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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA
CONTRIBUIÇÃO AO ESTUDO DE
CONTROLE “PLANTWIDE”: CONTROLE
INDIRETO E COORDENAÇÃO DE
CONTROLADORES
DESCENTRALIZADOS
Autor: Eduardo Shigueo Hori
Orientador: Prof. Dr. Wu Hong Kwong
DEQ/UFSCar
Co-orientador: Prof. Dr. Sigurd Skogestad
Chemeng/NTNU/Norway
São Carlos - SP
2005
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA
CONTRIBUIÇÃO AO ESTUDO DE
CONTROLE “PLANTWIDE”: CONTROLE
INDIRETO E COORDENAÇÃO DE
CONTROLADORES
DESCENTRALIZADOS
Autor: Eduardo Shigueo Hori
Tese de Doutorado apresentada ao
Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Química da Universidade
Federal de São Carlos como parte dos
requisitos necessários à obtenção do
título de Doutor em Engenharia
Química, área de concentração em
Pesquisa e Desenvolvimento de
Processos Químicos
São Carlos - SP
2005
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Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da
Biblioteca Comunitária/UFSCar
H811ce
Hori, Eduardo Shigueo.
Contribuição ao estudo de controle plantwide: controle
indireto e coordenação de controladores descentralizados /
Eduardo Shigueo Hori. -- São Carlos : UFSCar, 2005.
165 p.
Tese (Doutorado) -- Universidade Federal de São Carlos,
2005.
1. Controle de processo. 2. Coordenação de
controladores. 3. DMC. 4. Controle perfeito indireto. 5.
Medida de complexidade I. Título.
CDD: 660.2815 (20
a
)
«Det er bedre å gjфre noe du kan komme til å angre på…
- enn å angre på at du ikke gjorde det!»
(Autor desconhecido)
“É melhor fazer algo da qual você possa vir a se arrepender...
- do que se arrepender de não ter feito.”
(Tradução livre)
SUMÁRIO
SUMÁRIO ..............................................................................................................I
DEDICATÓRIA.................................................................................................. IV
AGRADECIMENTOS .........................................................................................V
NOTA DO AUTOR.............................................................................................VI
ÍNDICE DE FIGURAS......................................................................................VII
ÍNDICE DE TABELAS......................................................................................IX
RESUMO...............................................................................................................X
ABSTRACT......................................................................................................... XI
CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO.............................................................................1
1.1. MOTIVAÇÃO ..............................................................................................2
1.2. CONTROLE “PLANTWIDE”......................................................................3
1.3. ESTRUTURA DE CONTROLE...................................................................9
1.4. DIVISÃO DA TESE ...................................................................................13
1.5. BIBLIOGRAFIA.........................................................................................14
CAPÍTULO 2 CONTROLE PERFEITO INDIRETO.....................................19
RESUMO...........................................................................................................20
ABSTRACT.......................................................................................................21
2.1. INTRODUÇÃO ..........................................................................................22
2.2. CONFIGURAÇÃO DRD (HÄGGBLÖM E WALLER, 1990)...................25
2.3. CONTROLE PERFEITO INDIRETO ........................................................28
2.4.
APLICAÇÃO EM COLUNA DE DESTILAÇÃO......................................32
2.4.1. Coluna de destilação com vazões mássicas.........................................32
2.4.2. Coluna de destilação com vazões molares ..........................................36
2.5.
DISCUSSÃO 1: ERRO DE MODELAGEM ..............................................42
2.6. DISCUSSÃO 2: MEDIDAS EXTRAS E ERRO DE IMPLEMENTAÇÃO
(RUÍDO) ............................................................................................................43
2.6.1. Melhor subconjunto das medidas ........................................................44
2.6.2. Melhor combinação de todas as medidas............................................45
2.7.
RELAÇÃO COM TRABALHOS ANTERIORES......................................46
2.7.1. Controle inferencial.............................................................................46
2.7.2. Controle auto-otimizante .....................................................................47
2.8. CONCLUSÕES...........................................................................................48
2.9. NOMENCLATURA ...................................................................................49
2.10. BIBLIOGRAFIA.......................................................................................50
CAPÍTULO 3 MINIMIZAÇÃO DOS DESVIOS DOS ESTADOS ................52
RESUMO...........................................................................................................53
ABSTRACT.......................................................................................................54
3.1.
INTRODUÇÃO ..........................................................................................55
3.2.
CONTROLE PERFEITO INDIRETO ........................................................56
3.3. DESVIO MÍNIMO DOS ESTADOS ..........................................................59
ii
3.4. APLICAÇÃO EM COLUNA DE DESTILAÇÃO......................................62
3.5. CONCLUSÕES...........................................................................................69
3.6. NOMENCLATURA ...................................................................................69
3.7. BIBLIOGRAFIA.........................................................................................70
CAPÍTULO 4 MEDIDA DE COMPLEXIDADE PARA DIAGRAMAS DE
BLOCO .................................................................................................................71
RESUMO...........................................................................................................72
ABSTRACT.......................................................................................................73
4.1. INTRODUÇÃO ..........................................................................................74
4.2.
DEFINIÇÕES MATEMÁTICAS DE COMPLEXIDADE DE BLOCOS ..77
4.2.1. Definição de bloco-soma e de bloco-divisão.......................................78
4.2.2. Definição de complexidade 1 (incluindo blocos-soma).......................78
4.2.3. Definição de complexidade 2 (incluindo blocos-divisão)....................80
4.3.
EXEMPLOS................................................................................................80
4.3.1. Exemplo 1.............................................................................................81
4.3.2. Exemplo 2.............................................................................................83
4.3.3. Exemplo 3.............................................................................................85
4.4. APLICAÇÃO AO CONTROLE PERFEITO INDIRETO ..........................87
4.5. CONCLUSÕES...........................................................................................92
4.6. NOMENCLATURA ...................................................................................92
4.6. BIBLIOGRAFIA.........................................................................................93
CAPÍTULO 5 CONTROLE COORDENADO DE CONTROLADORES
QDMC DESCENTRALIZADOS .......................................................................96
RESUMO...........................................................................................................97
ABSTRACT.......................................................................................................98
5.1. INTRODUÇÃO ..........................................................................................99
5.1.1. Controle centralizado versus controle descentralizado ......................99
5.1.2. Controle preditivo..............................................................................102
5.1.3. Coordenação......................................................................................106
5.1.4. Objetivo..............................................................................................108
5.2. METODOLOGIA .....................................................................................109
5.2.1. Algoritmo de Charos e Arkun (1993).................................................109
5.2.2. Algoritmo QDMC Coordenado..........................................................115
5.3.
APLICAÇÃO À CAIXA DE ALIMENTAÇÃO DE UMA MÁQUINA DE
PAPEL .............................................................................................................117
5.4. RESULTADOS E DISCUSSÕES.............................................................120
5.5. ALGORITMO DE COORDENAÇÃO DE QDMC DESCENTRALIZADO
BASEADO EM CÁLCULO ITERATIVO DAS AÇÕES DE CONTROLE ...125
5.6. CONCLUSÕES.........................................................................................130
5.7. NOMENCLATURA .................................................................................131
5.8. BIBLIOGRAFIA.......................................................................................132
CAPÍTULO 6 APLICAÇÃO DO CONTROLADOR QDMC
DESCENTRALIZADO COM COORDENAÇÃO AO SISTEMA
REATOR/COLUNA DE DESTILAÇÃO COM RECICLO..........................135
RESUMO.........................................................................................................136
ABSTRACT.....................................................................................................137
iii
6.1. INTRODUÇÃO ........................................................................................138
6.2. MODELAGEM MATEMÁTICA.............................................................143
6.3. RESPOSTA DO PROCESSO REATOR/COLUNA DE DESTILAÇÃO
COM RECICLO A VARIAÇÕES-DEGRAU NAS VARIÁVEIS
MANIPULADAS ............................................................................................149
6.4. APLICAÇÃO DO CONTROLE DESCENTRALIZADO COORDENADO
..........................................................................................................................154
6.5. CONCLUSÕES.........................................................................................157
6.6. NOMENCLATURA .................................................................................157
6.7.
BIBLIOGRAFIA.......................................................................................159
CAPÍTULO 7 CONCLUSÕES FINAIS E SUGESTÕES PARA
TRABALHOS FUTUROS ................................................................................162
7.1.
CONCLUSÕES.........................................................................................163
7.2. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS.....................................164
iv
DEDICATÓRIA
Dedico esta tese de doutorado a todos aqueles que me apoiaram durante a
minha vida, em especial à minha família.
v
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por todas as bênçãos que tem me dado durante toda a
minha vida e, em especial, durante o doutoramento.
Agradeço a minha família e, em especial, à minha mãe e ao meu pai (in
memorian) por tudo o que têm feito por mim.
Agradeço ao Prof. Dr. Wu Hong Kwong por ter sido meu orientador e
amigo durante o mestrado e o doutorado e pelos conselhos que me deu durante
este período.
Agradeço ao Prof. Dr. Sigurd Skogestad por ter aceitado me receber em
seu grupo de pesquisa pelo período de um ano. Foi uma experiência marcante na
minha vida, algo que jamais esquecerei.
Agradeço aos amigos do DEQ/UFSCar pela amizade e companheirismo
demonstrados durante a minha graduação, mestrado e doutorado.
Agradeço aos amigos da Igreja Adventista de São Carlos pelo apoio que
me deram durante os meus 11 anos de universidade. Jamais os esquecerei.
Agradeço aos amigos da Igreja Adventista de Trondheim/Noruega pelo
apoio recebido durante a minha estada na Noruega. Espero um dia poder revê-los
Agradeço ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e
Tecnológico (CNPQ) pelo apoio financeiro fornecido durante o período de
mestrado e de doutorado.
Agradeço à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível
Superior (CAPES) pelo apoio financeiro fornecido durante o período de estada na
Noruega.
vi
NOTA DO AUTOR
O termo “plantwide” é muito utilizado neste trabalho. O autor procurou,
exaustivamente, encontrar uma tradução plausível para esta palavra, porém, não
encontrou nenhuma que se encaixe perfeitamente com significado original da
mesma. Algumas traduções que apareceram foram: plantas inteiras, plantas
complexas, plantas largas, porém nenhuma delas foi considerada satisfatória.
Assim, o autor preferiu manter este termo no presente trabalho visto que, uma
tradução ruim do mesmo, poderia prejudicar a compreensão do leitor.
Apesar disso, a procura por uma tradução não se encerrou, por isso
estamos abertos a sugestões que possam nos auxiliar a encontrar uma expressão
em português que traduza bem o significado do termo em questão.
Pelo mesmo motivo há outros termos no texto que também não foram
traduzidos.
Agradeço desde já a compreensão,
Eduardo Shigueo Hori
vii
ÍNDICE DE FIGURAS
FIGURA 2.1. COMPARAÇÃO DINÂMICA, UTILIZANDO-SE UM MODELO NÃO-LINEAR,
DE VÁRIAS CONFIGURAÇÕES DE CONTROLE
.....................................................41
FIGURA 4.1. DEFINIÇÕES DE BLOCO-SOMA E BLOCO-DIVISÃO. ................................78
FIGURA 4.2. DIAGRAMA DE BLOCOS MULTIVARIÁVEL. ...........................................81
FIGURA 4.3. DUAS POSSÍVEIS REPRESENTAÇÕES DE DIAGRAMAS DE BLOCOS DA
FIGURA 4.2......................................................................................................82
FIGURA 4.4. DIAGRAMA DE BLOCOS COM DOIS BLOCOS MIMO SEPARADOS...........84
FIGURA 4.5. REPRESENTAÇÃO DOS BLOCOS 1 (A) E 2 (B) DA FIGURA 4.4. ...............84
FIGURA 4.6. IMPLEMENTAÇÕES EM CASCATA..........................................................85
FIGURA 4.7. CASO COMUM DE CONTROLE EM CASCATA ONDE A SAÍDA PRIMÁRIA
1
y
DEPENDE DIRETAMENTE DAS MEDIDAS EM EXCESSO
2
y ..................................86
FIGURA 4.8. CONFIGURAÇÃO DE CONTROLE COM DUAS CAMADAS DE CONTROLE EM
CASCATA
.........................................................................................................86
FIGURA 4.9. CONTROLE DESCENTRALIZADO DIAGONAL DE UMA PLANTA 2×2. .......86
FIGURA 5.1. ESTRUTURA DO GPC DESCENTRALIZADO (KATEBI E JOHNSON, 1997).
......................................................................................................................108
FIGURA 5.2 ESQUEMA DO ALGORITMO QDMC DESCENTRALIZADO SEM
COORDENAÇÃO
.............................................................................................114
FIGURA 5.3. ESQUEMA DO ALGORITMO DE CHAROS E ARKUN (1993)...................114
FIGURA 5.4. ESQUEMA DO ALGORITMO QDMC DESCENTRALIZADO COM
COORDENAÇÃO
. ............................................................................................117
FIGURA 5.5. ESQUEMA DA CAIXA DE ALIMENTAÇÃO.............................................118
FIGURA 5.6. RESPOSTA DA VARIÁVEL CONTROLADA 1 A VARIAÇÕES NO SET-POINT E
NO DISTÚRBIO
. ..............................................................................................122
F
IGURA 5.7. RESPOSTA DA VARIÁVEL CONTROLADA 2 A VARIAÇÕES NO “SET POINT”
E NO DISTÚRBIO
.............................................................................................122
F
IGURA 5.8. MOVIMENTO DA VARIÁVEL MANIPULADA
1
u ....................................123
FIGURA 5.9. MOVIMENTOS DA VARIÁVEL MANIPULADA
2
u ..................................123
F
IGURA 5.10. ESQUEMA DO ALGORITMO QDMC DESCENTRALIZADO COORDENADO.
......................................................................................................................127
FIGURA 5.11. COMPARAÇÃO DAS RESPOSTAS DA VARIÁVEL CONTROLADA
1
y AO SE
UTILIZAR OS ALGORITMOS MODIFICADOS
1 E 2..............................................128
FIGURA 5.12. COMPARAÇÃO DAS RESPOSTAS DA VARIÁVEL CONTROLADA
2
y AO SE
UTILIZAR OS ALGORITMOS MODIFICADOS
1 E 2..............................................128
FIGURA 5.13. COMPARAÇÃO DAS AÇÕES DA VARIÁVEL MANIPULADA
1
u AO SE
UTILIZAR OS ALGORITMOS MODIFICADOS
1 E 2..............................................129
FIGURA 5.14. COMPARAÇÃO DAS AÇÕES DA VARIÁVEL MANIPULADA
1
u AO SE
UTILIZAR OS ALGORITMOS MODIFICADOS
1 E 2..............................................129
F
IGURA 6.1. REATOR E COLUNA DE DESTILAÇÃO COM RECICLO............................144
FIGURA 6.2. MALHAS DE CONTROLE USADAS NO PROCESSO REATOR/COLUNA DE
DESTILAÇÃO COM RECICLO
. ..........................................................................151
viii
FIGURA 6.3. RESPOSTA DAS VARIÁVEIS CONTROLADAS A UMA VARIAÇÃO-DEGRAU
NA TEMPERATURA DA CAMISA
(
c
T )...............................................................152
FIGURA 6.4. RESPOSTA DAS VARIÁVEIS CONTROLADAS A UMA VARIAÇÃO-DEGRAU
NA VAZÃO DE VAPOR
(
V
). ............................................................................153
FIGURA 6.5. RESPOSTA DAS VARIÁVEIS CONTROLADAS A UMA VARIAÇÃO-DEGRAU
NA VAZÃO DE REFLUXO DA COLUNA DE DESTILAÇÃO
(
1
L )............................153
FIGURA 6.6. RESPOSTA DA TEMPERATURA DO REATOR (
1
y ) A VARIAÇÕES NO “SET
POINT
” E NOS DISTÚRBIOS. ............................................................................155
FIGURA 6.7. RESPOSTA DA COMPOSIÇÃO DO PRODUTO DE FUNDO DA COLUNA DE
DESTILAÇÃO
(
2
y ) A VARIAÇÕES NO “SET POINT” E NOS DISTÚRBIOS.............155
FIGURA 6.8. RESPOSTA DA COMPOSIÇÃO DO DESTILADO DA COLUNA DE DESTILAÇÃO
(
3
y ) A VARIAÇÕES NO “SET POINT” E NOS DISTÚRBIOS..................................156
ix
ÍNDICE DE TABELAS
TABELA 1.1. PROCEDIMENTO PARA O PROJETO DE ESTRUTURA DE CONTROLE
”PLANTWIDE” (SKOGESTAD, 2004) .................................................................12
TABELA 2.1. VALORES DOS PARÂMETROS E CONDIÇÃO DO ESTADO ESTACIONÁRIO
PARA A COLUNA DE DESTILAÇÃO
. ...................................................................39
TABELA 3.1. VALORES DE
x*
G ,
x*
d
G E
x* x*
d
GG PARA TODAS AS
COMBINAÇÕES
.................................................................................................65
TABELA 3.2. VALORES DAS MATRIZES
x*
G E
x*
d
G PARA AS QUATRO COMBINAÇÕES.
........................................................................................................................66
TABELA 3.2. VALORES DAS MATRIZES
x*
G E
x*
d
G PARA AS QUATRO COMBINAÇÕES
(CONTINUAÇÃO)..............................................................................................67
TABELA 4.1. COMPARAÇÕES ENTRE AS DEFINIÇÕES DE COMPLEXIDADE.................87
TABELA 5.1. VALORES DOS PARÂMETROS DA CAIXA DE ALIMENTAÇÃO. ..............120
TABELA 5.2. CONDIÇÕES INICIAIS DA CAIXA DE ALIMENTAÇÃO............................120
TABELA 5.3. COMPARAÇÃO DO DESEMPENHO DOS ALGORITMOS USANDO O ÍNDICE
IAE...............................................................................................................124
TABELA 6.1. VALORES DOS PARÂMETROS E CONDIÇÃO DO ESTADO ESTACIONÁRIO
PARA O SISTEMA DE REAÇÃO
/SEPARAÇÃO COM RECICLO...............................145
TABELA 6.2. MALHAS DE CONTROLE DA ESTRUTURA DE LUYBEN (1994).............150
TABELA 6.3. VALORES DO ÍNDICE DE PERFORMANCE IAE DE CADA UMA DAS SAÍDAS
CONTROLADAS
(
1
y ,
2
y E
3
y ) E A SOMA DOS IAES........................................156
TABELA 6.4. VALORES DO ÍNDICE DE PERFORMANCE ISE DE CADA UMA DAS SAÍDAS
CONTROLADAS
(
1
y ,
2
y E
3
y ) E A SOMA DOS ISES. .......................................157
x
RESUMO
O projeto de sistemas de controle de plantas inteiras (“plantwide”) tem
recebido muita atenção nos últimos anos. As plantas químicas modernas são,
usualmente, formadas por centenas de processos elementares e operações unitárias
interconectados. Dessa forma, essas plantas são, normalmente, caracterizadas e
dominadas por instalações enormes, altamente integradas e automatizadas, com
muitas correntes de reciclo e menos inventários. Todos esses fatores levam a
grandes interações entre as unidades, causadas pelo reciclo de material e de
energia, e, portanto, à necessidade de perspectivas de controle que não se
restrinjam a unidades individuais. O procedimento de projeto de sistemas de
controle dessas plantas inteiras não é muito claro e a literatura ainda é escassa
sobre o assunto, comparativamente com o projeto de controladores de unidades
simples. Dessa forma, um grande desafio para o Engenheiro Químico nas últimas
décadas tem sido o projeto de sistemas de controle que operem com segurança e
atinjam os objetivos de desempenho necessários para o controle dessas plantas
complexas. Por esses motivos, o principal objetivo deste trabalho é estudar o
problema do controle “plantwide” visando, em particular, a escolha de variáveis a
serem controladas e a coordenação de diversos controladores descentralizados de
forma a evitar ações de controle conflitantes. Os resultados apresentados nesta
tese mostram que o objetivo do trabalho foi alcançado com sucesso, visto que há
uma contribuição significativa ao estudo de controle “plantwide”.
xi
ABSTRACT
The design of plantwide control systems has received increasing attention
in the last years. The modern chemical plants usually consist of hundreds of
interconnected elementary processes and unit operations (large scale complex
systems). These plants are usually characterized and dominated by large and
highly integrated and automatized installations, with several recycle streams,
more heat integration and fewer inventories. All these factors lead to high
interactions among the subunits caused by material and energy recycle and,
consequently to the need for a perspective beyond individual units. The plantwide
system control design procedure is not clear and the literature is scarce about this
issue, comparatively with simple unit design. In this way, a large challenge for the
Chemical Engineer in the last decades has been designing control systems that
operate with safety and bring the performance objectives needed to control these
complex plants. The main objective of this project is to study the plantwide
control problem aiming, particularly, the choice of controlled variables and the
coordination of several decentralized controllers to avoid conflicting control
actions. The results presented in this thesis show that the work objective was
reached successfully, due to a significant contribution to plantwide control study.
Capítulo 1
Introdução
Cap. 1. Introdução
2
1.1. MOTIVAÇÃO
As plantas químicas têm se tornado cada vez mais complexas e integradas,
devido, principalmente, à crescente utilização de reciclo nos processos e à
integração energética. Com essa complexidade, o projeto de processos químicos
seguros e lucrativos tem se tornado um desafio cada vez maior e isso exige a
existência de estruturas de controle bem projetadas, de forma a melhorar o
desempenho da planta.
Com isso, a síntese de sistemas de controle “plantwide” tem recebido
grande atenção nos últimos anos. O propósito do controle “plantwide” é prover
uma estrutura global para o controle coordenado de muitas variáveis importantes
de um processo multi-unidades, incluindo toda a produção da planta e o controle
da qualidade do produto. O principal incentivo para este estudo é a coordenação
das tarefas dos diferentes controladores locais, tal que se possa alcançar redução
substancial no custo de estocagem de produtos intermediários (Lyman e
Georgakis, 1995).
O estudo de controle "plantwide" tem sido feito, basicamente, visando
estruturas de controle, onde se procura a melhor forma de se descentralizar um
dado processo químico. Porém, poucos trabalhos tratam da coordenação das ações
de controle entre estas subunidades.
Em vista disso, o objetivo deste trabalho é tanto o estudo de estruturas de
controle como a coordenação de vários controladores de sistemas
descentralizados. São estudadas formas de se descentralizar a planta química em
subunidades (estrutura de controle) e, posteriormente, maneiras de se coordenar os
Cap. 1. Introdução
3
diversos controladores descentralizados de forma a manusear as interações
existentes entre os mesmos.
1.2. CONTROLE “PLANTWIDE”
O controle "plantwide" refere-se ao estudo do controle de uma planta
inteira, que consiste de muitas operações unitárias interconectadas (Zheng et al.,
1999). Entretanto, uma planta química pode ter milhares de variáveis medidas e
de possíveis malhas de controle. Dessa forma, o termo “plantwide” não significa o
ajuste e a ação de cada uma destas malhas, mas sim a filosofia de controle de toda
a planta, com ênfase nas decisões estruturais. A decisão estrutural inclui a
seleção/localização de manipuladores e medidas, assim como a decomposição de
todo o problema em subproblemas menores (configuração de controle) (Larsson e
Skogestad, 2000).
Assim, o propósito do controle “plantwide” é prover uma estrutural global
para o controle coordenado de muitas variáveis importantes de um processo multi-
unidades, incluindo toda a produção da planta e o controle da qualidade do
produto. O principal incentivo para este estudo é a coordenação das tarefas dos
diferentes controladores locais, tal que se possa alcançar redução substancial no
custo de estocagem de produtos intermediários (Lyman e Georgakis, 1995).
A solução clássica para se resolver o problema de controle “plantwide”
consistia, no passado, em “quebrar” o problema todo em uma série de problemas
menores de controle ao redor de operações unitárias individuais do processo. Para
que esta solução funcione bem, o projetista deve prover tanques de estocagem de
Cap. 1. Introdução
4
materiais entre as unidades, os quais serviriam para isolar uma unidade das
características dinâmicas das demais. Estes tanques de estocagem precisam ser
grandes, sendo, portanto, muito custosos. Assim, eles contribuem para o alto custo
do capital, aumentam o tempo total de processamento do material e ocupam
valiosos espaços da planta. Grandes estoques de materiais, possivelmente
perigosos, também apresentam riscos à segurança e ao meio ambiente e, a sua
possível degradação e contaminação poderiam afetar significativamente a
qualidade do produto. Além disso, a existência de grandes quantidades de
materiais dificulta possíveis mudanças de produção entre diferentes produtos ou
grau de pureza dos produtos. Nestes casos, o uso de estruturas de controle
“plantwide” efetivas pode levar a significativas reduções no tamanho destes
tanques de estocagem ou, se possível, eliminá-los do projeto da planta (Lyman e
Georgakis, 1995).
O controle “plantwide” possui certas características próprias
(Stephanopoulos e Ng, 2000), as quais não são encontradas no projeto de sistemas
com unidades simples, tais como:
- as variáveis a serem controladas por um sistema de controle “plantwide”
não são tão claras ou facilmente definidas como para unidades simples;
- as decisões de controle locais, feitas dentro do contexto de unidades
simples, podem ter efeitos em toda a planta;
- o tamanho do problema de controle “plantwide” é significativamente
maior que o de unidades simples, tornando sua solução consideravelmente
mais difícil.
Cap. 1. Introdução
5
Enquanto que intensivas pesquisas têm sido conduzidas, nas últimas
décadas, no controle de operações unitárias individuais, relativamente pouca
atenção foi dada ao controle “plantwide” (Zheng et al.,1999). Porém, nos últimos
anos, a síntese de sistemas de controle “plantwide” tem recebido atenção cada vez
maior, com a apresentação de muitos trabalhos a este respeito (Ramchandram et
al., 1992; Fonyo, 1994; Lyman e Georgakis, 1995; Lausch et al., 1998; Zheng et
al.,1999; Stephanopoulos e Ng, 2000; Castro e Doyle III, 2002; entre outros).
Este interesse resulta do fato de que plantas cada vez mais integradas,
especialmente considerando o aspecto energético, estão conduzindo a problemas
de controle mais desafiadores (McAvoy, 1998).
As propostas de síntese de sistemas de controle “plantwide” têm variado
desde aquelas naturalmente heurísticas (Tyréus e Luyben, 1993; Luyben e
Luyben, 1995) até aquelas baseadas em otimização (Narraway e Perkins, 1993 e
1994; Heath et al., 2000; Kookos e Perkins, 2001). Além disso, tem-se estudado
muito o efeito do reciclo em controle “plantwide” (Luyben, 1993a-c; Miszey e
Kalmar, 1996; Belanger e Luyben, 1997; Wu e Yu, 1997; Chodavarapu e Zheng,
2001).
O trabalho pioneiro em controle “plantwide” foi feito por Buckley (1964),
que introduziu o conceito de “controle dinâmico de processo”. Ele propôs
decompor o problema com base nas diferenças das escalas de tempo. Assim, para
unidades em série, a estrutura de controle de inventário deve ser a primeira a ser
projetada e, após isso, projeta-se a estrutura de controle da qualidade do produto.
Dessa forma, as dinâmicas rápida (controle de inventário) e lenta (controle da
Cap. 1. Introdução
6
qualidade do produto) da planta são consideradas em diferentes estágios no
projeto do sistema de controle.
Downs (1992) apresentou uma metodologia para o projeto de um sistema
de controle de qualidade em um ambiente “plantwide”. Ele menciona que a
operação do sistema de separação é ponto central no controle dos inventários dos
componentes em um processo. Ele sugeriu que o desenvolvimento do sistema de
controle para sistemas de separação seja consistente com os objetivos de operação
“plantwide” globais. Muitos exemplos foram apresentados, ilustrando a
necessidade de projetar o sistema de controle de qualidade deste modo, de forma a
permitir que o inventário de cada componente em uma planta seja auto-
regulatório. Isto é um ponto importante a se considerar ao se projetar um sistema
de controle de coluna de destilação, para plantas contendo correntes de reciclo,
pois alguns sistemas de controle que são efetivos para operações unitárias simples,
podem falhar em um ambiente “plantwide” (Belanger e Luyben, 1997).
