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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
ESCOLA DE ENGENHARIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS
ESTUDO DOS PROCESSOS APROXIMADOS UTILIZADOS
PARA A CONSIDERAÇÃO DAS NÃO-LINEARIDADES FÍSICA
E GEOMÉTRICA NA ANÁLISE GLOBAL DAS ESTRUTURAS
DE CONCRETO ARMADO
Danielle Meireles de Oliveira
Tese apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Engenharia de Estruturas da
Escola de Engenharia da Universidade
Federal de Minas Gerais, como parte dos
requisitos necessários à obtenção do título de
“Doutor em Engenharia de Estruturas”. ........
Orientador: Prof. Dr. Ney Amorim Silva
Belo Horizonte, 24 de Agosto de 2007
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Livros Grátis
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A Deus,
sempre presente em minha vida.
Aos meus amados pais,
Raquel e Francisco,
meus maiores mestres.
Aos meus queridos irmãos,
Caroline, Priscilla e Matheus,
amigos indispensáveis de todas as horas.
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AGRADECIMENTOS
A Deus, pela força em todos os momentos e por mais esta conquista.
Aos meus pais, Raquel e Francisco, e irmãos, Caroline, Priscilla e Matheus, eterna gratidão
pela dedicação, incentivo, amor e carinho incondicionais.
Ao professor Ney Amorim Silva, agradeço não apenas pelo trabalho de orientação e pelos
conhecimentos transmitidos, mas também pela atenção, confiança, amizade e pelas palavras
de apoio.
Aos professores Fernando Amorim de Paula, Armando Cesar Campos Lavall, Alcebíades
de Vasconcellos Filho e ao engenheiro André Luis Garcia Santos Pimenta, pela
disponibilidade e valiosa ajuda.
À Iracema, Inês, Patrícia e Lucíola, sempre atenciosas, pela colaboração e agradável
convivência ao longo de todos estes anos.
Aos professores, colegas e funcionários do Departamento de Engenharia de Estruturas da
UFMG, que contribuíram para a elaboração deste trabalho.
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS............................................................................................................i
LISTA DE TABELAS .........................................................................................................vi
LISTA DE SÍMBOLOS......................................................................................................xv
RESUMO.......................................................................................................................... xxii
ABSTRACT..................................................................................................................... xxiii
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO.........................................................................................1
1.1. Aspectos Gerais............................................................................................................1
1.2. Objetivos e Justificativas..............................................................................................3
1.3. Conteúdo.......................................................................................................................5
CAPÍTULO 2 – NÃO-LINEARIDADES NAS ESTRUTURAS
DE CONCRETO ARMADO ...............................................................................................7
2.1. Considerações Iniciais..................................................................................................7
2.2. Consideração das Não-Linearidades ............................................................................9
2.2.1. Não-Linearidade Física (NLF).............................................................................10
a) Consideração Simplificada da NLF segundo a NBR 6118:2003 ...........................15
b) Rigidez Equivalente segundo a Formulação de BRANSON (1966)......................16
2.2.2. Não-Linearidade Geométrica (NLG) ...................................................................20
2.3. Análise Não-Linear de Estruturas de Concreto Armado............................................23
2.3.1. Comportamento do Concreto...............................................................................24
2.3.2. Modelos Constitutivos para o Concreto...............................................................27
2.3.3. Modelos Considerando a Fissuração....................................................................32
2.3.4. Representação das Barras das Armaduras............................................................33
2.3.5. Influência da Armadura no Elemento Estrutural em Concreto Armado..............34
2.4. Classificação das Estruturas com relação à Deslocabilidade Horizontal ...................35
2.4.1. Parâmetro de Instabilidade
α
...............................................................................37
a) Módulo de Rigidez da Estrutura.............................................................................40
b) Parâmetro de Instabilidade
α
segundo a NBR 6118:2003.....................................41
2.4.2. Coeficiente
γ
z
........................................................................................................43
a) Coeficiente
γ
z
segundo a NBR 6118:2003..............................................................48
2.5. Procedimentos Simplificados para a Consideração dos Efeitos
de Segunda Ordem ............................................................................................................49
2.6. Relação entre os Coeficientes
γ
z
e B
2
.........................................................................60
CAPÍTULO 3 – ASPECTOS COMPUTACIONAIS ......................................................64
3.1. Considerações Iniciais................................................................................................64
3.2. Análise Não-Linear no “Software” ANSYS ..............................................................66
3.2.1. Considerações Relativas à NLF ...........................................................................66
3.2.2. Considerações Relativas à NLG...........................................................................69
3.3. Aplicações Numéricas................................................................................................71
3.3.1. Pilar Bi-Rotulado com Imperfeição Inicial..........................................................72
3.3.2. Viga de Concreto Armado ...................................................................................75
3.3.3. Pórtico de Concreto Armado com 1 Pavimento (“P1”) .......................................81
3.3.4. Pórtico de Concreto Armado com 2 Pavimentos (“P2”)......................................85
CAPÍTULO 4 – CONSIDERAÇÃO SIMPLIFICADA DA NÃO-LINEARIDADE
FÍSICA: ESTUDO DOS COEFICIENTES DE REDUÇÃO DE RIGIDEZ.................96
4.1. Considerações Iniciais................................................................................................96
4.2. Exemplo 1...................................................................................................................97
4.3. Outros Exemplos Analisados....................................................................................119
CAPÍTULO 5 – CONSIDERAÇÃO SIMPLIFICADA DA NÃO-LINEARIDADE
GEOMÉTRICA: ESTUDO DO COEFICIENTE
γ
γγ
γ
z
......................................................158
5.1. Considerações Iniciais..............................................................................................158
5.2. Ações Atuantes.........................................................................................................159
5.3. Análises Realizadas..................................................................................................163
5.4. Influência do Modelo na Determinação do Coeficiente
γ
z
.......................................164
5.5. Edifícios Analisados.................................................................................................173
5.5.1. Determinação dos Parâmetros de Instabilidade .................................................174
5.5.2. Avaliação do
γ
z
como Coeficiente Majorador dos Esforços de Primeira
Ordem (Momentos Fletores, Forças Normais e Cortantes) para a Obtenção
dos Esforços Finais ......................................................................................................186
5.5.3. Avaliação do
γ
z
como Coeficiente Majorador das Ações Horizontais
para a Obtenção dos Esforços Finais ...........................................................................192
5.5.4. Estudo da Variação dos Efeitos de Segunda Ordem com a Altura
dos Pavimentos nos Edifícios ......................................................................................194
a) Análise Descritiva.................................................................................................197
b) Análise de Correlação...........................................................................................216
c) Análise de Regressão............................................................................................222
d) Análise de Regressão por Terço da Altura...........................................................235
CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES.....................................................................................237
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................256
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR ..........................................................................267
APÊNDICE A: COEFICIENTES B
2
OBTIDOS...........................................................273
APÊNDICE B: RELAÇÃO ENTRE OS ESFORÇOS OBTIDOS PELA ANÁLISE
EM SEGUNDA ORDEM E EM PRIMEIRA ORDEM................................................276
APÊNDICE C: RELAÇÃO ENTRE OS ESFORÇOS OBTIDOS PELA ANÁLISE
EM SEGUNDA ORDEM E EM PRIMEIRA ORDEM REALIZADA COM AS
AÇÕES HORIZONTAIS ADICIONALMENTE MAJORADAS POR 0,95
γ
γγ
γ
z
...........287
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 2.1 – Efeitos de segunda ordem localizados ...........................................................8
FIGURA 2.2 – Diagrama momento-curvatura para um determinado
valor de força normal............................................................................................................11
FIGURA 2.3 – Obtenção da rigidez equivalente ponderada para vigas contínuas...............18
FIGURA 2.4 – Seção fissurada (estádio II)..........................................................................18
FIGURA 2.5 – Forças horizontais fictícias ..........................................................................23
FIGURA 2.6 – Curva tensão-deformação típica em compressão uniaxial do concreto.......25
FIGURA 2.7 – Forma geral da superfície de ruptura:
(a) meridianos; (b) seções desviadoras. ................................................................................29
FIGURA 2.8 – Superfícies de ruptura propostas para o concreto ........................................31
FIGURA 2.9 – Analogia entre o edifício e o pilar em balanço ............................................38
FIGURA 2.10 – Tipos de contraventamento e suas respectivas deformadas.......................40
FIGURA 2.11 – Módulo de rigidez equivalente...................................................................41
FIGURA 2.12 – Estrutura de três pavimentos submetida às forças
verticais e horizontais ...........................................................................................................60
FIGURA 3.1 – Superfície de escoamento de Drucker-Prager..............................................67
FIGURA 3.2 – Superfície de ruptura de Willam-Warnke....................................................67
FIGURA 3.3 – Elemento sólido para concreto.....................................................................69
FIGURA 3.4 – Pilar bi-rotulado com imperfeição inicial ....................................................72
ii
FIGURA 3.5 – Modelagem do pilar:
(a) 40 elementos; (b) 80 elementos; (c) 160 elementos........................................................73
FIGURA 3.6 – Relação entre força e deslocamento para o pilar analisado .........................74
FIGURA 3.7 – Viga analisada..............................................................................................76
FIGURA 3.8 – Modelagem da viga: (a) 40 elementos; (b) 380 elementos..........................77
FIGURA 3.9 – Relação entre força e deslocamento para a viga analisada ..........................78
FIGURA 3.10 – Variação da tensão normal na borda inferior da seção central
com a força............................................................................................................................79
FIGURA 3.11 – Variação da tensão normal na borda superior da seção central
com a força............................................................................................................................80
FIGURA 3.12 – Variação da tensão na armadura inferior da seção central
com a força............................................................................................................................81
FIGURA 3.13 – Variação da tensão na armadura superior da seção central
com a força............................................................................................................................82
FIGURA 3.14 – Pórtico “P1” ...............................................................................................82
FIGURA 3.15 – Discretização do pórtico “P1”....................................................................84
FIGURA 3.16 – Relação entre força e deslocamento para o pórtico “P1”...........................84
FIGURA 3.17 – Pórtico “P2” ...............................................................................................85
FIGURA 3.18 – Discretização do pórtico “P2”....................................................................86
FIGURA 3.19 – Relação entre força e deslocamento para o pórtico “P2”...........................87
FIGURA 3.20 – Momentos fletores M
a
nos trechos 1 e 2 das vigas ....................................89
FIGURA 3.21 – Relação entre força e deslocamento para as análises realizadas................91
FIGURA 3.22 – Diagrama de interação N - M para a seção dos pilares e vigas..................93
FIGURA 3.23 – Relação entre força e deslocamento para as análises realizadas
até o estado limite último convencional ...............................................................................94
FIGURA 3.24 – Relação entre força e deslocamento para a nova análise realizada
até o estado limite último convencional. ..............................................................................95
FIGURA 4.1 – Pavimento tipo do edifício do exemplo 1 ....................................................98
iii
FIGURA 4.2 – Forças concentradas resultantes em cada pavimento.................................101
FIGURA 4.3 – Representação das armaduras da viga V6..................................................102
FIGURA 4.4 – Representação das armaduras dos pilares P13, P8 e P3.............................103
FIGURA 4.5 – Representação das armaduras dos pilares P13, P8 e P3 considerando
o espaçamento máximo entre eixos de 40 cm.....................................................................104
FIGURA 4.6 – Carregamento aplicado ao pórtico constituído pelos pilares P13-P8-P3...106
FIGURA 4.7 – Relação entre carga e deslocamento para a análise elástica linear realizada
com o modelo sólido e com os modelos de barra (pórtico P13-P8-P3 - exemplo 1)..........116
FIGURA 4.8 – Relação entre carga e deslocamento para as análises não-lineares
realizadas (pórtico P13-P8-P3 - exemplo 1).......................................................................117
FIGURA 4.9 – Configuração deformada da estrutura no estado limite último convencional
(pórtico P13-P8-P3 - exemplo 1)........................................................................................118
FIGURA 4.10 – Pavimento tipo do edifício do exemplo 2 ................................................121
FIGURA 4.11 – Pavimento tipo do edifício do exemplo 3 ................................................122
FIGURA 4.12 – Pavimento tipo do edifício do exemplo 4 ................................................123
FIGURA 4.13 – Pavimento tipo do edifício do exemplo 5 ................................................124
FIGURA 4.14 – Pavimento tipo do edifício do exemplo 6 ................................................125
FIGURA 4.15 – Relação entre carga e deslocamento para as análises não-lineares
realizadas (pórtico P12-P9-P5-P2 - exemplo 2) .................................................................139
FIGURA 4.16 – Configuração deformada da estrutura no estado limite último convencional
(pórtico P12-P9-P5-P2 - exemplo 2). .................................................................................140
FIGURA 4.17 – Relação entre carga e deslocamento para as análises não-lineares
realizadas (pórtico P11-P12-P13-P14-P15 - exemplo 3)....................................................141
FIGURA 4.18 – Configuração deformada da estrutura no estado limite último convencional
(pórtico P11-P12-P13-P14-P15 - exemplo 3).....................................................................142
FIGURA 4.19 – Relação entre carga e deslocamento para as análises não-lineares
realizadas (pórtico P7-P8-P9 - exemplo 4).........................................................................143
FIGURA 4.20 – Configuração deformada da estrutura no estado limite último convencional
(pórtico P7-P8-P9 - exemplo 4)..........................................................................................144
iv
FIGURA 4.21 – Relação entre carga e deslocamento para as análises não-lineares
realizadas (pórtico P33-P20-P7 - exemplo 5).....................................................................145
FIGURA 4.22 – Configuração deformada da estrutura no estado limite último convencional
(pórtico P33-P20-P7 - exemplo 5)......................................................................................146
FIGURA 4.23 – Relação entre carga e deslocamento para as análises não-lineares
realizadas (pórtico P15-P11-P7-P3 - exemplo 6) ...............................................................147
FIGURA 4.24 – Configuração deformada da estrutura no estado limite último convencional
(pórtico P15-P11-P7-P3 - exemplo 6). ...............................................................................148
FIGURA 4.25 – Relação entre carga e deslocamento para os pórticos
dos exemplos 2 e 3..............................................................................................................155
FIGURA 4.26 – Relação entre carga e deslocamento para os pórticos
dos exemplos 5 e 6..............................................................................................................156
FIGURA 5.1 – Pavimento tipo do edifício II .....................................................................166
FIGURA 5.2 – Geometria, localização dos nós e sistema de coordenadas
para os elementos de barra..................................................................................................167
FIGURA 5.3 – Geometria, localização dos nós e sistema de coordenadas
para o elemento de casca. ...................................................................................................168
FIGURA 5.4 – Modelo laje-viga utilizando o elemento “beam 44” ..................................168
FIGURA 5.5 – Modelo laje-viga utilizando o elemento “beam 4” ....................................168
FIGURA 5.6 – Ligação entre as vigas e os pilares.............................................................169
FIGURA 5.7 – Pavimento tipo do edifício V .....................................................................175
FIGURA 5.8 – Pavimento tipo do edifício VII ..................................................................176
FIGURA 5.9 – Pavimento tipo do edifício VIII .................................................................177
FIGURA 5.10 – Pavimento tipo do edifício IX..................................................................178
FIGURA 5.11 – Pavimento tipo do edifício X ...................................................................179
FIGURA 5.12 – Relação entre os majoradores dos momentos
de primeira ordem e os coeficientes
γ
z
................................................................................191
FIGURA 5.13 – Variação da razão
γ
/
γ
z
ao longo da altura dos edifícios,
em ambas as direções, para os pilares.................................................................................196
v
FIGURA 5.14 – Variação da razão
γ
/
γ
z
ao longo da altura dos edifícios,
em ambas as direções, para as vigas...................................................................................197
FIGURA 5.15 – Histograma para a variável
γ
/
γ
z
, correspondente aos pilares ..................198
FIGURA 5.16 – Histograma para a variável
γ
/
γ
z
, correspondente às vigas.......................199
FIGURA 5.17 – Boxplot para a variável
γ
/
γ
z
estratificado por edifício
analisado, correspondente aos pilares.................................................................................200
FIGURA 5.18 – Boxplot para a variável
γ
/
γ
z
estratificado por edifício
analisado, correspondente às vigas. ....................................................................................200
FIGURA 5.19 – Boxplot para a variável
γ
/
γ
z
estratificado pela simetria
das estruturas, correspondente aos pilares. .........................................................................208
FIGURA 5.20 – Boxplot para a variável
γ
/
γ
z
estratificado pela simetria
das estruturas, correspondente às vigas. .............................................................................209
FIGURA 5.21 – Boxplot para a variável
γ
/
γ
z
estratificado pela simetria
das direções, correspondente aos pilares. ...........................................................................209
FIGURA 5.22 – Boxplot para a variável
γ
/
γ
z
estratificado pela simetria
das direções, correspondente às vigas.................................................................................210
FIGURA 5.23 – Boxplot para a variável
γ
/
γ
z
estratificado por intervalo
de variação de
γ
z
, correspondente aos pilares .....................................................................213
FIGURA 5.24 – Boxplot para a variável
γ
/
γ
z
estratificado por intervalo
de variação de
γ
z
, correspondente às vigas .........................................................................214
FIGURA 5.25 – Representação do modelo
γ
/
γ
z
= 1,025 - 0,167
⋅
(y/h) +
+ 0,221
⋅
(y/h)
2
- 0,103
⋅
(y/h)
3
, correspondente aos pilares. ..................................................228
FIGURA 5.26 – Representação do modelo
γ
/
γ
z
= 0,884 + 0,680
⋅
(y/h) +
- 1,266
⋅
(y/h)
2
+ 0,682
⋅
(y/h)
3
, correspondente às vigas. ......................................................228
FIGURA 5.27 – Representação das retas ajustadas para cada terço da altura,
correspondente aos pilares..................................................................................................236
FIGURA 5.28 – Representação das retas ajustadas para cada terço da altura,
correspondente às vigas. .....................................................................................................236
LISTA DE TABELAS
TABELA 3.1 – Momentos fletores M
a
e inércias equivalentes para a viga
do 1° pavimento....................................................................................................................89
TABELA 3.2 – Momentos fletores M
a
e inércias equivalentes para a viga
do 2° pavimento....................................................................................................................90
TABELA 4.1 – Cálculo das forças de arrasto equivalentes à ação do vento......................100
TABELA 4.2 – Forças concentradas resultantes em cada pavimento da estrutura ............100
TABELA 4.3 – Armaduras calculadas para a viga V6.......................................................103
TABELA 4.4 – Armaduras calculadas para os pilares P13, P8 e P3..................................104
TABELA 4.5 – Cálculo dos quinhões de rigidez lateral dos pórticos................................105
TABELA 4.6 – Cálculo de I
II
para a seção A-A considerando o momento
atuante positivo...................................................................................................................108
TABELA 4.7 – Cálculo de I
II
para a seção A-A considerando o momento
atuante negativo ..................................................................................................................109
TABELA 4.8 – Cálculo de I
II
para a seção B-B considerando o momento
atuante positivo...................................................................................................................109
TABELA 4.9 – Cálculo de I
II
para a seção B-B considerando o momento
atuante negativo ..................................................................................................................110
TABELA 4.10 – Número de trechos e momentos fletores M
a
para o 1º vão da viga,
correspondentes a 100 % P.................................................................................................111
vii
TABELA 4.11 – Comprimentos de cada trecho e valores de I
II
para o 1º vão da viga,
correspondentes a 100 % P.................................................................................................112
TABELA 4.12 – Inércias equivalentes para o 1º vão da viga,
correspondentes a 100 % P.................................................................................................112
TABELA 4.13 – Número de trechos e momentos fletores M
a
para o 2º vão da viga,
correspondentes a 100 % P.................................................................................................113
TABELA 4.14 – Comprimentos de cada trecho e valores de I
II
para o 2º vão da viga,
correspondentes a 100 % P.................................................................................................113
TABELA 4.15 – Inércias equivalentes para o 2º vão da viga,
correspondentes a 100 % P.................................................................................................114
TABELA 4.16 – Valores de I
eq,pond
(cm
4
) para o 1º vão da viga,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P e 120% P .............................................114
TABELA 4.17 – Valores de I
eq,pond
(cm
4
) para o 2º vão da viga,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P e 120% P .............................................115
TABELA 4.18 – Características gerais dos demais exemplos analisados..........................120
TABELA 4.19 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 1º vão da viga do exemplo 2,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P ..............................127
TABELA 4.20 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 2º vão da viga do exemplo 2,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P ..............................128
TABELA 4.21 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 3º vão da viga do exemplo 2,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P ..............................129
TABELA 4.22 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 1º vão da viga do exemplo 3,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P ..............................130
TABELA 4.23 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 2º vão da viga do exemplo 3,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P ..............................131
TABELA 4.24 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 3º vão da viga do exemplo 3,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P ..............................132
TABELA 4.25 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 4º vão da viga do exemplo 3,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P ..............................133
viii
TABELA 4.26 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 1º vão da viga do exemplo 4,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P ..............................134
TABELA 4.27 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 2º vão da viga do exemplo 4,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P ..............................135
TABELA 4.28 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 1º vão da viga do exemplo 5,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P ..............................136
TABELA 4.29 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 2º vão da viga do exemplo 5,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P ..............................136
TABELA 4.30 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 1º vão da viga do exemplo 6,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P ..............................137
TABELA 4.31 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 2º vão da viga do exemplo 6,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P ..............................137
TABELA 4.32 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 3º vão da viga do exemplo 6,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P ..............................138
TABELA 4.33 – Reduções de inércia que melhor representaram os pórticos
analisados............................................................................................................................153
TABELA 4.34 – Momentos de fissuração das vigas dos pórticos
dos exemplos 2, 3, 5 e 6......................................................................................................157
TABELA 5.1 – Características principais dos modelos empregados.................................169
TABELA 5.2 – Forças atuantes e deslocamentos horizontais na direção X
(edifício I, modelo 1) ..........................................................................................................171
TABELA 5.3 – Forças atuantes e deslocamentos horizontais na direção Y
(edifício I, modelo 1) ..........................................................................................................171
TABELA 5.4 – Valores de
γ
z
obtidos para os edifícios I e II,
considerando todos os modelos utilizados..........................................................................172
TABELA 5.5 – Características gerais dos edifícios analisados..........................................174
TABELA 5.6 – Forças atuantes e deslocamentos horizontais na direção X
(edifício I, modelo 4) ..........................................................................................................181
ix
TABELA 5.7 – Forças atuantes e deslocamentos horizontais na direção Y
(edifício I, modelo 4) ..........................................................................................................182
TABELA 5.8 – Cálculo do coeficiente B
2
na direção X, para o edifício I .........................182
TABELA 5.9 – Cálculo do coeficiente B
2
na direção Y, para o edifício I..........................183
TABELA 5.10 – Cálculo do coeficiente
γ
z
, a partir dos valores de B
2
,
na direção X, para o edifício I.............................................................................................184
TABELA 5.11 – Cálculo do coeficiente
γ
z
, a partir dos valores de B
2
,
na direção Y, para o edifício I .............................................................................................185
TABELA 5.12 – Valores dos parâmetros de instabilidade e classificação das estruturas
(edifícios I, II, III, IV e V) ..................................................................................................187
TABELA 5.13 – Valores dos parâmetros de instabilidade e classificação das estruturas
(edifícios VI, VII, VIII, IX e X) .........................................................................................188
TABELA 5.14 – Coeficientes
γ
z
e valores médios da relação
(esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem) .................................................190
TABELA 5.15 – Valores médios da relação (esforço em segunda ordem/ esforço em
primeira ordem obtido com as ações horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
) ..193
TABELA 5.16 – Medidas descritivas básicas para a variável
γ
/
γ
z
.....................................198
TABELA 5.17 – Resultados do teste de Kruskal-Wallis para os pilares e vigas
(verificação de diferenças por edifícios).............................................................................203
TABELA 5.18 – Resultados do teste de Mann-Whitney para os pilares
(verificação de diferenças por edifícios).............................................................................206
TABELA 5.19 – Resultados do teste de Mann-Whitney para as vigas
(verificação de diferenças por edifícios).............................................................................207
TABELA 5.20 – Classificação das estruturas: “simétricas” e “não simétricas” ................208
TABELA 5.21 – Classificação das direções: “simétricas” e “não simétricas” ..................208
TABELA 5.22 – Resultados do teste de Mann-Whitney para os pilares e vigas
(verificação de diferenças por estruturas: “simétricas” x “não simétricas”) ......................212
TABELA 5.23 – Resultados do teste de Mann-Whitney para os pilares e vigas
(verificação de diferenças por direções: “simétricas” x “não simétricas”).........................212
x
TABELA 5.24 – Classificação dos edifícios e direções segundo os valores
de
γ
z
obtidos ........................................................................................................................213
TABELA 5.25 – Resultados do teste de Kruskal-Wallis para os pilares e vigas
(verificação de diferenças por intervalos de variação de
γ
z
)...............................................215
TABELA 5.26 – Resultados do teste de Mann-Whitney para os pilares
(verificação de diferenças por intervalos de variação de
γ
z
)...............................................216
TABELA 5.27 – Resultados da análise de correlação para os pilares................................217
TABELA 5.28 – Resultados da análise de correlação para as vigas ..................................217
TABELA 5.29 – Resultados da análise de correlação para as estruturas
“simétricas” e “não simétricas”, correspondentes aos pilares ............................................218
TABELA 5.30 – Resultados da análise de correlação para as estruturas
“simétricas” e “não simétricas”, correspondentes às vigas.................................................219
TABELA 5.31 – Resultados da análise de correlação para as direções
“simétricas” e “não simétricas”, correspondentes aos pilares ............................................219
TABELA 5.32 – Resultados da análise de correlação para as direções
“simétricas” e “não simétricas”, correspondentes às vigas.................................................219
TABELA 5.33 – Resultados da análise de correlação para os intervalos
de variação de
γ
z
, correspondentes aos pilares....................................................................220
TABELA 5.34 – Resultados da análise de correlação para os intervalos
de variação de
γ
z
, correspondentes às vigas........................................................................220
TABELA 5.35 – Resultados obtidos para o modelo do tipo Y = a + b
⋅
X ..........................225
TABELA 5.36 – Resultados obtidos para o modelo do tipo Y = a + b
⋅
X + c
⋅
X
2
...............225
TABELA 5.37 – Resultados obtidos para o modelo do tipo Y = a + b
⋅
X + c
⋅
X
2
+ d
⋅
X
3
....225
TABELA 5.38 – Resultados obtidos para o modelo do tipo Y = a + b
⋅
lnX ......................226
TABELA 5.39 – Resultados obtidos para o modelo do tipo Y = a + b
⋅
e
X
.........................226
TABELA 5.40 – Resultados obtidos para o modelo do tipo
X
1
baY ⋅+= ........................226
TABELA 5.41 – Resultados obtidos para o modelo do tipo Y = a
⋅
X
b
................................227
xi
TABELA 5.42 – Modelos ajustados para as estruturas “simétricas”
e “não simétricas”, correspondentes aos pilares .................................................................229
TABELA 5.43 – Modelos ajustados para as estruturas “simétricas”
e “não simétricas”, correspondentes às vigas .....................................................................230
TABELA 5.44 – Modelos ajustados para as direções “simétricas”
e “não simétricas”, correspondentes aos pilares .................................................................230
TABELA 5.45 – Modelos ajustados para as direções “simétricas”
e “não simétricas”, correspondentes às vigas .....................................................................231
TABELA 5.46 – Modelos ajustados para os intervalos de variação de
γ
z
,
correspondentes aos pilares ................................................................................................232
TABELA 5.47 – Modelos ajustados para os intervalos de variação de
γ
z
,
correspondentes às vigas.....................................................................................................233
TABELA 5.48 – Modelos com os maiores coeficientes de determinação R
2
(e cujos valores de p são inferiores a 0,05), correspondentes aos pilares e vigas...............234
TABELA 5.49 – Retas ajustadas para cada terço da altura................................................235
TABELA 6.1 – Correlações significativas para as variáveis estudadas.............................251
TABELA 6.2 – Modelos úteis para explicar a variabilidade de
γ
/
γ
z
que apresentaram
os maiores coeficientes de determinação R
2
.......................................................................253
TABELA A.1 – Valores dos coeficientes B
2
(edifícios I, II, III, IV e V)...........................274
TABELA A.2 – Valores dos coeficientes B
2
(edifícios VI, VII, VIII, IX e X)..................275
TABELA B.1 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício I, na direção X .............................................................................................277
TABELA B.2 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício I, na direção Y .............................................................................................277
TABELA B.3 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício II, na direção X............................................................................................278
TABELA B.4 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício II, na direção Y............................................................................................278
xii
TABELA B.5 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício III, na direção X ..........................................................................................279
TABELA B.6 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício III, na direção Y...........................................................................................279
TABELA B.7 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício IV, na direção X = Y....................................................................................280
TABELA B.8 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício V, na direção X ...........................................................................................281
TABELA B.9 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício V, na direção Y............................................................................................282
TABELA B.10 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício VI, na direção X = Y....................................................................................282
TABELA B.11 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício VII, na direção X.........................................................................................283
TABELA B.12 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício VII, na direção Y .........................................................................................283
TABELA B.13 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício VIII, na direção X .......................................................................................284
TABELA B.14 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício VIII, na direção Y........................................................................................284
TABELA B.15 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício IX, na direção X ..........................................................................................285
TABELA B.16 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício IX, na direção Y ..........................................................................................285
TABELA B.17 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício X, na direção X ...........................................................................................286
TABELA B.18 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício X, na direção Y............................................................................................286
xiii
TABELA C.1 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício I, na direção X (análise de primeira ordem realizada com as ações
horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
) .............................................................288
TABELA C.2 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício I, na direção Y (análise de primeira ordem realizada com as ações
horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
) .............................................................288
TABELA C.3 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício II, na direção X (análise de primeira ordem realizada com as ações
horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
) .............................................................289
TABELA C.4 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício II, na direção Y (análise de primeira ordem realizada com as ações
horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
) .............................................................289
TABELA C.5 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício III, na direção X (análise de primeira ordem realizada com as ações
horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
) .............................................................290
TABELA C.6 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício III, na direção Y (análise de primeira ordem realizada com as ações
horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
) .............................................................290
TABELA C.7 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício IV, na direção X = Y (análise de primeira ordem realizada com as ações
horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
) .............................................................291
TABELA C.8 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício V, na direção X (análise de primeira ordem realizada com as ações
horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
) .............................................................292
TABELA C.9 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício V, na direção Y (análise de primeira ordem realizada com as ações
horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
) .............................................................293
xiv
TABELA C.10 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício VI, na direção X = Y (análise de primeira ordem realizada com as ações
horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
) .............................................................293
TABELA C.11 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício VII, na direção X (análise de primeira ordem realizada com as ações
horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
) .............................................................294
TABELA C.12 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício VII, na direção Y (análise de primeira ordem realizada com as ações
horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
) .............................................................294
TABELA C.13 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício VIII, na direção X (análise de primeira ordem realizada com as ações
horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
) .............................................................295
TABELA C.14 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício VIII, na direção Y (análise de primeira ordem realizada com as ações
horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
) .............................................................295
TABELA C.15 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício IX, na direção X (análise de primeira ordem realizada com as ações
horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
) .............................................................296
TABELA C.16 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício IX, na direção Y (análise de primeira ordem realizada com as ações
horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
) .............................................................296
TABELA C.17 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício X, na direção X (análise de primeira ordem realizada com as ações
horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
) .............................................................297
TABELA C.18 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício X, na direção Y (análise de primeira ordem realizada com as ações
horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
) .............................................................297
LISTA DE SÍMBOLOS
a – Deslocamento horizontal do topo da estrutura ou número de amostras
a
0
, a
1
, a
2
, b
0
, b
1
, b
2
– Constantes do material
b – largura da seção transversal
d – Altura útil
f
cd
– Resistência de cálculo à compressão do concreto
f
ck
– Resistência característica à compressão do concreto
f
ct
– Resistência à tração direta do concreto
f
ct,m
– Resistência média à tração do concreto
'
c
f – Resistência máxima à compressão do concreto
f
t
– Resistência máxima à tração do concreto
h – Altura total da estrutura
h
i
– Altura do pavimento i
K
i
– Rigidez lateral do pórtico
l – Comprimento total do vão, lado da fachada sobre o qual o vento incide ou comprimento
da barra na configuração deformada
l
0
– Comprimento da barra na configuração inicial
n – Número de pavimentos
n
i
– Número de observações da amostra i
p – Valor que indica o “peso” da evidência contra H
0
xvi
q – Pressão dinâmica do vento
r – Razão da progressão geométrica (dedução do coeficiente
γ
z
) ou coeficiente de
correlação de Pearson
1/r – Curvatura da barra
u
i
– Deslocamento horizontal do pavimento i
w – Força horizontal uniformemente distribuída ao longo da altura do edifício
w
1
– Soma dos postos na amostra menor
x – Linha elástica com relação à posição inicial curva da coluna
x
t
– Linha elástica total
x
0
– Linha elástica inicial
x
II
– Profundidade da linha neutra no estádio II
y – Altura do pavimento considerado
y
t
– Distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada
z
0
– Estatística do teste de Mann-Whitney
2/
z
α
– Valor crítico para o teste de Mann-Whitney
A
e
– Área frontal efetiva
A
s
– Área das barras da armadura de tração
A’
s
– Área das barras da armadura de compressão
B
1
, B
2
– Coeficientes de amplificação dos momentos de primeira ordem em estruturas de
aço
B
2,i
– Coeficiente B
2
do pavimento i
B
2,máx
– Maior coeficiente B
2
obtido
B
2,med
– Média dos coeficientes B
2
dos pavimentos
C
a
– Coeficiente de arrasto
E – Módulo de elasticidade
E
ci
– Módulo de elasticidade inicial do concreto
E
cs
– Módulo de elasticidade secante do concreto
E
s
– Módulo de elasticidade do aço
EI – Rigidez à flexão
xvii
(EI)
eq
– Rigidez equivalente
(EI)
eq,i
– Rigidez equivalente no trecho i
(EI)
eq,pond
– Rigidez equivalente ponderada
(EI)
sec
– Rigidez secante
(EI)
II
– Rigidez da seção fissurada
F – Função do estado de tensões
F
a
– Força de arrasto
F
d
– Valor de cálculo das ações para a combinação última normal
F
d,serv
– Valor de cálculo das ações para a combinação de serviço freqüente
F
hid
– Força horizontal aplicada no pavimento i, com seu valor de cálculo
F
X
– Forças resultantes em cada pavimento da estrutura na direção X
F
Y
– Forças resultantes em cada pavimento da estrutura na direção Y
F
0
– Estatística de teste da análise de variância
)2N,1(
F
−
α
– Valor crítico para a análise de variância, correspondente a um determinado nível
de significância
α
e com (1, N - 2) graus de liberdade
G – Carga permanente
H – Ações horizontais ou estatística do teste de Kruskal-Wallis
H
i
– Força horizontal fictícia aplicada no pavimento i (processo P-∆)
H
tot
– Altura total da estrutura [notação da NBR 6118:2003]
H
x
– Forças equivalentes à ação do vento, na direção paralela ao eixo X
H
y
– Forças equivalentes à ação do vento, na direção paralela ao eixo Y
H
0
– Hipótese nula
H
1
– Hipótese alternativa
I – Momento de inércia da seção transversal
I
c
– Momento de inércia da seção bruta de concreto
I
eq
– Inércia equivalente [dada pela formulação de BRANSON (1966)]
I
eq,pond
– Inércia equivalente ponderada
I
II
– Momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II
I
1
, I
2
, I
3
– Invariantes do tensor de tensão
J
1
, J
2
, J
3
– Invariantes do tensor desviador de tensão
xviii
K
t
– Matriz de rigidez tangente
L – Comprimento do pavimento
M – Momento fletor
M
a
– Momento fletor na seção crítica do vão considerado
M
lt
– Momento fletor solicitante de cálculo devido ao deslocamento lateral do pórtico
M
nt
– Momento fletor solicitante de cálculo, assumindo não existir deslocamento lateral na
estrutura
M
r
– Momento de fissuração do elemento estrutural
M
Sd
– Momento fletor solicitante de segunda ordem das estruturas de aço
M
1
– Momento de primeira ordem
M
1d
– Momento de cálculo de primeira ordem
M
1,tot,d
– Soma dos momentos de todas as forças horizontais (com seus valores de cálculo),
da combinação considerada, em relação à base da estrutura
M
2
– Momento final, que inclui o de segunda ordem
M
2d
– Momento de cálculo total, que inclui os efeitos de segunda ordem
MQ
E
– Média quadrática dos erros
MQ
R
– Média quadrática da regressão
N – Somatório das cargas verticais atuantes, número total de observações ou número de
pares de observações
N
k
– Somatório das cargas verticais atuantes, com seu valor característico (notação da NBR
6118:2003]
P – Carregamento aplicado
P
e
– Força de Euler
P
id
– Força vertical atuante no pavimento i, com seu valor de cálculo
P
ik
– Força vertical atuante no pavimento i, com seu valor característico
Q – Índice de estabilidade ou carga acidental
R
iT
– Total dos postos da amostra i
R
2
– Coeficiente de determinação
S – Função que define a superfície de ruptura
S
inf
– Momento estático da área abaixo da linha neutra
xix
S
sup
– Momento estático da área acima da linha neutra
S
1
– Fator topográfico
S
2
– Fator que considera a rugosidade do terreno e a classe da edificação
S
3
– Fator estatístico
SQ
E
– Soma quadrática dos erros
SQ
R
– Soma quadrática da regressão
SQ
T
– Soma quadrática total corrigida
V – Ações verticais
V
k
– Velocidade característica do vento
V
0
– Velocidade básica do vento
X, Y – Eixos de referência do elemento, direções de incidência do vento ou variáveis
consideradas no tratamento estatístico
X
i
– Observação i da variável X
Y
i
– Observação i da variável Y
Z – Eixo de referência do elemento
α
– Parâmetro de instabilidade, nível de significância ou fator que relaciona
aproximadamente a resistência à tração na flexão com a resistência à tração direta
α
e
– Relação entre os módulos de elasticidade do aço e concreto
α
lim
– Valor limite do parâmetro de instabilidade
α
α
1
– Valor limite do parâmetro de instabilidade
α
segundo a NBR 6118:2003
β
c
– Fator de transferência de tensões de cisalhamento para fissuras fechadas
β
t
– Coeficiente de retenção de rigidez a cisalhamento
γ
– Majorador dos momentos de primeira ordem (relação entre os momentos obtidos pela
análise em segunda ordem e em primeira ordem)
γ
f
– Coeficiente de ponderação das ações
γ
fh
– Coeficiente de ponderação das ações horizontais
γ
fv
– Coeficiente de ponderação das ações verticais
xx
γ
f3
– Coeficiente parcial de ponderação que considera os desvios gerados nas construções e
as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações
γ
g
– Coeficiente de ponderação da carga permanente
γ
q
– Coeficiente de ponderação da carga acidental
γ
z
– Coeficiente de avaliação dos esforços finais, que incluem os de segunda ordem
δ – Coeficiente majorador dos momentos de primeira ordem ou das ações laterais
δ
0
– Flecha inicial no meio do vão
δ
1
– Deslocamento horizontal de primeira ordem do ponto de aplicação da resultante das
cargas verticais
∆
i
– Deslocamento horizontal relativo do pavimento i em relação ao pavimento i – 1
∆
topo
– Deslocamento lateral no topo do pórtico
∆
0h
– Deslocamento horizontal relativo
∆
∆∆
∆
F – Incremento de forças nodais externas
∆M – Acréscimo de momentos devido ao deslocamento da estrutura
∆M
d
– Acréscimo de momentos devido ao deslocamento da estrutura, com valor de cálculo
∆M
tot,d
– Soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura (com seus
valores de cálculo), na combinação considerada, pelos deslocamentos horizontais de seus
respectivos pontos de aplicação
∆
∆∆
∆
u – Vetor de incremento de deslocamentos
ε
εε
ε
eng
– Deformação de engenharia ou de Biot
ε
εε
ε
ln
– Deformação logarítmica ou de Hencky
λ
λλ
λ
– Matriz de estiramento
λ
C
– Fator de carga de colapso plástico
λ
CR
– Fator de carga crítica de flambagem
λ
e
– Índice global de esbeltez da estrutura
λ
R
– Fator de carga de Rankine
µ
w1
– Média da distribuição de w
1
ξ, ρ, θ – Coordenadas de Haigh-Westergaard
ρ
c
– Meridiano de compressão
xxi
ρ
s
– Meridiano de cisalhamento
ρ
t
– Meridiano de tração
σ
m
– Tensão média
σ
oct
– Tensão normal octaédrica
σ
w1
– Desvio padrão da distribuição de w
1
σ
1
, σ
2
, σ
3
– Tensões principais
Σ
H
Sd
– Somatório de todas as forças horizontais de cálculo no pavimento
Σ
N
Sd
– Somatório das forças normais de compressão solicitantes de cálculo em todos os
pilares e outros elementos resistentes a cargas verticais do pavimento
τ
oct
– Tensão de cisalhamento octaédrica
2
1a, −
α
χ
– Valor crítico para o teste de Kruskal-Wallis, correspondente à um determinado
nível de significância
α
e com a-1 graus de liberdade
ψ – Parâmetro de forma da linha elástica
RESUMO
Neste trabalho estudam-se os processos aproximados usualmente empregados para a
consideração das não-linearidades física e geométrica na análise global das estruturas de
concreto armado. Assim, diversos pórticos planos e edifícios de médio porte são
processados utilizando o programa ANSYS. Os resultados obtidos permitiram determinar
quais valores de redução de inércia, dentre aqueles recomendados pela NBR 6118:2003 e
segundo a formulação de BRANSON (1966), melhor representam o comportamento real
das estruturas. Verificou-se que, no estado limite de serviço, a análise que reduz em 20% a
rigidez dos pilares e utiliza a inércia equivalente de BRANSON (1966) para as vigas pôde
ser considerada a mais eficiente. Para o carregamento sem majoração e o correspondente ao
estado limite último, a utilização dos valores de redução de inércia adotados pela
NBR 6118:2003 para os casos mais gerais se mostrou a mais apropriada. Realiza-se
também uma avaliação da eficiência do coeficiente
γ
z
como majorador dos esforços de
primeira ordem (momentos fletores, forças normais e cortantes) e como majorador das
ações horizontais, para a obtenção dos esforços finais, que incluem os de segunda ordem.
Constatou-se que o coeficiente
γ
z
deve ser utilizado como majorador dos momentos de
primeira ordem (e não das ações horizontais) para a obtenção dos momentos finais. No caso
da força normal nos pilares e da força cortante nas vigas, a majoração pelo coeficiente
γ
z
não se faz necessária, uma vez que, para estes esforços, os valores obtidos em primeira e
em segunda ordem são praticamente os mesmos. Finalmente, o processo simplificado de
avaliação dos momentos finais utilizando o coeficiente
γ
z
como majorador dos momentos
de primeira ordem é estudado levando-se em conta a variação dos efeitos de segunda ordem
ao longo da altura dos edifícios.
ABSTRACT
In this work, the simplified methods generally used to take into account physical and
geometric non-linearities in reinforced concrete structures global analysis are studied. With
this purpose, several plane frames and buildings of medium height are analysed using
ANSYS software. The results provided which inertia reduction values, among those
recommended by Brazilian Code, NBR 6118:2003, and BRANSON (1966) formulation,
better represent the actual behavior of the structures. At the service limit state, the analysis
that reduces the stiffness of columns in 20% and uses BRANSON (1966) equivalent inertia
for beams was considered the most efficient. For the unfactored loading and at the ultimate
limit state, the use of inertia reduction values recommended by
NBR 6118:2003 for the most general cases showed to be the most appropriated. The
accuracy of
γ
z
coefficient as magnifier of first order efforts (bending moments, axial and
shearing forces) and as magnifier of horizontal loads to evaluate final second order efforts
is also studied. It was checked that the
γ
z
coefficient should be used as magnifier of first
order moments (and not for horizontal loads) to evaluate final second order moments. In
case of axial force in columns and shearing force in beams, the magnification by
γ
z
coefficient is not necessary, since that, for these efforts, the values obtained in first and in
second order analysis are almost the same. Finally, the simplified method to evaluate final
second order moments using the
γ
z
coefficient as magnifier of first order moments is
studied considering the variation of the second order effects with the height of the
buildings.
1
INTRODUÇÃO
1.1. Aspectos Gerais
Nas últimas décadas, seguindo o exemplo de outras áreas, a engenharia sofreu grandes
avanços, particularmente a de projetos e a de construção civil. As técnicas de otimização no
que diz respeito ao “peso” e à forma, o desenvolvimento de equipamentos de teste e
computacionais e modelagens numéricas eficientes levaram a construções mais econômicas
e esbeltas, e edifícios mais altos e arrojados.
Dessa forma, questões antes não convenientemente abordadas passaram a assumir
fundamental importância no projeto estrutural. Dentre estas questões, destacam-se a análise
da estabilidade e a avaliação dos efeitos de segunda ordem.
2
Quando o estudo do equilíbrio da estrutura é efetuado considerando a configuração
deformada, ocorre a interação entre as forças existentes e os deslocamentos, o que promove
o aparecimento de esforços adicionais. Nestas condições, surgem os denominados efeitos
de segunda ordem. Estes efeitos podem ser extremamente importantes e significativos em
algumas estruturas; em outras, não precisam ser levados em conta.
Caso os efeitos de segunda ordem sejam significativos, deve-se realizar uma análise de
segunda ordem. No entanto, para grande parte dos projetistas, realizar a análise de uma
estrutura em segunda ordem não constitui tarefa simples. Isso porque esta análise requer a
consideração da não-linearidade geométrica e, idealmente, da não-linearidade física da
estrutura, demandando tempo adicional e ferramentas nem sempre disponíveis nos
escritórios de cálculo.
Torna-se essencial, portanto, o desenvolvimento de métodos simplificados capazes de
prever, com segurança, o comportamento das estruturas em segunda ordem, ou seja,
capazes de simular os efeitos das não-linearidades geométrica e física da estrutura.
O coeficiente
γ
z
, apresentado na NBR 6118:2003, pode ser utilizado para fornecer uma
estimativa dos esforços finais da estrutura, que incluem os de segunda ordem, desde que
seu valor não ultrapasse um determinado limite. Para o cálculo de
γ
z
, emprega-se o método
de consideraração simplificada da não-linearidade física segundo a NBR 6118:2003, que
consiste na utilização de valores reduzidos de rigidez para os elementos estruturais.
Neste trabalho desenvolve-se um estudo dos processos aproximados adotados pela NBR
6118:2003, para a consideração das não-linearidades geométrica e física. O estudo envolve
a realização de análises mais sofisticadas de diversos pórticos e edifícios de médio porte em
concreto armado, utilizando o sistema computacional ANSYS-9.0. Com os resultados
obtidos destas análises, capazes de representar com maior precisão o comportamento real
das estruturas, pretende-se também avaliar os efeitos não-lineares por meio de estimativas
mais realistas, comentadas nos itens 1.2 e 1.3.
3
1.2. Objetivos e Justificativas
A análise em segunda ordem deve envolver a consideração da não-linearidade geométrica
e, idealmente, da não-linearidade física da estrutura, procurando representar o seu
comportamento de forma mais real possível.
FRANCO (1985a) descreve um método “exato” que permite levar em conta as não-
linearidades física e geométrica na análise estrutural. Este método, segundo FRANCO
(1985a), constitui “a melhor ferramenta de análise das estruturas de concreto armado”,
porém, “para estruturas de edifícios altos com centenas ou mesmo milhares de barras, o
procedimento ainda não está ao alcance do profissional de projeto, por seu elevado custo e
pelo grande tempo de processamento. É preciso, portanto, recorrer a métodos mais
simples”.
Apesar dos grandes avanços de “hardware” e “software” nestes últimos vinte anos, ainda
são utilizados métodos mais simples, como o método aproximado de avaliação dos esforços
finais (que incluem os de segunda ordem) empregando o coeficiente
γ
z
como majorador dos
momentos de primeira ordem [de acordo com o Projeto de Revisão da NBR 6118:2000] ou
das ações horizontais [segundo a NBR 6118:2003] com a redução da rigidez dos elementos
estruturais, para a consideração simplificada da não-linearidade física.
O coeficiente
γ
z
, na verdade, simula o efeito da não-linearidade geométrica. A não-
linearidade física é considerada de forma “indireta”, uma vez que o
γ
z
deve ser calculado
usando valores reduzidos de rigidez para os elementos estruturais. É óbvio, portanto, que a
eficiência do coeficiente
γ
z
na avaliação dos efeitos de segunda ordem está intimamente
relacionada com os coeficientes de redução de rigidez utilizados; se eles não forem capazes
de representar a não-linearidade física de forma satisfatória, provavelmente o
γ
z
não
fornecerá uma estimativa adequada dos esforços finais.
4
Segundo SILVA (1995), “o maior problema em qualquer análise não-linear simplificada de
pórticos de concreto armado é a escolha adequada dos valores da rigidez à flexão EI, sob
várias condições de carregamento. De fato, os erros resultantes do uso de métodos
aproximados de calcular efeitos de segunda ordem ou carga crítica são, em geral, menores
que os erros resultantes da escolha dos valores de EI.” PINTO et al. (1998) acrescentam
que os valores de EI são extremamente influenciados por diversos fatores que só podem ser
corretamente avaliados por meio de uma análise estrutural mais sofisticada.
BRANSON (1966) afirma que, no caso de vigas de concreto armado, as diferentes
quantidades de armadura e a distribuição variável de fissuração ao longo do vão fazem com
que a rigidez à flexão EI não seja uma constante. Com base neste argumento, BRANSON
(1966) apresenta uma expressão que permite determinar a rigidez efetiva em qualquer seção
transversal particular de uma viga.
Vale ressaltar que, de acordo com PINTO (2002), “ainda existe uma carência de trabalhos
referentes à determinação dos valores de EI para a análise global da estrutura. A maior
parte dos trabalhos se refere ao estudo de membros isolados (vigas e pilares), havendo
poucos trabalhos que considerem os pórticos planos constituintes da estrutura. A lacuna
existente fica evidenciada pela grande variabilidade nos valores de EI propostos na
literatura”.
Outro aspecto merece ser destacado em relação ao coeficiente
γ
z
: em diversos trabalhos
[CARMO (1995), PINTO (1997), LIMA e GUARDA (1999a,b), LIMA (2001) e
OLIVEIRA (2002)], constatou-se que os efeitos de segunda ordem sofrem variações ao
longo da altura do edifício. Dessa forma, a utilização de um
γ
z
constante para toda a
estrutura poderia provocar esforços finais subestimados em alguns pavimentos, e
superestimados em outros.
As ponderações expostas anteriormente justificam a elaboração deste trabalho, cujos
principais objetivos são:
5
- estudo dos coeficientes de redução de rigidez dos elementos estruturais adotados pela
NBR 6118:2003 para a consideração simplificada da não-linearidade física, por meio de
análises de pórticos planos em concreto armado. Neste estudo pretende-se também realizar
uma avaliação aproximada da não-linearidade física empregando, para as vigas, a rigidez
equivalente dada pela formulação de BRANSON (1966);
- avaliação da eficiência do coeficiente
γ
z
como majorador dos esforços de primeira ordem
(não apenas dos momentos fletores, mas também das forças normais e cortantes) e das
ações horizontais, para a obtenção dos esforços finais, que incluem os de segunda ordem;
- estudo da variação dos efeitos de segunda ordem com a altura dos pavimentos nas
edificações, por meio de uma análise adequada dos resultados obtidos.
Espera-se que o presente trabalho possa contribuir no sentido de proporcionar ao projetista
de estruturas maior segurança e confiabilidade nos processos simplificados que são
empregados para a consideração dos efeitos de segunda ordem.
1.3. Conteúdo
No capítulo 2 são estudados aspectos relacionados à consideração dos efeitos de segunda
ordem e das não-linearidades física e geométrica nas estruturas de concreto armado.
No capítulo 3 são realizadas, utilizando o programa ANSYS-9.0, análises não-lineares
geométricas e físicas de peças estruturais e pórticos de concreto armado já testados
experimentalmente ou estudados por outros pesquisadores. Com isto, busca-se “calibrar” o
modelo a ser adotado nas análises posteriores no ANSYS, garantindo a confiabilidade dos
resultados obtidos.
No capítulo 4 são analisados vários pórticos planos em concreto armado, compostos por
quinze a trinta pavimentos. O estudo envolve o processamento dos pórticos considerando
ambas as não-linearidades geométrica e física, e a realização de análises não-lineares
geométricas, reduzindo a rigidez dos elementos estruturais para levar em conta a não-
6
linearidade física de forma aproximada. Desse modo, pode-se avaliar quais valores de
redução de inércia devem ser esperados para estruturas usuais de edifícios.
O capítulo 5 envolve o processamento, em primeira e segunda ordem, de diversos edifícios
de médio porte em concreto armado. A eficiência do coeficiente
γ
z
como majorador dos
esforços de primeira ordem (momento fletor, força normal e força cortante) e como
majorador das ações horizontais, para a obtenção dos esforços finais, é avaliada. Além
disso, o processo de majoração considerado mais eficiente é estudado levando-se em conta
a variação dos efeitos de segunda ordem ao longo da altura dos edifícios. Este estudo é
realizado por meio de uma análise estatística dos resultados obtidos, utilizando o
“software” MINITAB-14.
Finalmente, o capítulo 6 apresenta as conclusões sobre os estudos realizados.
2
NÃO-LINEARIDADES NAS ESTRUTURAS DE
CONCRETO ARMADO
2.1. Considerações Iniciais
Atualmente tem se tornado comum a construção de estruturas mais econômicas e esbeltas, e
edifícios mais altos e arrojados.
Quanto mais alto e esbelto o edifício, maiores são as solicitações presentes, principalmente
as decorrentes das ações laterais. Nestes casos, a análise da estabilidade e a avaliação dos
efeitos de segunda ordem passam a assumir fundamental importância no projeto estrutural.
Como apresentado no capítulo anterior, os efeitos de segunda ordem surgem quando o
estudo do equilíbrio da estrutura é efetuado considerando a configuração deformada, ou
8
seja, quando os deslocamentos são levados em conta na análise. Dessa forma, as forças
existentes interagem com os deslocamentos, produzindo esforços solicitantes adicionais.
A NBR 6118:2003 distingue os seguintes efeitos de segunda ordem:
• Efeitos globais: “esforços de segunda ordem” introduzidos pelos deslocamentos
horizontais dos nós da estrutura, quando sujeita a ações verticais e horizontais.
• Efeitos locais: surgem nas barras da estrutura, principalmente nos pilares, quando seus
eixos deixam de ser retilíneos, ou quando suas extremidades apresentam
deslocamentos diferenciados.
• Efeitos localizados: “em pilares parede (simples ou compostos) pode-se ter uma região
que apresenta não retilinidade maior do que a do eixo do pilar como um todo. Nessas
regiões surgem efeitos de segunda ordem maiores, chamados de efeitos de segunda
ordem localizados (FIG. 2.1). O efeito de segunda ordem localizado além de aumentar
nesta região a flexão longitudinal, aumenta também a flexão transversal, havendo a
necessidade de aumentar os estribos nestas regiões” [NBR 6118:2003].
FIGURA 2.1 – Efeitos de segunda ordem localizados [NBR 6118:2003].
Sabe-se que todas as estruturas são deslocáveis. Entretanto, em algumas estruturas, mais
rígidas, os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos e, consequentemente, os efeitos
9
globais de segunda ordem têm pequena influência nos esforços totais, podendo então ser
desprezados. Estas estruturas são denominadas estruturas de nós fixos. Nestes casos, as
barras podem ser dimensionadas isoladamente, com suas extremidades vinculadas, onde
são aplicados os esforços obtidos pela análise de primeira ordem.
Por outro lado há estruturas mais flexíveis, cujos deslocamentos horizontais são
significativos e, portanto, os efeitos globais de segunda ordem representam uma parcela
importante dos esforços finais, não podendo ser desprezados. É o caso das estruturas de nós
móveis, nas quais a análise estrutural deve considerar os efeitos das não-linearidades física
e geométrica. Considerar os efeitos destas não-linearidades, para as estruturas de concreto
armado, pode resultar em uma tarefa árdua, com grande trabalho computacional. Fica claro,
portanto, que a análise de uma estrutura de nós móveis é bem mais complexa que a de uma
estrutura de nós fixos.
Vale ressaltar que a não consideração dos efeitos globais de segunda ordem não implica na
não consideração dos efeitos locais e localizados, já que a estabilidade global não garante a
estabilidade local, e vice-versa. Sendo assim, tanto nas estruturas de nós fixos quanto nas
estruturas de nós móveis, é obrigatório levar em conta os efeitos locais e localizados de
segunda ordem.
Neste capítulo, são estudados os procedimentos relativos à consideração dos efeitos globais
de segunda ordem e das não-linearidades física e geométrica nas estruturas de concreto
armado. Como estudam-se apenas os efeitos globais de segunda ordem, muitas vezes eles
serão denominados simplesmente de efeitos de segunda ordem.
2.2. Consideração das Não-Linearidades
O modelo mais simples e mais utilizado por grande parte dos projetistas é o linear, que
admite relações lineares entre tensões e deformações (linearidade física) e entre
10
deformações e deslocamentos (linearidade geométrica). A análise linear constitui hipótese
razoável apenas para pequenas intensidades de tensões e deslocamentos.
Evidentemente, como ressaltam VINAGRE e CAMARA (2000), uma melhor estimativa
dos efeitos de segunda ordem só é possível por métodos envolvendo análises não-lineares
globais das estruturas.
Segundo EL-METWALLY e CHEN (1989), a não-linearidade física exerce fundamental
influência no comportamento dos pórticos, e a implementação da não-linearidade
geométrica na análise pode ser significativa para uma previsão precisa da resistência e
deformações da estrutura sob diferentes condições de carga, particularmente no caso de
edifícios altos sujeitos a cargas laterais ou nos quais existam colunas esbeltas.
TEIXEIRA e SOUZA (2003), por meio da realização de diversas análises de um edifício de
dezoito pavimentos em concreto armado, acrescentam que os efeitos das não-linearidades
são significativos e devem ser levados em conta no dimensionamento dos elementos
estruturais.
KWAK e KIM (2004) afirmam que, em colunas de concreto armado, o efeito não-linear
geométrico torna-se mais significativo com a diminuição da taxa de armadura. Isto porque
colunas com taxas de armadura relativamente pequenas possuem menor rigidez EI após a
fissuração, o que leva a um aumento do deslocamento lateral. KWAK e KIM (2004)
também observaram que há uma menor influência da não-linearidade geométrica em
colunas com menores índices de esbeltez.
2.2.1. Não-Linearidade Física (NLF)
A linearidade física exprime a aplicabilidade da Lei de Hooke, estando portanto relacionada
ao comportamento do material. No caso do concreto, a formação e abertura de fissuras
11
acarretam a perda de proporcionalidade entre tensão e deformação, sendo um dos
fenômenos responsáveis pela resposta não-linear deste material.
O comportamento não-linear físico dos materiais afeta a rigidez das seções transversais, e
esta alteração não pode ser desprezada em uma análise de segunda ordem, uma vez que os
deslocamentos laterais da estrutura estão intimamente relacionados com a rigidez dos
membros constituintes. Segundo CHAN e WANG (2006), os efeitos da fissuração na
rigidez lateral de edifícios altos de concreto armado devem ser avaliados com precisão, já
que o projeto de tais estruturas deve atender aos valores limites de deslocamentos, no topo
e entre pavimentos.
A não-linearidade física pode ser levada em conta por meio do diagrama momento-
curvatura para cada seção, construído a partir da armadura suposta conhecida e do valor da
força normal atuante. Utiliza-se esse diagrama para calcular a rigidez EI da barra
correspondente a um determinado valor do momento fletor, considerando a reta secante à
curva, conforme mostra a FIG. 2.2.
φ
1
1
φ
1
1
1
1
1
1/r
M
=tg=
1/r
M
Secante
M
1/r
(EI)
FIGURA 2.2 – Diagrama momento-curvatura para um determinado valor de força normal.
12
No entanto, como afirma FRANCO (1985a), esse processo é trabalhoso e de difícil
aplicação em estruturas de concreto armado de grande porte. Desta forma, tem-se realizado
vários estudos que busquem considerar a NLF de forma simplificada, pela redução da
rigidez dos elementos estruturais.
De acordo com os estudos de KHUNTIA e GHOSH (2004a,b), dentre os possíveis fatores
que influenciam a rigidez efetiva de vigas e colunas, estão incluídos a taxa de armadura, a
proporção de força axial e de excentricidade e a resistência à compressão do concreto.
Segundo MACGREGOR (1993), os valores de EI para uma análise em segunda ordem de
uma estrutura deveriam representar a rigidez dos membros imediatamente antes da carga
última. Neste estágio, partes das vigas, lajes e paredes já estarão fissuradas. No entanto,
seria muito conservativo utilizar, para o cálculo de EI, o momento de inércia da seção
fissurada, uma vez que nem todas as seções apresentarão este comportamento.
KORDINA
1
e HAGE
2
apud MACGREGOR e HAGE (1977) estudaram a variação de
rigidez para vários tipos de membros de pórticos, sujeitos a momentos relativos a
carregamentos gravitacionais, laterais e ambos combinados. Baseados nestes estudos,
MACGREGOR e HAGE (1977) concluíram que uma boa estimativa da rigidez dos
elementos seria adotar 0,4 EI para as vigas e 0,8 EI para os pilares, sendo EI a rigidez da
seção bruta de concreto.
