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Ribeiro Neto, Plínio José
Estudo do deslocamento Zeeman em
ressonâncias de transparência eletromagneticamente
induzida em vapor de césio: aplicação à
magnetometria / Plínio José Ribeiro Neto. - Recife :
O Autor, 2008.
vi,. 112 folhas: il., fig.
Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de
Pernambuco. CCEN. Física, 2008.
Inclui bibliografia, apêndice.
1. Óptica. 2. Zeeman 3. Magnetometria 4. Precisão I.
Título.
535.2 CDD (22.ed.) FQ2008-032
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Dedico este trabalho a todos aqueles que sempre me motivaram e estimularam, e em
mim, confiaram e acreditaram.
Agradecimentos
Primeiramente a Deus, por mais uma oportunidade de poder realizar meus objetivos
Aos meus pais Vicente Ribeiro e Lícia Curvêlo, pelo carinho, apoio e esforço para que
nunca faltasse educação a mim ou a Lívia,
À minha irmã Lívia Curvêlo por seu amor incondicional e por conceber um tão feliz
sobrinho (Cacá),
À minha Dinda Roselene Curvêlo, ao meu tio Deraldo Jacobina e à toda minha família,
por tudo que sempre fizeram por mim,
Ao professor Tabosa que, direta e indiretamente, me orientou neste trabalho, onde
direta se refere ao profissionalismo, paciência e dedicação, e indiretamente ao exemplo
que foi para mim ao longo desses dois anos,
Aos membros da banca, por se lançarem ao volume da dissertação,
Aos amigos “Dani e Everton” e Hugo, pela convivência diária no laboratório, pelas
tantas vezes que me apoiaram e me ajudaram
Ao Marcos da eletrônica por dissecar os controladores dos moduladores acusto-ópticos
e solucionar todos os seus problemas,
Aos amigos incondicionais de longas datas: Euber (T’ Hichers), Almininho, Igulino
Suriano, Célio Amorim (Silva) e Jadsinho. Um forte abraço em retribuição, tão singela
que posso fazer aqui, pelo tempo de suas vidas dedicado a mim.
Novamente ao amigo Dani e a Noelinha, por todos os bons e divertidos momentos.
Aos amigos Paulo Renato, Vitor, Vladimir, Gersinho e Joaquim, por se tornarem
minha família ao longo deste curso.
Aos amigos conterrâneos, tantos que ao citá-los não caberia aqui. Um abraço.
Aos amigos, professores, amigos professores, de minha graduação. Um forte abraço.
E a todos, amigos e colegas, que por razões diversas devem ser agradecidos, Fábio
Oikawa (Grande Sakurai), Fredson, Luciano Miranda (ai ai ai titia), galera do RDES,
a galera da Arena, Gustavo Belo, Tiagos (flautista, He-man,. . .), Assis (Chêra Tahca),
Denise, Fábios (cosmólogo guitarrista, . . .) Brunos, Tâmaras, Rafaéis (Polar, Jesus, ar-
madilhado), Eglânio, Chiquinho (pêxe), Cerda, Milena, a galera do DA, Claudio, Eu-
clides, Marco, David, Rodolfo, Jehan, Marcus, Toinho, Fernandos (Negão, Maçã,. . .),
Diegos (floripa,. . .), Douglas ( Gaúcho, . . .), Linconl, Eroni, Cubanos, Colombianos, Es-
teban, Karlinha, Maury, Augusto (Guga), H. Potter (Manoel), Keren, Rebeca, Lidiane,
Hans, Bárbara, Emanuela, Priscila, Narinha (msn inteligente na madrugada), Viviane,
Silvana, e a tantos outros que infelizmente os nomes não vieram a cabeça neste momento,
sintam-se também agradecidos.
Aos professores, funcionários e servidores do DF, por torná-lo um lugar agrádavel.
Ainda, a Bach, Vivaldi, Villa-Lobos, John Williams, Ana Vidovic, Gabriel Garcia, por
tornarem meus dias e noites de dissertação mais musicais e culturais.
Aqui, exatamente aqui, eu não conseguiria expressar em 130 ou mais páginas, o quanto
estas pessoas me fazem bem e tornam minha vida um evento maior do que poderia ser.
Por estas citações acima é que escrevo a dissertação na primeira pessoa do plural, pois
nunca estive só ao redigir.
Por fim, ao CNPq, pelo apoio financeiro.
(Plínio Ribeiro)
“Só existe sentido na vida através da luta.
O triunfo ou a derrota está na mão dos deuses.
Então celebremos a LUTA!”
(Canção de Guerra Suahili)
Extraido de “O Óleo de Lourenço”
Resumo
Neste trabalho propomos e demonstramos o uso do efeito de transparência eletromagneti-
camente induzida num vapor atômico como uma ferramenta para medir campos magnéti-
cos com alta precisão. O princípio da técnica reside na ressonância muito estreita asso-
ciada com este efeito coerente e no deslocamento Zeeman desta ressonância quando um
campo magnético externo longitudinal é aplicado. Este campo magnético define também
a direção de quantização. O esquema proposto, empregamos feixes contra-propagantes
o que permitiu a observação simultânea da dupla ressonância de transparência eletro-
magneticamente induzida, cuja separação em frequência está diretamente relacionada à
componente do campo magnético paralelo à direção de propagação dos feixes incidentes.
A técnica foi demonstrada usando um sistema de dois níveis degenerados dos átomos de
césio a temperatura ambiente. Em particular ela foi também explorada para medida de
deslocamento de frequência dos subníveis Zeeman do estado fundamental hiperfino do cé-
sio 6S
1
/2, F = 3. Também calculamos o espectro da transparência eletromagneticamente
induzida num meio inomogeneamente pelo efeito Doppler e estudamos sua dependência
com o campo magnético aplicado assim como também com a intensidade do feixe de
bombeamento. Estes cálculos se comparam rasoavelmente bem com os resultados obser-
vados.
Palavras Chave: Transparência Eletromagneticamente Induzida, Zeeman, Césio,
Campos Magnéticos, Precisão, Magnetometria, Dupla Transparência de EIT-Doppler,
Efeitos Coerentes, Efeito Doppler, Campos e Átomos, Aprisionamento Coerente de
População, Estados Escuros.
Abstract
In this work we proposed and demonstrated the use of the electromagnetically induced
transparency effect in a thermal atomic sample as a tool to measure magnetic fields with
high precision. The principle of the technique relies on the very narrow resonance asso-
ciated with this coherent effect and on the induced Zeeman shift of this resonance when
a longitudinal magnetic field, which also defines the quantization direction, is applied.
In the proposed scheme, we have employed counter-propagating pumping beams which
allow the simultaneous observation of double electromagnetically induced transparency
resonances whose frequency separation is directly related to the magnetic field compo-
nent parallel to the direction of propagation of incident laser beams. The technique was
demonstrated using a degenerate two-level system of cesium atoms at room-temperature.
In particular, it was also employed to measured the frequency shift of the Zeeman sub-
levels of the cesium hyperfine ground state 6S
1/2
, F = 3. We have also calculated the
electromagnetically induced transparency spectrum in the Doppler-broadened regime and
studied its dependence with the applied magnetic field as well as with the intensity of
the pumping beam. These calculations compare reasonably well with the experimentally
observed results.
Keywords: Electromagnetically Induced Transparency, Zeeman, Cesium, Magnetic
Fields, Accuracy, Magnetometer, Double Electromagnetically Induced Transparency,
Coherent Effects, Doppler Effect, Fields and Atoms, Coherence Population Trapping,
Dark States.
Sumário
Lista de Figuras iii
1 Introdução Geral 1
2 A Teoria da Interação Coerente entre Átomos e Campos 6
2.1 O Formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Os Campos e o Meio Atômico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 O Hamiltoniano de Interação Átomo-Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Acoplamento de dois campos com o Sistema em Configuração Λ . . . . . . 19
3 A Transparência Eletromagneticamente Induzida 23
3.1 O Aprisionamento Coerente. Estados Escuros . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 A EIT Homogeneamente Alargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1 A Largura da EIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.2 O Contraste da EIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.3 A Dispersão e a Luz Lenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.4 A Fenomenologia da EIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 O Efeito Doppler e a Ressonância de EIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1 A Largura da EIT-Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 O Efeito Zeeman na Ressonância de EIT em Vapor de Césio: A Dupla
Ressonância de EIT-Doppler 52
4.1 A Estrutura Fina e Hiperfina do Césio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.1 A Estrutura Fina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
i
SUMÁRIO
4.1.2 A Estrutura Hiperfina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1.3 O Efeito Zeeman nos Hiperfinos da Linha D
2
. . . . . . . . . . . . . 60
4.2 O Efeito Zeeman e a Ressonância de EIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.1 O Sistema Λ nos Hiperfinos da D
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.2 O efeito Zeeman e a Ressonância de EIT . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3 A Dupla ressonância de EIT-Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5 O Experimento: Aparato, Técnicas, Resultados e Discussões 74
5.1 O Laser de Diodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2 Absorção Saturada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3 O Sistema de Varredura: Os Moduladores Acusto-Ópticos . . . . . . . . . 81
5.4 A Célula de Vapor de Césio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.5 Experimento 1: EIT-Doppler vs. Potência do Feixe Acoplamento . . . . . . 84
5.6 Experimento 2: A Dupla EIT-Doppler vs B
EXT
. . . . . . . . . . . . . . . 87
5.6.1 Solenóide e o Campo Externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.6.2 As medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.6.3 Variações Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.6.4 Observação de um Sinal Coerente Não Relacionado à EIT-Doppler . 98
6 Conclusões e Perspectivas 99
A Rotina de Integração 102
Referências Bibliográficas 108
ii
Lista de Figuras
2.1
O vetor
k descreve a direção de incidência da luz com polarização determinada pelo vetor
unitário ˆε em um átomo qualquer cujo núcleo é considerado em repouso e situado na
origem com seu elétron de valência “localizado” pelo vetor r em um referencial cartesiano.
11
2.2
Os vetores ˆε
1
e ˆε
2
representam os estados de polarização ortogonais ao vetor de onda
k 17
2.3
O vetor ˆε representa a composição de um estado de polarização geral tal que ˆε ·
k = 0. . 17
2.4
Diagrama Λ do sistema atômico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5
Feixe de acoplamento Ω de freqüência ω
2
realizando a transição “c| |a” e feixe de
prova α de freqüência ω
1
“b| |a”
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1 Lembrete da fig. 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2
Sistema de dois níveis degenerados em uma configuração Λ com respectivos decaimentos. 31
3.3
Sistema Λ com respectivas dessintonias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4
Curvas representando a ressonância de EIT e a absorção do feixe fraco para Ω = 0. . . 34
3.5
Curvas representando as dispersões, na ressonância de EIT e sem o feixe forte, Ω = 0. . 34
3.6
Produto exemplificativo dos estados vestidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7
Quebra da degenerescência pelo H
int
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.8
Interpretação de EIT em termos do deslocamento Stark dos estados vestidos. Onde
temos ∆E = 2Ω < 2γ, ou seja, os dois caminhos são indistinguíveis o que pode resultar
em uma interferência destrutiva entre eles, se isso ocorrer, teremos EIT.
. . . . . . . . 41
3.9
Aqui temos ∆E > 2γ e os dois caminhos são distinguíveis, ou seja, temos o Dubleto de
Autler-Townes pois não ocorre interferência quântica [1].
. . . . . . . . . . . . . . . 41
3.10 Espectro de absorção do feixe de sinal para átomos quentes, ku = 86γ . . . 45
iii
LISTA DE FIGURAS
3.11 (a) Superposição em mesma escala vertical das ressonâncias de EIT-Doppler com ku =
86γ e EIT v = 0. (b) Superposição em um intervalo de freqüência pequeno em torno da
ressonância δ = 0 com escala vertical relativa de 200 : 1 respectivamente à EIT-Doppler
com ku = 86γ e à EIT-Natural.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.12
Superposição das ressonâncias de EIT para diferentes grupos de velocidades maiores do
que zero.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.13
Superposição das ressonâncias de EIT para diferentes grupos de velocidades menores do
que zero.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.14
Superposição das ressonâncias de EIT para todos os grupos de velocidades, resultando
no estreitamento.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.15
(a) Superposição da EIT-Natural (kv = 0) com o sinal convoluído em sete grupos de
velocidades. (b) Superposição da EIT-Natural e a convolução deslocada para coincidir
os máximos de absorção de forma a tornar mais evidente o estreitamento.
. . . . . . . 48
3.16
Nos diagramas laterais temos o efeito do deslocamento Doppler tanto na freqüência do
feixe de prova quanto no deslocamento Stark entre os estados vestidos {|+, |−}. Em
ambos os casos, um dos estados vestidos se aproxima do estado inicial |a [2].
. . . . . 49
3.17
Dependência da largura da EIT-Doppler, em função da intensidade do feixe de acopla-
mento integrada numericamente para diferentes parâmetros de defasamento dos níveis
de baixa energia, γ
bc
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1 Estrutura hiperfina da transição D
2
do Césio, com as respectivas freqüências de separação dos níveis
hiperfinos. Os valores do estado fundamental são exatos como um resultado da presente definição do
segundo (s). Os fatores g
f
de Landè para cada nível também são mostrados conjuntamente com seus
respectivos deslocamentos Zeeman entre os sub-níveis adjacentes [3]. . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2
Sub-níveis magnéticos para os respectivos níveis hiperfinos . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3
Sub-níveis magnéticos com o campo de acoplamento populando opticamente o funda-
mental mais positivo.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4
Configuração Λ formada em um sistema de dois níveis degenerados, a partir da aplicação
conjunta do dois feixes polarizados circularmente contra-girantes. A configuração é dada
correspondendo |a = |f
′
= 2, m
f
= 2, |b = |f = 3, m
f
= 3 e |c = |f = 3, m
f
= 1
. . 63
iv
LISTA DE FIGURAS
4.5 Sub-níveis magnéticos e campos circularmente polarizados efetuando transições respec-
tivas às regras de dipolo.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.6
Efeito Zeeman na transição F = 3 → F
′
= 2 com os respectivos deslocamentos. . . . . 65
4.7
Acoplamento dos campos com o sistema Λ nos hiperfinos da linha D
2
sob o efeito
Zeeman na transição F = 3 → F
′
= 2 com os respectivos deslocamentos formando
uma configuração Λ–Stokes.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.8
Deslocamento em freqüência do zero para δ = ∆Z para o “dip” na EIT-Doppler sob a
ação do efeito Zeeman numa configuração Λ–Stokes.
. . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.9
Configuração Λ–anti-Stokes devido à inversão das polarizações. . . . . . . . . . . . . 69
4.10
Deslocamento de −∆Z do “dip” da EIT-Doppler devido à inversão das polarizações, isto
é, uma configuração Λ-anti–Stokes.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.11
Dupla ressonância de EIT-Doppler, resultante da convolução das partes imaginárias das
susceptibilidades nas duas configurações de processos Raman.
. . . . . . . . . . . . 71
4.12
Dessintonia do feixe de acoplamento de ∆ = −30γ abaixo de sua respectiva transição. . 72
4.13
Espectro numa configuração Λ-Stokes com uma dessintonia no feixe de acoplamento de
∆ = −30γ abaixo de sua respectiva transição.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1
Maqueta experimental utilizada para obter o sinal de EIT-Doppler e sua dependência
em potências do feixe de acoplamento. Onde ⊙ e ↔ representam polarizações lineares
ortogonais, perpendicular e paralela ao plano do papel, respectivamente, com = σ
+
e
= σ
−
. A montagem será descrita ao longo do capítulo.
. . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2
Configuração do laser de diodo com cavidade externa numa configuração tipo Littrow. 78
5.3
Experimento de absorção saturada com vapor de Césio. Um feixe de laser proveniente
de um laser de diodo com cavidade externa é dividido em duas partes, as quais fazemos
incidir contra-propagantes sobre uma célula contendo vapor de Césio à temperatura
ambiente.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4
Espectro de absorção saturada referente às transições F = 3 ↔ F
′
= 2, 3, 4. As setas
indicam os “dips” referentes às ressonâncias e aos “cross-overs” [4].
. . . . . . . . . . . 80
5.5
Esquema de um modulador acusto-ótico e a produção do feixe difratado [5]. . . . . . . 82
5.6
Freqüência da RF em função da tensão da rampa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
v
LISTA DE FIGURAS
5.7 Visualização gráfica dos resultados experimentais obtidos com a maqueta descrita na
figura 5.1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.8
Dependência da Largura do pico de EIT-Doppler em função da potência do feixe forte.
Resultados teóricos e experimentais para comparação.
. . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.9
Montagem para o experimento de Dupla EIT-Doppler versus o campo magnético. . . . 88
5.10
O solenóide usado na maqueta da dupla EIT-Doppler. . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.11
Modelo teórico do solenóide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.12
Variação da distância entre as janelas da Dupla EIT-Doppler por aplicação do campo
magnético externo. A curva para B=0 está em uma escala 10 vezes menor.
. . . . . . 91
5.13
Dependência da ressonância de Dupla EIT-Doppler em função do campo aplicado. . . 92
5.14
(a) Curva obtida em campo magnético nulo com todos os feixes ligados. (b) Curva
com campo magnético da ordem de 3G aplicado e todos os feixes ligados. (c) Campo
magnético da ordem de 3G aplicado e o feixe de acoplamento da volta desligado. (d)
Campo magnético da ordem de 3G aplicado e os dois feixes de acoplamento desligado.
. 93
5.15
Determinação da razão sinal-ruído. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.16
Feixes com polarizações lineares ortogonais interagindo com um sistema de dois níveis
com degenerescência Zeeman.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.17
Após a aplicação do campo magnético o sinal de EIT-Doppler se desdobra em três
ressonâncias distintas entre si. (a) Ressonância de EIT-Doppler em uma configuração
Λ–Stokes. (b) Ressonância de dois campos num sistema de dois níveis para respecti-
vas coincidências das polarizações dos campos. (c) Ressonância de EIT-Doppler numa
configuração Λ–anti-Stokes.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.18
Espectro mostrando as três ressonâncias correspondendo, respectivamente, às configu-
rações em (a), (b) e (c) da figura 5.16.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
vi
Capítulo 1
Introdução Geral
O desenvolvimento da Óptica Quântica, além de permitir o estudo de propriedades in-
trínsecas da natureza da luz, possibilitou consolidar os conhecimentos sobre as novas fontes
emissoras de luz, tais como os lasers e os diodos emissores de luz (LED). Por um lado,
esses dispositivos permitiram o desenvolvimento de novas aplicações tecnológicas que co-
brem uma faixa ampla que vai desde a área médica até as telecomunicações. Por outro
lado, com o surgimento dos lasers, novas experiências foram possíveis e, em particular, na
física atômica o impacto causado por esse dispositivo optoeletrônico é considerável, pois
agora é possível induzir coerências quânticas e interferências entre os estados atômicos.
Uma das conseqüências do desenvolvimento dos lasers que tem recebido uma signif-
icante atenção é o efeito de transparência eletromagneticamente induzida, conhecido na
literatura pela sigla EIT (Electromagnetically Induced Transparency), inicialmente pro-
posta teoricamente por Imamo˘glu e Harris [6] e posteriormente observada por Harris et
al [7]. A importância dada a este efeito é devida ao vasto alcance de aplicação, em par-
ticular a computação e comunicação quântica [8], o armazenamento de estados quânticos
da luz [9–11], portas lógicas [12], laser sem inversão [13,14] e principalmente para o nosso
trabalho: a magnetometria de alta precisão [15].
O fenômeno de EIT, consiste na anulação da absorção de um feixe de luz laser
(chamado habitualmente de feixe de prova) em um vapo atômico, quando sobre os áto-
mos fazemos incidir outro feixe de luz laser sob certas condições (denominado feixe de
1
acoplamento). O efeito físico que constitui a essência da transparência induzida é de-
nominado aprisionamento coerente de população, e foi descoberto em 1976 por Gerardo
Alzetta e colaboradores na Universidade de Pisa na Itália [16]. Dez anos mais tarde, foi
descoberta a possibilidade de observar o mesmo efeito em meios densos, empregando dois
lasers monocromáticos com freqüências diferentes. Desta vez, os autores da experiência
foram os cientistas russos Olga Kocharovskaya e Yakov Khanin do Instituto Politécnico
de Leningrado [17].
Um fato importante relacionado ao efeito de EIT é que, na mesma região espectral,
onde ocorre o cancelamento da absorção devido à interferência destrutiva entre os diversos
canais de absorção, pode ocorrer interferência construtiva nas susceptibilidades de ordem
superior. Dessa forma, efeitos ópticos não-lineares podem ser aumentados em ordem de
magnitude [18].
O efeito de EIT tem sido observado em diversos sistemas os quais se diferenciam ba-
sicamente pelos mecanismos de alargamento espectral presente, pois cada sistema resulta
em diferentes coerências induzidas entre os níveis atômicos e conseqüentemente diferentes
taxas de relaxação. As taxas de relaxação determinam a largura de ressonancia de cada
EIT e portanto são de fundamental importância. Em particular, o efeito de EIT tem sido
observado em sistemas com alargamento inomogêneo como vapores atômicos à temper-
atura ambiente [19,20] e em sólidos [21,22]. Em vapores atômicos a temperatura ambiente,
o alargamento inomogêneo é devido ao deslocamento Doppler, enquanto que em materiais
sólidos, é devido à inomogeneidade dos campos cristalinos ao longo da rede. A observação
de EIT em meios alargados homogeneamente foi feita, inicialmente, em meios alargados
por colisões [23]. Outros sistemas físicos que se aproximam bastante de sistemas alargados
homogeneamente são amostras atômicas frias ou ultra-frias [24–26], onde é possível obter
larguras de EIT extremamente estreitas.
Em muitas das aplicações de EIT, a largura desta ressonância tem uma grande im-
portância. Alguns exemplos são: a espectroscopia de alta resolução e a magnetometria de
alta precisão baseada em ressonâncias estreitas de EIT capazes de detetar mudanças de
campo magnético da ordem de picotesla [27], que vamos estudar com mais detalhes nesse
trabalho. A largura da ressonância de EIT tem sido a motivação de diversos trabalhos
2
teóricos [22,28,29] e experimentais [30–36]. Entretanto, esses estudos tem sido feitos, em
sua maioria, considerando que o mecanismo principal de relaxamento é o defasamento
ocasionado por colisões, que não é sempre verdade [36]. Neste trabalho vamos estudar
o mecanismo de descoerência determinado pelo tempo de vôo dos átomos pela zona de
interação com os feixes.
O campo magnético é um dos mais fundamentais e ubíquos observáveis da natureza,
carregando informação sobre todo fenômeno eletromagnético. E portanto, o desenvolvi-
mento de Magnetômetros sensíveis são ferramentas essenciais em muitas áreas de pesquisa,
como biologia e medicina [37–39]. Por exemplo, medidas de campos magnéticos produzi-
dos pelo cérebro são usadas para diagnosticar epilepsia e para o estudo de resposta a
estímulos auditivos e visuais. São essenciais também na geofísica [40] e em testes de
simetrias fundamentais [41]. Por mais de 30 anos o dispositivo de interferência quântica
em supercondução elétrica (SQUID de “Superconducting Quantum Interference Device)
operando em 4K tem dominado a área de detecção de campos magnéticos. Porém, no
presente momento, o avanço das técnicas em magneto-óptica habilitou magnetômetros
atômicos, que estão rivalizando e até superando os melhores magnetômetros baseados em
SQUID.
