e 0.50
21
Por outro lado, ensaios de relaxação são realizados através da observação da resposta do
material em função de uma deformação constante. A deformação constante pode ser imposta
usando um sistema de cames com uma rigidez muito maior que a do espécime, ou ainda qualquer
outro tipo de atuador que permita a aplicação rápida de uma deformação que logo permanecerá
constante. Neste caso, de forma semelhante à dos ensaios de fluência, não é possível aplicar a
deformação de maneira instantânea, como seria o ideal.
2.3.2. Ensaios dinâmicos
Nestes ensaios é observada a resposta dinâmica do espécime ao ser aplicada uma
excitação externa. Determinar qual é o tipo de ensaio dinâmico adequado depende da faixa de
freqüências, da rigidez do material e do fator de perda. Para baixas freqüências e altos fatores de
perda são recomendáveis métodos sub-ressonantes; no caso de baixos fatores de perda se
recomenda a aplicação de ensaios ressonantes, e, para freqüências maiores (da ordem de
megahertz ou maiores), é usada a velocidade de propagação das ondas acústicas através do
espécime para a determinação do módulo complexo correspondente. Na seqüência, será
ampliado o sentido da realização de cada um dos tipos de ensaios acima descritos.
(i) Ensaios sub-ressonantes:
Neste caso é aplicado sobre o espécime um carregamento com uma freqüência senoidal,
considerando que neste caso é esperada uma resposta também senoidal e na mesma freqüência,
sempre que o material apresente um comportamento linear. Em materiais não lineares é comum a
identificação de múltiplos inteiros da freqüência de excitação.
O espécime é excitado numa faixa de freqüências determinada, sendo a freqüência máxima
restrita pelas ressonâncias do material, do sistema de fixação e dos transdutores, de maneira que
a arcotangente do ângulo de fase medido entre a tensão aplicada e a deformação seja diretamente
relacionado com o fator de perda do material considerado. A freqüência mínima de análise é
restrita pelo tipo de transdutores empregados.
Através do ensaio é possível determinar a rigidez complexa do material, e, a partir daí, é obtido o
módulo de armazenamento e o fator de perda, uma vez conhecido o fator de forma da peça
ensaiada. O fator de forma depende da geometria e do tipo de carregamento aplicado sobre o
22
espécime. A relação entre o fator de forma e o modulo complexo do material é dado pela equação
(2.8).
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
siGK
εωηωγω
⋅⋅+⋅⋅= 1'' (2.8)
onde:
(
)
ω
'K , é a rigidez complexa do material viscoelástico.
γ
, é o fator de forma.
Na tabela 1 é apresentado um resumo dos diferentes procedimentos encontrados na literatura,
conforme apresentados por Di Benedetto e Francken (1997), ao estudar os testes usados para a
identificação do módulo complexo e os correspondentes fatores de forma empregados em cada
caso.
Tais métodos de ensaio também são conhecidos como métodos de estimação direta da rigidez
complexa (Espíndola et al, 2005), uma vez que, a partir do fator de forma e das leituras dos
transdutores, é estimado diretamente o valor do módulo complexo de rigidez do material.
Tabela 1. Métodos de Ensaio usados para a identificação do módulo complexo.
(adaptada de Di Benedetto e Francken,1997).
Ensaio
Descrição
Esquema do
Ensaio
Fator de
forma
Fonte
1)
Ensaio de Tensão ou
Compressão
4
h
D
2
⋅
π
Charif (1991)
Doubbaneh (1995)
Wiczak et al (2000)
2)
Ensaio de
Cisalhamento simples
sobre área
transversal circular
h
D
2
⋅
π
Sousa (1994)
4
Neste caso o fator de forma é dado para o cálculo do módulo de elasticidade do material
(
)
E
23
3)
h
D
2
2 ⋅⋅
π
4)
Ensaio de
Cisalhamento com
máquina de ensaios
com duas peças
deformáveis
h
bL
⋅
⋅
2
Lempe et al (1992)
5)
Ensaio de
cisalhamento co-axial
⋅
⋅
d
D
h
ln
2
π
Gubler (1990)
(ii) Ensaios ressonantes:
Este tipo de ensaios é apropriado para a identificação de materiais com fatores de perda
muito baixos, da ordem de 10
-3
a 10
-9
, usualmente verificados nos materiais viscoelásticos situados
na região vítrea (Lakes, 2004).
Neste tipo de ensaios o material é induzido a vibrar livremente, sendo identificadas suas
primeiras freqüências naturais e seus correspondentes fatores de amortecimento modais. A partir
desta informação, o módulo complexo do material é calculado através do ajuste do modelo
matemático do corpo de prova. Desta maneira o módulo complexo do material é determinado
indiretamente, através da solução de um problema inverso.
Usualmente se empregam duas estratégias para a realização destes ensaios: na primeira,
o espécime é colado a uma massa muito maior, ou, no caso de ensaios de torção, a uma massa
de momento de inércia muito maior. A idéia é que virtualmente toda flexibilidade do sistema esteja
associada ao material viscoelástico e toda a inércia esteja relacionada com a massa solidária ao
mesmo. Desta maneira a modelagem do sistema é simplificada e, conseqüentemente, a análise
dos resultados fica igualmente mais simples.
24
(iii) Ensaios de propagação de ondas mecânicas:
Mediante o uso destas técnicas é possível identificar o módulo complexo do material em
faixas de freqüência superiores a 1MHz.
Para comprimentos de onda muito maiores que o diâmetro ou a largura do espécime, a
velocidade de propagação da onda (
B
C ) é dependente do módulo de Young e da densidade do
material, conforme mostra a equação (2.9).
ρ
E
C
B
= (2.9)
Na equação (2.9), o módulo de Young é substituído pelo módulo de cisalhamento, no caso
de ser considerada a velocidade de propagação das ondas transversais através do corpo de
prova.
No caso inverso, ou seja, quando o comprimento de onda é muito menor que o diâmetro ou
a largura do corpo de prova, a velocidade de propagação da onda também é dependente do
coeficiente de Poisson, conforme expresso pela equação (2.10).
( ) ( )
ρ
νν
ν
⋅−⋅+
−
⋅
=
211
1
E
C
L
(2.10)
Configura-se, assim, o caso típico da maioria dos estudos ultra-sônicos para freqüências
superiores a 1MHz. Para casos onde nenhuma das condições anteriores se apresente, a relação
entre a velocidade de propagação da onda e o módulo do material é bem mais complicada (Lakes,
2004).
2.3.3. Fontes de Erro na realização dos Ensaios
Quando da realização dos ensaios, devem ser consideradas diferentes fontes de erros na
determinação dos parâmetros viscoelásticos, procurando minimizar seu efeito, na medida do
possível. Os aspectos mais importantes a levar em conta como fontes de erro são os seguintes:
25
(i) Falta de precisão na medida da força aplicada sobre o material quando as medições são
feitas em altas temperaturas, ou, da mesma forma, falta de precisão na medida da
deformação do espécime quando os ensaios são feitos em temperaturas próximas à
temperatura de transição vítrea (Di Benedetto et al, 2001).
(ii) Dimensão do espécime utilizado no ensaio não está de acordo com o modelo (Di
Benedetto et al, 2001).
(iii) Baixa rigidez do dispositivo onde são realizados os testes (Di Benedetto et al, 2001) ou as
freqüências naturais do suporte são próximas daquelas da faixa de freqüências estudada.
(iv) Controle inadequado das condições ambientais, permitindo mudanças de temperatura ou
contaminação durante o ensaio.
(v) Defeitos ou não-homogeneidades do espécime testado, tais como micro-fissuras,
inclusões, contaminação.
(vi) Falta de controle sobre as variáveis que não são consideradas no modelo, tais como o
movimento relativo entre as peças que compõem o sistema constituído pela bancada de
ensaios e pelo espécime, devido à ineficiência da cola ou a folgas excessivas, o que acaba
introduzindo atrito e não-linearidades na resposta dinâmica.
(vii) Dificuldade na aplicação de diferentes modos de carga sobre o material. Evidentemente,
deve-se procurar promover um estado de deformações no material, o mais aproximado
possível daquele verificado no modelo usado para o ajuste dos parâmetros. (Axel physical
testing services, 2000).
(viii) No caso de ensaios dinâmicos ocorre um aquecimento do material, até entrar em equilíbrio
com o meio ambiente. O ensaio deve ser efetuado nas condições de trabalho reais do
material, pelo que se deve esperar até que este entre em equilíbrio com o meio-ambiente,
devendo-se esperar o tempo necessário para que isso ocorra.
2.4. MODELAGEM DO COMPORTAMENTO VISCOELÁSTICO
Observa-se que não existe um único modelo capaz de representar apropriadamente todos
os aspectos do comportamento dos sólidos viscoelásticos sob diferentes condições de carga.
Assim sendo, é conveniente ter conhecimento das características tanto de carregamento como
ambientais na escolha do modelo mais adequado. Conforme anteriormente alertado, neste
trabalho o estudo é concentrado nos modelos lineares de viscoelasticidade.
26
Os modelos de viscoelasticidade linear baseados na equação (2.7) são conhecidos como
modelos de módulo complexo. Esta proposta foi feita inicialmente por Snowdon (1968) para
analisar o comportamento de materiais com características semelhantes às da borracha. A partir
deste critério, alguns autores consideraram que, devido à baixa taxa de variação do módulo de
armazenamento e do fator de perda com relação à freqüência, é possível tomar estes valores
como sendo constantes, para uma dada faixa de freqüências de interesse (Shen, 1994). Em outros
casos, foi considerada a variação do módulo de armazenamento, mas mantendo constante o fator
de perda (Douglas and Yang, 1978; Huang et al, 1996). Agnes e Napolitano (1993) e Baz (1998)
consideram que tanto o módulo de armazenamento como o fator de perda são ambos variáveis
com a freqüência. Assim sendo, eles usaram nomogramas do material que mostram a variação do
módulo de armazenamento e do fator de perda com relação à freqüência.
Procurando introduzir a relação entre tensão e deformação nas equações da dinâmica do
sistema submetido ao efeito viscoelástico, têm sido propostos modelos baseados no agrupamento
de molas e amortecedores viscosos, sendo tais modelos conhecidos como modelos reológicos. Os
modelos reológicos originais apresentam limitações devido a sua simplicidade (e.g. os modelos de
Kelvin-Voigt e de Maxwell). No caso do modelo linear padrão (ou de Zener) são superadas estas
limitações, porém sua resposta não se aproxima o bastante do comportamento real do material.
Tal fato motivou o desenvolvimento do Modelo Padrão Generalizado, que introduz derivadas de
ordem superior da tensão e da deformação, além de considerar ambas como sendo função do
tempo (Rogers, 1983), conforme a equação (2.5).
Geralmente, para representar apropriadamente o comportamento viscoelástico de um
material usando o modelo Padrão Generalizado, é necessário considerar um grande número de
derivadas temporais. Assim, a utilização deste modelo para representar o efeito viscoelástico num
sistema baseado no método dos elementos finitos implica a solução de um sistema de equações
diferenciais de alta ordem. Procurando reduzir o número de parâmetros e, conseqüentemente, o
custo computacional da utilização do modelo padrão generalizado, Bagley e Tovik (1979)
propuseram a introdução de derivadas fracionárias, conforme a equação (2.11).
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
∑∑
==
⋅+⋅=⋅+
r
n
nr
r
n
n
tDGtGtDbt
nn
11
εεσσ
αβ
(2.11)
onde
n
α
e
n
β
são expoentes fracionários e
α
D
é o operador de derivada fracionária, segundo a
seguinte equação:
27
( )( )
( )
(
)
τ
τ
τ
Γ
α
d
t
X
dt
d
tXD
−∞−
=
1
1
(2.12)
onde
( )
∫
∞
∞
−
=∞−
0
1 dt
t
e
t
Γ
é a chamada função gamma.
De acordo a observações experimentais (Bagley e Torvik, 1979), a maioria dos materiais
viscoelásticos pode ser modelada considerando unicamente o primeiro termo dos somatórios que
aparecem na equação (2.11), de acordo com a seguinte equação:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
tDGtGtDbt
r
εεσσ
αβ
⋅+⋅=⋅+
1
(2.13)
Neste caso, é possível representar a dependência da freqüência do comportamento
viscoelástico considerando somente cinco parâmetros.
Estudos posteriores, baseados na relação entre tensão e deformação dos materiais
viscoelásticos usando o conceito de derivadas fracionárias, foram desenvolvidos por Torvik e
Bagley (1987), Liebst e Torvik (1996), Rossikhin e Shitikova (1998) e Espíndola et al (2004 e
2005).
Com o objetivo de permitir a inclusão do efeito viscoelástico em problemas estruturais
usando o método dos elementos finitos, foram desenvolvidos métodos baseados no uso de
variáveis internas. Por esse motivo são conhecidos como modelos baseados em variáveis
internas. O primeiro autor a usar o conceito de variáveis internas parece ser Biot (1955). Não
obstante, o desenvolvimento de modelos apropriados para aplicações do método dos elementos
finitos é relativamente recente. Considerando estas aplicações, Golla e Hughes (1985) e depois
McTavish e Hughes (1993) desenvolveram o modelo conhecido como Golla-Hughes-McTavish
(GHM). Leisieutre (1992) propôs o modelo denominado de campos termodinâmicos aumentados
5
.
