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Universidade Federal de Itajub
´
a
Programa de P
´
os–Graduac¸
˜
ao em F
´
ısica e Matem
´
atica Aplicada
Estudo das Bifurca¸c˜oes de Hopf num Modelo de
Osciladores Acoplados Ligados `a Economia
Elcio da Silveira
Orientador: Prof. Dr. Luis Fernando Mello
Itajub
´
a, Julho de 2008
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Universidade Federal de Itajub
´
a
Programa de P
´
os–Graduac¸
˜
ao em F
´
ısica e Matem
´
atica Aplicada
Estudo das Bifurca¸c˜oes de Hopf num Modelo de
Osciladores Acoplados Ligados `a Economia
Elcio da Silveira
Orientador: Prof. Dr. Luis Fernando Mello
Disserta¸c˜ao submetida ao Programa de P´os–Gradua¸c˜ao em F´ısica e Matem´atica
Aplicada como parte dos requisitos para obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Ciˆencias em
F´ısica e Matem´atica Aplicada
Itajub
´
a – MG
Julho de 2008
ads:
i
Aos meus pais.
Agradecimentos
Agrade¸co a Deus pelo dom da vida e da capacidade de aprendizagem.
Aos meus pais, Helena e Luiz, que me ensinaram, desde cedo, a importˆancia dos estudos
e da busca constante pela capacita¸c˜ao e supera¸c˜ao.
Aos meus irm˜aos, pelo apoio por todo esse tempo que estive fora.
Ao meu orientador, Prof. Luis Fernando pela competˆencia, dedica¸c˜ao e paciˆencia.
Aos meus amigos do mestrado, pela compreens˜ao, colabora¸c˜ao e apoio ao longo destes
anos, e a todos os que, de forma direta ou indireta, contribu´ıram para o meu crescimento.
Aos meus amigos de rep´ublica, pela nossa amizade e compreens˜ao nos momentos de difi-
culdades.
ii
iii
“O valor das coisas n˜ao est´a no tempo que elas duram,
mas na intensidade com que acontecem.
Por isso, existem momentos inesquec´ıveis,
coisas inexplic´aveis e pessoas incompar´aveis.”
Fernando Pessoa
Resumo
Estudamos a estabilidade local e o surgimento de bifurca¸c˜oes de Hopf em um modelo
de propaganda que aparece em economia. Tal modelo representa a intera¸c˜ao entre o
n´umero de potenciais compradores e o n´umero de usu´arios de duas marcas concorrentes.
O sistema ´e composto por quatro equa¸c˜oes diferenciais simetricamente acopladas via o
fluxo de potenciais compradores. Para tanto, apresentamos um m´etodo para verificar as
condi¸c˜oes de Hopf de n˜ao degenerescˆencia e transversalidade em sistemas n–dimensionais,
e assim garantir o surgimento de ´orbitas peri´odicas. De acordo com os resultados te´oricos,
apresentamos algumas simula¸c˜oes num´ericas mostrando a presen¸ca de ´orbitas peri´odicas
em tal sistema.
Palavras–chave
Bifurca¸c˜oes de Hopf, Modelo Econˆomico, Ciclos Limite, Estabilidade
iv
Abstract
We study the local stability and the appearance of Hopf bifurcations in an advertising
model that appears in economy. Such model represents the interaction between the num-
ber of potentials buyers and the number of users of two rivals brand. The system is com-
posed by four symmetrical coupled differential equations via the flow of potentials buyers.
For doing so, we present a method to verify the Hopf conditions of non–degenerecence
and transversality in n–dimensional systems, which guarantee the appearance of periodic
orbits. In agreement with the theoretical results, we presented some numeric simulations
showing the presence of periodic orbits for such system.
Keywords
Hopf Bifurcation, Economic Model, Limit Cycle, Stability
v
Conte´udo
Agradecimentos ii
Resumo iv
Abstract v
´
Indice vi
Lista de Figuras viii
Lista de Tabelas x
1 Introdu¸c˜ao 1
1.1 O modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2 A intera¸c˜ao entre marcas concorrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Bifurca¸c˜ao de Hopf 6
2.1 Bifurca¸c˜ao de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2 M´etodo da proje¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Estudo Qualitativo do Modelo em R
2
46
3.1 As equa¸c˜oes desacopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.2 Encontrando o primeiro coeficiente de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 A condi¸c˜ao de transversalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Teorema de Hopf para o sistema (1.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Estudo Qualitativo do Modelo em R
4
54
4.1 Os pontos de equil´ıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.2 An´alise do espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
vi
vii
4.2.1 O equil´ıbrio e
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.2 Os equil´ıbrios e
1
e e
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.3 Os equil´ıbrios e
3
e e
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 As fun¸c˜oes multilineares B, C, D e E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4 Encontrando o primeiro coeficiente de Lyapunov para a = 1 . . . . . . . . 66
4.5 A condi¸c˜ao de transversalidade para a = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.6 Teorema de Hopf para o sistema (1.5) em e
0
quando a = 1 . . . . . . . . 69
4.7 Encontrando o primeiro coeficiente de Lyapunov para a = 2c + 1 . . . . . 70
4.8 Encontrando o segundo coeficiente de Lyapunov para a = 2c + 1 . . . . . 73
4.9 A condi¸c˜ao de transversalidade para a = 2c + 1 . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.10 Teorema de Hopf para o sistema (1.5) em e
0
quando a = 2c + 1 . . . . . . 81
5 Simula¸c˜oes Num´ericas 84
5.1 As equa¸c˜oes desacopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
5.2 As equa¸c˜oes acopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2.1 Bifurca¸c˜oes de Hopf pr´oximas `a superf´ıcie H
1
. . . . . . . . . . . . 86
5.2.2 Bifurca¸c˜oes de Hopf pr´oximas `a superf´ıcie H
2
. . . . . . . . . . . . 89
5.3 Interpreta¸c˜ao econˆomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Conclus˜oes 98
Bibliografia 100
Anexo I 102
Anexo II 107
Anexo III 113
Lista de Figuras
2.1 Retrato de fase da bifurca¸c˜ao de Hopf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2 Transforma¸c˜ao de Poincar´e para a bifurca¸c˜ao de Hopf. . . . . . . . . . . . 11
2.3 Ponto fixo da transforma¸c˜ao de retorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Constru¸c˜ao do homeomorfismo pr´oximo `a bifurca¸c˜ao de Hopf. . . . . . . . 14
2.5 Variedade central como um gr´afico de y = V (z, ¯z). . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1 Reta de Hopf H
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Diagrama de bifurca¸c˜ao do sistema (1.4) na origem. . . . . . . . . . . . . . 53
4.1 Superf´ıcies H
1
e H
2
, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Superf´ıcie H
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 Plano c = 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4 Curva H
5
no espa¸co de parˆametros (a, b, c), onde temos dois pares de auto-
valores imagin´arios puros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.5 Curva H
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6 Gr´afico de l
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.7 Curvas {l
1
= 0} e {l
2
= 0}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.8 Curvas {l
1
= 0} e
∂
∂b
l
1
= 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.9 Corte transversal `a superf´ıcie H
2
passando pelo ponto P . . . . . . . . . . . 82
4.10 Diagrama de bifurca¸c˜ao do sistema (1.5) pr´oximo `a superf´ıcie H
2
. . . . . . 83
5.1 Retrato de fase para a > 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2 Retrato de fase para a = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3 Retrato de fase para a < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.4 Proje¸c˜oes das ´orbitas nos espa¸cos bidimensionais quando a > 1. . . . . . . 87
5.5 Proje¸c˜oes das ´orbitas nos espa¸cos bidimensionais quando a = 1. . . . . . . 88
5.6 Proje¸c˜oes das ´orbitas nos espa¸cos bidimensionais quando a < 1. . . . . . . 89
viii
ix
5.7 Proje¸c˜oes das ´orbitas nos espa¸cos bidimensionais quando a < 2c+1 pr´oximo
`a regi˜ao D
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.8 Proje¸c˜oes das ´orbitas nos espa¸cos bidimensionais quando a = 2c + 1 sobre
a regi˜ao D
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.9 Proje¸c˜oes das ´orbitas nos espa¸cos bidimensionais quando a > 2c+1 pr´oximo
`a regi˜ao D
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.10 Proje¸c˜oes das ´orbitas nos espa¸cos bidimensionais quando a > 2c+1 pr´oximo
`a regi˜ao D
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.11 Proje¸c˜oes das ´orbitas nos espa¸cos bidimensionais quando a = 2c + 1 sobre
a regi˜ao D
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.12 Proje¸c˜oes das ´orbitas nos espa¸cos bidimensionais quando a < 2c+1 pr´oximo
`a regi˜ao D
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.13 Proje¸c˜oes 3D do ciclo limite para a = 1.93, b = 4.0 e c = 0.5 e proje¸c˜oes
das vari´aveis em fun¸c˜ao do tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Lista de Tabelas
1.1 Significado das vari´aveis temporais e dos parˆametros. . . . . . . . . . . . .
3
4.1 Sinal de l
2
sobre {l
1
= 0}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
x
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
Originalmente, o termo “sistemas dinˆamicos” surgiu somente para sistemas mecˆanicos cujo
movimento ´e descrito por equa¸c˜oes diferenciais derivadas da mecˆanica cl´assica. Resulta-
dos b´asicos em tais sistemas dinˆamicos foram obtidos por Lyapunov e Poincar´e no fim
do s´eculo XIX. Seus estudos foram continuados por Dulac [4] e Birkhoff [2], entre outros.
