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Estudo da dinˆamica de condensados
Bosˆonicos com duas componentes
autor
∗
Emerson Luiz Lapolli
Orientador :
Frederico Firmo de Souza Cruz
Disserta¸c˜ao apresentada a P´os-Gradua¸c˜ao
em F´ısica da Universidade Federal de Santa
Catarina, como parte dos requisitos para ob-
ten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em F´ısica
UFSC - Florian´opolis
17 Agosto de 2005
†
Este trabalho contou com apoio financeiro do CNPq.
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Estudo da dinˆamica de condensados
Bosˆonicos com duas componentes
Emerson Luiz Lapolli
Esta Disserta¸c˜ao foi julgada adequada para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em F´ısica,
na ´area de concentra¸c˜ao F´ısica Atˆomica e Molecular e aprovada em sua forma final
pelo Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica da Universidade Federal de Santa Catarina.
Prof. Dr. Marcelo H. R. Tragtemberg
Coordenador do Curso
Banca Examinadora
Prof. Dr. Frederico Firmo. S. Cruz
(FSC/UFSC - Orientador)
Prof. Dr. Emerson J. V. de Passos
(DFM - IF - USP)
Prof. PhD. Marcus Benghi Pinto
(FSC/UFSC)
Prof. Dr. S´ergio Eduardo Michelin
(FSC/UFSC - suplente)
ii
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Dedico a minha eterna
companheira Ramona
e a minha fam´ılia.
iii
Agradecimentos
Primeiramente agrade¸co as mulheres mais importantes da minha vida: minha compa-
nheira Ramona, minha M˜ae Edi e irm˜a Danielli, pela confian¸ca e est´ımulo que n˜ao me
deixaram desanimar. Ao meu orientador Fred, pela sua infinita paciˆencia e dedica¸c˜ao.
Ao professor Michelin, carinhosamente chamado por seus pupilos de paichelin, por ter
sanado, em alguns momentos, minhas d´uvidas e tamb´em pelo apoio e incentivo. Aos
alunos pupilos do prof. Michelin do grupo de atˆomica e molecular, pelos momentos de
descontra¸c˜ao. Ao Marcoletti por sua companhia na sala 74. A turma do LABIDEX pelos
momentos de alegria al´em dos infinitas d´uvidas, debates e discussˆoes, onde se come¸cava
com uma “nano-d´uvida” entre dois e esta era sanada, em uma ´ultima instˆancia, numa
“giga-discuss˜ao” entre muitos. Aos agora colegas Marcos Auto-apelidado de Mulder, Da-
niel Girardi (Nanel ), Maicon Saul Farias (caluoro) e Andr´e o Gabiru para os colegas, e
grandes merecedores de um... “so co-na-boca!!”. Tamb´em agrade¸co aos Alexandres, China
e Monstro, respectivamente pelo suporte a softwares e d´uvidas em inglˆes, al´em de suas
amizades. Agora na reta final, tem o George, com quem divido sala e orientador, que me
auxiliou nas corre¸c˜oes gram´aticais da vers˜ao final da disserta¸c˜ao. Agrade¸co ao chimarr˜ao,
Cuia e Bomba por terem sido minha ´unica companhia em muitos momentos a frente do
computador e abrindo as contas dos artigos. N˜ao poderia de deixar de agradecer aos
grandes concorrentes na disputa pelo dom´ınio do universo: Deus e o Demˆoˆoˆonio, pelas
ajudas e empecilhos que me fizeram amadurecer cientificamente.
iv
SUM
´
ARIO
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
Intro du¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Objetivos Espec´ıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Descri¸c˜ao do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1. Revis˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1 Composi¸c˜ao e Tipos de BECs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 BEC com duas componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 As Intera¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Os Acoplamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. O modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1 Dinˆamica do condensado com duas componentes . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Aproxima¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 Hamiltoniana de dois modos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3. Formalismo de Quasi-Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1 Hamiltoniana Atˆomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Hamiltoniana de Feshbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Diagonaliza¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 Valores esperados de
ˆ
J
z
(
ˆ
J
z
ν
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5 M´etodo de an´alise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.6 Dubletos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.7 Espectro de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4. Estados Coerentes de SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1 Constru¸c˜ao do Estados Coerentes de SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Equa¸c˜oes Canˆonicas de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Superf´ıcie de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.1 Simetria da superf´ıcie de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5. Estudo do plano E × z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.1 Pontos cr´ıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Acoplamento
´
Atomo-
´
Atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2.1 Caso Sim´etrico (∆E
−
= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2.2 Comportamento do plano E × z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2.3 Caso Assim´etrico (∆E
−
= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.4 Acoplamento
´
Atomo-Mol´ecula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 Quˆantico & Cl´assico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6. O Tunelamento e o Auto Armadilhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1 Equa¸c˜ao de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.2 M´etodo para a an´alise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.4 Os resultados foram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.5 Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
vi
LISTA DE FIGURAS
0.1 Forma¸c˜ao do BEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1 Superposi¸c˜ao das fun¸c˜oes de onda de cada componente . . . . . . . . . . . 30
3.2 N´ıveis de energia do acoplamento ´atomo-´atomo. Em a n˜ao h´a presen¸ca de
dubletos, sendo que em b e c (dentro da barreira fict´ıcia) temos dubleto
e λ
a
= λ
b
. Em d temos λ
a
= λ
b
h´a uma faixa de seq¨uencia de n´ıveis
de energias pr´oximos. O espectro acima foi obtido numericamente atrav´es
da equa¸c˜ao 3.26. O po¸co que aparece ´e fict´ıcio, ´e s´o para mostrar a
equivalˆencia a um sistema simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 N´ıveis de energia do acoplamento ´atomo-mol´ecula. Em a e b temos o sis-
tema fortemente acoplado; temos uma seq ¨uencia de n´ıveis pr´oximos em c
com λ
a
= λ
b
e em d com λ
a
= λ
b
. O espectro acima foi obtido numerica-
mente atrav´es da equa¸c˜ao 3.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 N´ıveis de energia do sistema ´atomico e mol´ecular com o acoplamento des-
ligado. Em a e b temos λ
a
= λ
b
; temos uma seq¨uencia de n´ıveis pr´oximos
em c e d com λ
a
= λ
b
. O espectro acima foi obtido numericamente atrav´es
da equa¸c˜ao 3.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1 Defini¸c˜ao da rota¸c˜ao R
θ,ϕ
no espa¸co do momento angular . . . . . . . . . . 36
4.2 Esfera cl´assica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Superf´ıcie de energia atˆomica (fig. c) com λ
a
= λ
b
= 3 (caso sim´etrico
∆E
−
= 0), λ = 1 e α = 0.4. As linhas paralelas no plano E × z (fig. b)
e E × ϕ (fig. d) representam as trajet´orias (curvas de n´ıveis) do espa¸co
de fase (fig. a) com mesma energia. Estas trajet´orias s˜ao solu¸c˜oes das
equa¸c˜oes de movimento 4.27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4 Superf´ıcie de energia molecular (fig. c) com λ
a
= 2,λ
b
= 4λ
a
(Apesar de
considerar ∆E
−
= 0 esta estrutura possui uma assimetria natural) ,λ = 1
e α = 0.4. As linhas paralelas no plano E × z (fig. b)e E × ϕ (fig. d)
representam as trajet´orias (curvas de n´ıveis) do espa¸co de fase (fig. a) com
mesma energia. Estas trajet´orias s˜ao solu¸c˜oes das equa¸c˜oes de movimento
4.30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.5 Gr´afico de fase do acoplamento ´atomo-´atomo mostrando os tipos de tra-
jet´orias, modos e fases π e 0. Em a: λ
a
= λ
b
= 1.0, λ = −0.2, α =
−0.1; b: λ
a
= 1.0, λ
b
= −1.0, λ = 4.0, α = 0.55; c: λ
a
= λ
b
= 1.0, λ =
−0.08, α = −0.17; d : λ
a
= λ
b
= 1.0, λ = −2.0, α = 0.9 . . . . . . . . . . . 43
5.1 Contorno do plano E × z. Curvas superior e inferior em fases diferentes
conforme sinal de α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2 Na regi˜ao escura temos ocorrˆencia de sela. Nos quadrantes (+, +) e (−, −),
onde o sinal relativo entre α e λ ´e positivo, a sela sempre se localizar´a em
ϕ = 0 e nos quadrantes (+, −) e (−, +) sempre estar´a em ϕ = π . . . . . . 47
5.3 Plano E × z com concavidade para cima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4 Esquema representando o comportamento do gr´afico E × z no caso as-
sim´etrico atˆomico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.5 Esquema para caso representando o comportamento do gr´afico E × z no
caso assim´etrico molecular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.6 Superposi¸c˜ao entre gr´aficos do espectro E
ν
, E
ν
×
ˆ
J
z
ν
e plano E × z (si-
lhueta) para o sistema ´atomo-´atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.7 Superposi¸c˜ao entre gr´aficos do espectro E
ν
, E
ν
×
ˆ
J
z
ν
e plano E × z (si-
lhueta) para o sistema ´atomo-mol´ecula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.8 Convergˆencia da bifurca¸c˜ao para o ponto de sela e
ˆ
J
z
ν
tende a um conti-
nuo com J → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.1 Evolu¸c˜ao temporal dos estados coerentes de quasi-spin com j = 6 e α =
0, 2. Nos gr´aficos menores est´a representado o espa¸co de fase z × ϕ
correspondente a evolu¸c˜ao cl´assica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.2 Evolu¸c˜ao temporal dos estados coerentes de quasi-spin com j = 20 e α =
0, 2. Nos gr´aficos menores est´a representado o espa¸co de fase z × ϕ
correspondente a evolu¸c˜ao cl´assica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
viii
6.3 Evolu¸c˜ao temporal dos estados coerentes de quasi-spin com j = 6 e α =
0, 4. Nos gr´aficos menores est´a representado o espa¸co de fase z × ϕ
correspondente a evolu¸c˜ao cl´assica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.4 Evolu¸c˜ao temporal dos estados coerentes de quasi-spin com j = 20 e α =
0, 4. Nos gr´aficos menores est´a representado o espa¸co de fase z × ϕ
correspondente a evolu¸c˜ao cl´assica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
ix
Resumo
O chamado condensado Bose-Einstein (BEC) foi previsto pela primeira vez em 1925 por
Albert Einstein , utilizando para um g´as ideal de ´atomos com spin inteiro (b´osons) as
id´eias de Satyendra Nath Bose para f´otons, por´em, o primeiro condensado s´o foi obser-
vado experimentalmente em 1995. Com isso, abriu-se uma vasta janela de possibilidades
de fenˆomenos quˆanticos poss´ıveis de serem estudados tanto teoricamente quanto experi-
mentalmente.
Neste trabalho investigamos a dinˆamica de um sistema constitu´ıdo de ´atomos em
dois estados distintos. Nos concentramos na an´alise dos fenˆomenos de tunelamento e
auto-armadilhamento (MQST). Para isto utilizamos como ferramenta, os operadores da
´algebra SU(2). Paralelamente, estendemos esta investiga¸c˜ao para o caso onde h´a uma
componente ´e constitu´ıda de ´atomos e a outra constitu´ıda de mol´eculas. Na seq¨uˆencia
avaliamos as modifica¸c˜oes dos efeitos de tunelamento e auto-armadilhamento ap´os uma
transforma¸c˜ao de estados coerentes. Sendo que esta transforma¸c˜ao nos permitir descrever
a dinˆamica do sistema atrav´es de equa¸c˜oes cl´assicas de movimento.
x
Abstract
The so called Bose-Einstein Condensed (BEC), for entire spin particle (b´osons), was
predicted in 1925 by Albert Einstein based on ideas Satyendra Nath Bose. However, it was
first observed experimentally only in 1995. Due to special proprieties bosons become a
great laboratory for investigating quantum phenomena theoretically and experimentally.
In this work we are mainly interested on systems with two distincts bosons.
We will concentrate the analysis on the effect of the coupling between the components
investigating the tunneling and macroscopic quantum self trapping (MQST) phenomena.
For this we will use as a tool, the operators of algebra SU(2). We will also extend the
analysis to a systems with atom and molecules.
Using spin coherent states we studied the semiclassical dynamics of the systems and we
compare it to the quantum solution. We took special attention to the MQST regime and
the dynamics relation between the difference of phase and population of both condensates.
xi
INTRODUC¸
˜
AO
Uma das principais distin¸c˜oes entre part´ıculas existentes no mundo quˆantico est´a contida
na chamada simetria de troca, a qual separa as part´ıculas em duas grandes fam´ılias:
B´osons e F´ermions. Esta simetria, baseada na indistiguibilidade das part´ıculas e no
princ´ıpio de superposi¸c˜ao, tem conseq¨uˆencias estritamente fortes no comportamento de
b´osons e f´ermions. Os f´ermions, part´ıculas de spin semi-inteiro (n+
1
2
com n = 0, 1, 2, 3...),
tais como: pr´otons, neutrons e el´etrons, obedecem o princ´ıpio de exclus˜ao de Pauli, o qual
expressa as restri¸c˜oes impostas por esta simetria. J´a para os b´osons, esta simetria n˜ao
imp˜oe restri¸c˜oes quanto a ocupa¸c˜ao dos n´ıveis de energia pelo aumento da probabilidade
de ocupa¸c˜ao de um estado j´a ocupado, assim, v´arios b´osons podem ocupar o mesmo n´ıvel
de energia. Obviamente, esta simetria tem implica¸c˜oes tamb´em na estat´ıstica de um
conjunto de b´osons e ou f´ermions, na medida em que se realize com restri¸c˜oes ou n˜ao a
probabilidade de ocupa¸c˜ao de certos estados.
No que se refere a este trabalho, trataremos sistemas de b´osons em temperaturas
baix´ıssimas onde ocorre o fenˆomeno de condensa¸c˜ao. A condensa¸c˜ao de Bose-Einstein ´e a
ocupa¸c˜ao macrosc´opica, isto ´e, por um conjunto muito grande de b´osons, do estado funda-
mental. Esta condensa¸c˜ao forma um sistema “macrosc´opico”com propriedades quˆanticas
e tem sido de grande interesse na medida em que diversos efeitos quˆanticos podem ser
investigados em profundidade. A robustez do condensado permite, por exemplo, a an´alise
de diversos fenˆomenos quˆanticos como a interferˆencia em um sistema constitu´ıdo por mi-
lhares de part´ıculas sendo descritas por uma ´unica fun¸c˜ao de onda, o que nos d´a uma
impressionante realiza¸c˜ao da dualidade onda-part´ıcula.
A obten¸c˜ao do condensado requer um aparato experimental muito complexo onde um
g´as rarefeito de b´osons ´e resfriado em v´arias etapas. Os parˆametros que caracterizam a
condensa¸c˜ao em um sistema infinito (n˜ao armadilhado), s˜ao basicamente o comprimento
de onda t´ermico
λ
T
=
2π
2
mk
B
T
, distˆancia inter-atˆomica (d) e a intera¸c˜ao que ´e caracte-
rizada pelo comprimento de espalhamento (a). E quando o sistema est´a armadilhado,
ele ´e finito e teremos tamb´em ω que ´e a freq¨uˆencia da armadilha. A forma¸c˜ao de um
BEC, a partir de um g´as de b´osons, tem que obedecer certas condi¸c˜oes, tais como: os
10
b´osons tem que interagir fracamente (d >> λ
T
) e o g´as deve se encontrar dilu´ıdo , ou
seja, em baix´ıssima densidade (ρ ∼ 10
−13
cm
−3
). Estas duas condi¸c˜oes permitem que a
baixas temperaturas, os efeitos associados a simetrias de troca n˜ao sejam mascarados
pelas intera¸c˜oes.
