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Ferramenta para Avalia¸c˜ao da Energia Firme Baseada em T´ecnica de
Pontos Interiores
Universidade Federal de Juiz de Fora
Faculdade de Engenharia
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia El´etrica
Autor: Rafael Santos Rocha
Orientador: Prof. Edimar Jos´e de Oliveira
JUIZ DE FORA, MG - BRASIL
AGOSTO 2008
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Dedico este trabalho `a minha querida fam´ılia, em especial aos meus pais, irm˜aos e `a
minha namorada.
iii
Minha sincera gratid˜ao
Aos meus pais, Rocha e Suely, a quem devo todo respeito e admira¸c˜ao, pelo afeto, de-
dica¸c˜ao, compreens˜ao e aos seus valiosos conselhos; aos meus irm˜aos Rodrigo e Thiago,
pela grande amizade; `a Hayala, pelo amor e carinho;
Aos amigos Lucas Aur´elio e Augusto de Caux, pelo companheirismo, pela for¸ca nas
horas dif´ıceis, pela grande amizade e a todos os momentos de divers˜ao;
Ao pessoal do Galp˜ao do Mestrado, em especial aos amigos J´eferson de Souza, Marcelo
Neves, Eduardo Viana, Geano Rocha, Janison Carvalho, Rˆomulo Miranda, Thiago
Castro, Filipe La-Gatta, Frederico Ghetti, Danton Ferreira, Welton Verly, Leonardo
Willer e Rodrigo Fortunato, pelo apoio e amizade no decorrer do mestrado;
Aos demais amigos e familiares que me apoiaram direta e indiretamente;
Ao L
A
T
E
X;
Aos Profs. Edimar Jos´e de Oliveira e Andr´e Lu´ıs Marques Marcato pela orienta¸c˜ao;
`
A CAPES pelo apoio financeiro;
`
A Deus, pela grande alegria de viver.
iv
“O estudo em geral, a busca da verdade e da beleza s˜ao dom´ınios em que nos ´e
consentido ficar crian¸cas toda a vida.”
Albert Einstein.
v
Resumo da Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia
El´etrica da Universidade Federal de Juiz de Fora como parte dos requisitos necess´arios
para obten¸c˜ao do grau de Mestre em Engenharia El´etrica.
Ferramenta para Avalia¸c˜ao da Energia Firme Baseada em T´ecnica de
Pontos Interiores
Rafael Santos Rocha
Agosto 2008
Orientador: Prof. Edimar Jos´e de Oliveira
´
Area de Concentra¸c˜ao: Sistemas El´etricos de Potˆencia
O planejamento do setor energ´etico ´e fundamental para assegurar o suprimento de
energia ao menor custo, com o menor risco e com os menores impactos s´ocio-econˆomicos
e ambientais para a sociedade. Estes fatores assim como a complexidade dos aspectos
envolvidos no funcionamento da ind´ustria de produ¸c˜ao de energia el´etrica explicam a
importˆancia do planejamento do setor energ´etico.
Atualmente, o sistema el´etrico brasileiro ´e operado de maneira centralizada por
agentes reguladores que atuam com grande poder institucional sobre as vari´aveis do
sistema atrav´es de decis˜oes que trazem impactos e influenciam fortemente o futuro dos
sistemas. O fato de o sistema brasileiro ser predominantemente hidrel´etrico faz com
que essas decis˜oes, na maioria das vezes, sejam tomadas num ambiente de incertezas
e assim necessitam de processos sistem´aticos de apoio `a decis˜ao, em especial sobre as
perspectivas do futuro com rela¸c˜ao aos riscos de suprimento de energia.
Neste contexto, a energia firme, definida como a m´axima capacidade de produ¸c˜ao
cont´ınua de energia, sem a ocorrˆencia de d´eficits energ´eticos, influencia diretamente na
remunera¸c˜ao das usinas hidrel´etricas e na realiza¸c˜ao dos contratos de venda de energia
el´etrica pois ´e utilizada no c´alculo da energia assegurada, que representa o lastro de
gera¸c˜ao de energia destas usinas no Brasil.
Hoje, o c´alculo da energia firme de cada usina hidrel´etrica do sistema el´etrico bra-
sileiro ´e feito atrav´es de modelos de simula¸c˜ao, em particular, os mo delos Modelo de
Simula¸c˜ao de Usinas Individualizadas (MSUI) desenvolvido pela Eletrobr´as e o Mo-
delo de Simula¸c˜ao a Usinas Individualizadas para Subsistemas Hidrot´ermicos Interliga-
dos (SUISHI-O) desenvolvido pelo Centro de Pesquisas em Energia El´etrica (CEPEL).
A topologia das usinas ´e respeitada e, atrav´es de regras heur´ısticas, ´e simulada a ope-
ra¸c˜ao das mesmas, considerando-se a s´erie hist´orica de vaz˜oes desde janeiro de 1931.
Este trabalho tem como objetivo o desenvolvimento de uma ferramenta compu-
tacional destinada ao c´alculo da energia firme das usinas hidrel´etricas. Para isto, ´e
proposta uma solu¸c˜ao, atrav´es de um ´unico problema de programa¸c˜ao n˜ao linear, com
vi
a representa¸c˜ao das n˜ao linearidades inerentes `a produtividade das usinas hidrel´etricas
e a representa¸c˜ao individualizada dos reservat´orios juntamente com a s´erie hist´orica de
vaz˜oes desde o mˆes de janeiro de 1931. A solu¸c˜ao do problema de otimiza¸c˜ao n˜ao linear
´e obtida atrav´es do M´etodo Primal-Dual de Pontos Interiores (MPI). A metodologia
proposta foi implementada em linguagem C++, permitindo aplicar o c´alculo de energia
firme ao Sistema Interligado Nacional Brasileiro (SIN).
Ser´a apresentado um estudo de caso abrangendo o Sistema Interligado Nacional
(SIN), resultando em um problema com mais de 400 mil vari´aveis, onde poder´a ser
observada a importˆancia de se resolver o problema considerando-se as n˜ao linearidades
em um problema de otimiza¸c˜ao. Estes resultados foram comparados com os obtidos
atrav´es do modelo linear do c´alculo da energia firme. Resultados adicionais com a
entrada de novas usinas no sistema (Estreito Tocantins e Peixe Angical) s˜ao avalia-
dos para validar a aplica¸c˜ao da metodologia a sistemas reais. Os resultados obtidos
mostram que a metodologia proposta ´e promissora.
Adicionalmente, o sistema computacional desenvolvido ´e uma ferramenta capaz de
receber aperfei¸coamentos e modifica¸c˜oes para incorpora¸c˜ao de diversas outras funcio-
nalidades relacionadas ao planejamento e opera¸c˜ao de sistemas el´etricos de potˆencia.
vii
Abstract of the Dissertation presented to the Program of Electrical Engineering of the
Federal University of Juiz de Fora as a partial fulfillment of the requirements for the
Master’s Degree in Electrical Engineering.
A TOOL FOR EVALUATION OF FIRM ENERGY BASED ON
INTERIOR POINT TECHNIQUE
Rafael Santos Rocha
August 2008
Advisor: Prof. Edimar Jos´e de Oliveira
Concentration Area: Electrical Power Systems
The energy sector planning is fundamental to assure the energy supply at the smal-
lest costs and risks and with the smallest socioeconomic and environmental impacts
for the society. These factors as well as the aspects complexity involved in the industry
operation of the electrical energy production explain the importance of the energy sector
planning.
Nowadays, the Brazilian electrical system is operated centralized by regulators agents
that acts with great institutional power on the system’s variables through decisions that
brings impacts and strongly influence the future of the systems. The fact of the Brazilian
system predominantly being hydroelectric does those decisions, in most of the time, to
be taken in an uncertain environment and then requires systematic processes of decision
support, especially above the future perspectives regarding the energy supply risks.
In this context, the firm energy, defined as the maximum continuous capacity of
energy production, without the occurrence of energy deficits, influence directly the re-
muneration of the hydroelectric power stations and the electric power sales contracts
because it is used in the evaluation of the assured energy, that represents the energy
generation ballast of these plants in Brazil.
Today, the firm energy evaluation of each hydroelectric power station of the Bra-
zilian electrical system is accomplished through simulation models, in particular, the
MSUI model, developed by Eletrobr´as and the SUISHI-O model, developed by CEPEL.
The power stations topology is respected and, through heuristic rules, is simulated its
operation, considering the historical flow series since January of 1931.
This work has as objective the development of a computacional tool destined to
the firm energy evaluation of the hydroelectric power stations. For this, a solution
is proposed, through a single nonlinear programming problem, with the representation
of the nonlinearities inherent to the hydroelectric power stations productivity and the
individualized reservoirs representation together with the historical flow series since
January of 1931. The solution of the nonlinear optimization problem is obtained th-
rough Primal-Dual Interior Point Method. The proposed methodology was implemented
viii
in computational language C++, allowing to apply the firm energy evaluation to the
Brazilian Interconnected National System.
A study case will be presented extending the Brazilian Interconnected National Sys-
tem, resulting in a problem with more than 400 thousand variables, in wich it will be
observed the importance to solve the problem considering the nonlinearities in a unique
optimization problem. These results were compared to the obtained ones with the linear
model of the firm energy evaluation. Additional results with the entrance of new power
stations in the system (Estreito Tocantins and Peixe Angical) are evaluated to validate
the methodology appliance to real systems. The obtained results shows that the proposed
methodology is promising.
Additionally, the developed software is a tool capable to receive improvements and
modifications for incorporation of several other functionalities related to the planning
and operation of electrical power systems.
ix
Sum´ario
I Introdu¸c˜ao 1
I.1 Considera¸c˜oes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2 Topologia do Sistema Hidrel´etrico Brasileiro . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.3 Etapas de Planejamento na Opera¸c˜ao do Sistema . . . . . . . . . . . . 3
I.4 Motiva¸c˜ao para o Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.5 Contribui¸c˜oes do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.6 Objetivos do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.7 Publica¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.8 Organiza¸c˜ao do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II Crit´erios de Avalia¸c˜ao de Energia Firme 12
II.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II.2 Cotas do Reservat´orio e do Canal de Fuga . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II.3 Descri¸c˜ao do Problema de Otimiza¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
II.4 Energia Firme Individualizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
II.5 Tratamento do Problema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
II.6 Metodologias de Solu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II.7 O modelo SUISHI-O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
II.8 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
III Metodologia Proposta 24
III.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
III.2 O M´etodo de Pontos Interiores Aplicado ao C´alculo da Energia Firme . 24
III.2.1 Modelo N˜ao Linear da Fun¸c˜ao de Produtividade . . . . . . . . . 25
III.3 Exemplo Tutorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
III.3.1 Aspectos Computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
III.3.2 Exemplo Num´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
III.4 Conclus˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
IV Estudo de Casos 39
IV.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
IV.2 O Sistema Interligado Nacional Brasileiro . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
IV.2.1 Aspectos Computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
IV.2.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
IV.3 An´alise do Impacto da Entrada de Novas Usinas na Energia Firme . . . 50
IV.3.1 Entrada da Usina de Estreito Tocantins . . . . . . . . . . . . . 50
IV.3.2 Entrada das Usinas de Estreito Tocantins e Peixe Angical . . . 52
IV.4 An´alise Descentralizada por Bacias Hidrogr´aficas . . . . . . . . . . . . 53
x
V Conclus˜oes 55
V.1 Considera¸c˜oes Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
V.2 Desenvolvimentos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Apˆendice 61
A Fun¸c˜oes de Produ¸c˜ao de Energia El´etrica 62
B Corre¸c˜ao das Cotas do Canal de Fuga 67
C Caracteriza¸c˜ao do Per´ıodo Cr´ıtico 69
D Resultados Adicionais das Simula¸c˜oes 71
xi
Lista de Figuras
I.1 Configura¸c˜ao hidr´aulica t´ıpica no Brasil - Usinas do subsistema Sudeste. 3
II.1 Esquema de Usina Hidrel´etrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II.2 Polinˆomios Cota-Volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
II.3 Polinˆomios Vaz˜ao-N´ıvel Jusante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
II.4 Energia Firme nas itera¸c˜oes da Metodologia Linear com Ajustes Alter-
nados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
III.1 Sistema com duas usinas hidrel´etricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
III.2 Estrutura da matriz Hessiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
IV.1 Energia Armazenada do SIN durante o per´ıodo cr´ıtico. . . . . . . . . . 41
IV.2 Evolu¸c˜ao do Volume ´util do reservat´orio da usina de Furnas durante o
per´ıodo cr´ıtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
IV.3 Evolu¸c˜ao do Volume ´util do reservat´orio da usina de Ilha Solteira durante
o per´ıodo cr´ıtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
IV.4 Evolu¸c˜ao do Volume ´util do reservat´orio da usina de Itaparica durante
o per´ıodo cr´ıtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
IV.5 Evolu¸c˜ao do Volume ´util do reservat´orio da usina de S˜ao Sim˜ao durante
o per´ıodo cr´ıtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
IV.6 Evolu¸c˜ao do Volume ´util do reservat´orio da usina de Tucuru´ı durante o
per´ıodo cr´ıtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
IV.7 Evolu¸c˜ao do volume ´util, volume afluente e volume defluente da usina
de Tucuru´ı durante o per´ıodo cr´ıtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
IV.8 Gera¸c˜ao de Ilha Solteira durante o Per´ıodo Cr´ıtico. . . . . . . . . . . . 46
IV.9 Gera¸c˜ao de Porto Primavera durante o Per´ıodo Cr´ıtico. . . . . . . . . . 46
IV.10Gera¸c˜ao de energia da usina de Itaipu durante o per´ıodo cr´ıtico. . . . . 47
IV.11Gera¸c˜ao de Xing´o durante o Per´ıodo Cr´ıtico. . . . . . . . . . . . . . . . 47
IV.12Produtividade da usina de Furnas durante o per´ıodo cr´ıtico. . . . . . . 48
IV.13Produtividade da usina de Ilha Solteira durante o per´ıodo cr´ıtico. . . . 48
IV.14Produtividade da usina de Tucuru´ı durante o per´ıo do cr´ıtico. . . . . . . 49
IV.15Gera¸c˜ao de Estreito To cantins durante o Per´ıodo Cr´ıtico. . . . . . . . . 51
B.1 Exemplo da corre¸c˜ao da cota do canal de fuga da usina Xing´o. . . . . . 68
B.2 Exemplo da corre¸c˜ao da cota do canal de fuga da usina Sobradinho. . . 68
xii
Lista de Tabelas
III.1 Dados construtivos das usinas hidrel´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . 29
III.2 Coeficientes do Polinˆomio Cota x Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
III.3 Coeficientes do Polinˆomio Vaz˜ao x N´ıvel Jusante . . . . . . . . . . . . . 30
III.4 Afluˆencias nas usinas hidrel´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
III.5 Resultados do exemplo num´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
III.6 A produtividade nas usinas de Serra da Mesa e Cana Brava . . . . . . 38
III.7 Energia Firme nas usinas de Serra da Mesa e Cana Brava . . . . . . . . 38
IV.1 Resultados SIN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
IV.2 Desvio padr˜ao de volume armazenado das usinas hidrel´etricas. . . . . . 44
IV.3 Energia Firme Individualizada para algumas usinas hidrel´etricas do sis-
tema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
IV.4 Inclus˜ao da Usina de Estreito Tocantins no SIN. . . . . . . . . . . . . . 50
IV.5 Resultados SIN com a Inclus˜ao da Usina de Estreito Tocantins. . . . . 51
IV.6 Inclus˜ao das Usinas de Estreito Tocantins e Peixe Angical no SIN. . . . 52
IV.7 Resultados SIN com a Inclus˜ao das Usinas de Estreito Tocantins e Peixe
Angical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
IV.8 Resultados por Bacias Hidrogr´aficas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
D.1 Resultados de energia firme para a metodologia linear seq
¨
uencial e n˜ao
linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
xiii
Lista de Abreviaturas e Siglas
ANEEL Agˆencia Nacional de Energia El´etrica
CEA Certificado de Energia Assegurada
CEPEL Centro de Pesquisas em Energia El´etrica
MAE Mercado Atacadista de Energia El´etrica
NEWAVE Modelo Estrat´egico de Gera¸c˜ao Hidrot´ermica a Subsistemas Interligados
MME Minist´erio de Minas e Energia
MPI M´etodo Primal-Dual de Pontos Interiores
MRE Mecanismo de Realoca¸c˜ao de Energia
MSUI Modelo de Simula¸c˜ao de Usinas Individualizadas
PCV Polinˆomio Cota-Volume
PDDE Programa¸c˜ao Dinˆamica Dual Estoc´astica
PDE Programa¸c˜ao Dinˆamica Estoc´astica
PLA Programa¸c˜ao Linear com Ajustes Alternados
PMO Programa Mensal de Opera¸c˜ao
PNL Programa¸c˜ao N˜ao Linear
PVNJ Polinˆomio Vaz˜ao-N´ıvel Jusante
SIN Sistema Interligado Nacional Brasileiro
SUISHI-O Modelo de Simula¸c˜ao a Usinas Individualizadas para Subsistemas Hidro-
t´ermicos Interligados
xiv
Cap´ıtulo I
Introdu¸c˜ao
I.1 Considera¸c˜oes iniciais
O planejamento do setor energ´etico ´e fundamental para assegurar o abasteci-
mento e/ou suprimento de energia ao menor custo, com o menor risco e com os menores
impactos s´ocio-econˆomicos e ambientais para a sociedade brasileira. Tanto as caracte-
r´ısticas t´ecnicas e econˆomicas, como os impactos s´ocio-econˆomicos e ambientais, al´em
da complexidade dos aspectos envolvidos no funcionamento da ind´ustria de produ-
¸c˜ao de energia el´etrica explicam a importˆancia do planejamento do setor energ´etico.
Destaca-se nas caracter´ısticas t´ecnicas e econˆomicas a necessidade da coordena¸c˜ao da
opera¸c˜ao de maneira centralizada por institui¸c˜oes reguladoras. Esta caracter´ıstica faz
com que os agentes formuladores das pol´ıticas de opera¸c˜ao possam atuar com grande
poder institucional sobre as vari´aveis do sistema com decis˜oes que trazem impactos e
influenciam sobremaneira o futuro dos sistemas. O fato de o sistema brasileiro ser pre-
dominantemente hidrel´etrico faz com que essas decis˜oes, na maioria das vezes, sejam
tomadas num ambiente de incertezas e assim necessitam de processos sistem´aticos de
apoio `a decis˜ao, em especial sobre as perspectivas do futuro com rela¸c˜ao aos riscos de
suprimento de energia [1].
O sistema brasileiro ´e composto por usinas que operam de forma integrada e
cerca de 80% da sua gera¸c˜ao ´e constitu´ıda de gera¸c˜ao hidr´aulica. A outra parte da
demanda do sistema brasileiro ´e suprida em grande parte pela energia das usinas t´er-
micas. A opera¸c˜ao coordenada do sistema possibilita um melhor aproveitamento da
existˆencia da diversidade hidrol´ogica apresentada entre as usinas hidrel´etricas situadas
em diversas regi˜oes hidrol´ogicas do pa´ıs, o que tamb´em permite a regula¸c˜ao das suas
vaz˜oes afluentes. Desta forma, as usinas conseguem atender a uma demanda maior que
o somat´orio das demandas que cada usina hidrel´etrica atenderia se operasse individu-
almente. Conseq
¨
uentemente, quando algumas usinas atravessam per´ıo dos de estiagem,
outras usinas em bacias hidrol´ogicas em condi¸c˜oes mais favor´aveis podem compensar
gerando mais energia, o que favorece o sistema como um todo [2].
1
O planejamento da opera¸c˜ao do sistema el´etrico brasileiro, possui v´arias etapas
que abrangem desde o planejamento plurianual at´e a programa¸c˜ao di´aria da opera¸c˜ao da
gera¸c˜ao dos reservat´orios. Isto se deve ao porte do sistema brasileiro e tamb´em devido `a
sua grande complexidade (n˜ao linearidades e a forte interconex˜ao hidr´aulica). Em cada
etapa s˜ao utilizados modelos com diferentes graus de detalhamento na representa¸c˜ao
do sistema e de suas usinas hidrel´etricas. A representa¸c˜ao das usinas hidrel´etricas
pode ser realizada de maneira individualizada ou atrav´es de sistemas equivalentes de
energia. Portanto, uma t´ecnica ´e empregada em detrimento da outra de acordo com
a necessidade do n´ıvel de detalhamento referente a cada etapa de planejamento na
opera¸c˜ao do sistema el´etrico brasileiro [2].