McAvoy (1998) apresentou uma metodologia geral para avaliar a
viabilidade de estratégias de controle “plantwide”. A proposta é baseada no uso de
matrizes de ganho em estado estacionário que incluem a velocidade de mudança
de variáveis integrantes, tais como níveis de líquido. O RGA (“Relative Gain
Array”) (Bristol, 1966) e o índice Niederlinski (Niederlinsk, 1971) são usados
para avaliar potenciais estratégias de controle de nível. A metodologia foi aplicada
ao processo Tennessee Eastman (Downs e Vogel, 1993), mostrando que a grande
maioria das potenciais estratégias de controle de nível são problemáticas para esta
planta.
Cap. 1. Introdução
7
Zheng et al. (1999) propuseram um procedimento hierárquico para
sintetizar estruturas de controle "plantwide" ótimas com base na minimização de
fatores de ponderação econômicos. Seu procedimento decompõe o problema em
uma hierarquia de decisões. Em cada nível hierárquico, as decisões são feitas com
base econômica. O procedimento é dividido em 6 etapas:
- Verificação da viabilidade de robustez em estado estacionário: esta etapa
assegura que as restrições do problema de otimização sejam possíveis em
estado estacionário;
- Seleção de variáveis controladas;
- Projeto de estruturas de controle em estado estacionário;
- Síntese de estrutura de controle dinâmica;
- Classificação econômica;
- Simulações dinâmicas.
Um índice de controlabilidade
ν
, introduzido por Zheng e Mahajanam
(1999), foi usado para quantificar o custo associado à controlabilidade dinâmica.
Este procedimento foi aplicado a um sistema contendo reator, separador e reciclo.
Zhu et al. (2000) propuseram uma estratégia de controle “plantwide”
baseada na integração de controle preditivo com modelo linear (LMPC) e controle
preditivo com modelo não-linear (NMPC). O método híbrido é aplicável a plantas
que possam ser decompostas em subsistemas aproximadamente lineares e
subsistemas altamente não-lineares que interagem entre si via vazões mássicas e
energéticas. O LMPC é aplicado aos subsistemas lineares e o NMPC é aplicado
aos subsistemas não-lineares. A estratégia híbrida de controle LMPC-NMPC
proposta consiste de quatro etapas:
Cap. 1. Introdução
8
1. Análise das não-linearidades do processo;
2. Decomposição da planta em subsistemas lineares e não-lineares;
3. Aplicação do LMPC aos subsistemas lineares e do NMPC aos
subsistemas não-lineares;
4. Coordenação dos controladores lineares e não-lineares.
A coordenação dos controladores lineares e não-lineares baseia-se na
solução do problema LMPC usando um modelo linear para a planta toda e não
somente do subsistema linear. A vantagem desta proposta é que a dependência do
problema LMPC da solução NMPC é completamente eliminada. Assim, o
problema LMPC pode ser resolvido independentemente. É enfatizado que
somente a solução do LMPC para o subsistema linear é utilizado; os movimentos
das manipuladas para o subsistema não-linear não são implementados. A solução
do LMPC é usada para calcular a solução do NMPC para o subsistema não-linear.
As desvantagens desta proposta são que uma aproximação linear do subsistema
não-linear é introduzida e um problema LMPC de maior dimensão precisa ser
resolvido. Os resultados da simulação de um processo de reação e separação com
reciclo mostraram que a performance do controlador MPC híbrido foi comparável
ao do controlador NMPC e superior ao LMPC convencional. Além disso, o
esforço computacional (tempo de execução) do controlador híbrido LMPC-NMPC
foi muito menor que o esforço do controlador NMPC para a planta toda.
Cap. 1. Introdução
9
1.3. ESTRUTURA DE CONTROLE
Um dos problemas mais desafiadores para um engenheiro químico é
projetar um processo químico que opere com segurança, de forma lucrativa e que
consiga atingir os objetivos de controle. Sujeito a condições de mercado, variação
nas matérias-primas, diferentes especificações de produto e outros distúrbios
externos, a planta química deveria operar suavemente sobre um vasto intervalo de
regimes de operação para permanecer lucrativo. A existência de tal ambiente
dinâmico, ao redor de uma planta química em operação, exige a existência de
estruturas de controle bem projetadas para manter ou melhorar a operação da
planta de forma “on-line”, em termos econômicos, regulatórios e em aspectos de
segurança (Arkun e Stephanopoulos, 1980).
É reconhecido que a seleção da estrutura de controle pode afetar
dramaticamente o desempenho do controlador. Porém, o número de possíveis
estruturas de controle pode ser enorme, especialmente em problemas de controle
"plantwide", o que torna inviável a comparação exaustiva do desempenho de cada
estrutura. Para se resolver este problema, muito esforço tem sido despendido no
desenvolvimento de algoritmos eficientes e de baixo esforço computacional, para
uma rápida seleção das melhores estruturas de controle (Kookos e Lygeros, 1998).
Em uma série de artigos, Stephanopoulos e seus colaboradores (Morari et
al., 1980; Morari e Stephanopoulos, 1980a e b; Arkun e Stephanopoulos, 1980;
Arkun e Stephanopoulos, 1981) apresentaram o problema da formulação da
estrutura de controle como um problema de otimização.
Na primeira parte da série (Morari et al., 1980), os autores apresentaram
uma formulação unificada para o problema de sintetizar estruturas de controle
Cap. 1. Introdução
10
para processos químicos. De acordo com os autores, uma estrutura de controle é
formada pelos seguintes elementos:
- um conjunto de variáveis que deve ser controlado para se atingir um
conjunto de objetivos especificados;
- um conjunto de variáveis que pode ser medido para propósito de controle;
- um conjunto de variáveis manipuladas;
- uma estrutura interconectando as variáveis medidas e manipuladas.
Na segunda parte da série, Morari e Stephanopoulos (1980a) utilizaram
modelos estruturais para descrever as interações entre as unidades da planta e os
fenômenos físico-químicos que ocorrem nas várias unidades. Além disso, eles
utilizaram os conceitos de controlabilidade e observabilidade estruturais (Lin,
1974) como critério de seleção de entradas e saídas.
Na terceira parte, Morari e Stephanopoulos (1980b) apresentaram um
critério de seleção de medidas secundárias, para usá-las em controle inferencial,
nos casos em que as variáveis primárias de controle não possam ser medidas
diretamente. Essas variáveis são usadas, em conjunto com estimadores, para se
inferir o valor das variáveis não medidas, pela minimização do erro de estimativa.
Eles propõem quatro critérios de seleção, baseados em um estimador de estado. O
primeiro critério assume um modelo em estado estacionário e minimiza o erro
causado pelas entradas não-medidas; o segundo critério minimiza a influência das
imprecisões do modelo; o terceiro e o quarto critérios minimizam o erro de
estimativa quando um estimador estático for utilizado para o sistema dinâmico.
Nas duas últimas partes da série, Arkun e Stephanopoulos (1980 e 1981)
formularam o projeto de controle otimizante em estado estacionário para uma
Cap. 1. Introdução
11
unidade simples (Arkun e Stephanopoulos, 1980) e, depois, estenderam esta
formulação para uma planta química em larga escala interconectada (Arkun e
Stephanopoulos, 1981).
McAvoy (1999) apresentou uma proposta para sintetizar arquiteturas de
controle “plantwide”, que faz uso de modelos em estado estacionário e de
otimização. O algoritmo divide a síntese em dois estágios. O primeiro problema a
ser resolvido (estágio 1) envolve o controle de variáveis que devem ser mantidas
constantes por segurança ou por outras razões. Então, um problema de otimização
é resolvido para se determinar quais variáveis manipuladas devem ser usadas no
controle da vazão de produto e controle da composição (estágio 2). O problema de
otimização a ser resolvido é um problema MILP (“Mixed-Integer Linear
Programming”), que visa selecionar as variáveis manipuladas para cada estágio.
Skogestad (2004) discute um procedimento sistemático para o projeto de
estruturas de controle para plantas inteiras (controle “plantwide”). O
procedimento é apresentado resumidamente pela Tabela 1.1.
Cap. 1. Introdução
12
Tabela 1.1. Procedimento para o projeto de estrutura de controle ”plantwide”
(Skogestad, 2004)
Etapa Comentários, análise de ferramentas e modelos requeridos
(I) Análise descendente (“top-down”)
1. Definição dos objetivos operacionais
Identificar restrições operacionais e identificar
preferencialmente uma função-custo escalar
J
a ser
minimizada.
2. Variáveis manipuladas e graus de liberdade
Identificar os graus de liberdade estacionários e dinâmicos
Pode necessitar equipamentos extras se a análise mostrar
que há poucos graus de liberdade.
3. Variáveis controladas primárias
Quais variáveis (primárias)
c dever-se-ia controlar?
- controlar restrições ativas
- Graus de liberdade remanescentes: controlar
variáveis cujos “set points” constantes resultem
em baixa perda (econômica) quando ocorrerem
distúrbios
Análise econômica em estado estacionário:
- Definição de custo e restrições
- Otimização dos graus de liberdade estacionários
para vários distúrbios (fornece as restrições
ativas)
- Avaliação da perda com “set points” constantes
4. Vazão de produto
Onde a vazão de produto deveria ser ajustada? (escolha
muito importante pois esta determina a estrutura do sistema
de controle de inventário remanescente).
A localização ótima segue da otimização estacionária (etapa
3), mas pode modificar dependendo das condições de
operação.
(II) Projeto ascendente (“bottom-up”)
(com variáveis controladas e manipuladas dadas)
Análise de controlabilidade: computar zeros, pólos, vetores
dos pólos, ganhos, ganhos dos distúrbios, “relative gain
array”, mínimos valores singulares, etc.
5. Camada de controle regulatório
5.1. Estabilização
5.2. Rejeição local de distúrbio
Propósito: “Estabilizar” a planta usando controladores de
“baixa” complexidade (controladores PID de malha simples)
tais que:
1- a planta não se desvie muito de seu ponto de
operação nominal
2- a camada supervisória (ou os operadores) pode
lidar com o efeito dos distúrbios nas saídas
primárias (
1
yc=
)
Principal problema estrutural: O que mais (
2
y ) se deveria
controlar?
- Selecionar variáveis controladas secundárias
(medidas)
2
y
Pareá-las com variáveis manipuladas
m ,
evitando
m ’s que saturem (atinjam restrições)
5.1. Análise de vetores de pólo (Havre e Skogestad, 1998)
para selecionar variáveis medidas e entradas manipuladas
para controle estabilizante.
5.2. Análise de planta parcialmente controladas: controlar
medidas secundárias (
2
y ) de forma que a sensibilidade dos
estados (
x
) aos distúrbios seja pequena em freqüências
intermediárias.
Modelo: Modelo dinâmico linear multivariável. Estado
estacionário geralmente sem importância
6. Camada de controle supervisório
Propósito: Manter as saídas (primárias) controladas
1
yc
=
em seus “set points” ótimos usando, como graus de
liberdade (entradas), os “set points”
2s
y para a camada de
controle regulatório e quaisquer variáveis manipuladas não-
usadas.
Principal problema estrutural: Controle centralizado ou
descentralizado?
6a. Controle descentralizado (malha simples)
Possivelmente com adição de “feed-forward” e controle de
razão (“ratio”)
- Pode usar controladores PI ou PID simples
- Problema estrutural: escolher o pareamento de
entradas e saídas
6b. Controle multivariável
Usualmente com tratamento explícito de restrições (MPC)
Problema estrutural: Tamanho de cada aplicação
multivariável
6a. Controle descentralizado:
Preferido para processos não-interativos e casos em que as
restrições ativas permanecem constantes
Análise de pareamento: Parear com RGA próximo à matriz
identidade na freqüência de “crossover”, desde que não seja
negativo no estado estacionário. Use CLDG para uma
análise mais detalhada
6b. Controle multivariável:
1- usar para processos interativos e para fácil
tratamento de controle “feedforward”
2- usar MPC com tratamento de restrições para
mover suavemente durante a mudança de
restrições ativas (evita a lógica necessária no
esquema descentralizado 5a)
Modelo: Veja item 5
7. Camada de otimização
Propósito: Identificar restrições ativas e computar “set
points” ótimos
s
c
para variáveis controladas
Principal problema estrutural: É necessário otimização em
tempo real?
Modelo: Modelo não-linear em estado estacionário mais
custos e restrições
8. Validação Simulação dinâmica não-linear de partes críticas
Cap. 1. Introdução
13
O procedimento é dividido em duas partes principais:
1. Análise descendente (“top-down”): inclui definição dos objetivos operacionais
e considerações de graus de liberdade disponíveis para atingir estes objetivos
(etapas 1-4 da Tabela 1.1);
2. Projeto ascendente (“bottom-up”) do sistema de controle começando com a
camada de controle estabilizante (etapas 5-8 da Tabela 1.1).
Esta tese se concentra na segunda parte da Tabela 1.1, em especial na
etapa 5. Além disso, sugere-se incluir na Tabela 1.1 uma etapa entre a camada de
controle supervisório (etapa 6) e a camada de otimização (etapa 7). Esta etapa
seria a etapa de coordenação, assim o procedimento total seria formado por 9
etapas.
1.4. DIVISÃO DA TESE
A tese é dividida da seguinte forma:
No Capítulo 1 mostra-se que o estudo de controle “plantwide” é muito
importante para o controle de plantas químicas complexas devido à, cada vez
maior, integração entre as diversas unidades do processo. Além disso, diversos
trabalhos relacionados ao estudo de controle “plantwide” e escolha de estruturas
de controle são apresentados.
O Capítulo 2 trata do controle perfeito indireto, onde se mostra uma forma
de se obter controle perfeito indireto com rejeição perfeita dos distúrbios e
desacoplamento, pelo menos em estado estacionário. É mostrado que isso se torna
possível caso se tenha uma quantidade suficiente de variáveis medidas
Cap. 1. Introdução
14
independentes. Esse resultado é similar ao DRD (“Disturbance Rejection and
Decoupling”) apresentado por Häggblöm e Waller (1990), porém com a vantagem
de ter uma formulação mais simples e ser aplicável a qualquer processo.
O Capítulo 3 trata da minimização dos efeitos dos distúrbios e do erro de
implementação nos estados com o objetivo de “estabilizar” a planta.
O Capítulo 4 mostra a importância de se projetar sistemas de controle que
tenham baixa complexidade. Para isso é necessário que se desenvolvam formas de
se medir essas complexidades com o intuito de se poder comparar as
complexidades de dois sistemas distintos. Assim, neste capítulo, é sugerida uma
possível forma de se mensurar a complexidade de um diagrama de blocos.
O Capítulo 5 trata da etapa adicional sugerida pelo autor (ver seção 1.3), a
etapa de coordenação. Neste capítulo é apresentada uma forma de se coordenar as
ações de controle de diversos controladores QDMC descentralizados com o uso
das predições feitas pelos mesmos.
No Capítulo 6 é feita a aplicação do algoritmo de coordenação apresentado
no Capítulo 5 ao processo reator/coluna de destilação com reciclo. Neste capítulo
confirma-se a eficiência do algoritmo de coordenação proposto no Capítulo 5.
O Capítulo 7 apresenta as conclusões finais da tese de doutorado e faz
algumas sugestões para futuros trabalhos em controle “plantwide”.
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Capítulo 2
Controle Perfeito Indireto
Este capítulo é uma versão estendida do seguinte trabalho:
HORI, E. S.; SKOGESTAD, S.; ALSTAD, V. Perfect steady state indirect
control. Submetido para publicação em Industrial and Engineering
Chemistry Research, 2004.
HORI, E. S.; SKOGESTAD, S.; KWONG, W. H. Seleção de combinação de
variáveis medidas para utilização em controle perfeito indireto. In: II Congresso
de Pós-Graduação/UFSCar, 2003.
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
20
RESUMO
O controle indireto é comumente usado em aplicações industriais onde a
variável controlada primária não é medida. Este capítulo considera o caso do
“controle perfeito indireto”, onde se procura controlar uma combinação de
variáveis medidas disponíveis de forma que os distúrbios não tenham efeito nas
variáveis primárias, pelo menos em estado estacionário. É mostrado que isto é
sempre possível desde que o número de variáveis medidas independentes seja
igual ou maior que o número de variáveis independentes (variáveis manipuladas
mais distúrbios). É mostrado mais adiante como medidas extras podem ser usadas
para minimizar o efeito do ruído de medida. Os resultados neste capítulo também
provêem uma ligação com resultados prévios em controle inferencial, rejeição
perfeita do distúrbio e desacoplamento (DRD) e controle auto-otimizante.
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
21
ABSTRACT
Indirect control is commonly used in industrial applications where the
primary controlled variable is not measured. This chapter considers the case of
“perfect indirect control” where one attempts to control a combination of the
available measurements such that there is no effect of disturbances in the primary
variables, at least in the steady-state. It is shown that this is always possible
provided the number of measurements is equal to the number of independent
variables (inputs plus disturbances). It is further shown how extra measurements
may be used to minimize the effect of measurement noise. The results in this
paper also provide a nice link to previous results on inferential control, perfect
disturbance rejection and decoupling (DRD) and self-optimizing control.
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
22
2.1. INTRODUÇÃO
O controle indireto (Skogestad e Postlethwaite, 1996) ocorre quando não
se pode controlar as saídas “primárias”
1
y
(por exemplo, porque elas não são
medidas de forma “online”) e, ao invés disso, controla-se indiretamente
1
y
pelo
controle de variáveis “secundárias”
c (geralmente denominadas
2
y
) (Skogestad e
Postlethwaite, 1996). Mais precisamente:
Controle indireto ocorre quando se quer manter (indiretamente) as
variáveis
1
y
perto de seus “set points”
1s
y
, pelo controle de variáveis
secundárias c em “set points” constantes
s
c .
O controle perfeito indireto insere-se na etapa 5 da Tabela 1.1, onde o
objetivo é selecionar variáveis controladas secundárias (
2
y
)
Nota em relação ao uso dos termos variáveis controladas “primárias” e
“secundárias”: O uso destes termos é relativo e depende de qual camada se está na
hierarquia de controle. Quando visto a partir do topo do sistema de controle, o
objetivo pode ser controlar as saídas primárias
1
y
e, assim, as variáveis
controladas selecionadas
2
=
y
c (as quais são o foco deste capítulo) são as saídas
“secundárias”. Porém, para se controlar c usam-se geralmente, como variáveis
manipuladas, os “set points” de um sistema de controle de nível mais baixo e,
visto dessa forma, as variáveis c são as saídas primárias e as variáveis
controladas no nível inferior são as saídas secundárias.
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
23
Controle indireto é discutido com mais detalhes em Skogestad e
Postlethwaite (1996) [páginas 406-407, 422-423]. Um exemplo simples de
controle indireto é o controle da temperatura (
c
) numa coluna de destilação de
forma a se conseguir, indiretamente, o controle da composição (
1
y
).
Um exemplo menos óbvio de controle indireto é a seleção de
configurações de controle em colunas de destilação. O objetivo aqui é reduzir o
efeito dos distúrbios nas saídas primárias (composições do produto) mantendo-se
constante as vazões e/ou razões entre vazões. Por exemplo, na configuração LV os
níveis do condensador e do refervedor são controlados de tal forma que as vazões
L (vazão de refluxo) e V (vazão de vapor) são deixadas como variáveis livres
para a camada de controle acima. Porém, mantê-las constantes (selecionando L e
V como c ) resulta em um controle ruim das composições do produto (
1
y
)
quando há distúrbios nas vazões. Ao invés disso pode-se usar a configuração
(L/D)(V/B). Neste caso, manter /LD e /VB constantes resulta em bom controle
de
1
y
quando há distúrbio nas vazões, mas não resulta em um bom controle
quando há variações na composição da alimentação (por exemplo, Skogestad et
al. (1990)). Para melhorar neste ponto, Häggblöm e Waller (1990) propuseram a
configuração DRD (rejeição de distúrbio e desacoplamento), o qual motivou
parcialmente os resultados apresentados abaixo.
Denota-se, neste capítulo, o conjunto
y
como as variáveis candidatas para
controle indireto. Referir-se-á o conjunto todo de
y
como sendo as “medidas”,
mas note que se inclui, neste conjunto, as variáveis manipuladas originais
(entradas) (por exemplo,
L
, V ,
D
e
B
para uma coluna de destilação). Neste
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
24
trabalho o objetivo é selecionar, como variáveis controladas “secundárias” (
c
), a
“melhor” combinação linear das variáveis medidas
y
:
∆
=∆cH
y
Em outras palavras, quer-se encontrar a matriz H . No caso mais simples,
medidas individuais
y
são selecionadas como sendo as variáveis controladas
“secundárias” c e a matriz H consiste de zeros e uns. Porém, geralmente
permitem-se combinações (funções) das medidas disponíveis
y
e, assim, H se
torna uma matriz “cheia”. Neste trabalho é mostrado que, caso se tenha tantas
medidas independentes entre si quanto são as variáveis independentes (entradas
mais distúrbios) pode-se, então, sempre obter “controle perfeito indireto” com
rejeição perfeita do distúrbio e uma resposta desacoplada dos “set points”
s
c (as
“novas” entradas) para as variáveis primárias
1
y
.
O controle indireto pode ser visto como um caso especial de “controle
auto-otimizante” (“self-optimizing control”, Halvorsen et al. 2003). Isto se torna
claro a partir da definição:
Controle auto-otimizante (Skogestad, 2000) é quando se pode
atingir uma perda máxima (econômica) aceitável com valores de “set
point” constantes para as variáveis controladas
c
(sem a necessidade
de se re-otimizar a planta quando ocorrem distúrbios).
Na maioria dos casos, a “perda” é uma perda econômica, mas para
controle indireto é o desvio do “set point”, isto é
p
11s
L =−
yy
. As implicações
de se ver o controle indireto como um caso especial de controle auto-otimizante
são discutidas mais adiante neste capítulo.
(2.1)
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
25
Uma outra idéia relacionada é o controle inferencial (Weber e Brosilow,
1972). Porém, em controle inferencial a idéia básica é usar as medidas
y
para
estimar as variáveis primárias
1
y
, enquanto que o objetivo do controle indireto é
controlar diretamente uma combinação das medidas
y
.
2.2. CONFIGURAÇÃO DRD (HÄGGBLÖM E WALLER, 1990)
Häggblöm e Waller (1990) apresentaram o DRD (“disturbance rejection
and decoupling”) com o objetivo de obter uma estrutura de controle com rejeição
perfeita do distúrbio e desacoplamento. Para isso eles usaram transformações do
modelo do processo de forma a converter uma estrutura de controle em outra. A
metodologia apresentada por eles é bem complexa e de difícil compreensão. Além
disso, o resultado obtido é restrito à coluna de destilação.
Eles partiram do seguinte modelo em estado estacionário:
LV LV LV LV
yL yV yF yz
LV LV LV LV
xL xV xF xz
yLF
KK KK
x
Vz
KK KK
∆ ∆ ∆
=+
∆∆ ∆
LV LV LV LV
DL DV DF Dz
LV LV
LV LV
BL BV
BF Bz
DLF
KK
KK
B
Vz
KK KK
∆ ∆ ∆
=+
∆∆∆
onde as variáveis K representam os ganhos em estado estacionário.Eles
mostraram que este modelo, para a estrutura de controle LV , pode ser
transformado em modelos de outras estruturas de controle. Como exemplo foi
mostrado que a estrutura DV pode ser obtida a partir da estrutura
L
V da seguinte
forma:
(2.2)
(2.3)
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
26
LV
LV
yL
LV LV
DV
yV yL
LV LV
DV DV
DL DL
yD yV
DV DV
LV LV
xD xV
LV LV
xL DV
xV xL
LV LV
DL DL
K
K
KK
KK
KK
KK
KK
KK
KK
−
=
−
LV LV
LV LV LV LV
DF Dz
yF yL yz yL
LV LV
DV DV
DL DL
yF yz
DV DV
LV LV
xF xz LV LV LV LV
DF Dz
xF xL xz xL
LV LV
DL DL
KK
KK KK
KK
KK
KK
KK
KK KK
KK
−−
=
−−
Para derivar a fórmula geral para a transformação entre estruturas, as
Equações (2.2) e (2.3) podem ser escritas de forma compacta como:
∆
=
∆+ ∆
∆
yu yw
vu vw
KK
y
uw
KK
v
onde
[
]
T
yx=y ,
[
]
T
DB=v ,
[
]
T
LV=u e
[
]
T
Fz=w .
Considerando-se a seguinte transformação linear:
υυυ
µµµ
ω
υ
µ
ω
∆∆
∆= ∆
∆∆
vuw
vuw
w
HHH v
HHH u
00H w
Esta transformação produz o seguinte modelo:
µ
ω
υµ
υω
µ
ω
υ
∆
=
∆+ ∆
∆
y
y
K
K
y
K
K
onde os ganhos são dados por:
()
1
µ
µµ
υµ
υυ
−
=+
+
y
yu
uvvu
wvvu
K
K
HHK
K
HHK
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
27
()
1
µ
ω
µ
µω
υµ
υω υ υ
−
=−+
+
y
yyw
wvvw w
wvvw
K
KK
HHKH
K
KHHK
De acordo com Häggblöm e Waller (1990), uma estrutura insensível a
distúrbios (no estado estacionário) deve ter:
0
ω
=
y
K
Além disso, seria interessante ter uma estrutura sem interações, isto é:
µ
=
y
KI
Inserindo a Equação (2.12) na parte superior da Equação (2.9) obtêm-se:
µµ
+
=
uvvuyu
HHKK
Combinando as Equações (2.11) e (2.12) com a parte superior da Equação
(2.10) obtêm-se:
µµ
+
=
wvvw
y
w
HHKK
Se
vw
K for invertível, então uma solução pode ser obtida para 0
µ
=
w
H .
Isto significa que os distúrbios não precisam ser medidos (Häggblöm e Waller,
1990). Assim, as Equações (2.13) e (2.14) resultam em:
1
µ
−
=
vywvw
HKK
1
µ
−
=−
uyuywvwvu
HKKKK
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
28
A Equação (2.7), com 0
µ
=
w
H , fornece a definição das novas variáveis
manipuladas primárias
µ
:
µµ
µ
∆
=∆+∆
uv
HuHv
As variáveis manipuladas secundárias
v não mudam.
Como a estrutura de controle originalmente descrita na Equação (2.7) é a
estrutura
L
V
,
[
]
LV=u . Estas variáveis podem ser calculadas a partir da
Equação (2.17):
(
)
1
µµ
µ
−
∆
=∆−∆
uv
uH H v
onde os valores de
µ
∆ são dados pelos controladores de composição e os valores
de
∆v
são medidos.
Maiores detalhes da formulação do DRD podem ser encontrados no
trabalho de Häggblöm e Waller (1990).
Como visto nesta seção, o desenvolvimento de Häggblöm e Waller (1990)
se mostra muito complicado e restritivo. Na próxima seção será apresentado um
desenvolvimento mais simples e generalizado para quaisquer processos químicos.
2.3. CONTROLE PERFEITO INDIRETO
Considere um problema regulatório onde o objetivo é manter as variáveis
controladas primárias
1
y
em seus “set points”
1s
y
. Tem-se também:
u - entradas (variáveis independentes disponíveis para controle de
1
y
)
(2.17)
(2.18)
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
29
d
- distúrbios (variáveis independentes que não podem ser controladas)
y
- medidas disponíveis
Definição do problema: Encontrar um conjunto de variáveis controladas
(secundárias)
()
=chy
tal que uma política de “set point” constante indiretamente
resulte, indiretamente, em controle aceitável das saídas primárias (
1
y
).