Em seguida, Leisieutre e Bianchini (1995) apresentaram o modelo dos campos de deslocamentos
anelásticos
6
. Johnson et al (1997) e Yiu (1993) também propuseram alternativas de se escrever
modelos representativos de materiais viscoelásticos baseados no uso de variáveis internas.
O conceito das variáveis internas tem permitido um grande avanço na modelagem do
amortecimento viscoelástico devido à possibilidade de se ter modelos bastante representativos das
situações experimentais e ainda por permitir a introdução da dependência da freqüência e da
temperatura no comportamento do material. Uma grande vantagem destes métodos é que os
5
O nome em português foi traduzido do original: Augmenting Thermodynamical Fields (ATF)
28
dados empíricos do módulo complexo de um determinado material viscoelástico podem ser
introduzidos no modelo usando variáveis complexas. Estas variáveis são apenas um recurso
matemático para incorporar a informação experimental no modelo teórico e, portanto, não
representam deslocamentos físicos ou reais.
A introdução de variáveis internas incrementa de forma considerável o tamanho do modelo
construído usando elementos finitos; não obstante, o sistema de equações pode ser reduzido sem
modificar a resposta dinâmica em determinada faixa de interesse usado um método de redução de
modelos (Yae et al, 1993 ou Park et al, 1999). Na próxima seção é revisado o modelo dos campos
de deslocamentos anelásticos, uma vez que este método foi o escolhido pelo autor para o
desenvolvimento desta pesquisa.
2.5. MODELO DOS CAMPOS DE DESLOCAMENTO ANELÁSTICOS (ADF)
O modelo ADF (Lesieutre e Bianchini, 1995) é baseado na separação dos graus de
liberdade associados aos elementos viscoelásticos em dois grupos: um elástico e o outro
anelástico, sendo que o grupo anelástico é relacionado com o processo de relaxação próprio do
material viscoelástico. As equações básicas do modelo ADF são as seguintes:
−⋅=⋅=
∑
=
N
i
A
i
E
GG
1
εεεσ
(2.14)
( )
A
ii
A
i
i
i
A
i
CG
GC
εεε
Ω
σ
⋅−⋅=⋅
⋅
=
&
(i=1,...N) (2.15)
sendo N o número de campos de deslocamento considerado.
i
C é um parâmetro dependente do
material, que permite associar o deslocamento dos campos anelásticos ao deslocamento total,
como será explicado à frente. No caso de se considerar apenas um campo de deslocamento
anelástico, o modelo pode ser representado pelo sistema mecânico mostrado na figura (2.8).
6
O nome em português foi traduzido do original: Anelastic Displacement Fields (ADF)
29
Figura 2.8 – Analogia do modelo ADF com um sistema mecânico
O sistema da figura (2.8) é um modelo viscoelástico clássico composto por um elemento de
Kelvin-Voigt em série com uma mola. A tensão na mola,
σ
, é determinada pela rigidez G e pelo
deslocamento elástico (
ε
E
), sendo este dado pela diferença entre o deslocamento total (
ε
) e o
deslocamento anelástico interno (
ε
A
). A tensão no amortecedor,
σ
A
, é a diferença entre a tensão da
mola principal e da mola secundária incluída no elemento de Kelvin-Voigt. A tensão do
amortecedor é também equivalente à constante do amortecedor multiplicada pela taxa de
mudança na deformação anelástica, de forma que a equação (2.12) representa a evolução do
campo de deslocamento anelástico.
Lesieutre (1992) define o módulo de rigidez do material viscoelástico da seguinte forma:
( )
+
⋅+
⋅+⋅=
∑
=
N
i
ir
i
GG
1
2
2
1
1
Ω
ω
Ω
ω
Ω
ω
∆ω
(2.16)
sendo G
r
o módulo relaxado ou módulo de baixa freqüência,
ω
a freqüência,
Ω
i
o inverso do tempo
de relaxação com deformação constante correspondente ao campo anelástico i,
∆
i
, a relação entre
o módulo de rigidez relaxado e a rigidez do campo de deslocamento anelástico i, onde C
i
é o
parâmetro que permite relacionar o processo físico de relaxação ao deslocamento total, dado pela
seguinte equação:
σ
ε
ε
A
(C-1).G
C.G
Ω
G
30
i
N
i
i
i
C
∆
∆
∑
=
+
=
1
1
(2.17)
No modelo ADF o módulo de rigidez é simplificado como sendo dado pelo módulo de alta
freqüência (Lesieutre e Biachini, 1996), conforme a Equação (2.18).
( )
+⋅=
∑
=
N
i
ir
GG
1
1
∆ω
(2.18)
Os parâmetros
∆
i
,
Ω
i
, e G
r
podem ser determinados usando informações empíricas do
módulo complexo de um dado material viscoelástico. Usando as equações (2.14), (2.15) e (2.18)
pode-se incorporar o comportamento viscoelástico do material no modelo estrutural montado a
partir do método dos elementos finitos, como será mostrado no próximo capítulo desta tese.
CAPÍTULO 3
MODELOS MATEMÁTICOS
Neste capítulo serão apresentados os procedimentos matemáticos usados para a obtenção
dos modelos analíticos do rotor. Tais modelos são necessários para o cálculo da resposta às
forças de desbalanceamento, determinação das freqüências naturais para diferentes velocidades
de rotação e dos modos próprios de vibração. Além disso, apresenta-se o modelo utilizado para
representação dos sistemas viscoelásticos estudados. Em seguida, é apresentado o procedimento
mediante o qual são integrados os modelos que incluem o efeito viscoelástico.
3.1. MODELO MATEMÁTICO DE UM SISTEMA ROTATIVO
O modelo do sistema rotativo é obtido usando o método dos elementos finitos, segundo o
procedimento proposto por Lalanne e Ferraris (1998).
Para o cálculo das energias cinética e de deformação, e do trabalho virtual, são usados
dois sistemas de referência, sendo R
i
(XYZ) um sistema inercial (fixo) e R
ni
(xyz) um sistema não
inercial (rotativo), sendo sua origem pertencente á linha neutra da árvore. A relação entre R
i
e R
ni
é
feita por meio de três ângulos:
ψ
medido sobre o plano XY,
θ
medido sobre o plano y
1
z
1
, e
φ
medido no plano xz (figura 3.1).
A matriz de transformação do sistema de coordenadas inercial, R
i
, para o não inercial, R
ni
,
é dada pela seguinte equação:
⋅
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅
⋅⋅−
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅
=
Z
Y
X
z
y
x
φθφθψφψφθψφψ
θθψθψ
φψφθψφψφθψφψ
coscoscossencossensensensensensencos
sencoscossensen
sencossensencoscossensensensencoscos
(3.1)
32
Figura 3.1 - Relações angulares entre os sistemas inercial e não-inercial
O vetor velocidade instantânea de rotação escrito no sistema de coordenas R
ni
é dado por:
⋅⋅+⋅
⋅+
⋅⋅−⋅
=
=
φθψφθ
θψφ
φθψφθ
ω
ω
ω
ω
coscossen
sen
sencoscos
&
&
&
&
&
&
z
y
x
(3.2)
3.1.1. Elemento de Disco
O elemento de disco (figura 3.2) é considerado rígido e, portanto, sua energia de
deformação não é considerada. A energia cinética do elemento de disco pode ser calculada pela
equação (3.3).
Z
Y
X
ψ
ψ
φΩ
&
=
y
1
x
1
z
1
y
θ
θ
x
z
φ
φ
33
(
)
(
)
22222
2
1
2
1
zDzyDyxDxDD
IIIwuMT
ωωω
⋅+⋅+⋅⋅++⋅⋅=
&&
(3.3)
sendo:
M
D
= Massa do disco.
u,w =coordenadas generalizadas em relação ao sistema de coordenadas inercial.
I
Dx
, I
Dy
, I
Dz
= elementos da diagonal principal do tensor de inércia do disco.
Figura 3.2 - Elemento de Disco.
Considerando o disco como sendo simétrico (I
Dx
= I
Dz
), os ângulos
θ
e
ψ
como sendo
“pequenos”, e a velocidade angular como sendo constante, isto é φ
&
=
Ω
, obtém-se após
substituição da equação (3.2) na equação (3.3):
(
)
(
)
(
)
θψΩΩψθ
⋅⋅⋅−⋅⋅+−⋅⋅++⋅⋅=
&&
&
&&
2
2
1
2
1
2
1
22222
DyDxDD
IIwuMT (3.4)
y
z
x
Z
C
Y
X
34
onde
2
2
1
Ω
⋅⋅
Dy
I é uma constante que representa a energia cinética de rotação do disco e
θψΩ
⋅⋅⋅⋅⋅
&
2
2
1
Dy
I é um termo da energia cinética relacionado ao efeito de coriolis.
Define-se o vetor {q} contendo o conjunto de coordenadas generalizadas necessárias para
descrever o movimento da estrutura: neste caso são necessárias duas translações, u e w, e duas
rotações,
θ
e
ψ
, como é mostrado na equação (3.5).
{
}
{
}
T
wuq
ψθ
= (3.5)
onde:
dy
w
∂
=
θ
e
x
u
∂
∂
−=
ψ
Aplicando as equações de Lagrange à equação (3.4), considerando o vetor de
coordenadas generalizadas {q}, é possível chegar à seguinte equação:
{
}
{
}
0=⋅⋅+⋅ qGqM
DD
&&&
Ω
(3.6)
onde M
D
e G
D
são, respectivamente, as matrizes de massa e giroscópica do elemento de disco,
cujas expressões se encontram detalhadas no Apêndice A.
3.1.2. Elemento de Árvore
O elemento de árvore (figura 3.3) é considerado como um elemento de viga com seção
transversal circular. São considerados os efeitos de inércia rotatória da seção transversal
(Rayleigh), e o efeito de cisalhamento (Timoshenko). Na seqüência são calculadas as expressões
da energia cinética e de deformação do elemento de arvore.
35
Figura 3.3 - Elemento de Árvore.
(i) Energia Cinética do Elemento de Árvore
A expressão geral da energia cinética de um elemento de árvore é semelhante àquela
obtida para um elemento de disco. Assim, para um elemento de comprimento L, a energia cinética
pode ser escrita como:
(
)
( )
{
}
( ) ( )
{
}
2
00
22
0
2
2
2
22
ΩLIdyΩIρdywu
S
yd
ρI
T
lll
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅+
⋅
+⋅+⋅=
∫∫∫
ρθψ
ρ
ψθ
&
&&
&
&
(3.7)
sendo que
ρ
é a densidade do material do elemento, S é a seção transversal e I é o
momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutra da árvore.
Usando o método dos elementos finitos, considera-se que o elemento de árvore possui dois
nós. Considerando que cada nó tem quatro graus de liberdade, dois de deslocamento e outros
dois de rotação, é possível escrever o vetor de coordenadas nodais do elemento de árvore usando
a seguinte equação:
[
]
T
,
,,,w,u,,wu
22221111
ψθψθδ
=
(3.8)
36
Os deslocamentos u e w são calculados da seguinte forma:
(
)
uyNu
δ
1
= (3.9)
com:
[
]
T
,
,,u,uδu
2211
ψψ
=
(
)
wyNw
δ
2
= (3.10)
com:
[
]
T
,,w,wδw
2211
θθ
=
N
1
(y) e N
2
(y) são as chamadas funções de forma que permitem expressar os
deslocamentos da árvore (Lalanne e Ferraris, 1998), dadas por:
( )
−−−+−+−=
2
32
3
3
2
2
2
32
3
3
2
2
1
23223
1
L
y
L
y
;
L
y
L
y
;
L
y
L
y
y;
L
y
L
y
yN (3.11)
( )
+−−+−+−=
2
32
3
3
2
2
2
32
3
3
2
2
2
23223
1
L
y
L
y
;
L
y
L
y
;
L
y
L
y
;y
L
y
L
y
yN (3.12)
Calculando as derivadas das equações (3.5), (3.9), e (3.10) e substituindo-as na equação
(2.12), tem-se:
+
+
++=
∫∫
w
dy
dN
dy
dN
wu
dy
dN
dy
dN
u
I
]dywNNwuNNu[
S
T
T
T
L
T
TTT
L
TT
&&&&&&&&
δδδδ
ρ
δδδδ
ρ
22
0
11
22
0
11
22
2
0
21
IL Ωwdy
dy
dN
dy
dN
uΩI
L
T
T
P
ρδδρ
++
∫
&
(3.13)
Substituindo as funções de forma e suas derivadas na equação (3.13), fica:
2
54321
2
1
2
1
2
1
2
1
IL ΩwMuΩwMwuMuwMwuMuT
TTTTT
ρδδδδδδδδδδ
+++++=
&&&&&&&&
(3.14)
37
Nesta equação as matrizes M
1
e M
2
são as matrizes clássicas de massa, M
3
e M
4
, são
devidas à influência do efeito da inércia rotatória, e M
5
é devida ao efeito giroscópico. Aplicando as
equações de Lagrange é possível obter a equação (3.15):
(
)
{
}
{
}
0=⋅+⋅+
δδ
&&&
EsC
GMM (3.15)
onde M
C
é obtida a partir de M
1
e M
2
; M
s
é obtida usando M
3
e M
4
, e G
E
decorre de M
5
,
sendo suas respectivas expressões igualmente detalhadas no Apêndice A.