FURLONG
3
apud MACGREGOR (1993) propôs que a rigidez de vigas T seja tomada
igual à rigidez total da alma, porém não inferior a 0,5 EI, onde I é o momento de inércia da
_____________________________
1
KORDINA, K. Discussion n
o
3 – cracking and crack control. Proceedings, International Conference on
Planning and Design of Tall Buildings, Lehigh University, Bethlehem, v.III, Aug., p.721-722, 1972.
2
HAGE, S.E. The second-order analysis of reinforced concrete frames. Thesis (Master of Science).
University of Alberta, Canada, Edmonton, 1974.
3
FURLONG, R.W. Frames with slender columns – lateral load analysis. CRSI Professional Members’
Structural Bulletin n.6, Mar, 10p., 1980.
13
seção T. Quanto aos pilares, ele sugeriu o valor de 0,6 EI para os localizados nos níveis
inferiores e 0,3 EI para os pilares dos níveis superiores.
DIXON
4
apud MACGREGOR (1993), após recalcular treze pórticos que haviam sido
testados experimentalmente, concluiu que, adotando-se para a rigidez das vigas o valor de
0,5 EI, a rigidez das colunas que forneceu a melhor estimativa dos deslocamentos laterais
medidos também foi igual a 0,5 EI.
MCDONALD
5
apud MACGREGOR (1993), baseado nos resultados de seus estudos,
propôs valores de rigidez para vigas T, lajes armadas em uma só direção e pilares iguais a
0,42 EI, 0,20 EI e 0,70 EI, respectivamente.
Segundo SHURAIM (1997), a utilização dos valores de 0,5 EI para as vigas e de EI para os
pilares fornece uma estimativa razoavelmente precisa da rigidez lateral de pórticos sob
ações de serviço. Para ações últimas, a estimativa é menos satisfatória, principalmente no
caso de pórticos com pequenas taxas de armadura.
SILVA (1995), por meio de análises não-lineares de vários pórticos de concreto armado,
avaliou diversas recomendações para a redução de rigidez dos elementos estruturais. Para
os exemplos estudados, a utilização dos valores iguais a 0,4 EI para as vigas e 0,8 EI para
os pilares forneceu os melhores resultados.
PINTO et al. (1998) observaram que a redução de rigidez das vigas é variável com as
condições de vinculação. Para vigas biapoiadas, foram obtidos valores de 0,4 EI a 0,6 EI;
no caso de vigas biengastadas, houve uma variação de 0,6 EI a 0,64 EI. Entretanto, como
_____________________________
4
DIXON, D.G. Second-order analysis of reinforced concrete sway frames. Thesis (Master of Science),
Department of Civil Engineering, University of Waterloo, Ontario, 1985.
5
MCDONALD, B.E. Second-order effects in reinforced concrete frames, Thesis (Master of Science),
Department of Civil Engineering, University of Waterloo, Ontario, 1986.
14
as vinculações consideradas são condições extremas, deve-se esperar que as vigas usuais
apresentem reduções intermediárias entre os valores obtidos.
PINTO et al. (1998) ainda constataram que as vigas com armadura dupla apresentam uma
redução de rigidez menor que as vigas com armadura simples. Este fato é previsível, já que
a maior taxa de armadura neste caso contribui para o acréscimo da rigidez da seção
transversal.
Nos estudos da redução de rigidez de pilares, PINTO et al. (1998) obtiveram valores
diferenciados, de acordo com a solicitação predominante (momento fletor ou força normal).
Os momentos fletores produzem um maior grau de fissuração, resultando em uma menor
rigidez da peça.
PINTO e RAMALHO (2002), por meio da análise não-linear física de um pórtico plano de
concreto armado, consideram que as reduções de inércia usualmente empregadas se
encontram a favor da segurança. Acrescentam ainda que, para o exemplo estudado, os
resultados que mais se aproximaram daqueles obtidos com o modelo teórico são os
correspondentes a 0,6 EI para as vigas e 1,0 EI para os pilares.
Segundo CHAN et al. (2000), a adoção dos valores de 0,5 EI para as vigas e de 0,8 EI para
as colunas nem sempre garante uma previsão conservativa do deslocamento lateral de
pórticos de concreto armado. Afirmam também que as reduções de rigidez dos pilares são
dependentes dos valores das cargas verticais.
Vale comentar que, de acordo com PINTO (2002), a grande variabilidade nos valores de EI
propostos na literatura, na verdade, retrata a natureza do problema, uma vez que pode-se
obter resultados muito diferentes dependendo da geometria da estrutura, da taxa de
armadura dos seus elementos e do tipo de carregamento aplicado.
15
a) Consideração Simplificada da NLF segundo a NBR 6118:2003
A NBR 6118:2003 adota, para a consideração aproximada da NLF, os seguintes valores de
rigidez dos elementos estruturais:
• lajes: (EI)
sec
= 0,3 E
ci
I
c
;
• vigas: (EI)
sec
= 0,4 E
ci
I
c
para A’
s
≠ A
s
;
(EI)
sec
= 0,5 E
ci
I
c
para A’
s
= A
s
;
• pilares: (EI)
sec
= 0,8 E
ci
I
c
;
sendo:
• I
c
– momento de inércia da seção bruta de concreto;
• A’
s
– área das barras da armadura de compressão;
• A
s
– área das barras da armadura de tração;
• E
ci
– módulo de elasticidade inicial do concreto, dado por:
)MPa(f5600E
ckci
= (2.1)
• f
ck
– resistência característica à compressão do concreto, em MPa.
A norma ainda permite, quando a estrutura de contraventamento for composta apenas por
vigas e pilares e
γ
z
(comentado no item 2.4.2) for menor que 1,3, adotar (EI)
sec
= 0,7 E
ci
I
c
para ambos os elementos.
A adoção do valor único de 0,7 EI para as vigas e pilares provavelmente foi feita buscando
facilitar a análise da estrutura. Porém, nas pesquisas desenvolvidas por MATOS (1998),
esta redução de rigidez não se mostrou confiável. Ressalta-se ainda que, segundo LIMA
(2001), como os tipos de solicitação e fissuração dos pilares e vigas não são os mesmos,
16
parece ser mais racional adotar diferentes reduções de rigidez para estes elementos, ao
invés de adotar o valor único de 0,7 EI. Tal procedimeto deve ser utilizado com cautela,
principalmente quando a contribuição das vigas na rigidez global for significativa.
b) Rigidez Equivalente segundo a Formulação de BRANSON (1966)
No caso de vigas de concreto armado, as diferentes quantidades de armadura e a
distribuição variável de fissuração ao longo do vão fazem com que a rigidez à flexão EI não
seja uma constante.
Segundo a NBR 6118:2003, a verificação das rotações e deslocamentos em elementos
estruturais lineares deve ser realizada por meio de modelos que considerem a rigidez
efetiva das seções transversais dos elementos, levando em conta a presença da armadura, a
fissuração do concreto ao longo dessa armadura e as deformações diferidas no tempo.
BRANSON (1966) apresenta uma expressão empírica para a determinação da rigidez
efetiva em qualquer seção transversal particular de uma viga. Esta rigidez efetiva é função
do momento fletor, das propriedades da seção e da resistência do concreto.
A rigidez equivalente adotada pela NBR 6118:2003 para uma avaliação aproximada da
flecha imediata em vigas é baseada na formulação de BRANSON (1966), e pode ser escrita
como:
ccsII
3
a
r
c
3
a
r
cseq
IEI
M
M
1I
M
M
E)EI( ≤
−+
=
(2.2)
sendo:
• E
cs
o módulo de elasticidade secante do concreto, dado por:
E
cs
= 0,85 E
ci
(2.3)
17
com E
ci
definido pela eq. (2.1);
• I
c
o momento de inércia da seção bruta de concreto;
• I
II
o momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II;
• M
a
o momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo no vão
para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços, para a
combinação de ações considerada nessa avaliação;
• M
r
o momento de fissuração do elemento estrutural, calculado por:
t
cct
r
y
If
M
⋅
⋅
=
α
(2.4)
sendo
α
igual a 1,5 para seções retangulares e 1,2 para seções T ou duplo T, y
t
a distância
do centro de gravidade à fibra mais tracionada, e f
ct
a resistência à tração direta do concreto,
conforme o item 8.2.5 da NBR 6118:2003.
Segundo SILVA e PEREIRA (2004), pode-se obter a rigidez equivalente com maior
precisão, para vãos de vigas contínuas, por meio da ponderação das rigidezes equivalentes
dos trechos. Assim, para o vão mostrado na FIG. 2.3, o valor ponderado da rigidez
equivalente é dado por:
(EI)
eq,pond
= [ (EI)
eq,1
⋅
a
1
+ (EI)
eq,2
⋅
a
2
+ (EI)
eq,3
⋅
a
3
] / l (2.5)
sendo (EI)
eq,i
a rigidez equivalente nos três trechos da FIG. 2.3. Em cada um dos trechos a
rigidez equivalente deve ser calculada por meio da eq. (2.2), usando para M
a
os valores X
1
,
M e X
2
, respectivamente.
Para a determinação do momento de inércia da seção fissurada I
II
da eq. (2.2), admite-se
comportamento elástico e linear para o concreto à compressão e aço, desprezando-se a
tração do concreto, conforme mostrado na seção retangular da FIG. 2.4.
18
a
1 2
3
a
a
X
M
1
2
X
FIGURA 2.3 – Obtenção da rigidez equivalente ponderada para vigas contínuas.
b
e
A'
s
α
d
II
x
se
α
d'
A
FIGURA 2.4 – Seção fissurada (estádio II).
Deve-se inicialmente homogeneizar a seção, usando a seguinte relação entre os módulos de
elasticidade do aço e concreto:
α
e
= E
s
/ E
cs
(2.6)
Em seguida obtém-se a profundidade da linha neutra no estádio II, x
II
, igualando-se o
momento estático da área acima da linha neutra (S
sup
) com o da área abaixo (S
inf
). Dessa
forma tem-se:
19
S
sup
= S
inf
(2.7)
(b
⋅
x
II
)
⋅
x
II
/2 +
α
e
⋅
A’
s
⋅
(x
II
– d’) – A’
s
⋅
(x
II
– d’) =
α
e
⋅
A
s
⋅
(d – x
II
) (2.8)
(b
⋅
x
II
)
⋅
x
II
/2 + (
α
e
– 1)
⋅
A’
s
⋅
(x
II
– d’) =
α
e
⋅
A
s
⋅
(d – x
II
) (2.9)
Substituindo
α
’
e
=
α
e
– 1 (2.10)
na eq. (2.9), obtém-se a seguinte equação de segundo grau em x
II
:
(b/2)
⋅
x
II
2
+ (
α
e
⋅
A
s
+
α
’
e
⋅
A’
s
)
⋅
x
II
– (
α
e
⋅
A
s
⋅
d +
α
’
e
⋅
A’
s
d’) = 0 (2.11)
que fornece:
x
II
= – A + (A
2
+ B)
½
(2.12)
sendo
A = (
α
e
⋅
A
s
+
α
’
e
⋅
A’
s
)/b (2.13)
B = 2
⋅
(
α
e
⋅
A
s
⋅
d +
α
’
e
⋅
A’
s
⋅
d’)/b (2.14)
Para o momento de inércia da seção fissurada I
II
, resulta [TEPEDINO (1980)]:
I
II
= (b/3)
⋅
x
II
3
+
α
’
e
⋅
A’
s
⋅
(x
II
– d’)
2
+
α
e
⋅
A
s
⋅
(d – x
II
)
2
(2.15)
É importante comentar que a eq. (2.2) só deve ser utilizada quando o momento fletor M
a
for
igual ou superior ao momento de fissuração M
r
, ou seja, quando M
r
/M
a
አ 1 (estádio II).
Quando M
r
/M
a
> 1, a estrutura se encontra no estádio I, e portanto deve-se utilizar a rigidez
da seção bruta, E
cs
I
c
.
Supondo, por exemplo, M
r
/M
a
= 0,5, a eq. (2.2) fica:
20
(EI)
eq
= E
cs
⋅
{(0,5)
3
⋅
I
c
+ [1 – (0,5)
3
]
⋅
I
II
}
(EI)
eq
= E
cs
⋅
(0,125
⋅
I
c
+ 0,875
⋅
I
II
) (2.16)
Nota-se que, neste caso, a rigidez equivalente (EI)
eq
é determinada, predominantemente,
pela rigidez da seção fissurada (EI)
II
, sendo bastante reduzida a contribuição da rigidez
correspondente à seção bruta de concreto. É comum, portanto, para as relações M
a
/M
r
superiores a 2, adotar aproximadamente (EI)
eq
igual a (EI)
II
.
2.2.2. Não-Linearidade Geométrica (NLG)
Associada com a intensidade dos deslocamentos e deformações da estrutura, a não-
linearidade geométrica deve ser levada em conta sempre que ocorram alterações
significativas na geometria. A interação das forças verticais com os deslocamentos
horizontais torna a estrutura cada vez mais distante de sua posição indeformada e uma nova
posição de equilíbrio, se existir, é alcançada.
Realizar uma análise com não-linearidade geométrica consiste em efetuar o equilíbrio da
estrutura na configuração deformada, computando-se os deslocamentos ocorridos. A
estrutura sofre alterações de rigidez à medida que estes deslocamentos ocorrem, o que
resulta em um sistema de equações não-lineares. Porém, o problema não-linear pode ser
transformado em uma sequência de análises lineares em cada incremento de força aplicado.
Pode-se escrever a formulação incremental do equilíbrio como:
K
t
⋅
⋅⋅
⋅
∆
∆∆
∆
u =
∆
∆∆
∆
F (2.17)
sendo
∆
∆∆
∆
u o vetor de incremento de deslocamentos na estrutura,
∆
∆∆
∆
F o incremento de forças
nodais externas e K
t
a matriz de rigidez tangente, constituída pela soma das matrizes de
rigidez elástica e geométrica. A obtenção de K
t
é estudada por MOREIRA (1977),
CORRÊA (1991), CRISFIELD (1991) e LAVALL (1996), entre outros.
21
Para um determinado incremento de força, são calculados os deslocamentos
∆
∆∆
∆
u; a resposta
não-linear da estrutura fornece, para estes deslocamentos, uma distribuição de esforços que
não estará em equilíbrio com a ação aplicada. Dessa forma haverá um esforço residual que
deve ser aplicado para restaurar o equilíbrio. A aplicação deste esforço provocará uma nova
variação nos deslocamentos, calculados a partir de uma nova matriz de rigidez K
t
, e,
consequentemente, surgirá um novo esforço residual. Portanto, para cada incremento de
força, deve-se realizar um procedimento iterativo para restabelecer o equilíbrio, sendo este
alcançado quando o valor do esforço residual for inferior ao valor estabelecido para definir
a convergência.
O processo iterativo segue alguns algoritmos como o de Newton-Raphson, que possibilita
manter a rigidez inicial constante durante todas as iterações (método da rigidez inicial), ou
variar a matriz K
t
de forma a atualizá-la na primeira iteração de cada incremento de carga
(método modificado), ou até mesmo a cada iteração (método pleno).
O acompanhamento da convergência pode ser realizado de acordo com o critério de forças,
momentos, deslocamentos ou rotações, comparando uma norma dos desequilíbrios do
modelo com um valor de referência, dentro de uma determinada tolerância. As expressões
para os critérios de forças e deslocamentos podem ser escritas, respectivamente, como:
refF
F⋅
⋅⋅
⋅<
<<
<
ε
εε
εψ
ψψ
ψ
(2.18)
refu
uu ⋅
⋅⋅
⋅<
<<
<∆
∆∆
∆
ε
εε
ε
(2.19)
sendo
ψ
ψψ
ψ
a norma dos resíduos, u∆
∆∆
∆ a norma dos incrementos de deslocamentos,
F
ε
e
u
ε
as tolerâncias e
ref
F e
ref
u os valores de referência.
Ressalta-se a importância da escolha adequada das tolerâncias, uma vez que valores muito
elevados podem levar a resultados imprecisos, enquanto que tolerâncias muito pequenas
podem ocasionar um grande trabalho computacional, muitas vezes desnecessário.
22
Segundo PIMENTA (2003), normalmente são utilizados três tipos de normas: a norma L1,
que corresponde ao somatório dos valores absolutos dos desequilíbrios (
∑
∑∑
∑
•
••
•=
==
=•
••
•
i
L1
), a
norma L2, conforme a raiz quadrada do somatório dos quadrados dos desequilíbrios
(
2/12
2
)(
∑
∑∑
∑
•
••
•=
==
=•
••
•
i
L
) e a norma infinita, que se baseia no valor máximo dos desequilíbrios
( )max(
i
L
•
••
•=
==
=•
••
•
∞
∞∞
∞
).
A consideração da NLG também pode ser realizada de forma mais simplificada, utilizando,
por exemplo, o processo P-∆. Trata-se de um método de aplicação relativamente fácil, que
realiza a análise por meio de sucessivas iterações, conforme descrito a seguir:
1. Aplica-se o carregamento à estrutura e, a partir de uma análise de primeira ordem,
determinam-se os deslocamentos horizontais dos pavimentos.
2. Calculam-se as chamadas forças horizontais fictícias em cada pavimento, dadas por:
1i
1i1i
i
ii
i
L
P
L
P
H
+
++
∑
∑
⋅
−
⋅
=
∆∆
(2.20)
sendo que:
•
Σ
P
i
e
Σ
P
i+1
são os somatórios das forças verticais nos pavimentos i e i+1,
respectivamente;
• L
i
e L
i+1
são os comprimentos dos pavimentos i e i+1, respectivamente;
• ∆
i
é o deslocamento horizontal relativo do pavimento i em relação ao pavimento i-1 e
∆
i+1
é o deslocamento horizontal relativo do pavimento i+1 em relação ao pavimento i
(FIG. 2.5).
A ação das forças horizontais fictícias produz o mesmo efeito dos momentos gerados pela
interação das forças verticais com os deslocamentos horizontais.
23
FIGURA 2.5 – Forças horizontais fictícias.
3. Aplica-se à estrutura o carregamento inicial + as forças horizontais fictícas.
4. Repetem-se os passos 1,2 e 3 até a convergência dos deslocamentos. Quando isso
acontecer, tem-se a posição de equilíbrio. Segundo LAVALL e SILVA (1989), “se
após cinco ciclos de iteração os resultados não convergirem, pode ser que a estrutura
seja excessivamente flexível”.
2.3. Análise Não-Linear de Estruturas de Concreto Armado
Apesar do uso difundido do concreto no âmbito da Engenharia Civil, o exato conhecimento
de suas propriedades físicas, bem como de seu comportamento sob um estado combinado
de tensões, é ainda deficiente, impondo algumas dificuldades na análise estrutural.
H
i-1
i
H
i+1
H
i
i+1
i-1
P
P i
i+1
P
L
i-1
L
i
i+1
L
Pav. i - 1
Pav. i
Pav. i + 1
L
H
H
P
P = H
L
24
Em virtude da pequena resistência à tração, a utilização isolada do concreto como material
estrutural é bastante limitada. Torna-se, então, necessária a sua associação com outro tipo
de material, geralmente o aço. Desta forma, surge um novo material composto, o concreto
armado, de comportamento não-linear, o que justifica a necessidade da realização de
análises não-lineares para se estudar o comportamento da estrutura de forma mais precisa.
2.3.1. Comportamento do Concreto
O concreto é um material composto por agregados graúdos em meio a uma matriz de
argamassa. Trata-se de um material frágil, cujo comportamento físico é muito complexo.
Mesmo antes da aplicação da força, o concreto apresenta uma série de microfissuras,
especialmente nas interfaces entre o agregado graúdo e a argamassa. Estas microfissuras
iniciais são causadas pela segregação, retração ou expansão térmica da pasta de cimento.
Sob a ação das forças, novas microfissuras podem ocorrer entre a interface agregado-pasta
de cimento. A propagação destas fissuras, inicialmente invisíveis, mas que podem se tornar
visíveis com a aplicação do carregamento, contribuem para o comportamento não-linear do
concreto.
A FIG. 2.6 apresenta uma curva tensão-deformação típica obtida em um ensaio de
compressão uniaxial do concreto. Para tensões inferiores a 30% da resistência máxima à
compressão (
'
c
f ), o concreto apresenta comportamento elástico-linear. Neste estágio, as
fissuras existentes antes do carregamento permanecem inalteradas. Portanto, 0,3
'
c
f é
usualmente proposto como sendo o limite de elasticidade. Além deste limite, a curva
tensão-deformação começa a se desviar de uma linha reta. Para tensões entre 30% e 75% da
resistência máxima à compressão as fissuras de aderência se estendem, e a não-linearidade
do material começa a se tornar evidente. Entretanto, a propagação das fissuras ainda é
estável. Quando as tensões ultrapassam 75% da resistência máxima à compressão, inicia-se
o processo de propagação instável das fissuras, que passam a ocorrer na argamassa e se
25
unem a fissuras de aderência, formando regiões de dano interno. Finalmente, fissuras
maiores formam-se paralelamente à força aplicada, levando à ruína da peça.
FIGURA 2.6 – Curva tensão-deformação típica em compressão uniaxial do concreto
[KUPFER et al.
6
apud CHEN e HAN (1988)].
É importante mencionar que, quando a resistência máxima é alcançada, ocorre um
decréscimo da tensão à medida que a deformação aumenta. Este comportamento do
concreto, reproduzido pelo ramo descendente da curva tensão-deformação, é denominado
amolecimento.
Na tração uniaxial, o limite de elasticidade do concreto vale cerca de 60% a 80% da
resistência máxima à tração (f
t
); acima desta intensidade de tensão, as microfissuras
começam a aumentar em quantidade e tamanho. O intervalo de propagação estável de
____________________________
6
KUPFER, H.; HILSDORF, H.K.; RUSCH, H. Behavior of concrete under biaxial stresses. ACI Structural
Journal, v.66, n.8, p.656-666, 1969.
26
fissuras é bastante reduzido, e logo se inicia o processo de fissuração instável, tornando a
ruptura frágil.
A razão entre a resistência à tração uniaxial e a resistência à compressão uniaxial
geralmente se encontra no intervalo de 0,05 a 0,1. Segundo CHEN e SALEEB (1982), o
módulo de elasticidade à tração uniaxial é um pouco maior que em compressão uniaxial,
enquanto que o coeficiente de Poisson é um pouco menor.
Quando submetido a ação biaxial, a resistência do concreto varia em função da natureza do
estado de tensões atuante. A resistência à compressão aumenta devido ao estado de
compressão biaxial; sob um estado biaxial de compressão-tração, ocorre um decréscimo
linear da resistência à compressão com o aumento da tensão de tração e, no caso de tração
biaxial, a resistência é praticamente a mesma do estado de tração uniaxial.
Vale comentar que, como pode ser constatado em testes de compressão biaxial, a relação da
deformação volumétrica com a tensão apresenta duas fases distintas. Inicialmente, ocorre
uma redução de volume até cerca de 75% a 90% da resistência. A partir daí, o volume
aumenta com o incremento de tensões. Este aumento de volume inelástico é denominado
dilatância, e está relacionado ao processo de propagação instável das fissuras.
Segundo BARBOSA (1997) e PIMENTA (2003), sob estados triaxiais de tensão, o
comportamento do concreto é governado pela pressão hidrostática aplicada. Até certo ponto
a pressão de confinamento provoca um aumento considerável da tensão de ruptura, e pode-
se observar um certo grau de ductilidade. No caso de tensões hidrostáticas elevadas, a
possibilidade de ocorrência de fissuras diminui significativamente e a ruptura ocorre por
esmagamento. Ressalta-se que resistência axial aumenta sensivelmente com o aumento da
pressão de confinamento.
27
2.3.2. Modelos Constitutivos para o Concreto
A definição de um modelo constitutivo que considere todas as complexidades do concreto
não é tarefa fácil. Muitos modelos têm sido desenvolvidos, alguns baseados na teoria da
elasticidade, adequados apenas para não-linearidades moderadas, outros baseados na teoria
da plasticidade, indicados para os casos mais gerais.
Os modelos plásticos se apoiam numa teoria bem consolidada, e são capazes de representar
um maior número de fenômenos com relativa simplicidade. Porém, vale ressaltar que a
teoria plástica foi desenvolvida para metais, cujo mecanismo de deformação é
completamente diferente daquele apresentado pelo concreto. No entanto, segundo
PIMENTA (2003), “considerando que na fase não-linear as deformações no concreto
podem ser divididas em uma parcela elástica, recuperável, e numa parcela plástica,
irrecuperável, e expandindo-se os conceitos de escoamento e comportamento não-linear
para um sentido mais amplo, a teoria da plasticidade pode ser utilizada, proporcionando um
modelo matemático satisfatório para o comportamento do concreto”.
Os modelos baseados na teoria da plasticidade envolvem três pressupostos básicos: uma
superfície de escoamento inicial, uma regra de encruamento e uma regra de fluxo. A
superfície de escoamento inicial determina o limite elástico do material; a regra de
encruamento define as alterações ocorridas na superfície de escoamento durante o fluxo
plástico, e a regra de fluxo fornece a relação incremental entre tensões e deformações na
fase plástica, por meio de uma função de potencial plástico.
É importante mencionar que o estabelecimento de qualquer modelo constitutivo utilizado
para descrever o comportamento do concreto requer a definição de seu critério de ruptura.
Considerando o concreto como um material isotrópico, a forma geral de sua superfície de
ruptura pode ser expressa em termos dos invariantes de tensão I
1
, J
2
e J
3
como:
28
f (I
1
, J
2
, J
3
) = 0 (2.21a)
ou, utilizando as coordenadas de Haigh-Westergaard,
f (ξ, ρ, θ) = 0 (2.21b)
sendo que ξ representa o componente hidrostático do estado de tensão, ρ o componente
desviador e θ o ângulo de similaridade.
Substituindo os invariantes I
1
e J
2
pelas tensões octaédricas normal e de cisalhamento, σ
oct
e
τ
oct
, a eq. (2.21a) também pode ser escrita como:
f (σ
oct
, τ
oct
, θ) = 0 (2.21c)
A forma geral da superfície de ruptura no espaço tridimensional de tensões pode ser
descrita pelas formas de sua seção transversal nos planos desviadores (planos ortogonais ao
eixo hidrostático) e pelos seus meridianos nos planos meridionais (planos que contém o
eixo hidrostático).
A FIG. 2.7 apresenta a superfície de ruptura para o concreto, obtida a partir de resultados
experimentais. Trata-se de uma superfície aproximadamente cônica, com vértice no ponto
de máxima pressão hidrostática de tração, abrindo-se em direção às tensões esféricas de
compressão. Com o aumento das tensões de compressão, as seções desviadoras se dilatam e
os vértices tornam-se mais arredondados, tendendo à uma forma circular, FIG. 2.7 (b). No
plano meridional, FIG. 2.7 (a), a superfície mostra-se curva, regular e convexa, dependente
da componente hidrostática I
1
.
Como apresentado na FIG. 2.7 (b), a seção transversal no plano desviador possui três ramos
de simetria, em virtude da isotropia do material. Portanto, na determinação experimental da
superfície, basta conhecer apenas o setor 0ᑻ አ θ አ 60ᑻ. O meridiano de tração ρ
t
, o
29
meridiano de compressão ρ
c
e o meridiano de cisalhamento ρ
s
correspondem a θ = 0ᑻ, θ =
60ᑻ e θ = 30ᑻ, respectivamente, e satisfazem ρ
t
< ρ
s
< ρ
c
. O valor de ρ
t
/ρ
c
aumenta com o
aumento da pressão hidrostática, sendo aproximadamente igual a 0,5 próximo ao plano π
(plano desviador com ξ = 0) e alcançando um máximo igual a 0,8 para uma pressão
hidrostática de ξ = -7 f’
c
.
(a)
(b)
FIGURA 2.7 – Forma geral da superfície de ruptura:
(a) meridianos; (b) seções desviadoras [CHEN e HAN (1988)].
30
A FIG. 2.8 apresenta diversas superfícies de ruptura propostas para o concreto. Empregam-
se modelos com número de parâmetros, ou constantes do material, variando de um até
cinco nos modelos mais sofisticados.
Os modelos de um parâmetro, como os de Von Mises e de Tresca, baseados na tensão de
cisalhamento, podem ser utilizados para o concreto submetido a elevadas pressões
hidrostáticas. Para intensidades intermediárias de compressão com dependência da pressão
hidrostática, podem ser empregados os modelos de Drucker-Prager e de Mohr-Coulomb,
ambos de dois parâmetros. Vale ressaltar que modelos de dois parâmetros com meridianos
retos são inadequados para descrever a ruptura do concreto sob altas tensões de compressão
[PIMENTA (2003)].
Os modelos de quatro parâmetros de Ottosen e Hsieh-Ting-Chen possuem meridianos
curvos e seções não-circulares nos planos desviadores, com dependência do ângulo de
similaridade θ. O modelo de cinco parâmetros de Willam-Warnke apresenta meridianos de
tração e compressão expressos por parábolas de segundo grau na forma:
σ
m
= a
0
+ a
1
ρ
t
+ a
2
ρ
t
2
(2.22a)
σ
m
= b
0
+ b
1
ρ
c
+ b
2
ρ
c
2
(2.22b)
sendo σ
m
= I
1
/3 a tensão média, ρ
t
e ρ
c
as componentes de tensão perpendiculares ao eixo
hidrostático em θ = 0ᑻ e θ = 60ᑻ, respectivamente, e a
0
, a
1
, a
2
, b
0
, b
1
e b
2
as constantes do
material. Como os dois meridianos devem interceptar o eixo hidrostático no mesmo ponto,
tem-se que a
0
= b
0
. Os meridianos são então determinados por cinco parâmetros obtidos
experimentalmente em ensaios uniaxiais de tração e compressão e de compressão biaxial
com e sem confinamento.
31
FIGURA 2.8 – Superfícies de ruptura propostas para o concreto
[CHEN e HAN (1988)].
32
Neste modelo, as seções nos planos desviadores são desenvolvidas utilizando-se arcos de
elipse, de forma a se obter uma curva suave e convexa em todos os pontos. Em virtude da
simetria em três eixos, basta considerar o setor 0ᑻ አ θ አ 60ᑻ. A equação da elipse, em
termos das coordenadas polares (ρ, θ), pode ser expresa por:
( )
(
)
(
)
(
)
[
]
( )
( )
2
tc
22
t
2
c
2/1
ct
2
t
22
t
2
cctc
2
t
2
cc
2cos4
45cos42cos2
ρρθρρ
ρρρθρρρρρθρρρ
θρ
−+−
−+−−+−
= (2.23
)
Dois casos limites da eq. (2.23) podem ser observados: para ρ
t
/ ρ
c
= 1, a elipse se degenera
em um círculo, similar às seções desviadoras de Von Mises e Drucker-Prager; e, quando ρ
t
/
ρ
c
aproxima-se do valor 1/2, a seção desviadora torna-se praticamente triangular, com
vértices nos meridianos de compressão. Portanto, a convexidade e suavidade da superfície
de ruptura podem ser asseguradas para 1/2 < ρ
t
/ ρ
c
አ 1 .
Segundo CHEN e HAN (1988), o modelo de Willam-Warnke fornece resultados bastante
próximos daqueles obtidos experimentalmente.
Outros modelos constitutivos utilizados para o concreto, como os de Chen e Chen, Han e
Chen, Sankarasubramanian e Rajasekaran e Murray et al., bem como aqueles baseados nas
teorias do dano e da mecânica da fratura podem ser encontrados em PIMENTA (2003),
BARBOSA (1997) e CHEN e HAN (1988).
2.3.3. Modelos Considerando a Fissuração
O processo de fisuração exerce fundamental importância no comportamento estrutural do
concreto. Desta forma, uma representação conveniente e precisa das fissuras torna-se
necessária em qualquer modelo que se desenvolva. Em análises empregando o método dos
elementos finitos, basicamente dois modelos de fissuras podem ser utilizados: o modelo de
fissuras discretas e o modelo de fissuras dispersas. Outro modelo menos comum e ainda
pouco difundido é o modelo de fissuras embutidas [BARBOSA (1997)].
33
O modelo de fissuras discretas, mais indicado quando se deseja analisar um comportamento
local detalhado, consiste em simular as fissuras por meio de descontinuidades de
deslocamentos nodais de elementos adjacentes. O surgimento e a propagação das fissuras
são, então, orientados pelas linhas da malha, nem sempre coincidentes com as fissuras em
virtude da dificuldade de se prever a posição e a orientação das mesmas. Após a fissuração,
a direção da tensão principal não coincide necessariamente com a normal à fissura, sendo
que a maior tensão principal pode até mesmo exceder a resistência à tração em outra
direção. Estes problemas podem ser contornados utilizando técnicas de redefinição dos nós
da malha, porém estas soluções são complexas e exigem grande trabalho computacional.
No modelo de fissuras dispersas, mais adequado para a análise de estruturas como um todo,
o concreto fissurado é tratado como um meio contínuo, apresentando fissuras paralelas que
cruzam o elemento. Podem ser adotados modelos de fissuras dispersas fixas ou rotativas.
Quando as fissuras dispersas são fixas, a direção da normal à fissura é mantida fixa após o
início da fissuração e, no caso das fissuras rotativas, a normal à fissura pode girar durante o
processo de fissuração.
BARBOSA (1997) salienta que a abordagem por fissuras dispersas é “a mais utilizada na
prática devido à sua simplicidade do ponto de vista computacional e por representar bem o
fenômeno da fissuração”.
Finalmente, no modelo de fissuras embutidas, a fissura é simulada como uma
descontinuidade de deslocamentos dentro do elemento, empregando-se princípios
variacionais estendidos para corpos descontínuos. Com este modelo, é possível representar
diferentes modos de deformação de uma fissura no elemento.
2.3.4. Representação das Barras das Armaduras
De forma geral, o aço pode ser representado por meio de modelos elastoplásticos perfeitos
ou elastoplásticos com encruamento, empregando-se diagramas tensão-deformação
34
bilineares. Preferencialmente, são utilizados modelos elastoplásticos com encruamento,
para se evitarem problemas de instabilidade numérica causados pelo módulo tangente nulo
na fase plástica. Sendo os metais pouco sensíveis à pressão hidrostática, o critério de
escoamento de Von Mises pode ser adotado, fornecendo resultados satisfatórios.
Nas análises que utilizam o método dos elementos finitos, as armaduras podem ser
representadas como um material disperso no elemento, como barras discretas conectadas
aos nós da malha, ou por meio da adoção de camadas de aço em um elemento estratificado.
2.3.5. Influência da Armadura no Elemento Estrutural em Concreto Armado
Além das complexidades inerentes ao concreto, um novo fator complicador surge na
análise estrutural quando ele é associado ao aço, que apresenta comportamento totalmente
diferenciado. O material resultante, concreto armado, possui propriedades particulares,
sendo sua resistência influenciada por diversos fenômenos provenientes da interação entre
o concreto e o aço. Os mecanismos de arrancamento, de enrijecimento à tração e de pino
constituem alguns dos importantes efeitos da associação entre os dois materiais.
Em estruturas sujeitas a grandes forças de tração, pode haver o arrancamento de barras
ancoradas na massa de concreto. Nas análises empregando o método dos elementos finitos,
pode-se modelar o arrancamento por meio de elementos que se comportam como “molas”
distribuídas ou discretas, simulando as forças de contato ao longo da face da barra.
Após a fissuração, o concreto preservado entre as fissuras permanenece com capacidade
significativa de absorver forças, em virtude da aderência. Este efeito contribui para um
aumento de rigidez do sistema, sendo conhecido como enrijecimento à tração. A
consideração do enrijecimento à tração pode ser feita indiretamente, assumindo que a
diminuição de resistência à tração no concreto ocorre gradualmente. Alternativamente,
pode-se representar o enrijecimento à tração com o aumento da rigidez do aço.
35
A força cortante é transmitida no concreto armado fissurado por meio dos efeitos de
engrenamento (encaixe dos agregados graúdos na massa de concreto) e de pino.
BARBOSA (1997) ressalta que, apesar de importante, o efeito de pino, ou a capacidade das
barras de aço de suportar forças transversais, é muitas vezes desconsiderado na análise,
resumindo-se a modelagem das armaduras a um material que trabalha apenas
uniaxialmente.
Vale comentar que o desempenho das estruturas de concreto armado é fortemente
influenciado pela aderência entre o aço e o concreto que o circunda. Afinal, como a ação
externa raramente é aplicada diretamente à armadura, é do concreto à sua volta que as
barras de aço recebem a parcela da força que lhes cabe. BAKIR e BODUROGLU (2006),
por meio do estudo do comportamento de nós tipo viga-coluna, afirmam que, quando o
concreto é adequadamente confinado, as condições de aderência melhoram
substancialmente.
Muitos modelos, como os propostos por KWAK e KIM (2006a) e ZHAO et al. (2004), são
desenvolvidos admitindo aderência perfeita e ignorando completamente o deslizamento
entre a armadura e o concreto. Segundo JENDELE e CERVENKA (2006), esta hipótese é
adequada para os casos usuais de engenharia. DARWIN (1991) acrescenta que existem
dados experimentais mostrando que a aderência não é importante na determinação das
curvas força-deslocamento. Quando considerada, geralmente a aderência é inserida como
uma propriedade do material, desprezando o efeito do movimento relativo entre a barra de
aço e o concreto.
2.4. Classificação das Estruturas com relação à Deslocabilidade
Horizontal
Segundo o ACI 318S (2005), para que uma estrutura seja classificada como de nós fixos é
necessário que os momentos de segunda ordem não excedam em 5% os de primeira ordem.
36
O CEB-FIP/MC (1990) vem adotando uma classificação menos rigorosa, considerando
uma estrutura como de nós fixos se os efeitos de segunda ordem resultarem em acréscimos
inferiores a 10% nos momentos fletores relevantes, obtidos de uma análise em primeira
ordem. Esse critério é conhecido como condição de imobilidade dos nós.
De acordo com a NBR 6118:2003, uma estrutura pode ser classificada como de nós fixos se
seus efeitos globais de segunda ordem forem inferiores a 10% dos respectivos esforços de
primeira ordem. Caso contrário (efeitos globais de segunda ordem superiores a 10% dos de
primeira ordem), a estrutura é classificada como de nós móveis.
Portanto, considerando os momentos fletores, por exemplo, uma estrutura será classificada
como de nós fixos se:
M
2d
አ
1,1 M
1d
(2.24)
sendo que:
• M
2d
é o momento de cálculo total, que inclui os efeitos de segunda ordem;
• M
1d
é o momento de cálculo de primeira ordem.
No entanto, não é esta a verificação que é feita na prática. Isto porque seria necessário
realizar uma análise de segunda ordem, que muitas vezes só é desejável para estruturas de
nós móveis.
Dessa forma, é extremamente útil que se encontrem processos que permitam, apenas com
os resultados da análise de primeira ordem, classificar as estruturas. Assim, o projetista
estará apto a escolher, no caso de uma estrutura de nós móveis, entre enrijecê-la e torná-la
de nós fixos ou realmente realizar a análise de segunda ordem.
Diferentes parâmetros já foram propostos, alguns determinados a partir de cargas críticas,
outros em função da rigidez dos pavimentos. Entre eles, merecem destaque os denominados
37
parâmetro de instabilidade
α
, proposto por BECK e KÖNIG
7
apud VASCONCELOS
(1998), e o coeficiente
γ
z
, apresentado por FRANCO e VASCONCELOS (1991).
2.4.1. Parâmetro de Instabilidade
α
αα
α
O parâmetro de instabilidade
α
constitui uma medida da deslocabilidade horizontal da
estrutura, avaliando sua sensibilidade aos efeitos de segunda ordem. Acima de um
determinado limite de
α
, a estrutura é classificada como de nós móveis, tornando necessária
a consideração dos esforços adicionais que surgem na configuração deformada.
De acordo com BECK e KÖNIG
7
apud VASCONCELOS (1998), a formulação
relacionada a esse parâmetro baseia-se na analogia entre o comportamento do edifício e o
de um pilar engastado na base e livre no topo, de seção constante e material elástico linear,
submetido a uma força axial uniformemente distribuída ao longo de sua altura (FIG. 2.9). A
rigidez deste pilar seria equivalente à soma das rigidezes dos pilares de contraventamento
da estrutura.
Resolvendo a equação diferencial que permite a obtenção da carga crítica, BECK e
KÖNIG
7
apud VASCONCELOS (1998) chegaram a um coeficiente
α
, relacionado com a
perda da estabilidade global do edifício, definido por:
EI
N
h=
α
(2.25)
sendo:
• h a altura total do edifício;
• N o somatório das forças verticais atuantes;
• EI o módulo de rigidez da estrutura.
____________________________
7
BECK, H.; KÖNIG, G. Criteria for judging the stiffness of framed structures. Proceedings, IABSE
Symposium, London, p.37-45, 1967.
38
h
FIGURA 2.9 – Analogia entre o edifício e o pilar em balanço.
De acordo com a teoria desenvolvida pelos autores, para que os efeitos de segunda ordem
fossem inferiores a 10% dos de primeira, ou seja, para que a estrutura pudesse ser
classificada como de nós fixos, era necessário que
α
< 0,6.
Entretanto, isso só era válido se o número de pavimentos n fosse superior a três. Para n = 1,
2 e 3 os limites de
α
seriam iguais a 0,3, 0,4 e 0,5 respectivamente.
VASCONCELOS (1985), por meio de seus estudos, recomenda a adoção de valores de
α
lim
ligeiramente maiores do que os citados anteriormente: 0,5, 0,55 e 0,75, para pórticos de um,
dois e três pavimentos, respectivamente.
Segundo FRANCO (1985b), como os deslocamentos horizontais, e consequentemente, os
efeitos de segunda ordem, dependem da forma da linha elástica do edifício, deve-se adotar
valores limites de
α
diferentes para os diversos tipos de contraventamento.
39
Com base neste argumento, FRANCO (1985b) introduziu o conceito de parâmetro de
forma da linha elástica (ψ), definido por:
a
1
δ
ψ
= (2.26)
sendo δ
1
o deslocamento horizontal de primeira ordem do ponto de aplicação da resultante
das forças verticais e a o deslocamento horizontal do topo da estrutura.
Para a determinação dos valores limites de
α
, resultou:
ψ
α
11
2
lim
= (2.27)
A eq. (2.27) foi obtida admitindo-se para o coeficiente de majoração das forças o valor de
1,4 e considerando-se uma redução de 30% na rigidez da estrutura.
FRANCO (1985b) calculou os parâmetros de forma ψ e os limites de
α
para estruturas de
contraventamento predominantemente formado por pilares parede, por pórticos ou por
sistemas mistos (FIG. 2.10). Considerando as deformadas dos três tipos de
contraventamento como sendo, respectivamente, parábolas dos 4ᑻ, 2ᑻ, e 3ᑻ graus, os valores
encontrados foram:
- contraventamento em pilares parede: ψ = 0,40 ⇒
α
lim
= 0,7;
- contraventamento em pórticos: ψ = 0,67 ⇒
α
lim
= 0,5;
- contraventamento misto: ψ = 0,50 ⇒
α
lim
= 0,6.
40
a
a
a
(PILARES PAREDE ASSOCIADOS OU PÓRTICOS + PILARES PAREDE)
ASSOCIAÇÕES
PÓRTICO
PILAR PAREDE
FIGURA 2.10 – Tipos de contraventamento e suas respectivas deformadas.
a) Módulo de Rigidez da Estrutura
Segundo VASCONCELOS (1985), o módulo de rigidez EI pode ser calculado por meio da
soma das rigidezes dos pilares isolados apenas no caso de estruturas pré-moldadas, de
alvenaria portante ou estruturas com núcleos bastante rígidos. Nas estruturas reticuladas de
edifícios, existe a solidarização das vigas com os pilares, acarretando um acréscimo
considerável na rigidez. Se este acréscimo não for considerado, o valor de
α
encontrado
será muito conservador.
Uma forma de se evitar a adoção errônea do valor EI é tomando-o como a rigidez
equivalente de um pilar em balanço, que sofra o mesmo deslocamento no topo que a
estrutura em estudo, sob a ação das mesmas forças.
Por exemplo, para um edifício de altura h, submetido à uma força uniformemente
distribuída w ao longo da altura, e que apresenta um deslocamento horizontal a no topo, o
módulo de rigidez equivalente (EI)
eq
seria o módulo de rigidez de um pilar em balanço, de
41
comprimento h, submetido à força w, e com deslocamento no topo também igual a a (FIG.
2.11), ou seja:
a
8
wh
)EI(
4
eq
= (2.28)
A eq. (2.25) fica então definida como:
eq
)EI(
N
h=
α
(2.29)
h
a
a
w
w
FIGURA 2.11 – Módulo de rigidez equivalente.
b) Parâmetro de Instabilidade
α
αα
α
segundo a NBR 6118:2003
A NBR 6118:2003 restringe a utilização do parâmetro de instabilidade
α
à estruturas
reticuladas simétricas. Estas estruturas poderão ser classificadas como de nós fixos se
α
<
α
1
, sendo:
ccs
k
tot
IE
N
H=
α
(2.30)
42
α
1
= 0,2 + 0,1⋅n se n አ 3;
α
1
= 0,6 se n ኑ 4;
• n – número de pavimentos;
• H
tot
– altura total da estrutura;
• N
k
– somatório das cargas verticais atuantes, com seu valor característico;
• E
cs
I
c
– somatório dos valores de rigidez de todos os pilares na direção considerada,
podendo-se adotar para E
cs
o valor do módulo de elasticidade inicial (E
ci
) da eq. (2.1).
Quando se tratar de estruturas de pórticos, treliças ou mistas, ou com pilares de rigidez
variável ao longo da altura, permite-se utilizar o módulo de rigidez equivalente da
estrutura, determinado da seguinte forma:
- incide-se o carregamento horizontal sobre a estrutura e calcula-se o deslocamento no
topo;
- determina-se a rigidez de um pilar equivalente em balanço, de seção constante e
mesma altura H
tot
, que sofra o mesmo deslocamento no topo sob a ação do mesmo
carregamento.
Nota-se então que, segundo a NBR 6118:2003, o módulo de rigidez equivalente da
estrutura é determinado a partir da aplicação do “carregamento horizontal”. No entanto,
considerando o “carregamento horizontal” como sendo, por exemplo, as forças relativas ao
vento, seria impossível encontrar uma expressão geral que relacionasse o módulo de rigidez
equivalente e o deslocamento no topo, já que essas forças variam de edifício para edifício,
dependendo do número de pavimentos e da altura do pé-direito. É muito mais apropriado,
portanto, substituir o “carregamento horizontal” por uma força uniformemente distribuída
ao longo da altura do edifício. Dessa forma, a rigidez equivalente da estrutura seria
calculada por meio de uma expressão conhecida e bastante simples, a eq. (2.28).
A NBR 6118:2003 ainda prescreve que o valor limite
α
1
= 0,6, para n ኑ 4, é aplicável às
estruturas usuais de edifícios, podendo ser adotado para associações de pilares parede, e
43
para pórticos associados a pilares parede. No caso de contraventamento constituído
exclusivamente por pilares parede,
α
1
pode ser tomado igual a 0,7 e, quando só houver
pórticos, deve-se adotar
α
1
= 0,5.
2.4.2. Coeficiente
γ
γγ
γ
z
Realizando-se uma análise linear para as ações horizontais e verticais, podem ser
calculados o momento de primeira ordem M
1
em relação à base da estrutura, bem como os
deslocamentos horizontais de seus nós. Estes deslocamentos, combinados com as forças
verticais, provocam o aparecimento de acréscimos de momentos ∆M
2
, acarretando novos
deslocamentos. Este processo ocorre sucessivamente ao longo de várias etapas, ou
iterações, gerando acréscimos de momentos cada vez menores. Se a estrutura for estável,
estes acréscimos diminuem até se tornarem praticamente nulos. Com os diversos
acréscimos de momentos, determina-se o momento final M
2
, que inclui o de segunda
ordem:
M
2
= M
1
+ ∆M
2
+ ∆M
3
+ ... + ∆M
j
(2.31)
sendo j o número de iterações.
Admitindo-se que os momentos M
1
, ∆M
2
, ∆M
3
, ... , ∆M
j
constituam uma progressão
geométrica, a razão é dada por:
1
M
M
...
M
M
M
M
r
1j
j
2
3
1
2
<====
−
∆
∆
∆
∆∆
(2.32)
e pode-se escrever:
M
2
= (1 + r + r
2
+ r
3
+ ... + r
j-1
) M
1
(2.33)
Quando j tende ao infinito, a eq. (2.33) fica:
44
12
M
r
1
1
M ⋅
−
= ou
1
1
2
2
M
M
M
1
1
M
∆
−
= (2.34)
Denominando-se
γ
z
o fator que majora o momento de primeira ordem, e utilizando-se
valores de cálculo, obtém-se:
d1
d
z
M
M
1
1
∆
γ
−
= (2.35)
O coeficiente
γ
z
pode, então, ser calculado a partir de uma análise linear, determinando-se o
momento de primeira ordem M
1d
e o acréscimo de momentos ∆M
d
.
Pode-se também deduzir o coeficiente
γ
z
por meio de outro processo. A partir da eq. (2.32),
é possível escrever:
121
32
...
...
−
∆++∆+
∆
+
+
∆
+
∆
=
j
j
MMM
MMM
r (2.36)
Denominando-se ∆M os acréscimos de momentos (∆M
2
+ ∆M
3
+ ... + ∆M
j-1
+ ∆M
j
), tem-
se, a partir das eq. (2.31) e (2.36), respectivamente:
M
2
= M
1
+ ∆M (2.37)
j
MMM
M
r
∆−∆+
∆
=
1
(2.38)
Substituindo a eq. (2.37) na eq. (2.38), obtém-se:
45
j
MM
M
r
∆−
∆
=
2
(2.39)
Quando o número de iterações j tende ao infinito o acréscimo de momento ∆M
j
tende a zero
e a eq. (2.39) fica:
rMM
M
M
r ⋅=∆⇒
∆
=
2
2
(2.40)
Substituindo a eq. (2.40) na eq. (2.37), tem-se:
M
2
= M
1
+ M
2
⋅
r
⇒
M
2
(1-r) = M
1
(2.41)
Finalmente, a partir da eq. (2.41), chega-se à expressão do momento M
2
, que coincide com
a eq. (2.34):
12
M
r
1
1
M ⋅
−
= ou
1
1
2
2
M
M
M
1
1
M
∆
−
= (2.42)
Logo, utilizando-se valores de cálculo, o coeficiente
γ
z
será dado novamente pela eq. (2.35).
Analogamente ao parâmetro de instabilidade
α
, o
γ
z
pode ser utilizado para classificar as
estruturas (nós fixos ou móveis). Lembrando-se que os efeitos de segunda ordem podem ser
desprezados desde que não representem acréscimo superior a 10% dos respectivos esforços
de primeira ordem, uma estrutura poderá ser classificada como de nós fixos se seu
γ
z
አ 1,1.
Entretanto, o coeficiente
γ
z
vai além do parâmetro de instabilidade
α
, uma vez que ele
também pode ser utilizado para avaliar os esforços finais, que incluem os de segunda
ordem, desde que seu valor não ultrapasse um determinado limite. Inclusive, como explica
46
VASCONCELOS (1996), foi escolhida a letra grega
γ
justamente porque trata-se de “um
coeficiente majorador de esforços solicitantes como é o coeficiente de segurança externo
γ
f
.
Ao invés do índice f foi usado o índice z para esclarecer que o coeficiente se refere
principalmente ao efeito das cargas axiais”. O processo de majoração dos esforços pelo
coeficiente
γ
z
será comentado com mais detalhes no item 2.5.
Segundo CARMO (1995), é possível relacionar os parâmetros
α
e
γ
z
por meio do seguinte
polinômio de 3ᑻ grau:
γ
z
= 0,90 + 0,52
α
– 0,62
α
2
+ 0,46
α
3
(2.43)
CORRÊA e RAMALHO
8
apud VASCONCELOS (1998) mostram que, para aplicações
práticas, a eq. (2.43) pode ser simplificada para:
γ
z
= 1,10 – 0,33
α
+ 0,50
α
2
(2.44)
MARANHÃO (1999) desenvolve uma expressão de correlação entre
α
e
γ
z
, definida por:
2
r
2
fv
z
)(
1
1
πγ
αβγ
γ
⋅
⋅
−
=
(2.45)
onde
γ
fv
é o coeficiente majorador das cargas verticais,
γ
r
o coeficiente minorador da rigidez
dos membros (vigas e pilares) e β é o fator de comprimento efetivo, dado em função do
número de pavimentos do edifício.
__________________________
8
CORRÊA, M.R.S.; RAMALHO, M.A. Modelos numéricos para análise estrutural de edifícios. In:
SEMINÁRIO SOBRE NÃO-LINEARIDADE, FÍSICA E GEOMÉTRICA, DE ESTRUTURAS DE
CONCRETO (WORKSHOP IBRACON “A ESTRUTURA DE CONCRETO DO FUTURO”), São Paulo,
Mai, 1995.
47
OLIVEIRA et al. (2002) avaliam a rigidez de edifícios altos de concreto armado por meio
dos parâmetros
α
e
γ
z
e de uma estimativa do índice global de esbeltez, baseada no critério
de Rankine-Merchant. Este critério busca predizer a carga de colapso por meio da
determinação do fator de carga de Rankine,
λ
R
, definido por:
CCRR
111
λλλ
+= (2.46) ou
CR
C
C
R
1
λ
λ
λ
λ
+
= (2.47)
sendo que
λ
CR
é fator de carga crítica de flambagem, calculado por meio de uma análise de
instabilidade elástica e
λ
C
o fator de carga de colapso plástico, determinado a partir de uma
análise elastoplástica incremental.
Para o índice global de esbeltez da estrutura,
λ
e
, resulta:
⋅
⋅=
C
CR
cd
e
f
E
λ
λ
πλ
(2.48)
sendo E o módulo de elasticidade e f
cd
a resistência de cálculo à compressão do concreto.
Segundo OLIVEIRA et al. (2002), a relação (
λ
CR
/
λ
C
) está prevista nas recomendações para
construções metálicas na Europa e na França, sendo utilizada para a avaliação da rigidez
dos pórticos. Assim, se (
λ
CR
/
λ
C
) > 10, o pórtico pode ser analisado de acordo com a teoria
de primeira ordem; se 4 አ (
λ
CR
/
λ
C
) አ 10, a verificação da estabilidade deve ser realizada
com base em considerações particulares. Finalmente, caso (
λ
CR
/
λ
C
) < 4, uma análise
elastoplástica de segunda ordem é requerida.
48
OLIVEIRA et al. (2002) mostram que, para valores limites de
α
e
γ
z
, o índice global de
esbeltez é aproximadamente igual a 43, e a relação (
λ
CR
/
λ
C
) apresenta um valor médio de
10, o que é coerente com a classificação utilizada para estruturas metálicas. Para valores de
γ
z
próximos a 1,30, o índice global de esbeltez vale cerca de 59. Além disso, considerando
α
< 0,6 e
γ
z
< 1,1, o fator de carga de Rankine-Merchant é igual ou superior a 90% do fator
de carga de colapso plástico, o que indica que o fator de carga crítica de flambagem tem
pequena influência na ruína da estrutura, ou seja, neste caso os efeitos de segunda ordem
poderiam ser desprezados.
a) Coeficiente
γ
γγ
γ
z
segundo a NBR 6118:2003
A NBR 6118:2003 prescreve que o coeficiente
γ
z
, válido para estruturas reticuladas de no
mínimo quatro pavimentos, pode ser determinado a partir de uma análise linear de primeira
ordem, adotando-se os valores de rigidez do item 2.2.1 a), para considerar a não-linearidade
física de forma aproximada.
Para cada combinação de carregamento, calcula-se o valor de
γ
z
por meio da seguinte
expressão:
d,tot,1
d,tot
z
M
M
1
1
∆
γ
−
= (2.49)
sendo:
- M
1,tot,d
(momento de primeira ordem): soma dos momentos de todas as forças horizontais
(com seus valores de cálculo) da combinação considerada, em relação à base da estrutura,
ou seja, pode-se escrever:
M
1,tot,d
=
Σ
(F
hid
⋅
h
i
) (2.50)
49
sendo que F
hid
é a força horizontal aplicada no pavimento i (com seu valor de cálculo) e h
i
é
a altura do pavimento i.
- ∆M
tot,d
(acréscimo de momentos após a análise de primeira ordem): soma dos produtos de
todas as forças verticais atuantes na estrutura (com seus valores de cálculo), na combinação
considerada, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação:
∆M
tot,d
=
Σ
(P
id
⋅
u
i
) (2.51)
sendo que P
id
é a força vertical atuante no pavimento i (com seu valor de cálculo) e u
i
é o
deslocamento horizontal do pavimento i.
Se for satisfeita a condição
γ
z
አ 1,1, a estrutura será classificada como de nós fixos.
Segundo MIRANDA e CARVALHO (2006), embora a NBR 6118:2003 não recomende o
uso do
γ
z
para estruturas com número de pavimentos inferior a quatro, a utilização do
parâmetro de instabilidade
α
, indicado para estas situações, parece acarretar valores muito
conservadores.
2.5. Procedimentos Simplificados para a Consideração dos Efeitos de
Segunda Ordem
Como já foi mencionado, no caso de estruturas de nós móveis, é obrigatória a consideração
dos efeitos de segunda ordem, ou seja, deve-se realizar uma análise de segunda ordem.
Sendo esta análise muitas vezes incompatível com fatores limitadores como tempo e
praticidade, tem-se buscado processos simplificados capazes de prever o comportamento da
estrutura em segunda ordem.
50
Segundo NIXON et al.
9
apud MACGREGOR e HAGE (1977), os momentos e
deslocamentos de segunda ordem podem ser determinados a partir de uma análise estrutural
de primeira ordem, apenas inserindo um contraventamento diagonal fictício de área
negativa em cada pavimento. Embora os membros de contraventamento normalmente
enrijeçam a estrutura, este contraventamento artificial tornaria a estrutura mais flexível, e a
matriz de rigidez obtida seria de segunda ordem.
MACGREGOR e HAGE (1977) introduzem o denominado índice de estabilidade Q,
definido para cada pavimento como:
HL
P
Q
1
∆
Σ
= (2.52)
sendo que
Σ
P é a força vertical total, H a força lateral, ∆
1
o deslocamento relativo de
primeira ordem produzido por H e L é o comprimento do pavimento.
Para um dado carregamento lateral que leva a momentos de primeira ordem M
1
, os
momentos totais de segunda ordem M
2
, podem ser obtidos como:
M
2
= δ M
1
sendo δ = 1/(1-Q) (2.53)
Quando Q አ 0,0475, δ pode ser tomado igual a 1,0, o que significa que os momentos de
segunda ordem podem ser desprezados desde que não representem acréscimo superior a 5%
dos momentos de primeira ordem. Tem-se mostrado que o majorador δ pode ser aplicado a
todas as seções do pavimento, incluindo vigas, pilares e paredes, fornecendo os momentos
resultantes apenas das ações laterais. Estes momentos devem, então, ser adicionados
àqueles relativos às forças verticais.
____________________________
9
NIXON, D.; BEAULIEU, D.; ADAMS, P.F. Simplified second-order frame analysis. Canadian Journal of
Civil Engineering, v.2, n.4, p.602-605, 1975.
51
Alternativamente, pode-se também utilizar δ = 1/(1-Q) para majorar as ações laterais.
Dessa forma, os momentos de segunda ordem serão obtidos a partir da análise em primeira
ordem da estrutura, realizada com as ações laterais majoradas agindo simultaneamente com
as cargas verticais. Segundo MACGREGOR e HAGE (1977), este método será menos
preciso se existirem grandes diferenças nas rigidezes laterais dos pavimentos.
Finalmente, os autores ressaltam que estes métodos simplificados só podem ser
empregados quando o índice de estabilidade Q አ 0,2, e que o valor de Q deve ser calculado
para o carregamento último, usando rigidezes representativas deste carregamento.
VASCONCELOS
10
apud CORRÊA (1991) apresenta um processo prático para a
consideração dos efeitos de segunda ordem em estruturas planas. Este processo consiste na
realização de uma análise em primeira ordem da estrutura, com as ações horizontais
majoradas por um coeficiente k, dado em função do parâmetro de instabilidade
α
. A partir
da razão entre o valor crítico de
α
, dependente do número de pavimentos do edifício, e o
seu valor atual pode-se estimar o fator de majoração das ações horizontais, de acordo com a
sua natureza (ação do vento, desaprumo, etc). Segundo VASCONCELOS
10
apud CORRÊA
(1991) o processo fornece resultados satisfatórios desde que
α
não ultrapasse 1,3.
AAS-JAKOBSEN
11
apud MACGREGOR e HAGE (1977) propõe uma abordagem de
elemento finito para levar em conta os efeitos de segunda ordem sob condições elásticas-
lineares. Assume-se que a matriz de rigidez [K] seja a soma de [K
1
] e [K
2
], onde [K
1
] é a
matriz de rigidez de primeira ordem e [K
2
] é obtida por meio de um procedimento iterativo.
Quando deslocamentos unitários são aplicados à barra a carga axial requerida para manter o
equilíbrio é desconhecida e somente pode ser obtida por tentativa e erro.
____________________________
10
VASCONCELOS, A.C. Como se pode enrijecer edifícios muito flexíveis. In: LA INGENIERÍA
ESTRUCTURAL SUDAMERICANA EN LA DÉCADA DEL 80, v.1, p.237-268, Montevideo. Anais.
