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EXIST
ˆ
ENCIA, UNICIDADE E DECAIMENTO DE
SOLUC¸
˜
OES DE UMA EQUAC¸
˜
AO DE ONDA COM
DISSIPAC¸
˜
AO LINEAR LOCALIZADA
por
ROG
´
ERIO LUIZ QUINTINO DE OLIVEIRA J
´
UNIOR
Orientadora: Angela C´assia Biazutti
IM-UFRJ
RIO DE JANEIRO
2005
2
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Existˆencia, Unicidade e Decaimento de Solu¸c˜oes de
uma Equa¸c˜ao de Onda com Dissipa¸c˜ao Linear
Localizada
por
Rog´erio Luiz Quintino de Oliveira J´unior
Disserta¸c˜ao submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matem´atica da
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necess´arios
para a obten¸c˜ao do grau de Mestre em Ciˆencias.
´
Area de concentra¸c˜ao : Matem´atica
Aprovada por:
Angela C´assia Biazutti
IM-UFRJ (Presidente)
Lu´ıs Adauto da Justa Medeiros
IM-UFRJ
Lu´ıs Pe dro San Gil Jutuca
UNI-RIO
Helv´ecio Rubens Crippa
IM-UFRJ
Aos meus pais.
ii
Agradecimentos
Agrade¸co, principalmente, `a minha orientadora
ˆ
Angela, pelo seu carinho, sua paciˆencia e
dedica¸c˜ao. Agrade¸co, tamb´em, `a minha m˜ae pelo incentivo, `a C APES pelo apoio financeiro,
aos funcion´arios da biblioteca do IM-UFRJ e a todos os colegas e professores de mestrado do
IM-UFRJ que muito contribu´ıram para o meu crescimento profissional e pessoal. Finalmente,
gostaria de agradecer a Marcelo e Val´eria C avalcanti pela ajuda na confec¸c˜ao das figuras
utilizadas.
iii
Resumo
Neste trabalho, estudamos a existˆencia, unicidade e o decaimento polinomial de solu¸c˜oes
fortes para a equa¸c˜ao de ondas com uma dissipa¸c˜ao linear localizada
∂
2
u
∂t
2
− ∆u + a(x)
∂u
∂t
= 0 , x ∈ Ω , t > 0
u(x, t) = 0 , x ∈ Γ , t > 0
u(x, 0) = u
0
(x) ,
∂u
∂t
(x, 0) = u
1
(x) , x ∈ Ω ,
onde Ω ´e um aberto limitado de IR
N
com fronteira bem regular Γ e a(x) uma fun¸c˜ao de
C
0
( Ω ), n˜ao-negativa e que satisfaz uma hip´otese adicional.
iv
Abstract
In this work, we study the existence, uniqueness and polinomial decay of strong solutions
for the wave equation with a linear localized dissipation
∂
2
u
∂t
2
− ∆u + a(x)
∂u
∂t
= 0 , x ∈ Ω , t > 0
u(x, t) = 0 , x ∈ Γ , t > 0
u(x, 0) = u
0
(x) ,
∂u
∂t
(x, 0) = u
1
(x) , x ∈ Ω ,
where Ω is an open bounded subset of IR
N
with a smooth boundary Γ and a(x) is a non-
negative function of C
0
( Ω ) that satisfies an aditional hypothesis.
v
Sum´ario
Introdu¸c˜ao 1
1 Preliminares 4
1.1 Espa¸cos Funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Resultados B´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Resultados da teoria de Semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜oes Fortes 19
2.1 Existˆencia de Solu¸c˜oes utilizando o m´etodo de Faedo-Galerkin . . . . . . . . 19
2.2 Existˆencia de Solu¸c˜oes utilizando resultados da teoria de Semigrupos . . . . 34
2.3 Unicidade de Solu¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Decaimento das Solu¸c˜oes Fortes 41
3.1 Resultados Auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Teorema de Decaimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Bibliografia 66
vi
Introdu¸c˜ao
O objetivo principal deste trabalho ´e apresentar uma estimativa precisa do decaimento da
energia do seguinte problema de valor inicial e de fronteira
(P)
∂
2
u
∂t
2
− ∆u + a(x)
∂u
∂t
= 0 , x ∈ Ω , t > 0
u(x, t) = 0 , x ∈ Γ , t > 0
u(x, 0) = u
0
(x) ,
∂u
∂t
(x, 0) = u
1
(x) , x ∈ Ω ,
onde Ω ´e um aberto limitado de IR
N
com fronteira bem regular Γ. Ao longo do trabalho,
faremos uso das seguintes nota¸c˜oes. Denotamos por ν o vetor normal unit´ario apontando
para o exterior de Ω. Fixado x
0
∈ IR
N
e definindo o vetor m(x) = x − x
0
, temos
R = sup{|m(x)| , x ∈ Ω}, Γ
+
= {x ∈ Γ ; m(x).ν(x) > 0} e Γ
−
= Γ \ Γ
+
,
onde o produto interno acima ´e o usual de IR
N
. Denotamos por ω a interse¸c˜ao de Ω com
uma vizinhan¸ca de Γ
+
. Abaixo, mostramos um exemplo de tal ω.
Γ
+
Γ
−
ω Ω\ω x
0
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
❵
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❵
❵
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❵
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❵
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❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
✐
②
x − x
0
✟
✟✯
ν(x)
❅
❅■
x − x
0
ν(x)
❵
❵
•
Figura 1
1
Consideraremos a = a(x) uma fun¸c˜ao de C
0
(Ω), n˜ao-negativa e que satisfaz
ω
dx
a
p
< ∞,
para algum p positivo. Neste caso, dizemos que o termo a(x)
∂u
∂t
no problema (P) ´e uma
dissipa¸c˜ao local degenerada. Denotamos por |a
−1
|
p
a quantidade
ω
dx
a
p
.
O resultado de decaimento da energia do problema (P) pode ser obtido por aproxima¸c˜ao
de semigrupos, an´alise microlocal ou desigualdades diferenciais (veja Zuazua [29]). Aqui,
apresentamos uma aproxima¸c˜ao alternativa baseada em algumas desigualdades integrais de-
vidas a Haraux [10]; a vantagem ´e que obteremos uma prova direta sem usar a teoria de
aproxima¸c˜ao de semigrupos ou um resultado de continua¸c˜ao ´unica. O m´etodo essencial-
mente recai na t´ecnica dos multiplicadores (veja Lions [14], Komornick [13]). Al´em disso,
para nos livrarmos de termos de ordem menor, introduzimos um problema el´ıptico cuja
solu¸c˜ao ´e usada como multiplicador. Essa id´eia foi usada por Conrad e Rao [7] no estudo da
estabiliza¸c˜ao de uma equa¸c˜ao da onda com condi¸c˜ao de fronteira n˜ao-linear.
Seguindo o artigo de T´ebou [28], provaremos que a energia associada ao problema (P) decai
polinomialmente com o tempo. Neste artigo, ele tamb´em apresenta um resultado de decai-
mento exponencial no caso em que a(x) satisfaz outras hip´oteses. A id´eia, para ambos os
casos, recai na t´ecnica dos multiplicadores j´a citada.
Em suas disserta¸c˜oes de mestrado, Carvalho [5] e Pereira [25] estudaram precisamente o
caso de decaimento exponencial da energia, baseadas no artigo de T´ebou [27] e no de Assila
[1], respectivamente. Carvalho [5] estudou uma dissipa¸c˜ao localizada da forma a(x)g
∂u
∂t
,
onde a(x) satisfaz hip´oteses dife rentes das nossas, e Pereira [25], uma dissipa¸c˜ao da forma
g
∂u
∂t
. Outros resultados de decaimento da energia associada a problemas relacionados ao
estudado nesta disserta¸c˜ao podem ser encontrados em Cavalcanti [6].
O nosso trabalho ´e dividido em trˆes partes. Na primeira, estabelecemos algumas nota¸c˜oes e
resultados b´asicos. Tamb´em provamos alguns resultados auxiliares que ser˜ao utilizados nas
se¸c˜oes posteriores. A existˆencia e a unicidade de solu¸c˜oes para o problema (P) s˜ao estudadas
2
na segunda parte. A unicidade ´e feita pelo M´e todo da Energia, e a existˆencia ´e estudada de
duas formas diferentes: uma pelo m´etodo de Faedo-Galerkin e outra utilizando resultados
da teoria de Semigrupos. Finalmente, dedicamos a terceira parte ao estudo do decaimento
da energia, que, neste caso, provamos ser polinomial. Para isto, faremos uso da t´ecnica dos
multiplicadores e introduziremos a solu¸c˜ao de um problema el´ıptico para majorarmos termos
de ordem menor.
3
Cap´ıtulo 1
Preliminares
Destinamos este cap´ıtulo `a fixa¸c˜ao da terminologia e apresentamos resultados que utilizare-
mos nos cap´ıtulos seguintes, de monstrando aqueles que n˜ao s˜ao facilmente encontrados na
literatura.
1.1 Espa¸cos Funcionais
Considere Ω um aberto conexo e limitado de IR
N
cuja fronteira Γ = ∂Ω ´e bem regular. Se
1 ≤ p < ∞, denotamos por L
p
(Ω) o espa¸co de Banach
L
p
(Ω) = {u : Ω → IR ; u mensur´avel ,
Ω
|u(x)|
p
dx < ∞}
com a norma definida por
|u|
p
=
Ω
|u(x)|
p
dx
1/p
,
e denotamos por L
∞
(Ω) o espa¸co de Banach
L
∞
(Ω) = {u : Ω → IR ; u mensur´avel ,
supess
x ∈ Ω
|u(x)| < ∞}
com a norma
|u|
∞
=
supess
x ∈ Ω
|u(x)|,
onde as integrais s˜ao de Lebesgue.
No caso em que p = 2, temos o espa¸co de Hilbert L
2
(Ω) com o produto interno
(u, v) =
Ω
u(x)v(x) dx.
4
Tomando α = (α
1
, α
2
, ..., α
N
) ∈ IN
N
e x = (x
1
, x
2
, ..., x
N
) ∈ IR
N
, definimos |α| =
N
i=1
α
i
e
por D
α
representamos o operador de deriva¸c˜ao de ordem |α|, definido por
D
α
=
∂
|α|
∂x
α
1
1
∂x
α
2
2
...∂x
α
N
N
.
Quando α = (0, 0, ..., 0), definimos D
0
= I.
Representamos por D(Ω) o espa¸co das fun¸c˜oes testes em Ω, formado por todas as fun¸c˜oes in-
finitamente diferenci´aveis em Ω e com suporte compacto em Ω (C
∞
0
(Ω)), munido da seguinte
no¸c˜ao de convergˆencia: {ϕ
n
}
n∈IN
em D(Ω) converge para ϕ quando
(i) Para todo n ∈ IN, supp(ϕ
n
− ϕ) ⊂ K, onde K ´e um compacto fixo de Ω, e
(ii) para cada α ∈ IN
N
, a sequˆencia {D
α
(ϕ
n
−ϕ)}
n∈IN
converge uniformemente para zero em
Ω.
Representamos por D
(Ω) o espa¸co das distribui¸c˜oes sobre Ω, ou seja, o espa¸co vetorial for-
mado por todas as aplica¸c˜oes lineares e cont´ınuas (no sentido da convergˆencia definida sobre
D(Ω)) que v˜ao de D(Ω) em IR.
Para todo m ∈ IN, p ∈ [1, ∞), definimos o espa¸co de Sobolev W
m,p
(Ω) como sendo o espa¸co
de Banach de todas as fun¸c˜oes u ∈ L
p
(Ω) tais que, para todo |α| ≤ m, D
α
u ∈ L
p
(Ω), sendo
D
α
u a derivada de u no sentido das distribui¸c˜oes. Consideraremos a norma em W
m,p
(Ω)
definida por
||u||
m.p
=
|α|≤m
Ω
|D
α
u(x)|
p
dx
1/p
.
Definimos o espa¸co W
m,p
0
(Ω) como sendo o fecho de D(Ω) em W
m,p
(Ω). Para p = 2, deno-
tamos W
m,2
(Ω) = H
m
(Ω). Quando m = 0, H
0
(Ω) ´e identificado com L
2
(Ω). Temos que
H
m
(Ω) ´e um espa¸co de Hilbert com o produto interno
((u, v))
m
=
|α|≤m
Ω
D
α
u(x)D
α
v(x) dx .
Por H
m
0
(Ω) representamos o fecho de D(Ω) em H
m
(Ω). O dual topol´ogico de H
m
0
(Ω) ´e
representado por H
−m
(Ω). Definimos, para todo s > 0, o espa¸co
H
s
(IR
N
) = {u ∈ L
2
(Ω) ; (1 + |ξ|
2
)
s/2
ˆu ∈ L
2
(IR
N
)},
munido da norma
||u||
2
H
s
(IR
N
)
=
Ω
(1 + |ξ|
2
)
s
|u(ξ)|
2
dξ ,
onde ˆu representa a transformada de Fourier de u.
5
Verifica-se que este espa¸co coincide com o espa¸co H
m
(IR
N
) quando s ´e um n´umero inteiro
m. No caso em que Ω ´e um aberto de classe C
m
, define-se, para cada s < m, os espa¸cos
fracion´arios
H
s
(Ω) =
v|
Ω
; v ∈ H
s
(IR
N
)
munidos da norma
||u||
H
s
(Ω)
= inf
||v||
H
s
(IR
N
)
; v = u em Ω
.
Os espa¸cos acima s˜ao espa¸cos de Hilbert e
H
s
(Ω) =
H
m
(Ω), H
0
(Ω)
θ
para cada s = (1 − θ)m, m ∈ ZZ, 0 ≤ θ ≤ 1.
Dados X um espa¸co de Banach, T > 0 um n´umero real e 1 ≤ p < ∞, representamos
por L
p
(0, T ; X) o espa¸co de Banach das fun¸c˜oes u : (0, T ) → X tais que u ´e mensur´avel e
||u(t)||
X
∈ L
p
(0, T ), equipado com a norma
||u(t)||
L
p
(0,T ;X)
=
T
0
||u(t)||
p
X
dt
1/p
.
Temos que L
p
(0, T ; X), 1 < p < ∞, ´e reflexivo se X for reflexivo, e indicamos por L
p
(0, T ; X
)
seu dual topol´ogico, sendo X
o dual de X e p
o conjugado de p. Quando p = 2 e X ´e um
espa¸co de Hilbert, o espa¸co L
2
(0, T ; X) ´e um espa¸co de Hilbert, munido do produto interno
(u, v)
L
2
(0,T ;X)
=
T
0
(u(t), v(t))
X
dt .
Quando p = ∞, temos o espa¸co de Banach L
∞
(0, T ; X), formado pelas fun¸c˜oes u : (0, T ) →
X mensur´aveis e essencialmente limitadas, isto ´e, aquelas tais que
supess
t ∈ (0, T )
||u(t)||
X
< ∞
munido da norma
||u(t)||
L
∞
(0,T ;X)
=
supess
t ∈ (0, T )
||u(t)||
X
.
Indicamos por D
(0, T ; X) o espa¸co das distribui¸c˜oes vetoriais s obre (0, T ), com valores em
X, isto ´e, o espa¸co das aplica¸c˜oes lineares e cont´ınuas de D(0, T ) em X.
6
Se u ´e um vetor de L
p
(0, T ; X), 1 ≤ p < ∞, ent˜ao associamos a u a distribui¸c˜ao T
u
definida
por
T
u
, ϕ =
T
0
u(s)ϕ(s) ds , ϕ ∈ D(0, T ).
Temos que T
u
´e univocamente definida por u. Logo, identificando u com T
u
, podemos dizer
que
L
p
(0, T ; X) ⊂ D
(0, T ; X).
Dada uma distribui¸c˜ao vetorial u ∈ D
(0, T ; X), definimos a derivada (no sentido das dis-
tribui¸c˜oes) de ordem m de u como sendo a distribui¸c˜ao
∂
m
u
∂t
m
= u
(m)
definida por
u
(m)
, ϕ
= (−1)
m
T
0
u(t)
∂
m
ϕ(t)
∂t
m
dt , ∀ϕ ∈ D(0, T ).
1.2 Resultados B´asicos
Teorema 1.1 (Teorema Espectral para Operadores Compactos Auto-adjuntos em
Espa¸cos de Hilbert)
Sejam H um espa¸co de Hilbert real e A ∈ L(H) tais que dim H = +∞ e A seja compacto e
auto-adjunto. Ent˜ao
(i) 0 ∈ σ(A) ;
(ii) σ(A) \ { 0} = VP (A) \ {0} ;
(iii) σ(A)\{0} = VP (A)\{0} ´e finito ou no m´aximo enumer´avel. Se σ(A)\{0} = {λ
n
}
n∈IN
,
ent˜ao |λ
n
| ≥ |λ
n+1
|, ∀n ∈ IN, e λ
n
→ 0 quando n → ∞ ;
(iv) λ
1
= max{|m|, |M |}, onde m = inf
||u||=1 , u∈H
{(Au, u)} e M = max
||u||=1 , u∈H
{(Au, u)} ;
(v) os vetores pr´oprios correspondentes aos λ
n
s, {w
n
}
n∈IN
⊂ H, formam uma seq ¨uˆencia
ortonormal em H ;
(vi) para cada v ∈ H, temos que
Av =
∞
n=1
(Av, w
n
)w
n
=
∞
n=1
λ
n
(v, w
n
)w
n
;
(vi) para cada u ∈ H, temos u = u
0
+
∞
n=1
(u, w
n
)w
n
, onde u
0
∈ ker(A).
Corol´ario 1.1 Sejam H espa¸co de Hilbert separ´avel real com dimH = +∞, e B : D(B)
⊆/ H → H, B linear, auto-adjunto, (Bu, u) ≥ 0, ∀u ∈ D(B), B bijetivo, D(B) = H, B
operador n˜ao-limitado de H. Suponha que D(B) est´a imerso compactamente em H. Suponha
7
que D(B) ´e um espa¸co de Banach com a norma do gr´afico u
D(B)
= (u
2
H
+ Bu
2
H
)
1/2
.
Ent˜ao:
(i) u
1
= Bu
H
´e tamb´em uma norma em D(B) equivalente `a norma do gr´afico;
(ii) B
−1
: H → H satisfaz as hip´oteses do Teorema Espectral;
(iii) Existe seq¨uˆencia {w
n
}
n
⊂ D(B) no m´aximo enumer´avel e seq¨uˆencia {µ
n
}
n
⊂ IR,
0 < µ
1
≤ µ
2
≤ ... com µ
n
→ ∞ tal que Bw
n
= µ
n
w
n
, ∀n ∈ IN;
(iv) os w
n
’s formam uma base Hilbertiana para H;
(v) D (B) ´e um espa¸co de Hilbert com rela¸c˜ao aos produtos internos induzidos pelas normas
.
D(B)
e .
1
;
(vi) (z
n
)
n
=
w
n
µ
n
n
´e base Hilbertiana para (D(B), .
1
). Em particular, para todo
v ∈ D(B), tem-se v =
∞
n=1
(v, z
n
)z
n
.
Proposi¸c˜ao 1.1 O operador −∆ : H
1
0
(Ω) ∩H
2
(Ω) ⊂ L
2
(Ω) −→ L
2
(Ω) satizfaz as hip´oteses
do corol´ario do teorema espectral.
As demonstra¸c˜oes dos resultados anteriores podem ser encontradas em Milla [22].