As seguintes suposições são feitas:
-
o número de variáveis controladas é igual ao número de entradas
(
##cu= ). Assim é sempre possível ajustar u para se obter
s
=cc.
-
considera-se ambiente local baseado em modelos lineares.
-
considera-se somente ambiente em estado estacionário.
-
despreza-se o erro de controle (incluindo ruído de medida), isto é, assume-
se que se possa atingir
s
=
cc.
-
assume-se também que o ponto de operação nominal (
**
,ud) seja ótimo,
isto é, no ponto nominal (onde
*
=
dd e
s
=
cc) tem-se
*
11s
=
yy
.
Os modelos lineares relacionando estas variáveis são:
yy y
d
∆
∆= ∆+ ∆=
∆
u
yGuGdG
d
11 d1 1
∆
∆= ∆+ ∆=
∆
u
yGuGdG
d
d
∆
∆= ∆+ ∆=
∆
u
cGuGdG
d
(2.19)
(2.20)
(2.21)
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
30
onde
*
∆= −uuu, etc. A partir da Equação (2.21) obtém-se as entradas
∆
u
necessárias para se obter uma dada variação em
∆
c:
11
d
−−
∆
=∆− ∆uG cGGd
A substituição da Equação (2.22) em (2.20) produz a variação
correspondente nas variáveis primárias:
(
)
c
d
11
11 d11 d
−−
∆= ∆+ − ∆
P
P
y
GG c G GG G d
O ”ganho parcial do distúrbio”
d
P fornece o efeito dos distúrbios em
1
y
com controle (“parcial”) em malha fechada das variáveis
c , enquanto que
c
P
fornece o efeito em
1
y
das variações em c (por exemplo, devido a variações do
“setpoint” em
s
c ).
Idealmente, se quer encontrar um conjunto de variáveis controladas
∆= ∆cH
y
tais que
d
0=P . Isto é sempre possível desde que se tenha um número
suficiente de medidas
y
e que se tenha graus de liberdade adicionais, os quais
podem ser usados, por exemplo, para se especificar
c
P . Por exemplo, pode ser
desejável que se tenha
c
=
PI, porque isto fornece (pelo menos em estado
estacionário) uma resposta desacoplada de
s
c (as quais são as ”novas entradas”)
para as variáveis controladas primárias
1
y
(isto é equivalente a se impor
µ
=
y
KI,
ver Equação 2.12).
“Controle perfeito indireto” (redefinição do problema): Encontrar uma
combinação linear das medidas,
∆
=∆cH
y
, tal que, em estado estacionário, se
(2.22)
(2.23)
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
31
tenha rejeição perfeita do distúrbio (
d
0
=
P ) e uma resposta especificada a
variações no ”set point” (isto é
cc0
=
PP, onde
c0
P é uma matriz dada).
Fazem-se as seguintes suposições adicionais:
1.
o número de variáveis controladas secundárias (independentes) é igual ao
número de variáveis primárias (
1
##cy
=
), tal que
c0
P seja invertível.
2.
o número de medidas (independentes) é igual ao número de entradas mais
distúrbios (
###yud=+), tal que a matriz
y
G
seja invertível.
Para resolver este problema tem-se que:
y
=GHG
e
y
dd
=GHG
Procura-se por uma matriz
H tal que
d
0
=
P . Esta equação tem,
geralmente, um número infinito de soluções em
H . Tem-se, porém, graus de
liberdade adicionais que podem ser usados para se especificar
c
P . Isto nos fornece
uma restrição adicional
1
1c0
−
=GG P , ou equivalentemente:
y-1
c0 1
==GHG PG
Como
d
0=P , tem-se que
d1 c0 d
−
=GPG0, ou equivalentemente:
y-1
ddc0d1
==GHGPG
A combinação das Equações (2.25) e (2.26) resulta em:
y-1
c0 1
=HG P G
onde
(2.24)
(2.25)
(2.26)
(2.27)
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
32
[
]
11d1
=GGG
,
yyy
d
=
GGG
1
G
e
y
G
representam os efeitos combinados de u e d nas saídas primárias
1
y
e
nas medidas
y
, respectivamente. Por suposição, tem-se tantas medidas
independentes quantas são as entradas e os distúrbios, assim
y
G
é invertível.
Resolvendo-se a Equação (2.27) tem-se a seguinte escolha ótima única para
H
que resulta em
d
0=P :
-1
-1 y
c0 1
=HPGG
a qual é a solução do problema redefinido.
Além disso, pode-se especificar
dd0
=
PP (onde
d0
P é dado e pode ser não-
zero) e a escolha resultante para
H se torna:
-1
-1 y
c0 1
ˆ
=
HPGG
onde
[
]
1 1 d1 d0
ˆ
=−
GGGP
2.4. APLICAÇÃO EM COLUNA DE DESTILAÇÃO
2.4.1. Coluna de destilação com vazões mássicas
Os resultados de Häggblöm e Waller (1990), ver seção 2.2, provêem um
interessante caso especial dos resultados da seção 2.3 e motivaram a sua
(2.28)
(2.29)
(2.30)
(2.31)
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
33
derivação. Häggblöm e Waller (1990) mostraram que se pode derivar uma
configuração de controle DRD que atinja:
1. rejeição perfeita do distúrbio com as novas malhas fechadas (isto é,
d
0=P );
2. resposta desacoplada das novas variáveis manipuladas para as saídas
primárias (isto é,
c
=PI).
Häggblöm e Waller (1990) derivaram isto para modelos de coluna de
destilação e não tentaram generalizar seus resultados. Porém, pode-se mostrar que
seus resultados são um caso especial dos resultados apresentados na seção 2.3
com a seguinte escolha de variáveis:
D
1
B
y
x
=
y
,
L
V
D
B
=
y ,
L
V
=
u ,
F
F
z
=
d
Comentários:
1. As saídas primárias
1
y
são as composições dos produtos (produtos de
fundo e topo);
2. As variáveis medidas são
0
=
y
u , onde
[
]
T
LV DB=
0
u (vazões) são
as entradas manipuladas originais da coluna de destilação;
3. As entradas
u (um subconjunto de
0
u ) são as duas entradas
remanescentes após satisfazer as restrições do estado estacionário de
B
M
e
D
M
constantes (os níveis do refervedor e do condensador não têm efeito no estado
estacionário). Na Equação (2.32) selecionou-se
[
]
T
LV=u
, mas não importa
(2.32)
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
34
quais são as duas variáveis escolhidas para incluir em
u
, pois as matrizes
resultantes são bem-definidas;
4. Os distúrbios são a vazão e a composição da alimentação.
Note que na Equação (2.32) são permitidas somente vazões como medidas,
0
=
y
u . Isto implica que se quer atingir controle indireto mantendo constantes as
combinações das vazões. Isto requer, implicitamente, que a composição da
alimentação
F
z tenha um efeito em, no mínimo, uma das vazões. Isto é
geralmente satisfeito na prática nos casos em que
0
u represente vazões mássicas
ou volumétricas, mas isto não é satisfeito no caso “acadêmico” em que se usa a
suposição de vazões molares constantes (balanço de energia simplificado) e se
assume que seja possível manipular vazões molares
1
.
Com a escolha de variáveis da Equação (2.32), a combinação de variáveis
∆= ∆cH
y
(combinações das medidas) torna-se:
111 12 13 14
221 22 23 24
chLhVhDhB
chLhVhDhB
∆= ∆+ ∆+ ∆+ ∆
∆= ∆+ ∆+ ∆+ ∆
e a matriz
H
obtida a partir da Equação (2.29) é idêntica àquela da configuração
DRD em Häggblöm e Waller (1990). Como um exemplo específico, considere o
modelo de uma planta piloto de uma coluna de destilação etanol/água de 15 pratos
estudada por Häggblöm e Waller (1990). O modelo em estado estacionário para a
estrutura LV (com
[
]
T
LV=u
) é:
1
A composição da alimentação não afeta as vazões no caso acadêmico comum com “vazões
molares constantes” e o uso de vazões molares como entradas (
0
u ). Aqui a suposição de “vazões
molares constantes” (balanço de energia simplificado) é razoável em muitos casos, mas a
suposição de “variáveis de entrada molares” é irrealista porque não se pode, na prática, medir
vazões molares.
(2.33)
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
35
D
1d1
BF
yF
L
x
z
V
∆∆
∆
=+
∆∆
∆
GG
yy
d
F
L
F
VL
z
DV
B
∆
∆
∆∆
== +
∆
∆∆
∆
yGG
Para se comparar as duas metodologias utilizou-se as mesmas matrizes de
ganho encontradas no trabalho de Häggblöm e Waller (1990), representadas pelas
Equações (2.36) e (2.37):
1
.045 0.048
0.23 0.55
−
=
−
G
d1
0.001 0.004
0.16 0.65
−
=
−−
G
y
10
01
0.61 1.35
0.61 1.35
=
−
−
G
y
d
00
00
0.056 1.08
0.944 1.08
=
−
G
A partir da Equação (2.12) deriva-se a seguinte combinação de variáveis
que resulta em rejeição perfeita dos distúrbios com desacoplamento (DRD):
0.0427 0.0430 0.0025 0.0012
0.5971 1.3625 0.7281 0.1263
−−
=
−−−
H
a qual é idêntica à estrutura DRD encontrada em Häggblöm e Waller (1990).
Nota-se que esta derivação é muito mais simples. Em adição, os resultados
apresentados generalizam os de Häggblöm e Waller (1990) em duas formas:
(2.34)
(2.35)
(2.36)
(2.37)
(2.38)
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
36
1. Os resultados são generalizados para outras medidas além da escolha
0
=
y
u . Por exemplo, é possível derivar uma configuração DRD baseada em se
manter constante duas combinações de quatro temperaturas medidas;
2. Os resultados são generalizados para outros processos além de destilação.
2.4.2. Coluna de destilação com vazões molares
A metodologia foi também aplicada a uma coluna de destilação com 82
estados (41 composições e 41 níveis). O processo possui também 4 variáveis
manipuladas (vazão de refluxo (
L ), vazão de vapor (
V
), vazão de destilado ( D )
e vazão de produto de fundo (
B
)). Além disso, considera-se que tenhamos dois
distúrbios (vazão de alimentação (
F
) e fração de líquido na alimentação (
F
q )).
Como as vazões utilizadas neste exemplo são molares, a composição de
alimentação não foi utilizada como distúrbio, visto que esta não afeta os níveis
molares (ver nota 1 da página 34). As Equações (2.39) a (2.52) apresentam o
modelo da coluna de destilação utilizado nesta seção.
Modelo da coluna de destilação
-
Refervedor ( 1i = )
B
2
d
d
M
LVB
t
=
−−
()( )
B
B22BBB
d
d
x
M
Lx x Vx y
t
=−+−
-
Seção de esgotamento (
f
21in
=
−… )
(2.39)
(2.40)
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
37
11
d
d
i
iiii
M
LLVV
t
+−
=
−+ −
()()()
11 11
d
d
i
iiiiiiiiii
x
M
Lx xVy xVxy
t
++ −−
=−+−+−
-
Prato de alimentação (
f
in
=
)
f
ffff
11
d
d
n
nnnn
M
LLVVF
t
+−
=
−+ −+
()()()()
f
ffffffffff f
11 11 F
d
d
n
nnnnnnnnnn n
x
M
Lx xVy xVxy Fzx
t
++ −−
=−+−+−+−
-
Seção de retificação (
fs
11in n
=
+−… )
11
d
d
i
iiii
M
LLVV
t
+−
=
−+ −
()()()
11 11
d
d
i
iiiiiiiiii
x
M
Lx xVy xVxy
t
++ −−
=−+−+−
-
Condensador (
s
in= )
s
D
1T
d
d
n
M
VLD
t
−
=
−−
()
ss
D
D11D
d
d
nn
x
M
Vy x
t
−−
=−
- Equilíbrio líquido-vapor (VLE)
()
11
i
i
i
x
y
x
α
α
=
+−
-
Hidráulica de pratos
(2.41)
(2.42)
(2.43)
(2.44)
(2.45)
(2.46)
(2.47)
(2.48)
(2.49)
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
38
()
1
0
010
i
ii
i
ii
MM
LL V V
λ
β
−
−
−
=+ + −
onde
0
i
L e
0
i
M
são os valores nominais para a vazão de líquido e para o “hold
up” no estágio
i .
Como neste trabalho trabalhar-se-á com vazões molares constantes e sem
dinâmica de vapor, então as seguintes expressões para as vazões de vapor são
válidas:
Para
()
21
f
in
=
−… e
(
)
1
f
s
in n=+…
1ii
VV
−
=
Para
f
in
=
(prato de alimentação)
(
)
ff
1F
1
nn
VV F q
−
=+−
A Tabela 2.1 apresenta os valores dos parâmetros utilizados e a condição
do estado estacionário da coluna de destilação.
(2.50)
(2.51)
(2.52)
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
39
Tabela 2.1. Valores dos parâmetros e condição do estado estacionário para a
coluna de destilação.
Coluna de destilação
Vazão de alimentação da coluna (
F
) 1,0 Kmol/h
Composição da alimentação da coluna (
F
z )
0,5 Kmol/Kmol
Fração de líquido da alimentação (
F
q )
1,0 Kmol/Kmol
Vazão do refluxo (
T
L )
2,7 Kmol/h
Vazão do produto de fundo (
B
) 0,5 Kmol/h
Vazão de vapor (V )
3,2 Kmol/h
Vazão do destilado ( D ) 0,5 Kmol/h
Composição do destilado (
D
x
)
0,99 Kmol/Kmol
Composição do fundo (
B
x
)
0,01 Kmol/Kmol
Número de estágios (
s
n )
41
Estágio de alimentação (
f
n )
21
Volatilidade relativa (
α
)
1,5
Constante de tempo hidráulica (
β
)
0,063 h
Volume do refervedor (
B
M
)
0,5 Kmol
Volume do tanque de refluxo (
D
M
)
0,5 Kmol
Volume de líquido em cada prato (
i
M
)
0,5 Kmol
A planta é estabilizada pelo controle dos níveis da base (
B
M
) e do topo
(
D
M
) da coluna utilizando-se, respectivamente, as manipuladas
B
e D .
Consideramos que temos, as composições de topo e de fundo (
D
y e
B
x
,
respectivamente) como sendo as variáveis primárias. As variáveis medidas são as
vazões
L , V , D e
B
. Assim, queremos encontrar combinações lineares das
variáveis medidas de forma a rejeitar perfeitamente o efeito do distúrbio nas
variáveis primárias. Considerou-se também que a matriz P
c0
seja igual à matriz
identidade.
O modelo linear em estado estacionário do processo é dado por:
1
D
1d1
BF
yF
L
x
q
V
∆
∆
∆
∆∆
∆
=+
∆∆
∆
u
d
y
GG
(2.53)
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
40
yy
d
F
L
F
VL
q
DV
B
∆
∆
∆
∆
∆
∆∆
=+
∆
∆∆
∆
u
d
y
GG
onde:
1
87.4275 86.0648
108.5777 109.9454
−
=
−
G
d1
7.8669 8.6654
11.7322 10.9353
=
G
y
10
01
=
-1 1
11
−
G
y
d
00
00
=
00.1
0.2 0.1
−
G
Como resultado obteve-se a seguinte combinação de variáveis:
1
2
0.7738 0.5889 47.3191 39.3346
0.7755 0.5923 50.6923 58.6609
L
c
V
c
D
B
∆
∆
−∆
=
∆
−−− ∆
∆
Após obter a combinação de variáveis, comparou-se esta nova
configuração de controle com algumas configurações muito comuns em
destilação: LV, LB e DV. Aqui, considera-se que uma configuração é LV quando
se utilizam as variáveis manipuladas
D
e
B
para controlar os níveis do topo e do
fundo da coluna deixando, assim, as manipuladas
L e V como graus de liberdade
disponíveis, ou seja,
L e V são mantidas constantes. No caso da configuração
LB, utilizada-se
D e
V
para controle de nível e, no caso DV, utiliza-se L e
B
.
(2.54)
(2.55)
(2.56)
(
2.57
)
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
41
Cabe ressaltar que, nas simulações que são apresentadas na Figura 2.1,
fechou-se somente as malhas correspondentes aos níveis
B
M
e
D
M
restando,
assim, 2 graus de liberdade.
No caso da combinação de variáveis, as vazões são manipuladas de forma
a manter as novas variáveis
c
1
e c
2
(ver Equação (2.57)) constantes. Neste caso não
há perda de graus de liberdade visto que os valores dos “setpoints” de
c
1
e c
2
podem ser utilizados como variáveis manipuladas.
A Figura 2.1 apresenta simulações, utilizando-se um modelo não-linear,
comparando as 4 configurações de controle apresentadas. Aqui foi aplicada uma
variação degrau (+10%) na vazão de alimentação
F . Como pode ser visto, a
combinação de variáveis resulta, como esperado, em uma perfeita rejeição do
efeito do distúrbio nas variáveis primárias
B
x
e
D
y , apesar delas não serem
diretamente controladas. Cabe ressaltar que as curvas LV e DV estão sobrepostas.
0 200 400 600 800 1000
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
x
B
tempo (min)
Combinação de variáveis
Configuração LV
Configuração LB
Configuração DV
(a)
0 200 400 600 800 1000
0.92
0.94
0.96
0.98
1.00
y
D
tempo (min)
Combinação de variáveis
Configuração LV
Configuração LB
Configuração DV
(b)
Figura 2.1. Comparação dinâmica, utilizando-se um modelo não-linear, de várias
configurações de controle.
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
42
2.5. DISCUSSÃO 1: ERRO DE MODELAGEM
Um ponto importante a ser discutido é o efeito do erro de modelagem no
controle perfeito indireto. Havendo erro de modelagem, temos que o modelo real
difere do modelo fornecido pelas Equações (2.19) e (2.20):
(
)
(
)
yy yy
dd
∆ = +∆ ∆ + +∆ ∆
y
GGuGGd
(
)
(
)
11 1 d1 d1
∆ = +∆ ∆ + +∆ ∆
y
GGuG Gd
Considerando-se que se calcule as manipuladas
∆
u de acordo com a
Equação (2.22) e substituindo-a na Equação (2.58), tem-se que o efeito dos
distúrbios nas variáveis controladas primárias (em malha fechada) é:
()
(
)
(
)
11
11 1 d1 d1 1 1 d
−−
∆ = +∆ ∆ + +∆ − +∆ ∆
y
GGGcG G GGGGd
Como foi visto anteriormente, quando se tem controle perfeito indireto,
1
=GG e
dd1
=
GG. Assim, tem-se que:
()
11
111 d111d1
−−
∆=+∆ ∆+∆ −∆ ∆
y
IGG c G GGG d
A Equação (2.61) nos mostra o efeito do erro de modelagem nas saídas
controladas
1
y
.
(2.58)
(2.59)
(2.60)
(2.61)
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
43
2.6. DISCUSSÃO 2: MEDIDAS EXTRAS E ERRO DE
IMPLEMENTAÇÃO (RUÍDO)
Na seção (2.4) assumiu-se que o número de medidas era igual ao número
de variáveis independentes (
###
=
+
y
ud
) e a Equação (2.19) desprezava os
efeitos do erro de medida (ruído) e do erro de controle assumindo que se pode
atingir controle perfeito de
c (com
s
=
cc). Na prática, haverá um erro de
implementação
c
s
=−ncc, o qual resultará numa variação correspondente
()
1c s
∆= −
y
Pcc nas variáveis controladas primárias. Caso se assuma que se tenha
ação integral no controlador usado para o controle de
c , então o erro de
implementação (
c
n diferente de zero) deve ser causado pelo erro de medida. O
efeito de um erro de medida
y
n nas variáveis medidas
y
sobre as variáveis
controladas
c
é
cy
=nHn e o efeito resultante nas variáveis primárias é:
y
1c
∆=
y
PHn
A partir da Equação (2.62) tem-se que o efeito do erro de medida é
pequeno caso a norma da matrix
c
PH seja pequena.
Caso se tenha medidas extras, então pode-se usá-las para reduzir
c
PH e,
assim, minimizar o efeito do erro de medida. Isto pode ser feito de duas formas,
como discutidas abaixo:
a)
selecionar o melhor subconjunto de todas as medidas
b)
selecionar a melhor combinação de todas as medidas
(2.62)
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
44
2.6.1. Melhor subconjunto das medidas
Este é o caso discutido anteriormente onde se usa tantas medidas quantas
são as entradas e os distúrbios ( # # #
=
+
y
ud). A matriz
y
G
é então invertível e a
partir da Equação (2.29) tem-se para ”controle perfeito indireto” que:
-1
y
c1
=PH GG
Primeiro, nota-se que a escolha de
c
P não afeta a sensibilidade do erro de
medida
-1
y
1
GG
, isto é, o ”grau de liberdade” na seleção de
c
P não é útil em
termos do erro de medida. Note também que a escolha das medidas
y
não
influencia a matriz
1
G
. Porém, a escolha das medidas
y
afeta a matriz
y
G
e, caso
se tenha medidas extras, então deve-se selecioná-las tais que o efeito do ruído de
medida seja minimizado, isto é, tal que
-1
y
1
GG
seja minimizado. Para se escolher
as melhores medidas precisa-se primeiro escalonar as variáveis medidas. Assim,
considera-se que cada variável medida
y
seja escalonada de tal forma que seu
erro de medida associado
y
n seja de magnitude 1.
Como a norma-2 induzida ou máximo valor singular de uma matriz,
σ
,
provê o pior caso de amplificação em termos da norma-2, tem-se a partir das
Equações (2.62) e (2.63) que:
()
(
)
(
)
(
) ()
-1 -1
y
2
yy y
11 1 1
2
1
max /
σσσσσ
≤
∆= ≤ =
n
y
GG G G G G
Isto tem as seguintes implicações:
(2.63)
(2.64)
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
45
1. (Ótimo) Para minimizar o valor do pior caso de
1
2
∆
y
para todos
y
2
1
≤
n ,
selecionar medidas tais que
(
)
-1
y
1
σ
GG
seja minimizado.
2. (Sub-ótimo) Lembrar que a seleção da medida não afeta
1
G
. A partir da
inequalidade na Equação (2.64) segue que o efeito do erro de medida
y
n será
pequeno quando
()
y
σ
G
(o mínimo valor singular de
y
G
) é grande. Por isso, é
razoável selecionar medidas
y
tais que
(
)
y
σ
G
seja maximizado. Aqui
y
G
representa o efeito de
u e d em
y
.
2.6.2. Melhor combinação de todas as medidas
Deixe
y
all
G
representar o efeito das variáveis independentes em todas as
medidas disponíveis. Uma derivação similar à Equação (2.29) fornece ”controle
perfeito indireto” quando:
y-1
all c0 1
=HG P G
Porém, tem-se agora # # #
>+
y
ud e a Equação (2.65) tem um número
infinito de soluções para
H
. Quer-se encontrar a solução que minimize o efeito
do ruído de medida na saídas primárias
1
y
. A solução que minimiza a norma-2 de
1
y
é aquela com a menor norma-2 de
c
PH. Com
c
=
PI (desacoplamento) isto é
obtido a partir da Equação (2.65) pelo uso da pseudo-inversa:
†
-1 y
c0 1 all
=HPGG
Com esta escolha, o efeito do ruído de medida é:
(2.65)
(2.66)
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
46
†
y
c1all
=PH GG
2.7. RELAÇÃO COM TRABALHOS ANTERIORES
2.7.1. Controle inferencial
Caso se escolha
c0
=
PI, então encontra-se que a Equação (2.29) é a
mesma que o estimador inferencial estático de Brosilow (veja a Equação (2.4) em
Weber e Brosilow (1972)). Para se ver mais claramente a ligação, lembre que a
idéia em controle inferencial é, primeiramente, inferir, a partir das medidas
∆
y
,
as entradas e distúrbios e, a partir desta estimativa, as saídas primárias. A partir da
Equação (2.19) a entrada e o distúrbio inferidos são:
-1
y
∆
=
∆
∆
u
G
y
d
e, a partir da Equação (2.20), o valor estimado resultante da saída primária é:
-1
y
11
∆
=∆
y
GG
y
Por outro lado, em controle indireto, a idéia é controlar uma combinação
de medidas e, a partir da Equação (2.29) com
c
=
PI (isto é, quer-se
1
∆=∆
y
c ), a
combinação de medidas resultante é:
-1
y
1
∆
=∆= ∆cH
y
GG
y
(2.67)
(2.68)
(2.69)
(2.70)
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
47
o qual é idêntico à saída primária estimada encontrada com controle inferencial. A
vantagem com a derivação neste trabalho é que este provê uma ligação com
configurações de controle, controle regulatório, controle em cascata, controle
indireto e controle auto-otimizante e, também, provê a generalização da Equação
(2.30).
2.7.2. Controle auto-otimizante
Os resultados deste trabalho em controle perfeito indireto provêem uma
generalização dos resultados de Häggblöm e Waller (1990) mas são um caso
especial do trabalho de Alstad e Skogestad (2002) em controle auto-otimizante
com rejeição perfeita do distúrbio (Alstad e Skogestad, 2002). Para se ver esta
ligação deve-se escrever a função-custo como:
()()
T
11s 11s
1
2
Jyyyy=− −
A diferenciação resulta em:
()
T
u1 d1 1
J =∆+∆GuG dG
T
uu 1 1
J = GG
T
ud 1 d1
J = GG
E pode-se calcular a matriz
M
no método exato de Alstad e Skogestad
(2002) e procurar pela combinação ótima das medidas. Encontra-se que:
(2.71)
(2.72)
(2.73)
(2.74)
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
48
-
d
0=P (controle perfeito com sensitividade zero para distúrbios) implica
d
0=M (perda zero para distúrbios). Para provar isto basta pré-multiplicar
d
P por
†
1
G e note que
†
1
=
1
GG I desde que
†
1
G é uma inversa-esquerda.
- Porém, a não ser que
1
##
≤
y
u , não se tem
†
11
=
GG I
, assim
d
0
=
M
(perda zero) não implica geralmente
d
0
=
P (controle perfeito). Isto é facilmente
explicado: Pode-se somente controlar perfeitamente tantas saídas (
1
y
) quantas
forem as entradas independentes (
u ).
2.8. CONCLUSÕES
Controle indireto é comumente usado em aplicações industriais onde as
variáveis controladas primárias não são medidas. Neste trabalho considerou-se o
caso do controle perfeito indireto onde se objetiva controlar uma combinação das
medidas disponíveis tais que não haja efeito dos distúrbios em estado estacionário.
Isto é sempre possível desde que o número de medidas seja igual ao número de
variáveis independentes (entradas mais distúrbios). É mostrado também como
medidas extras podem ser usadas para minimizar o efeito do ruído de medida.
Este trabalho generaliza o trabalho de Häggblöm e Waller (1990), mas é um caso
especial do trabalho de Halvorsen et al. (2003) e Alstad e Skogestad (2002) em
controle auto-otimizante.
O resultado apresentado mostra que é possível se obter uma rejeição
perfeita dos distúrbios utilizando-se uma combinação de variáveis medidas em
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
49
controle indireto. Porém deve-se lembrar que este método é muito sensível ao erro
de modelagem.
A vantagem de controle indireto é se poder controlar variáveis difíceis de
serem medidas pelo controle de outras mais fáceis de se medir, como
temperaturas, pressões e vazões.
A metodologia apresentada pode ser aplicada a outros processos, não se
restringindo a colunas de destilação.
