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UNIVERSIDADE DE BRAS
´
ILIA
INSTITUTO DE F
´
ISICA
Espa¸co de Fock em Redes Fermiˆonicas
e Simetrias de Lie em Processos
de Difus˜ao N˜ao-Lineares
´
Erica de Mello Silva
Orientador: Prof. Ademir Eugˆenio de Santana
Co-orientador: Prof. Tarc´ısio Marciano da Rocha Filho
Tese apresentada `a Universidade de Bras´ılia como requisito
parcial para a obten¸c˜ao do grau de Doutor em F´ısica.
Junho de 2008
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Livros Grátis
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Aos meus pais,
Ernandes e Dila,
e ao meu marido, Paulo
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Agradecimentos
Durante meu doutoramento contei com o apoio de v´arias pessoas. Gostaria de
expressar meus agradecimentos `aquelas que foram essenciais.
Ao Prof. Ademir, meu o r ientador, pela serenidade e paciˆencia com que conduziu
este trabalho. Agrade¸co por seu incentivo constante e conhecimentos transmitidos, pela
confian¸ca ofertada a mim e pela amizade constru´ıda ao longo desses quatro anos.
Ao Prof. Marciano, cuja co-orienta¸c˜ao em muito contribuiu para o ˆexito desta tese.
Agrade¸co por sua aten¸c˜ao, pela convivˆencia amiga e por seu bom humor, t˜ao peculiar.
`
A Profa. Tˆania Tom´e, pela receptividade e aten¸c˜ao durante minha visita ao IF-USP
e por seus esclarecimentos, que me auxiliaram no desenvo lvimento deste trabalho.
Aos Professores Ann´ıbal Figueiredo, Marcos Maia, Joa quim Soares Neto, Viktor
Dodonov, Marco Amato, Hugo Nazareno e Am´ılcar Queiroz, pela aten¸c˜ao que sempre
dispensaram a mim e pelas sugest˜oes para este trabalho.
Aos colegas do IF-UnB pela amizade, em especial ao Marcelo, Chrystian, Patr´ıcia,
Cleilton, Ronni, Roberto, F´abio, Nanderson, Nelson, Abra˜ao , Wesley, Simone e Jo˜ao.
Aos funcion´ar io s do IF-UnB, especialmente `a C´elia, por todo seu aux´ılio.
Ao sr. Nonato, respons´avel pelos apartamentos da Colina, por toda sua aten¸c˜ao.
`
A Universidade Federal do Tocantins pelo incentivo `a qualifica¸c˜ao de seus docentes.
Em especial, agrade¸co aos meus colegas de Colegiado e alunos por todo o apoio recebido.
Ao Paulo, meu companheiro na vida e no trabalho, por seu incentivo, disponibilidade,
amor e carinho, que me d˜ao for¸cas e a legria para seguir em frente.
Aos meus amados pais e ao meu irm˜ao, Breno, pela forte presen¸ca em minha vida.
Agrade¸co a Deus por essa conquista.
´
Indice
Resumo iv
Abstract v
1 Introdu¸c˜ao 1
2 Espa¸co de Fock em redes fermiˆonicas e o modelo de Glauber linear 7
2.1 Redes estoc´asticas fermiˆonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Especifica¸c˜oes da rede de spin no espa¸co de Fock . . . . . . . . . . 8
2.1.2 Vari´aveis de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3 Integral de trajet´oria para redes fermiˆonicas . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.4 Fun¸c˜ao geradora de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.5 O Liouvilliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 O modelo de Glauber linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Liouvilliano para a dinˆanima de Glauber linear . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Magnetiza¸c˜ao e fun¸c˜ao de correla¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Simetrias de Lie e Equa¸c˜oes Diferenciais 26
3.1 Grupo de transforma¸c˜oes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
i
3.1.1 Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.2 Grupo de Transforma¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.3 Grupo de Transforma¸c˜oes de Lie a 1- Parˆametro . . . . . . . . . . . 27
3.2 Transforma¸c˜oes Infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1 Primeiro Teorema Fundamental de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.2 Geradores Infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.3 Fun¸c˜oes Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.4 Coordenadas canˆo nicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Transforma¸c˜oes estendidas (prolonga¸c˜oes)
(e tr ansforma¸c˜oes infinitesimais estendidas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.1 Prolonga¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.2 Prolonga¸c˜oes: uma vari´avel dependente e
n vari´aveis independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.3 Prolonga¸c˜oes infinitesimais: uma vari´avel dependente e n vari´aveis
independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Grupos de transforma¸c˜oes a r-parˆametros e
´algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.1 Grupos de transforma¸c˜oes a r-parˆametros . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.2
´
Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Equa¸c˜oes diferenciais parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.5.1 Invariˆancia de uma equa¸c˜ao diferencial parcial . . . . . . . . . . . . 45
3.5.2 Solu¸c˜oes invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5.3 Equa¸c˜oes determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
ii
4 Equa¸c˜oes de transporte n˜ao-lineares 50
4.1 Equa¸c˜oes diferenciais parab´olicas n˜ao-lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Equa¸c˜oes de difus˜ao em meio poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.1 Processos de difus˜ao lenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.2 Processos de difus˜ao r´apida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Equa¸c˜oes de transporte com coeficientes logar´ıtmicos 58
5.1 Motiva¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Equa¸c˜oes de Fokker-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3 Equa¸c˜oes de difus˜ao em meio poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.1 Processos de difus˜ao lenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.2 Processos de difus˜ao r´apida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.4 Solu¸c˜oes invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4.1 Equa¸c˜oes de rea¸c˜ao-difus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4.2 Equa¸c˜oes de difus˜ao com termo convec¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4.3 Equa¸c˜oes de difus˜ao com termo de absor¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . 69
5.4.4 Equa¸c˜oes de difus˜ao com termo de arraste
(equa¸c˜oes de Fokker-Planck) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4.5 Equa¸c˜ao de difus˜ao logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6 Conclus˜oes 72
Referˆencias 74
iii
Resumo
Neste trabalho estudamos classes de processos estoc´asticos a tr av´es do uso de ferramentas
fundadas em simetria: exploramos o conceito de representa¸c˜ao do espa¸co de Fock para
tratar redes de spin estoc´asticas e usamos m´etodos de simetria de Lie para obter equa¸c˜oes
de transpor t e generalizadas. Na representa¸c˜ao n´umero, desenvolvemos um formalismo
para estudar redes fermiˆonicas, seguindo em paralelo aos m´etodos utilizados na descri¸c˜ao
de b´osons. Como aplica¸c˜ao, consideramos o modelo de Glauber linear em d dimens˜o es e
deduzimos a magnetiza¸c˜ao e a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao por pares em termos dos operadores
de cria¸c˜ao e aniquila¸c˜ao. Com o objetivo de estender uma classe de equa¸c˜oes de rea¸c˜ao-
difus˜ao com coeficiente de difus˜ao logar´ıtmico, utilizamos os procedimentos de simetria de
Lie. Partindo inicialmente de uma equa¸c˜ao de rea¸c˜ao -difus˜ao com ´algebra 4-dimensional
conhecida, resolvemos o problema inverso, ou seja, encontramos todas as equa¸c˜oes em uma
dada classe que s˜ao invariantes por essa ´algebra de simetria. A classe que consideramos
primariamente ´e a de equa¸c˜oes de Fokker-Planck n˜ao-lineres em que o termo de fonte
´e um monˆomio na fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao. Tamb´em utilizamos esse procedimento a fim
de obter classes de equa¸c˜oes de difus˜ao em meio poroso com dependˆencia logar´ıtmica no
coeficiente de difus˜ao e nos t ermos de fonte n˜ao-lineares. Adicionalmente, apresentamos
solu¸c˜oes invariantes para casos particulares das classes de equa¸c˜oes obtidas.
iv
Abstract
In this work we address the pro blem o f analyzing stochastic processes through f ounded
symmetry tools: we have explored the concept of Fock space representation to deal
with stochastic spin latt ices and used the Lie symmetry machinery to obtain generalized
transport equations. In the realm of Fock space, we have developed a formalism to
treat stochastic fermion-like lattices, following in parallel with the counterpart approach
for the case of bosons. As an application, we have considered the d-dimensional linear
Glauber model, deriving its magnetization and two-point correlation function in terms of
creation and annihilation operators. In order to enlarge a class of transport equations
with a logarithmic inhomogeneity of the diffusion coefficient, we have used the symmetry
approaches. Starting from a reaction-diffusion equation with 4-dimensional symmetry
algebra, we solved the inverse problem, namely, we have found all equations in a given
class that are invariant under this symmetry algebra. The class we primary considered
is that of nonlinear Fokker-Planck equatio ns for which the source term is a monomial in
the distribution function. We have also applied this approach to find a class of porous
medium-like equations in which the logarithmic behavior still holds for both diffusity and
nonlinear source terms. Some invariant solutions for part icular cases of these generalized
transport equations are presented.
v
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
A mecˆanica estat´ıstica de n˜ao-equil´ıbrio constitui um campo de pesquisa muito ativo
atualmente [1, 2]. Motivos que justifiquem essa afirmativa n˜ao faltam, po is os fenˆomenos
mais interessantes na Na t ureza ocorrem fora do equil´ıbrio: sistemas abertos (atravessados
por fluxos de energia, entropia ou mat´eria) podem atingir estados estacion´arios que n˜ao
sejam descrito s pela mecˆanica estat´ıstica de equil´ıbrio. Al´em disso, ´e natural tentar
estender o uso das t´ecnica s que permitiram o entendimento j´a alcan¸cado sobre os sistemas
em equil´ıbrio, como grupo de renormaliza¸c˜ao, para os de n˜ao-equil´ıbrio.
Uma diferen¸ca crucial entre sistemas de equil´ıbrio e de n˜ao-equil´ıbrio refere-se `a
condi¸c˜ao de balan¸co detalhado, que geralmente n˜ao ´e satisfeita fora do equil´ıbrio. O
fato de a mecˆanica estat´ıstica de equil´ıbrio estudar estados estacion´arios de classes de
sistemas cujas taxas de transi¸c˜ao obedecem ao balan¸co detalhado lhe confere o formalismo
dos ensembles. Isso permite contornar a dinˆamica e tratar as propriedades estacion´arias
diretamente, o que n˜ao acontece no caso da mecˆanica estat´ıstica de n˜ao-equil´ıbrio, que
demanda o estudo do problema dinˆamico em seu todo [3].
Do ponto de vista microsc´opico, os modelos que descrevem sistemas fora do equil´ıbrio
s˜ao usualmente definidos em termos de uma equa¸c˜ao mestra, p ois grande parte da f´ısica
est´a contida nas taxas de transi¸c˜ao. J´a no n´ıvel de gr˜ao grosso, ´e uma equa¸c˜ao diferencial
parcial estoc´astica (uma equa¸c˜ao de Langevin generalizada ou, de maneira alternativa,
uma equa¸c˜ao de Fokker-Planck) que descreve a dinˆamica do sistema [4, 5].
1
Em sistemas fora do equil´ıbrio espera-se que, para tempos longos, a dinˆamica seja
governada por flutua¸c˜oes. Portant o, ´e preciso come¸car a descri¸c˜ao do sistema pela equa¸c˜ao
mestra para se ter dom´ınio sobre essas flutua¸c˜oes. Por outro lado, as propriedades de
escala geralmente s˜ao observadas apenas em regimes de tempos longos, fazendo necess´ario
o uso de uma teoria de gr˜a o grosso que contemple a descri¸c˜ao das flutua¸c˜oes importa ntes
presentes no sistema. Mas n˜ao existe um m´etodo que permita construir de maneira
controlada o processo de gr˜ao grosso, pois o procedimento utilizado na determina¸c˜ao
da correspondente equa¸c˜ao de Langevin usualmente ´e baseado em argumentos gerais de
simetria. Para sistemas com ru´ıdo ´e necess´ario ainda postular as autocorrela¸c˜oes deste.
Al´em disso, se o ru´ıdo for multiplicativo, diferentes interpreta¸c˜oes podem ser atribu´ıdas
ao processo estoc´astico descrito pela equa¸c˜ao mestra original [6, 7, 8, 9].
A fim de contornar tais dificuldades, uma abordagem que tem sido recorrente na
literatura ´e a do formalismo do espa¸co de Fock [10, 11], que permite mapear diversos
processos estoc´asticos em uma representa¸c˜ao de integral funcional. Tal mapeamento
fornece a a ¸c˜a o efetiva, que pode ser estudada at r av´es do uso de ferramentas da mecˆanica
estat´ıstica de equil´ıbrio, como grupo de renormaliza¸c˜ao (ver [12 ] e referˆencias). Outra
maneira de tratar equa¸c˜oes que descrevem processos estoc´asticos consiste no uso das
t´ecnicas de simetrias de Lie aplicadas a equa¸c˜o es diferenciais [13, 14, 15, 16, 17]. Com
essa abordagem ´e poss´ıvel, dentre outras possibilidades, obter generaliza¸c˜oes de classes
de equa¸c˜oes de transp orte que incluam termos de arraste e de fonte n˜ao-lineares e que,
portanto, tenham maior fidelidade na descri¸c˜ao de sistemas f´ısicos complexos e fora do
equil´ıbrio. O presente trabalho foi desenvolvido sob essas duas perspectivas.
Espa¸co de Fock e redes fermiˆonicas
A no¸c˜ao de espa¸co de Fock, ou representa¸c˜ao n´umero [18, 19], foi introduzida na f´ısica
cl´assica por Sch¨onberg [10] para descrever classes de equa¸c˜oes lineares, como a equa¸c˜ao
de Liouville, no espa¸co de fase. Mais tarde Doi utilizou esse procedimento para estudar
processos de rea¸c˜ao-difus˜ao [11], apontando um caminho para tratar equa¸c˜oes estoc´asticas
com m´etodos da teria quˆantica de campos. Neste caso, os operadores de campo de cria¸c˜ao
e de aniquila¸c˜ao descrevem, po r exemplo, o surgimento de reagentes em rea¸c˜oes qu´ımicas.
Essa teoria tem sido desenvolvida em v´arias dire¸c˜oes [20], incluindo o trabalho
de Martin, Siggia e Rose [21] que apresenta um formalismo funcional para a mecˆanica
estat´ıstica de n˜ao-equil´ıbrio. Uma vers˜ao de integral de caminho pa ra b´osons foi proposta
por Peliti [22], e esta foi mais tarde estendida e aplicada a diferentes sistemas [3, 2 3]. A
2
maneira como os m´etodos baseados na representa¸c˜ao n´umero para an´alise de processos
estoc´asticos tˆem sido apresenta do s induzem a pensar, num primeiro momento, que s˜ao
desconexos entre si, gerando obstru¸c˜oes pr´at icas que vˆem sendo apontadas, por exemplo,
por Grassberger e Scheunert [24] e Andersen [25] (uma revis˜ao desse t´opico pode ser
encontrada em [20, 26]). Uma dessas dificuldades se deve ao fato de que a representa¸c˜ao
n´umero tem sido utilizada em teorias quˆanticas e associada `a indisting uibilidade das
part´ıculas subatˆomicas, um aspecto descrito p elas amplitudes de probabilidade. Por´em,
para sistemas cl´assicos, as amplitudes de probabilidade tˆem sido definidas em associa¸c˜ao
com uma generaliza¸c˜ao do teorema de Liouville [10, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35,
36, 37 , 38, 39, 40, 41]. A natureza f´ısica e matem´atica desse f ormalismo tamb´em tem
sido analizada a tr av´es de representa¸c˜oes de grupos de L ie [42], onde o espa¸co de Fock ´e
considerado como o espa¸co de representa¸c˜ao de simetrias. Nessa perspectiva, n˜ao aparece
a constant e de Planck “¯h” no m´etodo, resultando em uma consistˆencia plena com a f´ısica
cl´assica e sem ambiguidades com a teoria quˆantica. Muito desses desenvolvimentos j´a
foram feitos para b´osons [12], restando o caso de redes do tipo fermiˆonicas a ser estudado
em maiores detalhes.
´
E importante ressaltar que, no contexto de redes de spin, o m´etodo da representa¸c˜ao
n´umero foi usado por Schultz, Mattis e Lieb para resolver analiticamente o modelo de Ising
bidimensional [43]. Desde ent˜ao, com a mesma perspectiva alg´ebrica, v´arios trabalhos
tˆem sido propostos [44] abordando, em particular, processos de adsor¸c˜ao [45, 46, 47] e o
modelo de Glauber [48, 49, 50]. O esquema de o peradores fermiˆonicos tamb´em foi aplicado
recentemente em percola¸c˜ao direcionada [51] e no estudo da equa¸c˜ao de Boltzman [52].
Portanto, acredita-se que seja importante avan¸car na sistematiza¸c˜ao da estrutura anti-
sim´etrica do espa¸co de Fock, e ´e esse um dos nossos prop´ositos aqui. Seguimos os
desenvolvimentos para o caso bosˆonico discutido, por exemplo, por Peliti [22], Grassberger
e Scheunert [24] e Ali [53]. Para isso, introduzimos um operador de densidade para
descrever o estado do sistema. Usando vari´a veis de Gr assmann, quantidades conceituais,
como o propagador escrito em termos de uma integral de caminho e a fun¸c˜ao geratriz de
momentos, s˜ao obtidas. Aplicamos esse m´etodo na o bten¸c˜ao de grandezas que descrevem
o modelo de Glauber linear d-dimensional [54].
O modelo de Glauber linear pertence `a classe de universalidade do modelo do
votante, que tem sido associado a diversos processos, como o processo de gr˜ao grosso cr´ıtico
na ausˆencia de tens˜ao superficial [55], `a cin´etica de rea¸c˜oes cata l´ıticas [56] e ao processo
de aprendizado competitivo [57]. Recentemente, a validade do teorema de flutua¸c˜ao-
dissipa¸c˜ao e a ocorrˆencia de um regime de envelhecimento foram atestadas para o modelo
3
de Glauber linear [58]; esse modelo tamb´em descreve processos de rea¸c˜ao catal´ıtica de
sup erf´ıcie [59]. Outro aspecto interessante ´e que, sendo um modelo n˜ao-trivial e sol´uvel, o
modelo de Glauber linear pode ser ´util para a verifica¸c˜ao de propriedades e caracter´ısticas
de sistemas fora do equil´ıbrio [26, 5 4, 58, 60, 61].
No contexto do espa¸co de Fock, obtivemos uma express˜ao fechada par a o Liouvilliano
do modelo de Glauber linear em d dimens˜oes e deduzimos a equa¸c˜ao de evolu¸c˜ao temporal
para a magnetiza¸c˜ao e para a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao, ambas definidas aqui atrav´es do
operador n´umero. Demonstramos a conex˜ao entre os resultados obtidos com o presente
formalismo e aqueles obtidos via o peradores de spins [54]. Em termos das caracter´ısticas
da representa¸c˜ao n´umero, esse formalismo revela algumas propriedades novas e ´uteis a
c´alculos pr´aticos. Os principais resultados f oram obtidos de modo unificado com o caso
bosˆonico e est˜ao sintetizados em [62].
Simetrias de Lie e equa¸c ˜oes de transporte
Saindo da perspectiva microsc´opica para a de gr˜ao grosso, a equa¸c˜ao de Fokker-Planck
´e uma equa¸c˜ao de transporte que tem sido ampla mente utilizada no estudo de processos
estoc´asticos em diferentes contextos [63]. Muitos trabalhos tˆem sido realizados na tentativa
de entender melhor a dinˆamica de Fokker-Planck, incluindo m´etodos para obter, al´em de
solu¸c˜oes, equa¸c˜oes generalizadas a partir de determinadas simetrias. Entre os diversos
procedimentos empregados, a an´alise de simetrias de L ie ´e frequentemente usada nesse
tipo de problema, gerando equa¸c˜oes de Fokker-Planck que possuem termos de arraste e
difus˜ao n˜ao triviais [64, 6 5, 66, 67, 68, 69, 70], simetrias de calibre [71] e termos n˜ao-
lineares [72, 73]. No procedimento padr˜ao para a generaliza¸c˜ao de equa¸c˜oes de Fokker-
Planck, um ingrediente central ´e a escolha de uma simetria inicial, que usualmente ´e
considerada como a simetria de um conjunto mais restritivo de equa¸c˜o es. Por exemplo,
uma vez conhecido o grupo de simetria de uma equa¸c˜ao de difus˜ao , ´e poss´ıvel utiliz´a-lo
como simetria inicial para a dedu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao de Fokker-Planck com termos de
arraste e de fonte n˜ao-lineares.
H´a alguns anos, uma equa¸c˜ao de Fokker-Planck com termo de arraste logar´ıtmico
foi proposta para obter a distribui¸c˜ao do tamanho de part´ıculas de metal formadas por
processos de nuclea¸c˜ao [74]. Mais recentemente, uma classe de equa¸c˜oes de rea¸c˜ao-difus˜ao,
com inomogeneidade logar´ıtmica no coeficiente difusivo, foi apresentada [75]. Em outros
contextos tamb´em ´e poss´ıvel encontrar dependˆencias logar´ıtmicas como, por exemplo
na fun¸c˜ao de mobilidade de esferas pesadas [76] e em processos de difus˜ao quˆa nticos
4
ca´oticos [77]. Embora a presen¸ca de termos logar´ıtmicos em equa¸c˜oes de Fokker-Planck
ainda seja po uco explorada , acredita-se que essa classe de equa¸c˜oes possa ser ´util na
descri¸c˜ao de modelos com confinamento espacial [78].
´
E natural, portanto, questionar se
´e poss´ıvel considerar uma classe de equa¸c˜oes de Fokker-Planck com termos logar´ıtmicos
como candidatas para descrever sistemas confinados, como sistemas de el´etrons em pontos
e fios quˆanticos ou sistemas de quarks e gl´uons em cromodinˆamica quˆantica. Esses
resultados apontam para a necessidade de um estudo mais sistem´atico desse tipo de
equa¸c˜ao, e esse ´e um dos nossos prop´ositos aqui.