Defini¸c˜ao 1.1 Sejam D um subconjunto de IR
N+1
e f : D → IR
N
. Dizemos que f satisfaz
as condi¸c˜oes de Carath´eodory se
(a) f(x, t) ´e mensur´avel em t, para cada x fixo ;
(b) f(x, t) ´e cont´ınua em x, para cada t fixo ;
(b) para cada compacto U em D, existe uma fun¸c˜ao real integr´avel m
U
(t) tal que
|f(x, t)| ≤ m
U
(t) , ∀(t, x) ∈ U.
Teorema 1.2 (Carath´eodory)
Seja f : D → IR
N
uma fun¸c˜ao que satisfa¸ca as condi¸c˜oes de Carath´eodory apresentadas na
defini¸c˜ao 1.1. Ent˜ao, existe uma solu¸c˜ao x(t) do problema
dx
dt
= f (t, x)
x(t
0
) = x
0
sobre algum intervalo |t − t
0
| ≤ β, onde β > 0.
Demonstra¸c˜ao: Ver Medeiros-Rivera [21].
8
Teorema 1.3 (Prolongamento de Solu¸c˜oes)
Sejam D = [0, T ] ×B, com 0 < T < ∞ e B = {x ∈ IR
N
; |x| ≤ b , b > 0}, e f satisfazendo
as duas primeiras condi¸c˜oes de Carath´eodory. Seja ϕ(t) uma solu¸c˜ao de
dx
dt
= f (t, x)
x(0) = x
0
, |x
0
| ≤ b
Suponhamos que em qualquer intervalo I onde ϕ(t) esteja definida, se tenha |ϕ(t)| ≤ M ,
∀t ∈ I, M independente de I e M < b. Ent˜ao ϕ tem um prolongamento at´e [0, T ].
Demonstra¸c˜ao: Ver Medeiros-Rivera [21].
Lema 1.1 (Desigualdade de Gronwall)
Sejam ϕ ∈ L
∞
(0, T ), β ∈ L
1
(0, T ), com β(t) > 0 e ϕ(t) ≥ 0, e K ≥ 0 uma constante. Se
ϕ(t) ≤ K +
t
0
β(s)ϕ(s) ds, ∀t ∈ [0, T ], ent˜ao, temos que
ϕ(t) ≤ Ke
t
0
β(s) ds
, ∀t ∈ (0, T ).
Demonstra¸c˜ao: Ver Carroll [4].
Consideremos os autovetores {w
j
}
j∈IN
e os respectivos autovalores {λ
j
}
j∈IN
do operador −∆
com dom´ınio H
1
0
(Ω) ∩ H
2
(Ω) e valores em L
2
(Ω). Como conseq¨uˆencia da proposi¸c˜ao (1.1),
temos que {w
j
}
j∈IN
e
w
j
λ
j
j∈IN
formam bases Hilbertianas de L
2
(Ω) e H
1
0
(Ω), respectiva-
mente.
Seja V
m
o supespa¸co de H
1
0
(Ω) ∩ H
2
(Ω) gerado pelos m primeiros vetores w
1
, w
2
, ..., w
m
. A
proje¸c˜ao de L
2
(Ω) sobre V
m
´e o operador
P
m
: L
2
(Ω) −→ V
m
⊂ L
2
(Ω).
Temos o seguinte resultado
Proposi¸c˜ao 1.2 Sendo P
m
o operador proje¸c˜ao,
(i) |P
m
u|
2
=
m
j=1
|(u, w
j
)|
2
≤ |u|
2
, ∀u ∈ L
2
(Ω) ;
(ii) |P
m
w
k
| = 1 , ∀ k = 1, 2, ..., m ;
(iii) P
m
´e auto-adjunto.
Demonstra¸c˜ao: Ver Brezis [2].
9
Lema 1.2 Seja E um espa¸co de Banach separ´avel e seja {f
n
}
n∈IN
uma seq¨uˆencia limitada
em E
. Ent˜ao, ex iste uma subseq¨uˆencia {f
n
k
}
k∈IN
tal que
f
n
k
∗
f em E
.
Demonstra¸c˜ao: Ver Brezis [2].
Proposi¸c˜ao 1.3 Se u ∈ L
∞
(Ω), com Ω subconjunto aberto limitado de IR
N
, ent˜ao u ∈
L
p
(Ω), ∀p ≥ 1.
Demonstra¸c˜ao: Ver Brezis [2].
Proposi¸c˜ao 1.4 Temos que L
2
(0, T ; L
2
(Ω)) ≡ L
2
(Q), onde Q = [0, T ] × Ω.
Demonstra¸c˜ao: Ver Brezis-Cazenave [3]
Teorema 1.4 (Teorema de Rellich-Kondrachov)
Seja Ω um subconjunto aberto limitado de classe C
1
do IR
N
. Ent˜ao
H
1
(Ω) → L
2
(Ω) com imers˜ao compacta.
Demonstra¸c˜ao: Ver Brezis [2].
Corol´ario 1.2 Seja Ω como no teorema anterior. Ent˜ao
H
m+1
(Ω) → H
m
(Ω) com imers˜ao compacta, ∀m ∈ IN.
Demonstra¸c˜ao: Ver Brezis [2].
Lema 1.3 Sejam V e H espa¸cos de Hilbert tais que V → H. Se u ∈ L
1
(0, T ; V ) e u
∈
L
1
(0, T ; H), onde T > 0, ent˜ao u ∈ C
0
([0, T ]; H).
Demonstra¸c˜ao: Ver Temam [26].
Teorema 1.5 (Teorema Fundamental do C´alculo Generalizado)
Sejam (a, b) ⊂ IR limitado, u ∈ L
p
(a, b), 1 ≤ p ≤ ∞ e u
∈ L
p
(a, b). Ent˜ao
x
a
u
(t) dt = u(x) − u(a) , ∀x ∈ (a, b).
Demonstra¸c˜ao: Ver Kesavan [11] e Medeiros-Mello [17].
10
Lema 1.4 Se u ∈ L
1
(0, T ; X), onde X ´e um espa¸co de Banach real, e
T
0
u(t)θ(t) dt = 0,
∀θ(t) ∈ D(0, T ), ent˜ao u(t) = 0 q.s. em (0, T ).
Demonstra¸c˜ao: Ver Brezis-Cazenave [3].
Lema 1.5 (Temam)
Sejam V e H espa¸cos de Hilbert, com produtos internos e normas dados, repectivamente,
por || . ||, (( . )) e | . |, ( . ), com V → H imers˜ao cont´ınua e densa. Seja A ∈ L(V, V
)
isomorfismo, A : D(A) ⊂ H → H, A auto-adjunto, Au, v = a(u, v), ∀u, v ∈ V , sendo
a uma forma bilinear, cont´ınua e coerciva. Sejam T > 0 e w uma fun¸c˜ao vetorial tal que
w ∈ L
2
(0, T ; V ), w
∈ L
2
(0, T ; H) e w
+ Aw ∈ L
2
(0, T ; H). Ent˜ao,
(i) (w
(t) + Aw(t), w
(t)) =
1
2
d
dt
|w
(t)|
2
+ ||w(t)||
2
, em D
(0, T ) ;
(ii) w ∈ C
0
([0, T ]; V ), w
∈ C
0
([0, T ]; H).
Demonstra¸c˜ao: Ver Temam [26].
Corol´ario 1.3 Considere V , H e A como no lema anterior, A tamb´em satisfazendo |Au|
H
=
|u|
D(A)
, ∀u ∈ D(A), e u uma fun¸c˜ao vetorial tal que u ∈ L
∞
(0, T ; D(A)), u
∈ L
∞
(0, T ; V ),
u
∈ L
∞
(0, T ; H), u
+ Au = g ∈ C
0
([0, T ]; H) e g
∈ L
2
(0, T ; H). Ent˜ao, temos que
u ∈ C
0
([0, T ]; D(A)) , u
∈ C
0
([0, T ]; V ) e u
∈ C
0
([0, T ]; H).
Demonstra¸c˜ao: Tome w = u
. Ent˜ao w ∈ L
∞
(0, T ; V ) e w
∈ L
∞
(0, T ; H), o que implica,
pois [0, T ] ´e finito, que ω ∈ L
2
(0, T ; V ) e w
∈ L
2
(0, T ; H). Al´em disso, temos que
w
+ Aw = u
+ Au
=
d
dt
[u
+ Au] =
d
dt
g ∈ L
2
(0, T ; H).
Temos, ent˜ao, do lema de Temam, que u
∈ C
0
([0, T ]; V ) e u
∈ C
0
([0, T ]; H).
Como g ∈ C
0
([0, T ]; H), u
∈ C
0
([0, T ]; H) e u
+ Au = g, temos que Au ∈ C
0
([0, T ]; H),
o que implica que |Au|
H
∈ C([0, T ]), donde |u|
D(A)
∈ C([0, T ]), pois |Au|
H
= |u|
D(A)
. Logo,
u ∈ C
0
([0, T ]; D(A)).
Teorema 1.6 (Teorema de Gauss) Se u = (u
i
) ∈ (H
1
(Ω))
N
, temos que
Ω
div u dx =
Γ
u.ν dΓ
Demonstra¸c˜ao: Ver Kesavan [11].
11
Teorema 1.7 (Identidade de Green)
Se u ∈ H
2
(Ω) e v ∈ H
1
(Ω), ent˜ao
Ω
∇u.∇v dx = −
Ω
(∆u)v dx +
Γ
v
∂u
∂ν
dΓ
Demonstra¸c˜ao: Ver Kesavan [11].
Por abuso de nota¸c˜ao, escrevemos v no lugar de γ
0
v e
∂u
∂ν
no lugar de γ
1
u nos teoremas
(1.6) e (1.7), ao integrarmos em Γ.
Teorema 1.8 (Deriva¸c˜ao do produto)
Sejam Ω ⊂ IR
N
um conjunto aberto e 1 ≤ p ≤ ∞. Sejam u, v ∈ W
1,p
(Ω) ∩ L
∞
(Ω). Ent˜ao
uv ∈ W
1,p
(Ω) ∩ L
∞
(Ω) e, para 1 ≤ i ≤ N ,
∂
∂x
i
(uv) =
∂u
∂x
i
v + u
∂v
∂x
i
Demonstra¸c˜ao: Ver Brezis [2].
Teorema 1.9 (Imers˜ao de Sobolev)
Se Ω for aberto, limitado e bem regular do IR
N
, m ∈ IN e 1 ≤ p < ∞, temos que
(i) W
m,p
(Ω) → L
∞
(Ω), se
1
p
−
m
N
< 0 ;
(ii) W
m,p
(Ω) → L
q
(Ω), ∀q ≥ 1, se
1
p
−
m
N
= 0 ;
(iii) W
m,p
(Ω) → L
q
(Ω), ∀q tal que 1 ≤ q ≤
Np
N − mp
, se
1
p
−
m
N
> 0 .
Demonstra¸c˜ao: Ver Brezis [2].
Teorema 1.10 (Agmon-Douglis-Nirenberg)
Suponha que Ω ´e um aberto do IR
N
de classe C
2
com fronteira Γ limitada. Seja 1 < p < ∞.
Ent˜ao, para toda f ∈ L
p
(Ω), existe u ∈ W
2,p
(Ω) ∩ W
1,p
0
(Ω) ´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao
−∆u + u = f em Ω.
Al´em disso, se Ω ´e de classe C
m+2
e se f ∈ W
m,p
(Ω) (m inteiro ≥ 1), ent˜ao
u ∈ W
m+2,p
(Ω) e ||u||
W
m+2,p
≤ C||f ||
W
m,p
.
Demonstra¸c˜ao: Ver Brezis [2].
12
Teorema 1.11 (Teorema do Tra¸co)
Seja Ω ⊂ IR
N
um conjunto aberto, limitado e com fronteira Γ de classe C
m+1
. Ent˜ao existe
uma aplica¸c˜ao tra¸co γ = (γ
0
, γ
1
, ..., γ
m−1
) de H
m
(Ω) em (L
2
(Ω))
m
tal que
(i) Se v ∈ C
∞
(Ω), ent˜ao γ
0
(v) = v|
Γ
, γ
1
(v) =
∂v
∂ν
Γ
, ... , γ
m−1
(v) =
∂
m−1
∂ν
m−1
(v)
Γ
, onde ν ´e
o normal unit´ario exterior `a fronteira Γ ;
(ii) A imagem de γ ´e o espa¸co
m−1
j=0
H
m−j−
1
2
(Γ) ;
(iii) O n´ucleo de γ ´e H
m
0
(Ω).
Demonstra¸c˜ao: Ver Kesavan [11].
Teorema 1.12 Seja F : IR → IR uma fun¸c˜ao lipschitz-cont´ınua tal que F (0) = 0, e seja
p ∈ [1, ∞]. Se u ∈ W
1,p
(Ω), ent˜ao F (u) ∈ W
1,p
(Ω) e ∇F (u) = F
(u)∇u q.s. em Ω. Mais
ainda, se p < ∞, ent˜ao a aplica¸c˜ao u → F (u) ´e cont´ınua de W
1,p
(Ω) em W
1,p
(Ω).
Demonstra¸c˜ao: Ver Brezis-Cazenave [3].
Lema 1.6 (Gagliardo-Nirenberg)
Sejam 1 ≤ q ≤ s ≤ ∞, 1 ≤ r ≤ s, 0 ≤ k < m < ∞, (k e m inteiros n˜ao-negativos) e
δ ∈ [0, 1]. Seja v ∈ W
m,q
(Ω) ∩ L
r
(Ω), onde Ω ´e um subconjunto limitado de IR
N
. Suponha
que
k −
N
s
≤ δ
m −
N
q
−
N(1 − δ)
r
.
Ent˜ao v ∈ W
k,s
(Ω) e existe uma constante C tal que
||v||
W
k,s
(Ω)
≤ C||v||
δ
W
m,q
(Ω)
|v|
1−δ
r
.
Demonstra¸c˜ao: Ver Nirenberg [23].
Lema 1.7 Seja φ : [0, ∞[→ [0, ∞[ uma fun¸c˜ao localmente absolutamente cont´ınua e n˜ao-
crescente tal que existem constantes n˜ao-negativas β e A com
∞
S
φ(t)
β+1
dt ≤ A φ(S) , ∀S ≥ 0 .
Ent˜ao, t emos que
φ(t) ≤
φ(0)e
1−
t
A
, ∀t ≥ 0 se β = 0 ,
A
1 +
1
β
1
β
t
−
1
β
, ∀t > 0 se β > 0 .
Demonstra¸c˜ao: Ver Komornick [13].
13
Lema 1.8 Seja Ω um aberto limitado de IR
N
com fronteira bem regular. Ent˜ao, existe uma
fun¸c˜ao h ∈ (W
1,∞
(Ω))
N
tal que
h = ν em Γ
+
, h.ν ≥ 0 em Γ , h = 0 em Ω \
ω ,
onde, considerando x
0
um ponto fixo de IR
N
, Γ
+
= {x ∈ Γ ; (x−x
0
).ν(x) > 0}, Γ
−
= Γ\Γ
+
,
ω a interse¸c˜ao de Ω com uma vizinhan¸ca de Γ
+
e
ω ´e uma outra interse¸c˜ao de Ω com uma
vizinhan¸ca de Γ
+
,
ω estando estritamente contido em ω (Veja figura 2).
Demonstra¸c˜ao: Ver Lions [14].
Γ
+
Γ
−
ω
ˆω Ω\ω
❅
❅■
h · ν = 1
✠
❅
❅■
h · ν ≥ 0
h · ν ≥ 0
h = 0
h = 0
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
• x
0
Figura 2
Lema 1.9 Seja Ω um aberto limitado de IR
N
com fronteira bem regular. Ent˜ao, existe uma
fun¸c˜ao η ∈ W
1,∞
(Ω) tal que
0 ≤ η ≤ 1 , η = 1 em
ω , η = 0 em Ω \ ω .
Demonstra¸c˜ao: Ver Lions [14].
Proposi¸c˜ao 1.5 Seja Ω um aberto limitado de IR
N
com fronteira de classe C
2
. Se y ∈
H
1
0
(Ω) ∩ H
2
(Ω), ent˜ao temos que
∂y
∂ν
ν = ∇y em Γ ,
onde ν ´e o vetor normal unit´ario exterior a Ω, e , por abuso de nota¸c˜ao,
∂y
∂ν
e ∇y repre-
sentam γ
1
y e γ
0
(∇y), respectivamente.
Demonstra¸c˜ao:
1
o
caso: Considere y ∈ C
∞
(Ω) tal que y|
Γ
= 0.
14
Nesse caso, temos o seguinte resultado:
∂y
∂ν
= ν.∇y .
Se, para todo (x
1
, x
2
, ..., x
N
) ∈ Γ temos que
∂y
∂x
i
(x
1
, x
2
, ..., x
N
) = 0, i = 1, 2, ..., N , ent˜ao
∇y =
−→
0 , o que implica que
∂y
∂ν
= 0, donde
∂y
∂ν
ν = ∇y.
Suponha, agora, que exista um (x
1
, x
2
, ..., x
N
) tal que
∂y
∂x
i
(x
1
, x
2
, ..., x
N
) = 0, para algum i
entre 1 e N. Ent˜ao, pelo Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita, x
i
= f (x
1
, ..., x
i−1
, x
i+1
, ..., x
N
) e
f
x
j
=
∂f
∂x
j
=
−
∂y
∂x
j
∂y
∂x
i
, ∀ 1 ≤ j ≤ N , j = i .
Como y(x
1
, ..., x
N
) = 0 determina uma superf´ıcie S em IR
N
, pelo mesmo teorema, podemos
parametrizar esta superf´ıcie S por
σ(x
1
, ..., x
i−1
, x
i+1
, ..., x
N
) =
x
1
= x
1
x
2
= x
2
.
.
.
x
i
= f (x
1
, ..., x
i−1
, x
i+1
, ..., x
N
)
.
.
.
x
n
= x
n
Uma base para o plano tangente a S no ponto (x
1
, x
2
, ..., x
N
) ´e formada pelos vetores
−→
σ
x
1
= (1, 0, ..., 0, f
x
1
, 0, ..., 0)
−→
σ
x
2
= (0, 1, ..., 0, f
x
2
, 0, ..., 0)
.
.
.
−−→
σ
x
i−1
= (0, 0, ..., 1, f
x
i−1
, 0, ..., 0)
−−→
σ
x
i+1
= (0, 0, ..., 0, f
x
i+1
, 1, ..., 0)
.
.
.
−−→
σ
x
N
= (0, 0, ..., 0, f
x
N
, 0, ..., 1)
Como ∇y =
∂y
∂x
1
, ...,
∂y
∂x
i
, ...,
∂y
∂x
N
, temos, para todo 1 ≤ j ≤ N, j = i, que
∇y .
−→
σ
x
j
=
∂y
∂x
j
.1 +
∂y
∂x
i
.f
x
j
= 0 .
15
Logo, ∇y ´e paralelo a ν, isto ´e, ∇y = kν, k uma constante, e, como
∂y
∂ν
= ν.∇y, temos que
∂y
∂ν
= kν . ν, o que implica que k =
∂y
∂ν
, donde
∂y
∂ν
ν = ∇y.
2
o
caso: Considere y ∈ H
1
0
(Ω) ∩ H
2
(Ω).
Temos que existe seq¨uˆencia {y
k
}
k
em C
∞
(Ω), com y
k
|
Γ
= 0, tal que y
k
→ y em H
1
0
(Ω) ∩
H
2
(Ω). Como o tra¸co ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, temos que
γ
0
y
k
→ γ
0
y em H
3/2
(Γ) e γ
1
y
k
→ γ
1
y em H
1/2
(Γ) .
Tamb´em, temos que
∂y
k
∂x
i
→
∂y
∂x
i
em H
1
(Ω), o que implica que
γ
0
∂y
k
∂x
i
→ γ
0
∂y
∂x
i
em H
1/2
(Γ).