11
AAS-JAKOBSEN, K. Design of slender reinforced concrete frames. Report N
o
48, Institut für Baustatik
ETH Zurich, Switzerland, Nov, 1973.
52
AAS-JAKOBSEN
11
apud MACGREGOR e HAGE (1977) sugere que a carga axial seja
tomada igual a zero no primeiro ciclo. As forças axiais de primeira ordem obtidas no
primeiro ciclo são usadas no segundo ciclo. O processo é repetido até que a carga axial
encontrada em um ciclo esteja próxima do valor calculado no ciclo anterior. Considerando
que os efeitos de segunda ordem não afetarão as cargas axiais nas colunas
significativamente a convergência será atingida rapidamente, e geralmente dois ciclos serão
suficientes.
ARISTIZABAL-OCHOA (1997a,b) desenvolve um método analítico capaz de analisar a
estabilidade de todo um pavimento de estruturas tridimensionais de concreto armado. As
estruturas são classificadas como contraventadas, parcialmente contraventadas ou não
contraventadas, dependendo de sua rigidez lateral. Para cada tipo, são apresentadas
equações que permitem, a partir das forças axiais nas colunas (calculdadas por meio de uma
análise linear de primeira ordem), determinar a força crítica total do pavimento e o fator de
majoração que deve ser aplicado aos momentos de primeira ordem, para levar em conta os
efeitos de segunda ordem. Segundo ARISTIZABAL-OCHOA (1997a,b), para os exemplos
analisados, o método proposto forneceu resultados com boa proximidade em relação aos
obtidos por outros pesquisadores.
VINAGRE e CAMARA (2000) apresentam um processo simplificado para a avaliação dos
efeitos de segunda ordem em colunas de pórticos de concreto armado. A metodologia
envolve algumas características do método da excentricidade adicional (que fornece bons
resultados para colunas isoladas) e do método P-∆ (que leva em conta a análise global da
estrutura). Os efeitos de segunda ordem são considerados a partir da aplicação, em cada
pavimento da estrutura, de incrementos de força horizontal (∆H), definidos como:
∑
⋅
= P
L
e2
H
mín,2
∆
(2.54)
53
sendo que
Σ
P e L representam, respectivamente, a força vertical total e o comprimento do
pavimento, e e
2,mín
é a menor excentricidade de segunda ordem das colunas do pavimento
(consideradas isoladas).
KWAK e KIM (2006b,c) desenvolvem uma formulação para prever a capacidade resistente
de colunas esbeltas de concreto armado, considerando os efeitos de ambas as não-
linearidades física e geométrica. Esta formulação é baseada em um coeficiente de redução
de resistência F, que varia de acordo com o índice de esbeltez, a taxa de armadura e a
resistência à compressão do concreto; maiores valores de F são obtidos para colunas com
elevados índices de esbeltez e menores taxas de armadura. Segundo KWAK e KIM
(2006b,c), a formulação proposta fornece resultados bem próximos dos obtidos a partir de
uma análise não-linear rigorosa, sendo eficiente na definição da seção de colunas esbeltas
de concreto armado no estágio preliminar de projeto.
BONET et al. (2004) apresentam um processo simplificado para projetar colunas
retangulares esbeltas de concreto armado com armadura duplamente simétrica. O processo
é baseado no método de majoração dos momentos de primeira ordem, para levar em conta
os efeitos de segunda ordem. Este método é fortemente influenciado pela força crítica de
flambagem e, portanto, pelos valores de rigidez EI empregados. Assim, são também
desenvolvidas equações para o cálculo da rigidez EI, que dependem do tipo de solicitação a
que a coluna está submetida. De acordo com BONET et al. (2004), o processo apresentado
mostra-se bastante preciso para aplicações práticas, podendo ser utilizado na fase de projeto
ou para a verificação das seções adotadas.
GANTES e MAGEIROU (2005) propõem um método para determinar o comprimento
efetivo de flambagem de colunas pertencentes a pórticos deslocáveis de múltiplos
pavimentos. O processo consiste na substituição das barras que convergem na base e no
topo da coluna por molas equivalentes, levando em conta todas as possíveis condições de
contorno (rotacionais e translacionais) e a presença ou não de força axial. Segundo
GANTES e MAGEIROU (2005), o método proposto mostra excelente concordância com
54
os resultados obtidos via elementos finitos, e avalia a força crítica com melhor precisão que
os processos geralmente empregados nas normas de projeto.
GIRGIN et al. (2006) afirmam que o cálculo do comprimento de flambagem de colunas de
pórticos por meio dos diagramas e das formulações simplificadas apresentados em diversas
especificações e normas de projeto pode levar a resultados errôneos. Isto porque tais
formulações consideram apenas a distribuição de rigidez local, e, de acordo com GIRGIN
et al. (2006), o comprimento de flambagem deve ser determinado levando em conta
também as propriedades gerais da estrutura, como a posição do elemento individual e as
distribuições de força axial e de rigidez global. Com base neste argumento, GIRGIN et al.
(2006) desenvolvem um método aproximado para a determinação do comprimento de
flambagem, que fornece erros da ordem de 5% e pode ser considerado adequado para
aplicações práticas.
KEMP (2000) propõe um fator de amplificação de momentos e deslocamentos para levar
em conta os efeitos de segunda ordem em pórticos retangulares e não-retangulares. Melhor
precisão é alcançada com uma variação linear do fator de amplificação entre um limite
inferior no início do comportamento inelástico e um limite superior no qual o colapso
plástico ocorre.
Para a avaliação dos efeitos de segunda ordem em estruturas de aço, o AISC/LRFD (1999)
adota o método aproximado de amplificação dos momentos de primeira ordem pelos
fatores de majoração B
1
e B
2
. O momento fletor solicitante de segunda ordem, M
Sd
, deve,
então, ser determinado por meio da seguinte expressão:
M
Sd
= B
1
⋅
M
nt
+ B
2
⋅
M
lt
(2.55)
sendo M
nt
o momento fletor solicitante de cálculo, assumindo não existir deslocamento
lateral na estrutura, e M
lt
o momento fletor solicitante de cálculo devido ao deslocamento
lateral do pórtico; ambos M
nt
e M
lt
são obtidos por análises de primeira ordem. O
55
coeficiente de amplificação B
1
representa o efeito P-δ, relacionado à instabilidade da barra,
ou aos efeitos locais de segunda ordem; B
2
considera o efeito P-∆, relacionado à
instabilidade do pórtico, ou aos efeitos globais de segunda ordem.
O coeficiente B
2
pode ser calculado, para cada pavimento da estrutura, como:
∑
∑
−
=
Sd
Sd
h0
2
H
N
L
1
1
B
∆
(2.56)
sendo
Σ
N
Sd
o somatório das forças normais de compressão solicitantes de cálculo em todos
os pilares e outros elementos resistentes a forças verticais do pavimento,
∆
0h
o
deslocamento horizontal relativo, L o comprimento do pavimento e
Σ
H
Sd
o somatório de
todas as forças horizontais de cálculo no pavimento que produzem
∆
0h
.
Segundo SILVA (2004), se em todos os pavimentos o coeficiente B
2
não superar o valor de
1,1 a estrutura pode ser considerada pouco sensível a deslocamentos horizontais e, neste
caso, os efeitos globais de segunda ordem podem ser desprezados. Quando o maior B
2
estiver situado entre 1,1 e 1,4, o método aproximado B
1
-B
2
pode ser utilizado para o
cálculo do momento fletor, sendo os demais esforços (força normal e força cortante)
obtidos diretamente da análise de primeira ordem. Finalmente, quando B
2
> 1,40,
recomenda-se a realização de uma análise elástoplástica rigorosa de segunda ordem.
SILVA (2004) ainda acrescenta que, caso 1,1 < B
2
አ 1,2, pode-se, alternativamente,
calcular os momentos fletores com base em uma análise de primeira ordem realizada com
os esforços horizontais majorados pelo maior B
2
.
Nota-se então que, assim como o coeficiente
γ
z
, o coeficiente B
2
constitui um “indicador”
da importância dos efeitos globais de segunda ordem em uma estrutura. Dessa forma, no
item 2.6, busca-se obter uma expressão capaz de relacionar estes parâmetros.
56
A NBR 6118:2003 estabelece que os esforços finais (primeira ordem + segunda ordem)
podem ser avaliados, a partir da majoração adicional dos esforços horizontais da
combinação de carregamento considerada, por 0,95
γ
z
desde que
γ
z
não ultrapasse 1,3. No
entanto, segundo o Projeto de Revisão da NBR 6118:2000, os valores finais dos esforços
poderiam ser obtidos pela multiplicação dos momentos de primeira ordem por 0,95
γ
z
,
também com a condição de que
γ
z
አ 1,3. Nota-se, portanto, que o
γ
z
deixou de ser o
coeficiente majorador dos momentos de primeira ordem, e passou a ser o coeficiente
majorador das ações horizontais.
Segundo FRANCO e VASCONCELOS (1991), a utilização do
γ
z
como majorador dos
momentos de primeira ordem fornece uma boa estimativa dos resultados da análise de
segunda ordem; o método foi empregado com sucesso em edifícios altos com
γ
z
da ordem
de 1,2 ou mais. VASCONCELOS (1996) acrescenta que este processo é valido mesmo para
valores de
γ
z
inferiores a 1,10, casos nos quais as normas técnicas permitem não considerar
os efeitos de segunda ordem.
ANDOLFATO et al. (2003) comparam as majorações dos momentos nos pilares em virtude
dos efeitos de segunda ordem obtidas pelo processo P-∆ com as majorações previstas pelo
coeficiente
γ
z
para cinco pórticos espaciais de concreto armado. Segundo ANDOLFATO et
al. (2003) os resultados encontrados apresentam-se muito próximos até valores de
γ
z
um
pouco superiores a 1,3.
CARMO (1995) compara os resultados de análises em segunda ordem de edifícios de
concreto armado pelo processo denominado “rigoroso” (considerando a não-linearidade
geométrica pelas alterações na matriz de rigidez da estrutura e a não-linearidade física por
meio da redução de rigidez dos elementos estruturais), processo P-∆ (também com redução
das rigidezes dos elementos) e pelo método simplificado (utilizando o coeficiente
γ
z
para
majorar os esforços de primeira ordem). O processo simplificado de análise de segunda
ordem é considerado satisfatório até um determinado limite, sugerido como 1,3.
57
CARMO (1995) ainda expõe a necessidade de haver um melhor tratamento estatístico dos
resultados obtidos, relativos a um universo maior de exemplos.
LIMA e GUARDA (1999a,b) calculam os esforços em segunda ordem para várias
estruturas convencionais de concreto armado, a partir da aplicação do processo P-∆ e pelo
processo simplificado, utilizando o coeficiente
γ
z
. Segundo LIMA e GUARDA (1999a,b), o
γ
z
majora satisfatoriamente os efeitos de primeira ordem até o valor de 1,2.
A partir do processamento de edifícios em primeira e segunda ordem no “software”
ANSYS-5.7, para as forças verticais agindo simultaneamente com as ações horizontais,
OLIVEIRA (2002) realiza uma análise comparativa entre os acréscimos sofridos pelos
esforços de primeira ordem, quando considerados os efeitos de segunda ordem, e os
acréscimos previstos pelo coeficiente
γ
z
. O processamento das estruturas em segunda ordem
é realizado por meio de uma análise não-linear geométrica, considerando a não-linearidade
física de forma simplificada, com a redução de rigidez dos elementos estruturais. Observa-
se que, de forma geral, a obtenção dos esforços finais (primeira ordem + segunda ordem) a
partir da majoração dos esforços de primeira ordem por
γ
z
resultaria em uma boa estimativa
dos acréscimos médios. Porém, no caso da força normal nos pilares esta majoração não
conduziria a bons resultados, uma vez que os acréscimos obtidos, em geral muito pequenos,
não correspondem aos previstos pelo coeficiente
γ
z
. Segundo PINTO (1997), isto pode ser
explicado pelo fato de que a força normal nos pilares é produzida, principalmente, pela
ação vertical, que não sofre alterações significativas em virtude dos efeitos de segunda
ordem. Estes efeitos afetam mais sensivelmente os esforços oriundos da ação horizontal
sobre a estrutura. Em suma, os acréscimos das forças normais nos pilares, relativos à ação
simultânea das forças verticais e horizontais, serão realmente insignificantes, já que as
forças normais oriundas das ações horizontais são muito pequenas em relação às oriundas
das ações verticais. Assim, PINTO (1997) recomenda não multiplicar o valor total da força
normal por
γ
z
e sim exclusivamente a parcela relativa às ações horizontais.
58
É importante comentar que, em diversos trabalhos [ANDOLFATO et al. (2003), CARMO
(1995), PINTO (1997), LIMA e GUARDA (1999a,b) e OLIVEIRA (2002), entre outros], a
majoração dos esforços de primeira ordem efetuada com o valor integral de
γ
z
mostrou-se
mais eficiente que aquela realizada com 0,95
γ
z
, conforme a recomendação do Projeto de
Revisão da NBR 6118:2000.
Ressalta-se ainda que, segundo VASCONCELOS (2002), existem casos em que não se
deve aplicar o processo simplificado utilizando o coeficiente
γ
z
para a determinação dos
efeitos de segunda ordem. Isto porque o processo de avaliação dos efeitos de segunda
ordem por meio da multiplicação dos momentos de primeira ordem por
γ
z
baseia-se na
hipótese de que as sucessivas linhas elásticas produzidas pela ação da força vertical
aplicada na estrutura com os nós deslocados se sucedem segundo uma progressão
geométrica e, em alguns casos particulares, esta hipótese não é válida. Como exemplos
destas situações excepcionais, VASCONCELOS (2002) cita: quando houver mudança
brusca de inércias entre pavimentos (em especial entre o térreo e o primeiro andar), no caso
de pés-direitos muito diferentes entre os pavimentos, casos de transição de pilares em vigas,
quando existirem torções do pórtico espacial ou recalques não uniformes nas fundações, e
outros.
OLIVEIRA e SILVA (2003) avaliam a eficiência do coeficiente
γ
z
como majorador das
ações horizontais para a obtenção dos esforços finais, que incluem os de segunda ordem.
São realizadas análises em primeira e segunda ordem (com consideração simplificada da
não-linearidade física, reduzindo-se a rigidez dos elementos estruturais) de um edifício de
médio porte em concreto armado, para as forças verticais agindo simultaneamente com as
ações horizontais. Entretanto, no processamento do edifício em primeira ordem as ações
horizontais são adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
, como estabelece a NBR 6118:2003.
Os esforços obtidos a partir da análise em segunda ordem são, então, comparados com
aqueles da análise em primeira ordem. Para o momento fletor nos pilares, a força cortante e
o momento fletor nas vigas, as diferenças encontradas, que deveriam ser próximas de zero,
59
oscilam entre 10% e 20%; apenas no caso da força normal nos pilares as diferenças são
menores, girando em torno de 2%.
KAEFER et al. (2002) analisam a estrutura de contraventamento de um edifício de concreto
armado utilizando diversas aproximações para a avaliação dos efeitos de segunda ordem. O
trabalho é realizado utilizando o programa FTOOL, que possui um solver linear interno e
serve como interface gráfica para o programa ADINA, responsável pela execução de
análises não-lineares de pórticos planos. Os esforços finais, que incluem os de segunda
ordem, são obtidos por meio de três modelos. No primeiro modelo, a estrutura é processada
em primeira ordem, para as forças verticais agindo simultaneamente com as ações
horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
. O segundo modelo consiste em realizar
uma análise não-linear geométrica (utilizando o método de Newton-Raphson completo) da
estrutura, com a não-linearidade física considerada de forma simplificada, reduzindo-se em
20% a rigidez dos pilares e em 60% a rigidez das vigas. O terceiro modelo difere do
modelo anterior pela utilização de diagramas força normal-momento-curvatura para a
avaliação da rigidez dos pilares e vigas. Tais diagramas são gerados pelo FTOOL, a partir
das armaduras calculadas com os esforços obtidos no modelo 1 e são exportados para o
ADINA. Para cada modelo, são feitos os dimensionamentos das vigas e pilares; as
armaduras são, então, comparadas. Observa-se que a maioria dos valores das armaduras
calculadas pelos três modelos não ficam distantes entre si de mais de 10%. Segundo
KAEFER et al. (2002), considerando que não foi levada em conta a solidariedade entre as
vigas e lajes (tampouco vigas T), que o modelo utilizado é uma aproximação plana para um
problema tridimensional e que na execução da obra, outros fatores como o mau
posicionamento das armaduras e a variabilidade do material concreto podem alterar o
comportamento da estrutura, as diferenças entre os resultados não são muito grandes, sendo
todos os modelos coerentes.
60
2.6. Relação entre os Coeficientes
γ
γγ
γ
z
e B
2
A FIG. 2.12 mostra uma estrutura composta por três pavimentos de comprimentos iguais
(L). Nesta figura, estão também representadas as forças de cálculo verticais (P
id
) e
horizontais (F
hid
) atuantes em cada pavimento i, juntamente com seus respectivos
deslocamentos horizontais (u
i
).
L
L
L
3
u
2
u
1
u
P
P
P
F
h3d
h2d
F
F
h1d
3d
2d
1d
FIGURA 2.12 – Estrutura de três pavimentos submetida às forças verticais e horizontais.
Para o cálculo de
γ
z
, eq. (2.49), é necessário determinar os valores de M
1,tot,d
e
∆
M
tot,d
. Pelas
eq. (2.50) e (2.51), tem-se, respectivamente:
M
1,tot,d
= (F
h1d
⋅
L + F
h2d
⋅
2L + F
h3d
⋅
3L) = F
h1d
⋅
L + 2 F
h2d
⋅
L + 3 F
h3d
⋅
L (2.57)
∆
M
tot,d
= P
1d
⋅
u
1
+ P
2d
⋅
u
2
+ P
3d
⋅
u
3
(2.58)
61
O coeficiente B
2
, dado pela eq. (2.56), apresenta valores diferenciados para cada pavimento
da estrutura. Assim, denominando-se o coeficiente B
2
do pavimento i de B
2,i
e as parcelas
(L
⋅
Σ
H
Sd
) e (
∆
0h
⋅
Σ
N
Sd
) de M
i
e
∆
M
i
, respectivamente, obtém-se:
• 1º pavimento:
M
1
= L
⋅
(F
h1d
+ F
h2d
+ F
h3d
) = F
h1d
⋅
L + F
h2d
⋅
L + F
h3d
⋅
L (2.59)
∆
M
1
= (u
1
– 0)
⋅
(P
1d
+ P
2d
+ P
3d
) = P
1d
⋅
u
1
+ P
2d
⋅
u
1
+ P
3d
⋅
u
1
(2.60)
( )
1,2
1
11
1
11
1,2
1
1
1,2
B
M
MM
M
MM
1
B
M
M
1
1
B =−⇒
−
=⇒
−
=
∆
∆∆
(2.61)
• 2º pavimento:
M
2
= L
⋅
(F
h2d
+ F
h3d
) = F
h2d
⋅
L + F
h3d
⋅
L (2.62)
∆
M
2
= (u
2
– u
1
)
⋅
(P
2d
+ P
3d
) = P
2d
⋅
u
2
+ P
3d
⋅
u
2
– P
2d
⋅
u
1
– P
3d
⋅
u
1
(2.63)
( )
2,2
2
22
2
22
2,2
2
2
2,2
B
M
MM
M
MM
1
B
M
M
1
1
B =−⇒
−
=⇒
−
=
∆
∆∆
(2.64)
• 3º pavimento:
M
3
= L
⋅
(F
h3d
) = F
h3d
⋅
L (2.65)
∆
M
3
= (u
3
– u
2
)
⋅
(P
3d
) = P
3d
⋅
u
3
– P
3d
⋅
u
2
(2.66)
( )
3,2
3
33
3
33
3,2
3
3
3,2
B
M
MM
M
MM
1
B
M
M
1
1
B =−⇒
−
=⇒
−
=
∆
∆∆
(2.67)
Somando-se M
1
, M
2
e M
3
, eq. (2.59), (2.62) e (2.65), e
∆
M
1
,
∆
M
2
e
∆
M
3
, eq. (2.60), (2.63) e
(2.66) resulta:
62
M
1
+ M
2
+ M
3
= F
h1d
⋅
L + 2F
h2d
⋅
L + 3F
h3d
⋅
L (2.68)
∆
M
1
+
∆
M
2
+
∆
M
3
= P
1d
⋅
u
1
+ P
2d
⋅
u
2
+ P
3d
⋅
u
3
(2.69)
Comparando as eq. (2.68) e (2.69) com as eq. (2.57) e (2.58) pode-se escrever:
M
1,tot,d
= M
1
+ M
2
+ M
3
(2.70)
∆
M
tot,d
=
∆
M
1
+
∆
M
2
+
∆
M
3
(2.71)
Substituindo as eq. (2.70) e (2.71) na eq. (2.49), o coeficiente
γ
z
fica definido como:
321
321321
321
321
z
MMM
)MMM()MMM(
1
MMM
MMM
1
1
++
++−++
=
++
++
−
=
∆∆∆∆∆∆
γ
)()()(
332211
321
MMMMMM
MMM
z
∆−+∆−+∆−
+
+
=
γ
(2.72)
Invertendo a eq. (2.72) tem-se:
321
332211
)()()(
1
MMM
MMMMMM
z
++
∆−+∆−+∆−
=
γ
(2.73)
Substituindo as eq. (2.61), (2.64), (2.67) e (2.70) na eq. (2.73), obtém-se:
3,2d,tot,1
3
2,2d,tot,1
2
1,2d,tot,1
1
zd,tot,1
3,2
3
2,2
2
1,2
1
z
BM
M
BM
M
BM
M
1
M
B
M
B
M
B
M
1
⋅
+
⋅
+
⋅
=⇒
++
=
γγ
(2.74)
Finalmente pode-se escrever a eq. (2.74) como:
63
3,2
3
2,2
2
1,2
1
z
B
c
B
c
B
c
1
++=
γ
(2.75)
sendo as constantes c
1
, c
2
e c
3
dadas respectivamente por:
d3hd2hd1h
d3hd2hd1h
d3hd2hd1h
d3hd2hd1h
d,tot,1
1
1
F3F2F
FFF
LF3LF2LF
LFLFLF
M
M
c
++
+
+
=
⋅+⋅+⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
== (2.76)
d3hd2hd1h
d3hd2h
d3hd2hd1h
d3hd2h
d,tot,1
2
2
F3F2F
FF
LF3LF2LF
LFLF
M
M
c
++
+
=
⋅+⋅+⋅
⋅
+
⋅
== (2.77)
d3hd2hd1h
d3h
d3hd2hd1h
d3h
d,tot,1
3
3
F3F2F
F
LF3LF2LF
LF
M
M
c
++
=
⋅+⋅+⋅
⋅
== (2.78)
Logo, para uma estrutura composta por n pavimentos, o coeficiente
γ
z
pode ser calculado
em função do coeficiente B
2
como:
∑
=
=
n
1i
i,2
i
z
B
c
1
γ
(2.79)
sendo
∑
∑
=
=
⋅
=
n
1j
hjd
n
ij
hjd
i
Fj
F
c
(2.80)
3
ASPECTOS COMPUTACIONAIS
3.1. Considerações Iniciais
Os procedimentos usuais para projetos de estruturas de concreto armado foram, em sua
maioria, desenvolvidos a partir de resultados de ensaios de laboratório, onde se obteve a
caracterização do comportamento do material ou de elementos estruturais isolados.
Contudo, como ressalta BARBOSA (1997), a utilização desses dados para a previsão do
comportamento global de uma estrutura pode, eventualmente, mostrar-se de validade
duvidosa e até mesmo temerária. Mas, por outro lado, a realização de ensaios em estruturas
na sua verdadeira ordem de grandeza é obviamente inviável por razões tanto práticas
quanto econômicas. Assim, para a previsão realista do comportamento dessas estruturas,
torna-se necessária a realização de análises numéricas confiáveis, com elevado grau de
segurança quanto à validade dos resultados obtidos.
65
A disseminação do uso de computadores possibilitou grande avanço nos processos de
análise de estruturas de concreto armado, viabilizando o emprego de modelos mais
sofisticados e impulsionando o desenvolvimento de métodos numéricos, como o de
elementos finitos.
O método dos elementos finitos (MEF) é um processo numérico que utiliza funções
aproximadoras para realizar a análise de um problema. Este método possui a formulação
baseada no campo de deslocamentos e, como todo método numérico, não é exato, devendo
ser utilizado criteriosamente a fim de evitar que os erros inerentes ao processo prejudiquem
a representatividade do modelo.
Segundo WANG e HSU (2001), o método dos elementos finitos constitui um importante
procedimento para a análise de estruturas de concreto complexas. Trata-se de uma técnica
extremamente eficiente que possibilita ao analista considerar diversas condições de
restrição, de solicitação, de irregularidades geométricas e físicas do material, sendo capaz
de descrever o comportamento global da estrutura.
O presente trabalho envolve a realização de análises numéricas, lineares e não-lineares, de
pórticos pertencentes a edifícios usuais de concreto armado. Os pórticos serão analisados
pelo método dos elementos finitos, utilizando o “software” ANSYS-9.0.
Neste capítulo são apresentadas análises não-lineares geométricas e físicas realizadas no
programa ANSYS-9.0 de peças estruturais e pórticos de concreto armado já testados
experimentalmente ou estudados por outros pesquisadores. Por meio destas análises, busca-
se avaliar o desempenho dos elementos finitos e dos modelos de materiais utilizados, bem
como da discretização adotada e dos recursos numéricos envolvidos. Dessa forma, será
possível “calibrar” o modelo a ser adotado nas análises posteriores no ANSYS, garantindo
a confiabilidade dos resultados obtidos.
66
3.2. Análise Não-Linear no “Software” ANSYS
3.2.1. Considerações Relativas à NLF
O sistema computacional ANSYS apresenta diversos elementos finitos, tipos de análises,
modelos constitutivos, recursos numéricos e poderosos pré e pós-processadores. Possibilita
a análise dos mais variados problemas, incluindo problemas estruturais de diferentes
naturezas.
Em relação à não-linearidade física, dentre os diversos modelos constitutivos não-lineares
oferecidos pelo ANSYS, dois se destacam como mais adequados para representar o
comportamento do concreto. São o modelo elastoplástico baseado no critério de
escoamento de Drucker-Prager, e o modelo específico para determinação da ruptura de
materiais frágeis, obtido a partir do critério de Willam-Warnke. Para o aço, pode-se
escolher entre modelos bilineares ou multilineares, cinemáticos ou isotrópicos, com ou sem
encruamento, segundo o critério de escoamento de Von Mises.
O modelo de escoamento de Drucker-Prager é elastoplástico perfeito e permite que sejam
consideradas diferentes resistências à tração e à compressão para o material. No espaço das
tensões principais, a superfície de escoamento tem a forma de um cone circular, como
mostra a FIG. 3.1.
No modelo baseado no critério de ruptura de Willam-Warnke, específico para representar o
comportamento de materiais frágeis, como o concreto, a evolução das tensões ocorre de
forma elástica e linear até a ruptura frágil, por compressão ou por tração, quando as tensões
se anulam imediatamente.
Este critério de ruptura, conforme o ANSYS, pode ser expresso no espaço das tensões
principais como:
67
FIGURA 3.1 – Superfície de escoamento de Drucker-Prager.
0S
f
F
'
c
≥− (3.1)
sendo F a função do estado de tensões,
'
c
f a resistência à compressão uniaxial e S a função
que define a superfície de ruptura, FIG. 3.2.
FIGURA 3.2 – Superfície de ruptura de Willam-Warnke.
68
O processo de fissuração é representado através de um modelo de fissuras dispersas.
Atingida a superfície de ruptura, por tensões de tração em um ponto de integração do
elemento, introduz-se na direção normal à tensão de tração um plano de resistência nula.
Com o objetivo de caracterizar a retenção da resistência a esforços cisalhantes ao longo da
fissura, é considerado um coeficiente de retenção de rigidez a cisalhamento β
t
,
compreendido entre zero e um. Assim, torna-se possível simular, para cargas posteriores à
formação das fissuras, a transmissão de tensões de cisalhamento pelo mecanismo de
intertravamento entre os agregados.
Ao se fechar uma fissura, todas as tensões de compressão normais ao plano da fissura são
transmitidas através dela. Entretanto, apenas parte das tensões de cisalhamento são
transmitidas, conforme o valor do fator de transferência de tensões de cisalhamento para
fissuras fechadas, β
c
.
O modelo baseado no critério de ruptura de Willam-Warnke pode ser utilizado adotando o
elemento definido como “solid 65”, próprio para concreto. Trata-se de um elemento sólido
tridimensional, possuindo oito nós, com três graus de liberdade por nó (três translações, nas
direções X,Y e Z), FIG. 3.3. É possível considerar a ruptura frágil associada à fissuração e
ao esmagamento do concreto, admitindo também a consideração do comportamento
elastoplástico baseado nos critérios de Drucker-Prager e Von Mises. Existe a possibilidade
de incluir as armaduras como um material disperso no interior do elemento, orientado
segundo três diferentes direções.
PIMENTA (2003) realizou diversas análises não-lineares físicas de peças estruturais de
concreto armado usando o “software” ANSYS. As peças foram analisadas empregando-se
diferentes elementos finitos e modelos constitutivos para representar o concreto e o aço.
Segundo PIMENTA (2003), os modelos baseados em plasticidade, quando comparados aos
modelos elásticos, mostraram-se eficientes e forneceram resultados próximos dos
experimentais. Ressaltou-se ainda que os modelos que melhor representaram o
69
comportamento real das estruturas foram aqueles que utilizaram elemento sólido com
critério de ruptura à tração e de plastificação à compressão. Além disso, os resultados dos
modelos com armadura discreta e dispersa mostraram-se extremamente próximos, sendo
mais vantajosa a utilização do modelo de armadura dispersa, por proporcionar uma
modelagem bem mais simples, decorrente do menor número de elementos gerados e da
maior liberdade para a sua discretização.
FIGURA 3.3 – Elemento sólido para concreto.
3.2.2. Considerações Relativas à NLG
O “software” ANSYS é capaz de realizar análises que incluem diversos tipos de não-
linearidade geométrica, dependendo da magnitude das rotações e deformações presentes na
estrutura.
70
O tipo de análise definido como “large strain”, disponível para a grande maioria dos
elementos sólidos, permite grandes rotações e deformações, levando em conta possíveis
mudanças de forma da estrutura (como por exemplo na área e na espessura).
Por outro lado, a análise definida como “large rotation”, normalmente utilizada para os
elementos de barra, assume grandes rotações mas pequenas deformações. Neste tipo de
análise, a estrutura não muda de forma, exceto por movimentos de corpo rígido.
A principal diferença entre as análises de “large strain” e “large rotation” está na medida de
deformação utilizada. No primeiro tipo emprega-se a deformação logarítmica ou de
Hencky, definida como:
ε
εε
ε
ln
= ln
λ
λλ
λ
(3.2)
onde
λ
λλ
λ
é a matriz de estiramento.
Na análise de “large rotation” a deformação logarítmica é substituída pela deformação de
engenharia ou de Biot, dada por:
ε
εε
ε
eng
=
λ
λλ
λ
- I (3.3)
sendo I a matriz identidade.
No caso unidimensional, as eq. (3.2) e (3.3) podem ser expressas, respectivamente, como:
==
0
ln
l
l
lnln
λε
(3.4)
00
0
0
eng
l
l
l
ll
1
l
l
1
∆
λε
=
−
=−=−= (3.5)
71
sendo l
0
e l os comprimentos da barra nas configurações inicial e deformada,
respectivamente.
SILVA JÚNIOR (1982) mostra que o emprego da deformação de engenharia, eq. (3.5), não
é satisfatório quando se deseja levar em conta alterações da seção da barra, sendo mais
adequada a utilização da medida de deformação logarítimica, eq. (3.4).
Vale comentar que, caso as deformações sejam pequenas, pode-se considerar
λ
≅
1 e as
medidas de deformação logarítmica e de engenharia tornam-se praticamente idênticas.
Das formulações adotadas nas análises de “large strain” e “large rotation”, que consideram
a influência dos deslocamentos na rigidez da estrutura, obtém-se um sistema de equações
não-lineares e, consequentemente, torna-se necessário utilizar um procedimento iterativo
para a sua resolução. O “software” ANSYS utiliza o método incremental-iterativo de
Newton-Raphson. Assim, são fornecidos ao programa o número de incrementos de carga e
o número de iterações para cada passo de carga. A partir de uma configuração de equilíbrio
conhecida e de um dado incremento de carga, a estrutura responderá com um nível de
esforço menor do que aquele aplicado, o que resulta em um esforço residual que deve ser
aplicado novamente, observando os limites de iterações e tolerância admitidos. A matriz de
rigidez pode ou não ser atualizada em cada iteração, dependendo da opção desejada pelo
usuário.
3.3. Aplicações Numéricas
A seguir são apresentadas análises realizadas em peças estruturais e pórticos de concreto
armado utilizando o “software” ANSYS-9.0. Os resultados destas análises são comparados
com os dados experimentais e com os resultados obtidos por outros autores.
72
3.3.1. Pilar Bi-Rotulado com Imperfeição Inicial
Trata-se de um pilar de comportamento elástico, bi-rotulado e geometricamente imperfeito,
com uma curvatura inicial apresentando uma flecha δ
0
em z = l/2, FIG. 3.4. Foram
adotados módulo de elasticidade E = 20500 kN/cm
2
, vão l = 600 cm, área da seção
transversal de (12x12) cm
2
e flecha inicial δ
0
= l/1000. Este pilar foi estudado
numericamente e analiticamente por LAVALL (1996), admitindo para a curvatura inicial a
forma de meia curva do seno descrita por:
l
z
senx
00
⋅
=
π
δ
(3.6)
que satisfaz as condições de contorno do problema.
/2
0
δ
x
z
P
P
Fletida
Forma
Original
Forma
FIGURA 3.4 – Pilar bi-rotulado com imperfeição inicial.
LAVALL (1996) mostrou que a linha elástica com relação à posição inicial curva do pilar
(x) e a linha elástica total (x
t
) podem ser dadas respectivamente por:
73
l
z
sen
P/P1
P/P
x
0
e
e
⋅
−
=
π
δ
(3.7) e
0
e
t
x
P/P1
1
x
−
= (3.8)
sendo P
e
=
π
2
EI/l
2
a força de Euler, igual a 971,17 kN.
Este pilar foi processado no “software” ANSYS-9.0, utilizando o elemento “solid 65”.
Embora a utilização deste elemento não seja necessária no caso de uma análise elástica, ele
foi adotado com o objetivo de realizar uma avaliação preliminar de sua capacidade de
previsão dos deslocamentos e da força última em análises com não-linearidades
geométricas.
Para avaliar a influência da discretização da estrutura nos resultados obtidos, o modelo foi
construído empregando 40, 80 e 160 elementos sólidos, como mostra a FIG. 3.5.
(a) (b) (c)
FIGURA 3.5 – Modelagem do pilar:
(a) 40 elementos; (b) 80 elementos; (c) 160 elementos.
74
Nas análises não-lineares, utilizou-se o algoritmo de Newton-Raphson pleno, incrementos
automáticos de carga e um limite de 15 iterações por incremento, com tolerância de 0,1%
aplicada à raiz quadrada do somatório dos quadrados dos desequilíbrios de forças.
O comportamento do pilar, avaliado através dos gráficos força x deslocamento para as
diversas análises realizadas, está apresentado na FIG. 3.6.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 10 20 30 40 50 60
Deslocamento no meio do vão (cm)
P/Pe
Formulação analítica - eq. (3.7)
Programa desenvolvido por LAVALL (1996)
Análise no ANSYS com 40 elementos
Análise no ANSYS com 80 elementos
Análise no ANSYS com 160 elementos
FIGURA 3.6 – Relação entre força e deslocamento para o pilar analisado.
Observa-se na FIG. 3.6 que os resultados das análises realizadas no ANSYS, com 40, 80 e
160 elementos, mostram boa proximidade em relação à formulação analítica e aos
resultados obtidos por LAVALL (1996). Até cerca de 90% da força P
e
todas as curvas
seguem trajetórias praticamente coincidentes; a partir daí, os deslocamentos determinados
75
pelas análises no ANSYS apresentam-se inferiores aos valores analíticos e àqueles obtidos
por LAVALL (1996), sendo que as diferenças mais significativas ocorrem no caso do
modelo com 40 elementos. Vale mencionar que a curva do modelo construído com 160
elementos acompanha de perto os resultados obtidos por LAVALL (1996) durante toda a
história do carregamento.
Ainda na FIG. 3.6 nota-se que, em todas as análises realizadas no ANSYS, a força última
pôde ser determinada com precisão.
Finalmente, pode-se considerar que, neste caso, todos os modelos do ANSYS se mostraram
satisfatórios e coerentes, e que a discretização adotada não apresentou influência
significativa no comportamento estrutural.
3.3.2. Viga de Concreto Armado
Esta viga, mostrada esquematicamente na FIG. 3.7, foi analisada numericamente por
PROENÇA
12
apud PIMENTA (2003) e experimentalmente por MARTINELLI e
TAKEYA
13
apud PIMENTA (2003). Trata-se de uma viga de concreto armado
simplesmente apoiada, submetida a duas forças concentradas iguais a F = 13,5 kN,
posicionadas nos terços do vão. Para o concreto, foram utilizados os valores de 39,2 MPa,
3,0 MPa, 40 GPa e 0,2 para a resistência à compressão, resistência à tração, módulo de
elasticidade e coeficiente de Poisson, respectivamente. Para o aço, utilizou-se módulo de
elasticidade igual a 196 GPa, resistência de escoamento de 511 MPa e coeficiente de
Poisson 0,3.
____________________________
12
PROENÇA, S.P.B. Sobre modelos matemáticos do comportamento não-linear do concreto: análise crítica e
contribuições. São Carlos. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São
Paulo, 1988.
13
MARTINELLI, D.A.O.; TAKEYA, T. Estudo experimental da ruína de ligações laje-pilar em bordas de
lajes-cogumelo. In: REUNIÃO ANUAL DA SBPC, 34., Campinas, 1982. Anais.
76
Dimensões em cm
φ
2 10
2 10
φ
FF
FIGURA 3.7 – Viga analisada.
Na análise de PROENÇA
12
apud PIMENTA (2003), o concreto em compresssão foi
representado através de um modelo elastoplástico perfeito e, em regime de tração, foi
adotado um modelo elástico linear, limitado pela resistência à tração seguido de um regime
de amolecimento linear. O aço foi tratado por meio de um modelo elastoplástico perfeito,
admitindo comportamentos iguais à tração e à compressão.
Esta viga foi processada no programa ANSYS-9.0, utilizando o elemento “solid 65” com
armadura dispersa. O critério de Willam-Warnke permite que a condição de ruptura seja
desabilitada e substituída por uma condição de plastificação, utilizando, por exemplo, os
critérios de Drucker-Prager ou de Von Mises. Nesta análise, manteve-se o critério de
ruptura de Willam-Warnke à tração, e empregou-se, para compressão do concreto, o
critério de escoamento de Von Mises, também utilizado para o aço. Segundo OLIVEIRA e
CORRÊA (2002), apesar de se mostrar mais representativo do comportamento de materiais
metálicos, a aplicação do critério de Von Mises ao concreto tem levado a bons resultados,
como nas pesquisas desenvolvidas por LIN e SCORDELIS
14
apud OLIVEIRA e CORRÊA
(2002) e HU e SCHNOBRICH
15
apud OLIVEIRA e CORRÊA (2002). Neste trabalho, os
____________________________
14
LIN, C.S.; SCORDELIS, A.C. Nonlinear analysis of RC shells of general form. Journal of the Structural
Division, ASCE, v.101, p.523-538, 1975.
15
HU, H.T.; SCHNOBRICH, W.C. Nonlinear finite element analysis of reinforced concrete plates and shells
under monotonic loading. Computers & Structures, v.38, p.637-651, 1991.
77
critérios de Von Mises apresentam, tanto para o concreto quanto para o aço,
comportamentos elastoplásticos perfeitos segundo diagramas tensão-deformação bilineares.
Na verdade, a fim de se evitar possíveis dificuldades numéricas, considerou-se um
encruamento mínimo, adotando-se, no lugar de zero, um pequeno valor para o módulo
tangente.
Procurando aproveitar a dupla simetria da peça, analisou-se apenas um quarto da viga. Para
avaliar a influência da discretização da estrutura nos resultados obtidos, o modelo foi
construído empregando 40 e 380 elementos sólidos, como mostra a FIG. 3.8.
(a)
(b)
FIGURA 3.8 – Modelagem da viga: (a) 40 elementos; (b) 380 elementos.
Para a resolução das análises não-lineares, utilizou-se o algoritmo de Newton-Raphson
pleno, incrementos automáticos de carga e um limite de 60 iterações por incremento, com
tolerância de 0,1% aplicada à raiz quadrada do somatório dos quadrados dos desequilíbrios
de forças.
78
A variação do deslocamento vertical da seção central com a força aplicada, para as diversas
análises realizadas, está representada na FIG. 3.9.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0
Deslocamento (cm)
Força F aplicada (kN)
Análise realizada por PROENÇA apud PIMENTA (2003)
Experimental - Limite inferior
Experimental - Limite superior
Análise no ANSYS com 40 elementos
Análise no ANSYS com 380 elementos
FIGURA 3.9 – Relação entre força e deslocamento para a viga analisada.
Observa-se na FIG. 3.9 que as análises realizadas no ANSYS com 40 e 380 elementos
forneceram resultados praticamente idênticos durante toda a história do carregamento e
com boa proximidade em relação aos resultados experimentais e àqueles obtidos por
PROENÇA
12
apud PIMENTA (2003). Inicialmente, os deslocamentos acompanharam de
79
forma linear o aumento da força aplicada até a formação de fissuras, que ocorreu para uma
força de aproximadamente 1,4 kN. A partir daí, ocorreu uma perda brusca de rigidez,
caracterizada pela diminuição da inclinação das curvas. Portanto, o deslocamento
apresentou um salto, para depois retornar a um crescimento linear, porém de menor
declividade.
Constata-se ainda na FIG. 3.9 que, nos modelos do ANSYS, a força de ruptura é
representada por uma mudança brusca na direção da curva, caracterizada por grandes
acréscimos de deslocamentos para pequenos acréscimos de força.
A evolução das tensões com a força no concreto tracionado ocorreu de acordo com o
esperado, FIG. 3.10. Os modelos apresentaram um crescimento linear para a tensão de
tração até que o seu valor limite fosse atingido; em seguida, as tensões caíram subitamente
a zero, sendo este comportamento coerente com o critério de ruptura adotado.
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Força F aplicada (kN)
Tensão (MPa)
Análise no ANSYS com 40 elementos
Análise no ANSYS com 380 elementos
FIGURA 3.10 – Variação da tensão normal na borda inferior da seção central com a força.
80
No que se refere à variação das tensões de compressão no concreto em função da força
aplicada, FIG. 3.11, nota-se que, inicialmente, as curvas apresentaram um aspecto linear,
que se estendeu até a abertura de fissuras; sofreram, então, um mudança brusca de direção,
retornando a crescer linearmente. Observa-se também que os modelos, após atingirem
valores de tensão um pouco superiores à resistência à compressão do concreto,
apresentaram uma queda brusca seguida por uma pequena fase de escoamento
perfeitamente plástico.
0
10
20
30
40
50
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Força F aplicada (kN)
Tensão (MPa)
Análise no ANSYS com 40 elementos
Análise no ANSYS com 380 elementos
FIGURA 3.11 – Variação da tensão normal na borda superior da seção central com a força.
As tensões de tração na armadura seguiram o comportamento esperado, como mostra a
FIG. 3.12. Até o início da fissuração, as tensões acompanharam de forma linear o aumento
da força aplicada; a partir deste ponto, as curvas apresentaram um brusco salto, devido à
transferência da tensão de tração absorvida até então pelo concreto para o aço,
prosseguindo para uma nova fase linear de maior declividade.
81
0
100
200
300
400
500
600
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Força F aplicada (kN)
Tensão (MPa)
Análise no ANSYS com 40 elementos
Análise no ANSYS com 380 elementos
FIGURA 3.12 – Variação da tensão na armadura inferior da seção central com a força.
Finalmente, no caso da evolução das tensões de compressão na armadura com a força, FIG.
3.13, verifica-se a existência de dois trechos lineares, separados por uma fase de transição
correspondente à fissuração.
Vale comentar que, como pode ser observado nas FIG. 3.9 a 3.13, as curvas dos modelos
do ANSYS construídos com 40 e 380 elementos apresentaram-se superpostas durante todo
o processo de carregamento. Assim, para esta estrutura, os dois modelos foram igualmente
eficientes.
3.3.3. Pórtico de Concreto Armado com 1 Pavimento (“P1”)
Trata-se de um pórtico composto por três barras com seções transversais retangulares, FIG.
3.14. O concreto possui resistência à compressão igual a 17,5 MPa e coeficiente de Poisson
0,2; o aço apresenta resistência de escoamento e módulo de elasticidade iguais a 420 MPa e
210 GPa, respectivamente.
82
0
50
100
150
200
250
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Força F aplicada (kN)
Tensão (MPa)
Análise no ANSYS com 40 elementos
Análise no ANSYS com 380 elementos
FIGURA 3.13 – Variação da tensão na armadura superior da seção central com a força.
VigaPilares
2
50 cm
2
50 cm
2
100 cm
2
100 cm
P
PP
Dimensões em cm
FIGURA 3.14 – Pórtico “P1”.
Este pórtico foi analisado numericamente por SILVA (1995), discretizando cada barra em
10 elementos finitos e considerando ambas as não-linearidades geométrica e física; a força
última encontrada foi 1400 kN.
83
Realizou-se a análise não-linear geométrica e física do pórtico no “software” ANSYS-9.0,
representando os pilares e viga através do elemento “solid 65” com armadura dispersa.
Nesta análise, foram assumidos ainda para o concreto os valores de 1,75 MPa para a
resistência à tração e 27 GPa para o módulo de elasticidade. Em relação aos modelos
constitutivos, no caso do concreto foram adotados o critério de ruptura de Willam-Warnke
à tração, e o critério de escoamento de Von Mises à compressão, sendo este último também
empregado para representar o comportamento do aço. Os critérios de Von Mises
apresentam, tanto para o concreto quanto para o aço, comportamentos elastoplásticos
perfeitos segundo diagramas tensão-deformação bilineares.
Segundo ISHITANI
16
apud PINTO (2002), “na discretização das barras é aconselhável que
o tamanho dos elementos muito solicitados seja da ordem da metade da altura da seção
transversal até no máximo igual à altura”. Neste exemplo, portanto, cada barra foi
discretizada em elementos de comprimentos pouco inferiores à altura das seções
transversais (FIG. 3.15), uma vez que não há interesse no estudo de problemas localizados,
mas sim na análise do comportamento global da estrutura.
Para a resolução das análises não-lineares, utilizou-se o algoritmo de Newton-Raphson
pleno, incrementos automáticos de carga e um limite de 60 iterações por incremento, com
tolerância de 0,1% aplicada à raiz quadrada do somatório dos quadrados dos desequilíbrios
de forças.
A variação do deslocamento horizontal do topo do pórtico com a força P aplicada está
representada na FIG. 3.16.
Observa-se na FIG. 3.16 que, na análise realizada no ANSYS, a força última pôde ser
____________________________
16
ISHITANI, H. Análise não-linear do revestimento definitivo de túneis de concreto. São Paulo. Tese
(Doutorado) – Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, 1990.
84
determinada com boa precisão, sendo praticamente idêntica àquela obtida por
SILVA (1995).
FIGURA 3.15 – Discretização do pórtico “P1”.
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
Deslocamento (cm)
Força (kN)
FIGURA 3.16 – Relação entre força e deslocamento para o pórtico “P1”.
85
3.3.4. Pórtico de Concreto Armado com 2 Pavimentos (“P2”)
Este pórtico, mostrado esquematicamente na FIG. 3.17, foi analisado experimentalmente
por VECCHIO e EMARA (1992) e numericamente por VECCHIO e EMARA (1992) e
PINTO (2002), utilizando programas desenvolvidos para a análise não-linear, física e
geométrica, de estruturas. Nas análises, a ação vertical foi mantida constante e a força
horizontal foi aplicada monotonicamente até o colapso da estrutura. O concreto apresenta
resistências à compressão, à tração e módulo de elasticidade iguais a 30 MPa, 3 MPa e
31008 MPa, respectivamente. O aço possui módulo de elasticidade igual a 192,5 GPa e
resistência de escoamento de 418 MPa (barras longitudinais) e 454 MPa (estribos).
Pilares e Vigas
φ
10 c / 12,5 cm
φ
4 20
4 20
φ
H
700 kN700 kN
Dimensões em cm
FIGURA 3.17 – Pórtico “P2”.
Foi realizada a análise não-linear geométrica e física do pórtico no “software” ANSYS-9.0,
utilizando o elemento “solid 65” com armadura dispersa (nas três direções) para representar
os pilares e vigas, que foram discretizados conforme mostra a FIG. 3.18. Como nos
exemplos anteriores, foram adotados, para o concreto, o critério de ruptura de Willam-
Warnke à tração, e o critério de escoamento de Von Mises à compressão, também utilizado
86
para o aço. Nos critérios de Von Mises foram empregados, tanto para o concreto quanto
para o aço, comportamentos elastoplásticos perfeitos segundo diagramas tensão-
deformação bilineares.
FIGURA 3.18 – Discretização do pórtico “P2”.
Nas análises não-lineares, utilizou-se o algoritmo de Newton-Raphson pleno, incrementos
automáticos de carga e um limite de 60 iterações por incremento, com tolerância de 0,1%
aplicada à raiz quadrada do somatório dos quadrados dos desequilíbrios de forças.
As curvas força x deslocamento para as diversas análises realizadas estão apresentadas na
FIG. 3.19.
Observa-se na FIG. 3.19 que os resultados numéricos obtidos por VECCHIO e EMARA
(1992) e PINTO (2002) são praticamente coincidentes durante toda a história do
carregamento, e se apresentam sempre mais rígidos que os resultados experimentais. Os
resultados da análise realizada no ANSYS, por outro lado, apresentam-se mais distantes
daqueles obtidos por VECCHIO e EMARA (1992) e PINTO (2002), porém mostram boa
87
proximidade em relação aos resultados experimentais, podendo ser considerados, neste
caso, satisfatórios.
0
50
100
150
200
250
300
350
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Deslocamento no topo (cm)
Força lateral aplicada (kN)
Análise experimental
Análise realizada por VECCHIO e EMARA
Análise realizada por PINTO
Análise realizada no ANSYS
FIGURA 3.19 – Relação entre força e deslocamento para o pórtico “P2”.
Com o objetivo de realizar uma avaliação preliminar dos processos simplificados utilizados
para a consideração da não-linearidade física, realizou-se a análise não-linear geométrica do
pórtico, levando em conta a não-linearidade física por meio da redução de rigidez dos
88
elementos estruturais de acordo com a NBR 6118:2003 e segundo a formulação de
BRANSON (1966).
Foram, então, adotados os seguintes valores para a inércia efetiva dos elementos
estruturais:
• I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,5 I
c
, como estabelece a NBR 6118:2003;
• I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
dada pela formulação de BRANSON (1966), eq. (2.2), ou seja:
cII
3
a
r
c
3
a
r
eq
II
M
M
1I
M
M
I ≤
−+
= (3.9)
Para o cálculo de I
eq
da eq. (3.9), é necessário determinar os valores de M
r
, I
II
e M
a
. A partir
das eq. (2.4), (2.6), (2.10), (2.13), (2.14), (2.12) e (2.15), respectivamente, tem-se:
cmkN3600
12
4030
20
3,05,1
M
3
r
⋅=
⋅
⋅
⋅
=
21,5121,621,6
8,3100
19250
'
ee
=−=⇒==
αα
A = (6,21
⋅
12,57 + 5,21
⋅
12,57)/30 = 4,78 cm
B = 2
⋅
(6,21
⋅
12,57
⋅
35 + 5,21
⋅
12,57
⋅
5)/30 = 203,97 cm
2
x
II
= – 4,78 + (4,78
2
+ 203,97)
½
= 10,28 cm
I
II
= (30/3)
⋅
10,28
3
+ 5,21
⋅
12,57
⋅
(10,28 – 5)
2
+ 6,21
⋅
12,57
⋅
(35 – 10,28)
2
= 60390 cm
4
,
ou seja, I
II
= 0,38 I
c
.
Os momentos fletores M
a
foram determinados a partir de várias análises elásticas lineares
do pórtico, para a ação vertical combinada com cada valor da força horizontal. Como as
vigas desse exemplo têm o diagrama de momentos conforme a FIG. 3.20, foram utilizadas
as inércias equivalentes ponderadas, dadas por:
89
I
eq,pond
=(I
eq,1
⋅
a
1
+ I
eq,2
⋅
a
2
) / l (3.10)
sendo I
eq,1
e I
eq,2
as inércias equivalentes dos trechos 1 e 2, respectivamente, calculadas por
meio da eq. (3.9), usando para M
a
os valores de M e X, como mostra esquematicamente a
FIG. 3.20.
2
a
l
1
a
M
X
FIGURA 3.20 – Momentos fletores M
a
nos trechos 1 e 2 das vigas.
Nas TAB. 3.1 e 3.2 estão apresentados os valores de M
a
em cada trecho (M e X), bem como
as inércias equivalentes calculadas para as vigas do 1° e 2° pavimento, respectivamente.
TABELA 3.1 – Momentos fletores M
a
e inércias equivalentes para a viga do 1° pavimento
H (kN) M (kN·cm) X (kN·cm) I
eq,1
* (cm
4
) I
eq,2
* (cm
4
) I
eq,pond
(cm
4
)
50 3382 3928 160000 137090 148774
100 7044 7575 73689 71082 72411
136 9680 10201 65513 64768 65148
150 10706 11222 64177 63679 63933
200 14368 14870 61957 61803 61882
250 18030 18517 61183 61122 61153
300 21692 22165 60845 60817 60831
*Se M
a
< M
r
deve-se utilizar I
eq
= I
c
90
TABELA 3.2 – Momentos fletores M
a
e inércias equivalentes para a viga do 2° pavimento
H (kN) M (kN·cm) X (kN·cm) I
eq,1
* (cm
4
) I
eq,2
*
(cm
4
) I
eq,pond
(cm
4
)
50 2522 2981 160000 160000 160000
100 5290 5716 91791 85272 88643
136 7282 7686 72424 70627 71556
150 8057 8452 69275 68088 68702
200 10825 11187 64054 63709 63888
250 13592 13922 62241 62112 62179
300 16360 16658 61451 61395 61424
*Se M
a
< M
r
deve-se utilizar I
eq
= I
c
Para a realização das análises não-lineares geométricas do pórtico no “software” ANSYS-
9.0, as vigas e os pilares foram representados através do elemento de barra “beam 3”, que
apresenta três graus de liberdade em cada nó: duas translações nas direções X e Y e uma
rotação na direção Z. Como na análise não-linear geométrica e física realizada
anteriormente, utilizou-se o algoritmo de Newton-Raphson pleno, incrementos automáticos
de carga e um limite de 60 iterações por incremento, com tolerância de 0,1% aplicada à raiz
quadrada do somatório dos quadrados dos desequilíbrios de forças.
A variação do deslocamento horizontal do topo do pórtico com a força lateral aplicada, para
as análises não-linear geométrica e física (ANLGF) e não-lineares geométricas, com
consideração simplificada da não-linearidade física (ANLG - NLF SIMPLIF.), está
representada na FIG. 3.21.
Observa-se na FIG. 3.21 que, aparentemente, os resultados de ambas as análises não-
lineares geométricas mostram boa proximidade em relação aos obtidos a partir da análise
não-linear geométrica e física até a força lateral atingir o valor de 150 kN,
aproximadamente. A partir daí, as curvas começam a se distanciar significativamente,
sendo os deslocamentos das análises não-lineares geométricas sempre bem inferiores aos
valores da análise não-linear geométrica e física.
91
0
50
100
150
200
250
300
350
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Deslocamento no topo (cm)
Força lateral aplicada (kN)
ANLGF
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,5 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = Ieq segundo BRANSON (1966)
FIGURA 3.21 – Relação entre força e deslocamento para as análises realizadas.
No entanto, os coeficientes de redução de inércia dos elementos estruturais são
normalmente destinados à utilização prática, sendo aplicáveis aos projetos usuais de
edifícios. Dessa forma, procurou-se determinar quais as reduções que melhor
representariam o comportamento real do pórtico até o carregamento correspondente ao
estado limite último (ELU) convencional, para o qual as estruturas são geralmente
dimensionadas.
92
Assim, foi traçado o diagrama de interação força normal (N) - momento fletor (M) para a
seção transversal única dos pilares e vigas, FIG. 3.22, e, a partir de várias análises elásticas
lineares, para a ação vertical combinada com diferentes valores da força horizontal,
determinou-se a combinação de carregamento correspondente ao estado limite último
convencional; este carregamento correspondeu à ação vertical combinada com uma força
horizontal H = 136 kN. Na FIG. 3.22 estão também representados os pares de esforços (N,
M) para o carregamento correspondente ao estado limite último convencional; nota-se que o
ponto mais desfavorável (indicado pela seta) apresenta coordenadas (0,29, -10201), e está
localizado próximo ao limite do diagrama. Para valores da força horizontal H superiores a
136 kN, este ponto estaria localizado fora do diagrama de interação.
Vale ressaltar que o carregamento correspondente ao estado limite último (ELU)
convencional é bem inferior àquele que leva ao colapso (FIG. 3.19), o que mostra que a
estrutura suportaria uma carga maior do que aquela para a qual seria dimensionada. Este
fato é previsível, uma vez que, como afirmam KIM e CHOI (2005), a resistência última de
uma estrutura geralmente excede seu valor de projeto.
Na FIG. 3.23 estão representadas as curvas força x deslocamento até o estado limite último
convencional para as diversas análises realizadas. Verifica-se que, até o ELU, a análise que
utiliza reduções de inércia iguais a 0,8 I
c
para os pilares e I
eq
segundo BRANSON (1966)
para as vigas fornece resultados mais próximos do comportamento real do pórtico que a
análise realizada com os coeficientes de redução adotados pela NBR 6118:2003. Ainda
assim, a análise com I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
segundo BRANSON (1966) superestima os
deslocamentos do pórtico. Realizou-se, então, uma nova análise não-linear geométrica, com
outra consideração de inércia das seções: as seções brutas dos pilares e as seções das vigas
apresentando novamente a I
eq
de BRANSON (1966), ou seja:
• I
pil
= I
c
e
cII
3
a
r
c
3
a
r
eqvig
II
M
M
1I
M
M
II ≤
−+
==
93
+ força horizontal H = 136 kN
Esforços (N, M) para a ação vertical
NEGATIVO POSITIVO
17000
15000
13000
11000
9000
7000
5000
3000
1000
M (kN*cm)
TRAÇÃO
COMPRESSÃO
N (kN)
210019001700150013001100900700500300100700 500 300 100
17000
15000
13000
11000
9000
7000
5000
3000
1000
FIGURA 3.22 – Diagrama de interação N - M para a seção dos pilares e vigas.
A curva força x deslocamento para a nova análise, confrontada com as curvas das demais
análises realizadas, está apresentada na FIG. 3.24.
94
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1
Deslocamento no topo (cm)
Força lateral aplicada (kN)
ANLGF
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,5 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = Ieq segundo BRANSON (1966)
ELU
FIGURA 3.23 – Relação entre força e deslocamento para as
análises realizadas até o estado limite último convencional.
Nota-se na FIG. 3.24 que, até o ELU, a curva da análise não-linear geométrica que
considera as seções brutas dos pilares e as seções das vigas com a I
eq
de BRANSON (1966)
acompanha de perto os resultados obtidos a partir da análise não-linear geométrica e física
do pórtico. Portanto, para este exemplo, a utilização dos valores de inércia iguais a I
c
para
95
os pilares e I
eq
segundo BRANSON (1966) para as vigas se mostrou bastante eficiente,
sendo capaz de representar com boa precisão o comportamento real da estrutura.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1
Deslocamento no topo (cm)
Força lateral aplicada (kN)
ANLGF
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,5 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = Ieq segundo BRANSON (1966)
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = Ic e Ivig = Ieq segundo BRANSON (1966)
ELU
FIGURA 3.24 – Relação entre força e deslocamento para a
nova análise realizada até o estado limite último convencional.
4
CONSIDERAÇÃO SIMPLIFICADA DA NÃO-
LINEARIDADE FÍSICA: ESTUDO DOS COEFICIENTES
DE REDUÇÃO DE RIGIDEZ
4.1. Considerações Iniciais
Neste capítulo são realizadas diversas análises numéricas de pórticos planos em concreto
armado utilizando o “software” ANSYS-9.0. Inicialmente, os pórticos são processados
considerando ambas as não-linearidades geométrica e física. Em seguida, são realizadas
análises não-lineares geométricas, considerando a não-linearidade física de forma
aproximada, por meio da redução de rigidez dos elementos estruturais segundo a NBR
6118:2003 e segundo a formulação de BRANSON (1966). Por meio destes estudos,
97
pretende-se avaliar quais valores de redução de inércia propostos devem ser esperados para
estruturas usuais de edifícios.
4.2. Exemplo 1
O edifício mostrado esquematicamente na FIG. 4.1, adaptado de COSTA (2003), é
composto por dezesseis pavimentos, todos iguais em planta, com um pé-direito de 2,9 m.
No presente trabalho, será analisado o pórtico plano constituído pelos pilares P13-P8-P3.