2.9. NOMENCLATURA
B
vazão de produto de fundo
c variáveis secundárias
s
c “set point” das variáveis secundárias
D vazão de destilado
d distúrbios
F vazão da alimentação
G matrizes de ganho
H
matriz de combinação linear das variáveis medidas
I
matriz identidade
J função-custo
L vazão de refluxo
p
L perda econômica
B
M
Nível do fundo da coluna
D
M
Nível do topo da coluna
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
50
c
n erro de implementação
c
P ganho parcial das variáveis secundárias
d
P ganho parcial do distúrbio
F
q fração de líquido na alimentação
u
variáveis manipuladas
V vazão de vapor
B
x
composição do produto de fundo
y
variáveis medidas
1
y
variáveis controladas primárias
1s
y
“set point” das variáveis controladas primárias
2
y
variáveis controladas secundárias
D
y composição do destilado
F
z composição da alimentação
Letras gregas
∆ variação
σ
máximo valor singular
2.10. BIBLIOGRAFIA
ALSTAD, V.; SKOGESTAD, S. Robust operation by controlling the right
variable combination. AIChE Annual Meeting, Indianapolis, USA, 2002.
Cap. 2. Controle Perfeito Indireto
51
HÄGGBLÖM, K. E.; WALLER, K. V. Control structures for disturbance
rejection and decoupling in distillation. Aiche Journal
, v. 36, n. 7, p. 1107-
1113, 1990.
HALVORSEN, I. J.; SKOGESTAD, S.; MORUD, J. C.; ALSTAD, V. Optimal
selection of controlled variables. Industrial and Engineering Chemistry
Research, v. 42, n. 14, p. 3273-3284, 2003.
SKOGESTAD, S. Plantwide control: the search for the self-optimizing control
structure. Journal of Process Control
, v. 10, p.487-507, 2000.
SKOGESTAD, S.; POSTLETHWAITE, I.
Multivariable Feedback Control. John
Wiley and Sons, 1996.
SKOGESTAD, S; LUNDSTRÖM, P.; JACOBSEN, E. W. Selecting the best
distillation control configuration. Aiche Journal
, v. 36, n. 05, p.753-764,
1990.
WEBER, R.; BROSILOW, C. The use of secondary measurements to improve
control. Aiche Journal
, p. 614-623, 1972.
Capítulo 3
Minimização dos Desvios dos Estados
Este capítulo é uma versão estendida do seguinte trabalho:
HORI, E. S.; SKOGESTAD, S.; KWONG, W. H. Minimization of state
deviations using perfect indirect control. In: Anais do XV Congresso
Brasileiro de Engenharia Química, 2004.
Cap. 3. Minimização dos Desvios dos Estados
53
RESUMO
Um assunto importante na seleção de estruturas de controle é a
“estabilização” da planta. No termo “estabilizar” são incluídos os modos que são
matematicamente instáveis (modos com pólos no semiplano direito) assim como
modos que se desviam muito de seu valor desejado. Assim, os estados
x
são
incluídos como variáveis que deveriam ser “estabilizadas”, isto é, quer-se evitar
que eles se desviem muito de seus valores desejados (nominais). Uma vantagem
desta metodologia é ser capaz de evitar problemas resultantes de efeitos não-
lineares. Além disso, como a função-objetivo pode, geralmente, ser considerada
como uma combinação dos estados, o sistema de controle obtido por este método
não é ligado demais a um particular objetivo de controle primário (o qual pode
mudar com o tempo) porque este permite que o projetista mude o objetivo de
controle (função-objetivo). Este capítulo apresenta uma forma de reduzir os
efeitos dos distúrbios e dos erros de medida nos estados e os resultados mostram a
eficácia desta metodologia.
Cap. 3. Minimização dos Desvios dos Estados
54
ABSTRACT
An important issue in control structure selection is the plant
”stabilization”. By the term ”stabilize” we here include both modes that are
mathematically unstable (modes with RHP poles) as well as ”drifting” modes that
need to be kept within limits to avoid operational problems. By this definition, we
can include the states
x
as variables that should be ”stabilized”, i.e., we want to
avoid them to drift too far away from their desired (nominal) values. An
advantage of this approach is that we are able to avoid problems resulted from
nonlinear effects. Therefore, as the objective function can, usually, be considered
as a combination of the states, the control system obtained by this approach is not
tied too closely to a particular primary control objective (which may change with
time) because it allows the designer to change the control objective. This paper
presents a way to reduce the effects of disturbances and measurement errors in the
states and the results show the effectiveness of this approach.
Cap. 3. Minimização dos Desvios dos Estados
55
3.1. INTRODUÇÃO
Na camada de controle regulatório (etapa 5 da Tabela 1.1), o principal
objetivo é “estabilizar” a planta. Aqui se está usando a palavra estabilizar entre
aspas porque será usada com o mesmo significado apresentado por Skogestad
(2004): “estabilização” inclui modos que são matematicamente instáveis (modos
com pólos no semiplano direito) assim como modos que precisam ser mantidos
dentro de certos limites para se evitar problemas operacionais. Ao se fazer isto,
pode-se evitar problemas resultantes de, por exemplo, efeitos não-lineares.
Por esta definição, são incluídos os estados
x
como variáveis que
deveriam ser “estabilizadas”, isto é, quer-se evitar que eles se afastem demais de
seus valores desejados (nominais). Uma vantagem de se manter todos os estados
próximos de seus valores nominais é que se pode evitar problemas resultantes de
efeitos não-lineares.
Além disso, um ponto importante na seleção de estrutura de controle é a
escolha dos objetivos operacionais. De acordo com Skogestad (2004), esta é a
primeira etapa a ser feita. O problema é que os objetivos operacionais podem
mudar com o tempo, de acordo com as necessidades, por exemplo, mercado,
restrições de segurança, etc. Devido a estas mudanças, não é desejável que a
estrutura de controle seja dependente demais de um particular objetivo de controle
primário. Como, usualmente, a função objetivo pode ser considerada uma
combinação dos estados, uma boa aproximação seria definí-la (a função objetivo)
desta forma (
1
=
y
Wx). Esta aproximação tem a vantagem de permitir ao
Cap. 3. Minimização dos Desvios dos Estados
56
projetista do controlador mudar facilmente o objetivo de controle somente
mudando a combinação dos estados. Uma outra vantagem é que a minimização de
Wx
inclui tanto a estabilização de pólos no semiplano direito como a rejeição do
distúrbio.
Em resumo, a importância deste trabalho é discutir com mais detalhes o
procedimento introduzido por Skogestad (2004), de selecionar variáveis
controladas secundárias (
2
=
c
y
) tal que se minimiza o efeito dos distúrbios (d )
nos estados ponderados (
1
=
y
Wx).
3.2. CONTROLE PERFEITO INDIRETO
Nesta seção será feita uma derivação semelhante àquela apresentada no
Capítulo 2.
Considere que se tenha o seguinte modelo linear:
11 d1
∆
=∆+ ∆
y
GuG d
yyy
d
∆
=∆+∆+
y
GuGdn
onde
1
G ,
d1
G ,
y
G e
y
d
G são ganhos do modelo em estado estacionário
∆u - variáveis manipuladas
∆d - distúrbios
1
∆
y
- variáveis controladas primárias
∆
y
- medidas disponíveis
(3.1)
(3.2)
Cap. 3. Minimização dos Desvios dos Estados
57
y
n - ruído de medida
Por definição, controle indireto ocorre quando não se pode controlar as
saídas primárias (
1
y
) (por exemplo, porque não podem ser medidas ”online”) e,
ao invés, controla-se indiretamente
1
y
pelo controle de variáveis ”secundárias” c
(Skogestad e Postlethwaite, 1996). Está provado (Halvorsen et al., 2003) que se o
número de medidas (#
y
) for igual ou maior que a soma do número de entradas
(
#u
) e do número de distúrbios (
#d
), então pode-se obter uma combinação
destas medidas (
c ) que assegure um controle perfeito indireto das variáveis
controladas ”primárias” (neste caso
c é usado como variável controlada
”secundária”). Então tem-se:
c
d
yyy
d
∆= ∆= ∆+ ∆+
G
n
G
cH
y
HG u HG d Hn
onde a matriz
H representa a combinação das medidas.
Como a nova variável
c é usada como variável controlada secundária,
então pode-se resolver a Equação (3.3) com respeito a
∆
u :
-1 -1 -1 c
d
∆= ∆− ∆−uG cGGdGn
Na Equação (3.4) considera-se
∆
=c0 porque quer-se manter estas
variáveis constantes. Desta forma, a Equação (3.4) torna-se:
-1 c -1
d
∆
=− − ∆uGnGGd
Substituindo a Equação (3.5) na Equação (3.1) resulta em:
(3.3)
(3.4)
(3.5)
Cap. 3. Minimização dos Desvios dos Estados
58
(
)
c
d
11c
1d11d 1
−−
∆= − ∆−
P
P
y
GGGGdGGn
Como se quer rejeitar perfeitamente o efeito do distúrbio nas variáveis
primárias, deseja-se selecionar um conjunto de variáveis controladas tal que a
matriz
d
P seja igual a zero. Como será mostrado abaixo, este objetivo pode ser
atingido se houver um número suficiente de medidas
y
, mais precisamente,
quando o número de medidas (#
y
) for igual ou maior que a soma do número de
entradas (
#u
) e do número de distúrbios (
#d
).
Para se encontrar a combinação linear das medidas faz-se as mesmas
suposições apresentadas no Capítulo 2.
Então, deseja-se encontrar uma matriz
H
que resulte em
d
=P0 e
cc0
=PP. A partir da Equação (3.6) temos que:
1
cc0 1
−
==PP GG
1
dd11 d
−
=
−=PG GGG 0
Assim, as Equações (3.7) e (3.8) tornam-se:
(
)
1
y
1c0
−
=GHG P
(
)
(
)
1
yy
1dd1
−
=GHG HG G
Ou, equivalentemente:
y-1
c0 1
=HG P G
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
(3.11)
Cap. 3. Minimização dos Desvios dos Estados
59
y-1
dc0d1
=HG P G
Unindo as Equações (3.11) e (3.12) resulta em:
[
]
yy -1
dc01d1
=
HG G P G G
Pela suposição número 1, tem-se que a matriz
yy
d
GG é quadrada.
Assim, como as medidas são consideradas independentes, a matriz é invertível e,
finalmente:
[]
-1
y
1
1
-1 y y
c0 1 d1 d
−
=
G
G
HPG G G G
Quando
c0
=PI e se usa combinações de medidas como variáveis
secundárias, pode-se ver facilmente, a partir da Equação (3.6) que
1
=GG e
dd1
=GG.
3.3. DESVIO MÍNIMO DOS ESTADOS
Para se manter os estados próximos aos seus valores desejados (nominais)
na presença de distúrbios e erros de implementação, será definida uma matriz
W
que represente uma combinação linear dos estados. Isto pode ser também
interpretado como o objetivo do controlador definido pelo projetista.
Será considerado que se tenha o seguinte modelo linear:
xx
d
∆
=∆+∆xGuGd
(3.15)
(3.12)
(3.13)
(3.14)
Cap. 3. Minimização dos Desvios dos Estados
60
onde
x
G e
x
d
G são modelos no estado estacionário
∆x
- estados
Substituindo-se a Equação (3.5) na Equação (3.15) tem-se:
(
)
*
x
*
x
d
xx-1 x-1c
dd
∆= − ∆−
G
G
x G GGG d GG n
As matrizes
x
∗
G e
x
d
∗
G representam o efeito dos distúrbios e dos erros de
implementação nos estados quando se controla combinações de variáveis. Para se
evitar problemas relacionados a não-linearidades é importante que estas matrizes
sejam tão pequenas quanto possível. Então, para se minimizar o efeito dos
distúrbios (
d ) e dos erros de implementação (
c
n ), deseja-se minimizar as normas
x
∗
G ,
x
d
∗
G e
xx
d
∗∗
GG.
É importante enfatizar que os estados
x não serão controlados diretamente
mas, ao invés disso, eles serão “controlados” usando controle indireto, como
apresentado no Capítulo 2.
Como foi visto no Capítulo 2, quando se tem controle perfeito indireto e
c0
=PI, as matrizes G e
d
G se tornam iguais às matrizes
1
G e
d1
G ,
respectivamente. Caso se defina as variáveis primárias como combinações
lineares dos estados (
1
=
y
Wx), tem-se:
1
d1
xx
1d
∆= ∆= ∆+ ∆
G
G
y
Wx WG u WG d
onde
W
é a matriz que representa a combinação linear dos estados.
(3.16)
(3.17)
Cap. 3. Minimização dos Desvios dos Estados
61
A Equação (3.16) se torna:
(
)
(
)
(
)
x
x
d
-1 -1
xx x x x xc
dd
∗
∗
∆= − ∆−
G
G
xGGWG WG dGWG n
Um ponto importante a ser discutido nesta seção é:
- Qual é a escolha ótima de
W que minimiza o efeito dos distúrbios nos estados,
isto é, minimiza o valor de
x
d
∗
G na Equação (3.18)?
Se for assumido que a matriz
W seja igual à transposta de
x
G
(
T
x
=WG), então tem-se:
(
)
(
)
TT T
-1 -1
xxxx xx xxxc
dd
∆= − ∆−
x G GGG GG dGGG n
A matriz
()
TT
-1
xxx x
GGG G na Equação (3.19) é chamada de matriz de
projeção (Strang, 1980). Isto significa que o produto
(
)
TT
-1
xxx xx
d
GGG GG é o
ponto mais próximo de
x
d
G , isto é, não há nenhuma outra matriz
W
que possa
resultar num valor menor de
x*
d
G que
T
x
=WG. Então conclui-se que a escolha
de
T
x
=WG fornece o mínimo valor de
x*
d
G . Isto será demonstrado no exemplo
abaixo. Porém é importante frisar que esta não é a única escolha ótima, visto que
qualquer matriz
T
x
x
=WPG é uma solução ótima, onde
x
P é qualquer matriz
quadrada não-singular com dimensões apropriadas.
A escolha de
T
x
=WG é ótima para qualquer escolha de
c0
P
não-singular,
isto é, este resultado não é restrito a
c0
=
PI
.
(3.18)
(3.19)
Cap. 3. Minimização dos Desvios dos Estados
62
É importante notar que a matriz
W
pode ser escolhida arbitrariamente
pelo projetista de acordo com o objetivo do processo. Por exemplo, pode-se
escolher fazer uma combinação de somente alguns estados ou usar todos.
Um outro ponto importante a ser discutido é se a escolha de
T
x
=WG
resulta no mínimo valor de
x
∗
G . A partir da Equação (3.19) pode-se ver que a
matriz
()
T
-1
xxx
GGG é a pseudo-inversa direita de
x
G . Isto significa que esta é a
solução do problema
xc
∆− =Gxn 0
(Strang, 1980).
3.4. APLICAÇÃO EM COLUNA DE DESTILAÇÃO
A teoria proposta foi aplicada à coluna de destilação com 82 estados (41
composições e 41 níveis) apresentada na seção 2.4.2. Como os níveis não têm
efeito sobre o estado estacionário, considera-se que a função objetivo seja uma
combinação somente das composições. Este exemplo tem, após estabilização, 2
variáveis manipuladas remanescentes (vazão do refluxo (
L ) e de vapor (
V
)) e 2
distúrbios (vazão de alimentação (
F
) e fração de líquido na alimentação (
F
q )).
Tendo 2 variáveis manipuladas, pode-se controlar perfeitamente 2 combinações
dos estados. As medidas (
∆
y
) são as vazões ( L , V , D e
B
). As variáveis foram
escalonadas de acordo com Skogestad e Postlethwaite (1996).
Utilizou-se o modelo representado pelas Equações (3.2) e (3.15) sem
ruídos de medida (
y
0=n
). As matrizes do modelo são:
Cap. 3. Minimização dos Desvios dos Estados
63
y
1 0
0 1
-1 1
1 -1
=
G
y
d
0 0
0 0
0 -0.1
0.2 0.1
=
G
x3
0.0874 -0.0861
0.1298 -0.1278
0.1820 -0.1792
0.2456 -0.2419
0.3222 -0.3174
0.4130 -0.4070
0.5185 -0.5113
0.6384 -0.6298
0.7704 -0.7605
0.9104
1*10 *=G
-0.8991
1.0516 -1.0392
1.1851 -1.1720
1.3007 -1.2872
1.3877 -1.3744
1.4374 -1.4249
1.4446 -1.4335
1.4089 -1.3996
1.3345 -1.3274
1.2296 -1.2250
1.1044 -1.1023
0.9692 -0.9695
1.1414 -1.1439
1.3128 -1.3178
1.4695 -1.4769
1.5957 -1.6054
1.6763 -1.6879
1.7006 -1.7137
1.6649 -1.6788
1.5736 -1.5876
1.4382 -1.4516
1.2738 -1.2864
1.0967 -1.1079
0.9204 -0.9302
0.7552 -0.7635
0.6073 -0.6142
0.4794 -0.4850
0.3718 -0.3762
0.2832 -0.2866
0.2114 -0.2140
0.1540 -0.1559
0.1086 -0.1099
x
d
7.8669 8.6654
11.6833 12.8690
16.3991 18.0444
22.1721 24.3556
29.1550 31.9594
37.4755 40.9819
47.2048 51.4844
58.3156 63.4189
70.6340 76.
=G
5766
83.7921 90.5386
97.1984 104.6479
110.0452 118.0216
121.3728 129.6248
130.1956 138.4101
135.6715 143.5011
137.2723 144.3728
134.8984 140.9683
128.8963 133.7094
119.9738 123.3975
109.0456 111.0419
97.0622 97.6754
115.7231 115.0180
134.4108 132.2792
151.6482 148.0593
165.7351 160.7615
175.0456 168.8751
178.3913 171.3169
175.3292 167.7155
166.2832 158.5173
152.4266 144.8663
135.3777 128.3114
116.8353 110.4614
98.2807 92.7070
80.8123 76.0684
65.1100 61.1683
51.4903 48.2859
39.9997 37.4484
30.5118 28.5233
22.8076 21.2938
16.6324 15.5126
11.7322 10.9353
Cap. 3. Minimização dos Desvios dos Estados
64
Neste exemplo comparou-se o efeito dos distúrbios nos estados usando,
como variáveis primárias, 4 diferentes combinações dos estados (4 diferentes
matrizes
W
). As combinações usadas foram:
- Combinação 1: A matriz
W foi selecionada de forma a selecionar as
composições de fundo e de topo como variáveis primárias. Esta é a escolha mais
comum em estudos de destilação;
- Combinação 2: A matriz
W foi selecionada de forma a separar a coluna da
seguinte forma. As composições abaixo do estágio de alimentação (composição
do estágio de alimentação incluída) foram combinadas em uma variável primária
(com todos os pesos iguais a 1). Da mesma forma, as composições acima do
estágio de alimentação foram combinadas em outra variável primária (também
com pesos iguais a 1);
- Combinação 3: A matriz
W
foi selecionada como sendo a transposta de
x
G
(
T
x
=WG);
- Combinação 4: A matriz
W foi calculada pela minimização do seguinte
problema:
x* x*
d
2
min
W
GG
onde
x*
G e
x
d
∗
G representam os efeitos do ruído e dos distúrbios nos estados,
respectivamente (veja a Equação (3.18)).
Para cada combinação calculou-se a melhor combinação das medidas
(calculou-se a matriz
H ) usando a Equação (3.14). Finalmente, calculou-se as
(3.20)
Cap. 3. Minimização dos Desvios dos Estados
65
matrizes
x*
G e
x
d
∗
G . Os valores das normas-2
x*
G ,
x
d
∗
G e
x* x*
d
GG são
apresentadas na Tabela 3.1.
Tabela 3.1. Valores de
x*
G
,
x*
d
G
e
x* x*
d
GG para todas as combinações.
x*
G
x*
d
G
x* x*
d
GG
1 48.8289 2.5182 48.8817
2 0.2548 1.1070 1.1080
3 0.0252 1.0886 1.0886
4 0.2560 1.0886 1.0886
Embora a escolha das composições de topo e fundo como variáveis
primárias (caso 1) seja capaz de controlar perfeitamente estas duas variáveis (os
ganhos em malha fechada resultantes que relacionam os distúrbios com as
composições de topo e fundo são iguais a zero), os ganhos em malha fechada dos
estados no meio da coluna são muito grandes (acima de 0,7) (veja Tabela 3.2). E
esta escolha não resulta em uma boa rejeição do erro de implementação (veja a
matriz
x*
G na Tabela 3.2).
Como esperado (veja seção 3.3), os resultados apresentados na Tabela 3.1
confirmam que o uso de
T
x
=WG como a combinação de variáveis é uma escolha
ótima (tem o mesmo valor de
x* x*
d
GG que o obtido pela otimização).
Cap. 3. Minimização dos Desvios dos Estados
66
Tabela 3.2. Valores das matrizes
x*
G e
x*
d
G para as quatro combinações.
Combinação 1 Combinação 2
x*
G
x
d
∗
G
x*
G
x
d
∗
G
1.0000 0
1.4851 0.0000
2.0690 0.0104
2.7643 0.0363
3.5807 0.0840
4.5229 0.1615
5.5860 0.2779
6.7521 0.4430
7.9849 0.6663
9.2268 0.9551
10.3980 1.3125
11.4015 1.7346
12.1331 2.2095
12.4987 2.7164
12.4326 3.2275
11.9136 3.7119
10.9721 4.1409
9.6844 4.4928
8.1582 4.7557
6.5112 4.9285
4.8528 5.0192
4.8185 6.6327
4.7126 8.2966
4.5197 9.8952
4.2315 11.2891
3.8513 12.3376
3.3956 12.9284
2.8924 13.0048
2.3761 12.5800
1.8807 11.7311
1.4335 10.5778
1.0517 9.2533
0.7418 7.8796
0.5017 6.5517
0.3237 5.3327
0.1972 4.2566
0.1115 3.3346
0.0565 2.5628
0.0238 1.9280
0.0067 1.4132
0 1.0000
-0.0000 0
-0.0000 0.0000
-0.0000 0.0015
-0.0000 0.0053
-0.0000 0.0124
-0.0000 0.0237
-0.0000 0.0409
-0.0000 0.0651
-0.0001 0.0980
-0.0001 0.1405
-0.0001 0.1930
-0.0001 0.2551
-0.0001 0.3249
-0.0001 0.3994
-0.0001 0.4746
-0.0001 0.5458
-0.0001 0.6089
-0.0001 0.6606
-0.0001 0.6993
-0.0001 0.7247
-0.0001 0.7381
-0.0001 0.7328
-0.0001 0.7167
-0.0001 0.6874
-0.0001 0.6436
-0.0001 0.5857
-0.0001 0.5164
-0.0001 0.4399
-0.0001 0.3614
-0.0001 0.2860
-0.0001 0.2180
-0.0001 0.1600
-0.0001 0.1128
-0.0000 0.0763
-0.0000 0.0492
-0.0000 0.0300
-0.0000 0.0170
-0.0000 0.0086
-0.0000 0.0036
-0.0000 0.0010
-0.0000 -0.0000
0.0071 -0.0016
0.0105 -0.0024
0.0146 -0.0033
0.0195 -0.0042
0.0251 -0.0052
0.0317 -0.0062
0.0389 -0.0071
0.0469 -0.0078
0.0552 -0.0083
0.0634 -0.0084
0.0710 -0.0078
0.0773 -0.0066
0.0816 -0.0045
0.0832 -0.0017
0.0818 0.0019
0.0772 0.0060
0.0697 0.0104
0.0600 0.0148
0.0487 0.0191
0.0367 0.0229
0.0249 0.0262
0.0216 0.0371
0.0177 0.0486
0.0133 0.0597
0.0087 0.0696
0.0040 0.0773
-0.0003 0.0820
-0.0040 0.0833
-0.0069 0.0813
-0.0088 0.0763
-0.0098 0.0692
-0.0100 0.0609
-0.0096 0.0521
-0.0088 0.0435
-0.0077 0.0356
-0.0066 0.0285
-0.0055 0.0224
-0.0044 0.0172
-0.0035 0.0130
-0.0026 0.0095
-0.0019 0.0068
0.0000 -0.0270
0.0000 -0.0401
0.0000 -0.0547
0.0000 -0.0705
0.0000 -0.0872
0.0000 -0.1038
0.0000 -0.1193
0.0000 -0.1320
0.0000 -0.1399
0.0000 -0.1405
0.0000 -0.1315
-0.0000 -0.1106
-0.0000 -0.0763
-0.0000 -0.0285
-0.0000 0.0314
-0.0000 0.1005
-0.0000 0.1748
-0.0000 0.2496
-0.0000 0.3207
-0.0000 0.3849
-0.0000 0.4400
-0.0000 0.3820
-0.0000 0.3134
-0.0000 0.2361
-0.0000 0.1536
-0.0000 0.0712
-0.0000 -0.0055
-0.0000 -0.0709
0.0000 -0.1214
0.0000 -0.1551
0.0000 -0.1727
0.0000 -0.1763
0.0000 -0.1694
0.0000 -0.1552
0.0000 -0.1370
0.0000 -0.1170
0.0000 -0.0970
0.0000 -0.0782
0.0000 -0.0612
0.0000 -0.0462
0.0000 -0.0333
Cap. 3. Minimização dos Desvios dos Estados
67
Tabela 3.2. Valores das matrizes
x*
G e
x*
d
G para as quatro combinações
(continuação).
Combinação 3 Combinação 4
x*
G
x
d
∗
G
x*
G
x
d
∗
G
0.0005 0.0005
0.0007 0.0007
0.0009 0.0009
0.0012 0.0012
0.0016 0.0016
0.0020 0.0020
0.0024 0.0024
0.0029 0.0029
0.0033 0.0033
0.0038 0.0038
0.0042 0.0042
0.0045 0.0044
0.0046 0.0046
0.0046 0.0045
0.0043 0.0043
0.0039 0.0039
0.0033 0.0033
0.0026 0.0025
0.0018 0.0017
0.0010 0.0009
0.0002 0.0001
-0.0005 -0.0005
-0.0012 -0.0013
-0.0020 -0.0020
-0.0027 -0.0027
-0.0033 -0.0033
-0.0037 -0.0037
-0.0040 -0.0040
-0.0040 -0.0041
-0.0039 -0.0039
-0.0036 -0.0037
-0.0033 -0.0033
-0.0029 -0.0029
-0.0024 -0.0024
-0.0020 -0.0020
-0.0016 -0.0016
-0.0013 -0.0013
-0.0010 -0.0010
-0.0008 -0.0008
-0.0006 -0.0006
-0.0004 -0.0004
0.0000 -0.0315
0.0000 -0.0468
0.0000 -0.0641
0.0000 -0.0831
0.0000 -0.1035
0.0000 -0.1244
0.0000 -0.1449
0.0000 -0.1630
0.0000 -0.1767
0.0000 -0.1833
0.0000 -0.1799
0.0000 -0.1639
0.0000 -0.1334
-0.0000 -0.0877
-0.0000 -0.0279
-0.0000 0.0431
-0.0000 0.1213
-0.0000 0.2016
-0.0000 0.2794
-0.0000 0.3509
-0.0000 0.4134
-0.0000 0.3541
-0.0000 0.2845
-0.0000 0.2066
-0.0000 0.1242
-0.0000 0.0426
-0.0000 -0.0325
0.0000 -0.0958
0.0000 -0.1435
0.0000 -0.1742
0.0000 -0.1887
0.0000 -0.1895
0.0000 -0.1799
0.0000 -0.1634
0.0000 -0.1432
0.0000 -0.1217
0.0000 -0.1005
0.0000 -0.0808
0.0000 -0.0630
0.0000 -0.0475
0.0000 -0.0342
0.0070 -0.0018
0.0104 -0.0027
0.0145 -0.0037
0.0193 -0.0048
0.0250 -0.0060
0.0314 -0.0072
0.0387 -0.0084
0.0465 -0.0094
0.0547 -0.0102
0.0629 -0.0106
0.0704 -0.0104
0.0766 -0.0095
0.0808 -0.0077
0.0824 -0.0051
0.0809 -0.0016
0.0763 0.0025
0.0688 0.0070
0.0591 0.0117
0.0478 0.0162
0.0359 0.0203
0.0241 0.0239
0.0206 0.0345
0.0166 0.0456
0.0120 0.0564
0.0072 0.0660
0.0025 0.0735
-0.0019 0.0782
-0.0056 0.0797
-0.0084 0.0778
-0.0102 0.0732
-0.0110 0.0665
-0.0110 0.0585
-0.0105 0.0501
-0.0095 0.0419
-0.0083 0.0342
-0.0071 0.0274
-0.0059 0.0216
-0.0047 0.0166
-0.0037 0.0125
-0.0028 0.0092
-0.0020 0.0065
0.0000 -0.0315
0.0000 -0.0468
0.0000 -0.0641
0.0000 -0.0831
0.0000 -0.1035
0.0000 -0.1244
0.0000 -0.1449
0.0000 -0.1630
0.0000 -0.1767
0.0000 -0.1833
0.0000 -0.1799
0.0000 -0.1639
-0.0000 -0.1334
-0.0000 -0.0877
-0.0000 -0.0279
-0.0000 0.0431
-0.0000 0.1213
-0.0000 0.2016
-0.0000 0.2794
-0.0000 0.3509
-0.0000 0.4134
-0.0000 0.3541
-0.0000 0.2845
-0.0000 0.2066
-0.0000 0.1242
-0.0000 0.0426
-0.0000 -0.0325
-0.0000 -0.0958
0.0000 -0.1435
0.0000 -0.1742
0.0000 -0.1887
0.0000 -0.1895
0.0000 -0.1799
0.0000 -0.1634
0.0000 -0.1432
0.0000 -0.1217
0.0000 -0.1005
0.0000 -0.0808
0.0000 -0.0630
0.0000 -0.0475
0.0000 -0.0342
Cap. 3. Minimização dos Desvios dos Estados
68
Outra vantagem desta escolha é que este reduz o efeito do erro de
implementação (reduz a norma
x*
G , veja Tabela 3.1) nos estados. Como pode
ser visto na Tabela 3.2, as combinações 3 (
T
x
=WG) e 4 (obtida por otimização)
são equivalentes em relação à matriz
x
d
∗
G , as matrizes são exatamente as mesmas
em ambos os casos. Porém, quando se analisa
x*
G
separadamente, percebe-se que
o uso de
T
x
=WG fornece um melhor resultado. A razão é que na otimização
está-se somente interessado na norma
x* x*
d
GG e, neste caso, a norma da
matriz
x
d
∗
G é muito mais importante que a matriz
x*
G
. Isto pode ser facilmente
visto quando se analisa a Tabela 3.1 mais atentamente. Embora o valor de
x*
G ,
para a combinação 4, seja grande (0,2560), o valor de
x* x*
d
GG é quase o
mesmo que o valor de
x*
d
G (é importante enfatizar que, embora os valores de
x*
d
G
e
x* x*
d
GG apresentados na Tabela 3.1 para as combinações 3 e 4
sejam os mesmos, na realidade os valores de
x* x*
d
GG são um pouco maiores
que
x*
d
G , a diferença não aparece devido ao truncamento que foi feito).