Magnetômetros atômicos, isto é, aqueles baseados em coerências dos estados atômicos,
têm a intrínseca vantagem de não exigir esfriamento criogênico, e ainda eficientes méto-
dos para microfabricação destes permitiu dimensões da ordem de 1 mm [42] oferecendo a
possibilidade de compactação, disponibilidade e portabilidade de ultrasensíveis sensores
magnéticos. O magnetômetro óptico de melhor sensibilidade é aquele baseado na relax-
ação livre da troca de spin (SERF, Spin Exchange Relaxation Free), cujas sensibilidades
excedem 10
−11
G [43, 44]. No entanto, esta sensibilidade, pode somente ser obtida em
medidas de campos muito pequenos, da ordem 1mG. Portanto, é este ponto que tomamos
como partida para este trabalho, isto é, desenvolveremos uma técnica de alta precisão
para meidr campos magnéticos da ordem de 10G.
A dissertação está dividida da forma que consideramos mais adequada para a abor-
dagem tanto experimental quanto teórica de nosso tema. O capítulo 2 tem o objetivo de
apresentar ao leitor os conceitos básicos e essenciais para a compreensão do estudo que
3
foi realizado. Revisaremos os conceitos da descrição da interação radiação-matéria, como
o formalismo da matrix densidade e campos eletromagnéticos oscilantes. Apresentare-
mos da forma mais simples possível como tratar efeitos coerentes resultantes da interação
átomo - laser através de modelos atômicos de três níveis (configuração Λ).
No capítulo 3 deste trabalho, apresentaremos um cálculo do espectro de absorção de
um feixe fraco, que interage com átomos de três níveis, numa configuração do tipo Λ, na
presença de um feixe forte (feixe de acoplamento). Veremos que devido à presença do
feixe de acoplamento, quando os dois feixes estão em ressonância com um mesmo estado
excitado, o espectro de absorção do feixe de prova apresenta uma ressonância de EIT
em seu centro, não sendo absorvido pelo átomo. Esse é um efeito contra-intuitivo de
coerência e interferência quântica. Veremos também que quando consideramos o espectro
de absorção do feixe de prova como sendo um resultado da contribuição de átomos de
todas as classes de velocidade, isto é, com −∞ < v < ∞, ou seja, considerando o
efeito Doppler, obtemos uma ressonância de EIT com largura menor do que a largura
natural quando consideramos apenas átomos com velocidade nula v = 0. Temos então
um efeito de estreitamento da ressonância de EIT. Para ambos os casos, apresentamos
uma aproximação teórica da largura da ressonância de EIT com a potência do feixe de
acoplamento. Os resultados são interpretados de acordo com o efeito de CPT e, também,
através de processos de interferência quântica devido ao deslocamento Stark dos estados
vestidos. Ainda, discutiremos, ao longo do capítulo, alguns parâmetros importantes,
como, por exemplo, a taxa de defasagem dos níveis fundamentais. Mostraremos também
como é possível aplicar o efeito de EIT para redução da velocidade da luz (produção de
Luz Lenta).
No capítulo 4 descreveremos inicialmente, em linhas gerais, a estrutura fina, hiperfina
do átomo de césio e sua relação com campos magnéticos externos. Em seguida descrever-
emos a ressonância de EIT integrada em todas as classes de velocidades e sua relação
com o efeito Zeeman e assim mostraremos como produzir uma dupla ressonância de EIT-
Doppler. Feito isso, mostraremos como aplicar estes resultados a magnetometria óptica.
No capítulo 5 faremos a descrição dos principais elementos utilizados nos aparatos
experimentais. Também apresentamos os métodos de medida utilizados e alguns detalhes
4
importantes sobre o sistema de medida e sua calibração. Ainda, apresentaremos o ex-
perimento que realizamos, os dados experimentais e os resultados das simulações obtidas
com nossos modelos. Os capítulos anteriores foram idealizados para possibilitar um en-
tendimento claro de toda informação que é apresentada neste capítulo. Também faremos
o confronto entre dados experimentais e teóricos.
No último capítulo (cap. 6) apresentaremos as conclusões sobre o trabalho realizado
e discutiremos aspectos gerais como perspectivas acerca do nosso trabalho.
5
Capítulo 2
A Teoria da Interação Coerente entre
Átomos e Campos
Neste capítulo descreveremos os princípios teóricos de efeitos coerentes gerados a partir da
interação átomo-luz e também apresentaremos o sistema atômico que iremos trabalhar.
Definimos efeitos coerentes como aqueles que dependem da preservação da coerência
1
.
Os fenômenos coerentes que apresentaremos são gerados a partir da interação de meios
atômicos com luz. Uma vez que este acoplamento permite o controle e a manipulação
dos estados quânticos do átomo podemos utilizá-lo para a observação de interferências
quânticas. Este controle permite, portanto, alterar as propriedades ópticas desses sistemas
atômicos conduzindo a respostas ópticas totalmente contra-intuitivas. Por exemplo, a
absorção de um feixe de luz laser pode ser totalmente cancelada a partir da indução
de coerência e interferência entre os diferentes caminhos para absorção de fótons pelos
átomos. Como já mencionado na introdução deste trabalho, este efeito é conhecido como
Transparência Eletromagneticamente Induzida.
2.1 O Formalismo
Em Mecânica Quântica podemos descrever o estado de um único átomo isolado por um
vetor de estado dependente do tempo representado por |ψ(t) no espaço de Hilbert H.
1
Relação bem definida entre as fases de funções oscilatórias que se interferem
6
2.1 O Formalismo
Este espaço é um espaço vetorial linear complexo, ou seja, um espaço vetorial no qual
os vetores são expressos por números complexos (com um módulo e uma fase). Dessa
forma o número de estados energéticos acessíveis do átomo define a dimensão da base
neste espaço. Pelo princípio da superposição podemos então escrever a combinação linear
em termos da base referente a todos os estados de energia acessíveis do átomo como:
|ψ(t) =
k
c
k
(t)|φ
k
tal que a evolução temporal pode ser obtida resolvendo a equação de Schrödinger, que em
termos do hamiltoniano total H é dada por:
i
∂
∂t
|ψ(t) = H|ψ(t). (2.1)
A solução pode ser representada convenientemente em termos dos autovalores E
k
e seus
respectivos auto-estados |φ
k
, que são soluções independente do tempo (estacionária) da
equação de Schrödinger. Estes estados formam uma base completa (
k
|φ
k
φ
k
| = ) e
ortonormal (φ
j
|φ
k
= δ
jk
) no espaço de Hilbert.
Desde os primórdios da Mecânica Quântica, a partir do experimento de Bothe & Geiger
(1924), onde se desenvolveram técnicas experimentais para selecionar eventos individuais,
mesmo dessa forma, em boa parte das vezes as medições quânticas são feitas em um
número muito grande (e não apenas em um único átomo isolado) de objetos preparados
de maneira semelhante, formando um conjunto que usualmente se chama de “ensemble”
2
A rigor, um ensemble é o conjunto imaginário de todos os sistemas possíveis que
possuem as mesmas propriedades macroscópicas ou mensuráveis do sistema em questão.
Se a preparação de todos os indivíduos for tal que cada um deles puder ser representada
pelo mesmo vetor de estado acima então o ensemble está em um estado puro, ou seja, tem
seu estado completamente definido. Porém,nem sempre isto é possível. Em sistemas reais
sempre existem indivíduos, estatisticamente, em estados diferentes e então o ensemble
2
Traduzindo do francês temos a idéia de coletivo.
7
2.1 O Formalismo
está em uma mistura estatística a qual nos referimos como incertezas clássicas que não
estão associadas a incertezas quânticas.
Para tratar esses sistemas quânticos utilizamos a matriz densidade que possibilita
simultaneamente analisar as incertezas estatísticas clássicas (misturas estatísticas) e as
incertezas quânticas advindas dos postulados fundamentais da teoria, nos permitindo
prever os valores médios de quaisquer observáveis envolvidos no processo de medida [45].
Os valores dos elementos da matriz são determinados a partir da base do espaço de Hilbert
adotada. Escolhida esta base construímos o operador densidade definido em H como:
ρ(t) ≡
i
p
i
|ψ
i
(t)ψ
i
(t)| (2.2)
=
i
k
j
p
i
c
ki
(t)c
∗
ji
(t)|φ
k
φ
j
|
Os elementos p
i
encerram a probabilidade clássica sob o vínculo
i
p
i
= 1 e os c
ki
(t)c
∗
ji
(t)
a informação quântica do sistema em questão.
Na interpretação física da matriz densidade, na base escolhida em H para representar
os estados atômicos, os elementos fora da diagonal estão associados aos termos cruzados e
representam a interferência entre os estados |φ
k
e |φ
j
, estes elementos são denominados
coerências, ou seja, é possível observar fenômenos associados a interferência quântica
nessa base. Os termos diagonais do operador densidade estão associados a probabilidade
de encontrar o átomo em um determinado estado da base e são denominados populações,
ou seja (omitindo-se a dependência temporal),
ρ
jk
≡
i
p
i
c
ki
c
∗
ji
; (coerências para i = j) (2.3)
ρ
jj
=
i
p
i
|c
ji
|
2
; (populações) (2.4)
portanto, para obtermos o valor esperado de qualquer observável O do sistema, definimos
O ≡ tr [ρO] (2.5)
8
2.1 O Formalismo
tal que “tr” do colchetes significa traço
3
que é definido como a soma sobre todos os el-
ementos da diagonal principal de uma matriz. Em sistemas interagentes, por exemplo,
um vapor atômico e ambiente, pode se realizar um traço parcial, ou seja, somar apenas
os elementos diagonais dos átomos ou do ambiente e assim obter informações exclusivas
de cada um deles, no entanto essa exclusividade tem um preço a pagar: a destruição da
coerência entre as superposições de estados do sistema atômico, de tal modo que algumas
das fases nas superposições ficam inacessíveis, quando observamos apenas os átomos [46].
A evolução temporal do operador densidade é descrita pela equação de Liouville-Von
Neumann, dada por:
i
dρ
dt
= [H, ρ(t)] (2.6)
No entanto, a equação 2.6 não descreve completamente o sistema, pois não conhecemos
completamente o hamiltoniano do ambiente, ou seja, ao calcularmos nossos valores esper-
ados para nossos observáveis, estaremos realizando um traço parcial e portanto excluindo
informações. Podemos levar em conta esse mecanismo de descoerência
4
introduzindo-o
fenomenologicamente através das matrizes Λ, B e C. A matriz Λ descreve os decaimentos
populacionais, e a definimos por:
φ
j
|Λ|φ
k
= γ
j
δ
kj
(2.7)
tal que os γ
j
representam as taxas de decaimento das populações. A matriz B está
relacionada ao ganho de população de cada nível provinda dos decaimentos dos outros
níveis, sua forma, portanto, é diagonal e está escrita abaixo:
B
kj
= 0
B
jj
=
k=j
A
jk
|φ
j
φ
k
|ρ|φ
k
φ
j
|
(2.8)
3
tr[O] =
j
φ
j
|O|φ
j
4
Fenômeno que consiste no aumento da natureza clássica de um estado quântico. Nesse processo, o
sistema perde a coerência de fase entre algumas componentes do seu estado quântico e em conseqüên-
cia deixa de apresentar propriedades essencialmente quânticas, como a sobreposição, e fenômenos de
interferência associados [47].
9
2.1 O Formalismo
onde os elementos A
jk
são elementos de uma matriz A que contém informações sobre as
direções dos decaimentos populacionais e está definida na mesma base |φ
j
[48]. Esta
matriz ficará mais evidente (3.16) quando tratarmos da ressonância de transparência
eletromagneticamente induzida. Por fim a matriz C descreve a descoerência provinda de
defasagens aleatórias entre os estados atômicos, provocados por diversos fatores, alguns
serão explicados ao longo do texto. A equação de movimento para a matriz densidade
será então dada por:
i
dρ
dt
= [H, ρ(t)] −
i
2
{Λ, ρ} + i(B + C) (2.9)
nesta equação
5
o termo −
i
2
{Λ, ρ} representa os decaimentos populacionais e as desco-
erências geradas por eles
6
de forma que, juntamente com os outros termos B e C, esta
equação descreve todos os efeitos de relaxação impostos ao sistema e que voltaremos a
discutir ao longo do texto. Poderiamos encontrar alguns termos relacionados a relaxação,
quantizando o campo eletromagnético e escrevendo o hamiltoniano de interação do átomo
com o modo de vácuo do campo, onde a emissão espontânea é possível e completamente
descrita. A emissão espontânea por sua vez é a responsável pelas relaxações devido à
sua característica aleatória. Contudo, quando o campo eletromagnético que atua no va-
por atômico é suficientemente intenso, podemos tratá-lo classicamente [49] e incluir as
relaxações fenomenologicamente.
Passaremos agora ao tratamento da interação campo e matéria.
5
Também conhecida na literatura por Equação Óptica de Bloch sob a forma:
i
dρ
dt
= [H, ρ(t)] −
∂ρ
∂t
relax
.
6
Aplicando as regras de multiplicação matricial é possível verificar que, para Λ estritamente diago-
nal, o produto dos termos do anti-comutador terá como resultado os decaimentos populacionais e as
descoerências, tal que esta última decai com metade da taxa das populações.
10
2.2 Os Campos e o Meio Atômico
2.2 Os Campos e o Meio Atômico
A interação entre a luz e os átomos é uma função de sua freqüência (comprimento de onda).
Quando a freqüência da luz se iguala a freqüência de uma transição atômica particular
(condição de ressonância) a resposta óptica do meio é aumentada. A propagação da luz
ressonante no meio é acompanhada de uma forte absorção e dispersão: uma constante
excitação dos átomos aos seus estados excitados fluorescentes. Esta interação é a base da
investigação espectroscópica de átomos e moléculas. Neste sentido, o uso de fontes de luz
laser monocromáticas, intensas e sintonizáveis resultam em uma elevada sensibilidade e
precisão na determinação dos níveis atômicos ou moleculares das espécies sob investigação.
Na descrição semiclássica (átomo como sistema quântico e campo como clássico) que
estamos considerando, o campo clássico que incide no átomo, como mostra a figura
2.1,
induz um momento de dipolo elétrico no meio atômico, de acordo com as leis da Mecânica
Figura 2.1: O vetor
k descreve a direção de incidência da luz com polarização determinada pelo vetor
unitário ˆε em um átomo qualquer cujo núcleo é considerado em repouso e situado na origem com seu
elétron de valência “localizado” pelo vetor r em um referencial cartesiano.
11
2.2 Os Campos e o Meio Atômico
Quântica. Este campo eletromagnético é descrito pelas equações de Maxwell, em um meio,
por:
∇ ·
B = 0 (I)
∇ ·
D = ρ
free
(II)
∇ ×
E = −
∂
B
∂t
(III)
∇ ×
H =
J −
∂
D
∂t
(IV)
O campo elétrico é representado por
E(r, t) e o vetor de intensidade magnética por
H(r, t).
Estes se relacionam ao vetor deslocamento
D(r, t) e ao campo magnético
B(r, t), respec-
tivamente, como segue:
D = ε
0
E +
P (2.10)
B = µ
0
H +
M (2.11)
Nas equações anteriores são definidas a polarização
P (r, t) e a magnetização
M(r, t) in-
duzidas no meio. A densidade de carga livre e a de corrente são representadas por ρ
free
e
J.
Vamos assumir que nosso vapor atômico é neutro, de forma que ρ
free
= 0 e
J = 0,
e que nenhuma magnetização apreciável é induzida no meio, de modo que
M(r, t) = 0.
Além disso, vamos considerar que a luz que incidimos no vapor realiza somente transições
do tipo dipolo elétrico [1] e portanto os campos eletromagnéticos induzidos na amostra
são causados pela radiação dos dipolos atômicos.
Após o uso de
∇ ×
∇ ×
E =
∇(
∇ ·
E) − ∇
2
E ≃ −∇
2
E, temos da terceira e quarta
equações de Maxwell no meio:
∇
2
E −
1
c
2
∂
2
E
∂t
2
=
1
ε
0
c
2
∂
2
P
∂t
2
(2.12)
12
2.2 Os Campos e o Meio Atômico
Assumindo que a luz incidente tem uma solução do tipo onda plana para equação de
ondas e é monocromática de freqüência ω, temos as seguintes expressões para o campo
elétrico e a polarização:
E(r, t) =
1
2
E
0
(r, t)e
i[
k·r−ωt+φ(r,t)]
+ c.c (2.13)
P (r, t) =
1
2
P(r, t)e
i[
k·r−ωt+φ(r,t)]
+ c.c (2.14)
tal que o vetor
k é o vetor de onda cuja norma é definida por k = 2π/λ e φ(r, t) uma
fase. A direção do campo elétrico é definida por seu vetor unitário de polarização tal que
E
0
(r, t) = E
0
(r, t)ˆε, uma vez que ˆε e
k são ortogonais, ou seja, ˆε ·
k = 0.
A partir da equação 2.12 é possível enxergarmos que a polarização é um termo fonte,
ou seja, um termo que cria um campo elétrico como resposta dos átomos ao feixe
incidente e representa a resultante macroscópica da soma de todos os momentos de dipolo
induzidos de cada átomo na região de interação, como escrita abaixo
P = N
D (2.15)
tal que N é a densidade de átomos na região de interação com o campo
7
e
D = −er
é a média dos momentos de dipolo individuais de cada átomo.
Uma vez que a polarização é a resposta dos átomos ao campo incidente, é nela que
focamos a atenção , ou seja, é o observável que utilizaremos para obter informações
acerca da interação. Naturalmente, para se obter o valor esperado desse observável,
vamos utilizar o formalismo da matriz densidade, como vimos a pouco em 2.5, e portanto
a expressão da polarização em 2.15é reescrita para:
P = Ntr[ρ
D] (2.16)
7
A polarização é dada como uma densidade de dipolos induzidos no volume de interação de forma que
a expressão para a polarização está dimensionalmente correta.
13
2.2 Os Campos e o Meio Atômico
ou ainda, utilizando a relação de completeza dos vetores da base escolhida em H, temos:
P = N
j
φ
j
|ρ
D|φ
j
=
j
k
φ
j
|ρ|φ
k
φ
k
|
D|φ
j
= N
jk
D
jk
ρ
jk
(2.17)
Para entendermos um pouco mais da relação entre o campo elétrico e a polarização
macroscópica vamos escrever a polarização como uma espécie de análogo atômico da
lei de Hooke, uma vez que a polarização é proporcional ao campo elétrico e oscila sob a
mesma freqüência óptica ω do campo aplicado, ou seja,
P (r, t) = ε
0
χ
E(r, t) (2.18)
onde “χ” é um número característico do material, denominado susceptibilidade dielétrica.
Vamos mostrar, agora, o significado físico da susceptibilidade. A partir de 2.10 e usando
o fato que a polarização total pode ser separada numa contribuição ressonante, devido
a transição atômica, e uma não ressonante, que leva em conta todas as outras parcelas
para a polarização, isto é,
P (r, t) =
P
tran
(r, t; ω) +
P (r, t) onde usando 2.18 e levando
χ → χ(ω), podemos escrever
8
:
D(r, t) = ε
0
E(r, t) +
P
tran
(r, t; ω) +
P (r, t)
= ε
E + ε
0
χ(ω)
E ; ε = ε
0
(1 + χ)
= ε
1 +
ε
o
ε
χ(ω)
E
= ε
′
(ω)
E
(2.19)
tal que a constante dielétrica torna-se
ε
′
(ω) = ε
1 +
ε
0
ε
χ(ω)
(2.20)
8
Veja a referência [50]
14
2.2 Os Campos e o Meio Atômico
implicando para o módulo do vetor de onda
k
′
= ω
µε
′
≃ k
1 +
ε
0
2ε
χ(ω)
, |χ(ω)| ≪ 1 (2.21)
para k ≡ ω
√
µε. Podemos escrever o campo
E em 2.13 de uma maneira mais compacta
como
E = ℜe
1
2
E
0
e
i[k
′
ˆ
k·r−ωt+φ(r,t)]
(2.22)
e definir uma susceptibilidade complexa χ(ω) = χ
′
(ω) − iχ
′′
(ω) que implica
k
′
≃ k
1 +
χ
′
2n
2
≡n(ω)
−i
kχ
′′
2n
2
(2.23)
donde é possível vermos, reinserindo 2.23 em 2.22, que a parte real da susceptibilidade χ
′
está associada à dispersão do meio e a parte imaginária
9
χ
′′
à absorção linear [50], onde
n =
(
ε
2ε
0
) é o índice de refração do meio para uma onda ressonante e n(ω) o novo índice
devido a interação.
Para campos intensos é necessário uma expansão da polarização em séries de potências
do campo elétrico onde apareceram termos não lineares:
P (r, t) = ε
0
↔
χ
(1)
E(r, t) + ε
0
↔
χ
(2)
E(r, t)
E(r, t) + ε
0
↔
χ
(3)
E(r, t)
E(r, t)
E(r, t) + ··· (2.24)
tal que a susceptibilidade, que antes era um número, é agora um tensor.
As propriedades ópticas lineares e não lineares de sistemas atômicos podem ser manip-
uladas e alteradas através da interação destes com campos eletromagnéticos que induzem
coerências atômicas e interferências quânticas entre os estados atômicos, como veremos
ao longo deste trabalho.
Por fim, vamos determinar a hamiltoniana de interação para então descrever o operador
densidade ρ e obter os valores esperados de interesse. A matriz densidade, neste caso,
está relacionada à forma como o campo atua nos átomos.
9
As partes reais e imaginárias se relacionam uma com a outra através das relações de Kramers-Krönig
[50]
15
2.3 O Hamiltoniano de Interação Átomo-Campo
2.3 O Hamiltoniano de Interação Átomo-Campo
Não somente para a determinação da matriz densidade, a análise do hamiltoniano prestará
a determinação de regras chaves acerca das transições. O hamiltoniano para a interação
átomo-campo pode ser escrito de uma forma simplificada, como:
ˆ
H =
1
2m
ˆ
Π
2
+ V (r) − eΦ(r, t) −
e
m
S
(e)
·
B(r, t) (2.25)
tal que
ˆ
Π é o momento canônico, V (r) o potencial coulombiano gerado pelo núcleo, Φ(r, t)
é o potencial escalar elétrico devido ao campo externo,
S
(e)
o spin do elétron e
B o campo
magnético da luz. O momento canônico é derivado a partir da lagrangeana de interação
do elétron com o campo incidente obtida a partir da Força de Lorentz e vale:
ˆ
Π = p − e
A (2.26)
com p definido como o momento cinético do elétron e
A o potencial vetor da luz, de forma
que o hamiltoniano é reescrito para
H =
1
2m
(p − e
A)
2
+ V (r) − eΦ(r, t) −
e
m
S
(e)
·
B(r, t) (2.27)
e expandindo o termo quadrático
ˆ
H =
1
2m
[p
2
− e(p ·
A +
A · p)] +
e
2
A
2
2m
+ V (r) − eΦ(r, t) −
e
m
S
(e)
·
B(r, t) (2.28)
vale a pena chamar a atenção do leitor para o fato que a quantização canônica se faz
interpretando r e p como operadores vetoriais cujas componentes cartesianas satisfazem
relações canônicas de comutação. No entanto, é sabido que em geral p não comuta com
uma função de r,
[p
i
, A
i
(r, t)] = −i∂
i
A(r, t)
[p,
A(r, t)] = −i∇ ·
A(r, t)
(2.29)
16
2.3 O Hamiltoniano de Interação Átomo-Campo
porém nesse caso temos pela condição de transversalidade do campo, ou seja, pela possi-
bilidade de associar dois estados linearmente independentes de polarização ortogonais a
cada vetor de onda
k (fig 2.2), que a divergência do potencial vetor
10
vale:
Figura 2.2: Os vetores ˆε
1
e ˆε
2
representam os
estados de polarização ortogonais ao vetor de
onda
k
Figura 2.3: O vetor ˆε representa a composição
de um estado de polarização geral tal que ˆε·
k =
0.
