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MINIST
´
ERIO DA EDUCAC¸
˜
AO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
PROGRAMA DE P
´
OS-GRADUAC¸
˜
AO EM ENGENHARIA MEC
ˆ
ANICA
CONTROLE DE MANIPULADORES ROB
´
OTICOS FLEX
´
IVEIS USANDO
ATUADORES E SENSORES PIEZEL
´
ETRICOS OTIMIZADOS
por
Alexandre Molter
Tese para obten¸c˜ao do T´ıtulo de
Doutor em Engenharia
Porto Alegre, Agosto de 2008
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CONTROLE DE MANIPULADORES ROB
´
OTICOS FLEX
´
IVEIS USANDO
ATUADORES E SENSORES PIEZEL
´
ETRICOS OTIMIZADOS
por
Alexandre Molter
Tese submetida ao Corpo Docente do Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia
Mecˆanica, PROMEC, da Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio Grande do
Sul, como parte dos requisitos necess´arios para a obten¸c˜ao do T´ıtulo de
Doutor em Engenharia
´
Area de Concentra¸c˜ao: Mecˆanica dos S´olidos
Orientador: Prof. Dr. Jun S´ergio Ono Fonseca
Co-Orientador: Prof. Dr. Marat Rafikov
Comiss˜ao de Avalia¸c˜ao:
Prof. Dr. Jos´e Manuel Balthazar (UNESP / Rio Claro - Brasil)
Prof(a). Dra. Teresa Tsukazan de Ruiz (PPGMAp - UFRGS/ Porto Alegre - Brasil)
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes (PROMEC - UFRGS / Porto Alegre - Brasil))
Prof. Dr. Eduardo Perondi (PROMEC - UFRGS / Porto Alegre - Brasil)
Prof. Dr. Fl´avio Jos´e Lorini
Coordenador do PROMEC
Porto Alegre, 11 de Agosto de 2008
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AGRADECIMENTOS
Agrade¸co de forma especial
A Deus que possibilitou que eu estivesse aqui para realizar este trabalho;
A minha fam´ılia, especialmente aos meus pais, Levinus (em mem´oria) e Wilma, pelo
incentivo e apoio no decorrer de toda a minha vida;
A minha colega e companheira,
ˆ
Angela In´a F¨uhr pela colabora¸c˜ao, aten¸c˜ao, com-
preens˜ao, carinho e por compartilhar a conquista dos meus sonhos e objetivos;
Aos meus filhos, Sofia e Artur, por darem um novo significado `as palavras amor e
felicidade e por tudo que ainda v˜ao me ensinar.
Aos professores, orientador Dr. Jun S´ergio Ono Fonseca e Co-orientador Dr. Marat
Rafikov por todo o apoio na realiza¸c˜ao deste trabalho, bem como pela confian¸ca, amizade e
est´ımulo nos momentos dif´ıceis. Ao professor Dr. J´ulio Claeyssen pelo aux´ılo prestado no
in´ıcio dos trabalhos no doutorado e ao professor Dr. Valdecir Bottega pelo aux´ılio prestado
durante o trabalho.
Aos colaboradores e professores do Grupo de Mecˆanica aplicada - GMAp e ao se-
cret´ario do PROMEC, Paulo Kutter, pela amizade e apoio prestado. Aos professores, mem-
bros da banca examinadora;
`
A CAPES pelo suporte financeiro e ao PROMEC representado em seu corpo de
funcion´arios e docentes;
E a todos que de alguma forma contribu´ıram para a realiza¸c˜ao deste trabalho.
iv
RESUMO
Neste trabalho, apresenta-se um modelo de controle de trajet´oria para um manipu-
lador constitu´ıdo de um segmento r´ıgido e um flex´ıvel com atuadores e sensores piezel´etricos.
O modelo dinˆamico do manipulador ´e obtido de forma fechada atrav´es da formula¸c˜ao de
Lagrange, considerando os segmentos como vigas de Euler-Bernoulli n˜ao-prism´aticas. O
controle utiliza o torque dos motores como atuadores para controle da trajet´oria do ˆangulo
das juntas e tamb´em para atenuar as vibra¸c˜oes de baixa freq¨uˆencia induzidas nos segmentos
do manipulador. A estabilidade deste controlador ´e garantida pela teoria de estabilidade de
Lyapunov. Atuadores e sensores piezel´etricos s˜ao adicionados para contribuir no controle de
vibra¸c˜oes de baixas freq¨uˆencias e de altas freq¨uˆencias n˜ao alcan¸cadas pelo controle de torque
dos motores. S˜ao propostos dois modelos de controle, um com realimenta¸c˜ao do erro da
trajet´oria e outro atrav´es do m´etodo de Equa¸c˜oes de Riccati Dependentes de Estado. Al´em
disso, ´e proposta uma otimiza¸c˜ao simultˆanea do controle e dos atuadores e sensores atrav´es
da maximiza¸c˜ao da energia dissipada no sistema, devido `a a¸c˜ao do controle, com otimiza¸c˜ao
do posicionamento e tamanho dos atuadores e sensores piezel´etricos na estrutura. Simula¸c˜oes
s˜ao obtidas atrav´es do Maple e do Matlab/Simulink para verificar a eficiˆencia do modelo de
controle.
v
ABSTRACT
CONTROL OF FLEXIBLE ROBOTIC MANIPULATORS USING OPTIMIZED PIEZO-
ELECTRIC ACTUATORS AND SENSORS
In this work, a tracking control model for a flexible arm robotic manipulator using
piezoeletric actuators and sensors is proposed. The manipulator dynamic model is obtained
in closed form by the Lagrange equations where non-prismatic Euler-Bernoulli beams are
considered. The control uses the motor torques for the tracking control of the joints and also
to reduce the induced low frequency vibration on the manipulator arms . The stability of this
control is guaranteed by the Lyapunov stability theory. Actuators and sensors are added for
controlling high frequency vibrations beyond the motor torque control range. Two control
methods are proposed: one with feedback tracking error and other with State-Dependent
Riccati Equations. Additionally, a simultaneous control, sizing, and location optimization
for actuators and sensors is proposed, maximizing the dissipated system energy damped by
control action. Simulations on Maple and Matlab/Simulink are used to verify the efficiency
of the control model.
vi
´
INDICE
1 INTRODUC¸
˜
AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Rob´otica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Controle de Robˆos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Manipuladores com elementos flex´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Atuadores e sensores Piezel´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Otimiza¸c˜ao Estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Ojetivos e organiza¸c˜ao do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 EQUAC¸
˜
OES DO MOVIMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 Cinem´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2 Representa¸c˜ao de um Ponto em Diferentes Coordenadas . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Posi¸c˜ao e Orienta¸c˜ao de um elo Flex´ıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.4 Vari´aveis Rota¸c˜ao e Transla¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.5 An´alise Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.6 Derivada de uma Matriz de Rota¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.7 Velocidade de um elo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.8 Jacobiano Geom´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.9 C´alculo do Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Dinˆamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Formula¸c˜ao de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3 Equa¸c˜ao do Movimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.4 Propriedades do Modelo Dinˆamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.5 Modelo Dinˆamico Expl´ıcito para um Robˆo com um elo R´ıgido e um
Flex´ıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 CONTROLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Considera¸c˜oes Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Controle de Trajet´oria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Controle de Vibra¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5 Controle com realimenta¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.1 Problema de s´ıntese linear realimentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.2 Controle ´otimo com realimenta¸c˜ao para sistemas n˜ao-lineares usando
equa¸c˜oes de Riccati dependentes do estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 SENSORES E ATUADORES PIEZEL
´
ETRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1 Modelo Dinˆamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Determina¸c˜ao dos modos de vibra¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 Uma forma num´erica para as autofun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4 Equa¸c˜ao do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5 Controle piezel´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5 OTIMIZAC¸
˜
AO SIMULT
ˆ
ANEA DA LOCALIZAC¸
˜
AO E TAMANHO DOS
ATUADORES PIEZEL
´
ETRICOS E RETROALIMENTAC¸
˜
AO . . . . . . . . . . . 72
5.1 Energia total do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Formula¸c˜ao do problema de otimiza¸cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3 Simula¸c˜oes do uso do material piezel´etrico em vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3.1 Extens˜ao do problema de otimiza¸c˜ao para mais modos de vibra¸c˜ao . . . 79
6 SIMULAC¸
˜
OES E RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.1 Simula¸c˜oes usando a metodologia de minimiza¸c˜ao de erro de trajet´oria . . . . . . 84
6.2 Simula¸c˜oes pela metodologia SDRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2.1 An´alise de estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7 CONCLUS
˜
OES E CONSIDERAC¸
˜
OES FINAIS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
viii
REFER
ˆ
ENCIAS BIBLIOGR
´
AFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
ANEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
ix
LISTA DE S
´
IMBOLOS
A
i−1
i
matriz de transforma¸c˜ao homogˆenea do sistema coordenado O
i
, com
rela¸c˜ao ao sistema O
i−1
A
e
matriz de estado
a
i
comprimento do segmento i [m]
a
pi
comprimento do piezocerˆamico i [m]
B(q) matriz de in´ercia do robˆo
B
θθ
bloco da matriz de in´ercia B dos termos dependentes do ˆangulo das juntas
B
θδ
bloco da matriz de in´ercia B dos termos de acoplamento
B
δδ
bloco da matriz de in´ercia B dos termos dependentes das deflex˜oes
B
e
matriz de coeficientes da fun¸c˜ao de controle
b
ij
(q) elemento da matriz B(q)
b
i
largura do piezocerˆamico fixo ao segmento i [m]
C capacitˆancia do piezofilme [pF/cm
2
]
C
kij
coeficientes constantes
C(q,
˙
q) matriz do efeito centr´ıfugo e de Coriolis
C
e
matriz de sa´ıda do sistema de controle
C
θθ
bloco da matriz C(q,
˙
q) dos termos dependentes do ˆangulo das juntas
C
θδ
bloco da matriz C(q,
˙
q) dos termos de acoplamento
C
δδ
bloco da matriz C(q,
˙
q) dos termos dependentes das deflex˜oes
c
ij
elemento da matriz C ou cos (i + j)
c
ijk
s´ımbolos de Christoffel
c
a
constante positiva
D matriz de coeficientes de fric¸c˜ao viscosa
D
θ
bloco da matriz de coeficientes de fric¸c˜ao viscosa
D
δ
bloco da matriz de coeficientes de fric¸c˜ao viscosa
D
△
matriz diagonal positiva definida
D
yi
matriz transforma¸c˜ao tor¸c˜ao
D
i−1
i
transforma¸c˜ao deslocamento do sistema coordenado O
i
, com rela¸c˜ao ao
sistema O
i−1
x
d vetor de transla¸c˜oes
d
i
(x) transla¸c˜ao do segmento i como fun¸c˜ao da posi¸c˜ao x
d
n
i
distˆancia do piezofilme ao eixo neutro do segmento flex´ıvel i [m]
d
31
constante de tens˜ao piezel´etrica [(m/m)/(V/m)]
d
yi
(x
i
, t) deforma¸c˜ao do segmento flex´ıvel i [m]
(EI)
i
rigidez flexural do segmento i [N/m
2
]
EI
Ai
rigidez flexural da por¸c˜ao do segmento composta pelo atuador e sensor
piezel´etrico [N/m
2
]
E
c
m´odulo de elasticidade do piezocerˆamico [GP a]
E
f
m´odulo de elasticidade do piezofilme [GP a]
E
b
m´odulo de elasticidade dos segmentos flex´ıveis [GP a]
F(β
ij
) matriz de freq¨uˆencia
g(q) vetor de for¸cas gravitacionais
g
0
vetor constante da acelera¸c˜ao da gravidade
g
31
constante de tens˜ao piezel´etrica [(V/m)/(N/m
2
)]
h
a
vetor de for¸cas exercidas pelo elemento terminal do robˆo sobre o ambiente
h
ijk
efeito centr´ıfugo e de Coriolis
h
e
vetor de fun¸c˜oes cont´ınuas n˜ao lineares
I matriz identidade
I
l
ai
momento de in´ercia no final do segmento i
I
l
i
matriz tensor de in´ercia relativo ao baricentro do segmento i
I
h
i
matriz tensor de in´ercia relativo ao baricentro do motor i
I
c
tensor de in´ercia da carga relativo ao baricentro
J
O
Jacobiano com rela¸c˜ao `a velocidade angular do segmento i
J
p
Jacobiano com rela¸c˜ao `a velocidade linear do segmento i
J
(l
i
)
O
i
Jacobiano com rela¸c˜ao `a velocidade angular do baricentro do segmento i
J
(l
i
)
p
i
Jacobiano com rela¸c˜ao `a velocidade linear do baricentro do segmento i
J
(h
i
)
O
Jacobiano com rela¸c˜ao `a velocidade angular do baricentro do motor i
J
(h
i
)
p
Jacobiano com rela¸c˜ao `a velocidade linear do baricentro do motor i
J funcional custo para a energia
J
0
funcional ´otimo
xi
k
ijk
coeficiente de elasticidade do modo j e k do segmento i
K
p
matriz diagonal positiva definida de ganho de retroalimanta¸c˜ao
K
c
matriz de ganho de retroalimenta¸c˜ao do controle piezel´etrico
K
T
matriz de rigidez do sistema com atuadores e sensores piezel´etricos
K
piez
matriz de rigidez da por¸c˜ao do bra¸co composta pelo atuador e sensor
K matriz de rigidez do segmento
K
c
i
constante de ganho de retroalimenta¸c˜ao do controle piezel´etrico
k
2
31
fator de acoplamento eletromecˆanico
L(q,
˙
q) fun¸c˜ao Lagrangeano do sistema mecˆanico
l
i
distˆancia da junta ao baricentro do segmento i [m]
L
i
proje¸c˜ao do comprimento do segmento i no eixo x
i
[m]
m
l
i
massa do segmento i [kg]
m
h
i
massa do motor da junta i [kg]
(MD)
i
contribui¸c˜ao ao momento do segmento i das massas de segmentos posteriores
ao segmento i [kg.m]
M momento produzido para o segmento flex´ıvel
m
c
massa da carga [kg]
N(q,
˙
q) matriz antissim´etrica dada por
˙
B(q) − 2C(q,
˙
q)
n(q,
˙
q) matriz soma dos efeitos: centr´ıfugo, de Coriolis, atrito viscoso e
est´atico e for¸cas gravitacionais
O
0
sistema de coordenadas de referˆencia
O
i
sistema de coordenadas no espa¸co
O
′
i
sistema de coordenadas O
i
, levando em conta somente uma rota¸c˜ao
em rela¸c˜ao ao sistema O
i−1
o
i−1
i
vetor posi¸c˜ao da origem do sistema de coordenadas O
i
, em
rela¸c˜ao ao sistema O
i−1
P ponto arbitr´ario no espa¸co
p
n
vetor posi¸c˜ao do elemento terminal do robˆo
P
f
(t) voltagem gerada pelo sensor piezofilme
P
i
(x, t) voltagem de controle do piezocerˆamico fixo ao segmento i
P
e
matriz a ser calculada pela equa¸c˜ao de Riccati
xii
˙
p
n
vetor velocidade linear do elemento terminal do robˆo
˜
p
n
representa¸c˜ao homogˆenea do vetor posi¸c˜ao p
n
p
′
vetor posi¸c˜ao de um ponto arbitr´ario
p
∗
i
vetor posi¸c˜ao do elemento de volume
p
l
i
vetor posi¸c˜ao do baricentro do elemento de volume
˙
p
h
i
velocidade linear do baricentro do motor i
p
i
vetor posi¸c˜ao do ponto P, com rela¸c˜ao ao sistema de coordenadas de
referˆencia
˙
p
l
i
velocidade linear do baricentro do segmento i
˙p
c
velocidade linear do baricentro da carga
˙p
h
i
velocidade linear do baricentro do motor
˙
p
l
i
velocidade linear do baricentro situado em l
i
˜
p representa¸c˜ao homogˆenea de um vetor gen´erico p
Q
i−1
i
transforma¸c˜ao matricial total do segmento flex´ıvel i com rela¸c˜ao ao segmento
anterior i − 1
Q
e
matriz de pesos do estado
q(t) vetor coordenadas generalizadas trajet´oria do ˆangulo das juntas e deflex˜oes
˜
q(t) erro de trajet´oria
˙
q(t) vetor velocidade do ˆangulo de rota¸c˜ao das juntas e deflex˜oes
¨
q(t) vetor acelera¸c˜ao do ˆangulo de rota¸c˜ao das juntas e deflex˜oes
q
d
(t) trajet´oria desejada do ˆangulo das juntas e deflex˜oes
˙
q
d
(t) velocidade desejada do ˆangulo das juntas e deflex˜oes
q
r
(t) vetor formado por uma modifica¸c˜ao da velocidade
˙
q
d
˙
q
r
(t) vetor de velocidade de referˆencia
R
0
1
matriz ortogonal de rota¸c˜ao do sistema O
1
R matriz ortogonal de rota¸c˜ao
R
e
matriz de peso do controle
˙
R(t) matriz derivada de R(t)
R
i−1
i
matriz ortogonal de rota¸c˜ao do sistema coordenado O
i
, com rela¸c˜ao
ao sistema O
i−1
r
i
vetor dado por p
∗
i
− p
l
i
xiii
r
i−1
i−1,i
vetor posi¸c˜ao da origem do sistema coordenado i, com respeito ao sistema
coordenado i − 1, expresso no sistema i −1
S
e
matriz de ganho do controle
S(t) matriz operador antissim´etrico produto vetorial
s (·) sen (·)
s vetor erro de trajet´oria de referˆencia
T (q,
˙
q) energia cin´etica total do sistema
T
l
i
energia cin´etica relativa ao segmento i
T
h
i
energia cin´etica relativa ao motor e mecanismos que acionam a junta i
T
c
energia cin´etica relativa `a carga no elemento terminal
t
ic
espessura do piezocerˆamico [mm]
t
if
espessura do piezofilme [mm]
t
ib
espessura do segmento i [mm]
U(q,
˙
q) energia potencial total do sistema
U
l
i
energia potencial relativa ao segmento i
U
h
i
energia potencial relativa ao motor do segmento i
U
e
i
energia potencial relativa `a elasticidade do bra¸co i
u vetor de entrada de controle do sistema
V fun¸c˜ao de Lyapunov
x vetor de vari´aveis de estado
x norma do vetor x
z
ijk
momento cruzado do modo j do segmento i
z
i−1
versor do eixo de rota¸c˜ao da junta i
W energia total do sistema
W (t
0
) energia total inicial do sistema
W
f
energia dissipada do sistema resultante do amortecimento interno
W
c
energia dissipada do sistema resultante do controle
w
ij
momentos de deforma¸c˜ao de ordem zero e ordem um, do modo j, do segmento i
β
ij
constantes positivas
δ vetor de coordenadas dos modos el´asticos dos segmentos
δ
d
vetor trajet´oria desejada dos modos de deflex˜ao
xiv
θ vetor de coordenadas ˆangulo das juntas
ǫ
ij
constante positiva
ǫ
c
i
tens˜ao induzida no piezocerˆamico, fixo ao segmento i
ζ
ij
´ındice de amortecimento natural do modo j do segmento flex´ıvel i
θ
i
rota¸c˜ao do segmento i [rd]
θ
i
(x) rota¸c˜ao do segmento i, como fun¸c˜ao da posi¸c˜ao x [rd]
λ
i
coordenadas generalizadas do sistema mecˆanico
λ
max
(·) maior autovalor da matriz (·)
λ
min
(·) menor autovalor da matriz (·)
ξ
f
i
for¸cas generalizadas associadas `as coordenadas generalizadas q
̟
ij
j-´esima freq¨uˆencia angular natural do problema de autovalores para o
segmento i
ρ
bi
densidade do segmento i [kg/m
3
]
ρ
ci
densidade do piezocerˆamico do segmento i [kg/m
3
]
ρ
fi
densidade do piezofilme do segmento i [kg/m
3
]
τ vetor de torque dos atuadores [N]
υ vetor velocidade linear e angular do ponto P [m/s]
υ
i−1,i
velocidade da origem do sistema i, com respeito `a origem do sistema
φ
ij
(x
i
) fun¸c˜oes modais espaciais
ω
i
velocidade angular do segmento i, com rela¸c˜ao ao sistema de coordenadas base
ω
i−1
velocidade angular do segmento i − 1
∆t intervalo de tempo [t]
Λ matriz diagonal positiva definida
Λ
θ
bloco da matriz Λ
Λ
δ
bloco da matriz Λ
xv
´
INDICE DE FIGURAS
1.1 Robˆo espacial Mobile Servicing System (MSS) U. S. Space Shuttle Endeavour:
STS-100. Fonte: http://science.nasa.gov/headlines/y2001/ast18apr
−
1.htm . . . 6
2.1 Representa¸c˜ao de um ponto P em sistemas coordenados diferentes . . . . . . . . . . 13
2.2 Rota¸c˜ao de um elo r´ıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Tor¸c˜ao e flex˜ao de um elo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Sistema com n elementos flex´ıveis conexos por juntas rotacionais . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Deslocamento planar elo i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 Caracteriza¸c˜ao de um elo gen´erico i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7 Robˆo planar com dois elos flex´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.1 Diagrama de blocos do controlador proposto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Esbo¸co do manipulador com atuadores e sensores piezel´etricos.. . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 elo rob´otico com atuadores e sensores pizel´etricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4 barra trissegmentada descont´ınua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5 Autofun¸c˜oes (modos de vibra¸c˜ao) de uma viga engastada em x = 0 . a
´e o primeiro modo e b o segundo modo. Autofun¸c˜oes geradas atrav´es da
interpola¸c˜ao dos polinˆomios de Hermite em cada um dos 5 elementos. . . . . . . 64
4.6 Autofun¸c˜oes que representam os modos de vibra¸c˜ao de uma viga engastada
em x = 0 . c ´e o primeiro modo e d o segundo modo. Autofun¸c˜oes geradas
atrav´es da interpola¸c˜ao dos polinˆomios mistos: Lagrange e Hermite. . . . . . . . . . 65
5.1 Fun¸c˜ao custo energia dissipada pelo sistema devido `a a¸c˜ao do controle piezel´etrico
e tamanho do atuador e sensor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2 Fun¸c˜oes da forma de seis modos de vibra¸c˜ao, φ, φ
′
e φ
′′
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.1 Esbo¸co do manipulador n˜ao-prism´atico e flex´ıvel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.2 Posi¸c˜ao inicial (a) e final (b) do bra¸co robˆotico.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3 Trajet´oria e velocidade trapezoidal para o ˆangulo das juntas. . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.4 Deslocamento dos modos de vibra¸c˜ao para o sistema com amortecimento natural. 85
6.5 Erro de trajet´oria das juntas 1 e 2 do robˆo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.6 Deslocamento do primeiro, segundo e terceiro modo para o sistema amortecido
com controle de deslocamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.7 Trajet´oria do sistema e trajet´oria desejada para o ˆangulo das juntas. . . . . . . . . 87
6.8 Trajet´oria do sistema e trajet´oria desejada do terminal do elo flex´ıvel. . . . . . . . 87
6.9 Deslocamento do primeiro modo para o sistema amortecido com controle
piezel´etrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.10 Deslocamento do segundo modo para o sistema amortecido com controle
piezel´etrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.11 Deslocamento do terceiro modo para o sistema amortecido com controle pie-
zel´etrico.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.12 Trajet´oria do sistema e trajet´oria desejada do terminal do elo flex´ıvel. . . . . . . . 89
6.13 Deflex˜ao dos modos 1 e 2 sem controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.14 Posi¸c˜ao inicial (a) e final (b) do bra¸co robˆotico.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.15 Trajet´oria das juntas 1 e 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.16 Resposta do sistema para o elo flex´ıvel, com controle de torque, modos 1 e 2. . 92
6.17 Trejet´orias em coordenadas espaciais do ponto final do bra¸co. O ponto inicial
e final foram marcados com retˆangulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.18 Ganho de tens˜ao el´etrica para os modos 1 e 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.19 Resposta do elo flex´ıvel usando controle de torque e piezel´etrico. . . . . . . . . . . . . 94
6.20 Posi¸c˜ao inicial (c) e final (d) do bra¸co robˆotico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.21 Trajet´oria das juntas 1 e 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.22 Resposta do elo flex´ıvel usando controle de torque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.23 Resposta do elo flex´ıvel usando controle de torque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.1 Modelo experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.2 Modelo experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
xvii
1. INTRODUC¸
˜
AO
Estudos em rob´otica e controle tˆem atra´ıdo um n´umero crescente de pesquisadores
nos ´ultimos 25 anos, produzindo avan¸cos significativos em pesquisas que relacionam as duas
´areas [Bottega, 2004]. Este fato ´e evidenciado pelo grande n´umero de publica¸c˜oes e con-
ferˆencias dedicadas a problemas de controle em rob´otica [Galicki, 2007].
As tarefas pr´aticas de robˆos, freq¨uentemente, solicitam intera¸c˜oes entre o robˆo e
ambiente, o que requer um controle de for¸ca, de posi¸c˜ao ou ambos. A proposta do controle
de for¸ca pode ser bastante diversa, como aplicar uma for¸ca controlada necess´aria para um
processo de manufatura, deslocar objetos ou tratar incertezas atrav´es de contatos contro-
lados com objetos ou ambientes. Entre as principais t´ecnicas de controle tem-se: controle
de impedˆancia [Hogan, 1985], controle de for¸ca/posi¸c˜ao [De Schutter e Van Brussel, 1988],
controle paralelo for¸ca/posi¸c˜ao [Chiaverini e Sciavicco, 1993], controle h´ıbrido for¸ca/posi¸c˜ao
[Raibert e Craig, 1981]. Alguns resultados publicados em [Siciliano e Valvanis, 1997] in-
dicam que a pesquisa encontra-se direcionada, principalmente, `a modelagem de ambientes
dinˆamicos, a modelos de impacto, a esquemas de estabilidade do controle durante a transi¸c˜ao
entre contato e n˜ao contato e ao controle de for¸ca e posi¸c˜ao de manipuladores rob´oticos com
juntas ou elos flex´ıveis.
O objetivo do controle de robˆos ´e o de construir robˆos que possam mover e manipular
objetos e tamb´em entender e estudar o controle de movimentos mecˆanicos [Bottega e Fonseca,
2003] e [Shin e Choi, 2000]. O papel do controle de robˆos ´e integrar todas as sa´ıdas dos
sensores rob´oticos numa entrada de controle que seja capaz de realizar os movimentos a ele
requeridos.
Geralmente, os manipuladores industriais s˜ao projetados com alta rigidez nos seus
elementos (elos e mancais) para obter maior precis˜ao, resultando em m´aquinas pesadas, com
baixa performance cinem´atica e eficiˆencia dinˆamica. Portanto, uma maneira de obter maior
agilidade e eficiˆencia, ´e a redu¸c˜ao da massa [Arteaga, 1998].
Cada vez mais no mercado se busca a redu¸c˜ao de custos e aumento de eficiˆencia.
2
No caso dos robˆos, que podem atingir alto custo para a aquisi¸c˜ao e manuseio, esta redu¸c˜ao
de custos e aumento de eficiˆencia tem atra´ıdo muito interesse em pesquisas cient´ıficas, pois
s˜ao intensamente utilizados nas ind´ustrias, na manipula¸c˜ao de objetos muito pesados ou
perigosos e em alguns casos, em ambientes nocivos a seres humanos. Com uso de elos leves
e flex´ıveis os custos de fabrica¸c˜ao e opera¸c˜ao poder˜ao ser bastante reduzidos.
1.1 Rob´otica
As gera¸c˜oes anteriores de pesquisadores de rob´otica se entusiasmaram pelo sonho
de m´aquinas inteligentes, que pudessem substituir pessoas em muitas tarefas, gerando assim
uma grande expectativa sobre a teoria de controle moderno [Bottega, 2004]. No entanto, pro-
gressos em controle de robˆos nos anos 80 n˜ao corresponderam `as expectativas e, ironicamente,
as maiores dificuldades foram de entendimento dos movimentos humanos na realiza¸c˜ao de
tarefas rotineiras. Isto mostra que as capacidades humanas foram subestimadas, repetindo
o que aconteceu nos prim´ordios da teoria da inteligˆencia artificial. Seres humanos podem
manipular objetos e realizar tarefas com facilidade e habilidade devido a uma longa evolu¸c˜ao
biol´ogica, realimenta¸c˜ao e treinamento. Assim, a teoria de controle de robˆos e, de um modo
geral, a teoria de controle de sistemas n˜ao lineares ainda n˜ao atingiu a maturidade, sendo
uma ´area de intensas pesquisas.
Atualmente, a automa¸c˜ao tornou-se mais presente na ind´ustria e trouxe consigo
como exigˆencia a substitui¸c˜ao dos robˆos existentes por sistemas menores, mais leves, r´apidos
e eficientes. Observa-se claramente que controladores do tipo PID (Proporcional Integral
Derivativo) n˜ao apresentam um desempenho satisfat´orio para muitas situa¸c˜oes. Um melhor
desempenho de sistemas de automa¸c˜ao industrial, especialmente de robˆos, exige o uso de
m´etodos de controle avan¸cados, como controle robusto e adaptativo, al´em de interfaces que
permitam uma melhor intera¸c˜ao entre o robˆo, o ambiente e o homem. Em virtude disto,
algumas ´areas de pesquisa em robˆotica apresentam um amplo campo de trabalho, motivadas
por necessidades atuais e demandas futuras. Dentre os diversos t´opicos, podemos destacar
problemas como: controle de for¸ca, sistemas multi-robˆos, robˆos subatuados, teleopera¸c˜ao e
interfaces ´oticas [Canudas De Wit et al., 1996; Siciliano e Valvanis, 1998]. Quando a tarefa
de um manipulador excede a capacidade de um ´unico robˆo, um sistema cooperativo com
mais de um robˆo se faz necess´ario. V´arias aplica¸c˜oes exigem a ado¸c˜ao de um sistema com
3
dois robˆos, como por exemplo, manipula¸c˜ao de objetos pesados ou n˜ao r´ıgidos e acoplamento
de pe¸cas mecˆanicas. Neste caso, dois robˆos podem trabalhar de maneira coordenada com
movimentos sincronizados, evitando colis˜oes entre os elos e mantendo o alcance do objeto
manipulado [Chiacchio et al., 1996; Walker et al., 1991]. Pesquisas avan¸cadas s˜ao tamb´em di-
recionadas ao manuseio de objetos flex´ıveis [Svinin e Uchiyama, 1994] e controle cooperativo
de manipuladores com juntas ou elos flex´ıveis [Ramires et al., 2003; Hu e Ma, 2006].
Uma classe especial de sistema multi-robˆo, que tem sido uma parte importante da
pesquisa em robˆos, ´e a modelagem de garras rob´oticas, que imitam a m˜ao humana com
v´arios dedos, desenvolvidos para manipular e apanhar objetos. No entanto, estes avan¸cos
encontram-se ainda na fase de pesquisa, pois s˜ao mecanismos complexos e industrialmente
invi´aveis em termos de custo, peso e confiabilidade. Em resposta a isto, pesquisadores
propuseram mecanismos simplificados, obtendo bons resultados [Prattichizzo e Bicchi, 1997].
Iniciada nos anos 40, o campo da teleopera¸c˜ao era usada, por exemplo, para ma-
nipula¸c˜ao de materiais radioativos, explora¸c˜ao e servi¸cos subaqu´aticos e espaciais [Hirzinger
et al., 1993], microcirurgias e micro manipula¸c˜ao [Mitsuishi et al., 1997]. O objetivo da tele-
opera¸c˜ao ´e imitar e repetir os movimentos e a sensibilidade humana para atuar em ambientes
demasiadamente insalubres para o homem atuar. Isto demanda uma interface robˆo-usu´ario
de elevada complexidade [Hannaford, 1989]. Estas interfaces podem ser ´oticas, gr´aficas ou
de for¸ca [Kelley e Salcudean, 1994] (aplica¸c˜oes cir´urgicas [Satava e Jones, 1997]). Neste caso,
tamb´em temos a vis˜ao computacional como um importante sensor para sistemas rob´oticos
[Hutchinson et al., 1996].