Fig. 0.1: Forma¸c˜ao do BEC
No g´as, os b´osons est˜ao muito afastados um do outro, mais especificamente, a distancia
entre dois b´osons ´e muito maior que o alcance de intera¸c˜ao, que ´e definida pelo compri-
mento de espalhamento (d a). Desta maneira, garantimos que a grande maioria das
colis˜oes que ocorrem s˜ao bin´arias (figura 0.1). Em altas temperaturas, os comprimentos
de onda t´ermicos s˜ao muito pequenos se comparados com a distˆancia inter-atˆomica e o
comprimento de espalhamento, assim podem ser considerados como part´ıculas (o sistema
est´a no regime cl´assico). Mas quando a temperatura se torna muito baixa, os efeitos
quˆanticos (comportamento ondulat´orio da mat´eria) se tornam relevantes. Neste caso os
b´osons possuem um comprimento de onda de de Broglie, λ
T
. E ao alcan¸car a tempera-
tura de condensa¸c˜ao (T
c
), onde λ
T
∼ d, as fun¸c˜oes de onda come¸cam a se superpor.
O g´as de B´osons ao se tornar condensado adquire espontˆaneamente uma maior or-
ganiza¸c˜ao ocasionada pela diminui¸c˜ao da temperatura, a isto chamamos de quebra es-
11
pontˆanea de simetria. Na fase condensada duas caracter´ısticas s˜ao importantes: em
primeiro lugar, “todos” os b´osons ocupam o mesmo estado, isto ´e, s˜ao representados pela
mesma fun¸c˜ao de onda e, em segundo, todos adquirem a mesma fase
O chamado condensado Bose-Einstein, foi previsto pela primeira vez em 1925 por
Albert Einstein, utilizando num g´as ideal de ´atomos as id´eias de Satyendra Nath Bose
para F´otons. Muitos anos de estudos te´orico e experimental seguiram-se at´e que em
1995, no JILA
‡
, observou-se o primeiro BEC, com a condensa¸c˜ao de um g´as de
85
Rb.
Nesse mesmo ano seguiu-se mais duas novas observa¸c˜oes, na Universidade de RICE
com
7
Li e a outra no MIT
§
, com
23
Na. A grande importˆancia do BEC est´a contida na
capacidade de se criar, observar e manipular fenˆomenos quˆanticos em laborat´orio, que
antes s´o se tinham resultados te´oricos. Com o sucesso da observa¸c˜ao de BEC em gases
de metais Alcalinos, abriu-se uma vasta janela de possibilidades de fenˆomenos quˆanticos,
poss´ıveis de serem estudados tanto teoricamente quanto experimentalmente, assim, uma
extraordin´aria expans˜ao nas v´arias linhas de pesquisas se seguiu.
Atualmente est˜ao ocorrendo estudos onde se vem buscando aplica¸c˜oes tecnol´ogicas
para este novo estado da mat´eria. Estudos envolvendo BEC podem contribuir para vi-
abiliza¸c˜ao do computador quˆantico. Uma outra possibilidade que tamb´em vem sendo
investigada ´e a viabiliza¸c˜ao de um laser de mat´eria, muitas vezes chamado de Boser,
onde o feixe deste pode ser aplicado em f´ısica, qu´ımica e nanotecnologia, al´em de ou-
tras aplica¸c˜oes que ainda poder˜ao surgir. O BEC tamb´em contribui no desenvolvimento
em ´areas de pesquisa envolvendo superfluides, superadiˆancia, controle de velocidade e
armazenamento de luz, entre muitas e muitas outras.
Neste trabalho, focalizaremos o estudo de condensados com duas componentes. Es-
tes sistemas, constitu´ıdos por dois b´oson distintos sujeitos a interconvers˜ao, d˜ao origem
a fenˆomenos, tais como: tunelamento e auto-armadilhamento quˆantico (os quais ser˜ao
esclarecidos mais adiante), que s˜ao exclusivos desta classe de BEC.
Objetivos Espec´ıficos
Neste trabalho, investigamos a dinˆamica de dois tipos de condensados com duas compo-
nentes acopladas: o ´atomo-´atomo e o ´atomo-mol´ecula, onde os consideramos como um
sistema infinito (n˜ao armadilhado). Ent˜ao, utilizando o formalismo de quasi-spin, cons-
tru´ımos a hamiltoniana efetiva para o problema atrav´es de bases n˜ao ortogonais, tendo
‡
Formalmente chamado de Joint Institute for Laboratory Astrophysics
§
Massachusetts Institute of Technology
12
como ponto de partida estados coerentes de spin [1]. O intuito deste trabalho ´e fazer
um estudo das propriedades destes condensados comparando com um tratamento pura-
mente quˆantico, onde observaremos a existˆencia e a rela¸c˜ao entre tunelamento e MQST
(abrevia¸c˜ao em inglˆes de Auto-Armadilhamento Macrosc´opico Quˆantico), conforme os
parˆametros que representam a intera¸c˜ao e o acoplamento.
Descri¸c˜ao do Trabalho
No primeiro cap´ıtulo, uma breve revis˜ao sobre o BEC (sua forma¸c˜ao, composi¸c˜ao, in-
tera¸c˜oes e acoplamentos) foi feita; no cap´ıtulo seguinte abordamos o modelo, os acopla-
mentos e as devidas aproxima¸c˜oes. No cap´ıtulo 3, obtivemos a hamiltoniana na repre-
senta¸c˜ao de Quasi-Spin (momento angular – ´algebra su(2)) empregando a parametriza¸c˜ao
de Schwinger na hamiltoniana de dois modos, obtida no cap´ıtulo 2. E com a diagona-
liza¸c˜ao, utilizando um m´etodo num´erico, obtivemos os autovetores e autovalores (Ener-
gias), e da mesma maneira, o espectro do sistema em quest˜ao, para observar a ocorrˆencia
de dubletos. Os dubletos s˜ao n´ıveis de energia muito pr´oximos e est˜ao diretamente liga-
dos com a probabilidade de tunelamento entre as componentes. No cap´ıtulo 4, atrav´es
de uma transforma¸c˜ao unit´aria utilizando estados coerentes, levamos a hamiltoniana de
uma descri¸c˜ao quˆantica `a uma descri¸c˜ao semi-cl´assica. Assim, com esta transforma¸c˜ao,
os op eradores de quasi-spin tornam-se vari´aveis cl´assicas (c-numbers). Com a nova Ha-
miltoniana plotamos a superf´ıcie de energia E(z, ϕ) em 3d onde z ≡ j
z
/j. Um dos planos
desta superf´ıcie ´e o espa¸co de fase z, e para fazer uma conex˜ao entre o espectro de energia
e o espa¸co de fase tamb´em estudamos o plano E × z. Ap´os uma exaustiva an´alise dos
gr´aficos da energia, no cap´ıtulo 5, fizemos uma descri¸c˜ao do comportamento destes, com
rela¸c˜ao a varia¸c˜ao dos parˆametros de intera¸c˜ao e acoplamento e os relacionamos ao es-
pectro de energia obtido no cap´ıtulo 3. Na seq¨uencia iremos estudar a evolu¸c˜ao temporal
dos estados coerentes e observar os efeitos do tunelamento.
Cap´ıtulo 1
Revis˜ao
1.1 Composi¸c˜ao e Tipos de BECs
Os Condensados Bose-Einstein se caracterizam pela ocupa¸c˜ao macrosc´opica do estado
fundamental por part´ıculas chamadas de B´osons, em temperaturas pr´oximas do zero
absoluto. As part´ıculas aqui consideradas s˜ao ´atomos neutros (sem carga), que por sua
vez s˜ao compostos de F´ermions, (Pr´otons, Nˆeutrons e El´etrons). A configura¸c˜ao de spin
eletrˆonica e nuclear pode ser tal, que conferem ao ´atomo um valor inteiro de spin hiperfino.
O spin hiperfino (F) ´e gerado pela intera¸c˜ao de mesmo nome que spin eletrˆonico total (J)
com o spin nuclear (I).
Experimentalmente, ´atomos alcalinos (como
85
Rb,
23
Na,
7
Li, etc) s˜ao os mais utili-
zados para formar um g´as de b´osons, pois a estrutura interna (eletrˆonica e nuclear) lhes
conferem spin hiperfino inteiro. Os ´atomos alcalinos no estado fundamental tem spin
eletrˆonico total igual a J = s = 1/2 devido a um el´etron ocupado o orbital “s” na ca-
mada mais externa, e os restantes ocupam camadas fechadas. Este ao acoplar com o
spin nuclear, e dependendo da configura¸c˜ao do spin nuclear, pode conferir ao ´atomo spin
hiperfino com valor inteiro. Pode-se obter b´osons alcalinos is´otopos, bastando para isto
valores de spin nuclear diferentes. A partir de is´otopos alcalinos podemos formar dois
ou mais b´osons distintos, bastando estarem em estados hiperfinos diferentes. Com isso
podemos formar BEC a partir de um g´as de b´osons de um mesmo elemento em estados
hiperfinos diferentes.
Cap´ıtulo 1. Revis˜ao 14
1.2 BEC com duas componentes
Atualmente muitos estudos vem sendo feitos em BEC´s com mais de uma componente,
devido ao fato deste tipo de sistema poder gerar uma gama de fenˆomenos que n˜ao ocorrem
no condensado com uma s´o componente. Dentre estes fenˆomenos est˜ao os que nos moti-
varam a produzir este trabalho: o efeito de auto-armadilhamento quˆantico macrosc´opico
[2]-[4], as oscila¸c˜oes de Josephson [2, 3] e a dinˆamica de tunelamento [2, 3, 9, 8] entre
componentes.
Os condensados multicomponentes, s˜ao aqueles constitu´ıdos por dois tipos distintos
de b´osons, e podem ser: esp´ecies qu´ımicas diferentes, is´otopos, ou um mesmo ´atomo
alcalino em estados hiperfinos distintos. O primeiro experimento com condensados mul-
ticomponentes realizado no JILA utilizou
87
Rb com uma parte dos b´osons no estado
|F = 2, m
F
= 2 e a outra no |F = 1, m
F
= −1.
Observe, como exemplo, que neste sistema al´em das intera¸c˜oes intra e inter-componentes,
h´a ainda uma intera¸c˜ao que causa o que chamamos de um spin flip e com isso gera a trans-
forma¸c˜ao dos b´osons de uma componente em b´osons da outra ,isto, ´e a interconvers˜ao.
Um outro tipo de sistema com duas componentes que permite o acoplamento ´e o composto
por ´atomos e mol´eculas. As mol´eculas s˜ao formadas pela combina¸c˜ao de dois ´atomos e a
interconvers˜ao se d´a pelo processo de associa¸c˜ao e dissocia¸c˜ao.
1.3 As Intera¸c˜oes
Nos condensados de duas componentes apresentam intera¸c˜oes de b´osons de mesmo tipo e
de diferentes tipos, e que s˜ao proporcionais ao comprimento de espalhamento a.
Como dito anteriormente, as colis˜oes bin´arias s˜ao as mais freq¨uentes no g´as de b´osons
dilu´ıdos. Em temperaturas muito baixas os ´atomos tˆem energia translacional relativa
muit´ıssimo baixa e a teoria de espalhamento nos diz que as colis˜oes bin´arias s˜ao descri-
tas puramente por ondas-s, e caracterizadas pelo comprimento de espalhamento a. De
um modo simples, este comprimento de espalhamento nos informa o alcance efetivo da
intera¸c˜ao dos ´atomos. Com a informa¸c˜ao sobre o comprimento de espalhamento, pode-
mos caracterizar algumas propriedades que o BEC possui. Quando a > 0 a intera¸c˜ao ´e
repulsiva, para a < 0 temos o caso atrativo, podendo haver neste ´ultimo, o fenˆomeno do
colapso do BEC. O comprimento de espalhamento a pode ser obtido via espectroscopia,
ou teoricamente via teoria de espalhamento, sabendo-se por antecipa¸c˜ao do potencial de
intera¸c˜ao.
Cap´ıtulo 1. Revis˜ao 15
As intera¸c˜oes entre as part´ıculas de mesma componente e de diferentes componentes
s˜ao descritas pelo pseudo-potencial de dois corpos do tipo esfera dura [11]-[13] com o raio
dado pelo comprimento de espalhamento. Isto facilitar´a a descri¸c˜ao te´orica da dinˆamica
do BEC atrav´es da equa¸c˜ao de Gross-Pitaevskii [12, 13].
1.4 Os Acoplamentos
Aqui vamos estudar paralelamente dois condensados com duas componentes . O tipo
´atomo-´atomo e o outro ´atomo-mol´ecula. A constante de acoplamento em ambos os casos
ser´a representado por α. No acoplamento ´atomo-´atomo [14]-[20] a inter convers˜ao ´e reali-
zada pela transi¸c˜ao Raman induzida por feixes de laser. O acoplamento ´atomo-mol´ecula
pode, segundo a literatura corrente, surgir atrav´es da Ressonˆancia de Feshbach [2, 8],[22]-
[23] ou ser induzida por Fotoassocia¸c˜ao Raman [4]-[7]. Uma caracter´ıstica interessante
neste sistema com ´atomos e mol´eculas, ´e que podemos controlar a intera¸c˜ao entre os
´atomos por meio de um campo magn´etico externo [22]. Embora sendo diferentes t´ecnicas
de se pro duzir condensados moleculares a partir de condensados atˆomicos, os dois ´ultimos
modelos podem ser matem´aticamente semelhantes. Em ambos os tipos de sistemas acima
descritos, veremos se existe a possibilidade de observarmos MQST, que ´e caracterizado
pela manuten¸c˜ao de uma ocupa¸c˜ao macrosc´opica ou significativa, de uma das compo-
nentes em detrimento da outra, bem como oscila¸c˜oes coerentes inter componentes [4]-[7],
al´em de tunelamento.
Cap´ıtulo 2
O modelo
O modelo que descreve a dinˆamica dos condensados com duas componentes acopladas e
interagentes ´e dado, em segunda quantiza¸c˜ao, pela seguinte densidade Hamiltoniana de
muitos corpos
ˆ
H =
ˆ
H
a
+
ˆ
H
b
+
ˆ
H
int
+
ˆ
H
acop
+
ˆ
H
P erd
(2.1)
Como estamos utilizando segunda quantiza¸c˜ao, cada termo da densidade hamiltoniana ´e
composta de operadores destrui¸c˜ao
ˆ
Ψ
c
e cria¸c˜ao
ˆ
Ψ
†
c
de part´ıculas numa posi¸c˜ao r em um
tempo t. Cada termo ser´a descrito a seguir.