Os livros de Nemytskii & Stepanov [9] e Coddington & Levinson [3] cont´em um trata-
mento detalhado das propriedades at´e ent˜ao conhecidas dos sistemas dinˆamicos definidos
por equa¸c˜oes diferenciais. Posteriormente ficaria claro que esta no¸c˜ao poderia ser usada
para a an´alise dos mais variados processos evolutivos em diferentes ramos da ciˆencia, e
descritos por EDOs ou EDPs, ou definidos explicitamente por uma fun¸c˜ao de itera¸c˜ao.
O per´ıodo moderno da teoria dos sistemas dinˆamicos come¸cou com os trabalhos de Kol-
mogorov [5], Smale [12, 13, 14], Anosov [1] e Peixoto [10]. Atualmente, a literatura em
sistemas dinˆamicos ´e enorme.
O estudo de oscila¸c˜oes em sistemas dinˆamicos n˜ao lineares ´e assunto de grande interesse,
principalmente quando estes sistemas dinˆamicos servem de modelos para sistemas f´ısicos,
sistemas qu´ımicos, sistemas mecˆanicos, etc.
Como exemplo de oscila¸c˜oes em sistemas dinˆamicos, podemos citar o estudo de van
der Pol [15] em circuitos el´etricos ou ainda o estudo do sistema regulador de Watt por
Maxwell [7] e Vyshnegradskii [20]. Deve–se `a escola Russa, notadamente a Andronov,
Pontryagin e colaboradores, a difus˜ao do estudo de oscila¸c˜oes em sistemas dinˆamicos.
Muitas vezes as oscila¸c˜oes em sistemas dinˆamicos aparecem dependentes de parˆametros,
ou seja, para alguns valores dos parˆametros o sistema em estudo n˜ao apresenta oscila¸c˜oes,
1
2
mas para outros, sim. Por exemplo, no sistema de van der Pol o parˆametro que determina a
presen¸ca ou n˜ao de oscila¸c˜oes est´a ligado `a caracter´ıstica do resistor utilizado na constru¸c˜ao
do circuito el´etrico em estudo. J´a no sistema regulador de Watt o parˆametro crucial `a
presen¸ca de oscila¸c˜oes ´e o atrito entre as hastes do regulador e seu eixo de rota¸c˜ao.
Do ponto de vista matem´atico, o surgimento ou desaparecimento de oscila¸c˜oes de-
pendentes de parˆametros pode ser entendido atrav´es de fenˆomenos da bifurca¸c˜ao de Hopf.
V´arias metodologias na literatura explicam este fenˆomeno, dentre elas o m´etodo da proje¸c˜ao
proposto por Kuznetsov [6] ´e um dos mais utilizados, principalmente pela sua adequa¸c˜ao
ao estudo das bifurca¸c˜oes de Hopf mais degeneradas ou de codimens˜oes maiores que 1.
Exemplo desta situa¸c˜ao ocorre no trabalho de Sotomayor, Mello e Braga [8], onde os au-
tores estudaram uma bifurca¸c˜ao de Hopf al´em da codimens˜ao 1, partindo para a an´alise
da bifurca¸c˜ao de Hopf de codimens˜ao 3, no sistema regulador de Watt - m´aquina a vapor.
Do ponto de vista econˆomico, ´e importante determinar para quais valores dos parˆame-
tros, o comportamento das vari´aveis ´e peri´odico. Isto significa que devemos determinar as
regi˜oes do espa¸co de parˆametros para as quais existem ciclos limites.
1.1 O modelo
O modelo matem´atico que se segue visa descrever a dinˆamica de intera¸c˜ao entre o n´umero
de potenciais compradores e o n´umero de usu´arios de uma dada marca no tempo τ. O que
faremos a seguir ´e acoplar o modelo obtido a um outro, semelhante ao primeiro, para assim
analisar a intera¸c˜ao que ocorre entre duas marcas concorrentes. Para tanto consideraremos
τ, u, v, k, γ, β, ε e δ com seus significados dados pela Tabela 1.1.
Assim, a varia¸c˜ao do n´umero de potenciais compradores da marca no tempo τ ( ˙u)
(onde, ˙ indica a derivada de u com respeito ao tempo τ) ´e dada pela popula¸c˜ao total
envolvida no sistema (k), subtra´ıdo o contato dos potenciais compradores com a propa-
ganda, onde a propaganda ´e dada pelos usu´arios da marca no tempo τ (v) multiplicado
pelo contato com a propaganda propriamente dita (γ), ou seja, −γuv, e somado com o
n´umero de pessoas que deixaram de ser usu´arios da marca no tempo τ, temos ent˜ao
˙u = k − γuv + βv.
(1.1)
3
τ - tempo,
u = u(τ ) - n´umero de potenciais compradores da marca no tempo τ,
˙u = ˙u(τ) - varia¸c˜ao do n´umero de potenciais compradores da marca no tempo τ,
v = v(τ ) - n´umero de usu´arios da marca no tempo τ ,
˙v = ˙v(τ ) - varia¸c˜ao do n´umero de usu´arios da marca no tempo τ ,
k = k(τ ) = u + v - popula¸c˜ao total envolvida no sistema no tempo τ,
γ = γ(τ ) = αv(τ ) - contato com a propaganda no tempo τ,
β = β(τ) - taxa de mudan¸ca para a marca concorrente,
ε = ε(τ ) - migra¸c˜ao ou mortalidade,
δ = δ(τ) - β + ε.
Tabela 1.1: Significado das vari´aveis temporais e dos parˆametros.
Enquanto que a varia¸c˜ao do n´umero de usu´arios da marca no tempo τ ( ˙v) ´e dada pelo
contato dos potenciais compradores com a propaganda (γuv), subtra´ıdo a taxa da popu-
la¸c˜ao que deixou de consumir a marca (−βv) e a mortalidade ou migra¸c˜ao neste mesmo
per´ıodo (−εv). Assim,
˙v = γuv − βv − εv
= γuv − (β + ε)v
= γuv − δv.
(1.2)
A partir de (1.1) e (1.2) montamos o seguinte sistema de equa¸c˜oes diferenciais
˙u =
du
dτ
= k − γuv + βv,
˙v =
dv
dτ
= γuv − δv,
(1.3)
o qual descreve o modelo de propaganda que iremos estudar.
Observa¸c˜ao 1.1.1 O sistema (1.3) mostra a dinˆamica de intera¸c˜ao entre o n´umero de
potenciais compradores e de usu´arios de uma mesma marca no tempo τ.
4
Fazendo agora as seguintes mudan¸cas nas coordenadas, nos parˆametros e no tempo
x =
αk
δε
u − 1,
y =
ε
k
v − 1,
a =
αk
2
δε
,
b = 2 −
β
δ
,
t = δτ,
o sistema (1.3) pode ser reescrito na forma
x
′
=
dx
dt
= −a(x + by + 2xy + y
2
+ xy
2
),
y
′
=
dy
dt
= x + y + 2xy + y
2
+ xy
2
.
(1.4)
onde,
′
indica a derivada de x e y com respeito ao tempo t.
Um estudo das bifurca¸c˜oes de (1.4) com a, b ∈ R pode ser encontrado em [18] e em
[19]. Notemos que quando δ > β, ent˜ao b > 1, de modo que o ´unico caso de interesse
para as aplica¸c˜oes ´e obtido quando a > 0 e b > 1. Nesta situa¸c˜ao, o sistema (1.4) tem um
´unico ponto de equil´ıbrio, a origem, a qual ´e um repulsor para 0 < a < 1 e um atrator
para a > 1. Quando a = 1 a origem ´e um ponto de equil´ıbrio n˜ao–hiperb´olico e ocorre
uma bifurca¸c˜ao de Hopf no sistema. Veja referˆencia [18].
1.2 A intera¸c˜ao entre marcas concorrentes
Para estudar a intera¸c˜ao entre o n´umero de potenciais compradores e o n´umero de usu´arios
de dois produtos similares, consideraremos a seguir dois modelos econˆomicos da forma
(1.4), simetricamente acoplados via o fluxo de potenciais compradores usando o parˆametro c.
Veja [16].
x
′
= −a(x + by + 2xy + y
2
+ xy
2
) + c(x − z),
y
′
= x + y + 2xy + y
2
+ xy
2
,
z
′
= −a(z + bw + 2zw + w
2
+ zw
2
) + c(z − x),
w
′
= z + w + 2zw + w
2
+ zw
2
.
(1.5)
5
O sistema (1.5) pode ser visto como uma fam´ılia a 3 parˆametros de equa¸c˜oes diferenciais
em R
4
, onde (x, y, z, w) ∈ R
4
s˜ao as vari´aveis de estado e (a, b, c) ∈ D ⊂ R
3
s˜ao os
parˆametros do sistema, sendo
D = {(a, b, c) ∈ R
3
/a > 0, b > 1, c > 0}.
Em [16] foi feita uma an´alise das bifurca¸c˜oes de Hopf de codimens˜ao 1 do sistema (1.5),
relativa ao ponto de equil´ıbrio na origem, concluindo que a superf´ıcie H
1
∪ H
2
, sendo
H
1
= {(a, b, c) ∈ D/a = 1}
e
H
2
= {(a, b, c) ∈ D/a = 2c + 1},
determina a superf´ıcie de Hopf relativa ao sistema (1.5).
As an´alises desenvolvidas em [16] para o caso em que os parˆametros do sistema s˜ao
tomados sobre H
1
est˜ao corretas e ´e poss´ıvel decidir a estabilidade das ´orbitas peri´odicas
bifurcantes, ou seja, se s˜ao atratoras ou repulsoras.
