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Campos de Medida Divergente e a F´ormula
de Gauss-Green
Leandro Tomaz de Araujo
Dezembro de 2006
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Campos de Medida Divergente e a
F´ormula de Gauss-Green
por
Leandro Tomaz de Araujo
Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao
Programa de P´os-gradua¸c˜ao do Instituto
de Matem´atica, da Unive rsidade Federal do
Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necess´arios `a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre
em Matem´atica.
Orientador: Wladimir Neves
Rio de Janeiro
Dezembr o de 2006
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.
Araujo, Leandro Tomaz de
A663c Campos de medida divergente e a f´ormula de
2006 Gauss-Green/Leandro Tomaz de Araujo.-
Rio de Janeiro: UFRJ/IM, 2006.
v,89f.; 29 cm
Disserta¸c˜ao(Mestrado) - UFRJ/IM. Programa de
P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica, 2006.
Orientador: Wladimir A. das Neves
Bibliogr´afia: p.86.
1. Teoria geom´etrica da medida - tese. 2. Espa¸cos
de fun¸c˜oes. I. Neves, Wladimir Augusto das. II.
Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto de
Matem´atica. III. T´ıtulo.
Campos de Medida Divergente e a
F´ormula de Gauss-Green
por
Leandro Tomaz de Araujo
Disserta¸c˜ao submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matem´atica da Universidade
Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necess´arios para a obten¸c˜ao do grau
de Mestre em Matem´atica.
´
Area de concentra¸c˜ao: Matem´atica
Aprovada por:
Prof. Dr. Wladimir Neves - UFRJ-IM
(Presidente)
Prof. Dr. Dinamerico P. Pombo Jr. - UFF-IM
Prof. Dr. Antonio Roberto da Silva - UFRJ-IM
Prof. Dr. Greg´orio Malajovich -UFRJ-IM
Rio de Janeiro
Dezembr o de 2006
Campos de Medida Divergente e a
F´ormula de Gauss-Green
Leandro Tomaz de Araujo
Orientador: Wladimir A. das Neves
Resumo
Resumo da Disserta¸c˜ao submetida ao Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica,
Instituto de Matem´atica, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte
dos requisitos necess´arios `a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.
O objetivo principal deste trabalho ´e estudar as v´arias generaliza¸c˜oes da F´ormula de
Gauss-Green. Al´em disso, analisaremos uma nova classe de campos L
∞
, chamados Cam-
pos de Medida Divergente (DM) conforme introduzido por Chen & Frid [6] e esten-
deremos a F´ormula de Gauss-Green para conjuntos de fronteira deform´avel Lipschitz a
conjuntos de per´ımetro finito conforme em Chen & Torres [9].
Rio de Janeiro
Dezembr o de 2006
i
Campos de Medida Divergente e a
F´ormula de Gauss-Green
Leandro Tomaz de Araujo
Orientador: Wladimir A. das Neves
Abstract
Abstract da Disserta¸c˜ao submetida ao Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica,
Instituto de Matem´atica, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte
dos requisitos necess´arios `a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.
The main objective of this work is to study some generalizations of the Gauss-Green
Formula. Moreover, we will analyze a new class of L
∞
vector fields called divergence-
measure fields (DM) as introduced by Chen & Frid [6] and will extend to the Gauss-Green
Formula for sets of deformable Lipschitz boundaries to sets of finite perimeter as in Chen
& Torres [9].
Rio de Janeiro
Dezembr o de 2006
ii
Agradecimentos
Agrade¸co pricipalmente a Deus por me dado for¸cas para superar mais essa etapa de
minha vida e aos meus pais, Jo˜ao Mende s de Araujo e Geni Tomaz de Araujo, que
sempre acreditaram e me incetivaram ao longo de toda a minha vida.
Ao apoio e incetivo de todos os meus amigos da Universidade Federal do Rio de Ja-
neiro; em especial, Andrea Luiza G. M. Rocha, Andr´e G. Valente, Andr´e Luiz M. Pereira,
Fabio Henrique A. Santos, Josiane Costa Silva, Luiz Guilhermo Martinez, Marcelo Tava-
res, Regis C. A. Soares Jr. e Susan Wouters. Finalmente, os meus cordiais agradecimentos
aos professores do Instituto de Matem´atica da UFRJ.
Rio de Janeiro,
Leandro T. de Araujo
iii
.
Para meus pais Jo˜ao e Geni,
e meus irm˜aos Luciano e Leonardo.
iv
Sum´ario
1 Introdu¸c˜ao 1
2 Preliminares 7
2.1 Medidas e Fun¸c˜oes Mensur´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Integrais e Teoremas de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Diferencia¸c˜ao de Medidas de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Convergˆencia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Medida de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.8 Propriedade Finas de An´alise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.9 Regulariza¸c˜ao e Aproxima¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 O Teorema Cl´assico de Gauss-Green 19
3.1 Integra¸c˜ao sobre Fronteiras Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Espa¸cos de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.1 Considera¸c˜oes Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.2 F´ormula de Gauss-Green para fun¸c˜oes W
1,p
. . . . . . . . . . . . 29
3.3 Fun¸c˜oes de Variac˜ao Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.1 Considera¸c˜oes Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.2 F´ormula de Gauss-Green para fun¸c˜oes BV . . . . . . . . . . . . . 38
4 Campos de Medida D ivergente 42
4.1 Defini¸c˜ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
v
4.2 Propriedades Elementares em DM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Aproxima¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 Regra do Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5 Deforma¸c˜oes Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 A F´ormula de Gauss-Green e o Tra¸co Normal 61
5.1 Considera¸c˜oes Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.1 Conjuntos de Per´ımetro Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.2 Teorema de Gauss-Green Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.3 Limites Aproximados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1.4 Valor M´edio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2 F´ormula de Gauss-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3 Tra¸co Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
A Nota¸c˜ao 83
A.1 Nota¸c˜ao Vetorial e de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
A.2 Nota¸c˜ao para fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
A.3 Espa¸cos de fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Referˆencias Bibliogr´aficas 86
vi
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
Nesta disserta¸c˜ao estudaremos algumas das v´arias formula¸c˜oes para o Teorema de Gauss-
Green, tamb´em conhecido como o Teorema de Stokes. Inicialmente, ele fora decoberto em
1828, e surgiu de uma conex˜ao com a Teoria Potencial (isto inclui potenciais gravitacionais
e eletricos), e depois redescoberto em 1850 por Stokes que o recebeu por sugest˜ao do f´ısico
Lord Kelvin atrav´es de uma carta no mesmo ano. Al´e m disso, Stokes o teria utilizado
em um exame para a Smith Prize em 1854 (veja [10]).
Agora, para estudar a F´ormula de Gauss-Green em um contexto mais geral, inici-
aremos provando o Teorema no que chamaremos de sentido cl´assico: campo suave e o
dom´ınio de integra¸c˜ao com bordo que ´e localmente o gr´afico de uma fun¸c˜ao Lipschitz, o
qual chamaremos de fronteira Lipschitz.
´
E bem s´abido pelo C´alculo Diferencial e Integral
que a tradicional F´ormula de Gauss-Green tamb´em se aplica sobre conjuntos cujas fron-
teiras s˜ao suaves por partes, isto ´e, a uni˜ao finita de curvas suaves. Entretanto, usaremos
aqui uma outra ferramenta, a saber: Teoria Geom´etrica da Medida, que ´e a linguagem
natural para se trabalhar com conjuntos que n˜ao s˜ao regulares no sentido da Geome-
tria Diferencial (isto ´e, fronteira suave para podermos aplicar o tradicional Teorema de
Gauss-Green).
Por outro lado, o Teorema de Gauss-Green pode ser apresentado de maneira mais geral
atrav´es de formas diferenciais (veja [10]). Ent˜ao no que segue enunciaremos a formula¸c˜ao
tradicional para o Teorema de Gauss-Green para An´alise no R
n
, que utiliza o conceito de
formas diferenciais e pode ser encontrado em [21]. Contudo, esta ser´a a ´unica referˆencia
a formas diferenciais neste trabalho.
1
Teorema 1.1 (Gauss-Green). Se M ´e uma variedade compacta orientada de dimens˜ao
k, e ω ´e um (k −1) forma diferencial de classe C
1
com suporte compacto sobre M, ent˜ao
∂M
ω =
M
dω. (1.1)
onde ∂M ´e dado na orienta¸c˜ao induzida.
M
n
Figura 1.1: Uma variedade de dimens˜ao n.
Neste caso, conv´em observar que (1.1) pode ser reescrito de modo equivalente atr´aves
da f´ormula
U
div F dx =
∂U
F · n dS, (1.2)
onde n ´e o campo normal unit´ario a ∂U, o operador div F ´e o divergente para algum
campo F de classe C
1
em um conjunto aberto U do R
n
, e dS ´e a unidade de ´area. A
f´ormula (1.2), ´e tamb´em denominada de Teorema da Divergˆencia, e ´e mais conhecida pelo
C´alculo Diferencial e Integral do que a f´ormula (1.1).
Agora, para generalizar (1.2) nossa ferramenta crucial ser´a a integral de Lebesgue e da
medida de Hausdorff (veja a se¸c˜ao 2.7), a medida natural para trabalhar como conjuntos
que n˜ao s˜ao regulares no sentido da Geometria Diferencial.
Nesta disserta¸c˜ao, veremos que se mantivermos a suavidade do campo F e diminuirmos
a regularidade do dom´ıno de integra¸c˜ao exigindo que o bordo ∂U seja Lipschitz, o que
garantiria pelo Teorema de Radamacher uma boa propriedade geom´etrica: a existˆencia
da normal exterior unit´aria definida em quase todo ponto; neste caso a F´ormula de
Gauss-Green continuar´a v´alida.
2
Ainda, se diminuirmos tamb´em a regularidade do campo; primeiramente, exigindo que
seja uma fun¸c˜ao de Sobolev, e em seguida que seja uma fun¸c˜ao de varia¸c˜ao limitada (BV )
tamb´em veremos a validade para a F´ormula de Gauss Green. Al´em disso, veremos que a
f´ormula (1.2) pode ser ainda mais generalizada, considerando dom´ınios como conjuntos
de Caccioppoli, que s˜ao por defini¸c˜ao conjuntos cuja fun¸c˜ao caracter´ıstica ´e uma fun¸c˜ao
de varia¸c˜ao limitada local.
A disserta¸c˜ao esta dividida em c inco cap´ıtulos e um apˆe ndice de nota¸c˜ao. No cap´ıtulo
2, enunciaremos sem as demonstra¸c˜oes alguns resultados b´asicos de Teoria da Medida,
que ser˜ao utilizados ao longo de todo trabalho.
No cap´ıtulo 3, apresentaremos a F´ormula de Gauss-Green para fun¸c˜oes suaves, fun¸c˜oes
de Sobolev e fun¸c˜oes BV em dom´ınios cujos bordos s˜ao Lipschitz, conforme feito em [12].
Al´em disso, nos dois ´ultimos casos a usaremos para fornecer uma no¸c˜ao sobre o tra¸co
para essas fun¸c˜oes, o que a grosso modo seria como atribuir significado aos valores dessas
fun¸c˜oes na fronteira de dom´ınio U.
No cap´ıtulo 4, estudaremos uma nova classe de campos L
∞
, chamados campos de me-
dida divergente (DM); conforme introduzido em Chen & Frid [6]. Formalmente campos
DM s˜ao campos vetoriais em L
∞
cujos divergentes s˜ao medidas de Radon. Es ses campos
surgem naturalmente no estudo de solu¸c˜oes entr´opicas de problemas de valor inicial e de
fronteira de Leis de Conserva¸c˜ao hiperb´olicas n˜ao lineares (veja [6], [7] e [8]). Tendo
em vista a defini¸c˜ao de campos DM, veremos ao longo deste cap´ıtulo que muitas das
propriedades desses campos s˜ao an´alogas para fun¸c˜oes BV ; neste sentido, uma pergunta
natural ´e se o mesmo ´e verdade para o tra¸co e para a F ´ormula de Gauss-Green para
campos DM sobre um superf´ıcie Lipschitz qualquer. A resposta ´e negativa em geral,
entretanto ´e verdade para fun¸c˜oes BV como podemos observar no cap´ıtulo 3.
A dificuldade em fornecer uma no¸c˜ao razo´avel para o tra¸co de um campo de medida
divergente F em um conjunto aberto U do R
n
foi superada p or Chen & Frid [6] ao
intro duzirem o conceito de fronteira Lipschitz deform´avel; onde dado um conjunto aberto
Ω compactamente contido em U com fronteira Lipschitz, supomos que esteja definido
um homeomorfismo bi-Lipschitz ψ de ∂Ω × [0, 1] sobre a sua imagem de tal modo que
ψ(., 0) = id em ∂Ω. Isto os permitiu entender o tra¸co normal F ·ν|
∂Ω
em L
∞
(∂Ω; H
n−1
)
3
como o limite fraco estrela (F.ν
τ
) ◦ ψ
τ
em L
∞
(∂Ω; H
n−1
) para uma de forma¸c˜ao ψ,
F · ν|
∂Ω
= w
∗
− lim
τ→0
(F · ν
τ
) ◦ ψ
τ
em L
∞
(∂Ω; H
n−1
)
a qual independe de ψ
τ
= ψ(·, τ). Al´em disso, observaremos que a topologia fraco estrela
´e a melhor maneira de definir F · ν|
∂Ω
em geral, como podemos ver em [6].
No ´ultimo cap´ıtulo, veremos que uma das dificuldade que surge para estender o Teo-
rema de Gauss-Gree n a conjuntos mais gerais ´e em que sentido poder´ıamos falar do campo
normal exterior a fronteira que aparece em (1.2). A teoria de conjuntos de Caccioppoli
iniciado por R.Caccioppoli em [4], e apronfundado por v´arios matem´aticos (aqui desta-
cando o trabalho de Ennio De Giorgi), ´e o ambiente adequado por causa da existˆencia
da normal exterior no sentido geom´etrico da medida.
Originalmente, conjuntos de per´ımetro finito foram definidos como conjuntos que
podem ser aproximados por dom´ınios poliedrais , E ∈ P, o qual ´e definido como qualquer
conjunto E ⊂ R
n
no qual ´e o fecho de um conjunto aberto cuja fronteira topol´ogica,
∂E, esta contida em uma uni˜ao finita de hiperplanos do R
n
. Essa defini¸c˜ao ´e similar
a defini¸c˜ao de Lebesgue da ´area de uma superficie. Mais geralmente, o per´ımetro de
qualquer conjunto, n˜ao necessariamente mensur´avel, foi definido como
P (E; R
n
) := inf
lim inf
h→∞
H
n−1
(∂E
h
) : E
h
∈ P, |(E − E
h
) ∪ (E
h
− E)| → 0
.
ent˜ao mostra que E ´e um conjunto mensur´avel, se P (E; R
n
) < ∞, e, neste caso, o
per´ımetro coincide com o per´ımetro da defini¸c˜ao (5.1) (para detalhes veja [17]).
Por outro lado, De Giorgi pensava em uma hipersuperf´ıcie de codimens˜ao 1 em R
n
como a fronteira de conjuntos de Caccioppoli. Mais precisamente, De Giorgi definiu a
chamada fronteira reduzida para conjuntos de Caccioppoli, ∂
∗
E, como o conjunto de
pontos x no qual derivada de Radon-Nikodym de ∇X
E
existe com respeito a medida
de varia¸c˜ao||∇X
E
||, e ´e igual a ν
E
(x) com |ν
E
(x)| = 1, e pode ser escrito como a uni˜ao
enumer´avel de subconjuntos compactos de hipersuperf´ıcies de classe C
1
, a menos de um
conjunto de medida ||∇X|| nula. Ainda, a medida ||∇X
E
|| coincidiria com a medida de
Hausdorff de dimens˜ao (n −1) restrita a fronteira reduzida, e estaria contida na fronteira
essencial de E, ∂
s
E, o qual por defini¸c˜ao possui todos os pontos x ∈ R
n
que n˜ao s˜ao
pontos de densidade 0 ou 1, e pela teoria cl´assica da fun¸c˜oes BV (veja [12]), o conjunto
4
∂
s
E − ∂
∗
E tem medida de Hausdorff de dimens˜ao (n − 1) nula. Isto permitiu ent˜ao
estender o Teorema de Gauss-Green para conjuntos de Caccioppoli:
Teorema 1.2 (Gauss-G reen Generalizado). Seja E um conjunto de Caccippoli. Ent˜ao
para H
n−1
quase todo x ∈ ∂
s
E, existe uma ´unica medida te´orica da normal exterior
ν
E
(x) tal que
E
div ϕ dx =
∂
s
E
ϕ · ν
E
dH
n−1
para toda ϕ ∈ C
1
c
(R
n
, R
n
).
Agora, paralelamente ao Teorema de Gauss-Green Generalizado, veremos conforme
Chen & Torres [9], que a F´ormula de Gauss-Green para campos DM pode ser estendida
de um conjunto de fronteira Lipschitz para um conjunto E compactamente contido em U
cuja fun¸c˜ao caracter´ıstica de E ´e uma fun¸c˜ao BV , conhecido como conjunto de per´ımetro
finito. Neste caso, a utilizaremos para fornecer uma no¸c˜ao sobre o tra¸co normal para
campos DM que coincide com a no¸c˜ao introduzida por Chen & Frid [6].
Conv´em observar que a constru¸c˜ao realizada em Chen & Torres [9] ´e em grande parte
independente da constru¸c˜ao realizada em Chen & Frid [6]. De fato, em [6] a no¸c˜ao
do tra¸co normal utilizando deforma¸c˜oes Lipschiz ´e introduzida para depois mostrar a
F´ormula de Gauss-Green em conjuntos com fronteira Lipschitz deform´avel; ao passo que,
em [9] a F´ormula de Gauss-Green em conjuntos de per´ımetro finito ´e introduzida para
depois obter a no¸c˜ao sobre o tra¸co normal sobre tais conjuntos.
A fim de analisar mais profundamente a no¸c˜ao de tra¸co normal, mostraremos conforme
Chen & Torres [9], que existe um subconjunto
K
ε
da fronteira reduzida tal que para ε > 0
pequeno, H
n−1
(∂
∗
E −
K
ε
) < ε e existe um campo suave ν
ε
: R
n
−→ R
n
tal que ν
ε
K
ε
aponta para o interior de E, e cujo interior topol´ogico de
K
ε
, que denotaremos por K
ε
,
pode ser escrito como a uni˜ao enumer´avel de hipersuperf´ıcies de classe C
1
. Neste caso,
definiremos a seguinte aplica¸c˜ao ψ
ε
: R
n
× [0, 1] −→ R
n
por ψ
ε
(x, τ) := x + τν
ε
, o qual
induz a aplica¸c˜ao ψ
ε
τ
:= ψ
ε
(·, τ) para τ ∈ (0, 1) fixado, e denotando por E
τ
= ψ
ε
τ
(E) e
K
ε
τ
:= ψ(
K
ε
), veremos atrav´es da F´ormula de Gauss-Green para campos DM aplicada
E
τ
que
E
1
τ
φ div F +
E
1
τ
F · ∇φ = −
∂
s
E
τ
φ F · ν
τ
dH
n−1
. (1.3)
5
Por outro lado, novamente pela F´ormula de Gauss-Green para campos DM em con-
juntos de per´ımetro finito agora aplicada E segue que
E
1
φ div F +
E
1
F · ∇φ = −
∂
s
E
φ F · ν dH
n−1
(1.4)
Agora, passando ao limite quando τ → 0 em (1.3), e p elo Teorema da Convergˆencia
Dominada vemos que o primeiro membro de (1.3) converge ao primeiro membro de (1.4),
o que implica que o segundo membro de (1.3) converge para (1.4).
Finalmente, escolhendo φ ∈ C
1
c
(U) tal que φ se anula numa vizinhan¸ca de P com
φ
P
= 0 e φ
∂
∗
E−K
ε
= 0, e como φ
K
ε
τ
pode ser trocado por φ
K
ε
τ
◦ (ψ
ε
τ
) com erro que vai
a zero quando τ → 0. Ent˜ao existe o limite fraco estrela,
F · ν|
K
ε
= w
∗
− lim
τ→0
(F · ν
ε
τ
) ◦ ψ
τ
em L
∞
(K
ε
; H
n−1
).
desde que ψ
ε
τ
(
K
ε
τ
) ⊂ int(E). Portanto, o tra¸co normal de um campo DM introduzido
por Chen & Torres [9] sobre tais conjuntos ser´a entendido como o limite fraco estrela
intro duzido por Chen & Frid [6], o que mostra sua consistˆencia.
6
Cap´ıtulo 2
Preliminares
O objetivo deste cap´ıtulo ´e reunir algumas defini¸c˜oes e fatos b´asicos da Teoria da Medida
e est´a baseado em [12], [13] e [17]. Adimitiremos a nota¸c˜ao do Apˆendice A.
2.1 Medidas e Fun¸c˜oes Mensur´aveis
Seja X um conjunto , e 2
X
o conjunto de partes de X.
Defini¸c˜ao 2.1. Uma cole¸c˜ao F de subconjuntos de X, F ⊂ 2
X
, ´e chamado uma σ-´algebra
se
1. ∅, X ∈ F;
2. Se A ∈ F ent˜ao X − A ∈ F; e
3. Se A
k
∈ F, k = 1, . . . , ent˜ao ∪
∞
k=1
A
k
∈ F.
Ainda, uma σ-´algebra de Borel do R
n
´e a menor σ-´algebra contendo os subconjuntos
abertos do R
n
.
Defini¸c˜ao 2.2. Uma aplica¸c˜ao µ : 2
X
−→ [0, +∞] ´e chamada uma medida em X se
satisfaz
1. µ(∅) = 0; e
2. µ(A) ≤
∞
k=1
µ(A
k
) sempre que A ⊂
∞
k=1
A
k
.
7
Ainda, seja µ uma medida sobre X e A ⊂ X. Ent˜ao µ restrita a A, escrevemos µA ´e a
medida definida por (µA)(B) = µ(A ∩ B) para todo B ⊂ X.
Nota 2.3. A defini¸c˜ao (2.2) ´e usualmente chamada de Medida Exterior, como podemos
ver em [5].
Defini¸c˜ao 2.4. Um conjunto A ⊂ X ´e µ-mensur´avel se para cada B ⊂ X,
µ(B) = µ(B ∩ A) + µ(B − A).
Defini¸c˜ao 2.5. .
1. Uma medida µ sobre X ´e regular se para cada conjunto A ⊂ X, existe um conjunto
µ-mensuravel B tal que A ⊂ B e µ(A) = µ(B).
2. Uma medida µ sobre R
n
´e chamada Borel se todo conjunto de Borel ´e µ-mensur´avel.
3. Uma medida µ sobre o R
n
´e Borel regular se µ ´e Borel e para cada A ⊂ R
n
, existe
um conjunto de Borel B tal que A ⊂ B µ(A) = µ(B).
Teorema 2.6. Seja µ uma medida regular sobre X. Se A
1
⊂ ··· ⊂ A
k
⊂ A
k+1
⊂ . . . ,
ent˜ao
lim
k→∞
µ(A
k
) = µ
∞
k=1
A
k
.
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 2, p.5.
Defini¸c˜ao 2.7. Uma medida µ sobre R
n
´e uma medida de Radon se µ ´e Borel regular e
µ(K) < ∞ para todo conjunto compacto K ⊂ R
n
.
Defini¸c˜ao 2.8. Seja µ uma medida sobre X, e Y um espa¸co topol´ogico. Uma fun¸c˜ao
f : X −→ Y ´e µ-mensur´avel se f
−1
(U) ´e µ-mensur´avel para cada conjunto aberto U ⊂ Y .
Teorema 2.9 (Lusin). Seja µ uma medida de Borel regular sobre R
n
e seja f : R
n
−→ R
n
uma fun¸c˜ao µ-mensur´avel. Assuma que A ⊂ R
n
´e µ-mensur´avel e µ(A) < ∞. Ent˜ao,
para todo ε > 0, existe um conjunto compacto K em A tal que µ(A − K) < ε e f|
K
´e
cont´ınua.
8
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 2, p.15.
Teorema 2.10 (Ergoroff). Seja µ uma medida sobre R
n
. Se f
k
: R
n
−→ R
n
fun¸c˜oes
µ-mensur´aveis (k = 1, . . . ) e A ⊂ R
n
´e µ-mensur´avel com µ(A) < ∞, e f
k
→ f µ-q.s.
sobre A. Ent˜ao, para todo ε > 0, existe um conjunto µ-mensur´avel B ⊂ A em A tal que
µ(A − B) < ε e f
k
→ f uniformente em B.
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 3, p.16.
2.2 Integrais e Teoremas de Limites
Defini¸c˜ao 2.11. Seja µ uma medida sobre X. Uma fun¸c˜ao g : X −→ [−∞, ∞] ´e
chamada um fun¸c˜ao simples se g ´e µ-mensur´avel e a imagem g(X) ´e um conjunto enu-
mer´avel.
Seja g uma fun¸c˜ao simples, n˜ao negativa e µ-mensur´avel. Definimos
I(g; µ) =
0≤y≤∞
yµ
g
−1
({y})
.
Defini¸c˜ao 2.12. se g ´e uma fun¸c˜ao µ-mensur´avel simples, e se I(g
+
; µ) < ∞ ou
I(g
−
; µ) < ∞, dizemos que g ´e uma fun¸c˜ao simples µ-integr´avel e definimos
I(g; µ) = I(g
+
; µ) − I(g
−
; µ).
Assim, se g ´e uma fun¸c˜ao µ-integr´avel,
I(g; µ) =
−∞≤y≤∞
yµ
g
−1
({y})
.
Agora, seja f : X −→ [−∞, ∞] uma fun¸c˜ao qualquer e seja S(µ) o conjunto de todas as
fun¸c˜oes simples µ-integr´aveis. Definimos,
∗
fdµ := inf {I(g; µ) : g ∈ S(µ), f ≤ g µ − q.s.},
∗
fdµ := inf {I(g; µ) : g ∈ S(µ), f ≥ g µ − q.s.}.