(ii) Energia de Deformação do Elemento de Árvore
A energia de deformação é necessária para a obtenção da matriz de rigidez do elemento
de árvore. Lalanne e Ferraris (1998) determinam a energia de deformação de um elemento de
arvore de acordo com a seguinte equação:
∫∫
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂⋅
=
LL
S
dy
y
w
y
u
F
yd
y
w
y
uIE
U
0
22
0
0
2
2
2
2
2
2
22
(3.16)
Não havendo força axial (F
0
= 0), a equação anterior pode ser escrita como sendo:
yd
y
w
y
uIE
U
L
S
∫
∂
∂
+
∂
∂⋅
=
0
2
2
2
2
2
2
2
(3.17)
Substituindo as derivadas segundas das equações (3.9) e (3.10) em (3.16):
∫
∫
++
+
+=
L
T
T
T
T
L
T
T
T
T
S
dyw
dy
dN
dy
dN
wu
dy
dN
dy
dN
u
F
dyw
dy
Nd
dy
Nd
wu
dy
Nd
dy
Nd
u
EI
U
0
2211
0
0
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
δδδδ
δδδδ
(3.18)
38
Depois da integração, U
s
fica da seguinte forma:
wKwuKuwKwuKuU
TTTT
S
δδδδδδδδ
4321
2
1
2
1
2
1
2
1
+++= (3.19)
sendo que K
1
e K
2
são as matrizes clássicas de rigidez, e K
3
e K
4
as matrizes devidas às
forças axiais. Aplicando as equações de Lagrange à equação (3.19), tem-se:
( )
δ
δ
Fc
s
KK
U
+=
∂
∂
(3.20)
K
c
é a matriz clássica de rigidez obtida a partir de K
1
e K
2
, e K
F
é a matriz devida às forças
axiais, sendo esta relacionada com K
3
e K
4
. As expressões destas matrizes são também
detalhadas no Apêndice A.
3.1.3. Elemento de Mancal
Geralmente, um rotor flexível é suspenso por apoios compostos por caixas de rolamentos,
mancais hidrodinâmicos, que por sua vez são suportados por uma estrutura flexível, que permite
dissipar a energia cinética resultante das vibrações do rotor e ainda acomodar expansão térmica,
resultante das mudanças de temperatura dos elementos mecânicos, registradas quando a
máquina entra em movimento. Um modelo esquemático do elemento de mancal é apresentado na
figura (3.4).
39
Figura 3.4 – Modelo esquemático da suspensão de um rotor
O mancal pode ser simplificado, considerando que os suportes do rotor funcionam como
sistemas de dois graus de liberdade que atuam independentemente em cada uma das direções de
movimento transversais ao eixo da máquina (x e z, de acordo com o sistema de referência usado
neste trabalho).
Figura 3.5 – Esquema do funcionamento de um suporte do rotor na direção Z
Na figura anterior os coeficientes K
b
e C
b
estão associados à rigidez e ao amortecimento
dos rolamentos ou mancais hidrodinâmicos, respectivamente. É mais conveniente fazer a
40
consideração destes coeficientes como sendo dependentes da velocidade de rotação, para o caso
de mancais hidrodinâmicos (Childs, 1998).
O modelo anterior pode ser escrito em função de coeficientes equivalentes (K
eq
e C
eq
).
Nicholas e Barret (1986) apresentam uma formulação que permite o cálculo dos coeficientes
equivalentes a partir dos quatro coeficientes apresentados no modelo da figura (3.4). No caso de
ser necessária a inclusão dos termos cruzados, a formulação matemática dos coeficientes
equivalentes fica consideravelmente mais complexa (Nicholas et al, 1986).
No presente trabalho, considerando a bancada experimental disponível, é modelado um
suporte composto por uma caixa de mancais de rolamento suspensa por lâminas flexíveis bi-
engastadas, sendo a rigidez do sistema de lâminas muito menor que a rigidez da caixa de
rolamentos.
Neste trabalho, os coeficientes equivalentes do sistema de suporte do rotor são
determinados sob a consideração de estes serem constantes e independentes da freqüência de
rotação da máquina (Figura 3.6), de acordo ao proposto por Lalanne e Ferraris (1998). Neste caso,
o trabalho virtual das forças atuando sobre o eixo, pode ser escrito da seguinte forma:
wucwwcuwcuucwukwwkuwkuukW
zxzzxzxxzxzzxzxx
δδδδδδδδδ
&&&&
−−−−−−−−= (3.21)
ou:
wFuFW
wu
δδδ
+= (3.22)
Figura 3.6 - Configuração do mancal
41
sendo que F
u
e F
w
são as componentes das forças generalizadas. Na forma matricial a equação
(3.21) pode ser escrita como:
−
−=
w
u
cc
cc
w
u
kk
kk
F
F
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
w
u
&
&
(3.23)
Escrevendo agora a equação (3.23) em função do vetor de coordenadas generalizadas {q},
resulta:
{ } { }
q
cc
cc
q
kk
kk
F
F
F
F
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
w
u
&
−
−=
0000
00
0000
00
0000
00
0000
00
ψ
θ
(3.24)
3.1.4. Efeito das Massas de Desbalanceamento
O desbalanceamento é caracterizado como uma massa concentrada m
u
localizada a uma
distância d (excentricidade) do centro geométrico do elemento (figura 3.7). A massa permanece no
plano xz, sendo que sua posição em relação ao eixo y é considerada constante.
Figura 3.7 - Massa desbalanceada
42
A energia cinética T
U
da massa concentrada m
u
é dada por:
VmVT
u
T
U
⋅⋅⋅=
2
1
(3.25)
onde V é o vetor da velocidade da massa m
u
. Seja o vetor de deslocamento da massa m
u
:
(
)
( )
⋅+
⋅+
=
tdw
Y
tdu
D
pmu
Ω
Ω
cos
sen
(3.26)
Y
p
é a posição da massa em relação ao eixo y. Derivando a equação (3.26), obtém-se a
velocidade da massa concentrada m
u
.
(
)
( )
⋅⋅+
⋅⋅+
==
tdw
tdu
dt
dD
V
mu
ΩΩ
ΩΩ
sen
cos
&
&
0 (3.27)
Então, a energia cinética da massa m
u
é:
( ) ( )
( )
twdtuddwu
m
T
u
U
ΩΩΩΩΩ
sencos ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅++⋅=
&&&&
22
2
2222
(3.28)
Aplicando as equações de Lagrange à equação (3.28), obtém-se:
(
)
( )
⋅⋅⋅−=
∂
∂
−
∂
∂
t
t
dm
q
T
q
T
dt
d
u
ii
Ω
Ω
Ω
cos
sen
2
&
(3.29)
Na equação (3.29)
u
m corresponde à massa desbalanceada situada sobre o eixo z no
instante t=(2
π
+T), onde T é o período de rotação do eixo. Em situações industriais interessa-se
pela influência de várias massas desbalanceadas em um rotor, localizadas em diferentes posições
43
angulares (desbalanceamento distribuído), razão pela qual é introduzido na equação (3.29) um
ângulo de fase
α
, medido em relação ao eixo z. As forças ficam então da seguinte forma:
(
)
( )
+
+
⋅⋅⋅=
αΩ
αΩ
Ω
t
t
dm
F
F
u
w
u
cos
sen
2
(3.30)
A equação (3.30), pode ser rescrita como:
( ) ( )
tFtF
F
F
w
u
ΩΩ
cossen ⋅+⋅=
32
(3.31)
com:
(
)
( )
⋅⋅⋅=
α
α
Ω
sen
cos
2
2
dmF
u
e,
(
)
( )
⋅⋅⋅=
α
α
Ω
cos
sen
2
3
dmF
u
(3.32)
3.2. MODELAGEM DE COMPONENTES VISCOELÁSTICOS USADOS EM APOIOS DE
SISTEMAS ROTATIVOS
Existem diferentes alternativas para a inclusão de materiais viscoelásticos em máquinas
rotativas com o intuito de reduzir sua resposta dinâmica, aproveitando a capacidade destes
materiais de dissipar energia cinética, que, de outra forma, produziria vibração. A alternativa mais
usada é a adição de anéis de materiais viscoelásticos. Neste campo diversos autores têm
apresentado estudos abordando a modelagem dinâmica destes componentes usados nos apoios
de sistemas rotativos (figura 3.7). As primeiras contribuições mais significativas foram divulgadas
através de uma série de relatórios publicados pela Agência Aeroespacial Americana (NASA), entre
1972 e 1980 (Smalley, Tessarzik et al, 1972-1980; e Smalley, 1980). Bormann e Gasch (2002)
fazem uma boa revisão dos trabalhos anteriores publicados a respeito. Adicionalmente, propõem
uma formulação para a determinação da rigidez de anéis de seção circular e também um
procedimento para a seleção de anéis de materiais viscoelásticos, visando sua aplicação em
sistemas rotativos simples. Saldarriaga e Steffen (2004) apresentaram um procedimento para a
inclusão do efeito viscoelástico dos anéis no modelo matemático de um rotor flexível, sendo que a
inclusão do comportamento viscoelástico é feita a partir do modelo dos campos de deslocamentos
anelásticos (vem da abreviação em inglês, ADF) (ver capítulo 2).
44
Neste trabalho é apresentada a proposta do uso de absorvedores translacionais com componentes
viscoelásticos localizados nos apoios da máquina rotativa. Alternativamente, autores propõem o
uso de materiais viscoelásticos na forma de recobrimento do eixo do rotor (Silveira, 2001), ou
aplicados sobre as superfícies das lâminas que compõem os apoios de um rotor, formando uma
estrutura sanduíche de três camadas. A camada intermediaria é a camada viscoelástica, onde o
efeito do amortecimento atua quando do movimento de flexão (Saldarriaga e Steffen, 2006).
Em seguida, será revisado o procedimento analítico para a modelagem dos absorvedores
viscoelásticos translacionais e, posteriormente, serão apresentados os modelos usados para a
representação do comportamento dinâmico de rotores flexíveis com apoios translacionais
viscoelásticos localizados nos suportes.
Figura 3.7 – Anéis Viscoelásticos montados nos apoios de um sistema rotativo (adaptado de
Bormann e Gasch, 2002)
3.2.2. Modelagem de Apoios Translacionais Viscoelásticos
Uma alternativa ainda pouco explorada para a inclusão de materiais viscoelásticos em
sistemas mecânicos é o uso de apoios translacionais viscoelásticos (figura 3.8). Uma
desvantagem deste tipo de absorvedores é que somente podem trabalhar com pequenas taxas de
deformação. Para taxas de deformação elevadas tem-se um aumento significativo da temperatura,
provocando mudança nas propriedades físico-químicas do material utilizado (Nashif et al, 1998).
Porém, deve-se salientar que o uso deste tipo de amortecedores é amplamente divulgado com
vistas ao controle passivo de vibrações em estruturas civis (Mashmoodi, 1969; Munshi, 1997; Xu et
al, 2003; Park et al, 2003; Marko et al, 2004) e também em sistemas aeroespaciais (Rittweger et
al, 2002).
45
De acordo com a tabela (2.1), a rigidez de um apoio translacional viscoelástico pode ser
calculada a partir da equação (3.33).
G
h
bL
GK
T
⋅
⋅⋅
=⋅=
2
γ
(3.33)
onde L, h e b são, respectivamente, o comprimento, a espessura e a largura do cubo de material
viscoelástico usada na construção do apoio (ver figura 3.8), e G é o modulo de cisalhamento do
material.
Figura 3.8 – Apoio viscoelástico translacional
Neste trabalho são usados dois procedimentos para incluir o efeito viscoelástico no modelo
do rotor: o primeiro é baseado no modelo viscoelástico dos campos de deslocamentos anelásticos
e, o outro, é baseado no conceito de módulo complexo. O primeiro modelo permite a construção
de matrizes com parâmetros constantes, facilitando o cálculo não somente da resposta ao
desbalanceamento, como também dos modos de vibração, freqüências naturais, velocidades
críticas e respostas transientes e facilitando ainda realizar aplicações de controle ativo. Por outro
lado, o modelo baseado no módulo complexo oferece a vantagem de ser mais simples em sua
construção, não precisando de graus de liberdade adicionais indispensáveis para os modelos
baseados em variáveis internas. Por este motivo seu processamento é muito mais rápido,
tornando o tempo computacional aceitável. Entretanto, o modelo baseado no módulo complexo
tem a desvantagem de conter parâmetros variáveis nas matrizes do modelo, sendo tais
parâmetros função da freqüência de rotação. Por este motivo, o modelo em tela é viável apenas no
caso em que a resposta do sistema seja procurada para uma freqüência constante, como é o caso
b
Material
Viscoelástico
L
h
h
46
da resposta ao desbalanceamento. Na seqüência são apresentados ambos os casos acima
descritos.
(i) Modelagem de um Sistema Rotativo com Apoios Viscoelásticos Translacionais usando o
modelo dos campos de deslocamentos anelásticos (modelo ADF)
As equações do movimento do sistema rotativo com mancais apoiados sobre suportes
rígidos podem ser escritas matricialmente da seguinte maneira:
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
=
⋅
+
⋅
+
+
⋅
•••
M
L
M
L
MMML
LMLL
M
L
MMML
LMLL
MMML
LMLL
M
L
MMML
LMLL
F
F
X
X
KK
KK
X
X
DD
DD
CC
CC
X
X
MM
MM
(3.34)
Os subíndices M correspondem aos graus de liberdade associados aos deslocamentos nas
posições dos suportes, e os subíndices L correspondem aos graus de liberdade restantes. A
primeira matriz corresponde à matriz total de massa do sistema; a segunda é a matriz giroscópica;
a terceira é a matriz total de amortecimento; e a quarta é a matriz total de rigidez do sistema.