Observando que γ
0
y
k
= y
k
em Γ, γ
1
y
k
=
∂y
k
∂ν
em Γ e γ
0
∂y
k
∂x
i
=
∂y
k
∂x
i
em Γ, conclu´ımos que
y
k
→ γ
0
y em H
3/2
(Γ) (1.1)
∂y
k
∂x
i
→ γ
0
∂y
∂x
i
em H
1/2
(Γ) , ∀ i = 1, 2, ..., N (1.2)
∂y
k
∂ν
→ γ
1
y em H
1/2
(Ω) . (1.3)
Como H
3/2
(Γ) → L
2
(Γ) e H
1/2
(Γ) → L
2
(Γ), as convergˆencias acima tamb´em ocorrem em
L
2
(Γ).
Sendo o tra¸co uma fun¸c˜ao linear, temos de (1.2) que
∇y
k
|
Γ
−→
γ
0
∂y
k
∂x
1
, ..., γ
0
∂y
k
∂x
N
= γ
0
[∇y] em [L
2
(Γ)]
N
. (1.4)
Como a fronteira Γ ´e de classe C
2
, temos que ν ∈ [L
∞
(Γ)]
N
. Logo,
∂y
k
∂ν
ν − (γ
1
y)ν
2
[L
2
(Γ)]
N
=
N
i=1
Γ
∂y
k
∂ν
ν
i
− (γ
1
y)ν
i
2
dΓ =
N
i=1
Γ
∂y
k
∂ν
− γ
1
y
2
ν
2
i
dΓ =
=
Γ
∂y
k
∂ν
− γ
1
y
2
| ν|
2
dΓ ≤ |ν|
2
∞
Γ
∂y
k
∂ν
− γ
1
y
2
dΓ = |ν|
2
∞
∂y
k
∂ν
− γ
1
y
2
L
2
(Γ)
,
donde
∂y
k
∂ν
ν − (γ
1
y)ν
[L
2
(Γ)]
N
≤ |ν|
∞
∂y
k
∂ν
− γ
1
y
L
2
(Γ)
.
16
De (1.3), vemos que
∂y
k
∂ν
ν → (γ
1
y)ν em [L
2
(Γ)]
N
(1.5)
Como ∇y
k
|
Γ
=
∂y
k
∂ν
ν pelo primeiro caso j´a demonstrado, segue-se de (1.4) e (1.5),
utilizando a unicidade do limite, que
γ
0
[∇y] = (γ
1
y)ν , isto ´e,
∂y
∂ν
ν = ∇y , em Γ .
Uma outra demonstra¸c˜ao para este resultado , utilizando o Teorema de Gauss, pode ser
encontrada em [20].
1.3 Resultados da teoria de Semigrupos
Nesta se¸c˜ao, X sempre representar´a um espa¸co de Banach e S : IR
+
→ L(X) um semigrupo
de operadores lineares limitados de X.
Proposi¸c˜ao 1.6 Seja S um semigrupo de classe C
0
com gerador infinitesimal A. Ent˜ao, se
x ∈ D(A), temos que S(t)x ∈ D(A), ∀t ≥ 0, e
d
dt
S(t)x = AS(t)x = S(t)Ax .
Demonstra¸c˜ao: Ver Pazy [24].
Defini¸c˜ao 1.2 Sejam S um semigrupo de classe C
0
e A seu gerador infinitesimal. Defi-
namos A
0
= I, A
1
= A e, supondo que A
n−1
esteja definido, vamos definir A
n
por:
D(A
n
) = {x ; x ∈ D(A
n−1
) e A
n−1
x ∈ D(A)}
A
n
x = A(A
n−1
x) , ∀x ∈ D(A
n
) .
Defini¸c˜ao 1.3 Seja A um operador linear fechado do espa¸co de Banach X. Definindo,
para cada x ∈ D(A
k
), |x|
k
=
k
j=0
||A
j
x||
X
, temos que | . |
k
´e uma norma em D(A
k
), dita
norma do gr´afico, munido da qual D(A
k
) ´e um espa¸co de Banach, que ser´a representado por
[D(A
k
)].
Proposi¸c˜ao 1.7 Se A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo S de classe C
0
, ent˜ao,
para todo x ∈ D(A
n
),
S(t)x ∈ C
n−k
[0, ∞) ; [D(A
k
)]
, k = 0, 1, ..., n.
Demonstra¸c˜ao: Ver Gomes [9].
17
Defini¸c˜ao 1.4 Vamos escrever A ∈ G(M, w) para exprimir que A ´e o gerador infinitesimal
de um semigrupo de operadores lineares limitados de classe C
0
, S, que satisfaz a condi¸c˜ao
||S(t)||
X
≤ M e
wt
, ∀t ≥ 0.
Teorema 1.13 (Lumer-Phillips)
A ∈ G(1, 0) se e somente se A ´e m-dissipativo e D(A) = X.
Demonstra¸c˜ao: Ver Gomes [9].
Teorema 1.14 Se A ∈ G(1, 0), B ´e um operador linear dissipativo com D(B) ⊃ D(A) e
existem constantes a e b tais que 0 ≤ a < 1, b > 0 e
||Bx||
X
≤ a||Ax||
X
+ b||x||
X
, ∀x ∈ D(A) ,
ent˜ao A + B ∈ G(1, 0).
Demonstra¸c˜ao: Ver Gomes [9].
18
Cap´ıtulo 2
Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜oes
Fortes
Neste cap´ıtulo, estudamos a existˆencia de solu¸c˜oes fortes do problema (P) de duas formas
distintas: uma pelo m´etodo de Faedo-Galerkin e outra utilizando resultados da teoria de
semigrupos. A unicidade ´e obtida utilizando o M´etodo da Energia. Os passos da demons-
tra¸c˜ao de existˆencia foram apresentados na forma mais geral poss´ıvel de modo que a prova
possa ser facilmente estendida para o problema com dissipa¸c˜ao n˜ao linear a(x)g(u
).
2.1 Existˆencia de Solu¸c˜oes utilizando o m´etodo de Faedo-
Galerkin
Teorema 2.1 Sejam u
0
∈ H
1
0
(Ω) ∩ H
2
(Ω), u
1
∈ H
1
0
(Ω) e a = a(x) ∈ C
0
(
¯
Ω), a(x) ≥ 0
em Ω, Ω um aberto limitado de IR
n
com fronteira bem regular. Ent˜ao existe uma fun¸c˜ao
u : Ω × [0, T ] → IR, T > 0, tal que
u ∈ L
∞
(0, T ; H
1
0
(Ω) ∩ H
2
(Ω)); (2.1)
u
∈ L
∞
(0, T ; H
1
0
(Ω)); (2.2)
u
∈ L
∞
(0, T ; L
2
(Ω)); (2.3)
u
− ∆u + au
= 0 q.s. em Q = Ω × [0, T ]; (2.4)
u(0) = u
0
, u
(0) = u
1
. (2.5)
19
Demonstra¸c˜ao
(i) Problema Aproximado
Consideremos V = H
1
0
(Ω) ∩ H
2
(Ω). Denotaremos por W = H
1
0
(Ω) e H = L
2
(Ω). Temos
que V ´e um espa¸co de Hilbert com o produto interno ((u, v))
V
= (∆u, ∆v)
L
2
(Ω)
, ∀u, v ∈
V . Al´em disso, para u ∈ V e v ∈ W temos que ((u, v))
W
= (−∆u, v)
H
. Denotaremos, por
(( . , . )) e || . || e por ( . , . ) e | . | o produto interno e a norma em W e H, respectivamente.
Identificaremos H ao se u dual H
, obtendo, ent˜ao, o seguinte esquema: V ⊂ W ⊂ H ⊂ W
,
onde W
= H
−1
(Ω).
Os autovetores do operador −∆ (isto ´e, as fun¸c˜oes w
j
∈ V , j=1,2,..., tais que −∆w
j
= λ
j
w
j
)
formam uma base ortogonal de W e ortonormal de H. Tamb´em formam uma base ortogonal
de V , pois
((w
i
, w
j
))
V
= (∆w
i
, ∆w
j
) = (−∆w
i
, −∆w
j
) = (λ
i
w
i
, λ
j
w
j
) = λ
i
λ
j
(w
i
, w
j
) =
=
0, se i = j;
λ
i
λ
j
, se i = j.
Logo,
w
j
λ
j
n
e
w
j
λ
j
n
formam bases Hilbertianas para W e V , respectivamente.
Tomemos V
m
= [w
1
, ..., w
m
] o subespa¸co de V gerado pelos m primeiros vetores w
j
. O
problema aproximado consiste em determinar u
m
(t) =
m
j=1
g
jm
(t)w
j
∈ V
m
tal que
(u
m
(t), v) + ((u
m
(t), v)) + (a(x)u
m
(t), v) = 0, ∀v ∈ V
m
u
m
(0) = u
0m
→ u
0
forte em V
u
m
(0) = u
1m
→ u
1
forte em W
(2.6)
Substituindo u
m
(t) e tomando v = w
r
, 1 ≤ r ≤ m, em (2.6), temos:
m
j=1
g
jm
(t)w
j
, w
r
+
m
j=1
g
jm
(t)w
j
, w
r
+
m
j=1
a(x)g
jm
(t)w
j
, w
r
= 0, 1 ≤ r ≤ m
Como (w
j
)
j
´e ortonormal em H e ((u, v)) = (−∆u, v), ∀u ∈ V e v ∈ W , temos
g
rm
(t) +
−∆
m
j=1
g
jm
(t)w
j
, w
r
+
m
j=1
g
jm
(t)(a(x)w
j
, w
r
) = 0 ,
20
o que implica
g
rm
(t) +
m
j=1
g
jm
(t)(−∆w
j
) , w
r
+
m
j=1
g
jm
(t)(a(x)w
j
, w
r
) = 0 ,
donde
g
rm
(t) +
m
j=1
g
jm
(t)λ
j
w
j
, w
r
+
m
j=1
g
jm
(t)(a(x)w
j
, w
r
) = 0 ,
e, portanto,
g
rm
(t) +
m
j=1
(a(x)w
j
, w
r
)g
jm
(t) + λ
r
g
rm
(t) = 0. (2.7)
Das condi¸c˜oes iniciais em (2.6) e do Teorema Espectral, temos que
m
j=1
g
jm
(0)w
j
= u
m
(0) = u
0m
=
m
j=1
u
0
,
w
j
λ
j
V
w
j
λ
j
=
m
j=1
(u
0
, w
j
)w
j
e
m
j=1
g
jm
(0)w
j
= u
m
(0) = u
1m
=
m
j=1
u
1
,
w
j
λ
j
W
w
j
λ
j
=
m
j=1
(u
1
, w
j
)w
j
Logo, podemos tomar
g
jm
(0) = (u
0
, w
j
) , 1 ≤ j ≤ m (2.8)
e
g
jm
(0) = (u
1
, w
j
) , 1 ≤ j ≤ m (2.9)
Definindo q
rm
(t) = g
rm
(t), obtemos de (2.7) o sistema
g
rm
(t) = q
rm
(t)
q
rm
(t) = −
m
j=1
(a(x)w
j
, w
r
)q
jm
(t) − λ
r
g
rm
(t)
(2.10)
com 1 ≤ r ≤ m.
O sistema (2.10) pode ser escrito na forma matricial
g
1m
(t)
.
.
.
g
mm
(t)
q
1m
(t)
.
.
.
q
mm
(t)
=
q
1m
(t)
.
.
.
q
mm
(t)
−g
1m
(t)λ
1
.
.
.
−g
mm
(t)λ
m
+
0
.
.
.
0
−q
1m
(t)(aw
1
, w
1
) − ... − q
mm
(t)(aw
m
, w
1
)
.
.
.
−q
1m
(t)(aw
1
, w
m
) − ... − q
mm
(t)(aw
m
, w
m
)
21
que ´e o mesmo que
g
1m
(t)
.
.
.
g
mm
(t)
q
1m
(t)
.
.
.
q
mm
(t)
=
0 ··· 0 1 ··· 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 ··· 0 0 ··· 1
−λ
1
··· 0 (−aw
1
, w
1
) ··· (−aw
m
, w
1
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 ··· −λ
m
(−aw
1
, w
m
) ··· (−aw
m
, w
m
)
g
1m
(t)
.
.
.
g
mm
(t)
q
1m
(t)
.
.
.
q
mm
(t)
(2.11)
Definindo
Y
m
(t) =
g
1m
(t)
.
.
.
g
mm
(t)
q
1m
(t)
.
.
.
q
mm
(t)
e A =
0 ··· 0 1 ··· 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 ··· 0 0 ··· 1
−λ
1
··· 0 (−aw
1
, w
1
) ··· (−aw
m
, w
1
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 ··· −λ
m
(−aw
1
, w
m
) ··· (−aw
m
, w
m
)
(2.12)
segue-se de (2.11) que
Y
m
(t) = AY
m
(t). (2.13)
Agora, de (2.8) e (2.9), obtemos
Y
m
(0) =
g
1m
(0)
.
.
.
g
mm
(0)
q
1m
(0)
.
.
.
q
mm
(0)
=
(u
0
, w
1
)
.
.
.
(u
0
, w
m
)
(u
1
, w
1
)
.
.
.
(u
1
, w
m
)
= Y
0m
(2.14)
22
Ent˜ao, de (2.13) e de (2.14), temos o sistema equivalente
Y
m
(t) = AY
m
(t)
Y
m
(0) = Y
0m
Se tomarmos H
m
(t, Y
m
(t)) = AY
m
(t) : IR ×IR
2m
−→ IR
2m
, ent˜ao podemos escrever o sistema
acima como
Y
m
(t) = H
m
(t, Y
m
(t))
Y
m
(0) = Y
0m
(2.15)
Considere D = [−T, T ] × B
b
, onde B
b
= {x ∈ IR
2m
; Y
0m
∈ B
b
e |x| ≤ b, b > 0}. Ent˜ao
• H
m
´e cont´ınua em rela¸c˜ao a Y
m
, para cada t fixo:
De fato, fixado t, tome > 0 qualquer. Seja δ =
A
(note que A < ∞). Ent˜ao, se Y
1
m
, Y
2
m
∈ B
b
e |Y
1
m
− Y
2
m
| < δ, temos que
|H
m
(t, Y
1
m
(t)) − H
m
(t, Y
2
m
(t))| = |AY
1
m
(t) − AY
2
m
(t)| ≤ A|Y
1
m
− Y
2
m
| < Aδ = ;
• H
m
´e cont´ınua em rela¸c˜ao a t, para cada Y
m
fixo:
Fixado Y
m
(t), temos que H
m
n˜ao depende de t, isto ´e, H
m
´e uma constante e, portanto,
cont´ınua;
• |H
m
(t, Y
m
(t))| ≤ A|Y
m
(t)| ≤ Ab < ∞, se Y
m
(t) ∈ B
b
.
Portanto, das considera¸c˜oes acima, segue-se pelo Teorema de Caratheodory que existe uma
solu¸c˜ao Y
m
(t) em (−t
m
, t
m
), t
m
< T , de (2.15). Restringindo esta solu¸c˜ao a t positivo, vemos
que existem, para todo m, fun¸c˜oes g
1m
(t), ..., g
mm
(t) que satisfazem (2.7), t ∈ [0, t
m
), donde,
para todo m, existe u
m
(t), t ∈ [0, t
m
), t
m
< T , solu¸c˜ao do problema aproximado (2.6). Pode-
mos notar que, dada a regularidade de H
m
, a existˆencia da solu¸c˜ao Y
m
(t) tamb´em pode ser
obtida aplicando-se o Teorema de Peano; inclusive a solu¸c˜ao pode ser determinada explici-
tamente, porque o problema ´e linear.
(ii) Estimativas a Priori
• Primeira estimativa (Permitir´a prolongar a solu¸c˜ao aproximada u
m
(t) ∈ V
m
, definida
para todo t ∈ [0, t
m
), t
m
< T , a todo intervalo [0, T ].)
23
Tomando v = 2u
m
(t) ∈ V
m
em (2.6), temos, ∀t ∈ [0, t
m
),
2(u
m
(t), u
m
(t)) + 2((u
m
(t), u
m
(t))) + 2(a(x)u
m
(t), u
m
(t)) = 0 (2.16)
o que implica que
d
dt
|u
m
(t)|
2
+ ||u
m
(t)||
2
+ 2
Ω
a(x)|u
m
(t)|
2
dx = 0.
Como, por hip´otese, a(x) ´e uma fun¸c˜ao limitada e n˜ao-negativa, vemos que
d
dt
|u
m
(t)|
2
+ ||u
m
(t)||
2
≤ 0. (2.17)
Integrando-se a inequa¸c˜ao acima de 0 a t, com t ∈ [0, t
m
), obtemos
|u
m
(t)|
2
+ ||u
m
(t)||
2
≤ |u
1m
|
2
+ ||u
0m
||
2
(2.18)
Por outro lado, do problema aproximado (2.6), temos que u
0m
−→ u
0
forte em W e u
1m
−→
u
1
forte em H. Logo, existem constantes c
1
e c
2
, independentes de m, t, e T , tais que
|u
1m
|
2
≤ c
1
e ||u
0m
||
2
≤ c
2
. Segue-se, ent˜ao, de (2.18), que
|u
m
(t)|
2
+ ||u
m
(t)||
2
≤ c
1
+ c
2
= k
1
, ∀t ∈ [0, t
m
) ,
logo,
|u
m
(t)|
2
≤ k
1
e ||u
m
(t)||
2
≤ k
1
, ∀t ∈ [0, t
m
). (2.19)
Substituindo a express˜ao de u
m
(t) em (2.19) e comparando com (2.12), temos que
|Y
m
(t)| ≤
¯
k
1
, ∀t ∈ [0, t
m
),
o que implica, pelo Teorema de Prolongamento de Solu¸c˜oes, que Y
m
(t) pode ser prolongada
a todo [0, T ], T > 0. Logo, u
m
(t) pode ser prolongada a todo [0, T ].
Retornando a (2.16), (2.17) e (2.18), mas agora com t ∈ [0, T ], temos que (2.19) ´e v´alida
para todo t entre 0 e T e para todo m. Portanto,
(u
m
)
m
´e limitada em L
∞
(0, T ; W ) (2.20)
e
(u
m
)
m
´e limitada em L
∞
(0, T ; H). (2.21)
24
• Segunda estimativa (limita¸c˜ao para (u
m
)
m
)
Como Y
m
(t) ´e a solu¸c˜ao de (2.15), segue-se que Y
m
(t) ∈ C
1
([0, T ]). Al´em disso, dado que a
EDO ´e
Y
m
= AY
m
Y
m
(0) = Y
0m
,
a solu¸c˜ao Y
m
pode se explicitada da forma Y
m
(t) = Y
0m
e
At
. Como Y
m
(t) ∈ C
1
([0, T ]) e
Y
m
= AY
m
, temos que Y
m
∈ C
1
([0, T ]), o que implica que Y
m
existe e pertence a C
0
([0, T ]).
Logo, vemos que g
im
e g
im
∈ C
0
([0, T ]). Portanto, conclu´ımos que u
m
(t) ∈ C
3
([0, T ]).
Podemos, ent˜ao, de rivar a equa¸c˜ao aproximada (2.6) diretamente em rela¸c˜ao a t e obter
(u
m
(t), v) + ((u
m
(t), v)) + (a(x)u
m
(t), v) = 0, ∀v ∈ V
m
.
Substituindo v = u
m
(t) na equa¸c˜ao anterior, temos
1
2
d
dt
|u
m
(t)|
2
+
1
2
d
dt
||u
m
(t)||
2
+
Ω
a(x)|u
m
(t)|
2
dx = 0.