Neste tr abalho, examinamos uma classe de equa¸c˜oes de difus˜ao e sua generaliza¸c˜ao
para equa¸c˜oes de Fokker-Planck com termos n˜ao-lineares, usando o procedimento de
simetrias de Lie. M´etodos alg´ebricos computacionais [79] nos permitiram apresentar uma
classe de ´algebras de Lie para a equa¸c˜ao a ser analizada, bem como algumas solu¸c˜oes
associadas a simetrias espec´ıficas. Deduzimos, em particular, equa¸c˜oes de Fokker-Planck
com um termo de fonte n˜ao-linear [80]. A fim de estender nosso estudo, primariamente
voltado para a dinˆamica de Fokker-Planck, para uma classe de equa¸c˜oes de transporte
ainda mais geral, exploramos a classe de equa¸c˜oes de difus˜ao em meio poroso [81, 82],
muito empregada na descri¸c˜ao de plasmas [83], dentre outras a plica¸c˜oes [84, 85, 86, 87, 88].
A partir da equa¸c˜ao de difus˜a o com coeficiente difusivo logar´ıtmico, obtivemos equa¸c˜oes
de difus˜ao generalizadas, com termos convectivos e de absor¸c˜ao [89, 90], e equa¸c˜oes que
descrevem processos de difus˜ao r´apida [91, 92].
Este programa demandou o uso intensivo de computa¸c˜a o alg´ebrica. Utilizamos
algumas subrotinas do pacote SADE (Symmetry Analysis of Differen tial Equations) [79],
desenvolvido em nosso grupo na Universidade de Bras´ılia, para encontrar simetrias de
Lie, manipular equa¸c˜oes determinantes e obter solu¸c˜oes invariantes, c´alculos intrat´aveis
manualmente.
Objetivos gerais e organiza¸c˜ao da apresenta¸c˜ao
Em suma, nesta tese no sso prop´osito prim´ario ´e estudar classes de processos estoc´asticos
utilizando ferramentas fundadas em simetria: exploramos a no¸c˜ao de espa¸co de Fock
(representa¸c˜ao n´umero) na descri¸c˜ao de redes estoc´asticas fermiˆonicas e tamb´em utilizamos
os m´etodos de simetrias de Lie aplicados a equa¸c˜oes de transporte generalizadas. A
apresent a¸c˜ao do trabalho est´a o rganizada da seguinte maneira. No cap´ıtulo 2 tratamos do
estudo de redes esto c´aticas de simetria fermiˆonica na representa¸c˜ao n´umero, e mostramos
uma aplica¸c˜ao `a dinˆamica de Glauber linear. No cap´ıtulo 3 apresentamos uma breve
5
revis˜a o dos m´etodos de Lie pr´oprios para serem aplicados a equa¸c˜oes de transporte. No
cap´ıtulo 4 mostramos uma discuss˜ao geral sobre equa¸c˜oes diferenciais parab´olicas, com
ˆenfase na classe conhecida como equa¸c˜oes de difus˜ao em meio poroso que, pelo fato de
abranger equa¸c˜oes de transpo rt e importantes como a equa¸c˜ao de Fokker-Planck, forneceu
motiva¸c˜ao f´ısica para nossos resultados apresentados no cap´ıtulo 5. No quinto cap´ıtulo
apresent amos as equa¸c˜oes de tr ansp orte generalizadas encontradas a partir da imposi¸c˜ao
de certas simetrias, bem como solu¸c˜oes invariantes para alguns casos part iculares. Nossas
conclus˜oes e perspectivas futuras s˜ao apresentadas no cap´ıtulo 6.
6
Cap´ıtulo 2
Espa¸co de Fock em redes fermiˆonicas e o
modelo de Glauber linear
Neste cap´ıtulo apresentamos o estudo sobre aspectos de redes fermiˆonicas descritas na
representa¸c˜ao n´umero, seguindo uma formula¸c˜ao que tem se mostrado vantajosa para
tratar sistemas bosˆonicos de n˜a o-equil´ıbrio. Como a plica¸c˜ao do formalismo, consideramos
quantidades f´ısicas da dinˆamica d-dimensional de Glauber linear, que ´e irrevers´ıvel para
d ≥ 2. O cap´ıtulo est´a estruturado da seguinte maneira. Na se¸c˜ao 2.1, introduzimos
o espa¸co de Hilbert e mostramos a formula¸c˜ao de integral de trajet´oria para redes de
spin. Na se¸c˜ao 2 .2 , apresentamos a descri¸c˜ao do modelo de Glauber linear d-dimensional
no espa¸co de Fock e deduzimos a magnetiza¸c˜ao e a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao em termos do
operador n´umero. Este cap´ıtulo apresenta com mais detalhes os resultados publicados na
referˆencia [62].
2.1 Redes e stoc´asticas fermiˆonicas
Nesta se¸c˜ao apresentamos um sistema de spins geral escrito na representa¸c˜ao de Fock.
Consideramos uma rede em que cada s´ıtio esteja vazio ou ocupado por uma part´ıcula.
Esse tipo de rede ´e descrita por operadores fermiˆonicos. Al´em disso, as configura¸c˜oes do
sistema ser˜ao caracterizadas por um conjunto de n´umeros de ocupa¸c˜ao, denotados po r
{n
m
, m = 1, ..., N}, com n
m
= 0 ou 1, ∀ m, descrevendo o m-´esimo s´ıtio vazio (n
m
= 0)
ou ocupado (n
m
= 1). O estado do sistema ´e dado por φ
n
(t) = φ(n
1
, n
2
, ..., n
N
; t), que
7
representa a probabilidade de ocorrˆencia da configura¸c˜ao n = {n
1
, n
2
, ..., n
N
}, e satisfaz
`a equa¸c˜ao mestra
∂
t
φ
n
(t) =
m
(w
nm
φ
m
(t) − w
mn
φ
n
(t)) , (2.1)
onde w
nm
´e a taxa de transi¸c˜ao do estado φ
m
para φ
n
.
2.1.1 Especifica¸c˜oes da rede de spin no espa¸co de Fock
Consideremo s que o estado da rede seja descrito pelo operador de probabilidade
φ, definido
no espa¸co de Hilbert (H) e diagonal na representa¸c˜ao n´umero, ou seja, associamos n → |n
com
φ|n = φ
n
|n. Consideremos tamb´em que os observ´aveis da teoria s˜ao operadores
Hermitianos tal que, para um observ´avel qualquer
A, temos
A|n = A
n
|n, onde A
n
´e
um autovalor real de
A na base |n. A nota¸c˜ao que ser´a utilizada ´e tal que, para b´osons,
teremos n = 0, 1 , 2, . . . ; al´em disso, por simplicidade, por enquanto vamos estabelecer as
especifica¸c˜oes para uma rede de um ´unico s´ıtio.
A normaliza¸c˜ao da base |n e a rela¸c˜ao de completeza s˜ao, respectivamente, dadas
por
m|n = n!δ
nm
, 1 =
n
1
n!
|nn| . (2.2)
O tra¸co de um operador
A ´e
T r
A =
n
1
n!
n|
A|n , (2.3)
e o valor m´edio de
A em um estado descrito por
φ ´e definido por
A
φ
= T r (
φ
A) =
n
A
n
φ
n
,
correspondendo a uma quantidade f´ısica m´edia usual A
n
com probabilidade φ
n
de ocorrer.
Introduzindo os vetores
|I =
n
|n , |
I =
n
1
n!
|n ,
8
vemos que o operador de probabilidade
ˆ
φ leva aos vetores
|φ =
φ|I =
n
1
n!
φ
n
|n ,
|φ =
φ|I =
n
φ
n
|n ,
que podem ser usados para descrever o estado do sistema. A partir dessas defini¸c˜oes,
obtemos o conjunto de propriedades apresentados na Tabela 1.
I|I =
n,m
m|n =
n
n!
I|I =
n
1
n!
n|
I = 1 , n|I = n! 0|I = 0|I = 1
I|I =
n,m
1
n!
m|n =
n
δ
nn
ψ|φ =
n
1
n!
ψ
n
φ
n
ψ|φ =
n
n!ψ
n
φ
n
ψ|φ =
n
ψ
n
φ
n
= ψ|
φ
φ
n
=
1
n!
n|φ φ
n
= n|
φ
Tab ela 1: Propriedades dos es tados b´asicos.
Note que o valor m´edio de um operador arbitr´ario
O =
I|
O|I ´e equivalente `a
opera¸c˜ao do t ra¸co para operadores diagonais. Al´em disso, quando
O =
A
φ, temos
I|
A
φ|I = I|
A|φ =
n
A
n
φ
n
= T r
A
φ .
Por outro lado, a normaliza¸c˜ao da probabilidade ´e dada por
I|
φ|I = I|φ =
n
φ
n
= 1 .
Em particular,
0|φ = 0 |
φ|I =
n
φ
n
0|n = 0|
φ = φ
0
,
que ´e um resultado ´util para estabelecer condi¸c˜oes iniciais.
Os o peradores de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao satisfazem `as regras de anticomuta¸c˜ao:
{a, a} = {a
†
, a
†
} = 0 ,
{a, a
†
} = 1 ,
9
tal que
a|n = n|n − 1 ,
a
†
|n = |n + 1 ,
n|a = n + 1| ,
n|a
†
= n − 1|n
(em rela¸c˜ao `a defini¸c˜ao usual, existe um fator de normaliza¸c˜ao diferente). O operador
n´umero ´e dado po r
N = a
†
a, com
N|n = n|n , n = 0, 1.
Em termos do operador a
†
, o vetor |
I pode ser escrito como
|
I =
m
n!|n =
m
1
n!
(a
†
)
n
|0
= e
a
†
|0 .
Isso sugere que a defini¸c˜ao do estado coerente |
α = e
αa
†
|0, sendo que, no caso de
f´ermions, α ´e um n´umero de Grassmann; no caso de b´osons, α ´e um n´umero c complexo.
Considerando primeiro o caso de b´osons, os operadores a
†
e a satisfazem `as rela¸c˜oes
de comuta¸c˜ao [a, a
†
] = 1.
´
E f´acil mostrar que
|
α|
α=1
= |I , a|α = α|α e ∂
k
α
|α|
α=1
= (a
†
)
k
|I .
Definindo a fun¸c˜ao geradora de momentos, G(φ, α) =
α|φ, o k-´esimo momento
binomial (ou fatorial), n
k
(φ) [1, 24, 26], ´e dado por
n
k
(φ) = ∂
k
α
G(φ, α)|
α=1
=
I|a
k
|φ = n(n − 1) · · · (n − k + 1)|
φ
.
Outra maneira de expressar esse resultado ´e observando que n
k
(φ) = n|a
k
|α|
α=1
. Em
particular, para o operador n´umero
N = a
†
a, temos
n
1
(φ) =
I|a
†
a|φ = I|a|φ = n|a|α|
α=1
.
Para obter quantidades similares para redes fermiˆonicas, precisamos introduzir as vari´aveis
de G r assmann [93] nesse contexto.
10
2.1.2 Vari´aveis de Grassmann
A formula¸c˜ao de integral de caminho ´e sens´ıvel `a natureza da part´ıcula. Isso porque, no
caso bo sˆonico, a integral de trajet´oria soma sobre f un¸c˜oes “comutantes”, uma vez que o
resultado do produto de duas ou mais dessas fun¸c˜oes independe da ordem em que elas
figuram no produto. J´a no caso fermiˆonico, as fun¸c˜oes s˜ao anticomutativas, pois s˜ao
escritas em termos de geradores de uma ´algebra n˜ao-comutativa [94]. Apresentamos a
seguir propriedades b´asicas da ´algebra n˜ao-comutativa de Grassmann e sua rela¸c˜ao com
um sistema de f´ermions.
Nota¸c˜ao, derivada e integral
Em rela¸c˜ao `a nota¸c˜ao utilizada, o conjunto de vari´a veis de G rassmann ´e representado por
G = {α, β, γ, . . .}, os operadores fermiˆonicos de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao s˜ao, respectivamente,
a e a
†
, e os n´umeros complexos s˜ao denotados por {c}. As vari´aveis de Grassmann
satisfazem `as seguintes propriedades:
(i) αβ = −βα ;
(ii) α(β + cγ) = αβ + cαγ , αa = −aα , αa
†
= −a
†
α .
O conjugado complexo das vari´aveis de Grassmann ´e um mapeamento antilinea r ao
conjugado complexo de n´umeros complexos, de modo que
(α + caβa
†
γ
∗
)
†
= α
∗
+ γaβ
∗
a
†
c
∗
,
onde α e α
∗
s˜ao considerados independentes.
Uma fun¸c˜ao arbitr´aria de uma vari´avel de Grassmann, f(α), ´e descrita na forma
f(α) = f
00
+ f
01
α, onde f
00
, f
01
∈ C. A integra¸c˜a o ´e definida por
αdα = 1,
dα = 0 . (2.4)
As equa¸c˜oes (2.4) s˜ao consistentes e satisfat´orias, especialmente para o uso pr´atico em
fun¸c˜oes exponenciais (a invar iˆancia por transla¸c˜ao tamb´em justifica essas defini¸c˜o es).
´
E
11
simples mostrar que as opera¸c˜oes de deriva¸c˜ao e integra¸c˜ao para uma fun¸c˜ao f(α) qualquer
s˜ao idˆenticas, ou seja
∂f(α)
∂α
= f
01
e
f(α)dα = f
01
.
Nesse contexto, as opera¸c˜oes de deriva¸c˜ao e integra¸c˜ao n˜ao s˜ao definidas como processos
limites e nem possuem interpreta¸c˜ao geom´etrica. Par a a fun¸c˜ao exponencial e
aα
= 1+ aα,
temos
d
dα
e
aα
= a , a ∈ C ,
e
e
aα
dα =
(1 + aα)dα = a .
Note que para e
−aα
∗
α
= 1 − aα
∗
α, t amb´em obtemos
e
−aα
∗
α
dα
∗
dα =
(1 − aα
∗
α)dα
∗
dα
= a
dα
∗
α
∗
dα α = a . (2.5)
O resultado (2.5) ´e a contrapartida da integral Gaussiana, fundamental para o for malismo
de integral de caminho bosˆonico.
Base e produto escalar
O produto escalar envolvendo duas fun¸c˜oes de Grassmann f(α) e g(α) ´e definido por
(f, g) =
(f(α
∗
))
∗
g( α
∗
)e
−α
∗
α
dα
∗
dα , (2.6)
onde (f(α
∗
))
∗
= f
∗
00
+ f
∗
01
α. A defini¸c˜ao (2.6) abrange o caso de b´osons e funciona como
um produto escalar positivo.
Uma base ´e dada por ψ
0
= 1 e ψ
1
= α
∗
tal que (ψ
i
, ψ
j
) = δ
ij
. Essa base fornece
uma representa¸c˜ao matricial para os operadores a e a
†
. Para ver isso, note que
α
∗
ψ
0
= ψ
1
; α
∗
ψ
1
= 0;
d
dα
∗
ψ
0
= 0;
d
dα
∗
ψ
1
= ψ
0
.
12
Assim, temos que a = ∂/∂α
∗
e a
†
= α
∗
. Como resultado, os elementos de matriz
(ψ
i
, aψ
j
) = a
ij
e (ψ
i
, a
†
ψ
j
) = a
†
ij
s˜ao tais que
a =
0 0
1 0
, a
†
=
0 1
0 0
. (2.7)
Operadores
Em termos de a e a
†
, podemos escrever um operador geral A(a
†
, a), no ordenamento
normal, como
A(a
†
, a) = A
00
+ A
10
a
†
+ A
01
a + A
11
a
†
a
=
n,m=0
A
nm
(a
†
)
n
(a)
m
,
onde A
nm
∈ C. Na representa¸c˜ao de vari´aveis de Grassmann, podemos definir duas
fun¸c˜oes associadas ao operador A:
• S´ımbolo Normal (n´ucleo n ormal):
A(a
†
, a) = A(α
∗
, α) =
n,m
A
nm
(α
∗
)
n
(α)
m
, n, m = 0, 1 (2.8)
• N´ucleo:
A(a
†
, a) → A(α
∗
, α) =
n,m
A
n,m
(α
∗
)
n
(α)
m
, (2.9)
onde A
n,m
= (ψ
n
|Aψ
m
) ´e a matriz de elementos do operador A na base (ψ
n
, ψ
m
).
Tamb´em ´e importante destacar a s seguintes pro priedades:
(i) A(α
∗
, α) = e
α
∗
α
A(α
∗
, α) ;
(ii) α
∗
|A|ψ ≡ (Aψ)(α
∗
) =
A(α
∗
, β)ψ(β)e
−β
∗
β
dβ
∗
dβ ,
onde (Aψ)(α
∗
) corresponde `a a¸c˜ao de A sobre um veto r (fun¸c˜ao) ψ ;
(iii) Produto de dois operadores:
(A
1
A
2
)(α
∗
, α) =
A
1
(α
∗
, β)A
2
(β
∗
, α)e
−β
∗
β
dβ
∗
dβ ,
13
levando em conta que
β
m
β
∗
n
e
−β
∗
β
dβ
∗
dβ = δ
nm
.
Utilizando as propriedades (i) e (ii), ´e poss´ıvel mostrar que a generaliza¸c˜ao da
propriedade (iii) para o produto de N operadores A ´e dada por
A
N
(α
∗
, α) = A
N
(β
∗
0
, β
N
)
=
N
i=1
e
β
∗
i−1
β
i
A(β
∗
i−1
, β
i
)
N−1
j=1
e
−β
∗
j
β
j
dβ
∗
j
dβ
j
. (2.10)
2.1.3 Integral de trajet´oria para redes fermiˆonicas
De posse das defini¸c˜oes apresentadas na se¸c˜ao anterior, vamos construir o formalismo de
integral de trajet´oria para uma equa¸c˜ao estoc´astica como (2.1), com solu¸c˜ao formal dada
por
|φ(t) = U(t)|φ
0
. (2.11)
Primeiro faremos uso da f´ormula de Trotter [22] para escrever o operador de evolu¸c˜ao
temporal U(t) = e
tL
como
U(t) = e
tL
= lim
N→∞
1 +
t
N
L
N
= lim
N→∞
[A(t)]
N
.
A partir da express˜ao (2.10), que descreve produto de N operadores A, temos
U(α
∗
, α; t) = lim
N→∞
N
i=1
e
β
∗
i−1
β
i
A(β
∗
i−1
, β
i
)
N−1
j=1
e
−β
∗
j
β
j
dβ
∗
j
dβ
j
, (2.12)
onde A(β
∗
i−1
, β
i
) = 1 + τ
N
L(β
∗
i−1
, β
i
) , com τ
N
= t/N ≪ 1.
Considerando que (1 + τ
N
L) ≃ e
τ
N
L
, levamos A ∼ exp(τ
N
L) em (2.12) e obtemos
U(α
∗
, α; t) = lim
N→∞
N
i=1
exp
β
∗
i−1
β
i
+ τ
N
L(β
∗
i−1
, β
i
)
N−1
j=1
e
−β
∗
j
β
j
dβ
∗
j
dβ
j
14
= lim
N→∞
exp
N−1
i−1
[(β
∗
i−1
− β
i
)β
i
+ τ
N
L(β
∗
i−1
, β
i
)] + β
∗
N−1
β
N
+ τ
N
L(β
∗
N−1
, β
N
)
×
N−1
j=1
dβ
∗
j
dβ
j
= lim
N→∞
exp
τ
N
N−1
i−1
(β
∗
i−1
− β
i
)
τ
N
β
i
+ L(β
∗
i−1
, β
i
)
+ β
∗
N−1
β
N
+ τ
N
L(β
∗
N−1
, β
N
)
×
N−1
j=1
dβ
∗
j
dβ
j
.
Usando a nota¸c˜ao padr˜ao para funcionais
N−1
j=1
dβ
∗
j
dβ
j
. . . →
Dβ
∗
Dβ . . . ,
lim
N→∞
N−1
k=1
τ
k
[. . . f
k
] →
t
0
dt
′
[. . . f (t
′
)] ,
e tomando β
i
→ β(t
′
), β
N
= α ≡ β(t), β
∗
N−1
→ β
∗
(t), lim
N→∞
τ
N
L(β
∗
N−1
, β
N
) = 0,
chegamos `a seguinte express˜ao para a o propagador (2.12):
U(α, α
∗
; t) =
Dβ
∗
Dβ exp
t
0
dt
′
[β
∗
(t
′
)∂
t
′
β(t
′
) + L(β
∗
(t
′
), β(t
′
))] + β
∗
(t)α
. (2.13)
Este propagador ´e a contrapartida de f´ermions ao encontrado por Peliti [22] na representa¸c˜ao
de integral funcional para b´o sons.
2.1.4 Fun¸c˜ao geradora de momentos
Vamos agora definir a fun¸c˜a o geradora de momentos em termos das vari´aveis de Grassmann.
Para isso, introduzimos o estado |¯α = e
αa
†
|0, que se assemelha a um estado coerente
de Glauber. D e fato, no contexto de vari´aveis de Grassmann, e
αa
funciona como um
operador de deslocamento:
e
αa
ae
αa
†
= a − α .
Entretanto, ´e preciso ter cuidado na introdu¸c˜ao do espa¸co dual. O operador de deslocamento
unit´ario fermiˆonico ´e definido por [95]
D
a
(α) = exp(a
†
α − α
∗
a) , (2.14)
15
tal que
D
a
(α)aD
†
a
(α) = a − α ,
com o estado coerente fermiˆonico dado por
|α = D
a
(α)|0
a
e a|α = α| α .
Podemos ent˜ao provar que o estado coerente dual ´e definido como
α| = 0|D
†
a
(α), com D
†
a
(α) = D
−1
a
(α) .
Consequentemente,
α|β = exp(α
∗
β −
1
2
α
∗
α −
1
2
β
∗
β) e α|a
†
(α) = α|α
∗
.
O projetor de |α na base n´umero ´e
|α = e
−α
∗
α/2
n
(−α)
n
|n , (2.15)
e ent˜ao
n|α = exp(−α
∗
α/2)(α)
n
.