Usualmente definimos inf ∅ := +∞ e sup ∅ := −∞.
9
Defini¸c˜ao 2.13. Uma fun¸c˜ao f : X −→ [−∞, ∞] µ-mensur´avel ´e chamada µ-integr´avel
se
∗
f dµ =
∗
f dµ; neste cado escrevemos
f dµ =
∗
f dµ =
∗
f dµ.
Defini¸c˜ao 2.14. Seja X um conjunto.
1. Uma fun¸c˜ao f : X −→ [−∞, ∞] ´e µ-som´avel se f ´e µ-integr´avel e
|f| dµ < ∞.
2. Dizemos que a fun¸c˜ao f : R
n
−→ [−∞, ∞] ´e localmente µ-som´avel se f|
K
´e µ-
som´avel para cada conjunto compacto K ⊂ R
n
.
Seja µ uma medida de Radon. Denotaremos por L
1
loc
(R
n
; µ) o conjunto de todas
fun¸c˜oes localmente µ-som´avel f : R
n
−→ [−∞, ∞]. Para toda f ∈ L
1
loc
(R
n
; µ), escrevere-
mos
(µf)(A) =
A
f dµ
para todo conjunto compacto A do R
n
. Note que µA = µX
A
.
Defini¸c˜ao 2.15. .
1. Dizemos que ν ´e uma medida com sinal sobre R
n
, e denotaremos por ν ∈ M(R
n
)
se existe uma medida de Radon µ sobre o R
n
e uma fun¸c˜ao f ∈ L
1
loc
(R
n
; µ) tal que
ν = µf.
2. Dizemos que ν ´e uma medida vetorial sobre o R
n
em R
m
, e denotaremos por
ν ∈ M(R
n
; R
m
), se existe uma medida de Radon µ e uma fun¸c˜ao vetorial f =
(f
1
, . . . , f
m
) com f
i
∈ L
1
loc
(R
n
; µ) tal que ν
i
= µf
i
(i = 1, . . . , m).
Teorema 2.16 (Lema de Fatou). Sejam f
k
: X −→ [0, ∞] fun¸c˜oes µ-mensur´aveis (k =
1, . . . ). Ent˜ao
lim inf
k→∞
f
k
dµ ≤ lim inf
k→∞
f
k
dµ.
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 1, p.19.
10
Teorema 2.17 (Convergˆencia Mon´otona). Sejam f
k
: X −→ [0, ∞] fun¸c˜oes µ-mensur´aveis
(k = 1, 2, . . . ), com
f
1
≤ f
2
≤ ··· ≤ f
k
≤ f
k+1
≤ . . .
Ent˜ao
lim
k→∞
f
k
dµ = lim
k→∞
f
k
dµ.
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 2, p.20.
Teorema 2.18 (Convergˆencia Dominada). Sejam g : X −→ R uma fun¸c˜ao µ-som´avel e
f, f
k
: X −→ R fun¸c˜oes µ-mensur´aveis (k=1,2,. . . ). Se |f
k
| ≤ g e f
k
→ f µ-q.s. quando
k → ∞.Ent˜ao
lim
k→∞
f
k
dµ =
f dµ.
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 3, p.20.
2.3 Teorema de Fubini
Defini¸c˜ao 2.19. Seja µ uma medida sobre um conjunto X e ν uma medida sobre um
conjunto Y . Para cada M ⊂ X × Y definimos
(µ × ν)(M) := inf
∞
k=1
µ(A
k
)ν(B
k
)
,
onde o ´ınfimo ´e tomado sobre toda seq¨uˆencia de conjuntos µ-mensur´avel A
k
⊂ X e
conjunto ν-mensur´avel B
k
⊂ Y (k = 1, . . . ) tal que M ⊂
∞
k=1
A
k
× B
k
. A medida µ ×ν
´e chamada a medida produto de µ e ν.
Teorema 2.20 (Fubini). Seja µ uma medida sobre um conjunto X e seja ν uma medida
sobre um conjunto Y .
1. µ × ν ´e uma medida regular em X × Y .
2. Se A ⊂ X ´e µ-mensur´avel e B ⊂ Y ´e ν-mensur´avel, ent˜ao A×B ´e µ×ν-mensur´avel
e (µ × ν)(A × B) = µ(A)ν(B).
11
3. Se M ⊂ X × Y ´e σ-finita com respeito a µ × ν (isto ´e, M = ∪
∞
k=1
M
k
, onde M
k
´e
µ×ν-mensur´avel e (µ×ν)(M
k
) < ∞ para k = 1, . . . ), ent˜ao M
y
= {x : (x, y) ∈ M}
e µ-mensur´avel para ν em quase todo x ´e µ(M
y
) ´e ν-integr´avel. Al´em disso,
(µ × ν)(M) =
Y
µ(M
y
)dν(y).
Analogamente para x e M
x
= {y : (x, y) ∈ M}.
4. Se f : X × Y −→ [−∞, ∞] ´e µ × ν-integr´avel e f ´e σ-finita com respeito a µ × ν
(em particular, se f ´e µ × ν-som´avel), ent˜ao a aplica¸c˜ao y →
X
f(x, y)dµ(x) ´e
ν-integr´avel, a aplica¸c˜ao x →
Y
f(x, y)dν(y) ´e ν-integr´avel, e ainda,
X×Y
fd(µ × ν) =
X
Y
f(x, y)dµ(x)
dν(y) =
Y
X
f(x, y)dν(y)
dµ(x).
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 1, p.22.
Defini¸c˜ao 2.21. .
1. A medida de Lebesgue um dimensional L
1
em R ´e definida por
L
1
(A) := inf
∞
i=1
diam C
i
: A ⊂
∞
i=1
C
i
, C
i
⊂ R
para todo A ⊂ R.
2. A medida de Lebesgue n dimensional L
n
sobre R
n
´e definida indutivamente por
L
n
:= L
n−1
× L
1
= L
1
× ··· × L
1
,
ou equivalentemente, L
n
:= L
n−k
× L
k
para qualquer k ∈ {1, . . . , n − 1}.
As vezes usaremos a nota¸c˜ao |E| ou meas E para a medida de Lebesgue de um
conjunto gen´erico E de R
n
.
2.4 Diferencia¸c˜ao de Medidas de Radon
Defini¸c˜ao 2.22. Sejam µ e ν medidas de Radon sobre R
n
. Dizemos que ν ´e diferenci´avel
com respeito a µ em x se
D
µ
ν(x) := lim
r→0
ν(B[x, r])
µ(B[x, r])
12
sempre que este limite existe e ´e finito. Ainda, diremos que D
µ
ν ´e a densidade de ν com
respeito a µ.
Defini¸c˜ao 2.23. .
1. A medida ν ´e absolutamente cont´ınua com respeita µ, e escreveremos ν µ, se
µ(A) = 0 implica que ν(A) = 0 para todo A ⊂ R
n
.
2. As medidas ν e µ s˜ao multuamente singulares, e escreveremos ν⊥µ, se existe um
conjunto de Borel B ⊂ R
n
tal que µ(R
n
− B) = ν(B) = 0.
Teorema 2.24 (Radon-Nikodym). Seja µ, ν medidas de Radon sobre R
n
com ν µ.
Ent˜ao
ν(A) =
A
D
µ
ν dµ
para todo conjunto µ-mensur´avel A ⊂ R
n
.
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 2, p.40.
Teorema 2.25 (Lebesgue-Besicovitch). .
1. Seja µ uma medida de Radon sobre R
n
e f ∈ L
1
loc
(R
n
; µ). Ent˜ao
lim
r→0
1
µ(B[x; r])
B[x;r]
f dµ = f(x)
para µ quase todo ponto x ∈ R
n
.
2. Seja µ uma medida de Radon sobre R
n
, 1 ≤ p < ∞ e f ∈ L
p
loc
(R
n
; µ). Ent˜ao
lim
r→0
1
µ(B[x; r])
B[x;r]
|f − f(x)|
p
dµ = 0 (2.1)
para µ quase todo ponto x ∈ R
n
.
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 1, p.43, e Corol´ario 1, p.44.
Defini¸c˜ao 2.26. Um ponto x ´e chamado um ponto de Lebesgue de f com respeito a µ,
se (2.1) ´e satisfeita.
13
2.5 Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz
Teorema 2.27 (Representa¸c˜ao de Riesz). .
1. Seja L : C
c
(R
n
; R
m
) −→ R um funcional linear satisfazendo
sup{L(φ) : φ ∈ C
c
(R
n
, R
m
), |φ| ≤ 1, spt(φ) ⊂ K} < ∞
para cada conjunto compacto K ⊂ R
n
. Ent˜ao existe uma ´unica medida de Radon
vetorial µ = σ||µ|| ∈ M(R
n
; R
m
) tal que
L(φ) =
R
n
φ ·dµ =
R
n
φ ·σ d||µ|| (2.2)
para toda φ ∈ C
c
(R
n
; R
m
), onde σ : R
n
−→ R
m
tal que |σ| = 1 ||µ||-q.s.
2. Seja L : C
c
(R
n
) −→ R um funcional linear tal que L(φ) ≥ 0 para toda φ ∈ C
∞
c
(R
n
),
φ ≥ 0. Ent˜ao existe uma medida de Radon µ em R
n
tal que
L(φ) =
R
n
φ dµ
para toda φ ∈ C
∞
c
(R
n
).
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 1, p.49, e Corol´ario 1, p.53.
Defini¸c˜ao 2.28. Dizemos que λ ´e uma medida de varia¸c˜ao se para cada conjunto aberto
V ⊂ R
n
,
λ(V ) = sup{L(φ) : φ ∈ C
c
(R
n
; R
m
), |φ| ≤ 1, spt(φ) ⊂ V },
onde L : C
c
(R
n
; R
m
) −→ R ´e um funcional linear limitado. Se L ´e como em (2.2), ent˜ao
λ = ||µ||.
2.6 Convergˆencia Fraca
Seja U um conjunto aberto do R
n
.
Defini¸c˜ao 2.29. Sejam µ e µ
k
, k = 1, . . . , medidas de Radon sobre R
n
. Dizemos que
µ
k
converge fracamente a µ no sentido de medida de Radon, e escrevemos µ
k
µ em
M(R
n
), se
lim
k→∞
R
n
φ dµ
k
=
R
n
φ dµ
para toda φ ∈ C
c
(R
n
).
14
Teorema 2.30. Sejam µ e µ
k
, k = 1, . . . , medidas de Radon sobre R
n
. Ent˜ao as
seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:
1. µ
k
µ em M(R
n
); e
2. lim
k→∞
µ
k
(B) = µ(B) para todo conjunto de Borel limitado B ⊂ R
n
com µ(∂B) = 0;
3. lim sup
k→∞
µ
k
(K) ≤ µ(K) para todo conjunto compacto K de R
n
, e
lim inf
k→∞
µ
k
(A) ≥ µ(A) para todo conjunto aberto A de R
n
.
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 1, p.54.
Teorema 2.31 (Compacidade fraca para Medidas de Radon). Seja {µ
k
}
∞
k=1
em M(R
n
)
tal que sup
k
µ
k
(K) < ∞ para todo conjunto compacto K do R
n
. Ent˜ao existe uma
subseq¨uˆencia {µ
k
j
}
∞
j=1
e uma medida de Radon µ tal que µ
k
j
µ em M(R
n
).
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 2, p.55.
Defini¸c˜ao 2.32. Sejam f, f
k
∈ L
p
(U), k = 1, . . . , e seja 1 ≤ p < ∞.
1. Dizemos que f
k
converge fracamente em L
p
(U) para f, e escrevemos f
k
f em
L
p
(U), se
U
f
k
φ dx →
U
fφ dx
para toda φ ∈ L
q
(U), onde
1
p
+
1
q
= 1, 1 < q ≤ ∞.
2. Dizemos que f
k
converge fracamente em medida, ou como medida, para f se
U
f
k
φ dx →
U
fφ dx
para toda φ ∈ C
c
(U)
3. Dizemos que f
k
converge fracamente no sentido das distribui¸c˜oes, ou como distri-
bui¸c˜ao, para f se
U
f
k
φ dx →
U
fφ dx
para toda φ ∈ C
∞
c
(U)
Defini¸c˜ao 2.33. Sejam f, f
k
∈ L
∞
(U), k = 1, . . . . Dizemos que f
k
converge fraco estrela
em L
∞
(U) para f, e escrevemos f
k
f em L
∞
(U), se
U
f
k
φ dx →
U
fφ dx
para toda φ ∈ L
1
(U).
15
2.7 Medida de Hausdorff
A medida de Hausdorff H
s
´e o resultado de uma constru¸c˜ao conhecida como constru¸c˜ao
de Carath´eodory. (Veja [17]).
Defini¸c˜ao 2.34. .
1. Seja A ⊂ R
n
, 0 ≤ s < ∞ e 0 < δ ≤ ∞. Definimos
H
s
δ
(A) = inf
∞
k=1
α(s)
diam C
k
2
s
: A ⊂
∞
k=1
C
k
, diam C
k
≤ δ
A medida de Hausdorff de dimens˜ao s, H
s
, ´e ent˜ao definida por
H
s
(A) := lim
δ→0
H
s
δ
(A) = sup
δ>0
H
s
δ
(A).
2. A dimens˜ao de Hausdorff de um conjunto A ⊂ R
n
´e definido por
dim
H
(A) := inf{0 ≤ s < ∞ : H
s
(A) = 0}
O teorema a seguir afirma um fato n˜ao trivial que a medida de Haudorff coincide com
a medida de Lebesgue sobre o R
n
(compare as defini¸c˜oes (2.21) e 2.34).
Teorema 2.35. H
n
= L
n
sobre o R
n
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 2, p.70.
Teorema 2.36. H
s
´e Borel regular para todo s ≥ 0. Al´em disso, se A ⊂ R
n
´e H
s
-
mensur´avel com H
s
(A) < ∞ ent˜ao H
s
A ´e uma medida de Radon.
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 1, p.61, para a primeira parte, e use Teorema 3, p.5.
para a segunda parte.
Teorema 2.37. Sejam f : R
n
−→ R
m
uma aplica¸c˜ao Lipschitz, A ⊂ R
n
, e 0 ≤ s < ∞.
Ent˜ao H
s
(f(A)) ≤ (Lip(f))
s
H
s
(A), onde
Lip(f) := sup
|f(x) − f(y)|
|x − y|
: x, y ∈ R
n
, x = y
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 1, p.75.
16
2.8 Propriedade Finas de An´alise
Teorema 2.38 (Rademacher). Seja f : R
n
−→ R
m
uma fun¸c˜ao localmente Lipschitz.
Ent˜ao f diferenci´avel L
n
-quase sempre, isto ´e, para quase todo ponto x ∈ R
n
,
lim
y→x
|f(y) − f(x) − Df(x)(x −y)|
|x − y|
= 0
onde Df(x) ´e a aplica¸c˜ao linear chamada a diferencial de f em x.
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 2, p.81.
Teorema 2.39 (F´ormula da
´
Area). Seja f : R
n
−→ R
m
uma fun¸c˜ao Lipschitz, n ≤ m.
Ent˜ao para cada subconjunto L
n
-mensur´avel A do R
n
,
A
Jf(x) dx =
R
m
H
0
(A ∩ f
−1
({y}))dH
n−1
(y).
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 1, p.96.
Teorema 2.40 (F´ormula da mudan¸ca de vari´aveis). Seja f : R
n
−→ R
m
uma fun¸c˜ao
Lipschitz, n ≤ m. Ent˜ao para cada fun¸c˜ao L
n
som´avel g : R
n
−→ R,
R
n
g(x)Jf(x) dx =
R
m
x∈f
−1
({y})
g(x)
dH
n
(y).
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 2, p.99.
Teorema 2.41 (F´ormula da Co´area). Seja f : R
n
−→ R
m
uma fun¸c˜ao Lipschitz, n ≥ m.
Ent˜ao para cada subconjunto L
n
-mensur´avel A do R
n
,
A
Jf(x) dx =
R
m
H
n−m
(A ∩ f
−1
({y}))dy.
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 1, p.112.
Teorema 2.42. Seja f : R
n
−→ R
m
uma fun¸c˜ao Lipschitz, n ≥ m. Ent˜ao para cada
fun¸c˜ao L
n
-som´avel g : R
n
−→ R, g|
f
−1
({y})
´e H
n−m
som´avel para L
m
em quase todo y
e
A
g(x)Jf(x) dx =
R
m
f
−1
({y})
g dH
n−m
dy.
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 2, p.117.
17
2.9 Regulariza¸c˜ao e Aproxima¸c˜ao
Seja U um conjunto aberto do R
n
. Para todo ε > 0, defina
U
ε
:= {x ∈ U : dist(x, ∂U) > ε}.
Defini¸c˜ao 2.43. Seja uma fun¸c˜ao η : R
n
−→ R de classe C
∞
, definido por
η(x) :=
C exp
1
|x|
2
−1
se |x| < 1,
0 se |x| ≥ 1,
onde C ´e uma constante escolhida de modo que
R
n
η(x) dx = 1. O regularizador padr˜ao
η
ε
´e definido por
η
ε
(x) :=
1
ε
n
η
x
ε
, x ∈ R
n
.
Ainda, para toda f ∈ L
1
loc
(U), e definiremos
f
ε
= η
ε
∗ f,
isto ´e,
f
ε
(x) :=
U
η
ε
(x − y)f(y)dy, x ∈ U
ε
.
Teorema 2.44. .
1. Se f ∈ L
1
(U), ent˜ao f
ε
∈ C
∞
(U
ε
).
2. Se f, g ∈ L
1
loc
(U), ent˜ao
U
f
ε
g dx =
U
fg
ε
dx.
3. Se f ´e uma fun¸c˜ao continua em U, ent˜ao f
ε
→ f uniformente em subconjuntos
compactos de U.
4. Se f ∈ L
p
(U) para algum 1 ≤ p < ∞, ent˜ao f
ε
→ f em L
1
loc
(U). Ainda, se x ´e um
ponto de Lebesgue de f ent˜ao f
ε
(x) → f(x). Em particular, f
ε
→ f L
n−1
q.s.
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 1, p.123.
Proposi¸c˜ao 2.45 (Lema de Du Bois Raymond). Seja f ∈ L
1
loc
(U) tal que
U
fφ dx = 0
para toda φ ∈ C
∞
c
(U). Ent˜ao f ≡ 0 L
n
-q.s. em U.
Demonstra¸c˜ao. Veja [1], Lema 3.31, p.74.
18
Cap´ıtulo 3
O Teorema Cl´assico de Gauss-Green
O presente cap´ıtulo tem como objetivo demonstrar a F´ormula de Gauss-Green (tamb´em
chamado a f´ormula de integra¸c˜ao por partes) em suas v´arias vers˜oes: para fun¸c˜oes su-
aves, fun¸c˜oes de Sobolev e fun¸c˜oes de Varia¸c˜ao Limitada em dom´ınios cujos bordos s˜ao
Lipschitz, e us´a-lo para fornecer uma no¸c˜ao sobre o tra¸co para estas fun¸c˜oes.
´
E bem sabido que n˜ao faz sentido definir uma fun¸c˜ao f em um conjunto de medida nula
quando esta fora definida quase sempre. Consequentemente, lembrando que a fronteira
∂U tem medida L
n
nula para todo conjunto aberto U, n˜ao h´a trivialmente um significado
para os “valores de f”sobre ∂U.
A no¸c˜ao do tra¸co que estudaremos neste cap´ıtulo resolver´a esse problema para fun¸c˜oes
de Sobolev e fun¸c˜oes BV , quando ∂U ´e Lipschitz; e note que, pelo Teorema de Radama-
cher, ∂U ir´a possuir um campo normal em H
n−1
quase sempre. No caso de f continua
at´e o fecho de U, temos que f assume valores em ∂U no sentido usual. As se¸c˜oes deste
cap´ıtulo foram baseadas em [2], [12],[16] e [23], e utilizaremos a nota¸c˜ao do Apˆendice A.
3.1 Integra¸c˜ao sobre Fronteiras Lipschitz
Seja U um conjunto aberto do R
n
.
Defini¸c˜ao 3.1. Dizemos que a fronteira ∂U ´e Lipschitz (respectivamente, classe C
k
para
k = 1, . . . ) se para cada x
0
∈ ∂U, existe r > 0 e uma aplica¸c˜ao Lipschitz (respectivamente,
19
classe C
k
para k = 1, . . . ) γ : R
n−1
−→ R tal que
U ∩ Q(x
0
; r) := {y : γ(y
1
, . . . , y
n−1
) < y
n
} ∩ Q(x
0
; r).
onde Q(x
0
, r) ´e um cubo aberto.
Em outras palavras, a fronteira de U ´e localmente o gr´afico de uma fun¸c˜ao Lipschitz.
x
0
γ
Figura 3.1: Uma fronteira Lipschitz.
Observa¸c˜ao 3.2. Fixemos uma fun¸c˜ao Lipschitz γ : R
n−1
−→ R e um conjunto aberto
limitado em R
n
. O gr´afico de γ sobre U ´e
G(γ; U) = {(x, γ(x)) : x ∈ U},
e podemos considerar como a imagem de uma aplica¸c˜ao injetiva Γ : R
n−1
−→ R
n
por
Γ(x) = (x, γ(x)). Ent˜ao, usando o Teorema de Ramacher,
Df =
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . 1
∂γ
∂x
1
∂γ
∂x
2
. . .
∂γ
∂x
n−1
n×(n−1)
Logo o Jacobiano J Γ =
1 + |∇γ|
2
, e consequentemente
H
n−1
(G(γ; U)) =
U
1 + |∇γ|
2
dx.
Al´em disso, novamente pelo Teorema de Rademacher, o campo normal exterior ν a ∂U
existe H
n−1
quase sempre sobre ∂U.
20
Agora, dado x
j
∈ ∂U, j ≥ 1, vamos escolher uma vizinhan¸ca de x
j
como segue: seja
(−α
j
i
, α
j
i
), i = 1, . . . , n −1, intervalos abertos de R, e ponha
Ω
j
=
n−1
i=1
(−α
j
i
, α
j
i
)
tal que x
j
∈ Ω
j
×(−r, r). Definiremos uma aplica¸c˜ao ψ
j
(x) = (x
, x
n
+ γ
j
(x
)) para todo
x ∈ Ω
j
× (−r, r), onde r e γ
j
s˜ao como na defini¸c˜ao (3.1), e x
´e escolhido de modo que
x = (x
, x
n
) ∈ R
n
. Al´em diss o, note que ψ
j
´e um homeomorfismo sobre a sua imagem, e
escreva para todo j ≥ 1,
1. U
+
j
= Ω
j
× (0, r),
2. U
−
j
= Ω
j
× (−r, 0), e
3. U
0
j
= Ω
j
× {0}.
U
+
j
U
−
j
U
0
j
ψ
j
x
n
x
ψ
j
(U
+
j
)
ψ
j
(U
−
j
)
ψ
j
(U
0
j
)
Figura 3.2: Uma fronteira suave.
Logo ψ
j
(U
+
j
) ⊂ U, ψ
j
(U
−
j
) ⊂ R
n
−U e ∂U ⊆ ∪
∞
j=1
ψ
j
(U
0
j
). Agora, se U ´e limitado, ent˜ao
existe um inteiro positivo N tal que
∂U =
N
j=1
ψ
j
(U
0
j
)
O Teorema que enunciaremos a seguir ser´a bastante ´util no decorre deste cap´ıtulo ao
afirmar a existˆencia da parti¸c˜ao da unidade, e pode ser encontrado em [1].
Teorema 3.3. Seja G uma cobertura aberta de um conjunto E ⊂ R
n
. Ent˜ao existe uma
familia F de fun¸c˜oes ξ ∈ C
∞
c
(R
n
) tal que:
1. Para cada ξ ∈ F , existe U ∈ G tal que spt ξ ⊂ U.
21
2. Se F ⊂ E ´e compacto, ent˜ao spt ξ ∩ F = ∅ para somente um n´umero finito de
ξ ∈ F .
3.
ξ∈F
ξ(x) = 1 para cada x ∈ F .
Demonstra¸c˜ao. Veja [1], Teorema 3.15, p.65.
Agora, iniciaremos o estudo da F´ormula de Gauss-Green pelo caso que chamaremos
de cl´assico, isto ´e, para campos suaves em dom´ınios cujas fronteiras s˜ao localmente o
gr´afico de fun¸c˜oes Lipschitz.
Teorema 3.4 (F´ormula de Gauss-Green). Seja U um conjunto aberto limitado do R
n
com ∂U ´e Lipschitz. Se ϕ ∈ C
1
(U; R
n
), ent˜ao
U
div ϕ dx =
∂U
ϕ · ν dH
n−1
(3.1)
onde ν ´e o campo normal unit´ario definido H
n−1
quase sempre sobre ∂U.
Demonstra¸c˜ao. Fixe ϕ ∈ C
1
(U; R
n
). Como ∂U ´e um conjunto compacto, existe uma
cobertura aberta finita que ainda cobre ∂U, digamos V
k
, k = 1, . . . , N. Ent˜ao pelo
Teorema (3.3) que, existe uma parti¸c˜ao da unidade {ξ
i
}
N
i=o
subordinada aos conjuntos
abertos V
k
, k = 1, . . . , N, isto ´e, existe uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes suaves {ξ
i
}
N
i=o
tal que
ξ
k
∈ C
∞
c
(V
k
), 0 ≤ ξ
k
≤ 1, (k = 1, . . . , N)
N
k=1
ξ
k
= 1 em ∂U.
Ent˜ao
U
div ϕ dx =
U
div
ϕ −
N
k=1
ξ
k
ϕ
dx +
U
div
N
k=1
ξ
k
ϕ
dx
=
U
div(λϕ)dx +
N
k=1
U∩V
k
div(ξ
k
ϕ)dx, (3.2)
onde λ ≡ 1 −
N
k=1
ξ
k
em U. Afirmamos que o primeiro termo do lado direito de (3.2) ´e
zero. De fato, pelo Teorema de Fubini e como λ ≡ 0 sobre ∂U, obtemos:
U
div(λϕ)dx =
n
j=1
. . .