Os termos relacionados a cada componente s˜ao
ˆ
H
c
=
ˆ
Ψ
†
c
(r)[−
2
∇
2
2m
c
+
c
+ V (r) +
λ
c
2
ˆ
Ψ
†
c
(r)
ˆ
Ψ
c
(r)]
ˆ
Ψ
c
(r) (2.2)
onde c = a ou b. V (r) ´e o potencial que descreve a armadilha. A intera¸c˜ao entre b´osons
de mesma componente ´e dada por λ
c
=
4π
2
a
c
m
c
, que leva em considera¸c˜ao a massa m
c
das part´ıculas das componentes em quest˜ao, e o comprimento de espalhamento a
c
. As
constantes
a
e
b
, s˜ao parˆametros que permitem um controle externo de cada compo-
nente. Este controle (detuning) ´e devido a a¸c˜ao de um potencial externo extra, tais
como, laser para o acoplamento ´atomo-´atomo [14] e campo magn´etico para acoplamento
´atomo-mol´ecula[8, 19, 22].
A intera¸c˜ao entre duas componentes diferentes ´e representada por
ˆ
H
int
= λ
ˆ
Ψ
†
a
(r)
ˆ
Ψ
a
(r)
ˆ
Ψ
†
b
(r)
ˆ
Ψ
b
(r) (2.3)
Quando as componentes est˜ao superpostas, as part´ıculas de diferentes componentes co-
lidem e a intera¸c˜ao entre elas nos ´e dada por λ =
4π
2
a
ab
m
, onde a
ab
´e o comprimento de
Cap´ıtulo 2. O modelo 17
espalhamento entre as part´ıculas que colidem e m ´e a massa reduzida.
Temos que
ˆ
H
acop
´e o termo respons´avel pelo tipo de interconvers˜ao. No caso ´atomo-
´atomo este acoplamento ´e gerado por laser via transi¸c˜ao Ramam, temos:
ˆ
H
(A)
acop
=
α
2
[
ˆ
Ψ
†
b
(r)
ˆ
Ψ
a
(r)e
−i∆t
+
ˆ
Ψ
b
(r)
ˆ
Ψ
†
a
(r)e
i∆t
]. (2.4)
O valor de ∆, o qual consideramos zero, neste acoplamento representa a diferen¸ca entre
as freq¨uˆencia dos dois laser que estimulam o acoplamento [14]. O segundo ´e o acopla-
mento ´atomo-mol´ecula, controlado externamente por um campo magn´etico, que regula a
ressonˆancia de Feshbach.
ˆ
H
(F R)
acop
=
α
√
2
[
ˆ
Ψ
†
b
(r)
ˆ
Ψ
a
(r)
ˆ
Ψ
a
(r) +
ˆ
Ψ
b
(r)
ˆ
Ψ
†
a
(r)
ˆ
Ψ
†
a
(r)] (2.5)
Nos termos de acoplamento acima, temos a constante α que carrega a informa¸c˜ao sobre
o tipo de acoplamento. No acoplamento ´atomo-´atomo, em α est´a a informa¸c˜ao sobre a
freq¨uˆencia efetiva de Rabi [14]. No acoplamento ´atomo-mol´ecula, α cont´em a informa¸c˜ao
sobre a matriz do espalhamento ressonante de Feshbach [21, 22].
Atrav´es do termo
ˆ
H
P erd
podemos levar em considera¸c˜ao as perdas que ocorrem no
sistema, que em geral, s˜ao classificadas em dois tipos: dissipa¸c˜ao e decoerˆencia. Iremos
tratar as perdas em uma outra oportunidade.
A Hamiltoniana do sistema ´e obtida integrando-se a equa¸c˜ao 2.1 no volume
ˆ
H =
ˆ
H (r)d
3
r (2.6)
ˆ
H
A,F R
=
d
3
r
ˆ
Ψ
†
a
(r)[−
2
∇
2
2m
a
+
a
+ V (r) +
λ
a
2
ˆ
Ψ
†
a
(r)
ˆ
Ψ
a
(r)]
ˆ
Ψ
a
(r)
+
d
3
r
ˆ
Ψ
†
b
(
r
)[
−
2
∇
2
2m
b
+
b
+
V
(
r
) +
λ
b
2
ˆ
Ψ
†
b
(
r
)
ˆ
Ψ
b
(
r
)]
ˆ
Ψ
b
(
r
)
+ λ
d
3
r
ˆ
Ψ
†
a
(r)
ˆ
Ψ
a
(r)
ˆ
Ψ
†
b
(r)
ˆ
Ψ
b
(r) +
ˆ
H
A(F R)
acop
(2.7)
Acoplamento
´
Atomo-
´
Atomo
ˆ
H
A
acop
=
α
2
d
3
r [
ˆ
Ψ
†
b
(r)
ˆ
Ψ
a
(r)e
−i∆t
+
ˆ
Ψ
b
(r)
ˆ
Ψ
†
a
(r)e
i∆t
] (2.8)
Acoplamento
´
Atomo-Mol´ecula
Cap´ıtulo 2. O modelo 18
ˆ
H
F R
acop
=
α
√
2
d
3
r [
ˆ
Ψ
†
b
(r)
ˆ
Ψ
a
(r)
ˆ
Ψ
a
(r) +
ˆ
Ψ
b
(r)
ˆ
Ψ
†
a
(r)
ˆ
Ψ
†
a
(r)] (2.9)
2.1 Dinˆamica do condensado com duas componentes
Por meio das equa¸c˜oes de Hamilton, temos que a dinˆamica do sistema representada por
meio da equa¸c˜ao de movimento de Heisenberg
i
˙
ˆ
Ψ(r) = [
ˆ
H(r),
ˆ
Ψ(r)] (2.10)
Para descrever o condensado com duas componentes, temos uma equa¸c˜ao de movi-
mento para cada componente.
i
˙
ˆ
Ψ
a
(r) = [
ˆ
H(r)
ˆ
Ψ
a
(r)]
i
˙
ˆ
Ψ
b
(r) = [
ˆ
H(r)
ˆ
Ψ
b
(r)]
(2.11)
Com a utiliza¸c˜ao das rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao bosˆonicas para operadores de campo,
[
ˆ
Ψ
†
c
(r),
ˆ
Ψ
c
((x)] = δ
c,c
δ(r − x), sendo que para nosso caso, tanto c quanto c
podem assu-
mir os r´otulos a ou b, gerando as seguintes equa¸c˜oes n˜ao lineares acopladas:
Atˆomica
i
˙
ˆ
Ψ
a
= −
2
∇
2
2m
a
ˆ
Ψ
a
+
a
ˆ
Ψ
a
+ λ
a
ˆ
Ψ
†
a
ˆ
Ψ
a
ˆ
Ψ
a
+ λ
ˆ
Ψ
†
b
ˆ
Ψ
b
ˆ
Ψ
a
+ α
ˆ
Ψ
b
,
i
˙
ˆ
Ψ
b
= −
2
∇
2
2m
b
ˆ
Ψ
b
+
b
ˆ
Ψ
b
+ λ
b
ˆ
Ψ
†
b
ˆ
Ψ
b
ˆ
Ψ
b
+ λ
ˆ
Ψ
†
a
ˆ
Ψ
a
ˆ
Ψ
b
+ α
ˆ
Ψ
a
(2.12)
e
Molecular
i
˙
ˆ
Ψ
a
= −
2
∇
2
2m
a
ˆ
Ψ
a
+
a
ˆ
Ψ
a
+ λ
a
ˆ
Ψ
†
a
ˆ
Ψ
a
ˆ
Ψ
a
+ λ
ˆ
Ψ
†
b
ˆ
Ψ
b
ˆ
Ψ
a
+
√
2α
ˆ
Ψ
b
ˆ
Ψ
†
a
i
˙
ˆ
Ψ
b
= −
2
∇
2
2m
b
ˆ
Ψ
b
+
b
ˆ
Ψ
b
+ λ
b
ˆ
Ψ
†
b
ˆ
Ψ
b
ˆ
Ψ
b
+ λ
ˆ
Ψ
†
a
ˆ
Ψ
a
ˆ
Ψ
b
+
α
√
2
ˆ
Ψ
a
ˆ
Ψ
a
(2.13)
O estado fundamental, bem como propriedades termodinˆamicas, podem ser obtidas
pelas equa¸c˜oes acima, mas s˜ao extremamente dif´ıceis de se resolver. Partiremos, ent˜ao,
para um tratamento aproximado.
Cap´ıtulo 2. O modelo 19
2.2 Aproxima¸c˜oes
O operador de campo
ˆ
Ψ
c
pode ser expandido em termos de estados de part´ıculas simples
ˆ
Ψ
c
(r) =
k
ψ
c
k
(r)ˆc
k
(2.14)
ˆ
Ψ
†
c
(r) =
k
ψ
c ∗
k
(r)ˆc
†
k
(2.15)
Onde ψ
k
(ψ
∗
k
) ´e uma fun¸c˜ao de part´ıcula simples que nos fornece a distribui¸c˜ao das
part´ıculas destru´ıdas (criadas) pelo operador ˆc (ˆc
†
) em um dado modo caracterizado pelo
momento k (k
) e definido por
ˆc
k
=
ψ
k
(r)
ˆ
Ψ
k
(r)d
3
r (2.16)
Estes operadores bosˆonicos s˜ao definidas nos espa¸co de Fock atrav´es das seguintes rela¸c˜oes
abaixo:
ˆa
k
|N
a
0
, N
a
1
, ..., N
a
k
, ...; N
b
0
, N
b
1
, ..., N
b
k
, ... =
p
N
a
k
+ 1|N
a
0
, N
a
1
, ..., N
a
k
− 1, ...; N
b
0
, N
b
1
, ..., N
b
k
, ...
ˆa
†
k
|N
a
0
, N
a
1
, ..., N
a
k
, ...; N
b
0
, N
b
1
, ..., N
b
k
, ... =
p
N
a
k
|N
a
0
, N
a
1
, ..., N
a
k
+ 1, ...; N
b
0
, N
b
1
, ..., N
b
k
, ...
ˆ
b
k
|N
a
0
, N
a
1
, ..., N
a
k
, ...; N
b
0
, N
b
1
, ..., N
b
k
, ... =
q
N
b
k
+ 1|N
a
0
, N
a
1
, ..., N
a
k
, ...; N
b
0
, N
b
1
, ..., N
b
k
− 1, ...
ˆ
b
†
k
|N
a
0
, N
a
1
, ..., N
a
k
, ...; N
b
0
, N
b
1
, ..., N
b
k
, ... =
q
N
b
k
|N
a
0
, N
a
1
, ..., N
a
k
, ...; N
b
0
, N
b
1
, ..., N
b
k
+ 1, ...
(2.17)
Os N
k
s˜ao os n´umeros de part´ıculas que ocupam um certo modo k. Os operadores ˆc e ˆc
†
obedecem a rela¸c˜ao de comuta¸c˜ao bosˆonica
[ˆa
k
, ˆa
†
k
] = δ
k
,k
, [
ˆ
b
k
,
ˆ
b
†
k
] = δ
k
,k
, [ˆa
k
,
ˆ
b
†
k
] = [
ˆ
b
k
, ˆa
†
k
] = 0 (2.18)
A partir daqui podemos utilizar duas aproxima¸c˜oes. Em uma obteremos uma Hamiltoni-
ana de dois modos, composta de operadores de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao bosˆonicos, e na outra,
obteremos equa¸c˜oes de movimento acopladas semi-cl´assicas, que descrevem o BEC com
duas componentes em temperatura zero.
2.2.1 Hamiltoniana de dois modos
Como o BEC ´e um sistema de part´ıculas muito peculiar, onde a grande maioria das
part´ıculas ocupa o modo condensado k = 0, vamos separar a soma na equa¸c˜ao2.14 em
dois termos
ˆ
Ψ
c
(r) = ψ
c
o
(r)ˆc
o
+
k
ψ
c
k
(r)ˆc
k
(2.19)
Cap´ıtulo 2. O modelo 20
O primeiro termo representa as part´ıculas condensadas que comportam-se coerentemente
em um ´unico modo de k = 0. O segundo termo considera as part´ıculas em outros modos
n˜ao condensados (excita¸c˜oes). Como em um BEC a grande maioria da popula¸c˜ao de
part´ıculas est´a no modo condensado, podemos desconsiderar o segundo termo. Estas
considera¸c˜oes nos levam a aproxima¸c˜ao de dois modos, que ´e valida enquanto o sistema
estiver dilu´ıdo e as colis˜oes entre dois corpos n˜ao produzam excita¸c˜oes que possam alterar
o estado fundamental.
Como s´o consideramos o modo condensado (k = 0) e independente do tempo, com
isso ψ
c
o
(r) ≡ ψ
c
(r) e ˆc
o
≡ ˆc , temos:
ˆ
Ψ
c
(r) = ˆcψ
c
(r) (2.20)
ˆ
Ψ
†
c
(r) = ˆc
†
ψ
∗
c
(r) .
E como a distribui¸c˜ao dos b´osons nos estados excitados (k = 0) ´e praticamente zero,
reescrevemos as bases relacionadas com o espa¸co de Fock da seguinte forma:
|N
a
0
, 0, ..., 0; N
b
0
, 0, ..., 0 ≡ |N
a
, N
b
, (2.21)
ent˜ao, substituindo o operador campo 2.20 nas Hamiltonianas 2.7 temos
Atˆomico
ˆ
H
A
= ε
a
ˆa
†
ˆa + ε
b
ˆ
b
†
ˆ
b +
U
a
2
ˆa
†
ˆa
†
ˆaˆa +
U
b
2
ˆ
b
†
ˆ
b
†
ˆ
b
ˆ
b
+ U ˆa
†
ˆ
b
†
ˆa
ˆ
b +
Ω
2
[ˆa
†
ˆ
b +
ˆ
b
†
ˆa] ;
(2.22)
Molecular
ˆ
H
F R
= ε
a
ˆa
†
ˆa + ε
b
ˆ
b
†
ˆ
b +
U
a
2
(ˆa
†
ˆa)
2
+
U
b
2
(
ˆ
b
†
ˆ
b)
2
+ U ˆa
†
ˆ
b
†
ˆa
ˆ
b +
Ω
√
2
[ˆa
†
ˆa
†
ˆ
b +
ˆ
b
†
ˆaˆa] .
Nesta aproxima¸c˜ao, os parˆametros de intera¸c˜ao e de acoplamento s˜ao modificados pelas
integrais de superposi¸c˜ao.
ε
a
=
ψ
a
[−
2
∇
2
2m
a
+
a
+ V (r)]ψ
∗
a
d
3
r
ε
b
=
ψ
b
[−
2
∇
2
2m
b
+
b
+ V (r)]ψ
∗
b
d
3
r
Cap´ıtulo 2. O modelo 21
U
a
= λ
a
|ψ
a
|
4
d
3
r
U
b
= λ
b
|ψ
b
|
4
d
3
r (2.23)
U = λ
|ψ
a
|
2
|ψ
b
|
2
d
3
r .
(2.24)
No acoplamento atˆomico
Ω = α
[ψ
∗
a
ψ
b
+ ψ
a
ψ
∗
b
]d
3
r
e no molecular
Ω = α
[ψ
∗
b
ψ
a
ψ
a
+ ψ
b
ψ
∗
a
ψ
∗
a
]d
3
r .