∇ ·
A(r, t) = 0 (2.30)
que implica
p,
A(r, t)
= p ·
A(r, t) −
A(r, t) · p = 0 (2.31)
que nos permite escrever o hamiltoniano como
H =
p
2
2m
−
e
m
p ·
A +
e
2
A
2
2m
+ V (r) − eΦ(r, t) −
e
m
S
(e)
·
B(r, t) (2.32)
uma vez que o campo magnético da luz é muito pequeno e os elementos da matriz
S são
da ordem de , podemos desprezar a interação com o spin do elétron em comparação aos
outros termos de interação e escrever o hamiltoniano como:
H =
p
2
2m
+ V (r)
H
0
−
e
m
p ·
A +
e
2
A
2
2m
− eΦ(r, t)
H
int
(2.33)
tal que H
0
é definido como o hamiltoniano do sistema atômico hidrogenóide não pertur-
bado pelo campo e H
int
é o acoplamento do campo com este. Por necessidades experi-
mentais escolhemos um sistema atômico como um de três níveis, tais que dois deles (b e c)
10
Também conhecido na literatura como “gauge” (padrão, calibre, etc) de Coulomb
17
2.3 O Hamiltoniano de Interação Átomo-Campo
com mesma paridade ocupam estados de mais baixa energia e um terceiro (a) de paridade
oposta ocupando o primeiro nível excitado. Essa configuração é conhecida na literatura
como sistema “Λ” como mostra a figura 2.4. Para simplificar, os níveis energéticos do
sistema são auto-estados do H
0
,ou seja,
H
0
|φ
u
= ω
u
|φ
u
; u = a, b, c; (2.34)
u
|φ
u
φ
u
| = ; (completeza) (2.35)
φ
u
|φ
v
= δ
uv
(ortogonalidade) (2.36)
e assim podemos reescrever o hamiltoniano não perturbado como
Figura 2.4: Diagrama Λ do sistema atômico.
H
0
= H
0
= ω
a
|φ
a
φ
a
| + ω
b
|φ
b
φ
b
| + ω
c
|φ
c
φ
c
|
(2.37)
O hamiltoniano de interação H
int
(2.33) pode ser reduzido notando que o termo quadrático
é muito pequeno se tomarmos como parâmetro de pequeneza a carga do elétron, ainda
observando que no calibre de radiação Φ(r, t) = 0, temos:
H
int
= −
e
m
p ·
A (2.38)
18
2.4 Acoplamento de dois campos com o Sistema em Configuração Λ
Uma vez que podemos escrever os potenciais eletromagnéticos como
A(r, t) →
A(r, t) + ∇ξ(r, t)
Φ(r, t) → Φ(r, t) +
∂ξ
∂t
(r, t)
então, utilizando uma transformação de calibre
11
do tipo
ξ(r, t) = −r ·
A
o hamiltoniano de interação, torna-se então
H
int
= −er ·
E(r, t) (2.39)
tal que 2.39 é conhecido na literatura como interação de dipolo elétrico. De maneira que
podemos escrever o hamiltoniano total do sistema Λ, como:
H = H
(Λ)
0
+ H
int
(2.40)
2.4 Acoplamento de dois campos com o Sistema em
Configuração Λ
Inicialmente consideramos um sistema de três níveis na configuração Λ e acoplamos a ele
dois campos (fig. 2.5), co-propagantes, idênticos àqueles escritos em 2.13, de freqüências
ω
1
e ω
2
respectivamente, e que executam somente transições do tipo dipolo elétrico, cuja
interação obtemos no capítulo anterior. Vamos notar que as amplitudes E
0
(r, t) e as
fases φ(r, t) dos campos variam numa escala temporal muito maior que a de um ciclo de
11
A mudança de calibre deve preservar o contexto físico, ou seja, o resultado obtido em ambos calibres
devem ser os mesmos, pois a física do acoplamento átomo-campo é uma só. Para maiores detalhes
sobre a transformação de calibre aqui utilizada veja a referência [51]
19
2.4 Acoplamento de dois campos com o Sistema em Configuração Λ
oscilação do campo e que praticamente é constante nas dimensões atômicas de forma que
isso pode ser expresso abaixo:
∂E
0
∂x
i
≪ kE
0
e
∂E
0
∂t
≪ ωE
0
∂φ
∂x
i
≪ k e
∂φ
∂t
≪ ω
(2.41)
com i = 1, 2, 3 correspondendo (x
i
) respectivamente a {x, y, z}, tal que esses argumentos
compõe a chamada aproximação de envelope (amplitude) lentamente variável. Ainda
utilizando o fato de que o comprimento de onda λ das ondas são muito maiores do que
as dimensões atômicas (λ ≫ a
0
, a
0
é o raio de bohr) podemos simplesmente substituir a
exponencial em
k ·r por seu primeiro termo de sua expansão em série de potências, isto
é, e
−i
k·r
≃ 1. Esta última aproximação é chamada de aproximação de dipolo elétrico.
12
Expressamos então os campos como
E
α
(t) =
E
α
0
1
2
[e
i(ω
1
t+φ
α
)
+ e
−i(ω
1
t+φ
α
)
] (2.42)
E
Ω
(t) =
E
Ω
0
1
2
[e
i(ω
2
t+φ
Ω
)
+ e
−i(ω
2
t+φ
Ω
)
] (2.43)
com
E
α,Ω
0
e φ
α,Ω
constantes. Chamamos o campo de freqüência ω
1
o feixe de prova ou
sonda “α” e o de freqüência ω
2
de feixe de acoplamento “Ω” ou controle. Dessa forma
temos para o hamiltoniano de interação:
H
int
= −
D ·[
E
α
(t) +
E
Ω
(t)]
H
int
= H
α
int
+ H
Ω
int
H
int
= −D
α
· E
α
(t) − D
Ω
· E
Ω
(t)
(2.44)
Note que ao incluir indices nos operadores de dipolo retiramos a notação vetorial do hamil-
toniano
13
e dos operadores incluindo indices nestes, isso porque redefinimos o operador de
dipolo
D = er para D
indice
= eˆε
indice
·r. Para tornar melhor a notação vamos escrever a
12
Existe uma discussão mais detalhada no capítulo 8 seção 2.4 do livro de Mecânica Quântica do A. F.
R. de Toledo Piza [52].
13
A direção foi definida no §2 da página 13 como
E
0
(r, t) = E
0
(r, t)ˆε
20
2.4 Acoplamento de dois campos com o Sistema em Configuração Λ
base {|φ
j
}
j=a,b,c
como {|j}
u=a,b,c
, com mesma álgebra. Inserindo relações de completeza
podemos explicitar o hamiltoniano de interação como:
H
int
= −
E
α
(t)D
α
ab
|ab| + E
α
(t)D
α
ac
|ac| + E
Ω
(t)D
Ω
ab
|ab| + E
Ω
(t)D
Ω
ac
|ac| + H.c
(2.45)
tal que o termo “H.c” significa hermitiano conjugado.
Vamos notar que os elementos diagonais do operador dipolo elétrico são todos nulos,
isto é,
D
jj
= 0 para qualquer j, lembrando que
D
jk
= j|
D|k e também são nulos para
os elementos cruzados de |b e |c, pois estes têm mesma paridade (como definimos logo
acima) e o operador de dipolo elétrico é um operador impar
14
, ou seja, conecta apenas
estados de paridade oposta. Além disso, podemos impor que os feixes executem somente
transições nos níveis indicados pela figura 2.5.
Figura 2.5: Feixe de acoplamento Ω de freqüência ω
2
realizando a transição “c| |a” e feixe de prova
α de freqüência ω
1
“b| |a”
Portanto D
α
ac
= D
Ω
ab
= 0, analogamente para seus respectivos conjugados, pois pode-
mos escolher as fases dos autoestados atômicos de forma que D
jk
= D
∗
jk
= D
kj
. A
hamiltoniana de interação é simplificada para:
H
int
= −
E
α
(t)D
α
ab
|ab| + E
Ω
(t)
D
Ω
ac
|ac| + H.c
(2.46)
14
Desde que
D = er, temos a partir das propriedades de comutação com o operador unitário de paridade
ˆπ, definido como uma reflexão (inversão) na coordenada em que atua, que
D anticomuta com ˆπ e
portanto conecta apenas estados de paridade oposta.
21
2.4 Acoplamento de dois campos com o Sistema em Configuração Λ
ainda, escrevendo os campos como expressos em 2.42 e 2.43, temos
H
int
= −
E
α
0
1
2
[e
i(ω
1
t+φ
α
)
+ e
−i(ω
1
t+φ
α
)
]D
α
ab
|ab| +
+ E
Ω
0
1
2
[e
i(ω
2
t+φ
Ω
)
+ e
−i(ω
2
t+φ
Ω
)
]D
Ω
ac
|ac| + H.c
(2.47)
Os operadores |ba| e |ca| tem uma evolução livre definida pelos fatores e
−iω
ab
e
e
−iω
ac
respectivamente, onde ω
ab
e ω
ac
são as freqüências de ressonâncias das respectivas
transições. Existem, portanto, alguns termos na expressão 2.47 que possuem fatores do
tipo e
±i(ω
1
+ω
ab
)t
e e
±i(ω
2
+ω
ac
)t
. Esses termos oscilam muito rapidamente e podem ser de-
sprezados em intervalos de detecção grandes comparados aos períodos ópticos. Essa elim-
inação das oscilações rápidas é conhecida como aproximação de onda girante(RWA,
Rotating-Wave Approximation) [4]. Desprezando todos esses termos e mantendo somente
os termos que oscilam nas freqüências |ω
1
− ω
ab
| e ω
2
− ω
ac
, obtemos:
H
int
= −
2
αe
−i(ω
1
t+φ
α
)
|ab| + Ωe
−i(ω
2
t+φ
Ω
)
|ac| + H.c
(2.48)
aqui α e Ω são as freqüências de Rabi
15
associadas com os campos respectivos, definidas
como:
α =
E
α
0
D
α
ab
e Ω =
E
Ω
0
D
Ω
ac
(2.49)
Dessa forma definimos o hamiltoniano de interação para o acoplamento de dois campos
com um sistema atômico na configuração Λ.
15
Interpretada como a intensidade do acoplamento átomo-campo.
22
Capítulo 3
A Transparência Eletromagneticamente
Induzida
Neste capítulo descreveremos a ressonância de Transparência Eletromagneticamente In-
duzida (EIT, do inglês: Electromagnetically Induced Transparency) inicialmente alargada
homogeneamente
1
com átomos parados, e depois alargada inomogeneamente com a in-
serção do efeito Doppler. Obteremos seus espectros e suas principais características.
Teoricamente, sabemos que um feixe de luz laser propagando-se num meio ressonante
com uma certa transição atômica será absorvido pelo meio e depois de um certo tempo,
definido como tempo de relaxação do sistema, emitido na forma de fluorescência. Contudo,
ao aplicarmos dois feixes simultaneamente no meio atômico, sob condições apropriadas,
podemos eliminar a absorção dos feixes. Este efeito constitui a EIT.
Esta técnica experimental de dupla ressonância foi inicialmente desenvolvida em 1952
no M. I. T. por Brossel and Bitter, onde foi aplicada à medida do fator “g” de Landè e a
medição das larguras das ressonâncias [53].
A primeira observação das modificações das características de absorção e dispersão
do meio através da interação não linear com campos ópticos foi realizada por Alzetta e
colaboradores em 1976 [16]. Neste experimento uma amostra de vapor de sódio foi exci-
1
Homogeneamente no sentido que os átomos são indistinguíveis e de mesma energia. O principal fator
que determina este alargamento é a emissão espontânea. No inomogêneo os átomos são distinguíveis
com freqüências diferenciadas pelo efeito Doppler que é o principal mecanismo de alargamento.
23
3.1 O Aprisionamento Coerente. Estados Escuros
tada por um laser intenso e submetida a um campo magnético longitudinal inomogêneo.
Ao longo da célula de vapor foram observadas linhas escuras (ausência de fluorescência),
esse efeito foi denominado de “ressonância escura”. Este fenômeno pode ser explicado
através da existência de um estado que é a superposição coerente dos estados |b e |c da
figura 2.4, tal que este estado transparente ao campo de radiação é chamado de Estado
Escuro.
Uma vez no estado escuro os átomos não podem mais ser excitados por uma transição
de dipolo elétrico, produzindo assim um Armadilhamento Coerente de População
(CPT, do inglês: Coherence Population Trapping). O CPT [54, 55] está intrinsecamente
relacionado com a ressonância de EIT e assim se faz necessária uma descrição mais detal-
hada desse fenômeno como veremos na proxima seção.
O termo EIT foi introduzido por Harris e colaboradores em 1990 [7], no entanto foi
observada independentemente de Harris pela primeira vez em 1988 por Kocharovskaya e
Khannin [17].
3.1 O Aprisionamento Coerente. Estados Escuros
Seja o estado atômico definido sob a forma
|ψ(t) = a(t)e
−iω
a
t
|a + b(t)e
−iω
b
t
|b + c(t)e
−iω
c
t
|c (3.1)
cuja evolução temporal pode ser derivada da equação de Schrödinger, tal que utilizamos
o hamiltoniano de interação para o sistema Λ obtido no tópico 2.4, particularmente em
2.48,
i|
˙
ψ =
H
0
+ H
(Λ)
int
|ψ (3.2)
24
3.1 O Aprisionamento Coerente. Estados Escuros
para fornecer as equações de movimento para as amplitudes de probabilidade a(t), b(t) e
c(t)
˙a =
i
2
(αe
−iφ
α
b + Ωe
−iφ
Ω
)c (3.3)
˙
b =
i
2
αe
−iφ
α
a (3.4)
˙c =
i
2
Ωe
−iφ
Ω
a (3.5)
onde consideramos os campos ressonantes com as transições, isto é, ω
1
= ω
ab
= ω
a
− ω
b
e ω
2
= ω
ac
. Vamos impor que inicialmente (t = 0) os átomos se encontram preparados
em uma superposição dos estados |b e |c, com a(0) = 0, tal que |ψ = b|b + c|c.
Este estado pode ser parametrizado
2
pelos ângulos θ e ϕ onde definimos b ≡ cos(θ/2) e
c ≡ sin(θ/2)e
−iϕ
:
|ψ = cos(θ/2)|b + sin(θ/2)e
−iϕ
|c (3.6)
e assim as soluções das evoluções temporais para as amplitudes de probabilidade são
a(t) =
i sin(Ω
R
t/2)
Ω
R
αe
−iφ
α
cos(θ/2) + Ωe
−i(φ
Ω
+ϕ)
sin(θ/2)
(3.7)
b(t) =
1
Ω
2
R
Ω
2
+ α
2
cos(Ω
R
/2)
cos(θ/2)+
−2αΩe
i(φ
α
−φ
Ω
−ϕ)
sin
2
(Ω
R
t/4) sin(θ/2)
(3.8)
c(t) =
1
Ω
2
R
−2αΩe
−i(φ
α
−φ
Ω
)
sin
2
(Ω
R
t/4) cos(θ/2)+
+
α
2
+ Ω
2
cos(Ω
R
/2)
e
−iϕ
sin(θ/2)
(3.9)
onde Ω
R
= α
2
+ Ω
2
. No caso inicial em que a população está equidistribuida entre os
estados fundamentais |b e |c, o aprisionamento ocorrerá quando a(t) = 0, ou seja quando
α = Ω e φ
α
− φ
Ω
− ϕ = ±π (3.10)
2
Esta parametrização permite a visualização de qualquer superposição dos estados |b e |c na esfera de
Bloch.
25
3.1 O Aprisionamento Coerente. Estados Escuros
sob essas condições as equações das amplitudes se resumem para
a(t) = 0 (3.11)
b(t) =
1
√
2
(3.12)
c(t) =
1
√
2
e
−iϕ
(3.13)
isto é, uma vez que os átomos estão no estado que parametrizamos é possível estabelecer
uma relação de fase entre os estados atômicos de forma que o feixe de prova mesmo que
se encontre ressonante não é absorvido. Estas últimas soluções para as amplitudes é um
caso específico, onde impomos uma condição inicial para os átomos. O caso mais geral é
obtido a partir das condições de contorno para o aprisionamento com ˙a = 0 e a(t) = 0 e
que
˙
b = ˙c = 0. Esta condição é satisfeita para b(t) = Ωe
−iφ
Ω
e c(t) = −αe
−iφ
α
. O estado
atômico em 3.1 é então escrito normalizado como estado escuro sob a seguinte forma geral:
|ψ
dark
=
1
√
α
2
+ Ω
2
Ωe
−iφ
Ω
e
−iω
b
t
|b − αe
−iφ
α
e
−iω
c
t
|c
, (3.14)
onde “dark” é traduzido para “escuro”, significando que o estado escuro |ψ
dark
não é
acoplado ao estado excitado através do hamiltoniano de interação.
Fisicamente, o elemento de matriz ψ
dark
|H
int
|a corresponde à amplitude de proba-
bilidade de que um átomo inicialmente no estado escuro seja excitado. Essa amplitude
de probabilidade é constituída de duas partes correspondentes às amplitudes de proba-
bilidade de que o átomo seja excitado por um dos dois caminhos distintos: por meio da
transição a ↔ b ou por meio da transição a ↔ c. A amplitude de probabilidade de que
o átomo seja excitado é proporcional a |ψ
dark
|H
int
|a|
2
e possui, portanto, um termo de
interferência entre os dois caminhos que, no caso do estado escuro, é destrutiva. Dessa
maneira, temos que o efeito de CPT é resultado de efeitos de interferência quântica [4].
26
3.2 A EIT Homogeneamente Alargada
3.2 A EIT Homogeneamente Alargada
Agora determinaremos o espectro da ressonância de EIT em átomos no estado de “quase”
repouso, tal que os principais mecanismos envolvidos no processo de alargamento do
espectro são os de decaimento populacional relacionados ao tempo de vida do estado
excitado e a intensidade do feixe de acoplamento Ω.
O processo de aferição do sinal de EIT é baseado na medida do quanto de energia foi
absorvida do feixe de prova ao passar pelo meio atômico, ou seja, estamos interessados na
absorção do feixe de prova α e indiretamente, na coerência induzida nos níveis atômicos
|a e |b.
Figura 3.1: Lembrete da fig. 2.5
A vantagem de se escolher o feixe de prova e não o
feixe de acoplamento reside no fato que o feixe de prova
α é definido como um feixe fraco de tal forma que podemos
desprezar os efeitos não-lineares associados. Como já argu-
mentado o observável físico envolvido no processo é a sus-
ceptibilidade, tal que podemos determinar a absorção anal-
isando sua parte imaginária, entretanto para determiná-la
precisamos determinar a coerência induzida pelos feixes de prova e de acoplamento através
da equação para evolução temporal do operador densidade com suas devidas correções em
2.9.
Inicialmente vamos determinar os termos fenomenológicos, ou seja, as matrizes Λ, B
e C. Para determinar a matriz Λ, escrita em 2.9 como mostramos abaixo,
i
dρ
dt
= [H, ρ(t)] −
i
2
{Λ, ρ}
+ i(B + C)
vamos considerar que existe somente o decaimento populacional do nível excitado, isto é,
desconsideramos troca de população entre os níveis de baixa energia |b e |c de mesma
paridade, pois, como anteriormente argumentado, não se realiza transições de dipolo
elétrico entre eles. Entretanto Javan e colaboradores [29] propuseram um modelo baseado
em uma troca de população entre esses níveis gerada pelo tempo de vôo através dos
27
3.2 A EIT Homogeneamente Alargada
feixes, isto é, os átomos saem da região de interação sem alterar as populações de b e c,
ao retornarem, têm suas populações equidistribuidas entre estes níveis, ou seja, o tempo
de vôo geraria troca de população que seria o mecanismo dominante da descoerência dos
estados “fundamentais”. Em primeira análise, desprezamos as colisões com as paredes da
célula, pois a troca de população resultante é muito baixa, uma vez que as dimensões da
célula são muito maiores do que as dimensões do feixe. No entanto em 2006 Figueroa e
colaboradores [36] mostraram que o principal mecanismo de descoerência entre os níveis
fundamentais é o defasamento sofrido pelos átomos ao sair da região de interação e retornar
. Portanto o único elemento não nulo da matriz Λ é o elemento Λ
aa
= γ
′
, que representa a
taxa de decaimento da população do estado excitado, e assim em representação matricial
[56], tal que “bras” ( |) representam colunas e “kets” (| ) linhas, dessa forma temos:
Λ
.
=
γ
′
0 0
0 0 0
0 0 0
(3.15)
A matriz A é então definida como:
A
.
=
0 0 0
γ
1
0 0
γ
2
0 0
(3.16)
tal que A
ba
= γ
1
significa que o estado b recebeu população provinda de a a uma taxa γ
1
e A
ca
= γ
2
representa o ganho de população do nível c provinda de a a uma taxa γ
2
, aqui
definimos γ
′
= γ
1
+ γ
2
. Portanto a Matriz B, definida em 2.8, é escrita abaixo:
B
.
=
0 0 0
0 γ
1
ρ
aa
0
0 0 γ
2
ρaa
(3.17)
28
3.2 A EIT Homogeneamente Alargada
A matriz C é definida, na representação matricial, por
C
.
=
0 0 0
0 0 γ
bc
ρ
bc
0 γ
bc
ρ
cb
0
(3.18)
tal que γ
bc
representa a descoerência entre os níveis b e c gerada por defasamento como
havíamos falado.
Para fins didáticos vamos escrever ρ na representação matricial,
ρ
.
=
ρ
aa
ρ
ab
ρ
ac
ρ
ba
ρ
bb
ρ
bc
ρ
ca
ρ
cb
ρ
cc
(3.19)
junto com o nosso hamiltoniano (H = H
0
+ H
(Λ)
int
)
H
.
=
ω
a
−αe
−i(ω
1
t+φ
α
)
−Ωe
−i(ω
2
t+φ
Ω
)
−αe
i(ω
1
t+φ
α
)
ω
b
0
−Ωe
i(ω
2
t+φ
Ω
)
0 ω
c
(3.20)
uma vez que temos produtos de H e ρ em sua equação de evolução temporal, a partir
da combinação 2.16, 2.18 e 2.14, esta última na aproximação de amplitude lentamente
variável dada por 2.41, de forma que se tenha
P
jk
= 2D
(µ)
jk
ρ
jk
e
−i(ω
µ
t+φ
µ
)
= ǫ
0
χE
(µ)
0
; µ = α, Ω (3.21)
29
3.2 A EIT Homogeneamente Alargada
podemos, motivados pela equação anterior, passar ρ para um referencial girante, onde
se faz:
ρ
ab
= σ
ab
e
−i(ω
1
t+φ
α
)
(3.22)
ρ
ac
= σ
ac
e
−i(ω
2
t+φ
Ω
)
(3.23)
ρ
cb
= σ
cb
e
−i[(ω
2
−ω
1
)t+(φ
Ω
−φ
α
)]
(3.24)
ρ
jj
= σ
jj
(3.25)
(3.26)
com ρ
∗
jk
= ρ
kj
que implica σ
∗
jk
= σ
kj
tal que σ tem a mesma interpretação física de ρ.