∂
∂x
j
(λϕ)dx
j
··· = 0. (3.3)
22
Agora, considere ϕ
:= (ϕ
1
, . . . , ϕ
n−1
) e γ
k
como na defini¸c˜ao de fronteira Lipschitz, e uma
vez que ψ
k
(U
+
k
) = V
k
∩U e |Jψ
−1
k
(x)| = |Jψ
k
(x)| = 1 H
n−1
quase sempre, k = 1, . . . , N,
ent˜ao obtemos
U∩V
k
div(ξ
k
ϕ)dx =
U
+
k
div(ξ
k
ϕ)[ψ
−1
k
(y)] dy
=
U
+
k
n
j=1
∂(ξ
k
ϕ
j
)
∂x
j
∂x
j
∂y
j
+
∂(ξ
k
ϕ
j
)
∂x
n
∂x
n
∂y
j
dy
=
U
+
k
n−1
j=1
∂(ξ
k
ϕ
j
)
∂x
j
−
∂(ξ
k
ϕ
j
)
∂x
n
·
∂γ
k
∂x
j
+
∂(ξ
k
ϕ
n
)
∂x
n
dx
=
n−1
k=1
U
+
k
∂(ξ
k
ϕ
j
)
∂x
j
dx +
U
+
k
∂
∂x
n
ξ
k
(ϕ
n
− ∇γ
k
· ϕ
)
dx
=
Ω
k
ξ
k
(∇γ
k
.ϕ
− ϕ
n
)[ψ
k
(x
, 0)]dx
, (3.4)
para todo k = 1, . . . , n, onde na ´ultima igualdade ´e obtida integrando em cada dire¸c˜ao
x
i
(i = 1, . . . , n). Agora, pelo Teorema de Radamacher, podemos tomar derivada para γ
k
em H
n−1
quase sempre; de modo que obtemos a normal exterior a V
k
∩ ∂U,
ν
k
:=
(∇γ
k
, −1)
1 + |∇γ
k
|
2
, (3.5)
definida em H
n−1
quase sempre, e note que ν
k
= ν sobre V
k
∩ ∂U; onde ν ´e o campo
normal unit´ario definido H
n−1
quase sempre sobre ∂U. Ent˜ao, por (3.2), (3.3), (3.4) e
(3.5), obtemos
U
div ϕ dx =
N
k=1
Ω
k
ξ
k
(ϕ · ν
k
)(
1 + |∇γ
k
|
2
)[ψ
k
(x
, 0)] dx
=
N
k=1
ψ
k
(U
0
k
)
ξ
k
(ϕ · ν
k
)(
1 + |∇γ
k
|
2
) dx
.
Finalmente, como ν ´e o campo normal unit´ario definido H
n−1
quase sempre sobre a
fronteira de U, e como
Jψ
k
(x
, 0) =
1 + |∇γ
k
|
2
e ∂U =
N
j=1
ψ
j
(U
0
j
).
Ent˜ao pela F´ormula de Mudan¸ca de Vari´avel (2.40), obtemos a identidade (3.1), o que
completa a prova.
23
Claramente o teorema anterior ´e, tamb´em, v´alido se a fronteira do dom´ıno da ϕ for
suave. Al´em disso,pela deomnstra¸c˜ao poder´ıamos assumir no Teorema (3.3) apenas que
f perten¸ca a C
1
(U; R
n
) ∩C
0
(U; R
n
). A seguir veremos uma aplica¸c˜ao direta da F´ormula
de Gauss-Green, a chamada F´ormula de Integra¸c˜ao por Partes.
Corol´ario 3.5 (F´ormula de Integra¸c˜ao por Partes). Seja U um conjunto aberto limitado
do R
n
com ∂U Lipschitz. Se ϕ ∈ C
1
(U; R
n
), ent˜ao para toda φ ∈ C
∞
(R
n
),
U
φ div ϕ dx = −
U
ϕ · ∇φ dx +
∂U
φ(ϕ · ν) dH
n−1
,
onde ν ´e o campo normal unit´ario definido H
n−1
quase sempre em ∂U.
Por fim, conv´em observar que a medida de Hausdorff ´e a medida natural para trabalhar
com ess es tipos de conjuntos que n˜ao s˜ao regulares no sentido da Geometria Diferencial.
De fato, ela nos permitir´a definir uma dimens˜ao s de conjuntos no R
n
, e dot´a-los com
uma medida associada a essa dimens˜ao sobre R
n
para algum s com 0 ≤ s ≤ n. Essa
medida ser´a usada indestintamente ao longo dessa diserta¸c˜ao.
3.2 Espa¸cos de Sobolev
Seja U um conjunto aberto do R
n
e seja α um multi-´ındice.
3.2.1 Considera¸c˜oes Gerais
A seguir definiremos uma no¸c˜ao de convergˆencia para o espa¸co das fun¸c˜oes suaves com
suporte compacto, isto ´e, em C
∞
c
(U).
Defini¸c˜ao 3.6. Diz-se que uma seq¨uˆencia {φ
n
}
∞
n=1
converge a φ em C
∞
c
(U), e escrevemos
φ
n
→ φ em C
∞
c
(U), se
1. existe um conjunto compacto K ⊂ U tal que spt(φ
n
) ⊂ K para todo n = 1, . . . ; e
2. lim
n→∞
D
α
φ
n
= D
α
φ uniformente sobre K, para todo multi-´ındice α.
Ainda, o espa¸co C
∞
c
(U), munido dessa no¸c˜ao de convergˆencia, ser´a denotado por D(U),
e seus elementos s˜ao chamados de fun¸c˜oes testes.
Defini¸c˜ao 3.7. Uma distribui¸c˜ao em U ´e uma transforma¸c˜ao linear cont´ınua sobre D(U).
24
O valor da distribui¸c˜ao T em φ ser´a denotado por
T, φ
, e o espa¸co de todas as das
distribui¸c˜oes ser´a denotado por D
(U).
Exemplo 3.8. Seja U = R
n
. Definamos
δ, φ
= φ(0), φ ∈ D(U). Claramente δ ´e um
funcional linear cont´ınuo. Essa distribui¸c˜ao ´e chamada de “delta de Dirac”.
Exemplo 3.9. Suponha que f ∈ L
1
loc
(U), e considere o seguinte operador linear T :
D(U) −→ R definido por
T, φ
=
R
n
fφ dx, φ ∈ D(U)
Claramente, T ´e uma distribui¸c˜ao; e afirmamos que T ´e univocamente determinado por
f. De fato, suponha que existam f, g ∈ L
1
loc
(U) tais que
T, φ
=
R
n
fφ dx e
T, φ
=
R
n
gφ dx para toda φ ∈ D(U). Portanto, para toda φ ∈ D(U),
R
n
(f − g)φ dx = 0;
ent˜ao, pelo Lema de Du Bois Raymond (2.45), f = g L
n
-q.s. Por essa raz˜ao, podemos
identificar f com uma distribui¸c˜ao associada. Agora, por abuso de nota¸c˜ao, escreveremos
f(φ) =
R
n
fφ dx para toda φ ∈ D(U).
Conv´em observar que dada uma fun¸c˜ao f ∈ C
1
(U), ent˜ao se φ ∈ C
∞
c
(U) segue pela
F´ormula de Integra¸c˜ao por Partes (3.5) que
−
U
f
x
i
φdx =
U
fφ
x
i
dx (i = 1, . . . , n).
Note que n˜ao h´a termo sobre o bordo , pois a fun¸c˜ao de teste φ tem suporte compacto
em U. Mais geralmente, se f ∈ C
k
(U) e α ´e um multi-´ındice tal que |α| ≤ k, ent˜ao
(−1)
|α|
U
φ g dx =
U
f D
α
φ dx,
onde g = D
α
f. Al´em disso, esta igualdade faz sentido se g, f ∈ L
1
loc
(U). O que motivar´a
a defini¸c˜ao da chamada derivada fraca de uma fun¸c˜ao f ∈ L
1
loc
(U).
Defini¸c˜ao 3.10. Seja f ∈ L
1
loc
(U). Dizemos que g ∈ L
1
loc
(U) ´e a α-´esima derivada parcial
fraca de f, se
(−1)
|α|
U
φ g dx =
U
f D
α
φ dx,
para toda φ ∈ D(U) e, ainda, dizemos que g = D
α
f existe no sentido fraco. Se n˜ao existe
tal fun¸c˜ao g, ent˜ao f n˜ao possui α-´esima derivada parcial fraca.
25
Exemplo 3.11. Sejam n = 1 e U = (0, 2). Consideremos as fun¸c˜oes
u(x) =
x, se 0 < x ≤ 1
1, se 1 ≤ x < 2
e
v(x) =
1, se 0 < x ≤ 1
0, se 1 < x < 2.
Afirmamos que u
= v existe no sentido fraco. De fato, para qualquer φ ∈ C
∞
c
(U), temos
U
uφ
dx =
1
0
xφ
+
2
1
φ
dx
= −
1
0
φdx + φ(1) − φ(1) = −
2
0
vφ dx
Logo existe a derivada u
= v no sentido fraco.
Exemplo 3.12. Sejam n = 1 e U = (0, 2). Consideremos a fun¸c˜ao
u(x) =
0, se 0 < x ≤ 1
1, se 1 ≤ x < 2
Afirmamos que u
n˜ao existe no sentido fraco. De fato, para qualquer φ ∈ C
∞
c
(U),
suponhamos que existe v ∈ L
1
loc
(U) tal que
2
0
uφ
dx = −
2
0
vφ dx.
Consequentemente,
−
2
0
vφ dx =
2
0
uφ
dx =
2
1
φ
dx = −φ(1).
Agora, seja {φ
k
}
∞
k=1
uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes suaves tais que 0 ≤ φ
k
≤ 1, φ
m
(1) = 1
e φ
k
(x) → 0 para todo x = 1. Ent˜ao trocando φ por φ
k
em (3.6), e pelo Teorema da
Convergˆencia Dominada, obtemos
1 = lim
k→∞
φ
k
(1) = lim
k→∞
2
0
vφ
k
dx
= 0,
uma contradi¸c˜ao.
26
Exemplo 3.13. Sejam n = 1 e U = (0, 2). Consideremos as fun¸c˜oes
u(x) =
x, se 0 < x ≤ 1
2, se 1 < x < 2.
Afirmamos que u
n˜ao existe no sentido fraco. De fato, para qualquer φ ∈ C
∞
c
(U),
suponhamos que existe v ∈ L
1
loc
(U) tal que
2
0
uφ
dx = −
2
0
vφ dx.
Consequentemente,
−
2
0
vφ dx =
2
0
uφ
dx
=
1
0
xφ
dx + 2
2
1
φ
dx = −
1
0
φ dx − φ(1). (3.6)
Agora, seja {φ
k
}
∞
k=1
uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes suaves tais que 0 ≤ φ
k
≤ 1, φ
m
(1) = 1
e φ
k
(x) → 0 para todo x = 1. Ent˜ao trocando φ por φ
k
em (3.6), e pelo Teorema da
Convergˆencia Dominada, obtemos
1 = lim
k→∞
φ
k
(1) = lim
k→∞
2
0
vφ
k
dx −
1
0
φ
k
dx
= 0,
uma contradi¸c˜ao.
Claramente, se f ´e suave de modo que exista a α-´esima derivada parcial D
α
f no sen-
tido usual (cl´assico), ent˜ao D
α
f ser´a tamb´em uma α-´esima derivada parcial no sentido
fraco. Al´em disso, ´e facil verificar que D
α
f quando existe ´e ´unico a menos de um con-
junto de medida L
n
nula (veja [11]). Agora, motivados pela defini¸c˜ao de derivada fraca
definiremos a derivada no sentido das distribui¸c˜oes.
Defini¸c˜ao 3.14. Seja T ∈ D
(U). Dizemos que D
α
T ´e a α-´esima derivada distribucional
se
D
α
T, φ
= (−1)
|α|
T, D
α
φ
para toda φ ∈ C
∞
c
(U).
Observe que se T e D
α
T forem definidas por fun¸c˜oes em L
1
loc
(U) ent˜ao as defini¸c˜oes de
derivada fraca e distribuicional coincidem. Agora, definiremos certos e spa¸cos de fun¸c˜oes,
cujos elementos possuem derivada fraca de v´arias ordens o que n˜ao ´e verdadeiro em alguns
espa¸cos L
p
.
27
Defini¸c˜ao 3.15. Seja 1 ≤ p ≤ ∞.
1. Para todo inteiro positivo k, o Espa¸co de Sobolev,
W
k,p
(U),
consiste de todas as fun¸c˜oes f ∈ L
p
(U) tais que D
α
f ∈ L
p
(U) existe no sentido
fraco para todo |α| ≤ k.
2. A fun¸c˜ao f ∈ W
k,p
loc
(U) se f ∈ W
k,p
(V ) para cada conjunto aberto V ⊂⊂ U.
3. Dizemos que f ´e uma fun¸c˜ao de Sobolev se f ∈ W
1,p
loc
(U) para algum 1 ≤ p ≤ ∞.
Exemplo 3.16. A fun¸c˜ao definida no exemplo (3.11) pertence a W
1,1
(0, 2), por outro
lado, a fun¸c˜oes definida no exemplo (3.12) n˜ao pertence a este espa¸co. Al´em disso, se
E ´e um conjunto aberto de R com fronteira suave, ent˜ao a fun¸c˜ao caracter´ıstica n˜ao
pertence a W
1,1
loc
(U) para algum conjunto aberto U.
Se p = 2, W
k,2
(U) (k = 1, . . . ) ´e um espa¸co de Hilbert, usualmente denotado por
H
k
(U); e neste caso, note que H
0
(U) = L
2
(U). Ainda, o espa¸co de Sobolev W
k,p
(U) ´e
um espa¸co normado e quipado com a norma
||f||
W
p,k
(U)
:=
|α|≤k
U
|D
α
f|
p
dx
1
p
, 1 ≤ p < ∞
|α|≤k
ess sup
U
|D
α
f|, p = ∞
a qual ´e claramente equivalente a norma
|α|≤k
||D
α
f||
L
p
(U)
, e podemos verificar que
W
k,p
(U) ´e um espa¸co de Banach (veja [11], Teorema 2, p.249.). Al´em disso, se existe
uma seq¨uˆencia limitada {f
k
}
∞
k=1
em W
1,p
(U), onde U ´e um conjunto aberto limitado com
fronteira Lipschitz e 1 < p < n, ent˜ao existem uma subseq¨uˆencia {f
k
j
}
∞
j=1
e f ∈ W
1,p
(U)
tais que f
k
j
→ f em L
q
(U), para cada 1 ≤ q <
pn
n−p
(veja [12], Teorema 1, p.144); neste
caso, dizemos que W
1,p
(U) esta compactamente imerso em L
q
(U), W
1,p
(U) → L
q
(U).
Agora, veremos no pr´oximo resultado, que poderemos aproximar fun¸c˜oes f ∈ W
1,p
(U),
onde 1 ≤ p < ∞, por fun¸c˜oes em C
∞
(U). Em outras palavras, mostraremos que o
conjunto das fun¸c˜oes f ∈ C
∞
(U) tal que a norma ||f||
W
k,p
(U)
< ∞ ´e denso em W
k,p
(U), e
note que n˜ao exigimos nenhuma regularidade sobre o bordo de U. Aqui, faremos a prova
somente para o caso mais simples: quando U = R
n
. O caso geral, faz uso da parti¸c˜ao da
unidade e pode ser encontrado em [12].
28
Teorema 3.17. Seja f ∈ W
k,p
(U) para algum 1 ≤ p < ∞. Ent˜ao existe uma seq¨uˆencia
f
m
∈ W
k,p
(U) ∩C
∞
(U), m = 1, . . . tal que f
m
→ f em W
k,p
(U).
Demonstra¸c˜ao. Assuma que U = R
n
e fixe ε > 0. Defina f
ε
:= η
ε
∗ f; logo f
ε
→ f em
L
p
(U) quando ε → 0. Afirmamos que D
α
f
ε
= η
ε
∗ D
α
f para todo multi-´ındice α tal que
|α| ≤ k. De fato,
D
α
f
ε
(x) =
U
D
α
x
η
ε
(x − y)f(y) dy
= (−1)
|α|
U
D
α
y
η
ε
(x − y)f(y) dy
= (−1)
2|α|
U
η
ε
(x − y)D
α
f(y)dy (pela defini¸c˜ao (3.8))
= η
ε
∗ Df(x)
Logo D
α
f
ε
→ D
α
f em L
p
(U) quando ε → 0, o que completa a prova.
O teorema que enunciaremos a seguir (veja [12]) nos permitirar aproximarmos fun¸c˜oes
f ∈ W
1,p
(U), onde 1 ≤ p < ∞, por fun¸c˜oes em C
∞
(U) quando U ´e um conjunto aberto
limitado; no entanto, necessitamos de alguma condi¸c˜ao geom´etrica sobre o bordo de U,
a saber, que a fronteira ∂U seja Lipschitz.
Teorema 3.18. Seja U limitado com ∂U ´e Lipschitz. Se f ∈ W
1,p
(U) para algum
1 ≤ p < ∞, ent˜ao existe uma seq¨uˆencia f
m
∈ W
1,p
(U) ∩ C
∞
(U), m = 1, . . . , tal que
f
m
→ f em W
1,p
(U)
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 3, p.127.
3.2.2 F´ormula de Gauss-Green para fun¸c˜oes W
1,p
No que se segue passaremos a estudar a F´ormula de Gauss-Green para fun¸c˜oes W
1,p
(U)
com 1 ≤ p < ∞. Como dito anteriormente, n˜ao faz sentido definir a “restri¸c˜ao”de um
fun¸c˜ao em um conjunto de medida nula quando esta fora definida quase sempre. No
entanto, a importˆancia de se estudar problemas de valor de fronteira para operadores
diferenci´aveis em algum dom´ınio U cria naturalmente uma quest˜ao: qual o significado
que podemos atribuir a f sobre os valores da fronteira de U; ou mais formalmente, em
qual espa¸co de fun¸c˜oes definido sobre ∂U que cont´em o tra¸co T f para a fun¸c˜ao f.
29
O Teorema (3.19) resolver´a este problema para fun¸c˜oes de Sobolev em conjuntos
abertos e limitados com fronteira Lipschitz. Aqui seguiremos a demonstra¸c˜ao de [12] e
usaremos a nota¸c˜ao do Apˆendice A.
Teorema 3.19 (F´ormula de Gauss-Green). Seja U um conjunto limitado com ∂U Lips-
chitz e 1 ≤ p < ∞. Ent˜ao
1. Existe um operador linear limitado
T : W
1,p
(U) −→ L
p
(∂U; H
n−1
)
tal que T f = f em ∂U para toda f ∈ W
1,p
(U) ∩C(U).
2. Al´em disso, para toda φ ∈ C
1
(R
n
; R
n
) e f ∈ W
1,p
(U),
U
f div φ dx = −
U
Df · φ dx +
∂U
(φ ·ν)T f dH
n−1
(3.7)
onde ν denota o campo normal unit´ario exterior a ∂U.
Agora, defiremos o tra¸co de uma fun¸c˜ao de Sobolev sobre uma fronteira Lipschitz
como o operador linear limitado T f em (3.7). Mais precisamente:
Defini¸c˜ao 3.20. Dizemos que T f, o qual ´e ´unico a menos de um conjunto de medida
H
n−1
∂U nula, ´e o tra¸co de f sobre a fronteira de U. Interpretaremos T f como o “valor
de fronteira” de f sobre ∂U.
Demonstra¸c˜ao. Fixe x ∈ ∂U e ε > 0. Como ∂U ´e Lipschitz, existe r > 0 e uma aplica¸c˜ao
Lipschitz γ : R
n−1
−→ R tais que
U ∩ Q(x; r) := {y : γ(y
1
, . . . , y
n−1
) < y
n
} ∩ Q(x; r).
onde y = (y
1
, . . . , y
n−1
, y
n
) ∈ R
n
. Escreva Q ≡ Q(x; r), e suponha inicialmente que
f ∈ C
1
(U) e que f ≡ 0 em R
n
− Q. Afirmamos que existe q > 0 tal que
−e
n
· ν ≥ q > 0 H
n−1
-q.s. em Q ∩ ∂U.
30
De fato, como γ ´e uma fun¸c˜ao Lipschitz, pelo Teorema de Radamacher, podemos tomar
derivadas em quase todo ponto
−e
n
· ν = −e
n
·
(∇γ, −1)
1 + |∇γ|
2
≥
1
1 + |∇γ|
2
≥
1
1 + Lip(γ)
2
> 0.
Ent˜ao, a afirma¸c˜ao segue pondo
q =
1
1 + Lip(γ)
2
.
Agora, definiremos β
ε
(t) = (t
2
+ ε
2
)
1
2
− ε para todo t ∈ R, e note que |β
ε
| ≤ 1. E nt˜ao,
calculemos:
∂U
β
ε
(f)dH
n−1
=
Q∩∂U
β
ε
(f)dH
n−1
≤ C
Q∩∂U
β
ε
(f)(−e
n
· ν)dH
n−1
= −C
Q∩U
∂
y
n
(β
ε
(f))dx (pelo Teorema (5.9))
≤ C
Q∩U
|β
ε
(f)||∂
y
n
f|dx
≤ C
Q∩U
|β
ε
(f)||Df|dx
≤ C
Q∩U
|Df|dy.
Ent˜ao passando ao limite quando ε → 0, pelo Teorema da Convergˆencia Dominada,
obtemos
∂U
|f|dH
n−1
≤ C
U
|Df|dx.
Agora, suponhamos que f ∈ C
1
(U). Como ∂U ´e um conjunto compacto ent˜ao existe um
n´umero finito de cubos abertos tais que
∂U ⊂
N
i=1
Q
i
e
∂U ∩Q
i
|f|dH
n−1
≤
U∩Q
i
|Df|dx, (3.8)
31
onde Q ≡ Q(x
i
; r
i
). Pelo Teorema (3.3), existe uma parti¸c˜ao da unidade sobre U subor-
dinada a Q
i
, i = 1, . . . , N. Ent˜ao
∂U
|f|dH
n−1
=
∂U
N
i=1
ξ
i
|f|dH
n−1
≤
N
i=1
∂U ∩Q
i
|f|dH
n−1
≤
N
i=1
U∩Q
i
|Df|dx
≤ C
U
|f| + |Df|dx,
onde {ξ
i
}
N
i=1
´e parti¸c˜ao associada a cobertura Q
i
, i = 1, . . . , N. Assim, para 1 < p < ∞,
aplicando a estimativa acima com |f|
p
no lugar de |f| para obtermos
∂U
|f|
p
dH
n−1
≤ C
U
(|Df||f|
p−1
+ |f|
p
)dx
≤ C
U
|Df|
p
p
+
|f|
(p−1)q
q
+ |f|
p
dx
≤ C
U
(|Df|
p
+ |f|
p
)dx.
Agora, definimos um operador linear T : C
1
(U) −→ L
p
(∂U; H
n−1
) por
T f :=
N
i=1
ξ
i
f
para toda f ∈ C
1
(U). Note que T f := f|
∂U
e ||T f||
L
p
(∂U )
≤ C||f||
W
1,p
(U)
para toda
f ∈ C
1
(U), logo T ´e um operador linear limitado para toda f ∈ C
1
(U). Finalmente,
suponha que f ∈ W
1,p
(U). Ent˜ao existe uma seq¨uˆencia {f
k
}
∞
k=1
em W
1,p
(U) ∩ C
∞
(U)
tal que f
k
→ f em W
1,p
(U), e afirmamos que {T f
k
}
∞
k=1
´e uma seq¨uˆencia de Cauchy. De
fato, temos que
||T f
m
− T f
l
||
L
p
(∂U )
= ||T (f
m
− f
l
)||
L
p
(∂U )
≤ C||f
m
− f
l
||
W
1,p
(U)
(3.9)
Passando ao limite quando l, m → ∞ em (3.9), segue que {T f
k
}
∞
k=1
´e uma seq¨uˆencia de
Cauchy em L
p
(∂U; H
n−1
). Portanto, existe o limite de {T f
k
}
∞
k=1
quando k → ∞; pois
L
p
(∂U; H
n−1
) ´e um espa¸co completo. Assim, defina
T f := lim
k→∞
T f
k
.
32
para toda f ∈ W
1,p
(U) ∩ C(U); o completa a prova da primeira afirma¸c˜ao. Final-
mente para ver (3.7), apliquemos a F´ormula de Gauss Green Cl´assica para uma seq¨uˆencia
{f
k
}
∞
k=1
em W
1,p
(U) ∩C
∞
(U),
U
f
k
div φ dx = −
U
Df
k
· φ dx +
∂U
(φ ·ν)T f
k
dH
n−1
(3.10)
para toda φ ∈ C
1
c
(R
n
; R
n
). Agora, passando ao limite quando k → ∞, usando o Teorema
da Convergˆencia Dominada obtemos (3.7); o que completa a prova da segunda afirma¸c˜ao.
3.3 Fun¸c˜oes de Variac˜ao Limitada
Seja U um conjunto aberto do R
n
.
3.3.1 Considera¸c˜oes Gerais
Defini¸c˜ao 3.21. .
1. Dizemos que f ∈ L
1
(U) ´e uma fun¸c˜ao de varia¸c˜ao limitada em U, e denotamos por
f ∈ BV (U), se o gradiente ∇f no sentido das distribui¸c˜oes ´e uma medida de Radon
finita em U.
2. Dizemos que f ´e uma fun¸c˜ao de varia¸c˜ao limitada local, e denotamos f ∈ BV
loc
(U),
se f ∈ BV (V ) para todo conjunto aberto V ⊂⊂ U.