´
E importante notar que, para assegurar a factibilidade da opera¸c˜ao hidr´aulica
das usinas, se faz necess´ario considerar detalhadamente todas as suas condi¸c˜oes ope-
racionais, ou seja, determinar um modelo que represente o comportamento do sistema
como um todo evidenciando tamb´em os modelos individuais de cada usina. Para que
esta modelagem seja fiel, deve ser respeitada a topologia destas usinas assim como as
diversas restri¸c˜oes f´ısicas e op erativas envolvidas [2].
I.2 Topologia do Sistema Hidrel´etrico Brasileiro
O parque gerador hidrel´etrico no Brasil ´e constitu´ıdo de diversas usinas interli-
gadas ao longo dos cursos dos rios. Um exemplo de uma configura¸c˜ao hidr´aulica t´ıpica
no Brasil pode ser visualizado na Fig. I.1, que apresenta uma imp ortante parcela do
subsistema Sudeste do SIN.
As usinas hidrel´etricas podem ser classificadas como usinas de reservat´orio ou
a fio d’´agua, ou seja, as usinas s˜ao respectivamente de reservat´orios de acumula¸c˜ao
ou de reservat´orios de compensa¸c˜ao, conforme a topologia do seu reservat´orio e da
sua capacidade de regulariza¸c˜ao. Os reservat´orios que possuem grande capacidade de
armazenar energia na forma de ´agua armazenada s˜ao denominados de reservat´orios
de acumula¸c˜ao, e a sua capacidade de regulariza¸c˜ao ´e caracterizada pela elevada re-
la¸c˜ao entre o seu volume ´util e a vaz˜ao m´edia afluente ao seu reservat´orio. Este tipo
de reservat´orio ´e respons´avel pela transferˆencia de grandes blocos de ´agua do per´ıodo
´umido para o per´ıodo seco, atrav´es do armazenamento nos per´ıodos ´umidos e deplecio-
namento nos per´ıodos de estiagem de acordo com as diretrizes definidas pelo emprego
do planejamento energ´etico de m´edio e longo prazo. Os reservat´orios que tˆem pouca
capacidade de armazenamento de ´agua s˜ao denominados reservat´orios de compensa¸c˜ao,
pois permitem apenas a regula¸c˜ao de pequenas descargas de ´agua. Estas usinas operam
com o n´ıvel do seu reservat´orio constante e normalmente fazem a regulariza¸c˜ao a n´ıvel
semanal, acumulando ´agua no seu reservat´orio nos finais de semana e feriados para
utiliz´a-la nos dias ´uteis, ou mesmo de regula¸c˜ao di´aria, acumulando ´agua nos per´ıodos
de baixa carga para utiliz´a-la nos per´ıodos de ponta da carga [3].
2
MASCARENHAS
DE MORAIS
CADONDE
A. S.
OLIVEIRA
CAMARGOS
FURNAS
ITUTINGA
FUNIL-
GRANDE
L. C. BARRETO
JAGUARÁ
IGARAPAVA
VOLTA
GRANDE
PORTO
COLÔMBIA
E. DA
CUNHA
MARIMBONDO
ÁGUA
VERMELHA
RIO PARDO
CORUMBÁ IV
EMBORCAÇÃO
NOVA
PONTE
MIRANDA
ITUMBIARA
SÃO SIMÃO
CACHOEIRA
DOURADA
RIO CLARO
RIO VERDE
RIO CORRENTE
RIO CORUMBÁ
RIO SÃO MARCOS
RIO PARANAÍBA
RIO ARAGUARÍ
LEGENDA:
USINA COM
RESERVATÓRIO
USINA A
FIO D’ÁGUA
CORUMBÁ I
CAPIM
BRANCO I
USINAS EM
CONSTRUÇÃO
RIO
PARANÁ
ILHA
SOLTEIRA
RIO PARANAÍBA
RIO GRANDE
RIO PARANAPANEMA
RIO IGUAÇU
JUPIÁ
PORTO
PRIMAVERA
ITAIPU
RIO PARAGUAI
RIO PASSO FUNDO
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PONTE NOVA
RIO TIETÊ
EDGARD
SOUZA
RESERVATÓRIO
Figura I.1: Configura¸c˜ao hidr´aulica t´ıpica no Brasil - Usinas do subsistema Sudeste.
I.3 Etapas de Planejamento na Opera¸c˜ao do Sis-
tema
Nos modelos de curto prazo e de despacho hor´ario, existe a representa¸c˜ao indi-
vidualizada dos reservat´orios, ou seja, determinam-se as metas individuais de gera¸c˜ao
das usinas hidrel´etricas e t´ermicas do sistema, bem como o intercˆambio energ´etico entre
elas [4].
3
No caso do planejamento da opera¸c˜ao de m´edio e longo prazo, o objetivo ´e
determinar as metas de gera¸c˜ao de todas as usinas de um sistema hidrot´ermico sujeito
`as afluˆencias de natureza estoc´astica de forma a minimizar o valor esperado do custo
de opera¸c˜ao ao longo do per´ıodo de planejamento. Nesta etapa, h´a a representa¸c˜ao das
usinas hidrel´etricas atrav´es de sistemas equivalentes de energia [5].
Uma das quest˜oes associadas ao planejamento energ´etico de curto prazo, espe-
cificamente em problemas de despacho hidrot´ermico, consiste na escolha da abordagem
da modelagem do sistema, divergindo-se entre a representa¸c˜ao agregada em sistemas
equivalentes de energia versus a representa¸c˜ao individualizada das usinas hidrel´etri-
cas. O que coloca de um lado a representa¸c˜ao agregada das usinas hidrel´etricas, no
todo ou por partes, com uma considera¸c˜ao estoc´astica das vaz˜oes, e de outro lado,
a representa¸c˜ao individualizada das usinas com a utiliza¸c˜ao de t´ecnicas de resolu¸c˜ao
determin´ısticas, mas nestes caso, perde-se o tratamento estoc´astico das afluˆencias [6].
Uma das t´ecnicas utilizadas para contemplar a aleatoriedade das vaz˜oes ´e a
Programa¸c˜ao Dinˆamica Estoc´astica (PDE), por´em, esta consegue representar apenas
uma pequena quantidade de usinas de maneira individualizada. A PDE apresenta
como desvantagem a necessidade da discretiza¸c˜ao do espa¸co de estados o que ocasiona
o crescimento exponencial do esfor¸co computacional com o n´umero de vari´aveis de es-
tado considerado. Ou seja, apresenta a conhecida ”maldi¸c˜ao da dimensionalidade´´,
que limita a sua utiliza¸c˜ao a sistemas com reservat´orios de energia equivalentes, em-
pregando uma ou duas vari´aveis de estado em seu modelo. No entanto, a distribui¸c˜ao
irregular da chuva numa grande bacia pode causar distor¸c˜oes na representa¸c˜ao agregada
dos sistemas hidrel´etricos [7]. Por outro lado, as t´ecnicas que conseguem representar
as usinas hidrel´etricas de forma individualizada tˆem dificuldade de tratar o aspecto
estoc´astico das vaz˜oes [4].
Claramente, uma situa¸c˜ao ideal seria aquela na qual se pudesse conciliar as van-
tagens dos m´etodos anteriormente mencionados. Para tanto, s˜ao observadas algumas
t´ecnicas na literatura que incluem duas diferentes ab ordagens de realimenta¸c˜ao da ma-
lha de controle que s˜ao utilizadas no problema de despacho hidrot´ermico, o controle
de malha fechada e o controle de malha aberta [8], al´em da implementa¸c˜ao da Progra-
ma¸c˜ao Dinˆamica Dual Estoc´astica (PDDE), que ´e atualmente a ferramenta utilizada
pelos especialistas na opera¸c˜ao do sistema hidrot´ermico brasileiro para um horizonte
de longo prazo, m´edio prazo, curto prazo e na programa¸c˜ao da opera¸c˜ao [9].
A estrat´egia de controle de malha fechada preserva a natureza estoc´astica do
problema de despacho hidrot´ermico, em que h´a a considera¸c˜ao da forma¸c˜ao de uma
lei de controle que considera todas as informa¸c˜oes dispon´ıveis sobre as vari´aveis de
decis˜ao que comp˜oem o sistema dinˆamico. Estas informa¸c˜oes s˜ao empregadas de forma
a originar uma pol´ıtica ´otima de malha-fechada como solu¸c˜ao do problema a partir da
aplica¸c˜ao do Princ´ıpio da Otimalidade de Bellman [10], ou seja, aplica-se um algoritmo
de PDE.
O trabalho descrito em [11] considera uma abordagem adaptativa que faz uso
4
de modelos de previs˜ao de vaz˜oes juntamente com t´ecnicas de otimiza¸c˜ao da opera¸c˜ao
de sistemas hidrot´ermicos baseadas em PDE. Nesta abordagem as vaz˜oes afluentes
estoc´asticas s˜ao modeladas usando a metodologia de Yevjevich [12] onde a componente
estoc´astica ´e modelada como um processo auto-regressivo peri´odico. Neste contexto,
modelos usuais para descrever s´eries temporais periodicamente estacion´arias s˜ao os
modelos peri´odicos auto-regressivos.
A estrat´egia de controle de malha aberta, tamb´em nominada como estrat´egia
de Controle Preditivo [13], permite a utiliza¸c˜ao de um modelo de otimiza¸c˜ao a usinas
individualizadas, pois est´a associada a um problema essencialmente determin´ıstico.
Neste caso, a transforma¸c˜ao do problema dinˆamico em um problema determin´ıstico
´e realizada atrav´es da fixa¸c˜ao da vari´avel de perturba¸c˜ao em um valor previamente
conhecido, ou seja, trabalha-se com as vaz˜oes afluentes conhecidas em cada problema
de otimiza¸c˜ao de modo a eliminar a perturba¸c˜ao causada pela sua estocasticidade.
A t´ecnica de malha aberta aplica corre¸c˜oes de sua solu¸c˜ao, para isto, s˜ao realizadas
observa¸c˜oes no sistema ao longo dos per´ıodos de planejamento de tal forma a retificar
as novas medidas do sistema. Assim, quaisquer m´etodos aplic´aveis da programa¸c˜ao
matem´atica podem ser utilizados como t´ecnica de solu¸c˜ao do mesmo. Neste sentido, o
trabalho descrito em [14] emprega um m´etodo de Programa¸c˜ao N˜ao Linear (PNL) que
´e associado a uma estrat´egia de controle de malha aberta na determina¸c˜ao do despacho
da gera¸c˜ao hidrot´ermica. Esta t´ecnica visa diminuir os vertimentos atrav´es de regras
heur´ısticas baseadas em simula¸c˜ao de Monte Carlo.
O planejamento da opera¸c˜ao e expans˜ao possui ainda outra etapa muito impor-
tante que visa garantir o suprimento de um mercado de energia el´etrica. Esta ´e uma
etapa que influencia diretamente na contrata¸c˜ao de energia el´etrica das usinas hidrel´e-
tricas, e que d´a origem aos crit´erios de suprimento de energia el´etrica. Neste sentido, a
determina¸c˜ao da melhor metodologia para avaliar a capacidade de suprimento de um
determinado sistema hidrel´etrico e das usinas que o comp˜oem frente `a um comporta-
mento hidrol´ogico estoc´astico tem sido um dos desafios desta ´area. Esta capacidade,
no Brasil, pode ser medida atrav´es do c´alculo da energia assegurada total do sistema e
os respectivos certificados de energia assegurada das usinas hidrel´etricas [15].
De acordo com as regras de comercializa¸c˜ao de energia el´etrica no Brasil, cada
usina hidrel´etrica tem um limite para o estabelecimento de contratos. Este limite ou
lastro n˜ao corresponde `a capacidade instalada de cada usina hidrel´etrica, visto que a
gera¸c˜ao de energia ´e fortemente influenciada pelo regime hidrol´ogico. O lastro ou a
garantia f´ısica ou a energia assegurada ´e calculada admitindo-se um risco de d´eficit de
energia de 5% [16] [17].
No Brasil, a energia assegurada ´e calculada pelo modelo de simula¸c˜ao Modelo
Estrat´egico de Gera¸c˜ao Hidrot´ermica a Subsistemas Interligados (NEWAVE) [18], de-
senvolvido pelo CEPEL. Este modelo computacional ´e baseado em Programa¸c˜ao Dinˆa-
mica Dual Estoc´astica (PDDE) que resolve um problema de despacho hidrot´ermico [6]
[19] e representa as usinas hidrel´etricas atrav´es de subsistemas equivalentes com limites
de interliga¸c˜ao el´etrica entre os subsistemas.
5
O algoritmo de PDDE torna-se a solu¸c˜ao computacionalmente vi´avel para pro-
blemas de grandes dimens˜oes, pois este pode contornar a explos˜ao combinat´oria do
algoritmo de PDE. O algoritmo prop˜oe que se utilize amostras aleat´orias independen-
tes dos cen´arios hidrol´ogicos produzidos a partir da s´erie hist´orica. A id´eia ´e ajustar
um modelo pelo qual a s´erie hist´orica tenha sido “produzida” e, a partir deste modelo
gerar s´eries sint´eticas que representam as s´eries temporais que podem ser amostradas
pelo processo, constituindo os cen´arios de afluˆencias futuras do sistema. Desta forma,
´e obtida uma solu¸c˜ao atrav´es da PDDE que estima a forma aproximada do valor espe-
rado do custo operativo em fun¸c˜ao de uma gama de estados de armazenamento e de
afluˆencia relevantes determinados por simula¸c˜ao. Esta aproxima¸c˜ao, ´e obtida atrav´es
da t´ecnica de Benders, que aproxima a fun¸c˜ao de custo, de natureza convexa, por um
conjunto de fun¸c˜oes lineares por partes [20].
Atualmente, a energia assegurada deve corresponder `a garantia de 95% de aten-
dimento ao mercado, ou seja, admite um risco de d´eficit de 5% ao ano em uma simula-
¸c˜ao est´atica probabil´ıstica da opera¸c˜ao do sistema. Atualmente no caso brasileiro s˜ao
considerados quatro subsistemas equivalentes de energia, os subsistemas Sul, Sudeste,
Norte e Nordeste. A utiliza¸c˜ao de sistemas equivalentes de energia na representa¸c˜ao
do sistema n˜ao oferece resultados para usinas individualizadas, tornando-se necess´ario
um rateio da energia gerada pelos subsistemas equivalentes [21] [16].
A partir da contabiliza¸c˜ao do rateio da energia assegurada, as usinas hidrel´etri-
cas recebem o chamado Certificado de Energia Assegurada (CEA), que limita a m´axima
contrata¸c˜ao bilateral de energia dos agentes geradores no mercado de energia el´etrica.
Este certificado tem um importante papel no setor el´etrico brasileiro, e com a inser¸c˜ao
de agentes reguladores na reparti¸c˜ao dos benef´ıcios energ´eticos das usinas hidrel´etri-
cas que resultou na cria¸c˜ao do Mecanismo de Realoca¸c˜ao de Energia (MRE), houve a
possibilidade de permitir uma reforma do mercado de energia el´etrica brasileiro sem
o risco de descontinuidades operacionais ou comerciais, ou seja, permitir remunerar a
todos os agentes geradores de maneira justa atrav´es destes certificados [22].
O MRE foi estabelecido a partir das regras do Mercado Atacadista de Energia
El´etrica (MAE) [23], do qual participar˜ao as usinas hidrel´etricas com o objetivo de
compartilhar entre elas os riscos hidrol´ogicos. Desta forma, o MRE a partir da energia
assegurada de cada usina hidrel´etrica, h´a reparti¸c˜ao da produ¸c˜ao de energia acima
desses certificados entre as usinas que estiveram produzindo menor montante de energia
que a sua respectiva energia assegurada. Somente quando h´a sobras generalizadas
de energia, ou seja, quando o sistema to do produz mais que sua energia assegurada
total, os geradores podem vender esses excedentes no mercado a curto prazo (Mercado
Spot). Nessas situa¸c˜oes, cada usina hidrel´etrica fica com uma quota da sobra, a energia
secund´aria, do sistema, podendo assim comercializ´a-la [24].
Desta forma, o CEA passou a ser um parˆametro de grande impacto comer-
cial, pois determina o n´ıvel de participa¸c˜ao da mesma no MRE, que por sua vez est´a
diretamente relacionado com o fluxo de pagamentos `a usina no mercado de energia.
Adicionalmente, o CEA passou a ter grande importˆancia para a confiabilidade de aten-
6
dimento ao consumo de energia, pois se a capacidade f´ısica de produ¸c˜ao sustentada
das usinas hidrel´etricas n˜ao corresponder de fato ao indicado comercialmente por cada
CEA, o risco de d´eficit de energia ser´a superior ao projetado pelos estudos de planeja-
mento. Portanto, passa a ser de suma importˆancia para o funcionamento adequado do
sistema que estes certificados reflitam da maneira mais realista poss´ıvel a capacidade
efetiva de produ¸c˜ao sustentada das usinas hidrel´etricas. Portanto, ´e imprescind´ıvel que
os agentes tenham um respaldo contratual para que se estime de maneira precisa a
quantidade de energia a ser comercializada de maneira a n˜ao influenciar uma poss´ıvel
sinaliza¸c˜ao equivocada para a contrata¸c˜ao de nova energia [25].
Alguns ´org˜aos institucionais como o Minist´erio de Minas e Energia (MME) e a
Agˆencia Nacional de Energia El´etrica (ANEEL), vˆem criando discuss˜oes a respeito do
valor m´aximo do risco de d´eficit admitido para o sistema brasileiro, sendo que alguns
agentes defendem a manuten¸c˜ao do valor adotado de 5%, e outros defendem a sua
redu¸c˜ao para valores mais pr´oximos de zero [26].
Enquanto isto, o crit´erio determin´ıstico ´e aplicado para que possa ser feita a
desagrega¸c˜ao da energia assegurada entre as usinas hidrel´etricas do sistema, ou seja,
o rateio da energia assegurada a usinas individualizadas ´e realizado com base no valor
da energia firme de cada usina hidrel´etrica [21]. Portanto, a energia firme da usina
torna-se um parˆametro importante para a realiza¸c˜ao dos contratos de venda de energia
no Brasil [27] [28].
A energia firme ´e a maior capacidade de produ¸c˜ao cont´ınua de energia das
usinas de modo a garantir o atendimento `a demanda, com as mesmas caracter´ısticas
de mercado e sem a ocorrˆencia de d´eficits na hip´otese de repeti¸c˜ao das afluˆencias
observadas no registro hist´orico de vaz˜oes [2]. A energia firme est´a associada, portanto,
`a capacidade das usinas em atender a demanda do mercado consumidor.
Antes da reforma do setor el´etrico brasileiro, o conceito de energia firme era
usado na assinatura de contratos de suprimento entre empresas concession´arias de tal
forma que se uma empresa concession´aria possu´ıa uma demanda de energia el´etrica
superior `a sua energia firme total, ou seja, se a soma das energias firmes das usinas
pertencentes `a empresa era inferior `a sua demanda, esta concession´aria era considerada
“deficit´aria”, devendo assinar contratos de suprimento com empresas “superavit´arias”.
Embora os contratos de suprimento de energia tivessem repercuss˜oes comerciais, a im-
portˆancia da energia firme era limitada aos excessos, pois o ajuste das tarifas de energia
estava associado ao custo do servi¸co e assim tamb´em a remunera¸c˜ao das empresas do
setor [25].
Atualmente, o conceito ainda ´e utilizado em estudos econˆomicos de dimensio-
namento e invent´ario de usinas hidrel´etricas no setor el´etrico brasileiro, de maneira a
considerar a rela¸c˜ao do custo da constru¸c˜ao da usina versus o benef´ıcio energ´etico do
empreendimento. Adicionalmente, a energia firme ´e o parˆametro que influencia dire-
tamente na remunera¸c˜ao dos agentes geradores de acordo com as regras que regulam
os arranjos comerciais de energia el´etrica no Brasil [29]. A energia firme ´e empregada
7
no rateio da energia assegurada, que ´e definido atrav´es de uma cota de participa¸c˜ao
da energia firme proveniente de cada usina hidrel´etrica com rela¸c˜ao `a sua energia firme
total [21].
Em alguns sistemas el´etricos de pa´ıses como a Argentina e a Nova Zelˆandia, a
energia firme ´e usada como limite m´aximo para os contratos de suprimento de energia
el´etrica firmados pelas usinas hidrel´etricas [29]. Nos Estados Unidos, a energia firme ´e
uma designa¸c˜ao contratual que recorre a uma quantidade segura nas condi¸c˜oes hidro-
l´ogicas mais secas e pode ser considerado um substituto razo´avel para o caso de pior
performance de um sistema hidrel´etrico (considerando pelo menos um per´ıodo hist´o-
rico fixo) [30]. A energia firme ´e um conceito que continua sendo usada para medir
o desempenho do sistema e devido `a importante influˆencia hidrol´ogica, a quantidade
de energia contratada ´e calculada como uma porcentagem da demanda e ´e distribu´ıda
entre as unidades de produ¸c˜ao de energia de maneira proporcional `as suas respectivas
capacidades de energia firme [31] [32].