Para o caso de serem usados apoios viscoelásticos translacionais, a rigidez do apoio
viscoelástico atua em paralelo com a rigidez do mancal, conforme o esquema da figura (3.9).
Como a rigidez do rolamento do apoio do rotor é muito maior que o somatório das rigidezes do
mancal e do apoio viscoelástico, esta é desconsiderada no modelo estudado neste trabalho.
a) b)
Figura 3.9 – a) Apoio viscoelástico montado no rotor; b) Esquema mecânico do apoio.
47
Usando as equações (2.11), (2.15) e (3.33), e considerando que a rigidez na posição do
mancal é dada pelo somatório da rigidez do suporte viscoelástico e a rigidez do sistema rotativo
nessa posição, é possível escrever a equação de movimento do suporte:
( )
M
N
i
A
ivMv
e
MMLMLMMMLMLMMMLML
FqKqKKqKqCqCqMqM =⋅−⋅++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
∑
=
∞∞
1
&&&&&&
(3.35)
sendo
e
MM
K a parte elástica da rigidez do suporte, N o número de campos de deslocamentos
anelásticos usados para considerar o processo de relaxação do material viscoelástico.
A
i
q é o
i-esimo deslocamento anelástico, e
∞
v
K é dado pela equação (3.36).
γ∆
⋅
+⋅=
∑
=
∞
N
i
irv
GK
1
1 (3.36)
sendo
γ
dependente das características geométricas do apoio viscoelástico, conforme a equação
(3.33).
Multiplicando a equação (2.15) por
γ
resulta:
0=⋅⋅+⋅−⋅
Ω
⋅
∞∞∞ A
viivvv
A
vi
i
i
v
qCKqKq
C
K (3.37)
Então, é possível obter um sistema de equações lineares de primeira ordem usando as
equações (3.34), (3.35) e (3.37). Os valores das matrizes A e B são dados pelas equações (3.39) e
(3.40).
{
}
{
}
{
}
FQBQA =⋅+⋅
&
(3.38)
48
⋅
⋅
=
∞
∞
v
N
N
v
MMML
LMLL
K
C
K
C
I
I
MM
MM
A
Ω
Ω
1
1
(3.39)
⋅−−
⋅−
−
−
−−+
=
∞∞
∞∞
∞∞∞
Nvv
vv
vvv
e
MMMLMMML
LMLLLMLL
CKK
CKK
I
I
KKKKKDD
KKDD
B
0000
00
0
000
000
00
1
L
OMM
MMM
LM
LLL
L
(3.40)
sendo que o vetor de coordenadas generalizadas {Q} é dado pela equação (3.41).
[
]
T
A
Nv
A
vMLML
qqqqqqQ
)()1(
L
&&
= (3.41)
No caso da ocorrência de forças de desbalanceamento atuando sobre o rotor, a equação
(3.38) assume a seguinte forma:
{
}
{
}
{
}
(
)
{
}
(
)
tcosftsinfQBQA ⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅
ΩΩ
21
&
(3.42)
onde A e B dependem da maneira pela qual são usados os materiais viscoelásticos, conforme
comentado anteriormente.
49
Na equação (3.42),
Ω
é a velocidade de rotação do sistema e {f
1
}, {f
2
} são os momentos
produzidos pelas massas desbalanceadas nos nós correspondentes. Conseqüentemente, a
solução do sistema é dada como:
{
}
{
}
(
)
{
}
(
)
ttsenQ
⋅
Ω
⋅
∆
+
⋅
Ω
⋅
∆
=
cos
21
(3.43)
separando os termos associados a sen(
Ω
·t) e cos(
Ω
·t), é obtida a equação (3.44).
{
}
{ }
{
}
{ }
=
∆
∆
⋅
Ω⋅
Ω⋅−
2
1
2
1
f
f
BA
AB
(3.44)
Assim, conhecendo os desbalanceamentos e suas respectivas posições angulares é
possível determinar o vetor de deslocamentos do sistema para cada valor de
Ω
(resposta ao
desbalanceamento).
Para a determinação das freqüências naturais do sistema e da velocidade limite de
estabilidade é necessário resolver o problema de autovalores do sistema livre. Nesse caso, trata-
se da solução não-trivial do seguinte sistema:
{
}
{
}
[
]
FVBVA ⋅⋅−=⋅
(3.45)
Para cada valor de
Ω
são determinadas as freqüências naturais correspondentes contidas
na matriz [F], sendo que estas freqüências permitem traçar o chamado diagrama de Campbell e
obter as velocidades críticas. A velocidade limite de estabilidade, por definição, tem a ver com o
valor de
Ω
para o qual as partes reais dos autovalores complexos deixam de ser todas negativas.
(ii) Modelagem de um Sistema Rotativo com Apoios Viscoelásticos Translacionais usando o
modelo do módulo complexo:
A partir do modelo baseado no módulo complexo é possível introduzir o efeito viscoelástico
devido à ação dos apoios translacionais de forma mais simples que no caso anterior. Desta feita,
escreve-se a equação do modelo completo do rotor com a adição do amortecimento viscoelástico
diretamente na equação (3.46).
50
(
)
(
)
[
]
TTvTTT
FqKKqCqM =⋅++⋅+⋅
ωω
*
&&&
(3.46)
Sendo que
*
Tv
K é a matriz devida ao efeito viscoelástico dos absorvedores localizados nos
suportes. Esta matriz é construída de acordo com a seguinte equação:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
VKiKVKiKK
vv
T
TvTvTv
⋅⋅+⋅=⋅+=
ωωωωω
''''''*
(3.47)
onde V é um vetor com um número de elementos igual ao número de coordenadas generalizadas
do modelo do sistema rotativo, sendo que os valores associados aos deslocamentos nas posições
dos absorvedores são iguais a um e os valores restantes são nulos.
'
v
K e
''
v
K são as partes real e
imaginária, respectivamente, da rigidez complexa do material (equação 3.33).
De forma semelhante à equação (3.42), no caso da consideração de forças de
desbalanceamento, a equação (3.46) pode ser escrita da seguinte forma:
(
)
(
)
[
]
{
}
(
)
{
}
(
)
tftfqKKqCqM
TvTTT
⋅⋅+⋅⋅=⋅++⋅+⋅
ΩΩΩΩ
cossin
21
*
&&&
(3.48)
sendo
Ω
a freqüência de giro do rotor.
E, conforme procedimento adotado no caso anterior, a solução da equação é dada por:
{
}
(
)
{
}
(
)
ttsenq
⋅
Ω
⋅
∆
+
⋅
Ω
⋅
∆
=
cos
21
(3.49)
Depois de escrever as funções seno e coseno conforme as expressões de Euler, e
separando as partes real e imaginária, é possível escrever a equação (3.50).
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
{
}
{ }
=
⋅
⋅−++⋅
−⋅−⋅−+
2
1
2
1
2'''
''2'
f
f
MKKKC
KCMKK
TTvTTvT
TvTTTvT
∆
∆
ΩΩΩΩΩ
ΩΩΩΩΩ
(3.50)
A partir desta equação pode-se determinar o vetor de deslocamentos do sistema para cada valor
de
Ω
(resposta ao desbalanceamento), conhecidos os desbalanceamentos e suas respectivas
posições angulares.
CAPÍTULO 4
IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS DINÂMICOS DOS MODELOS
Neste capítulo é apresentado o procedimento adotado para a identificação e ajuste dos
parâmetros dinâmicos dos modelos do rotor flexível e dos absorvedores viscoelásticos. Os
modelos desenvolvidos são baseados nas considerações e desenvolvimentos feitos nos capítulos
anteriores. No caso do rotor flexível são caracterizadas e ajustadas as constantes de massa
concentrada, rigidez e amortecimento viscoso concentrados nos mancais e no acoplamento com o
motor. Adicionalmente, a resposta do rotor em repouso é ajustada ao modelo matemático usando
uma matriz de amortecimento modal. Posteriormente, usando a resposta ao desbalanceamento do
rotor é identificado o desbalanceamento residual (devido à alta flexibilidade do rotor usado para a
realização dos testes experimentais foi necessária a realização de um balanceamento prévio do
sistema usando o procedimento apresentado em Saldarriaga et al, 2007).
No caso dos absorvedores viscoelásticos foi identificada a rigidez complexa do absorvedor
(considerando o modulo complexo do material, conforme discutido no capítulo 2), ou seja, foram
determinados o módulo de armazenamento e o fator de perda. A identificação, à semelhança do
procedimento empregado para o caso do rotor flexível, foi feita a partir da solução de um problema
inverso onde os parâmetros dinâmicos do absorvedor viscoelásticos são ajustados através da
comparação do modelo matemático com os resultados dos testes experimentais. Na seqüência
deste trabalho tem-se um detalhamento do procedimento utilizado para tratar dos dois problemas
de identificação acima mencionados.
4.1. IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS DINÂMICOS DO ROTOR FLEXÍVEL
O processo de identificação e ajuste do modelo do rotor flexível pode ser dividido em três
etapas. Na primeira, foi selecionado o modelo apropriado, levando em consideração as variáveis
envolvidas, os pontos de medição e excitação escolhidos na bancada e a faixa de freqüências
analisada. Em uma segunda etapa foram ajustados os parâmetros dinâmicos do rotor para o caso
em repouso (rotor parado). Posteriormente, na última etapa, foi identificado o desbalanceamento
do sistema rotativo através da comparação da resposta ao desbalanceamento medida
experimentalmente com os resultados obtidos através do modelo atualizado na etapa anterior.
52
4.1.1 Modelo do Sistema Rotativo
O rotor flexível foi modelado de acordo com os procedimentos apresentados no capítulo
anterior. Foram usados cinco elementos de eixo e três elementos de disco rígido, conforme a
geometria do sistema apresentada na figura 4.1. O sistema mancais-suportes do rotor é modelado
da forma clássica, ou seja, considera-se um sistema de dois graus de liberdade relacionados com
o deslocamento nas direções ortogonais transversais ao eixo do rotor e, para incluir a resposta
dinâmica dos suportes no modelo matemático-computacional do sistema, são usados coeficientes
de amortecimento e de rigidez constantes. De acordo com o que foi observado nos testes
experimentais, a resposta devido a uma excitação produzida na direção transversal àquela em que
é feita a medição é desprezível. Em assim sendo, para efeitos de simplificação do modelo e devido
à pouca influência observada para estes parâmetros, não foram considerados os termos cruzados
nas matrizes de amortecimento e rigidez dos mancais. O acoplamento entre o eixo do rotor e o
motor foi modelado de maneira similar aos suportes, considerando, porém, a simetria das matrizes
de massa e rigidez elementares.
Figura 4.1 – Elementos constitutivos do modelo do rotor flexível (dimensões em metros)
53
4.1.2 Ajuste dos Parâmetros Dinâmicos do Rotor em Repouso (parado)
Com o objetivo de determinar e ajustar os parâmetros de massa, rigidez e amortecimento
do sistema foi implementado um procedimento de otimização para resolver o problema inverso
associado. Foi então considerada a expressiva quantidade de informação que existe na literatura
acerca do problema de identificação de parâmetros dinâmicos dos suportes em modelos de
máquinas rotativas. Observa-se que na maioria dos casos considerados, os métodos são restritos
a condições especificas, tais como geometria simples dos elementos de eixo e simetria do sistema
rotativo. Estes aspectos dificultam a aplicação de vários dos métodos comumente utilizados em
situações práticas, nas quais os sistemas rotativos apresentam resposta dinâmica bastante
complexa devido a seu comportamento flexível (rotores mais leves) e assimetria dos mancais,
conforme encontrados nas máquinas rotativas de grande desempenho.
Assis e Steffen (2003) e De Santiago e San Andres (2003) apresentaram procedimentos
para a identificação de parâmetros de mancais de rotores flexíveis bi-apoiados usando a resposta
ao desbalanceamento como referência. Assis e Steffen consideram que os parâmetros dinâmicos
são iguais para ambos os mancais localizados nos extremos do rotor; o processo de identificação
é desenvolvido usando métodos de otimização pseudo-heurísticos considerando uma única
distribuição de massas de desbalanceamento do rotor. Por outro lado, De Santiago e San Andrés
consideram o rotor como sendo suportado por suportes com características diferentes, os quais
são modelados como sistemas complexos compostos por estruturas elásticas em série com
mancais hidrodinâmicos e amortecedores de filme fluido. Estes sistemas foram identificados e
ajustados a partir das respostas ao desbalanceamento usando duas configurações diferentes de
massas de desbalanceamento conhecidas. Em ambos os casos foram desconsiderados os termos
cruzados nas matrizes elementares dos mancais.
Uma perspectiva diferente é adotada por outros pesquisadores, onde as características dos
suportes são determinadas a partir da comparação entre funções de resposta em freqüência
(FRF’s) analíticas e experimentais (De Santiago e San Andrés, 2003; San Andrés e De Santiago,
2004), para casos onde não se observa dependência entre a resposta dinâmica dos suportes e a
velocidade de rotação do rotor. As FRF’s experimentais contem implicitamente a influência das
propriedades dinâmicas dos suportes. Assim, é possível determinar os parâmetros desconhecidos
a partir das FRF’s obtidas analiticamente considerando um modelo previamente estabelecido. A
54
vantagem significativa do uso das FRF’s para a identificação dos parâmetros dos suportes é que
esta pode ser feita sem o conhecimento da distribuição do desbalanceamento no rotor.