Em outras palavras, f ∈ BV (U) se, e somente, existe ∇f em M(U; R
n
) finita tal que
para i = 1, . . . , n,
U
f φ
x
i
dx = −
U
φ d(D
i
f),
para toda φ ∈ C
1
c
(U), onde ∇f = (D
1
f, . . . , D
n
f) em U; ou equivalentemente,
U
f div φ dx = −
U
φ ·d(∇f),
para toda φ ∈ C
1
c
(U; R
n
). Al´em disso, para simplificar escreveremos
U
f div φ dx = −
U
φ ·∇f, (3.11)
para toda φ ∈ C
1
c
(U; R
n
).
33
Agora, definiremos a chamada varia¸c˜ao de uma fun¸c˜ao f ∈ L
1
loc
(U), e juntamente
com Teorema (3.24) fornecer´a um crit´erio util para saber se f ´e uma fun¸c˜ao de varia¸c˜ao
limitada (para de talhes veja [2]).
Defini¸c˜ao 3.22. A varia¸c˜ao V (f; U) de uma fun¸c˜ao f ∈ L
1
loc
(U) em U ´e definido por
V (f; U) = sup
U
f div φ dx : φ ∈ C
1
c
(U; R
n
), ||φ||
L
∞
≤ 1
. (3.12)
No exemplo a seguir, observemos que para toda fun¸c˜ao f ∈ W
1,1
(U) tem varia¸c˜ao
finita. Em particular, veremos que toda fun¸c˜ao de Sobolev tem localmente varia¸c˜ao
limitada.
Exemplo 3.23. Suponha que f ´e uma fun¸c˜ao de Sobolev,isto ´e, f ∈ W
1,1
(U), ent˜ao
temos a seguinte igualdade
V (f; U) =
U
|Df|dx.
De fato, trivialmente V (f; U) ≤
U
|Df|dx.
´
E suficiente provar a desigualdade oposta,
para tal fixe ε > 0, e escolha φ como
(Df )
ε
|Df |
, onde Df
ε
= η
ε
∗ Df, ent˜ao
V (f; U) ≥
U
f divφ dx =
U
(Df)
ε
· Df
|Df|
dx. (3.13)
Passando ao limite quando ε → 0, obtemos V (f; U) ≥
U
|Df|dx. Tamb´em observe que
a mesma igualdade ´e v´alida se f ´e de classe C
1
.
Tendo em vista, a defini¸c˜ao de varia¸c˜ao de uma fun¸c˜ao f ∈ L
1
loc
(U), note que a
varia¸c˜ao da mesma pode ser infinita. Neste caso, veremos atrav´es do Teorema (3.24), que
pode se encontrado em [2], que esta n˜ao ser´a uma fun¸c˜ao de varia¸c˜ao limitada.
Teorema 3.24. Seja f ∈ L
1
(U). Ent˜ao f ∈ BV (U) se, e somente se, V (f; U) < ∞.
Al´em disso, V (f; U) = ||∇f||(U).
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que f seja uma fun¸c˜ao de varia¸c˜ao limitada, ou seja, f ∈
BV (U). Fixemos φ ∈ C
1
c
(U; R
n
), |φ| ≤ 1, ent˜ao temos que
−
U
f div φ dx =
U
φ ·∇f ≤
U
d||∇f||.
34
Como |φ| ≤ 1, segue que V (f; U) ≤ ||∇f||(U) < ∞ Reciprocamente, definimos um
operador linear L : C
1
c
(U; R
n
) −→ R por
L(φ) := −
U
f div φ dx
para toda φ ∈ C
1
c
(U; R
n
). Observemos que |L(φ)| ≤ V (f; U)||φ||
L
∞
. Fixemos um con-
junto compacto K ⊂ U, e seja V um conjunto aberto V tal que K ⊂ V ⊂⊂ U. Para cada
φ ∈ C
c
(U; R
n
) com spt(φ) ⊂ K, existe uma seq¨uˆencia φ
k
∈ C
1
(V ; R
n
), k = 1, . . . , tal que
φ
k
→ φ uniformente em V . Definimos
L(φ) := lim
k→∞
L(φ
k
), para todo φ ∈ C
c
(U; R
n
).
Pela desigualdade |L(φ)| ≤ V (f; U)||φ||
L
∞
, vemos que
L est´a bem-definido e, ainda, pode
ser estendida ao operador linear
L : C
c
(U; R
n
) −→ R tal que
sup{
L(φ) : φ ∈ C
c
(U; R
n
), |φ| ≤ 1, spt(φ) ⊂ K} < ∞.
Finalmente, pelo Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz, existe uma ´unica medida de Radon
vetorial µ tal que
L(φ) :=
U
φ ·dµ.
Portanto, f ´e uma fun¸c˜ao de varia¸c˜ao limitada, isto ´e, f ∈ BV (U). Ainda, para cada
φ ∈ C
1
c
(U; R
n
), |φ| ≤ 1, ent˜ao |
L(φ)| ≤ V (f; U), logo ||∇f||(U) ≤ V (f; U).
Exemplo 3.25. Suponhamos que f ∈ W
1,1
(U), ent˜ao pelo Exemplo (3.23) e o teorema
anterior, f ∈ BV (U), logo W
1,1
(U) ⊂ BV (U), e analogamente, W
1,1
loc
(U) ⊂ BV
loc
(U).
Em particular, W
1,p
loc
(U) ⊂ BV
loc
(U) para 1 ≤ p ≤ ∞. Consequentemente, toda fun¸c˜ao de
Sobolev tem varia¸c˜ao limitada local.
Exemplo 3.26. Seja u a fun¸c˜ao do Exemplo (3.13), ent˜ao u ∈ BV (0, 2) (veja [12],
Teorema 1, p.217). Agora, suponhamos que E seja um conjunto do R
n
limitado com
fronteira suave tal que H
n−1
(∂E ∩ K) < ∞, para todo conjunto compacto K ⊂ U.
Ent˜ao, para cada conjunto aberto V ⊂⊂ U e φ ∈ C
1
c
(V ; R
n
), |φ| ≤ 1, temos
E
div φ dx =
∂E∩V
φ ·ν dH
n−1
≤ H
n−1
(∂E ∩ V ) < ∞.
Logo, X
E
∈ BV
loc
(U); apesar de X
E
/∈ W
1,1
loc
(U). Portanto, as inclus˜oes do exemplo
anterior s˜ao restritas, isto ´e, nem todas as fun¸c˜oes de varia¸c˜ao limitada local ´e tamb´em
uma fun¸c˜ao de Sobolev.
35
Exemplo 3.27 (Aproxima¸c˜ao de Cantor-Vitali). Considere uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes
V
k
: [0, 1] −→ R definida indutivamente por V
0
(x) = x e
V
k+1
(x)
1
2
V
k
(x) se x ∈ [0,
1
3
]
1
2
se x ∈ [
1
3
,
2
3
]
1
2
+
1
2
V
k
(3(x −
2
3
)) se x ∈ [
2
3
, 1].
Figura 3.3: O gr´afico de uma fun¸c˜ao V
3
.
para todo inteiro positivo k. Agora, podemos verificar que V
k
(0) = 0, V
k
(1) = 1 e
|V
k+1
(x) − V
k
(x)| ≤
1
3(2
k+1
)
(k = 1, . . . ) (3.14)
Por (3.14), {V
k
}
∞
k=1
´e uma seq¨uˆencia de Cauchy em C ([0, 1]), consequentemente converge
uniformente em [0, 1] para alguma fun¸c˜ao cont´ınua V , chamada a fun¸c˜ao de Cantor-
Vitali. Finalmente, V tem varia¸c˜ao limitada em (0, 1), V ∈ BV (0, 1), pois V ´e uma
seq¨uˆencia n˜ao decrescente, e V (0) = 0, V (1) = 1. (Veja [17], p.19).
Agora, pelo Teorema (3.24) ´e f´acil mostrar que o espa¸co BV (U) ´e um espa¸co normado
equipado com a norma
||f|| := ||f||
L
1
(U)
+ ||∇f||(U), (3.15)
e podemos verificar que BV (U) ´e um espa¸co de Banach (veja [16], p.9). Al´em disso, se
f ∈ L
1
(U), ent˜ao f ∈ BV (U) se, e somente se, a norma ||f||
BV (U)
< ∞; e se existe
uma seq¨uˆencia limitada {f
k
}
∞
k=1
em BV (U), onde U ´e um conjunto aberto limitado com
fronteira Lipschitz, ent˜ao existem uma subseq¨uˆencia {f
k
j
}
∞
j=1
e f ∈ BV (U) tais que
f
k
j
→ f em L
1
(U) (veja [12], Teorema 1, p.176); neste caso, dizemos que BV (U) esta
compactamente imerso em L
1
(U), BV (U) → L
1
(U).
36
Os pr´oximos resultados dizem respeito a Semi-continuidade Inferior e a aproxima¸c˜ao
por fun¸c˜oes suaves e podem ser encontrados em [12],[16] e [23].
Teorema 3.28 (Semi-continuidade Inferior). Se f
k
∈ BV (U), k = 1, . . . , e f
k
→ f em
L
1
loc
(U). Ent˜ao f ∈ BV (U) e
||∇ f||(U) ≤ lim inf
k→∞
||∇f
k
||(U).
Demonstra¸c˜ao. Fixemos φ ∈ C
1
c
(U; R
n
), |φ| ≤ 1. Ent˜ao pelo Lema de Fatou (2.16),
U
f div φ dx = lim
k→∞
U
f
k
div φ dx ≤ lim inf
k→∞
||∇f
k
||(U).
Portanto, ||∇f||(U) ≤ lim inf
k→∞
||∇f
k
||(U).
O pr´oximo teorema ser´a usado para demonstrar o Teorema (3.31). Aqui, faremos a
prova somente para o caso mais simples, isto ´e, quando U = R
n
; o caso geral, faz uso da
parti¸c˜ao da unidade e pode ser encontrado em [12].
Teorema 3.29 (Aproxima¸c˜ao por Fun¸c˜oes Suaves). Seja f ∈ BV (U). Ent˜ao existe
uma seq¨uencia f
k
∈ BV (U) ∩ C
∞
(U), k = 1, 2, . . . , tal que F
k
→ F em L
1
(U) e
lim
k→∞
||∇F
k
||(U) = ||∇F ||(U).
Demonstra¸c˜ao. Assuma que U = R
n
e fixe ε > 0. Defina f
ε
:= η
ε
∗ f; logo f
ε
→ f em
L
1
(U) quando ε → 0. Agora, pelo Teorema (3.28) ´e suficiente mostrar que
lim sup
ε→0
||∇f
ε
||(U) ≤ ||∇f||(U). (3.16)
De fato, fixe φ ∈ C
1
c
(U; R
n
), |φ| ≤ 1, temos que
U
f
ε
div φ dx =
U
U
η
ε
(x − y)f(y) dy
div φ dx
=
U
U
η
ε
(x − y)div φ dx
f(y) dy
=
U
(η
ε
∗ div φ)f dy
=
U
div (η
ε
∗ φ)f dy
≤ ||∇f||(U).
Logo, obtemos (3.16); o que completa a prova.
37
O pr´oximo corol´ario faremos a prova somente para o caso mais simples, isto ´e, quando
U = R
n
; o caso geral pode ser encontrado em [12].
Corol´ario 3.30. Seja f ∈ BV (U). Se f
k
∈ C
∞
(U), k = 1, . . . ´e como no Teorema
(3.29). Ent˜ao L
n
∇f
k
∇f em M(R
n
; R
n
).
Demonstra¸c˜ao. Assuma que U = R
n
e escreva µ
k
= L
n
∇f
k
e µ = ∇f ent˜ao para toda
φ ∈ C
1
c
(R
n
, R
n
),
U
φ dµ
k
=
U
φ ·∇f
k
dx = −
U
f
k
div φ dx.
Como f
k
→ f em L
1
(U), passando ao limite quando k → ∞ obtemos que µ
k
µ em M(R
n
; R
n
); o que completa a prova.
3.3.2 F´ormula de Gauss-Green para fun¸c˜oes BV
Agora, passaremos a estudar a F´ormula de Gauss-Green para fun¸c˜oes de varia¸c˜ao limitada
em conjuntos abertos com fronteira Lipschitz. Conv´em observar que o teorema a seguir ´e
uma generaliza¸c˜ao do Teorema (3.19) para fun¸c˜oes de Sobolev. De fato, lembramos que
W
1,p
loc
(U) BV
loc
(U), veremos que a no¸c˜ao de tra¸co dada abaixo coincide conforme visto
em (3.20). Aqui seguiremos demonstra¸c˜ao de [12] com a nota¸c˜ao do Apˆendice A.
Teorema 3.31 (F´ormula de Gauss-Green). Seja U um conjunto limitado com ∂U ´e
Lipschitz. Ent˜ao existe um operador linear limitado
T : BV (U) −→ L
p
(∂U; H
n−1
)
tal que
U
f div φ dx = −
U
φ ·∇f +
∂U
(φ ·ν)T f dH
n−1
(3.17)
para toda φ ∈ C
1
(R
n
; R
n
) e f ∈ BV (U), onde ν denota o campo normal unit´ario exterior
a ∂U.
Agora, podemos definir de modo a no¸c˜ao sobre o tra¸co de uma fun¸c˜ao BV sobre uma
fronteira Lipschitz do mesmo modo que a defini¸c˜ao (3.20).
Defini¸c˜ao 3.32. Dizemos que T f, o qual ´e ´unico a menos de um conjunto de medida
H
n−1
∂U nula, ´e o tra¸co de f sobre a fronteira de U. Interpretaremos T f como o “valor
de fronteira” de f sobre ∂U.
38
Demonstra¸c˜ao. Como ∂U ´e uma fronteria Lipschitz, existe r, h > 0 e uma aplica¸c˜ao
Lipschitz γ : R
n−1
−→ R tal que max{|γ(y
) − x
n
| y
∈ B[x
, r]} ≤
h
4
e, a menos de uma
rota¸c˜ao e renomeando os eixos coordenados se necess´ario, podemos considerar que
U ∩ C(x; r, h) = {y ∈ R
n
: |x
− y
| < r, γ(y
) < y
n
< x
n
+ h},
onde C ≡ C(x; r, h) ´e um cilindro aberto centrado em x. Inicialmente, suponhamos que
f ∈ BV (U) ∩C
∞
(U). Tomando x ∈ ∂U e r, h, γ como acima. Se 0 < ε <
h
2
e y ∈ ∂U ∩C,
definiremos uma fun¸c˜ao f
ε
: R
n
−→ R por
f
ε
(y) := f(y
, γ(y
) + ε).
Al´em disso, considere C
δ,ε
o conjunto de todos os y ∈ C tais que γ(y
)+δ < y
n
< γ(y
)+ε
para todo 0 ≤ δ < ε <
h
2
, e escreva C
ε
≡ (C ∩ U) − C
0,ε
.
Figura 3.4: Um fronteira Lipschitz quanto ao conjunto C
δ,ε
.
γ
C
δ,ε
x
h
C
r
U
Ent˜ao
|f
δ
(y) − f
ε
(y)| ≤
ε
δ
∂f
∂x
n
(y
, γ(y
) + t)
dt ≤
ε
δ
|∇f(y
, γ(y
) + t)|dt.
Conseq¨uentemente, como γ ´e uma aplica¸c˜ao Lipschitz, a F´ormula de Mudan¸ca de Vari´avel
implica que
∂U ∩C
|f
δ
− f
ε
|dH
n−1
≤
∂U ∩C
ε
δ
|∇f(y
, γ(y
) + t)|dt dH
n−1
≤ C
C
δ,ε
|∇f|dy
= C||∇f||(C
δ,ε
). (3.18)
39
Agora, definimos um operador linear limitado do seguinte modo
T f := lim
ε→0
f
ε
(3.19)
para toda f ∈ BV (U) ∩C
∞
(U). Observemos que (3.19) est´a bem definido. De fato, por
(3.18), {f
ε
}
ε>0
´e de Cauchy em L
1
(∂U ∩ C; H
n−1
) que, por sua vez, ´e completo, logo
existe o limite em (3.19). Al´em disso, fixando ε > 0 e passando ao limite quando δ → 0
em (3.18), obtemos
∂U ∩C
|T f − f
ε
|dH
n−1
≤ C||∇f||(C
0,ε
).
Fixemos φ ∈ C
1
c
(C; R
n
), ent˜ao pelo Teorema de Gauss-Green Cl´assico temos que
C
ε
f div φ dy = −
C
ε
φ ·∇f dy −
∂U ∩C
(φ
ε
· ν)f
ε
dH
n−1
.
Agora, passando ao limite quando ε → 0 e lembrando que a transla¸c˜ao ´e continua na
norma L
1
obtemos
U∩C
f div φ dy = −
U∩C
φ ·∇f −
∂U ∩C
(φ ·ν)T f dH
n−1
.
Como ∂U ´e um conjunto compacto existe um C
i
≡ C(x
i
; r
i
, h
i
), i = 1, . . . , N tais que
∂U ⊂
N
i=1
C
i
e satisfaz
∂U ∩C
i
|T f − f
ε
|dH
n−1
≤ C||∇f||(C
i
0,δ
); e
U∩C
i
f div φ dy = −
U∩C
i
φ ·∇f −
∂U ∩C
i
(φ ·ν)T f dH
n−1
.
Escolha C
0
um conjunto aberto tal que U ⊂ ∪
N
i=0
C
i
e satisfaz os itens anteriores. Pelo
Teorema (3.3), existe uma parti¸c˜ao da unidade {ξ
i
}
N
i=o
subordinada aos conjuntos abertos
C
i
, i = 0, 1, . . . , N. Ent˜ao
U
f div φ dy =
N
i=0
U∩C
i
ξ
i
f div φ dy
=
N
i=0
−
U∩C
i
φξ
i
· ∇f −
∂U ∩C
i
(φ ·ν)T fdH
n−1
= −
U
φ ·∇f −
∂U
(φ ·ν)T fdH
n−1
.
(3.20)
Finalmente, suponhamos que f ∈ BV (U), pelo Teorema (3.29), podemos escolher uma
seq¨uˆencia {f
k
}
∞
k=1
em BV (U)∩C
∞
(U) tal que f
k
→ f em L
1
(U), ||∇f
k
||(U) → ||∇f||(U)
40
e L
n
∇f
k
∇f em M(R
n
; R
n
). Afirmamos que {T f
k
}
∞
k=1
´e uma seq¨uˆencia de Cauchy
em L
1
(∂U; H
n−1
). De fato, fixe ε > 0 e x ∈ ∂U, definimos
f
ε
k
(y) =
1
ε
ε
0
f
k
(y
, γ(y
) + t)dt =
1
ε
ε
0
(f
k
)
t
(y)dt
para todo y ∈ ∂U ∩ C. Ent˜ao obtemos
∂∩C
|T f
k
− f
ε
k
|dH
n−1
≤
∂∩C
|T f
k
(y) −
1
ε
ε
0
f
k
(y)|dH
n−1
≤
1
ε
ε
0
∂∩C
|T f
k
− (f
k
)
t
|dH
n−1
≤ C||∇f
k
||(C
0,ε
).
De modo que obtemos a seguinte estimativa:
∂∩C
|T f
m
− T f
n
|dH
n−1
≤
∂∩C
|T f
m
− f
ε
m
|dH
n−1
+
∂∩C
|T f
n
− f
ε
n
|dH
n−1
+
∂∩C
|f
ε
n
− f
ε
m
|dH
n−1
≤ C(||∇F
m
|| + ||∇F
n
||)(C
0,ε
) +
C
ε
C
0,ε
|f
m
− f
n
|dy.
Ent˜ao
lim sup
m,n→∞
∂∩C
|T f
m
− T f
n
|dH
n−1
≤ C||∇F ||(C
0,ε
∩ U).
Como a quantidade a direita da desigualdade vai a zero quando ε → 0 obtemos afirma¸c˜ao.
Agora, definimos um operador linear limitado T : BV (U) −→ L
1
(∂U; H
n−1
) por
T f := lim
k→∞
T f
k
(3.21)
Observe que (3.21) est´a bem definido. De fato, como {T f
k
}
∞
k=1
´e uma seq¨uˆencia de
Cauchy em L
1
(∂U; H
n−1
), e este, por sua vez, ´e completo, segue que existe o limite
acima e n˜ao depende da escolha da seq¨uˆencia {f
k
}
∞
k=1
. Finalmente, aplicando (3.20) para
a seq¨uˆencia {f
k
}
∞
k=1
obtemos
U
f
k
div φ dx = −
U
φ ·∇f
k
dx −
∂U
(φ ·ν)T f
k
dH
n−1
.
Passando ao limite quando k → ∞, usando o Teorema da Convergˆencia Dominada obte-
mos (3.17); o que completa a prova.
Teorema 3.33. Seja U um conjunto aberto, limitado, com fronteira ∂U Lipschitz. Se
f ∈ BV (U), ent˜ao para H
n−1
quase todo x ∈ ∂U,
T f(x) = lim
r→0
1
L
n
(B(x, r) ∩ U))
B(x,r)∩U
fdy.
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 2, p.181.
41
Cap´ıtulo 4
Campos de Medida Divergente
Nesse cap´ıtulo passaremos a estudar uma nova classe de espa¸cos vetoriais L
∞
os quais
chamaremos de Campos de Medida Divergente, conforme fora introduzido por Chen &
Frid [6]. De modo formal, os campos DM s˜ao campos vetoriais em L
∞
cujos divergente
s˜ao medidas de Radon. A motiva¸c˜ao para estudar esses tipos de campos est´a em analisar
as solu¸c˜oes entr´opicas em L
∞
de leis de conserva¸c˜ao hiperb´olica n˜ao linear c omo podemos
ver em [6], [7] e [8].
Muitos dos resultados para campos DM s˜ao an´alogos para fun¸c˜oes de varia¸c˜ao limi-
tada, como podemos ver em [12], [16] ou [23]. Al´em disso, por completude, a regra do
produto e a no¸c˜ao de deforma¸c˜ao Lipschitz ser˜ao apresentadas conforme introduzidas por
Chen & Frid [6], assim como o tra¸co normal para deforma¸c˜oes Lipschitz. Essa classe de
campos vetoriais foi inicialmente estudado por Anzelloti [3].
4.1 Defini¸c˜ao e Exemplos
Doravante neste cap´ıtulo, assuma que U sej a um conjunto aberto do R
n
.
Defini¸c˜ao 4.1. Dizemos que F ∈ L
∞
(U; R
n
) ´e um campo de medida divergente em U,
e denotamos por F ∈ DM(U), se div F no sentido das distribui¸c˜oes ´e uma medida de
Radon (finita) em U.
Em outras palavras, F ∈ DM(U) se, somente se, existe uma medida denotada por
42
div F em M(U) finita tal que
U
F · ∇φ dx = −
U
φ div F
para toda φ ∈ C
1
c
(U); onde ∇φ ´e no sentido usual.
Defini¸c˜ao 4.2. Dizemos que F ´e um campo de medida de divergente local em U se
F ∈ DM(V ) para todo conjunto aberto V ⊂⊂ U. O espa¸co de tais fun¸c˜oes ´e denotado
por DM
loc
(U).
Exemplo 4.3.
´
E facil ver que o campo suave
F (x, y) =
sin
1
x − y
, sin
1
x − y
pertence a DM(R
2
). De fato, como o divergente no sentido usual ´e igual zero, isto ´e,
div F = 0, ent˜ao F ∈ DM(R
2
). Observemos a impossibilidade de fornecer alguma no¸c˜ao
razo´avel para o tra¸co sobre a reta x = y.
Agora, introduziremos alguma nota¸c˜ao: para toda F ∈ L
∞
(U; R
n
), seja
||div F ||(U) := sup
U
F · ∇φ dx : φ ∈ C
1
c
(U; R), |φ| ≤ 1
.
O pr´oximo teorema ir´a nos fornecer um crit´erio para caracterizar os campos em DM(U),
compare com o Teorema (3.19).
Teorema 4.4. Seja F ∈ L
∞
(U; R
n
). Ent˜ao F ∈ DM(U) se, e somente se,
||div F ||(U) < ∞.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que F seja uma campo de medida divergente. Fixemos
φ ∈ C
1
c
(U), |φ| ≤ 1, ent˜ao temos que
−
U
F · ∇φ dx =
U
φ div F < ∞
Tomando o supremo com rela¸c˜ao a φ, obtemos ||div F ||(U) < ∞. Reciprocamente,
definimos um operador linear L : C
1
c
(U) −→ R por
L(φ) := −
U
F · ∇φ dx
43
para toda φ ∈ C
1
c
(U). Observemos que |L(φ)| ≤ ||div F ||(U)||φ||
L
∞
. Fixemos um
conjunto compacto K ⊂ U, e seja V um conjunto aberto V tal que K ⊂ V ⊂⊂ U. Para
cada φ ∈ C
c
(U) com spt(φ) ⊂ K, existe uma seq¨uˆencia φ
k
∈ C
1
c
(V ), k = 1, . . . , tal que
φ
k
→ φ uniformente em V . Definimos
L(φ) := lim
k→∞
L(φ
k
), para todo φ ∈ C
c
(U). Pela
desigualdade |L(φ)| ≤ ||div F ||(U)||φ||
L
∞
, vemos que
L est´a bem-definido e, ainda, pode
ser estendida ao operador linear
L : C
c
(U) −→ R tal que
sup{
L(φ) : φ ∈ C
c
(U), |φ| ≤ 1, spt(φ) ⊂ K} < ∞.
Finalmente, pelo Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz, existe uma ´unica medida de Radon
µ tal que
L(φ) :=
U
φ dµ. (4.1)
Portanto, F ´e uma campo de medida divergente, isto ´e, F ∈ DM(U).