Em se considerando o BEC n˜ao armadilhado, V (r) = 0 e homogˆeneo, podemos utilizar
como solu¸c˜ao para ψ uma fun¸c˜ao de onda plana em um cubo de aresta L, ψ
c
k
(r) = Ne
ikr
e N ´e a normaliza¸c˜ao. Ent˜ao utilizando como normaliza¸c˜ao
|ψ
c
k
|
2
d
3
r = 1 (2.25)
obtemos o termo de normaliza¸c˜ao que fica N = 1/
√
V onde V = L
3
´e o volume.
Temos que o termo cin´etico ser´a
−ψ
c
k
2
∇
2
2m
c
ψ
c
k
d
3
r =
1
V
2
k
2
2m
c
d
3
r ≡ K , ent˜ao fazendo
as devidas substitui¸c˜oes nas integrais 2.23 e integrando de 0 a L, os termos de intera¸c˜ao
ficam:
ε
a
=
a
+ K
ε
b
=
b
+ K
U
a
=
λ
a
V
U
b
=
λ
b
V
(2.26)
U =
λ
V
(2.27)
No Acoplamento atˆomico
Ω = 2α
e no Acoplamento molecular
Ω =
2α
√
V
(2.28)
Estando o BEC armadilhado ou n˜ao, a estrutura Hamiltoniana
ˆ
H n˜ao se modifica, j´a que
a solu¸c˜ao para ψ ocasionar´a apenas altera¸c˜ao no termo cin´etico (ε
a
, ε
b
) e nos parˆametros
Cap´ıtulo 2. O modelo 22
de intera¸c˜oes (U
a
, U
b
e U) e acoplamento (Ω), devido as integrais de superposi¸c˜ao. Esta
Hamiltoniana em termos dos operadores cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao, juntamente com sua base,
pode ser mapeada para dentro do espa¸co de quasi-spin, que ser´a tratado nos pr´oximos
cap´ıtulos para estudar a dinˆamica dos sistemas considerados.
Cap´ıtulo 3
Formalismo de Quasi-Spin
Neste cap´ıtulo, vamos reescrever a Hamiltoniana 2.22 da p´agina 20 em termos dos opera-
dores de momento angular, utilizando as rela¸c˜oes trabalhadas por Schwinger, que conec-
tam a ´algebra de oscilador com a ´algebra de momento angular SU(2) [16]-[19]. Isto nos
ajudar´a no tratamento da Hamiltoniana, pois esta ter´a outra forma que facilitar´a sua dia-
gonaliza¸c˜ao e, com isso, a obten¸c˜ao do espectro de energia. Mais adiante, a Hamiltoniana
neste formalismo ser´a transformada em uma Hamiltoniana quasi-cl´assica por interm´edio
de estados coerentes na base de momento angular.
3.1 Hamiltoniana Atˆomica
A conex˜ao entre a ´algebra de oscilador harmˆonico e a de momento angular nos ´e fornecida
pelos operadores abaixo relacionadas
ˆ
J
+
= b
†
a
ˆ
J
−
= a
†
b (3.1)
ˆ
J
z
=
1
2
(b
†
b − a
†
a)
Po demos ver pela rela¸c˜ao acima que o operador
ˆ
J
z
est´a ligado com a diferen¸ca de po-
pula¸c˜ao entre as componentes.
Po de-se demonstrar facilmente que
[
ˆ
J
±
,
ˆ
J
∓
] = ±2
ˆ
J
z
, [
ˆ
J
±
,
ˆ
J
z
] = ∓
ˆ
J
±
, [
ˆ
J
z
,
ˆ
J
2
] = 0 , [
ˆ
J
±
,
ˆ
J
2
] = 0 (3.2)
Cap´ıtulo 3. Formalismo de Quasi-Spin 24
onde com J
2
= J
2
x
+ J
2
y
+ J
2
z
, chegamos a
J
2
=
1
2
(J
+
J
−
+ J
−
J
+
) + J
2
z
(3.3)
ˆ
J
+
,
ˆ
J
−
e
ˆ
J
z
s˜ao denominados de operadores de quasi-spin e satisfazem as regras de
comuta¸c˜ao 3.2, as quais s˜ao an´alogas as de spin. Estes trˆes operadores formam uma
´algebra de Lie, j´a que a comuta¸c˜ao entre os elementos desse grupo de operadores gera
novamente estes mesmos elementos.
ˆ
J
2
´e o operador associado com momento angular
total
ˆ
J, que comuta com todos os operadores que formam esta algebra de Lie e por isso
´e denominado operador ou invariante de Casimir . O operador
ˆ
J est´a associado com
ˆ
N o n´umero total de part´ıculas do sistema, que ´e uma quantidade conservada, enquanto
ˆ
J
z
est´a associado com a diferen¸ca de popula¸c˜ao entre as componentes. Os operadores
ˆ
J
+
e
ˆ
J
−
s˜ao definidos de forma a satisfazer a rela¸c˜ao de comuta¸c˜ao 3.2 e s˜ao chamados
respectivamente de operadores levantamento e abaixamento. Onde temos
ˆ
J
±
=
ˆ
J
x
± i
ˆ
J
y
. Agora fazendo uso da rela¸c˜ao 3.1 obtemos
ˆ
J
2
=
ˆ
j(
ˆ
j + 1) (3.4)
ˆ
j ≡
ˆ
N
2
(3.5)
onde fizemos
ˆ
N = (
ˆ
N
a
+
ˆ
N
b
) (3.6)
ˆ
N
b
= b
†
b (3.7)
ˆ
N
a
= a
†
a. (3.8)
Com um pouco mais de algebrismo obtemos
a
†
a = (
ˆ
j −
ˆ
J
z
), (3.9)
b
†
b =
ˆ
j +
ˆ
J
z
. (3.10)
Agora fazendo as devidas substitui¸c˜ao na Hamiltoniana atˆomica 2.22 da p´agina 20, j´a
considerando os sistemas como n˜ao armadilhado e homogˆeneo, temos
ˆ
H = (ε
a
+ ε
b
)
ˆ
j + (ε
b
− ε
a
)
ˆ
J
z
+
λ
a
2V
(
ˆ
j −
ˆ
J
z
)(
ˆ
j −
ˆ
J
z
− 1)
Cap´ıtulo 3. Formalismo de Quasi-Spin 25
+
λ
b
2V
(
ˆ
j +
ˆ
J
z
)(
ˆ
j +
ˆ
J
z
− 1) +
λ
V
(
ˆ
j
2
−
ˆ
J
2
z
) (3.11)
+ α(
ˆ
J
+
+
ˆ
J
−
)
Conforme a constru¸c˜ao mostrada em [19], a base relacionada a esses operadores ´e
|j = N/2, m
j
= N
b
− N/2 (3.12)
3.2 Hamiltoniana de Feshbach
Da mesma forma que em [19], temos a seguinte base para o modelo que descreve o aco-
plamento ´atomo-mol´ecula.
|j = N/4, m
j
= N
b
− N/4 (3.13)
Os novos operadores relacionados com a base acima s˜ao
ˆ
J
+
=
1
2(a
†
a + 1)
aab
†
ˆ
J
−
= a
†
a
†
b
1
2(a
†
a + 1)
ˆ
J
z
=
1
4
(2b
†
b − a
†
a)
ˆ
J
2
=
ˆ
j(
ˆ
j − 1) (3.14)
ˆ
j =
ˆ
N
4
ˆ
N = a
†
a + 2b
†
b
ent˜ao destes obtemos
a
†
a = 2(
ˆ
j −
ˆ
J
z
)
b
†
b = (
ˆ
j +
ˆ
J
z
)
a
†
a
†
b =
ˆ
J
−
4(
ˆ
j −
ˆ
J
z
) + 2 (3.15)
aab
†
=
4(
ˆ
j −
ˆ
J
z
) + 2
ˆ
J
+
Fazendo as devidas substitui¸c˜oes na Hamiltoniana do acoplamento ´atomo-mol´ecula 2.22
da p´agina 20, temos
Cap´ıtulo 3. Formalismo de Quasi-Spin 26
ˆ
H = (ε
b
+ 2ε
a
)
ˆ
j + (ε
b
− 2ε
a
)
ˆ
J
z
+
λ
a
V
2 (
ˆ
j −
ˆ
J
z
)(
ˆ
j −
ˆ
J
z
− 1/2)
+
λ
b
2V
(
ˆ
j +
ˆ
J
z
)(
ˆ
j +
ˆ
J
z
− 1) +
λ
V
2 (
ˆ
j
2
−
ˆ
J
2
z
) (3.16)
+
α
V
1/2
(
ˆ
J
−
4(
ˆ
j −
ˆ
J
z
) + 2 +
4(
ˆ
j −
ˆ
J
z
) + 2
ˆ
J
+
)
3.3 Diagonaliza¸c˜ao
Tendo a Hamiltoniana em m˜aos, podemos agora encontrar os autovalores e os correspon-
dentes autovetores. Para isso devemos previamente saber que
ˆ
j|j, m
j
= j|j, m
j
ˆ
J
z
|j, m
j
= m
j
|j, m
j
(3.17)
ˆ
J
±
|j, m
j
=
j(j + 1) − m
j
(m
j
± 1)|j, m
j
± 1
Da´ı utilizando a equa¸c˜ao
ˆ
H|ψ
ν
= E
ν
|ψ
ν
(3.18)
Onde faremos a expans˜ao do estado |ψ
ν
nos estados |j, m
j
|ψ
ν
=
m
j
C
ν
m
j
|j, m
j
(3.19)
Com autovetores C
ν
m
j
= j, m
j
|ψ
ν
. Mas para facilitar, omitiremos na base o j e utilizare-
mos somente |m
j
, j´a que o operador relacionado com o elemento omitido comuta com
ˆ
J
z
e
ˆ
J
±
, fazendo com que os autovalores tenham uma dependˆencia exclusiva em m
j
. Ent˜ao,
utilizando a rela¸c˜ao de fechamento
m
j
|m
j
m
j
| = I na equa¸c˜ao 3.18 e multiplicando-a
em ambos os lados pela direita por m
j
| temos
m
j
m
j
|
ˆ
H|m
j
m
j
|ψ
ν
= E
ν
m
j
m
j
|m
j
m
j
|ψ
ν
m
j
m
j
|
ˆ
H|m
j
C
ν
m
j
= E
ν
m
j
δ
m
j
,m
j
C
ν
m
j
(3.20)
m
j
m
j
|
ˆ
H|m
j
C
ν
m
j
= E
ν
C
ν
m
j
Cap´ıtulo 3. Formalismo de Quasi-Spin 27
assim ficamos com a equa¸c˜ao de autovalor e autovetor
[H − E1]C = 0 (3.21)
sendo H a matriz Hamiltoniana que cont´em os elementos m
j
|
ˆ
H|m
j
, C ´e a que cont´em
os elemento C
ν
m
j
, sabendo que C
ν
m
j
= C
ν
m
j
, I ´e a matriz identidade e E os autovalores.
Sendo assim, agora temos condi¸c˜oes de obter os elementos da matriz Hamiltoniana que
s˜ao,
m
j
|
ˆ
H|m
j
A
= [(ε
b
+ ε
a
)j + (ε
b
− ε
a
)m
j
+
λ
a
2V
(j − m
j
)(j − m
j
− 1)
+
λ
b
2V
(j + m
j
)(j + m
j
− 1) +
λ
V
(j
2
− m
2
j
) ]δ
m
j
,m
j
+α[(
j(j + 1) − m
j
(m
j
− 1) )δ
m
j
,m
j
−1
+(
j(j + 1) − m
j
(m
j
+ 1) )δ
m
j
,m
j
+1
]
(3.22)
m
j
|
ˆ
H|m
j
F R
= [(2ε
a
+ ε
b
)j + (ε
b
− 2ε
a
)m
j
+
2λ
a
V
(j − m
j
)(j − m
j
− 1/2)
+
λ
b
2V
(j + m
j
)(j + m
j
− 1) +
2λ
V
(j
2
− m
2
j
) ]δ
m
j
,m
j
+
α
V
1/2
[(
j(j + 1) − m
j
(m
j
− 1)
4(j − m
j
) + 2 )δ
m
j
,m
j
−1
+(
4(j − m
j
) − 2
j(j + 1) − m
j
(m
j
+ 1) )δ
m
j
,m
j
+1
]
(3.23)
fazendo
1
j
j
, m
j
|
ˆ
H|j, m
j
A
= E
A
m
j
,m
j
(3.24)
1
j
j
, m
j
|
ˆ
H|j, m
j
F R
= E
F R
m
j
,m
j
(3.25)
temos
E
A
m
j
,m
j
=
ε
+
+ ε
−
m
j
j
+
λ
a
ρ
4
(1 −
m
j
j
)(1 −
m
j
j
−
1
j
)
+
λ
b
ρ
4
(1 +
m
j
j
)(1 +
m
j
j
−
1
j
) +
λρ
2
(1 −
m
2
j
j
2
)
δ
m
j
,m
j
(3.26)
+
2α
j
j(j + 1) − m
j
(m
j
− 1) δ
m
j
,m
j
−1
+
j(j + 1) − m
j
(m
j
+ 1) δ
m
j
,m
j
+1
E
F R
m
j
,m
j
=
ε
+
+ ε
−
m
j
j
+
λ
a
ρ
2
(1 −
m
j
j
)(1 −
m
j
j
−
1
j
)
Cap´ıtulo 3. Formalismo de Quasi-Spin 28
+
λ
b
ρ
8
(1 +
m
j
j
)(1 +
m
j
j
−
1
j
) +
λρ
2
(1 −
m
2
j
j
2
)
δ
m
j
,m
j
(3.27)
+
α
√
ρ
j
3/2
j(j + 1) − m
j
(m
j
− 1)
4(j − m
j
) + 2)δ
m
j
,m
j
−1
+
4(j − m
j
) − 2
j(j + 1) − m
j
(m
j
+ 1) δ
m
j
,m
j
+1
Onde colocamos ε
+
= ε
a
+ ε
b
e ε
−
= ε
b
− ε
a
para o BEC atˆomico, e para BEC com
mol´eculas temos ε
+
= ε
b
+ 2ε
a
e ε
−
= ε
b
− 2ε
a
.
3.4 Valores esperados de
ˆ
J
z
(
ˆ
J
z
ν
)
Nos gr´aficos colocamos os valores esperados
ˆ
J
z
ν
para cada auto-estado ν de energia. Os
valores esperados do operador de
ˆ
J
z
nos fornecem a diferen¸ca de popula¸c˜ao relacionada a
cada n´ıvel de energia ν dos 2j + 1 existentes. Figuras 3.2; 3.3; 3.4;
ˆ
J
z
ν
= m
j
|
ˆ
J
z
|m
j
=
J
m
j
=−J
|C
ν
m
j
|
2
m
j
(3.28)
e com isso podemos plota-los junto com os seus respectivos espectros de energia e ob-
servar a evolu¸c˜ao de
ˆ
J
z
ν
conforme os n´ıveis de ν = 1 at´e ν = 2j + 1. Observem que
acompanhado a interpreta¸c˜ao feita anteriormente no caso sim´etrico os auto-estados cor-
respondem a valores de
ˆ
J
z
ν
de mesmo m´odulo, respeitando a simetria da hamiltoniana.
Uma combina¸c˜ao linear dos auto-estados degenerados deveria gerar estados com
ˆ
J
z
ν
= 0.
Entretanto, esta combina¸c˜ao linear s´o ocorre com tunelamento.
