( PDF ) Decodificação iterativa em sistemas com codificação Wavelet

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Universidade Federal de Campina Grande

Centro de Engenharia Elétrica e Informática

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

Decodiﬁcação Iterativa em Sistemas com

Codiﬁcação Wavelet

Luiz Gonzaga de Queiroz Silveira Júnior

Tese de Doutorado submetida ao Programa de Pós-Graduação

em Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Campina

Grande como requisito parcial para obtenção do grau de Doutor

em Engenharia Elétrica.

Área de Conhecimento: Processamento da Informação

Orientadores:

Dr. Francisco Marcos de Assis, UFCG.

Dr. Ernesto Leite Pinto, IME.

Campina Grande, Paraíba, Brasil

Luiz Gonzaga de Queiroz Silveira Júnior, Abril de 2008

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Livros Grátis

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Decodiﬁcação Iterativa em Sistemas com

Codiﬁcação Wavelet

Luiz Gonzaga de Queiroz Silveira Júnior

Tese de Doutorado julgada como adequada à obtenção do grau de Doutor

em Engenharia Elétrica, Área de Concentração Processamento da

Informação, e aprovada em sua forma ﬁnal pelo Programa de

Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da

Universidade Federal de Campina Grande.

Banca Examinadora:

Francisco Marcos de Assis, Doutor

Orientador

Ernesto Leite Pinto, Doutor

Orientador

Raimundo Sampaio Neto, Ph.D.

Componente da Banca

Juraci Ferreira Galdino, D.Sc.

Componente da Banca

Bruno Barbosa Albert, D. Sc.

Componente da Banca

Edmar Candeia Gurjão, D. Sc.

Componente da Banca

CAMPINA GRAN DE, PARAÍBA, BRA SIL

ABRIL DE 2008

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iii

Ficha Catalográﬁca

S587d Silveira Júnior, Luiz Gonzaga de Queiroz

2008 Decodiﬁcação Iterativa em Sistemas com Co diﬁcação Wavelet /

Luiz Gonzaga de Queiroz Silveira Júnior. - Campina Grande, 2008.

106f. : il.

Tese (Doutorado em Engenharia Elétrica) - Universidade Federal

de Campina Grande, Centro de Engenharia Elétrica e Informática.

Orientadores: Prof. Dr. Francisco Marcos de Assis, Prof. Dr.

Ernesto Leite Pinto

Inclui bibliograﬁa

1. Decodiﬁcação Iterativa 2. Codiﬁcação Wavelet 3. Desvaneci-

mento Plano. I. Título

CDV: 621.391(043)

Este trabalho é dedicado a minha mãe, Maria de Jesus

Ramos, responsável pelos primeiros, maiores e melhores

ensinamentos.

AGRADECIMENTOS

À Deus, por tudo e, especialmente, por esta vitória.

À minha mãe, po r todo o carinho, incentivo, paciência, ensinament os, zelo e amor, funda-

mentais na minha vida.

Ao meu irmão Felipe, pela ajuda e incentivo e também pelas numerosas discussões que

levaram ao maior amadurecimento das idéias contidas neste texto.

À minha irmã Cecília, pelo apoio e carinho.

À Izabella, pelo amor e carinho, sempre presentes nos momentos difíceis e por toda a

compreensão, capaz de desculpar a minha ausência em muitos momentos.

Aos meus orientadores, Dr. Francisco Marcos e Dr. Ernesto Leite, por todo o incentivo,

paciência, sugestõ es, ajuda e compromisso, os quais foram indispensáveis nesta caminhada.

Aos professores e funcionários do Departamento de Engenharia Elétrica da Universidade

Federal de Campina Grande, pelos preciosos ensinamentos e amizade.

Aos amigos Darlan, Fa biano, Fabrício, Ricardo Crispim, Rohit, Santana, Saulo, Madhavan

e Murali, pela lealdade e amizade.

Aos amigos do IQUANTA, pela amizade e colabora ção .

Aos amigos do EMBEDDED, IECOM e LEIAM, pela amizade e momentos de descontração.

À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Ensino Superior, pelo apoio ﬁnanceiro.

“Never discard information prematurely that may be useful in

making a decision until after all decisions related to that

information have been completed.”

—ANDREW J. VITERBI, CO-FOUNDER OF QUALCOMM

(Wireless Digital Communication: a View Based on Three Lessons Learned.

In IEEE Communications Magazine, Sept. 1991.)

RESUMO

Nesta tese são propostas e investigadas novas alternativas para o emprego da codiﬁcação wavelet

em canais com desvanecimento plano. Cont ribuições impo r t antes são a lcançadas. A primeira é

o desenvolvimento de um demodulador com saída suave para aplicação na decodiﬁcação wavelet,

contornando uma limitação presente em trabalhos a nteriores dedicados ao mesmo tema. Além

disso, propõe-se aqui um esquema de decodiﬁcação iterativa par a concatenações seriais em que

um codiﬁcador wavelet é empregado como codiﬁcador interno. Em particular, o trabalho se

concentra no desenvolvimento de uma estratégia adequada para tr oca de informações suaves

entre o par de decodiﬁcadores SISO, f ormado pelo decodiﬁcador wavelet e um decodiﬁcador

externo, do tipo usualmente empregado em decodiﬁcação turbo. Para tanto são propostas duas

alternativas, com diferentes g r aus de complexidade computacional. São apresentados diver-

sos resultados de avaliações de desempenho via simulação computacional, utilizando-se como

codiﬁcador externo um codiﬁcador convolucional, com decodiﬁcação pelo algoritmo BCJR.

Os resultados de desemp enho obtidos mostram a eﬁcácia das técnicas de recepção propostas,

indicando-as como a lternativas promissoras na exploração do potencial da codiﬁcação wavelet

em canais com desvanecimento plano.

Palavras-chave: Decodiﬁcação Iterativa, Codiﬁcação Wavelet, Desvanecimento plano

vii

ABSTRACT

In this thesis, new applications of wavelet coding technique in wireless communications systems

are proposed and discussed. Important contributions are obtained, such as the conception o f

iterative decoding scheme for serial concatenations with wavelet coding. Besides, some investi-

gations are performed in order to realize a soft-input soft-output wavelet decoder. The major

part of this work is devoted to formulate a strategy to exchange soft information iteratively,

which consider a novel soft demapping approach. Several performance evaluations were carried

out, where a concatenation with a convolutional encoder over a ﬂat fading channel is inves-

tigated. The numerical results so obta ined indicate that the proposed method is an eﬀective

tool for performance improvement of wavelet-coded systems. Therefore, this new approach for

iterative decoding may lead to new alternatives for exploiting the potential of wavelet coding

for digital communications over wireless channels.

Keywords: Iterative decoding, Wavelet coding, Flat fading.

viii

SUMÁRIO

Lista de Figuras xii

Lista de Tabelas xv

Lista de Símbolos xvi

Glossário xvii

Capítulo 1– Introdu ção 1

1.1 Enfoque do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Principais Contribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Produção Cientíﬁca Gerada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Organização do texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Capítulo 2– Codiﬁcaçã o Wavelet 7

2.1 Matrizes Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Matrizes Wavelets Utilizadas na Codiﬁcação . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Codiﬁcação com Matrizes Wavelet Planas de Coeﬁcientes Inteiros . . . . . . . . 10

2.3 Matriz de Codiﬁcação Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Distribuição de Probabilidades dos Símbolos Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Busca de Constelações de Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6 Decodiﬁcação Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.7 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

SUMÁRIO x

Capítulo 3– El e mentos de Recepção Iterativa 27

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Modelo do Sistema de Comunicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Demodulador com Regra de Decisão Suave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4 Decodiﬁcador Wavelet com Entrada e Saída Suaves . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4.1 Decodiﬁcador Wavelet com Entrada Suave . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4.1.1 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4.2 Decodiﬁcador Wavelet com Saída Suave . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.2.1 Expressão para a Probabilidade de Erro de Bit . . . . . . . . . 37

3.4.2.2 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.3 Saída do Decodiﬁcador Wavelet na Fo r ma da Razão de Log-verossimilhança 41

3.4.3.1 Estimação Recursiva dos Parâmetros Média e Variância . . . . 43

3.5 Regra de Demodulação Suave Modiﬁcada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.6 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Capítulo 4– Decodiﬁcação Turbo com Demo dulação Iterativa 50

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2 Concatenação Serial com Codiﬁcador Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3 Receptor Iterativo para Concatenação Serial com Codiﬁcação Wavelet . . . . . . 55

4.3.1 Atualização da Distribuição de Probabilidades dos Símbolos Wavelets . . 56

4.3.2 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Capítulo 5– Novas Abordagens ao Receptor Iterativo 60

5.1 Recepção Iterativa em Sistemas com Matrizes Wavelets de Ordens Elevadas . . . 60

5.1.1 Atualização da DPSW via Método Recursivo Baseado em Convoluções . 62

5.1.1.1 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.1.2 Atualização da DPSW via Deslizamento da Janela de Coleta . . . . . . . 69

SUMÁRIO xi

5.1.2.1 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Capítulo 6– Conclusão 74

6.1 Perspectivas para Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Apêndice A– Distribuição dos Dados de Saída do Dec odiﬁcador Wavelet SISO 7 7

A.1 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.2 Funções de Densidade de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

A.3 Testes de Aderência à Distribuição Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

A.4 Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

A.5 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Referências Bibliográﬁcas 84

LISTA DE FIGURAS

2.1 Diagrama do codiﬁcador wavelet com emprego dos coeﬁcientes de uma matriz

wavelet de dimensão m ×mg. Neste esquema, o Bloco MCW

é deﬁnido a partir

da j-ésima linha da matriz wavelet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

2.2 Diagrama do codiﬁcador wavelet para uma MW 2 ×8. . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Constelações PSK utilizadas nos sistemas com codiﬁcação wavelet que utilizam

MWs de dimensões 2 × 8, 4 × 16 e 2 × 128, respectivamente. . . . . . . . . . . . 24

3.1 Modelo do sistema de comunicações com codiﬁcação wavelet. . . . . . . . . . . . 29

3.2 Funcionamento do algoritmo de decodiﬁcação wavelet para o caso de uso de uma

MW de dimensão 2 × 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Desempenho da regra de decisão suave na demodulação de sinais PSK sobre

canal AWGN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Desempenho da regra de decisão suave na demodulação de sinais PSK sobre

canal sujeito ao desvanecimento Rayleigh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.5 Curvas obtidas pela análise desenvolvida e segundo o método de Monte Carlo,

relativas ao desempenho de um sistema com codiﬁcação wavelet baseada na MW

2 × 8, sujeito ao canal com desvanecimento Rayleigh plano. . . . . . . . . . . . . 40

3.6 Curvas obtidas pela análise desenvolvida e segundo o método de Monte Carlo,

relativas ao desempenho de um sistema com codiﬁcação wavelet baseada na MW

2 × 128, sujeito a o canal com desvanecimento Rayleigh plano. . . . . . . . . . . 41

3.7 Desempenho da regra de decisão suave modiﬁcada na demodulação de sinais

PSK sobre canal sujeito ao ruído AWGN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.8 Desempenho da regra de decisão suave modiﬁcada na demodulação de sinais

PSK sobre canal sujeito ao desva necimento Rayleigh. . . . . . . . . . . . . . . . 48

xii

LISTA DE FIGURAS xiii

4.1 Esquema de um codiﬁcador convolucional com taxa R = 1/2 e restrição de com-

primento igual a 3. Para o exemplo, temos os respectivos po linô mios geradores

(0)

= 1 + x + x

e g

(1)

= 1 + x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Modelo de sistema de comunicações com concatenação serial de códigos convolu-

cional e wavelet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3 Comparação de desempenhos em termos da TEB para dois sistemas de comu-

nicações com concatenação serial de códigos convo lucional e Wavelet, utilizando

MWs de diferentes dimensões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4 Modelo do sistema de comunicações com recepção iterativa. . . . . . . . . . . . 55

4.5 Curvas de TEB em função do número de iterações, para o sistema de comuni-

cações baseado na codiﬁcação por MW 2 ×8, utilizando blocos com 4096 bits de

informação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.1 Curvas de TEB em função do número de iterações para diferentes tamanhos de

blocos de bits do sistema com MW 2×8, admitindo módulo da média condicional

igual a 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Curvas de TEB em função do número de iterações para os sistemas com MW 2×8

via estimação do módulo das médias e também com redução da complexidade. 66

5.3 Curvas de TEB em função do número de iterações, obtidas dos receptores itera-

tivo s utilizados nos sistemas com MW 4 × 16 e blocos de 4096 bits. . . . . . . . 67

5.4 Curvas de TEB em função do número de iterações para os sistemas com MW 4×

16 via estimação da média condicional e também com redução da complexidade. 68

5.5 Mapeamento das LLRs de saída do decodiﬁcador BCJR em valores médios. . . . 70

5.6 Curvas de TEB em função do número de iterações, com atualização da DPSW

via valores médios, blocos de 4096 bits de informação, sobre o canal com desva-

necimento não seletivo em freqüência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

A.1 Curvas de f.d.p. a posteriori do s dados de saída do decodiﬁcador wavelet SISO

para o sistema com o codiﬁcador baseado na MW de dimensão 2 × 8, para a

faixa da RSR de 0-15dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

A.2 Curvas de f.d.p. a posteriori do s dados de saída do decodiﬁcador wavelet SISO

para o sistema com o codiﬁcador baseado na MW de dimensão 2 × 128, para a

faixa da RSR de 0-15dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

LISTA DE FIGURAS xiv

A.3 Testes de Aderência à Distribuição No rmal dos Dados de Saída do Decodiﬁcador

Wavelet SISO, empregado em dois sistemas de comunicações com codiﬁcação

baseada nas MWs 2 × 8 e 2 × 128, com dois valores de RSR, 10 e 15dB. . . . . 81

LISTA DE TABELAS

2.1 Símbolos gerados por uma MW 2 × 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Distribuição de Probabilidade dos símbolos wavelets para cada modo de regime,

considerando-se o codiﬁcador associado a MW de dimensão 2 ×8 e uma fonte de

informação que gera bits com distribuição eqüiprovável. . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Distribuição de Probabilidade dos símbolos wavelets para cada modo de regime,

considerando-se o codiﬁcador associado a MW de dimensão 2 ×8 e uma fonte de

informação que gera bits com distribuição P (x

= +1) = 0, 75 e P (x

= −1) =

0, 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Quantização para MCW 2 × 128. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5 Quantização para MCW 4 × 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

LISTA DE SÍMBOLOS xvi

A = (a

) - Matriz de coeﬁcientes wavelets

- Vetor de escala

, s ≥ 0 - Vetores wavelets

- Coeﬁcientes de uma matriz wavelet

- Matriz de codiﬁcação wavelet

m - Posto de uma matriz de coeﬁcientes wavelets

g - Gênero de uma matriz de coeﬁcientes wavelets

E[·] - Valor médio de uma variável aleatória

(z) - Função geradora de momentos para a saída do codiﬁcador wavelet

I(X; Y ) - Informação mútua entre as v.a.’s X e Y

- Profundidade do entrelaçamento

K - Comprimento de restrição do codiﬁcador wavelet

L · I

- Comprimento da seqüência entrelaçada

n - Valor complexo do ruído AWGN

[nT

, (n + 1)T

) - Intervalo de sinalização

- Energia de bit

n(t) - Ruído AWGN

- Probabilidade de erro de bit

Q(·) - Função de erro

r(t) - Sinal recebido

s(t) - Sinal transmitido

G(r) - Saída suave (real) do estimador de MEQM

L(z

) - Razão de verossimilhança logarítmica de saída do decodiﬁcador wavelet SISO

x - Vetor de bits de informação

- Bits de informação

- Palavra-código wavelet

- Símbolos wavelets

- Sub-símbolos wavelets

- Saída do decodiﬁcador/correlator wavelet no tempo i

α(t) - Ganho do canal com desvanecimento

x,y

- função delta de Kronecker

µ - Média condicional da distribuição dos dados de saída do decodiﬁcador wavelet

- Média condicional da distribuição dos dados de saída do decodiﬁcador wavelet

GLOSSÁRIO xvii

AP K - Amplitude-Phase Keying (Modulação em Amplitude e Fase)

P SK - Phase Shift Keying (Modulação em Fase)

AW GN - Additive White Gaussian Noise (Ruído Aditivo Gaussiano Branco)

T EB - Taxa de Erro por Bit

DSP - Digital Signal Processor (Processador Digital de Sinais)

EQM - Erro Quadrático Médio

MEQM - Mínimo Erro Quadrático Médio

i.i.d. - Independentes e Identicamente Distribuídas

MAP - Maximum a Posteriori Probability (Máxima Probabil i dade a posteriori)

MW - Matriz Wavelet

RSR - Relação Sinal-Ruído

SISO - Soft Input Soft Output (Entrada e Saída Suaves)

v.a. - Variável Aleatória

DP SW - Distribuição de Probabilidades dos Símbolos Wavelets

BCJR - Algoritmo de decodiﬁcação iterativa propo sto por Bahl, Cocke, Jelinek e Raviv

LLR - Log-likelihood Ratio (Razão de Verossimilhanç a Logarítmica)

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

Em sistemas de comunicações sem ﬁo, o efeito do multipercurso, chamado de desvanecimento,

pode comprometer de forma severa o desempenho destes sistemas ( SKLAR, 1997a, 1997b). Com

o objetivo de minimizar seus efeitos, várias técnicas vêm sendo propostas. Alguns exemplos

incluem esquemas com diversidade (ALAMOUTI, 1998; ASSIS; SOUSA, 1999; SILVEIRA, 2002),

e estratégias de decodiﬁcação iterativa (BERROU; GLAVIEUX; THITIMAJSHIMA, 1993; HAGE-

NAUER; OFFER; PAPKE, 1996; VALENTI, 1999).

A codiﬁcação Turbo, originalmente pro posta em 1993, destacou-se por apresentar desem-

penho distante apenas 0,7 dB do limite de Shannon, em canal AWGN (AWGN, sigla inglesa

para Additive White Gaussian Noise). A sua principal característica reside na estrutura de de-

codiﬁcação, em que os dispositivos de decisão trocam informações suaves várias vezes, visando

melhorar o nível adequado de conﬁança da decisão ﬁnal que produzirá a seqüência de bits

recebidos (BERROU; GLAVIEUX; THITIMAJSHIMA, 1993).

Apesar da codiﬁcação Turbo ter cha mado a atenção de diversos pesquisadores em universi-

dade e empresas, e de ter se tornado padrão par a os sistemas de comunicações móveis de terceira

geração (UMTS e CDMA 2000) (MARTINS, 2004), o “princípio Turbo” é bem mais geral, po-

dendo ser aplicado de forma bastante satisfatória a muitos problemas de deteção/decodiﬁcação,

tais como a concatenação serial de codiﬁcadores, equalização, modulação codiﬁcada, dentr e ou-

tros.

Por outro lado, a percepção da vasta aplicabilidade do princípio Turbo, levou a realiza-

ção de p esquisas que buscavam mostrar que o algoritmo utilizado na codiﬁcação Turbo é um

caso particular de uma classe mais ampla de algoritmos, lançando, assim, alguma luz sobre o

porque de seu bom desempenho. Frey e Kschischang foram os primeiros a perceber que este

CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO 2

algoritmo poderia ser uma instância da classe de algoritmos de propagação de crenças. Mais

tarde, McEliece mostrou que este algoritmo poderia ter um procedimento dual aplicável em

grafos, como aqueles utilizados em redes bayesianas (FREY; KSCHISCHANG, 1996; MCELIECE,

1997). Uma rede bayesiana pode ser deﬁnida como uma graf o acíclico direcionado, onde os nós

representam variáveis aleatórias e os a rcos representam a dependência probabilística entre as

variáveis associadas (JUNIOR, 2004a, 2004b).

A transmissão em canais com desvanecimento variante no tempo continua a ser uma área de

grande int eresse para o surgimento de novos sistemas de comunicações, e este interesse só tende

a aumentar com o advento de novos serviços de comunicações para sistemas de transmissão sem

ﬁo com mobilidade dos terminais. A presente tese investiga novas alternativas para a obtenção

de melhorias de desempenho em canais com desvanecimento plano, explorando a técnica de

codiﬁcação wavelet e a recepção iterativa (turbo).