Com o objetivo de se determinar as armaduras dos elementos estruturais constituintes do
pórtico, foi realizada a análise elástica linear do edifício, utilizando um modelo
tridimensional no “software” ANSYS-9.0.
Adotou-se 20 MPa para a resistência característica à compressão do concreto e coeficiente
de Poisson igual a 0,2.
As ações atuantes na estrutura dividem-se em dois grupos: as ações verticais (V) e as ações
horizontais (H).
As ações verticais são compostas pelas cargas permanentes (G) e pela carga acidental ou
sobrecarga (Q). As cargas permanentes consideradas foram o peso próprio da estrutura, as
cargas de alvenaria e o revestimento das lajes.
As ações horizontais são constituídas pelas forças equivalentes à ação do vento, nas
direções paralelas aos eixos X e Y (H
x
e H
y
). As forças de arrasto foram calculadas de
acordo com as prescrições da NBR 6123:1988. Foram adotados:
98
Vigas: 20/60
Lajes: h = 10
Medidas em cm
FIGURA 4.1 – Pavimento tipo do edifício do exemplo 1
[adaptado de COSTA (2003)].
99
• velocidade básica do vento:
V
0
= 31,5 m/s;
• fator topográfico S
1
:
S
1
= 1,0 (terreno plano);
• fator S
2
:
S
2
= (categoria V e classe B);
• fator estatístico S
3
:
S
3
= 1,0 (edificações para residências);
• velocidade característica do vento:
V
k
= V
0
⋅
S
1
⋅
S
2
⋅
S
3
⇒
V
k
= 31,5
⋅
S
2
;
• pressão dinâmica:
q = 0,613
⋅
(V
k
)
2
, q em N/m
2
• coeficiente de arrasto:
- direção X: C
ax
= 1,03;
- direção Y: C
ay
= 1,38;
• força de arrasto por pavimento:
F
a
= C
a
⋅
q
⋅
A
e
, sendo A
e
a área frontal efetiva do pavimento:
- direção X: A
ex
= 38,4 m
2
;
- direção Y: A
ey
= 72,6 m
2
;
A TAB. 4.1 sintetiza os cálculos efetuados para a obtenção das forças de arrasto nas
direções X e Y (F
ax
e F
ay
). Na primeira coluna são apresentadas as cotas utilizadas no
cálculo do fator S
2
(z). Nota-se, então, que as forças de arrasto são aplicadas na metade do
pé-direito. O valor das forças concentradas em cada pavimento é obtido dividindo
igualmente as forças de arrasto entre os pavimentos superior e inferior da estrutura, como
mostra a FIG. 4.2. Na TAB. 4.2, encontram-se as forças resultantes em cada pavimento da
estrutura, nas direções X e Y (F
X
e F
Y
).
100
TABELA 4.1 – Cálculo das forças de arrasto equivalentes à ação do vento
Cota z (m) Fator S
2
V
k
(m/s) q (kN/m
2
) F
ax
(kN) F
ay
(kN)
1,5 0,72 22,68 0,32 12,47 31,48
4,5 0,72 22,68 0,32 12,47 31,48
7,5 0,72 22,68 0,32 12,47 31,48
10,5 0,72 22,71 0,32 12,51 31,56
13,5 0,75 23,64 0,34 13,55 34,21
16,5 0,78 24,42 0,37 14,45 36,48
19,5 0,80 25,08 0,39 15,25 38,48
22,5 0,81 25,66 0,40 15,96 40,28
25,5 0,83 26,18 0,42 16,61 41,93
28,5 0,85 26,65 0,44 17,21 43,45
31,5 0,86 27,08 0,45 17,77 44,86
34,5 0,87 27,47 0,46 18,30 46,19
37,5 0,88 27,84 0,48 18,79 47,44
40,5 0,89 28,19 0,49 19,26 48,62
43,5 0,91 28,51 0,50 19,71 49,74
46,5 0,91 28,82 0,51 20,13 50,82
TABELA 4.2 – Forças concentradas resultantes em cada pavimento da estrutura
Pavimento Altura h
i
(m) F
X
(kN) F
Y
(kN)
1º 3,0 18,71 47,21
2º 6,0 12,47 31,48
3º 9,0 12,49 31,52
4º 12,0 13,03 32,89
5º 15,0 14,00 35,34
6º 18,0 14,85 37,48
7º 21,0 15,60 39,38
8º 24,0 16,29 41,11
9º 27,0 16,91 42,69
10º 30,0 17,49 44,15
11º 33,0 18,04 45,52
12º 36,0 18,55 46,81
13º 39,0 19,03 48,03
14º 42,0 19,49 49,18
15º 45,0 19,92 50,28
16º 48,0 10,07 25,41
101
12º Pavtº
13º Pavtº
14º Pavtº
15º Pavtº
16º Pavtº
6º Pavtº
7º Pavtº
8º Pavtº
9º Pavtº
10º Pavtº
11º Pavtº
1º Pavtº
2º Pavtº
3º Pavtº
4º Pavtº
5º Pavtº
0.5 Fa16
Fa16
16º Pavtº
15º Pavtº
14º Pavtº
13º Pavtº
12º Pavtº
11º Pavtº
10º Pavtº
9º Pavtº
8º Pavtº
7º Pavtº
6º Pavtº
5º Pavtº
4º Pavtº
3º Pavtº
2º Pavtº
0,5 Fa14 + 0,5 Fa15
0,5 Fa13 + 0,5 Fa14
0,5 Fa12 + 0,5 Fa13
0,5 Fa11 + 0,5 Fa12
0,5 Fa10 + 0,5 Fa11
0,5 Fa9 + 0,5 Fa10
0,5 Fa15 + 0,5 Fa16
Fa15
Fa14
Fa13
Fa12
Fa11
Fa10
0,5 Fa5 + 0,5 Fa6
0,5 Fa8 + 0,5 Fa9
0,5 Fa7 + 0,5 Fa8
0,5 Fa6 + 0,5 Fa7
Fa9
Fa8
Fa7
Fa6
0,5 Fa4 + 0,5 Fa5
0,5 Fa3 + 0,5 Fa4
0,5 Fa2 + 0,5 Fa3
Fa1 + 0,5 Fa2
Fa5
Fa4
Fa3
Fa2
Fa1
1º Pavtº
FIGURA 4.2 – Forças concentradas resultantes em cada pavimento.
As combinações últimas normais seguem o disposto na NBR 6118:2003. Dessa forma, tem-
se:
• vento considerado como a ação variável principal (combinação 1):
F
d
= 1,4
⋅
G + 1,4
⋅
(H
x
+ 0,5
⋅
Q) = 1,4
⋅
G + 1,4
⋅
H
x
+ 0,7
⋅
Q (4.1)
F
d
= 1,4
⋅
G + 1,4
⋅
(H
y
+ 0,5
⋅
Q) = 1,4
⋅
G + 1,4
⋅
H
y
+ 0,7
⋅
Q (4.2)
• sobrecarga considerada como a ação variável principal (combinação 2):
102
F
d
= 1,4
⋅
G + 1,4
⋅
(Q + 0,6
⋅
H
x
) = 1,4
⋅
G + 1,4
⋅
Q + 0,84
⋅
H
x
(4.3)
F
d
= 1,4
⋅
G + 1,4
⋅
(Q + 0,6
⋅
H
y
) = 1,4
⋅
G + 1,4
⋅
Q + 0,84
⋅
H
y
(4.4)
A partir da envoltória dos esforços obtidos para cada combinação de carregamento foram
determinadas as armaduras da viga V6 e dos pilares P13, P8 e P3. A viga foi dimensionada
à flexão normal composta e os pilares à flexão normal composta ou à flexão oblíqua
composta. Utilizou-se aço CA-50 para todos os elementos estruturais, com módulo de
elasticidade igual a 210 GPa. As armaduras calculadas para a viga e para os pilares estão
representadas nas FIG. 4.3 e 4.4 e nas TAB. 4.3 e 4.4, respectivamente. Ressalta-se que não
houve a preocupação com o detalhamento final dos elementos, partindo-se do princípio de
que não haverá diferença significativa entre as armaduras calculadas e as efetivamente
colocadas. Ainda assim, foi também construído um modelo utilizando, para os pilares, as
armaduras representadas na FIG. 4.5. Estas armaduras diferem das anteriores apenas pela
introdução de barras nas laterais maiores dos pilares (envolvidas por estribos
suplementares), respeitando o espaçamento máximo entre eixos de 40 cm, conforme
recomendação da NBR 6118:2003.
2
s
s
st
1
A
A
A
A
B
B
B
B
P13
P8
P3
Viga V6 - 20/60
A
A
A
FIGURA 4.3 – Representação das armaduras da viga V6.
103
s2
st
s
1
2
s
st
1
s
Pilares P13 = P3 - 80/40
Pilar P8 - 140/40
A
A
A
A
A
A
FIGURA 4.4 – Representação das armaduras dos pilares P13, P8 e P3.
TABELA 4.3 – Armaduras calculadas para a viga V6
Seção A-A Seção B-B Nível
(cm)
A
s1
(cm
2
) A
s2
(cm
2
) A
st
A
s1
(cm
2
) A
s2
(cm
2
) A
st
300 6,56 2,34 Ø5c/20 6,82 2,34 Ø5c/20
600 8,06 2,44 Ø5c/18 8,51 2,44 Ø5c/18
900 8,75 2,75 Ø5c/17 9,39 2,75 Ø5c/17
1200 8,90 2,86 Ø5c/16 9,69 2,86 Ø5c/16
1500 8,74 2,84 Ø5c/16 9,63 2,84 Ø5c/16
1800 8,40 2,75 Ø5c/17 9,36 2,75 Ø5c/17
2100 7,95 2,62 Ø5c/17 8,98 2,62 Ø5c/17
2400 7,45 2,48 Ø5c/18 8,52 2,48 Ø5c/18
2700 6,93 2,33 Ø5c/19 8,02 2,33 Ø5c/19
3000 6,39 2,28 Ø5c/19 7,49 2,28 Ø5c/19
3300 5,92 2,24 Ø5c/20 6,96 2,24 Ø5c/20
3600 5,61 2,21 Ø5c/21 6,43 2,21 Ø5c/21
3900 5,31 2,18 Ø5c/22 5,92 2,18 Ø5c/22
4200 5,07 2,17 Ø5c/22 5,47 2,17 Ø5c/22
4500 4,99 2,28 Ø5c/22 5,38 2,28 Ø5c/22
4800 3,81 1,80 Ø5c/22 4,94 1,80 Ø5c/22
104
TABELA 4.4 – Armaduras calculadas para os pilares P13, P8 e P3
Pilares P13 = P3 Pilar P8 Nível
(cm)
A
s1
= A
s2
(cm
2
) A
st
A
s1
= A
s2
(cm
2
) A
st
0 - 300 13,14 Ø5c/20 11,20 Ø5c/19
300 - 600 8,41 Ø5c/20 11,20 Ø5c/19
600 - 4800 6,40 Ø5c/15 11,20 Ø5c/19
2
s
st
s
1
s
2
1
s
st
Pilares P13 = P3 - 80/40
Pilar P8 - 140/40
A
A
A
A
A
A
φ
3 10
3 10
φ
2 10
φ
FIGURA 4.5 – Representação das armaduras dos pilares P13, P8 e P3
considerando o espaçamento máximo entre eixos de 40 cm.
O pórtico plano foi, então, processado no “software” ANSYS-9.0, considerando ambas as
não-linearidades geométrica e física. Aplicou-se a parcela de carregamento correspondente
à combinação 1, com o vento atuando na direção paralela ao eixo Y.
O quinhão de carga de vento que o pórtico recebe foi calculado em função de sua rigidez
lateral. Assim, cada pórtico foi submetido à ação total do vento, determinando-se o
105
deslocamento lateral no topo (
∆
topo
). A partir daí pôde-se calcular a rigidez lateral (K
i
) e os
quinhões de rigidez em porcentagem (K
i
%) de cada pórtico, conforme apresentado na TAB.
4.5. É interessante observar que o quinhão obtido para o pórtico constituído pelos pilares
P13-P8-P3 (22%) apresenta uma pequena diferença em relação àquele que seria
determinado em função de sua área de influência, dado por (6/24,2)x100 = 24,8%.
TABELA 4.5 – Cálculo dos quinhões de rigidez lateral dos pórticos
Pórtico F
vento
(kN)
∆
∆∆
∆
topo
(m)
K
i
= F
vento
/
∆
∆∆
∆
topo
(kN/m)
K
i
% = (K
i
/
Σ
ΣΣ
Σ
K
i
)x100
(%)
P11-P6-P1 648,48 0,2092 3100 17,0
P12-P7-P2 648,48 0,1624 3993 22,0
P13-P8-P3 648,48 0,1624 3993 22,0
P14-P9-P4 648,48 0,1624 3993 22,0
P15-P10-P5 648,48 0,2092 3100 17,0
A FIG. 4.6 mostra o pórtico analisado submetido às ações horizontais e verticais, já
majoradas conforme a eq. (4.2). As forças concentradas verticais dos pilares P13, P8 e P3
incluem seus pesos próprios e as reações das vigas V1, V2 e V3, respectivamente. Na viga
V6, o carregamento uniformemente distribuído é obtido a partir das reações das lajes (L2,
L3, L6 e L7) e de seu peso próprio.
Para a realização da análise não-linear geométrica e física do pórtico no “software”
ANSYS-9.0, adotou-se o elemento “solid 65” com armadura dispersa (nas três direções)
para representar os pilares e vigas. Como já mencionado, o critério de Willam-Warnke
permite que a condição de ruptura seja desabilitada e substituída por uma condição de
plastificação; na análise realizada, desabilitou-se o critério de ruptura apenas para a
compressão do concreto, permitindo a sua plastificação segundo o critério de escoamento
de Von Mises, que foi também empregado para representar o aço. Nos critérios de Von
Mises foram adotados, tanto para o concreto quanto para o aço, comportamentos
elastoplásticos perfeitos segundo diagramas tensão-deformação bilineares. No
processamento utilizou-se o algoritmo de Newton-Raphson pleno, incrementos automáticos
de carga e um limite de 60 iterações por incremento, com tolerância de 0,1% aplicada à raiz
106
quadrada do somatório dos quadrados dos desequilíbrios de forças. É importante mencionar
que todos os parâmetros e modelos constitutivos utilizados na análise foram “calibrados” a
partir dos estudos realizados no capítulo 3.
P3
P8
P13
0,28 kN/cm
145,07 kN202,27 kN
145,07 kN
0,28 kN/cm
145,07 kN202,27 kN
145,07 kN
0,28 kN/cm
145,07 kN202,27 kN
145,07 kN
0,28 kN/cm
145,07 kN202,27 kN
145,07 kN
0,28 kN/cm
145,07 kN202,27 kN
145,07 kN
0,28 kN/cm
145,07 kN202,27 kN
145,07 kN
0,28 kN/cm
145,07 kN202,27 kN
145,07 kN
0,28 kN/cm
145,07 kN202,27 kN
145,07 kN
0,28 kN/cm
145,07 kN202,27 kN
145,07 kN
0,28 kN/cm
145,07 kN202,27 kN
145,07 kN
0,28 kN/cm
145,07 kN202,27 kN
145,07 kN
0,28 kN/cm
145,07 kN202,27 kN
145,07 kN
0,28 kN/cm
145,07 kN202,27 kN
145,07 kN
0,28 kN/cm
145,07 kN202,27 kN
145,07 kN
145,07 kN
0,28 kN/cm
202,27 kN
145,07 kN
0,28 kN/cm
145,07 kN202,27 kN
145,07 kN
7,82 kN
15,47 kN
15,13 kN
14,77 kN
14,40 kN
14,00 kN
13,58 kN
13,13 kN
12,64 kN
12,11 kN
11,53 kN
10,87 kN
10,12 kN
9,70 kN
9,68 kN
14,52 kN
FIGURA 4.6 – Carregamento aplicado ao pórtico constituído pelos pilares P13-P8-P3.
107
Com o objetivo de realizar uma avaliação dos processos aproximados utilizados para a
consideração da não-linearidade física, realizou-se também análises não-lineares
geométricas do pórtico, levando em conta a não-linearidade física por meio da redução de
rigidez dos elementos estruturais de acordo com a NBR 6118:2003 e segundo a formulação
de BRANSON (1966).
Assim, foram adotados os seguintes valores para a inércia efetiva dos elementos estruturais:
• I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,4 I
c
;
• I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,5 I
c
;
• I
pil
= 0,7 I
c
e I
vig
= 0,7 I
c
;
• I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
dado pela eq. (2.2), ou seja:
cII
3
a
r
c
3
a
r
eq
II
M
M
1I
M
M
I ≤
−+
= (4.5)
Vale ressaltar que nestas análises foi utilizado o módulo de elasticidade inicial do concreto
(E
ci
), dado pela eq. (2.1) e adotado pela NBR 6118:2003 para a consideração simplificada
da não-linearidade física.
Para o cálculo de I
eq
da eq. (4.5), é necessário determinar os valores de M
r
, I
II
e M
a
. A partir
das eq. (2.4), (2.6), (2.10), (2.13), (2.14), (2.12) e (2.15), respectivamente, tem-se:
cmkN3960
12
6020
30
22,05,1
M
3
r
⋅=
⋅
⋅
⋅
= onde
23/2
3/2
ckm,ctct
cm/kN22,0MPa2,2203,0f3,0ff ==⋅=⋅==
4,714,84,8
2500
21000
'
ee
=−=⇒==
αα
A = (8,4
⋅
A
s
+ 7,4
⋅
A’
s
)/20 = 0,42
⋅
A
s
+ 0,37
⋅
A’
s
(4.6)
108
B = 2
⋅
(8,4
⋅
A
s
⋅
56 + 7,4
⋅
A’
s
⋅
4)/20 = 47,04
⋅
A
s
+ 2,96
⋅
A’
s
(4.7)
x
II
= – A + (A
2
+ B)
½
(4.8)
I
II
= (20/3)
⋅
x
II
3
+ 7,4
⋅
A’
s
⋅
(x
II
– 4)
2
+ 8,4
⋅
A
s
⋅
(56 – x
II
)
2
(4.9)
Nota-se então que, inicialmente, deve-se determinar quais são as armaduras A
s
e A’
s
para o
momento considerado, que são invertidas quando se alterna de momento positivo para
negativo. Definidas as armaduras A
s
e A’
s
para cada seção, encontra-se o valor final de I
II
[eq. (4.6) a (4.9)]. As próximas tabelas sintetizam os cálculos efetuados para a
determinação de I
II
nas seções A-A e B-B (conforme a FIG. 4.3), considerando que as
mesmas estejam submetidas a momento positivo ou negativo.
TABELA 4.6 – Cálculo de I
II
para a seção A-A considerando o momento atuante positivo
Nível (cm) A
s
(cm
2
) A'
s
(cm
2
) A (cm) B (cm
2
) x
II
(cm) I
II
(cm
4
)
300 2,34 6,56 3,41 129,39 8,47 49383
600 2,44 8,06 4,01 138,69 8,43 51566
900 2,75 8,75 4,39 155,12 8,82 57446
1200 2,86 8,90 4,49 160,67 8,96 59494
1500 2,84 8,74 4,42 159,25 8,95 59087
1800 2,75 8,40 4,26 154,01 8,86 57352
2100 2,62 7,95 4,04 146,72 8,73 54902
2400 2,48 7,45 3,80 138,61 8,57 52167
2700 2,33 6,93 3,54 130,21 8,41 49331
3000 2,28 6,39 3,32 126,06 8,39 48221
3300 2,24 5,92 3,13 122,94 8,39 47449
3600 2,21 5,61 3,00 120,44 8,38 46768
3900 2,18 5,31 2,88 118,03 8,36 46111
4200 2,17 5,07 2,79 116,99 8,38 45945
4500 2,28 4,99 2,80 121,95 8,59 48022
4800 1,80 3,81 2,16 95,21 7,83 38391
109
TABELA 4.7 – Cálculo de I
II
para a seção A-A considerando o momento atuante negativo
Nível (cm) A
s
(cm
2
) A'
s
(cm
2
) A (cm) B (cm
2
) x
II
(cm) I
II
(cm
4
)
300 6,56 2,34 3,62 315,64 14,51 117177
600 8,06 2,44 4,29 386,37 15,83 138223
900 8,75 2,75 4,69 419,50 16,32 147725
1200 8,90 2,86 4,79 427,12 16,42 149894
1500 8,74 2,84 4,72 419,55 16,30 147763
1800 8,40 2,75 4,54 403,20 16,04 143111
2100 7,95 2,62 4,31 381,93 15,70 136969
2400 7,45 2,48 4,05 358,00 15,30 129946
2700 6,93 2,33 3,77 332,69 14,85 122373
3000 6,39 2,28 3,52 307,14 14,35 114560
3300 5,92 2,24 3,32 285,17 13,89 107688
3600 5,61 2,21 3,17 270,39 13,57 102980
3900 5,31 2,18 3,03 256,02 13,25 98335
4200 5,07 2,17 2,93 244,74 12,99 94636
4500 4,99 2,28 2,94 241,48 12,88 93512
4800 3,81 1,80 2,26 184,55 11,51 74276
TABELA 4.8 – Cálculo de I
II
para a seção B-B considerando o momento atuante positivo
Nível (cm) A
s
(cm
2
) A'
s
(cm
2
) A (cm) B (cm
2
) x
II
(cm) I
II
(cm
4
)
300 2,34 6,82 3,51 130,17 8,43 49421
600 2,44 8,51 4,17 140,01 8,37 51630
900 2,75 9,39 4,63 157,02 8,73 57554
1200 2,86 9,69 4,78 163,00 8,85 59633
1500 2,84 9,63 4,75 161,87 8,83 59244
1800 2,75 9,36 4,62 156,86 8,73 57516
2100 2,62 8,98 4,42 149,75 8,59 55066
2400 2,48 8,52 4,19 141,76 8,43 52326
2700 2,33 8,02 3,95 133,43 8,26 49483
3000 2,28 7,49 3,73 129,33 8,24 48373
3300 2,24 6,96 3,52 126,01 8,25 47592
3600 2,21 6,43 3,31 122,88 8,26 46882
3900 2,18 5,92 3,11 119,86 8,27 46196
4200 2,17 5,47 2,93 118,17 8,33 46001
4500 2,28 5,38 2,95 123,11 8,53 48083
4800 1,80 4,94 2,58 98,56 7,68 38509
110
TABELA 4.9 – Cálculo de I
II
para a seção B-B considerando o momento atuante negativo
Nível (cm) A
s
(cm
2
) A'
s
(cm
2
) A (cm) B (cm
2
) x
II
(cm) I
II
(cm
4
)
300 6,82 2,34 3,73 327,97 14,76 120943
600 8,51 2,44 4,48 407,35 16,20 144213
900 9,39 2,75 4,96 449,77 16,82 156127
1200 9,69 2,86 5,12 464,04 17,02 160066
1500 9,63 2,84 5,09 461,32 16,98 159317
1800 9,36 2,75 4,95 448,58 16,80 155801
2100 8,98 2,62 4,74 430,00 16,53 150621
2400 8,52 2,48 4,49 407,96 16,20 144394
2700 8,02 2,33 4,23 383,95 15,82 137505
3000 7,49 2,28 3,99 359,15 15,38 130269
3300 6,96 2,24 3,75 334,05 14,91 122785
3600 6,43 2,21 3,52 309,14 14,41 115187
3900 5,92 2,18 3,29 285,11 13,91 107682
4200 5,47 2,17 3,10 263,53 13,43 100779
4500 5,38 2,28 3,10 260,02 13,32 99606
4800 4,94 1,80 2,74 237,71 12,92 92459
No cálculo da inércia equivalente [eq. (4.5)], os momentos fletores M
a
foram determinados
a partir de várias análises elásticas lineares do pórtico, para várias porcentagens do
carregamento aplicado (P). Seguindo a recomendação de SILVA e PEREIRA (2004), para
maior precisão, foram utilizadas as inércias equivalentes ponderadas (I
eq,pond
), dadas por:
l
aI
I
n
i
iieq
pondeq
∑
=
⋅
=
1
,
,
)(
(4.10)
sendo n o número de trechos no vão considerado, I
eq,i
a inércia equivalente no trecho i,
calculada por meio da eq. (4.5), a
i
o comprimento do trecho i e l o comprimento total do
vão.
111
Nas TAB. 4.10 a 4.12 e 4.13 a 4.15 constam todos os cálculos realizados para a obtenção
de I
eq,pond
no 1º e no 2º vãos da viga, relativos a 100% P; esta porcentagem de carregamento
corresponde ao estado limite último (ELU) convencional. Nessas tabelas, estão
apresentados o número de trechos no vão considerado, o comprimento de cada trecho (a
i
),
bem como os valores de M
a
, I
II
(conforme as TAB. 4.6, 4.7, 4.8 e 4.9) e I
eq
em cada trecho
(M
ai
, I
II i
e I
eq,i
).
As TAB. 4.16 e 4.17 apresentam os valores de I
eq,pond
para o 1º e 2º vãos da viga,
respectivamente, correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P e 120% P. Vale
mencionar que todos os cálculos foram efetuados de forma análoga ao cálculo de I
eq,pond
correspondente a 100% P, apresentado anteriormente.
TABELA 4.10 – Número de trechos e momentos fletores M
a
para o 1º vão da viga,
correspondentes a 100% P
Nível (cm) Nº de trechos
M
a1
(kN
⋅
⋅⋅
⋅
cm) M
a2
(kN
⋅
⋅⋅
⋅
cm) M
a3
(kN
⋅
⋅⋅
⋅
cm)
300 3 -2124 5028 -14551
600 2 5876 -17529 -
900 2 6412 -18919 -
1200 2 6608 -19382 -
1500 2 6572 -19297 -
1800 2 6400 -18883 -
2100 2 6155 -18265 -
2400 2 5877 -17515 -
2700 3 -73 5593 -16677
3000 3 -961 5319 -15779
3300 3 -1886 5068 -14844
3600 3 -2824 4848 -13895
3900 3 -3745 4667 -12964
4200 3 -4623 4522 -12085
4500 3 -5362 4422 -11351
4800 3 -5205 4563 -11230
112
TABELA 4.11 – Comprimentos de cada trecho e valores de I
II
para o 1º vão da viga,
correspondentes a 100% P
Nível (cm) a
1
(cm) I
II1
(cm
4
) a
2
(cm) I
II2
(cm
4
) a
3
(cm) I
II3
(cm
4
)
300 36,51 117177 379,04 49383 184,45 120943
600 396,00 51566 204,00 144213 - -
900 388,64 57446 211,36 156127 - -
1200 386,40 59494 213,60 160066 - -
1500 386,81 59087 213,19 159317 - -
1800 388,85 57352 211,15 155801 - -
2100 392,03 54902 207,97 150621 - -
2400 396,12 52167 203,88 144394 - -
2700 1,29 122373 399,75 49331 198,96 137505
3000 16,87 114560 389,84 48221 193,28 130269
3300 32,60 107688 380,53 47449 186,87 122785
3600 48,00 102980 372,19 46768 179,80 115187
3900 62,54 98335 365,18 46111 172,28 107682
4200 75,85 94636 359,46 45945 164,69 100779
4500 86,64 93512 355,43 48022 157,93 99606
4800 83,60 74276 361,06 38391 155,33 92459
TABELA 4.12 – Inércias equivalentes para o 1º vão da viga, correspondentes a 100% P
Nível (cm) I
eq,1
* (cm
4
) I
eq,2
* (cm
4
) I
eq,3
* (cm
4
) I
eq,pond
(cm
4
)
300 360000 201091 125762 187603
600 145966 146701 - 146216
900 128724 157996 - 139035
1200 124161 161771 - 137550
1500 124906 161051 - 137749
1800 129052 157684 - 139128
2100 136173 152754 - 141920
2400 146347 146886 - 146530
2700 360000 159601 140483 153694
3000 360000 176865 133900 168175
3300 360000 196555 127289 183864
3600 360000 217428 120854 199894
3900 360000 237815 114874 215249
4200 261442 256812 109899 217073
4500 200857 272138 110662 219342
4800 200131 248623 104190 204474
*Se M
a
< M
r
deve-se utilizar I
eq
= I
c
113
TABELA 4.13 – Número de trechos e momentos fletores M
a
para o 2º vão da viga,
correspondentes a 100% P
Nível (cm) Nº de trechos
M
a1
(kN
⋅
⋅⋅
⋅
cm) M
a2
(kN
⋅
⋅⋅
⋅
cm) M
a3
(kN
⋅
⋅⋅
⋅
cm)
300 3 -2826 4911 -13733
600 2 5697 -16596 -
900 2 6130 -17814 -
1200 2 6246 -18110 -
1500 2 6156 -17884 -
1800 2 5952 -17347 -
2100 2 5696 -16621 -
2400 3 -800 5424 -15777
2700 3 -1729 5161 -14859
3000 3 -2705 4922 -13894
3300 3 -3705 4715 -12904
3600 3 -4709 4547 -11912
3900 3 -5685 4422 -10946
4200 3 -6572 4335 -10080
4500 3 -7300 4284 -9376
4800 3 -8065 4442 -8251
TABELA 4.14 – Comprimentos de cada trecho e valores de I
II
para o 2º vão da viga,
correspondentes a 100% P
Nível (cm) a
1
(cm) I
II1
(cm
4
) a
2
(cm) I
II2
(cm
4
) a
3
(cm) I
II3
(cm
4
)
300 47,79 120943 374,57 49421 177,64 117177
600 402,68 51630 197,32 138223 - -
900 395,70 57554 204,30 147725 - -
1200 394,12 59633 205,88 149894 - -
1500 395,31 59244 204,69 147763 - -
1800 398,24 57516 201,76 143111 - -
2100 402,45 55066 197,55 136969 - -
2400 14,01 144394 393,67 52326 192,32 129946
2700 29,83 137505 384,02 49483 186,15 122373
3000 45,90 130269 375,00 48373 179,10 114560
3300 61,73 122785 367,03 47592 171,24 107688
3600 76,91 115187 360,44 46882 162,66 102980
3900 90,96 107682 355,45 46196 153,59 98335
4200 103,16 100779 351,93 46001 144,92 94636
4500 112,72 99606 349,85 48083 137,43 93512
4800 120,77 92459 356,25 38509 122,98 74276
114
TABELA 4.15 – Inércias equivalentes para o 2º vão da viga, correspondentes a 100% P
Nível (cm) I
eq,1
* (cm
4
) I
eq,2
* (cm
4
) I
eq,3
* (cm
4
) I
eq,pond
(cm
4
)
300 360000 212302 122999 197627
600 155202 141236 - 150609
900 139082 150057 - 142819
1200 136187 152091 - 141644
1500 139303 150067 - 142975
1800 146590 145691 - 146288
2100 157550 139986 - 151767
2400 360000 172047 133584 164108
2700 360000 189722 126871 178690
3000 360000 210680 120242 195106
3300 360000 232689 114980 212192
3600 260796 253707 112423 216314
3900 192984 271545 110725 218468
4200 157479 285387 110725 221210
4500 141181 294467 113593 224241
4800 124125 266280 105862 204787
*Se M
a
< M
r
deve-se utilizar I
eq
= I
c
TABELA 4.16 – Valores de I
eq,pond
(cm
4
) para o 1º vão da viga,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P e 120% P
Porcentagem do carregamento aplicado Nível
(cm)
20% P 40% P 60% P 80% P 120% P
300 360000 309654 293367 280361 146602
600 360000 299849 290548 206406 119611
900 360000 298473 291232 183668 119307
1200 360000 298308 290911 177822 119749
1500 360000 298322 291547 178779 119613
1800 360000 298493 291206 184049 119273
2100 360000 298982 290850 193237 119238
2400 360000 299968 290658 206601 119978
2700 360000 301655 290794 224659 122326
3000 360000 304273 291411 248956 132468
3300 360000 308037 292614 275332 143433
3600 360000 313171 294499 289953 154578
3900 360000 319815 297110 291583 156613
4200 360000 327964 300438 293738 153911
4500 360000 336932 304933 288938 155653
4800 360000 338190 304797 291107 142507
115
TABELA 4.17 – Valores de I
eq,pond
(cm
4
) para o 2º vão da viga,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P e 120% P
Porcentagem do carregamento aplicado Nível
(cm)
20% P 40% P 60% P 80% P 120% P
300 360000 315041 296088 291474 154062
600 360000 302547 291652 217806 120907
900 360000 300127 291397 194823 119832
1200 360000 299683 291395 190291 120141
1500 360000 299877 291234 193999 120422
1800 360000 300625 291085 203465 121014
2100 360000 302084 291164 218232 122388
2400 360000 304480 291659 240088 130523
2700 360000 308081 292737 265569 140287
3000 360000 313239 294588 290047 151654
3300 360000 320508 297624 292054 156449
3600 360000 330322 302175 295324 155029
3900 360000 342574 307701 286218 155440
4200 360000 356627 313899 277970 156312
4500 360000 360000 307496 274281 158488
4800 360000 360000 307067 272679 142398
Para a realização das análises não-lineares geométricas do pórtico no “software” ANSYS-
9.0, com consideração simplificada da não-linearidade física, os pilares e vigas foram
representados através de elementos de barra (definidos como “beam 3” e “beam 54”), com
três graus de liberdade em cada nó: duas translações nas direções X e Y e uma rotação na
direção Z. É importante comentar que, no modelo sólido, os vãos da viga são considerados
de face a face dos pilares, o que o torna mais rígido que o modelo de barras, no qual os
vãos são considerados de eixo a eixo dos apoios. Tal diferença implicou na necessidade de
se utilizar o elemento “beam 54” para representar as extremidades das vigas no modelo de
barra. Este elemento permite a introdução de “offsets” nos trechos viga-pilar, tornando-os
rígidos. Com isto, é possível comparar os dois modelos em igualdade de condições. Dessa
forma, a FIG. 4.7 apresenta o gráfico carga aplicada versus deslocamento horizontal do
topo para a análise elástica linear realizada com o modelo sólido e com os modelos de barra
(utilizando ou não “offsets”). Observa-se que o modelo de barras sem “offsets” é realmente
bem mais flexível que o modelo sólido; este, por sua vez, é muito bem representado pelo
modelo de barras que utiliza “offsets”.
116
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5
Deslocamento no topo (cm)
% P
Modelo sólido
Modelo de barras sem "offsets"
Modelo de barras com "offsets"
FIGURA 4.7 – Relação entre carga e deslocamento para a análise elástica linear realizada
com o modelo sólido e com os modelos de barra (pórtico P13-P8-P3 - exemplo 1).
A variação do deslocamento horizontal do topo do pórtico com a carga aplicada, para as
análises não-lineares geométricas e físicas (ANLGF) e não-lineares geométricas, com
consideração simplificada da não-linearidade física (ANLG - NLF SIMPLIF.), está
representada na FIG. 4.8. Na FIG. 4.9 pode-se observar a configuração deformada da
estrutura para a porcentagem de carregamento correspondente ao estado limite último
convencional.
Observa-se na FIG. 4.8 que a curva da análise não-linear geométrica e física que utiliza as
armaduras dos pilares conforme a FIG. 4.4 segue uma trajetória praticamente coincidente
com aquela obtida adotando as armaduras da FIG. 4.5. Isto mostra que, em termos práticos,
117
a introdução de barras nas laterais maiores dos pilares, com o objetivo de atender as
prescrições da NBR 6118:2003, não apresentou qualquer influência no resultado final.
Ainda na FIG. 4.8 nota-se que o carregamento correspondente ao estado limite último
convencional não representa o carregamento real de colapso, o que mostra que a estrutura
suporta uma carga maior do que aquela para a qual foi dimensionada.
0
20
40
60
80
100
120
140
0 2 4 6 8 10 12
Deslocamento no topo (cm)
% P
ANLGF (armadura dos pilares conforme a FIG. 4.4)
ANLGF (armadura dos pilares conforme a FIG. 4.5)
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,4 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,5 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,7 Ic e Ivig = 0,7 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = Ieq segundo BRANSON (1966)
FIGURA 4.8 – Relação entre carga e deslocamento para as análises não-lineares realizadas
(pórtico P13-P8-P3 - exemplo 1).
118
FIGURA 4.9 – Configuração deformada da estrutura no
estado limite último convencional (pórtico P13-P8-P3 - exemplo 1).
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 2 4 6 8 10
Deslocamento (cm) - 100% P
Pavimento
ANLGF (armadura dos pilares conforme a FIG. 4.4)
ANLGF (armadura dos pilares conforme a FIG. 4.5)
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,4 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,5 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,7 Ic e Ivig = 0,7 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = Ieq segundo BRANSON
(1966)
119
Em relação às análises não-lineares geométricas, com consideração simplificada da não-
linearidade física, observa-se que, até cerca de 40% P, os resultados da análise que
considera I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
segundo BRANSON (1966) mostram boa proximidade em
relação aos obtidos a partir da análise não-linear geométrica e física (FIG. 4.8); porém, os
deslocamentos são superestimados com a utilização dos coeficientes de redução adotados
pela NBR 6118:2003. A partir de 40% P, todas as análises não-lineares geométricas
fornecem resultados inferiores aos da análise não-linear geométrica e física. Vale observar
a grande influência que a rigidez das vigas exerce no modelo: uma diferença de apenas
10% no valor utilizado é capaz de acarretar alterações significativas nos resultados, como
pode ser constatado por meio das análises realizadas com I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,5 I
c
e com I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,4 I
c
.
Na FIG. 4.9 observa-se que as deformadas dos modelos que utilizam as armaduras dos
pilares conforme as FIG. 4.4 e 4.5 encontram-se superpostas, indicando novamente que a
introdução de barras para atender as prescrições da NBR 6118:2003 não apresentou
qualquer influência no resultado final. Verifica-se também na FIG. 4.9 que a análise
realizada com I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,4 I
c
é a que fornece resultados mais próximos da
configuração deformada “real” do pórtico, seguida pela análise que utiliza reduções de
inércia iguais a 0,8 I
c
para os pilares e I
eq
segundo BRANSON (1966) para as vigas.
Finalmente, vale mencionar que a utilização dos valores de inércia iguais a I
pil
= 0,7 I
c
e I
vig
= 0,7 I
c
resultou em um modelo bem mais rígido e muito distante do comportamento não-
linear do pórtico analisado.
4.3. Outros Exemplos Analisados
De forma análoga às análises realizadas para o exemplo apresentado anteriormente, foram
analisados diversos pórticos planos pertencentes à outros edifícios usuais de concreto
armado. A TAB. 4.18 resume as principais características dos demais exemplos analisados.
120
TABELA 4.18 – Características gerais dos demais exemplos analisados
Exemplo Pavimento
tipo do edifício
Nº de
Pavimentos
Pé-
direito
(m)
f
ck
(MPa)
Pórtico plano
analisado
2 FIG. 4.10 20 Variável 40 P12-P9-P5-P2
3 FIG. 4.11 20 2,75 45 P11-P12-P13-P14-P15
4 FIG. 4.12 30 2,85 20 P7-P8-P9
5 FIG. 4.13 16 2,88 25 P33-P20-P7
6 FIG. 4.14 15 2,90 25 P15-P11-P7-P3
Inicialmente, foram realizadas análises elásticas lineares dos edifícios, utilizando modelos
tridimensionais no “software” ANSYS-9.0. As estruturas foram processadas para as cargas
verticais agindo simultaneamente com as ações horizontais, segundo as combinações de
carregamento definidas pelas eq. (4.1), (4.2), (4.3) e (4.4). A partir da envoltória dos
esforços obtidos para cada combinação de carregamento, foram determinadas as armaduras
dos pilares e vigas constituintes dos pórticos estudados. As vigas foram dimensionadas à
flexão normal composta e os pilares à flexão normal composta ou à flexão oblíqua
composta. Utilizou-se aço CA-50 para todos os elementos estruturais, com módulo de
elasticidade igual a 210 GPa. Como no exemplo anterior, não houve a preocupação com o
detalhamento final dos elementos, partindo-se do princípio de que não haverá diferença
significativa entre as armaduras calculadas e as efetivamente colocadas.
Os pórticos planos foram, então, processados no “software” ANSYS-9.0, considerando
ambas as não-linearidades geométrica e física. Aplicou-se a parcela de carregamento
correspondente à combinação 1, com o vento atuando paralelamente aos eixos X ou Y,
dependendo da direção do pórtico analisado. Vale ressaltar que os quinhões de carga de
vento que os pórticos recebem foram calculados em função de suas rigidezes laterais, da
mesma forma realizada para o exemplo 1.
121
20° Pav.
3° Pav.
2° Pav.
1° Pav.
Térreo
Medidas em cm
Lajes: h = 10
Vigas: 12/50
FIGURA 4.10 – Pavimento tipo do edifício do exemplo 2
[adaptado de CARMO (1995)].
122
Vigas: 20/60
Lajes: h = 15
Medidas em cm
FIGURA 4.11 – Pavimento tipo do edifício do exemplo 3
[adaptado de MARTINS e ANTUNES (1999)].
123
Pilares: 110/110
Viga V2: 30/80
Medidas em cm
Lajes: h = 15
Viga V1: 20/80
FIGURA 4.12 – Pavimento tipo do edifício do exemplo 4
[adaptado de CARVALHO (2004)].
124
Pilares: 25/110
Medidas em cm
Lajes: h = 12
Vigas: 20/70
FIGURA 4.13 – Pavimento tipo do edifício do exemplo 5
[adaptado de VASCONCELLOS FILHO (1981)].
125
Pilares: 40/40
Vigas: 20/40
Lajes: h = 10
Medidas em cm
FIGURA 4.14 – Pavimento tipo do edifício do exemplo 6
[adaptado de OLIVEIRA et al. (2002)].
126
Para a realização da análise não-linear geométrica e física dos pórticos no “software”
ANSYS-9.0, adotou-se o elemento “solid 65” com armadura dispersa (nas três direções)
para representar os pilares e vigas. Como já mencionado, o critério de Willam-Warnke
permite que a condição de ruptura seja desabilitada e substituída por uma condição de
plastificação; nas análises realizadas, desabilitou-se o critério de ruptura apenas para a
compressão do concreto, permitindo a sua plastificação segundo o critério de escoamento
de Von Mises, que foi também empregado para representar o aço. Nos critérios de Von
Mises foram adotados, tanto para o concreto quanto para o aço, comportamentos
elastoplásticos perfeitos segundo diagramas tensão-deformação bilineares. Nos
processamentos utilizou-se o algoritmo de Newton-Raphson pleno, incrementos
automáticos de carga e um limite de 60 iterações por incremento, com tolerância de 0,1%
aplicada à raiz quadrada do somatório dos quadrados dos desequilíbrios de forças.
Com o objetivo de realizar uma avaliação dos processos aproximados utilizados para a
consideração da não-linearidade física, foram também realizadas análises não-lineares
geométricas dos pórticos, levando em conta a não-linearidade física por meio da redução de
rigidez dos elementos estruturais de acordo com a NBR 6118:2003 e segundo a formulação
de BRANSON (1966).
Dessa forma, foram adotados os seguintes valores para a inércia efetiva dos elementos
estruturais:
• I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,4 I
c
;
• I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,5 I
c
;
• I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq,pond
conforme a eq. (4.10).
As inércias equivalentes ponderadas (I
eq,pond
) foram determinadas para várias porcentagens
do carregamento aplicado (P). Vale lembrar que a porcentagem de carregamento igual a
100% P corresponde ao estado limite último convencional. As TAB. 4.19 a 4.32
apresentam os valores de I
eq,pond
para as vigas de todos os pórticos analisados, relativos a
127
20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P. Para melhor visualização, os valores de
I
eq,pond
foram escritos em função do momento de inércia da seção bruta de concreto, I
c
.
Ressalta-se ainda que todos os cálculos necessários para a obtenção de I
eq,pond
foram
efetuados de forma análoga aos cálculos realizados para o exemplo 1, apresentado
anteriormente.
TABELA 4.19 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 1º vão da viga do exemplo 2,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P
Pavimento
20% P 40% P 60% P 80% P 100% P 120% P
1 1,00 0,93 0,76 0,71 0,69 0,69
2 0,99 0,86 0,81 0,79 0,79 0,79
3 1,00 0,89 0,85 0,84 0,84 0,83
4 1,00 0,89 0,85 0,84 0,84 0,83
5 1,00 0,90 0,85 0,84 0,84 0,83
6 1,00 0,89 0,83 0,81 0,80 0,80
7 1,00 0,92 0,83 0,81 0,80 0,80
8 1,00 0,93 0,79 0,75 0,74 0,74
9 1,00 0,96 0,81 0,76 0,74 0,74
10 1,00 0,94 0,80 0,71 0,68 0,66
11 1,00 0,95 0,90 0,75 0,69 0,67
12 1,00 0,95 0,89 0,76 0,65 0,60
13 1,00 1,00 0,91 0,89 0,77 0,67
14 1,00 1,00 0,91 0,86 0,85 0,82
15 1,00 1,00 0,98 0,90 0,87 0,86
16 1,00 1,00 1,00 0,96 0,89 0,86
17 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,93
18 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
19 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
20 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
128
TABELA 4.20 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 2º vão da viga do exemplo 2,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P
Pavimento 20% P 40% P 60% P 80% P 100% P 120% P
1 0,94 0,68 0,60 0,59 0,58 0,58
2 0,97 0,69 0,66 0,65 0,65 0,65
3 0,97 0,71 0,68 0,68 0,67 0,67
4 0,95 0,71 0,68 0,68 0,67 0,67
5 0,97 0,71 0,68 0,68 0,67 0,67
6 0,97 0,70 0,66 0,66 0,65 0,65
7 0,97 0,70 0,67 0,66 0,65 0,65
8 0,96 0,68 0,63 0,62 0,62 0,61
9 0,96 0,70 0,64 0,62 0,62 0,61
10 0,94 0,69 0,60 0,58 0,57 0,57
11 0,95 0,73 0,61 0,58 0,57 0,57
12 0,93 0,73 0,56 0,52 0,51 0,50
13 0,94 0,81 0,58 0,53 0,51 0,50
14 0,93 0,86 0,55 0,48 0,45 0,44
15 0,95 0,86 0,59 0,49 0,45 0,44
16 0,97 0,84 0,58 0,45 0,40 0,38
17 1,00 0,85 0,63 0,47 0,41 0,38
18 1,00 0,83 0,67 0,46 0,39 0,36
19 1,00 0,85 0,75 0,51 0,42 0,38
20 1,00 0,84 0,75 0,48 0,39 0,34
129
TABELA 4.21 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 3º vão da viga do exemplo 2,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P
Pavimento 20% P 40% P 60% P 80% P 100% P 120% P
1 1,00 0,83 0,54 0,48 0,45 0,44
2 1,00 0,65 0,58 0,56 0,55 0,55
3 1,00 0,67 0,62 0,61 0,61 0,60
4 1,00 0,67 0,62 0,61 0,61 0,60
5 1,00 0,67 0,62 0,61 0,61 0,60
6 1,00 0,65 0,59 0,58 0,58 0,57
7 1,00 0,65 0,60 0,58 0,58 0,57
8 1,00 0,62 0,54 0,52 0,51 0,51
9 1,00 0,63 0,54 0,52 0,52 0,51
10 1,00 0,60 0,48 0,45 0,44 0,44
11 1,00 0,63 0,49 0,45 0,44 0,44
12 1,00 0,64 0,43 0,38 0,36 0,35
13 1,00 0,72 0,45 0,39 0,37 0,36
14 1,00 0,83 0,45 0,36 0,32 0,31
15 1,00 0,89 0,51 0,38 0,34 0,32
16 1,00 0,92 0,57 0,38 0,31 0,28
17 1,00 0,97 0,72 0,44 0,34 0,30
18 1,00 1,00 0,82 0,51 0,35 0,29
19 1,00 1,00 0,83 0,60 0,40 0,31
20 1,00 1,00 1,00 0,93 0,65 0,42
130
TABELA 4.22 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 1º vão da viga do exemplo 3,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P
Pavimento 20% P 40% P 60% P 80% P 100% P 120% P
1 1,00 1,00 1,00 0,92 0,78 0,72
2 1,00 1,00 1,00 0,86 0,75 0,70
3 1,00 1,00 1,00 0,95 0,81 0,75
4 1,00 1,00 1,00 1,00 0,92 0,82
5 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,96
6 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
7 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
8 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
9 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
10 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
11 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,95
12 1,00 1,00 1,00 1,00 0,97 0,85
13 1,00 1,00 1,00 1,00 0,87 0,78
14 1,00 1,00 1,00 0,95 0,80 0,74
15 1,00 1,00 1,00 0,87 0,76 0,71
16 1,00 1,00 1,00 0,81 0,73 0,56
17 1,00 1,00 0,96 0,77 0,64 0,43
18 1,00 1,00 0,90 0,74 0,50 0,35
19 1,00 1,00 0,87 0,72 0,44 0,32
20 1,00 1,00 1,00 0,78 0,69 0,46
131
TABELA 4.23 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 2º vão da viga do exemplo 3,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P
Pavimento 20% P 40% P 60% P 80% P 100% P 120% P
1 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
2 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
3 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
4 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
5 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
6 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
7 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
8 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
9 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
10 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
11 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
12 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
13 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
14 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
15 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
16 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
17 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
18 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
19 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
20 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
132
TABELA 4.24 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 3º vão da viga do exemplo 3,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P
Pavimento 20% P 40% P 60% P 80% P 100% P 120% P
1 1,00 1,00 1,00 0,93 0,76 0,69
2 1,00 1,00 0,97 0,73 0,65 0,61
3 1,00 1,00 0,87 0,70 0,64 0,61
4 1,00 1,00 0,82 0,68 0,63 0,61
5 1,00 1,00 0,79 0,67 0,62 0,60
6 1,00 1,00 0,78 0,67 0,63 0,61
7 1,00 1,00 0,78 0,67 0,63 0,61
8 1,00 1,00 0,78 0,67 0,63 0,62
9 1,00 1,00 0,78 0,67 0,64 0,62
10 1,00 1,00 0,79 0,68 0,64 0,62
11 1,00 1,00 0,79 0,69 0,65 0,63
12 1,00 1,00 0,80 0,69 0,65 0,63
13 1,00 1,00 0,82 0,70 0,66 0,64
14 1,00 1,00 0,84 0,71 0,66 0,64
15 1,00 1,00 0,86 0,72 0,67 0,65
16 1,00 1,00 0,88 0,73 0,68 0,66
17 1,00 1,00 0,91 0,75 0,69 0,67
18 1,00 1,00 0,94 0,77 0,70 0,67
19 1,00 1,00 0,97 0,78 0,71 0,68
20 1,00 1,00 1,00 0,88 0,76 0,70
133
TABELA 4.25 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 4º vão da viga do exemplo 3,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P
Pavimento 20% P 40% P 60% P 80% P 100% P 120% P
1 1,00 1,00 0,92 0,76 0,57 0,40
2 1,00 1,00 0,78 0,48 0,34 0,28
3 1,00 1,00 0,69 0,41 0,31 0,27
4 1,00 0,99 0,65 0,40 0,31 0,27
5 1,00 0,99 0,64 0,39 0,30 0,26
6 1,00 0,99 0,65 0,39 0,30 0,26
7 1,00 1,00 0,66 0,40 0,30 0,26
8 1,00 1,00 0,68 0,40 0,30 0,26
9 1,00 1,00 0,71 0,41 0,31 0,26
10 1,00 1,00 0,74 0,42 0,31 0,26
11 1,00 1,00 0,76 0,44 0,32 0,26
12 1,00 1,00 0,77 0,46 0,32 0,26
13 1,00 1,00 0,78 0,50 0,34 0,27
14 1,00 1,00 0,80 0,54 0,35 0,27
15 1,00 1,00 0,82 0,60 0,39 0,29
16 1,00 1,00 0,85 0,68 0,43 0,31
17 1,00 1,00 0,88 0,73 0,48 0,35
18 1,00 1,00 0,91 0,75 0,56 0,39
19 1,00 1,00 0,98 0,78 0,69 0,47
20 1,00 1,00 1,00 0,91 0,77 0,70
134
TABELA 4.26 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 1º vão da viga do exemplo 4,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P
Pavimento 20% P 40% P 60% P 80% P 100% P 120% P
1 1,00 1,00 0,84 0,80 0,79 0,75
2 1,00 0,88 0,79 0,77 0,54 0,42
3 1,00 0,84 0,78 0,60 0,43 0,36
4 1,00 0,84 0,78 0,58 0,45 0,39
5 1,00 0,85 0,78 0,60 0,46 0,40
6 1,00 0,86 0,78 0,65 0,49 0,41
7 1,00 0,87 0,78 0,73 0,53 0,44
8 1,00 0,89 0,79 0,77 0,59 0,47
9 1,00 0,92 0,80 0,78 0,68 0,53
10 1,00 0,94 0,80 0,77 0,76 0,58
11 1,00 0,99 0,82 0,78 0,77 0,67
12 1,00 1,00 0,84 0,80 0,78 0,77
13 1,00 1,00 0,86 0,80 0,77 0,76
14 1,00 1,00 0,90 0,82 0,79 0,78
15 1,00 1,00 0,95 0,85 0,81 0,79
16 1,00 1,00 1,00 0,87 0,82 0,80
17 1,00 1,00 1,00 0,92 0,85 0,82
18 1,00 1,00 1,00 0,98 0,89 0,85
19 1,00 1,00 1,00 1,00 0,94 0,85
20 1,00 1,00 1,00 1,00 0,96 0,88
21 1,00 1,00 1,00 0,98 0,93 0,91
22 1,00 1,00 1,00 0,94 0,90 0,88
23 1,00 1,00 1,00 0,91 0,88 0,87
24 1,00 1,00 0,96 0,89 0,87 0,86
25 1,00 1,00 0,93 0,87 0,84 0,83
26 1,00 1,00 0,90 0,85 0,83 0,83
27 1,00 1,00 0,88 0,84 0,82 0,82
28 1,00 1,00 0,86 0,82 0,81 0,80
29 1,00 1,00 0,86 0,82 0,81 0,73
30 1,00 1,00 0,87 0,83 0,82 0,72
135
TABELA 4.27 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 2º vão da viga do exemplo 4,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P
Pavimento 20% P 40% P 60% P 80% P 100% P 120% P
1 1,00 0,96 0,84 0,82 0,81 0,63
2 1,00 0,85 0,80 0,55 0,43 0,37
3 1,00 0,82 0,57 0,41 0,36 0,33
4 1,00 0,83 0,54 0,45 0,41 0,40
5 1,00 0,82 0,51 0,43 0,41 0,39
6 1,00 0,77 0,50 0,43 0,40 0,39
7 1,00 0,76 0,51 0,44 0,42 0,41
8 1,00 0,75 0,50 0,44 0,42 0,41
9 1,00 0,75 0,50 0,44 0,42 0,41
10 1,00 0,76 0,51 0,44 0,42 0,41
11 1,00 0,77 0,51 0,44 0,42 0,41
12 1,00 0,79 0,51 0,45 0,42 0,41
13 1,00 0,81 0,52 0,44 0,42 0,41
14 1,00 0,84 0,52 0,45 0,42 0,41
15 1,00 0,84 0,53 0,45 0,42 0,41
16 1,00 0,83 0,54 0,44 0,41 0,39
17 1,00 0,84 0,55 0,45 0,41 0,39
18 1,00 0,84 0,58 0,46 0,42 0,40
19 1,00 0,84 0,59 0,45 0,40 0,38
20 1,00 0,84 0,62 0,46 0,41 0,38
21 1,00 0,84 0,67 0,48 0,42 0,39
22 1,00 0,84 0,71 0,48 0,40 0,37
23 1,00 0,85 0,78 0,52 0,42 0,38
24 1,00 0,85 0,81 0,55 0,44 0,39
25 1,00 0,85 0,80 0,58 0,44 0,38
26 1,00 0,87 0,80 0,65 0,47 0,39
27 1,00 0,88 0,81 0,72 0,51 0,42
28 1,00 0,88 0,81 0,79 0,54 0,42
29 1,00 0,90 0,81 0,79 0,60 0,46
30 1,00 0,94 0,83 0,81 0,68 0,50
136
TABELA 4.28 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 1º vão da viga do exemplo 5,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P
Pavimento 20% P 40% P 60% P 80% P 100% P 120% P
1 1,00 0,99 0,86 0,83 0,73 0,51
2 1,00 0,97 0,85 0,83 0,72 0,50
3 1,00 1,00 0,87 0,82 0,73 0,51
4 1,00 1,00 0,89 0,80 0,74 0,52
5 1,00 1,00 0,91 0,80 0,75 0,53
6 1,00 1,00 0,91 0,80 0,76 0,53
7 1,00 1,00 0,92 0,81 0,75 0,52
8 1,00 1,00 0,90 0,84 0,75 0,52
9 1,00 0,98 0,89 0,86 0,74 0,52
10 1,00 0,95 0,87 0,85 0,75 0,53
11 1,00 0,93 0,86 0,84 0,70 0,54
12 1,00 0,91 0,85 0,84 0,66 0,51
13 1,00 0,90 0,84 0,83 0,62 0,48
14 1,00 0,88 0,84 0,82 0,58 0,45
15 1,00 0,88 0,83 0,82 0,55 0,43
16 1,00 0,89 0,83 0,77 0,49 0,37
TABELA 4.29 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 2º vão da viga do exemplo 5,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P
Pavimento 20% P 40% P 60% P 80% P 100% P 120% P
1 1,00 0,92 0,85 0,83 0,71 0,54
2 1,00 0,87 0,82 0,81 0,56 0,43
3 1,00 0,85 0,81 0,73 0,48 0,37
4 1,00 0,84 0,81 0,67 0,46 0,36
5 1,00 0,84 0,81 0,63 0,44 0,35
6 1,00 0,83 0,80 0,60 0,42 0,34
7 1,00 0,84 0,81 0,60 0,42 0,35
8 1,00 0,84 0,81 0,59 0,42 0,35
9 1,00 0,84 0,81 0,59 0,42 0,35
10 1,00 0,84 0,81 0,60 0,42 0,35
11 1,00 0,84 0,81 0,61 0,43 0,35
12 1,00 0,84 0,81 0,62 0,44 0,36
13 1,00 0,85 0,81 0,64 0,45 0,37
14 1,00 0,85 0,82 0,67 0,46 0,37
15 1,00 0,85 0,82 0,69 0,48 0,38
16 1,00 0,87 0,82 0,69 0,44 0,33
137
TABELA 4.30 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 1º vão da viga do exemplo 6,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P
Pavimento 20% P 40% P 60% P 80% P 100% P 120% P
1 0,99 0,83 0,54 0,42 0,38 0,36
2 0,97 0,84 0,55 0,46 0,42 0,41
3 1,00 0,85 0,62 0,48 0,43 0,41
4 1,00 0,86 0,76 0,54 0,46 0,43
5 1,00 0,87 0,84 0,61 0,48 0,43
6 1,00 0,90 0,85 0,76 0,56 0,47
7 1,00 0,94 0,87 0,86 0,67 0,54
8 1,00 1,00 0,89 0,86 0,77 0,59
9 1,00 1,00 0,94 0,89 0,83 0,62
10 1,00 1,00 0,99 0,89 0,84 0,63
11 1,00 1,00 0,92 0,89 0,85 0,60
12 1,00 0,97 0,88 0,86 0,77 0,58
13 1,00 0,91 0,84 0,83 0,63 0,47
14 1,00 0,87 0,82 0,79 0,52 0,40
15 1,00 0,90 0,82 0,79 0,48 0,35
TABELA 4.31 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 2º vão da viga do exemplo 6,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P
Pavimento 20% P 40% P 60% P 80% P 100% P 120% P
1 1,00 0,82 0,61 0,45 0,39 0,36
2 0,95 0,82 0,53 0,45 0,42 0,41
3 0,96 0,82 0,53 0,45 0,42 0,41
4 0,98 0,83 0,56 0,46 0,42 0,41
5 1,00 0,82 0,58 0,45 0,40 0,38
6 1,00 0,83 0,64 0,47 0,42 0,39
7 1,00 0,84 0,74 0,51 0,43 0,40
8 1,00 0,83 0,79 0,52 0,41 0,35
9 1,00 0,85 0,80 0,61 0,45 0,38
10 1,00 0,87 0,81 0,74 0,51 0,42
11 1,00 0,89 0,81 0,79 0,55 0,40
12 1,00 0,94 0,83 0,81 0,68 0,48
13 1,00 1,00 0,85 0,81 0,80 0,56
14 1,00 1,00 0,90 0,84 0,82 0,66
15 1,00 1,00 0,97 0,88 0,85 0,55
138
TABELA 4.32 – Valores de I
eq,pond
em função de I
c
para o 3º vão da viga do exemplo 6,
correspondentes a 20% P, 40% P, 60% P, 80% P, 100% P e 120% P
Pavimento 20% P 40% P 60% P 80% P 100% P 120% P
1 0,94 0,83 0,55 0,44 0,40 0,38
2 0,91 0,72 0,52 0,47 0,45 0,44
3 0,91 0,69 0,51 0,47 0,45 0,44
4 0,91 0,69 0,51 0,47 0,45 0,44
5 0,91 0,70 0,50 0,45 0,43 0,42
6 0,92 0,74 0,51 0,45 0,43 0,42
7 0,92 0,79 0,52 0,46 0,43 0,42
8 0,93 0,82 0,50 0,41 0,38 0,37
9 0,94 0,83 0,53 0,43 0,39 0,37
10 0,96 0,83 0,58 0,45 0,40 0,38
11 0,99 0,81 0,61 0,42 0,35 0,32
12 1,00 0,82 0,72 0,46 0,37 0,33
13 1,00 0,82 0,79 0,50 0,37 0,32
14 1,00 0,83 0,79 0,57 0,41 0,34
15 1,00 0,88 0,81 0,79 0,49 0,35
Para a realização das análises não-lineares geométricas dos pórticos no “software” ANSYS-
9.0, com consideração simplificada da não-linearidade física, os pilares e vigas foram
representados através de elementos de barra (definidos como “beam 3” e “beam 54”). Foi
utilizado o modelo de barras com “offsets” nos trechos viga-pilar, tornando-os rígidos e
possibilitando assim a comparação com o modelo sólido em igualdade de condições.