Considerando α como sendo var i´avel de Grassmann real, e ent˜ao α
∗
= α em D
†
(α), temos
e
αa
†
−aα
|0 = (1 + αa
†
− aα)|0 = e
αa
†
|0 = |¯α , (2.16)
e
∂
∂α
|¯α =
∂
∂α
(1 + αa
†
)|0 = a
†
e
a
†
|0 ≡ a
†
|
¯
I . (2.17)
Portanto, a fun¸c˜ao geradora de momentos pode ser escrita de maneira similar ao caso de
b´osons, ou seja, G(φ, α) =
α|φ.
16
2.1.5 O Liouvilliano
Vamos agora considerar uma rede de N s´ıtios, onde os operadores de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao
anticomutam num mesmo s´ıtio mas comutam para s´ıtios distintos. Este aspecto resulta
nos operadores chamados Paulions, definidos pelas seguintes regras mistas [2 4]
{c
i
, c
†
i
} = 1 ,
{c
i
, c
i
} = {c
†
i
, c
†
i
} = 0 ,
[c
i
, c
j
] = [c
†
i
, c
†
j
] = [c
i
, c
†
j
] = 0 , i = j .
Esses operadores podem ser usados para representar as matrizes de Pauli,
σ
j
1
= c
†
j
+ c
j
,
σ
j
2
= i(c
j
− c
†
j
) ,
σ
j
3
= 2 − c
†
j
c
j
.
A representa¸c˜ao n´umero para um sistema de spins pode ser perfeitamente obtida pela
associa¸c˜ao de Paulions com operadores fermiˆonicos. A rela¸c˜ao entre Paulions e operadores
fermiˆonicos ´e dada pela f´ormula de Jordan-Wigner [20],
c
j
= a
j
exp(iπ
m<j
a
†
m
a
m
) = a
j
exp(iπ
m<j
c
†
m
c
m
) . (2.18)
Outro resultado ´util que pode ser imediatamente obtido ´e
c
†
j
c
j
= a
†
j
a
j
,
c
†
j±1
c
j
= a
†
j±1
a
j
,
exp(2πic
†
j
c
j
) = exp(2πia
†
j
a
j
) .
Podemos escrever a equa¸c˜ao mestra utilizando o resultado
n
φ
n
(t)|n =
φ(t)|I = |φ(t) . (2.19)
17
Assim, temos
∂
t
|φ(t) =
n
∂
t
φ
n
(t)|n =
n,m
{w(n, m)φ
m
(t)|n − w(m, n)φ
n
(t)|n} . (2.20)
Por outro lado, se
n
∂
t
φ
n
(t)|n = L |φ(t), a equa¸c˜ao mestra pode ser escrita como
∂
t
|φ(t) = L|φ(t) , (2.21)
onde L ´e o Liouvilliano do sistema de Paulions (ou de f´ermions). Na pr´oxima se¸c˜ao
aplicaremos esse formalismo no modelo de Glauber linear.
2.2 O modelo de Glauber linear
O modelo de Glauber linear descreve a dinˆamica de um sistema interagente de spins do
tipo Ising em que, a cada unidade de tempo discretizado, ocorre invers˜ao de estado apenas
para o m-´esimo spin da rede. Em duas ou mais dimens˜oes, a condi¸c˜ao de balan¸co detalhado
n˜ao ´e satisfeita para esse modelo, fato que o insere na classe de modelos irrevers´ıveis com
simetria de invers˜ao pa ra d ≥ 2 (em uma dimens˜ao, o modelo de Glauber linear recai na
dinˆamica r evers´ıvel de Glauber [1]). Sua correspondente equa¸c˜ao mestra ´e
∂
t
φ(σ, t) =
N
m=1
{ω
m
(σ
m
)φ
m
(σ
m
, t) −ω
m
(σ)φ(σ, t)} , (2.22)
onde σ = (σ
1
, σ
2
, ..., σ
m,
..., σ
N
) representa a configura¸c˜ao do sistema. Se ocorre invers˜ao
de estado para o m-´esimo spin, ent˜ao σ
m
= (σ
1
, σ
2
, ..., −σ
m,
..., σ
N
). A taxa de invers˜ao
(ou taxa de transi¸c˜ao) do sistema ´e definida por
ω
m
(σ) =
α
2
1 −
λ
2d
σ
m
β
σ
m+β
, (2.23)
onde a soma se estende sobre todos os 2d primeiros vizinhos do m-´esimo s´ıtio, α ´e um
parˆametro que descreve a escala temporal e λ ´e um parˆametro definido no interva lo (0, 1].
18
2.2.1 Liouvilliano para a dinˆanima de Glauber linear
Com o objetivo de escrever as equa¸c˜oes (2.2 2) e (2.23) na representa ¸c˜a o do espa¸co de
Fock, definimos o vetor |σ
1
, σ
2
, ..., σ
N
= |σ
1
⊗ |σ
2
⊗ ... ⊗ |σ
N
, onde σ
m
|σ
n
= δ
nm
, e o
operador de spin
σ
m
que ´e diagonal, ou seja, para o m-´esimo s´ıtio,
σ
m
|σ
1
, σ
2
, ..., σ
m
, ..., σ
N
= σ
m
|σ
1
, σ
2
, ..., σ
N
. (2.24)
Al´em disso, definimos um operador de invers˜ao de estados (spin-flip),
F
m
, por
F
m
|σ
1
, σ
2
, ..., σ
m
, ..., σ
N
= |σ
1
, σ
2
, ..., −σ
m
, ..., σ
N
. (2.25)
O operador de probabilidade
ˆ
φ(t) ´e definido aqui por
φ(
σ, t)|σ = φ(σ, t)|σ .
Introduzindo |φ(t) =
φ(t)|I, com |I =
σ
|σ, obtemos
|φ(t) =
φ(t)
σ
|σ =
σ
φ(σ, t)|σ . (2.26)
Nessa base a taxa de transi¸c˜ao tamb´em ´e descrita por um operador diagonal, ou seja,
w
j
(
σ)|σ = w
j
(σ)|σ . (2.27)
Multiplicando a equa¸c˜ao (2.22) por |σ e somando sobre todoas as configura¸c˜oes
poss´ıveis, escrevemos
σ
∂
t
φ(σ, t)|σ = ∂
t
|φ(t) (2.28)
=
m
{
F
m
w
m
(
σ
m
) −
w
m
(
σ
m
)}|φ(t) . (2.29)
Como consequˆencia, temos a equa¸c˜ao mestra escrita como ∂
t
|φ(t) = L|φ(t) em que L, o
Liouvilliano, ´e dado por
L =
m
(
F
m
− 1)
w
m
(
σ
m
) , (2.30)
19
com ta xa de invers˜ao
w
m
(
σ
m
) =
α
2
1 −
λ
2d
σ
m
β
σ
m+β
. (2.31)
Vamos agora tratar explicitamente o modelo de G la uber linear definido por (2.22)
na base de Fock. A rela¸c˜ao entre os vetores de base do tipo |σ e |n ´e definida da seguinte
maneira. Usando 1 =
n
1
n!
|nn|, escrevemos
|σ =
n
1
n!
|nn|σ . (2.32)
Como
σ|σ = σ|σ, com σ = ±1, temos
σ
n
1
n!
|nn|σ = σ
n
1
n!
|nn|σ . (2.33)
Multiplicando a equa¸c˜ao (2.33) por m|, obtemos
m|
σ
n
1
n!
|nn|σ = σ
n
1
n!
m|nn|σ = σn| σ , (2.34)
que resulta em
n|σ = δ
2n−1,σ
e
σ
m
= 2c
†
m
c
m
− 1 .
Da express˜ao (2.32) , temos que
|σ = 1 = |n = 1 ,
|σ = −1 = |n = 0 ,
enquanto que, de
σ
m
= 2
n
m
− 1, segue que
σ|n = 1 = 1|1
σ|n = 0 = −1|0 .
20
Desse modo, temos
w
m
(c, t) =
α
2
1 −
λ
2d
(2c
†
m
c
m
− 1)
β
(2c
†
m+β
c
m+β
− 1)
=
α
2
1 −
2λ
d
n
m
β
n
m+β
−
n
m
−
1
2
β
n
m+β
+
1
2
, (2.35)
onde
n
m
= c
†
m
c
m
´e o o perador n´umero. O operador de invers˜ao de estado (spin flip)
F
m
,
´e dado por
F
m
= c
m
+ c
†
m
. (2.36)
Levando (2.35) e (2.36) em (2.30 ), encontramos o Liouvilliano em termos do operador
n´umero,
L =
m
(
F
m
− 1)
w
m
=
α
2
m
(c
m
+ c
†
m
− 1)
×
1 −
2λ
d
n
m
β
n
m+β
−
n
m
−
1
2
β
n
m+β
+
1
2
. (2.37)
A seguir usaremos este Liouvilliano para obter as equa¸c˜oes de movimento da magnetiza¸c˜ao
e da fun¸c˜ao de correla¸c˜ao.
2.2.2 Magnetiza¸c˜ao e fun¸c˜ao de correla¸c˜ao
Uma vez que temos
n
m
= c
†
m
c
m
=
1
2
(
σ
m
+ 1), quantidades f´ısicas relevantes podem
ser obtidas pelo c´alculo do valor esperado de
n
m
e de seus produtos. Inicialmente,
consideremos
n
m
, que ´e escrito como
n
m
=
I|
n
m
|φ(t) , (2.38)
e, de (2.21), encontramos
∂
∂t
n
m
=
I|
n
m
∂
∂t
|φ(t) =
I|c
†
m
c
m
L|φ(t)
=
I|c
†
m
c
m
n
(
F
n
− 1)
w
n
|φ(t) ,
21
tal que, para m = n, temos a seguinte rela¸c˜ao de comuta¸c˜ao
[c
†
m
c
m
, (
F
n
− 1)
w
n
] = 0 . (2.39)
Assim, escrevemos
∂
∂t
n
m
=
I|c
†
m
c
m
(
F
m
− 1)
w
m
|φ(t)
=
I|c
†
m
w
m
|φ(t) −
I|c
†
m
c
m
w
m
|φ(t) . (2.40)
Usando as propriedades
I|c
†
m
= (0| + 1|)c
†
m
= 0| ,
0|c
†
m
c
m
= 0 ,
1|c
†
m
c
m
= 1| , (2.41)
I|c
†
m
c
m
= (0| + 1|)c
†
m
c
m
= 1| ,
reescrevemos os r-´esimos termos da equa¸c˜ao (2.40) como
I|c
†
m
w
m
|φ(t) = 0|
w
m
|φ(t)
= 0|
α
2
1 +
λ
d
β
n
m+β
− d
|φ(t) ,
e
I|c
†
m
c
m
w
m
|φ(t) = 1|
w
m
|φ(t)
= 1|
α
2
1 −
λ
d
β
n
m+β
− d
|φ(t) .
Portanto, a express˜ao (2.40) fica dada por
2
α
∂
∂t
n
m
= 0|
1 +
λ
d
β
n
m+β
− d
|φ(t) − 1|
1 −
λ
d
β
n
m+β
− d
|φ(t)
= (0|− 1|) |φ(t)+ (0|+ 1 |)
λ
d
β
n
m+β
− d
|φ(t) ,
22
ou
2
α
∂
∂t
n
m
= −
I|2
n
m
− 1|φ(t)+
λ
d
I|
β
n
m+β
− d|φ(t) , (2.42)
onde usamos o fato de que 0| − 1| = −
I|(2
n
m
− 1). Finalmente, obtemo s
1
α
∂
∂t
n
m
= −
n
m
+
λ
2d
β
n
m+β
+
1 − λ
2
. (2.43)
A conex˜ao dessa express˜ao com a equa¸c˜ao de evolu¸c˜ao para a magnetiza¸c˜ao,
σ
m
, ´e obtida
considerando que
σ
m
= 2
n
m
− 1. Ent˜ao, obtemos
1
2α
∂
∂t
σ
m
= −
1
2
σ
m
+ 1 +
λ
4d
β
σ
m+β
+ 1 +
1 − λ
2
= −
1
2
σ
m
+
λ
4d
β
σ
m+β
,
que leva `a conhecida equa¸c˜ao para a magnetiza¸c˜ao do modelo de Glauber linear d-
dimensional [54]
1
α
∂
∂t
σ
m
= −
σ
m
+
λ
2d
β
σ
m+β
. (2.44)
Um procedimento an´alogo pode ser usado para o bter a equa¸c˜ao de evolu¸c˜ao tempo ral
para a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao,
n
m
n
n
. Come¸camos com
∂
∂t
n
m
n
n
=
I|
n
m
n
n
∂
∂t
|φ(t)
=
I|c
†
m
c
m
c
†
n
c
n
r
(
F
r
− 1)
w
r
|φ(t)
= I|
r
(
F
r
− 1)
w
r
c
†
m
c
m
c
†
n
c
n
|φ(t) .
Para r = m, n, temos
I|
r=m,n
(
F
r
− 1) =
r=m,n
(0| + 1|)(c
†
r
+ c
r
− 1) = 0 , (2.45)
logo
∂
∂t
n
m
n
n
=
I|c
†
m
c
m
c
†
n
c
n
(
F
m
− 1)
w
m
|φ(t) + I|c
†
m
c
m
c
†
n
c
n
(
F
n
− 1)
w
n
|φ(t) . (2.46)
23
Levando em conta a equa¸c˜ao (2.39) e as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao e anticomuta¸c˜ao para
Paulions, os r-´esimos termos de (2.46) s˜ao tais que
I|c
†
m
c
m
c
†
n
c
n
(
F
m
− 1)
w
m
|φ(t) = I|c
†
m
c
m
(c
†
m
+ c
m
− 1)
w
m
c
†
n
c
n
|φ(t)
=
I|c
†
m
w
m
n
n
|φ(t) −
I|c
†
m
c
†
m
c
m
w
m
n
n
|φ(t)
−
I|c
†
m
c
m
w
m
n
n
|φ(t)
= 0|
w
m
n
n
|φ(t) − 1|
w
m
n
n
|φ(t) , (2.47)
e
I|c
†
m
c
m
c
†
n
c
n
(
F
n
− 1)
w
n
|φ(t) = I|c
†
n
c
n
(c
†
n
+ c
n
− 1)
w
n
c
†
m
c
m
|φ(t)
=
I|c
†
n
w
n
n
m
|φ(t) −
I|c
†
n
c
†
n
c
n
w
n
n
m
|φ(t)
−
I|c
†
n
c
n
w
n
n
m
|φ(t)
= 0|
w
n
n
m
|φ(t) − 1|
w
n
n
m
|φ(t) . (2.48)
Usando as propriedades dadas em (2.41), os r-´esimos termos da express˜ao (2.47) s˜a o dados
por
0|
w
m
n
n
|φ(t) = 0|
α
2
1 +
λ
d
β
n
m+β
− d
n
n
|φ(t) , (2.49)
e
1|
w
m
n
n
|φ(t) = 1|
α
2
1 −
λ
d
β
n
m+β
− d
n
n
|φ(t) . (2.50)
Resultados similares s˜ao obtidos para os r-´esimos termos de (2.48). Considerando que
0| − 1| = −
I|(2
n
m
− 1) ,
a equa¸c˜ao (2.46) resulta em
1
α
∂
∂t
n
m
n
n
= −2
n
m
n
n
+
λ
2d
β
[
n
m
n
n+β
+
n
n
n
m+β
] +
1 − λ
2
(
n
m
+
n
n
) . (2.51)
24
Como
σ
m
= 2
n
m
− 1 e, considerando ainda que
σ
m
σ
n
= (2
n
m
− 1)(2
n
n
− 1)
= 4
n
m
n
n
− 2
n
m
− 2
n
n
+ 1 , (2.52)
calculamos
∂
∂t
σ
m
σ
n
. Da equa¸c˜ao (2.43), escrevemos
4
α
∂
∂t
n
m
n
n
=
2
α
∂
∂t
n
m
+
2
α
∂
∂t
n
n
−8
n
m
n
n
+ 4
n
m
+ 4
n
n
− 2
+
λ
2d
β
[4
n
m
n
n+β
+ 4
n
n
n
m+β
−2
n
n+β
− 2
n
m+β
− 2
n
m
− 2
n
n
+ 2] ,
que leva a [54]
1
α
∂
∂t
σ
m
σ
n
= −2
σ
m
σ
n
+
λ
2d
β
[
σ
m
σ
n+β
+
σ
n
σ
m+β
] . (2.53)
Note que as equa¸c˜oes (2.4 3) e (2.51) fornecem uma maneira alternativa para se estudar as
propriedades f´ısicas da dinˆa mica de Glauber linear (ou n˜ao-linear), explorada no contexto
do espa¸co de Fock. Em particular, as m´edias
n
m
e
n
m
n
n
podem ser associadas
diretamente com o pro pagador no limite cont´ınuo.
25
Cap´ıtulo 3
Simetrias de Lie e Equa¸c˜oes Diferenciais
Este cap´ıtulo apresenta uma revis˜ao dos principais aspectos dos m´etodos de grupos de
simetria de Lie a plicados a equa¸c˜oes diferenciais, tendo em vista o estudo de equa¸c˜oes
de transporte que faremos no cap´ıtulo 5. Esta revis˜ao ´e baseada nas referˆencias [13, 14,
15, 16, 17], e segue especialmente [17]. A estrutura do cap´ıtulo ´e a seguinte. Na se¸c˜ao
3.1, apresentamos os conceitos de grupo de transforma¸c˜oes de Lie a 1-parˆametro. A se¸c˜ao
3.2 mostra os conceitos de transforma¸c˜oes infinitesimais e seus desdobramentos. A se¸c˜ao
3.3 traz a defini¸c˜ao de prolonga¸c˜oes e pro longa¸c˜oes infinitesimais. Na se¸c˜ao 3.4, tratamos
dos grupos de transforma¸c˜ao a r-parˆametros e de ´algebras de Lie. Por fim, na se¸c˜ao
3.5, apresentamos a spectos relacionados `a invariˆancia de equa¸c˜oes diferenciais parciais,
solu¸c˜oes invariantes e sistema de equa¸c˜oes determinantes.
3.1 Grupo de transforma¸c˜oes de Li e
Antes de definir grupo de transforma¸c˜oes de L ie a 1-parˆametro , ´e conveniente apresentar
os conceitos de grupos e de grupo de tr ansforma¸c˜oes.
3.1.1 Grupo
Considere G um conjunto de elementos G = {a, b, . . .}.
26
Defini¸c˜ao 3.1.1.1 G ´e grupo se existe uma lei de composi¸c˜ao φ que s atisfaz aos axiomas:
(i) C ompleteza. Para quaisquer elementos a e b ∈ G, φ(a, b) ´e um elemento de G.
(ii) Associatividad e . Para quaisquer elementos a, b, c ∈ G, φ(a, φ(b, c)) = φ(φ(a, b), c).
(iii) Iden tida de. Existe um ´unico elemento de identidad e e, e ∈ G, tal que, para qualquer
elemento a de G, φ(a, e) = φ(e, a) = a.
(iv) Inverso. Para qualquer elemen to a ∈ G existe um ´unico elemen to inverso a
−1
∈ G tal
que φ(a, a
−1
) = φ(a
−1
, a) = e.
Defini¸c˜ao 3.1.1.2 Um grupo G ´e d i to Abeliano se φ(a, b) = φ(b, a) for v´alido para todos
os elementos a, b ∈ G.
Defini¸c˜ao 3.1.1.3 Um s ubgrupo de G ´e um grupo formado por elemen tos de G, com a
mesma lei de composi¸c˜ao φ.
3.1.2 Grupo de Transforma¸c˜oes
Defini¸c˜ao 3.1.2.1 Se j a x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ D, numa regi˜ao D ⊂ R
n
. O conjunto de
transforma¸c˜oes ˜x = X(x; ε), para cada x ∈ D e ε ∈ S, S ⊂ R, com φ(ε, δ) d efinindo
uma le i de composi¸c˜ao dos parˆametros ε e δ em S, forma um grupo de transforma¸c˜oes a
1-parˆame tro em D se:
(i) Para cada ε em S as transforma¸c˜oes forem 1-1 em D (e ent˜ao, ˜x ∈ D).
(ii) A lei de compo si¸c˜ao φ e S formarem um grupo G.
(iii) Para cada x ∈ D, ˜x = x quando ε = ε
0
corresponde `a id entidade e, ou seja,
X(x; ε
0
) = x.
(iv) Se ˜x = X(x; ε),
˜
˜x = X(˜x; δ), ent˜ao
˜
˜x = X (˜x; φ(ε, δ)).
3.1.3 Grupo de Transforma¸c˜oes de Lie a 1-Parˆametro
Defini¸c˜ao 3.1.3.1 Para que um grupo G de transforma¸c˜oes a 1-parˆametro seja um grupo
de transforma¸c˜oes de Lie a 1-parˆametro, G deve satisfazer aos axiomas da Defini¸c˜ao
27
3.1.2.1 e tamb´em aos seguintes:
(v) ε ´e um parˆametro cont´ınuo, ou seja, S ´e um intervalo de R. Sem perda de general i dade,
ε corresponde ao elemento de identidade e.
(vi) X ´e irrestritamente diferenci´avel em rela¸c˜ao a x em D e ´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica de
ε em S.
(vii) φ(ε, δ) ´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica de ε e δ, para ε ∈ S e δ ∈ S.
3.2 Transforma¸c˜oes Infinitesimais
Considere um grupo de transforma¸c˜oes de Lie a 1-parˆametro,
˜x = X (x; ε) , (3.1)
com a identidade ε = 0 e lei de composi¸c˜ao φ. Expandindo (3.1) em torno de ε = 0, temos
˜x = x + ε
∂X(x; ε)
∂ε
ε=0
+
1
2
ε
2
∂
2
X(x; ε)
∂ε
2
ε=0
+ . . .
= x + ε
∂X(x; ε)
∂ε
ε=0
+ O(ε
2
) . (3.2)
Seja
ξ(x) =
∂X(x; ε)
∂ε
ε=0
. (3.3)
A transforma¸c˜ao ˜x = x + εξ(x) corresponde a uma transforma¸c˜ao infin i tesimal do grupo
de transforma¸c˜oes de Lie (3.1 ) .