´
E preciso ainda destacar que o conceito da energia firme ´e empregado no mer-
cado de energia da Colˆombia influenciando fortemente as rela¸c˜oes contratuais entre os
agentes, de mercado sinalizando adequadamente a remunera¸c˜ao dos mesmos, de forma
a atrair investimentos ao setor, o que confere maior confiabilidade e eficiˆencia ao modelo
operacional do mercado de energia [33].
O problema do c´alculo da energia firme envolve a aloca¸c˜ao ´otima dos recursos
h´ıdricos abrangendo uma an´alise de longo prazo para obten¸c˜ao de estimativas de gera-
¸c˜ao das usinas hidrel´etricas, os valores de mercado de energia e a evolu¸c˜ao do estado de
armazenamento dos reservat´orios das usinas hidrel´etricas [25] [16]. Este ´e um problema
complexo devido as n˜ao linearidades intr´ınsecas ao problema do despacho hidr´aulico
(polinˆomios cota-volume, vaz˜ao-n´ıvel jusante), mas tamb´em devido `a interconex˜ao de
usinas em cascata em uma mesma bacia hidrogr´afica e `a aleatoriedade inerente `as
vaz˜oes afluentes nas usinas hidrel´etricas do sistema [34].
No Brasil, a energia firme ´e calculada atrav´es do SUISHI-O [35] e do MSUI [36]
[37]. Nestes modelos, os processos s˜ao baseados em heur´ısticas operativas, h´a a repre-
senta¸c˜ao individualizada das usinas hidrel´etricas. Adicionalmente, s˜ao consideradas as
n˜ao linearidades da fun¸c˜ao de produ¸c˜ao de energia ao longo do per´ıodo de estudo.
O trabalho em [25] realiza um estudo do impacto da representa¸c˜ao do uso m´ulti-
plo da ´agua no c´alculo da energia firme. Neste caso, a energia firme ´e calculada atrav´es
de um pacote comercial para resolu¸c˜ao de problemas de otimiza¸c˜ao. O trabalho em [16]
prop˜oe uma metodologia de c´alculo da energia firme baseada em programa¸c˜ao linear
com ajustes alternados.
Os modelos de simula¸c˜ao at´e aqui propostos tˆem representado as usinas hidre-
l´etricas atrav´es de unidades geradoras individualizadas. Alguns autores retratam uma
abordagem linear da produtividade das usinas hidrel´etricas do sistema, ou seja, consi-
deram produtividade constante na representa¸c˜ao das usinas hidr´aulicas. A metodologia
8
em vigor que aborda a varia¸c˜ao da produtividade das usinas emprega regras heur´ısticas
para a sua simula¸c˜ao [35].
No planejamento energ´etico brasileiro, o crit´erio de energia firme ainda ´e utili-
zado como parˆametro de grande importˆancia econˆomica na determina¸c˜ao de contratos
de energia el´etrica, e o desenvolvimento de t´ecnicas para o c´alculo da energia firme
tem sido objeto de investiga¸c˜ao por v´arios pesquisadores [25] [16]. Neste sentido, ´e de
grande interesse e importˆancia buscar uma metodologia que incorpora a representa¸c˜ao
n˜ao linear da produtividade das usinas hidrel´etricas nos estudos de c´alculo da energia
firme das mesmas.
I.4 Motiva¸c˜ao para o Trabalho
A representa¸c˜ao mais detalhada das usinas hidrel´etricas de um sistema real con-
duz a um sistema de equa¸c˜oes de grande porte da ordem de quatrocentas mil vari´aveis.
A inclus˜ao das n˜ao-linearidades do despacho hidr´aulico torna o problema ainda mais
complexo. Portanto, a solu¸c˜ao deste problema de c´alculo da energia firme associado `as
n˜ao-linearidades constitui-se em um tema desafiador.
I.5 Contribui¸c˜oes do Trabalho
Este trabalho contribuiu com os seguintes t´opicos:
• Representa¸c˜ao das n˜ao linearidades inerentes `as fun¸c˜oes de produ¸c˜ao de energia
das usinas hidrel´etricas em um modelo de otimiza¸c˜ao n˜ao linear;
• Desenvolvimento de um pacote computacional C++ de otimiza¸c˜ao n˜ao linear
para o c´alculo de energia firme de sistemas hidrel´etricos reais.
I.6 Objetivos do Trabalho
Tendo sido identificado a necessidade de investiga¸c˜ao de novas metodologias
para o tratamento do c´alculo da energia firme, esta disserta¸c˜ao tem o objetivo de apro-
fundar o detalhamento referente ao sistema hidrel´etrico para o c´alculo da energia firme
das usinas hidrel´etricas do Sistema Interligado Nacional Brasileiro (SIN). A proposta
consiste em representar o sistema hidrel´etrico com unidades geradoras individualizadas
e com produtividade vari´avel de acordo com a altura de queda efetiva das usinas em
um ´unico problema de otimiza¸c˜ao n˜ao linear. A solu¸c˜ao do problema de otimiza¸c˜ao
9
n˜ao linear ser´a obtida atrav´es do M´etodo Primal-Dual de Pontos Interiores (MPI) [38]
[39].
I.7 Publica¸c˜oes
Destacam-se os trabalhos em prepara¸c˜ao e submetidos para Congressos e Peri´o-
dicos:
• Rafael S. Rocha, Edimar J. Oliveira, Andr´e L. M. Marcato, Leonardo W. Oliveira,
Ivo C. S. J´unior e Jos´e L. R. Pereira, ”Influˆencia da Varia¸c˜ao da Produtividade
das Usinas Hidrel´etricas no C´alculo da Energia Firme”, artigo submetido ao SBA,
fevereiro, 2008. Primeira revis˜ao em julho de 2008.
• Rafael S. Ro cha, Edimar J. Oliveira, Andr´e L. M. Marcato, Leonardo W. Oliveira
e Jos´e L. R. Pereira, ”Methodology to firm energy evaluation based on Nonlinear
Programming”, artigo em prepara¸c˜ao a ser submetido a um peri´odico internacio-
nal.
I.8 Organiza¸c˜ao do Trabalho
Este trabalho possui mais quatro Cap´ıtulos e dois Apˆendices.
O Cap´ıtulo II descreve o planejamento energ´etico brasileiro, de forma a abordar
o problema do planejamento da opera¸c˜ao e expans˜ao do ponto de vista dos crit´erios de
suprimento de energia el´etrica, especificamente no c´alculo da energia firme.
O Cap´ıtulo III apresenta a metodologia proposta para o c´alculo de energia firme
de sistemas hidrel´etricos com representa¸c˜ao individualizada das usinas hidrel´etricas.
S˜ao desenvolvidas as fun¸c˜oes de produ¸c˜ao de energia el´etrica de origem hidr´aulica e
mostrada a sua dependˆencia com rela¸c˜ao `as cotas dos reservat´orios e dos canais de fuga
nas usinas hidrel´etricas. Adicionalmente, ser˜ao mostrados os aspectos computacionais
do problema atrav´es de um caso tutorial.
O Cap´ıtulo IV apresenta os principais resultados obtidos com a metodologia
proposta bem como compara¸c˜oes com outras metodologias obtidas na literatura.
O Cap´ıtulo V apresenta as conclus˜oes gerais e as prop ostas para continuidade
da pesquisa nesta ´area.
O Apˆendice A descreve detalhadamente as fun¸c˜oes de produ¸c˜ao de energia el´e-
trica necess´arias ao desenvolvimento do trabalho.
10
O Apˆendice D apresenta resultados adicionais das simula¸c˜oes realizadas com o
Sistema Interligado Nacional Brasileiro (SIN).
11
Cap´ıtulo II
Crit´erios de Avalia¸c˜ao de Energia
Firme
II.1 Introdu¸c˜ao
Tendo em vista a importˆancia da energia firme para o planejamento energ´etico
brasileiro, este cap´ıtulo tratar´a da formaliza¸c˜ao matem´atica do problema do c´alculo da
energia firme.
Aqui s˜ao apresentadas as diferentes t´ecnicas empregadas na solu¸c˜ao do problema
do c´alculo da energia firme. Destaca-se a apresenta¸c˜ao neste cap´ıtulo da modelagem
n˜ao linear das cotas do reservat´orio e do canal de fuga das usinas hidrel´etricas que
s˜ao empregadas nas fun¸c˜oes de produ¸c˜ao de energia das usinas hidrel´etricas. Desta
forma, s˜ao identificadas a dependˆencia da produtividade com a altura de queda l´ıquida
nas usinas hidrel´etricas. Adicionalmente, ´e apresentado a simplifica¸c˜ao do modelo n˜ao
linear da altura de queda das usinas hidrel´etricas e sua aplica¸c˜ao na fun¸c˜ao linear de
produ¸c˜ao de energia el´etrica.
Finalmente, apresenta-se como o modelo de simula¸c˜ao oficial ´e utilizado para o
c´alculo da energia firme no brasil.
II.2 Cotas do Reservat´orio e do Canal de Fuga
As usinas hidrel´etricas possuem a altura de queda determinada a partir dos
n´ıveis de montante e jusante da usina. Ou seja, a partir das cotas do reservat´orio e do
canal de fuga ´e determinada a altura de queda efetiva em uma usina hidrel´etrica. Esta
queda efetiva resulta na produ¸c˜ao de energia el´etrica, como pode ser observado atrav´es
12
da Fig. II.1.
Volume
Máximo
Operativo
Cota de
Montante
Volume
Mínimo
Operativo
Casa de
Máquinas
Canal de
Adução
Canal de
Fuga
Vertedouro
Altura de
Queda Bruta
Cota de
Jusante
Figura II.1: Esquema de Usina Hidrel´etrica.
A dedu¸c˜ao da express˜ao matem´atica que representa a fun¸c˜ao de gera¸c˜ao de
uma unidade geradora hidrel´etrica come¸ca a partir da energia potencial armazenada
no reservat´orio. No Apˆendice A s˜ao apresentadas as equa¸c˜oes que originam a produ¸c˜ao
de energia el´etrica atrav´es de cursos d’d´agua.
A cota do reservat´orio, em rela¸c˜ao ao n´ıvel do mar, ´e tamb´em denominado cota
de montante (φ). Esta cota ´e uma fun¸c˜ao n˜ao linear do volume de ´agua armazenado
no reservat´orio, sendo essa rela¸c˜ao representada pelo Polinˆomio Cota-Volume (PCV)
de cada usina hidrel´etrica. A unidade adotada para a cota do reservat´orio ´e o metro
(m) e para o volume, o hectˆometro c´ubico (hm
3
).
A cota do canal de fuga, em rela¸c˜ao ao n´ıvel do mar, ´e tamb´em denominado cota
de jusante (θ). Esta cota ´e uma fun¸c˜ao n˜ao linear da vaz˜ao defluente. A rela¸c˜ao entre a
cota do canal de fuga e sua vaz˜ao defluente ´e representada pelo Polinˆomio Vaz˜ao-N´ıvel
Jusante (PVNJ) de cada usina hidrel´etrica.
As cotas do reservat´orio e do canal de fuga s˜ao representadas respectivamente
por (II.1) e (II.2). No Brasil, os estudos determinaram a utiliza¸c˜ao de polinˆomios de
at´e quarto grau para a representa¸c˜ao de (φ) e (θ) [40].
φ
i
=
5
k=1
CR
k,i
· (V
i
)
k−1
(II.1)
θ
i
=
5
k=1
CF
k,i
· (S
i
+ Q
i
)
k−1
(II.2)
13
Onde,
φ
i
Representa a cota do reservat´orio em uma dada usina [m];
CR
k,i
Representa o k-´esimo coeficiente do polinˆomio de 4
a
ordem de Cota-Volume
da usina i;
V
i
representa o volume armazenado no reservat´orio da usina i [hm
3
];
θ
i
Representa a cota do canal de fuga da usina i [m];
CF
k,i
Representa o k-´esimo coeficiente do polinˆomio de 4
a
ordem de Vaz˜ao-N´ıvel
Jusante da usina i;
S
i
Representa o volume vertido do reservat´orio da usina i [m
3
/s];
Q
i
Representa o volume turbinado do reservat´orio da usina i [m
3
/s].
A determina¸c˜ao dos coeficientes CR
k,i
para composi¸c˜ao do Polinˆomio Cota-
Volume (PCV) ´e feita a partir de estudos topogr´aficos da regi˜ao alagada pelo reserva-
t´orio, os quais tˆem a finalidade de determinar o volume de alagamento para diferentes
posi¸c˜oes do n´ıvel de ´agua do reservat´orio [3].
A n˜ao linearidade do PCV pode ser ilustrada atrav´es de gr´aficos de Cota do
reservat´orio versus Volume Armazenado para as usinas hidrel´etricas de S˜ao Sim˜ao e
Tucuru´ı, atrav´es da Fig. II.2(a) e da Fig. II.2(b), respectivamente.
0 2000 4000 6000 8000 10000 1200
0
355
360
365
370
375
380
385
390
395
400
Cota do Reservatório (m)
Volume Armazenado (hm
3
)
φ
(a) Polinˆomio Cota-Volume para a usina hidrel´e-
trica de S˜ao Sim˜ao.
0 1 2 3 4 5
x 10
4
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
Cota do Reservatório (m)
Volume Armazenado (hm
3
)
φ
(b) Polinˆomio Cota-Volume para a usina hidrel´e-
trica de Tucuru´ı.
Figura II.2: Polinˆomios Cota-Volume.
A Fig. II.2 apresenta a sensibilidade da cota dos reservat´orios de S˜ao Sim˜ao
e Tucuru´ı `a varia¸c˜ao do volume armazenado, o que justifica o emprego da metodolo-
gia n˜ao linear devido `as grandes varia¸c˜oes poss´ıveis nos n´ıveis dos seus reservat´orios.
14
Observa-se ainda a rela¸c˜ao n˜ao linear da varia¸c˜ao da cota do reservat´orio vinculado ao
volume armazenado ´util de cada usina hidrel´etrica e a grande capacidade de armaze-
namento ´util do reservat´orio de Tucuru´ı.
Os coeficientes CF
k,i
do Polinˆomio Vaz˜ao-N´ıvel Jusante (PVNJ) s˜ao obtidos a
partir de regress˜oes aplicadas a um conjunto real de dados que representam medidas da
cota do canal de fuga para diferentes volumes de ´agua deflu´ıdos das usinas hidrel´etricas
[40]. A defluˆencia ´e composta pela vaz˜ao de ´agua que passa atrav´es das turbinas mais
a vaz˜ao sendo descarregada pelo vertedouro, num dado instante. A vaz˜ao vertida
em uma usina hidrel´etrica pode n˜ao influenciar no n´ıvel do canal de fuga da mesma,
pois depende das caracter´ısticas de projeto da usina no que diz respeito `a localiza¸c˜ao
do vertedouro. Quando o vertimento se d´a em um ponto distante das descargas das
unidades geradoras a influˆencia pode ser m´ınima, assim n˜ao afetando no n´ıvel do canal
de fuga e conseq
¨
uentemente na altura de queda.
A n˜ao linearidade do PVNJ pode ser ilustrada atrav´es de gr´aficos de N´ıvel
Jusante versus Vaz˜ao Defluente para as usinas hidrel´etricas de S˜ao Sim˜ao e Tucuru´ı,
atrav´es da Fig. II.3(a) e da Fig. II.3(b), respectivamente.
0 2000 4000 6000 8000 1000
0
323
324
325
326
327
328
329
330
Cota do Canal de Fuga (m)
Vazao Defluente (m³/s)
θ
(a) Polinˆomio Vaz˜ao-N´ıvel Jusante para a usina hi-
drel´etrica de S˜ao Sim˜ao.
0 1 2 3 4 5 6
x 10
4
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Cota do Canal de Fuga (m)
Vazao Defluente (m³/s)
θ
(b) Polinˆomio Vaz˜ao-N´ıvel Jusante para a usina hi-
drel´etrica de Tucuru´ı.
Figura II.3: Polinˆomios Vaz˜ao-N´ıvel Jusante.
A an´alise da Fig. II.3 mostra a rela¸c˜ao n˜ao linear da varia¸c˜ao da cota do canal
de fuga vinculado `a defluˆencia de cada usina hidrel´etrica.
A partir da cota do reservat´orio e cota do canal de fuga s˜ao definidos os valores
de altura de queda bruta (h) e a altura de queda l´ıquida (h
l
) do reservat´orio. Neste
caso, como n˜ao s˜ao consideradas as perdas hidr´aulicas nas tubula¸c˜oes dos canais de
adu¸c˜ao, tem-se (II.3).
h = h
l
= φ − θ (II.3)
Onde, h representa a altura de queda bruta em uma dada usina, definida como a
diferen¸ca entre os n´ıveis da cota do reservat´orio e da cota do canal de fuga [m].
15
Desta forma, a fun¸c˜ao de pro du¸c˜ao de energia ´e apresentada em (A.15), conforme
´e descrito no Apˆendice A. Para o caso linear, a altura de queda bruta de cada usina
hidrel´etrica ´e considerada constante.
II.3 Descri¸c˜ao do Problema de Otimiza¸c˜ao
O problema do c´alculo da energia firme ´e modelado de maneira gen´erica atrav´es
de um problema de simula¸c˜ao/otimiza¸c˜ao para um conjunto de usinas hidrel´etricas,
onde s˜ao representadas as restri¸c˜oes operativas das usinas. A formula¸c˜ao do problema
´e apresentada atrav´es de (II.4).
max D (II.4a)
Sujeito a:
V
t
i
+ Q
t
i
+ S
t
i
− V
t−1
i
−
m∈M
i
(Q
t
m
+ S
t
m
) − A
t
i
= 0 (λ
h
t
i
) (II.4b)
NP
i=1
P G
t
i
− D = 0 (λ
d
t
) (II.4c)
0 ≤ S
t
i
≤ ∞ (II.4d)
0 ≤ Q
t
i
≤ Q
i
max
(II.4e)
V
i
min
≤ V
t
i
≤ V
i
max
(II.4f)
D ≥ 0 (II.4g)
Onde,
D Representa a energia firme total do sistema [MW ];
i Denota o ´ındice de usinas;
t Denota o ´ındice de est´agios;
V
t
i
Representa o volume armazenado no reservat´orio da usina i, no est´agio t
[hm
3
/mˆes];
Q
t
i
Representa o volume turbinado na usina i, no est´agio t [hm
3
/mˆes];
S
t
i
Representa o volume vertido na usina i, no est´agio t [hm
3
/mˆes];
16
M
i
Representa o conjunto de usinas imediatamente a montante da usina i;
A
t
i
Representa a vaz˜ao incremental no rio que abastece a usina i, no est´agio t
[hm
3
/mˆes];
U Representa o conjunto total de usinas consideradas no estudo;
λ
h
t
i
Representa o multiplicador de Lagrange associado `a cada equa¸c˜ao de balan¸co
h´ıdrico no modelo de otimiza¸c˜ao;
NP Representa o n´umero total de usinas consideradas no estudo;
P G
t
i
Representa a potˆencia gerada na usina i, no est´agio t [MW ];
λ
d
t
Representa o multiplicador de Lagrange associado `a cada equa¸c˜ao de atendi-
mento de demanda no modelo de otimiza¸c˜ao;
V
i
min
Representa o volume armazenado m´ınimo na usina i [hm
3
/mˆes];
Q
i
max
Representa o volume turbinado m´aximo na usina i [hm
3
/mˆes];
V
i
max
Representa o volume armazenado m´aximo na usina i [hm
3
/mˆes].
A energia firme ´e definida como a m´axima capacidade de suprimento de energia
que um conjunto de usinas hidrel´etricas pode atender com as mesmas caracter´ısticas
de mercado e sem a ocorrˆencia de d´eficits na hip´otese de repeti¸c˜ao das afluˆencias
observadas no registro hist´orico de vaz˜oes. Neste sentido, a formula¸c˜ao matem´atica
do termo da fun¸c˜ao objetivo (II.4a) corresponde `a demanda a ser atendida, ou seja,
corresponde ao mercado de energia que o conjunto de usinas ´e capaz de atender de
maneira cont´ınua.
A equa¸c˜ao (II.4b) representa o princ´ıpio da conserva¸c˜ao da ´agua nos reserva-
t´orios das usinas hidrel´etricas. Ressalta-se que o volume armazenado inicial de cada
reservat´orio ´e adotado com valor igual `a capacidade m´axima de armazenamento dos
mesmos (V
0
i
= V
i max
).