Em condições de laboratório é possível o uso de dois tipos de fontes de excitação para a
obtenção das FRF’s, a saber, o excitador eletrodinâmico de vibração (shaker) e o martelo de
impacto. De uma forma geral o shaker tem a desvantagem de precisar de condições particulares
de montagem e condução dos testes que podem oferecer algumas dificuldades, influindo
decisivamente no sucesso dos ensaios. Cabe inclusive salientar que, em vários casos, tais
condições restringem ou até mesmo impedem sua aplicação em situações reais. Por outro lado, o
shaker oferece também vantagens em relação ao martelo de impacto, ao serem considerados
aspectos como repetibilidade dos ensaios, qualidade da identificação em altas freqüências,
facilidade de implementação dos testes, etc. Não obstante, Nicholas et al (1986), observaram que
os resultados da identificação não mostraram diferenças significativas usando as duas técnicas
acima quando a análise era feita numa faixa de baixas freqüências (inferiores a 200 Hz).
Neste trabalho optou-se por utilizar um martelo de impacto para obter as respostas
dinâmicas do sistema para posterior identificação das características dinâmicas dos suportes e do
acoplamento flexível do motor. Consequentemente, os parâmetros dinâmicos são determinados e
ajustados a partir da comparação entre as FRF’s experimentais e teóricas. As FRF’s são obtidas
nas duas direções ortogonais do rotor, excitando e medindo a resposta dinâmica nas posições dos
suportes. A excitação foi produzida usando um martelo de impacto, considerando que o interesse
se restringe às baixas freqüências. As vibrações resultantes são medidas usando acelerômetros
piezelétricos. A relação entre a vibração medida com os acelerômetros e a força de excitação
produzida pelo martelo é conhecida como receptância e pode ser calculada através do modelo
matemático usando a equação (4.1).
( )
( )
( )
2
2
T
T T T
i
ω
ω
ω ω ω
− ⋅
=
− ⋅ + ⋅ ⋅
F
Dr
K M C
(4.1)
onde
(
)
j
ω
Dr é o vetor de receptância complexa, onde cada elemento deste vetor é associado a
um ponto nodal do modelo, sendo seu valor calculado para a freqüência
j
ω
.
T
F representa o
vetor das forças de excitação aplicadas sobre o sistema. Uma ilustração deste procedimento é
apresentada na figura (4.2).
55
A faixa de freqüência de interesse para o processo de identificação está entre 2 Hz e 25
Hz. Nesta faixa estão incluídas quatro freqüências naturais de corpo rígido e duas freqüências
associadas à flexão do eixo do rotor. No processo de ajuste dos parâmetros foi utilizado um
procedimento de otimização baseado em algoritmos genéticos. Entretanto, devido ao grande
número de variáveis a serem identificadas e a complexidade da função objetivo, foi necessária a
separação do processo de otimização em várias etapas, conforme descrito abaixo:
(i). O modelo analítico foi reduzido com o objetivo de diminuir o tempo gasto na avaliação da função
objetivo. Com este objetivo, se usou o método pseudo-modal (Steffen e Lepore, 1983) para
restringir o modelo às freqüências de interesse. Obviamente se considerou que o modelo
reduzido representa satisfatoriamente o sistema em estudo na faixa de freqüências considerada.
(ii). Ao se considerar o modelo analítico foi observado que a posição das freqüências naturais não é
alterada significativamente pelo efeito do amortecimento. Por este motivo, foi inicialmente
construída uma função objetivo com os parâmetros relacionados com a massa e a rigidez como
variáveis de projeto. A função objetivo é escrita como sendo a diferença quadrática entre os
valores experimentais e analíticos das freqüências naturais. Experimentalmente foi observado
nos mancais que o efeito devido ao acoplamento das forças nas direções ortogonais pode ser
desprezado. Por este motivo foram consideradas duas simplificações: a) não foram considerados
os termos cruzados nos coeficientes de força que compõem as matrizes elementares dos
mancais; b) o processo de otimização foi desenvolvido de maneira independente nas duas
direções ortogonais. A função objetivo utilizada é representada pela equação (4.2).
( )
( )
2
experimetal model
( ) 1 2 1 2
1 1 2 1 2
experimetal 2
1
, , ,
, , ,
( )
n
i a i j j j j
j j j j j
i
i
Fn Fn k k m m
F k k m m
Fn
=
−
=
∑
(4.2)
onde
j
F
1
é a função objetivo usada para o ajuste das freqüências naturais relacionadas com os
modos de vibração que aparecem na direção j. O vetor
model
a
Fn contém as freqüências naturais
calculadas para o modelo analítico do rotor, as quais são associadas às freqüências naturais
determinadas experimentalmente e formam o vetor
alexperiment
a
Fn . Os parâmetros
j
k
1
,
j
k
2
,
j
m
1
,
j
m
2
são os coeficientes de massa e rigidez na direção j nas posições dos mancais (mancal 1 e 2,
de acordo com a figura 4.2). As freqüências naturais podem ser calculadas analiticamente
56
através da solução do problema de autovalores para a forma homogênea da equação (4.1). Para
tanto, basta determinar a solução não trivial da equação (4.3).
{ } { }
T T
v v f
⋅ = ⋅ ⋅K M
(4.3)
onde
{
}
v contem os autovetores do problema, enquanto que
f
é uma matriz diagonal
contendo as freqüências naturais.
(iii). Concluída a determinação dos coeficientes de massa e rigidez, usa-se uma nova função
objetivo, considerando agora o amortecimento devido aos apoios e o amortecimento modal como
sendo as variáveis de projeto. A função objetivo é escrita de acordo com a diferença entre as
receptâncias experimentais e analíticas, estas ponderadas pela coerência calculada com base
nos resultados experimentais, conforme a equação (4.4).
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
experimental analytical
gh gh
2 gh
1 1 1
,
n
j j
j j i j j i
g h i
F D Dr Dr i D Co
ω ω ω
= = =
= − ⋅
∑ ∑ ∑
(4.4)
onde
j
D é o vetor contendo os coeficientes de amortecimento (coeficientes dos mancais e
coeficientes de amortecimento modais):
1 2 1 2 3
j j j j j j
D D D Dm Dm Dm
=
(4.5)
os sub-índices g e h correspondem aos pontos de excitação e medição da resposta dinâmica,
respectivamente. O valor da receptância pode ser calculado para cada freqüência de interesse
usando a equação (4.1).
57
Figura 4.2 – Esquema do procedimento experimental usado na identificação do rotor.
4.1.3 Determinação das forças de desbalanceamento – Sistema giroscópico
Depois do ajuste dos coeficientes de massa, rigidez e amortecimento, é possível atualizar o
modelo com o intuito de determinar a distribuição das forças de desbalanceamento. O
procedimento seguido é similar ao apresentado por Saldarriaga et al (2006b). Assim, de forma
semelhante à utilizada para a identificação do rotor sem rotação baseia-se na solução de um
problema inverso, onde a resposta ao desbalanceamento medida experimentalmente é comparada
com aquela que foi calculada através do modelo analítico. As variáveis de projeto (massas e
ângulos de desbalanceamento), a serem instaladas nos planos de correção, são determinadas
usando um procedimento de otimização baseado nos Algoritmos Genéticos. De maneira geral o
procedimento é esquematicamente ilustrado na figura (4.3).
58
Figura 4.3 – Procedimento computacional para identificação e correção do desbalanceamento
4.2. IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS DINÂMICOS DOS ABSORVEDORES DE
VIBRAÇÃO VISCOELÁSTICOS
O procedimento usado para a identificação dos parâmetros dinâmicos dos absorvedores
viscoelásticos pode ser classificado como um ensaio sub-ressonante, conforme a classificação
apresentada anteriormente, na seção (2.3.2.). Os ensaios realizados permitiram a determinação da
rigidez complexa do absorvedor. A partir da rigidez complexa é possível determinar o módulo
complexo, e conseqüentemente, tanto o fator de perda como o módulo de armazenamento.
Para a identificação das características viscoelásticas dos absorvedores é usado um
sistema de um grau de liberdade (para assegurar o movimento em um único modo de vibração) o
59
qual é conectado em serie com o absorvedor viscoelástico e com um atuador eletrodinâmico
(shaker). De forma que é possível medir a força aplicada pelo atuador através de um transdutor de
força, enquanto são monitoradas as vibrações resultantes na mesa inercial usando acelerômetros.
Um esquema ilustrativo da dinâmica do sistema implementado para a avaliação dos absorvedores
é apresentado na figura (4.4).
Figura 4.4 – Esquema dinâmico de um sistema de um grau de liberdade em serie com um
absorvedor viscoelástico.
A equação que representa o comportamento dinâmico do sistema é a seguinte:
( )
v
M x C x K K x F
⋅ + ⋅ + + ⋅ =
&& &
(4.6)
onde M, C e K são os parâmetros de massa, rigidez e amortecimento do sistema de um grau de
liberdade e K
v
é a rigidez complexa do absorvedor viscoelástico.
Considerando que os parâmetros do sistema de um grau de liberdade são conhecidos, é
possível a determinação das partes real e imaginaria da rigidez complexa do absorvedor usando
as equações (4.7) e (4.8).
(
)
(
)
2real real
v
K M K S
ω ω ω
= ⋅ − − (4.7)
(
)
(
)
(
)
imag imag
v
K S C
ω ω ω
= − + ⋅
(4.8)
60
onde:
(
)
(
)
(
)
* real imag
S S i S
ω ω ω
= + ⋅
Considera-se que
*
S
é a rigidez dinâmica do sistema, sendo esta o inverso da receptância, sendo
que está é obtida a partir da relação entre os valores complexos do deslocamento e da força. A
rigidez dinâmica é calculada a partir da acelerância, usando a equação (4.9).
( )
(
)
(
)
( ) ( )
* 2
2 2
r i
v i
R i R
S
R R
ω ω
ω ω
ω ω
− ⋅
= ⋅
+
(4.9)
Usando agora as equações (4.6), (4.7) e (4.8) é possível determinar o fator de perda,
através da equação (4.10).
( )
(
)
( )
2
real
imag
K S M
S C
ω ω
η ω
ω ω
+ − ⋅
=
+ ⋅
(4.10)
Finalmente, o módulo complexo do material pode ser determinado, uma vez conhecida a rigidez
complexa do absorvedor, através do fator de forma, de acordo com a equação (2.8).
CAPÍTULO 5
RESULTADOS
Neste capítulo são apresentados os resultados experimentais da identificação dos
parâmetros dinâmicos da bancada de rotores flexíveis e dos absorvedores viscoelásticos.
Adicionalmente, apresentam-se os resultados experimentais obtidos da aplicação dos
absorvedores nos apoios do rotor, comparados com o previsto pelos modelos matemáticos. Tudo
isto com o intuito de avaliar o procedimento proposto para a aplicação de absorvedores
viscoelásticos para o melhoramento da resposta dinâmica de rotores flexíveis mediante o uso de
absorvedores viscoelásticos.
Para a identificação das propriedades viscoelásticas dos amortecedores e do rotor flexível
foram usados os procedimentos apresentados no capitulo anterior. Na seqüência são
apresentados os resultados para cada caso.
5.1. IDENTIFICAÇÃO DA BANCADA DE ROTOR FLEXÍVEL
O rotor usado nos testes experimentais e sobre o qual foi desenvolvido o processo de
identificação é apresentado na figura (5.1a). Trata-se de um rotor vertical suportado nas
extremidades por apoios flexíveis. O eixo do rotor é de aço (1280 mm de comprimento) com seção
uniforme (seção transversal com diâmetro de 17 mm). Ao longo do rotor são instalados três discos
rígidos, cujos raios geométricos são iguais a 100 mm, 60 mm e 75 mm, respectivamente, quando
observados a partir do mancal inferior. A figura (5.1b) ilustra as dimensões do sistema. O
acionamento do rotor é obtido através de um acoplamento flexível, que recebe torque proveniente
de um motor elétrico de potência igual a 2,00 HP, cuja velocidade de rotação pode ser controlada
continuamente entre 0 e 7200 rpm por meio de um inversor de freqüência.
62
a) b)
Figura 5.1 – a) Bancada do Rotor Flexível; b) Dimensões do Rotor
As medidas usadas para a identificação dos parâmetros do rotor sem rotação são aquelas
provenientes dos acelerômetros localizados na posição dos mancais. Desta forma, foram usados
quatro acelerômetros, dois em cada mancal, localizados nas duas direções ortogonais transversais
ao eixo. Para o caso da identificação do desbalanceamento foram usadas, adicionalmente, as
leituras de dois sensores de deslocamento posicionados à altura do disco superior, também
instalados segundo as duas direções ortogonais transversais ao eixo. Para o uso correto destes
sensores, foi necessário proceder à identificação do erro de medição que resulta da não-
uniformidade na condução elétrica e na permeabilidade magnética (runout elétrico) e de
imperfeições na circularidade e no acabamento (runout mecânico) da superfície de medição. A
velocidade de rotação do motor foi monitorada usando um tacômetro HP 35658A, combinado com
um encoder ótico instalado na parte inferior do eixo.