A classe geral de sistemas mecˆanicos subatuados inclui robˆos que caminham [Mcgeer,
1990] (entre eles, alguns desenvolvidos pela universidade de Delf - www.tudelft.nl), robˆos
m´oveis [Murray e Sastry, 1993] , robˆos flutuantes (espaciais [Dubowsky e Papadopoulos,
1993] e subaqu´aticos [Fossen, 1996]) e manipuladores flex´ıveis (com juntas el´asticas [Ramires
et al., 2003] e elos flex´ıveis [Book, 1984; Hu e Ma, 2006]). Dentre estes, destacam-se os
manipuladores flex´ıveis, caracterizados pela agilidade e baixo consumo de energia, sendo
aplicados em atividades que exijam velocidade, precis˜ao e baixo peso. Como exemplo destas
aplica¸c˜oes temos: robˆos industriais em tarefas como pintura, robˆos espaciais utilizados em
explora¸c˜oes ou na montagem e manuten¸c˜ao de esta¸c˜oes espaciais.
O denominador comum dos sistemas mecˆanicos subatuados ´e a disponibilidade de
4
um n´umero de entradas de controle menor que o de graus de liberdade. A dinˆamica baseada
na teoria Lagrangeana destes sistemas pode conter n˜ao linearidades e restri¸c˜oes, que colocam
esta classe de problemas `a frente das pesquisas em controle avan¸cado.
Propriedades fortes como retro-lineariza¸c˜ao s˜ao perdidas em sistemas subatuados; a
´unica propriedade preservada ´e a chamada retro-lineariza¸c˜ao parcial (em virtude da matriz
de in´ercia do sistema ser positiva definida), que pode ser pensada como uma lineariza¸c˜ao
entrada/sa´ıda com respeito aos graus de liberdade atuados [De Luca e Siciliano, 1993a],
oferecendo um grande potencial para controle robusto e adaptativo a amplas classes de
sistemas mecˆanicos subatuados.
1.2 Controle de Robˆos
A id´eia do controle de robˆos ´e integrar os movimentos do robˆo com sa´ıdas que
podem ser sensores, obtendo assim, as informa¸c˜oes dos movimentos mecˆanicos excecutados
pelo robˆo. Desta maneira ´e poss´ıvel interagir com a m´aquina atrav´es de uma entrada de
controle, que podem ser os torques nos elos e fazer com que os movimentos impostos sejam
realizados adequadamente.
O problema de controle de um robˆo consiste na determina¸c˜ao das for¸cas ou torques
necess´arios nos atuadores do robˆo, de maneira a garantir a execu¸c˜ao das tarefas desejadas
que podem ser, por exemplo, a execu¸c˜ao de um movimento dos elos do robˆo ou a realiza¸c˜ao
de tarefas interagindo com o ambiente.
Em modelos convencionais de controle de manipuladores rob´oticos, o algoritmo
de controle ´e baseado em compensa¸c˜oes n˜ao lineares do sistema. Isto requer um mode-
lo matem´atico detalhado do manipulador e um progn´ostico exato dos parˆametros, como
massa e momento de in´ercia; tarefa dif´ıcil, uma vez que estes sistemas s˜ao caracterizados
por incertezas param´etricas e dist´urbios externos desconhecidos. Al´em disso, compensa¸c˜oes
n˜ao-lineares s˜ao complexas e dif´ıceis de serem implementadas. Para evitar estes problemas,
novas t´ecnicas de controle vˆem sendo pesquisadas, entre as mais conhecidas, est˜ao as t´ecnicas
de controle robusto e controle adaptativo. Os controladores robustos tˆem como principal ca-
racter´ıstica a robustez contra erros de modelagem. Dentre as t´ecnicas de controle robusto,
destacamos o controle pelos modos deslizantes (¨ sliding mode control¨) [Slotine e Sastry,
1983; Yeung e Chen, 1988], baseados na teoria VSS (¨ variable structure system ¨) [Utkin,
5
1977]. Os controladores adaptativos s˜ao caracterizados por apresentarem excelente desem-
penho no estado estacion´ario, ajustando os parˆametros do modelo e reduzindo as incertezas
param´etricas [Sciavicco e Siciliano, 1995; Galicki, 2007]. Uma outra t´ecnica de controle,
que surgiu recentemente (nos ´ultimos 10 anos), baseada na solu¸c˜ao das Equa¸c˜oes de Riccati
Dependentes do Estado (SDRE) [Mracek e Cloutier, 1998], tem contribu´ıdo para controlar
sistemas altamente n˜ao-lineares e vem se mostrando eficiente no controle.
1.3 Manipuladores com elementos flex´ıveis
Geralmente, os manipuladores industriais s˜ao projetados com alta rigidez nos seus
elos e mancais para obter maior precis˜ao, resultando m´aquinas pesadas, com baixa per-
formance cinem´atica e eficiˆencia dinˆamica. Portanto, uma maneira para obter maior agi-
lidade e eficiˆencia ´e a redu¸c˜ao da massa. Manipuladores leves oferecem muitos desafios a
pesquisadores em rob´otica, em compara¸c˜ao com robˆos r´ıgidos e pesados. O consumo de
energia ´e diminu´ıdo ganhando agilidade e rapidez. Devido a estas caracter´ısticas, esta classe
de manipuladores ´e especialmente conveniente para uma variedade de aplica¸c˜oes rob´oticas
principalmente em se tratando de robˆos embarcados como os destinados para miss˜oes espaci-
ais, por exemplo, o robˆo espacial MSS mostrado na Figura 1.1. Por´em, a redu¸c˜ao do peso do
manipulador pode implicar em diminui¸c˜ao da rigidez dos elementos. Conseq¨uentemente, as
vibra¸c˜oes induzidas pela a¸c˜ao de controle acontecem em freq¨uˆencias mais baixas (abaixo de
100 Hz) e com maiores amplitudes, prejudicando a precis˜ao na execu¸c˜ao de tarefas. Todos
estes fatores tornam o estudo de manipuladores flex´ıveis bastante interessante. Avan¸cos na
´area de motores, est˜ao diminuindo momentaneamente o interesse em robˆos leves, mas este
assunto deve voltar a tona `a medida que maiores desempenhos sejam necess´arios.
Estruturas mecˆanicas leves podem melhorar o desempenho de manipuladores, tor-
nando-os mais r´apidos, especialmente em opera¸c˜oes de baixa varia¸c˜ao de carga.
Para explorar totalmente as vantagens oferecidas pelos robˆos com elementos flex´ıveis,
´e importante considerar os efeitos da flexibilidade e estabelecer um controle de vibra¸c˜oes.
Portanto, ´e importante a disponibilidade de um modelo dinˆamico expl´ıcito, completo e cor-
reto. O modelo deve ser expl´ıcito para proporcionar um claro entendimento das itera¸c˜oes
dinˆamicas e efeitos dos acoplamentos na formula¸c˜ao do controle e para redu¸c˜oes e simpli-
fica¸c˜oes a termos relevantes.
6
Figura 1.1 – Robˆo espacial Mobile Servicing System (MSS) U. S. Space
Shuttle Endeavour: STS-100. Fonte:
http://science.nasa.gov/headlines/y2001/ast18apr
−
1.htm
As t´ecnicas usadas para modelar a seq¨uˆencia cinem´atica aberta, contendo um ou
mais elementos (elos) flex´ıveis, adotam a mesma formula¸c˜ao do caso de elos r´ıgidos, isto
´e, Newton-Euler e Euler-Lagrange. Todos s˜ao baseados numa descri¸c˜ao cinem´atica dos
movimentos de corpos r´ıgidos e dos deslocamentos.
V´arios trabalhos foram publicados sobre modelos expl´ıcitos para o caso de um elo
flex´ıvel [Bellezza et al., 1990; Hastings e Book, 1987] , mas esta simplifica¸c˜ao impede o
entendimento total das itera¸c˜oes n˜ao-lineares entre as componentes r´ıgidas e flex´ıveis da
dinˆamica. No entanto, um modelo dinˆamico de um robˆo planar com dois elos flex´ıvel sem
efeitos torcionais que seja expl´ıcito, completo e preciso, pode resultar em equa¸c˜oes do movi-
mento numa forma fechada e computacionalmente eficiente. Este modelo ´e derivado do
funcional Lagrangeano com a t´ecnica de an´alise modal para o deslocamento.
Os elos s˜ao modelados como vigas de Euler-Bernoulli, pois seu comprimento ´e muito
superior `a espessura e `a largura, satisfazendo condi¸c˜oes de contorno de massa concentrada.
Uma carga ´e adicionada na extremidade do elemento terminal. Neste caso, considerar
dois modos de deforma¸c˜ao para cada elo, inclui a maioria das poss´ıveis itera¸c˜oes dinˆamicas
[De Luca e Siciliano, 1991].
Controle de robˆos com elos flex´ıveis apresenta a dificuldade de n˜ao existir uma
entrada de controle independente para cada grau de liberdade e s˜ao caracterizados por
7
varia¸c˜oes nos parˆametros, como carga, torques e fric¸c˜oes nas juntas. Estas caracter´ısticas
exigem um projeto de controle que inclua uma a¸c˜ao de controle de posi¸c˜ao, atuando no ˆangulo
das juntas e um estabilizador para controlar as oscila¸c˜oes el´asticas, induzidas pela a¸c˜ao de
controle anterior. Existem duas possibilidades quanto ao controle de posi¸c˜ao: controle ponto
a ponto e controle de trajet´oria. Para o primeiro caso, alguns resultados s˜ao obtidos em
[De Luca e Panzieri, 1994] e [De Luca e Siciliano, 1993b]. No caso de controle de trajet´oria,
deve-se levar em conta que uma trajet´oria desejada arbitr´aria pode ser designada apenas
para as juntas e n˜ao para os deslocamentos do elo flex´ıvel. A trajet´oria das juntas deve
ent˜ao ser computada de tal forma que a trajet´oria do bra¸co, incluindo os deslocamentos,
convirja para a trajet´oria desejada [De Luca e Siciliano, 1993a; Lammerts et al., 1995] . Em
[Lammerts et al., 1995] , n˜ao s´o os elos s˜ao considerados flex´ıveis mas tamb´em as juntas.
Quando os parˆametros n˜ao s˜ao corretamente conhecidos, uma lei de controle da trajet´oria
das juntas baseada num controlador adaptativo [Ortega e Spong, 1989] pode ser definida
assegurando uma conveniente estabilidade assint´otica, com o uso de fun¸c˜oes de Lyapunov
e do princ´ıpio de La Salle. Por outro lado, em [Canudas De Wit et al., 1996] e [De Luca
e Siciliano, 1993a] ´e usada uma t´ecnica de controle de dinˆamica inversa, o que mostra que
a trajet´oria das coordenadas flex´ıveis s˜ao limitadas. Contudo, em nenhum destes artigos o
problema do amortecimento ´e tratado. Outra forma de controle apresentada na literatura ´e
o uso de m´etodos estoc´asticos como o de algoritmos gen´eticos [Li et al., 2005].
1.4 Atuadores e sensores Piezel´etricos
Recentemente, progressos com atuadores e sensores piezel´etricos tˆem despertado
interesse no projeto de estruturas inteligentes ou adaptativas. S˜ao uma classe de estruturas
avan¸cadas que alteram sua configura¸c˜ao geom´etrica, bem como caracter´ısticas f´ısicas quando
sujeitas a uma lei de controle. Tais propriedades podem ser obtidas com atuadores ou
sensores piezel´etricos embutidos ou fixos `a superf´ıcie da estrutura, aplicados para controle
de vibra¸c˜oes e posi¸c˜ao de estruturas flex´ıveis.
Materiais piezel´etricos s˜ao ideais para uso em sensoriamento e controle de estruturas
flex´ıveis. Sistemas de controle piezel´etrico tˆem vantagens como baixo peso, alta precis˜ao e
eficiˆencia. O controle de estruturas flex´ıveis necessita do uso de sensores e atuadores de modo
adequado, que est´a relacionado com o seu posicionamento discreto. Muitas t´ecnicas moder-
8
nas de controle foram desenvolvidas recentemente com o desafio de projetar controladores
que se adaptem a estruturas flex´ıveis, funcionando com algumas condi¸c˜oes requeridas. Os
materiais dos sensores e atuadores tamb´em s˜ao importantes, pois afetam fatores como pre-
cis˜ao, confiabilidade, flexibilidade, durabilidade, peso, etc. A natureza discreta ou distribu´ıda
de sensoriamento e atua¸c˜ao ´e outro fator importante no comportamento do controle de es-
truturas flex´ıveis. Sensores e atuadores discretos apresentam problemas de posicionamento,
enquanto que os distribu´ıdos oferecem maior flexibilidade, melhor resposta e caracter´ısticas
de monitoramento.
H´a dois fenˆomenos b´asicos que permitem que materiais piezel´etricos sejam usados
como sensores e atuadores num sistema de controle. O primeiro fenˆomeno, conhecido como
efeito direto, implica que a aplica¸c˜ao de for¸cas mecˆanicas ou press˜ao num material piezel´etrico
produzindo uma carga el´etrica. Por outro lado, no segundo fenˆomeno, conhecido como efeito
inverso, a aplica¸c˜ao de uma carga el´etrica no material ´e respondida por tens˜ao el´etrica e
deforma¸c˜ao. S˜ao os fenˆomenos mais usados no sensoriamento e atenua¸c˜ao de dist´urbios de
estruturas flex´ıveis. O efeito direto foi descoberto pelos irm˜aos Curie (apud [Bottega, 2004]),
em 1880 [Curie e Curie, 1980] e o efeito inverso foi teoricamente previsto por Lippman
[Mason, 1981](apud [Bottega, 2004]). Muitos trabalhos foram publicados para investigar
esse efeito e seu uso em v´arias aplica¸c˜oes de controle [Agnes, 1995; Oueini et al., 1996; Wu,
1997]. Estes efeitos constituem uma base para um material piezel´etrico ser usado como um
sensor ou atuador apresentado bom desempenho e eficiˆencia [Crawley, 1994] em diversas
aplica¸c˜oes como: controle de vibra¸c˜oes de asas de aeronaves [Song et al., 1992], controle de
vibra¸c˜oes de barras, placas e cascas [Li et al., 2003; Lee e Yu, 1996; Ip e Tse, 2001; Abreu
et al., 2003], sistemas de suspens˜ao de ve´ıculos [Fukami et al., 1995], controle de vibra¸c˜oes de
rotor e h´elices de helic´opteros [Chen e Chopra, 1996], intera¸c˜ao de estruturas flex´ıveis com
ambientes de aerodinˆamica e ac´ustica [Bao Xaradan e Varadan, 1995; Berry et al., 1995],
controle de vibra¸c˜oes de robˆos flex´ıveis [Indri e Tornamde, 1996; Kalaycioglu et al., 1996] e
controle de micromovimentos em dispositivos como microsc´opios [Fatikov e Rembold, 1996].
O modelo de controle para estruturas flex´ıveis com materiais piezel´etricos pode ser
local (descentralizado), que adiciona amortecimento `a estrutura em n´ıveis locais [Crawley,
1994; Denoyer, 1996] ou global (centralizado), que estabiliza toda a estrutura e reduz os
dist´urbios [Chou e Dai, 1994; Crawley, 1994]. O controle global apresenta um melhor de-
9
sempenho, mas tem um custo computacional elevado se comparado com o controle local
[Crawley, 1994]. Controladores h´ıbridos tˆem dois n´ıveis de controle: global e local [Crawley,
1994; Hall et al., 1991].
V´arios esquemas de controle tˆem sido implementados no controle de estruturas
com o uso de dispositivos piezel´etricos, entre eles est˜ao os controles de retroalimenta¸c˜ao
de deslocamento e velocidade [Denoyer, 1996], retroalimenta¸c˜ao de tens˜ao el´etrica e de-
forma¸c˜ao [Niesrecki e Cudney, 1997], proporcional, proporcional derivativo e proporcional
integral derivativo (P, PD e PID) [Galeazzi e Morganti, 1996; Lin et al., 1996b]. Contro-
le de retroalimenta¸c˜ao de deslocamento alcan¸ca boa performance, mas sua desvantagem ´e
que as freq¨uˆencias naturais da estrutura devem ser pr´e-determinadas [Kwak e Sciulli, 1996].
Retroalimenta¸c˜ao de velocidade ´e um m´etodo que adiciona amortecimento `a estrutura. En-
tretanto, esta t´ecnica pode amplificar ru´ıdos de alta freq¨uˆencia [Kwak e Sciulli, 1996]
1.5 Otimiza¸c˜ao Estrutural
Do ponto de vista estrutural, os manipuladores rob´oticos n˜ao primam pela utiliza¸c˜ao
das ferramentas mais adequadas de projeto. H´a muito campo para a melhora estrutural
dos projetos de manipuladores rob´oticos, atrav´es da utiliza¸c˜ao das modernas t´ecnicas de
otimiza¸c˜ao estrutural. Uma aplica¸c˜ao recente tem sido a otimiza¸c˜ao simultˆanea da estrutura
e de seus elementos de controle. Esta combina¸c˜ao est´a abrindo um campo extraordin´ario de
possibilidades para o projeto de estruturas controladas, especialmente quando incluem o uso
de materiais piezel´etricos que possibilitem uma rea¸c˜ao da estrutura, auxiliando o controle.
As quest˜oes de localiza¸c˜ao e geometria de sensores e atuadores e suas solu¸c˜oes ´otimas
com rela¸c˜ao a algum crit´erio de desempenho tˆem o problema da forma ou an´alise da geome-
tria, envolvendo um crit´erio de desempenho representado por um funcional constitu´ıdo de
uma fun¸c˜ao objetivo e um conjunto de restri¸c˜oes. Rotinas de otimiza¸c˜ao de estruturas in-
tegradas com controle de estruturas inteligentes foram investigadas em [Hwang et al., 1993].
A posi¸c˜ao e espessura ´otimas de atuadores em estruturas compostas para maximizar a in-
tera¸c˜ao estrutura/atuador foi analiticamente estudada em [Master e Jones, 1991]. A quest˜ao
de controle ac´ustico estrutural foi estudada para otimiza¸c˜ao de geometria dos atuadores e
localiza¸c˜ao ´otima de atuadores e sensores [Pergher, 2003; Kim et al., 1995].
A otimiza¸c˜ao da localiza¸c˜ao dos atuadores piezel´etricos foi estudada por v´arios
10
pesquisadores [Chattopadhyay e Seeley, 1994; Fakhroo, 1995; Gabert, 1996], utilizando
crit´erios de desempenho como dissipa¸c˜ao de energia, atenua¸c˜ao de dist´urbios, esfor¸co de
controle, freq¨uˆencia natural, taxa de amortecimento e a parte real dos autovalores das es-
truturas controladas.
Dentre as v´arias metodologias para se projetar estruturas otimizadas, uma tem
ganhado destaque nos ´ultimos anos: a otimiza¸c˜ao topol´ogica. Esta t´ecnica permite gerar
projetos de estruturas sob diversos tipos de restri¸c˜oes, visando melhorar o desempenho de
estruturas para diversas aplica¸c˜oes, tais como redu¸c˜ao de peso, flexibilidade e suscetibilidade
a flambagem. Mais recentemente, t´ecnicas de otimiza¸c˜ao topol´ogica tˆem sido propostas,
visando melhorar o desempenho de estruturas sob o aspecto dinˆamico e de controle.
A an´alise da literatura mostra que ´e comum a otimiza¸c˜ao da estrutura ou do controle
no projeto de manipuladores. Por´em, devido as fortes itera¸c˜oes existentes entre a estrutura
e o controlador, a individualiza¸c˜ao da otimiza¸c˜ao pode resultar num modelo ´otimo que n˜ao
tenha sentido global [Liu e Begg, 2000]. Portanto, neste trabalho, prop˜oe-se a formula¸c˜ao
consistente de uma metodologia de projeto de estruturas com otimiza¸c˜ao simultˆanea do
controle e estrutura, aplicada a manipuladores flex´ıveis.
1.6 Ojetivos e organiza¸c˜ao do trabalho
Neste trabalho buscou-se mostrar a possibilidade do projeto de manipuladores ro-
b´oticos mais leves e ´ageis e com menor consumo de energia, que potencialmente podem ser
mais baratos. A proposta desta tese se concentra, numa etapa no controle da trajet´oria
dos elementos de um robˆo com elos flex´ıveis e em outra etapa, a chegada do ponto final do
manipulador a um ponto desejado, considerando uma trajet´oria ´otima para a m´ınima energia,
potencial e cin´etica, gasta pelo sistema. Em ambos os casos ´e necess´ario um controle de
vibra¸c˜oes no bra¸co do robˆo. Al´em disso tamb´em ser´a buscada uma otimiza¸c˜ao da localiza¸c˜ao
e tamanho de um ou dois piezoel´etricos a serem usados no controle.
No trabalho precedente [Bottega, 2004] foram considerados apenas dois modos de
vibra¸c˜ao na an´alise, na otimiza¸c˜ao e no controle. Neste, ser˜ao considerados mais modos
de vibra¸c˜ao na formula¸c˜ao da equa¸c˜ao dinˆamica e no controle. Outro fator inovador no
presente trabalho ser´a considerar elos com geometria n˜ao-prism´atica. A varia¸c˜ao do m´etodo
de controle em rela¸c˜ao ao usado em [Bottega, 2004] tamb´em ´e um dos enfoques do trabalho.
11
O trabalho est´a organizado nos cap´ıtulos que se seguem abaixo.
O primeiro cap´ıtulo apresenta uma revis˜ao bibliogr´afica sobre rob´otica e controle
em rob´otica.
No segundo cap´ıtulo ´e apresentada uma aproxima¸c˜ao sistem´atica e geral para ob-
ten¸c˜ao da cinem´atica de um manipulador com elos flex´ıveis, que relaciona as velocidades das
juntas com as velocidades linear e angular do elemento terminal do robˆo, caracterizadas pelo
Jacobiano geom´etrico. Al´em disto, apresenta-se o desenvolvimento das equa¸c˜oes da dinˆamica
de um manipulador rob´otico planar com um elo r´ıgido e um flex´ıvel. O modelo dinˆamico ´e
obtido atrav´es da formula¸c˜ao de Lagrange, que apresenta propriedades importantes, como
a linearidade nos parˆametros dinˆamicos, de grande importˆancia na elabora¸c˜ao de leis de
controle [Goldstein, 1964; Woodhouse, 1987].
No cap´ıtulo trˆes ´e formulada uma lei de controle do ˆangulo das juntas para posi¸c˜ao
e vibra¸c˜oes de baixa freq¨uˆencia dos elementos flex´ıveis. A estabilidade deste controlador
´e garantida pela teoria de estabilidade de Lyapunov [Arimoto, 1996; La Salle e Lefschetz,
1961; Lin et al., 1996a]. Tamb´em ´e proposto um controle para sistemas n˜ao-lineares, cujo
controlador prov´em das equa¸c˜oes de Riccati dependentes do estado [Mracek e Cloutier, 1998].
No cap´ıtulo quatro apresenta-se uma lei de controle adicional para estabilizar as
oscila¸c˜oes de alta freq¨uˆencia dos elementos flex´ıveis usando atuadores e sensores piezel´etricos.
No cap´ıtulo cinco apresenta-se uma modelagem simultˆanea do controle e dos atu-
adores, com otimiza¸c˜ao para a m´ınima energia dissipada no sistema, desenvolvendo uma
metodologia de projeto de estruturas controladas otimamente, com otimiza¸c˜ao do posiciona-
mento e tamanho dos atuadores piezel´etricos na estrutura.
No cap´ıtulo seis, simula¸c˜oes s˜ao obtidas atrav´es do Matlab/Simulink e programa¸c˜ao
em Matlab, para verificar a eficiˆencia das t´ecnicas apresentadas no cap´ıtulo quatro. Os
resultados abrangem tanto as leis de controle com atuadores e sensores piezel´etricos, apre-
sentada no cap´ıtulo quatro, quanto sem os piezoel´etricos. Inclue-se a´ı tamb´em uma an´alise
de estabilidade do m´etodo das equa¸c˜oes de Riccati dependentes do estado para o modelo
apresentado no trabalho.
2. EQUAC¸
˜
OES DO MOVIMENTO
2.1 Cinem´atica
2.1.1 Introdu¸c˜ao
Um robˆo pode ser esquematizado, do ponto de vista mecˆanico, como uma cadeia
cinem´atica aberta, formada por corpos r´ıgidos ou flex´ıveis (elos), conexos em cascata por
meio de juntas rotacionais ou translacionais. Um extremo da cadeia ´e vinculado a uma base
e o outro extremo ´e o elemento terminal. O movimento da estrutura ´e realizado mediante a
composi¸c˜ao dos movimentos elementares de cada elo, com respeito ao precedente. Para ma-
nipular um objeto no espa¸co ´e necess´aria uma descri¸c˜ao da posi¸c˜ao e orienta¸c˜ao do elemento
terminal.
Neste cap´ıtulo, primeiramente, ser´a vista a deriva¸c˜ao de equa¸c˜oes cinem´aticas dire-
tas, para um robˆo com juntas rotacionais e bra¸cos flex´ıveis, as quais descrevem a posi¸c˜ao e a
orienta¸c˜ao do elemento terminal em fun¸c˜ao das vari´aveis de junta, em rela¸c˜ao a um sistema
de coordenadas de referˆencia. Estas equa¸c˜oes s˜ao obtidas atrav´es da conven¸c˜ao de Denavit-
Hartenberg [Sciavicco e Siciliano, 1995]. Uma vez conhecidas as equa¸c˜oes cinem´aticas diretas,
obt´em-se as rela¸c˜oes entre a velocidade das juntas e as velocidades linear e angular do ele-
mento terminal, atrav´es do Jacobiano geom´etrico. Tais rela¸c˜oes s˜ao de grande importˆancia
para a deriva¸c˜ao das equa¸c˜oes do movimento, que comp˜oem o cap´ıtulo seguinte.
2.1.2 Representa¸c˜ao de um Ponto em Diferentes Coordenadas
Com rela¸c˜ao `a Figura 2.1, considera-se um ponto P arbitr´ario no espa¸co. As coorde-
nadas de P com respeito ao sistema de coordenadas de referˆencia O
0
−x
0
y
0
z
0
s˜ao expressas
pelo vetor p
0
. Agora, considerando um outro sistema de coordenadas no espa¸co O
1
−x
1
y
1
z
1
e sejam: o
0
1
o vetor que indica a posi¸c˜ao da origem do sistema de coordenadas O
1
, com
respeito ao sistema de coordenadas O
0
, R
0
1
a matriz ortogonal de rota¸c˜ao do sistema O
1
,
13
Figura 2.1 – Representa¸c˜ao de um ponto P em sistemas coordenados
diferentes
com respeito ao sistema O
0
, dada por
R
0
1
=
x
T
1
x
0
y
T
1
x
0
z
T
1
x
0
x
T
1
y
0
y
T
1
y
0
z
T
1
y
0
x
T
1
z
0
y
T
1
z
0
z
T
1
z
0
(2.1)
e p
1
´e o vetor das coordenadas de P , com respeito ao sistema de coordenadas O
1
. Com
considera¸c˜oes geom´etricas simples, obt´em-se a posi¸c˜ao do ponto P , com rela¸c˜ao ao sistema
de referˆencia O
0
, que pode ser expressa como
p
0
= o
0
1
+ R
0
1
p
1
. (2.2)
Portanto, (2.2) representa a transforma¸c˜ao de coordenadas (transla¸c˜ao + rota¸c˜ao)
de um vetor, aplicado de um sistema de coordenadas a outro.
Para obter uma representa¸c˜ao compacta da transforma¸c˜ao de coordenadas entre
dois sistemas coordenados, pode-se usar a representa¸c˜ao homogˆenea de um vetor gen´erico p,
como o vetor
˜
p, obtido atrav´es da adi¸c˜ao de uma quarta componente unit´aria
˜
p =
p
1
. (2.3)
Utilizando tal representa¸c˜ao para o vetor p
0
e p
1
em (2.2), obt´em-se a transforma¸c˜ao
14
de coordenadas escrita em termos da matriz de transforma¸c˜ao homogˆenea
A
0
1
=
R
0
1
o
0
1
0
T
1
. (2.4)
Assim, (2.2) ´e expressa na forma
˜
p
0
= A
0
1
˜
p
1
. (2.5)
A transforma¸c˜ao matricial homogˆenea acima ´e utilizada para representar a posi¸c˜ao
e orienta¸c˜ao da extremidade final do elo, representada pelo ponto P, com rela¸c˜ao a sua base.
2.1.3 Posi¸c˜ao e Orienta¸c˜ao de um elo Flex´ıvel
A posi¸c˜ao de um corpo r´ıgido ou flex´ıvel no espa¸co ´e determinada em termos da
posi¸c˜ao de um ponto fixo ao corpo, com rela¸c˜ao a um sistema de coordenadas de referˆencia
(transla¸c˜ao). A sua orienta¸c˜ao ´e determinada em termos das componentes dos versores
dos eixos do sistema de coordenadas fixo ao corpo, com respeito ao mesmo sistema de
coordenadas de referˆencia (rota¸c˜ao)[Sciavicco e Siciliano, 1995].
Para representar a posi¸c˜ao e orienta¸c˜ao de um elo flex´ıvel, utilizam-se as trans-
forma¸c˜oes matricias homogˆeneas que descrevem as transla¸c˜oes e rota¸c˜oes decorrentes da
varia¸c˜ao do ˆangulo das juntas e dos deslocamentos do elo flex´ıvel. Estas transforma¸c˜oes
s˜ao obtidas em duas etapas: na primeira, descreve-se as rota¸c˜oes decorrentes da varia¸c˜ao
do ˆangulo das juntas, considerando o elo r´ıgido e, na segunda, adiciona-se as transla¸c˜oes e
rota¸c˜oes decorrentes do deslocamento.
Considerando inicialmente as rota¸c˜oes decorrentes da varia¸c˜ao do ˆangulo das juntas,
expressa-se a transforma¸c˜ao de coordenadas que relaciona o sistema O
′
i
com o sistema O
i−1
,
atrav´es dos seguintes passos:
• Inicia-se com o sistema coordenado O
i−1
.
• Toma-se a rota¸c˜ao θ
′
zi
em torno do eixo z
i−1
. Esta opera¸c˜ao leva ao sistema O
′
i
, descrita
15
Figura 2.2 – Rota¸c˜ao de um elo r´ıgido
pela matriz de transforma¸c˜ao homogˆenea
A
i−1
i
′
=
c(θ
′
zi
) −s(θ
′
zi
) 0 0
s(θ
′
zi
) c(θ
′
zi
) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
, (2.6)
onde c(·) e s(·) indicam, respectivamente, coseno e seno de (·).
Figura 2.3 – Tor¸c˜ao e flex˜ao de um elo
Para as transla¸c˜oes e rota¸c˜oes decorrentes dos deslocamentos e tor¸c˜oes do elo,
16
expressa-se a transforma¸c˜ao de coordenadas que relaciona o sistema O
i
com o sistema O
′
i
,
discretizada tamb´em atrav´es de transforma¸c˜oes matriciais.
Da Figura 2.3, nota-se que o sistema coordenado O
i
, fixo na extremidade do elo
sofre uma rota¸c˜ao e uma transla¸c˜ao, em rela¸c˜ao ao sistema coordenado da base do elo
O
′
i
−x
′
i
y
′
i
z
′
i
devido `a tor¸c˜ao e deslocamento do elo. A rota¸c˜ao e transla¸c˜ao s˜ao representadas
com rela¸c˜ao aos eixos y
′
i
e z
′
i
do sistema O
′
i
, com valor θ
yi
, θ
zi
e d
yi
, d
zi
, respectivamente,
para o sistema coordenado O
i
−x
i
y
i
z
i
. Esta informa¸c˜ao pode ser usada para definir a matriz
transforma¸c˜ao deslocamento, D
yzi
ou D
zyi
, para representar os efeitos do deslocamento e do
comprimento do elo flex´ıvel. As matrizes transforma¸c˜ao D
yzi
e D
zyi
s˜ao diferentes, j´a que
elas s˜ao dependentes sobre transla¸c˜ao e rota¸c˜ao. Esta ´ultima ´e considerada como ocorrendo
primeiro (na verdade, ambas ocorrem ao mesmo tempo).
