( PDF ) Análise comparativa de incertezas em métodos para estimação de freqüências de vazões máximas diárias com incorporação de variação climática em bacias do medio Rio Uruguai

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

INSTITUTO DE PESQUISAS HIDRÁULICAS

ANÁLISE COMPARATIVA DE INCERTEZAS EM

MÉTODOS PARA ESTIMAÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DE

VAZÕES MÁXIMAS DIÁRIAS COM INCORPORAÇÃO

DE VARIAÇÃO CLIMÁTICA EM BACIAS DO MEDIO

RIO URUGUAI

Nicolás Failache Gallo

Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação em Recursos Hídricos e

Saneamento Ambiental da Universidade Federal do Rio Grande do Sul como requisito

parcial para a obtenção do título de Mestre em Engenharia.

Orientador: Adolfo O. N. Villanueva

Co-orientador: Robin T. Clarke

Banca Examinadora

Prof. Dr. Cíntia Bertacchi Uvo - Lund University, LU, Suécia

Prof. Dr. Joel Avruch Goldenfum - IPH/UFRGS

Prof. Dr. André Silveira - IPH/UFRGS

Porto Alegre, 5 de outubro de 2007

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“Do rio que tudo arrasta se diz que é violento. Mas ninguém diz:

violentas as margens que o comprimem...”

Bertolt Brecht

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Apresentação

Este trabalho foi desenvolvido no Programa de Pós-Graduação em Recursos

Hídricos e Saneamento Ambiental do Instituto de Pesquisas Hidráulicas da

Universidade Federal do Rio Grande do Sul, sob a orientação dos Professores Adolfo O.

N. Villanueva e Robin T. Clarke.

Desejo agradecer a todos aqueles que contribuíram para a realização deste

trabalho;

Ao Instituto de Pesquisas Hidráulicas da Universidade Federal do Rio Grande do

Sul pela possibilidade de realizar o mestrado.

Ao projeto de Gestão Integrada de Enchentes na bacia do rio Quaraí pela bolsa

de trabalho. Ao Professor Adolfo e o pessoal da DNH Uruguai e IPH Brasil.

Aos meus orientadores pela dedicação, paciência, observações e apoio

dedicados.

Aos colegas e amigos que fiz no IPH e na sala de hidrologia, Daniel, Ruti,

Adolfo, Márcio, Marllus, Ivanilto, Martin, Benedito, Walter, Beatriz, Bruno, Ruberto,

Christofer, Diogo, Mônica.

A todos os professores do programa de pós-graduação, ás bibliotecárias, ao

pessoal da secretaria do curso de pós-graduação. Aos amigos Álvaro Diaz e Gabriel

Cazes pelas ajudas.

À Daniel e Ruti pelo apoio e amizade.

À minha família.

À Nati pela vida juntos.

Resumo

O presente trabalho apresenta metodologias para aprimorar a estimativa de freqüências

de vazões diárias máximas extremas na bacia de rio Quaraí e de 13 bacias do médio rio

Uruguai, no Brasil e Uruguai. Inicialmente foram ajustados, para os dados de cada

bacia, e utilizando máxima verossimilhança, os parâmetros da distribuição GEV e seu

caso particular Gumbel. Utilizando a função de Deviança foi testada em cada caso, com

um nível de significância de 95%, a conveniência de utilizar o modelo GEV (3

parâmetros) em lugar do modelo Gumbel (2 parâmetros). Também foram analisados os

valores e as incertezas de vazões de 25, 50 e 100 anos de período de retorno calculados

com as duas distribuições. O resultado obtido foi que é satisfatório utilizar o modelo de

Gumbel. Posteriormente, foi proposto um novo modelo a partir da distribuição de

Gumbel. Este modelo supõe uma dependência linear do parâmetro de posição µ com as

temperaturas de superfície do oceano SST (µ(t)=a+b.SST(t)). Novamente os parâmetros

a, b e σ foram estimados mediante máxima verossimilhança. Foram utilizados os dados

de reconstrução das SST dos oceanos disponíveis desde o ano 1854 para todo o planeta

em células de 2 graus. Para cada célula de temperaturas de superfície do oceano

Pacífico foi testada, para cada bacia, utilizando a função de Deviança, a significância de

supor b≠0. A região compreendida entre os 14ºN, 12ºS, 79ºO e 149ºO, é a que apresenta

maior significância de que o modelo proposto (supondo b≠0) consiga um melhor ajuste

dos dados. O seja a probabilidade calculada de ocorrer as vazões observadas é maior se

são consideradas as SST, além disso, pode se dizer que o teste efetuado indica que é

maior o ganho de incorporar as SST do que agregar um novo parâmetro ao modelo. Em

12 bacias o modelo ajustado prevê que com o aumento da SST os períodos de retorno

de vazões extremas diminuem, resultado coerente com o obtido por diversos autores

para as precipitações e vazões médias e extremas em escala de tempo mensal ou anual.

No trabalho foram analisadas três técnicas para determinar os intervalos de confiança

dos parâmetros e as vazões ajustadas: a técnica que utiliza a curvatura do logaritmo da

função de máxima verossimilhança e duas técnicas de bootstrap. As técnicas de

bootstrap foram implementadas para determinar intervalos de confiança nos parâmetros

ou diretamente nas vazões. As duas técnicas resultaram similares, mas no modelo

proposto com as SST os intervalos de confiança somente puderam ser obtidos a partir

da técnica de bootstrap diretamente nas vazões.

Abstract

This work presents methods for improving estimates of the frequency of occurrence of

extreme values of annual daily flows in the basin of the R. Quaraí and 13 other basins in

the middle of the R. Uruguai catchment. For each basin, the three parameters of the

Generalized Extreme Value (GEV) distribution were estimated by maximum likehood,

together with the two parameters of the Gumbel distribution, a special case of the GEV

distribution. Using the Deviança function, the hypothesis that the Gumbel distribution

(2 parameters) gave an adequate fit to the distribution was tested against the alternative

GEV (3 parameters), using a 5% significance level. Values of annual maxima with

return periods 25, 50 and 100 years, and their errors, were then analyzed for the two

distributions. Results showed that the Gumbel distribution fitted adequately. A new

model was then tested using the Gumbel distribution, in which the position parameter

was a linear function of sea surface temperature SST (µ(t)=a+b.SST(t)). The parameters

a, b and the dispersion parameter σ were again estimated by maximum likelihood. The

reconstructed series of global SST extending back to 1854 was used with a grid size of

2 degrees. For each cell in the Atlantic Ocean, a Deviança function was calculated and

the hypothesis b=0 was tested for each basin. The ocean region showing strongest

evidence against the hypothesis b=0 lay between 14ºN, 12ºS, 79ºW and 149ºW,

showing that the fit of the Gumbel distribution to the observed annual maxima is better

when they are related to SST, so that is then preferable to use the Gumbel with SSTs

than to use the extra parameter of the GEV distribution. In 12 basins the fitted model

showed that as SST increases, the return period of extreme flows decreases. This agrees

with results obtained by other authors for rainfall and mean and extreme flows at the

monthly and annual time scales. Three methods were compared for evaluating

confidence intervals for model parameters and fitted flows: these were a method using

curvature of the log-likehood function, and two bootstrap methods. The bootstrap

methods were used to determine the confidence intervals of parameters or of flows

directly. The two methods gave similar results, but in the model which includes SST,

confidence intervals could only be calculated by the bootstrap method directly for

flows.

Sumario

1 INTRODUÇÃO............................................................................................................................- 1 -

1.1 JUSTIFICATIVA..............................................................................................................- 1 -

1.2 DESCRIÇÃO GERAL DO TRABALHO................................................................................- 3 -

2 OBJETIVOS.................................................................................................................................- 5 -

2.1 OBJETIVO GERAL .........................................................................................................- 5 -

2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS...............................................................................................- 5 -

3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA....................................................................................................- 6 -

3.1 DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIAS E PERÍODOS DE RETORNO. ........................................- 6 -

3.1.1 Distribuição de freqüências .............................................................................. - 6 -

3.1.2 Período de retorno ............................................................................................ - 6 -

3.2 DISTRIBUIÇÕES DE VALORES EXTREMOS E METODOLOGIAS PARA ESTIMAÇÃO DOS

PARÂMETROS

. ...............................................................................................................- 7 -

3.2.1 Distribuição de valores extremos...................................................................... - 7 -

3.2.2 Estimação dos parâmetros por meio do método dos momentos........................ - 8 -

3.2.3 Estimação dos parâmetros por meio de máxima verossimilhança.................. - 11 -

3.3 INTERVALOS DE CONFIANÇA.......................................................................................- 12 -

3.3.1 Intervalo de confiança utilizando a curvatura da superfície do logaritmo da

função de máxima verossimilhança................................................................. - 13 -

3.3.2 Intervalos de confiança utilizando técnicas de bootstrap ............................... - 14 -

3.4 TESTE DE HIPÓTESES PARA ESCOLHER A DISTRIBUIÇÃO ..............................................- 15 -

3.5 RELAÇÕES ENTRE CHUVAS E VAZÕES DA REGIÃO COM AS SST...................................- 15 -

3.6 RECONSTRUÇÃO DOS DADOS HISTÓRICOS DAS TEMPERATURAS DE SUPERFÍCIE DO

OCEANO

. .....................................................................................................................- 19 -

4 METODOLOGIA E DADOS DISPONÍVEIS.........................................................................- 21 -

4.1 CONSISTÊNCIA DOS DADOS .........................................................................................- 21 -

4.2 AJUSTE DAS DISTRIBUIÇÕES GEV E GUMBEL AOS DADOS DE VAZÃO MÁXIMA ANUAL DAS

BACIAS E TEST DE HIPÓTESES PARA ESCOLHA DA DISTRIBUIÇÃO

.................................- 26 -

4.3 INTERVALOS DE CONFIANÇA.......................................................................................- 27 -

4.4 APRIMORAMENTO DO AJUSTE DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS UTILIZANDO

INFORMAÇÃO CLIMÁTICA

............................................................................................- 27 -

4.5 ANALISE DE SENSIBILIDADE DA SÉRIE AUXILIAR ESCOLHIDA......................................- 29 -

5 RESULTADOS..........................................................................................................................- 30 -

5.1 NÚMERO DE GERAÇÕES DE BOOTSTRAP......................................................................- 30 -

5.2 ESTAÇÃO 84, BACIA DO QUARAÍ.................................................................................- 31 -

5.2.1 Ajuste da distribuição de freqüências e intervalos de confiança dos parâmetros e

das vazões........................................................................................................ - 31 -

5.2.2 Ajuste da distribuição de freqüências e intervalos de confiança dos parâmetros e

das vazões na estação 84, bacia do Quaraí, utilizando séries auxiliares de

temperatura de superfície do oceano. ............................................................. - 34 -

5.3 RESULTADOS NAS RESTANTES BACIAS DA REGIÃO .....................................................- 41 -

5.3.1 Ajuste da distribuição de freqüências e intervalos de confiança dos parâmetros e

das vazões........................................................................................................ - 41 -

5.3.2 Ajuste da distribuição de freqüências e intervalos de confiança dos parâmetros e

das vazões, utilizando séries auxiliares de temperatura de superfície do oceano....

......................................................................................................................... - 47 -

6 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES................................................................................ - 51 -

6.1 CONCLUSÕES..............................................................................................................- 51 -

6.2 RECOMENDAÇÕES ......................................................................................................- 53 -

7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.....................................................................................- 54 -

ANEXO 1, AJUSTES DAS DISTRIBUIÇÕES GUMBEL E GEV, COM INTERVALOS DE

CONFIANÇA DE 95% AOS DADOS DE VAZÃO MÁXIMA ANUAL DAS BACIAS

ESTUDADAS.

ANEXO 2, VALORES DA FUNÇÃO DE DEVIANÇA DAS CÉLULAS DE SST PARA

CADA BACIA.

ANEXO 3, ANALISE DA SENSIBILIDADE NA ESCOLHA DA CÉLULA ÓTIMA.

Lista de tabelas

TABELA 4.1.1. DADOS UTILIZADOS NO ESTUDO. .....................................................................................- 22 -

TABELA 4.1.2. CRITÉRIOS DE ATRIBUIÇÃO DE QUALIDADE AOS POSTOS QUANTO À VAZÃO MÁXIMA, TUCCI

(1993)............................................................................................................................................- 23 -

TABELA 4.1.3. NOTA DE CADA POSTO. ....................................................................................................- 23 -

TABELA 4.1.4. CARACTERÍSTICAS DAS SÉRIES DE VAZÕES MÁXIMAS ANUAIS .........................................- 24 -

TABELA 5.2.1.PARÂMETROS ESTIMADOS, INTERVALOS DE CONFIANÇA DE 95% E FUNÇÃO DE MÁXIMA

VEROSSIMILHANÇA

, PARA AS DISTRIBUIÇÕES DE GUMBEL E GEV NA BACIA DO QUARAÍ..............- 32 -

TABELA 5.2.2. VAZÕES PARA 2, 25, 50, 75 E 100 ANOS DE PERÍODO DE RETORNO E INTERVALOS DE

CONFIANÇA DE

95% ESTIMADOS COM AS DISTRIBUIÇÕES DE GUMBEL E GEV NA BACIA DO QUARAÍ....

......................................................................................................................................................-

32 -

TABELA 5.2.3. PARÂMETROS ESTIMADOS E INTERVALOS DE CONFIANÇA DE 95% PARA O MODELO

PROPOSTO

......................................................................................................................................- 37 -

TABELA 5.2.4. VAZÕES PARA 2, 25, 50, 75 E 100 ANOS DE PERÍODO DE RETORNO E INTERVALOS DE

CONFIANÇA DE

95% (OBTIDOS DIRETAMENTE) NA BACIA DO QUARAÍ ESTIMADOS COM A

DISTRIBUIÇÃO DE

GUMBEL PROPOSTA PARA 26, 28 E 30 GRAUS DE TEMPERATURA MÉDIA DE

SUPERFÍCIE DO OCEANO NA CÉLULA ESCOLHIDA

............................................................................- 38 -

TABELA 5.2.5. PERÍODOS DE RETORNO INTERVALOS DE CONFIANÇA DE 95% (OBTIDOS DIRETAMENTE) PARA

AS VAZÕES DE

2, 25, 50, 75 E 100 ANOS DE PERÍODO DE RETORNO OBTIDAS COM A DISTRIBUIÇÃO DE

GUMBEL NA BACIA DO QUARAÍ PARA 26, 28 E 30 GRAUS DE TEMPERATURA MÉDIA DA SUPERFÍCIE DO

OCEANO NA CÉLULA ESCOLHIDA

....................................................................................................- 39 -

TABELA 5.3.1. PARÂMETROS ESTIMADOS, E INTERVALOS DE CONFIANÇA DE 95% DA DISTRIBUIÇÃO DE

GUMBEL PARA AS BACIAS ESTUDADAS. .........................................................................................- 41 -

TABELA 5.3.2. PARÂMETROS ESTIMADOS, E INTERVALOS DE CONFIANÇA DE 95% DA DISTRIBUIÇÃO GEV

PARA AS BACIAS ESTUDADAS

.........................................................................................................- 42 -

TABELA 5.3.3. VALORES DE LOGARITMO DA FUNÇÃO DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA DOS AJUSTES COM AS

DISTRIBUIÇÕES

GUMBEL E GEV E FUNÇÕES DE DEVIANÇA CALCULADOS A PARTIR DE ELES. .......- 42 -

TABELA 5.3.4. VAZÕES DE 25 ANOS DE PERÍODO DE RETORNO E INTERVALOS DE CONFIANÇA DE 95 %

ESTIMADOS PELAS DISTRIBUIÇÕES

GUMBEL E GEV PARA AS BACIAS ESTUDADAS. .......................- 44 -

TABELA 5.3.5. VAZÕES DE 50 ANOS DE PERÍODO DE RETORNO E INTERVALOS DE CONFIANÇA DE 95 %

ESTIMADOS PELAS DISTRIBUIÇÕES

GUMBEL E GEV PARA AS BACIAS ESTUDADAS. .......................- 45 -

TABELA 5.3.6. VAZÕES DE 100 ANOS DE PERÍODO DE RETORNO E INTERVALOS DE CONFIANÇA DE 95 %

ESTIMADOS PELAS DISTRIBUIÇÕES

GUMBEL E GEV PARA AS BACIAS ESTUDADAS. .......................- 46 -

TABELA 5.3.7. PARÂMETROS ESTIMADOS PARA O MODELO PROPOSTO A PARTIR DA DISTRIBUIÇÃO DE

GUMBEL E INTERVALOS DE CONFIANÇA DE 95% NA CÉLULA ÓTIMA. ............................................- 48 -

TABELA 5.3.8. VALORES DAS FUNÇÕES DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA PARA AS DISTRIBUIÇÕES GUMBEL

COM E SEM SÉRIE AUXILIAR

, FUNÇÃO DE DEVIANÇA E LOCALIZAÇÃO DA CÉLULA ÓTIMA. ............- 49 -

TABELA 5.3.9. PERÍODOS DE RETORNO DE VAZÕES DE 100 ANOS SEGUNDO A DISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL

CALCULADOS MEDIANTE A NOVA DISTRIBUIÇÃO PARA DIFERENTES TEMPERATURAS DO OCEANO DA

CÉLULA ESCOLHIDA

.......................................................................................................................- 50 -

Lista de figuras

FIGURA 1.1.1. VAZÕES MÁXIMAS ANUAIS E MARCAS HISTÓRICAS NA BACIA DO RIO IGUAÇU NA CIDADE DE

UNIÃO DA VITÓRIA. (EXTRAÍDO DE TUCCI & VILLANUEVA, 2001). ................................................- 2 -

FIGURA 1.1.2. VAZÕES MÁXIMAS DIÁRIAS NA BACIA DO QUARAÍ.............................................................- 3 -

FIGURA 4.1.1. LOCALIZAÇÃO DAS BACIAS UTILIZADAS NO ESTUDO. .......................................................- 22 -

FIGURA 4.1.2. HISTOGRAMAS DOS MESES DE OCORRÊNCIA DA VAZÃO MÁXIMA ANUAL. ........................- 25 -

FIGURA 4.1.3. VALORES MÉDIOS E DESVIO PADRÃO DAS PRECIPITAÇÕES MENSAIS NO PLUVIÔMETRO DE

ARTIGAS, PERÍODO 1950-2002. .....................................................................................................- 26 -

FIGURA 5.1.1. INTERVALOS DE CONFIANÇA DE PARÂMETRO AO AUMENTAR O NÚMERO DE GERAÇÕES DE

BOOTSTRAP

....................................................................................................................................- 30 -

FIGURA 5.1.2. INTERVALOS DE CONFIANÇA DAS VAZÕES AO AUMENTAR O NÚMERO DE GERAÇÕES DE

BOOTSTRAP

....................................................................................................................................- 31 -

FIGURA 5.2.1. AJUSTE DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS GEV E INTERVALOS DE CONFIANÇA DE 95%.......