Vale comentar que nestas análises foi utilizado o módulo de elasticidade inicial do concreto
(E
ci
), dado pela eq. (2.1) e adotado pela NBR 6118:2003 para a consideração simplificada
da não-linearidade física.
A variação do deslocamento horizontal do topo dos pórticos com a carga aplicada, para as
análises não-lineares geométricas e físicas (ANLGF) e não-lineares geométricas, com
consideração simplificada da não-linearidade física (ANLG - NLF SIMPLIF.), está
representada nas FIG. 4.15, 4.17, 4.19, 4.21 e 4.23. Nas FIG. 4.16, 4.18, 4.20, 4.22 e 4.24
139
pode-se observar as configurações deformadas das estruturas para a porcentagem de
carregamento correspondente ao estado limite último convencional.
0
20
40
60
80
100
120
140
0 4 8 12 16 20 24 28
Deslocamento no topo (cm)
% P
ANLGF
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,4 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,5 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = Ieq segundo BRANSON (1966)
FIGURA 4.15 – Relação entre carga e deslocamento para as análises não-lineares
realizadas (pórtico P12-P9-P5-P2 - exemplo 2).
140
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
0 4 8 12 16 20 24
Deslocamento (cm) - 100% P
Pavimento
ANLGF
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,4 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,5 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = Ieq segundo BRANSON
(1966)
FIGURA 4.16 – Configuração deformada da estrutura no
estado limite último convencional (pórtico P12-P9-P5-P2 - exemplo 2).
141
0
20
40
60
80
100
120
140
0 1 2 3 4 5 6 7
Deslocamento no topo (cm)
% P
ANLGF
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,4 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,5 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = Ieq segundo BRANSON (1966)
FIGURA 4.17 – Relação entre carga e deslocamento para as análises não-lineares
realizadas (pórtico P11-P12-P13-P14-P15 - exemplo 3).
142
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
0 1 2 3 4 5 6
Deslocamento (cm) - 100% P
Pavimento
ANLGF
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,4 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,5 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = Ieq segundo
BRANSON (1966)
FIGURA 4.18 – Configuração deformada da estrutura no
estado limite último convencional (pórtico P11-P12-P13-P14-P15 - exemplo 3).
143
0
20
40
60
80
100
120
140
0 4 8 12 16 20 24
Deslocamento no topo (cm)
% P
ANLGF
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,4 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,5 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = Ieq segundo BRANSON (1966)
FIGURA 4.19 – Relação entre carga e deslocamento para as análises não-lineares
realizadas (pórtico P7-P8-P9 - exemplo 4).
144
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
0 4 8 12 16 20
Deslocamento (cm) - 100 % P
Pavimento
ANLGF
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,4 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,5 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = Ieq segundo BRANSON
(1966)
FIGURA 4.20 – Configuração deformada da estrutura no
estado limite último convencional (pórtico P7-P8-P9 - exemplo 4).
145
0
20
40
60
80
100
120
140
0 1 2 3 4 5
Deslocamento no topo (cm)
% P
ANLGF
ANLG - NLF SIMPLIF: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,4 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,5 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = Ieq segundo BRANSON (1966)
FIGURA 4.21 – Relação entre carga e deslocamento para as análises não-lineares
realizadas (pórtico P33-P20-P7 - exemplo 5).
146
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 1 2 3 4
Deslocamento (cm) - 100% P
Pavimento
ANLGF
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,4 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,5 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = Ieq segundo
BRANSON (1966)
FIGURA 4.22 – Configuração deformada da estrutura no
estado limite último convencional (pórtico P33-P20-P7 - exemplo 5).
147
0
20
40
60
80
100
120
140
0 4 8 12 16 20
Deslocamento no topo (cm)
% P
ANLGF
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,4 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,5 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = Ieq segundo BRANSON (1966)
FIGURA 4.23 – Relação entre carga e deslocamento para as análises não-lineares
realizadas (pórtico P15-P11-P7-P3 - exemplo 6).
148
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 5 10 15 20
Deslocamento (cm) - 100% P
Pavimento
ANLGF
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,4 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = 0,5 Ic
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = Ieq segundo
BRANSON (1966)
FIGURA 4.24 – Configuração deformada da estrutura no
estado limite último convencional (pórtico P15-P11-P7-P3 - exemplo 6).
149
Nota-se nas FIG. 4.15, 4.17, 4.19, 4.21 e 4.23 que, para todos os pórticos analisados, o
carregamento correspondente ao estado limite último convencional não representa o
carregamento real de colapso, o que mostra que as estruturas suportam cargas superiores
àquelas para as quais foram dimensionadas.
Nas FIG. 4.15 e 4.23 verifica-se que a curva da análise não-linear geométrica que considera
I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
segundo BRANSON (1966) acompanha de perto os resultados obtidos
a partir da análise não-linear geométrica e física. Por outro lado, para o exemplo 2 (FIG.
4.15), as análises realizadas com I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,4 I
c
ou 0,5 I
c
superestimam os
deslocamentos do pórtico. No caso do exemplo 6 (FIG. 4.23), utilizando I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
=
0,4 I
c
os deslocamentos são superestimados durante toda a história de carregamento,
enquanto que a análise realizada com I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,5 I
c
superestima os
deslocamentos do pórtico até cerca de 60% P; a partir daí, fornece valores inferiores aos da
análise não-linear geométrica e física.
Nas FIG. 4.16 e 4.24 nota-se que, no estado limite último convencional (100% P), a análise
que utiliza reduções de inércia iguais a 0,8 I
c
para os pilares e I
eq
segundo BRANSON
(1966) para as vigas fornece resultados mais próximos da configuração deformada “real”
dos pórticos que a análise realizada com os coeficientes de redução adotados pela NBR
6118:2003, representando satisfatoriamente o comportamento das estruturas.
Observando os gráficos das FIG. 4.17, 4.19 e 4.21 (exemplos 3, 4 e 5) constata-se que a
análise realizada com I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
segundo BRANSON (1966) é capaz de
representar com boa precisão o comportamento “real” das estruturas até cerca de 50% P,
30% P e 40% P, respectivamente; a partir daí, fornece resultados bem inferiores aos da
análise não-linear geométrica e física. Nota-se também que a utilização dos coeficientes de
redução adotados pela NBR 6118:2003 tende a superestimar os deslocamentos dos pórticos
para menores intensidades de carregamento, e subestimá-los para intensidades maiores.
Ainda nas FIG. 4.17, 4.19 e 4.21, verifica-se que, no estado limite último convencional, é a
análise realizada com I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,4 I
c
que fornece resultados mais próximos dos
150
obtidos a partir da análise não-linear geométrica e física. A afirmação anterior pode ser
confirmada observando as configurações deformadas dos pórticos, FIG. 4.18, 4.20 e 4.22.
É interessante também avaliar o desempenho das análises não-lineares geométricas, com
consideração simplificada da não-linearidade física, para o carregamento sem majoração. O
carregamento correspondente ao estado limite último convencional pode ser escrito
esquematicamente como:
100% P =
γ
fv
⋅
V
+
γ
fh
⋅
H (4.11)
sendo
γ
fv
e
γ
fh
os coeficientes de ponderação das ações verticais (V) e horizontais (H),
respectivamente.
Segundo FRANCO e VASCONCELOS (1991), para a maioria dos edifícios em concreto
armado, pode-se admitir que as ações verticais V = G + Q sejam constituídas da seguinte
forma:
• carga permanente: G = 0,8
⋅
V
• carga acidental: Q = 0,2
⋅
V
Assim, o coeficiente de ponderação das ações verticais
γ
fv
fica definido como:
qg
qg
fv
2,08,0
V
QG
γγ
γ
γ
γ
⋅+⋅=
⋅
+
⋅
= (4.12)
onde
γ
g
e
γ
q
são os coeficientes de ponderação das cargas permanente e acidental,
respectivamente.
Substituindo
γ
fv
da eq. (4.12) na eq. (4.11) obtém-se:
151
100% P = (0,8
⋅
γ
g
+ 0,2
⋅
γ
q
)
⋅
V +
γ
fh
⋅
H (4.13)
Lembrando que o carregamento correspondente ao estado limite último foi definido pela
combinação que considera o vento como a ação variável principal, têm-se que
γ
g
= 1,4,
γ
q
=
0,7 e
γ
fh
= 1,4, conforme as eq. (4.1) ou (4.2). Substituindo estes valores na eq. (4.13),
obtém-se:
100% P = (0,8
⋅
1,4 + 0,2
⋅
0,7)
⋅
V
+
1,4
⋅
H (4.14)
100% P = 1,26
⋅
V +
1,4
⋅
H (4.15)
Dividindo a eq. (4.15) por 1,4 e 1,26, respectivamente (de forma a obter equações que
contenham as parcelas H e V), tem-se:
71,43% P = 0,90
⋅
V + H
⇒
71,43% P < (V + H) (4.16)
79,37% P = V + 1,11
⋅
H
⇒
79,37% P > (V + H) (4.17)
Portanto, o carregamento sem majoração (V + H) encontra-se entre 71,43% P e 79,37% P.
Analogamente, é possível determinar em qual intervalo de carga P está situado o
carregamento correspondente ao estado limite de serviço (ELS). Considerando a
combinação freqüente e o vento como a ação variável principal, este carregamento é
definido por:
F
d,serv
= G + 0,3
⋅
H
+ 0,3
⋅
Q (4.18)
conforme o disposto na NBR 6118:2003.
152
Na eq. (4.18) observa-se que os coeficientes de ponderação das cargas permanente (
γ
g
) e
acidental (
γ
q
) são, respectivamente, iguais a 1,0 e 0,3. Substituindo estes valores na eq.
(4.12), tem-se, para o coeficiente de ponderação das ações verticais (
γ
fv
) no estado limite de
serviço:
γ
fv
= 0,8
⋅
1,0 + 0,2
⋅
0,3 = 0,86 (4.19)
Com o auxílio da eq. (4.19), a eq. (4.18) pode ser reescrita como:
F
d,serv
= 0,86
⋅
V
+ 0,3
⋅
H (4.20)
Dividindo a eq. (4.15) por 4,67 e 1,47, respectivamente (de forma a obter equações que
contenham as parcelas 0,3
⋅
H e 0,86
⋅
V), tem-se:
21,41% P = 0,27
⋅
V + 0,3
⋅
H
⇒
21,41% P < (0,86
⋅
V + 0,3
⋅
H) (4.21)
68,03% P = 0,86
⋅
V + 0,95
⋅
H
⇒
68,03% P > (0,86
⋅
V + 0,3
⋅
H) (4.22)
Dessa forma, o carregamento correspondente ao estado limite de serviço (0,86
⋅
V + 0,3
⋅
H)
encontra-se entre 21,41% P e 68,03% P.
Finalmente, considerando a média dos limites obtidos para cada intervalo, os
carregamentos sem majoração e o correspondente ao estado limite de serviço representam,
respectivamente, cerca de 75% P e 45% P. Vale comentar que, para G = 0,7
⋅
V e Q = 0,3
⋅
V,
os valores citados anteriormente seriam iguais a 78% P e 44 % P.
Para o carregamento sem majoração (75% P), observa-se que, no caso do exemplo 2 (FIG.
4.15), a utilização dos valores de inércia iguais a I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
segundo BRANSON
(1966) se mostrou mais eficiente para representar o comportamento da estrutura.
Considerando o exemplo 6 (FIG. 4.23), nota-se que todas as análises não-lineares
geométricas fornecem resultados igualmente próximos dos obtidos a partir da análise
153
não-linear geométrica e física. Para os exemplos 3, 4 e 5 (FIG. 4.17, 4.19 e 4.21), pode-se
considerar a análise que utiliza reduções de inércia iguais a 0,8 I
c
para os pilares e 0,4 I
c
para as vigas como sendo a mais precisa.
No estado limite de serviço (45% P), nota-se que, para os exemplos 2 e 3 (FIG. 4.15 e
4.17), a análise realizada com I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
segundo BRANSON (1966) fornece
resultados mais próximos dos obtidos a partir da análise não-linear geométrica e física. No
caso dos exemplos 4, 5 e 6 (FIG. 4.19, 4.21 e 4.23), as análises que utilizam I
pil
= 0,8 I
c
e
I
vig
= I
eq
segundo BRANSON (1966) e I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,5 I
c
representam com precisão
semelhante o comportamento das estruturas.
A TAB. 4.33 apresenta as reduções de inércia que melhor descreveram o comportamento
dos pórticos analisados, considerando o carregamento sem majoração e os correspondentes
aos estados limites último e de serviço.
TABELA 4.33 – Reduções de inércia que melhor representaram os pórticos analisados
Exemplo
Carregamento
correspondente ao ELS
(45% P)
Carregamento
sem majoração
(75% P)
Carregamento
correspondente ao ELU
(100% P)
1 I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,5 I
c
I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,4 I
c
I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,4 I
c
2 I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
BRANSON (1966)
I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
BRANSON (1966)
I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
BRANSON (1966)
3 I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
BRANSON (1966)
I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,4 I
c
I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,4 I
c
4 I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
BRANSON (1966)
I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,5 I
c
I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,4 I
c
I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,4 I
c
5 I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
BRANSON (1966)
I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,5 I
c
I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,4 I
c
I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,4 I
c
6 I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
BRANSON (1966)
I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,5 I
c
I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,4 I
c
I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,5 I
c
I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
BRANSON (1966)
I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
BRANSON (1966)
154
Nota-se na TAB. 4.33 que, no estado limite de serviço, as análises realizadas com I
pil
= 0,8
I
c
e I
vig
= I
eq
segundo BRANSON (1966) e I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,5 I
c
mostraram-se mais
adequadas para representar o comportamento de 83% e 67% dos pórticos estudados,
respectivamente. Portanto, para esta intensidade de carregamento, a análise que utiliza
reduções de inércia iguais a 0,8 I
c
para os pilares e I
eq
segundo BRANSON (1966) para as
vigas pode ser considerada a mais eficiente.
Ainda na TAB. 4.33 observa-se que, para o carregamento sem majoração e o
correspondente ao estado limite último, na maior parte dos exemplos analisados, a
utilização dos valores de redução de inércia adotados pela NBR 6118:2003 para os casos
mais gerais, ou seja, I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,4 I
c
, forneceu os resultados mais próximos dos
obtidos a partir da análise não-linear geométrica e física. Observa-se também que apenas
para os exemplos 2 e 6 a análise realizada com I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
segundo BRANSON
(1966) representou com maior precisão o comportamento “real” das estruturas. Vale
comentar que os pórticos dos exemplos 2 e 6 são, dentre todos os pórticos analisados, os
mais flexíveis, como pode ser constatado nos gráficos das FIG. 4.25 e 4.26. Nestes
gráficos, as curvas carga x deslocamento dos pórticos que apresentam alturas semelhantes
são confrontadas. Dessa forma, na FIG. 4.25 está representada a variação do deslocamento
horizontal do topo dos pórticos dos exemplos 2 e 3 com a carga aplicada, para as análises
não-lineares geométricas e físicas (ANLGF) e não-lineares geométricas que consideram I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
segundo BRANSON (1966). Analogamente, a FIG. 4.26 apresenta a
variação do deslocamento horizontal do topo dos pórticos dos exemplos 5 e 6 com a carga
aplicada, também para as análises não-lineares geométricas e físicas (ANLGF) e não-
lineares geométricas realizadas com I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
segundo BRANSON (1966).
Analisando os gráficos das FIG. 4.25 e 4.26 verifica-se que, de fato, a utilização dos
valores de inércia iguais a I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
segundo BRANSON (1966) é bem mais
eficiente para representar o comportamento dos pórticos mais flexíveis dos exemplos 2 e 6
do que dos pórticos mais rígidos dos exemplos 3 e 5. Certamente isto se deve à própria
formulação da inércia equivalente de BRANSON (1966), que consiste em uma ponderação
155
das inércias das seções bruta (estádio I) e fissurada (estádio II) de concreto. Quanto maior a
relação M
a
/M
r
maior é a contribuição da inércia da seção fissurada I
II
; caso o momento
atuante M
a
seja inferior ao momento de fissuração M
r
, adota-se para a inércia equivalente
de BRANSON (1966) a inércia da seção bruta de concreto, I
c
.
0
20
40
60
80
100
120
140
0 4 8 12 16 20 24
Deslocamento no topo (cm)
% P
ANLGF - Pórtico do exemplo 2
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = Ieq segundo BRANSON (1966) -
Pórtico do exemplo 2
ANLGF - Pórtico do exemplo 3
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig =Ieq segundo BRANSON (1966) -
Pórtico do exemplo 3
FIGURA 4.25 – Relação entre carga e deslocamento para os pórticos dos exemplos 2 e 3.
156
0
20
40
60
80
100
120
140
0 4 8 12 16 20
Deslocamento no topo (cm)
% P
ANLGF - Pórtico do exemplo 5
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = Ieq segundo BRANSON (1966) -
Pórtico do exemplo 5
ANLGF - Pórtico do exemplo 6
ANLG - NLF SIMPLIF.: Ipil = 0,8 Ic e Ivig = Ieq segundo BRANSON (1966) -
Pórtico do exemplo 6
FIGURA 4.26 – Relação entre carga e deslocamento para os pórticos dos exemplos 5 e 6.
Os pórticos dos exemplos 2 e 6, que apresentam vigas com menor inércia, possuem
momentos de fissuração M
r
bastante inferiores aos dos pórticos dos exemplos 3 e 5,
conforme apresentado na TAB. 4.34. Isto significa que os momentos M
a
ultrapassarão os
momentos de fissuração M
r
muito mais rapidamente para os pórticos dos exemplos 2 e 6 do
que para os pórticos dos exemplos 3 e 5; nestes últimos, portanto, a inércia equivalente de
BRANSON (1966) se aproximará da inércia da seção bruta de concreto mesmo para
157
maiores intensidades de carregamento, o que pode resultar em valores que não traduzem a
real perda de rigidez da estrutura. No caso dos pórticos dos exemplos 2 e 6, a partir de
menores valores de carregamento a inércia equivalente será determinada, em grande parte,
pela inércia da seção fissurada I
II
, o que é coerente para estruturas com menor rigidez, e,
dessa forma, com uma maior intensidade de fissuração.
TABELA 4.34 – Momentos de fissuração das vigas dos pórticos dos exemplos 2, 3, 5 e 6
Exemplo
Momento de fissuração M
r
(kN
⋅
⋅⋅
⋅
cm)
2 2625
3 6840
5 6370
6 2080
Vale comentar que, considerando pequenas intensidades de carregamento, para as quais as
estruturas ainda não fissuraram, as análises realizadas com I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
segundo
BRANSON (1966) representam com boa precisão o comportamento de todos os pórticos,
tanto dos mais flexíveis quanto dos mais rígidos (FIG. 4.25 e 4.26). Este fato é previsível,
uma vez que, para pequenos valores da carga P, os momentos fletores M
a
são inferiores ao
momento de fissuração M
r
e, consequentemente, adota-se para a inércia equivalente de
BRANSON (1966) o valor da inércia da seção bruta de concreto, I
c
.
Finalmente, partindo do princípio de que os coeficientes de redução de rigidez dos
elementos estruturais são normalmente destinados aos projetos usuais de edifícios,
geralmente dimensionados para o carregamento correspondente ao estado limite último
(ELU), pode-se considerar as reduções de inércia iguais a 0,8 I
c
para os pilares e 0,4 I
c
para
as vigas como as mais representativas do comportamento dos pórticos analisados.
Ressalta-se ainda que a utilização de um coeficiente constante para todas as vigas resulta
em um procedimento simples, de fácil aplicação prática e extremamente vantajoso quando
comparado à utilização da inércia equivalente de BRANSON (1966), que apresenta valores
diferenciados para cada vão e para cada pavimento da estrutura.
5
CONSIDERAÇÃO SIMPLIFICADA DA NÃO-
LINEARIDADE GEOMÉTRICA: ESTUDO DO
COEFICIENTE
γ
γγ
γ
Z
5.1. Considerações Iniciais
Neste capítulo é feita uma avaliação dos parâmetros de instabilidade global
α
e
γ
z
. Com
este objetivo, diversos edifícios de médio porte em concreto armado são processados em
primeira e segunda ordem utilizando o “software” ANSYS-9.0. A partir dos resultados
obtidos, pode-se estabelecer o grau de confiabilidade dos parâmetros de instabilidade e
avaliar a eficiência do coeficiente
γ
z
como majorador dos esforços de primeira ordem
(momentos fletores, forças normais e cortantes) e como majorador das ações horizontais,
para a obtenção dos esforços finais, que incluem os de segunda ordem. Busca-se também,
159
por meio de uma análise estatística, estudar a variação dos efeitos de segunda ordem com a
altura dos pavimentos nas edificações.
5.2. Ações Atuantes
As ações atuantes nos edifícios dividem-se em dois grupos: as ações verticais e as ações
horizontais.
As ações verticais são compostas pelas cargas permanentes e pela carga acidental ou
sobrecarga. As cargas permanentes consideradas foram os pesos próprios das estruturas, as
cargas de alvenaria e o revestimento das lajes.
As principais ações horizontais que devem ser levadas em conta no projeto estrutural são as
forças devidas ao vento e as relativas às imperfeições geométricas (desaprumo). No
entanto, de acordo com a NBR 6118:2003, esses carregamentos não precisam ser
superpostos, podendo ser considerado apenas o mais desfavorável (aquele que provoca o
maior momento total na base da estrutura). Segundo RODRIGUES JÚNIOR (2005), “para
edifícios altos, assim como no caso da escolha da carga variável principal, é possível
comprovar que, na grande maioria dos casos práticos, o vento corresponde à situação mais
desfavorável”. Dessa forma, neste trabalho, o carregamento horizontal aplicado às
estruturas foi o correspondente à ação do vento, considerado mais desfavorável que o
desaprumo, tanto para a direção X quanto para a direção Y.
O sentido adotado para a atuação do vento foi o mais crítico, ou seja, aquele que produziu
um deslocamento horizontal no mesmo sentido que o produzido pelas ações verticais.
17
____________________________
17
Vale comentar que a possível assimetria no carregamento vertical ou na geometria do edifício produz um
deslocamento horizontal, mesmo estando a estrutura sujeita apenas às ações verticais. No caso de edifícios
simétricos, onde também existe simetria na aplicação do carregamento, as ações verticais não produzirão
deslocamento horizontal.
160
Dessa forma, inicialmente os edifícios foram submetidos apenas às ações verticais, para
observar qual seria o sentido dos deslocamentos nas direções X e Y. Aplicou-se, então, a
ação horizontal no sentido destes deslocamentos, obtendo a situação mais crítica para a
determinação dos esforços nas estruturas. Vale ressaltar que as forças de arrasto foram
calculadas de acordo com as prescrições da NBR 6123:1988.
Os coeficientes aplicados às ações foram definidos a partir da combinação de carregamento
que considera o vento como a ação variável principal, conforme as eq. (4.1) ou (4.2).
Assim, têm-se os seguintes valores para os coeficientes de ponderação das ações
permanente (
γ
g
), acidental (
γ
q
) e horizontal (
γ
fh
):
γ
g
= 1,4 (5.1)
γ
q
= 1,4
⋅
0,5 = 0,7 (5.2)
γ
fh
= 1,4 (5.3)
Normalmente, como explica RODRIGUES JÚNIOR (2005), é indiferente majorar
previamente as ações e depois calcular as solicitações, ou determinar as solicitações a partir
das ações características e majorá-las posteriormente. No entanto, em problemas com não-
linearidade geométrica, o primeiro procedimento resulta em solicitações excessivas e o
segundo, a valores inferiores aos que devem ser utilizados. Assim, é aconselhável majorar
as ações não pelo valor integral do coeficiente de ponderação
γ
f
, mas pelo fator (
γ
f
/
γ
f3
),
multiplicando os esforços obtidos por
γ
f3
. Segundo a NBR 6118:2003, pode-se adotar
γ
f3
=
1,1.
Portanto, na análise em segunda ordem dos edifícios, os coeficientes de ponderação das
ações definidos pelas eq. (5.1), (5.2) e (5.3) serão substituídos por:
γ
g
= 1,4 / 1,1 = 1,27 (5.4)
γ
q
= 0,7 / 1,1 = 0,64 (5.5)
161
γ
fh
= 1,4 / 1,1 = 1,27 (5.6)
sendo os esforços obtidos majorados por
γ
f3
= 1,1.
É interessante também estimar o coeficiente de ponderação das ações verticais (
γ
fv
)
utilizado nas análises em primeira e segunda ordem. Substituindo as eq. (5.1) e (5.2) na eq.
(4.12), obtém-se:
• para a análise dos edifícios em primeira ordem:
γ
fv
= 0,8
⋅
1,4 + 0,2
⋅
0,7 = 1,26 (5.7)
Analogamente, substituindo as eq. (5.4) e (5.5) na eq. (4.12), resulta:
• para a análise dos edifícios em segunda ordem:
γ
fv
= 0,8
⋅
1,27 + 0,2
⋅
0,64 = 1,15 (5.8)
Verifica-se então que, ao contrário do procedimento utilizado por alguns autores, como por
exemplo PINTO (1997), que realizam a análise em segunda ordem com as ações verticais
sem majoração, neste trabalho elas serão majoradas por 1,15, conforme a eq. (5.8). Vale
destacar que o valor igual a 1,0, adotado por PINTO (1997), foi obtido considerando, para
análise da estrutura em primeira ordem,
γ
g
= 1,3 e
γ
q
= 1,4
⋅
0,4 = 0,56; para a análise em
segunda ordem os coeficientes foram divididos por
γ
f3
= 1,15. Para os coeficientes adotados
neste trabalho, a utilização das ações verticais sem majoração na análise em segunda ordem
implicaria na consideração de uma carga permanente equivalente à apenas 57% de toda a
ação vertical, como demonstrado a seguir.
162
As cargas permanente (G) e acidental (Q) podem ser escritas, em função das ações verticais
(V ) como:
( )
⋅−=
⋅=
+=
V1Q
VG
QGV
ψ
ψ
(5.9)
onde
ψ
representa a porcentagem da ação vertical. Para o coeficiente de ponderação das
ações verticais (
γ
fv
) resulta, com o auxílio da eq. (5.9):
( )
ψγψγγ
γ
γ
γ
−⋅+⋅=⇒
⋅
+
⋅
= 1
V
QG
qgfv
qg
fv
(5.10)
Considerando a análise em segunda ordem realizada com as ações verticais sem majoração,
tem-se:
γ
fv
= 1,0 (5.11)
Substituindo as eq. (5.4), (5.5) e (5.11) na eq. (5.10), obtém-se:
(
)
57,0164,027,10,1 =⇒−⋅+⋅=
ψψψ
(5.12)
Finalmente, com o valor de
ψ
dado pela eq. (5.12), pode-se reescrever a eq. (5.9) como:
⋅=
⋅=
+=
V43,0Q
V57,0G
QGV (5.13)
A partir da eq. (5.13), constata-se que, como já comentado, para os coeficientes adotados
neste trabalho, a utilização das ações verticais sem majoração na análise em segunda ordem
implicaria na consideração de cargas permanente e acidental equivalentes a 57% e 43% de
toda a ação vertical, respectivamente. Vale ressaltar que as porcentagens citadas
163
anteriormente diferem substancialmente daquelas admitidas por FRANCO e
VASCONCELOS (1991), que consideram, para a maioria dos edifícios em concreto
armado, G = 0,8
⋅
V e Q = 0,2
⋅
V.
5.3. Análises Realizadas
Para se estudar de modo mais detalhado os parâmetros de instabilidade
α
e
γ
z
, os edifícios
são processados em primeira e segunda ordem, utilizando o “software” ANSYS-9.0. São
realizadas as seguintes etapas:
a) realização de uma análise em primeira ordem das estruturas, para as ações horizontais
agindo simultaneamente com as ações verticais;
b) cálculo dos valores do coeficiente
γ
z
, do parâmetro de instabilidade
α
e do coeficiente
B
2
, para as duas direções dos edifícios (X e Y);
c) realização de uma análise em primeira ordem das estruturas, para as ações horizontais
adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
agindo simultaneamente com as ações verticais;
d) processamento das estruturas em segunda ordem, por meio da realização de uma análise
não linear geométrica. Nesta análise, considera-se a não-linearidade física de forma
simplificada, reduzindo a rigidez dos elementos estruturais; são adotados os valores
iguais a 0,8 I
c
para os pilares e 0,4 I
c
para as vigas, uma vez que estas reduções de
inércia foram consideradas como as mais representativas do comportamento dos
pórticos estudados no capítulo 4;
e) cálculo da relação entre os esforços obtidos pela análise em segunda ordem e em
primeira ordem (nas direções X e Y), a partir dos resultados das etapas a) e d);
164
f) cálculo da relação entre os esforços obtidos pela análise em segunda ordem e em
primeira ordem com as ações horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
(nas
direções X e Y), a partir dos resultados das etapas c) e d);
g) avaliação da eficiência do
γ
z
como coeficiente majorador dos esforços de primeira
ordem (momentos fletores, forças normais e cortantes) para a obtenção dos esforços
finais (primeira ordem + segunda ordem). Esta avaliação é realizada por meio da
comparação entre os valores obtidos na etapa e) e aqueles previstos pelo
γ
z
;
h) avaliação da eficiência do
γ
z
como coeficiente majorador das ações horizontais para a
obtenção dos esforços finais (primeira ordem + segunda ordem), a partir da análise dos
valores obtidos na etapa f);
i) estudo da variação dos efeitos de segunda ordem com a altura dos pavimentos nas
edificações, por meio de uma análise estatística.
5.4. Influência do Modelo na Determinação do Coeficiente
γ
γγ
γ
z
Inicialmente, para o cálculo do coeficiente
γ
z
, são realizadas análises em primeira ordem
dos edifícios, utilizando modelos tridimensionais no “software” ANSYS-9.0. No entanto,
os modelos podem ser construídos considerando as lajes como diafragmas rígidos ou
representando-as por meio de elementos de casca. Além disso, a excentricidade existente
entre o eixo da viga e o plano médio da laje pode ou não ser levada em conta. Dessa forma,
para a definição do modelo a ser adotado neste trabalho, serão calculados os valores de
γ
z
para dois edifícios em concreto armado, considerando modelos estruturais distintos. Os
resultados obtidos serão, então, analisados e comparados.
O primeiro edifício, mostrado na FIG. 4.1, apresenta simetria em ambas as direções X e Y.
Como já mencionado no item 4.2, a estrutura é composta por dezesseis pavimentos, com
165
pé-direito de 2,9 m. Adotou-se 20 MPa para a resistência característica do concreto à
compressão e coeficiente de Poisson igual a 0,2.
O segundo edifício, representado na FIG. 5.1, é composto por dezoito pavimentos (com pé-
direito de 2,55 m) e não possui qualquer simetria. O concreto apresenta resistência
característica à compressão e coeficiente de Poisson iguais a 30 MPa e 0,2,
respectivamente.
Cada edifício foi analisado utilizando cinco modelos distintos. No primeiro modelo os
pilares e vigas são representados através de elementos de barra (definidos no ANSYS como
“beam 4” e “beam 44”, respectivamente) e as lajes por meio de elementos de casca
(denominados “shell 63”). Os elementos “beam 4” e “beam 44” apresentam seis graus de
liberdade em cada nó: três translações e três rotações, nas direções X, Y e Z. O elemento
“shell 63” possui quatro nós, cada nó apresentando seis graus de liberdade, os mesmos dos
elementos de barra. A geometria, localização dos nós e o sistema de coordenadas para os
elementos de barra e casca estão ilustrados nas FIG. 5.2 e 5.3, respectivamente. O elemento
“beam 44”, utilizado para representar as vigas, permite levar em conta a excentricidade
existente entre o eixo da viga e o plano médio da laje. Assim, este modelo simula a situação
real entre as lajes e as vigas, como apresentado na FIG. 5.4.
O segundo modelo difere do anterior apenas pela substituição do elemento “beam 44” pelo
elemento “beam 4” para representar as vigas. Dessa forma, neste modelo o plano médio da
laje coincide com o eixo da viga, FIG. 5.5, uma vez que o elemento “beam 4” não permite a
consideração de excentricidades.
No terceiro modelo, os pilares e vigas são representados através do elemento “beam 4” e as
lajes são tratadas como diafragmas rígidos, isto é, admite-se que elas têm rigidez infinita no
próprio plano e rigidez nula transversalmente. No programa ANSYS, a hipótese de
diafragma rígido é incorporada ao modelo através de um comando específico, que relaciona
os graus de liberdade dos nós que compõem o plano da laje. Assim, define-se um nó
166
Medidas em cm
Lajes: h = 10
FIGURA 5.1 – Pavimento tipo do edifício II
[adaptado de LOPES et al. (2002)].
167
“mestre”, correspondente ao ponto que representa todos os nós do pavimento. Os demais
nós, denominados “escravos”, possuem os seus próprios graus de liberdade e aqueles
representados pelo nó “mestre”. Portanto, neste modelo, o sistema estrutural é constituído
apenas por barras, uma vez que as lajes não são modeladas.
O quarto modelo, como o anterior, é também constituído apenas por barras (representando
os pilares e vigas através do elemento “beam 4”), porém sem considerar a hipótese de
diafragma rígido.
Finalmente, o último modelo difere do anterior apenas pela substituição do elemento “beam
4” pelo elemento “beam 44” para representar as vigas, possibilitando assim a consideração
da excentricidade existente entre o eixo da viga e o plano médio da laje.
FIGURA 5.2 – Geometria, localização dos nós e sistema
de coordenadas para os elementos de barra.
168
FIGURA 5.3 – Geometria, localização dos nós e sistema
de coordenadas para o elemento de casca.
EIXO DA VIGA
PLANO MÉDIO DA LAJE
FIGURA 5.4 – Modelo laje-viga utilizando o elemento “beam 44”.
EIXO DA VIGA =
PLANO MÉDIO DA LAJE
FIGURA 5.5 – Modelo laje-viga utilizando o elemento “beam 4”.
169
Vale comentar que, em todos os modelos, a ligação entre as vigas e os pilares, quando seus
eixos não coincidiram, foi realizada utilizando barras rígidas, conforme mostra a FIG. 5.6.
BARRA RÍGIDA
CG DO PILAR
FIGURA 5.6 – Ligação entre as vigas e os pilares.
A TAB. 5.1 resume as principais características dos modelos empregados.
TABELA 5.1 – Características principais dos modelos empregados
Modelo
Elementos
adotados
Representação
das lajes
Consideração da excentricidade
existente entre o eixo da viga e o
plano médio da laje
1 “beam 4”, “beam
44” e “shell 63”
Elementos de casca Sim
2 “beam 4” e
“shell 63”
Elementos de casca Não
3 “beam 4” Diafragma rígido Não
4 “beam 4” - Não
5 “beam 4” e
“beam 44”
- Sim
O coeficiente
γ
z
foi calculado a partir da análise linear em primeira ordem das estruturas,
para as ações verticais agindo simultaneamente com as ações horizontais (adotando, para os
170
coeficientes de ponderação das ações permanente, acidental e horizontal os valores iguais a
1,4, 0,7 e 1,4, respectivamente, conforme descrito no item 5.2). Nesta análise considerou-se
a não-linearidade física de forma simplificada, como estabelece a NBR 6118:2003,
reduzindo a rigidez dos elementos estruturais. Foram utilizados os valores de 0,8 E
ci
I
c
para
os pilares, 0,4 E
ci
I
c
para as vigas e 0,3 E
ci
I
c
para as lajes (quando modeladas), com E
ci
calculado pela eq. (2.1).
As TAB. 5.2 e 5.3 apresentam todos os dados relativos ao cálculo de
γ
z
(nas direções X e Y)
do edifício da FIG. 4.1, correspondente à análise que utiliza o primeiro modelo (pilares,
vigas e lajes representados através dos elementos “beam 4”, “beam 44” e “shell 63”,
respectivamente). Assim, são mostrados nas TAB 5.2 e 5.3 as forças de cálculo verticais
(P
id
) e horizontais (F
hid
) atuantes em cada pavimento i, juntamente com seus respectivos
deslocamentos horizontais (u
i
) nas direções X e Y.
M
1,tot,d
e ∆M
tot,d
são calculados a partir dos dados das TAB. 5.2 e 5.3. Pelas eq. (2.50) e
(2.51), obtém-se:
• Direção X: M
1,tot,d,x
= 949240,47 kN
⋅
cm
∆M
tot,d,x
= 77429,92 kN
⋅
cm
• Direção Y: M
1,tot,d,y
= 2395781,01 kN
⋅
cm
∆M
tot,d,y
= 140580,65 kN
⋅
cm
Finalmente, o coeficiente
γ
z
pode ser determinado utilizando a eq. (2.49):
1,09
949240,47
77429,92
1
1
x,z
=
−
=
γ
1,06
2395781,01
140580,65
1
1
y,z
=
−
=
γ
171
TABELA 5.2 – Forças atuantes e deslocamentos horizontais na direção X
(edifício I, modelo 1)
Pavimento Altura h
i
(cm)
P
id
(kN)
F
hid,x
(kN)
u
i,x
(cm)
P
id
⋅
⋅⋅
⋅
u
i,x
(kN
⋅
⋅⋅
⋅
cm)
F
hid,x
⋅
⋅⋅
⋅
h
i
(kN
⋅
⋅⋅
⋅
cm)
1º 300 3683 26,19 0,135 497,25 7856,98
2º 600 3683 17,46 0,338 1244,63 10475,97
3º 900 3683 17,48 0,541 1993,49 15735,94
4º 1200 3683 18,24 0,736 2709,95 21890,31
5º 1500 3683 19,60 0,920 3387,09 29406,40
6º 1800 3683 20,79 1,092 4021,07 37420,24
7º 2100 3683 21,84 1,251 4608,35 45873,70
8º 2400 3683 22,80 1,397 5146,17 54723,00
9º 2700 3683 23,68 1,529 5631,90 63933,73
10º 3000 3683 24,49 1,646 6062,84 73478,07
11º 3300 3683 25,25 1,748 6437,16 83332,92
12º 3600 3683 25,97 1,834 6752,51 93478,80
13º 3900 3683 26,64 1,903 7007,19 103898,98
14º 4200 3683 27,28 1,955 7199,60 114578,91
15º 4500 3683 27,89 1,990 7329,04 125505,84
16º 4800 3683 14,09 2,010 7401,67 67650,67
TABELA 5.3 – Forças atuantes e deslocamentos horizontais na direção Y
(edifício I, modelo 1)
Pavimento Altura h
i
(cm)
P
id
(kN)
F
hid,y
(kN)
u
i,y
(cm)
P
id
⋅
⋅⋅
⋅
u
i,y
(kN
⋅
⋅⋅
⋅
cm)
F
hid,y
⋅
⋅⋅
⋅
h
i
(kN
⋅
⋅⋅
⋅
cm)
1º 300 3683 66,10 0,134 493,40 19830,17
2º 600 3683 44,07 0,419 1544,08 26440,23
3º 900 3683 44,13 0,765 2817,25 39715,83
4º 1200 3683 46,04 1,129 4158,17 55248,79
5º 1500 3683 49,48 1,491 5491,61 74218,59
6º 1800 3683 52,47 1,841 6779,17 94444,66
7º 2100 3683 55,13 2,172 7999,22 115780,30
8º 2400 3683 57,55 2,481 9137,97 138114,97
9º 2700 3683 59,76 2,766 10186,05 161361,88
10º 3000 3683 61,82 3,024 11136,19 185450,76
11º 3300 3683 63,73 3,254 11982,69 210323,35
12º 3600 3683 65,54 3,454 12721,22 235930,46
13º 3900 3683 67,24 3,625 13349,51 262229,86
14º 4200 3683 68,85 3,766 13869,01 289184,87
15º 4500 3683 70,39 3,880 14287,89 316763,26
16º 4800 3683 35,57 3,972 14627,25 170743,03
172
De forma análoga ao cálculo apresentado anteriormente, foram determinados os valores de
γ
z
(nas direções X e Y), para todos os modelos utilizados. Os resultados obtidos, para ambos
os edifícios, estão apresentados na TAB. 5.4.
TABELA 5.4 – Valores de
γ
z
obtidos para os edifícios I e II,
considerando todos os modelos utilizados
Edifício I (FIG. 4.1) Edifício II (FIG. 5.1) Modelo
Direção X Direção Y Direção X Direção Y
1 1,09 1,06 1,20 1,08
2 1,18 1,14 1,31 1,15
3 1,19 1,14 1,32 1,16
4 1,19 1,14 1,32 1,16
5 1,19 1,14 1,32 1,16
Observa-se na TAB. 5.4 que, com exceção do modelo 1, todos os modelos forneceram
praticamente os mesmos valores de
γ
z
, tanto para o edifício I quanto para o edifício II.
Portanto, a presença ou não de simetria não exerceu qualquer influência nos resultados
obtidos. Além disso, os valores de
γ
z
calculados a partir do modelo 1, o mais sofisticado,
são bastante inferiores aos dos demais modelos. Isto significa que, neste caso, análises mais
simplificadas tendem a fornecer resultados mais conservadores. Dessa forma, pode-se
afirmar que, para estruturas analisadas por meio de modelos simplificados, a obtenção de
altos valores de
γ
z
não implica necessariamente em efeitos de segunda ordem significativos:
considerando os resultados do modelo 1, o edifício I seria classificado como de nós fixos
nas duas direções e o edifício II, na direção Y. No entanto, segundo os demais modelos,
ambas as estruturas seriam classificadas como de nós móveis nas direções X e Y. Assim,
sob este ponto de vista, a utilização de modelos menos refinados se mostra desvantajosa e
anti-econômica, uma vez que pode resultar em efeitos de segunda ordem bastante
relevantes, quando na realidade não devem ser.
É importante mencionar que, obviamente, quanto menor é o valor do coeficiente
γ
z
, mais
rígida é a estrutura, o que é facilmente constatado pela análise da eq. (2.49). Se os
deslocamentos horizontais da estrutura forem bastante grandes, de forma que o acréscimo
173
de momentos ∆M
tot,d
se torne aproximadamente igual ao momento M
1,tot,d
, ou seja, ∆M
tot,d
/
M
1,tot,d
≅
1, o coeficiente
γ
z
tenderá ao infinito. Este seria o caso de uma estrutura
infinitamente flexível. Por outro lado, para uma estrutura infinitamente rígida, isto é, que
não se deslocasse sob a ação do carregamento, a parcela ∆M
tot,d
seria nula, e,
consequentemente, o coeficiente
γ
z
seria igual a 1. Com base nestas considerações, pode-se
afirmar, observando os valores de
γ
z
apresentados na TAB. 5.4, que os edifícios, se
analisados utilizando o modelo 1, apresentam-se bem mais rígidos do que se analisados
considerando os demais modelos. Além disso, verifica-se que este acréscimo considerável
na rigidez é devido à representação das lajes como elementos de casca associada à
consideração da excentricidade existente entre o eixo da viga e o plano médio da laje, não
sendo suficiente levar em conta apenas um destes fatores, como pode ser constatado
observando os resultados dos modelos 2 e 5.
Finalmente, partindo-se do princípio que o modelo 1, o mais sofisticado e que envolve o
maior trabalho computacional, geralmente não é adotado pelo meio técnico, inclusive para
o cálculo do coeficiente
γ
z
, e considerando que todos os outros modelos forneceram
resultados praticamente idênticos, neste trabalho os edifícios serão analisados utilizando o
modelo 4, o mais simples. No entanto, vale comentar que, na prática de projeto, o modelo 1
deve ser preferencialmente utilizado, uma vez que representa com maior precisão o
comportamento real da estrutura e fornece valores de
γ
z
bem inferiores aos obtidos pelos
demais modelos, o que leva a uma maior economia e, em muitos casos, dispensa a
realização de análises que considerem, de forma simplificada ou não, os efeitos de segunda
ordem.
5.5. Edifícios Analisados
Nesta seção, são apresentados todos os resultados obtidos a partir das análises de diversos
edifícios de concreto armado, alguns cujos pórticos planos já foram objeto de estudo no
capítulo 4. Vale ressaltar que os edifícios foram analisados utilizando modelos
tridimensionais no “software” ANSYS-9.0, sendo os pilares e vigas representados através
174
do elemento “beam 4” (conforme o modelo 4, descrito no item anterior). A TAB. 5.5
resume as principais características das estruturas analisadas.
TABELA 5.5 – Características gerais dos edifícios analisados
Edifício Pavimento tipo Nº de
Pavimentos
Pé-direito
(m)
f
ck
(MPa)
I FIG. 4.1 16 2,90 20
II FIG. 5.1 18 2,55 30
III FIG. 4.11 20 2,75 45
IV FIG. 4.12 30 2,85 20
V FIG. 5.7 22 2,75 65
VI FIG. 4.14 15 2,90 25
VII FIG. 5.8 18 2,88 25
VIII FIG. 5.9 18 2,70 25
IX FIG. 5.10 20 2,56 30
X FIG. 5.11 20 2,90 25
5.5.1. Determinação dos Parâmetros de Instabilidade
Inicialmente, foram determinados os valores dos parâmetros
γ
z
,
α
e B
2
para todos os
edifícios, nas direções X e Y. A determinação do coeficiente
γ
z
foi realizada de forma
análoga à apresentada no item 5.4, correspondente ao edifício I. A seguir, são detalhados os
cálculos do parâmetro de instabilidade
α
e do coeficiente B
2
, também para o edifício I,
sendo, para efeito de simplificação, omitidos os cálculos referentes aos demais edifícios.
O parâmetro de instabilidade
α
foi determinado a partir da utilização de uma força
horizontal uniformemente distribuída ao longo da altura do edifício (w), como comentado
no item 2.4.1 a), igual a:
w = q
⋅
C
a
⋅
l (5.14)
sendo que:
175
Vigas: 20/50
Lajes: h = 15
Medidas em cm
FIGURA 5.7 – Pavimento tipo do edifício V
[adaptado de MARTINS e ANTUNES (1999)].
176
Lajes: h = 12 Medidas em cm
FIGURA 5.8 – Pavimento tipo do edifício VII
[adaptado de MAIA (1992)].
177
Medidas em cm
Lajes: h = 10
Vigas: 15/55
FIGURA 5.9 – Pavimento tipo do edifício VIII.
178
Medidas em cm
Lajes: h = 12
FIGURA 5.10 – Pavimento tipo do edifício IX
[adaptado de LOPES et al. (2002)].
179
Medidas em cm
Lajes: h = 10
FIGURA 5.11 – Pavimento tipo do edifício X
[adaptado de MIRANDA e CARVALHO (2006)].
180
- q é a pressão dinâmica do vento adotada (foi utilizado o valor médio das pressões dos
pavimentos, igual a 0,40 kN/m
2
);
- C
a
é o coeficiente de arrasto, igual a 1,03 na direção X e 1,38 na direção Y;
- l é o lado da fachada sobre o qual o vento incide.
Dessa forma, tem-se:
• Direção X: w
x
= 0,40
⋅
1,03
⋅
12,8 = 5,27 kN/m
• Direção Y: w
y
= 0,40
⋅
1,38
⋅
24,2 = 13,31 kN/m
Aplicando-se estas forças, foram obtidos os seguintes deslocamentos no topo:
a
x
= 0,01231 m
a
y
= 0,02632 m
A carga vertical característica por pavimento é P
ik
= 2905 kN, e o somatório das cargas
verticais atuantes, com seu valor característico, é N
k
=
Σ
P
ik
= 46478 kN.
Pelas eq. (2.28) e (2.30), obtém-se, respectivamente:
Assim a estrutura é classificada como de nós móveis na direção X e de nós fixos na direção
Y.
Para o cálculo do coeficiente B
2
, o edifício foi processado para as cargas verticais agindo
simultaneamente com as ações horizontais, determinando-se os deslocamentos horizontais
6,056,0
1036,3
46478
48mkN1036,3
02632,08
4831,13
)EI(
6,061,0
1084,2
46478
48mkN1084,2
01231,08
4827,5
)EI(
1
8
y
28
4
y,eq
1
8
x
28
4
x,eq
=<=
⋅
⋅=⇒⋅⋅=
⋅
⋅
=
=>=
⋅
⋅=⇒⋅⋅=
⋅
⋅
=
αα
αα
181
de cada pavimento i (u
i
). Estes deslocamentos estão apresentados na TAB. 5.6 e 5.7 (para
as direções X e Y, respectivamente), juntamente com a altura h
i
de cada pavimento em
relação à base da estrutura e com os valores de cálculo das ações verticais (P
id
) e
horizontais (F
hid
) aplicadas (conforme já apresentados nas TAB. 5.2 e 5.3). Assim, a partir
dos dados mostrados nas TAB. 5.6 e 5.7, podem ser determinados, para cada pavimento da
estrutura, o comprimento L e os valores de
Σ
N
Sd
(somatório das forças normais de
compressão solicitantes de cálculo),
∆
0h
(deslocamento horizontal relativo), e
Σ
H
Sd
(somatório de todas as forças horizontais de cálculo). Todos estes valores estão
apresentados nas TAB. 5.8 e 5.9, nas direções X e Y, respectivamente. Finalmente, o
coeficiente B
2
pode ser determinado, para cada pavimento da estrutura, utilizando a eq.
(2.56); os resultados obtidos, nas direções X e Y, também encontram-se nas TAB. 5.8 e 5.9.
TABELA 5.6 – Forças atuantes e deslocamentos horizontais na direção X
(edifício I, modelo 4)
Pavimento Altura h
i
(cm)
P
id
(kN)
F
hid,x
(kN)
u
i,x
(cm)
1º 300 3683 26,19 0,214
2º 600 3683 17,46 0,588
3º 900 3683 17,48 0,986
4º 1200 3683 18,24 1,374
5º 1500 3683 19,60 1,743
6º 1800 3683 20,79 2,088
7º 2100 3683 21,84 2,407
8º 2400 3683 22,80 2,698
9º 2700 3683 23,68 2,960
10º 3000 3683 24,49 3,192
11º 3300 3683 25,25 3,392
12º 3600 3683 25,97 3,560
13º 3900 3683 26,64 3,694
14º 4200 3683 27,28 3,793
15º 4500 3683 27,89 3,860
16º 4800 3683 14,09 3,898
182
TABELA 5.7 – Forças atuantes e deslocamentos horizontais na direção Y
(edifício I, modelo 4)
Pavimento Altura h
i
(cm)
P
id
(kN)
F
hid,y
(kN)
u
i,y
(cm)
1º 300 3683 66,10 0,232
2º 600 3683 44,07 0,770
3º 900 3683 44,13 1,465
4º 1200 3683 46,04 2,233
5º 1500 3683 49,48 3,024
6º 1800 3683 52,47 3,805
7º 2100 3683 55,13 4,555
8º 2400 3683 57,55 5,259
9º 2700 3683 59,76 5,909
10º 3000 3683 61,82 6,496
11º 3300 3683 63,73 7,016
12º 3600 3683 65,54 7,467
13º 3900 3683 67,24 7,849
14º 4200 3683 68,85 8,165
15º 4500 3683 70,39 8,423
16º 4800 3683 35,57 8,636
TABELA 5.8 – Cálculo do coeficiente B
2
na direção X, para o edifício I
Pavimento
L
(cm)
Σ
ΣΣ
Σ
N
Sd
(kN)
Σ
ΣΣ
Σ
H
Sd
(kN)
∆
∆∆
∆
0h
(cm)
L
⋅
⋅⋅
⋅
Σ
ΣΣ
Σ
H
Sd
(kN
⋅
⋅⋅
⋅
cm)
∆
∆∆
∆
0h
⋅
⋅⋅
⋅
Σ
ΣΣ
Σ
N
Sd
(kN
⋅
⋅⋅
⋅
cm)
B
2,i,x
1º 300 58925 359,71 0,214 107913,44
12614,59 1,13
2º 300 55242 333,52 0,374 100056,46
20650,16 1,26
3º 300 51559 316,06 0,398 94818,47 20513,86 1,28
4º 300 47877 298,58 0,388 89573,16 18586,06 1,26
5º 300 44194 280,34 0,369 84100,58 16291,29 1,24
6º 300 40511 260,73 0,345 78219,30 13978,16 1,22
7º 300 36828 239,94 0,319 71982,60 11750,63 1,20
8º 300 33145 218,10 0,291 65429,21 9658,54 1,17
9º 300 29463 195,30 0,262 58588,84 7726,44 1,15
10º 300 25780 171,62 0,232 51485,09 5974,53 1,13
11º 300 22097 147,12 0,200 44137,28 4422,32 1,11
12º 300 18414 121,87 0,167 36561,56 3083,37 1,09
13º 300 14731 95,91 0,134 28771,66 1972,51 1,07
14º 300 11048 69,26 0,100 20779,43 1102,71 1,06
15º 300 7366 41,98 0,066 12595,22 488,83 1,04
16º 300 3683 14,09 0,038 4228,17 138,96 1,03
183
TABELA 5.9 – Cálculo do coeficiente B
2
na direção Y, para o edifício I
Pavimento
L
(cm)
Σ
ΣΣ
Σ
N
Sd
(kN)
Σ
ΣΣ
Σ
H
Sd
(kN)
∆
∆∆
∆
0h
(cm)
L
⋅
⋅⋅
⋅
Σ
ΣΣ
Σ
H
Sd
(kN
⋅
⋅⋅
⋅
cm)
∆
∆∆
∆
0h
⋅
⋅⋅
⋅
Σ
ΣΣ
Σ
N
Sd
(kN
⋅
⋅⋅
⋅
cm)
B
2,i,y
1º 300 58925 907,87 0,232 272361,93
13676,89 1,05
2º 300 55242 841,77 0,538 252531,76
29708,59 1,13
3º 300 51559 797,71 0,695 239311,64
35841,26 1,18
4º 300 47877 753,58 0,768 226073,04
36781,65 1,19
5º 300 44194 707,54 0,791 212260,84
34939,58 1,20
6º 300 40511 658,06 0,781 197417,12
31635,53 1,19
7º 300 36828 605,59 0,750 181676,34
27620,60 1,18
8º 300 33145 550,45 0,705 165136,30
23356,84 1,16
9º 300 29463 492,91 0,649 147871,93
19130,79 1,15
10º 300 25780 433,14 0,587 129942,83
15134,74 1,13
11º 300 22097 371,33 0,520 111397,76
11496,41 1,12
12º 300 18414 307,59 0,451 92277,45 8307,07 1,10
13º 300 14731 242,06 0,382 72616,58 5626,55 1,08
14º 300 11048 174,82 0,316 52445,05 3489,76 1,07
15º 300 7366 105,96 0,257 31788,99 1896,01 1,06
16º 300 3683 35,57 0,214 10671,44 786,53 1,08
Nas TAB. 5.8 e 5.9 observa-se que, em diversos pavimentos, o coeficiente B
2
supera o
valor de 1,1, tanto na direção X quanto na direção Y. Dessa forma, a estrutura pode ser
considerada muito sensível a deslocamentos horizontais, e, neste caso, os efeitos globais de
segunda ordem não podem ser desprezados.
Vale lembrar que o coeficiente
γ
z
pode ser calculado a partir dos valores de B
2
, utilizando a
eq. (2.79). Assim, basta determinar as constantes c
i
para cada pavimento, dadas pela eq.
(2.80). Nesta equação, a parcela
∑
=
⋅
n
1j
hjd
Fj pode ser escrita como:
d16hd3hd2hd1h
n
1j
hjd
F16...F3F2FFj ⋅++⋅+⋅+=⋅
∑
=
(5.15)
Substituindo os valores de F
hid
dados nas TAB. 5.6 e 5.7 na eq. (5.15), obtém-se:
184
• Direção X: kN13,3164Fj
n
1j
hjd
=⋅
∑
=
• Direção Y: kN94,7985Fj
n
1j
hjd
=⋅
∑
=
Ainda considerando a eq. (2.80), a parcela
∑
=
n
ij
hjd
F deve ser calculada para cada pavimento
da estrutura; os resultados obtidos estão apresentados nas TAB. 5.10 e 5.11, juntamente
com todos os dados necessários para a determinação das constantes c
i
e do coeficiente
γ
z
,
nas direções X e Y.
TABELA 5.10 – Cálculo do coeficiente
γ
z
, a partir dos valores de B
2
, na direção X,
para o edifício I
Pavimento F
hid,x
(kN)
B
2,i,x
∑
∑∑
∑
=
==
=
=
==
=
16n
ij
x,hjd
F
(kN)
13,3164
F
c
16n
ij
x,hjd
x,i
∑
∑∑
∑
=
==
=
=
==
=
=
==
=
x,i,2
x,i
B
c
1º 26,19 1,13 359,71 0,114 0,100
2º 17,46 1,26 333,52 0,105 0,084
3º 17,48 1,28 316,06 0,100 0,078
4º 18,24 1,26 298,58 0,094 0,075
5º 19,60 1,24 280,34 0,089 0,071
6º 20,79 1,22 260,73 0,082 0,068
7º 21,84 1,20 239,94 0,076 0,063
8º 22,80 1,17 218,10 0,069 0,059
9º 23,68 1,15 195,30 0,062 0,054
10º 24,49 1,13 171,62 0,054 0,048
11º 25,25 1,11 147,12 0,046 0,042
12º 25,97 1,09 121,87 0,039 0,035
13º 26,64 1,07 95,91 0,030 0,028
14º 27,28 1,06 69,26 0,022 0,021
15º 27,89 1,04 41,98 0,013 0,013
16º 14,09 1,03 14,09 0,004 0,004
∑
∑∑
∑
=
==
=
=
==
=
=
==
=
16n
1i
x,i,2
x,i
x,z
B
c
1
γ
γγ
γ
=
0,843
B
2,x,méd
= 1,15
B
2,x,máx
= 1,28
γ
γγ
γ
z,x
=
1,19
185
TABELA 5.11 – Cálculo do coeficiente
γ
z
, a partir dos valores de B
2
, na direção Y,
para o edifício I
Pavimento F
hid,y
(kN)
B
2,i,y
∑
∑∑
∑
=
==
=
=
==
=
16n
ij
y,hjd
F
(kN)
94,7985
F
c
16n
ij
y,hjd
y,i
∑
∑∑
∑
=
==
=
=
==
=
=
==
=
y,i,2
y,i
B
c
1º 66,10 1,05 907,87 0,114 0,108
2º 44,07 1,13 841,77 0,105 0,093
3º 44,13 1,18 797,71 0,100 0,085
4º 46,04 1,19 753,58 0,094 0,079
5º 49,48 1,20 707,54 0,089 0,074
6º 52,47 1,19 658,06 0,082 0,069
7º 55,13 1,18 605,59 0,076 0,064
8º 57,55 1,16 550,45 0,069 0,059
9º 59,76 1,15 492,91 0,062 0,054
10º 61,82 1,13 433,14 0,054 0,048
11º 63,73 1,12 371,33 0,046 0,042
12º 65,54 1,10 307,59 0,039 0,035
13º 67,24 1,08 242,06 0,030 0,028
14º 68,85 1,07 174,82 0,022 0,020
15º 70,39 1,06 105,96 0,013 0,012
16º 35,57 1,08 35,57 0,004 0,004
∑
∑∑
∑
=
==
=
=
==
=
=
==
=
16n
1i
y,i,2
y,i
y,z
B
c
1
γ
γγ
γ
=
0,875
B
2,y,méd
= 1,13
B
2,y,máx
= 1,20
γ
γγ
γ
z,y
=
1,14
Verifica-se nas TAB. 5.10 e 5.11 que, como era esperado, os valores de
γ
z
calculados a
partir dos coeficientes B
2
coincidem com os anteriormente obtidos, apresentados na TAB.
5.4. Além disso, observa-se que os valores médios dos coeficientes B
2
(B
2,méd
) apresentam
boa proximidade em relação ao
γ
z
. A diferença mais significativa ocorre para a direção X,
caso em que B
2,méd
(1,15) apresenta-se cerca de 3,4% inferior a
γ
z
(1,19).
As TAB. 5.12 e 5.13 apresentam os valores dos parâmetros
γ
z
,
α
e B
2
para todos os
edifícios, juntamente com a classificação das estruturas, nas direções X e Y. Entretanto, no
caso do coeficiente B
2
, estão apresentados apenas os valores médio (B
2,méd
) e máximo
(B
2,máx
) dos pavimentos, sendo os valores correspondentes à cada pavimento listados no
186
Apêndice A (TAB. A.1 e A.2). Ressalta-se que, segundo SILVA (2004), uma estrutura
pode ser considerada pouco sensível a deslocamentos horizontais se, em todos os seus
pavimentos, o coeficiente B
2
não superar o valor de 1,1. Se B
2
for maior que esse valor em
pelo menos um pavimento, a estrutura será considerada muito sensível a deslocamentos
horizontais. Dessa forma, a classificação dos edifícios é realizada analisando o valor de
B
2,máx
obtido.
Obseva-se nas TAB. 5.12 e 5.13 que, em todos os casos, os coeficientes
γ
z
e B
2
forneceram
a mesma classificação das estruturas. Além disso, os valores de
γ
z
e B
2,méd
se mostraram
extremamente próximos, sendo que a maior diferença, correspondente à direção X do
edifício I, gira em torno de 3,4%. Vale comentar também que, em apenas cerca de 17% dos
casos, B
2,méd
apresentou-se superior a
γ
z
.