D
yzi
=
c(θ
zi
)c(θ
yi
) −s(θ
zi
) c(θ
zi
)c(θ
yi
) L
i
s(θ
zi
)c(θ
yi
) c(θ
zi
) s(θ
zi
)s(θ
yi
) d
yi
−s(θ
yi
) 0 c(θ
yi
) d
zi
0 0 0 1
, (2.7)
D
zyi
=
c(θ
zi
)c(θ
yi
) −s(θ
zi
)c(θ
yi
) s(θ
yi
) L
i
s(θ
zi
) c(θ
zi
) 0 d
yi
−c(θ
zi
)s(θ
yi
) s(θ
zi
)s(θ
yi
) c(θ
yi
) d
zi
0 0 0 1
. (2.8)
Para aplica¸c˜oes pr´aticas, a quantidade de rota¸c˜ao e transla¸c˜ao devido `a curvatura
e `a tor¸c˜ao ´e suficientemente pequena (i.e., rota¸c˜oes menores que 15
◦
e transla¸c˜oes menores
que 10% do comprimento do elo) de maneira que as seguintes aproxima¸c˜oes podem ser feitas
[Kozel e Koivo, 1991]:
• A proje¸c˜ao do comprimento do elo i, no eixo x
i
, ´e assumida ser igual a L
i
.
• Para a rota¸c˜ao θ
i
devida `a curvatura, c(θ
i
) ≈ 1 e s(θ
i
) ≈ θ
i
(onde θ
i
representa a rota¸c˜ao
θ
xi
, θ
yi
ou θ
zi
). Isto ´e poss´ıvel quando n˜ao se consideram os efeitos da curvatura do elo.
• Os efeitos de segunda ordem na matriz transforma¸c˜ao s˜ao negligenciados.
17
Se as aproxima¸c˜oes acima s˜ao usadas, as matrizes transforma¸c˜ao D
yzi
e D
zyi
resul-
tam idˆenticas
D
yzi
= D
zyi
=
1 −θ
zi
θ
yi
L
i
θ
zi
1 0 d
yi
−θ
yi
0 1 d
zi
0 0 0 1
. (2.9)
O sistema coordenado ligado `a extremidade do elo em tor¸c˜ao, sofrer´a rota¸c˜ao relativa
ao sistema coordenado da base do elo.
A quantidade de rota¸c˜oes varia de acordo com o movimento ao longo do comprimento
do elo. Para o elo na Figura 2.3, a rota¸c˜ao devido `a tor¸c˜ao ´e definida sobre o eixo x
i
e tem um
valor de θ
xi
sobre o sistema coordenado O
′
i
− x
′
i
y
′
i
z
′
i
. Os efeitos da tor¸c˜ao s˜ao representados
pela matriz transforma¸c˜ao D
xi
D
xi
=
1 0 0 0
0 c (θ
xi
) −s (θ
xi
) 0
0 s (θ
xi
) c (θ
xi
) 0
0 0 0 1
. (2.10)
Usando as aproxima¸c˜oes acima, as transforma¸c˜oes (2.9) e (2.10) podem ser combi-
nadas em uma matriz transforma¸c˜ao deslocamento D
i
´unica
D
i
′
i
= D
xi
D
yzi
= D
zyi
D
xi
=
1 −θ
zi
θ
yi
L
i
θ
zi
1 −θ
xi
d
yi
−θ
yi
θ
xi
1 d
zi
0 0 0 1
. (2.11)
Assim, a transforma¸c˜ao matricial total do elo flex´ıvel i, com rela¸c˜ao ao elo anterior
i −1, ´e expressa na forma
Q
i−1
i
= A
i−1
i
′
D
i
′
i
(2.12)
e o extremo do elo i, com rela¸c˜ao `as coordenadas da base na forma homogˆenea, escrito em
18
fun¸c˜ao do extremo do elo i − 1, resulta
˜
p
i−1
= Q
i−1
i
˜
p
i
. (2.13)
Figura 2.4 – Sistema com n elementos flex´ıveis conexos por juntas rotacionais
As transforma¸c˜oes matriciais, definidas acima, podem ser usadas para obter as
equa¸c˜oes da cinem´atica de um manipulador gen´erico com n elos flex´ıveis, conforme a Figura
2.4, atrav´es de uma transforma¸c˜ao matricial total Q
0
n
, entre a base e o extremo do elemento
terminal, dada pelo produto das matrizes transforma¸c˜ao
Q
0
n
= A
0
1
′
D
1
′
1
.......A
n−1
n
′
D
n
′
n
. (2.14)
A posi¸c˜ao da extremidade do elemento terminal em rela¸c˜ao ao sistema de coorde-
nadas da base O
0
, Figura 2.4, ´e determinada por
˜
p
0
= Q
0
1
Q
1
2
. . . Q
n−1
n
˜
p
n
= Q
0
n
˜
p
n
. (2.15)
2.1.4 Vari´aveis Rota¸c˜ao e Transla¸c˜ao
Para gerar resultados anal´ıticos na representa¸c˜ao da cinem´atica s˜ao necess´arios os
valores da transla¸c˜ao d
i
e rota¸c˜ao θ
i
, resultantes de torques aplicados `as juntas, nas equa¸c˜oes
matriciais. Para obter estes valores, uma representa¸c˜ao para a transla¸c˜ao d
i
(x) e rota¸c˜ao
θ
i
(x) , como fun¸c˜ao da posi¸c˜ao x, ao longo do elo do manipulador se faz necess´aria. Existe
uma variedade de m´etodos como fun¸c˜oes modais [De Luca et al., 1990; Hastings e Book,
19
1987] ou Raileigh-Ritz [Lalanne et al., 1983; Usoro et al., 1986] para a determina¸c˜ao destes
valores. Em todas estas t´ecnicas, se o deslocamento d
i
(x) for pequena, a rota¸c˜ao θ
i
(x) pode
ser obtida atrav´es da seguinte aproxima¸c˜ao [Kozel e Koivo, 1991]
θ
i
(x) ≈ tan (θ
i
(x)) =
∂d
i
(x)
∂x
, (2.16)
uma vez obtidos d
i
(x) e θ
i
(x) , o deslocamento, a rota¸c˜ao e as vibra¸c˜oes dos elos provocados
por torques aplicados `as juntas do manipulador podem ser calculados.
2.1.5 An´alise Modal
Uma representa¸c˜ao exata da flexibilidade estrutural do elo do robˆo implica num
modelo infinito-dimensional, o que limita a aplica¸c˜ao das equa¸c˜oes de Lagrange para simula-
¸c˜oes computacionais e para determina¸c˜ao de t´ecnicas de controle. Assim, uma aproxima¸c˜ao
finito-dimensional da flexibilidade pode ser obtida atrav´es das t´ecnicas de an´alise modal
[Meirovitch, 1967].
Figura 2.5 – Deslocamento planar elo i
Considerando um robˆo planar, os elos do robˆo podem ser modelados como barras
de Euler-Bernoulli (Figura 2.5) com densidade uniforme ρ
i
, ´area da se¸c˜ao transversal A
i
,
comprimento a
i
e rigidez flexural (EI)
i
, onde o deslocamento d
yi
(x
i
, t) satisfaz a equa¸c˜ao
diferencial parcial
(EI)
i
∂
4
d
yi
(x
i
, t)
∂x
4
i
+ ρ
i
A
i
∂
2
d
yi
(x
i
, t)
∂t
2
= 0. (2.17)
20
Para resolver esta equa¸c˜ao, condi¸c˜oes de contorno apropriadas devem ser aplicadas
nas extremidades inicial (base) e final do elo. Supondo que a in´ercia de um elo leve ´e pequena,
comparada com a in´ercia da junta, pode-se usar fun¸c˜oes modais restritas [Bellezza et al.,
1990]. Em particular, segundo experimentos [Hastings e Book, 1987] e estudos anal´ıticos
[Cetinkunt e Yu, 1991] ´e conveniente assumir que cada bra¸co ´e preso `a base,
d
yi
(0
i
, t) = 0,
d
dt
d
yi
(0
i
, t) = 0 i = 1, ..., n. (2.18)
Com respeito `as condi¸c˜oes restantes, a extremidade final do bra¸co ´e considerada
livre de restri¸c˜oes dinˆamicas, devido `a dificuldade em determinar as massas e in´ercias. De
qualquer modo, segundo De Luca e Siciliano, 1989, ´e mais correto, considerar condi¸c˜oes de
contorno de massa, representando o balan¸co de momentos e for¸cas cortantes, i.e,
(EI)
i
∂
2
d
yi
(x
i
, t)
∂x
2
i
x
i
=a
i
= −I
ai
d
2
dt
2
∂d
yi
(x
i
, t)
∂x
i
x
i
=a
i
− (MD)
i
d
2
dt
2
d
yi
(x
i
, t)|
x
i
=a
i
(EI)
i
∂
3
d
yi
(x
i
, t)
∂x
3
i
x
i
=a
i
= M
ai
d
2
dt
2
d
yi
(x
i
, t)|
x
i
−a
i
+ (MD)
i
d
2
dt
2
∂d
yi
(x
i
, t)
∂x
i
x
i
=a
i
,(2.19)
com i = 1, ..., n, onde a
i
, M
ai
e I
ai
representam, respectivamente, o comprimento do elo i,
a massa atual e o momento de in´ercia no final do elo i. (MD)
i
representa o momento de
massa resultante de outros elos distantes do elo i, dependente da distˆancia relativa de cada
elo ao elo i.
A equa¸c˜ao (2.17) pode ser resolvida usando a t´ecnica de an´alise modal [Meirovitch,
1967], resultando num modelo finito-dimensional (de ordem m) para o deslocamento. Ex-
plorando a separabilidade de tempo e espa¸co da equa¸c˜ao (2.17) e considerando um n´umero
finito de modos de vibra¸c˜ao, o deslocamento de um elo rob´otico flex´ıvel pode ser expresso
por
d
yi
(x
i
, t) =
m
i
j=1
φ
ij
(x
i
)δ
ij
(t), (2.20)
onde os deslocamentos δ
ij
(t) s˜ao vari´aveis temporais associadas `as fun¸c˜oes modais espaciais
φ
ij
(x
i
) do bra¸co i. Logo, cada termo da solu¸c˜ao geral de (2.17) ´e um produto de uma fun¸c˜ao
21
harmˆonica temporal
δ
ij
(t) = e
j̟
ij
t
, (2.21)
com uma autofun¸c˜ao espacial da forma
φ
ij
(x
i
) = C
1,ij
sin(β
ij
x
i
) + C
2,ij
cos(β
ij
x
i
) + C
3,ij
sinh(β
ij
x
i
) + C
4,ij
cosh(β
ij
x
i
). (2.22)
Na equa¸c˜ao (2.21), ̟
ij
representa a j-´esima freq¨uˆencia angular natural do problema
de autovalores para o bra¸co i e, na equa¸c˜ao (2.22) , β
4
ij
= ̟
2
ij
ρ
i
/ (EI)
i
.
Aplicando as condi¸c˜oes de contorno acima, s˜ao determinados os coeficientes de
(2.22) . A condi¸c˜ao base presa resulta em
C
3,ij
= −C
1,ij
, C
4,ij
= −C
2,ij
, (2.23)
enquanto as condi¸c˜oes de massa na extremidade do elo fornece o sistema homogˆeneo
[F(β
ij
)]
C
1,ij
C
2,ij
= 0. (2.24)
A chamada equa¸c˜ao de freq¨uˆencia ´e obtida zerando o determinante da matriz F(β
ij
)
2×2
,
que depende explicitamente dos valores M
ai
, I
ai
, e (MD)
i
[Oakley e Cannon, 1989]. Das
primeiras m
i
ra´ızes desta equa¸c˜ao, resulta os valores positivos de β
ij
para a equa¸c˜ao (2.22) .
Usando estes valores, os coeficientes C
1,ij
e C
2,ij
s˜ao determinados usando um fator de escala
escolhidos com uma normaliza¸c˜ao aceit´avel. Al´em disso, as autofun¸c˜oes φ
ij
resultantes satis-
fazem uma condi¸c˜ao de ortogonalidade modificada, que inclui M
ai
, I
ai
, e (MD)
i
. Note que,
se o robˆo possui apenas um elo, M
a1
e I
a1
representam a massa e a in´ercia do elo, enquanto
que os termos adicionais do lado direito de (2.19) se anulam ((MD)
1
= 0) apenas quando h´a
um equil´ıbrio de massa na extremidade do elo. Para um elo intermedi´ario i em uma cadeia de
elos conectados, M
ai
´e a soma das massas de todos os elos posteriores ao elo i, enquanto que
I
ai
e (MD)
i
dependem da posi¸c˜ao dos elos posteriores. Logo, estas quantidades devem ser
escritas como fun¸c˜oes dependentes da configura¸c˜ao do robˆo, o que aumenta a complexidade
do modelo de Cetinkunt e Book, 1989. Por´em, aproxima¸c˜oes tomando valores constantes
podem ser usadas.
22
Neste caso, ´e usado (MD)
i
= 0 e calcula-se I
ai
para uma configura¸c˜ao fixa. Pode-se,
ent˜ao, mostrar que det(F) = 0, resulta na equa¸c˜ao transcendental [De Luca e Siciliano, 1989]
(1 + cos(β
ij
a
i
) cosh(β
ij
a
i
)) −
M
ai
β
ij
ρ
i
(sin(β
ij
a
i
) cosh(β
ij
a
i
) −cos(β
ij
a
i
) sinh(β
ij
a
i
))
−
I
ai
β
3
ij
ρ
i
(sin(β
ij
a
i
) cosh(β
ij
a
i
) + cos(β
ij
a
i
) sinh(β
ij
a
i
))
+
M
ai
I
ai
β
4
ij
ρ
2
i
(1 −cos(β
ij
a
i
) cosh(β
ij
a
i
)) = 0. (2.25)
2.1.6 Derivada de uma Matriz de Rota¸c˜ao
Como o objetivo ´e caracterizar a velocidade linear e angular do elemento terminal
de um robˆo, em primeiro lugar, deve-se analisar a derivada da matriz de rota¸c˜ao R, com
respeito ao tempo.
Sup˜oe-se que a matriz de rota¸c˜ao varia no tempo (R = R(t)). Da propriedade de
ortogonalidade de R, tem-se a rela¸c˜ao
R(t)R
T
(t) = I, (2.26)
que, derivando com rela¸c˜ao ao tempo, resulta
˙
R(t)R
T
(t) + R(t)
˙
R
T
(t) = 0. (2.27)
Definindo
S(t) =
˙
R(t)R
T
(t), (2.28)
a matriz S resulta antissim´etrica com
S(t) + S
T
(t) = 0. (2.29)
Multiplicando `a direita ambos os termos de (2.28) por R(t), obt´em-se
˙
R(t) = S(t)R(t), (2.30)
que consiste em expressar a derivada de R(t) em fun¸c˜ao dela pr´opria.
A rela¸c˜ao (2.30) admite uma interpreta¸c˜ao f´ısica interessante. Considerando um
23
vetor constante p
′
e o vetor p(t) = R(t)p
′
, a derivada temporal de p resulta
˙
p(t) =
˙
R(t)p
′
= S(t)R(t)p
′
. (2.31)
Se o vetor ω(t) indica a velocidade angular do sistema de coordenadas de R(t) em t,
com respeito ao sistema de coordenadas de referˆencia, da mecˆanica [Goldstein, 1964], tem-se
que
˙
p(t) = ω(t) ×R(t)p
′
. (2.32)
Portanto, o operador matricial S descreve o produto vetorial entre o vetor ω e o
vetor R(t)p
′
. A matriz S(t), cujos elementos, sim´etricos com respeito `a diagonal principal,
representam as componentes do vetor ω(t) = [ω
x
ω
y
ω
z
]
T
, ´e escrita na forma
S =
0 −ω
z
ω
y
ω
z
0 −ω
x
−ω
y
ω
x
0
, (2.33)
o que justifica a express˜ao S(t) = S(ω(t)). Por outro lado, se R representa uma matriz de
rota¸c˜ao, vale a importante rela¸c˜ao
RS(ω)R
T
= S(Rω). (2.34)
2.1.7 Velocidade de um elo
Considera-se o elo gen´erico i de um robˆo, conforme a Figura 2.6. Sejam p
i−1
e p
i
os
vetores que indicam a posi¸c˜ao da origem dos sistemas coordenados i−1 e i, respectivamente,
e seja r
i−1
i−1,i
a posi¸c˜ao da origem do sistema coordenado i, com respeito ao sistema coordenado
i −1, expresso no sistema i −1. Aplicando a transforma¸c˜ao de coordenadas (2.2), escreve-se
p
i
= p
i−1
+ R
i−1
r
i−1
i−1,i
. (2.35)
Derivando (2.35) e utilizando a express˜ao da derivada da matriz de rota¸c˜ao (2.30),
24
Figura 2.6 – Caracteriza¸c˜ao de um elo gen´erico i
juntamente com (2.32), obt´em-se
˙
p
i
=
˙
p
i−1
+ R
i−1
˙
r
i−1
i−1,i
+ ω
i−1
× R
i−1
r
i−1
i−1,i
=
˙
p
i−1
+ υ
i−1,i
+ ω
i−1
× r
i−1,i
,
(2.36)
que pode ser considerado como a express˜ao da velocidade linear do bra¸co i, em fun¸c˜ao da
velocidade linear e angular do elo i −1, onde υ
i−1,i
indica a velocidade da origem do sistema
coordenado i, com respeito `a origem do sistema i −1, expressa no sistema de referˆencia O
0
.
Para a velocidade angular, ´e oportuno partir da composi¸c˜ao de rota¸c˜oes
R
i
= R
i−1
R
i−1
i
, (2.37)
cuja derivada temporal, de acordo com (2.30), pode ser escrita como
S(ω
i
)R
i
= S(ω
i−1
)R
i
+ R
i−1
S(ω
i−1
i−1,i
)R
i−1
i
, (2.38)
onde ω
i−1
i−1,i
indica a velocidade angular do sistema coordenado i, com respeito ao sistema
i − 1, expresso no sistema i − 1. Usando a propriedade da ortogonalidade de matriz de
rota¸c˜ao (2.26), obt´em-se
R
i−1
S(ω
i−1
i−1,i
)R
i−1
i
= R
i−1
S(ω
i−1
i−1,i
)R
T
i−1
R
i−1
R
i−1
i
, (2.39)
25
que, pela propriedade (2.34), resulta
R
i−1
S(ω
i−1
i−1,i
)R
i−1
i
= S(R
i−1
ω
i−1
i−1,i
)R
i
. (2.40)
Portanto, (2.38) pode ser escrita como
S(ω
i
)R
i
= S(ω
i−1
)R
i
+ S(R
i−1
ω
i−1
i−1,i
)R
i
, (2.41)
o que leva ao resultado
ω
i
= ω
i−1
+ R
i−1
ω
i−1
i−1,i
= ω
i−1
+ ω
i−1,i
. (2.42)
Tal rela¸c˜ao expressa a velocidade angular do elo i, em fun¸c˜ao da velocidade angular
dosegmentoo i − 1.
As rela¸c˜oes (2.36) e (2.42) podem ser particularizadas para movimentos de rota¸c˜ao
e transla¸c˜ao de um sistema a outro.
Para movimentos de transla¸c˜ao, a rota¸c˜ao ´e nula, logo tem-se a velocidade angular
nula, isto ´e,
ω
i−1,i
= 0, (2.43)
enquanto que a velocidade linear resulta
υ
i−1,i
=
˙
d
i
z
i−1
, (2.44)
onde z
i−1
representa o versor do eixo de rota¸c˜ao da junta i e d o vetor de transla¸c˜oes,
considerando um robˆo planar.
Com isto, as express˜oes da velocidade angular (2.42) e linear (2.36) resultam em
ω
i
= ω
i−1,
(2.45)
˙
p
i
=
˙
p
i−1
+
˙
d
i
z
i−1
+ ω
i
× r
i−1,i
. (2.46)
Para movimentos de rota¸c˜ao, as velocidades angular e linear s˜ao expressas, respec-
26
tivamente, por
ω
i−1,i
=
˙
q
i
z
i−1
, (2.47)
onde z
i−1
´e o versor do eixo da junta i e
υ
i−1,i
= ω
i−1,i
× r
i−1,i
. (2.48)
Conseq¨uentemente, as express˜oes das velocidades angular e linear do sistema coor-
denado i, com rela¸c˜ao ao sistema i − 1, resultam, respectivamente,
ω
i
= ω
i−1
+
˙
q
i
z
i−1
(2.49)
e
˙
p
i
=
˙
p
i−1
+ ω
i
× r
i−1,i
, (2.50)
onde foi utilizada a rela¸c˜ao (2.42) para ω
i−1,i
em (2.48).
2.1.8 Jacobiano Geom´etrico
Uma vez obtidas as equa¸c˜oes cinem´aticas diretas, pode-se obter uma rela¸c˜ao entre
a velocidade das juntas do robˆo e as velocidades linear e angular dos elos do robˆo, atrav´es
da matriz Jacobiana.
Na deriva¸c˜ao da matriz Jacobiana, n˜ao h´a exigˆencia de que a rota¸c˜ao e transla¸c˜ao
sejam causadas pela atua¸c˜ao das juntas. A ´unica especifica¸c˜ao usada para definir a transla¸c˜ao
´e a dire¸c˜ao que esta ocorre. Para a rota¸c˜ao, ´e necess´ario apenas observar o eixo de rota¸c˜ao
e a localiza¸c˜ao que a rota¸c˜ao ocorre. Como visto anteriormente, os efeitos do deslocamento
e de tor¸c˜oes nos elos s˜ao modelados como transla¸c˜oes e rota¸c˜oes da extremidade final de
cada elo. Portanto, a matriz Jacobiana, para manipuladores com bra¸cos r´ıgidos, pode ser
estendida para manipuladores flex´ıveis [Kozel e Koivo, 1991].
2.1.9 C´alculo do Jacobiano
Quer-se expressar como vetores livres, a velocidade linear
˙
p
n
e a velocidade angular
ω
n
do elemento terminal, em fun¸c˜ao da velocidade das vari´aveis de junta e do deslocamento
27
˙q =
˙
θ,
˙
δ
T
, mediante rela¸c˜oes do tipo
˙
p
n
= J
p
(q)
˙
q,
ω
n
= J
O
(q)
˙
q,
(2.51)
as quais podem ser escritas na seguinte forma matricial
υ =
˙
p
n
ω
n
=
J
pR
J
pT
J
OR
J
OT
˙
θ
˙
δ
= J(q)
˙
q. (2.52)
Particionando a matriz de transforma¸c˜ao J em vetores coluna, obt´em-se
J =
J
pR
1
. . . J
pR
n
,
J
OR
1
. . . J
OR
n
,
J
pT
1
. . . J
pT
m
J
OT
1
. . . J
OT
m
, (2.53)
onde a matriz de transforma¸c˜ao J
6×N
´e denominada Jacobiano geom´etrico, com N = n + m,
onde m indica o n´umero de modos el´asticos e n, o n´umero de juntas.
Os termos
˙
θ
i
J
pR
i
e
˙
δ
i
J
pT
i
representam, respectivamente, a contribui¸c˜ao da rota¸c˜ao
da junta i e da transla¸c˜ao do modo el´astico i `a velocidade linear do elo terminal, enquanto
que os termos
˙
θ
i
J
OR
i
e
˙
δ
i
J
OT
i
representam, respectivamente, a contribui¸c˜ao da rota¸c˜ao da
junta i e da transla¸c˜ao do modo el´astico i `a velocidade angular do elo terminal.
Para a contribui¸c˜ao da junta i (rotacional) na velocidade angular, tendo em vista
(2.47) tem-se,
˙
θ
i
J
OR
i
=
˙
θ
i
z
i−1
(2.54)
e, portanto,
J
OR
i
= z
i−1
. (2.55)
Para a contribui¸c˜ao da junta i na velocidade linear, obt´em-se
˙
θ
i
J
pR
i
= ω
i−1,i
× r
i−1,n
=
˙
θ
i
z
i−1
× (p
n
− p
i−1
), (2.56)
28
resultando em
J
pR
i
= z
i−1
× (p
n
− p
i−1
). (2.57)
E, finalmente, obt´em-se
J
pR
i
J
OR
i
=
z
i−1
× (p
n
− p
i−1
)
z
i−1
. (2.58)
Para a contribui¸c˜ao do deslocamento do elo i (transla¸c˜ao) na velocidade angular,
tendo em vista (2.43), tem-se
˙
δ
i
J
OT
i
= 0 (2.59)
e, portanto,
J
OT
i
= 0. (2.60)
Para a contribui¸c˜ao do deslocamento do elo i na velocidade linear, obt´em-se
˙
δ
i
J
pT
i
=
˙
d
i
z
i−1
, (2.61)
resultando em
J
pT
i
= z
i−1
. (2.62)
E, finalmente, obt´em-se
J
pT
i
J
OT
i
=
z
i−1
0
. (2.63)
As rela¸c˜oes (2.63) e (2.58) consistem no c´alculo do Jacobiano de maneira simples e
sistem´atica, embasadas em rela¸c˜oes cinem´aticas diretas. No entanto, os vetores z
i−1
, p
n
e
p
i−1
resultam em fun¸c˜oes das coordenadas generalizadas e, em particular,
• z
i−1
´e dado pela terceira coluna da matriz de transforma¸c˜ao Q
0
i−1
e
z
i−1
= Q
0
1
. . . Q
i−2
i−1
z
0
, (2.64)
29
onde z
0
= [0 0 1]
T
´e utilizado para selecionar a terceira coluna;
• p
n
´e dado pelos trˆes primeiros elementos da quarta coluna da matriz de transforma¸c˜ao
Q
0
n
e
˜
p
n
, o vetor posi¸c˜ao na forma homogˆenea, ´e dado por
˜
p
n
= Q
0
1
. . . Q
n−1
n
˜
p
0
, (2.65)
onde
˜
p
0
= [0 0 0 1]
T
´e utilizado para selecionar a quarta coluna;
• p
i−1
´e dado pelos trˆes primeiros elementos da quarta coluna da matriz de transforma¸c˜ao
Q
0
i−1
e
˜
p
i−1
= Q
0
1
. . . Q
i−2
i−1
˜
p
0
. (2.66)
As rela¸c˜oes precedentes podem ser convenientemente utilizadas para calcular veloci-
dade de transla¸c˜ao e rota¸c˜ao de um ponto qualquer ao longo da estrutura do robˆo. Para
isto, basta conhecer as fun¸c˜oes cinem´aticas diretas deste ponto.
2.2 Dinˆamica
2.2.1 Introdu¸c˜ao
A dedu¸c˜ao do modelo dinˆamico de um robˆo ´e de grande importˆancia para a simula¸c˜ao
do movimento, para a an´alise de estruturas de manipula¸c˜ao e para a elabora¸c˜ao de algoritmos
de controle, eliminando assim a necessidade de uma estrutura f´ısica de manipula¸c˜ao.
Aqui, ser´a apresentado um m´etodo de deriva¸c˜ao das equa¸c˜oes do movimento de um
robˆo baseado na formula¸c˜ao de Lagrange, conceitualmente simples e sistem´atica, conduzindo
`a deriva¸c˜ao do modelo dinˆamico em forma fechada.
2.2.2 Formula¸c˜ao de Lagrange
O modelo dinˆamico de um robˆo descreve as rela¸c˜oes existentes entre o torque apli-
cado `as juntas e o movimento da estrutura.
´
E importante observar que na formula¸c˜ao de
Lagrange, a deriva¸c˜ao das equa¸c˜oes do movimento s˜ao independentes do sistema de coor-
denadas de referˆencia. ´e escolhido um conjunto de vari´aveis λ
i
, i = 1, . . . , N, denominadas
30
coordenadas generalizadas, que descrevem a posi¸c˜ao dos elementos mecˆanicos que constituem
uma estrutura com N graus de liberdade. Neste caso, λ
i
= q
i
, onde q
i
= θ
i
para 1 ≤ i ≤ n,
representa o ˆangulo das juntas e q
i
= δ
i
para n ≤ i ≤ n + m, representa os modos el´asticos
dos elos do robˆo. Define-se como Lagrangeano do sistema mecˆanico a fun¸c˜ao, dependente
das coordenadas generalizadas,
L = T − U, (2.67)
onde T ´e a energia cin´etica e U ´e a energia potencial total do sistema.
A partir do Lagrangeano, obt´em-se a equa¸c˜ao de Lagrange dada por
d
dt
∂L
∂ ˙q
i
−
∂L
∂q
i
= ξ
f
i
, i = 1, . . . , n, (2.68)
onde ξ
f
i
s˜ao as for¸cas generalizadas associadas `as coordenadas generalizadas q
i
, as quais
provˆem das for¸cas n˜ao conservativas, devido ao torque gerado pelos atuadores, torque de
atrito nas juntas e torque induzido por situa¸c˜oes de intera¸c˜ao com o ambiente.
A equa¸c˜ao (2.68) define as rela¸c˜oes existentes entre as for¸cas generalizadas aplicadas
no robˆo e a velocidade e a acelera¸c˜ao de suas juntas.
Energia Cin´etica
Considera-se um robˆo com elos flex´ıveis representado por N graus de liberdade. A
energia cin´etica total ´e dada pela soma das contribui¸c˜oes relativas ao movimento de cada elo
e ao movimento dos atuadores nas juntas, expressa na forma
T =
N
i=1
(T
l
i
+ T
h
i
) + T
c
, (2.69)
onde T
l
i
, T
h
i
e T
c
representam, respectivamente, a energia cin´etica do elo, energia cin´etica do
motor e mecanismos que acionam a junta i e energia cin´etica da carga do elemento terminal.
Somando as contribui¸c˜oes de transla¸c˜ao e rota¸c˜ao `a contribui¸c˜ao da energia cin´etica
do elo i, t´em-se
T
l
i
=
1
2
m
l
i
˙
p
T
l
i
˙
p
l
i
+
1
2
ω
T
i
I
l
i
ω
i
, (2.70)
31
sendo
˙
p
l
i
a velocidade linear do baricentro situado a distˆancia l
i
da base do elo e ω
i
a
velocidade angular dosegmentoo i, ambos com rela¸c˜ao ao sistema de coordenadas base e I
l
i
representa os tensores de in´ercia do sistema, com rela¸c˜ao ao sistema de coordenadas base.
Agora, deve-se expressar a energia cin´etica em fun¸c˜ao das coordenadas generalizadas
do sistema. Para isto, podemos usar o m´etodo geom´etrico para o c´alculo do Jacobiano, que
caracteriza o elo i, dado por
˙
p
l
i
= J
(l
i
)
p
˙
q (2.71)
e
ω
i
= J
(l
i
)
O
˙
q, (2.72)
onde ´e evidenciada a contribui¸c˜ao das colunas dos Jacobianos relativos `a velocidade das
juntas que precedem osegmentoo i.
Os Jacobianos considerados s˜ao
J
(l
i
)
p
= [J
(l
i
)
pR1
. . . J
(l
i
)
pRi
, 0 . . . 0, ,J
(l
i
)
pT 1
. . . J
(l
i
)
pT i
, 0 . . . 0] (2.73)
e
J
(l
i
)
O
= [J
(l
i
)
OR1
. . . J
(l
i
)
ORi
, 0 . . . 0,J
(l
i
)
OT 1
. . . J
(l
i
)
OT i
, 0 . . . 0]. (2.74)
As colunas das matrizes (2.73) e (2.74) podem ser calculadas atrav´es do Jacobiano
geom´etrico.
Assim, a energia cin´etica do elo i, em (2.70), pode ser escrita como
T
l
i
=
1
2
m
l
i
˙
q
T
J
(l
i
)T
p
J
(l
i
)
p
˙
q +
1
2
˙
q
T
J
(l
i
)T
O
I
l
i
J
(l
i
)
O
˙
q. (2.75)
A contribui¸c˜ao da energia cin´etica relativa ao motor da junta i, considerando um
caso t´ıpico de motor el´etrico [Sciavicco e Siciliano, 1995], pode ser escrita como
T
h
i
=
1
2
m
h
i
˙
p
T
h
i
˙
p
h
i
+
1
2
ω
T
h
i
I
h
i
ω
h
i
, (2.76)
onde m
h
i
´e a massa do motor, p
h
i
´e a velocidade linear do baricentro do motor, I
h
i
´e o tensor
32
de in´ercia do motor relativo ao baricentro e ω
h
i
´e a velocidade angular do rotor.