A equa¸c˜ao (II.4c) representa o princ´ıpio da conserva¸c˜ao de energia, ou seja, a
capacidade de produ¸c˜ao de energia e atendimento `a demanda das usinas hidrel´etricas.
Finalmente, as restri¸c˜oes (II.4d)-(II.4g) definem os limites, inferior e superior
das vari´aveis do problema.
17
II.4 Energia Firme Individualizada
A solu¸c˜ao do problema II.4 fornece, os valores de armazenamento do sistema,
potˆencia gerada das usinas hidrel´etricas e o valor da capacidade total do sistema (a
energia firme global). Atrav´es do c´alculo da energia armazenada, apresentado no Apˆen-
dice C, verifica-se ent˜ao o per´ıodo cr´ıtico do sistema.
Este per´ıodo ´e compreendido entre o mˆes onde se observa a m´axima energia
armazenada no sistema e o mˆes de menor energia armazenada no sistema sem re-
enchimentos intermedi´arios. Isto ´e realizado considerando-se todo o hist´orico de vaz˜oes
das usinas hidrel´etricas.
A partir destes resultados, pode-se determinar o valor da energia firme individu-
alizada das usinas. Para tanto, considera-se a gera¸c˜ao m´edia de cada usina hidrel´etrica
durante o p er´ıodo cr´ıtico como a sua energia firme individualizada (EF
i
) [29]. A energia
firme individualizada ´e, portanto, calculada atrav´es de (II.4h).
EF
i
=
T
f
t=T
0
P G
t
i
(T
f
− T
0
)
(II.4h)
Onde EF
i
representa a energia firme individualizada da usina i [MW ].
II.5 Tratamento do Problema Linear
O problema de otimiza¸c˜ao (II.4) ´e considerado linear quando a potˆencia gerada
(P G
t
i
) na usina hidrel´etrica i para cada est´agio t for determinada atrav´es de (II.5a), ou
seja, ´e uma fun¸c˜ao linear em rela¸c˜ao ao volume turbinado Q
t
i
na usina hidrel´etrica.
P G
t
i
= ρ
i
eq
· Q
t
i
(II.5a)
Onde ρ
i
eq
representa a produtividade equivalente da usina i [MW · mˆes/hm
3
].
A produtividade equivalente ρ
i
eq
das usinas hidrel´etricas ´e calculada atrav´es de
(II.5b).
ρ
i
eq
= ρ
i
sp
· h
i
eq
(II.5b)
Onde,
ρ
i
sp
Representa a produtividade espec´ıfica da usina i [MW · mˆes/(hm
3
· m)];
h
i
eq
Representa a altura de queda equivalente da usina i [m].
18
Uma vez que a altura de queda das usinas hidrel´etricas ´e uma fun¸c˜ao n˜ao linear,
no c´alculo linear ´e adotada uma simplifica¸c˜ao, emprega-se a altura de queda equivalente
h
i
eq
das usinas hidrel´etricas, calculada atrav´es de (II.5c) [26].
h
i
eq
=
V
i
max
V
i
min
φ
i
dV
i
V
i
max
− V
i
min
− θ
i
(II.5c)
Onde,
θ
i
Representa a cota m´edia do canal de fuga da usina i [m].
II.6 Metodologias de Solu¸c˜ao
A referˆencia [16] prop˜oe uma metodologia de c´alculo da energia firme baseada
em programa¸c˜ao linear com ajustes alternados. Neste caso, o problema descrito em
(II.4), utiliza o modelo linear da fun¸c˜ao de produ¸c˜ao de energia, de acordo com (II.5).
A t´ecnica utilizada realiza sucessivas execu¸c˜oes do problema de programa¸c˜ao
linear. Ao final de cada solu¸c˜ao do problema linear, s˜ao realizados ajustes de maneira
a atualizar os valores da produtividade das usinas hidrel´etricas baseadas nos valores
de altura de queda l´ıquida obtidos na simula¸c˜ao anterior. Para isto, a altura de queda
l´ıquida das usinas hidrel´etricas ´e calculada atrav´es de (II.3) para cada est´agio de pla-
nejamento.
Desta forma, a produtividade das usinas hidrel´etricas ´e calculada atrav´es de
(II.5b), e assume valores compat´ıveis com os resultados de volume armazenado V
t
i
e
do volume defluente (Q
t
i
+ S
t
i
) na evolu¸c˜ao dos est´agios de planejamento. Estes valores
s˜ao utilizados na resolu¸c˜ao do novo problema de otimiza¸c˜ao idˆentico `a (II.4). Este
processo ´e realizado por 100 vezes e requer um grande esfor¸co computacional. Apesar
de apresentar uma boa aproxima¸c˜ao para a energia firme do sistema, o processo ´e
realizado sem que haja garantia da obten¸c˜ao da convergˆencia.
A energia firme global do sistema obtida no decorrer das 100 itera¸c˜oes do pro-
cesso iterativo da metodologia linear com ajustes alternados ´e apresentada atrav´es da
Fig. II.4 e pode se observar claramente que o processo n˜ao atinge convergˆencia.
O trabalho descrito em [25] realiza um estudo do impacto da representa¸c˜ao do
uso m´ultiplo da ´agua no c´alculo da energia firme. Neste caso, a energia firme ´e calculada
atrav´es de um pacote comercial para resolu¸c˜ao de problemas de otimiza¸c˜ao chamado
LOQO [41] [42]. A modelagem empregada no sistema ´e baseada em programa¸c˜ao n˜ao
19
1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10
0
42400
42500
42600
42700
42800
42900
43000
43100
Iterações
Energia Firme Global (MWmed)
Figura II.4: Energia Firme nas itera¸c˜oes da Metodologia Linear com Ajustes Alterna-
dos.
linear e ´e descrita atrav´es de (II.6).
max
K
k=1
d
k
(II.6a)
Sujeito a:
v
t
i
+ q
t
i
+ s
t
i
− v
t−1
i
−
m∈M
i
(q
t
m
+ s
t
m
) − a
t
i
= 0 (II.6b)
i∈U
k
pg
t
i
− d
k
+
j∈Ω
k
(f
t
j,k
− f
t
k,j
) = 0 (II.6c)
0 ≤ s
t
i
≤ ∞ (II.6d)
0 ≤ q
t
i
≤ q
i
max
(II.6e)
v
i
min
≤ v
t
i
≤ v
i
max
(II.6f)
0 ≤ f
t
j,k
≤ f
max
(II.6g)
d ≥ 0 (II.6h)
Onde,
20
k Denota o ´ındice da regi˜ao energ´etica;
d
k
Representa a energia firme total das usinas da regi˜ao k [MW ];
U
k
Representa o conjunto de usinas hidrel´etricas da regi˜ao k no estudo;
Ω
k
Representa o conjunto de regi˜oes com intercˆambio de energia;
f
t
j,k
Representa o fluxo de energia da regi˜ao j para a regi˜ao k no est´agio t [MW ];
f
max
Representa o intercˆambio m´aximo da regi˜ao j para a regi˜ao k [MW ].
O termo da fun¸c˜ao objetivo (II.6a) corresponde `a composi¸c˜ao da demanda a
ser atendida nas diferentes regi˜oes do sistema, isto ´e, ao mercado de energia que os
conjuntos de usinas s˜ao capazes de atender de maneira cont´ınua. O termo em (II.6c)
representa o princ´ıpio da conserva¸c˜ao de energia, isto ´e, a capacidade de produ¸c˜ao de
energia e atendimento `a demanda das usinas hidrel´etricas assim como representa os
intercˆambios de energia entre as regi˜oes do sistema.
Em (II.6i), a potˆencia gerada (pg
t
i
) na usina hidrel´etrica i para cada est´agio t ´e
determinada atrav´es de (II.6i).
pg
t
i
= ρ
i
sp
· h
t
i
· q
t
i
(II.6i)
A vari´avel h
t
i
´e composta por fun¸c˜oes n˜ao lineares e ´e determinada atrav´es de
(II.6j).
h
t
i
= p
i
1
(v
t
i
,v
t+1
i
) − p
i
2
(q
t
i
,s
t
i
) − hp
t
i
(II.6j)
Onde p
i
1
e p
i
2
representam, respectivamente, os polinˆomios de cota do reservat´orio e do
canal de fuga da usina i [m]. Neste caso, considera-se a m´edia do volume armazenado
entre dois meses consecutivos para fins de c´alculo da cota do reservat´orio no polinˆomio
descrito em (II.6j). Finalmente, hp
t
i
representa a perda hidr´aulica da usina i [m].
A metodologia para solu¸c˜ao de (II.6) considera quatro subsistemas energ´eti-
cos e imp˜oe limites de intercˆambio entre os mesmos. Tamb´em ´e representado o uso
m´ultiplo da ´agua nos reservat´orios para irriga¸c˜ao e navega¸c˜ao. Esta modelagem faz
a utiliza¸c˜ao de valores m´edios entre meses consecutivos para volumes armazenados
na equa¸c˜ao polinomial da altura de queda l´ıquida (II.6j). Adicionalmente, ressalta-se
que a metodologia emprega um pacote computacional comercial, cuja implementa¸c˜ao
´e encapsulada. Nota-se ainda que o modelo emprega um registro hist´orico de vaz˜oes
de 66 anos desde janeiro de 1931, em 792 etapas mensais juntamente com 79 usinas
hidrel´etricas.
21
II.7 O modelo SUISHI-O
O modelo de simula¸c˜ao SUISHI-O [35], realiza o c´alculo da energia firme e faz
uso da representa¸c˜ao individualizada das usinas hidrel´etricas com a considera¸c˜ao da
varia¸c˜ao da produtividade ao longo do per´ıodo de estudo. Este ´e um processo baseado
em heur´ısticas operativas. As principais regras operativas adotadas no modelo de
simula¸c˜ao para reprodu¸c˜ao do processo de decis˜ao s˜ao:
• Utilizar prioridades de enchimento/deplecionamento e faixas operativas nos re-
servat´orios do sistema;
• Manter todos os reservat´orios do sistema, tanto quanto poss´ıvel, dentro de uma
mesma faixa de opera¸c˜ao;
• Considerar o efeito do deplecionamento de um reservat´orio em reservat´orios a
jusante, evitando vertimentos em algum reservat´orio a jusante, exceto para se
evitar um d´eficit de gera¸c˜ao;
• Manter livre a faixa de opera¸c˜ao superior dos reservat´orios para prover capa-
cidade de armazenamento ao excesso de afluˆencias durante o per´ıodo ´umido,
minimizando-se os vertimentos de ´agua a jusante neste per´ıodo;
• Manter cheia a faixa inferior dos reservat´orios para evitar uma excessiva perda de
potˆencia no sistema devido `a redu¸c˜ao das alturas de queda l´ıquida e conseq
¨
uen-
temente das produtividades das usinas hidrel´etricas.
Neste processo de simula¸c˜ao, inicialmente, ´e especificado um mercado consu-
midor e, em seguida, a simula¸c˜ao baseada em heur´ısticas ´e iniciada. Ap´os a primeira
simula¸c˜ao, verifica-se a existˆencia de algum d´eficit de energia nos est´agios de planeja-
mento. Caso seja verificado o d´eficit de energia, o mercado de energia ´e reajustado,
e ent˜ao a simula¸c˜ao ´e reiniciada. Este processo continua at´e que seja encontrado um
“mercado consumidor ideal” que n˜ao imp˜oe risco de d´eficit de energia ao sistema. A
simula¸c˜ao realizada ´e baseada no despacho hidrel´etrico das usinas do SIN e adota-se
todo o hist´orico de vaz˜oes afluentes do sistema, ou seja, com um cen´ario de 70 anos
desde o mˆes de janeiro de 1931, e utilizando discretiza¸c˜ao mensal [35]. A modelagem
proposta em [35] e [9] embora apresente resultados com uma elevada robustez meto-
dol´ogica e um reduzido esfor¸co computacional, a energia firme alocada entre as usinas
pode n˜ao retratar o p onto ´otimo de opera¸c˜ao global, uma vez que todo o processo ´e
baseado em heur´ısticas operativas.
Tendo em vista aspectos apresentados dos modelos existentes, foi identificada
a necessidade de um modelo capaz de representar as usinas hidrel´etricas do SIN, as
n˜ao linearidades da fun¸c˜ao de produ¸c˜ao de energia el´etrica, atrav´es de todo o per´ıodo
desde 1931 em um ´unico problema de otimiza¸c˜ao n˜ao linear. Neste sentido, ´e proposto
nesta disserta¸c˜ao uma metodologia para o c´alculo da energia firme atrav´es da resolu-
¸c˜ao de um ´unico problema de otimiza¸c˜ao n˜ao linear a fim de contemplar os variados
22
aspectos da representa¸c˜ao do sistema hidrel´etrico brasileiro. Desta forma, o modelo de
otimiza¸c˜ao proposto contempla as n˜ao linearidades da fun¸c˜ao de produ¸c˜ao hidrel´etrica,
a representa¸c˜ao individual das usinas existentes e a serem constru´ıdas juntamente com
a s´erie hist´orica de vaz˜oes desde o mˆes de janeiro de 1931.
O problema de otimiza¸c˜ao proposto ser´a resolvido atrav´es do M´etodo Primal-
Dual de Pontos Interiores (MPI) [38] [43]. Ser˜ao discutidos os aspectos computacionais
envolvidos na solu¸c˜ao do problema. Ser˜ao apresentados estudos de casos do c´alculo da
energia firme abrangendo todo o SIN, considerando a topologia do sistema hidrel´etrico
brasileiro de janeiro de 2006 com 107 usinas hidrel´etricas. Adicionalmente, ser˜ao avalia-
dos o impacto da entrada de uma e duas novas usinas no sistema. Os resultados obtidos
mostram que a metodologia proposta ´e promissora, tendo em vista que apresenta um
valor de mercado de energia mais realista.
II.8 Conclus˜ao
Este cap´ıtulo apresentou algumas metodologias encontradas para o c´alculo da
energia firme. A metodologia linear considera uma simplifica¸c˜ao da modelo da produ-
tividade das usinas, e que ser´a confrontado o impacto desta representa¸c˜ao na energia
firme individualizada atrav´es do modelo de otimiza¸c˜ao n˜ao linear proposto.
A metodologia baseada em heur´ısticas apresenta robustez, no entanto, n˜ao h´a
garantia de que se alcance o ´otimo global do sistema.
A metodologia linear com ajustes alternados aproxima as n˜ao linearidades perti-
nentes do problema real, adequando os n´ıveis das quedas a cada itera¸c˜ao do processo e
conseq
¨
uentemente as produtividades das usinas hidrel´etricas. Esta metodologia requer
um grande esfor¸co computacional e o processo ´e realizado sem que haja garantia de
obten¸c˜ao da convergˆencia.
A metodologia n˜ao linear apresentada em [41] emprega pacotes computacionais
em que o m´etodo de solu¸c˜ao do problema ´e encapsulado.
Identificadas algumas limita¸c˜oes das metodologias de c´alculo de energia firme,
verifica-se a necessidade de desenvolvimento de mais ferramentas que considerem a
otimiza¸c˜ao do sistema atrav´es da dependˆencia n˜ao linear da produtividade das usinas
al´em de permitir a an´alise da inclus˜ao de novas usinas hidrel´etricas no sistema brasileiro.
23
Cap´ıtulo III
Metodologia Proposta
III.1 Introdu¸c˜ao
Este cap´ıtulo descreve o mo delo n˜ao linear do problema de otimiza¸c˜ao que ´e
utilizado na metodologia proposta para solu¸c˜ao do c´alculo de energia firme de um
sistema composto por um conjunto de usinas hidrel´etricas.
Neste trabalho, tendo em vista uma abordagem sobre o impacto da varia¸c˜ao da
produtividade das usinas hidrel´etricas no c´alculo da energia firme atrav´es da solu¸c˜ao de
um problema de Programa¸c˜ao N˜ao Linear (PNL), n˜ao s˜ao considerados o uso m´ultiplo
da ´agua dos rios (evapora¸c˜ao, irriga¸c˜ao) e as perdas hidr´aulicas nas tubula¸c˜oes das
usinas.
Finalmente, este cap´ıtulo apresenta uma avalia¸c˜ao dos aspectos computacionais
do M´etodo Primal-Dual de Pontos Interiores (MPI) atrav´es da solu¸c˜ao de um exemplo
num´erico.
III.2 O M´etodo de Pontos Interiores Aplicado ao
C´alculo da Energia Firme
No problema de otimiza¸c˜ao descrito em (
II.4), pode ser observado que as res-
tri¸c˜oes de desigualdade que aparecem s˜ao do tipo (≥ 0), ou seja, as restri¸c˜oes de
desigualdade originais foram transformadas em vari´aveis n˜ao negativas, sendo tratadas
atrav´es de penaliza¸c˜ao interna. Desta forma, este tipo de restri¸c˜ao pode ser inclu´ıda
ao problema atrav´es de uma fun¸c˜ao penalidade conhecida como barreira logar´ıtmica
(−
ln(s)).
24
Com a inclus˜ao da fun¸c˜ao barreira logar´ıtmica, o problema original ´e transfor-
mado em uma seq
¨
uˆencia de problemas parametrizados pelo parˆametro barreira µ . O
conjunto de pontos obtidos para cada valor de µ define a trajet´oria de convergˆencia no
interior da regi˜ao vi´avel em rela¸c˜ao as restri¸c˜oes de canaliza¸c˜ao. A condi¸c˜ao de otima-
lidade do problema original ser´a alcan¸cada quando µ = 0. Por este motivo, durante o
processo iterativo, deve ser imposto um decr´escimo do parˆametro barreira (µ
k+1
< µ
k
)
de tal forma que µ
k
→ 0 quando k → ∞.
Adicionalmente, com o objetivo de transformar um determinado problema de
otimiza¸c˜ao sujeito a apenas restri¸c˜oes de igualdade em um problema de otimiza¸c˜ao
sem restri¸c˜oes, utiliza-se a fun¸c˜ao Lagrangeana. Esta fun¸c˜ao ´e originada atrav´es de
uma combina¸c˜ao linear entre as restri¸c˜oes do problema original, onde os coeficientes
desta combina¸c˜ao s˜ao os multiplicadores de Lagrange (λ, π
l
e π
u
). Assim, a fun¸c˜ao
Lagrangeana referente ao problema (II.4) pode ser escrita atrav´es de (III.1a).
L = D −
T
t=1
NP
i=1
λ
h
t
i
·
V
t
i
+ Q
t
i
+ S
t
i
− V
t−1
i
−
m∈M
i
(Q
t
m
+ S
t
m
) − A
t
i

−
T
t=1
λ
t
d
·
NP
i=1
P G
t
i
− D

(III.1a)
Onde,
T Representa o n´umero total de est´agios de planejamento;
L Representa a fun¸c˜ao Lagrangeana.
III.2.1 Modelo N˜ao Linear da Fun¸c˜ao de Produtividade
A potˆencia gerada (P G
t
i
) nas usinas hidrel´etricas para cada est´agio ´e determi-
nada atrav´es de (III.1b).
P G
t
i
= ρ
t
i
· Q
t
i
(III.1b)
Onde ρ
t
i
representa a produtividade da usina i, no est´agio t [MW · mˆes/hm
3
]. Esta
vari´avel ´e dependente dos n´ıveis das cotas do reservat´orio e do canal de fuga e das
perdas hidr´aulicas nas tubula¸c˜oes da instala¸c˜ao e ´e representada atrav´es de (III.1c).
ρ
t
i
= ρ
i
sp
· (φ
t
i
− θ
t
i
) (III.1c)
Onde,
φ
t
i
Representa o n´ıvel da cota do reservat´orio da usina i, no est´agio t [m];
θ
t
i
Representa o n´ıvel da cota do canal de fuga da usina i, no est´agio t [m].
25
As cotas do reservat´orio e do canal de fuga s˜ao representadas respectivamente
por (III.1d) e (III.1e), e s˜ao definidas tamb´em respectivamente como os polinˆomios
Cota x Volume e Vaz˜ao x N´ıvel Jusante.
φ
t
i
=
5
k=1
CR
k,i
· (V
t
i
)
k−1
(III.1d)
θ
t
i
=
5
k=1
CF
k,i
· (S
t
i
+ Q
t
i
)
k−1
(III.1e)
III.3 Exemplo Tutorial
Esta se¸c˜ao apresenta um caso tutorial para mostrar as caracter´ısticas de forma-
¸c˜ao da matriz Hessiana evidenciando o n´umero de vari´aveis de otimiza¸c˜ao correspon-
dentes ao problema. Em particular, estas caracter´ısticas tornam poss´ıvel a resolu¸c˜ao
do c´alculo da energia firme em um ´unico problema de otimiza¸c˜ao.