Ainda nas TAB. 5.12 e 5.13 verifica-se que, embora o parâmetro de instabilidade
α
deva
ser utilizado apenas para estruturas simétricas, ele forneceu, em 83% dos casos, a mesma
classificação dos edifícios que aquela realizada utilizando os coeficientes
γ
z
e B
2
.
5.5.2. Avaliação do
γ
γγ
γ
z
como Coeficiente Majorador dos Esforços de Primeira Ordem
(Momentos Fletores, Forças Normais e Cortantes) para a Obtenção dos Esforços
Finais
A partir do processamento dos edifícios em primeira e segunda ordem, para as ações
verticais agindo simultaneamente com as ações horizontais (adotando, para os coeficientes
de ponderação das ações, os valores definidos no item 5.2), foi calculada a relação entre os
esforços obtidos pela análise em segunda ordem e em primeira ordem, nas direções X e Y.
Os resultados obtidos, para todos os pavimentos dos edifícios, em ambas as direções, estão
apresentados no Apêndice B (TAB. B.1 a B.18).
187
TABELA 5.12 – Valores dos parâmetros de instabilidade e classificação das estruturas
(edifícios I, II, III, IV e V)
Edifício Direção Parâmetro
Valor Classificação
α
0,61 Estrutura de nós móveis
γ
z
1,19 Estrutura de nós móveis
B
2,méd
1,15
X
B
2,máx
1,28
Estrutura muito sensível a
deslocamentos horizontais
α
0,56 Estrutura de nós fixos
γ
z
1,14 Estrutura de nós móveis
B
2,méd
1,13
I
Y
B
2,máx
1,20
Estrutura muito sensível a
deslocamentos horizontais
α
0,91 Estrutura de nós móveis
γ
z
1,32 Estrutura de nós móveis
B
2,méd
1,29
X
B
2,máx
1,47
Estrutura muito sensível a
deslocamentos horizontais
α
0,55 Estrutura de nós fixos
γ
z
1,16 Estrutura de nós móveis
B
2,méd
1,17
II
Y
B
2,máx
1,22
Estrutura muito sensível a
deslocamentos horizontais
α
0,42 Estrutura de nós fixos
γ
z
1,06 Estrutura de nós fixos
B
2,méd
1,05
X
B
2,máx
1,07
Estrutura pouco sensível a
deslocamentos horizontais
α
0,84 Estrutura de nós móveis
γ
z
1,32 Estrutura de nós móveis
B
2,méd
1,29
III
Y
B
2,máx
1,44
Estrutura muito sensível a
deslocamentos horizontais
α
0,73 Estrutura de nós móveis
γ
z
1,30 Estrutura de nós móveis
B
2,méd
1,26
IV X = Y
B
2,máx
1,45
Estrutura muito sensível a
deslocamentos horizontais
α
0,65 Estrutura de nós móveis
γ
z
1,17 Estrutura de nós móveis
B
2,méd
1,15
X
B
2,máx
1,23
Estrutura muito sensível a
deslocamentos horizontais
α
0,77 Estrutura de nós móveis
γ
z
1,28 Estrutura de nós móveis
B
2,méd
1,28
V
Y
B
2,máx
1,35
Estrutura muito sensível a
deslocamentos horizontais
188
TABELA 5.13 – Valores dos parâmetros de instabilidade e classificação das estruturas
(edifícios VI, VII, VIII, IX e X)
Edifício Direção Parâmetro
Valor Classificação
α
0,65 Estrutura de nós móveis
γ
z
1,21 Estrutura de nós móveis
B
2,méd
1,18
VI X = Y
B
2,máx
1,31
Estrutura muito sensível a
deslocamentos horizontais
α
0,83 Estrutura de nós móveis
γ
z
1,27 Estrutura de nós móveis
B
2,méd
1,25
X
B
2,máx
1,40
Estrutura muito sensível a
deslocamentos horizontais
α
0,51 Estrutura de nós fixos
γ
z
1,14 Estrutura de nós móveis
B
2,méd
1,14
VII
Y
B
2,máx
1,18
Estrutura muito sensível a
deslocamentos horizontais
α
0,88 Estrutura de nós móveis
γ
z
1,30 Estrutura de nós móveis
B
2,méd
1,28
X
B
2,máx
1,44
Estrutura muito sensível a
deslocamentos horizontais
α
0,70 Estrutura de nós móveis
γ
z
1,22 Estrutura de nós móveis
B
2,méd
1,20
VIII
Y
B
2,máx
1,30
Estrutura muito sensível a
deslocamentos horizontais
α
0,98 Estrutura de nós móveis
γ
z
1,31 Estrutura de nós móveis
B
2,méd
1,34
X
B
2,máx
1,47
Estrutura muito sensível a
deslocamentos horizontais
α
0,71 Estrutura de nós móveis
γ
z
1,29 Estrutura de nós móveis
B
2,méd
1,30
IX
Y
B
2,máx
1,38
Estrutura muito sensível a
deslocamentos horizontais
α
0,81 Estrutura de nós móveis
γ
z
1,30 Estrutura de nós móveis
B
2,méd
1,30
X
B
2,máx
1,44
Estrutura muito sensível a
deslocamentos horizontais
α
0,68 Estrutura de nós móveis
γ
z
1,22 Estrutura de nós móveis
B
2,méd
1,18
X
Y
B
2,máx
1,34
Estrutura muito sensível a
deslocamentos horizontais
189
Vale ressaltar que, como pode ser observado nas TAB. B.1 a B.18, os esforços levados em
conta na análise são apenas os realmente relevantes no dimensionamento estrutural, ou seja,
para os pilares, foram considerados os momentos fletores e as forças normais; para as
vigas, os momentos fletores e as forças cortantes. É importante mencionar que alguns
esforços não apresentavam valores significativos, sendo então desprezados, para que não
provocassem distorções prejudiciais à análise dos resultados.
Para melhor visualização dos resultados, os valores médios das TAB. B.1 a B.18 estão
apresentados na TAB. 5.14, juntamente com os coeficientes
γ
z
obtidos para todos os
edifícios, nas direções X e Y. Dessa forma, pode-se realizar uma análise comparativa entre
os acréscimos sofridos pelos esforços de primeira ordem, quando considerados os efeitos de
segunda ordem, e os acréscimos previstos pelo coeficiente
γ
z
.
Observa-se na TAB. 5.14 que, para todos os edifícios e em ambas as direções, os
acréscimos médios obtidos no caso da força normal nos pilares e da força cortante nas vigas
são muito pequenos (entre 1% e 4%) e, portanto, geralmente bastante inferiores aos
previstos pelo
γ
z
. Assim, em termos práticos, a majoração dessas forças pelo coeficiente
γ
z
não se faz necessária, mesmo para altos valores deste (como ocorre, por exemplo, no caso
do edifício II, na direção X).
Ainda na TAB. 5.14 verifica-se que, para o momento fletor nos pilares e nas vigas, os
acréscimos médios mostram boa proximidade em relação ao
γ
z
. No caso do momento fletor
nos pilares, a maior diferença entre os acréscimos médios e os previstos pelo
γ
z
vale cerca
de 6% (edifício III, direção Y), a favor da segurança. Para o momento fletor nas vigas, a
máxima diferença, correspondente ao acréscimo obtido para o edifício I, na direção X, é da
ordem de 6,7%, também a favor da segurança. No entanto, considerando apenas os casos
em que a majoração por
γ
z
estaria contra a segurança, observam-se diferenças máximas
inferiores a 5%, para o momento nos pilares (edifício III, direção X), e a 4%, para o
momento nas vigas (edifício II, direção Y).
190
TABELA 5.14 – Coeficientes
γ
z
e valores médios da relação
(esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem)
Pilares Vigas
Edifício
Direção
γ
γγ
γ
z
Força
Normal
Momento
Fletor
Força
Cortante
Momento
Fletor
X 1,19 1,01 1,17 1,01 1,11 I
Y 1,14 1,01 1,16 1,01 1,07
X 1,32 1,01 1,35 1,02 1,27 II
Y 1,16 1,02 1,14 1,03 1,20
X 1,06 1,02 1,11 1,03 1,03 III
Y 1,32 1,02 1,24 1,04 1,27
IV X = Y 1,30 1,03 1,23 1,03 1,23
X 1,17 1,02 1,16 1,03 1,15 V
Y 1,28 1,03 1,28 1,01 1,28
VI X = Y 1,21 1,02 1,17 1,03 1,20
X 1,27 1,02 1,24 1,04 1,24 VII
Y 1,14 1,03 1,12 1,04 1,15
X 1,30 1,02 1,28 1,03 1,32 VIII
Y 1,22 1,02 1,23 1,03 1,20
X 1,31 1,01 1,35 1,02 1,29 IX
Y 1,29 1,01 1,27 1,02 1,23
X 1,30 1,02 1,28 1,03 1,26 X
Y 1,22 1,02 1,15 1,03 1,18
O gráfico representado na FIG. 5.12 relaciona os coeficientes
γ
z
, correspondentes a todos os
edifícios e em ambas as direções, com os valores médios da relação (momento em segunda
ordem/ momento em primeira ordem), para os pilares e vigas, respectivamente. Neste
gráfico, a relação entre os momentos é denominada de majorador dos momentos de
primeira ordem, uma vez que representa o valor pelo qual os momentos de primeira ordem
devem ser multiplicados para que se obtenham os momentos finais, que incluem os de
segunda ordem. Assim, para cada coeficiente
γ
z
, corresponde um determinado majorador,
conforme a TAB. 5.14 (3ª, 5ª e 7ª colunas). Quanto mais próximos estiverem os valores de
γ
z
e do majorador obtido, maior é eficiência do
γ
z
como majorador dos momentos de
primeira ordem para a determinação dos momentos finais.
191
1
1,05
1,1
1,15
1,2
1,25
1,3
1,35
1,4
1,45
1 1,05 1,1 1,15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 1,45
Coeficiente
Majorador dos momentos de
primeira ordem
Majoradores obtidos para o momento nos pilares
Majoradores obtidos para o momento nas vigas
Reta ideal: majoradores iguais a
Reta correspondente a majoradores 5% inferiores a
Reta correspondente a majoradores 5% superiores a
γ
γγ
γ
z
γ
z
γ
z
γ
z
FIGURA 5.12 – Relação entre os majoradores dos momentos
de primeira ordem e os coeficientes
γ
z
.
Observa-se na FIG. 5.12 que, como já comentado, tanto no caso dos pilares quanto no caso
das vigas, os majoradores dos momentos de primeira ordem apresentam diferenças pouco
significativas (isto é, quase sempre inferiores a 5%) quando comparados ao
γ
z
. Isto é
facilmente constatado pela proximidade dos pontos em relação à reta denominada “ideal”,
que corresponde a valores iguais para o majorador obtido e o coeficiente
γ
z
. Além disso,
nota-se que a grande maioria dos pontos encontra-se abaixo da reta “ideal”, o que significa
que o majorador obtido é inferior a
γ
z
, e, portanto, nestes casos, a majoração dos momentos
de primeira ordem por
γ
z
estaria a favor da segurança. Vale ressaltar que esta majoração se
mostraria contra a segurança em apenas 28% dos casos para o momento nos pilares e 17%
192
dos casos para o momento nas vigas, como pode ser verificado pelo pequeno número de
pontos situados acima da reta “ideal”.
Assim, pode-se afirmar que, a princípio, a obtenção dos momentos finais (primeira ordem +
segunda ordem) a partir da majoração dos momentos de primeira ordem por
γ
z
mostra-se
satisfatória. Vale mencionar, entretanto, que o presente estudo foi realizado para estruturas
que apresentam valores máximos de
γ
z
da ordem de 1,3, ou seja, para as quais, segundo a
NBR 6118:2003, o processo simplificado de avaliação dos esforços finais utilizando o
coeficiente
γ
z
ainda é válido. Além disso, foram considerados os acréscimos médios das
estruturas como um todo, sem levar em conta a variação dos efeitos de segunda ordem ao
longo da altura dos edifícios. Esta variação será estudada de forma detalhada no item 5.5.4.
5.5.3. Avaliação do
γ
γγ
γ
z
como Coeficiente Majorador das Ações Horizontais para a
Obtenção dos Esforços Finais
Para avaliar o desempenho do
γ
z
como majorador das ações horizontais para a obtenção dos
esforços finais, os edifícios foram submetidos à análises em primeira e segunda ordem, para
as ações verticais agindo simultaneamente com as ações horizontais. Porém, o
processamento das estruturas em primeira ordem foi realizado com as ações horizontais
adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
. A relação entre os esforços obtidos pela análise em
segunda ordem e em primeira ordem, para todos os pavimentos dos edifícios, em ambas as
direções, está apresentada no Apêndice C (TAB. C.1 a C.18). Para melhor visualização dos
resultados, os valores médios das TAB. C.1 a C.18 encontram-se na TAB. 5.15.
É importante mencionar que os valores dos esforços obtidos na análise em primeira ordem
deveriam, neste caso, representar os valores finais dos esforços (primeira ordem + segunda
ordem), uma vez que eles foram determinados com as ações horizontais adicionalmente
majoradas por 0,95
γ
z
. Portanto, a relação entre os esforços obtidos pela análise em segunda
e em primeira ordem deveria ser igual a 1,0, ou, ao menos, próxima deste valor. De fato,
193
isto ocorre para a força normal nos pilares e para força cortante nas vigas, como pode ser
observado na TAB. 5.15. Porém, tais relações já apresentavam valores próximos de 1,0
mesmo realizando a análise em primeira ordem sem a majoração adicional das ações
horizontais por 0,95
γ
z
, o que pode ser verificado na TAB. 5.14. Assim, pode-se afirmar
que, para a força normal nos pilares e para força cortante nas vigas, as análises em primeira
ordem realizadas com ou sem a majoração adicional das ações horizontais por 0,95
γ
z
fornecem praticamente os mesmos resultados.
TABELA 5.15 – Valores médios da relação (esforço em segunda ordem/ esforço em
primeira ordem obtido com as ações horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
)
Pilares Vigas Edifício
Direção
Força
Normal
Momento
Fletor
Força
Cortante
Momento
Fletor
X 1,01 1,15 1,01 1,08 I
Y 1,01 1,14 1,02 1,05
X 1,01 1,22 1,02 1,29 II
Y 1,02 1,12 1,03 1,20
X 1,02 1,11 1,02 1,03 III
Y 1,02 1,18 1,03 1,24
IV X = Y 1,03 1,15 1,03 1,18
X 1,02 1,14 1,03 1,14 V
Y 1,03 1,17 1,00 1,19
VI X = Y 1,02 1,09 1,03 1,14
X 1,02 1,14 1,04 1,20 VII
Y 1,03 1,11 1,04 1,13
X 1,02 1,17 1,03 1,33 VIII
Y 1,02 1,16 1,02 1,17
X 1,01 1,25 1,02 1,28 IX
Y 1,01 1,19 1,03 1,20
X 1,02 1,16 1,01 1,22 X
Y 1,02 1,11 1,03 1,16
Ainda na TAB. 5.15, nota-se que, para os momentos fletores nos pilares e nas vigas, as
relações médias entre os resultados em segunda e em primeira ordem apresentam-se, de
194
forma geral, bem distantes de 1,0, chegando a atingir valores bastante significativos, como
por exemplo, no caso do edifício IX, direção X (iguais a 1,25 e 1,28 para os pilares e vigas,
respectivamente). Vale comentar que as diferenças entre os momentos obtidos nas análises
em segunda e em primeira ordem ultrapassam o valor de 10% em 94% dos casos para os
pilares e em 83% dos casos para as vigas. Dessa forma, a obtenção dos momentos finais a
partir da majoração adicional das ações horizontais por 0,95
γ
z
não conduz a bons
resultados.
Finalmente, pode-se considerar que, para os edifícios estudados neste trabalho, o processo
simplificado de avaliação dos esforços finais que utiliza o coeficiente
γ
z
como majorador
dos momentos de primeira ordem (e não das ações horizontais) fornece resultados bem
próximos daqueles obtidos a partir da análise em segunda ordem. Vale ressaltar que, como
comentado no item 5.5.2, a majoração da força normal nos pilares e da força cortante nas
vigas pelo coeficiente
γ
z
não se faz necessária, uma vez que, para estes esforços, os valores
obtidos em primeira e em segunda ordem são praticamente os mesmos.
5.5.4. Estudo da Variação dos Efeitos de Segunda Ordem com a Altura dos
Pavimentos nos Edifícios
No presente item, o método simplificado de avaliação dos esforços finais utilizando o
coeficiente
γ
z
é estudado levando-se em conta a variação dos efeitos de segunda ordem ao
longo da altura dos edifícios. Este estudo é realizado considerando o processo de majoração
que forneceu resultados mais próximos daqueles obtidos a partir da análise em segunda
ordem, conforme os itens 5.5.2 e 5.5.3. Assim, o coeficiente
γ
z
é considerado majorador dos
momentos de primeira ordem, para a determinação dos momentos finais, partindo-se do
princípio que a força normal nos pilares e a força cortante nas vigas são obtidas diretamente
da análise em primeira ordem.
O estudo a ser realizado baseia-se na comparação, para cada pavimento da estrutura, entre
os acréscimos sofridos pelos momentos de primeira ordem, quando considerados os efeitos
195
de segunda ordem, e os acréscimos previstos pelo coeficiente
γ
z
. Assim, são novamente
considerados os dados representados nas 3ª e 5ª colunas das TAB. B.1 a B.18 do Apêndice
B, que correspondem à relação entre os momentos obtidos pela análise em segunda ordem e
em primeira ordem (para os pilares e vigas, respectivamente), ao longo da altura de todos
os edifícios, para as direções X e Y. Esta relação entre os momentos pode ser denominada
de majorador dos momentos de primeira ordem, “
γ
”, uma vez que, como já comentado no
item 5.5.2, representa o valor pelo qual os momentos de primeira ordem devem ser
multiplicados para que se obtenham os momentos finais, que incluem os de segunda ordem.
Na situação ideal, na qual a majoração dos momentos de primeira ordem por
γ
z
fornece os
momentos finais com 100% de precisão, os valores de
γ
e
γ
z
devem coincidir para todos os
pavimentos dos edifícios, isto é,
γ
/
γ
z
= 1 ao longo de toda a altura.
Tendo em vista as considerações apresentadas, foram construídos os gráficos mostrados nas
FIG. 5.13 e 5.14, que representam a variação da razão
γ
/
γ
z
ao longo da altura de todos os
edifícios, em ambas as direções, para os pilares e vigas, respectivamente. Nestes gráficos, o
eixo das abscissas corresponde à relação y/h, onde y representa a altura do pavimento
considerado e h é a altura total da estrutura.
Verifica-se nas FIG. 5.13 e 5.14 que a maior parte dos valores de
γ
/
γ
z
parece estar situada
entre, aproximadamente, 0,90 e 1,10, tanto no caso dos pilares quanto no caso das vigas.
Constata-se também que não é possível estabelecer uma tendência de variação de
γ
/
γ
z
ao
longo do comprimento de y/h a partir da simples observação das FIG. 5.13 e 5.14. Assim,
para uma melhor avaliação dos resultados obtidos, será realizada uma análise estatística,
utilizando o “software” MINITAB-14.
196
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1
y/h
Relação entre os majoradores dos
momentos de 1ª ordem e o coeficiente Yz
Edifício I - Direção X Edifício I - Direção Y Edifício II - Direção X
Edifício II - Direção Y Edifício III - Direção X Edifício III - Direção Y
Edifício IV - Direção X = Y Edifício V - Direção X Edifício V - Direção Y
Edifício VI - Direção X = Y Edifício VII - Direção X Edifício VII - Direção Y
Edifício VIII - Direção X Edifício VIII - Direção Y Edifício IX - Direção X
Edifício IX - Direção Y Edifício X - Direção X Edifício X - Direção Y
γ
γ
γ
γ
/
γ
γ
γ
γ
z
y
/h
FIGURA 5.13 – Variação da razão
γ
/
γ
z
ao longo da altura dos edifícios,
em ambas as direções, para os pilares.
197
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1
y/h
Relação entre os majoradores dos
momentos de 1ª ordem e o coeficiente Yz
Edifício I - Direção X Edifício I - Direção Y Edifício II - Direção X
Edifício II - Direção Y Edifício III - Direção X Edifício III - Direção Y
Edifício IV - Direção X = Y Edifício V - Direção X Edifício V - Direção Y
Edifício VI - Direção X = Y Edifício VII - Direção X Edifício VII - Direção Y
Edifício VIII - Direção X Edifício VIII - Direção Y Edifício IX - Direção X
Edifício IX - Direção Y Edifício X - Direção X Edifício X - Direção Y
γ
γ
γ
γ
/
γ
γ
γ
γ
z
y
/h
FIGURA 5.14 – Variação da razão
γ
/
γ
z
ao longo da altura dos edifícios,
em ambas as direções, para as vigas.
a) Análise Descritiva
Inicialmente são calculadas as medidas de tendência central (média e mediana) e de
variabilidade (desvio padrão, coeficiente de variação, mínimo e máximo) para a variável
envolvida no estudo, a relação
γ
/
γ
z
. Os resultados obtidos encontram-se na TAB. 5.16. Para
visualizar graficamente a distribuição da variável
γ
/
γ
z
são construídos os histogramas
apresentados nas FIG. 5.15 e 5.16, correspondentes aos pilares e vigas, respectivamente.
198
Nota-se na TAB. 5.16 que a relação
γ
/
γ
z
varia de 0,77 (ou 0,78) a 1,14, sendo a média
obtida inferior a 1,0, tanto para os pilares quanto para as vigas. Verifica-se também que
aproximadamente 50% dos valores de
γ
/
γ
z
são menores que 0,990 no caso dos pilares e
0,970 no caso das vigas. Além disso, pode-se considerar pequena a variabilidade de
γ
/
γ
z
,
uma vez que os coeficientes de variação obtidos encontram-se entre 6% e 7%. Vale
comentar que o coeficiente de variação é uma medida que expressa a variabilidade em
termos relativos, comparando o desvio padrão com a média, e pode ser considerado
pequeno quando não ultrapassa 30%.
TABELA 5.16 – Medidas descritivas básicas para a variável
γ
/
γ
z
Variável
Tamanho
da Amostra
(n)
Média
Desvio
Padrão
Coeficiente
de Variação
(%)
Mínimo
Mediana
Máximo
γ
/
γ
z
Pilares
349 0,988 0,060 6,120 0,780 0,990 1,140
γ
/
γ
z
Vigas
349 0,975 0,065 6,720 0,770 0,970 1,140
γ
γγ
γ
/
//
/ γ
γγ
γ
%
1,151,101,051,000,950,900,850,800,75
30
25
20
15
10
5
0
2,6
16,3
28,1
27,5
20,9
2,9
1,4
0,3
z
FIGURA 5.15 – Histograma para a variável
γ
/
γ
z
, correspondente aos pilares.
199
γ
γγ
γ
/
//
/ γ
γγ
γ
%
1,151,101,051,000,950,900,850,800,75
40
30
20
10
0
4,9
8,6
18,6
35,6
25,5
4,6
1,11,1
z
FIGURA 5.16 – Histograma para a variável
γ
/
γ
z
, correspondente às vigas.
Observando os histogramas das FIG. 5.15 e 5.16, verifica-se que a razão
γ
/
γ
z
apresenta
valor inferior a 1,05 em 81% dos casos para os pilares e em 87% dos casos para as vigas.
Isto significa que, para a maior parte das situações, a majoração dos momentos em primeira
ordem por
γ
z
forneceria um erro máximo contra a segurança inferior a 5%. Constata-se
também que, no caso dos pilares, as freqüências são maiores para valores de
γ
/
γ
z
situados
entre 0,95 e 1,05. Para as vigas, a freqüência é mais alta no intervalo 0,95 ≤
γ
/
γ
z
< 1,00.
Ressalta-se ainda que apenas cerca de 7% dos valores de
γ
/
γ
z
no caso dos pilares e 12% no
caso das vigas encontram-se fora do intervalo 0,90 ≤
γ
/
γ
z
< 1,10.
Com o objetivo de comparar a distribuição da variável
γ
/
γ
z
para cada edifício analisado,
foram construídos os gráficos do tipo boxplot mostrados nas FIG. 5.17 e 5.18,
correspondentes aos pilares e vigas, respectivamente. Vale comentar que, nestes gráficos, o
segmento horizontal localizado no interior do retângulo representa a mediana, o círculo
representa a média e os asteriscos correspondem às observações discrepantes, denominadas
“outliers”.
200
Edifício
γ
γ
γ
γ
/
/
/
/
γ
γ
γ
γ
XIXVIIIVIIVIVIVIIIIII
1,15
1,10
1,05
1,00
0,95
0,90
0,85
0,80
z
FIGURA 5.17 – Boxplot para a variável
γ
/
γ
z
estratificado por edifício analisado,
correspondente aos pilares.
Edifício
γ
γ
γ
γ
/
/
/
/
γ
γ
γ
γ
XIXVIIIVIIVIVIVIIIIII
1,15
1,10
1,05
1,00
0,95
0,90
0,85
0,80
0,75
z
FIGURA 5.18 – Boxplot para a variável
γ
/
γ
z
estratificado por edifício analisado,
correspondente às vigas.
201
Observando o boxplot da FIG. 5.17 nota-se que, para os pilares, os valores mínimos da
relação
γ
/
γ
z
encontram-se, em 70% dos edifícios analisados, entre 0,88 e 0,93. Por outro
lado, os resultados máximos obtidos estão situados, em 80% dos edifícios estudados, entre
1,08 e 1,11. Verifica-se também que, em todos os edifícios, pelo menos 75% dos resultados
mostram-se inferiores a 1,06. As medidas de tendência central, média e mediana,
apresentam valores diferenciados para cada estrutura, e variam entre 0,95 e 1,01 (média) e
entre 0,95 e 1,02 (mediana). Além disso, os edifícios IV e X apresentam resultados com as
maiores variabilidades, e constata-se a presença de observações não condizentes com as
demais, ou “outliers”, apenas para os edifícios VI e VII, correspondentes a valores de
γ
/
γ
z
iguais a 0,83 e 1,14, respectivamente.
Analisando o boxplot da FIG. 5.18, referente às vigas, observa-se que, de forma semelhante
a que ocorre no caso dos pilares, em 70% dos edifícios analisados, os valores mínimos da
relação
γ
/
γ
z
estão situados entre 0,87 e 0,94. Os resultados máximos obtidos são, em geral,
um pouco superiores àqueles encontrados para os pilares, variando entre 1,09 e 1,14 em
80% dos edifícios estudados. É importante comentar que pelo menos 75% dos resultados
mostram-se inferiores a 1,03, para a maior parte das estruturas (70%), e a 1,08, para os
edifícios IV, VI e VII. A média varia entre 0,93 e 1,00, e a mediana, entre 0,93 e 0,99.
Constata-se ainda que a variabilidade dos resultados obtidos para o edifício IV é bem maior
que aquelas observadas para os demais edifícios. Finalmente, verifica-se a presença de
“outliers” para os edifícios I, III, V e IX. Vale ressaltar que 64% dos “outliers”
correspondem a valores de
γ
/
γ
z
superiores a 1,00.
Buscando avaliar se a relação
γ
/
γ
z
varia significativamente de acordo com o edifício, ou se
os resultados obtidos para os diversos edifícios poderiam ser considerados semelhantes, foi
realizado o teste de Kruskal-Wallis, usualmente empregado para a compararação de três ou
mais grupos. Assim, inicialmente, devem ser definidas duas hipóteses, as denominadas
hipóteses nula e alternativa. A hipótese nula (H
0
) estabelece que os diversos grupos não
diferem significativamente enquanto que, segundo a hipótese alternativa (H
1
), existem
diferenças significativas entre alguns ou todos os grupos.
202
O teste de Kruskal-Wallis envolve a determinação de uma estatística, H, que deve ser
comparada com um valor crítico tabelado. Com base nesta comparação, pode-se decidir
entre rejeitar ou não a hipótese nula.
A estatística H pode ser calculada como:
( )
1N3
n
R
)1N(N
12
H
a
1i
i
2
iT
+−
+
=
∑
=
(5.16)
onde:
• N é o número total de observações;
• a é o número de amostras;
• n
i
representa o número de observações da amostra i;
• R
iT
é o total dos postos da amostra i. Para o cálculo de R
iT
, deve-se ordenar todas as N
observações, da menor para a maior, e atribuir à menor observação o posto 1, à
próxima menor o posto 2, e assim sucessivamente, até que seja atribuído à maior
observação o posto N. Finalmente, o valor de R
iT
é então obtido somando-se os postos
relativos à amostra i.
A hipótese nula deverá ser rejeitada se:
2
1a,
H
−
≥
α
χ
(5.17)
sendo
2
1a, −
α
χ
o valor crítico tabelado [podendo ser encontrado, por exemplo, em
WERKEMA e AGUIAR (1996a)], correspondente à um determinado nível de significância
α
e com a-1 graus de liberdade. O nível de significância
α
representa a probabilidade de
rejeitar a hipótese nula quando ela for verdadeira. Portanto, quanto menor for o valor de
α
,
maior será a confiança na decisão de rejeitar H
0
. Convencionalmente (e neste trabalho)
adota-se
α
= 0,05, o que significa que há uma probabilidade de rejeitar erroneamente H
0
203
igual a 5%. Vale mencionar que, em diversas situações, torna-se conveniente realizar um
teste de hipóteses por meio da comparação entre o nível de signficância
α
e o denominado
valor p, que indica o “peso” da evidência contra H
0
. Assim, se p for pequeno, existe uma
forte evidência para se rejeitar a hipótese nula. De forma geral, pode-se escrever:
• p <
α
⇒ rejeita-se H
0
;
• p
≥
α
⇒ não rejeita-se H
0
.
O valor p pode ser obtido através de tabelas, ou, nos casos mais complexos, utilizando
programas estatísticos. Maiores detalhes relativos à obtenção de p podem ser encontrados
em MONTGOMERY e RUNGER (2003) e LEVIN (1987).
Na TAB. 5.17 estão apresentados os resultados do teste de Kruskal-Wallis para os pilares e
vigas. Observa-se que as estatísticas H mostram-se superiores aos valores críticos
2
9,05,0
χ
e,
portanto, deve-se rejeitar a hipótese nula H
0
em favor da hipótese alternativa H
1
. Dessa
forma é possível concluir que, tanto para os pilares quanto para as vigas, existem diferenças
significativas no valor obtido para a relação
γ
/
γ
z
de acordo com o edifício analisado. Pode-
se chegar a esta mesma conclusão notando que p é inferior ao nível de significância
α
=
0,05.
TABELA 5.17 – Resultados do teste de Kruskal-Wallis para os pilares e vigas
(verificação de diferenças por edifícios)
Item Pilares Vigas
H 30,005 48,386
2
9,05,0
χ
16,92 16,92
p 0,000 0,000
α
0,05 0,05
Conclusão Rejeita-se H
0
Rejeita-se H
0
204
No entanto, o teste não indica quais edifícios são diferentes entre si. Sendo assim, os grupos
são comparados aos pares por meio do teste de Mann-Whitney. Neste teste, a hipótese nula
(H
0
) estabelece que não existem diferenças significativas entre dois grupos enquanto que,
segundo a hipótese alternativa (H
1
), os grupos diferem significativamente.
No caso de amostras com tamanhos superiores a oito, a hipótese nula será rejeitada se:
2/0
zz
α
> (5.18)
sendo z
0
a estatística a ser comparada com o valor crítico tabelado
2/
z
α
, encontrado em
WERKEMA et al. (1996), MONTGOMERY e RUNGER (2003) e LEVIN (1987), entre
outros.
Pode-se calcular z
0
por meio da seguinte expressão:
1w
1w1
0
w
z
σ
µ
−
= (5.19)
onde:
• w
1
é a soma dos postos na amostra menor;
•
µ
w1
é a média da distribuição de w
1
, dada por:
(
)
2
1nnn
211
1w
+
+
=
µ
(5.20)
sendo n
1
e n
2
os números de observações das amostras menor e maior, respectivamente;
•
σ
w1
é o desvio padrão da distribuição de w
1
, definido como:
(
)
12
1nnnn
2121
1w
++
=
σ
(5.21)
205
Os resultados do teste de Mann-Whitney, para todos os pares de edifícios, estão
apresentados nas TAB. 5.18 (correspondente aos pilares) e 5.19 (correspondente às vigas).
Nestas tabelas, observa-se, por meio da comparação entre os valores de
0
z e de
025,0
z
(ou
entre p e
α
) que, tanto para os pilares quanto para as vigas, a hipótese nula não é rejeitada
em 62% dos casos. Isto significa que a maior parte dos pares comparados não apresenta
diferenças significativas com relação ao valor de
γ
/
γ
z
obtido.
É interessante também estudar a distribuição da variável
γ
/
γ
z
levando em conta a possível
simetria da estrutura e da direção considerada. Assim, foram construídos os boxplots das
FIG. 5.19, 5.21 (correspondentes aos pilares) e das FIG. 5.20 e 5.22 (correspondentes às
vigas). Nos gráficos da FIG. 5.19 e 5.20 o grupo das estruturas “simétricas” é constituído
pelos edifícios I, IV, VI e X (apenas os duplamente simétricos), sendo os demais edifícios
pertencentes ao grupo das estruturas “não simétricas”, conforme mostra a TAB. 5.20. Os
boxplots apresentados nas FIG. 5.21 e 5.22 foram construídos utilizando os dados da TAB.
5.21, na qual as direções correspondentes a todos os edifícios são classificadas como sendo
ou não simétricas. Dessa forma, uma estrutura “não simétrica”, isto é, que não possui dupla
simetria, pode apresentar alguma direção simétrica, como é o caso do edifício V.
Nota-se no boxplot da FIG. 5.19 que, para os pilares, a relação
γ
/
γ
z
varia entre 0,78 e 1,11,
no caso das estruturas “simétricas”, e entre 0,88 e 1,14, considerando as estruturas “não
simétricas”. Observa-se também que as estruturas “não simétricas” apresentam maiores
média e mediana que as “simétricas” e estas, por sua vez, possuem resultados com maior
variabilidade. Vale ressaltar que nos edifícios duplamente simétricos, 75% dos resultados
mostram-se inferiores a 1,02; este valor aumenta para 1,04 no caso das estruturas “não
simétricas”. Constata-se ainda a presença de um “outlier” para as estruturas “simétricas”,
correspondente a
γ
/
γ
z
= 0,78.
206
TABELA 5.18 – Resultados do teste de Mann-Whitney para os pilares
(verificação de diferenças por edifícios)
Edifícios
0
z
025,0
z
p
α
αα
α
Conclusão
I x II 0,456 1,96 0,653 0,05 Não rejeita-se H
0
I x III 0,801 1,96 0,427 0,05 Não rejeita-se H
0
I x IV 2,774 1,96 0,005 0,05 Rejeita-se H
0
I x V 0,116 1,96 0,910 0,05 Não rejeita-se H
0
I x VI 1,695 1,96 0,091 0,05 Não rejeita-se H
0
I x VII 1,734 1,96 0,083 0,05 Não rejeita-se H
0
I x VIII 0,277 1,96 0,785 0,05 Não rejeita-se H
0
I x IX 1,034 1,96 0,305 0,05 Não rejeita-se H
0
I x X 2,702 1,96 0,006 0,05 Rejeita-se H
0
II x III 0,715 1,96 0,478 0,05 Não rejeita-se H
0
II x IV 2,954 1,96 0,003 0,05 Rejeita-se H
0
II x V 0,174 1,96 0,864 0,05 Não rejeita-se H
0
II x VI 2,550 1,96 0,010 0,05 Rejeita-se H
0
II x VII 2,247 1,96 0,024 0,05 Rejeita-se H
0
II x VIII 0,514 1,96 0,612 0,05 Não rejeita-se H
0
II x IX 0,177 1,96 0,862 0,05 Não rejeita-se H
0
II x X 2,663 1,96 0,007 0,05 Rejeita-se H
0
III x IV 2,337 1,96 0,019 0,05 Rejeita-se H
0
III x V 0,646 1,96 0,521 0,05 Não rejeita-se H
0
III x VI 1,307 1,96 0,195 0,05 Não rejeita-se H
0
III x VII 0,579 1,96 0,566 0,05 Não rejeita-se H
0
III x VIII 0,568 1,96 0,574 0,05 Não rejeita-se H
0
III x IX 0,969 1,96 0,336 0,05 Não rejeita-se H
0
III x X 1,664 1,96 0,097 0,05 Não rejeita-se H
0
IV x V 2,789 1,96 0,005 0,05 Rejeita-se H
0
IV x VI 0,687 1,96 0,500 0,05 Não rejeita-se H
0
IV x VII 1,815 1,96 0,070 0,05 Não rejeita-se H
0
IV x VIII 2,786 1,96 0,004 0,05 Rejeita-se H
0
IV x IX 3,322 1,96 0,001 0,05 Rejeita-se H
0
IV x X 0,915 1,96 0,364 0,05 Não rejeita-se H
0
V x VI 1,640 1,96 0,102 0,05 Não rejeita-se H
0
V x VII 1,372 1,96 0,172 0,05 Não rejeita-se H
0
V x VIII 0,010 1,96 0,994 0,05 Não rejeita-se H
0
V x IX 0,664 1,96 0,510 0,05 Não rejeita-se H
0
V x X 2,480 1,96 0,013 0,05 Rejeita-se H
0
VI x VII 0,396 1,96 0,699 0,05 Não rejeita-se H
0
VI x VIII 2,314 1,96 0,020 0,05 Rejeita-se H
0
VI x IX 2,866 1,96 0,003 0,05 Rejeita-se H
0
VI x X 0,435 1,96 0,670 0,05 Não rejeita-se H
0
VII x VIII 2,007 1,96 0,045 0,05 Rejeita-se H
0
VII x IX 2,975 1,96 0,003 0,05 Rejeita-se H
0
VII x X 1,566 1,96 0,118 0,05 Não rejeita-se H
0
VIII x IX 0,516 1,96 0,609 0,05 Não rejeita-se H
0
VIII x X 2,663 1,96 0,007 0,05 Rejeita-se H
0
IX x X 3,373 1,96 0,001 0,05 Rejeita-se H
0
207
TABELA 5.19 – Resultados do teste de Mann-Whitney para as vigas
(verificação de diferenças por edifícios)
Edifícios
0
z
025,0
z
p
α
αα
α
Conclusão
I x II 5,681 1,96 0,000 0,05 Rejeita-se H
0
I x III 4,152 1,96 0,000 0,05 Rejeita-se H
0
I x IV 0,325 1,96 0,750 0,05 Não rejeita-se H
0
I x V 5,843 1,96 0,000 0,05 Rejeita-se H
0
I x VI 2,103 1,96 0,035 0,05 Rejeita-se H
0
I x VII 3,520 1,96 0,000 0,05 Rejeita-se H
0
I x VIII 5,260 1,96 0,000 0,05 Rejeita-se H
0
I x IX 3,339 1,96 0,001 0,05 Rejeita-se H
0
I x X 3,608 1,96 0,000 0,05 Rejeita-se H
0
II x III 2,371 1,96 0,017 0,05 Rejeita-se H
0
II x IV 1,831 1,96 0,067 0,05 Não rejeita-se H
0
II x V 0,408 1,96 0,686 0,05 Não rejeita-se H
0
II x VI 0,497 1,96 0,626 0,05 Não rejeita-se H
0
II x VII 0,616 1,96 0,542 0,05 Não rejeita-se H
0
II x VIII 0,090 1,96 0,931 0,05 Não rejeita-se H
0
II x IX 2,673 1,96 0,007 0,05 Rejeita-se H
0
II x X 3,227 1,96 0,001 0,05 Rejeita-se H
0
III x IV 1,118 1,96 0,267 0,05 Não rejeita-se H
0
III x V 2,465 1,96 0,013 0,05 Rejeita-se H
0
III x VI 0,905 1,96 0,372 0,05 Não rejeita-se H
0
III x VII 0,890 1,96 0,377 0,05 Não rejeita-se H
0
III x VIII 2,894 1,96 0,003 0,05 Rejeita-se H
0
III x IX 0,305 1,96 0,763 0,05 Não rejeita-se H
0
III x X 0,724 1,96 0,473 0,05 Não rejeita-se H
0
IV x V 1,737 1,96 0,083 0,05 Não rejeita-se H
0
IV x VI 1,217 1,96 0,229 0,05 Não rejeita-se H
0
IV x VII 1,656 1,96 0,099 0,05 Não rejeita-se H
0
IV x VIII 1,889 1,96 0,059 0,05 Não rejeita-se H
0
IV x IX 1,188 1,96 0,238 0,05 Não rejeita-se H
0
IV x X 1,197 1,96 0,234 0,05 Não rejeita-se H
0
V x VI 0,157 1,96 0,880 0,05 Não rejeita-se H
0
V x VII 0,485 1,96 0,631 0,05 Não rejeita-se H
0
V x VIII 0,810 1,96 0,421 0,05 Não rejeita-se H
0
V x IX 2,562 1,96 0,010 0,05 Rejeita-se H
0
V x X 3,007 1,96 0,002 0,05 Rejeita-se H
0
VI x VII 0,052 1,96 0,963 0,05 Não rejeita-se H
0
VI x VIII 0,497 1,96 0,626 0,05 Não rejeita-se H
0
VI x IX 0,701 1,96 0,490 0,05 Não rejeita-se H
0
VI x X 0,647 1,96 0,525 0,05 Não rejeita-se H
0
VII x VIII 0,643 1,96 0,524 0,05 Não rejeita-se H
0
VII x IX 1,204 1,96 0,231 0,05 Não rejeita-se H
0
VII x X 1,440 1,96 0,151 0,05 Não rejeita-se H
0
VIII x IX 2,701 1,96 0,006 0,05 Rejeita-se H
0
VIII x X 2,874 1,96 0,004 0,05 Rejeita-se H
0
IX x X 0,212 1,96 0,835 0,05 Não rejeita-se H
0
208
TABELA 5.20 – Classificação das estruturas: “simétricas” e “não simétricas”
Estruturas “Simétricas” Estruturas “Não Simétricas”
Edifício I Edifício II
Edifício IV Edifício III
Edifício VI Edifício V
Edifício X Edifício VII
- Edifício VIII
- Edifício IX
TABELA 5.21 – Classificação das direções: “simétricas” e “não simétricas”
Direções “Simétricas” Direções “Não Simétricas”
Edifício I - Direção X Edifício II - Direção X
Edifício I - Direção Y Edifício II - Direção Y
Edifício III - Direção Y Edifício III - Direção X
Edifício IV - Direção X = Y Edifício V - Direção X
Edifício V - Direção Y Edifício VII - Direção X
Edifício VI - Direção X = Y Edifício VII - Direção Y
Edifício VIII - Direção Y Edifício VIII - Direção X
Edifício X - Direção X Edifício IX - Direção X
Edifício X - Direção Y Edifício IX - Direção Y
Estruturas
γ
γ
γ
γ
/
/
/
/
γ
γ
γ
γ
Não SimétricasSimétricas
1,15
1,10
1,05
1,00
0,95
0,90
0,85
0,80
z
FIGURA 5.19 – Boxplot para a variável
γ
/
γ
z
estratificado pela simetria das estruturas,
correspondente aos pilares.
209
Estruturas
γ
γ
γ
γ
/
/
/
/
γ
γ
γ
γ
Não SimétricasSimétricas
1,15
1,10
1,05
1,00
0,95
0,90
0,85
0,80
0,75
z
FIGURA 5.20 – Boxplot para a variável
γ
/
γ
z
estratificado pela simetria das estruturas,
correspondente às vigas.
Direções
γ
γ
γ
γ
/
/
/
/
γ
γ
γ
γ
Não SimétricasSimétricas
1,15
1,10
1,05
1,00
0,95
0,90
0,85
0,80
z
FIGURA 5.21 – Boxplot para a variável
γ
/
γ
z
estratificado pela simetria das direções,
correspondente aos pilares.
210
Direções
γ
γ
γ
γ
/
/
/
/
γ
γ
γ
γ
Não SimétricasSimétricas
1,15
1,10
1,05
1,00
0,95
0,90
0,85
0,80
0,75
z
FIGURA 5.22 – Boxplot para a variável
γ
/
γ
z
estratificado pela simetria das direções,
correspondente às vigas.
Analisando o boxplot da FIG. 5.20, correspondente às vigas, observa-se que os valores
obtidos para a relação
γ
/
γ
z
estão situados entre 0,77 e 1,14, para as estruturas “simétricas”,
e entre 0,85 e 1,14, considerando as estruturas “não simétricas”. Verifica-se também que,
como ocorre no caso dos pilares, as estruturas “simétricas” apresentam maior variabilidade,
porém menores média e mediana que as “não simétricas”. Além disso, em ambos os grupos
de edifícios, pelo menos 75% dos resultados mostram-se inferiores a 1,02. Vale comentar
que as estruturas “não simétricas” apresentam duas observações discrepantes,
correspondentes a valores de
γ
/
γ
z
iguais a 1,13 e 1,14.
Os boxplots representados nas FIG. 5.21 e 5.22 (estratificados pela simetria das direções)
mostram-se bastante semelhantes aos das FIG. 5.19 e 5.20 (estratificados pela simetria das
estruturas), respectivamente. Assim, pode-se afirmar que, para os pilares (FIG. 5.21), a
relação
γ
/
γ
z
varia entre 0,78 e 1,11, considerando as direções “simétricas”, e entre 0,90 e
1,14, no caso das direções “não simétricas”. As direções “não simétricas” apresentam
211
maiores média e mediana que as “simétricas” e estas, por sua vez, possuem resultados com
maior variabilidade. Ressalta-se que, nas direções “simétricas”, 75% dos resultados
mostram-se inferiores a 1,03; no caso das direções “não simétricas” este valor sofre um
pequeno aumento, tornando-se igual a 1,04. Finalmente, verifica-se a presença de um
“outlier” para as direções “simétricas”, correspondente a
γ
/
γ
z
= 0,78.
O boxplot da FIG. 5.22, referente às vigas, mostra que os valores obtidos para a relação
γ
/
γ
z
estão situados entre 0,77 e 1,14, para as direções “simétricas”, e entre 0,87 e 1,13,
considerando as direções “não simétricas”. Novamente, as direções “simétricas”
apresentam maior variabilidade, porém menores média e mediana que as “não simétricas”.
Vale ressaltar que, nas duas direções, pelo menos 75% dos resultados mostram-se inferiores
a 1,02. Além disso, tanto as direções “simétricas” quanto as “não simétricas” apresentam
observações discrepantes, sendo a maior parte delas correspondentes a valores de
γ
/
γ
z
superiores a 1,10.
Com o objetivo de verificar se existem evidências estatísticas de que as estruturas (ou
direções) “simétricas” sejam diferentes das estruturas (ou direções) “não simétricas”, em
relação ao valor de
γ
/
γ
z
obtido, foi realizado o teste de Mann-Whitney. Novamente, a
hipótese nula (H
0
) estabelece que não existem diferenças significativas entre os dois
grupos enquanto que, segundo a hipótese alternativa (H
1
), os grupos diferem
significativamente.
Os resultados do teste de Mann-Whitney, para os pilares e vigas, estão apresentados nas
TAB. 5.22 (correspondentes aos dois tipos de estruturas) e 5.23 (correspondentes aos dois
tipos de direções). Nestas tabelas, verifica-se que os valores de
0
z mostram-se superiores
aos valores críticos
025,0
z
e, portanto, a hipótese nula H
0
deve ser rejeitada. Assim, pode-se
afirmar que, tanto para os pilares quanto para as vigas, existem diferenças relevantes na
variável
γ
/
γ
z
de acordo com o tipo de estrutura e de direção considerada (“simétricas” ou
“não simétricas”), ou seja, a presença ou não de simetria influencia significativamente o
212
valor de
γ
/
γ
z
. Vale ressaltar que é possível chegar a esta mesma conclusão notando que, em
todos os casos, p é inferior ao nível de significância
α
= 0,05.
TABELA 5.22 – Resultados do teste de Mann-Whitney para os pilares e vigas
(verificação de diferenças por estruturas: “simétricas” x “não simétricas”)
Item Pilares Vigas
0
z
3,690 4,817
025,0
z
1,96 1,96
p 0,000 0,000
α
0,05 0,05
Conclusão Rejeita-se H
0
Rejeita-se H
0
TABELA 5.23 – Resultados do teste de Mann-Whitney para os pilares e vigas
(verificação de diferenças por direções: “simétricas” x “não simétricas”)
Item Pilares Vigas
0
z
4,036 3,651
025,0
z
1,96 1,96
p 0,000 0,000
α
0,05 0,05
Conclusão Rejeita-se H
0
Rejeita-se H
0
A distribuição da variável
γ
/
γ
z
foi também avaliada levando em conta os valores de
γ
z
obtidos para cada direção dos edifícios. Dessa forma, os gráficos foram construídos
considerando três intervalos de variação do coeficiente
γ
z
, conforme mostra a TAB. 5.24.
Nas FIG. 5.23 e 5.24 estão apresentados os boxplots correspondentes aos pilares e vigas,
respectivamente.
Na FIG. 5.23 nota-se que, para os pilares, a relação
γ
/
γ
z
varia entre aproximadamente 0,90
e 1,14 no intervalo 1, 0,83 e 1,09 no intervalo 2 e 0,78 e 1,11 no intervalo 3. Verifica-se
também que a mediana gira em torno de 1,00 para os três intervalos; a média, por sua vez,
apresenta valores bastante próximos nos intervalos 2 e 3, e ligeiramente inferiores ao valor
observado para o 1º intervalo. É importante comentar que os resultados apresentam maior
213
variabilidade no caso em que
γ
z
≥ 1,3. Ressalta-se ainda que 75% das observações
mostram-se inferiores a 1,05, 1,02 e 1,03 nos intervalos 1, 2 e 3, respectivamente. Além
disso, constata-se a presença de um “outlier” para o 3º intervalo, correspondente a
γ
/
γ
z
=
0,78.
TABELA 5.24 – Classificação dos edifícios e direções segundo os valores de
γ
z
obtidos
Intervalo de Variação de
γ
γγ
γ
z
Intervalo 1:
γ
γγ
γ
z
< 1,2 Intervalo 2: 1,2
≤
≤≤
≤
γ
γγ
γ
z
< 1,3 Intervalo 3:
γ
γγ
γ
z
≥
≥≥
≥
1,3
Edifício I - Direção X Edifício V - Direção Y Edifício II - Direção X
Edifício I - Direção Y Edifício VI - Direção X = Y
Edifício III - Direção Y
Edifício II - Direção Y Edifício VII - Direção X Edifício IV - Direção X = Y
Edifício III - Direção X Edifício VIII - Direção Y Edifício VIII - Direção X
Edifício V - Direção X Edifício IX - Direção Y Edifício IX - Direção X
Edifício VII - Direção Y Edifício X - Direção Y Edifício X - Direção X
Intervalo de variação de
γ
γ
γ
γ
/
/
/
/
γ
γ
γ
γ
321
1,15
1,10
1,05
1,00
0,95
0,90
0,85
0,80
z
γ
γγ
γ
z
FIGURA 5.23 – Boxplot para a variável
γ
/
γ
z
estratificado por intervalo de variação de
γ
z
,
correspondente aos pilares.
214
Intervalo de variação de
γ
γ
γ
γ
/
/
/
/
γ
γ
γ
γ
321
1,15
1,10
1,05
1,00
0,95
0,90
0,85
0,80
0,75
z
γ
γγ
γ
z
FIGURA 5.24 – Boxplot para a variável
γ
/
γ
z
estratificado por intervalo de variação de
γ
z
,
correspondente às vigas.
Analisando o boxplot da FIG. 5.24, correspondente às vigas, observa-se que os valores
obtidos para a relação
γ
/
γ
z
estão situados entre 0,89 e 1,13, no caso em que
γ
z
< 1,2, 0,85 e
1,14, quando 1,2 ≤
γ
z
< 1,3 e 0,77 e 1,14, para a situação na qual
γ
z
≥ 1,3. Em todos os
intervalos, a mediana gira em torno de 0,97. Por outro lado, nota-se que os valores médios
obtidos para os intervalos 1 e 2 são praticamente iguais, e um pouco superiores ao valor
observado para o intervalo 3. Constata-se também que, como ocorre no caso dos pilares, o
3° intervalo apresenta resultados com maior variabilidade. Vale comentar que, nos três
intervalos, pelo menos 75% das observações mostram-se inferiores a 1,02. Finalmente,
verifica-se a presença de observações discrepantes nos intervalos 1 (correspondentes a
valores de
γ
/
γ
z
iguais ou superiores a 1,09) e 3 (correspondentes a valores de
γ
/
γ
z
iguais a
0,77 e 0,79).
O teste de Kruskal-Wallis foi novamente empregado para verificar se a relação
γ
/
γ
z
varia
significativamente de acordo com o intervalo considerado, ou se os resultados obtidos para
215
os três intervalos poderiam ser considerados semelhantes. Assim, segundo a hipótese nula
(H
0
), os três grupos não diferem significativamente, enquanto que a hipótese alternativa
(H
1
) estabelece que existem diferenças significativas entre alguns ou todos os grupos.
Na TAB. 5.25 estão apresentados os resultados do teste de Kruskal-Wallis para os pilares e
vigas. Observa-se que, no caso das vigas, a estatística H mostra-se inferior a
2
2,05,0
χ
(e p >
α
) e, portanto, pode-se afirmar que não há diferença significativa entre os três intervalos
com relação ao valor obtido para a razão
γ
/
γ
z
(a hipótese nula não é rejeitada). Para os
pilares, H >
2
2,05,0
χ
(e p <
α
), e, dessa forma, é possível concluir que existem diferenças
relevantes no valor de
γ
/
γ
z
, de acordo com o intervalo considerado (rejeita-se H
0
). No
entanto, uma vez que o teste não indica quais intervalos são diferentes entre si, os grupos
são comparados aos pares por meio do teste de Mann-Whitney. Os resultados obtidos
encontram-se na TAB. 5.26. Nesta tabela, observa-se, por meio da comparação entre os
valores de
0
z e de
025,0
z
(ou entre p e
α
), que existem diferenças significativas para
γ
/
γ
z
apenas entre os intervalos 1 e 2, sendo o 3° intervalo semelhante aos outros dois. Assim, os
resultados correspondentes à situação na qual
γ
z
≥ 1,3 podem ser considerados
intermediários entre aqueles obtidos para os casos em que
γ
z
< 1,2 e 1,2 ≤
γ
z
< 1,3.
TABELA 5.25 – Resultados do teste de Kruskal-Wallis para os pilares e vigas
(verificação de diferenças por intervalos de variação de
γ
z
)
Item Pilares Vigas
H 7,477 0,393
2
2,05,0
χ
5,99 5,99
p 0,024 0,822
α
0,05 0,05
Conclusão Rejeita-se H
0
Não rejeita-se H
0
216
TABELA 5.26 – Resultados do teste de Mann-Whitney para os pilares
(verificação de diferenças por intervalos de variação de
γ
z
)
Intervalos
0
z
025,0
z
p
α
αα
α
Conclusão
1 x 2 2,655 1,96 0,008 0,05 Rejeita-se H
0
1 x 3 1,931 1,96 0,053 0,05 Não rejeita-se H
0
2 x 3 0,805 1,96 0,422 0,05 Não rejeita-se H
0
b) Análise de Correlação
Nesta etapa, é avaliada a correlação entre as variáveis envolvidas no estudo, as relações y/h
e
γ
/
γ
z
.
Segundo LEVIN (1987), na maior parte dos casos, os pesquisadores buscam estabelecer
correlações lineares entre as variáveis. Dessa forma, usualmente o grau de correlação entre
duas variáveis quantitativas X e Y é medido através do coeficiente de correlação linear de
Pearson, que oscila entre -1,00 e +1,00. Se positivo, as duas variáveis apresentam uma
relação direta (quanto maior o valor de uma variável, maior o valor da outra). Caso o
coeficiente de Pearson seja negativo há uma relação inversa. Finalmente, um valor próximo
de zero indica que não há uma associação linear entre as duas variáveis.
O coeficiente de correlação de Pearson (r) pode ser calculado por:
−⋅
−
−
=
∑ ∑∑ ∑
∑ ∑ ∑
= == =
= = =
N
1i
2
N
1i
i
2
i
N
1i
2
N
1i
i
2
i
N
1i
N
1i
N
1i
iiii
YYNXXN
YXYXN
r (5.22)
onde:
• N é o número de pares de observações (“duplas” formadas de X e Y);
• X
i
é a observação i da variável X;
• Y
i
é a observação i da variável Y.
217
Vale comentar que o coeficiente de Pearson fornece uma medida do grau de correlação
linear existente entre as variáveis em uma determinada amostra. Para verficar se a
associação obtida entre X e Y realmente existe na população, é necessário testar a
significância do coeficiente r encontrado. Dessa forma, são estabelecidas as seguintes
hipóteses:
• Hipótese nula (H
0
): não existe correlação na população, ou seja, r = 0;
• Hipótese alternativa (H
1
): existe correlação na população, isto é, r ≠ 0;
A hipótese nula será rejeitada se o coeficiente r for igual ou superior, em módulo, a um
valor crítico tabelado (correspondente a um determinado nível de significância
α
e com
N - 2 graus de liberdade), ou, de forma análoga aos testes de hipóteses anteriormente
realizados, diretamente a partir da constatação de que o valor p obtido é inferior à
α
.
As TAB. 5.27 e 5.28 apresentam os coeficientes de correlação de Pearson e os resultados
do teste de significância correspondentes às variáveis estudadas, para os pilares e vigas,
respectivamente. É importante notar que a associação entre as variáveis foi também
avaliada considerando-se a transformação da razão y/h através das funções logarítmica
(base e) e exponencial.
TABELA 5.27 – Resultados da análise de correlação para os pilares
Variável X Variável Y r p
α
αα
α
Conclusão
y/h
γ
/
γ
z
-0,168 0,002 0,05 Rejeita-se H
0
ln(y/h)
γ
/
γ
z
-0,173 0,001 0,05 Rejeita-se H
0
e
y/h
γ
/
γ
z
-0,158 0,003 0,05 Rejeita-se H
0
TABELA 5.28 – Resultados da análise de correlação para as vigas
Variável X Variável Y r p
α
αα
α
Conclusão
y/h
γ
/
γ
z
0,066 0,221 0,05 Não rejeita-se H
0
ln(y/h)
γ
/
γ
z
0,149 0,005 0,05 Rejeita-se H
0
e
y/h
γ
/
γ
z
0,040 0,453 0,05 Não rejeita-se H
0
218
Observa-se na TAB. 5.27 que, no caso dos pilares, existe uma correlação negativa entre as
variáveis y/h e
γ
/
γ
z
, o que significa que quanto maior a relação y/h, menor o valor de
γ
/
γ
z
.
Além disso, como p é inferior a
α
, rejeita-se a hipótese nula H
0
, e, dessa forma, pode-se
afirmar que a associação obtida realmente existe na população. Estas conclusões são
também válidas considerando a razão y/h transformada, ln(y/h) e e
y/h
.
Na TAB. 5.28 verifica-se que, para as vigas, há uma correlação positiva entre as variáveis
y/h e
γ
/
γ
z
(bem como entre ln(y/h) e
γ
/
γ
z
, e entre e
y/h
e
γ
/
γ
z
). Porém, analisando os valores
de p obtidos, nota-se que apenas a correlação entre ln(y/h) e
γ
/
γ
z
é significativa, ou seja,
existe de fato na população. Assim, pode-se afirmar que a relação
γ
/
γ
z
está
significativamente associada com o logarítimo de y/h, apresentando maiores valores à
medida que ln(y/h) aumenta.
A análise de correlação foi também realizada levando em conta a possível simetria da
estrutura e da direção (conforme mostram as TAB. 5.20 e 5.21, respectivamente) e
considerando os intervalos de variação de
γ
z
definidos na TAB. 5.24. Os coeficientes de
correlação de Pearson e os resultados do teste de significância, para os pilares e vigas, estão
apresentados nas TAB. 5.29 a 5.34. Novamente a associação entre as variáveis foi também
avaliada considerando-se a transformação da razão y/h através das funções logarítmica
(base e) e exponencial.