Para expressar a energia cin´etica do motor, em fun¸c˜ao das vari´aveis de junta, ´e
oportuno expressar a velocidade linear do baricentro do motor, em analogia a (2.71), como
˙
p
h
i
= J
(h
i
)
p
˙
q. (2.77)
O Jacobiano a calcular ´e, portanto,
J
(h
i
)
p
= [J
(h
i
)
pR1
. . . J
(h
i
)
pRi
, 0 . . . 0, ,J
(h
i
)
pT 1
. . . J
(h
i
)
pT i
, 0 . . . 0]. (2.78)
Agora a velocidade angular, em (2.76), em fun¸c˜ao das vari´aveis de junta, pode ser
expressa por
ω
h
i
= J
(h
i
)
O
˙
q (2.79)
e o Jacobiano a ser calculado ´e
J
(m
i
)
O
= [J
(h
i
)
OR1
. . . J
(h
i
)
ORi
, 0 . . . 0, J
(h
i
)
OT 1
. . . J
(h
i
)
OT i
, 0 . . . 0]. (2.80)
Assim, a energia cin´etica do motor i pode ser escrita na forma
T
h
i
=
1
2
m
h
i
˙
q
T
J
(h
i
)T
p
J
(h
i
)
p
˙
q +
1
2
˙
q
T
J
(h
i
)T
O
I
h
i
J
(h
i
)
O
˙
q. (2.81)
Analogamente, a contribui¸c˜ao da energia cin´etica relativa `a carga no elemento ter-
minal ´e dada por
T
c
=
1
2
m
c
˙
p
T
c
˙
p
c
+
1
2
ω
T
c
I
c
ω
c
, (2.82)
resultando
T
c
=
1
2
m
c
˙
q
T
J
(c)T
p
J
(c)
p
˙
q +
1
2
˙
q
T
J
(c)T
O
I
c
J
(c)
O
˙
q, (2.83)
onde m
c
´e a massa da carga, p
c
´e a velocidade linear do baricentro da carga, I
c
´e o tensor
de in´ercia da carga, relativo ao baricentro e ω
c
´e a velocidade angular da carga considerada
fixa ao elemento terminal.
Finalmente, segundo (2.69), somando as v´arias contribui¸c˜oes relativas aos elos, mo-
33
tores e carga, expressos por (2.75), (2.81) e (2.83), respectivamente, a energia cin´etica total
do robˆo ´e expressa na forma quadr´atica
T =
1
2
N
i=1
N
j=1
b
ij
(q) ˙q
i
˙q
j
=
1
2
˙
q
T
B(q)
˙
q, (2.84)
onde
B(q) =
N
i=1
m
l
i
J
(l
i
)T
p
J
(l
i
)
p
+ J
(l
i
)T
O
I
l
i
J
(l
i
)
O
+ m
h
i
J
(h
i
)T
p
J
(h
i
)
p
+ J
(h
i
)T
O
I
h
i
J
(h
i
)
O
+
1
2
m
c
J
(c)T
p
J
(c)
p
+
1
2
J
(c)T
O
I
c
J
(c)
O
(2.85)
´e denominada a matriz de in´ercia (N × N) sim´etrica, positiva definida e dependente da
configura¸c˜ao do robˆo.
Energia Potencial
Assim como para a energia cin´etica, a energia potencial total ´e dada pela soma das
contribui¸c˜oes relativas a cada elo, das contribui¸c˜oes relativas aos motores das juntas e da
carga, al´em da energia potencial el´astica decorrente do deslocamento dos elos
U =
N
i=1
(U
l
i
+ U
h
i
+ U
e
i
) + U
c
. (2.86)
A contribui¸c˜ao gen´erica das for¸cas gravitacionais ´e
U
l
i
= −
a
i
0
g
T
0
p
i
ρdV = −m
l
i
g
T
0
p
l
i
, (2.87)
na qual g
0
´e o vetor acelera¸c˜ao da gravidade, com rela¸c˜ao ao sistema de coordenadas base.
Utiliza-se a rela¸c˜ao que define as coordenadas do baricentro do elo i . Para a contribui¸c˜ao
do motor i e da carga, an´alogo a (2.87), tem-se
U
h
i
= −m
h
i
g
T
0
p
h
i
, U
c
= −m
c
g
T
0
p
c
. (2.88)
A energia potencial el´astica ´e dada pela express˜ao
U
e
i
=
1
2
a
i
0
EI
i
(x
i
)
d
2
d
yi
(x
i
)
dx
2
2
dx, (2.89)
34
que pode ser reescrita na forma
U
e
i
=
1
2
m
j=1
m
k=1
δ
ij
δ
ik
k
ijk
, (2.90)
onde k
ijk
´e o coeficiente de elasticidade cruzado do modo j e k do elo i na forma
k
ijk
=
a
i
0
(EI)
i
φ
ij
(x
i
)
′′
φ
ik
(x
i
)
′′
dx
i
. (2.91)
Substituindo (2.87), (2.88) e (2.90) em (2.86), obt´em-se a energia potencial total
expressa por
U = −
N
i=1
(m
l
i
g
T
0
p
l
i
+ m
h
i
g
T
0
p
h
i
) +
1
2
N
i=1
m
j=1
m
k=1
δ
ij
δ
ik
k
ijk
− m
c
g
T
0
p
c
, (2.92)
na qual, atrav´es de p
c
, p
l
i
e p
h
i
, pode-se observar dependˆencia somente das vari´aveis de
junta q e n˜ao de
˙
q.
2.2.3 Equa¸c˜ao do Movimento
Levando em conta as express˜oes (2.84) e (2.92), que representam a energia cin´etica
e a energia potencial do sistema mecˆanico, respectivamente, o Lagrangeano (2.67) pode ser
escrito na forma
L(q,
˙
q) = T (q,
˙
q) −U(q) =
1
2
N
i=1
N
j=1
b
ij
(q) ˙q
i
˙q
j
+
N
i=1
(m
l
i
g
T
0
p
l
i
+ m
h
i
g
T
0
p
h
i
) −
1
2
N
i=1
m
j=1
m
k=1
δ
ij
δ
ik
k
ijk
+ m
c
g
T
0
p
c
. (2.93)
Seguindo a deriva¸c˜ao da equa¸c˜ao (2.68) e notando que U n˜ao depende de
˙
q, obt´em-se
d
dt
∂L
∂ ˙q
i
=
d
dt
∂T
∂ ˙q
i
=
N
j=1
b
ij
(q)¨q
j
+
N
j=1
db
ij
(q)
dt
˙q
j
=
N
j=1
b
ij
(q)
¨
q
j
+
N
j=1
N
k=1
∂b
ij
(q)
∂q
k
˙q
k
˙q
j
(2.94)
35
e, tamb´em,
∂T
∂q
i
=
1
2
N
j=1
N
k=1
∂b
jk
(q)
∂q
i
˙q
k
˙q
j
, (2.95)
onde os ´ındices dos somat´orios foram oportunamente modificados. Por outro lado, de acordo
com (2.71) e (2.77), obt´em-se
∂U
l
∂q
i
+
∂U
h
∂q
i
+
∂U
c
∂q
i
= −
N
j=1
m
l
j
g
T
0
∂p
lj
∂q
i
+ m
h
j
g
T
0
∂p
hj
∂q
i
− m
c
g
T
0
∂p
c
∂q
i
= −
N
j=1
m
l
j
g
T
0
J
(l
j
)
p
i
(q) + m
h
j
g
T
0
J
(h
j
)
p
i
(q)
− m
c
g
T
0
J
(c)
p
(q) = g
i
(q), (2.96)
∂U
e
∂q
i
= −
1
2
N
i=1
m
j=1
m
k=1
∂δ
ij
δ
ik
∂q
i
k
ijk
= Kq. (2.97)
Como U
e
independe de θ
i
, tem-se
∂U
e
∂θ
i
= 0 (2.98)
e, para as vari´aveis de deslocamento,
∂U
e
∂δ
ik
=
m
j=1
δ
ij
k
ijk
, (2.99)
onde, como no caso anterior, os ´ındices dos somat´orios foram modificados. Portanto, as
equa¸c˜oes do movimento resultam
N
j=1
b
ij
(q)¨q
j
+
N
j=1
N
k=1
h
ijk
(q) ˙q
k
˙q
j
+ Kq+g
i
(q) = ξ
f
i
i = 1, . . . , n, (2.100)
onde
h
ijk
=
∂b
ij
∂q
k
−
1
2
∂b
jk
∂q
i
. (2.101)
Uma interpreta¸c˜ao f´ısica da equa¸c˜ao do movimento evidencia que o coeficiente b
ii
representa o momento de in´ercia na junta i quando as outras juntas est˜ao bloqueadas, en-
quanto que o coeficiente b
ij
leva em conta o efeito da acelera¸c˜ao da junta j sobre a junta i.
36
O termo h
ijk
(q) ˙q
k
˙q
j
representa o efeito centr´ıfugo e de Coriolis na junta i, provocado pela
velocidade da junta j e k. O termo g
i
representa o torque gerado no eixo da junta i devido
ao efeito da gravidade.
Para explicitar as for¸cas n˜ao conservativas que comp˜oem o trabalho sobre as juntas
do robˆo deve-se subtrair dos torques de atua¸c˜ao os torques de atrito viscoso das juntas e
amortecimento dos bra¸cos D
˙
q.
Se o elemento terminal do robˆo est´a em contato com um ambiente, parte dos torques
de atua¸c˜ao devem compensar os torques induzidos nas juntas pelas for¸cas de contato. Tais
torques s˜ao dados por J
T
(q)h
a
, onde h
a
denota o vetor de for¸cas exercidas pelo elemento
terminal do robˆo sobre o ambiente.
Enfim, a equa¸c˜ao do movimento (2.100) pode ser reescrita na forma matricial com-
pacta, que representa o modelo dinˆamico de um robˆo com elos flex´ıveis
B(q)
¨
q + C(q,
˙
q)
˙
q + D
˙
q + Kq + g(q) = τJ
T
(q)h
a
, (2.102)
onde C
N×N
satisfaz a rela¸c˜ao
N
j=1
c
ij
˙q
j
=
N
j=1
N
k=1
h
ijk
(q) ˙q
k
˙q
j
. (2.103)
2.2.4 Propriedades do Modelo Dinˆamico
Aqui, representa-se uma importante propriedade do modelo dinˆamico, muito ´util
para a elabora¸c˜ao de algoritmos de controle.
Antissimetria da Matriz
˙
B −2C
Como visto anteriormente, a matriz C ´e determinada como
N
j=1
c
ij
˙q
j
=
N
j=1
N
k=1
h
ijk
(q) ˙q
k
˙q
j
=
N
j=1
N
k=1
∂b
ij
∂q
k
−
1
2
∂b
jk
∂q
i
˙q
k
˙q
j
, (2.104)
que, mediante oportunas mudan¸cas nos somat´orios entre j e k, pode ser reescrita como
N
j=1
c
ij
˙q
j
=
1
2
N
j=1
N
k=1
∂b
ij
∂q
k
˙q
k
˙q
j
+
1
2
N
j=1
N
k=1
∂b
ik
∂q
j
−
∂b
jk
∂q
i
˙q
k
˙q
j
. (2.105)
37
Em conseq¨uˆencia, o elemento gen´erico de C resulta
c
ij
=
N
k=1
c
ijk
˙q
k
, (2.106)
onde os coeficientes
c
ijk
=
1
2
∂b
ij
∂q
k
+
∂b
ik
∂q
j
−
∂b
jk
∂q
i
(2.107)
s˜ao denominados s´ımbolos de Christoffel. Nota-se que, devido `a simetria de B, tem-se
c
ijk
= c
ikj
. (2.108)
Substituindo os coeficientes de (2.107) em (2.106), obt´em-se
c
ij
=
1
2
N
k=1
∂b
ij
∂q
k
˙q
k
+
1
2
N
k=1
∂b
ik
∂q
j
−
∂b
jk
∂q
i
˙q
k
=
1
2
˙
b
ij
+
1
2
N
k=1
∂b
ik
∂q
j
−
∂b
jk
∂q
i
˙q
k
. (2.109)
Agora, tomando n
ij
=
˙
b
ij
− 2c
ij
, tem-se
n
ij
=
˙
b
ij
− 2
1
2
˙
b
ij
+
1
2
N
k=1
∂b
ik
∂q
j
−
∂b
jk
∂q
i
˙q
k
=
N
k=1
∂b
jk
∂q
i
−
∂b
ik
∂q
j
˙q
k
. (2.110)
Pode-se observar que n
ij
= −n
ji
. Isto demonstra a antissimetria da matriz N(q,
˙
q) =
˙
B(q) −2C(q,
˙
q). Uma propriedade interessante, conseq¨uˆencia da antissimetria de N(q,
˙
q),
´e
˙
q
T
N(q,
˙
q)
˙
q = 0. (2.111)
Mas, como C n˜ao ´e ´unica, deve-se mostrar que (2.111) vale para qualquer escolha de
C. Para isto, ´e usado o princ´ıpio da conserva¸c˜ao da energia (Princ´ıpio de Hamilton), onde a
derivada total da energia cin´etica equivale `a potˆencia gerada por todas as for¸cas que agem
sobre as juntas do robˆo. Para este sistema, escreve-se
1
2
d
dt
(
˙
q
T
B(q)
˙
q) =
˙
q
T
(τ − D
˙
q −Kq −g(q) − J
T
(q)h
a
). (2.112)
38
Efetuando a deriva¸c˜ao do primeiro membro de (2.112), obt´em-se
1
2
˙
q
T
˙
B(q)
˙
q +
˙
q
T
B(q)
¨
q. (2.113)
Substituindo B(q)
¨
q de (2.102), resulta
1
2
d
dt
(
˙
q
T
B(q)
˙
q) =
1
2
˙
q
T
(
˙
B(q) − 2C(q,
˙
q))
˙
q
+
˙
q
T
(τ − D
˙
q −Kq −g(q) − J
T
(q)h
a
. (2.114)
Da igualdade do segundo membro das equa¸c˜oes (2.112) e (2.114), obt´em-se o resul-
tado fixado em (2.111).
2.2.5 Modelo Dinˆamico Expl´ıcito para um Robˆo com um elo R´ıgido e um
Flex´ıvel
´
E apresentado aqui o modelo dinˆamico expl´ıcito de um robˆo planar com um elo
r´ıgido e um elo flex´ıvel (n = 2), com dois modos el´asticos para o elo flex´ıvel (m = 2). Assim,
o vetor de coordenadas Lagrangeanas se reduz a q = (θ
1
, θ
2
, δ
1
, δ
2
)
T
, o que representa N = 4.
Resultados experimentais mostram que este modelo de ordem reduzida, com dois modos de
deslocamento ´e suficiente para o controle de elos flex´ıveis atrav´es do torque dos motores
devido a limita¸c˜ao de freq¨uˆencia dos motores [De Luca e Siciliano, 1990].
Figura 2.7 – Robˆo planar com dois elos flex´ıveis
Considera-se o robˆo da Figura 2.7, para o qual o vetor das vari´aveis generalizadas
resulta em q = (θ
1
, θ
2
, δ
1
, δ
2
).
T
Sejam a
1
e a
2
o comprimento dos elos, r´ıgido e flex´ıvel,
39
respectivamente, l
1
e l
2
a posi¸c˜ao dos baricentros dos bra¸cos, m
1
e m
2
as massas dos elos,
m
h
1
e m
h
2
as massas dos motores que acionam as juntas, m
c
a massa da carga no elemento
terminal e I
h
1
e I
h
2
os momentos de in´ercia em torno dos motores. Sup˜oe-se que p
m
i
= p
i−1
e z
h
i
= z
i−1
para i = 1, 2, isto ´e, os motores est˜ao situados sobre o eixo das juntas com
baricentro em correspondˆencia com as origens dos respectivos sistemas coordenados e s˜ao
desconsiderados efeitos torcionais.
A transforma¸c˜ao matricial homogˆenea, representando a rota¸c˜ao do elo r´ıgido ´e dada
por
A
0
1
=
c(θ
1
) −s(θ
1
) 0 0
s(θ
1
) c(θ
1
) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(2.115)
e a rota¸c˜ao da junta do elo flex´ıvel ´e dada por
A
1
2
′
=
c(θ
2
) −s(θ
2
) 0 0
s(θ
2
) c(θ
2
) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
, (2.116)
onde c(·) e s(·) representam cos(·) e sen(·).
As matrizes transforma¸c˜ao D
0
1
e D
2
′
2
abaixo representam a transla¸c˜ao e a rota¸c˜ao
devido ao deslocamento do elo r´ıgido e do elo flex´ıvel, respectivamente, assumidas somente
transversais ao eixo do bra¸co.
D
0
1
=
1 0 0 a
1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
, D
2
′
2
=
1 −θ
′
2
0 a
2
θ
′
2
1 0 d
y2
0 0 1 0
0 0 0 1
, (2.117)
onde d
y2
= δ
1
φ
1
+ δ
2
φ
2
.
Assim, as transforma¸c˜oes matriciais totais do elo r´ıgido Q
0
1
e do elo flex´ıvel Q
1
2
s˜ao
40
dadas pelas matrizes
Q
0
1
= A
0
1
D
0
1
=
c(θ
1
) −s(θ
1
) 0 c(θ
1
)a
1
s(θ
1
) c(θ
1
) 0 s(θ
1
)a
1
0 0 1 0
0 0 0 1
, (2.118)
Q
1
2
= A
1
2
′
D
2
′
2
=
c(θ
2
) −s(θ
2
)θ
′
2
−c(θ
2
)θ
′
2
− s(θ
2
) 0 c(θ
2
)a
2
− s(θ
2
)dy
2
s(θ
2
) −c(θ
2
)θ
′
2
c(θ
2
) −s(θ
2
)θ
′
2
0 s(θ
2
)a
2
+ c(θ
2
)dy
2
0 0 1 0
0 0 0 1
. (2.119)
A posi¸c˜ao da extremidade do elemento terminal em rela¸c˜ao ao sistema de coorde-
nadas da base O
0
´e determinada por
˜
p
0
= Q
0
1
Q
1
2
˜
p
2
=
c(θ
1
) [c(θ
2
) a
2
− s(θ
2
) dy
2
] −s(θ
1
) [s(θ
2
) a
2
+ c(θ
2
) dy
2
] + c(θ
1
) a
1
s(θ
1
) [c(θ
2
) a
2
− s(θ
2
) dy
2
] + c(θ
1
) [s(θ
2
) a
2
+ c(θ
2
) dy
2
] + s(θ
1
) a
1
0
1
.
(2.120)
A partir das transforma¸c˜oes matriciais acima, o c´alculo dos Jacobianos geom´etricos
em (2.53) fornece os Jacobianos relativos `a velocidade linear das juntas que precedem o elo
i, para os elos, motores e carga do elemento terminal expressos abaixo.
O Jacobiano representando a velocidade linear e angular do baricentro do primeiro
elo r´ıgido ´e dado por
J
(l1)
p
=
−s(θ
1
) l
1
0 0 0
c(θ
1
) l
1
0 0 0
0 0 0 0
, J
(l1)
O
=
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
(2.121)
e para o segundo elo flex´ıvel
J
(l2)
p
=
−s(θ
1
)e
l2
− c(θ
1
)e
l1
− s(θ
1
) a
1
−s(θ
1
)e
l2
− c(θ
1
)e
l1
−s(θ
1
+ θ
2
) −s(θ
1
+ θ
2
)
−c(θ
1
)e
l2
− s(θ
1
)e
l1
− c(θ
1
) a
1
−c(θ
1
)e
l2
− s(θ
1
)e
l1
−c(θ
1
− θ
2
) −c(θ
1
− θ
2
)
0 0 0 0
, (2.122)
41
J
(l2)
O
=
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 0 0
, (2.123)
onde e
l1
= s(θ
1
) l
2
+ c(θ
1
)d
y2
e e
l2
= c(θ
1
) l
2
− s(θ
1
)d
y2
.
Para a velocidade linear e angular do baricentro do motor dos elos r´ıgido e flex´ıvel,
tˆem-se os Jacobianos
J
(h1)
p
=
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
, J
(h1)
O
=
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
, (2.124)
J
(h2)
p
=
−s(θ
1
) a
1
0 0 0
c(θ
1
) a
1
0 0 0
0 0 0 0
, J
(h2)
O
=
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 0 0
. (2.125)
Para a velocidade linear e angular da carga no elemento terminal, tˆem-se os Jaco-
bianos
J
(c)
p
=
−s(θ
1
)e
a2
− c(θ
1
)e
a1
− s(θ
1
) a
1
−s(θ
1
)e
a2
− c(θ
1
)e
a1
−s(θ
1
+ θ
2
) −s(θ
1
+ θ
2
)
−c(θ
1
)e
a2
− s(θ
1
)e
a1
− c(θ
1
) a
1
−c(θ
1
)e
a2
− s(θ
1
)e
a1
−c(θ
1
− θ
2
) −c(θ
1
− θ
2
)
0 0 0 0
, (2.126)
J
(c)
O
=
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 0 0
, (2.127)
onde e
a1
= s(θ
1
)a
2
+ c(θ
1
)d
y2
, e e
a2
= c(θ
1
) a
2
− s(θ
1
)d
y2
.
Somando as v´arias contribui¸c˜oes relativas aos elos, motores e carga, expressos pe-
los Jacobianos geom´etricos acima, obt´em-se a energia cin´etica e potencial total do robˆo,
resultando nas equa¸c˜oes do movimento do robˆo (2.102), cujas componentes s˜ao descritas
abaixo.
As componentes da matriz de in´ercia, positiva definida B(q), s˜ao obtidas de (2.85),
42
resultando em
b
11
= I
h1
+ m
c
a
2
2
+ m
c
dy
2
2
+ m
2
dy
2
2
+ 2 m
2
a
1
c(θ
2
) l
2
− 2 m
2
a
1
s(θ
2
) dy
2
−2 m
c
a
1
s(θ
2
) dy
2
+ 2 m
c
a
1
c(θ
2
) a
2
+ m
2
l
2
l2
+ m
h2
a
2
1
+ I
2
+ I
c
+ I
h2
+I
l1
+ m
1
I
2
l1
+ m
2
a
2
1
+ m
c
a
2
1
,
b
12
= b
21
= m
c
a
2
2
+ m
c
dy
2
2
+ m
2
dy
2
2
+ m
2
a
1
c(θ
2
) l
2
− m
2
a
1
s(θ
2
) dy
2
−m
c
a
1
s(θ
2
) dy
2
+ m
c
a
1
c(θ
2
) a
2
+ m
2
l
2
2
+ I
l2
+ I
c
+ I
h2
,
b
13
= b
31
= b
14
= b
41
= m
2
a
1
c(θ
2
) + m
2
l
2
+ m
c
a
1
c(θ
2
) + m
c
a
1
,
b
22
= m
c
a
2
2
+ m
c
dy
2
2
+ m
2
dy
2
2
+ m
2
l
2
2
+ I
l2
+ I
c
+ I
h2
,
b
23
= b
32
= b
24
= b
42
= m
2
l
2
+ m
c
a
2
,
b
33
= b
43
= b
34
= b
44
= m
2
+ m
c
.
(2.128)
Note que a ortonormaliza¸c˜ao das fun¸c˜oes formas modais implica em simplifica¸c˜oes
nos blocos diagonais da matriz de in´ercia, relativos aos deslocamentos de cada elo.
Uma vez obtida a matriz de in´ercia, as componentes de C(q,
˙
q) s˜ao calculadas
usando (2.103) e (2.101) e s˜ao expressas por
c
11
= (−2 m
2
a
1
s(θ
2
) l
2
− 2 m
2
a
1
c(θ
2
) dy
2
− 2 m
c
a
1
c(θ
2
) dy
2
− 2 m
c
a
1
s(θ
2
) a
2
)
˙
θ
2
,
c
12
= (−m
2
a
1
s(θ
2
) l
2
− m
2
a
1
c(θ
2
) dy
2
− m
c
a
1
c(θ
2
) dy
2
− m
c
a
1
s(θ
2
) a
2
)
˙
θ
2
,
c
21
= ( m
2
a
1
s(θ
2
) l
2
+ m
2
a
1
c(θ
2
) dy
2
+ m
c
a
1
c(θ
2
) dy
2
+ m
c
a1 s(θ
2
) a
2
)
˙
θ
1
(−
1
2
m
2
a
1
s(θ
2
) l
2
−
1
2
m
2
a
1
c(θ
2
) dy
2
−
1
2
m
c
a
1
c(θ
2
) dy
2
−
1
2
m
c
a
1
s(θ
2
) a
2
)
˙
θ
2
+(
1
2
m
2
a
1
s(θ
2
) +
1
2
m
c
a
1
s(θ
2
))
˙
δ
1
+ (
1
2
m
2
a
1
s(θ
2
) +
1
2
m
c
a
1
s(θ
2
))
˙
δ
2
,
c
22
= (
1
2
m
2
a
1
s(θ
2
)l
2
+
1
2
m
2
a
1
c(θ
2
) dy
2
+
1
2
m
c
a
1
c(θ
2
) dy
2
+
1
2
m
c
a
1
s(θ
2
) a
2
)
˙
θ
1
,
c
31
= c
41
= (−m
2
a
1
s(θ
2
) −m
c
a
1
s(θ
2
))
˙
θ
2
,
c
32
= c
42
= c
33
= c
43
= c
34
= c
44
= 0.
(2.129)
43
As componentes de g(q) s˜ao obtidas de (2.96), resultando em
g
1
= m
1
g c(θ
1
) l
1
+ m
2
g l
2
c(θ
1
+ θ
2
) −m
2
g δ
1
φ
1
s(θ
1
+ θ
2
) −m
2
g δ
2
φ
2
s(θ
1
+ θ
2
)
+m
2
g c(θ
1
) a
1
+ m
h
2
g c(θ
1
) a
1
+ m
c
g a
2
c(θ
1
+ θ
2
) −m
c
g δ
1
φ
1
s(θ
1
+ θ
2
)
−m
c
g δ
2
φ
2
s(θ
1
+ θ
2
) + m
c
g c(θ
1
) a
1
,
g
2
= m
2
g l
2
c(θ
1
+ θ
2
) −m
2
g δ
1
φ
1
sin(θ
1
+ θ
2
) −m
2
g δ
2
φ
2
s(θ
1
+ θ
2
)
+m
c
g a
2
c(θ
1
+ θ
2
) −m
c
g δ
1
φ
1
s(θ
1
+ θ
2
) −m
c
g δ
2
φ
2
s(θ
1
+ θ
2
),
g
3
= m
2
g c(θ
1
+ θ
2
) + m
c
g c(θ
1
+ θ
2
),
g
4
= m
2
g c(θ
1
+ θ
2
) + m
c
g c(θ
1
+ θ
2
).
(2.130)
A ortonormaliza¸c˜ao das fun¸c˜oes formas modais implica em simplifica¸c˜oes na matriz
de rigidez, resultando k
ijk
= 0, para j = k, e k
ijk
= ̟
2
jk
m
i
, para j = k, em (2.91), obtendo-se
uma matriz diagonal na forma
K = diag{0, 0, ̟
2
21
m
2
, ̟
2
22
m
2
} (2.131)
e a matriz de amortecimento, desconsiderando os efeitos de torques de atrito viscoso nas
juntas, resulta em
D = diag{0, 0, 2ζ
21
̟
2
21
, 2ζ
22
̟
2
22
}, (2.132)
onde ζ
21
e ζ
22
representam os ´ındices de amortecimento natural dos dois modos do elo flex´ıvel.
3. CONTROLE
3.1 Introdu¸c˜ao
Parte do controle proposto neste cap´ıtulo foi usado por Bottega, 2004 para resolver
problemas de trajet´oria para robˆos flex´ıveis. O controle de elos de robˆos flex´ıveis apresenta
uma dificuldade inerente de n˜ao existir uma entrada de controle independente para cada
grau de liberdade.
A fim de atingir este objetivo, usa-se uma lei de controle baseada em controladores
adaptativos [Ortega e Spong, 1989], cuja estabilidade da trajet´oria pode ser provada dire-
tamente usando a teoria de estabilidade de Lyapunov e uma lei de controle robusto [Yao e
Tomizuka, 1996] para reduzir as vibra¸c˜oes induzidas nos elos devido `a flexibilidade.
A outra proposta de controle neste cap´ıtulo ´e a de controle para sistemas n˜ao-
lineares atrav´es do m´etodo das equa¸c˜oes de Riccati dependentes do estado, o qual usa o
controle sub´otimo e busca estabilidade local do sistema [Mracek e Cloutier, 1998].
3.2 Considera¸c˜oes Iniciais
• Dada a equa¸c˜ao do movimento (2.102), pode-se reescrevˆe-la numa forma matricial que
seja mais conveniente para a determina¸c˜ao das leis de controle resultando em
B(θ)¨q + C(θ, ˙q) ˙q + K
e
q + D ˙q + g(q) = u, (3.1)
B(θ) ≡
B
θθ
B
θδ
B
T
θδ
B
δδ
, C(θ, ˙q) ≡
C
θθ
C
θδ
C
δθ
C
δδ
, (3.2)
g(q) =
g
θ
(q)
g
δ
(θ)
, u ≡
τ
0
, K
e
≡
0 0
0 K
, (3.3)
45
onde q =
θ
T
δ
T
T
´e o vetor de coordenadas generalizadas, θ ´e um vetor n × 1 de
coordenadas das juntas e δ ´e um vetor m × 1 de coordenadas dos modos de deslocamentos
dos bra¸cos. Al´em disso, B(q) ´e uma matriz (n + m) ×(n + m), matriz de in´ercia, sim´etrica,
positiva definida, C(q, ˙q) ˙q ´e um vetor (n + m)×1 de torques centr´ıfugos e de Coriolis , g(q)
´e um vetor(n + m) × 1 de torques gravitacionais, K ´e matriz m × m de rigidez diagonal,
positiva definida, D ´e matriz (n + m) ×(n + m) diagonal, positiva definida, de coeficientes
de fric¸c˜ao viscosa para o amortecimento modal dos elos e juntas e τ ´e um vetor n × 1 de
torques agindo nas juntas. Neste estudo, desconsidera-se intera¸c˜oes com o ambiente.
Uma significativa aproxima¸c˜ao para a matriz de in´ercia consiste em avaliar a con-
figura¸c˜ao n˜ao deformada, isto ´e, δ = 0 [Arteaga e Siciliano, 2000; De Luca e Siciliano, 1993a].
Assim, n˜ao apenas a matriz de in´ercia, mas tamb´em a matriz C(q, ˙q) fica independente de δ.
A mesma simplifica¸c˜ao pode ser feita no vetor g
δ
, tornando g
δ
≡ g
δ
(θ) [De Luca e Panzieri,
1994; De Luca e Siciliano, 1993b].
• O maior e menor autovalor da matriz ´e denotado por λ
max
(·) e λ
min
(·), respectiva-
mente. A norma de um vetor x
n×1
´e definido por x ≡
√
x
T
x, enquanto que a
norma de uma matriz A corresponde a A ≡
λ
max
(A
T
A).
• Propriedades [Arteaga e Siciliano, 2000]
1: A matriz de in´ercia B (θ) satisfaz:
λ
min
(B) q
2
≤ q
T
Bq ≤ λ
max
(B) q
2
∀ θ ∈ R
n
, ∀ q ∈ R
n+m
.
2: Com a defini¸c˜ao pr´opria de C(θ, ˙q) , a matriz
˙
B(θ) − 2C (θ, ˙q) ´e antissim´etrica.
3: A matriz C(θ, ˙q) satisfaz C(θ, ˙q) ≤ k
c
˙q ∀ θ ∈ R
n
, ∀ ˙q ∈ R
n+m
.
4: O vetor gravidade g
δ
(θ) ´e limitado por g
δ
(θ) ≤ σ
g
∀ θ ∈ R
n
.