Um fato muito interessante visto nos gr´aficos mencionados acima, ´e a bifurca¸c˜ao de
ˆ
J
z
ν
, caracterizando a existˆencia de MQST (
ˆ
J
z
ν
= 0) que prevˆeem de um tratamento
quˆantico puro.
3.5 M´etodo de an´alise
A matriz densidade hamiltoniana ´e n˜ao diagonal devido ao termo que leva em conta o
acoplamento, que mistura os estados. Agora com ajuda de um algoritmo em FORTRAN
diagonalizaremos a Hamiltoniana e obteremos os autovalores (energias) e os autovetores.
Ap´os a diagonaliza¸c˜ao teremos ent˜ao ν = 2j + 1 poss´ıveis n´ıveis de energia. Com as
energias em m˜aos podemos avali´a-las plotando-as em forma de n´ıveis de energia. Nesta
primeira analise estaremos interessados no surgimentos de dubletos, que podem indicar
Cap´ıtulo 3. Formalismo de Quasi-Spin 29
tunelamento e tamb´em na diferen¸ca de popula¸c˜ao m´edia
ˆ
J
z
que p ode representar o auto
armadilhamento quˆantico macrosc´opico (MQST).
Todos os gr´afico, neste e nos cap´ıtulos seguintes ser˜ao avaliados se tomando j = 20
exceto quando indicado. N´os temos que: λ
a
ρ, λ
b
ρ, λρ, α no acoplamento atˆomico e α
√
ρ no
acoplamento molecular, tem dimens˜ao de energia. Para simplificar, podemos considerar
ρ = 1 ou simplesmente embuti-lo dentro do parˆametro (Ex.λ
a
ρ ≡ λ
a
) e considerando estes
como tendo dimens˜ao de energia.
3.6 Dubletos
Dubletos s˜ao n´ıveis de energia muito pr´oximos surgidos de uma quebra de degenerescˆencia,
ou seja, devido ao desdobramento de um n´ıvel em dois. A presen¸ca de dubleto ´e muito
comum em sistemas cujo potencial tem o formato de duplo po¸co. Eles ocorrem numa
certa altura do po¸co cuja espessura da barreira possibilita o tunelamento. A presen¸ca de
dubleto no espectro ´e uma forte indica¸c˜ao de que o sistema apresenta tunelamento.
Um sistema an´alogo ao tratado aqui ´e um BEC simples (uma componente) sob a¸c˜ao
de um po¸co simples (potencial de armadilhamento), onde o formato do po¸co pode ser mo-
dificado para um formato de duplo po¸co, e, assim separar o BEC em dois. O tunelamento
ocorre quando os b´osons podem atravessar a barreira e mudar de po¸co.
Um modelo que descreve bem a essˆencia de nosso sistema, ´e o chamado modelo de dois
n´ıveis bem descrito em [4, 3],[5]-[7]. Conforme o a ilustra¸c˜ao 3.1a, quando a barreira est´a
muito baixa, temos o BEC simples. Aqui h´a um transito livre entre os estados sim´etrico
e anti-sim´etrico, os quais s˜ao uma superposi¸c˜ao os estados individuais de cada po¸co.
Φ
S
=
1
√
2
(Φ
a
+ Φ
b
) Φ
A
=
1
√
2
(Φ
a
− Φ
b
) (3.29)
onde S e A, significam sim´etrico e anti-sim´etrico, s˜ao os dois n´ıveis do modelo. Onde Φ
S
e Φ
A
est˜ao defasados de π.
Mas quando a barreira aumenta, a transi¸c˜ao entre os estados diminui assim a distan-
cias entre os n´ıveis de energia, a probabilidade de transi¸c˜ao est´a associada as distˆancia
entre os n´ıveis (figura 3.1b). Quando os dubletos se formam (figura 3.1c) temos uma
barreira pronunciada, mas ainda temos uma probabilidade de transi¸c˜ao atrav´es da bar-
reira. Quando a barreira ´e muito alta, transi¸c˜oes s˜ao proibidas, com isso as energias s˜ao
degeneradas, e os BEC’s localizados em cada po¸co se comportam de forma independente
como se fossem dois po¸cos distintos. Este modelo pode nos guiar na interpreta¸c˜ao do
Cap´ıtulo 3. Formalismo de Quasi-Spin 30
Fig. 3.1: Superposi¸c˜ao das fun¸c˜oes de onda de cada componente
caso do BEC com duas componentes. No BEC em estados hiperfinos diferentes h´a um
acoplamento que pode transformar os b´osons de uma componente em outra, por mudar
seu spin hiperfino. Para que o spin mude ´e necess´ario que adquira uma quantidade de
energia que seja suficiente para isso. Existe ent˜ao uma barreira a ser rompida para que
haja altera¸c˜ao de spin.
A mudan¸ca de spin nos condensados de duas componentes ´e equivalente a mudan¸ca
de po¸co no BEC simples. O que temos aqui ent˜ao ´e o que chamamos de tunelamento de
spin.
3.7 Espectro de energia
Em nosso estudo foi encontrada a presen¸ca de dubletos caracterizando assim a presen¸ca
de tunelamento. Todos os 2j + 1 n´ıveis de energia estar˜ao presentes no espectro, s´o que
alguns dos n´ıveis estar˜ao degenerados. Parte do espectro ficar´a degenerado quando temos
Cap´ıtulo 3. Formalismo de Quasi-Spin 31
a presen¸ca do dubleto. Podemos classificar os espectros em 4 classes conforme a ocorrˆencia
de dubletos. Apenas para ajudar na classifica¸c˜ao desenhamos, junto com os espectros e
valores esperados
ˆ
J
z
ν
(diferen¸ca de popula¸c˜ao), potenciais hipot´eticos.
Primeiro Tipo
N˜ao h´a ocorrˆencia de dubletos, os estados est˜ao todos n˜ao degenerados. Isso ocorre quando
|2α/Λ| ≥ 1 onde Λ = λ
a
+ λ
b
− 2λ.Figuras 3.2a, 3.3a e b
Isso ´e an´alogo a termos um sistema num simples po¸co, como mostra o potencial hi-
pot´etico nos gr´aficos 3.2a e 3.3a.
Segundo Tipo
Parte do espectro possui dubleto que separa a parte degenerada (dentro do duplo po¸co)
da n˜ao degenerada. Isso ocorre quando |2α / Λ| < 1. Figuras 3.2b e c.
Isso ´e an´alogo a termos um sistema num po¸co potencial duplo com largura de barreira
vari´avel, onde os n´ıveis mais baixos est˜ao em regi˜oes onde a barreira ´e muito larga.
Terceiro Tipo
Os estados s˜ao degenerados aos pares. Para isso basta α = 0. Figuras 3.4a e b
Isso ´e equivalente a dois sistemas idˆenticos separados por uma barreira muito alta e
larga.
Quarto Tipo
Temos uma seq¨uˆencia de dubletos. Num caso assim´etrico isso ocorre quando |2α/Λ| ≤ 1
e λ
a
= λ
b
. Figuras 3.2d; 3.3c e d; 3.4c e d
Isso ´e equivalente a termos um sistema em uma armadilha na forma de duplo po¸co
assim´etrico. Os dubletos ocorrem na regi˜ao pr´oxima ao ponto mais alto da barreira.
Esta classe de espectro ´e muito comum no condensado molecular, pois possui um
desequil´ıbrio natural.
Cap´ıtulo 3. Formalismo de Quasi-Spin 32
Fig. 3.2: N´ıveis de energia do acoplamento ´atomo-´atomo. Em a n˜ao h´a presen¸ca de dubletos,
sendo que em b e c (dentro da barreira fict´ıcia) temos dubleto e λ
a
= λ
b
. Em d temos
λ
a
= λ
b
h´a uma faixa de seq¨uencia de n´ıveis de energias pr´oximos. O espectro acima
foi obtido numericamente atrav´es da equa¸c˜ao 3.26. O po¸co que aparece ´e fict´ıcio, ´e s´o
para mostrar a equivalˆencia a um sistema simples.
.
Cap´ıtulo 3. Formalismo de Quasi-Spin 33
Fig. 3.3: N´ıveis de energia do acoplamento ´atomo-mol´ecula. Em a e b temos o sistema forte-
mente acoplado; temos uma seq¨uencia de n´ıveis pr´oximos em c com λ
a
= λ
b
e em d
com λ
a
= λ
b
. O espectro acima foi obtido numericamente atrav´es da equa¸c˜ao 3.27
Cap´ıtulo 3. Formalismo de Quasi-Spin 34
Fig. 3.4: N´ıveis de energia do sistema ´atomico e mol´ecular com o acoplamento desligado. Em a
e b temos λ
a
= λ
b
; temos uma seq¨uencia de n´ıveis pr´oximos em c e d com λ
a
= λ
b
.
O espectro acima foi obtido numericamente atrav´es da equa¸c˜ao 3.27
Cap´ıtulo 4
Estados Coerentes de SU(2)
Neste cap´ıtulo vamos introduzir os estados coerentes de SU(2). Como mostraremos a
seguir o formalismo de estados coerentes nos permitir´a descrever a dinˆamica do sistema
atrav´es de equa¸c˜oes cl´assicas de movimento. Com isso podemos obter anal´ıticamente
alguns resultados por estudar o espa¸co de fase gerado pela vari´aveis canˆonicas do sistema.
Na ´algebra de oscilador harmˆonico os estados coerentes s˜ao definidos como um auto
estado do operador de aniquila¸c˜ao, e s˜ao representados por um pacote de onda de m´ınima
incerteza. Mas como estamos utilizando operadores quasi-spin da algebra SU(2) uti-
lizaremos os estados coerentes associados a esta algebra proposto por Radcliffe [26] e
generalizado por Perelomov [27].
4.1 Constru¸c˜ao do Estados Coerentes de SU(2)
O estado coerente |µ nesta ´algebra, o qual coincide com o chamado estado de Bloch,
´e gerado a partir da rota¸c˜ao do estado fundamental |0 (fig. 4.1), em torno do vetor
n = (sin ϕ, −cos ϕ, 0) [1] o qual se encontra no plano xy. A rota¸c˜ao ´e realizada pela a¸c˜ao
do operador U(θ, ϕ), no estado |0 (fig. 4.1). O estado apropriado escolhido ´e auto vetor
de
ˆ
J
z
que possui o menor auto valor |j, −j ≡ |0.
|µ = |θ, ϕ =
ˆ
U(θ, ϕ)|0 = e
−iθJ·n
|0 (4.1)
ˆ
U(ξ) = e
(ξ
ˆ
J
+
−ξ
∗
ˆ
J
−
)
(4.2)
Cap´ıtulo 4. Estados Coerentes de SU(2) 36
Fig. 4.1: Defini¸c˜ao da rota¸c˜ao R
θ,ϕ
no espa¸co do momento angular
sendo que
ξ =
θ
2
e
−iϕ
(4.3)
ˆ
J
+
=
ˆ
J
x
+ i
ˆ
J
y
(4.4)
ˆ
J
−
=
ˆ
J
x
− i
ˆ
J
y
(4.5)
O valor m´edio de qualquer operador po de ser obtido de
µ|
ˆ
A|µ = 0|
ˆ
U
†
ˆ
A
ˆ
U|0 (4.6)
= 0|e
−(ξ
ˆ
J
+
−ξ
∗
ˆ
J
−
)
ˆ
Ae
(ξ
ˆ
J
+
−ξ
∗
ˆ
J
−
)
|0 (4.7)
Expandindo as exponenciais, podemos reescrever a equa¸c˜ao 4.7 como:
0|
ˆ
A + [
ˆ
Y ,
ˆ
A] +
1
2!
[
ˆ
Y , [
ˆ
Y ,
ˆ
A]] +
1
3!
[
ˆ
Y , [
ˆ
Y , [
ˆ
Y ,
ˆ
A]]] +
1
4!
[
ˆ
Y , [
ˆ
Y , [
ˆ
Y , [
ˆ
Y ,
ˆ
A]]]] + . . . |0 (4.8)
. Onde
ˆ
Y ≡ (ξ
ˆ
J
+
− ξ
∗
ˆ
J
−
) e
ˆ
A pode ser qualquer um dos operadores contidos na hamil-
toniana.
Antes de procedermos a transforma¸c˜ao vamos reescrever as hamiltonianas 3.11 e 3.16
da seguinte forma,
ˆ
H
AT
= [ε
+
−
1
2V
(λ
a
+ λ
b
) +
1
2V
(λ
a
+ λ
b
)
ˆ
j +
λ
V
ˆ
j]
ˆ
j
+ [ε
−
+
1
2V
(λ
a
− λ
b
) −
1
V
(λ
a
+ λ
b
)
ˆ
j]
ˆ
J
z
(4.9)
+
1
2V
[λ
a
− λ
b
− 2λ]
ˆ
J
2
z
+ α
ˆ
J
x
Cap´ıtulo 4. Estados Coerentes de SU(2) 37
ˆ
H
F R
= [ε
+
−
1
2V
(4λ
a
+ λ
b
) +
1
2V
(4λ
a
+ λ
b
)
ˆ
j +
λ
V
ˆ
j]
ˆ
j
+ [ε
−
+
1
2V
(4λ
a
− λ
b
) − 2(λ
a
+ λ
b
)
ˆ
j]
ˆ
J
z
(4.10)
+
1
2V
[4λ
a
+ λ
b
− 2λ]
ˆ
J
2
z
+
√
2α
V
1/2
(
ˆ
J
−
4(
ˆ
j −
ˆ
J
z
) + 2 +
4(
ˆ
j −
ˆ
J
z
) + 2
ˆ
J
+
)
Aplicando a transforma¸c˜ao de estados coerentes, temos que os operadores de quasi-spin
geram os seguintes valores m´edios:
µ|
ˆ
J
2
z
|µ = j/2 + (1 − 1/2j)(j cos θ)
2
µ|
ˆ
J
z
|µ = j cos θ (4.11)
µ|
ˆ
J
x
|µ = j sin θ cos ϕ
µ|
ˆ
J
y
|µ = j sin θ sin ϕ
. Onde utilizamos as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao 3.2 e a rela¸c˜ao 4.3. Ent˜ao substituindo esses
valores nas Hamiltonianas 4.9 e 4.10 e j´a ainda fazendo j cos θ ≡ j
z
obtemos
µ|
ˆ
H|µ
A
= [ε
+
−
1
2V
(λ
a
+ λ
b
) +
1
2V
(λ
a
+ λ
b
)
ˆ
j +
λ
V
j] j
+ [ε
−
+
1
2V
(λ
a
− λ
b
) −
1
V
(λ
a
− λ
b
) j] j
z
(4.12)
+
1
2V
[λ
a
+ λ
b
− 2λ] [j/2 + (1 − 1/2j) j
2
z
] + 2 α j sin θ cos ϕ
µ|
ˆ
H|µ
F R
= [ε
+
−
1
2V
(2λ
a
+ λ
b
) +
1
2V
(4 λ
a
+ λ
b
+ 4 λ) j] j
+ [ε
−
−
1
V
(4λ
a
− λ
b
) +
1
2V
(2λ
a
− λ
b
) j] j
z
(4.13)
+
1
2V
[4λ
a
+ λ
b
− 4λ] [j/2 + (1 − 1/2j) j
2
z
]
+
2 α
(2V )
1/2
(
4(j − j
z
) + 2 +
4(j − j
z
) + 2 )j sin θ cos ϕ
Vemos aqui que existe um forte apelo geom´etrico quando tomamos o valor esperado
dos operadores de momento angular na base de estados coerentes, onde este se comporta
como um vetor cl´assico de tamanho j. Da rela¸c˜ao trigonom´etrica do momento angular
cl´assico vista na figura abaixo tiramos as seguintes rela¸c˜oes
Cap´ıtulo 4. Estados Coerentes de SU(2) 38
Fig. 4.2: Esfera cl´assica
j sin θ =
j
2
− j
2
z
(4.14)
a qual fazemos uuso juntamente com
E
A
≡
1
j
µ|
ˆ
H|µ
A
(4.15)
E
F R
≡
1
j
µ|
ˆ
H|µ
F R
(4.16)
e assim, reduzir as hamiltonianas 4.12 e 4.12 acima, a um polinˆomio, onde fizemos j
z
/j ≡ z
e obtemos
E
A
= ∆E
+
+ ∆E
−
z +
Λ
2
z
2
+ 2α
√
1 − z
2
cos ϕ (4.17)
E
F R
= ∆E
+
+ ∆E
−
z +
Λ
2
z
2
+ 2α
√
ρ
2(1 − z) + 1/j
√
1 − z
2
cos ϕ. (4.18)
Onde temos para E
A
∆E
+
= ε
+
+
ρ
4
(λ
a
+ λ
b
+ 2λ) (1 − 1/2j) (4.19)
∆E
−
= ε
−
−
ρ
2
(λ
a
− λ
b
)(1 − 1/2j) (4.20)
Λ =
ρ
4
(λ
a
+ λ
b
− 2λ) (1 − 1/2j) (4.21)
Cap´ıtulo 4. Estados Coerentes de SU(2) 39
e para E
F R
∆E
+
= ε
+
+
ρ
8
[4λ
a
+ (λ
b
+ 4λ)(1 − 1/2j)] (4.22)
∆E
−
= ε
−
−
ρ
4
[4λ
a
(1 − 1/4j) − λ
b
(1 − 1/2j)] (4.23)
Λ =
ρ
8
[4λ
a
+ λ
b
− 4λ](1 − 1/2j) (4.24)
4.2 Equa¸c˜oes Canˆonicas de Movimento
A transforma¸c˜ao de estados coerentes leva a hamiltoniana a uma descri¸c˜ao semi-cl´assica,
sendo que as vari´aveis z e ϕ nesta representa¸c˜ao formam um par canˆonicamente conjugado.