A an´alise considera um horizonte de planejamento de dois meses para um sis-
tema composto por uma usina com reservat´orio de acumula¸c˜ao e uma com reservat´orio
de compensa¸c˜ao (usina a fio d’´agua). A configura¸c˜ao em cascata deste sistema ´e apre-
sentada na Fig. III.1.
LEGENDA:
USINA COM
RESERVATÓRIO
USINA A
FIO D’ÁGUA
R
I
O
O
U
C
U
R
S
O
D
’
Á
G
U
A
USINA 1
USINA 2
1
A
2
A
1
(Q+S)
2
(Q+S)
1
V
2
V= 0
Figura III.1: Sistema com duas usinas hidrel´etricas.
III.3.1 Aspectos Computacionais
A formula¸c˜ao descrita em (II.4) torna-se um problema de grandes propor¸c˜oes
devido ao horizonte de planejamento. Para cada usina hidrel´etrica, existem quatro va-
ri´aveis (S
t
i
,Q
t
i
,V
t
i
e λ
h
t
i
) associadas a cada est´agio, portanto o n´umero total de vari´aveis
26
hidr´aulicas (NV H) no problema (II.4) pode ser obtido como segue em (III.2a).
NV H = 4 · (NP · N S) (III.2a)
Onde NS representa o n´umero de est´agios de planejamento. Adicionalmente, existem
(NS) vari´aveis relacionadas aos multiplicadores de Lagrange (λ
t
d
) associados `a (II.4c).
Finalmente, existe uma vari´avel associada `a energia firme (D). Portanto, o n´umero
total de vari´aveis (NV ) do problema de otimiza¸c˜ao pode ser calculado atrav´es de
(III.2b) de acordo com o n´umero de usinas hidrel´etricas e est´agios com discretiza¸c˜ao
mensal. Esta grandeza ´e utilizada para dimensionar a matriz Hessiana do problema de
otimiza¸c˜ao.
NV = NV H + NS + 1 (III.2b)
Neste caso, utilizando-se (III.2b), o n´umero de vari´aveis ´e 19, portanto, a matriz possui
361 elementos. Entretanto, somente 63 s˜ao elementos n˜ao nulos, ou seja, aproximada-
mente 17,45%. Para sistemas de grande porte estes elementos representam uma parcela
menor que 0,01% do n´umero total de elementos na matriz Hessiana. A Fig. III.2 enfa-
tiza uma imp ortante caracter´ıstica, a esparsidade da matriz Hessiana, onde o s´ımbolo
(•) representa um elemento n˜ao nulo.
S
Q
V
S
Q
V
S
Q
V
S
Q
V
D
SQVSQVSQVSQV D
Variáveis
Variáveis
Sub-matrix
Energética
Bloco 4x4
Usina 2
Usina 1
Estágio 1
Estágio 2
Sub-matriz
de Demanda
h
h
h
h
d
d
h d h h h d
Figura III.2: Estrutura da matriz Hessiana.
A maneira como s˜ao preenchidos os elementos possibilita um bom padr˜ao de
esparsidade na matriz Hessiana que pode permitir melhores ganhos durante a resolu¸c˜ao
do sistema linear. Esta matriz possui elementos preenchidos devido `as contribui¸c˜oes
do m´etodo de pontos interiores, ao acoplamento operativo hidr´aulico e el´etrico e das
n˜ao linearidades das fun¸c˜oes de produ¸c˜ao de energia das usinas hidrel´etricas.
27
Para melhor detalhar a sua estrutura e seus elementos, a sua composi¸c˜ao pode
tamb´em ser definida conforme mostrado em (III.3a). Esta matriz ´e composta fun-
damentalmente por duas sub-matrizes, correspondentes ao problema com rela¸c˜ao `as
restri¸c˜oes hidr´aulicas e de demanda.
W =
W
e1
u1
W
e1
u2,u1
W
e2,e1
u1
0
W
ρ
u1,e1
0 0
W
e1
u1,u2
W
e1
u2
0 0
W
ρ
u2,e1
0 0
W
e1,e2
u1
0 W
e2
u1
W
e2
u2,u1
0 W
ρ
u1,e2
0
0 0 W
e2
u1,u2
W
e2
u2
0 W
ρ
u2,e2
0
W
ρ
u1,e1
0
0
W
ρ
u2,e1
0
0
0
W
ρ
u1,e2
0
0
W
ρ
u2,e2
0
W
D
(III.3a)
Onde, e denota o ´ındice de est´agio e u denota o ´ındice de usina.
Na primeira sub-matriz, definida como sub-matriz energ´etica, o bloco de uma
usina ´e composto por quatro elementos, e ´e representado pelo bloco do tipo W
et
ui
.
Os elementos que comp˜oem este bloco s˜ao as vari´aveis de volume vertido (S), volume
turbinado (Q), volume armazenado (V) e o multiplicador de Lagrange correspondente `a
equa¸c˜ao de conserva¸c˜ao de ´agua da usina no est´agio de planejamento (λ
h
). Agrupados
em seq
¨
uˆencia de numera¸c˜ao das usinas, estes blocos criam estruturas sim´etricas por
est´agio. Em (III.3b) ´e mostrada a constru¸c˜ao do bloco W
et
ui
.
W
et
ui
=
∂
2
L
/
∂S
t
i
2
∂
2
L
/
∂Q
t
i
∂S
t
i
0
∂
2
L
/
∂λh
t
i
∂S
t
i
∂
2
L
/
∂S
t
i
∂Q
t
i
∂
2
L
/
∂Q
t
i
2
∂
2
L
/
∂V
t
i
∂Q
t
i
∂
2
L
/
∂λh
t
i
∂Q
t
i
0
∂
2
L
/
∂V
t
i
∂Q
t
i
∂
2
L
/
∂V
t
i
2
∂
2
L
/
∂λh
t
i
∂V
t
i
∂
2
L
/
∂S
t
i
∂λh
t
i
∂
2
L
/
∂Q
t
i
∂λh
t
i
∂
2
L
/
∂V
t
i
∂λh
t
i
0
(III.3b)
Onde, L denota a equa¸c˜ao lagrangeana resultante do problema de otimiza¸c˜ao, t denota
o est´agio, e i denota a usina.
Pode-se observar ainda o acoplamento temporal, que representa a interliga¸c˜ao
do armazenamento de ´agua em uma usina em est´agios imediatamente vizinhos, atrav´es
dos blocos do tipo W
et,et+1
ui
. Em (III.3c) ´e mostrada a constru¸c˜ao deste bloco.
W
et,et+1
ui
=
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
∂
2
L
/
∂V
t
i
∂λh
t+1
i
0
(III.3c)
O acoplamento hidr´aulico ´e observado nos blocos do tipo W
et
ui,um
, que represen-
tam a interconex˜ao hidr´aulica entre usinas em uma mesma cascata, e que associam
os volumes vertido e turbinado das usinas imediatamente a montante nas equa¸c˜oes de
balan¸co h´ıdrico. Em (III.3d) ´e mostrada a constru¸c˜ao deste bloco.
W
et
ui,um
=
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
∂
2
L
/
∂S
t
m
∂λh
t
i
∂
2
L
/
∂Q
t
m
∂λh
t
i
0 0
(III.3d)
28
Onde, m denota a usina imediatamente a montate da usina i.
A segunda sub-matriz, definida como sub-matriz de demanda, ´e composta pe-
los blocos do tipo W
ρ
ui,et
, e representa a fun¸c˜ao de produ¸c˜ao de energia hidrel´etrica,
dependente das vari´aveis de volume vertido (S), volume turbinado (Q), volume ar-
mazenado (V) e do multiplicador de Lagrange da equa¸c˜ao de conserva¸c˜ao de energia
correspondente ao est´agio (λ
d
). Em (III.3e) ´e mostrada a constru¸c˜ao deste bloco.
W
ρ
ui,et
=
∂
2
L
/
∂S
t
i
∂λd
t
i
∂
2
L
/
∂Q
t
i
∂λd
t
i
∂
2
L
/
∂V
t
i
∂λd
t
i
0
(III.3e)
Finalmente, o bloco de demanda W
D
, ´e composto pelos multiplicadores de La-
grange da equa¸c˜ao de conserva¸c˜ao de energia de cada est´agio (λ
d
), ordenados em ordem
crescente de est´agios, seguido pelo elemento de demanda ou energia firme (D). Em
(III.3f) ´e mostrada a constru¸c˜ao deste bloco.
W
D
=
0 0
∂
2
L
/
(∂D∂λ
t
d
)
0 0
∂
2
L
/
(∂D∂λ
t+1
d
)
∂
2
L
/
∂λ
t
d
∂D
∂
2
L
/
∂λ
t+1
d
∂D
∂
2
L
/
∂D
2
(III.3f)
III.3.2 Exemplo Num´erico
Dando continuidade a apresenta¸c˜ao do caso tutorial, apresenta-se nesta subse¸c˜ao
o exemplo num´erico correspondente ao sistema de topologia apresentado na Fig. III.1.
Para o estudo, foram escolhidas as usinas de Serra da Mesa e Cana Brava, situadas no
rio Tocantins. Os dados construtivos das usinas hidrel´etricas e seus limites operativos
s˜ao apresentados na Tabela III.1 [44].
Tabela III.1: Dados construtivos das usinas hidrel´etricas
Usina
P G
i
max
Q
i
max
V
i
max
V
i
min
V
i
´util
ρ
esp
i
(MW ) (m
3
/s) (hm
3
) (hm
3
) (hm
3
)
MW
m·(m
3
/s)
Serra da Mesa 1275,0 1164,96 54400,0 11150,0 43250,0 9,124 · 10
−3
Cana Brava 471,6 1181,85 2300,0 2300,0 0,0 8,927 · 10
−3
As Tabelas III.2 e III.3 apresentam respectivamente os coeficientes dos polinˆo-
mios Cota-Volume e Vaz˜ao-N´ıvel Jusante das usinas.
O horizonte de estudo utilizado para exemplificar numericamente o problema
´e de dois meses de planejamento. Para tanto, a Tabela III.4 apresenta os dados de
afluˆencias referentes aos dois meses de planejamento bem como o volume inicial para
as duas usinas hidrel´etricas.
O primeiro passo ´e a constru¸c˜ao do problema de otimiza¸c˜ao a partir da monta-
gem do sistema de equa¸c˜oes composto pela fun¸c˜ao objetivo, pelas restri¸c˜oes de balan¸co
29
Tabela III.2: Coeficientes do Polinˆomio Cota x Volume
Usina CR
1,i
CR
2,i
CR
3,i
CR
4,i
CR
5,i
Serra
391,405 2,77216 · 10
−3
−4,35725 · 10
−8
2,90304 · 10
−13
0,0
da Mesa
Cana
333,000 0,0 0,0 0,0 0,0
Brava
Tabela III.3: Coeficientes do Polinˆomio Vaz˜ao x N´ıvel Jusante
Usina CF
1,i
CF
2,i
CF
3,i
CF
4,i
CF
5,i
Serra
332,798 1,34297 · 10
−3
8,81956 · 10
−8
−1,62767 · 10
−11
0,0
da Mesa
Cana
284,110 4,42560 · 10
−3
−7,80760 · 10
−7
6,61660 · 10
−11
0,0
Brava
h´ıdrico, restri¸c˜oes de balan¸co de demanda e restri¸c˜oes de canaliza¸c˜ao. Desta forma,
tem-se que a fun¸c˜ao objetivo ´e dada atrav´es de (III.4a).
max D (III.4a)
As restri¸c˜oes de balan¸co h´ıdrico s˜ao dadas atrav´es de (III.4b)-(III.4e).
V
1
1
+ Q
1
1
+ S
1
1
− V
0
1
−
A
1
1
= 0 (λ
h
1
1
) (III.4b)
V
1
2
+ Q
1
2
+ S
1
2
− V
0
2
− (Q
1
1
+ S
1
1
) −
A
1
2
= 0 (λ
h
1
2
) (III.4c)
V
2
1
+ Q
2
1
+ S
2
1
− V
1
1
−
A
2
1
= 0 (λ
h
2
1
) (III.4d)
V
2
2
+ Q
2
2
+ S
2
2
− V
1
2
− (Q
2
1
+ S
2
1
) −
A
2
2
= 0 (λ
h
2
2
) (III.4e)
Tabela III.4: Afluˆencias nas usinas hidrel´etricas
Usina A
1
i
(m
3
/s) A
2
i
(m
3
/s) V
0
i
(hm
3
)
Serra da Mesa 1049,0 1426,0 54400,0
Cana Brava 142,0 174,0 2300,0
30
As restri¸c˜oes de balan¸co de demanda s˜ao dadas atrav´es de (III.4f) e (III.4g).
Q
1
1
· ρ
1
sp
·
5
k=1
CR
k,1
· V
1
1
k−1
−
5
k=1
CF
k,1
· (S
1
1
+ Q
1
1
)
k−1
+
+Q
1
2
· ρ
2
sp
·
5
k=1
CR
k,2
· V
1
2
k−1
−
5
k=1
CF
k,2
· (S
1
2
+ Q
1
2
)
k−1
− D = 0 (λ
1
d
) (III.4f)
Q
2
1
·ρ
1
sp
·
5
k=1
CR
k,1
· V
2
1
k−1
−
5
k=1
CF
k,1
· (S
2
1
+ Q
2
1
)
k−1
+
+
Q
2
2
·ρ
2
sp
·
5
k=1
CR
k,2
· V
2
2
k−1
−
5
k=1
CF
k,2
· (S
2
2
+ Q
2
2
)
k−1
− D = 0 (λ
2
d
) (III.4g)
A matriz Hessiana do problema ´e ent˜ao obtida de acordo com (III.3). A seguir
s˜ao apresentados os elementos de cada bloco da matriz.
O bloco do tipo W
et
ui
composto pelos elementos mostrados em (III.3b). Estes
elementos s˜ao descritivamente apresentados em (III.5).
∂
2
L
∂S
t
i
2
=
π
S
t
i
l
s
S
t
i
l
−
π
S
t
i
u
s
S
t
i
u
− Q
t
i
· ρ
i
sp
· λ
t
d
·
5
k=3
2
p=1
(k − p)· CF
k,i
· (S
t
i
+ Q
t
i
)
k−3
(III.5a)
∂
2
L
∂Q
t
i
2
=
π
Q
t
i
l
s
Q
t
i
l
−
π
Q
t
i
u
s
Q
t
i
u
− ρ
i
sp
· λ
t
d
·
Q
t
i
·
5
k=3
2
p=1
(k − p)· CF
k,i
· (S
t
i
+ Q
t
i
)
k−3
+2 ·
5
k=2
(k − 1) · CF
k,i
· (S
t
i
+ Q
t
i
)
k−2
(III.5b)
∂
2
L
∂V
t
i
2
=
π
V
t
i
l
s
V
t
i
l
−
π
V
t
i
u
s
V
t
i
u
− Q
t
i
· ρ
i
sp
· λ
t
d
·
5
k=3
2
p=1
(k − p) · CR
k,i
· (V
t
i
)
k−3
(III.5c)
31
∂
2
L
∂S
t
i
∂Q
t
i
= −ρ
i
sp
· λ
t
d
·
Q
t
i
·
5
k=3
2
p=1
(k − p) · CF
k,i
· (S
t
i
+ Q
t
i
)
k−3
+
5
k=2
(k − 1) · CF
k,i
· (S
t
i
+ Q
t
i
)
k−2
(III.5d)
∂
2
L
∂V
t
i
∂Q
t
i
= −ρ
i
sp
· λ
t
d
·
5
k=2
(k − 1) · CR
k,i
· (V
t
i
)
k−2
(III.5e)
∂
2
L
∂λh
t
i
∂S
t
i
= −1 (III.5f)
∂
2
L
∂λh
t
i
∂Q
t
i
= −1 (III.5g)
∂
2
L
∂λh
t
i
∂V
t
i
= −1 (III.5h)
A partir dos dados de entrada e das condi¸c˜oes iniciais, substituindo-se os valores
das vari´aveis de (III.5) em (III.3b) obt´em-se (III.6a) e (III.6b). O bloco W
e1
u1
possui na
1
a
itera¸c˜ao os mesmos valores que o bloco W
e2
u1
, assim como os blocos W
e1
u2
e W
e2
u2
.
W
e1
u1
= W
e2
u1
=
5 · 10
6
−5,5931 · 10
−6
0 −1
−5,5931 · 10
−6
−6,29 · 10
−6
−2,1121 · 10
−6
−1
0 −2,1121 · 10
−6
−3,6082 · 10
−8
−1
−1 −1 −1 0
(III.6a)
W
e1
u2
= W
e2
u2
=
5 · 10
6
−5,1252 · 10
−6
0 −1
−5,1252 · 10
−6
−1,311 · 10
−5
0 −1
0 0 1 0
−1 −1 0 0
(III.6b)
O acoplamento temporal representando a interliga¸c˜ao do armazenamento de
´agua nas usinas entre os est´agios 1 e 2, ´e realizado atrav´es dos blocos do tipo W
et,et+1
ui
.
Estes blocos s˜ao compostos pelos elementos mostrados em (III.3c). O elemento n˜ao
nulo ´e apresentado em (III.7).
∂
2
L
∂V
t
i
∂λh
t+1
i
= 1 (III.7)
Portanto, como o elemento ´e sempre constante, substituindo-se (III.7) em (III.3c),
obt´em-se (III.8).
W
e1,e2
u1
= W
e1,e2
u2
=
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
(III.8)
32
O acoplamento hidr´aulico entre as duas usinas ´e observado nos blocos do tipo
W
et
ui,um
. Estes associam o volume vertido e o volume turbinado para cada est´agio
entre as usinas de Serra da Mesa, a montante, e Cana Brava a jusante. Estes blocos
s˜ao compostos pelos elementos mostrados em (III.3d). Os elementos n˜ao nulos s˜ao
apresentados em (III.9a) e (III.9b).
∂
2
L
∂S
t
m
∂λh
t
i
= 1 (III.9a)
∂
2
L
∂Q
t
m
∂λh
t
i
= 1 (III.9b)
Portanto, como os elementos s˜ao sempre constantes, substituindo-se (III.9a) e
(III.9b) em (III.3d), obt´em-se (III.10).
W
e1
u2,u1
= W
e2
u2,u1
=
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 0 0
(III.10)
Os blocos do tipo W
ρ
ui,et
representam a fun¸c˜ao de produ¸c˜ao de energia hidrel´e-
trica na matriz Hessiana. Estes blocos s˜ao compostos pelos elementos mostrados em
(III.3e). Os elementos n˜ao nulos s˜ao apresentados em (III.11a), (III.11b) e (III.11c).
∂
2
L
∂S
t
i
∂λ
t
d
= −Q
t
i
· ρ
i
sp
·
5
k=2
(k − 1) · CF
k,i
· (S
t
i
+ Q
t
i
)
k−2
(III.11a)
∂
2
L
∂Q
t
i
∂λ
t
d
= −ρ
i
sp
·
Q
t
i
·
5
k=2
(k − 1) · CF
k,i
· (S
t
i
+ Q
t
i
)
k−2
+
5
k=1
CR
k,i
· (V
t
i
)
k−1
−
5
k=1
CF
k,i
· (S
t
i
+ Q
t
i
)
k−1
(III.11b)
∂
2
L
∂V
t
i
∂λ
t
d
= −Q
t
i
· ρ
i
sp
·
5
k=2
(k − 1) · CR
k,1
· (V
t
i
)
k−2
(III.11c)
Portanto, substituindo-se os valores das vari´aveis de (III.11) em (III.3e) obt´em-
se (III.12a) e (III.12b).
W
ρ
u1,e1
= W
ρ
u1,e2
=
−7,5953 · 10
−3
−0,44608 −3,2356 · 10
−3
0
(III.12a)
W
ρ
u2,e1
= W
ρ
u2,e2
=
−0,018844 −0,17679 0 0
(III.12b)
33
O bloco do tipo W
D
representa o bloco de demanda da matriz Hessiana. Este
bloco ´e composto pelos elementos mostrados em (III.3f). Os elementos n˜ao nulos s˜ao
apresentados em (III.13a), (III.13b) e (III.13c).
∂
2
L
∂λ
t
d
∂D
= −1 (III.13a)
∂
2
L
∂λ
t+1
d
∂D
= −1 (III.13b)
∂
2
L
∂D
2
=
π
D
l
s
D
l
= 2,2087 · 10
−4
(III.13c)
Portanto, substituindo-se os valores das vari´aveis de (III.13a), (III.13b) e (III.13c)
em (III.3f) obt´em-se (III.14).