3.3 Controle de Trajet´oria
Nesta se¸c˜ao, determina-se uma lei de controle de trajet´oria dos elos flex´ıveis do
robˆo. Considere a equa¸c˜ao (3.1). Os erros de trajet´oria s˜ao definidos como ˜q ≡ q − q
d
e
˙
˜q≡ ˙q − ˙q
d
, onde q indica a trajet´oria percorrida pelo robˆo e q
d
a trajet´oria desejada. Antes
do controle ser introduzido, seguem algumas defini¸c˜oes necess´arias:
Λ ≡ diag {Λ
θ
, Λ
δ
}, (3.4)
46
˙q
r
≡ ˙q
d
−Λ˜q ≡
˙
θ
T
r
˙
δ
T
r
T
=
˙
θ
d
− Λ
θ
˜
θ
T
˙
δ
d
− Λ
δ
˜
δ
T
T
, (3.5)
s ≡
˙
q −
˙
q
r
=
˙
˜q + Λ˜q ≡
s
T
θ
s
T
δ
T
, (3.6)
K
p
≡ diag
K
pθ
, K
pδ
, D = diag {D
θ
, D
δ
}, (3.7)
K
pD
≡ diag
K
pθ
+ D
θ
, K
pδ
+ D
δ
= diag {K
pDθ
, K
pDδ
}, (3.8)
onde ˙q
r
´e o vetor de velocidade de referˆencia e Λ, K
p
, K
pθ
e , K
pδ
s˜ao matrizes de ganho
diagonais, positivas definidas. Note que a propriedade 3 vale para cada submatriz de C(θ, ˙q),
isto ´e, existem constantes k
cθθ
, ..., k
cδδ
tais que C
θθ
≤ k
cθθ
˙q para cada submatriz. O
controle proposto ´e dado por
τ = B
θθ
¨
θ
r
+B
θδ
¨
δ
r
+C
θθ
˙
θ
r
+C
θδ
˙
δ
r
+D
θ
˙
θ
r
+g
θ
−K
pθ
s
θ
. (3.9)
As trajet´orias δ
d
e
˙
δ
d
desejadas, com condi¸c˜oes iniciais δ
d
(0) = δ(0) e
˙
δ
d
(0) =
˙
δ(0)
s˜ao computadas de
¨
δ
d
= −B
−1
δδ
C
δδ
˙
δ
r
+ D
δ
˙
δ
r
− K
pδ
s
δ
+ Kδ
d
+ B
T
θδ
¨
θ
r
+ C
δθ
˙
θ
r
+ g
δ
+Λ
δ
˙
˜
δ. (3.10)
O controle (3.9) junto com a equa¸c˜ao (3.10) ´e expressa por
u = B(θ)¨q
r
+C(θ, ˙q) ˙q
r
+K
e
q
d
+D ˙q
r
+g(q) − K
p
s. (3.11)
De (3.11), o erro dinˆamico ´e
B(θ)˙s = −(C(θ, ˙q)s + K
e
˜q + K
pD
s). (3.12)
A fim de simplificar a discuss˜ao sobre estabilidade, x ´e introduzido como x ≡
˜q
T
˙
˜q
T
T
.
O Teorema 1, no anexo, mostra a estabilidade de (3.12) e a limita¸c˜ao de δ
d
e
˙
δ
d
.
47
3.4 Controle de Vibra¸c˜oes
O Teorema 1 garante que o erro de trajet´oria tende a zero e que os deslocamentos
dos elos s˜ao limitadas. Para demonstrar que os deslocamentos s˜ao limitadas, assumimos que
D
δ
> 0, mas fisicamente o amortecimento pode ser pequeno, isto ´e, D
δ
≈ 0, implicando em
vibra¸c˜oes indesejadas. Neste caso, pode-se adicionar uma a¸c˜ao de controle que reduza as
vibra¸c˜oes induzidas pelo torque aplicado `as juntas, simulando um aumento do amortecimento
do sistema. Para determinar uma lei de controle das vibra¸c˜oes, assume-se θ
d
constante e o
erro de trajet´oria x ≈ 0. Desta forma, a dinˆamica de δ
d
pode ser descrita por
B
δδ
¨
δ
d
+C
δδ
˙
δ
d
+Kδ
d
+g
δ
= 0. (3.13)
Definindo uma nova vari´avel y ≡ δ
d
+ K
−1
g
δ
, a equa¸c˜ao (3.13) fica
B
δδ
¨y + C
δδ
˙y + Ky = 0. (3.14)
Usando uma candidata `a fun¸c˜ao de Lyapunov [Arteaga e Siciliano, 2000]
V
y
(y, ˙y) =
1
2
y
T
Ky +
1
2
˙y
T
B ˙y, (3.15)
observa-se que
˙
V
y
= 0. Portanto, o ponto de equil´ıbrio y = ˙y = 0 de (3.14) n˜ao ´e assin-
toticamente est´avel, indicando oscila¸c˜oes estacion´arias. No entanto, pode-se adicionar um
termo de amortecimento D
′
△
˙
δ
d
com D
△
> 0 `a equa¸c˜ao dinˆamica (3.13).
´
E claro que, neste
caso, a an´alise da estabilidade do erro de trajet´oria feita anteriormente n˜ao ser´a mais v´alida.
Mas pode-se provar com uma nova an´alise que o sistema continua est´avel com a adi¸c˜ao do
amortecimento.
Para isto, adiciona-se o termo D
′
△
˙
δ
d
`a equa¸c˜ao dinˆamica da trajet´oria desejada δ
d
em (3.13), resultando
¨
δ
d
= −B
−1
δδ
C
δδ
˙
δ
r
+D
δ
˙
δ
r
−K
pδ
s
δ
+Kδ
d
+B
T
θδ
¨
θ
r
+C
δθ
˙
θ
r
+g
δ
+D
′
∆
˙
δ
d
+Λ
δ
˙
˜
δ, (3.16)
com condi¸c˜oes iniciais δ
d
(0) = δ (0) e
˙
δ
d
(0) =
˙
δ (0) e
D
′
∆
≡ D
△
− diag{f
11
, ..., f
nm
}, (3.17)
48
onde
f
ij
≡ d
ij
˙
δ
dij
s
δij
˙
δ
dij
s
δij
+ ǫ
ij
e
−β
ij
t
i = 1, ...n j = 1, ..., m
i
m =
n
i=1
m
i
(3.18)
e D
△
´e uma matriz diagonal positiva definida, ǫ
ij
, β
ij
s˜ao constantes positivas, m
i
´e o n´umero
de coordenadas usadas para modelar os deslocamentos do elo i e s
δij
,
˙
δ
dij
, d
ij
s˜ao elementos
de s
δ
, δ
d
, D
△
, respectivamente. Observa-se que devido a estas defini¸c˜oes, D
′
∆
tamb´em ser´a
diagonal positiva definida.
Mantendo o que foi assumido anteriormente, θ
d
constante, erro de trajet´oria x ≈ 0
e D
δ
≈ 0, a equa¸c˜ao dinˆamica para δ
d
´e dada por
B
δδ
¨
δ
d
+C
δδ
˙
δ
d
+D
′
∆
˙
δ
d
+ Kδ
d
+g
δ
= 0. (3.19)
A defini¸c˜ao y ≡ δ
d
+ K
−1
g
δ
pode ser utilizada novamente para obter
B
δδ
¨y + C
δδ
˙y + D
′
∆
˙y + Ky = 0. (3.20)
Usando a fun¸c˜ao de Lyapunov (3.15), a propriedade 2 e o fato de D
′
∆
> 0 indepen-
dente de t, obt´em-se
˙
V
y
= −˙y
T
D
′
∆
˙y ≤ W (y, ˙y) ≤ 0, (3.21)
onde W (y, ˙y) = −min
λ
min
D
′
∆
˙y
2
que tamb´em independe do tempo. Pode-se provar
que (3.21) garante a estabilidade assint´otica do ponto de equil´ıbrio ˙y = y = 0 de (3.20)
[Lin et al., 1996a]. Desta forma, consegue-se aumentar o amortecimento do sistema. Na
seq¨uˆencia, juntando (3.9) com (3.16) obt´em-se a lei de controle do sistema (3.1) expressa por
u = B(θ)¨q
r
+C(θ, ˙q) ˙q
r
+K
e
q
d
+D ˙q
r
+g(q) − K
p
s+
0
T
D
′
∆
˙
δ
d
T
T
. (3.22)
Em virtude de (3.22), a equa¸c˜ao dinˆamica do erro fica na seguinte forma
B(θ)˙s = −(C(θ, ˙q)s + K
e
˜q + K
pD
s)+
0
T
D
′
∆
˙
δ
d
T
T
. (3.23)
O teorema 2, no anexo, verifica a estabilidade do erro de trajet´oria x e que δ
d
e
˙
δ
d
s˜ao limitados.
49
3.5 Controle com realimenta¸c˜ao
Controle com realimenta¸c˜ao ´e um mecanismo b´asico pelo qual sistemas dinˆamicos
mant´em seu equil´ıbrio. Por exemplo, uma mudan¸ca na temperatura do corpo de meio grau
geralmente ´e um sinal de doen¸ca, assim, o equil´ıbrio da temperatura ´e mantido pelo uso de
controle com realimenta¸c˜ao [Wiener, 1948].
Pode ser definido como controle realimentado o uso de sinais de diferen¸ca, determi-
nados pela compara¸c˜ao dos valores atuais das vari´aveis do sistema com os valores desejados,
como um meio de controlar o sistema [Schmid e Rafikov, 2005]. Um exemplo cotidiano de
um sistema de controle com realimenta¸c˜ao ´e o controle da velocidade de um autom´ovel o
qual usa a diferen¸ca da velocidade atual e a velocidade desejada para variar a taxa de fluxo
de combust´ıvel.
3.5.1 Problema de s´ıntese linear realimentado
O problema do controle ´otimo do sistema linear
˙x(t) = A
e
(t)x(t) + B
e
(t)u(t),
y = C
e
x,
x(0) = x
0
,
(3.24)
minimizando o funcional na forma quadr´atica
J[u] =
t
f
0
x
T
(t)Q
e
(t)x(t) + u
T
(t)R
e
(t)udt. (3.25)
chama-se o problema do regulador ´otimo linear com funcional quadr´atico. Neste problema
x ∈ ℜ
n
´e o vetor do estado, u ∈ ℜ
m
´e o vetor do controle, A
e
∈ ℜ
n×n
´e matriz de estado,
B
e
∈ ℜ
n×m
´e a matriz de controle, C
e
´e a matriz de sa´ıda do sistema, Q
e
∈ ℜ
n×n
´e matriz
de pesos semi definida positiva, R
e
∈ ℜ
m×m
´e definida positiva.
Se t
f
´e finito, ent˜ao o problema (3.24 - 3.25) ´e chamado problema linear- quadr´atico
do controle ´otimo com horizonte finito. Neste caso todas as matrizes podem depender do
tempo. Se t
f
= ∞, todas as matrizes s˜ao constantes, e o problema (3.24 - 3.25) ´e chamado
problema linear-quadr´atico do controle ´otimo com horizonte infinito, ou regulador com tempo
infinito ou ainda regulador linear-quadr´atico.
50
Este problema pode ser resolvido atrav´es da Programa¸c˜ao Dinˆamica [Bellman, 1957].
A equa¸c˜ao de Hamilton-Jacobi-Bellman para o problema (3.24 - 3.25) tem a seguinte forma:
min
u(t)
[
∂V
∂t
+ (gradV)
T
(A
e
(t)x + B
e
(t)u) + x
T
Q
e
(t)x + u
T
R
e
(t)u] = 0, (3.26)
onde o vetor
gradV =
∂V
∂x
1
∂V
∂x
2
...
∂V
∂x
n
T
.
Procura-se a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Hamilton-Jacobi-Bellman (3.26) na forma da
fun¸c˜ao de Lyapunov:
V(x, t) =
1
2
x
T
P
e
(t)x, (3.27)
onde P
e
(t) ´e a matriz a determinar.
Admitindo que gradV = P
e
(t)x, da condi¸c˜ao do m´ınimo de (3.26),
∂[...]
∂u
= 0, onde
[...] ´e o que est´a em colchetes na equa¸c˜ao (3.26), obtemos o controle ´otimo:
u = −R
e
−1
(t)B
e
T
(t)P
e
(t)x, (3.28)
Substituindo u na equa¸c˜ao (3.26) pelo controle (3.28) e admitindo que a matriz
P
e
(t) ´e sim´etrica, obt´em-se a equa¸c˜ao para encontrar P
e
(t) :
x
T
[
∂P
e
(t)
∂t
+ 2A
e
(t) −2P
e
(t)B
e
(t)R
e
−1
(t)B
e
(t)P
e
(t)
+Q
e
(t) + P
e
(t)B
e
(t)R
e
−1
(t)B
e
(t)P
e
(t)]x. (3.29)
Esta equa¸c˜ao ´e satisfeita para quaisquer valores de x se, e somente se, a matriz P
e
(t) satisfaz
a seguinte equa¸c˜ao diferencial de Riccati:
dP
e
(t)
dt
+ A
e
T
(t)P
e
(t) + P
e
(t)A
e
(t) − P
e
(t)B
e
(t)R
e
−1
(t)B
e
T
(t)P
e
(t) + Q
e
(t) = 0. (3.30)
Por defini¸c˜ao V(x, t
f
) = 0, ent˜ao a condi¸c˜ao final para a equa¸c˜ao (3.30) ´e
P
e
(t
f
) = 0. (3.31)
51
Para sistemas autˆonomos as matrizes A
e
, B
e
, Q
e
e R
e
s˜ao constantes
˙x(t) = A
e
x(t) + B
e
u(t), (3.32)
J[u] =
∞
0
x
T
(t)Q
e
x(t) + u
T
(t)R
e
u(t)dt. (3.33)
e para t
f
= ∞ a fun¸c˜ao V(x) n˜ao depende do tempo. A equa¸c˜ao (3.28) torna-se equa¸c˜ao
alg´ebrica de Riccati
A
e
T
P
e
+ P
e
A
e
− P
e
B
e
R
e
−1
B
e
T
P
e
+ Q
e
= 0. (3.34)
Neste caso a lei do controle ´otimo
u = −R
e
−1
B
e
T
P
e
x (3.35)
fornece m´ınimo ao funcional (3.33)
J
0
=
∞
0
x
T
(t)Q
e
x(t) + u
T
(t)R
e
u(t)dt, (3.36)
calculado nas trajet´orias ´otimas do sistema (3.32) e fornece estabilidade assint´otica ao sis-
tema (3.32) se o valor de J
0
´e finito. A estabilidade assint´otica do sistema (3.32) ´e assegurada
atrav´es da condi¸c˜ao suficiente para o m´ınimo dada pela positividade das matrizes Q
e
e R
e
,
ou seja,
∂
2
H
∂
2
x
∂
2
H
∂x∂u
∂
2
H
∂x∂u
∂
2
H
∂
2
u
=
Q
e
0
0 R
e
> 0, (3.37)
onde H ´e o Hamiltoniano do problema de controle ´otimo (3.24) e (3.25).
A condi¸c˜ao suficiente para que o valor de J
0
seja finito ´e a controlabilidade completa
para matrizes A
e
e B
e
. Isto significa que a matriz de controlabilidade
B
e
A
e
B
e
... A
e
n−1
B
e
(3.38)
52
n˜ao pode ser singular, ou seja, conter n colunas linearmente independentes. Neste caso
posto
B
e
A
e
B
e
... A
e
n−1
B
e
= n. (3.39)
3.5.2 Controle ´otimo com realimenta¸c˜ao para sistemas n˜ao-lineares usando e-
qua¸c˜oes de Riccati dependentes do estado
Um problema de controle ´otimo na forma (3.24) e (3.25), para um sistema com os
coeficientes das matrizes de estado, dependentes do estado e horizonte infinito, pode ser
formulado da seguinte forma [Mracek e Cloutier, 1998]: minimizar o funcional de custo
J[u] =
1
2
∞
t
0
x
T
Q
e
(x)x + u
T
R
e
(x)udt (3.40)
em rela¸c˜ao ao estado x e o controle u, sujeito ao sistema de restri¸c˜oes n˜ao-lineares
˙x = f(x) + B
e
(x)u,
y = C
e
(x)x,
x(0) = x
0
,
(3.41)
onde x ∈ ℜ
n
, u ∈ ℜ
m
e y ∈ ℜ
s
(ℜ
s
´e a dimens˜ao do vetor de sa´ıda do sistema). Q
e
(x) ∈ ℜ
n×n
´e matriz de pesos semidefinida positiva e R
e
(x) ∈ ℜ
m×m
´e definida positiva.
A aproxima¸c˜ao pelas equa¸c˜oes de Riccati dependentes do estado (SDRE), para re-
solver o problema de controle sub´otimo(3.40) e (3.41) se d´a por:
1- usar parametriza¸c˜ao direta para transformar a dinˆamica n˜ao-linear do estado em
matrizes de coeficientes dependentes do estado (SDC), obtem-se
˙x = A
e
(x)x + B
e
(x)u, (3.42)
com f (x) = A
e
(x)x. Em geral, A
e
(x) ´e unica somente se x for escalar [Banks et al., 2007].
Se pode consider, como um exemplo ilustrativo, um caso multivari´avel f(x) = [x
2
, x
3
1
]
T
. A
parametiza¸c˜ao ´obvia para os coeficientes dependentes do estado (SDC) ´e
A
1
(x) =
0 1
x
2
1
0
. (3.43)
53
por´em ´e possivel encontrar outras parametriza¸c˜oes como
A
2
(x) =
x
2
/x
1
0
x
2
1
0
, (3.44)
pela multiplic˜ao e divis˜ao de cada componente de f(x) por x
1
. Uma outra parametriza¸c˜ao
ainda pode ser obtida adicionando e subtraindo o termo x
1
x
2
de f(x)
A
3
(x) =
−x
2
1 + x
1
x
2
1
0
. (3.45)
De fato h´a um n´umero infinito de parametiza¸c˜oes para os coeficientes dependentes
do estado. Isto ´e vardadeiro desde que existam ao menos duas parametriza¸c˜aos para todo
0 ≤ α ≤ 1 satisfazendo
αA
1
(x)x + (1 −α)A
2
(x)x = αf(x) + (1 − α)f(x) = f (x). (3.46)
A escolha das parametriza¸c˜oes a serem feitas deve ser apropriada, de acordo com
o sistema de controle de interesse. Um fator importante para esta escolha ´e n˜ao violar
a controlabilidade do sistema, ou seja, a matriz de controlabilidade dependente do estado
B
e
(x) A
e
(x)B
e
(x) ... A
e
n−1
(x)B
e
(x)
ter posto completo.
2- resolver a equa¸c˜ao de Riccati dependente do estado [Banks et al., 2007]
O hamiltoniano para o problema de controle ´otimo (3.40) e (3.41) ´e dado por
H(x, u, λ) =
1
2
(x
T
Q
e
(x)x + u
T
R
e
(x)u) + λ
T
(A
e
(x)x + B
e
(x)u). (3.47)
Do Hamiltoniano, as condi¸c˜oes necess´arias para o controle ´otimo s˜ao dadas por
˙
λ = −Q
e
(x)x−
1
2
x
T
∂Q
e
(x)
∂x
x−
1
2
u
T
∂R
e
(x)
∂x
u−
∂(A
e
(x)x)
∂x
T
λ−
∂(B
e
(x)u)
∂x
T
λ, (3.48)
˙x = A
e
(x)x + B
e
(x)u, (3.49)
0 = R
e
(x)u + B
e
(x)λ. (3.50)
Denotando A
i
a i-linha de A
e
(x) e B
i
a i-linha de B
e
(x). Os termos de derivada
54
parcial, na forma matricial s˜ao
∂(A
e
(x)x)
∂x
= A
e
(x) +
∂(A
e
(x))
∂x
x = A
e
(x) +
∂A
1
∂x
1
x ···
∂A
1
∂x
n
x
···
.
.
.
···
∂A
n
∂x
1
x ···
∂A
n
∂x
n
x
, (3.51)
e
∂(B
e
(x)u)
∂x
=
∂B
1
∂x
1
u ···
∂B
1
∂x
n
u
···
.
.
.
···
∂B
n
∂x
1
u ···
∂B
n
∂x
n
u
, (3.52)
O co-estado ´e assumido na forma λ = P
e
(x)x, que tem dependˆencia do estado.
Usando esta forma do co-estado, da equa¸c˜ao (3.50) obtem-se o controle realimentado
u = −R
e
−1
(x)B
e
T
(x)P
e
(x)x. (3.53)
Substituindo este controle na equa¸c˜ao (3.49) tem-se
˙x = A
e
(x)x −B
e
(x)R
e
−1
(x)B
e
T
(x)P
e
(x)x. (3.54)
Para encontrar o valor da fun¸c˜ao P
e
(x) diferencia-se λ = P
e
(x)x no tempo ao longo da
trajet´oria
˙
λ =
˙
P
e
(x)x + P
e
(x) ˙x
=
˙
P
e
(x)x + P
e
(x)A
e
(x)x −P
e
(x)B
e
(x)R
e
−1
(x)B
e
T
(x)P
e
(x)x, (3.55)
onde ´e usada a nota¸c˜ao
˙
P
e
(x) =
n
i=1
P
x
i
(x) ˙x
i
(t).
Substituindo a equa¸c˜ao (3.55) na primeira condi¸c˜ao necess´aria do controle ´otimo,
equa¸c˜ao (3.48), referente `a
˙
λ, obtem-se
˙
P
e
(x)x + P
e
(x)A
e
(x)x −P
e
(x)B
e
(x)R
e
−1
(x)B
e
T
(x)P
e
(x)x
= −Q
e
(x)x −
1
2
x
T
∂Q
e
(x)
∂x
x −
1
2
u
T
∂R
e
(x)
∂x
u
−
A
e
(x) +
∂(A
e
(x))
∂x
x
T
P
e
(x)x −
∂(B
e
(x)u)
∂x
T
P
e
(x)x, (3.56)
55
Colocando os termos de uma maneira mais adequada, tem-se
˙
P
e
(x)x +
1
2
x
T
∂Q
e
(x)
∂x
x +
1
2
u
T
∂R
e
(x)
∂x
u +
x
T
∂(A
e
(x))
∂x
T
P
e
(x)x +
∂(B
e
(x)u)
∂x
T
P
e
(x)x +
P
e
(x)A
e
(x) + A
e
T
(x)P
e
(x) −P
e
(x)B
e
(x)R
e
−1
(x)B
e
T
(x)P
e
(x) + Q
e
(x)
x = 0, (3.57)
Assumindo que P
e
(x) ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Riccati dependente do estado (SDRE),
dada por
P
e
(x)A
e
(x) + A
e
T
(x)P
e
(x) −P
e
(x)B
e
(x)R
e
−1
(x)B
e
T
(x)P
e
(x) + Q
e
(x) = 0, (3.58)
ent˜ao a seguinte condi¸c˜ao necess´aria de otimalidade precisa ser satisfeita
˙
P
e
(x)x +
1
2
x
T
∂Q
e
(x)
∂x
x +
1
2
u
T
∂R
e
(x)
∂x
u +
x
T
∂(A
e
(x))
∂x
T
P
e
(x)x +
∂(B
e
(x)u)
∂x
T
P
e
(x)x = 0. (3.59)
Esta ´e uma condi¸c˜ao de otimalidade que satisfaz a solu¸c˜ao do controle sub´otimo
localmente. No tempo infinito, no caso padr˜ao do Regulador linear quadr´atico (com matrizes
de peso do funcional com corficientes constantes) verifica-se que esta equa¸c˜ao ´e localmente
satisfeita.
3 - construir o controle n˜ao-linar realimentado [Banks et al., 2007]
u = −S
e
(x)x,
S
e
(x) = R
e
−1
(x)B
e
T
(x)P
e
(x). (3.60)
Para alguns casos especiais, como sistemas com pouca dependˆencia do estado ou com
poucas vair´aveis de estado, a equa¸c˜ao (3.58) pode ser resolvida de forma anal´ıtica [Shawky
et al., 2007]. Por outro lado, uma solu¸c˜ao num´erica pode ser obtida com uma taxa de
amostragem suficientemente grande. Uma aproxima¸c˜ao, com estabilidade local, do sistema
de malha fechada ´e resultado do uso da t´ecnica das equa¸c˜oes de Riccati dependentes do
estado, n˜ao-lineares.
56
Lema: Para uma parametriza¸c˜ao dos coeficientes dependentes do estado A
e
(x)x,
A
e
(0) ´e a lineariza¸c˜ao de f(x) sobre o zero equil´ıbrio.
Prova: sejam A
1
(x) e A
2
(x) duas parametriza¸c˜oes distintas de f(x) e seja
˜
A(x) =
A
1
(x) - A
2
(x). Ent˜ao
˜
A(x)x = 0 para todo x e
∂
˜
A(x)x
∂x
=
˜
A(x) +
∂
˜
A(x)
∂x
x = 0. (3.61)
Como o segundo termo do lado direito ´e zero em x = 0 segue que
˜
A(x) = 0. Isto implica
que A
1
(0) = A
2
(0). Portanto, a parametriza¸c˜ao avaliada em zero ´e ´unica. Sem perder a
generalidade, considere uma parametriza¸c˜ao dada por A
1
(x). A lineariza¸c˜ao do sistema ´e
dada por
˙
z = ∇f(0)z, (3.62)
mas
∇f(x) = A
1
(x) +
∂A
1
(x)
∂x
x, (3.63)
logo ∇f(0) = A
1
(0), a qual foi mostrada ser a ´unica para todas as parametriza¸c˜oes.
´
E assumido que existe solu¸c˜ao da SDRE para todo x na vizinhan¸ca da origem
considerada. Ent˜ao, naturalmente, o par (A
e
(x), B
e
(x)) ´e uma parametriza¸c˜ao estabeliz´avel.
Uma consequˆencia l´ogica ´e que a solu¸c˜ao existe em x = 0 e que P
0
= P
e
(0) ´e solu¸c˜ao do
sistema de equa¸c˜oes alg´ebricas de Riccati (3.34).
Teorema 3 [Mracek e Cloutier, 1998]: Assume-se que a parametriza¸c˜ao dos coefi-
cientes dependentes do estado seja escolhida de forma que a coluna A
e
(x) ∈ C
1
em torno da
vizinhan¸ca sobre a origem e que os pares (A
e
(x), B
e
(x)) e (C
e
(x), A
e
(x)) sejam, no sentido
linear para todo x pertencente a vizinhan¸ca sobre a origem, ponto a ponto, estabiliz´aveis e
detect´aveis, respectivamente. Ent˜ao o regulador n˜ao-linear SDRE produz uma solu¸c˜ao em
malha fechada que ´e localmente e assintoticamente est´avel. A Prove deste teorema encontra-
se no anexo.
Segundo [Mracek e Cloutier, 1998], um fator importante do m´etodo SDRE ´e que
ele n˜ao cancela os benef´ıcios que podem provir das n˜ao-linearidades do sistema dinˆamico. A
raz˜ao para isto pode ser que ele n˜ao exige nenhuma invers˜ao dinˆamica e nem lineariza¸c˜oes
57
na realimenta¸c˜ao do sistema n˜ao-linear.
O procedimento para aplicar o m´etodo SDRE num sistema dinˆamico ´e o seguinte
[Shawky et al., 2007]
Passo1 - Transformar o sistema dinˆamico em espa¸co de estados e parametrizar o
modelo na forma de coeficientes dependentes do estado.
Passo2 - Mensurar o estado do sistema x(t), aplicar as condi¸c˜oes iniciais.
Passo3 - Para um dado estado inicial, resolver as equa¸c˜oes de Riccati dependentes
do estado.
Passo4 - Calcular o sinal de entrada atrav´es da equa¸c˜ao dada por u.
Passo5 - Assumir o valor da sa´ıda do sistema como o novo valor inicial e repetir o
procedimento para mensurar o pr´oximo valor do estado, isto ´e, voltar ao passo 3.
Passo6 - Repetir at´e o cret´erio de parada adotado ser alcan¸cado. Fim.
4. SENSORES E ATUADORES PIEZEL
´
ETRICOS
Muitos dos controladores de trajet´oria de manipuladores flex´ıveis utiliza, como visto
anteriormente, o torque produzido pelos motores, aplicado `as juntas, como atuador para
obter o movimento desejado nos elos do robˆo e tamb´em para controlar vibra¸c˜oes induzidas nos
elos, devido a sua flexibilidade. Estes controladores s˜ao modelados considerando movimento
de corpos flex´ıveis, onde os deslocamentos s˜ao obtidas com um n´umero finito de modos
el´asticos. No entanto, esta estrat´egia de controle pode n˜ao alcan¸car resultados satifat´orios,
em se tratando de vibra¸c˜oes, devido a limita¸c˜oes f´ısicas do equipamento tal como: satura¸cao
dos motores, per´ıodo m´ınimo de controle e ru´ıdos [Bottega, 2004].
Alguns destes problemas podem ser resolvidos utilizando um controle h´ıbrido con-
stitu´ıdo de dois atuadores, o motor que aciona as juntas e um atuador piezel´etrico fixo `a
superf´ıcie dos elos do robˆo.
Recentemente, controle de estruturas flex´ıveis utilizando materiais ”inteligentes”
como atuadores e sensores vˆem sendo estudado por pesquisadores. Entretanto, existem v´arios
tipos de materiais inteligentes, tal como materiais piezel´etricos, eletroestrictivos, transdu-
tores magnetoestrictivos, fluidos eletroreol´ogicos, materiais com mem´oria de forma e sen-
sores de fibras ´oticas [Banks et al., 1996]. Neste trabalho, prop˜oe-se a utiliza¸c˜ao de materiais
piezel´etricos. Trata-se de um material que desenvolve tens˜ao mecˆanica quando sujeito a
um campo el´etrico ou produz um campo el´etrico quando sujeito a uma tens˜ao mecˆanica.
V´arios materiais piezel´etricos como piezocerˆamicos (titanato zirconato de chumbo PZT) e
piezofilmes ( poli fluoreto de vinilideno PVDF) s˜ao aplic´aveis em controle de estruturas
flex´ıveis como atuadores e sensores. A flexibilidade do material piezofilme o torna ideal
para utiliza¸c˜ao em estruturas flex´ıveis como barras, placas e cascas, enquanto que o material
piezocerˆamico necessita de menor tens˜ao el´etrica para produzir a mesma for¸ca ou momento
que o piezofilme. Para potencializar as vantagens do material piezocerˆamico e piezofilme, ´e
conveniente usar o piezofilme como sensor e o piezocerˆamico como atuador.
Neste trabalho, incorpora-se a capacidade inerente dos materiais piezel´etricos para
59
controlar vibra¸c˜oes de estruturas flex´ıveis ao controle do manipulador rob´otico apresentado
no cap´ıtulo 3, no intuito de eliminar as vibra¸c˜oes de alta freq¨uˆencia (acima de 1KHz),
induzidas nos elos do robˆo, que n˜ao s˜ao alcan¸cadas pelo controle de torque atuado pelos
motores que acionam as juntas do robˆo.
Isto resulta num controle h´ıbrido, constitu´ıdo de uma lei de controle de retroali-
menta¸c˜ao para o torque dos motores e um controlador de retroalimenta¸c˜ao de tens˜ao el´etrica
para os atuadores piezel´etricos, conforme mostrado no diagrama de blocos na Figura 4.1 .
Figura 4.1 – Diagrama de blocos do controlador proposto.
Os sensores piezofilmes e atuadores piezocerˆamicos s˜ao fixos aos elos flex´ıveis do
manipulador, conforme a Figura 4.2. Como resultado, espera-se uma maior precis˜ao no
desenvolvimento de uma determinada trajet´oria dos elementos do robˆo.
Figura 4.2 – Esbo¸co do manipulador com atuadores e sensores piezel´etricos.
60
4.1 Modelo Dinˆamico
O elo do robˆo pode ser modelado como uma barra uniforme de comprimento a
i
,
com um piezocerˆamico fixo a sua superf´ıcie superior como atuador e um piezofilme fixo a
sua superf´ıcie inferior como sensor, conforme a Figura 4.3.
Figura 4.3 – elo rob´otico com atuadores e sensores pizel´etricos.
Com a adi¸c˜ao do atuador e do sensor aos elos flex´ıveis do robˆo, as equa¸c˜oes dos
deslocamentos (2.17) e da energia potencial dos elos (2.92) devem ser remodeladas, levando
em considera¸c˜ao as altera¸coes f´ısicas, como rigidez e massa do elo e o momento gerado pelos
atuadores [Fuller et al., 1997].
Se o manipulador for composto por elos flex´ıveis n˜ao prism´aticos, ou seja a se¸c˜ao
transversal vari´avel ao longo do elo, h´a um complicador que ´e a determina¸cao dos modos na-
turais de vibra¸c˜ao dos elos. Tendo em vista ser dif´ıcil trabalhar neste caso com a formula¸c˜ao
anal´ıtica, prop˜oe-se aqui formas n´umericas para a determina¸c˜ao dos modos de vibra¸c˜ao.