Sendo assim, podemos obter as equa¸c˜oes de movimento utilizando as equa¸c˜oes de Hamilton
( mais detalhes ver em [29] cap´ıtulo 4).
˙z = −
∂E
a
∂ϕ
(4.25)
˙ϕ =
∂E
a
∂z
(4.26)
z e ϕ est˜ao ligadas respectivamente a diferen¸ca de popula¸c˜ao e de fase entre os condensados
[4]-[3].
As trajet´orias no espa¸co de fase s˜ao geradas pela solu¸c˜ao das seguintes equa¸c˜oes
Atˆomico
˙z = 2α
√
1 − z
2
sin ϕ (4.27)
˙ϕ = ∆E
−
+ Λz −
2αz
√
1 − z
2
cos ϕ (4.28)
Feshbach
˙z = 2α
√
ρ
2(1 + z) + 1/j
√
1 − z
2
sin ϕ (4.29)
˙ϕ = ∆E
−
+ Λz + 2α
√
ρ
2
√
1 − z
2
2
2(1 + z) + 1/j
−z
2(1 + z) + 1/j
√
1 − z
2
cos ϕ (4.30)
Utilizaremos m´etodos num´ericos para obter as solu¸c˜oes das equa¸c˜oes acima. As trajet´orias
poder˜ao ser selecionadas a partir dos estados iniciais z
o
, φ
o
sendo a energia desta ser´a
fornecida por E
o
= E(z
o
, φ
o
) que ser´a sempre a mesma j´a que n˜ao temos nenhum tipo de
Cap´ıtulo 4. Estados Coerentes de SU(2) 40
perda sendo considerada. Estas equa¸c˜oes nos permitem interpretar o movimento como
sendo an´alogo ao de um pˆendulo n˜ao r´ıgido [4, 5]. A n˜ao rigidez do pˆendulo permite o
surgimento de trajet´orias que correspondem as de um pˆendulo invertido (onde as oscila¸c˜oes
s˜ao em torno de ϕ = π). Como a haste do pˆendulo n˜ao ´e r´ıgida, esta p ode oscilar em
torno de um valor m´edio de z = 0 ou z = 0. Quando z = 0 temos uma popula¸c˜ao m´edia
fixa em um dos condensados, isso caracterizar´a o auto-armadilhamento.
4.3 Superf´ıcie de energia
Agora temos uma dinˆamica do tipo cl´assica onde z e ϕ formam um par canˆonico e as
hamiltonianas a serem estudadas s˜ao: 4.17 e 4.18. Com estas podemos obter respectiva-
mente as superf´ıcies de energias 4.3c (atˆomica) e 4.4c (Molecular), cuja forma depende
de λ
a
, λ
b
, λ e α . As dimens˜oes dessa superf´ıcie s˜ao Energia (E), diferen¸ca de popula¸c˜ao
relativa (z) e diferen¸ca de fase (ϕ). As proje¸c˜oes ortogonais das superf´ıcies nos planos:
z × ϕ, E × z s˜ao suficientes para a nossa an´alise. A superf´ıcie de energia sempre ter´a
uma assimetria natural em rela¸c˜ao ao eixo z, devido ao termo de acoplamento molecular.
Vemos que nas figuras 4.3a e 4.4a temos gr´aficos de linhas de contornos z × ϕ (curvas
de n´ıveis). Estas linhas correspondem a solu¸c˜oes das equa¸c˜oes de movimento atˆomica ??
e molecular 4.30 ou seja linhas de equienergia. As figuras que acabamos de descrever s˜ao
respectivamente o espa¸co de fase atˆomico 4.3) e molecular (fig. 4.4).
Olhando para o gr´afico 4.5 as solu¸c˜oes das equa¸c˜oes de movimento formam trajet´orias
fechadas e trajet´orias abertas. As trajet´orias abertas apresentam-se na forma de uma
fun¸c˜ao peri´odica cont´ınua, em ϕ que vai de −∞ a ∞ e s˜ao conhecidas tamb´em como
running phase. As trajet´orias que apresentam diferen¸ca de popula¸c˜ao m´edia ¯z diferente
de zero, est˜ao associadas ao auto armadilhamento, ou seja em m´edia uma componente
tem mais b´osons que a outra.
Das trajet´orias fechadas (figura 4.5) podemos distinguir dois tipos; as com diferen¸ca de
popula¸c˜ao m´edia ¯z diferente de zero e as com valor m´edio zero. Estas trajet´orias podem
se apresentar em uma fase m´edia ¯ϕ igual a π ou zero conforme o sinal de α. As com
¯z = 0 estar˜ao localizadas na mesma fase do ponto de sela. Estas trajet´orias s˜ao solu¸c˜oes
correspondentes a oscila¸c˜oes do n´umero de b´osons de um condensado e outro. Na analogia
com o pˆendulo de in´ercia vari´avel ter´ıamos oscila¸c˜oes em torno de ¯ϕ = 0 ou ¯ϕ = π. Este
´ultimo corresponderia ao pˆendulo invertido oscilando em torno de um ponto meta-est´avel
[4, 3],[5]-[7].
J´a as trajet´orias abertas sempre estar˜ao relacionadas ao auto-armadilhamento (¯z = 0),
Cap´ıtulo 4. Estados Coerentes de SU(2) 41
Fig. 4.3: Superf´ıcie de energia atˆomica (fig. c) com λ
a
= λ
b
= 3 (caso sim´etrico ∆E
−
= 0),
λ = 1 e α = 0.4. As linhas paralelas no plano E ×z (fig. b) e E ×ϕ (fig. d) representam
as trajet´orias (curvas de n´ıveis) do espa¸co de fase (fig. a) com mesma energia. Estas
trajet´orias s˜ao solu¸c˜oes das equa¸c˜oes de movimento 4.27.
em seu an´alogo mecˆanico [4, 3],[5]-[7] que corresponde a rota¸c˜ao cont´ınua do mesmo.
Resumidamente, no gr´afico de fase as trajet´orias se agrupam em trˆes classes como
apresentadas na figura 4.5
• Trajet´orias abertas sempre diretamente ligadas com o MQST (¯z = 0)
• Trajet´orias fechadas com auto-armadilhamento (¯z = 0)
• Trajet´orias fechadas sem auto-armadilhamento (¯z = 0)
Cap´ıtulo 4. Estados Coerentes de SU(2) 42
Fig. 4.4: Superf´ıcie de energia molecular (fig. c) com λ
a
= 2,λ
b
= 4λ
a
(Apesar de considerar
∆E
−
= 0 esta estrutura possui uma assimetria natural) ,λ = 1 e α = 0.4. As linhas
paralelas no plano E ×z (fig. b)e E ×ϕ (fig. d) representam as trajet´orias (curvas de
n´ıveis) do espa¸co de fase (fig. a) com mesma energia. Estas trajet´orias s˜ao solu¸c˜oes
das equa¸c˜oes de movimento 4.30.
4.3.1 Simetria da superf´ıcie de energia
Vemos nas figuras 4.3 e 4.4 que a superf´ıcie pode apresentar sela conforme os valores das
intera¸c˜oes e acoplamento. A ocorrˆencia da sela ser´a de vital importˆancia para estudar os
fenˆomenos que nos interessam.
A an´alise da estrutura se fixar´a mais em ∆E
−
= 0, ou seja, quando λ
a
= λ
b
no
caso atˆomico, e λ
b
= 2λ
a
4j−1
2j−1
no caso molecular, considerando tamb´em ε
+
= ε
−
= 0.
Isso quer dizer que para |z| = 1 temos o mesmo valor de energia sendo que para ambas
Cap´ıtulo 4. Estados Coerentes de SU(2) 43
Fig. 4.5: Gr´afico de fase do acoplamento ´atomo-´atomo mostrando os tipos de trajet´orias, modos
e fases π e 0. Em a: λ
a
= λ
b
= 1.0, λ = −0.2, α = −0.1; b: λ
a
= 1.0, λ
b
= −1.0, λ =
4.0, α = 0.55; c: λ
a
= λ
b
= 1.0, λ = −0.08, α = −0.17; d: λ
a
= λ
b
= 1.0, λ =
−2.0, α = 0.9
Hamiltonianas E(z = 1) = E(z = −1) . Sob esta condi¸c˜ao, a superf´ıcie de energia para o
caso atˆomico ´e sim´etrica, ou seja, no espa¸co de fase ϕ × z ´e sim´etrica em rela¸c˜ao ao eixo
z (fig. 4.3 b) no plano E ×z em rela¸c˜ao ao eixo E (fig. 4.3 a). J´a o caso molecular mesmo
com ∆E
−
= 0 apresenta uma assimetria natural 4.4a e b.
Cap´ıtulo 5
Estudo do plano E × z
Neste cap´ıtulo vamos analisar as diferentes trajet´orias no espa¸co de fase, investigando a
dependˆencia delas com os parˆametros da intera¸c˜ao e acoplamento. Para tanto vamos intro-
duzir a proje¸c˜ao do espa¸co de fase no plano E ×z . Como veremos, esta proje¸c˜ao permite
de forma sint´etica analisar o surgimento dos diferentes tipos de trajet´oria, dependendo
da energia e dos valores dos parˆametros acima citados. O estudo do plano E ×z tamb´em
permitir´a fazer uma liga¸c˜ao direta do espectro de energia e dos valores de
ˆ
J
z
ν
com as
propriedades do espa¸co de fase. Poderemos assim, comparar as an´alises semi-cl´assica e
quˆantica investigando os fenˆomenos de tunelamento e auto-armadilhamento.
5.1 Pontos cr´ıticos
Os pontos cr´ıticos da superf´ıcie de energia, espa¸co de fase, est˜ao onde as derivadas da
energia E(z, ϕ) em rela¸c˜ao a sua vari´aveis s˜ao nulos. Atrav´es destas podemos calcular o
m´aximo e o m´ınimo de energia e as popula¸c˜oes nestas energias, al´em de outras rela¸c˜oes
importantes para o estudo do plano E × z. Estes pontos s˜ao solu¸c˜oes estacion´arias das
equa¸c˜oes de movimento (eq. 4.25 p´agina 39) ˙z = 0 e ˙ϕ = 0. Assim, poderemos classificar
em qual faixa de energia os tipos de trajet´orias ocorrem conforme se altera o acoplamento
α.
Para exemplificar a nossa analise vamos tratar o caso sim´etrico,(∆E
−
= 0) no caso
do acoplamento ´atomo-´atomo, visto que este permite um tratamento anal´ıtico. No caso
assim´etrico (∆E
−
= 0) o comportamento do sistema ´e o mesmo, s´o que os pontos cr´ıticos
n˜ao podem ser obtidos anal´ıticamente, pois a resolu¸c˜ao do sistema gerado por ˙z = 0 e
˙ϕ = 0 nos fornece um polinˆomio de ordem 4 (com todos os termos), dificultando assim, a
an´alise do sistema. J´a para o acoplamento ´atomo-mol´ecula a solu¸c˜ao nos da um p olinˆomio
Cap´ıtulo 5. Estudo do plano E ×z 45
de ordem 5 o fique nos obriga a fazer uma an´alise num´erica. Mas, mesmo assim, o compor-
tamento destes dois sistemas seguir´a os moldes da an´alise feita com o caso ´atomo-´atomo
sim´etrico. A natureza dos pontos cr´ıticos ser´a obtida atrav´es do estudo do Hessiano, que
tem a seguinte forma
Hessiano(z
crit
, ϕ
crit
)=
∂
2
E
∂z
2
∂
2
E
∂z∂ϕ
∂
2
E
∂z∂ϕ
∂
2
E
∂ϕ
2
z
crit
,ϕ
crit
(5.1)
O determinante do Hessiano determina se os pontos cr´ıticos s˜ao ponto de sela ou de
m´aximo ou m´ınimo. As condi¸c˜oes s˜ao:
Hess(z
crit
, ϕ
crit
) = det(Hessiano) > 0, m´ax. ou min. (5.2)
Hess(z
crit
, ϕ
crit
) = det(Hessiano) < 0, sela (5.3)
(5.4)
5.2 Acoplamento
´
Atomo-
´
Atomo
5.2.1 Caso Sim´etrico (∆E
−
= 0)
A partir de ˙ϕ = 0 e ˙ϕ = 0 ?? e 4.30 com ε
+
= ε
+
= 0, obtemos os seguintes pontos
cr´ıticos
ϕ
crit
≡ ϕ
0
= 0
ϕ
crit
≡ ϕ
π
= π
z
crit
≡ z
±
M
= ±
1 −
2α
Λ
2
(5.5)
z
crit
≡ z
sel
= 0 (5.6)
A natureza dos pontos cr´ıticos po de ser obtida pela an´alise do determinante do Hes-
siano,
Hess(0, 0) = −Λ
2
2α
Λ
1 −
2 α
Λ
(5.7)
Hess(0, π) = Λ
2
2α
Λ
1 +
2 α
Λ
(5.8)
Cap´ıtulo 5. Estudo do plano E ×z 46
Hess(z
M
, 0) = Λ
2
1 −
2α
Λ
2
(5.9)
Hess(z
M
, π) = Λ
2
1 +
2α
Λ
2
(5.10)
Da equa¸c˜ao 5.5 obtemos a condi¸c˜ao de forma¸c˜ao de sela na superf´ıcie de energia, a
qual ´e dada por:
|2α/Λ| ≤ 1
Isto pode ser visualizado no plano E ×z pois quando esta condi¸c˜ao ´e satisfeita a curva
limite superior, E(z, π) (vide curva superior na figura 5.1) apresenta uma reentrˆancia,
com um m´ınimo no ponto de sela {z = 0, ϕ = π} e m´aximos nos pontos de m´aximo {z =
±
1 − (2α/Λ)
2
, ϕ = π}.