TABELA 5.29 – Resultados da análise de correlação para as estruturas
“simétricas” e “não simétricas”, correspondentes aos pilares
Estruturas Variável X Variável Y
r p
α
αα
α
Conclusão
y/h
γ
/
γ
z
-0,168 0,070 0,05 Não rejeita-se H
0
ln(y/h)
γ
/
γ
z
-0,189 0,041 0,05 Rejeita-se H
0
“Simétricas”
e
y/h
γ
/
γ
z
-0,152 0,101 0,05 Não rejeita-se H
0
y/h
γ
/
γ
z
-0,177 0,007 0,05 Rejeita-se H
0
ln(y/h)
γ
/
γ
z
-0,172 0,009 0,05 Rejeita-se H
0
“Não
Simétricas”
e
y/h
γ
/
γ
z
-0,169 0,010 0,05 Rejeita-se H
0
219
TABELA 5.30 – Resultados da análise de correlação para as estruturas
“simétricas” e “não simétricas”, correspondentes às vigas
Estruturas Variável X Variável Y
r p
α
αα
α
Conclusão
y/h
γ
/
γ
z
0,095 0,310 0,05 Não rejeita-se H
0
ln(y/h)
γ
/
γ
z
0,203 0,028 0,05 Rejeita-se H
0
“Simétricas”
e
y/h
γ
/
γ
z
0,058 0,535 0,05 Não rejeita-se H
0
y/h
γ
/
γ
z
0,049 0,460 0,05 Não rejeita-se H
0
ln(y/h)
γ
/
γ
z
0,118 0,074 0,05 Não rejeita-se H
0
“Não
Simétricas”
e
y/h
γ
/
γ
z
0,030 0,648 0,05 Não Rejeita-se H
0
TABELA 5.31 – Resultados da análise de correlação para as direções
“simétricas” e “não simétricas”, correspondentes aos pilares
Direções Variável X Variável Y
r p
α
αα
α
Conclusão
y/h
γ
/
γ
z
-0,251 0,001 0,05 Rejeita-se H
0
ln(y/h)
γ
/
γ
z
-0,229 0,002 0,05 Rejeita-se H
0
“Simétricas”
e
y/h
γ
/
γ
z
-0,253 0,001 0,05 Rejeita-se H
0
y/h
γ
/
γ
z
-0,073 0,344 0,05 Não rejeita-se H
0
ln(y/h)
γ
/
γ
z
-0,112 0,142 0,05 Não rejeita-se H
0
“Não
Simétricas”
e
y/h
γ
/
γ
z
-0,045 0,554 0,05 Não rejeita-se H
0
TABELA 5.32 – Resultados da análise de correlação para as direções
“simétricas” e “não simétricas”, correspondentes às vigas
Direções Variável X Variável Y
r p
α
αα
α
Conclusão
y/h
γ
/
γ
z
-0,034 0,649 0,05 Não rejeita-se H
0
ln(y/h)
γ
/
γ
z
0,104 0,169 0,05 Não rejeita-se H
0
“Simétricas”
e
y/h
γ
/
γ
z
-0,077 0,310 0,05 Não rejeita-se H
0
y/h
γ
/
γ
z
0,214 0,005 0,05 Rejeita-se H
0
ln(y/h)
γ
/
γ
z
0,223 0,003 0,05 Rejeita-se H
0
“Não
Simétricas”
e
y/h
γ
/
γ
z
0,211 0,005 0,05 Rejeita-se H
0
220
TABELA 5.33 – Resultados da análise de correlação para os
intervalos de variação de
γ
z
, correspondentes aos pilares
Intervalo Variável X Variável Y r p
α
αα
α
Conclusão
y/h
γ
/
γ
z
-0,050 0,603 0,05 Não rejeita-se H
0
ln(y/h)
γ
/
γ
z
-0,181 0,058 0,05 Não rejeita-se H
0
1º:
γ
γγ
γ
z
< 1,2
e
y/h
γ
/
γ
z
0,008 0,935 0,05 Não rejeita-se H
0
y/h
γ
/
γ
z
-0,268 0,004 0,05 Rejeita-se H
0
ln(y/h)
γ
/
γ
z
-0,226 0,016 0,05 Rejeita-se H
0
2º:
1,2
≤
≤≤
≤
γ
γγ
γ
z
< 1,3
e
y/h
γ
/
γ
z
-0,286 0,002 0,05 Rejeita-se H
0
y/h
γ
/
γ
z
-0,196 0,028 0,05 Rejeita-se H
0
ln(y/h)
γ
/
γ
z
-0,141 0,116 0,05 Não rejeita-se H
0
3º:
γ
γγ
γ
z
≥
≥≥
≥
1,3
e
y/h
γ
/
γ
z
-0,202 0,024 0,05 Rejeita-se H
0
TABELA 5.34 – Resultados da análise de correlação para os
intervalos de variação de
γ
z
, correspondentes às vigas
Intervalo Variável X Variável Y r p
α
αα
α
Conclusão
y/h
γ
/
γ
z
0,079 0,413 0,05 Não rejeita-se H
0
ln(y/h)
γ
/
γ
z
0,087 0,364 0,05 Não rejeita-se H
0
1º:
γ
γγ
γ
z
< 1,2
e
y/h
γ
/
γ
z
0,074 0,441 0,05 Não rejeita-se H
0
y/h
γ
/
γ
z
0,079 0,403 0,05 Não rejeita-se H
0
ln(y/h)
γ
/
γ
z
0,160 0,091 0,05 Não rejeita-se H
0
2º:
1,2
≤
≤≤
≤
γ
γγ
γ
z
< 1,3
e
y/h
γ
/
γ
z
0,056 0,558 0,05 Não rejeita-se H
0
y/h
γ
/
γ
z
0,048 0,591 0,05 Não rejeita-se H
0
ln(y/h)
γ
/
γ
z
0,180 0,044 0,05 Rejeita-se H
0
3º:
γ
γγ
γ
z
≥
≥≥
≥
1,3
e
y/h
γ
/
γ
z
0,008 0,927 0,05 Não rejeita-se H
0
Observa-se na TAB. 5.29, correspondente aos pilares, que, no caso das estruturas
“simétricas”, apenas a associação (negativa) entre ln(y/h) e
γ
/
γ
z
é significativa. Por outro
lado, para as estruturas “não simétricas”, pode-se afirmar que todas as correlações
avaliadas, negativas, existem na população.
Na TAB. 5.30, referente às vigas, verifica-se que, para as estruturas “simétricas”, a relação
γ
/
γ
z
está significativamente associada apenas com o logarítimo de y/h, e, neste caso, a
correlação obtida é positiva. No caso das estruturas “não simétricas” não existe qualquer
correlação significativa entre as variáveis envolvidas no estudo.
221
Nota-se na TAB. 5.31 que, para os pilares, há uma correlação negativa significativa entre
y/h e
γ
/
γ
z
(bem como entre ln(y/h) e
γ
/
γ
z
, e entre e
y/h
e
γ
/
γ
z
), considerando as direções
“simétricas”. Por outro lado, não existe qualquer associação significativa entre as variáveis
envolvidas no estudo considerando as direções “não simétricas”.
Contrariamente, no caso das vigas, TAB. 5.32, as direções “simétricas” não apresentam
associações significativas, enquanto que, para as direções “não simétricas”, todas as
correlações avaliadas (positivas) existem na população.
Na TAB. 5.33, correpondente aos pilares, observa-se que, no 1º intervalo de variação de
γ
z
,
nenhuma das correlações avaliadas é significativa, enquanto que, no 2º intervalo, a relação
γ
/
γ
z
está significativamente associada com as variáveis y/h, ln(y/h) e e
y/h
, sendo todas as
associações negativas. Considerando os casos em que
γ
z
≥
1,3, constata-se que as
correlações negativas obtidas entre y/h e
γ
/
γ
z
(bem como entre e
y/h
e
γ
/
γ
z
) existem na
população.
Finalmente, verifica-se na TAB. 5.34, referente às vigas, que, considerando os 1º e 2º
intervalos de variação de
γ
z
, não existe qualquer correlação significativa entre as variáveis
estudadas. E, no 3º intervalo, apenas a associação (positiva) entre ln(y/h) e
γ
/
γ
z
é
significativa.
Vale ressaltar que coeficientes de correlação estatisticamente significantes não apresentam
necessariamente uma significância prática. Assim, os coeficientes anteriormente obtidos,
muitas vezes próximos de zero, são apenas “indicadores” de uma tendência, havendo
observações que não seguem este padrão. Dessa forma, o relacionamento existente entre as
variáveis envolvidas no estudo será melhor avaliado utilizando a técnica de análise de
regressão, apresentada no próximo item.
222
c) Análise de Regressão
No presente item busca-se, por meio da análise de regressão, estabelecer uma equação que
expresse o relacionamento entre as variáveis
γ
/
γ
z
(variável resposta ou dependente Y) e y/h
(variável explicativa ou independente X).
Inicialmente foi ajustado um modelo do tipo Y = a + b
⋅
X. Neste modelo, os parâmetros a e
b são dados por:
∑∑
==
==−=
N
1i
i
_
N
1i
i
___
Y
N
1
Y,X
N
1
X,XbYa
(5.23)
−=
−=
=
∑
∑
=
=
N
1i
2
_
iXX
N
1i
_
iiXY
XX
XY
XXS
XXYS
S
S
b (5.24)
onde:
• N é o número de pares de observações (“duplas” formadas de X e Y);
• X
i
é a observação i da variável X;
• Y
i
é a observação i da variável Y.
A partir da definição dos parâmetros do modelo, deve-se testar a significância da regressão.
Assim, definem-se as hipóteses nula H
0
e alternativa H
1
, sendo:
• H
0
: b = 0;
• H
1
: b
≠
0.
Caso a hipótese nula não seja rejeitada pode-se concluir que X é pouco importante para
explicar a variação em Y, ou que a relação verdadeira entre X e Y não é linear. Por outro
223
lado, rejeitar H
0
indica que X é importante para explicar a variabilidade em Y. Isto pode
significar que a reta ajustada é realmente adequada para representar o relacionamento entre
as variáveis X e Y, ou que, embora haja um efeito linear, outros modelos (incluindo, por
exemplo, termos polinomiais de ordem mais elevada em X) poderiam conduzir a melhores
resultados.
O teste de significância da regressão pode ser realizado utilizando o procedimento de
análise de variância, cuja equação básica é escrita como:
SQ
T
= SQ
R
+ SQ
E
(5.25)
sendo SQ
T
a denominada soma quadrática total corrigida (
∑
=
−=
N
1i
2
_
iT
YYSQ ), SQ
R
a
soma quadrática da regressão (SQ
R
= b
⋅
S
XY
) e SQ
E
a soma quadrática dos erros (SQ
E
= SQ
T
- b
⋅
S
XY
). As somas quadráticas SQ
T
, SQ
R
e SQ
E
possuem, respectivamente, N - 1, 1 e N - 2
graus de liberdade.
A hipótese nula será rejeitada se:
( )
)2N,1(
E
R
E
R
0
F
MQ
MQ
2N/SQ
1/SQ
F
−
>=
−
=
α
(5.26)
onde MQ
R
e MQ
E
são denominadas médias quadráticas e
)2N,1(
F
−
α
é um valor crítico
tabelado, correspondente a um determinado nível de significância
α
e com (1, N - 2) graus
de liberdade. Vale ressaltar que, de forma análoga aos testes de hipóteses anteriormente
realizados, pode-se rejeitar H
0
diretamente a partir da constatação de que o valor p obtido é
inferior à
α
.
224
Além de testar a significância da regressão, é importante avaliar a quantidade de
variabilidade dos dados explicada pelo modelo. Esta avaliação é realizada por meio do
coeficiente de determinação R
2
, definido por:
T
E
T
R
2
SQ
SQ
1
SQ
SQ
R −== (5.27)
Após o ajuste do modelo Y = a + b
⋅
X, foram considerados os modelos polinomiais Y = a +
b
⋅
X + c
⋅
X
2
e Y = a + b
⋅
X + c
⋅
X
2
+ d
⋅
X
3
. Nestes casos, a hipótese nula estabelece que b = c =
d = 0. Portanto, rejeitar H
0
significa que pelo menos um dos termos b
⋅
X, c
⋅
X
2
ou d
⋅
X
3
devem
ser incluídos no modelo. Estudos mais detalhados relativos aos modelos polinomiais,
incluindo a obtenção dos parâmetros a, b, c e d, podem ser encontrados em WERKEMA e
AGUIAR (1996b).
Finalmente, foram também avaliados modelos com transformação logarítmica (base e) e
exponencial na variável X (Y = a + b
⋅
lnX e Y = a + b
⋅
e
X
), modelo inverso (
X
1
baY ⋅+= ),
e potência (Y = a
⋅
X
b
). Vale comentar que todos estes modelos são intrinsecamente lineares,
uma vez que podem ser expressos como uma linha reta por meio de transformações
adequadas.
Os resultados obtidos (equação da regressão, análise de variância e coeficiente de
determinação R
2
) para todos os modelos ajustados, correspondentes aos pilares e vigas,
estão apresentados nas TAB. 5.35 a 5.41.
225
TABELA 5.35 – Resultados obtidos para o modelo do tipo Y = a + b
⋅
X
Item Pilares Vigas
Eq. da
regressão
γ
/
γ
z
= 1,006 - 0,035
⋅
(y/h)
γ
/
γ
z
= 0,967 + 0,015
⋅
(y/h)
Análise de variância Análise de variância
Fonte de
variação
SQ* GL**
MQ***
F
0
p SQ* GL**
MQ***
F
0
p
Regressão
0,036 1 0,036 10,13
0,002
0,006
1 0,006 1,51 0,221
Erro 1,237 347 0,004 1,485
347 0,004
Total 1,273 348 1,492
348
R
2
2,8% 0,4%
*Somas quadráticas **Graus de liberdade ***Médias quadráticas
TABELA 5.36 – Resultados obtidos para o modelo do tipo Y = a + b
⋅
X + c
⋅
X
2
Item Pilares Vigas
Eq. da
regressão
γ
/
γ
z
= 1,018 - 0,097
⋅
(y/h) +
+ 0,059
⋅
(y/h)
2
γ
/
γ
z
= 0,930 + 0,214
⋅
(y/h) +
- 0,189
⋅
(y/h)
2
Análise de variância Análise de variância
Fonte de
variação
SQ* GL**
MQ***
F
0
p SQ* GL**
MQ***
F
0
p
Regressão
0,043 2 0,021 5,99 0,003
0,075
2 0,037 9,10 0,000
Erro 1,230 346 0,004 1,417
346 0,004
Total 1,273 348 1,492
348
R
2
3,3% 5,0%
*Somas quadráticas **Graus de liberdade ***Médias quadráticas
TABELA 5.37 – Resultados obtidos para o modelo do tipo Y = a + b
⋅
X + c
⋅
X
2
+ d
⋅
X
3
Item Pilares Vigas
Eq. da
regressão
γ
/
γ
z
= 1,025 - 0,167
⋅
(y/h) +
+ 0,221
⋅
(y/h)
2
- 0,103
⋅
(y/h)
3
γ
/
γ
z
= 0,884 + 0,680
⋅
(y/h) +
- 1,266
⋅
(y/h)
2
+ 0,682
⋅
(y/h)
3
Análise de variância Análise de variância
Fonte de
variação
SQ* GL**
MQ***
F
0
p SQ* GL**
MQ***
F
0
p
Regressão
0,044 3 0,015 4,10 0,007
0,130
3 0,043 10,98
0,000
Erro 1,229 345 0,004 1,361
345 0,004
Total 1,273 348 1,492
348
R
2
3,4% 8,7%
*Somas quadráticas **Graus de liberdade ***Médias quadráticas
226
TABELA 5.38 – Resultados obtidos para o modelo do tipo Y = a + b
⋅
lnX
Item Pilares Vigas
Eq. da
regressão
γ
/
γ
z
= 0,976 - 0,013
⋅
ln(y/h)
γ
/
γ
z
= 0,986 + 0,012
⋅
ln(y/h)
Análise de variância Análise de variância
Fonte de
variação
SQ* GL**
MQ***
F
0
p SQ* GL**
MQ***
F
0
p
Regressão
0,038 1 0,038 10,68
0,001
0,033
1 0,033 7,86 0,005
Erro 1,235 347 0,004 1,458
347 0,004
Total 1,273 348 1,492
348
R
2
3,0% 2,2%
*Somas quadráticas **Graus de liberdade ***Médias quadráticas
TABELA 5.39 – Resultados obtidos para o modelo do tipo Y = a + b
⋅
e
X
Item Pilares Vigas
Eq. da
regressão
γ
/
γ
z
= 1,021 - 0,019
⋅
e
(y/h)
γ
/
γ
z
= 0,966 + 0,005
⋅
e
(y/h)
Análise de variância Análise de variância
Fonte de
variação
SQ* GL**
MQ***
F
0
p SQ* GL**
MQ***
F
0
p
Regressão
0,032 1 0,032 8,93 0,003
0,002
1 0,002 0,56 0,453
Erro 1,241 347 0,004 1,489
347 0,004
Total 1,273 348 1,492
348
R
2
2,5% 0,2%
*Somas quadráticas **Graus de liberdade ***Médias quadráticas
TABELA 5.40 – Resultados obtidos para o modelo do tipo
X
1
baY ⋅+=
Item Pilares Vigas
Eq. da
regressão
γ
/
γ
z
= 0,982 + 0,002
⋅
(h/y)
γ
/
γ
z
= 0,986 - 0,003
⋅
(h/y)
Análise de variância Análise de variância
Fonte de
variação
SQ* GL**
MQ***
F
0
p SQ* GL**
MQ***
F
0
p
Regressão
0,018 1 0,018 4,99 0,026
0,059
1 0,059 14,42
0,000
Erro 1,255 347 0,004 1,432
347 0,004
Total 1,273 348 1,492
348
R
2
1,4% 4,0%
*Somas quadráticas **Graus de liberdade ***Médias quadráticas
227
TABELA 5.41 – Resultados obtidos para o modelo do tipo Y = a
⋅
X
b
Item Pilares Vigas
Eq. da
regressão
γ
/
γ
z
= 0,974
⋅
(y/h)
-0,014
γ
/
γ
z
= 0,983
⋅
(y/h)
0,013
Análise de variância Análise de variância
Fonte de
variação
SQ* GL**
MQ***
F
0
p SQ* GL**
MQ***
F
0
p
Regressão
0,041 1 0,041 11,08
0,001
0,034
1 0,034 7,69 0,006
Erro 1,292 347 0,004 1,546
347 0,004
Total 1,333 348 1,580
348
R
2
3,1% 2,2%
*Somas quadráticas **Graus de liberdade ***Médias quadráticas
Observa-se nas TAB. 5.35 a 5.41 que, no caso dos pilares, todos os modelos podem ser
considerados úteis para explicar a variabilidade de
γ
/
γ
z
, uma vez que, em todos os casos, os
valores de p mostram-se inferiores ao nível de significância
α
= 0,05. Entretanto, os
pequenos coeficientes de determinação obtidos indicam que outros fatores, além de y/h,
deveriam ser incorporados aos modelos a fim de garantir predições seguras da variável
γ
/
γ
z
.
Vale comentar que, dentre todos os modelos ajustados, o modelo polinomial de terceira
ordem
γ
/
γ
z
= 1,025 - 0,167
⋅
(y/h) + 0,221
⋅
(y/h)
2
- 0,103
⋅
(y/h)
3
, representado graficamente
na FIG. 5.25, pode ser considerado o mais adequado, uma vez que apresenta o maior R
2
.
Ainda nas TAB. 5.35 a 5.41 verifica-se que, no caso das vigas, os valores de p
correspondentes aos modelos
γ
/
γ
z
= 0,967 + 0,015
⋅
(y/h) e
γ
/
γ
z
= 0,966 + 0,005
⋅
e
(y/h)
mostram-se superiores a 0,05, o que significa que tais modelos não são úteis para explicar a
variabilidade de
γ
/
γ
z
. Isto já era esperado, uma vez que, como constatado na análise de
correlação realizada no item 5.5.4 b), não existe, para as vigas, uma associação
significativa entre as variáveis y/h e
γ
/
γ
z
, bem como entre e
y/h
e
γ
/
γ
z
. Além disso, nota-se
que, de forma semelhante a que ocorre no caso dos pilares, o modelo polinomial de terceira
ordem
γ
/
γ
z
= 0,884 + 0,680
⋅
(y/h) - 1,266
⋅
(y/h)
2
+ 0,682
⋅
(y/h)
3
apresenta o maior
coeficiente de determinação R
2
, e, portanto, pode ser considerado o mais adequado. Este
modelo encontra-se representado graficamente na FIG. 5.26. Novamente salienta-se que,
228
para uma previsão segura da variável
γ
/
γ
z
, seria necessário incorporar novos fatores aos
modelos ajustados.
y/h
γ
γ
γ
γ
/
/
/
/
γ
γ
γ
γ
1,00,80,60,40,20,0
1,15
1,10
1,05
1,00
0,95
0,90
0,85
0,80
z
FIGURA 5.25 – Representação do modelo
γ
/
γ
z
= 1,025 - 0,167
⋅
(y/h) +
+ 0,221
⋅
(y/h)
2
- 0,103
⋅
(y/h)
3
, correspondente aos pilares.
y/h
γ
γ
γ
γ
/
/
/
/
γ
γ
γ
γ
1,00,80,60,40,20,0
1,15
1,10
1,05
1,00
0,95
0,90
0,85
0,80
0,75
z
FIGURA 5.26 – Representação do modelo
γ
/
γ
z
= 0,884 + 0,680
⋅
(y/h) +
- 1,266
⋅
(y/h)
2
+ 0,682
⋅
(y/h)
3
, correspondente às vigas.
229
Nas FIG. 5.25 e 5.26, observa-se que os modelos considerados mais adequados fornecem,
para quase toda a faixa de variação de y/h, relações
γ
/
γ
z
próximas ou inferiores a 1, e,
portanto, situam-se dentro de valores confiáveis.
A análise de regressão foi também realizada levando em conta a possível simetria da
estrutura e da direção (conforme mostram as TAB. 5.20 e 5.21, respectivamente) e
considerando os intervalos de variação de
γ
z
definidos na TAB. 5.24. Os resultados obtidos
(equação da regressão, valor p e coeficiente de determinação R
2
) para todos os modelos
ajustados, correspondentes aos pilares e vigas, estão apresentados nas TAB. 5.42 a 5.47.
TABELA 5.42 – Modelos ajustados para as estruturas “simétricas”
e “não simétricas”, correspondentes aos pilares
Estruturas Equação da regressão p R
2
γ
/
γ
z
= 0,989 - 0,039
⋅
(y/h)
0,070 2,8%
γ
/
γ
z
= 1,009 - 0,146
⋅
(y/h) + 0,103
⋅
(y/h)
2
0,089 4,1%
γ
/
γ
z
= 1,014 - 0,190
⋅
(y/h) + 0,204
⋅
(y/h)
2
- 0,065
⋅
(y/h)
3
0,183 4,2%
γ
/
γ
z
= 0,955 - 0,016
⋅
ln(y/h)
0,041 3,6%
γ
/
γ
z
= 1,000 - 0,020
⋅
e
(y/h)
0,101 2,3%
γ
/
γ
z
= 0,962 + 0,002
⋅
(h/y)
0,124 2,0%
“Simétricas”
γ
/
γ
z
= 0,952
⋅
(y/h)
-0,017
0,034 3,8%
γ
/
γ
z
= 1,015 - 0,034
⋅
(y/h)
0,007 3,1%
γ
/
γ
z
= 1,022 - 0,072
⋅
(y/h) + 0,036
⋅
(y/h)
2
0,020 3,4%
γ
/
γ
z
= 1,030 - 0,155
⋅
(y/h) + 0,228
⋅
(y/h)
2
- 0,121
⋅
(y/h)
3
0,042 3,5%
γ
/
γ
z
= 0,987 - 0,012
⋅
ln(y/h)
0,009 3,0%
γ
/
γ
z
= 1,030 - 0,019
⋅
e
(y/h)
0,010 2,9%
γ
/
γ
z
= 0,992 + 0,002
⋅
(h/y)
0,088 1,3%
“Não
Simétricas”
γ
/
γ
z
= 0,985
⋅
(y/h)
-0,012
0,008 3,0%
230
TABELA 5.43 – Modelos ajustados para as estruturas “simétricas”
e “não simétricas”, correspondentes às vigas
Estruturas Equação da regressão p R
2
γ
/
γ
z
= 0,941 + 0,027
⋅
(y/h)
0,310 0,9%
γ
/
γ
z
= 0,878 + 0,371
⋅
(y/h) - 0,327
⋅
(y/h)
2
0,003 9,8%
γ
/
γ
z
= 0,830 + 0,862
⋅
(y/h) - 1,467
⋅
(y/h)
2
+ 0,723
⋅
(y/h)
3
0,002 12,5%
γ
/
γ
z
= 0,973 + 0,021
⋅
ln(y/h)
0,028 4,1%
γ
/
γ
z
= 0,939 + 0,009
⋅
e
(y/h)
0,535 0,3%
γ
/
γ
z
= 0,971 - 0,004
⋅
(h/y)
0,005 6,6%
“Simétricas”
γ
/
γ
z
= 0,970
⋅
(y/h)
0,022
0,029 4,1%
γ
/
γ
z
= 0,980 + 0,009
⋅
(y/h)
0,460 0,2%
γ
/
γ
z
= 0,957 + 0,133
⋅
(y/h) - 0,118
⋅
(y/h)
2
0,033 2,9%
γ
/
γ
z
= 0,912 + 0,582
⋅
(y/h) - 1,154
⋅
(y/h)
2
+ 0,656
⋅
(y/h)
3
0,000 8,1%
γ
/
γ
z
= 0,992 + 0,008
⋅
ln(y/h)
0,074 1,4%
γ
/
γ
z
= 0,979 + 0,003
⋅
e
(y/h)
0,648 0,1%
γ
/
γ
z
= 0,992 - 0,002
⋅
(h/y)
0,017 2,5%
“Não
Simétricas”
γ
/
γ
z
= 0,990
⋅
(y/h)
0,008
0,079 1,3%
TABELA 5.44 – Modelos ajustados para as direções “simétricas”
e “não simétricas”, correspondentes aos pilares
Direções Equação da regressão p R
2
γ
/
γ
z
= 1,004 - 0,057
⋅
(y/h)
0,001 6,3%
γ
/
γ
z
= 1,000 - 0,033
⋅
(y/h) - 0,024
⋅
(y/h)
2
0,003 6,4%
γ
/
γ
z
= 1,019 - 0,232
⋅
(y/h) + 0,439
⋅
(y/h)
2
- 0,293
⋅
(y/h)
3
0,005 7,1%
γ
/
γ
z
= 0,957 - 0,019
⋅
ln(y/h)
0,002 5,3%
γ
/
γ
z
= 1,030 - 0,033
⋅
e
(y/h)
0,001 6,4%
γ
/
γ
z
= 0,966 + 0,002
⋅
(h/y)
0,046 2,3%
“Simétricas”
γ
/
γ
z
= 0,955
⋅
(y/h)
-0,020
0,002 5,5%
γ
/
γ
z
= 1,009 - 0,013
⋅
(y/h)
0,344 0,5%
γ
/
γ
z
= 1,037 - 0,164
⋅
(y/h) + 0,144
⋅
(y/h)
2
0,014 4,9%
γ
/
γ
z
= 1,030 - 0,100
⋅
(y/h) - 0,005
⋅
(y/h)
2
+ 0,094
⋅
(y/h)
3
0,034 5,0%
γ
/
γ
z
= 0,996 - 0,007
⋅
ln(y/h)
0,142 1,3%
γ
/
γ
z
= 1,010 - 0,005
⋅
e
(y/h)
0,554 0,2%
γ
/
γ
z
= 0,998 + 0,001
⋅
(h/y)
0,251 0,8%
“Não
Simétricas”
γ
/
γ
z
= 0,994
⋅
(y/h)
-0,007
0,143 1,3%
231
TABELA 5.45 – Modelos ajustados para as direções “simétricas”
e “não simétricas”, correspondentes às vigas
Direções Equação da regressão p R
2
γ
/
γ
z
= 0,969 - 0,009
⋅
(y/h)
0,649 0,1%
γ
/
γ
z
= 0,901 + 0,361
⋅
(y/h) - 0,352
⋅
(y/h)
2
0,000 12,5%
γ
/
γ
z
= 0,850 + 0,880
⋅
(y/h) - 1,554
⋅
(y/h)
2
+ 0,762
⋅
(y/h)
3
0,000 16,2%
γ
/
γ
z
= 0,973 + 0,010
⋅
ln(y/h)
0,169 1,1%
γ
/
γ
z
= 0,984 - 0,011
⋅
e
(y/h)
0,310 0,6%
γ
/
γ
z
= 0,977 - 0,003
⋅
(h/y)
0,005 4,5%
“Simétricas”
γ
/
γ
z
= 0,970
⋅
(y/h)
0,010
0,174 1,1%
γ
/
γ
z
= 0,965 + 0,039
⋅
(y/h)
0,005 4,6%
γ
/
γ
z
= 0,961 + 0,060
⋅
(y/h) - 0,020
⋅
(y/h)
2
0,018 4,7%
γ
/
γ
z
= 0,921 + 0,465
⋅
(y/h) - 0,955
⋅
(y/h)
2
+ 0,591
⋅
(y/h)
3
0,001 8,9%
γ
/
γ
z
= 0,999 + 0,015
⋅
ln(y/h)
0,003 5,0%
γ
/
γ
z
= 0,947 + 0,022
⋅
e
(y/h)
0,005 4,4%
γ
/
γ
z
= 0,994 - 0,002
⋅
(h/y)
0,014 3,5%
“Não
Simétricas”
γ
/
γ
z
= 0,998
⋅
(y/h)
0,015
0,003 5,1%
232
TABELA 5.46 – Modelos ajustados para os intervalos de variação de
γ
z
,
correspondentes aos pilares
Intervalo Equação da regressão p R
2
γ
/
γ
z
= 1,008 - 0,010
⋅
(y/h)
0,603
0,3%
γ
/
γ
z
= 1,076 - 0,382
⋅
(y/h) + 0,353
⋅
(y/h)
2
0,000
21,0%
γ
/
γ
z
= 1,071 - 0,330
⋅
(y/h) + 0,234
⋅
(y/h)
2
+ 0,075
⋅
(y/h)
3
0,000
21,0%
γ
/
γ
z
= 0,991 - 0,013
⋅
ln(y/h)
0,058
3,3%
γ
/
γ
z
= 1,000 + 0,001
⋅
e
(y/h)
0,935
0,0%
γ
/
γ
z
= 0,990 + 0,003
⋅
(h/y)
0,011
5,9%
1º:
γ
γγ
γ
z
< 1,2
γ
/
γ
z
= 0,989
⋅
(y/h)
-0,013
0,057
3,3%
γ
/
γ
z
= 1,005 - 0,049
⋅
(y/h)
0,004
7,2%
γ
/
γ
z
= 0,985 + 0,064
⋅
(y/h) - 0,107
⋅
(y/h)
2
0,004
9,4%
γ
/
γ
z
= 1,021 - 0,305
⋅
(y/h) + 0,745
⋅
(y/h)
2
- 0,539
⋅
(y/h)
3
0,002
13,0%
γ
/
γ
z
= 0,967 - 0,015
⋅
ln(y/h)
0,016
5,1%
γ
/
γ
z
= 1,030 - 0,030
⋅
e
(y/h)
0,002
8,2%
γ
/
γ
z
= 0,973 + 0,002
⋅
(h/y)
0,088
2,6%
2º:
1,2
≤
≤≤
≤
γ
γγ
γ
z
< 1,3
γ
/
γ
z
= 0,965
⋅
(y/h)
-0,016
0,013
5,4%
γ
/
γ
z
= 1,007 - 0,046
⋅
(y/h)
0,028
3,9%
γ
/
γ
z
= 0,997 + 0,007
⋅
(y/h) - 0,051
⋅
(y/h)
2
0,073
4,2%
γ
/
γ
z
= 0,991 + 0,071
⋅
(y/h) - 0,200
⋅
(y/h)
2
+ 0,095
⋅
(y/h)
3
0,151
4,2%
γ
/
γ
z
= 0,972 - 0,012
⋅
ln(y/h)
0,116
2,0%
γ
/
γ
z
= 1,030 - 0,027
⋅
e
(y/h)
0,024
4,1%
γ
/
γ
z
= 0,981 + 0,001
⋅
(h/y)
0,792
0,1%
3º:
γ
γγ
γ
z
≥
≥≥
≥
1,3
γ
/
γ
z
= 0,969
⋅
(y/h)
-0,013
0,107
2,1%
233
TABELA 5.47 – Modelos ajustados para os intervalos de variação de
γ
z
,
correspondentes às vigas
Intervalo Equação da regressão p R
2
γ
/
γ
z
= 0,970 + 0,014
⋅
(y/h)
0,413
0,6%
γ
/
γ
z
= 0,965 + 0,043
⋅
(y/h) - 0,027
⋅
(y/h)
2
0,663
0,8%
γ
/
γ
z
= 0,950 + 0,197
⋅
(y/h) - 0,381
⋅
(y/h)
2
+ 0,224
⋅
(y/h)
3
0,685
1,4%
γ
/
γ
z
= 0,983 + 0,006
⋅
ln(y/h)
0,364
0,8%
γ
/
γ
z
= 0,964 + 0,008
⋅
e
(y/h)
0,441
0,6%
γ
/
γ
z
= 0,981 - 0,001
⋅
(h/y)
0,459
0,5%
1º:
γ
γγ
γ
z
< 1,2
γ
/
γ
z
= 0,982
⋅
(y/h)
0,006
0,374
0,7%
γ
/
γ
z
= 0,968 + 0,018
⋅
(y/h)
0,403
0,6%
γ
/
γ
z
= 0,932 + 0,213
⋅
(y/h) - 0,185
⋅
(y/h)
2
0,057
5,1%
γ
/
γ
z
= 0,858 + 0,950
⋅
(y/h) - 1,886
⋅
(y/h)
2
+ 1,076
⋅
(y/h)
3
0,001
14,4%
γ
/
γ
z
= 0,989 + 0,013
⋅
ln(y/h)
0,091
2,6%
γ
/
γ
z
= 0,965 + 0,007
⋅
e
(y/h)
0,558
0,3%
γ
/
γ
z
= 0,988 - 0,003
⋅
(h/y)
0,049
3,4%
2º:
1,2
≤
≤≤
≤
γ
γγ
γ
z
< 1,3
γ
/
γ
z
= 0,987
⋅
(y/h)
0,014
0,086
2,6%
γ
/
γ
z
= 0,963 + 0,013
⋅
(y/h)
0,591
0,2%
γ
/
γ
z
= 0,899 + 0,362
⋅
(y/h) - 0,334
⋅
(y/h)
2
0,001
11,0%
γ
/
γ
z
= 0,853 + 0,835
⋅
(y/h) - 1,435
⋅
(y/h)
2
+ 0,700
⋅
(y/h)
3
0,000
14,0%
γ
/
γ
z
= 0,985 + 0,017
⋅
ln(y/h)
0,044
3,2%
γ
/
γ
z
= 0,968 + 0,001
⋅
e
(y/h)
0,927
0,0%
γ
/
γ
z
= 0,986 - 0,004
⋅
(h/y)
0,002
7,6%
3º:
γ
γγ
γ
z
≥
≥≥
≥
1,3
γ
/
γ
z
= 0,982
⋅
(y/h)
0,017
0,051
3,0%
Observa-se na TAB. 5.42, correspondente aos pilares, que, dentre todos os modelos
considerados úteis para explicar a variabilidade de
γ
/
γ
z
(ou seja, com valores de p inferiores
ao nível de significância
α
= 0,05), os modelos
γ
/
γ
z
= 0,952
⋅
(y/h)
-0,017
e
γ
/
γ
z
= 1,030 -
0,155
⋅
(y/h) + 0,228
⋅
(y/h)
2
- 0,121
⋅
(y/h)
3
são os mais adequados para as estruturas
“simétricas” e “não simétricas”, respectivamente, uma vez que apresentam os maiores
coeficientes de determinação R
2
.
Na TAB. 5.43 nota-se que, para as vigas, dentre todos os modelos cujos valores de p
mostram-se inferiores a 0,05, os modelos polinomiais de terceira ordem apresentam, tanto
no caso das estruturas “simétricas” quanto no caso das “não simétricas”, os maiores R
2
,
sendo, portanto, os mais apropriados. Esta tendência se repete considerando os modelos
234
ajustados para as direções “simétricas” e “não simétricas”, correspondentes aos pilares e
vigas (TAB. 5.44 e 5.45).
Na TAB. 5.46, referente aos pilares, verifica-se que ambos os modelos
γ
/
γ
z
= 1,076 - 0,382
⋅
(y/h) + 0,353
⋅
(y/h)
2
e
γ
/
γ
z
= 1,071 - 0,330
⋅
(y/h) + 0,234
⋅
(y/h)
2
+ 0,075
⋅
(y/h)
3
podem ser
considerados os mais adequados quando
γ
z
< 1,2. Nos 2º e 3º intervalos de variação de
γ
z
,
os modelos
γ
/
γ
z
= 1,021 - 0,305
⋅
(y/h) + 0,745
⋅
(y/h)
2
- 0,539
⋅
(y/h)
3
e
γ
/
γ
z
= 1,030 - 0,027
⋅
e
(y/h)
, são, respectivamente, os mais apropriados.
Constata-se na TAB. 5.47 que, para as vigas, nenhum dos modelos ajustados pode ser
considerado útil para explicar a variabilidade de
γ
/
γ
z
no 1º intervalo, uma vez que todos os
valores de p obtidos mostram-se superiores ao nível de significância
α
= 0,05. Nos casos
em que
γ
z
≥
1,2, os modelos polinomiais de terceira ordem são os mais adequados.
Finalmente, considerando todos os modelos ajustados (TAB. 5.35 a 5.47), aqueles que
apresentam os maiores coeficientes de determinação R
2
(e cujos valores de p mostram-se
inferiores a 0,05) foram construídos, no caso dos pilares, levando em conta os três
intervalos de variação de
γ
z
, e, no caso das vigas, a possível simetria das direções. A TAB.
5.48 apresenta estes modelos. Novamente salienta-se que, devido aos valores de R
2
obtidos
serem relativamente pequenos, outros fatores deveriam ser incorporados aos modelos a fim
de garantir predições seguras da variável
γ
/
γ
z
.
TABELA 5.48 – Modelos com os maiores coeficientes de determinação R
2
(e cujos valores de p são inferiores a 0,05), correspondentes aos pilares e vigas
Pilares Vigas
1º Intervalo:
γ
γγ
γ
z
< 1,2
γ
/
γ
z
= 1,076 - 0,382
⋅
(y/h) +
+ 0,353
⋅
(y/h)
2
e
γ
/
γ
z
= 1,071 - 0,330
⋅
(y/h) +
+ 0,234
⋅
(y/h)
2
+ 0,075
⋅
(y/h)
3
Direções
“Simétricas”
γ
/
γ
z
= 0,850 + 0,880
⋅
(y/h) +
- 1,554
⋅
(y/h)
2
+ 0,762
⋅
(y/h)
3
2º Intervalo:
1,2
≤
≤≤
≤
γ
γγ
γ
z
< 1,3
γ
/
γ
z
= 1,021 - 0,305
⋅
(y/h) +
+ 0,745
⋅
(y/h)
2
- 0,539
⋅
(y/h)
3
3º Intervalo:
γ
γγ
γ
z
≥
≥≥
≥
1,3
γ
/
γ
z
= 1,030 - 0,027
⋅
e
(y/h)
Direções
“Não
Simétricas”
γ
/
γ
z
= 0,921 + 0,465
⋅
(y/h) +
- 0,955
⋅
(y/h)
2
+ 0,591
⋅
(y/h)
3
235
d) Análise de Regressão por Terço da Altura
Nesta análise busca-se ajustar um modelo de regressão do tipo Y = a + b
⋅
X para cada terço
da altura total dos edifícios. Assim, a razão y/h foi dividida em três intervalos. O primeiro
intervalo, correspondente a y/h ≤ 0,333, contém 111 observações; o segundo, no qual 0,333
< y/h ≤ 0,667, inclui 117 observações; finalmente, o terceiro intervalo refere-se a 0,667 <
y/h ≤ 1,000 e contém 121 observações.
Novamente, as variáveis resposta (Y) e explicativa (X) consideradas foram as relações
γ
/
γ
z
e
y/h, respectivamente. As retas ajustadas estão apresentadas nas TAB. 5.49 e, graficamente,
nas FIG. 5.27 e 5.28 (correspondentes aos pilares e vigas, respectivamente). Vale ressaltar
que a presente análise tem por objetivo apenas a verificação da tendência de variação de
γ
/
γ
z
em cada terço da altura dos edifícios, e, portanto não foram avaliados a significância da
regressão ou os coeficientes de determinação R
2
. Da mesma forma, não foram ajustados
outros modelos, tais como os polinomiais e com transformações na variável X,
apresentados no item 5.5.4 c).
TABELA 5.49 – Retas ajustadas para cada terço da altura
Equação da regressão Terço
Pilares Vigas
1º: y/h ≤ 0,333
γ
/
γ
z
= 1,021 - 0,087
⋅
(y/h)
γ
/
γ
z
= 0,908 + 0,293
⋅
(y/h)
2º: 0,333 < y/h ≤ 0,667
γ
/
γ
z
= 0,950 + 0,059
⋅
(y/h)
γ
/
γ
z
= 1,062 - 0,139
⋅
(y/h)
3º: 0,667 < y/h ≤ 1,000
γ
/
γ
z
= 1,041 - 0,072
⋅
(y/h)
γ
/
γ
z
= 0,933 + 0,044
⋅
(y/h)
Na FIG. 5.27, correspondente aos pilares, observa-se que a variável
γ
/
γ
z
apresenta
tendências decrescentes nos 1º e 3º terços, e crescente no intervalo 0,333 < y/h ≤ 0,667.
Além disso, quando a altura do pavimento ultrapassa cerca de 30% da altura total do
edifício, as retas ajustadas fornecem relações
γ
/
γ
z
inferiores a 1, situando-se, portanto,
dentro de valores confiáveis.
Observa-se na FIG. 5.28 que, para as vigas, ao contrário do que ocorre no caso dos pilares,
a variável
γ
/
γ
z
apresenta, nos 1º e 3º terços, tendências crescentes, enquanto no 2º há uma
236
tendência decrescente. Finalmente, constata-se que, apenas na pequena faixa de variação de
y/h compreendida entre 0,30 e 0,45, aproximadamente, as retas estimadas fornecem valores
de
γ
/
γ
z
um pouco superiores a 1.
y/h
γ
γ
γ
γ
/
/
/
/
γ
γ
γ
γ
1,00,90,80,70,60,50,40,30,20,10,0
1,15
1,10
1,05
1,00
0,95
0,90
0,85
0,80
z
FIGURA 5.27 – Representação das retas ajustadas para cada terço da altura,
correspondente aos pilares.
FIGURA 5.28 – Representação das retas ajustadas para cada terço da altura,
correspondente às vigas.
y/h
γ
γ
γ
γ
/
/
/
/
γ
γ
γ
γ
1,00,90,80,70,60,50,40,30,20,10,0
1,15
1,10
1,05
1,00
0,95
0,90
0,85
0,80
0,75
z
6
CONCLUSÕES
O presente trabalho apresenta contribuições relacionadas aos processos simplificados
utilizados para a consideração das não-linearidades física e geométrica na análise global das
estruturas de concreto armado. Neste capítulo, são discutidas as principais observações
feitas ao longo da elaboração do trabalho, bem como as conclusões baseadas nas análises
realizadas.
No capítulo 2, apresentou-se um estudo relativo à consideração dos efeitos de segunda
ordem e das não-linearidades física e geométrica das estruturas de concreto armado. Os
efeitos de segunda ordem, que surgem pela interação entre as forças existentes e os
deslocamentos da estrutura, foram classificados em globais, locais e localizados. Os efeitos
globais podem ser relevantes ou não, dependendo do grau de deslocabilidade da estrutura.
No caso de uma estrutura de nós fixos, os efeitos globais de segunda ordem têm pequena
influência nos esforços totais, e podem ser desprezados; em estruturas de nós móveis, esta
238
influência é significativa, portanto os efeitos globais de segunda ordem devem ser levados
em conta. Ressaltou-se ainda a importância da consideração, tanto nas estruturas de nós
fixos, quanto nas de nós móveis, dos efeitos locais e localizados de segunda ordem, já que a
estabilidade global não garante a estabilidade local, e vice-versa.
Nas estruturas de nós móveis, a análise deve considerar os efeitos das não-linearidades
física e geométrica. Comentou-se que a NLF pode ser levada em conta por meio dos
diagramas momento-curvatura de cada seção, ou, de forma simplificada, reduzindo-se a
rigidez dos elementos estruturais. Foram descritos os valores de rigidez adotados pela NBR
6118:2003, e aqueles recomendados por diversos autores, o que permitiu evidenciar a
grande variabilidade existente na literatura. Além disso, apresentou-se uma expressão que
pode ser utilizada para determinar a rigidez efetiva em qualquer seção transversal particular
de uma viga. Esta expressão é baseada na formulação de BRANSON (1966), sendo função
do momento fletor, das propriedades da seção e da resistência do concreto. Mencionou-se,
entretanto, que, quando a estrutura se encontrar no estádio I, a rigidez equivalente dada pela
formulação de BRANSON (1966) deve ser substituída pela rigidez correspondente à seção
bruta de concreto.
Em relação à NLG, comentou-se que ela pode ser considerada por meio de modificações na
matriz de rigidez da estrutura, ou empregando o processo P-
∆
, que é um método de
aplicação relativamente simples.
Foram também estudados aspectos relacionados à realização de uma análise não-linear de
estruturas de concreto armado. Assim, buscou-se apresentar, sucintamente, as principais
observações relativas ao comportamento do concreto, modelos constitutivos utilizados,
representação das armaduras e consideração do processo de fissuração.
Em seguida, foram apresentados dois processos aproximados que permitem classificar as
estruturas, apenas com os resultados da análise de primeira ordem: o parâmetro de
instabilidade
α
e o coeficiente
γ
z
.
239
Mencionou-se que a formulação do parâmetro de instabilidade
α
baseia-se na analogia
entre o comportamento do edifício e o de um pilar engastado na base e livre no topo,
submetido a uma força axial uniformemente distribuída ao longo de sua altura. Foram
discutidas algumas considerações relacionadas aos valores limites de
α
, como as
apresentadas por FRANCO (1985b), que adota diferentes limites de
α
para os diversos
tipos de contraventamento. Explicou-se que, nas estruturas reticuladas de edifícios, o
módulo de rigidez EI não corresponde à soma das rigidezes dos pilares isolados, devendo-
se adotar a rigidez equivalente de um pilar em balanço, que sofra o mesmo deslocamento
no topo que a estrutura em estudo, sob a ação das mesmas forças. Foi apresentada a
expressão do parâmetro de instabilidade
α
segundo a NBR 6118:2003, que estabelece que o
módulo de rigidez equivalente da estrutura seja determinado a partir da aplicação do
“carregamento horizontal”. Sugeriu-se a substituição do “carregamento horizontal” por uma
força uniformemente distribuída ao longo da altura do edifício, o que resultaria em uma
equação conhecida e bastante simples para a obtenção da rigidez equivalente, a eq. (2.28).
Em relação ao coeficiente
γ
z
, demonstrou-se que ele pode ser obtido a partir de uma análise
linear, determinando-se o momento de primeira ordem M
1
e o acréscimo de momentos
∆
M.
Apresentou-se a expressão de
γ
z
de acordo com a NBR 6118:2003 e comentou-se que ele
também pode ser utilizado para avaliar os esforços finais, que incluem os de segunda
ordem, desde que seu valor não ultrapasse um determinado limite. O processo consiste em
majorar os esforços horizontais [como estabelece a NBR 6118:2003] ou os momentos de
primeira ordem [conforme o Projeto de Revisão da NBR 6118:2000] por 0,95
γ
z
.
No final do capítulo 2, foram apresentados diversos procedimentos simplificados utilizados
para a consideração dos efeitos de segunda ordem, como, por exemplo, o método
aproximado de amplificação dos momentos de primeira ordem pelos fatores de majoração
B
1
e B
2
, empregado em estruturas de aço. Mencionou-se, inclusive, que o coeficiente B
2
,
assim como o coeficiente
γ
z
, constitui um “indicador” da importância dos efeitos globais de
240
segunda ordem em uma estrutura, e, sendo assim, desenvolveu-se uma expressão que
relaciona estes parâmetros, a eq. (2.79).
No capítulo 3 foram realizadas, utilizando o “software” ANSYS-9.0, análises não-lineares
geométricas e físicas de peças estruturais e pórticos de concreto armado já testados
experimentalmente ou estudados por outros pesquisadores. Em todas as análises adotou-se
o elemento “solid 65” com armadura (quando presente) dispersa. Em relação aos modelos
constitutivos, no caso do concreto foram empregados o critério de ruptura de Willam-
Warnke à tração, e o critério de escoamento de Von Mises à compressão, sendo este último
também utilizado para representar o comportamento do aço. Os critérios de Von Mises
apresentam, tanto para o concreto quanto para o aço, comportamentos elastoplásticos
perfeitos segundo diagramas tensão-deformação bilineares (na verdade, considerou-se um
encruamento mínimo, adotando-se, no lugar de zero, um pequeno valor para o módulo
tangente). Utilizou-se o algoritmo de Newton-Raphson pleno, incrementos automáticos de
carga (sendo o número de iterações por incremento sempre inferior a 60), com tolerância de
0,1% aplicada à raiz quadrada do somatório dos quadrados dos desequilíbrios de forças. Os
resultados das análises realizadas no ANSYS mostraram boa proximidade em relação aos
resultados experimentais e àqueles obtidos por outros autores, e, dessa forma, foram
considerados satisfatórios.
Ainda no capítulo 3, foi feita uma avaliação preliminar dos processos simplificados
utilizados para a consideração da não-linearidade física. Assim, realizou-se a análise não-
linear geométrica de um pórtico de concreto armado composto por dois pavimentos (já
processado considerando ambas as não-linearidades geométrica e física), levando em conta
a não-linearidade física de forma simplificada, por meio da redução de rigidez dos
elementos estruturais de acordo com a NBR 6118:2003 e segundo a formulação de
BRANSON (1966). O estudo foi conduzido a partir da comparação, para as diversas
análises, das curvas força x deslocamento obtidas até o estado limite último (ELU)
convencional. Inicialmente, observou-se que o carregamento correspondente ao ELU,
determinado por meio da construção do diagrama de interação força normal (N) - momento
241
fletor (M) para a seção transversal dos pilares e vigas, mostrou-se bem inferior àquele que
leva ao colapso, indicando que a estrutura suportaria uma carga maior do que aquela para a
qual seria dimensionada. Verificou-se também que, até o ELU, a análise que considerou as
seções brutas dos pilares, I
pil
= I
c
, e as seções das vigas com a inércia equivalente de
BRANSON (1966), I
vig
= I
eq
, se mostrou bastante eficiente, fornecendo resultados mais
próximos do comportamento real do pórtico que a análise realizada com os coeficientes de
redução adotados pela NBR 6118:2003.
No capítulo 4 foram realizadas diversas análises numéricas de pórticos planos pertencentes
a edifícios usuais de concreto armado. Inicialmente, as estruturas foram processadas
(análises elásticas lineares) para as ações verticais agindo simultaneamente com as ações
horizontais, segundo as combinações de carregamento definidas pelas eq. (4.1), (4.2), (4.3)
e (4.4). A partir da envoltória dos esforços obtidos para cada combinação de carregamento,
foram determinadas as armaduras dos pilares e vigas constituintes dos pórticos estudados.
As vigas foram dimensionadas à flexão normal composta e os pilares à flexão normal
composta ou à flexão oblíqua composta. Utilizou-se aço CA-50 para todos os elementos
estruturais, com módulo de elasticidade igual a 210 GPa. Mencionou-se que não houve a
preocupação com o detalhamento final dos elementos, partindo-se do princípio de que a
diferença entre as armaduras calculadas e as efetivamente colocadas não é significativa.
Os pórticos foram, então, processados considerando ambas as não-linearidades geométrica
e física. Aplicou-se a parcela de carregamento correspondente à combinação 1, conforme as
eq. (4.1) ou (4.2), com o vento atuando paralelamente aos eixos X ou Y, dependendo da
direção do pórtico analisado. Os quinhões de carga de vento que os pórticos receberam
foram calculados em função de suas rigidezes laterais. Todos os parâmetros e modelos
constitutivos utilizados foram “calibrados” a partir dos estudos realizados no capítulo 3,
garantindo a confiabilidade dos resultados obtidos. Assim, adotou-se o elemento sólido
“solid 65” com armadura dispersa para representar os pilares e vigas e desabilitou-se o
critério de ruptura de Willam-Warnke apenas para a compressão do concreto, permitindo a
sua plastificação segundo o critério de escoamento de Von Mises, também empregado para
242
representar o aço. No processamento utilizou-se o algoritmo de Newton-Raphson pleno,
incrementos automáticos de carga e um limite de 60 iterações por incremento, com
tolerância de 0,1% aplicada à raiz quadrada do somatório dos quadrados dos desequilíbrios
de forças.
Em seguida, foram realizadas análises não-lineares geométricas dos pórticos, considerando
a não-linearidade física de forma aproximada, por meio da redução de rigidez dos
elementos estruturais segundo a NBR 6118:2003 e segundo a formulação de BRANSON
(1966). Neste caso, as inércias equivalentes ponderadas foram determinadas para várias
porcentagens do carregamento aplicado. Os pilares e vigas foram representados através de
elementos de barra (definidos como “beam 3” e “beam 54”). Comentou-se que, no modelo
sólido, os vãos da viga são considerados de face a face dos pilares, o que o torna mais
rígido que o modelo de barras, no qual os vãos são considerados de eixo a eixo dos apoios.
Assim, no modelo de barras, foram introduzidos “offsets” nos trechos viga-pilar, tornando-
os rígidos. Com isto, os dois modelos foram comparados em igualdade de condições.
O desempenho das análises não-lineares geométricas, com consideração simplificada da
não-linearidade física, foi avaliado para os carregamentos correspondentes aos estados
limites último (definido como 100% P), de serviço (considerado aproximadamente igual a
45% P) e para o carregamento sem majoração (75% P). Ressalta-se que, para todos os
pórticos estudados, o carregamento correspondente ao estado limite último convencional
não representou o carregamento real de colapso, o que mostra que as estruturas suportariam
cargas superiores àquelas para as quais foram dimensionadas.
No estado limite de serviço, a análise que utiliza reduções de inércia iguais a 0,8 I
c
para os
pilares e I
eq
segundo BRANSON (1966) para as vigas pôde ser considerada a mais
eficiente.
Para o carregamento sem majoração e o correspondente ao estado limite último, na maior
parte dos exemplos analisados, a utilização dos valores de redução de inércia adotados pela
243
NBR 6118:2003 para os casos mais gerais, ou seja, I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= 0,4 I
c
, forneceu os
resultados mais próximos dos obtidos a partir da análise não-linear geométrica e física.
Vale mencionar que a utilização dos valores iguais a I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
segundo
BRANSON (1966) mostrou-se bem mais eficiente para representar o comportamento dos
pórticos mais flexíveis do que dos pórticos mais rígidos. Certamente isto se deve à própria
formulação da inércia equivalente de BRANSON (1966), que, nos pórticos mais rígidos, se
aproximará da inércia da seção bruta de concreto mesmo para maiores intensidades de
carregamento, podendo resultar em valores que não traduzem a real perda de rigidez da
estrutura. No caso dos pórticos mais flexíveis, a partir de menores valores de carregamento
a inércia equivalente será determinada, em grande parte, pela inércia da seção fissurada I
II
,
o que é coerente para estruturas com menor rigidez, e, dessa forma, com uma maior
intensidade de fissuração.
Verificou-se também que, considerando pequenas intensidades de carregamento, para as
quais as estruturas ainda não fissuraram, as análises realizadas com I
pil
= 0,8 I
c
e I
vig
= I
eq
segundo BRANSON (1966) representaram com boa precisão o comportamento de todos os
pórticos, tanto dos mais flexíveis quanto dos mais rígidos. Este fato pode ser explicado
lembrando que, para pequenos valores de carga, os momentos fletores M
a
são inferiores ao
momento de fissuração M
r
e, consequentemente, adota-se para a inércia equivalente de
BRANSON (1966) o valor da inércia da seção bruta de concreto, I
c
.
Assim, partindo do princípio de que os coeficientes de redução de rigidez dos elementos
estruturais são normalmente destinados aos projetos usuais de edifícios, geralmente
dimensionados para o carregamento correspondente ao estado limite último (ELU), pôde-se
considerar as reduções de inércia iguais a 0,8 I
c
para os pilares e 0,4 I
c
para as vigas como
as mais representativas do comportamento dos pórticos analisados. Além disso, a
utilização de um coeficiente constante para todas as vigas resulta em um procedimento
simples, de fácil aplicação e extremamente vantajoso quando comparado à utilização da
inércia equivalente de BRANSON (1966), que apresenta valores diferenciados para cada
244
vão e para cada pavimento da estrutura e, sendo assim, não é adequada para a prática de
projeto.
No capítulo 5 diversos edifícios de médio porte em concreto armado foram processados em
primeira e segunda ordem. O processamento dos edifícios foi realizado para as ações
verticais agindo simultaneamente com o carregamento horizontal (correspondente à ação do
vento). Os coeficientes aplicados às ações foram definidos a partir da combinação que
considera o vento como a ação variável principal, conforme as eq. (4.1) ou (4.2). Foram
então utilizados os seguintes valores para os coeficientes de ponderação das ações
permanente (
γ
g
), acidental (
γ
q
) e horizontal (
γ
fh
):
• para a análise das estruturas em primeira ordem:
γ
g
= 1,4 (6.1)
γ
q
= 0,7 (6.2)
γ
fh
= 1,4 (6.3)
• para a análise das estruturas em segunda ordem:
γ
g
= 1,4 / 1,1 = 1,27 (6.4)
γ
q
= 0,7 / 1,1 = 0,64 (6.5)
γ
fh
= 1,4 / 1,1 = 1,27 (6.6)
lembrando que, neste caso, os esforços obtidos foram majorados por 1,1.
Estimou-se o coeficiente de ponderação das ações verticais (
γ
fv
) utilizado nas análises em
primeira e segunda ordem como sendo igual a 1,26 e 1,15, respectivamente. Assim, a
análise em segunda ordem não foi realizada com as ações verticais sem majoração,
procedimento empregado por alguns autores, como, por exemplo, PINTO (1997).
245
Demonstrou-se que, para os coeficientes adotados neste trabalho, a utilização das ações
verticais sem majoração na análise em segunda ordem implicaria na consideração de cargas
permanente (G) e acidental (Q) equivalentes a 57% e 43% de toda a ação vertical (V),
respectivamente, porcentagens que diferem substancialmente daquelas admitidas por
FRANCO e VASCONCELOS (1991), que adotam, para a maioria dos edifícios em
concreto armado, G = 0,8 ⋅V e Q = 0,2 ⋅V.
O modelo estrutural adotado foi definido a partir da comparação entre os valores de
γ
z
obtidos para dois edifícios em concreto armado (o primeiro duplamente simétrico e o
segundo sem qualquer simetria), considerando cinco modelos tridimensionais distintos.
Observou-se que, com exceção do modelo 1, o mais sofisticado (no qual as lajes são
representadas como elementos de casca e é considerada a excentricidade existente entre o
eixo da viga e o plano médio da laje), todos os modelos forneceram praticamente os
mesmos valores de
γ
z
. Dessa forma, partindo-se do princípio que o modelo 1 geralmente
não é adotado pelo meio técnico, inclusive para o cálculo do coeficiente
γ
z
, neste trabalho
os edifícios foram analisados utilizando o modelo 4, o mais simples (constituído apenas por
barras e sem a consideração de excentricidades). No entanto, comentou-se que, na prática
de projeto, o modelo 1 deve ser preferencialmente utilizado, uma vez que representa com
maior precisão o comportamento real da estrutura e fornece valores de
γ
z
bem inferiores aos
obtidos pelos demais modelos, o que leva a uma maior economia e, em muitos casos,
dispensa a realização de análises que considerem, de forma simplificada ou não, os efeitos
de segunda ordem.
Para todos os edifícios analisados, foram determinados os valores dos parâmetros
γ
z
,
α
e B
2
,
nas direções X e Y. Demonstrou-se que o
γ
z
também pode ser calculado a partir dos
coeficientes B
2
obtidos para cada pavimento da estrutura, utilizando a expressão
desenvolvida no capítulo 2, a eq. (2.79). Observou-se que os valores médios dos
coeficientes B
2
(B
2,méd
) apresentaram boa proximidade em relação ao
γ
z
e que, em todos os
246
casos, os parâmetros
γ
z
e B
2
forneceram a mesma classificação das estruturas. Além disso,
constatou-se que, embora o parâmetro de instabilidade
α
deva ser utilizado apenas para
estruturas simétricas, ele forneceu, em 83% dos casos, a mesma classificação dos edifícios
que aquela realizada utilizando os coeficientes
γ
z
e B
2
.
A partir do processamento dos edifícios no “software” ANSYS-9.0, foi calculada a relação
entre os esforços obtidos pela análise em segunda e em primeira ordem, nas direções X e Y.
Pôde-se, então, realizar uma análise comparativa entre os acréscimos sofridos pelos
esforços de primeira ordem, quando considerados os efeitos de segunda ordem, e os
acréscimos previstos pelo coeficiente
γ
z
. Vale ressaltar que, no processamento das
estruturas em segunda ordem, considerou-se a não-linearidade física de forma simplificada,
reduzindo a rigidez dos elementos estruturais; foram adotados os valores iguais a 0,8 I
c
para
os pilares e 0,4 I
c
para as vigas, uma vez que, de acordo com os estudos conduzidos no
capítulo 4, estas reduções de inércia foram consideradas as mais adequadas.
Constatou-se que, para todos os edifícios e em ambas as direções, os acréscimos médios
obtidos para a força normal nos pilares e para a força cortante nas vigas foram muito
pequenos (entre 1% e 4%) e, portanto, geralmente bastante inferiores aos previstos pelo
γ
z
.
Portanto, em termos práticos, a majoração dessas forças pelo coeficiente
γ
z
não se faz
necessária, mesmo para altos valores deste. No caso do momento fletor nos pilares e nas
vigas, os acréscimos médios apresentaram pequenas diferenças (quase sempre inferiores a
5%) em relação ao
γ
z
.
Os edifícios foram também submetidos à análises em primeira ordem com as ações
horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
. A relação entre os esforços obtidos pela
análise em segunda e em primeira ordem permitiu avaliar o desempenho do coeficiente
γ
z
como majorador das ações horizontais, para a obtenção dos esforços finais.