3.2.1 Primeiro Teorema Fundamental de Lie
O seguinte lema ser´a ´util:
Lemma 3.2.1.1 O grupo de transforma¸c˜oes a 1-parˆametro de Lie (3.1) satisfaz a condi¸c˜ao
X(x; ε + ∆ε) = X(X(x; ε); φ(ε
−1
, ε + ∆ε)) . (3.4)
28
Teorema 3.2.1.1 (Primeiro Teorema Fundamental de Lie.) A parametriza¸c˜ao τ(ε)
existe e ´e tal que o grupo de tran s forma¸c˜oes de Lie (3.1) equivale `a solu¸c˜ao de um problema
de valor inicial para um sistema de EDO’s de primeira ordem dado por
d˜x
dτ
= ξ(˜x) , (3.5)
com
˜x = x quando τ = 0 . (3.6)
Em particular,
τ(ε) =
ε
0
Γ(ε
,
)dε
,
, (3.7)
onde
Γ(ε) =
∂φ(a, b)
∂b
(a,b)=(ε
−1
,ε)
e Γ(0) = 1 . (3.8)
(ε
−1
denota o inverso de ε).
O Primeiro Teorema Fundamental de Lie mostra que as transforma¸c˜o es infinitesimais
contˆem a informa¸c˜ao essencial para determinar o grupo de transforma¸c˜oes a 1-parˆametro
de Lie. Uma vez que o sistema de EDO’s de primeira ordem ´e invariante sob transla¸c˜oes
em τ, ´e poss´ıvel reparametrizar um dado g r upo em termos de um parˆametro τ tal que, para
valores τ
1
e τ
2
, a lei de composi¸c˜ao seja φ(τ
1
, τ
2
) = τ
1
+ τ
2
. Esse teorema tamb´em mostra
que um grupo de transforma¸c˜oes de Lie a 1-parˆametro (3.1) define um fluxo estacion´ario
dado pelas equa¸c˜oes (3.5)-(3.6), e ainda que qualquer fluxo estacion´ario (3.5)-(3.6) define
um grupo de transforma¸c˜oes a 1-parˆametro de Lie.
3.2.2 Geradores Infinitesimais
De acordo com o Primeiro Teorema Fundamenta l de Lie, sem perda de generalidade,
assumimos que um grupo de transforma¸c˜oes a 1-parˆametro (ε) de Lie ´e parametrizado de
modo que sua lei de composi¸c˜ao ´e dada por φ(a, b) = a + b, e ent˜ao ε
−1
= −ε e Γ(ε) = 1.
29
Sendo assim, em termos dos infinitesimais ξ(x), o grupo de transforma¸c˜oes infinitesimais
a 1- pa rˆametro de Lie (3.1) ´e dado por
d˜x
dε
= ξ(˜x) , (3.9)
com
˜x = x pa r a ε = 0 . (3.10)
Defini¸c˜ao 3.2.2.1 O gerador infinitesi mal do grupo de tran s f orma¸c˜oes a 1-parˆametro de
Lie (3 . 1) ´e o operador
X = X(x) = ξ(x) · ▽ =
n
i=1
ξ
i
(x)
∂
∂x
i
, (3.11)
onde ▽ ´e o operador gradiente
▽ =
∂
∂x
1
,
∂
∂x
2
, . . . ,
∂
∂x
n
. (3.12)
O teorema a seguir mostra que o uso do gerador infinitesimal (3.11) leva a um
algor´ıtimo para o c´alculo da solu¸c˜ao expl´ıcita do problema de valor inicial (3.9)-(3.10) .
Teorema 3.2.2.1 O grupo de transforma¸c˜oes a 1-parˆametro de Lie (3.1) ´e equivalente a
˜x = e
εX
x
=
1 + εX +
1
2
ε
2
X
2
x + . . .
=
∞
k=0
ε
k
k!
X
k
x , (3.13)
onde o operador X = X(x) ´e defi nido por (3.11) e X
k
= X
k
(x) ´e dado por X
k
= XX
k−1
,
k = 1, 2, . . .. Em particular, X
k
F (x) ´e a fun¸c˜ao obtida ao se aplicar o operad or X na
fun¸c˜ao X
k−1
F (x), k = 1, 2, . . ., com X
0
F (x) ≡ F (x).
Assim, vemos que existem dois caminhos para encontrar explicitamente o g r upo de
transforma¸c˜oes a 1-parˆametro de Lie:
30
• Expressa ndo o grupo em t ermos de uma s´erie de potˆencias (3.13), conhecidas como
s´eries de Lie, obtidas a partir do gerador infinitesimal (3.1 1) correspondente `a
transforma¸c˜ao infinitesimal;
• Resolvendo o problema de valor inicial dado pela equa¸c˜oes (3.9)-( 3.10), encontrando
explicitamente a solu¸c˜ao geral do sistema de EDO’s de primeira ordem (3.9).
O seguinte corol´ario resulta do Teorema 3.2.2.1:
Corol´ario 3.2.2.1 Se F (x) for irrestritamente difere nci´avel temos que, para um grupo
de transforma¸c˜oes a 1-parˆametro de Lie (3.1), com gerador in finitesimal (3.1 1),
F (˜x) = F (e
εX
x) = e
εX
F (x) . (3.14)
3.2.3 Fun¸c˜oes Invariantes
Defini¸c˜ao 3.2.3.1 Uma fun¸c˜ao irres tritamen te diferenci´avel F (x) ´e invariante so b o
grupo de transform a¸c˜oes de Lie se e somente se, para todo grupo de transforma¸c˜oes (3.1),
F (˜x) ≡ F (x) . (3.15)
Se F (x) ´e um invariante de (3.1), F(x) ´e tamb´em invariante sob (3.1).
Teorema 3.2.3.1 F (x) ´e invariante sob um g rupo de transforma¸c˜oes de Lie (3.1) se e
somente se
XF (x) ≡ 0 . (3.16)
Teorema 3.2.3.2 Para um grupo de transforma ¸c˜oes de Lie (3.1), a identidade
F (˜x) ≡ F (x) + ε (3.17)
´e v´alida se e somente se F (x) ´e tal que
XF (x) ≡ 1 . (3.18)
31
3.2.4 Coordenadas canˆonicas
Suponha que a seg uinte mudan¸ca de coordenadas, 1-1 e dif erenci´avel continuamente em
algum dom´ınio apropriado,
y = Y(x) = (y
1
(x), y
2
(x), . . . , y
n
(x)) , (3.19)
seja feita. Para o grupo de transforma¸c˜oes de Lie ( 3.1), o gerador infinitesimal (3.11) em
rela¸c˜ao `as coordenadas x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) passa a ser o gerador infinitesimal
Y =
n
i=1
η
i
(y)
∂
∂y
i
, (3.20)
com rela¸c˜ao `as coordenadas y = (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) definidas em (3.19). Por tanto, ´e necess´ario
que Y = X para se obter o mesmo grupo de a¸c˜ao. Ent˜ao o infinitesimal ´e escrito como
η(y) = (η
1
(y), η
2
(y), . . . , η
n
(y)) = Yy , (3.21)
onde
η
j
(y) =
n
i=1
ξ
i
(x)
∂y
j
(x)
∂x
i
= Xy
j
, j = 1, 2, . . . , n . (3.22)
Teorema 3.2.4.1 Em rela¸c˜ao `as coo rdenadas (3.19), o grupo de transforma¸c˜oe s de Lie
a 1-parˆametro (3.1) passa a ser
˜y = e
εY
y . (3.23)
Defini¸c˜ao 3.2.4.1 A mudan¸ca de coordenadas (3.19) define um conjunto d e coordenadas
canˆonicas para um grupo de transforma¸c˜oes de Lie a 1-parˆametro (3.1) se, em termos
dessas coordena das, o grupo (3 . 1) tornar-se
˜y
i
= y
i
, i = 1, 2, . . . , n − 1 , (3.24)
˜y
n
= y
n
+ ε . (3.25)
Teorema 3.2.4.2 Para todo grupo de transforma¸c˜oes de Lie (3.1), existe um conjunto
de coordenadas canˆonicas y = (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) tal que (3.19) ´e equivalente a (3.24)- (3.25).
32
Do Teorema 3.2.3.2, temos que
˜y
n
= y
n
(˜x) = y
n
(x) + ε (3.26)
se e somente se
Xy
n
≡ 1 . (3.27)
Portanto, y
n
(x) ´e definido por alguma solu¸c˜ao particular ν(x) da equa¸c˜ao diferencial
parcial de primeira ordem n˜ao-homogˆenea
Xν(x) = ξ
1
(x)
∂ν
∂x
1
+ ξ
2
(x)
∂ν
∂x
2
+ . . . + ξ
n
(x)
∂ν
∂x
n
= 1 (3.28)
que ´e resolvida a partir de alguma solu¸c˜ao particular do correspondente sistema de n + 1
EDO’s cara cter´ısticas
dν
dt
= 1 ,
dx
dt
= ξ(x) . (3.29)
Teorema 3.2.4.3 Em termos das coordenadas canˆonica s y = (y
1
(x), y
2
(x), . . . , y
n
(x)),
o gera dor infinitesimal do grupo de transforma¸c˜o es a 1-parˆametro de Lie (3.1 ) ´e dado por
Y =
∂
∂y
n
. (3.30)
3.3 Transforma¸c˜oes estendidas (prolonga¸c˜oes)
(e transforma¸c˜oes infinitesimais e stendidas)
Um grupo de transforma¸c˜oes a 1-parˆametro de Lie (3.1) atuando no espa¸co de vari´aveis
dependent es e independentes ´e naturalmente estendido (prolongado) para um grupo de
transforma¸c˜oes a 1-parˆametro de Lie atuando num espa¸co ampliado, espa¸co de jato, que
inclui todas as derivadas das vari´aveis dependentes acima de uma ordem fixada. Para
tanto, ´e necess´ario requerer que, sob a a¸c˜ao do grupo, haja preserva¸c˜ao da s rela¸c˜oes de
deriva¸c˜ao ou, de maneira equivalente, que haja preserva¸c˜ao das condi¸c˜oes de contato
que conectam as derivadas de ordem mais alta. Este requerimento leva a uma ´unica
prolonga¸c˜ao do grupo de a¸c˜ao para qualquer espa¸co de jato. Consequentemente, os grupos
de transforma¸c˜ao a 1-parˆa metro de Lie prolongados s˜a o totamente caracterizados por seus
infinitesimais.
33
3.3.1 Prolonga¸c˜oes
Defini¸c˜ao 3.3.1.1 Um grupo de transforma¸c˜oes de Lie a 1-parˆametro ´e um grupo de
transforma¸c˜oes da forma
˜x = X(x, u; ε) , (3.31)
˜u = U(x, u; ε) , (3.32)
atuando n o espa¸co de n + m vari´aveis
x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) , (3.33)
u = u(u
1
, u
2
, . . . , u
m
) , (3.34)
em que x representa n vari´aveis independentes e u representa m vari´av e is dependentes.
Um grupo de transforma¸c˜oes por ponto de Lie, como definido nas express˜oes (3.31)-
(3.32), admitido por um sistema S de equa¸c˜oes diferenciais, mapeia qualquer solu¸c˜ao
u = Θ(x) de S numa fam´ılia de solu¸c˜o es a 1-parˆametro u = φ(x; ε) de S. De maneira
equivalente, o grupo (3.31)-(3.32) deixa S invariante, o u seja, S ´e inalter´avel em termos
das vari´aveis transformadas (3 .3 1)-(3.32) para qualquer solu¸c˜ao u = Θ(x) de S.
Seja ∂u o conjunto das nm coordenadas correspondentes a todas as derivadas de
primeira ordem de u em rela¸c˜ao a x:
∂u =
∂u
1
∂x
1
,
∂u
1
∂x
2
, . . . ,
∂u
1
∂x
n
,
∂u
2
∂x
1
,
∂u
2
∂x
2
, . . . ,
∂u
2
∂x
n
, . . . ,
∂u
m
∂x
1
,
∂u
m
∂x
2
, . . . ,
∂u
m
∂x
n
. (3.35)
Em geral, para k ≥ 1, ∂
k
u representa o conjunto de coordenadas
u
µ
i
1
,i
2
,...,i
k
=
∂
k
u
µ
∂
x
i
1
∂
x
i
2
. . . ∂
x
i
k
,
com µ = 1, 2, . . . , m e i
j
= 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , k, correspondendo a todas as
derivadas parciais de k-´esima ordem de u em rela¸c˜ao a x. Ent˜ao a s transforma¸c˜oes
infinitesimais (3.31)-(3.32) s˜ao prolongadas para transforma¸c˜oes infinitesimais atuando
no espa¸co (x, u, ∂u, . . . , ∂
l
u), l = 1, 2, . . . , k.
34
3.3.2 Prolonga¸c˜oes: uma vari´avel dependente e
n vari´aveis independentes
No estudo das propriedades de invariˆancia de uma EDO de ordem k com uma vari´avel
dependent e u e n vari´aveis independentes x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
), precisamos encontrar
as extens˜oes (prolonga¸c˜oes) da s transforma¸c˜oes no espa¸co (x, u) para o espa¸co de jato
(x, u, ∂u, . . . , ∂
k
u), onde ∂
k
u representam as componentes de todas as derivadas parciais
de k-´esima ordem de u em rela¸c˜ao a x.
Primeiro, consideremos as prolonga¸c˜oes de uma transforma¸c˜ao por ponto qualquer,
que n˜ao necessariamente seja um grupo de transforma¸c˜oes,
x
,
= X(x, u) , (3.36)
u
,
= U(x, u) . (3.37)
As transforma¸c˜oes (3 .3 6)-(3.37) s˜ao do tipo 1-1 em algum dom´ınio D no espa¸co (x, u),
com fun¸c˜oes X(x, u) e U(x, u) diferenci´aveis k vezes em D. Al´em disso, as condi¸c˜oes de
contato s˜ao preservadas, ou seja,
du = ∂u dx , (3.38)
.
.
.
d ∂
k−1
u = ∂
k
u dx , (3.39 )
em algum dom´ınio D do espa¸co (x, u, ∂u, . . . , ∂
k
u) se e somente se
du
,
= ∂u
,
dx
,
, (3.40)
.
.
.
d ∂
k−1
u
,
= ∂
k
u
,
dx
,
, (3.41)
no correspondente dom´ınio D
′
do espa¸co (x
,
, u
,
, ∂u
,
, . . . , ∂
k
u
,
). As condi¸c˜oes de contato
s˜ao denotadas por
u
i
=
∂u
∂x
i
, u
,
i
=
∂u
,
∂x
,
i
=
∂U
∂X
i
, etc
35
(e um somat´orio sobre um ´ındice repetido est´a impl´ıcito). As condi¸c˜oes (3.38)-(3.3 9) s˜ao
dadas pelo conjunto de equa¸c˜oes
1
du = u
j
dx
j
,
du
i
1
i
2
...i
k−1
= u
i
1
i
2
...i
k−1
j
dx
j
, i
l
= 1, 2, . . . , n para l = 1, 2, . . . , k − 1 .
Introduzimos os operadores de derivada total
D
i
=
∂
∂x
i
+ u
i
∂
∂u
+ u
ij
∂
∂u
j
+ . . . + u
ii
1
i
2
...i
n
∂
∂u
i
1
i
2
...i
n
+ . . . , i = 1, 2, . . . , n . (3.42)
Para uma dada fun¸c˜ao diferenci´avel F (x, u, ∂u, . . . , ∂
l
u), temos
D
i
F =
∂F
∂x
i
+ u
i
∂F
∂u
+ u
ij
∂F
∂u
j
+ . . . + u
ii
1
i
2
...i
l
∂F
∂u
i
1
i
2
...i
l
+ . . . , i = 1, 2, . . . , n .
Agora podemos determinar as prolonga¸c˜oes
u
,
j
= U
j
(x, u, ∂u) , j = 1, 2, . . . , n. (3.43)
Das condi¸c˜oes (3.38)-(3.39), obtemos
du
,
= u
,
i
dx
,
i
= (D
i
U)dx
i
,
dx
,
j
= (D
i
X
j
)dx
i
, j = 1, 2, . . . , n ,
onde D
i
´e definido por (3.42), i = 1, 2, . . . , n. Assim,
(D
i
X
j
)u
,
j
= D
i
U , i = 1, 2, . . . , n .
Seja A uma matriz n × n
A =
D
1
X
1
. . . D
1
X
n
.
.
.
.
.
.
D
n
X
1
. . . D
n
X
n
.
1
Representa¸c˜oes similares s˜ao v´alidas para as condi¸c˜oes (3.40)-(3.41).
36
Assumindo que A
−1
exista, t emos
u
,
1
u
,
2
.
.
.
u
,
n
=
U
1
U
2
.
.
.
U
n
= A
−1
D
1
U
D
2
U
.
.
.
D
n
U
.
Isso leva `a prolonga¸c˜ao no espa¸co (x, u, ∂u) dada por
x
,
= X(x, u) ,
u
,
= U(x, u) ,
∂u
,
= ∂U(x, u, ∂u) .
´
E poss´ıvel mostrar que a prolonga¸c˜ao para o espa¸co (x, u, ∂u, . . . , ∂
k
u) ´e dada por
x
,
= X(x, u) ,
u
,
= U(x, u) ,
∂u
,
= ∂U(x, u, ∂u) ,
.
.
.
∂
k
u
,
= ∂
k
U(x, u, ∂u, . . . , ∂
k
u) ,
onde as componentes de ∂
k
u
,
s˜ao determinadas por
u
,
i
1
i
2
...i
k−1
1
u
,
i
1
i
2
...i
k−1
2
.
.
.
u
,
i
1
i
2
...i
k−1
n
=
U
i
1
i
2
...i
k−1
1
U
i
1
i
2
...i
k−1
2
.
.
.
U
i
1
i
2
...i
k−1
n
= A
−1
D
1
U
i
1
i
2
...i
k−1
D
2
U
i
1
i
2
...i
k−1
.
.
.
D
n
U
i
1
i
2
...i
k−1
,
onde i
l
= 1, 2, . . . , n para l = 1, 2, . . . , k −1, com k ≥ 2.
Agora vamos considerar o caso em que as tra nsforma¸c˜oes (3.36)-(3.37) definem um
grupo de transforma¸c˜oes por ponto de Lie (3.31) -(3.32) atuando no espa¸co (x, u). Ent˜ao ´e
poss´ıvel mostrar que sua k-´esima prolonga¸c˜ao para o espa¸co (x, u, ∂u, . . . , ∂
k
u), dada por
˜x = X(x, u; ε) , (3.44)
˜u = U(x, u; ε) , (3.45)
37
∂˜u = ∂U(x, u, ∂u; ε) , (3.46)
.
.
.
∂
k
˜u = ∂
k
U(x, u, ∂u, . . . , ∂
k
u; ε) , (3.47)
define um k-´esimo grupo de tra nsforma¸c˜oes de Lie, a 1-parˆametro, prolongado. Nas
express˜oes (3.44)-(3.47), temos
˜u
1
˜u
2
.
.
.
˜u
n
=
U
1
U
2
.
.
.
U
n
= A
−1
D
1
U
D
2
U
.
.
.
D
n
U
, (3.48)
˜u
i
1
i
2
...i
k−1
1
˜u
i
1
i
2
...i
k−1
2
.
.
.
˜u
i
1
i
2
...i
k−1
n
=
U
i
1
i
2
...i
k−1
1
U
i
1
i
2
...i
k−1
2
.
.
.
U
i
1
i
2
...i
k−1
n
= A
−1
D
1
U
i
1
i
2
...i
k−1
D
2
U
i
1
i
2
...i
k−1
.
.
.
D
n
U
i
1
i
2
...i
k−1
, (3.49)
onde ˜u
i
= U
i
s˜ao as componentes de ∂ ˜u = ∂U, enquanto ˜u
i
1
i
2
...i
k−1
i
= U
i
1
i
2
...i
k−1
i
s˜ao as
componentes de ∂
k
˜u = ∂
k
U. Em (3.49), i
l
= 1, 2, . . . , n para l = 1, 2, . . . , k − 1, com
k ≥ 2.
3.3.3 Prolonga¸c˜oes infinitesimais: uma vari´avel dependente e n
vari´aveis independentes
O grupo de transforma¸c˜oes por ponto a 1-parˆametro de Lie
˜x
i
= X
i
(x, u; ε) = x
i
+ εξ
i
(x, u) + O(ε
2
) , (3.50)
˜u = U(x, u; ε) = u + εη(x, u) + O(ε
2
) , (3.51)
com i = 1, 2, . . . , n, atuando no espa¸co (x, u), tem gerador infinitesimal dado por
X = ξ
i
(x, u)
∂
∂x
i
+ η(x, u)
∂
∂u
. (3.52)
A k-´esima prolonga¸c˜ao de (3.50)-(3.51) ´e dada por
˜x
i
= X
i
(x, u; ε) = x
i
+ εξ
i
(x, u) + O(ε
2
) , (3.53)
˜u = U(x, u; ε) = u + εη(x, u) + O(ε
2
) , (3.54)
38
˜u
i
= U
i
(x, u, ∂u; ε) = u
i
+ εη
(1)
i
(x, u, ∂u) + O( ε
2
) , (3.55)
.
.
.