Sem dificuldades excessivas, podemos escrever as equações de evolução temporal para as
populações (σ
jj
) e coerências (σ
jk
) abaixo:
˙σ
aa
= −iα(σ
ab
− σ
ba
) − iΩ(σ
ca
− σ
ac
) − γ
′
σ
aa
(3.27a)
˙σ
bb
= −iα(σ
ba
− σ
ab
) + γ
1
σ
aa
(3.27b)
˙σ
cc
= −iΩ(σ
ac
− σ
ca
) + γ
2
σ
aa
(3.27c)
˙σ
ab
= −(
γ
′
2
+ i∆
ab
)σ
ab
+ iα(σ
bb
− σ
aa
) + iΩσ
cb
(3.27d)
˙σ
ac
= −(
γ
′
2
+ i∆
ac
)σ
ac
+ iα(σ
cc
− σ
aa
) + iασ
bc
(3.27e)
˙σ
cb
= −(γ
bc
+ i∆
cb
)σ
cb
− iασ
ca
+ iΩσ
ab
(3.27f)
onde fizemos ∆
ab
= ω
ab
− ω
1
, ∆
ac
= ω
ac
− ω
2
e ∆
cb
= ∆
ab
− ∆
ac
, tais quantidades são
definidas como dessintonias respectivas às transições (fig. 3.3). Vamos considerar que as
taxas γ
1
e γ
2
são aproximadamente iguais (fig. 3.2) uma vez que os níveis “b” e “c” são
muito próximos em energia, ou seja, γ
1
≃ γ
2
≡ γ
ab
≃ γ
ac
≡ γ que implica γ
′
= 2γ
ab
ou
γ
′
= 2γ
ac
, o que for mais conveniente. Quando tratarmos da técnica experimental para
obtenção da EIT, nosso sistema Λ será gerado a partir de um sistema de dois níveis com
30
3.2 A EIT Homogeneamente Alargada
Figura 3.2: Sistema de dois níveis degener-
ados em uma configuração Λ com respectivos
decaimentos.
Figura 3.3: Sistema Λ com respectivas dess-
intonias.
degenerescência Zeeman de forma que essa aproximação é válida. Definindo ainda, para
compactar a notação, uma constante como Γ = γ
jk
+ i∆
jk
, podemos escrever
˙σ
aa
= −iα(σ
ab
− σ
ba
) − iΩ(σ
ca
− σ
ac
) − γ
′
σ
aa
(3.28a)
˙σ
bb
= −iα(σ
ba
− σ
ab
) + γ
1
σ
aa
(3.28b)
˙σ
cc
= −iΩ(σ
ac
− σ
ca
) + γ
2
σ
aa
(3.28c)
˙σ
ab
= −Γ
ab
σ
ab
+ iα(σ
bb
− σ
aa
) + iΩσ
cb
(3.28d)
˙σ
ac
= −Γ
ac
σ
ac
+ iΩ(σ
cc
− σ
aa
) + iασ
bc
(3.28e)
˙σ
cb
= −Γ
cb
σ
cb
− iασ
ca
+ iΩσ
ab
(3.28f)
A essas equações deve ser acrescentada também a igualdade σ
aa
+ σ
bb
+ σ
cc
= 1 a qual
expressa a hipótese de que o sistema é fechado [4].
Para resolver este sistema de equações diferenciais acopladas vamos notar que o feixe
de prova α foi considerado como um feixe fraco, portanto podemos utilizar métodos per-
turbativos, isto é, expandir σ em termos de um parâmetro de interação perturbativo que
é a freqüência de Rabi α do feixe prova, ou seja,
σ =
n
σ
(n)
α
n
(3.29)
31
3.2 A EIT Homogeneamente Alargada
inserindo essa expansão na equação óptica de Bloch (ou na equação para evolução tempo-
ral de ρ devidamente corrigida) na página 10, temos, em até primeira ordem da expansão:
˙σ
(0)
= −
i
H
0
, σ
(0)
−
i
H
Ω
int
, σ
(0)
+
∂σ
(0)
∂t
rel
(3.30)
˙σ
(1)
= −
i
H
0
, σ
(1)
−
i
H
α
int
, σ
(0)
−
i
H
Ω
int
, σ
(1)
+
∂σ
(1)
∂t
rel
(3.31)
tal que se faz inicialmente α = 0 em 3.28a-3.28f para obter as equações de ordem zero,
como pode ser visto nestas duas equações acima
3
. Portanto, em ordem zero temos
˙σ
(0)
aa
= −iΩ(σ
(0)
ca
− σ
(0)
ac
) − γ
′
σ
(0)
aa
(3.32a)
˙σ
(0)
bb
= γ
1
σ
(0)
aa
(3.32b)
˙σ
(0)
cc
= −iΩ(σ
(0)
ca
− σ
(0)
ac
) + γ
2
σ
(0)
aa
(3.32c)
˙σ
(0)
ab
= −Γ
ab
σ
(0)
ab
+ iΩσ
(0)
cb
(3.32d)
˙σ
(0)
ac
= −Γ
ac
σ
(0)
ac
+ iΩ(σ
(0)
cc
− σ
(0)
aa
) (3.32e)
˙σ
(0)
cb
= −Γ
cb
σ
(0)
cb
+ iΩσ
(0)
ab
(3.32f)
e em primeira ordem
˙σ
(1)
aa
= −iα(σ
(0)
ab
− σ
(0)
ba
) − iΩ(σ
(1)
ca
− σ
(1)
ac
) − γ
′
σ
(1)
aa
(3.33a)
˙σ
(1)
bb
= −iα(σ
(0)
ba
− σ
(0)
ab
) + γ
1
σ
(1)
aa
(3.33b)
˙σ
(1)
cc
= −iΩ(σ
(1)
ca
− σ
(1)
ac
) + γ
2
σ
(1)
aa
(3.33c)
˙σ
(1)
ab
= −Γ
ab
σ
(1)
ab
+ iα(σ
(0)
bb
− σ
(0)
aa
) + iΩσ
(1)
cb
(3.33d)
˙σ
(1)
ac
= −Γ
ac
σ
(1)
ac
+ iΩ(σ
(1)
cc
− σ
(1)
aa
) + iασ
(0)
bc
(3.33e)
˙σ
(1)
cb
= −Γ
cb
σ
(1)
cb
− iασ
(0)
ca
+ iΩσ
(1)
ab
(3.33f)
este procedimento é análogo ao feito por Carvalho [48].
Agora estes dois sistemas de equações podem ser resolvidos iterativamente, isto é,
aplicaremos condições de contorno, a seguir, para obter as soluções em ordem zero e em
3
Em ordem zero não temos nenhum termo em α
32
3.2 A EIT Homogeneamente Alargada
seguida iteraremos essas soluções para a primeira ordem. Para simplificar vamos assumir
que o feixe forte foi ligado em t = −∞ enquanto o probe é ligado em t = 0, além disso
estamos interessados no estado estacionário, ˙σ = 0, a saber,
0 = −iΩ(σ
(0)
ca
− σ
(0)
ac
) − γ
′
σ
(0)
aa
(3.34a)
0 = γ
1
σ
(0)
aa
(3.34b)
0 = −iΩ(σ
(0)
ca
− σ
(0)
ac
) + γ
2
σ
(0)
aa
(3.34c)
0 = −Γ
ab
σ
(0)
ab
+ iΩσ
(0)
cb
(3.34d)
0 = −Γ
ac
σ
(0)
ac
+ iΩ(σ
(0)
cc
− σ
(0)
aa
) (3.34e)
0 = −Γ
cb
σ
(0)
cb
+ iΩσ
(0)
ab
(3.34f)
de forma que para obtermos as soluções em ordem zero podemos argumentar brevemente
que ocorre um bombeio óptico, ou seja, uma vez que tenhamos ligado o feixe forte, este
irá popular o estado “b” por decaimento espontâneo, isto é,σ
(0)
aa
= σ
(0)
cc
= 0 e σ
(0)
bb
≃ 1,
que implica σ
(0)
ab
= σ
(0)
ac
= σ
(0)
cb
= 0, pois não temos diferença de população nem coerência
induzida “ab” uma vez que o feixe fraco está desligado.
Interessados na absorção do feixe de prova, precisamos então determinar somente a
coerência no estado estacionário σ
(1)
ab
, que é puramente determinada a partir das soluções
em ordem zero e das equações
3.33d e 3.33f, para ser
σ
(1)
ab
=
iαΓ
cb
Γ
cb
Γ
ab
+ Ω
2
(3.35)
e a partir de 3.21, notando-a no referencial girante, obtemos para a susceptibilidade
relacionada ao feixe de prova a seguinte expressão:
χ
α
=
2ND
α
ab
σ
ab
E
α
0
ε
0
=
iηΓ
cb
Γ
cb
Γ
ab
+ Ω
2
(3.36)
onde fizemos η =
N(D
α
ab
)
2
ǫ
0
uma constante.
33
3.2 A EIT Homogeneamente Alargada
Para determinar a forma de linha da EIT (a forma da absorção), vamos notar que o
feixe forte está ressonante em sua transição e que os níveis de baixa energia são pratica-
mente degenerados de acordo com a figura 3.2, isto é, possuem a mesma energia de forma
que ω
ab
= ω
ac
= ω
2
, e assim podemos expressar as dessintonias em termos de uma geral,
relativa à diferença entre os feixes, isto é, δ ≡ ω
2
− ω
1
, de forma que,
∆
ab
= δ (3.37)
∆
ac
= 0 (3.38)
∆
cb
= δ (3.39)
Portanto, a susceptibilidade é escrita como
χ
α
(δ) =
iη(γ
bc
+ iδ)
(γ
bc
+ iδ)(γ + iδ) + Ω
2
(3.40)
de tal forma que nos resta apenas tomar a parte imaginária desta, para obtermos a
absorção do feixe de prova cuja forma de linha se encontra esboçada em termos de δ na
figura 3.4.
Figura 3.4: Curvas representando a ressonân-
cia de EIT e a absorção do feixe fraco para
Ω = 0.
Figura 3.5: Curvas representando as disper-
sões, na ressonância de EIT e sem o feixe forte,
Ω = 0.
34
3.2 A EIT Homogeneamente Alargada
Haja vista o cancelamento da absorção, vimos no inicio do capítulo que para certas
condições, o meio torna-se-ia completamente transparente aos feixes, como é possível ver
acima (fig. 3.4), para δ = 0 (que é a condição de ressonância de dois fótons no EIT) o
efeito é comprovado.
Para compreendermos melhor o que se mostra na figura, vamos escrever a expressão
para 3.40 como uma fração parcial a partir dos pólos δ
+
≈ −iγ e δ
−
≈ −i(γ
bc
+
Ω
2
γ
), a
saber,
χ
α
(δ) = iη
1
γ + iδ
−
Ω
2
/γ
iδ + (γ
bc
+
Ω
2
γ
)
(3.41)
onde supomos que γ
bc
, Ω ≪ 2γ e que γ
bc
≪ Ω, isto implica uma relaxação lenta para a
coerência e um feixe forte não saturante, respectivamente, onde o decaimento espontâneo
é superior a taxa de “bombeio óptico”
4
. E tomando a parte imaginária a partir de 3.41,
temos para absorção
ℑm{χ
α
(δ)} ∝
γ
2
γ
2
+ δ
2
−
Ω
2
/γ(γ
bc
+
Ω
2
γ
)
δ
2
+ (γ
bc
+
Ω
2
γ
)
2
(3.42)
ou seja, o espectro do EIT é determinado pela superposição de duas lorentzianas. A
primeira que descreve a absorção do sistema sem o campo Ω e a segunda de sinal contrário,
bem mais estreita, responsável pelo “dip” (buraco).
3.2.1 A Largura da EIT
Uma vez que as que as larguras a meia altura (FWHM, “Full Width at Half Maximum”)
das lorentzianas são dadas por 2|δ
u
| onde u = −, +, então a largura para a ressonância
de EIT (Γ
EIT
) é determinada pela largura do “dip” dada por:
Γ
EIT
= 2|δ
−
|
= 2γ
bc
+
2Ω
2
γ
(3.43)
4
Ato de excitar átomos.
35
3.2 A EIT Homogeneamente Alargada
donde podemos concluir que a largura de EIT varia linearmente com a Intensidade do feixe
de acoplamento, tal que I
Ω
∝ Ω
2
. E tende para um valor limite que é a taxa de defasa-
mento dos estados fundamentais γ
bc
, para baixas intensidades do feixe de acoplamento.
É possível ver na figura 3.4 em azul correspondente ao campo de acoplamento ligado
(Ω = .5γ) que a largura total da absorção, referente ao primeiro termo entre colchetes
de 3.42, é mais largo do que a ressonância equivalente para Ω = 0, isto é, um alarga-
mento da curva natural devido a potência do feixe de acoplamento, pois ao mesmo tempo
que o feixe de acoplamento induz a transparência no meio (um efeito coerente), ele tam-
bém bombeia opticamente alguns átomos para o estado “b” incoerentemente, aumentando
assim a absorção do feixe de prova.
3.2.2 O Contraste da EIT
Definimos aqui o contraste (C) da ressonância de EIT dentro das aproximações feitas
como a razão da amplitude do “dip” relativa a amplitude da absorção linear (Ω = 0):
C ≡
ℑm{χ
α
(δ = 0, Ω = 0)}
ℑm{χ
α
(δ = 0, Ω)}
(3.44)
por exemplo,
C =
1
1 −
Ω
2
γ
(γ
bc
+
Ω
2
γ
)
−1
(3.45)
C =
1
1 −
Ω
2
γ
γ
bc
+
Ω
2
γ
(3.46)
portanto, quando tivermos γ
bc
→ 0 o contraste vai a infinito, isto é, um contraste perfeito.
Desse modo para melhorar o contraste temos que decrementar o γ
bc
que está relacionado
ao tempo de interação dos átomos com os feixes, como vimos na página 28, uma solução
para isso é a de aumentar a cintura dos feixes, porém aumentando a secção transversal
dos feixes perdemos intensidade.
Se essa defasagem é muito forte (γ
bc
∼ γ), temos um comprometimento da transparên-
cia obtida na ressonância, o que é fisicamente intuitivo, tendo em vista que a transparência
36
3.2 A EIT Homogeneamente Alargada
é resultado do bombeamento dos átomos para um estado escuro que é uma superposição
coerente dos níveis fundamentais . Com um forte decaimento dessa coerência, o estado
escuro é rapidamente “destruído”. Podemos obter uma transparência completa aumen-
tando a freqüência de Rabi do feixe de acoplamento, para grandes taxas de defasagem,
enquanto que, para pequenas γ
bc
≪ γ (10
−6
γ), a transparência pode ser total mesmo para
baixas potências do feixe de acoplamento.
3.2.3 A Dispersão e a Luz Lenta
Para determinarmos a dispersão é necessário tomar a parte real da suscetibilidade em
3.41, ou usar as relações de Kramers-Krönig. Tomando a parte real,
ℜe{χ
α
(δ)} ∝
−
γδ
γ
2
+ δ
2
+
δΩ
2
/γ(γ
bc
+
Ω
2
γ
)
δ
2
+ (γ
bc
+
Ω
2
γ
)
2
(3.47)
Assim como na absorção, aqui também temos duas formas de linhas características, a
primeira correspondendo a uma dispersão bem conhecida na literatura que é a curva
de dispersão de um sistema de dois níveis e um campo acoplado (aqui corresponde a
Ω = 0) que na região próxima a ressonância corresponde a uma abrupta queda no índice
de refração
5
acompanhada de uma alta absorção, a segunda corresponde a uma dispersão
anômala, afetada pela presença do feixe de acoplamento, conforme é mostrado na Figura
3.5. O mais notável na curva de dispersão é a grande inclinação dessa curva nas prox-
imidades da ressonância(δ = 0). Essa grande inclinação faz com que o índice de refração
no meio sob condição de EIT varie muito rapidamente com a freqüência de um tal modo
que podemos ter alta dispersão e baixa absorção. Isto nos sugere avaliar a velocidade
de grupo nas regiões próximas à ressonância. Uma usual expressão para a velocidade de
grupo é dada por
v
g
=
c
n +
dn
dω
ω
(3.48)
5
n − 1 = ℜeχ.
37
3.2 A EIT Homogeneamente Alargada
onde n
g
= n +
dn
dω
ω é o índice de refração do grupo. Em torno de δ = 0, temos:
∂n
∂ω
1
= −
∂n
∂δ
∝
2Ω
2
γ
1
(γ
bc
+ Ω
2
γ)
2
(3.49)
e assim temos que
∂n
∂ω
1
>> 1 que implica uma v
g
≪ c, ou seja, luz lenta. Harris e
colegas em 1999 foram os primeiros a observar velocidades de grupo da luz da ordem
da de um ciclista, cerca de 17m/s [57]. Luz lenta tem várias aplicações, como exemplo,
armazenamento de luz, processamento de informações quânticas, dentre outras.
3.2.4 A Fenomenologia da EIT
A origem física da ressonância de EIT pode ser compreendida de vários pontos de vista,
claro que todos equivalentes. Vamos apresentar dois deles: a interpretação na base do
estado escuro e a interpretação na representação dos estados vestidos do átomo.
Estados Escuros
Em termos dos estados escuros, que discutimos na última seção, existe uma remarcável
diferença entre EIT e CPT. No CPT assumimos que os átomos foram inicialmente prepara-
dos no estado escuro, enquanto na EIT eles são bombeados para o estado escuro pela ação
conjunta dos feixes de acoplamento e de prova. Isso pode ser visto a partir da equação
3.14, introduzindo as fases φ
α
e φ
Ω
dentro dos autoestados atômicos
6
e escrevendo-a na
base de autoestados girantes {|u}
u=a,b,c
→ {e
iω
u
t
|˜u}
u=a,b,c
, sob a condição pertubativa
que utilizamos, tendo α como parâmetro de pequeneza (α << Ω), ou seja,
|ψ
dark
≈ |
˜
b (3.50)
agora é possível ver que a transparência completa acontece quando se popula todos os
átomos no nível “b”.
6
Podemos sempre fazer isso.
38
3.2 A EIT Homogeneamente Alargada
Estados Vestidos
Podemos elucidar melhor alguns aspectos referentes ao efeito da EIT na abordagem dos
estados vestidos dos átomos (“dressed states”) [1]. Para determinar essa representação
vamos supor, inicialmente, um sistema atômico de dois níveis e um laser monomodo quasi-
ressonante com a transição atômica, tal que negligenciaremos a interação, isto é, H
int
≈ 0.
O hamiltoniano total dos dois sistemas, átomo e laser, com o campo do laser tratado
quanticamente, é dado por H = H
A
+ H
L
, onde H
A
é o hamiltoniano do átomo, tendo
autoestados |a, |b com energias ω
a
e ω
b
respectivamente; e H
L
= ω
L
ˆa
†
ˆa + 1/2
o
hamiltoniano quântico do Laser [51], onde ˆa
†
e ˆa são, respectivamente, os operados de
criação e aniquilação e ω
L
é a freqüência do modo “L” do campo.
Os auto-estados do sistema átomo e campo são, então, determinados por dois números
quânticos, ou seja, os autoestados produto |u⊗|{N}
L
, onde temos um número quântico
para o átomo (a ou b) e um número quântico que define o número de fótons N presentes
no modo considerado.
Os estados |a, N e |b, N + 1 têm aproximadamente a mesma energia, sendo separados
em freqüência por δ
L
= ω
ab
− ω
L
. O subespaço formado por esses dois níveis é escrito
na forma: S(N ) = {|a, N, |b, N + 1}, isto é, informalmente dizemos que o nível de
energia correspondente ao estado atômico b pode ser atingido pelo nível a quando deste
é retirado um fóton do modo ω
L
e o nível a pode ser atingido quando neste é somado
um fóton ao nível b. Vamos escrever S(N) em uma nova base |± = |a, N ± |b, N + 1.
Uma imagem pictórica da obtenção dos átomos vestidos pelo campo é mostrada na figura
3.6. O hamiltoniano de interação átomo-campo H
int
na aproximação de dipolo elétrico
Figura 3.6: Produto exemplificativo dos estados vestidos.
39
3.2 A EIT Homogeneamente Alargada
perturba os autoestados dentro de cada subespaço quebrando a degenerescência |+ e
|− denominados estados vestidos que são separados em energia por 2Ω
′
= 2
Ω
2
+ δ
2
L
,
onde Ω é a freqüência de Rabi do feixe. A Figura
3.7 mostra esse deslocamento que é
denominado Deslocamento Stark dos estados vestidos. Voltando, agora, para o sistema de
Figura 3.7: Quebra da degenerescência pelo H
int
.
três níveis e, considerando que o feixe de acoplamento está ressonante com a transição a ↔
c, temos que este promove um deslocamento Stark do nível excitado |a e do “fundamental”
|c sendo que os novos estados são separados por 2Ω. Dessa forma passam a existir dois
caminhos pelos quais um átomo em |b pode absorver o feixe de sinal. Se Ω
2
< γ, os dois
caminhos são indistinguíveis e, portanto, pode ocorrer interferência destrutiva entre esses
dois caminhos cancelando a absorção do feixe de sinal (fig. 3.8). O efeito de EIT pode,
então, ser interpretado como resultado dessa interferência [7]. No caso de Ω > γ, os dois
caminhos passam a ser distinguíveis e, apesar de termos, ainda, uma absorção nula na
condição de ressonância, não existe EIT. O Espectro de absorção apresenta dois picos de
absorção bem definidos (fig. 3.9) denominados dubleto de Autler-Townes [58].
40
3.3 O Efeito Doppler e a Ressonância de EIT
Figura 3.8: Interpretação de EIT em termos do deslocamento Stark dos estados vestidos. Onde temos
∆E = 2Ω < 2γ, ou seja, os dois caminhos são indistinguíveis o que pode resultar em uma interferência
destrutiva entre eles, se isso ocorrer, teremos EIT.
Figura 3.9: Aqui temos ∆E > 2γ e os dois caminhos são distinguíveis, ou seja, temos o Dubleto de
Autler-Townes pois não ocorre interferência quântica [1].
3.3 O Efeito Doppler e a Ressonância de EIT
Nesta secção vamos tratar a ressonância de EIT inomogeneamente alargada, isto é, vamos
considerar que o principal meio de alargamento das formas de linha reside no movimento
41
3.3 O Efeito Doppler e a Ressonância de EIT
dos átomos, ao passo que na prévia os átomos eram considerados em quase repouso,
onde, os principais mecanismos de alargamento aram o alargamento por potência do
feixe de acoplamento e o defasagem dos estados atômicos. Neste presente caso devemos
considerar o efeito Doppler, pois os átomos que estão se movendo a uma velocidade v
irão interagir com os feixes em diferentes freqüências. Então devemos tomar a média
da polarização macroscópica, que representa a resposta do meio a radiação incidente,
sobre toda a distribuição de freqüências determinada pela distribuição de velocidades dos
átomos no referencial do laboratório. O alargamento Doppler é também a origem dos
efeitos de “hole burning”
7
e “Lamb dip ” (similar ao hole burning) [60]. Feld e Javan,
em 1964 [61], descobriram linhas estreitas induzidas por laser em um sistema de três
níveis e notavelmente observaram que a largura dessas linhas estreitas eram linearmente
proporcionais à freqüência de Rabi do feixe de acoplamento.