Integrando a ´ultima igualdade de 0 a t, t ∈ [0, T ], obtemos
|u
m
(t)|
2
+ ||u
m
(t)||
2
− |u
m
(0)|
2
− ||u
m
(0)||
2
+ 2
t
0
Ω
a(x)|u
m
(s)|
2
dxds = 0 ,
o que implica que
|u
m
(t)|
2
+ ||u
m
(t)||
2
≤ |u
m
(0)|
2
+ ||u
m
(0)||
2
+ 2
t
0
Ω
|a(x)|.|u
m
(s)|
2
dxds ,
donde, considerando max
x∈Ω
|a(x)| = |a(x)|
max
|u
m
(t)|
2
+ ||u
m
(t)||
2
≤ |u
m
(0)|
2
+ ||u
1m
||
2
+ 2|a(x)|
max
t
0
|u
m
(s)|
2
ds (2.22)
Por outro lado, se considerarmos t = 0 e tomarmos v = u
m
(0) na equa¸c˜ao aproximada (2.6),
obteremos
(u
m
(0), u
m
(0)) + ((u
m
(0), u
m
(0) )) + (a(x)u
m
(0), u
m
(0)) = 0,
o que implica
|u
m
(0)|
2
= −(−∆u
m
(0), u
m
(0)) − (a(x)u
m
(0), u
m
(0)),
25
donde
|u
m
(0)|
2
≤ |(∆u
m
(0), u
m
(0))−(a(x)u
m
(0), u
m
(0))| ≤ |(∆u
m
(0), u
m
(0))|+|(a(x)u
m
(0), u
m
(0))| ≤
≤ |∆u
m
(0)|.|u
m
(0)| + |a(x)u
m
(0)|.|u
m
(0)| ≤ |u
m
(0)|(|∆u
m
(0)| + |a(x)|
max
|u
m
(0)|).
Portanto,
|u
m
(0)| ≤ |∆u
0m
| + |a(x)|
max
|u
1m
| = ||u
0m
||
V
+ |a(x)|
max
|u
1m
|.
(2.23)
Das convergˆencias de (u
0m
)
m
e (u
1m
)
m
em (2.6), temos que existem constantes c
3
e c
4
,
independentes de t e m, tais que
|u
m
(0)| ≤ c
3
+ c
4
|a(x)|
max
(2.24)
Logo, de (2.22) e (2.24), com k
2
= c
3
+ c
4
|a(x)|
max
+ c
4
, temos que
|u
m
(t)|
2
+ ||u
m
(t)||
2
≤ k
2
+ 2|a(x)|
max
t
0
|u
m
(s)|
2
ds (2.25)
e
|u
m
(t)|
2
≤ k
2
+
t
0
2|a(x)|
max
|u
m
(s)|
2
ds (2.26)
Pela des igualdade de Gronwall, segue-se, de (2.26), que
|u
m
(t)|
2
≤ k
2
exp
t
0
2|a(x)|
max
ds
= k
2
e
2t|a(x)|
max
, ∀t ∈ [0, T ] ,
donde
|u
m
(t)|
2
≤ k
2
e
2T |a(x)|
max
. (2.27)
Logo, de (2.25) e (2.27), temos
|u
m
(t)|
2
+ ||u
m
(t)||
2
≤ k
2
+ 2|a(x)|
max
k
2
e
2T |a(x)|
max
.t , ∀t ∈ [0, T ] ≤
≤ k
2
+ 2|a(x)|
max
T k
2
e
2T |a(x)|
max
= k
4
,
o que implica que
|u
m
(t)|
2
+ ||u
m
(t)||
2
≤ k
4
, (2.28)
onde k
4
´e independente de m e t. Conclu´ımos, ent˜ao, que
(u
m
(t))
m
´e limitada em L
∞
(0, T ; W ) (2.29)
e
(u
m
(t))
m
´e limitada em L
∞
(0, T ; H) (2.30)
26
• Terceira estimativa (limita¸c˜ao para (∆u
m
)
m
)
Da equa¸c˜ao aproximada (2.6), temos
(u
m
(t), w
j
) + (−∆u
m
(t), w
j
) + (a(x)u
m
(t), w
j
) , ∀j = 1, 2, ..., m (2.31)
Seja
h
m
(t) = u
m
(t) − ∆u
m
(t) + a(x)u
m
(t).
Como a base (w
j
)
j
´e formada pelos autovetores de −∆, tem-se que −∆u
m
(t) ∈ V
m
, o que
implica que −∆u
m
(t) ∈ H. Al´em disso, como a(x) ∈ L
∞
(Ω), temos que a(x)u
m
(t) ∈ H.
Conclu´ımos, ent˜ao, que h
m
(t) ∈ H.
Consideremos o operador proje¸c˜ao
P
m
: H −→ V
m
v −→ P
m
v =
m
i=1
(v, w
i
)w
i
Como o operador P
m
´e auto-adjunto, obt´em-se
(P
m
h
m
(t), w
j
) = (h
m
(t), P
m
w
j
) =
h
m
(t),
m
i=1
(w
j
, w
i
)w
i
= (h
m
(t), w
j
).
Como, por (2.31), temos que (h
m
(t), w
j
) = 0, ∀j = 1, 2, ..., m, conclu´ımos que
(P
m
h
m
(t), w
j
) = 0 , ∀j = 1, 2, ..., m
o que implica que (P
m
h
m
(t), v) = 0 em V
m
, donde P
m
h
m
(t) ≡ 0 em V
m
. Assim,
P
m
u
m
(t) − P
m
∆u
m
(t) + P
m
(a(x)u
m
(t)) = 0.
Como u
m
(t) e ∆u
m
(t) pertencem a V
m
, P
m
∈ L(H) e ||P
m
|| ≤ 1, temos que
u
m
(t) − ∆u
m
(t) + P
m
(a(x)u
m
(t)) = 0 ,
donde
|∆u
m
(t)| ≤ |u
m
(t)| + |P
m
(a(x)u
m
(t))| ≤ |u
m
(t)| + ||P
m
||.|a(x)u
m
(t)| ≤
≤ |u
m
(t)| + |a(x)u
m
(t)| ≤ |u
m
(t)| + |a(x)|
max
|u
m
(t)|.
27
De (2.21) e (2.30), temos que (u
m
)
m
e (u
m
)
m
s˜ao limitadas em L
∞
(0, T ; H); logo, existe
constante k
5
, independente de m e t, t ∈ [0, T ], tal que
|∆u
m
(t)| ≤ k
5
.
Logo, observando que |∆u
m
(t)| = ||u
m
||
V
, temos que
(∆u
m
)
m
´e limitada em L
∞
(0, T ; H) (2.32)
(u
m
)
m
´e limitada em L
∞
(0, T ; V ) (2.33)
(iii) Passagem ao limite
De (2.29) e (2.33), temos que existe subseq¨uˆencia de (u
m
)
m
, denotada da mesma forma,
tal que
u
m
∗
¯u em L
∞
(0, T ; W ) (2.34)
e
u
m
∗
u em L
∞
(0, T ; V ) , (2.35)
pois L
1
(0, T ; W
) e L
1
(0, T ; V
) s˜ao separ´aveis e [L
1
(0, T ; W
)]
= L
∞
(0, T ; W ) e [L
1
(0, T ; V
)]
=
L
∞
(0, T ; V ), pois V e W s˜ao reflexivos e separ´aveis.
Provaremos que ¯u = u
:
Como V → W → H, temos de (2.35) que
u
m
∗
u em L
∞
(0, T ; H).
Como (0, T ) ´e limitado, temos que L
∞
(0, T ; H) → L
2
(0, T ; H). Desde que L
2
(0, T ; H) ≡
L
2
(Q) ´e reflexivo, obtemos
u
m
u em L
2
(Q),
onde Q = [0, T ] × Ω.
Como a convergˆencia fraca em L
2
(Q) implic a na convergˆencia no sentido das distribui¸c˜oes,
temos que
u
m
→ u em D
(Q).
28
Logo, sendo a deriva¸c˜ao uma opera¸c˜ao cont´ınua em D
(Q), segue-se que
u
m
→ u
em D
(Q). (2.36)
Por outro lado, de (2.34), obtemos, j´a que L
∞
(0, T ; W ) → L
2
(0, T ; H) ≡ L
2
(Q), pois (0, T )
´e limitado e W → H,
u
m
¯u em L
2
(Q)
pois L
2
(Q) ´e reflexivo. Portanto, de modo an´alogo ao caso anterior, temos que
u
m
→ ¯u em D
(Q). (2.37)
De (2.36) e (2.37), temos, pela unicidade do limite fraco, que ¯u = u
em L
2
(Q). Portanto,
u
m
∗
u
em L
∞
(0, T ; W ). (2.38)
Agora, de (2.30), existe ¯y ∈ L
∞
(0, T ; H) e subseq¨uˆencia de (u
m
)
m
, ainda denotada da mesma
forma, tais que
u
m
∗
¯y em L
∞
(0, T ; H).
Da mesma forma, conclu´ımos que ¯y = u
e , portanto, que
u
m
∗
u
em L
∞
(0, T ; H). (2.39)
Por ´ultimo, como u
m
→ u em D
(Q), temos que ∆u
m
→ ∆u em D
(Q). Mas, de (2.32),
como L
∞
(0, T ; H) = (L
1
(0, T ; H
))
, isto ´e, dual de um espa¸co de Banach separ´avel, existe
subseq¨uˆencia de (∆u
m
)
m
, ainda denotada da mesma forma, e z ∈ L
∞
(0, T ; H) tais que
∆u
m
∗
z em L
∞
(0, T ; H).
Conclu´ımos de maneira an´aloga que z = ∆u e que
∆u
m
∗
∆u em L
∞
(0, T ; H). (2.40)
De (2.35), (2.38) e (2.39), temos que a fun¸c˜ao u satisfaz as condi¸c˜oes (2.1), (2.2) e (2.3) do
Teorema 2.1. Verificaremos agora que ela satisfaz (2.4):
Como u
m
∗
u
em L
∞
(0, T ; W ) e L
∞
(0, T ; W ) → L
2
(0, T ; H), o qual ´e Banach reflexivo,
temos que
u
m
u
em L
2
(0, T ; H).
29
Logo,
T
0
(f(t), u
m
(t)) dt →
T
0
(f(t), u
(t)) dt , ∀f ∈ L
2
(0, T ; H).
Em particular, se f = a(x)w, com a ∈ C
0
(Ω) e w ∈ L
2
(0, T ; H), temos que
T
0
(a(x)w, u
m
) dt →
T
0
(a(x)w, u
) dt , ∀w ∈ L
2
(0, T ; H) ,
o que implica
T
0
Ω
a(x)wu
m
dxdt →
T
0
Ω
a(x)wu
dxdt , ∀w ∈ L
2
(0, T ; H) ,
donde
T
0
(a(x)u
m
, w) dt →
T
0
(a(x)u
, w) dt , ∀w ∈ L
2
(0, T ; H). (2.41)
Sejam θ(t) ∈ L
2
(0, T ) e v ∈ H. Ent˜ao, w = vθ(t) ∈ L
2
(0, T ; H). Logo, de (2.41) temos que
T
0
(a(x)u
m
, v)θ(t) dt →
T
0
(a(x)u
, v)θ(t) dt , ∀v ∈ L
2
(Ω), θ ∈ L
2
(0, T ). (2.42)
Analogamente, obtemos de (2.39) que
T
0
(u
m
, v)θ(t) dt →
T
0
(u
, v)θ(t) dt , ∀v ∈ L
2
(Ω), θ ∈ L
2
(0, T ). (2.43)
e, de (2.40) que
T
0
(−∆u
m
, v)θ(t) dt →
T
0
(−∆u, v)θ(t) dt , ∀v ∈ L
2
(Ω), θ ∈ L
2
(0, T ). (2.44)
Multiplicando a equa¸c˜ao aproximada (2.6) por θ(t) ∈ L
2
(0, T ) e integrando de 0 a T , obtemos
(como ((u, v)) = (−∆u, v), se u ∈ V e v ∈ W )
T
0
(u
m
, v)θ(t) dt+
T
0
(−∆u
m
, v)θ(t) dt+
T
0
(a(x)u
m
, v)θ(t) dt = 0 , ∀v ∈ V
m
0
, θ ∈ L
2
(0, T ),
(2.45)
onde m
0
< m fixo e arbitr´ario.
Tomando o limite em (2.45) quando m → ∞, mantendo V
m
0
fixo e arbitr´ario e utilizando
(2.42), (2.43) e (2.44), temos que
T
0
(u
, v)θ(t) dt +
T
0
(−∆u, v)θ(t) dt +
T
0
(a(x)u
, v)θ(t) dt = 0 , ∀v ∈ V
m
0
, θ ∈ L
2
(0, T ),
(2.46)
30
Como [w
1
, w
2
, ...] ´e denso em H e (2.46) ´e valida para toda v ∈ V
m
0
com m
0
< ∞ arbitr´ario,
segue-se que (2.46) ´e v´alida para todo v ∈ H. Al´em disso, o conjunto {vθ ; θ ∈ L
2
(0, T ), v ∈
L
2
(Ω)} ´e denso em L
2
(Q). Logo, conclu´ımos que
T
0
(u
, v) dt +
T
0
(−∆u, v) dt +
T
0
(a(x)u
, v) dt = 0 , ∀v ∈ L
2
(Q) .
Portanto,
(u
− ∆u + a(x)u
, v) = 0 , ∀v ∈ L
2
(Q) ,
de onde conclu´ımos que
u
− ∆u + a(x)u
= 0 em L
2
(Q) ,
o que prova que u satisfaz (2.4).
(iv) Verifica¸c˜ao dos Dados Iniciais
Primeiramente, note que faz sentido calcularmos u(0) e u
(0). De fato, como u ∈ L
∞
(0, T ; V ),
u
∈ L
∞
(0, T ; W ) e u
∈ L
∞
(0, T ; H) e [0, T ] ´e limitado, temos que u ∈ L
1
(0, T ; V ),
u
∈ L
1
(0, T ; W ) e u
∈ L
1
(0, T ; H); al´em disso, sendo as imers˜oes V → W → H cont´ınuas,
temos, pelo lema 1.3, que u ∈ C
0
([0, T ]; W ) e u
∈ C
0
([0, T ]; H).
• Verifiquemos que u(0) = u
0
.
De (2.35) e como L
∞
(0, T ; V ) → L
∞
(0, T ; H), temos que
u
m
∗
u em L
∞
(0, T ; H),
donde, identificando H ao seu dual, temos
T
0
(u
m
(t), w(t)) dt −→
T
0
(u(t), w(t)) dt , ∀w ∈ L
1
(0, T ; H). (2.47)
Analogamente, de (2.38), temos que
T
0
(u
m
(t), w(t)) dt −→
T
0
(u
(t), w(t)) dt , ∀w ∈ L
1
(0, T ; H). (2.48)
Seja θ ∈ C
1
([0, T ]) com θ(0) = 1 e θ(T ) = 0 e seja v ∈ H. Ent˜ao, θ e θ
∈ C
0
([0, T ]), o que
implica θ e θ
∈ L
2
(0, T ), donde ¯w(t) = vθ
(t) ∈ L
1
(0, T ; H) e w(t) = vθ(t) ∈ L
1
(0, T ; H).
31
Substituindo w em (2.48) e ¯w em (2.47), obtemos
T
0
(u
m
(t), v)θ
(t) dt −→
T
0
(u(t), v)θ
(t) dt
e
T
0
(u
m
(t), v)θ(t) dt −→
T
0
(u
(t), v)θ(t) dt .
Somando as duas express˜oes `a esquerda, obtemos
T
0
d
dt
{(u
m
(t), v)θ(t)}dt −→
T
0
d
dt
{(u(t), v)θ(t)}dt. (2.49)
Notemos que, como u ∈ C([0, T ], H) e v ∈ H, temos que (u(t), v) ∈ C
0
([0, T ]) e como
θ(t) ∈ C
0
([0, T ]), temos tamb´e m que (u(t), v)θ(t) ∈ C
0
([0, T ]). Al´em disso,
d
dt
(u(t), v)θ(t) = (u
(t), v)θ(t) + (u(t), v)θ
(t) ∈ L
1
(0, T ).
Logo, pelo Teorema Fundamental do C´alculo Generalizado,
T
0
d
dt
{(u(t), v)θ(t)}dt = (u(T ), v)θ(T ) − (u(0), v)θ(0). (2.50)
Analogamente,
T
0
d
dt
{(u
m
(t), v)θ(t)}dt = (u
m
(T ), v)θ(T ) − (u
m
(0), v)θ(0). (2.51)
Segue-se, ent˜ao, de (2.49), utilizando (2.50) e (2.51), que
(u
m
(T ), v)θ(T ) − (u
m
(0), v)θ(0) −→ (u(T ), v)θ(T ) − (u(0), v)θ(0).
Mas, como θ(0) = 1 e θ(T ) = 0, esta ´ultima convergˆencia implica que
(u
m
(0), v) −→ (u(0), v) , ∀v ∈ H,
donde,
u
0m
u(0) em H.
Por outro lado, do problema aproximado (2.6), sabemos que u
0m
→ u
0
forte em W, o que
implica que u
0m
→ u
0
forte em H, donde u
0m
u
0
fraco em H. Segue-se da unicidade do
limite fraco que
u(0) = u
0
em H.
• Verifiquemos que u
(0) = u
1
.
Seja θ ∈ C
1
([0, T ]) com θ(0) = 1 e θ(T ) = 0 e seja v ∈ H. Ent˜ao, θ e θ
∈ C
0
([0, T ]), o que
32
implica θ e θ
∈ L
2
(0, T ), donde w(t) = vθ
(t) ∈ L
1
(0, T ; H). Logo, substituindo w em (2.48)
temos
T
0
(u
m
(t), v)θ
(t) dt −→
T
0
(u
(t), v)θ
(t) dt (2.52)
Agora, de (2.43), temos, utilizando θ e v acima, que
T
0
(u
m
(t), v)θ(t) dt −→
T
0
(u
(t), v)θ(t) dt (2.53)
Somando-se (2.52) e (2.53), obtemos
T
0
d
dt
{(u
m
(t), v)θ(t)}dt −→
T
0
d
dt
{(u
(t), v)θ(t)}dt. (2.54)
Procedendo de forma an´aloga ao caso anterior, mostramos via Teorema Fundamental do
C´alculo Generalizado que
u
m
(0) = u
1m
u
(0) em H.
Por outro lado, do problema aproximado, u
1m
→ u
1
forte em H, o que implica que u
1m
u
(0) fraco em H. Segue-se da unicidade do limite fraco que
u
(0) = u
1
em H.
Portanto, a solu¸c˜ao u verifica os dados iniciais (2.5).
Corol´ario 2.1 Sob as mesmas hip´oteses do teorema 2.1, temos que a solu¸c˜ao u satisfaz
u ∈ C([0, T ]; V ) ∩ C
1
([0, T ]; W ) ∩ C
2
([0, T ]; H).
Demonstra¸c˜ao
Como a imers˜ao de W em H ´e cont´ınua e densa, −∆ : V ⊂ H → H satisfaz −∆ ∈ L(W, W
),
| − ∆u| = ||u||
V
, ∀u ∈ V , e < −∆u, v >
W
×W
= (−∆u, v), ∀u ∈ V, v ∈ W e, al´em disso,
u
−∆u = −a(x)u
∈ C([0, T ]; H) e
d
dt
[a(x)u
] = a(x)u
∈ L
2
(0, T ; H), temos, pelo corol´ario
do lema de Temam, que
u ∈ C([0, T ]; V ) ∩ C
1
([0, T ]; W ) ∩ C
2
([0, T ]; H).