......................................................................................................................................................-

33 -

FIGURA 5.2.2. VALORES DA FUNÇÃO DE DEVIANÇA DO MODELO ALTERNATIVO DA DISTRIBUIÇÃO DE

GUMBEL EM RELAÇÃO AO MODELO ORIGINAL, PARA CADA CÉLULA DE TEMPERATURA DE SUPERFÍCIE

DO OCEANO

, DA BACIA DO QUARAÍ. ..............................................................................................- 35 -

FIGURA 5.2.3. VAZÕES MÁXIMAS ANUAIS NA BACIA DO QUARAÍ E SÉRIE DE TEMPERATURAS DE SUPERFÍCIE

DO OCEANO ESCOLHIDA COM O MODELO DA

GUMBEL PROPOSTO. .................................................- 36 -

FIGURA 5.2.4. VALORES DA FUNÇÃO DE DEVIANÇA DO MODELO ALTERNATIVO DA DISTRIBUIÇÃO GEV EM

RELAÇÃO AO MODELO ORIGINAL

, PARA CADA CÉLULA DE TEMPERATURA DE SUPERFÍCIE DO OCEANO,

DA BACIA DO

QUARAÍ....................................................................................................................- 37 -

FIGURA 5.2.5. AJUSTE DA DISTRIBUIÇÃO PROPOSTA, AVALIADA PARA 28ºC, UTILIZANDO A SÉRIES

AUXILIARES DA CÉLULA ESCOLHIDA E A SÉRIE AUXILIAR FEITA DA MÉDIA DAS

24 CÉLULAS MAIS

PRÓXIMAS

......................................................................................................................................- 40 -

FIGURA 5.2.6. DISTRIBUIÇÃO AJUSTADA E INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA 28ºC NA CÉLULA ESCOLHIDA,

E DISTRIBUIÇÕES AJUSTADAS INDIVIDUALMENTE NAS

24 CÉLULAS MAIS PRÓXIMA (SEM INCLUIR OS

INTERVALOS DE CONFIANÇA

).........................................................................................................- 40 -

FIGURA 5.3.1. VAZÃO DE 100 E 50 ANOS DE PERÍODO DE RETORNO ESPECIFICA PELA ÁREA DA BACIA APARA

AS BACIAS ESTUDADAS

. .................................................................................................................- 43 -

FIGURA 5.3.2. VAZÃO DE 100 ANOS DE PERÍODO DE RETORNO ESPECIFICA PELA ÁREA DA BACIA E

INTERVALO DE CONFIANÇA ESTIMADO PELO MÉTODO CURVATURA DA SUPERFÍCIE DO LOGARITMO DA

FUNÇÃO DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA PARA AS DISTRIBUIÇÕES

GUMBEL E GEV NAS BACIAS

ESTUDADAS

. ..................................................................................................................................- 43 -

Lista de símbolos

Z, z variável aleatória

Ω espaço amostral

g(z) função de densidade de probabilidade

Pr probabilidade

Tr período de retorno

G(z) função de distribuição de probabilidades

z- e z+ limites inferiores e superiores de Ω.

µ parâmetro de locação da distribuição generalizada de valores extremos

σ parâmetro de escala da distribuição generalizada de valores extremos

ξ parâmetro de forma da distribuição generalizada de valores extremos

E(Z) valor esperado de uma variável aleatória Z

momento de primeiro ordem

µ momento de ordem r

VAR(Z) variância de uma variável aleatória Z

−

z momento da amostra de primeiro ordem

m momento da amostra da ordem r

s estimador do desvio padrão

∧

estimativa do parâmetro σ

∧

estimativa do parâmetro µ

∧

estimativa do parâmetro ξ

θ parâmetros da distribuição

∧

θ estimativa dos parâmetros da distribuição

s,r,p

M momentos ponderados pela probabilidade

4321

e,, λλλλ

momentos L

L(θ) função de máxima verossimilhança

ℓ (θ) logaritmo da função de máxima verossimilhança

n numero de dados da amostra

V(t) série temporal auxiliar

t tempo

matriz de informação

d numero de parâmetros da distribuição

MVN distribuição normal multivariada

N distribuição normal

α nível de significância

α/2

quantil (1-α/2) da distribuição normal padrão

matriz de informação observada

qmax série de vazões máximas

qmax* série gerada de vazões máximas

B numero de gerações de bootstrap

D função de Deviança

χ função chi quadrado com k graus de liberdade

modelos estatísticos

(1-α) quantil da distribuição

ºS, ºO graus latitude leste e oeste

Lista de Siglas

GEV Distribuição de Extremos Generalizada

SST temperatura de superfície do oceano

SOI Índice da Oscilação Sul

ENSO El Niño Southern Oscilation

COADS Comprehensive Ocean-Atmosphere Data Set

ANA Agência Nacional de Águas

DNH Dirección Nacional de Hidrografía

- 1 -

1 Introdução

1.1 Justificativa

Para o projeto de obras civis, proteção de populações contra enchentes e

planejamento urbano, é necessário conhecer o período de retorno das vazões extremas

máximas. Particularmente para a planificação urbana, os períodos de retorno de vazões

extremas e suas áreas atingidas devem ser levados em conta para evitar grandes

prejuízos sociais e econômicos. Por exemplo, no caso da cidade de Artigas que possui

uns 44600 habitantes, segundo dados do Sistema Nacional de Emergências do Uruguai,

as enchentes do rio Quaraí têm provocado que quase 13000 pessoas tiveram que ser

evacuadas entre os anos 1997 e 2005. Somente na enchente do junho de 2001 (Figura

1.1.1) 5000 pessoas resultaram prejudicadas (11% da população).

Quando no local existe uma série de vazões registradas, o procedimento clássico

para estimar estes períodos de retorno consiste em:

o Construir a série de vazões extremas anuais (máximos ou mínimos).

o Ajustar uma distribuição de freqüências teórica a esta série.

o A partir da distribuição ajustada, estimar os períodos de retorno de vazões

extremas, ou estimar as vazões com determinado período de retorno.

Se o local não tem uma série registrada, geralmente são utilizados estudos

regionais de vazão ou modelos de transformação precipitação-vazão (curvas IDF).

Geralmente as distribuições de freqüências são feitas com 30 a 60 anos de dados

e até menos, e extrapoladas a períodos de retorno de 100 anos ou mais. Estes períodos

de dados nem sempre garantem a representatividade da série, já que não

necessariamente toda a variabilidade das vazões da bacia ocorre nestes anos.

- 2 -

Um exemplo que ilustra esse fato são as vazões ocorridas no Rio Iguaçu que

afetaram as cidades de União da Vitória e Porto União nos anos 1983 e 1992. Como

pode-se observar na Figura 1.1.1, no período 1930-1983 as vazões máximas ocorridas

não são representativas da variabilidade das vazões ocorridas na bacia no período 1890-

2000. Assim, o período de retorno da enchente de 1983 estimado a partir dos dados

contínuos no período 1930-1983 é de aproximadamente 1000 anos, mas incorporando

marcas históricas de enchentes de anos anteriores (1891, 1905 e 1911), este período de

retorno cai a 170 anos (Tucci & Villanueva, 2001). No entanto, na maioria dos estudos

não se dispõe de marcas históricas e no caso de dispor destas, muitas vezes a sua

qualidade é duvidosa. Neste sentido a presente dissertação visa melhorar estimações

mediante o uso de outro tipo de informações.

Figura 1.1.1. Vazões máximas anuais e marcas históricas na bacia do Rio Iguaçu na cidade de União da

Vitória. (Extraído de Tucci & Villanueva, 2001).

O exemplo que motiva a presente dissertação é ilustrado na Figura 1.1.2, onde

são apresentadas as vazões máximas diárias na bacia do Rio Quaraí. Nesta série e

possível observar que se a distribuição de freqüências fosse ajustada no período

1967 / 1990 as vazões ocorridas nos anos 1991 e 2001 teriam um período de retorno

muito maior ao que teriam se fosse ajustada a distribuição com a série total.

- 3 -

1000

2000

3000

4000

5000

6000

1965 1970 1975 1980 1985 1 990 199 5 2000 20 05

Anos

Vazão maxima anual (m

/s)

Figura 1.1.2. Vazões máximas diárias na bacia do Quaraí.

1.2 Descrição geral do trabalho

O trabalho consistiu em:

o Revisão bibliográfica sobre distribuições de valores extremos e metodologias para

a estimação dos parâmetros e intervalos de confiança.

o Revisão bibliográfica sobre relações entre chuvas e vazões com índices climáticos

e as temperaturas de superfície do oceano na região da Bacia do Prata.

o Coleta e consistência dos dados de vazão existentes nas bacias do médio rio

Uruguai.

o Ajuste da Distribuição de Extremos Generalizada GEV e seu caso particular de

Gumbel utilizando o método de máxima verossimilhança aos dados de vazões

máximas anuais das bacias com dados consistidos. Eleição da distribuição

utilizando um teste estatístico.

o Determinação dos intervalos de confiança dos parâmetros e das vazões extremas

das séries ajustadas utilizando distintas técnicas.

- 4 -

o Proposta de um novo modelo de distribuição utilizando séries auxiliares de

temperatura de superfície do oceano, ajuste mediante método de máxima

verossimilhança e determinação de intervalos de confiança.

o Em todos os casos, avaliação dos resultados obtidos.

- 5 -

2 Objetivos

2.1 Objetivo Geral

Aprimorar a estimativa de freqüências de vazões extremas em bacias do médio

rio Uruguai.

2.2 Objetivos Específicos

Qual é a melhor distribuição de freqüências para ajustar as vazões máximas

diárias em bacias do médio rio Uruguai?

Quais são as metodologias que podem ser utilizadas para determinar os

intervalos de confiança dos parâmetros da distribuição ajustada e das vazões extremas

calculadas? Alguma é superior as outras?

Existem relações entre a variabilidade climática da atmosfera e o oceano

Pacífico com a ocorrência de eventos extremos de vazão em bacias do médio rio

Uruguai? É possível quantificá-la?

- 6 -

3 Revisão bibliográfica

3.1 Distribuições de freqüências e períodos de retorno.

3.1.1

Distribuição de freqüências

Dada uma variável aleatória Z, um modelo estatístico (distribuição de

probabilidade) é construído para estimar as incertezas da ocorrência de valores de

interesse z da variável. É determinada assim a probabilidade de ocorrência de que Z

tome o valor z. O conjunto de todos os possíveis valores que pode tomar a variável

aleatória Z é chamado Ω, espaço amostral. As variáveis aleatórias podem tomar valores

discretos ou contínuos. No caso discreto a distribuição de probabilidade é determinada

pela função de densidade de probabilidade:

)zZPr()z(g

para cada valor de z em Ω,

espaço amostral discreto. No caso contínuo não é possível identificar valores pontuais,

portanto a distribuição de probabilidade é determinada pela função de distribuição de

probabilidades:

)zZPr()z(G ≤= para cada z em Ω, espaço amostral contínuo. Este é o

caso das vazões máximas. A função G(z) satisfaz as propriedades de ser monótona

crescente, e de tomar os valores G(z-)=0 e G(z+)=1, onde z- e z+ são os limites

inferiores e superiores de Ω.

Se a função G(z) e diferenciável, a função de densidade de probabilidade é

definida como:

)z(g =

portanto G(z) fica:

∫

∞−

µµ=≤=

d)(g)zZPr()z(G

3.1.2 Período de retorno

Para fixar as idéias a variável aleatória Z considerada será a vazão máxima

anual. Não existe uma definição universalmente aceitada do período de retorno

(Smith 2001); uma delas diz que a vazão de n anos de período de retorno é aquela que é

- 7 -

excedida em um ano qualquer com probabilidade 1/n. Outra definição menos exata diz

que é a vazão excedida em média uma vez cada n anos (esta definição tem problemas se

existe alguma tendência nos dados) (Smith 2001). O período de retorno é calculado

como:

)zZPr(1

)zZPr(

≤−

≥

3.2 Distribuições de valores extremos e metodologias para estimação dos

parâmetros.

3.2.1 Distribuição de valores extremos

A distribuição estatística de uma série valores máximos foi determinada por

Fisher e Tippet (1928, apud Smith 2001), e demonstrada teoricamente por Gnedenko

(1943, apud Smith 2001) no “teorema dos três tipos”. Neste teorema se estabelece que a

distribuição de uma amostra aleatória de valores extremos somente pode, no limite,

tender a três tipos de distribuições. Jenkinson (1955, apud Coles 2001) demonstrou que

os três tipos de distribuições podem ser escritos numa equação só, que e chamada de

Distribuição de Extremos Generalizada GEV distribuição Generalized Extreme Value

(GEV).

A seguir é apresentado o Teorema dos três tipos e a distribuição GEV.

Sejam Z

,......... Z

uma seqüência de variáveis aleatórias independentes e

identicamente distribuídas. Define-se a variável M

como M

=max{ Z

,......... Z

Se existem seqüências de constantes {a

> 0} e {b

} tais que:

(){}

∞

→→≤− nse)z(Gza/bMPr

nnn

onde G(z) e uma função de distribuição não degenerativa, então G(z) é um

membro da família GEV:

- 8 -

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

µ−

ξ+−==≤

ξ− /1

1exp)z(G)zZPr(

equação 3.1

definida em {z : 1 + ξ(z-µ)/σ > 0} , com -∞ < µ < ∞, σ > 0 e -∞ < ξ < ∞.

O modelo tem três parâmetros, µ parâmetro de locação, σ parâmetro de escala e

ξ parâmetro de forma. Se ξ > 0 a GEV é chamada de tipo II (Fréchet), se ξ < 0 tipo III

(Weibull) e se ξ = 0 tipo I (Gumbel). Esta ultima é interpretada como a distribuição

GEV quando ξ→0 e sua forma funcional fica:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

µ−

−−==≤

expexp)z(G)zZPr(

equação 3.2

definida em -∞ < z < ∞

3.2.2

Estimação dos parâmetros por meio do método dos momentos

O valor esperado de uma variável aleatória Z é definido como:

∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

⋅=⋅= dz)z(gz)z(dGz)Z(E

A forma das distribuições de probabilidade, tradicionalmente, tem sido descrita

pelos momentos da distribuição. Os momentos são achados como:

)Z(E

, e

)Z(E µ−=µ

, para r=2,3,...

