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An´alise Bayesiana de Referˆencia para a classe
de Distribui¸c˜oes Hiperb´olicas Generalizadas
Tha´ıs C. O. da Fonseca
Orientadores: Helio S. Migon e Marco A. R. Ferreira
21 de junho de 2004
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Sum´ario
1 Introdu¸c˜ao 4
1.1 Distribui¸c˜ao Hiperb´olica Generalizada . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Parˆametros da distribui¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Subclasses e distribui¸c˜oes limite . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Sum´ario da disserta¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Inferˆencia 19
2.1 Estima¸c˜ao por M´axima Verossimilhan¸ca . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Inferˆencia Bayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Distribui¸c˜ao a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Prioris n˜ao informativas . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.3 Distribui¸c˜ao a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1
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2.2.4 M´etodos de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Distribui¸c˜ao t-Student 32
3.1 Priori de Jeffreys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Estudo simulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Modelos de Regress˜ao t-Student 44
4.1 Priori de Jeffreys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Estudo simulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 Distribui¸c˜ao Hiperb´olica 66
5.1 Priori de Jeffreys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2 Aplica¸c˜ao a dados simulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3 Aplica¸c˜ao a dados reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6 O caso geral 85
6.1 A priori de Jeffreys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2 Aplica¸c˜ao a dados simulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7 Conclus˜oes e trabalhos futuros 99
Referˆencias Bibliogr´aficas 101
2
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
A classe de Distribui¸c˜oes Hiperb´olicas Generalizadas (GHD) foi originalmente
introduzida por Barndorff-Nielsen (1977). Ele utilizou uma subclasse dessa
distribui¸c˜ao para modelar o tamanho de gr˜aos de areia sujeitos a ventos
cont´ınuos. Uma vantagem dessa classe de distribui¸c˜oes ´e englobar muitos
casos particulares e distribui¸c˜oes limites. Por exemplo, a Hiperb´olica, a
Normal Inversa Gaussiana (NIG), a t-Student, a Normal e a Laplace As-
sim´etrica. Para maiores detalhes e outros casos limites veja Barndorff-Nielsen
(1978). Uma outra grande vantagem que pode ser bastante ´util em algumas
aplica¸c˜oes ´e o fato dessa distribui¸c˜ao permitir assimetrias. Al´em disto, esta
distribui¸c˜ao pode ser obtida como uma mistura na m´edia e na variˆancia da
normal.
Desde o seu desenvolvimento, a GHD tem sido usada em diferentes
´areas do conhecimento. Inicialmente, era usada na f´ısica, biologia e astrono-
mia. Em 1982, por exemplo, Barndorff-Nielsen utiliza a subclasse Hiperb´olica
na modelagem da energia de uma part´ıcula de um g´as ideal em substitui¸c˜ao
4
as distribui¸c˜oes Gaussianas. Mais recentemente, as GHD vˆem sendo uti-
lizadas tamb´em para modelar dados do mercado financeiro. Eberllin e Keller
(1995) foram os primeiros a utilizar a GHD neste contexto. Em seu trabalho,
utilizaram a subclasse Hiperb´olica para modelar dados do mercado alem˜ao.
Jaschke (1997) mostra que a GHD ´e um limite fraco de um processo de volati-
lidade estoc´astica que ´e modelado como um Garch(1,1). Barndorff-Nielsen
(1997) reporta as vantagens da utiliza¸c˜ao da subclasse Normal Inversa Gaus-
siana na modelagem da dados de finan¸cas e tamb´em de turbulˆencia. Segundo
ele, a distribui¸c˜ao Normal Inversa Gaussiana ´e capaz de capturar regimes
caracter´ısticos entre per´ıodos de pequenas flutua¸c˜oes aleat´orias e per´ıodos
de alta atividade. Em finan¸cas, esse fenˆomeno ´e chamado volatilidade es-
toc´astica e em turbulˆencia, ´e chamado intermitˆencia (para mais detalhes
veja Frisch 1995, cap´ıtulo 8). Bibby e Sorensen (1997) utilizam a GHD como
distribui¸c˜ao limite para difus˜oes. Prause (1999) utiliza a GHD para mode-
lagem de dados da Alemanha e EUA. Fajardo et al. (2002) analisam dados
do mercado brasileiro utilizando a GHD.
Apesar das boas propriedades da classe de distribui¸c˜oes hiperb´olicas
generalizadas, problemas s˜ao encontrados na inferˆencia para esse modelo.
Isso n˜ao se deve apenas a dificuldades num´ericas de estima¸c˜ao mas tamb´em a
dificuldades te´oricas relacionadas com a verossimilhan¸ca do modelo. Barndorff-
Nielsen e Blæsild (1981) mencionam as caudas pesadas da verossimilhan¸ca
j´a para uma subclasse da distribui¸c˜ao hiperb´olica generalizada. Um dos
problemas encontrados para o modelo geral ´e a estima¸c˜ao do parˆametro
de subclasse. Prause (1999) sugere com um estudo de simula¸c˜ao que so-
mente para tamanhos de amostra grande a estimativa desse parˆametro ´e
razo´avel. Desses resultados ele conclui que pelo menos 250 observa¸c˜oes s˜ao
necess´arias para obten¸c˜ao de um ajuste adequado. Ele reporta tamb´em
5
que em muitos casos o algor´ıtmo desenvolvido por ele converge para dis-
tribui¸c˜oes limites. Mostramos nessa disserta¸c˜ao que esta dificuldade existe
porque h´a uma probabilidade positiva do estimador de m´axima verossimi-
lhan¸ca n˜ao assumir valores finitos e isso ocorre quando certas combina¸c˜oes
dos parˆametros levam a modelos limites. Al´em disso, os algor´ıtmos de maxi-
miza¸c˜ao da verossimilhan¸ca at´e hoje desenvolvidos n˜ao possuem convergˆencia
anal´ıtica provada, a convergˆencia para um m´aximo global ´e obtida apenas
empiricamente. Um problema num´erico encontrado no desenvolvimento de
algor´ıtmos de estima¸c˜ao ´e o n´umero de fun¸c˜oes modificadas de Bessel que
devem ser calculadas na avalia¸c˜ao da densidade. Prause (1999) utiliza uma
aproxima¸c˜ao num´erica para essas fun¸c˜oes (Teukolsky, Vetterling e Flannery
1992, p´agina 236 a 252). Uma outra solu¸c˜ao para esse problema seria con-
siderar o parˆametro de subclasse fixo e utilizar algum crit´erio de compara¸c˜ao
de modelos para escolher o mais adequado, pois com a subclasse previa-
mente escolhida os problemas num´ericos se reduzem bastante. Um programa
de computador para estima¸c˜ao por m´axima verossimilhan¸ca para subclasses
da distribui¸c˜ao, baseado em observa¸c˜oes independentes e identicamente dis-
tribu´ıdas, foi desenvolvido por Blaesied e Sorensen (1992, 1996).
O fato da verossimilhan¸ca ter muitas dificuldades associadas sugere que
devemos procurar uma maneira de calibrar a informa¸c˜ao obtida dos dados.
Uma solu¸c˜ao ´e utilizar uma distribui¸c˜ao a priori que funcionaria como peso
para a informa¸c˜ao fornecida pela verossimilhan¸ca. Mas, a elicita¸c˜ao de pri-
oris subjetivas para os parˆametros ´e uma dificuldade devido `a mudan¸ca de
interpreta¸c˜ao dos parˆametros para as diferentes subclasses. Assim, desen-
volvemos uma an´alise Bayesiana utilizando MCMC baseada na priori n˜ao
informativa de Jeffreys, sob fun¸c˜ao de perda absoluta, e portanto, a mediana
ser´a o estimador pontual ´otimo. Alguns resultados interessantes s˜ao obtidos:
6
a priori desenvolvida permite uma an´alise satisfat´oria mesmo para amostras
pequenas; as propriedades do estimador proposto s˜ao bem melhores que os
do EMV. Inicialmente, utiliza-se subclasses e casos particulares e posterior-
mente, desenvolve-se a priori para o caso geral. Um estudo simulado para
an´alise do efeito do tamanho da amostra na inferˆencia tamb´em ´e realizado.
Toda metodologia apresentada foi implementada na linguagem Ox (Doornik,
2002) que ´e uma linguagem matricial orientada a objeto.
No restante deste cap´ıtulo, apresentamos uma revis˜ao da GHD. Na
Se¸c˜ao 1.1, apresenta-se a densidade do modelo hiperb´olico generalizado. Na
se¸c˜ao 1.2, apresentam-se algumas propriedades relativas aos parˆametros da
distribui¸c˜ao. Na se¸c˜ao 1.3, temos algumas subclasses e distribui¸c˜oes limite e
na se¸c˜ao 1.4, a fun¸c˜ao geradora de momentos.
1.1 Distribui¸c˜ao Hiperb´olica Generalizada
As propriedades matem´aticas da GHD mostradas neste cap´ıtulo s˜ao esta-
belecidas em Barndorff-Nielsen (1977).
Defini¸c˜ao 1.1 (Distribui¸c˜ao univariada) Uma quantidade aleat´oria Y ´e
dita ter distribui¸c˜ao Hiperb´olica Generalizada se possui fun¸c˜ao densidade de
probabilidade dada por:
f(y|λ, α, β, δ, µ) = a(λ, α, β, δ) [δ
2
+(y−µ)
2
]
(
λ−
1
2
)
/2
K(y; λ, α, β, δ, µ) (1.1)
onde y ∈ e
(i) a(λ, α, β, δ) =
(α
2
−β
2
)
λ
2
√
2πα
λ−0.5
δ
λ
K
λ
(δ
√
α
2
−β
2
)
7
(ii) K(y; λ, α, β, δ, µ) = K
λ−0.5
(α
δ
2
+ (y − µ)
2
)exp{β(y − µ)}
(iii) K
λ
(.) ´e a fun¸c˜ao modificada de Bessel de 3
a
ordem com ´ındice λ e
´e representada na forma de integral por:
K
λ
(z) = 0.5
∞
0
x
λ−1
exp{−0.5z(x + x
−1
)} dx
A nota¸c˜ao utilizada aqui para a Distribui¸c˜ao Hiperb´olica Generalizada
´e a seguinte: Y ∼ GHD(λ, α, β, δ, µ)
Proposi¸c˜ao 1.1 (Mistura) A distribui¸c˜ao Hiperb´olica Generalizada pode
ser obtida atrav´es de uma mistura na m´edia e na variˆancia da Normal. Seja
Y |W ∼ N(µ + βW, W ) e W ∼ GIG
1
(λ,
√
α
2
− β
2
, δ). Ent˜ao, Y possui
distribui¸c˜ao hiperb´olica generalizada que ´e obtida por:
f(y|λ, α, β, δ, µ) =
∞
0
g(y|µ, β, w)h(w|λ, δ, α, β)dw, (1.2)
onde g ´e a densidade da Normal com m´edia µ + βW e variˆancia W e h ´e
a densidade da Inversa Gaussiana Generalizada (GIG) com parˆametros λ,
√
α
2
− β
2
e δ.
Prova:
f(y|λ, α, β, δ, µ) =
∞
0
(2πw)
−1/2
exp
−
1
2w
[y − (µ + βw)]
2
×
c(λ,
α
2
− β
2
, δ)w
λ−1
exp
−
1
2
[w
−1
δ
2
+ w(α
2
− β
2
)]
dw
1
Se W ∼ GIG(ρ, γ, κ) ent˜ao sua densidade ´e dada por:
c(ρ, γ, κ) w
ρ−1
exp
−
1
2
(κ
2
w
−1
+ γ
2
w)
, κ, γ ≥ 0, ρ ∈ , w > 0,
onde c(ρ, γ, κ) =
(γ/κ)
ρ
2K
ρ
(γκ)
. Jørgensen (1982) apresenta mais detalhes sobre essa fam´ılia de
distribui¸c˜oes.
8
= (2π)
−1/2
c(λ,
α
2
− β
2
, δ) × exp{β(y − µ)} ×
∞
0
w
(λ−0.5)−1
exp
−
1
2
[w
−1
(δ
2
+ (y − µ)
2
)] + wα
2
dw
= (2π)
−1/2
c(λ,
√
α
2
− β
2
, δ)
c(λ − 0.5, α,
δ
2
+ (y − µ)
2
)
× exp{β(y − µ)}
=
(α
2
− β
2
)
λ
2
√
2πα
λ−0.5
δ
λ
K
λ
(δ
√
α
2
− β
2
)
(δ
2
+ (y − µ)
2
)
(
λ−
1
2
)
/2
×
K
λ−0.5
(α
δ
2
+ (y − µ)
2
)exp{β(y − µ)} ✷
Uma outra propriedade interessante ´e que o modelo hiperb´olico gene-
ralizado ´e um modelo de loca¸c˜ao e escala.
Proposi¸c˜ao 1.2 (Modelo loca¸c˜ao-escala) O modelo hiperb´olico genera-
lizado ´e um modelo de loca¸c˜ao e escala.
Prova:
f(y|λ, α, β, δ, µ) =
(α
2
− β
2
)
λ/2
√
2πα
λ−0.5
δ
λ
K
λ
(δ
√
α
2
− β
2
)
(δ
2
+ (y − µ)
2
)
(λ−0.5)/2
×
K
λ−0.5
(
α
δ
2
+ (
y
−
µ
)
2
)
exp
{
β
(
y
−
µ
)
}
Seja ¯α = αδ e
¯
β = βδ, ent˜ao:
f(y|λ, α, β, δ, µ) =
1
δ
(¯α
2
−
¯
β
2
)
λ/2
√
2π ¯α
1/2
K
λ
(
¯α
2
−
¯
β
2
)
1 +
y − µ
δ
2
(λ−0.5)/2
× K
λ−0.5
¯α
1 +
y − µ
δ
2
exp
¯
β
y − µ
δ
=
1
δ
f
y − µ
δ
onde f(x) =
(¯α
2
−
¯
β
2
)
λ/2
√
2π ¯α
1/2
K
λ
(
√
¯α
2
−
¯
β
2
)
(1 + x
2
)
(λ−0.5)/2
K
λ−0.5
¯α
√
1 + x
2
exp
¯
βx
Logo, o modelo ´e de loca¸c˜ao e escala. ✷
9
Proposi¸c˜ao 1.3 (Transforma¸c˜ao linear) A classe GHD ´e fechada para
transforma¸c˜oes lineares. Se X ∼ GHD(λ, α, β, δ, µ) ent˜ao, Y = aX + b ∼
GHD(λ
+
, α
+
, β
+
, δ
+
, µ
+
) onde λ
+
= λ, α
+
=
α
|a|
, β
+
=
β
|a|
, δ
+
= δ|a| e
µ
+
= aµ + b.
Prova:
Em Blæsild (1981,teorema I).
1.2 Parˆametros da distribui¸c˜ao
A distribui¸c˜ao hiperb´olica generalizada possui cinco parˆametros que per-
mitem descrever assimetrias e caudas semi-pesadas
2
. Como exemplo temos a
GHD(1,1,0,1,0) que possui caudas mais pesadas que a t-Student com 3 graus
de liberdade por´em possui variˆancia finita dada por
K
2
(1)
K
1
(1)
. Lembre-se que a
t-Student com 3 graus de liberdade ´e a t-Student com cauda mais pesada e
variˆancia bem definida.
No gr´afico (1.1) apresentamos a densidade e a log-densidade da dis-
tribui¸c˜ao normal, t-Student e hiperb´olica generalizada. Note que enquanto
a fun¸c˜ao log-densidade da normal padr˜ao tem a forma de uma par´abola, a
log-densidade para a GHD(1,1,0,1,0) tem a forma de uma hip´erbole, o que
originou seu nome.
2
O termo caudas semi-pesadas indica que a densidade se comporta da seguinte forma
quando y → ±∞:
f(y; λ, α, β, δ, µ) ∼ |y|
λ−1
exp{(∓α + β)y}
Para detalhes veja Barndorff-Nielsen e Blæsild (1981), equa¸c˜ao 15.
10
.
Figura 1.1: Densidade e log-densidade: Normal(0,1); t-Student(3);
GHD(1,1,0,1,0)
Os dom´ınios de varia¸c˜ao dos parˆametros do modelo s˜ao mostrados na
tabela (1.1).
Parˆametro Fun¸c˜ao Dom´ınio
λ subclasses/caudas pesadas
α forma
+
β assimetria (−α, α)
δ escala
+
µ loca¸c˜ao
Tabela 1.1: Descri¸c˜ao dos parˆametros da Distribui¸c˜ao Hiperb´olica General-
izada.
Os parˆametros δ e µ s˜ao respons´aveis pela escala e loca¸c˜ao, respectiva-
mente. Como visto na se¸c˜ao anterior, atrav´es de uma reparametriza¸c˜ao obte-
mos um modelo de loca¸c˜ao e escala. O parˆametro λ ´e respons´avel pelo peso
das caudas e pelas subclasses da distribui¸c˜ao. Quanto maior esse parˆametro
11
mais pesada ´e a cauda. O parˆametro β ´e respons´avel pela assimetria da
distribui¸c˜ao, para β = 0 temos uma distribui¸c˜ao sim´etrica em torno de µ e
quanto maior o valor de |β| mais assim´etrica ´e a distribui¸c˜ao. Para valores
positivos de β temos assimetria `a direita e para valores negativos de β temos
assimetria `a esquerda. Essas propriedades s˜ao ilustradas na figura (1.2).
−2 0 2 4 6
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
y
densidade
λ = −2
λ = −1
λ = 0
λ = 1
λ = 2
−2 0 2 4 6
0.0 0.2 0.4 0.6
y
densidade
α = 0.1
α = 0.5
α = 1
α = 2
α = 3
(a) Densidade GH(λ,2,0,1,2) (b) Densidade GH(1,α,0,1,2)
−15 −5 0 5 10 15 20
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
y
densidade
β = −1.8
β = −1.4
β = 0
β = 1.4
β = 1.8
−2 0 2 4 6
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
y
densidade
δ = 0.01
δ = 0.5
δ = 1
δ = 1.5
δ = 3
(c) Densidade GH(1,2,β,1,2) (d) Densidade GH(1,2,0,δ,2)
Figura 1.2: Varia¸c˜ao dos parˆametros do modelo hiperb´olico generalizado.
12
1.3 Subclasses e distribui¸c˜oes limite
Usando propriedades da fun¸c˜ao Bessel pode-se obter subclasses da GHD.
Algumas propriedades s˜ao apresentadas no apˆendice.
Defini¸c˜ao 1.2 (Distribui¸c˜ao Hiperb´olica) Para λ = 1 temos a subclasse
de distribui¸c˜oes hiperb´olicas (HIP) com densidade dada por:
g(y; α , β, δ, µ) =
√
α
2
− β
2
2αδK
1
(δ
√
α
2
− β
2
)
exp
−α
δ
2
+ (y − µ)
2
+ β(y − µ)
(1.3)
onde, y, µ ∈ , δ > 0 e |β| < α
Defini¸c˜ao 1.3 (Distribui¸c˜ao Normal Inversa Gaussiana) Para
λ = −0.5 temos a subclasse de distribui¸c˜oes Normal Inversa Gaussiana
(NIG) com densidade dada por:
g(y; α , β, δ, µ) =
αδ
π
exp
δ
α
2
− β
2
+ β(y − µ)
K
1
(α
δ
2
+ (y − µ)
2
)
δ
2
+ (y − µ)
2
(1.4)
onde, y, µ ∈ , δ > 0 e |β| ≤ α
As subclasses acima s˜ao obtidas utilizando a seguinte propriedade:
K
1/2
(x) = K
−1/2
(x) =
π
2
x
−1/2
e
−x
.
A distribui¸c˜ao Normal Inversa Gaussiana pode aproximar a maioria das
Distribui¸c˜oes Hiperb´olicas de maneira bastante eficiente. Al´em disso, pode
descrever observa¸c˜oes com um comportamento de cauda consideravelmente
pesado. Outras subclasses de interesse s˜ao a Distribui¸c˜ao Hip´erbola, obtida
quando λ = 0 e a Distribui¸c˜ao Hiperbol´oide, obtida quando λ = 0.5.