As medições são adquiridas através de um sistema de aquisição de dados conectado a um
computador Pentium III 900 MHz. O sistema de aquisição consiste do seguinte: um tacômetro HP
35658A, um módulo oito canais de dados de entrada HP 35655A, e um controlador HP 35654B,
que permite o interfaceamento e o processamento dos sinais. A comunicação entre o sistema de
63
aquisição e o computador é realizada através de uma placa PCI-GPIB (fornecida pela National
Instruments). O processo de aquisição de dados é conduzido usando o aplicativo HP3566A/67A
que facilita a aquisição, a apresentação e a análise das leituras dos sensores.
5.1.1 Resultados da Identificação
Nas figuras (5.2) e (5.3) são apresentadas as funções de receptância segundo as direções
x e z respectivamente, calculadas a partir do modelo ajustado e a estimada a partir das leituras
dos sensores de força e vibração. Pode ser observado que os resultados do processo de
identificação são satisfatórios. Observam-se diferentes freqüências naturais nas direções
ortogonais devido à assimetria dos suportes do rotor. Experimentalmente, foi observado que as
duas primeiras freqüências naturais em cada direção são relacionadas com os deslocamentos nas
posições dos mancais (modos de corpo rígido), sendo que as demais freqüências correspondem
aos modos de flexão do eixo. O procedimento implementado demonstrou um bom desempenho no
ajuste das freqüências naturais a partir do modelo, o que se traduz numa precisão satisfatória
associada à determinação dos parâmetros de massa e rigidez. Não obstante, a estimação dos
fatores de amortecimento, conforme esperado, apresentou maiores dificuldades, resultando em um
ajuste pobre em alguns dos resultados observados.
64
Figura 5.2 – Comparação entre os valores experimentais e analiticamente calculados da
receptância na direção x
65
Figura 5.3 – Comparação entre os valores experimentais e analiticamente calculados da
receptância na direção z
Para identificação do desbalanceamento, foram coletados dados da resposta ao
desbalanceamento para seis velocidades de rotação distintas: 3,6; 5,7; 7,2; 16,4; 18,1 e 19,1 Hz. A
partir destes dados experimentais foi determinado um conjunto de massas de desbalanceamento
que correspondem adequadamente ao comportamento experimental do sistema quando utilizadas
no modelo analítico. Os pontos foram escolhidos perto das velocidades críticas, levando em
consideração que nestas zonas se observa a maior influência dos parâmetros associados ao
desbalanceamento. Foram utilizados três planos de desbalanceamento, estes coincidentes com as
posições dos discos. Na figura (5.4) é apresentada uma comparação entre os dados experimentais
e aqueles obtidos através do modelo para os deslocamentos medidos no disco superior com os
sensores de proximidade, tendo tal modelo sido ajustado a partir do conjunto de massas de
desbalanceamento determinadas pelo processo de otimização.
66
Figura 5.4 – Resposta ao desbalanceamento medida no disco superior, sendo que os pontos
amarelos caracterizam as velocidades escolhidas para a identificação dos parâmetros do rotor
Nas tabelas 5.1, 5.2 e 5.3 são apresentados os parâmetros do rotor identificados.
Tabela 5.1 – Desbalanceamento
Plano de Balanceamento
1
2
3
Massa [gr]
6,308 27,176 25,122
Posição angular
133,87
258,47
74,44
Desbalanceamento
67
Tabela 5.2 – Parâmetros dinâmicos dos mancais e do acoplamento identificados
X
Z
Rigidez Concentrada [N/m] 9651,13 7212,52
Amortecimento Concentrado [N·s/m] 0,96 0
Massa Concentrada [kg] 7,87 12,06
Rigidez Concentrada [N/m] 7222,96 19559,6
Amortecimento Concentrado [N·s/m] 0,96 0
Massa Concentrada [kg] 3,71 5,6
601,85 601,85
0,7
0,7
Parâmetros dos Mancais
Parâmetros do Acoplamento
Direção
Rigidez Concentrada [N/m]
Mancal
Superior
Mancal
Inferior
Massa Concentrada [kg]
Tabela 5.3 – Amortecimento modal
Modo
1
2
3
4
5
6
Amortecimento Modal
0,3 0 0 0,1 2 1
Fator de Amortecimento Modal
A partir dos parâmetros determinados para o modelo do rotor é possível calcular o diagrama de
Campbell (Figura 5.5), o que permite identificar as velocidades críticas do sistema. Do diagrama
são identificáveis seis velocidades críticas na faixa de freqüência analisada. As quatro primeiras
velocidades críticas são relacionadas com modos de corpo rígido do rotor, sendo dependentes da
flexibilidade dos apoios. As duas últimas são relacionadas com os dois primeiros modos flexíveis
do rotor, neste caso é evidente a influência do efeito giroscópico, observando a tendência à
separação entre estas duas freqüências naturais na medida em que aumenta a velocidade de
rotação da máquina. As velocidades críticas determinadas são apresentadas na tabela 5.4.
Tabela 5.4 – Velocidades Críticas do Rotor
Velocidade
Crítica
RPM
1 210
2 255,6
3 327,7
4 431,2
5 1076
6 1167
68
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
0
5
10
15
RP M
F reqüencias (Hz)
DIAGRAMA DE CAMPBELL
Rotor sem Absorvedores Viscoelásticos
Velocidades Críticas
Figura 5.5 – Diagrama de Campbell determinado a partir dos parâmetros identificados.
5.2. IDENTIFICAÇÃO DOS ABSORVEDORES VISCOELÁSTICOS
O projeto dos absorvedores viscoelásticos foi baseado no modelo proposto por Mahmoodi
(1969), sendo que esta proposta foi desenvolvida inicialmente visando aplicações de engenharia
civil. Posteriormente outros autores (Shen e Soong, 1995; Park, 2001, etc.) estudaram a aplicação
de absorvedores viscoelásticos com características construtivas similares. O absorvedor consiste
num par de cubos de material viscoelástico colados a lâminas rígidas de forma que permitam o
deslocamento da lâmina central. O objetivo é que o movimento da lâmina central seja limitado pela
rigidez das seções viscoelásticas. Este modelo foi escolhido porque permite realizar uma
identificação dos absorvedores, independentemente do sistema composto pela bancada de rotores
flexíveis, além de oferecer facilidades para a modificação das partes viscoelásticas sem maiores
dificuldades. Outros aspectos que favoreceram a escolha deste modelo foram: a forma como o
material escolhido para os testes é fornecido comercialmente (em cubos), e as mínimas
modificações necessárias de serem introduzidas na bancada de rotores flexíveis disponível no
Laboratório de Sistemas Mecânicos da FEMEC. Idealmente, um sistema com tais características
pode ter o mesmo comportamento que um conjunto de anéis viscoelásticos, considerando que,
teoricamente, a matriz de rigidez de um sistema de anéis viscoelásticos não inclui termos cruzados
(Saldarriaga e Steffen, 2004).
Na figura (5.6a) se apresenta uma figura esquemática do absorvedor viscoelástico e, na
figura (5.6b), são apresentadas as dimensões dos absorvedores estudados. Na figura (5.7) são
69
apresentadas as duas configurações submetidas a ensaios. O material viscoelástico usado para a
construção dos absorvedores é o Sorbothane Duro 50 (Sorbothane, Inc. Kent, OH, 2005). No
apêndice C são apresentadas as propriedades do material, de acordo com o catálogo do
fornecedor.
Neste estudo empregaram-se quatro absorvedores, com diferentes geometrias, colocados
nos suportes do rotor, nas direções transversais ao eixo. Inicialmente o procedimento foi aplicado
sobre dois absorvedores ajustados para reduzir ao mínimo o efeito de pre-deformações e limitar o
movimento das peças viscoelásticas de forma que a ação da força excitadora produza um estado
de deformações o mais aproximado possível a um cisalhamento puro nos cubos viscoelásticos.
Posteriormente, foram ensaiados os quatro absorvedores usados na montagem experimental na
bancada de rotores flexíveis. Para a adequação dos absorvedores viscoelásticos nos apoios do
rotor foi necessária uma configuração diferente à utilizada nos primeiros ensaios, o que restringia o
controle sobre as pre-deformações e a direção da força aplicada, pelo que a resposta dinâmica
exibiu características diferentes em cada caso.
Figura 5.6 – a) Absorvedor Viscoelástico b) Geometria dos Absorvedores
Configuraçao No. L b h
Posiçao
no Rotor
1 60
2
31
1 60
Superior X
2 31
Superior Z
3 50
Inferior X
4
50
Inferior Z
1
2
Dimensões dos Absorvedores Viscoelásticos
12,7
12,725
25
70
Figura 5.7 – a) Configuração Inicial b) Configuração nos apoios do rotor
5.2.1. Bancada de identificação dos absorvedores Viscoelásticos
A bancada de ensaios, utilizada com o intuito de identificar a rigidez complexa do
absorvedor, é constituída por uma mesa vibratória de um grau de liberdade acoplada a um
excitador eletrodinâmico de vibração (figura 5.8). O sistema da mesa vibratória é usado para
restringir o movimento do absorvedor em uma única direção. O sistema foi projetado levando em
consideração as características dinâmicas dos absorvedores estudados, de forma que a faixa de
freqüências de análise não estivesse longe da freqüência natural do sistema. Desta forma, é
possível obter uma melhor qualidade nos dados adquiridos. Sabe-se que é possível identificar com
maior precisão os parâmetros relacionados com o amortecimento (principalmente o fator de perda)
em faixas de freqüências próximas das freqüências naturais, onde estes parâmetros exercem
maior influência. A resposta dinâmica do sistema é medida usando um acelerômetro piezelétrico,
sendo que a excitação produzida pelo excitador de vibração é medida por meio de um transdutor
de força. Um analisador de sinais modelo SD380 foi usado para a aquisição e análise dos dados
experimentais.
71
Figura 5.8 – Bancada de testes experimentais usada na identificação do absorvedor
5.2.2 Resultados da identificação
(i). Primeira configuração
Na figura (5.9) é apresentada a função de resposta em freqüência dos absorvedores. Na
figura (5.10) é apresentada a função coerência correspondente aos dados adquiridos. Como é
evidente, a introdução dos absorvedores atuando em série com o sistema de um grau de liberdade
produz uma redução na resposta vibratória, juntamente com certo aumento na rigidez do conjunto,
o que pode ser constatado pelo aumento da freqüência de ressonância.
72
a)
b)
Figura 5.9 – Acelerância medida para os casos com e sem os absorvedores: a) Amplitude; b) fase.
5
10
15
20
25
30
35
40
45
10
-
1
10
0
10
1
Sistema de 1
-
DOF sem absorvedor
-
1
10
15
20
25
30
35
40
45
-
20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Freqüència [Hz]
Angulo [
o
]
Resposta em Freqüência - Fase
Sistema de 1
-
DOF com absorvedor (
L=31 mm)
Sistema de 1
-
DOF com absorvedor (L=60 mm)
Sistema de 1
-
DOF sem absorvedor
Freqüência (
Hz)
Acelerância [Kg ]
Resposta em Freqüência (Amplitude)
Sistema de 1
-
DOF com absorvedor (L=31 mm)
Sistema de 1
-
DOF com absorvedor (L=60 mm)
73
Sistema de 1-DOF com absorvedor (L=31 mm)
5 10 15 20 25 30 35 40 45
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
F reqüência
Coêrencia
Resposta em Freqüência (Coêrencia)
S is tema 1-DOF com abs orvedor (L=31mm)
S is tema 1-DOF com abs orvedor (L=60mm)
Figura 5.10 – Coerência da Acelerância medida no sistema com absorvedores
A partir da acelerância são calculados os parâmetros viscoelásticos seguindo a
metodologia apresentada na subseção anterior. Nas figuras (5.11) e (5.12) são apresentadas as
funções que caracterizam a dependência dos parâmetros viscoelásticos dos absorvedores em
relação à freqüência (parte real do módulo de rigidez e fator de perda). Estas duas funções
viscoelásticas têm seus valores experimentais comparados com as respostas analíticas obtidas
através de um modelo matemático-computacional do absorvedor, desenvolvido usando o método
dos elementos finitos por Saldarriaga et al (2006a), para os dois casos.
74
5 10 15 20 25 30 35 40 45
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
x 10
4
F reqüência (Hz)
Rigidez (N/m)
Parte Real da Rigidez do Absorvedor
Dados E xperimentais (Lm = 60 mm)
Dados E xperimentais (Lm = 31 mm)
Dados Calculados a partir do Modelo (Lm = 60 mm)
Dados Calculados a partir do Modelo (Lm = 31 mm)
Figura 5.11 – Parte real da rigidez dos absorvedores em função da freqüência.
5 10 15 20 25 30 35 40 45
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
F reqüência (Hz)
F ator de P erda
Fator de Perda do Absorvedor
Dados E xperimentais (Lm=31 mm)
Dados Calculados a partir do Modelo
Dados E xperimentais (Lm=60mm)
Figura 5.12 – Fator de perda dos absorvedores em função da freqüência.
Pode-se constatar que os resultados analíticos mostram-se próximos dos valores obtidos a
partir dos ensaios experimentais. Teoricamente, o fator de perda encontrado para os dois
absorvedores estudados deveria ser o mesmo, lembrando que esta variável é independente do
75
fator de forma (ver equação 4.10). Na figura (5.12) percebe-se que a diferença encontrada para
este resultado é bastante baixa nos absorvedores avaliados.