33
2.2 Existˆencia de Solu¸c˜oes utilizando resultados da teo-
ria de Semigrupos
Primeiramente, provaremos o teorema de existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes para a equa¸c˜ao
de onda sem dissipa¸c˜ao. Em seguida, como corol´ario deste teorema, provaremos a existˆencia
de solu¸c˜ao para o nosso problema utilizando a teoria de perturba¸c˜ao de semigrupos.
Teorema 2.2 Sejam u
0
∈ H
2
(Ω) ∩ H
1
0
(Ω) e u
1
∈ H
1
0
(Ω), com Ω aberto de IR
N
limitado e
com fronteira bem regular. Ent˜ao, existe uma ´unica fun¸c˜ao u : Ω × [0, ∞) → IR tal que
u ∈ C([0, T ]; H
2
(Ω) ∩ H
1
0
(Ω)) ∩ C
1
([0, T ]; H
1
0
(Ω)) ∩ C
2
([0, T ]; L
2
(Ω))
u
− ∆u = 0 q.s. em Q = Ω × (0, ∞); (2.55)
u(x, 0) = u
0
(x) , u
(x, 0) = u
1
(x). em Ω (2.56)
Demonstra¸c˜ao
Continuaremos com a seguinte nota¸c˜ao: V = H
2
(Ω) ∩ H
1
0
(Ω), W = H
1
0
(Ω) e H = L
2
(Ω).
(i) Redu¸c˜ao de ordem
Seja v = u
. Ent˜ao, de (2.55), temos que v
= ∆u. Logo,
u
v
=
0 I
∆ 0
u
v
Tomando U =
u
v
, A =
0 I
∆ 0
e U
0
=
u
0
(x)
u
1
(x)
, o problema inicial nos leva a
dU
dt
= AU
U(0) = U
0
.
(2.57)
Consideremos X = W × H e A : D(A) ⊂ X → X, com
||U||
2
X
= ||u||
2
W
+ |v|
2
H
e ||U||
2
D(A)
= ||Au||
2
H
+ ||v||
2
W
(2.58)
(ii) Caracteriza¸c˜ao de D(A)
Temos que D(A) = {U ∈ X ; AU ∈ X}, isto ´e,
D(A) = {U = (u, v) ; u ∈ W, v ∈ W e ∆u ∈ H}.
34
Pelo teorema de Agmon-Douglis-Nuremberg, temos que {u ∈ W ; ∆u ∈ H} = V . Logo,
conclu´ımos que
D(A) = V × W.
Al´em disso, note que D(A) = X. De fato, Como D(Ω) ⊂ V ⊂ W e D(Ω) = W , temos que
V = W . Tamb´em temos que W = H. Assim, conclu´ımos que D(A) = V ×W = V × W =
W × H = X.
(iii) A ´e um operador dissipativo
Notemos que
Re < AU, U >=< AU, U >= (AU, U)
X
=
v
∆u
,
u
v
X
=
((v, u)) + (∆u, v) = ((u, v)) − ((u, v)) = 0 , ∀U ∈ D(A) ,
pois X ´e um espa¸co de Hilbert real. Logo, temos que A ´e dissipativo.
(iv) A ´e maximal
Seja F =
f
g
∈ X. Vamos mostrar que existe U =
u
v
∈ D(A) tal que (I −A)U = F ,
isto ´e, que
u
v
−
v
∆u
=
f
g
, o que ´e o mesmo que mostrar que
u − v = f
v − ∆u = g
.
Fazendo v = u − f no ´ultimo sistema, temos que
u − ∆u = f + g (2.59)
Se u ∈ V ´e solu¸c˜ao de (2.59), ent˜ao, fazendo o produto interno em H desta equa¸c˜ao por
ϕ ∈ W , temos que
(u, ϕ) + (−∆u, ϕ) = (f + g, ϕ) , ∀ϕ ∈ W ,
o que implica
(u, ϕ) + ((u, ϕ)) = (f + g, ϕ) , ∀ϕ ∈ W ,
isto ´e,
Ω
uϕ dx +
Ω
∇u∇ϕ dx =
Ω
(f + g)ϕ dx. (2.60)
35
Mostraremos que (2.60) tem uma ´unica solu¸c˜ao. Sejam a : W × W → IR e T : W → IR
definidas por
a(u, ϕ) =
Ω
uϕ dx +
Ω
∇u∇ϕ dx
e
< T, ϕ >=
Ω
(f + g)ϕ dx.
• a ´e cont´ınua.
De fato, pelas desigualdades de H¨older e de Poincar´e, temos que
|a(u, ϕ)| ≤
Ω
|u||ϕ| dx +
Ω
|∇u||∇ϕ| dx ≤ |u||ϕ| + |∇u||∇ϕ| ≤
≤ c
p
|∇u||∇ϕ| + |∇u||∇ϕ| = (c
p
+ 1)|∇u||∇ϕ| = (c
p
+ 1)||u|| ||ϕ|| ,
para todo u ∈ W, ϕ ∈ W .
• a ´e coerciva.
a(u, u) =
Ω
u
2
dx +
Ω
|∇u|
2
dx ≥
Ω
|∇u|
2
dx = ||u||
2
, ∀u ∈ W.
• T ´e cont´ınua.
Novamente, pelas desigualdades de H¨older e de Poincar´e, temos
| < T, ϕ > | ≤
Ω
|f + g| |ϕ| dx ≤ |f + g| |ϕ| ≤
≤ c
p
|f + g||∇ϕ| = c
p
|f + g| ||ϕ||.
Claramente, T ´e linear e a ´e bilinear. Ent˜ao, pelo lema de Lax-Milgram, existe uma ´unica
u ∈ W tal que
a(u, ϕ) =< T, ϕ > , ∀ϕ ∈ W ,
de onde obtemos (2.60). Em particular, tomando ϕ ∈ D(Ω) em (2.60), vemos que
< u , ϕ > + < ∇u, ∇ϕ >=< f + g, ϕ > , ∀ϕ ∈ D(Ω) ,
o que implica, derivando no se ntido das distribui¸c˜oes, que
< u , ϕ > − < ∆u, ϕ >=< f + g, ϕ > , ∀ϕ ∈ D(Ω) ,
36
e portanto,
u − ∆u = f + g em D
(Ω).
Como f + g ∈ H e u ∈ W , temos pela equa¸c˜ao acima que ∆u ∈ H, o que implica, pelo
teorema de Agmon-Douglis-Nuremberg, que u ∈ V . Logo, v = u − f pertence a W . Ent˜ao
existe uma ´unica U =
u
v
∈ D(A) que satisfaz (2.59), ou seja, que satisfaz (I −A)U = F .
portanto, A ´e maximal.
Como A : D(A) ⊂ X → X ´e m-dissipativo e densamente definido, temos pelo teorema
de Lumer-Phillips que A ´e gerador infinitesimal de um semigrupo S de classe C
0
tal que
||S(t)||
X
≤ 1 , ∀t ≥ 0.
Agora, seja U(t) = S(t)U
0
. Ent˜ao, U(0) = S(0)U
0
= U
0
e
d
dt
U(t) =
d
dt
S(t)U
0
= AS(t)U
0
= AU.
Logo, U =
u
v
satisfaz (2.57), e portanto, u satisfaz (2.55) q.s. em Q e s atisfaz (2.56).
Al´em disso, pela proposi¸c˜ao 1.7, temos que
U(t) = S(t)U
0
∈ C
0
([0, ∞); D(A)) ∩ C
1
([0, ∞); X)
o que implica que
u ∈ C([0, ∞); V ) ∩ C
1
([0, ∞); W ) ∩ C
2
([0, ∞); H).
Corol´ario 2.2 Nas mesmas condi¸c˜oes do teorema 2.2, e considerando a = a(x) ∈ C(Ω)
uma fun¸c˜ao n˜ao-negativa, ent˜ao existe u : Ω × [0, ∞) → IR tal que
u ∈ C([0, ∞); V ) ∩ C
1
([0, ∞); W ) ∩ C
2
([0, ∞); H) (2.61)
u
− ∆u + a(x)u
= 0 q.s. em Ω × (0, ∞) (2.62)
u(0) = u
0
; u
(0) = u
1
em Ω (2.63)
37
Demonstra¸c˜ao
Fazendo v = u
, temos de (2.62) que
u
v
=
0 I
∆ 0
u
v
+
0 0
0 −a(x)
u
v
.
Tomando A =
0 I
∆ 0
, B =
0 0
0 −a(x)
e U =
u
v
, temos que a equa¸c˜ao acima
pode ser escrita como
dU
dt
= AU + BU. (2.64)
Pela demonstra¸c˜ao do teorema 2.2, temos que A ∈ G(1, 0). Considere B : X → X, onde
X = W × H. Ent˜ao,
• B ´e dissipativo.
Como X ´e um espa¸co de Hilbert real, temos, para todo U ∈ X,
Re < BU, U >= (BU, U)
X
=
0
−a(x)v
,
u
v
X
= (−a(x)v, v) =
Ω
−a(x)v
2
dx ≤ 0 ,
pois a(x) ≥ 0 em Ω.
Denotemos por |a(x)|
max
= max
x∈Ω
|a(x)|. Ent˜ao
• B ∈ L(X), com ||BU ||
X
≤ |a(x)|
max
||U||
X
, ∀U ∈ X.
De fato, por (2.58)
||BU||
2
X
= | − a(x)v|
2
≤ |a(x)|
2
max
|v|
2
≤ |a(x)|
2
max
(||u||
2
+ |v|
2
) = |a(x)|
2
max
||U||
2
X
.
• D(B) ⊃ D(A).
Logo, pelo teorema 1.14, temos que A + B ∈ G(1, 0). Procedendo da mesma forma como na
demonstra¸c˜ao do teorema 2.2, temos que U(t) = S(t)U
0
=
u
v
satisfaz (2.64) , onde S ´e
38
o semigrupo cujo gerador infinitesimal ´e A + B e U
0
=
u
0
u
1
e que u satisfaz (2.61), (2.62)
e (2.63).
Corol´ario 2.3 Temos que a solu¸c˜ao u encontrada no corol´ario anterior satisfaz
|∆u(t)|
2
+ ||u
(t)||
2
≤ |∆u
0
|
2
+ ||u
1
||
2
, q.s. em (0, ∞).
Demonstra¸c˜ao
Como o semigrupo A + B ∈ G(1, 0) pela demonstra¸c˜ao do corol´ario anterior, temos que
||S(t)||
X
≤ 1 , ∀t ≥ 0. Logo
||U(t)||
D(A)
= ||S(t)U
0
||
D(A)
≤ ||S(t)||
X
||U
0
||
D(A)
≤ ||U
0
||
D(A)
.
Temos, ent˜ao, de (2.58),
|∆u(t)|
2
+ ||u
(t)||
2
≤ |∆u
0
|
2
+ ||u
1
||
2
.
2.3 Unicidade de Solu¸c˜oes
Provaremos, agora, que a solu¸c˜ao encontrada no corol´ario 2.2 ´e ´unica utilizando o M´etodo
da Energia.
Teorema 2.3 Temos que a solu¸c˜ao u encontrada no corol´ario 2.2 ´e ´unica.
Demonstra¸c˜ao
Sejam u e v duas solu¸c˜oes dentro das condi¸c˜oes do Corol´ario 2.2. Se tomarmos w = u − v,
ent˜ao w satisfar´a
w ∈ C([0, ∞); V ) ∩ C
1
([0, ∞); W ) ∩ C
2
([0, ∞); H) (2.65)
w
− ∆w + aw
= 0 q.s. em Ω × (0, ∞); (2.66)
w(0) = 0 = w
(0). (2.67)
39
Multiplicando a equa¸c˜ao (2.66) por w
(t) e integrando e m Ω, obtemos
Ω
w
(t)w
(t) dx −
Ω
∆w(t)w
(t) dx +
Ω
a(x)(w
(t))
2
dx = 0,
donde
1
2
d
dt
{|w
(t)|
2
+ ||w(t)||
2
} = −
Ω
a(x)(w
(t))
2
dx.
Integrando-se a igualdade acima de 0 a t, com t ∈ [0, ∞), temos que
1
2
{|w
(t)|
2
+ ||w(t)||
2
− |w
(0)|
2
− ||w(0)||
2
} = −
t
0
Ω
a(x)(w
(x, t))
2
dxdt
Como a(x) ∈ C(Ω) e ´e n˜ao-negativa, temos que o lado direito da igualdade acima ´e menor
que zero. Al´em disso, considerando (2.67), conclu´ımos que
|w
(t)|
2
+ ||w(t)||
2
≤ 0, ∀t ∈ [0, ∞),
o que implica que ||w(t)|| = 0, ∀t ∈ [0, ∞), donde u(t) ≡ v(t) em V , ∀t ∈ [0, ∞).
Portanto, a solu¸c˜ao do corol´ario 2.2 ´e ´unica.
40
Cap´ıtulo 3
Decaimento das Solu¸c˜oes Fortes
Este cap´ıtulo ser´a dedicado ao estudo do decaimento da energia associada ao problema
u
− ∆u + a(x)u
= 0 , q.s em Ω × (0, ∞)
u(x, t) = 0 , em Γ × (0, ∞)
u(0) = u
0
, u
(0) = u
1
em Ω ,
(3.1)
onde Ω ´e um aberto de IR
N
limitado e com fronteira bem regular e a(x) ∈ C
0
(Ω) uma fun¸c˜ao
n˜ao-negativa tal que existe p > 0 que satisfaz
ω
1
a
p
dx < ∞, onde ω ´e a interse¸c˜ao de Ω com
uma vizinhan¸ca de Γ
+
(Veja figura 1 da p´agina 1).
Do corol´ario 2.2 e do teorema 2.3, temos que (3.1) possui uma ´unica solu¸c˜ao u satisfazendo
u ∈ C
0
([0, ∞); V ) ∩ C
1
([0, ∞); W ) ∩ C
2
([0, ∞); H) , (3.2)
onde V = H
1
0
(Ω) ∩ H
2
(Ω), W = H
1
0
(Ω) e H = L
2
(Ω).
A energia associada ao problema (3.1) ´e
E(t) =
1
2
Ω
|u
(x, t)|
2
+ |∇u(x, t)|
2
dx , ∀t ≥ 0. (3.3)
Podemos observar, devido a (3.2), que E(t) ∈ C
1
([0, ∞]).
Multiplicando a equa¸c˜ao em (3.1) por u
e integrando em Ω, temos
Ω
u
(x, t)u
(x, t) dx −
Ω
∆u(x, t) u
(x, t) dx +
Ω
a(x)u
(x, t)
2
dx = 0 ,
donde
d
dt
1
2
Ω
|u
(x, t)|
2
+ |∇u(x, t)|
2
dx
= −
Ω
a(x)|u
(x, t)|
2
dx .
41
Logo, vemos que E ´e uma fun¸c˜ao n˜ao-crescente com o tempo e
E
(t) = −
Ω
a(x)|u
(x, t)|
2
dx . (3.4)
Provaremos que E decresce polinomialmente com o tempo. Para isso, provaremos, primeira-
mente, alguns resultados.
3.1 Resultados Auxiliares
De agora em diante, denotaremos por S e T dois n´umeros reais tais que 0 ≤ S < T < ∞ e
escreveremos E ao inv´es de E(t). Al´em disso, u sempre denotar´a a solu¸c˜ao forte de (3.1) e
c denotar´a constantes positivas diferentes que n˜ao dependem dos dados iniciais.
Lema 3.1 Sejam µ ≥ 0, q ∈ (W
1,∞
(Ω))
N
, α ∈ IR e ξ ∈ W
1,∞
(Ω). Ent˜ao, temos as
seguintes igualdades
Ω
u
{2q.∇u + αu}dx E
µ
T
S
+
Ω×]S,T [
(div(q) − α)
|u
|
2
− |∇u|
2
E
µ
dxdt−
−µ
Ω×]S,T [
E
µ−1
E
u
{2q.∇u + αu} dxdt + 2
Ω×]S,T [
E
µ
N
i,j=1
∂q
j
∂x
i
∂u
∂x
i
∂u
∂x
j
dxdt+
+
Ω×]S,T [
a(x)u
{2q.∇u + αu}E
µ
dxdt =
Γ×]S,T [
E
µ
(q.ν)
∂u
∂ν
2
dΓdt
(3.5)
e
Ω
u
ξu dx E
µ
T
S
−
Ω×]S,T [
ξ
|u
|
2
− |∇u|
2
E
µ
dxdt−
−µ
Ω×]S,T [
E
µ−1
E
u
uξ dxdt +
Ω×]S,T [
u∇u.∇ξ E
µ
dxdt+
Ω×]S,T [
a(x)u
ξuE
µ
dxdt = 0 .
(3.6)
Demonstra¸c˜ao: Multiplicando a equa¸c˜ao u
− ∆u + a(x)u
= 0 por {2q.∇u + αu}E
µ
e
integrando em Ω ×]S, T [ , temos
−
Ω×]S,T [
a(x)u
{2q.∇u + αu}E
µ
dxdt =
=
Ω
T
S
u
{2q.∇u + αu}E
µ
dtdx −
T
S
Ω
∆u{2q.∇u + αu}E
µ
dxdt .
42
Integrando por partes o primeiro termo do segundo membro desta ´ultima equa¸c˜ao, vemos
que
−
Ω×]S,T [
a(x)u
{2q.∇u + αu}E
µ
dxdt =
Ω
u
{2q.∇u + αu}dx E
µ
T
S
−
T
S
E
µ
Ω
q.∇(u
)
2
dxdt −
T
S
Ω
αE
µ
(u
)
2
dxdt−
−µ
T
S
Ω
E
µ−1
E
u
{2q.∇u + αu} dxdt −
T
S
E
µ
Ω
∆u{2q.∇u} dxdt −
T
S
E
µ
Ω
∆u{αu} dxdt .
(3.7)
Observemos que, pela Identidade de Green e pela proposi¸c˜ao 1.5,
−
T
S
E
µ
Ω
∆u{2q.∇u} dxdt =
T
S
E
µ
Ω
∇u∇{2q.∇u} dx −
Γ
{2q.∇u}
∂u
∂ν
dΓ
dt =
=
T
S
E
µ
Ω
2
N
i=1
∂u
∂x
i
∂
∂x
i
N
j=1
q
j
∂u
∂x
j
dx −
Γ
2q.
∂u
∂ν
ν
∂u
∂ν
dΓ
dt =
=
T
S
E
µ
Ω
2
N
i,j=1
∂u
∂x
i
∂q
j
∂x
i
∂u
∂x
j
+ q
j
∂u
∂x
i
∂
2
u
∂x
i
∂x
j
dxdt − 2
T
S
Γ
E
µ
(q.ν)
∂u
∂ν
2
dΓdt =
=
T
S
E
µ
Ω
2
N
i,j=1
∂q
j
∂x
i
∂u
∂x
i
∂u
∂x
j
+
1
2
q
j
∂
∂x
j
∂u
∂x
i
2
dxdt − 2
T
S
Γ
E
µ
(q.ν)
∂u
∂ν
2
dΓdt =
= 2
T
S
Ω
E
µ
N
i,j=1
∂q
j
∂x
i
∂u
∂x
i
∂u
∂x
j
dxdt +
T
S
Ω
E
µ
N
j=1
q
j
∂
∂x
j
N
i=1
∂u
∂x
i
2
dxdt−
−2
T
S
Γ
E
µ
(q.ν)
∂u
∂ν
2
dΓdt ,
ou seja,
−
T
S
E
µ
Ω
∆u{2q.∇u} dxdt =
= 2
T
S
Ω
E
µ
N
i,j=1
∂q
j
∂x
i
∂u
∂x
i
∂u
∂x
j
dxdt +
T
S
Ω
E
µ
N
j=1
q
j
∂
∂x
j
|∇u|
2
dxdt−
−2
T
S
Γ
E
µ
(q.ν)
∂u
∂ν
2
dΓdt .