13
Muitas distribui¸c˜oes s˜ao obtidas como limite da GHD, tais como a Nor-
mal, a t-Student, a Normal Rec´ıproca Inversa Gaussiana, a Gama Variˆancia,
a Inversa Gaussiana Generalizada e a Laplace Assim´etrica.
Defini¸c˜ao 1.4 (Distribui¸c˜ao Normal) A distribui¸c˜ao Normal resulta como
um caso limite da GHD para δ → ∞ e δ/α → σ
2
.
Proposi¸c˜ao 1.4 (Distribui¸c˜ao t-Student) A distribui¸c˜ao t-Student resulta
de uma mistura da normal com a distribui¸c˜ao gama inversa. A t-St(η, µ, σ
2
)
´e obtida para λ = −η/2, α = β = 0 e δ
2
= ησ
2
.
Prova:
A distribui¸c˜ao Hiperb´olica Generalizada ´e expressa atrav´es de uma mis-
tura por (1.2) que pode ser escrita como:
f(y; λ, α, β, δ, µ) =
∞
0
(2πw)
−1/2
exp
−
1
2w
[y − (µ + βw)]
2
× c(λ,
α
2
− β
2
, δ)w
λ−1
exp
−
1
2
[w
−1
δ
2
+ w(α
2
− β
2
)]
dw,
onde c(λ,
√
α
2
− β
2
, δ) =
(α
2
−β
2
)
λ/2
2δ
λ
K
λ
(δ
√
α
2
−β
2
)
Das propriedades da fun¸c˜ao Bessel temos que K
λ
(x) ∼ Γ(λ)2
λ−1
x
−λ
,
quando x → 0 e tamb´em K
λ
(x) = K
−λ
(x). Dessa forma, para α → β temos
que c(λ,
√
α
2
− β
2
, δ) se reduz a
2
λ
δ
2λ
Γ(−λ)
Para β → 0 temos:
f(y; λ, δ, µ) =
2
λ
√
2πδ
2λ
Γ(−λ)
∞
0
w
(λ−1/2)−1
exp
−
1
w
δ
2
+ (y − µ)
2
2
dw
=
Γ(−λ + 1/2)
√
πδ
2λ
Γ(−λ)
δ
2
+ (y − µ)
2
−(−λ+1/2)
14
Fazendo λ =
−η
2
e δ
2
= ησ
2
obtemos:
f(y; ν, µ ) =
Γ
η+1
2
η
η/2
√
πσ
2
Γ
η
2
η +
y − µ
σ
2
−
(
η+1
2
)
, y ∈
Resultando na t-St(η, µ, σ
2
). ✷
Uma outra maneira de obter a t-Student ´e utilizando λ = −η/2, α → β
e µ = 0. Neste caso, obtemos a t-St(η, 0, δ
2
). A t-Student n˜ao central
3
n˜ao
resulta como caso limite ou particular da distribui¸c˜ao Hiperb´olica Genera-
lizada. Isso ocorre porque a t-Student n˜ao central ´e uma mistura somente na
variˆancia com m´edia constante, enquanto a GHD ´e uma mistura na m´edia e
na variˆancia.
Defini¸c˜ao 1.5 (Distribui¸c˜ao GIG) A distribui¸c˜ao Inversa Gaussiana Ge-
neralizada resulta como um caso limite da GH quando αδ
2
→ τ, α − β =
ψ
2
e µ = 0. Obtemos ent˜ao a GIG(λ, ψ, τ).
1.4 Momentos
Proposi¸c˜ao 1.5 (Fun¸c˜ao Geradora de Momentos) A fun¸c˜ao geradora
de momentos da GHD ´e dada por:
M(t) = e
µt
α
2
− β
2
α
2
− (β + t)
2
λ/2
K
λ
(δ
α
2
− (β + t)
2
)
δ
√
α
2
− β
2
)
, |β + t| < α (1.5)
3
A densidade da t n˜ao central ´e dada por:
f(x) =
η
η/2
Γ(η + 1)
2
η
e
λ
2
/2Γ(η /2)
(η + x
2
)
−η/ 2
√
2λxF
η
2
+ 1;
3
2
;
λ
2
x
2
2(η+x
2
)
(η + x
2
)Γ ((η + 1)/2)
+
F
η+1
2
;
1
2
;
λ
2
x
2
2(η+ x
2
)
η + x
2
Γ (η/2 + 1)
,
onde F (a; b; z) = 1 +
a
b
z +
a(a+1)
b(b+1)
z
2
2!
+
a(a+1)(a+2)
b(b+1)(b+2)
z
3
3!
+ ···
15
Prova:
M(t) = E
e
ty
=
∞
−∞
f(y; λ, α, β, δ, µ) e
ty
dy
=
∞
−∞
a(λ, α, β, δ)(δ
2
+(y−µ)
2
)
(λ−0.5)/2
K
λ−0.5
α
δ
2
+ (y − µ)
2
e
{β(y−µ)+ty}
dy
= a(λ, α, β, δ)e
µt
∞
−∞
(δ
2
+(y−µ)
2
)
(λ−0.5)/2
K
λ−0.5
α
δ
2
+ (y − µ)
2
e
{(β+t)(y−µ)}
dy
= e
µt
a(λ, α, β, δ)
a(λ, α, β + t, δ)
= e
µt
α
2
− β
2
α
2
− (β + t)
2
λ/2
K
λ
(δ
α
2
− (β + t)
2
)
K
λ
(δ
√
α
2
− β
2
)
, |β+t| < α
Podemos calcular a m´edia e a variˆancia da GHD atrav´es das derivadas
da fun¸c˜ao de momentos.
Corol´ario 1.1 (M´edia da GHD) A distribui¸c˜ao hiperb´olica generalizada
tem a seguinte m´edia:
E[Y ] = µ +
βδ
2
ρ
K
λ+1
(ρ)
K
λ
(ρ)
(1.6)
onde ρ = δ
√
α
2
− β
2
.
Note que para β = 0 temos uma distribui¸c˜ao sim´etrica em torno de µ.
Prova:
M
(t) =
(α
2
− β
2
)
λ/2
K
λ
δ
α
2
− β
2
e
µt
K
λ
δ
α
2
− (β + t)
2
(α
2
− (β + t)
2
)
λ/2
Usando propriedade K
λ
(x) =
∂
∂x
K
λ
(x) =
λ
x
K
λ
(x) − K
λ+1
obtemos:
M
(t) =
(α
2
− β
2
)
λ/2
K
λ
δ
α
2
− β
2
e
µt
µK
λ
δ
α
2
− (β + t)
2
(α
2
− (β + t)
2
)
λ/2
+
(β + t)δK
λ+1
δ
α
2
− (β + t)
2
(α
2
− (β + t)
2
)
(λ+1)/2
M
(0) = µ +
βδ
α
2
− β
2
K
λ+1
δ
α
2
− β
2
K
λ
δ
α
2
− β
2
✷
16
Corol´ario 1.2 (Variˆancia da GHD) A distribui¸c˜ao hiperb´olica generalizada
tem a seguinte variˆancia:
V ar[Y ] = δ
2
K
λ+1
(ρ)
ρK
λ
(ρ)
+
β
2
δ
2
ρ
2
K
λ+2
(ρ)
K
λ
(ρ)
−
K
λ+1
(ρ)
K
λ
(ρ)
2
(1.7)
onde ρ = δ
√
α
2
− β
2
.
Prova:
M
(t) = µM
(t)+
(α
2
−β
2
)
λ/2
K
λ
(ρ)
e
µt
µ
K
λ
δ
√
α
2
−(β+t)
2
(α
2
−(β+t)
2
)
λ/2
+ δ
(β+t)K
λ+1
δ
√
α
2
−(β+t)
2
(α
2
−(β+t)
2
)
(λ+1)/2
K
λ
δ
√
α
2
−(β+t)
2
(α
2
−(β+t)
2
)
λ/2
=
δ(β+t)K
λ+1
(δ
√
α
2
−(β+t)
2
)
(α
2
−(β+t)
2
)
(λ+1)/2
(β+t)K
λ+1
δ
√
α
2
−(β+t)
2
(α
2
−(β+t)
2
)
(λ+1)/2
=
K
λ+1
δ
√
α
2
−(β+t)
2
(α
2
−(β+t)
2
)
(λ+1)/2
−
(β+t)
2
δK
λ+2
δ
√
α
2
−(β+t)
2
(α
2
−(β+t)
2
)
(λ+2)/2
Dessa forma, obtemos o 2
o
momento da distribui¸c˜ao:
E[Y
2
] = M
(0) = µE[Y ] +
µδβK
λ+1
(ρ)
α
2
− β
2
K
λ
(ρ)
+
δK
λ+1
(ρ)
α
2
− β
2
K
λ
(ρ)
+
δ
2
β
2
K
λ+2
(ρ)
(α
2
− β
2
)K
λ
(ρ)
V ar(Y ) = E[Y
2
] −(E[Y ])
2
=
µE[Y ] +
µδβK
λ+1
(ρ)
α
2
− β
2
K
λ
(ρ)
+
δK
λ+1
(ρ)
α
2
− β
2
K
λ
(ρ)
+
δ
2
β
2
K
λ+2
(ρ)
(α
2
− β
2
)K
λ
(ρ)
−
µE[X] +
βδµK
λ+1
(ρ)
α
2
− β
2
K
λ
(ρ)
+
β
2
δ
2
(K
λ+1
(ρ))
2
(α
2
− β
2
)(K
λ
(ρ))
2
= δ
2
K
λ+1
(ρ)
ρK
λ
(ρ)
+
β
2
α
2
− β
2
K
λ+2
(ρ)
K
λ
(ρ)
−
K
λ+1
(ρ)
K
λ
(ρ)
2
✷
1.5 Sum´ario da disserta¸c˜ao
No cap´ıtulo 2, s˜ao apresentados os procedimentos de inferˆencia sobre o mo-
delo hiperb´olico generalizado. Para isso, descreve-se alguma teoria para a
17
obten¸c˜ao de estimadores de m´axima verossimilhan¸ca e da priori de Jeffreys.
Al´em disso, apresentamos alguns conceitos b´asicos relacionados a prioris n˜ao
informativas.
No Cap´ıtulo 3, temos inferˆencia em modelos t-Student, onde desenvolve-
se a priori de Jeffreys para o modelo e apresenta-se um estudo simulado.
O estudo simulado inclui uma an´alise frequentista de estimadores pontuais
Bayesianos (m´edia e mediana a posteriori) com objetivo de comparar esses
estimadores com o estimador de m´axima verossimilhan¸ca.
No cap´ıtulo 4, apresentamos an´alise de regress˜ao utilizando erros t-
Student. Neste cap´ıtulo ´e realizado um estudo simulado com o objetivo de
comparar a priori desenvolvida com outras prioris propostas na literatura.
No Cap´ıtulo 5, ´e feita inferˆencia em modelos hiperb´olicos. Desenvolve-
se a priori de Jeffreys para o modelo e apresenta-se aplica¸c˜oes: uma utilizando
dados gerados artificialmente e outra utilizando dados reais. S˜ao feitas com-
para¸c˜oes com estimadores de m´axima verossimilhan¸ca obtidos por alguns
m´etodos de maximiza¸c˜ao.
No Cap´ıtulo 6, temos inferˆencia para o modelo geral. Desenvolve-se a
priori de Jeffreys para o modelo e apresenta-se uma aplica¸c˜ao a dados gerados
artificialmente.
No Cap´ıtulo 7, ser˜ao apresentadas as conclus˜oes da disserta¸c˜ao e algu-
mas propostas para trabalhos futuros.
18
Cap´ıtulo 2
Inferˆencia
Neste cap´ıtulo abordamos a inferˆencia sobre modelos hiperb´olicos generaliza-
dos. Como dito anteriormente, problemas s˜ao encontrados na estima¸c˜ao dos
parˆametros desse modelo. Os problemas s˜ao tanto num´ericos como te´oricos.
Inicialmente mostra-se alguns problemas na obten¸c˜ao de estimadores de m´axima
verossimilhan¸ca para o modelo hiperb´olico generalizado. A seguir apresenta-
se algumas quest˜oes relevantes no tratamento de dados utilizando este modelo
sob o ponto de vista bayesiano.
2.1 Estima¸c˜ao por M´axima Verossimilhan¸ca
Defini¸c˜ao 2.1 Considere Y = (Y
1
, ..., Y
n
) independentes e identicamente
distribu´ıdos com densidade p(y|θ). O estimador de m´axima verossimilhan¸ca
(EMV) de θ ´e o valor
ˆ
θ ∈ Θ que maximiza L(θ; y) =
n
i=1
p(y
i
|θ).
19
Maximizar L(θ; y) ´e equivalente a maximizar l(θ; y) = log(L(θ; y)). O
EMV ´e obtido encontrando os zeros das equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca que s˜ao
dadas por
∂
∂θ
l(θ; y).
Considere Y
1
, ..., Y
n
observa¸c˜oes independentes e identicamente distribu´ı-
das da GHD com parˆametros λ, α, β, δ e µ.
Defini¸c˜ao 2.2 A fun¸c˜ao log-verossimilhan¸ca para o modelo hiperb´olico ge-
neralizado ´e dada por:
l ( λ, α, β, δ, µ; y) = n log(a(λ, α, β, δ, µ)) + (λ − 0.5)
n
i=1
l og(δ
2
+ (y
i
− µ)
2
) +
n
i=1
log(K
λ−0.5
α
δ
2
+ (y
i
− µ)
2
+ β
n
i=1
(y
i
− µ) (2.1)
onde λ, µ ∈ , δ > 0 e |β| < α
As equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca s˜ao mostradas numa forma especial que
ser´a ´util mais a frente.
Proposi¸c˜ao 2.1 (Equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca) Defina k
λ
(x) =
∂
∂λ
K
λ
(x),
R
λ
(x) =
K
λ+1
(x)
K
λ
(x)
. As equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca para o modelo hiperb´olico
generalizado s˜ao dadas por:
∂
∂λ
l =
N
i=1
k
λ−0.5
(ϑ
i
)
K
λ−0.5
(ϑ
i
)
+ ln(ϑ
i
) − E
k
λ−0.5
(ϑ
i
)
K
λ−0.5
(ϑ
i
)
+ ln(ϑ
i
)
∂
∂α
l = −
1
α
N
i=1
{ϑ
i
R
λ−0.5
(ϑ
i
) − E[ϑ
i
R
λ−0.5
(ϑ
i
)]}
∂
∂β
l =
N
i=1
{y
i
− E[y
i
]}
∂
∂δ
l = −α
2
δ
N
i=1
1
ϑ
i
1
R
λ−1.5
(ϑ
i
)
− E
1
ϑ
i
1
R
λ−1.5
(ϑ
i
)
∂
∂µ
l = α
2
N
i=1
y
i
−µ
ϑ
i
1
R
λ−1.5
(ϑ
i
)
− E
y
i
−µ
ϑ
i
1
R
λ−1.5
(ϑ
i
)
Onde ρ = δ
√
α
2
− β
2
, ϑ
i
= α
δ
2
+ (y
i
− µ)
2
. Para c´alculos utiliza-se
20
a propriedade: ln(K
λ
(x))
=
∂
∂x
l n(K
λ
(x)) =
λ
x
−R
λ
(x). As esperan¸cas acima
s˜ao calculadas na distribui¸c˜ao dos dados e s˜ao dadas por:
E
k
λ−0.5
(ϑ
i
)
K
λ−0.5
(ϑ
i
)
+ ln(ϑ
i
)
=
k
λ
(ρ)
K
λ
(ρ)
− ln(ρ) + 2ln(αδ)
E[ϑ
i
R
λ−0.5
(ϑ
i
)] =
α
2
δ
2
ρ
R
λ
(ρ) − 1
E[y
i
] =
βδ
2
ρ
R
λ
(ρ) + µ
E
1
ϑ
i
1
R
λ−1.5
(ϑ
i
)
=
ρ
α
2
δ
2
R
λ
(ρ) −
2
λ
E
y
i
−µ
ϑ
i
1
R
λ−1.5
(ϑ
i
)
=
β
α
2
Prova:
Para obter as equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca basta derivar 2.2, resultando
em:
∂
∂λ
l =
N
i=1
k
λ−0.5
(ϑ
i
)
K
λ−0.5
(ϑ
i
)
+ ln(ϑ
i
) −
k
λ
(ρ)
K
λ
(ρ)
− ln(ρ) + 2ln(αδ)
∂
∂α
l = −
1
α
N
i=1
{ϑ
i
R
λ−0.5
(ϑ
i
) −
α
2
δ
2
ρ
R
λ
(ρ) − 1
}
∂
∂β
l =
N
i=1
y
i
−
βδ
2
ρ
R
λ
(ρ) + µ
∂
∂δ
l = −α
2
δ
N
i=1
1
ϑ
i
1
R
λ−1.5
(ϑ
i
)
−
ρ
α
2
δ
2
R
λ
(ρ) −
2
λ
∂
∂µ
l = α
2
N
i=1
y
i
−µ
ϑ
i
1
R
λ−1.5
(ϑ
i
)
−
β
α
2
Seja θ = (λ, α, β, δ, µ). E
∂
∂θ
j
l(θ)
= 0, j = 1, 2, ..., 5, prova em Migon
e Gamerman. Ent˜ao,
E
∂
∂λ
l
=
N
i=1
E
k
λ−0.5
(ϑ
i
)
K
λ−0.5
(ϑ
i
)
+ ln(ϑ
i
) −
k
λ
(ρ)
K
λ
(ρ)
− ln(ρ) + 2ln(αδ)
=
N
i=1
E
k
λ−0.5
(ϑ
i
)
K
λ−0.5
(ϑ
i
)
+ ln(ϑ
i
)
− N
k
λ
(ρ)
K
λ
(ρ)
− ln(ρ) + 2ln(αδ)
= NE
k
λ−0.5
(ϑ
i
)
K
λ−0.5
(ϑ
i
)
+ ln(ϑ
i
)
− N
k
λ
(ρ)
K
λ
(ρ)
− ln(ρ) + 2ln(αδ)
= 0
21
Logo, E
k
λ−0.5
(ϑ
i
)
K
λ−0.5
(ϑ
i
)
+ ln(ϑ
i
)
=
k
λ
(ρ)
K
λ
(ρ)
− ln(ρ) + 2ln(αδ)
. Os resul-
tados para os outros parˆametros s˜ao obtidos analogamente. ✷
Para β e µ os estimadores de m´axima verossimilhan¸ca s˜ao obtidos di-
retamente das equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca. Para os outros parˆametros, ´e
necess´ario utilizar um m´etodo num´erico de maximiza¸c˜ao da verossimilhan¸ca
perfilada. O fato da verossimilhan¸ca ter muitas dificuldades associadas torna
dif´ıcil a obten¸c˜ao de m´etodos de maximiza¸c˜ao que tragam resultados satis-
fat´orios. Isso ´e exemplificado nas figuras (2.1) e (2.2), referentes a verossimi-
lhan¸ca condicional
1
para o modelo HG(1,2,0,1,2) e uma amostra de tamanho
30.
Figura 2.1: Curva de contorno da verossimilhan¸ca condicional do modelo
GHD(λ, α, β, δ, µ) para λ, α = 2, β = 0, δ = 1, µ = 2 e N=30.
1
A verossimilhan¸ca condicional ´e dada por: l(θ
k
|θ
−k
, y), onde θ
k
´e um subvetor de θ e
θ
−k
´e o restante do vetor, por´em com os valores fixados no valor ”verdadeiro”do parˆametro.
22
Figura 2.2: Curva de contorno da verossimilhan¸ca condicional do modelo
GHD(λ, α, β, δ, µ) para λ, α = 2, β = 0, δ = 1, µ = 2 e N=30.
Observa-se que para algumas combina¸c˜oes dos parˆametros a verossimi-
lhan¸ca condicional tende para uma constante diferente de zero, como por
exemplo quando α → ∞ e δ → ∞. Isso acontece quando temos uma com-
bina¸c˜ao de parˆametros que leva a um modelo limite. No exemplo anterior,
para α → ∞, δ → ∞ e
α
δ
= σ
2
, temos como caso limite a distribui¸c˜ao
N(µ, σ
2
), como definido em (1.4). Isso acontece para muitas combina¸c˜oes
dos parˆametros, pois a GHD tem muitas distribui¸c˜oes como modelos limites.