No entanto, as an´alises desenvolvidas para o caso em que os parˆametros do sistema
s˜ao tomados sobre H
2
est˜ao erradas e, conseq¨uentemente, comprometem todo o estudo da
estabilidade das ´orbitas peri´odicas bifurcantes.
Al´em disso, em nenhuma das situa¸c˜oes, h´a o estudo das bifurca¸c˜oes de Hopf de codi-
mens˜oes maiores que 1.
Baseado no que foi exposto, propomos os seguintes problemas:
• Problema 1: Analisar as bifurca¸c˜oes de Hopf de codimens˜ao 1 e superiores para o
sistema (1.5). Em especial, `aquelas relacionadas ao ponto de equil´ıbrio na origem;
• Problema 2: Obter os diagramas de bifurca¸c˜ao do sistema (1.5).
Cap´ıtulo 2
Bifurca¸c˜ao de Hopf
Este cap´ıtulo tem por objetivo estudar a bifurca¸c˜ao de Hopf. Inicialmente trataremos dos
sistemas bidimensionais, onde o conceito de bifurca¸c˜ao de Hopf ´e bastante conhecido, para
posteriormente estud´a–lo em um contexto mais amplo, para sistemas n–dimensionais. As
defini¸c˜oes e o m´etodo de proje¸c˜ao que apresentaremos no corrente cap´ıtulo foram baseados
no livro de Kuznetsov [6] e em [8].
Utilizaremos a terminologia suave para nos referirmos `as fun¸c˜oes onde a classe de
diferenciabilidade ´e suficientemente grande, isto ´e,
fsuave ⇔ f ∈ C
n
,
com n suficientemente grande. Quando acharmos necess´ario explicitar a classe de diferen-
ciabilidade faremos men¸c˜ao a respeito.
A nota¸c˜ao f(x) = O(x
n
) representar´a uma fun¸c˜ao suave cuja expans˜ao de Taylor
em x inicia–se com os termos de ordem n (ou superiores).
Consideremos a equa¸c˜ao diferencial
˙
x = f(x, ξ),
(2.1)
onde x ∈ R
n
e ξ ∈ R
m
, s˜ao respectivamente vetores representados pelas vari´aveis e
parˆametros. Assuma que f seja de classe C
∞
em R
n
× R
m
. Suponha que (2.1) tenha
um ponto de equil´ıbrio x = e
0
quando ξ = ξ
0
e, denotando a vari´avel x − e
0
tamb´em por
x, escrevemos
F (x) = f(x, ξ
0
).
6
7
Seguem algumas defini¸c˜oes que utilizaremos no decorrer deste e dos pr´oximos cap´ıtulos:
Defini¸c˜ao 2.0.1 Um ponto de equil´ıbrio e
0
do sistema (2.1) ´e chamado hiperb´olico se
todos os autovalores de J(e
0
) tˆem partes reais diferentes de zero, onde J(e
0
) = DF (e
0
)
representa a matriz Jacobiana de F (x) no ponto e
0
. Se a parte real de algum autovalor
for nula o equil´ıbrio ser´a dito n˜ao–hiperb´olico ou degenerado.
Defini¸c˜ao 2.0.2 Um ponto de equil´ıbrio hiperb´olico e
0
do sistema (2.1) ´e chamado atra-
tor se todos os autovalores de J(e
0
) tiverem partes reais negativas, e repulsor se todos
os autovalores de J(e
0
) tiverem partes reais positivas.
Defini¸c˜ao 2.0.3 Um ponto de equil´ıbrio hiperb´olico e
0
do sistema (2.1) chama–se sela
hiperb´olica se todos os autovalores de J(e
0
) tiverem partes reais diferentes de zero e
pelo menos dois deles possu´ırem partes reais com sinais opostos. Utilizaremos, ent˜ao, a
nota¸c˜ao sela hiperb´olica n–p, para indicar uma sela com n autovalores com partes reais
negativas e p autovalores com partes reais positivas.
Considere os seguintes sistemas de equa¸c˜oes diferenciais dependendo do parˆametro ξ
˙x
1
˙x
2
=
ξ −1
1 ξ
x
1
x
2
± (x
2
1
+ x
2
2
)
x
1
x
2
.
(2.2)
Para qualquer que seja ξ ∈ R, o ponto (x
1
, x
2
) = (0, 0) ´e equil´ıbrio desse sistema com a
matriz Jacobiana dada por
A =
ξ −1
1 ξ
,
que possui autovalores λ
1
= ξ+i e λ
2
= ξ−i. Introduzindo a vari´avel complexa z = x
1
+ix
2
,
como
˙x
1
= ξx
1
− x
2
± x
1
(x
2
1
+ x
2
2
)
e
˙x
2
= x
1
+ ξx
2
± x
2
(x
2
1
+ x
2
2
),
8
temos
˙z = ˙x
1
+ i ˙x
2
= ξ(x
1
+ ix
2
) + i(x
1
+ ix
2
) ± (x
1
+ ix
2
)(x
2
1
+ x
2
2
),
e podemos ent˜ao reescrever (2.2), na sua forma complexa
˙z = (ξ + i)z ± z|z|
2
. (2.3)
Usando agora a representa¸c˜ao z = ρe
iθ
, obtemos
˙z = ˙ρe
iθ
+ ρi
˙
θe
iθ
e, portanto,
˙ρe
iθ
+ ρi
˙
θe
iθ
= ρe
iθ
(ξ + i ± ρ
2
).
Assim, podemos escrever a equa¸c˜ao (2.3) em sua forma polar
˙ρ = ρ(ξ ±ρ
2
),
˙
θ = 1.
(2.4)
Da primeira equa¸c˜ao de (2.4), podemos perceber que ρ = 0 ´e um ponto de equil´ıbrio
para qualquer valor de ξ (obviamente s´o consideraremos ρ ≥ 0). Outro ponto de equil´ıbrio
surgir´a para determinados valores de ξ, dependendo do sinal do termo c´ubico em (2.4).
Suponha, por exemplo, o sistema
˙ρ = ρ(ξ −ρ
2
),
˙
θ = 1.
(2.5)
Ent˜ao, para ξ > 0, ρ(ξ) =
√
ξ ´e um ponto de equil´ıbrio que descreve uma ´orbita peri´odica
circular com velocidade constante. Este sistema sempre tem um equil´ıbrio na origem que
´e um foco atrator se ξ < 0, um foco repulsor para ξ > 0 ou um foco atrator “fraco”(um
equil´ıbrio n˜ao linear e topologicamente equivalente ao foco atrator), para o valor cr´ıtico
ξ = 0. Para ξ > 0, a origem fica isolada por uma ´orbita fechada (ciclo limite) que ´e ´unica
e atratora. Este ciclo ´e uma circunferˆencia de raio ρ(ξ) =
√
ξ. Todas as ´orbitas externas
ou internas a este ciclo, com exce¸c˜ao da origem, tendem ao ciclo limite quanto t → +∞,
veja Figura 2.1. Este fenˆomeno de gera¸c˜ao de uma ´orbita peri´odica e a mudan¸ca de
estabilidade do foco a partir de uma pertuba¸c˜ao no parˆametro ξ ser´a chamado Bifurca¸c˜ao
de Andronov–Hopf ou, simplesmente, Bifurca¸c˜ao de Hopf.
9
Figura 2.1: Retrato de fase da bifurca¸c˜ao de Hopf.
O outro sistema de (2.5),
˙ρ = ρ(ξ + ρ
2
),
˙
θ = 1,
(2.6)
pode ser analisado da mesma maneira. Teremos a bifurca¸c˜ao de Andronov–Hopf para
ξ = 0 mas, ao contr´ario de (2.5), o ciclo limite, que surgir´a para ξ < 0, ´e repulsor. Para
valores de ξ > 0 a origem ´e um foco repulsor e n˜ao possui ciclo limite, quando ξ = 0
ser´a um foco repulsor “fraco”(n˜ao linear) e para ξ < 0 um foco atrator. Neste ´ultimo
caso teremos ent˜ao o ciclo limite repulsor dado por uma ´orbita fechada cujo desenho ser´a
dado por uma circunferˆencia centrada na origem de raio ρ(ξ) =
√
−ξ. Todas as ´orbitas
iniciando externa ou internamente ao ciclo, com exce¸c˜ao da origem, tendem a este ciclo
quando t → −∞.
Defini¸c˜ao 2.0.4 Os sistemas (2.2), ou equivalentemente, (2.3) e (2.4), ser˜ao denomina-
dos formas normais das bifurca¸c˜oes de Hopf.
Defini¸c˜ao 2.0.5 Um ponto de equil´ıbrio e
0
do sistema (2.1) ´e chamado Hopf–Hopf se
a lineariza¸c˜ao deste sistema possuir dois pares de autovalores complexos conjugados com
partes reais nulas, e os outros autovalores com partes reais diferentes de zero.
A seguinte defini¸c˜ao ser´a usada na pr´oxima se¸c˜ao, onde estudaremos a bifurca¸c˜ao de
Hopf gen´erica:
Defini¸c˜ao 2.0.6 Dois sistemas
˙
x = f(x, ξ), x ∈ R
n
, ξ ∈ R
m
, (2.7)
˙
y = g(y, ζ), y ∈ R
n
, ζ ∈ R
m
, (2.8)
10
s˜ao ditos localmente topologicamente equivalentes em torno da origem se existir
uma aplica¸c˜ao (x, ξ) → (h
ξ
(x), k(ξ)), definida em uma vizinhan¸ca V = U
0
×V
0
de (x, ξ) =
(0, 0), contida em R
n
× R
m
, satisfazendo:
(i) k : R
m
→ R
m
´e um homeomorfismo definido em V
0
;
(ii) h
ξ
: R
n
→ R
n
´e um homeomorfismo para cada ξ, definido na vizinhan¸ca U
0
de x = 0,
h
0
(0) = 0, levando ´orbitas de (2.7) contidas em U
0
em ´orbitas de (2.8) em h
ξ
(U
0
),
preservando a dire¸c˜ao do tempo.