Como pode ser visto na Tabela 3.2, a escolha de
T
x
=WG não resulta em
controle perfeito para as composições de topo e de fundo, porém esta reduz a
sensibilidade dos estados no meio da coluna (ao redor de 0,4) a variações nos
distúrbios. Este ponto é importante para evitar os efeitos das não-linearidades no
processo.
Cap. 3. Minimização dos Desvios dos Estados
69
3.5. CONCLUSÕES
Neste capítulo mostrou-se que é possível controlar perfeitamente (tendo
rejeição perfeita do distúrbio e minimizando os efeitos dos erros de
implementação, ao menos em estado estacionário) qualquer combinação dos
estados se houver suficientes medidas disponíveis.
Além disso, foi mostrada a importância do uso da combinação dos estados
como variáveis primárias. Embora a escolha das composições de topo e de fundo
de uma coluna de destilação seja boa para rejeitar perfeitamente os distúrbios, esta
falha na rejeição do erro de implementação e também não fornece um bom
controle dos estados no meio da coluna.
A escolha de
T
x
=WG provou ser a melhor escolha se o objetivo for
manter os estados tão próximos quanto possível de seus valores desejados
(nominais). Este rejeita muito bem os distúrbios e os erros de implementação,
embora não resulte num controle perfeito das composições de topo e de fundo.
3.6. NOMENCLATURA
#d número de distúrbios medidos
#u número de entradas manipuladas
#
y
número de medidas
c variável controlada secundária
d distúrbios
Cap. 3. Minimização dos Desvios dos Estados
70
1
G ,
d1
G ,
y
G ,
y
d
G matrizes de ganho em estado estacionário, ver Equações
(3.1) e (3.2)
H
matriz que representa a combinação das medidas
y
n ruído de medida
c
P ganho parcial das variáveis secundárias
d
P ganho parcial do distúrbio
u variáveis manipuladas
W matriz de ponderação dos estados
x estados
y
medidas disponíveis
1
y
variáveis controladas primárias
Letras gregas
∆ variação
3.7. BIBLIOGRAFIA
HALVORSEN, I. J.; SKOGESTAD, S.; MORUD, J. C.; ALSTAD, V. Optimal
selection of controlled variables. Industrial and Engineering Chemistry
Research, v. 42, n. 14, p. 3273-3284, 2003.
SKOGESTAD, S. Control structure design for complete chemical plants.
Computers and Chemical Engineering
, n. 1-2, v. 28, p. 219-234, 2004.
SKOGESTAD, S.; POSTLETHWAITE, I.
Multivariable Feedback Control. John
Wiley & Sons, 1996.
STRANG, G.
Linear Algebra and its Applications. Academic Press, 1980.
Capítulo 4
Medida de Complexidade para
Diagramas de Bloco
Este capítulo é uma versão estendida do seguinte trabalho:
HORI, E. S.; SKOGESTAD, S. KWONG, W. H. Complexity measure for block
diagrams. In: Anais do XV Congresso Brasileiro de Engenharia Química,
2004.
Cap. 4. Medida de Complexidade para Diagramas de Bloco
72
RESUMO
O conceito de complexidade tem sido muito estudado nos últimos anos em
muitas áreas diferentes, como análise de sistemas, processos manufatureiros e
economia. Embora muitos autores no assunto tenham a mesma compreensão
qualitativa de complexidade, uma transição desta compreensão qualitativa para
uma forma quantitativa seria altamente desejável e necessária. A falta de
compreensão nesta área tem impedido os planejadores de decidir quanta
integração é benéfica e além de que ponto a integração seria prejudicial para a
performance do sistema de controle, desde que decisões corretas são difíceis de se
fazer devido à alta complexidade do sistema. O objetivo deste capítulo é
apresentar um método para quantificar a complexidade estática de um diagrama
de blocos numa forma que possa ser útil para a seleção da melhor estrutura de
controle para um determinado processo. O método é aplicado em vários exemplos
de diagramas de bloco. A importância desta avaliação é ajudar a produzir boas
estruturas de controle com a mínima complexidade possível devido ao fato de que
os custos de implementação aumentam à medida que os sistemas se tornam mais
complexos. Uma vez determinada uma forma para quantificá-la, pode-se obter
uma estrutura que minimize a complexidade de um sistema de controle que tenha
o mesmo desempenho.
Cap. 4. Medida de Complexidade para Diagramas de Bloco
73
ABSTRACT
The concept of complexity has been widely studied in the last years in
several different areas, e.g., system analysis, manufacturing processes, and
economics. Although many writers on the subject understand qualitatively similar
things by the term ”complexity”, a transition from this qualitative understanding
to a quantitative approach would be highly desirable and necessary. The lack of
understanding in this area has hindered planners in deciding how much integration
is beneficial and beyond which point integration is actually detrimental to system
performance, since correct decisions are difficult to make due to high system
complexity. The objective of this paper is to present a method to quantify the
static complexity of a block diagram in a way that can be useful for the selection
of the best control structure for a determined process. The method is applied in
several block-diagram examples. The importance of this evaluation is to help to
produce good control structures with the smaller possible complexity due to the
fact that the costs of implementation increase in large complex systems. Once
determined a way to quantify it, it is possible to minimize the complexity of this
system keeping the same control performance.
Cap. 4. Medida de Complexidade para Diagramas de Bloco
74
4.1. INTRODUÇÃO
O conceito de complexidade tem sido muito estudado nos últimos anos em
muitas áreas diferentes, por exemplo análise de sistemas (Ben-Hur et al., 2002;
Takahashi, 1997), processos de manufatura (Deshmukh et al., 1998; Efstathiou et
al., 1999; Fjeldsøe-Nielsen, 1999; Calinescu et al., 2000; Sivadasan et al., 2000;
Sadhukhan et al., 2003), economia (Rycroft e Kash, 1999), matemática (McCabe,
1976; Allender et al., 1999; Bläser, 1999 e 2003), ciência da computação
(Werschulz e Woźniakowski, 2002), ecosistemas (Zorach e Ulanowicz, 2003).
Klir (1985) observou que as definições de complexidade do
Webster’s
Third International Dictionary
são as que seguem:
1. Tendo muitas e variadas partes interrelacionadas, padrões ou elementos e,
conseqüentemente, difícil de se entender completamente;
2. Sendo marcado por um envolvimento de muitas partes, aspectos, detalhes,
noções e necessitando intenso estudo ou exame para compreender.
Outras definições de complexidade podem ser encontradas em muitas
outras áreas de pesquisa:
1. Complexidade é a falta de ligação no sistema (Casti, 1979);
2. Extrapolando de vários contextos diferentes nos quais a idéia de complexidade
é usada, um sistema complexo pode se referir a um sistema cuja estrutura estática
ou comportamento dinâmico é contra-intuitivo ou imprevisível (Casti, 1979);
3. Em geral, associa-se complexidade com algo difícil de entender (Flood e
Carson, 1988);
Cap. 4. Medida de Complexidade para Diagramas de Bloco
75
4. Sistemas complexos são, tipicamente, organizações feitas de muitas partes
heterogêneas interagindo localmente na ausência de um marcador e controle
centralizado. Imagine, por exemplo, a economia, o cérebro, o metabolismo celular
ou o tráfico de Los Angeles. Pode ser fácil de se descrever a composição de um
sistema, mas é muito mais difícil descrever seu comportamento global (Fontana e
Ballati, 1999).
A complexidade pode se referir também a um sistema que tenha padrões
de conexão entre subsistemas tais que a predição do comportamento do sistema
seja difícil sem uma análise computacional, ou a um sistema no qual a estrutura de
tomada de decisão torne difícil de avaliar os efeitos das escolhas individuais
(Löfgren, 1977).
Embora muitos autores no assunto tenham a mesma compreensão
qualitativa do termo “complexidade”, uma transição deste entendimento
qualitativo para uma aproximação quantitativa seria uma etapa altamente
desejável e necessária para se encontrar a ciência da complexidade (Calinescu et
al., 2000).
A falta de compreensão nesta área tem impedido os planejadores em
decidir quanta integração é benéfica e além de qual ponto a integração é
prejudicial à performance do sistema, desde que decisões corretas são difíceis de
se fazer devido à alta complexidade do sistema (Deshmukh et al., 1998).
De acordo com Deshmukh et al. (1998), a complexidade de um sistema
físico pode ser caracterizada em termos de sua estrutura estática ou do
comportamento dependente do tempo. Complexidade estática pode ser vista como
uma função da estrutura do sistema, padrões de conexão, variedade de
Cap. 4. Medida de Complexidade para Diagramas de Bloco
76
componentes e forças das interações. Complexidade dinâmica se preocupa com a
imprevisibilidade do comportamento do sistema sob um período de tempo.
Frizelle e Woodcock (1995) aplicaram a medida de complexidade teórica
baseada em entropia em sistemas de entrada e saída de manufatura interna. Seu
trabalho inclui um modelo matemático que provê uma medida para a
complexidade do fluxo material encontrado numa operação manufatureira, do
ponto de vista de um produto se movendo através de um sistema. Este artigo
reporta adicionais desenvolvimentos de aplicação do conceito teórico de entropia
(Fast, 1970) de sua base teórica e matemática para sua aplicação prática em medir
tanto a complexidade da informação quanto do material numa cadeia de
suprimento.
De acordo com Deshmukh et al. (1998): “Outra consequência importante
de se desenvolver uma estrutura analítica para a complexidade seria ajudar
planejadores de manufatura a gerenciar desejados níveis de complexidade no
sistema dependendo de mudanças nas condições operacionais, visto a
complexidade não pode ser completamente eliminada”. Embora isto tenha sido
escrito para processos manufatureiros, pode ser aplicado também em controle.
De acordo com Nett (1989) quanto mais complexo for o sistema de
controle, maior o seu custo, menor a sua confiabilidade e mais difícil mantê-lo.
Então, é geralmente desejável que a complexidade do sistema de controle e, em
particular, da camada de controle regulatório seja a menor possível (Skogestad,
2004).
Cap. 4. Medida de Complexidade para Diagramas de Bloco
77
O objetivo deste trabalho é apresentar um método para se quantificar a
complexidade de um diagrama de blocos que possa ser útil para estudos de
estruturas de controle.
4.2. DEFINIÇÕES MATEMÁTICAS DE COMPLEXIDADE DE
BLOCOS
Skogestad (2004) introduz um número de complexidade estrutural
s
Π
como sendo:
s
s
complexidade de diagrama de bloco ( )
#medidas #manipuladas #blocos #parametros do controlador
C
Π= + + +
onde o número de medidas e manipuladas se refere àquelas usadas pelo
controlador independente. A complexidade do bloco é o número de blocos mais o
número de parâmetros de controle independentes ajustáveis. Neste caso, um bloco
multivariável é contado como tendo complexidade 1. O problema em se contar
blocos multivariáveis como tendo complexidade 1 é que não se considera a
complexidade dentro do bloco. Este resultado pode ser, em alguns casos,
enganoso.
Nesta seção são apresentadas duas possíveis definições de complexidade
de bloco (
#blocos #parametros do controlador+
da Equação (4.1)) que podem ser
úteis para estudos de estruturas de controle.
(4.1)
Cap. 4. Medida de Complexidade para Diagramas de Bloco
78
4.2.1. Definição de bloco-soma
2
e de bloco-divisão
3
Nesta seção, dois termos serão definidos, os quais serão utilizados no
restante do capítulo para o cálculo da medida de complexidade: bloco-soma e
bloco-divisão. A Figura 4.1 apresenta esses dois tipos de blocos.
(a)
(b)
Figura 4.1. Definições de bloco-soma e bloco-divisão.
O bloco-soma é definido como sendo o bloco no qual dois ou mais fluxos
se encontram formando um novo fluxo, como mostrado pela Figura 4.1a.
Da mesma forma, o bloco-divisão é definido como sendo o nó onde dois
ou mais fluxos se dividem, como mostrado pela Figura 4.2b.
4.2.2. Definição de complexidade 1 (incluindo blocos-soma)
Para se calcular a complexidade de um diagrama de blocos será
considerado que se tenha somente sistemas SISO (neste caso será considerado que
todos os sistemas MIMO possam ser representados por um conjunto de sistemas
SISO). O cálculo da complexidade envolve o número de fluxos que entram num
bloco-soma e o número de parâmetros independentes ajustáveis do sistema
(constantes não são consideradas, por exemplo, valores fixos, conversões de
unidades, escalonamento). A complexidade do bloco
i é dada por:
2
O termo “bloco-soma” é uma tradução literal do termo em inglês “sum-block”. Representa, num
diagrama de blocos, os pontos onde dois ou mais fluxos se encontram para se somarem ou
subtraírem.
3
O termo “bloco-divisão” é uma tradução literal do termo em inglês “splitting-block”. Este termo
representa os pontos (num diagrama de blocos) onde um fluxo se divide em dois ou mais fluxos.
Cap. 4. Medida de Complexidade para Diagramas de Bloco
79
()
s,i s,i
b,i
p,i , p,i s,i ,
11
#parametros #blocos-soma numero de fluxos
1
nn
ji ji
jj
C
nFnnF
==
=− + =
+−=−+
∑∑
onde:
p
,i
n é o número de parâmetros independentes dentro do bloco i
s,i
n é o número de blocos-soma dentro do bloco i
,ji
F é o número de fluxos (dentro do bloco i ) que entram no bloco-soma
j
A complexidade total do sistema é a soma das complexidades de cada
bloco mais o número de fluxos que entram em blocos-soma e que não pertençam a
nenhum outro bloco:
()
bs bs
sb,i b,i s
11 11
1
nn nn
jj
ij ij
CC F C Fn
== ==
=+−=+−
∑∑ ∑∑
onde:
b
n é o número de blocos do sistema
s
n é o número de blocos-soma do sistema
j
F é o número de fluxos que entram no bloco-soma
j
A complexidade total para sistemas sem realimentação pode ser
interpretada como sendo o número total de parâmetros mais o número total de
operações básicas (soma, subtração, multiplicação e divisão). Se, no diagrama,
houver outras operações como seno, logaritmo ou funções mais complexas, estas
operações teriam maior complexidade, mas isto não é o escopo deste trabalho.
(4.2)
(4.3)
Cap. 4. Medida de Complexidade para Diagramas de Bloco
80
4.2.3. Definição de complexidade 2 (incluindo blocos-divisão)
Outra possível definição de complexidade de um diagrama de blocos é a
inclusão de blocos-divisão ao invés de blocos-soma. Neste caso, a complexidade é
definida como:
()
sp,i sp,i
**
b
,i p,i , p,i sp,i ,
11
1
nn
ji ji
jj
Cn F nn F
==
=+ −=−+
∑
∑
onde:
sp,i
n
é o número de blocos-divisão dentro do bloco i
*
,
ji
F
é o número de fluxos (dento do bloco i ) que entram no bloco-divisão
j
A complexidade total é:
()
sp sp
bb
**
sb,i b,i sp
11 11
1
nn
nn
jj
ij ij
CC F C Fn
== ==
=+−=+−
∑∑ ∑∑
onde:
b
n é o número de blocos do sistema
sp
n é o número de blocos-divisão do sistema
*
j
F é o número de fluxos que entram no bloco-divisão
j
4.3. EXEMPLOS
Nesta seção serão apresentados alguns exemplos com o objetivo de
mostrar a importância da complexidade de diagrama de blocos e comparar ambas
as definições.
(4.4)
(4.5)
Cap. 4. Medida de Complexidade para Diagramas de Bloco
81
4.3.1. Exemplo 1
Considere a Figura 4.2.
p11 p21
p12 p22
p13 p23
A
B
C
y
x
Figura 4.2. Diagrama de blocos multivariável.
Este é um diagrama de blocos multivariável. Se a complexidade deste
sistema for calculada sem se olhar dentro do bloco multivariável, o resultado seria
igual a sete (seis parâmetros independentes e um bloco multivariável). Embora
isto possa ser considerado um bom resultado, na seção anterior assumiu-se que a
medida de complexidade possa ser calculada somente para diagramas de bloco
com blocos SISO. Então, para ser capaz de calcular sua complexidade, é
necessário conhecer o que ocorre dentro deste bloco (quais são as relações entre
as entradas e as saídas). A Figura 4.3 fornece duas possíveis relações entre as
entradas e as saídas.
Cap. 4. Medida de Complexidade para Diagramas de Bloco
82
A
B
C
y
x
p11
p21
p12
p22
p13
p23
+
+
+
+
+
+
(a)
A
B
C
y
x
p11
p21
p12
p22
p13
p23
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
(b)
Figura 4.3. Duas possíveis representações de diagramas de blocos da Figura 4.2.
As Figuras 4.3a e b são representadas, respectivamente, pelas Equações
(4.6) e (4.7):
11 12 13
21 22 23
ypApBpC
x
pA pB pC
=
++
=++
()( ) ()
11 12 13
21 21 21 22 23 23
11
ypApBpC
x
ppAppBppC
=++
=+ ++ ++
A complexidade destes dois diagramas de bloco são: para a Figura 4.3a o
número de parâmetros é igual a 6 (
p,
6
i
n
=
), o número de blocos-soma é igual a 2
(
s,
2
i
n =
), o número de blocos-divisão é igual a 3 (
sp,
3
i
n
=
) e há 6 fluxos entrando
nos blocos-soma (
s,i
,
1
6
n
ji
j
F
=
=
∑
) e 6 fluxos deixando blocos-divisão (
sp,i
*
,
1
6
n
ji
j
F
=
=
∑
).
Então, o número de complexidade deste bloco é igual a 10 (definição 1, ver seção
4.2.2) ou 9 (definição 2, ver seção 4.2.3). Fazendo o mesmo cálculo para a Figura
4.3b (
p,
6
i
n =
,
s,
4
i
n =
,
sp,
6
i
n
=
,
s
,
1
11
n
ji
j
F
=
=
∑
e
sp,i
*
,
1
12
n
ji
j
F
=
=
∑
) a complexidade
resultante do bloco é igual a 13 (definição 1) e 12 (definição 2). Com isso,
(4.6)
(4.7)
Cap. 4. Medida de Complexidade para Diagramas de Bloco
83
comprova-se que, como esperado, a complexidade da Figura 4.3a é menor que a
da Figura 4.3b (para ambas as definições). Este resultado mostra o perigo de
considerar que um bloco MIMO tenha sempre a mesma complexidade pois,
embora ambas as Figuras 4.3a e b representem o bloco MIMO da Figura 4.2, elas
possuem diferentes complexidades.
Em geral, a representação de blocos da Figura 4.2 é a Figura 4.3a. Neste
caso ou quando não se sabe exatamente como é a estrutura dentro do bloco MIMO
(neste caso, supõe-se que a estrutura seja como na Figura 4.3a), há uma forma
mais fácil de se estimar a complexidade do bloco para as definições 1 e 2,
respectivamente:
(
)
b
,i,o,
21
iii
Cnn=−
(
)
b
,o,i,
21
iii
Cnn=−
onde
i,i
n é o número de entradas do bloco
i
e
o,i
n é o número de saídas do bloco
i .
4.3.2. Exemplo 2
Para um exemplo mais complexo considere o sistema apresentado na
Figura 4.4.
(4.8)
(4.9)
Cap. 4. Medida de Complexidade para Diagramas de Bloco
84
Block 1
Block 2
A
B
C
D
x
y
+
-
M
N
Figura 4.4. Diagrama de blocos com dois blocos MIMO separados.
A complexidade global do sistema representado pela Figura 4.4 é a soma
das complexidades dos blocos 1 e 2 e dos blocos-soma. Os blocos 1 e 2 estão
detalhados na Figura 4.5.
p11
p12
p13
p14
p15
A
B
M
x
y
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
(a)
p21
p22
y
D
+
+
+
N
(b)
Figura 4.5. Representação dos blocos 1 (a) e 2 (b) da Figura 4.4.
Se não for considerado o que está dentro dos blocos na Figura 4.4
(considerando-se o bloco MIMO como tendo complexidade igual a 1), obtém-se
complexidades 7 para bloco (6 parâmetros e 1 bloco MIMO) e 3 para o bloco 2 (2
parâmetros e 1 bloco MIMO), 2 fluxos entrando um bloco-soma e 2 deixando um
bloco-divisão. Assim, a complexidade total seria 11 para ambas as definições.
Cap. 4. Medida de Complexidade para Diagramas de Bloco
85
Porém, quando se olha dentro dos blocos 1 e 2 (veja Figura 4.5), percebe-
se que a complexidade para o bloco 1 seria 11 (definição 1) e 10 (definição 2) e,
para o bloco 2, seria 4 (definição 1) e 3 (definição 2). Assim, a complexidade total
do sistema representado pela Figura 4.4 seria 16 (definição 1) e 14 (definição 2).
4.3.3. Exemplo 3
Neste exemplo serão aplicadas as medidas de complexidade sugeridas para
alguns diagramas de blocos apresentados por Skogestad e Postlethwaite (1996).
As Figuras 4.6a e b, 4.7, 4.8 e 4.9 são, respectivamente, as Figuras 10.3a e b, 10.4,
10.5 e 10.8 do livro de Skogestad e Postlethwaite (1996).
(a) Controle em cascata convencional (número extra de medidas
2
y )
(b) Reajuste da entrada (número extra de entradas
2
u )
Figura 4.6. Implementações em cascata.
A Figura 4.6 apresenta duas típicas configurações de controle com número
extra de medidas (Figura 4.6a) e de manipuladores (Figura 4.6b). A vantagem da
implementação em cascata convencional é que esta desacopla mais claramente o
projeto dos dois controladores.
K K
Plant
1
2
+
-
+
-
r
1
2
r
u
2
y
1
y
2
K
Plant
1
+
-
r
u
u
2
y
1
u
K
2
+
-
2
r
Cap. 4. Medida de Complexidade para Diagramas de Bloco
86
Figura 4.7. Caso comum de controle em cascata onde a saída primária
1
y depende
diretamente das medidas em excesso
2
y .
As complexidades das Figuras 4.6-4.9 estão apresentadas na Tabela 4.1,
assim como as complexidades dos outros exemplos. Para cada figura apresenta-se
a complexidade usando ambas as definições.
Figura 4.8. Configuração de controle com duas camadas de controle em cascata.
Figura 4.9. Controle descentralizado diagonal de uma planta 2
×2.
K K
1
2
+
-
+
-
r
1
2
r
u
2
y
1
y
2
G
G
2
d
1
d
2
1
+
+
+
+
K
1
K
2
K
3
G
1
G
3
G
2
u
2
r
1
r
2
r
3
u
3
y
2
y
1
+
-
-
-
+
+
+
+
K
1
K
2
G(s)
u
2
u
1
y
1
y
2
K(s)
r
1
r
2
+
+
-
-
Cap. 4. Medida de Complexidade para Diagramas de Bloco
87
Tabela 4.1. Comparações entre as definições de complexidade.
Examples Definition 1 Definition 2
Figura 4.3a 10 9
Figura 4.3b 13 12
Figuras 4.4 e 4.5 16 14
Figura 4.6a 5 4
Figura 4.6b 5 5
Figura 4.7 8 6
Figura 4.8 10 9
Figura 4.9 5 5
A Tabela 4.1 mostra que ambas as definições são equivalentes. A
diferença está, basicamente, em qual pode ser considerada mais importante para
se medir a complexidade, bloco-soma ou bloco-divisão. É importante notar que se
deve usar somente uma delas, nunca ambas as definições ao mesmo tempo. É
importante lembrar também que não se pode comparar a complexidade de duas
estruturas calculadas por duas definições diferentes. Neste caso, deve-se escolher
uma definição e usá-la em todas as estruturas.
4.4. APLICAÇÃO AO CONTROLE PERFEITO INDIRETO
Uma importante aplicação da medida de complexidade está no uso de
controle perfeito indireto. No capítulo 2 foi mostrado que é possível obter controle
perfeito indireto das variáveis controladas primárias (pelo menos em estado
estacionário) na presença de distúrbios não-medidos. Para isso é necessário que se
tenha uma quantidade suficiente de variáveis medidas independentes e que se
mantenha constante uma combinação linear das mesmas. A quantidade de
variáveis medidas deve ser, no mínimo, igual à soma da quantidade de variáveis
manipuladas e da quantidade de distúrbios presentes no processo.
Cap. 4. Medida de Complexidade para Diagramas de Bloco
88
Considere que se tenha o seguinte modelo linear em estado estacionário:
11 d1
∆
=∆+ ∆
y
GuG d
yy
d
∆
=∆+∆
y
GuGd
onde:
1
∆
y
- variáveis primárias (combinação dos estados)
∆
y
- medidas disponíveis
∆u - variáveis manipuladas
∆d - distúrbios
Demonstrou-se, no Capítulo 2, que, havendo quantidade suficiente de
medidas, pode-se ter controle perfeito indireto das variáveis primárias ao se
combinar as variáveis medidas da seguinte forma:
d
yy
d
∆= ∆= ∆+ ∆
G
G
cH
y
HG u HG d
onde:
∆c - variáveis secundárias (combinação das variáveis medidas)
H - matriz da combinação linear das variáveis medidas
A solução para este problema é dada pela Equação (4.14):
[]
-1
y
1
1
-1 y y
c0 1 d1 d
−
=
G
G
HPG G G G
onde
c0
P é uma matriz que relaciona a combinação de medidas às saídas
primárias. Esta matriz pode ser escolhida arbitrariamente.