23
Para esses casos, temos que l(θ
∗
) → c, onde θ
∗
´e um subconjunto do espa¸co
dos parˆametros que implica num modelo limite. Neste contexto, um pro-
cedimeto usual de maximiza¸c˜ao da verossimilhan¸ca n˜ao levar´a a resultados
adequados. Essas caracter´ısticas da verossimilhan¸ca sugerem que devemos
procurar uma maneira de calibrar a informa¸c˜ao obtida dos dados. Uma
maneira de fazer isso ´e atrav´es da An´alise Bayesiana que permite, atrav´es da
distribui¸c˜ao a priori, uma penaliza¸c˜ao da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca.
2.2 Inferˆencia Bayesiana
Ap´os a atribui¸c˜ao de um modelo para os dados em estudo, uma quest˜ao
essencial envolve a especifica¸c˜ao de densidades a priori para os parˆametros
do modelo.
2.2.1 Distribui¸c˜ao a priori
A distribui¸c˜ao a priori representa o conhecimento a respeito do parˆametro
de interesse antes de observar o conjunto de dados. A elicita¸c˜ao de prioris
´e uma quest˜ao mais problem´atica pois envolve descrever cren¸cas por uma
forma matem´atica. Existem algumas maneiras de atribuir distribui¸c˜oes a
priori tais como prioris subjetivas, conjugadas e n˜ao-informativas.
Se algum conhecimento a respeito de θ est´a dispon´ıvel isto pode ser
usado para especificar a densidade a priori. Uma fam´ılia param´etrica de
densidades pode ser definida. Deve-se ser bastante cuidadoso ao selecionar
uma fam´ılia de distribui¸c˜oes, pois ela deve realmente representar a informa¸c˜ao
dispon´ıvel. Por exemplo, n˜ao devemos atribuir probabilidade nula para um
24
evento se n˜ao temos certeza que ele ´e imposs´ıvel.
A atribui¸c˜ao de prioris conjugadas ´e uma maneira de proceder uma
an´alise Bayesiana simples (que n˜ao exige integra¸c˜oes) por´em pode n˜ao ser
adequada em muitos casos.
Uma outra quest˜ao importante na atribui¸c˜ao de distribui¸c˜oes a priori ´e
que em alguns casos ´e complicado a atribui¸c˜ao de prioris subjetivas ou deseja-
se encontrar uma maneira de representar cren¸cas individuais de forma que
essa informa¸c˜ao seja m´ınima quando comparada com a informa¸c˜ao fornecida
pelos dados. Neste contexto, temos as distribui¸c˜oes a priori n˜ao informativas
ou de referˆencia.
2.2.2 Prioris n˜ao informativas
A id´eia da utiliza¸c˜ao de prioris n˜ao informativas ´e o desejo de fazer inferˆencia
estat´ıstica baseada no m´ınimo de informa¸c˜ao subjetiva a priori quanto seja
poss´ıvel. Uma outra justificativa ´e a expectativa de que as evidˆencias vindas
do experimento sejam mais fortes que a priori.
Inicialmente, prioris uniformes foram propostas neste contexto. Para
Θ ⊂ , p(θ) ∝ c significa que nenhum valor de θ ´e mais prov´avel (Bayes,
1763). Mas algumas dificuldades s˜ao encontradas na utiliza¸c˜ao desta priori.
Por exemplo, esta priori ´e impr´opria se o intervalo de defini¸c˜ao do parˆametro
for ilimitado e n˜ao ´e invariante a transforma¸c˜oes um a um.
A classe de prioris n˜ao informativas propostas por Jeffreys (1961) ´e
invariante a transforma¸c˜oes um a um, mas tem a desvantagem de, em muitos
casos, levar a prioris impr´oprias.
25
Defini¸c˜ao 2.3 (Priori de Jeffreys) Considere Y com fun¸c˜ao de probabi-
lidade (densidade) p(y|θ). A priori n˜ao informativa de Jeffreys ´e dada por:
p(θ) ∝ | I(θ)|
1/2
, θ ∈ Θ ⊂
k
(2.2)
onde I(θ) ´e a medida de Informa¸c˜ao de Fisher esperada de θ em Y.
Entender e medir a informa¸c˜ao contida nos dados ´e um aspecto muito
importante na atividade estat´ıstica. A medida mais comum de informa¸c˜ao ´e
a medida de informa¸c˜ao de Fisher.
Defini¸c˜ao 2.4 (Informa¸c˜ao de Fisher) Seja Y um vetor aleat´orio com
densidade p(y|θ). A medida de Informa¸c˜ao de Fisher esperada de θ em Y ´e
definida por:
I(θ) = E
Y |θ
−
∂
2
∂θ
T
θ
l og(p(y|θ))
(2.3)
onde I
ij
(θ) = E
Y |θ
−
∂
2
∂θ
i
θ
j
l og(p(y|θ))
, i, j = 1, 2, ..., k
A medida de informa¸c˜ao de Fisher definida dessa maneira est´a rela-
cionada com o valor m´edio da curvatura da verossimilhan¸ca. Quanto maior
essa curvatura, maior a informa¸c˜ao contida na verossimilhan¸ca e maior ser´a
I(θ). A informa¸c˜ao de Fisher observada ´e obtida quanto utilizamos a amostra
dispon´ıvel ao inv´es de tomar a esperan¸ca na distribui¸c˜ao dos dados. Esta ´e
uma medida local de informa¸c˜ao enquanto a informa¸c˜ao esperada ´e uma
medida global.
Seja Y = (Y
1
, ..., Y
n
) uma cole¸c˜ao de vari´aveis aleat´orias independentes
com distribui¸c˜ao p
i
(y|θ). Seja I(θ) e I
i
(θ) a medida de informa¸c˜ao de Fisher
em Y e Y
i
, respectivamente. Ent˜ao,
I(θ) =
n
i=1
I
i
(θ) (2.4)
26
Defini¸c˜ao 2.5 (Fun¸c˜ao Escore) A fun¸c˜ao escore de Y, denotada por U(Y ; θ)
´e definida por:
U(Y ; θ) =
∂
∂θ
l og(p(y|θ))
Sob certas condi¸c˜oes de regularidade
2
,
I(θ) = E
Y |θ
U(Y ; θ)U
T
(Y ; θ)
2.2.3 Distribui¸c˜ao a posteriori
Dada a verossimilhan¸ca l(θ; y) e uma distribui¸c˜ao a priori para o vetor de
parˆametros p(θ), para qualquer inferˆencia param´etrica ou decis˜ao a respeito
de θ o passo inicial ´e a obten¸c˜ao da densidade a posteriori que ´e definida por:
Defini¸c˜ao 2.6 (Distribui¸c˜ao a posteriori) A distribui¸c˜ao a posteriori de
θ ´e obtida utilizando o Teorema de Bayes, a verossimilhan¸ca l(θ; y) e a in-
forma¸c˜ao a priori p(θ)
p(θ|y) =
l(θ; y)p(θ)
l(θ; y)p(θ)dθ
(2.5)
E para obter informa¸c˜oes sobre observa¸c˜oes futuras x geradas pelo modelo
param´etrico condicional a θ e y, o elemento fundamental ´e a densidade pre-
ditiva dada por:
p(x|y) =
p(x|θ)p(θ|y)dθ, x⊥y|θ
2
As condi¸c˜oes de regularidade s˜ao basicamente: (i) a diferencia¸c˜ao da fun¸c˜ao de
verossimilhan¸ca pode ser feita em todo espa¸co do parˆametro; (ii) integra¸c˜ao e diferen-
cia¸c˜ao podem ser trocadas. Para maiores detalhes veja Migon e Gamerman (1999).
27
Para obten¸c˜ao de densidades a posteriori e preditivas ´e necess´ario integrar
no dom´ınio de θ. E para obten¸c˜ao de mais informa¸c˜oes (momentos e quantis,
por exemplo) ´e necess´ario um n´umero ainda maior de integra¸c˜oes. No caso
em que θ ´e univariado o problema de integra¸c˜ao tem, em geral, f´acil solu¸c˜ao.
Mas no caso em que θ tem k componentes o problema de integra¸c˜ao pode
se tornar bastante complexo. Neste contexto, t´ecnicas de aproxima¸c˜oes de
integrais s˜ao necess´arias para implementa¸c˜ao do m´etodo bayesiano. Uma
t´ecnica que facilita muito a inferˆencia Bayesiana ´e a simula¸c˜ao estoc´astica,
particularmente, os M´etodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov.
2.2.4 M´etodos de Monte Carlo
Um m´etodo bastante simples e de f´acil implementa¸c˜ao quando o espa¸co de
parˆametros n˜ao possui muitas dimens˜oes ´e o M´etodo de Reamostragem Pon-
derada.
M´etodo de reamostragem ponderada
Suponha que g(θ) seja a densidade da qual desejamos amostrar e que s´o
sabemos avaliar p(θ), onde:
g(θ) = cp(θ), para c > 0
Passo1: Escolha uma proposta q(.) que cubra p(.) pelo menos nas
caudas.
Passo2: Gera-se θ
1
, θ
2
, ..., θ
M
∼ q(.)
Passo3: Calcula-se os pesos das amostras geradas w
i
=
p(θ
i
)
q(θ
i
)
28
Passo4: Padroniza-se os pesos w
∗
i
=
w
i
M
j=1
w
j
Passo5: Reamostra-se θ
(1)
, θ
(2)
, ..., θ
(m)
a partir de (θ
1
, θ
2
, ..., θ
M
) com
probabilidades (w
∗
1
, w
∗
2
, ..., w
∗
M
)
(θ
(1)
, θ
(2)
, ..., θ
(m)
) ´e uma amostra de g(θ). Observe que m pode ser
diferente de M.
M´etodo de MCMC
• Algoritmo de Metropolis Hastings
O algoritmo de Metropolis Hastings se baseia em gera¸c˜oes consecutivas
de uma cadeia de Markov cuja distribui¸c˜ao limite ´e a distribui¸c˜ao de interesse,
φ(ω). Assumindo que ω
(0)
´e o valor inicial da cadeia de Markov, o algoritmo
se desenvolve da seguinte forma:
I. No passo i, gera-se ω
prop
∼ q(.|ω
(i−1)
)
II. Posi¸c˜ao final da cadeia em i:
ω
(i)
← ω
prop
com probabilidade α
ω
(i)
← ω
(i−1)
com probabilidade 1 − α
onde α = min{1,
φ(ω
prop
)q(ω
i−1
|ω
prop
)
φ(ω
i−1
)q(ω
prop
|ω
i−1
)
}
III. Repita I e II at´e a convergˆencia da cadeia.
• Algoritmo de Metropolis
O algoritmo de Metropolis ´e obtido como caso particular do Metropolis
29
Hastings quando a distribui¸c˜ao proposta ´e centrada no valor do parˆametro
na itera¸c˜ao anterior.
• Amostrador de Gibbs
O algoritmo de Gibbs ´e obtido como caso particular do Metropolis Hast-
ings quando a distribui¸c˜ao proposta ´e a distribui¸c˜ao condicional completa do
parˆametro que est´a sendo gerado.
• Convergˆencia das cadeias geradas
A convergˆencia da cadeia para a distribui¸c˜ao limite ocorre quando o
n´umero de itera¸c˜oes tende a infinito. Na pr´atica, o valor gerado ´e conside-
rado proveniente da distribui¸c˜ao limite ap´os um n´umero (M
0
) suficientemente
grande de itera¸c˜oes. Uma quest˜ao importante ´e qu˜ao grande deve ser M
0
.
Em geral, utilizam-se formas emp´ıricas de verifica¸c˜ao da convergˆencia que
estudam as propriedades estat´ısticas das s´eries geradas. Entre as principais
t´ecnicas de verifica¸c˜ao da convergˆencia temos:
(i) Trajet´oria de uma cadeia
Se o gr´afico da cadeia gerada ap´os um per´ıodo inicial apresenta o
mesmo comportamento qualitativo e quantitativo ent˜ao h´a indica¸c˜ao de con-
vergˆencia.
(ii) Cadeias m´ultiplas
Podemos utilizar v´arias cadeias inicializadas em valores diferentes. A
convergˆencia ´e obtida quando todas as cadeias tem o mesmo comporta-
30
mento qualitativo e quantitativo. Gelman e Rubin (1992) prop˜oe um m´etodo
baseado em an´alise de variˆancia para verificar a similaridade entre as cadeias.
(iii) M´edias erg´odicas
Definimos
¯
θ
j
=
1
j
j
i=1
θ
(j)
, para j = 1, 2, 3, .... A sequˆencia (
¯
θ
j
) con-
verge quase que certamente para E[θ] quando j → ∞. Para mais detalhes
veja Geman e Geman (1984). Na pr´atica, podemos olhar o gr´afico das m´edias
erg´odicas da cadeia gerada e observar em que ponto a cadeia apresenta um
comportamento assint´otico.
(iv) An´alise esp ectral
Utiliza t´ecnicas de an´alise de s´eries temporais para verificar a con-
vergˆencia da cadeia. Geweke (1992) sugere uma estat´ıstica baseada na variˆancia
assint´otica de estimadores para a m´edia da cadeia gerada. A estat´ıstica pro-
posta ´e comparada com valores da N(0,1).
31
Cap´ıtulo 3
Distribui¸c˜ao t-Student
Como visto anteriormente, a distribui¸c˜ao t-Student com η graus de liber-
dade, parˆametro de loca¸c˜ao µ e parˆametro de escala σ
2
´e obtida como um
caso particular da GHD com α = β = 0, λ = −
η
2
e δ =
√
ησ. Neste
cap´ıtulo, desenvolve-se a priori de Jeffreys para um caso mais simples, o caso
t-St(η, 0, 1).
3.1 Priori de Jeffreys
Defini¸c˜ao 3.1 Uma quantidade aleat´oria Y ´e dita ter distribui¸c˜ao t-Student
com η graus de liberdade, loca¸c˜ao µ e escala σ
2
quando possui densidade
p(y|η) = c(η, σ
2
)
η +
y − µ
σ
2
−(η+1)/2
, y ∈ (3.1)
onde c(η, σ
2
) =
Γ((η+1)/2)η
η/2
Γ(η/2)
√
πσ
2
32
Sejam Y
1
, ..., Y
n
n replica¸c˜oes independentes de uma vari´avel aleat´oria
com fun¸c˜ao de densidade (3.1), com µ = 0 e σ = 1. A nota¸c˜ao utilizada ´e
t-St(η) para a t-St(η, 0, 1).
Defini¸c˜ao 3.2 A fun¸c˜ao log-verossimilhan¸ca para o modelo t-St(η) ´e dada
por:
l ( η; y) = log
Γ
(η + 1)
2
−log
Γ
η
2
+
η
2
log(η)−
(η + 1)
2
l og
η + y
2
,
(3.2)
onde η ∈
+
As caudas da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca associada ao modelo t-Student
n˜ao tendem para zero quando η tende para infinito. Esse problema ´e e-
xemplificado no gr´afico (3.1) da verossimilhan¸ca para dois conjuntos de dados
de tamanho 50 gerado da t-St(9) e t-St(20), respectivamente. A constante
mostrada no gr´afico ´e o produto da densidade normal padr˜ao apresentada em
(3.3) que decorre do modelo limite obtido quando η → ∞. Alguns problemas
relacionados com a verossimilhan¸ca do modelo t-Student multivariado sob o
ponto de vista Bayesiano s˜ao apresentados em Fernandez e Steel (1999). Em
seu trabalho Fernandez e Steel utilizam inferˆencia Bayesiana e reportam que
m´etodos de estima¸c˜ao tais como m´axima verossimilhan¸ca e algoritmo EM
podem convergir para m´aximos locais. Para uma an´alise cl´assica, sugere-
se utiliza¸c˜ao de m´etodos eficientes (Lehmann, 1983), verossimilhan¸ca agru-
pada (Beckman e Johnson, 1987) e verossimilhan¸ca modificada (Cheng e Iles,
1987).
Note que para o primeiro caso dependendo de onde o algoritmo de
maximiza¸c˜ao da verossimilhan¸ca for inicializado este n˜ao convergir´a para o
33
(a) Verossimilhan¸ca do modelo t-Student com η = 9 e valor da constante em (3.3).
(b) Verossimilhan¸ca do modelo t-Student com η = 20 e valor da constante em (3.3).
Figura 3.1: Fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca para uma amostra de tamanho 50
gerada da t-St(η).
m´aximo global. Para o segundo exemplo, n˜ao h´a um m´aximo, invibializando
algoritmos de maximiza¸c˜ao dessa fun¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 3.1 Se a priori utilizada para η no modelo t-St(η) for impr´opria
a posteriori tamb´em ser´a.
34
Prova:
Sabemos que se y|λ ∼ N(0, λ
−1
) e λ ∼ Ga
η
2
,
η
2
ent˜ao, y ∼ t-St(η).
Fazendo η → ∞, temos que a distribui¸c˜ao de λ se degenera no valor 1.
Resultando em y ∼ N(0, 1).
Dessa forma,
lim inf
η→∞
l(η; y) = c =
n
i=1
φ(y
i
), (3.3)
onde φ(.) ´e a densidade da normal padr˜ao.
Isso quer dizer que ∀ > 0 ∃b tal que η > b implica |l(η; y) − c| < .
Considere p(η) impr´opria, isto ´e,
∞
0
p(η)dη = ∞. Ent˜ao,
∞
a
p(η)dη =
∞, ∀a > 0.
Assim,
∞
a
p(η)l(η; y)dη =
η
∗
a
p(η)l(η; y)dη +
∞
η
∗
p(η)l(η; y)dη, onde
η
∗
> b.
Mas ∞ = (c − )
∞
η
∗
p(η)dη <
∞
η
∗
p(η)dη < (c + )
∞
η
∗
p(η)dη = ∞
Ent˜ao,
∞
η
∗
p(η)l(η; y)dη = ∞ que implica
∞
a
p(η)l(η; y)dη = ∞. Re-
sultando numa posteriori impr´opria. ✷
Neste trabalho, propomos a utiliza¸c˜ao da priori n˜ao informativa de
Jeffreys, que leva em conta a curvatura da verossimilhan¸ca e utiliza essa
informa¸c˜ao para atribuir pesos aos valores de η.
Proposi¸c˜ao 3.2 A priori de Jeffreys associada ao modelo t-Student ´e dada
por:
p(η) ∝
2 h(η) − ψ
(2)
η + 1
2
+ ψ
(2)
η
2
−
2
η
1/2
(3.4)
onde ψ
(2)
(z) =
d
2
dz
2
log(Γ(z)) ´e a fun¸c˜ao trigama de z e h(.) ´e uma esperan¸ca
35
tomada na distribui¸c˜ao dos dados, definida por:
h(η) = E
Y
2
η + y
2
−
η + 1
(η + y
2
)
2
=
2
η + 1
−
η + 2
η(η + 3)
(3.5)
Prova:
Derivando duas vezes (3.2) obtemos:
N
4
ψ
(2)
η + 1
2
− ψ
(2)
η
2
+
2
η
+
1
2
N
i=1
η + 1
(η + y
2
i
)
2
−
2
η + y
2
i
Calculando esperan¸cas na distribui¸c˜ao dos dados (3.1):
E
y
1
(η + y
2
)
k
=
∞
−∞
c(η, 1)[η + y
2
]
−(η+2k+1)/2
dy,
onde c(η, 1) =
Γ((η+1)/2)
Γ(η/2)
η
η/2
√
π
.
Ent˜ao,
E
y
1
(η + y
2
)
k
=
c(η, 1)
c(η + 2k, η/(η + 2k))
η
η + 2k
−(η+2k+1)/2
,
onde c(η + 2k, η/(η + 2k)) =
Γ((η+2k+1)/2)
Γ(η+2k/2)
(η+2k)
(η+2k)/2
√
η/(η+2k)π
.