4.2 Determina¸c˜ao dos modos de vibra¸c˜ao
Como visto no cap´ıtulo 2, os elos do robˆo podem ser modelados como vigas de
Euler-Bernoulli. Para o elo com atuadores piezel´etricos, adota- se uma barra dividida em
trˆes partes descont´ınuas conforme a Figura 4.4, onde o deslocamento total de cada elo ´e
representado por d
1yi
(x, t), d
2yi
(x, t), d
3yi
(x, t) e satisfazendo as equa¸c˜oes de Euler-Bernoulli
61
Figura 4.4 – barra trissegmentada descont´ınua
[Meirovitch, 1997]:
(EI
1
)
i
∂
4
d
1yi
(x
i
, t)
∂x
4
i
+ ρ
1i
A
1i
∂
2
d
1yi
(x
i
, t)
∂t
2
= 0, (4.1)
(EI
2
)
i
∂
4
d
2yi
(x
i
, t)
∂x
4
i
+ ρ
2i
A
2i
∂
2
d
2yi
(x
i
, t)
∂t
2
= 0, (4.2)
(EI
3
)
i
∂
4
d
3yi
(x
i
, t)
∂x
4
i
+ ρ
3i
A
3i
∂
2
d
3yi
(x
i
, t)
∂t
2
= 0. (4.3)
Explorando a separabilidade de tempo e espa¸co de cada uma destas equa¸c˜oes da
deflex˜ao, usando a t´ecnica de an´alise modal com um n´umero finito de modos de vibra¸c˜ao, a
deflex˜ao de um elo rob´otico flex´ıvel pode ser expresso por
d
kyi
(x
i
, t) =
m
i
j=1
φ
kij
(x
i
)δ
kij
(t), (4.4)
onde k = 1, 2, 3, n´umero de partes em que foi dividido o elo e δ
kij
(t), s˜ao vari´aveis temporais
e as deflex˜oes associadas `as fun¸c˜oes modais espaciais φ
kij
(x
i
) do elo i. Como visto no item
2.1.5 do cap´ıtulo 2, ´e poss´ıvel encontrar solu¸c˜oes espaciais para os modos de vibra¸c˜ao para
cada trecho.
Desta maneira foram determinadas as fun¸c˜oes correspondentes aos modos naturais
de vibra¸c˜ao em [Bottega, 2004], correspondentes a cada trecho da viga trissegmentada. Esta
62
an´alise vale apenas para elos prism´aticos. Neste trabalho tamb´em se busca fazer uma an´alise
em elos n˜ao-prism´aticos, o que exige uma busca num´erica pelas autofun¸c˜oes.
4.3 Uma forma num´erica para as autofun¸c˜oes
Da formula¸c˜ao da teoria de vigas de Euler-Bernoulli, para pequenos deslocamentos,
a equa¸c˜ao de movimento ´e dada por:
∂
2
∂x
2
EI
∂
2
d
y
(x, t)
∂x
2
− p(x) = ρA
∂
2
d
y
(x, t)
∂t
2
, (4.5)
onde EI representa a rigidez flexural da viga, p(x) as for¸cas externas e d
y
(x, t) a deflex˜ao da
viga.
Para pequenas amplitudes, os modos naturais de vibra¸c˜ao n˜ao dependem das for¸cas
externas, portanto p(x) pode ser desconsiderado.
Assume-se vibra¸c˜oes livres com ausˆencia de for¸cas externas
d
y
(x, t) = φ(x)sen(̟t −Γ) (4.6)
onde φ(x) ´e um vetor com componentes independentes do tempo, ̟ ´e a freq¨uˆencia angular
e Γ ´e a fase do ˆangulo.
Substituindo (4.6) na equa¸c˜ao (4.5) obtem-se
d
2
dx
2
EI
d
2
φ(x)
dx
2
= −ρA̟
2
φ(x), (4.7)
Aproximando φ(x) por elementos finitos
a
0
d
2
dx
2
EI
d
2
φ(x)
dx
2
vdx +
a
0
ρ̟
2
Aφ(x)vdx = 0, ∀v, (4.8)
onde v ´e uma varia¸c˜ao arbitr´aria de φ(x), satifazendo as condi¸c˜oes de contorno.
Assume-se solu¸c˜oes admiss´ıveis na forma
φ =
N
i=1
U
i
ψ
i
,
v =
N
j=1
X
j
ψ
j
, (4.9)
63
onde U
i
e X
j
s˜ao coeficientes escalares e N ´e o n´umero de fun¸c˜oes de base {ψ
1
, ψ
2
, . . . , ψ
N
}.
Sendo EI constante em cada elemento finito [Bathe e Wilson, 1976], usando in-
tegra¸c˜ao por partes e substituindo (4.9) na equa¸c˜ao resultante, chega-se as express˜oes das
matrizes de rigidez, massa e amortecimento, respectivamente,
K
ij
=
a
0
EI
d
2
ψ
i
dx
2
d
2
ψ
j
dx
2
dx, (4.10)
M
ij
=
a
0
ρAψ
i
ψ
j
dx, (4.11)
D
ij
= αM
ij
+ βK
ij
, (4.12)
onde ψ s˜ao as fun¸c˜oes de interpola¸c˜ao de Hermite, definidas por elemento, ρ ´e a densidade
do material e α e β s˜ao constantes a serem determinadas por duas taxas de amortecimento
dadas, correspondentes `a duas freq¨uˆencias de vibra¸c˜ao diferentes. A matriz de massa poder´a
tamb´em ser tomada como diagonal, distribuindo de maneira adequada a massa nos n´os.
Neste caso, a discretiza¸c˜ao deve ser refinada o suficiente.
Assim, as freq¨uˆencias naturais e os modos de vibra¸c˜ao, em coordenadas modais,
por elementos finitos, na base modal, podem ser determinadas dos valores caracter´ısticos da
equa¸c˜ao:
K − ̟
2
M
φ = 0, (4.13)
onde ̟
2
s˜ao os valores caracter´ısticos desta equa¸c˜ao. Os autovetores representam os modos
de vibra¸c˜ao.
Quando se buscam as autofun¸c˜oes correspondentes `as freq¨uˆencias naturais ´e neces-
s´ario interpolar os valores discretos obtidos. Estas autofun¸c˜oes φ calculadas diretamente pela
interpola¸c˜ao dos polinˆomios de Hermite por elemento, produzem grandes oscila¸c˜oes, devido
aos valores das derivadas nos n´os (valores dos deslocamentos dos autovetores em cada n´o
referentes as derivadas, m-normalizados), como ´e mostrado na Figura 4.5.
Estas oscila¸c˜oes aprarecem independentemente do n´umero de elementos usados na
64
Figura 4.5 – Autofun¸c˜oes (modos de vibra¸c˜ao) de uma viga engastada em
x = 0 . a ´e o primeiro modo e b o segundo modo. Autofun¸c˜oes geradas
atrav´es da interpola¸c˜ao dos polinˆomios de Hermite em cada um dos 5
elementos.
discretiza¸cao, exceto, se o n´umero de elementos for pequeno, por exemplo, dois elementos
para o segundo modo. Por´em isto n˜ao gera boas aproxima¸c˜oes para as autofun¸c˜oes.
´
E poss´ıvel amenizar essas ondula¸c˜oes introduzindo fun¸c˜oes cujos valores nos pontos
de discretiza¸c˜ao sejam os mesmos vindos dos autovetores da equa¸c˜ao (4.13). H´a diversas
maneiras de se fazer esta interpola¸c˜ao, entre elas, interpolando todos os valores por um
´unico polinˆomio de Hermite; misturar polinˆomios de Lagrange com polinˆomios de Hermite
(considerar Lagrange em alguns pontos e Hemite em outros ou os dois em ambos os pontos);
interpolar com polinˆomios cujos coeficientes s˜ao calculados atrav´es da formula¸c˜ao de m´ınimos
quadrados.
No caso de polinˆomios de interpola¸c˜ao onde os seus coeficientes s˜ao calculados por
m´ınimos quadrados, ´e necess´ario considerar o operador pseudoinverso Ω
+
[Luenberger, 1976],
pois podem surgir matrizes n˜ao quadradas. Este operador tem as seguintes propriedades:
• se Ω
T
Ω ´e invers´ıvel, ent˜ao Ω
+
= (Ω
T
Ω)
−1
Ω
T
;
• se ΩΩ
T
´e invers´ıvel, ent˜ao Ω
+
= Ω
T
(ΩΩ
T
)
−1
.
Os coeficientes dos polinˆomios s˜ao calculados do resultado do sistema linear Ωx = y,
onde x = Ω
+
y.
A matriz Ω ´e obtida ´e obtida da malha de elementos finitos e y dos valores dos
autovetores calculados. Os valores da matriz Ω s˜ao calculados da seguinte formula¸c˜ao:
65
Ω =
x
n
1
··· x
1
1
1
x
n
2
··· x
1
2
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
n
i
··· x
1
i
1
, o vetor y =
y
1
y
2
.
.
.
y
i
, onde n ´e a ordem dos polinˆomios e i
´e o n´umero de pontos da malha.
As trˆes formas de gerar as autofun¸c˜oes, apresentadas acima, podem amenizar o
problema das oscila¸c˜oes, por´em poder˜ao n˜ao ser adequadas pelo erro adicional que ser´a
gerado em rela¸c˜ao aos valores originais dos autovetores providos da equa¸c˜ao (4.13). Neste
caso ´e interessante adotar um crit´erio de erro. Aqui adota-se como crit´erio de erro o quociente
de Rayleigh [Clive e Shames, 1973] de autofun¸c˜oes:
̟
2
=
a
0
EI
d
2
φ
dx
2
2
dx
a
0
ρAφ
2
dx
. (4.14)
Por esta equa¸c˜ao ´e poss´ıvel fazer uma compara¸c˜ao das freq¨uˆencias correspondentes
`as autofun¸c˜oes geradas.
No exemplo da Figura 4.6, de uma viga engastada na base, os valores dos autove-
tores de (4.13) correspondentes aos deslocamentos axiais s˜ao pequenos em compara¸c˜ao aos
valores correspondentes `a flex˜ao e `a derivada, portanto na montagem dos polinˆomios eles
ser˜ao desconsiderados. Ent˜ao, os polinˆomios gerados comp˜oem os valores das derivadas nas
extremidades do elo e os de flex˜ao em todo elo, assim como apresentado na Figura 4.6.
Tem-se a´ı uma mescla de fun¸c˜oes de interpola¸c˜ao de Lagrange e Hermite.
Figura 4.6 – Autofun¸c˜oes que representam os modos de vibra¸c˜ao de uma viga
engastada em x = 0 . c ´e o primeiro modo e d o segundo modo. Autofun¸c˜oes
geradas atrav´es da interpola¸c˜ao dos polinˆomios mistos: Lagrange e Hermite.
66
Na compara¸c˜ao das Figuras 4.5 e 4.6, dos modos naturais de vibra¸c˜ao, percebe-se
claramente a suaviza¸c˜ao das ondula¸c˜oes. Estas fun¸c˜oes podem substituir as solu¸c˜oes exatas
quando estas forem de dif´ıcil determina¸c˜ao.
Pelo c´alculo do quociente de Rayleigh verifica-se que as autofun¸c˜oes φ geradas,
representam bem os modos naturais de vibra¸c˜ao. O erro entre os valores da equa¸c˜ao (4.14)
e os autovalores da equa¸c˜ao (4.13), levando em conta os trˆes primeiros modos de vibra¸c˜ao
est´a em torno de 1Hz para o primeiro e o segundo modos e 2Hz para o terceiro modo. Isto
corresponde `a aproximadamente 5% para os 2 primeiros modos e valores menores para os
demais modos.
O procedimento acima descrito para obter as autofu¸c˜oes procede da seguinte forma
Passo 1 - Discretizar o modelo dinˆamico por elementos finitos. As se¸c˜oes do elo,
com diferentes propriedades, podem ser consideradas pelas fun¸c˜oes de Heaviside.
Passo 2 - Resolver o problema de elementos finitos para os autovalores e autovetores.
Passo 3 - Colocar os autovetores em ordem crescente dos autovalores e m-normalizar
os autovetores (normaliza¸c˜ao pela matriz de massa): ψ
m−norm
= ψ/
ψmψ
T
.
Passo 4 - Aproximar os valores dos autovetores pelas interpola¸c˜oes polinomiais des-
critas acima e escolher a que produz o menor erro pelo Quociente de Rayleigh.
Simula¸c˜oes mostram que no caso de vigas com se¸c˜ao transversal vari´avel e/ou com
a coloca¸c˜ao do piezel´etrico, o erro gerado pode ser mais significativo. Al´em disso sempre
´e necess´ario testar as diferentes possibilidades de gerar as autofun¸c˜oes para cada situa¸c˜ao
considerada e verificar qual ´e a mais adequada.
4.4 Equa¸c˜ao do movimento
O momento produzido com a aplica¸c˜ao da tens˜ao el´etrica de controle P
i
(x, t), no
atuador piezocerˆamico, fixo `a superf´ıcie do i-´esimo elo, pode ser obtido considerando for¸cas
de equil´ıbrio na dire¸c˜ao axial. O momento M produzido para o elo flex´ıvel proposto ´e dado
por
M =
t
ic
−t
if
E
c
ǫ
ic
b
i
xdx, (4.15)
67
de onde obtem-se
M = −ǫ
ic
E
c
t
ic
b
i
[t
if
+
t
ic
2
+ t
ib
− d
n
i
] = c
a
i
P
i
(x, t), (4.16)
ǫ
ic
=
P (t)d
31
t
ic
, (4.17)
d
n
i
=
E
f
t
2
if
b
i
+ (2t
if
+ t
ib
) b
i
t
ib
E
b
+ (2t
if
+ 2t
ib
+ t
ic
) b
i
t
ic
E
c
2 (b
i
t
ic
E
c
+ b
i
t
ib
E
b
+ b
i
t
if
E
f
)
, (4.18)
onde E
c
, E
f
e E
b
s˜ao, respectivamente, m´odulo de elasticidade do piezocerˆamico, do piezofilme
e do material base do elo, t
ic
, t
if
e t
ib
representam a espessura do piezocerˆamico, do piezofilme
e do elo, respectivamente, b
i
´e a largura do piezocerˆamico, ǫ
ic
representa a tens˜ao el´etrica
induzida no piezocerˆamico, fixo ao elo i, devido ao efeito da tens˜ao el´etrica nele aplicada,
d
n
i
´e a distˆancia do piezofilme ao eixo neutro do elo flex´ıvel e d
31
´e a constante de tens˜ao
piezoel´etrica.
Na equa¸c˜ao (4.16), c
a
i
resulta numa constante, logo o momento ´e uma fun¸c˜ao de-
pendente da tens˜ao el´etrica. Esta constante ´e determinada pelas caracter´ısticas geom´etricas
e propriedades materiais do elo flex´ıvel, atuador piezocerˆamico e sensor piezel´etrico [Choi e
Shin, 1996].
Neste trabalho, considerou-se que os atuadores e sensores piezel´etricos s˜ao fixos ao
elo rob´otico com uma camada de cola extremamente fina em compara¸c˜ao com a espessura
dos atuadores e sensores. Desta forma, os efeitos da camada de cola no modelo dinˆamico
podem ser desconsiderados [Crawley e De Luis, 1987]. Incluindo o momento produzido pelo
atuador piezocerˆamico no sistema dinˆamico, a equa¸c˜ao da energia potencial el´astica do elo
flex´ıvel (3.23) ´e reescrita, obtendo-se a express˜ao:
U
ei
=
1
2
x
a
0
EI
i
(x
i
)
d
2
d
yi
(x
i
)
dx
2
2
dx +
1
2
x
a
+l
a
x
a
1
EI
Ai
EI
Ai
(x
i
)
d
2
d
yi
(x
i
)
dx
2
− c
i
P
i
(x, t)
2
dx +
1
2
a
i
x
a
+l
a
EI
i
(x
i
)
d
2
d
yi
(x
i
)
dx
2
2
dx, (4.19)
68
onde EI
Ai
representa a rigidez flexural da por¸c˜ao do elo composta pelo atuador e sensor
piezel´etrico, obtida a partir do eixo neutro do elo i dada por
EI
Ai
= E
c
t
3
ic
b
i
12
+ t
ic
b
i
t
if
+
t
ic
2
− t
ib
− d
in
2
+
E
b
t
3
ib
b
i
12
+ t
ib
b
i
t
if
+
t
ib
2
− d
in
2
+
E
f
t
3
if
b
i
12
+ t
if
b
i
t
if
2
− d
in
2
. (4.20)
Assim obt´em-se:
U
ei
=
1
2
x
a
0
EI
i
(x
i
)
d
2
d
yi
(x
i
)
dx
2
2
dx +
x
a
+l
a
x
a
1
EI
Ai
EI
Ai
(x
i
)
d
2
d
yi
(x
i
)
dx
2
c
i
P
i
(x, t)
dx +
1
2
x
a
+l
a
x
a
1
EI
Ai
(c
i
P
i
(x, t))
2
dx +
1
2
x
a
+l
a
x
a
1
EI
Ai
EI
Ai
(x
i
)
d
2
d
yi
(x
i
)
dx
2
2
dx +
1
2
a
i
x
a
+l
a
EI
i
(x
i
)
d
2
d
yi
(x
i
)
dx
2
2
dx, (4.21)
que pode ser reescrito na forma de somat´orio,
U
ei
=
1
2
m
j=1
m
k=1
δ
ij
δ
ik
k
aijk
−
x
a
+l
a
x
a
d
2
d
yi
(x
i
)
dx
2
c
i
P
i
(x, t)
dx +
1
2
x
a
+l
a
x
a
1
EI
Ai
(c
i
P
i
(x, t))
2
dx +
1
2
m
j=1
m
k=1
δ
ij
δ
ik
(k
1ijk
+ k
2ijk
) , (4.22)
ou na forma condensada,
U
ei
=
1
2
m
j=1
m
k=1
δ
ij
δ
ik
k
pijk
−
m
j=1
δ
ij
γ
ij
+
1
2
ζ
ij
+
1
2
m
j=1
m
k=1
δ
ij
δ
ik
(k
1ijk
+ k
2ijk
) ,
(4.23)
onde k
pijk
, k
1ijk
e k
2ijk
s˜ao os coeficientes de elasticidade cruzada do modo j e k nas trˆes
69
se¸c˜oes do elo i, na forma
k
pijk
=
1
2
x
a
+l
a
x
a
EI
Ai
φ
ij
(x
i
)
′′
φ
ik
(x
i
)
′′
dx
i
,
k
1ijk
=
1
2
x
a
0
EI
i
φ
ij
(x
i
)
′′
φ
ik
(x
i
)
′′
dx
i
,
k
2ijk
=
1
2
a
i
x
a
+l
a
EI
i
φ
ij
(x
i
)
′′
φ
ik
(x
i
)
′′
dx
i
,
γ
ij
=
x
a
+l
a
x
a
φ
ij
(x
i
)
′′
c
i
P
i
(x, t)dx,
ζ
ij
=
1
2
x
a
+l
a
x
a
1
EI
Ai
(c
i
P
i
(x, t))
2
dx. (4.24)
Derivando a energia potencial el´astica, com rela¸c˜ao `as vari´aveis de junta q, obtem-se:
∂U
e
∂q
i
= −
1
2
N
i=1
m
j=1
m
k=1
∂δ
ij
δ
ik
∂q
i
(k
1ijk
+ k
2ijk
) −
1
2
N
i=1
m
j=1
m
k=1
∂δ
ij
δ
ik
∂q
i
k
pijk
−
N
i=1
m
j=1
∂δ
ij
∂q
i
γ
ij
+
N
i=1
∂ζ
i
∂q
i
= (K + K
p
)q −
N
i=1
m
j=1
∂δ
ij
∂q
i
γ
ij
+
N
i=1
∂ζ
i
∂q
i
. (4.25)
Como U
e
independe de θ
i
, tem-se:
∂U
e
∂θ
i
= 0, (4.26)
e, para as vari´aveis de deslocamentos
∂U
e
∂δ
i
=
m
j=1
δ
ij
k
pijk
+
m
j=1
m
k=1
δ
ij
(k
1ijk
+ k
2ijk
) −γ
ij
= (K + K
p
)q − c
a
P(t). (4.27)
Substituindo a express˜ao (4.27) nas equa¸c˜oes (2.89), obtem-se a equa¸c˜ao de Lagrange
do movimento do robˆo com elos flex´ıveis, com atuadores e sensores piezel´etricos:
B(θ)¨q + C(θ, ˙q) ˙q + K
e
q + D ˙q + g(q) = u, (4.28)
70
B(θ) ≡
B
θθ
B
θδ
B
T
θδ
B
δδ
, C(θ, ˙q) ≡
C
θθ
C
θδ
C
δθ
C
δδ
, (4.29)
g(q) =
g
δ
(θ)
g
θ
(δ)
, u ≡
τ
c
a
P(t)
, K
e
≡
0 0
0 K
T
, K
T
= K
p
+K. (4.30)
onde P(t) ´e a tens˜ao el´etrica gerada pelo sensor piezofilme.
4.5 Controle piezel´etrico
Uma vez obtida a equa¸c˜ao do movimento do robˆo, com atuadores e sensores pie-
zel´etricos, deve-se obter uma lei de controle de retroalimenta¸c˜ao em tens˜ao el´etrica para o
atuador piezocerˆamico. Prop˜oe-se, ent˜ao, um controlador de amplitude constante [Shin e
Choi, 2000], na forma
P(t) = −K
c
c
T
a
˙
P
f
(t), (4.31)
onde K
c
´e o ganho de retroalimenta¸c˜ao, obtido considerando propriedades materiais do
atuador piezocerˆamico e tamb´em propriedades geom´etricas do elo flex´ıvel, P
f
(t) ´e a tens˜ao
el´etrica gerada pelo sensor piezofilme, obtida integrando a carga el´etrica produzida pelo
piezofilme, ao longo de toda sua superf´ıcie, dada por
P
f
(t) = C
s
δ =
k
2
31
b
Cg
31
d
ni
δ, (4.32)
onde k
2
31
representa o fator de acoplamento eletromecˆanico, C a capacitˆancia do piezofilme,
b a largura do piezofilme e g
31
a constante de tens˜ao piezoel´etrica.
O controlador (4.31) substitui P(x, t) na equa¸c˜ao do momento (4.16) e adicionado
ao controlador (4.43), obt´em-se ent˜ao a lei de controle do sistema (4.28) expressa por
u = B(θ)¨q
r
+C(θ, ˙q) ˙q
r
+K
e
q
d
+D ˙q
r
+g(q) − K
p
s+
0
T
D
′
∆
˙
δ
d
T
+ c
a
P(t)
T
. (4.33)
De forma an´aloga ao controle de torque, apresentado no cap´ıtulo 3, pode-se provar,
atrav´es da teoria de estabilidade de Lyapunov, que, com a equa¸c˜ao de controle (4.33), a
trajet´oria e os deslocamentos do elo flex´ıvel resultam assintoticamente est´aveis.
´
E importante
71
ressaltar que a estabilidade dos dois controles, do torque e por materiais piezoel´etricos, ´e
apresentada de forma independente. Ou seja, no trabalho n˜ao ´e mostrado a estabilidade
para os controladores acoplados.
Espera-se, ent˜ao, que, com a introdu¸c˜ao dos atuadores e sensores piezel´etricos,
elimine-se as vibra¸c˜ooes de alta freq¨uˆencia, induzidas nos elos do robˆo, que n˜ao s˜ao al-
can¸cadas pelo controle de torque atuado pelos motores do robˆo. Para comprovar a efic´acia
do controlador (4.33), prop˜oe-se novas simula¸c˜oes com MatLab/Simulink para o sistema
composto por um elo r´ıgido e um elo flex´ıvel, com um atuador e um sensor fixos neste elo.
5. OTIMIZAC¸
˜
AO SIMULT
ˆ
ANEA DA LOCALIZAC¸
˜
AO E TAMANHO DOS
ATUADORES PIEZEL
´
ETRICOS E RETROALIMENTAC¸
˜
AO
Controle de vibra¸c˜oes de estruturas n˜ao depende apenas da lei de controle, mas
tamb´em da sele¸c˜ao e localiza¸c˜ao dos atuadores e sensores. No projeto de estruturas in-
teligentes, com atuadores e sensores, deve-se levar em conta a lei de controle de retroali-
menta¸c˜ao e localiza¸c˜ao dos atuadores e sensores. Existem v´arias t´ecnicas para determinar a
lei de controle, enquanto que as t´ecnicas para determinar a localiza¸c˜ao ´otima de atuadores
s˜ao relativamente novas. Geralmente a lei de controle e a localiza¸c˜ao ´otima s˜ao obtidas
separadamente. Por´em, devido a grandes intera¸c˜oes existentes entre o controle e a posi¸c˜ao
dos atuadores e sensores, recentemente o problema de otimiza¸c˜ao simultˆanea de controle e
localiza¸c˜ao de atuadores e sensores vem atraindo a aten¸c˜ao de pesquisadores. Em [Onada
e Haftka, 1997], ´e desenvolvida uma aproxima¸c˜ao para otimiza¸c˜ao simultˆanea da estrutura
e controle, na qual a localiza¸c˜ao ´otima dos atuadores e sensores e o controle foram obtidas
atrav´es da minimiza¸c˜ao do custo total da estrutura e do sistema de controle. Em [Schultz e
Heimbold, 1983] ´e apresentado um m´etodo para minimizar a dissipa¸c˜ao de energia atrav´es
de um conjunto ´otimo de atuador/sensor e ganho de retroalimenta¸c˜ao. Em [Kondoh et al.,
1990] ´e usado um esquema de controle ´otimo linear quadr´atico para a localiza¸c˜ao do atu-
ador/sensor e ganho de retroalimenta¸cao. Estes dois ´ultimos m´etodos [Schultz e Heimbold,
1983] e [Kondoh et al., 1990] s˜ao dependentes das condi¸c˜oes iniciais.
Recentemente, controladores ativos desenvolvidos para materiais piezel´etricos tˆem
se mostrado eficientes para o controle de vibra¸c˜oes estruturais, dando uma nova dimens˜ao
aos problemas de controle. Isto se deve ao fato de que n˜ao s´o a localiza¸c˜ao, mas tamb´em o
tamanho do atuador/sensor ´e levado em considera¸c˜ao na otimiza¸c˜ao [Crawley, 1994].
Neste trabalho, utiliza-se um m´etodo de otimiza¸c˜ao para a localiza¸c˜ao do atu-
ador/sensor e ganho de retroalimenta¸c˜ao baseado na maximiza¸c˜ao da energia dissipada de-
vido `a a¸c˜ao do controle [Li et al., 2002]. Esta metodologia leva em considera¸c˜ao os efeitos da
mudan¸ca da massa e rigidez ocorridos na estrutura, devido `a adi¸c˜ao dos atuadores e sensores,
73
combinada com o controle para obter uma fun¸c˜ao objetivo.
5.1 Energia total do sistema
A dinˆamica do elo flex´ıvel com m sensores e atuadores piezel´etricos, obtido pela
aplica¸c˜ao da equa¸c˜ao de Lagrange que em termos das coordenadas modais δ, desconsiderando
for¸cas gravitacionais, pode ser expressa por [Crawley e De Luis, 1987].
B
δδ
¨
δ + C
δδ
˙
δ + D
˙
δ + (K + K
piez
)δ = c
a
P(t), (5.1)
A energia total do sistema, pode ser escrita na forma
W = T + U =
1
2
˙
δ
T
B
δδ
˙
δ +
1
2
δ
T
(K + K
piez
)δ > 0. (5.2)
A deriva¸c˜ao de (5.2) com rela¸c˜ao ao tempo resulta:
˙
W =
˙
T +
˙
U =
1
2
˙
δ
T
˙
B
δδ
˙
δ +
˙
δ
T
B
δδ
¨
δ + δ
T
(K + K
piez
)
˙
δ, (5.3)
Usando (5.1) e (5.3) com a lei de controle (4.31), obt´em-se:
˙
W =
˙
T +
˙
U = −
˙
δ
T
D
˙
δ −
˙
δ
T
(c
a
K
c
c
T
a
C
s
)
˙
δ < 0, (5.4)
onde o primeiro e segundo termo do lado direito da igualdade representam a taxa de energia
do sistema resultante do amortecimento interno e do controle, respectivamente.
Integrando (5.4), obt´em-se
W (t
0
) = W
f
+ W
c
=
∞
t
0
˙
δ
T
D
˙
δdt +
∞
t
0
˙
δ
T
(c
a
K
c
c
T
a
C
s
)
˙
δdt, (5.5)
onde W (t
0
) denota a energia total inicial do sistema e W
f
, W
c
a energia dissipada do sistema
resultante do amortecimento interno e do controle, respectivamente.
Para eliminar as vibra¸c˜oes do elo, ´e conveniente desenvolver um m´etodo que maxi-
mize a energia dissipada atrav´es do sistema de controle. Observa-se que a energia resultante
do controle W
c
depende da localiza¸c˜ao e tamanho dos atuadores e tamb´em da matriz de
ganho de retroalimenta¸c˜ao K
c
. Portanto, W
c
pode ser usada como um crit´erio de otimiza¸c˜ao
do sistema de controle para determinar a localiza¸c˜ao e tamanho dos atuadores e tamb´em a
74
matriz ganho de retroalimenta¸c˜ao. Logo, pode-se tomar como fun¸c˜ao objetivo a ser mini-
mizada como:
minJ(x
a
, l
a
, K
c
) = −W
c
, (5.6)
onde utiliza-se restri¸c˜oes de massa e tamanho dos atuadores a valores compat´ıveis e pode-se
adicionar restri¸c˜oes de freq¨uˆencias naturais a um limite m´ınimo e de freq¨uˆencias de controle
a um limite m´aximo.
5.2 Formula¸c˜ao do problema de otimiza¸cao
Seja z = [δ,
˙
δ]
T
, podemos escrever (5.1) na forma da equa¸c˜ao de estado
˙
z = Gz + Lz, (5.7)
onde G
2N×2N
e L
2N×N
s˜ao matrizes bloco na forma
G =
0 I
−B
−1
δδ
K −B
−1
δδ
(C
δδ
+ D)
, L =
0
B
−1
δδ
c
a
K
c
c
T
a
C
s
, (5.8)
com I matriz identidade N × N.
A equa¸c˜ao de estado (5.7) pode ent˜ao ser reescrita na forma fechada:
˙
z =
˜
Gz, (5.9)
com
˜
G =
0 I
−B
−1
δδ
K −B
−1
δδ
(C
δδ
+ D + c
a
K
c
c
T
a
C
s
)
, (5.10)
Agora, a energia dissipada do sistema resultante do amortecimento interno W
c
pode
ser escrita como:
W
c
=
∞
t
0
z
T
Qzdt, (5.11)
75
onde
Q =
0 0
0 c
a
K
c
c
T
a
C
s
, (5.12)
matriz 2m×2m correspondente a forma quadr´atica da energia dissipada do sistema resultante
do controle.
Aplicando apropriadas transforma¸c˜oes a express˜ao (5.11) resulta
W
c
= z
T
0
Pz
0
, (5.13)
onde P ´e a solu¸c˜ao da seguinte equa¸c˜ao de Lyapunov
˜
G
T
P + P
˜
G = −Q e P ´e sim´etrica
positiva definida.
Observa-se que W
c
depende das condi¸c˜oes iniciais da estrutura flex´ıvel, para eliminar
esta dependˆencia, assume-se que o estado inicial de z satisfaz W
−1
a
z
0
onde W
a
= diag(λ
i
),
com valores aleat´orios para λ
i
> 0. Assim obtem-se a fun¸c˜ao custo para a energia dissipada
do sistema devido a a¸c˜ao do controle, na forma J
0
= tr(W
a
PW
a
).
J
0
= tr(W
a
PW
a
). (5.14)
A fun¸c˜ao custo J
0
depende apenas do ganho K
c
e de controle c
a
que por sua vez,
depende da posi¸c˜ao e do tamanho dos atuadores piezel´etricos.
Para obter uma estrutura eficiente, tanto na precis˜ao, quanto na agilidade, ´e impor-
tante uma fun¸c˜ao custo que considere o peso do material piezel´etrico utilizado como atuador.