2.1 Bifurca¸c˜ao de Hopf
Nesta se¸c˜ao encontraremos condi¸c˜oes para que um sistema seja localmente topologicamente
equivalente `a forma normal, que acabamos de definir, para a bifurca¸c˜ao de Hopf. Este
resultado ser´a obtido no Teorema 2.1.1.
Considere o sistema
˙x
1
˙x
2
=
ξ −1
1 ξ
x
1
x
2
− (x
2
1
+ x
2
2
)
x
1
x
2
,
(2.9)
que como definido no in´ıcio do cap´ıtulo, representa a forma normal da bifurca¸c˜ao de
Hopf cujo sinal dos termos c´ubicos ´e negativo e, conseq¨uentemente, apresenta uma ´orbita
peri´odica atratora.
Lema 2.1.1 O sistema
˙x
1
˙x
2
=
ξ −1
1 ξ
x
1
x
2
− (x
2
1
+ x
2
2
)
x
1
x
2
+ O(x
4
), (2.10)
onde x = (x
1
, x
2
)
⊤
∈ R
2
, ξ ∈ R
1
e O(x
4
) representa os termos de ordem 4 e superiores,
e depende suavemente de ξ, ´e localmente topologicamente equivalente em torno da origem
ao sistema (2.9).
Demonstra¸c˜ao 2.1.1
Parte I (Existˆencia e unicidade do ciclo).
11
Escrevendo (2.10) nas coordenadas polares (ρ, θ), obtemos
˙ρ = ρ(ξ −ρ
2
) + Φ(ρ, θ),
˙
θ = 1 + Ψ(ρ, θ),
(2.11)
onde Φ = O(|ρ|
4
), Ψ = O(|ρ|
3
), e n˜ao indicaremos a dependˆencia em ξ dessas fun¸c˜oes
para n˜ao complicarmos a nota¸c˜ao. Uma ´orbita de (2.11) partindo de (ρ, θ) = (ρ
0
, 0) tem
Figura 2.2: Transforma¸c˜ao de Poincar´e para a bifurca¸c˜ao de Hopf.
a seguinte representa¸c˜ao, veja Figura 2.2: ρ = ρ(θ; ρ
0
), ρ
0
= ρ(0; ρ
0
) com ρ satisfazendo a
equa¸c˜ao
dρ
dθ
=
ρ(ξ −ρ
2
) + Φ(ρ, θ)
1 + Ψ(ρ, θ)
= ρ(ξ − ρ
2
) + R(ρ, θ),
(2.12)
onde R = O(|ρ|
4
). Note que a transforma¸c˜ao de (2.11) para (2.12) ´e equivalente a uma
reparametriza¸c˜ao do tempo com
˙
θ = 1, implicando que o tempo de retorno para o semi–
eixo θ = 0 ´e o mesmo para todas as ´orbitas que partem desse eixo com ρ
0
> 0. Como
ρ(θ; 0) ≡ 0, a expans˜ao de Taylor para ρ(θ; ρ
0
), ´e
ρ = u
1
(θ)ρ
0
+ u
2
(θ)ρ
2
0
+ u
3
(θ)ρ
3
0
+ O(|ρ
0
|
4
). (2.13)
Substituindo (2.13) em (2.12), obtemos
d
dθ
(u
1
(θ)ρ
0
+ u
2
(θ)ρ
2
0
+ u
3
(θ)ρ
3
0
+ ...) =
= (u
1
(θ)ρ
0
+ u
2
(θ)ρ
2
0
+ u
3
(θ)ρ
3
0
+ ...) [ξ − (u
1
(θ)ρ
0
+ u
2
(θ)ρ
2
0
+ u
3
(θ)ρ
3
0
+ ...)
2
] + R(ρ, θ)
= u
1
(θ)ρ
0
ξ + u
2
(θ)ρ
2
0
ξ + u
3
(θ)ρ
3
0
ξ −u
3
1
(θ)ρ
3
0
+ ... + R(ρ, θ),
de onde vem as seguintes equa¸c˜oes diferenciais lineares resultantes das correspondentes
potˆencias de ρ
0
du
1
dθ
= u
1
ξ,
du
2
dθ
= u
2
ξ,
du
3
dθ
= u
3
ξ −u
3
1
.
12
Figura 2.3: Ponto fixo da transforma¸c˜ao de retorno.
Como queremos, para θ = 0, ρ = ρ
0
, estabelecemos as condi¸c˜oes iniciais u
1
(0) = 1,
u
2
(0) = u
3
(0) = 0, obtendo assim
u
1
(θ) = e
ξθ
, u
2
(θ) ≡ 0, u
3
(θ) = e
ξθ
1 − e
2ξθ
2ξ
.
Note que essas express˜oes s˜ao independentes de R(ρ, θ). Como na express˜ao de u
3
(2π)
vale a igualdade
e
2πξ
1 − e
2(2π)ξ
2ξ
=
e
2πξ
2ξ
1 − (1 + 2(2π)ξ +
(2(2π))
2
ξ
2
2!
+ ...)
= −e
2πξ
[2π + O(ξ)] ,
podemos concluir que a transforma¸c˜ao de retorno ρ
0
→ ρ
1
= ρ(2π, ρ
0
) tem a forma
ρ
1
= e
2πξ
ρ
0
− e
2πξ
[2π + O(ξ)] ρ
3
0
+ O(ρ
4
0
),
(2.14)
para todo R = O(ρ
4
). A fun¸c˜ao (2.14) pode ser facilmente analisada para ρ
0
e |ξ| sufi-
cientemente pequenos. Existe uma vizinhan¸ca da origem onde essa fun¸c˜ao tem somente
o ponto fixo trivial para pequenos valores de ξ < 0 e um ponto fixo extra, ρ
∗
0
=
√
ξ + ...,
para pequenos valores de ξ > 0, veja Figura 2.3. Para verificar essa ´ultima afirma¸c˜ao,
consideremos a fun¸c˜ao (2.14) escrita na forma
ρ
1
= ρ
0
S(ξ, ρ
0
), (2.15)
onde
S(ξ, ρ
0
) = e
2πξ
(1 − [2π + O(ξ)] ρ
2
0
) + O(ρ
3
0
).
Teremos, ent˜ao, a equa¸c˜ao dos pontos fixos, para ρ
0
> 0, dada por
S(ξ, ρ
0
) = 1
⇔ e
2πξ
(1 − [2π + O(ξ)] ρ
2
0
) + O(ρ
3
0
) = 1
⇔ 1 − [2π + O(ξ)] ρ
2
0
+ e
−2πξ
O(ρ
3
0
) = e
−2πξ
⇔ 1 −[2π + O(ξ)] ρ
2
0
+ e
−2πξ
O(ρ
3
0
) − e
−2πξ
= 0.
13
Seja
S(ξ, ρ
0
) = 1 − [2π + O(ξ)] ρ
2
0
+ e
−
2
πξ
O(ρ
3
0
) − e
−
2
πξ
.
Aplicando o Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita na fun¸c˜ao S(ξ, ρ
0
), para (ξ, ρ
0
) = (0, 0), com-
provamos a afirma¸c˜ao. De fato, S(0, 0) = 0 e S
ξ
(0, 0) = 2π = 0, o que nos permite escrever
ξ como fun¸c˜ao de ρ
0
numa vizinhan¸ca de ρ
0
= 0 e calcular
ξ
′
(ρ
0
) = −
S
ρ
0
(ρ
0
, ξ(ρ
0
))
S
ξ
(ρ
0
, ξ(ρ
0
))
=
2(2π + O(ξ))ρ
0
+ e
−2πξ
O(ρ
2
0
)
(...)ρ
2
0
− 2πe
−2πξ
O(ρ
3
0
) + 2πe
−2πξ
.
Portanto, temos que
ξ
′
(0) = 0, ξ
′′
(0) = 2,
implicando, pela expans˜ao de Taylor em torno de ρ
0
= 0, ξ(0) = 0, que
ξ(ρ
0
) = ρ
2
0
+ ... ,
que ´e uma fun¸c˜ao injetora no dom´ınio ρ
0
≥ 0.
A estabilidade dos pontos fixos tamb´em ´e obtida de (2.14). Derivando (2.15) com
rela¸c˜ao a ρ
0
, obtemos
dρ
1
dρ
0
=
S(ξ, ρ
0
) + ρ
0
S
ρ
0
(ξ, ρ
0
).
Para provarmos a estabilidade de ρ
∗
0
basta mostrarmos que
dρ
1
dρ
0
(ρ
∗
0
) < 1.
De fato, como
S(ξ, ρ
0
) = 1 para ρ
0
= ρ
∗
0
; ξ = ξ(ρ
∗
0
), resta vermos que ρ
0
S
ρ
0
(ξ(ρ
∗
0
), ρ
∗
0
) ´e
negativo. Calculando
ρ
0
S
ρ
0
(ξ, ρ
0
) = ρ
0
∂
S
∂ρ
0
(ξ, ρ
0
),
obtemos
ρ
0
S
ρ
0
(ξ, ρ
0
) = ρ
2
0
−2e
2πξ
[2π + O(ξ)] + O(ρ
0
)
,
que, para pequenos valores de ρ
∗
0
> 0; ξ(ρ
∗
0
) > 0, satisfaz o esperado.