A codiﬁcação wavelet foi proposta por Tzannes (TZANNES; TZANNES., 1992) como uma nova

alternativa para superar os efeitos do desvanecimento. Esta técnica explora as propriedades

de o rt ogonalidade das linhas da matriz wavelet (MW). O codiﬁcador wavelet multiplica, de

forma sucessiva, os bits da font e pelas linhas de uma MW, espalhando a informação de cada

bit sobre diversos intervalos de sinalização. Os símbolos produzidos em sua saída, denominados

de símbolos wavelets, são não- eqüiprováveis e assumem diversos níveis (RESNIKOFF; WELLS-JR.,

1998).

Devido à ortogonalidade entre as linhas da MW, a informação d e cada bit pode ser recolhida

no receptor de maneira simples, através de um banco de correlatores casados às linhas da

matriz usada na codiﬁcação. O mecanismo de espalhamento da informação no tempo, antes da

transmissão, e o recolhimento dela no receptor, contribui para melhorar a robustez do sistema

de comunicação à combinação de efeitos do desvanecimento plano var ia nte no tempo e de ruído

impulsivo (SILVEIRA, 2006).

O emprego da codiﬁcação wavelet em sistemas de transmissão sem ﬁo requer o mapeamento

da saída do codiﬁcador em símbolos de um esquema de modulação. Como os símbolos wavelet

não são eqüiprováveis, é necessário um projeto criterioso da constelação a ser usada, a ﬁm

CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO 3

de otimizar o desempenho do receptor (demodulador e decodiﬁcador wavelet). Assim, em

(SILVEIRA, 2006) foram derivadas f erramentas matemáticas capazes de projetar analiticamente

o esquema de modulação utilizado neste caso.

1.1 ENFOQ UE DO TRABALHO

Em trabalhos anteriores, veriﬁcou-se um bom desempenho da codiﬁcação wavelet, asso ciada

à demodulação por decisão abrupta, em canais sujeitos ao desvanecimento Rayleigh (Q. SIL-

VEIRA, 2001; SILVEIRA, 2002; Q. SILVEIRA; ASSIS, 2002; SILVEIRA, 2006).

Na tentativa de evitar a perda de informação oriunda do emprego da regra de decisão

abrupta e, assim, melhorar o desempenho destes sistemas, investigou-se nesta tese uma regra

de decisão suave para o demodulador, sendo esta baseada na minimização do erro quadrático

médio entre o símbolo wavelet transmitido e o estimado (JUNIOR, 2006). Os resultados obtidos

foram animadores e serviram de estímulo para a investigação de uma técnica de decodiﬁcação

iterativa.

A partir de uma concepção básica para esta nova estratégia de recepção, serão investigadas

abordagens mais a dequadas aos esquemas com concatenações seriais baseadas em matrizes

wavelets de ordens elevadas, visando obter melhores resultados de desempenho, proporcionado

por maiores ganhos de diversidade.

1.2 PRINCIPAIS CONTRIBUIÇÕES

Ao longo do trabalho de tese apresentado, f oram obtidas as seguintes contribuições:

• Concepção de uma regra de demodulação com saída suave, capaz de ser empregada em

receptores iterativos e não-iterativos, proporcionando bons resultados de desemp enho para

ambos os contextos,

• Concepção e avaliação de um decodiﬁcador wavelet SISO (SISO, sigla inglesa para Soft

CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO 4

Input Soft Output), adequado ao fornecimento de informação suave, sendo útil ao esquema

de deco diﬁcação iterativa,

• Avaliação de alternativas capazes de permitir a at ua lização das probabilidades dos sím-

bolos wavelets, mediant e o aproveitamento da informação suave disponível, sendo carac-

terizada como a instância do princípio Turbo e,

• Análise de novas abordag ens para o projeto do receptor iterativo, adequadas às concate-

nações seriais baseadas na codiﬁcação com MWs de ordens elevadas, as quais permitiram

obter melhores ganhos de diversidade.

1.2.1 Produção Cientíﬁca Gerada

Este trabalho de tese permitiu obter resultados que foram apresentados em conferências

internacionais e congressos nacionais, os quais demonstram o pot encial da codiﬁcação wavelet

em sistemas de comunicações móveis.

A pro dução cientíﬁca gerada está referenciada abaixo, com o indicativo do evento e da mídia

utilizada:

1. In Proceedings of IEEE Interna tion al Telecommunication s Symposium, (JUNIOR, 20 06).

2. In Proceedin gs of IEEE I nternational Microwave an d Optoelectronics Conference, (JU-

NIOR, 2007c).

3. Anais do XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações, (JUNIOR, 2007b).

4. Anais do VIII Congresso Brasileiro de Redes Neurais, (JUNIOR, 2007a).

Além destes, encontra-se em processo de avaliação dois artigos submetidos para publicação

nos periódicos IEEE Transactions on Wireless Communications, do Institute of Electrical and

Electronics Engineers, e Learning and Nonlinear Models, da Sociedade Brasileira de Redes

Neurais, com Qualis A.

CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO 5

1.3 ORGANIZAÇÃO DO TEXTO

Esta tese está organizada em seis capítulos e um apêndice.

No Capítulo 2, as matrizes wavelets são deﬁnidas e suas principais propriedades são apre-

sentadas. São ainda apresentados algoritmos de codiﬁcação e decodiﬁcação com matrizes de

coeﬁcientes wavelets.

O Capítulo 3 constitui o po nto de partida no estabelecimento da nova abordagem de re-

cep ção , sendo dedicado ao desenvolvimento de uma regra de decisão suave a ser utilizada pelo

demodulador no mapeamento inverso dos sinais PSK sobre símbolos wavelets. Além disso, nesse

capítulo é concebido e avaliado um decodiﬁcador wavelet com entrada e saída suaves, capaz

de fornecer informação útil, necessária ao regime de operação iterativa. Os resultados obtidos,

a partir das avaliações de desempenho realizadas, mostram as vantagens proporcionadas por

esta mudança de abordagem, as quais permitiram superar algumas limitações presentes em

trabalhos anteriores dedicados ao mesmo tema.

O Capítulo 4 é dedicado à concepção e avaliação do método proposto para a decodiﬁcação

iterativa em sistemas com codiﬁcação wavelet. Em particular, considera-se o problema da

atualização das probabilidades dos símbolos wavelets mediante a troca de informações suaves

na forma da razão de log-verossimilhança. São também apresentados resultados de desempenho

de um sistema com codiﬁcação wavelet e decodiﬁcação iterativa, em canal com desvanecimento

plano.

O Capítulo 5 visa o desenvolvimento de sistemas com maiores ganhos de diversidade. Como

isto é feito aumentando-se as dimensõ es da MW utilizada na codiﬁcação, então isto implica

num aumento da complexidade computacional do r eceptor. Desta forma, neste capítulo são

propostas e ava liada s novas abordagens para a sua concepção.

No Capítulo 6, são apresentadas as conclusões deste trabalho, sendo destacadas as principais

contribuições obtidas. Também são apresentadas algumas propostas para a continuação da

CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO 6

pesquisa.

O Apêndice A é dedicado a avaliação do modelo de distribuição a posteriori dos dados de

saída do decodiﬁcador wavelet SISO, apresentado na Seção 3.11 do Capítulo 3.

CAPÍTULO 2

CODIFICAÇÃO WAVELET

Em sistemas de comunicações móveis, as técnicas de diversidade exercem um papel imp ortante

na transmissão em canais com desvanecimento e consistem, basicamente, na transmissão de

réplicas de um sinal sobre canais independentes, que são afetadas de maneira diferente, per-

mitindo um combinação adequada de maneira a o bter um aumento na conﬁança da recepção

(PROAKIS, 19 89).

Nesta tese, a diversidade temporal será explorada através da técnica de codiﬁcação com

wavelets. Esta abordagem foi escolhida devido aos bons resultados obtidos nas avaliações de-

sempenho realizadas em t ermos da taxa de erro de bit (TEB), os quais fo r am conseguidos

mantendo-se a sua complexidade de decodiﬁcação relativamente baixa (Q. SILVEIRA, 2001; SIL-

VEIRA, 2002; Q. SILVEIRA; ASSIS, 2002; Q. SILVEIRA; ASSIS; PINTO, 2003, 2004; SILVEIRA, 2006).

A codiﬁcação com wavelets foi proposta por Tzannes em (TZANNES; TZANNES., 1992), como

uma nova abordagem para superar os efeitos indesejáveis do multipercurso, explorando as pro-

priedades de ortogonalidade entre as linhas de uma matriz de coeﬁcientes wavelets. Os símbolos

resultantes dessa codiﬁcação, aqui denominados de símbolos wavelets, possuem diversos níveis,

são correlacionados e apresentam pro ba bilidades distintas.

O mecanismo empregado na codiﬁcação com wavelets permite espalhar a informação de

cada bit sobre diversos símbolos. Ao mesmo tempo, produz símbolos que carregam consigo a

informação de vários bits. Assim, a codiﬁcação wavelet estabelece um esquema de espalhamento

da informação no tempo, gerando símbolos que serão tr ansmitidos em intervalos de tempo

distintos.

O restante deste capítulo é organizado da seguinte forma: na Seção 2.1 são deﬁnidas as

matrizes wavelets, apresentando-se as propriedades que permitem seu emprego na codiﬁcação de

CAPÍTULO 2: CODIFICAÇÃO WAVELET 8

canal. A Seção 2.2 apresenta o algoritmo de codiﬁcação e a estrutura do codiﬁcador wavelet. Na

Seção 2.3 é apresenta da uma descrição alternativa para o processo de codiﬁcação. A Seção 2.4

apresenta um método analítico para a obtenção da distribuição de probabilidades dos símbolos

wavelets. Na Seção 2.5 é ressaltada a necessidade de se buscar um esquema adequado de

modulação dos símbolos wavelets gerados pelo codiﬁcador. A Seção 2.6 apresenta o algoritmo

de decodiﬁcação wavelet. Finalmente, na Seção 2.7, são apresentadas as conclusões obtidas

neste capítulo.

2.1 MATRIZES WAVELET S

Uma matriz A = (a

) com m ≥ 2 linhas (vetores) e mg colunas denotada por

A =







, . . . , a

mg− 1

, . . . , a

mg− 1

m−1

, . . . , a

m−1

mg− 1







, (2.1)

é denominada de matriz wavelet plana

(MW) de posto m e gênero g se forem satisfeitas as

seguintes condições (TZANNES; TZANNES., 199 2; RESNIKOFF; WELLS-JR., 1998):

mg− 1



k=0

= m

√

gδ

s,0

, (2.2)

mg− 1



k=0

′

[k+mr

′

]

[k+mr]

= mgδ

′

, (2.3)

em que [k+mr] é usado para denotar a operação k+mr mód ulo mg e δ

x,y

é o delta de Kronecker,

deﬁnido p or

x,y



1 se x = y,

0 caso contrário.

(2.4)

A Equação (2.2) assegura que a soma dos elementos da primeira linha da matriz é igual ao

produto do posto pela raiz quadrada do gênero da MW, enquanto que a soma dos elementos

das demais linhas é ig ua l a zero. Por outro lado, a Equação (2.3 ) estabelece que os vetores

Um matriz é dita plana quando todos os seus coeﬁcientes têm o mesmo valor absoluto.

CAPÍTULO 2: CODIFICAÇÃO WAVELET 9

representados pelas linhas de uma MW de posto m têm normal euclidiana igual a mg e são

mutuamente ort ogonais, mesmo quando deslocadas entre si por um múltiplo de m. Além disso,

ela indica que cada linha da MW é ortogonal a uma cópia de si, mesmo quando estiver deslocada

por um múltiplo m. São essas propriedades de ortogonalidade que p ermitem que a informação

espalhada de cada bit possa ser recolhida no decodiﬁcador através de uma correlação adequada

com os coeﬁcientes da matriz wavelet utilizada na codiﬁcação.

Apesar das condições apresentadas acima serem satisfeitas com MWs planas de coeﬁcientes

reais, a codiﬁcação wavelet considerada aqui utiliza somente MWs planas de coeﬁcientes nor-

malizados em ±1, sendo estas apresentadas na próxima seção.

2.1.1 Matrizes Wavelets Utilizadas na Codiﬁcação

Inicialmente, cabe notar que a matriz de Haar é a MW com elementos normalizados em ±1

e dimensão 2 × 2, ou seja,



1 1

1 −1



(2.5)

A seguir, são apresentados dois outro s exemplos de matrizes wavelets planas que foram

empregadas na codiﬁcação dos sistemas de comunicações avaliados neste trabalho.

Matriz wavelet de posto 2 e gênero 4.



1 1 1 −1 1 1 −1 1

1 1 1 −1 −1 −1 1 −1



. (2.6)

Matriz wavelet de posto 4 e gênero 4.







1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 1 1 −1 1 −1 1

1 1 1 1 1 −1 1 −1 −1 −1 −1 −1 1 −1 1 −1

1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 1 1 −1

1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 1 1 −1 −1 1







. (2.7)

A próxima seção apresenta o algoritmo de codiﬁcação wavelet.

CAPÍTULO 2: CODIFICAÇÃO WAVELET 10

2.2 CODIFICAÇÃO COM MATRIZES WAVEL E T PLANAS DE COEFICIENTES IN-

TEIROS

A Figura 2.1 ilustra o processo de codiﬁcação wavelet empregado neste trabalho. Nessa

Figura, a fonte discreta gera bits de informação, x

∈ {+1, −1}, estatísticamente indepen-

dentes e eqüiprováveis. A seqüência de bits gerada pela fonte é inicialmente decimada em m,

m ∈ Z, seqüências paralelas, deﬁnidas por X

pm+j

:= {x

pm+j

}, 0 ≤ j < m, com p ∈ N =

{0, 1, 2, 3, 4, . . .}.

A j−ésima seqüência paralela X

pm+j

é então codiﬁcada por um ba nco de registradores de

deslo camento, denotado nessa ﬁgura pelo bloco MCW

. No intervalo de tempo n = pm + q,

em que q ∈ {0, 1, . . . , m −1}, o j−ésimo bloco do codiﬁcador wavelet, MCW

, gera o símbolo

pm+q

, chamado neste trabalho sub-símbolo wavelet.

A estrutura de cada um dos m ba ncos de registradores que formam o codiﬁcador wavelet

representado na Figura 2.1(a), está detalhada na Figura 2.1(b). Cada banco, é constituído por

m registradores de deslocamento, denotados REG

, cada um deles com g células de memória.

No processo de codiﬁcação com wavelets, os bits armazenados em cada um destes registradores

são ponderados por coeﬁcientes da j−ésima linha da matriz wavelet. Assim, os mg coeﬁcientes

da j−ésima linha da MW são distribuídos em m grupos de g coeﬁcientes eqüi-espaçados, de t al

forma que o q- ésimo grupo é formado pelos coeﬁcientes que ponderam as células do registrador

REG

do j−ésimo banco, MCW

A cada intervalo de tempo n = pm + q, os m sub-símbolos wavelets y

pm+q

, 0 ≤ j ≤ m − 1,

gerados simultaneamente pelo q−ésimo registrador de cada um dos m bancos MCW

, são

disponibilizados na saída do codiﬁcador wavelet. A part ir da Figura 2.1(b), pode-se observar

que o sub-símbolo wavelet y

pm+q

, gerado no tempo n = pm + q, pelo q−ésimo registrador do

banco MCW

, é dado por

pm+q

g−1



l=0

lm+q

(p−l)m+j

. (2.8)

Como existem mg elementos de memória em cada banco de registradores de deslocamento,

CAPÍTULO 2: CODIFICAÇÃO WAVELET 11

S/P

Conv.

Fonte

m−1

MCW

pm+j

(p+1)m−1

pm+q

m−1

pm+q

−j

−(m−1)

(a) Estrutura g e ral.

(g−1)m0

gm−1

3m−1

2m−1

m−1

m+q

(g−1)m+q

2m+q

pm+j

−1

pm+q

(p+1)m−1

pm+q

(b) Vista detalhada do Bloco MCW

Figura 2.1. Diagrama do codiﬁcador wavelet com emprego dos coeﬁcientes de uma matriz wavelet

de dimensão m × mg. N este esquema, o Bloco MCW

é deﬁnido a partir da j-ésima linha da matriz

wavelet.

cada bit de entrada pode afetar no máximo mg sub-símbolos wavelets. O comprimento de

restrição K de um codiﬁcador wavelet é deﬁnido como o número máximo de símbolos em uma

seqüência de saída que podem ser afetados por qualquer bit de entrada, ou seja,

K := mg (2.9)

No algoritmo de codiﬁcação wavelet apresentado em (TZANNES; TZANNES., 1992), os m

sub-símbolos wavelets com o mesmo índice de tempo n = pm + q são ainda adicionados, e o

símbolo resultante, chamado símbolo wave l et, é dado por

pm+q

m−1



j=0

g−1



l=0

lm+q

(p−l)m+j

. (2.10)

CAPÍTULO 2: CODIFICAÇÃO WAVELET 12

Como exemplo do processo de codiﬁcação wavelet, considere a Figura 2.2, na qual é apresen-

tado um diagrama esquemático do codiﬁcador wavelet associado à MW 2×8, deﬁnida de forma

literal em (2.11). A Tabela 2.1 apresenta os sub-símbolos wavelets y

gerados nos oito primeiros

intervalos desta codiﬁcação, bem como os seus respectivos símbolos wavelets y

. Como é pos-

sível observar a partir desta tabela, existe um período transitório na formação de símbolo s

wavelets, que se encerra em n = mg −m − 1, neste caso, n = 5.

A =





(2.11)

−1

2p+1

−1

S / P

Conv

2p+1

Figura 2.2. Diagrama do codiﬁcador wavelet para uma MW 2 × 8.

Tabela 2.1. Símbolos gerados por uma MW 2 × 8.

n y

= y

+ y

0 a

+ a

1 a

+ a

2 a

+ a

3 a

+ a

4 a

+ a

5 a

+ a

6 a

+ a

7 a

+ a

Na próxima seção, a codiﬁcação wavelet é apresentada segundo um produto matricial.

CAPÍTULO 2: CODIFICAÇÃO WAVELET 13

2.3 MATRIZ DE CODIFICAÇÃO WAVEL E T

Para o caso particular mostrado na Fig ura 2.2, o conversor S/P recebe em sua entrada a

seqüência de bits da fonte, X

, formando em sua saída duas seqüências paralelas, uma com

bits da fonte com índice par, denotada nesta ﬁgura por X

= {x

, x

, ...}, enquanto que a

outra é formada pelos bits da fonte com índice ímpar, sendo denotada neste caso por X

2p+1

, x

, ...}.

Sejam X

(D) e X

2p+1

(D) duas seqüências intervaladas de bits, formadas pela aplicação do

operador de atraso D sobre as saída do conversor S/P, isto é, X

(D)

= {x

+ x

D + x

+ ...} =



∞

i=0

e X

2p+1

(D)

= {x

+ x

D + x

+ x

+ ...} =



∞

i=0

2i+1

. Cabe

observar que operador de atraso D é utilizado no sentido de expressar o posicionamento de

cada bit com relação a respectiva etapa do processamento da codiﬁcação.

Por outro lado, deve ser observado que na fo r mação de um único símbolo wavelet, y

, são

utilizados mg bits da fonte, sendo mg/2 tomados de cada uma das duas seqüências formadas na

saída do conversor S/P. Então, denote por X

(D) e X

(D) duas seqüências ﬁnitas, intervaladas

por D, sendo for madas pelos bits a serem codiﬁcados por cada um dos bancos de registradores

de deslocamento na formação dos respectivos sub-símbolos wavelet. Como exemplo, considere

(D) = { x

+ x

D + x

+ x

} e X

(D) = {x

+ x

D + x

+ x

Na busca por um procedimento de codiﬁcação baseado em um produto matricial, relacionado

ao processo de codiﬁcação mostrado na Seção 2.2, considere uma matriz de codiﬁcação wavelet,

denotada por C

(D), cujas linhas são obtidas das linhas da MW, mas tendo seus coeﬁcientes

intervalados pelo mesmo operador de atraso D.

