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Emerson Alex Figueroa Flores
Análises Probabilísticas da Estabilidade de Taludes
Considerando a Variabilidade Espacial do Solo
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para
obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio.
Orientador: Prof. Alberto S. F. Jardim Sayão
Rio de Janeiro, fevereiro de 2008
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611832/CA
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Emerson Alex Figueroa Flores
Análises Probabilísticas da Estabilidade de Taludes
Considerando a Variabilidade Espacial do Solo
Dissertação apresentada como requisito parcial para
obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada
pela Comissão Examinadora abaixo assinada.
Prof. Alberto S. F. Jardim Sayão
Orientador
Puc - Rio
Prof. Sérgio Augusto B. Fontoura
Puc - Rio
Prof. Leonardo B. Becker
UFRJ
Prof. Michéle Dal Toé Casagrande
UFCE
Prof. José Eugênio Leal
Coordenador(a) Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio
Rio de Janeiro, 29 de fevereiro de 2008
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611832/CA
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Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total
ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do
autor e do orientador.
Emerson Alex Figueroa Flores
Graduou-se em Engenharia Civil, pela Universidad Ricardo
Palma (Lima-Perú) em 2003. Trabalhou na área de projetos,
construção e supervisão de obras de Mineração. Ingressou
em 2006 no curso de mestrado em Engenharia Civil da
Pontifícia Universidade Católica de Rio de Janeiro, na área
de Geotecnia, desenvolvendo dissertação de mestrado na
linha de pesquisa experimental.
Ficha Catalográfica
Emerson Alex Figueroa Flores
Flores, Emerson Alex Figueroa
Análises probabilísticas da estabilidade de taludes
considerando a variabilidade espacial do solo / Emerson
Alex Figueroa Flores ; orientador: Alberto S. F. Jardim
Sayão. – 2008.
v., 178 f. : il. ; 29,7 cm
Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil)–Pontifícia
Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro,
2008.
Inclui referências bibliográficas
1. Engenharia civil – Teses. 2. Estabilidade de taludes.
3. Análises probabilísticas. 4. Variabilidade espacial. 5.
Probabilidade de ruptura. I. Sayão, Alberto S. F. II.
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Departamento de Engenharia Civil. III. Título.
CDD 624
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4
A minha esposa Kathia com amor
Para os meus queridos pais, Benito e Domitila.
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Agradecimentos
Agradeço a Deus por estar sempre quando mais necessite, e por todas as graças
recebidas.
Agradeço à Kathia, minha Esposa, por tudo o apoio, compreensão e por ter sido
minha fonte de inspiração e motivação.
Aos meus queridos pais Benito e Domitila pelo grande apoio, confiança e amor.
Graças por acreditar em meus sonhos e por a ajuda recebida durante todos meus
projetos.
A meu querido irmão Enrique, graças pelo apoio e confiança.
Aos meus sogros Felipe e Erenia, pelo apoio e ajuda para lograr este objetivo.
Ao Professor Alberto Sayão, pela orientação, amizade e grande ajuda para o
desenvolvimento desta pesquisa.
Aos Professores da PUC-Rio, graças pela formação.
A todos os amigos e companheiros de estudos do curso de Mestrado em
Engenharia Civil da PUC-Rio.
À CAPES pela ajuda financeira indispensável ao desenvolvimento deste trabalho.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611832/CA
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Resumo
Flores, Emerson Alex Figueroa; Jardim, Alberto de Sampaio Ferraz.
Análises Probabilísticas da Estabilidade de Taludes Considerando a
Variabilidade Espacial do Solo. Rio de Janeiro, 2008. 178p. Dissertação
de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade
Católica do Rio de Janeiro.
Freqüentemente as análises de estabilidade de taludes são feitas por métodos
determinísticos, nos quais é obtido um Fator de Segurança (FS). Estes métodos
não quantificam as incertezas existentes nas variáveis de entrada (parâmetros de
resistência) na análise. Tampouco mostram detalhes sobre qual variável afeta mais
o resultado. Os métodos probabilísticos permitem superar estes problemas. A
presente pesquisa tem como objetivo comparar dois métodos probabilísticos
geralmente utilizados (Estimativas Pontuais e Segundo Momento). Três projetos
utilizados comumente na geotecnia são analisados: barragem de rejeitos, talude de
solo e aterro sobre argila mole.Um aspecto importante na análise probabilística é a
quantificação adequada do desvio padrão. É sabido que as propriedades dos solos
mostram uma correlação no espaço, pelo que o desvio padrão calculado por
métodos clássicos da estatística é superestimado em comparação ao valor real no
campo. El-Ramly (2001) desenvolveu uma metodologia para o cálculo da
probabilidade de ruptura considerando a correlação espacial das propriedades do
solo. Esta metodologia é de difícil aplicação prática. Serão, portanto, avaliadas na
presente pesquisa as técnicas geralmente usadas de probabilidade e estabilidade de
taludes, juntamente com um fator de correção proposto por Vanmarcke (1977a).
Estas técnicas de probabilidade de estabilidade de taludes são factíveis de serem
utilizadas junto com este fator de correção. Verificou-se que o Método de
Segundo Momento é de mais fácil utilização, e portanto adequado para emprego
em projetos geotécnicos.
Palavras-chave
Estabilidade de Taludes, Análises Probabilísticos, Variabilidade Espacial,
Probabilidade de Ruptura.
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Abstract
Flores, Emerson Alex Figueroa; Jardim, Alberto de Sampaio Ferraz.
Probabilistic Analysis of Slope Stability Considering Spatial Variability
of Soil. Rio de Janeiro, 2008. 178p. Msc. Dissertation - Department of Civil
Engineering, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
The analysis of slope stability is often determined by deterministic methods,
in which a Factor of Security (FS) is obtained. These methods do not quantify the
uncertainty in the input variables (strength parameters). Neither these methods
show details which variable affects mostly the outcome results. The probabilistic
methods allow overcoming these restrictions.
This study aims at comparing two
probabilistic methods of general use (Point Estimates and First Order Second
Moment). Three projects commonly used in geotechnical engineering are
analyzed: tailings dam, slope soil and embankment on soft clay. An important
aspect of the probabilistic analysis is the proper quantification of the standard
deviation. It is known that the soil properties show a correlation in space, so the
standard deviation, calculated by traditional methods of statistics, is overestimated
when compared to the real field value. El-Ramly (2001) developed a methodology
for calculating the probability of failure considering the spatial correlation of the
soil properties. This methodology is difficult to apply in practice. The present
study will therefore evaluate the techniques generally used in probability of failure
of slopes. These probability techniques applied to slope stability can be used
together with a correction factor proposed by Vanmarcke (1977b). The Second
Moment Method was found to be easier to use, and therefore more suitable for
geotechnical projects.
keywords
Slope Stability, Probabilistic Analysis, Spatial Variability, Probability of
failure.
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Sumário
1 INTRODUÇÃO 19
2 CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 22
2.1. Introdução 22
2.2. Variáveis Aleatórias 22
2.3. Função Densidade de Probabilidade 23
2.4. Tratamento Estatístico dos Dados 27
3 INCERTEZAS E VARIABILIDADE ESPACIAL DAS PROPRIEDADES
DOS SOLOS 38
3.1. Introdução 38
3.2. Fontes de Incerteza 39
3.3. Variabilidade Espacial dos Parâmetros dos Solos 45
3.4. Estimativa dos Erros Sistemáticos 56
3.5. Uso da Média Espacial na Quantificação da Variabilidade Espacial
dos Solos 58
4 ANÁLISES DETERMINÍSTICA E PROBABILÍSTICA DA ESTABILIDADE
DE TALUDES 71
4.1. Introdução 71
4.2. Análise Determinística de Estabilidade de Taludes 72
4.3. Análise Probabilística de Estabilidade de Taludes 73
4.4. Superfície de Deslizamento Critica 98
5 BARRAGEM DE REJEITOS SYNCRUDE 99
5.1. Considerações do Projeto 100
5.2. Descrição da Pilha 23 101
5.3. Estratigrafia 102
5.4. Parâmetros de Resistência 102
5.5. Poropressões 107
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5.6. Análise Determinística da Estabilidade do Talude 111
5.7. Análises Probabilísticas de Estabilidade de Taludes 112
5.8. Conclusões 121
6 DESLIZAMENTO EM LODALEN, NORUEGA (1954) 122
6.1. Introdução 122
6.2. Estratigrafia e Propriedades do Solo 123
6.3. Poropressões 125
6.4. Análises Determinísticas de Estabilidade de Taludes 129
6.5. Análises Probabilísticas da Estabilidade 130
6.6. Análises Probabilísticas com Variações da inclinação do Talude 140
6.7. Análises Probabilísticas Considerando Coeficientes de Correlação
entre os Parâmetros de Resistência 145
6.8. Conclusões 147
7 INVESTIGAÇÃO DO ATERRO EM MUAR 149
7.1. Introdução 149
7.2. Estratigrafia do Terreno e Características do Aterro 150
7.3. Propriedades de Resistência do Solo de Fundação 151
7.4. Propriedades de Resistência do Aterro 153
7.5. Fator de Correção de Bjerrum 154
7.6. Análise Determinística de Estabilidade de Taludes 155
7.7. Análises Probabilísticas de Estabilidade de Taludes 156
7.8. Análises Probabilísticas para Diferentes Alturas do Aterro 161
7.9. Conclusões 164
8 CONCLUSÕES E SUGESTÕES 165
8.1. Conclusões 165
8.2. Sugestões 167
BIBLIOGRAFÍA 168
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10
Lista de figuras
Figura 2.1 – Função de distribuição cumulativa. 23
Figura 2.2 - Variação de uma densidade de probabilidade normal, para
vários valores de μ, σ2. 24
Figura 2.3 - Distribuições log-normal da variável x. 26
Figura 2.4 – Histograma típico. 28
Figura 2.5 – “Three Sigma Rule” , Daí e Wand (1992). 31
Figura 2.6 – “Three Sigma Rule” aplicado graficamente na obtenção dos
parâmetros de resistência c e Ø, Duncan (2000). 31
Figura 2.7 – Correlação negativa forte entre duas varáveis, Holtz e Krizek
(1972). 34
Figura 2.8 - Correlação positiva baixa entre duas variáveis, Holtz e Krizek
(1972). 34
Figura 2.9 – Efeito da não remoção da tendência no cálculo da variância
ou Cov, em dados de N do SPT em areias, Baecher e Christian (2003). 37
Figura 3.1 – Perfil da permeabilidade do solo de um depósito glacial,
Terzaghi, Peck e Mesri (1996). 39
Figura 3.2 – Fontes de incerteza nos parâmetros, El-Ramly (2001). 40
Figura 3.3 – Fator de correção da resistência não drenada Su, Bjerrum
(1972). 43
Figura 3.4 – Distribuição espacial em dois conjuntos de dados com
histogramas semelhantes, El-Ramly (2001). 46
Figura 3.5 – Variação espacial das propriedades em dois solos,
modificado de Baecher e Christian (2003) 46
Figura 3.6 – Modelo de variabilidade espacial, aplicados a medidas de
pressão de um dilatômetro, DeGroot (1996). 47
Figura 3.7 – Modelo de variabilidade espacial sem tendência. 48
Figura 3.8 - Modelo de variabilidade do solo, Neter et al (1990). 49
Figura 3.9 - Funções usuais de uma tendência, Baecher e Christian
(2003). 50
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11
Figura 3.10 – Componentes da função de autocovariância, DeGroot
(1996). 54
Figura 3.11 – Semivariograma de dados de palheta, Baecher e Christian
(2003). 55
Figura 3.12 – Redução do desvio padrão produto de incrementos de zi,
modificado de Vanmarcke (1983). 59
Figura 3.13 - Variabilidade espacial inerente do solo, Phoon e Kulhawy
(1999a). 60
Figura 3.14 – Definição de fator de redução da variância, Vanmarcke
(1983). 61
Figura 3.15 – Função de variância versus a média de intervalos Δz,
normalizados com respeito à escala de flutuações, Vanmarcke (1983). 63
Figura 3.16 – Coeficiente de correlação entre dois pares de médias locais
12
(, )zzΔΔ
, modificado de Vanmarcke (1983). 64
Figura 3.17 – Distância de autocorrelação horizontal ou vertical, El-Ramly
(2001). 65
Figura 3.18 – Definição de escala de flutuações. 68
Figura 3.19 – Determinação de escala de flutuações vertical, Phoon e
Kulhawy (1999a). 69
Figura 4.1 – Probabilidade de ruptura de estacas, Lacasse e Nadim
(1996). 73
Figura 4.2 – Conceito de análise probabilísticas de estabilidade de
taludes. 74
Figura 4.3 – Probabilidade de ruptura vs Indice de confiabilidade
()
β
. 77
Figura 4.4 – Probabilidades de ruptura admissíveis, Baecher (1982b). 79
Figura 4.5 - Probabilidades de ruptura, US Army Corps of Engineers
(1995). 79
Figura 4.6 - Risco social aceitável proposto pelo departamento de
planejamento de Hong Kong para deslizamentos, Baecher e Christian
(2003). 80
Figura 4.7 - Probabilidade de ruptura crítica para barragens, proposta pela
British Columbia Hydro, Canadá, Nielsen et al (1994). 80
Figura 4.8 – Estimativas pontuais da função f(x). 88
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12
Figura 4.9 – Subdivisão da superfície de deslizamento dentro de uma
camada, El-Ramly (2001). 95
Figura 4.10 – Modelagem da variabilidade espacial de um parâmetro de
entrada sobre uma superfície de deslizamento, El-Ramly (2001). 96
Figura 5.1 – Vista em planta das pilhas e lagoa de rejeitos. 100
Figura 5.2 – Geometria e estratigrafia da seção 53+00E. 102
Figura 5.3 – Resultados do ensaio de cisalhamento direto para o material
Kca. 104
Figura 5.4 – Localização dos piezômetros na zona de estúdio. 107
Figura 5.5 – Poropressões ao longo da seção 53+00E na camada Kca 107
Figura 5.6 – Poropressões ao longo da seção 53+00E na camada Pgs.109
Figura 5.7 – Posição da linha freática dentro do rejeito. 110
Figura 5.8 – Superfícies de ruptura críticas. 111
Figura 5.9 – Contribuição de cada variável na variância de FS. 115
Figura 5.10 – Análise probabilística pelo método de segundo momento,
com distribuição normal do fator de segurança. 117
Figura 5.11 - Análise probabilística pelo método de segundo momento
com distribuição log-normal do fator de segurança. 118
Figura 5.12 - Análise probabilística pelo método de estimativas pontuais,
com distribuições normal e log-normal do fator de segurança. 118
Figura 5.13 - Contribuição de cada variável na variância de FS, para uma
distância de autocorrelação (ro) de 33m. 120
Figura 6.1 – Seção transversal do talude em estudo. 124
Figura 6.2 – Correlação entre ângulo de atrito e a coesão da argila
marinha de Oslo. 125
Figura 6.3 – Posição dos piezômetros e da linha freática no talude. 126
Figura 6.4 – Distribuição das cargas de pressão, considerando todos os
piezômetros. 126
Figura 6.5 – Distribuição das cargas de pressão, no piezômetro A. 127
Figura 6.6 – Distribuição das cargas de pressão, no piezômetro B. 127
Figura 6.7 – Distribuição das cargas de pressão, no piezômetro C. 128
Figura 6.8 – Superfícies de deslizamento determinísticas. 130
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Figura 6.9 – Distribuições de carga piezométrica com a profundidade –
piezômetro A. 131
Figura 6.10 – Contribuição na variância do fator de segurança das cinco
variáveis, considerando o total do desvio padrão. 133
Figura 6.11 – Contribuição na variância do fator de segurança das três
variáveis, considerando o total do desvio padrão. 134
Figura 6.12 – Probabilidade de ruptura obtida no método de segundo
momento com distribuição normal do FS. 136
Figura 6.13 - Probabilidade de ruptura obtida no método de segundo
momento, com distribuição log-normal do FS. 137
Figura 6.14 - Probabilidade de ruptura obtida no método de segundo
momento, com distribuição normal do FS. 137
Figura 6.15 - Probabilidade de ruptura obtida no método de segundo
momento, com distribuição log-normal do FS. 138
Figura 6.16 - Probabilidade de ruptura obtida no método de estimativas
pontuais, com distribuição normal e log-normal do FS. 138
Figura 6.17 - Probabilidade de ruptura obtida no método de estimativas
pontuais, com distribuição normal e log-normal do FS. 139
Figura 6.18 – Variação da probabilidade de ruptura e fator de segurança
para diferentes inclinações de taludes: método de Bishop. 141
Figura 6.19 - Variação da probabilidade de ruptura e fator de segurança
para diferentes inclinações de taludes: método de Spencer. 142
Figura 6.20 – Variação da probabilidade de ruptura no talude 4h:1v, para
diferentes distâncias de autocorrelação (r0), método de segundo
momento. 143
Figura 6.21 – Variação da probabilidade de ruptura no talude 4h:1v, para
diferentes distâncias de autocorrelação (r0), método de estimativas
pontuais. 144
Figura 6.22 – Valores de probabilidade de ruptura em função do
coeficiente de correlação. 146
Figura 7.1 - Superfície de ruptura observada no aterro sobre solo mole,
Brand e Premchitt (1989) 150
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Figura 7.2 – Estratigrafia e resistência não drenada encontrada no campo.
151
Figura 7.3 – Ruptura do aterro após 100 dias de construção. 152
Figura 7.4 – Fator de correção da resistência não drenada. 154
Figura 7.5 – Superfície de ruptura segundo Bishop. 156
Figura 7.6 – Probabilidade de ruptura, método de Bishop. 157
Figura 7.7 – Contribuição na variância do fator de segurança dos
parâmetros. 157
Figura 7.8 – Probabilidade de ruptura, método de segundo momento,
distribuição normal do fator de segurança. 159
Figura 7.9 - Probabilidade de ruptura, método de segundo momento,
distribuição log-normal do fator de segurança. 159
Figura 7.10 - Probabilidade de ruptura, método de estimativas pontuais,
distribuição normal e log-normal do fator de segurança. 160
Figura 7.11 – Variação da probabilidade de ruptura e fator de segurança
para diferentes alturas do aterro, distribuição normal do FS. 162
Figura 7.12 - Variação da probabilidade de ruptura e fator de segurança
para diferentes alturas do aterro, distribuição log-normal do FS. 162
Figura 7.13 – Variação da probabilidade de ruptura para diferentes
distâncias de autocorrelação numa altura do aterro de 4.0m. 163
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15
Lista de tabelas
Tabela 2.1 – Proporção de área sobre a distribuição normal. 25
Tabela 2.2 – Valores do fator Nn para estimar o desvio padrão, Burintong
e May (1970). 30
Tabela 2.3 – Coeficientes de variação típicos de solos. 36
Tabela 3.1 – Funções de correlação e variância. 62
Tabela 3.2 – Relação entre distância de autocorrelação e escala de
flutuações. 66
Tabela 3.3 – Distâncias de autocorrelações ro, El-Ramly (2001). 67
Tabela 3.4 – Valores de escala de flutuações reportadas na literatura. 69
Tabela 4.1 – Importância da análise probabilística de estabilidade de
taludes, Duncan (2001). 74
Tabela 4.2 – Representação esquemática do método de estimativas
pontuais. 90
Tabela 5.1 – Características geotécnicas do argilito (kca). 103
Tabela 5.2 – Características geotécnicas da areia glacial (Pgs). 105
Tabela 5.3 – Coeficiente de poropressão ru, nos intervalos propostos na
camada kca. 108
Tabela 5.4 – Coeficiente de poropressão ru, camada Pgs. 110
Tabela 5.5 – Resultados das análises determinísticas. 111
Tabela 5.6 – Propriedades das variáveis aleatórias consideradas na
análise. 112
Tabela 5.7 – Probabilidades de ruptura, considerando distribuição normal.
113
Tabela 5.8 - Probabilidades de ruptura, considerando distribuição log-
normal. 113
Tabela 5.9 – Probabilidades de ruptura encontradas com o método de
Bishop. 119
Tabela 5.10 – Efeito da correção da variância da variabilidade espacial.120
Tabela 6.1 – Parâmetros de resistência, argila aarinha. 124
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Tabela 6.2 – Valores de carga piezométrica no talude. 128
Tabela 6.3 – Fatores de segurança determinísticos. 129
Tabela 6.4 – Combinações da tendência das cargas piezométricas. 131
Tabela 6.5 – Análises probabilísticas com 5 variáveis aleatórias,
distribuição normal. 132
Tabela 6.6 - Análises probabilísticas com 5 variáveis aleatórias,
distribuição log-normal. 132
Tabela 6.7 - Análises probabilística com 3 variáveis aleatórias. 134
Tabela 6.8 – Probabilidade de ruptura com o método de Bishop. 136
Tabela 6.9 - Probabilidade de ruptura com o método de Spencer. 136
Tabela 6.10 - Efeito da correção da variância da variabilidade espacial.140
Tabela 6.11 - Efeito da correção da variância da variabilidade espacial.140
Tabela 6.12 – Comparação das probabilidades de ruptura, segundo
momento. 144
Tabela 6.13 - Comparação das probabilidades de ruptura, segundo
momento. 144
Tabela 6.14 - Comparação das probabilidades de ruptura, estimativas
pontuais. 144
Tabela 6.15 - Comparação das probabilidades de ruptura, estimativas
pontuais. 145
Tabela 7.1 - Propriedades físicas e mecânicas das camadas argilosas. 152
Tabela 7.2 – Linhas de tendência da resistência não drenada (Su). 153
Tabela 7.3 – Propriedades de resistência do aterro. 153
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Lista de Símbolos
ƒ
x
(x) Função densidade de probabilidade
F
x
(x) Função acumulativa da densidade de probabilidade
E(x) Média da amostra
μ Média populacional
V(x) Variância da amostra
σ Desvio padrão da amostra
σ´ Desvio padrão da população
σ´
2
Variância da população
Z Variável aleatória padronizada
FS Fator de segurança
E(FS) Média do fator de segurança
σ(FS) Desvio padrão do fator de segurança
Cov(X) Coeficiente de variação
r
x
Amplitude da amostra
x
max
Máximo valor da amostra
x
min
Mínimo valor da amostra
S
u
Resistência ao cisalhamento não drenada do solo
c Coesão do solo
Ø Ângulo de atrito do solo
C(x, y) Covariância entre duas variáveis
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ρ(x, y) Coeficiente de correlação entre duas variáveis
x, y Variáveis aleatórias
C
x
(r) Auto-covariância de uma variável
R
x
(r) Coeficiente de auto-correlação de uma variável
t
i
Tendência de uma variável aleatória
ε
i
Componente residual da variável aleatória
ei
ε
Erros aleatórios das propriedades dos solos
vi
ε
Erros inerentes à variabilidade das propriedades dos solos
a
0
Intercepto da linha de tendência
a
1
Pendente da linha de tendência
n Número de dados
γ
x
(r) Semivariograma
Escala de flutuações
r
0
Distância de autocorrelação
r
0h
Distância de autocorrelação horizontal
r
0v
Distância de autocorrelação vertical
r
0-e
Distância de autocorrelação isotrópica equivalente
Γ
Fator de redução na variância
)
β
Índice de confiabilidade
P(r) Probabilidade de ruptura
(
)
β
Φ− Curva normal padronizada
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1
INTRODUÇÃO
As análises de estabilidade de taludes são tradicionalmente feitas mediante
métodos determinísticos, que são baseados na obtenção de um fator de segurança
(FS). O valor de FS depende dos valores estimados para os parâmetros do solo.
Portanto o próprio fator de segurança é uma variável aleatória que depende de
outras variáveis.
Análises determinísticas são influenciadas pelo julgamento do engenheiro e
não expressam mais que um só dado (Fator de Segurança). Isto dificulta a análise
sobre qual variável (parâmetros de resistência do solo, poro pressões, espessuras
do material, etc.) pode afetar mais a estabilidade. Ferramentas adicionais precisam
ser usadas para permitir ao engenheiro tomar uma melhor decisão sobre a
performance da estrutura.
Os métodos probabilísticos de análise de estabilidade de taludes podem
permitir superar os problemas encontrados nas análises tradicionais de
estabilidade de taludes, por métodos determinísticos. Além do valor de FS, a
avaliação da probabilidade de ruptura é muito útil, podendo indicar os parâmetros
que influenciam mais a estabilidade.
Estes métodos probabilísticos não são novos, na realidade existem há
algumas décadas. São poucos os engenheiros, porém que os usam na pratica da
engenharia. Um dos objetivos principais desta presente dissertação é, portanto,
mostrar casos reais da engenharia geotécnica, nos quais as análises probabilísticas
devem ou podem ser feitas com conhecimentos adequados de probabilidade e
estatística.
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20
Um dos principais problemas encontrados no momento de fazer as análises
probabilísticas é quantificar adequadamente o valor do desvio padrão e da média
dos parâmetros. Estes valores são influenciados pela quantidade de amostras a ser
analisadas, a qual depende das limitações do orçamento do projeto.
Devido a esta limitação o valor do desvio padrão obtido em geral é maior
que o valor real encontrado no campo. Ademais, os métodos mais usuais de
probabilidade de estabilidade de taludes não consideram o efeito de uma
correlação espacial das propriedades do solo. Assim, uma propriedade num ponto
Xi pode ter as mesmas características num ponto Xi+1 que se encontra a uma
distância r
0
(Distância de Autocorrelação). Quanto menor é esta distância r
o
maior
é a correlação (igualdade) entre as propriedades. A maiores distâncias, esta
correlação diminui gradativamente.
O principal erro cometido em não considerar esta correlação das
propriedades do solo é superestimar o desvio padrão do parâmetro no
comprimento ou distância de interesse. Isto leva à obtenção de probabilidades de
rupturas elevadas. El-Ramly (2001) desenvolveu uma metodologia de análises de
probabilidade de ruptura de taludes, mediante o método de Monte Carlo,
considerando a correlação espacial das propriedades do solo dentro de sua
estrutura.
Duncan et al (2003) criticaram o uso da técnica de El-Ramly (2001), devido
às dificuldades práticas para o uso diário na engenharia. Os autores argumentaram
que as técnicas usuais de probabilidade de estabilidade de taludes podem ser
usadas junto com um fator de correção que considere as distâncias de
autocorrelação existentes na área de estudo, para poder quantificar a redução do
desvio padrão.
Por todo o exposto, o objetivo desta dissertação é apresentar o uso das
técnicas tradicionais de probabilidade de estabilidade de taludes (por exemplo,
Segundo Momento ou Estimativas Pontuais), incorporando um fator de correção
devido à correlação espacial das propriedades do solo. São considerados projetos
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21
tradicionais na pratica geotécnica, de forma a quantificar melhor as incertezas
existentes na obtenção dos valores médios dos parâmetros.