O momento de primeira ordem

é a média, a medida da posição do centro da

distribuição. A dispersão da distribuição em relação ao centro é medida pela variância

que é o momento de segundo ordem (r=2):

- 9 -

)Z(E)Z(VAR µ−=µ=

A raiz quadrada da variância é o de desvio padrão, que mede a variabilidade nas

mesmas unidades que Z.

Analogamente podem ser achados os momentos amostrais a partir dos dados

observados da distribuição da seguinte forma:

∑

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∑

−

O método dos momentos considera que estimativas razoáveis de uma

distribuição de freqüências são aquelas para os quais os momentos da função de

densidade de probabilidade na origem são iguais aos momentos das amostras. Não

existem soluções analíticas deste método para os tipos II e III da distribuição GEV. No

caso da distribuição GEV tipo I (Gumbel) os parâmetros obtidos pelo Método dos

Momentos ficam (Smith, 2001):

⋅

=σ

∧

equação 3.3

s45.0z5772.0z ⋅−=σ⋅−=µ

−∧−∧

equação 3.4

onde

2/1

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∑

−

é o estimador do desvio padrão.

Outra alternativa para a estimação dos parâmetros utilizando momentos são os

“momentos ponderados pela probabilidade” ou momentos L, introduzidos por Hosking

& Wallis (1997), são definidos a partir dos momentos ponderados pela probabilidade

- 10 -

definidos por Greenwood et al. (1979). Estes são calculados como o seguinte valor

esperado:

()( )

(

)

s,r,p

)Z(G1)Z(GZEM −=

Onde G é a distribuição de freqüência acumulada, Z a variável aleatória.

Considerando os casos particulares

r,0,1r

0,r,1r

, estes podem ser

escritos como:

() ()

∫∫

−=−=α

+∞

∞−

duu1)u(z)z(dG)z(G1z

()

∫∫

+∞

∞−

==β

duu)u(z)z(dG)z(Gz

Estes momentos em comparação com os tradicionais não incluem potencias do

quantil z(u), o que simplifica seu calculo. Finalmente os momentos L são definidos a

partir destes como:

012332104

0122103

01102

001

123020203012

6666

β−β+β−β=α−α+α−α=λ

β+β−β=α+α−α=λ

β−β=α−α=λ

β=α=λ

O momento λ

pode ser assimilado como a média L, λ

como o desvio L, τ=λ

como o coeficiente de variação L, τ

=λ

/ λ

como a assimetria L e τ

=λ

/ λ

como a

curtose L.

Os momentos L têm a vantagem sobre os convencionais de serem capazes de

caracterizar uma faixa mais ampla de distribuições, e quando são estimados a partir de

uma amostra, de serem mais robustos na presença de outliers. Ademais em comparação

com os momentos convencionais, os momentos L são menos propensos a criar

tendência na estimação.

- 11 -

Os momentos L tem sido utilizados com resultados satisfatórios para estimação

dos parâmetros da GEV para séries de chuvas máximas em Pires (1994), Guimarães &

Naghettini (1998) e Da Silva & Clarke (2004) e para vazões máximas em Fill (1994).

3.2.3

Estimação dos parâmetros por meio de máxima verossimilhança.

O método estima os parâmetros de forma a outorgar probabilidade máxima aos

valores observados. Para isso, se z

, z

, ...z

são valores observados distribuídos

independentemente segundo a distribuição G(z; θ) (ou realizações independentes de

uma variável aleatória distribuída segundo G(z; θ) ), onde θ são os parâmetros da

distribuição, é definida a função de máxima verossimilhança L(θ) como:

∏

zgL

);()(

θθ

equação 3.5

onde g(z; θ) e a densidade da distribuição G(z; θ).

Assim, são estimados os parâmetros

∧

θ como aqueles que maximizam a função

de máxima verossimilhança L(θ) (parâmetros que outorgam probabilidade de ocorrência

máxima aos valores observados). Como a função logaritmo é monótona crescente, o

máximo da função L(θ) e da função ℓ (θ)=log(L(θ)) ocorrem na mesma posição,

portanto geralmente são estimados os parâmetros

∧

θ maximizando ℓ (θ).

);(log)(log)(

θθθ

∑

zgLl equação 3.6

No caso particular da distribuição GEV o logaritmo da função de

verossimilhança fica:

- 12 -

ξ−

∑

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

µ−

⋅ξ+−

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

µ−

⋅ξ+⋅ξ+−σ⋅−=ξσµ

1log)/11()log(n),,(

equação 3.7

No caso particular da distribuição Gumbel o logaritmo da função de

verossimilhança fica:

∑∑

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

µ−

−−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

µ−

−σ⋅−=σµ

exp

)log(n),(

equação 3.8

O método de máxima verossimilhança tem sido utilizados com resultados

satisfatórios para estimação dos parâmetros da GEV para séries para ajuste de ventos

máximos em Bautista et al. (2004), precipitações máximas em Beijo et al. (2005), e

vazões em Rocha da Silva (2006).

3.3 Intervalos de confiança.

No modelo estatístico proposto existem diversas fontes de incertezas: as

intrínsecas dos erros nos dados devidos à estimação das vazões a partir de curvas chave

e ao passo de tempo das medidas que podem não conter a vazão máxima instantânea, as

de forma, devidas ao próprio modelo, as de ajuste dos parâmetros e as da não

representatividade de amostra. Na presente dissertação serão analisadas unicamente as

duas últimas.

Em qualquer analise estatística as estimações feitas a partir da amostra

disponível devem ser as melhores possíveis. Mas a partir de outras amostras

representativas do fenômeno estudado (por exemplo, a ampliação da amostra no tempo)

as estimações mudariam. Este fato faz que seja necessário complementar as estimações

do modelo com uma avaliação das incertezas devidas à variabilidade da amostra. As

duas formas para a avaliação das incertezas utilizadas na presente dissertação são

apresentadas a seguir.

- 13 -

3.3.1

Intervalo de confiança utilizando a curvatura da superfície do logaritmo da

função de máxima verossimilhança

Se z

, z

,….z

são n ocorrências independentes de uma distribuição com una

família paramétrica G, ℓ(.) e

∧

representam o logaritmo da função de máxima

verossimilhança e a estimação por máxima verossimilhança de θ

. É razoável, para

valores grandes de n, supor a normalidade do estimador de máxima verossimilhança

(Coles, 2001).

))(I,(MVN

0E0d

−

∧

θθ≈θ

equação 3.9

Onde

)(e)(I

j,iE

θ=θ , matriz dxd com

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

θ∂θ∂

∂

−=θ )(E)(e

j,i

l .

O vetor θ

é o vetor de médias e )(I

a matriz de variância e covariância da

distribuição normal multivariada. A matriz de informação I

(θ) mede o valor esperado

da curvatura da superfície do logaritmo da função de máxima verossimilhança. Este

resultado pode ser utilizado para obter intervalos de confiança aproximados para cada

componente de θ

=( θ

, …. θ

). Chamando de φ

i,j

o termo i,j do inverso de I

(θ) segundo

propriedades da distribuição normal multivariada para valores grandes de n,

),(N

i,ii

ϕθ≈θ

∧

. Então, se φ

i,i

é conhecido, um intervalo de confiança (1-α) aproximado

para θ

é:

i,i2/

ϕδ±θ

∧

equação 3.10

Onde δ

α/2

é o quantil (1-α/2) da distribuição normal padrão. Como geralmente o

valor de θ

não é conhecido aproxima-se a matriz de informação esperada I

pela matriz

de informação observada I

definida como )()(I

θ∂θ∂

∂

−=θ l é avaliada em

∧

θ=θ , então a equação 3.10 transforma-se em:

- 14 -

i,i2/

−

∧

ϕδ±θ equação 3.11

Onde

i,i

−

ϕ é o termo i,i do inverso da matriz I

3.3.2

Intervalos de confiança utilizando técnicas de bootstrap

Outra forma de estimar intervalos de confiança tem sido desenvolvida a partir

dos métodos de sorteio com reposição “bootstrap”, Efron & Tibshirani, (1998). Estes

métodos já tem sido usados satisfatoriamente por diversos autores na estimação de

incertezas em ajustes da distribuição GEV (Ramesh & Davison, (2002), Vargas (2005)

e Rocha da Silva (2006)).

A idéia básica do bootstrap consiste em gerar novas amostras da população e

estudar as incertezas das estimações a partir da variabilidade das estimações feitas a

partir de cada geração de amostra.

As novas amostras são geradas a partir do sorteio com reposição na amostra

disponível. Este fato resulta de particular importância no caso de estudo, já que as

amostras são escassas. A metodologia utilizada é descrita a continuação

1.- a partir da série de vazões máximas qmax, são geradas séries qmax*

mediante sorteios com reposição na série qmax

2.- para cada série qmax* gerada são estimados os parâmetros do modelo

estatístico proposto em cada caso

3.- repetindo o procedimento B vezes são determinados B valores de cada

parâmetro, a partir de estes B valores são determinados os intervalos de confiança com

os percentis 5 e 95.

As técnicas de bootstrap podem ser utilizadas também para obter os intervalos

de confiança diretamente nas vazões, conforme descrito a continuação.

- 15 -

1.- a partir da série de vazões máximas qmax, são geradas séries qmax*

mediante sorteios com reposição na série qmax

2.- para cada série qmax* gerada são estimados, mediante um modelo estatístico,

as vazões para os períodos de retorno de interesse q

*, q

* e q

100

3.- repetindo o procedimento B vezes, são determinados B valores de cada

vazão, e a partir de estes B valores são determinados os intervalos de confiança de cada

vazão com os percentis 5 e 95.

3.4 Teste de hipóteses para escolher a distribuição

Supondo o modelo M

, com um vetor de parâmetros θ, é definido o modelo M

como um submodelo de M

obtido condicionando k das componentes de θ a um valor

fixo (por exemplo, 0). Assim, θ pode ser particionado como θ=( θ

(1)

, θ

(2)

) onde a

primeira componente de dimensão k são zeros no modelo M

. Se ℓ

) e ℓ

) são

os logaritmos da função de máxima verossimilhança maximizados, é definida a função

de Deviança (Coles, 2001) como:

()

)M()M(2D

0011

ll −⋅= equação 3.12

Utilizando a função de Deviança é possível demonstrar (Coles, 2001) que um

teste para validar o modelo M

em relação ao modelo M

com um nível de significância

α é rechaçar o modelo M

ao favor do modelo M

se D=2{ℓ

) - ℓ

)}>c

, onde c

é o (1-α) quantil da distribuição

χ . No caso de comparar os modelos GEV e Gumbel é

fixado um valor só.

3.5 Relações entre chuvas e vazões da região com as SST.

Originalmente, o termo “El Niño” tem sido utilizado para se referir ao

aquecimento periódico anômalo do oceano Pacífico que ocorre nas costas de Peru e

Equador no mês de dezembro. O termo é utilizado na atualidade para se referir ao

fenômeno de aquecimento periódico do oceano Pacífico ao longo do equador que tem

conseqüências na variabilidade climática do planeta. A componente atmosférica

- 16 -

relacionada com “El Niño” é chamada de Oscilação Sul, portanto os científicos chamam

ao fenômeno no que a atmosfera e o oceano colaboram juntos ENSO (“El Niño”

Southern Oscilation). Assim “El Niño” corresponde a uma fase quente do ENSO e seu

oposto “La Nina” a uma fase fria. Não existe uma definição universal para indicar a

ocorrência de um evento “El Niño” ou “La Niña” Trenberth (1997) propõe que é uma

ocorrência de “El Niño” (“La Niña”) se a media móvel de 5 meses das anomalias de

temperatura de superfície do oceano na região Niño 3.4 (5ºN-5ºS, 120º-170ºO) excede

0.4ºC (-0.4ºC) durante 6 ou mais meses. Com esta definição desde o ano 1950 até 1997

“El Niño” ocorreu um 31% do tempo e “La Niña” um 23%. O estado da Oscilação Sul é

medido com índices (SOI), sendo o mais utilizado a diferença de pressões entre Darwin

e Thaiti.

A seguir é apresentada uma descrição física do fenômeno de “El Niño”, extraída

de Ahrens (2002). Periodicamente a configuração da pressão atmosférica da superfície

tem variações, as pressões do ar aumentam sob a região do Pacífico oeste e diminuem

sobre o Pacífico leste. Esta variabilidade nas pressões debilita o sentido leste dos ventos,

e quando a anomalia é forte os ventos chegam a serem substituídos por ventos do oeste.

Água de uma grande porção do Pacífico tropical é aquecida e se move surgindo nas

costas de América de Sul. No final do período quente, o que pode durar entre um e dois

anos, a pressão atmosférica sob o Pacifico leste muda a tendência e começa a subir,

enquanto no Pacífico oeste desce, retornando à configuração inicial. Esta oscilação nas

pressões de superfície do ar entre os extremos do oceano Pacífico é chamada de

Oscilação Sul. Como as variações de pressões e o aquecimento do oceano são

aproximadamente simultâneos o fenômeno tem sido chamado “El Niño - Southern

Oscillation” ou ENSO. A pesar de a maioria dos ENSO seguirem a mesma evolução,

cada um tem suas próprias características no que refere a sua magnitude e

conseqüências.

Numa fase do ENSO, a grande área do oceano aquecida acima do normal pode

ter efeitos na circulação geral da atmosfera. As águas tropicais aquecidas depositam

calor e umidade adicional na atmosfera, tornando-se mais chuvosa. O calor adicional do

oceano e a liberação de calor latente no ar durante a condensação tem influência nos

ventos do oeste, provocando aumentos e diminuições de chuvas em diversas zonas do

- 17 -

planeta. Esta teleconexão tem sido estudada por diversos autores em termos estatísticos,

e a partir deles, elaboradas hipóteses dos mecanismos físicos destas teleconexões.

Ropelewsky & Halpert (1987), utilizando séries de precipitação mensal e uma

lista de 25 eventos “El Niño” desde 1877 até 1982 determinaram relações entre o ENSO

e anomalias nas precipitações em 17 regiões do planeta. Para a região norte do Brasil,

existe uma das relações mais consistentes entre ENSO e precipitações do planeta das

determinadas no trabalho. Em episódios do ENSO, é clara a deficiência de precipitações

nos meses de julho ate março, com nenhuma anomalia positiva de precipitações

ocorrendo. Esta teleconexão esta associada a um incremento da subsidência sobre o

norte de América do Sul com um deslocamento da circulação de Walker do Atlântico

durante episódios do ENSO. Na região Sul, particularmente para Rio Grande do Sul e

Uruguai acharam uma teleconexão forte nos meses de novembro até fevereiro seguinte

ao evento com anomalias positivas nas precipitações. Esta teleconexão deve estar

associada ao incremento dos ventos sub tropicais de 200mb do oeste que têm uma

tendência de ocorrer durante os eventos do ENSO. O que também está relacionado com

uma re-orientação da zona de convergência e suas precipitações associadas.

Pisciotano et al. (1994), utilizando precipitações mensais no Uruguai, eventos do

ENSO e Índices de Oscilação Sul determinaram as seguintes relações para a região

norte do Uruguai. Em anos com eventos ENSO existe uma tendência de têr anomalias

positivas nas precipitações, especialmente nos meses novembro até janeiro. Em anos

com valores altos do SOI existe uma tendência de têr anomalias negativas nas

precipitações nos meses de outubro até dezembro. Encontraram também que existem

anomalias positivas de precipitação nos meses de março ate julho do ano anterior a um

evento do ENSO e negativas antes de um SOI alto. Segundo Pisciotano et al. (1994)

existem relações claras que provam a existência de teleconexões entre o oceano Pacifico

e América do Sul, e os mecanismos físicos envolvidos. Mas pouco é conhecido sobre os

mecanismos físicos que produzem as anomalias e o momento da sua ocorrência. Para

entender estas relações devem ser consideradas as circulações atmosféricas anômalas

associadas com cada fase da Oscilação Sul na escala global e regional; zonas de

convergência e ventos de oeste (correntes Jet). Sugere que a variabilidade inter anual no

Oceano Pacífico tropical contribui de forma importante na variabilidade das

precipitações no Uruguai. Mas sugere também que para entender as anomalias de

- 18 -

precipitação na América do Sul deverão ser estudadas as relações entre a circulação

global da atmosfera, as atividades de frentes e os fenômenos de convecção locais.

Portanto deve ser considerada a variabilidade na atmosfera e a circulação no Atlântico

Sul. O último porque a circulação anti ciclônica do Atlântico Sul é influenciada pelo

vapor de água do Atlântico Sul e a umidade da porção tropical da América de Sul.