Logo, se o codiﬁcador for baseado em uma MW com m = 2, a C

(D) relacionada é,

(D) =



(D)





+ a

D + a

+ ...+ a

2g−1

+ a

D + a

+ ...+ a

2g−1



, (2.12)

de dimensão 2 × 1. Substituindo o s va lo r es dos coeﬁcientes desta, por aqueles presentes em

(2.6), obtém-se a matriz de codiﬁcação a ssociada ao codiﬁcador ilustrado na Figura 2.2.

(D) =



1 + D + D

− D

+ D

− D

+ D

1 + D + D

− D

+ D

− D



. (2.13)

CAPÍTULO 2: CODIFICAÇÃO WAVELET 14

Em particular, cabe observar que o processo de obtenção das 6 primeiras saídas do codiﬁ-

cador p ode ser resumido através do produto matricial abaixo,

) X

)]·C

(D) = [X

) X

)]·



(D)



= X

)·c

(D)+X

)·c

(D) =

= (x

+ x

) + D(x

+ x

) + D

+ x

) + D

(−x

− x

+ x

− x

+ x

) + D

−x

− x

+ x

Entã o, podemos sintetizar o processo de codiﬁcação wavelet mostrado na Figura 2.2, através

do produto matricial

) X

2p+1

)] ·



(D)



= X

) · c

(D) + X

2p+1

) · c

(D). (2.14)

O emprego da Equação (2.14) permite obter, ainda, os sub-símbolos wavelets. Por outro

lado, a partir de uma ordenação das potências em D, seria possível avaliar os símbolos wavelets

gerados em cada intervalo de codiﬁcação, conforme mostrado acima.

Cabe observar que o uso do codiﬁcador wavelet associado a uma MW de dimensão 2 × 8

caracterizou dois regimes de codiﬁcação, sendo um especíﬁco para ser utilizado na codiﬁcação

em intervalos pares, enquanto que o segundo está associado ao regime nos intervalos ímpares

de codiﬁcação. Cada modo de regime, contudo, espalha a informação de mg = 8 bits sobre um

mesmo símbolo wavelet.

De uma maneira geral, pode-se generalizar o procedimento de codiﬁcação wavelet descrito

nesta seção. Para isto, é necessário decimar a seqüência de bits de entrada em m seqüências

paralelas, com cada seqüência sendo p osteriormente intervala da por D com o intuito de permitir

a construção da matriz de bits de dimensão 1 × m. Por sua vez, cada linha da matriz wavelet

escolhida também será intervalada por D, formando a matriz de codiﬁcação de dimensão m×1.

Este procedimento chama a atenção ao fato de que o emprego de uma MW de dimensão

m × mg, leva a obtenção de m modos de codiﬁcação associados aos m sucessivos tempos de

CAPÍTULO 2: CODIFICAÇÃO WAVELET 15

codiﬁcação, os quais ponderam de forma diferente o mesmo conjunto de bits. Para o exemplo

anterior, em n = 4, ou n = 5, há a manipulação do mesmo conjunto de bits {x

, ..., x

Assim, embora o codiﬁcador wavelet manipule diferentes quantidades de bits, até a entrada

em regime (quando então a mesma quantidade de mg bits passa a ser utilizada na formação

dos símbolos wavelets), este ainda manipula de maneira diferente (com diferentes coeﬁcientes),

o mesmo conjunto de bits em tempos de codiﬁcação sucessivos.

Sendo o modo determinado no n−ésimo tempo de codiﬁcação, nT

, onde T

é a duração do

símbolo, por um conjunto especíﬁco de coeﬁcientes da MW, {a

k,n

}, então o n−ésimo símbolo

wavelet produzido, y

, pode ser expresso de uma maneira mais simples,

mg− 1



k=0

k,n

, (2.15)

sendo {x

k,n

} a n−ésima seqüência de mg bits de entrada que são codiﬁcados por y

e a

k,n

, com

k,n

∈ {−1, +1}, o respectivo coeﬁciente da matriz wavelet utilizado para ponderar o k−ésimo

bit desta seqüência, x

k,n

O conjunto de bits é alterado a cada m intervalos de codiﬁcação, o que traz m novos

bits ao banco de registradores, levando à saída de outra mesma quantidade destes. Logo,

as informações disseminadas de cada conjunto de mg bits serão transmitidas m vezes, em m

intervalos de transmissão, nã o necessariamente consecutivos, devido a possibilidade de uso do

entrelaçador

A próxima seção é dedicada à obtenção da distribuição de probabilidades dos símbolos

wavelets gerados pelo emprego de uma MW com dimensão m ×mg, com m modos distinto s de

codiﬁcação.

2.4 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DOS SÍMBOLOS WAVELETS

Analisando-se o processo de formação dos símbolos wavelets gerados pelo codiﬁcador com

emprego da MW de dimensão 2 × 8, observa-se que o codiﬁcador, em cada regime, procederá

Observe que como m símbolos wavelets são produzidos a cada m intervalos de codiﬁcação, a “ta xa” do

codiﬁcador, ou razão de codiﬁcação é unitária.

CAPÍTULO 2: CODIFICAÇÃO WAVELET 16

a um mapeamento de 2

= 256 grupos distintos de mg = 8 bits de informação, sobre símbolos

wavelets pertencentes ao conjunto {−8, −6, −4, −2, 0, +2, +4, +6, +8}.

De uma maneira g eral, o emprego de uma MW inteira e plana, de posto m e gênero g, leva

o codiﬁcador a gerar símbolos wavelets y

, pertencentes ao conjunto

∈ {−mg, −mg + 2, . . . , −2, 0, 2, . . . , mg − 2, mg}, (2.16)

com cardinalidade igual a mg + 1.

Assim, um procedimento exaustivo poderia ser admitido para se obter a distribuição de

probabilidades dos símbolos wavelets. Neste sentido, como a fonte gera bits estatísticamente

independentes, a probabilidade de um símbolo wavelet formado por um conjunto particular de

bits, é igual ao produto dos valores de probabilidade associados a cada um dos bits. Logo,

para se obter a probabilidade da v.a. associada à saída do codiﬁcador wavelet assumir um dos

possíveis valores em (2.16), é necessário considerar todos os agrupamentos de bits que, uma vez

codiﬁcados, formam o mesmo símbolo wavelet.

Um método formal para se obter a distribuição de probabilidades dos símbolos wavelets con-

siste em aplicar a função geradora de momentos sobre a v.a. y

, pela qual obtém-se (VINIOTIS,

1998; PAPOULIS; S.U.PILLAI, 2002):

(z) = E





mg−1

k=0



= E



mg− 1





, (2.17)

como as v.a.’s {x

} são estatísticamente independentes e não necessariamente eqüiprováveis,

temos:

(z) = E



mg− 1





mg− 1



E [z

] .

Assim,

(z) =

mg− 1





P (x

= −1)z

−a

+ P (x

= 1)z



. (2.18)

CAPÍTULO 2: CODIFICAÇÃO WAVELET 17

Cabe notar que a Equação (2.18) pode ser utilizada no levantamento da distribuição de

probabilidades dos símbo lo s wavelets, considerando-se os diferentes modos de regime.

Para ilustrar, considere o cálculo da distribuição de probabilidades dos símbolos wavelets que

podem ser gerados no intervalo n = 6, por um codiﬁcador com MW de dimensão 2×8. Para in-

tervalos de tempo pares, a Tabela 2.1 indica que são utilizados o mesmo conjunto de coeﬁcientes

}, que caracterizam o primeiro modo de codiﬁcação, isto é, a

∈ {a

, a

Por inspeção da matriz mostrada em (2.6), obtém-se que a

∈ {−1, 1, 1, −1, 1, 1, 1, 1}. Desta

forma, têm-se que,

(z) =



P (x

= −1)z + P (x

= +1)z

−1





P (x

= −1)z

−1

+ P (x

= +1)z





P (x

= −1)z

−1

+ P (x

= +1)z





P (x

= −1)z + P (x

= +1)z

−1





P (x

= −1)z

−1

+ P (x

= +1)z





P (x

= −1)z

−1

+ P (x

= +1)z





P (x

= −1)z

−1

+ P (x

= +1)z





P (x

= −1)z

−1

+ P (x

= +1)z



Uma expansão destes produtos levaria à obtenção da distribuição dos símbolos wavelets.

Para isto, seria suﬁciente organizar os termos desta expressão em potências em z, cujas bases e

expoentes indicariam, respectivamente, as probabilidades dos símbolos e o s símbolos wavelets

obtidos para estas pro ba bilidades.

De maneira semelhante, a distribuição de probabilidades dos símbolos wavelets para o se-

gundo modo de codiﬁcação pode ser obtida pela aplicação da função geradora de momentos

sobre a expressão (2.15), mas ag ora considerando-se os coeﬁcientes wavelets utilizados neste

caso. As Tabelas 2 .2 e 2.3 ilustram as distribuições de proba bilidades dos símbolos wavelets

para cada um dos regimes de codiﬁcação obtidos com uma MW 2 × 8, considerando-se fontes

de info r mação diferent es. Cabe observar que os dois modos de codiﬁcação somente geram o

CAPÍTULO 2: CODIFICAÇÃO WAVELET 18

mesmo símbolo, com a mesma probabilidade, apenas quando os bits da fonte têm distribuição

eqüiprovável.

Tabela 2.2. Distribuição de Probabilidade dos símbolos wavelets para cada modo de regime,

considerando-se o codiﬁcador associado a MW de dimensão 2 × 8 e uma fonte de informação que

gera bits com distribuição eqüiprovável.

P (y

) no modo #1 P (y

) no modo #2

0 0,27343750 0,27343750

+2 0,21875000 0,21875000

-2 0,21875000 0,21875000

+4 0,10937500 0,10937500

-4 0,10937500 0,10937500

+6 0,03125000 0,03125000

-6 0,03125000 0,03125000

8 0,00390625 0,00390625

-8 0,00390625 0,00390625

Tabela 2.3. Distribuição de Probabilidade dos símbolos wavelets para cada modo de regime,

considerando-se o codiﬁcador associado a MW de dimensão 2 × 8 e uma fonte de informação que

gera bits com distribuição P (x

= +1) = 0, 75 e P (x

= −1) = 0, 25.

P (y

) no modo #1 P (y

) no modo #2

0 0,21835327 0,324798584

+2 0,31970214 0,232543945

-2 0,08679199 0,232543945

+4 0,25213623 0,087341308

-4 0,02020263 0,087341308

+6 0,08898925 0,016479492

-6 0,00256347 0,016479492

8 0,01112365 0,001235963

-8 0,00013737 0,001235963

Assim, desde que seja conhecida a distribuição de probabilidades dos bits da fonte, é po ssível

obter a distribuição das probabilidades dos símbolos wavelets, bastando-se para isto realizar a

expansão do produto especiﬁcado pela Equação (2 .18), com posterior ordenamento das potên-

cias de z.

É impo rt ante chamar a atenção ao fato de que quando MWs de maiores dimensões forem

utilizadas, pode ser particularmente difícil obter a distribuição dos símbolos wavelets através do

procedimento proposto, já que implicará em um maior número de termos a serem considerados.

Contudo, mesmo diante de tal diﬁculdade, um novo procedimento pode ainda ser sugerido

CAPÍTULO 2: CODIFICAÇÃO WAVELET 19

para o cálculo da distribuição dos símbolos wavelets via manipulação matemática da solução

proposta.

Neste sentido, duas constatações podem levar a uma abo rda gem computacionalmente mais

eﬁciente, a saber: (a) o produto é uma operação comutativa sobre o conjunto dos números

complexos, e (b) da Teoria de Sistemas Lineares, o produto de dois polinômios em z pode

ser implementado atr avés do operador convolução, desde que esta operação receba como argu-

mentos os dois vetores formados pelos coeﬁcientes de cada polinômio ordenado em termos de

potências de z.

Assim, levando-se em conta tais observações, é possível obter o resultado do produto especi-

ﬁcado pela Equação (2.18), através de um procedimento recursivo baseado em convoluções. O

funcionamento do algoritmo empregado neste caso é: a primeira convolução recebe os vetores

relativos aos dois primeiros termos do produto. Uma vez obtido o resultado deste, procede-se

a uma nova convolução, que desta vez considera este resultado e o vetor relativo ao próximo

termo. A regra geral é então começar uma nova convolução cada vez que precisar processar

um novo termo do produto. Desta forma, cada nova convolução receberá o resultado da úl-

tima convolução e o próximo vetor, relativo ao termo seguinte. Finalment e, esta operação será

repetida um número de vezes tal que todos os termos do produto sejam considerados. Neste

ponto, o procedimento é encerrado com o retorno do vetor que possui as probabilidades dos

símbolos wavelets.

Mesmo que o emprego de uma MW de dimensão m × mg admita a existência de m modos

de regime para a codiﬁcação, é possível encontrar uma expressão para a distribuição de pro-

babilidades dos símbolos wavelets, que admita as particularidades de cada regime. Para isto,

vamos voltar a expressão dada pela Equação (2.18), reescrita abaixo:

(z) =

mg− 1



k=0



P (x

= −1)z

−a

+ P (x

= 1)z



. (2.19)

Assim, denotando por α a probabilidade P (x

= 1), por (1−α) a probabilidade P (x

= −1)

e por I

o número de termos do produto em que o coeﬁciente da MW utilizado é igual a -1,

CAPÍTULO 2: CODIFICAÇÃO WAVELET 20

obtém-se

(z) =

mg− 1



k=0



αz

+ (1 − α)z

−a



−1





αz

+ (1 − α)z

−a







αz

+ (1 − α)z

−a





αz

−1

+ (1 − α)z





αz + (1 − α)z

−1



mg− I



i=0





(αz

−1

)

[(1 − α)z]

−i

mg− I



j=0



mg −I





(1 − α)z

−1



(αz)

mg− I

−j

Reorganizando os termos, têm-se:

(z) =



i=0

mg− I



j=0





mg −I



mg− I

−j+i

·(1 − α)

−i+j

· z

mg− 2(i+j)

. (2.20)

Portanto, a distribuição de probabilidades dos símbolos wavelets pode ser expressa por:

Pr(y

= mg − 2i + 2j) =





mg −I



mg− I

−j+i

·(1 − α)

−i+j

, (2.21)

0 ≤ i ≤ I

0 ≤ j ≤ mg − I

que pode ser aplicada em qualquer modo de codiﬁcação, bastando para isto avaliar o valor de

, característico deste modo.

Para o caso especial em que as v.a’s {x

} são estatísticamente independentes e têm dis-

tribuição eqüiprovável, a análise em termos da aplicação da função geradora de momentos

torna-se direta. Assim,

CAPÍTULO 2: CODIFICAÇÃO WAVELET 21

(z) = E





mg−1

k=0



mg− 1



k=0





= 0.5



z + z

−1



mg− 1



k=0





2k− mg

0.5

. (2.22)

Logo, quando os bits da fonte têm distribuição eqüiprovável, a expressão para a distribuição

de probabilidades dos símbolos wavelets é,

Pr(y

= 2k − mg) =





0, 5

, 0 ≤ k ≤ mg. (2.23)

Para concluir esta seção, é importante lembrar que através do emprego de derivadas sobre a

função geradora de momentos, é possível obter a média e variância da distribuição dos símbolos

wavelets. No caso de uma fonte que gera bits i.i.d., a distribuição dos símbolos gerados pelo

codiﬁcador possui média nula e va r iâ ncia igua l a mg.

A próxima seção examina o problema da escolha de um esquema sub-ótimo para o mapea-

mento dos símbo lo s em sinais de constelações adequadas à tra nsmissão.

2.5 BUSCA DE CONSTELAÇÕES DE SINAIS

O projeto de constelações de sinais robustas aos efeitos do desvanecimento, considera parti-

cularidades que muitas vezes estão relacionadas às próprias características do sistema de trans-

missão empregado (KERPEZ, 1993; SILVA; SOUSA, 1995 ; AQUINO; ASSIS, 1997; ASSIS; SOUSA,

1999; SILVA; ASSIS, 1999).

Esta constatação também ocorre em sistemas de comunicações baseados na codiﬁcação

wavelet, cujo emprego de uma MW com dimensão m ×mg poderá t ambém trazer algumas diﬁ-

culdades na escolha de um bom esquema de transmissão dos mg + 1 símbolos não-eqüiprováveis

gerados pelo codiﬁcador.

CAPÍTULO 2: CODIFICAÇÃO WAVELET 22

O interesse na busca por um bom esquema de transmissão cresce também à medida que

são utilizadas matrizes wavelets de maiores dimensões. Isto ocorre porque o emprego de MWs

de grandes dimensões pode resultar na degradação de desempenho do sistema, devido a uma

aglomeração dos mg + 1 pontos na constelação, necessários para mapear cada símbolo wavelet

gerado

. Portanto, o desempenho dos sistemas baseados na codiﬁcação com MWs é bastante

inﬂuenciado pela escolha da constelação de sinais utilizada no esquema de mo dulação adotado

para transmissão.

Cabe lembrar que quando o ambiente de transmissão for caracterizado pelo desvanecimento

plano, o emprego de MW de maio r es dimensões, a exemplo da matriz 2 × 128, leva a um

aumento do ga nho de diversidade, já que implica em um maior espalhamento da info r mação ,

conforme foi cuidadosamente analisado em (SILVEIRA, 2006).

Entretanto, como a codiﬁcação wavelet gera símbolos com probabilidades muito desiguais,

o erro introduzido na supressão de determinados símbolos pode ser bastante pequeno. Assim,

ao invés de buscar por um mapeamento símbolo a símbolo, pode-se propor esquemas em que

grupos de símbolos estão a ssociados a um símbol o representativo, sendo mapeado sobre um

único sinal da constelação adotada para transmissão. Tal abordag em f oi inicialmente proposta

em (RESNIKOFF; WELLS-JR., 1998).

Seguindo esta idéia, em (SILVEIRA, 2006 ) , foi apresentado um esquema que considera o

agrupament o de símbolos gerados pela codiﬁcação com MW de dimensão 2 × 128, o qual está

indicado na Tabela 2.4. Seguindo um procedimento semelhante a este, neste trabalho é utilizado

o mapeamento mostrado na Tabela 2.5, para uso na codiﬁcação b aseada na MW de dimensão

4 × 16.

Apesar das modulações QAM e APK serem de grande interesse no contexto de sistemas

de comunicações sem ﬁo, os sistemas avaliados neste trabalho empregam apenas constelações

PSK. Estas também constituem uma boa alternativa no contexto da transmissão em canais

com desvanecimento plano.

A dependência observada neste caso, entre o aumento da cardina lidade do alfa beto de símbolos wavelets e

a aglomeração dos sinais na constelação, pressupõe o uso de MW planas de coeﬁcientes reais e de constelações

de sinais bidimensionais.

CAPÍTULO 2: CODIFICAÇÃO WAVELET 23

Tabela 2.4. Quantização para MCW 2 × 128.

Agrupamento Símbolo

de Símbolos Representativo

{0} 0

{2,4,6} 4

{-2,-4,-6} -4

{8,10,12} 10

{-8,-10,-12} -10

{14,16,18} 16

{-14,-16,-18} -16

{20,22,24} 22

{-20,-22,-24} -22

{26,28,30,. . . ,128} 28

{-26,-28,-30,. . . ,-128} -28

Tabela 2.5. Quantização para MCW 4 × 16.

Agrupamento Símbolo

de Símbolos Representativo

{0} 0

{2,4} 4

{-2,-4} -4

{6,8} 8

{-6,-8} -8

{10,12} 12

{-10,-12} -12

{14,16} 16

{-14,-16} -16

De certa forma, o projeto de constelações de sinais pode ser visto como um problema típico

de otimização, em que se busca minimizar a pro ba bilidade de erro de bit de um sistema,

avaliando-se a constelação utilizada na modulação. Neste trabalho, essas constelações foram

projetadas por meio de um algoritmo genético guiado por algumas f erra mentas analíticas apre-

sentadas em (SILVEIRA, 2006; JUNIOR, 2007a; SILVEIRA, 2 007), com a r estrição de possuírem

energia média unitária.