A presente dissertação está composta por 8 capítulos. No 2º capítulo, são
expostos os conceitos tradicionais de probabilidade e estatística utilizados
engenharia. No 3º capítulo, apresentam-se os conceitos principais da variabilidade
espacial das propriedades do solo e as incertezas associadas na obtenção das
médias. No 4º capítulo são apresentados os métodos tradicionais de análise
probabilística de estabilidade de taludes, e um resumo das probabilidades de
ruptura aceitáveis recomendadas na literatura técnica.
No capítulo 5 apresenta-se um exemplo de análises probabilísticas de
estabilidade de taludes, referente a uma barragem de rejeitos no Canadá. No
capítulo 6, é exposta outra análise probabilística sobre um talude de solo natural, o
qual foi inicialmente escavado com inclinação pronunciada e levada por
sucessivas re–escavações até a ruptura.
No capítulo 7, apresenta-se outro exemplo de análise probabilística aplicada
à construção de aterros construídos sobre argilas moles, amplamente utilizados na
construção de estradas. No capítulo 8, são listadas as conclusões obtidas sobre a
presente dissertação.
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22
2
CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE E
ESTATÍSTICA
2.1.
Introdução
As propriedades físicas e mecânicas de solos e rochas são em geral
naturalmente dispersas. Os métodos probabilísticos podem ajudar na analise
destas dispersões, facilitando o entendimento dos dados. Neste capítulo são
fornecidos conceitos básicos de probabilidade ligados à analise geotécnica. Em
especial, serão abordadas as aplicações as análises de estabilidade de taludes.
Estes conceitos são detalhados em livros clássicos de probabilidade e
estatística, tais como Ang e Tang (1975), e mais recentemente, Baecher e
Christian (2003).
2.2.
Variáveis Aleatórias
Uma variável é aleatória quando puder assumir diferentes valores como
resultado de um experimento aleatório. As variáveis aleatórias se dividem em
discretas e continuas:
• Variável Aleatória Discreta: admite apenas um número limitado de
valores.
• Variável Aleatória Contínua: admite qualquer valor dentro de um
intervalo dado, ou pode tomar todos os valores de um intervalo.
Na maioria das situações na engenharia geotécnica as variáveis utilizadas
são as variáveis aleatórias contínuas.
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23
2.3.
Função Densidade de Probabilidade
Para uma variável aleatória contínua, a função utilizada para representar a
distribuição de probabilidade é a função densidade de probabilidade (ƒ
x
(x)). Esta
função descreve a forma da curva de distribuição da probabilidade de ocorrência
de cada valor da variável aleatória contínua.
Existem vários tipos de função de densidade de probabilidade, sendo que as
distribuições mais utilizadas em engenharia são: Normal, Log-normal,
Exponencial, Gamma, Beta. Dentre estas distribuições, as mais usadas em
engenharia geotécnica são a distribuição Normal (ou gaussiana) e a distribuição
Log-normal.
Uma forma alternativa de poder visualizar os dados (análogo á função de
densidade de probabilidade) é mediante uma função de distribuição cumulativa
(CDF), que indica a probabilidade de uma variável ter um valor menor ou igual a
um valor selecionado (figura 2.1), na realidade CDF é a integral da
correspondente função de densidade de probabilidade.
A função cumulativa da densidade de probabilidade (F
x
(x)), e definida por:
() ( ) ()
i
x
xi i x
Fx Pxx fxx
−∞
=≤= ∂
∫
(2.1)
Figura 2.1 – Função de distribuição cumulativa.
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24
2.3.1.
Distribuições de Variáveis Aleatórias
Neste trabalho, são apresentadas a distribuição Normal (ou gaussiana) e
Log-normal, por serem as mais usadas em engenharia geotécnica.
2.3.1.1.
Distribuição Normal
A distribuição Normal é a mais familiar das distribuições de probabilidade e
também uma das mais importantes em estatística. Esta distribuição tem a forma de
sino (Figura 2.2).
A equação da curva Normal é especificada usando-se dois parâmetros: a
média populacional μ e o desvio padrão populacional σ´, (ou a variância
populacional σ´
2
). Denota-se N(μ, σ
2
) a curva Normal com média μ e variância σ
2
.
A média refere-se ao centro da distribuição, e o desvio padrão (ou variância) ao
espalhamento de curva. A distribuição normal é simétrica em relação à média.
Figura 2.2 - Variação de uma densidade de probabilidade normal, para vários valores de
μ, σ
2
.
ƒ
x
(x)
σ
(1)
(2)
(3)
(4)
(4)
(2)
(3)
(1)
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25
A equação que descreve o comportamento da função de densidade normal é:
2
1
2
2
1
()
2
x
x
fx e
μ
σ
πσ
−
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
=
(2.2)
A área sob a curva normal é sempre unitária. Então, para quaisquer dois
valores específicos pode-se determinar a proporção de área sob a curva entre esses
dois valores. Para a distribuição Normal, a proporção de valores abrangida por
um, dois ou três desvios padrão da média, é indicada na Tabela 2.1.
Tabela 2.1 – Proporção de área sobre a distribuição normal.
Faixa de valores Proporção
μ±1σ
68,3%
μ±2σ
95,5%
μ±3σ
99,7%
Pode-se observar nesta tabela que o 99,7% de todos os dados estão dentro
de ±3σ. Esta é a principal justificação da “Three-Sigma Rule”, proposta por Daí e
Wang (1992) e usada por Duncan (1999, 2000) para obter o desvio padrão de uma
amostra.
Na prática deseja-se calcular a probabilidade de uma variável (por exemplo,
o fator de segurança FS) ser menor ou igual a certo valor (por exemplo, 1,0). Para
isso, a variável x cuja distribuição é N(μ, σ
2
) e transformada numa forma
padronizada Z com distribuição N(0,1).
Onde Z é dada por:
()
FS
x
FS E FS
Z
μ
σσ
⎛⎞
−−
==
⎜⎟
⎝⎠
(2.3)
Z é a probabilidade de que FS possa ser menor ou igual a qualquer número
(por exemplo, FS = 1).
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26
2.3.1.2.
Distribuição Log-Normal
Uma variável aleatória x tem a distribuição Log-Normal quando seu
logaritmo possuir a forma de uma distribuição Normal. Uma das características
mais importante desta distribuição é não admitir dados negativos.
A função de densidade está caracterizada por ter dois parâmetros, média
populacional μ, e o desvio padrão populacional σ, a equação que caracteriza esta
função de densidade é:
2
2
1ln()
(; , ) exp
2
2
x
fx
x
μ
μσ
σ
σπ
⎡
⎤
−
=−
⎢
⎥
⎣
⎦
(2.4)
A Figura 2.3 ilustra algumas distribuições Log-Normal com diferentes
valores de σ.
Figura 2.3 - Distribuições log-normal da variável x.
ƒ
x
(x)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
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27
2.3.1.3.
Distribuição de Parâmetros Geotécnicos
Como foi mencionado, a distribuição Log-Normal é sempre positiva, como
os parâmetros usados em problemas geotécnicos, por exemplo, o valor do fator de
segurança, sempre podem ter valores positivos, então esta distribuição é
usualmente adequada.
Baecher e Christian (2003) demonstraram que a probabilidade do fator de
segurança ser negativo quando se usa uma distribuição normal é muito baixa, pelo
que a distribuição normal também é válida para problemas geotécnicos.
Na realidade, deveriam se fazer provas de adequabilidade para poder
determinar o melhor ajuste dos dados. As mais usadas são:
- Método Chi Quadrado;
- Método Kolmogorov Smirnov;
- Método Andersen Darling.
2.4.
Tratamento Estatístico dos Dados
2.4.1.
Analise Gráfico da Amostra
A maneira mais comum de representar os dados é mediante um histograma,
também denominada gráfico de barras, onde os dados são agrupados em
intervalos. A altura da barra em cada intervalo, mostra a quantidade de valores
dentro deste intervalo. A Figura 2.4 apresenta um gráfico de barras típico.
Pode-se observar que o histograma é dividido em intervalos de igual
largura. A dificuldade que se encontra na hora de fazer um histograma é definir o
valor dos intervalos quando se tem poucos dados. Sturges (1926) sugere o uso da
equação 2.5 para definir o número de intervalos (k), onde n é o número de dados.
10
1 3.3logkn=+ (2.5)
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28
Figura 2.4 – Histograma típico.
O uso de histogramas é muito limitado quando se dispõe de um número
pequeno de dados. Recomenda-se por tanto o uso de funções de distribuição de
probabilidade (Normal ou Log-normal), ou ainda o uso de funções de distribuição
cumulativa (CDF).
2.4.2.
Análise da Amostra
Os parâmetros comumente utilizados para a análise da amostra são a média
e a variância da amostra.
A média da amostra também denominada média aritmética é representado
por:
1
1
()
n
i
i
Ex x
n
=
=
∑
(2.6)
A média da amostra indica o centro de gravidade de uma distribuição de
probabilidade.
A variância da amostra relaciona-se com os quadrados dos desvios da
variável x em relação à média E(x), sendo definida por:
Limite
de Plasticidade
Número de medidas
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29
2
1
1
() ( ())
1
n
i
i
Vx x Ex
n
=
=−
−
∑
(2.7)
Onde o desvio padrão da amostra (
σ) é definido como a raiz quadrada da
variância, denotado por:
2
1
1
(())
1
n
i
i
x
Ex
n
σ
=
=−
−
∑
(2.8)
O desvio padrão expressa a dispersão de uma variável aleatória com respeito
ao valor esperado ou a média.
Uma maneira mais conveniente de expressar a dispersão dos dados é com o
coeficiente de variação da amostra Cov(X), definido pela equação 2.9.
()
()
()
x
Cov X
Ex
σ
= (2.9)
Uma estimativa rápida do desvio padrão pode ser alcançada mediante o uso
da amplitude da amostra (r
x
), que é definida por:
max minx
rx x=− (2.10)
Onde r
x
é a diferença entre os valores máximo e mínimo da amostra. Se os
dados são normalmente distribuídos, pode-se obter uma estimativa de σ’, com
base na amplitude da amostra r
x
e num fator N
n
, o qual é definido por:
(
)
max minn
Nx x
σ
=− (2.11)
A equação 2.11 foi proposta por Burington e May (1970) e o fator Nn pode
ser obtido pela Tabela 2.2, onde n é o número de amostras.
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30
Tabela 2.2 – Valores do fator Nn para estimar o desvio padrão, Burintong e May (1970).
n N
n
n N
n
n N
n
2 0,886 11 0,315 20 0,268
3 0,510 12 0,307 30 0,244
4 0,486 13 0,300 50 0,222
5 0,430 14 0,294 75 0,208
6 0,395 15 0,288 100 0,199
7 0,370 16 0,283 150 0,19
8 0,351 17 0,279 200 0,18
9 0,337 18 0,275
10 0,325 19 0,271
Este método de estimativa rápida do desvio padrão somente pode ser usado
quando a dispersão dos dados é simétrica (Baecher e Christian, 2003), devido a
ser afetado fortemente pelos extremos. Para dispersões assimétricas, este método
não é recomendado. Em geral, as propriedades geotécnicas são simétricas, no caso
de propriedades hidráulicas, a distribuição é usualmente assimétrica.
Duncan (1999, 2000) descreveu o uso da “Three Sigma Rule” proposta por
Daí e Wand (1992), para o cálculo do desvio padrão em geotecnia. É baseada no
fato de que o 99.7% (Figura 2.5) dos dados normalmente distribuídos estão dentro
de
±3σ, sendo o desvio padrão (σ) obtido pela expressão 2.12.
6
HCV LCV
σ
−
= (2.12)
Onde HCV é o maior valor concebível para o parâmetro em questão e LCV
é o menor valor concebível (ou possível).
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31
Figura 2.5 – “Three Sigma Rule” , Daí e Wand (1992).
Duncan (2000) estendeu o uso da “Three Sigma Rule” a um método gráfico,
como apresentado na figura 2.7, que é um caso prático encontrado na geotecnia.
Figura 2.6 – “Three Sigma Rule” aplicado graficamente na obtenção dos parâmetros de
resistência c e Ø, Duncan (2000).
Função de densidade de probabilidade Normal
Valor da variável
Menor Valor
Concebível
(LCV)
Valor
Provável
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32
Duncan (2000) sugere o uso da “Three Sigma Rule” para obtenção do
desvio padrão, e pode ser usada quando dados limitados são fornecidos ou quando
nenhum dado é encontrado, e também para julgar razoáveis coeficientes de
variação publicados na literatura.
O método de “Three Sigma Rule” foi criticado por Christian e Baecher
(2001) devido ao fato de que a obtenção dos valores mais alto e mais baixo (HCV,
LCV), dos parâmetros requer engenheiros com bom senso e experiência.
Utilizando a equação 2.11 para uma obtenção rápida do desvio padrão na
forma:
(
)
max min
n
xx
N
σ
−
= (2.13)
Para 10 ensaios (n=10) o valor de N
n*
é 3,078 (inverso de N
n
na Tabela 2.2).
Ao usar a “Three Sigma Rule” (equação 2.12), o valor de N
n*
tem que ser igual a
6,0. Duncan (2001) sugere que o uso da “Three Sigma Rule” tem que ser
acompanhado com a Tabela 2.2 e requer um engenheiro experiente, na
determinação do provável desvio padrão do parâmetro.
2.4.3.
Análise da Correlação entre Variáveis
Em qualquer análise geotécnica é usual se lidar com mais de uma variável
aleatória (coesão, ângulo de atrito, peso específico do solo, poropressões, largura
da camada, etc.). A incerteza de uma variável pode estar associada à incerteza de
outra, não sendo independente, o que pode afetar significativamente o resultado da
análise.
O coeficiente de correlação entre duas variáveis define como a variação em
um parâmetro pode afetar o valor da outra variável.
Vieira (1999) comenta sobre o uso indiscriminado, ou o mau uso que pode
ser dado à interpretação da correlação entre variáveis. Segundo o autor, a
*
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33
correlação entre duas variáveis nem sempre significa uma relação de causa e
efeito. Muitas vezes existe uma terceira variável, não estudada, que determina
tanto os aumentos em x como os aumentos (ou diminuições) em y.
Portanto, a correlação entre variáveis não indica que uma causa a outra,
mostra apenas que existe uma relação linear acidental entre elas.
Wolff e Harr (1987), Mostyn e Li (1993), e Mais, Giasi e Cherubini (2003)
mostraram a grande sensibilidade que existe na probabilidade de ruptura para a
consideração de algum tipo de coeficiente de correlação.
No caso dos parâmetros de resistência de Mohr Coulomb (c,
Ø), é atribuído
algum tipo de correlação. Quanto maior é o ângulo de atrito (
Ø), menor pode ser a
coesão (c). Assim poderia haver uma correlação negativa, e a incerteza no ângulo
de atrito estaria muito influenciada na incerteza da coesão.
O coeficiente de correlação sempre deve ser obtido quando houver
suficientes dados disponíveis. Na ausência de dados suficientes, não é
recomendável a obtenção de algum tipo de coeficiente de correlação.
Antes de definir o coeficiente de correlação é preciso definir a covariância
entre duas variáveis (x, y), dada por:
()()
1
1
(, ) (). ()
1
n
ii
i
Cxy x Ex y Ey
n
=
=−−
−
∑
(2.14)
No caso em que x e y sejam independentes, C(x, y) é igual a zero. Agora se
pode definir o coeficiente de correlação ρ(X, Y) dado por:
(, )
(, )
x
y
Cxy
xy
ρ
σ
σ
=
(2.15)
Onde σ
x
e σ
y
são os desvios padrão das variáveis x, y.
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34
É importante deixar claro que o coeficiente de correlação é uma medida só
da associação linear entre variáveis. Assim duas variáveis altamente dependentes
de uma forma não linear podem ter um coeficiente de correlação igual a zero.
O intervalo do coeficiente de correlação (equação 2.15) é entre +1 e -1,
indicando perfeita correlação linear positiva para ρ= +1. Por outro lado ρ = -1
indica perfeita correlação linear negativa, enquanto ρ= 0 indica que não há
associação entre as variáveis consideradas.
Holtz e Krizek (1972) mostram um coeficiente de correlação negativo entre
o teor de umidade e a densidade seca (Figura 2.7). Eles também mostram um
baixo coeficiente de correlação positivo entre a densidade seca e a resistência à
compressão não confinada (Figura 2.8).
Figura 2.7 – Correlação negativa forte entre duas varáveis, Holtz e Krizek (1972).
Figura 2.8 - Correlação positiva baixa entre duas variáveis, Holtz e Krizek (1972).
Teor de Umidade %
Densidade Seca
(
t/m
3
)
Densidade Seca
(
t/m3
)
Coeficiente
de
Correlação
(ρ) = -0,96
Coeficiente
de
Correlação
(ρ) = 0,25
Esforço à compressão não
confinada (t/m
3
)
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35
No caso de problemas de estabilidade de taludes, as variáveis usuais são os
parâmetros de resistência, peso específico do solo e condições de poropressão,
porem suas incertezas não são independentes e devem ser determinadas.
Alonso (1976) mostra que a contribuição da incerteza da densidade do solo
é insignificante às demais incertezas presentes numa análise de estabilidade de
taludes. Isto é devido ao fato de que a determinação do peso específico do solo,
obtida em laboratório, geralmente é precisa e mostra um pequeno desvio padrão.
As análises de estabilidade de taludes são pouco sensíveis às variações do
peso específico do solo, pelo que este parâmetro geralmente é tomado como um
dado determinístico e não uma variável aleatória. É usual, por tanto que o
coeficiente de correlação do peso específico com as propriedades de resistência do
solo seja desprezado.
2.4.4.
Valores de Coeficiente de Variação Usuais em Solos
Na literatura encontra-se diferentes valores de coeficiente de variação (Cov),
definidos pela equação 2.13. Estes valores de Cov podem ser de grande utilidade
para se validar um determinado parâmetro de solo. Valores típicos estão
apresentados na Tabela 2.3.
O coeficiente de variação (Cov) descreve quanto os dados estão longe da
média, sendo, portanto função da variação espacial dos dados. Segundo Phoon e
Kulhawy (1999a), o maior problema em usar os coeficientes de variação
encontrados comumente na literatura é que estes não removem a tendência que
podem apresentar os dados de solo (por exemplo, com a profundidade).
A não remoção da tendência dos dados pode superestimar o Cov, a menos
que o parâmetro não mostre uma tendência com a profundidade, ou seja,
constante, como mostrado na Figura 2.9.
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36
Tabela 2.3 – Coeficientes de variação típicos de solos.
Características do Solo Cov(%) Referência
Densidade 3-7 Harr (1987), Kulhawy (1992)
Ângulo de Atrito Efetivo (Ø’)
(Areias)
2-13 Harr (1987), Kulhawy (1992), Duncan (2000)
5-15
Lumb (1974), Hoeg e Murarka (1974), Singh
(1971).
Ângulo de Atrito (argilas) 12-56
Lumb (1974), Singh (1971)
Resistência não Drenada (Su)
13-40
Harr (1987), Kulhawy (1992), Lacasse e
Nadim (1996)
20-50
Lumb (1974), ), Singh (1971)
Resistência não drenada (Su),
Ensaio de palheta.
10-20
Kulhawy (1992)
10-40
Phoon e Kulhawy (1999a)
N de SPT
15-45
Harr (1987), Kulhawy (1992)
10-70
Phoon e Kulhawy (1999a)
Coeficiente de adensamento 33-68
Duncan (2000)
Pressão de Pré adensamento
(
σ’a)
10-35
Harr (1984), Duncan (2000), Lacasse e
Nadim (1996)
Limite de Liquidez 2-48
Lumb (1974), Singh (1971), Kuhn (1971),
Mitchell (1993).
Limite de Plasticidade 9-29
Lumb (1974), Singh (1971), Kuhn (1971),
Mitchell (1993).
Índice de Plasticidade 7-79
Lumb (1974), Singh (1971), Kuhn (1971),
A Figura 2.9 mostra uma variância total de 45 bpf
2
considerando tendência
nula com a profundidade. Quando é considerada uma tendência linear, obtida por
métodos de regressão, a variância residual encontrada é de 11bpf
2
. Isto representa
só 25% da variância total, mostrando claramente que a consideração da tendência
diminui em 75% a variância da variável N
SPT
.
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37
Figura 2.9 – Efeito da não remoção da tendência no cálculo da variância ou Cov, em
dados de N do SPT em areias, Baecher e Christian (2003).
Todos os métodos descritos neste capítulo não consideram a existência de
uma tendência para o cálculo da variância (ou desvio padrão ou covariância) pelo
que ferramentas adicionais devem ser desenvolvidas para a melhor quantificação
da variância. Estas ferramentas estão descritas no Capítulo 3.
Valor de N (SPT)
Profundidade (m)
Linha de Tendê
ncia
Variância total = 45bpf
2
Variância residual = 11bpf
2
Blows per foot = bpf
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38
3
INCERTEZAS E VARIABILIDADE ESPACIAL DAS
PROPRIEDADES DOS SOLOS
3.1.
Introdução
Na geotecnia, existe uma incerteza inerente ao cálculo das propriedades
médias dos solos, devido ao fato de que a quantidade de ensaios disponíveis para
poder quantificar estas propriedades é sempre limitada, tanto no campo como no
laboratório.
Incertezas são devidas também às conseqüências da perturbação do solo nos
parâmetros de resistência, devido à instalação de instrumentação ou à extração de
amostras. A mais importante fonte de incerteza são as condições geológicas, as
quais estão relacionadas à variabilidade espacial das propriedades do solo.
A Figura 3.1 apresenta um perfil típico de um depósito glacial onde se pode
notar a grande variabilidade espacial das características do solo, em especial a
permeabilidade.
Na realidade as características dos solos apresentam uma estruturação
espacial. As características podem ser similares em pontos próximos, mas podem
modificar-se significativamente para pontos mais afastados. Existe, portanto, uma
distância de autocorrelação que define a distância até onde as propriedades do
solo mostram forte correlação.
Deve-se deixar claro que em geotecnia é mais importante se considerar a
variação espacial de uma propriedade de trecho a outro, não importando a
variação espacial de um ponto a outro.
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39
Figura 3.1 – Perfil da permeabilidade do solo de um depósito glacial, Terzaghi, Peck e
Mesri (1996).
A seguir apresentam-se as principais fontes de incerteza. Cada uma delas é
quantificada pela variância do parâmetro em torno de seu valor médio, e a soma
de todas as incertezas é a variância total do parâmetro, a ser utilizada na análise
probabilística.
3.2.
Fontes de Incerteza
Vanmarcke (1977a) propõe que as fontes de incerteza na caracterização de
estruturas de solo sejam divididas em três fontes. A primeira é devido à natural
heterogeneidade ou variabilidade dos solos in-situ. A segunda diz respeito à
limitação das informações disponíveis para a caracterização do solo. A terceira
fonte de incerteza deve-se aos erros nas medições das propriedades dos solos.
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40
Lacasse e Nadim (1996) dividiram as incertezas geotécnicas em dois
grupos: inerente (ou natural) e devido à carência de conhecimento.
Morgenstern (1995) propõe separar a incerteza geotécnica em três distintas
categorias: incerteza nos parâmetros, incerteza nos modelos e incerteza humana.
Neste capítulo serão descritas brevemente as categorias propostas por
Morgenstern.
3.2.1.
Incerteza nos Parâmetros
Baecher (1987) atribui a incerteza dos parâmetros do solo a duas fontes:
dispersão dos dados e erro sistemáticos. A dispersão dos dados é referida à
dispersão ao redor da média, e pode ser subdividida em variabilidade espacial e
erros aleatórios. Erros sistemáticos são referidos ao desvio na tendência medida,
em relação à tendência verdadeira (não conhecida). Os erros sistemáticos por sua
vez, se subdividem em erro estatístico e desvio (“bias”) nas medidas. A Figura 3.2
ilustra estas definições.
Figura 3.2 – Fontes de incerteza nos parâmetros, El-Ramly (2001).
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41
3.2.1.1.
Dispersão dos Dados: Variabilidade Espacial
A variabilidade espacial representa as variações inerentes que as
propriedades do solo apresentam em regiões distintas, mesmo em depósitos
homogêneos.
Um dado parâmetro do solo mantém-se constante ou com pouca variação
em posições adjacentes (numa distância r). Porém, com o incremento da distância
(r), a variação deste parâmetro pode ser significativa. Assim a variabilidade
espacial não é um processo aleatório, pois é controlado por alguma forma de
correlação, relacionando os parâmetros do solo com a posição no espaço (EL-
Ramly, 2001).
Os métodos usuais de avaliação probabilística da estabilidade de taludes não
consideram este aspecto da variação da variabilidade espacial das propriedades do
solo em uma distância r. Isto é relevante devido ao fato que a não consideração
deste aspecto leva à super-estimativa da probabilidade de ruptura.
Lacasse e Nadim (1996) consideram que a variabilidade espacial dos solos
pode ser causada por variações na composição mineralógica, história de tensões,
processos físicos e mecânicos em sua decomposição e condições ambientais
durante sua deposição ou formação.
3.2.1.2.
Dispersão dos Dados: Erros Aleatórios
Os erros aleatórios (“Random Testing Errors”) são originados durante as
medições feitas no campo ou no laboratório, devido a erros humanos ou
deficiências no aparelho onde se determinou a propriedade do solo. Estes erros
mudam de lugar onde foram determinadas as propriedades, e podem dar dados
acima ou abaixo da média. Este tipo de erro pode ser minimizado assegurando que
os procedimentos utilizados são corretos e de acordo com as normas
internacionais, como ASTM, ABNT, etc.
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42
Uma forma de determinar estes tipos de erro é fazendo uma série de ensaios
com o mesmo equipamento, mesmo operador e mesma amostra. Na realidade, isto
não é possível fazer na prática quando os ensaios são destrutivos. Limites de
Atterberg (Limite de Liquidez e Limite de Plasticidade) são exemplos de ensaios
não destrutivos cuja repetição permite determinar este tipo de erro. Erros
aleatórios não constituem uma variação real das propriedades do solo e devem ser
eliminados da análise.
3.2.1.3.
Erros Sistemáticos: Erros Estatísticos
O cálculo do valor médio é função da quantidade de dados disponíveis para
a análise. Quanto maior a quantidade de dados, menor é a incerteza no cálculo da
média, mas como se cita na prática diária da engenharia, o cálculo do valor médio
dos dados é sempre baseado em pequena quantidade de dados, que é somente uma
estimativa do valor médio da população.
Este problema geralmente origina-se do fato de que os programas de
investigação são sempre limitados e controlados pelo orçamento.
Resumindo, o erro estatístico é a incerteza na estimação da média, devido a
uma quantidade limitada de dados, onde a verdadeira média representante da
população pode ser outra (Figura 3.2).
3.2.1.4.
Erros Sistemáticos: Desvio (“bias”) nas Medidas
O desvio (“bias”) nas medidas é relacionado ao fato de que as medidas do
valor de um parâmetro podem ser superestimadas ou subestimadas nos ensaios de
laboratório ou de campo, devido a amolgamento do solo, uso inadequado de um
equipamento ou modelos (correlações) para interpretar os dados.