Diaz et al. (1997) utilizando precipitações mensais e células de SST medias

mensais dos oceanos Atlântico e Pacífico de 7.5º de longitude e 4.5º de latitude

determinaram relações que agregam aos trabalhos anteriores a influência do oceano

Atlântico na variabilidade das precipitações em Rio Grande do Sul e Uruguai. Alem

disso foram caracterizadas as precipitações da região como “distribuídas

equitativamente no ano” e com importante variabilidade espacial e temporal. A maior

variabilidade aparece como um dipolo oeste - este. Os resultados confirmam que as

anomalias nas precipitações estão relacionadas com ENSO durante os meses novembro

até fevereiro com uma extensão mais débil outubro – dezembro. Nestes períodos as

anomalias poderiam estar relacionadas com anomalias nas SST das zonas de

convergência dos oceanos Pacífico e Atlântico. Em todos os períodos estudados a

variabilidade das precipitações no Rio Grande do Sul e Uruguai estão associadas com

anomalias das SST nos oceanos Atlântico e Pacífico. Isto sugere três possíveis cenários:

1) As anomalias nas precipitações e no oceano Atlântico sub tropical do sudeste são

manifestações de perturbações complexas da circulação geral da atmosfera e os oceanos

associadas a ENSO, possivelmente independentes entre si. 2) Os eventos do Pacífico

podem produzir uma resposta tardia no Atlântico e este produz as anomalias nas

precipitações. 3) Podem existir anomalias no Atlântico independentes do ENSO que

podem contribuir às anomalias de precipitação. Ao menos um dos dois últimos cenários

é aplicável nos meses de abril até julho onde a sinal do Atlântico é mais forte.

Grimm et al.(2000) analisando precipitações mensais de Argentina, Brasil,

Chile, Uruguai e Paraguai conclui que toda esta região possui anomalias associadas aos

fenômenos de “El Niño” e “La Niña”, mas o sul do Brasil é a região que apresenta um

sinal mais claro das anomalias com eventos do ENSO, em concordância com as

determinadas por Pisciotano et al. (1994) e Diaz et al. (1997). O incremento

(diminuição) e realocação das correntes Jet durante fases de “El Niño” (“La Niña”) e

suas incidências na zona de convergência mediante condições mais (menos) favoráveis

- 19 -

para a propagação de ondas de Rossby são as formas físicas de teleconexão relatadas

por Grimm et al.(2000) e Grimm & Natori (2006).

Finalmente no que se refere as vazões, Mechoso & Iribarren (1992) analisaram

as relações entre as vazões médias mensais dos rios Uruguai e Negro (Uruguai) nos

períodos junho – dezembro e o SOI achando que para valores altos de índice as vazões

são menores que a média. Além disso, no período de novembro - fevereiro em anos El

Nino, a tendência das vazões são de ser acima da média. Os autores concluem também

que estes índices não são os únicos preditores da ocorrência de vazões acima da média.

Camilloni & Barros (2003), analisaram as relações entre as vazões médias mensais dos

rios Paraná, Iguaçu e Paraguai, precipitações da região e temperaturas de superfície do

oceano. Existe uma relação clara entre as fases do ENSO e as maiores anomalias

positivas do rio alto Paraná e Paraná em Corrientes (inclui o Paraguai e Iguaçu), duas

terceiras partes de elas ocorreram durante ano Niño e nenhuma anomalia positiva

ocorreu durante um ano Niña. Isto contrasta com que a correlação entre os valores

estacionais do SOI e as vazões e débil, indicando que as maiores anomalias positivas

estão mais relacionadas ao Niño do que o resto das anomalias. Por outro lado as maiores

anomalias relacionadas com o Niño ocorreram na primavera e outono posterior ao ano,

acompanhando a variação estacional do sinal da precipitação do Niño da região

subtropical leste de América do Sul. Durante o século XX, as maiores vazões do Paraná

em Corrientes ocorreram em outono. Em todos esses eventos as anomalias de SST na

região Niño 3 persistiram até maio, e se a anomalia continuou persistiram as anomalias

positivas. A restante terceira parte das maiores anomalias positivas do alto Paraná foram

em outono o verão de anos neutros (sem El Niño ou La Niña) mas com uma anomalia

importante de temperaturas de superfície de oceano nas proximidades da costa de

América do Sul.

3.6 Reconstrução dos dados históricos das temperaturas de superfície do

oceano.

Smith & Reynolds (2003) fizeram a reconstrução das temperaturas médias

mensais da superfície do oceano em células de 2 graus no período 1854-1997 a partir do

COADS (Comprehensive Ocean-Atmosphere Data Set). Um controle de qualidade dos

- 20 -

dados foi desenvolvido por Smith & Reynolds utilizando o período de base 1961-1991

para construir as séries desde o ano 1854. As incertezas nos dados reconstruídos

diminuíram ao longo da maioria do período, sendo as menores a partir do ano 1950 ate

o presente (devido à existência de maior numero de dados). Os dados estão disponíveis

em formato Matlab no endereço: http://www.cdc.noaa.gov/cdc/data.noaa.ersst.html.

- 21 -

4 Metodologia e dados disponíveis.

No presente capítulo são apresentados os dados das vazões máximas anuais

utilizadas, e suas principais características. Estes dados foram consistidos utilizando

somente aqueles com dados de todo o ano completo e analisando cada hidrograma para

conhecer se o valor máximo é coerente. Em seguida, a partir dos dados consistidos, é

descrita a metodologia utilizada. Resumidamente consistiu em:

o Ajustar, para as séries de vazão média diária máxima anual de cada uma

das bacias utilizadas, os parâmetros da distribuição de freqüências GEV e

o caso particular Gumbel mediante o método de máxima

verossimilhança. Aplicar um teste estatístico para escolher a distribuição

adequada.

o Obter os intervalos de confiança dos parâmetros da distribuição ajustada

e das vazões com os métodos: “curvatura da superfície do logaritmo da

função de máxima verossimilhança” e “bootstrap”, comparando-os e

analisando as incertezas de cada uma das distribuições.

o Pesquisa de relações entre temperaturas de superfície de mar e vazões

máximas anuais que permitam um melhor ajuste das distribuições de

freqüências. Análise das relações entre períodos de retorno de vazões e

temperaturas de superfície do oceano. Análise da sensibilidade da

escolha das séries de temperaturas do oceano utilizado as células mais

próximas. Em todos os casos determinação dos intervalos de confiança

mediante as metodologias propostas.

4.1 Consistência dos dados

Foram utilizados os dados da vazão diária dos postos da bacia média do rio

Uruguai, sendo que os dados brasileiros pertencem à ANA, e os dados uruguaios à

- 22 -

DNH. Dos dados disponíveis na região foram escolhidos somente aqueles com anos

completos. Para os anos completos foram extraídos os valores de vazão máxima anual,

observando os hidrogramas para garantir que não sejam outliers. Na Tabela 4.1.1 são

apresentados os dados utilizados e suas principais características. Na Figura 4.1.1 é

apresentada a localização das bacias utilizadas.

Tabela 4.1.1. Dados utilizados no estudo.

Nome Rio

Código da

bacia

Fonte

dos

dados

Área

(km

)

inicio fim

Anos com

dados

completos

Ernesto Alves Jaquarizinho 76460000 ANA 933 1959 2002 39

Jaguari Jaguari 76440000 ANA 2296 1942 2001 52

Rosário do Sul Santa Maria 76310000 ANA 12077 1968 2002 33

Passo das Turmas Icamaqua 75600000 ANA 388 1976 2002 24

P. nova do Potiribu Potiribu 75185000 ANA 629 1964 1995 29

Passo faxinal Ijui 75155000 ANA 2003 1942 2002 56

Linha união Comandai 74900000 ANA 1248 1970 2002 31

Linha cascata Santo Crisanto 74750000 ANA 337 1964 2001 34

Tucunduva Santa Rosa 74700000 ANA 1139 1942 2002 58

Cascata Burica Burica 74600000 ANA 2265 1942 1996 55

Três passos Turvo 74470000 ANA 1538 1965 2002 37

Ponte do rio turvo Turvo 74460000 ANA 505 1977 2002 26

Usina de bombeo

Cuareim

(Quaraí)

84 DNH 4640 1967 2002 36

Paso Manuel Díaz Tacuarembó 51.1 DNH 2310 1972 2003 29

(DNH, Uruguai), (ANA, Brasil)

Figura 4.1.1. Localização das bacias utilizadas no estudo.

- 23 -

Nos postos de medição de vazão não é comum contar com curvas chave que

atinjam aos valores extremos, porém geralmente os dados de vazão máxima diária são

estimados a partir de extrapolações. Para estudos de regionalização de vazões máximas,

Tucci (1993) tem desenvolvido critérios para atribuição de qualidade aos postos. Na

Tabela 4.1.2 são descritos os critérios, e na Tabela 4.1.3 e apresentada a qualidade dos

dados de vazão máxima de cada posto segundo o critério.

Tabela 4.1.2. Critérios de atribuição de qualidade aos postos quanto à vazão máxima, Tucci (1993)

Nota Características H Q

A Postos fluviométricos de características excelentes cujas descargas

máximas medidas estão dentro de 10 a 15% do valor máximo de cheia

observada, com uma boa seção transversal para extrapolação, sem

transbordamento estável.

≤1.15 ≤1.15

B Postos bons com extrapolação da curva de descarga menor que 50% do

valor máximo medido de vazão. Seções transversais boas, sem

extravasamento e estável.

≤1.25 ≤1.50

C Postos aceitáveis com extrapolação adequada da curva de descarga e com

eventuais transbordamentos.

≤1.75 ≤2.50

D Postos geralmente inaceitáveis pela grande extrapolação da curva de

descarga e transbordamento excessivo na seção.

≤2.00 ≤3.00

E Postos com extrapolação inadequada da curva de descarga. Não são no

estudo.

H = relação entre a maior cota observada e a maior cota com vazão medida

Q = o mesmo do anterior para vazões

Tabela 4.1.3. Nota de cada posto.

Nome Rio

Código da

bacia

Fonte

dos

dados

Área

(km

)

H Q Nota

Ernesto Alves Jaquarizinho 76460000 ANA 933 2.78 4.65 E

Jaguari Jaguari 76440000 ANA 2296 1.26 2.20 C

Rosário do Sul Santa Maria 76310000 ANA 12077 1.39 3.16 E

Passo das Turmas Icamaqua 75600000 ANA 388 1.48 5.35 E

P. nova do Potiribu Potiribu 75185000 ANA 629 1.25 1.51 B

Passo faxinal Ijui 75155000 ANA 2003 3.83 7.40 E

Linha união Comandai 74900000 ANA 1248 1.40 1.61 C

Linha cascata Santo Crisanto 74750000 ANA 337 1.42 2.91 D

Tucunduva Santa Rosa 74700000 ANA 1139 1.31 2.06 C

Cascata Burica Burica 74600000 ANA 2265 1.89 3.25 E

Três passos Turvo 74470000 ANA 1538 1.98 2.40 D

Ponte do rio turvo Turvo 74460000 ANA 505 1.55 1.98 C

Usina de bombeo

Cuareim

(Quaraí)

84 DNH 4640 1.00 1.00 A

Paso Manuel Díaz Tacuarembó 51.1 DNH 2310 * * *

- 24 -

Pode-se observar na Tabela 4.1.3 que se tem 5 postos com nota E e 2 postos

como nota D. Estes postos geram duvidas enquanto à qualidade do dado de vazão

máxima diária, mais devido à escassez de postos com dados completos serão igualmente

utilizados no estudo.

A partir das séries históricas de vazão diária foram construídas, para cada bacia,

as séries de vazões máximas anuais. As principais características destas séries históricas

são apresentadas na Tabela 4.1.4.

Tabela 4.1.4. Características das séries de vazões máximas anuais

Codigo

da bacia

Máximo Mínimo Média Desvio padrão

Coef.

variação

/s) (m

/s/km

) (m

/s) (m

/s/km

) (m

/s) (m

/s/km

) (m

/s) (m

/s/km

)

76460000 1747 1.87 134 0.14 550 0.59 277 0.30 0.50

76440000 2879 1.25 325 0.14 943 0.41 431 0.19 0.46

76310000 6100 0.51 218 0.02 2055 0.17 1353 0.11 0.66

75600000 840 2.16 146 0.38 435 1.12 206 0.53 0.47

75185000 237 0.38 37 0.06 121 0.19 53 0.08 0.43

75155000 1577 0.79 130 0.06 414 0.21 233 0.12 0.56

74900000 629 0.50 200 0.16 395 0.32 93 0.07 0.24

74750000 300 0.89 46 0.14 135 0.40 56 0.17 0.42

74700000 585 0.51 55 0.05 273 0.24 129 0.11 0.47

74600000 1241 0.55 236 0.10 615 0.27 239 0.11 0.39

74470000 857 0.56 123 0.08 382 0.25 185 0.12 0.48

74460000 119 0.24 26 0.05 59 0.12 22 0.04 0.37

84 4813 1.04 270 0.06 1744 0.38 1092 0.24 0.63

51.1 1412 0.61 55 0.02 558 0.24 328 0.14 0.59

Observando os valores por unidade de área, as bacias com características

diferentes das restantes são Ernesto Alves (código 76460000) e Passo das Turmas

(código 7560000). No primeiro caso somente o valor da vazão máxima é diferente do

resto, no segundo caso todos os valores resultam diferentes. Alem disso, segundo os

critérios de qualidade de Tucci (1993) na Tabela 4.1.3 os postos tem nota E. Devido à

escassez de dados, estes postos serão considerados no estudo.

- 25 -

Analisando a data de ocorrência dos valores máximos anuais em cada uma das

bacias e possível concluírem que não existe um padrão definido de ocorrência dos

eventos máximos anuais. O histograma do mês de ocorrência do Maximo anual para

cada estação é apresentado na Figura 4.1.2. Nesta figura somente pode-se observar uma

leve tendência dos máximos anuais ocorrer nos meses de inverno, e que nenhum dos

meses do ano possui mais do 30% dos valores máximos anuais. Os resultados anteriores

permitem considerar para as restantes análises o ano hidrológico coincidente com o ano

Gregoriano, centralizando o período de vazões máximas.

Bacia 76460000, Ernesto Alves

10%

15%

20%

25%

30%

123456789101112

Meses

Bacia 76440000, Jaguari

10%

15%

20%

25%

30%

123456789101112

Meses

Bacia 76310000, Ros ário do Sul

10%

15%

20%

25%

30%

123456789101112

Meses

Bacia 75600000, Passo das Turmas

10%

15%

20%

25%

30%

123456789101112

Meses

Bacia 75185000, P. nova do Potiribu

10%

15%

20%

25%

30%

123456789101112

Meses

Bacia 75155000, Passo Faxinal

10%

15%

20%

25%

30%

123456789101112

Meses

Bacia 74900000, Linha união

10%

15%

20%

25%

30%

123456789101112

Meses

Bacia 74750000, Linha cascata

10%

15%

20%

25%

30%

123456789101112

Meses

Bacia 74700000, Tucunduva

10%

15%

20%

25%

30%

123456789101112

Meses

Bacia 74600000, Cascata Burica

10%

15%

20%

25%

30%

123456789101112

Meses

Bacia 74470000, Três pas sos

10%

15%

20%

25%

30%

123456789101112

Meses

Bacia 74460000, Pont e do rio turvo

10%

15%

20%

25%

30%

123456789101112

Meses

Bacia 84, Usina de bombeo

10%

15%

20%

25%

30%

123456789101112

Meses

Bacia 51.1, Paso Man uel Díaz

10%

15%

20%

25%

30%

123456789101112

Meses

Figura 4.1.2. Histogramas dos meses de ocorrência da vazão máxima anual.

O fato de não ter uma temporada fixa de enchentes tem relação com as

características do clima da região. Como exemplo disto, na Figura 4.1.3 pode-se

- 26 -

observar o regime de chuvas do pluviômetro Artigas no período 1950-2002, da bacia do

Quarai, onde desvio padrão da precipitação mensal é de uma ordem similar à média.

100

120

140

160

180

123456789101112

Mês

Precipitação (mm/mês

)

Média mensal

Desvio Padrão

Figura 4.1.3. Valores médios e desvio padrão das precipitações mensais no pluviômetro de Artigas,

período 1950-2002.

4.2 Ajuste das distribuições GEV e Gumbel aos dados de vazão máxima

anual das bacias e test de hipóteses para escolha da distribuição

Para as séries de vazões máximas anuais de cada bacia foram estimados,

maximizando as funções de máxima verossimilhança, os parâmetros das distribuições

GEV e Gumbel (Equações 3.7 e 3.8). A maximização da função de máxima

verossimilhança somente pode ser feita de forma numérica, para isso foram escritas

rotinas especificas em Matlab. Estas rotinas utilizam, para maximizar, algoritmos de

procura direta. Estes mostraram serem adequados, já que a função de máxima

verossimilhança não apresenta máximos locais. O valor inicial para a procura foram os

valores de µ e σ obtidos pelo método dos momentos para a distribuição de Gumbel, e no

caso da distribuição GEV o valor inicial para ξ foi 0.1.