Simplificando obtemos:
E
y
1
(η + y
2
)
k
=
Γ((η + 1)/2)
Γ(η/2)
Γ((η + 2k)/2)
Γ((η + 2k + 1)/2)
η
−k
Para k=1
E
y
1
η + y
2
=
1
η + 1
Para k=2
E
y
1
(η + y
2
)
2
=
(η + 2)
(η + 3)(η + 1)η
Resultando em
E
Y
2
η + y
2
−
η + 1
(η + y
2
)
2
=
2
η + 1
−
η + 2
η(η + 3)
✷
36
(a) Verossimilhan¸ca. (b) Priori. (c) Condicional completa.
Figura 3.2: Fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca, distribui¸c˜ao a priori e condicional
completa para dados de tamanho N=50 gerados da t-St(15).
A figura (3.2) mostra a forma e o efeito da priori na forma da posteriori.
A priori obtida deve ser pr´opria, caso contr´ario a posteriori seria impr´opria,
como foi provado na proposi¸c˜ao (3.1). Para mostrar que a priori obtida ´e
pr´opria basta que ela tenha a seguinte propriedade:
lim
η→∞
p(η) = O(η
−k
), para k > 1
Proposi¸c˜ao 3.3 As caudas de p(η) s˜ao de ordem O(η
−2
).
Prova:
A priori para η ´e dada por (3.4). Para provar o resultado basta mostrar
que ψ
(2)
η
2
+ ψ
(2)
η+1
2
+
4
η+1
−
2
η
−
2(η+2)
η(η+3)
possui ordem O(η
−4
).
De Abramowitz e Stegun (1968) temos a f´ormula assint´otica:
ψ
(2)
η
2
∼
2
η
+
2
η
2
+
4
3η
3
+
∞
k=2
B
2k
2
η
2k+1
ψ
(2)
η + 1
2
∼
2
η + 1
+
2
(η + 1)
2
+
4
3(η + 1)
3
+
∞
k=2
B
2k
2
(η + 1)
2k+1
37
ψ
(2)
η
2
− ψ
(2)
η + 1
2
+
4
η + 1
−
2
η
−
2(η + 2)
η(η + 3)
= 2A + B
A =
1
η
2
+
2
3η
3
+
1
η + 1
−
1
(η + 1)
2
−
2
3(η + 1)
3
−
η + 2
η(η + 3)
=
21η
3
+ 48η
2
+ 29η + 6
3η
3
(η + 1)
3
(η + 3)
= O(η
−4
)
B =
∞
k=2
B
2k
2
2k+1
1
η
2k+1
−
1
(η + 1)
2k+1
=
∞
k=2
B
2k
2
2k+1
cη
2k
η
2k+1
(η + 1)
2k+1
+ O(η
2k+1
)
=
∞
k=2
B
2k
2
2k+1
O(η
2(k+1)
) + O(η
2k+1
)
= O(η
−5
)
Logo, 2A+B ´e de ordem O (η
−4
) que implica que p(η) tem caudas de
ordem O(η
−2
). ✷
3.2 Estudo simulado
Nesta se¸c˜ao, s˜ao apresentados os resultados de um estudo de simula¸c˜ao uti-
lizando a priori de Jeffreys desenvolvida na se¸c˜ao anterior. Foram gerados
conjuntos de dados artificiais com distribui¸c˜ao t-St(η) para diferentes va-
lores de η (η = 1, 2, 4, 9, 15, 20). Foram utilizados tamb´em dois tamanhos
amostrais (N = 50, 250) para verificarmos o efeito que o tamanho do con-
junto de dados tem sobre a inferˆencia.
38
As amostras a posteriori do parˆametro η foram obtidas atrav´es do pro-
cedimento de reamostragem ponderada. Esse m´etodo foi utilizado por ser
de simples implementa¸c˜ao quando o problema de estima¸c˜ao ´e univariado.
A distribui¸c˜ao proposta utilizada foi a U(0,500). As amostras geradas da
distribui¸c˜ao a posteriori de η possuem tamanho 10000. Para cada cen´ario
(N, η) foram calculadas estimativas para as seguintes quantidades: m´edia a
posteriori (E[η|y]), desvio padr˜ao a posteriori (SD[η|y]), mediana a posteri-
ori (MED[η|y]) e quantis 0.025 e 0.975 a posteriori. Al´em disso, obteve-se
tamb´em o estimador de m´axima verossimilhan¸ca (ˆη). Este foi obtido por
maximiza¸c˜ao num´erica atrav´es do m´etodo da bissec¸c˜ao que utiliza a primeira
derivada e busca o m´aximo da fun¸c˜ao num intervalo especificado (o intervalo
utilizado foi (0.1,300)). A tabela (3.1) cont´em o sum´ario dessas informa¸c˜oes.
A figura (3.3) mostra uma amostra da posteriori de η obtida para dados de
tamanho N=50 gerados da t-St(9).
Figura 3.3: Amostra da posteriori de η para dados de tamanho N=50 gerados
da t-St(9), curva de densidade a posteriori exata e reta vertical em η = 9.
39
N η E[η|y] SD[η|y] MED[η|y] Q 0.025 Q 0.975 ˆη
50 1 1.2952 0.3033 1.2650 0.7889 1.9802 1.2851
2 1.7893 0.5001 1.676 1.0996 2.8862 1.7593
4 7.3701 7.6216 5.4078 2.5506 24.8976 6.3406
9 21.6500 27.3702 10.7848 2.9567 116.8921 18.1636
15 27.5333 36.6484 14.7018 3.5757 149.3739 300.0000
20 37.5899 43.2721 20.6881 5.3216 177.2996 300.0000
250 1 0.9453 0.0815 0.9458 0.7938 1.0929 1.2379
2 2.5038 0.3167 2.4648 1.9764 3.2478 2.5263
4 3.9773 0.6442 3.7935 2.7904 5.3930 3.7839
9 10.5724 5.9506 9.1788 5.1037 23.9685 9.3655
15 16.6966 16.6067 12.8446 5.8470 52.7890 12.9609
20 20.7400 20.6897 14.9660 6.6600 78.6246 15.9342
Tabela 3.1: Estat´ısticas descritivas das amostras a posteriori para o Modelo
t-Student(η) e estimadores de m´axima verossimilhan¸ca para N=50 e N=250.
A estimativa da mediana a posteriori est´a sempre bem pr´oxima do valor
verdadeiro de η quando N=50, enquanto o estimador de m´axima verossim-
ilhan¸ca tem um comportamento muito ruim, assumindo valores muito dis-
tantes do valor verdadeiro do parˆametro. Para N=250, a estimativa da m´edia
a posteriori se comporta melhor que a estimativa da mediana a posteriori,
a qual tem um comportamento similar ao estimador de m´axima verossimil-
han¸ca.
Observamos que para N=50 o estimador de m´axima verossimilhan¸ca
obtido para η pode assumir o limite superior do intervalo de busca do es-
timador quando η = 15, 20 indicando que este n˜ao assume um valor finito.
40
O que sugere que h´a uma probabilidade positiva do estimador de m´axima
verossimilhan¸ca ser infinito, que depende de η e do tamanho do conjunto
de dados. Esse comp ortamanto do estimador de m´axima verossimilhan¸ca
se deve ao fato da verossimilhan¸ca de η possuir caudas muito pesadas que
tendem para uma constante diferente de zero. Como foi exemplificado na
figura (3.1). Ou seja, h´a uma probabilidade positiva do modelo selecionado
pelo m´etodo de m´axima verossimilhan¸ca ser o normal quando os dados foram
gerados do modelo t-Student.
Com o objetivo de estudar as propriedades frequentistas de alguns es-
timadores (m´edia a posteriori, mediana a posteriori e estimador de m´axima
verossimilhan¸ca), repetiu-se o procedimento de estima¸c˜ao para 500 conjuntos
de dados. As amostras da distribui¸c˜ao a posteriori de η possuem tamanho
1000. Os valores utilizados para η foram: 1, 2, 4, 9, 15, 18 e 20.
A tabela (3.2) apresenta a probabilidade estimada do estimador de
m´axima verossimilhan¸ca ser infinito ( P (ˆη = ∞)), que ´e obtida pela pro-
por¸c˜ao de vezes que a estimativa de m´axima verossimilhan¸ca encontrada
pelo m´etodo de estima¸c˜ao foi maior que 80 no intervalo de busca (0.1,300).
S˜ao calculados o vi´es e o erro quadr´atico m´edio do estimador da m´edia a
posteriori, do estimador da mediana a posteriori e do estimador de m´axima
verossimilhan¸ca. Essas quantidades foram calculadas condicionais ao esti-
mador de m´axima verossimilhan¸ca ser finito. Os resultados s˜ao mostrados
no gr´afico (3.4). Para evitar o efeito da escala no gr´afico, mostramos o m´odulo
do vi´es dividido por η e a ra´ız quadrada do erro quadr´atico m´edio dividido
por η. Na tabela (3.3) temos a cobertura frequentista do intervalo de 95%
de credibilidade, que ´e calculada com base na propor¸c˜ao de vezes que o valor
verdadeiro do parˆametro caiu dentro do intervalo.
41
η 1 2 4 9 15 18 20
N=50 0.000 0.000 0.038 0.234 0.370 0.402 0.434
N=250 0.000 0.000 0.000 0.014 0.114 0.150 0.196
Tabela 3.2: P (ˆη = ∞) para N=50 e N=250 para diferentes valores de η.
Podemos observar que h´a uma probabilidade bastante alta do estimador
de m´axima verossimilhan¸ca n˜ao assumir um valor finito quando N = 50 j´a
para η igual a 4. Por exemplo, temos uma probabilidade de aproximadamente
23% que o modelo selecionado para os dados por m´axima verossimilhan¸ca
seja o normal quando os dados forem gerados de uma t-St(9). J´a para N=250,
essa probabilidade s´o ´e razoavelmente grande para η = 15.
η 1 2 4 9 15 18 20
N=50 0.92 0.94 0.96 0.96 0.98 0.98 0.97
N=250 0.96 0.96 0.95 0.95 0.96 0.98 0.97
Tabela 3.3: cobertura frequentista do intervalo de 95% de credibilidade para
N=50 e N=250.
A cobertura a posteriori obtida ´e aproximadamente a esperada, indi-
cando que a an´alise Bayesiana usando a priori proposta ´e bastante adequada
para o modelo t-Student.
A m´edia e a mediana a posteriori tem erro quadr´atico m´edio bem menor
que o estimador de m´axima verossimilhan¸ca. Entre esses dois estimadores,
a mediana quase sempres possui vi´es menor exceto para η ≥ 15 (N=50) e
η = 20 (N=250). Conclu´ımos que a mediana a posteriori deve ser utilizada
como estimador p ontual por ser bem mais est´avel que os outros estimadores.
42
(a) Vi´es para N=50. (b) EQM para N=50.
(c) Vi´es para N=250. (d) EQM para N=250.
Figura 3.4: Vi´es e erro quadr´atico m´edio condicionais para η =
1, 2, 4, 9, 15, 20 e N=50,250.
43
Cap´ıtulo 4
Modelos de Regress˜ao
t-Student
Um importante aspecto na an´alise de regress˜ao ´e o uso de distribui¸c˜oes n˜ao
gaussianas para a componente de erro. Em alguns casos, ´e necess´ario a
utiliza¸c˜ao de distribui¸c˜oes com caudas mais pesadas como a t-Student. O
primeiro trabalho nessa ´area ´e o de Zellner (1976), no qual examina-se as
consequˆencias de adotarmos a distribui¸c˜ao t-Student multivariada em subs-
titui¸c˜ao a normal multivariada. Extens˜oes s˜ao consideradas em Osiewalski e
Steel (1993). Uma an´alise Bayesiana foi desenvolvida em Geweke (1993),
onde reporta-se que uma an´alise n˜ao informativa pode ser complicada e
por esse motivo utiliza-se apenas prioris pr´oprias para os graus de liber-
dade. Branco et al (1998) aconselham a utiliza¸c˜ao de prioris pr´oprias para
os parˆametros do modelo, caso contr´ario a posteriori encontrada pode n˜ao
ser pr´opria. Neste trabalho, utilizamos an´alise Bayesiana n˜ao-informativa de
Jeffreys para fazer inferˆencia sobre modelos lineares cuja componente de erro
44
s˜ao vari´aveis aleat´orias independentes e com distribui¸c˜ao t-Student. A dis-
tribui¸c˜ao t-Student ´e um caso particular da GHD como mostrado em (3.1).
Neste cap´ıtulo tratamos do modelo t-St(η, µ, σ
2
), onde µ pode ser fun¸c˜ao de
regressores.
4.1 Priori de Jeffreys
Considere observa¸c˜oes (x, y) onde x = (x
1
, . . . , x
N
)
T
´e uma matriz N × k de
k covari´aveis e y = (y
1
, . . . , y
N
)
T
´e um vetor N × 1.
Condicional aos x
i
s, os y
i
s s˜ao independentes e possuem distribui¸c˜ao
y
i
|x ∼t-St(η, x
T
i
β, σ
2
), onde β = (β
1
, . . . , β
k
) ´e um vetor k ×1 de coeficientes,
η ´e o parˆametro dos graus de lib erdade e σ
2
´e o parˆametro de escala. Todos
os parˆametros s˜ao considerados desconhecidos.
Defini¸c˜ao 4.1 A fun¸c˜ao log-verossimilhan¸ca para o modelo t-St(η, x
T
i
β, σ
2
)
´e dada por:
l(η, β, σ
2
; y) = N
ψ
η + 1
2
− ψ
η
2
+
η
2
log(η) − log(σ)
−
η + 1
2
N
i=1
l og
η +
y − x
T
β
σ
2
,
onde ψ(x) = log(Γ(x)), η, σ
2
∈
+
e β ∈ R
k
.
A verossimilhan¸ca apresenta problemas an´alogos aos citados no cap´ıtulo
3. A figura (4.1) ilustra alguns dos problemas. Observamos que para η ×σ a
verossimilhan¸ca condicional n˜ao possui uma moda, o que torna a estima¸c˜ao
por m´axima verossimilhan¸ca invi´avel. Zellner (1976) mostra que se os graus
45
de liberdade s˜ao considerados desconhecidos o m´etodo de m´axima verossi-
milhan¸ca n˜ao deve ser utilizado. Singh (1988) sugere a utiliza¸c˜ao do m´etodo
dos momentos nesse caso.
(a) Verossimilhan¸ca para η e β
0
. (b) Verossimilhan¸ca para η e β
1
.
(c) Verossimilhan¸ca para η e σ. (d) Verossimilhan¸ca para β
0
e β
1
.
(e) Verossimilhan¸ca para β
0
e σ. (f) Verossimilhan¸ca para β
1
e σ.
Figura 4.1: Fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca condicional para uma amostra de
tamanho 30 gerada da t-St(η,x
T
β,σ
2
), onde η = 4, β = (2, 1)
T
e σ = 1.5. X
1
´e o vetor unit´ario e X
2
s˜ao observa¸c˜oes da N(0,1).
46
Sugerimos a utiliza¸c˜ao da priori n˜ao informativa de Jeffreys para o
modelo. Para isso encontramos a matriz de informa¸c˜ao de Fisher atrav´es da
2
a
derivada da fun¸c˜ao log-verossimilhan¸ca.
Proposi¸c˜ao 4.1 A matriz de informa¸c˜ao de Fisher para θ = (η, σ
2
, µ) no
modelo de regress˜ao t-Student ´e dada por:
A
1
. .
A
2
A
3
.
0 0 A
4
A
1
=
N
4
2
2
η + 1
−
η + 2
η(η + 3)
− ψ
(2)
η + 1
2
+ ψ
(2)
η
2
−
2
η
A
2
= −
2N
σ
1
(η + 1)(η + 3)
A
3
=
2N
σ
2
η
η + 3
A
4
=
η + 1
σ
2
(η + 3)
N
i=1
X
i
X
T
i
Note que A
1
, A
2
e A
3
s˜ao escalares enquanto A
4
´e uma matriz k × k.
Assim, 0 ´e k × 1 e M ´e bloco diagonal com dimens˜ao (k + 2) × (k + 2).
Prova:
(i) X ∼ t −St(η, 0, 1) ⇒ E[X
k
] = 0 se k ´ımpar e E[X
k
] =
η
k
Γ
(
1
2
+k
)
Γ
(
η
2
−k
)
Γ
(
1
2
)
Γ
(
η
2
)
se
k para; Para maiores detalhes veja Wilks (1963) pp 185.
(ii) Y = µ + σX ⇒ Y ∼ t − St(η, µ, σ
2
) e E[Y
k
] = 0 se k ´ımpar e E[Y
k
] =
σ
k
E[X
k
] se k par;
47
(iii) E
y
η +
y−µ
σ
2
−k
=
Γ((η+1)/2)
Γ(η/2)
Γ((η+2k)/2)
Γ((η+2k+1)/2)
η
−k
Considere c(η, σ
2
) =
Γ((η+1)/2)η
η/2
Γ(η/2)
√
πσ
2
como na defini¸c˜ao (3.1).
E
y
η +
y − µ
σ
2
−k
=
∞
−∞
c(η, 1)
η +
y − µ
σ
2
−(η +2 k+1)/2
dy
=
c(η, 1)
c(η + 2k, η/(η + 2k))
η
η + 2k
−(η +2k+1)/2
=
Γ((η + 1)/2)
Γ(η/2)
Γ((η + 2k)/2)
Γ((η + 2k + 1)/2)
η
−k
Para k=1 E
y
1
η+y
2
=
1
η+1
e para k=2 E
y
1
(η+y
2
)
2
=
(η+2)
(η+3)(η+1)η
.
(iv) E
y
(y − µ)
q
η +
y−µ
σ
2
−1
=
1
η+1
E
y
[(y−µ)
q
], y ∼ t−St
η + 2, µ, σ
2
η
η+2
E
y
(y − µ)
q
η +
y − µ
σ
2
−1
=
∞
−∞
(y − µ)
q
c(η, 1)
η +
y − µ
σ
2
−(η +2+1) /2
dy
=
c(η, 1)
c(η + 2, η/(η + 2))
η
η + 2
−(η +2+1) /2
E
y
[(y − µ)
q
]
=
1
η + 1
E
y
[(y − µ)
q
], y ∼ t − St
η + 2, µ, σ
2
η
η + 2
(v) E
y
(y − µ)
q
η +
y−µ
σ
2
−2
=
η+2
η(η+1)(η+3)
E
y
[(y−µ)
q
], y ∼ t−St
η + 4, µ, σ
2
η
η+4
E
y
(y − µ)
q
η +
y − µ
σ
2
−2
=
∞
−∞
(y − µ)
q
c(η, 1)
η +
y − µ
σ
2
−(η +4+1) /2
dy
=
c(η, 1)
c(η + 4, η/(η + 4))
η
η + 4
−(η +4+1) /2
E
y
[(y − µ)
q
]
=
(η + 2)
(η + 3)(η + 1)η
E
y
[(y − µ)
q
], y ∼ t − St
η + 4, µ, σ
2
η
η + 4
48
Calculando a derivada segunda da fun¸c˜ao log verossimilhan¸ca (4.1)
obtemos:
∂
2
∂η
2
l =
N
4
ψ
(2)
η + 1
2
− ψ
(2)
η
2
+
2
η
+
1
2
N
i=1
η + 1
η +
y−µ
σ
2
2
−
2
η +
y−µ
σ
2
Por (iii) temos que E
y
∂
2
∂η
2
l
=
N
4
+ψ
(2)
η+1
2
− ψ
(2)
η
2
+
2
η
+ 2
η+2
η(η+3)
−
2
η+1
.