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43
Os modelos de desvio (“bias”) de um parâmetro são em geral estimados
empiricamente, comparando-se os valores medidos com previsões do parâmetro,
em casos reais de obras geotécnicas, como por exemplo, uma ruptura por
deslizamento.
Um dos exemplos mais clássicos e conhecidos de desvios (“bias”) nas
medidas é o fator de correção (μ) proposta por Bjerrum (1972), ilustrada na
(Figura 3.3). Ele observou que a resistência não drenada obtida em ensaios de
palheta é superestimada em argilas altamente plásticas, sendo necessária sua
correção pelo fator.
A determinação do parâmetro de correção foi realizada comparando os
valores de S
u
medidos com a palheta, com os resultados de S
u
em retro análises de
rupturas.
Figura 3.3 – Fator de correção da resistência não drenada Su, Bjerrum (1972).
Índice de Plasticidade, IP (%)
.
campo palheta
uu
ss
μ
=
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44
3.2.2.
Incerteza nos Modelos
Um dos problemas do engenheiro é definir o melhor modelo para
representar as condições reais, em uma determinada situação. Geralmente estes
modelos apresentam simplificações e aproximações, e podem só capturar algumas
das características da realidade. Assim, é preciso o julgamento do engenheiro para
poder tomar a decisão de qual modelo deve ser utilizado.
A incerteza nos modelos é uma das maiores fontes de incerteza em
engenharia geotécnica (Morgenstern, 1995; Whitman, 1996).
Em análises de probabilidade e confiabilidade, em especial no caso de
estabilidade de taludes, a incerteza no modelo se relaciona com a distribuição de
densidade de probabilidade a ser utilizada (Normal ou Lognormal), para melhor
representar as variáveis aleatórias.
3.2.3.
Incerteza Humana
A incerteza humana é devido à carência ou falta de conhecimento, ou à
comunicação inapropriada entre as pessoas responsáveis pelo projeto. Este tipo de
incerteza é freqüentemente aleatório e imprevisível.
De todas estas fontes de incertezas, as que podem ser quantificadas são as
incertezas nos parâmetros. As incertezas no modelo e as incertezas humanas são
de difícil quantificação e são geralmente desprezadas na prática.
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45
3.3.
Variabilidade Espacial dos Parâmetros dos Solos
As propriedades de todos os solos variam de um lugar a outro ainda se tenha
um depósito homogêneo. Como mencionado anteriormente, a variabilidade é
atribuída a variações mineralógicas, geológicas, história de tensões, representando
a maior fonte de incerteza em uma análise.
Na realidade, as propriedades dos solos não variam aleatoriamente no
espaço. As variações são graduais e seguem uma conduta que pode ser
quantificada usando estruturas de correlações espaciais, onde as propriedades dos
solos são tratadas como variáveis aleatórias (Elkated et al, 2003).
As propriedades dos solos têm uma forte correlação em locais adjacentes,
sendo medido pela distância de autocorrelação ou distância em que as
propriedades mostram forte dependência. Porém, quando a distância é
incrementada esta correlação diminui até desaparecer. A distância de correlação é
geralmente maior na direção horizontal do que na vertical, devido principalmente
aos processos de formação dos solos.
El-Ramly (2001), através do uso do software geoestatístico GSLIB mostrou
a distribuição de dois sistemas de dados artificiais numa superfície, que têm
semelhantes histogramas, médias e desvio padrão (Figura 3.4). Pode-se observar
que o gráfico superior (3.4.a) mostra uma errática distribuição com pequenas
distâncias de correlação, enquanto que o gráfico inferior (3.4.b) mostra uma alta
continuidade espacial, com maiores distâncias de autocorrelação.
O uso apenas da média e do desvio padrão (Capítulo 2) não é suficiente para
quantificar a estrutura da variabilidade espacial, sendo necessárias ferramentas
adicionais.
Uma grande distância de autocorrelação indica um material uniforme ou
homogêneo, o qual pode ser caracterizado por alguns ensaios separados. Por outro
lado, uma pequena distância de autocorrelação implica um material cujas
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46
propriedades mudam rapidamente sobre pequenas distâncias (Christian et al 1992,
1994).
Baecher e Christian (2003) mostraram as medidas de propriedades
executadas num dado comprimento (Figura 3.5) em dois diferentes tipos de solos,
que têm uma mesma distribuição normal e valores iguais de média e desvio
padrão. Pode-se notar que uma modelagem dos parâmetros só com a média e o
desvio padrão não permite quantificar adequadamente as propriedades dos solos
num ponto de interesse, requerendo, portanto, ferramentas adicionais.
Figura 3.4 – Distribuição espacial em dois conjuntos de dados com histogramas
semelhantes, El-Ramly (2001).
Figura 3.5 – Variação espacial das propriedades em dois solos, modificado de Baecher e
Christian (2003)
()
Parâmetro
ξ
()
Parâmetro
ξ
Direção X
Direção X
Fre
q
üênci
a
Dire
ç
ão Y Dire
ç
ão Y
Fre
q
üênci
a
()
Escala do
Parâmetro
ξ
()
Escala do
Parâmetro
ξ
Número de dados: 2500
E(
ξ
)= 2,58
σ(
ξ
)= 3,99
Cov(
ξ
)= 1,55
Maximo= 30,00
Mínimo= 0
,
00
Número de dados: 2500
E(
ξ
)= 2,48
σ(
ξ
)= 4,85
Cov(
ξ
)= 1,96
Maximo= 30,00
Mínimo= 0
,
00
Solo I Solo II
3.4a
3.4b
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47
3.3.1.
Modelo Simplificado para a Quantificação da Variabilidade Espacial
Na engenharia, é preciso que a quantificação da variabilidade espacial seja
prática para que a maioria dos engenheiros possa usar esta ferramenta na análise
probabilística. Pioneiramente Vanmarcke (1977a) sugere um modelo simplificado,
onde uma quantidade x
i
medida numa posição i pode ser decomposta em duas
parcelas: a componente da tendência t
i
e a componente residual ε
i
.
Baecher (1987), DeGroot e Baecher (1993), DeGroot (1996), Baecher e
Christian (2003) sugerem também o uso de este modelo como método de
aproximação. A Figura 3.6 mostra o modelo descrito pela seguinte equação:
iii
xt
ε
=
+ (3.1)
Onde
ieivi
ε
εε
=+. A componente residual (ε
i
), por sua vez pode ser
decomposta em duas parcelas: os erros aleatórios
ei
ε
e os erros provenientes da
variabilidade inerente das propriedades dos solos
vi
ε
.
Figura 3.6 – Modelo de variabilidade espacial, aplicados a medidas de pressão de um
dilatômetro, DeGroot (1996).
A quantificação da tendência é feita por métodos de regressão como os
mínimos quadrados, sendo uma medida determinística. A quantificação da
x
i
t
i
z
i
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48
componente residual é realizada estatisticamente, sendo assumido um valor médio
igual a zero e um valor constante de desvio padrão, independente da posição.
Só serão quantificadas as incertezas provenientes dos parâmetros, já que é
mais fácil de ser quantificada, onde a parcela dos erros aleatórios (“Random
Testing Error”) também será desprezada e é recomendável seguir procedimentos
adequados para poder diminuir a incerteza gerada. A parcela de incerteza dos
erros sistemáticos é quantificada na tendência ou valor médio.
A Figura 3.6 mostra que a pressão vai aumentando com a profundidade,
pelo que a tendência é obtida a partir de análise de regressão. Porém este não
sempre é o caso, como mostra a Figura 3.7. Pode-se observar que não existe uma
tendência com a profundidade. Existe apenas um valor médio sendo que a
equação 3.1 pode ser reescrita como:
()
ii
xEx
ε
=
+ (3.2)
Onde E(x) é o valor médio ou valor esperado, definido no capítulo 2.
Em resumo, só serão quantificadas as incertezas provenientes dos erros
sistemáticos e da variabilidade espacial inerente aos dados.
Figura 3.7 – Modelo de variabilidade espacial sem tendência.
x
i
= E(x) + ε
i
E(x)
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49
As propriedades dos solos são em geral consideradas como variáveis
aleatórias, com um valor médio ou uma tendência e uma variância. A tendência ou
média é uma função da localização e é obtida deterministicamente. Na realidade, a
média ou tendência não é uma variável aleatória e deve ser eliminada da análise.
A variância é estimada englobando a dispersão inerente dos dados dos solos
ao redor da média ou tendência (componente residual), e é assumida como
constante em todas as localizações. Esta componente é uma variável aleatória
Em geral a variabilidade espacial dos parâmetros é representada pela
estrutura de correlação da componente residual e não pela tendência ou média. A
componente residual é modelada como uma variável aleatória com média nula e
uma variância ou desvio padrão constante.
A Figura 3.8 ilustra estes conceitos.
Figura 3.8 - Modelo de variabilidade do solo, Neter et al (1990).
Distância z
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50
3.3.1.1.
Estimação da Tendência
Geralmente as propriedades dos solos mostram alguma tendência nas
direções vertical ou horizontal, como está apresentado nas figuras 3.6 ou 3.7.
Esta tendência pode ser ajustada a uma função linear, polinomial ou
qualquer outro tipo de função. Quanto maior é a ordem do polinômio (quadrática,
cúbica), menor é a componente residual e a tendência é mais aproximada aos
dados (Figura 3.9). Segundo Baecher e Christian (2003), a ordem do polinômio
que representa a tendência deveria ser um número menor que a quantidade de
dados representados. A Figura 3.9 mostra uma função linear e quadrática de um
mesmo sistema de dados. Pode-se observar a menor componente residual da
função quadrática.
Figura 3.9 - Funções usuais de uma tendência, Baecher e Christian (2003).
Segundo Baecher e Christian (2003), a seleção de uma tendência linear ou
polinomial é uma decisão que corresponde à quantidade de dados a serem
modelados como uma função determinística, e à quantidade de dados a serem
tratados estatisticamente.
A função recomendável é aquela que tem menos coeficientes, como a linear.
As demais são mais complicadas para uso na prática, devido ao limitado sistema
de dados para a determinação de seus coeficientes.
Medida
Medida
Localização
Localização
Função Linear Função Quadrática
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51
Segundo El-Ramly (2001), quanto maior for o número de parâmetros na
função de tendência, maior será a incerteza associada na determinação destes
parâmetros.
Usando a função linear e métodos de regressão linear, tais como os mínimos
quadrados, a tendência é obtida através de:
0ili
taaz
=
+ (3.3)
A equação 3.1 pode ser reescrita como:
0ilii
xaaz
ε
=
++ (3.4)
Onde a
o
e a
l
são coeficientes de regressão que representam o intercepto e a
inclinação da linha, respectivamente, e z
i
é uma variável independente
(profundidade).
()()
()
0
2
() ()
() ()
()
ii
ll
i
zEzxEx
aaExaEz
zEz
−−
==−
−
∑
∑
KK
(3.5)
No caso que o modelo linear tenha um intercepto na origem, a quantidade a
0
é igual a zero e a quantidade a
l
pode ser reescrita como:
(
)
2
ii
l
i
zx
a
z
=
∑
∑
(3.6)
Em qualquer dos casos, a variância de observações ao redor da tendência ou
média pode ser calculado como:
()
2
()
2
ii
x
t
Vx
n
−
=
−
∑
(3.7)
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52
A equação 3.7 descreve a variação de x devido à inerente variabilidade
espacial (ε
i
). A componente residual ε
i
é assumida com média nula, e uma
variância constante, que pode ser determinada por esta mesma equação (El-Ramly
2001).
Uma equação similar à 3.7 foi proposta por Phoon e Kulhawy (1999a), com
a diferença que a componente residual ε
i
é dividida por n-1, e não por n-2, como
mostrado na seguinte equação:
2
()
1
i
Vx
n
ε
=
−
∑
(3.8)
Segundo Christian, Ladd e Baecher (1992, 1994), a equação 3.7, para o caso
de médias (sem tendência, Figura 3.7) pode ser reescrita como:
()
2
()
()
1
i
x
Ex
Vx
n
−
=
−
∑
(3.9)
3.3.2.
Correlação Espacial entre Componentes Residuais
A componente residual é a que muda de uma zona a outra. Uma vez que seja
quantificada a tendência ou média, a variabilidade espacial descreve a correlação
entre medidas de componentes residuais de solos no espaço. Uma das melhores
formas para quantificar esta variabilidade espacial é através de autocovariância e
semivariograma.
3.3.2.1.
Autocovariância
A autocovariância ( )
x
Cr mede o grau de similitude ou correlação entre duas
componentes residuais do mesmo tipo, separados por uma distância r, podendo ser
expressa como:
(
)
(
)
()
xiiirir
Cr E x t x t
++
=− −
⎡
⎤
⎣
⎦
(3.10)
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53
Nesta equação, x
i
e t
i
são valores medidos na posição i, enquanto x
i+r
e t
i+r
são dados medidos numa posição i+r.
Em pequenas distâncias de separação, o material mostra forte correlação e a
função de autocovariância é alta. À medida que a distância de separação entre os
dois pontos é incrementada, a função de autocovariância decai até zero, não
mostrando nenhuma correlação entre os dados, ou mostrando dados
independentes.
A relação entre ( )
x
Cre r é referida como função de autocovariância, que
descreve a continuidade espacial das variáveis com respeito à distância.
A função de autocovariância pode ser definida como:
()
1
1
() ( ).
1
n
x
i i ir ir
i
Cr x t x t
n
++
=
=−−
−
∑
(3.11)
Na equação 3.11, para r=0, os residuais são os mesmos e a autocovariância
se reduz à variância dos dados V(x). De acordo com o modelo proposto na
equação 3.1, a componente residual é decomposta em erros aleatórios
ei
ε
e na
inerente variabilidade espacial
vi
ε
, pelo que a autocovariância da componente
residual pode ser reescrita como a soma das duas autocovariâncias.
() () ()
xeivi
Cr Cr Cr
=
+ (3.13)
Onde C
ei
(r) é referido à função de autocovariância resultado dos erros
aleatórios e C
vi
(r) é referido à função de autocovariância da variabilidade espacial
inerente dos dados. Quando C
ei
(r) e C
vi
(r) são calculados para r=0, obtém-se a
variância dos erros aleatórios V
ei
(x), e a variância da inerente variabilidade
espacial V
vi
(x). Estes conceitos são ilustrados na figura 3.10. Pode-se notar que
C
ei
(r) é zero para qualquer valor de r, diferente de zero.
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54
Figura 3.10 – Componentes da função de autocovariância, DeGroot (1996).
Segundo DeGroot (1993), a função de autocovariância poderia ser expressa
através de expressões numéricas. Dentro de estas expressões numéricas, existem
várias funções que descrevem o decaimento da função de autocovariância com
respeito ao incremento da distância r. As mais usadas em engenharia geotécnica
são as funções exponencial, esférica e exponencial quadrática Lacasse e Nadim
(1996).
0
() ()
r
r
x
C r V x e Exponencial
−
=→
(3.14)
2
0
() ()
r
r
x
C r V x e Exponencial Quadrado
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
=→ −
(3.15)
3
3
00
3
() ()1
22
x
rr
Cr Vx Esferica
rr
⎡⎤
=−+→
⎢⎥
⎣⎦
(3.16)
De todas estas funções, a função exponencial ou gaussiana é a mais usada,
de acordo com Lacasse e Nadim (1996), Vanmarcke (1977a), Christian et al
(1994). Da função exponencial (Figura 3.10), pode-se obter a distância de
autocorrelação r
0,
que é a distância em que C
x
(r) decai até
1
e
(ou seja, 37%) da
variância da inerente variabilidade espacial V
vi
(x).
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55
3.3.2.2.
Semivariograma
O semivariograma, junto com a autocovariância, define o grau de correlação
ou similitude entre dados separados por uma distância r. Enquanto a
autocovariância é definida como o valor esperado de um produto de duas
observações, o semivariograma é usualmente definido como o valor esperado do
quadrado das diferenças entre duas observações, conforme indicado na equação
3.17 e ilustrado na Figura 3.11.
2
1
() ( ) ( )
2
xij
rEzxzx
γ
⎡
⎤
=−
⎣
⎦
(3.17)
Segundo Baecher (1987) o semivariograma requer menos hipóteses ou
restrições estatísticas em estacionaridade que a autocovariância. Porém uso do
semivariograma é mais difícil de ser usado em aplicações de engenharia, e,
portanto a autocovariância deve ser preferida.
Segundo El-Ramly (2001), o uso do semivariograma no estudo da
variabilidade espacial só deve ser usado em casos onde os dados mostram só uma
média ou onde a tendência pode ser eliminada das observações.
Mais informações sobre o uso do semivariograma para aplicação nas
propriedades de solos podem ser encontradas em Elkateb et al (2003).
Figura 3.11 – Semivariograma de dados de palheta, Baecher e Christian (2003).
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56
3.4.
Estimativa dos Erros Sistemáticos
Estes erros são divididos em erros estatísticos e desvio (“bias”) nas
medidas.
3.4.1.
Erros Estatísticos na Tendência ou Média
Como mencionado na seção 3.2.1.3. este erro é devido à limitação do
número de observações (Ensaios de laboratório ou de campo), para a
determinação da verdadeira tendência ou média das propriedades dos solos.
A tendência ou média é considerada como uma só variável (média), não
mostrando uma variância. Isto é correto somente quando o número de observações
(n) é maior. Quando é limitado, a tendência ou média obtida talvez não seja
representativa de toda a população, sendo preciso considerar a variância devido à
pequena quantidade de observações.
A tendência, segundo a equação 3.1, mostra dois componentes: a
0
e a
l.
A
variância da tendência é devido à variância destes dois componentes, sendo
definidos como:
() ()
2
0
22
() 1 ()
() () ()
() ()
l
ii
Vx Ez
Va Va Vx
n
zEz zEz
⎧
⎫
⎪
⎪
==+
⎨
⎬
−−
⎪
⎪
⎩⎭
∑∑
KK
(3.18)
Quando a tendência passa pela origem, a
0
é zero, e a outra parcela pode ser
reescrita como:
2
()
()
l
i
Vx
Va
z
=
∑
(3.19)
Quando os parâmetros não mostram uma tendência, os dados podem ser
representados por uma média como visto na Figura 3.7. O modelo pode ser
representado segundo a equação 3.2, e a variância da média é obtida como:
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57
[]
2
1
() ()
nn
ij
ij
VEx Cr
n
=
∑∑
(3.20)
Onde Cij(r) é a função autocovariância, para uma distância r entre duas
posições i e j (Baecher, 1987).
Baecher (1987) sugere que a equação 3.20 pode ser simplificada segundo a
equação 3.21, e só deve ser utilizada quando as observações estão bastante
espaçadas. Esta condição se aplica muito bem às verdadeiras condições
encontradas no campo ou no laboratório.
[]
()
()
Vx
VEx
n
= (3.21)
Nesta equação, n representa o número de observações.
3.4.2.
Desvios (“bias”) nas Medidas
Os desvios nas medidas são calculados através de retro análises, onde são
comparados os valores medidos em ensaios de campo e laboratório contra aqueles
obtidos de deslizamentos ocorridos.
El-Ramly (2001) sugere a modificação das equações 3.1 ou 3.2 para a
consideração do desvio (B) no valor médio. Segundo ele, poderiam ser utilizadas
3 combinações:
iiviei
xB t
ε
ε
=+ + (3.22)
i i vi ei
xBt
ε
ε
+=+ + (3.23)
(
)
iiviei
xBt
ε
ε
=++ (3.24)
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58
3.5.
Uso da Média Espacial na Quantificação da Variabilidade Espacial
dos Solos
Uma das maiores contribuições para a quantificação da variabilidade
espacial das propriedades dos solos foi realizada por Vanmarcke (1977a, 1977b,
1983). Segundo ele uma das melhores formas de lidar com a variabilidade
espacial dentro de uma massa de solo “estatisticamente homogênea”, é mediante o
uso de médias espaciais (“Spatial Averages”) de comprimentos, superfícies ou
volumes. Diz-se que um solo é estatisticamente homogêneo em relação a um
parâmetro, se seus valores médios e dispersão não se alteram ao longo de uma
dada direção, e se a correlação entre os desvios em duas diferentes localizações é
uma função só da distância de separação e não de sua posição absoluta.
Tipicamente, os ensaios no laboratório e no campo são realizados com
amostras de solo de volumes pequenos comparados com o volume total de solo a
representar. Assim, os valores obtidos podem ser considerados pontuais, sendo a
variância e o desvio padrão obtidos do conjunto de todos os dados pontuais da
área de estudo.
Em engenharia geotécnica é mais importante a representação das
propriedades dos solos sobre comprimentos, superfícies ou volumes maiores, que
possam representar melhor suas características. O funcionamento de uma estrutura
é mais influenciado por suas propriedades médias de todo o comprimento,
superfície ou volumem, e não pelas características pontuais.
No caso especial de estabilidade de taludes, a resistência do solo é
controlada pela resistência média de toda a massa de solo e não pela resistência
média do solo numa particular localização dentro da superfície de deslizamento,
exceto nos casos de ruptura progressiva.
Com o aumento do comprimento ou superfície ou volume sobre os quais são
tiradas as médias espaciais, as flutuações dos parâmetros tendem a se compensar,
causando uma redução do desvio padrão das médias espaciais com respeito ao
desvio padrão dos dados de campo (os quais são considerados pontuais). Os
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59
valores médios, porém, permanecem constantes. A figura 3.12 ilustra este
conceito, em comprimentos z
i
:
Figura 3.12 – Redução do desvio padrão produto de incrementos de z
i
, modificado de
Vanmarcke (1983).
Em resumo, a consideração de todos os ensaios de campo e laboratório que
representam a variância ou desvio padrão total da zona em estudo e que são iguais
em qualquer ponto da zona em estudo, exagera o desvio padrão que é encontrado
em comprimentos, superfícies ou volumes médios.
Do modelo proposto no item 3.3.1 para a quantificação da variabilidade
espacial é preciso adicionar o parâmetro (
δ
), denominado escala de flutuações
(Figura 3.13). Este define a distância até onde as propriedades do solo mostram
forte correlação ou dependência, e pode estar acima ou por abaixo da média.
A escala de flutuações (
δ
) e a distância de autocorrelação r
0
têm o mesmo
significado, mas diferem em quantidade.
σ
2
<σ
1
<σ
z
1
<z
2
σ
1
>σ
2
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60
Figura 3.13 - Variabilidade espacial inerente do solo, Phoon e Kulhawy (1999a).
3.5.1.
Fator de Redução na Variância
O fator de redução na variância (
Γ
) mede o decaimento da variância total
da zona de análise (ou pontual) de volume de solo (V(x)), sobre um volume de
solo médio (V
ΔV
(x)) e é definido como:
()
()
V
V
Vx
Vx
Δ
Δ
Γ= (3.25)
Para análises bidimensionais, como em estabilidades de taludes, a variância
média de volume de solo (V
ΔV
(x)) pode ser mudada por V
LV
(x) que é a variância
média de um comprimento, e pode ser expresso em função dos desvios padrões
como:
()
z
z
σ
σ
Δ
Δ
Γ= (3.26)
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61
A equação 3.26 descreve o decaimento do desvio padrão num comprimento,
produto das médias espaciais, como mostrado na Figura 3.14. Nesta figura a
média do intervalo Δz é igual à média de todo o comprimento (z). Porém, o desvio
padrão
σ
z
é menor que o desvio padrão de todo o comprimento σ, e diminui à
medida que a distância Δz se incrementa.
Quando o comprimento Δz é zero, o valor σ
Δz
é igual a ()
σ
e o fator de
redução torna-se igual a 1,0. A equação 3.25 pode ser generalizada a superfícies
ou volumes de solos.
Figura 3.14 – Definição de fator de redução da variância, Vanmarcke (1983).
Vanmarcke (1977a) e Baecher (1987) sugerem que no caso de taludes o
fator de redução da variância pode ser aproximado como a proporção entre a
distância de autocorrelação r
0
e o comprimento de deslizamento unidimensional
(L) na camada do solo, descrita pela equação 3.27.
0
2r
f
L
=
(3.27)
Vários autores usaram a equação 3.27 em análises de confiabilidade e
probabilidade de ruptura de taludes pelos métodos descritos no capítulo 4
(Vanmarcke 1977b, Lacasse e Nadim 1996, Christian et al 1994), com o intento
de avaliar a redução da variância da variabilidade espacial das propriedades dos
solos, resultante das médias espaciais.
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62
Segundo Vanmarcke (1977a) uma maneira útil de interpretar a equação 3.27
é considerar 2r
o
como a distância elementar (mínima) que pode ser usada para
medir L.
Quando a equação 3.26 é elevada ao quadrado, resulta numa função de
variância
2
()zΔ
Γ que descreve o decaimento da variância das médias espaciais com
o aumento do intervalo de medição Δz (Figura 3.15).
A função da variância
2
()zΔ
Γ está relacionada à função de correlação ρ(r),
onde r é a separação de dados de solos:
2
()
0
2
1()
z
z
r
rdr
zz
ρ
Δ
Δ
⎛⎞
Γ= −
⎜⎟
ΔΔ
⎝⎠
∫
(3.28)
As funções de correlação comumente usadas na prática são: Exponencial,
Exponencial Quadrática, como descritas na seção 3.3.2.1 e definidas na Tabela
3.1.
Tabela 3.1 – Funções de correlação e variância.
Função de correlação Função de variância
Exponencial
()
2
r
a
re a
δ
ρ
−
=→=
2
2
()
21
z
a
z
az
e
za
−Δ
Δ
Δ
⎛⎞⎛ ⎞
Γ= −+
⎜⎟⎜ ⎟
Δ
⎝⎠⎝ ⎠
Exponencial Quadrática
(Gaussiana)
()
2
()
r
b
re b
δ
ρ
π
−
=→=
()
2
2
2
1
z
b
z
bzz
Ee
zbb
π
Δ
−
Δ
⎡
ΔΔ ⎤
⎛⎞ ⎛⎞
Γ
=+−
⎜⎟ ⎜⎟
⎢
⎥
Δ
⎝⎠ ⎝⎠
⎣
⎦
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63
Figura 3.15 – Função de variância versus a média de intervalos Δz, normalizados com
respeito à escala de flutuações, Vanmarcke (1983).
Segundo Vanmarcke (1983), a função de variância pode ser aproximada por
uma única função (Função 4, Figura 3.15), indicando nenhuma redução na
variância
()
2
1
zΔ
Γ=, devido a médias locais Δz, quando a escala de flutuações ( )
δ
é menor ou igual a Δz, indicando uma correlação perfeita
() 1r
ρ
=
. Segundo o
autor lidar com médias locais (Δz) menores que a distância de flutuações
()
δ
é
pouco prático e desnecessário, devido ao fato que, nas aplicações práticas as
distância de observação são maiores.