Considere um átomo que se movimenta com uma certa velocidade v. A interação desse
átomo com um feixe de freqüência ω
0
e vetor de onda
k ocorre como se o feixe tivesse
a freqüência ω = ω
0
−
k · v. No caso do átomo de 3 níveis interagindo com o feixe de
acoplamento e com o feixe de prova, temos:
∆
ab
−→ ∆
ab
+
k
α
·v (3.51)
∆
ac
−→ ∆
ac
+
k
Ω
·v (3.52)
∆
cb
−→ ∆
cb
+
k
α
−
k
Ω
·v, (3.53)
onde
k
α
e
k
Ω
são os vetores de onda dos feixes de prova e de acoplamento respectivamente.
O termo
k
α
−
k
Ω
· v é denominado deslocamento Doppler residual. Em muitas
aplicações importantes, esse termo é desprezível tendo em vista que os feixes de prova e
de acoplamento são co-propagantes e k
α
≈ k
Ω
. Esse termo é responsável pela dependência
angular da largura de EIT, que foi estudada e aplicada por dos Santos, de Carvalho e
Tabosa [4,35, 48,62].
7
Em um sistema de dois níveis sujeito a um campo fraco em que se obtenha a absorção linear, é possível
pela aplicação de um feixe forte contra propagante saturar a transição de forma a reduzir a absorção do
feixe fraco. Note que neste processo não existe nenhum evento de interferência quântica. A absorção
aqui é reduzida por superalimentar o meio atômico. [59].
42
3.3 O Efeito Doppler e a Ressonância de EIT
Como fizemos anteriormente, vamos supor que o feixe de acoplamento está ressonante
com sua transição e que o sistema Λ é quase degenerado de forma que ω
bc
= 0 implicando
em ω
2
= ω
ab
e com mesma sorte
∆
ab
−→ δ +
k
α
·v (3.54)
∆
ac
−→
k
Ω
·v (3.55)
∆
cb
−→ δ (3.56)
que implica
Γ
ab
= γ + i(δ +
k ·v) (3.57)
Γ
cb
= γ
bc
+ iδ (3.58)
ou seja, temos uma susceptibilidade (3.36) dependente da velocidade,
χ → χ(δ,v) (3.59)
Ao considerarmos os feixes co-propagantes implicou a unidimensionalidade das classes de
velocidades, pois a integração em velocidade é feita apenas na componente de v na direção
dos feixes. Ainda a distribuição de velocidades de um gás de partículas não interagentes
é descrita pela função de distribuição de Maxwell-Boltzmann, que se aplica para nossos
átomos considerados neutros. Cumprindo todas as prerrogativas, podemos tomar a média
de 3.59 no ensemble de velocidades dos átomos,
χ
[v]
(δ) ≡ χ(δ)
v
=
∞
−∞
f(v)χ(δ, v)dv (3.60)
tal que f(v) é a função de distribuição de Maxwell-Boltzmann dada por
f (v) =
1
u
√
π
e
−
v
2
u
2
, (3.61)
43
3.3 O Efeito Doppler e a Ressonância de EIT
onde u é denominada velocidade térmica e corresponde à velocidade mais provável do
átomos dada por u =
(2k
B
T ) /m, onde “m” é a massa do átomo, k
B
é a constante
de Boltzmann e “T” é a temperatura do sistema. A largura da função distribuição de
velocidades é denominada largura Doppler e, no caso do sistema considerado, é dada por:
∆ω
D
= 2
ln(2)ku.
Em relação à largura da distribuição de velocidades, existem dois limites importantes
a serem considerados. O primeiro limite corresponde à situação onde ∆ω
D
≫ γ e é
denominado limite de átomos quentes. O segundo limite corresponde à situação onde
∆ω
D
≪ γ e é denominado limite de átomos frios. O primeiro é o limite do qual nos
ocuparemos na maior parte desse trabalho.
Vamos tentar então determinar ℑm
χ
[v]
(δ)
fazendo algumas considerações, tais
como, Ω
2
≫ γγ
bc
e γ ≫ γ
bc
, que refletirão nossa situação experimental. Sob essas consid-
erações a parte imaginária de 3.36 é escrita como
χ
′′
= ℑm[χ] ≃
η [γ
bc
(Ω
2
− ∆
2
ab
) + γ∆
2
ab
]
(Ω
2
− ∆
2
ab
)
2
+ γ
2
∆
2
ab
(3.62)
de forma que agora temos, ao incluir o efeito Doppler na equação acima
ℑm
χ
[v]
(δ)
=
1
u
√
π
∞
−∞
dv
η [γ
bc
[Ω
2
− (δ + kv)
2
] + γ(δ + kv)
2
]
[Ω
2
− (δ + kv)
2
]
2
+ γ
2
(δ + kv)
2
e
−
v
2
u
2
(3.63)
Portanto é uma integral complexa para se resolver. No entanto, resultados são geral-
mente obtidos numericamente. Após a integração numérica, onde escrevemos uma rotina
em “c++” usando o algoritmo de integração de Romberg [63] para realizá-la, o espectro
de absorção num meio com alargamento Doppler é apresentado na figura 3.10. Um com-
parativo entre as ressonâncias de EIT homogeneamente e inomogeneamente alargada é
mostrado nas figuras 3.11a e 3.11b, donde é possível ver que supondo a área sob a curva
da EIT constante sobre a variação da absorção em função do parâmetro velocidade, a
altura do pico deve cair drasticamente, como observado, ou seja a absorção do feixe de
prova, na EIT-Doppler, é distribuída em todas as classes de velocidades de acordo com a
função peso de Maxwell-Boltzmann. E a partir da figura 3.11b, é possível acreditarmos
44
3.3 O Efeito Doppler e a Ressonância de EIT
Figura 3.10: Espectro de absorção do feixe de sinal para átomos quentes, ku = 86γ
(a) Escala 1:1 (b) Escala 200:1
Figura 3.11: (a) Superposição em mesma escala vertical das ressonâncias de EIT-Doppler com ku = 86γ
e EIT v = 0. (b) Superposição em um intervalo de freqüência pequeno em torno da ressonância δ = 0
com escala vertical relativa de 200 : 1 respectivamente à EIT-Doppler com ku = 86γ e à EIT-Natural.
que o dip da EIT-Doppler se estreita em relação à EIT-Natural. Para entender o porquê,
vamos esboçar algumas ressonâncias para grupos de velocidades distintos, tal que este
procedimento é equivalente ao de dessintonizar o feixe de acoplamento de sua transição.
A figura 3.12 mostra a superposição de quatro curvas de EIT para os respectivos grupos
de velocidades kv = 0, kv = 0.4γ, kv = 0.8γ e kv = 1.5γ, para os quais nota-se uma
espécie de compressão, como indica a seta, em 0 ≤ δ ≤ ∞ e uma espécie de esticamento,
da direita para esquerda, no intervalo −∞ ≤ δ ≤ 0. A figura 3.14 esboça a superposição
45
3.3 O Efeito Doppler e a Ressonância de EIT
Figura 3.12: Superposição das ressonâncias de EIT para diferentes grupos de velocidades maiores do
que zero.
de grupos de velocidades negativos respectivamente, kv = 0, kv = −0.4γ, kv = −0.8γ
e kv = −1.5γ, com compressão e esticamento em sentidos contrários à figura 3.12 nas
respectivas regiões −∞ ≤ δ ≤ 0 e 0 ≤ δ ≤ ∞.
Figura 3.13: Superposição das ressonâncias de EIT para diferentes grupos de velocidades menores do
que zero.
E portanto vamos tomar a convolução, uma vez que queremos saber o efeito da
função de distribuição (M-B) em cada χ
′′
(δ, kv
i
), particularmente para a EIT-Natural,
o χ
′′
(δ, kv
i
= 0), ou seja ao elemento kv = 0 do conjunto dos grupos de velocidade con-
46
3.3 O Efeito Doppler e a Ressonância de EIT
Figura 3.14: Superposição das ressonâncias de EIT para todos os grupos de velocidades, resultando no
estreitamento.
siderados. Este produto de convolução é um produto discreto, cuja expressão
8
é escrita
abaixo
˘χ
′′
(δ, kv
i
) =
n−1
j=0
f(kv
j
)χ
′′
(δ, kv
i
− kv
j
) (3.64)
tal que “n” é o número de elementos do conjunto
kv = {−1.5γ, −0.8γ, −0.4γ, 0 , 0.4γ, 0.8γ, 1.5γ}
No entanto essa convolução se degenera para uma média aritmética no caso em que
f(kv
i
) ≈ 1, pois escolhemos grupos de velocidades pequenos, de forma que se continue
próximo a ressonância. A saber, temos o esboço da convolução na figura 3.15. Note que,
para sete grupos de velocidade o máximo de absorção já decresceu em quase a metade.
Isto nos sugere então, que ao se realizar a integração em todas as velocidades o máximo
de absorção deveria se anular, no entanto é possível intuir que para classes de velocidades
muito altas o feixe já não se encontra ressonante e ainda a função peso (M-B) é próxima
8
Esta expressão é obtida a partir da integral de convolução:
˘g(τ ) =
∞
−∞
f(x)g(x − τ )dx
passando ao regime discreto tomando x = kv
j
, τ = kv
i
e
j
=
dx.
47
3.3 O Efeito Doppler e a Ressonância de EIT
(a) Superposição (b) Convolução Deslocada
Figura 3.15: (a) Superposição da EIT-Natural (kv = 0) com o sinal convoluído em sete grupos de
velocidades. (b) Superposição da EIT-Natural e a convolução deslocada para coincidir os máximos de
absorção de forma a tornar mais evidente o estreitamento.
de zero, de forma que a absorção seja quase que equidistribuida se reduzindo a 2% do
que era antes. Ou seja, somente participam do processo, átomos cujas velocidades não
resultam em um deslocamento Doppler grande comparado à largura de linha natural. No
centro dela, onde temos átomos com baixo deslocamento Doppler, acontece o sinal de
EIT-Doppler. No outro extremo de baixas velocidades, onde ku ≪ γ, a largura de EIT se
aproxima da largura determinada apenas pelos mecanismos de alargamento homogêneo.
Portanto, o motivo pelo qual o “dip” da EIT-Doppler é mais estreito é justamente aquela
redução da potência do feixe de acoplamento nos grupos que contribuem para o dip, isto
é, a potência é subdividida em todas as classes de velocidade para que a área sob a curva
de absorção fique constante como suposto.
Uma interpretação física do efeito de estreitamento da ressonância de EIT num meio
inomogeneamente alargado pode ser obtida utilizando a interpretação de EIT em termos
do deslocamento Stark dos estados vestidos [2].
48
3.3 O Efeito Doppler e a Ressonância de EIT
Figura 3.16: Nos diagramas laterais temos o efeito do deslocamento Doppler tanto na freqüência do
feixe de prova quanto no deslocamento Stark entre os estados vestidos {|+, |−}. Em ambos os casos,
um dos estados vestidos se aproxima do estado inicial |a [2].
Conforme mostra a figura 3.16, o deslocamento entre os estados vestidos, representados
por {|+, |−}, é igual a 2Ω se o feixe de acoplamento estiver na condição de ressonância e
o meio for homogeneamente alargado. Para um átomo com velocidade v, a freqüência do
feixe de controle é ω = ω
ac
−
k·v e o deslocamento Stark é dado por 2Ω
′
= 2
Ω
2
+ |
k ·v|
2
.
Para um átomo que se movimenta na direção contrária à de propagação do feixe de
acoplamento, sua freqüência é deslocada como mostra a figura 3.16 e o estado vestido
|− se aproxima do estado excitado |a. Para um átomo que se movimenta no sentido
contrário, o estado |+ se aproxima da ressonância. Com isso, temos uma largura de EIT
mais estreita.
Note que o contraste é comprometido quando inserimos o sistema em uma distribuição
de velocidades, pois ao ser reduzida a intensidade dos feixes nos grupos que contribuem
para o dip, o sistema pode sair das condições de transparência total. A exemplo o contraste
da EIT-Natural vale C = 53.7 e do EIT-Doppler C = 1.8.
3.3.1 A Largura da EIT-Doppler
Como vimos a integração de χ(δ, v) é um tanto complexa com uma função de distribuição
gaussiana (M-B), no entanto, se a aproximarmos para uma forma loretziana [64] de mesma
largura e máximo:
g(kv) =
√
π ln 2
∆ω
D
/π
(kv)
2
+ ∆ω
2
D
(3.65)
49
3.3 O Efeito Doppler e a Ressonância de EIT
torna-se possível usar um contorno no plano complexo, isto é razoável, pois elas diferem
somente nas asas, que correspondem a grandes velocidades onde os feixes estão muito
dessintonizados e interagem fracamente. Partindo então de
χ
[v]
(δ) =
∞
−∞
g(kv)χ(δ, kv)dv (3.66)
onde temos:
χ
[v]
(δ) =
∞
−∞
dv
√
π ln 2
∆ω
D
/π
(kv)
2
+ ∆ω
2
D
·
iη(γ
bc
+ iδ)
(γ
bc
+ iδ)[γ + i(δ + kv)] + Ω
2
(3.67)
cujos pólos, correspondentes em 1 para a susceptibilidade e dois para a distribuição, são
kv
1
= δ
Ω − γ
2
bc
− δ
2
γ
2
bc
+ δ
2
+ i
δ
2
γ + γ
2
bc
γ + γbcΩ
2
γ
2
bc
+ δ
2
(3.68)
kv
2
= ±i∆ω
D
(3.69)
de maneira que podemos agora aplicar o teorema dos resíduos para encontrar
χ
[v]
(δ) = 2η
√
π ln 2
iγ
bc
+ δ
(γ
bc
− iδ)(2γ + ∆ω
D
− 2iδ) +
Ω
2
2
(3.70)
Analogamente ao procedimento para determinar a largura da EIT-Natural, vamos
abaixo determinar os pólos de 3.70 com W = 2γ + ∆ω
D
,
δ
+
= −i
γ
bc
2
− i
W
4
+
1
4
−4 γ
2
bc
+ 4 γ
bc
W − W
2
+ 4 Ω
2
(3.71)
δ
−
= −i
γ
bc
2
− i
W
4
−
1
4
−4 γ
2
bc
+ 4γ
bc
W − W
2
+ 4 Ω
2
(3.72)
ainda, notando dentro da raiz, W ≫ γ
bc
e
Ω
2
W
2
≪ 1, segue para uma expansão,
δ
+
≃ −i(γ
bc
+
2Ω
2
W
) (3.73)
δ
−
≃ −i
W
2
(3.74)
50
3.3 O Efeito Doppler e a Ressonância de EIT
E as larguras são então escritas a partir de 2|δ
i
| respectivamente,
Γ
D
EIT
= 2γ
bc
+
4Ω
2
∆ω
D
+ 2γ
(3.75)
Γ
dopp
= ∆ω
D
(3.76)
tal que foi possível deduzir que a maior largura corresponde a largura doppler para Ω = 0
e a menor largura ao dip (EIT-Doppler).
A expressão 3.75 indica que para o regime em que Ω
2
≫ γγ
bc
a dependência da largura
da EIT-Doppler é linear com a intensidade I ∝ Ω
2
. Para verificarmos isto vamos traçar,
na figura 3.17, várias dependências desta largura em função do quadrado da freqüência
de Rabi do feixe forte, usando o algoritmo de integração descrito no apêndice, para vários
valores da taxa de defasamento, isto é, para diferentes γ
bc
.
Figura 3.17: Dependência da largura da EIT-Doppler, em função da intensidade do feixe de acoplamento
integrada numericamente para diferentes parâmetros de defasamento dos níveis de baixa energia, γ
bc
.
Portanto, no regime em que Ω
2
≫ γγ
bc
, isto é, para pequenas taxas de defasagem γ
bc
,
a dependência é linear com a intensidade como mostraremos no capítulo 5, que descreve
o experimento desta dependência. Portanto, este fato pode ser usado para determinar
nosso γ
bc
experimental por extrapolar a curva obtida ao zero de intensidade.
51
Capítulo 4
O Efeito Zeeman na Ressonância de
EIT em Vapor de Césio: A Dupla
Ressonância de EIT-Doppler
Neste capítulo apresentaremos a estrutura fina e a estrutura hiperfina dos níveis atômicos
do césio e faremos uma análise da ressonância de EIT sob a ação de um campo magnético
externo responsável pelo efeito Zeeman. Apresentaremos o sistema Λ determinado a partir
da estrutura atômica do césio e das polarizações dos feixes de laser. Então apresentaremos
os fundamentos teóricos e a descrição da produção da dupla ressonância de EIT-Doppler
e sua aplicação à magnetometria.
4.1 A Estrutura Fina e Hiperfina do Césio
No primeiro capítulo, onde definimos o hamiltoniano do sistema átomo-campo, analisamos
o hamiltoniano de interação e tratamos o hamiltoniano do átomo de forma simplificada,
isto é, desprezamos graus de liberdade dependentes dos spins do próton e do elétron. Agora
vamos tratar os sistema atômico real cujas interações envolvendo esses graus de liberdade
adicionais serão incluídas. Vamos considerar somente as interações que são relevantes
para o contexto atômico, ou seja, as de origem eletromagnética que estão ligadas ao fato
52
4.1 A Estrutura Fina e Hiperfina do Césio
experimental de que ao spin do elétron e ao spin do próton estão associados momentos
de dipolo magnético µ
e
e µ
p
que podem ser escritos, no sistema internacional, em termos
dos respectivos operadores de spin como
µ
e
= −g
e
e
2m
e
S
(e)
e µ
p
= g
p
e
2m
p
S
(p)
(4.1)
A carga elétrica do elétron e do próton são ∓e e as respectivas massas são m
e
e m
p
. As
constantes g
e
e g
p
são os fatores giromagnéticos de Landè e têm os valores experimentais
g
e
≃ 2.00 e g
p
≃ 5.58.
Os momentos magnéticos, eletrônico e nucleônico, dos átomos alcalinos interagem
entre si, interagem também com campos magnéticos associados à dinâmica orbital das
partículas carregadas que constituem o átomo e ainda com eventuais campos magnéticos
externos a que o sistema atômico seja submetido. Esses três tipos de interação estão
ligados respectivamente à estrutura hiperfina, à estrutura fina e aos vários tipos de efeito
Zeeman do espectro atômico [52]. De maneira que temos que alterar nosso hamiltoniano
atômico para incluir esses novos efeitos, a saber
H
(hf)
0
= H
0
+ H
SL
+ H
hf
onde os termos “SL” e “hf” serão descritos nas seções posteriores.
A estrutura hiperfina, pode ser gerada mesmo sem se levar em conta a estrutura fina,
isto é, sem levarmos em conta o momento magnético orbital.
4.1.1 A Estrutura Fina
A origem física da estrutura fina surge ao se notar um elétron que se move com velocidade
v em um campo elétrico gerado pelo núcleo atômico, que existe um campo magnético
B =
1
c
2
v ×
E ao se passar para o referencial do elétron através de uma transformação de
53
4.1 A Estrutura Fina e Hiperfina do Césio
Lorentz [65]. A energia clássica de interação entre um momento magnético µ e um campo
magnético, é dada por H
1
= −µ·
B, donde podemos escrever, após algumas manipulações,
H
1
→ H
SL
= F
S
(e)
·
L (4.2)
em que definimos a constante “F” caligráfico por F ≡ g
SL
e
2
2m
e
µc
2
1
4πǫ
0
r
3
, onde µ é a massa
reduzida do sistema elétron-núcleo, e g
SL
é a correção relativística do fator de Landè para
o elétron, descoberta por L. H. Thomas em 1926 e tem valor g
SL
= 1 [52].
Este hamiltoniano, que é independente do spin do próton, é chamado de acoplamento
spin-órbita, e dá origem à estrutura fina dos átomos hidrogenóides
1
. Para esses átomos a
base de auto-estados para H
0
é definida em {|φ
λ
}
λ=nℓm
ℓ
de forma que incluindo os novos
graus de liberdade referentes aos spins temos uma base-produto
{|n ℓ m
ℓ
s m
s
} ≡ {|φ
λ
⊗ |s m
s
}
que é, ainda, uma base de autovalores simultâneos de {L
2
, L
z
, S
2
, S
z
}.
A partir dos operadores
L e
S
(e)
estendidos ao espaço produto, no entanto, é possível
definir também o momento angular total eletrônico como:
J =
L+
S
(e)
e o correspondente
número quântico j pode assumir valores, em passos unitários, entre |ℓ−s
(e)
| ≤ j ≤ ℓ+s
(e)
.
Ainda, o vetor de
J satisfaz às relações de comutação características de momento angular
2
.
Se agora incluirmos o acoplamento spin-órbita L
z
e S
(e)
z
deixam de ser constantes de
movimento, pois H
SL
não é diagonal na base-produto. No entanto J
2
e J
z
são constantes
de movimento e portanto a base mais adequada para tratar efeitos de acoplamento spin-
órbita é a base simultânea dos operadores {J
2
, L
2
, S
2
e
, J
z
}, pois, de fato, podemos escrever
S
(e)
·
L =
1
2
(J
2
− L
2
− S
2
e
) (4.3)
1
Átomos com configuração similar ao átomo de hidrogênio
2
A saber:
[J
j
, J
k
] = iǫ
jkl
J
l
; [J
2
, L
z
] = 0 ; [J
2
, S
z
] = 0 e
[J
2
, L
2
] = [J
2
, S
2
] = [J
z
, L
2
] = [J
z
, S
2
] = 0
54
4.1 A Estrutura Fina e Hiperfina do Césio
que mostra que H
SL
é diagonal nos estados de momento angular desta nova base {|n ℓ s jm
j
}
que pode ser construída a partir da base produto como:
|n ℓ s jm
j
=
m
ℓ
,m
s
C(ℓsj; m
ℓ
m
s
m
j
)|n ℓm
ℓ
s m
s
de modo que a interação quebra a degenerescência orbital do átomo de césio (hidrogenóide)
a partir da teoria de perturbação independente do tempo somando correções em primeira
ordem E
(1)
nlj
= n ℓ s j m
j
|H
SL
|n ℓ s j m
j
para diferentes ℓ gerando assim a estrutura fina.
Estrutura Fina do Césio
O átomo de Césio (
133
Cs) é um metal alcalino e possui 55 elétrons distribuídos, de acordo
com a regra de Pauling, da forma
1s
2
2s
2
2p
6
3s
2
3p
6
4s
2
3d
10
4p
6
5s
2
4d
10
5p
6
6s
1
contendo em seu estado fundamental um único elétron na sua camada mais externa,
que é o responsável, para intensidades não muito altas, pelo comportamento atômico
sob interações com campos externos. De modo que, incluindo o acoplamento spin-órbita
temos na notação espectroscópica de Russel-Saunders [n]
2s+1
ℓ
j
, com n o número quântico
principal, L o momento angular orbital, S o spin da partícula e J o momento angular
total, que para o estado fundamental do Césio com ℓ = 0 e s =
1
2
correspondendo a um
j =
1
2
e para o primeiro estado excitado com ℓ = 1 e s =
1
2
correspondendo a dois j =
1
2
,
3
2
;
ou seja, temos duas transições do tipo dipolo, a saber
6
2
S
1/2
−→ 6
2
P
1/2
Linha D
1
6
2
S
1/2
−→ 6
2
P
3/2
Linha D
2
vale notar que o “S” que designa o orbital ℓ = 0 não deve ser confundido com o spin S. Por
finalidades práticas vamos usar nesta dissertação a linha D
2
que corresponde a transições
55
4.1 A Estrutura Fina e Hiperfina do Césio
com fótons no espectro óptico de comprimentos de onda de aproximadamente 852nm.