A Figura 2.3 exib e as constelações PSK obtidas. Nestas constelações, sinais são mapeados

diretamente sobre os valores associados aos símbolos wavelets.

CAPÍTULO 2: CODIFICAÇÃO WAVELET 24

−2

−8

102

−6

−4

(a) Constela ç ão PSK utilizada no

mapeamento de símbolos wavelets

gerados a partir de uma MW de

dimensão 2 × 8.

105

−4

1216

−8

−16

−12

(b) Constelação PSK utilizada

no mapeamento de s ímbolos

wavelets gerados a partir de

uma MW de dimensão 4 × 16.

125

110

−4

1622

−10

−16

−22

−28

no mapeamento de símbolos

wavelets gerados a partir de

uma MW de dimensão 2 × 128.

Figura 2.3. Constelações PSK utilizadas nos s istemas com codiﬁcação wavelet que utilizam MWs de

dimensõ es 2 × 8, 4 × 16 e 2 × 128, respectivamente.

CAPÍTULO 2: CODIFICAÇÃO WAVELET 25

2.6 DECODIFICAÇÃO WAVELET

Na recepção, a seqüência de bits de informação {x

} pode ser recuperada a partir da seqüên-

cia r ecebida através da utilização de um banco de m correlatores, cada um com comprimento

igual a mg, casados com as m linhas da MW. Assim, na ausência de erros, a saída do correlator

, j ∈ {0, 1, ..., m − 1}, casado à linha a

no tempo i = m(g + p) − 1 é dado por

mg− 1



k=0

(mg−1)−k

i−k

mg− 1



k=0

m−1



′

g−1



l=0



′

k−lm

′

+lm+i−(mg−1)



(2.24)

Através da Equação (2.3), pode ser veriﬁcado que todos os termos do lado direito da Equação

(2.24) se anulam, exceto aquele o nde j

′

= j. Logo,

= x

j+i−(mg−1)

mg− 1



k=0

= mgx

j+i−(mg−1)

, (2.25)

sendo que z

pode ser utilizado para decidir sobre o bit x

j+i−(mg−1)

através da comparação

com um limiar ajustado a zero, ou seja, o bit será −1 se z

= −mg, ou, +1 se z

= +mg. A

simplicidade do processo de decodiﬁcação por correlação é uma das principais vantagens da

técnica de codiﬁcação baseada em wavelets.

2.7 CONCLUSÕES

Neste capítulo foram a presentadas as características da codiﬁcação wavelet. As principais

propriedades desta são resumidas a seguir:

1. Os vetores representados pelas linhas de uma matriz wavelet são estritamente orto gonais.

2. O mecanismo empregado para a codiﬁcação leva a obtenção de 1 símbo lo wavelet po r bit

de informação, ou seja, a razão de codiﬁcação é unitária.

CAPÍTULO 2: CODIFICAÇÃO WAVELET 26

3. A decodiﬁcação dos símbolos wavelets é conseguida através do uso de um banco de cor-

relatores.

No próximo capítulo, serão apresentados o s resultados analíticos e de simulação para o

desempenho de sistemas de comunicações baseados na codiﬁcação wavelet, sobre canais de

comunicação com ruído aditivo Gaussiano branco (AWGN), e desvanecimento, obtidos através

do emprego de uma técnica de demodulação por decisão suave.

CAPÍTULO 3

ELEMENTOS DE RECEPÇÃO ITERATIVA

A busca pelo desenvolvimento do receptor iterativo começa neste capítulo, no qual é proposta

e avaliada uma nova regra de decisão suave a ser empregada na demodulação de sinais PSK

3.1 INTRODUÇÃO

Em trabalhos anteriores (Q. SILVEIRA, 2001; SILVEIRA, 2002; Q. SILVEIRA; ASSIS, 2002;

SILVEIRA, 2006), os sistemas de comunicações com codiﬁcação wavelet e demodulação por

regra MAP (sigla inglesa para Maximum a Posteriori Probability), obtiveram bo ns resultados

de desempenho sobre canais com desvanecimento Rayleigh plano.

Apesar disto e da baixa complexidade computacional presente em tais esquemas de decisão,

é bem conhecido o fato de que a demodulação por decisão abrupta leva à perda de desempenho,

pois uma parcela de informações suaves obtidas na saída do canal não chega a ser utilizada

pelo decodiﬁcador, devido à baixa sensibilidade inerente da regra utilizada na decisão abrupta

(LEE, 1976; RAHNEMA; ANTIA, 1997; DUMER; SHABUNOV, 2006) .

Portanto, a derivação de uma regra de decisão suave pode levar a ganhos de desempenho

sobre as abordagens avaliadas em trabalhos anteriores. Apesar dessa expectativa, o desen-

vo lvimento de um método de decisão suave para codiﬁcação com MWs ainda não tinha sido

considerado.

Isto pode ter ocorrido porque a derivação de um procedimento ót imo, no sentido da mini-

mização da probabilidade de erro de bit, não é uma tarefa fácil. Um método também ótimo,

mas cuja análise pode ter menor complexidade, consiste na minimização do erro quadrático

PSK, sigla inglesa para Phase Shift Keying.

CAPÍTULO 3: ELEMENTOS DE RECEPÇÃO ITERATIVA 28

médio entre o símbolo wavelet transmitido e o estimado. Tal abordagem será empregada neste

trabalho, na tentativa de prover melhores resultados de desemp enho por parte dos sistemas

com codiﬁcação wavelet sobre o canal com desvanecimento plano.

Neste sentido, cabe ressaltar que a adoção de tal estratégia de demodulação implicará em

uma análise t ambém não vista em trabalhos anteriores (TZANNES; TZANNES., 1992; Q. SILVEIRA,

2001; SILVEIRA, 2002; Q. SILVEIRA; ASSIS, 200 2; SILVEIRA, 2 006). Assim, enquanto que naqueles

sistemas o decodiﬁcador wavelet recebia em sua entrada as estimativas discretas de símbolos

wavelets, a adoção de uma nova regra de decisão pelo demodulador implicará em analisar os

impactos de entradas suaves no mecanismo de decodiﬁcação wavelet mostrado na Seção 2.6,

que será feito também neste capítulo. Como resultado destas avaliações, é apresentado uma

das contribuições mais signiﬁcativas deste trabalho: a concepção de um decodiﬁcador wavelet

SISO, cujo emprego será fundamental na proposta do esquema de decodiﬁcação iterativa.

O restante deste capítulo está organizado como segue. A seção 3.2 apresenta o modelo do

sistema de comunicações considerado. Na Seção 3.3, é derivada uma regra de decisão suave a

ser utilizada pelo demodulador. A Seção 3.4 é dedicada a apresentar os detalhes que levaram à

concepção do decodiﬁcador wavelet SISO. Finalment e, na Seção 3.6 são discutidas a s principais

conclusões obtidas a partir das análises desenvolvidas neste capítulo.

3.2 MODELO DO SISTEMA DE COMUNICAÇÕES

O modelo do sistema de comunicações inicialmente considerado nesta t ese está ilustrado

na Figura 3.1, onde bits de informação estatísticamente independentes e eqüiprováveis, {x

são codiﬁcados em símbolos wavelets não -eqüiprováveis e correlacionados, {y

}, utilizando para

isto uma matriz wavelet de dimensão m × mg.

A seqüência de símbolos wavelet é embaralhada no bloco entrelaçador. Este dispositivo

consiste de uma matriz com I

colunas, que denota a profundidade de entrelaçamento

e L

Em particular, um bloco entrelaçador com profundidade igual a mg é suﬁciente para assegurar um bom

ganho de desempenho, s emelhante àqueles obtidos utilizando um entrelaçador ideal, conforme mostrado em

(Q. SILVEIRA; ASSIS; PINTO, 2003).

CAPÍTULO 3: ELEMENTOS DE RECEPÇÃO ITERATIVA 29

−

Receptor

Fonte

Entrelacador Modulador

Des−

entrelacador

Demodulador

Canal

Antena

Decodificador

Wavelet

Codificador

r(t)

s(t)

Figura 3.1. Modelo do sis tema de comunicações com codiﬁcação wavelet.

linhas, em que L · I

denota o comprimento da seqüência de símbolos wavelets embaralhada.

Assim, o embaralhamento é obtido escrevendo estes ao longos das linhas de uma matriz e lendo

os símbolos segundo as colunas.

Após o entrelaçamento, os símbolos

são mapeados por sinais PSK os quais possuem

energia média ig ual a 1, e transmitidos por uma única antena sobre um canal sujeito ao desva-

necimento Rayleigh plano. É assumido um canal plano e essencialmente constante durante um

intervalo de sinalização, apesar de ser variante no tempo.

O sinal em banda básica equivalent e, r(t), recebido durante o n−ésimo intervalo de sinaliza-

ção, pode ser escrito como r(t) = α

s(t) + w(t), nT

≤ t ≤ (n + 1)T

, sendo α

a amostra do

desvanecimento plano, s(t) é o sinal complexo tra nsmitido, w(t) é o valor complexo associado

ao ruído aditivo Gaussiano branco, e T

é o intervalo de sinalização.

A entrada no dispositivo de decisão é a saída do ﬁltro casado, sendo relacionada pela v.a.

complexa r

= α

+ w

, (3.1)

sendo que α

representa os valores amostrais do desvanecimento plano, s

∈ S ⊂ C é o sinal

complexo transmitido a partir de uma constelação de sinais PSK, S, e w

o ruído branco

complexo gaussiano. As partes real e imaginária do ruído complexo w

são variáveis aleatórias

Gaussianas estatísticamente independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com média igual

a zero e variância N

/2. Assumindo perfeito entrelaçamento, as amostras de desvanecimento α

são modeladas como variáveis complexas aleatórias G aussianas independentes cujas partes real

e imaginária possuem variância igual a 0,5. Também a dmite-se que o canal seja perfeitament e

CAPÍTULO 3: ELEMENTOS DE RECEPÇÃO ITERATIVA 30

estimado no receptor.

3.3 DEMODULADOR COM REGRA DE DECISÃO SUAVE

Um procedimento ótimo de demodulação pode ser obtido em termos da minimização do

erro quadrático médio entre a estimativa do símbolo wavelet transmitido e o recebido (B AL-

AKRISHNAN; VISWANATHAN; JOHNSON-JR, 2000).

Assim, o mecanismo envolvido na derivação de t al procedimento considera a busca pelo

estimador G

G : C → R

r → y, (3.2)

de forma que minimize a perda de informação envolvida no processo de demodulação.

Admita que R e Y sejam, respectivamente, a v.a. complexa correspondendo a saída do

ﬁltro casado, r

, e a v.a. real contínua correspondendo a entrada do decodiﬁcador wavelet apó s

o desentrelaçamento , ˜y

. Então, o erro quadrático médio a ser minimizado é deﬁnido por

J = E |Y − G(R)|

, (3.3)

sendo E (

) o operador valor esperado e G(·) o estimador pelo qual estamos buscando.

É bem conhecido que a solução ótima para um estimador baseado no mínimo erro quadrático

médio de uma v.a. Y em termos das medidas dos valores de outra v.a. R é dado por [pp.313 ]

(VINIOTIS, 1998):

˜y

= G(r) = E (Y | R = r) . (3.4)

Uma análise sobre a Equação (3.4) fornece:

˜y



i=0

P (Y

= y

|r), (3.5)

sendo m e g, respectivamente, o posto e o gênero da matriz wavelet.

CAPÍTULO 3: ELEMENTOS DE RECEPÇÃO ITERATIVA 31

Aplicando a regra de Bayes em (3.5), obtém-se

P (Y

= y

|r) =

P (Y

= y

(r|Y

= y

)

(r)

, (3.6)

sendo P (Y

= y

) a probabilidade a priori do símbolo wavelet, f

(r|Y

= y

) e f

(r) são,

respectivamente, a densidade de probabilidade a posteriori e a densidade de probabilidade a

priori de R.

Cabe notar que se r = s

, i = 1, . . . , |S|, foi o sinal transmitido da constelação de sinais

adotada, então G(s

) mapeia exatamente y

, o símbolo wavelet tal que “produz” s

como a

correspondente saída do modulador. Portanto, pode-se escrever

(r|Y = y

) = f

(r|s

) i = 1, . . . | S | . (3.7)

Substituindo (3.7) na Equação (3.6), e este resultado na Equação 3.5, obtém-se

˜y



i=0

P (y

(r|s

)

(r)

. (3.8)

Finalmente observe que a densidade de probabilidade a priori no denominador pode ser expressa

como

(r) =



j=0

P (y

(r|s

) .

Substituindo isto em (3.8), obtém-se:

G(r) = ˜y



i=0

P (y

(r|s

)



j=0

P (y

(r|s

)

. (3.9)

Observe que G(·) tem a forma de uma interpolação onde os símbolos wavelets são conve-

nientemente ponderados pelas suas respectivas probabilidades (JUNIOR, 2006).

Finalmente, cabe fazer duas observações: (a) na aná lise feita acima, admitiu-se que os

símbolos wavelets não são quantizados. Contudo, em t al situação, pode-se modiﬁcar a expressão

dada pela Equação (3.8) de maneira a considerar a quantidade exata de símbolos wavelets

escolhidos para transmissão, e (b) em canais com desvanecimento, as densidades envolvidas são

da forma f

(r|s

, α

). Neste caso, estas são avaliadas com base em  r −α



CAPÍTULO 3: ELEMENTOS DE RECEPÇÃO ITERATIVA 32

3.4 DECODIFICADOR WAVELET COM ENTRADA E SAÍDA SUAVES

Uma vez apresentado o método proposto para a demodulação com saída suave, é importante

analisar os impactos das entradas suaves sobre o decodiﬁcador wavelet proposto em (TZANNES;

TZANNES., 1992), apresentado na Seção 2.6. Como resultado desta análise, esta seção apresenta

uma proposta para o decodiﬁcador wavelet do tipo SISO, sendo este uma das contribuições deste

trabalho.

Com o receptor sendo formado por estes novos dispositivos, esta seção também apresenta

algumas avaliações de desempenho com dois sistemas baseados na codiﬁcação wavelet. Cabe

lembrar que tanto o emprego da regra de demodulação suave, quanto o uso do decodiﬁca-

dor wavelet SISO, levaram à desempenhos não observados em trabalhos anteriores (TZANNES;

TZANNES., 1992; Q. SILVEIRA, 2001; SILVEIRA, 2002; Q. SILVEIRA; ASSIS, 2002; SILVEIRA, 20 06),

conforme será mostrado adiant e.

3.4.1 Decodiﬁcad or Wavelet com Entrada Sua ve

Apesar deste trabalho utilizar MWs planas de coeﬁcientes inteiros, e de não se conhecer

na literatura abordagens em que esta técnica de codiﬁcação utilize matrizes com coeﬁcient es

complexos, é importante observar que o algoritmo para a decodiﬁcação de símbolos wavelets,

proposto em (TZANNES; TZANNES., 1992), também pode ser empregado nesta outra abordagem

à codiﬁcação.

O principal fundamento para esta argumentação é a ortogonalidade entre os vetores linha

da matriz wavelet: estas são mutuamente ortogonais para deslocamentos de comprimento mr,

sendo 0 ≤ r ≤ g − 1. Além disso, cada linha é ortogonal a uma cópia de si mesma deslocada

circularmente de mr, sendo 0 < r ≤ g − 1.

Sendo a ortogonalidade uma propriedade existente entre os vetores linha de uma MW, o

fornecimento de entradas suaves, ou discretas, não altera esta condição. Conseqüentemente,

ainda é possível utilizar um banco de correlatores casados às linhas da MW de forma a recuperar

CAPÍTULO 3: ELEMENTOS DE RECEPÇÃO ITERATIVA 33

os bits de informação, conforme mostrado na Figura 3.2. Por outro la do , o fornecimento de

estimativas suaves colocadas na entrada do decodiﬁcador wavelet não implicará em aument os

da complexidade de decodiﬁcação

{..., ˜y

, ˜y

}

Tempo de decodiﬁcação

Símbolos wavelets fornecidos pelo demodulador com saída suave

˜y

Figura 3.2. Funcionamento do algoritmo de decodiﬁcação wavelet para o caso de uso de uma MW de

dimensão 2 × 8.

É possível, então , conceber um decodiﬁcador wavelet de entrada suave e saída discreta,

observando-se que a s estimativas discretas para os bits de informação podem ser obtidas da

mesma maneira que anteriormente, isto é, mediante uma comparação entre a saída do correlato r

com o mesmo limiar de decisão (JUNIOR, 2007b, 2007a).

3.4.1.1 Aplicação

Esta seção apresenta os resultados de avaliações de desempe nho de dois sistemas de co-

municações baseados na codiﬁcação wavelet, com demodulação suave, os quais empregam as

MWs 2 × 8 e 2 × 128, sobre diferentes ambientes de transmissão. As constelações de sinais

Neste caso, é a dmitido que a complexidade está sendo avaliada através do número de o per ações, que é

conservada em ambas as abordagens.

CAPÍTULO 3: ELEMENTOS DE RECEPÇÃO ITERATIVA 34

utilizadas no mapeamento dos símbolos wavelets estão ilustradas nas Figuras 2.3(a) e 2.3(c),

respectivamente.

Na obtenção das estimativas da taxa de erro de bit (TEB), uma quantidade mínima de 100

erros é considerada para cada valor de relação sinal-ruído (RSR) avaliado. É também admitido

que o receptor tem conhecimento perfeito do estado do canal.

A Figura 3 .3 ilustra os resultados de desempenho obtidos por estes sistemas sobre o canal

AWGN. Para facilitar uma avaliação entre as diferentes abordagens de demodulação, esta ﬁgura

também apresenta os resultados obtidos com o demodulador com decisão abrupta usando o

critério MAP. A partir desta, observa-se que o emprego da regra de decisão suave leva a um

ganho de desempenho na comparação com o obtido pela regra de decisão convencional.

Também foram realizadas simulações computacionais sobre um canal sujeito ao desvane-

cimento Rayleigh. A Figura 3.4 ilustra os resultados obtidos. Esta ﬁgura também apresenta

os resultados de desempenho obtidos com o uso do critério MAP, neste mesmo ambiente de

transmissão.

A par t ir da Figura 3.4(a) pode ser observado uma ganho na ordem de 3 dB em E

, para

valores de TEB abaixo de 10

−3

, quando comparado ao uso da regra MAP. O desempenho da

demodulação por decisão suave de sinais PSK mapeados a partir de símbolos wavelets gerados

por uma MW de dimensão 2 × 128 levou a um ganho na ordem de 3 dB em E

, para

valores de TEB abaixo 10

−7

. Como esperado, o aumento das dimensões da matriz wavelet

leva à melhores desempenhos em canais com desvanecimento, devido ao ganho de diversidade

temporal obtido com o maior espalhamento da informação.

Portanto, os resultados mostram que o emprego da regra de decisão suave proposta, permite

obter ganhos de desempenho quando comparados com os obtidos via emprego da regra MAP,

tanto para canais AWGN, quanto para canais com desvanecimento Rayleigh (JUNIOR, 2006).

Cabe notar que a obtenção de estimativas para o n−ésimo bit transmitido, ˜x

, envolve

um processo de comparação da saída do j−ésimo correlator z

com o limiar ajustado a zero,

conforme descrito na Seção 2.6. Contudo, na próxima seção este procedimento de “quantização”

CAPÍTULO 3: ELEMENTOS DE RECEPÇÃO ITERATIVA 35

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

1e+00

2 4 6 8 10

TEB

Eb/No (dB)

MAP

Decisão Suave

(a) MW 2 × 8.

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

1e+00

2 4 6 8 10

TEB

Eb/No (dB)

MAP

Decisão Suave

(b) MW 2 × 128.

Figura 3.3. Desempenho da regra de decisão suave na demodulação de sinais PSK sobre canal AWGN.