Em resumo o modelo de Vanmarcke (1977a) é descrito como:
()
2
1
z
z
z
z
δ
δ
δ
Δ
→Δ ≤
⎧
⎪
Γ=
⎨
→Δ ≥
⎪
⎩Δ
(3.29)
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64
Vanmarcke (1983) propõe uma expressão para obter o coeficiente de
correlação entre dois pares de médias locais
12
(, )zz
Δ
Δ , separados uma distância
0
()z . O esquema, e é definido pela equação 3.30 e ilustrado na Figura 3.16.
()
2222
00 33 44 55
12
0.5
12 1 2
() () () ()
(, )
2()()
zz zz zz zz
zz
zz z z
ρ
Γ−Γ+Γ−Γ
ΔΔ =
Δ Δ ΓΔ ΓΔ
(3.30)
Figura 3.16 – Coeficiente de correlação entre dois pares de médias locais
12
(, )zzΔΔ ,
modificado de Vanmarcke (1983).
Estes últimos conceitos foram à base para o desenvolvimento do método de
probabilidade de ruptura de taludes, considerando a variabilidade espacial dos
parâmetros dos solos, e o uso da técnica de Monte Carlo. Este método, proposto
por El-Ramly (2001), está explicado no capítulo 4.
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65
3.5.2.
Distância de Autocorrelação (r
0
)
A distância de autocorrelação é à distância até onde as propriedades dos
solos mostram forte correlação ou persistência. È difícil de ser obtida devido à
limitação do número de observações feitas no campo ou no laboratório. Assim é
preciso fazer aproximações com o intento de poder quantificar a variabilidade
espacial dos parâmetros de incerteza.
As distâncias de autocorrelação não são iguais nas direções horizontal e
vertical, sendo na realidade anisotrópicas. Como foi dito a distância horizontal é
sempre maior que a vertical, devido a processos geológicos. Na prática, é comum
considerar distâncias de autocorrelação horizontais e verticais.
Journel e Huijbregts (1978) representam numa elipse (Figura 3.17) as
distâncias de autocorrelação verticais e horizontais
00
(, )
vh
rr .
Figura 3.17 – Distância de autocorrelação horizontal ou vertical, El-Ramly (2001).
Segundo El-Ramly (2001), é preciso determinar que distância de
autocorrelação é mais importante na análise. No caso de estruturas de retenção,
onde a pressão de terra está controlada pela variabilidade do solo com a
profundidade (z), o uso da distância de autocorrelação vertical é muito mais
importante que a horizontal. No caso em que a distância de autocorrelação
horizontal e vertical for importantes na análise, a variabilidade das propriedades
dos solos pode ser obtida aproximadamente por uma estrutura espacial isotrópica
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66
mediante uma distância de autocorrelação isotrópica equivalente (r
0-e
), definida
como:
000ehv
rrr
−
= (3.31)
El-Ramly (2001) resumiu as principais distâncias de autocorrelação
encontradas na literatura na Tabela 3.3. Ele sugere o uso destes dados como uma
boa aproximação para a quantificação da variabilidade espacial dos solos, mas
também sugere análises de sensibilidade das distâncias de autocorrelação. Onde
estas distâncias de autocorrelação influírem muito nas análises, é recomendável a
determinação de distâncias de autocorrelações locais, mediante um programa de
exploração da zona considerada.
A escala de flutuações e a distância de autocorrelações estão relacionadas
mediante a função de correlação descrita na Tabela 3.2.
Tabela 3.2 – Relação entre distância de autocorrelação e escala de flutuações.
Função de Correlação
Escala de Flutuações
δ
Exponencial 2r
0
Gaussiana √πr
0
A distância de autocorrelação r
0
é definida como a distância em que a
função de autocorrelação ou a função de autocovariância, descritas no item
3.3.2.1, diminui 37% da variância da data (V(x)) em qualquer destas duas funções.
Segundo Christian et al (1992), a função de autocovariância vertical para
determinar a distância de autocorrelação vertical (
0v
r ), deve ser quantificada
utilizando a informação de uma mesma sonda. Para obter a função de
autocovariância horizontal, são usados dados de diferentes sondas a uma mesma
cota de terreno, para se obter a distância de autocorrelação horizontal (
0h
r ).
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67
Tabela 3.3 – Distâncias de autocorrelações ro, El-Ramly (2001).
Ensaio de
Medição
Tipo de Solo
r
0v
(m)
r
0h
(m)
Fonte
Palheta
Argila orgânica
mole
1,21 – 3,11 - Asaoka e A-Grivas, 1982
Argila Sensitiva 3,0 30,0 Soulie et al, 1990
Argila muito
mole
1,05 22,10 Bergado et al, 1994
Argila Sensitiva 2,0 - Chiasson et al, 1995
Compressão
não confinada
Argila de
Chicago
0,4 - Wu, 1974
Argila Mole 2,0 40,0 Honjo e Kuroda, 1991
Laboratório
Triaxial 3,57 - Keaveny et al, 1989
Cisalhamento
direto
1,39 - Keaveny et al. 1989
Piezocone
(CPT)
Argila do Mar - 30,0 Tang, 1979
Areia limpa 1,56 - Kulatilake et al, 1988
Solo de Mar - 13,89 Keaveny et al, 1989
Solo de Mar - 37,51 Keaveny et al, 1989
Argila siltosa 1,0 -
Lacasse e Lamballerie,
1995
Argila Sensitiva 2,0 - Chiasson et al,1995
Argila Laminada - 9,6 Lacasse e Nadim, 1996
Arena Densa - 37,5 Lacasse e Nadim, 1996
Dilatômetro
Argila
estratificada
1,03 - DeGroot, 1996
Segundo El-Ramly (2001), do observado na Tabela 3.3 em resumo a
distância de autocorrelação vertical varia entre 1-3m, e as distâncias de
autocorrelação horizontal variam entre 20-40m. E segundo o sumario feito na
Tabela 3.4, a escala de flutuações vertical em média estão num intervalo de 1-6m,
e a escala de flutuações horizontal estão entre 40-60m e em média
0
2r
δ
≈
.
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68
Segundo Vanmarcke (1977b) a escala de flutuações verticais pode ser até
5m e a escala de flutuações horizontais até 46m, segundo Phoon e Kulhawy
(1999a) a escala de flutuações verticais para diferentes propriedades de solos se
encontra entre 1 e 6, e a escala de flutuações horizontal entre 40 e 50m. Segundo
Giasi, Masi e Cherubini (2003) a escala de flutuações vertical, se encontra entre
0.5 a 2.0m e a escala de flutuações horizontais entre 30 e 60m.
Em geral, para quantificar melhor os intervalos de distância de
autocorrelação a serem considerados, é preciso o conhecimento geológico do solo.
Solos marinhos e solos lacustres tendem a apresentar estrutura homogênea, com
maiores distâncias de autocorrelação. Por outro lado, solos residuais e solos
fluviais têm estruturas mais erráticas e menores distâncias de autocorrelação
(Baecher e Christian 2003).
3.5.3.
Escala de Flutuações
A escala de flutuações
δ
(Figura3.18) é definida como a distância em que a
propriedade do solo mostra forte correlação ou persistência e se pode encontrar
acima ou abaixo da média. A escala de flutuações e a distância de autocorrelação
têm o mesmo significado, mas diferem em magnitude.
Figura 3.18 – Definição de escala de flutuações.
Vanmarcke (1977a) define vários métodos práticos para poder determinar
esta escala de flutuações. O mais usual é
0.8
v
d
δ
≈ , onde d e uma distância média
definida como:
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69
7
1
1
7
i
i
dd
=
=
∑
(3.32)
A Figura 3.19 mostra a aplicação deste método:
Figura 3.19 – Determinação de escala de flutuações vertical, Phoon e Kulhawy (1999a).
A Tabela 3.4 mostra escalas de flutuações reportadas na literatura.
Tabela 3.4 – Valores de escala de flutuações reportadas na literatura.
Fonte Solo Direção Parâmetro
δ
(m)
Alonso
(1976)
Areia
Vertical
Resistência de ponta
(ensaio de cone)
2,2
Vertical
Razão de atrito
(ensaio de cone)
1,3
Argila Vertical
Resistência de ponta
(ensaio de cone)
1,1
Silte
Argiloso
- Teor de umidade 12,7
- Fração argila 8,7
- Fração silte 6,5
- Peso específico 7,9
- Índice de vazios 10,5
- Limite de liquidez 8,7
Cascalho - Porosidade 14,7
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70
Continuação da Tabela 3.4
Baecher et al.
(1987)
Areia Vertical
Resistência de ponta
(ensaio de cone)
5,0
Argila Horizontal Peso específico seco 5,0
Areia - N
SPT
20,0
Argila
plástica
Vertical Peso específico seco 1,3
Areia Vertical
Resistência de ponta
(ensaio de cone)
0,36
Argila Vertical
Resistência de ponta
(ensaio de cone)
1,91
Silte
argiloso
- Teor de umidade 0,16
Ladd (1983) Argila Vertical
Resistência não
drenada
1,0
Vanmarcke
(1977a)
Argila Vertical
Resistência de ponta
(ensaio de cone)
1,2
Areia
Vertical Teor de umidade 2,7
Vertical Índice de vazios 3,0
Vertical
Índice de
compressibilidade
2.4
Horizontal 55,0
Phoon et al.
(1995)
Areia
Argila
Vertical
Piezocone
(Resistência à
penetração)
0,9
Areia
Argila
Horizontal 47,9
Argila Vertical
Palheta
3,8
Argila Horizontal 50,7
Argila Vertical
Resistência ao não
Drenada (laboratório)
2,5
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71
4
ANÁLISES DETERMINÍSTICA E PROBABILÍSTICA DA
ESTABILIDADE DE TALUDES
4.1.
Introdução
As análises tradicionais de estabilidade de taludes são baseadas no método
de equilíbrio limite obtendo-se um fator de segurança (FS). Geralmente o FS deve
ser igual ou maior que 1,5 para garantir a segurança. Os dados utilizados na
análise são geralmente os valores médios, mas nem sempre estes dados são os
mais representativos, devido às incertezas existentes, e principalmente às
diferentes condições de composição dos solos. É, portanto, preciso o bom
julgamento do engenheiro na determinação destes dados.
Como foi exposto nos Capítulos 2 e 3, os solos mostram uma incerteza
inerente em suas propriedades devido principalmente às condições geológicas.
Ferramentas adicionais como análise probabilística deveriam ser implementados,
pois permitem quantificar as incertezas dos parâmetros de análise.
Os parâmetros de entrada na análise probabilística são tratados como
variáveis aleatórias. Cada variável pode ter qualquer valor dentro de um intervalo
determinado, com uma probabilidade de ocorrência especificada. Segundo El-
Ramly (2001), uma análise probabilística é uma reflexão de nosso conhecimento
imperfeito.
Em geral a análise probabilística é baseada na obtenção do índice de
confiabilidade
β
, que permite quantificar a probabilidade de ruptura.
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72
4.2.
Análise Determinística de Estabilidade de Taludes
As análises determinísticas de estabilidade de taludes, usadas comumente na
geotecnia, são baseadas em métodos de equilíbrio limite (Bishop, 1955; Spencer,
1967; Morgenstern-Price, 1965; Janbu, 1973). Estes métodos consideram as
melhores quantificações dos parâmetros de entrada (valores médios). O fator de
segurança (FS), obtido geralmente deve ser suficiente para garantir a segurança.
Este tipo de análise não leva em consideração as incertezas devido a
pequenas quantidades de amostras ou observações feitas para se definir o valor
médio. Desconsideram-se também os erros nos procedimentos de ensaios, como
descrito nos Capítulos 2 e 3.
Muitos autores discutiram o uso de análises de estabilidade determinísticas
já que sempre estão influenciadas pelo julgamento do engenheiro e não fornecem
nada além do valor de FS. Este valor não indica nada sobre o funcionamento do
talude ou os parâmetros com mais influência na estabilidade.
Lacasse e Nadim (1996) mostraram na Figura 4.1, que não sempre um fator
de segurança maior a 1,5, fornece um adequado parâmetro para quantificar a
segurança.
Segundo a Figura 4.1, um fator de segurança (FS) igual a 1,79 tem uma
probabilidade de ruptura de 5x10
-3
enquanto que um fator de segurança (FS) igual
a 1,4 tem uma probabilidade de ruptura de 10
-4
. Este última análise mostra,
entretanto menos incerteza no cálculo do fator de segurança e é mais confiável
que a análise com FS de 1,79.
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73
Figura 4.1 – Probabilidade de ruptura de estacas, Lacasse e Nadim (1996).
4.3.
Análise Probabilística de Estabilidade de Taludes
Este tipo de análise é baseado em alguns princípios dos métodos
determinísticos (equilíbrio limite), mas sua maior vantagem é que podem ser
quantificadas as incertezas inerentes. Como resultado a análise probabilística
fornece informação sobre os parâmetros que influenciam mais significativamente
o problema.
Duncan (2001) fez um resumo das principais vantagens de análise de
probabilidade aplicadas à geotecnia, segundo várias fontes (Tabela 4.1).
Em geral as análises de probabilidade de ruptura de taludes consistem
primeiro em definir os dados para obter uma função de probabilidade
representativa (Normal, Log Normal) de cada parâmetro que represente uma
incerteza na análise, ou aqueles que influíam muito no resultado final. Logo, as
distribuições de probabilidade dos parâmetros são integradas na análise de
estabilidade para estimar a distribuição de probabilidade do fator de segurança.
A Figura 4.2 mostra esquematicamente este conceito.
FATOR DE SEGURANÇA
FUNÇÃO DE DENSIDADE DE
PROBABILIDADE
Elevada Incerteza
Baixa Incerteza
Probabilidade
de Ruptura
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74
Figura 4.2 – Conceito de análise probabilísticas de estabilidade de taludes.
Tabela 4.1 – Importância da análise probabilística de estabilidade de taludes, Duncan
(2001).
Autor
Benefícios da Análise de Probabilidade,
Confiabilidade
Christian e Baecher
Fornece uma estrutura para estabelecer
apropriados fatores de segurança e dirige melhor a
um entendimento da relativa importância das
incertezas.
Ladd e Da Re
- Fornece um método sistemático para avaliar
combinadas influências de incertezas dos
parâmetros que afetam o fator de segurança.
- Fornece um sistemático método de determinação
do grado de segurança, ao menos em términos
relativos.
Moriwaki e Barneich
- Quantifica a contribuição de todas as incertezas
de cada parâmetro.
Koutsoftas
- Fornece uma ferramenta útil para avaliar o risco
associado com recomendações de desenho.
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75
4.3.1.
Quantificação da Probabilidade de Ruptura
O termo probabilidade de ruptura não significa necessariamente que a
estrutura possa ter uma falha catastrófica. É geralmente mal compreendido por
pessoal não técnico ou não especialista no tema.
O corpo de engenheiros dos EUA (U.S. Army Corps of Engineers, 1995)
usa o termo de “probabilidade de uma performance insatisfatória (P
u
)” no lugar de
“probabilidade de ruptura ou falha”. É definido como a probabilidade de um valor
da função de performance ou desempenho (fator de segurança) ultrapassar o limite
de estado. Em análise de estabilidade de taludes, o limite de estado é tipicamente
associado à FS=1,0.
Em geral a probabilidade de ruptura (Pr) pode ser obtida através do cálculo
do índice de confiabilidade ()
β
. O índice de confiabilidade pode ser definido
como:
M
M
μ
β
σ
= (4.1)
Onde M é à margem de segurança,
M
μ
é o valor médio, e
M
σ
é o desvio
padrão da margem de segurança.
A margem de segurança (M) geralmente é igual à diferença entre a
resistência disponível (R) e a carga ou tensão à qual o sistema é exposto (Q).
M
RQ
=
− (4.2)
No caso em que R e Q sejam normalmente distribuídos, a margem de
segurança M também será normalmente distribuída e, na equação 4.1, o índice de
confiabilidade ( )
β
pode ser obtido como:
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76
[
]
1
FS
EFS
β
σ
−
= (4.3)
Note que a equação 4.3 só é válida no caso em que o fator de segurança
pode ser considerado como normalmente distribuído.
No caso em que R e Q tenham distribuições log-normais, a margem de
segurança M também será log-normal. Na equação 4.1, o índice de confiabilidade
()
β
pode ser obtido como:
[
]
ln
ln
FS
EFS
β
σ
= (4.4)
Onde:
[] []
()
2
ln
ln ln
2
FS
EFS EFS
σ
=− (4.5)
(
)
2
ln
ln 1
FS FS
Cov
σ
=+ (4.6)
Onde Cov
FS
é o coeficiente de variação do fator de segurança, que pode ser
obtido como:
[]
()
FS
Cov FS
EFS
σ
=
(4.7)
A probabilidade de ruptura em qualquer caso pode ser obtida como:
(
)
()Pu
β
=
Φ− (4.8)
Onde
()
β
Φ−
é obtido de funções de densidade de probabilidade normal
N(0,1), com média nula e uma desvio padrão de 1,0.
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77
A Figura 4.3 mostra a probabilidade de ruptura contra o índice de confiabilidade.
Pode-se observar claramente que, para um índice de confiabilidade ( )
β
menor o
igual a 2, existem pequenas diferenças entre os resultados de probabilidade de
ruptura obtidas, para as diferentes funções de probabilidade mostradas.
Figura 4.3 – Probabilidade de ruptura vs Indice de confiabilidade ()
β
.
Da Figura 4.3 também pode-se observar que, para pequenos valores de
índice ( )
β
, a probabilidade de ruptura é ligeiramente maior quando se tem uma
distribuição de probabilidade normal. Assim assumir distribuições de
probabilidade normais na ausência de dados é um procedimento a favor da
segurança, pois a probabilidade de ruptura estará ligeiramente superestimada.
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78
4.3.2.
Probabilidades de Ruptura Aceitáveis
Uma vez calculada a probabilidade de ruptura, as perguntas a fazer são: (i)
será esta probabilidade de ruptura aceitável?, (ii) Quais são os intervalos de
probabilidade aceitáveis para um determinado problema?
Antes de se responder estas perguntas, é preciso antes responder a uma
terceira pergunta: Qual é o risco que pode ser admitido?
O risco por definição é:
Na equação 4.9 o risco é função da probabilidade de ocorrência (ou de
ruptura) e das conseqüências associadas à ocorrência.
Portanto, a probabilidade de ruptura admissível deve ser função do risco que
se queira assumir e das conseqüências associadas a estes.
Vários autores e instituições desenvolveram gráficos
(“F-N Charts”) para o
gerenciamento do risco, em função da probabilidade de ruptura (ou performance
insatisfatória) e das conseqüências (vidas humanas, construções afetadas,
prejuízos, etc.), como se pode observar nas Figuras 4.4 a 4.7, para diferentes tipos
de construções.
Baecher 1982b (Figura 4.4) mostra diferentes probabilidades de ruptura
admissíveis, de acordo com o tipo de estrutura a ser construída. No caso de
barragens uma probabilidade de ruptura de 10
-4
pode ser aceitável e recomendada,
segundo o autor.
Risco = (Probabilidade x Conseqüência) = (pc) (4.9)
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79
Figura 4.4 – Probabilidades de ruptura admissíveis, Baecher (1982b).
Figura 4.5 - Probabilidades de ruptura, US Army Corps of Engineers (1995).
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80
Figura 4.6 - Risco social aceitável proposto pelo departamento de planejamento de Hong
Kong para deslizamentos, Baecher e Christian (2003).
Figura 4.7 - Probabilidade de ruptura crítica para barragens, proposta pela British
Columbia Hydro, Canadá, Nielsen et al (1994).
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81
Wolff (1996) propôs que, em análises de estabilidade de taludes comuns,
seja designada uma probabilidade de ruptura de 10
-3
(índice de confiabilidade de
3), como aceitável. No caso de taludes críticos, como os das barragens, sugere
uma probabilidade de ruptura de 3x10
-5
(índice de confiabilidade de 4), como
aceitável.
O
“US Army Corps of Engineers (1995)” recomenda valores de
probabilidade de ruptura de 3x10
-5
como níveis aceitáveis de performance para
taludes. A Figura 4.5 mostra os diferentes níveis propostos.
A
“British Columbia Hydro” (Nielsen et al, 1994) propôs probabilidades de
ruptura de 10
-4
como aceitáveis para barragens (Figura 4.7).
Sandroni e Sayão (1992), baseados em retro-análises de taludes estáveis e
rompidos de mineração de ferro, concluem pela adoção de uma probabilidade de
ruptura de 2.3x10
-2
, como valor mínimo de projeto.
Segundo El-Ramly (2001) a maior desvantagem destes gráficos é que
nenhum considera as condições particulares de geometrias, instrumentação, fontes
e níveis de incertezas (variabilidade dos solos, profundidades de investigação,
exatidão do modelo de projeto, qualidade da construção, etc.), pelo que tais
critérios podem não valer em qualquer talude.
O mesmo autor conclui que probabilidades de ruptura críticas reportadas na
literatura geotécnica são conservativas. Uma probabilidade de ruptura crítica de
2x10
-2
(ou seja, 2%), ou um índice de confiabilidade de 2,0, podem ser
considerados como um limite para uma performance satisfatória de taludes.
Esta probabilidade de ruptura crítica (2%) não considera todos os casos de
performance, quando se requeira estruturas que não possam suportar excessivas
deformações ou fissuras
(“cracking”) têm que ser adotados critérios de projeto
mais rigorosos.
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82
Em resumo, a adoção de um valor máximo de probabilidade de ruptura para
um projeto, não está bem esclarecida. Na realidade, depende muito do tipo de
projeto a ser executado e da quantidade de informação disponível para a análise.
Num projeto que disponha de muita informação de boa qualidade e cujo
risco não seja muito grande (perda de vidas), podem ser adotados maiores valores
de probabilidade de ruptura como aceitáveis.
A execução de análises probabilísticas de estabilidade de taludes para
determinar a probabilidade de ruptura, e posteriormente o risco associado, não
deve substituir a análise determinística, onde se obtém o fator de segurança. As
duas análises devem ser feitas e usadas em conjunto para fornecer uma melhor
aceitabilidade do projeto. Por exemplo, nos casos onde probabilidades de ruptura
reduzidas sejam obtidas, pode ser justificada a adoção de menores fatores de
segurança no projeto.
4.3.3.
Métodos de Análises Probabilísticas
Existem muitos tipos de análise de probabilidade desenvolvidos nestes
últimos anos, mas em geral podem ser reunidos em três grupos: métodos
analíticos, métodos aproximados e simulação de Monte Carlo.
4.3.3.1.
Métodos Analíticos
Neste tipo de análise, a função de densidade de probabilidade das variáveis
de entrada na análise são expressas matematicamente. Logo, é integrado
analiticamente num modelo de estabilidade de talude para poder desenvolver uma
expressão matemática da função de densidade do fator de segurança.
Este método tem uma matemática complexa, e não é prático na maioria dos
problemas. Este método está descrito em McMahon (1975), Marek e Savely
(1978), Tobutt e Richards (1979).
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83
4.3.3.2.
Métodos Aproximados
Em geral estes métodos são baseados em versões modificadas de Método do
Segundo Momento de Primeiro Ordem (FOSM), e Método das Estimativas
Pontuais (EP). Estas duas técnicas estarão consideradas neste estudo, onde só é
preciso o conhecimento do valor médio e desvio padrão de todas as variáveis de
entrada, além da função de performance g(x
1
, x
2
, x
3
,...x
n
), que define o fator de
segurança (método de Bishop etc.), onde x
1
, x
2
, x
3
,...x
n
são as variáveis de entrada
(propriedades dos solos etc.).
Estes tipos de análise não precisam do conhecimento das funções de
densidade de probabilidade das variáveis de entrada. Na função de performance, é
considerada uma função de densidade de probabilidade do fator de segurança com
distribuição Normal ou Log Normal.
A maior desvantagem é a não consideração da variabilidade espacial, pois
assumem distâncias de autocorrelação infinitas para as propriedades dos solos.
4.3.3.2.1.
Método do Segundo Momento de 1ª Ordem
Segundo Harr (1987), a idéia básica do método do Segundo Momento de 1ª
Ordem (chamado a partir de agora como Segundo Momento) é expressar a função
de performance (fator de segurança) como uma função de diferentes variáveis
aleatórias consideradas na análise estatística.
Seja a função de performance definida como:
123
( , , ... )
n
ggxxxx= (4.8)
Onde os valores médios da função e do vetor x são dados por:
123
( , , ... )
n
XXXXX
μ
μμμ μ
= (4.9)
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84
Se esta função de performance é expandida ao redor de seus valores médios
das variáveis aleatórias, mediante as series de Taylor, obtém-se:
() ()
2
2
2
11
( ) ( ) ........
1¡ 2¡
XX X
dg d g
gx g x x
dx dx
μμ μ
=+− +− (4.10)
Mantendo-se somente a primeira derivada (linear), obtém-se:
()
1
() ( )
1¡
XX
dg
gx g x
dx
μμ
−=− (4.11)
Elevando-se ao quadrado a equação 4.11, e fazendo-se manipulações
algébricas, obtém-se a variância da função de performance (fator de segurança)
como:
[]
11
ij i j
nn
XX X X
ij
ij
dFS dFS
VFS
dx dx
ρσσ
==
=
∑∑
(4.12)
A equação 4.12 pode ser expandida como:
[]
2
111
2
iijij
jn
in in
XXXXX
iij
iij
dFS dFS dFS
VFS
dx dx dx
σ
ρσσ
=
==
===
⎛⎞
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
∑∑∑
(4.13)
A equação 4.13 é usada quando as variáveis x
i
, x
j
são correlacionadas. No
caso em que estas variáveis sejam independentes, a equação 4.13 se transforma
em:
[]
2
1
i
in
X
i
i
dFS
VFS
dx
σ
=
=
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
∑
(4.14)
O valor médio ou esperado do fator de segurança é obtido com todos os
dados médios de cada variável aleatória, definida como:
111
( ) ( , , .... )
n
XXX X
EFS f
μ
μμ μ
=
(4.15)
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85
A equação 4.15, junto com a equação 4.13 ou 4.14, pode fornecer o índice
de confiabilidade ( )
β
, definido nas equações 4.3 ou 4.4, dependendo da função
de densidade de probabilidade a ser considerada para o fator de segurança.
O método é chamado de Segundo Momento porque usa a variância
(segundo momento da função de performance). É também referido como sendo de
1ª ordem porque usa só a primeira derivada da série de Taylor (Linear). As
equações 4.12 e 4.15 são válidas somente se a função de performance for linear.
No caso de estabilidade de taludes, esta condição não é satisfeita.
Entretanto, é considerada como uma aproximação aceitável. Em geral, quanto
maior é a não linearidade da função de performance, menor é a precisão do
método de Segundo Momento.