Seja F ∈ DM(U). Pela demonstra¸c˜ao do Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz
(2.27); temos que ||div F || ´e uma medida de varia¸c˜ao. Al´em disso, uma distribui¸c˜ao
L : C
∞
c
(U) −→ R definida por (4.1) ´e uma medida (ou melhor pode ser estendida a uma
medida) se, e somente se, sup{L(φ) : φ ∈ C
∞
c
(U), |φ| ≤ 1, spt(φ) ⊂ K} < ∞ para
todo conjunto compacto K ⊂ U. Neste caso, podemos identificar a medida de Radon
µ = div F com a distribui¸c˜ao associada L, ent˜ao para toda φ ∈ C
∞
c
(U) escreveremos,
div F
U
, φ
=
U
φ dµ = −
U
F · ∇φ dx.
Al´em disso, podemos verificar que o espa¸co DM(U) ´e um espa¸co vetorial normado equi-
pado com a norma:
||F ||
DM(U )
:= ||F ||
L
∞
(U;R
n
)
+ ||divF ||(U).
No Teorema (4.9) mostraremos que essa norma faz de DM(U) um espa¸co de Banach.
Agora, observe que, pelo teorema anterior, o espa¸co DM(U) pode ser caracterizado como
o conjunto de campos F ∈ L
∞
(U; R
n
) tal que a norma ||F ||
DM(U )
< ∞.
4.2 Propriedades Elementares em DM
Agora, estamos interessados em algumas propriedades de convergˆencia de campos DM.
Os resultados que veremos s˜ao an´alogos para fun¸c˜oes de varia¸c˜ao limitada e suas demons-
44
tra¸c˜oes est˜ao baseadas em [12], [16] e [23], e foram realizadas em Chen & Frid [6].
Teorema 4.5 (Semi-Continuidade Inferior). Se F
k
∈ DM(U), k = 1, 2, . . . , e F
k
→ F
em L
1
loc
(U). Ent˜ao F ∈ DM(U) e
||divF ||(U) ≤ lim inf
k→∞
||divF
k
||(U).
Demonstra¸c˜ao. Fixemos φ ∈ C
1
c
(U; R), |φ| < 1. Ent˜ao pelo Lema de Fatou (2.16),
U
F · ∇φdx = lim
k→∞
U
F
k
· ∇φdx ≤ lim inf
k→∞
||divF
k
||(U).
Portanto, ||divF ||(U) ≤ lim inf
k→∞
||divF
k
||(U).
O resultado anterior ´e usualmente chamado de Semi-continuidade Inferior; algo que
´e realmente similar para fun¸c˜oes BV ; compare com o Teorema (3.28). Vejamos agora
algumas conseq¨uˆencias do Teorema (4.5), os quais foram provados em Chen & Frid [6].
Contudo, seguiremos aqui os passos an´alogos a [23].
Teorema 4.6. Se F
k
∈ DM(U), k = 1, 2, . . . , tal que F
k
→ F em L
1
loc
(U) e
lim
k→∞
||divF
k
||(U) = ||divF ||(U).
Ent˜ao para todo conjunto aberto A ⊂ U,
lim sup
k→∞
||divF
k
||(
¯
A ∩ U) ≤ ||divF ||(
¯
A ∩ U).
Demonstra¸c˜ao. Ponha B = U −
¯
A, pelo Teorema (4.5),
||divF ||(A) ≤ lim inf
k→∞
||divF
k
||(A); e ||divF ||(B) ≤ lim inf
k→∞
||divF
k
||(B).
Portanto,
||divF ||(
¯
A ∩ U)|| + ||divF ||(B) = ||divF ||(U)
≥ lim
k→∞
||divF
k
||(U)
≥ lim sup
k→∞
||divF
k
||(
¯
A ∩ U) + lim inf
k→∞
||divF
k
||(B)
≥ lim sup
k→∞
||divF
k
||(
¯
A ∩ U) + ||divF ||(B).
Como F ∈ DM(U), segue que ||divF ||(B) < ∞ e, consequentemente,
lim sup
k→∞
||divF
k
||(
¯
A ∩ U) ≤ ||divF ||(
¯
A ∩ U),
o que completa a prova.
45
Corol´ario 4.7. Se F
k
∈ DM(U), k = 1, 2, . . . , tal que F
k
→ F em L
1
loc
(U),
lim
k→∞
||divF
k
||(U) = ||divF ||(U)
e ||divF ||(∂A ∩ U) = 0 para todo conjunto aberto A ⊆ U. Ent˜ao
||divF ||(A) = lim
k→∞
||divF
k
||(A).
Demonstra¸c˜ao. Fixe um conjunto aberto A ⊆ U. Ent˜ao
||divF ||(A) ≤ lim inf
k→∞
||divF
k
||(A) (pelo Teorema (4.5))
≤ lim sup
k→∞
||divF
k
||(A ∩U)
≤ lim sup
k→∞
||divF
k
||(A) + lim sup
k→∞
||divF
k
||(∂A ∩U)
≤ ||divF ||(A) + ||divF ||(∂A ∩U) (pelo Teorema (4.6)).
Como ||divF ||(∂A ∩ U) = 0, o resultado segue.
Um outra conseq¨uˆencia interessante da Semi-continuidade Inferior ´e o teorema abaixo.
Teorema 4.8. O espa¸co de Medida Divergente DM(U) ´e um espa¸co de Banach.
Demonstra¸c˜ao. Seja {F
k
}
∞
k=1
uma seq¨uˆencia de Cauchy em DM(U), segue que {F
k
}
∞
k=1
´e uma seq¨uˆencia de Cauchy em L
∞
(U). Como L
p
(U) ´e completo, existe F ∈ L
∞
(U)
tal que F
k
→ F em L
∞
(U). Pelo Teorema (4.5), F ∈ DM(U). Agora, sabendo que
||div(F
k
− F
l
)|| → 0 quando k, l → ∞ ; novamente pelo Teorema (4.5),
||div(F
k
− F )||(U) ≤ lim inf
l→∞
||div(F
k
− F
l
)||(U).
Portanto, passando ao limite quando k → ∞ segue que F
k
→ F em DM(U); logo o
espa¸co de Medida Divergente ´e um espa¸co de Banach.
4.3 Aproxima¸c˜ao
Nessa s e¸c˜ao, vamos mostrar alguns resultados sobre aproxima¸c˜oes para campos DM(U)
cujas demonstra¸c˜oes foram realizadas em Chen & Frid [6]. Aqui, seguiremos os passos
an´alogos a [12] e [16] para as fun¸c˜oes BV .
46
Teorema 4.9. Seja F ∈ DM(U). Se F tem suporte compacto em U, ent˜ao existe
F
k
∈ DM(U) ∩ C
∞
(U), k = 1, 2, . . . , tal que:
lim
k→∞
||divF
k
||(U) = ||divF ||(U).
Demonstra¸c˜ao. Fixe ε > 0. Definemos
F
ε
= η
ε
∗ F.
Como F
ε
→ F em L
1
(U) segue, pelo Teorema (4.6), que ´e suficiente mostrar que
lim sup
ε→0
||divF
ε
||(U) ≤ ||divF ||(U).
Seja φ ∈ C
1
c
(U; R), |φ| ≤ 1,
U
F
ε
· ∇φdx =
U
F · (∇φ)
ε
dx =
U
F · ∇φ
ε
dx. (4.2)
Agora, como |φ
ε
| ≤ 1, pois |φ| ≤ 1, e spt(φ
ε
) ⊆ U
ε
= {x : dist(x, U) < ε}, pois
spt(φ) ⊆ U, segue que
U
F
ε
· ∇φdx =
U
F · ∇φ
ε
dx ≤ ||divF ||(U
ε
). (4.3)
Agora, tomando o supremo em rela¸c˜ao a φ em (4.3), vemos que
||divF
ε
||(U) ≤ ||divF ||(U
ε
).
Portanto,
lim sup
ε→0
||divF
ε
||(U) ≤ lim
ε→0
||divF ||(U
ε
) = ||divF ||(U),
o que completa a prova
Teorema 4.10. Seja F ∈ DM(U). Ent˜ao existe F
k
∈ DM(U) ∩ C
∞
(U), k = 1, 2, . . . ,
tal que F
k
→ F em L
1
(U) e
lim
k→∞
||divF
k
||(U) = ||divF ||(U).
Demonstra¸c˜ao. Fixe ε > 0. Tendo em vista o Teorema (4.5) ´e suficiente mostrar que
||F
ε
− F ||
L
1
(U)
< ε e lim sup
ε→0
||divF
k
||(U) ≤ ||divF
k
||(U). Assim, para cada inteiro
positivo m, defina os conjuntos abertos
U
k
≡
x ∈ U : dist(x, ∂U) >
1
m + k
∩ B(0; k + m) (k = 1, . . . )
47
e ent˜ao podemos escolher m suficientemente grande de modo que ||divF ||(U − U
1
) < ε.
Agora, seja U
0
≡ ∅ e defina V
k
:= U
k+1
− U
k−1
para k = 1, . . . e considere {ξ
k
}
∞
k=1
uma
parti¸c˜ao da unidade subordinada a cobertura V
k
, k = 1, . . . , isto ´e,
ξ
k
∈ C
∞
c
(V
k
), 0 ≤ ξ
k
≤ 1, (k = 1, . . . )
∞
k=1
ξ
k
= 1 sobre U.
Assim, para cada k, existe ε
k
> 0 suficientemente pequeno tal que
spt(η
ε
k
∗ (F ξ
k
)) ⊂ V
k
; (4.4)
U
|η
ε
k
∗ (F ξ
k
) − F ξ
k
|dx <
ε
2
k
; e (4.5)
U
|η
ε
k
∗ (F ·∇ξ
k
) − F ·∇ξ
k
|dx <
ε
2
k
. (4.6)
Defina
F
ε
=
∞
k=1
η
ε
k
∗ (F ξ
k
). (4.7)
Por (4.4), a soma (4.7) ´e localmente finita; portanto, F
ε
∈ C
∞
(U) . Como tamb´em,
F =
∞
k=1
F ξ
k
e (4.7), implica que
||F
ε
− F || ≤
∞
k=1
U
|η
ε
k
∗ (F ξ
k
) − F ξ
k
|dx <
∞
k=1
ε
2
k
= ε,
o que prova a primeira afirma¸c˜ao. Agora, fixe φ ∈ C
1
c
(U), |φ| ≤ 1, temos que
U
F
ε
· ∇φdx =
∞
k=1
U
η
ε
k
∗ (F ξ
k
) · ∇φdx
=
∞
k=1
U
U
η
ε
k
(x − y)F ξ
k
(y)dy
· ∇φ(x)dx
=
∞
k=1
U
U
η
ε
k
(x − y)∇φ(x)dx
· F ξ
k
(y)dy
=
∞
k=1
U
η
ε
k
∗ (∇φ) ·F ξ
k
dx
=
∞
k=1
U
F · ∇(η
ε
k
∗ φ)ξ
k
dx
=
∞
k=1
U
F · ∇((η
ε
k
∗ φ)ξ
k
)dx −
∞
k=1
U
η
ε
k
∗ (F ·∇ξ
k
)φdx.
48
Usando o fato que
∞
k=1
∇ξ
k
= 0 em U temos que,
U
F
ε
· ∇φdx =
∞
k=1
U
F · ∇((η
ε
k
∗ φ)ξ
k
)dx
−
∞
k=1
U
η
ε
k
∗ (F ·∇ξ
k
− F ·∇ξ
k
)φdx
= I
ε
1
+ I
ε
2
.
Como |ξ
k
(η
ε
k
∗φ)| ≤ 1, k = 1, . . . e cada ponto de U pertence a no m´aximo trˆes conjuntos
V
k
, k = 1, . . . . Assim,
|I
ε
1
| =
∞
k=1
U
F · ∇((η
ε
k
∗ φ)ξ
k
)dx
=
U
F · ∇((η
ε
1
∗ φ)ξ
k
)dx +
∞
k=2
U
F · ∇(η
ε
k
∗ φ)ξ
k
)dx
≤ ||divF ||(U) + 3||divF ||(U − U
1
)
< ||divF ||(U) + 3ε.
Por outro lado, por (4.6), |I
ε
2
| < ε, logo
U
F
ε
· ∇φ dx ≤ ||divF ||(U) + 4ε.
Portanto, temos que lim sup
ε→0
||divF
ε
||(U) ≤ ||divF ||(U), o que completa a prova da
segunda afirma¸c˜ao.
Observa¸c˜ao 4.11. Para toda F ∈ D M(U) ∩ C
∞
(U) temos que
||div F ||(U) =
U
|div F |dx,
e consequentemente ||div F || = L
n
|div F
k
|. De fato, fixemos φ ∈ C
1
c
(U), |φ| ≤ 1,
U
F · ∇φ dx = −
U
φ div F dx ≤
U
|div F |dx
Por outro lado, para ver a desigualdade oposta escolha φ =
div F
||div F ||
, se div F = 0. Agora,
pelo Teorema (4.10), existe F
k
∈ C
∞
(U; R
n
) tal que F
k
→ F em L
1
(U) e
lim
k→∞
U
|div F
k
|dx = ||div F ||(U).
Al´em disso, vemos que L
n
|div F
k
| ||div F || em M(U). De fato, fixemos φ ∈ C
c
(U),
U
φ|div F
k
|dx −
U
φ d||div F ||
≤ C
U
|div F
k
|dx −
U
d||div F ||
.
49
Passando ao limite quando k → ∞, o resultado segue. Agora, se V ´e um conjunto aberto
de U tal que ||div F ||(∂V ∩ U) = 0, segue pelo Corol´ario (4.8),
lim
k→∞
V
|div F
k
|dx = ||div F ||(V ).
de modo que L
n
|div F
k
| ||div F || em M(V ).
Corol´ario 4.12. Seja F ∈ DM(U). Se F
k
∈ C
∞
(U), k = 1, . . . , ´e como no Teorema
(4.10). Ent˜ao L
n
div F
k
div F em M(R
n
).
Demonstra¸c˜ao. Fixe φ ∈ C
1
c
(R
n
) e ε > 0. C omo na demonstra¸c˜ao do Te orema (4.10),
para todo inteiro positivo m, defina o conjunto aberto
U
1
=
x ∈ ∂U : dist(x, ∂U) >
1
m + 1
∩ B(0; m + 1).
e ent˜ao escolhendo m suficientemente grande de modo que ||div F ||(U − U
1
) < ε. Seja ζ
uma fun¸c˜ao suave tal que ζ ≡ 1 em U
1
, spt(ζ) ⊂ U e 0 ≤ ζ ≤ 1. Ent˜ao
R
n
φ div F
k
dx −
R
n
φ div F
≤
−
U
∇(ζφ) · F
k
dx −
U
φ div F
+
U−U
1
|ζ − 1||φ||div F
k
|dx
≤
−
U
∇(ζφ) · F
k
dx −
U
φ div F
+ C||div F
k
||(U − U
1
)
Pelo Teorema (4.5),
R
n
φ div F
k
dx −
R
n
φ div F
≤
≤ lim inf
k→∞
−
U
∇(ζφ) · F
k
dx −
U
φ div F
+ Cε
≤
−
U
∇(ζφ) · F dx −
U
φ div F
+ Cε
≤
U
ζφ div F −
U
φ div F
+ Cε
≤
U−U
1
(ζ − 1)φ div F
+ Cε
≤ C||div F ||(U − U
1
) + Cε ≤ 2Cε.
Logo, L
n
div F
k
div F em M(R
n
).
Nota 4.13. Por abuso de nota¸c˜ao, escreveremos div F
k
div F em M(R
n
) para con-
vergˆencia do Corol´ario (4.12).
50
4.4 Regra do Produto
O resultado a seguir, que p ode ser encontrado em Chen & Frid [6], s er´a ´util no pr´oximo
cap´ıtulo para provar o teorema mais significativo de Che n & Torres [9].
Teorema 4.14. Seja g ∈ BV (U) ∩ L
∞
(U) e F ∈ DM(U). Ent˜ao
gF ∈ DM(U).
Al´em disso, se g ´e localmente Lipchitz, ent˜ao
div (gF ) = g div F + F · ∇g.
Demonstra¸c˜ao. Fixe g ∈ BV (U)∩L
∞
(U) e F ∈ DM(U). Pelo Teorema (4.10), podemos
escolher uma seq¨uˆencia {F
k
}
∞
k=1
em DM(U) ∩ C
∞
(U) tal que
F
k
→ F em L
1
(U) e ||div F
k
||(U) → ||div F ||(U). (4.8)
Analogamente, usando o Teorema (3.29), podemos escolher uma seq¨uˆencia {g
k
}
∞
k=1
em
BV (U) ∩ C
∞
(U) tal que
g
k
→ g em L
1
(U) e ||∇g
k
||(U) → ||∇g||(U). (4.9)
Note que por (4.8) e (4.9), temos que g
k
F
k
→ gF em L
1
(U). Ainda, obtemos a seguinte
desigualdade,
U
|div (g
k
F
k
)|dx = sup
U
g
k
F
k
· ∇φ dx : φ ∈ C
1
c
(U), |φ| ≤ 1
≤ ||g
k
||
L
∞
sup
U
F
k
· ∇φ dx : φ ∈ C
1
c
(U), |φ| ≤ 1
+||F
k
||
L
∞
sup
U
∇g
k
· φ dx : φ ∈ C
1
c
(U; R
n
), |φ| ≤ 1
≤ 3||g||
L
∞
||div F
k
||(U) + 3||F||
L
∞
||∇g
k
||(U).
A primeira desigualdade segue considerando a fun¸c˜ao teste como g
k
φ/||g
k
||
L
∞
para φ ∈
C
1
c
(U), |φ| ≤ 1. E a segunda usando o fato que por constru¸c˜ao ||g
k
||
L
∞
≤ 3||g||
L
∞
e
||F
k
||
L
∞
≤ 3||F ||
L
∞
. Consequentemente, para qualquer φ ∈ C
1
c
(U) com |φ| ≤ 1, temos
U
g
k
F
k
· ∇φ dx ≤
U
|div (g
k
F
k
)|dx
≤ 3||g||
L
∞
||div F
k
||(U) + 3||F||
L
∞
||∇g
k
||(U)
51
Passando ao limite quando k → ∞ segue, por (4.8) e (4.9), que ||div (gF )||(U) < ∞ e
U
g F · ∇φ dx ≤ 3||g||
L
∞
||div F ||(U) + 3||F ||
L
∞
||∇g||(U).
Como g F ∈ L
∞
(U; R
n
), temos que gF ∈ DM(U) o que mostra a primeira afirma¸c˜ao.
Agora, sabemos pelo Corol´ario (4.12) que div F
k
div F em M(R
n
). Consequente-
mente, se g ´e uma fun¸c˜ao Lipschitz sobre todos os compactos em U, ent˜ao
g div F
k
g div F em M(U). (4.10)
De fato, fixe φ ∈ C
c
(U) ent˜ao
U
φ g div F
k
−
U
φ g div F
≤ ||g||
L
∞
U
φ div F
k
−
U
φ div F
.
Novamente, usando o Corol´ario (4.12), passando ao limite quando k → ∞, obtemos a
afirma¸c˜ao. Al´em disso, afirmamos tamb´em que
F
k
· ∇g F · ∇g em M(U). (4.11)
De fato, fixe φ ∈ C
c
(U) ent˜ao
U
φ F
k
· ∇g dx −
U
F · ∇g dx
≤ C||∇g||
L
∞
U
|F
k
− F |dx.
Passando ao limite quando k → ∞, obtemos a afirma¸c˜ao. Consequentemente,
g div F
k
+ F
k
· ∇g g div F + F · ∇g em M(U).
Por outro lado, temos que div(gF
k
) div(gF ) no sentido das distribui¸c˜oes; tendo em
vista que div(gF
k
) div(gF ) em M(R
n
). Finalmente, podemos escolher g
k
∈ C
∞
c
(U),
k = 1, . . . tal que g
k
→ g em L
1
(U) e considere a seguinte identidade
div (g
k
F
k
) = g
k
div F
k
+ F
k
· ∇g
k
.
Agora, multiplicando por φ ∈ C
∞
c
(U) e integrando em U e depois passando ao limite
quando k → ∞, obtemos
U
φ div (gF ) =
U
φ g div F +
U
φ F · ∇g dx.
Portanto, obtemos que div (gF ) = g div F + F · ∇g.
52
4.5 Deforma¸c˜oes Lipschitz
Seja F ∈ DM(U) e fixaremos um representante preciso de F
∗
do seguinte modo. Pelo
Teorema (4.10), existe F
k
∈ C
∞
(U), k = 1, . . . , tal que
F
k
→ F em L
1
(U). (4.12)
Considere N o conjunto de medida nula que cont´em todos os pontos que n˜ao s˜ao de
Lebesgue. Agora, definiremos o representante preciso por
F
∗
(x) :=
F (x), x ∈ U − N
0, x ∈ N
Em particular, F
∗
´e Borel mensur´avel; pois ´e o limite pontual de fun¸c˜oes suaves em
U − N. Doravante, passaremos a identificar F
∗
por F .
No que se segue, apresentaremos as defini¸c˜oes de fronteira Lipschitz deform´avel e de
deforma¸c˜ao Lipschitz conforme definidos em Chen & Frid [6].
Defini¸c˜ao 4.15. Seja Ω um conjunto aberto do R
n
. Dizemos que ∂Ω ´e uma fronteira
Lipschitz deform´avel se
1. ∂Ω ´e Lipschitz; e
2. existe uma aplica¸c˜ao ψ : ∂Ω×[0, 1] −→ Ω tal que ψ ´e um homeomorfismo bi-Lischitz
sobre a imagem e ψ(·, 0) = id, onde id ´e aplica¸c˜ao identidade sobre ∂Ω.
Ainda, a aplica¸c˜ao ψ : ∂Ω × [0, 1] −→ Ω ´e a chamada uma deforma¸c˜ao Lipschitz de ∂Ω.
✻
∂U
τ
ψ
τ
∂U
Figura 4.1: Uma Deforma¸c˜ao Lipschitz
53
Fixaremos agora alguma nota¸c˜ao:
Nota¸c˜ao 4.16. .
1. Seja ∂Ω
τ
= ψ(∂Ω × {τ}) = ψ
τ
(∂Ω), τ ∈ [0, 1] e seja Ω
τ
o subconjunto aberto de Ω
cuja fronteira ´e ∂Ω
τ
.
2. Seja γ : x
→ (x
, γ(x
)), onde γ ´e dado na defini¸c˜ao de fronteira Lipschitz, e para
todo τ ∈ [0, 1], seja a aplica¸c˜ao cont´ınua ψ
τ
: ∂Ω −→ Ω definido por ψ
τ
(x) :=
ψ(x, τ).
Defini¸c˜ao 4.17. Dizemos que a deforma¸c˜ao Lipschitz ψ ´e regular se
lim
τ→0+
∇ψ
τ
◦ γ = ∇γ em L
1
loc
(B)
onde B ´e o maior conjunto aberto tal que γ(B) ⊂ ∂Ω.
Doravante, seja Ω um conjunto aberto de U com fronteira Lipschitz deform´avel e seja
ψ uma deforma¸c˜ao Lipschitz de ∂Ω.
Proposi¸c˜ao 4.18. Seja F ∈ DM(U). Se F
k
∈ C
∞
(U), k = 1, . . . , ´e como no Teorema
(4.10). Ent˜ao existe um conjunto I ⊂ [0, 1] com meas([0, 1] − I) = 0 tal que para todo
τ ∈ I, F
k
→ F H
n−1
quase sempre em ∂Ω
τ
.
Demonstra¸c˜ao. Seja N o conjunto de medida nula como na defini¸c˜ao do represetante
preciso e seja A = ψ(∂Ω × [0, 1]). Defina
h(y) :=
τ, y ∈ ∂Ω
τ
1, y ∈ U − A
0, y /∈ U.
Consequentemente, por defini¸c˜ao, h ´e uma aplica¸c˜ao Lipschitz e note que h
−1
({τ}) = ∂Ω
τ
.
Pela F´ormula de Mudan¸ca de Vari´avel temos:
0 =
R
n
X
N ∩A
(y) Jh(y) dy
=
1
0
h
−1
({τ})∩A
X
N
(w)dH
n−1
(w)dτ.
Ent˜ao, para quase todo τ ∈ [0, 1] temos que
h
−1
({τ})
X
N
(w)dH
n−1
(w) = 0.
54
Logo, existe I ⊂ [0, 1] com meas([0, 1] − I) = 0; vamos provar que para todo τ ∈ I,
F
k
→ F H
n−1
quase sempre em ∂Ω
τ
. Fixe τ ∈ I, e seja x ∈ ∂Ω
τ
um ponto de Lebesgue,
ent˜ao F
k
(x) → F (x) H
n−1
quase sempre. Por outro lado, se x ∈ ∂Ω
τ
n˜ao ´e ponto de
Lebesgue, isto ´e, x ∈ N ∩∂Ω
τ
; afirmamos que H
n−1
(∂Ω
τ
) = H
n−1
(∂Ω
τ
−N). De fato,
para quase todo τ ∈ (0, 1) temos que
H
n−1
(N ∩ ∂Ω
τ
) =
R
n
X
N ∩Ω
τ
(w)dH
n−1
(w)
=
h
−1
({τ})
X
N
(w)dH
n−1
(w) = 0.
Portanto, existe I ⊂ [0, 1] com meas([0, 1] − I) = 0 tal que para todo τ ∈ I, F
k
→ F
H
n−1
quase sempre em ∂Ω
τ
.
Proposi¸c˜ao 4.19. Seja F ∈ DM(U). Ent˜ao existe um conjunto enumer´avel J ⊂ (0, 1)
tal que ||div F ||(∂Ω
τ
) = 0 para todo τ ∈ (0, 1) − J.