• Para −Λ/2 < α < 0 – temos o ponto de sela {z = 0, ϕ = π}; o m´aximo absoluto
em {z = ±
1 − (2α/Λ)
2
, ϕ = π} ;e o m´ınimo em {z = 0, ϕ = 0} .
• Para 0 < α < Λ/2 – temos o ponto de sela {z = 0, ϕ = 0}; o m´aximo absoluto em
{z = ±
1 − (2α/Λ)
2
, ϕ = 0} ;e o m´ınimo em {z = 0, ϕ = π} .
Fig. 5.1: Contorno do plano E ×z. Curvas superior e inferior em fases diferentes conforme sinal
de α
Usando a condi¸c˜ao de ponto cr´ıtico do Hessiano 5.3 e 5.2 temos sempre quatro pontos
cr´ıticos quando |2α/Λ| ≤ 1 . Nesta configura¸c˜ao dos pontos cr´ıticos permite analisar o
sistema atrav´es da proje¸c˜ao do espa¸co de fase no plano E × z . Este plano visualizado
Cap´ıtulo 5. Estudo do plano E ×z 47
abaixo (fig. 5.1) para Λ > 0 e α < 0 , ´e limitado na parte superior por uma curva tal
que ϕ = π contendo o ponto m´aximo e na parte inferior a curva com ϕ = 0 contendo o
ponto de m´ınimo.
O posicionamento das energia de m´aximo, m´ınimo e de sela na superf´ıcie depender´a
dos sinais relativos entre α e Λ. Vamos nos fixar em valores positivos de Λ e averiguar os
pontos cr´ıticos para α com valores positivos e negativos.
Fig. 5.2: Na regi˜ao escura temos ocorrˆencia de sela. Nos quadrantes (+, +) e (−, −), onde o sinal
relativo entre α e λ ´e positivo, a sela sempre se localizar´a em ϕ = 0 e nos quadrantes
(+, −) e (−, +) sempre estar´a em ϕ = π
Ao se mudar o sinal de Λ h´a uma invers˜ao global da superf´ıcie, onde o m´aximo torna-se
m´ınimo e o m´ınimo torna-se m´aximo. Como a posi¸c˜ao da sela se modifica tamb´em com
a mudan¸ca de sinal de Λ, para um melhor entendimento temos o diagrama 5.2 que nos
indica a varia¸c˜ao da posi¸c˜ao da sela conforme os sinais dos parˆametros.
Refor¸camos que a mudan¸ca do sinal de α apenas translada a sela e o m´ınimo de 0 para
π . Isto ´e quando mudamos α < 0 para α > 0 a curva superior se encontra em ϕ = 0 e a
inferior em π.
Continuando o estudo para Λ > 0, vamos analisar as energias nos pontos cr´ıticos. Em
z = 0 temos duas possibilidades de energia,
E
+
= ∆E
+
+ 2α energia do ponto de sela (5.11)
E
−
= ∆E
+
− 2α energia do ponto de m´ınimo (5.12)
Λ > 0
α > 0 E
+
= E(0, 0) E
−
= E(0, π)
α < 0 E
+
= E(0, π) E
−
= E(0, 0)
Energia de ponto de sela e de m´ınimo, conforme sinal de α para Λ > 0
Cap´ıtulo 5. Estudo do plano E ×z 48
sendo que uma corresponde a energia no ponto de sela e a outra a energia m´ınima
dependendo do sinal do parˆametro α.
A energia m´axima ser´a
E
M
= E(z = z
M
) = ∆E
+
+
Λ
2
[1−
2α
Λ
2
] (5.13)
Uma outra energia interessante para a nossa an´alise ´e a energia correspondente a
diferen¸ca m´axima de p opula¸c˜ao entre os condensados. Esta energia ´e tal que z = ±1 e
independe de ϕ.
E
E
= E(z = ±1) = ∆E
+
+
Λ
2
As trajet´orias com energia superior a E
+
e inferiores a E
M
s˜ao tais que a m´edia
da popula¸c˜ao ´e diferente de zero, caracterizando auto-armadilhamento (MQST). Estas
trajet´orias podem ser trajet´orias abertas, (running phase), ou trajet´orias fechadas. No
caso de α < 0 estas ´ultimas s˜ao trajet´orias em torno de ϕ = π e correspondem a um
pˆendulo invertido. Dentro desta analogia, α > 0 , corresponderia a inverter a gravidade.
pois o pˆendulo se movimentaria no entorno de ϕ = 0 onde ´e um m´aximo de energia
A linha reta horizontal (fig. 5.3) correspondente a energia de m´axima popula¸c˜ao, E
E
,
intersecciona as curvas limites do espa¸co de fase nos pontos extremos de valor de z. Esta
energia servir´a como referˆencia para o estudo do comportamento do plano E × z. Pois
a partir de um certo valor do acoplamento, entre a energia do ponto de sela e a energia
m´axima, o espa¸co de fase apresentar´a trajet´orias fechadas com auto-armadilhamento.
Extremos para
|
2α
Λ
| ≤ 1
Λ > 0 e α < 0
Ponto de m´aximo
E
max
= E
M
enquanto |Λ/16| <
α < |1| e se n˜ao, ent˜ao E
max
=
E
E
Ponto de sela E
sel
= E
+
= E(0, 0)
Ponto de m´ınimo E
min
= E
−
= E(0, π)
Lembrando que E
M
e E
sel
possuem sempre a mesma fase, e tamb´em que o sinal e a
intensidade de Λ, ∆E
+
s˜ao dados por λ
a
, λ
b
e λ. Quando temos
2α
Λ
≥ 1 n˜ao existe
MQST e a superf´ıcie um m´aximo e um m´ınimo energia destes ser´a dada respectivamente
por E
+
e E
−
.
Cap´ıtulo 5. Estudo do plano E ×z 49
5.2.2 Comportamento do plano E × z
A an´alise que se seguir´a abaixo, considera o caso quando a Λ > 0 (fig. 5.3 p´agina 52).
Aqui n´os fixamos os parˆametros de auto-intera¸c˜ao (λ
a
, λ
b
) e intera¸c˜ao (λ) e variamos
o parˆametro de acoplamento (α) de um valor negativo a um valor positivo, respeitando
a condi¸c˜ao
2α
Λ
≤ 1 e com isso enquanto α = 0 teremos um ponto de sela. Com isso
poderemos delimitar os tipos de trajet´orias utilizando quatro patamares de energia: E
M
,
E
E
, E
+
e E
−
. Foi feito um esquema ilustrativo (fig.5.3 pagina 52) do comportamento do
plano E × z e assim auxiliar a compreens˜ao. Este desenho ilustra o gr´afico de E(z, ϕ)
visto da dimens˜ao E × z.
A linha reta horizontal (cont´ınua) que se encontra no interior dos contornos que cons-
tituem o esquema da figura 5.3, correspondente a energia de m´axima popula¸c˜ao, E
E
. Esta
sempre delimitar´a as curvas superiores e inferiores que est˜ao em fases opostas. Estas cur-
vas estar˜ao em ϕ = 0 ⇒ (linha cont´ınua) e em ϕ = π ⇒ (linha pontilhada). Uma
outra linha reta horizontal (tracejado) que aparece ´e referente a energia de ponto de sela.
Esta bisecciona o plano em trajet´orias com auto-armadilhamento (acima – cinza claro e
escuro) e sem (abaixo – sem cor)
Com Λ > 0, figura 5.3, e partindo de
2α
Λ
= 1 com α < 0 , fig. 5.3a temos E
−
como
m´ınimo em ϕ
crit
= 0 e E
M´ax
= E
+
como m´aximo em ϕ
crit
= π. Nesta situa¸c˜ao a superf´ıcie
somente apresenta trajet´orias fechadas com ¯z = 0.
Enquanto −Λ/2 ≤ α < −Λ/4 temos que em E
+
< E ≤ E
M´ax
, fig. 5.3b,c
ocorrem somente trajet´orias fechadas com auto-armadilhamento (cinza escuro). Quando
α = −Λ/4 temos E
E
= E
+
5.3 fig. c. E em E
−
< E < E
+
temos trajet´orias fechadas
com ¯z = 0 em ¯ϕ = 0 (sem cor).
Continuando, se temos −Λ|/4 < α < −Λ/16 temos a presen¸ca de trajet´orias
fechadas com auto-armadilhamento em E
E
< E < E
M´ax
, fig. 5.3d em ¯ϕ = π (cinza
escuro), trajet´orias abertas (running phase) em E
+
< E ≤ E
E
(cinza claro) e trajet´orias
fechadas com ¯z = 0 e ¯ϕ = 0 em E
−
< E < E
+
sem cor. Em |16α/Λ| = 1 po demos
desconsiderar as trajet´orias fechadas. Neste ponto E
E
≈ E
M
Finalmente quando Λ/16 ≤ α ≤ 0 temos em E
+
≤ E ≤ E
E
5.3e,f somente
trajet´orias abertas (cinza claro). E em E
−
≤ E ≤ E
+
apresenta trajet´orias fechadas
com ¯z = 0 e ¯ϕ = 0 em sem cor. Note que nesta faixa de valores de α, E
M´ax
n˜ao ´e mais
um m´aximo.
Quando α = 0, E
−
= E
+
com isso a superf´ıcie E × z apresenta forma parab´olica, e o
sistema est´a desacoplado, isto ´e, n˜ao h´a interconvers˜ao. Continuando a aumentar α, para
Cap´ıtulo 5. Estudo do plano E ×z 50
valores positivos at´e que
2α
Λ
= 1 novamente tudo se repetir´a so que E
+
estar´a localizado
em ¯ϕ = π e E
−
e E
M
estar˜ao localizado em ¯ϕ = 0 fig. 5.3g-k.
Note que ao se mudar o sinal de α de menos para mais, teremos o m´ınimo sendo
transladado de ϕ = 0 para ϕ = π. Isto equivale ao pˆendulo invertido, onde o sinal de α
equivaleria ao sentido cuja gravidade aponta, neste caso para cima. O m´ınimo e a sela
sempre estar˜ao deslocados entre s´ı, de π.
5.2.3 Caso Assim´etrico (∆E
−
= 0)
Para o caso assim´etrico temos que o comportamento se assemelha com o que foi descrito
acima, s´o que n˜ao podemos obter os extremos anal´ıticamente, e com isso tamb´em a
possibilidade de conseguir uma rela¸c˜ao anal´ıtica entre os parˆametros. Al´em disso, devido
a λ
a
= λ
b
, temos patamares de energia diferenciados, sendo para este caso a componente
A ter´a a menor energia, ou seja escolhemos λ
a
> λ
b
. Cada lado obedecer´a o que foi
descrito para o caso sim´etrico.
O esquema ilustrativo na figura 5.4 descreve o comportamento do gr´afico E × z de
acordo com o aumento do valor de α. Os n´umeros sobre as linhas especificam a seq¨uencia
nas quais elas ocorrem quando α vai de um certo valor negativo at´e o mesmo valor positivo.
5.2.4 Acoplamento
´
Atomo-Mol´ecula
Para este acoplamento a equa¸c˜ao que gera os extremos ´e um polinˆomio de ordem 5, assim,
os extremos somente poder˜ao ser calculados numericamente. Neste tipo de condensados
de duas componentes, sempre teremos uma quantidade m´ınima de mol´eculas enquanto
α = 0. E o comportamento da superf´ıcie de energia se parece com o molde do que foi
descrito no caso assim´etrico figura 5.5.
5.3 Quˆantico & Cl´assico
Nos gr´aficos 5.6 e 5.7 os n´ıveis de energia foram tra¸cados com seus respectivos valores
esperados de
ˆ
J
z
ν
e superpostos ao plano E × z. Observa-se que em alguns casos (fig.
5.6 b e c), valores esperados de
ˆ
J
z
na proximidade da sela est˜ao fora da proje¸c˜ao do espa¸co
de fase cl´assico. Isto ´e estes casos correspondem a trajet´orias cl´assicamente proibidas. Isto
pode ser interpretado como efeito do tunelamento. Para regi˜oes acima e mais distantes
Cap´ıtulo 5. Estudo do plano E ×z 51
do ponto de sela e os valores esperados de
ˆ
J
z
s˜ao sim´etricos e corespondem a trajet´orias
cl´assicas com auto armadilhamento, neste caso pode-se ver no gr´afico a bifurca¸c˜ao dos
valores esperados
ˆ
J
z
ν
.
Para se ver com mais clareza a presen¸ca de efeitos quˆanticos, na figura 5.8 tratamos
os mesmos gr´aficos para diferentes de J, e pode-se ver claramente que no limite J → ∞
os pontos da regi˜ao cl´assicamente proibida convergem para a regi˜ao permitida.
5.4 Conclus˜ao
Estes resultados nos indicam que os efeitos quˆanticos tendem suavizar `a passagem de um
regime onde h´a MQST e onde a simetria ´e respeitada, fazendo que a quebra seja suavizada
e n˜ao abrupta como ocorre no cl´assico. Para investigar em mais detalhes vamos no pr´oximo
cap´ıtulo comparar a varia¸c˜ao de ¯z e
ˆ
J
z
ν
com o tempo.
Cap´ıtulo 5. Estudo do plano E ×z 52
Fig. 5.3: Plano E ×z com concavidade para cima
Cap´ıtulo 5. Estudo do plano E ×z 53
Fig. 5.4: Esquema representando o comportamento do gr´afico E × z no caso assim´etrico atˆomico.
Cap´ıtulo 5. Estudo do plano E ×z 54
Fig. 5.5: Esquema para caso representando o comportamento do gr´afico E × z no caso as-
sim´etrico molecular.
Cap´ıtulo 5. Estudo do plano E ×z 55
Fig. 5.6: Superposi¸c˜ao entre gr´aficos do espectro E
ν
, E
ν
×
ˆ
J
z
ν
e plano E × z (silhueta) para
o sistema ´atomo-´atomo
Cap´ıtulo 5. Estudo do plano E ×z 56
Fig. 5.7: Superposi¸c˜ao entre gr´aficos do espectro E
ν
, E
ν
×
ˆ
J
z
ν
e plano E × z (silhueta) para
o sistema ´atomo-mol´ecula
Cap´ıtulo 5. Estudo do plano E ×z 57
Fig. 5.8: Convergˆencia da bifurca¸c˜ao para o ponto de sela e
ˆ
J
z
ν
tende a um continuo com
J → ∞
Cap´ıtulo 6
O Tunelamento e o Auto
Armadilhamento
Neste cap´ıtulo, pretendemos investigar os efeitos do tunelamento sobre o auto armadi-
lhamento. Para isso, teremos que comparar a evolu¸c˜ao temporal cl´assica e quˆantica do
operador
ˆ
J
z
na base de estados coerentes.