CAPÍTULO 3: ELEMENTOS DE RECEPÇÃO ITERATIVA 36

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

1e+00

0 5 10 15 20 25 30

TEB

Eb/No (dB)

MAP

Decisão Suave

(a) MW 2 × 8.

1e-08

1e-07

1e-06

1e-05

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

1e+00

0 5 10 15 20 25 30

TEB

Eb/No (dB)

MAP

Decisão Suave

(b) MW 2 × 128.

Figura 3.4. Desempenho da regra de decisão suave na demodulação de sinais PSK sobre canal sujeito

ao desvanecimento Rayleigh.

CAPÍTULO 3: ELEMENTOS DE RECEPÇÃO ITERATIVA 37

será abandonado com o intuito de obter saídas suaves do decodiﬁcador wavelet.

3.4.2 Decodiﬁcad or Wavelet com Saída Suave

A n−ésim a saída do demodulador, mostrada na Figura 3.1, pode ser escrita como a esti-

mativa ˜y

, dada por

˜y

= y

+ e

, (3.10)

sendo e

uma v.a. contínua que modela toda a distorção introduzida pelo canal, sendo percebida

pelo sistema durante a etapa de demodulação.

Por outro lado , o mecanismo de decodiﬁcação mostrado na Figura 3.2 expõe o fato de que

é necessário considerar um vetor com mg diferentes estimativas, para que um único bit seja

decodiﬁcado pelo correlator z

, o qual é casado à linha a

, no tempo i = pm + mg − 1, com

p ∈ N.

Diante disso, é possível escrever a saída deste correlator como apresentado em (SILVEIRA,

2006), ou seja

mg− 1



k=0

(mg−1)−k

˜y

i−k

. (3.11)

Logo, se as respectivas saídas do banco de m correlatores não forem mais submetidas a

quantização, serão obtidas saídas suaves deste decodiﬁcador wavelet, ag ora do t ipo SISO.

3.4.2.1 Expressão para a Probabilidade de Erro de Bit

A avaliação de uma expressão para a probabilidade de erro de bit (PEB), para o modelo do

sistema mostrado na Figura 3.1, será f eita nesta seção.

Na recepção deste sistema, a estimativa para o bit transmitido considera ˜x

j+i−(mg−1)

= −1

se z

< 0, ou ˜x

j+i−(mg−1)

= 1 se z

> 0. Desta forma, é possível avaliar a probabilidade de erro

CAPÍTULO 3: ELEMENTOS DE RECEPÇÃO ITERATIVA 38

de bit do sistema com codiﬁcação wavelet por

= P

= Pr(z

> 0 | x

j+i−(mg−1)

= −1) · Pr(x

j+i−(mg−1)

= −1)

+ Pr(z

< 0 | x

j+i−(mg−1)

= +1) · Pr(x

j+i−(mg−1)

= +1),

(3.12)

em que P

representa a probabilidade de erro de bit associada ao correlator z

. A primeira

igualdade segue do fato de que todos os m correlatores z

decodiﬁcam a info rmação com a

mesma probabilidade de erro. Sem perda de generalidade, a análise da probabilidade de erro

de bit do sistema com codiﬁcação wavelet será desenvolvida tomando-se como referência o

correlator wavelet z

. Além disso, com o objetivo de simpliﬁcar a notação, deﬁne-se z

:= z

partir deste ponto.

Levando em conta que os bits de informação são eqüiprováveis, que o entrelaçamento é

assumido ser ideal e considerando também que a distribuição do ruído do canal é simétrica,

pode ser veriﬁcado que

Pr(z

> 0 |x

i−(mg−1)

= −1) = Pr(z

< 0 |x

i−(mg−1)

= +1)

Portanto,

= Pr(z

> 0 | x

i−(mg−1)

= −1). (3.13)

A partir do conhecimento da f.d.p. a posteriori da v.a. Z, relacionada a saída do banco de

correlatores, pode-se escrever



∞

(z | x = −1) dz, (3.14)

isto é, o erro é originado pela escolha da hipótese que decide pelo bit +1, dado que foi trans-

mitido o bit -1.

CAPÍTULO 3: ELEMENTOS DE RECEPÇÃO ITERATIVA 39

Admitindo que as f.d.p. a posteriori da v.a. Z seguem distribuições Gaussianas, de médias

simétricas, e mesma variância, temos

(z | x = −1) ∼ N(µ, σ

Portanto, é imediato obter a expressão da PEB em termos da função Q (PROAKIS, 1989)

= Q





, (3.15)

podendo também ser expressa através da função erro complementar (HAYKIN, 1992), erfc(·),

erfc



√

2σ



. (3.16)

Assim, a partir da estimação da média e va r iância condicionais dos dados de saída do

decodiﬁcador wavelet SISO, é possível estimar o desempenho do sistema com codiﬁcação wavelet

e demodulação por decisão suave, através da expressão semi-analítica mostrada na Equação

(3.16).

A próxima seção é dedicada a apresentar uma comparação dos resultados de desempenho

obtidos através do emprego da Equação (3.16) e do método de Monte Carlo.

3.4.2.2 Aplicação

Esta seção apresenta os resultados de desempenho obtidos a partir de simulações com-

putacionais de dois sistemas de comunicações com codiﬁcação wavelet e recepção baseada na

emprego do demodulador de saída suave e decodiﬁcador wavelet SISO, considerando-se duas

abordagens: (a) Método de Monte Carlo, no qual as saídas suaves do decodiﬁcador wavelet

SISO são discretizadas, utilizando-se o procedimento de comparação com o limiar apresentado

na seção 2 .6 ; e (b) as saídas suaves do decodiﬁcador wavelet SISO são utilizadas para estimar

as médias e variâncias condicionais, de forma a avaliar a PEB, via emprego das Equação (3.16).

A escolha pelo modelo de distribuição normal facilita a análise. No Apêndice A, são apresentados alguns

resultados obtidos a partir da aplicaç ão de uma ferramenta de ajuste de distribuição.

CAPÍTULO 3: ELEMENTOS DE RECEPÇÃO ITERATIVA 40

O primeiro sistema analisado utiliza um codiﬁcador wavelet que emprega uma MW com di-

mensão 2×8. Um segundo sistema com codiﬁcação wavelet empregando uma MW de dimensão

2 × 128 foi também avaliado.

1e-05

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

1e+00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Abordagem semi-analítica

Método de Monte Carlo

TEB

Eb/No (dB)

Figura 3.5. Curvas obtidas pela análise desenvolvida e segundo o método de Monte Carlo, relativas

ao desempenho de um sistema com codiﬁcação wavelet baseada na MW 2 × 8, suj eito ao canal com

desvanecimento Rayleigh plano.

Para a faixa de RSR avaliada, os valores de média e variância condicionais foram estimados,

utilizando-se os dados obtidos via simulação de cada sistema. As Figura 3.5 e 3.6 apresentam

os resultados de desempenho obtidos. Conforme pode ser observado a partir da Figura 3.5,

existe uma boa concordância entre as curvas até uma RSR próxima a 5 dB. Isto indica que, a

partir deste valor de RSR, a distribuição dos dados de saída do decodiﬁcador wavelet deve se

afastar da Normal.

Por outro lado, como pode ser observado a partir da Figura 3.6 , existe uma boa concordância

entre as curvas obtidas com emprego da MW de dimensão 2 × 128, na faixa de RSR avaliada.

Isto deve acontecer porque para esta faixa de RSR a distribuição dos dados é bem ajustada por

uma Normal. Este resultado já era esperado e segue diretamente da aplicação do Teorema do

Limite Central (PAPOULIS; S.U.PILLAI, 2002).

CAPÍTULO 3: ELEMENTOS DE RECEPÇÃO ITERATIVA 41

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

1e+00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Abordagem semi-analítica

Método de Monte Carlo

TEB

Eb/No (dB)

Figura 3.6. Curvas obtidas pela análise desenvolvida e segundo o método de Monte Carlo, relativas

ao desempenho de um sistema com codiﬁcação wavelet baseada na MW 2 ×128, sujeito ao canal com

desvanecimento Rayleigh plano.

3.4.3 Saída do Decodiﬁcador Wavelet na Forma da Razão de Log-verossimilhança

O problema básico presente na recepção de qualquer sistema de comunicações é inferir, a

partir da observação, qual foi a mensagem enviada sobre este (PROAKIS, 1989; HAYKIN, 1992;

BENEDETTO; BIGLIERI, 1999).

Neste sentido, a inferência estatística fornece um tratamento a dequado em termos de pro-

babilidade condicional, avaliando-se medidas de dependências condicionais observadas entre as

variáveis presentes no domínio do problema.

Apesar da inferência estatística ser utilizada em uma classe ampla de problemas, desde

esquemas de recepção à aplicações no auxílio ao diagnóstico médico, utilizando a abo r dagem

baseada na propagação de probabilidades em redes bayesianas (MCELIECE, 1997; JUNIOR, 2003,

2004a, 2004b), as suas bases foram estabelecidas ainda no século XVIII, por Sir Thomas Bayes,

ao fornecer um procedimento direto de obtenção de estimativas de probabilidade condicional,

mediante o conhecimento da informação a priori disponível, da evidência e da verossi milhança:

o Teorema de Bayes (COVER; THOMAS, 1991).

CAPÍTULO 3: ELEMENTOS DE RECEPÇÃO ITERATIVA 42

Este Teorema combina informações probabilísticas diferentes. Assim, apesar da verossimi-

lhança indicar, na for ma quantitativa, uma medida de probabilidade, esta é empregada num

contexto mais qualitativo, indicando o g rau de certeza, ou conﬁança, que se tem de uma hipótese

estar correta (VINIOTIS, 1998; MARTINS, 200 4).

Seguindo estes princípios, pode-se também derivar uma métrica que avalie o grau de con-

ﬁança sobre cada saída suave gerada pelo decodiﬁcador wavelet. Com efeito, esta seção é

dedicada a avaliar tal métrica, que será o btida ao se empregar um logaritmo sobre a razão de

densidades de probabilidades a po s terio ri.

Assumindo que a f.d.p. a posteriori da v.a. que representa a saída do banco de correlatores

segue uma distribuição normal, pode-se escrever

(z | x = ±1) ∼ N(±µ, σ

Entã o,

f(z

= −1) =

√

2πσ

exp



−1

2σ

+ µ)



, (3.17)

f(z

= +1) =

√

2πσ

exp



−1

2σ

− µ)



. (3.18)

Diante disso, dividindo-se (3.17) por (3.18) e tomando-se o logaritmo neperiano desta razão,

chegamos a razão de log-verossimilhança, L(z

), que relaciona a medida de conﬁança na decisão

sobre a saída corrente do decodiﬁcador wavelet SISO, z

L(z

) =

−2 · µ

· z

. (3.19)

Observe que decisões abruptas ainda podem ser feitas através do emprego da Equação (3.19),

por meio da observação do sinal de L(z

). Assim, se L(z

) > 0, então z

= −1, caso cont r ário,

CAPÍTULO 3: ELEMENTOS DE RECEPÇÃO ITERATIVA 43

= +1. Já o valor numérico de |L(z

)| representa o nível de certeza propriamente dito sobre

esta decisão (JUNIOR, 2007c).

Cabe ainda lembra r que, no contexto dos r eceptores que ado t am o princípio Turbo, as saídas

suaves obtidas na f orma de uma razão de log-verossimilhança são denominadas de informações

suaves (VUCETIC; YUAN, 2000; JUNIOR, 2007c).

A próxima seção estabelece um método recursivo para o cálculo das estimativas destes

parâmetros.

3.4.3.1 Estimação Recursiva dos Parâmetros Média e Variância

Uma possível diﬁculdade na avaliação da métrica L(z

) é a incerteza que pesa sobre o

conhecimento dos parâ metros média, µ, e variância, σ

, condicionais da distribuição.

Cabe lembrar que uma diﬁculdade semelhante foi experimentada na seção 3.4.2.2, quando

os resultados de desempenho do sistema com codiﬁcação wavelet estava m sendo investigados

por meio da Equação (3.16), que é a expressão para a PEB obtida para este tipo de sistema de

comunicações.

Desta forma, o próximo passo será a obtenção de um método bastante simples (média

móvel), porém capaz de prover estimativas sobre os parâmetros condicionais (±µ, σ

), r elativos

à distribuição dos dados de saída do decodiﬁcador wavelet SISO.

A obtenção destes parâmetros considera que o modelo de distribuição a posteriori dos dados

de saída do decodiﬁcador wavelet SISO é normal. Desta forma, pode-se expressar cada f.d.p.

segundo as Equações (3.17) e (3.18). Isto também é útil no sent ido de que, sendo as densidades

a posteriori simétricas com relação à média, o método de estimação considera valores absolutos

para as amostras obtidas.

Neste sentido, esta seção é dedicada a desenvolver um procedimento que permita obter

estimativas destes parâmetros com boa precisão. A abordagem escolhida aqui utilizará um

procedimento recursivo, no qual passa a se avaliar os blocos de saída do decodiﬁcador wavelet

SISO.

CAPÍTULO 3: ELEMENTOS DE RECEPÇÃO ITERATIVA 44

Assim, considere que b

= {z

, z

, ..., z

} denota o i−ésimo bloco com N saídas suaves o bti-

das do decodiﬁcador. Então, a saída formada após a recepção de p+1 blocos, oriundos do deco-

diﬁcador wavelet SISO, forma o vetor {b

, b

, ..., b

, b

p+1

}, denotado por Z(1, 2, ..., p, p+ 1).

Logo, para evitar uma possível confusão, a j−ésima amostra do m−ésimo bloco, no vetor Z

formado por p + 1 blocos de comprimento N, será referenciada com a notação z[j + m ∗ N].

O primeiro parâmetro a ser estimado é a média da distribuição, µ. Na estimativa desta

média, serão calculadas médias a mostrais que considerem os dados de um único bloco, ou que

reﬂita a média amostral dos dados presentes em mais de um único bloco. Assim, quando for

empregada a notação µ

(i), signiﬁca que este é o parâ metro média calculado sobre as amo stras

obtidas do i−ésimo bloco, b

, ao contrário de µ

(i, j), que é a média amostral dos da do s

presentes nos blocos b

e b

Assim, a média para o primeiro bloco obtido na saída do decodiﬁcador wavelet SISO, µ

(1),

é calculada segundo a Equação abaixo,

(1) =



i=1

z[i]. (3.20)

Observe que pela Lei dos Grandes Números (COVER; THOMAS, 1991), só haverá convergência

probabilística entre a média amostral de um único bloco e o valor da média da distribuição, se

N → ∞.

Logo, para se obter uma estimativa para esta média com maior precisão, deve-se considerar

um número maior de blocos. Então, considerando-se a recepção de um segundo bloco, podemos

melhorar a nossa estimativa para a média, já que, neste caso, é possível avaliar um conjunto

maior de dados, isto é

(1, 2) =

′



i=1

z[i] =



i=1

z[i] =









i=1

z[i]

  

(1)



j=1

z[j + N]



 

(2)







(1) +

(2),

sendo, assim, proporcional a média amostral de cada um dos dois blocos até então recebidos.

A obtenção de um novo bloco, permite melhorar a precisão da nossa estimativa para a média

CAPÍTULO 3: ELEMENTOS DE RECEPÇÃO ITERATIVA 45

amostral,

(1, 2, 3) =

′′



i=1

z[i] =



i=1

z[i] =







2 ·



i=1

z[i]



 

(1,2)



j=1

z[j + 2N]



 

(3)







∴

(1, 2, 3) =

(1, 2) +

(3).

Logo, pelo Princípio da Indução Finita, a média amostral sobre o conjunto de dados

Z(1, 2, ..., p, p + 1), pode ser obtida recursivamente, através da Equação abaixo:

(1, 2, 3, ..., p, p + 1) =

p + 1

(1, 2, ..., p) +

p + 1

(p + 1), (3.21)

com µ

(1) dado pela Equação (3.20).

Cabe notar que pela Lei dos Grandes Números, é possível fazer µ

(1, 2, 3, ..., p, p + 1) con-

vergir probabilísticamente para a média µ da distribuição, a medida que aumenta o número de

blocos e o tamanho de cada bloco.

A derivação do procedimento recursivo para o cálculo da variância poderá ser simpliﬁcada

se, para a estimativa da média, é considerado o valor obtido recursivamente a partir da Equação

(3.21). Logo, para a estimativa da variância, é preciso avaliar E(x

Assim, denote por δ

(1) a média dos quadrados dos valores amostrais presentes no primeiro

bloco,

(1) =



i=1

(z[i])

. (3.22)

Por outro lado, considerando-se os dois primeiros blocos, obtém-se

(1, 2) =

′



i=1

(z[i])



i=1

(z[i])









i=1

(z[i])



 

(1)



j=1

(z[j + N])



 

(2)







(1)+

(2).

CAPÍTULO 3: ELEMENTOS DE RECEPÇÃO ITERATIVA 46

Logo, pelo Princípio de Indução Finita, é possível mostrar que

(1, 2, 3, ..., p, p + 1) =

p + 1

(1, 2, ..., p) +

p + 1

(p + 1), (3.2 3)

com δ

(1) dado pela Equação (3.2 2).

Portanto, é imediato obter a variância para o primeiro blo co

(1) = δ

(1) − [µ

(1)]

, (3.24)

como para qualquer conjunto de dados fo r mado. Assim,

(1, 2) = δ

(1, 2) − [µ

(1, 2)]

(1, 2, 3) = δ

(1, 2, 3) − [µ

(1, 2, 3)]

Deste modo, a estimativa para a variância da população, considerando-se uma última atua-

lização no conjunto de dados Z(1, 2, ..., p, p + 1), é obtida pela aplicação de procedimentos

recursivos,

(1, 2, ..., p, p + 1) = δ

(1, 2, ..., p, p + 1) − [µ

(1, 2, ..., p, p + 1)]

, (3.25)

conforme estab elecidos nas Equações (3.2 3) e (3.21).

Finalmente, vale ressaltar que o emprego dos procedimentos recursivos derivados nesta seção,

com o intuito de permitir a obtenção de estimativas para o s parâmetros (µ, σ

), serão utilizados

no projeto do receptor iterativo, cujos detalhes serão considerados no próximo capítulo.

3.5 REGRA DE DEMODULAÇÃO SUAVE MODIFICADA

Os bons resultados obtidos com o estimador derivado na Seção 3.3, servem de estímulo para

investigação de aproximações à regra desenvolvida.

CAPÍTULO 3: ELEMENTOS DE RECEPÇÃO ITERATIVA 47

Uma aproximação inicial pode ser obtida observando-se o estimador G(·), expresso pela

Equação (3.9). Este realiza uma interpolação, onde os símbo lo s wavelets são convenientemente

ponderados. Contudo, esta ponderação pode ser simpliﬁcada quando for feita com apenas

alguns dos sinais de maior verossimilhança.

Como exemplo de uma das possíveis simpliﬁcações, considere a ponderação com os dois

sinais de maiores verossimilhanças. Pode-se observar que apesar desta ponderação ser feita

com uma quantidade de sinais bastante reduzida, os resultados de desempenho obtidos com

esta aproximação superaram àqueles o btidos com a regra MAP, conforme apresentado nas

Figuras 3.7 e 3.8, para uma MW de dimensão 2 × 128.

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

1e+00

0 2 4 6 8 10

TEB

Eb/No (dB)

MW 2x128 (MAP)

Estimador Original

Estimador Modiﬁcado

Figura 3.7. Desempenho da regra de decisão suave modiﬁcada na demodulação de sinais PSK sobre

canal sujeito ao ruído AWGN.