(4.11)
(4.12)
(4.13)
(4.14)
Cap. 4. Medida de Complexidade para Diagramas de Bloco
89
O problema desta aproximação é que a matriz H resultante é uma matriz
cheia, tornando a estrutura de controle complexa demais. Assim quer-se reduzir a
complexidade deste sistema de controle, porém mantendo-se a propriedade de
rejeição perfeita do distúrbio. Para isso, divide-se a matriz
H em duas partes
(
[
]
12
=HHH), onde
1
H é uma matriz quadrada. Caso se queira
1
H igual à
matriz identidade (para se reduzir ainda mais a complexidade do sistema), deve-se
também dividir as seguintes matrizes:
1
2
y
y
y
=
G
G
G
1
2
y
y
d
d
y
d
=
G
G
G
onde
1
y
G
é uma matriz quadrada.
A Equação (4.14) pode ser escrita como:
[
]
yy -1
dc01d1
=
GGHPGG
ou
[]
1
2
y
-1
12 c01
y
=
G
HH PG
G
[]
1
2
y
-1
d
12 c0d1
y
d
=
G
HH PG
G
As Equações (4.17) e (4.18) se tornam, então:
12
yy
-1
12c01
+=HG HG P G
12
yy
-1
1d 2d c0d1
+=HG HG P G
(4.15)
(4.18)
(4.19)
(4.20)
(4.16)
(4.17)
Cap. 4. Medida de Complexidade para Diagramas de Bloco
90
Isolando
1
H da Equação (4.19), tem-se:
-1 -1
121
yyy
-1
1c01 2
=−HPGG HGG
A substituição da Equação (4.21) na Equação (4.20) resulta em:
()
-1 -1
12112
yyyyy
-1 -1
c0 1 2 d 2 d c0 d1
−+=PGG HG G G HG PG
-1 -1
11 211 2
yy yyy y
-1 -1
c0 1 d 2 d 2 d c0 d1
−+=PGGG HGGG HG PG
()
(
)
-1 -1
2 211 11
y yyy yy
-1
2d d c0d1 1 d
−=−HG GGG PG GGG
()
(
)
-1 -1
2
11 2 11
1
yy y yy
-1 y
2c0d11 d d d
−
=− −H P G GGG G GGG
Substituindo a Equação (4.25) na Equação (4.21):
(
)
(
)
-1 -1 -1 -1
111221121
1
yyyyyyyyy
-1 -1
1c01 c0d1 1 d d d
−
=−− −HPGG PG GGG G GGG GG
()
(
)
-1 -1
2
11 2 11
1
yy y yy
-1 y
2c0d11 d d d
−
=− −H P G GGG G GGG
Se
c0
P , o qual pode ser escolhido arbitrariamente, for considerado como
sendo igual a:
()
(
)
-1 -1 -1
11 2 211 2 1
1
yy y yyy y y
c0 1 d1 1 d d d
−
=− − −
P G G GGG G GGG G G
então pode-se concluir que
1
=
HI.
(4.21)
(4.22)
(4.23)
(4.24)
(4.25)
(4.26)
(4.27)
(4.28)
Cap. 4. Medida de Complexidade para Diagramas de Bloco
91
Pela Equação (4.28) pode-se facilmente verificar que esta solução é única,
isto é, há somente uma matriz
c0
P
e, conseqüentemente, somente uma matriz
2
H
que resulta em
1
=HI.
Para se comparar a complexidade das estruturas de controle dadas por
estas duas formas de se calcular a matriz
H usar-se-á o exemplo da coluna de
destilação apresentada no Capítulo 2. Neste exemplo considera-se que as vazões
(
L ,
V
, D e
B
) são as variáveis medidas disponíveis. Assim, a combinação
original das variáveis medidas (com matriz
H
cheia) é representada por:
111 12 13 14
221 22 23 24
chLhVhDhB
chLhVhDhB
=
+++
=++ +
Esta estrutura de controle tem complexidade igual a 14 (definição 1) ou 12
(definição 2).
A segunda combinação de variáveis (impondo
1
H igual à identidade) é:
**
11314
**
22324
cLhDhB
cVhDhB
=+ +
=+ +
Esta estrutura de controle tem complexidade igual a 8 (usando a definição
1) ou 6 (usando a definição 2). É importante frisar que ambas as estruturas
possuem a mesma característica de rejeição perfeita do distúrbio.
Assim, independentemente de qual definição for usada, demonstrou-se,
por este exemplo, a importância de se obter estruturas de controle com as mesmas
características (rejeição perfeita do distúrbio) mas com reduzida complexidade.
(4.29)
(4.30)
Cap. 4. Medida de Complexidade para Diagramas de Bloco
92
4.5. CONCLUSÕES
Este capítulo apresentou duas formas similares de se calcular a
complexidade de diagramas de bloco. A importância desta avaliação é ajudar a se
produzir boas estruturas de controle com a menor complexidade possível devido
ao fato de que os custos de implementação aumentam em grandes sistemas
complexos.
Independentemente da escolha da definição, para se comparar duas
estruturas diferentes, o projetista deve sempre usar a mesma definição de
complexidade. Um ponto importante a se enfatizar é que embora se possa contar
tanto blocos-soma quanto blocos-divisão, não se deve usá-los ao mesmo tempo
visto que, ao se fazer isso, está-se contando duas vezes.
Foi mostrado também, pela aplicação destas definições ao controle perfeito
indireto, que é possível se obter uma estrutura de controle com mínima
complexidade sem perda de desempenho.
4.6. NOMENCLATURA
b
,i
C complexidade do bloco
i
s
C complexidade total
j
F número de fluxos que entram no bloco-soma
j
*
j
F número de fluxos que entram no bloco-divisão
j
,ji
F número de fluxos (dentro do bloco i ) que entram no bloco-soma
j
*
,
ji
F número de fluxos (dento do bloco
i
) que entram no bloco-divisão
j
Cap. 4. Medida de Complexidade para Diagramas de Bloco
93
b
n número de blocos do sistema
i,i
n número de fluxos de entrada do bloco i
o,i
n
número de fluxos de saída do bloco i
p
,i
n número de parâmetros independentes dentro do bloco
i
b
n número de blocos do sistema
s,i
n número de blocos-soma dentro do bloco i
sp,i
n
número de blocos-divisão dentro do bloco i
sp
n número de blocos-divisão do sistema
Letras gregas
s
Π complexidade estrutural
4.6. BIBLIOGRAFIA
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Cap. 4. Medida de Complexidade para Diagramas de Bloco
95
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Capítulo 5
Controle Coordenado de Controladores
QDMC Descentralizados
Este capítulo é uma versão estendida do seguinte trabalho:
HORI, E. S.; KWONG, W. H. Coordenação de controladores descentralizados
utilizando-se as ações futuras preditas pelo algoritmo QDMC. In: Anais do
XV Congresso Brasileiro de Engenharia Química, 2004.
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
97
RESUMO
Apesar dos avanços na síntese de sistemas de controle multivariáveis, o
controle descentralizado continua sendo muito popular na indústria de processos
químicos. Isto se deve à maior facilidade de se projetar, implementar e ajustar um
sistema de controle descentralizado e por ser de fácil compreensão aos
operadores. Porém, as plantas químicas modernas, com o objetivo de reduzir os
custos de instalação e de produção, estão se tornando cada vez mais complexas,
integradas e automatizadas, com muitas correntes de reciclo, acarretando num
aumento significativo das interações entre as subunidades. Nesse novo ambiente
operacional, as ações isoladas de cada controlador podem vir a prejudicar a
performance de outras unidades do processo, caso estas ações sejam feitas de
forma descoordenada. Assim, é importante que os controladores levem em
consideração, para o cálculo das ações de controle das variáveis manipuladas, os
efeitos que estas ações terão sobre as demais subunidades. Dessa forma, necessita-
se de uma forma de coordenar as ações dos vários controladores descentralizados.
O objetivo deste capítulo é apresentar uma estratégia de controle coordenado das
ações de controle de um sistema descentralizado, com vários controladores
QDMC (“Quadratic Dynamic Matrix Control”), de forma a melhorar o
desempenho de todo o processo. Os resultados das simulações mostram que esta
estratégia de coordenação é capaz de melhorar o desempenho do sistema de
controle, tanto na presença de distúrbios como em variações dos “set points” do
processo.
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
98
ABSTRACT
Although there are several advances in the synthesis of multivariable
control systems, the decentralized control is still very popular in the chemical
process industry. This happens because a decentralized controller is easier to be
designed, implemented, adjusted, and understood by the operators. But the
modern chemical plants, to reduce installation and production costs, are becoming
even more complexes, integrated, and automated, with several recycle streams,
causing a significative increase in the interactions among the subunits. In this new
operational environment, isolated control actions of each controller can prejudice
the performance of the other units if these control actions are done in a non-
coordinated way. Then, it is important that the controllers consider, when
calculating the control actions of the manipulated variables, the effects that these
actions will have over the other subunits. In this way, it is necessary to develop a
way to coordinate the actions of several decentralized controllers. The objective of
this paper is to present a coordinated control strategy of the control actions of a
decentralized system, with several QDMC (“Quadratic Dynamic Matrix Control”)
controllers, to improve the performance of the whole process. The simulation
results show that this coordination strategy is able to improve the performance of
the control system, both in the presence of disturbance and process set point
changes.
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
99
5.1. INTRODUÇÃO
Antes de se iniciar o desenvolvimento de uma estrutura de controle, é
necessário que se decida se o controlador a ser utilizado deve ser centralizado ou
descentralizado (ver etapa 6 da Tabela 1.1). Caso se decida por descentralizar o
sistema de controle (escolha mais comum), torna-se necessário coordenar as ações
de controle dos diversos controladores descentralizados (etapa de coordenação,
intermediária entre as etapas 6 e 7 da Tabela 1.1).
5.1.1. Controle centralizado versus controle descentralizado
Os controladores centralizados (MIMO) têm tido um desenvolvimento
muito grande nos últimos anos. Estes possuem a vantagem de incorporar, em seu
projeto, todas as interações presentes no sistema, enquanto que os controladores
descentralizados, baseados em modelos do subsistema local, não o fazem. Apesar
dessas vantagens dos controladores centralizados, o controle descentralizado
permanece muito popular na indústria de processos químicos.
Hovd e Skogestad (1993) apresentam algumas razões para a popularidade
dos controladores descentralizados:
1. Controladores descentralizados são fáceis de implementar;
2. São facilmente compreensíveis aos operadores;
3. Como os operadores compreendem bem os controladores descentralizados,
pode-se permitir aos mesmos reajustar os controladores, levando-se em
consideração as mudanças nas condições operacionais do processo;
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
100
4. A tolerância à falhas (por exemplo, falhas de medidas) pode ser mais
facilmente incorporada no projeto de controladores descentralizados do que em
controladores centralizados;
5. O sistema de controle pode ser conduzido gradualmente ao “set point” durante
a partida do processo e levado, gradualmente, para fora de serviço durante
paradas.
Em geral, plantas multi-unidades são sistemas de grande dimensão muito
complicados e, por isso, torna-se necessário decompor a planta em alguns
subsistemas de menor dimensão, de forma que um controlador possa ser projetado
independentemente para cada subsistema (Lee et al., 2000). Um método muito
utilizado para decompor sistemas MIMO (“multi-input-multi-output”) em SISO
(“single-input-single-output”) é o RGA (“Relative Gain Array”), apresentado
inicialmente por Bristol (1966).
O primeiro problema a ser solucionado, no projeto de um sistema de
controle descentralizado, é a da seleção da estrutura de controle ou o pareamento
de variáveis de entrada e saída, isto é, quais das variáveis manipuladas disponíveis
devem ser usadas para controlar cada uma das variáveis controladas (Kookos e
Lygeros, 1998).
O projeto de um sistema de controle descentralizado consiste de duas
etapas principais (Hovd e Skogestad, 1993):
1. Seleção da estrutura de controle, isto é, escolha das entradas manipuladas e das
saídas controladas e pareamento das entradas e saídas;
2. Projeto de cada controlador simples-entrada simples-saída (SISO).
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
101
Reeves e Arkun (1989) advertem, porém, que um sistema totalmente
descentralizado pode conduzir a um alto grau de interações devido às informações
desprezadas por sua estrutura. Em tais casos, uma estrutura descentralizada em
blocos, onde grupos de entradas são pareados com grupos de saídas, seria
preferível. Isto produziria um controlador com estrutura diagonal em blocos.
Hovd e Skogestad (1994) apresentaram um método de projeto seqüencial
das malhas de controle, com fechamento e ajuste de uma malha por vez, com o
objetivo de reduzir as interações entre elas. Eles listaram algumas vantagens e
desvantagens deste método:
Vantagens do projeto sequencial:
1. Cada etapa do projeto envolve somente um controlador SISO;
2. Um grau limitado de tolerância a falhas é garantido: se a estabilidade tiver sido
alcançada após o projeto de cada malha, então o sistema se manterá estável se as
malhas falharem ou forem retiradas de serviço, na ordem contrária das quais
foram projetadas;
3. Similarmente, durante a partida, o sistema será estável se as malhas forem
ligadas na mesma sequencia em que foram projetadas.
Desvantagens do projeto sequencial:
1. O projeto do controlador final, e deste modo a qualidade do controle obtido,
pode depender da ordem na qual os controladores das malhas individuais foram
projetados;
2. Projeta-se somente uma malha de controle por vez. Assim, o fechamento das
malhas subseqüentes pode alterar a resposta das malhas previamente projetadas e,
dessa forma, tornar necessária uma iteração;
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
102
3. A função de transferência entre a entrada
k
u e a saída
k
y (a qual é considerada
no projeto da malha
k
) pode conter zeros no semiplano direito (RHP), que não
correspondem a zeros de transmissão de
(
)
sG .
Robinson et al. (2000 e 2001) apresentaram uma proposta para projetar
arquiteturas de controle “plantwide” descentralizadas. A proposta é baseada na
divisão da matriz de ganhos do controlador ótimo, que resulta da solução de
problema de controle ótimo, em partes “feedback” e “feedforward”. Estas duas
partes são, então, usadas para projetar e avaliar sistemas de controle
descentralizado.
5.1.2. Controle preditivo
Uma das técnicas de controle mais estudadas nos últimos anos tem sido o
controle preditivo com modelo (MPC). O MPC é aquela família de controladores
nos quais há o uso direto de um modelo explícito e identificável separadamente.
Métodos de projeto de controlador baseado no conceito do MPC têm encontrado
uma grande aceitação em aplicações industriais e, têm sido muito estudados por
acadêmicos. A razão para tal popularidade é a habilidade dos controladores MPC
produzirem sistemas de controle de alta performance, capazes de operar por
longos períodos de tempo sem a intervenção de especialistas e, principalmente,
sua grande capacidade de manusear restrições.
As técnicas de controle preditivo com modelo mais comuns são o Controle
Algorítmico com Modelo (MAC), Richalet et al. (1978), o Controle por Matriz
Dinâmica (DMC), Cutler e Ramaker (1979), o Controle com Modelo Interno
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
103
(IMC), Garcia e Morari (1982) e o Controle Preditivo Generalizado (GPC),
Clarke et al (1987).
Dentre as técnicas baseadas em modelo, o DMC é o mais popular na
indústria de processos (Maiti e Saraf, 1995). O DMC foi concebido para manejar
os problemas de controle multivariáveis com restrições, típicos das indústrias
químicas e petrolíferas.
De acordo com Morari e Lee (1999), o DMC teve um tremendo impacto
na indústria. Não há, provavelmente, uma única grande companhia petrolífera no
mundo onde o DMC (ou um produto funcionalmente similar com um nome
comercial diferente) não esteja empregado nas mais recentes instalações. A
pesquisa inicial em MPC foi caracterizada por tentativas de se entender o DMC,
que foi formulado de uma maneira não-convencional. Um exemplo foi o
desenvolvimento do controle com modelo interno (IMC) por Garcia e Morari
(1982), o qual falhou em fornecer luz na conduta do DMC com restrição mas deu
algumas luzes a respeito de controle robusto.
Um dos maiores problemas com a aplicação de técnicas de controle
preditivo é que a maioria delas utiliza-se de modelos lineares dos processos,
apesar da necessidade de se considerar os efeitos da não-linearidade na
performance do controle preditivo. Usando torres de destilação de alta e média
pureza, McDonald e McAvoy (1987) ilustraram a dificuldade em se obter um
modelo representativo do processo para sistemas não–lineares e propuseram uma
técnica para fazer a atualização “online” dos parâmetros-chave do modelo do
processo, de forma a melhorar a performance do controle. Eles fizeram uma
análise quantitativa das variações do ganho do processo e da constante de tempo e
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
104
obtiveram expressões analíticas simples para predizer estas variações. Estas
expressões analíticas foram usadas para a atualização “online” do ganho e da
constante de tempo. Resultados de simulação indicaram o potencial das técnicas
multivariáveis para compensar não-linearidades dos processos. Contudo, o esforço
computacional para a avaliação e a atualização “online” dos parâmetros do
processo pode limitar a sua aplicabilidade.
Para reduzir ou eliminar a aparente não-linearidade do processo e melhorar
a sua performance, Georgiou et al. (1988) propuseram o uso do DMC não-linear
(NLDMC). O NLDMC consiste do uso de transformações não-lineares na saída,
frequentemente sugeridas por uma análise das equações fundamentais do sistema,
de forma a reduzir ou eliminar a aparente não-linearidade do sistema. A resposta
regulatória do NLDMC apresentou-se melhor que a obtida pelo DMC padrão.
Chang et al. (1992) propuseram o conceito de modelo de convolução
médio, para destacar o controle DMC em processos não-lineares. Para aplicações
industriais, foram consideradas, contudo, duas questões que dizem respeito à
construção do modelo de convolução médio. O primeiro problema encontrado na
indústria foi a ausência de precisão nos modelos que podem ser usados para o
projeto e a análise dos algoritmos de controle, tais como as aproximações
propostas para o DMC. O outro problema foi a inviabilidade de se realizar testes-
degrau, com variações na grandeza e na direção da entrada, em um processo real
em diferentes condições de operação, para gerar coeficientes de convolução.
De acordo com Lundström et al. (1995), o DMC baseia-se em duas
suposições que limitam seu desempenho “feedback”. A primeira suposição parte
do princípio de que um modelo estável de resposta a um degrau pode ser usado
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
105
para representar a planta. A segunda diz que a diferença entre as saídas medidas e
as preditas podem ser modeladas como uma perturbação degrau agindo na saída.
Estas suposições conduzem às seguintes limitações:
- Uma boa performance pode exigir um número excessivo de coeficientes de
resposta ao degrau;
- Baixo desempenho pode ser observado para distúrbios tipo rampa que afetem as
saídas da planta. Isto ocorre, particularmente, para distúrbios nas entradas, para
plantas com grandes constantes de tempo;
- Baixo desempenho de robustez, devido à incerteza do ganho na entrada, pode ser
observado para plantas multivariáveis com forte interação;
- A planta deve ser estável.
Lundström et al. (1995) apresentam algumas sugestões para contornar
estas limitações, como o uso de um modelo em espaço de estado que não tenha
erro de truncamento.
Austin e Bozin (1996) mostraram os princípios essenciais dos sistemas
MBPC (controle preditivo baseado em modelo) com um resumo das origens de
seu uso nas indústrias de processo, recordando algumas questões teóricas
associadas com estes sistemas, tendo o DMC como foco principal. O DMC foi
aplicado a três plantas diferentes: uma máquina de fabricar papel, uma unidade de
craqueamento catalítico fluidizado e uma planta de reciclagem de fibras. Os
resultados mostraram que o DMC teve um desempenho muito bom quando
comparado com outros sistemas de controle. Para o caso do controle da planta de
reciclagem de fibras, o DMC apresenta diversas vantagens, como: aumento na
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
106
produção, redução da variância da claridade da polpa, redução no uso de
alvejante, melhor ajuste da velocidade de rejeito.
De acordo com Morari e Lee (1999), o que limita a performance e a
aplicabilidade do MPC não são as deficiências do algoritmo de controle, mas
dificuldades em modelagem, estimativa do estado, detecção/diagnóstico de erros,
etc. O MPC mostra novas necessidades nestas áreas e também sugere novas
aproximações: por exemplo, no passado, tarefas, como detectar erros, eram
procedidas no nível supervisório na forma de um “fuzzy” ou tomador de decisão
baseado em conhecimento. Como eles mostram, há novas formulações de MPC
envolvendo variáveis inteiras, o que promete uma combinação entre controle e
diagnóstico. Similarmente, existe a possibilidade de incluir conhecimento
qualitativo numa maneira sistemática no processo de decisão de controle. Morari e
Lee (1999) apresentam neste trabalho alguns pontos muito importantes no estudo
do MPC como: melhora da identificação; monitoramento da performance e
diagnóstico; identificação de sistema não-linear; controle preditivo com modelo
para processos em batelada; estimativa de horizonte móvel; melhora na
otimização; e novas oportunidades pela inclusão de variáveis de decisão inteiras
no controle preditivo com modelo.
5.1.3. Coordenação
As plantas químicas modernas, com o objetivo de reduzir os custos de
instalação e de produção, estão se tornando cada vez mais complexas, integradas e
automatizadas, com muitas correntes de reciclo, acarretando num aumento das
interações entre as subunidades.
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
107
Nesse novo ambiente operacional, as ações isoladas de cada controlador
podem vir a prejudicar a performance de outras unidades do processo caso estas
ações sejam feitas de forma descoordenada. Assim, é importante que os
controladores levem em consideração, para o cálculo das ações de controle, os
efeitos que estas ações terão sobre as demais subunidades. Dessa forma, necessita-
se de uma forma de coordenar as ações dos vários controladores.
Katebi e Johnson (1997) apresentaram um projeto de GPC (controle
preditivo generalizado) descentralizado para sistemas em larga escala baseado na
aproximação em espaço de estados. Um filtro de Kalman descentralizado em dois
níveis é usado para estimar, localmente, os estados de cada subprocesso e uma
estratégia de coordenação ótima melhora a solução da filtragem. Uma estratégia
de otimização em dois níveis decompõe o problema global do GPC em
subproblemas manuseáveis. A solução do GPC para cada subprocesso é calculada
independentemente e enviada para atualizar os valores do coordenador ótimo.
Este processo é repetido até que se encontre uma solução ótima. Este algoritmo
foi aplicado a uma planta de geração de energia. A Figura 5.1 apresenta a
estrutura de controle do GPC descentralizado.
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
108
Figura 5.1. Estrutura do GPC descentralizado (Katebi e Johnson, 1997).
5.1.4. Objetivo
O objetivo deste trabalho é apresentar uma estratégia de controle
coordenado das ações de controle de um sistema descentralizado, com vários
controladores QDMC (“Quadratic Dynamic Matrix Control”), de forma a
melhorar o desempenho de todo o processo. Os resultados das simulações
mostram que esta estratégia de coordenação é capaz de melhorar o desempenho
do sistema de controle, tanto na presença de distúrbios como em variações dos
“set points” do processo.
Coordenador do Controlador
Controlador GPC
U
i
(t)
U
i
*
(t)
Coordenador do Filtro
Filtro Descentralizado
Sistema Descentralizado
x(t)
u(t)
x
i
(t)
x
i
*
(t)
β
i
(t)
u
i
(t)
Ζ
i
(t)
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
109
5.2. METODOLOGIA
5.2.1. Algoritmo de Charos e Arkun (1993)
Charos e Arkun (1993) apresentaram um método para descentralizar o
algoritmo QDMC multivariável original em subproblemas menores (subsistemas)
que possam ser resolvidos independentemente e em paralelo.
Considere que as matrizes
Y e U , as quais representam, respectivamente,
as variáveis de saída e de entrada, possam ser particionadas em n subvetores da
seguinte forma:
[
]
T
T
12
n
=YYY Y…
[
]
T
T
12
n
=UUU U…
Considere também que se tenha um processo cuja função-objetivo possa
ser considerada separável, ou seja, possa ser representada pela Equação (5.3):
1
n
i
i
JJ
=
=
∑
onde
i
J denota a função-objetivo para o subsistema
(
)
,
ii
YU .
A função
i
J pode ser representada por:
(
)
(
)
T
TTT
,,isiiiisii iiii
J =−ΓΓ −+∆ΛΛ∆YY YY U U
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
110
Embora a função-objetivo global seja separável, a otimização não pode ser
expressa por
n
otimizações menores independentes devido às interações entre os
subsistemas.
Para eliminar, parcialmente, estas interações, Charos e Arkun (1993)
apresentaram uma forma de decomposição que considera as interações passadas e
despreza as interações futuras entre os subsistemas.
O algoritmo pode ser ilustrado com o seguinte exemplo. Assuma que o
número de variáveis controladas e manipuladas sejam iguais a
n e que a
dimensões da entrada (
i
U ) e da saída (
i
Y ) sejam iguais a 1
(dim dim 1
ii
==YU), ou seja, considera-se que tenhamos n controladores
SISO. Assim, as saídas e as entradas são particionadas em
n subsistemas
escalares. Dessa forma, para cada subsistema 1, ,
qn
=
… , temos que a Equação
(5.5) pode ser considerada válida.
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
111
()
()
()
(
)
()
()
()
,
1
,
21
,,
11
,, ,
(1)
1
,
21
,,
,,
1
00
21
0
1
00
0
q
qq
q
qq
qq
qq
qq qq
PP PM
qq
qq qq qq
k
k
qj
qj qj
PP
qj qj
yk uk
a
yk uk
aa
ykP ukM
aa a
a
aa
aa
−−+
+
∆
−
+∆
+∆+
=
+∆+−
+
Y
A
U
()
()
()
()
,
,
1
11
,
234 1
,,, ,,
345
,,, ,
12
,, ,
1
1
0
0
qj
j
qq
j
n
j
jjq
PM
j
qj
k
NN
qq qq qq qq qq
N
qq qq qq qq
PP N
qq qq qq
uk
uk
ukM
a
aaa aa
aaa a
aa a
=≠
−+
∆
−
++
∆
∆+
∆+−
+
∑
A
U
B
()
()
()
()
()
()
()
,
1
234 1
,,, ,,
345
,,, ,
12
,, ,
1
2
1
1
2
0
1
0
q
qj
q
q
q
k
NN
j
qj qj qj qj qj
N
j
qj qj qj qj
PP N
j
qj qj qj
uk
uk
ukN
uk
aaa aa
uk
aaa a
ukN
aa a
∆−
−
++
∆
∆−
∆−
∆−+
∆−
∆−
+
∆−+
U
B
U
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
,
,
,
,
1
,
1
1
,
,
1
,
1
1
2
1
2
j
qq
qj
qq
n
qq
jjq
qq
k
k
q
qj
n
q
qj
jjq
q
qj
k
yk
yk
ykP
wk
yk
wk
yk
wk
ykP
∗
∗
∗
∗
=≠
∗
−
+
∗
∗
=≠
∗
+
+
+
+
+
+
+
++
+
∑
∑
Y
Y
ou
( ) () ( ) ()
() () () ()
,, ,
1,
iii
iii
,, ,
1, 1,
vvii
iv vi
11
11 1
n
qqqqqqq qjj
jjq
nn
qj j qq qj q
jjq jjq
kkk k
kk kk
=≠
∗∗
=≠ =≠
+= ∆ + ∆ −+ ∆
+ ∆ −+ ++ ++
∑
∑∑
YAUBU AU
BU Y Y W
Os termos da Equação (5.6) são interpretados da seguinte forma:
(5.5)
(5.6)
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
112
i - é o efeito que as entradas futuras do subsistema q terão sobre a saída
q
y ;
ii - é o efeito que as entradas passadas do subsistema
q
terão sobre a saída
q
y
;
iii - é o efeito que as entradas futuras de todos os outros subsistemas terão sobre a
saída
q
y ;
iv - é o efeito que as entradas passadas de todos os outros subsistemas terão sobre
a saída
q
y ;
v - é o efeito que a condição inicial do subsistema
q
terá sobre a saída
q
y
;
vi - é o efeito que as condições iniciais de todos os outros subsistemas terão sobre
a saída
q
y ;
vii - é o efeito que o distúrbio terá sobre a saída
q
y ;
A suposição fundamental feita por Charos e Arkun (1993) na sua
formulação de QDMC descentralizado é:
“Cada subsistema q assume que cada um dos outros subsistemas
i
()
iq
≠
manterão as entradas que foram implementadas no
instante de amostragem anterior constante para o próximo
horizonte de predição.”