Uma análise mais detalhada da linha D2 pode ser encontrada nas referências [3, 66].
4.1.2 A Estrutura Hiperfina
Uma vez que está associado ao núcleo atômico um spin I dotado de um momento mag-
nético
3
µ
Z
, a magnetização produzida por este interage com o elétron, cujo efeito é muito
pequeno se comparado à interação spin-órbita e dá origem a chamada estrutura hiperfina
do espectro atômico. A energia associada à interação dos dois momentos magnéticos pode
ser escrita como −µ
Z
·
B
µ
e
(r) sendo
B
µ
e
(r) o campo magnético devido ao momento mag-
nético do elétron
4
a uma distância r do núcleo. Uma expressão clássica para esse campo
é
B
µ
e
(r) =
µ
0
4π
3(µ
e
· ˆr)ˆr − µ
e
r
3
+
8π
3
µ
e
δ(r)
(4.4)
onde o primeiro termo entre colchetes é o campo magnético devido ao movimento orbital
do elétron como no acoplamento spin-órbita, o primeiro é o campo gerado pelo momento
magnético do núcleo e o segundo o termo de contato referente ao campo na posição do
núcleo.
Podemos agora incluir o campo magnético devido ao movimento orbital do elétron,
tal que
B
L
=
µ
0
4π
e
L
m
e
r
3
, isto é, vamos obter a estrutura hiperfina a partir da estrutura fina.
Assim o campo magnético total é escrito como
B
µ
T
(r) =
µ
0
4π
e
L
m
e
r
3
+
3(µ
e
· ˆr)ˆr − µ
e
r
3
+
8π
3
µ
e
δ(r)
(4.5)
3
µ
Z
= g
Z
Ze
µ
I
4
Suposto puntiforme correspondendo a um função delta para o campo magnético na posição do núcleo
denominado termo de contato.
56
4.1 A Estrutura Fina e Hiperfina do Césio
Dessa maneira podemos escrever o hamiltoniano hiperfino como
H
hf
=
A
′
I ·
S
(e)
se ℓ = 0 ;
A
I ·
L −
I ·
S
(e)
I·
J
+3 (
S
(e)
· ˆr)(
I · ˆr)
=
↔
T
(k)
e
·
↔
T
(k)
Z
se ℓ = 0
tal que
J =
L +
S
(e)
, com
↔
T
(k)
e
=
S
(e)
· ˆr e
↔
T
(k)
Z
=
I · ˆr definido como operadores tensoriais
que operam nos respectivos espaços eletrônico e nucleônico, que trataremos com um pouco
mais de detalhes quando tratarmos das regras de seleção dos operadores de dipolo elétrico
nas próximas seções. Ainda, definimos
A
′
(r) ≡ −
µ
0
4π
µ
e
µ
z
2
8π
3
δ(r)
A (r) ≡ −
µ
0
4π
µ
e
µ
z
2
r
3
com µ
e
= g
e
e
m
e
e µ
Z
= g
Z
e
µ
tal que para ℓ = 0 temos apenas a contribuição do termo de
contato, que contém a função delta de Dirac, associada ao campo magnético interno do
núcleo. Para ℓ = 0, esta combinação dos campos orbitais e spin-dipolar têm uma forma
vetorial complicada expressa pelo produto dos operadores tensoriais, que para um trata-
mento completo veja Charles [67]. Aqui vamos argumentar que esse produto no modelo
vetorial precessiona rapidamente em torno de
J, e qualquer componente perpendicular ao
eixo de quantização, definido por
J, têm média nula, dessa forma somente as componentes
ao longo de
J têm média não nula, de maneira que nos interessa somente o primeiro termo
entre colchetes de H
hf
para ℓ = 0. Este hamiltoniano promove um novo deslocamento
dos níveis formando a chamada estrutura hiperfina.
Analogamente ao que fizemos para o acoplamento spin-órbita vamos escrever H
hf
na
base simultânea de {F
2
, J
2
, I
2
, F
z
} os novos auto-estados têm autovalores respectiva-
mente aos operadores F
2
= f(f + 1)
2
, J
2
= j(j + 1)
2
, I
2
= i(i + 1)
2
e F
z
= m
z
, onde
F =
J +
I correspondendo a base {|njifm
f
} que também pode ser construída como uma
combinação linear de |n ℓ s j m
j
.
57
4.1 A Estrutura Fina e Hiperfina do Césio
Estrutura Hiperfina do Césio
O Césio tem um momento angular de spin nuclear dado pelo número quântico i = 7/2.
Seguindo, mais uma vez, as regras de adição de momento angular da mecânica quântica,
temos que para j = 1/2, f pode assumir os valores f = 3, 4, enquanto que para j = 3/2,
f pode assumir os valores f = 2, 3, 4, 5. Na figura 4.1 é mostrada a estrutura hiperfina da
linha D
2
do
133
Cs.
58
4.1 A Estrutura Fina e Hiperfina do Césio
Figura 4.1: Estrutura hiperfina da transição D
2
do Césio, com as respectivas freqüências de separação dos níveis
hiperfinos. Os valores do estado fundamental são exatos como um resultado da presente definição do segundo (s). Os
fatores g
f
de Landè para cada nível também são mostrados conjuntamente com seus respectivos deslocamentos Zeeman
entre os sub-níveis adjacentes [3].
59
4.1 A Estrutura Fina e Hiperfina do Césio
Uma observação relativa à figura 4.1 é que no desdobramento de energia hiperfino
do estado fundamental, a freqüência é exata. Isso porque a freqüência desta transição
6
2
S
1/2
, f = 3 → 6
2
S
1/2
, f = 4 é o padrão primário para a medida do tempo.
4.1.3 O Efeito Zeeman nos Hiperfinos da Linha D
2
Cada um dos níveis hiperfinos contem 2f + 1 sub-níveis magnéticos que determina a
distribuição angular da função de onda eletrônica. Na ausência de campos magnéticos ex-
ternos, estes sub-níveis são degenerados. Portanto, quando um campo magnético externo
é aplicado, esta degenerescência é quebrada. O hamiltoniano que descreve a interação
com o campo magnético externo é
H
Z
= −µ ·
B
= −
µ
e
(g
SL
L + g
s
S + g
I
I) ·
B
ext
= −
µ
e
(g
SL
L
z
+ g
s
S
z
+ g
I
I
z
)B
z
se definimos o eixo Oz, através do campo magnético, como o eixo de quantização, com
B
ext
= B
z
ˆz ao longo de ˆe
z
. Dessa forma, no limite de campos magnéticos fracos, esta
perturbação é pequena em comparação com a estrutura fina e hiperfina, ao passo que “f”
é um bom número quântico, ou seja,
H
Z
= −
µ
e
g
f
B
z
F
z
(4.6)
onde g
f
é o fator de Landè para o momento angular total F , tal que o deslocamento
energético dos sub-níveis m
f
, onde os m
f
satisfazem −f ≤ m
f
≤ f, é dado por
E
(1)
njf
= n j i f m
f
|H
Z
|n j i f m
f
= −µ
e
g
f
m
z
B
z
(4.7)
60
4.2 O Efeito Zeeman e a Ressonância de EIT
4.2 O Efeito Zeeman e a Ressonância de EIT
Inicialmente vamos mostrar aqui como é obtido o sistema Λ a partir dos níveis hiperfinos
da linha D
2
do césio. E então partiremos para a descrição da geração da dupla ressonância
de EIT e sua aplicação em magnetometria.
4.2.1 O Sistema Λ nos Hiperfinos da D
2
Uma vez que cada um dos níveis hiperfinos f contem 2f +1 sub-níveis magnéticos m
f
, tal
que −f ≤ m
f
≤ f, podemos então escolher uma transição de f específicos , em exemplo
na figura 4.2, tal que possa formar uma configuração Λ degenerada de dois níveis através
da aplicação de campos com polarizações bem definida.
Figura 4.2: Sub-níveis magnéticos para os respectivos níveis hiperfinos
A configuração se realiza quando incidimos campos que obedecem as regras de seleção
dos operadores de dipolo, cujas regras são obtidas por analisar os elementos de matriz
desses operadores, definidos por D
µ
ff
′
= f, m
f
|e ˆε
µ
·r|f
′
, m
f
′
, onde µ = α, Ω. Estes
elementos podem ser previamente calculados se fizermos algumas notações, tais como
ˆε = A
x
ˆe
x
+ A
y
ˆe
y
+ A
z
ˆe
z
r ∝ Y
1
−1
1
√
2
(ˆe
x
+ iˆe
y
) + Y
1
1
1
√
2
(−ˆe
x
+ iˆe
y
) + Y
1
0
ˆe
z
61
4.2 O Efeito Zeeman e a Ressonância de EIT
onde utilizamos os harmônicos esféricos Y
ℓ
m
ℓ
(θ, ϕ), tal que ℓ representa um número quân-
tico associado ao momento angular e m
ℓ
a degenerescência orbital, para escrever o vetor
r. Assim, podemos escrever o produto ˆε
µ
· r em uma nova base, tal que esta inclua
em sua notação o tipo de polarização comumente usada, ou seja, se passarmos da base
cartesiana para a base, que chamamos de base de polarização, através da transformação
ˆε
±
=
1
√
2
(ˆe
x
± iˆe
y
) e ˆε
0
= ˆe
z
, podemos escrever:
ˆε
µ
·r
↔
T
(k)
q
∝ A
µ
π
Y
1
0
+ A
µ
σ
+
Y
1
1
+ A
µ
σ
−
Y
1
−1
(4.8)
tal que A
σ
±
é uma constante que indica que a luz tem helicidade (+, −), ou equivalen-
temente, luz polarizada circularmente à esquerda ou direita, respectivamente. A
π
indica
luz linearmente polarizada. Ainda, o produto ˆε · r é um operador tensorial
↔
T
(k)
q
de es-
pécie k = ℓ, e q = m
l
representa a q-ésima componente desse tensor, assim expandindo
a base {|f, m
f
} em {|ji, m
j
m
i
} e esta em {|ls, m
l
m
s
} temos utilizando o teorema de
Wigner-Eckart [56], que
D
µ
ff
′
= f, m
f
|e
↔
T
(k)
q
|f
′
, m
f
′
(4.9)
= eβ(f, f
′
, j, j
′
, ℓ, s, m
f
)
ℓ
j
j
ℓ
s
k
j
′
f
f
′
j
i
k
f
m
f
k
q
f
′
−m
f
′
ℓ||
↔
T
(k)
||ℓ
′
(4.10)
cujos 9j símbolos de Wigner entre chaves e parênteses da equação anterior não se anulam
somente se ∆m
f
= q, que como pode ser visto na equação 4.8, não se anula se ∆m
f
=
±1 para luz circularmente polarizada com respectivas helicidades e se ∆m
f
= 0 para
polarizações lineares com luz se propagando perpendicularmente ao eixo de quantização.
Ainda, dos 9j símbolos de Wigner, ou da desigualdade triangular, segue ∆f = 0, ±1 [68].
Existem outras regras ainda relacionadas a esses 9j símbolos, no entanto escrevemos
somente as relevantes para entendermos a configuração Λ formada a partir dos hiperfinos
da linha D
2
.
Portanto, para configurar o sistema atômico na forma Λ, basta escolher as polarizações
especificas às regras de seleção. Para exemplificar vamos escolher polarizações σ
+
para
o feixe de acoplamento, que adiciona uma unidade de momento angular ao átomo, e σ
−
62
4.2 O Efeito Zeeman e a Ressonância de EIT
para o feixe prova, que retira uma unidade de momento angular do átomo, como mostra
a figura 4.3.
Figura 4.3: Sub-níveis magnéticos com o campo de acoplamento populando opticamente o fundamental
mais positivo.
Ao ligarmos o feixe de acoplamento, este bombeia os átomos para os sub-níveis magnéti-
cos fundamentais mais positivos, m
f
= 2 e m
f
= 3 (proporcionalmente aos coeficientes de
Clebsch-Gordan das respectivas transições), via excitação seguida de decaimento espon-
tâneo. Portanto ao ligarmos o feixe de prova temos a configuração Λ como mostra as
figuras 4.4 e 4.5, com um resquício de população no sub-nível m
f
= 2.
Figura 4.4: Configuração Λ formada em um sistema de dois níveis degenerados, a partir da aplicação
conjunta do dois feixes polarizados circularmente contra-girantes. A configuração é dada correspondendo
|a = |f
′
= 2, m
f
= 2, |b = |f = 3, m
f
= 3 e |c = |f = 3, m
f
= 1
.
63
4.2 O Efeito Zeeman e a Ressonância de EIT
Figura 4.5: Sub-níveis magnéticos e campos circularmente polarizados efetuando transições respectivas
às regras de dipolo.
4.2.2 O efeito Zeeman e a Ressonância de EIT
Como vimos nas seções anteriores o efeito Zeeman desloca os sub-níveis magnéticos que-
brando sua degenerescência, portanto esse deslocamento altera a condição de ressonância
5
Raman de dois fótons da EIT, deslocando sua posição em freqüência, ou seja, as dessin-
tonias para o sistema degenerado com o acoplamento ressonante, tal que ω
ac
= ω
ab
= ω
2
,
com
∆
ab
= ω
ab
− ω
1
= δ
∆
ac
= ω
ac
− ω
2
= 0
∆
cb
= ∆
ab
− ∆
ac
= δ
devem ser modificadas.
Uma vez que cada nível hiperfino possui um valor de g
f
diferenciado e cada sub-nível
Zeeman um valor de m
f
, quando aplicamos o campo magnético, temos um deslocamento
característico, para cada um dos níveis Zeeman, que formam o sistema Λ, de acordo com
a figura 4.4. A saber, temos o deslocamento Z
a
= 2Z
2
′
para o nível |a, Z
c
= Z
3
para o
|c e 3Z
c
para o |b, como mostra a figura 4.6, onde definimos Z
3
= −0.35B
z
MHz/G cor-
respondendo ao quanto se desloca em freqüência os sub-níveis Zeeman do nível hiperfino
5
A condição de ressonância para o caso degenerado é simplesmente δ = ω
2
− ω
1
= 0
64
4.2 O Efeito Zeeman e a Ressonância de EIT
f = 3 quando aplicamos um campo magnético de 1 Gauss e Z
2
= −0.93B
z
MHz/G corre-
spondendo ao quanto se desloca, em freqüência, os sub-níveis Zeeman do nível hiperfino
f
′
= 2.
Figura 4.6: Efeito Zeeman na transição F = 3 → F
′
= 2 com os respectivos deslocamentos.
De maneira que
∆
ab
→ ∆
′
ab
= ω
′
ab
− ω
1
∆
ac
→ ∆
′
ac
= ω
′
ac
− ω
2
∆
cb
→ ∆
′
cb
= ∆
′
ab
− ∆
′
ac
cujas correções Zeeman para cada sub-nível, são: ω
′
u
= ω
u
+ E
(1)
njf
tal que u = a, b, c
e E
(1)
njf
definida em 4.7. E assim podemos deduzir as novas dessintonias para o caso em
65
4.2 O Efeito Zeeman e a Ressonância de EIT
que aplicamos um campo magnético na mesma direção dos feixes de acoplamento e prova
com polarizações σ
+
e σ
−
, respectivamente, isto é,
ω
′
ab
= ω
ab
− Z
a
+ 3Z
c
(4.11)
ω
′
ac
= ω
ac
− Z
a
+ Z
c
(4.12)
implicando:
∆
′
ab
= ω
ab
− Z
a
+ 3Z
c
−ω
1
=δ−ω
2
= −Z
a
+ 3Z
c
+ δ (4.13)
∆
′
ac
= ω
ac
− Z
a
+ Z
c
− ω
2
= −Z
a
+ Z
c
(4.14)
∆
′
cb
= ∆
′
ab
− ∆
′
ac
= δ + 2Z
c
(4.15)
e de acordo com as figuras (4.1, 4.6), é possível estimar que o deslocamento Zeeman para
o nível “a”, Z
a
é cerca de 5 vezes o deslocamento Z
c
de modo que
∆
′
ab
= δ − 2Z
c
(4.16)
∆
′
ac
= −4Z
c
(4.17)
∆
′
cb
= δ + 2Z
c
∆Z
(4.18)
onde definimos nossa dessintonia Zeeman ∆Z para a ressonância de EIT, nos átomos de
césio utilizando a transição 6
2
S
1/2
, f = 3 → 6
2
P
3/2
, f
′
= 2. Portanto, ao inserirmos o
efeito Zeeman temos, para o presente caso em que Ω, σ
+
e α, σ
−
, uma espécie de processo
Raman anti-Stokes [69] como mostra a figura 4.7.
66
4.2 O Efeito Zeeman e a Ressonância de EIT
Figura 4.7: Acoplamento dos campos com o sistema Λ nos hiperfinos da linha D
2
sob o efeito Zeeman
na transição F = 3 → F
′
= 2 com os respectivos deslocamentos formando uma configuração Λ–Stokes.
Assim, a suscetibilidade é alterada de acordo com as dessintonias 4.16, 4.17 e 4.18.
Lembrando a equação 3.36
χ(δ, v) =
iηΓ
cb
Γ
cb
Γ
ab
+ Ω
2
(4.19)
e ainda lembrando que Γ
jk
= γ
jk
+ i∆
jk
, segue
χ
(a)
(δ, v) ≡
iη[γ
bc
+ i(δ + ∆Z)]
[γ
bc
+ i(δ + ∆Z)][γ + i(δ − ∆Z + kv)] + Ω
2
(4.20)
notando somente que o termo responsável pelo deslocamento em freqüência da ressonância
é a condição Raman de dois fótons dada pela dessintonia ∆
cb
. Assim integrando numeri-
camente em velocidades a expressão 4.20, temos para a absorção no processo anti-Stokes,
o espectro mostrado na figura 4.8.
67
4.3 A Dupla ressonância de EIT-Doppler
Figura 4.8: Deslocamento em freqüência do zero para δ = ∆Z para o “dip” na EIT-Doppler sob a ação
do efeito Zeeman numa configuração Λ–Stokes.
4.3 A Dupla ressonância de EIT-Doppler
Neste ponto, mostraremos como gerar uma dupla ressonância de EIT-Doppler e por fim
como aplicá-la à magnetometria óptica.
A partir do deslocamento Zeeman o “dip” da EIT se desloca ao aplicarmos feixes Ω, σ
+
e α, σ
−
de acordo com a configuração Λ–Stokes. Se invertermos então as polarizações dos
feixes, o que deveríamos esperar?
A resposta a esta pergunta é que devemos esperar uma reflexão em torno da ordenada
para o deslocamento Zeeman, isto é, o sinal de EIT deve se deslocar de −∆Z, numa nova
configuração, denominada de Λ–anti-Stokes, pois, ao invertermos as polarizações o feixe de
acoplamento passa a bombear opticamente o sub-nível Zeeman mais negativo |m
f
= −3
de maneira que temos uma espécie de processo Raman anti-Stokes como mostra a figura
4.9.
68
4.3 A Dupla ressonância de EIT-Doppler
Figura 4.9: Configuração Λ–anti-Stokes devido à inversão das polarizações.
Ou seja,
ω
′′
ab
= ω
ab
+ Z
a
− 3Z
c
(4.21)
ω
′′
ac
= ω
ac
+ Z
a
− Z
c
(4.22)
implicando:
∆
′′
ab
= δ + Z
a
− 3Z
c
(4.23)
∆
′′
ac
= Z
a
− Z
c
(4.24)
∆
′′
cb
= δ − 2Z
c
(4.25)
69
4.3 A Dupla ressonância de EIT-Doppler
de maneira que
χ
(s)
(δ, v) ≡
iη[γ
bc
+ i(δ − ∆Z)]
[γ
bc
+ i(δ − ∆Z)][γ + i(δ + ∆Z + kv)] + Ω
2
(4.26)
Ainda a figura 4.10, comprova a EIT-Doppler deslocada em sentido contrário ao da con-
figuração Stokes.
Figura 4.10: Deslocamento de −∆Z do “dip” da EIT-Doppler devido à inversão das polarizações, isto
é, uma configuração Λ-anti–Stokes.
Portanto, para gerar a Dupla Ressonância de EIT-Doppler temos que retro-refletir os
feixes e inverter suas polarizações. Uma vez que podemos dizer que os quatro feixes, ida
e volta, interagem com ensemble de átomos diferentes, isto é, se definirmos a ida inte-
ragente com o ensemble de átomos com velocidades v a volta interage com o ensemble
−v. Uma aproximação útil que fizemos consistiu em desprezar a contribuição dos átomos
que estavam parados, pois todos os feixes interagem com estes átomos. Nesta aproxi-
mação, superpomos as duas curvas anteriores, obtendo uma dupla ressonância de EIT
como mostra a figura 4.11. Assim, para um deslocamento Zeeman da ordem da taxa de
70
4.3 A Dupla ressonância de EIT-Doppler
decaimento do nível excitado, isto é, ∆Z ∼ γ, temos uma separação entre os dois “dips”
de 2∆Z.
Figura 4.11: Dupla ressonância de EIT-Doppler, resultante da convolução das partes imaginárias das
susceptibilidades nas duas configurações de processos Raman.
Para este caso em que consideramos o feixe forte (feixe de acoplamento) inicialmente
ressonante com a transição a–c, a contribuição principal para os dois sinais de EIT-
Doppler (associados ao pares de feixes contra-propagantes) advém do átomos com v =
0. Entretanto, para melhorar a aproximação em tratar os dois pares de feixes atuando
independentemente, no experimento dessintonizamos o feixe forte por várias larguras de
linha abaixo da ressonância, como mostra a figura 4.12. Nesta situação, a contribuição
principal para cada uma das ressonâncias de EIT-Doppler advém de grupos de velocidades
simétricos (v e −v) de modo que reduzimos o erro em fazer a aproximação. No entanto,
esta dessintonia implica na forma de linha da ressonância de EIT-Doppler uma espécie de
caráter dispersivo, como mostra a figura 4.13, nada que venha alterar o quadro físico.
71
4.3 A Dupla ressonância de EIT-Doppler
Figura 4.12: Dessintonia do feixe de acoplamento de ∆ = −30γ abaixo de sua respectiva transição.
72
4.3 A Dupla ressonância de EIT-Doppler
Figura 4.13: Espectro numa configuração Λ-Stokes com uma dessintonia no feixe de acoplamento de
∆ = −30γ abaixo de sua respectiva transição.
Então, determinando a separação entre os “dips” podemos estabelecer com precisão o
valor do campo magnético aplicado. Isto será feito no próximo capítulo onde descrevere-
mos o aparato experimental e os resultados obtidos.
A distância entre os centros dos “dips” varia linearmente com a intensidade do campo
magnético externo aplicado, que reflete a dependência linear ao efeito Zeeman para campos
fracos, como veremos no capítulo 5 quando tratarmos do correspondente experimento.
73
Capítulo 5
O Experimento: Aparato, Técnicas,
Resultados e Discussões
Neste capítulo descreveremos o aparato experimental utilizado para obtenção da ressonân-
cia de EIT-Doppler e da dupla ressonância de EIT-Doppler, como também descreveremos
os princípios técnicos para sua realização. Também apresentamos o processo de medida,
dados experimentais e os resultados numéricos obtidos para uma comparação direta com o
experimento. Mostraremos os resultados obtidos com relação à dependência da largura de
EIT-Doppler em função da potência do feixe de acoplamento Ω e a dependência da distân-
cia entre os “dips” da dupla EIT-Doppler em função da intensidade do campo magnético
externo aplicado. Por fim, dissertaremos sobre os resultados.