˜u
i
1
i
2
...i
k
= U
i
1
i
2
...i
k
(x, u, ∂u, . . . , ∂
k
u; ε) = u
i
1
i
2
...i
k
+ εη
(k)
i
1
i
2
...i
k
(x, u, ∂u, . . . , ∂
k
u) + O(ε
2
) ,
(3.56)
onde i = 1 , 2, . . . , n e i
l
= 1, 2, . . . , n para l = 1, 2, . . . , k com k ≥ 1 . Suas correspondentes
k-´esimas prolo nga¸c˜oes infinitesimais s˜ao
ξ(x, u), η(x, u), η
(1)
(x, u, ∂u), . . . , η
(k)
(x, u, ∂u, . . . , ∂
k
u) , (3.57)
com o correspondente k-´esimo gerador infinitesimal prolongado
X
(k)
= ξ
i
∂
∂x
i
+ η
∂
∂u
+ η
(1)
i
∂
∂u
i
+ . . . + η
(k)
i
1
i
2
...i
k
∂
∂u
i
1
i
2
...i
k
, k ≥ 1 . (3.58)
F´ormulas expl´ıcitas para os infinitesimais prolongados η
(k)
resultam do seguinte teorema:
Teorema 3.3.3.1 Os infinitesimais prolongados satisfazem `as rela¸c˜oes de recorrˆencia
η
(1)
i
= D
i
η − (D
i
ξ
j
)u
j
, i = 1, 2, . . . , n , (3.59)
η
(k)
i
1
i
2
...i
k
= D
i
k
η
(k−1)
i
1
i
2
...i
k−1
− (D
i
k
ξ
j
)u
i
1
i
2
...i
k−1
j
, i = 1, 2, . . . , n, l = 1, 2, . . . , k, k ≥ 2.(3.60)
Vejamos a aplica¸c˜ao do Teorema 3.3.3.1 para o caso de uma vari´avel dependente,
u, e duas vari´aveis independentes, x
1
e x
2
, pois esse resultado ser´a ´util mais adiante
2
. O
correspondente grupo de transforma¸c˜oes de Lie a 1-parˆametro prolonga do ´e dado por
˜x
i
= X
i
(x
1
, x
2
, u; ε) = x
i
+ εξ
i
(x
1
, x
2
, u) + O(ε
2
) , i = 1 , 2, (3.61)
˜u = U(x
1
, x
2
, u; ε) = u + εη(x
1
, x
2
, u) + O(ε
2
) , (3.62)
˜u
i
= U
i
(x
1
, x
2
, u, u
1
, u
2
; ε) = u
i
+ εη
(1)
i
(x
1
, x
2
, u, u
1
, u
2
) + O(ε
2
) , i = 1, 2, (3.63)
˜u
ij
= U
ij
(x
1
, x
2
, u, u
1
, u
2
, u
11
, u
12
, u
22
; ε)
= u
ij
+ εη
(2)
ij
(x
1
, x
2
, u, u
1
, u
2
, u
11
, u
12
, u
22
) + O(ε
2
) , i, j = 1, 2 , (3.64)
2
No cap´ıtulo 5, lidamos com equa¸c˜oes de transporte que tˆem uma vari´avel dependente, u, e duas
vari´a veis independentes: uma coordenada espacial, x, e outra tempo ral, t.
39
etc., e seu infinitesimal prolong ado ´e dado por
η
(1)
1
=
∂η
∂x
1
+
∂η
∂u
−
∂ξ
1
∂x
1
u
1
−
∂ξ
2
∂x
1
u
2
−
∂ξ
1
∂u
(u
1
)
2
−
∂ξ
2
∂u
u
1
u
2
, (3.65)
η
(1)
2
=
∂η
∂x
2
+
∂η
∂u
−
∂ξ
2
∂x
2
u
2
−
∂ξ
1
∂x
2
u
1
−
∂ξ
2
∂u
(u
2
)
2
−
∂ξ
1
∂u
u
1
u
2
, (3.66)
η
(2)
11
=
∂
2
η
∂x
1
2
+
2
∂
2
η
∂x
1
∂u
−
∂
2
ξ
1
∂x
1
2
u
1
−
∂
2
ξ
2
∂x
1
2
u
2
+
∂η
∂u
− 2
∂ξ
1
∂x
1
u
11
− 2
∂ξ
2
∂x
1
u
12
+
∂
2
η
∂u
2
− 2
∂
2
ξ
1
∂x
1
∂u
(u
1
)
2
− 2
∂
2
ξ
2
∂x
1
∂u
u
1
u
2
−
∂
2
ξ
1
∂u
2
(u
1
)
3
−
∂
2
ξ
2
∂u
2
(u
1
)
2
u
2
− 3
∂ξ
1
∂u
u
1
u
11
−
∂ξ
2
∂u
u
2
u
11
− 2
∂ξ
2
∂u
u
1
u
12
, (3.67)
η
(2)
12
= η
(2)
21
=
∂
2
η
∂x
1
∂x
2
+
∂
2
η
∂x
1
∂u
−
∂
2
ξ
2
∂x
1
∂x
2
u
2
+
∂
2
η
∂x
2
∂u
−
∂
2
ξ
1
∂x
1
∂x
2
u
1
−
∂ξ
2
∂x
1
u
22
+
∂η
∂u
−
∂ξ
1
∂x
1
−
∂ξ
2
∂x
2
u
12
−
∂ξ
1
∂x
2
u
11
−
∂
2
ξ
2
∂x
1
∂u
(u
2
)
2
+
∂
2
η
∂u
2
−
∂
2
ξ
1
∂x
1
∂u
−
∂
2
ξ
2
∂x
2
∂u
u
1
u
2
−
∂
2
ξ
1
∂x
2
∂u
(u
1
)
2
−
∂
2
ξ
2
∂u
2
u
1
(u
2
)
2
−
∂
2
ξ
1
∂u
2
(u
1
)
2
u
2
− 2
∂ξ
2
∂u
u
2
u
12
− 2
∂ξ
1
∂u
u
1
u
12
−
∂ξ
1
∂u
u
2
u
11
−
∂ξ
2
∂u
u
1
u
22
, (3.68)
η
(2)
22
=
∂
2
η
∂x
2
2
+
2
∂
2
η
∂x
2
∂u
−
∂
2
ξ
2
∂x
2
2
u
2
−
∂
2
ξ
1
∂x
2
2
u
1
+
∂η
∂u
− 2
∂ξ
2
∂x
2
u
22
− 2
∂ξ
1
∂x
2
u
12
+
∂
2
η
∂u
2
− 2
∂
2
ξ
2
∂x
2
∂u
(u
2
)
2
− 2
∂
2
ξ
1
∂x
2
∂u
u
1
u
2
−
∂
2
ξ
2
∂u
2
(u
2
)
3
−
∂
2
ξ
2
∂u
2
u
1
(u
2
)
2
− 3
∂ξ
2
∂u
u
2
u
22
−
∂ξ
1
∂u
u
1
u
22
− 2
∂ξ
1
∂u
u
2
u
12
, (3.69)
etc. Esse procediment o ´e naturalmente estendido para o caso de m vari´aveis dependentes
e n vari´aveis independentes [17].
3.4 Grupos de transforma¸c˜oes a r-parˆametros e
´algebras de Lie
Cada parˆametro de um grupo de transforma¸c˜oes de Lie a r-parˆametros leva a um gerador
infinitesimal. Os geradores infinitesimais pertencem a um espa¸co vetorial r-dimensional
que possui uma estrutura adicional, chamada comutador. Este espa¸co vetorial especial
por sua vez ´e chamado ´algebra de Lie r-dimensional.
40
Para nossos prop´ositos, estudar um grupo de transforma¸c˜oes de Lie a r-parˆametros
equivale a estudar seus geradores infinitesimais e sua estrutura de ´algebra de Lie. A
exponencia¸c˜ao de um gerador infinitesimal corresponde a um grupo de transforma¸c˜oes de
Lie a 1-parˆametro, que ´e um subgrupo do grupo de transforma¸c˜oes de Lie a r-parˆametros.
3.4.1 Grupos de transforma¸c˜oes a r-parˆametros
Considere um grupo de transforma¸c˜oes por ponto de Lie a r-parˆametros
˜x = X (x; ε) , (3.70)
com x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) e parˆametros ε = (ε
1
, ε
2
, . . . , ε
r
). Seja a lei de co mposi¸c˜ao dos
parˆametros denotada por
φ(ε, δ) = (φ
1
(ε, δ), φ
2
(ε, δ), . . . , φ
n
(ε, δ)) , (3.71)
com δ = (δ
1
, δ
2
, . . . , δ
n
), onde φ(ε, δ) satisfazem os a xiomas com ε = 0 correspondendo `a
identidade ε
1
= ε
2
= . . . = ε
r
= 0, e φ(ε, δ) anal´ıtica em seu dom´ınio de defini¸c˜ao.
Considere a matriz infinitesimal Ξ ( x) uma matriz r × r com elementos
ξ
αj
=
∂˜x
j
∂ε
α
ε=0
, α = 1, 2, . . . , r, j = 1, 2, . . . , n . (3.72)
Seja Θ(ε) uma uma matriz r × r com elemento s
Θ
αβ
=
∂φ
β
(ε, δ)
∂δ
α
δ=0
, (3.73)
e seja a matriz inversa de Θ(ε) dada por
Ψ(ε) = Θ
−1
(ε) . (3.74)
De acordo com o Primeiro Teorema Fundamental de Lie, para um grupo de transforma¸c˜oes
de Lie a 1-parˆametro em alguma vizinhan¸ca de ε = 0, o grupo definido em (3.70) equivale
41
`a solu¸c˜ao do problema de va lor inicial par a o sistema de nr EDP’s de primeira ordem
dado po r
∂˜x
1
∂ε
1
∂˜x
2
∂ε
1
. . .
∂˜x
n
∂ε
1
∂˜x
1
∂ε
2
∂˜x
2
∂ε
2
. . .
∂˜x
n
∂ε
2
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
∂˜x
1
∂ε
r
∂˜x
2
∂ε
r
. . .
∂˜x
n
∂ε
r
= Ψ(ε)Ξ (˜x) , com ˜x = x em ε = 0 .
Defini¸c˜ao 3.4.1.1 O gerador infinitesimal X
α
, que corresponde ao parˆametro ε
α
do grupo
de transforma¸c˜oes de Lie a r-parˆametro s, definido por (3.70), ´e dado por
X
α
=
n
j=1
ξ
αj
(x)
∂
∂x
j
, α = 1, 2, . . . , r . (3.75)
´
E poss´ıvel mostrar que o grupo de transforma¸c˜oes de Lie a r-parˆametros (3.70)
equivale a
˜x =
r
α=1
e
µ
α
X
α
x = e
µ
1
X
1
e
µ
2
X
2
. . . e
µ
r
X
r
x ,
onde µ
1
, µ
2
, . . . , µ
r
s˜ao constantes reais arbitr´arias. Al´em disso, o grupo de transforma¸c˜oes
a 1- pa rˆametro de Lie
˜x = e
εX
x = exp
r
α=1
σ
α
X
α
x ,
obtido pela exponencia¸c˜ao do gerador infinitesimal
X =
r
α=1
σ
α
X
α
=
n
j=1
ς(x)
∂
∂x
j
,
onde
ς
j
(x) =
r
α=1
σ
α
ξ
αj
(x) , j = 1, 2, . . . , n ,
define um subgrupo a 1-parˆametro (ε) do grupo de transforma¸c˜oes a r-parˆametros (3.70)
em termos das constantes reais σ
1
, σ
2
, . . . , σ
r
.
42
3.4.2
´
Algebras de L ie
Defini¸c˜ao 3.4.2.1 Considere um grupo de transforma¸c˜oe s de Lie a r-parˆametros dado
pela express˜ao (3.70), com geradores infinitesimais X
α
, α = 1, 2, . . . , r, defin i do por (3.71)
e (3.75). O comutador de X
α
e X
β
´e um operador tal que
[X
α
, X
β
] = X
α
X
β
− X
β
X
α
=
n
i,j=1
ξ
αi
(x)
∂
∂x
i
ξ
βj
(x)
∂
∂x
j
−
ξ
βi
(x)
∂
∂x
i
ξ
αj
(x)
∂
∂x
j
=
n
i=1
η
j
(x)
∂
∂x
j
, (3.76)
com
η
j
(x) =
n
i=1
ξ
αi
(x)
∂ξ
βj
(x)
∂x
i
− ξ
βi
(x)
∂ξ
αj
(x)
∂x
i
, (3.77)
de onde resulta que
[X
α
, X
β
] = −[X
β
, X
α
] . (3.78)
Teorema 3.4.2.1 (Segundo Teorema Fundamental de Lie.) O comutador de dois
gerado res infinitesimais quaisquer de um grupo de transforma¸c˜oe s de Lie a r-parˆametros
tamb´em ´e um gerador infinitesimal. Em particular,
[X
α
, X
β
] =
r
γ=1
C
γ
αβ
X
γ
, (3.79)
onde os coeficientes C
γ
αβ
s˜ao as constantes de estrutura, com α, β, γ = 1, 2, . . . , r.
Defini¸c˜ao 3.4.2.2 As equa¸c˜oes dadas por (3.79) s˜a o chamada s de “rela¸c˜oe s de comuta¸c˜ao”
de um grupo de transforma¸c˜oes a r-parˆametros (3.70), com geradores infinitesimais dados
por (3.75).
Para trˆes geradores infinitesimais quaisquer, X
α
, X
β
, X
γ
, ´e poss´ıvel provar a validade
da Identidade de Jacobi:
[X
α
, [X
β
, X
γ
]] + [X
β
, [X
γ
, X
α
]] + [X
γ
, [X
α
, X
β
]] = 0 . (3.80)
43
Das express˜oes (3.78), (3.79) e (3.80), resulta o seguinte teorema:
Teorema 3.4.2.2 (Terceiro Teorema Fundamental de Lie.) C
γ
αβ
, as constantes d e
estrutura definidas pelas rela¸c˜oes de comuta¸c ˜ao (3.79), satisfazem `as rela¸c˜oes
C
γ
αβ
= C
γ
βα
, (3.81)
r
ρ=1
C
ρ
αβ
C
δ
ργ
+ C
ρ
βγ
C
δ
ρα
+ C
ρ
γα
C
δ
ρβ
= 0 . (3.82)
Em particular, a rela¸c˜ao (3.81) equivale `a propriedade de antissimetria d o comutador dada
por (3.78), enquanto q ue a rela¸c ˜ao (3.82) ´e equivalente `a Identidade de Jacobi (3.80).
Defini¸c˜ao 3.4.2.3 Uma ´algebra de Lie L ´e um espa¸co vetorial sobre R ou C, com
uma o pera¸c˜ao bilinear, o comutador, que satisfaz `as propriedades (3 . 78), (3.80) e, mais
impo rtante, `a rela¸c˜ao (3.79). Em particular, o co njunto de geradores i nfinitesimais {X
α
},
com α = 1, 2, . . . , r, de um grupo de tran s f orma¸c˜oes de Lie a r-parˆametros (3.70), formam
uma `algebra de Lie r-dimensio nal sobre R.
Teorema 3.4.2.3 Sejam X
(k)
α
e X
(k)
β
os k-´esimos geradores infinitesimais prolongados
dos geradores infinitesimais X
α
e X
β
, e seja [X
α
, X
β
]
(k)
o k-´esi mo gerador infinitesim al
prolongado do comutador [X
α
, X
β
]. Ent˜ao,
[X
α
, X
β
]
(k)
=
X
(k)
α
, X
(k)
β
, k ≥ 1 . (3.83)
Portanto, se [X
α
, X
β
] = X
γ
, ent˜ao
X
(k)
α
, X
(k)
β
= X
(k)
γ
, k ≥ 1 . (3.84)
Defini¸c˜ao 3.4.2.4 Um subespa¸co J ⊂ L ´e chamado “sub´algebra” da ´algebra de Lie L se
[X
α
, X
β
] ∈ J para todo X
α
, X
β
∈ J.
44
3.5 Equa¸c˜oes diferenciais parciais
Nesta se¸c˜a o mostramos como obter solu¸c˜oes de equa¸c˜oes diferenciais parciais (EDP’s)
a partir da invariˆancia sob grupos de transforma¸c˜ao de Lie. Considerando o caso de
EDP’s escalares, veremos que o crit´erio infinitesimal para a invariˆancia de uma EDP leva
diretamente a um algor´ıtimo para determinar os geradores infinitesimais do grupo de
transforma¸c˜oes de Lie admitido por uma dada EDP. As superf´ıcies invariantes do grupo
de transforma¸c˜oes de Lie levam a solu¸c˜oes invariantes. Essas solu¸c˜oes, por sua vez, s˜ao
obtidas ao se resolver EDP’s com um n ´umero menor de vari´aveis indep endentes do que
no caso da EDP de origem.
3.5.1 Invariˆancia de uma equa¸c˜ao diferen cial parcial
Seja uma EDP escalar de k-´esima ordem dada por
F (x, u, ∂u, ∂
2
u, . . . , ∂
k
u) = 0 , (3.85)
onde x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) s˜ao as coordenadas correspo ndentes `as n vari´aveis independentes,
u ´e a coordenada correspondente `a vari´avel dependente e ∂
j
u s˜ao as coordenadas com
componentes ∂
j
u/∂x
i
1
∂x
i
2
. . . ∂x
i
j
, i
j
= 1, 2, . . . , n, para j = 1, 2, . . . , k, correspondentes
a todas as derivadas parciais de j-´esima ordem de u em rela¸c˜ao a x.
Vamos assumir que a ED P (3.85) pode ser escrita em termos de algumas componentes
espec´ıficas das derivadas de l-´esima ordem de u, ou seja
F (x, u, ∂u, ∂
2
u, . . . , ∂
k
u) = u
i
1
i
2
...i
l
− f(x, u, ∂u, ∂
2
u, . . . , ∂
k
u) = 0 , (3.86)
em que o termo f (x, u, ∂u, ∂
2
u, . . . , ∂
k
u) n˜ao depende explicitamente de u
i
1
i
2
...i
l
.
Defini¸c˜ao 3.5.1.1 O grupo de transform a¸c˜oes de Lie a 1-parˆametro, definido em (3.31)-
(3.32), d eixa a EDP (3.85) invariante, ou seja, ´e uma simetria de ponto admitida por essa
equa¸c˜ao, se e some nte se sua k-´esima prolonga¸c˜ao, descrita pelas express˜oes (3.44)-(3.47)
e (3.48)-(3.49), deixa a superf´ıcie (3.85) invariante.
45
Uma solu¸c˜ao u = Θ(x) da equa¸c˜ao (3.85) situa-se na superf´ıcie de (3.85), com
u
i
1
i
2
...i
l
=
∂
j
Θ(x)
∂x
i
1
∂x
i
2
. . . ∂x
i
j
, i
j
= 1, 2, . . . , n , j = 1, 2, . . . , k .
A invariˆancia da superf´ıcie (3.85) sob a k-´esima prolonga¸c˜ao (3.31)-(3.32) significa que
qualquer solu¸c˜ao u = Θ (x) ´e mapeada em outra solu¸c˜ao u = Θ(x, ε) sob a a¸c˜ao do
grupo de transforma¸c˜oes (3.31)-( 3.32) para qualquer parˆametro ε. Em outras palavras,
isso significa que o conjunto de todas as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao (3.85) ´e inva r ia nte sob o
grupo de transforma¸c˜oes de Lie a 1-parˆametro (3.31)-(3.32) se e somente se a EDP (3 .8 5)
admitir (3.31)-(3.32).
Teorema 3.5.1.1 (Crit´erio Infinitesimal para a Invariˆancia de uma EDP.) Seja
X = ξ
i
(x, u)
∂
∂x
i
+ η(x, u)
∂
∂u
(3.87)
o gerador infinitesimal do grupo de transforma¸c˜oes por ponto de Lie (3.31)-(3. 32). Seja
X
(k)
= ξ
i
(x, u)
∂
∂x
i
+ η(x, u)
∂
∂u
+ η
(1)
i
(x, u, ∂u)
∂
∂u
i
+ . . .
+ η
(k)
i
1
i
2
...i
k
(x, u, ∂u, ∂
2
u, . . . , ∂
k
u)
∂
∂u
i
1
i
2
...i
l
(3.88)
o k-´esimo gerador infinitesimal prolongado de (3.87), em que η
(1)
i
´e dado por (3.59) e
η
(j)
i
1
i
2
...i
j
´e descrito por (3.60), i
j
= 1, 2, . . . , n, para j = 1, 2, . . . , k, em termos de
ξ(x, u) = (ξ
1
(x, u)ξ
2
(x, u), . . . , ξ
n
(x, u), η(x, u) ) .
Ent˜a o o grupo de transforma¸c ˜oes (3.31)-(3.32) ´e admitido pela EDP (3.85), ou seja, ´e
uma si metria por ponto de (3.85), se e somente se
X
(k)
F (x, u, ∂u, ∂
2
u, . . . , ∂
k
u) = 0 quando F (x, u, ∂u, ∂
2
u, . . . , ∂
k
u) = 0 . (3.89)
3.5.2 Solu¸c˜oes invariantes
Considere uma EDP (3.85) de k-´esima ordem, com k ≥ 2, que admita um grupo de
transforma¸c˜oes por ponto com gerador infinitesimal dado por (3.87). Assumimos que
ξ(x, u) = 0.
46
Defini¸c˜ao 3.5.2.1 A solu¸c˜a o u = Θ(x) ´e uma solu¸c˜ao invariante da equa¸c˜ao (3.85)
resultante de sua simetria admitida com o gerador infinitesimal (3.87) se e somente se:
(i) u = Θ(x) ´e uma superf´ıcie invaria nte de (3.87);
(ii) u = Θ(x) soluciona (3.85).
A partir dessa defini¸c˜ao ´e poss´ıvel afirmar que u = Θ(x) tamb´em deve satisfazer `as
seguintes condi¸c˜oes:
(iii) X(u − Θ(x)) = 0 quando u = Θ(x), ou seja,
ξ
i
(x, Θ(x))
∂Θ(x)
∂x
i
= η(x, Θ(x)) ; (3.90)
(iv) F (x, u, ∂u, ∂
2
u, . . . , ∂
k
u) = 0 quando u = Θ (x), ou seja,
F (x, u, ∂Θ(x), ∂
2
Θ(x), . . . , ∂
k
Θ(x)) = 0 . (3.91)
A equa¸c˜ao (3.90) ´e conhecida como condi¸c˜ao de superf´ıcie invariante pa ra as solu¸c˜oes
invariantes resultantes da invariˆancia sob a simetria por ponto (3.87). As classes de
solu¸c˜oes invariantes foram primeiramente considerada por Lie em 1879 [96], e podem ser
obtidas at rav´es do seguinte m´etodo
3
.