Levando em conta que o ponto fixo positivo da fun¸c˜ao corresponde a um ciclo limite do
sistema, podemos concluir que o sistema (2.11), ou (2.10), com quaisquer termos O(|ρ|
4
),
14
tem um ´unico (e est´avel) ciclo limite bifurcando na origem quando ξ > 0 como no sis-
tema (2.9). Portanto, em outras palavras, os termos de ordem superior n˜ao afetam o
surgimento do ciclo limite numa vizinhan¸ca de (x
1
, x
2
) = (0, 0) com |ξ| suficientemente
pequeno.
Parte II (Constru¸c˜ao do homeomorfismo)
Estabelecida a existˆencia e unicidade do ciclo limite, indicaremos agora como proceder
para se obter os homeomorfismos necess´arios e concluir a equivalˆencia topol´ogica dos
retratos de fase.
Fixemos ξ pequeno, mas positivo. Ambos os sistemas (2.9) e (2.10) tˆem um ciclo limite
em alguma vizinhan¸ca da origem. Assuma que j´a tenha sido realizada no sistema (2.10) a
reparametriza¸c˜ao do tempo, resultando num tempo de retorno constante 2π (veja Parte I).
Al´em disso, aplicamos um escalonamento linear nas coordenadas do sistema (2.10) de modo
que o ponto de intersec¸c˜ao do ciclo e o semi–eixo horizontal seja x
1
=
√
ξ.
Figura 2.4: Constru¸c˜ao do homeomorfismo pr´oximo `a bifurca¸c˜ao de Hopf.
Defina a fun¸c˜ao x → x
∗
do seguinte modo: Pegue o ponto x = (x
1
, x
2
) e encontre
valores (ρ
0
, τ
0
), onde τ
0
´e o tempo m´ınimo que uma ´orbita do sistema (2.9) leva para
alcan¸car o ponto x partindo do semi–eixo horizontal com ρ = ρ
0
. Agora, pegue o ponto
deste eixo com ρ = ρ
0
e construa uma ´orbita do sistema (2.10) no intervalo [0; τ
0
] partindo
desse ponto. Denote o ponto resultante por x
∗
= (x
∗
1
, x
∗
2
), veja Figura 2.4. Assuma que
x
∗
= 0 para x = 0.
A fun¸c˜ao constru´ıda ´e um homeomorfismo que, para ξ > 0, leva ´orbitas do sistema
(2.9), em alguma vizinhan¸ca da origem, em ´orbitas de (2.10), preservando a dire¸c˜ao do
15
tempo. O caso ξ < 0 pode ser considerado da mesma forma com uma nova mudan¸ca de
coordenadas.
Considere o sistema
˙
x = f(x, ξ), x = (x
1
, x
2
)
⊤
∈ R
2
, ξ ∈ R,
com f suave, tendo para ξ = 0 o equil´ıbrio e = 0 com autovalores λ
1,2
= ±iω
0
, ω
0
> 0.
Pelo Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita, como λ = 0 n˜ao ´e um autovalor da matriz Jacobiana,
o sistema tem um ´unico equil´ıbrio e
0
(ξ) em alguma vizinhan¸ca da origem para todo |ξ|
suficientemente pequeno. Podemos, ent˜ao, atrav´es de uma mudan¸ca de coordenadas, levar
este equil´ıbrio para a origem. Portanto vamos assumir sem perda de generalidade que e = 0
´e ponto de equil´ıbrio do sistema para |ξ| suficientemente pequeno.
Ent˜ao o sistema pode ser escrito como
˙
x = F(x, ξ),
(2.16)
onde F ´e uma fun¸c˜ao suave com componentes F
1,2
, tendo expans˜ao de Taylor em x ini-
ciando com os termos de primeira ordem, F = O(x). A matriz Jacobiana A(ξ) = f
x
(0, ξ
0
)
possui dois autovalores
λ
1
(ξ) = λ(ξ), λ
2
(ξ) =
¯
λ(ξ),
onde
λ(ξ) = γ(ξ) + iω(ξ),
e a condi¸c˜ao para a bifurca¸c˜ao de Hopf ´e
γ(0) = 0, ω(0) = ω
0
> 0.
Seja q(ξ) ∈ C
2
autovetor complexo correspondente ao autovalor λ(ξ), e dado por
A(ξ)q(ξ) = λ(ξ)q(ξ),
e seja p(ξ) ∈ C
2
autovetor da matriz transposta A
⊤
(ξ) correspondente ao autovalor
¯
λ(ξ),
A
⊤
(ξ)p(ξ) =
¯
λ(ξ)p(ξ).
16
´
E sempre poss´ıvel normalizar p com respeito a q, tal que
p(ξ), q(ξ) = 1,
onde p, q = ¯p
1
q
1
+ ¯p
2
q
2
´e o produto escalar em C
2
. Qualquer vetor x ∈ R
2
pode ser
representado unicamente para todo ξ pequeno como
x = zq(ξ) + ¯z¯q(ξ),
para algum complexo z. Temos ent˜ao a seguinte f´ormula expl´ıcita para se determinar z
z = p(ξ), x.
(2.17)
Para verificar esta f´ormula notemos que
p, x = p, zq + ¯z¯q = p, zq + p, ¯z ¯q
⇔ p, x = z p, q + ¯z p, ¯q.
Como p, q = 1, basta vermos que p, ¯q = 0. De fato,
p, ¯q =
p,
1
¯
λ
A¯q
=
1
¯
λ
A
⊤
p, ¯q
=
λ
¯
λ
p, ¯q
⇔
1 −
λ
¯
λ
p, ¯q = 0.
Como λ =
¯
λ, pois para |ξ| suficientemente pequeno temos ω(ξ) > 0, conclu´ımos que
p, ¯q = 0.
Lema 2.1.2 O sistema (2.16) pode ser escrito, para |ξ| suficientemente pequeno, na forma
˙z = λ(ξ)z + g(z, ¯z, ξ),
(2.18)
onde g = O(|z|
2
) ´e uma fun¸c˜ao suave de (z, ¯z, ξ), dada por
g(z, ¯z, ξ) = p(ξ), F
∗
(zq(ξ) + ¯z¯q(ξ), ξ),
com F
∗
(x) = O(x
2
).
Demonstra¸c˜ao 2.1.2 Em (2.16) temos
˙
x = F(x, ξ), de onde podemos fazer
˙
x = Ax + O(x
2
).
17
sendo A = f
x
(0, ξ
0
) e O(x
2
) representando a expans˜ao de Taylor em x iniciando com os
termos quadr´aticos (no m´ınimo). Temos assim que F (x) − Ax = O(x
2
), por´em, para
simplificar a nota¸c˜ao tomemos F
∗
(x) = O(x
2
). Assim, de (2.17) temos que a vari´avel
complexa z satisfaz a equa¸c˜ao
˙z = p(ξ),
˙
x
= p, Ax + F
∗
(x)
= p, Ax + p, F
∗
(x)
= p, A(zq + ¯z¯q) + p, F
∗
(zq + ¯z¯q)
= p, A(zq) + p, A(¯z¯q) + p, F
∗
(zq + ¯z¯q)
= λz p, q +
¯
λ¯z p, ¯q + p, F
∗
(zq + ¯z¯q)
= λ(ξ)z + p(ξ), F
∗
(zq(ξ) + ¯z¯q(ξ), ξ),
obtendo ent˜ao a forma (2.18), como quer´ıamos.
Escrevendo g em s´erie de Taylor nas duas vari´aveis complexas (z e ¯z) temos
g(z, ¯z, ξ) =
k+l≥2
1
k!l!
g
kl
(ξ)z
k
¯z
l
,
onde
g
kl
(ξ) =
∂
k+l
∂z
k
∂¯z
l
p(ξ), F
∗
(zq(ξ) + ¯z¯q(ξ), ξ)
z=0
,
para k + l ≥ 2, k, l = 0, 1, ... .
Suponha que, para ξ = 0, a fun¸c˜ao F (x, ξ) de (2.16) seja representada na forma
F (x, 0) = Ax +
1
2
B(x, x) +
1
6
C(x, x, x) +
1
24
D(x, x, x, x) +
1
120
E(x, x, x, x, x) + O(x
6
),
(2.19)
onde A = f
x
(0, ξ
0
) e B(x, y), C(x, y, z), D(x, y, z, u) e E(x, y, z, u, v) s˜ao fun¸c˜oes multi-
lineares sim´etricas de x, y, z, u, v ∈ R
2
. Em coordenadas, temos
B
i
(x, y) =
2
j,k=1
∂
2
F
i
(η, 0)
∂η
j
∂η
k
η=0
x
j
y
k
,
C
i
(x, y, z) =
2
j,k,l=1
∂
3
F
i
(η, 0)
∂η
j
∂η
k
∂η
l
η=0
x
j
y
k
z
l
,
D
i
(x, y, z, u) =
2
j,k,l,r=1
∂
4
F
i
(η, 0)
∂η
j
∂η
k
∂η
l
∂η
r
η=0
x
j
y
k
z
l
u
r
,
E
i
(x, y, z, u, v) =
2
j,k,l,r,s=1
∂
5
F
i
(η, 0)
∂η
j
∂η
k
∂η
l
∂η
r
∂η
s
η=0
x
j
y
k
z
l
u
r
v
s
,
18
para i = 1, 2.
Ent˜ao,
B(zq + ¯z¯q, zq + ¯z¯q) = z
2
B(q, q) + 2z¯zB(q, ¯q) + ¯z
2
B(¯q, ¯q),
onde q = q(0), p = p(0), e os coeficientes de Taylor g
kl
, k + l = 2, dos termos quadr´aticos
em g(z, ¯z, 0) podem ser expressos, agora, pelas f´ormulas
g
20
= p, B(q, q), g
11
= p, B(q, ¯q), g
02
= p, B(¯q, ¯q).