Nesse capítulo mostraremos o aparato experimental, necessário para a realização da
verificação da dependência linear da EIT-Doppler em função da potência do feixe de
acoplamento. Na figura 5.1, esquematizamos o experimento, donde explicaremos cada
um dos componentes relevantes.
Iniciemos pelo laser utilizado na experiência.
5.1 O Laser de Diodo
O LASER, cuja sigla em inglês significa Light Amplification by Stimulated Emission of
Radiation, possibilitou enormes avanços em diversas áreas das ciências. Em particular,
74
5.1 O Laser de Diodo
Figura 5.1: Maqueta experimental utilizada para obter o sinal de EIT-Doppler e sua dependência em
potências do feixe de acoplamento. Onde ⊙ e ↔ representam polarizações lineares ortogonais, perpen-
dicular e paralela ao plano do papel, respectivamente, com = σ
+
e = σ
−
. A montagem será descrita
ao longo do capítulo.
possibilitou o aprimoramento da física atômica e o surgimento dos estudos em ótica quân-
tica.
Os lasers de diodo podem ser obtidos em praticamente todo o espectro visível devido
às técnicas precisas de dopagem dos semicondutores. Estes dispositivos têm um custo
relativamente baixo, se comparados aos outros tipos de lasers. A versatilidade destes
lasers de diodo foi um dos fatores que os difudiram nas pesquisas de física atômica e ótica
quântica. Os lasers de semicondutores monomodo podem fornecer tipicamente algumas
dezenas de mW (em alguns casos até centenas) com correntes de injeção de centenas de
mA.
O princípio básico dos lasers de diodo pode ser resumido como segue: Quando uma
corrente elétrica é enviada através de uma junção semicondutora P - N, os elétrons e
“buracos” podem se recombinar na junção e emitir energia em forma de radiação eletro-
magnética (fótons). Se a corrente utilizada está abaixo de um valor de ganho de oscilação
75
5.1 O Laser de Diodo
do laser, então não existe uma inversão de população suficiente e somente ocorre emissão
espontânea. Todavia, para correntes superiores a este limiar temos uma produção muito
maior de radiação por emissão estimulada. Esta radiação é amplificada pelas múltiplas
reflexões nas faces do cristal semicondutor e pode se tornar forte o suficiente para que a
emissão estimulada predomine sobre outros processos de relaxação que diminuiriam muito
a inversão de população. A cavidade ótica, no caso dos lasers de diodo, é formada pelas
próprias paredes da região de junção, produzidas pela clivagem
1
do cristal semicondutor
nos planos perpendiculares à direção de propagação da luz.
Um laser de diodo que opera somente com sua própria cavidade (os espelhos dessa
cavidade são as interfaces semicondutor-ar), ou cavidade interna, é comumente chamado
de laser de diodo livre (LDL). A reflectividade dos espelhos é da ordem de 30% que é
devido à diferença entre o índice de refração do ar e do semicondutor. Tal laser de diodo
pode ser estabilizado em temperatura e corrente através de controladores de temperatura e
corrente, respectivamente. Operando dessa forma, o laser de diodo possui uma largura de
linha tipicamente da ordem de 30MHz. Com isso, estamos limitados em realizar medidas
na faixa de freqüências maiores ou iguais a 30MHz. Uma vez que estamos trabalhando com
os níveis hiperfinos da linha D
2
do césio, necessitamos fazer sua espectroscopia que tem
ressonâncias de largura de linha da ordem de 5 MHz. Para que este tipo de estrutura seja
resolvida é necessário que o laser possua uma largura de linha inferior à largura natural.
Portanto, o chamado “laser livre” é largo demais para este tipo de medida espectroscópica.
Isto torna necessário o uso de técnicas para reduzir a largura de linha do laser de diodo,
tal que esse valor deve ser da ordem de 1 MHz para se resolver os níveis hiperfinos.
Uma forma de estreitarmos a largura de linha do laser de diodo, é acoplarmos, ex-
ternamente ao laser de diodo, uma grade de difração, passando assim a operar com uma
cavidade estendida numa configuração Littrow [70,71]. Com isso, o laser passará a operar
com dois novos “espelhos”: um espelho cuja interface anterior é a semicondutor-ar do
1
s. f.,
ação de clivar minerais;
propriedade que têm certos corpos minerais, de se fraturarem segundo planos certos e
determinados.
76
5.1 O Laser de Diodo
laser e o outro espelho é a grade de difração. O laser de diodo que opera com uma grade
de difração é conhecido como laser de diodo de cavidade externa (LDCE). O laser que
estamos usando é o SDL5410G da SPECTRA DIODE LASER de guia por índice esse
diodo possui uma potência nominal de 50 mW com uma corrente de ∼ 120 mA e limiar
laser em torno de 20 mA, o comprimento de onda de emissão está em 852 nm. A grade
de difração usada é de 1200 linhas/mm, o que nos permite obter uma alta finesse para
essa cavidade laser-grade.
Na configuração Littrow (fig. 5.2), o feixe de luz que sai do laser de diodo livre LDL,
passa por uma lente colimadora L e incide na grade de difração. A lente colimadora deve
possuir uma grande abertura numérica para que tenhamos uma grande seleção espacial
do modo de oscilação. Nessa configuração a primeira ordem de difração λ é refletida
sobre o feixe incidente e a ordem zero (reflexão especular) de difração que sai da cavidade
será usada em nosso experimento. Assim, temos que a ordem -1 de difração λ é retro-
refletida sobre a interface do diodo podendo o laser oscilar em um dos modos da cavidade
externa. Podemos também selecionar um dos modos da cavidade externa, e com isso
o comprimento de onda, ajustando a distância entre os “espelhos” através de parafusos
micrométricos acoplados a uma base onde a grade de difração está fixa. Acoplada também
a essa base, temos uma cerâmica PZT, que é usada para selecionarmos, mais precisamente,
o comprimento de onda de saída da cavidade e usada para o controle da freqüência do
LDCE [72].
A modulação da varredura da freqüência do laser é feita modulando-se a variação da
posição da grade de difração através de uma cerâmica PZT, aplicando-lhe uma tensão
com o auxílio de um gerador de funções. Com isso, obtemos uma varredura em freqüência
da ordem de centenas de MHz, que é da ordem da largura Doppler da linha D
2
do Césio
que queremos estudar.
Portanto por exigência do sistema Λ que construímos a partir dos sub-níveis hiperfinos
da linha D
2
do césio na transição 6
2
S
1/2
, f = 3 → 6
2
P
3/2
, f
′
= 2, temos que travar a
freqüência do laser nessa transição, por meio de uma experiência de espectroscopia de
saturação descrita na próxima seção.
77
5.2 Absorção Saturada
Figura 5.2: Configuração do laser de diodo com cavidade externa numa configuração tipo Littrow.
5.2 Absorção Saturada
A técnica de absorção saturada consiste em sondar com um feixe de baixa intensidade
uma dada transição eletrônica, através de mudanças na população dos níveis atômicos
provocadas por um feixe de alta intensidade, contra-propagante.
Figura 5.3: Experimento de absorção saturada com vapor de Césio. Um feixe de laser proveniente
de um laser de diodo com cavidade externa é dividido em duas partes, as quais fazemos incidir contra-
propagantes sobre uma célula contendo vapor de Césio à temperatura ambiente.
O espectro de absorção linear de um feixe em torno de 852 nm apresenta uma largura
em torno de 370 MHz que é maior do que a separação entre os níveis hiperfinos do estado
6P
3/2
, de modo que não podemos resolver a estrutura hiperfina do átomo utilizando o sinal
78
5.2 Absorção Saturada
de absorção linear. Portanto, para resolver a estrutura hiperfina utiliza-se a conhecida
absorção saturada [4].
Os dois feixes são sintonizados na mesma freqüência ω
0
. No entanto, devido à veloci-
dade dos átomos, cada um dos feixes contra-propagantes tem sua freqüência deslocada de
forma diferente. Considerando que um átomo tem uma componente v de sua velocidade
ao longo da direção dos feixes, a freqüência do feixe forte “vista” pelo átomo é ω
′
= ω
0
+kv
enquanto que a freqüência do feixe de prova é ω
′′
= ω
0
−kv. Dessa forma, a única situação
onde os dois feixes estão ressonantes simultaneamente com o mesmo grupo de velocidade
acontece para átomos parados. Nesta condição, o feixe forte satura a transição reduzindo
a absorção do feixe de prova. Temos, portanto, um “dip” na curva de absorção do feixe de
prova na freqüência de ressonância. A largura desse “dip” corresponde à largura de linha
homogênea da transição.
Nos casos onde existem mais de dois níveis como ocorre na estrutura hiperfina do
Césio, podem existir outros “dips” correspondentes às ressonâncias de “cross-over”, veja
figura 5.4. Neste caso, para uma determinada classe de velocidade diferente de zero,
os dois feixes estão simultaneamente ressonantes, mas com transições diferentes. Este
“dip” surge na freqüência correspondente à média das freqüências de ressonância das duas
transições envolvidas.
O aparato experimental para a obtenção do espectro de absorção saturada está mostrado
na Figura 5.3. O laser utilizado é um laser de diodo com cavidade externa, como descrito
na seção anterior, o qual têm uma potência de saída de 15 mW e um diâmetro em torno
de 5 mm. O feixe é separado utilizando um separador de feixes. Uma parte do feixe cor-
responde ao feixe de prova e incide sobre a célula com uma intensidade de 0.16 mW/cm
2
,
enquanto a outra parte correspondente ao feixe de bombeio incide sobre a célula com
uma intensidade de 2.5 mW/cm
2
. Os dois feixes atravessam a célula contendo vapor de
Césio formando um ângulo próximo a 180
0
. O feixe de prova, após passar pela célula, é
detetado por um foto-detector e o sinal é enviado para um osciloscópio.
O gráfico da Figura 5.4 mostra o espectro de absorção saturada referente às transições
F = 3 ↔ F
′
= 2, 3, 4. O espectro mostra os “dips” referentes às transições e, também,
aqueles referentes aos cross-overs. Com esse espectro, a freqüência referente à transição
79
5.2 Absorção Saturada
Figura 5.4: Espectro de absorção saturada referente às transições F = 3 ↔ F
′
= 2, 3, 4. As setas
indicam os “dips” referentes às ressonâncias e aos “cross-overs” [4].
F = 3 ↔ F
′
= 2 pode ser selecionada e o sinal é utilizado pelo sistema de travamento de
freqüência do controlador do laser de Diodo.
Portanto, é possível agora, travar a freqüência do laser na transição F = 3 ↔ F
′
= 2,
simplesmente enviando um sinal para a cerâmica PZT que a faça parar de varrer em cima
da transição, por observação direta no osciloscópio.
Uma vez que tenhamos encontrado a freqüência da transição F = 3 ↔ F
′
= 2, o
próximo passo é separar novamente o feixe em dois, de modo a gerar um feixe forte e um
fraco, determinar um mecanismo de varredura que permita variar a freqüência de um dos
feixes em relação ao outro e também controlar suas polarizações.
O mecanismo de varredura será descrito na próxima seção através de um sistema de
moduladores acusto-ópticos.
80
5.3 O Sistema de Varredura: Os Moduladores Acusto-Ópticos
5.3 O Sistema de Varredura: Os Moduladores Acusto-
Ópticos
Um Modulador Acusto-Óptico (AOM - Acousto-Optic Modulator) é baseado no fato de
que ondas acústicas estacionárias podem ser geradas num cristal através de um campo
de rádio-freqüência (RF). Estes cristais possuem elevados coeficientes eletro-ópticos que
poassibilitam a modificação do índice de refração do material. Luz transmitida através
desse cristal sofrerá efeitos de difração, pois a onda acústica modula o índice de refração
do cristal funcionando efetivamente como uma rede de difração. O feixe difratado, além
do desvio espacial devido a conservação do momento, tem sua freqüência deslocada pela
freqüência de modulação devido a conservação da energia.
Como o ângulo de difração está ligado à freqüência de modulação, podemos redire-
cionar um feixe simplesmente variando a freqüência do sinal de RF. A intensidade do
feixe difratado pode ser controlada através da potência do sinal de RF. Em nosso experi-
mento o principal motivo da aplicação é o deslocamento da freqüência ótica e seu uso na
varredura do campo eletromagnético injetado. Para um AOM ideal o feixe difratado tem
as mesmas propriedades do feixe de entrada, a menos da freqüência e direção. Porém,
para AOMs reais há evidências que ocorra um aumento do ruído de fase após a passagem
pelo cristal [5]. Esse ruído adicionado estaria associado a parte do feixe incidente que
difrataria nas bordas do cristal, mas sem modificar a freqüência, e parte dessa luz seria
adicionada ao feixe de fato difratado, assim aumentando a incerteza em freqüência do
feixe e, conseqüentemente, o ruído de fase. Em nossos experimentos, a existência ou não
desse acréscimo de ruído ao feixe é irrelevante, devido ao grande ruído de fase já existente
nos lasers de diodo. A utilização de AOMs em nossas medidas nos permitiu utilizar um
único laser como fonte para produzir dois campos, o que garante uma relação de fase
muito bem definida entre os campos. Podemos deslocar a freqüência de parte do feixe
controladamente de algumas dezenas de MHz em relação à outra parte. O fato de usar
lasers com a fase relativa travada possibilita a observação de estruturas muito mais es-
treitas nos sistemas de dois níveis com degenerescências, bem menores que a largura de
linha natural ou a do laser.
81
5.3 O Sistema de Varredura: Os Moduladores Acusto-Ópticos
Figura 5.5: Esquema de um modulador acusto-ótico e a produção do feixe difratado [5].
Nós utilizamos um conjunto de moduladores (mod. 1250C-829A e 1206C) fabricados
pela ISOMET, cujos cristais são de T eO
2
e de PbMoO
4
, com freqüências centrais em
220MHz e 110MHz, respectivamente, ambos com largura de banda de 45 MHz. A RF é
fornecida por geradores da mesma empresa nos modelos D325 e D323B que podem ser
controlada via um gerador de função.
A calibração dos moduladores é feita através de um Analisador de Espectros, como
mostrada na figura 5.6, correspondendo à freqüência da RF enviada em função da tensão
da rampa produzida por um gerador de funções.
Figura 5.6: Freqüência da RF em função da tensão da rampa.
82
5.4 A Célula de Vapor de Césio
5.4 A Célula de Vapor de Césio
O vapor de césio está confinado numa célula de vidro, num volume cilíndrico com 2.5 cm
de diâmetro e 12 cm de comprimento, à temperatura do laboratório, cerca de 21
o
C, sem
gás buffer e sem parafina, que define uma pressão de 4.86×10
−9
torr. Estas características
determinam um fator de atenuação para a linha D
2
para campos circularmente polarizados
de 65%.
Uma vez que trabalhamos com a degenerescência dos níveis da estrutura hiperfina dos
átomos é necessário o controle preciso do campo magnético ao qual estão submetidos.
Como vimos, qualquer campo espúrio quebra a degenerescência dos sub-níveis atômi-
cos, assim modificando os sinais que possam ser observados. Para evitar estes efeitos é
necessário blindar os átomos de campos magnéticos externos indesejáveis, ou seja, criar
uma região de campo magnético nulo.
Para isso, utilizamos aqui uma câmara de µ-metal com uma geometria cilindrica de
uma fotomultiplicadora sucateada. Esses materiais são ligas metálicas de níquel e ferro
que podem apresentar permissividades de µ
m
= 104 a 106 T m/A. Com a utilização dessa
blindagem temos uma região aproximadamente livre de campos magnéticos espúrios.
Em geral, a principal fonte de campo magnético “espúrio” considerável é o próprio
campo magnético terrestre, de aproximadamente 0.5 Gauss. Porém no ambiente do labo-
ratório, devido à grande quantidade de equipamentos eletrônicos, é muito comum termos
fontes adicionais de campos magnéticos “DC” alternados na freqüência de 60 Hz (rede
elétrica) e seus harmônicos.
Portanto, a célula de vidro é condicionada num suporte cilíndrico (plástico, PVC)
no qual foi enrolado um solenóide que nos possibilita submeter a amostra atômica a um
campo magnético de alguns Gauss, paralelo à direção de propagação do feixe laser.
83
5.5 Experimento 1: EIT-Doppler vs. Potência do Feixe Acoplamento
5.5 Experimento 1: EIT-Doppler vs. Potência do Feixe
Acoplamento
Descreveremos aqui, o esquema da figura 5.1 e mostraremos os resultados obtidos para a
dependência da largura da EIT-Doppler em função da potência do feixe de acoplamento.
No capítulo 3, por uma aproximação teórica, obtivemos na equação 3.75, que a de-
pendência da largura da EIT-Doppler Γ
D
EIT
é linear com a intensidade (I ∝ Ω
2
) do feixe
de acoplamento. Vamos verificar aqui essa dependência.
O feixe laser é dividido em dois, por um divisor de feixes de 90% de transmissão.
A reflexão (10%) é usada na experiência de absorção saturada. O feixe transmitido é
direcionado para o experimento e que novamente é dividido em duas partes por uma
placa de meia onda λ/2 e um cubo polarizador P BS1. Dessa forma as polarizações dos
feixes que serão usados como feixe de acoplamento e como feixe de prova já estarão bem
definidas.
O feixe de prova com polarização linear ortogonal ao feixe de acoplamento é enviado
ao sistema de varredura determinado pelos AOM1 e AOM2. A primeira passagem do feixe
de prova pelo AOM1 é feita focalizando-o sob o ângulo de Bragg, com uma lente de 20 cm
de modo a garantir que todo o feixe passe pelo cristal, produzindo um deslocamento
em freqüência de 200 MHz em sua primeira ordem de difração (-1). A ordem zero é
bloqueada. Executamos a mesma ótica para a passagem no próximo AOM2, com uma
diferença: escolhemos o ângulo de Bragg
2
de forma a obter a primeira ordem positiva de
difração, isto é, contrária ao primeiro AOM, de forma que o deslocamento em freqüência
é subtraido do primeiro em 100 MHz. Portanto retro-refletimos a ordem +1 no AOM2
sob o mesmo ângulo da nova entrada, de modo que também é gerada uma ordem positiva
e assim anulando todo o deslocamento do primeiro AOM. Dessa forma com a ultilização
dos dois AOM podemos varrer a freqüência do feixe de prova em torno da freqüência do
feixe de acoplamento, anexando ao controlador de RF do AOM2 um gerador de funções.
2
Ângulo de incidência para se obter a máxima difração, previsto por uma equação simples, obtida por
W. H. Bragg e seu filho W. L. Bragg em 1912 quando estes estudavam a estrutura cristalina do NaCl,
primeira estrutura determinada por difração de raios-X.
84
5.5 Experimento 1: EIT-Doppler vs. Potência do Feixe Acoplamento
Os dois feixes, acoplamento e prova, se superpõe no P BS2 que os direciona até a célula,
passando anteriormente por uma placa de um quarto de onda (λ/4) transformando as
polarizações lineares em circulares σ
+
e σ
−
, respectivamente para os feixes de acoplamento
e prova. Portanto, ao incidir na célula os feixes possuem exatamente as condições para
se gerar o sistema Λ e conseqüentemente o sinal de EIT-Doppler. Após à passagem pela
célula os feixes encontram uma outra placa de um quarto de onda. O efeito total das
duas é equivalente ao de uma placa de meia onda resultando na inversão das polarizações
lineares entre os feixes que serão separados pelo cubo P BS3 para que possamos detectar
o feixe de prova e assim obter o sinal de EIT-Doppler. Para detectar os feixes usamos
fotodetectores amplificados da Thor Labs, modelo PDA36A.
Inserindo na montagem 5.1, um sistema de atenuação (atenuadores neutros) no cam-
inho do feixe forte (acoplamento), podemos variar a sua intensidade de modo a verificar
a dependência da largura do sinal de EIT-Doppler em função deste parâmetro. Os resul-
tados obtidos estão mostrados na figura 5.7.
Figura 5.7: Visualização gráfica dos resultados experimentais obtidos com a maqueta descrita na figura
5.1.
85
5.5 Experimento 1: EIT-Doppler vs. Potência do Feixe Acoplamento
Agora, com a medida das respectivas larguras, podemos determinar a dependência
da ressonância de EIT-Doppler em função da intensidade do feixe forte e ainda com-
parar o Experimento com a Teoria. A comparação é realizada a partir da inserção dos
parâmetros γ
bc
e β no modelo teórico (3.75). Estes parâmetros são extraídos diretamente
do experimento, onde fizemos um ajuste linear nos pontos experimentais para obter γ
bc
a partir do coeficiente linear desse ajuste. O ajuste linear nos permite obter um γ
bc
ex-
perimental da ordem de 62 kHz. O parâmetro β é determinado a partir de um ajuste
entre uma largura experimental e uma teórica, através da relação Ω = γ
′
√
βI, tal que
γ
′
= 2π5.2 MHz (decaimento espontâneo do nível excitado), a intensidade I sendo a
variável obtida do experimento e Ω a frequência de Rabi do feixe forte que utilizamos na
simulação numérica. Ainda, o parâmetro β é um parâmetro de ajuste que inclui diversos
fatores experimentais que são impossíveis de se controlar. A partir deste ajuste, obtemos
β = 0.0082 (mW/cm
2
)
−1
, que determina então todas as frequências de Rabi Ω que serão
utilizadas na simulação numérica para obtermos a curva teórica Γ
D
EIT
(Ω).
As larguras das ressonâncias de EIT são mostradas na figura 5.8 para diferentes in-
tensidades do feixe de acoplamento. Nesta mesma figura, mostramos a curva teórica
calculada a partir da teoria desenvolvida no capítulo 3, utilizando os parâmetros γ
bc
e
Ω determinados de acordo com os ajustes discutidos acima. Como mostra a figura 5.8,
podemos comprovar o acordo entre Teoria e Experimento, isto é, a dependência é linear
em ambas.
86
5.6 Experimento 2: A Dupla EIT-Doppler vs B
EXT
Figura 5.8: Dependência da Largura do pico de EIT-Doppler em função da potência do feixe forte.
Resultados teóricos e experimentais para comparação.
Considerando um mecanismo de relaxação determinado pelo tempo de vôo do átomo
pela região de interação, temos que em diâmetros típicos ∼ 2 mm e nas condições do vapor
de césio (u = 200 m/s), podemos estimar γ
bc
≈ 100/; kHz que é da mesma ordem do
valor medido experimentalmente. Dessa forma concluímos que o mecanismo de defasagem
é predominantemente determinado pelo tempo de vôo, conforme previsto por por Figueroa
et al [36].
5.6 Experimento 2: A Dupla EIT-Doppler vs B
EXT
A montagem 5.1 é levemente alterada por introduzir um solenóide responsável pelo campo
magnético uniforme externo e dois espelhos para retro-refletir os feixes sobre a célula,
assim gerando a dupla ressonância de EIT-Doppler. A nova montagem é mostrada na
figura 5.9.
87
5.6 Experimento 2: A Dupla EIT-Doppler vs B
EXT
Figura 5.9: Montagem para o experimento de Dupla EIT-Doppler versus o campo magnético.
5.6.1 Solenóide e o Campo Externo
O solenóide foi confeccionado em pvc, com um diâmetro de 4.54 cm interno e 5.22 cm
de diâmetro externo, tal que já está contabilizado o adicional devido à camada de fio
condutor, com 1 mm de diâmetro, enrolado em 125 expiras, cujo solenóide possui 13.45
cm de comprimento total, como mostra a figura 5.10.