M´etodo da Forma Invariante. Primeiro, resolvemos a condi¸c˜ao de superf´ıcie, ou
seja, a equa¸c˜ao diferencial de primeira ordem (3.90), atrav´es da resolu¸c˜ao das equa¸c˜oes
caracter´ısticas correspondentes para u = Θ(x):
dx
1
dξ
1
(x, u)
=
dx
2
dξ
2
(x, u)
= . . . =
dx
n
dξ
n
(x, u)
=
du
dη(x, u)
. (3.92)
Sendo y
1
(x, u), y
2
(x, u), . . . , y
n−1
(x, u), ν(x, u) as n constantes independentes provenientes
da solu¸c˜ao do sistema de n EDO’s de primeira ordem (3.92), com ∂ν/∂u ≡ 0, ent˜ao a
solu¸c˜ao geral u = Θ(x) da EDP (3.90) ´e dada, implicitamente, pela forma invaria nte
ν(x, u) = Θ(y
1
(x, u), y
2
(x, u), . . . , y
n−1
(x, u)) , (3.93)
3
Maiores detalhes deste e de outro m´etodo proposto na literatura podem ser encontrados em [17].
47
onde Θ ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel arbitr´aria das va r i´aveis y
1
(x, u), y
2
(x, u), . . . , y
n−1
(x, u)
(tamb´em chamadas de v ari´aveis de similaridade). No t e que as vari´aveis
y
1
(x, u), y
2
(x, u), . . . , y
n−1
(x, u), ν(x, u)
correspondem `as n coordenadas canˆonicas (3.19) par a o grupo de transforma¸c˜oes de Lie a
1-parˆametro (3.31)-(3.32). Assim, a EDP (3.85) tem solu¸c˜oes invar ia ntes que s˜ao expressas
de maneira impl´ıcita na fo rma invariante dada por (3.93). Essas solu¸c˜oes s˜ao obtidas a
partir da resolu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao diferencial reduzida, com n−1 vari´aveis independentes,
y
1
, y
2
, . . . , y
n−1
, e uma vari´avel dependente, ν. Por sua vez, a equa¸c˜ao diferencial reduzida
´e obtida com a substitui¸c˜ao da forma invariante (3.93) na EDP (3.85) (assumimos que
essa substitui¸c˜ao n˜ao acarreta numa equa¸c˜ao diferencial singular para ν).
Para obter algumas solu¸c˜oes invariantes de equa¸c˜oes de transporte que constituem o
objeto de nosso estudo, utilizamos o aplicativo Maple e subrotinas do pacote SADE [79].
Analogamente, tamb´em utilizamos esse recurso computacional para resolver sitemas de
equa¸c˜oes determinantes, a fim de encontrar equa¸c˜oes de transporte generalizadas que
admitem uma ´algebra de simetria conhecida de uma classe de equa¸c˜oes mais restritiva.
A pr´oxima se¸c˜ao aborda alguns aspectos do procedimento de resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes
determinantes.
3.5.3 Equa¸c˜oes determinantes
Considere uma EDP de k-´esima ordem, com k ≥ 2, l ≤ k
u
i
1
,i
2
,...,i
l
= f(x, u, ∂u, ∂
2
u, . . . , ∂
k
u) , (3.94)
onde f (x, u, ∂u, ∂
2
u, . . . , ∂
k
u) n˜ao depende explicitament e de u
i
1
,i
2
,...,i
l
. O Teorema 3.5.1.1
estabelece que a EDP ( 3.94) admite o grupo de tr ansforma¸c˜oes de Lie a 1-parˆametro com
gerador infinitesimal descrito por (3.87), e com sua k-´esima prolonga¸c˜ao dada por (3.88),
se e somente se ξ(x, u) e η(x, u) satisfaz `a equa¸c˜ao determinante de simetria
η
l
i
1
,i
2
,...,i
l
= ξ
j
∂f
∂x
j
+ η
∂f
∂u
+ η
(1)
j
∂f
∂u
j
+ . . . + η
(k)
j
1
,j
2
,...,j
k
∂f
∂u
j
1
,j
2
,...,j
k
, (3.95)
quando u satisfaz `a condi¸c˜ao (3.94).
´
E importante destacar os seguintes aspectos:
48
(i) η
p
j
1
,j
2
,...,j
p
´e linear nas componentes das coordenadas ∂
p
u, se p ≥ 2;
(ii) η
p
j
1
,j
2
,...,j
p
´e um polinˆomio nas componentes das coordenadas ∂u, ∂
2
u, . . . , ∂
p
u, com
coeficientes que s˜ao homogˆeneos e lineares em ξ(x, u), η(x, u) e em suas derivadas
de ordem p em rela¸c˜ao a x e u.
Das condi¸c˜oes (i) e (ii), tem-se que f(x, u, ∂u, ∂
2
u, . . . , ∂
k
u) ´e um polinˆo mio nas
componentes ∂u, ∂
2
u, . . . , ∂
k
u , e ent˜ao o sistema de equa¸c˜oes determinantes (3.95) ´e uma
equa¸c˜ao polinomial nos componentes de ∂u, ∂
2
u, . . . , ∂
k
u, com coeficientes homogˆeneos e
lineares em ξ( x, u), η(x, u) e em suas derivadas de ordem k.
Al´em disso, para qualquer ponto x, ´e poss´ıvel atribuir valores arbitr´arios a cada
componente de ∂u, ∂
2
u, . . . , ∂
k
u, desde que a equa¸c˜ao (3.94) seja satisfeita. Em particular,
ap´os substituir u
i
1
,i
2
,...,i
l
por f(x, u, ∂u, ∂
2
u, . . . , ∂
k
u) no sistema de equa¸c˜oes determinantes
descrito por (3.95), a express˜a o resultante deve ser v´alida para valores arbitr´arios das
componentes remanescentes das coordenadas x, u, ∂u, ∂
2
u, . . . , ∂
k
u. Sendo essa express˜ao
resultante uma equa¸c˜ao polinomial nas componentes remanescentes ∂u, ∂
2
u, . . . , ∂
k
u, como
consequˆencia, os coeficientes dessa equa¸c˜ao polinomial devem tender a zero de maneira
independente. Isto leva a um sistema de EDP’s homogˆeneo e linear para as n + 1 fun¸c˜oes
ξ(x, u), η(x, u), conhecido como sistema de equa¸c ˜oes determinantes para os geradores
infinitesimais (3.87) admitidos pela equa¸c˜ao (3 .94). Usualmente, o conjunto de equa¸c˜oes
determinantes ´e um sistema superdeterminado de EDP’s para ξ(x, u), η(x, u) pois, em
geral, existem mais de n + 1 equa¸c˜oes determinantes.
49
Cap´ıtulo 4
Equa¸c˜oes de transporte n˜ao-l i neares
Este cap´ıtulo apresenta uma revis˜ao de aspectos das classes de equa¸c˜oes de transporte n˜ao-
lineares do tipo parab´olicas, na qual est˜ao inseridas as equa¸c˜oes de difus˜ao em meio poroso.
A estrutura de sua apresent a¸c˜ao ´e a seguinte. Uma breve revis˜ao de elementos hist´oricos
e de motiva¸c˜oes f´ısicas e matem´aticas que impulsionaram o desenvolvimento da teoria de
equa¸c˜oes parab´olicas ´e apresentada na se¸c˜ao 4.1. Na se¸c˜ao 4.2, apresentamos a classe
de equa¸c˜oes de difus˜ao em meio poroso, juntamente com as defini¸c˜oes dos processos de
difus˜ao lenta e de difus˜ao r´apida. As referˆencias utilizadas nessa revis˜ao est˜ao indicadas
ao longo do cap´ıtulo.
4.1 Equa¸c˜oes diferenciais parab´olicas n˜ao-lineares
A equa¸c˜ao de calor ´e umas das trˆes equa¸c˜oes diferenciais de segunda ordem cl´assicas que
formam a base de uma introdu¸c˜ao elementar na ´area de equa¸c˜oes diferenciais. A partir
dela, no per´ıodo de 1822 a 1950, um grande n´umero de equa¸c˜oes correlatas foi proposto
na literatura [81, 82]. Em uma primeira extens˜ao desse campo, a teoria das equa¸c˜oes
parab´olicas lineares foi desenvolvida, com coeficientes constantes e vari´aveis. A teoria
linear progrediu muito, mas ´e conhecido que as equa¸c˜oes que descrevem fenˆomenos f´ısicos,
sem que haja uma simplifica¸c˜ao excessiva, s˜ao n˜ao-lineares. Entretando, as dificuldades
matem´aticas na construi¸c˜ao de vers˜oes n˜ao-lineares das trˆes equa¸c˜oes diferenciais cl´assicas
(equa¸c˜ao de Laplace, equa ¸c˜ao de calor e equa¸c˜ao de onda) tornaram imposs´ıvel um
50
progresso significativo na ´area at´e meados do s´eculo XX. Essa observa¸c˜a o se aplica a
outras equa¸c˜oes diferenciais parciais importantes, como as equa¸c˜oes de Navier-Stokes.
Nos ´ultimos cinq¨uenta anos, com as facilidades advindas dos avan¸cos computacionais,
uma gr ande ˆenfase tem sido dada no estudo de processos descritos por equa¸c˜oes n˜ao-
lineares. O fato de a matem´atica envolvida ser mais complexa ´e compensado pelo fato
desta ser mais real´ıstica, e o r econhecimento da relevˆancia das equa¸c˜oes diferenciais n˜ao-
lineares ´e refletida neste t recho de um artigo de John Na sh, publicado em 1958 [97]:
The ope n problems in the area of nonlinear p.d.e. are very relevant to applied
mathematics and scie nce as a wh o l e, perhaps more so that the open probl e ms in
any other area of mathematics, and the fie l d seems poised for rapid development.
It seems clear, however, that f resh methods must be employed...
Atualmente podemos observar um progresso significativo da aplica¸c˜ao de simetrias
no estudo equa¸c˜oes diferenciais parciais n˜ao-lineares de grande import ˆancia f´ısica, bem
como no seu uso para encontrar solu¸c˜oes exatas para essas equa¸c˜oes [13, 14, 16, 17].
As simetrias cl´assicas de Lie admitidas por equa¸c˜oes diferenciais parciais n˜ao-lineares
s˜ao ´uteis tanto na busca por solu¸c˜oes invariantes quanto na identifica¸c˜ao de equa¸c˜oes
que podem ser linearizadas atrav´es de um mapeamento invert´ıvel. E no contexto de
equa¸c˜oes parab´olicas n˜ao- lineares, a s t´ecnicas de simetrias de Lie vˆem sendo amplamente
utilizadas [89, 90, 91, 92, 98, 99, 100, 101].
4.2 Equa¸c˜oes de difus˜ao em meio poroso
A classe de equa¸c˜oes parab´olicas com n˜ao-linearidade em leis de potˆencia
u
t
= ▽
2
u
n
= div [D(u)▽u] , (4.1)
com D(u) = u
n−1
, ´e conhecida como equa¸c˜ao de difus˜ao em meio poroso [81]. Essa
express˜ao ´e um dos exemplos mais simples de equa¸c˜oes de evolu¸c˜ao parab´olicas n˜ao-
lineares. Ela aparece na descri¸c˜ao de v´arios fenˆomenos naturais, e sua teoria e propriedades
provˆem fort emente da equa¸c˜ao de calor, u
t
= ▽
2
u, que p ode ser considerada como o limite
n → 1 em (4.1).
51
De acordo com a teoria de equa¸c˜oes par ab´olicas n˜a o-lineares, a equa¸c˜ao (4.1) ´e
parab´olica somente nos pontos em que u = 0, ou seja, ´e uma equa¸c˜ao parab´olica degenerada,
o que traz consequˆencias matem´aticas profundas. Os desdobramentos desse aspecto
matem´atico podem ser traduzidos na identifica¸c˜ao das seguintes sub-classes de processos:
• u
t
= ▽
2
u
n
´e degenerada em u = 0 , se n > 1 ⇒ processos de difus˜a o lenta,
• u
t
= ▽
2
u
n
´e singular em u = 0, se n < 1 ⇒ processos de difus˜ao r´apida.
Essa classifica¸c˜ao ´e v´alida para pequenos valores de u e se inverte `a medida em que
u → ∞, um problema t´ıpido criado por fun¸c˜oes de potˆencia que deve ser levado em
conta na interpreta¸c˜ao de resultados deduzidos, por exemplo, da compara¸c˜ao de taxas de
decaimento [82].
A equa¸c˜a o (4.1) aparece naturalmente na descri¸c˜ao de processos que envolvem fluxo
de fuidos, transferˆencia de calor e difus˜ao. Talvez a mais conhecida seja a descri¸c˜ao do
fluxo de um g´as isentr´opico atrav´es de um meio poroso, modelado independentemente
por Muskat [85] e Leibenzon [86]. Outra aplica¸c˜ao importante, devida a Zel’dovich et
al [83], refere-se `a radia¸c˜ao em plasmas. De fato, essa ´ultima a plica¸c˜ao foi a ba se para o
desenvolvimento matem´atico rigosoro da teoria de equa¸c˜oes de difus˜ao em meio poroso.
Outras aplica¸c˜oes tˆem sido propostas em ´areas como biologia matem´atica, espalhamento
de fuidos viscosos, propaga¸c˜ao de popula¸c˜oes (self - avoid diffusion), teoria de filmes finos
sob g r avidade (na ausˆencia de tens˜ao superficial), teoria de limites cin´eticos (teoria de
Carleman), dentre outras (ver [8 1, 82] e referˆencias). Na descri¸c˜ao desses fenˆomenos,
muitas vezes s˜a o adicionados termos de natureza convectiva, de absor¸c˜ao ou de arr aste,
generalizando assim a equa¸c˜ao (4.1). Um exemplo disso ´e fornecido pela a equa¸c˜ao
parab´olica quase-linear unidimensional
u
t
= [Φ(u, x)]
xx
+ F (u, u
x
, x) , (4.2)
que serve como um modelo matem´atico simples para v´arios problemas f´ısicos. Talvez seu
uso mais comum seja, at´e o momento, para descrever o fluxo de l´ıquidos em meios porosos,
ou o transp orte de energia t´ermica em plasmas. Em ambos os casos, a forma mais comum
empregada para F ´e
F (u, u
x
, x) = g(x)u
m
+ f(x)u
s
u
x
, (4.3)
52
de modo que temos a equa¸c˜ao de difus˜ao em meio poroso generalizada:
u
t
= [Φ(u, x)]
xx
+ g( x)u
m
+ f(x)u
s
u
x
. (4.4)
A teoria para equa¸c˜oes que po ssuem tal grau de generalidade tem sido constru´ıda nas
´ultimas d´ecadas, mas a riqueza de fenˆomenos inclu´ıdos nos diferentes exemplos abrangidos
nessa formula¸c˜ao t˜a o g eral exclui uma teoria com informa¸c˜ao suficientemente detalhada.
Nesse sentido, temos interesse em estudar classes de equa¸c˜oes de difus˜ao em meio po r oso
obtidas atrav´es da imposi¸c˜ao de simetrias conhecidas de uma equa¸c˜a o de rea¸c˜a o-difus˜ao
com termo difusivo log ar´ıtmico. Isto ser´a considerado no cap´ıtulo 5.
4.2.1 Processos de difus˜ao lenta
Conforme mencionado na se¸c˜ao anterior, para pequenos valores da densidade u, e n ≥ 1,
a equa¸c˜ao de difus˜ao em meio poroso (4.1) descreve os chamados processos de difus˜ao
lenta. Essa condi¸c˜ao se estende naturalmente par a a equa¸c˜ao generalizada (4.4).
Considerando que v´arias equa¸c˜oes de transporte conhecidas na literatura e utilizadas
na descri¸c˜ao de processos de difus˜ao emergem de (4.4), destacamos os seguintes processos
pertencentes `a classe de equa¸c˜oes de difus˜ao em meio poroso generalizada [81, 89]:
Processos de difus˜ao n˜ao-lineares com convec¸c˜ao
Os processos de difus˜ao n˜ao-lineares podem descritos pela equa¸c˜ao
u
t
= (u
n
)
xx
+ f(x)u
s
u
x
, (4.5)
cujo segundo termo ´e de natureza convectiva. Na teoria de meio poroso insaturado, a
parte convectiva representa o efeito da gravidade. Tomando os devidos valores para os
expoentes e coeficientes de (4.5), obtemos algumas equa¸c˜oes imp ortantes associadas a essa
classe de processos difusivo-convectivos:
Eq. de Boussinesq (f(x) = c = const.) : u
t
= (u
n
)
xx
+ cu
s
u
x
, (4.6)
Eq. de Burg ers (n = 1) : u
t
= u
xx
+ f(x)u
s
u
x
, (4.7)
Eq. de Hopf general i zada (s = 1) : u
t
= (u
n
)
xx
+ f(x)uu
x
. (4.8)
53
Boussinesq propˆos o modelo (4.6) para descrever a filtragem de um fluido incompres-
s´ıvel (como a ´agua) atrav´es de um estrato poroso [81 , 84]. Por o utro lado, a equa¸c˜ao
de Burgers (4.7) foi a primeira equa¸c˜ao n˜ao-linear com significado f´ısico a ser resolvida
de maneira exata, e foi mapeada na equa¸c˜ao de calor atrav´es de uma transforma¸c˜ao
simples [88]. Apesar de n˜ao possuir s´olitons ou muitas leis de conserva¸c˜ao, a equa¸c˜ao (4.7)
possui muitas simetrias [13]. A express˜ao (4.8) ´e uma generaliza¸c˜ao da equa¸c˜ao de
Hopf [87], obtida para n = f(x) = 1, que tamb´em ´e conhecida como equa¸c˜ao de Burgers
sem viscosidade.
Processos de difus˜ao n˜ao-lineares com absor¸c˜ao
Os processos de difus˜ao com termo de absor¸c˜ao s˜ao descritos pela equa¸c˜ao
u
t
= (u
n
)
xx
+ g( x)u
m
, (4.9)
que t em se mostrado ´util no estudo de fenˆomenos em que a estrutura f´ısica do meio varia
com a concentra¸c˜ao u(x, t). O segundo t ermo de (4.9) representa a absor¸c˜ao volum´etrica,
que no caso de um plasma ´e causada pela radia¸c˜ao para a qual este ´e transparente [89].
Essa mesma equa¸c˜ao aparece no contexto de condu¸c˜ao n˜ao-linear de calor, com um
termo de fonte. Po r exemplo, materiais aquecidos por radia¸c˜ao de microondas tˆem suas
condutividades t´ermicas e aquecimento corporal fortemente dependent es da temperatura.
Em (4.9), sup˜oe-se que os termos de difusividade e de absor¸c˜ao dependam da concentra¸c˜ao
u(x, t) atrav´es de uma lei de potˆencia. Os processos de difus˜ao n˜ao-linear com absors˜ao
s˜ao caracterizados por fenˆomenos de explos˜ao, extin¸c˜ao e tempos de espera, e os ´ındices
n e m abrangem um vasto conjunto de comportamentos f´ısicos [89, 90].
Processos de difus˜ao n˜ao-lineares com t ermo de arraste
Al´em dos fenˆomenos j´a citados, a equa¸c˜ao de difus˜ao em meio poroso generalizada (4.4)
compreende outros processos de rea¸c˜ao-difus˜ao usualmente descritos por equa¸c˜oes de
transporte amplamente conhecidas na literatura, o que pode ser visto mais facilmente
a partir de uma reestrutura¸c˜ao em seu formato. Tomando s = m − 1 e f
x
= mg(x) na
equa¸c˜ao (4.4), temos
u
t
=
(u
n
)
x
+
f(x)
m
u
m
x
, (4.10)
54
de onde obtemos, para n = m = 1, uma equa¸c˜ao de Fokker-Planck linear [63]
u
t
= [u
x
+ f(x)u]
x
, (4.11)
com termo de ar raste f(x) e coeficiente de difus˜ao D = 1. Para outros valores de n e m
obtemos varia¸c˜oes, ditas n˜ao-lineares, da equa¸c˜ao de Fokker-Planck que descrevem, por
exemplo, os chamados processos de difus˜ao anˆomala (ver [102] e referˆencias).
´
E importante
ressaltar que essas equa¸c˜oes n˜ao constituem meros casos particulares de (4.4). Existe na
literatura uma gama de trabalhos voltados para suas especificidades, dada a importˆancia
dessas equa¸c˜oes nas teorias de fenomenologia e de processos estoc´asticos [1, 4, 5, 63, 102].
At´e o momento, todos os processos derivados da equa¸c˜ao (4.4) que mencionamos
levam em conta que o coeficiente de difus˜ao ´e constante, ou seja, D = 1. Considerando que
a equa¸c˜ao (4.4) tamb´em pode ter coeficient e de difus˜ao com dependˆecia espacial, D(x),
temos em vista uma classe de equa¸c˜oes de difus˜ao n˜ao-linear ainda mais geral. De fato,
partindo de (4.2), n˜ao h´a uma raz˜ao fundamental para a ssumirmos que os coeficientes
de (4.4 ) sejam constantes, uma vez que sua dependˆencia espacial nos permite incorporar
fatores adicionais de grande importˆancia para o estudo de processos n˜ao- lineares. Por
exemplo, para um meio poroso, a dependˆencia espacial dos coeficientes pode representar
fatores estacion´ario s, como a contamina¸c˜ao do meio por outro material ou, em um plasma,
o impacto de impurezas s´olidas [89, 90], dentre outros aspectos relacionados `a difus˜ao.
Pode ser visto em [98] que Vaneeva e co-autores exploram a an´alise de grupos e de leis de
conserva¸c˜ao para equa¸c˜oes de rea¸c˜ao-difus˜ao n˜ao-lineares com coeficientes vari´aveis. Nesse
sentido, como ser´a visto no cap´ıtulo 5, consideramos importante estudar uma classe de
equa¸c˜oes de meio poroso que tenham coeficientes com dependˆencia espacial.