Como se observa nas equações 4.13 ou 4.14, é preciso obter as derivadas
parciais da função de performance, em relação aos parâmetros x
i
i
dFS
dx
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
Christian et al (1992, 1994) e Sandroni e Sayão (1992) utilizaram o método das
diferenças divididas (ascendentes ou descendentes) como aproximação
matemática para a obtenção dos valores das derivadas parciais. O procedimento
consiste em variar separadamente cada parâmetro, observando-se a variação
correspondente do valor da função de performance ou desempenho FS. A
aproximação da derivada parcial de cada parâmetro é então obtida através da
razão entre a variação observada de FS e a variação estipulada para cada
parâmetro. A aproximação da derivada parcial é expressa por:
()()
i
Xi
i
FS x E FS
dFS
dx dx
μ
δ
±
−
= (4.16)
Segundo Baecher e Christian (2003), para uma melhor estimativa das
derivadas, a variação dos parâmetros deve ser suficientemente pequena para que a
razão
i
dFS
dx
seja considerada constante, ou seja, independente do valor de
i
dx .
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86
Dell’avanzi (1995) concluiu que, para variações dos parâmetros em torno de 10%
do seu valor médio (acréscimo ou decréscimo), esta condição é satisfeita.
Mostyn e Li (1993), U.S. Army Corps of Engineers (1995), Wolff et al
(1996), Hassan e Wolff (1999, 2000), Duncan (2000) recomendam que a
avaliação de
i
dFS
dx
seja feita por diferenças finitas central, com a variação de
cada parâmetro sendo igual ao respectivo desvio padrão
i
σ
. A equação 4.16 é
reescrita como:
() ()
2
ii
i
iX iX
X
FS E X FS E X
dFS
dx
σσ
σ
⎡⎤⎡⎤
+− −
⎣⎦⎣⎦
= (4.17)
Segundo estes autores, apesar das derivadas parciais ficarem mais precisas
quando a avaliação é com pequenos incrementos, avaliar as derivadas sobre um
intervalo de mais ou menos um desvio padrão poderia capturar melhor algo da
conduta não linear da função sobre um intervalo de valores prováveis.
Baecher e Christian (2003) resumiram o método de Segundo Momento nas
seguintes sete etapas:
1.
Identificar as variáveis significativas que contribuem nas incertezas.
2.
Encontrar os valores médios, desvios padrão, coeficientes de
correlação e distâncias de autocorrelação das variáveis.
3.
Determinar como as variâncias são distribuídas entre incertezas
espaciais e sistemáticas e minimizar os erros no possível.
4.
Calcular o valor esperado da função de performance (FS) com os
valores médios das variáveis.
5.
Calcular as derivadas parciais da função FS com respeito às
variáveis.
6.
Calcular a variância total da função FS (equações 4.13 ou 4.14).
7.
Calcular o índice de confiabilidade
β
e a probabilidade de ruptura.
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87
Uma das maiores vantagens desta técnica é sua simplicidade, especialmente
quando se consideram várias fontes de incerteza. Não é preciso o conhecimento da
função de densidade das variáveis aleatórias, nem da função de performance, que
geralmente é assumida com distribuição Normal.
Outro aspecto importante do método é que se pode obter a contribuição de
cada variável aleatória na variância de FS, fazendo uma inspeção da equação 4.13
ou 4.14.
Usando a equação 4.17 como aproximação das derivadas parciais, são
necessárias só 2n+1 análises determinísticas para se obter a probabilidade de
ruptura, onde n é o numero de variáveis aleatórias. Se for usada a equação 4.16, o
número de análises determinísticas cai para n+1.
Entretanto, a exatidão desta técnica pode ser questionada quando se lida
com relações não lineares e variabilidades acentuadas do solo, devido ao
truncamento da primeira derivada na série de Taylor.
A variabilidade espacial dos parâmetros dos solos não é considerada
diretamente na análise, segundo Duncan, Navin e Wolff (2003), a redução na
variância que resulta da variabilidade espacial (médias espaciais) pode ser
agregada na análise, usando fatores de correção, como mostrado na equação 3.27,
do Capítulo 3.
Segundo El-Ramly, Morgenstern e Cruden (2003b), o método de Segundo
Momento é aplicado primeiramente a problemas onde não existam correlações.
Com um esforço extra, o método pode ser aplicado quando existir correlação entre
dois parâmetros. Porém quanto maior for a quantidade de parâmetros
correlacionados, mais difícil ou trabalhosa passa a ser a análise.
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88
4.3.3.2.2.
Método das Estimativas Pontuais
Este método é uma aproximação numérica de técnicas de integração,
desenvolvido por Rosenblueth (1975). Neste método, a distribuição de
probabilidade de cada variável aleatória contínua é representada por dois pontos
x
+
e x
-
, com concentrações de probabilidade P
+
e P
-
. A Figura 4.8 ilustra este
conceito.
Figura 4.8 – Estimativas pontuais da função f(x).
Na realidade, o método consiste em transformar uma variável contínua x em
uma variável discreta, considerando apenas dois pontos x
+
e x
-
com concentrações
de probabilidade P
+
e P
-
formando uma equivalente distribuição de probabilidade
da variável aleatória. Os pontos e concentrações de probabilidade são
selecionados de tal forma que o primeiro e segundo momentos (média e variância)
da distribuição discreta são os mesmos que os da função original.
O método usa uma função geradora de momentos para poder obter os
primeiros momentos probabilísticos da distribuição. Esta função geradora é obtida
através da subdivisão do processo determinístico em 2
n
análises determinísticas,
onde n indica o número de variáveis aleatórias consideradas.
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89
As 2
n
análises são obtidas através da combinação dos pontos x
+
e x
-
, obtidos
como:
[
]
[]
i
i
iix
iix
xEx
xEx
σ
σ
+
−
=+
=−
(4.18)
O valor de E
[
]
x
é o valor médio do parâmetro x e o valor de
()
x
σ
é o
correspondente desvio padrão.
Após obtidos os pontos (equação 4.18), a função de performance (fator de
segurança) é calculada nestes dois pontos
(
)
,
F
SFS
+
−
.
As concentrações de probabilidade são obtidas como:
()
1
1
2
ij
n
P
ρ
±
=±
∑
(4.19)
Onde
ij
ρ
é o coeficiente de correlação. A função geradora de momentos
pode ser definida como:
()
mmm
EFS PFS PFS
+
+−−
=+ (4.20)
Onde m é a ordem do momento probabilístico de interesse. No caso de m=1,
obtém-se o valor médio da função FS. A variância do fator de segurança pode ser
obtida como:
()
[]
(
)
2
2
VFS EFS EFS
⎡⎤
=−
⎣⎦
(4.21)
A parte inicial desta equação pode ser obtida na equação 4.20 com m=2. O
índice de confiabilidade
()
β
pode ser obtido segundo as equações 4.3 ou 4.4.
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90
Como exemplo, quando se tem um talude com duas variáveis aleatórias
()
,c
φ
, são necessárias quatro análises, executadas conforme a Tabela 4.2.
Tabela 4.2 – Representação esquemática do método de estimativas pontuais.
Análise Valor de c
Valor de
φ
Fator de Segurança
1
c
c
σ
+
φ
φ
σ
+
FS
+
+
2
c
c
σ
+
φ
φ
σ
−
FS
+
−
3
c
c
σ
−
φ
φ
σ
+
FS
−
+
4
c
c
σ
−
φ
φ
σ
−
FS
−
−
Segundo a equação 4.20, o valor médio do fator de segurança é obtido
como:
()
E
FS P FS P FS P FS P FS
++ ++ +− +− −+ −+ −− −−
=+++
(4.22)
Logo, para m=2, é obtido:
()
22222
E FS P FS P FS P FS P FS
++ ++ +− +− −+ −+ −− −−
=+++ (4.23)
A variância é obtida através da equação 4.21. Neste caso, as concentrações
de probabilidade são:
2
1
2
PPPP
++ +− −+ −−
==== (4.24)
No caso que se tenha um coeficiente de correlação
(
)
c
φ
ρ
entre as duas
variáveis aleatórias
(
)
,c
φ
, as concentrações de probabilidade são:
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91
()
()
2
2
1
1
2
1
1
2
c
c
PP
PP
φ
φ
ρ
ρ
++ −−
−+ +−
== +
== −
(4.25)
Quando se tem duas camadas de solo, cada uma com dois parâmetros de
resistência
()
(
)
11 2 2
,,,cc
φ
φ
⎡⎤
⎣⎦
, os procedimentos para obter a média e variância do
fator de segurança são os mesmos que os indicados na Tabela 4.2 e nas equações
4.22, 4.23. A diferença está na obtenção adequada das concentrações de
probabilidade. Neste caso, para variáveis não correlacionadas, obtém-se:
4
1
2
PP PPPP
PPPPPP
PPPP
++++ ++++− ++−+ +−++ −+++ ++−−
+−−+ −−++ +−−− −+−− −−+− −−−+
−++− +−+− −−−− −+−+
= =====
======
====
(4.26)
No caso de existência de correlação entre os parâmetros de resistência
()
11 2 2
,
cc
ϕϕ
ρρ
, o cálculo das concentrações de probabilidade pode ser obtido como:
(
)
()
()
()
11 2 2
11 2 2
11 2 2
11 2 2
4
4
4
4
1
2
1
2
1
2
1
2
cc
cc
cc
cc
PPPP
PPPP
PPPP
PPPP
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ρρ
ρρ
ρρ
ρρ
++++ −−−− ++−− −−++
+++− −−−+ ++−+ −−+−
+−−− −+++ +−++ −−+−
+−+− −+−+ +−−+ −++−
++
====
+−
====
−+
====
−−
====
(4.27)
Como pode ser observado, este método tem como desvantagem o fato de
requer um número muito elevado de análises quando a quantidade de variáveis
aumenta.
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92
Rosenblueth (1975) propõe uma técnica para reduzir o número de cálculos
(de 2
n
para 2n+1), quando as variáveis são não correlacionadas e quando sua
assimetria (Quarto momento da função de densidade) pode ser ignorada.
Harr (1989) propõe um método que pode ser usado quando as variáveis são
correlacionadas, mas o quarto momento da função tem que ser zero. Neste método
que é baseado no cálculo dos autovalores e autovetores da matriz de
autocorrelação, são necessários 2n cálculos.
Hong (1996, 1998) propõe um método que é usado para o caso de variáveis
não correlacionadas com assimetria significante, reduzindo a quantidade de
cálculos para 2n+1.
De igual maneira ao método de Segundo Momento este método
(Estimativas Pontuais) não requer o conhecimento da forma da distribuição das
variáveis aleatórias (Normal, Log normal). A função de performance (FS) também
é geralmente assumida como Normal.
O método de estimativas pontuais pode dar valores adequados dos dois
primeiros momentos da função de performance, com somente dois pontos e suas
respectivas concentrações de probabilidade. Segundo Rosenblueth (1975), para
casos práticos, o método fornece resultados satisfatórios.
Segundo Harr (1987) e Baecher e Christian (2003), o método (EP) não pode
ser usado para obter momentos maiores da função (FS) do que o segundo. É
recomendável também que o coeficientes de variação, seja pequeno (Cov ≤ 0,2), e
que a função FS a ser integrada possa ser aproximada por um polinômio de
terceira ordem. Se estas três condições são satisfeitas, o método é muito adequado.
Segundo Baecher e Christian (2003), o método de estimativas pontuais é
mais preciso que o método de Segundo Momento, devido a que este método é
baseado em uma baixa ordem de expansão. Harr (1989) comenta que o método de
estimativas pontuais evita alguns dos defeitos dos outros métodos (serie de Taylor
e Monte Carlo).
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93
Discussões detalhadas sobre a exatidão e limitações do método de
estimativas pontuais podem ser encontradas em Christian e Baecher (1999).
4.3.3.3.
Método de Simulação de Monte Carlo
Como mencionado anteriormente, os métodos de Estimativa Pontual e do
Segundo Momento não precisam do conhecimento da forma da função de
densidade de probabilidade da variável aleatória (Normal, Log Normal),
tampouco da função de performance que geralmente é assumida Normal.
No método de Monte Carlo, é preciso o prévio conhecimento das funções de
densidade de probabilidade só das variáveis aleatórias. Em cada análise ou
simulação, o método atribui um valor a cada variável aleatória desde sua
distribuição de probabilidade, e obtém um resultado da função de performance
que é armazenado. Depois de muitas simulações (tipicamente mais que 10 000), é
construído um histograma com todos os dados armazenados de cada análise,
obtendo-se o tipo de função de probabilidade da função FS, para então calcular a
probabilidade de ruptura.
A seleção dos valores usados para solucionar a função de performance é
aleatória. Este método pode ser representado pela Figura 4.2
Uma das maiores vantagens deste método é que fornece a forma da
distribuição de probabilidade do fator de segurança e, consequentemente, a
probabilidade de ruptura. Este método elimina a necessidade de assumir a forma
da distribuição. Outra diferença para os métodos aproximados é que a
complexidade da análise não é amplificada pelo incremento do número de
variáveis aleatórias.
O número de iterações necessárias é muito influenciado pela quantidade de
variáveis e suas variâncias. No caso de eventos de baixa probabilidade de
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94
ocorrência, esta influência é maior. Quanto maior é a quantidade de iterações,
menor é o erro obtido na análise.
4.3.3.4.
Método de Simulação de Monte Carlo com Variabilidade Espacial dos
Solos
Até agora, só foram mostrados métodos que não consideram a variabilidade
espacial dos solos dentro de sua estrutura. No caso de métodos aproximados,
pode-se considerar a variabilidade espacial apenas mediante fatores de correção.
El-Ramly (2001) desenvolveu um método de análise de estabilidade de taludes
considerando a variabilidade espacial dos solos proposta por Vanmarcke (1983),
usando a simulação de Monte Carlo e o “
software” de estatística @Risk, que é
apresentado em uma planilha eletrônica (Excel).
Este método tem os mesmos princípios descritos no item 4.3.3.3, mas são
agregadas as considerações feitas no Capítulo 3. O método usa a equação 3.24 que
representa melhor as incertezas nas variáveis, que é reescrita como:
(
)
iiviei
xBt
ε
ε
=++ (4.28)
Onde xi é a variável aleatória corrigida por desvios (“
bias”, B), na
localização i, t
i
é a tendência e pode ser calculada pelo método de mínimos
quadrados. No caso de tendência linear, a inclinação e intercepto são calculados
usando a equação 3.5. As variâncias da inclinação e intercepto, devido à
insuficiência de dados (erro estatístico), podem ser calculadas através da equação
3.18.
No caso de média constante, a variância da média é estimada usando a
equação 3.21, nos dois casos, tendência linear e média constante, a variância
estimada é baseada na hipótese de que os residuais são independentes e constantes
em qualquer localização.
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95
A tendência é admitida como uma variável determinística, pelo que a
variabilidade espacial do parâmetro só é representada pela estrutura de correlação
das componentes residuais.
Como apresentado no Capítulo 3, a variabilidade espacial das propriedades
dos solos desde um ponto a outro é de pouca importância em geotecnia, pois o
comportamento da estrutura é função das propriedades médias.
Usando os conceitos descritos no Capítulo 3, El-Ramly (2001) propôs que a
superfície de deslizamento seja dividida em segmentos não maiores que a escala
de flutuação
δ
. Desta maneira, o fator de redução da variância é igual a
1,
()
2
()
1
zΔ
Γ=, pelo que a porção de superfície de deslizamento dentro de uma
camada de solo é dividida em segmentos
l iguais à escala de flutuações
()
l
δ
= ,
mais um segmento residual, como mostrado na Figura 4.9.
Figura 4.9 – Subdivisão da superfície de deslizamento dentro de uma camada, El-Ramly
(2001).
A média dos parâmetros x(l) sobre qualquer destes segmentos pode ser
representada por uma função de distribuição acumulativa F
x
(x). O coeficiente de
correlação entre qualquer destas medias locais pode ser calculado utilizando a
equação 3.28. Para segmentos adjacentes de igual longitude
()
l
δ
= , os
Distância (m)
Elevação (m)
Argila
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96
coeficientes de correlação são iguais a zero, o que simplifica a análise. A Figura
4.10 ilustra estes conceitos.
Figura 4.10 – Modelagem da variabilidade espacial de um parâmetro de entrada sobre
uma superfície de deslizamento, El-Ramly (2001).
Em resumo, a incerteza devida à variabilidade espacial de um parâmetro ao
longo da superfície de deslizamento é quantificada por um número de variáveis
correlacionadas, que representam a média local do parâmetro sobre um segmento
da superfície de deslizamento.
Uma das maiores vantagens deste método é sua facilidade de ser
programado numa planilha, sem maiores conhecimentos de probabilidade e
estatística. Ademais, os conceitos de variabilidade espacial podem ser
considerados em sua estrutura e não por um fator de correção.
O método pode ser usado em diferentes tipos de superfície de deslizamento,
superfícies complexas e uma quantidade maior de variáveis aleatórias, sem
complicar a análise.
Sua principal limitação é que o método é baseado numa aproximação da
função da variância proposta por Vanmarcke (1977a). A função implica uma
perfeita correlação ( ) 1.0
r
ρ
= das propriedades do solo, para distâncias de
separação r, menores que a escala de flutuações. E nenhuma correlação ( ) 0
r
ρ
= ,
para valores de r maiores que
δ
. O qual não é totalmente verdadeiro, a correlação
Porção da superfície de ruptura
Dentro da camada de solo (L)
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97
entre propriedades de solos em dois diferentes localizações, decresce
gradualmente com o incremento da distância de separação r.
Ademais, o método trata a variabilidade espacial da poropressão na
superfície de deslizamento similar as propriedades dos solos. Na realidade esta
hipótese não e totalmente verdadeira, mas não existem suficientes investigações
acerca da relação entre a variabilidade espacial dos solos e da poropressão.
Em geral a variabilidade espacial da poropressão é muito influenciada por
várias variáveis e fenômenos de interação, tais como: intensidade das chuvas,
padrão de fluxo, variabilidade espacial da condutividade hidráulica e estado de
tensão.
A variabilidade espacial das poropressões é considerada similar à dos
parâmetros do solo em todos os métodos aproximados, devido principalmente à
falta de estudos detalhados.
Mais informações acerca das limitações do método podem ser encontradas
em El-Ramly (2001) e em Duncan, Navin e Wolff (2003).
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98
4.4.
Superfície de Deslizamento Critica
A superfície de deslizamento correspondente ao valor mínimo de FS, obtida
com uma análise determinística, nem sempre coincide com a superfície de
deslizamento que corresponde ao valor mínimo do índice de confiabilidade
()
β
.
Comumente as análises probabilísticas são realizadas na superfície de
deslizamento critica indicada pela análise determinística.
Numa análise de simulação de Monte Carlo, seria melhor impor um sistema
de superfícies. Desta maneira, a incerteza na localização da superfície de
deslizamento crítica estaria incorporada na análise, mas esta consumiria muito
tempo e seria pouco prática.
Segundo El-Ramly (2001) nos casos em que as incertezas dos parâmetros de
entrada contribuem igualmente para o valor de FS, as duas superfícies de
deslizamento críticas (determinísticas e probabilísticas) tendem a coincidir.
Porém, quando uma variável é mais importante, as duas superfícies de
deslizamento podem ser significativamente diferentes.
Hassan e Wolff (1999) e mais recentemente Bhattacharya, Jana, Ojha and
Chakraborty (2003) propuseram algoritmos de busca, para localizar a superfície
de deslizamento com mínimo índice de confiabilidade. Em geral estes métodos
utilizam uma formulação similar àquela usada para encontrar a superfície de
deslizamento crítica com métodos determinísticos convencionais.
Segundo Vanmarcke (1977b), Alonso (1976), Yucemen e Al-Homoud
(1990), usar a superfície de deslizamento crítica da análise determinística para
quantificar a probabilidade de ruptura é razoável. Conclusão similar foi também
reportada por Sandroni e Sayão (1992) e Dell’avanzi (1995) para o caso de taludes
de grande altura.
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99
5
BARRAGEM DE REJEITOS SYNCRUDE
Neste capítulo será apresentada a análise probabilística de uma barragem de
rejeitos. Este tipo de barragem tem grande importância devido principalmente à
quantidade de material depositado e armazenado no reservatório.
A ruptura deste tipo de estrutura pode causar grandes perdas econômicas e
ambientais, Por isso estudos para a garantia da estabilidade destas estruturas são
de suma importância.
Devido ao seu processo construtivo, as barragens de rejeito apresentam
grandes dispersões nas propriedades de resistência e nas propriedades hidráulicas.
Assim, as análises probabilísticas são relevantes, pois permitem uma melhor
quantificação das incertezas.
A barragem pesquisada encontra-se no Canadá e pertence à “Syncrude
Canadá Limited”. Nesta barragem já foram feitas análises probabilísticas da
estabilidade dos taludes por El-Ramly (2001), aplicando a metodologia de Monte
Carlo e considerando a variabilidade espacial (descrita no Capítulo 4).
Christian et al (1992, 1994) mostraram a necessidade de contabilizar a
variabilidade espacial nas análises probabilísticas. A não consideração da
variabilidade espacial pode levar a erros no cálculo da probabilidade de ruptura.
Duncan et al (2003) consideraram que o uso da metodologia proposta por
El-Ramly (2001) não é necessário para a quantificação da variabilidade espacial, e
que as técnicas descritas no Capítulo 4 (Segundo Momento, Estimativas
Pontuais), podem ser utilizadas junto com um fator de correção, como descrito no
Capítulo 3 (equação 3.27), para a contabilização do efeito da variabilidade
espacial.
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100
Pelo exposto, neste Capítulo será avaliado o uso das técnicas usuais de
análise de probabilidade, junto com o fator de correção da variabilidade espacial
(equação 3.27) de forma a se comparar com os resultados reportados por EL-
Ramly (2001).
5.1.
Considerações do Projeto
O Projeto Syncrude consiste na construção de uma lagoa de rejeitos para
armazenar 350hm
3
de materiais. Esta lagoa está formada pela construção de
diques de areia com uma circunferência aproximada de 18 km, elevação média de
40m e elevação máxima de 88m.
Para um melhor entendimento da zona de análise o dique é dividido em 30
pilhas, cada uma com 700m de comprimento (Figura 5.1). Será avaliada apenas a
pilha 23.
Figura 5.1 – Vista em planta das pilhas e lagoa de rejeitos.
Pilha 23
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101
5.2.
Descrição da Pilha 23
No projeto inicial do dique, a elevação da pilha 23 era de 44m, tendo sido
construída mediante o método de montante, originalmente com um talude de 4h:
1v. Foram instalados inclinômetros para o monitoramento dos movimentos
horizontais do talude.
Em 1981, foram localizados movimentos no contato entre dois materiais
(Kca e Kcw). Em 1984, quando a elevação do dique era de 23m, foram medidos
19cm de deslocamento. Isto levou a uma completa revisão do projeto, com um
programa detalhado de investigação que incluía furos, amostragem, provas de
laboratório e piezômetros.
As investigações mostraram a presença de uma camada glacial perturbada
de argilito (Kca), com planos de corte bem pronunciados embaixo do talude de
montante. Os movimentos foram notados principalmente ao longo de planos
discretos de cisalhamento na camada Kca imediatamente sobre uma camada pré-
adensada (Kcw).
Um incremento substancial da poropressão foi observado perto da interface
Kca/Kcw. A seção 53+00E (Figura 5.1) foi considerada como a mais crítica da
pilha 23.
A revisão do projeto indicou que a geometria original (inclinação 4h:1v)
correspondia a um fator de segurança inaceitável (FS= 1,09), requerendo
modificações adicionais.
O objetivo era garantir um fator de segurança mínimo de 1,30. Este foi
obtido com uma inclinação de talude de 6,8h:1v, para uma elevação de 352m
(altura do dique 44m). Em 1993, o movimento máximo registrado foi de 43,7cm
na seção 53+00E.
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102
Nesta seção 53+00E, foram então executadas as análises probabilísticas
descritas a seguir.
5.3.
Estratigrafia
A seção 53+00E mostra uma estratigrafia variada, que compreende uma
camada superficial de areia, de origem glacial-fluvial (Pf4), com uma espessura
média de 3,0m. Esta encontra-se sobre uma camada de areia glacial (Sandy Till,
Pgs), que apresenta espessura variada, desde 3m no meio do dique, até 10m no pé.
Abaixo se encontra uma fundação composta por dois materiais, uma argila glacial
(Pgc) e um argilito laminado (Clay Shale, kca).
O material Pgc encontra-se sob a crista do dique e se estende até jusante. O
material Kca encontra-se sob o talude de montante. Ambas as camadas têm uma
espessura média de 6,0m. Sob estas camadas encontra-se a argila pré-adensada
(Kcw).
A Figura 5.2 mostra o perfil estratigráfico da seção 53+00E.
Figura 5.2 – Geometria e estratigrafia da seção 53+00E.
5.4.
Parâmetros de Resistência
Como foi exposto, nas investigações de campo foi encontrado um
deslizamento concentrado na camada Kca, justo sobre a camada Kcw. O
conhecimento dos parâmetros de resistência de pico e residual passou a ter
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103
importância, sendo realizados ensaios triaxiais e ensaios de cisalhamento direto
em amostras intactas e em amostras com planos preexistentes de cisalhamento.
Ensaios de laboratório também foram realizados nos materiais Pgs, Pgc, TS
(rejeito), Kcw, mas nenhum ensaio foi feito no material Pf4.
5.4.1.
Argilito Laminado (Clay Shale, kca)
Como fora registrado um deslocamento nesta camada, estudos prévios
(Thurber, 1989; Nicol, 1994) concluíram que a estabilidade do dique estaria
controlada pela resistência residual deste material.
Ensaios de cisalhamento direto foram considerados adequados para obter a
resistência residual do material. No total, foram realizados 82 ensaios em amostras
coletadas da pilha 23.
A Tabela 5.1 mostra um resumo das propriedades físicas e mecânicas desde
material.
Tabela 5.1 – Características geotécnicas do argilito (kca).
Parâmetro do Solo
Intervalo
Valor
Médio
Mínimo Máximo
Teor de Umidade % 17,0 40,0 26,4
Limite de Liquidez % 59,0 162,0 110,0
Limite de Plasticidade 16,0 30,0 23,8
Peso Específico kN/m
3
18,1 20,7 19,5
Ângulo de Atrito Residual (graus) 3,8 13,8 7,5
Ângulo de Atrito Pico (graus) 6,8 36,7 18,6
A Figura 5.3 mostra a envoltória de resistência ao cisalhamento residual
para as 82 amostras de solo. A envoltória corresponde a um ângulo de atrito
residual (7,5º), com coesão efetiva nula.
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104
Figura 5.3 – Resultados do ensaio de cisalhamento direto para o material Kca.
Segundo os critérios descritos no Capítulo 3, foi obtida a tendência e,
posteriormente, definido o desvio padrão de cada componente.
Pode-se observar que a dispersão dos dados ao redor da tendência é
inevitável e a seleção de um ângulo de atrito médio corresponde a um valor
elevado de incerteza.