Demonstra¸c˜ao. Como ∂Ω
τ
1
∩∂Ω
τ
2
= ∅, se τ
1
= τ
2
, com τ
1
, τ
2
∈ (0, 1); ent˜ao a cardinali-
dade do conjunto
J
n
:=
τ ∈ (0, 1) : ||div F ||
∂Ω
τ
∩ B(0, n)
>
1
n
´e finita, para cada inteiro positivo n. De fato, suponha que a cardinalidade seja infinita
para algum inteiro n; logo existe uma seq¨uˆencia {τ
k
}
∞
k=1
em (0, 1) tal que {∂Ω
τ
k
}
∞
k=1
´e
uma seq ¨uˆencia de conjuntos dois a dois disjuntos, e ||div F ||(B(0, n) ∩ ∂Ω
τ
k
) > 1/n.
Como B[0, n] ⊇
∞
k=1
∂Ω
τ
k
∩ B(0, n), para todo inteiro positivo m ent˜ao
||div F ||(B[0, n]) ≥
∞
k=1
||div F ||(B(0, n) ∩ ∂Ω
τ
k
) >
∞
k=1
1
n
.
Uma contradi¸c˜ao; tendo em vista que ||div F || ´e uma medida de Radon. Potanto, defi-
namos J =
∞
n=1
J
n
, e note que J ´e um conjunto enumer´avel tal que ||div F ||(∂Ω
τ
) = 0
para todo τ ∈ J.
Teorema 4.20. Seja F ∈ DM(U). Sejam I, J ⊂ (0, 1) como nas proposi¸c˜oes anteriores
e I
∗
= I − J. Ent˜ao, para todo τ ∈ I
∗
, e toda φ ∈ C
1
c
(R
n
),
div F |
Ω
τ
, φ
=
∂Ω
τ
φ(w)F (w) · ν
τ
(w)dH
n−1
−
Ω
τ
F (y) · ∇φ(y) dy (4.13)
onde ν
τ
´e um campo normal unit´ario exterior definido H
n−1
em quase sempre em ∂Ω
τ
.
55
Demonstra¸c˜ao. Assumiremos que Ω ´e um conjunto limitado
1
de U. Seja uma seq¨uˆencia
F
k
∈ C
∞
(U; R
n
) dada pelo Teorema (4.10). Seja τ ∈ I
∗
e tome um inteiro n tal que
τ >
1
n
. Ent˜ao, pela F´ormula de Gauss-Green Cl´assica, temos
Ω
τ
φ div F
k
dx =
∂Ω
τ
φ(w)F
k
(w) · ν
τ
(w)dH
n−1
−
Ω
τ
F
k
(y) · ∇φ(y)dy (4.14)
para toda φ ∈ C
1
c
(R
n
). Como τ ∈ I, o lado direito de (4.14) converge ao lado direito
de (4.13), onde a Proposi¸c˜ao (4.18) ´e usada na convergˆencia do primeiro termo. Agora,
para k suficientemente grande temos
F
k
(x) = η
ε
k
∗ (F ϕ
k
)(x), x ∈ Ω
1/n
(4.15)
onde ε
k
→ 0 quando k → ∞, e ϕ
k
∈ C
∞
c
(U) tal que ϕ
k
≡ 1 em Ω
1/n
. Denotaremos por
µ
k
o divergente do lado direito de (4.15). Ent˜ao µ
k
= div F
k
sobre C
c
(Ω
1/n
), e
µ
k
div F em M(Ω
1/n
). (4.16)
Agora, visto como uma medida de Radon (com sinal) µ
k
, k = 1, . . . , ´e uniformente
limitada. Consideremos uma decomposi¸c˜ao de Jordan µ
k
= µ
k
+
− µ
k
−
, onde µ
k
+
e µ
k
−
s˜ao medidas de Radon n˜ao negativas, que tamb´em s˜ao uniformente limitadas sobre o
R
n
. Ent˜ao passando a uma subseq¨uˆencia se necess´ario podemos assumir que existam
µ
+
, µ
−
∈ M(R
n
) tais que
µ
k
+
µ
+
, µ
k
−
µ
−
em M(R
n
).
Em particular, n´os temos que µ
+
− µ
−
= div F em M(Ω
1/n
), por causa de (4.16).
Escrevendo µ = µ
+
− µ
−
em M(Ω
1/n
), afirmamos que µ(∂Ω
τ
) = 0. De fato, fixe δ > 0 e
defina
A
δ
= Ω
τ−δ
− Ω
τ+δ
e A
2δ
= Ω
τ−2δ
− Ω
τ+2δ
com
1
n
< τ − 2δ < τ + 2δ < 1. Conseq¨uentemente,
µ
+
(A
δ
) ≤ lim inf
k→∞
µ
k
+
(A
δ
)
≤ lim sup
k→∞
||div F
k
||(A
δ
)
≤ ||div F ||(A
δ
) (pela Proposi¸c˜ao (4.6))
≤ ||div F ||(A
2δ
).
1
N˜ao h´a perda de generalida, uma vez que φ ∈ C
1
c
(R
n
).
56
Passando ao limite quando δ → 0, temos que µ
+
(∂Ω
τ
) = 0, e analogamente µ
−
(∂Ω
τ
) = 0
de onde segue a afirma¸c˜ao. Portanto, para τ ∈ I
∗
, temos
lim
k→∞
µ
k
+
(Ω
τ
) = µ
+
(Ω
τ
) e lim
k→∞
µ
k
−
(Ω
τ
) = µ
−
(Ω
τ
)
Consequentemente, para τ ∈ I
∗
,
lim
k→∞
div F
k
(Ω
τ
) = lim
k→∞
(µ
k
+
(Ω
τ
) − µ
k
−
(Ω
τ
))
= (µ
+
(Ω
τ
) − µ
−
(Ω
τ
))
= div F (Ω
τ
)
Mais geralmente, o mesmo argumento implica que
lim
k→∞
(φ div F
k
)(Ω
τ
) = (φ div F )(Ω
τ
)
para todo τ ∈ I
∗
e qualquer φ ∈ C
1
c
(R
n
). Portanto, o lado esquerdo de (4.14) converge
ao lado esquerdo de (4.13). O que completa a prova.
Agora, us aremos (4.13) para definir o tra¸co de F atrav´es de ∂Ω de modo que (4.13) seja
satisfeta para τ = 0, isto ´e, que a F´ormula de Gauss-G reen seja satisfeita para qualquer
conjunto aberto com f ronteira Lipschitz deform´avel. De modo espec´ıfico, dado um campo
normal ν definido H
n−1
em quase todo ∂Ω, definimos F · ν como uma uma medida
de Radon sobre ∂Ω (realmente um elemento de L
∞
(∂Ω)) da seguinte maneira: usando
uma deforma¸c˜ao Lipschitz ψ para ∂Ω podemos considerar qualquer fun¸c˜ao φ ∈ C
c
(∂Ω)
como um elemento de C
c
(∂Ω
τ
) atrav´es da aplica¸c˜ao φ → φ ◦ ψ
−1
τ
. Reciprocamente,
podemos considerar qualquer fun¸c˜ao φ ∈ C
c
(∂Ω
τ
) como um elemento de C
c
(∂Ω) atrav´es
da aplica¸c˜ao φ → φ ◦ψ
τ
. Agora, uma vez que F ·ν ´e definido H
n−1
em quase todo ∂Ω
τ
,
para τ ∈ I
∗
, com I
∗
dado no Teorema (4.20). Ent˜ao definimos
F · ν|
∂Ω
:= w − lim
t→0,τ∈I
∗
F · ν
τ
em M(∂Ω) (4.17)
O pr´oximo teorema ir´a justificar (4.17).
Teorema 4.21 (F´ormula de Gauss-Green para campos DM). Seja F ∈ DM(U) e seja Ω
um conjunto aberto de U com fronteira Lipschitz deform´avel. Ent˜ao o limite (4.17) existe
quando F ·ν
τ
´e considerado como uma medida de Radon sobre ∂Ω atrav´es da f´ormula
F · ν
τ
, φ
=
∂Ω
τ
φ(ψ
−1
τ
(w))F (w) · ν
τ
(w)dH
n−1
(w) (4.18)
57
onde ψ
τ
: ∂Ω −→ ∂Ω
τ
´e dado por ψ
τ
(w) = ψ(w, τ). Al´em disso, para toda φ ∈ C
1
c
(R
n
),
div F |
Ω
, φ
=
∂Ω
φ(w)F (w) · ν(w)dH
n−1
(w) −
Ω
F (y) · ∇φ(y)dy. (4.19)
Nota 4.22. Usaremos a nota¸c˜ao formal F (w) · ν(w)dH
n−1
(w) ≡ F · ν para a medida
do tra¸co normal, a qual ser´a justificada no Corol´ario (4.23).
Demonstra¸c˜ao. Fixe φ ∈ C
1
c
(R
n
). Ent˜ao pelo Teorema (4.20), para todo τ ∈ I
∗
,
div F |
Ω
τ
, φ
=
∂Ω
τ
φ(w)F (w) · ν
τ
(w)dH
n−1
−
Ω
τ
F (y) · ∇φ(y) dy (4.20)
onde I
∗
´e dado no Teorema (4.20). Como X
Ω
τ
→ X
Ω
pontualmente, e passando ao limite
quando τ → 0 com τ ∈ I, pelo Teorema da Convergˆencia Dominada, o lado esquerdo de
(4.20) converge ao lado direito de (4.19), e o primeiro termo de (4.20) converge ao lado
direito de (4.19). Portanto, o segundo termo de (4.20) converge ao segundo termo do lado
direito de (4.19) quando τ → 0. Como φ
∂Ω
τ
em (4.20) pode ser trocado por φ
∂Ω
◦ ψ
−1
τ
com um erro que converge a zero quando τ → 0, isto ´e,
lim
τ→0
∂Ω
τ
φ(ψ
−1
τ
(w))F.ν
τ
(w)dH
n−1
(w) =
∂Ω
φ(w)F.ν(w)dH
n−1
(w). (4.21)
De fato, como podemos aproximar qualquer fun¸c˜ao φ ∈ C
1
c
(∂Ω) por uma seq¨uˆencia
{φ
k
}
∞
k=1
de fun¸c˜oes de classe C
∞
tal que cada φ
k
´e uma fun¸c˜ao que se anula fora de uma
vizinhan¸ca B
k
⊂⊂ ∂E com B
k
→ ∂E quando k → ∞. Ent˜ao, para τ suficientemente
pequeno, temos
∂Ω
τ
φ(ψ
−1
τ
(w))F · ν
τ
(w)dH
n−1
(w) −
∂Ω
φ(w)F · ν(w)dH
n−1
(w)
≤
∂Ω
τ
|φ(ψ
−1
τ
(w))F · ν
τ
(w) − φ
k
(ψ
−1
τ
(w))F · ν
τ
(w)|dH
n−1
(w)
+
∂Ω
τ
φ
k
(ψ
−1
τ
(w))F · ν
τ
(w) −
∂Ω
φ
k
(w)F · ν(w)dH
n−1
(w)
+
∂Ω
|φ
k
(w)F · ν(w) − φ(w)F · ν(w)|dH
n−1
(w)
= I
τ
1
+ I
τ
2
+ I
τ
3
. (4.22)
58
Agora, usando a F´ormula da
´
Area obtemos:
|I
τ
1
| ≤
∂Ω
τ
|φ(ψ
−1
τ
(w)) − φ
k
(ψ
−1
τ
(w))(F · ν
τ
)(w)|dH
n−1
(w)
≤
∂Ω
|Jψ
τ
||(φ −φ
k
)(w)||F · ν
τ
(ψ
τ
(w))|dH
n−1
(w)
≤ C
∂Ω
τ
|(φ −φ
k
)(w)|dH
n−1
(w)
com |Jψ
τ
| ≤ C e |F · ν
τ
| ≤ C para todo τ > 0 pequeno. Portanto, fixando k e passando
ao limite em (4.22) quando τ → 0, implica que I
τ
2
converge a zero, e depois passando
ao limite em (4.22) quando k → ∞ segue que I
τ
1
e I
τ
3
converge a zero, pois φ
k
→ φ
uniformente em ∂Ω. Logo, vemos que (4.17) existe se φ ´e a restri¸c˜ao de uma fun¸c˜ao em
C
1
c
(R
n
). Como o conjunto de tais fun¸c˜oes ´e denso em C
c
(∂Ω) e as medidas em ∂Ω, dadas
por F · ν
τ
em (4.18), s˜ao uniformente limitadas. Ent˜ao passando a uma subseq¨uˆencia s e
necess´ario, este limite existe para todo φ ∈ C
c
(∂Ω), o que prova (4.17) Agora, podemos
passar ao limite quando τ → 0 em (4.20) para obter a F´ormula de Gauss-Green.
Corol´ario 4.23. Seja F ∈ DM(U). Ent˜ao F · ν n˜ao depende da escolha particular da
deforma¸c˜ao e F · ν H
n−1
∂Ω.
Demonstra¸c˜ao. Como (4.19) n˜ao depende da escolha da deforma¸c˜ao ψ segue que F · ν
tamb´em n˜ao depende. Vamos agora provar que dado A ⊂ ∂Ω ´e um conjunto de Borel
tal que H
n−1
(A) = 0 temos que ||F · ν||(A) = 0. Ainda, ´e suficiente considerar o caso
em que A ´e um conjunto compacto; tendo em vida que ||F ·ν|| ´e uma medida de Radon.
Ent˜ao, dado ε > 0, pela compacidade de A, existe uma cobertura finita de bolas abertas
que cobre A tal que
A ⊂
N
i=1
B(x
i
; r
i
) com r
i
< ε e
H
n−1
N
i=1
B(x
i
; r
i
) ∩ Ω
< ε.
Agora, para todo φ ∈ C
c
∪
N
i=1
B(x
i
; r
i
) ∩ ∂Ω
temos que
∂Ω
τ
φ(ψ
−1
τ
(w))F · ν
τ
(w) dH
n−1
(w) ≤ ||φ||
L
∞
||F ||
L
∞
H
n−1
(∂Ω
τ
)
≤ ||φ||
L
∞
||F ||
L
∞
(Lip ψ)
n−1
H
n−1
(∂Ω) (pelo Teorema (2.37))
≤ ε||φ||
L
∞
||F ||
L
∞
(Lip ψ)
n−1
.
59
Ponha C = (Lip ψ)
n−1
. Passando ao limite quando τ → 0 na desigualdade acima,
obtemos
F · ν; φ
≤ Cε||φ||
L
∞
||F ||
L
∞
, e ent˜ao
|F · ν|(A) ≤ |F · ν|
N
i=1
B(x
i
; r
i
) ∩ Ω
≤ Cε||F ||
L
∞
Portanto, passando ao limite quando ε → 0, o resultado segue
Conv´em observar que para todo campo F ∈ DM(U), onde assumirmos que ∂Ω ⊂ U
e ||div F||(∂Ω) = 0, a densidade F · ν coincide com a fun¸c˜ao F · ν H
n−1
-q.s. em ∂Ω
sempre que H
n−1
(∂Ω ∩ N) = 0; esse fato pode ser provado de maneira an´aloga ao
Teorema (4.20), e se encontra em Chen & Frid [6]. Al´em disso, Chen & Frid [6] mostram
que existe uma constante C > 0 tal que ||F ·ν||
L
∞
(∂Ω;H
n−1
)
≤ C||F ||
L
∞
(Ω)
, o que implica
que F ·ν ∈ L
∞
(∂Ω; H
n−1
). Neste caso, assumindo que existe uma deforma¸c˜ao regular ψ
de ∂Ω, C pode ser tomado igual a 1, e o tra¸co normal pode ser entendido como o limite
fraco estrela de (F · ν
τ
) ◦ ψ
τ
em L
∞
(∂Ω; H
n−1
) para uma de forma¸c˜ao ψ, isto ´e,
F · ν|
∂Ω
= w
∗
− lim
τ→0
(F · ν
τ
) ◦ ψ
τ
em L
∞
(∂Ω; H
n−1
) (4.23)
a qual independe de ψ
τ
= ψ(·, τ).
60
Cap´ıtulo 5
A F´ormula de Gauss-Green e o
Tra¸co Normal
Neste cap´ıtulo, analisaremos conforme introduzido por Chen & Torres [9] uma no¸c˜ao para
o tra¸co normal sobre a fronteira de conjuntos de per´ımetro finito e a F´ormula de Gauss
Green para campos DM nestes conjuntos. Todavia, o tra¸co normal para c onjuntos de
per´ımetro finito ser´a entendido como um limite fraco-estrela do tra¸co normal do cap´ıtulo
anterior (veja Chen & Frid [6]).
A primeira se¸c˜ao est´a baseada em [12], [16] e [22], e tem como objetivo apresentar a
vers˜ao generalizada da F´ormula de Gauss-Green em conjuntos de Caccioppoli, e alguns
resultados e defini¸c˜oes necess´arias para um bom desenvolvimento das se¸c˜oes subseq¨uentes
baseadas em Chen & Torres [9].
5.1 Considera¸c˜oes Gerais
Assuma que U seja um conjunto aberto do R
n
e que E seja um subconjunto L
n
men-
sur´avel de U; a menos quando afirmarmos o contr´ario.
5.1.1 Conjuntos de Per´ımetro Finito
Nessa se¸c˜ao estudaremos um classe particular de fun¸c˜oes BV , os chamados conjuntos de
per´ımetro finito introduzidos em [4].
61
Defini¸c˜ao 5.1. Dizemos que E ´e um conjunto de per´ımetro finito (ou tem per´ımetro
finito) em U se
P (E; U) = sup
E
div φ dx : φ ∈ C
1
c
(U; R
n
), |φ| ≤ 1
< ∞ (5.1)
Ainda, se E tem per´ımetro finito local, isto ´e, se P (E; V ) < ∞ para todo conjunto aberto
V ⊂⊂ U, ent˜ao E ´e dito um conjunto de Caccioppoli.
Observe que P(E; U) = V (X
E
; U). Ent˜ao E tem per´ımetro finito se, e somente
se, X
E
∈ BV (U); analogamente, E ´e um conjunto de Caccioppoli se, e somente se
X
E
∈ BV
loc
(U). Assim, se E ´e um conjunto de per´ımetro finito, o gradiente ∇X
E
no
sentido das distribui¸c˜oes ´e uma medida de Radon finita e ent˜ao,
U
X
E
div φ dx = −
U
φ ·∇X
E
para toda φ ∈ C
1
c
(U; R
n
). Agora, pelo Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz, segue que
∇X
E
= ν
E
||X
E
|| e |ν
E
| = 1 ||∇X
E
||-quase em todo ponto x ∈ U, onde ||∇X
E
|| ´e a medida
de varia¸c˜ao, chamada de medida de per´ımetro, e ν
E
= σ, chamada de medida te´orica da
normal exterior unit´aria (veja [12]).
Exemplo 5.2. Seja E ⊂⊂ U um conjunto aberto limitado. Suponhamos que ∂E seja
uma fronteira Lispchitz, ent˜ao E tem per´ımetro finito. De fato, fixemos ϕ ∈ C
1
c
(U; R
n
),
|ϕ| ≤ 1, pelo teorema (3.4),
E
div ϕ dx =
∂E
ϕ · ν dH
n−1
< ∞,
onde ν ´e a normal exterior a ∂E, e ν = ν
E
. Logo X
E
∈ BV (U), o que implica que E ´e um
conjunto de per´ımetro finito. Agora, se ∂E ´e de classe C
2
, ent˜ao ∂E tem per´ımetro finito,
e claramente P (E; U) = H
n−1
(U ∩ ∂E) (para detalhes veja [23], p.229). Entretanto, se
E tem per´ımetro finito, nem sempre esta igualdade ocorre (veja [17], p.342).
Se E ´e um conjunto de per´ımetro finito, e seja {X
δ
}
δ>0
como no Teorema (3.29), ent˜ao
||∇X
δ
|| ||∇X|| em M(R
n
), quando δ → 0. Agora, pelo Teorema (2.30), este limite
´e equivalente a lim
δ→0
||∇X
δ
||(B) = ||∇X||(B) para todo conjunto de Borel limitado
B ⊂ R
n
com ||∇X
δ
||(B) = 0.
62
Agora, considerando conjuntos de Caccioppoli ´e natural esperar que o per´ımetro e
outras propriedades sejam tamb´em invariantes em conjuntos de medida nula. O pr´oximo
resultado ir´a garantir isso e pode ser encontrado em [16].
Proposi¸c˜ao 5.3. Seja E ⊂ R
n
um conjunto de Borel. Ent˜ao existe um conjunto de Borel
E equivalente a E (isto ´e, diferem apenas em conjuntos de medida nula) tal que
0 < L
n
(E ∩ B(x; r)) < α(n)r
n
, (5.2)
para todo x ∈ ∂
E e todo r > 0.
Demonstra¸c˜ao. Inicialmente, denote por E
0
o conjunto de x ∈ R
n
tal que existe ρ > 0
com L
n
(E ∩ B(x, ρ)) = 0; e por E
1
o conjunto de x ∈ R
n
tal que existe ρ > 0 com
L
n
(E ∩ B(x, ρ)) = L
n
(B(x, ρ)) = α(n)ρ
n
. Vamos provar que E
0
´e um conjunto aberto
e L
n
(E ∩E
0
) = 0. De fato, seja x ∈ E
0
, ent˜ao existe ρ > 0 tal que L
n
(E ∩B(x, ρ)) = 0.
Tomando y ∈ B(x, ρ), seja ρ
0
= ρ − |x − y| > 0, segue que B(y, ρ
0
) ⊆ B(x, ρ) e
L
n
(E ∩B(x, ρ
0
)) = 0. Assim B(x, ρ) ⊆ E
0
, mostrando que E
0
´e um conjunto aberto do
R
n
. Portanto, para cada x ∈ E, escolha um ρ > 0 tal que L
n
(E ∩ B(x, ρ)) = 0; neste
caso, {B(x, ρ) : x ∈ E
0
} ´e uma cobertura aberta de E
0
, e assim existe um seq¨uˆencias
{x
n
}
∞
n=1
em E tal que
E
0
⊂
∞
i=1
B(x
i
, ρ
i
) e L
n
(E ∩ B(x
i
, ρ
i
)) = 0.
Consequentemente,
L
n
(E ∩ E
0
) ≤
∞
i=1
L
n
(E ∩ B(x
i
, ρ
i
)) = 0.
Analogamente, prova-se que E
1
´e um conjunto aberto do R
n
e L
n
(E − E
0
) = 0. Final-
mente, ponha
E = (E ∪E
1
) −E
0
, logo E ´e equivalente a
E e como E
0
e E
1
s˜ao abertos,
se x ∈ ∂
E ent˜ao x /∈ E
0
∪ E
1
e (5.2) ´e satisfeita.
Tendo em vista a Proposi¸c˜ao (5.3) poderemos assumir que um conjunto de per´ımetro
finito ´e um representante dessa classe; logo satisfaz a desigualdade (5.2). Assim n˜ao haver´a
ambig ¨uidade em falarmos em fronteira topol´ogica ∂E de um conjunto de per´ımetro finito
E; tendo em vista nossas considera¸c˜oes sobre conjuntos mensur´aveis modifica¸c˜oes em
63
conjuntos de medida nula n˜ao ter˜ao influˆencia. Doravante passaremos a identificar o
conjunto E com
E.
Agora, vejamos mais uma defini¸c˜ao:
Defini¸c˜ao 5.4. Seja E conjunto L
n
-mensur´avel R
n
. A densidade D
E
(x) de E em x e
definida por
D
E
(x) = lim
r→0
L
n
(E ∩ B(x; r))
L
n
(B(x; r))
sempre que este limite existe.
Ainda, para todo α ∈ [0, 1], denote por E
α
o conjunto de todos os x ∈ R
n
de densidade
α, ou seja, tais que D
E
(x) = α. Em particular, E
1
´e chamado medida interior no sentido
geom´etrico da medida e E
0
, a medida exterior no sentido geom´etrico da medida. Al´em
disso, escolhendo f = X
E
no Teorema de Lebesgue Besicovith (2.25) obtemos
D
E
(x) =
1, se x ∈ E,
0, se x ∈ R
n
− E.
Assim, podemos imaginar E
0
como o “exterior” de E e E
1
como o “interior” de E.
Defini¸c˜ao 5.5. Seja E um conjunto L
n
-mensur´avel E ⊂ R
n
. A fronteira essencial ´e o
conjunto definido por ∂
s
E = R
n
− E
0
∪ E
1
.
Em muitos casos a fronteira essencial coincide com a fronteira topol´ogica. Por exem-
plo, seja B uma bola aberta ent˜ao a fronteira topol´ogica ∂B tamb´em ser´a a fronteira
essencial. Mas em geral, a fronteira topol´ogica n˜ao coincide com a fronteria essencial
(veja [2], p.163).
Para concluir a presente subse¸c˜ao, enunciaremos um Teorema que poder ser encon-
trado em [12] e [13], que fornece um crit´erio para caracterizar conjuntos de Caccioppolli.
Teorema 5.6. Seja E um conjunto L
n
-mensur´avel de R
n
. Ent˜ao E ´e um conjunto de
Cacciopolli se, e somente se, H
n−1
(K∩∂
s
E) < ∞ para cada conjunto compacto K ⊂ R
n
.
Demonstra¸c˜ao. Veja [12], Teorema 1, p.222.
64
5.1.2 Teorema de Gauss-Green Generalizado
A defini¸c˜ao (5.10) foi inicialmente introduzida por De Giorgi e chama aten¸c˜ao para o
conjunto de pontos onde a normal interior a fronteira existe e pode ser encontrado em
[12] e [16].
Defini¸c˜ao 5.7. Seja E um conjunto de Caccioppoli em U. A fronteira reduzida de E ,
denotada por ∂
∗
E, ´e o conjunto de todos os x ∈ R
n
satisfazendo:
1. ||∇X
E
||(B(x; r)) =
B(x;r)
|∇X
E
|dx > 0 para todo r > 0;
2. lim
r→0
B(x;r)
ν
E
d||∇X
E
||
B(x;r)
d||∇X
E
||
= ν
E
(x); e
3. |ν
E
(x)| = 1.