C´alculos similares com C, D e E nos d˜ao
g
30
= p, C(q, q, q), g
21
= p, C(q, q, ¯q),
g
12
= p, C(q, ¯q, ¯q), g
03
= p, C(¯q, ¯q, ¯q),
g
40
= p, D(q, q, q, q), g
31
= p, D(q, q, q, ¯q), g
22
= p, D(q, q, ¯q, ¯q),
g
13
= p, D(q, ¯q, ¯q, ¯q), g
04
= p, D(¯q, ¯q, ¯q, ¯q),
g
50
= p, E(q, q, q, q, q), g
41
= p, E(q, q, q, q, ¯q), g
32
= p, E(q, q, q, ¯q, ¯q),
g
23
= p, E(q, q, ¯q, ¯q, ¯q), g
14
= p, E(q, ¯q, ¯q, ¯q, ¯q), g
05
= p, E(¯q, ¯q, ¯q, ¯q, ¯q).
Lema 2.1.3 A equa¸c˜ao
˙z = λz +
g
20
2
z
2
+ g
11
z¯z +
g
02
2
¯z
2
+ O(|z|
3
), (2.20)
onde λ = λ(ξ) = γ(ξ) + iω(ξ), γ(0) = 0, ω(0) = ω
0
> 0, e g
ij
= g
ij
(ξ), pode ser
transformada, pela mudan¸ca de coordenada complexa
z = w +
h
20
2
w
2
+ h
11
w ¯w +
h
02
2
¯w
2
,
para |ξ| suficientemente pequeno, na equa¸c˜ao sem termos quadr´aticos
˙w = λw + O(|w|
3
).
Demonstra¸c˜ao 2.1.3 A mudan¸ca de vari´avel inversa ´e dada pela express˜ao
w = z −
h
20
2
z
2
− h
11
z¯z −
h
02
2
¯z
2
+ O(|z|
3
).
19
Assim sendo,
˙w = ˙z −h
20
z ˙z − h
11
(¯z ˙z + z
˙
¯z) −h
02
¯z
˙
¯z + ...
= λz +
g
20
2
− λh
20
z
2
+ (g
11
− λh
11
−
¯
λh
11
)z¯z +
g
02
2
−
¯
λh
02
¯z
2
+ ...
= λw +
1
2
(g
20
− λh
20
)w
2
+ (g
11
−
¯
λh
11
)w ¯w +
1
2
(g
02
− (2
¯
λ − λ)h
02
) ¯w
2
+ O(|w|
3
).
Escolhendo, ent˜ao
h
20
=
g
20
λ
, h
11
=
g
11
¯
λ
, h
02
=
g
02
2
¯
λ − λ
,
eliminamos os termos quadr´aticos de (2.20). Essas substitui¸c˜oes s˜ao sempre poss´ıveis, pois,
para |ξ| suficientemente pequeno, os denominadores nunca se anulam, afinal λ(0) = iω
0
com ω
0
> 0.
Lema 2.1.4 A equa¸c˜ao
˙z = λz +
g
30
6
z
3
+
g
21
2
z
2
¯z +
g
12
2
z¯z
2
+
g
03
6
¯z
3
+ O(|z|
4
), (2.21)
onde λ = λ(ξ) = γ(ξ) + iω(ξ), γ(0) = 0, ω(0) = ω
0
> 0, e g
ij
= g
ij
(ξ), pode ser
transformada, pela mudan¸ca de coordenadas complexa
z = w +
h
30
6
w
3
+
h
21
2
w
2
¯w +
h
12
2
w ¯w
2
+
h
03
6
¯w
3
,
para |ξ| suficientemente pequeno, na equa¸c˜ao com apenas um termo c´ubico
˙w = λw + c
1
w
2
¯w + O(|w|
4
),
onde c
1
= c
1
(ξ).
Demonstra¸c˜ao 2.1.4 A transforma¸c˜ao inversa ´e
w = z −
h
30
6
z
3
−
h
21
2
z
2
¯z −
h
12
2
z¯z
2
−
h
03
6
¯z
3
+ O(|z|
4
).
Temos ent˜ao,
˙w = ˙z −
h
30
2
z
2
˙z −
h
21
2
(2z¯z ˙z + z
2
˙
¯z) −
h
12
2
(¯z
2
˙z + 2z¯z
˙
¯z) −
h
03
2
¯z
2
˙
¯z + ...
= λz +
g
30
6
−
λh
30
2
z
3
+
g
21
2
− λh
21
−
¯
λh
21
2
z
2
¯z +
g
12
2
−
λh
12
2
−
¯
λh
12
z¯z
2
+
g
03
6
−
¯
λh
03
2
¯z
3
+ ...
= λw +
1
6
(g
30
− 2λh
30
)w
3
+
1
2
(g
21
− (λ +
¯
λ)h
21
)w
2
¯w +
1
2
(g
12
− 2
¯
λh
12
)w ¯w
2
+
1
6
(g
03
+ (λ −3
¯
λ)h
03
) ¯w
3
+ O(|w|
4
).
20
Fazendo, portanto,
h
30
=
g
30
2λ
, h
12
=
g
12
2
¯
λ
, h
03
=
g
03
3
¯
λ − λ
,
eliminamos todos os termos c´ubicos com exce¸c˜ao do termo w
2
¯w, que ser´a tratado sepa-
radamente. As substitui¸c˜oes s˜ao v´alidas, pois, os denominadores envolvidos s˜ao diferentes
de zero para todo |ξ| suficientemente pequeno.
Uma tentativa de eliminar o termo w
2
¯w seria escolher
h
21
=
g
21
λ +
¯
λ
.
Isso ´e poss´ıvel para ξ = 0 pequeno, mas quando ξ = 0 o denominador se anula, pois
λ(0) +
¯
λ(0) = iω
0
− iω
0
= 0. Para obtermos ent˜ao uma transforma¸c˜ao que dependa
suavemente de ξ, escolhemos h
21
= 0, no que resulta
c
1
=
g
21
2
.
O termo w
2
¯w ´e chamado de termo ressonante. Note que o seu coeficiente ´e o mesmo
coeficiente do termo c´ubico z
2
¯z na equa¸c˜ao (2.21).
Lema 2.1.5 A equa¸c˜ao
˙z = λz +
g
40
24
z
4
+
g
31
6
z
3
¯z +
g
22
4
z
2
¯z
2
+
g
13
6
z¯z
3
+
g
04
24
¯z
4
+ O(|z|
5
), (2.22)
onde λ = λ(ξ) = γ(ξ) + iω(ξ), γ(0) = 0, ω(0) = ω
0
> 0, e g
ij
= g
ij
(ξ), pode ser
transformada, pela mudan¸ca de coordenada complexa
z = w +
h
40
24
w
4
+
h
31
6
w
3
¯w +
h
22
4
w
2
¯w
2
+
h
13
6
w ¯w
3
+
h
04
24
¯w
4
,
para |ξ| suficientemente pequeno, na equa¸c˜ao sem termos de quarta ordem
˙w = λw + O(|w|
5
).
Demonstra¸c˜ao 2.1.5 A transforma¸c˜ao inversa ´e
w = z −
h
40
24
z
4
−
h
31
6
z
3
¯z −
h
22
4
z
2
¯z
2
−
h
13
6
z¯z
3
−
h
04
24
¯z
4
+ O(|z|
5
).
21
Assim sendo,
˙w = ˙z −
h
40
6
z
3
˙z −
h
31
6
(3z
2
¯z ˙z + z
3
˙
¯z) −
h
22
4
(2z¯z
2
˙z + 2z
2
¯z
˙
¯z) −
h
13
6
(¯z
3
˙z + 3z¯z
2
˙
¯z) −
h
04
6
¯z
3
˙
¯z + ...
= λz +
g
40
24
−
h
40
6
λ
z
4
+
g
31
6
−
h
31
2
λ −
h
31
6
¯
λ
z
3
¯z +
g
22
4
−
h
22
2
λ −
h
22
2
¯
λ
z
2
¯z
2
+
g
13
6
−
h
13
6
λ −
h
13
6
¯
λ
z¯z
3
+
g
04
24
−
h
04
6
¯
λ
¯z
4
+ ...
= λw +
1
24
(g
40
− 3λh
40
)w
4
+
1
6
(g
31
− (2λ +
¯
λ)h
31
)w
3
¯w +
1
4
(g
22
− (λ + 2
¯
λ)h
22
)w
2
¯w
2
+
1
6
(g
13
− 3
¯
λh
13
)w ¯w
3
+
1
24
(g
04
− (4
¯
λ − λ)h
04
) ¯w
4
+ O(|w|
5
).
Fazendo, portanto,
h
40
=
g
40
3λ
, h
31
=
g
31
2λ +
¯
λ
, h
22
=
g
22
λ + 2
¯
λ
,
h
13
=
g
13
3
¯
λ
, h
04
=
g
04
4
¯
λ − λ
,
eliminamos assim, todos os termos de ordem quatro. Temos que estas substitui¸c˜oes s˜ao
sempre poss´ıveis uma vez que, para |ξ| suficientemente pequeno, os denominadores nunca
se anulam, afinal λ(0) = iω
0
, com ω
0
> 0.