O desvio padrão do ângulo de atrito, resultado da dispersão dos dados
(variabilidade espacial, considerando distâncias de autocorrelação infinitas) foi
estimado em 2,13º e o erro estatístico (dados insuficientes no cálculo da
tendência) foi de 0,25º. O desvio padrão produto das duas componentes é obtido
como a raiz quadrada da soma ao quadrado das duas componentes, obtendo-se o
valor de 2,1º.
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105
5.4.2.
Areia Glacial (Pgs)
Neste material só foram realizados 5 ensaios para obter a resistência ao
cisalhamento, sendo 4 ensaios triaxiais e 1 cisalhamento direto. Os ensaios
triaxiais foram realizados seguindo diferentes técnicas: 1 isotropicamente
consolidado não drenado, 2 anisotropicamente consolidado não drenados, 1
isotropicamente consolidado drenado.
Como pode ser observado o ângulo de atrito de pico foi obtido de diferentes
ensaios de laboratório (diferentes populações). Agrupando estes dados, podem-se
incrementar as incertezas presentes. É julgado que, assumindo-se as incertezas de
cada grupo separadamente, pode levar a um maior erro na determinação da
incerteza total, pelo que é decidido agrupar os dados.
A Tabela 5.2 mostra um resumo das propriedades físicas e mecânicas do
material.
Tabela 5.2 – Características geotécnicas da areia glacial (Pgs).
Parâmetro do Solo
Intervalo
Média
Mínimo Maximo
Teor de Finos % 34 76 46,1
Limites de Atterberg Material de baixa plasticidade
Peso Específico (kN/m
3
) 21,3 22,6 22,1
Ângulo de atrito de Pico (graus) 33,3 39,2 35,74
Os desvios padrão do ângulo de atrito, devido à variabilidade espacial
inerente, foi de 1,97 e o produto do erro estatístico foi de 0,50. Estes valores
foram computados de acordo aos critérios mostrados no Capítulo 3. O desvio
padrão, produto das duas componentes, é obtido como a raiz quadrada da soma ao
quadrado das duas componentes, obtendo-se o valor de 2,03º.
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106
5.4.3.
Rejeito de Areia (TS)
Neste material foram realizados poucos ensaios, ou seja, os dados são
limitados. Análises paramétricas mostram que o efeito da resistência ao
cisalhamento deste material tem efeito reduzido no resultado da análise de
estabilidade do dique. O ângulo de atrito não foi, portanto, considerado como uma
variável aleatória.
Pelo exposto, considera-se uma coesão efetiva nula, e um ângulo de atrito de
34º (c’=0, Ø’=34º). Nenhum ensaio de laboratório foi realizado na areia glacial-
fluvial (Pf4). Portanto, os parâmetros de resistência não são conhecidos, mas o
impacto de estes parâmetros na análise é mínimo, sendo, portanto, considerados
iguais aos parâmetros dos rejeitos.
5.4.4.
Argila Glacial (Pgc) e Argilito (Kcw)
A análise de estabilidade determinística mostra que a superfície de ruptura
crítica não passa através destes materiais. Não é, portanto necessária à
quantificação destes parâmetros.
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107
5.5.
Poropressões
Diversos piezômetros foram instalados durante a construção do dique nas
diferentes camadas de solo, tendo maior importância os colocados na camada Kca.
A Figura 5.4 mostra os piezômetros colocados nas diferentes camadas.
Figura 5.4 – Localização dos piezômetros na zona de estúdio.
5.5.1.
Poropressões na Camada Kca
Como foi exposto, nesta camada encontraram-se os maiores deslocamentos.
A superfície de deslizamento passa, portanto, através desta camada, e o
conhecimento das poropressões é de muita importância. Foram instalados 18
piezômetros na seção 53+00E, como mostrados na Figura 5.5.
Figura 5.5 – Poropressões ao longo da seção 53+00E na camada Kca
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108
Como pode-se observar na Figura 5.5, existe uma grande dispersão dos
dados ao redor da tendência (linha tracejada). O coeficiente de determinação R
2
é
muito baixo, já que, como se sabe, uma linha de tendência é mais confiável
quando o coeficiente de determinação aproxima-se de 1,0.
A equação da linha de tendência da reta tracejada, (ru = -0,001 D + 0,859,
onde D é a distância), que representa a variação do coeficiente de poropressão
com a distância, foi obtida segundo os procedimentos descritos no Capítulo 3.
Porém, estas não podem ser utilizadas desta maneira devido ao programa Slope/W
não considerar a variação do coeficiente de poropressão com a distância na análise
de estabilidade. Portanto, procedimentos adicionais devem ser efetuados.
Da Figura 5.5, pode-se dizer que os dados se encontram num intervalo de
0,20 ate 0,72, com uma média de 0,45. Pode-se observar também um valor de
0,17 a uma distancia de 465m, aproximadamente. Este valor foi eliminado da
análise, por ser excessivamente baixo.
Para poder usar os dados dos coeficientes de poropressões na análise com o
programa Slope/W, é preciso fazer algumas modificações. Na realidade a linha de
tendência tracejada foi trocada por quatro linhas continuas, como mostrados na
Figura 5.5. As médias e desvios padrão foram calculados segundo os critérios
descritos no Capítulo 3. A Tabela 5.3 mostra os intervalos propostos com seus
respectivos desvios padrão e valores médios.
Tabela 5.3 – Coeficiente de poropressão r
u
, nos intervalos propostos na camada kca.
Intervalo (m)
Média
(r
u
)
Desvio Padrão
Inerente Variabilidade Espacial Erro Estatístico
236 - 300 0,58 0,11 0,066
300 - 350 0,53 0,15 0,056
350 - 400 0,48 0,05 0,026
400-500 0,44 0,07 0,033
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109
Todos os intervalos mostram coeficientes de poropressão (r
u
) superiores aos
dos calculados com a tendência (Linha tracejada), mas do lado da segurança.
5.5.2.
Poropressões na Camada Pgs
Nesta camada foram instalados 14 piezômetros em diferentes
profundidades, e localizados ao longo da seção 53+00E, como se apresenta na
Figura 5.6.
Figura 5.6 – Poropressões ao longo da seção 53+00E na camada Pgs.
Como se pode observar na Figura 5.6, os coeficientes de poropressão (r
u
) se
encontram num intervalo de 0,10 até 0,46, com valor médio de 0,30. Pode-se
observar também que existe uma clara tendência dos valores, entre as distâncias
150m e 350m (meio do talude), e desde 350m até 550m (pé do talude). Assim, foi
decidido subdividir os coeficientes de poropressão nestes dois intervalos. A
Tabela 5.4 mostra as médias e desvios padrão dos intervalos propostos. Todos
estes dados foram obtidos segundo os procedimentos mostrados no Capítulo 3.
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110
Tabela 5.4 – Coeficiente de poropressão r
u
, camada Pgs.
Intervalo (m) Média
Desvio Padrão
Inerente Variabilidade Espacial Erro Estatístico
150 – 350 0,21 0,06 0,023
350 – 550 0,40 0,03 0,010
5.5.3.
Poropressões no Rejeito
Baseados nos dados de 3 piezômetros, a superfície freática no rejeito foi
inferida, como mostrado na Figura 5.7. Como os dados dos piezômetros têm
pouca dispersão, e a superfície de deslizamento tem pouca extensão, a linha
freática foi considerada determinística e não uma variável aleatória.
Figura 5.7 – Posição da linha freática dentro do rejeito.
5.5.4.
Poropressões na Camada Pf4
Nesta camada foram instalados 4 piezômetros e devido às mesmas
considerações encontradas no rejeito (pequena dispersão dos dados e superfície de
deslizamento com pequena extensão nesta camada), decidiu-se que as
poropressões podem ser tratadas como variáveis determinísticas.
Os dados dos piezômetros foram divididos em dois intervalos: o primeiro se
encontra embaixo do rejeito e o segundo no Pé do dique, como mostrado na
Figura 5.7. Os valores de coeficiente de poropressão (r
u
) foram respectivamente
iguais a 0,11 e 0,30.
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111
5.6.
Análise Determinística da Estabilidade do Talude
Com os dados médios de resistência ao cisalhamento e os coeficientes de
poropressão descritos nas seções 5.4 e 5.5, foram calculados os fatores de
segurança determinísticos, pelos métodos de Bishop, Spencer e Morgenstern-Price
(considerando-se função constante ou senoidal). As superfícies de ruptura críticas
e seus respectivos valores de FS são mostrados na Figura 5.8 e na Tabela 5.5.
Figura 5.8 – Superfícies de ruptura críticas.
Foram realizadas análises de estabilidade de taludes pelo método de
Morgenstern-Price (Função constante), porque o método de Spencer resulta em
probabilidades de ruptura ligeiramente inferiores às obtidas com o método de
Morgenstern-Price (Função seno) ou de Bishop.
Tabela 5.5 – Resultados das análises determinísticas.
Método de Análise Fator de Segurança Superfície de Ruptura
Bishop 1,307 Linha Continua
Spencer 1,328 Linha Tracejada
M. Price (F. seno) 1,288 Linha Continua
M. Price (F. const.) 1,328 Linha Tracejada
Uma das diferenças entre os métodos de Spencer e de Morgenstern-Price é a
função que descreve a variação de forças entre fatias. As análises e principais
conclusões estão apresentadas nos seguintes itens.
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112
5.7.
Análises Probabilísticas de Estabilidade de Taludes
Aqui serão apresentados os resultados das análises probabilísticas pelos
métodos de Segundo Momento e de Estimativas Pontuais. Inicialmente
considerando-se toda a inerente variabilidade espacial das propriedades dos solos
(considerando-se perfeita autocorrelação ou distâncias de autocorrelação
infinitas). A seguir, aplicou-se o fator de correção (ƒ) da inerente variabilidade
espacial, para avaliar sua relevância neste caso.
A Tabela 5.6 mostra um resumo das propriedades consideradas como
variáveis aleatórias e seus respectivos desvios padrão.
O desvio padrão total é calculado como a raiz quadrada da soma dos
quadrados de cada componente (Inerente variabilidade Espacial, Erro Estatístico).
Como pode ser observado, foram considerados 8 variáveis aleatórias em cada
análise.
Tabela 5.6 – Propriedades das variáveis aleatórias consideradas na análise.
Solo
Variável
Aleatória
Valor
Médio
Desvio Padrão
Inerente Variabilidade
Espacial
Erro
Estatístico
Total
Kca
Ø
Kca
7,5 2,13 0,25 2,15
r
u (236-300)
0,58 0,11 0,066 0,13
r
u (300-350)
0,53 0,15 0,056 0,16
r
u (350-400)
0,48 0,05 0,026 0,05
r
u (400-500)
0,44 0,07 0,033 0,07
Pgs
Ø
Pgs
35,74 1,97 0,50 2,03
r
u (150-350)
0,24 0,06 0,023 0,06
r
u (350-550)
0,40 0,03 0,010 0,03
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113
5.7.1.
Análises Probabilísticas Assumindo Perfeita Correlação das
Variáveis Aleatórias
Este tipo de análise contempla uma perfeita autocorrelação das propriedades
dos solos, em qualquer direção (distâncias de autocorrelação infinita). Portanto, o
desvio padrão da inerente variabilidade espacial não é reduzido, como foi
explicado no Capítulo 3. Isto não é totalmente correto, pois as propriedades dos
solos só mostram uma perfeita autocorrelação até uma determinada distância,
desaparecendo com o incremento da distância de autocorrelação (r
o
), pelo que
poderia ser considerada alguma redução no desvio padrão.
Na análise de Segundo Momento também foi pesquisado o efeito dos
incrementos utilizados no cálculo das derivadas parciais. Estes incrementos
foram: valor do desvio padrão, 50% do desvio padrão, 10% do valor do
parâmetro, 5% do valor do parâmetro.
Tabela 5.7 – Probabilidades de ruptura, considerando distribuição normal.
Desvio P. 50% do D. Padrão 10% do Parâmetro 5% do Parâmetro
2,28% 2,19% 2,42% 2,42% 2,10%
1,54% 1,51% 1,67% 1,60% 1,45%
1,54% 1,51% 1,67% 1,60% 1,45%
2,23% 2,03% 2,13% 2,31% 2,18%
Bishop
Spencer
M. Price (FC)
M. Price (FS)
Segundo Momento - Valor do Incremento Estimativas
Pontuais
Método de Análisis
Tabela 5.8 - Probabilidades de ruptura, considerando distribuição log-normal.
Desvio P. 50% do D. Padrão 10% do Parâmetro 5% do Parâmetro
1,30% 1,23% 1,40% 1,39% 1,16%
0,75% 0,73% 0,83% 0,79% 0,69%
0,75% 0,73% 0,83% 0,79% 0,69%
1,30% 1,16% 1,23% 1,37% 1,26%
Bishop
Spencer
M. Price (FC)
M. Price (FS)
Método de Análisis
Segundo Momento - Valor do Incremento
Estimativas
Pontuais
As Tabelas 5.7 e 5.8 mostram os distintos resultados encontrados. Pode-se
notar que a hipótese de uma distribuição normal de FS corresponde a maiores
probabilidades de ruptura. Portanto, esta é uma hipótese conservativa, a favor da
segurança.
A diferença encontrada entre os métodos de Segundo Momento e de
Estimativas Pontuais é mínima, podendo ser considerada desprezível.
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114
As análises feitas pelo método de Spencer resultaram em probabilidades de
ruptura ligeiramente inferiores aos encontrados pelo método de Bishop e
Morgenstern-Price (Função seno). Assim, foram calculadas as probabilidades de
ruptura por Morgenstern-Price com função constante, para comparação com o
método de Spencer.
Uma das diferenças entre os métodos de Spencer e Morgenstern-Price é a
função que descreve a variação das forcas entre fatias. O método de Morgenstern-
Price com função constante deveria fornecer as mesmas probabilidades de ruptura
que o método de Spencer. A pequena diferença na probabilidade de ruptura é
atribuída à escolha da função.
Na análise de Segundo Momento (FOSM) pode-se observar que os
incrementos escolhidos para o cálculo da derivada parcial têm pouco efeito no
cálculo da probabilidade de ruptura.
Uma das principais vantagens do método FOSM é poder observar por
inspeção a contribuição de cada parâmetro (variável aleatória) na variância total
de FS. Como mostrado na Figura 5.9, resultados similares foram encontrados nos
demais métodos. Outro aspecto importante é poder visualizar qual parâmetro
contribui mais para a probabilidade de ruptura (inerente variabilidade espacial ou
erro estatístico).
A probabilidade de ruptura está muito influenciada pelos parâmetros na
camada Kca, sendo o parâmetro de resistência (ângulo de atrito) o que mais
contribui, seguido pelos coeficientes de poropressão (r
u
).
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115
Figura 5.9 – Contribuição de cada variável na variância de FS.
Em geral, a contribuição da variância ou desvio padrão da variabilidade
espacial é a que mais contribui na probabilidade de ruptura, pelo que seu cálculo
deveria ser o mais exato possível.
Todas as análises feitas neste item foram realizadas na superfície crítica
obtida deterministicamente. Como foi exposto no Capítulo 4, é razoável
considerá-la como a mais desfavorável (Sandroni e Sayão 1992).
5.7.2.
Análises Probabilísticas Considerando a Variabilidade Espacial dos
Parâmetros do Solo.
Como visto no Capítulo 3, as variâncias resultantes da dispersão dos dados
(inerente variabilidade espacial) ao redor da tendência mostram uma correlação no
espaço. Esta correlação não é infinita e depende da distância de autocorrelação e
da escala de flutuações do material, devendo ser considerada na análise e não
podendo ser desprezada.
Para considerar esta correção na componente da variância da inerente
variabilidade espacial, foi utilizada a equação 3.27 (Capítulo 3), que é função da
distância de autocorrelação e a extensão da superfície de deslizamento na camada
de análise. Esta equação é multiplicada à componente da variância da
variabilidade espacial de cada parâmetro em análise.
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116
No caso do Método de Segundo Momento (FOSM) o fator de correção será
multiplicado só à componente da variância da inerente variabilidade espacial, já
que o método permite visualizar esta componente (equação 5.1).
2
2
() ()
dFS
VFS x f
dx
σ
⎛⎞
=
×
⎜⎟
⎝⎠
(5.1)
No Método de Estimativas Pontuais não se pode multiplicar o fator de
correção só à inerente variabilidade espacial, devido a que o método não
quantifica por separado esta parcela. No método, a variância ou desvio padrão do
fator de segurança contém as duas parcelas (inerente variabilidade espacial, erro
estatístico). Assim, o fator de correção é aplicado à variância do fator de
segurança obtido (equação 5.2).
()
[]
(
)
2
2
VFS EFS EFS f
⎡⎤
=− ×
⎣⎦
(5.2)
A Figura 5.8 mostra que cerca de 70% da superfície de ruptura se encontram
na camada Kca, pelo que só será utilizado o fator de correção (equação 3.27) nas
variâncias resultantes das variáveis aleatórias deste material (Ø
Kca
, ru
Kca
),
enquanto as demais variáveis permanecem invariáveis (Ø
Pgs
, ru
Pgs
).
Um dos aspectos mais importantes no uso do fator de correção (
ƒ) é a
determinação da distância de autocorrelação, como foi exposto no Capítulo 3. Os
solos na direção horizontal apresentam uma distância de autocorrelação média
entre 20m ate 50m e, na direção vertical, desde 1m até 6m.
A superfície de deslizamento que atravessa a camada Kca é em sua maioria
horizontal. Assim, a análise é controlada pela variabilidade espacial das
propriedades dos solos nesta direção. Ademais, considera-se que esta argila tem
uma estrutura contínua (e não errática) nesta direção horizontal, podendo-se
esperar distâncias de autocorrelação maiores.
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117
Segundo El-Ramly (2001), uma distância de autocorrelação horizontal entre
28m e 38m é razoável neste caso, com uma média de 33m. Estes valores foram
usados na análise.
Similar às análises feitas no item 5.7.1, a superfície de deslizamento
determinística foi considerada como a mais crítica na análise.
As Figuras 5.10 a 5.12 mostram os diferentes cálculos feitos pelos métodos
de Segundo Momento e Estimativas pontuais, considerando-se diferentes
distâncias de autocorrelação e distribuições de probabilidade do fator de
segurança.
Figura 5.10 – Análise probabilística pelo método de segundo momento, com distribuição
normal do fator de segurança.
El-Ramly (2001) e El-Ramly et al (2003a) reportaram uma probabilidade
de ruptura (Pr) de 0,13%, numa distância de autocorrelação (r
o
) de 33m. Eles
fizeram uma análise de sensibilidade com respeito à distância de autocorrelação
dentro do intervalo proposto (28m a 38m), encontrando uma variação da
probabilidade de ruptura (Pr) entre 0,10% e 0,30%. Esta variação, do ponto de
vista prático é bastante reduzida.
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118
Figura 5.11 - Análise probabilística pelo método de segundo momento com distribuição
log-normal do fator de segurança.
Figura 5.12 - Análise probabilística pelo método de estimativas pontuais, com
distribuições normal e log-normal do fator de segurança.
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119
Um resumo das Figuras 5.10 a 5.12, é mostrado na Tabela 5.9.
Tabela 5.9 – Probabilidades de ruptura encontradas com o método de Bishop.
Distância de
Autocorrelação
(r
0
)
Segundo Momento (Pr) Estimativas Pontuais (Pr)
El-Ramly
Distribuição
Normal
Distribuição
Log-Normal
Distribuição
Normal
Distribuição
Log-Normal
28 m 0,19% 0,05% 0,05% 0,01% 0,10%
33 m 0,30% 0,10% 0,11% 0,03% 0,13%
38 m 0,46% 0,17% 0,22% 0,07% 0,30%
As probabilidades de ruptura foram somente calculadas segundo o método
de Bishop, já que este foi o único método utilizado por El-Ramly (2001) e El-
Ramly et al (2003a). Como indicado no item 5.7.1, os diversos métodos de
probabilidade não mostram muita diferença na magnitude de Pr, podendo-se,
portanto, esperar resultados similares.
A análise feita pelo método de Segundo Momento com distribuição log-
normal do fator de segurança teve resultado mais próximo aos obtidos por El-
Ramly (2001) e El-Ramly et al (2003a). Assumindo uma distribuição normal os
resultados de probabilidade de ruptura foram superiores, mas à favor da
segurança. Em geral o método do Segundo Momento e o fator de correção
mostrou-se aceitável.
No caso do método de Estimativas Pontuais, assumindo distribuição Normal
do fator de segurança, os resultados foram muito próximos aos encontrados por
El-Ramly (2001) e El-Ramly et al (2003a). Admitindo distribuição Log-Normal,
os resultados foram muito baixos e, portanto, contra a segurança.
Em geral, os dois métodos mostraram-se aceitáveis. O principal aspecto
refere-se ao tipo de distribuição do fator de segurança (Normal ou Log-Normal) a
ser utilizado. Como exposto no Capítulo 4, a hipótese de uma distribuição Normal
do fator de segurança corresponde a probabilidades de ruptura maiores que com
distribuição Log-Normal. Isto foi verificado nestas análises que, portanto,
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120
permitem a recomendação para o uso da distribuição Normal em análises
probabilísticas de estabilidade de taludes.
A Tabela 5.10 mostra a comparação dos resultados de probabilidade de
ruptura obtidos fazendo a correção da variância da variabilidade espacial, e a não
correção de esta variância (item 5.7.1 e 5.7.2). Pode-se observar que a não
redução da variância leva a uma superestimativa da probabilidade de ruptura.
Tabela 5.10 – Efeito da correção da variância da variabilidade espacial.
Método de
Bishop
Probabilidade de Ruptura
(sem redução na variância)
Probabilidade de Ruptura
(com redução na variância)
Distribuição
Normal
2,21% 0,12% - 0,34%
As contribuições da cada variável foram obtidas com o Método de Segundo
Momento numa distância de autocorrelação r
0
= 33m (Figura 5.13). Observa-se
que a contribuição do ângulo de atrito do material kca é a mais importante.
Figura 5.13 - Contribuição de cada variável na variância de FS, para uma distância de
autocorrelação (r
o
) de 33m.
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121
5.8.
Conclusões
Os métodos de Bishop e Morgenstern–Price (Função Seno) deram
probabilidades de ruptura maiores do que Spencer, ou seja, a favor da segurança.
São usualmente considerados como aceitáveis fatores de segurança de 1,5
em condições estáticas. Neste caso foi aceito um fator de segurança de 1,31
(Bishop) já que este mostra uma probabilidade de ruptura baixa (0,12% - 0,34%),
considerando redução da variância da variabilidade espacial. Aqui é grande a
importância do uso de métodos probabilísticos.
Em geral, os métodos probabilísticos aproximados (Segundo Momento,
Estimativas Pontuais) junto com o fator de correção (equação 3.27), mostraram-se
aceitáveis, desde que se considere uma distribuição Normal do fator de segurança.
Obtém-se, assim, probabilidades de ruptura maiores, ou seja, a favor da
segurança.
A hipótese de um intervalo provável de distância de autocorrelação (r
o
)
mostra pouco efeito no valor final da probabilidade de ruptura nas distintas
análises. É recomendável, porém, trabalhar com um intervalo de distâncias de
autocorrelação, pois esta também é uma variável aleatória.
O efeito da não redução da variância da variabilidade espacial (Tabela 5.10)
produz um incremento significativo da probabilidade de ruptura. Isto pode
inviabilizar um projeto ou fazer uma interpretação inadequada da verdadeira
performance da estrutura.
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122
6
DESLIZAMENTO EM LODALEN, NORUEGA (1954)
Neste Capítulo serão apresentadas as análises probabilísticas realizadas
pelos métodos de Segundo Momento e das Estimativas Pontuais, para um
deslizamento de talude ocorrido em Lodalen, Noruega, em 1954.
São apresentadas as análises de probabilidade de ruptura contemplando a
geometria original e várias situações com diferentes inclinações do talude,
estabelecendo relações entre a inclinação do talude, fator de segurança e
probabilidade de ruptura. Isto permite avaliar a melhor inclinação para evitar a
ruptura, desde os pontos de vista probabilístico e determinístico. Este exemplo
demonstra a eficiência de métodos probabilísticos como complemento das
análises determinísticas.
Este talude já foi analisado por El-Ramly (2001) e El-Ramly et al (2006),
com a metodologia descrita no Capítulo 4 (item 4.3.3.4). Como esta metodologia
é de difícil aplicação prática, os métodos do Segundo Momento e das Estimativas
Pontuais foram também utilizados juntamente com o fator de correção por médias
espaciais (equação 3.27). Os resultados são comparados aos obtidos por El-
Ramly, mostrando a eficiência das técnicas usuais com o uso do fator de correção.
6.1.
Introdução
A ruptura do talude de argila ocorreu perto da estação de trem em Oslo
(Noruega), cujo talude inicialmente foi escavado 30 anos antes de iniciadas as
obras de expansão da estação. O talude foi escavado incrementado sua inclinação,
de forma que no instante da ruptura, o talude tinha uma altura de 17m, e uma
inclinação de 26º (2h:1v). A Figura 6.1 mostra uma seção transversal típica.
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123
O talude foi investigado pelo NGI (Instituto Geotécnico de Noruega), que
instalou uma série de piezômetros, ensaios de laboratório, e investigações de
campo. A ruptura do talude foi de forma circular, e envolveu aproximadamente
10.000m
3
de material.
6.2.
Estratigrafia e Propriedades do Solo
A seção transversal na Figura 6.1 mostra a estratigrafia do terreno, com dois
materiais: uma argila de aproximadamente 1m de espessura sobre uma argila
marinha. A inclinação do talude foi de 2h:1v antes da ruptura. O NGI realizou 7
perfurações para a coleta de mostras e instalação posterior de 4 piezômetros, os
quais mediram a carga de pressão em diferentes profundidades.
As investigações de campo indicaram pequenas camadas de silte
intercaladas entre a argila marinha, mas esta foi considerada como um material
homogêneo, com teor de umidade de 30%, LL = 35%, e LP = 20%. A
sensitividade da argila varia entre de 3 e 15.
Nestas duas camadas foram feitos ensaios triaxiais não drenados, com
medição da poropressão. Na argila superior, foram realizados dois ensaios onde
foram obtidos os parâmetros de resistência efetivos: ângulo de atrito de 32º e
coesão de 11,8 kPa. A Figura 6.1 mostra a superfície de deslizamento
determinística. Observa-se que esta camada não atravessa esta superfície pelo que
seus parâmetros de resistência não são considerados como variáveis aleatórias.
Na camada de argila marinha foram realizados dez ensaios. Os resultados
encontram-se resumidos na Tabela 6.1. O ângulo de atrito efetivo foi de 27,1º,
com um desvio padrão de 1,72º (devido à variabilidade espacial), e de 0,54º
(devido ao erro estatístico). A coesão efetiva foi de 10,0 kPa, com um desvio
padrão de 2,22kPa (variabilidade espacial) e de 0,70 (erro estatístico). Todos estes
cálculos foram feitos com os procedimentos descritos no Capítulo 3.