Promovendo- se uma comparação com os resultados de desempenho obtidos com o estimador

modiﬁcado, percebe-se que a respectiva curva da TEB, para o canal AWGN, está bastante pró-

xima daquela obtida com o estimador original. Por outro lado, no canal com desvanecimento,

existe um distanciamento maio r entre estas curvas, indicando que a aproximação proporciona

CAPÍTULO 3: ELEMENTOS DE RECEPÇÃO ITERATIVA 48

1e-08

1e-07

1e-06

1e-05

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

1e+00

0 5 10 15 20 25 30

TEB

Eb/No (dB)

MW 2x128 (MAP)

Estimador Original

Estimador Modiﬁcado

Figura 3.8. Desempenho da regra de decisão suave modiﬁcada na demodulação de sinais PSK sobre

canal sujeito ao desvanecimento Ray leigh.

melhores resultados para o canal AWGN. Isto é avaliado da seguinte maneira: a técnica de

codiﬁcação wavelet é adequada a canais com desvanecimento, ou seja, seus resultados de de-

sempenho em canais AWGN não motivam o seu emprego para este cenário. Logo, em canais

com AWGN o uso da abordagem original, ou do método aproximado, para a demodulação,

não melhora o desempenho desta técnica para este ambiente de tra nsmissão. Por outro lado,

em canal com desvanecimento , a aproximação feita gera uma degradação no desempenho desta

técnica, na comparação com o emprego da regra de decisão original.

CAPÍTULO 3: ELEMENTOS DE RECEPÇÃO ITERATIVA 49

3.6 CONCLUSÕES

Este capítulo foi dedicado a concepção e avaliação de uma nova abordagem para o receptor

presente em sistemas de comunicações móveis baseados na codiﬁcação wavelet.

Neste sentido, foi proposta uma regra para a demodulação suave de sinais empregados no

mapeamento de símbolos wavelets, cuja obtenção foi baseada na busca por um estimador de

mínimo erro quadrático médio, avaliado entre o símbolo wavelet transmitido e o recebido na

entrada do demodulador. Posteriormente, foi proposto um decodiﬁcador wavelet do tipo SISO.

Com o intuito de avaliar os ganhos de desempenho obtidos com a adoção destas novas abor-

dagens, foram realizadas simulações computacionais de doi s sistemas com codiﬁcação wavelet.

Também foram feitas avaliações semi-analíticas, as quais r esultaram numa expressão para a

probabilidade de erro de bit em um sistema com codiﬁcação wavelet e demodulação suave.

A partir dos resultados obtidos, é possível concluir que a análise desenvolvida neste capítulo

possui boa precisão, contribuindo com o desenvolvimento de novos dispositivos que serão uti-

lizados na concepção de uma estratégia de decodiﬁcação iterativa, adequada à concatenações

seriais baseadas na codiﬁcação wavelet.

CAPÍTULO 4

DECODIFICAÇÃO TURBO COM DEMODULAÇÃO

ITERATIVA

Este capítulo propõe uma estrutura de recepção iterativa adequada a sistemas de comunicações

baseados na codiﬁcação wavelet.

4.1 INTRODUÇÃO

Nos últimos anos, a busca pelo desenvolvimento de abordagens mais eﬁcientes de recepção

levou à intensas pesquisas, motivadas pelos bons resultados alcançados pela Codiﬁcação Turbo

(BERROU; GLAVIEUX; THITIMAJSHIMA, 1993).

Os resultados obtidos com os primeiros esquemas deste tipo, fo r am rapidamente vistos

como manifestações particulares de um princípio mais amplo ( Princípio Turbo), segundo o

qual ganhos signiﬁcativos de desempenho, em sistemas com codiﬁcação de canal, podem ser

obtidos processando iterativamente as amostras do sinal r ecebido, através de dois processadores

com capacidade para trocar informações probabilísticas (em geral, na forma de razões de ve-

rossimilhança logarítmicas) sobre as respectivas ent radas (HAGENAUER; OFFER; PAPKE, 1996;

VUCETIC; YUAN, 2000; MARTINS, 2004; REGALIA, 2005).

Esta constatação deu or ig em à busca de diferentes formas de se explorar o princípio turbo,

tanto em novas concatenações de códigos corretores de erro, quanto em novas possibilidades de

iteratividade envolvendo outro processador na recepção como, por exemplo, um equalizador,

ou, um dispositivo de sincronização (TüCHLER; KOETTER; SINGER, 2004; NOELS, 2005; NETO,

2006).

Assim, este capítulo é dedicado a concepção, estudo e avalia ção de um mecanismo de de-

CAPÍTULO 4: DECODIFICAÇÃO TURBO COM DEMODULAÇÃO ITERATIVA 51

codiﬁcação iterativa para concatenações seriais baseadas na codiﬁcação wavelet, visando a sua

aplicação em canais sujeitos a o desvanecimento Rayleigh plano.

A motivação pelo emprego da codiﬁcação wavelet advém dos bons resultados obtidos nas

avaliações de desempenho, em termos da TEB, sobre o canal com desvanecimento plano, além

da possibilidade que esta oferece de permitir a obtenção de melhores g anhos de diversidade

mantendo a complexidade de decodiﬁcação relativamente baixa.

O restante deste capítulo está orga nizado como segue. A Seção 4.2 apresenta um exemplo

ilustrativo de concatenação serial com codiﬁcação wavelet. Na Seção 4.3, é proposto e avaliado

um método de decodiﬁcação iterativa par a este tipo de concatenação serial. A Seção 4.4 é

dedicada a apresentar as conclusões obtidas com o método proposto para a recepção iterativa.

4.2 CONCATENAÇÃO SERIAL COM CODIFICADOR WAVELET

A concatenação serial de códigos oferece a possibilidade de se utilizar estruturas com dife-

rentes capacidades de proteção da informação (FORNEY, 1966; BARG; ZéMOR, 2003). Em canais

caracterizados pelo desvanecimento Rayleigh plano, a codiﬁcação wavelet apresenta va ntagens

na comparação de desempenho com outras abordag ens, conforme f oi avalia do em (SILVEIRA,

2002, 200 6), o que indica ser esta uma alternativa interessante para o codiﬁcador interno neste

cenário. Devido ao uso bastant e disseminado na concatenação de códigos (BERROU; GLAVIEUX;

THITIMAJSHIMA, 1993; VITERBI; VITERBI; SINDHUSHAYANA, 1997; NETO, 2006), será usado

como codiﬁcador externo o codiﬁcador convolucional, mostrado na Figura 4.1, na composição

do código concatenado, Z, o qual tem taxa R(Z) = 1/2.

(0)

(1)

Figura 4.1. Esquema de um codiﬁcador convolucional com taxa R = 1/2 e restrição de comprimento

igual a 3. Para o exemplo, temos os respectivos polinômios geradores g

(0)

= 1 + x + x

e g

(1)

= 1 + x

CAPÍTULO 4: DECODIFICAÇÃO TURBO COM DEMODULAÇÃO ITERATIVA 52

O modelo de sistema com concatenação serial de códigos pro posto está ilustrado na Figura

4.2. Neste sistema, a saída da fonte gera uma seqüência de bits independentes e identicamente

distribuídos (i.i.d.), assumindo valores no conjunto { −1, +1}. Essa seqüência de bits é par-

ticionada em blocos de k bits, {x

}, os quais são codiﬁcados pelo codiﬁcador convolucional

C(2, 1, 3). Logo, para cada bloco de k bits, {x

}, o codiﬁcador convolucional gera um bloco de

n bits, {b

}, já incluídos os bits conhecidos de cabeçalho e de cauda.

Fonte

Codiﬁcador

Convoluc.

Entrelaçador

Codiﬁcador

Wavelet

Mo dulador Antena

Canal

Demodulador

Decodiﬁcador

Wavelet SISO

Desentrelaçador

Decodiﬁcador

BCJR

Recepção

} {b

} {c

} {y

} {s

}

}{˜y

}{L(z

′

)}{L(z

)}{˜x

}

Figura 4.2. Modelo de sistema de comunicações com concatenação serial de códigos convolucional e

wavelet.

Em seguida, os n bits codiﬁcados de cada bloco {b

} são embaralhados por um entrelaçador

Pseudo-Aleatório

, de tal forma a quebrar a correlação introduzida pelo uso do codiﬁcador

convo lucional. Os bits entrelaçados são posteriormente codiﬁcados por um codiﬁcador wavelet,

o qual produz para cada bloco {c

} em sua entrada, um bloco de n símbolos wavelets, {y

não-eqüiprováveis, correlacionados e assumindo diversos níveis de amplitude.

Os símbolos wavelets são mapeados em sinais PSK, de energia média unitária, e tr ansmi-

tidos, por uma única antena, em um canal sem memória caracterizado pelo desvanecimento

Rayleigh plano. Admite-se que o canal é essencialmente constante durante um intervalo de

sinalização, apesar de ser variante no tempo.

A saída do canal, em tempo discreto, é modelada pela variável aleatória complexa r

+ w

, sendo α

a amostra de desvanecimento, s

o símbolo PSK transmitido, e w

o ruído

complexo Gaussiano branco, de média nula, com partes real e imaginária de mesma variância,

/2.

Outros esquemas de entrelaçamento deverão ser igualmente avaliados na continuação deste trabalho.

CAPÍTULO 4: DECODIFICAÇÃO TURBO COM DEMODULAÇÃO ITERATIVA 53

De uma maneira g eral, k bits na entrada do codiﬁcador convolucional são codiﬁcados em n

símbolos wavelets, sendo enviados ao longo de n intervalos de sinalização. Assim, a eﬁciência

espectral de k/n bits/s/Hz é facilmente assegurada. No exemplo que se segue, a eﬁciência

espectral do sistema proposto é igual a 0,5 bit/s/Hz.

Na recepção, será utilizado o demodulador, baseado no estimador de MEQM, e o decodiﬁ-

cador wavelet SISO, ambos avaliados no Capítulo 3. Por outro lado, no decodiﬁcador externo

será usado o algoritmo de decodiﬁcação BCJR, já que este a presenta a vantagem de minimizar

a probabilidade de erro de bit (BAHL, 1974).

Admite-se que no início da transmissão o codiﬁcador convolucional tem todos os seus regis-

tradores de deslocamento com o mesmo valor: zero. Também é admitido que neste momento

o codiﬁcador wavelet está no seu estado inicial S

. Por outro lado, o decodiﬁcador BCJR é

forçado a terminar o seu processamento no estado inicial. O mesmo princípio é utilizado para

o decodiﬁcador wavelet SISO.

A Figura 4.3 apresenta os resultados de desempenho de dois sistemas com o mesmo es-

quema de concatenação de códigos, sobre o mesmo ambiente de transmissão, variando apenas

a MW empregada no codiﬁcador interno. As constelações de sinais utilizadas neste caso, estão

mostradas nas Figuras 2.3(a) e 2.3(b).

É possível observar um ganho próximo a 2 dB em favor do sistema que emprega a MW

4 ×16, sobre aquele em que a MW 2 ×8 é utilizada, par a valores de TEB abaixo de 10

−5

. Cabe

observar que isto é devido ao maior ganho de diversidade proporcionado pelo uso da MW de

dimensão 4 × 16.

A próxima seção apresenta uma nova abordagem de recepção, ca r acterizada pela decodiﬁ-

cação iterativa.

CAPÍTULO 4: DECODIFICAÇÃO TURBO COM DEMODULAÇÃO ITERATIVA 54

1e-07

1e-06

1e-05

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

1e+00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

TEB

Eb/No (dB)

MW 2 × 8

MW 4 × 16

Figura 4.3. Comparação de desempenhos em termos da TEB para dois sistemas de comunicações com

concatenação serial de códigos convolucional e Wavelet, utilizando MWs de diferentes dimensões.

CAPÍTULO 4: DECODIFICAÇÃO TURBO COM DEMODULAÇÃO ITERATIVA 55

4.3 RECEPTOR ITERATIVO PARA CONCATENAÇÃO SERIAL COM CODIFICA-

ÇÃO WAVELET

O modelo do sistema com decodiﬁcação iterativa está ilustrado na Figura 4.4. Exceto pela

presença de dois blocos colocados no circuito de realimentação, Entrelaça dor e Atualizador de

Distribuições de Proba bilidades dos Símbolos Wavelets (DPSW), o novo modelo é, em princípio,

aquele avaliado na seção anterior.

Fonte

Codiﬁcador

Convoluc.

Entrelaçador

Codiﬁcador

Wavelet

Mo dulador Antena

Canal

Demodulador

Decodiﬁcador

Wavelet SISO

Desentrelaçador

Decodiﬁcador

BCJR

Recepção

Entrelaçador

Atualizador

de DPSW

} {b

} {c

} {y

} {s

}

}{˜y

}{L(z

′

)}{L(z

)}{˜x

}

{L(b

|z)}

{L(c

|z)} {p

}

Figura 4.4. Modelo do sistema de comunicações com recepção iterativa.

De forma resumida, pode-se explicar a idéia por traz desta estrutura. Para isto, basta

relembrar que a regra de demodulação suave tem a forma de interpolação, onde os símbolos

wavelets são convenientemente po nderados pelas suas respectivas probabilidades a priori, con-

forme pode ser observado pela Equação (3.9). Na forma como esta regra vinha sendo utilizada,

a distribuição dos símbolos wavelets era ﬁxa, sendo obtida pela Equação (2.2 3), que admite que

os bits colocados na entrada do codiﬁcador têm distribuição eqüiprovável.

Portanto, se estas probabilidades a prio ri forem atualizadas pelo dispositivo Atualizador

de DPSW, então o demodulador, de posse de um bloco com estas novas distribuições, {p

poderá melhorar a precisão das estimativas de mínimo erro quadrático médio (MEQM).

Por sua vez, de po sse de um novo bloco destas estimativas, o decodiﬁcador wavelet SISO

poderá melhorar as suas saídas, enviando para o segundo estágio de decodiﬁcação, um bloco

CAPÍTULO 4: DECODIFICAÇÃO TURBO COM DEMODULAÇÃO ITERATIVA 56

com medidas de conﬁança, {L(z

′

)}, melhores.

Com um novo bloco na sua ent r ada, {L(z

)}, o decodiﬁcador BCJR será estimulado a gerar

melhores medidas de conﬁança, {L(b

|z)}, a serem enviadas ao Atualizador de DPSW.

A decodiﬁcação turbo com demodulação iterativa compreende a repetição deste processa-

mento nas iterações subseqüentes, até que seja o btida a precisão necessária, ou até que não haja

melhora signiﬁcativa do desempenho do sistema (sendo este critério utilizado no trabalho), ou

até que seja utilizado um critério de pa rada, previamente estabelecido. Com o término das

iterações, o decodiﬁcador BCJR fornecerá as melhores decisões sobre os bit de informação

transmitidos em cada blo co. Cabe lembrar que no início da transmissão de um novo bloco, é

admitido que os bits codiﬁcados têm distribuição eqüiprovável.

4.3.1 Atual ização da Distribu ição de Probabilid ades dos Símbolos Wavelets

Os decodiﬁcadores wavelet SISO e BCJR promovem trocas de informações suaves, mas

ao contrário de outras possíveis abordagens com decodiﬁcação iterativa, eles não fazem isto

diretamente, mas através do Atualizador de Probabilida des e do Demodulador, ambos ilustrados

na Figura 4.4.

Com relação a isto, cabe enumerar algumas particularidades que foram consideradas em

avaliações freqüentes ao longo do desenvolvimento do receptor iterativo, a saber:

1. A escolha de estruturas de codiﬁcação que formam símbolos de a lfabetos distintos, implica

na necessidade de compatibilizar informações suaves distintas, de forma a permitir a troca

de informações entre os dispositivos, levando a g anhos de desempenho sobre as iterações.

2. Neste sentido, devido ao espalhamento tempo r al dos bits codiﬁcados, propor cionado pela

codiﬁcação por matriz wavelet, cabe ao esquema de a t ualização promover o recolhimento

das informações suaves de cada um dos bits, de forma a obter novos níveis de conﬁança

sobre as estimativas dos símbolos wavelets.

3. Por outro lado, tal composição de informações suaves relativas ao bits codiﬁcados deve

CAPÍTULO 4: DECODIFICAÇÃO TURBO COM DEMODULAÇÃO ITERATIVA 57

ser feita de acordo com o modo pelo qual as informações de cada bit foram espalhadas,

que é dependente do modo de codiﬁcação utilizado.

Desta maneira, a função do bloco Atualizador de DPSW é compatibilizar as informações

suaves relativas aos bits codiﬁcados, fornecidas pelo decodiﬁcador BCJR, de fo r ma a obter uma

atualização da DPSW.

O decodiﬁcador BCJR disponibiliza a informação suave para o bit codiﬁcado b

, que é o

logaritmo da função de verossimilhança

L(b

|r) = ln



P r(b

= 0|z)

P r(b

= 1|z)



. (4.1)

De po sse de um bloco com os valores de informação suave é imediato obter as probabilidades

dos bits codiﬁcados, Assim,

P r(b

= a|r) =

−a·L(b

|z)

1 + e

−L(b

|z)

, (4.2)

sendo a ∈ {0, 1} .

Através da atualização da distribuição de probabilidades dos bits codiﬁcados, obtida ao

ﬁnal de cada iteração, é possível realizar uma atualização da distribuição de probabilidades dos

símbolos wavelets, conforme o procedimento detalhado abaixo.

Avaliando- se o processo de geração de símbolos wavelets por uma MW de dimensão 2 × 8,

conforme ilustrado pela Tabela 2 .1 , observa-se que é possível expressar os símbolos wavelets

como uma soma de bits de informação ponderados por coeﬁcientes wavelets determinísticos.

Assim sendo, para se obter a probabilidade a priori do símbolo wavelet Y = y

deve-se inicial-

mente encontrar a probabilidade de ocorrência de cada bloco de bits que pode ser codiﬁcado

no símbolo Y = y

, e em seguida somar as probabilidades de todos esses blocos.

O esquema de atualização da DPSW acima estabelecido, é baseado em um procedimento

exaustivo, sendo utilizado apenas para a concepção do receptor iterativo proposto para a con-

catenação serial com codiﬁcação por MW 2 × 8. Como é de interesse a obtenção de maiores

ganhos de diversidade proporcionados pelo emprego de matrizes wavelets de maiores dimensões,

CAPÍTULO 4: DECODIFICAÇÃO TURBO COM DEMODULAÇÃO ITERATIVA 58

será proposto e avaliado um método genérico capaz de permitir a atualização da DPSW, sendo

este apresentado no próximo capítulo.

Com o objetivo de avaliar o método proposto de decodiﬁcação iterativa, foram realizadas

simulações computacionais do sistema exibido na Figura 4.4. A próxima seção apresenta os

resultados de desempenho o btidos.

4.3.2 Aplicação

O modelo de sistema avaliado utiliza uma MW com dimensão 2 × 8, com o demodulador

empregando a r egra de decisão suave derivada na Seção 3.3. Para cada valor de relação sinal-

ruído (RSR) simulado, foi avaliada uma quantidade mínima de 10

erros para se estimar a

respectiva taxa de erro de bit (TEB), sendo admitido que o receptor ainda tem conhecimento

perfeito do estado do canal.

1e-08

1e-07

1e-06

1e-05

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

1e+00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

TEB

Eb/No (dB)

Iterac. 0

Iterac. 1

Iterac. 2

Iterac. 3

Iterac. 4

Iterac. 5

Figura 4.5. Curvas de TEB em função do número de iterações, para o sistema de comunicações

baseado na codiﬁcação por MW 2 × 8, utilizando blocos com 4096 bits de informação.

CAPÍTULO 4: DECODIFICAÇÃO TURBO COM DEMODULAÇÃO ITERATIVA 59

A Figura 4 .5 ilustra as curvas obtidas para as TEB em função do número de iterações. É

possível observar um ganho de 2,8 dB para valores da TEB abaixo de 10

−5

, já a partir da

primeira iteração. Observa -se ta mbém uma rápida convergência, após a segunda iteração, o

que é particularmente útil em sistemas de comunicações com mobilidade dos terminais, j á que

menos retardo é introduzido na recepção.

4.4 CONCLUSÕES

Neste capítulo, foi proposto um esquema para a decodiﬁcação iterativa para sistemas de

comunicações baseados na concatenação serial com codiﬁcação wavelet, sendo avaliado o seu

desempenho sobre um canal sujeito ao desvanecimento Rayleigh plano.