A motiva¸c˜ao para este estudo, veio da an´alise dos resultados quˆanticos vide figuras
5.6 a,b e c. Nestes gr´aficos, observa-se que alguns auto estados com energia pr´oxima ao
ponto de sela tem valores esperados da diferen¸ca de popula¸c˜ao ,
ˆ
J
z
ν
, fora do contorno
definido pelo espa¸co de fase cl´assico. Para estas energias os valores de z corresp onderiam
a trajet´orias cl´assicamente proibidas. Observa-se tamb´em que nestes caso , a existˆencia
de estados degenerados com valores de
ˆ
J
z
ν
= 0sim´etricos ou com
ˆ
J
z
ν
= 0. Isto
´e um indicativo de que efeitos quˆanticos tendem a restaurar a simetria diminuindo a
probabilidade de auto armadilhamento devido ao de tunelamento.
6.1 Equa¸c˜ao de estado
No cap´ıtulo 3 obtivemos os auto-valores (E
ν
) e auto-vetores (C
ν
m
) associados `as hamil-
tonianas do caso ´atomo-´atomo e ´atomo-mol´ecula numa base de estados de quasi-spin
|m ≡ |j, m. A solu¸c˜ao dependente do tempo ´e dada por
|Ψ
ν
(t) = e
−i
ˆ
E
ν
t
|ψ
ν
, (6.1)
Cap´ıtulo 6. O Tunelamento e o Auto Armadilhamento 59
onde
|ψ
ν
=
J
˜m=−J
C
ν
˜m
|˜m (6.2)
Para conseguirmos fazer a compara¸c˜ao com a evolu¸c˜ao semi-cl´assica, vamos utilizar como
condi¸c˜ao inicial, os estados co erentes semi-cl´assicos |µ, cuja evolu¸c˜ao temporal ´e dada
por
|µ(t) = e
−i
ˆ
H t
|µ
Na base |m o estado coerente pode ser escrito como [31]
|µ =
J
m=−J
a
m
|m
onde
a
m
= (1 + |µ|
2
)
−J
J
m=−J
2J
J + m
1/2
µ
J+m
(6.3)
e
µ = e
−iϕ
tg
θ
2
(6.4)
sendo assim, obtemos
|µ(t) = e
−i
ˆ
H t
J
m=−J
a
m
|m (6.5)
Ent˜ao utilizando a rela¸c˜ao de auto estados de
ˆ
H (completeza)
J
ν=−J
|ψ
ν
ψ
ν
| = 1
na equa¸c˜ao 6.5, podemos escrever esta como:
|µ(t) = e
−i
ˆ
H t
ν
J
m=−J
a
m
C
ν
m
|ψ
ν
j´a que C
ν∗
m
= ψ
ν
|m. Substituindo 6.2 em 6.5 obteremos a rela¸c˜ao desejada, mas antes,
atuamos com o operador evolu¸c˜ao temporal sobre o estado. Com isso,
|µ(t) = e
−i
ˆ
E
ν
t
˜m,m,ν
a
m
C
ν∗
m
C
ν
˜m
|˜m. (6.6)
Cap´ıtulo 6. O Tunelamento e o Auto Armadilhamento 60
Po demos reescrever a equa¸c˜ao 6.6 acima da seguinte forma
|µ(t) =
˜m
D
˜m
(µ, t)|˜m, (6.7)
onde
D
˜m
(µ, t) =
m,ν
e
−iE
ν
t
a
m
(µ)C
ν∗
m
C
ν
˜m
. (6.8)
6.2 M´etodo para a an´alise
Para fazer esta an´alise, vamos nos restringir ao estudo da hamiltoniana sim´etrica (∆E
−
=
0), visto que neste caso, a simetria com rela¸c˜ao a diferen¸ca de popula¸c˜ao ´e claramente
quebrada na an´alise cl´assica nos casos de auto-armadilhamento.
Para que os efeitos quˆanticos sejam relevantes, teremos que utilizar valores peque-
nos de popula¸c˜ao, sendo estes comparados com valores grandes. E para estes extremos
de popula¸c˜ao, vamos tamb´em avaliar o efeito da for¸ca do acoplamento α sobre o auto
armadilhamento.
Os estados iniciais, ou condi¸c˜oes iniciais (z
o
, ϕ
o
) estar˜ao associados a trajet´orias no
espa¸co de fase (superf´ıcie de energia) ,com energia E(z
o
, ϕ
o
). Nos temos que para um
certo conjunto de parˆametros das hamiltonianas, teremos uma certa estrutura do espa¸co
de fase, na qual podemos escolher, dentre v´arias, as trajet´orias que s˜ao de interesse fazendo
uso das condi¸c˜oes iniciais. Estes valores ser˜ao inseridos atrav´es da equa¸c˜ao 6.3, onde temos
a vari´avel µ que liga os estados quˆanticos e semi-cl´assicos, atrav´es de θ e ϕ. Como na
constru¸c˜ao do estado coerente utilizamos o estado |j, −j, os estados iniciais s˜ao definidos
da seguinte forma:
θ = arccos(−z
o
) (6.9)
ϕ = ϕ
o
. (6.10)
onde z
o
e ϕ
o
s˜ao os pontos iniciais de uma certa trajet´oria no do espa¸co de fase. Podemos
a princ´ıpio escolher qualquer valor para ϕ
o
, mas, no que segue, ficaremos restritos a
valores 0 ou π, pois no entorno destes valores encontram-se as trajet´orias mais significa-
tivas. As condi¸c˜oes iniciais utilizadas, est˜ao em seq¨uˆencia decrescente de energia e v˜ao se
aproximando do ponto de sela, sendo que a ultima se encontra abaixo deste.
A grandeza relevante em nossa an´alise ser´a a diferen¸ca de popula¸c˜ao entre os dois
Cap´ıtulo 6. O Tunelamento e o Auto Armadilhamento 61
condensados que ´e dada por
ˆ
J
z
µ
(t) ≡ µ(t)|
ˆ
J
z
|µ(t) =
J
˜m=J
D
˜m
(µ, t)|˜m ˜mD
˜m
(µ, t)|˜m (6.11)
no caso quˆantico e z(t) que ´e a evolu¸c˜ao temporal cl´assica, obtida pela resolu¸c˜ao num´erica
das equa¸c˜oes acopladas 4.27 e 4.28 na pagina 39.
6.3 Resultados
Notamos que, se a intensidade do acoplamento e a popula¸c˜ao s˜ao pequenas, a medida com
que nos aproximamos do ponto de sela o tunelamento vai ganhando intensidade, (figuras
6.1 a-d) fazendo com que z(t) e
ˆ
J
z
(t) v˜ao se diferenciando. Este efeito ´e atenuado se
aumentarmos a popula¸c˜ao (figuras 6.2 a-d).
Aumentando a intensidade do acoplamento mas mantendo a a popula¸c˜ao ainda pe-
quena, temos o efeito da restaura¸c˜ao da simetria, ou seja, z(t) = 0 enquanto
ˆ
J
z
(t) = 0.
O efeito de tunelamento faz com que o sistema tente recuperar sua simetria, destruindo o
auto armadilhamento (figuras 6.3 a-d). Mas este efeito tamb´em ´e atenuado pelo aumento
da popula¸c˜ao (figuras 6.4 a-d).
Cap´ıtulo 6. O Tunelamento e o Auto Armadilhamento 62
Fig. 6.1: Evolu¸c˜ao temporal dos estados coerentes de quasi-spin com j = 6 e α = 0, 2. Nos
gr´aficos menores est´a representado o espa¸co de fase z × ϕ correspondente a evolu¸c˜ao
cl´assica.
Cap´ıtulo 6. O Tunelamento e o Auto Armadilhamento 63
Fig. 6.2: Evolu¸c˜ao temporal dos estados coerentes de quasi-spin com j = 20 e α = 0, 2. Nos
gr´aficos menores est´a representado o espa¸co de fase z × ϕ correspondente a evolu¸c˜ao
cl´assica
Cap´ıtulo 6. O Tunelamento e o Auto Armadilhamento 64
Fig. 6.3: Evolu¸c˜ao temporal dos estados coerentes de quasi-spin com j = 6 e α = 0, 4. Nos
gr´aficos menores est´a representado o espa¸co de fase z × ϕ correspondente a evolu¸c˜ao
cl´assica.
Cap´ıtulo 6. O Tunelamento e o Auto Armadilhamento 65
Fig. 6.4: Evolu¸c˜ao temporal dos estados coerentes de quasi-spin com j = 20 e α = 0, 4. Nos
gr´aficos menores est´a representado o espa¸co de fase z × ϕ correspondente a evolu¸c˜ao
cl´assica
CONCLUS
˜
AO
Neste trabalho, estudamos paralelamente duas hamiltonianas, ambas com duas compo-
nentes. Destas, uma o g´as de b´osons ´e formado por ´atomos em dois n´ıveis hiperfinos
diferentes (sistema atˆomico) e a outra, possui mol´eculas, al´em de ´atomos, sua composi¸c˜ao
(sistema molecular). Neste tipo de sistema h´a dois fenˆomenos que nos interessa: Tune-
lamento e auto armadilhamento quˆantico os quais s˜ao relativos `a interconvers˜ao entre as
componentes.
Para vislumbrar estes fenˆomenos, utilizamos o modelo de dois n´ıveis descrito em termos
dos geradores da ´algebra SU(2). Para detectar o tunelamento obtemos o espectro e
averiguamos se havia a presen¸ca de dubletos. O auto armadilhamento, foi detectado
atrav´es dos valores m´edios do operador relacionado a diferen¸ca de popula¸c˜ao (
ˆ
J
z
=
0). Estes sistemas em considera¸c˜ao apresentam quebra de simetria caracterizado pela
ocorrˆencia auto-armadilhamento.
Agora atrav´es da transforma¸c˜ao de estados coerentes da ´algebra SU(2), obtemos uma
hamiltoniana numa descri¸c˜ao semi-cl´assica. E com auxilio do principio variacional, ob-
temos as equa¸c˜oes de movimento dos relativo a esta nova hamiltoniana e notamos que
a diferen¸ca de popula¸c˜ao (z) e a diferen¸ca de fase (ϕ) formam um par canˆonicamente
conjugado.
Nesta descri¸c˜ao o sistema apresenta trajet´orias de equienergia cuja m´edia da diferen¸ca
de popula¸c˜ao pode ser diferente de zero (¯z = 0). O que caracteriza quebra de simetria
nesta descri¸c˜ao.
O intuito desta transforma¸c˜ao ´e estudar os limites de ocorrˆencia de auto-armadilhamento
e tunelamento com rela¸c˜ao os parˆametros de intera¸c˜ao e acoplamento. Tamb´em procura-
mos as faixas de energia para os quais estes dois fenˆomenos ocorrem, al´em de uma rela¸c˜ao
entre o auto-armadilhamento e tunelamento. Para isto fizemos um estudo detalhado do
comportamento do plano E × z a superf´ıcie de energia. A superf´ıcie de energia nos d´a
todas as poss´ıveis trajet´orias da dinˆamica cl´assica. Com isso, comparamos o espectro de
energia e os valores m´edios da diferen¸ca de popula¸c˜ao com o plano E × z, com o intuito
Cap´ıtulo 6. O Tunelamento e o Auto Armadilhamento 67
de visualizar a modifica¸c˜ao do tunelamento e e auto-armadilhamento pela transforma¸c˜ao
de estados coerentes.
Feito isso, partimos para a evolu¸c˜ao temporal onde comparamos a dinˆamica quˆantica
com a cl´assica. Na dinˆamica quˆantica, obtemos uma equa¸c˜ao de estado coerentes que
leva em considera¸c˜ao os efeitos quˆanticos. A evolu¸c˜ao temporal do sistema semi-cl´assico,
´e dado pela solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de movimento geradas pelas equa¸c˜oes de hamiltom.
Nesta parte, nos interessava os efeitos do tunelamento sob a popula¸c˜ao auto-armadilhado
em certos n´ıveis de energia selecionados atrav´es do estado coerente de partida (z
o
, ϕ
o
). O
tunelamento ocasiona a restaura¸c˜ao na simetria da diferen¸ca na diferen¸ca de popula¸c˜ao,
trazendo para mais proximo de zero nas regi˜oes de forte tunelamento (
ˆ
Jz = ¯z).
6.4 Os resultados foram
O sistema atˆomico sim´etrico λ
a
= λ
b
apresenta forte presen¸ca de tunelamento, devido
a presen¸ca de dubletos e estados onde
ˆ
J
z
ν
= 0 est´a em uma regi˜ao de trajet´orias
cl´assicamente proibidas.
O sistema apresente quebra de simetria na diferen¸ca de popula¸c˜ao caracterizado pelo
auto-armadilhamento, sendo que esta tende a ser restaurada quando o sistema apresenta
tunelamento.
Este tamb´em apresenta auto-armadilhamento sendo que efeitos quˆanticos suavizam a
passagem do regime SEM para COM auto-armadilhamento. No semi-cl´assico a passagem
´e abrupta. O Ponto de sela e a bifurca¸c˜ao da m´edia da diferen¸ca de popula¸c˜ao ocorrem
em patamares diferentes de energia, sendo que a bifurca¸c˜ao ocorre na regi˜ao cl´assicamente
proibida.
O tunelamento pode manter ou n˜ao simetria do sistema conforme o a intensidade do
acoplamento e o numero de part´ıculas.
No caso atˆomico com λ
a
= λ
b
e Molecular a passagem do regime sem para com
MQST coincidem com o caso semi-cl´assico, ou seja, a bifurca¸c˜ao da m´edia da diferen¸ca
de popula¸c˜ao e o ponto de sela ocorre no mesmo patamar de energia. Com isso estes
sistemas n˜ao apresenta tunelamento. Nesta situa¸c˜ao temos sempre (
ˆ
Jz = ¯z).
A evolu¸c˜ao temporal do estado coerente fica melhor descrita levando-se em consi-
dera¸c˜ao os efeitos quˆanticos (dinˆamica quˆantica). Este tamb´em apresenta o fenˆomeno de
colapso-ressurgimento.
Cap´ıtulo 6. O Tunelamento e o Auto Armadilhamento 68
6.5 Persp ectivas
Tentar obter alguns dos pontos cr´ıticos anal´ıticos para superf´ıcie atˆomica assim´etrica e
molecular com a ajuda do Hessiano;
Observar os efeitos da aproxima¸c˜ao de RW (Rotate Waving) sobre as sistemas Ha-
miltonianas em quest˜ao tanto quˆanticamente quanto cl´assicamente.
Estudar a corrente I = ˙z,
ˆ
I = i[
ˆ
J,
ˆ
H] , inclusive na aproxima¸c˜ao de RW
Estudar os efeitos de perdas por
decoerˆencia
ou
dissipa¸c˜ao
, tais como:
atrito
(vis-
cosidade), colis˜oes de trˆes corpos e bombeamento cont´ınuo.
Avaliar os efeitos da temperatura sob nosso sistema utilizando a estat´ıstica de Boltz-
mann;
REFER
ˆ
ENCIAS
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´
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