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124
Figura 6.1 – Seção transversal do talude em estudo.
Tabela 6.1 – Parâmetros de resistência, argila aarinha.
Ensaio
Coesão
c´ (Kpa)
Ângulo de Atrito
Ø´ (graus)
1 9,8 27,5
2 7,8 24,9
3 9,8 28,1
4 9,8 27,7
5 7,8 26,6
6 12,8 24,0
7 9,8 26,3
8 6,9 29,4
9 11,8 27,2
10 13,7 29,2
É comumente atribuída uma correlação negativa entre os parâmetros de
resistência (c, Ø). Como foi exposto no Capítulo 3, o uso desta correlação pode
alterar o valor da probabilidade de ruptura. Da Tabela 6.1, pode-se fazer o cálculo
de coeficiente de correlação (ρ) entre estes os parâmetros de resistência, conforme
indica a Figura 6.2.
Superfície de Deslizamento
Determinística
Argila Marinha
Distância
Elevação
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125
Figura 6.2 – Correlação entre ângulo de atrito e a coesão da argila marinha de Oslo.
Como pode ser observado, quase não existe correlação entre estes dois
parâmetros. Portanto, nas análises preliminares, não é considerada nenhuma
correlação. Posteriormente, será feita uma análise de sensibilidade com respeito à
adoção de um coeficiente de correlação.
6.3.
Poropressões
Os quatro piezômetros instalados estão mostrados na Figura 6.3. Os dados
do piezômetro D foram excluídos da análise devido a que se encontraram dados
mais elevados aos reportados pelos outros, e foi atribuído a que se encontrava na
zona de deslizamento e seus valores poderiam ser afetados. Cada piezômetro
mediu cargas piezométricas distintas com a profundidade, como mostrado na
Figura 6.3.
Dos dados obtidos, foi inferida uma linha freática e traçado o gráfico de
carga de pressão versus profundidade abaixo da linha freática. Este gráfico foi
realizado de duas maneiras distintas: (a) com os dados de todos os piezômetros
(Fig. 6.4); (b) com os dados de cada piezômetro individualmente (Figuras 6.5 a
6.7). Nestas figuras estão também indicadas as respectivas linhas de tendência,
segundo os conceitos propostos no Capítulo 3.
Coeficiente de Correla
ç
ão:
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126
Figura 6.3 – Posição dos piezômetros e da linha freática no talude.
Figura 6.4 – Distribuição das cargas de pressão, considerando todos os piezômetros.
Pressão hidrostática
u= 1,37z
R
2
=0,9956
Carga
Piezométrica (m)
Distância (m)
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127
Figura 6.5 – Distribuição das cargas de pressão, no piezômetro A.
Figura 6.6 – Distribuição das cargas de pressão, no piezômetro B.
Pressão hidrostática
Pressão hidrostática
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128
Figura 6.7 – Distribuição das cargas de pressão, no piezômetro C.
Das Figuras 6.4 a 6.7 pode-se observar que todos os piezômetros reportam
condições de poropressão acima da condição hidrostática.
As linhas de tendência em geral mostram resultados com pequena dispersão
ao redor da tendência (variabilidade espacial inerente). Isto é corroborado pelos
valores de R
2
que são muito próximos a 1,0.
Estas pequenas dispersões, na realidade, são pouco usuais ou pouco
prováveis. A Tabela 6.2 mostra os diferentes valores de desvio padrão e as médias
obtidas das linhas de tendência, segundo os critérios propostos no Capítulo 3.
Tabela 6.2 – Valores de carga piezométrica no talude.
Piezômetro
Valor
Médio
Desvio Padrão
V. Espacial Erro Estatístico
A, B, C
1,337z 0,2980 0,0153
A
1,299z 0,2779 0,0397
B
1,319z 0,3703 0,0279
C
1,368z 0,2859 0,0229
Pressão hidrostática
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129
Inicialmente as análises probabilísticas são feitas considerando só 3
variáveis aleatórias: as propriedades de resistência (c´, Ø´) da argila marinha e as
cargas de pressão de todos os dados piezométricos (Figura 6.4). Em seguida, são
consideradas 5 variáveis aleatórias, as propriedades de resistência e as cargas de
pressão individuais de cada piezômetro (Figuras 6.5 a 6.7).
As análises com 5 variáveis permitem visualizar qual piezômetro influencia
mais a probabilidade de ruptura (no método do Segundo Momento). A análise
com 3 variáveis, entretanto, não permite esta visualização, mostrando unicamente
a contribuição conjunta de todas as cargas piezométricas.
Por inspeção da superfície de ruptura (Figura 6.3), pode-se observar que os
dados do piezômetro B são os que devem influenciar mais a análise.
6.4.
Análises Determinísticas de Estabilidade de Taludes
Com os valores médios dos dados descritos nos itens 6.2 e 6.3 foram
calculados os fatores de segurança determinísticos usando o software Slope/W,
utilizando os métodos de Bishop, Spencer e Morgenstern-Price. Os resultados se
encontram resumidos na Tabela 6.3. As superfícies críticas de ruptura são
mostradas na Figura 6.8.
Tabela 6.3 – Fatores de segurança determinísticos.
Método de Análise Fator de Segurança Superfície de Ruptura
Bishop 0,956 Linha Tracejada
Spencer 0,969 Linha Continua
M. - Price 0,968 Linha Tracejada
As poropressões médias foram calculadas das linhas de tendência obtidas
nas Figuras 6.5 a 6.7, para as diferentes profundidades.
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130
Figura 6.8 – Superfícies de deslizamento determinísticas.
6.5.
Análises Probabilísticas da Estabilidade
Com as superfícies determinísticas, foram realizadas as análises
probabilísticas. Inicialmente desprezou-se a redução da variância da variabilidade
espacial inerente (assumindo-se autocorrelação perfeita). Posteriormente,
considerou-se a redução, como exposto no Capítulo 5, para os diferentes métodos
(Segundo Momento e Estimativas Pontuais).
6.5.1.
Análises Probabilísticas Assumindo Perfeita correlação das variáveis
aleatórias
A análise pelo método de Segundo Momento foi feita considerando quatro
metodologias distintas para as derivadas parciais por diferenças finitas centrais:
total do desvio padrão, 50% do desvio padrão, 10% do desvio padrão e 5% do
desvio padrão.
Foram consideradas porcentagens dos desvios padrões e não dos valores dos
parâmetros, porque a tendência das cargas de poropressões está em função da
profundidade.
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131
Pelo exposto, e segundo os conceitos mostrados no Capítulo 3, as equações
que descrevem a tendência das cargas de poropressões segundo as diferentes
combinações estão listadas na Tabela 6.4.
A Figura 6.9 mostra as diferentes combinações no piezômetro A, utilizados
nas análises probabilísticas. Estas combinações estão mostradas na Tabela 6.4.
Resultados semelhantes foram encontrados para os demais piezômetros.
Tabela 6.4 – Combinações da tendência das cargas piezométricas.
Piez. Desvio Padrão 50% do Desvio Padrão
A,B,C
µ = (1,337 ± 0,0153)z ± 0,2980 µ = (1,337 ± 0,0077)z ± 0,149
A
µ = (1,299 ± 0,0397)z ± 0,2779 µ = (1,299 ± 0,0199)z ± 0,139
B
µ = (1,319 ± 0,0279)z ± 0,3703 µ = (1,319 ± 0,0140)z ± 0,185
C
µ = (1,368 ± 0,0229)z ± 0,2859 µ = (1,368 ± 0,0115)z ± 0,143
Piez. 10% do Desvio Padrão 5% do Desvio Padrão
A,B,C
µ = (1,337 ± 0,00153)z ± 0,02980 µ = (1,337 ± 0,00077)z ± 0,0149
A
µ = (1,299 ± 0,00397)z ± 0,02779 µ = (1,299 ± 0,00199)z ± 0,0139
B
µ = (1,319 ± 0,00279)z ± 0,03703 µ = (1,319 ± 0,00139)z ± 0,0185
C
µ = (1,368 ± 0,00229)z ± 0,02859 µ = (1,368 ± 0,00115)z ± 0,0143
Figura 6.9 – Distribuições de carga piezométrica com a profundidade – piezômetro A.
Pressão hidrostática
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132
As Tabelas 6.5 e 6.6 mostram os resultados das análises probabilísticas
considerando 5 variáveis aleatórias. Em resumo, a probabilidade de ruptura, com
distribuição Normal ou Log-normal do fator de segurança, deu valores muito
próximos para os métodos de análise (Bishop, Spencer ou Morgenstern-Price).
Isto foi devido aos valores baixos do índice de confiabilidade (
β
), conforme
descrito no Capítulo 4.
Tabela 6.5 – Análises probabilísticas com 5 variáveis aleatórias, distribuição normal.
Desvio P. 50% do D. Padrão 10% do D. Padrão 5% do D. Padrão
Bishop 67,57% 67,50% 67,51% 66,99% 67,29%
Spencer 62,65% 62,75% 62,90% 62,87% 62,63%
M. Price 63,08% 63,05% 63,30% 63,27% 62,94%
Probabilidade de Ruptura
Método de
Análises
Segundo Momento
Estimativas
Pontuais
Tabela 6.6 - Análises probabilísticas com 5 variáveis aleatórias, distribuição log-normal.
Desvio P. 50% do D. Padrão 10% do D. Padrão 5% do D. Padrão
Bishop 69,04% 68,98% 68,99% 68,55% 68,78%
Spencer 64,35% 64,43% 64,55% 64,53% 64,32%
M. Price 64,76% 64,73% 64,94% 64,91% 64,62%
Probabilidade de Ruptura
Método de
Análises
Segundo Momento
Estimativas
Pontuais
A probabilidade de ruptura segundo Bishop foi mais elevada ao encontrada
nos métodos de Spencer e Morgenstern-Price, mas a favor da segurança. O
Método de Morgenstern-Price considerou uma função senoidal para descrever a
variação de forças entre fatias.
No método de Segundo Momento, para diferentes configurações da derivada
parcial (σ, 50%σ, 10%σ ou 5%σ), foram encontradas probabilidades de ruptura
muito semelhantes em qualquer dos métodos (Bishop, Spencer ou Morgenstern-
Price). Não se observa nenhum efeito do tipo de configuração da derivada parcial.
Os dois métodos de análise probabilística (Segundo Momento e Estimativas
Pontuais) mostraram-se muito próximos, devido principalmente aos pequenos
coeficientes de variação (COV) dos parâmetros de resistência (COV(Φ
MC
)
= 0,07,
COV(C
MC
) = 0,23), e também à pequena dispersão nas cargas de poropressão ao
redor da tendência fixada.
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133
Devido à probabilidade de ruptura ser muito alta, a ruptura do talude foi
iminente. A Figura 6.10 mostra a contribuição na variância do fator de segurança
de cada componente no método de Segundo Momento, em análise feita por
Bishop, considerando o total do desvio padrão. Resultados similares foram
encontrados nas demais análises.
As maiores contribuições são encontradas nos parâmetros de resistência,
seguido pelas variações de cargas de pressão do piezômetro B. As variações de
cargas de pressão dos piezômetros A e C não têm influência significativa, devido
à distância em relação à superfície de deslizamento.
Foram também realizadas análises probabilísticas com 3 variáveis aleatórias
(parâmetros de resistência e dados piezométricos), pelo método de Segundo
Momento, com variações das derivadas parciais considerando o desvio padrão
total. Os resultados estão mostrados na Tabela 6.7.
Figura 6.10 – Contribuição na variância do fator de segurança das cinco variáveis,
considerando o total do desvio padrão.
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134
Tabela 6.7 - Análises probabilística com 3 variáveis aleatórias.
Distribuição Normal Distribuição Log-Normal
Bishop 68,40% 69,75%
Spencer 63,34% 64,92%
M. Price 63,79% 65,35%
Probab. de Ruptura (Método de Segundo Momento)
Método de
Análises
Derivadas Parciais com o Desvio Padrão
Os resultados das duas modelagens, resumidos nas Tabelas 6.5 a 6.7,
mostram diferenças pequenas, o que indica que ambas as modelagens são corretas.
A forma de modelar é uma decisão do engenheiro projetista, mas é recomendável
considerar as diferentes variáveis aleatórias para identificar qual tem maior
contribuição para a estabilidade.
A Figura 6.11 mostra as contribuições na variância do fator de segurança de
cada componente na análise com 3 variáveis. Pode-se observar que os resultados
são semelhantes aos mostrados na Figura 6.10.
Figura 6.11 – Contribuição na variância do fator de segurança das três variáveis,
considerando o total do desvio padrão.
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135
6.5.2.
Análises Probabilísticas Considerando a Variabilidade Espacial dos
Parâmetros do Solo.
Na análise com 5 variáveis aleatórias foram corrigidas as variâncias da
variabilidade espacial produto das médias espaciais de cada variável, como
exposto no Capítulo 5, nos dois métodos probabilísticos (Segundo Momento e
Estimativas Pontuais).
El-Ramly (2001, 2006) mostra a análise probabilística para este talude, mas
considerando a variabilidade espacial pelo método de Morte Carlo, como exposto
no Capítulo 4. Ele utilizou os métodos de Bishop e Spencer, os quais serão
comparados. Resultados similares são esperados com o método de Morgenstern-
Price.
Para utilizar a equação 3.27 (Capítulo 3) é preciso determinar a distância de
autocorrelação a ser utilizada. Das pesquisas de campo, conclui-se que esta argila
marinha poderia ser considerada homogênea, o que é confirmado pelos pequenos
coeficientes de variação encontrados nos parâmetros de resistência (COV
Ø
= 0,07,
COV
C
= 0,23). Ademais, as cargas de pressão apresentam dispersão reduzida ao
redor da tendência.
Por todo o exposto, as distâncias de autocorrelação na direção horizontal
estão entre 30 ate 40m e, na direção vertical, entre 1 e 3m. Observando a
superfície de deslizamento na Figura 6.8, pode-se supor que não existe uma
estrutura espacial dominante em nenhuma direção.
Utilizando uma distância de autocorrelação equivalente r
0-e
, (equação 3.31),
pode-se chegar num intervalo de 5 ate 15m, com valor médio de 10m. Estes
mesmos dados foram utilizados por El-Ramly em sua metodologia.
As Tabelas 6.8 e 6.9 sumarizam os resultados encontrados. As Figuras 6.12,
a 6.17 mostram o impacto das diferentes distâncias de autocorrelação
consideradas na análise probabilística.
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136
Tabela 6.8 – Probabilidade de ruptura com o método de Bishop.
Distância de
Correlação
r
o
(m)
Segundo Momento (Pr) Estimativas Pontuais (Pr)
Distribuição
Normal
Distribuição
Log-Normal
Distribuição
Normal
Distribuição
Log-Normal
5 80,97% 81,17% 83,55% 83,61%
10 74.72% 75.37% 75.50% 76.07%
15 71,1% 72,16% 71,35% 72,31%
Tabela 6.9 - Probabilidade de ruptura com o método de Spencer.
Distância de
Correlação
r
o
(m)
Segundo momento (Pr) Estimativas Pontuais (Pr)
Distribuição
Normal
Distribuição
Log-Normal
Distribuição
Normal
Distribuição
Log-Normal
5 73.3% 73.85% 75.86% 76.23%
10 68.17% 69.4% 69.01% 69.88%
15 65.4% 66.67% 65.73% 66.95%
Figura 6.12 – Probabilidade de ruptura obtida no método de segundo momento com
distribuição normal do FS.
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137
Figura 6.13 - Probabilidade de ruptura obtida no método de segundo momento, com
distribuição log-normal do FS.
Figura 6.14 - Probabilidade de ruptura obtida no método de segundo momento, com
distribuição normal do FS.
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138
Figura 6.15 - Probabilidade de ruptura obtida no método de segundo momento, com
distribuição log-normal do FS.
Figura 6.16 - Probabilidade de ruptura obtida no método de estimativas pontuais, com
distribuição normal e log-normal do FS.
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139
Figura 6.17 - Probabilidade de ruptura obtida no método de estimativas pontuais, com
distribuição normal e log-normal do FS.
A probabilidade de ruptura calculada pelo método de Segundo Momento
segundo Bishop deu em geral resultados comparáveis aos calculados por El-
Ramly (2001), para uma distância de autocorrelação de 10m. O efeito da distância
de autocorrelação causou uma variação grande da probabilidade de ruptura, mas
em qualquer caso a ruptura do talude era iminente.
A probabilidade de ruptura calculada pelo método de Segundo Momento
segundo Spencer deu resultados muito próximos que os calculados por El-Ramly
(2006) melhor as de Bishop, para uma distância de autocorrelação de 10m. O
efeito distância de autocorrelação acarretou uma variação da probabilidade de
ruptura menor que a de Bishop.
Outro aspecto importante a ser mencionado no método do Segundo
Momento, é que a hipótese sobre as diferentes amplitudes no cálculo das
derivadas parciais tem pouco efeito nas probabilidades de ruptura encontradas.
No método de Estimativas Pontuais, segundo Bishop ou Spencer, as
conclusões encontradas foram iguais às do método de Segundo Momento.
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140
As probabilidades de ruptura por qualquer método probabilístico, com
distribuição Normal ou Log-normal do fator de segurança, deram diferenças
desprezíveis, devido aos pequenos valores de índice de confiabilidade encontrados
(
β
) e às pequenas incertezas encontradas nos parâmetros considerados como
variáveis aleatórias.
As Tabelas 6.10 e 6.11 mostram o efeito da não correção da variância da
variabilidade espacial. Analisando as probabilidades de ruptura obtidas com os
métodos de Bishop ou Spencer, pode-se observar que a não redução da variância
da variabilidade espacial ocasiona probabilidades de ruptura obtidas subestimadas,
ou seja, contra a segurança.
Tabela 6.10 - Efeito da correção da variância da variabilidade espacial.
Método de
Bishop
Probabilidade de Ruptura
(sem redução na variância)
Probabilidade de Ruptura
(com redução na variância)
Distrib. Normal 67,42% 82,26 – 71,23%
Distrib. Log-normal 68,91% 82,39 – 72,24%
Tabela 6.11 - Efeito da correção da variância da variabilidade espacial.
Método de
Spencer
Probabilidade de Ruptura
(sem redução na variância)
Probabilidade de Ruptura
(com redução na variância)
Distrib. Normal 62,71% 74,58 – 65,57%
Distrib. Log-normal 64,40% 75,04 – 66,81%
6.6.
Análises Probabilísticas com Variações da inclinação do Talude
Os resultados constataram que a ruptura do talude com inclinação de 2h:1v
(Figura 6.1) era iminente. Neste capítulo, foram apresentadas análises
probabilísticas considerando diferentes inclinações de taludes, permitido a
determinação da configuração associada a critérios aceitáveis de projeto dos
taludes.
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141
As inclinações de taludes consideradas foram de 2.5h:1v, 3.0h:1v, 3.5h:1v e
4.0h:1v. As análises probabilísticas foram executadas pelo método de Segundo
Momento, com os mesmos parâmetros de resistência e condições de poropressão
descritos no itens 6.2 e 6.3. Todas as análises foram realizadas na superfície
crítica de deslizamento, determinada pelos métodos determinísticos. Também
foram considerados os efeitos da redução da variância da variabilidade espacial,
para as mesmas distâncias de autocorrelação propostas. Foi considerada apenas a
hipótese de probabilidade de ruptura com distribuição normal de FS.
Dos resultados obtidos podem-se estabelecer uma relação entre o fator de
segurança (FS) determinístico, a probabilidade de Ruptura (Pr%) e a inclinação do
talude. Foram considerados os métodos de Bishop e de Spencer. Os resultados
estão mostrados nas Figuras 6.18 e 6.19, respectivamente.
Figura 6.18 – Variação da probabilidade de ruptura e fator de segurança para diferentes
inclinações de taludes: método de Bishop.
FS
Pr(%)
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142
Figura 6.19 - Variação da probabilidade de ruptura e fator de segurança para diferentes
inclinações de taludes: método de Spencer.
Como pode ser observado nas Figuras 6.18 e 6.19, é desprezível o
incremento de probabilidade de ruptura entre os taludes de 4,0h:1v e 3,5h:1v,
apesar dos fatores de segurança serem diferentes (1,32 e 1,22). Também pode ser
observado um maior incremento da probabilidade de ruptura entre as inclinações
de 3,0h:1v e 2,5h: 1v. Pode-se constatar a utilidade dos métodos probabilísticos
quando usados em conjunto com os métodos determinísticos.
Outro aspecto a ser comentado é o efeito de reduzir a variância da
variabilidade espacial. Todas as inclinações analisadas mostram menor
probabilidade de ruptura utilizando distintas distâncias de autocorrelação. O efeito
da distância de autocorrelação é maior com probabilidades de ruptura maiores
(2.5h:1v).No caso de taludes com probabilidades de ruptura baixas (4h:1v ou
3.5h:1v), o efeito da distância de autocorrelação é menor.
Em resumo, as Figuras 6.18 e 6.19 mostram que a não redução da variância
da variabilidade espacial, para probabilidades de ruptura menores que 50%,
resulta em uma superavaliação da probabilidade de ruptura. Para probabilidades
de ruptura maiores que 50%, os valores de Pr são subestimados, ou seja,
contrários à segurança.
FS
Pr(%)
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143
São comumente sugeridos como aceitáveis os taludes com FS entre 1,4 a
1,5. Neste caso, será aceito o talude com inclinação 4h:1v, que tem FS = 1,32,
pois ele mostra uma probabilidade de ruptura reduzida.
Nesta inclinação do talude (4h:1v), foram calculados também as
probabilidades de ruptura pelo método de Estimativas Pontuais, para os dois
métodos de estabilidade de taludes (Bishop e Spencer). Também foram
consideradas distribuições de probabilidade Normais e Log Normais do fator de
segurança. Todos estes resultados serão comparados aos obtidos pelo método do
Segundo Momento.
As Figuras 6.20 e 6.21 mostram os resultados de Pr obtidos. As Tabelas
6.12 a 6.15 resumem as comparações dos valores obtidos e os publicados por El-
Ramly (2001, 2006).
Figura 6.20 – Variação da probabilidade de ruptura no talude 4h:1v, para diferentes
distâncias de autocorrelação (r0), método de segundo momento.
1
2
3
4
5
6
4
3
6
1
2
5
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144
Figura 6.21 – Variação da probabilidade de ruptura no talude 4h:1v, para diferentes
distâncias de autocorrelação (r0), método de estimativas pontuais.
Tabela 6.12 – Comparação das probabilidades de ruptura, segundo momento.
Método de Bishop FS Pr Pr - r
0
(5m) Pr - r
0
(10m) Pr-r
0
(20m)
Distrib. Normal 1,315 7,27E-03 1,12E-08 6.19E-06 5.23E-04
Distrib. Log-Normal 1,315 2,97E-03 9,19E-11 3,29E-07 1,01E-04
El-Ramly 2001 1,33 3,0E-04 3,52E-09 6,17E-07 8.84E-05
Tabela 6.13 - Comparação das probabilidades de ruptura, segundo momento.
Método de Spencer FS Pr Pr - r
0
(5m) Pr - r
0
(10m) Pr-r
0
(20m)
Distrib. Normal 1,322 6,11E-03 4,23E-09 3,37E-06 3.68E-04
Distrib. Log-Normal 1,322 2,33E-03 2,32E-11 1,41E-07 6,20E-05
El-Ramly 2001 1,34 11,0E-02 6,34E-10 1.94E-07 4.65E-05
Tabela 6.14 - Comparação das probabilidades de ruptura, estimativas pontuais.
Método de Bishop FS Pr Pr - r
0
(5m) Pr - r
0
(10m) Pr-r
0
(20m)
Distrib. Normal 1,316 7,12E-03 6,01E-12 8,17E-07 3,50E-04
Distrib. Log-Normal 1,316 2,88E-03 5,00E-15 2,37E-08 5,99E-05
El-Ramly 2001 1.33 3.0E-04 3,52E-09 6,17E-07 8.84E-05
1
2
3
4
5
6
4
2
3
1
5
6
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145
Tabela 6.15 - Comparação das probabilidades de ruptura, estimativas pontuais.
Método de Spencer FS Pr Pr - r
0
(5m) Pr - r
0
(10m) Pr-r
0
(20m)
Distrib. Normal 1,323 6,03E-03 1,50E-12 4,03E-07 2,43E-4
Distrib. Log-Normal 1,323 2,28E-03 1,78E-15 8,71E-09 3,59e-05
El-Ramly 2001 1.34 11.0E-02 6,34E-10 1.94E-07 4.65E-05
Pode-se observar que os resultados têm grande correspondência e a equação
3.27 (Capítulo 3) mostra-se aceitável para quantificar a redução da variância da
variabilidade espacial.
A Tabela 6.13 (Método de Spencer) mostra uma grande diferença entre as
probabilidades de ruptura (Pr) obtidas sem redução da variância da variabilidade
espacial, com respeito ao publicado por El-Ramly (2006) e ao calculado. Porém,
na Tabela 6.12 (Método de Bishop), a diferença é pequena, podendo-se supor que
o valor reportado por El-Ramly (Pr = 11.0E-02) está incorreto.
Os dois métodos probabilísticos utilizados (Segundo Momento e
Estimativas Pontuais) mostraram-se aceitáveis para distâncias de autocorrelação
maiores que 10m. Para menores distâncias de autocorrelação, o método de
Segundo Momento mostra resultados concordantes com os reportados por El-
Ramly. No entanto, o método de Estimativas Pontuais não mostra esta
concordância.
6.7.
Análises Probabilísticas Considerando Coeficientes de Correlação
entre os Parâmetros de Resistência
Como foi mostrado na Figura 6.2, não existe correlação entre os parâmetros
de resistência. Neste Capítulo são feitas análises probabilísticas na inclinação
original do talude (2h:1v), mediante os distintos métodos (Segundo Momento,
Estimativas Pontuais e Monte Carlo), para poder quantificar o efeito da hipótese
de algum tipo de correlação.
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146
Nos métodos de Segundo Momento e Estimativas Pontuais foram,
calculadas as probabilidades de ruptura assumindo distribuições de probabilidade
Normal e Log-normal. Para a análise de Monte Carlo, foi utilizado o programa
Slope/W. Neste programa, a probabilidade de ruptura só pode ser obtida
considerando-se uma distribuição Normal do fator de segurança.
Para facilitar as análises, só foram consideradas as duas variáveis aleatórias
verificadas anteriormente como sendo as mais relevantes para este caso: os
parâmetros de resistência (c`,
Ø`). As condições de poropressões foram as médias
obtidas pelas linhas de tendência.
A Figura 6.22 mostra os resultados obtidos com o método de Bishop.
Resultados similares podem ser obtidos com os métodos de Spencer.