ν
E
(x)
x
E
Figura 5.1: Uma Fronteira Suave
Conv´em observar que a defini¸c˜ao acima generaliza a no¸c˜ao de vetor normal unit´ario a
uma hipersuperf´ıcie. De fato, se ∂E ´e de classe C
2
vemos que a fronteira reduzida, ∂
∗
E,
coincide com a fronteira topol´ogica, ∂E, e o vetor normal unit´ario exterior a ∂E, ν
E
(x),
´e no sentido usual (veja [14], p.219, ou [16], p.44).
Exemplo 5.8. Seja E = Q(0; 1) um cubo aberto unit´ario de R
2
, ent˜ao as condi¸c˜oes 1 e
2 da defini¸c˜ao (5.7) s˜ao satisfeitas para cada x ∈ ∂E. Por outro lado, a condi¸c˜ao 3 n˜ao
´e satisfeita apenas no ponto onde o bordo n˜ao ´e suave (veja [16], p.44).
Agora, lembraremos um importante fato devido a De Giorgi chamado de Retificabili-
dade da Fronteira Reduzida (veja [17] e [23]), onde a prova pode ser encontrado em [12],
[16] e [23], e afirma que: se E ´e um conjunto de Caccioppoli do R
n
ent˜ao
∂
∗
E =
∞
i=1
M
i
∪ N,
onde ||∇X
E
||(N) = 0 e M
i
, k = 1, . . . , ´e um subconjunto compacto de uma hipersuperf´ıcie
de classe C
1
.Al´em disso
65
1. ν
E
|
M
k
, k = 1, . . . ´e a normal exterior a M
k
; e
2. ||∇X
E
|| = H
n−1
∂
∗
E.
Observemos tamb´em que ∂
∗
E ´e um conjunto de Borel e a aplica¸c˜ao ν
E
: ∂
∗
E −→
S
n−1
´e H
n−1
-mensur´avel. De fato, pelo Teorema de Lebesgue-Besicovith, existe ν
E
(x) e
|ν
E
(x)| = 1 para ||∇X
E
||-quase todo x ∈ R
n
. Agora, como ||∇X
E
|| = H
n−1
∂
∗
E segue
que ν
E
: ∂
∗
E −→ S
n−1
H
n−1
-mensur´avel. Al´em disso, de acordo com as defini¸c˜oes (5.5)
e (5.7) pode-s e mostrar, como feito em [2] ou [12], que para todo conjunto de per´ımetro
finito E satisfaz:
∂
∗
E ⊂ E
1
2
⊂ ∂
s
E; e (5.3)
H
n−1
(∂
s
E − ∂
∗
E) = 0. (5.4)
Agora, por (5.4), a normal exterior sobre ∂
s
E para um conjunto de Cacciopolli E existe
com respeito a medida H
n−1
. O pr´oximo teorema que pode ser encontrado em [12] afirma
que a F´ormula de Gauss-Green tamb´em ser´a satisfeita para conjuntos de Caccioppoli, e
´e uma genraliza¸c˜ao do teorema (3.3)
Teorema 5.9 (Gauss-G reen Generalizado). Seja E um conjunto de Caccippoli. Ent˜ao
para H
n−1
quase todo x ∈ ∂
s
E, existe uma ´unica medida te´orica da normal exterior
ν
E
(x) tal que
E
div ϕ dx =
∂
s
E
ϕ · ν
E
dH
n−1
para toda ϕ ∈ C
1
c
(R
n
, R
n
).
Demonstra¸c˜ao. Como E ´e um conjunto de Caccioppoli do R
n
, ent˜ao para toda ϕ ∈
C
1
c
(R
n
, R
n
),
E
div ϕ dx =
R
n
ϕ · ν
E
d||∇X
E
||.
Agora, lembrando que ||∇X
E
||(R
n
− ∂
∗
E) = 0 e ||∇X
E
|| = H
n−1
∂
∗
E, segue por (5.3)
e (5.4), ||∇X
E
|| = H
n−1
∂
s
E. Portanto,
E
div ϕ dx =
∂
s
E
ϕ · ν
E
dH
n−1
para toda ϕ ∈ C
1
c
(R
n
, R
n
).
66
Aqui, lembramos o Teorema (5.6), onde todos conjunto E do R
n
L
n
-mensur´avel ´e
um conjunto de Caccioppoli se, e somente se, H
n−1
(∂
s
E ∩ K) < ∞ para todo conjunto
compacto K do R
n
. Em particular, o Teorema de Gauss-Green Generalizado ´e v´alido
para o caso que E ´e um conjunto aberto limitado com fronteira Lipschitz.
5.1.3 Limites Aproximados
Assuma que f : R
n
−→ R
m
seja uma fun¸c˜ao L
n
-mensur´avel.
Defini¸c˜ao 5.10. Dizemos que ∈ R
m
´e o limite aproximado de f em x
0
, e escrevemos
ap lim
x→x
0
f(x), se para cada ε > 0,
lim
r→0
|B(x
0
, r) ∩ {x : |f(x) − | < ε}|
|B(x
0
, r)|
= 1 (5.5)
sempre que este limite existe. Ainda, dizemos que f ´e aproximadamente cont´ınua em x
0
,
se = f(x
0
).
Observemos que o limite aproximado quando existe ´e unico e, obviamente, ele existe
se, e somente se, a densidade do conjunto E := {x : |f(x) − | ≥ ε} em x
0
´e zero. Al´em
disso, se f ∈ L
1
loc
(R
n
) ent˜ao f ´e aproximadamente cont´ınua L
n
quase sempre. De fato,
para cada ε > 0,
|B(x
0
, r) ∩ {|f − f(x
0
)| ≥ ε}|
|B(x
0
, r)|
≤
1
|B(x
0
, r)|
B(x,r)
X
{|f−f (x
0
)|≥ε}
dx
≤
1
ε|B(x
0
, r)|
B(x,r)
|f − f(x
0
)|dx
Passando ao limite quando r → 0 obtemos a afirma¸c˜ao pelo Teorema de Lebesgue-
Besicovitch (2.25). Mais geralmente, se f ´e L
n
-mensur´avel ent˜ao f ´e aproximadamente
cont´ınua L
n
quase sempre.
Defini¸c˜ao 5.11. Seja F um conjunto L
n
-mensur´avel. Dizemos que ∈ R
m
´e o limite
aproximado de f em x
0
restrito a F , e escrevemos ap lim
x→x
0
,x∈F
f(x), se para cada ε > 0,
lim
r→0
|B(x
0
, r) ∩ F ∩ {x : |f(x) − | < ε}|
|B(x
0
, r) ∩ F |
= 1 (5.6)
sempre que este limite existe.
67
Claramente, se F = R
n
as duas defini¸c˜oes anteriores coincidem. Vamos agora intro-
duzir alguma nota¸c˜ao: para cada vetor unit´ario a, seja Π
a
(y) = {x ∈ R
n
: (x−y)·a > 0};
por simplicidade escreveremos Π
a
(0) por Π
a
e o limite aproximado de f em x
0
restrito a
Π
a
por f
a
(x
0
), isto ´e, ap lim
x→x
0
,x∈Π
a
f(x) = f
a
(x
0
).
Defini¸c˜ao 5.12. Dizemos que x
0
∈ U ´e um ponto regular de uma fun¸c˜ao f ∈ BV (U) se
existe um vetor unit´ario a ∈ R
n
tal que f
a
(x
0
) e f
−a
(x
0
) existem. Ainda, a ´e chamado
um vetor definido.
Suponhamos que x
0
´e um ponto regular de uma fun¸c˜ao de varia¸c˜ao limitada f, ent˜ao
h´a somente duas possibilidade: f
a
(x
0
) = f
−a
(x
0
) ou f
a
(x
0
) = f
−a
(x
0
). Como em [22],
pode-se provar que no primeiro caso, existe ap lim
x→0
f(x) e para todo vetor unit´ario
b ∈ R
n
, f
b
(x
0
) = ap lim
x→x
0
f(x); j´a o segundo, a ´e unico a menos do sinal.
Agora enunciaremos um resultado cl´assico da teoria da fun¸c˜oes BV que pode ser
encontrado em [22], que afirma que H
n−1
quase todo ponto x ∈ U ´e um ponto regular
de f ∈ BV (U).
Teorema 5.13. Seja f ∈ BV (U). Ent˜ao o conjunto de pontos os quais n˜ao s˜ao regulares
de f tem medida H
n−1
nula
Demonstra¸c˜ao. Veja [22], p.178.
5.1.4 Valor M´edio
Defini¸c˜ao 5.14. Seja δ > 0. O valor m´edio de uma fun¸c˜ao f ∈ L
1
loc
(U) ´e
¯
f(x) = lim
δ→0
f
δ
(x), (5.7)
onde f
δ
:= η
δ
∗ f com η
δ
um regularizador padr˜ao.
Suponha que f ∈ BV (U) ent˜ao pode se provar como em [22], que
¯
f est´a definido em
cada ponto regular. Al´em disso, se x
0
´e um ponto regular de f, ent˜ao
¯
f(x
0
) =
1
2
(f
a
(x
0
) + f
−a
(x
0
)), (5.8)
onde a ´e o vetor definido.
O resultado a s eguir pode ser encontrar em [22].
68
Proposi¸c˜ao 5.15. Seja u ∈ BV (U) e seja f : R → R um fun¸c˜ao Lipschitz tal que
f(0) = 0. Ent˜ao v = f ◦ u ∈ BV (U) e
||∇v||(U) ≤ Lip(f)||∇u||(U). (5.9)
Al´em disso, se x ∈ U ´e um ponto regular de u, isto ´e, existe a ∈ R
n
tal que existem
os limites aproximados u
±a
(x), ent˜ao x ∈ U ´e tamb´em um ponto regular de v com vetor
definido a tal que:
(i) v
±a
(x) = f(u
±a
(x)); e
(ii) ¯v(x) =
1
2
(f(u
a
(x) + f(u
−a
(x))).
Demonstra¸c˜ao. Seja u ∈ BV (U), ent˜ao a extens˜ao
u(x) =
u(x) , x ∈ U,
0 , x ∈ R
n
− U.
e note que f ◦ u ≡ 0 sobre em R
n
− U. Agora, fixemos φ ∈ C
1
c
(U; R
n
), |φ| ≤ 1, ent˜ao
obtemos a seguinte desigualdade:
U
φ div v dx ≤ (Lip f)
U
φ div u dx < ∞.
Tomando o supremo com rela¸c˜ao a φ, ||∇v||(U) ≤ (Lip f)||∇u||(U), o que implica v
pertence a BV (U). Para a s egunda parte veja [22], Teorema 1, p.182.
Observa¸c˜ao 5.16. Se E ´e um conjunto de per´ımetro finito temos que X
E
´e definido
H
n−1
-quase todo ponto. De fato, por (5.8) escreva
X
E
(x) =
1
2
, se x ∈ ∂
∗
E,
1, se x ∈ E
1
,
0, se x ∈ E
0
.
Logo X
E
´e uma fun¸c˜ao definida H
n−1
quase todo ponto, e aqui lembramos que
H
n−1
(∂
s
E − ∂
∗
E) = 0.
Al´em disso, como X
E
∈ BV (U) e H
n−1
quase todo ponto ´e ponto regular de X
E
ent˜ao
(X
E
)
δ
→ X
E
H
n−1
quase sempre quando δ → 0.
69
5.2 F´ormula de Gauss-Green
Nessa se¸c˜ao, e stabeleceremos a F´ormula de Gauss-Green para campos DM em conjuntos
de per´ımetro finito, o que nos permitir´a fornecer um no¸c˜ao para o tra¸co normal para esses
campos.
Proposi¸c˜ao 5.17. Seja F ∈ DM(U) e seja A ⊂ U um conjunto de Borel tais que
H
n−1
(A) = 0. Ent˜ao ||div F ||(A) = 0.
Demonstra¸c˜ao. Como div F ´e uma medida de Radon com sinal, ent˜ao existe um conjunto
positivo P e um conjunto negativo N para esta medida tal que P ∪N = U e P ∩N = ∅.
Ent˜ao podemos assumir que A ⊂ P e consequentemente ||div F ||(A) = (div F )
+
(A) =
(div F )(A). Ainda, uma vez que (div F )
+
´e uma medida de Radon, ´e suficiente provar
para o caso que A ´e um conjunto compacto. Ent˜ao, dado ε > 0, pela compacidade de A,
existe uma cobertura finita de bolas abertas que cobre A tais que
A ⊂
N
i=1
B(x
i
; r
i
) e
N
i=1
r
n−1
i=1
< ε.
Agora, aplicando o Teorema (4.21) com Ω = Ω
ε
= ∪
N
i=1
B(x
i
, r
i
), e qualquer fun¸c˜ao
φ ∈ C
1
c
(R
n
) tal que φ ≡ 1 em Ω
ε
, temos
Ω
ε
div F =
∂Ω
ε
F · ν dH
n−1
≤ ||F ||
L
∞
H
n−1
(∂Ω
ε
)
≤ ||F ||
L
∞
N
i=1
H
n−1
(B(x
i
, r
i
))
≤ C||F ||
L
∞
∞
i=1
r
n−1
i
< C
||F ||
L
∞
ε.
Logo ||div F ||(Ω
ε
) ≤ C
||F ||
L
∞
ε. Agora como X
Ω
ε
→ X
A
pontualmente quando ε → 0
(lembrando que A ´e um conjunto compacto), logo temos que ||div F ||(A) = div F (A) = 0;
o caso que A ⊂ N ´e an´alogo.
Observe que a Proposi¸c˜ao (5.17) afirma que a medida de Radon div F em U ´e ab-
solutamente cont´ınua com respeito a medida de Hausdorff de dimens˜ao (n − 1), isto ´e,
div F H
n−1
. Agora, a pr´oxima Proposi¸c˜ao est´a essencialmente contida em Chen &
Frid [6] e, por completeza, iremos detalhar a prova.
70
Proposi¸c˜ao 5.18. Seja F ∈ DM(U). Suponha que E um conjunto de per´ımetro finito
em U tal que E ⊂⊂ U. Ent˜ao
div(X
E
F ) = X
E
div F + F ·∇X
E
, (5.10)
onde F · ∇(X
E
)
ε
F ·∇X
E
em M(U) para (X
E
)
ε
:= η
ε
∗ X
E
. Al´em disso, a medida
F · ∇X
E
´e absolutamente cont´ınua com respeito a medida ||∇X
E
||.
Demonstra¸c˜ao. Inicialmente, escreva X
δ
:= (X
E
)
δ
e note que X
δ
´e suave e limitado em
U; ent˜ao pela Proposi¸c˜ao (4.14) temos que X
δ
F ∈ DM(U) e
div(X
δ
F ) = X
δ
div F + F · ∇X
δ
. (5.11)
Lembrando que div F H
n−1
e X
δ
→ X H
n−1
em quase todo x ∈ U, ent˜ao usando
Teorema da Convergˆencia Dominada obtemos que
X
ε
div F X
E
div F em M(U). (5.12)
Como {div (X
δ
F )} ´e uniformente limitado em M(U), pois X
δ
F ∈ DM(U); segue pelo
Teorema de Compacidade fraca o para medidas de Radon que este converge fracamente
em M(U) quando δ → 0. Por outro lado, visto como uma distribui¸c˜ao, div (X
δ
F )
converge para div(X
E
F ) no sentido das distribui¸c˜oes em U. Portanto, pela unicidade do
limite fraco obtemos
div (X
ε
F ) div(X
E
F ) em M(U). (5.13)
Finalmente, por (5.11), (5.12) e (5.13), segue que existe um medida µ := F · ∇X
E
em
M(U) tal que F · ∇X
δ
F · ∇X
E
em M(U) e de onde segue (5.10). Agora afirmamos
que
F · ∇X
E
||∇X
E
||.
De fato, como µ ´e uma medida de Radon, ´e suficiente provar que µ(A) = 0 para todo
conjunto compacto A com ||∇X
E
||(A) = 0. Ent˜ao, dado ε > 0, pela compacidade de A,
existe uma cobertura finita de bolas abertas que cobre A tal que
A ⊂
N
i=1
B(x
i
, r
i
) com r
i
< ε, e
||∇X
E
||
N
i=1
B(x
i
, r
i
)
< ε.
71
Assumiremos sem perda de generalidade que ||∇X
E
||(∂B(x
i
, r
i
)) = 0 (i = 1, . . . , N).
Ent˜ao, para toda φ ∈ C
c
(∪
N
i=1
B(x
i
, r
i
)), temos
∪
N
i=1
B(x
i
,r
i
)
φdµ = lim
δ→0
∪
N
i=1
B(x
i
,r
i
)
φ F · ∇X
δ
≤ ||φ||
L
∞
||F ||
L
∞
lim sup
ε→0
||∇X
δ
||(∪
N
i=1
B(x
i
, r
i
))
= ||φ||
L
∞
||F ||
L
∞
||∇X
E
||(∪
N
i=1
B(x
i
, r
i
))
≤ ε||φ||
L
∞
||F ||
L
∞
.
do fato que
||∇X
δ
||(B) → ||∇X
E
||(B)
para todo conjunto aberto B ⊂⊂ U com ||∇X
E
||(∂B) = 0. Agora, podemos escolher
uma fun¸c˜ao φ ∈ C
c
(∪
N
i=1
B(x
i
, r
i
)) tal que 0 ≤ φ ≤ 1, φ ≡ 1 em A e
∪
N
i=1
B(x
i
,r
i
)−A
φ dµ
≤ ε||F ||
L
∞
. (5.14)
Ent˜ao, temos ∪
N
i=1
B(x
i
, r
i
) = A ∪ (∪
N
i=1
B(x
i
, r
i
) − A), de modo que obtemos a seguinte
desigualdade
µ(A) =
A
φ dµ
=
∪
N
i=1
B(x
i
,r
i
)
φ dµ −
∪
N
i=1
B(x
i
,r
i
)−A
φ dµ
≤ 2εC||F ||
L
∞
.
Finalmente, passando ao limite quando ε → 0 na desigualdade anterior, conclu´ımos que
µ(A) = 0 o que completa a prova.
Observa¸c˜ao 5.19. Pelo Teorema (5.18), F · ∇X ||∇X|| = H
n−1
∂
∗
E, ent˜ao medida
F · ∇X ´e suportada em ∂
∗
E. Agora, pelo Teorema de Radon-Nikodym, existe uma fun¸c˜ao
||∇X||-mensur´avel (denotada por) F · ν tal que
F · ∇X(A) =
A∩∂
∗
E
F · ν dH
n−1
para cada A ⊂ U ||∇X||-mensur´avel. Note que F ·ν ´e exatamente a derivada no sentido
de Radon-Nikodym. Agora, como H
n−1
(∂
s
E − ∂
∗
E) = 0, segue de
F · ∇X(A) =
A∩∂
s
E
F · ν dH
n−1
(5.15)
para cada A ⊂ U ||∇X||-mensur´avel.
72
Proposi¸c˜ao 5.20. Seja F ∈ DM(U). Se F tem suporte compacto em U, ent˜ao
U
div F = 0.
Demonstra¸c˜ao. Seja V um conjunto aberto de U com fronteira suave tal que spt(F ) ⊂
V ⊂⊂ U; e defina F
δ
:= η
δ
∗F . Escolha φ ∈ C
∞
c
(U) tal que φ ≡ 1 em V , segue que para
δ > 0 suficientemente pequeno,
U
div F
δ
=
U
φ div F
δ
=
∂U
φ F
δ
· ν dH
n−1
−
U
F
δ
· ∇φ
= −
U
F
δ
· ∇φ = 0
Finalmente, a ´ultima igualdade ocorre pela escolha de φ e pelo fato de spt(F
δ
) ⊂ V .
Passando ao limite quando δ → 0, obtemos resultado.
Agora, a proposi¸c˜ao a seguir ´e um resultado t´ecnico, que juntamente com a Proposi¸c˜ao
(5.15) permitir´a provar os teoremas (5.22) e (5.23).
Proposi¸c˜ao 5.21. Seja F ∈ DM(U) e seja E ⊂⊂ U um conjunto limitado de per´ımetro
finito. Ent˜ao
X
E
F · ∇X
E
= X
E
F · ∇X
E
. (5.16)
onde (X
ε
F ) · ∇X
δ
X
E
F · ∇X
E
, F · (∇X
E
)
δ
F · ∇X
E
em M(U) quando δ → 0 e
X
E
foi definido na observa¸c˜ao (5.16).
Demonstra¸c˜ao. Seja E ⊂⊂ U um conjunto limitado de per´ımetro finito e seja X = X
E
.
Fixemos φ ∈ C
c
(U),
U
φXF · ∇X −
U
φ(XF ) · ∇X
δ
≤
U
φ XF · ∇X −
U
φ X
ε
F · ∇X
+
U
φX
ε
F · ∇X −
U
φX
ε
F · ∇X
δ
+
U
φX
ε
F · ∇X
δ
−
U
φ XF · ∇X
δ
= I
ε
1
+ I
δ,ε
2
+ I
δ,ε
3
. (5.17)
Fixando δ > 0 e passando ao limite quando ε → 0 em (5.17), ent˜ao pelo Teorema da
Convergˆencia Dominada, I
ε
1
converge a zero, pois a medida F · ∇X ´e suportada em ∂
∗
E
e
lim
ε→0
X
ε
(y) = X(y), y ∈ ∂
∗
E.
73
Agora, como F ·∇X
δ
F · ∇X em M(U) quando δ → 0, ent˜ao fixando ε > 0 e passando
ao limite em (5.17) quando δ → 0, vemos que I
δ,ε
2
converge a zero. Finalmente, afirmamos
que I
δ,ε
3
converge a zero quando δ, ε → 0. De fato, como ∇X + ν||∇X|| temos
∇X
δ
=
U
η
δ
(x − y)∇X(y) =
∂
∗
E
η
δ
(x − y)νdH
n−1
Definimos f
ε
(x) = |X(x) − X
ε
(x)| para todo x ∈ U; afirmamos que f
ε
∈ BV (U). de
fato, observamos que f
ε
pode ser reescrito como f = g ◦ h
ε
, onde h
ε
(y) = X(y) − X
ε
(y)
e g(w) = |w|, ent˜ao pela Proposi¸c˜ao (5.15), segue que f
ε
∈ BV (U). Consequentemente,
I
δ,ε
3
=
U
(X
ε
(x) − X(x))(φ F )(x) · ∇X
δ
(x)dx
=
∂
∗
E
U
(X
ε
(x) − X(x))(φ F )(x) · η
δ
(x − y)ν dxdH
n−1
(y)
≤ C
∂
∗
E
U
f
ε
(x) η
δ
(x − y) dx
dH
n−1
(y)
≤ C
∂
∗
E
η
δ
∗ f
ε
(y) dH
n−1
(y) (5.18)
e ent˜ao,
lim sup
δ→0
I
δε
3
≤ C
∂
∗
E
f
ε
(y)dH
n−1
.
Portanto, para mostrar que I
δε
3
converge a zero, quando ε, δ → 0 ´e suficiente mostrar
que f
ε
(y) converge a zero quando ε → 0. Para tal vamos mostrar que todo ponto em
∂
∗
E ´e um ponto regular de h
ε
, e os limites aproximados restritos existem e s˜ao iguais a
zero. Assim, fixemos y ∈ ∂
∗
E, como h
ε
→ 0 L
n
-q.s. sobre B(y, 1), quando ε → 0, pelo
Teorema de Ergoroff (2.10), existe um conjunto fechado F ⊂ B(y, 1) tal que
|B(y, 1) − F | < θ,
h
δ
→ 0 uniformente em F quando δ → 0.
Consequentemente, para qualquer λ fixado, existe ε > 0, suficientemente pequeno de
modo que h
ε
(z) < λ para todo z ∈ F . Ent˜ao para todo r > 0, |B(y, r) − {h
ε
≤ λ}| < θ.
Como θ > 0 ´e arbitr´ario, obtemos que
lim
ε→0
lim
r→0
|(B(y; r) ∩ {h
ε
> λ}|
|B(y; r)|
= 0
Logo lim
ε→0
h
ε
a
(y) = 0; e analogamente prova-se que lim
ε→0
h
ε
−a
(y) = 0 de modo que
74
y ∈ ∂
∗
E ´e um ponto regular de h
ε
, segue da Proposi¸c˜ao (5.15) que
lim
ε→0
f
ε
(y) = lim
ε→0
1
2
(g(h
ε
a
(y)) + g(h
ε
−a
(y)))
= lim
ε→0
1
2
(|h
ε
a
(y)| + |h
ε
−a
(y)|) = 0
Passando ao limite quando δ → 0 em (5.18) e depois ε → 0, vemos pelo Teorema da
Convergˆencia Dominada que I
δ,ε
3
converge a zero e, p ortanto (X F ) · ∇X
δ
X F · ∇X
em M (U). Por outro lado, sabemos pela Proposi¸c˜ao (5.18) que (X F )·∇X
δ
X F ·∇X
em M (U). Portanto, pela unicidade do limite fraco obtemos X F · ∇X = X F · ∇X.
Finalmente, podemos provar o teorema mais significativo de Chen & Torres [9], que
ser´a usado para provar o Teorema (5.23).
Teorema 5.22. Seja F ∈ DM(U). Se E ⊂⊂ U ´e um conjunto limitado de per´ımetro
finito, ent˜ao existe uma fun¸c˜ao H
n−1
-integr´avel (denotado por) F ·ν em ∂
s
E tal que
E
1
divF = −
∂
s
E
F · ∇X
E
= −
∂
s
E
F · νdH
n−1
.