Tudo indica que a diferença entre os resultados experimentais e numéricos se deve às pré-
cargas aplicadas sobre as seções viscoelásticas, ou ainda a possíveis movimentos relativos entre
as peças (o modelo utilizado considera as peças como sendo rígidas). Outra fonte de erro tem a
ver com mudanças da temperatura no local onde foram realizados os testes experimentais (o
modelo analítico usado não considera o efeito da temperatura). Optou-se por esta simplificação
depois de se observar que a influência da temperatura no comportamento dinâmico do material
não era significativa na faixa de temperaturas registrada no local do experimento (entre 24ºC e
27ºC). Nestas condições o material ensaiado exibe um comportamento típico daquele observado
na região de borracha (ver figura 2.3), onde os efeitos das mudanças de temperatura não
aparecem significativamente na resposta dinâmica.
Finalmente, pode-se também observar nos resultados apresentados que existe incerteza
na determinação das propriedades viscoelásticas nas baixas freqüências, o que se deve ao
desempenho deficiente dos transdutores no processo de aquisição de dados nas freqüências
inferiores a 10 Hz, o que se traduz numa baixa coerência, como pode ser observado na figura
5.10.
(ii). Segunda Configuração
Foi necessária a realização de uma segunda serie de testes experimentais devido à
diferencia na configuração inicialmente testada e a adotada para sua aplicação nos apoios do rotor
flexível. Na segunda configuração é aplicada uma pre-deformação sob os cubos viscoelásticos, o
que incide sobre sua resposta dinâmica. Os quatro absorvedores foram testados usando o mesmo
sistema de um grau de liberdade utilizado nos testes da primeira configuração. Os parâmetros
viscoelásticos, determinados a partir das respostas dinâmicas resultantes são apresentados nas
figuras (5.13) e (5.14). Na figura (5.15) se observa a função de coerência dos dados adquiridos,
evidenciando uma boa coerência dos dados na região acima de 15 Hz.
76
10 15 20 25 30 35 40 45
6
7
8
9
10
11
12
x 10
5
F requencia [Hz]
Rigidez [N/m]
Parte Real da Rigidez dos Absorvedores
Abs orvedor Vis coelás tico No.1
Abs orvedor Vis coelás tico No. 2
Abs orvedor Vis coelás tico No. 3
Abs orvedor Vis coelás tico No. 4
Figura 5.13 – Parte Real da Rigidez dos Absorvedores Viscoelásticos (a numeração dos
absorvedores corresponde à tabela da figura 5.6b).
15 20 25 30 35 40 45
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
F reqüencia [Hz]
F ator de P erda
Fator de Perda dos Absorvedores Viscoelásticos
Abs orvedor Vis coelás tico No. 1
Abs orvedor Vis coelás tico No. 2
Abs orvedor Vis coelás tico No. 3
Abs orvedor Vis coelás tico No. 4
Figura 5.14 – Fator de Perda dos Absorvedores Viscoelásticos.
77
5 10 15 20 25 30 35 40 45
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Res pos ta em F reqüência (Coêrencia)
Freqüência [Hz]
Coerência
Abs orvedor vis coelas tico No. 1
Abs orvedor vis coelas tico No. 2
Abs orvedor vis coelas tico No. 3
Abs orvedor vis coelas tico No. 4
Figura 5.15 – Coerência dos dados adquiridos no sistema de 1-DOF com Absorvedores
Viscoelásticos.
Os resultados dos ensaios experimentais com a segunda configuração de absorvedores
apresentam grandes diferencias comparando-los aos resultados obtidos com a primeira
configuração. Desta forma é evidente a grande influencia que as pre-deformações têm no
comportamento dinâmico dos elementos viscoelásticos. Como era o esperado, as pre-
deformações provocaram um aumento na rigidez das peças viscoelásticas conjuntamente com
uma diminuição no fator de perda, o qual esta associado à capacidade do material de absorver
energia. A partir destes resultados, observa-se que em situações práticas é bastante difícil, e em
alguns casos pouco objetivo, restringir o carregamento sobre as seções viscoelásticas de forma
que sejam cumpridas as hipóteses propostas para o cálculo do fator de forma. Verificou-se que
pequenas variações das hipóteses de carregamento sobre os volumes viscoelásticos geram
grandes divergências com os resultados determinados analiticamente.
De forma geral, na segunda configuração se observa maior dificuldade para a
determinação do fator de perda. Isto se vê refletido numa maior dispersão dos dados
experimentais. Uma das causas deste inconveniente pode ser resultado do aumento da freqüência
natural do sistema devido ao aumento da rigidez do absorvedor pela introdução de pre–
deformações. Desta forma, a freqüência natural do sistema de um grau de liberdade em série com
78
o absorvedor fica fora da faixa de freqüências usadas na análise. O ideal seria que os parâmetros
viscoelásticos (e principalmente o fator de perda, que é diretamente relacionado com o
amortecimento introduzido, devido às características viscoelásticas do material) fossem
determinados nas vizinhanças das freqüências naturais do sistema, considerando que nesta região
do espectro são mais influentes os parâmetros relacionados com o amortecimento.
5.3. RESULTADOS DA APLICAÇÃO DOS ABSORVEDORES VISCOELÁSTICOS NOS
SUPORTES DO ROTOR
A partir dos resultados anteriores é possível construir o modelo matemático do rotor flexível
apoiado nos absorvedores viscoelásticos utilizando as propriedades determinadas nas seções
anteriores e o procedimento descrito no capítulo anterior. Na figura (5.14) é apresentado o
diagrama de Campbell do rotor com os absorvedores atuando na posição de seus suportes.
Observa-se um deslocamento nas freqüências naturais devido ao aumento na rigidez do sistema,
localizando-se as duas primeiras velocidades críticas do rotor em 800,8 e 823,5 RPM. De acordo
ao observado na resposta ao desbalanceamento medida no rotor e apresentada nas figuras (5.15)
e (5.16), obteve-se uma boa aproximação na determinação destas velocidades críticas, não
obstante a amplitude da resposta ao desbalanceamento calculada a partir do modelo difere
consideravelmente com a medida na bancada experimental.
500 1000 1500 2000
5
10
15
20
25
30
RP M
F reqüencias (Hz)
DIAGRAMA DE CAMPBELL
Rotor com absorvedores viscoelásticos
Velocidades Críticas
Figura 5.14 – Diagrama de Campbell construído em função dos parâmetros determinados na
identificação dos sistemas.
79
A grande diferencia entre a resposta ao Desbalanceamento calculada a partir do modelo e
a determinada experimentalmente esta relacionada com a construção do sistema de acionamento
dos absorvedores viscoelásticos. Para este propósito foi necessária a construção de umas rótulas
para limitar o funcionamento dos absorvedores numa única direção, as folgas necessárias para
permitir que estas rótulas funcionem com um mínimo de atrito introduziram não-linearidades no
sistema que não foram consideradas no modelo. È preciso ter em consideração que folgas da
ordem de 10
-4
m são suficientes introduzir este nível de alterações com relação ao modelo da
resposta obtida.
Em termos gerais se observa que a modelagem desenvolvida permite identificar
adequadamente as velocidades críticas, e a aplicação dos absorvedores viscoelásticos permitiu
diminuir consideravelmente o nível de vibrações inicialmente medido no sistema, não obstante a
presença de não-linearidades devido às rótulas usadas para o acionamento dos absorvedores.
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
-5
0
5
10
15
20
x 10
-4
Comparação entre as Respostas ao Desbalanceamento
antes e apos o Tratamento Viscoelastico no suportes
Direção X
RP M
Amplitude [m]
Resposta ao Desbalanceamento prevista pelo modelo
Resposta ao Desbalanceamento medida
Experimentalmente apos a adição dos absorvedores
Resposta ao Desbalanceamento Inicial
Velocidade Crítica identificada no Modelo
Figura 5.15 – Resposta ao Desbalanceamento medida no Rotor comparada à prevista pelo
modelo – Direção X.
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
x 10
-4
RP M
Amplitude [m]
Comparação entre as Respostas ao Desbalanceamento
antes e apos o Tratamento Viscoelastico no suportes
Direção Z
Resposta ao Desbalanceamento prevista pelo modelo
Resposta ao Desbalanceamento medida
Experimentalmente apos a adição dos absorvedores
Resposta ao Desbalanceamento Inicial
Velocidade Crítica identificada no Modelo
Figura 5.16 – Resposta ao Desbalanceamento medida no Rotor comparada à prevista pelo
modelo – Direção Z.
5.4. ANALISE DOS RESULTADOS
A partir dos resultados experimentais e de sua comparação com os resultados analíticos,
são apresentadas as seguintes conclusões:
(i). A implementação do procedimento para a determinação das características dinâmicas da
bancada de rotação mostrou-se eficiente no ajuste das freqüências naturais a partir do
modelo, as quais estão principalmente relacionadas com os parâmetros de massa e rigidez.
Para a estimação do amortecimento, o ajuste não foi satisfatório em alguns dos resultados
observados. A partir desta constatação surge a perspectiva de realizar trabalhos futuros
com vistas a buscar alternativas para construção e o ajuste das matrizes de amortecimento
de sistemas complexos, similares aos estudados nesta pesquisa.
Para determinação do desbalanceamento do rotor, foram identificadas as massas de
desbalanceamento e suas respectivas posições angulares, a partir da comparação entre a
resposta ao desbalanceamento medida no rotor e a estimada a partir do modelo do rotor
em repouso ajustado na etapa anterior. De forma geral o procedimento utilizado para o
81
ajuste dos parâmetros do rotor flexível mostrou-se eficiente e os resultados alcançados
estiveram conforme o esperado.
(ii). O procedimento implementado para a determinação das características viscoelásticas dos
absorvedores em função da freqüência de excitação mostrou bom desempenho na primeira
configuração ensaiada, onde foi evitada a existência de pre-deformações. Não obstante, na
configuração final do absorvedor foram observadas divergências com relação ao
determinado a partir do modelo. Como previsto, devido às pre-deformações presentes nos
elementos viscoelásticos, resulta um aumento na rigidez do absorvedor e uma diminuição
considerável em seu fator de perda, sendo necessárias pesquisas adicionais para o estudo
da relação que existe entre estes parâmetros e as pre-deformações dos elementos
viscoelásticos.
(iii). Foi observado que o uso de apoios translacionais não somente aumenta o amortecimento,
mas também a rigidez dos apoios, como se verificou com o deslocamento das primeiras
velocidades críticas para freqüências maiores. Por este motivo se faz necessária uma
escolha inteligente do dispositivo de dissipação para não comprometer a resposta
vibratória, considerando que a variação das velocidades críticas pode ter conseqüências
indesejáveis, dependendo da velocidade de operação da máquina.
(iv). Observou-se um bom desempenho do modelo do sistema composto pelo rotor flexível com
apoios viscoelásticos na identificação das velocidades críticas. Apesar disso, a resposta ao
desbalanceamento identificada não se mostrou próxima dos valores medidos
experimentalmente. Considera-se que a divergência destes valores com os dados
experimentais está relacionada com a construção do sistema de acionamento dos
absorvedores viscoelásticos. Para este propósito foi necessária a implementação de rótulas
para limitar o funcionamento dos absorvedores numa única direção. As folgas necessárias
para permitir que estas rótulas funcionem com um mínimo de atrito introduziram não-
linearidades no sistema que não foram consideradas no modelo.
(v). Em termos gerais, se observa que a modelagem desenvolvida permite identificar
adequadamente as velocidades críticas. Além disso, a utilização dos absorvedores
viscoelásticos permitiu diminuir consideravelmente o nível de vibração inicialmente medido
no sistema, não obstante a presença de não-linearidades devido às rótulas usadas para o
acionamento dos absorvedores.
(vi). Uma alternativa para a solução dos problemas apresentados pelo uso de rótulas é sua
substituição por elementos mais simples e de baixa rigidez lateral (e.g. tipo stiger como o
82
usado na montagem observada na figura 5.9 para o acionamento do excitador dinâmico
sob a mesa vibratória), o que solucionaria os problemas das folgas e simplificaria a
montagem dos absorvedores. Infelizmente não foi possível explorar essa alternativa no
presente trabalho.
CAPÍTULO 6
CONCLUSÕES
Neste trabalho foi investigada uma estratégia de controle passivo de vibrações aplicada a
máquinas rotativas flexíveis, mediante o uso de absorvedores de vibração contendo materiais
viscoelásticos. Com este objetivo, estudaram-se diversas alternativas (Saldarriaga e Steffen, 2004;
Saldarriaga e Steffen, 2006, Saldarriaga et al 2006a). Ao final, foi projetado um sistema de
absorvedores viscoelásticos baseado no modelo proposto por Mahmoodi (1969) para sua
aplicação nos suportes de um rotor flexível. A realização deste trabalho foi executada em duas
etapas: na primeira foram desenvolvidos modelos dos sistemas de absorção viscoelástica, e do
sistema rotor-mancais; posteriormente, foram unificados ambos os modelos em um único sistema
rotor-mancais-absorvedores viscoelásticos. Em uma segunda etapa foi projetado e executado um
procedimento para a identificação dos parâmetros viscoelásticos dos absorvedores e dos
parâmetros dinâmicos do sistema rotor-mancais, de maneira independente.
A partir dos resultados obtidos têm-se as seguintes conclusões das duas etapas mais
importantes cumpridas neste projeto de pesquisa.
6.1. MODELAGEM
Nesta tese são propostos modelos matemáticos que permitem a inclusão do efeito
viscoelástico no comportamento dinâmico de um sistema rotor-mancais, de forma que seja
possível otimizar as características do suporte, garantindo que as características do
comportamento dinâmico do sistema rotativo (respostas dinâmicas, velocidades críticas e
estabilidade) se enquadrem dentro de níveis aceitáveis.