∂
2
∂η∂σ
l =
1
σ
3
N
i=1
(y − µ)
2
η +
y−µ
σ
2
− (η + 1)
(y − µ)
2
η +
y−µ
σ
2
2
Por (iv) e (v) temos que E
y
∂
2
∂η∂σ
l
=
N
σ
2
(η+1)(η+3)
∂
2
∂η∂β
l =
1
σ
2
N
i=1
(y − µ)X
T
i
η +
y−µ
σ
2
− (η + 1)
(y − µ)X
T
I
η +
y−µ
σ
2
2
Por (iv) e (v) temos que E
y
∂
2
∂η∂β
l
= 0
∂
2
∂σ
2
l =
N
σ
2
−
η + 1
σ
2
N
i=1
3
σ
2
(y − µ)
2
η +
y−µ
σ
2
−
2
σ
2
(y − µ)
4
η +
y−µ
σ
2
2
Por (iv) e (v) temos que E
y
∂
2
∂σ
2
l
= −
N
σ
2
2η
η+3
49
∂
2
∂σ∂β
l = −
2(η + 1)
σ
2
N
i=1
1
σ
(y − µ)X
T
i
η +
y−µ
σ
2
−
1
σ
3
(y − µ)
3
X
T
i
η +
y−µ
σ
2
2
Por (iv) e (v) temos que E
y
∂
2
∂σβ
l
= 0
∂
2
∂ββ
T
l = −
(η + 1)
σ
2
N
i=1
X
i
X
T
i
η +
y−µ
σ
2
−
2
σ
2
(y − µ)
2
X
i
X
T
i
η +
y−µ
σ
2
2
Por (iv) e (v) temos que E
y
∂
2
∂β∂β
T
l
= −
η+1
η+3
1
σ
2
N
i=1
X
i
X
T
i
✷
Proposi¸c˜ao 4.2 A priori de Jeffreys associada ao modelo de regress˜ao t-
Student ´e dada por:
p(η, β, δ) ∝ σ
−(k+1)
η+1
η+3
k
2
η
η+3
1
2
ψ
(2)
(
η
2
)
−ψ
(2)
(
η+1
2
)
2
−
(η
2
−1)(η+3)+(η+1)
2
+4
η(η+1)
2
(η+3)
1
2
onde k ´e o n´umero de regressores.
Prova:
A matriz de informa¸c˜ao de Fisher ´e mostrada na proposi¸c˜ao (4.1). Essa
matriz ´e bloco diagonal implicando que o determinante de M ´e dado por
(A
1
∗ A
3
− A
2
2
) ∗ det(A
4
).
A
1
∗ A
3
− A
2
2
=
N
2
σ
2
η
η + 3
2
2
η + 1
−
η + 2
η(η + 3)
+ ψ
(2)
η
2
− ψ
(2)
η + 1
2
−
2
η + 1
−
4N
2
σ
2
1
(η + 1)
2
(η + 3)
2
50
det(A
4
) =
1
σ
2
k
η + 1
η + 3
k
det
N
i=1
X
T
i
X
i
∝
1
σ
2
k
η + 1
η + 3
k
Ent˜ao, o determinante da matriz de informa¸c˜ao de Fisher ´e proporcional
a:
σ
−2(k+1)
η + 1
η + 3
k
η
η + 3
k
ψ
(2)
η
2
− ψ
(2)
η+1
2
2
−
(η
2
− 1)(η + 3) + (η + 1)
2
+ 4
η(η + 1)
2
(η + 3)
Segue o resultado. ✷
A priori obtida ´e similar a proposta por Fernandez e Steel (1999) que
sugerem, para o caso univariado, p(β, σ) ∝ σ
−(k+1)
e p(η) a distribui¸c˜ao
exponecial com m´edia igual a 10. A priori de Jeffreys obtida aqui ´e dada
por: p(β, σ, η) = σ
(k+1)
p(η) onde p(η) tamb´em tem forma exponencial como
pode ser visto na figura (4.2). A priori de Jeffreys tem a vantagem de ser
totalmante n˜ao informativa, ao contr´ario da priori proposta por Fernandez
que utiliza uma distribui¸c˜ao a priori com m´edia 10.
O gr´afico (4.3) mostra como o problema encontrado na verossimilhan¸ca
fica resolvido para o conjunto de dados mostrado anteriormente quando uti-
lizamos a priori de Jeffreys.
4.2 Estudo simulado
Nesta se¸c˜ao, s˜ao apresentados os resultados de um estudo de simula¸c˜ao uti-
lizando a priori de Jeffreys desenvolvida na se¸c˜ao anterior. Inicialmente foram
gerados conjuntos de dados artificiais com distribui¸c˜ao t-St(η,X
T
β,σ
2
) para
51
Figura 4.2: Priori marginal de η.
η = 4 e dois tamanhos amostrais (N = 30, 100). Foram utilizadas duas co-
vari´aveis: uma assumindo o valor 1 e outra uma gera¸c˜ao aleat´oria da N(0,1).
As amostras a posteriori de
θ
= (
η, β, σ
) foram obtidas usando o m´etodo
de MCMC. A amostragem foi feita em blocos: (β) e (η, σ), pois ´e a com-
bina¸c˜ao de maior correla¸c˜ao dentro de cada bloco e menor correla¸c˜ao entre
blocos. Por´em as distribui¸c˜oes propostas utilizadas s˜ao independentes:
β
(prop)
∼ N
2
(β
(k)
, d
2
1
).
log(η
(prop)
) ∼ N(log(η
(k)
), d
2
2
) e log(σ
(prop)
) ∼ N(log(δ
(k)
, d
2
3
).
As probabilidades de aceita¸c˜ao do algoritmo s˜ao mostradas no apˆendice.
Foram geradas cadeias de tamanho 50000 (N=30) e tamanho 20000 (N=100).
A figura (5.4) mostra a m´edia erg´otica das cadeias geradas ao longo das
itera¸c˜oes.
52
(a) Posteriori condicional para η e β
0
. (b) Posteriori condicional para η e β
1
.
(c) Posteriori condicional para η e σ. (d) Posteriori condicional para β
0
e β
1
.
(e) Posteriori condicional para β
0
e σ. (f) Posteriori condicional para β
1
e σ.
Figura 4.3: Curvas de contorno da distribui¸c˜ao a posteriori dos parˆametros
de interesse para uma amostra de tamanho 30 gerada da t-St(η,x
T
β,σ
2
), onde
η = 4, β = (2, 1)
T
e σ = 1.5. X
1
´e o vetor unit´ario e X
2
s˜ao observa¸c˜oes da
N(0,1).
A convergˆencia da cadeia foi verificada utilizando o crit´erio de Geweke.
Para N=30, a amostra a posteriori foi obtida usando um burn-in de 48000
itera¸c˜oes. Para N = 100 utilizou-se um burn-in de 18000 itera¸c˜oes. Para cada
53
(a) M´edia erg´otica da cadeia gerada para N=30.
(b) M´edia erg´otica da cadeia gerada para N=100.
Figura 4.4: M´edia erg´otica para cadeias geradas utilizando dados de tamanho
N e η = 4.
54
cen´ario (N, θ) foram calculadas estimativas para a m´edia a posteriori (E[θ|y]),
o desvio padr˜ao a posteriori (SD[θ|y]), a mediana a posteriori (MD[θ|y]) e
os quantis 0.025 e 0.975 a posteriori. A tabela (4.1) cont´em o sum´ario dos
resultados. A figura (4.5) mostra o histograma das amostras obtidas e reta
vertical no valor ”verdadeiro”do parˆametro.
(a) Histograma da amostra a posteriori para N=30.
(a) Histograma da amostra a posteriori para N=100.
Figura 4.5: Histograma da amostra a posteriori da distribui¸c˜ao dos
parˆametros do modelo de regress˜ao t-Student para a priori de Jeffreys e
reta vertical no valor ”verdadeiro”do parˆametro.
55
N θ E[θ|y] SD[θ|y] MED[θ|y] q0.025 q0.975
30 η = 4 4.9332 3.1054 3.9707 1.3377 12.9398
σ = 1.5 1.6042 0.3559 1.5948 0.9382 2.3524
β
0
= 2 2.1965 0.3698 2.2298 1.4347 2.8902
β
1
= 1 0.916 0.3631 0.9156 0.2354 1.6332
100 η = 4 3.7 1.0732 3.5807 2.071 6.1376
σ = 1.5 1.2999 0.1622 1.2971 0.9942 1.6283
β
0
= 2 1.8428 0.1679 1.8588 1.5009 2.1495
β
1
= 1 0.9289 0.1688 0.932 0.5804 1.2801
Tabela 4.1: Estat´ısticas descritivas das amostras a posteriori para dados de
tamanho N=30 e N=100 utilizando a priori de Jeffreys para os parˆametros
do modelo de regress˜ao t-Student.
Note que a estimativa da mediana da distribi¸c˜ao a posteriori de η est´a
muito pr´oxima do valor verdadeiro quando N=30. J´a para N=100 a m´edia ´e
uma estimativa mais adequada. Quando N cresce a variˆancia das estimativas
diminuem bastante. Com o objetivo de comparar a priori desenvolvida com
outras prioris utilizadas na literatura foi implementada uma das prioris pro-
postas por Geweke (1993) e a priori proposta por Fernandez e Steel (1999).
Geweke utiliza a seguinte priori:
p(β, σ) ∝ σ
−1
e p(η) = λ exp{−λη}
Fernandez e Steel utilizam a priori:
p(β, σ) ∝ σ
−(p+1)
e p(η) = 0.1 exp{−0.1η}
Para as duas propostas gerou-se sequˆencias de tamanho 20000 e a con-
vergˆencia foi verificada utilizando o crit´erio de Geweke. As amostras a pos-
teriori foram obtidas usando um burn-in de 18000 itera¸c˜oes. Os resultados
56
obtidos para a proposta de Geweke utilizando λ = 1 s˜ao mostrados na tabela
(4.2) e os resultados obtidos para a proposta de Fernandez e Steel s˜ao mostra-
dos na tabela (4.3). As figura (4.6) e (4.7) mostram histogramas das amostras
obtidas e reta vertical no valor ”verdadeiro”do parˆametro para essas prioris.
N θ E[θ|y] SD[θ|y] MED[θ|y] q0.025 q0.975
30 η = 4 2.6969 1.066 2.4873 1.2158 5.2823
σ
2
= 1.5 1.5237 0.3485 1.5281 0.9133 2.3065
β
0
= 2 2.3478 0.3671 2.3643 1.5832 2.9957
β
1
= 1 0.9219 0.3302 0.9135 0.3102 1.5925
100 η = 4 3.0924 0.8355 2.972 1.7513 4.9768
σ
2
= 1.5 1.2839 0.165 1.2878 0.965 1.6342
β
0
= 2 1.85 0.1615 1.8544 1.5327 2.1782
β
1
= 1 0.9368 0.1605 0.9477 0.6212 1.2489
Tabela 4.2: Estat´ısticas descritivas das amostras a posteriori para dados de
tamanho N=30 e N=100 utilizando a priori proposta por Geweke.
N θ E[θ|y] SD[θ|y] MED[θ|y] q0.025 q0.975
30 η = 4 9.4653 4.4824 8.8922 2.8461 20.4477
σ
2
= 1.5 1.8042 0.3234 1.7904 1.1849 2.4793
β
0
= 2 2.1596 0.3812 2.1765 1.3532 2.9022
β
1
= 1 1.0492 0.3517 1.0455 0.3893 1.7798
100 η = 4 3.776 1.1572 3.4837 2.0196 6.1542
σ
2
= 1.5 1.3109 0.1662 1.3078 1.0068 1.6189
β
0
= 2 1.8468 0.1616 1.8435 1.5401 2.1919
β
1
= 1 0.9314 0.1627 0.9271 0.6208 1.2219
Tabela 4.3: Estat´ısticas descritivas das amostras a posteriori para dados de
tamanho N=30 e N=100 utilizando a priori proposta por Fernandez.
57
(a) Histograma da amostra a posteriori para N=30.
(a) Histograma da amostra a posteriori para N=100.
Figura 4.6: Histograma da amostra a posteriori da distribui¸c˜ao dos
parˆametros do modelo de regress˜ao t-Student para a priori de Geweke e
reta vertical no valor ”verdadeiro”do parˆametro.
58
(a) Histograma da amostra a posteriori para N=30.
(a) Histograma da amostra a posteriori para N=100.
Figura 4.7: Histograma da amostra a posteriori da distribui¸c˜ao dos
parˆametros do modelo de regress˜ao t-Student para a priori de Fernandez
e Steel e reta vertical no valor ”verdadeiro”do parˆametro.
59
As estimativas para η utilizando a priori de Geweke est˜ao distantes
do valor verdadeiro do parˆametro mesmo quando N cresce. J´a utilizando a
proposta de Fernandez e Steel, os resultados obtidos para N=100 s˜ao bastante
bons, por´em para N=30 o valor da m´edia a posteriori ´e aproximadamente a
m´edia da priori.
Esses resultados dizem respeito a dois conjuntos de dados gerados da
t-St(4). Para comparar os resultados obtidos utilizando as trˆes prioris para
diferentes valores de η replicou-se o processo de estima¸c˜ao 100 vezes e calculou-
se o vi´es e o erro quadr´atico m´edio dos estimadores da m´edia e mediana a
posteriori para η = (0.5, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25). Os resulta-
dos s˜ao mostrados apenas para η por ser o parˆametro de maior interesse.
Para a priori proposta por Geweke utilizou-se trˆes valores de λ (0.05,0.2,1).
A figura (4.8) mostra o vi´es e o errro quadr´atico m´edio dos estimadores da
m´edia e mediana a posteriori usando as prioris de Jeffreys e Geweke. A
figura (4.10) mostra o vi´es e o erro quadr´atico m´edio dos estimadores da
m´edia e mediana a posteriori usando as prioris de Jeffreys e de Fernadez e
Steel. E finalmente, a figura (4.11) mostra a cobertura a posteriori da m´edia
e mediana.
60
(a) Fun¸c˜ao do vi´es usando Jeffreys e Geweke.
(b) Fun¸c˜ao do erro quadr´atico m´edio usando Jeffreys e Geweke.
Figura 4.8: Vi´es e erro quadr´atico m´edio de alguns estimadores pontuais
obtidos utilizando a priori de Jeffreys e a priori proposta por Geweke.
O vies e o erro quadr´atico m´edio dos estimadores obtidos utilizando a
priori de Geweke com λ = 0.05 s˜ao muito grandes para η < 5. Para obser-
varmos melhor o comportamento dos outros estimadores os gr´aficos foram
refeitos sem essas quantidades.
61
(a) Fun¸c˜ao do vi´es usando Jeffreys e Geweke.
(b) Fun¸c˜ao do erro quadr´atico m´edio usando Jeffreys e Geweke.
Figura 4.9: Vi´es e erro quadr´atico m´edio de alguns estimadores pontuais
obtidos utilizando a priori de Jeffreys e a priori proposta por Geweke (exceto
para λ = 0.05).
Para η ≤ 5 a mediana utilizando Jeffreys s´o ´e pior (em termos do eqm)
que os estimadores obtidos utilizando Geweke com λ = 1, por´em o eqm desses
estimadores se torna muito grande quando η cresce. Para η > 5 a mediana
utilizando Jeffreys s´o ´e pior (em termos do eqm) que os estimadores obtidos
utilizando Geweke com λ = 0.02, por´em o eqm desses estimadores ´e muito
grande quando η ≤ 5 . A mediana a posteriori usando Jeffreys parece mais
est´avel que os outros estimadores.
62
(a) Fun¸c˜ao do vi´es usando Jeffreys e Geweke.
(b) Fun¸c˜ao do erro quadr´atico m´edio usando Jeffreys e Geweke.
Figura 4.10: Vi´es e erro quadr´atico m´edio de alguns estimadores pontuais
obtidos utilizando a priori de Jeffreys e a priori proposta por Fernandez e
Steel.
Novamente a mediana a posteriori obtida utilizando a priori de Jeffreys
parece mais est´avel que os outros estimadores.
63
Figura 4.11: Cobertura frequentista de alguns estimadores pontuais obtidos
utilizando a priori de Jeffreys, de Geweke e de Fernandez e Steel.
A cobertura frequentista do intervalo de 95% de credibilidade diminui
quando η cresce. A cobertura para Jeffreys e Fernandez-Steel se mat´em mais
pr´oximos de 0.95 que os outros estimadores.
64
Cap´ıtulo 5
Distribui¸c˜ao Hiperb´olica
Neste cap´ıtulo desenvolve-se a priori de Jeffreys para a subclasse hiperb´olica.
Como visto anteriormente, a distribui¸c˜ao hiperb´olica ´e obtida como uma
subclasse da HG para λ = 1.
5.1 Priori de Jeffreys
Defini¸c˜ao 5.1 Uma quantidade aleat´oria Y ´e dita ter distribui¸c˜ao Hiperb´olica
com parˆametros α, β, δ e µ quando possui densidade
g(y; α , β, δ, µ) =
√
α
2
− β
2
2αδK
1
(δ
√
α
2
− β
2
)
exp
−α
δ
2
+ (y − µ)
2
+ β(y − µ)
(5.1)
onde, y, µ ∈ , δ > 0 e |β| < α e K
1
(.) ´e a fun¸c˜ao modificada de Bessel de
3
a
ordem com ´ındice 1.
Note que no caso da distribui¸c˜ao hiperb´olica a ´unica fun¸c˜ao de Bessel
presente na densidade n˜ao depende dos dados, o que facilita a inferˆencia.
65
Sejam Y
1
, ..., Y
n
n replica¸c˜oes independentes de uma vari´avel aleat´oria
com fun¸c˜ao de densidade (5.1).
Defini¸c˜ao 5.2 A fun¸c˜ao de log-verossimilhan¸ca para o modelo hiperb´olico ´e
dada por:
l(α, β, δ, µ) = N
1
2
l og(α
2
− β
2
) − log(αδ) log
K
1
δ
α
2
− β
2
−α
N
i=1
δ
2
+ (y
i
− µ)
2
+ β
N
i=1
(y
i
− µ) + c (5.2)
onde, µ ∈ , δ > 0 e |β| < α
Defina ϑ
i
= α
δ
2
+ (y
i
− µ)
2
, ρ = δ
√
α
2
− β
2
, R
λ
(x) =
K
λ+1
(x)
K
λ
(x)
e
S
λ
(x) =
K
λ+2
(x)
K
λ
(x)
− R
2
λ
(x).
Proposi¸c˜ao 5.1 As equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca s˜ao dadas por:
∂
∂α
l = −
1
α
N
i=1
{ϑ
i
− E[ϑ
i
]}
∂
∂β
l =
N
i
=1
{y
i
− E[y
i
]}
∂
∂δ
l = −δα
2
N
i=1
1
ϑ
i
− E
1
ϑ
i
∂
∂µ
l = α
2
N
i=1
y
i
− µ
ϑ
i
− E
y
i
− µ
ϑ
i
(5.3)
onde E[ϑ
i
] =
α
2
δ
2
ρ
R
1
(ρ) − 1;
E[y
i
] =
βδ
2
ρ
R
1
(ρ) + µ;
E
1
ϑ
i
=
ρ
α
2
δ
2
R
1
(ρ) −
2
ρ
=
ρ
α
2
δ
2
1
R
0
(ρ)
e
E
y
i
−µ
ϑ
i
=
β
α
2
66
Prova:
A demonstra¸c˜ao para o caso geral foi feita no cap´ıtulo 2, proposi¸c˜ao
(2.1). Para o caso hiperb´olico basta tomar λ = 1 resultando em:
∂
∂α
l = −
1
α
N
i=1
ϑR
0.5
(ϑ) −
αδ
2
ρ
R
1
(ρ)
∂
∂β
l =
N
i=1
y −
βδ
2
ρ
R
1
(ρ) − µ
∂
∂δ
l = −α
2
δ
N
i=1
1
ϑR
−0.5
(ϑ)
−
ρ
α
2
δ
2
R
1
(ρ) −
2
ρ
∂
∂µ
l = α
2
N
i=1
(y
i
−µ)
ϑR
−0.5
(ϑ)
−
β
α
2
Da defini¸c˜ao 5 (apˆendice A) temos R
0.5
(ϑ) = 1 +
1
ϑ
e da defini¸c˜ao 6
(apˆendice A) temos R
−0.5
(ϑ) = 1, ent˜ao:
∂
∂α
l = −
1
α
N
i=1
ϑ + 1 −
αδ
2
ρ
R
1
(ρ)
∂
∂β
l =
N
i=1
y −
βδ
2
ρ
R
1
(ρ) − µ
∂
∂δ
l = −α
2
δ
N
i=1
1
ϑ
−
ρ
α
2
δ
2
R
1
(ρ) −
2
ρ
∂
∂µ
l = α
2
N
i=1
(y
i
−µ)
ϑ
−
β
α
2
✷
S˜ao encontrados alguns problemas associados a verossimilhan¸ca desse
modelo. Isso ocorre quando algumas combina¸c˜oes de parˆametros levam a
distribui¸c˜oes limites. Por exemplo, para δ → ∞ e
α
δ
→ σ
2
temos o mo-
delo N(µ, σ
2
) como limite. Isso ´e exemplificado na figura (5.1) que mostra
a verossimilhan¸ca condicional de (α, δ) para um conjunto de dados com dis-
tribui¸c˜ao H(2,0,1,2) e tamanho 100.