(3.8)
Agora, se
−→
F =
q
1
|∇u|
2
, ..., q
N
|∇u|
2
, pelo teorema 1.12, temos que
−→
F ∈
H
1
(Ω)
N
, para
cada t fixo. Logo,
div
−→
F =
N
i=1
∂q
i
∂x
i
|∇u|
2
+ q
i
∂
∂x
i
|∇u|
2
= |∇u|
2
div(q) +
N
i=1
q
i
∂
∂x
i
|∇u|
2
,
43
o que implica, pelo Teorema de Gauss,
T
S
Ω
E
µ
N
j=1
q
j
∂
∂x
j
|∇u|
2
dxdt = −
T
S
Ω
E
µ
div(q)|∇u|
2
dxdt +
T
S
Ω
E
µ
div
−→
F dxdt =
= −
T
S
Ω
E
µ
div(q)|∇u|
2
dxdt +
T
S
Γ
E
µ
|∇u|
2
(q.ν) dΓdt ,
donde, pela proposi¸c˜ao 1.5,
T
S
Ω
E
µ
N
j=1
q
j
∂
∂x
j
|∇u|
2
dxdt = −
T
S
Ω
E
µ
div(q)|∇u|
2
dxdt +
T
S
Γ
E
µ
(q.ν)
∂u
∂ν
2
dΓdt .
(3.9)
Portanto, de (3.8) e (3.9), vemos que
−
T
S
E
µ
Ω
∆u{2q.∇u} dxdt = 2
Ω×]S,T [
E
µ
N
i,j=1
∂q
j
∂x
i
∂u
∂x
i
∂u
∂x
j
dxdt−
−
Ω×]S,T [
E
µ
div(q)|∇u|
2
dxdt −
Γ×]S,T [
E
µ
(q.ν)
∂u
∂ν
2
dΓdt .
(3.10)
Agora, pela Identidade de Green,
T
S
E
µ
Ω
∆u{αu} dxdt =
Ω×]S,T [
E
µ
α|∇u|
2
dxdt . (3.11)
Por ´ultimo, se tomarmos
−→
F =
q
1
(u
)
2
, ..., q
N
(u
)
2
, novamente pelo teorema 1.12, temos
que
−→
F ∈
H
1
(Ω)
N
, para cada t fixo. Ent˜ao
div
−→
F =
N
i=1
∂q
i
∂x
i
(u
)
2
+
N
i=1
q
i
∂
∂x
i
(u
)
2
= div(q)(u
)
2
+ q.∇(u
)
2
,
o que implica, pelo Teorema de Gauss,
−
T
S
E
µ
Ω
q.∇(u
)
2
dxdt =
T
S
E
µ
Ω
div(q)(u
)
2
dx −
Ω
div
−→
F dx
dt =
=
Ω×]S,T [
E
µ
div(q)(u
)
2
dxdt ,
(3.12)
pois u
∈ W , para cada t fixo.
Juntando (3.7), (3.10), (3.11) e (3.12), temos a igualdade (3.5). Provemos, ent˜ao, (3.6).
Multiplicando a equa¸c˜ao u
− ∆u + a(x)u
= 0 por ξuE
µ
e integrando em Ω×]S, T [, temos
que
Ω
T
S
u
ξuE
µ
dtdx −
T
S
Ω
∆uξuE
µ
dxdt +
Ω×]S,T [
a(x)u
ξuE
µ
dxdt = 0 .
44
Integrando por partes o primeiro termo da ´ultima igualdade e utilizando a Identidade de
Green, temos que
Ω
u
ξu dx E
µ
T
S
−
Ω×]S,T [
u
ξu
E
µ
dxdt −
Ω×]S,T [
u
ξuµE
µ−1
E
dxdt+
+
T
S
Ω
∇u.∇(ξuE
µ
) dxdt +
Ω×]S,T [
a(x)u
ξuE
µ
dxdt = 0 ,
(3.13)
pois u ∈ W , para cada t fixo.
Observando que
T
S
Ω
∇u.∇(ξuE
µ
) dxdt =
T
S
E
µ
Ω
∇u.(u∇ξ + ξ∇u) dxdt =
Ω×]S,T [
E
µ
u∇u.∇ξ dxdt +
Ω×]S,T [
E
µ
ξ|∇u|
2
dxdt ,
obtemos de (3.13) a segunda igualdade do lema.
Corol´ario 3.1 Considerando q = m(x) = x −x
0
e α = N −1 em (3.5), onde x
0
´e um ponto
fixo de IR
N
, temos que
2
T
S
E
µ+1
dt = −
Ω
u
{2m(x).∇u + (N − 1)u} dx E
µ
T
S
+
+µ
Ω×]S,T [
E
µ−1
E
u
{2m(x).∇u + (N − 1)u} dxdt−
−
Ω×]S,T [
a(x)u
{2m(x)∇u + (N − 1)u} E
µ
dxdt+
+
Γ×]S,T [
E
µ
(m(x).ν)
∂u
∂ν
2
dΓdt .
(3.14)
Demonstra¸c˜ao: Como div (q) = N , temos que
Ω×]S,T [
(div (q) − α)
|u
|
2
− |∇u|
2
E
µ
dxdt =
=
Ω×]S,T [
E
µ
|u
|
2
− |∇u|
2
dxdt =
T
S
E
µ
Ω
|u
|
2
+ |∇u|
2
dx − 2
Ω
|∇u|
2
dx
dt =
= 2
T
S
E
µ+1
dt − 2
Ω×]S,T [
E
µ
|∇u|
2
dxdt .
(3.15)
Tamb´em, temos que
2
Ω×]S,T [
E
µ
N
i,j=1
∂q
j
∂x
i
∂u
∂x
i
∂u
∂x
j
dxdt = 2
Ω×]S,T [
E
µ
N
i=1
∂u
∂x
i
2
dxdt =
= 2
Ω×]S,T [
E
µ
|∇u|
2
dxdt .
(3.16)
Temos, ent˜ao, de (3.5), (3.15) e (3.16) a tese do corol´ario.
45
Corol´ario 3.2 Seja h a fun¸c˜ao do lema 1.8. Considerando q = h e α = 0 em (3.5) e
multiplicando a igualdade obtida por R = sup{|m(x)| , x ∈ Ω}, onde m(x) = x − x
0
,
x
0
∈ IR
N
fixo, temos que
R
Γ
+
×]S,T [
E
µ
∂u
∂ν
2
dΓdt ≤ c
0
ω×]S,T [
|u
|
2
+ |∇u|
2
E
µ
dxdt+
+2R
Ω
u
h.∇u dxdt E
µ
T
S
−
−2µR
Ω×]S,T [
E
µ−1
E
h.∇u dxdt+
+2R
Ω×]S,T [
a(x)u
h.∇u E
µ
dxdt ,
(3.17)
onde c
0
´e uma constante que s´o depende de ω.
Demonstra¸c˜ao: Substituindo q e α como acima em (3.5) e multiplicando a equa¸c˜ao obtida
por R, temos que
R
Γ×]S,T [
E
µ
(h.ν)
∂u
∂ν
2
dΓdt = R
Ω
u
{2h.∇u} dx E
µ
T
S
+
+R
ω×]S,T [
div (h)
|u
|
2
− |∇u|
2
E
µ
dxdt − Rµ
Ω×]S,T [
E
µ−1
E
u
{2h.∇u} dxdt+
+2R
Ω×]S,T [
E
µ
N
i,j=1
∂h
j
∂x
i
∂u
∂x
i
∂u
∂x
j
dxdt + R
Ω×]S,T [
a(x)u
{2h.∇u}E
µ
dxdt ,
(3.18)
j´a que div (h) = 0 em Ω \
ω.
Como h ∈ (W
1,∞
(Ω))
N
, temos que div (h) ∈ L
∞
(Ω). Logo, existe constante c
1
≥ 0 tal que
div (h) ≤ c
1
. Temos, ent˜ao, de (3.18) que (pois h = ν em Γ
+
e h.ν ≥ 0 em Γ)
R
Γ
+
×]S,T [
E
µ
∂u
∂ν
2
dΓdt = R
Γ
+
×]S,T [
E
µ
(h.ν)
∂u
∂ν
2
dΓdt ≤
≤ R
Γ
×
]S,T [
E
µ
(h.ν)
∂u
∂ν
2
dΓdt ≤ Rc
1
ω×]S,T [
|u
|
2
+ |∇u|
2
E
µ
dxdt+
+2R
Ω
u
h.∇u dx E
µ
T
S
− 2Rµ
Ω×]S,T [
E
µ−1
E
u
h.∇u dxdt+
+2R
Ω×]S,T [
E
µ
N
i,j=1
∂h
j
∂x
i
∂u
∂x
i
∂u
∂x
j
dxdt + 2R
Ω×]S,T [
a(x)u
h.∇uE
µ
dxdt .
(3.19)
Observe que, como h ∈ (W
1,∞
(Ω))
N
e h = 0 e m Ω \
ω, existe constante c
2
≥ 0 tal que
46
2R
Ω×]S,T [
E
µ
N
i,j=1
∂h
j
∂x
i
∂u
∂x
i
∂u
∂x
j
dxdt ≤
≤ 2Rc
2
T
S
E
µ
ω
N
i,j=1
∂u
∂x
i
∂u
∂x
j
dx dt ≤
≤ 2Rc
2
T
S
E
µ
N
i=1
ω
∂u
∂x
i
2
dx
1/2
N
j=1
ω
∂u
∂x
j
2
dx
1/2
=
= 2Rc
2
T
S
E
µ
N
i=1
ω
∂u
∂x
i
2
dx
dt = 2Rc
2
ω×]S,T [
E
µ
|∇u|
2
dxdt , donde
2R
Ω×]S,T [
E
µ
N
i,j=1
∂h
j
∂x
i
∂u
∂x
i
∂u
∂x
j
dxdt ≤ 2Rc
2
ω×]S,T [
E
µ
|u
|
2
+ |∇u|
2
dxdt .
(3.20)
Tomando c
0
= 2 max{Rc
1
, 2Rc
2
} e juntando (3.19) e (3.20), obtemos (3.17).
Corol´ario 3.3 Seja η a fun¸c˜ao do lema 1.9. Considerando ξ = η
2
em (3.6), temos que
Ω×]S,T [
η
2
|∇u|
2
E
µ
dxdt = −
Ω
u
η
2
u dx E
µ
T
S
+
Ω×]S,T [
η
2
|u
|
2
E
µ
dxdt+
+µ
Ω×]S,T [
E
µ−1
E
u
u η
2
dxdt − 2
Ω×]S,T [
ηu∇u.∇η E
µ
dxdt−
−
Ω×]S,T [
a(x)u
η
2
uE
µ
dxdt .
(3.21)
Demonstra¸c˜ao: Aplicando (3.6) com ξ = η
2
temos que
Ω
u
η
2
u dx E
µ
T
S
−
Ω×]S,T [
η
2
|u
|
2
E
µ
− η
2
|∇u|
2
E
µ
dxdt−
−µ
Ω×]S,T [
E
µ−1
E
u
u η
2
dxdt +
Ω×]S,T [
u∇u.∇η
2
E
µ
dxdt+
+
Ω×]S,T [
a(x)u
η
2
uE
µ
dxdt = 0 ,
o que implica (3.21).
Lema 3.2 Sendo m(x) = x − x
0
, R = sup{|m(x)| , x ∈ Ω} e µ ≥ 0, onde x
0
´e um ponto
fixo de IR
N
, temos que
Ω
u
{2m.∇u + (N − 1)u} dx E
µ
T
S
≤ 4RE(0)
µ
E(S) (3.22)
e
µ
Ω×]S,T [
E
µ−1
E
u
{2m.∇u + (N − 1)u} dxdt
≤ 2µRE(0)
µ
E(S) . (3.23)
47
Demonstra¸c˜ao: Vamos provar inicialmente que
Ω
(2m.∇u + (N − 1)u)
2
dx ≤
Ω
(2m.∇u)
2
dx . (3.24)
De fato, notemos que
Ω
(2m.∇u + (N − 1)u)
2
dx −
Ω
(2m.∇u)
2
dx =
=
Ω
(2m.∇u)
2
+ 4m.∇u(N − 1)u + (N − 1)
2
u
2
dx −
Ω
(2m.∇u)
2
dx =
= 4(N − 1)
Ω
(m.∇u)u dx + (N
2
− 2N + 1)
Ω
u
2
dx .
(3.25)
Mas
(m.∇u)u =
(x
1
− x
1
0
)
∂u
∂x
1
+ ... + (x
N
− x
N
0
)
∂u
∂x
N
u
e, para todo 1 ≤ i ≤ N , temos que
1
2
∂
∂x
i
(x
i
− x
i
0
)u
2
−
1
2
u
2
= (x
i
− x
i
0
)u
∂u
∂x
i
,
onde x
0
= (x
1
0
, ..., x
N
0
).
Portanto,
1
2
div
(x
1
− x
1
0
)u
2
, ..., (x
N
− x
N
0
)u
2
−
N
2
u
2
= (m .∇u)u ,
o que implica, pelo Teorema de Gauss e pelo teorema 1.12, que
Ω
(m.∇u)u dx =
1
2
Ω
div
(x
1
− x
1
0
)u
2
, ..., (x
N
− x
N
0
)u
2
dx −
N
2
Ω
u
2
dx =
=
1
2
Γ
(x
1
− x
1
0
)u
2
, ..., (x
N
− x
N
0
)u
2
.ν dΓ −
N
2
Ω
u
2
dx =
=
1
2
Γ
u
2
(m.ν) dΓ −
N
2
Ω
u
2
dx ,
donde
4(N − 1)
Ω
(m.∇u)u dx = −2(N − 1)N
Ω
u
2
dx , (3.26)
pois u
2
∈ W .
Juntando (3.25) e (3.26), obtemos (3.24), pois 1 − N
2
≤ 0.
Utilizando (3.24), temos que
Ω
u
(2m.∇u + (N − 1)u) dx
≤ |u
|
L
2
|2m.∇u + (N − 1)u|
L
2
≤
48
≤ |u
|
L
2
|2m.∇u|
L
2
≤ 2R|u
|
L
2
|∇u|
L
2
≤ R (|u
|
L
2
| + ∇u|
L
2
) = 2RE ,
ou seja,
Ω
u
(2m.∇u + (N − 1)u) dx
≤ 2RE . (3.27)
Portanto,
Ω
u
{2m.∇u + (N − 1)u} dx E
µ
T
S
=
Ω
u
{2m.∇u + (N − 1)u} dx
T
S
E
µ
]
T
S
≤
≤ (2RE(T ) + 2RE(S)) |E
µ
(T ) − E
µ
(S)| ≤ 4RE(S)E(0)
µ
,
o que prova (3.22).
Finalmente, temos, de (3.27), que
µ
Ω×]S,T [
E
µ−1
E
u
{2m.∇u + (N − 1)u} dxdt
≤ µ
T
S
E
µ−1
|E
|2RE dt = 2µR
T
S
E
µ
|E
| dt ≤
≤ 2µRE(0)
µ
T
S
|E
| dt ≤ 2µRE(0)
µ
E(S) ,
o que prova prova (3.23).
Lema 3.3 Seja u solu¸c˜ao do problema (3.1). Para cada t ≥ 0, existe uma ´unica z(t) ∈
H
2
(Ω) ∩ H
1
0
(Ω) solu¸c˜ao de
−∆z = χ(ω)u em Ω
z = 0 em Γ .
(3.28)
Al´em disso, z ∈ C
0
([0, ∞) ; H
2
(Ω) ∩ H
1
0
(Ω)), z
existe, pertence a C
0
([0, ∞) ; H
2
(Ω) ∩ H
1
0
(Ω))
e satisfaz
−∆z
= χ(ω)u
em Ω
z
= 0 em Γ .
(3.29)
Tamb´em, temos que
Ω
∇z.∇u dx =
ω
|u|
2
dx , (3.30)
Ω
|∇z|
2
dx ≤ c
ω
|u|
2
dx (3.31)
e
Ω
|∇z
|
2
dx ≤ c
ω
|u
|
2
dx . (3.32)
Demonstra¸c˜ao: Seja t ≥ 0 fixo. Como u(t) ∈ H e χ(ω) ∈ L
∞
Ω, temos que χ(ω)u(t) ∈ H.
49
Ent˜ao, pelo Teorema de Agmon-Douglis-Niremberg existe uma ´unica z(t) ∈ H
2
(Ω) ∩H
1
0
(Ω)
solu¸c˜ao de
−∆z = χ(ω)u em Ω . (3.33)
Como isso ´e v´alido para todo t ≥ 0, tomando z(t) e z(t + h) respectivas solu¸c˜oes de (3.33)
em t e t + h, h > 0, temos que
| − ∆z(t + h) + ∆z(t)|
H
= | χ(ω)[u(t + h) − u(t)] |
H
,
o que implica que
||z(t + h) − z(t)||
V
= | χ(ω)[u(t + h) − u(t)] |
H
,
donde
||z(t + h) − z(t)||
V
≤ |u(t + h) − u(t)|
H
−→ 0 quando h → 0
+
,
pois u ∈ C
0
([0, ∞) ; H).
Analogamente, ||z(t − h) − z(t)||
V
−→ 0 quando h → 0
+
. Portanto, temos que z ∈
C
0
([0, ∞) ; V ) e satisfaz (3.28).
Logo, temos que z
∈ D
(0, ∞ ; V ) e ∆z
∈ D
(0, ∞ ; H).
Derivando a equa¸c˜ao em (3.28) no sentido das distribui¸c˜oes, temos que
−∆z
= χ(ω)u
em D
(0, ∞ ; H) .
Como u
∈ C
0
([0, ∞) ; W ), temos que −∆z
∈ L
∞
((0, ∞) ; H). Por outro lado,
supess
0 ≤ t < ∞
||z
(t)||
W
=
supess
0 ≤ t < ∞
sup
ϕ∈W
, ||ϕ||
W
≤1
|ϕ, z
(t)
W
×W
| .
Como −∆ ∈ L(W, W
) e ´e isomorfismo, temos que existe v ∈ W tal que ϕ = −∆v. Ent˜ao,
como −∆ tamb´em ´e auto-adjunto,
supess
0 ≤ t < ∞
||z
(t)||
W
=
supess
0 ≤ t < ∞
sup
v∈W , ||v||
W
≤1
|−∆v, z
(t)
W
×W
| =
=
supess
0 ≤ t < ∞
sup
v∈W , ||v||
W
≤1
|(v, −∆z
(t))
H
| ≤
supess
0 ≤ t < ∞
| − ∆z
(t)|
H
sup
v∈W , ||v||
W
≤1
|v|
H
≤
≤ c
supess
0 ≤ t < ∞
| − ∆z
(t)|
H
sup
v∈W , ||v||
W
≤1
||v||
W
≤ c
supess
0 ≤ t < ∞
| − ∆z
(t)|
H
< ∞ ,
pois −∆z
∈ L
∞
((0, ∞) ; H).
50
Portanto z
∈ L
∞
((0, ∞) ; W ), o que implica que z
(t) ∈ W q.s. em (0, ∞) e −∆z
(t) =
χ(ω)u
(t) ∈ H. Novamente pelo Teorema de Agmon-Douglis-Niremberg, temos que z
(t) ∈
V .
Analogamente ao que fizemos anteriormente, provamos que z
∈ C
0
([0, ∞) ; V ) e satisfaz
(3.29).
Agora, pela Identidade de Green,
Ω
∇z.∇u dx =
Ω
−u∆z dx =
Ω
χ(ω)u
2
dx =
ω
|u|
2
dx ,
o que prova (3.30).