Neste trabalho foram melhorados dois aspectos com relação aos estudos anteriores
incluídos na revisão bibliográfica, o primeiro foi que se teve em conta a modelagem e identificação
de um rotor flexível juntamente com o modelo dos elementos viscoelásticos, foi observado (sendo
isso uma das motivações para o inicio deste estudo) que as pesquisas revisadas concentram seu
trabalho na modelagem dos componentes viscoelásticos sem considerar a flexibilidade do rotor,
impedindo a determinação do comportamento dinâmico do sistema para os modos flexíveis do
84
rotor, o outro aspecto é que, a diferencia dos trabalhos anteriores onde é evidente a ausência de
resultados de ensaios experimentais como validação dos modelos propostos, neste trabalho é
desenvolvida uma metodologia experimental para corroborar os resultados obtidos dos modelos
analíticos. Dos anteriores trabalhos, unicamente Bormann e Gasch (2002) apresentaram um
estudo analítico-experimental do problema, sendo aplicado para um rotor rígido.
Nesta pesquisa foram considerados dois modelos viscoelásticos na abordagem do
problema: o modelo viscoelástico dos campos de deslocamento anelásticos (ADF) e o modelo do
modulo de rigidez complexo, sendo este simplificado considerando diretamente a rigidez complexa
dos absorvedores determinada experimentalmente, sem considerar o fator de forma. Isto devido às
dificuldades práticas na aplicação das cargas sobre os absorvedores nas condições ideais, o que
modifica consideravelmente a resposta dinâmica do absorvedor, comparada com a determinada
em função do fator de forma multiplicado pelo módulo complexo do material.
Na modelagem dos dispositivos viscoelásticos não foi considerada a temperatura como
uma variável dos parâmetros dinâmicos, isto porque se evidenciou pouca influencia desta,
considerando que todos os ensaios foram realizados em condições ambientais com variações de
menos de 2 graus centígrados. Adicionalmente, foram realizados testes experimentais
submetendo aos espécimes viscoelásticos à ação prolongada de cargas oscilatórias por varias
horas sem observar variações importantes no comportamento dinâmico dos absorvedores. De
acordo ao observado experimentalmente, a variável mais influente depois da freqüência de
oscilação da carga, mostrou ser a pre-deformação dos elementos viscoelásticos.
Por outro lado, o uso de variáveis complexas aumenta consideravelmente a ordem do
sistema, o que pode trazer complicações para o ajuste dos modelos o seu uso em ferramentas de
controle ativo, por esta razão se faz necessário procurar soluções que permitam a redução dos
modelos.
6.2. IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS DINÂMICOS
Considerando as características especiais da bancada de rotação disponível (elevada
flexibilidade e assimetria na resposta dinâmica dos mancais), foi implementado um procedimento
para a identificação de suas características dinâmicas, com o objetivo de ajustar o modelo
matemático do rotor flexível, o qual foi determinado usando o método dos elementos finitos.
O procedimento desenvolvido é dividido em duas etapas: na primeira, são ajustadas as
matrizes de rigidez e amortecimento a partir das funções de resposta em freqüência medidas nos
85
suportes do rotor; na segunda, é identificado o desbalanceamento a partir da resposta ao
desbalanceamento do sistema.
Os resultados da identificação mostraram um bom ajuste na determinação dos parâmetros
associados à massa e rigidez. Para a estimação do amortecimento, o ajuste não foi satisfatório em
alguns dos resultados observados. A partir desta constatação, surge a motivação para, em
trabalhos futuros, procurar alternativas para construção de novos absorvedores e para o ajuste das
matrizes de amortecimento de sistemas complexos, similares aos estudados nesta pesquisa.
Entretanto, de uma forma geral, o procedimento utilizado para o ajuste dos parâmetros do rotor
flexível mostrou-se eficiente e os resultados alcançados são considerados aceitáveis.
Adicionalmente, foi desenvolvido um procedimento para a determinação das características
viscoelásticas dos absorvedores em função da freqüência de excitação. Desta forma, chegou-se à
identificação da rigidez complexa do absorvedor e, conseqüentemente, de seu correspondente
fator de perda. Nos testes experimentais realizados foram consideradas duas configurações. Na
primeira, se evitava pre-deformação das seções viscoelásticas e o carregamento foi aplicado do
modo previsto pelo modelo analítico. Assim, foram obtidas respostas coerentes com os resultados
calculados a partir do modelo analítico do absorvedor, conforme apresentado por Saldarriaga et al
(2006a). Na segunda configuração, projetada para uso nos apoios do rotor, foram identificadas as
características viscoelásticas dos absorvedores que foram colocados posteriormente no rotor.
Neste caso, foram observadas divergências com relação aos valores determinados a partir do
modelo. Como previsto, devido às pre-deformações presentes nos elementos viscoelásticos,
observou-se um aumento na rigidez do absorvedor e uma diminuição considerável no fator de
perda, sendo necessárias pesquisas adicionais para o estudo da relação existente entre estes
parâmetros e as pre-deformações dos elementos viscoelásticos. Adicionalmente, nos testes
experimentais realizados foram observados os seguintes aspectos:
(i) Dificuldade para a determinação dos parâmetros viscoelásticos em baixas freqüências, o
que pode estar relacionado à perda da sensibilidade dos transdutores nas baixas
freqüências.
(ii) Maior dificuldade para a determinação do fator de perda para a segunda configuração dos
absorvedores. Isto se reflete numa maior dispersão dos dados experimentais. Uma das
causas deste inconveniente pode ter a ver com o efeito do aumento da freqüência natural
do sistema devido ao aumento da rigidez do absorvedor pela introdução de pre–
deformações. Desta forma, a freqüência natural do sistema de um grau de liberdade em
série com o absorvedor fica fora da faixa de freqüências usada na análise. O ideal é que os
86
parâmetros viscoelásticos (e principalmente o fator de perda, que está diretamente
relacionado com o amortecimento introduzido devido às características viscoelásticas do
material) sejam determinados nas vizinhanças das freqüências naturais do sistema,
considerando que nesta região são mais influentes os parâmetros relacionados com o
amortecimento.
A partir da comparação dos resultados analíticos e experimentais se observa um bom
ajuste das velocidades críticas. Apesar disso, se verificou um erro na determinação da resposta ao
desbalanceamento. Considera-se que a divergência destes valores se deve à alternativa de
projeto adotada na construção do sistema de acionamento dos absorvedores.
Por outro lado, foi confirmado que a aplicação dos absorvedores viscoelásticos permite
diminuir consideravelmente o nível de vibração inicialmente medido no sistema, apesar da
presença de não-linearidades devido às rótulas usadas para o acionamento dos absorvedores.
6.3. PROPOSTA PARA TRABALHOS FUTUROS
O autor considera que existem diversos aspectos que foram insuficientemente estudados
neste trabalho de tese e que merecem atenção adicional em futuras pesquisas. O principal deles é
o desenvolvimento de uma metodologia prática para a identificação das matrizes de
amortecimento em sistemas similares ao estudado. A determinação do amortecimento do sistema
rotativo constituiu uma das principais dificuldades enfrentadas neste trabalho e considera-se que
os resultados obtidos não foram completamente satisfatórios. Observa-se que na literatura existem
poucos estudos práticos que enfoquem este problema.
Outro ponto que merece maior atenção é o estudo da influência das pre-cargas ou pre-
deformações na resposta dinâmica dos materiais viscoelásticos. Nashif et al (1985) trata de forma
superficial problema. Além disso, não foram encontrados estudos experimentais que mostram a
sensibilidade deste fator nas funções do módulo de armazenamento do material e do fator de
perda. Como se pode observar nos resultados experimentais apresentados neste trabalho, as
funções viscoelásticas são bastante sensíveis à ação de pre–deformações, sobretudo no que diz
respeito à determinação do fator de perda.
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98
APÊNDICE A
MATRIZES DOS ELEMENTOS DE DISCO E EIXO
1. Elemento de Disco
=
Dx
Dx
D
D
D
I
I
M
M
M
000
000
000
000
(1)
−
=
000
000
0000
0000
Dy
Dy
D
I
I
G
(2)
2. Elemento de Árvore
−
−−−
−
−−
−−−
−
−
−
=
22
22
22
22
4002230013
0422003130
0221560013540
2200156130054
3001340022
0313004220
0135400221560
1300542200156
420
LLLL
LLLL
LL
LL
LLLL
LLLL
LL
LL
SL
M
C
ρ
(3)
99
−−
−−
−−−
−
−−
−−
−
−−−
=
22
22
22
22
4003003
0430030
0336003360
3003630036
0034003
0300430
0336003360
3003630036
15
LLLL
LLLL
LL
LL
LLLL
LLLL
LL
LL
L
IΩ
M
S
ρ
(4)
−−
−−
−
−
−−
−−
−−−
−−−
=
0430030
4003003
3003630036
0336003360
0300430
0034003
3003630036
0336003360
15
22
22
22
22
LLLL
LLLL
LL
LL
LLLL
LLLL
LL
LL
L
IΩ
G
E
ρ
(5)
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
−−−
−−−
−−−
−−
++−
+−+
−
−−−
+
=
22
22
22
22
3
20062006
02600260
0612006120
6001260012
40064006
04600460
0612006120
6001260012
1
LaLLaL
LaLLaL
LL
LL
LaLLaL
LaLLaL
LL
LL
La
EI
K
c
(6)
100
−−
−−
−−−
−
−−
−−
−
−−−
=
22
22
22
22
0
4003003
0430030
0336003360
3003630036
0034003
0300430
0336003360
3003630036
30
LLLL
LLLL
LL
LL
LLLL
LLLL
LL
LL
L
F
K
F
(7)
onde:
2
12
LGS
EI
a
r
=
(8)
( )
ν
+
=
12
E
G
(9)
Sendo
ν
o modulo de Poisson, S
r
a área reduzida da seção transversal do elemento e G o
módulo transversal de elasticidade do material do eixo.
101
APÊNDICE B
GEOMETRIA DO SISTEMA DE ACIONAMENTO DO ABSORVEDOR VISCOELÁSTICO
85
12.5
62.5
28.95
28.95
20
25
80
45
35
10
30
20
10
60
60
30
6.35
105
40
102
APÊNDICE C
Dados Técnicos do material da Sorbothane
7
:
Propriedade
Valor Unidade Observações
Resistência à tensão máxima 122.61 psi
ASTM D412 92
Elongação máxima 568 %
ASTM D412 92
Resistência à tensão (100% de
deformação)
25.47 psi
ASTM D412 92
Resistência à tensão (200% de
deformação)
54.86 psi
ASTM D412 92
Resistência à tensão (300% de
deformação)
80.13 psi
ASTM D412 92
Resistência à compressão (20% de
deformação)
12.0 psi
ASTM D575 91
Resistência à compressão (50% de
deformação)
105.0 psi
ASTM D575 91
Resistência ao rasgo 48.73 lb/inch
ASTM D624 91 Die C
Modulo de Incompressibilidade 2.86 gPascal
Coeficiente de atrito estático 10.4
ASTM D1894 on polished steel
Coeficiente de atrito dinâmico 2.6
ASTM D1894 on polished steel
Densidade 85.0
lb/ft
3
ASTM D792
Gravidade Especifica 1.364
ASTM D792
Faixa de temperatura de ótimo
desempenho.
-20 _ a +160
F
Redução da rigidez e o
amortecimento acima de 200 _F.
Incremento da rigidez abaixo da
temperatura de transição vítrea.
Temperatura de Transição vítrea -37.4 _ C
ASTM E1640 94 definida por pico
máximo do ângulo de atraso entre
funções de tensão/deformação
Temperatura de Ignição induzida 570 _ C
Temperatura de auto-ignição 750 C
Teste de Resiliência
Altura de rebote
11 %
ASTM D2632 92
Resistência dielétrica 256 V/mil
ASTM D149 97
Modulo de Young a 5 Hertz 105 psi
Modulo de Young a 15 Hertz 150 psi
Modulo de Young a 30 Hertz 210 psi
Modulo de Young a 50 Hertz 270 psi
7
SORBOTHANE, INC., 2005
103
Propriedade
Valor Unidade Observações
Ângulo de atraso tensão/deformação
(excitação a 5 Hertz)
29.25 °
Ângulo de atraso tensão/deformação
(excitação a 15 Hertz)
30.11 °
Ângulo de atraso tensão/deformação
(excitação a 30 Hertz)
29.68 °
Ângulo de atraso tensão/deformação
(excitação a 50 Hertz)
26.56 °
Resistencia Bacterial Não se observa afetação
Resistencia Fungal Não se observa afetação
Envelhecimento por Calor Estável
72 horas @ 158 _F sem câmbios no tamanho,
aparência, nem nos resultados dos testes no
durômetro
Resistência aos raios ultravioletas Boa resistencia
Resistência química a fluido hidráulico -1.4
%
alteração
em peso
ASTM D543, 7-dias de imersão
Resistência química ao Querosene 4.3
%
alteração
em peso
ASTM D543, 7-dias de imersão
Resistência química ao Diesel 6.4
%
alteração
em peso
ASTM D543, 7-dias de imersão
Resistência química a Solução de
sabão
5.0
%
alteração
em peso
ASTM D543, 7-dias de imersão
Propriedades acústicas: perda de
intensidade de som no ar
Mais de 40
dB/cm a 50 Hertz. a perda de intensidade
aumenta com a freqüência.
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