Para isto, resultados experimentais para atuadores e sensores fixos `a barras e placas [Li et al.,
2002] mostram ser conveniente adicionar-se a fun¸c˜ao custo, um termo quadr´atico dependente
do tamanho do atuador l
a
, resultando no seguinte problema de otimiza¸c˜ao:
min J(x
a
, l
a
, K
c
) = αl
2
a
− J
0
0 ≤ x
a
≤ a
i
0 < x
a
+ l
a
≤ a
i
(5.15)
onde
αl
2
a
considera o peso/custo da placa do material piezel´etrico,
l
a
´e o tamanho da placa do material piezel´etrico,
76
x
a
´e a posi¸c˜ao onde se encontra a placa e
a
i
´e o comprimento do elo.
Tem-se a´ı uma fun¸c˜ao objetivo n˜ao linear com duas vari´aveis de decis˜ao. As restri-
¸c˜oes s˜ao de desigualdade lineares, que representam restri¸c˜oes quanto ao tamanho da placa
do sensor e atuador piezel´etrico e a posi¸c˜ao no elo flex´ıvel do robˆo.
5.3 Simula¸c˜oes do uso do material piezel´etrico em vigas
Como exemplo de otimiza¸c˜ao foram consideradas vigas engastadas de um lado e com
insertos atuadores piezel´etricos colados. O procedimento desenvolvido visa a otimiza¸c˜ao
da posi¸c˜ao simultaneamente com o ganho de realimenta¸c˜ao do controle. A colagem do
atuador/sensor foi considerada como mostrado na figura 4.3.
Da equa¸c˜ao
∂
4
d
y
∂x
4
+ ρA
∂
2
d
y
∂t
2
= c
a
P(t)
∂
2
h
∂x
2
(5.16)
onde h ´e a fun¸cao de localiza¸c˜ao generalizada expressa pela fun¸c˜ao de Heaviside, e as equa¸c˜oes
(2.22)-(2.25) com as equa¸c˜oes (4.16) e (4.18), fazendo as devidas substitui¸c˜oes, em termos
de coordenadas modais ´e poss´ıvel chegar as seguintes equa¸c˜oes para um material piezel´etrico
([Li et al., 2002], [Abreu et al., 2003])
c
a
(x
a
, l
a
) = −
E
b
E
c
t
2
c
bd
31
ρ
b
A
b
(E
b
t
b
+ 6E
c
t
c
)
× [φ
′
(x
a
+ l
a
) −φ
′
(x
a
)] , (5.17)
K
piez
(x
a
, l
a
) =
E
b
E
c
t
3
b
t
c
b
ρ
b
A
b
(E
b
t
b
+ 6E
c
t
c
)
× [φ
′′
(x
a
+ l
a
)φ
′
(x
a
+ l
a
) −φ
′′
(x
a
)φ
′
(x
a
)] . (5.18)
Se forem utilizados dois ou mais atuadores piezel´etricos, as equa¸c˜oes (5.17) e (5.18)
podem ser reescritas como
c
a
(x
a
, l
a
) = −
E
b
E
c
t
2
c
bd
31
ρ
b
A
b
(E
b
t
b
+ 6E
c
t
c
)
×
n
i=1
[φ
′
(x
ai
+ l
ai
) −φ
′
(x
ai
)] , (5.19)
K
piez
(x
a
, l
a
) =
E
b
E
c
t
3
b
t
c
b
ρ
b
A
b
(E
b
t
b
+ 6E
c
t
c
)
×
n
i=1
[φ
′′
(x
ai
+ l
ai
)φ
′
(x
ai
+ l
ai
) −φ
′′
(x
ai
)φ
′
(x
ai
)] , (5.20)
77
onde n ´e o n´umero de atuadores piezel´etricos a serem utilizados. Os ´ındices b e c se referem
ao bra¸co e ao atuador respectivamente e E e t ao m´odulo de elasticidade e a espessura do
material, repectivamente. b ´e a largura do atuador.
No trabalho de Bottega (2004) foi determinada a posi¸c˜ao e o tamanho do atuador
para dois modos de vibra¸c˜ao. A cinem´atica do robˆo foi simulado em P C, utilizando Maple
para a parte anal´ıtica (as matrizes da equa¸c˜ao de Lagrange e os modos de vibra¸c˜ao) e o
Matlab para a parte num´erica da otimiza¸c˜ao. Entre as diversas simula¸c˜oes para a constante
α, na definitiva para a otimiza¸c˜ao esta constante foi considerada como 300, valor implicida-
mente ligado ao peso do material piezel´etrico, o que implica em seu custo. Essa constante
est´a adimensionalizada neste modelo. Considerou-se um modelo simplificado de robˆo com o
primeiro elo r´ıgido e o segundo elo flex´ıvel com dois modos de deforma¸c˜ao, assim, o vetor de
coordenadas Lagrangeanas se reduz a q = (θ
1
, θ
2
, δ
21
, δ
22
)
T
, desconsiderando efeitos gravita-
cionais e com os parˆametros f´ısicos que s˜ao apresentados no ´ultimo cap´ıtulo. Os parˆametros
de controle s˜ao
• K
c
= 30,
• λ = 20.
Com varia¸c˜ao dos modos de vibra¸c˜ao ligados `a varia¸c˜ao da posi¸c˜ao no elo e do
tamanho do atuador piezel´etrico, os resultados obtidos foram x
a
= 0, 09m e l
a
= 0, 35m.
Neste trabalho, estas simula¸c˜oes foram refeitas considerando dois atuadores colados
no elo flex´ıvel, n˜ao-prism´atico. Com base nos resultados de Bottega (2004) e os artigos
consultados sobre o assunto ([Li et al., 2002], [Abreu et al., 2003],[Choi et al., 1999]), um
primeiro foi fixo no in´ıcio do elo, x
a1
= 0, e o outro com posicionamento a ser definido pela
otimiza¸c˜ao. Para este caso foram feitas duas simula¸c˜oes:
- a primeira com a mesma fun¸c˜ao objetiva acima (5.15) e variando a posi¸c˜ao do
segundo atuador no elo e do tamanho dos dois. O valor do ganho do controle foi fixado em
K
c
= 10
6
, os pesos atribu´ıdos aos modos λ
1
= 200 e λ
2
= 100 e a constante α = 10;
- outra fixando um tamanho para os dois atuadores e variando posi¸c˜ao e ganho do
78
controle, sendo a fun¸c˜ao objetiva modificada para
max J(x
a
, l
a
, K
c
) = J
0
0 ≤ x
a
≤ a
i
10
5
< K
c
≤ 10
9
.
(5.21)
O tamanho foi fixado em l
a
= 0, 05m e pesos atribu´ıdos aos modos λ
1
= 200 e λ
2
= 100;
Os resultados das simula¸c˜oes feitas no MAPLE s˜ao apresentados na Figura 5.1.
Foram avaliados 6 tamanhos e 6 posi¸c˜oes distintas. A viga considerada ´e n˜ao-prism´atica de
0, 7m (usada tamb´em nas simula¸c˜oes do cap´ıtulo 6). A Figura (a) corresponde ao primeiro
caso e a (b) ao segundo. A posi¸c˜ao, foi discretizada num vetor de posi¸c˜oes [0.25,0.3,0.35,0.4,
0.45,0.48], onde cada valor desses representa a distˆancia entre os dois atuadores piezel´etricos.
Os tamanhos no vetor [0.01,0.025,0.05,0.1,0.15,0.2], cada valor representa o tamanho do
material piezel´erico, sendo os dois de mesmo tamanho. Para o tamanho fixo foi considerado
o vetor do ganho do controle [0.20e9, 0.40e9, 0.60e9, 0.80e9, 0.100e10, 0.120e10]. Nas figuras
s˜ao atribu´ıdos os n´umeros de 1 a 6 para estas discretiza¸c˜oes, sendo 1 o menor valor e 6 o
maior. As matrizes da Dinˆamica foram calculadas analiticamente e os modos de vibra¸c˜ao
atrav´es do m´etodo de elementos finitos com a interpola¸c˜ao dos valores discretos, assim como
mostrado no cap´ıtulo 4, se¸c˜ao 4.3. Dois modos foram considerados nas simula¸c˜oes.
Figura 5.1 – Fun¸c˜ao custo energia dissipada pelo sistema devido `a a¸c˜ao do
controle piezel´etrico e tamanho do atuador e sensor.
Percebe-se claramente por estas simula¸c˜oes, que h´a uma forte tendˆencia de se obter
79
o melhor resultado para a fun¸cao objetivo quando se posiciona os dois atuadores/sensores no
in´ıcio do elo flex´ıvel. A Figura 5.1 (a) mostra que o melhor tamanho para o atuador/sensor
´e o maior dentro da discretiza¸c˜ao, l
a
= 0, 2m e a Figura 5.1 (b) que o valor m´aximo da
fun¸c˜ao de energia dissipada se d´a quando os atuadores s˜ao postos juntos no in´ıcio do elo e
com ganho de controle m´aximo.
5.3.1 Extens˜ao do problema de otimiza¸c˜ao para mais modos de vibra¸c˜ao
Nas simula¸coes acima foram considerados somente dois modos de vibra¸c˜ao para en-
contrar a localiza¸c˜ao e tamanho ´otimos dos atuadores/sensores piezel´etricos. O trabalho com
vigas flex´ıveis usando atuadores piezel´etricos pode gerar algumas limita¸c˜oes causadas pela
truncagem modal, principalmente quando se usa somente um atuador [Sun et al., 2004]. Mo-
dos de freq¨uˆencias mais altas, como quarto, quinto ou sexto, podem provocar instabilidades
ao sistema, quando do posicionamento n˜ao apropriado do atuador/sensor no elo flex´ıvel.
Nesta se¸c˜ao ser´a discutido qual posicionamento ´e mais apropriado e tamb´em o tamanho
dos atuadores piezel´etricos levando em conta seis primeiros modos de vibra¸c˜ao de uma viga
flex´ıvel. Esta escolha est´a baseada no trabalho de Sun et. all (2004) que fez um estudo
de trˆes condi¸c˜oes para a tomada de decis˜ao em rela¸c˜ao ao posicionamento, duas no que diz
respeito a estabilidade e uma em melhorar a performance do controle. Neste trabalho, estas
trˆes condi¸c˜oes ser˜ao descritas apenas fisicamente.
• Condi¸c˜ao 1 - O atuador deve ser colocado numa regi˜ao onde φ
i
(x) e φ
′
i
(x) tenham a
mesma tendˆencia de varia¸c˜ao, dentro da ´area de cobertura do atuador.
Esta condi¸c˜ao de estabilidade requer que as autofun¸c˜oes e suas derivadas devem
estar no mesmo sentido, crescentes ou decrescentes para satifazer o momento produzido pelo
atuador, que ´e definido pelo momento φ
′′
i
(x).
• Condi¸c˜ao 2 - O atuador deve ser posto longe da regi˜ao onde a segunda derivada do
modo de vibra¸c˜ao muda de sinal.
Se o atuador est´a localizado numa regi˜ao de deforma¸c˜ao nula, ou seja, onde a segunda
derivada do modo de vibra¸c˜ao muda de sinal, a for¸ca modal produzida pelo atuador diminue,
visto que uma se¸c˜ao do atuador se op˜oe `a outra.
80
• Condi¸c˜ao 3 - O atuador ´e idealmente posto na regi˜ao onde o momento da for¸ca atuante
tem a m´axima contribui¸c˜ao no amortecimento da vibra¸c˜ao.
Esta ´e uma condi¸c˜ao que visa eficiˆencia no controle. Obviamente, se o atuador ´e
posto numa regi˜ao de maior deforma¸c˜ao, sua atua¸c˜ao poder´a ser mais eficaz, inibindo a
deforma¸c˜ao.
Como ilustra¸c˜ao, consideremos os seis primeiros modos de vibra¸c˜ao de uma viga
flex´ıvel de 1m de comprimento, assim como mostrado na Figura 5.2.
Figura 5.2 – Fun¸c˜oes da forma de seis modos de vibra¸c˜ao, φ, φ
′
e φ
′′
Assumindo que os atuadores tenham 0, 1m de comprimento. Pela Condi¸c˜ao 1, um
atuador poderia ser posto no in´ıcio da viga, ou no final. Percebe-se pela Figura 5.2 que
nestas duas posi¸c˜oes e com este tamanho de atuador, a Condi¸c˜ao 1 ´e satisfeita. Se focarmos
somente no primeiro modo, a Condi¸c˜ao 2 ´e satisfeita para qualquer posi¸c˜ao ou tamanho do
atuador, por´em para os demais modos isto j´a n˜ao ´e possivel por aparecerem deforma¸c˜oes
nulas em diferentes lugares das autofun¸c˜oes. Al´em disso o quinto e o sexto modos apresentam
deforma¸c˜ao nula na regi˜ao de cobertura do atuador, caso ele seja posicionado no in´ıcio da
viga. Ent˜ao, para satisfazer a esta condi¸c˜ao, o melhor posicionamento do atuador ´e no final
da viga. Neste caso, a performance do controle ´e afetada, visto que os quatro primeiros
81
modos produzem amplitudes mais significativas `a vibra¸c˜ao. Uma sa´ıda para este problema
´e determinar a localiza¸c˜ao de atuadores com diferentes tamanhos.
Tendo em vista a performance do controle, deve-se verificar quais os modos mais atu-
antes na vibra¸c˜ao. Esta verifica¸c˜ao pode ser feita atrav´es do c´alculo da contribui¸c˜ao da massa
modal Φ
T
MΦ, onde M ´e a matriz de massa e Φ a matriz de autovalores normalizados, ou
pelo Fator de participa¸c˜ao do modo n em uma dire¸c˜ao que atua a acelera¸c˜ao {φ}
T
n
[M] {1
x
}.
{1
x
} ´e um vetor com valores unit´arios nas posi¸c˜oes correspondentes `a dire¸c˜ao x e zero nas
restantes. Neste trabalho foi calculada a contribui¸c˜ao da massa modal, cujos valores para os
trˆes primeiros modos s˜ao diag(0.6116, 0.3164, 0.0028), verificando que os primeiros s˜ao mais
significativos.
Pela Condi¸c˜ao 3, percebe-se maior eficiˆencia do controle quando do atuador posi-
cionado no in´ıcio da viga, onde por exemplo, h´a maior deforma¸c˜ao para os dois primeiros
modos de vibra¸c˜ao. Em suma, pelas trˆes condi¸c˜oes assumidas acima, um bom posiciona-
mento para o atuador ´e no in´ıcio da viga, com o cuidado de escolher um tamanho apropriado.
6. SIMULAC¸
˜
OES E RESULTADOS
As simula¸c˜oes foram feitas usando duas t´ecnicas de controle diferentes:
• metodologia de minimiza¸c˜ao de erro de trajet´oria - simula¸c˜oes do modelo desenvolvido
por Bottega (2004), com altera¸c˜ao na forma de calcular os modos de vibra¸c˜ao e am-
plia¸c˜ao do n´umero de modos usados na formula¸c˜ao do modelo dinˆamico.
• metodologia SDRE - simula¸c˜oes do modelo com controle via equa¸c˜oes de Riccati de-
pendentes do estado (SDRE). Neste ´ıtem tamb´em se far´a uma an´alise de estabilidade
para o m´etodo SDRE.
Nas simula¸c˜oes considera-se somente o segundo elemento flex´ıvel e n˜ao-prism´atico,
como mostrado na Figura 6.1. Assim sendo, este ´e o indutor das vibra¸c˜oes que afetam a
trajet´oria do elemento final do manipulador.
Figura 6.1 – Esbo¸co do manipulador n˜ao-prism´atico e flex´ıvel.
Este elo tem varia¸c˜ao apenas na espessura, a largura permanece constante. No ma-
nipulador completo foram considerados os seguintes parˆametros f´ısicos [Halim e Moheimani,
2003] e [Choi et al., 1999]:
ρ
1
= ρ
2
= 2890kg.m
−3
, ρ
cer
= 7700kg.m
−3
, ρ
filme
= 1780kg.m
−3
(densidade uni-
forme);
a
1
= 0, 3m, a
2
= 1m (comprimento dos elos);
a
pc
= 0, 2m (comprimento do atuador piezel´etrico);
83
t
f
= 0, 028mm, t
b1
= 1mm (num lado), t
b2
= 0, 6mm (no outro lado), t
c
=
0, 815mm;
b = 25mm (largura igual para as trˆes camadas de material);
m
c
= 0kg, m
h1,2
= 0, 5kg (massas da carga e motor);
I
h1
= 0, 230kg.m
2
, I
h2
= 0, 182kg.m
2
(momentos de in´ercia - motores);
̟
21
= 27, 5Hz, ̟
22
= 140, 5Hz (freq¨uˆencias do elo flex´ıvel);
E
b
= 65GP a, E
c
= 64GP a, E
b
= 2GP a (m´odulo de elasticidade);
ζ
21
= 0, 07, ζ
22
= 0, 03 (taxas de amortecimento);
d
31
= −300 ×10
12
(m/m)(V/m), g
31
= 216 ×10
−3
(V/m)(N/m
2
), k
2
31
= 0, 44 e
C = 380pF.cm
−2
Os efeitos de gravidade foram desconsiderados.
As amplitudes dos modos de vibra¸c˜ao s˜ao obtidas diretamente atrav´es do m´etodo
de elementos finitos, onde os autovetores foram m-normalizados.
A energia potencial el´astica total pode ser calculada atrav´es da equa¸c˜ao da energia
el´astica do sistema [Arteaga, 1998]:
U
e
=
1
2
δ
T
K
e
δ (6.1)
No cap´ıtulo 4 foi mostrada a forma da matriz K
e
. Esta cont´em a matriz K
T
, que por sua
vez ´e calculada das autofun¸c˜oes
K
T
=
a
0
EI
d
2
φ
i
dx
2
d
2
φ
j
dx
2
dx. (6.2)
A inclus˜ao do material piezel´etrico no elo flex´ıvel, para o uso em elementos finitos,
foi considerado atrav´es das fun¸c˜oes Heaviside. Desta forma, as diferentes propriedades s˜ao
mapeadas ao longo do elo. A forma do c´alculo das autofun¸c˜oes ´e dada tamb´em no cap´ıtulo
4.
84
6.1 Simula¸c˜oes usando a metodologia de minimiza¸c˜ao de erro de trajet´oria
Do modelo dinˆamico do sistema para estas simula¸c˜oes obt´em-se as equa¸c˜oes na forma
matricial compacta [Book, 1984]:
B(q)
¨
q
r
+ C(q,
˙
q)
˙
q
r
+ D
˙
q
r
+ K
e
q
d
+ g(q) − K
p
s = u. (6.3)
A lei de controle do sistema ´e a da equa¸c˜ao (4.33), sem o material piezel´etrico,
expressa por:
u = B(q)¨q
r
+C(q, ˙q) ˙q
r
+K
e
q
d
+D ˙q
r
+g(q) − K
p
s+
0
T
D
′
∆
˙
δ
d
T
T
, (6.4)
e com material piezel´etrico expressa por
u = B(q)¨q
r
+C(q, ˙q) ˙q
r
+K
e
q
d
+D ˙q
r
+g(q) − K
p
s+
0
T
D
′
∆
˙
δ
d
T
+ c
a
P(t)
T
. (6.5)
K
p
´e uma matriz de ganho diagonal, com termos constantes, positiva definida, obtida da
equa¸c˜ao (4.24).
A posi¸c˜ao inicial e final do bra¸co rob´otico foi considerada como mostrado na Figura
6.2. O giro nas duas juntas ocorre simultaneamente.
Figura 6.2 – Posi¸c˜ao inicial (a) e final (b) do bra¸co robˆotico.
Os resultados comparativos foram obtidos atrav´es de simula¸c˜oes em P C, utilizando
MatLab/Simulink, com ∆t = 1ms, com o m´etodo num´erico de Runge-Kutta de quarta
ordem, por um per´ıodo de 5 segundos. Utilizou-se trajet´orias de velocidade trapezoidal com
amplitude π/2 para o ˆangulo da junta 1 e −π/2 para o ˆangulo da junta 2, sem erro de
85
tra¸cado inicial, conforme mostrado na Figura 6.3.
Figura 6.3 – Trajet´oria e velocidade trapezoidal para o ˆangulo das juntas.
Primeiramente, simulou-se um sistema com a lei de controle (6.3) sem o termo de
amortecimento da equa¸c˜ao (6.4). Foram considerados trˆes modos de vibra¸c˜ao na modelagem
do sistem. Observa-se na Figura 6.4 que as deflex˜oes tendem a zero e s˜ao limitadas devido ao
amortecimento natural do sistema. Vˆe-se claramente que o primeiro modo prevalece sobre
os outros dois e o segundo sobre o terceiro, ou seja, os modos mais baixos tem amplitudes
maiores e s˜ao mais significativos na deflex˜ao do elo flex´ıvel.
Figura 6.4 – Deslocamento dos modos de vibra¸c˜ao para o sistema com
amortecimento natural.
Pode-se observar na Figura 6.5 que o erro de trajet´oria do sistema tamb´em tende a
zero.
86
Figura 6.5 – Erro de trajet´oria das juntas 1 e 2 do robˆo.
Numa segunda simula¸c˜ao usando esta t´ecnica de controle, Figura 6.6, simulou-se o
sistema com o termo de amortecimento for¸cado, decorrente da adi¸c˜ao do controlador D
′
Λ
˙
δ
d
,
lei de controle de deflex˜oes (6.4). Observa-se uma redu¸c˜ao na amplitude dos deslocamentos
quando comparado com o sistema sem o termo de amortecimento (6.3), mostrado nas figuras
anteriores. H´a uma convergˆencia a zero mais r´apida das deflex˜oes.
Figura 6.6 – Deslocamento do primeiro, segundo e terceiro modo para o
sistema amortecido com controle de deslocamento.
As trajet´orias do sistema e a desejada para o ˆangulo das juntas s˜ao mostradas na
Figura 6.7. Aqui ´e interessante observar que as trajet´orias nas juntas n˜ao dependem do
controle piezel´etrico, mas somente do controle pelo torque aplicado nos motores.
A trajet´oria do sistema e a desejada para o terminal do elo flex´ıvel, com respeito
87
Figura 6.7 – Trajet´oria do sistema e trajet´oria desejada para o ˆangulo das
juntas.
somente ao eixo y (em coordenadas cartesianas), considerando somente controle por torque,
s˜ao mostradas na Figura 6.8.
Figura 6.8 – Trajet´oria do sistema e trajet´oria desejada do terminal do elo
flex´ıvel.
A ´ultima simula¸c˜ao para este controle, Figuras 6.9, 6.10 e 6.11, refere-se a equa¸c˜ao
(6.5), cuja lei de controle inclui os atuadores e sensores piezel´etricos. A posi¸c˜ao e tamanho do
material piezel´etrico s˜ao considerados x
a
= 0 e l
a
= 0, 2m, respectivamente. Aqui percebe-se
uma convergˆencia mais r´apida a zero e uma consider´avel redu¸c˜ao nas amplitudes dos modos
de vibra¸c˜ao.
A trajet´oria do sistema e a desejada para o terminal do elo flex´ıvel, com respeito
88
Figura 6.9 – Deslocamento do primeiro modo para o sistema amortecido com
controle piezel´etrico.
Figura 6.10 – Deslocamento do segundo modo para o sistema amortecido
com controle piezel´etrico.
somente ao eixo y (em coordenadas cartesianas), do modelo com controlador piezel´etrico,
s˜ao mostradas na Figura 6.12.
Vˆe-se com estes resultados o bom desempenho do controle de vibra¸c˜oes induzidas no
elo flex´ıvel, deste que tenha as condi¸c˜oes iniciais bem definidas. No trabalho experimental de
[De Luca et al., 1990] o erro nas juntas foi em torno de 4
◦
. Nas simula¸c˜oes deste trabalho,
Figuras 6.5 e 6.7, percebe-se que o erro m´aximo ´e menor que 0, 04rad, o que ´e bem menos
do que 4
◦
.
A proposta na pr´oxima t´ecnica de controle ´e propor um controle que permita con-
89
Figura 6.11 – Deslocamento do terceiro modo para o sistema amortecido com
controle piezel´etrico.
Figura 6.12 – Trajet´oria do sistema e trajet´oria desejada do terminal do elo
flex´ıvel.
trolar bem o sistema mesmo que ocorram imprevistos ao longo da trajet´oria do robˆo.
6.2 Simula¸c˜oes pela metodologia SDRE
A proposta de controle desta t´ecnica considera uma posi¸c˜ao inicial z
0
fixa e procura
levar a parte final do manipulador para uma posi¸c˜ao desejada, tamb´em fixa. As trajet´orias
das juntas permanecem livres, o que implica que o controle sub´otimo proposto maneja os
torques das juntas para que elas percorram trajet´orias de m´ınima energia. O problema de
controle sub´otimo (3.40) e (3.41), para solu¸c˜oes ´otimas ponto a ponto, pode ser reformulado
90
em fun¸c˜ao de Z =
z ˙z
T
: minimizar o funcional de custo quadr´atico
J
z
=
1
2
∞
0
Z
T
Q
e
Z + u
T
R
e
udt (6.6)
em rela¸c˜ao ao estado x e o controle u, sujeito ao sistema de restri¸c˜oes n˜ao-lineares
˙
Z = A
e
(x)Z + B
e
(x)u,
y = C
e
(x)Z,
Z(0) = Z
0
,
Z(∞) = 0.
(6.7)
As matrizes com coeficientes dependentes do estado s˜ao:
A
e
=
0 I
−B
−1
K
e
−B
−1
[C + D]
, B
e
=
0
B
−1
, (6.8)
z =
θ
1
− θ
1d
θ
2
− θ
2d
δ
1
− δ
1d
δ
2
− δ
2d
, ˙z =
˙
θ
1
−
˙
θ
1d
˙
θ
2
−
˙
θ
2d
˙
δ
1
−
˙
δ
1d
˙
δ
2
−
˙
δ
2d
. (6.9)
O ´ındice d ´e usado para representar o ponto desejado, por exemplo θ
1d
. As matrizes Q
e
=
C
e
T
C
e
e C
e
= diag(
√
q
ii
). As dimens˜oes das matrizes do modelo s˜ao: Z ∈ ℜ
8
, u ∈ ℜ
4
,
y ∈ ℜ
8
, A
e
(x) ∈ ℜ
8×8
, B
e
(x) ∈ ℜ
8×4
e R
e
(x) ∈ ℜ
4×4
.
Assumindo as condi¸c˜oes iniciais, o pr´oximo estado Z(t) para cada passo ´e obtido
considerando o controle pelo torque dos motores e pelos atuadores piezel´etricos, como ´e
mostrado na Figura 4.1 do cap´ıtulo 4. A solu¸c˜ao do problema do controle ´e dado pelas
equa¸c˜oes alg´ebricas de Riccati independentes do estado, pois as matrizes de estado e do
funcional s˜ao assumidas constantes a cada passo de integra¸c˜ao.
As resultados foram obtidos atrav´es do Matlab, onde as equa¸c˜oes foram integradas
pelo m´etodo Runge-Kutta de quarta ordem. As equa¸c˜oes de Riccati foram resolvidas usando
a fun¸c˜ao ”LQR” do Matlab. Foram considerados dois modos de vibra¸c˜ao no sistema e dois
no controle. Foram escolhidos os valores das matrizes de peso Q
e
= diag(500, ..., 500) e
91
R
e
= diag(1, ..., 1).
Inicialmente, na Figura 6.13, apresenta-se a resposta do sistema, para o bra¸co
flex´ıvel, sem controle de vibra¸c˜oes.
Figura 6.13 – Deflex˜ao dos modos 1 e 2 sem controle.
Numa primeira simula¸c˜ao com controle, Figura 6.15, considera-se uma trajet´oria
livre para as juntas que parte de um ponto inicial θ
1
= 5π/4, θ
2
= −π e para as amplitudes
δ
1
= δ
2
= 0, 01. Nesta posi¸c˜ao os dois elos do manipulador est˜ao sobrepostos em π/4, em
coordenadas cartesianas, como mostrado na Figura 6.14. O ponto desejado ´e θ
1
= π/4,
θ
2
= 0 e ´e claro δ
1
= δ
2
= 0. Isto em coordenadas cartesianas representa o ponto m´aximo
que o manipulador alcan¸ca em um ˆangulo de π/4 do eixo x, tamb´em mostrado na Figura
6.15. As velocidades iniciais e finais foram assumidas como sendo zero. Um novo sistema de
equa¸c˜oes lineares de Riccati ´e resolvido a cada 1ms.
Figura 6.14 – Posi¸c˜ao inicial (a) e final (b) do bra¸co robˆotico.
A Figura 6.16, mostra o controle de vibra¸c˜oes no elo flex´ıvel com o ganho da re-
alimenta¸c˜ao do torque. As condi¸c˜oes iniciais s˜ao as mesmas da simula¸c˜ao acima, que em
92
Figura 6.15 – Trajet´oria das juntas 1 e 2.
coordenadas cartesianas s˜ao x
0
= y
0
= 0, 495 e o ponto desejado ´e x
d
= y
d
= 0, 92
Figura 6.16 – Resposta do sistema para o elo flex´ıvel, com controle de torque,
modos 1 e 2.
A trajet´oria do robˆo em coordenadas cartesianas ´e mostrada na Figura 6.17. Percebe-
se que no in´ıcio da trajet´oria o ponto final do robˆo vibra, mas logo ap´os as vibra¸c˜oes cessam.
O ganho da realimenta¸c˜ao u, considerando somente o controle pelo torque dos mo-
tores, ´e mostrado na Figura 6.18
Na pr´oxima simula¸c˜ao Figura 6.19, apresenta-se o controle das vibra¸coes do elo
flex´ıvel atrav´es do controle de torque e do ganho de tens˜ao el´etrica dos atuadores piezel´etricos.
As condi¸c˜oes iniciais e o ponto desejado s˜ao os mesmos usados acima. O ganho do piezo-
cerˆamico K
c
= diag(10, 10).
Estes resultados mostram bom desempenho do controle de vibra¸c˜oes induzidas no
elo flex´ıvel. As oscila¸c˜oes cessam em menos de um d´ecimo de segundo. Em trabalhos
experimentais como os de [Choi et al., 1999] e [Abreu et al., 2003] percebe-se que as oscila¸c˜oes
93
Figura 6.17 – Trejet´orias em coordenadas espaciais do ponto final do bra¸co.
O ponto inicial e final foram marcados com retˆangulos.
Figura 6.18 – Ganho de tens˜ao el´etrica para os modos 1 e 2.
necessitam de mais tempo para cessarem. Por´em, em [Choi et al., 1999] a parte terminal do
robˆo passa por uma trajet´oria desejada, o que n˜ao foi o objetivo do controle SDRE neste
trabalho. Buscou-se percorrer uma trajet´oria de m´ınima energia gasta pelo sistema, dadas
as condi¸c˜oes iniciais e o ponto desejado.
Uma ´ultima simula¸c˜ao, Figura 6.21, foi feita para testar a robustez deste m´etodo
de controle. Foram mudadas as condi¸c˜oes iniciais θ
1
= θ
2
= 0, δ
1
= δ
2
= 0, 01 e finais
θ
1
= θ
2
= 1, δ
1
= δ
2
= 0. A posi¸c˜ao inicial e final do manipulador s˜ao mostradas na Figura
6.20.
94
Figura 6.19 – Resposta do elo flex´ıvel usando controle de torque e
piezel´etrico.
Figura 6.20 – Posi¸c˜ao inicial (c) e final (d) do bra¸co robˆotico.
Figura 6.21 – Trajet´oria das juntas 1 e 2.
A escolha dos valores das matrizes de peso Q
e
e R
e
´e muito importante. Uma boa
escolha pode acrescentar eficiˆencia ao controle. Al´em das simula¸c˜oes feitas acima, tamb´em
95
foram testados algumas matrizes Q
e
e R
e
com valores diferentes. Num primeiro momento,
dividiu-se os valores de Q
e
por 50, resultando em Q
e
= diag(10, ..., 10). Com estes valores
de Q
e
, o controle pelo torque dos motores ´e menos eficiente do que o mostrado acima com
valores Q
e
= diag(500, ..., 500), como se pode perceber na Figura 6.22.
Figura 6.22 – Resposta do elo flex´ıvel usando controle de torque.