67
Figura 5.1: Fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca condicional de α e δ para o modelo
H(2,0,1,2).
Um m´etodo de maximiza¸c˜ao da verossimilhan¸ca n˜ao traria resultados
satisfat´orios. Isso ´e comprovado quando utilizamos alguns m´etodos de ma-
ximiza¸c˜ao como o m´etodo de Newton, Quasi Newton e Nelder-Mead. Esses
m´etodos est˜ao dispon´ıveis atrav´es da fun¸c˜ao fit.hyperb(.) do R que faz parte
da biblioteca de distribui¸c˜oes hiperb´olicas desenvolvida por David Scott.
Essa biblioteca fornece uma cole¸c˜ao de fun¸c˜oes para trabalhar com a dis-
tribui¸c˜ao hiperb´olica. A tabela (5.1) cont´em o sum´ario das informa¸c˜oes.
Os resultados obtidos s˜ao muito ruins. O m´etodo que se saiu melhor
foi o de Nelder e Mead que s´o encontrou valores muito grandes para α e δ.
Para evitar essas dificuldades sugere-se a utiliza¸c˜ao da priori de Jeffreys para
esse modelo. Como um primeiro passo para o desenvolvimento da priori,
encontramos a matriz de Informa¸c˜ao de Fisher.
68
θ Newton Q-Newton Nelder-Mead
α = 2 27.4663 21.1749 27.4605
β = 0 -0.4910 -13.4426 0.1944
δ = 1 25.6837 9.0368 25.6855
µ = 2 2.4747 9.5139 1.8321
Tabela 5.1: Estimativas de m´axima verossimilhan¸ca para dados da H(2,0,1,2)
com tamanho 100.
Proposi¸c˜ao 5.2 A matriz de informa¸c˜ao de Fisher (M) de θ = (α, β, δ, µ)
para o modelo hiperb´olico, E
∂
∂θ
L
∂
∂θ
L
T
, que ´e dada por:
M = N×
1
α
2
V (ϑ) . . .
−
1
α
COV (ϑ, y) V (y) . .
αδCOV
ϑ,
1
ϑ
−α
2
δCOV
y,
1
ϑ
α
4
δ
2
V
1
ϑ
.
−αCOV
ϑ,
y − µ
ϑ
α
2
COV
y,
y − µ
ϑ
−α
4
δCOV
1
ϑ
,
y − µ
ϑ
α
4
V
y −µ
ϑ
Prova:
A primeira derivada da fun¸c˜ao log-verossimilhan¸ca ´e dada na proposi¸c˜ao
(5.3). Defina as seguintes vari´aveis e constantes:
Φ
1
(y) = ϑ; Φ
2
(y) = y; Φ
3
(y) =
1
ϑ
; Φ
4
(y) =
y−µ
ϑ
c
1
= −
1
α
, c
2
= 1, c
3
= −δα
2
e c
4
= α
2
Dessa forma,
∂
∂θ
i
l = c
i
{Φ
i
(y) − E[Φ
i
(y)]}, ent˜ao:
69
E
∂
∂θ
i
L
∂
∂θ
j
L
T
= c
i
c
j
E {(Φ
i
(y) − E[Φ
i
(y)])(Φ
j
(y) − E[Φ
j
(y)])}
= c
i
c
j
COV {Φ
i
(y), Φ
j
(y)},
para i, j = 1, 2, 3, 4
Da´ı, M ´e dada por variˆancias e covariˆancias. ✷
Proposi¸c˜ao 5.3 A priori de Jeffreys associada a esse modelo ´e dada por:
p(α, β, δ, µ) ∝ |M|
1/2
(5.4)
As componentes da matriz s˜ao calculadas sob a distribui¸c˜ao dos dados e s˜ao
dadas por:
V (ϑ) =
α
2
δ
2
ρ
2
α
2
δ
2
ρ
S
1
(ρ) − R
1
(ρ)
− 1
COV (ϑ, y) =
α
2
βδ
4
ρ
2
S
1
(ρ)
COV
ϑ,
1
ϑ
= S
1
(ρ) + (
ρ
α
2
δ
2
−
2
ρ
)R
1
(ρ) −
2
α
2
δ
2
COV
ϑ,
y−µ
ϑ
=
β
α
2
V (y) = δ
2
R
1
(ρ)
ρ
+
β
2
δ
2
ρ
2
S
1
(ρ)
COV
y,
1
ϑ
=
β
α
2
S
1
(ρ) −
2
ρ
R
1
(ρ)
COV
y,
y−µ
ϑ
=
1
α
2
V
1
ϑ
=
1
α
4
δ
4
{α
4
δ
4
e
y
0
− ρ
2
R
1
(ρ)
2
+ 4ρR
1
(ρ) − 4}
COV
1
ϑ
,
y−µ
ϑ
=
1
α
4
δ
2
{α
4
δ
2
(e
y
1
− µe
y
0
) − βρR
1
(ρ) + 2β}
V
y−µ
ϑ
= e
y
2
− 2µe
y
1
+ µ
2
e
y
0
−
β
2
α
4
Observe que V
1
ϑ
, COV
1
ϑ
,
y−µ
ϑ
e V
y−µ
ϑ
dependem da fun¸c˜ao e
y
k
,
que ´e calculada numericamente e ´e definida por:
e
y
k
= E
y
y
k
ϑ
2
, k = 0, 1, 2
70
Prova:
As componentes de M s˜ao calculadas por:
COV {Φ
i
(y), Φ
j
(y)} = E{Φ
i
(y)Φ
j
(y)} − E{Φ
i
(y)}E{Φ
j
(y)}
Temos que E{Φ
i
(y)} e E{Φ
j
(y)} j´a foram calculadas e s˜ao mostradas
na proposi¸c˜ao (5.1), basta calcular E{Φ
i
(y)Φ
j
(y)}.
Defina a
L
= a(L, α, β, δ), E
L
[y] e V
L
[y] como esperan¸ca e variˆancia na
distribui¸c˜ao de y, para y ∼ GHD(L, α, β, δ).
E{Φ
1
(y)
2
} = E{ϑ
2
} = α
2
E{δ
2
+ (y − µ)
2
} = α
2
{δ
2
+ E[(y − µ)
2
]}
= α
2
δ
2
+ V AR(y) +
βδ
2
ρ
R
1
(ρ)
2
= α
2
δ
2
+ δ
2
R
λ
(ρ)
ρ
+
β
2
δ
2
S
1
(ρ)
ρ
2
+
βδ
2
ρ
R
1
(ρ)
2
= α
2
δ
2
1 +
R
1
(ρ)
ρ
+
β
2
δ
2
ρ
S
1
(ρ) +
β
2
δ
2
ρ
2
R
2
1
(ρ)
Utilizando propriedade 7 do apˆendice A obtemos V (ϑ).
E{Φ
1
(y)Φ
2
(y)} = E{ϑy} = α
∞
−∞
a
1
e
β(y−µ)
{δ
2
+ (y − µ)
2
}
(2−0.5)/2
K
−0.5
(ϑ)dy
Pela propriedade 2 apˆendice A temos que K
−0.5
(ϑ) = K
2−0.5
(ϑ) −
1
ϑ
K
1−0.5
(ϑ). Ent˜ao:
E{Φ
1
(y)Φ
2
(y)} = α
∞
−∞
a
1
e
β(y−µ)
{δ
2
+ (y − µ)
2
}
(2−0.5)/2
K
2−0.5
(ϑ)dy
−
∞
−∞
a
1
e
β(y−µ)
{δ
2
+ (y − µ)
2
}
(1−0.5)/2
K
1−0.5
(ϑ)dy
71
= α
a
1
a
2
E
2
[y] − E
1
[y]
= α
2
δ
2
βδ
2
ρ
2
K
3
(ρ)
K
1
(ρ)
+
µ
ρ
R
1
(ρ)
− E[y]
Utilizando defini¸c˜ao 2 do apˆendice A e equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca
obtemos COV (ϑ, y).
E{Φ
1
(y)Φ
3
(y)} = E
ϑ
1
ϑ
= 1
Utilizando propriedade 7 do apˆendice A e equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca
obtemos COV
ϑ,
1
ϑ
.
E{Φ
1
(y)Φ
4
(y)} = E
ϑ
(y − µ)
ϑ
= E[y] − µ =
βδ
2
ρ
R
1
(ρ)
Utilizando equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca obtemos COV
ϑ,
y−µ
ϑ
.
V {Φ
2
(y)} ´e definida em (1.7).
E{Φ
2
(y)Φ
3
(y)} = E
y
ϑ
=
1
α
∞
−∞
ya
1
e
β(y−µ)
{δ
2
+ (y − µ)
2
}
(−0.5)/2
K
0.5
(ϑ)dy
Pela propriedade 1 apˆendice A temos que K
−0.5
(ϑ) = K
0.5
(ϑ). Ent˜ao:
E{Φ
2
(y)Φ
3
(y)} =
1
α
∞
−∞
ya
1
e
β(y−µ)
{δ
2
+ (y − µ)
2
}
(−0.5)/2
K
−0.5
(ϑ)dy
=
1
α
a
1
a
0
E
0
[y]
=
β
α
+
µρ
α
2
δ
2
R
1
(ρ) −
2
ρ
72
Utilizando propriedade 7 do apˆendice A e equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca
obtemos COV
y,
1
ϑ
.
E{Φ
2
(y)Φ
4
(y)} = E
y
2
− µy
ϑ
=
=
1
α
∞
−∞
(y
2
− µy)a
1
e
β(y−µ)
{δ
2
+ (y − µ)
2
}
(−0.5)/2
K
0.5
(ϑ)dy
Pela propriedade 1 apˆendice A temos que K
−0.5
(ϑ) = K
0.5
(ϑ). Ent˜ao:
E{Φ
2
(y)Φ
4
(y)} =
1
α
∞
−∞
(y
2
− µy)a
1
e
β(y−µ)
{δ
2
+ (y − µ)
2
}
(−0.5)/2
K
−0.5
(ϑ)dy
=
1
α
a
1
a
0
(E
0
[y
2
] − µE
0
[y]) =
1
α
a
1
a
0
(V
0
[y
2
] + E
2
0
[y] − µE
0
[y])
=
1
α
2
1 +
β
2
δ
2
ρ
R
1
(ρ) + βµ
Utilizando equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca obtemos COV
y,
y−µ
ϑ
.
E{Φ
2
3
(y)} = E
1
ϑ
2
= e
y
0
Utilizando equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca obtemos V
1
ϑ
, que depende
de e
y
0
.
E{Φ
3
(y)Φ
4
(y)} = E
y − µ
ϑ
2
= e
y
1
− µe
y
0
Utilizando equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca obtemos COV
1
ϑ
,
y−µ
ϑ
, que
depende de e
y
0
e e
y
1
.
73
E{Φ
2
4
(y)} = E
(y − µ)
2
ϑ
2
= e
y
2
− 2µe
y
1
+ µ
2
e
y
0
Utilizando equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca obtemos V
y−µ
ϑ
, que depende
de e
y
0
, e
y
1
e e
y
2
. ✷
O gr´afico (5.2) mostra como fica a distribui¸c˜ao condicional completa
para os dados citados anteriormente quando utilizamos a priori de Jeffreys.
Figura 5.2: Curvas de contorno da distribui¸c˜ao condicional completa de α e
δ para o modelo H(2,0,1,2).
74
5.2 Aplica¸c˜ao a dados simulados
Nesta se¸c˜ao, a priori de Jeffreys desenvolvida ´e utilizado para inferir em
dados gerados artificialmente. Diferentemente do cap´ıtulo 3, aqui utilizamos
apenas alguns conjuntos de dados para estima¸c˜ao e n˜ao replicamos o processo
v´arias vezes. Foram gerados conjuntos de dados para os seguintes cen´arios:
N=30,100, θ = (2, 0, 1, 2). A figura (5.3) mostra um conjunto de dados de
tamanho 500 para θ = (2, 0, 1, 2).
Figura 5.3: Dados gerados artificialmente da DH(2,0,1,2).
As amostras a posteriori de θ foram obtidas usando o m´etodo de MCMC.
A amostragem foi feita em blocos: (α, δ) e (β, µ), pois ´e a combina¸c˜ao de
maior correla¸c˜ao dentro de cada bloco e menor correla¸c˜ao entre blocos. Por´em
as distribui¸c˜oes propostas utilizadas s˜ao independentes:
µ
(prop)
∼ N(µ
(k)
, d
2
1
) e β
(prop)
∼ NT RUN
(−α
(k)
,α
(k)
)
(β
(k)
, d
2
2
).
75
α
(prop)
∼ NT RUN
(|β
(k+1)
|,∞)
(α
(k)
, d
2
3
) e log(δ
(prop)
) ∼ N(log(δ
(k)
, d
2
4
).
As probabilidades de aceita¸c˜ao s˜ao mostradas no apˆendice. Foram ge-
radas cadeias de tamanho 20000 (N=30) e tamanho 10000 (N=100). A figura
(5.4) mostra a m´edia erg´odica das cadeias geradas ao longo das itera¸c˜oes.
A convergˆencia da cadeia foi verificada utilizando o crit´erio de Geweke.
Para N=30, a amostra a posteriori foi obtida usando um burn-in de 5000
itera¸c˜oes e tomou-se observa¸c˜oes de 15 em 15. Para N=100, a amostra a
posteriori foi obtida usando um burn-in de 4000 itera¸c˜oes e tomou-se ob-
serva¸c˜oes de 1 em 1. Para cada cen´ario (N, θ) foram calculadas estimativas
para: a m´edia a posteriori (E[θ|y]), o desvio padr˜ao a posteriori (SD[θ|y]), a
mediana a posteriori (MD[θ|y]) e os quantis 0.025 e 0.975 a posteriori. Al´em
disso, obteve-se tamb´em o estimador de m´axima verossimilhan¸ca (
ˆ
θ). Este foi
obtido por maximiza¸c˜ao num´erica utilizando trˆes m´etodos: o m´etodo Quasi-
Newton (Q-N), uma implementa¸c˜ao do m´etodo desenvolvido por Nelder e
Mead (N-M) e o m´etodo de Newton Raphson (N). As tabelas (5.2) e (5.3)
cont´em o sum´ario dos resultados.
θ E[θ|y] SD[θ|y] MD[θ|y] q0.025 q0.975 N Q-N N-M
2 3.3365 0.8504 3.2712 1.9101 5.1896 176009.189 169.280 101.728
0 -1.1007 1.2496 -1.167 -3.4824 1.5104 -176006.251 -166.372 -98.710
1 0.7122 0.5392 0.5884 0.0466 1.9705 0.014 0.438 0.596
2 2.277 0.4684 2.4118 1.1588 2.9349 4.540 4.447 4.495
Tabela 5.2: Estat´ısticas descritivas das amostras a posteriori e estimadores
de m´axima verossimilhan¸ca para o Modelo H(2,0,1,2) e N=30.
Podemos notar que, para esses conjuntos de dados, os estimadores de
m´axima verossimilhan¸ca tˆem um comportamento anormal. J´a as estat´ısticas
76
(a) M´edia erg´odica da cadeia gerada para N=30.
(b) M´edia erg´odica da cadeia gerada para N=100.
Figura 5.4: M´edia erg´odica para cadeias geradas com tamanho 10000 uti-
lizando dados da DH(2,0,1,2) com tamanho N.
obtidas da amostra a posteriori do parˆametro θ indicam que a priori utilizada
soluciona o problema encontrado na verossimilhan¸ca. Todos os intervalos de
credibilidade cont´em o valor verdadeiro dos parˆametros e a m´edia e mediana
77
θ E[θ|y] SD[θ|y] MD[θ|y] q0.025 q0.975 N Q-N N-M
2 2.65 0.7068 2.5359 1.5189 4.1612 27.466 21.175 27.461
0 -0.2112 0.628 -0.1038 -1.6818 0.7574 -0.491 -13.443 0.194
1 1.8094 0.8131 1.7006 0.5284 3.7329 25.684 9.037 25.686
2 2.1994 0.564 2.1119 1.3081 3.4569 2.475 9.514 1.832
Tabela 5.3: Estat´ısticas descritivas das amostras a posteriori e estimadores
de m´axima verossimilhan¸ca para o Modelo H(2,0,1,2) e N=100.
est˜ao sempre bastante pr´oximas do valor ”verdadeiro”do parˆametro.
5.3 Aplica¸c˜ao a dados reais
O conjunto de dados utilizado diz respeito ao tamanho de pequenas pedras
do Rio Mamquam, British Columbia, Canad´a. Existem 16 classes de tama-
nhos das pedras. O tamanho ´e determinado passando o material atrav´es de
um medidor. Isso d´a o intervalo no qual cada pedra est´a. Tamanhos em
mil´ımetros s˜ao ent˜ao convertidos em unidades de psi tomando o log na base
2 do tamanho. O ponto m´edio do intervalo ´e especificado em unidades de psi
e contagens s˜ao dadas para cada intervalo. As classes s˜ao de tamanho 0.5
unidades de psi. Tem-se 3574 observa¸c˜oes. Os dados s˜ao obtidos em Rice e
Church (1996).
As estimativas de m´axima verossimilhan¸ca para os parˆametros do mod-
elo utilizando os m´etodos de Quasi-Newton, Nelder e Mead e Newton Raph-
son s˜ao mostradas na tabela (5.4).
Note que as estimativas obtidas pelos trˆes m´etodos s˜ao bem parecidas.
Por´em, o conjunto de dados ´e muito grande. Uma quest˜ao importante ´e o
78
Figura 5.5: Histograma da amostra a posteriori dos parˆametros dos modelo
H(2,0,1,2) para N=30 e reta vertical no valor ”verdadeiro”do parˆametro.
que aconteceria com esses m´etodos se a amostra fosse pequena. Para res-
ponder essa pergunta tomou-se um subconjunto do conjunto de dados (5.7).
Ent˜ao compara-se as estimativas obtidas por m´axima verossimilhan¸ca e as
estat´ısticas obtidas da amostra a posteriori da distribui¸c˜ao dos parˆametros.
A subamostra ´e obtida utilizando a mesma frequˆencia relativa e tamanho
N=200 para o subconjunto. Para obter a amostra a posteriori utilizou-se uma
cadeia de tamanho 20000, um burn-in de 10000 observa¸c˜oes e observa¸c˜oes
79
Figura 5.6: Histograma da amostra a posteriori dos parˆametros dos modelo
H(2,0,1,2) para N=100 e reta vertical no valor ”verdadeiro”do parˆametro.
foram tomadas de 100 em 100, resultando numa amostra a posteriori de
tamanho 100. A convergˆencia foi verificada atrav´es do crit´erio de Geweke.
Na tabela (5.5) s˜ao mostrados os resultados obtidos.
Observamos que os resultados obtidos da amostra a posteriori dos
parˆametros s˜ao muito bons. A m´edia a posteriori obtida para um sub-
conjunto de dados de tamanho 200 est´a muito pr´oxima dos valores esti-
80
(a) Dados de tamanho 3574. (b) Dados de tamanho 200.
Figura 5.7: Tamanho de pequenas pedras no Rio Mamquam.
θ Newton Q-Newton Nelder-Mead
α 5.619 5.402 5.618
β -3.908 -3.706 -3.907
δ 2.340 2.325 2.340
µ 7.754 7.682 7.754
Tabela 5.4: Estimativas de m´axima verossimilhan¸ca para paraˆametros do
modelo H(α, β, δ, µ) para dados do Rio Mamquam.
mados por m´axima verossimilhan¸ca para um conjunto de dados de tamanho
3574, como pode ser visto na figura (5.8). Por outro lado, os estimadores de
m´axima verossimilhan¸ca utilizando dados de tamanho 200 foram muito ruins.