Para isto, foi concebida uma estrutura adequada à t r oca de informações suaves entr e três

dispositivos: o demodulador de MEQM e o par de decodiﬁcadores wavelet SISO e BCJR. Desta

forma, o esquema proposto para a decodiﬁcação turbo emprega a regra de demodulação suave

na forma iterativa.

Para avaliar as vantagens de desempenho proporcionadas pelo uso do receptor iterativo,

foram realizadas simulações computacionais, as quais demonstram que a estratégia de decodiﬁ-

cação iterativa é bastant e eﬁcaz, servindo como uma nova alternativa para explorar o potencial

da codiﬁcação wavelet em sistemas de comunicações com desvanecimento não seletivo em fre-

qüência.

CAPÍTULO 5

NOVAS ABORDAGENS AO RECEPTOR ITERATIVO

Uma das va ntagens proporcionadas pelo emprego da codiﬁcação wavelet é a possibilidade que

esta oferece de aumentar o ga nho de diversidade temporal, melhorando o desempenho do sistema

de comunicações frente aos efeitos destrutivos do canal com desvanecimento plano.

A obtenção de melhores ganhos de diversidade é proporcionada pelo emprego de uma ma-

triz wavelet de maiores dimensões. Este capítulo é dedicado ao estudo e avaliação de novas

abordagens para a concepção do receptor iterativo, adequado a concatenações seriais baseadas

no emprego de matrizes wavelets de maiores dimensões. Em particular, são apresentadas al-

ternativas de projeto capazes de proporcionar bons resultados nas avaliaçõ es de desempenho,

sobre o mesmo ambiente de comunicações considerado.

O restante deste capítulo está organizado como segue. A Seção 5.1 sugere algumas al-

terações no esquema proposto para a decodiﬁcação iterativa, de forma a generalizar o seu

emprego em sistemas com maior diversidade temporal. Esta seção ainda apresenta os resulta-

dos das avaliaçõ es de desempenho realizadas em dois sistemas baseados na codiﬁcação wavelet,

empregando-se MWs com diferentes dimensões. As conclusões obtidas com estes resultados são

mostradas na Seção 5.2.

5.1 RECEPÇÃO ITERATIVA EM SISTEMAS C OM MATRIZES WAVELETS DE OR-

DENS ELEVADAS

A complexidade computacional da demodulação suave proposta nesta tese depende do

número de símbolos da constelação. Contudo, devido a possibilidade de emprego de um es-

quema de agrupamento de símbo lo s wavelets, o número de sinais pode não aumentar muito,

CAPÍTULO 5: NOVAS ABORDAGENS AO RECEPTOR ITERATIVO 61

mesmo que haja aumento signiﬁcativo das dimensões. Cabe observar, por exemplo, que as

constelações utilizadas nos mapeamentos dos símbolos gerados pelos empregos das MWs 2 ×8 e

4 ×16 são formadas por 9 sinais, enquanto que a utilizada no mapeamento dos símbolos f orma-

dos pelo emprego da MW de dimensão 2 ×128 tem 11 sinais. Em (SILVEIRA, 2006), mostra-se

que a complexidade computacional da decodiﬁcação wavelet é mantida relativamente baixa, à

medida que se aumentam as dimensões da MW empregada na codiﬁcação.

No dispo sitivo Atualizador de Probabilidades, a abordagem sugerida para a atualização

das distribuições de probabilidades a priori dos símbolos wavelets emprega um procedimento

exaustivo. Este procedimento é baseado na enumeração dos conjuntos com mg bits que são

codiﬁcados no mesmo símbolo wavelet. Logo, o aumento das dimensões da MW provoca um

aumento exponencial do número de possibilidades que precisam ser examinadas para o agru-

pamento destes bits segundo o símbolo obtido.

Para ilustrar, observe que no uso do codiﬁcador wavelet associado a uma MW de dimensão

2 × 8, há, após o ﬁnal do período transitório, dois regimes de codiﬁcação, sendo um para

intervalos pares, e o outro para os intervalos ímpares de codiﬁcação. Cada símbolo codiﬁcado

carrega a informação de 8 bits, o que torna necessário ava liar 2

= 256 possibilidades para

cada regime. Por outro lado, cabe observar que uma possível adoção deste método exaustivo,

no caso da MW 4 × 16, levaria a uma análise de 2

= 65.536 possibilidades par a cada um

dos 4 modos de regime de codiﬁcação, as quais ainda precisam ser classiﬁcadas de acordo com

símbolo wavelet formado.

É f ácil perceber que a obtenção da distribuição atualizada das probabilidades a priori dos

símbolos wavelets, mediante a abordag em baseada no método exaustivo, em situações com

emprego de MWs de ordens elevadas, pode se tornar proibitiva. Como conseqüência, esta

abordagem poderia inviabilizar novas ava liações com o receptor iterativo (JUNIOR, 2007c).

A próxima seção apresenta uma alternativa para a atualização das DPSWs. Através desta

abordagem, serão apresentadas novas avaliações de desempenho para sistemas baseados na

codiﬁcação wavelet e recepção iterativa. As avaliações de complexidade são deixadas na forma

de propostas para trabalhos futuros.

CAPÍTULO 5: NOVAS ABORDAGENS AO RECEPTOR ITERATIVO 62

5.1.1 Atual ização da DPSW via Método Recursivo Baseado em Convoluções

A análise da distribuição de pro ba bilidades dos símbolos wavelets, feita na Seção 2.4, foi

baseada na obtenção da função geradora de momentos da v.a. y

. Para a implementação do

cálculo desta distribuição, foi sugerido um procedimento recursivo baseado em convoluções.

A aplicabilidade deste procedimento está condicionada a independência estatística dos bits de

entrada no codiﬁcador, ao fornecimento dos coeﬁcientes wavelets característicos de cada regime

de operação do codiﬁcador, além do conhecimento prévio da distribuição de probabilidades dos

bits de informação.

Para o modelo do sistema exibido na Figura 4.4, os bits {c

} são obtidos na saída do

entrelaçador, portanto, supondo um entr elaçamento ideal, pode-se admitir que as v.a.’s {c

}

são estatísticamente independentes. Sendo os coeﬁcientes wavelets conhecidos em cada regime

de codiﬁcação e as probabilidades para os bits codiﬁcados at ualizadas ao ﬁnal de cada iteração,

via fornecimento de um novo bloco {L(c

|z)}, é p ossível utilizar o método recursivo baseado

em convoluções para se obter a atualização da DPSWs (JUNIOR, 2007c).

Para o exemplo da codiﬁcação wavelet baseada no emprego da MW 4 × 16, é possível

obter as distribuições atua lizadas através da aplicação da função geradora de momentos, cuja

expansão considera um produto com 16 termos, sendo cada termo relacionado à proba bilidade

relativa ao bit codiﬁcado. Como o produto de dois destes termos pode ser realizado através de

uma convolução, o custo computacional para obter todos os produtos é equivalente ao custo

computacional de 15 convoluções. Considerando-se os 4 regimes de codiﬁcação, temos 4 × 15

convo luções. Logo , estas 15 convoluções substituem a avaliação de 2

possibilidades do método

exaustivo.

Evidentement e, o número de convoluções é proporcional ao número de termos avaliados pela

aplicação da função geradora de momentos e ao número de regimes de codiﬁcação, ou seja, às

dimensões da MW empregada na codiﬁcação.

CAPÍTULO 5: NOVAS ABORDAGENS AO RECEPTOR ITERATIVO 63

5.1.1.1 Aplicação

Esta seção apresenta os resultados de desempenho dos sistemas baseados na codiﬁcação por

MWs de dimensão 2 × 8 e 4 × 16, com r ecepção iterativa, sendo cada MW utilizada em dois

cenários: (i) com estimação do módulo das médias condicionais da s saídas dos correlatores

(ii) com redução da complexidade proporcionada pela admissão de que este módulo é igual a

mg. Cabe lembrar que os resultados mostrados neste caso foram primeiramente apresentados

em (JUNIOR, 2007b, 2007c).

Em todos os casos avaliados, foram utilizadas as mesmas condições de simulação empregadas

no Capítulo 4. O código convolucional utilizado é C(2, 1, 3), a demodulação emprega o estimador

de MEQM e é admitido que o receptor tem conhecimento perfeito do estado do canal. Nestas

avaliações, emprega-se o novo método de atualização das probabilidades dos símbolos wavelets.

Na Figura 5.1, estão ilustrados os resultados de desempenho obtidos com o sistema baseado

na codiﬁcação por MW 2 × 8, onde no cálculo da saída do decodiﬁcador wavelet SISO foi

admitido o valor de 8 para o módulo da média condicional. A Figura 5.1(a) mostra a variação

de TEB a cada iteração, para o s cinco valor es de tamanho de bloco de bits de informação

testados (64, 128, 256, 512 e 4096), com RSR = E

= 4dB.

Percebe-se a partir destes resultados que os ganhos a cada iteração são maiores para taman-

hos de bloco maiores, tendendo para um valor limite à medida que o tamanho do bloco trans-

mitido é incrementado.

A Figura 5.1(b) exibe a curva de desempenho do sistema com redução da complexidade,

para um tamanho de bloco igual a 4096 bits, com 6 iterações. Através desta, é possível observar

um ganho de desempenho em E

de 2,5 dB, para valores de TEB abaixo de 10

−5

, já a partir

da primeira iteração. Além disso, é possível veriﬁcar uma rápida convergência com o número

de iterações (JUNIOR, 2007b).

A Figura 5.2 mostra também os resultados de desempenho obtidos quando é realizada a

estimação do módulo das médias, para a segunda e terceira iteração. Cabe observar que a

Deste ponto em diante, este procedimento s erá denominado de “Estimação do Módulo das Médias”, par a

ﬁns de concisão.

CAPÍTULO 5: NOVAS ABORDAGENS AO RECEPTOR ITERATIVO 64

perda de desempenho proporcionada pela solução de menor complexidade é inferior a 1 dB.

Também foram realizadas simulações computacionais com recepção iterativa e codiﬁcação

por MW de dimensão 4 × 16. Os resultados obtidos encontram-se apresentados na Figura 5.3.

A Figura 5 .3 ( a) apresenta os resultados obtidos com estimação dos módulos das médias. Por

outro la do, a Figura 5.3(b) apresenta os resultados de desempenho obtidos por este sistema

considerando-se as médias condicionais iguais a ±mg.

A Figura 5 .4 apresenta as curvas de TEB obtidas por iteração, em ambos os casos. Nova-

mente, percebe-se um maior distanciamento ent r e estas na terceira iteração. Contudo, neste

caso, existe uma perda de 0,5 dB no desempenho do sistema em que a estimação das médias

condicionais não é realizada.

Estes resultados indicam, portanto, que a redução de complexidade proporcionada pela

ausência da estimação dos módulos das médias não leva à perdas signiﬁcativas no desempenho

dos sistemas avalia do s.

Na próxima seção, é proposta uma outra alternativa para a atu alização das distribuições de

probabilidades dos símbo lo s wavelets.

CAPÍTULO 5: NOVAS ABORDAGENS AO RECEPTOR ITERATIVO 65

1e-03

1e-02

1e-01

0 1 2 3 4 5

Iterac.

TEB

64 bi ts

128 bits

256 bits

512 bits

4096 bits

(a) Curva de TEB em função do número de iterações para

diferentes tamanhos de blocos de bits transmitidos com RSR

de 4dB.

1e-07

1e-06

1e-05

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

1e+00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

TEB

Eb/No (dB)

Iterac. 0

Iterac. 1

Iterac. 2

Iterac. 3

Iterac. 4

Iterac. 5

(b) Curva de TEB em função do número de iterações com

blocos de 4096 bits.

Figura 5.1. Curvas de TEB em função do número de iterações para diferentes tamanhos de blocos de

bits do sistema com MW 2 × 8, admitindo módulo da média condicional igual a 8.

CAPÍTULO 5: NOVAS ABORDAGENS AO RECEPTOR ITERATIVO 66

1e-08

1e-07

1e-06

1e-05

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

1e+00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

TEB

Eb/No (dB)

Iterac. 1, |µ

| = 8

Iterac. 1, µ

estim.

(a) MW 2 × 8, 4096 bits, Iterac. 1.

1e-08

1e-07

1e-06

1e-05

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

1e+00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

TEB

Eb/No (dB)

Iterac. 2, |µ

| = 8

Iterac. 2, µ

estim.

(b) MW 2 × 8, 4096 bits, Iterac. 2.

Figura 5.2. Curvas de TEB em função do número de iterações para os sistemas com MW 2 × 8 via

estimação do módulo das médias e também com redução da complexidade.

CAPÍTULO 5: NOVAS ABORDAGENS AO RECEPTOR ITERATIVO 67

1e-08

1e-07

1e-06

1e-05

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

TEB

Eb/No (dB)

Iterac. 0

Iterac. 1

Iterac. 2

Iterac. 3

Iterac. 4

Iterac. 5

(a) Curvas de TEB em função do número de iterações, obtida

do receptor iterativo com estimação do módulo das médias.

1e-08

1e-07

1e-06

1e-05

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

TEB

Eb/No (dB)

Iterac. 0

Iterac. 1

Iterac. 2

Iterac. 3

Iterac. 4

Iterac. 5

(b) Cur va de TEB em função do número de iterações, obtida

do re c e ptor iterativo sem estimação do módulo das médias.

Figura 5.3. Curvas de TEB em função do número de iterações, obtidas dos receptores iterativos

utilizados nos sistemas com MW 4 × 16 e blocos de 4096 bits.

CAPÍTULO 5: NOVAS ABORDAGENS AO RECEPTOR ITERATIVO 68

1e-08

1e-07

1e-06

1e-05

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

TEB

Eb/No (dB)

Iterac. 1, |µ

| = 16

Iterac. 1, µ

estim.

(a) MW 4 × 16, 4096 bits, Iterac. 1.

1e-07

1e-06

1e-05

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

TEB

Eb/No (dB)

Iterac. 2, |µ

| = 16

Iterac. 2, µ

estim.

(b) MW 4 × 16, 4096 bits, Iterac. 2.

Figura 5.4. Curvas de TEB em função do número de iterações para os sistemas com MW 4 × 16 via

estimação da média condicional e também com redução da complexidade.

CAPÍTULO 5: NOVAS ABORDAGENS AO RECEPTOR ITERATIVO 69

5.1.2 Atual ização da DPSW via Deslizamento da Janela de Coleta

Como cada símbolo wavelet traz consigo a informação de mg bits codiﬁcados, a atualização

da distribuição de probabilidades necessária para a demodulação da i−ésima observação, r

utiliza um sub-bloco com mg medidas de informações suave, do bloco {L(c

|z)}.

Logo, para um bloco de N observações, r, são necessárias a cada iteração, N atualizações

das distribuições a prio ri . Para isto, é necessário f ormar N sub-blocos, com mg medidas de

informação suave do bloco {L(c

|z)}, de forma a coletar as informações necessárias em cada

atualização. Cada sub-bloco é denotado nesta seção por janela de coleta.

Uma alternativa para a redução do esforço empreendido na realização desta tarefa, surge da

observação da Equação (2.21), em que a distribuição de probabilidades dos símbolos wavelets

é obtida para um va lo r qualquer (e constante) de α.

Assim, admita que na iteração η, o processo de atualização das distribuições a priori, con-

sidere apenas três valores de medidas de conﬁança (−D

(r,η)

,0,D

(r,η)

), relativas a todo o bloco

{L(c

|z)}. Nesta situação, seja λ o número de distribuições de probabilidades dos símbolos

wavelets, distintas, obtidas pelo bloco Atualizador de DPSW. Seja τ, o número de DPSW,

também distintas, obtidas por este dispositivo ao considerar todo o bloco {L(c

|z)}. É razoável

sup or que λ < τ. Desta forma, o processamento do bloco Atualizador de DPSW teria um

esforço computacional reduzido, na comparação com o que vem sendo proposto.

Para que seja possível obter esta redução de complexidade, é necessário prover um mapea-

mento M, ilustrado pela Figura 5.5, tal que

M : R → R

l → q, (5.1)

sendo l e q as var iáveis aleatórias corr espondendo a saída do decodiﬁcador BCJR e do dispositivo

mapeador de LLRs, respectivamente, numa determinada iteração.

Para o emprego desta função de mapeamento é necessário escolher os valores de L (limiar)

e D. É possível mostrar que o valor L = D/2 leva à minimização do erro quadrático médio

CAPÍTULO 5: NOVAS ABORDAGENS AO RECEPTOR ITERATIVO 70

−D

−L L l

Figura 5.5. Mapeamento das LLRs de saída do decodiﬁcador BCJR em valores médios.

entre l e q, EMQ(l , q). A escolha de D será feita por iteração, a cada novo bloco. Um critério

para a escolha de seu valor será proposto a partir de avaliações numéricas, via simulação

computacional.

Por outro lado, poderíamos obter para uma determinada janela de coleta e iteração, uma

expressão semelhante a Equação (2.20), de forma a ser empregada na atualização de uma

particular distribuição de probabilidades dos símbolos wavelets. Nos desenvolvimentos a seguir,

realizados com emprego da função geradora de momentos, convencionou-se q

como o número

de termos (saídas do mapeador de LLRs) iguais a D, q

o número de valores iguais a −D e q

como sendo o número de zeros presentes no de bloco de LLRs mapeadas.

Assim,

(z) =



i=0



αz

−a

+ (1 − α)z





j=q



(1 − α)z

−a

+ αz





k=q



0.5z

−a

+ 0.5z



, (5.2)

denotando por w

e w

o número de termos em que os coeﬁcientes a

e a

(da MW) são positivos,

e por T , o último termo do lado direito da igualdade, obtém-se:



αz

−1

+ (1 − α)z





αz + (1 − α)z

−1



−w



(1 − α)z

−1

+ αz





(1 − α)z + αz

−1



−q

−w

·T ,

sendo equivalente a

CAPÍTULO 5: NOVAS ABORDAGENS AO RECEPTOR ITERATIVO 71

(z) =



αz

−1

+ (1 − α)z



−q

−w



αz + (1 − α)z

−1



−w

· T .

Denotando por R = w

+ q

−q

− w

e S = q

+ w

− w

, chega-se a

(z) =



i=0





(αz

−1

)

[(1 − α)z]

R−i



j=0







(1 − α)z

−1



(αz)

S−j

· T ,

sendo T expresso de maneira equivalente a

T =



k=q



mg −q

− q



2k− q

0.5

Entã o,

(z) =



i=0



j=0



k=0







0.5

S+i−j

(1−α)

R+j−i

R−2(i+j−k)−q

. (5.3)

Desta maneira, pode-se obter a expressão para a distribuição dos símbolos wavelets. Por

outro lado, também é possível derivar um procedimento de cálculo que envolva incrementos e

decrementos de q

e q

, para o novo bloco formado pelo deslizamen to da janela de coleta.

A cada deslizamento, entram m bits na janela (daí o nome de “ coleta”), tomando lugar de

m que saem desta, num procedimento semelhante à codiﬁcação wavelet. A idéia de um proce-

dimento mais eﬁciente às atualizações das DPSWs consideraria então o incremento/decremento

dos contadores q

e q

, sobre apenas m observações, justamente aquelas relativas a os va-

lores de LLR que passam a fazer parte da janela, para a nova atualização. A coleta seria,

entã o, no sentido de adotar uma contagem de forma incremental entre o “antes” e o “depois”

do deslizamento.

Em trabalhos futuros, devido a maior simplicidade do seu procedimento recursivo, esta

última abordagem será empregada em novas avaliações com o receptor iterativo, especialmente

no caso de MWs de grandes dimensões, a exemplo da MW 2 × 128.

CAPÍTULO 5: NOVAS ABORDAGENS AO RECEPTOR ITERATIVO 72

5.1.2.1 Aplicação

Esta seção apresenta os resultados de desempenho do sistema com recepção iterativa em

que foi empregado o esquema de mapeamento LLRs, proposto na seção anterior, na atualização

das distribuições de probabilidades a priori dos símbolos wavelets, para qual emprega-se ainda

o procedimento recursivo baseado em convoluções.

A partir de uma análise dos resultados de desempenho obtidos em avaliações numéricas

previamente realizadas, foi escolhida a média aritmética dos valores em módulo das LLRs de

cada blo co, como valor de D . O limiar L foi mantido igual a D/2.