W
D
=
0 0 −1
0 0 −1
−1 −1 2,2087 · 10
−4
(III.14)
Finalmente, conhecidos todos os valores dos elementos pertencentes `a matriz
Hessiana, esta ´e apresentada de maneira completa atrav´es de (III.15).
34
W = (III.15)
5· 10
6
−5,59· 10
−6
0 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 −0,0076 0 0
−5,59· 10
−6
−6,29· 10
−6
−2,11· 10
−6
−1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 −0,44608 0 0
0 −2,11· 10
−6
−3,61· 10
−8
−1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −0,00324 0 0
−1 −1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 5· 10
6
−5,13· 10
−6
0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −0,01884 0 0
0 0 0 0 −5,13· 10
−6
−1,31· 10
−5
0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −0,17679 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 −1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 5· 10
6
−5,59· 10
−6
0 −1 0 0 0 1 0 −0,00756 0
0 0 0 0 0 0 0 0 −5,59· 10
−6
−6,29· 10
−6
−2,11· 10
−6
−1 0 0 0 1 0 −0,44608 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 −2,11· 10
−6
−3,61· 10
−8
−1 0 0 0 0 0 −0,00324 0
0 0 1 0 0 0 0 0 −1 −1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5· 10
6
−5,13· 10
−6
0 −1 0 −0,018844 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −5,13· 10
−6
−1,31· 10
−5
0 −1 0 −0,17679 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 −1 −1 0 0 0 0 0
−7,60· 10
−3
−0,44608 −3,24· 10
−3
0 −0,018844 −0,17679 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1
0 0 0 0 0 0 0 0 −7,60· 10
−3
−0,44608 −3,24· 10
−3
0 −0,018844 −0,17679 0 0 0 0 −1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 −1 2,21· 10
−4
35
O vetor gradiente ´e composto pelas derivadas primeiras da fun¸c˜ao Lagrangeana
com rela¸c˜ao `as vari´aveis de otimiza¸c˜ao. O vetor independente ´e formado pelos sub-
vetores do tipo GRAD
et
ui
correspondentes `as equa¸c˜oes de balan¸co h´ıdrico de cada usina
em cada est´agio, e pelo sub-vetor do tipo GRAD
et,et+1
d
correspondente `as equa¸c˜oes
balan¸co de demanda. O sub-vetor do tipo GRAD
et
ui
´e apresentado em (III.16).
GRAD
et
ui
=
∂L
/
∂S
t
i
∂L
/
∂Q
t
i
∂L
/
∂V
t
i
∂L
/
∂λh
t
i
(III.16)
Desta forma, os sub-vetores do tipo GRAD
et
ui
, tomam a forma num´erica de
acordo com (III.17).
GRAD
e1
u1
=
5000
0,44608
3,2593 · 10
−3
−1226,9
(III.17a)
GRAD
e1
u2
=
5001
1,1768
0
−3728,2
(III.17b)
GRAD
e2
u1
=
5000
0,44608
1,0033
1158,5
(III.17c)
GRAD
e2
u2
=
5001
1,1768
0
−435,41
(III.17d)
O sub-vetor do tipo GRAD
et,et+1
d
´e apresentado por (III.18).
GRAD
et,et+1
d
=
∂L
/
∂λ
t
d
∂L
∂λ
t+1
d
∂L
/
∂D
(III.18)
Desta forma, o sub-vetor do tipo GRAD
et,et+1
d
toma a forma num´erica de acordo
com (III.19).
GRAD
et,et+1
d
=
766,06
766,06
0,97005
(III.19)
36
O vetor gradiente totalmente preenchido com os elementos da 1
a
itera¸c˜ao ´e
apresentado em (III.20).
GRAD =
5000
0,44608
3,2593 · 10
−3
−1226,9
5001
1,1768
0,0
−3728,2
5000
0,44608
1,0033
1158,5
5001
1,1768
0,0
−435,41
766,06
766,06
0,97005
(III.20)
O processo iterativo do M´etodo Primal-Dual de Pontos Interiores (MPI) atinge
a convergˆencia na 17
a
itera¸c˜ao. A energia firme do sistema ´e D = 1746,60MW . Os
valores das vari´aveis primais na solu¸c˜ao ´otima do problema s˜ao mostrados na Tabela
III.5.
Tabela III.5: Resultados do exemplo num´erico
Usina Est´agio
P G
t
i
Q
t
i
V
t
i
S
t
i
(MW ) (m
3
/s) (hm
3
) (m
3
/s)
Serra 1 1308,2 1143,18 54152,0 0,0
da Mesa 2 1279,3 1131,81 51549,0 0,0
Cana 1 438,38 1181,84 2300,0 1387,34
Brava 2 467,33 1181,84 2300,0 123,97
A Tabela III.6 apresenta os resultados da produtividade das usinas (ρ
t
i
), destaca-
se os valores das cotas dos reservat´orios (φ
t
i
) e dos canais de fuga (θ
t
i
), assim como a
altura de queda l´ıquida resultante (h
t
i
).
´
E importante observar que a usina de Cana Brava, que opera a fio d’´agua,
turbina a vaz˜ao m´axima de ´agua para a pro du¸c˜ao de energia el´etrica, havendo ainda
vertimentos na mesma. Como no primeiro est´agio h´a um maior volume defluente que
no segundo est´agio, o n´ıvel do canal de fuga aumenta e conseq
¨
uentemente a altura de
queda diminui, portanto, a produ¸c˜ao de energia no segundo est´agio torna-se maior que
37
Tabela III.6: A produtividade nas usinas de Serra da Mesa e Cana Brava
Usina Est´agio φ
t
i
(m) θ
t
i
(m) h
t
i
(m)
ρ
t
i
MW
(m
3
/s)
Serra 1 459,85 334,42 125,42 1,144376
da Mesa 2 458,29 334,41 123,88 1,130288
Cana 1 333,00 291,45 41,55 0,370929
Brava 2 333,00 288,71 44,29 0,395421
no primeiro est´agio. Este fato ´e identificado pelo modelo proposto porque ´e considerado
a n˜ao linearidade da produtividade.
A partir dos resultados obtidos, pode-se determinar a energia firme individual
a partir de (II.4h). A Tabela III.7 apresenta a energia firme individual das usinas
hidrel´etricas de Serra da Mesa e Cana Brava.
Tabela III.7: Energia Firme nas usinas de Serra da Mesa e Cana Brava
Usina
Energia Energia
Firme (MW ) Firme (%)
Serra
1293,70 74,07
da Mesa
Cana
452,85 25,93
Brava
III.4 Conclus˜oes
Este cap´ıtulo apresentou a metodologia proposta para o c´alculo de energia firme
envolvendo a varia¸c˜ao da produtividade das usinas hidrel´etricas.
Neste trabalho, tendo em vista uma abordagem sobre o impacto da varia¸c˜ao da
produtividade das usinas hidrel´etricas no c´alculo da energia firme, n˜ao s˜ao considerados
o uso m´ultiplo da ´agua dos rios (evapora¸c˜ao, irriga¸c˜ao) e as perdas hidr´aulicas nas
tubula¸c˜oes das usinas. Nota-se ainda que esta suposi¸c˜ao n˜ao ´e um fator limitante para
a metodologia proposta.
Adicionalmente, foram mostrados os aspectos computacionais e num´ericos do
problema de Programa¸c˜ao N˜ao Linear (PNL) atrav´es de um caso tutorial.
38
Cap´ıtulo IV
Estudo de Casos
IV.1 Introdu¸c˜ao
Este cap´ıtulo apresenta os resultados obtidos com o modelo n˜ao linear proposto.
O estudo de caso utiliza o Sistema Interligado Nacional Brasileiro (SIN) segundo a
vers˜ao do conjunto de dados NEWAVE do Programa Mensal de Opera¸c˜ao (PMO)
de janeiro de 2006 [44]. S˜ao apresentados os resultados referentes `a simula¸c˜ao da
energia firme por bacias hidrogr´aficas evidenciando assim os benef´ıcios provenientes da
opera¸c˜ao coordenada do SIN. Este cap´ıtulo ainda mostra uma an´alise realizada para
determina¸c˜ao do impacto na energia firme devido `a entrada de novas usinas hidrel´etricas
no sistema.
IV.2 O Sistema Interligado Nacional Brasileiro
A valida¸c˜ao do modelo computacional empregado neste trabalho apresenta uma
an´alise considerando o sistema com cen´ario de 70 anos desde o mˆes de janeiro de
1931, e utilizando discretiza¸c˜ao mensal. O SIN, nesta configura¸c˜ao, ´e composto por
107 plantas hidr´aulicas, representado por 46 usinas hidrel´etricas com reservat´orios de
acumula¸c˜ao, 5 reservat´orios de regula¸c˜ao, sem capacidade de produ¸c˜ao de energia, e
56 usinas hidrel´etricas operando a fio d’´agua. A capacidade total instalada ´e de 79,50
GW.
Os dados cadastrais das usinas hidrel´etricas e reservat´orios do sistema em estudo
e todas as suas caracter´ısticas operativas e construtivas foram obtidos de [44].
39
IV.2.1 Aspectos Computacionais
A estrutura da matriz Hessiana do sistema em estudo possui uma porcentagem
de elementos n˜ao nulos de 0,001%, isto ´e, apresenta uma estrutura altamente esparsa
que atrav´es de rotinas espec´ıficas de ordena¸c˜ao e fatora¸c˜ao permitem um alto desem-
penho computacional no m´etodo iterativo. O n´umero de vari´aveis deste problema ´e
calculado atrav´es de (III.2b), atingindo um valor de 360 mil e 361 vari´aveis. A si-
mula¸c˜ao foi realizada em um Intel Dual Core 1,86GHz / 2048 MB, desenvolvida em
plataforma C++ e ambiente DOS. O tempo computacional gasto foi de 85 minutos e
25 segundos para determina¸c˜ao do ponto ´otimo de opera¸c˜ao e foram necess´arias 259
itera¸c˜oes do M´etodo Primal-Dual de Pontos Interiores (MPI).
A escolha das condi¸c˜oes iniciais das vari´aveis primais de todas as usinas hidrel´e-
tricas foi feita como a seguir: a vaz˜ao turbinada sendo igual `a metade da vaz˜ao m´axima
turbin´avel (Q
i
= 0,5 · Q
i max
), vaz˜ao vertida igual a zero (S
i
= 0), volume armazenado
inicial nos reservat´orios igual a capacidade m´axima de armazenamento dos mesmos
(V
0
i
= V
i max
), e energia firme igual a zero (D = 0). No processo de otimiza¸c˜ao para
o c´alculo da energia firme, todas as usinas hidrel´etricas tˆem no in´ıcio do per´ıodo de
planejamento 100% da capacidade total de armazenamento de volume. As vari´aveis
duais foram todas inicializadas iguais a 1 (λ
h
t
i
= λ
d
t
= 1).
IV.2.2 Resultados
A energia firme global do SIN e o per´ıodo cr´ıtico s˜ao obtidos atrav´es de uma
´unica simula¸c˜ao da plataforma computacional proposta. A partir destes resultados, a
energia firme individualizada e a evolu¸c˜ao da energia armazenada no SIN s˜ao obtidas.
A Tabela IV.1 [16] mostra os resultados das simula¸c˜oes realizadas com o modelo de
Programa¸c˜ao Linear com Ajustes Alternados (PLA) e com o modelo de Programa¸c˜ao
N˜ao Linear (PNL).
Tabela IV.1: Resultados SIN.
Item PLA PNL
Energia Firme Global
42570,25 42866,59
do SIN (MW)
Per´ıodo Cr´ıtico
Maio/1952 a Maio/1952 a
Novembro/1956 Novembro/1956
Tempo de Simula¸c˜ao 26h40min 1h26min
Conforme esperado, foi obtida uma diferen¸ca na energia firme global de 296,34
MW entre as duas metodologias, o que representa 0,7%. Esta diferen¸ca percentual ´e
observada tanto nas usinas a fio d’´agua quanto nas usinas com reservat´orio. Em rela¸c˜ao
ao per´ıodo cr´ıtico, as duas metodologias apontaram o mesmo resultado. Em rela¸c˜ao
40
ao tempo computacional, a metodologia proposta apresentou um desempenho muito
melhor, pois o problema ´e solucionado em uma ´unica simula¸c˜ao.
Em rela¸c˜ao `a energia armazenada do sistema, a Fig. IV.1 mostra que as duas
metodologias s˜ao bastante similares. No entanto, observa-se que no in´ıcio do per´ıodo
cr´ıtico o armazenamento de energia do sistema ´e superior para a metodologia proposta.
Este fato justifica o melhor desempenho das usinas do sistema, pois maiores n´ıveis de
´agua nos reservat´orios levam o sistema a maiores alturas de queda, o que aumenta a
produtividade e a eficiˆencia das usinas hidrel´etricas. Portanto, existe um ganho de
eficiˆencia do modelo n˜ao linear em rela¸c˜ao ao armazenamento de energia durante o
per´ıodo cr´ıtico.
Mai/52 Nov/52 Mai/53 Nov/53 Mai/54 Nov/54
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
GW
Período Crítico (mês/ano)
PNL
PLA
Figura IV.1: Energia Armazenada do SIN durante o per´ıodo cr´ıtico.
Os resultados da metodologia proposta s˜ao mais realistas, pois consideram a de-
pendˆencia da produtividade das usinas em rela¸c˜ao aos n´ıveis das cotas do reservat´orio
e do canal de fuga. No modelo n˜ao linear, a rela¸c˜ao entre a produtividade e as cotas
da usina implica em uma mudan¸ca de estados de armazenamento suavizada entre os
est´agios e desta forma n˜ao permite varia¸c˜oes bruscas nos n´ıveis dos reservat´orios, pois
estas varia¸c˜oes afetam negativamente a produtividade das usinas. Este fato, contem-
plado pela metodologia proposta, est´a em consonˆancia com a pr´atica atual de opera¸c˜ao
dos reservat´orios.
41
A Fig. IV.2 e a Fig. IV.3 mostram os resultados obtidos de volume armazenado
para as usinas de Furnas e Ilha Solteira, respectivamente. Pode-se observar claramente
a vantagem da metodologia proposta de PNL sobre a metodologia de PLA.
Mai/52 Nov/52 Mai/53 Nov/53 Mai/54 Nov/54 Mai/55 Nov/55 Mai/56 Nov/5
6
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
Período Crítico (mês/ano)
hm
3
PNL
PLA
Figura IV.2: Evolu¸c˜ao do Volume ´util do reservat´orio da usina de Furnas durante o
per´ıodo cr´ıtico.
Mai/52 Nov/52 Mai/53 Nov/53 Mai/54 Nov/54 Mai/55 Nov/55 Mai/56 Nov/5
6
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
hm
3
Período Crítico (mês/ano)
PNL
PLA
Figura IV.3: Evolu¸c˜ao do Volume ´util do reservat´orio da usina de Ilha Solteira durante
o per´ıodo cr´ıtico.
42
Esta vantagem pode tamb´em ser observada na utiliza¸c˜ao da metodologia pro-
posta atrav´es da Fig. IV.4 e da Fig. IV.5, que apresentam a evolu¸c˜ao do volume ´util
durante o per´ıodo cr´ıtico das usinas de Itaparica e S˜ao Sim˜ao, respectivamente.
Mai/52 Nov/52 Mai/53 Nov/53 Mai/54 Nov/54 Mai/55 Nov/55 Mai/56 Nov/5
6
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
hm
3
Período Crítico (mês/ano)
PNL
PLA
Figura IV.4: Evolu¸c˜ao do Volume ´util do reservat´orio da usina de Itaparica durante o
per´ıodo cr´ıtico.
Mai/52 Nov/52 Mai/53 Nov/53 Mai/54 Nov/54 Mai/55 Nov/55 Mai/56 Nov/5
6
0
1000
2000
3000
4000
5000
hm
3
Período Crítico (mês/ano)
PNL
PLA
Figura IV.5: Evolu¸c˜ao do Volume ´util do reservat´orio da usina de S˜ao Sim˜ao durante
o per´ıodo cr´ıtico.
43
Foram calculados os desvios padr˜ao do volume ´util armazenado durante todo
o per´ıodo de planejamento. A Tabela IV.2 mostra estes valores para algumas usinas
hidrel´etricas do sistema. Estes resultados enfatizam a dispers˜ao do volume armazenado
encontrados nas duas metodologias analisadas para estas usinas hidrel´etricas.
Tabela IV.2: Desvio padr˜ao de volume armazenado das usinas hidrel´etricas.
Usina
Desvio M´edia
Padr˜ao (hm
3
) (hm
3
)
Nome V
´util
(hm
3
) PNL PLA PNL PLA
Ilha Solteira 43.397,00 2.215,50 3.806,20 30.190,00 30.065,00
Itaparica 14.330,00 477,05 1.628,30 9.069,30 8.951,80
Itumbiara 29.481,00 3.316,80 4.389,80 11.298,00 11.948,00
Salto Santiago 10.888,00 908,66 1.572,10 4.775,60 4.851,20
S˜ao Sim˜ao 18.080,00 1.157,80 2.308,00 9.909,30 9.767,70
Tucuru´ı 89.257,00 6.894,60 14.331,00 31.127,00 33.951,00
Atrav´es destes dados, observam-se na metodologia de Programa¸c˜ao N˜ao Linear
(PNL), menores dispers˜oes de volume relativas `a metodologia de Programa¸c˜ao Linear
com Ajustes Alternados (PLA). Isto est´a relacionado ao fato de n˜ao haver enchimentos
e esvaziamentos bruscos nos reservat´orios das usinas na metodologia n˜ao linear.
Na pr´atica, o operador do sistema n˜ao utiliza do recurso de enchimento ou
esvaziamento brusco dos reservat´orios, pelo contr´ario, busca manter os reservat´orios
operando em paralelo, de maneira a manter os reservat´orios com o mesmo percentual
de armazenamento.
Adicionalmente, a Fig. IV.6 apresenta o volume armazenado ´util da usina de
Tucuru´ı em um comparativo entre as metodologias de PNL e de PLA durante o per´ıodo
cr´ıtico. Podem ser observados nas duas metodologias grandes varia¸c˜oes de volume entre
os per´ıodos de transi¸c˜ao anual. Neste caso, a usina de Tucuru´ı torna-se um caso especial
no sistema brasileiro pois possui algumas peculiaridades devido ao grande montante
de ´agua no leito do seu rio e tamb´em `a grande capacidade de armazenamento e `as
caracter´ısticas de opera¸c˜ao de seu reservat´orio.
Observa-se que a decis˜ao ´otima da metodologia de PNL faz com que o eixo de
armazenamento de volume seja deslocado alguns meses no per´ıodo cr´ıtico em rela¸c˜ao `a
metodologia PLA, desta forma, esta usina atua compensando e regularizando o sistema
durante cada per´ıodo de seca anual.
Este fato pode ser melhor explicado atrav´es da Fig. IV.7 que apresenta a evolu-
¸c˜ao da vaz˜ao afluente, do volume ´util e do volume defluente da usina Tucuru´ı durante
o per´ıodo cr´ıtico.
Pode ser observado no in´ıcio do per´ıodo de seca anual h´a diminui¸c˜ao do volume
afluente, e a decis˜ao ´otima proposta consiste em manter o volume defluente menor
44
que o montante de volume afluente, de maneira que haja eleva¸c˜ao no n´ıvel d’´agua do
reservat´orio para que possa ser compensada a escassez de armazenamento no sistema.
Mai/52 Nov/52 Mai/53 Nov/53 Mai/54 Nov/54 Mai/55 Nov/55 Mai/56 Nov/5
6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
x 10
4
hm
3
Período Crítico (mês/ano)
PNL
PLA
Figura IV.6: Evolu¸c˜ao do Volume ´util do reservat´orio da usina de Tucuru´ı durante o
per´ıodo cr´ıtico.
Mai/52 Nov/52 Mai/53 Nov/53 Mai/54 Nov/54 Mai/55 Nov/55 Mai/56 Nov/56
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
x10
4
hm
3
Período Crítico (mês/ano)
V. Útil
V. Afluente
V. Defluente
Figura IV.7: Evolu¸c˜ao do volume ´util, volume afluente e volume defluente da usina de
Tucuru´ı durante o per´ıodo cr´ıtico.
45
A Fig. IV.8 e a Fig. IV.9 mostram a gera¸c˜ao hidr´aulica durante o per´ıodo
cr´ıtico para as usinas de Ilha Solteira e Porto Primavera, respectivamente.
Mai/52 Nov/52 Mai/53 Nov/53 Mai/54 Nov/54 Mai/55 Nov/55 Mai/56 Nov/5
6
500
1000
1500
2000
2500
3000
MW
Período Crítico (mês/ano)
PNL
PLA
Figura IV.8: Gera¸c˜ao de Ilha Solteira durante o Per´ıodo Cr´ıtico.