A partir dos valores dos logaritmos das funções de máxima verossimilhança de

cada ajuste, foram calculados os valores da função de Deviança (equação 3.12) e feito

um teste estatístico para escolher a distribuição apropriada aos dados.

- 27 -

O teste, utilizando a função de Deviança, analisa a significância de supor ξ ≠0

(isto é, foi testada a hipótese ξ =0). Na escolha deve se considerar que utilizar uma

distribuição de três parâmetros em lugar de dois, diminui a robustez do modelo e

aumenta as incertezas nas extrapolações, já que agrega graus de liberdade. Isto é muito

importante já que geralmente as distribuições de freqüências são utilizadas para estimar

vazões de altos períodos de retorno, que resultam de uma extrapolação.

As incertezas nas extrapolações geradas por cada modelo podem ser avaliadas

observando as duas distribuições ajustadas no que refere à largura dos intervalos de

confiança, especialmente nas extrapolações (por exemplo para 100 anos).

4.3 Intervalos de confiança

Os intervalos de confiança de 95% de cada ajuste de distribuição de freqüências

foram determinados utilizando a curvatura da superfície do logaritmo da função de

máxima verossimilhança (equação 3.11) e utilizando as técnicas de bootstrap (equação

3.13). Para ambos os métodos foram implementados rotinas em Matlab.

No caso das técnicas de bootstrap os intervalos de confiança das vazões foram

determinados a partir dos intervalos de confiança dos parâmetros e diretamente nas

vazões. Também, foi analisado qual é o numero de gerações bootstrap necessárias para

que o intervalo de confiança seja constante (seja independente do número de gerações

bootstrap).

Os intervalos de confiança obtidos com os dois métodos propostos foram

comparados, e analisada a conveniência de qual método utilizar.

4.4 Aprimoramento do ajuste da distribuição de freqüências utilizando

informação climática

A partir da distribuição GEV podem ser formulados outros modelos que utilizam

informações complementares na estimativa de freqüências. Supondo a série temporal

- 28 -

V(t), em igual período que a série de interesse, um modelo proposto pode-se supor

µ(t)=a+b.V(t) na distribuição GEV. Assim o modelo, para cada t, pode ser formulado

para o caso da distribuição GEV como:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅+−

ξ+−==≤

ξ− /1

)Vba(z

1exp)V/z(G)V/zZPr(

E para o caso da distribuição de Gumbel:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅+−

−−==≤

)Vba(z

expexp)V/z(G)V/zZPr(

Utilizando as séries mensais de temperatura de superfície do oceano em células

de 2 graus reconstruídas por Smith & Reynolds (apresentadas na revisão bibliográfica)

foram feitas séries de temperatura média e máxima anual. Utilizando estas séries

auxiliares, e o modelo apresentado, foram maximizados os logaritmos das funções de

máxima verossimilhança para cada uma das células. Isto supõe considerar uma relação

entre o parâmetro de locação e as séries auxiliares da seguinte forma: µ

=a+b.sst

, onde

é o valor do parâmetro de locação para cada valor da temperatura de superfície do

oceano sst

correspondente ao ano i.

Para cada célula foi determinado o valor da função de Deviança em relação ao

valor do logaritmo da função de máxima verossimilhança das distribuições GEV e

Gumbel antes ajustadas:

1GumbelGumbel_SST

1GEVGEV_SST

)(2De)(2D χ≈−⋅=χ≈−⋅= llll

onde:

GEV_SST

l é o logaritmo da função de máxima verossimilhança do modelo proposto para

a distribuição GEV, utilizando a série auxiliar das SST escolhidas.

- 29 -

Gumbel_SST

é o logaritmo da função de máxima verossimilhança do modelo proposto

para a distribuição de Gumbel, utilizando a série auxiliar das SST escolhidas.

O valor da função de Deviança para cada célula é uma medida da significância

de supor b≠0 (isto é, foi testada a hipótese b=0), sendo que valores maiores que 3.86

apresentam significância inferior a 5%. Os resultados dos valores da função de

Deviança, para cada célula apresentam-se em figuras.

A partir dos valores da função de Deviança obtidos, foi escolhido o maior valor

dentro da região compreendida entre 160ºL, 80ºO, 10ºN e 10ºS. Esta região inclui as

identificadas pelos diversos autores citados no Capitulo 3.5 como aquela que tem

influencia sobre as precipitações e vazões na bacia média de rio Uruguai.

Para cada bacia foi analisada a distribuição ajustada e os intervalos de confiança

do modelo. Especificamente foi analisada a relação entre um aumento das temperaturas

e os períodos de retorno. Para determinar os intervalos de confiança foram utilizados os

mesmos métodos que no modelo anterior.

4.5 Analise de sensibilidade da série auxiliar escolhida

A escolha da célula com maior valor de função de Deviança tem graus de

incerteza já que células próximas têm alta correlação e uma extensão da série no tempo

poderia fazer que seja outra a célula escolhida, ou com os dados utilizados no presente

trabalho seja melhor a função de Deviança de alguma combinação linear de células

próximas. Portanto, para fazer uma análise da sensibilidade de célula escolhida

(enquanto à determinação dos períodos de retorno), utilizadas as 24 células próximas

foram utilizados dois procedimentos; otimizar o modelo para cada uma de elas e

otimizar o modelo para a média delas. A partir de cada modelo otimizado foram

determinados e graficados os períodos de retorno.

- 30 -

5 Resultados

Inicialmente, no item 5.1, será apresentada uma análise do número de gerações

de bootstrap necessário para determinar os intervalos de confiança de parâmetros e

vazões. No item 5.2 serão apresentados e exemplificados de forma detalhada os

resultados obtidos a partir da metodologia proposta na bacia do Quaraí, código 84 da

DNH, única bacia com Nota A nos critérios de qualidade adotados. Mais adiante no

item 5.3 são apresentados de forma resumida os resultados da metodologia nas outras

bacias de região.

5.1 Número de gerações de bootstrap.

Para a escolha do número de gerações de bootstrap necessárias para determinar

intervalos de confiança em parâmetros e vazões são analisadas as variações de eles ao

aumentar as gerações. Na Figura 5.1.1 e Figura 5.1.2 e são apresentados os gráficos que

justificam a escolha do número de gerações necessárias para uma correta estimação.

Pode-se observar que nas 2000 gerações os valores dos intervalos de confiança dos

parâmetros e as vazões permanecem constantes. Em todas as bacias foram observados

estes resultados, mas não serão apresentados os gráficos.

Intervalos de confiança de 95% dos parâmetros da distribuição de Gumbel

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 500 1000 1500 2000

Numero de gerações de bootstrap

Parâmetros

(m3/s)

Parâmetro de locação Parâmetro de escala

Intervalos de confiança de 95% dos parâmetros da distribuição proposta

200

400

600

800

1000

0 500 1000 1500 2000

Numero de gerações de boo tst rap

Parâmetros b e (m3/s)

-23000

-21000

-19000

-17000

-15000

-13000

-11000

Parâmetro a (m3/S/ºC)

Parâmetro b Parâmetro s Parâmetro a

Figura 5.1.1. Intervalos de confiança de parâmetro ao aumentar o número de gerações de bootstrap.

- 31 -

Intervalos de confiança de 95% das vazões de 100 anos de período de

retorno achadas com o modelo de Gumbel

3000

3500

4000

4500

5000

5500

6000

6500

0 500 1000 1500 2000

Numero de gerações de bootstrap

Vazão de 100 anos de Período de Retorno

(m3/s)

Intervalos de confiança de 95% das vazões de 100 anos de período de

retorno achadas com o modelo proposta

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

6000

0 500 1000 1500 2000

Numero de geraçõ es de bootst rap

Vazão de 100 anos de Período de Retorn

(com 28ºC de SST)

(m3/s)

Figura 5.1.2. Intervalos de confiança das vazões ao aumentar o número de gerações de bootstrap.

5.2 Estação 84, bacia do Quaraí

5.2.1 Ajuste da distribuição de freqüências e intervalos de confiança dos parâmetros e

das vazões.

Foram ajustadas, aos dados de vazão máxima anual da bacia do Quaraí, as

distribuições GEV e Gumbel mediante a metodologia de máxima verossimilhança. Os

valores dos parâmetros, os intervalos de confiança de 95% obtidos com as duas

metodologias propostas e as funções de máxima verossimilhança são apresentados na

Tabela 5.2.1.

Para comparar o ajuste dos dados obtido com os modelos é utilizada a função de

Deviança, 28.2))55.296(41.295(2)ll(2D

GumbelGEV

−

⋅

=−⋅= . Lembrando que

para 3.84 a distribuição

toma o valor de 0.05 (5% de significância), o valor de 2.28

sugere que a distribuição Gumbel é a adequada aos dados. A comparação visual das

distribuições e apresentada na Figura 5.2.1.

Na Tabela 5.2.2, e Figura 5.2.1 pode se observar que os intervalos de confiança

dos parâmetros e as vazões obtidas utilizando as duas metodologias propostas são da

mesma ordem. Para os intervalos de confiança gerados pela técnica de bootstrap o

numero de gerações de vazões qmax* utilizado foi de 2000 já que provas realizadas

mostraram que para esse numero o intervalo de confiança gerado permanece constante.

Na Figura 5.1.1 e Figura 5.1.2 pode ser observado este resultado.

- 32 -

Tabela 5.2.1.Parâmetros estimados, intervalos de confiança de 95% e função de máxima

verossimilhança, para as distribuições de Gumbel e GEV na bacia do Quaraí.

Parâmetros estimados e intervalos de confiança

Logaritmo da

função de

máxima

verossimilhança

∧

ℓ

Distribuição

/s) (m

/s)

parâmetros 1278 740 * -296.55

(1) [1065,1490] [572,909] *

Gumbel

(2) [1113,1452] [577,882] *

parâmetros 1203 671 0.201 -295.41

(1) [994,1411] [504,838] [-0.03,0.432]

GEV

(2) [1051,1368] [478,795] [0.053,0.459]

(1) Intervalos de confiança de 95% obtidos com a curvatura da superfície do logaritmo da função de

máxima verossimilhança. (2) Intervalos de confiança de 95% obtidos com as técnicas de “bootstrap”.

Tabela 5.2.2. Vazões para 2, 25, 50, 75 e 100 anos de período de retorno e intervalos de confiança de

95% estimados com as distribuições de Gumbel e GEV na bacia do Quaraí.

Distribuição Gumbel

(1) (2) (3)

Período de

retorno

Vazão

Intervalos de

confiança

Largura

Intervalos de

confiança

Largura

Intervalos de

confiança

Largura

(anos) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s)

2 1549 [1275,1823] 548 [1324,1775] 451 [1353,1757] 404

25 3645 [2895,4397] 1502 [2959,4273] 1314 [3012,4218] 1206

50 4165 [3297,5037] 1740 [3364,4894] 1530 [3413,4826] 1413

75 4468 [3531,5409] 1878 [3600,5254] 1654 [3645,5186] 1541

100 4682 [3696,5672] 1976 [3767,5509] 1742 [3811,5440] 1629

Distribuição GEV

(1) (2) (3)

Período de

retorno

Vazão

Intervalos de

confiança

Largura

Intervalos de

confiança

Largura

Intervalos de

confiança

Largura

(anos) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s)

2 1458 [1178,1744] 566 [1228,1685] 457 [1254,1662] 408

25 4214 [2531,7195] 4664 [2717,7155] 4438 [3435,5462] 2027

50 5178 [2850,9938] 7088 [3123,10020] 6897 [4048,7486] 3438

75 5805 [3032,11960] 8928 [3366,12164] 8798 [4448,9034] 4586

100 6280 [3160,13623] 10463 [3541,13943] 10402 [4704,10219] 5515

(1) Intervalos de confiança de 95% obtidos com a curvatura da superfície do logaritmo da função de

máxima verossimilhança. (2) Intervalos de confiança de 95% obtidos com as técnicas de “bootstrap” nos

parâmetros. (3) Intervalos de confiança de 95% obtidos com as técnicas de “bootstrap” nas vazões.

- 33 -

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

1 10 100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição Gumbel Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

1 10 100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição GEV Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 90% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

(1) Intervalos de confiança de 95% obtidos com a curvatura da superfície do logaritmo da função de

máxima verossimilhança. (2) Intervalos de confiança de 95% obtidos com as técnicas de “bootstrap” nos

parâmetros. (3) Intervalos de confiança de 95% obtidos com as técnicas de “bootstrap” nas vazões.

Figura 5.2.1. Ajuste da distribuição de freqüências GEV e intervalos de confiança de 95%

A escolha da distribuição de Gumbel ou GEV para o ajuste dos dados utilizando

o teste estatístico da função de Deviança é uma medida da significância de agregar um

parâmetro ao modelo. Além disso, como pode ser observado na Tabela 5.2.2, o fato de

agregar um parâmetro ao modelo implica maiores incertezas na extrapolação (no valor

central e os intervalos de confiança). As anteriores considerações levam a adotar o

modelo de Gumbel, já que a pesar de visualmente o ajuste da GEV ser melhor, o teste

sugere que para significância de 5% a incorporação de outro parâmetro não é

significativa, e as incertezas para altos períodos de retorno são muito maiores. Um outro

fator que afeta a qualidade visual do ajuste é a ocorrência de dois valores extremos

muito similares no final da série.

- 34 -

Outra forma de obter os intervalos de confiança das vazões com a metodologia

de bootstrap pode ser de forma direta. Uma comparação dos valores obtidos a partir dos

parâmetros e da forma direta é apresentada na Tabela 5.2.2 e Figura 5.2.1. No caso da

distribuição de Gumbel, embora o modelo não seja linear, os valores obtidos são muito

similares. No caso da distribuição GEV o intervalo de confiança obtido de forma direta

é mais estreito, que pode se dever às maiores incertezas geradas pelo terceiro parâmetro

e à não linearidade.

5.2.2

Ajuste da distribuição de freqüências e intervalos de confiança dos parâmetros e

das vazões na estação 84, bacia do Quaraí, utilizando séries auxiliares de temperatura de

superfície do oceano.

Utilizando as séries formadas pela média anual dos valores mensais da

temperatura da superfície dos oceanos Atlântico e Pacifico em células de 2 graus (Smith

& Reynolds, 2002), foi ajustado para cada uma das células o modelo proposto em 4.4.

Os parâmetros do modelo são obtidos da maximização do logaritmo da função de

máxima verossimilhança. No caso do modelo proposto a partir de Gumbel fica:

∑∑

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

µ−

−−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

µ−

−σ⋅−=σµ

exp

)log(m),(l

com µ

=a+b.sst

No caso do modelo proposto a partir da GEV fica:

∑∑

ξ−

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

µ−

ξ+−

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

µ−

ξ+⋅ξ+−σ⋅−=σµ

1log)/11()log(m),(l

com µ

=a+b.sst

, onde sst

é a média anual no ano i

O resultado da maximização do logaritmo da função de verossimilhança para

cada célula, no caso do modelo proposto a partir de Gumbel proposto é apresentado na

Figura 5.2.2.

- 35 -

Figura 5.2.2. Valores da função de Deviança do modelo alternativo da distribuição de Gumbel em

relação ao modelo original, para cada célula de temperatura de superfície do oceano, da bacia do

Quaraí.

A série auxiliar escolhida são as temperaturas da superfície do oceano da célula

com maior valor do logaritmo da função de máxima verossimilhança. Esta célula é a

correspondente aos 2º N e 107ºO e tem um valor de

-287.25

l . Na Figura 5.2.3 são

apresentadas as duas séries.

Para testar a significância do modelo proposto em relação à Gumbel, ou seja, a

significância de supor b≠0 é utilizada a função de Deviança:

60.18))55.296(25.287(2)(2D

GumbelGumbel_SST

−

⋅=

−

⋅= ll .

Este é um valor significativo comparado com

χ , o que sugere que o modelo

proposto consegue um melhor ajuste dos dados.

- 36 -

1000

2000

3000

4000

5000

6000

1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

Vazão (m

/s)

25.5

26.0

26.5

27.0

27.5

28.0

28.5

29.0

29.5

30.0

SST ºC

Vazão máxima anual na bacia do Quaraí

Célula de SST 2ºN e 107ºO

Figura 5.2.3. Vazões máximas anuais na bacia do Quaraí e série de temperaturas de superfície do

oceano escolhida com o modelo da Gumbel proposto.

Similar ao caso anterior na Figura 5.2.4 é apresentada maximização do logaritmo

da função de verossimilhança para cada célula, no caso do modelo do modelo proposto

a partir da GEV.