1e-08

1e-07

1e-06

1e-05

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

1e+00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

TEB

Eb/No (dB)

Iterac. 0

Iterac. 1

Iterac. 2

Iterac. 3

Iterac. 4

Iterac. 5

Figura 5.6. Curvas de TEB em função do número de iterações, com atualização da DPSW via

valores médios, blocos de 4096 bits de informação, s obre o canal com desvanecimento não seletivo

em freqüência.

A Figura 5.6 apresenta as curvas de TEB em função do número de iterações para o sistema

com codiﬁcação p or MW 2 × 8. Os resultados de desempenho obtidos apresentam um ganho

sup erior a 3 dB já a partir da primeira iteração, para um valor da RSR igual a 10

−5

. Logo, o

esquema de mapeamento proposto nesta seção foi bastante adequado.

Na comparação de desempenho entre os resultados mostrados nesta seção e os apresentados

no capítulo anterior, é possível observar que o esquema de mapeamento levou à melhores resul-

CAPÍTULO 5: NOVAS ABORDAGENS AO RECEPTOR ITERATIVO 73

tados em termos da TEB. Como prop osta de trabalhos futuros, novas avaliações do receptor

iterativo serão feitas com o intuito de descobrir as causas disso.

5.2 CONCLUSÕES

Este capítulo avaliou novas abordagens para a concepção do receptor iterativo, proposto

anteriormente, visando o emprego em concatenações seriais baseadas na codiﬁcação com MWs

de ordens elevadas.

Foram propo stas novas alternativas para a atualização das probabilidades dos símbolos

wavelets, as quais viabilizaram novas avaliações de desempenho, que resultaram em maiores

ganhos de diversidade.

A partir das avaliações realizadas, é possível aﬁrmar que as abordagens desenvolvidas neste

capítulo, constituem alternativas promissoras para explorar o potencial da codiﬁcação wavelet

sobre canais com desvanecimento Rayleigh plano.

CAPÍTULO 6

CONCLUSÃO

Esta tese de doutorado abordou a concepção, o estudo e a análise de um receptor iterativo para

ser empregado em sistemas com concatenação serial baseada na codiﬁcação wavelet, visando a

sua aplicação em canais com desvanecimento plano.

Inicialmente, a t écnica de codiﬁcação de canal com matrizes wavelets foi apresenta da ,

ressaltando-se as principais características, como a geração de símbolos não-eqüiprováveis, cor-

relacionados e com diferentes níveis de a mplitude. Posteriormente, isto serviu de motivação para

a escolha de constelações adequadas ao map eamento dos símbolos gerados pelo codiﬁcador.

O desenvolvimento de uma abordagem de recepção iterativa teve, como ponto de partida,

a concepção de uma regra de demodulação por decisão suave. Esta regra de demodulação é

ótima no sentido da minimização do erro quadrático médio entre o símbolo wavelet transmitido

e o recebido na entrada no decodiﬁcador wavelet. Como o algoritmo de decodiﬁcação wavelet

considerado em trabalhos anteriores recebia estimativas discretas dos símbolos wavelets, foi

necessário avaliar o impacto destas estimativas suaves no método de decodiﬁcação. Como

resultado, foi proposto um decodiﬁcador wavelet de entrada suave e saída discreta. Com o

intuito de avaliar os ganhos de desempenho proporcionados por esta mudança de ab ordagem,

foram simulados dois novos sistemas de comunicações baseados nesta técnica de codiﬁcação,

sobre canais com desvanecimento Rayleigh plano. O s resultados de desempenho obtidos foram

bastante satisfatórios.

A derivação de uma estratégia de decodiﬁcação iterativa para sistemas de comunicações

com codiﬁcação wavelet também pressupõe a disponibilidade de um decodiﬁcador wavelet com

entrada e saída suaves, capaz de permitir a troca de informações na forma da razão de log-

verossimilhança. Admitindo-se que os dados obtidos na saída deste decodiﬁcador são bem

CAPÍTULO 6: CONCLUSÃO 75

ajustados por uma distribuição normal, foi derivado um procedimento que permite obter infor-

mações suaves sobres as saídas deste, através de um relacionamento com os parâmetros média

e var iâ ncia condicionais da distribuição. De forma a contornar as possíveis diﬁculdades na

obtenção desses parâmetros, foram ava lia do s método s para a sua estimação recursiva.

A concatenação serial de códigos convolucional e wavelet proporcionou um esquema de

transmissão mais robusto aos efeitos do canal com desvanecimento Rayleigh plano. Por outro

lado, o emprego de matrizes wavelets de maiores dimensões proporcionou melhores ganhos de

diversidade, o que é particularmente útil neste tip o de cenário.

O estabelecimento de uma estratégia adequada para a troca de info rmações suaves entre

estes, empregou o demodulador suave na avaliação do método proposto para decodiﬁcação iter-

ativa. Por outro lado , diante do emprego de estruturas de codiﬁcação com diferentes alfabetos

e propriedades, e do esquema proposto para a troca de informações suaves, foi necessário con-

ceb er um método para a atualização iterativa das distribuições de probabilidades dos símbolos

wavelets, o qual demonstrou t er boa precisão. Os resultados de desempenho então obtidos,

foram bastante satisfatórios, destacando-se ainda a rápida convergência como uma vantagem,

já que propo r ciona menos retardo na recepção .

Com o intuito de explorar o potencial da codiﬁcação wavelet em esquemas de comunicações

móveis com decodiﬁcação iterativa, foi proposto o emprego de matrizes wavelets de maiores

dimensões, levando à avaliar novas abordagens para a concepção do receptor iterativo. Assim,

foram propostas e avaliadas alternativas que proporcionaram bons resultados de desempenho

em termos da TEB.

Como contribuição deste trabalho, pode-se destacar as avaliações semi-analíticas apresen-

tadas aqui para o desempenho dos sistemas baseados na transmissão de símbolos wavelets em

que há emprego da regra de demodulação suave proposta. Por outro lado, uma contribuição

muito import ant e, foi o desenvolvimento de um decodiﬁcador wavelet SISO, o qual se mostrou

capaz de fornecer informações suaves necessárias ao regime de decodiﬁcação iterativa.

Em atendimento ao objetivo inicial, a concepção de receptor iterativo adequado à concate-

CAPÍTULO 6: CONCLUSÃO 76

nações seriais baseadas na codiﬁcação wavelet, foi preciso buscar por novas alternativas de

cálculo para a atualização da distribuição de probabilidades dos símbolos wavelet. Cabe notar

que as abordagens propostas possuem a característica recursiva, facilitando a sua aplicação em

novas avaliações com o receptor iterativo.

6.1 PERSPECTIVAS PARA TRABALHOS FUTUROS

Diante do trabalho apresentado e com base nos objetivos já alcançados, podem ser apontadas

as seguintes propostas para trabalhos futuros:

1. Analisar o desempenho do receptor iterativo com relação à erros de estimação do canal.

2. Investigar outros esquemas de entr elaçamento, presentes na literatura.

3. Analisar o desempenho do receptor iterativo em outros ambientes de comunicação, tais

como, canais com distribuições de desvanecimento diferentes da Rayleigh, entre outros.

4. Avaliar esquemas de codiﬁcação clássicos, cujos códigos sejam de altas taxas, permitindo

a obtenção de sistemas com melhor eﬁciência espectral.

5. Promover comparações de desempenho da estratégia de recepção iterativa propo sta com

outras abordagens presentes na literatura.

6. Obter uma expressão fechada para a probabilidade de erro de bit do sistema com codiﬁ-

cação wavelet e demodulação suave.

7. Promover avaliações em termos da complexidade computacional para as diferentes es-

tratégias de recepção propostas neste trabalho.

APÊNDICE A

DISTRIBUIÇÃO DOS DADOS DE SAÍDA DO

DECODIFICADOR WAVELET SISO

Este Apêndice é dedicado a ava liação do modelo de distribuição a posteriori dos dados de saída

do decodiﬁcador wavelet SISO, cujo mecanismo de funcionamento foi concebido na seção 3.11

do Capítulo 3.

A motivação no empreendimento desta tarefa surgiu primeiro da necessidade de melhor

caracterizar tal dispositivo . Entretanto, os resultados apresentados neste apêndice também

permitem lançar alguma luz sobre outros resultado obtidos.

O restante deste capítulo está organizado como segue: na Seção A.1 são apresentadas a

metodologia utilizada na realização dos testes estatísticos, bem como a ferramenta escolhida

para a realização destes. A Seção A.2 é dedicada a expor os resultados o btidos na forma de

funções de densidade de probabilidades. Na Seção A.3 são apresentados os resultados dos testes

de aderência realizados, segundo o modelo de distribuição apontado na Seção A.2. A seção A.4

é dedicada à discussão, tecendo algumas observações úteis ao longo do texto. Finalmente, na

Seção A.5, são apresentadas algumas conclusões.

A.1 METODOLOGIA

Considere novamente a Figura 3.1, que ilustra o modelo de sistemas de comunicações uti-

lizado na obtenção das amostras de saída do banco de correlatores, expressas pela Equação

(3.11), sobre o canal com desva necimento Rayleigh plano.

Com este cenário, foram admitidos dois sistemas com codiﬁcação wavelet, um empregando

a MW de dimensão 2 ×8, e o outro a MW 2×128, na formação dos conjuntos de dados a serem

DISTRIBUIÇÃO DOS DADOS DE SAÍDA DO DECODIFICADOR WAVELET SISO 78

analisados com o objetivo de obter o modelo de distribuição dos dados de saída do decodiﬁcador

wavelet SISO.

Para cada sistema avaliado foi formado um conjunto de dados por valor da RSR analisada,

formando-se bases com tamanhos que variam entre 50.000 e 160.000 amostras ao longo da faixa

de RSR admitida, isto é, entre 0-1 5dB. Cabe lembrar que todas estas amostras são relativas

a transmissão do mesmo bit de informação, -1. Logo, a obtenção do modelo de distribuição

realizou uma análise sobre um conjunto total de 2, 15 × 10

amostras, permitindo obter uma

boa precisão estatística na realização dos testes realizados.

A metodologia empregada considerou primeiro o problema de se avaliar qual do modelos de

distribuição existentes na literatura é o que permite obter a melhor precisão no levantamento

da distribuição a posteriori das amostras avaliadas. Neste caso, for am considerados testes com

modelos clássicos de distribuição como, por exemplo, Poison, t-student, qui-quadrado, normal,

dentre o utras (JUNIOR, 2003). Uma vez selecionado o modelo de distribuição com a melhor

precisão, foram realizados testes de aderência à distribuição escolhida, no intuito de avaliar o

grau de precisão obtido na escolha desta.

Por sua vez, na realização dos testes foi utilizada a ferramenta Dis tribution Fitting Tool

(dfittool), presente no Statistics Toolbo x do MATLAB



. A escolha desta, em detrimento de

outras, foi motivada pelo relativo grau de familiaridade do autor desta tese com outros Toolboxes

deste mesmo ambiente, os quais forneceram oportunamente resultados com boa precisão.

Assim, para se realizar testes de distribuição ou aderência, é suﬁciente carregar o conjunto

de dados a serem examinados, escolher o tipo de visualização (f.d.p, aderência), e avaliar os

resultados obtidos sobre cada modelo de distribuição testado.

Nas próximas seções, serão mostrados os resultados obtidos dos testes realizados.

DISTRIBUIÇÃO DOS DADOS DE SAÍDA DO DECODIFICADOR WAVELET SISO 79

A.2 FUNÇÕES D E DENSIDADE DE PROBABILIDADE

As Fig ura A.1 e A.2 apresentam alguns dos resultados obtidos na avaliação do modelo de

distribuição a posteriori dos dado s de saída do decodiﬁcador wavelet SISO, condicionando-se

a transmissão do bit -1. Como referência, estas também a presentam a curva correspondente à

distribuição Normal, para mesma faixa de RSR avaliada. Devido a baixa adesão da distribuição

destes dados com relação aos o utros modelos de distribuições, acima citados, os resultados

obtidos foram omitidos neste texto.

−20 −15 −10 −5 0 5 10

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Dados

Densidade

2x8 (SNR = 0)

Distrib. Gaussiana

(a) RSR = 0 dB.

−20 −15 −10 −5 0 5 10

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Dados

Densidade

2x8 (SNR = 5 dB)

Distrib. Gaussiana

(b) RSR = 5 dB.

−20 −15 −10 −5 0 5 10

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

Dados

Densidade

2x8 (SNR= 10 dB)

Distrib. Gaussiana

−20 −15 −10 −5 0 5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Dados

Densidade

2x8 (SNR = 15 dB)

Distrib. Gaussiana

(d) RSR = 15 dB.

Figura A.1. Curvas de f.d.p. a posteriori dos dados de saída do decodiﬁcador wavelet SISO para o

sistema com o codiﬁcador baseado na MW de dimensão 2 × 8, para a faixa da RSR de 0-15dB.

DISTRIBUIÇÃO DOS DADOS DE SAÍDA DO DECODIFICADOR WAVELET SISO 80

−300 −200 −100 0 100 200

x 10

−3

Dados

Densidade

MCW 2x128 (SNR=0dB)

Distrib. Gaussiana

(a) RSR = 0 dB.

−300 −200 −100 0 100

x 10

−3

Dados

Densidade

2x128 (SNR = 5 dB)

Distrib. Gaussiana

(b) RSR = 5 dB.

−300 −250 −200 −150 −100 −50 0 50 100

x 10

−3

Dados

Densidade

2x128 (SNR=10 dB)

Distrib. Gaussiana

−300 −250 −200 −150 −100 −50 0 50

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

Dados

Densidade

MCW2x128 (SNR=15dB)

Distrib. Gaussiana

(d) RSR = 15 dB.

Figura A.2. Curvas de f.d.p. a posteriori dos dados de saída do decodiﬁcador wavelet SISO para o

sistema com o codiﬁcador baseado na MW de dimensão 2 × 128, para a faixa da RSR de 0-15dB.

DISTRIBUIÇÃO DOS DADOS DE SAÍDA DO DECODIFICADOR WAVELET SISO 81

A.3 TESTES DE ADERÊNCIA À DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Para avaliar o grau de aderência dos dados ao modelo de distribuição normal, foram rea-

lizados testes de aderência, os quais consideram o s mesmos conjuntos de dados anteriormente

avaliados. A Figura A.3 apresenta alguns dos resultados destes testes.

−20 −15 −10 −5 0 5 10

0.001

0.003

0.01

0.02

0.05

0.10

0.25

0.50

0.75

0.90

0.95

0.98

0.99

0.997

0.999

Dados

Probabilidade

Curva de Aderência à Distribuição Normal MCW 2x8 SNR = 10 dB

(a) RSR = 10 dB.

−20 −15 −10 −5 0 5 10

0.001

0.003

0.01

0.02

0.05

0.10

0.25

0.50

0.75

0.90

0.95

0.98

0.99

0.997

0.999

Dados

Probabilidade

Curva de Aderência à Distribuição Normal MCW 2x8 SNR = 15 dB

(b) RSR = 15 dB.

−300 −250 −200 −150 −100 −50 0 50 100

0.001

0.003

0.01

0.02

0.05

0.10

0.25

0.50

0.75

0.90

0.95

0.98

0.99

0.997

0.999

Dados

Probabilidade

Curva de Aderência à Distribuição Normal MCW 2x128 SNR = 10 dB

−300 −250 −200 −150 −100 −50 0 50

0.001

0.003

0.01

0.02

0.05

0.10

0.25

0.50

0.75

0.90

0.95

0.98

0.99

0.997

0.999

Dados

Probabilidade

Curva de Aderência à Distribuição Normal MCW 2x128 SNR = 15 dB

(d) RSR = 15 dB.

Figura A.3. Testes de Aderência à Distribuição Normal dos Dados de Saída do Decodiﬁcador Wavelet

SISO, empregado em dois sistemas de comunicações com codiﬁcação baseada nas MWs 2 ×8 e 2 ×128,

com dois valores de RSR, 10 e 15dB.

DISTRIBUIÇÃO DOS DADOS DE SAÍDA DO DECODIFICADOR WAVELET SISO 82

A.4 DISCUSSÃO

Esta seção apresenta uma discussão sobre os resultados obtidos.

1. No sistema com codiﬁcação por MW de dimensão 2 × 8, o modelo de distribuição a

posteriori dos dados de saída do decodiﬁcador wavelet SISO apresenta um distanciamento

com relação ao modelo normal, a medida que a relação sinal-ruído aumenta.

2. Os testes de aderência realizados com relação ao modelo normal sobre os conjuntos de

amostras obtidos na saída do banco de correlatores, mostram que o distanciament o já

pode ser percebido para a RSR igual a 5 dB.

3. Uma inspeção visual na resp ectiva curva da f.d.p. a posteriori para este cenário e respec-

tivo valor de RSR (5 dB), mostra que o distanciamento dos dados com relação ao modelo

normal é ainda pequeno. Neste sentido, o modelo de distribuição a posteriori dos dados

pode ser considerado gaussiano, mantendo-se ainda uma boa precisão.

4. Esta precisão é severament e reduzida para valores de RSR acima de 10 dB, conforme

pode ser observado a partir das Figuras A.3(a ) e A.3(b).

5. No sistema com codiﬁcação por MW de dimensão 2×128, o modelo de distribuição a pos-

teriori dos dados de saída do decodiﬁcador wavelet SISO apresenta uma boa concordância

com relação ao modelo normal, para toda a faixa de RSR avaliada.

6. Em ambos os cenários avaliados, o valo r observado para a média da distribuição a pos te-

riori se aproxima de −mg a medida que a RSR aumenta.

Cabe no tar que o distanciamento observado com relação ao modelo gaussiano, no caso de

uso da MW de dimensão 2×8, não sendo percebido no cenário com a MW 2×128, não é de todo

estranho. Basta lembrar que no caso limite (ausência de ruído), seriam obtidas distribuições

discretas. Logo, é possível que este distanciamento também ocorra no segundo cenário, mas

considerando-se valo r es de RSR fora da faixa avaliada. Por outro lado, foi possível observar este

DISTRIBUIÇÃO DOS DADOS DE SAÍDA DO DECODIFICADOR WAVELET SISO 83

no primeiro cenário devido ao menor espalhamento da informação proporcionado pelo emprego

da MW 2 × 8.

Assim, apesar do efeito comentado acima, pode ser assumido que o modelo de distribuição

para os dados de saída do decodiﬁcador wavelet SISO se a proxima de uma normal, a medida

que matrizes wavelets de maiores dimensões são empregadas na codiﬁcação.

Contudo, a depender do contexto de aplicação do decodiﬁcador wavelet SISO (se para

cenários com uso da MW de dimensão 2 × 8 e valores da RSR acima de 11 dB), bem como

no interesse envolvido e da precisão necessária, pode ser investido algum esforço no sentido de

obter um modelo de distribuição com maior precisão, partindo-se para t estes estatísticos com

f.d.p. multimodais.

A.5 CONCLUSÕES

Este apêndice foi dedicado a investigação do modelo de distribuição a posteriori dos dados de

saída do decodiﬁcador wavelet SISO, considerando-se dois cenários de uso pa ra o decodiﬁcador,

sobre o mesmo ambiente de t r ansmissão, caracterizado pelo desvanecimento Rayleigh plano:

(a) em sistema com codiﬁcação por MW de dimensão 2 × 8, e (b) quando a MW 2 × 128 é

utilizada na codiﬁcação.

Assim, foram realizados testes estatísticos sobre conjuntos de dados com diferentes taman-

hos, o btidos de ambos os sistemas utilizados. Especiﬁcamente, o s testes consideraram bases

distintas, com um número de amostras variando entre 50.000 a 160.000, obtidas segundo um

determinado valor de RSR avaliado, presente na faixa de 0−15 dB.

Diante dos resultados dos testes, é possível aﬁrmar que os dados obtidos são bem ajustados

por uma normal, a medida que matrizes wavelets de maiores dimensões são empregadas na

codiﬁcação.

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