Mai/52 Nov/52 Mai/53 Nov/53 Mai/54 Nov/54 Mai/55 Nov/55 Mai/56 Nov/5
6
400
600
800
1000
1200
1400
1600
MW
Período Crítico (mês/ano)
PNL
PLS
Figura IV.9: Gera¸c˜ao de Porto Primavera durante o Per´ıodo Cr´ıtico.
Pode-se verificar um comportamento mais firme da gera¸c˜ao das usinas quando
o modelo de PNL ´e considerado. Mais uma vez observa-se que este resultado est´a em
consonˆancia com a pr´atica de opera¸c˜ao.
46
A Fig. IV.10 e a Fig. IV.11 apresentam a gera¸c˜ao de energia nas usinas de
Itaipu e Xing´o, respectivamente.
Mai/52 Nov/52 Mai/53 Nov/53 Mai/54 Nov/54 Mai/55 Nov/55 Mai/56 Nov/56
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
12000
MW
Período Crítico (mês/ano)
PNL
PLS
Figura IV.10: Gera¸c˜ao de energia da usina de Itaipu durante o per´ıodo cr´ıtico.
Mai/52 Nov/52 Mai/53 Nov/53 Mai/54 Nov/54 Mai/55 Nov/55 Mai/56 Nov/5
6
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
MW
Período Crítico (mês/ano)
PNL
PLA
Figura IV.11: Gera¸c˜ao de Xing´o durante o Per´ıodo Cr´ıtico.
Observa-se na metodologia proposta menores varia¸c˜oes da gera¸c˜ao de energia
tendo em vista o maior equil´ıbrio de armazenamento. Desta forma, a usina hidrel´e-
trica apresenta uma maior m´edia na gera¸c˜ao de energia devido `a eficiˆencia obtida pela
47
representa¸c˜ao da varia¸c˜ao da produtividade do modelo de PNL em rela¸c˜ao ao modelo
de PLA.
A Fig. IV.12 e a Fig. IV.13 apresentam respectivamente a evolu¸c˜ao da produ-
tividade das usinas hidrel´etricas de Furnas e Ilha Solteira durante o per´ıodo cr´ıtico.
Mai/52 Nov/52 Mai/53 Nov/53 Mai/54 Nov/54 Mai/55 Nov/55 Mai/56 Nov/5
6
0.25
0.26
0.27
0.28
0.29
0.3
0.31
0.32
MW/hm
3
Período Crítico (mês/ano)
PNL
PLA
Figura IV.12: Produtividade da usina de Furnas durante o per´ıodo cr´ıtico.
Mai/52 Nov/52 Mai/53 Nov/53 Mai/54 Nov/54 Mai/55 Nov/55 Mai/56 Nov/5
6
0.14
0.142
0.144
0.146
0.148
0.15
0.152
0.154
0.156
0.158
0.16
MW/hm
3
Período Crítico (mês/ano)
PNL
PLA
Figura IV.13: Produtividade da usina de Ilha Solteira durante o per´ıodo cr´ıtico.
48
Enquanto o modelo de PLA apresenta a produtividade constante, a produtivi-
dade real das usinas identificadas pela metodologia proposta apresenta grande varia¸c˜ao.
Observa-se ainda que durante grande parte do per´ıodo cr´ıtico a produtividade da usina
de Ilha Solteira permanece com valores superiores aos apresentados pela metodologia
de PLA. Isto pode tamb´em enfatizar a efic´acia da capacidade de regula¸c˜ao do sistema a
montante desta usina, trazendo grandes benef´ıcios `a sua fun¸c˜ao de pro du¸c˜ao de energia,
ou seja, elevando a sua produtividade a um patamar mais alto.
A Fig. IV.14 apresenta a evolu¸c˜ao da produtividade da usina hidrel´etrica de
Tucuru´ı durante o per´ıodo cr´ıtico. Esta usina recebe um tratamento para a sua pro-
dutividade dentro do processo de otimiza¸c˜ao.
´
E realizado o c´alculo n˜ao linear da sua
produtividade de forma que ao final do processo iterativo, toma-se o valor da produti-
vidade de cada est´agio de planejamento como sendo o valor final de produtividade de
cada mˆes na usina.
Mai/52 Nov/52 Mai/53 Nov/53 Mai/54 Nov/54 Mai/55 Nov/55 Mai/56 Nov/5
6
0.15
0.16
0.17
0.18
0.19
0.2
0.21
0.22
0.23
0.24
MW/hm
3
Período Crítico (mês/ano)
PNL
PLA
Figura IV.14: Produtividade da usina de Tucuru´ı durante o per´ıodo cr´ıtico.
A Tabela IV.3 mostra os valores da energia firme individualizada para algumas
usinas do SIN e o seu percentual em rela¸c˜ao `a energia firme global mostrada na Tabela
IV.1. A diferen¸ca no percentual de contribui¸c˜ao da Energia Firme individualizada tem
impacto direto sobre o Certificado de Energia Assegurada (CEA) atribu´ıda a cada uma
das usinas hidrel´etricas. Os resultados da energia firme individualizada s˜ao diferentes
para as duas metodologias, conforme era esperado.
A Tabela D.1 no Apˆendice D apresenta a energia firme individualizada para as
metodologias de Programa¸c˜ao N˜ao Linear (PNL) e de Programa¸c˜ao Linear com Ajustes
Alternados (PLA) das usinas hidrel´etricas do sistema. Identifica-se que a ado¸c˜ao de
uma meto dologia poder´a ser ben´efica para uma usina hidrel´etrica em detrimento de
49
Tabela IV.3: Energia Firme Individualizada para algumas usinas hidrel´etricas do sis-
tema.
Usina
PLA PNL
EF
i
EF
i
EF
i
EF
i
(MW) (%) (MW) (%)
Camargos 18,34 0,043 14,80 0,035
Furnas 524,33 1,232 527,32 1,230
Ilha Solteira 1708,80 4,014 1775,80 4,143
Itaipu 7582,60 17,812 7637,90 17,818
Marimbondo 580,33 1,363 582,43 1,359
P. Afonso-Moxot´o 2382,40 5,596 2436,00 5,683
Tucuru´ı 3883,20 9,122 3911,10 9,124
Xing´o 2524,80 5,931 2608,30 6,085
outra. No entanto, a metodologia proposta ´e a que tem a melhor representa¸c˜ao do
modelo real do sistema.
IV.3 An´alise do Impacto da Entrada de Novas Usi-
nas na Energia Firme
Esta se¸c˜ao apresenta os resultados obtidos com o modelo n˜ao linear dos estudos
de casos considerando a entrada de uma e duas novas usinas hidrel´etricas no SIN a partir
da vers˜ao do conjunto de dados apresentados na se¸c˜ao IV.2. A an´alise ´e realizada para
determina¸c˜ao do impacto na energia firme, primeiramente devido `a inclus˜ao no sistema
da usina de Estreito Tocantins, e em seguida, considera-se a entrada simultˆanea das
usinas hidrel´etricas de Estreito Tocantins e Peixe Angical.
IV.3.1 Entrada da Usina de Estreito Tocantins
A usina de Estreito Tocantins, localizada no rio Tocantins opera a fio d’´agua e
possu´ı potˆencia instalada de 1087,2 MW. A sua inclus˜ao no sistema faz com que o SIN,
seja composto por 108 plantas hidr´aulicas. A Tabela IV.4 apresenta o panorama do
sistema atual e o sistema com a implanta¸c˜ao da usina de Estreito Tocantins (EST-TO).
Tabela IV.4: Inclus˜ao da Usina de Estreito Tocantins no SIN.
Sistema
N
o
de PG
max
Usinas (GW)
Atual 107 79,50
C/ EST-TO 108 80,59
50
Observa-se um aumento no n´umero de vari´aveis hidr´aulicas que pode ser com-
putado atrav´es de (III.2a), totalizando 362 mil e 880 vari´aveis. Portanto, empregando
(III.2b), obt´em-se 363 mil e 721 vari´aveis englobadas no problema. O acr´escimo de
uma usina hidrel´etrica no problema significa um aumento total de 3 mil e 360 vari´aveis
de origem hidr´aulica.
A energia firme global do SIN e o per´ıodo cr´ıtico s˜ao obtidos atrav´es de uma
´unica simula¸c˜ao da plataforma computacional proposta. A partir destes resultados,
a energia firme individualizada e a evolu¸c˜ao da energia armazenada no SIN s˜ao obti-
das. A Tabela IV.5 mostra um comparativo dos resultados das simula¸c˜oes realizadas
com o modelo empregando o SIN e o mesmo com o acr´escimo da usina de Estreito
Tocantins. Adicionalmente, nota-se que n˜ao houve um aumento significativo no tempo
computacional.
Tabela IV.5: Resultados SIN com a Inclus˜ao da Usina de Estreito Tocantins.
Item
Sistema Sistema
Atual C/ EST-TO
Energia Firme Global
42866,59 43563,71
do SIN (MW)
Per´ıodo Cr´ıtico
Maio/1952 a Abril/1951 a
Novembro/1956 Novembro/1956
Tempo de Simula¸c˜ao 1h26min 1h36min
A Fig. IV.15 apresenta a gera¸c˜ao hidr´aulica da usina de Estreito To cantins.
Observa-se na gera¸c˜ao desta usina uma condi¸c˜ao sazonal bastante equilibrada.
Mai/52 Nov/52 Mai/53 Nov/53 Mai/54 Nov/54 Mai/55 Nov/55 Mai/56 Nov/5
6
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
MW
Período Crítico (mês/ano)
Figura IV.15: Gera¸c˜ao de Estreito Tocantins durante o Per´ıodo Cr´ıtico.
51
A energia firme individualizada da usina de Estreito Tocantins ´e de 605,85 MW
(1,41%).
IV.3.2 Entrada das Usinas de Estreito Tocantins e Peixe An-
gical
A usina de Peixe Angical, localizada no rio Tocantins possu´ı potˆencia instalada
de 452,1 MW. A inclus˜ao das usinas de Estreito Tocantins e Peixe Angical no sistema
faz com que o SIN, seja composto por 109 plantas hidr´aulicas. A Tabela IV.6 apresenta
o panorama do sistema atual e o sistema com a implanta¸c˜ao das usina de Estreito
Tocantins e Peixe Angical.
Tabela IV.6: Inclus˜ao das Usinas de Estreito Tocantins e Peixe Angical no SIN.
Sistema
N
o
de PG
max
Usinas (GW)
Atual 107 79,50
C/ adi¸c˜ao
109 81,04
das usinas
Observa-se um aumento no n´umero de vari´aveis hidr´aulicas que pode ser com-
putado atrav´es de (III.2a), totalizando 366 mil e 240 vari´aveis. Portanto, empregando
(III.2b), obt´em-se 367 mil e 81 vari´aveis englobadas no problema.
A energia firme global do SIN e o per´ıodo cr´ıtico s˜ao obtidos atrav´es de uma
´unica simula¸c˜ao da plataforma computacional proposta. A partir destes resultados, a
energia firme individualizada e a evolu¸c˜ao da energia armazenada no SIN s˜ao obtidas.
A Tabela IV.7 mostra um comparativo dos resultados das simula¸c˜oes realizadas com
o modelo empregando o SIN e o mesmo com o acr´escimo simultˆaneo das usinas de
Estreito Tocantins e Peixe Angical. Novamente, nota-se que n˜ao houve um aumento
significativo no tempo computacional.
Tabela IV.7: Resultados SIN com a Inclus˜ao das Usinas de Estreito To cantins e Peixe
Angical.
Item
Sistema Sistema c/ adi¸c˜ao
Atual das usinas
Energia Firme Global
42866,59 43890,28
do SIN (MW)
Per´ıodo Cr´ıtico
Maio/1952 a Abril/1951 a
Novembro/1956 Novembro/1956
Tempo de Simula¸c˜ao 1h26min 1h42min
A energia firme individualizada das usinas de Estreito Tocantins e Peixe Angical
s˜ao de 606,75 MW (1,42%) e 305,94 MW (0,71%), respectivamente.
52
IV.4 An´alise Descentralizada por Bacias Hidrogr´a-
ficas
Foram realizadas simula¸c˜oes adicionais utilizando o mesmo conjunto de dados
apresentado na se¸c˜ao IV.2. No entanto, nestas simula¸c˜oes foram consideradas o sistema
descentralizado p or bacias hidrogr´aficas e com cen´ario de 70 anos desde o mˆes de janeiro
de 1931, utilizando discretiza¸c˜ao mensal. O SIN, nesta configura¸c˜ao, foi decomposto
nas bacias do rio Paran´a, rio Uruguai, do Atlˆantico Leste, do Atlˆantico Sudeste, do
Atlˆantico Norte e Nordeste, do rio S˜ao Francisco, do rio Tocantins, e do rio Amazonas.
A energia firme global do SIN e o per´ıodo cr´ıtico s˜ao obtidos atrav´es de uma
simula¸c˜ao para cada uma das bacias adotadas. A partir destes resultados, a energia
firme individualizada e a evolu¸c˜ao da energia armazenada para cada uma das bacias
do SIN s˜ao obtidas. Na Tabela IV.8 s˜ao apresentados os resultados das simula¸c˜oes
realizadas com o modelo proposto para todas as bacias empregadas. A soma da energia
firme de cada bacia individualmente ´e somada de forma a obter uma energia firme total
do SIN.
Tabela IV.8: Resultados por Bacias Hidrogr´aficas.
Bacia N´umero
D(MW ) D(%)
Per´ıodo
Hidrogr´afica de Usinas Cr´ıtico
Rio Paran´a 57 24277,31 63,03
4/1952 a
11/1956
Rio Uruguai 6 868,05 2,25
3/1944 a
7/1945
Atlˆantico Leste 24 1049,28 2,72
4/1931 a
10/1956
Atlˆantico
7 426,86 1,11
10/1942 a
Sudeste 7/1945
Atlˆantico Norte
1 113,72 0,30
4/1961 a
e Nordeste 11/1963
Rio S˜ao
6 6747,85 17,52
5/1952 a
Francisco 11/1999
Rio Tocantins 4 5033,07 13,07
6/1949 a
10/1956
Rio Amazonas 2 41,40 0,11
5/1998 a
10/1998
TOTAL 107 38516,14 100,00
–
–
Conforme esperado, foi obtida uma redu¸c˜ao na energia firme global quando com-
parada com a simula¸c˜ao realizada de forma integrada de 4350,45 MW, o que representa
uma redu¸c˜ao percentual de 10,15%. Esta diferen¸ca ´e observada tanto nas usinas a fio
d’´agua quanto nas usinas com reservat´orio. Portanto, ´e consideravelmente significante
o impacto causado pela coordena¸c˜ao centralizada no c´alculo da energia firme de um
53
sistema. Neste sentido, se faz necess´ario empregar uma metodologia centralizada que
provenha maiores benef´ıcios para o sistema como todo.
Em rela¸c˜ao ao per´ıodo cr´ıtico, as simula¸c˜oes encontraram varia¸c˜oes nos per´ıodos,
conforme era esperado. Isto ocorre devido `a localiza¸c˜ao das usinas em diferentes bacias
hidrogr´aficas e assim, estas possuem diferentes per´ıodos e comportamentos hidrol´ogicos
provocando esta diferencia¸c˜ao. A opera¸c˜ao interligada transfere energia de uma bacia
a outra realizando uma regulariza¸c˜ao global.
54
Cap´ıtulo V
Conclus˜oes
V.1 Considera¸c˜oes Gerais
Esta disserta¸c˜ao apresentou uma aplica¸c˜ao do M´etodo Primal-Dual de Pontos
Interiores (MPI) para o c´alculo da energia firme do Sistema Interligado Nacional Bra-
sileiro (SIN). A metodologia utilizada permitiu a representa¸c˜ao individualizada das
usinas hidrel´etricas considerando as n˜ao linearidades das fun¸c˜oes de produtividade. Os
resultados mostram a importˆancia da representa¸c˜ao n˜ao linear das fun¸c˜oes de produ¸c˜ao
hidrel´etrica no c´alculo da energia firme e os seguintes aspectos podem ser destacados:
• O modelo matem´atico proposto para a modelagem do problema de c´alculo da
energia firme mostrou-se bastante abrangente na representa¸c˜ao dos v´arios com-
ponentes que comp˜oem o sistema hidrel´etrico de gera¸c˜ao.
• As estimativas das metas de gera¸c˜ao s˜ao dimensionadas adequadamente ao em-
pregar uma metodologia com maiores detalhamentos do sistema.
• O armazenamento de ´agua nas usinas hidrel´etricas tornou-se mais eficiente com
a metodologia proposta devido a representa¸c˜ao da varia¸c˜ao da produtividade das
usinas.
• O valor da energia firme encontrado pela metodologia proposta ´e maior que o
valor encontrado pela modelagem linear seq
¨
uencial tendo em vista a modelagem
mais realista do sistema.
• A energia firme das usinas hidrel´etricas sinaliza de forma mais correta a distri-
bui¸c˜ao da energia assegurada conduzindo a um rateio mais justo.
• A resolu¸c˜ao do problema em um ´unico passo propicia benef´ıcios oriundos da
opera¸c˜ao coordenada do SIN. A capacidade de regulariza¸c˜ao de uma usina ou
depende da compara¸c˜ao entre o tamanho de seu reservat´orio e a magnitude da
55
afluˆencia que este recebe. Assim, a capacidade de regulariza¸c˜ao afeta o compor-
tamento da usina, quando operada em conjunto com outras usinas, visto que a
opera¸c˜ao descentralizada fornece valores de energia firme significativamente infe-
riores aos valores apresentados atrav´es da opera¸c˜ao centralizada.
• O deplecionamento dos reservat´orios ´e dependente da magnitude da afluˆencia de
cada usina. Quanto maiores as afluˆencias, maiores s˜ao os deplecionamentos nas
usinas escolhidas pela ferramenta computacional para regular suas afluˆencias.
• A implementa¸c˜ao do modelo em uma linguagem computacional robusta permitiu
a estrutura¸c˜ao do problema que se encontra preparado para sofrer altera¸c˜oes em
seus componentes. A altera¸c˜ao de componentes como, por exemplo, o m´etodo
de c´alculo da dire¸c˜ao de caminhada do algoritmo de otimiza¸c˜ao, pode ser feita
diretamente atrav´es do arquivo de entrada de dados para a determina¸c˜ao da nova
opera¸c˜ao.
• Outro componente importante no modelo, com essa facilidade de modifica¸c˜ao, ´e
a an´alise do impacto da implanta¸c˜ao de novas usinas hidrel´etricas no sistema que
agrega valor comercial `a plataforma computacional desenvolvida. Observou-se
impactos significativos da entrada de usinas nos valores de energia firme total e
de energia firme individualizados ao SIN.
V.2 Desenvolvimentos Futuros
A complexidade da metodologia proposta exigiu a utiliza¸c˜ao de t´ecnicas de
esparsidade para a solu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes. Uma sugest˜ao para a continuidade
deste trabalho seria a de se adicionar, ao modelo de otimiza¸c˜ao, componentes que
melhorassem sua eficiˆencia computacional, pois este tempo computacional poder´a ser
reduzido atrav´es da utiliza¸c˜ao de t´ecnicas orientadas a objetos e rotinas de fatora¸c˜ao
mais espec´ıficas. No entanto, o tempo atual n˜ao ´e fator impeditivo para a utiliza¸c˜ao
da t´ecnica proposta.
Adicionalmente, os efeitos n˜ao lineares provocados pela evapora¸c˜ao, irriga¸c˜ao, e
perdas hidr´aulicas podem ser melhor explorados afim de tornar a an´alise do c´alculo da
energia firme ainda mais completa. Nota-se ainda que a inclus˜ao destas considera¸c˜oes
n˜ao ´e um fator impeditivo na utiliza¸c˜ao da metodologia adotada.
Tendo em vista que o modelo computacional desenvolvido fornece os coeficientes
de Lagrange relativos ao problema, eventualmente, estes poder˜ao ser melhor investiga-
dos, no sentido de fornecer uma importante ferramenta no aux´ılio da an´alise de ´ındices
de desempenho do sistema.
A metodologia proposta poder´a ser investigada para realizar a individualiza¸c˜ao
das decis˜oes geradas no processo de simula¸c˜ao da opera¸c˜ao utilizado no modelo Mo-
delo Estrat´egico de Gera¸c˜ao Hidrot´ermica a Subsistemas Interligados (NEWAVE) de
56
forma an´aloga ao modelo Modelo de Simula¸c˜ao a Usinas Individualizadas para Subsis-
temas Hidrot´ermicos Interligados (SUISHI-O), em que a gera¸c˜ao hidr´aulica por s´erie
hidrol´ogica poder´a ser desagregada.