Novamente, é escolhida a série auxiliar com maior valor do logaritmo da função

de máxima verossimilhança. Esta célula é a correspondente aos 2º N e 107º W e tem um

valor de

-285.89=l . E importante observar que a região com significância é similar ao

caso de Gumbel. Na Figura 5.2.3 já foram apresentadas as duas séries.

Para testar a significância do modelo proposto em relação à GEV, ou seja, a

significância de supor b≠0 é utilizada a função de Deviança:

52.9))41.295(89.285(2)(2D

GEVGEV_SST

−

⋅

=−⋅= ll .

Este é um valor significativo comparado com

χ , o que novamente sugere que o

modelo proposto consegue um melhor ajuste dos dados.

- 37 -

Figura 5.2.4. Valores da função de Deviança do modelo alternativo da distribuição GEV em relação ao

modelo original, para cada célula de temperatura de superfície do oceano, da bacia do Quaraí.

O ganho com o modelo GEV é menor do que o ganho com o modelo Gumbel.

Este resultado é razoável já que os testes estão medindo o ganho de agregar um

parâmetro ao modelo, e o ganho de agregar parâmetros é sempre marginal. Levando em

conta os valores dos logaritmos das funções de máxima verossimilhança obtidos, e

considerando que o aumento do número de parâmetros provoca maiores incertezas na

extrapolação é adotado para o analise o modelo de Gumbel. Na Tabela 5.2.3 são

apresentados os parâmetros estimados e os intervalos de confiança de 95%.

Tabela 5.2.3. Parâmetros estimados e intervalos de confiança de 95% para o modelo proposto.

Intervalos de confiança

Parâmetro Valor ajustado

(1) (2)

a (m3/s) -15515 [-21615,-9415] [-20418,-12574]

b (m3/s/ºC) 614 [392,836] [507,795]

σ (m3/s)

568 [416,720] [423,678]

(1) Intervalos de confiança de 95% obtidos com a curvatura da superfície do logaritmo da função de

máxima verossimilhança. (2) Intervalos de confiança de 95% obtidos com as técnicas de “bootstrap”.

O método de bootstrap produz um intervalo de confiança mais estreito. Com os

dois intervalos de confiança, aplicando o modelo nesses parâmetros, não se produzem

- 38 -

resultados razoáveis, portanto neste caso somente foi possível determinar intervalos de

confiança das vazões utilizando as técnicas de bootstrap diretamente. Os intervalos de

confiança supondo os valores de SST de 26º, 28º e 30º são apresentados na Tabela

5.2.4. Estes intervalos de confiança foram feitos com 2000 gerações de séries qmax* de

caudal máximo anual. Neste caso para cada série qmax* gerada foi gerada uma série

sst* com as temperaturas correspondentes originalmente a cada valor de vazão.

Tabela 5.2.4. Vazões para 2, 25, 50, 75 e 100 anos de período de retorno e intervalos de confiança de

95% (obtidos diretamente) na bacia do Quaraí estimados com a distribuição de Gumbel proposta para

26, 28 e 30 graus de temperatura média de superfície do oceano na célula escolhida.

Temperatura média de

superfície do oceano de 26º

Temperatura média de

superfície do oceano de 28º

Temperatura média de

superfície do oceano de 30º

Período de

retorno

vazão

intervalo de

confiança de

95%

vazão

intervalo de

confiança de

95%

vazão

intervalo de

confiança de

95%

(anos) (m

/s) (m

/s)

2 657 [410,838] 1885 [1705,2087] 3113 [2764,3610]

25 2266 [1702,2668] 3494 [2957,3978] 4722 [4076,5376]

50 2665 [2008,3132] 3893 [3262,4452] 5121 [4396,5818]

75 2898 [2188,3408] 4126 [3434,4723] 5354 [4579,6095]

100 3062 [2310,3607] 4290 [3559,4923] 5518 [4704,6291]

Na Tabela 5.2.4 pode-se observar que fixando um valor de período de retorno a

vazão aumenta com o aumento da SST. Este resultado é coerente com as relações entre

as SST da região em que esta compreendida a série escolhida, e as chuvas e vazões

medias determinadas pelos autores citados na revisão bibliográfica. Uma outra forma

interessante de observar o resultado anterior é determinar os períodos de retorno com a

distribuição de Gumbel proposta se acontecerem valores de SST de 26º, 28º e 30º de

algumas vazões significativas. Foram escolhidas as vazões de 2, 25, 50, 75 e 100 anos

de período de retorno determinadas com a distribuição de Gumbel original. Na Tabela

5.2.5 são apresentados os resultados.

A vazão de 4682 m

/s, correspondente a 100 anos de período de retorno segundo

a distribuição de Gumbel, sobe para 1719 anos se a SST fosse 26º e cai para 23 anos se

a SST fosse 30º. Por último é interessante observar que o intervalo de confiança se

reduz em termos relativos: para o caso de 26º o intervalo de confiança [293,56091]

representa 17 e 3263% de 1719 anos, e para o caso de 30º [7,135] representa 30 e 587%

de 23 anos. Embora sejam grandes as incertezas, nas variações dos períodos de retorno

com as SST são menores para vazões grandes.

- 39 -

Tabela 5.2.5. Períodos de retorno intervalos de confiança de 95% (obtidos diretamente) para as vazões

de 2, 25, 50, 75 e 100 anos de período de retorno obtidas com a distribuição de Gumbel na bacia do

Quaraí para 26, 28 e 30 graus de temperatura média da superfície do oceano na célula escolhida.

Períodos de retorno com um intervalo de confiança de 95%

Vazão

Gumbel

Distribuição de

Gumbel proposta

com SST=26º

Distribuição de

Gumbel proposta

com SST=28º

Distribuição de

Gumbel proposta

com SST=30º

/s) (anos) (anos) (anos) (anos) (anos) (anos) (anos) (anos)

1549 2 [2,3] 7 [4,22] 1 [1,2] 1 [1,1]

3645 25 [10,129] 278 [69,4200] 32 [12,173] 4 [2,13]

4165 50 [17,337] 692 [145,15138] 80 [24,638] 10 [3,41]

4468 75 [23,591] 1180 [219,32452] 136 [36,1351] 16 [5,81]

4682 100 [29,879] 1719 [293,56091] 198 [48,2304] 23 [7,135]

O método anterior não leva em conta a correlação existente entre células

próximas. Portanto a seguir serão feitos algumas análises no que refere à sensibilidade

na escolha da célula da série auxiliar. Uma forma pode ser tomando uma nova série

auxiliar composta pela média das séries das 24 células mais próximas da célula

escolhida. O valor médio das temperaturas da série escolhida é de 27.54 ºC, portanto a

sensibilidade foi testada comparando as duas distribuições (ajustadas com a série

escolhida e a média das 24 células mais próximas) avaliadas para 28ºC. O resultado é

apresentado na Figura 5.2.5. Pode-se observar que, neste caso, tanto as distribuições

como seus intervalos de confiança resultam ser similares. Outra forma de analisar a

sensibilidade é como o ajuste individual de cada uma das 24 células mais próximas. Na

Figura 5.2.6 pode-se observar a distribuição ajustada na célula escolhida e seus

intervalos de confiança, e as distribuições ajustadas individualmente com cada uma das

24 células mais próximas, sempre avaliadas para 28ºC. Neste caso as células mais

afastadas em latitude se afastam da distribuição com a célula escolhida. As células

apartadas em longitude ficam dentro do intervalo de confiança. Pode-se concluir que um

analise utilizando médias de células é mais robusto do que análises com células

isoladas.

- 40 -

1000

2000

3000

4000

5000

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Gumbel proposta com SST=28º Gumbel proposta com SSTmédio=28º

Intervalo de confiança 95% Intervalo de co nfiança 95%

Figura 5.2.5. Ajuste da distribuição proposta, avaliada para 28ºC, utilizando a séries auxiliares da

célula escolhida e a série auxiliar feita da média das 24 células mais próximas.

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Modelo com célula ótima para 28ºC Intervalos de confiança de 95%

Modelos otimizados com cada celula, para 28ºC

Figura 5.2.6. Distribuição ajustada e intervalos de confiança para 28ºC na célula escolhida, e

distribuições ajustadas individualmente nas 24 células mais próxima (sem incluir os intervalos de

confiança).

Concluindo o capítulo, foi analisada a conveniência de utilizar a distribuição de

Gumbel em lugar da GEV na bacia do Quaraí, utilizando um teste estatístico e critérios

de incertezas na extrapolação da distribuição para determinar vazões extremas. Foi

escolhida a distribuição de Gumbel. Além foi analisada a relação das vazões extremas

com SST do oceano Pacífico, achando se que existem células de temperaturas medias

mensais que no modelo de Gumbel proposto conseguem um melhor ajuste do modelo

com uma confiança superior ao 95%. A distribuição de freqüências com a série auxiliar

- 41 -

de SST, fixando uma vazão extrema, prognostica uma diminuição do período de retorno

com um aumento da SST. Foi analisada a robustez de utilizar uma célula isolada em

relação à média de células próximas, achando se resultados similares.

5.3 Resultados nas restantes bacias da região

5.3.1 Ajuste da distribuição de freqüências e intervalos de confiança dos parâmetros e

das vazões.

Na Tabela 5.3.1 e Tabela 5.3.2 são apresentados os parâmetros das distribuições

Gumbel e GEV, estimados mediante máxima verossimilhança, para as séries de vazões

máximas anuais nas bacias estudadas. Também são apresentados os intervalos de

confiança dos parâmetros determinados pelos dois métodos propostos.

Tabela 5.3.1. Parâmetros estimados, e intervalos de confiança de 95% da distribuição de Gumbel para

as bacias estudadas.

Código da

Bacia

∧

/s)

Intervalo de confiança

/s)

∧

/s)

Intervalo de confiança

/s)

(1) (2) (1) (2)

Quaraí

1278 [1065,1490] [1113,1452] 740 [572,909] [577,882]

76460000 438 [375,500] [389,498] 189 [143,235] [144,239]

76440000 760 [670,850] [688,835] 316 [249,382] [262,374]

76310000 1487 [1159,1815] [1237,1804] 918 [664,1172] [679,1161]

75600000 340 [273,407] [290,401] 159 [107,211] [118,192]

75185000 96 [80,113] [83,112] 44 [31,56] [35,51]

75155000 324 [285,363] [293,357] 144 [113,174] [113,177]

74900000 348 [314,382] [322,381] 91 [68,114] [74,104]

74750000 109 [93,125] [95,124] 46 [34,58] [37,54]

74700000 211 [180,242] [186,238] 113 [91,136] [99,127]

74600000 505 [451,558] [463,552] 191 [151,231] [160,220]

74470000 301 [255,347] [265,342] 137 [102,172] [106,165]

74460000 49 [42,56] [44,56] 17 [12,22] [13,21]

51.1 403 [308,499] [330,495] 245 [171,319] [175,305]

(1) Intervalos de confiança de 95% obtidos com a curvatura da superfície do logaritmo da função de

máxima verossimilhança. (2) Intervalos de confiança de 95% obtidos com as técnicas de “bootstrap”.

Para escolher qual é a distribuição adequada para cada bacia é utilizada a função

de Deviança e algumas observações práticas sobre os ajustes, as vazões extremas

calculadas e incertezas relacionadas. A partir do valor do logaritmo da função de

máxima verossimilhança foram calculadas as funções de Deviança apresentadas na

Tabela 5.3.3.

- 42 -

Tabela 5.3.2. Parâmetros estimados, e intervalos de confiança de 95% da distribuição GEV para as

bacias estudadas.

Código

da Bacia

∧

/s)

Intervalo de confiança

/s)

∧

/s)

Intervalo de confiança

/s)

∧

/s)

Intervalo de confiança

/s)

(1) (2) (1) (2) (1) (2)

Quaraí 1203 [994,1411] [1051,1368] 671 [504,838] [478,795] 0.201 [-0.03,0.432] [0.053,0.459]

76460000 431 [367,494] [385,491] 185 [138,231] [135,224] 0.067 [-0.12,0.254] [-0.317,0.305]

76440000 755 [661,848] [684,848] 312 [244,381] [263,365] 0.031 [-0.122,0.184] [-0.294,0.169]

76310000 1418 [1085,1751] [1158,1718] 862 [605,1118] [634,1049] 0.144 [-0.128,0.416] [-0.105,0.41]

75600000 333 [257,410] [258,462] 153 [92,215] [81,235] 0.083 [-0.421,0.587] [-0.571,0.988]

75185000 100 [80,119] [81,121] 46 [31,61] [32,57] -0.131 [-0.492,0.23] [-0.443,0.227]

75155000 312 [273,352] [284,348] 134 [104,164] [110,158] 0.148 [-0.037,0.333] [-0.065,0.294]

74900000 361 [326,397] [335,394] 93 [68,117] [72,108] -0.259 [-0.435,-0.084] [-0.652,-0.133]

74750000 111 [93,129] [96,130] 47 [34,60] [37,56] -0.072 [-0.325,0.181] [-0.485,0.127]

74700000 223 [188,257] [193,256] 119 [94,144] [102,135] -0.189 [-0.386,0.009] [-0.343,-0.068]

74600000 508 [450,565] [457,563] 193 [151,235] [158,225] -0.029 [-0.234,0.175] [-0.19,0.122]

74470000 297 [248,346] [260,341] 134 [97,170] [104,163] 0.058 [-0.195,0.311] [-0.103,0.232]

74460000 50 [42,57] [43,56] 17 [12,23] [13,21] -0.023 [-0.234,0.189] [-0.322,0.252]

51.1 390 [290,490] [311,510] 235 [158,311] [129,320] 0.104 [-0.229,0.437] [-0.224,0.74]

(1) Intervalos de confiança de 95% obtidos com a curvatura da superfície do logaritmo da função de

máxima verossimilhança. (2) Intervalos de confiança de 95% obtidos com as técnicas de “bootstrap”.

Tabela 5.3.3. Valores de logaritmo da função de máxima verossimilhança dos ajustes com as

distribuições Gumbel e GEV e funções de Deviança calculados a partir de eles.

Código da Bacia

ℓ

Logaritmo da função de máxima verossimilhança

Função de

Deviança

Gumbel GEV

Quaraí -296.55 -295.41

2.28

76460000 -266.63 -266.35

0.56

76440000 -381.42 -381.35

0.14

76310000 -278.52 -277.88

1.28

75600000 -160.00 -159.95

0.10

75185000 -155.08 -154.86

0.44

75155000 -369.20 -367.43

3.54

74900000 -186.64 -184.28

4.72

74750000 -183.48 -183.34

0.28

74700000 -364.08 -362.70

2.76

74600000 -375.60 -375.57

0.06

74470000 -240.97 -240.87

0.20

74460000 -114.86 -114.85

0.02

51.1 -199.01 -198.82

0.38

Pode se observar que somente na bacia 74900000 o valor da função de Deviança

e maior a 3.84. O que indicaria que, com um nível de confiança superior ao 95%, a

distribuição mais adequada aos dados é a distribuição GEV. Na Tabela 5.3.4, Tabela

5.3.5 e Tabela 5.3.6 são apresentadas as vazões e os intervalos de confiança calculados

com todos os métodos propostos para 25, 50 e 100 anos de período de retorno. Nelas

- 43 -

pode-se observar que as vazões calculadas pelas duas distribuições têm pequenas

diferenças, e que os intervalos de confiança da GEV são mais amplos.

No resto dos casos a amplitude do intervalo de confiança da distribuição GEV é

sempre maior. Na Figura 5.3.1 pode se observar graficamente uma comparação das

vazões, por unidade de área de bacia, para 50 e 100 anos de período de retorno geradas

por ambas distribuições. O aumento das incertezas, também por unidade de área de

bacia, geradas para 100 anos de período de retorno é apresentado na Figura 5.3.2, onde

pode-se observar o aumento das incertezas do modelo de três parâmetros.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Quaraí

76460000

76440000

76310000

75600000

75185000

75155000

74900000

74750000

74700000

74600000

74470000

74460000

51.1

Bacia

Vazão especifica de 100 anos de período de retorn

/s/km

)

Distribuição de Gumbel

Distribuição GEV

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Quaraí

76460000

76440000

76310000

75600000

75185000

75155000

74900000

74750000

74700000

74600000

74470000

74460000

51.1

Bacia

Vazão especifica de 50 anos de período de retorn

/s/km

)

Distribuição de Gumbel

Distribuição GEV

Figura 5.3.1. Vazão de 100 e 50 anos de período de retorno especifica pela área da bacia apara as

bacias estudadas.