Temb´em pela Identidade de Green, e observando que λ
1
|u|
2
L
2
(ω)
≤ ||u||
2
H
1
0
(ω)
para todo
u ∈ H
1
0
(ω), vemos que
Ω
|∇z|
2
dx =
Ω
−z∆z dx =
Ω
χ(ω)uz dx =
ω
uz dx ≤
ω
u
2
dx
1/2
ω
z
2
dx
1/2
≤
≤
1
√
λ
1
ω
u
2
dx
1/2
ω
|∇z|
2
dx
1/2
≤
1
√
λ
1
ω
u
2
dx
1/2
Ω
|∇z|
2
dx
1/2
,
donde
Ω
|∇z|
2
dx
1/2
≤
1
√
λ
1
ω
u
2
dx
1/2
,
o que prova (3.31) com c =
1
λ
1
.
A prova de (3.32) ´e an´aloga.
Corol´ario 3.4 Sejam z a fun¸c˜ao do lema 3.3 e µ ≥ 0. Ent˜ao,
ω×]S,T [
|u|
2
E
µ
dxdt = −
Ω
u
z dx E
µ
T
S
+
Ω×]S,T [
E
µ
u
z
dxdt+
+µ
Ω×]S,T [
E
µ−1
E
u
z dxdt −
Ω×]S,T [
a(x)u
zE
µ
dxdt .
(3.34)
Demonstra¸c˜ao: Multiplicando a equa¸c˜ao u
− ∆u + a(x)u
= 0 por zE
µ
e integrando em
Ω×]S, T [, temos que
Ω
T
S
u
zE
µ
dtdx −
T
S
E
µ
Ω
z ∆u dxdt +
Ω×]S,T [
a(x)u
zE
µ
dxdt = 0 .
Integrando por partes o primeiro termo e usando a Identidade de Green no segundo, temos
Ω
u
zE
µ
]
T
S
−
T
S
u
z
E
µ
dt −
T
S
u
zµE
µ−1
E
dt
dx +
T
S
E
µ
Ω
∇u.∇z dx
dt+
+
Ω×]S,T [
a(x)u
zE
µ
dxdt = 0 ,
51
o que implica que
Ω
u
z dx E
µ
T
S
−
Ω×]S,T [
E
µ
u
z
dxdt − µ
Ω×]S,T [
E
µ−1
E
u
z dxdt +
ω×]S,T [
|u|
2
E
µ
dxdt+
+
Ω×]S,T [
a(x)u
zE
µ
dxdt = 0 ,
donde (3.34).
De agora em diante, consideraremos ω
1
= {x ∈ ω ; a(x) ≤ 1} e ω
2
= {x ∈ ω ; a(x) > 1}.
Lema 3.4 Seja F
1
=
|∆u
0
|
2
H
+ ||u
1
||
2
W
1/2
, onde u
0
e u
1
s˜ao as condi¸c˜oes iniciais do pro-
blema (3.1). Suponha que a ∈ C
0
(Ω) satisfaz |a
−1
|
p
p
=
ω
dx
a
p
< ∞ para algum p > 0 tal que
0 < p < ∞ se N = 1, 2
p ≥ N − 2 se N ≥ 3 .
Ent˜ao, para N = 1,
ω
|u
|
2
dx ≤ |E
| + c|a
−1
|
p
p+1
F
1
p+1
1
E
1
2(p+1)
|E
|
p
p+1
(3.35)
e para N ≥ 2, temos
ω
|u
|
2
dx ≤ |E
| + c|a
−1
|
p
p+1
p
F
N
p+1
1
E
p−(N−2)
2(p+1)
|E
|
p
2p+2
. (3.36)
Demonstra¸c˜ao: Como ω ´e a interse¸c˜ao de uma vizinhan¸ca de Γ
+
com Ω, temos que, para
todo N ≥ 1,
ω
2
|u
|
2
dx ≤
ω
2
a(x)|u
|
2
dx ≤
Ω
a(x)|u
|
2
dx ,
o que implica que
ω
2
|u
|
2
dx ≤ |E
| . (3.37)
1
o
caso: N = 1
Utilizando a desigualdade de H¨older e o Teorema de Imers˜ao de Sobolev, temos que
ω
1
|u
|
2
dx =
ω
1
1
a
p
p+1
a
p
p+1
|u
|
2
dx ≤
ω
1
1
a
p
p+1
p+1
dx
1
p+1
ω
1
a
p
p+1
|u
|
2
p+1
p
dx
p
p+1
=
=
ω
1
dx
a
p
1
p+1
ω
1
a|u
|
2+
2
p
dx
p
p+1
≤
ω
dx
a
p
1
p
p
p+1
ω
1
a|u
|
2+
2
p
dx
p
p+1
≤
52
≤ |a
−1
|
p
p+1
p
ω
1
a|u
|
2
|u
|
2
p
dx
p
p+1
≤ |a
−1
|
p
p+1
p
|u
|
2/p
∞
Ω
a|u
|
2
dx
p
p+1
= |a
−1
|
p
p+1
p
|u
|
2
p+1
∞
|E
|
p
p+1
,
ou seja,
ω
1
|u
|
2
dx ≤ |a
−1
|
p
p+1
p
|u
|
2
p+1
∞
|E
|
p
p+1
, (3.38)
onde |u
|
L
∞
(Ω)
= |u
|
∞
.
Tomando q = r = 2, s = ∞, k = 0, δ =
1
2
e m = 1 no lema de Gagliardo-Niremberg, temos
que, para toda ϕ ∈ H
1
(Ω), existe constante positiva c tal que
|ϕ|
∞
≤ c ||ϕ||
1/2
H
1
(Ω)
|ϕ|
1/2
H
. (3.39)
Por outro lado, pelo corol´ario 2.3, temos que
||u
||
W
≤ F
1
, onde F
1
=
|∆u
0
|
2
H
+ ||u
1
||
2
W
1/2
. (3.40)
Como as normas em H
1
(Ω) e em H
1
0
(Ω) s˜ao equivalentes para ϕ ∈ H
1
0
(Ω), temos, de (3.40),
que existe c
5
tal que
||u
||
H
1
(Ω)
≤ c
5
F
1
. (3.41)
De (3.39) temos que
|u
|
2
p+1
∞
≤ c
2
p+1
||u
||
1
p+1
H
1
(Ω)
|u
|
1
p+1
H
= c
6
Ω
|u
|
2
dx
1
2
1
p+1
||u
||
1
p+1
H
1
(Ω)
,
o que implica que, utilizando (3.41),
|u
|
2
p+1
∞
≤ c
7
E
1
2(p+1)
F
1
p+1
1
. (3.42)
Portanto, temos de (3.38) e (3.42) que
ω
1
|u
|
2
dx ≤ c
7
|a
−1
|
p
p+1
p
E
1
2(p+1)
|E
|
p
p+1
F
1
p+1
1
. (3.43)
Finalmente, juntando (3.37) e (3.43), obtemos (3.35).
2
o
caso: N ≥ 2
Voltando ao primeiro caso, vemos que
ω
1
|u
|
2
dx ≤ |a
−1
|
p
p+1
p
ω
1
a|u
|
2+
2
p
dx
p
p+1
. (3.44)
Por outro lado, notemos que u
∈ L
2p+4
p
(Ω). De fato, se N = 2, como u
∈ H
1
0
(Ω) ⊂ H
1
(Ω),
utilizando o teorema de Imers˜ao de Sobolev com m = 1, p = 2 e q = 2 +
4
p
, temos que
53
u
∈ H
1
(Ω) → L
2p+4
p
(Ω). Agora, se N > 2, por hip´otese temos que p ≥ N − 2. Utilizando
novamente o teorema de Imers˜ao, mas com q =
Np
N − mp
, temos que H
1
(Ω) → L
2p+4
p
(Ω).
Portanto, temos da defini¸c˜ao de ω
1
e da desigualdade de H¨older que
ω
1
a|u
|
2+
2
p
dx
p
p+1
=
ω
1
a|u
||u
|
p+2
p
dx
p
p+1
≤
≤
ω
1
|u
|
p+2
p
2
dx
1
2
ω
1
a
2
|u
|
2
dx
1
2
p
p+1
=
=
ω
1
|u
|
2p+4
p
dx
p
2p+4
p+2
p+1
ω
1
a
2
|u
|
2
dx
p
2p+2
≤
≤
ω
1
|u
|
2p+4
p
dx
p
2p+4
p+2
p+1
ω
1
a|u
|
2
dx
p
2p+2
≤
≤
Ω
|u
|
2p+4
p
dx
p
2p+4
p+2
p+1
Ω
a|u
|
2
dx
p
2p+2
,
o que implica que
ω
1
a|u
|
2+
2
p
dx
p
p+1
≤ ||u
||
p+2
p+1
L
2p+4
p
(Ω)
|E
|
p
2p+2
. (3.45)
Juntando (3.44) e (3.45) temos que
ω
1
|u
|
2
dx ≤ |a
−1
|
p
p+1
p
||u
||
p+2
p+1
L
2p+4
p
(Ω)
|E
|
p
2p+2
. (3.46)
Agora, tomando q = r = 2, s =
2p + 4
p
, k = 0, m = 1 e δ =
N
p + 2
no lema de Gagliardo-
Niremberg, e utilizando a hip´otese sobre p, temos que, para toda ϕ ∈ H
1
(Ω) existe constante
positiva c tal que
||ϕ||
L
2p+4
p
(Ω)
≤ c ||ϕ||
N
p+2
H
1
(Ω)
|ϕ|
p+2−N
p+2
H
.
Logo, de (3.46) temos que
ω
1
|u
|
2
dx ≤ c
8
|a
−1
|
p
p+1
p
||u
||
N
p+1
H
1
(Ω)
|u
|
p+2−N
p+1
H
|E
|
p
2p+2
. (3.47)
Juntando (3.41) e (3.47), temos que
ω
1
|u
|
2
dx ≤ c
9
|a
−1
|
p
p+1
p
F
N
p+1
1
Ω
|u
|
2
dx
p+2−N
2p+2
|E
|
p
2p+2
,
donde
ω
1
|u
|
2
dx ≤ c
10
|a
−1
|
p
p+1
p
F
N
p+1
1
E
p+2−N
2p+2
|E
|
p
2p+2
. (3.48)
Portanto, de (3.37) e (3.48) obtemos (3.36), o que conclui a demonstra¸c˜ao.
54
3.2 Teorema de Decaimento
Finalmente, provaremos que a solu¸c˜ao forte do problema (3.1) decai polinomialmente com o
tempo. A demonstra¸c˜ao ´e longa e ser´a dividida em v´arios passos.
Teorema 3.1 (Decaimento)
Suponha que a ∈ C
0
(Ω) satisfaz |a
−1
|
p
p
=
ω
dx
a
p
< ∞ para algum p > 0 tal que
0 < p < ∞ se N = 1, 2
p ≥ N − 2 se N ≥ 3 .
Ent˜ao, para N = 1,
E(t) ≤ k
0
|a
−1
|
p
F
1
p
1
+ E(0)
1
2p
2p
t
−2p
, ∀t > 0 , (3.49)
e, para N ≥ 2, temos que
E(t) ≤ k
1
|a
−1
|
2
p
F
2N
p
1
+ E(0)
N
p
p
N
t
−
p
N
, ∀t > 0 , (3.50)
onde k
0
e k
1
s˜ao constantes positivas independentes dos dados iniciais do problema (3.1).
Demonstra¸c˜ao:
Passo 1.
Considere m(x) = x − x
0
, onde x
0
´e um ponto fixo de IR
N
. Utilizando as desigualdades de
H¨older, de Poincar´e e de Young, temos que
Ω×]S,T [
au
{2m(x).∇u + (N − 1)u}E
µ
dxdt
≤
≤
Ω×]S,T [
au
2m(x).∇u E
µ
dxdt
+
Ω×]S,T [
au
(N − 1)u E
µ
dxdt
≤
≤ 2
Ω×]S,T [
a|u
||m(x)||∇u| E
µ
dxdt + (N − 1)
Ω×]S,T [
a|u
||u| E
µ
dxdt ≤
≤ c
11
T
S
E
µ
Ω
a
1/2
|u
|a
1/2
|∇u| dx
dt + (N − 1)
T
S
E
µ
Ω
a
1/2
|u
|a
1/2
|u| dx
dt ≤
≤ c
11
T
S
E
µ
Ω
a|u
|
2
dx
1
2
Ω
a|∇u|
2
dx
1
2
dt+
+(N − 1)
T
S
E
µ
Ω
a|u
|
2
dx
1
2
Ω
a|u|
2
dx
1
2
dt ≤
55
≤ c
12
T
S
E
µ
|E
|
1
2
Ω
|∇u|
2
dx
1
2
dt + c
13
T
S
E
µ
|E
|
1
2
Ω
|u|
2
dx
1
2
dt ≤
≤ c
12
T
S
E
µ
|E
|
1
2
Ω
|∇u|
2
dx
1
2
dt + c
14
T
S
E
µ
|E
|
1
2
Ω
|∇u|
2
dx
1
2
dt =
= c
15
T
S
E
µ
|E
|
1
2
Ω
|∇u|
2
dx
1
2
dt ≤ c
16
T
S
E
µ
|E
|
1
2
E
1
2
dt =
=
T
S
√
2 E
µ+1
2
c
16
√
2
(E
µ
|E
|)
1
2
dt ≤
1
2
T
S
2E
µ+1
+
c
2
16
2
E
µ
|E
|
dt ≤
≤
T
S
E
µ+1
dt + c
17
E(0)
µ
T
S
|E
| dt =
T
S
E
µ+1
dt + c
17
E(0)
µ
S
T
E
dt ≤
≤
T
S
E
µ+1
dt + c
17
E(0)
µ
E(S) ,
ou seja,
Ω×]S,T [
au
{2m(x)∇u + (N − 1)u}E
µ
dxdt
≤
T
S
E
µ+1
dt + c
17
E(0)
µ
E(S) . (3.51)
Logo, juntando (3.14), (3.22), (3.23) e (3.51), observando tamb´em que m(x).ν > 0 e m Γ
+
,
temos que
2
T
S
E
µ+1
dt ≤ 4RE(0)
µ
E(S) + 2µRE(0)
µ
E(S) +
T
S
E
µ+1
dt + c
17
E(0)
µ
E(S)+
+
Γ
+
×]S,T [
E
µ
(m(x).ν)
∂u
∂ν
2
dΓdt
≤
≤ c
18
E(0)
µ
E(S) +
T
S
E
µ+1
dt +
Γ
+
×]S,T [
E
µ
(m(x).ν)
∂u
∂ν
2
dΓdt ≤
≤ c
18
E(0)
µ
E(S) +
T
S
E
µ+1
dt + R
Γ
+
×]S,T [
E
µ
∂u
∂ν
2
dΓdt ,
donde
T
S
E
µ+1
dt ≤ c
18
E(0)
µ
E(S) + R
Γ
+
×]S,T [
E
µ
∂u
∂ν
2
dΓdt . (3.52)
Passo 2.
Sejam h ∈ (W
1,∞
(Ω))
N
a fun¸c˜ao do lema 1.8 e R = sup
x∈Ω
|m(x)|. Ent˜ao, utilizando a
desigualdade de Young, temos que
2R
Ω
u
h(x).∇u dx E
µ
T
S
=
56
= 2R
E(T )
µ
Ω
u
(x, T )h(x).∇u(x, T ) dx − E(S)
µ
Ω
u
(x, S)h(x).∇u(x, S) dx
≤
≤ c
19
E(T )
µ
Ω
|u
(x, T )||∇u(x, T )| dx + c
19
E(S)
µ
Ω
|u
(x, S)||∇u(x, S)| dx ≤
≤ c
20
E(T )
µ
Ω
|u
(x, T )|
2
+ |∇u(x, T )|
2
dx + c
20
E(S)
µ
Ω
|u
(x, S)|
2
+ |∇u(x, S)|
2
dx =
= c
21
E(T )
µ+1
+ c
21
E(S)
µ+1
≤ c
22
E(0)
µ
E(S) ,
ou seja
2R
Ω
u
h(x).∇u dx E
µ
T
S
≤ c
22
E(0)
µ
E(S) , (3.53)
e tamb´em, temos que
−2µR
Ω×]S,T [
E
µ−1
E
u
h(x).∇u dxdt
≤ 2µR
Ω×]S,T [
E
µ−1
|E
| |u
| |h(x)| |∇u| dxdt ≤
≤ c
23
T
S
E
µ−1
|E
|
Ω
|u
| |∇u| dx
dt ≤ c
23
T
S
E
µ−1
|E
|
1
2
Ω
|u
|
2
+ |∇u|
2
dx
dt =
= c
23
T
S
E
µ
|E
| dt ≤ c
23
E(0)
µ
S
T
E
dt ≤ c
23
E(0)
µ
E(S) ,
isto ´e
−2µR
Ω×]S,T [
E
µ−1
E
u
h(x).∇u dxdt
≤ c
23
E(0)
µ
E(S) . (3.54)
Por outro lado, utilizando as desigualdades de H¨older e de Young, vemos que
2R
Ω×]S,T [
a(x)u
h(x).∇u E
µ
dxdt
≤ 2R
Ω×]S,T [
a(x)|u
| |h(x)| |∇u| E
µ
dxdt ≤
≤ c
24
T
S
E
µ
Ω
a
1
2
|u
|a
1
2
|∇u| dx
dt ≤ c
24
T
S
E
µ
Ω
a|u
|
2
dx
1
2
Ω
a|∇u|
2
dx
1
2
dt ≤
≤ c
25
T
S
E
µ
|E
|
1
2
Ω
|∇u|
2
dx
1
2
dt ≤ c
26
T
S
E
µ+
1
2
|E
|
1
2
dt =
T
S
E
µ+1
2
c
26
E
µ
2
|E
|
1
2
dt ≤
≤
1
2
T
S
E
µ+1
+ c
27
E
µ
|E
|
dt ≤
1
2
T
S
E
µ+1
dt + c
28
E(0)
µ
S
T
E
dt ≤
≤
1
2
T
S
E
µ+1
dt + c
28
E(0)
µ
E(S) ,
ou seja,
2R
Ω×]S,T [
a(x)u
h(x).∇u E
µ
dxdt
≤
1
2
T
S
E
µ+1
dt + c
28
E(0)
µ
E(S) . (3.55)
57
Combinando, ent˜ao, (3.17), (3.53), (3.54) e (3.55) temos que
R
Γ
+
×]S,T [
E
µ
∂u
∂ν
2
≤ c
0
ω×]S,T [
|u
|
2
+ |∇u|
2
E
µ
dxdt +
1
2
T
S
E
µ+1
dt + c
29
E(0)
µ
E(S) .
(3.56)
Finalmente, de (3.52) e (3.56) temos que
T
S
E
µ+1
dt ≤ c
30
E(0)
µ
E(S) + c
31
ω×]S,T [
|u
|
2
+ |∇u|
2
E
µ
dxdt , (3.57)
onde c
31
´e uma constante positiva. (Esta observa¸c˜ao ser´a necess´aria mais adiante.)
Passo 3.