57
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61
Apˆendice A
Fun¸c˜oes de Produ¸c˜ao de Energia
El´etrica
A dedu¸c˜ao da express˜ao matem´atica que representa a fun¸c˜ao de gera¸c˜ao de uma
unidade geradora hidrel´etrica come¸ca a partir da energia potencial armazenada no
reservat´orio. Segundo [2][45], a varia¸c˜ao desta energia potencial em rela¸c˜ao `a varia¸c˜ao
da massa de ´agua no reservat´orio como em (A.1).
dε
p
= dm · g · h (A.1)
Onde,
dε
p
Representa a varia¸c˜ao incremental na energia potencial [J];
dm Representa a varia¸c˜ao incremental da massa de ´agua armazenada no reserva-
t´orio [kg];
g Representa a acelera¸c˜ao da gravidade [m/s
2
].
A varia¸c˜ao da massa d’´agua ´e convertida em varia¸c˜ao de volume atrav´es de
(A.2).
ρ
H
2
O
= m/v (A.2)
Onde,
62
ρ
H
2
O
Representa o peso espec´ıfico da ´agua [kg/m
3
];
m Representa a massa d’´agua [kg];
v Representa o volume [m
3
].
Portanto, uma rela¸c˜ao incremental pode ser obtida de (A.2), resultando em
(A.3).
dm = ρ
H
2
O
· dv (A.3)
Onde,
dv Representa a varia¸c˜ao incremental de volume de ´agua armazenado no reser-
vat´orio [m
3
].
Substituindo (A.3) em (A.1), obtem-se (A.4)
dε
p
= ρ
H
2
O
· dv · g · h (A.4)
A varia¸c˜ao da energia potencial em um intervalo de tempo infinitesimal provoca
uma varia¸c˜ao de volume de ´agua num intervalo de tempo igualmente infinitesimal, tal
como em (A.5).
dε
p
/dt = ρ
H
2
O
· dv/dt · g · h (A.5)
Onde,
dε
p
/dt Representa a varia¸c˜ao da energia potencial em um intervalo de tempo [J/s];
dv/dt Representa a varia¸c˜ao do volume de ´agua em um intervalo de tempo [m
3
/s].
A partir de (A.5), define-se respectivamente (A.6) e (A.7) como a potˆencia
gerada e a vaz˜ao de ´agua.
p = dε
p
/dt (A.6)
q = dv/dt (A.7)
(A.8)
Onde,
63
p Representa a potˆencia gerada [J/s = W ];
q Representa a vaz˜ao de ´agua [m
3
/s].
Substituindo-se (A.6) e (A.7) em (A.5) obtem-se (A.9)
p
b
= ρ
H
2
O
· q · g · h (A.9)
Onde,
p
b
Representa a potˆencia bruta gerada [W ].
A potˆencia bruta (p
b
) ´e expressa por (A.9) e est´a associada com uma deter-
minada vaz˜ao d’´agua turbinada q desde uma altura de queda h. A condu¸c˜ao d’´agua
at´e a turbina ´e feita atrav´es de t´uneis ou sistema de dutos. Devido `a fric¸c˜ao d’´agua
no sistema de adu¸c˜ao verificam-se perdas expressas em termos de altura de queda. A
altura de queda l´ıquida ´e definida como sendo a diferen¸ca entre a altura de queda bruta
e a perda hidr´aulica no canal de adu¸c˜ao e ´e representada por (A.10).
h
l
= h − h
ph
(A.10)
Onde,
h
l
Representa a altura de queda l´ıquida [m];
h
ph
Representa a altura de perdas hidr´aulicas [m].
A perda hidr´aulica refere-se `a redu¸c˜ao da energia potencial pelo atrito da ´agua
ao escoar no interior do conduto for¸cado e caixa espiral. Esta perda ´e calculada levando-
se em conta dados referentes ao comprimento, diˆametro, curvas, rugosidade das paredes
internas do conduto for¸cado e da caixa espiral [3],[46]. Nesta disserta¸c˜ao, as perdas
hidr´aulicas s˜ao abatidas diretamente da altura de queda bruta e s˜ao consideradas cons-
tantes em rela¸c˜ao `a vaz˜ao turbinada.
A transforma¸c˜ao da potˆencia hidr´aulica em potˆencia mecˆanica ´e realizada pela
turbina e essa transforma¸c˜ao depende da vaz˜ao turbinada q, da altura de queda l´ıquida
h
l
, e da eficiˆencia η
t
dessa transforma¸c˜ao. Assim pode-se obter a express˜ao matem´atica
para a potˆencia mecˆanica desenvolvida pela turbina como em (A.11)
p
m
= ρ
H
2
O
· q · g · h
l
· η
t
(A.11)
Onde,
64
p
m
Representa a potˆencia mecˆanica na turbina hidr´aulica [W ];
η
t
Representa a eficiˆencia da transforma¸c˜ao da energia potencial em energia
mecˆanica, ou o rendimento da turbina [%].
O gerador el´etrico esta acoplado mecanicamente ao eixo da turbina hidr´aulica
nas instala¸c˜oes da usina hidrel´etrica, este transforma a energia mecˆanica em energia
el´etrica. Essa transforma¸c˜ao depende da eficiˆencia do gerador, e est´a relacionada em
(A.12).
p
e
= η
g
· p
m
(A.12)
Onde,
p
e
Representa a potˆencia el´etrica gerada [W ];
η
g
Representa a eficiˆencia da transforma¸c˜ao da energia mecˆanica em energia
el´etrica, ou o rendimento do gerador [%].
Substituindo-se (A.11) na equa¸c˜ao em (A.12) obtemos a express˜ao matem´atica
da potˆencia produzida por uma unidade geradora hidrel´etrica, expressa por (A.13).
p
e
= ρ
H
2
O
· q · g · h
l
· η
t
· η
g
(A.13)
S˜ao conhecidos os valores do peso espec´ıfico da ´agua e da acelera¸c˜ao da gravi-
dade, respectivamente, ρ
H
2
O
= 1000kg/m
3
e g = 9,81m/s
2
. Portanto, obt´em-se (A.14),
express˜ao da potˆencia gerada em mega Watts, dividindo-se (A.13) por 1 · 10
−6
.
P G = 9,81 · 10
−3
· q · h
l
· η
t
· η
g
(A.14)
Onde,
P G Representa a potˆencia el´etrica gerada [MW ].
Finalmente, pode-se dizer que simplificadamente, a energia el´etrica gerada por
uma usina hidrel´etrica ´e o produto da vaz˜ao turbinada (q), da altura de queda l´ıquida
(h
l
) e da produtividade espec´ıfica da usina (ρ
sp
), como em (A.15).
P G = ρ
sp
· q · h
l
(A.15)
65
Onde (ρ
sp
) representa a produtividade espec´ıfica da usina, e ´e expressa por
(A.16), em que ´e o produto do rendimento conjunto turbina-gerador de cada usina
hidrel´etrica pela a¸c˜ao da gravidade (g = 9,81m/s
2
). A unidade da produtividade
espec´ıfica da usina ´e expressa em [MW · s/(hm
3
· m)].
ρ
sp
= 9,81 · 10
−3
· η
t
· η
g
(A.16)
66
Apˆendice B
Corre¸c˜ao das Cotas do Canal de
Fuga
Os coeficientes do Polinˆomio Vaz˜ao-N´ıvel Jusante (PVNJ) foram produzidos
ajustando-se um modelo sobre um conjunto de vaz˜oes defluentes para as quais se co-
nhece o n´ıvel de jusante correspondente [40].
Como as cotas dos n´ıveis de jusante das usinas hidrel´etricas do Sistema Inter-
ligado Nacional Brasileiro (SIN) s˜ao representadas atrav´es de polinˆomios de 4
o
grau,
pode ocorrer uma cota negativa para grandes volumes defluentes em per´ıodos favor´a-
veis. A Fig. B.1 mostra o comportamento do polinˆomio da usina hidrel´etrica de Xing´o
quando o n´ıvel de volume defluente ´e alto. Nestes casos torna-se necess´ario corrigir o
polinˆomio (curva tracejada) a fim de retratar o real comportamento da cota do canal
de fuga, ou seja, a partir de uma certa quantidade de volume, a ´agua se espalha e
transborda do leito do rio `a jusante [40].
Da Fig. B.1 observa-se que a cota do canal de fuga aumenta `a medida que
o volume defluente aumenta. A partir de um n´ıvel de vaz˜ao de aproximadamente
6000m
3
/s, na curva de linha cont´ınua do PVNJ, a cota come¸ca a decrescer segundo a
equa¸c˜ao polinomial. Portanto, verifica-se que a partir deste ponto o polinˆomio n˜ao ´e
mais v´alido e ent˜ao a curva ´e ajustada e ganha um novo perfil, de maneira que a cota
do canal de fuga permane¸ca constante.
A Fig. B.2 mostra a mesma representa¸c˜ao do PVNJ para a usina de Sobradinho.
Pode-se observar o mesmo comportamento a partir de um n´ıvel de vaz˜ao de aproxi-
madamente 14000m
3
/s. E da mesma forma, verifica-se n˜ao conformidade do PVNJ a
partir deste ponto e ent˜ao a curva ´e ajustada e ganha um novo perfil, de maneira que
a cota do canal de fuga permane¸ca constante.
Este processo ´e realizado em todas as usinas hidrel´etricas para verifica¸c˜ao do
limite da cota do canal de fuga das mesmas.
67
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
Cota do Canal de Fuga (m)
Vazao Defluente (m³/s)
Curva do Polinômio
Curva Corrigida
Figura B.1: Exemplo da corre¸c˜ao da cota do canal de fuga da usina Xing´o.
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2
x 10
4
340
345
350
355
360
365
Cota do Canal de Fuga (m)
Vazao Defluente (m³/s)
Curva do Polinômio
Curva Corrigida
Figura B.2: Exemplo da corre¸c˜ao da cota do canal de fuga da usina Sobradinho.
68
Apˆendice C
Caracteriza¸c˜ao do Per´ıodo Cr´ıtico
A energia armazenada no sistema hidrel´etrico reflete a quantidade de energia
produzida atrav´es do completo esvaziamento dos reservat´orios que comp˜oem o sistema
a partir da condi¸c˜ao de opera¸c˜ao em que o mesmo se encontra.
De maneira an´aloga, calcula-se a energia armazenada m´axima em um dado
sistema considerando que esta mede a capacidade total de armazenamento do conjunto
de reservat´orios do sistema. O c´alculo da energia armazenada ´e realizado adotando-se a
id´eia de que a ´agua utilizada para gerar energia em uma usina de cabeceira atravessar´a
todo o trecho do rio e, portanto, admite-se que esta ´agua ir´a gerar energia em todas as
usinas `a jusante.
Ent˜ao, o modelo para o c´alculo da energia armazenada de uma usina ´e pri-
meiramente baseado na defini¸c˜ao da produtividade acumulada. Esta ´e a soma da
produtividade da pr´opria usina e as produtividades de todas as usinas `a jusante at´e o
final da cascata hidr´aulica, como mostrado em (C.1).
ρ
t
i
acu
=
j∈J
i
ρ
j
(C.1)
Onde,
ρ
t
i
acu
Representa a produtividade acumulada da usina i, no est´agio t;
J
i
Representa o conjunto composto pela usina i e todas as usinas `a jusante da
usina i na cascata hidr´aulica.
J´a as usinas a fio d’´agua n˜ao possuem energia armazenada visto que estas n˜ao
possuem reservat´orio e seu volume armazenado ´util definido em (C.2) ´e igual `a zero,
ou seja, apenas as usinas com reservat´orio possuem contribui¸c˜ao para a energia arma-
zenada do sistema.
V U
i
= V
i
max
− V
i
min
(C.2)
69
Onde,
V U
i
Representa o volume ´util no reservat´orio da usina i [hm
3
/mˆes];
A energia armazenada de uma usina ´e definida atrav´es de (C.3) e ´e calculada
pelo produto do volume ´util de opera¸c˜ao da usina pela sua produtividade acumulada.
EA
t
i
= (V
t
i
− V
i
min
) · ρ
t
i
acu
(C.3)
Onde,
EA
t
i
Representa a energia armazenada da usina i, no est´agio t [MW ].
A partir da energia armazenada de uma usina define-se a energia armazenada
do sistema como sendo a soma dos produtos do volume armazenado de cada usina com
reservat´orio pela sua produtividade acumulada, ou seja, a soma das energias armaze-
nadas de to das as usinas do sistema, como ´e apresentada em (C.4).
EA
t
=
NP
i=1
(V
t
i
− V
i
min
) · ρ
t
i
acu
(C.4)
Onde,
EA
t
Representa a energia armazenada do sistema no est´agio t [MW ].
A energia armazenada ´e utilizada para que se possa realizar a identifica¸c˜ao do
per´ıodo cr´ıtico do sistema. Esta etapa ´e fundamental para o c´alculo da energia firme
individualizada das usinas hidrel´etricas. Neste sentido, o conhecimento da energia
armazenada em cada est´agio de planejamento do sistema ´e fundamental para que o
per´ıodo cr´ıtico seja determinado. De maneira direta, verifica-se o per´ıodo cr´ıtico atrav´es
do per´ıodo compreendido entre o mˆes de m´aximo armazenamento do sistema e o mˆes de
m´aximo deplecionamento do sistema, representados respectivamente por (T
0
) e (T
f
),
considerando todo o hist´orico de vaz˜oes `as usinas hidrel´etricas, sem reenchimentos
intermedi´arios.
70
Apˆendice D
Resultados Adicionais das
Simula¸c˜oes
Neste apˆendice ser˜ao apresentados os resultados de energia firme de todas as
usinas hidrel´etricas do Sistema Interligado Nacional Brasileiro (SIN).
Tabela D.1: Resultados de energia firme para a metodo-
logia linear seq
¨
uencial e n˜ao linear.
Usina
PLA PNL
EF
i
EF
i
EF
i
EF
i
(MW) (%) (MW) (%)
A. A. Laydner 50,76 0,119 45,11 0,105
A. S. Lima 54,19 0,127 52,49 0,122
A. S. Oliveira 13,02 0,031 10,00 0,023
A. Vermelha 659,25 1,549 704,06 1,642
Aimor´es 155,94 0,366 162,49 0,379
Barra Bonita 40,37 0,095 38,36 0,089
Barra Grande 418,54 0,983 407,07 0,950
Billings 0,00 0,000 0,00 0,000
Boa Esperan¸ca 131,73 0,309 129,37 0,302
Cach. Dourada 414,01 0,973 413,46 0,965
Caconde 28,81 0,068 23,23 0,054
Camargos 18,34 0,043 14,80 0,035
Campos Novos 407,68 0,958 400,81 0,935
Cana Brava 319,99 0,752 317,59 0,741
Candonga 57,00 0,134 52,15 0,122
Canoas I 62,90 0,148 57,05 0,133
Canoas II 51,92 0,122 46,41 0,108
Capim Branco 1 158,95 0,373 152,73 0,356
Continua na pr´oxima p´agina. . .
71
Tabela D.1 – Continua¸c˜ao
Usina
PLA PNL
EF
i
EF
i
EF
i
EF
i
(MW) (%) (MW) (%)
Capivara 338,38 0,795 334,10 0,779
Chavantes 188,02 0,442 181,34 0,423
Corumb´a I 204,66 0,481 214,64 0,501
Corumb´a IV 65,37 0,154 60,77 0,142
Curua-
´
Una 23,46 0,055 18,24 0,043
D. Francisca 111,34 0,262 101,25 0,236
E. Da Cunha 46,31 0,109 39,87 0,093
Emborca¸c˜ao 529,39 1,244 500,66 1,168
Ernestina 0,00 0,000 0,00 0,000
Estreito 454,65 1,068 455,42 1,062
Fontes 58,06 0,136 55,52 0,130
Funil 95,39 0,224 91,24 0,213
Funil-Grande 69,85 0,164 66,04 0,154
Furnas 524,33 1,232 527,32 1,230
G. B. Munhoz 693,15 1,628 663,69 1,548
G. P. Souza 108,29 0,254 101,86 0,238
Guapor´e 60,00 0,141 56,90 0,133
Guarapiranga 0,00 0,000 0,00 0,000
Guilman-Amorin 65,37 0,154 60,98 0,142
Henry Borden 214,45 0,504 207,96 0,485
Ibitinga 64,32 0,151 68,12 0,159
Igarapava 126,80 0,298 124,88 0,291
Ilha Pombos 68,85 0,162 65,18 0,152
Ilha Solteira 1708,80 4,014 1775,80 4,143
Irap´e 195,65 0,460 193,34 0,451
It´a 959,78 2,255 954,29 2,226
Itaipu 7582,60 17,812 7637,90 17,818
Itaparica 1027,10 2,413 1059,20 2,471
Itapeb´ı 224,10 0,526 221,51 0,517
Ita´uba 244,74 0,575 235,76 0,550
Itiquira I 43,73 0,103 39,17 0,091
Itiquira II 66,38 0,156 63,76 0,149
Itumbiara 911,11 2,140 924,68 2,157
Itutinga 25,17 0,059 21,46 0,050
Jacu´ı 177,53 0,417 169,57 0,396
Jaguar´a 327,55 0,769 334,72 0,781
Jaguari 12,27 0,029 8,04 0,019
Jauru 76,23 0,179 72,12 0,168
Jord˜ao 0,00 0,000 0,00 0,000
Jupi´a 914,82 2,149 948,88 2,214
L. N. Garcez 58,73 0,138 54,19 0,126
Continua na pr´oxima p´agina. . .
72
Tabela D.1 – Continua¸c˜ao
Usina
PLA PNL
EF
i
EF
i
EF
i
EF
i
(MW) (%) (MW) (%)
Lajeado 575,76 1,352 581,39 1,356
Lajes 0,00 0,000 0,00 0,000
M. De Moraes 250,68 0,589 259,13 0,605
Machadinho 687,95 1,616 653,04 1,523
Manso 92,75 0,218 86,11 0,201
Marimbondo 580,33 1,363 582,43 1,359
Mascarenhas 122,30 0,287 121,65 0,284
Miranda 189,39 0,445 188,52 0,440
Monte Claro 77,14 0,181 72,90 0,170
Navanhandava 112,88 0,265 123,26 0,288
Nilo Pe¸canha 369,00 0,867 375,31 0,876
Nova Ponte 262,88 0,618 249,86 0,583
Ourinhos 29,28 0,069 26,53 0,062
P. Afonso-Moxot´o 2382,40 5,596 2436,00 5,683
P. Cavalo 89,61 0,210 80,25 0,187
P. Estrela 51,74 0,122 47,50 0,111
P. Passos 52,26 0,123 60,75 0,142
Paraibuna 45,60 0,107 39,96 0,093
Passo Fundo 154,40 0,363 146,88 0,343
Passo Real 82,27 0,193 75,43 0,176
Picada 23,82 0,056 18,47 0,043
Piraju 42,25 0,099 37,88 0,088
Ponte Pedra 152,24 0,358 148,40 0,346
Porto Colˆombia 196,44 0,461 172,62 0,403
Porto Primavera 874,04 2,053 906,57 2,115
Promiss˜ao 83,21 0,195 83,51 0,195
Quebra Queixo 69,86 0,164 63,36 0,148
Queimado 90,35 0,212 82,40 0,192
Rosal 27,42 0,064 23,19 0,054
Rosana 196,30 0,461 202,87 0,473
S´a Carvalho 56,39 0,132 52,14 0,122
Salto Caxias 784,79 1,844 816,82 1,905
Salto Grande 76,55 0,180 74,06 0,173
Salto Os´orio 655,31 1,539 700,24 1,634
Salto Santiago 840,47 1,974 908,59 2,120
Santa Branca 25,86 0,061 19,97 0,047
Santa Clara/MG 27,88 0,065 22,66 0,053
Santa Clara/PR 81,48 0,191 75,68 0,177
S˜ao Sim˜ao 1172,70 2,755 1248,40 2,912
Segredo 833,12 1,957 823,86 1,922
Serra Mesa 743,15 1,746 725,93 1,693
Continua na pr´oxima p´agina. . .
73
Tabela D.1 – Continua¸c˜ao
Usina
PLA PNL
EF
i
EF
i
EF
i
EF
i
(MW) (%) (MW) (%)
Sobradinho 507,15 1,191 522,75 1,219
Sobragi 34,36 0,081 30,66 0,072
Taquaru¸cu 221,24 0,520 215,99 0,504
Trˆes Marias 212,11 0,498 209,41 0,489
Tucuru´ı 3883,20 9,122 3911,10 9,124
Volta Grande 215,01 0,505 216,38 0,505
Xing´o 2524,80 5,931 2608,30 6,085
74
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