Quaraí

76460000

76440000

76310000

75600000

75185000

75155000

74900000

74750000

74700000

74600000

74470000

74460000

51.1

Bacia

Vazão especifica de 100 anos de período de retorn

/s/km

)

Gu mb e l

Quaraí

76460000

76440000

76310000

75600000

75185000

75155000

74900000

74750000

74700000

74600000

74470000

74460000

51.1

Bacia

Vazão especifica de 100 anos de período de retorn

/s/km

)

GEV

Figura 5.3.2. Vazão de 100 anos de período de retorno especifica pela área da bacia e intervalo de

confiança estimado pelo método curvatura da superfície do logaritmo da função de máxima

verossimilhança para as distribuições Gumbel e GEV nas bacias estudadas.

- 44 -

Tabela 5.3.4. Vazões de 25 anos de período de retorno e intervalos de confiança de 95 % estimados pelas

distribuições Gumbel e GEV para as bacias estudadas.

Distribuição Gumbel, Período de retorno de 25 anos.

Código da Bacia Valor central

Intervalos

confiança

Largura

Intervalos

confiança

Largura

Intervalos

confiança

Largura

(1) (2) (3)

/s)

(m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s)

Quaraí 3645 [2895,4397] 1502 [2959,4273] 1314 [3012,4218] 1206

76460000 1043 [832,1252] 420 [850,1262] 412 [883,1229] 346

76440000 1771 [1466,2072] 606 [1526,2031] 505 [1563,1990] 427

76310000 4423 [3283,5564] 2281 [3409,5517] 2108 [3488,5421] 1933

75600000 849 [615,1082] 467 [667,1015] 348 [681,1000] 319

75185000 237 [179,292] 113 [195,275] 80 [201,270] 69

75155000 785 [646,920] 274 [654,923] 269 [664,903] 239

74900000 639 [532,747] 215 [559,714] 155 [586,687] 101

74750000 256 [202,311] 109 [213,297] 84 [221,289] 68

74700000 572 [471,677] 206 [503,644] 141 [515,628] 113

74600000 1116 [934,1297] 363 [975,1256] 281 [998,1240] 242

74470000 739 [581,897] 316 [604,870] 266 [618,862] 244

74460000 103 [80,126] 46 [86,123] 37 [88,118] 30

51.1 1187 [855,1519] 664 [890,1471] 581 [919,1435] 516

Distribuição GEV, Período de retorno de 25 anos.

Código da Bacia Valor central

Intervalos

confiança

Largura

Intervalos

confiança

Largura

Intervalos

confiança

Largura

(1) (2) (3)

/s)

(m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s)

Quaraí 4214 [2531,7195] 4664 [2717,7155] 4438 [3435,5462] 2027

76460000 1091 [734,1634] 900 [656,1705] 1049 [825,1387] 562

76440000 1804 [1307,2507] 1200 [1229,2396] 1167 [1434,2142] 708

76310000 4920 [2673,9231] 6558 [2880,8655] 5775 [3498,6804] 3306

75600000 893 [419,2438] 2019 [377,5831] 5454 [733,2041] 1308

75185000 220 [130,407] 277 [136,389] 253 [187,261] 74

75155000 860 [587,1288] 701 [602,1187] 585 [670,1073] 403

74900000 563 [443,725] 282 [432,675] 243 [489,604] 115

74750000 245 [161,389] 228 [156,351] 195 [195,287] 92

74700000 509 [361,724] 363 [391,644] 253 [451,546] 95

74600000 1098 [790,1572] 782 [836,1443] 607 [973,1221] 248

74470000 768 [479,1277] 798 [543,1114] 571 [622,926] 304

74460000 102 [69,158] 89 [69,159] 90 [81,125] 44

51.1 1282 [648,2658] 2010 [687,3510] 2823 [1048,1863] 815

(1) Intervalos de confiança de 95% obtidos com a curvatura da superfície do logaritmo da função de

máxima verossimilhança. (2) Intervalos de confiança de 95% obtidos com as técnicas de “bootstrap” nos

parâmetros. (3) Intervalos de confiança de 95% obtidos com as técnicas de “bootstrap” nas vazões.

- 45 -

Tabela 5.3.5. Vazões de 50 anos de período de retorno e intervalos de confiança de 95 % estimados pelas

distribuições Gumbel e GEV para as bacias estudadas.

Distribuição Gumbel, Período de retorno de 50 anos.

Código da Bacia Valor central

Intervalos

confiança

Largura

Intervalos

confiança

Largura

Intervalos

confiança

Largura

(1) (2) (3)

/s)

(m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s)

Quaraí 4165 [3297,5037] 1740 [3364,4894] 1530 [3413,4826] 1413

76460000 1175 [933,1417] 484 [951,1431] 480 [986,1397] 411

76440000 1993 [1642,2341] 699 [1710,2294] 584 [1755,2247] 492

76310000 5069 [3750,6388] 2638 [3886,6334] 2448 [3983,6235] 2252

75600000 960 [691,1230] 539 [750,1150] 400 [766,1129] 363

75185000 268 [201,332] 131 [220,311] 91 [227,306] 79

75155000 886 [726,1042] 316 [734,1048] 314 [743,1026] 283

74900000 703 [579,827] 248 [611,787] 176 [640,759] 119

74750000 288 [226,351] 125 [239,335] 96 [246,327] 81

74700000 652 [535,773] 238 [572,734] 162 [586,716] 130

74600000 1250 [1040,1459] 419 [1087,1410] 323 [1111,1392] 281

74470000 836 [653,1018] 365 [679,986] 307 [694,978] 284

74460000 115 [89,142] 53 [95,138] 43 [98,132] 34

51.1 1359 [975,1744] 769 [1013,1685] 672 [1044,1643] 599

Distribuição GEV, Período de retorno de 50 anos.

Código da Bacia Valor central

Intervalos

confiança

Largura

Intervalos

confiança

Largura

Intervalos

confiança

Largura

(1) (2) (3)

/s)

(m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s)

Quaraí 5178 [2850,9938] 7088 [3123,10020] 6897 [4048,7486] 3438

76460000 1256 [797,2035] 1238 [687,2171] 1484 [885,1709] 824

76440000 2049 [1419,3023] 1604 [1295,2865] 1570 [1524,2550] 1026

76310000 5931 [2943,12687] 9744 [3188,11829] 8641 [3948,9171] 5223

75600000 1038 [433,3662] 3229 [385,11459] 11074 [784,3944] 3160

75185000 241 [134,504] 370 [140,479] 339 [197,314] 117

75155000 1020 [651,1665] 1014 [663,1503] 840 [743,1358] 615

74900000 589 [454,786] 332 [437,723] 286 [499,636] 137

74750000 271 [168,469] 301 [161,413] 252 [202,331] 129

74700000 551 [378,829] 451 [412,719] 307 [479,601] 122

74600000 1220 [836,1880] 1044 [892,1687] 795 [1058,1401] 343

74470000 884 [513,1639] 1126 [594,1376] 782 [695,1120] 425

74460000 113 [73,190] 117 [72,195] 123 [84,150] 66

51.1 1521 [698,3694] 2996 [747,5425] 4678 [1165,2808] 1643

(1) Intervalos de confiança de 95% obtidos com a curvatura da superfície do logaritmo da função de

máxima verossimilhança. (2) Intervalos de confiança de 95% obtidos com as técnicas de “bootstrap” nos

parâmetros. (3) Intervalos de confiança de 95% obtidos com as técnicas de “bootstrap” nas vazões.

- 46 -

Tabela 5.3.6. Vazões de 100 anos de período de retorno e intervalos de confiança de 95 % estimados

pelas distribuições Gumbel e GEV para as bacias estudadas.

Distribuição Gumbel, Período de retorno de 100 anos.

Código da Bacia Valor central

Intervalos

confiança

Largura

Intervalos

confiança

Largura

Intervalos

confiança

Largura

(1) (2) (3)

/s)

(m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s)

Quaraí 4682 [3696,5672] 1976 [3767,5509] 1742 [3811,5440] 1629

76460000 1307 [1033,1581] 548 [1051,1597] 546 [1085,1563] 478

76440000 2214 [1815,2607] 792 [1893,2555] 662 [1940,2506] 566

76310000 5710 [4213,7206] 2993 [4361,7145] 2784 [4460,7049] 2589

75600000 1071 [765,1378] 613 [833,1284] 451 [849,1262] 413

75185000 298 [223,371] 148 [244,347] 103 [252,341] 89

75155000 986 [805,1163] 358 [813,1171] 358 [824,1148] 324

74900000 767 [627,906] 279 [662,859] 197 [693,832] 139

74750000 321 [249,392] 143 [265,372] 107 [272,364] 92

74700000 731 [599,868] 269 [641,822] 181 [654,805] 151

74600000 1384 [1146,1621] 475 [1199,1564] 365 [1222,1543] 321

74470000 931 [724,1138] 414 [753,1101] 348 [770,1093] 323

74460000 127 [97,157] 60 [104,153] 49 [107,147] 40

51.1 1530 [1095,1966] 871 [1135,1898] 763 [1167,1854] 687

Distribuição GEV, Período de retorno de 100 anos.

Código da Bacia Valor central

Intervalos

confiança

Largura

Intervalos

confiança

Largura

Intervalos

confiança

Largura

(1) (2) (3)

/s)

(m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s)

Quaraí [3160,13623] 10463 [3541,13943] 10402 [4704,10219] 5515 [3160,13623]

76460000 [855,2510] 1655 [712,2744] 2032 [929,2095] 1166 [855,2510]

76440000 [1520,3605] 2085 [1347,3388] 2041 [1601,2996] 1395 [1520,3605]

76310000 [3188,17279] 14091 [3471,16029] 12558 [4309,12139] 7830 [3188,17279]

75600000 [444,5495] 5051 [390,22619] 22229 [820,7436] 6616 [444,5495]

75185000 [136,618] 482 [144,583] 439 [205,382] 177 [136,618]

75155000 [713,2138] 1425 [721,1889] 1168 [813,1698] 885 [713,2138]

74900000 [461,843] 382 [440,766] 326 [506,669] 163 [461,843]

74750000 [174,560] 386 [164,480] 316 [206,380] 174 [174,560]

74700000 [390,933] 543 [429,789] 360 [503,657] 154 [390,933]

74600000 [875,2226] 1351 [942,1951] 1009 [1135,1608] 473 [875,2226]

74470000 [543,2085] 1542 [641,1681] 1040 [758,1349] 591 [543,2085]

74460000 [76,226] 150 [74,238] 164 [88,179] 91 [76,226]

51.1 [739,5091] 4352 [802,8358] 7556 [1298,4228] 2930 [739,5091]

(1) Intervalos de confiança de 95% obtidos com a curvatura da superfície do logaritmo da função de

máxima verossimilhança. (2) Intervalos de confiança de 95% obtidos com as técnicas de “bootstrap” nos

parâmetros. (3) Intervalos de confiança de 95% obtidos com as técnicas de “bootstrap” nas vazões.

- 47 -

De forma geral pode-se dizer que para os ajustes com a distribuição de Gumbel,

pode se observar que para 10 das 14 bacias os intervalos de confiança nas vazões, que

produzem os intervalos de confiança nos parâmetros feitos pelos dois métodos, são

muito similares, e, em geral todos são da mesma ordem. No caso da distribuição GEV

são 10 as bacias em que os intervalos de confiança pelos dois métodos são da mesma

ordem, mais casos como a bacia 75600000 em que os intervalos resultam muito

distintos.

Os intervalos de confiança estimados pela metodologia de bootsrap diretamente

nas vazões podem ser observados nas Tabela 5.3.4, Tabela 5.3.5 e Tabela 5.3.6. Pode–

se observar que no caso da distribuição Gumbel os intervalos de confiança estimados

pelos duas metodologias de bootstrap propostas são similares, mais no caso da

distribuição GEV eles são sempre mas estreitos. Isto pode-se dever à não linearidade ou

ao fato de ter um parâmetro a mais.

Finalmente, a comparação visual dos ajustes das duas distribuições, e os

intervalos de confiança obtidos como as metodologias propostas podem-se observar no

Anexo 1.

5.3.2

Ajuste da distribuição de freqüências e intervalos de confiança dos parâmetros e

das vazões, utilizando séries auxiliares de temperatura de superfície do oceano.

Na Tabela 5.3.7 são apresentados os parâmetros estimados, e seus intervalos de

confiança de 95%, para o modelo proposto a partir da distribuição de Gumbel na célula

da região de interesse que apresentou o maior valor de máxima verossimilhança. Na

Tabela 5.3.8 são apresentados os valores das funções de máxima verossimilhança do

modelo proposto e de Gumbel, da função de Deviança e a localização da célula ótima.

- 48 -

Tabela 5.3.7. Parâmetros estimados para o modelo proposto a partir da distribuição de Gumbel e

intervalos de confiança de 95% na célula ótima.

Código da

Bacia

∧

/s)

Intervalo de confiança

/s)

∧

/s)

Intervalo de confiança

/s)

∧

/s)

Intervalo de confiança

/s)

(1) (2) (1) (2) (1) (2)

Quaraí

-15515 [-21615,-9415] [-20418,-12574] 614 [392,836] [507,795] 568 [416,720] [423,678]

76460000

-3405 [-4925,-1886] [-4322,-2384] 140 [85,194] [103,173] 151 [112,189] [115,193]

76440000 -10407 [-15663,-5150] [-13422,-6762] 417 [221,613] [281,528] 264 [205,322] [200,325]

76310000 -39080 [-56848,-21312] [-53954,-26010] 1438 [810,2066] [976,1969] 716 [516,915] [517,895]

75600000

13994 [5925,22064] [6819,21731] -494 [-786,-202] [-773,-236] 135 [95,176] [92,151]

75185000 -1378 [-1936,-820] [-1720,-980] 54 [34,75] [40,67] 33 [24,43] [26,38]

75155000 -1352 [-2337,-366] [-2237,-612] 63 [26,99] [35,95] 132 [104,160] [100,163]

74900000 11062 [4886,17239] [3630,16078] -374 [-589,-158] [-548,-114] 75 [54,96] [58,85]

74750000 -721 [-1272,-171] [-1440,-218] 30 [10,50] [12,56] 42 [31,52] [31,48]

74700000 -4891 [-7420,-2363] [-6891,-2937] 201 [101,300] [125,280] 102 [82,122] [84,115]

74600000 -18868 [-28951,-8784] [-27878,-9907] 676 [324,1028] [363,991] 174 [139,209] [145,196]

74470000 -4186 [-6278,-2094] [-5761,-2088] 167 [89,245] [89,226] 113 [85,142] [84,134]

74460000 -422 [-714,-131] [-678,-178] 17 [6,27] [8,26] 14 [10,19] [10,17]

51.1 -16321 [-21963,-10679] [-23159,-11281] 574 [381,767] [402,807] 181 [128,235] [120,220]

(1) Intervalos de confiança de 95% obtidos com a curvatura da superfície do logaritmo da função de

máxima verossimilhança. (2) Intervalos de confiança de 95% obtidos com as técnicas de “bootstrap”.

Da mesma forma que todos os casos anteriores o intervalo de confiança dos

parâmetros, obtido mediante as técnicas de bootstrap é mais estreito que o obtido

mediante a técnica da curvatura da superfície do logaritmo da função de máxima

verossimilhança. Somente duas bacias apresentam um valor estimado do parâmetro b

negativo, o que significa que nessas bacias o parâmetro de posição diminui com o

aumento da temperatura de superfície do oceano, ou seja, que fixando um período de

retorno, as vazões diminuem com o aumento da temperatura do oceano.

Segundo a função de Deviança, em todas as bacias é significante supor b≠0, ou

seja, que o novo modelo e mais adequado aos dados. No Anexo 2 são apresentados,

para cada bacia, figuras com os valores da função de Deviança em relação ao Gumbel

de cada célula da região do oceano interesse (região que segundo os autores apresenta

relações entre as precipitações e vazões ). Nelas pode-se observar que apesar de todas as

bacias apresentar significância de supor b≠0, nem sempre as regiões são similares. Para

todas as bacias foi escolhida a mesma escala gráfica de cores para a função de

Deviança.

- 49 -

Tabela 5.3.8. Valores das funções de máxima verossimilhança para as distribuições Gumbel com e sem

série auxiliar, função de Deviança e localização da célula ótima.