Lema 2.1.6 A equa¸c˜ao
˙z = λz +
g
50
120
z
5
+
g
41
24
z
4
¯z +
g
32
12
z
3
¯z
2
+
g
23
12
z
2
¯z
3
+
g
14
24
z¯z
4
+
g
05
120
¯z
5
+ O(|z|
6
), (2.23)
onde λ = λ(ξ) = γ(ξ) + iω(ξ), γ(0) = 0, ω(0) = ω
0
> 0, e g
ij
= g
ij
(ξ), pode ser
transformada, pela mudan¸ca de coordenada complexa
z = w +
h
50
120
w
5
+
h
41
24
w
4
¯w +
h
32
12
w
3
¯w
2
+
h
23
12
w
2
¯w
3
+
h
14
24
w ¯w
4
+
h
05
120
¯w
5
,
para |ξ| suficientemente pequeno, na equa¸c˜ao com apenas um termo de quinta ordem
˙w = λw + c
2
w
3
¯w
2
+ O(|w|
6
),
onde c
2
= c
2
(ξ).
Demonstra¸c˜ao 2.1.6 A transforma¸c˜ao inversa ´e dada por
w = z −
h
50
120
z
5
−
h
41
24
z
4
¯z −
h
32
12
z
3
¯z
2
−
h
23
12
z
2
¯z
3
−
h
14
24
z¯z
4
−
h
05
120
¯z
5
+ O(|z|
6
).
22
De onde temos que
˙w = ˙z −
h
50
24
z
4
˙z −
h
41
24
(4z
3
¯z ˙z + z
4
˙
¯z) −
h
32
12
(3z
2
¯z
2
˙z + 2z
3
¯z
˙
¯z) −
h
23
12
(2z¯z
3
˙z + 3z
2
¯z
2
˙
¯z)
−
h
14
24
(¯z
4
˙z + 4z¯z
3
˙
¯z) −
h
05
24
¯z
4
˙
¯z + O(|z|
6
)
= λz +
g
50
120
−
h
50
24
λ
z
5
+
g
41
24
−
h
41
6
−
h
41
24
¯
λ
z
4
¯z +
g
32
12
−
h
32
4
λ −
h
32
6
¯
λ
z
3
¯z
2
+
g
23
12
−
h
23
6
λ −
h
23
4
¯
λ
z
2
¯z
3
+
g
14
24
−
h
14
24
λ −
h
14
6
¯
λ
z¯z
4
+
g
05
120
−
h
05
24
¯
λ
¯z
5
+ O(|z|
6
)
= λw +
1
120
(g
50
− 4λh
50
)w
5
+
1
24
(g
41
− (3λ +
¯
λ)h
41
)w
4
¯w +
1
12
(g
32
− 2(λ +
¯
λ)h
32
)w
3
¯w
2
+
1
12
(g
23
− (λ + 3
¯
λ)h
23
)w
2
¯w
3
+
1
24
(g
14
− 4
¯
λh
14
)w ¯w
4
+
1
120
(g
05
− (5
¯
λ − λ)h
05
) ¯w
5
+ O(|w|
6
).
Fazendo, portanto,
h
50
=
g
50
4λ
, h
41
=
g
41
3λ +
¯
λ
, h
23
=
g
23
λ + 3
¯
λ
,
h
14
=
g
14
4
¯
λ
, h
05
=
g
05
5
¯
λ − λ
,
eliminamos assim, todos os termos de ordem 5, exceto w
3
¯w
2
, que trataremos separada-
mente. Temos que estas substitui¸c˜oes s˜ao v´alidas, pois, os denominadores envolvidos s˜ao
diferentes de zero para todo |ξ| suficientemente pequeno.
Uma tentativa de eliminar o termo w
3
¯w
2
seria escolher
h
32
=
g
32
2(λ +
¯
λ)
.
Isto ´e poss´ıvel para ξ = 0 pequeno, mas o denominador se anula quando ξ = 0, vejamos
λ(0) +
¯
λ(0) = iω
0
− iω
0
= 0. Para obter uma transforma¸c˜ao que dependa suavemente de
ξ, escolhemos h
32
= 0, o que resulta em
c
2
=
g
32
12
.
O termo w
3
¯w
2
tamb´em ´e chamado de termo ressonante. Note que o seu coeficiente ´e
o mesmo coeficiente do termo de quinta ordem z
3
¯z
2
na equa¸c˜ao (2.23).
Lema 2.1.7 A equa¸c˜ao
˙z = λz +
2≤k+l≤5
1
k!l!
g
kl
z
k
¯z
l
+ O(|z|
6
),
(2.24)
23
onde λ = λ(ξ) = γ(ξ) + iω(ξ), γ(0) = 0, ω(0) = ω
0
> 0, e g
ij
= g
ij
(ξ), pode ser
transformada, pela mudan¸ca de coordenadas complexa
z = w +
h
20
2
w
2
+ h
11
w ¯w +
h
02
2
¯w
2
+
h
30
6
w
3
+
h
12
2
w ¯w
2
+
h
03
6
¯w
3
+
h
40
24
w
4
+
h
31
6
w
3
¯w
+
h
22
4
w
2
¯w
2
+
h
13
6
w ¯w
3
+
h
04
24
¯w
4
+
h
50
120
w
5
+
h
41
24
w
4
¯w +
h
23
12
w
2
¯w
3
+
h
14
24
w ¯w
4
+
h
05
120
¯w
5
,
para |ξ| suficientemente pequeno, na equa¸c˜ao com apenas um termo c´ubico e um termo de
ordem 5
˙w = λw + c
1
w
2
¯w + c
2
w
3
¯w
2
+ O(|w|
6
), (2.25)
com c
1
= c
1
(ξ) e c
2
= c
2
(ξ).
Demonstra¸c˜ao 2.1.7 Obviamente a suposi¸c˜ao das transforma¸c˜oes definidas nos lemas
anteriores, nos levam a este resultado. As transforma¸c˜oes
z = w +
h
20
2
w
2
+ h
11
w ¯w +
h
02
2
¯w
2
,
z = w +
h
40
24
w
4
+
h
31
6
w
3
¯w +
h
22
4
w
2
¯w
2
+
h
13
6
w ¯w
3
+
h
04
24
¯w
4
,
(2.26)
com
h
20
=
g
20
λ
, h
11
=
g
11
¯
λ
, h
02
=
g
02
2
¯
λ − λ
,
h
40
=
g
40
3λ
, h
31
=
g
31
2λ +
¯
λ
, h
22
=
g
22
λ + 2
¯
λ
, h
13
=
g
13
3
¯
λ
, h
04
=
g
04
4
¯
λ − λ
,
definidas nos Lemas 2.1.3 e 2.1.5, anulam os respectivos termos, mas tamb´em alteram
outros termos. Os coeficientes g
21
/2 e g
32
/12 dos termos z
2
¯z e z
3
¯z
2
respectivamente na
equa¸c˜ao (2.24) foram modificados pelas transforma¸c˜oes de (2.26). Os termos de ordem 6
ou maiores, afetam somente O(|w|
6
) e podem ser truncados.
Necessitamos, agora, calcular os coeficientes c
1
e c
2
em termos da equa¸c˜ao (2.24). O
valor de c
1
e c
2
ser˜ao dados pelos novos coeficientes g
∗
21
/2 e g
∗
32
/12 dos termos w
2
¯w e w
3
¯w
2
ap´os as transforma¸c˜oes de (2.26). Seguem ent˜ao os lemas:
Lema 2.1.8 O coeficiente c
1
(ξ) da equa¸c˜ao (2.25), para ξ = 0, ´e dado por
c
1
(0) =
i
2ω
0
g
20
g
11
− 2|g
11
|
2
−
1
3
|g
02
|
2
+
g
21
2
.
(2.27)
24
Demonstra¸c˜ao 2.1.8 Diferenciando a primeira express˜ao de (2.26), obtemos
˙z = ˙w + h
20
w ˙w + h
11
(w
˙
¯w + ¯w ˙w) + h
02
¯w
˙
¯w.
Substituindo ˙w e seu complexo conjugado
˙
¯w, usando (2.25), obtemos
˙z = λw + λh
20
w
2
+ (λ +
¯
λ)h
11
w ¯w +
¯
λh
02
¯w
2
+ c
1
w
2
¯w + ... .
Por outro lado, na equa¸c˜ao (2.24),
˙z = λz +
1
2
g
20
z
2
+ g
11
z¯z +
1
2
g
02
¯z
2
+
1
6
g
30
z
3
+
1
2
g
21
z
2
¯z +
1
2
g
12
z¯z
2
+
1
6
g
03
¯z
3
+ ... ,
se substituirmos z e ¯z, dados pela primeira express˜ao de (2.26), escrevemos apenas os
termos que nos interessam, temos
˙z = λw +
1
2
(λh
20
+ g
20
)w
2
+ (λh
11
+ g
11
)w ¯w +
1
2
(λh
02
+ g
02
) ¯w
2
+
g
20
h
11
+ g
11
h
20
2
+
¯
h
11
+
g
02
¯
h
02
2
+
g
21
2
w
2
¯w + ... .
Comparando, ent˜ao os coeficientes do termo w
2
¯w nas duas equa¸c˜oes obtidas, utilizando os
valores encontrados para h
20
, h
11
e h
02
,
h
20
=
g
20
λ
, h
11
=
g
11
¯
λ
, h
02
=
g
02
2
¯
λ − λ
,
temos
c
1
= g
20
g
11
¯
λ
+ g
11
g
20
2λ
+
¯g
11
λ
+
g
02
¯g
02
2(2λ −
¯
λ)
+
g
21
2
⇒ c
1
=
g
20
g
11
(2λ +
¯
λ)
2|λ|
2
+
|g
11
|
2
λ
+
|g
02
|
2
2(2λ −
¯
λ)
+
g
21
2
.