Com esse exemplo mostramos que a priori proposta permite a estima¸c˜ao dos
parˆametros do modelo hiperb´olico mesmo para conjuntos de dados pequenos.
Isso pode ser ´util quando, por exemplo, for custoso de alguma forma coletar
dados.
81
θ E[θ|y] SD[θ|y] M D[θ|y] q0.025 q0.975 N Q-N N-M
α 4.0143 1.3364 3.7802 1.9358 6.7346 31446.898 44.691 63.980
β -2.6072 1.126 -2.4233 -5.0103 -1.0207 -31445.088 -42.916 -62.186
δ 1.917 0.8305 1.7831 0.8251 3.8229 0.048 1.201 1.032
µ 7.1863 0.5989 7.1576 6.2404 8.5026 10.071 9.694 9.827
Tabela 5.5: Estat´ısticas descritivas das amostras a posteriori e estimadores
de m´axima verossimilhan¸ca para o Modelo H(α, β, δ, µ ) para um subconjunto
de tamanho 200 dos dados do Rio Mamquam.
82
(a) Amostra a posteriori de α. (b) Amostra a posteriori de β.
(c) Amostra a posteriori de δ. (d) Amostra a posteriori de µ.
Figura 5.8: Histogramas da amostra a posteriori utilizando dados de tamanho
200. Retas verticais dos valores estimados por m´axima verossimilhan¸ca pelo
m´etodo de Quasi-Newton (reta amarela), Nelder-Mead (reta verde) e Newton
(reta vermelha) para dados de tamanho 3574. Obs: a reta referente ao
m´etodo de Nelder-Mead praticamente coincide com a reta do m´etodo de
Newton.
83
Cap´ıtulo 6
O caso geral
Um grande problema na inferˆencia sobre o modelo hiperb´olico generalizado
´e a estima¸c˜ao do parˆametro de sub classe λ. Os problemas encontrados s˜ao
tanto num´ericos como te´oricos. Prause (1999) sugere com um estudo de sim-
ula¸c˜ao que somente para tamanhos de amostra grande a estimativa desse
parˆametro ´e razo´avel. Desses resultados ele conclui que pelo menos 250 ob-
serva¸c˜oes s˜ao necess´arias para obten¸c˜ao de um ajuste adequado. Uma outra
solu¸c˜ao para esse problema seria considerar esse parˆametro fixo e utilizar al-
gum crit´erio de compara¸c˜ao de modelos para escolher o mais adequado, pois
com a subclasse previamente escolhida os problemas num´ericos se reduzem
bastante. Neste cap´ıtulo propomos uma solu¸c˜ao para o modelo geral que
produza resultados coerentes independente do tamanho da amostra e sem
que seja necess´ario fixar o parˆametro de subclasse.
84
6.1 A priori de Jeffreys
Sejam Y
1
, ..., Y
n
n replica¸c˜oes independentes de uma vari´avel aleat´oria com
fun¸c˜ao de densidade (??).
A fun¸c˜ao de log-verossimilhan¸ca (2.2) e as equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca
foram definidas no cap´ıtulo 2 na proposi¸c˜ao (2.1).
Para o modelo geral h´a um n´umero bastante grande de modelos limites,
tais como o Normal, t-Student e GIG. Isso implica que a verossimilhan¸ca
tende para uma constante para certas combina¸c˜oes dos parˆametros dificul-
tando a estima¸c˜ao utilizando maximiza¸c˜ao da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca.
Uma solu¸c˜ao seria considerar subclasses e casos particulares e utilizar al-
gum crit´erio de compara¸c˜ao para selecionar um dos modelos. Propomos a
utiliza¸c˜ao da priori de Jeffreys para esse modelo. Para isso obtemos a ma-
triz de informa¸c˜ao de Fisher utilizando E
∂
∂θ
i
l(θ; y)
∂
∂θ
j
l(θ; y)
T
, para
i, j = 1, 2, ..., 5 e θ = (λ, α, β, δ, µ).
Proposi¸c˜ao 6.1 Defina ϑ = α
δ
2
+ (y − µ)
2
e as seguintes vari´aveis: φ
1
=
φ
1
(y) =
k
λ−0.5
(ϑ)
K
λ−0.5
(ϑ)
+ ln(ϑ), φ
2
= φ
2
(y) = ϑR
λ−0.5
, φ
3
= φ
3
(y) = y, φ
4
=
φ
4
(y) = −
1
ϑ
1
R
λ−1.5
(ϑ)
e φ
5
= φ
5
(y) = −
y−µ
ϑ
1
R
λ−1.5
(ϑ)
. A matriz de informa¸c˜ao
de Fisher (M) ´e dada por:
V (φ
1
) . . . .
−
1
α
C0V (φ
1
, φ
2
)
1
α
2
V (φ
2
) . . .
COV (φ
1
, φ
3
) −
1
α
COV (φ
2
, φ
3
) V (φ
3
) . .
α
2
δCOV (φ
1
, φ
4
) −αδCOV (φ
2
, φ
4
) α
2
δCOV (φ
3
, φ
4
) α
4
δ
2
V (φ
4
) .
−α
2
COV (φ
1
, φ
5
) αCOV (φ
2
, φ
5
) −α
2
COV (φ
3
, φ
5
) −α
4
δCOV (φ
4
, φ
5
) α
4
V (φ
5
)
85
Prova:
∂
∂θ
i
L = c
i
{Φ
i
(y) − E[Φ
i
(y)]}, para i = 1, 2, 3, 4, 5.
c
1
= 1, c
2
= −
1
α
, c
3
= 1, c
4
= δα
2
e c
5
= −α
2
Ent˜ao, tomando a esperan¸ca obtemos:
E
∂
∂θ
i
L
∂
∂θ
j
L
= c
i
c
j
E {(Φ
i
(y) − E[Φ
i
(y)])(Φ
j
(y) − E[Φ
j
(y)])}
= c
i
c
j
COV {Φ
i
(y), Φ
j
(y)},
para i, j = 1, 2, 3, 4, 5
Da´ı, M ´e dada por variˆancias e covariˆancias. ✷
Proposi¸c˜ao 6.2 A priori de Jeffreys associada ao modelo hiperb´olico ge-
neralizado ´e dada por:
p(θ) ∝ | M|
1/2
, (6.1)
onde θ = (λ, α, β, δ, µ). As componentes da matriz M s˜ao mostradas a seguir.
Denote b
k
L
= E
y
[y
k
ϑR
λ−0.5
(ϑ)], c
k
L
= E
y
[y
k
1
ϑR
λ−1.5
(ϑ)
] e d
kq
L
= E
y
y
k
k
λ−0.5
(ϑ)
K
λ−0.5
(ϑ)
+ log(ϑ)
q
,
para y ∼ GHD(L, α, β, δ, µ), k = 0, 1, 2 e q = 1, 2.
V (Φ
1
) = d
02
λ
−
k
λ
(ρ)
K
λ
(ρ)
− ln(ρ) + 2ln(αδ)
2
COV (Φ
1
, Φ
2
) = α
2
δ
2
R
λ
(ρ)
ρ
d
01
λ+1
−
k
λ
(ρ)
K
λ
(ρ)
− ln(ρ) + 2ln(αδ)
α
2
δ
2
R
λ
(ρ)
ρ
− 1
COV (Φ
1
, Φ
3
) =
βδ
2
ρ
k
λ+1
(ρ)
K
λ
(ρ)
−
k
λ
(ρ)K
λ+1
(ρ)
[K
λ
(ρ)]
2
COV (Φ
1
, Φ
4
) = −
1
α
2
δ
2
ρ
R
λ−1
(ρ)
d
01
λ−1
+
k
λ
(ρ)
K
λ
(ρ)
− ln(ρ) + 2ln(αδ)
1
α
2
δ
2
ρ
R
λ−1
(ρ)
COV (Φ
1
, Φ
5
) = −
1
α
2
δ
2
ρ
R
λ−1
(ρ)
(d
11
λ−1
−µ d
01
λ−1
)+
k
λ
(ρ)
K
λ
(ρ)
− ln(ρ) + 2ln(αδ)
β
α
2
V (Φ
2
) = α
2
δ
2
R
λ
(ρ)
ρ
b
0
λ+1
− α
2
δ
2
R
λ
(ρ)
ρ
86
COV (Φ
2
, Φ
3
) =
α
2
βδ
4
ρ
2
S
λ
(ρ)
COV (Φ
2
, Φ
4
) = −
1
α
2
δ
2
ρ
R
λ−1
(ρ)
b
0
λ−1
− α
2
δ
2
R
λ
(ρ)
ρ
COV (Φ
2
, Φ
5
) = −
1
α
2
δ
2
ρ
R
λ−1
(ρ)
(b
1
λ−1
− µb
0
λ−1
) + βδ
2
R
λ
(ρ)
ρ
V (Φ
3
) = V (y) = δ
2
R
λ
(ρ)
ρ
+
β
2
δ
2
ρ
2
K
λ+2
(ρ)
K
λ
(ρ)
− R
λ
(ρ)
2
COV (Φ
3
, Φ
4
) = −
β
α
2
S
λ
(ρ) −
2
ρ
R
λ
(ρ)
COV (Φ
3
, Φ
5
) = −
1
α
2
V (Φ
4
) =
1
α
2
δ
2
ρ
R
λ−1
(ρ)
c
0
λ−1
−
1
α
2
δ
2
ρ
R
λ−1
(ρ)
COV (Φ
4
, Φ
5
) =
1
α
2
δ
2
ρ
R
λ−1
(ρ)
(c
1
λ−1
− µc
0
λ−1
) −
β
α
2
V (Φ
5
) =
1
α
2
δ
2
ρ
R
λ−1
(ρ)
(c
2
λ−1
− 2µc
1
λ−1
+ µ
2
c
0
λ−1
) −
β
2
α
4
Note que a priori depende de b
k
L
, c
k
L
e d
kq
L
que s˜ao esperan¸cas calculadas
numericamente. Al´em disso, d
kq
L
depende da derivada primeira da fun¸c˜ao de
Bessel com rela¸c˜ao ao ´ındice, k
L
(x), que ´e definida no Apˆendice A (derivada
8). Essa derivada depende de senos, cossenos e da derivada da fun¸c˜ao I
L
(x),
que ´e a fun¸c˜ao modificada de Bessel de 1
a
ordem e ´ındice L. Para cada
integral um intervalo que cont´em massa de densidade igual a um (segundo
uma tolerˆancia) ´e calculado. Esse intervalo depende de θ e da tolerˆancia
desejada. Isso ´e necess´ario pois n˜ao ´e poss´ıvel fixar um ´unico intervalo para
todas as varia¸c˜oes poss´ıveis de ocorrerem no algoritmo de Metr´opolis e a
varia¸c˜ao desse intervalo de acordo com θ ´e muito grande. Um exeplo disso ´e
mostrado na figura (6.1), onde para α = 0.01 o intervalo ´e aproximadamente
(-500,500) enquanto para α = 3 o intervalo ´e aproximadamente (-2,6).
87
(a) Densidade para α = 0.01. (b) Densidade para α = 3.
Figura 6.1: Fun¸c˜ao de densidade para y ∼ GHD(1 , α, 0, 1, 2).
Prova:
As componentes de M s˜ao calculadas por:
COV {Φ
i
(y), Φ
j
(y)} = E{Φ
i
(y)Φ
j
(y)} − E{Φ
i
(y)}E{Φ
j
(y)}
Temos que E{Φ
i
(y)} e E{Φ
j
(y)} s˜ao obtidas das equa¸c˜oes de verossi-
milhan¸ca e s˜ao mostradas na proposi¸c˜ao (??), basta calcular E{Φ
i
(y)Φ
j
(y)}.
Exceto para COV (Φ
1
(y), Φ
3
(y)), onde utilizou-se e
−
∂
2
∂λ∂β
l
pois −
∂
2
∂λ∂β
l ´e
constante igual a
βδ
2
ρ
k
λ+1
(ρ)
K
λ
(ρ)
−
k
λ
(ρ)K
λ+1
(ρ)
[K
λ
(ρ)]
2
.
Denote a
λ
= a(λ, α, β, δ).
E{Φ
1
(y)
2
} =
∞
−∞
k
λ−0.5
(ϑ)
K
λ−0.5
(ϑ)
+ log(ϑ)
2
f( y|λ, α, β, δ, µ)dy
=
∞
−∞
k
λ−0.5
(ϑ)
K
λ−0.5
(ϑ)
+ log(ϑ)
a
λ
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ−0.5
K
λ−0.5
(ϑ)dy
= d
02
λ+1
Com as equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca obtemos V (Φ
1
).
88
E{Φ
1
(y)Φ
2
(y)} =
∞
−∞
k
λ−0.5
(ϑ)
K
λ−0.5
(ϑ)
+ log(ϑ)
ϑR
λ−0.5
(ϑ)f(y|λ, α, β, δ, µ)dy
=
∞
−∞
k
λ−0.5
(ϑ)
K
λ−0.5
(ϑ)
+ log(ϑ)
ϑR
λ−0.5
(ϑ)a
λ
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ−0.5
K
λ−0.5
(ϑ)dy
= α
∞
−∞
k
λ−0.5
(ϑ)
K
λ−0.5
(ϑ)
+ log(ϑ)
a
λ
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ+1−0.5
K
λ+1−0.5
(ϑ)dy
= α
a
λ
a
λ+1
∞
−∞
k
λ−0.5
(ϑ)
K
λ−0.5
(ϑ)
+ log(ϑ)
a
λ+1
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ+1−0.5
K
λ+1−0.5
(ϑ)dy
= α
2
δ
2
R
λ
(ρ)
ρ
d
01
λ+1
Com as equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca obtemos COV (Φ
1
, Φ
2
).
E{Φ
1
(y)Φ
4
(y)} = −
∞
−∞
1
ϑR
λ−1.5
(ϑ)
k
λ−0.5
(ϑ)
K
λ−0.5
(ϑ)
+ log(ϑ)
f(y|λ, α, β, δ, µ)dy
= −
1
α
∞
−∞
k
λ−0.5
(ϑ)
K
λ−0.5
(ϑ)
+ log(ϑ)
a
λ
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ−1−0.5
K
λ−1−0.5
(ϑ)dy
= −
1
α
a
λ
a
λ−1
∞
−∞
k
λ−0.5
(ϑ)
K
λ−0.5
(ϑ)
+ log(ϑ)
a
λ−1
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ−1−0.5
K
λ−1−0.5
(ϑ)dy
= −
1
α
2
δ
2
ρ
R
λ−1
(ρ)
d
01
λ−1
Com as equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca obtemos COV (Φ
1
, Φ
4
).
E{Φ
1
(y)Φ
5
(y)} = −
∞
−∞
(y − µ)
ϑR
λ−1.5
(ϑ)
k
λ−0.5
(ϑ)
K
λ−0.5
(ϑ)
+ log(ϑ)
f(y|λ, α, β, δ, µ)dy
= −
1
α
∞
−∞
(y − µ)
k
λ−0.5
(ϑ)
K
λ−0.5
(ϑ)
+ log(ϑ)
a
λ
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ−1−0.5
K
λ−1−0.5
(ϑ)dy
= −
1
α
a
λ
a
λ−1
∞
−∞
(y − µ)
k
λ−0.5
(ϑ)
K
λ−0.5
(ϑ)
+ log(ϑ)
a
λ−1
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ−1−0.5
K
λ−1−0.5
(ϑ)dy
= −
1
α
2
δ
2
ρ
R
λ−1
(ρ)
(d
11
λ−1
− µ d
01
λ−1
)
Com as equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca obtemos COV (Φ
1
, Φ
5
).
E{Φ
2
(y)
2
} =
∞
−∞
ϑ
2
R
2
λ−0.5
(ϑ)f(y|λ, α, β, δ, µ)dy
89
=
∞
−∞
ϑ
2
R
2
λ−0.5
(ϑ)a
λ
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ−0.5
K
λ−0.5
(ϑ)dy
= α
∞
−∞
ϑR
λ−0.5
a
λ
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ+1−0.5
K
λ+1−0.5
(ϑ)dy
= α
a
λ
a
λ+1
∞
−∞
ϑR
λ−0.5
a
λ+1
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ+1−0.5
K
λ+1−0.5
(ϑ)dy
= α
2
δ
2
R
λ
(ρ)
ρ
b
0
λ+1
Com as equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca obtemos V (Φ
2
).
E{Φ
2
(y)Φ
3
(y)} =
∞
−∞
yϑR
λ−0.5
(ϑ)f(y|λ, α, β, δ, µ)dy
= α
∞
−∞
ya
λ
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ+1−0.5
K
λ+1−0.5
(ϑ)dy
= α
a
λ
a
λ+1
∞
−∞
ya
λ+1
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ+1−0.5
K
λ+1−0.5
(ϑ)dy
=
α
2
δ
2
ρ
R
λ
(ρ) E
y
[y], y ∼ GHD(λ + 1, α, β, δ, µ)
=
α
2
δ
2
ρ
βδ
2
ρ
K
λ+2
(ρ)
K
λ
(ρ)
+ µR
λ
(ρ)
Com as equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca obtemos COV (Φ
2
, Φ
3
).
E{Φ
2
(y)Φ
4
(y)} = −
∞
−∞
1
ϑR
λ−1.5
(ϑ)
ϑR
λ−0.5
(ϑ)f(y|λ, α, β, δ, µ)dy
= −
1
α
∞
−∞
ϑR
λ−0.5
a
λ
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ−1−0.5
K
λ−1−0.5
(ϑ)dy
= −
1
α
a
λ
a
λ−1
∞
−∞
ϑR
λ−0.5
a
λ−1
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ−1−0.5
K
λ−1−0.5
(ϑ)dy
= −
1
α
2
δ
2
ρ
R
λ−1
(ρ)
b
0
λ−1
Com as equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca obtemos COV (Φ
2
, Φ
4
).
E{Φ
2
(y)Φ
5
(y)} = −
∞
−∞
y − µ
ϑR
λ−1.5
(ϑ)
ϑR
λ−0.5
(ϑ)f( y|λ, α, β, δ, µ)dy
90
= −
1
α
∞
−∞
(y − µ)ϑR
λ−0.5
a
λ
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ−1−0.5
K
λ−1−0.5
(ϑ)dy
= −
1
α
a
λ
a
λ−1
∞
−∞
(y − µ)ϑR
λ−0.5
a
λ−1
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ−1−0.5
K
λ−1−0.5
(ϑ)dy
= −
1
α
2
δ
2
ρ
R
λ−1
(ρ)
(b
1
λ−1
− µb
0
λ−1
)
Com as equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca obtemos COV (Φ
2
, Φ
5
).
E{Φ
3
(y)Φ
4
(y)} = −
∞
−∞
y
1
ϑR
λ−1.5
(ϑ)
f( y|λ, α, β, δ, µ)dy
= −
1
α
∞
−∞
y a
λ
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ−1−0.5
K
λ−1−0.5
(ϑ)dy
= −
1
α
a
λ
a
λ−1
∞
−∞
y a
λ−1
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ−1−0.5
K
λ−1−0.5
(ϑ)dy
= −
1
α
2
δ
2
ρ
R
λ−1
(ρ)
E
y
[y], y ∼ GHD(λ −1, α, β, δ, µ)
= −
1
α
2
β +
µρR
λ
(ρ)
δ
2
−
2µλ
δ
2
Com as equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca obtemos COV (Φ
3
, Φ
4
).
E{Φ
3
(y)Φ
5
(y)} = −
∞
−∞
y
(y − µ)
ϑR
λ−1.5
(ϑ)
f(y|λ, α, β, δ, µ)dy
= −
1
α
∞
−∞
(y
2
− µy) a
λ
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ−1−0.5
K
λ−1−0.5
(ϑ)dy
= −
1
α
a
λ
a
λ−1
∞
−∞
(y
2
− µy) a
λ−1
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ−1−0.5
K
λ−1−0.5
(ϑ)dy
= −
1
α
2
δ
2
ρ
R
λ−1
(ρ)
(E
y
[y
2
] − µE
y
[y], y ∼ GHD(λ −1, α, β, δ, µ)
= −
1
α
2
1 + β
2
δ
2
R
λ
(ρ)
ρ
− βµ
Com as equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca obtemos COV (Φ
3
, Φ
5
).