Demonstra¸c˜ao. Assuma que E ⊂⊂ U seja um cojunto limitado de per´ımetro finito e por
simplicidade escreva X = X
E
. Ent˜ao obtemos a seguinte identidade:
div (X
2
F ) = div (X(XF ))
= Xdiv(XF ) + XF · ∇X (pela Proposi¸c˜ao (5.18))
= X(div F + F · ∇X) + XF · ∇X (pela Proposi¸c˜ao (5.18))
= (X)
2
div F + X F · ∇X + XF · ∇X
= Xdiv F + 2X F · ∇X (pela Proposi¸c˜ao (5.21)). (5.19)
Por outro lado,
div(X
2
F ) = div(XF ) = X div F + F · ∇X. (5.20)
Agora, combinando (5.19) e (5.20) obtemos
0 = ((X)
2
− X)div F + 2X F ·∇X − F ·∇X
= −
1
4
X
∂
s
E
div F + 2X F · ∇X −F · ∇X, (5.21)
75
pois X ≡
1
2
em ∂
∗
E e div F H
n−1
. Portanto, pela Proposi¸c˜ao (5.18) e pela identidade
(5.21) obtemos:
1
2
div(XF ) =
1
2
Xdiv F +
1
2
F · ∇X
=
1
2
Xdiv F +
1
2
F · ∇X −
1
4
X
∂
s
E
div F + 2X F.∇X − F.∇X
=
1
2
X −
1
2
X
∂
s
E
div F + 2X F · ∇X −
1
2
F · ∇X
=
1
2
X
E
1
div F + 2X F · ∇X −
1
2
F · ∇X. (5.22)
Agora, integrando ambos os lados da identidade (5.22) e usando o fato que F · ∇X ´e
suportada em ∂
∗
E,obtemos:
0 =
1
2
U
div(XF ) (pela Proposi¸c˜ao (5.20))
=
1
2
E
1
div F + 2
U
X F · ∇X −
1
2
U
F · ∇X
=
1
2
E
1
div F + 2
∂
∗
E
X F · ∇X −
1
2
∂
∗
E
F · ∇X
=
1
2
E
1
div F +
1
2
∂
∗
E
F · ∇X. (5.23)
Portanto, por (5.23) e pela observa¸c˜ao (5.19),
E
1
div F = −
∂
s
E
F · ∇X = −
∂
s
E
F · ν dH
n−1
. (5.24)
Finalmente, devemos agora mostrar que F ·ν ´e limitado. De fato, como F ·∇X
δ
F · ∇X
em M(U), ent˜ao para quase todo r > 0 e todo x ∈ ∂
∗
E, temos
F · ∇X(B[x, r])
||∇X||(B[x, r])
=
lim
ε→0
B[x,r]
F · ∇X
ε
lim
ε→0
B[x,r]
||∇X
ε
||
=
lim
ε→0
B[x,r]
F · ν||∇X
ε
||
lim
ε→0
B[x,r]
||∇X
ε
||
≤
lim
ε→0
||F ||
L
∞
B[x,r]
||∇X
ε
||
lim
ε→0
B[x,r]
||∇X
ε
||
≤ ||F ||
L
∞
.
Portanto, para H
n−1
quase todo x ∈ ∂
∗
E, obtemos
|(F · ν)(x)| = lim
r→0
F · ∇X(B[x, r])
||∇X||(B[x, r])
≤ ||F ||
L
∞
,
o que completa a prova.
76
Agora com esse resultado podemos estabelecer a F´ormula de Gauss-Green para cam-
pos DM em conjuntos de per´ımetro finito.
Teorema 5.23 (F´ormula de Gauss-Green). Seja F ∈ DM(U). Se E ⊂⊂ U um conjunto
limitado de per´ımetro finito. Ent˜ao existe uma fun¸c˜ao H
n−1
-integr´avel F ·ν em ∂
s
E tal
que
E
1
φ divF = −
∂
s
E
φ F ·νdH
n−1
−
E
1
F · ∇φ. (5.25)
para toda φ ∈ C
1
c
(R
n
)
Demonstra¸c˜ao. Fixe φ ∈ C
1
c
(R
n
). Suponhamos que E ⊂⊂ U seja um conjunto limitado
de per´ımetro finito e F ∈ DM(U). Pelo Teorema (5.22),
F · ∇X = F · ν dH
n−1
sobre ∂
s
E (5.26)
Afirmamos que φF ∈ DM(U). De fato, seja ϕ ∈ C
1
c
(U), |ϕ| ≤ 1,
U
φF · ∇ϕ dx ≤ C
U
F · ∇ϕ dx < ∞.
Ent˜ao φF ∈ DM(U), pois φF ∈ L
∞
(U; R
n
). Agora, pela unicidade do limite fraco no
sentido de medidas de Radon,
φ F · ∇X = φF · ∇X (5.27)
Novamente, pelo Teorema (5.22) a φF , obtemos
E
1
div(φF ) = −
∂
s
E
φ F · ∇X
= −
∂
s
E
φF · ∇X (por (5.27))
= −
∂
s
E
φ F · ν dH
n−1
(por (5.26)). (5.28)
Por outro lado, como φ ∈ C
1
c
(R
n
) segue pela Proposi¸c˜ao (4.14) que
div(φF ) = φ div F + F · ∇φ. (5.29)
Portanto, integrando (5.29) e usando (5.28) obtemos:
E
1
φ div F = −
E
1
F · ∇φ +
E
1
div(φ F )
= −
E
1
F · ∇φ −
∂
s
E
φ F · ν dH
n−1
,
o que completa a prova.
77
Para concluir a presente se¸c˜ao utilizaremos a F´ormula de Gauss Green para campos
DM em conjuntos de per´ımetro finito para mostrar o seguinte teorema de extens˜ao:
Teorema 5.24. Sejam V ⊂⊂ E ⊂⊂ U conjuntos abertos limitados, onde E ´e um con-
junto de per´ımetro finito em R
n
. Se F
1
∈ DM(U) e F
2
∈ DM(R
n
−
¯
V ). Ent˜ao
F (y) :=
F
1
(y), y ∈ E
F
2
(y), y ∈ R
n
− E
pertence a DM(R
n
), e
||F ||
DM(R
n
)
≤ ||F ||
DM(E)
+ ||F ||
DM(R
n
−
¯
E)
+||F
1
· ν − F
2
· ν||
L
1
(∂
s
E;H
n−1
)
. (5.30)
Demonstra¸c˜ao. Fixe φ ∈ C
1
c
(R
n
), |φ| ≤ 1. Ent˜ao, pela F´ormula de Gauss Green para
campos DM em conjuntos de per´ımetro finito, temos
R
n
F · ∇φ dy =
E
F · ∇φ dy +
R
n
−E
F · ∇φ dy
= −
div F
1
|
E
, φ
−
div F
2
|
R
n
−E
, φ
+
∂
s
E
{F
1
· ν − F
2
· ν}φ dH
n−1
≤ ||div F
1
||(E) + ||div F
2
||(R −E) + ||F
1
· ν − F
2
· ν||
L
1
(∂
s
E;H
n−1
)
.
Como F ∈ L
∞
(R
n
; R
n
) e, obviamente,
||F ||
L
∞
(R
n
)
≤ ||F ||
L
∞
(E)
+ ||F ||
L
∞
(R
n
−E)
segue que F ∈ DM(R
n
) e, ainda, pela defini¸c˜ao de norma em DM obtemos o resultado
desejado.
5.3 Tra¸co Normal
Nessa se¸c˜ao, analisaremos mais profundamente a no¸c˜ao de tra¸co introduzida na se¸c˜ao
anterior. Assuma que E ´e um conjunto limitado de per´ımetro finito.
Proposi¸c˜ao 5.25. Seja ε > 0 pequeno. Ent˜ao existe um conjunto fechado Q
ε
⊂ ∂
∗
E e
um campo vetorial suave ν
ε
: R
n
→ R
n
tal que
(i)H
n−1
(∂
∗
E − Q
ε
) < ε;
78
(ii) ν
ε
Q
ε
aponta para o interior de E.
Demonstra¸c˜ao. Fixe ε > 0 pequeno. Para cada x ∈ ∂
∗
E, existe a normal interior ν
E
(x)
e o plano tangente H(x), no sentido da Teoria geom´etrica da medida, ao conjunto E em
x. Como E ´e limitado, escolha um conjunto aberto V tal que E ⊂⊂ V . Agora, observe
que ν
E
: ∂
∗
E → S
n−1
´e H
n−1
-mensur´avel. Ent˜ao, pelo Teorema de Lusin, existe um
conjunto compacto Q
ε
⊂ ∂
∗
E tal que
H
n−1
(∂
∗
E − Q
ε
) < ε;
ν
E
Q
ε
= (ν
1
, . . . , ν
n
) ´e cont´ınua.
Aplicando o Teorema de Tietze (veja [20], Teorema 15.8, p.103) a ν
i
: ∂
∗
E → R, existe
uuma extens˜ao cont´ınua ν
i
: R
n
→ R de ν
i
. Defina ν = (ν
1
, . . . , ν
n
), e ponha ν
δ
= ν ∗ η
δ
,
ent˜ao ν
δ
→ ν uniformente em V , quando δ → 0. Portanto, existe δ
0
> 0 tal que o ˆangulo
entre ν
δ
0
(x) e ν(x) ´e menor que π/4, para todo x ∈ Q
ε
. Lembrando que Q
ε
⊂ ∂
∗
E, segue
que ν
δ
0
aponta para o interior de E. Finalmente, o resultado segue pondo ν
ε
= ν
δ
0
.
Agora, fixemos alguma nota¸c˜ao:
Nota¸c˜ao 5.26. Seja ν
ε
definido na proposi¸c˜ao anterior.
(i) Para cada ε > 0, defina ψ
ε
: R
n
× [0, 1] → R
n
por ψ
ε
(x, τ) := x + τν
ε
.
(ii) Para cada τ ∈ (0, 1), defina ψ
ε
τ
: R
n
→ R
n
por ψ
ε
τ
(x) := ψ
ε
(x, τ).
(iii) Para cada ε > 0, defina K
ε
τ
= ψ
ε
τ
(K
ε
) e E
τ
= ψ
ε
τ
(E), onde K
ε
:= int(
K
ε
), onde
K
ε
ser´a escolhido na proposi¸c˜ao (5.27).
Como E ´e um conjunto de per´ımero finito, ent˜ao E
τ
tamb´em ´e um conjunto de per´ımetro
de finito.
Proposi¸c˜ao 5.27. Sejam ε > 0 e Q
ε
como na proposi¸c˜ao anterior. Ent˜ao existe
˜
K
ε
⊂
Q
ε
, H
n−1
(Q
ε
−
˜
K
ε
) < ε e τ
0
> 0 suficientemente pequeno tal que ψ
ε
τ
(x) ∈ int(E) para
todo τ ∈ (0, τ
0
) e x ∈
K
ε
.
Demonstra¸c˜ao. Defina os conjuntos
A
k
=
x ∈ Q
ε
: ψ
ε
τ
(x) ∈ int(E), τ ≤
1
k
, k = 1, 2, . . .
79
Ent˜ao A
1
⊂ ··· ⊂ A
k
⊂ A
k+1
⊂ . . . , e Q
ε
= ∪
∞
k=1
A
k
, o que implica pelo Teorema (2.6),
lim
k→∞
H
n−1
(A
k
) = H
n−1
(Q
ε
).
Portanto, existe um inteiro positivo k
0
= k
0
(ε) tal que H
n−1
(Q
ε
−A
k
0
) < ε. Finalmente,
ponha
K
ε
:= A
k
0
e τ
0
= 1/k
0
, e o resultado s egue.
Observemos que se E ´e um conjunto limitado de per´ımetro finito, e nt˜ao para τ sufi-
cientemente pequeno (dependendo s omente da continuidade de ν
ε
em E), a fun¸c˜ao ψ
ε
τ
|
E
´e uma fun¸c˜ao injetiva. Al´em disso, assuma que
K
ε
=
∞
i=0
M
i
,
onde M
i
´e uma hipersuperf´ıcie de classe C
1
.
O pr´oximo resultado pode ser encontrado em Chen & Torres [9] e mostra que o tra¸co
normal sobre uma classe de superficies de per´ımetro finito pode ser entendido como o li-
mite fraco estrela introduzido por Chen & Frid [6] sobre superf´ıcies deform´aveis Lipschitz,
o qual implica a sua consistˆencia.
Teorema 5.28. Para cada ε > 0, o tra¸co normal F ·ν em K
ε
´e o limite fraco estrela do
tra¸co (4.19) em K
ε
τ
(veja [6]) quando τ → 0. Isto ´e, para qualquer φ ∈ L
1
(K
ε
),
K
ε
(F · ν)(w)φ(w) dH
n−1
= lim
τ→0
K
ε
τ
(F · ν
τ
)(w)(φ ◦ (ψ
ε
τ
)
−1
)(w) dH
n−1
(w)
= lim
τ→0
K
ε
((F · ν
τ
) ◦ ψ
ε
τ
)(w)(φ)(w) dH
n−1
(w)
Demonstra¸c˜ao. Seja P ⊂ K
ε
um conjunto compacto. Escolha φ ∈ C
1
c
(U) tal que φ se
anula numa vizinhan¸ca de P com φ|
P
= 0 e φ|
∂
∗
E−K
ε
= 0. Pelo Teorema (5.23) aplicado
ao conjunto E
τ
, temos
E
1
τ
φ div F = −
E
1
τ
F · ∇φ −
∂
s
E
τ
φ F · ν
τ
dH
n−1
. (5.31)
Por outro lado, pelo Teorema (5.23) aplicado ao conjunto E, tamb´em obtemos a seguinte
identidade
E
1
φ div F = −
E
1
F · ∇φ −
∂
s
E
φ F · ν dH
n−1
. (5.32)
80
Como X
E
1
τ
→ X
E
1
pontualemente, ent˜ao passando ao limite quando τ → 0 e usando o
Teorema da Convergˆencia Dominada, obtemos
E
1
τ
φ div F →
E
1
φ div F e −
E
1
τ
F · ∇φ →
E
1
F · ∇φ. (5.33)
O que implica, por (5.31), (5.32) e (5.33),
∂
s
E
τ
φ F · ν
τ
dH
n−1
→
∂
s
E
φ F · ν dH
n−1
. (5.34)
Pela escolha de φ, ent˜ao obtemos o seguinte limite,
K
ε
τ
φ F · ν
τ
dH
n−1
→
K
ε
τ
φ F · ν dH
n−1
. (5.35)
Agora, como φ|
K
ε
τ
pode ser trocado por φ|
K
ε
τ
◦ (ψ
ε
τ
)
−1
com erro que vai a zero quando
τ → 0, obtemos
lim
τ→0
K
ε
τ
(F · ν
τ
)(w)(φ ◦ (ψ
ε
τ
)
−1
)(w) dH
n−1
(w) =
K
ε
(F · ν)(w)φ(w) dH
n−1
para toda φ ∈ L
1
(K
ε
). De fato, podemos aproximar qualquer fun¸c˜ao φ ∈ L
1
(K
ε
) por
uma seq¨uˆencia {φ
j
}
∞
j=1
de fun¸c˜oes de classe C
1
em uma vizinhan¸ca de ∂E tal que para
cada φ
j
´e nula fora de uma vizinhan¸ca P
j
⊂⊂ K
ε
com P
j
→ K
ε
e φ
j
→ φ em L
1
(K
ε
)
quando j → ∞. Ent˜ao para τ suficientemente pequeno,
K
ε
τ
φ((ψ
ε
τ
)
−1
(w))(F · ν
τ
)(w)dH
n−1
(w) −
K
ε
φ(w)(F · ν)(w)dH
n−1
(w)
≤
K
ε
τ
|φ((ψ
ε
τ
)
−1
(w))(F · ν
τ
)(w) − φ
j
((ψ
ε
τ
)
−1
(w))(F · ν
τ
)(w)|dH
n−1
(w)
+
K
ε
τ
φ
j
((ψ
ε
τ
)
−1
(w))(F · ν
τ
)(w) −
K
ε
φ
j
(w)(F · ν
τ
)(w)dH
n−1
(w)
+
K
ε
|φ
j
(w)(F · ν
τ
)(w) − φ(w)(F · ν
τ
)(w)|dH
n−1
(w)
= I
τ
1
+ I
τ
2
+ I
τ
3
.
Agora, usando a F´ormula da
´
Area obtemos
|I
τ
1
| ≤
K
ε
τ
|φ((ψ
ε
τ
)
−1
(w)) − φ
j
((ψ
ε
)
−1
(w))(F · ν
τ
)(w)| dH
n−1
(w)
≤
K
ε
|Jψ
ε
τ
||(φ −φ
j
)(w)||(F · ν
τ
)(ψ
ε
τ
(w))|dH
n−1
(w)
≤ C
K
ε
|(φ −φ
j
)(w)|dH
n−1
(w).
81
com |Jφ
τ
| ≤ C e |F · ν
τ
| ≤ C para todo τ > 0 pequeno. Portanto, fixando j e passando
ao limite quando τ → 0, implica que I
τ
2
converge a zero; pois para cada φ
j
anula-se fora
de uma vizinhan¸ca de P
j
⊂⊂ K
ε
. Agora, fazendo j → ∞ segue que I
τ
1
e I
τ
3
convergem
a zero, pois φ
j
→ φ em L
1
(K
ε
). O que prova a primeira identidade. Para ver a segunda
aplique a F´ormula da
´
Area e use o fato de que a deforma¸c˜ao ´e regular, isto ´e,
lim
τ→0
Jφ
ε
τ
= 1,
para obter a segunda identidade.
Observe que o Teorema (5.28) tamb´em ´e satisfeito s e a fronteira for cont´ınua. Agora,
se E ´e um conjunto com fronteira Lipschitz, a no¸c˜ao de tra¸co normal, Teorema (5.23),
coincide com a no¸c˜ao de tra¸co normal introduzida em Chen & Frid [6], usando deforma¸c˜oes
Lipschitz. Esse fato pode ser provado da mesma maneira que o Teorema (5.28) quando
a ∂E ´e Lipschitz deform´avel. Al´em disso, foi provado em [6] que se ∂E ´e lipschitz
deform´avel e ||div F ||(∂E) = 0, o tra¸co obtido por deforma¸c˜oes Lipschitz coincide com o
usual significado de F ·ν para H
n−1
quase todo ponto x ∈ ∂E, com ν a normal unit´atia
interior a E. Portanto, o tra¸co constru´ıdo em Chen & Torres [9] tem a mesma propriedade
do tra¸co introduzido em [6].
82
Apˆendice A
Nota¸c˜ao
A.1 Nota¸c˜ao Vetorial e de Conjuntos
1. R
n
(n ≥ 1) ´e o espa¸co Euclideano real n-dimensional, e R
1
= R.
2. x = (x
1
, . . . , x
n
) ´e um t´ıpico ponto do R
n
.
`
As vezes, escreveremos x = (x
, x
n
) ∈ R
n
para x
∈ R
n−1
.
3. x · y = x
1
y
1
+ ···+ x
n
y
n
´e o produto interno usual do R
n
e |x| =
x
2
1
+ ··· + x
2
n
=
√
x · x ´e a norma Euclidiana do R
n
.
4. O vetor α = (α
1
, . . . , α
n
), onde α
i
∈ N, i = 1, . . . , ´e denominado um multi-´ındice
de ordem |α| = α
1
+ ··· + α
n
.
5. Seja r > 0. Dizemos que
B(x; r) = {y ∈ R
n
: |x − y| < r}
´e a bola aberta do R
n
, e
B[x; r] = {y ∈ R
n
: |x − y| ≤ r}
´e a bola fechada do R
n
. E escreveremos α(n) para o volume da bola unit´aria do R
n
.
6. Seja r > 0. Dizemos que
Q(x; r) = {y ∈ R
n
: |x
i
− y
i
| < r, i = 1, . . . }
´e o cubo aberto do R
n
, e
Q[x; r] = {y ∈ R
n
: |x
i
− y
i
| ≤ r i = 1, . . . }
83
´e o cubo fechado do R
n
.
7. Seja r > 0. Dizemos que
C(x; r, h) = {y ∈ R
n
: |x
− y
| < r, |x
n
− y
n
| < h}
´e o cilindro aberto do R
n
8. Seja E um conjunto do R
n
. Escrevemos ∂E para a fronteira topol´ogica de E, E
para o fecho de E e E
o
, ou int(E), para o interior topol´ogico de E.
9. U, V, W s˜ao usualmente conjuntos abertos do R
n
e K, um conjunto compacto do
R
n
. Ainda, dizemos que V esta compactamente contido em U, e denotamos por
V ⊂⊂ U, se V ´e compacto e V ⊂ U.
A.2 Nota¸c˜ao para fun¸c˜oes
Dado U um subconjunto do R
n
, seja f : U −→ R
m
um fun¸c˜ao tal que f = (f
1
, . . . , f
m
).
1. Dizemos que spt(f) = {f = 0} ´e o suporte da f. Ainda, dizemos que f tem suporte
compacto em E se spt(f) ⊂ U ´e compacto.
2. f
+
= max(f; 0), f
−
= max(−f; 0), f = f
+
−f
−
e |f| = f
+
+ f
−
. Al´em disso, X
E
´e
a fun¸c˜ao caracter´ıstica de E, isto ´e,
X
E
(x) =
1, se x ∈ E
0, se x /∈ E.
3. Dado um multi-´ındice α tal que |α| ≤ k, definimos
D
α
f(x) :=
∂
|α|
f(x)
∂x
α
1
1
. . . ∂x
α
n
n
= ∂
α
1
x
1
. . . ∂
α
n
x
n
f(x),
D
α
f := (D
α
f
1
, . . . , D
α
f
m
);
i Se k ´e um inteiro positivo, ent˜ao
D
k
f := {D
α
f : |α| = k} e |D
k
f|
2
=
|α|=k
|D
α
f|
2
.
ii Se m=1, ent˜ao
∇f = (f
x
1
, . . . , f
x
n
) (Vetor Gradiente de f).
84
iii Se k = 1 ent˜ao
Df =
∂f
1
∂x
1
∂f
1
∂x
2
. . .
∂f
1
∂x
n
∂f
2
∂x
1
∂f
2
∂x
2
. . .
∂f
2
∂x
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∂f
m
∂x
1
∂f
m
∂x
2
. . .
∂f
m
∂x
n
m×n
(Matriz gradiente de f).
Ainda, se n = m, o jacobiano de f ´e Jf(x) = det(Df), e se n = m ent˜ao Jf(x)
´e a soma dos subterminantes n × n de Df.
A.3 Espa¸cos de fun¸c˜oes
1. C(U) = {f : U −→ R | f ´e cont´ınua}
2. C(U) = {f ∈ C(U) | f ´e uniformente cont´ınua}
3. C
k
(U) = {f : U −→ R | f ´e k-vezes continuamente diferenci´avel}
4. C
k
(U) = {f ∈ C
k
(U) | D
α
f ∈ C(U), para toda |α| ≤ k}
5. C
∞
(U) = {f : U −→ R| f ´e infinitamente dif erenci´avel}
6. C
c
(U), C
k
c
(U), etc. denota as fun¸c˜oes de C(U), C
k
(U), etc. com suporte compacto.
7. BV (U) ´e o espa¸co das fun¸c˜oes de Varia¸c˜ao Limitada.
8. DM(U) ´e o espa¸co de campos de medida divergente.
9. D(U) ´e o espa¸co das fun¸c˜oes teste e D
(U) ´e o espa¸co das distribui¸c˜oes.
10. L
p
(U) = {f : U −→ R| f ´e Lebesgue mensur´avel, ||f||
L
p
(U)
< ∞}, onde
||f||
L
p
(U)
:=
|f|
p
dx
1
p
(1 ≤ p ≤ ∞).
11. L
∞
(U) = {f : U −→ R| f ´e Lebesgue mensur´avel, ||f||
L
∞
(U)
< ∞}, onde
||f||
L
∞
(U)
:= ess sup
U
|f| = inf{C ∈ R : |{|f | > C}| = 0}.
12. L
p
loc
(U) = {f : U −→ R| f ∈ L
p
(U) para cada V ⊂⊂ U}.
13. M(U) ´e o espa¸co das medidas de Radon com sinal.
14. M(U; R
n
) ´e o espa¸co das medidas de Radon vetorial.
15. W
k,p
(U) ´e o espa¸co de Sobolev.
85
Referˆencias Bibliogr´aficas
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1975.
[2] Ambrosio, L., Fusco, N., Pallara, D., Functio ns of Bounded Variation and Free Dis-
continuity Problems. Oxford Mathematical Monografs, The Clarendon Press, Oxford
University: New York, 2000.
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ness. Ann. Mat. Pura Appli. 135 (1983), 293-318.
[4] Caccioppoli, R. Misura e integrazione sugli insiemi dimensionalmente orientati.
Rend. Acad. Naz. Lincei,12, (1952), 3-11,137-146.
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86
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[23] Ziemer, W.P., Weakly Differentiable Functions: Sobolev and Funtions of Bounded
Variation. Springer-Verlag: New York, 1989.
87
´
Indice Remissivo
σ-´algebra, 7
Campo de Medida Divergente, 42
Local, 43
Conjunto
µ-mensur´avel, 8
de Caccioppoli, 62
de Per´ımetro Finito, 62
Deforma¸c˜ao Lipschitz, 53
Derivada
distribuicional, 27
fraca, 26
Distribui¸c˜ao, 25
Espa¸co
BV, 33
de Medida Divergente, 42
de Sobolev, 28
F´ormula
da
´
Area, 17
da Co´area, 17
da mudan¸ca de vari´aveis, 17
de Gauss Green, 58
de Gauss-Green, 22, 30, 38, 77
Fronteira Lipschitz, 20
Fronteira Lipschitz Deform´avel, 53
Fun¸c˜ao
µ-mensur´avel, 8
BV, 33
BV local, 33
de Sobolev, 28
Lema
de Du Bois Raymond, 18
de Fatou, 10
Limite
Aproximado, 67
Aproximado Restrito, 68
Medida, 8
absolutamente cont´ınua, 13
Borel Regular, 8
com sinal, 10
de Borel, 8
de Hausdorff, 16
de Radon, 8
de varia¸c˜ao, 14
Parti¸c˜ao da Unidade, 22
Ponto
de Lebesgue, 13
regular, 68
Regularizador padr˜ao, 18
88
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