Observa-se na Figuras 6.22 que a consideração de algum tipo de coeficiente
de correlação negativa influencia muito a probabilidade de ruptura, enquanto a
hipótese de coeficiente de correlação positiva não gera grandes diferenças. No
caso de ausência de dados, é recomendável não considerar nenhum coeficiente de
correlação.
Figura 6.22 – Valores de probabilidade de ruptura em função do coeficiente de
correlação.
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147
6.8.
Conclusões
O método de Segundo Momento mostra-se prático e eficiente, fornecendo
resultados aceitáveis em comparação aos demais métodos, mas com menos
esforço computacional.
No caso inicial do talude 2:1, a probabilidade de ruptura sem redução na
variância foi muito elevada (em média 65%). Aplicando-se a redução na
variância, o valor é maior (em média 75%). Isto mostra que o efeito da redução da
variância da viabilidade espacial não necessariamente leva a probabilidades de
ruptura superestimadas. Em qualquer caso, a ruptura do talude era iminente, e não
tinha importância haver reduções na variância da variabilidade espacial.
A decisão de quantas variáveis aleatórias vai ser usada na análise depende
do engenheiro projetista. Na realidade, devem ser utilizadas todas aquelas
variáveis que influenciam a análise. Neste Capítulo, a utilização de 3 ou 5
variáveis não mostra diferenças significativas no resultado final já que só foram
considerados dois parâmetros: resistência ao cisalhamento e condições de
poropressão. De fato, a existência de outro parâmetro (cargas externas) poderia
afetar o resultado final.
A utilização de um intervalo de distâncias de autocorrelação (r
o
) não
mostrou maior importância quando a probabilidade de ruptura era reduzida
(Figuras 6.18 e 6.19). Quanto maior é a probabilidade de ruptura, maior é a
importância da distância de autocorrelação para os resultados.
Do ponto de vista prático, como os projetos geotécnicos buscam sempre
valores reduzidos de probabilidade de ruptura, o uso de um intervalo de distâncias
de autocorrelação poderia ser descartado. É, porem, recomendável a utilização de
um intervalo de distâncias de autocorrelação, pois este parâmetro representa
também uma incerteza. É mais adequado definir um intervalo provável do valor
de Pr do que tentar estabelecer um resultado absoluto.
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148
Nas Figuras 6.18 e 6.19 também pode ser observado que a não redução da
variabilidade espacial tem um efeito significativo: para probabilidade de ruptura
menor que 50%, ocorre uma superestimativa de Pr; para valores maiores que 50%,
o valor de Pr é subestimado.
No caso do talude com inclinação 4h:1v, os métodos probabilísticos
(Segundo Momento e Estimativas Pontuais), com o fator de correção (Equação
3.27), mostraram-se aceitáveis, desde que as distâncias de autocorrelação sejam
maiores que 10m (Figuras 6.20 e 6.21). Para distâncias menores que 10m, o
Método de Segundo Momento foi o único que mostrou concordância com os
resultados publicados por El-Ramly.
O uso de um coeficiente de correlação entre os parâmetros de resistência do
solo não é recomendado, no caso de dados insuficientes. Como foi mostrado na
Figura 6.20, o uso de algum tipo de correlação, sobretudo um valor negativo, afeta
de forma significativa o resultado final da probabilidade de ruptura.
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149
7
INVESTIGAÇÃO DO ATERRO EM MUAR
As técnicas probabilísticas tradicionais de probabilidade de estabilidade de
taludes (Segundo Momento e Estimativas Pontuais) serão aplicadas para a
avaliação da probabilidade de ruptura de um aterro experimental na Malásia.
Análises probabilísticas neste aterro foram realizadas por El-Ramly (2001)
utilizando a metodologia descrita no Capítulo 4. Como esta técnica é pouco
prática para uso na engenharia, serão avaliadas as técnicas usuais com o fator de
redução da variância da variabilidade espacial, como descrito no Capítulo 3
(equação 3.27).
Uma vez determinada a probabilidade de ruptura correspondente à
instabilidade do aterro, serão calculados os valores de Pr para diferentes alturas do
aterro. Isto permitirá estabelecer uma relação entre a probabilidade de ruptura, a
altura do aterro e o fator de segurança determinístico, mostrando a eficiência dos
métodos probabilísticos como complementos das análises determinísticas.
7.1.
Introdução
O Departamento de Estradas da Malásia construiu um aterro de grande
escala sobre um depósito de argila marinha muito mole, com o objetivo de
otimizar o procedimento de projeto. As investigações constaram de uma série de
ensaios e instrumentação de campo para monitorar o comportamento do aterro.
Nesta investigação, foram convidados 30 engenheiros geotécnicos para
fazer previsões sobre a conduta do aterro durante os diferentes estágios da
construção até a ruptura. As conclusões e previsões destes engenheiros foram
discutidas e resumidas por Brand e Premchitt (1989).
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150
7.2.
Estratigrafia do Terreno e Características do Aterro
O aterro foi construído sobre um área de 55 x 90m, com taludes de 2h:1v.
Na construção foram usadas argilas arenosas e areias argilosas compactadas. No
instante da ruptura, a altura do aterro era de 5,4m.
A estratigrafia do terreno era composta inicialmente por uma crosta de
aproximadamente 2m de espessura de uma argila resistente. Embaixo, encontrava-
se uma argila siltosa de alta compressibilidade, com espessura de 6m, seguida por
outra camada de argila siltosa mole de 9m de espessura aproximadamente.
Posteriormente foi encontrada uma lente de turfa altamente compressível de
0,70m de espessura, sobre uma densa argila arenosa. As Figuras 7.1 e 7.2
mostram a geometria do aterro e a estratigrafia do terreno respectivamente.
Figura 7.1 - Superfície de ruptura observada no aterro sobre solo mole, Brand e
Premchitt (1989)
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151
Figura 7.2 – Estratigrafia e resistência não drenada encontrada no campo.
7.3.
Propriedades de Resistência do Solo de Fundação
Do inicio da construção até a ruptura transcorreram apenas 100 dias, e a
ruptura ocorreu um dia depois que se desenvolveu uma trinca longitudinal perto
do centro do aterro (Figura 7.3). Consideraram-se assim as análises de
estabilidade de taludes sob condições não drenadas.
Brand e Premchitt (1989) indicaram a superfície de ruptura desenvolvida, a
qual foi determinada pelos inclinômetros (Figura 7.1). Pode-se apreciar
claramente que a superfície de deslizamento foi circular, e que a estabilidade do
aterro estava fortemente controlada pelas propriedades de resistência da argila
siltosa muito mole.
Ar
g
ila Resistente
Argila Siltosa
Muito Mole
Argila Siltosa
Mole
Turfa
Argila Arenosa Densa
Resistência ao cisalhamento não Drenado S
u
(kPa)
Profundidade (m)
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152
Figura 7.3 – Ruptura do aterro após 100 dias de construção.
No local, foi feita uma série de ensaios de palheta para determinar a
resistência não drenada dos materiais (Figura 7.2).
Pode-se observar uma diminuição da resistência não drenada com a
profundidade na argila da crosta. Posteriormente, registra-se um incremento
constante com a profundidade na argila siltosa muito mole, e na argila siltosa
mole, os incrementos de resistência não drenada nestas duas argilas moles
parecem ter uma tendência com a profundidade única, pode-se, portanto,
estabelecer uma tendência nestas duas camadas.
A Tabela 7.1 resume as principais propriedades físicas e mecânicas
encontradas nestes materiais.
Tabela 7.1 - Propriedades físicas e mecânicas das camadas argilosas.
Camada
Limite de
Liquidez (%)
Limite de
Plasticidade (%)
Índice de
Compressibilidade
Peso Específico
(kN/m
3
)
Argila na crosta 90 30 ------ 15,5
Argila siltosa muito mole 80 27 1,75 14,0
Argila siltosa mole 55 23 1,05 16,0
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153
A Tabela 7.1 mostra claramente que todas as camadas de argila são
altamente plásticas, e as camadas de argila mole são altamente compressíveis, em
especial a camada de argila siltosa muito mole.
Da Figura 7.2 podem-se obter duas linhas de tendência da resistência não
drenada com a profundidade. A primeira encontra-se na argila da crosta, e a
segunda nas argilas moles, já que estas apresentam um incremento constante
como visto na Figura 7.2.
A Tabela 7.2, mostra os parâmetros das linhas de tendência obtidas segundo
os critérios descritos no Capítulo 3.
Tabela 7.2 – Linhas de tendência da resistência não drenada (S
u
).
Tipo de Solo Média
Desvio Padrão
Variabilidade Espacial Erro Estatístico
Argila da Crosta
Inclinação 15,73 ----- 2,49
Intercepto 2,79 ------ 3,62
Residuais ----- 4,55 ------
Argila Mole
Inclinação -1,77 ----- 0,07
Intercepto 7,21 ------ 0,63
Residuais ----- 2,45 ------
7.4.
Propriedades de Resistência do Aterro
Os materiais utilizados neste aterro foram de origem granítica, descritos
como argilas arenosas a areias argilosas. Neste material foram realizados três
ensaios triaxiais não consolidados não drenados (UU), e dois triaxiais drenados
(CD). Os resultados estão mostrados na Tabela 7.3.
Tabela 7.3 – Propriedades de resistência do aterro.
Ensaio Triaxial Ângulo de Atrito (º) Coesão (kPa)
UU 12 -26 64 - 19
CD 31 14
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154
Condições não drenadas foram consideradas adequadas neste material. A
resistência não drenada (Su) foi estabelecida em 60kPa. A incerteza associada
nesta determinação é grande, devido principalmente à incompatibilidade de
deformações necessárias para mobilizar a resistência máxima do aterro e do
terreno de fundação.
A escolha da resistência a ser considerada é deixada a cargo da experiência
e julgamento do engenheiro. Alguns engenheiros consideram alguma porcentagem
da resistência do aterro, e outros não consideram nenhuma contribuição, pelo que
considerar esta variável como uma variável aleatória é de suma importância. Foi
considerado um desvio padrão de 12 kPa (COV = 0,2) adequado neste material.
7.5.
Fator de Correção de Bjerrum
A resistência não drenada obtida pelo ensaio de palheta é em geral
superestimada, sendo comum a utilização do fator de correção proposto por
Bjerrum (Figura 7.4), o qual é função do índice de plasticidade do solo.
Figura 7.4 – Fator de correção da resistência não drenada.
ÍNDICE DE PLASTICIDADE (%)
FATOR DE CORREÇÃO
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155
Da Tabela 7.1 podem ser obtidos os índices de plasticidade. A argila na
crosta tem um índice de plasticidade de 60%, enquanto que a argila mole tem IP=
50%. Com estes resultados, foram obtidos fatores de correção de 0,75 e 0,80,
respectivamente.
Da Figura 7.4 pode-se apreciar a grande dispersão dos dados ao redor da
tendência. Na realidade, este fator de correção não é uma variável determinística,
pelo que foi modelada como uma variável aleatória, com um desvio padrão de
0,15 (COV= 0,2).
Em geral a equação que descreve a resistência não drenada com a
profundidade nos dois materiais segue os princípios propostos no Capítulo 3. A
equação 7.1 mostra como foram considerados os dados:
[
]
()()( )
BA DVE
Su B A z D
σσ σσ
=+ + ++ + (7.1)
Onde as letras A e D são os parâmetros da linha de tendência, σ
A
e σ
D
são os
desvios padrões devido ao erro estatístico, σ
VE
é o desvio padrão da variabilidade
espacial (dispersão dos dados ao redor da meia), B é o fator de correção de
Bjerrum e σ
B
é o desvio padrão.
7.6.
Análise Determinística de Estabilidade de Taludes
Como mostra a Figura 7.1, a superfície de ruptura na fundação é circular.
Assim, o fator de segurança é obtido segundo Bishop, utilizando as médias das
propriedades dos materiais (itens 7.3 a 7.5.).
O fator de segurança foi calculado como 1,106. A Figura 7.5 mostra a
superfície de ruptura encontrada, o fator de segurança obtido se encontra
ligeiramente superior à unidade indicando uma estabilidade precária. Como
ocorreu a ruptura, algum parâmetro de resistência ao cisalhamento foi
superestimado. A resistência ao cisalhamento no aterro a qual foi determinada
sem muita precisão é talvez a mais provável de ter sido superestimada.
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156
Figura 7.5 – Superfície de ruptura segundo Bishop.
7.7.
Análises Probabilísticas de Estabilidade de Taludes
As análises probabilísticas foram realizadas pelos métodos de Segundo
Momento e de Estimativas Pontuais na superfície crítica determinística obtida. As
análises foram realizadas inicialmente sem redução da variância da variabilidade
espacial, e posteriormente com a redução.
No método de Segundo Momento foram consideradas quatro metodologias
distintas para as derivadas parciais: desvio padrão, 50% do desvio padrão, 20% do
desvio padrão e 10% do desvio padrão.
7.7.1.
Análises Probabilísticas Assumindo Perfeita Autocorrelação dos
Parâmetros
Nesta análise não foram corrigidas as variâncias da variabilidade espacial.
As análises probabilísticas foram feitas considerando 5 variáveis aleatórias: as
resistências ao cisalhamento não drenado (S
u
) de todos os materiais (aterro, argila
na crosta e argila mole), seguindo a equação 7.1, junto com os fatores de correção
de Bjerrum da argila da crosta e da argila mole.
A Figura 7.6 mostra os resultados obtidos. As diferenças encontradas na
obtenção da probabilidade de ruptura no método do Segundo Momento devido às
diferentes amplitudes das derivadas parciais são desprezíveis.
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157
A diferença entre as probabilidades de ruptura encontradas nos métodos de
Segundo Momento e Estimativas Pontuais é mínima, seja com a hipótese de
distribuição Normal ou Log-Normal do fator de segurança.
Figura 7.6 – Probabilidade de ruptura, método de Bishop.
A Figura 7.7 mostra a contribuição na variância do fator de segurança de
cada componente, no método de Segundo Momento. Pode ser observado que a
resistência não drenada da argila mole (Su
c
) e do aterro (Su
fill
) são as que mais
contribuem, seguido pelo fator de correção Bc na argila mole. As propriedades da
argila na crosta têm pouco efeito no calculo.
Figura 7.7 – Contribuição na variância do fator de segurança dos parâmetros.
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158
7.7.2.
Análises Probabilísticas Considerando a Variabilidade Espacial dos
Parâmetros de Solo
Para avaliar o efeito da redução da variância da variabilidade espacial nas
análises probabilísticas, foi utilizado à equação 3.27 (Capítulo 3) como fator de
correção. Nos métodos de Segundo Momento de Estimativas pontuais, como
descritos no Capítulo 5.
Antes da utilização de este fator de correção
(
)
f
é preciso determinar as
distâncias de autocorrelação representativas neste material. Esta argila marinha
mostra uma estrutura continua antes que errática, portanto podem-se esperar
distâncias de autocorrelação maiores.
Distâncias de autocorrelação entre 30 e 40m na direção horizontal e de 1 até
3m na direção vertical, são consideradas possíveis neste material. Como
observado na Figura 7.5, mais de 75% da superfície de ruptura se encontra na
argila mole. Portanto, será somente considerada a redução neste material.
A Figura 7.5 mostra também que superfície de ruptura na argila mole não
tem uma estrutura espacial numa direção especifica (vertical ou horizontal).
Portanto é preciso assumir uma estrutura espacial isotrópica a traves de uma
distância de autocorrelação isotrópica, a qual pode ser obtida da equação 3.31. É
considerado apropriado uma distância de autocorrelação isotrópica entre 5 – 15m,
com uma média de 10m, estas distâncias de autocorrelação são as mesmas
utilizadas por El-Ramly (2001).
As Figuras 7.8 e 7.9 mostram as probabilidades de ruptura encontradas no
método de Segundo Momento, considerando distintas amplitudes das derivadas
parciais e distribuições de probabilidade do fator de segurança (Normal e Log-
normal).
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159
Figura 7.8 – Probabilidade de ruptura, método de segundo momento, distribuição normal
do fator de segurança.
As diferences entre a hipótese de uma distribuição de probabilidade normal
ou Log-Normal do fator de segurança é pequena. Em resumo a probabilidade de
ruptura encontra-se entre 22,19% e 27,02 %, para distâncias de autocorrelação
entre 5 e 15m.
Figura 7.9 - Probabilidade de ruptura, método de segundo momento, distribuição log-
normal do fator de segurança.
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160
A Figura 7.10 mostra as probabilidades de ruptura no método de
Estimativas Pontuais, as quais se encontram entre 14 e 26% para distâncias de
autocorrelação entre 5 e 15m. A diferença de probabilidade encontrada neste
método é maior que do Segundo Momento, mas a probabilidade de ruptura para
uma distância de autocorrelação de 10m foi de 22% em média, o qual é muito
próximo ao valor de 23,79%, reportado por El-Ramly 2001.
Figura 7.10 - Probabilidade de ruptura, método de estimativas pontuais, distribuição
normal e log-normal do fator de segurança.
Os dois métodos (Segundo Momento e Estimativas Pontuais) junto com o
fator de correção (Equação 3.27) mostram-se adequados para o cálculo da
probabilidade de ruptura numa distância de autocorrelação de 10m.
O método de Estimativas Pontuais mostra uma maior sensitividade no
calculo da probabilidade de ruptura, para distâncias de autocorrelação menores a
10m, o qual também foi observado no Capítulo 6.
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161
7.8.
Análises Probabilísticas para Diferentes Alturas do Aterro
Serão apresentados os valores de Pr obtidos para diferentes alturas do aterro
utilizando o método de Segundo Momento, de forma a se obter uma relação entre
a altura do aterro, fator de segurança e probabilidade de ruptura.
Na análise são consideradas alturas de 3,2m, 4,0m, 4,2m e 4,7m.
Inicialmente são obtidas probabilidades de ruptura sem redução da variância da
variabilidade espacial. A seguir, são calculados os valores considerando a
redução, considerando distâncias de autocorrelação de 5m, 10m e 15m.
As Figuras 7.11 e 7.12 mostram os resultados obtidos. Pode-se observar a
grande diferença de probabilidade de ruptura quando a elevação passa de 4,7 a
5,4m, e um menor incremento da probabilidade quando a altura do aterro passa de
3,2m a 4,0m.
Neste tipo de obras são considerados adequados fatores de segurança
determinístico entre 1,3 e 1,4 ao final da construção. A altura do aterro de 4,0m
satisfaz este requerimento (FS = 1,38). Sua probabilidade de ruptura com uma
distância de autocorrelação de 10m, assumindo uma distribuição Normal do fator
de segurança é de 3,17% (Figura 7.11), e assumindo uma distribuição Log-
Normal de 1,73% (Figura 7.12).
El-Ramly 2001 reportou uma probabilidade de ruptura de 1,29%, numa
distância de autocorrelação de 10m, ligeiramente superior ao encontrado pelo
método de Segundo Momento assumindo uma distribuição Log-normal do fator
de segurança. Para distâncias de autocorrelação de 5m e 15m, ele reportou
probabilidades de ruptura de 1,06% e 1,67%, respectivamente.
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162
Figura 7.11 – Variação da probabilidade de ruptura e fator de segurança para diferentes
alturas do aterro, distribuição normal do FS.
Figura 7.12 - Variação da probabilidade de ruptura e fator de segurança para diferentes
alturas do aterro, distribuição log-normal do FS.
FS Pr(%)
FS
Pr(%)
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163
Devido as diferenças de probabilidade de ruptura encontradas no aterro com
altura de 4,0m, nas distintas distâncias de autocorrelação propostas, foram
também calculadas as probabilidades de ruptura pelo método de Estimativas
Pontuais. Assumindo também distribuição Normal e Log-Normal do fator de
segurança.
A Figura 7.13 mostra os resultados obtidos. Pode-se apreciar que o método
de Segundo Momento com distribuição Log-Normal do fator de segurança, junto
com o método de Estimativas Pontuais com distribuição Normal, mostram
probabilidades de ruptura comparáveis aos reportados por El-Ramly, numa
distância de autocorrelação de 10m.
Neste caso, para distâncias de autocorrelação menores a 10m o método de
Estimativas Pontuais mostra-se inadequado para o calculo da probabilidade de
ruptura.
O método de Segundo Momento com distribuição Log-Normal do fator de
segurança foi quem se mostrou mais conveniente neste caso para o cálculo da
probabilidade de ruptura.
Figura 7.13 – Variação da probabilidade de ruptura para diferentes distâncias de
autocorrelação numa altura do aterro de 4.0m.
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164
7.9.
Conclusões
O método de Segundo Momento foi o que se mostrou mais aceitável nos
intervalos de distâncias de autocorrelação propostos. O método de Estimativas
Pontuais mostra uma grande diferença nas probabilidades de ruptura obtidas para
distâncias de autocorrelação menores que 10m. Isto pode ser devido ao fator de
correção ser aplicado a toda a variância do FS (variabilidade espacial, erro
estatístico).
No caso do aterro com altura de 4m, pode ser observado que existe uma
maior sensitividade sobre qual distância de autocorrelação deve-se usar. Em
especial quando é assumida uma função Normal do FS (Figura 7.13), onde
probabilidades de rupturas elevadas são obtidas, mas a favor da segurança. A
função Normal seria recomendada, mas neste caso existe uma forte
superestimativa da probabilidade de ruptura com respeito á assunção de uma
distribuição de probabilidade Log – Normal e ao publicado por El-Ramly. Em
geral e recomendável trabalhar com um intervalo de distâncias de autocorrelação,
e consequentemente com um intervalo de probabilidades de ruptura. Deve-se
também fazer os cálculos considerando distintas distribuições de probabilidade do
FS (Normal ou Log – Normal), o que permitiria uma melhor quantificação dos
intervalos de probabilidade de ruptura existentes.
As Figuras 7.11 e 7.12 mostram o efeito da redução da variância da
variabilidade espacial. Numa altura do aterro de 4m, nenhuma redução implicaria
em probabilidades de ruptura não aceitáveis. Assumindo uma redução com uma
distância de autocorrelação de 10m a menos, obtém-se um talude seguro. É
preciso, por tanto assumir algum tipo de redução na variância da variabilidade
espacial dos dados, pois as propriedades dos solos não têm correlação infinita.
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165
8
CONCLUSÕES E SUGESTÕES
8.1.
Conclusões
Atualmente não existe um intervalo de probabilidades de ruptura aceitável,
para as diferentes obras geotécnicas. Os questionamentos feitos por El-Ramly
(2001) parecem ser corretos, devido principalmente a que os intervalos
recomendados pelos organismos internacionais (US Army Corps of Engineers,
etc.) não incluem aspectos importantes, como a quantidade e qualidade de
informação disponível, e as condições existentes no projeto. Portanto o valor
máximo de probabilidade de ruptura aceitável é função do julgamento do
engenheiro, para o caso específico em consideração.
Das análises probabilísticas realizadas conclui-se que não existe uma
diferença significativa entre as probabilidades de ruptura obtidas pelos diferentes
métodos aproximados (Segundo Momento, Estimativas Pontuais) e o método de
Monte Carlo, quando as variâncias da variabilidade espacial são ou não reduzidas.
Portanto os dois métodos aproximados são aceitáveis para a prática,
recomendando-se principalmente o método de Segundo Momento, devido à sua
simplicidade de cálculo e à obtenção de informações adicionais (porcentagens de
cada parâmetro na variância do fator de segurança).
A metodologia utilizada no cálculo das derivadas parciais no método de
Segundo Momento foi a de diferenças finitas centrais, nos três casos analisados.
Diferentes amplitudes de variação de cada parâmetro (Desvio padrão total,
Metade do Desvio Padrão, Porcentagens do Parâmetro) não influíram na
amplitude de variação, já que todas praticamente deram valores similares de
probabilidade de ruptura.
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166
O efeito da redução da variância da variabilidade espacial nas variáveis
aleatórias é muito importante. Sobretudo quando se tem probabilidades de ruptura
muito baixas, já que a não redução implicaria em probabilidades de ruptura não
aceitáveis. Isto leva a erros na determinação da performance real da estrutura. Em
geral, é recomendável fazer a redução na variância só quando a probabilidade de
ruptura é baixa. Para probabilidades de ruptura elevadas a redução da variância
não é importante, já que a estrutura seria potencialmente instável.
É recomendável reduzir a variância da variabilidade espacial, nas variáveis
aleatórias, só onde se encontre a maior superfície de ruptura. Devido a que esta
superfície influencia mais a análise.
A redução da variância da variabilidade espacial da variável aleatória leva
em geral a probabilidades de ruptura menores, o que seria contra a segurança. Isto
é verificado só para probabilidades de ruptura menores que 50%. Para
probabilidades de ruptura maiores que 50% o efeito é inverso, mas a favor da
segurança.
A equação 3.27, se mostrou aceitável para quantificar a redução necessária
na variância da variabilidade espacial nas diferentes análises probabilísticas. O
método de Segundo Momento (FOSM) registrou menores dispersões nas
probabilidades de ruptura (para distâncias de autocorrelação menores que 10m)
em comparação ao método de Estimativas Pontuais (EP). Isto poderia ser
atribuído a que o fator de redução foi aplicado diretamente na parcela da variância
da variabilidade espacial, enquanto que, no método de EP, não foi possível, pois
este método não quantifica esta parcela separadamente.
Os valores reduzidos de probabilidades de ruptura obtidas para as distintas
distâncias de autocorrelação propostas (utilizando a equação 3.27) nas análises,
não tiveram muita dispersão nestes tipos de materiais, os quais apresentam uma
estrutura continua ou homogênea (distâncias de autocorrelação maiores, r
0
) ao
invés de errática ou heterogênea.
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167
A magnitude e os intervalos de distância de autocorrelação a serem usados
nas análises probabilísticas devem estar fundamentadas nas condições geológicas
encontradas na zona de análise e também no julgamento do engenheiro. Esta
variável é considerada como uma variável aleatória e é recomendada a utilização
de intervalos de distâncias de autocorrelação, ao invés de um valor único. Obtém-
se assim intervalo de probabilidades de ruptura. Como primeira aproximação,
podem ser usadas as distâncias de autocorrelação (r
0
) indicadas no Tabela 3.3.
As análises probabilísticas de estabilidade de taludes não devem substituir
as análises tradicionais de estabilidade de taludes (determinísticas). È
recomendável fazer as duas análises conjuntamente, para uma avaliação mais
adequada da segurança ou estabilidade da estrutura.
8.2.
Sugestões
A primeira sugestão a ser feita para futuras pesquisas é a obtenção de níveis
de probabilidade aceitáveis para as distintas obras geotécnicas realizadas,
considerando a quantidade e qualidade das informações disponíveis. Isto pode ser
feito através de retroanálises de estabilidade de taludes rompidos.
A segunda sugestão é analisar o efeito da distância de autocorrelação
(utilizando a equação 3.27) no cálculo da probabilidade de ruptura em solos com
uma estrutura errática ou heterogênea, tais como taludes de encostas em solos
residuais.
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