Esta suposição implica que
(
)
j
k∆U (ver parte (iii) da Equação (5.6)), o
qual corresponde às entradas futuras dos outros subsistemas, seja identicamente
igual a zero (
()
0
j
k
∆
=U ).
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
113
Com isso, torna-se possível decompor o problema QP (”Quadratic
Programming”) proposto em
n
sub-otimizações. Dessa forma pode-se calcular,
separadamente, as ações futuras de cada subsistema
i
:
Min q 1, ,
q
q
Jn
∆
=
U
…
tal que
()
(
)
(
)
passado
,
11()
qqqqq q
kkkk+= ∆ + ++YAUY W
onde
() () ()
passado passado
,,
11
111
nn
qqjjqj
jj
kkk
==
+= ∆ −+ +
∑∑
YBUY
()
(
)
(
)
,min ,max
0, , 1
qqq
kl kl kl l M+≤ +≤ + = −UUU …
()
(
)
(
)
,min ,max
0, , 1
qqq
kl kl kl l M∆+≤∆+≤∆+ =−UUU …
()
(
)
(
)
,min ,max
1, ,
qqq
kl kl km m P+≤ +≤ + =YYY …
As Figuras 5.2 e 5.3 apresentam dois diagramas de bloco, os quais
representam, respectivamente, o algoritmo QDMC descentralizado sem
coordenação e o algoritmo de Charos e Arkun (1993), para um sistema
descentralizado em dois subsistemas de menor ordem. Nestas figuras as variáveis
()
1
kY e
()
2
kY representam as saídas medidas a serem controladas, as variáveis
()
1
kU e
(
)
2
kU representam as variáveis manipuladas a serem implementadas no
(5.8)
(5.9)
(5.10)
(5.11)
(5.12)
(5.7)
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
114
instante de amostragem
k
(atual) e as variáveis
(
)
1
1k
−
U e
()
2
1k
−
U
representam o conjunto das entradas manipuladas passadas.
Figura 5.2 Esquema do algoritmo QDMC descentralizado sem coordenação
Figura 5.3. Esquema do algoritmo de Charos e Arkun (1993).
O problema da abordagem de Charos e Arkun (1993) é que, em geral, as
ações futuras de controle são diferentes de zero (
(
)
0
j
k
∆
≠U
) (exceto quando o
processo atinge o estado estacionário), tornando-a muito distante da realidade.
planta
QDMC 1 QDMC 2
Subsistema 1 Subsistema 2
Y
1
(k)
U
1
(k)
Y
2
(k)
U
2
(k)
Coordenador
planta
QDMC 1 QDMC 2
Subsistema 1 Subsistema 2
U
1
(k)
Y
2
(k)
Y
1
(k)
U
2
(k)
U
1
(k-1)
U
1
(k-1)
U
2
(k-1)
U
2
(k-1)
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
115
5.2.2. Algoritmo QDMC Coordenado
Um ponto que não foi levado em consideração no trabalho de Charos e
Arkun (1993) é que o QDMC, ao calcular as entradas a serem implementadas no
instante de amostragem
k
, faz previsões das entradas que seriam implementadas
nos outros instantes de amostragem futuros
(
)
1, 2, , 1kk kP
+
++−… , onde P é
chamado de horizonte de predição. Estas previsões são feitas em todos os
subsistemas. Porém, apesar de prever as ações em vários instantes de amostragem
futuros, o QDMC só implementa a primeira previsão, visto que este cálculo é
refeito a cada instante de amostragem. As previsões futuras restantes podem ser
utilizadas para se resolver a Equação (5.6) onde o termo (iii), o qual representa o
efeito dessas ações futuras no cálculo do QDMC, é conhecido a cada instante de
amostragem.
Assim, no presente trabalho apresenta-se uma modificação na suposição
feita por Charos e Arkun (1993).
“Cada subsistema q (ao calcular as ações a serem implementadas
nos instantes de amostragem
k, k+1, , k+P-1… ) assume que as
entradas futuras de todos os outros subsistemas
i
(
)
iq≠ serão
aquelas que foram preditas pelos mesmos subsistemas no instante
de amostragem anterior (
k-1) e que a última entrada futura do
subsistema
i seja igual à penúltima”.
Esta suposição indica que, ao calcular as ações a serem implementadas no
instante
k , cada subsistema vai considerar que as entradas futuras que foram
preditas pelos outros subsistemas no instante
1k
−
(predições feitas para os
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
116
instantes , 1, , 2kk k P
+
+−… ) serão realmente implementados. Isto é somente
uma aproximação visto que, na realidade, os subsistemas implementam somente a
primeira entrada prevista (neste caso, previsão para o instante
1k −
).
A última parte da suposição foi incluída porque as previsões dos outros
subsistemas feitas para o instante
1k
−
vão até o instante 2kP
+
− . Como, para se
resolver a Equação (5.6), precisamos também do valor da previsão para o instante
1kP+−, então consideramos que este último valor seja igual ao valor do instante
2kP+−
.
A Figura 5.4 apresenta o diagrama de blocos que representa o algoritmo
QDMC coordenado apresentado neste capítulo para um sistema descentralizado
em dois subsistemas de menor ordem. Nesta figura, as variáveis
()
1,p
1k −U e
()
2,p
1k −U representam as predições feitas pelos controladores no instante de
amostragem
1k − .
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
117
Figura 5.4. Esquema do algoritmo QDMC descentralizado com coordenação.
5.3. APLICAÇÃO À CAIXA DE ALIMENTAÇÃO DE UMA
MÁQUINA DE PAPEL
Este algoritmo modificado foi aplicado à caixa de alimentação de uma
máquina de papel. Os resultados mostram que esta modificação pode melhorar o
desempenho do QDMC descentralizado apresentado por Charos e Arkun (1993),
aproximando-o do QDMC centralizado.
A caixa de alimentação de uma máquina de papel é um sistema não-linear
multivariável muito importante (Diniz, 1997). O seu controle tem grande
importância no processo de produção de papel sendo que o nível (
2
h ) e a
consistência do material (
2
N ) na caixa de alimentação são fatores-chave que
afetam a qualidade da produção. Em geral, a vazão de água-branca (
w
G ) e a
planta
QDMC 1 QDMC 2
Subsistema 1 Subsistema 2
Coordenador
U
1
(k-1)
U
2
(k-1)
U
2
(k-1)
U
1
(k-1)
Y
1
(k)
Y
2
(k)
U
1
(k)
U
2
(k)
U
1,p
(k-1)
U
1,p
(k-1)
U
2,p
(k-1)
U
2,p
(k-1)
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
118
vazão da polpa (
p
G ) que entram no tanque de mistura são consideradas como as
variáveis manipuladas. O nível e a consistência na caixa de alimentação são as
variáveis controladas. Durante a operação do processo, os “set points” do nível e
da consistência da caixa de alimentação mudam com frequência, de acordo com
as necessidades de velocidade de produção e gramatura do papel. Além disso, há
fortes interações entre o sistema de controle de nível e o sistema de controle da
consistência. O esquema da caixa de alimentação é apresentado pela Figura 5.5.
h
1
1
H
h
2
2
H
G
w
, N
w
G
P
, N
P
G
1
, N
1
G
2
, N
2
Figura 5.5. Esquema da caixa de alimentação.
O modelo da caixa de alimentação da máquina de papel é dado pelos
seguintes balanços transientes:
Tanque de mistura
1
11 p w 1
dh
AGGG
dt
ρ
=
+−
()
1
11 1 p p w w 1 p w
dN
A
HNGNGNGG
dt
ρ
=+ − +
11 1
HhH
=
+
(5.13)
(5.14)
(5.15)
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
119
Caixa de alimentação
2
22 1 2
dh
AGG
dt
ρ
=
−
2
22 2 11 21
dN
AH NG NG
dt
ρ
=−
22 2
HhH=+
Equações constitutivas
111
GCh=
222
GCh=
A consistência é definida por:
massa da pasta
massa total
N =
As variáveis a serem controladas são: o nível (
2
h ) e a consistência (
2
N ). E
as manipuladas são as vazões de alimentação
p
G e
w
G .
A Tabela 5.1 apresenta os valores dos parâmetros do modelo da caixa de
alimentação.
(5.16)
(5.17)
(5.18)
(5.20)
(5.21)
(5.19)
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
120
Tabela 5.1. Valores dos parâmetros da caixa de alimentação.
Densidade
1
ρ
1,00 ton/m
3
Densidade
2
ρ
1,00 ton/m
3
Área
1
A
0,7112 m
2
Área
2
A
3,4840 m
2
Altura
1
H
0,544 m
Altura
2
H
0,092 m
Constante de válvula
1
C
0,8938 ton/(m
0,5
min)
Constante de válvula
2
C
0,9295 ton/(m
0,5
min)
Consistência
p
N
0,95 %
Consistência
w
N
0,05 %
A Tabela 5.2 apresenta as condições iniciais de operação do processo.
Tabela 5.2. Condições iniciais da caixa de alimentação.
Vazão mássica
p
G
0.097 ton/min
Vazão mássica
w
G
0.194 ton/min
Vazão mássica
1
G
0.291 ton/min
Vazão mássica
2
G
0.291 ton/min
Nível
1
s
h
0.106 m
Nível
2
s
h
0.098 m
Consistência
1
s
N
0.35 %
Consistência
2
s
N
0.35 %
5.4. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Utilizou-se, neste trabalho, um tempo de amostragem (
T
) de 0,25 min,
horizonte do modelo (
N
) de 100, horizonte de predição (
P
) de 20 e horizonte de
controle (
L
) de 3. O algoritmo foi simulado utilizando-se o MATLAB
TM
.
Inicialmente, fez-se a decomposição da caixa de alimentação utilizando-se
o algoritmo RGA (“Relative Gain Array”). Assume-se que as variáveis
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
121
controladas
2
h (
1
y ) e
2
N (
2
y ) possam ser pareadas tanto com a variável
manipulada
P
G (
1
u ) como com
w
G (
2
u ). Neste caso, a matriz do RGA obtida foi:
12
1
2
y
0,0556 1,0556
y
1,0556 0,0556
uu
−
Λ=
−
Os valores de
i,j
λ
nos mostram que a altura
2
h deve ser controlada pela
vazão
w
G e a consistência
2
N pela vazão
p
G
.
Em seguida fez-se a comparação do desempenho dos três algoritmos com
variações do “set point” e distúrbio.
As Figuras 5.6 e 5.7 apresentam os movimentos das variáveis controladas
e as Figuras 5.8 e 5.9. apresentam os movimentos das variáveis manipuladas,
comparando-se o desempenho dos três algoritmos (centralizado, descentralizado
por Charos e Arkun (1993) e descentralizado modificado). Nesta comparação
foram aplicadas duas variações no “set point” nos instantes 0 e 35 min e um
distúrbio no instante 20 min.
(5.22)
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
122
Figura 5.6. Resposta da variável controlada 1 a variações no set-point e no
distúrbio.
Figura 5.7. Resposta da variável controlada 2 a variações no “set point” e no
distúrbio.
0
10 20 30 40 50 60
-0.0020
-0.0015
-0.0010
-0.0005
0.0000
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
Controlada y
1
tempo (min)
Modificado
Charos e Arkun
Centralizado
Set point
0
10 20 30 40 50 60
-0.006
-0.004
-0.002
0.000
0.002
0.004
Controlada y
2
tempo (min)
Modificado
Charos e Arkun
Centralizado
Set point
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
123
Figura 5.8. Movimento da variável manipulada
1
u .
Figura 5.9. Movimentos da variável manipulada
2
u
As curvas demonstram que o algoritmo de Charos e Arkun (1993)
apresenta-se muito oscilatório, diferentemente dos demais. O algoritmo
0
10 20 30 40 50 60
-0.02
-0.01
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
Manipulada u
1
tempo (min)
Modificado
Charos e Arkun
Centralizado
0
10 20 30 40 50 60
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0.00
0.01
0.02
Manipulada u
2
tempo (min)
Modificado
Charos e Arkun
Centralizado
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
124
centralizado, como esperado, apresentou o melhor desempenho, porém o
algoritmo descentralizado modificado conseguiu obter uma performance bem
próxima do centralizado quando há variação no “set point”.
Quando há um distúrbio no processo, nota-se que o algoritmo modificado
apresentou a pior performance. Este resultado já era esperado visto que este
considera, no cálculo das ações futuras, os valores dos movimentos futuros que
haviam sido calculados no instante de amostragem anterior, quando o distúrbio
não havia ocorrido ainda. Porém, observa-se que no controle de
2
y (Figura 5.7), o
desempenho do algoritmo modificado ficou muito próximo dos demais.
A Tabela 5.3 apresenta a comparação entre os algoritmos QDMC
centralizado, o descentralizado apresentado por Charos e Arkun (1993) e o
descentralizado modificado utilizando-se o índice de performance IAE (“Integral
Absolute Error”). Os resultados confirmam que o algoritmo descentralizado
modificado apresenta melhor desempenho que o algoritmo de Charos e Arkun
(1993). Para o cálculo do índice IAE fez-se a adimensionalização dos valores
absolutos dos erros, dividindo-os pelos seus respectivos valores no estado
estacionário inicial. São apresentados, também, os valores dos IAEs para cada
uma das duas saídas,
1
y e
2
y .
Tabela 5.3. Comparação do desempenho dos algoritmos usando o índice IAE
Algoritmos
IAE (
1
y ) IAE (
2
y )
IAE
Centralizado 0,1274 0,3088 0,4362
Modificado 0,2704 0,2890 0,5594
Charos e Arkun (1993) 0,2645 0,3245 0,5890
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
125
5.5. ALGORITMO DE COORDENAÇÃO DE QDMC
DESCENTRALIZADO BASEADO EM CÁLCULO ITERATIVO
DAS AÇÕES DE CONTROLE
Uma outra modificação feita para o cálculo das ações de controle dos
controladores QDMC é apresentada nesta seção. Na seção 5.2 usou-se os valores
estimados futuros das ações de controle dos outros subsistemas para se calcular as
ações do subsistema
i . Como se sabe, na realidade o QDMC aplica somente a
primeira ação de controle calculada, visto que este recalculará as ações novamente
nos instantes de amostragem posteriores. Dessa forma, a suposição feita na seção
5.2 é somente uma aproximação.
Nesta seção será apresentado um algoritmo de coordenação baseado em
cálculo iterativo das ações de controle. Considere que se tenha uma planta
dividida em dois subsistemas. O algoritmo de coordenação realiza as seguintes
etapas:
1 – no instante
1k − , cada QDMC calculou as entradas (
q
U
) a serem
implementadas nos instantes de amostragem seguintes
(
)
1, , , 2kk kP
−
+−… . É
importante notar que o QDMC implementa somente a primeira entrada;
2 – as informações sobre as entradas
q
U
calculadas em cada subsistema
q
são enviadas a todos os outros subsistemas pelo coordenador;
3 – no instante
k , o QDMC de cada subsistema
q
usa as entradas não-
utilizadas (para os instantes
(
)
, , 2kkP
+
−… ) dos outros subsistemas, calculados
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
126
no instante
1k
−
, como um chute inicial, para se recalcular as entradas para os
próximos instantes de amostragem
(
)
, 1, , 1kk k P
−
+−…
;
4 – o coordenador compara as entradas recalculadas na etapa 3 com
aquelas calculadas no instante
1k
−
;
5 – se a diferença for maior que um determinado erro máximo aceitável
(
ε
), os controladores recalculam as novas entradas usando as entradas antigas
calculadas na iteração anterior;
6 – o coordenador compara as novas entradas com as antigas;
7 – se a diferença for maior que o erro máximo aceitável (
ε
), as entradas
são recalculadas pela etapa 5;
8 – se a diferença for menor que o erro máximo aceitável (
ε
), as novas
entradas são implementadas na planta;
9 – o processo é repetido para o próximo instante de amostragem.
A Figura 5.10 apresenta o diagrama de blocos que exemplifica o novo
algoritmo de coordenação dos controladores QDMC descentralizado para um
processo dividido em dois subsistemas. Nesta figura, as variáveis
()
*
1
iU e
(
)
*
2
iU
representam as ações futuras dos controladores calculados na
i -ésima iteração.
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
127
Figura 5.10. Esquema do algoritmo QDMC descentralizado coordenado.
As Figuras 5.11 a 5.12 apresentam a diferença de comportamento do
processo quando se utiliza a modificação 1 (apresentada na seção 5.2) e a 2
(apresentada nesta seção). Como era de se esperar, a modificação 2 se mostra
ligeiramente superior à modificação 1.
Y
1
(k)
U
2
(k)
U
*
1
(i)
U
*
2
(i)
U
*
2
(i)
U
1
(k-1)
U
2
(k-1)
U
2
(k-1)
Y
2
(k)
U
1
(k)
QDMC 1 QDMC 2
Subsistema 1 Subsistema 2
U
*
1
(i)
U
1
(k-1)
||
U
*
1
(i)-
U
*
1
(i-1)||+
||
U
*
2
(i)-
U
*
2
(i-1)||<erro
Não
Não
Sim
planta
coordenador
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
128
Figura 5.11. Comparação das respostas da variável controlada
1
y ao se utilizar os
algoritmos modificados 1 e 2.
Figura 5.12. Comparação das respostas da variável controlada
2
y ao se utilizar os
algoritmos modificados 1 e 2.
0
10 20 30 40 50 60
-0.0015
-0.0010
-0.0005
0.0000
0.0005
0.0010
0.0015
Controlada y
1
tempo (min)
Modificado 1
Modificado 2
Set point
0
10 20 30 40 50 60
-0.006
-0.004
-0.002
0.000
0.002
0.004
Controlada y
2
tempo (min)
Modificado 1
Modificado 2
Set point
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
129
Figura 5.13. Comparação das ações da variável manipulada
1
u ao se utilizar os
algoritmos modificados 1 e 2.
Figura 5.14. Comparação das ações da variável manipulada
1
u ao se utilizar os
algoritmos modificados 1 e 2.
0
10 20 30 40 50 60
-0.02
-0.01
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
Manipulada u
1
tempo (min)
Modificado 1
Modificado 2
0
10 20 30 40 50 60
-0.03
-0.02
-0.01
0.00
0.01
0.02
Manipulada u
2
tempo (min)
Modificado 1
Modificado 2
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
130
É importante notar que a convergência deste novo algoritmo é rápida, de
tal forma que não há diferença significativa no esforço computacional entre as
duas formas de coordenação. Em média, para as simulações apresentadas nas
Figuras 5.11 a 5.14, o primeiro algoritmo de coordenação (sem iteração) leva
17,42 segundos tendo um desvio-padrão de 2,20 e o segundo algoritmo (com
iteração) 17,23 segundos com desvio padrão de 2,70. Estes valores foram obtidos
simulando-se o processo diversas vezes usando ambos os algoritmos e calculando-
se o tempo médio destas simulações.
5.6. CONCLUSÕES
Neste trabalho foram apresentados dois algoritmos de coordenação de
controladores QDMC descentralizados, baseados na proposta inicial de Charos e
Arkun (1993). Os resultados apresentados mostram que os algoritmos de
coordenação conseguem melhorar o desempenho do controle da caixa de
alimentação de uma máquina de papel, tornando-o bem menos oscilatório quando
há variação no “set point” do controlador. Além disso, a sua performance
aproxima-se da performance do QDMC centralizado.
O segundo algoritmo de coordenação proposto (ver seção 5.5) se mostrou
ligeiramente mais eficiente que o primeiro sem, no entanto, aumentar de forma
perceptível o esforço computacional.
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
131
5.7. NOMENCLATURA
1
A Área,
2
m
2
A Área,
2
m
1
C Coeficiente da válvula, ton/(m
0,5
min)
2
C Coeficiente da válvula, ton/(m
0,5
min)
p
G
Vazão de polpa, ton/min
w
G Vazão de água branca, ton/min
1
G Vazão na saída do tanque de mistura, ton/min
2
G Vazão na saída da caixa de alimentação, ton/min
1
h Nível, m
2
h Nível, m
1
H Nível, m
2
H Nível, m
1
H
Nível, m
2
H
Nível, m
J Função custo
p
N
Consistência da polpa, %
w
N Consistência da água branca, %
1
N Consistência na saída do tanque de mistura, %
2
N Consistência na saída da caixa de alimentação, %
1
u Variável manipulada
p
G
Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
132
2
u Variável manipulada
w
G
U
Matriz de variáveis manipuladas
1
y Variável controlada
2
h
2
y Variável controlada
2
N
Y
Matriz de variáveis controladas
Símbolos gregos
1
ρ
Densidade, ton/m
3
2
ρ
Densidade, ton/m
3
5.8. BIBLIOGRAFIA
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n. 1, p. 32-41, 1996.
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heuristic control: application to industrial processes. Automatica
, v. 14, p.
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Cap. 5. Controle Coordenado de Controladores QDMC Descentralizados
134
ROBINSON, D.; CHEN, R.; McAVOY, T.; SCHNELLE, P. D. An optimal
control based approach to designing plantwide control system
architectures. Journal of Process Control
, v. 11, p. 223-236, 2001.
Capítulo 6
Aplicação do Controlador QDMC
Descentralizado com Coordenação ao
Sistema Reator/Coluna de Destilação
com Reciclo
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
136
RESUMO
Os processos químicos têm se tornado cada vez mais complexos e, com o
objetivo de minimizar a perda de reagentes, as indústrias químicas têm incluído
reciclo material em seus processos. A inclusão de reciclo material ocasiona num
aumento significativo das interações entre as diversas operações unitárias. No
passado, uma solução típica para plantas com correntes de reciclo era instalar
grandes tanques de estocagem. Isto isolava seqüências de unidades e permitia o
uso de procedimentos convencionais de projeto de processos em cascata. Porém,
esta prática pode ser muito cara em relação aos custos de instalação. Além disso,
grandes estoques de produtos químicos aumentam significativamente os riscos de
segurança e ambientais se produtos químicos perigosos ou prejudiciais ao
ambiente estiverem envolvidos. A dinâmica de processos com reciclo é pouco
conhecida até o momento, o que a torna uma das áreas mais importantes a serem
estudadas em controle de processo. Neste capítulo aplica-se o algoritmo de
coordenação, apresentado na seção 5.5, ao sistema reator/coluna de destilação
com reciclo. Os resultados mostram que o algoritmo de coordenação é capaz de
melhorar o desempenho do processo, tanto na presença de distúrbios quanto em
variações nos “set points” das variáveis controladas.
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
137
ABSTRACT
Chemical processes are becoming even more complexes and, with the aim
of minimize the loss of reagents, the chemical industries have included material
recycle in their processes. The inclusion of material recycle increases greatly the
interactions among the several unit operations. In the past, a typical solution to
plants with recycles streams was to install large surge tanks. This isolated
sequences of units and allowed the use of conventional approaches to design
cascade processes but this practice can become too expensive due to installation
costs. Therefore, large chemical products inventories increase greatly the safety
environmental hazards if dangerous chemical products are involved. The
dynamics of recycle processes is not well known until now. This makes it one of
the most important fields to be studied in process control. In this chapter it is
applied the coordination algorithm, presented in Chapter 5, to the
reactor/distillation column system with recycle. The results show that the
coordination algorithm is able to improve the process performance, both in the
presence of disturbances and in set point changes of the controlled variables.
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
138
6.1. INTRODUÇÃO
Os processos químicos têm se tornado cada vez mais complexos e, com o
objetivo de minimizar a perda de reagentes, as indústrias químicas têm incluído
reciclo material em seus processos. A inclusão de reciclo material ocasiona em
um aumento significativo das interações entre as diversas operações unitárias.
No passado, uma solução típica para plantas com correntes de reciclo era
instalar grandes tanques de estocagem. Isto isolava seqüências de unidades e
permitia o uso de procedimentos convencionais de projeto de processos em
cascata. Porém, esta prática pode ser muito cara em relação aos custos de
instalação. Além disso, grandes estoques de produtos químicos aumentam
significativamente os riscos de segurança e ambientais caso estejam envolvidos
produtos químicos perigosos ou prejudiciais ao ambiente.
A dinâmica e o controle de unidades de processo individuais são bem
compreendidos. Informações pertencentes à configuração e ao ajuste de sistemas
de controle para operações unitárias que operem independentemente das outras
unidades são prontamente disponíveis. Muita dessas informações podem ser
diretamente aplicadas em plantas que consistem de operações unitárias em série.
O efeito do distúrbio, neste caso, simplesmente passa de uma unidade para a
próxima. O que é bem menos claro, porém, é como aplicar as técnicas existentes a
plantas que contenham reciclo.
Até o momento, a dinâmica de processos com reciclo são pouco
compreendidas. Além disso, o estudo destas dinâmicas e de controle de processos
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
139
com correntes de reciclo tem recebido pouca atenção até recentemente. Isso a
torna uma das áreas mais importantes em controle de processo que reclama por
alguma pesquisa (Luyben, 1993a).
Um trabalho pioneiro de Gilliland et al. (1964) estudou a dinâmica de um
sistema reator/coluna de destilação sem dinâmica da coluna. Eles foram os
primeiros a apontar que o efeito da corrente de reciclo aumenta as constantes de
tempo do processo. Assim eles concluíram que, apesar da inclusão de reciclo
material poder melhorar a parte econômica da planta, o reciclo material tornaria o
desempenho do sistema de controle mais lento.
Verykios e Luyben (1978) estudaram um processo um pouco mais
complexo onde incluíram uma dinâmica simplificada da coluna. Eles
apresentaram a sensitividade em estado estacionário do reciclo e da vazão da
purga para vários parâmetros e foram os primeiros a indicar que estes sistemas
com reciclo podem exibir um ambiente sub-amortecido.
Luyben e Buckley (1977) discutiram alguns dos problemas que ocorrem
num sistema de reciclo de líquido no qual cada uma das unidades individuais usa
um controlador proporcional de nível, e não um proporcional-integral, e um
tanque de estocagem é usado na malha. Eles discutiram como o controle de nível
de líquido num ambiente “plantwide” freqüentemente envolve dois objetivos
conflitantes. Primeiro, o nível de líquido deveria ser mantido próximo à condição
de operação desejada. Segundo, as variações de vazão deveriam ser o mais suave
possível para evitar problemas com as unidades a jusante. Os diferentes objetivos
de controle sugerem diferentes controladores. Um controlador proporcional
resulta em variações graduais das vazões de saída, porém está sujeito a erro
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
140
estacionário. Um controlador proporcional-integral não tem erro estacionário, mas
faria a vazão de saída flutuar mais. Assim, eles propuseram uma estrutura de
controle de nível “feedforward”/”feedback”, usando somente controladores
proporcionais, o qual resulta em ações de controle suaves e, ao mesmo tempo,
evita erro estacionário (“offset”).
Papadourakis (1985) demonstrou que a união de uma série de unidades
com uma corrente de reciclo move qualquer atraso (“time delay”) presente nas
unidades individuais para o denominador da função de transferência da planta.
Isto torna difícil a aplicação da análise tradicional no domínio de Laplace porque
o modelo da planta em malha aberta terá um número infinito de pólos.