E{Φ
4
(y)
2
} =
∞
−∞
1
ϑR
2
λ−1.5
(ϑ)
f(y|λ, α, β, δ, µ)dy
91
=
1
α
∞
−∞
1
ϑR
λ−1.5
(ϑ)
a
λ
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ−1−0.5
K
λ−1−0.5
(ϑ)dy
=
1
α
a
λ
a
λ−1
∞
−∞
1
ϑR
λ−1.5
(ϑ)
a
λ−1
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ−1−0.5
K
λ−1−0.5
(ϑ)dy
=
1
α
2
δ
2
ρ
R
λ−1
(ρ)
c
0
λ−1
Com as equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca obtemos V (Φ
4
).
E{Φ
4
(y)Φ
5
(y)} =
∞
−∞
(y − µ)
ϑR
2
λ−1.5
(ϑ)
f(y|λ, α, β, δ, µ)dy
=
1
α
∞
−∞
(y − µ)
ϑR
λ−1.5
(ϑ)
a
λ
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ−1−0.5
K
λ−1−0.5
(ϑ)dy
=
1
α
a
λ
a
λ−1
∞
−∞
(y − µ)
ϑR
λ−1.5
(ϑ)
a
λ−1
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ−1−0.5
K
λ−1−0.5
(ϑ)dy
=
1
α
2
δ
2
ρ
R
λ−1
(ρ)
(c
1
λ−1
− µc
0
λ−1
)
Com as equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca obtemos COV (Φ
4
, Φ
5
).
E{Φ
5
(y)
2
} =
∞
−∞
(y − µ)
2
ϑR
2
λ−1.5
(ϑ)
f(y|λ, α, β, δ, µ)dy
=
1
α
∞
−∞
(y − µ)
2
ϑR
λ−1.5
(ϑ)
a
λ
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ−1−0.5
K
λ−1−0.5
(ϑ)dy
=
1
α
a
λ
a
λ−1
∞
−∞
(y − µ)
2
ϑR
λ−1.5
(ϑ)
a
λ−1
e
−β(y−µ)
ϑ
α
λ−1−0.5
K
λ−1−0.5
(ϑ)dy
=
1
α
2
δ
2
ρ
R
λ−1
(ρ)
(c
2
λ−1
− 2µc
1
λ−1
+ µ
2
c
0
λ−1
)
Com as equa¸c˜oes de verossimilhan¸ca obtemos V (Φ
5
).
Ap´os alguns c´alculos obtemos as express˜oes na defini¸c˜ao (6.1). ✷
92
6.2 Aplica¸c˜ao a dados simulados
Neste cap´ıtulo, n˜ao foi poss´ıvel fazer um estudo das propriedades frequen-
tistas dos estimadores Bayesianos devido a dificuldade de repetir o processo
de estima¸c˜ao um n´umero razo´avel de vezes. Nesta se¸c˜ao, s˜ao apresentados
resultados do estudo de simula¸c˜ao utilizando a priori de Jeffreys aqui desen-
volvida. Os dados utilizados para estima¸c˜ao s˜ao os mesmos do cap´ıtulo 4, ou
seja, N = 30, 100 e θ = (λ = 1, α = 2, β = 0, δ = 1, µ = 2).
As amostras a posteriori de θ foram obtidas usando o m´etodo de MCMC.
A amostragem foi feita em blocos: (λ,α, δ) e ( β, µ), pois ´e a combina¸c˜ao de
maior correla¸c˜ao dentro de cada bloco e menor correla¸c˜ao entre blocos. Por´em
as distribui¸c˜oes propostas utilizadas s˜ao independentes:
µ
(prop)
∼ N(µ
(k)
, c
2
1
) e β
(prop)
∼ NT RUN
(−α
(k)
,α
(k)
)
(β
(k)
, c
2
2
).
λ
(prop)
∼ N(λ
(k)
, c3
2
), α
(prop)
∼ NT RUN
(|β
(k+1)
|,∞)
(α
(k)
, c
2
4
) e log(δ
(prop)
) ∼
N(log(δ
(k)
, c
2
5
).
As probabilidades de aceita¸c˜ao s˜ao mostradas no apˆendice D. Foram ge-
radas cadeias de tamanho 10000 (N=30) e tamanho 50000 (N=100). A figura
(6.2) mostra a m´edia erg´odica das cadeias geradas ao longo das itera¸c˜oes.
A convergˆencia da cadeia foi verificada utilizando o crit´erio de Geweke.
Para N=30, amostra a posteriori foi obtida usando um burn-in de 6000 it-
era¸c˜oes e tomando observa¸c˜oes a cada 2 resultando numa amostra de tamanho
2000. Para N=100, amostra a posteriori foi obtida usando um burn-in de
40000 itera¸c˜oes e tomando observa¸c˜oes a cada 2 resultando numa amostra
de tamanho 1000. Para cada cen´ario (N, θ) foram calculadas estimativas
para: a m´edia a posteriori (E[θ|y]), o desvio padr˜ao a posteriori (SD[θ|y]),
93
(a) M´edia erg´odica da cadeia gerada para N=30.
(b) M´edia erg´odica da cadeia gerada para N=100.
Figura 6.2: M´edia erg´odica para cadeias geradas com tamanho 10000 uti-
lizando dados da GHD(λ, α, β, δ, µ) com tamanho N, onde λ = 1, α = 2,
β = 0, δ = 1 e µ = 2.
a mediana a posteriori (MD[θ|y]) e os quantis 0.025 e 0.975 a posteriori. As
tabelas (6.1) e (6.2) cont´em o sum´ario dos resultados.
As estat´ısticas obtidas da amostra a posteriori do parˆametro θ indicam
que a priori utilizada soluciona o problema encontrado na verossimilhan¸ca.
94
θ E[θ|y] SD[θ|y] MD[θ|y] q0.025 q0.975
1 -0.6984 1.1367 -0.78 -3.0919 1.4582
2 0.9616 0.6842 0.7528 0.1701 2.609
0 0.3 0.493 0.1924 -0.5129 1.3596
1 0.9024 0.4492 0.8632 0.2618 1.8591
2 1.6306 0.3224 1.6679 1.0102 2.2077
Tabela 6.1: Estat´ısticas descritivas das amostras a posteriori para o Modelo
GHD(1,2,0,1,2) e N=30.
θ E[θ|y] SD[θ|y] MD[θ|y] q0.025 q0.975
1 1.2224 2.5851 0.954 -2.6862 6.3552
2 2.5011 1.3383 2.3928 0.2685 5.3269
0 -0.5632 0.9235 -0.3745 -2.8091 0.9459
1 1.3812 0.7959 1.3411 0.1229 3.0946
2 2.4556 0.6842 2.3797 1.2053 3.9014
Tabela 6.2: Estat´ısticas descritivas das amostras a posteriori para o Modelo
GHD(1,2,0,1,2) e N=100.
Para N=30 as estimativas da m´edia e mediana para λ e α n˜ao est˜ao t˜ao
pr´oximas do valor ”verdadeiro”quanto para N=100. Todos os intervalos de
credibilidade cont´em o valor ”verdadeiro”dos parˆametros.
95
Figura 6.3: Histograma da amostra a posteriori dos parˆametros dos modelo
GHD(1,2,0,1,2) para N=30 e reta vertical no valor ”verdadeiro”do parˆametro.
96
Figura 6.4: Histograma da amostra a posteriori dos parˆametros dos mod-
elo GHD(1,2,0,1,2) para N=100 e reta vertical no valor ”verdadeiro”do
parˆametro.
97
Cap´ıtulo 7
Conclus˜oes e trabalhos futuros
A verossimilhan¸ca para os modelos presentes nesta disserta¸c˜ao apresentam
problemas te´oricos e num´ericos que dificultam a estima¸c˜ao dos parˆametros
utilizando m´axima verossimilhan¸ca. A abordagem Bayesiana proporciona
uma maneira de penalizar a verossimilhan¸ca e dessa forma solucionar alguns
dos problemas encontrados. A priori de Jeffreys se mostrou bastante ´util
nesse problema.
A priori proposta para os graus de liberdade do modelo t-Student com
loca¸c˜ao 0 e escala 1 ´e pr´opria. Os estimadores pontuais Bayesianos tem um
desempenho melhor que o estimador de m´axima verossimilhan¸ca, como foi
observado atrav´es de um estudo simulado onde buscou-se analisar as pro-
priedades frequentistas dos estimadores.
A priori de Jeffreys proposta para os parˆametros do modelo de regress˜ao
t-Student tem um desempenho melhor que a proposta de Geweke (1993),
al´em da vantagem da priori n˜ao depender de nenhum hiperparˆametro. A
priori de Jeffreys obtida ´e similar a proposta de Fernadez e Steel (1999).
98
Por´em, eles utilizam uma priori para os graus de liberdade com m´edia 10,
enquanto a priori de Jeffreys ´e totalmente n˜ao informativa. Um problema ´e
constatado por Fernandez e Steel para a verossimilhan¸ca quando os graus de
liberdade tendem pra zero. Esse aspecto n˜ao foi abordado nessa disserta¸c˜ao,
mas ser´a num trabalho futuro. Uma outra extens˜ao seria considerar modelos
auto-regressivos.
No cap´ıtulo 5, as estimativas para os parˆametros do modelo hiperb´olico
s˜ao melhores que as estimativas de m´axima verossimilhan¸ca encontradas pe-
los m´etodos implementados na biblioteca HyperbolicDist do pacote R. As
estimativas Bayesianas s˜ao boas mesmo para N pequeno.
No cap´ıtulo 6, a inferˆencia para o modelo hiperb´olico generalizado ´e
bastante satisfat´oria. Principalmente porque a verossimilhan¸ca tem muitos
problemas associados e toda literatura reporta que apenas para uma amostra
bastante grande consegue-se estimar razoavelmente bem o parˆametro de sub-
classe. Neste trabalho, o parˆametro de subclasse ´e satisfatoriamente esti-
mado para N=100. Podemos notar nos gr´aficos de convergˆencia que ainda
seria necess´ario um n´umero maior de itera¸c˜oes para obter uma melhor con-
vergˆencia.
Um pr´oximo passo ´e verificar se as prioris obtidas s˜ao pr´oprias e se
forem provar isso analiticamente.
99
Referˆencias Bibliogr´aficas
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model with multivariate Student-t error term. J. Amer. Statist. 71, 400-
405.
103
Apˆendice
Apˆendice A
Propriedades da fun¸c˜ao de Bessel.
Mostramos algumas propriedades da fun¸c˜ao de Bessel modificada de 3
a
ordem. Para maiores detalhes veja Abramowitz e Stegun, (1968).
• Defini¸c˜oes
1. R
λ
(z) :=
K
λ+1
(z)
K
λ
(z)
2. S
λ
(z) :=
K
λ+2
(z)
K
λ
(z)
− R
λ
(z)
2
• Propriedades b´asicas
1. K
λ
(z) = K
−λ
(z)
2. K
λ+1
(z) =
2λ
z
K
λ
(z) + K
λ−1
(z)
3. K
−0.5
(z) = K
0.5
(z) =
π
2
z
−0.5
e
−z
4. R
λ
(z) =
2λ
z
+
1
R
λ−1
(z)
5. R
0.5
(z) = 1 +
1
z
6. R
−0.5
(z) = 1
104
7. K
λ
(z) =
π
2 sen(πλ)
(I
−λ
(z) − I
λ
(z)), onde I
λ
(z) ´e a fun¸c˜ao de Bessel
modificada de 1
o
tipo.
7. S
λ
(z) =
2(λ+1)
z
R
λ
(z) + 1 − R
2
λ
(z)
8. ψ
(k)
(z) =
d
k
d z
k
log(Γ(z))
• Derivadas
4. K
λ
(z) = −0.5[K
λ+1
(z) + K
λ−1
(z)] = −
λ
z
K
λ
(z) − K
λ−1
(z)
5. (log K
λ
(z))
=
λ
z
− R
λ
(z)
6. (log K
λ
(z))
= S
λ
(z) −
R
λ
(z)
z
−
λ
z
2
7. R
λ
(z) =
R
λ
(z)
z
− S
λ
(z)
8.
∂
∂λ
K
λ
(z) =
π
2 sen(πλ)
(
∂
∂λ
I
−λ
(z) −
∂
∂λ
I
λ
(z)) − π
cos(πλ)
sen(πλ)
K
λ
(z), para λ =
0, ±1, ±2, . . .
∂
∂λ
K
λ
(z) =
λ!(z/2)
λ
2
λ−1
k=0
(z/2)
k
K
k
(z)
(λ−k)k!
, para λ = 1, 2, . . .
∂
∂λ
K
λ
(z) = 0, para λ = 0
9.
∂
∂λ
I
λ
(z) = I
λ
(z)log(z/2) − (z/2)
λ
∞
k=0
ψ
(1)
(λ+k+1)
Γ(λ+k+1)
(z/2)
2k
k!
, para λ =
1, 2, . . .
Apˆendice B
Algumas rela¸c˜oes importantes:
1. E[(y − µ)
2
] = V [y] +
βδ
2
ρ
R
1
(ρ)
2
Prova
E[(y − µ)
2
] = E
y − µ −
βδ
2
ρ
R
1
(ρ) +
βδ
2
ρ
R
1
(ρ)
2
105
= E
y − E[y] +
βδ
2
ρ
R
1
(ρ)
2
= V [y] +
βδ
2
ρ
R
1
(ρ)
2
Apˆendice C
Probabilidades de aceita¸c˜ao utilizadas pelo algoritmo de MCMC na inferˆencia
para o modelo de regress˜ao t-student.
Defina θ
(p)
= (η
(p)
, σ
(p)
, β
(p)
) o valor proposto para o vetor θ e θ
(k)
=
(η
(k)
, σ
(k)
, β
(k)
) o valor na itera¸c˜ao k para o vetor θ.
• Amostrando β
β
(p)
∼ N
p
(β
(k)
, d
2
1
) onde p ´e o n´umero de regressores.
Probabilidade de aceita¸c˜ao de β:
min
1,
L(η
(k)
,σ
(k)
,β
(p)
;y)
L(η
(k)
,σ
(k)
,β
(k)
;y)
×
p(η
(k)
,σ
(k)
,β
(p)
)
p(η
(k)
,σ
(k)
,β
(k)
)
Mas p(η, σ, β) ∝ p(η, σ) ent˜ao, a probabilidade de aceita¸c˜ao ´e dada por:
min
1,
L(η
(k)
,σ
(k)
,β
(p)
;y)
L(η
(k)
,σ
(k)
,β
(k)
;y)
• Amostrando (η
(p)
, σ
(p)
)
log(η
(p)
) ∼ N(log(η
(k)
, d
2
2
).
log(σ
(p)
) ∼ N(log(σ
(k)
, d
2
3
).
Probabilidade de aceita¸c˜ao de (α
(p)
, δ
(p)
):
min
1,
L(η
(p)
,σ
(p)
,β
(k+1)
;y)
L(η
(k)
,σ
(k)
,β
(k+1)
;y)
×
p(η
(p)
,σ
(k)
,β
(k+1)
)
p(η
(k)
,σ
(k)
,β
(k+1)
)
×
η
(p)
η
(k)
×
δ
(p)
δ
(k)
106
Apˆendice D
Probabilidades de aceita¸c˜ao utilizadas pelo algoritmo de MCMC na inferˆencia
para o modelo hiperb´olico.
Defina θ
(p)
= (α
(p)
, β
(p)
, δ
(p)
, µ
(p)
) o valor proposto para o vetor θ e
θ
(k)
= (α
(k)
, β
(k)
, δ
(k)
, µ
(k)
) o valor na itera¸c˜ao k para o vetor θ.
• Amostrando (β, µ)
µ
(p)
∼ N(µ
(k)
, d
2
1
)
β
(p)
∼ NT RUN
(−α
(k)
,α
(k)
)
(β
(k)
, d
2
2
).
Probabilidade de aceita¸c˜ao de (β
(p)
, µ
(p)
):
min
1,
L(α
(k)
,β
(p)
,δ
(k)
,µ
(p)
;y)
L(α
(k)
,β
(k)
,δ
(k)
,µ
(k)
;y)
×
p(α
(k)
,β
(p)
,δ
(k)
,µ
(p)
)
p(α
(k)
,β
(k)
,δ
(k)
,µ
(k)
)
×
Φ
α
(k)
−β
(k)
d2
−Φ
−α
(k)
−β
(k)
d2
Φ
α
(k)
−β
(p)
d2
−Φ
−α
(k)
−β
(p)
d2
• Amostrando (α, δ)
α
(p)
∼ NT RUN
(|β
(k+1)
|,∞)
(α
(k)
, d
2
3
)
log(δ
(p)
) ∼ N(log(δ
(k)
), d
2
4
).
Probabilidade de aceita¸c˜ao de (α
(p)
, δ
(p)
):
min
1,
L(α
(p)
,β
(k+1)
,δ
(p)
,µ
(k+1)
;y)
L(α
(k)
,β
(k+1)
,δ
(k)
,µ
(k+1)
;y)
×
p(α
(p)
,β
(k+1)
,δ
(p)
,µ
(k+1)
)
p(α
(k)
,β
(k+1)
,δ
(k)
,µ
(k+1)
)
×
δ
(p)
δ
(k)
×
1−Φ
|β
(k+1)
|−α
(k)
d3
1−Φ
−|β
(k+1)
|−α
(p)
d3
Apˆendice D
Probabilidades de aceita¸c˜ao utilizadas pelo algoritmo de MCMC na inferˆencia
para o modelo hiperb´olico generalizado.
107
Defina θ
(p)
= (λ
(p)
, α
(p)
, β
(p)
, δ
(p)
, µ
(p)
) o valor proposto para o vetor θ e
θ
(k)
= (λ
(k)
, α
(k)
, β
(k)
, δ
(k)
, µ
(k)
) o valor na itera¸c˜ao k para o vetor θ.
• Amostrando (β, µ)
µ
(p)
∼ N(µ
(k)
, d
2
1
)
β
(p)
∼ NT RUN
(−α
(k)
,α
(k)
)
(β
(k)
, d
2
2
).
Probabilidade de aceita¸c˜ao de (β
(p)
, µ
(p)
):
min
1,
L(λ
(k)
,α
(k)
,β
(p)
,δ
(k)
,µ
(p)
;y)
L(λ
(k)
,α
(k)
,β
(k)
,δ
(k)
,µ
(k)
;y)
×
p(λ
(k)
,α
(k)
,β
(p)
,δ
(k)
,µ
(p)
)
p(λ
(k)
,α
(k)
,β
(k)
,δ
(k)
,µ
(k)
)
×
Φ
α
(k)
−β
(k)
d2
−Φ
−α
(k)
−β
(k)
d2
Φ
α
(k)
−β
(p)
d2
−Φ
−α
(k)
−β
(p)
d2
• Amostrando (λ, α, δ)
α
(p)
∼ NT RUN
(|β
(k+1)
|,∞)
(α
(k)
, d
2
3
)
log(δ
(p)
) ∼ N(log(δ
(k)
), d
2
4
).
λ
(p)
∼ N(λ
(k)
, d
2
5
).
Probabilidade de aceita¸c˜ao de (α
(p)
, δ
(p)
):
min
1,
L(λ
(p)
,α
(p)
,β
(k+1)
,δ
(p)
,µ
(k+1)
;y)
L(λ
(k)
,α
(k)
,β
(k+1)
,δ
(k)
,µ
(k+1)
;y)
×
p(λ
(p)
,α
(p)
,β
(k+1)
,δ
(p)
,µ
(k+1)
)
p(λ
(p)
,α
(k)
,β
(k+1)
,δ
(k)
,µ
(k+1)
)
×
δ
(p)
δ
(k)
×
1−Φ
|β
(k+1)
|−α
(k)
d3
1−Φ
−|β
(k+1)
|−α
(p)
d3
108
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