88
5.6 Experimento 2: A Dupla EIT-Doppler vs B
EXT
Figura 5.10: O solenóide usado na maqueta da dupla EIT-Doppler.
Este solenóide tem as dimensões exatas para se encaixar internamente na blindagem
de µ-metal. A inomogeneidade longitudinal do campo é de ≈ 4% dentro da célula, con-
forme medidas realizadas para o campo magnético utilizando uma ponta Hall em vários
pontos ao longo do eixo do solenóide. A ponta Hall foi gentilmente cedida pelo professor
Fernando Machado, professor do departamento de física da UFPE. Esta inomogeneidade
é desprezada na região da célula, pois nesta, o solenóide é considerado longo o suficiente
para se desprezar os efeitos das bordas.
89
5.6 Experimento 2: A Dupla EIT-Doppler vs B
EXT
Figura 5.11: Modelo teórico do solenóide.
5.6.2 As medidas
As medidas foram realizadas com o laser travado a 150 MHz abaixo da freqüência da
transição 3 − 2
′
, isto é, ∆
ab
= ω
ab
− ω
1
+ ∆ e ∆
ac
= ω
ab
− ω
1
+ ∆ com ∆ = 150 MHz,
para evitarmos que os feixes induzam transições entre outros níveis, p. e. 3 − 3
′
. Note
ainda que a condição de ressonância Raman (∆
cb
) de dois fótons da EIT-Doppler não é
alterada. Com esta desintonia a contribuição para o sinal de EIT-Doppler pelo grupo
de átomos em repouso é muito reduzida. Desse modo aumentamos a confiabilidade de
nossa aproximação teórica realizada ao desprezar a interação com o ensemble de átomos
em repouso, pois todos os feixes (2 de ida e 2 de volta) interagiam simultaneamente com
este grupo. Essa dessintonia confere um pequeno caráter dispersivo às ressonâncias de
EIT-Doppler, porém, nada que venha modificar de forma crítica a forma de linha dessas
ressonâncias.
Seguindo a montagem 5.9, temos que os feixes que atravessam o P BS3 são retro-
refletidos, de modo que, na volta, ao passarem novamente pela placa de λ/4 adquirem
polarizações circulares contrárias aos feixes da vinda, reincidindo na célula. A célula está
submetida á um campo magnético externo do solenóide, controlado por uma fonte de
90
5.6 Experimento 2: A Dupla EIT-Doppler vs B
EXT
corrente. Esta fonte está em série com um multímetro que foi usado para aumentarmos a
precisão da medida da corrente. Os feixes da volta ao sairem da célula, passam novamente
pela primeira placa de λ/4 que restaura suas polarizações iniciais. Inserindo uma placa
separadora de feixes no caminho do feixe de prova, refletimos parte dele que é detectada
pelo fotodetector PDA36A e o sinal é enviado a um osciloscópio.
Variando o campo magnético temos diferentes deslocamentos, que definimos como X
c
,
entre os picos, tal que esta distância é definida em relação ao centros de cada um, veja
figura 5.12.
Figura 5.12: Variação da distância entre as janelas da Dupla EIT-Doppler por aplicação do campo
magnético externo. A curva para B=0 está em uma escala 10 vezes menor.
A dependência é determinada calculando-se para cada campo as separações entres os
picos. Como mostra a figura 5.13, obtivemos que a dependência é linear, concordando
com resultados similares obtidos por Jin-Yue Gao et. al na referência [73] em uma outra
configuração. O coeficiente angular é obtido por um “fit” realizado através da utilização de
91
5.6 Experimento 2: A Dupla EIT-Doppler vs B
EXT
um programa científico para tratamento dos dados. Este coeficiente, como foi calculado,
fornece para o nível hiperfino f = 3 um deslocamento Zeeman, por unidade de campo
magnético igual a 0.29MHz/G, o que está em bom acordo com os dados obtidos por D.
Steck [3].
Figura 5.13: Dependência da ressonância de Dupla EIT-Doppler em função do campo aplicado.
Para que o leitor realmente se convença que se trata de uma dupla ressonância de
EIT-Doppler como aquela teoricamente prevista no capítulo 4, vamos aqui caracterizá-la
realizando alguns testes. Primeiramente esperamos que para todos os feixes ligados, isto
é, os feixes prova e acoplamento da ida (α
1
e Ω
1
) e os feixes prova e acoplamento da
volta (α
2
e Ω
2
) interagindo com o meio, e com o campo magnético externo desligado as
contribuições dos sinais nas configurações Λ–Stokes e Λ–anti-Stokes, respectivamente a
ida e volta, se superpõem no zero da coordenada. Ao ligarmos o campo magnético, ainda
com todos os lasers ligados (α
1
, Ω
1
) o sinal da ida (α
1
, Ω
1
) e o da volta (α
2
, Ω
2
) sofrem
deslocamentos diferentes para cada uma das configurações, como vimos anteriormente
92
5.6 Experimento 2: A Dupla EIT-Doppler vs B
EXT
no capítulo 4, isto é, esperamos encontrar as duas janelas de EIT-Doppler deslocadas
em relação ao zero em sentidos contrários. Portanto, se mantivermos o mesmo campo
magnético e desligarmos o acoplamento da volta, isto é Ω
2
= off a janela de EIT-Doppler
referente à configuração Stokes deve desaparecer. E ainda se desligarmos o acoplamento da
ida, isto é equivalente a desligar todos os acoplamentos, então vemos somente a absorção
linear com alargamento Doppler. Os espectros 5.14 mostram os resultados obtidos para
cada uma das situações descritas, ou seja, comprova cada um dos testes, de forma que
podemos concluir que realmente se trata de uma dupla ressonância de EIT-Doppler.
Figura 5.14: (a) Curva obtida em campo magnético nulo com todos os feixes ligados. (b) Curva com
campo magnético da ordem de 3G aplicado e todos os feixes ligados. (c) Campo magnético da ordem de
3G aplicado e o feixe de acoplamento da volta desligado. (d) Campo magnético da ordem de 3G aplicado
e os dois feixes de acoplamento desligado.
Portanto, nossa técnica permite determinar, em campos magnéticos da ordem de al-
guns Gauss, deslocamentos Zeeman com boa precisão. A incerteza em se determinar o
centro da janela de EIT-Doppler é escrita de acordo com a literatura [74], como:
δν =
∆ν
S/R
(5.1)
93
5.6 Experimento 2: A Dupla EIT-Doppler vs B
EXT
onde ∆ν é a largura a meia altura da janela de EIT-Doppler mais largo na dupla ressonân-
cia, S é a amplitude do sinal associado ao contraste da janela de EIT-Doppler e R a am-
plitude do ruído. Determinamos as amplitudes do sinal (S) e do ruído (R). Como mostra
a figura 5.15, desenhando duas linhas tangentes aos picos de ruído, podemos determinar
a amplitude R do ruído pela distância vertical entre essas duas linhas. A amplitude S do
sinal é determinada a partir da distância do ponto médio entre as linhas tangentes dos
picos de ruído e uma linha tangente ao pico que determina o sinal [75].
Figura 5.15: Determinação da razão sinal-ruído.
Então usando o fato que o deslocamento Zeeman, entre a dupla janela de EIT-Doppler,
é dado por X
c
= 2∆Z =
4µ
e
g
f
m
f
B
temos que
δν
X
c
=
δB
B
=
∆ν
X
c
S/R
(5.2)
Para um deslocamento Zeeman X
c
da Ordem de 10 MHz (B ∼10 Gauss), nossas
larguras típicas de ressonâncias de EIT-Doppler da ordem de 100 KHz, e determinando
uma relação S/R ≃ 100, temos que a incerteza na medida do campo magnético é dada
por
δB
B
0
= 10
−4
94
5.6 Experimento 2: A Dupla EIT-Doppler vs B
EXT
Algumas limitações para o método são: a largura das ressonâncias coerentes utilizadas,
o limite da variação linear do efeito Zeeman devido ao modelo teórico, a relação sinal-ruído
e as intensidades dos feixes, tal que menores intensidades levam a uma melhor precisão,
mas reduzem o sinal. No limite de baixas intensidades, as larguras das janelas de EIT-
Doppler, como vimos no capítulo 3, dependem exclusivamente da taxa de relaxação da
coerência γ
bc
dos níveis inferiores do sistema Λ. Estas taxas podem ser reduzidas utilizando
“gas buffer” (gás tampão)
3
, que aumenta o tempo de interação dos átomos com o feixe e
recobrindo as paredes da célula com parafina de modo a evitar a troca do spin atômico
devido aos choques com a parede, vide Budker et al [76]. Com superfícies tratadas, Budker
obteve ressonâncias com largura da ordem de 1.3 Hz.
Uma vez que reduzimos a taxa γ
bc
, reduzimos também a relação sinal-ruído, pois,
como vimos na secção 3.2.2, o contraste da EIT aumenta quando γ
bc
diminui. Wynands
obteve relações de sinal-ruído da ordem de 30000, veja [74].
Com os valores da literatura acima citada, poderiamos estimar o campo magnético
com uma incerteza relativa de
δB
B
0
= 10
−11
(5.3)
.
5.6.3 Variações Experimentais
Uma dupla ressonância de EIT-Doppler pode ser obtida na configuração do experimento
1 (fig. 5.1) por adicionar o solenóide e retirar as placas de um quarto de onda, isto é,
aplicando-se o campo magnético co-propagante com os feixes, cujas polarizações, agora,
são lineares e ortogonais.
Nesta configuração de polarizações lineares, ambos os feixes se acoplam com ambas
as transições a–b e a–c, como mostra a figura 5.16, pois, as polarizações dos feixes são
ortogonais ao campo magnético, cada feixe possui componentes de polarização σ
+
e σ
−
e
induzem portanto transições com ∆m
f
= ±1, conforme mostrado na figura 5.16.
3
São gases inertes, geralmente nobres, que reduz o momento de outros gases mais leves por colisão
elástica, adicionando assim um comportamento difusivo aos vapores de interesse.
95
5.6 Experimento 2: A Dupla EIT-Doppler vs B
EXT
Figura 5.16: Feixes com polarizações lineares ortogonais interagindo com um sistema de dois níveis
com degenerescência Zeeman.
Então ao ligarmos o campo magnético os sub-níveis Zeeman são deslocados, como
vimos no capítulo 4, e por conseqüência direta das duplas transições realizadas pelos feixes
com polarizações lineares ortogonais, temos três ressonâncias distintas, duas associadas à
formação de configurações Λ–Stokes e Λ–anti-Stokes, e uma terceira ressonância (δ = 0)
relacionada a uma ressonância de população em sistemas de dois níveis abertos [77],
formada quando os feixes estão na mesma transição, figura 5.17.
Nesta configuração, o feixe é detectado pelo PDA36A em transmissão simples, logo
após o PBS3, e o espectro está mostrado na figura 5.18.
Dessa forma podemos concluir que a técnica por nós desenvolvida e descrita no capítulo
4, é vantajosa no sentido de eliminar a ressonância central que limita a determinação do
campo magnético à sua largura de linha.
Uma outra forma de se determinar o campo magnético seria utilizando a configuração
mostrada na figura 5.1 com campo magnético paralelo aos feixes configurados em po-
larizações circulares, obtendo assim uma única ressonância de EIT-Doppler (Stokes ou
anti-Stokes). Entretanto, esta técnica estaria limitada pela incerteza na determinação do
valor correspondente a δ = 0. Embora este valor possa ser determinado através da medida
dos batimentos entre os feixe forte e sonda, a precisão desta medida estaria limitada pela
largura dos lasers que são da ordem de ∼ 1 MHz.
96
5.6 Experimento 2: A Dupla EIT-Doppler vs B
EXT
Figura 5.17: Após a aplicação do campo magnético o sinal de EIT-Doppler se desdobra em três
ressonâncias distintas entre si. (a) Ressonância de EIT-Doppler em uma configuração Λ –Stokes. (b)
Ressonância de dois campos num sistema de dois níveis para respectivas coincidências das polarizações
dos campos. (c) Ressonância de EIT-Doppler numa configuração Λ–anti-Stokes.
Figura 5.18: Espectro mostrando as três ressonâncias correspondendo, respectivamente, às configu-
rações em (a), (b) e (c) da figura 5.16.
97
5.6 Experimento 2: A Dupla EIT-Doppler vs B
EXT
5.6.4 Observação de um Sinal Coerente Não Relacionado à EIT-
Doppler
Um fato importante que observamos na configuração (fig. 5.9), na condição de ressonância
(∆ = 0), foi o surgimento de um feixe conjugado enquanto era realizado a preparação do
sistema quando desligávamos a volta do feixe de prova (α
2
= off) para retro-refletir
o feixe de acoplamento. Esta configuração de alinhamento é justamente a configuração
típica para observação do processo de mistura de quatro ondas, ou seja, víamos um sinal
coerente (feixe conjugado) mesmo desligando a volta do feixe de prova, que implicaria em
não detectarmos nenhum sinal no osciloscópio. Esta mistura de quatro ondas abre um
novo horizonte para a bancada experimental de forma que podemos estudar sua correlação
com o sinal de EIT-Doppler.
98
Capítulo 6
Conclusões e Perspectivas
Nesta dissertação apresentamos um estudo teórico e experimental das ressonâncias de
EIT-Doppler e da sua relação com o efeito Zeeman em sistemas de dois níveis degenera-
dos. Desenvolvemos uma técnica de produção de duas janelas de EIT-Doppler através da
aplicação direta de um campo magnético externo.
Em nosso trabalho apresentamos um modelo teórico para a interação entre os feixes
de prova e de acoplamento com um sistema de três níveis numa configuração do tipo Λ,
onde obtivemos uma solução perturbativa da equação de Liouville para o elemento de
matriz do operador densidade, que dá a coerência induzida entre os estados |a e |b,
ρ
ab
, em primeira ordem na freqüência de Rabi α do feixe de prova e em todas as ordens
na freqüência de Rabi Ω do feixe de acoplamento. Esta solução nos permitiu calcular o
espectro de absorção do feixe de prova para átomos inicialmente em repouso, isto é, o meio
homogeneamente alargado. Em seguida consideramos o meio alargado inomogeneamente
pelo efeito doppler e integramos numericamente em todas as classes de velocidades obtendo
o espectro de absorção do feixe de prova num vapor atômico, tal que, foi possível verificar
que a janela de EIT se estreita, em relação à janela de EIT para átomos parados, ao
levarmos em conta o efeito Doppler. Determinamos, ainda que o principal mecanismo
de descoerência da janela que determina a largura da EIT-Doppler, é determinado pelo
tempo de trânsito dos átomo através dos feixes.
99
Descrevemos, em linhas gerais, o átomo de césio, sua estrutura fina, hiperfina e sua
interação com campos magnéticos externos. Também descrevemos a linha atômica uti-
lizada em nosso experimento, a linha D
2
do césio. Apresentamos uma técnica bastante
conhecida para fazermos a espectroscopia dos estados hiperfinos da linha D, a técnica de
absorção saturada. Em seguida, apresentamos alguns princípios de funcionamento de um
laser de diodo de cavidade estendida e o processo de sua estabilização em freqüência numa
transição atômica, com o auxílio da técnica de absorção saturada. Ainda, apresentamos
os AOMs que constituíram o sistema de varredura.
A vantagem prática da nossa montagem com AOMs é que o estudo desses sistemas e
a espectroscopia dos níveis podem ser realizadas com um único laser. Podemos obter os
dois campos de um mesmo campo original e, portanto, temos campos com uma relação
de fase muito bem definida, que permite observar estruturas muito mais estreitas do que
seria possível se utilizássemos dois lasers completamente independentes. Isto nos permite
usar um aparato experimental bem mais simples.
Observamos ressonâncias de EIT-Doppler no vapor de césio e medimos o seu alarga-
mento em função da intensidade do feixe forte. Nitidamente a dependência da largura da
ressonância de EIT-Doppler com a intensidade do feixe de acoplamento foi linear tal como
previsto pelo modelo teórico e pela simulação numérica. Ainda, a partir da extrapolação
da reta das larguras experimentais ao zero da intensidade, fomos capazes de determinar
um γ
bc
experimental da ordem de 62 kHz, comprovando que o principal mecanismo de de-
fasamento é o tempo de vôo do átomo pela região de interação como previsto por Figueroa
et al [36].
Ao estudarmos a relação da ressonância de EIT com o efeito Zeeman fomos capazes
de produzir uma configuração experimental para se observar uma dupla ressonância de
EIT-Doppler através da aplicação direta de um campo magnético. Isto nos permitiu
estabelecer um aparato para se medir deslocamentos Zeeman e conseqüentemente campos
magnéticos com alta precisão.
Utilizando a configuração de dupla ressonância de EIT-Doppler foi permitido medir o
deslocamento Zeeman com precisão limitada pela largura de ressonância. Nesta configu-
ração medimos campos magnéticos da ordem de 10 G com incerteza relativa de 10
−4
. Com
100
os melhores valores da literatura que foram atingidos experimentalmente para ressonân-
cias de EIT, estimamos que esta técnica pode levar a uma incerteza relativa de 10
−11
para campos magnéticos da ordem de 10 Gauss, que em comparação com magnetômet-
ros baseados em SERF como descritos na introdução deste trabalho, são considerados
grandes campos, pois estes SERF-Magnetômetros são limitados a campos da ordem de
mG. A vantagem de se utilizar a configuração dupla e não uma simples configuração é a
de eliminar ressonâncias estreitas não relacionadas ao deslocamento Zeeman.
Ainda, nessa configuração observamos um sinal de mistura de quatro ondas que pos-
sibilita novos campos de estudo, por exemplo, podemos estudar suas correlações com as
ressonâncias de EIT-Doppler.
101
Apêndice A
Rotina de Integração
Rotina em “C++” usada para calcular a integral do sinal de EIT-Doppler no capítulo 3,
particuluarmente na equação 3.63:
/*------------------------------------------------*/
/*Pacotes*/
/*------------------------------------------------*/
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
/*------------------------------------------------*/
/*Definição de Constantes*/
/*------------------------------------------------*/
#define pi 3.14159265358979323848
/*Número de Pontos*/
#define numpointsMAXv 5000
#define numpointsMAXDelta 5000
/*Tamanho do incremento das velocidades*/
#define v0 -800.0 /*velocidade inicial*/
#define vf 800.0 /*velocidade final*/
/*Tamanho do incremento do delta*/
102
#define Delta0 -2.0
#define Deltaf 2.0
/*Normalização e Velocidade mais Provável*/
#define v_med 40000.0
#define Norm_fact 1e-2
/*------------------------------------------------*/
/*Funções e Variáveis Globais*/
/*------------------------------------------------*/
/*Variáveis de Arquivo*/
FILE *file;
FILE *arq;
FILE *W;
/*Variáveis de Entrada*/
double a,b=1,c,Omega;
/*Funçoes Globais*/
/*Nome do Arquivo*/
int getname(char name[99])
{
printf("\nEntre com o nome: ");
scanf("%s",name);
printf("\n");
return(1);
}
/*Leitura dos Parametros*/
double parametros()
{
printf("Entre com os Parametros (em unidades de gamma):\n");
printf("\nGamma[bc]: ");
scanf("%lg",&a);
printf("\nDetunning: ");
scanf("%lg",&c);
printf("\nOmega: ");
scanf("%lg",&Omega);
return 0;
103
}
/*Quadrado*/
double sqr(const double x)
{
return x*x;
}
/*Im{X}*/
double X(const double Delta, const double v)
{
double delta = Delta;
return (a*(b*a-c*delta-sqr(delta)-.4*v*delta+sqr(Omega))
/(sqr(b*a-c*delta-sqr(delta)-.4*v*delta+sqr(Omega))+
sqr(b*delta+c*a+delta*a+.4*v*a))+
delta*(b*delta+c*a+delta*a+.4*v*a)
/(sqr(b*a-c*delta-sqr(delta)-.4*v*delta+sqr(Omega))
+sqr(b*delta+c*a+delta*a+.4*v*a)));
/*junte todo esse comando do return acima em apenas uma LINHA!*/
}
/*Distribuiçao de Velocidades*/
double Boltzmann(const double v)
{
return Norm_fact*exp(-sqr(v)/v_med);
}
/*Fim de Funçoes Globais*/
/*------------------------------------------------*/
/*Rotina*/
/*------------------------------------------------*/
int main(argc, argv)
char *argc, **argv;
{
char name[99];
char info[100]="Info";
long i, j,k, numpoints=numpointsMAXv;
double dv=(vf-v0)/numpoints;
double y[100000], x[100000], ymax, ymin, fwhm, hm, x1, x2;
double dDelta=(Deltaf-Delta0)/numpointsMAXDelta;
double Ab=0.0;
double delta, v;
/*Chamada dos Parâmetros de Entrada*/
104
parametros();
/*Teste da Abertura de Arquivos*/
fprintf(stderr,"\n");
if ( (int) argc<2 )
{
fprintf(stderr, "\nPara o arquivo de saida,");
getname(name);
if (NULL==(file=fopen(name,"wt")))
{
fprintf(stderr,"%s: nao consegui criar o arquivo: %s\n", argv[0],
name);
return 1;
}
}
else
{
strcpy(name,argv[1]);
if (NULL==(file=fopen(name,"wt")))
{
fprintf(stderr,"%s: nao consegui criar o arquivo: %s\n", argv[0],
name);
return 1;
}
}
/*Integral em Velocidades*/
delta=Delta0;
for (i=0; i< numpoints; i++)
{
Ab=0.0;
for (j=0, v=v0; j<numpointsMAXv; v+=dv, j++)
{
Ab+=dv*X(delta,v)*Boltzmann(v);
}
fprintf(file, "%lg %lg\n", delta, Ab);
delta+=dDelta;
}
/*Observação: insira aqui o algoritmo de integração que preferir*/
fclose(file);
105
/*Calculo da Largura*/
file=fopen(name,"r");
i=0;
while(!feof(file))
{
fscanf(file,"%lg",&x[i]);
fscanf(file,"%lg",&y[i]);
i++;
k=i;
}
fclose(file);
for(i=0;i<=k-2;i++)
{
if(i==0)
{
ymax=y[i];
ymin=y[i];
}
else
{
if(y[i]>ymax)
{ymax=y[i];}
if(y[i]<ymin)
{ymin=y[i];}
}
}
hm=(ymax+ymin)/2;
for(i=1;i<=k-2;i++)
{
if(fabs(y[i])<=fabs(hm)&&fabs(y[i-1])>=fabs(hm))
{x1=x[i];}
if(fabs(y[i+1])>=fabs(hm)&&fabs(y[i])<=fabs(hm))
{x2=x[i];}
}
fwhm=x2-x1;
if((W=fopen("WxP.txt","r"))==NULL)
{
W=fopen("WxP.txt","w");
fprintf(W,"%lg",fabs(fwhm));
}
else
{
106
W=fopen("WxP.txt","r+");
fseek(W,0,SEEK_END);
fprintf(W,"\n%lg",fabs(fwhm));
}
fclose(W);
/*Escrita dos Parametros no Info*/
strcat(info,name);
arq=fopen(info,"w");
fprintf(arq,"gamma[bc]=%lg\ngamma=%lg \nDetunning=%lg
\nOmega=%lg\nymin=%lg\nymax=%lg\nx1=%lg
\nx2=%lg\nhm=%lg\nlargura=%lg", a, b, c,
Omega,ymin,ymax,x1,x2,hm,fabs(fwhm));
/*junte todo esse comando do fprintf acima em apenas uma LINHA! */
fclose(arq);
}
107
Referências Bibliográficas
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112
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