Kapoor et al. (1986) usaram um modelo de função de transferência
simples, similar ao que foi feito por Luyben (1993a), para demonstrar o porquê
das constantes de tempo de uma coluna de destilação de alta pureza serem tão
grandes. Eles fazem referência aos trabalhos prévios de Denn e Lavie (1982) e
Rinar e Benjamim (1982) os quais mostraram que o tempo de resposta de
processos com reciclo pode ser substancialmente maior que o tempo de resposta
do processo sem reciclo.
Taiwo (1984) foi o primeiro a propor a idéia de um compensador de
reciclo para eliminar o efeito do reciclo na resposta da saída no estágio do projeto
de controle. Depois, o conceito foi extendido para o projeto de sistemas de
controle robusto para plantas com reciclo (Taiwo, 1986).
Scali e Ferrari (1997 e 1999) apresentaram vários estudos de caso para
ilustrar a grande melhora na performance do controle que pode ser obtida usando
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
141
compensadores de reciclo. Eles também demonstraram a robustez do
compensador de reciclo.
Scali e Ferrari (1999) estudaram os efeitos de correntes de reciclo na
controlabilidade de plantas integradas e a melhora da performance fez-se possível
por uma compensação direta do reciclo. Eles fizeram a decomposição do processo
global em uma parte representando o processo sem reciclo e uma parte
representando o reciclo. Isto permitiu reduzir o sistema de controle em dois
blocos: um regulador, dependente do processo sem reciclo, mais um compensador
de reciclo. De acordo com os autores, este esquema de controle é muito mais fácil
de projetar, com respeito a um regulador específico (de maior ordem) computado
para o processo global (incluindo o reciclo) e, permite atingir uma melhora
significativa da performance com respeito a um regulador PI padrão.
Douglas (1988) apresentou vários exemplos de processos com reciclo e
estudou, em detalhe, o projeto econômico em estado estacionário do processo
HDA.
Luyben e seus colaboradores (Luyben, 1993a, b e c, 1994; Tyréus e
Luyben, 1993) iniciaram um estudo mais sistemático dos efeitos das correntes de
reciclo nas dinâmicas dos processos, demonstrando que o reciclo e a corrente de
alimentação de reagentes estão inter-relacionados. Além de modelos de função de
transferência, eles selecionaram um sistema de reator/separador com diferentes
reações para ilustrar e investigar o problema do controle de sistemas com reciclo.
A interação entre projeto e controle também é estudada para vários processos com
diferentes níveis de complexidade, por exemplo, diferente número de unidades de
processo e espécies químicas. Além disso, Luyben (1993a) mostrou que, ao se
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
142
mudar o ganho do processo com reciclo independentemente dos outros parâmetros
do processo, a resposta em malha aberta pode se tornar lenta, oscilante e instável.
As principais conclusões foram que a performance do controle depende
fortemente do ganho da malha de reciclo e que os ganhos das unidades individuais
são menos significativos.
Luyben (1993a) explicou como, sob algumas circunstâncias, um pequeno
distúrbio, particularmente na alimentação, pode resultar num grande aumento na
vazão de reciclo (“efeito bola de neve”) e como isto pode ser evitado pelo controle
da vazão da corrente de reciclo. Assim, Luyben (1993a) propôs uma importante
regra genérica para o projeto de plantas com correntes de reciclo: “fixar alguma
vazão em algum lugar no balanço material da malha de reciclo”.
Wu e Yu (1996) estudaram a operabilidade do processo reator/separador
com reciclo e concluíram, pela análise em estado estacionário, que as estruturas de
controle afetadas pelo efeito “bola de neve” são estruturas desbalanceadas,
incorretamente projetadas, as quais sobrecarregam unidades individuais na
presença de distúrbios. Assim, eles propõem distribuir a carga entre as diferentes
unidades e sugerem, para este processo, deixar o volume do reator variar e
controlar a composição do reator. O problema desta estrutura é que, do ponto de
vista econômico, é preferível, na maioria dos casos de sistemas em fase líquida,
manter o volume do reator em seu valor máximo (Larsson and Skogestad, 2000).
Mizsey e Kalmar (1996) estudaram os efeitos do reciclo de massa e
energia no controle de processos químicos. O estudo em modelos de função de
transferência simples indicou que o ganho da malha de reciclo influencia
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
143
fortemente o comportamento e a controlabilidade do processo. A constante de
tempo da unidade de reciclo também os influencia, porém menos fortemente.
Jacobsen (1999), ao considerar os efeitos do reciclo nos zeros dinâmicos,
mostrou que o reciclo pode introduzir severos “overshoots” e respostas inversas.
Chodavarapu e Zheng (2001), considerando o projeto de sistema de
controle para sistemas com reciclo, derivaram uma condição que quantifica o
efeito do reciclo na performance em malha fechada.
Lakshminarayanan et al. (2004) propuseram uma medida quantitativa,
Índice de Efeito de Reciclo (REI), para ajudar a determinar se um dado sistema de
controle feedback simples pode prover a desejada qualidade do controle.
6.2. MODELAGEM MATEMÁTICA
Nesta seção descrever-se-á o processo simples de reação/separação com
reciclo. Este processo tem sido objeto de estudo de diversos autores (Luyben,
1993a; Mizsey e Kalmar, 1996; Cheng e Yu, 2003).
A Figura 6.1 apresenta o diagrama de fluxo do sistema de reator e coluna
de destilação com reciclo.
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
144
Figura 6.1. Reator e coluna de destilação com reciclo.
A Tabela 6.1 apresenta as condições operacionais nominais do processo.
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
145
Tabela 6.1. Valores dos parâmetros e condição do estado estacionário para o
sistema de reação/separação com reciclo.
CSTR
Vazão de alimentação do reator (
f
F )
209,1 Kmol/h
Composição de alimentação (
f
F
x
)
0,90 Kmol/Kmol
Temperatura da alimentação (
f
T )
294,4 K
Vazão do reciclo/destilado ( D ) 227,5 Kmol/h
Composição da corrente de reciclo (
D
x
)
0,9519 Kmol/Kmol
Temperatura da corrente de reciclo (
D
T )
326,2 K
Temperatura do reator (T ) 342,532 K
Temperatura do resfriamento (
c
T )
331,2 K
Temperatura de ebulição do componente leve (
b
L
T )
324,1393 K
Temperatura de ebulição do componente pesado (
b
H
T )
365,455 K
Volume do reator (
R
V )
1127,6 Kmol
Energia de ativação ( E ) 7169 KJ/Kmol
Fator pré-exponencial (
0
k ) 2,83×10
10
h
-1
Coeficiente global de troca térmica (U )
3079,2 KJ/(h.m
2
.K)
Área de transferência de calor (
A
) 297,921 M
2
Capacidade calorífica (
p
C )
3,138 KJ/(Kg.K)
Calor de reação (
λ
)
6,97
×10
4
KJ/Kmol
Densidade (
ρ
)
60 Kg/Kmol
Coluna de destilação
Vazão de alimentação da coluna ( F ) 736,6 Kmol/h
Composição da alimentação da coluna (
F
x
)
0,5 Kmol/Kmol
Vazão do refluxo (
1
L )
500 Kmol/h
Vazão do produto de fundo (
B
) 209,1 Kmol/h
Vazão de vapor (V )
727,5 Kmol/h
Composição do fundo (
B
x
)
0,0089 Kmol/Kmol
Número de estágios (
s
n )
25
Estágio de alimentação (
f
n )
14
Volatilidade relativa (
α
)
2,0
Constante de tempo hidráulica (
β
)
0,0011 h
Volume do refervedor (
B
M
)
150,435 Kmol
Volume do tanque de refluxo (
D
M
)
69,4291 Kmol
Volume de líquido em cada prato (
i
M
)
10,671 Kmol
Neste processo ocorre uma reação irreversível de primeira ordem em um
reator contínuo tipo tanque agitado (CSTR). A velocidade de reação (
k
) é uma
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
146
função da temperatura descrita pela expressão de Arrhenius. Parte do reagente é
consumido no CSTR e o efluente do reator, uma mistura de reagente e produto, é
alimentada numa coluna de destilação de 25 estágios. O produto é retirado da base
da coluna e o reagente purificado retorna ao CSTR. A coluna tem um refervedor
parcial e um condensador total.
As Equações 6.1 a 6.20 apresentam o modelo dinâmico não-linear do
processo representado pela Figura 6.1:
Modelo do reator:
-
Balanços de Massa
R
f
d
d
V
FDF
t
=
+−
()
()
f
F
RfFFDF
d
d
x
VFxxDxxr
t
=
−+ −−
-
Balanço de Energia
() ( )
pR p f f p D
dT
d
CV CF T T CD T T r Q
t
ρρ ρ λ
=−+−+−
-
Cinética de reação
0RF
E
RT
rke Vx
−
=
-
Troca térmica
(
)
c
QUATT=−
(6.1)
(6.2)
(6.3)
(6.4)
(6.5)
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
147
Modelo da coluna de destilação
-
Condensador (
1i =
)
()
D
D2D
d
d
x
M
Vy x
t
=−
D
1
d
d
M
VLD
t
=
−−
-
Seção de retificação (
f
21in
=
−… )
1
d
d
i
ii
M
LL
t
−
=
−
()()
111
d
d
i
iiiiii
x
M
Vy y L x x
t
+−−
=−+ −
-
Prato de alimentação (
f
in
=
)
f
ff
1
d
d
n
nn
M
LLF
t
−
=
−+
()( )( )
f
fffffff
F11 1
d
d
n
nnnnnnn
x
M
Fx x L x x Vy y
t
−− +
=−+ −+ −
-
Seção de esgotamento (
fs
11in n
=
+−… )
1
d
d
i
ii
M
LL
t
−
=
−
()()
111
d
d
i
iiiiii
x
M
Vy y L x x
t
+−−
=−+ −
(6.6)
(6.7)
(6.8)
(6.9)
(6.10)
(6.11)
(6.12)
(6.13)
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
148
- Refervedor (
s
in= )
s
B
1B
d
d
n
M
LLV
t
−
=
−−
()
()
ss
B
BBB11B
d
d
nn
x
M
Vx y L x x
t
−−
=−+ −
-
Hidráulica de pratos:
0
0
ii
i
M
M
LL
β
−
=+ (
f
21in
=
−… )
0
0b
ii
i
M
M
LL
β
−
=+ (
fs
1in n
=
−… )
0b 0 0
LLF
=
+
-
Equilíbrio Líquido-Vapor (VLE)
()
11
i
i
i
x
y
x
α
α
=
+−
(
s
2in
=
… )
-
Estimativa da temperatura da corrente de reciclo (
D
T )
(
)
DDbL DbH
1TxT xT=+−
(6.14)
(6.15)
(6.16)
(6.17)
(6.18)
(6.19)
(6.20)
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
149
6.3. RESPOSTA DO PROCESSO REATOR/COLUNA DE
DESTILAÇÃO COM RECICLO A VARIAÇÕES-DEGRAU
NAS VARIÁVEIS MANIPULADAS
Nesta seção faz-se um estudo da resposta dinâmica do processo
reator/coluna de destilação apresentado na seção 6.2.
Um ponto importante no estudo do processo reator/coluna de destilação
com reciclo é o estudo de sua estabilidade. A estabilidade de um processo é muito
importante no estudo de estrutura de controle pois a estabilização da planta é uma
das primeiras etapas a serem realizadas. Além disso, para se identificar a matriz
dinâmica do QDMC é necessário que o processo seja estável.
Tendo isso em vista, a primeiro passo para o estudo da estabilidade da
planta foi a linearização do modelo não-linear. A partir deste modelo calculou-se
os pólos do sistema em malha aberta. Verificou-se a existência de três pólos na
origem, os quais se referem aos volumes do reator (
R
V ) e do tanque de refluxo no
topo da coluna (
D
M
) e do refervedor na base da mesma (
B
M
). Assim, conclui-se,
por meio deste estudo, que é necessário controlar estas três variáveis para que se
tenha um bom controle do processo. Além disso, como este processo está sujeito
ao efeito “bola de neve” (Luyben, 1994), deve-se controlar a vazão da corrente de
saída do reator (
F ) (Regra de Luyben) para evitar este efeito.
Assim, utilizou-se a configuração de controle apresentada por Luyben
(1994) que evita o efeito “bola de neve”. Nesta configuração utilizam-se os
seguintes pareamentos para estabilizar a planta: manipula-se a vazão da corrente
de alimentação do reator (
f
F ) para controlar o nível do reator (
R
V ); manipula-se a
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
150
vazão do destilado que retorna ao reator ( D ) para controlar o nível do tanque de
armazenagem de destilado (
D
M
); manipula-se a vazão do produto de fundo da
coluna de destilação (
B
) para controlar o nível do fundo da coluna (
B
M
); e faz-se
um auto-controle da vazão de saída do reator (
F ). Todas estas malhas utilizam
controladores proporcionais.
Além dessas quatro malhas de controle, que têm como objetivo estabilizar
a planta, Luyben (1994) propõe outras três malhas: controla-se a temperatura do
reator (
T ) manipulando-se a temperatura da camisa de resfriamento (
c
T );
controla-se a composição do produto de fundo da coluna (
B
x
) manipulando-se a
vazão de vapor do refervedor (
V ); e controla-se a composição do destilado (
D
x
)
manipulando-se a vazão da corrente de refluxo (
1
L ). Para cada uma destas três
últimas malhas de controle utilizou-se o controlador QDMC.
A Tabela 6.2 apresenta um resumo das malhas de controle da estrutura de
Luyben (1994).
Tabela 6.2. Malhas de controle da estrutura de Luyben (1994).
Malha Controlada Manipulada Controlador
1
R
V
f
F
Proporcional
2
D
M
D
Proporcional
3
B
M
B
Proporcional
4
F F
Proporcional
5
T
c
T
QDMC
6
B
x
V
QDMC
7
D
x
1
L
QDMC
A Figura 6.2 apresenta as malhas de controle sugeridas por Luyben (1994)
em sua estrutura de controle.
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
151
Figura 6.2. Malhas de controle usadas no processo reator/coluna de destilação com
reciclo.
Para se obter os coeficientes das matrizes dinâmicas a serem utilizados
pelo QDMC foram feitos testes degrau na planta. As Figuras 6.3 a 6.5 apresentam
as respostas das variáveis controladas a variações-degrau nas variáveis
manipuladas. É importante frisar que o sistema foi estabilizado fechando-se as
quatro primeiras malhas de controle apresentadas na Tabela 6.2, ou seja,
controlou-se os níveis do reator (
R
V ), do topo (
D
M
) e do fundo (
B
M
) da coluna e
a vazão de saída do reator (
F ) com controladores proporcionais de acordo com o
pareamento apresentado na Tabela 6.2.
Os resultados obtidos durante a simulação dos testes-degrau confirmam os
dados encontrados na literatura. Como esperado, a resposta do sistema
reator/coluna com reciclo se apresentou oscilatório, o que confirma os resultados
obtidos por Luyben (1993a).
V
L
D
x
M
x
F
x
x
L
V
L
V
V
M
x
B
x
M
T
M
X
T
T
T
T
F
x
D
x
T
x
T
V
TC
LC
LC
LC
CC
CC
FC
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
152
Outro resultado importante é a presença de resposta-inversa para a
temperatura do reator e de grandes “overshoots”. Este resultado era esperado visto
que Jacobsen (1999) havia predito que isto poderia ocorrer em sistemas com
reciclo material. Outro ponto a ser observado é a presença de tempo morto na
resposta das concentrações de topo (
D
x
) e de fundo (
B
x
) a variações da
temperatura da camisa (
c
T ), ver Figura 6.3.
Estes resultados mostram que este processo é difícil de ser controlado.
Além disso, como pode ser verificado pelas Figuras 6.3 a 6.5, a interação entre as
malhas de controle é muito grande, visto que as variáveis manipuladas
influenciam significativamente todas as variáveis controladas. Devido a isto, é
importante que haja uma coordenação entre as malhas de controle para que elas
não prejudiquem a operação de toda a planta.
Figura 6.3. Resposta das variáveis controladas a uma variação-degrau na
temperatura da camisa (
c
T ).
0 5 10 15
-5
0
5
10
T
Degrau em Tc
0 5 10 15
-0.01
-0.005
0
x
B
0 5 10 15
-0.2
-0.1
0
x
D
Tempo (h)
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
153
Figura 6.4. Resposta das variáveis controladas a uma variação-degrau na vazão de
vapor (
V ).
0 5 10 15
-0.2
0
0.2
T
Degrau em L
1
0 5 10 15
-5
0
5
x 10
-3
x
B
0 5 10 15
0
0.01
0.02
0.03
x
D
Tempo (h)
Figura 6.5. Resposta das variáveis controladas a uma variação-degrau na vazão de
refluxo da coluna de destilação (
1
L ).
0 5 10 15
-0.5
0
0.5
T
Degrau em V
0 5 10 15
-4
-2
0
x 10
-3
x
B
0 5 10 15
-0.04
-0.02
0
x
D
Tempo (h)
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
154
6.4. APLICAÇÃO DO CONTROLE DESCENTRALIZADO
COORDENADO
Nesta seção aplicou-se o algoritmo de coordenação do QDMC
descentralizado ao sistema reator/coluna de destilação com reciclo apresentado na
seção 6.2. A configuração de controle utilizada foi a mesma apresentada na seção
6.3.
Foram comparados os desempenhos do QDMC descentralizado tradicional
(chamado de “sem coordenação”), o QDMC com o método de Charos e Arkun
(1993) e o QDMC com coordenação (método proposto).
Para a comparação foram aplicadas variações no “set point” e nos
distúrbios. Os possíveis distúrbios que foram considerados são: a temperatura da
corrente de alimentação (
f
T ) e a composição da mesma (
f
F
x
).
As variações nos “set points” e nos distúrbios foram as seguintes:
No instante
0 ht
=
: reduziu-se o “set point” da temperatura do reator em 1%.
No instante
80 ht
=
: o “set point” da temperatura do reator voltou ao seu valor
original, passou-se o “set point” da composição do produto de fundo da coluna de
destilação (
B
x
) de 8,9*10
-3
para 5,5*10
-3
e a composição da corrente de
alimentação passou de 0,9 para 0,85.
No instante
150 ht
=
: o “set point” da composição do destilado passou de 0,952
para 0,9 e a composição da alimentação voltou para o seu valor inicial (0,9).
No instante
250 ht
=
: a temperatura da corrente de alimentação (
f
T ) passou de
300 K para 310 K.
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
155
As Figuras 6.6 a 6.8 apresentam as comparações dos desempenhos do
algoritmo QDMC sem coordenação, do algoritmo de Charos e Arkun (1993) e o
algoritmo de coordenação proposto no Capítulo 5.
0 50 100 150 200 250 300
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
y1
Temperatura do reator (T)
Tempo (h)
Coordenação
Charos e Arkun
Sem coordenação
Set point
Figura 6.6. Resposta da temperatura do reator (
1
y ) a variações no “set point” e
nos distúrbios.
0 50 100 150 200 250 300
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
y2
Tempo (h)
Composição do fundo (x
B
)
Coordenação
Charos e Arkun
Sem coordenação
Set point
Figura 6.7. Resposta da composição do produto de fundo da coluna de destilação
(
2
y ) a variações no “set point” e nos distúrbios.
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
156
0 50 100 150 200 250 300
-0.16
-0.14
-0.12
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
y3
Tempo (h)
Composição do destilado (y
D
)
Coordenação
Charos e Arkun
Sem coordenação
Set point
Figura 6.8. Resposta da composição do destilado da coluna de destilação (
3
y ) a
variações no “set point” e nos distúrbios.
Como pode ser observado a partir das Figuras 6.6 a 6.8, o algoritmo
proposto apresenta melhor desempenho que o algoritmo de Charos e Arkun
(1993) e o QDMC sem coordenação. Este resultado e confirmado pelas Tabelas
6.3 e 6.4, onde é feita a comparação entre os três algoritmos pelos índices de
performance IAE (“Integral Absolute Error”) e ISE (“Integral Square Error”),
respectivamente. Para o cálculo dos índices foi feita a adimensionalização dos
valores dos erros dividindo-os pelos seus respectivos valores no estado
estacionário inicial.
Tabela 6.3. Valores do índice de performance IAE de cada uma das saídas
controladas (
1
y ,
2
y e
3
y ) e a soma dos IAEs.
1
y
2
y
3
y
soma
Coordenação 0,4456
1,3635
×10
3
39,2311
1,4032
×10
3
Charos e Arkun (1993) 0,4655
1,8978
×10
3
44,5804
1,9429
×10
3
Sem coordenação 0,4209
2,1901
×10
3
48,3598
2,2388
×10
3
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
157
Tabela 6.4. Valores do índice de performance ISE de cada uma das saídas
controladas (
1
y ,
2
y e
3
y ) e a soma dos ISEs.
1
y
2
y
3
y
soma
Coordenação
8,6683
×10
-4
4,3095×10
3
2,0744
4,3116
×10
3
Charos e Arkun (1993)
9,6258
×10
-4
8,8782×10
3
2,9565
8,8812×10
3
Sem coordenação
9,7623
×10
-4
1,1917×10
4
3,5811
1,1920
×10
4
6.5. CONCLUSÕES
Este capítulo apresentou a aplicação do algoritmo de coordenação iterativa
ao processo reator/coluna de destilação com reciclo. Os resultados obtidos foram
comparados aos dos algoritmos descentralizado sem coordenação e de Charos e
Arkun (1993).
Os resultados mostram que o algoritmo sugerido é capaz de melhorar a
performance do sistema de controle (ver Figuras 6.5 a 6.7 e Tabelas 6.3 e 6.4).
Isso confirma o resultado obtido no Capítulo 5, onde o algoritmo sugerido foi
aplicado à Caixa de Alimentação de uma Máquina de Papel.
6.6. NOMENCLATURA
A Área de transferência de calor;
B
Vazão do produto de fundo da coluna de destilação;
p
C Capacidade calorífica;
D
Vazão do reciclo/destilado;
E
Energia de ativação;
F
Vazão de alimentação da coluna;
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
158
0
F Vazão de alimentação da coluna no estado estacionário inicial;
f
F Vazão de alimentação do reator;
1
L Vazão do refluxo;
i
L Vazão de líquido dentro da coluna;
0
L Vazão de líquido dentro da coluna (acima do prato de alimentação) no
estado estacionário inicial;
0b
L Vazão de líquido dentro da coluna (abaixo do prato de alimentação) no
estado estacionário inicial;
B
M
Volume do refervedor;
D
M
Volume do tanque de refluxo;
i
M
Volume de líquido em cada prato;
0i
M
Volume de líquido em cada prato no estado estacionário inicial;
f
n Estágio de alimentação;
s
n Número de estágios;
r Velocidade da reação;
R
Constante dos gases;
Q Taxa de transferência de calor
T Temperatura do reator;
b
L
T Temperatura de ebulição do componente leve (reagente)
b
H
T Temperatura de ebulição do componente pesado (produto)
c
T Temperatura da camisa de resfriamento;
D
T Temperatura da corrente de reciclo
Cap. 6. Aplicação do Controlador QDMC Descentralizado com Coordenação
ao Sistema Reator/Coluna de Destilação com Reciclo
159
f
T Temperatura da alimentação;
U
Coeficiente global de troca térmica;
V Vazão de vapor;
R
V Volume do reator;
B
x
Composição do produto de fundo da coluna de destilação;
D
x
Composição da corrente de reciclo;
F
x
Composição da alimentação da coluna;
f
F
x
Composição de alimentação;
i
x
Composição do líquido dentro da coluna;
i
y Composição do vapor dentro da coluna (Seção 6.2);
i
y Saída controlada (Seções 6.3 e 6.4);
Letras gregas
α
Volatilidade relativa;
β
Constante de tempo hidráulica;
0
k Fator pré-exponencial;
λ
Calor de reação;
ρ
Densidade
6.7. BIBLIOGRAFIA
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Capítulo 7
Conclusões Finais e Sugestões para
Trabalhos Futuros
Cap. 7. Conclusões Finais e Sugestões para Trabalhos Futuros
163
7.1. CONCLUSÕES
Nesta seção são apresentadas as principais conclusões desta tese de
doutorado.
No Capítulo 2 foi apresentado o problema do controle perfeito indireto.
Mostrou-se que é possível se obter controle perfeito indireto das variáveis
controladas primárias caso se tenha uma quantidade mínima de variáveis medidas
independentes. Este trabalho demonstrou que, para se obter controle perfeito
indireto das variáveis controladas primárias, é necessário que sejam controladas
combinações lineares das variáveis medidas. Além disso, o trabalho apresentou
uma forma generalizada e simples de se obter a melhor combinação destas
medidas. O resultado obtido generaliza aquele apresentado por Häggblöm e
Waller (1990).
No Capítulo 3 foi apresentado o problema de minimizar os desvios dos
estados na presença de distúrbios e de erros de implementação. Foi mostrado que
a função-custo pode ser representada por uma combinação linear dos estados. A
vantagem desta abordagem é que isto reduz os efeitos das não-linearidades do
processo, tornando-o mais fácil de se controlar.
No Capítulo 4 foi apresentada a importância de se ter medidas da
complexidade dos sistemas de controle, visto que quanto mais complexo o sistema
de controle mais caro se torna a sua implementação. Foi apresentada uma forma
simples de se calcular a complexidade de diagramas de bloco.
No Capítulo 5 foi apresentado o problema de coordenação de
controladores descentralizados. Mostrou-se a necessidade de se coordenar as
Cap. 7. Conclusões Finais e Sugestões para Trabalhos Futuros
164
ações de controle de forma a otimizar o desempenho de todo o processo. Foi
apresentada uma forma de se coordenar as ações de controle de vários
controladores QDMC descentralizados com o uso das ações de controle preditas
pelos próprios controladores QDMC. Este algoritmo foi aplicado à caixa de
alimentação de uma máquina de papel, sendo que os resultados demonstraram a
eficácia do mesmo, tanto na presença de distúrbios como em variações nos “set
points” do processo.
No Capítulo 6 aplicou-se o algoritmo apresentado no Capítulo 5 ao sistema
reator/coluna de destilação com reciclo. Este é um processo muito interativo,
como mostram as simulações para obtenção das matrizes dinâmicas do QDMC.
Os resultados apresentados confirmam que este algoritmo é capaz de melhorar o
desempenho do sistema de controle.
7.2. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
Esta seção apresenta sugestões para futuros trabalhos a serem realizados
para continuidade dos trabalhos apresentados nesta tese de doutorado.
Para continuidade do estudo de controle perfeito indireto, apresentado no
Capítulo 2, sugere-se que se faça um estudo mais aprofundado da sua robustez e
do efeito dos ruídos de medida e de implementação. Além disso, sugere-se que se
estude a possibilidade de se obter controle perfeito indireto para sistemas
dinâmicos, visto que os resultados apresentados nesta tese se restringem ao estado
estacionário. Outro ponto a ser estudado é o uso de reconciliação de dados para
minimizar o efeito dos ruídos no controle perfeito indireto.
Cap. 7. Conclusões Finais e Sugestões para Trabalhos Futuros
165
Assim como no Capítulo 2, onde é apresentado o controle perfeito
indireto, no Capítulo 3 a minimização dos desvios dos estados também foi
desenvolvida para o estado estacionário, sem considerar a dinâmica do processo.
Desta forma, como no Capítulo 2, uma sugestão seria estudar a possibilidade de se
levar em consideração a dinâmica do processo.
Para a continuidade do estudo de complexidade (Capítulo 4) sugere-se que
se amplie a definição de complexidade de blocos de forma a obter uma medida
mais completa.
Para a continuidade do estudo de coordenação (Capítulos 5 e 6) sugere-se
o estudo da robustez do método de coordenação e também o estudo da
coordenação de outros tipos de controladores.
E, por fim, seria interessante aplicar as etapas propostas nesta tese num
único processo.
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