4.2.2 Processos de difus˜ao r´apida
Os processos de difus˜ao r´a pida est˜ao presentes na f´ısica de plasmas, na teoria cin´etica
dos gases, na f´ısica do estado s´olido, no transporte em meio poroso [81, 82, 9 1, 92] e s˜ao
descritos pela equa¸c˜ao de meio poroso com potˆencias n tais que
u
t
= ▽
2
u
n
, n < 1 . (4.12)
55
Existe uma teoria de existˆencia e unicidade para a equa¸c˜ao (4.12) na regi˜ao de n ≤ 0,
sob a condi¸c˜ao de que ela seja escrita na forma ligeiramente modificada
u
t
= div [u
n−1
▽u] (4.13 )
a fim de preservar a parabolicidade da equa¸c˜ao nesse intervalo de valores de n (ver maiores
detalhes em [82]). Para o caso unidimensio nal, essa express˜ao correspondente a
u
t
= [u
n−1
u
x
]
x
= [D(u)u
x
]
x
, (4.14)
onde D(u) = u
n−1
´e o coeficiente de difusidade. A equa¸c˜ao (4.14) ´e comumente chamada
de equa¸c ˜ao de difus˜ao r´apida.
Em muitos materiais met´alicos e cerˆamicos, o coeficiente t´ermico ou de condutividade
(ou de difus˜ao, se u representar concentra¸c˜ao de massa), D(u), pode ser aproximado por
u
−α
para um vasto conjunto de valores de temperaturas (nessa nova nota¸c˜ao α = 1 − n,
ou seja, a equa¸c˜ao (4.14) passa a ser definida para α > 0).
´
E a divergˆencia em D(u) para
pequenos valores de u a r espons´a vel por um espalhamento de calor (massa) muito mais
r´apido do que no caso linear (α = 0), o que explica essa terminologia.
Em alguns tr abalhos podemos encontrar investiga¸c˜oes de caracter´ısticas relevantes
dos processos de difus˜ao r´apida. Rosenau [91] mostrou que, para o intervalo 1 ≤ α ≤ 2,
a fam´ılia de difus˜oes r´apidas (4.14) coexiste com uma sub-classe denominada difus˜oes
super-r´apidas, em que o processo inteiro termina num per´ıodo de t empo finito. O caso
especial com α = 1,
u
t
= [ln(u)]
xx
, (4.15)
emerge em f´ısica de plasmas e na aproxima ¸c˜a o do limite central do modelo de Carleman
para a equa¸c˜ao de Boltzmann [1 03]. A acessbilidade matem´atica de (4.15), conhecida
como equa¸c˜ao de difus˜ao logar´ıtmica, revela grande riqueza de aspectos f´ısico-matem´aticos,
fazendo com que essa equa¸c˜ao seja chave no entendimento de processos de difus˜ao r´apida.
O trabalho de Carlson et al [104] mostrou que, para uma grande variedade de sistemas, ´e
esperado que o fenˆomeno de criticalidade auto-organizada (self organized criticali ty, SOC)
ocorra como resultado da singularidade no coeficiente de difus˜ao D(u). Em outra linha de
trabalho, Gandarias [92] e Popovych et al [99] derivam simetrias potenciais e apresentam
56
solu¸c˜oes n˜ao-invariantes por grupos de Lie admitidos por equa¸c˜oes do tipo (4.14). Por
fim, confo rme Ibragimov e Sophocleous [100], existem o utras equa¸c˜oes propostas para
descrever processos de difus˜ao r´apida, como
u
t
= [h(x)D(u)u
x
]
x
, (4.16)
onde a difusidade tamb´em apresenta dependˆencia espacial, o que nos motiva a investigar
a ocorrˆencia desse tipo de coeficiente em uma dada classe de equa¸c˜o es de rea¸c˜ao-difus˜ao.
Al´em disso, a equa¸c˜ao (4.16) tamb´em pode ser generalizada se considerarmos um termo
adicional de fonte, z(x, u), de modo que a equa¸c˜ao
u
t
= [h(x)D(u)u
x
]
x
+ z(x, u) (4.17)
descreva processos de difus˜ao r´apida mais abrangentes. Esse aspecto tamb´em ser´a considerado
neste trabalho.
Apesar dos processos de difus˜ao r´apida ocorrerem frequentemente em sistemas f´ısicos
complexos como, por exemplo, no transporte de plasma sujeito a um campo magn´etico
forte, de maneira geral sua an´alise se limita a estudos num´ericos. Acreditamos que
estudar a s peculiaridades da difus˜ao r´apida isoladamente constitui um passo crucial no
entendimento desses fenˆomenos, o que justifica nosso interesse em analisar a possibilidade
de ocorrˆencia desses processos numa classe de equa¸c˜oes de rea¸c˜ao- difus˜ao ainda pouco
explorada, como ser´a mostrado na sequˆencia deste trabalho.
57
Cap´ıtulo 5
Equa¸c˜oes de transporte com coefici entes
logar´ıtmicos
Este cap´ıtulo trata do estudo de equa¸c˜oes de transporte com coeficientes logar´ıtmicos
e est´a estruturado da seguinte maneira. Na se¸c˜ao 5.1, a presentamos um resumo das
motiva¸c˜oes que nos levaram a estudar essa classe de equa¸c˜oes. Na se¸c˜ao 5.2 encontram-se
as classes de equa¸c˜oes de Fokker-Planck generalizadas obtidas a partir da imposi¸c˜ao da
´algebra de simetrias de uma equa¸c˜ao de rea¸c˜ao-difus˜ao com coeficiente logar´ıtmico. Na
se¸c˜a o 5.3, s˜ao apresentadas as equa¸c˜oes de difus˜ao em meio poroso g eneralizadas obtidas
pelo mesmo procedimento da se¸c˜ao anterior. Na se¸c˜ao 5.4, apresentamos algumas solu¸c˜oes
invariantes para casos particulares das equa¸c˜oes de transporte encontradas. Parte dos
resultados aqui obtidos est˜ao apresentados na referˆencia [80].
5.1 Motiva¸c˜ao
Equa¸c˜oes de transporte com coeficientes vari´aveis tˆem sido estudadas e aplicadas em
diversos contextos, abrangedo, por exemplo, problemas em f´ısica de plasmas [105], caos
quˆantico [106], difus˜ao em col´oides [107] e rea¸c˜oes qu´ımicas [108]. Recentemente, equa¸c˜o es
de Fokker- Planck com coeficientes de arraste [74] e de difus˜ao [7 5] com dependˆencia
logar´ıtmica foram apresentadas na literatura. Em particular, Pesz [75] chamou a aten¸c˜ao
para classes de equa¸c˜oes de rea¸c˜ao-difus˜ao n˜ao-lineares [109] que tˆem coeficientes de
difus˜ao com inomogeneidades logar´ıtmica e quadr´atica combinadas, D(x) ∼ x
2
ln(x). Tal
58
dependˆencia foi observada em diferentes contextos: em processos de difus˜ao de esferas
pesadas [76], em caos quˆantico [77] e em processos que descrevem o comportamento
de mercados de cˆa mbio exterior [110]. Al´em disso, ´e natural supor que sistemas com
confinamento, como um plasma em cromodinˆamica quˆantica, sejam descritos por equa¸c˜oes
de transporte com coeficientes de arraste e de difus˜ao que tenham comporta mento descrito
por fun¸c˜oes logar´ıtmicas, ou seja, que tendam a zero, ou divirjam, numa certa regi˜ao de
confinamento. Apesar disso, a ocorrˆencia de dependˆencia logar´ıtmica em processos de
difus˜ao ´e pouco abordada na literatura, o que nos motivou a iniciar um estudo sistem´a tico
de classes de equa¸c˜oes com essa caracter´ıstica.
Como j´a apontamos na Introdu¸c˜ao desta tese, o m´etodo de simetrias de Lie tem sido
empregado na obten¸c˜ao de solu¸c˜oes e tamb´em na generaliza¸c˜ao de equa¸c˜oes de transpor t e
com coeficientes n˜a o-triviais [64, 65, 66, 67, 69, 70, 73, 111]. No procedimento padr˜ao
para obter equa¸c˜oes generalizadas, o ingredient e central consiste na escolha da simetria
inicial, que geralmente ´e considerada como a simetria de um conjunto mais restritivo de
equa¸c˜oes.
Interessados em obter equa¸c˜oes de transpor te mais gerais que tamb´em apresentem
coeficiente de difus˜ao do tipo D(x) ∼ x
2
ln(x), utilizamos o m´etodo de simetrias de Lie
para encontrar todas as equa¸c˜oes invariantes a uma dada ´algebra de simetria. Partimos de
uma equa¸c˜ao de rea¸c˜ao-difus˜ao apresentada em [75], com ´algebra de simetria conhecida, e
iniciamos nosso estudo obtendo generaliza¸c˜oes para classes de equa¸c˜oes de Fokker-Planck
com termo de fonte n˜ao-linear [80]. Em seguida, estendemos essa an´alise para a classe de
equa¸c˜oes de difus˜ao em meio poroso [81, 82] e encontramos equa¸c˜oes de transporte n˜ao-
linares, com alto grau de generalidade. A aplica¸c˜ao consistente do formalismo de grupos
de Lie nos permitiu verificar que a dependˆencia espacial dos coeficientes de difus˜ao das
equa¸c˜oes generalizadas o btidas tamb´em ´e logar´ıtmica.
5.2 Equa¸c˜oes de Fokker-Planck
Como foi dito na introdu¸c˜ao deste cap´ıtulo, va mos considerar a equa¸c˜ao de rea¸c˜ao-difus˜ao
com coeficiente de difus˜ao logar´ıtmico [7 5]
u
t
+
4x
2
ln(x)u
x
x
= 0 , (5.1)
59
definida em 0 < x ≤ 1. Efetuando uma mudan¸ca de vari´aveis simples, essa equa¸c˜ao pode
ser reescrita de modo a descrever um processo de Rayleigh [75, 112]. Sua forma expandida
´e dada por
u
t
+ (8x ln(x) + 4x)u
x
+ (4x
2
ln(x))u
xx
= 0 . (5.2)
A partir dos m´etodos apresentados no cap´ıtulo 3, verificamos que, para a EDP (5.1),
descrita pela vari´a vel dependente u e pelas vari´aveis dep endentes x
1
e x
2
, os geradores
infinitesimais definidos em (3.11),
X = ξ
i
(x
1
, x
2
, u)
∂
∂x
i
+ η(x
1
, x
2
, u)
∂
∂u
, i = 1, 2 ,
correspondentes `as simetrias de Lie pontuais, com x
1
= x e x
2
= t, s˜ao
X
1
= e
4t
4x ln(x)
∂
∂x
+ e
4t
∂
∂t
,
X
2
= u
∂
∂u
,
X
3
=
∂
∂t
,
X
4
= e
−4t
4x ln(x)
∂
∂x
− e
−4t
∂
∂t
− e
−4t
(4 ln(x) + 4)u
∂
∂u
. (5.3)
As rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao, definidas em (3.79), par a os geradores X
i
, i = 1, 2, 3, 4 do
espa¸co vetorial 4-dimensional s˜ao dadas por
[X
1
, X
3
] = −4X
1
,
[X
1
, X
4
] = 16X
2
+ 8X
3
,
[X
3
, X
4
] = −4X
4
,
[X
1
, X
2
] = [X
3
, X
2
] = [X
4
, X
2
] = 0 . (5.4)
Vemos que os geradores X
2
e X
3
correspondem, respectivamente, aos operadores de
dilata¸c˜ao e de transla¸c˜ao, enquanto que X
1
e X
4
s˜ao geradores que tˆem coeficientes
ξ
i
(x
1
, x
2
, u), i = 1, 2, e η(x
1
, x
2
, u) n˜ao triviais.
Com o intuito de obter outras equa¸c˜oes de transporte que admitam as simetrias (5.3),
como uma equa¸c˜ao de Fokker-Planck com termo de fonte, vamos impo r que os quatro
vetores de campo X
i
, i = 1, 2, 3, 4 sejam geradores de simetria de uma equa¸c˜ao de
60
transporte mais abrangente. A t´ıtulo de ilustra¸c˜ao do m´etodo, comecemos com a equa¸c˜ao
de transporte geral
u
t
+ a
0
u + a
1
u
x
+ a
2
u
xx
= 0 , (5.5)
onde os coeficientes a
i
, i = 0, 1, 2, apresentam dependˆencia espacial, ou seja, a
i
= a
i
(x).
As express˜oes encontradas para esses coeficientes foram
a
0
= d
0
ln(x)
−1
,
a
1
= d
1
x ln(x) + d
2
x,
a
2
= d
2
x
2
ln(x),
onde d
i
, i = 0 , 1, 2 s˜ao constantes arbitr´arias. Considerando d
0
= 0, d
1
= 8, e d
2
= 4 e
substituindo esses coeficientes em (5.5), chegamos `a equa¸c˜ao o r ig inal (5.2), como esperado.
Uma vez entendido o procediment o, vamos agora de fato considerar uma equa¸c˜ao de
transporte que tenha um termo de fonte n˜ao-linear adicional
u
t
+ a
0
u + a
1
u
x
+ a
2
u
xx
+ a
3
u
α
= 0 . (5.6)
Voltando ao cap´ıtulo 3, lembramos que um vetor de campo da forma (3.11),
X = ξ
i
(x
1
, x
2
, u)
∂
∂x
i
+ η(x
1
, x
2
, u)
∂
∂u
, i = 1, 2 , (5.7)
´e um gerador de simetria da equa¸c˜ao (5.1 ) se esta for invariante por forma sob a a¸c˜a o
do grupo de transforma¸c˜oes de Lie a 1-parˆametro (ε) definido pelas express˜oes (3.50)
e (3.51), a saber
˜x
1
= x + εξ
1
(x, t, u) + O(ε
2
) ,
˜x
2
= t + εξ
2
(x, t, u) + O( ε
2
) ,
˜u = u + εη(x, t, u) + O(ε
2
) . (5.8)
De acordo com o Teorema 3.5.1.1, para que a ED P (5.6) admita o grupo de transforma¸c˜oes
infinitesimais a 1-parˆametro (5.8), com gerador infinitesimal (5.7), os coeficientes ξ
i
(x, t, u),
i = 1, 2, e η(x, t, u) devem satisfazer ao sitema de equa¸c˜oes determinantes de simetria
61
definido em ( 3.95). Fazendo uso dos recursos de computa¸c˜ao simb´olica com o pacote
SADE [79], chegamos a o correspondente sistema
eq
1
= 2a
2
∂
2
ux
η + (3a
0
u∂
u
− a
2
∂
2
xx
ξ
1
+ 3a
3
u
α
∂
u
− ∂
t
)ξ
1
+ ξ
1
d
dx
a
1
−
a
1
a
2
ξ
1
d
dx
a
2
= 0,
eq
2
= −a
2
∂
2
uu
ξ
1
= 0,
eq
3
= −2a
2
∂
u
ξ
2
= 0,
eq
4
= −2a
2
∂
x
ξ
2
= 0,
eq
5
= 2∂
x
ξ
1
+ (a
0
u∂
u
− a
1
∂
x
− a
2
∂
2
xx
+ a
3
u
α
∂
u
− ∂
t
)ξ
2
−
ξ
1
a
2
d
dx
a
2
= 0,
eq
6
= 2∂
u
ξ
1
− 2a
2
∂
2
ux
ξ
2
= 0,
eq
7
= −a
2
∂
2
uu
ξ
2
= 0,
eq
8
= a
2
∂
2
uu
η + (2a
1
∂
u
− 2a
2
∂
2
ux
)ξ
1
= 0,
eq
9
= (a
0
(1 − u∂
u
) + a
1
∂
x
+ a
2
∂
2
xx
+ a
3
(u
α−1
α − u
α
∂
u
) + ∂
t
)η + (2a
0
u∂
x
+ 2a
3
u
α
∂
x
)ξ
1
+ ξ
1
u
d
dx
a
0
−
a
0
a
2
ξ
1
u +
a
3
a
2
ξ
1
u
α
d
dx
a
2
+ ξ
1
u
α
d
dx
a
3
= 0. (5.9)
Comparando a equa¸c˜ao de transporte (5.6) a uma equa¸c˜ao de Fokker-Planck com
coeficiente de difus˜ao D(x) e coeficiente de arraste f(x) independentes do tempo,
u
t
+ [fu + (Du)
x
]
x
= 0, (5.10)
que tamb´em pode ser escrita como
u
t
+ fu
x
+ uf
x
+ Du
xx
+ 2u
x
D
x
+ uD
xx
= 0 , (5.11)
chegamos `as seguintes express˜oes para as fun¸c˜oes a
i
, i = 0, 1, 2:
a
0
= f
x
+ D
xx
, (5.12)
a
1
= f + 2D
x
, (5.13)
a
2
= D . (5.14)
Vamos agora obter o coeficiente de difus˜ao D e verificar em que situa¸c˜oes o coeficiente
de arraste f e o termo de fonte n˜ao-linear da equa¸c˜ao (5.6) sobrevivem pa ra alguma
simetria. Para tanto, precisamos impor que a equa¸c˜ao (5.6) admita como ´algebra de
simetrias de Lie uma sub´algebra da ´algebra expandida pelos geradores X
i
, i = 1, 2, 3, 4.
62
Substituindo os componentes de cada gerador de simetria admitido no sistema de equa¸c˜oes
determinantes (5.9), chegaremos a um conjunto superdeterminado de equa¸c˜oes diferenciais
n˜ao-lineares para as fun¸c˜oes a
i
, i = 0, 1, 2, 3.
Levando em conta o Teorema 3.4.2.1 e a Defini¸c˜ao 3.4.2.4, vemos que as rela¸c˜oes
de comuta¸c˜ao (5.4) fornecem as seguintes sub´algebras: {X
1
, X
2
, X
3
, X
4
}, {X
1
}, {X
2
},
{X
3
}, {X
4
}, {X
1
, X
3
}, {X
1
, X
4
} e {X
1
, 2X
2
+ X
3
, X
4
}. Ao impor que a equa¸c˜ao (5.6)
admite essas simetrias (desconsiderando as simetrias triviais {X
2
} e {X
3
}), chegamos aos
seguintes resultados.
Simetrias {X
1
, X
2
, X
3
, X
4
} : Substituindo separadamente os coeficientes de cada um
dos geradores X
i
, i = 1 , 2, 3, 4 nas equa¸c˜oes (5.9), temos
ln(x) + 1 −
x ln(x)
a
2
d
dx
a
2
(a
0
u + a
3
u
α
) + x ln(x)
u
d
dx
a
0
+ u
α
d
dx
a
3
= 0,
ln(x) + 1 −
x ln(x)
a
2
d
dx
a
2
a
1
−
a
2
x
+ x ln(x)
d
dx
a
1
− 4
= 0,
3 ln(x) + 3 −
x ln(x)
a
2
d
dx
a
2
(a
0
(x)u + a
3
(x)u
α
) −
a
1
u
x
+
a
2
u
x
2
− u(ln(x) + 1)(a
0
− 1 + a
3
αu
α−1
) + x ln(x)
u
d
dx
a
0
+ u
α
d
dx
a
3
= 0,
(α − 1)a
3
u
α
= 0,
1 −
x
a
2
d
dx
a
2
+ 2
ln(x) = 0,
−
3a
2
x
−
a
1
a
2
d
dx
a
2
− 4 −
d
dx
a
1
x ln(x) + a
1
(ln(x) + 1) = 0,
com solu¸c˜ao geral
a
0
= d
0
ln(x)
−1
,
a
1
= (d
1
+ 4)x ln(x) + d
2
x,
a
2
= d
2
x
2
ln(x),
a
3
= 0,
63
onde d
i
, i = 0 , 1, 2 s˜ao constantes arbitr´a r ia s. Substituindo as express˜oes acima nas
equa¸c˜oes (5.12)-(5.14), obtemos d
0
= 0, d
1
= d
2
= 4 e coeficientes de arraste e difus˜ao
dados, respectivamente, por
f(x) = 8x ln(x) + 4x e D(x) = 4x
2
ln(x) .
O resultado ´e uma classe de equa¸c˜oes de Fokker-Planck com coeficientes log ar´ıtmicos que
abrange a classe de equa¸c˜oes de rea¸c˜ao-difus˜ao (5.1), ou seja
u
t
+ [(8x ln(x) + 4x)u + (4x
2
ln(x)u)
x
]
x
= 0. (5.15)
Simetria {X
1
} : Seguindo o procedimento descrito anteriormente para o gerador X
1
,
chegamos a
a
0
= d
0
ln(x)
−1
,
a
1
= (d
1
+ 4)x ln(x) + d
2
x ,
a
2
= d
2
x
2
ln(x) ,
a
3
= d
3
ln(x)
−1
,
e o btemos uma equa¸c˜ao do tipo Fokker-Planck com termo de fonte n˜ao-linear:
u
t
+ [(8x ln(x) + 4x)u + (4x
2
ln(x)u)
x
]
x
+ d
3
ln(x)
−1
u
α
= 0 , (5.16 )
onde d
3
´e uma constante arbitr´aria. As subalg ebras {X
1
, X
3
} e {X
1
, 2X
2
+ X
3
, X
4
}
levam a essa mesma classe de equa¸c˜oes.
Simetria {X
4
} : No presente caso, temos
a
0
= d
0
ln(x)
−1
+ (d
1
− 4) ln(x) + d
2
− 4 ,
a
1
= (3d
1
− 4)x ln(x) + d
2
x ,
a
2
= d
2
x
2
ln(x) ,
a
3
= d
3
x
α−1
ln(x)
α−2
,
e o resultado ´e uma outra equa¸c˜a o do tipo Fokker-Planck com uma n˜ao-linearidade no
termo de fonte, que tamb´em ´e obtida a partir da imposi¸c˜ao da sub´algebra {X
3
, X
4
}:
u
t
+ [(8x ln(x) + 4x)u + (4x
2
ln(x)u)
x
]
x
+ d
3
x
α−1
ln(x)
α−2
u
α
= 0 . (5.17)
64
5.3 Equa¸c˜oes de difus˜ao em meio poroso
No cap´ıtulo 4 apresentamos equa¸c˜oes da classe de equa¸c˜oes de difus˜ao em meio poroso
que tˆem coeficiente de difus˜ao consta nte, D = 1. Nosso interesse aqui ´e obter classes de
equa¸c˜oes com coeficiente de difus˜ao vari´aveis, dadas as motiva¸c˜oes f´ısicas j´a discutidas.