Consideremos a fun¸c˜ao η ∈ W
1,∞
(Ω) do lema 1.9. Utilizando as desigualdades de Young e
de Poincar´e, temos que
−
Ω
u
(x, t)η(x)
2
u(x, t) dx E
µ
T
S
=
=
E(S)
µ
Ω
u
(x, S)η(x)
2
u(x, S) dx − E(T )
µ
Ω
u
(x, T )η(x)
2
u(x, T ) dx
≤
≤ E(S)
µ
Ω
|u
(x, S)| |u(x, S)| dx + E(T )
µ
Ω
|u
(x, T )| |u(x, T )| dx ≤
≤
1
2
E(S)
µ
Ω
|u
(x, S)|
2
+ |u(x, S)|
2
dx +
1
2
E(T )
µ
Ω
|u
(x, T )|
2
+ |u(x, T )|
2
dx ≤
≤
c
32
2
E(S)
µ
Ω
|u
(x, S)|
2
+ |∇u(x, S)|
2
dx +
c
33
2
E(T )
µ
Ω
|u
(x, T )|
2
+ |∇u(x, T )|
2
dx =
= c
32
E(S)
µ
E(S) + c
33
E(T )
µ
E(T ) ≤ c
34
E(S)
µ
E(S) ≤ c
34
E(0)
µ
E(S) ,
isto ´e,
−
Ω
u
(x, t)η(x)
2
u(x, t) dx E
µ
T
S
≤ c
34
E(0)
µ
E(S) , (3.58)
e tamb´em, temos que
µ
Ω×]S,T [
E
µ−1
E
u
u η
2
dxdt
≤ µ
T
S
E
µ−1
|E
|
Ω
|u
| |u| dx
dt ≤
≤ µ
T
S
E
µ−1
|E
|
1
2
Ω
|u
|
2
+ |u|
2
dx
dt ≤ c
35
T
S
E
µ−1
|E
|
1
2
Ω
|u
|
2
+ |∇u|
2
dx
dt =
= c
35
T
S
E
µ
|E
| dt ≤ c
35
E(0)
µ
S
T
E
dt ≤ c
35
E(0)
µ
E(S) ,
58
ou seja
µ
Ω×]S,T [
E
µ−1
E
u
u η
2
dxdt
≤ c
35
E(0)
µ
E(S) . (3.59)
Tamb´em pela desigualdade de Young, vemos que
2
Ω×]S,T [
η u∇u.∇η E
µ
dxdt
≤
T
S
E
µ
Ω
|η| |∇u| 2 |u| |∇η| dx
dt ≤
≤
1
2
T
S
E
µ
Ω
|η
2
||∇u|
2
+ 4|u|
2
|∇η|
2
dx
dt =
=
1
2
Ω×]S,T [
η
2
|∇u|
2
E
µ
dxdt + 2
Ω×]S,T [
|u|
2
|∇η|
2
E
µ
dxdt ≤
≤
1
2
Ω×]S,T [
η
2
|∇u|
2
E
µ
dxdt + c
36
ω×]S,T [
|u|
2
E
µ
dxdt ,
isto ´e,
2
Ω×]S,T [
η u∇u.∇η E
µ
dxdt
≤
1
2
Ω×]S,T [
η
2
|∇u|
2
E
µ
dxdt + c
36
ω×]S,T [
|u|
2
E
µ
dxdt .
(3.60)
Por ´ultimo, notemos que, pelas desigualdades de H¨older, Poincar´e e de Young, temos
2c
31
Ω×]S,T [
a(x)u
η
2
u E
µ
dxdt
≤ c
37
T
S
E
µ
Ω
a(x)|u
| |u| dx
dt =
= c
37
T
S
E
µ
Ω
a
1
2
|u
|a
1
2
|u| dx
dt ≤ c
37
T
S
E
µ
Ω
a|u
|
2
dx
1
2
Ω
a|u|
2
dx
1
2
dt ≤
≤ c
38
T
S
E
µ
|E
|
1
2
Ω
|∇u|
2
dx
1
2
dt ≤ c
39
T
S
E
µ+
1
2
|E
|
1
2
dt =
T
S
E
µ+1
2
c
39
|E
|
1
2
E
µ
2
dt ≤
≤
1
2
T
S
E
µ+1
dt + c
40
S
T
E
µ
E
dt ≤
1
2
T
S
E
µ+1
dt + c
40
E(0)
µ
E(S) ,
isto ´e,
2c
31
Ω×]S,T [
a(x)u
η
2
u E
µ
dxdt
≤
1
2
T
S
E
µ+1
dt + c
40
E(0)
µ
E(S) . (3.61)
Temos, ent˜ao, de (3.21), (3.58), (3.59), (3.60) e (3.61), observando tamb´em que c
31
> 0, que
Ω×]S,T [
η
2
|∇u|
2
E
µ
dxdt ≤ c
41
E(0)
µ
E(S) +
1
2
Ω×]S,T [
η
2
|∇u|
2
E
µ
dxdt+
+c
36
ω×]S,T [
|u|
2
E
µ
dxdt +
1
4c
31
T
S
E
µ+1
dt +
+
Ω×]S,T [
η
2
|u
|
2
E
µ
dxdt ,
59
o que implica que
1
2
Ω×]S,T [
η
2
|∇u|
2
E
µ
dxdt ≤ c
41
E(0)
µ
E(S) + c
36
ω×]S,T [
|u|
2
E
µ
dxdt +
+
1
4c
31
T
S
E
µ+1
dt +
ω×]S,T [
|u
|
2
E
µ
dxdt ,
donde, multiplicando por 2c
31
,
c
31
Ω×]S,T [
η
2
|∇u|
2
E
µ
dxdt ≤ c
42
E(0)
µ
E(S) + c
43
ω×]S,T [
|u|
2
E
µ
dxdt +
+
1
2
T
S
E
µ+1
dt + c
44
ω×]S,T [
|u
|
2
E
µ
dxdt .
(3.62)
Finalmente, combinando (3.57) e (3.62) temos que
T
S
E
µ+1
dt ≤ c
30
E(0)
µ
E(S) + c
31
ω×]S,T [
|u
|
2
E
µ
dxdt + c
31
ω×]S,T [
η
2
|∇u|
2
E
µ
dxdt ≤
≤ c
30
E(0)
µ
E(S) + c
31
ω×]S,T [
|u
|
2
E
µ
dxdt + c
31
Ω×]S,T [
η
2
|∇u|
2
E
µ
dxdt ≤
≤ c
45
E(0)
µ
E(S) + c
46
ω×]S,T [
|u
|
2
E
µ
dxdt + c
43
ω×]S,T [
|u|
2
E
µ
dxdt +
1
2
T
S
E
µ+1
dt ,
donde
T
S
E
µ+1
dt ≤ c
47
E(0)
µ
E(S) + c
48
ω×]S,T [
|u|
2
E
µ
dxdt + c
49
ω×]S,T [
|u
|
2
E
µ
dxdt , (3.63)
o que conclui o passo 3.
Passo 4.
Seja z a fun¸c˜ao do lema 3.3. Notemos que, pelas desigualdades de H¨older, Poincar´e e de
Young e pelo lema 3.3 (desigualdade ( 3.31) ), temos
−
Ω
u
z dx E
µ
T
S
=
E(S)
µ
Ω
u
(x, S)z(x, S) dx − E(T )
µ
Ω
u
(x, T )z(x, T ) dx
≤
≤ E(S)
µ
Ω
|u
(x, S)| |z(x, S)| dx + E(T )
µ
Ω
|u
(x, T )| |z(x, T )| dx ≤
≤ E(0)
µ
Ω
|u
(x, S)|
2
dx
1
2
Ω
|z(x, S)|
2
dx
1
2
+E(0)
µ
Ω
|u
(x, T )|
2
dx
1
2
Ω
|z(x, T )|
2
dx
1
2
≤
≤ c
50
E(0)
µ
Ω
|u
(x, S)|
2
dx
1
2
Ω
|∇z(x, S)|
2
dx
1
2
+
60
+c
50
E(0)
µ
Ω
|u
(x, T )|
2
dx
1
2
Ω
|∇z(x, T )|
2
dx
1
2
≤
≤ c
51
E(0)
µ
Ω
|u
(x, S)|
2
dx
1
2
Ω
|u(x, S)|
2
dx
1
2
+
+c
51
E(0)
µ
Ω
|u
(x, T )|
2
dx
1
2
Ω
|u(x, T )|
2
dx
1
2
≤
≤ c
52
E(0)
µ
Ω
|u
(x, S)|
2
dx
1
2
Ω
|∇u(x, S)|
2
dx
1
2
+
+c
52
E(0)
µ
Ω
|u
(x, T )|
2
dx
1
2
Ω
|∇u(x, T )|
2
dx
1
2
≤
≤ c
52
E(0)
µ
1
2
Ω
|u
(x, S)|
2
+ |∇u(x, S)|
2
dx + c
52
E(0)
µ
1
2
Ω
|u
(x, T )|
2
+ |∇u(x, T )|
2
dx =
= c
52
E(0)
µ
E(S) + c
52
E(0)
µ
E(T ) ≤ c
53
E(0)
µ
E(S) ,
ou seja
−
Ω
u
z dx E
µ
T
S
≤ c
53
E(0)
µ
E(S) ,
(3.64)
e, tamb´em, pelas mesmas desigualdades,
µ
Ω×]S,T [
E
µ−1
E
u
z dxdt
≤ µ
T
S
E
µ−1
|E
|
Ω
|u
| |z| dx
dt ≤
≤ µ
T
S
E
µ−1
|E
|
Ω
|u
|
2
dx
1
2
Ω
|z|
2
dx
1
2
dt ≤
≤ c
54
T
S
E
µ−1
|E
|
Ω
|u
|
2
dx
1
2
Ω
|∇z|
2
dx
1
2
dt ≤
≤ c
55
T
S
E
µ−1
|E
|
Ω
|u
|
2
dx
1
2
Ω
|u|
2
dx
1
2
dt ≤
≤ c
56
T
S
E
µ−1
|E
|
Ω
|u
|
2
dx
1
2
Ω
|∇u|
2
dx
1
2
dt ≤
≤ c
56
T
S
E
µ−1
|E
|
1
2
|u
|
2
+ |∇u|
2
dx
dt = c
56
S
T
E
µ
E
dt ≤ c
56
E(0)
µ
E(S) ,
isto ´e
µ
Ω×]S,T [
E
µ−1
E
u
z dxdt
≤ c
56
E(0)
µ
E(S) . (3.65)
Finalmente, observemos que, pelas me smas desigualdades e pelo lema 3.3,
c
48
Ω×]S,T [
a(x)u
z E
µ
dxdt
≤ c
48
T
S
E
µ
Ω
a(x)|u
| |z| dx
dt =
61
= c
48
T
S
E
µ
Ω
a
1
2
|u
|a
1
2
|z| dx
dt ≤ c
48
T
S
E
µ
Ω
a|u
|
2
dx
1
2
Ω
a|z|
2
dx
1
2
dt ≤
≤ c
57
T
S
E
µ
Ω
a|u
|
2
dx
1
2
Ω
|∇z|
2
dx
1
2
dt ≤
≤ c
58
T
S
E
µ
|E
|
1
2
Ω
|u|
2
dx
1
2
dt ≤ c
59
T
S
E
µ
|E
|
1
2
Ω
|∇u|
2
dx
1
2
dt ≤
≤ c
60
T
S
E
µ+
1
2
|E
|
1
2
dt =
T
S
1
2
E
µ+1
2
2 c
60
|E
|
1
2
E
µ
2
dt ≤
≤
1
4
T
S
E
µ+1
dt + c
61
S
T
E
µ
E
dt ≤
1
4
T
S
E
µ+1
dt + c
61
E(0)
µ
E(S) ,
ou seja,
c
48
Ω×]S,T [
a(x)u
z E
µ
dxdt
≤
1
4
T
S
E
µ+1
dt + c
61
E(0)
µ
E(S) , (3.66)
e, tamb´em, notemos que, utilizando novamente as desigualdades de H¨older e de Poincar´e e
o lema 3.3 (desigualdade (3.32)), encontramos
c
48
Ω×]S,T [
E
µ
u
z
dxdt
≤ c
48
T
S
E
µ
Ω
|u
| |z
| dx
dt ≤
≤ c
48
T
S
E
µ
Ω
|u
|
2
dx
1
2
Ω
|z
|
2
dx
1
2
dt ≤ c
62
T
S
E
µ
Ω
|u
|
2
dx
1
2
Ω
|∇z
|
2
dx
1
2
dt ≤
≤ c
63
T
S
E
µ
Ω
|u
|
2
dx
1
2
ω
|u
|
2
dx
1
2
dt ≤ c
64
T
S
E
µ+
1
2
ω
|u
|
2
dx
1
2
dt =
=
T
S
1
2
E
µ+1
2
2 c
64
E
µ
2
ω
|u
|
2
dx
1
2
dt ≤
1
4
T
S
E
µ+1
dt + c
65
ω×]S,T [
E
µ
|u
|
2
dxdt ,
isto ´e,
c
48
Ω×]S,T [
E
µ
u
z
dxdt
≤
1
4
T
S
E
µ+1
dt + c
65
ω×]S,T [
E
µ
|u
|
2
dxdt . (3.67)
Logo, substituindo (3.64)-(3.67) em (3.34), vemos que
c
48
ω×]S,T [
|u|
2
E
µ
dxdt ≤ c
66
E(0)
µ
E(S) +
1
2
T
S
E
µ+1
dt + c
65
ω×]S,T [
E
µ
|u
|
2
dxdt . (3.68)
Combinando, ent˜ao, (3.63) e (3.68), temos
T
S
E
µ+1
dt ≤ c
67
E(0)
µ
E(S) +
1
2
T
S
E
µ+1
dt + c
68
ω×]S,T [
E
µ
|u
|
2
dxdt ,
donde
T
S
E
µ+1
dt ≤ c
69
E(0)
µ
E(S) + c
70
ω×]S,T [
E
µ
|u
|
2
dxdt . (3.69)
62
Passo 5.
Neste ´ultimo passo, provaremos a tese do teorema. As demonstra¸c˜oes de (3.49) e (3.50) s˜ao
distintas, neces sitando para is so, valores diferentes de µ.
1
o
caso (N = 1): Multiplicando (3.35) por c
70
E
1
2p
, integrando de S a T , e utilizando a
desigualdade de Young, obtemos
c
70
T
S
E
1
2p
ω
|u
|
2
dxdt
dt ≤ c
70
T
S
E
1
2p
|E
| + c|a
−1
|
p
p+1
p
F
1
p+1
1
E
1
2(p+1)
|E
|
p
p+1
dt ≤
≤ c
70
E(0)
1
2p
S
T
E
dt + c
71
T
S
E
1
2p
|a
−1
|
p
p+1
p
F
1
p+1
1
E
1
2(p+1)
|E
|
p
p+1
dt ≤
≤ c
70
E(0)
1
2p
E(S) +
T
S
E
2p+1
2p(p+1)
c
71
|E
|
p
p+1
|a
−1
|
p
p+1
p
F
1
p+1
1
dt ≤
≤ c
70
E(0)
1
2p
E(S) +
T
S
1
p + 1
E
2p+1
2p(p+1)
p+1
+
p
p + 1
c
71
|E
|
p
p+1
|a
−1
|
p
p+1
p
F
1
p+1
1
p+1
p
dt =
= c
70
E(0)
1
2p
E(S) +
1
p + 1
T
S
E
1+
1
2p
dt + c
72
|a
−1
|
p
F
1
p
1
T
S
|E
| dt ≤
≤ c
70
E(0)
1
2p
E(S) +
1
p + 1
T
S
E
1+
1
2p
dt + c
72
|a
−1
|
p
F
1
p
1
E(S) ,
isto ´e,
c
70
T
S
E
1
2p
ω
|u
|
2
dxdt
dt ≤ c
70
E(0)
1
2p
E(S) +
1
p + 1
T
S
E
1+
1
2p
dt + c
72
|a
−1
|
p
F
1
p
1
E(S) .
(3.70)
Logo, de (3.69) com µ =
1
2p
e de (3.70), temos que
T
S
E
1+
1
2p
dt ≤ c
73
E(0)
1
2p
E(S) +
1
p + 1
T
S
E
1+
1
2p
dt + c
72
|a
−1
|
p
F
1
p
1
E(S) ,
o que implica que
T
S
E
1+
1
2p
dt ≤ c
74
E(0)
1
2p
E(S) + c
75
|a
−1
|
p
F
1
p
1
E(S) ,
donde
T
S
E
1+
1
2p
dt ≤ c
76
|a
−1
|
p
F
1
p
1
+ E(0)
1
2p
E(S) . (3.71)
Tomando o limite em (3.71) quando T → ∞, temos que
∞
S
E
1+
1
2p
dt ≤ c
76
|a
−1
|
p
F
1
p
1
+ E(0)
1
2p
E(S) ,
63
donde, pelo lema 1.7, como
1
2p
> 0 e S ≥ 0 ´e arbitr´ario,
E(t) ≤
c
76
|a
−1
|
p
F
1
p
1
+ E(0)
1
2p
(1 + 2p)
2p
t
−2p
, ∀ t > 0 ,
o que nos leva a (3.49).
2
o
caso (N > 1): Multiplicando (3.36) por c
70
E
N
p
, integrando de S a T , e utilizando a
desigualdade de Young, obtemos
c
70
T
S
E
N
p
ω
|u
|
2
dx
dt ≤ c
70
T
S
E
N
p
|E
| + c|a
−1
|
p
p+1
p
F
N
p+1
1
E
p−(N−2)
2(p+1)
|E
|
p
2p+2
dt ≤
≤ c
70
E(0)
N
p
E(S) +
T
S
E
Np+2N+p
2
+2p
2p(p+1)
c
77
|a
−1
|
p
p+1
p
F
N
p+1
1
|E
|
p
2p+2
dt ≤
≤ c
70
E(0)
N
p
E(S) +
T
S
p + 2
2(p + 1)
E
(N+p)(p+2)
2p(p+1)
2(p+1)
p+2
+
+
p
2(p + 1)
c
77
|a
−1
|
p
p+1
p
F
N
p+1
1
|E
|
p
2p+2
2(p+1)
p
dt =
= c
70
E(0)
N
p
E(S) +
p + 2
2(p + 1)
T
S
E
1+
N
p
dt + c
78
|a
−1
|
2
p
F
2N
p
1
T
S
|E
| dt ≤
≤ c
70
E(0)
N
p
E(S) +
p + 2
2(p + 1)
T
S
E
1+
N
p
dt + c
78
|a
−1
|
2
p
F
2N
p
1
E(S) ,
ou seja
c
70
T
S
E
N
p
ω
|u
|
2
dx
dt ≤ c
70
E(0)
N
p
E(S) +
p + 2
2(p + 1)
T
S
E
1+
N
p
dt + c
78
|a
−1
|
2
p
F
2N
p
1
E(S) .
(3.72)
Portanto, de (3.69), com µ =
N
p
, e de (3.72), temos
T
S
E
1+
N
p
dt ≤ c
79
E(0)
N
p
E(S) +
p + 2
2(p + 1)
T
S
E
1+
N
p
dt + c
78
|a
−1
|
2
p
F
2N
p
1
E(S) ,
o que implica que
T
S
E
1+
N
p
dt ≤ c
80
E(0)
N
p
E(S) + c
81
|a
−1
|
2
p
F
2N
p
1
E(S) ,
donde
T
S
E
1+
N
p
dt ≤ c
82
|a
−1
|
2
p
F
2N
p
1
+ E(0)
N
p
E(S) . (3.73)
64
Tomando o limite em (3.73) quando T → ∞, temos que
∞
S
E
1+
N
p
dt ≤ c
82
|a
−1
|
2
p
F
2N
p
1
+ E(0)
N
p
E(S) ,
donde, pelo lema 1.7, como
N
p
> 0 e S ´e arbitr´ario,
E(t) ≤
c
82
|a
−1
|
2
p
F
2N
p
1
+ E(0)
N
p
1 +
N
p
N
p
t
−
p
N
, ∀ t ≥ 0 ,
o que nos leva a (3.50), finalizando, assim, a demonstra¸c˜ao do teorema.
65
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