Num segundo momento, multiplicou-se os valores de Q
e
por 20, resultando em Q
e
=
diag(10000, ..., 10000). Assim, o controle pelo torque dos motores tamb´em apresenta menos
eficiˆencia do que o mostrado acima com valores Q
e
= diag(500, ..., 500), como mostrado na
Figura 6.23.
Figura 6.23 – Resposta do elo flex´ıvel usando controle de torque.
Em simula¸c˜oes adicionais, n˜ao apresentadas aqui para simplificar os resutados,
pecebe-se que ao aumentar os pesos do estado, matriz Q
e
, e querendo manter a mesma
perfomance no controle, ´e necess´ario tamb´em aumentar os pesos do controle, matriz R
e
. Se
diminuir os valores num, deve-se tamb´em diminuir no outro. Al´em disso, chegou-se a con-
96
clus˜ao que para o modelo deste trabalho, os valores de Q
e
que levam o sistema ao controle
num curto espa¸co de tempo est˜ao em torno de Q
e
= diag(500, ..., 500), bem mais ou bem
menos do que estes, o controle perde eficiˆencia.
6.2.1 An´alise de estabilidade
Para an´alise de estabilidade consideremos o sistema sem controle
˙x = f(x). (6.10)
A estabilidade deste sistema pode ser examinada em torno da origem atrav´es da lineariza¸c˜ao.
Se for assumido que f(x) ∈ C
1
e que o equil´ıbrio de interesse ´e a origem, ent˜ao ´e poss´ıvel
verificar a estabilidade local assint´otica atrav´es da aproxima¸c˜ao linear de f(x) em x = 0,
f(x) = A
e
(x)x,
w(x, u) = B
e
(x)u
J
f
=
∂f
∂x
x=0
, J
w
=
∂w
∂u
x=0
, (6.11)
onde J
f
e J
f
s˜ao matrizes Jacobianas de f(x) e w(u, x) em x = 0, respectivamente.
Se os autovalores de J
f
tem parte real negativa, o ponto x = 0 ´e um ponto de
equil´ıbrio localmente est´avel. Se uma das partes reais for positiva, ent˜ao o ponto x = 0
´e um ponto de equil´ıbrio inst´avel. Esta an´alise de estabilidasde n˜ao incluir´a valores dos
autovalores com parte real nula.
Calculando a matriz [J
f
]
x=0
para o sistema obtem-se:
J
f
=
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 335934.58967 8741054.76936 0 0 32.48884 87.38377
0 0 −769507.72196 −20022675.09759 0 0 −74.420476 , −200.165418
0 0 321112.53138 10281899.240837 0 0 31.05537 102.787497
0 0 110149.17757 939577.59975 0 0 10.65272 9.39289
.
Os autovalores desta matriz s˜ao (0, 0, 0, 0, 1354.47497, −1282.7422, −15.64224 + 691.33802I,
−15.64224 − 691.33802I). Percebe-se da´ı que h´a um autovalor com parte real positiva, o
97
que significa que a origem ´e um ponto inst´avel. Da parametriza¸c˜ao dos coeficientes depen-
dentes do estado f (x) = A
e
(x)x obtem-se que A
e
(0) = [J
f
]
x=0
(isto ´e mostrado no Lema
do cap´ıtulo 3) e de w(x, u) = B
e
(x)u obtem-se B
e
(0) = [J
w
]
x=0
, de forma que a condi¸c˜ao
necess´aria para estabilidade local ´e que o par (J
f
, J
w
) ou (A
e
(0), B
e
(0)) precisa ser esta-
biliz´avel [Shawky et al., 2007] . Vˆe-se claramente da´ı que ´e exigida a controlabilidade do
sistema na origem.
O c´alculo da aproxima¸c˜ao linear ˙x = A
e
x + B
e
u, ponto a ponto, ´e control´avel e
observ´avel. Para o sistema considerado no trabalho, estas propriedades foram verificadas.
Um sistema pode ser assintoticamente localmente estabilizado pela forma fechada do estado
˙x = A
e
x −B
e
S
e
x.
Uma observa¸c˜ao importante ´e que, para verificar a controlabilidade requerida acima
´e preciso trabalhar com v´arias casas decimais de precis˜ao no c´alculo, no caso, para atingir o
posto = 8. Visto que o passo de integra¸c˜ao do SDRE ´e pequeno, a precis˜ao usada no c´alculo
da controlabilidade deve ser bem maior do que a apresentada no texto.
7. CONCLUS
˜
OES E CONSIDERAC¸
˜
OES FINAIS
Neste trabalho, procurou-se desenvolver t´ecnicas de controle de trajet´oria dos e-
lementos de um robˆo com bra¸cos flex´ıveis. Esta ´e uma das ´areas de pesquisa atuais em
rob´otica [Hu e Ma, 2006], cuja aplicabilidade est´a na possibilidade de projetos de mani-
puladores constru´ıdos com materiais leves, preservando a for¸ca e a precis˜ao, aumentando a
agilidade e diminuindo o consumo de energia. Estes requisitos s˜ao a realidade para o uso em
miss˜oes espaciais ou tarefas que exijam leveza, precis˜ao e agilidade.
A formula¸c˜ao dinˆamica e do controle deste trabalho podem ser aplicadas a modelos
em trˆes dimens˜oes e com mais de um elemento flex´ıvel, por´em, por op¸c˜ao, foi trabalhado com
o caso de um robˆo planar com um bra¸co r´ıgido e um bra¸co flex´ıvel. Em trabalhos anteriores
como [De Luca e Siciliano, 1991] e [De Luca et al., 1990], o torque dos motores ´e utilizado
como atuador para controlar o ˆangulo das juntas e tamb´em para controlar as vibra¸c˜oes
dos bra¸cos flex´ıveis. No entanto, os modos de alta freq¨uˆencia n˜ao podem ser eliminados
pela a¸c˜ao dos motores, pois as vibra¸c˜oes de alta freq¨uˆencia tˆem per´ıodo menor do que o
per´ıodo do sistema de controle. Num trabalho mais recente [Shin e Choi, 2000], o torque
dos motores ´e utilizado somente para o ˆangulo das juntas e as vibra¸c˜oes dos bra¸cos s˜ao
controladas por sensores e atuadores piezel´etricos. No trabalho precedente [Bottega, 2004],
assim como neste, obteve-se um controlador que utiliza o torque dos motores para o controle
do ˆangulo das juntas e vibra¸c˜oes de freq¨uˆencia menor que as do sistema de controle de torque.
Para controlar vibra¸c˜oes de freq¨uˆencias n˜ao alcan¸cadas pelo controle de torque, utilizou-se
atuadores e sensores piezel´etricos. Este controle possibilita um melhor aproveitamento do
torque dos motores e da atua¸c˜ao do material piezel´etrico.
Al´em da busca por t´ecnicas de controle, m´etodos de otimiza¸c˜ao para a localiza¸c˜ao dos
atuadores/sensores e ganho de retroalimenta¸c˜ao foram obtidos, baseados na maximiza¸c˜ao da
energia dissipada devido `a a¸c˜ao do controle. Uma fun¸c˜ao custo foi obtida, tamb´em utilizada
no trabalho de [Bottega, 2004], incorporou nas restri¸c˜oes o custo do material piezel´etrico
utilizado como atuador e sensor que pode ser em peso, em custo econˆomico ou ambos,
99
procurando uma estrutura mais leve e ´agil sem perda de precis˜ao e com menor custo. Outra
foi simplesmente considerar o ganho do controle piezel´etrico e a maximiza¸c˜ao de energia
dissipada. Al´em disso, outra forma de otimiza¸c˜ao foi proposta, fundamentada em [Sun et al.,
2004], que visa satisfazer algumas condi¸c˜oes f´ısicas espec´ıficas para melhor posicionamento
e tamanho do material piezel´etrico.
O modelo dinˆamico do robˆo foi obtido atrav´es das equa¸c˜oes de Lagrange, onde o
bra¸co flex´ıvel, com sensores e atuadores piezel´etricos fixos, foi modelado como uma viga de
Euler-Bernoulli, podendo ser n˜ao-prism´atica. Geralmente, as varia¸c˜oes de massa e rigidez
do bra¸co do robˆo, decorrente da adi¸c˜ao dos atuadores e sensores s˜ao desconsideradas, por´em
estas varia¸c˜oes interferem na freq¨uˆencia natural dos modos de deslocamento. Em virtude
disto, modelou-se o bra¸co flex´ıvel escalonado, pelo m´etodo de elementos finitos. Os modos
de vibra¸c˜ao foram obtidos por interpola¸c˜ao do valores resultantes dos autovetores. Foram
testadas trˆes diferentes formas de interpola¸c˜ao: atrav´es de polinˆomios de Hermite, polinˆomios
mistos de Hermite e Lagrange e interpola¸c˜ao por m´ınimos quadrados. O crit´erio adotado
para escolha da melhor interpola¸c˜ao foi o erro gerado entre as autofun¸c˜oes computadas e o
Quociente de Rayleigh.
Simula¸c˜oes foram realizadas para duas t´ecnicas de controle diferentes. Primeira-
mente, uma extens˜ao do trabalho de Bottega (2004), foi implementada em MatLab/Simulink
permitindo uma simula¸c˜ao em tempo real do sistema sem o controle das vibra¸c˜oes, com o
controle de torque e com controle de torque e piezel´etrico para vibra¸c˜oes, com mais modos
no modelo dinˆamico para a verifica¸c˜ao da robustez do modelo de controle e a possibilidade
de vigas n˜ao-prism´aticas. Esta t´ecnica foi testada em v´arias situa¸c˜oes: utilizando uma tra-
jet´oria de velocidade trapezoidal, simulando um deslocamento r´apido de um ponto a outro
do espa¸co de trabalho do robˆo, permitindo a observa¸c˜ao das vibra¸c˜oes induzidas no bra¸co
flex´ıvel durante o estado estacion´ario; e uma trajet´oria espec´ıfica para observar a eficiˆencia
do controle no estado transiente. Numa segunda etapa, a t´ecnica de controle foi modificada
para controle atrav´es das equa¸c˜oes de Riccati dependentes do estado. Pelas simula¸c˜oes,
percebeu-se uma melhora no tempo gasto para amenizar as vibra¸c˜oes, em rela¸c˜ao ao mo-
delo anterior, por´em ainda n˜ao se previu o seguimento do manipulador por uma trajet´oria
desejada, apenas de um ponto inicial a um final.
Em ambos os casos, atrav´es das simula¸c˜oes, percebeu-se uma redu¸c˜ao significativa
100
das deflex˜oes no elemento terminal do robˆo, quando adicionado controle de torque e o controle
piezel´etrico. Na otimiza¸c˜ao de tamanho e localiza¸c˜ao dos atuadores e sensores, mostrou-se
poss´ıvel encontrar uma posi¸c˜ao e tamanho representando um equil´ıbrio no custo e benef´ıcio
dos atuadores e sensores piezel´etricos, resultando numa estrutura otimizada que realize de-
terminadas tarefas com agilidade e precis˜ao com um menor custo, e com o cuidado de n˜ao
gerar instabilidades no sistema.
Os resultados das simula¸c˜oes apresentaram-se compat´ıveis com resultados experi-
mentais em sistemas similares verificados na bibliografia. No entanto, para uma valida¸c˜ao
definitiva do modelo de controle, deve-se realizar experimentos num modelo real do mani-
pulador rob´otico aqui apresentado, em trabalhos futuros.
Neste trabalho, utilizou-se um modelo simplificado de robˆo, onde o espa¸co de tra-
balho ´e restrito a duas dimens˜oes o que ´e adequado para a formula¸c˜ao da lei de controle e da
otimiza¸c˜ao. Por´em, a grande maioria dos manipuladores trabalham num espa¸co tridimen-
sional, geralmente obtido atrav´es da composi¸c˜ao de movimentos planares entre um bra¸co
e outro em dire¸c˜oes diferentes. Portanto, para cada tipo espec´ıfico de robˆo, deve-se ana-
lisar suas caracter´ısticas f´ısicas, observando a necessidade da formula¸c˜ao de modelos mais
detalhados em trˆes dimens˜oes, considerando efeitos torcionais e gravitacionas, o que pode
ser obtido com a mesma formula¸c˜ao das equa¸c˜oes do movimento e do deslocamento aqui
apresentadas, estendidas para o modelo em trˆes dimens˜oes. Um modelamento mais realista
dos mancais tamb´em ´e necess´ario, incluindo o fenˆomeno do atrito.
Como contribui¸c˜ao, este trabalho visa mostrar a possibilidade do projeto de mani-
puladores rob´oticos mais leves e ´ageis e com menor consumo de energia atrav´es do uso de
materiais inteligentes como os materiais piezel´etricos em conjunto com t´ecnicas de otimiza¸c˜ao
estrutural, pouco usadas nesta ´area. A formula¸c˜ao aqui mostrada tem o potencial para servir
como base para obten¸c˜ao de modelos mais complexos de robˆos com caracter´ısticas espec´ıficas.
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ANEXOS
Teorema 1
[Arteaga e Siciliano, 2000]
a) Dada uma trajet´oria desejada θ
d
, com velocidade e acelera¸c˜ao limitadas, (3.12) ´e
global e assintoticamente est´avel na origem (s = 0) .
b) A trajet´oria desejada
˙
δ
d
dada por (3.10) com condi¸c˜oes iniciais
˙
δ
d
(0) =
˙
δ(0) e
δ
d
(0) = δ(0) permanece limitada se
λ
min
(D
δ
) > k
cδθ
˙
θ
d
max
+ λ
max
(Λ
θ
)
˜
θ
max
+k
cδδ
λ
max
(Λ
δ
)
˜
δ
max
. (7.1)
Ainda, δ
d
dada por (3.10) permanece limitada se
λ
min
(K) > λ
max
(Λ
δ
) (k
cδδ
˙q
max
+ λ
max
(D
δ
)) (7.2)
Prova:
a) A fim de provar a estabilidade de (3.12), considere a fun¸c˜ao de Lyapunov V (x, t) =
V (x)
V (x) =
1
2
s
T
B(θ)s + ˜q
T
ΛK
pD
+
1
2
K
e
˜q =
1
2
x
T
Nx, (7.3)
N ≡
(2ΛK
pD
+K
e
+ΛBΛ) ΛB
BΛ B
. (7.4)
Note que N > 0, implica que
λ
1
x
2
≤ V (x) ≤ λ
2
x
2
λ
1
≡
1
2
min
θ∈R
n
(λ
min
(N)) λ
2
≡
1
2
max
θ∈R
n
(λ
max
(N)) . (7.5)
114
A derivada de (7.3), ao longo de (3.12), ´e
˙
V (x) =
1
2
s
T
B(θ)s +
˙
˜q
T
ΛK
pD
˜q + ˜q
T
ΛK
pD
˙
˜q+
˙
˜q
T
K
e
˜q
−s
T
(C(θ, ˙q)s + K
e
˜q + K
pD
s)
= −
˙
˜q
T
K
pD
˙
˜q−
˙
˜q
T
(ΛK
pD
Λ + ΛK
e
) ˜q = −x
T
Qx, (7.6)
com
Q ≡ diag{ΛK
pD
Λ + ΛK
e
, K
pD
}. (7.7)
A propriedade 2 foi usada em (7.6). J´a que Q > 0,
˙
V (x) = 0 se e somente se
x = 0. Por (7.6), V (x, t) ´e decrescente, o que implica que o ponto de equil´ıbrio x = 0 ´e
assintoticamente est´avel [Lin et al., 1996a].
b) Primeiro, encontra-se sobre quais condi¸c˜oes
˙
δ
d
permanece limitada, reescrevendo
(3.10) como
B
δδ
¨
δ
d
= −(C
δδ
˙
δ
d
+D
δ
˙
δ
d
+Kδ
d
+f
a
+(C
δθ
˙
θ
r
−C
δθ
Λ
δ
˜
δ)), (7.8)
f
a
≡ B
T
θδ
¨
θ
r
−B
δδ
Λ
δ
˙
˜
δ−D
δ
Λ
δ
˜
δ − K
pδ
s
δ
+g
δ
. (7.9)
J´a que x < ∞, o vetor f
a
´e limitado por uma constante positiva f
a,max
. Considere
a fun¸c˜ao de Lyapunov:
V
δ
(x
δ
) =
1
2
˙
δ
T
d
B
δδ
˙
δ
d
+
1
2
δ
T
d
Kδ
d
. (7.10)
Pela propriedade 2, a derivada de (7.10), ao longo de (7.8,) ´e dada por
˙
V
δ
(x
δ
) =
1
2
˙
δ
T
d
B
δδ
˙
δ
d
+
˙
δ
T
d
Kδ
d
−
˙
δ
T
d
(C
δδ
˙
δ
d
+ D
δ
˙
δ
d
+Kδ
d
+ f
a
)
−
˙
δ
T
d
(C
δθ
˙
θ
r
− C
δδ
Λ
δ
˜
δ)
= −
˙
δ
T
d
D
δ
˙
δ
d
−
˙
δ
T
d
f
a
−
˙
δ
T
d
(C
δθ
˙
θ
r
− C
δθ
Λ
δ
˜
δ)
≤ −λ
min
(D
δ
)
˙
δ
d
2
+ f
a,max
˙
δ
d
+
˙
δ
d
σ
1
˙
δ
d
+ σ
2
, (7.11)
115
com
σ
1
= k
cδθ
˙
δ
d
max
+ λ
max
(Λ
θ
)
˜
θ
max
+ k
cδδ
λ
max
Λ
δ
˜
δ
max
(7.12)
σ
2
= σ
1
˙
˜
δ
max
+
˙
θ
max
. (7.13)
Note que
˙
˜
θ
e
˙
θ
d
s˜ao limitadas. Assim,
˙
θ
tamb´em ´e limitada. Se a condi¸c˜ao
(7.1) ´e satisfeita, ent˜ao
˙
V
δ
< 0 se
˙
δ
d
>
(f
a,max
+σ
2
)
(λ
min
(D
δ
)−σ
1
)
, assim
˙
δ
d
permanece limitada.
Agora, o limite de δ
d
ser´a provado. Considere a nota¸c˜ao s
0
≡
˙
δ
d
+Λ
δ
δ
d
e x
δ
≡
δ
T
d
s
T
0
T
.
J´a que
˙
δ
d
´e limitada,
˙
δ
tamb´em o ´e. Simplificando (3.10), tem-se
B
δδ
˙s
0
= −(C
δδ
s
0
+D
δ
s
0
+Kδ
d
+f
b
+ (C
δδ
Λ
δ
δ − D
δ
Λ
δ
δ) ), (7.14)
f
b
≡ B
T
θδ
¨
θ
r
−C
δθ
θ
r
+g
δ
−K
pδ
s
δ
−B
δδ
Λ
δ
˙
δ. (7.15)
f
b
´e limitada pela constante positiva f
b,max
, isto ´e, f
b
≤ f
b,max
(conforme propriedades 1, 3
e 4). Considera-se a fun¸c˜ao de Lyapunov V
δ
(x
δ
, t) = V
δ
(x
δ
)
V
δ
(x
δ
) =
1
2
s
T
0
B
δδ
s
0
+
1
2
δ
T
d
Kδ
d
. (7.16)
Pela propriedade 2, a derivada de (7.16), ao longo de (7.14,) ´e dado por
˙
V
δ
(x
δ
) =
1
2
s
T
0
˙
B
δδ
s
0
+
˙
δ
T
d
Kδ
d
+ s
T
0
(C
δδ
Λ
d
δ + δ
d
Λ
d
δ)
−s
T
0
(C
δδ
s
0
+ D
δ
s
0
+Kδ
d
+ f
b
)
= −s
T
0
D
δ
s
0
−
˙
δ
T
d
Λ
δ
Kδ
d
− s
T
0
f
b
− s
T
0
(C
δδ
Λ
δ
δ + D
δ
Λ
δ
δ)
≤ −λ
min
(D
δ
) s
0
2
+ σ
3
s
0
−δ
T
d
Hδ
d
+ σ
4
δ
d
, (7.17)
com
H = Λ
δ
K −Λ
δ
1
2
C
δδ
+
1
2
C
δδT
+D
δ
Λ
δ
, (7.18)
σ
3
= (k
cδδ
˙q
max
+ λ
max
(D
δ
)) λ
max
(Λ
δ
)
˜
δ
max
+ f
b,max
, (7.19)
116
σ
4
=
˙
δ
d
max
(k
cδδ
˙q
max
+ λ
max
(D
δ
)) λ
max
(Λ
δ
) . (7.20)
Se a condi¸c˜ao (7.2) ´e satisfeita, ent˜ao H > 0 e (7.17) pode ser reescrita como
˙
V
δ
(x
δ
) ≤ −λ
min
(D
δ
) s
0
2
+ σ
3
s
0
−λ
min
(H) δ
d
2
+ σ
4
δ
d
= −s
0
(λ
min
(D
δ
) s
0
−σ
3
) −δ
d
(λ
min
(H) δ
d
−σ
4
)
≤ −x
δ
(min (λ
min
(D
δ
) , λ
min
(H)) x
δ
−max (σ
3
, σ
4
)) . (7.21)
Assim,
˙
V
δ
< 0 se x
δ
>
max(σ
3
,σ
4
)
min(λ
min
(D
δ
),λ
min
(H))
. Isto implica que se
˙
δ
d
´e limitada, ent˜ao
δ
d
tamb´em o ´e.
Note que para qualquer sistema f´ısico D
δ
> 0. Assim, ´e poss´ıvel satisfazer a condi¸c˜ao
(7.1) quando
˙
θ
d
e x(0) s˜ao suficientemente pequenos. O limite em x(0) n˜ao deveria ser
considerado t˜ao restritivo, j´a que pode-se escolher trajet´orias desejadas θ
d
e
˙
θ
d
com condi¸c˜oes
iniciais θ
d
(0) = θ(0) e
˙
θ
d
(0) =
˙
θ(0). A condi¸c˜ao (7.2) pode ser satisfeita fazendo λ
max
(Λ
δ
)
ser suficientemente pequeno.
Teorema 2
[Arteaga e Siciliano, 2000]
a) Dada uma trajet´oria desejada θ
d
cont´ınua e limitada, com velocidade e acele-
ra¸c˜ao limitadas, o vetor de vari´aveis de estado x ≡
˜q
T
˙
˜
q
T
T
de (3.23) ´e exponencial
globalmente est´avel.
b) A trajet´oria desejada
˙
δ
d
dada por (3.16), com condi¸c˜oes iniciais δ
d
(0) = δ (0) e
˙
δ
d
(0) =
˙
δ (0), permanece limitada se as condi¸c˜oes de (7.1) do Teorema 1 s˜ao satisfeitas e δ
d
´e limitada se as condi¸c˜oes de (7.2) s˜ao satisfeitas.
Prova:
a) Para provar a estabilidade de x, considera-se a fun¸c˜ao de Lyapunov V (t, x) =
V (x) dada por (7.3), junto com (7.4) e (7.5). A derivada de (7.3) ao longo de (3.23) ´e a
117
mesma que (7.6), adicionado o termo D
′
∆
˙
δ
d
:
˙
V (x) = −x
T
Qx + s
T
δ
D
′
∆
˙
δ
d
≤ −x
T
Qx +
n
i=1
m
i
j=1
d
ij
s
δij
˙
δ
dij
− d
ij
s
δij
˙
δ
dij
2
s
δij
˙
δ
dij
+ ε
ij
r
−β
ij
t
≤ −x
T
Qx +
n
i=1
m
i
j=1
d
ij
ε
ij
e
−β
ij
t
− d
ij
s
δij
˙
δ
dij
2
s
δij
˙
δ
dij
+ ε
ij
e
−β
ij
t
≤ −λ
min
(Q) x
2
+
n
i=1
m
i
j=1
d
ij
ε
ij
e
−β
ij
t
= −λ
3
x
2
+ εe
−βt
, (7.22)
onde Q ´e dado por (7.7) e
λ
3
≡ λ
min
(Q) ε ≡
n
i=1
m
i
j=1
d
ij
ε
ij
β ≡ min (β
ij
) . (7.23)
O termo εe
−βt
´e obtido usando o fato de que a a¸c˜ao de robustez (3.17) e (3.18), as
quais s˜ao fun¸c˜oes de
˙
δ
d
, s˜ao limitadas.
b) Primeiramente, deve-se encontrar as condi¸c˜oes sob as quais
˙
δ
d
resulta limitado.
Reescreve-se (3.16) como
B
δδ
¨
δ
d
= −(C
δδ
˙
δ
d
+(D
δ
+ D
′
∆
)
˙
δ
d
+Kδ
d
+f
a
+(C
δθ
˙
θ
r
−C
δθ
Λ
δ
˜
δ)), (7.24)
com f
a
dada por (7.9). Como x < ∞, o vetor f
a
´e limitado por uma constante positiva
f
a,max
. Considerando a fun¸c˜ao de Lyapunov, dada por (7.10), e usando a propriedade 2, a
derivada de (7.10), ao longo de (7.24), ´e dada por
˙
V
δ
(x
δ
) =
1
2
˙
δ
T
d
B
δδ
˙
δ
d
+
˙
δ
T
d
Kδ
d
−
˙
δ
T
d
(C
δδ
˙
δ
d
+ (D
δ
+ D
′
∆
)
˙
δ
d
+Kδ
d
+ f
a
)
−
˙
δ
T
d
(C
δθ
˙
θ
r
− C
δδ
Λ
δ
˜
δ)
= −
˙
δ
T
d
(D
δ
+ D
′
∆
)
˙
δ
d
−
˙
δ
T
d
f
a
−
˙
δ
T
d
(C
δθ
˙
θ
r
− C
δθ
Λ
δ
˜
δ)
≤ −λ
min
(D
δ
)
˙
δ
d
2
+ f
a,max
˙
δ
d
+
˙
δ
d
σ
1
˙
δ
d
+ σ
2
, (7.25)
com σ
1
e σ
2
dadas por (7.12) e (7.13), respectivamente. Se a condi¸c˜ao (7.1) ´e satisfeita,
ent˜ao
˙
V
δ
< 0 se
˙
δ
d
>
(f
a,max
+σ
2
)
(λ
min
(D
δ
)−σ
1
)
, assim
˙
δ
d
permanece limitada.
118
Agora, o limite de δ
d
ser´a provado. Considere a nota¸c˜ao s
0
≡
˙
δ
d
+Λ
δ
δ
d
e x
δ
≡
δ
T
d
s
T
0
T
.
J´a que
˙
δ
d
´e limitada,
˙
δ
tamb´em o ´e. Simplificando (3.16), tem-se
B
δδ
˙s
0
= −(C
δδ
s
0
+D
δ
s
0
+Kδ
d
+f
b
−(C
δδ
Λ
δ
δ − D
δ
Λ
δ
δ) + D
′
∆
˙
δ
d
), (7.26)
com f
b
dada por (7.15). Como discutido no Teorema 1, f
b
´e limitado pela constante positiva
f
b,max
, isto ´e, f
b
≤ f
b,max
. Considere a fun¸c˜ao de Lyapunov V
δ
(x
δ
, t) = V
δ
(x
δ
) dada por
(7.16). Usando a propriedade 2, a derivada de (7.16), ao longo de (7.26), verifica-se que:
˙
V
δ
(x
δ
) ≤ −λ
min
(D
δ
) s
0
2
+ σ
3
s
0
−δ
T
d
Bδ
d
+ σ
4
δ
d
−
˙
δ
T
d
D
′
∆
˙
δ
d
, (7.27)
com B e σ
3
dados por (7.18) e (7.19), respectivamente, e
σ
4
=
˙
δ
d
max
(2λ
max
(Λ
δ
D
∆
) + (k
cδδ
˙q
max
+ λ
max
(D
δ
))λ
max
(Λ
δ
)). (7.28)
Se a condi¸c˜ao (7.2) ´e satisfeita, ent˜ao B > 0 e (7.27) pode ser reescrita na forma
˙
V
δ
(x
δ
) ≤ −λ
min
(D
δ
) s
0
2
+ σ
3
s
0
−λ
min
(H) δ
d
2
+ σ
4
δ
d
−
˙
δ
T
d
D
′
∆
˙
δ
d
= −s
0
(λ
min
(D
δ
) s
0
−σ
3
) −δ
d
(λ
min
(H) δ
d
−σ
4
) −
˙
δ
T
d
D
′
∆
˙
δ
d
. (7.29)
Recordando que D
′
∆
> 0, observa-se de (7.29)que
˙
V
δ
< 0 se x
δ
>
max(σ
3
,σ
4
)
min(λ
min
(D
δ
),λ
min
(H))
.
Isto implica que se
˙
δ
d
´e limitada, ent˜ao δ
d
tamb´em o ´e.
Em suma, a id´eia principal da lei de controle proposta acima, ´e tratar D
′
∆
˙
δ
d
como
uma perturba¸c˜ao e usar uma a¸c˜ao de robustez dada por diag {f
1,1
, ..., f
n,m
n
} em (3.17) para
obter a estabilidade de x. Assim, como x → 0, pode-se concluir que o uso de uma tra-
jet´oria desejada modificada para δ
d
em (3.17) amortece o sistema, eliminando vibra¸c˜oes
estacion´arias.
Teorema 3
[Mracek e Cloutier, 1998]
P rova - A solu¸c˜ao em malha fechada ´e dada por
˙x =
A
e
(x) + B
e
(x)R
e
−1
(x)B
e
T
(x)P
e
(x)
x = [A
c
(x)] x. (7.30)
119
´
E assegurada, da teoria das equa¸c˜oes de Riccati, que a matriz A
c
(x) ´e est´avel em todos os
pontos x. Assumi-se que a solu¸c˜ao P
e
(x) ∈ C
1
e portanto coluna A
c
(x) ∈ C
1
. Aplicando o
teorema do valor m´edio para A
c
(x) tem-se (denotando coluna A
c
(x) = col(A
c
(x)))
col
j
(A
c
(x)) = col
j
(A
c
(0)) +
∂col
j
(A
c
(z
j
))
∂x
x, j = 1, ··· , n, (7.31)
onde o vetor z
j
´e o ponto no segmento de linha unindo a origem e x, produzindo a igualdade
na j-´esima equa¸c˜ao de (7.31). Substituindo (7.31) em col(A
c
(x)) na equa¸c˜ao (7.30) produz
˙
x = A
c
(0)x +
∂col
1
(A
c
(z
1
))
∂x
x
.
.
.
∂col
2
(A
c
(z
2
))
∂x
x
.
.
. ···
.
.
.
∂col
n
(A
c
(z
n
))
∂x
x
x
= A
c
(0)x +
n
j=1
n
i=1
x
i
x
j
∂col
j
(A
c
(z
j
))
∂x
. (7.32)
Multiplicando e dividindo o segundo termo em (7.32) por x e definindo
ψ(x, z
1
, z
2
, ··· , z
n
) =
n
j=1
n
i=1
x
i
x
j
x
∂col
j
(A
c
(z
j
))
∂x
. (7.33)
Isso produz
˙
x = A
c
(0)x + ψ(x, z
1
, z
2
, ··· , z
n
) x, (7.34)
onde pode ser usada o propriedade dos sistemas lineares
lim
x→0
ψ(x, z
1
, z
2
, ··· , z
n
) = 0. (7.35)
Na vizinhan¸ca em torno da origem, o termo linear que tem matriz de coeficientes
constantes e est´aveis dominam sobre os termos de alta ordem, produzindo estabilidade local
assint´otica.
Pr´atica
Uma continua¸c˜ao importante deste trabalho ´e o teste de um modelo experimental.
No momento, este dispositivo est´a sendo montado, como mostram as Figuras 7.1 e 7.2. O
modelo ´e composto basicamente por motores de corrente cont´ınua, potenciˆometros para a
120
leitura dos ˆangulos e dois elos de alum´ınio, sendo o mais longo mais flex´ıvel. A colagem
dos atuadores piezel´etricos foi feita numa barra de a¸co para testes, de controle de vibra¸c˜oes
em viga engastada em uma mesa vibrat´oria. Os sensores s˜ao extensˆometros de resistˆencia
el´etrica ao inv´es de piezofilmes. Ap´os estes testes, sensores e atuadores ser˜ao instalados no
bra¸co rob´otico. Num trabalho futuro este modelo poder´a ser usado para experimenta¸c˜ao.
Figura 7.1 – Modelo experimental.
Figura 7.2 – Modelo experimental.
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