Mais especificamente, queremos obter classes de equa¸c˜oes de difus˜ao em meio poroso com
coeficientes difusivos logar´ıtmicos. Para isso, utilizamos o procedimento apresentado na
se¸c˜a o anterior, ou seja, impuzemos sub´algebras da ´algebra 4-dimensional (5.3) a equa¸c˜oes
de transporte gerais e resolvemos os correspondentes sistemas de equa¸c˜oes determinantes.
Seguindo o escopo do cap´ıtulo 4, bem como a nota¸c˜ao j´a estabelecida, listamos a seguir
as equa¸c˜oes de transporte generalizadas obtidas.
5.3.1 Processos de difus˜ao lenta
Em nosso estudo, consideramos os seguintes processos de difus˜ao lenta:
Processos de difus˜ao n˜ao-lineares com convec¸c˜ao
A equa¸c˜ao (4.5 ), com dep endˆencia espacial no coeficiente de difus˜ao, ´e dada por
u
t
= [D(x)(u
n
)
x
]
x
+ f(x)u
s
u
x
. (5.18)
Ao comparar a equa¸c˜a o (5.18) com a equa¸c˜ao de transporte geral
u
t
+ a
0
u
n−1
u
x
+ a
1
u
n−2
(u
x
)
2
+ a
2
u
n−1
u
xx
+ a
3
u
s
u
x
= 0 , (5.19)
obtivemos as express˜oes para as f un¸c˜oes a
i
, i = 0 , 1, 2, 3:
a
0
= n D
x
,
a
1
= n(n − 1 ) D ,
a
2
= n D ,
a
3
= f(x) .
Com a impo si¸c˜ao de sub´algebras da ´algebra (5.3) `a equa¸c˜ao (5.19), o btivemos os seguintes
resultados.
65
Simetrias {X
1
, X
2
, X
3
, X
4
}, {X
1
}, {X
1
, X
3
} e {X
1
, 2X
2
+ X
3
, X
4
}:
u
t
+ [4x
2
ln(x)(u
n
)
x
]
x
+ [x (c + 4 ln(x)u
−s
)] u
s
u
x
= 0 . (5.20)
Simetrias {X
1
, X
2
, X
3
, X
4
}, {X
4
}, {X
1
, X
4
} e {X
1
, 2X
2
+ X
3
, X
4
}:
u
t
+ [4x
1+n
ln(x)
n
(u
n
)
x
]
x
+ [x (4 + 4 ln(x))u
−s
] u
s
u
x
= 0 . (5.21)
Note que, para n = 1, s = 0 e c = 4 as equa¸c˜oes (5 .2 0) e (5.21) s˜ao equivalentes.
Processos de difus˜ao n˜ao-lineares com t ermo de absor¸c˜ao
A equa¸c˜ao de transporte geral
u
t
+ a
0
u
n−1
u
x
+ a
1
u
n−2
(u
x
)
2
+ a
2
u
n−1
u
xx
+ a
3
u
m
= 0 , (5.22)
quando comparada `a equa¸c˜ao (4.9) generalizada com dependˆencia espacial no coeficiente
de difus˜ao,
u
t
= [D(x)(u
n
)
x
]
x
+ g( x)u
m
, (5.23)
fornece as seguintes express˜oes para as fun¸c˜oes a
i
, i = 0, 1, 2, 3:
a
0
= n D
x
,
a
1
= n(n − 1 ) D ,
a
2
= n D ,
a
3
= g(x) .
Ao impor que a equa¸c˜ao (5.22) admite sub´alg ebras da ´algebra (5.3), obtivemos a s equa¸c˜oes
a seguir.
Simetrias {X
1
, X
2
, X
3
, X
4
}, {X
1
}, {X
1
, X
3
} e {X
1
, 2X
2
+ X
3
, X
4
}:
u
t
+ [4x
2
ln(x)(u
n
)
x
]
x
+ c ln(x)
−1
u
m
= 0 . (5.24)
66
Simetrias {X
1
, X
2
, X
3
, X
4
}, {X
4
}, {X
1
, X
4
} e {X
1
, 2X
2
+ X
3
, X
4
}:
u
t
+ [4x
1+n
ln(x)
n
(u
n
)
x
]
x
+ c x
m−1
ln(x)
m−2
u
m
= 0 . (5.25)
Observemos que, para n = m = 1, as equa¸c˜oes (5.2 4) e (5.25) s˜ao equivalentes.
Processos de difus˜ao n˜ao-lineares com t ermo de arraste
Consideramos que esse caso est´a contemplado com no sso estudo feito para classes de
equa¸c˜oes de Fokker-Planck [80], apresentado na se¸c˜ao 5.2.
5.3.2 Processos de difus˜ao r´apida
No cap´ıtulo 4 mencionamos nosso interesse em encontra r uma classe de processos de
difus˜ao r´apida descrita pela equa¸c˜ao (4.17), que contempla um termo de fonte n˜ao-linear,
ou seja
u
t
= [D (x, u)u
x
]
x
+ z(x, u)
= [h(x)D(u)u
x
]
x
+ f(x)u
β
,
= [h(x)u
−α
u
x
]
x
+ f(x)u
β
, α ≥ 0 . (5.26)
Comparando a express˜ao (5.26) com a equa¸c˜ao de transporte geral
u
t
+ a
0
u
−α
u
x
+ a
1
u
−α−1
(u
x
)
2
+ a
2
u
−α
u
xx
+ a
3
u
β
= 0 , (5.27)
temos as fun¸c˜oes a
i
, i = 0, 1, 2, 3, dadas por
a
0
= h
x
,
a
1
= −αh ,
a
2
= h ,
a
3
= f(x) .
Impondo sub´algebras da ´algebra 4-dimensional (5.3) `a equa¸c˜ao geral ( 5.27), encont r amos
as seguintes equa¸c˜oes de transporte generalizadas.
67
Simetrias {X
1
, X
2
, X
3
, X
4
}, {X
1
}, {X
1
, X
3
} e {X
1
, 2X
2
+ X
3
, X
4
}:
u
t
+ [4x
2
ln(x)u
−α
u
x
]
x
+ c ln(x)
−1
u
β
= 0 . (5.28)
Simetrias {X
1
, X
2
, X
3
, X
4
}, {X
4
}, {X
1
, X
4
} e {X
1
, 2X
2
+ X
3
, X
4
}:
u
t
+ [4x
2−α
ln(x)
1−α
u
−α
u
x
]
x
+ c x
β−1
ln(x)
β−2
u
β
= 0 . (5.29)
5.4 Solu¸c˜oes invariantes
Uma das vantagens de se trabalhar com os m´etodos de simetria de Lie ´e a possibilidade
de encontrar solu¸c˜oes inva r ia ntes, conforme destacado no cap´ıtulo 3, se¸c˜ao 3.5. Utilizando
o aplicativo Maple e subrotinas do pacote SADE [79], buscamos por solu¸c˜oes invariantes
para as equa¸c˜oes de transporte estudadas. Consideramos especialmente os geradores de
simetria n˜ao-triviais, {X
1
} e {X
4
}, e algumas combina¸c˜oes simples dos geradores de
simetria (5.3). Os resultados obtidos s˜ao apresentados a seguir.
5.4.1 Equa¸c˜oes de rea¸c˜ao-difus˜ao
Para a classe de equa¸c˜oes de rea¸c˜ao- difus˜ao (5.1),
u
t
+
(4x
2
ln(x))u
x
x
= 0 ,
obtivemos
Simetrias Solu¸c˜oes invariantes
{X
1
} : u(x, t) = c
1
+ c
2
t −
1
4
ln(ln(x))
{X
4
} : u(x, t) =
1
x
e
4t
c
1
+ c
2
t +
1
4
ln(ln(x))
{X
1
+ X
2
} : u(x, t) = exp (−
1
4
e
−4t
) [c
1
J
ν
(e
−2t
ln(x)) + c
2
Y
ν
(e
−2t
ln(x))] , ν = 0
{X
2
+ X
4
} : u(x, t) =
1
x
exp(4t +
1
4
e
4t
) [c
1
J
ν
(e
2t
ln(x)) + c
2
Y
ν
(e
2t
ln(x))] , ν = 0
onde J
ν
e Y
ν
s˜ao fun¸c˜oes de Bessel com parˆametro ν; c
1
e c
2
s˜ao constantes arbitr´arias.
68
5.4.2 Equa¸c˜oes de difus˜ao com termo convec¸c˜ao
Para as equa¸c˜oes (5.20) e (5.21), tomamos n = 1, s = 0 e c = 4 e buscamos por solu¸c˜oes
para a equa¸c˜ao resultante
u
t
+ [4x
2
ln(x)u
x
]
x
+ [x (4 + 4 ln(x))] u
x
= 0 ,
Simetrias Solu¸c˜oes invariantes
{X
1
} : u(x, t) = c
1
+ c
2
exp(4t − ln(ln(x))) x
4t
ln(x)
− ln(x)
{X
4
} : u(x, t) =
1
x ln(x)
c
1
exp
4t+ln(ln(x))
8
[−4 ln(x)+4
√
4+20 ln(x)
√
4+4 ln(x)]
+
1
x ln(x)
c
2
exp
−4t−ln(ln(x))
8
[−4 ln(x)+4
√
4+20 ln(x)
√
4+4 ln(x)]
{X
1
+ X
2
} : u(x, t) = x
2t
ln(x)
−1
2
(ln(x)+1)
e
2t−
e
−4t
4
[c
1
J
ν
(ln(x)+1) + c
2
Y
ν
(ln(x)+1)] , ν=e
−2t
√
ln(x)
{X
2
+ X
4
} : u(x, t) = x
−2t−1
ln(x)
−1
2
(ln(x)+4)
e
2t+
e
4t
4
[c
1
J
ν
(
1
4
√
20 ln(x)+4
√
4 ln(x)+4)
+c
2
Y
ν
(
1
4
√
20 ln(x)+4
√
4 ln(x)+4)] , ν=e
2t
√
ln(x)
onde J
ν
e Y
ν
s˜ao fun¸c˜oes de Bessel com parˆametro ν; c
1
e c
2
s˜ao constantes arbitr´arias.
5.4.3 Equa¸c˜oes de difus˜ao com termo de absor¸c˜ao
Para as equa¸c˜oes (5.24) e (5.25), tomamos n = m = 1 e buscamos por solu¸c˜oes para a
equa¸c˜ao resultante
u
t
+ [4x
2
ln(x)u
x
]
x
+ c ln(x)
−1
u = 0 ,
69
Simetrias Solu¸c˜oes invariantes
{X
1
} : u(x, t) = c
1
sen
1
2
√
c [4t − ln ( ln(x))]
+ c
2
cos
1
2
√
c [4t − ln(ln(x))]
{X
4
} : u(x, t) = c
1
1
x ln(x)
exp
1
2
(ln(ln(x)) + 4t) (2 + i
√
c)
+ c
2
1
x ln(x)
exp
−
1
2
(ln(ln(x)) + 4t) (−2 + i
√
c)
{X
1
+ X
2
} : u(x, t) = exp(−
1
4
e
−4t
)
c
1
J
ν
e
−2t
ln(x)
+ c
2
Y
ν
e
−2t
ln(x)
, ν = i
√
c
{X
2
+ X
4
} : u(x, t) =
1
x
exp(4t +
1
4
e
4t
)
c
1
J
ν
e
2t
ln(x)
+ c
2
Y
ν
e
2t
ln(x)
, ν = i
√
c
onde J
ν
e Y
ν
s˜ao fun¸c˜oes de Bessel com parˆametro ν; c, c
1
e c
2
s˜ao constantes arbitr´arias.
5.4.4 Equa¸c˜oes de difus˜ao com termo de arraste
(equa¸c˜oes de Fokker-Planck)
Considerando α = 1 nas equa¸c˜oes de Fokker-Planck n˜ao-lineares (5.16) e (5.17) , obtemos
as seguintes solu¸c˜oes para a equa¸c˜ao resultante
u
t
+
(4x
2
ln(x)u)
x
+ (8x ln(x) + 4x) u
x
+ c ln(x)
−1
u = 0 ,
Simetrias Solu¸c˜oes invariantes
{X
1
} : u(x, t) = c
1
exp
(
−
1
2
ln(ln(x))+2t
)
4 ln(x)+2+(−8 ln(x)+4−c)
1
2
+ c
2
exp
(
−
1
2
ln(ln(x))+2t
)
4 ln(x)+2−(−8 ln(x)+4−c)
1
2
{X
4
} : u(x, t) =
c
1
xln(x)
exp
[
−
1
2
ln(ln(x))−2t
]
4 ln(x)−
√
16 ln
2
(x)+4−c
+
c
2
xln(x)
exp
[
−
1
2
ln(ln(x))−2t
]
4 ln(x)+
√
16 ln
2
(x)+4−c
{X
1
+ X
2
} : u(x, t) = exp(−
1
4
e
−4t
+4t) ln(x)
−1−2 ln(x)
x
8t
[c
1
J
ν
(
√
−8 ln(x)+4−c)
+ c
2
Y
ν
(
√
−8 ln(x)+4−c)] , ν=e
−2t
√
ln(x)
{X
2
+ X
4
} : u(x, t) = exp(
1
4
e
4t
) ln(x)
−1−2 ln(x)
x
−8t−1
[c
1
J
ν
(
√
16 ln(x)
2
+4−c)
+ c
2
Y
ν
(
√
16 ln(x)
2
+4−c)] , ν=e
2t
√
ln(x)
onde J
ν
e Y
ν
s˜ao fun¸c˜oes de Bessel com parˆametro ν; c, c
1
e c
2
s˜ao constantes arbitr´arias.
70
5.4.5 Equa¸c˜ao de difus˜ao logar´ıtmica
Voltando `as equa¸c˜oes de difus˜ao r´apida, vemos que, para α = 1 temos uma classe chamada
de equa¸c˜oes de difus˜ao logar´ıtmica
1
. Considerando α = β = 1, a equa¸c˜ao (5.28) fica
expressa por
u
t
+ [4x
2
ln(x) ln(u)]
x
+ c ln(x)
−1
u = 0 ,
e possui algumas solu¸c˜oes invar ia ntes, como
Simetrias Solu¸c˜oes invariantes
{X
1
}, {X
1
+ X
2
} : u(x, t) = c
1
exp
c
4
ln(ln(x))−4t
ln(x)
−
1
c
(2 ln(x) + 1) (4x ln(x) ln(u))
{X
4
}, {X
2
+ X
4
} : u(x, t) = c
1
1
xln(x)
exp
−
c
4
[
ln(ln(x))+4t
ln(x)
]
−
1
c
(2 ln(x) + 1) (4x ln(x) ln(u))
onde c e c
1
s˜ao constantes arbitr´arias.
Analogamente, particularizando a equa¸c˜ao (5.29) com α = β = 1, temos
u
t
+ [4x ln(u)]
x
+ c ln(x)
−1
u = 0 ,
e a lg umas de suas solu¸c˜oes invariantes s˜ao dadas por
Simetrias Solu¸c˜oes invariantes
{X
1
} : u(x, t) =
1
c
−4 ln(x) ln(u) + exp
−4ct+ln(ln(x))
4 ln(x )
c
1
c
{X
1
+ X
2
} : u(x, t) =
−4e
e
−4t
4
ln(x) ln(u) + c
1
exp
e
−4t
ln(x)−4ct+c ln(ln(x))
4 ln(x)
c
−e
−4t
4c
{X
4
} : u(x, t) =
1
c x ln(x)
4x ln(u) ln(x)
2
− exp
−4ct−ln(ln(x))
4 ln(x)
c
1
c
{X
2
+ X
4
} : u(x, t) =
−e
e
4t
4
c x ln(x)
[−4e
−e
4t
4
x ln(x)
2
ln(u)
−c
1
c exp[(−e
4t
ln(x) − 4ct + c ln(ln(x)))/4 ln(x)]]
onde c e c
1
s˜ao constantes arbitr´arias.
1
De acordo com a literatura [82], uma equa¸c˜ao de transporte ´e classificada como equa¸c˜ao de difus˜ao
logar´ıtmica se houver a presen¸ca do fator u
−1
u
x
= [ln(u)]
x
.
71
Cap´ıtulo 6
Conclus˜oes
Neste trabalho, estudamos classes de processos estoc´asticos de n˜ao-equil´ıbrio utilizando
ferramentas fundadas em simetria: exploramos a no¸c˜ao de espa¸co de Fock (representa¸c˜ao
n´umero) na descri¸c˜ao de redes de spin estoc´asticas e usamos m´eto dos de simetria de Lie
para obter equa¸c˜oes de transp orte generalizadas.
Na primeira parte do tra balho, apresentamos o desenvolvimento do formalismo
baseado no espa¸co de Fock para tratar redes fermiˆonicas. Os resultado s gerais foram
deduzidos em paralelo ao caso de b´osons, com exce¸c˜ao de algumas peculiaridades como,
por exemplo, na defini¸c˜ao do propagador ou da fun¸c˜ao geradora de momentos, onde
utilizamos vari´aveis de Grassmann. Alguns resultados sobre integral de trajet´oria para
f´ermions, apesar conhecidos na literatura de teoria quˆantica de campos, foram apresentados
aqui para especificar as caracter´ısticas da rede. O ingrediente central desse f ormalismo
consiste na defini¸c˜ao de um operador de densidade de probabilidade, que leva a um
procedimento geral para tr atar equa¸c˜oes estoc´asticas no contexto da representa¸c˜ao n´umero
de ocupa¸c˜ao para b´osons e f´ermions. Aplicamos o presente fo r malismo para estudar o
modelo de Glauber linear d-dimensional, deduzindo as equa¸c˜oes de evolu¸c˜ao t empora l
para a magnetiza¸c˜ao,
n
m
, e para a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao por pares,
n
m
n
n
, em termos
dos operadores de cria¸c˜ao e aniquila¸c˜ao. Essa an´alise mostra que tais quantidades f´ısicas
podem ser associadas diretament e com o propagador no limite cont´ınuo e aponta, em
particular, para o f ato de que esse procedimento ta mb´em pode ser utilizado no estudo
da dinˆamica de Glauber n˜ao-linear. Como perspectiva futura, pretendemos aplicar esse
procedimento a outros sistemas estoc´asticos de spins como, por exemplo, fazendo uso
72
do formalismo de integr al de trajet´oria para tratar o problema da renormaliza¸c˜ao em
percola¸c˜ao direcionada.
A segunda parte do trabalho ´e referente ao estudo de classes de equa¸c˜oes de difus˜ao
com coeficiente de difus˜ao logar´ıtmico. Esse tipo de dependˆencia espacial nos coeficientes
foi observada na descri¸c˜ao fenomenol´ogica de sistemas f´ısicos distintos, mas ainda tem
sido pouco explorada, o que nos motivou a investigar a possibilidade de sua ocorrˆencia
em classes de equa¸c˜oes de transporte mais abrangentes. Para isso, utilizamos os m´etodos
de simetria de Lie, usualmente empregados no estudo de equa¸c˜oes difereciais. Partindo
de uma equa¸c˜ao de rea¸c˜ao-difus˜ao com ´algebra de simetria conhecida, encontramos todas
as equa¸c˜oes de uma certa classe que s˜a o invariantes por essa ´alg ebra de simetria. A classe
que consideramos primariamente foi a de equa¸c˜oes de Fokker-Planck n˜ao-lineares em que
o termo de f onte ´e um monˆo mio na fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao. Encontramos equa¸c˜oes de
Fokker-Planck com dependˆencia logar´ıtmica nos termos de arraste, difus˜ao e fonte. Como
uma extens˜ao dessa an´alise, consideramos a classe de equa¸c˜oes para b´olicas n˜ao-lineares,
na qual se encontram as classes de equa¸c˜oes de difus˜ao em meio poroso. Pela imposi¸c˜ao de
sub´algebras a equa¸c˜oes de transporte gerais, encontramos classes de equa¸c˜oes de processos
de difus˜ao lenta, com termos de absor¸c˜ao e convec¸c˜ao, e tamb´em equa¸c˜oes que descrevem
processos de difus˜ao r´apida. A aplica¸c˜ao consistente do formalismo de grupos de Lie nos
permitiu verificar que a dependˆencia espacial dos coeficientes de difus˜ao das equa¸c˜oes
de tra nsporte generalizadas t amb´em ´e logar´ıtmica. Para algumas simetrias da ´algebra
4-dimensional considerada, tomamos casos particulares das classes de equa¸c˜oes de difus˜ao
n˜ao-lineares encontradas e obtivemos solu¸c˜oes invariantes que descrevem distribui¸c˜oes
alg´ebricas e log-alg´ebricas. As classes de equa¸c˜oes estudadas tˆem coeficientes de difus˜ao
com inomogeneidades logar´ıtmica e quadr´a t ica combinadas, D(x) ∼ x
2
ln(x). Como
sequˆencia para esse trabalho, apontamos para a possibilidade de estudar essas equa¸c˜oes
atrav´es de uma transforma¸c˜ao de equivalˆencia , uma vez que esta consiste em uma mudan¸ca
nas vari´aveis dependente e independentes que mapeia equa¸c˜oes em outras equa¸c˜oes da
mesma fam´ılia, por´em, com os coeficientes descritos por f un¸c˜oes distintas. Tamb´em ´e
poss´ıvel estudar essas classes de equa¸c˜oes com a abordagem de simetrias n˜ao-cl´assicas,
conhecidas como simetrias potenciais, que permitem encontrar solu¸c˜oes invariantes que
n˜ao s˜ao acess´ıveis a par tir de simetrias de ponto. Outro aspecto interessante a ser
explorado ´e a extens˜ao desse estudo unidimensional para o caso de dimens˜oes sup eriores.
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