Código da Bacia

ℓ

Gumbel

ℓ

Modelo proposto

Deviança longitude latitude

76460000 -266.63 -259.19 14.88 95ºO 2ºN

76440000 -381.42 -374.72 13.4 99ºO 8ºS

76310000 -278.52 -270.68 15.68 137ºO 6ºN

75600000 -160.00 -156.66 6.68 149ºO 14ºN

75185000 -155.08 -147.36 15.44 105ºO 4ºS

75155000 -369.20 -364.54 9.32 119ºO 0ºS

74900000 -186.64 -181.97 9.34 79ºO 8ºN

74750000 -183.48 -179.8 7.36 123ºO 2ºN

74700000 -364.08 -358.15 11.86 99ºO 12ºS

74600000 -375.60 -368.75 13.7 83ºO 10ºN

74470000 -240.97 -233.76 14.42 83ºO 2ºN

74460000 -114.86 -110.49 8.74 149ºO 4ºN

84 -296.55 -287.25 18.6 107ºO 2ºN

51.1 -199.01 -189.93 18.16 89ºO 6ºN

A relação entre as temperaturas de oceano da célula escolhida, e os períodos de

retorno das vazões é explorada na Tabela 5.3.9. Nela apresentam-se as vazões para 100

anos de período de retorno calculadas segundo a distribuição de Gumbel antes ajustada,

e com a distribuição proposta em distintas temperaturas de superfície do oceano da

célula escolhida. Pode se observar que na maioria das bacias a vazão de 100 anos de

período de retorno aumenta com o aumento da temperatura do oceano. Somente em

aquelas dois que o valor de b resulta ser negativo a relação é a contraria.

Tabela 5.3.9 são apresentados também os intervalos de confiança das vazões

calculadas com a metodologia de bootstrap diretamente nas vazões. Da mesma forma

como ocorrido na bacia do Quaraí, não foi possível calcular o intervalo de confiança das

vazões a partir do intervalo de confiança dos parâmetros já que o resultado é absurdo.

A sensibilidade na escolha da célula ótima para cada bacia pode ser observada

no Anexo 3, onde são apresentadas para cada bacia as distribuições ajustadas com a

célula ótima e a distribuição ajustada como uma série auxiliar composta pela média das

24 células mais próximas. Nela pode-se observar que para varias bacias o resultado é

diferente. Isto é devido a que a metodologia proposta para isto não é o suficientemente

robusta.

- 50 -

Tabela 5.3.9. Períodos de retorno de vazões de 100 anos segundo a distribuição de Gumbel calculados

mediante a nova distribuição para diferentes temperaturas do oceano da célula escolhida.

Distribuição proposta com diferentes temperaturas médias de

superfície do oceano

Código

Bacia

Distribuição de

Gumbel

26º 28º 30º

Vazão

/s)

Intervalo de

confiança de

95%

/s)

Vazão

/s)

Intervalo de

confiança de

95%

/s)

Vazão

/s)

Intervalo de

confiança de

95%

/s)

Vazão

/s)

Intervalo de

confiança de

95%

/s)

Quaraí

4682

[3811,5440]

3062 [2310,3607] 4290 [3559,4923] 5518 [4704,6291]

76460000 1307

[1085,1563]

930 [719,1145] 1210 [1001,1425] 1490 [1267,1734]

76440000 2214

[1940,2506]

1649 [1286,2041] 2483 [2160,2783] 3317 [2844,3704]

76310000 5710

[4460,7049]

1602 [186,2882] 4478 [3467,5437] 7354 [5884,8910]

75600000 1071

[849,1262]

1771 [1264,2169] 783 [555,878] * *

75185000 298

[252,341]

178 [141,223] 286 [252,325] 394 [346,450]

75155000 986

[824,1148]

893 [726,1036] 1019 [839,1186] 1145 [933,1351]

74900000 767 [693,832]

1683 [1016,2142] 935 [767,1053] 187 [*,563]

74750000 321 [272,364]

252 [178,298] 312 [267,348] 372 [310,433]

74700000 731 [654,805]

804 [713,866] 1206 [1009,1394] 1608 [1258,1954]

74600000 1384 [1222,1543]

* * 860 [603,1076] 2212 [1743,2660]

74470000 931 [770,1093]

676 [528,809] 1010 [841,1142] 1344 [1048,1553]

74460000 127 [107,147] 84 [44,102] 118 [88,127] 152 [118,167]

51.1 1530 [1167,1854]

* * 584 [109,858] 1732 [1405,2010]

Concluindo o capitulo se pode dizer que foi aplicada a mesma metodologia que

em 5.2 para as restantes bacias da região. Com os mesmos critérios para a eleição da

distribuição, Gumbel foi achada satisfatória para 13 das 14 bacias estudadas. Os

intervalos de confiança das vazões podem ser determinados com qualquer dos métodos

pospostos. Para todas as bacias foi achada uma célula do oceano Pacífico onde o teste

aplicado conclui que com uma significância superior ao 95% a distribuição proposta

consegue um melhor ajuste dos dados. Em 12 das 14 bacias, a distribuição de

freqüências com a série auxiliar de SST, fixando uma vazão extrema, prognostica uma

diminuição do período de retorno com um aumento da SST. Este resultado é coerente

com as relações descritas na revisão bibliográfica onde um aumento das temperaturas do

oceano Pacífico esta associada a aumentos das precipitações na região estudada. Em 4

bacias estudadas uma serie formada por a média das 25 células próximas à escolhida

apresentam resultados distintos.

- 51 -

6 Conclusões e recomendações.

Na presente dissertação foram analisados os ajustes, por meio de máxima

verossimilhança, de distribuições de freqüências GEV e Gumbel em 14 bacias do médio

rio Uruguai. Foram escolhidas as distribuições mais convenientes utilizando testes

estatísticos e critérios de aumento de incertezas na extrapolação ao agregar graus de

liberdade ao modelo. Diversas metodologias para estimar intervalos de confiança dos

parâmetros e das vazões forma analisadas. Estes intervalos de confiança representam as

incertezas do modelo e as estimações dos parâmetros enquanto a representatividade da

série (amostra). Finalmente a partir de um modelo estatístico baseado na distribuição de

Gumbel, com uma dependência linear do parâmetro de posição como series auxiliares

de temperatura média anual do oceano Pacífico, foram analisadas e quantificadas

relações entre períodos de retorno de vazões extremas e variabilidade climática das

temperaturas de superfície do oceano. Além disto, foram desenvolvidas metodologias

para estimar intervalos de confiança do novo modelo proposto. Conclusões e

recomendações para futuros trabalhos são apresentadas a seguir.

6.1 Conclusões

As séries de vazão máxima anual da maioria das bacias da região podem ser

ajustadas utilizando a distribuição de Gumbel. Isso tem a vantagem de que o fato de ter

um parâmetro a menos da GEV o que diminui as incertezas na extrapolação. A

estimação de vazões de alto período de retorno e seus intervalos de confiança, utilizando

a distribuição Gumbel, fica dentro do intervalo de confiança da mesma estimação

utilizando a distribuição GEV.

Podem-se utilizar quaisquer dos métodos propostos para calcular o intervalo de

confiança de vazões extremas utilizando a distribuição de Gumbel, já que resultados

utilizando os três métodos propostos foram da mesma ordem. O método de bootstrap

utilizado tem a vantagem de não supor distribuição das gerações enquanto que o método

da curvatura da superfície do logaritmo da função de máxima verossimilhança supõe a

- 52 -

sua normalidade. Alem disso o método de bootstrap aplicado diretamente nas vazões foi

o único capaz de calcular os intervalos do confiança do modelo proposto com séries

auxiliares de temperatura de oceano.

Existe uma região do oceano cujas séries de temperaturas de superfície

conseguem valores com significância superior ao 95% de supor que o modelo proposto

é um melhor ajuste aos dados de vazão máxima anual. Além disso, esta região apresenta

resultados coerentes com outros autores (Ropelewsky & Halpert (1987), Pisciottano et

al (1994), Mechoso & Iribarren (1992), Diaz et. al. (1998), Camilloni & Barros (2003),

Grimm et al. (2000)) de que existe uma relação positiva entre o aumento das vazões e

precipitações na região da Bacia do Prata com o aumento das temperaturas de superfície

do oceano na região. A relação é quantificada quanto aos períodos de retorno, mas o

método utilizado não tem a robustez necessária para assegurar a confiabilidade desse

valor.

Levando em conta as seguintes questões:

A formação de uma enchente em bacias do tamanho das estudadas é um

processo complexo que geralmente necessita de: 1) precipitações prolongadas e

uniformemente distribuídas na área da bacia, e 2) condições antecedentes de

umidade do solo favoráveis.

O ciclo anual de precipitações na região não apresenta épocas chuvosas, sendo

para qualquer mês do ano o valor do desvio padrão próximo ao valor da média

(Figura 4.1.3 e Diaz (1997)).

As condições de umidade do solo favoráveis à formação de enchentes são mais

prováveis de ocorrer no inverno, já que o ciclo anual de evapotranspirações e

estável e apresenta um mínimo nos meses de inverno.

Os meses onde é mais clara a teleconexão do ENSO (e as anomalias positivas de

precipitação) com as precipitações na região são na primavera – verão

(Ropelewsky & Halpert (1987), Pisciotano (1994), Diaz et al. (1997), Grimm et

al.(2000) e Grimm & Natori (2006)), e segundo Pisciotano (1994) e Diaz et al.

(1997)), mas podem existir outros mecanismos físicos de formação de

precipitações que geram anomalias não diretamente relacionados ao ENSO.

- 53 -

Pode-se concluir que os resultados da presente dissertação são apenas uma

quantificação (com baixo grau de precisão) do aumento da probabilidade de ocorrer

enchentes quando um episódio do ENSO ocorrer.

O modelo proposto utilizando as séries auxiliares de temperatura de oceano

agrega um parâmetro, mas o intervalo de confiança não aumenta nas proporções do que

aumenta ao agregar um parâmetro para passar de Gumbel a GEV.

6.2 Recomendações

Seria necessário complementar o estudo de relações entre vazões extremas na

Bacia do médio rio Uruguai e temperatura de superfície de oceano com uma análise

mais robusta, por exemplo, utilizando Componentes Principais. A partir de uma análise

mais robusta poderia ser mais confiável a quantificação da relação.

Levando em conta os resultados da influencia do oceano Atlântico com as

anomalias de precipitações na região de estudo (Pisciotano (1994), Diaz et al. (1997),

Grimm et al.(2000) e Grimm & Natori (2006)) o estudo deveria ser estendido

considerando as SST dois dos oceanos, juntas e por separado.

O estudo poderia ser ampliado considerando valores mensais ou considerando

séries com mais de um valor anual de vazão máxima. Poderiam ser explorados distintos

“lags” entre temperaturas de superfície de oceano e ocorrência das vazões extremas.

Um estudo similar aumentando a robustez do método poderia ser utilizado para

análises de aumento de vazões extremas frente a mudanças climáticas, por exemplo, a

partir de resultados de modelos em futuros cenários como os apresentados por Grimm &

Natori (2006).

- 54 -

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Anexo 1 - 1 -

Anexo 1, Ajustes das distribuições Gumbel e GEV, com

intervalos de confiança de 95% aos dados de vazão máxima

anual das bacias estudadas.

Para todos os casos

(1) Intervalos de confiança de 95% obtidos com a curvatura da superfície do logaritmo

da função de máxima verossimilhança.

(2) Intervalos de confiança de 95% obtidos com as técnicas de “bootstrap” nos

parâmetros.

(3) Intervalos de confiança de 95% obtidos com as técnicas de “bootstrap” nas vazões.

Bacia 84

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

1 10 100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição Gumbel Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição GEV Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 90% (1) Dados Amos trais

Intervalo de confiança 95% (2)

Anexo 1 - 2 -

Bacia 76460000

500

1000

1500

2000

2500

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição Gumbel Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

500

1000

1500

2000

2500

1 10 100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição GEV Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

Bacia 76440000

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

1 10 100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição Gumbel Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição GEV Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

Anexo 1 - 3 -

Bacia 76310000

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

1 10 100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição Gumbel Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição GEV Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

Bacia 75600000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1 10 100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição Gumbel Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

200

400

600

800

1000

1200

1400

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição GEV Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

Anexo 1 - 4 -

Bacia 75185000

100

200

300

400

500

600

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição Gumbel Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

100

200

300

400

500

600

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição GEV Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

Bacia 75155000

500

1000

1500

2000

1 10 100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição Gumbel Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

500

1000

1500

2000

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição GEV Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

Anexo 1 - 5 -

Bacia 74900000

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1 10 100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição Gumbel Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição GEV Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amos trais

Intervalo de confiança 95% (2)

Bacia 74750000

100

200

300

400

500

600

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição Gumbel Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

100

200

300

400

500

600

1 10 100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição GEV Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

Anexo 1 - 6 -

Bacia 74700000

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição Gumbel Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1 10 100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição GEV Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

Bacia 74600000

500

1000

1500

2000

2500

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição Gumbel Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

500

1000

1500

2000

2500

1 10 100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição GEV Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

Anexo 1 - 7 -

Bacia 74470000

500

1000

1500

2000

2500

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição Gumbel Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

500

1000

1500

2000

2500

1 10 100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição GEV Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

Bacia 74460000

100

150

200

250

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição Gumbel Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

100

150

200

250

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição GEV Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

Anexo 1 - 8 -

Bacia 51.1

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

1 10 100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição Gumbel Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Distribuição GEV Intervalo de confiança 95% (3)

Intervalo de confiança 95% (1) Dados Amostrais

Intervalo de confiança 95% (2)

Anexo 2 - 1 -

Anexo 2, Valores da função de Deviança das células de SST para

cada bacia.

Bacia 84

Bacia 76460000

Anexo 2 - 2 -

Bacia 76440000

Bacia 76310000

Anexo 2 - 3 -

Bacia 75600000

Bacia 75185000

Anexo 2 - 4 -

Bacia 75155000

Bacia 74900000

Anexo 2 - 5 -

Bacia 74750000

Bacia 74700000

Anexo 2 - 6 -

Bacia 74600000

Bacia 74470000

Anexo 2 - 7 -

Bacia 74460000

Bacia 51.1

Anexo 3 - 1 -

Anexo 3, Analise da sensibilidade na escolha da célula ótima.

Bacia Quaraí

100

1100

2100

3100

4100

5100

6100

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Gumbel propo s ta com SST=28º Gumbel propo s ta co m SSTpromedio =28º

Intervalo de co nfiança 95% Intervalo de confiança 95%

Bacia 76460000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Gumbel propo s ta com SST=28º Gumbel propo sta co m SSTpromedio=28º

Intervalo de co nfiança 95% Intervalo de confiança 95%

Bacia 76440000

500

1000

1500

2000

2500

3000

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Gumbel propo s ta com SST=27º Gumbel propo s ta co m SSTpromedio=27º

Intervalo de co nfiança 95% Intervalo de confiança 95%

Anexo 3 - 2 -

Bacia 76310000

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Gumbel propo s ta com SST=29º Gumbel propo s ta co m SSTpromedio=29º

Intervalo de co nfiança 95% Intervalo de confiança 95%

Bacia 75600000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Gumbel propo s ta com SST=28º Gumbel propo s ta co m SSTpromedio=28º

Intervalo de co nfiança 95% Intervalo de confiança 95%

Bacia 75185000

100

150

200

250

300

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Gumbel propos ta com SST=27º Gumbel proposta com SSTpromedio=27º

Intervalo de confiança 95% Intervalo de co nfiança 95%

Anexo 3 - 3 -

Bacia 75155000

200

400

600

800

1000

1200

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Gumbel propo s ta com SST=27º Gumbel propo s ta co m SSTpromedio=27º

Intervalo de co nfiança 95% Intervalo de confiança 95%

Bacia 74900000

200

400

600

800

1000

1200

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Gumbel propo s ta com SST=27º Gumbel propo s ta co m SSTpromedio=27º

Intervalo de co nfiança 95% Intervalo de confiança 95%

Bacia 74750000

100

150

200

250

300

350

400

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Gumbel propo s ta com SST=26º Gumbel propo s ta co m SSTpromedio=26º

Intervalo de co nfiança 95% Intervalo de confiança 95%

Anexo 3 - 4 -

Bacia 74700000

100

200

300

400

500

600

700

800

900

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Gumbel propo s ta com SST=26º Gumbel propo s ta co m SSTpromedio=26º

Intervalo de co nfiança 95% Intervalo de confiança 95%

Bacia 74600000

100

300

500

700

900

1100

1300

1500

1700

1900

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Gumbel propo s ta com SST=29º Gumbel propo s ta co m SSTpromedio=29º

Intervalo de co nfiança 95% Intervalo de confiança 95%

Bacia 74470000

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Gumbel propo s ta com SST=28º Gumbel propo s ta co m SSTpromedio=28º

Intervalo de co nfiança 95% Intervalo de confiança 95%

Anexo 3 - 5 -

Bacia 74460000

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Gumbel propo s ta com SST=28º Gumbel propo s ta co m SSTpromedio=28º

Intervalo de co nfiança 95% Intervalo de confiança 95%

Bacia 51.1

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

110100

Periodo de Retorno (anos)

Vazão (m

/s)

Gumbel propo s ta com SST=29º Gumbel propo sta com SSTpromedio =29º

Intervalo de co nfiança 95% Intervalo de confiança 95%

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