Observou-se que, no caso da força normal nos pilares e da força cortante nas vigas, as
análises em primeira ordem realizadas com ou sem a majoração adicional das ações
247
horizontais por 0,95
γ
z
forneceram praticamente os mesmos resultados. Para os momentos
fletores, as diferenças entre os resultados obtidos nas análises em segunda e em primeira
ordem chegaram a atingir valores bastante significativos, ultrapassando o valor de 10% em
94% dos casos para os pilares e em 83% dos casos para as vigas.
Assim, com base nas análises realizadas neste trabalho, pode-se afirmar, conforme já
constatado por OLIVEIRA e SILVA (2003), que o coeficiente
γ
z
deve ser utilizado como
majorador dos momentos de primeira ordem (e não das ações horizontais) para a obtenção
dos momentos finais (primeira ordem + segunda ordem). No caso da força normal nos
pilares e da força cortante nas vigas, a majoração pelo coeficiente
γ
z
não se faz necessária,
uma vez que, para estes esforços, os valores obtidos em primeira e em segunda ordem são
praticamente os mesmos.
O processo simplificado de avaliação dos momentos finais utilizando o coeficiente
γ
z
como
majorador dos momentos de primeira ordem foi também estudado levando-se em conta a
variação dos efeitos de segunda ordem ao longo da altura dos edifícios. Para conduzir o
estudo, foram definidas as relações:
•
γ
/
γ
z
sendo “
γ
” denominado de majorador dos momentos de primeira ordem (relação
entre os momentos obtidos pela análise em segunda e em primeira ordem, para os
pilares e vigas);
• y/h, onde y representa a altura do pavimento considerado e h é a altura total da
estrutura.
Foram construídos gráficos que representam a variação da razão
γ
/
γ
z
ao longo da altura de
todos os edifícios, em ambas as direções, para os pilares e vigas. Sabe-se que, na situação
ideal, na qual a majoração dos momentos de primeira ordem por
γ
z
fornece os momentos
finais com 100% de precisão, os valores de
γ
e
γ
z
devem coincidir para todos os pavimentos
dos edifícios, isto é,
γ
/
γ
z
= 1 ao longo de toda a altura. No entanto, verificou-se nos
248
gráficos construídos que a razão
γ
/
γ
z
varia ao longo de y/h. Observou-se também que seria
difícil estabelecer qual a tendência de variação existente, uma vez que os pontos
representados não formavam um padrão de agrupamento visível. Ainda assim, foi realizado
um tratamento estatístico dos resultados obtidos, utilizando o “software” MINITAB-14.
Inicialmente foi realizada uma análise descritiva da variável envolvida no estudo. Assim,
foram calculadas as medidas de tendência central (média e mediana) e de variabilidade
(desvio padrão, coeficiente de variação, mínimo e máximo) para a relação
γ
/
γ
z
. Além disso,
foram construídos histogramas para visualizar graficamente a distribuição de
γ
/
γ
z
,
correspondente aos pilares e vigas.
Observou-se que a razão
γ
/
γ
z
variou de 0,77 (ou 0,78) a 1,14, (sendo as médias e medianas
obtidas inferiores a 1,0), e que cerca de 90% dos valores encontravam-se dentro do
intervalo 0,90 ≤
γ
/
γ
z
< 1,10, tanto para os pilares quanto para as vigas. Além disso, em 81%
dos casos para os pilares e em 87% dos casos para as vigas a razão
γ
/
γ
z
apresentou-se
inferior a 1,05, indicando que, para a maior parte das situações, a majoração dos momentos
em primeira ordem por
γ
z
forneceria um erro máximo contra a segurança inferior a 5%.
A distribuição de
γ
/
γ
z
(correspondente aos pilares e vigas) foi também estudada, por meio
da construção de gráficos do tipo boxplot, para cada edifício separadamente, levando em
conta a possível simetria da estrutura (sendo o grupo das estruturas “simétricas” constituído
apenas pelos edifícios duplamente simétricos; os demais edifícios pertencem ao grupo das
estruturas “não simétricas”) e da direção analisada e considerando três intervalos de
variação do coeficiente
γ
z
, definidos da seguinte forma:
• intervalo 1:
γ
z
< 1,2;
• intervalo 2: 1,2 ≤
γ
z
< 1,3;
• intervalo 3:
γ
z
≥ 1,3.
249
É importante comentar que o 3º intervalo é, na verdade, constituído por valores de
γ
z
situados entre 1,30 a 1,32. Isto porque o estudo desenvolvido neste trabalho foi realizado
para estruturas que apresentaram valores máximos de
γ
z
da ordem de 1,3, ou seja, para as
quais, segundo a NBR 6118:2003, o processo simplificado de avaliação dos esforços finais
utilizando o coeficiente
γ
z
ainda é válido.
Foram realizados testes de hipóteses (testes de Kruskal-Wallis e Mann-Whitney) para
avaliar se a relação
γ
/
γ
z
varia significativamente de acordo com o edifício, tipo de estrutura
e de direção (“simétricas” ou “não simétricas”) e intervalo de
γ
z
considerado. No entanto,
vale comentar que os testes de hipóteses indicam se os diversos grupos diferem ou não do
ponto de vista estatístico, ou seja, se as diferenças obtidas entre as amostras são ou não
“estatisticamente significantes”. Dessa forma, a correta interpretação dos resultados dos
testes deve ser feita pelo pesquisador, com base em conhecimentos prévios e observando se
a “significância estatística” realmente representa uma “significância prática”, ou, como
define MONTGOMERY e RUNGER (2003), uma “significância de engenharia”. Tendo
em vista estas considerações pode-se afirmar, a partir do estudo estatístico realizado, que:
• existem diferenças significativas no valor obtido para a relação
γ
/
γ
z
de acordo com o
edifício analisado, tanto para os pilares quanto para as vigas. Este resultado é razoável,
uma vez que a segurança relacionada ao método simplificado de avaliação dos
momentos finais utilizando o coeficiente
γ
z
será maior em edifícios “mais
comportados” (isto é, que não apresentem pés-direitos muito discrepantes ou mudanças
bruscas de inércia entre pavimentos, por exemplo), para os quais a hipótese formulada
no desenvolvimento do método (de que os deslocamentos sucessivos formam uma
progressão geométrica) realmente é válida. Nestes casos, portanto, a relação
γ
/
γ
z
deverá ser menor ou igual a 1. Por outro lado, para estruturas “menos comportadas” a
hipótese adotada se aplica com maiores erros, e, dessa forma, o real majorador
γ
tende
a ser maior que o valor de
γ
z
calculado, como explica VASCONCELOS (2002);
250
• as estruturas (ou direções) “simétricas” mostraram-se diferentes das estruturas (ou
direções) “não simétricas”, em relação ao valor de
γ
/
γ
z
obtido, tanto para os pilares
quanto para as vigas. Além disso, para as estruturas e direções “não simétricas”, os
valores médios e medianos da variável
γ
/
γ
z
apresentaram-se superiores aos das
“simétricas”. Estes fatos são previsíveis, pois a presença ou não de simetria influencia
o comportamento das estruturas e, consequentemente, o valor de
γ
/
γ
z
, que, como
explicado anteriormente, tende a ser menor para edifícios simétricos, ou seja, “mais
comportados”;
• no caso das vigas, não foram encontradas diferenças significativas para
γ
/
γ
z
entre os
três intervalos de variação de
γ
z
. No caso dos pilares, embora os valores de
γ
/
γ
z
obtidos
para os intervalos 1 e 2 tenham sido diferentes do ponto de vista estatístico (o 3º
intervalo foi considerado semelhante aos outros dois), verificou-se que as diferenças
existentes não possuem significância prática. Isto pode ser constatado observando os
valores médios de
γ
/
γ
z
dos 1º e 2º intervalos, que são, respectivamente, iguais a 1,002 e
0,980, e considerando que, em termos práticos, a majoração dos momentos de primeira
ordem por 1,002
γ
z
e 0,980
γ
z
conduziria aos mesmos resultados.
Após a realização da análise descritiva, avaliou-se a correlação entre as relações y/h e
γ
/
γ
z
.
Ressalta-se que a associação entre as variáveis foi também estudada considerando-se a
transformação da razão y/h através das funções logarítmica (base e) e exponencial. Pôde-se
verificar que, no caso dos pilares, existe uma correlação negativa significativa entre as
variáveis y/h e
γ
/
γ
z
, bem como nas outras duas transformações. Para as vigas, apenas a
correlação (positiva) entre ln(y/h) e
γ
/
γ
z
mostrou-se significativa (TAB. 6.1).
A análise de correlação foi também realizada levando em conta a possível simetria da
estrutura, da direção e considerando os três intervalos de variação de
γ
z
. As correlações que
se mostraram significativas estão apresentadas na TAB. 6.1.
251
TABELA 6.1 – Correlações significativas para as variáveis estudadas
Pilares Vigas
Resultados gerais
(sem considerar
qualquer estratificação)
y/h e
γ
/
γ
z
(negativa)
ln(y/h) e
γ
/
γ
z
(negativa)
e
y/h
e
γ
/
γ
z
(negativa)
ln(y/h) e
γ
/
γ
z
(positiva)
Estruturas
“Simétricas”
ln(y/h) e
γ
/
γ
z
(negativa) ln(y/h) e
γ
/
γ
z
(positiva)
“Não Simétricas”
y/h e
γ
/
γ
z
(negativa)
ln(y/h) e
γ
/
γ
z
(negativa)
e
y/h
e
γ
/
γ
z
(negativa)
-
Direções
“Simétricas”
y/h e
γ
/
γ
z
(negativa)
ln(y/h) e
γ
/
γ
z
(negativa)
e
y/h
e
γ
/
γ
z
(negativa)
-
“Não Simétricas” -
y/h e
γ
/
γ
z
(positiva)
ln(y/h) e
γ
/
γ
z
(positiva)
e
y/h
e
γ
/
γ
z
(positiva)
Intervalo de variação de
γ
γγ
γ
z
1º:
γ
z
< 1,2
- -
2º: 1,2 ≤
γ
z
< 1,3 y/h e
γ
/
γ
z
(negativa)
ln(y/h) e
γ
/
γ
z
(negativa)
e
y/h
e
γ
/
γ
z
(negativa)
-
3º:
γ
z
≥ 1,3 y/h e
γ
/
γ
z
(negativa)
e
y/h
e
γ
/
γ
z
(negativa)
ln(y/h) e
γ
/
γ
z
(positiva)
Ainda no capítulo 5, buscou-se estabelecer uma equação capaz de expressar o
relacionamento entre as variáveis
γ
/
γ
z
(variável resposta ou dependente Y) e y/h (variável
explicativa ou independente X), utilizando a técnica de análise de regressão. Assim, foram
ajustados modelos do tipo Y = a + b
⋅
X, Y = a + b
⋅
X + c
⋅
X
2
, Y = a + b
⋅
X + c
⋅
X
2
+ d
⋅
X
3
, Y =
a + b
⋅
lnX, Y = a + b
⋅
e
X
,
X
1
baY ⋅+= e Y = a
⋅
X
b
. Para cada modelo, foram apresentados a
equação da regressão, a análise de variância e o coeficiente de determinação R
2
,
correspondentes aos pilares e vigas.
Observou-se que, no caso dos pilares, todos os modelos ajustados foram considerados
importantes para explicar a variabilidade de
γ
/
γ
z
. Por outro lado, no caso das vigas, os
252
modelos do tipo Y = a + b
⋅
X e Y = a + b
⋅
e
X
não se mostraram úteis. Isto já era esperado,
uma vez que, como constatado na análise de correlação, não existe, para as vigas, uma
associação significativa entre as variáveis y/h e
γ
/
γ
z
, bem como entre e
y/h
e
γ
/
γ
z
.
No âmbito global, dentre todos os modelos úteis para explicar a variabilidade de
γ
/
γ
z
, os
modelos polinomiais de terceira ordem apresentaram os maiores coeficientes de
determinação R
2
, e, portanto, foram considerados os mais adequados, tanto para os pilares
quanto para as vigas. Vale comentar que estes modelos (apresentados na TAB. 6.2)
fornecem, para quase toda a faixa de variação de y/h, relações
γ
/
γ
z
próximas ou inferiores a
1, situando-se, portanto, dentro de valores confiáveis.
A análise de regressão foi também realizada levando em conta a possível simetria da
estrutura, da direção e considerando os três intervalos de variação de
γ
z
. A TAB 6.2 mostra,
dentre todos os modelos considerados úteis para explicar a variabilidade de
γ
/
γ
z
, aqueles
que apresentaram os maiores coeficientes de determinação R
2
, para cada tipo de estrutura,
direção e intervalo considerado.
Dentre todos os modelos ajustados, os mostrados em negrito na TAB. 6.2 apresentaram os
maiores coeficientes de determinação R
2
, e, portanto, foram considerados os mais
apropriados. Nota-se que eles foram construídos, no caso dos pilares, levando em conta os
três intervalos de variação de
γ
z
, e, no caso das vigas, a possível simetria das direções.
Entretanto, não recomenda-se a utilização destes modelos, uma vez que os valores de R
2
obtidos apresentaram-se pequenos. Para que fossem recomendados, os modelos deveriam
incorporar outros fatores, além de y/h, de forma a garantir previsões mais seguras da
variável
γ
/
γ
z
.
No final do capítulo 5, ajustou-se um modelo de regressão do tipo Y = a + b
⋅
X para cada
terço da altura total dos edifícios. Observou-se que, nos 1º e 3º terços, a variável
γ
/
γ
z
apresenta tendências decrescentes no caso dos pilares e crescentes no caso das vigas.
253
Contrariamente, no 2º terço, a tendência é crescente para os pilares e decrescente para as
vigas. Verificou-se também que, tanto para os pilares quanto para as vigas, em quase toda a
faixa de variação de y/h, as retas ajustadas fornecem valores de
γ
/
γ
z
inferiores a 1.
TABELA 6.2 – Modelos úteis para explicar a variabilidade de
γ
/
γ
z
que apresentaram os maiores coeficientes de determinação R
2
Pilares Vigas
Resultados gerais
(sem considerar
qualquer estratificação)
γ
/
γ
z
= 1,025 - 0,167
⋅
(y/h) +
+ 0,221
⋅
(y/h)
2
- 0,103
⋅
(y/h)
3
γ
/
γ
z
= 0,884 + 0,680
⋅
(y/h)+
- 1,266
⋅
(y/h)
2
+ 0,682
⋅
(y/h)
3
Estruturas
“Simétricas”
γ
/
γ
z
= 0,952
⋅
(y/h)
-0,017
γ
/
γ
z
= 0,830 +0,862
⋅
(y/h) +
- 1,467
⋅
(y/h)
2
+ 0,723
⋅
(y/h)
3
“Não Simétricas”
γ
/
γ
z
= 1,030 - 0,155
⋅
(y/h) +
+ 0,228
⋅
(y/h)
2
- 0,121
⋅
(y/h)
3
γ
/
γ
z
= 0,912 +0,582
⋅
(y/h) +
- 1,154
⋅
(y/h)
2
+ 0,656
⋅
(y/h)
3
Direções
“Simétricas”
γ
/
γ
z
= 1,019 - 0,232
⋅
(y/h) +
+ 0,439
⋅
(y/h)
2
- 0,293
⋅
(y/h)
3
γ
γγ
γ
/
γ
γγ
γ
z
= 0,850 + 0,880
⋅
⋅⋅
⋅
(y/h) +
- 1,554
⋅
⋅⋅
⋅
(y/h)
2
+0,762
⋅
⋅⋅
⋅
(y/h)
3
“Não Simétricas”
γ
/
γ
z
= 1,030 - 0,100
⋅
(y/h)+
- 0,005
⋅
(y/h)
2
+ 0,094
⋅
(y/h)
3
γ
γγ
γ
/
γ
γγ
γ
z
= 0,921+ 0,465
⋅
⋅⋅
⋅
(y/h) +
- 0,955
⋅
⋅⋅
⋅
(y/h)
2
+ 0,591
⋅
⋅⋅
⋅
(y/h)
3
Intervalo de variação de
γ
γγ
γ
z
1º:
γ
z
< 1,2
γ
γγ
γ
/
γ
γγ
γ
z
= 1,076 - 0,382
⋅
⋅⋅
⋅
(y/h) +
+ 0,353
⋅
⋅⋅
⋅
(y/h)
2
e
γ
γγ
γ
/
γ
γγ
γ
z
= 1,071 - 0,330
⋅
⋅⋅
⋅
(y/h) +
+ 0,234
⋅
⋅⋅
⋅
(y/h)
2
+0,075
⋅
⋅⋅
⋅
(y/h)
3
-
2º: 1,2 ≤
γ
z
< 1,3
γ
γγ
γ
/
γ
γγ
γ
z
= 1,021 - 0,305
⋅
⋅⋅
⋅
(y/h) +
+ 0,745
⋅
⋅⋅
⋅
(y/h)
2
- 0,539
⋅
⋅⋅
⋅
(y/h)
3
γ
/
γ
z
= 0,858+ 0,950
⋅
(y/h) +
- 1,886
⋅
(y/h)
2
+ 1,076
⋅
(y/h)
3
3º:
γ
z
≥ 1,3
γ
γγ
γ
/
γ
γγ
γ
z
= 1,030 - 0,027
⋅
⋅⋅
⋅
e
(y/h)
γ
/
γ
z
= 0,853+ 0,835
⋅
(y/h) +
- 1,435
⋅
(y/h)
2
+ 0,700
⋅
(y/h)
3
Com base em todas as considerações apresentadas, pode-se afirmar que as principais
contribuições deste trabalho são:
• a aplicação da inércia equivalente de BRANSON (1966) para vigas pertencentes a
pórticos medianamente altos (considerando várias porcentagens do carregamento), uma
254
vez que, geralmente, a formulação de BRANSON (1966) é empregada para avaliação
de flechas em elementos isolados de concreto armado. Além disso, o desempenho da
inércia equivalente de BRANSON (1966) para considerar simplificadamente a não-
linearidade física foi também avaliado.
• o desenvolvimento de uma expressão que relaciona os coeficientes B
2
e
γ
z
. Com esta
expressão, é possível calcular
γ
z
a partir dos coeficientes B
2
obtidos para cada
pavimento da estrutura.
• a avaliação da influência do modelo estrutural adotado na determinação do coeficiente
γ
z
;
• o estudo do processo simplificado de avaliação dos momentos finais utilizando o
coeficiente
γ
z
como majorador dos momentos de primeira ordem levando-se em conta a
variação dos efeitos de segunda ordem ao longo da altura dos edifícios, por meio de
uma análise estatística adequada dos resultados obtidos.
• a constatação de que não é possível estimar o majorador dos momentos de primeira
ordem
γ
que deve ser aplicado em cada pavimento da estrutura a partir de modelos que
considerem apenas a influência da variável y/h. No entanto, esta estimativa pode ser
feita utilizando o coeficiente B
2
, cujo valor médio se aproxima de
γ
z
. Assim, o
majorador
γ
de cada pavimento i seria, aproximadamente, igual a (B
2,i
/B
2,méd
)
⋅γ
z
.
Embora neste trabalho não tenham sido realizados estudos mais específicos sobre o
assunto, acredita-se que esta seja uma alternativa bastante lógica e racional para levar
em conta a variação dos efeitos de segunda ordem com a altura dos pavimentos nas
edificações.
Finalmente, como sugestão para novas pesquisas, recomenda-se:
• a avaliação dos valores de rigidez utilizados para levar em conta a não-linearidade
física de forma simplificada considerando-se pórticos espaciais em concreto armado;
• o estudo da validade do processo simplificado de obtenção dos momentos finais
utilizando o coeficiente
γ
z
como majorador dos momentos de primeira ordem para
255
estruturas que apresentam irregularidades na geometria, como, por exemplo, mudanças
de inércia e de pés-direitos entre os pavimentos;
• o estudo da variação de
γ
/
γ
z
ao longo da altura dos edifícios incorporando novas
variáveis aos modelos ajustados, tais como o número total de pavimentos, a rigidez da
estrutura, etc.
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APÊNDICE A:
COEFICIENTES B
2
OBTIDOS
274
TABELA A.1 – Valores dos coeficientes B
2
(edifícios I, II, III, IV e V)
Ed. I Ed. II Ed. III Ed. IV Ed. V Pavtº
B
2,x
B
2,y
B
2,x
B
2,y
B
2,x
B
2,y
B
2,x
= B
2,y
B
2,x
B
2,y
1º 1,13 1,05 1,11 1,04 1,03 1,15 1,07 1,08 1,11
2º 1,26 1,13 1,29 1,11 1,06 1,32 1,20 1,18 1,23
3º 1,28 1,18 1,40 1,16 1,07 1,39 1,30 1,22 1,30
4º 1,26 1,19 1,45 1,18 1,07 1,42 1,37 1,23 1,33
5º 1,24 1,20 1,47 1,20 1,07 1,43 1,41 1,23 1,34
6º 1,22 1,19 1,47 1,20 1,07 1,44 1,44 1,23 1,35
7º 1,20 1,18 1,44 1,20 1,07 1,42 1,45 1,22 1,35
8º 1,17 1,16 1,41 1,20 1,07 1,40 1,44 1,21 1,35
9º 1,15 1,15 1,38 1,20 1,07 1,38 1,43 1,20 1,34
10º 1,13 1,13 1,34 1,19 1,06 1,35 1,42 1,19 1,33
11º 1,11 1,12 1,30 1,18 1,06 1,32 1,40 1,17 1,32
12º 1,09 1,10 1,26 1,17 1,06 1,29 1,38 1,16 1,30
13º 1,07 1,08 1,22 1,16 1,05 1,26 1,36 1,15 1,29
14º 1,06 1,07 1,19 1,15 1,05 1,23 1,34 1,14 1,28
15º 1,04 1,06 1,16 1,15 1,04 1,20 1,31 1,12 1,26
16º 1,03 1,08 1,13 1,14 1,04 1,18 1,29 1,11 1,25
17º 1,11 1,15 1,04 1,15 1,27 1,10 1,23
18º 1,14 1,22 1,04 1,13 1,25 1,09 1,22
19º 1,03 1,12 1,23 1,08 1,21
20º 1,05 1,13 1,21 1,07 1,20
21º 1,19 1,06 1,21
22º 1,17 1,08 1,32
23º 1,15
24º 1,14
25º 1,12
26º 1,11
27º 1,09
28º 1,08
29º 1,08
30º 1,11
275
TABELA A.2 – Valores dos coeficientes B
2
(edifícios VI, VII, VIII, IX e X)
Ed. VI Ed. VII Ed. VIII Ed. IX Ed. X Pavtº
B
2,x
= B
2,y
B
2,x
B
2,y
B
2,x
B
2,y
B
2,x
B
2,y
B
2,x
B
2,y
1º 1,13 1,08 1,08 1,08 1,11 1,06 1,07 1,06 1,17
2º 1,28 1,22 1,12 1,22 1,24 1,16 1,18 1,18 1,32
3º 1,31 1,32 1,13 1,33 1,29 1,24 1,26 1,27 1,34
4º 1,30 1,37 1,14 1,40 1,30 1,31 1,31 1,35 1,32
5º 1,28 1,40 1,14 1,43 1,30 1,36 1,35 1,40 1,30
6º 1,25 1,40 1,15 1,44 1,29 1,40 1,37 1,42 1,28
7º 1,22 1,38 1,15 1,43 1,27 1,42 1,38 1,44 1,26
8º 1,19 1,36 1,15 1,40 1,25 1,43 1,38 1,43 1,24
9º 1,17 1,33 1,15 1,37 1,23 1,44 1,38 1,42 1,22
10º 1,14 1,29 1,15 1,34 1,21 1,43 1,37 1,40 1,20
11º 1,12 1,26 1,15 1,30 1,19 1,41 1,35 1,37 1,18
12º 1,09 1,23 1,15 1,27 1,17 1,39 1,34 1,34 1,16
13º 1,07 1,20 1,15 1,23 1,15 1,37 1,32 1,31 1,14
14º 1,05 1,17 1,14 1,20 1,13 1,35 1,31 1,28 1,12
15º 1,05 1,14 1,14 1,17 1,12 1,33 1,29 1,26 1,10
16º 1,12 1,13 1,15 1,10 1,31 1,27 1,23 1,09
17º 1,11 1,13 1,15 1,09 1,29 1,26 1,21 1,07
18º 1,15 1,18 1,20 1,11 1,28 1,25 1,20 1,05
19º 1,30 1,25 1,20 1,04
20º 1,47 1,38 1,31 1,04
APÊNDICE B:
RELAÇÃO ENTRE OS ESFORÇOS OBTIDOS PELA
ANÁLISE EM SEGUNDA ORDEM E EM PRIMEIRA
ORDEM
277
TABELA B.1 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício I, na direção X
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,01 1,15 1,01 1,11
2º 1,01 1,19 1,01 1,07
3º 1,01 1,12 1,01 1,07
4º 1,01 1,13 1,01 1,08
5º 1,01 1,15 1,01 1,08
6º 1,01 1,16 1,01 1,09
7º 1,01 1,17 1,01 1,09
8º 1,01 1,18 1,01 1,11
9º 1,01 1,20 1,01 1,12
10º 1,01 1,23 1,01 1,12
11º 1,01 1,18 1,01 1,12
12º 1,01 1,27 1,01 1,12
13º 1,01 1,11 1,01 1,12
14º 1,01 1,11 1,01 1,12
15º 1,01 1,11 1,01 1,12
16º 1,01 1,15 1,02 1,18
Média 1,01 1,17 1,01 1,11
TABELA B.2 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício I, na direção Y
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,01 1,23 1,02 1,19
2º 1,01 1,20 1,02 1,02
3º 1,01 1,19 1,01 1,03
4º 1,01 1,10 1,01 1,05
5º 1,01 1,09 1,01 1,10
6º 1,01 1,09 1,01 1,20
7º 1,01 1,10 1,01 1,12
8º 1,01 1,09 1,01 1,06
9º 1,01 1,09 1,01 1,06
10º 1,01 1,11 1,01 1,04
11º 1,01 1,16 1,01 1,04
12º 1,01 1,20 1,01 1,04
13º 1,01 1,20 1,01 1,04
14º 1,01 1,26 1,01 1,04
15º 1,01 1,23 1,01 1,04
16º 1,01 1,24 1,02 1,04
Média 1,01 1,16 1,01 1,07
278
TABELA B.3 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício II, na direção X
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,01 1,24 1,03 1,25
2º 1,01 1,34 1,02 1,27
3º 1,01 1,38 1,02 1,26
4º 1,01 1,39 1,03 1,26
5º 1,01 1,40 1,03 1,27
6º 1,01 1,32 1,02 1,27
7º 1,01 1,34 1,02 1,28
8º 1,01 1,37 1,02 1,29
9º 1,01 1,38 1,02 1,26
10º 1,01 1,38 1,02 1,26
11º 1,01 1,34 1,01 1,24
12º 1,01 1,37 1,01 1,24
13º 1,01 1,42 1,01 1,25
14º 1,01 1,35 1,01 1,25
15º 1,01 1,35 1,01 1,26
16º 1,01 1,33 1,02 1,27
17º 1,01 1,28 1,02 1,35
18º 1,01 1,34 1,02 1,29
Média 1,01 1,35 1,02 1,27
TABELA B.4 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício II, na direção Y
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,01 1,12 1,02 1,15
2º 1,01 1,17 1,03 1,23
3º 1,01 1,18 1,03 1,15
4º 1,01 1,15 1,04 1,16
5º 1,01 1,09 1,04 1,17
6º 1,02 1,05 1,03 1,18
7º 1,02 1,04 1,03 1,19
8º 1,02 1,05 1,03 1,20
9º 1,02 1,06 1,04 1,21
10º 1,02 1,07 1,04 1,27
11º 1,02 1,08 1,04 1,25
12º 1,02 1,12 1,05 1,22
13º 1,02 1,17 1,05 1,19
14º 1,02 1,21 1,02 1,19
15º 1,02 1,22 1,02 1,18
16º 1,02 1,23 1,02 1,19
17º 1,02 1,29 1,02 1,27
18º 1,02 1,26 1,02 1,23
Média 1,02 1,14 1,03 1,20
279
TABELA B.5 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício III, na direção X
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,01 1,17 1,02 1,02
2º 1,02 1,17 1,02 1,02
3º 1,02 1,12 1,04 1,02
4º 1,02 1,13 1,02 1,03
5º 1,02 1,12 1,03 1,03
6º 1,02 1,12 1,03 1,03
7º 1,02 1,10 1,03 1,02
8º 1,02 1,10 1,03 1,02
9º 1,02 1,09 1,04 1,02
10º 1,02 1,09 1,03 1,02
11º 1,02 1,09 1,02 1,02
12º 1,02 1,09 1,02 1,02
13º 1,02 1,09 1,03 1,02
14º 1,02 1,08 1,03 1,02
15º 1,02 1,08 1,04 1,02
16º 1,02 1,08 1,02 1,02
17º 1,01 1,08 1,01 1,03
18º 1,01 1,09 1,01 1,03
19º 1,01 1,14 1,02 1,03
20º 1,01 1,18 1,02 1,04
Média 1,02 1,11 1,03 1,03
TABELA B.6 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício III, na direção Y
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,02 1,17 1,03 1,22
2º 1,02 1,23 1,05 1,26
3º 1,02 1,46 1,05 1,29
4º 1,02 1,26 1,04 1,31
5º 1,02 1,27 1,04 1,32
6º 1,02 1,25 1,04 1,32
7º 1,02 1,20 1,04 1,33
8º 1,02 1,22 1,04 1,33
9º 1,02 1,23 1,04 1,34
10º 1,02 1,24 1,04 1,43
11º 1,02 1,25 1,04 1,27
12º 1,02 1,25 1,04 1,23
13º 1,02 1,23 1,04 1,22
14º 1,02 1,23 1,04 1,25
15º 1,02 1,32 1,04 1,29
16º 1,01 1,22 1,04 1,20
17º 1,01 1,21 1,04 1,22
18º 1,01 1,19 1,04 1,12
19º 1,01 1,18 1,03 1,13
20º 1,01 1,20 1,02 1,21
Média 1,02 1,24 1,04 1,27
280
TABELA B.7 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício IV, na direção X = Y
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,02 1,26 1,00 1,05
2º 1,02 1,37 1,01 1,02
3º 1,02 1,36 1,01 1,06
4º 1,02 1,32 1,01 1,10
5º 1,02 1,34 1,02 1,15
6º 1,02 1,30 1,02 1,21
7º 1,02 1,26 1,03 1,28
8º 1,02 1,22 1,03 1,40
9º 1,02 1,23 1,03 1,45
10º 1,02 1,33 1,04 1,48
11º 1,02 1,41 1,04 1,42
12º 1,03 1,39 1,04 1,47
13º 1,03 1,33 1,05 1,20
14º 1,03 1,29 1,05 1,25
15º 1,03 1,26 1,03 1,33
16º 1,03 1,23 1,03 1,40
17º 1,03 1,21 1,03 1,45
18º 1,03 1,19 1,03 1,08
19º 1,03 1,19 1,03 1,09
20º 1,03 1,18 1,04 1,10
21º 1,03 1,17 1,04 1,12
22º 1,03 1,17 1,04 1,15
23º 1,03 1,16 1,04 1,20
24º 1,03 1,15 1,04 1,32
25º 1,03 1,14 1,04 1,48
26º 1,03 1,13 1,04 1,16
27º 1,03 1,11 1,04 1,45
28º 1,03 1,10 1,04 1,00
29º 1,03 1,09 1,04 1,00
30º 1,03 1,10 1,03 1,00
Média 1,03 1,23 1,03 1,23
281
TABELA B.8 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício V, na direção X
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,02 1,27 1,02 1,14
2º 1,02 1,29 1,03 1,17
3º 1,02 1,27 1,03 1,14
4º 1,02 1,27 1,03 1,16
5º 1,02 1,22 1,03 1,16
6º 1,02 1,24 1,04 1,23
7º 1,02 1,24 1,04 1,21
8º 1,02 1,25 1,05 1,14
9º 1,02 1,18 1,05 1,14
10º 1,02 1,13 1,05 1,14
11º 1,02 1,13 1,03 1,16
12º 1,02 1,12 1,03 1,16
13º 1,02 1,09 1,03 1,12
14º 1,02 1,09 1,03 1,12
15º 1,02 1,09 1,03 1,13
16º 1,02 1,10 1,03 1,13
17º 1,02 1,11 1,03 1,12
18º 1,02 1,11 1,03 1,12
19º 1,02 1,10 1,03 1,13
20º 1,02 1,10 1,03 1,13
21º 1,02 1,08 1,03 1,13
22º 1,02 1,13 1,03 1,13
Média 1,02 1,16 1,03 1,15
282
TABELA B.9 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício V, na direção Y
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,00 1,35 1,03 1,19
2º 1,04 1,35 1,01 1,22
3º 1,04 1,30 1,02 1,31
4º 1,04 1,28 1,03 1,31
5º 1,04 1,27 1,01 1,27
6º 1,04 1,26 1,00 1,29
7º 1,04 1,26 1,00 1,31
8º 1,04 1,27 1,00 1,34
9º 1,04 1,30 1,00 1,29
10º 1,03 1,31 1,00 1,32
11º 1,03 1,32 1,00 1,36
12º 1,03 1,33 1,00 1,42
13º 1,03 1,34 1,00 1,33
14º 1,03 1,37 1,00 1,30
15º 1,02 1,40 1,00 1,31
16º 1,02 1,37 1,00 1,25
17º 1,02 1,35 1,00 1,25
18º 1,02 1,19 1,03 1,21
19º 1,02 1,14 1,03 1,22
20º 1,02 1,14 1,03 1,23
21º 1,02 1,13 1,03 1,24
22º 1,03 1,18 1,03 1,22
Média 1,03 1,28 1,01 1,28
TABELA B.10 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício VI, na direção X = Y
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,02 1,18 1,01 1,03
2º 1,02 1,22 1,02 1,09
3º 1,02 1,16 1,03 1,13
4º 1,02 1,15 1,04 1,17
5º 1,02 1,18 1,03 1,22
6º 1,02 1,20 1,02 1,21
7º 1,02 1,24 1,03 1,31
8º 1,02 1,22 1,03 1,20
9º 1,02 1,20 1,03 1,38
10º 1,02 1,20 1,04 1,34
11º 1,02 1,15 1,04 1,06
12º 1,02 1,09 1,04 1,12
13º 1,02 1,14 1,05 1,12
14º 1,02 1,16 1,05 1,33
15º 1,01 1,00 1,03 1,29
Média 1,02 1,17 1,03 1,20
283
TABELA B.11 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício VII, na direção X
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,02 1,21 1,02 1,15
2º 1,02 1,32 1,02 1,11
3º 1,02 1,32 1,02 1,13
4º 1,02 1,31 1,02 1,17
5º 1,02 1,20 1,03 1,27
6º 1,02 1,18 1,03 1,37
7º 1,02 1,18 1,04 1,38
8º 1,02 1,22 1,04 1,37
9º 1,02 1,25 1,05 1,36
10º 1,02 1,27 1,06 1,17
11º 1,02 1,27 1,06 1,16
12º 1,02 1,27 1,05 1,11
13º 1,02 1,25 1,05 1,11
14º 1,02 1,24 1,06 1,32
15º 1,02 1,28 1,06 1,21
16º 1,02 1,21 1,03 1,21
17º 1,02 1,15 1,03 1,28
18º 1,02 1,18 1,06 1,36
Média 1,02 1,24 1,04 1,24
TABELA B.12 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício VII, na direção Y
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,02 1,13 1,02 1,06
2º 1,02 1,15 1,02 1,08
3º 1,03 1,16 1,02 1,12
4º 1,03 1,18 1,02 1,08
5º 1,03 1,08 1,04 1,10
6º 1,03 1,09 1,03 1,28
7º 1,03 1,08 1,04 1,16
8º 1,03 1,09 1,04 1,25
9º 1,03 1,09 1,05 1,14
10º 1,03 1,10 1,05 1,10
11º 1,03 1,09 1,06 1,10
12º 1,03 1,08 1,08 1,13
13º 1,03 1,09 1,05 1,10
14º 1,03 1,07 1,06 1,29
15º 1,03 1,08 1,08 1,29
16º 1,03 1,14 1,07 1,17
17º 1,03 1,30 1,02 1,08
18º 1,03 1,21 1,05 1,25
Média 1,03 1,12 1,04 1,15
284
TABELA B.13 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício VIII, na direção X
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,02 1,23 1,02 1,21
2º 1,02 1,33 1,01 1,33
3º 1,02 1,31 1,02 1,24
4º 1,03 1,32 1,02 1,28
5º 1,03 1,29 1,02 1,31
6º 1,03 1,29 1,02 1,33
7º 1,03 1,20 1,03 1,34
8º 1,03 1,25 1,03 1,42
9º 1,03 1,28 1,03 1,37
10º 1,03 1,33 1,03 1,35
11º 1,03 1,35 1,04 1,29
12º 1,03 1,31 1,04 1,24
13º 1,03 1,33 1,04 1,35
14º 1,03 1,28 1,04 1,40
15º 1,02 1,28 1,04 1,29
16º 1,02 1,22 1,03 1,28
17º 1,02 1,23 1,03 1,34
18º 1,02 1,27 1,03 1,39
Média 1,02 1,28 1,03 1,32
TABELA B.14 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício VIII, na direção Y
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,02 1,25 1,01 1,17
2º 1,02 1,30 1,02 1,19
3º 1,02 1,28 1,03 1,23
4º 1,02 1,24 1,03 1,26
5º 1,03 1,26 1,04 1,26
6º 1,03 1,29 1,03 1,26
7º 1,03 1,21 1,03 1,21
8º 1,03 1,25 1,04 1,39
9º 1,03 1,29 1,04 1,20
10º 1,03 1,32 1,04 1,24
11º 1,03 1,22 1,03 1,21
12º 1,03 1,28 1,04 1,16
13º 1,03 1,30 1,04 1,15
14º 1,03 1,21 1,03 1,15
15º 1,02 1,15 1,03 1,15
16º 1,02 1,14 1,03 1,14
17º 1,02 1,11 1,03 1,12
18º 1,02 1,10 1,02 1,12
Média 1,02 1,23 1,03 1,20
285
TABELA B.15 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício IX, na direção X
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,01 1,26 1,01 1,26
2º 1,01 1,32 1,01 1,26
3º 1,01 1,36 1,01 1,24
4º 1,01 1,38 1,01 1,27
5º 1,01 1,40 1,02 1,25
6º 1,01 1,43 1,02 1,35
7º 1,01 1,32 1,02 1,31
8º 1,01 1,29 1,02 1,29
9º 1,01 1,37 1,02 1,33
10º 1,01 1,31 1,02 1,29
11º 1,01 1,33 1,02 1,34
12º 1,01 1,37 1,02 1,29
13º 1,01 1,39 1,02 1,32
14º 1,01 1,40 1,02 1,40
15º 1,01 1,42 1,02 1,31
16º 1,01 1,43 1,02 1,26
17º 1,01 1,30 1,02 1,22
18º 1,01 1,25 1,02 1,23
19º 1,01 1,31 1,02 1,25
20º 1,01 1,41 1,02 1,29
Média 1,01 1,35 1,02 1,29
TABELA B.16 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício IX, na direção Y
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,01 1,24 1,01 1,37
2º 1,01 1,31 1,01 1,16
3º 1,01 1,28 1,02 1,15
4º 1,01 1,26 1,02 1,16
5º 1,01 1,25 1,02 1,16
6º 1,01 1,24 1,02 1,17
7º 1,01 1,26 1,03 1,18
8º 1,01 1,26 1,03 1,18
9º 1,01 1,21 1,03 1,19
10º 1,01 1,20 1,03 1,21
11º 1,01 1,23 1,03 1,24
12º 1,01 1,26 1,03 1,26
13º 1,01 1,28 1,04 1,19
14º 1,01 1,30 1,03 1,20
15º 1,01 1,31 1,03 1,21
16º 1,01 1,32 1,02 1,23
17º 1,01 1,32 1,02 1,26
18º 1,01 1,30 1,02 1,26
19º 1,01 1,30 1,02 1,42
20º 1,01 1,28 1,02 1,43
Média 1,01 1,27 1,02 1,23
286
TABELA B.17 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício X, na direção X
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,02 1,23 1,02 1,18
2º 1,02 1,30 1,06 1,21
3º 1,02 1,35 1,00 1,20
4º 1,02 1,39 1,00 1,20
5º 1,02 1,41 1,00 1,20
6º 1,02 1,24 1,01 1,20
7º 1,02 1,04 1,02 1,21
8º 1,02 1,02 1,03 1,22
9º 1,02 1,11 1,04 1,22
10º 1,02 1,19 1,05 1,23
11º 1,02 1,27 1,07 1,26
12º 1,02 1,31 1,02 1,27
13º 1,02 1,33 1,03 1,29
14º 1,02 1,34 1,03 1,33
15º 1,02 1,35 1,04 1,34
16º 1,02 1,35 1,03 1,35
17º 1,02 1,34 1,03 1,33
18º 1,02 1,31 1,04 1,31
19º 1,02 1,28 1,04 1,34
20º 1,02 1,45 1,04 1,34
Média 1,02 1,28 1,03 1,26
TABELA B.18 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem),
para o edifício X, na direção Y
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,02 1,18 1,01 1,16
2º 1,02 1,16 1,02 1,15
3º 1,02 1,13 1,02 1,16
4º 1,02 1,13 1,02 1,16
5º 1,02 1,14 1,03 1,17
6º 1,02 1,14 1,03 1,18
7º 1,02 1,15 1,03 1,20
8º 1,02 1,17 1,03 1,23
9º 1,02 1,16 1,03 1,30
10º 1,02 1,11 1,03 1,24
11º 1,02 1,11 1,03 1,33
12º 1,02 1,11 1,04 1,13
13º 1,02 1,10 1,04 1,13
14º 1,02 1,11 1,04 1,14
15º 1,02 1,11 1,04 1,14
16º 1,02 1,12 1,04 1,14
17º 1,02 1,13 1,04 1,14
18º 1,02 1,14 1,04 1,14
19º 1,02 1,22 1,04 1,14
20º 1,02 1,29 1,04 1,14
Média 1,02 1,15 1,03 1,18
APÊNDICE C:
RELAÇÃO ENTRE OS ESFORÇOS OBTIDOS PELA
ANÁLISE EM SEGUNDA ORDEM E EM PRIMEIRA
ORDEM REALIZADA COM AS AÇÕES HORIZONTAIS
ADICIONALMENTE MAJORADAS POR 0,95
γ
γγ
γ
Z
288
TABELA C.1 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem), para o edifício I,
na direção X (análise de primeira ordem realizada com as ações horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
)
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,01 1,08 1,01 1,10
2º 1,01 1,24 1,01 1,10
3º 1,01 1,07 1,01 1,06
4º 1,01 1,16 1,01 1,08
5º 1,01 1,16 1,01 1,08
6º 1,01 1,16 1,01 1,09
7º 1,01 1,15 1,01 1,09
8º 1,01 1,15 1,01 1,09
9º 1,01 1,15 1,01 1,05
10º 1,01 1,16 1,01 1,06
11º 1,01 1,11 1,01 1,07
12º 1,01 1,33 1,01 1,07
13º 1,01 1,10 1,01 1,07
14º 1,01 1,10 1,01 1,08
15º 1,01 1,10 1,01 1,08
16º 1,01 1,14 1,02 1,11
Média 1,01 1,15 1,01 1,08
TABELA C.2 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem), para o edifício I,
na direção Y (análise de primeira ordem realizada com as ações horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
)
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,01 1,18 1,03 1,14
2º 1,01 1,20 1,04 1,02
3º 1,01 1,16 1,03 1,02
4º 1,01 1,09 1,02 1,02
5º 1,01 1,07 1,02 1,03
6º 1,01 1,08 1,01 1,04
7º 1,01 1,09 1,01 1,08
8º 1,01 1,09 1,01 1,03
9º 1,01 1,08 1,01 1,03
10º 1,01 1,12 1,01 1,07
11º 1,01 1,15 1,01 1,07
12º 1,01 1,17 1,01 1,05
13º 1,01 1,17 1,01 1,05
14º 1,01 1,23 1,01 1,04
15º 1,01 1,20 1,01 1,04
16º 1,01 1,23 1,01 1,06
Média 1,01 1,14 1,02 1,05
289
TABELA C.3 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem), para o edifício II,
na direção X (análise de primeira ordem realizada com as ações horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
)
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,01 1,11 1,03 1,26
2º 1,01 1,18 1,02 1,27
3º 1,01 1,20 1,02 1,27
4º 1,01 1,19 1,02 1,28
5º 1,01 1,20 1,02 1,30
6º 1,01 1,14 1,01 1,31
7º 1,01 1,15 1,01 1,31
8º 1,01 1,16 1,01 1,30
9º 1,01 1,16 1,01 1,29
10º 1,01 1,16 1,01 1,28
11º 1,01 1,22 1,01 1,31
12º 1,01 1,38 1,01 1,29
13º 1,01 1,39 1,02 1,27
14º 1,01 1,26 1,02 1,28
15º 1,01 1,30 1,02 1,31
16º 1,01 1,30 1,02 1,29
17º 1,01 1,29 1,02 1,27
18º 1,01 1,22 1,02 1,30
Média 1,01 1,22 1,02 1,29
TABELA C.4 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem), para o edifício II,
na direção Y (análise de primeira ordem realizada com as ações horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
)
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,01 1,07 1,02 1,15
2º 1,01 1,12 1,02 1,15
3º 1,01 1,13 1,03 1,16
4º 1,01 1,13 1,04 1,16
5º 1,01 1,07 1,04 1,17
6º 1,01 1,03 1,04 1,18
7º 1,02 1,04 1,03 1,19
8º 1,02 1,04 1,03 1,21
9º 1,02 1,05 1,03 1,23
10º 1,02 1,08 1,04 1,25
11º 1,02 1,09 1,04 1,26
12º 1,02 1,13 1,05 1,21
13º 1,02 1,13 1,06 1,25
14º 1,02 1,16 1,05 1,21
15º 1,02 1,17 1,02 1,19
16º 1,02 1,19 1,02 1,19
17º 1,02 1,24 1,02 1,20
18º 1,02 1,25 1,03 1,17
Média 1,02 1,12 1,03 1,20
290
TABELA C.5 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem), para o edifício III,
na direção X (análise de primeira ordem realizada com as ações horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
)
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,01 1,16 1,02 1,02
2º 1,02 1,16 1,02 1,02
3º 1,02 1,12 1,04 1,02
4º 1,02 1,12 1,02 1,03
5º 1,02 1,11 1,02 1,03
6º 1,02 1,11 1,03 1,03
7º 1,02 1,10 1,03 1,02
8º 1,02 1,10 1,03 1,02
9º 1,02 1,10 1,04 1,02
10º 1,02 1,09 1,03 1,02
11º 1,02 1,09 1,02 1,02
12º 1,02 1,08 1,02 1,02
13º 1,02 1,08 1,03 1,02
14º 1,02 1,08 1,03 1,02
15º 1,02 1,08 1,04 1,02
16º 1,02 1,08 1,02 1,02
17º 1,01 1,08 1,01 1,03
18º 1,01 1,09 1,01 1,03
19º 1,01 1,14 1,01 1,03
20º 1,01 1,18 1,02 1,04
Média 1,02 1,11 1,02 1,03
TABELA C.6 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem), para o edifício III,
na direção Y (análise de primeira ordem realizada com as ações horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
)
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,02 1,18 1,04 1,22
2º 1,02 1,11 1,06 1,31
3º 1,02 1,43 1,06 1,30
4º 1,02 1,12 1,03 1,29
5º 1,02 1,13 1,03 1,28
6º 1,02 1,11 1,03 1,28
7º 1,02 1,07 1,03 1,28
8º 1,02 1,08 1,03 1,29
9º 1,02 1,09 1,03 1,32
10º 1,02 1,09 1,02 1,42
11º 1,02 1,09 1,02 1,28
12º 1,02 1,10 1,02 1,14
13º 1,02 1,10 1,03 1,13
14º 1,02 1,11 1,03 1,22
15º 1,02 1,10 1,03 1,14
16º 1,02 1,89 1,03 1,30
17º 1,02 1,32 1,03 1,20
18º 1,01 1,19 1,03 1,14
19º 1,01 1,15 1,03 1,12
20º 1,01 1,17 1,02 1,25
Média 1,02 1,18 1,03 1,24
291
TABELA C.7 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem), para o edifício IV, na direção
X = Y (análise de primeira ordem realizada com as ações horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
)
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,02 1,11 1,01 1,05
2º 1,02 1,20 1,01 1,08
3º 1,02 1,24 1,02 1,03
4º 1,02 1,23 1,02 1,05
5º 1,02 1,19 1,01 1,17
6º 1,02 1,23 1,01 1,11
7º 1,02 1,57 1,01 1,17
8º 1,02 1,04 1,02 1,25
9º 1,02 1,05 1,02 1,26
10º 1,02 1,11 1,02 1,20
11º 1,02 1,16 1,02 1,39
12º 1,02 1,20 1,03 1,33
13º 1,03 1,23 1,03 1,52
14º 1,03 1,26 1,03 1,21
15º 1,03 1,22 1,03 1,29
16º 1,03 1,18 1,03 1,36
17º 1,03 1,15 1,03 1,43
18º 1,03 1,13 1,02 1,05
19º 1,03 1,12 1,02 1,05
20º 1,03 1,11 1,04 1,06
21º 1,03 1,10 1,04 1,06
22º 1,03 1,09 1,04 1,08
23º 1,03 1,09 1,04 1,10
24º 1,03 1,08 1,04 1,15
25º 1,03 1,07 1,04 1,25
26º 1,03 1,06 1,04 1,40
27º 1,03 1,05 1,04 1,18
28º 1,03 1,04 1,04 1,00
29º 1,03 1,04 1,04 1,00
30º 1,03 1,05 1,03 1,00
Média 1,03 1,15 1,03 1,18
292
TABELA C.8 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem), para o edifício V,
na direção X (análise de primeira ordem realizada com as ações horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
)
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,02 1,20 1,03 1,13
2º 1,02 1,24 1,02 1,15
3º 1,02 1,20 1,02 1,17
4º 1,02 1,19 1,03 1,14
5º 1,02 1,17 1,03 1,16
6º 1,02 1,32 1,03 1,14
7º 1,02 1,21 1,04 1,16
8º 1,02 1,15 1,04 1,13
9º 1,02 1,18 1,04 1,14
10º 1,02 1,10 1,04 1,14
11º 1,02 1,08 1,03 1,12
12º 1,02 1,08 1,03 1,15
13º 1,02 1,07 1,03 1,17
14º 1,02 1,07 1,03 1,13
15º 1,02 1,07 1,03 1,12
16º 1,02 1,07 1,03 1,13
17º 1,02 1,12 1,03 1,13
18º 1,02 1,12 1,03 1,12
19º 1,02 1,11 1,03 1,13
20º 1,02 1,10 1,03 1,13
21º 1,02 1,08 1,03 1,13
22º 1,02 1,14 1,03 1,13
Média 1,02 1,14 1,03 1,14
293
TABELA C.9 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem), para o edifício V,
na direção Y (análise de primeira ordem realizada com as ações horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
)
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,01 1,22 1,00 1,13
2º 1,00 1,23 1,00 1,15
3º 1,00 1,18 1,00 1,30
4º 1,04 1,16 1,01 1,17
5º 1,04 1,15 1,01 1,16
6º 1,04 1,15 1,02 1,17
7º 1,04 1,15 1,01 1,18
8º 1,04 1,15 1,00 1,19
9º 1,04 1,16 1,00 1,14
10º 1,04 1,16 1,00 1,27
11º 1,04 1,16 1,00 1,19
12º 1,04 1,16 1,00 1,21
13º 1,03 1,17 1,00 1,37
14º 1,03 1,17 1,00 1,16
15º 1,03 1,19 1,00 1,24
16º 1,03 1,19 1,00 1,13
17º 1,03 1,10 1,00 1,14
18º 1,03 1,10 1,00 1,17
19º 1,03 1,19 1,00 1,21
20º 1,02 1,14 1,00 1,19
21º 1,02 1,20 1,03 1,20
22º 1,02 1,22 1,03 1,22
Média 1,03 1,17 1,00 1,19
TABELA C.10 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem), para o edifício VI, na direção
X = Y (análise de primeira ordem realizada com as ações horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
)
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,01 1,09 1,00 1,02
2º 1,02 1,12 1,01 1,03
3º 1,02 1,07 1,02 1,06
4º 1,02 1,06 1,02 1,10
5º 1,02 1,07 1,02 1,15
6º 1,02 1,08 1,02 1,16
7º 1,02 1,10 1,02 1,11
8º 1,02 1,09 1,02 1,14
9º 1,02 1,20 1,04 1,24
10º 1,02 1,09 1,04 1,32
11º 1,02 1,14 1,04 1,04
12º 1,02 1,04 1,04 1,05
13º 1,02 1,07 1,05 1,11
14º 1,02 1,14 1,05 1,29
15º 1,02 1,00 1,03 1,30
Média 1,02 1,09 1,03 1,14
294
TABELA C.11 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem), para o edifício VII,
na direção X (análise de primeira ordem realizada com as ações horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
)
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,02 1,08 1,02 1,13
2º 1,02 1,17 1,02 1,14
3º 1,02 1,20 1,03 1,10
4º 1,02 1,17 1,03 1,15
5º 1,02 1,17 1,03 1,32
6º 1,02 1,08 1,04 1,14
7º 1,02 1,09 1,04 1,28
8º 1,02 1,12 1,05 1,22
9º 1,02 1,13 1,05 1,23
10º 1,02 1,15 1,06 1,16
11º 1,02 1,16 1,06 1,18
12º 1,02 1,16 1,05 1,12
13º 1,02 1,15 1,06 1,13
14º 1,02 1,14 1,06 1,36
15º 1,02 1,17 1,06 1,30
16º 1,02 1,16 1,04 1,23
17º 1,02 1,10 1,03 1,08
18º 1,02 1,13 1,06 1,32
Média 1,02 1,14 1,04 1,20
TABELA C.12 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem), para o edifício VII,
na direção Y (análise de primeira ordem realizada com as ações horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
)
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,02 1,09 1,01 1,05
2º 1,02 1,12 1,03 1,11
3º 1,02 1,13 1,02 1,11
4º 1,03 1,18 1,02 1,08
5º 1,03 1,12 1,03 1,12
6º 1,03 1,05 1,04 1,11
7º 1,03 1,04 1,03 1,14
8º 1,03 1,07 1,04 1,09
9º 1,03 1,08 1,04 1,14
10º 1,03 1,08 1,05 1,07
11º 1,03 1,08 1,05 1,08
12º 1,03 1,07 1,07 1,11
13º 1,03 1,06 1,08 1,11
14º 1,03 1,07 1,06 1,14
15º 1,03 1,08 1,07 1,26
16º 1,03 1,13 1,06 1,15
17º 1,03 1,22 1,02 1,15
18º 1,03 1,22 1,05 1,28
Média 1,03 1,11 1,04 1,13
295
TABELA C.13 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem), para o edifício VIII,
na direção X (análise de primeira ordem realizada com as ações horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
)
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,02 1,12 1,02 1,25
2º 1,02 1,24 1,01 1,25
3º 1,02 1,17 1,02 1,29
4º 1,03 1,18 1,02 1,26
5º 1,03 1,16 1,02 1,29
6º 1,03 1,13 1,02 1,36
7º 1,03 1,07 1,02 1,30
8º 1,03 1,10 1,03 1,32
9º 1,03 1,12 1,03 1,40
10º 1,03 1,18 1,03 1,33
11º 1,03 1,19 1,04 1,45
12º 1,03 1,24 1,04 1,39
13º 1,03 1,23 1,04 1,31
14º 1,03 1,29 1,04 1,28
15º 1,02 1,15 1,04 1,30
16º 1,02 1,19 1,03 1,29
17º 1,02 1,19 1,03 1,37
18º 1,02 1,23 1,02 1,41
Média 1,02 1,17 1,03 1,33
TABELA C.14 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem), para o edifício VIII,
na direção Y (análise de primeira ordem realizada com as ações horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
)
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,02 1,14 1,01 1,16
2º 1,02 1,19 1,01 1,16
3º 1,02 1,18 1,01 1,17
4º 1,02 1,15 1,02 1,18
5º 1,03 1,16 1,02 1,20
6º 1,03 1,17 1,03 1,23
7º 1,03 1,13 1,02 1,17
8º 1,03 1,13 1,02 1,19
9º 1,03 1,16 1,02 1,24
10º 1,03 1,17 1,03 1,22
11º 1,03 1,20 1,03 1,22
12º 1,03 1,21 1,03 1,20
13º 1,03 1,24 1,03 1,15
14º 1,03 1,21 1,03 1,14
15º 1,02 1,13 1,03 1,14
16º 1,02 1,12 1,03 1,13
17º 1,02 1,10 1,03 1,12
18º 1,02 1,09 1,02 1,12
Média 1,02 1,16 1,02 1,17
296
TABELA C.15 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem), para o edifício IX,
na direção X (análise de primeira ordem realizada com as ações horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
)
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,01 1,14 1,01 1,28
2º 1,01 1,19 1,01 1,21
3º 1,01 1,22 1,01 1,23
4º 1,01 1,24 1,02 1,24
5º 1,01 1,24 1,02 1,20
6º 1,01 1,26 1,02 1,42
7º 1,01 1,21 1,02 1,18
8º 1,01 1,20 1,02 1,20
9º 1,01 1,20 1,02 1,23
10º 1,01 1,18 1,02 1,21
11º 1,01 1,21 1,02 1,23
12º 1,01 1,27 1,02 1,46
13º 1,01 1,34 1,02 1,34
14º 1,01 1,41 1,02 1,52
15º 1,01 1,51 1,02 1,12
16º 1,01 1,27 1,02 1,22
17º 1,01 1,19 1,02 1,31
18º 1,01 1,15 1,02 1,37
19º 1,01 1,22 1,02 1,20
20º 1,01 1,30 1,02 1,40
Média 1,01 1,25 1,02 1,28
TABELA C.16 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem), para o edifício IX,
na direção Y (análise de primeira ordem realizada com as ações horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
)
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,02 1,14 1,03 1,58
2º 1,02 1,20 1,03 1,13
3º 1,02 1,19 1,03 1,14
4º 1,02 1,17 1,03 1,14
5º 1,02 1,17 1,04 1,14
6º 1,02 1,18 1,04 1,15
7º 1,01 1,20 1,05 1,15
8º 1,01 1,25 1,05 1,15
9º 1,01 1,12 1,04 1,16
10º 1,01 1,13 1,04 1,16
11º 1,01 1,15 1,04 1,16
12º 1,01 1,17 1,03 1,17
13º 1,01 1,19 1,03 1,20
14º 1,01 1,20 1,03 1,17
15º 1,01 1,22 1,03 1,17
16º 1,01 1,23 1,02 1,18
17º 1,01 1,23 1,02 1,19
18º 1,01 1,22 1,02 1,23
19º 1,01 1,24 1,02 1,34
20º 1,01 1,23 1,02 1,37
Média 1,01 1,19 1,03 1,20
297
TABELA C.17 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem), para o edifício X,
na direção X (análise de primeira ordem realizada com as ações horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
)
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,03 1,09 1,05 1,18
2º 1,03 1,16 1,00 1,21
3º 1,02 1,19 1,00 1,20
4º 1,02 1,22 1,00 1,20
5º 1,02 1,24 1,00 1,20
6º 1,02 1,23 1,00 1,20
7º 1,02 1,08 1,00 1,20
8º 1,02 1,01 1,00 1,20
9º 1,02 1,03 1,00 1,20
10º 1,02 1,09 1,00 1,20
11º 1,02 1,13 1,00 1,20
12º 1,02 1,15 1,00 1,20
13º 1,02 1,17 1,00 1,21
14º 1,02 1,18 1,01 1,22
15º 1,02 1,18 1,01 1,13
16º 1,02 1,18 1,03 1,31
17º 1,02 1,18 1,02 1,15
18º 1,02 1,16 1,02 1,44
19º 1,02 1,14 1,02 1,26
20º 1,02 1,35 1,03 1,27
Média 1,02 1,16 1,01 1,22
TABELA C.18 – Relação (esforço em segunda ordem/ esforço em primeira ordem), para o edifício X,
na direção Y (análise de primeira ordem realizada com as ações horizontais adicionalmente majoradas por 0,95
γ
z
)
Pilares Vigas Pavimento
Força Normal Momento Fletor Força Cortante Momento Fletor
1º 1,02 1,10 1,02 1,15
2º 1,02 1,12 1,02 1,12
3º 1,02 1,07 1,02 1,13
4º 1,02 1,07 1,02 1,14
5º 1,02 1,07 1,02 1,15
6º 1,02 1,07 1,03 1,16
7º 1,02 1,07 1,03 1,17
8º 1,02 1,07 1,03 1,19
9º 1,02 1,07 1,03 1,22
10º 1,02 1,11 1,03 1,26
11º 1,02 1,13 1,03 1,33
12º 1,02 1,11 1,04 1,13
13º 1,02 1,10 1,04 1,14
14º 1,02 1,10 1,04 1,14
15º 1,02 1,10 1,04 1,14
16º 1,02 1,11 1,04 1,14
17º 1,02 1,11 1,04 1,14
18º 1,02 1,13 1,04 1,14
19º 1,02 1,17 1,04 1,14
20º 1,02 1,29 1,04 1,14
Média 1,02 1,11 1,03 1,16
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