Essa f´ormula nos d´a a dependˆencia de c
1
em rela¸c˜ao a ξ, lembrando que λ e g
ij
s˜ao fun¸c˜oes
suaves do parˆametro. No valor de bifurca¸c˜ao ξ = 0, a ´ultima equa¸c˜ao se reduz a
c
1
(0) =
g
20
g
11
(2iω
0
− iω
0
)
2ω
2
0
+
|g
11
|
2
iω
0
+
|g
02
|
2
2(2iω
0
− iω
0
)
+
g
21
2
,
concluindo, finalmente o resultado
c
1
(0) =
i
2ω
0
g
20
g
11
− 2|g
11
|
2
−
1
3
|g
02
|
2
+
g
21
2
.
25
Lema 2.1.9
A parte real do coeficiente c
2
(ξ) da equa¸c˜ao (2.25), para ξ = 0, ´e dado por
Re c
2
(0) =
1
12
Re g
32
+
1
ω
0
Im
g
20
¯g
31
− g
11
(4g
31
+ 3¯g
22
) −
1
3
g
02
(g
40
+ ¯g
13
) − g
30
g
12
+
1
ω
2
0
Re
g
20
¯g
11
(3g
12
− ¯g
30
) + g
02
¯g
12
−
1
3
g
30
+
1
3
¯g
02
g
03
+g
11
¯g
02
5
3
¯g
30
+ 3g
12
+
1
3
g
02
¯g
03
− 4g
11
g
30
+3Im (g
20
g
11
)Im g
21
+
1
ω
3
0
Im
g
11
¯g
02
(¯g
2
20
− 3¯g
20
g
11
− 4g
2
11
)
+Im(g
20
g
11
)
3Re (g
20
g
11
) − 2|g
02
|
2
,
Demonstra¸c˜ao 2.1.9 A demonstra¸c˜ao ´e an´aloga `a demonstra¸c˜ao do Lema 2.1.8, por´em
agora trabalharemos com os termos de at´e ordem 5 e em seguida tomaremos sua parte
real.
Lema 2.1.10 Considere a equa¸c˜ao
dw
dt
= (γ(ξ) + iω(ξ))w + c
1
(ξ)w|w|
2
+ O(|w|
4
),
onde γ(0) = 0 e ω(0) = ω
0
> 0. Suponha γ
′
(0) = 0 e Re c
1
(0) = 0. Ent˜ao a equa¸c˜ao
acima poder´a ser transformada, por mudan¸cas de coordenadas, na equa¸c˜ao
du
dθ
= (χ + i)u + su|u|
2
+ O(|u|
4
), (2.28)
onde u ´e a nova coordenada complexa, θ e χ s˜ao, respectivamente, os novos tempo e
parˆametro e s = sinal Re c
1
(0) = ±1.
Demonstra¸c˜ao 2.1.10 Introduzindo o novo tempo τ = ω(ξ)t, que preserva a dire¸c˜ao,
pois, ω(ξ) > 0, para todo |ξ| suficientemente pequeno, obtemos
dw
dτ
=
γ(ξ) + iω(ξ)
ω(ξ)
w +
c
1
(ξ)
ω(ξ)
w|w|
2
+ O(|w|
4
)
⇔
dw
dτ
= (χ + i)w + d
1
(χ)w|w|
2
+ O(|w|
4
),
onde
χ = χ(ξ) =
γ(ξ)
ω(ξ)
, d
1
=
c
1
(ξ(χ))
ω(ξ(χ))
.
26
Podemos considerar χ como um novo parˆametro, pois
χ(0) = 0, χ
′
(0) =
γ
′
(0)
ω(0)
= 0,
e, portanto, o Teorema da Fun¸c˜ao Inversa nos garante a existˆencia local e suave de ξ como
fun¸c˜ao de χ.
Vamos agora reparametrizar o tempo ao longo das ´orbitas com a nova mudan¸ca de
tempo θ = θ(τ, χ), onde
dθ = (1 + e
1
(χ)|w|
2
)dτ,
com e
1
(χ) = Im d
1
(χ). Essa mudan¸ca ´e pr´oxima da identidade numa pequena vizinhan¸ca
da origem. Usando esse valor de tempo definido, obtemos
dw
dθ
= (χ + i)w + l
1
(χ)w|w|
2
+ O(|w|
4
),
onde l
1
(χ) = Re d
1
(χ) − χe
1
(χ) ´e real e
l
1
(0) =
Re c
1
(0)
ω(0)
.
(2.29)
De fato,
dw
dθ
=
dw
(1 + e
1
(χ)|w|
2
)dτ
= (χ + i)w + l
1
(χ)w|w|
2
+ ...
⇔
dw
dτ
= (1 + e
1
(χ)|w|
2
) [(χ + i)w + l
1
(χ)w|w|
2
+ ...]
= (χ + i)w + [l
1
(χ) + e
1
(χ)(χ + i)] w|w|
2
+ ...
= (χ + i)w + [Re d
1
− χe
1
+ χe
1
+ ie
1
] w|w|
2
+ ...
= (χ + i)w + [Re d
1
+ iIm d
1
] w|w|
2
+ ...
= (χ + i)w + d
1
(χ)w|w|
2
+ ... .
Finalmente, introduzindo a nova vari´avel complexa u
w =
u
|l
1
(χ)|
,
que ´e poss´ıvel, pois Re c
1
(0) = 0 e, portanto, l
1
(0) = 0. A equa¸c˜ao toma, ent˜ao, a forma
1
|l
1
|
du
dθ
= (χ + i)
u
|l
1
|
+ l
1
u
|l
1
|
u
|l
1
|
2
+ ...
⇒
du
dθ
= (χ + i)u +
l
1
(χ)
|l
1
(χ)|
u|u|
2
+ O(|u|
4
) = (χ + i)u + su|u
2
| + O(|u|
4
),
com s = sinal l
1
(0) = sinal Re c
1
(0).
27
Lema 2.1.11
Considere a equa¸c˜ao
dw
dt
= (γ(ξ) + iω(ξ))w + c
1
(ξ)w|w|
2
+ c
2
(ξ)w|w|
4
+ O(|w|
6
),
onde γ(0) = 0 e ω(0) = ω
0
> 0. Suponha γ
′
(0) = 0 e Re c
1
(0) = 0 e Re c
2
(0) = 0. Ent˜ao a
equa¸c˜ao acima poder´a ser transformada, por mudan¸cas de coordenadas, na equa¸c˜ao
du
dθ
= (χ + i)u + ζ u|u|
2
+ s u|u|
4
+ O(|u|
6
), (2.30)
onde u ´e a nova coordenada complexa, θ e χ s˜ao, respectivamente, os novos tempo e
parˆametro,
ζ =
d
1
(0)
|Re c
2
(0)|
e s = sinal Re c
2
(0) = ±1.
Demonstra¸c˜ao 2.1.11 Introduzindo o novo tempo τ = ω(ξ)t, que preserva a dire¸c˜ao,
pois, ω(ξ) > 0 para todo |ξ| suficientemente pequeno, obtemos
dw
dτ
=
γ(ξ) + iω(ξ)
ω(ξ)
w +
c
1
(ξ)
ω(ξ)
w|w|
2
+
c
2
(ξ)
ω(ξ)
w|w|
4
+ O(|w|
6
),
⇔
dw
dτ
= (χ + i)w + d
1
(χ)w|w|
2
+ d
2
(χ)w|w|
4
+ O(|w|
6
),
onde
χ = χ(ξ) =
γ(ξ)
ω(ξ)
, d
1
=
c
1
(ξ(χ))
ω(ξ(χ))
, d
2
=
c
2
(ξ(χ))
ω(ξ(χ))
.
Podemos considerar χ como um novo parˆametro, pois
χ(0) = 0, χ
′
(0) =
γ
′
(0)
ω(0)
= 0,
e, portanto, o Teorema da Fun¸c˜ao Inversa nos garante a existˆencia local e suave de ξ como
fun¸c˜ao de χ.
Vamos agora reparametrizar o tempo ao longo das ´orbitas com a nova mudan¸ca de
tempo θ = θ(τ, χ), onde
dθ = (1 + e
1
(χ)|w|
2
+ e
2
(χ)|w|
4
)dτ
com e
1
(χ) = Im d
1
(χ) e e
2
(χ) = Im d
2
(χ). Essa mudan¸ca ´e pr´oxima da identidade numa
pequena vizinhan¸ca da origem. Usando esse valor de tempo definido, obtemos
dw
dθ
= (χ + i)w + η(χ)w|w|
2
+ l
2
(χ)w|w|
4
+ O(|w|
6
),
28
onde η(χ) = −χ e
1
(χ), l
2
(χ) = Re d
2
(χ) + χ (e
1
(χ)
2
− e
2
(χ)), ´e real e
l
1
(0) =
Re c
1
(0)
ω(0)
= 0, l
2
(0) =
Re c
2
(0)
ω(0)
.
(2.31)
De fato,
dw
dθ
=
dw
(1 + e
1
(χ)|w|
2
+ e
2
(χ)|w|
4
)dτ
= (χ + i)w + η(χ)w|w|
2
+ l
2
(χ)w|w|
4
+ ...,
⇔
dw
dτ
= (1 + e
1
(χ)|w|
2
+ e
2
(χ)w|w|
4
) [ (χ + i)w + η(χ)w|w|
2
+ l
2
(χ)w|w|
4
...]
= (χ + i)w + [ η(χ) + e
1
(χ)(χ + i) ]w|w|
2
+ [ l
2
(χ) + e
1
(χ)η + e
2
(χ)(χ + i) ] w|w|
4
...
= (χ + i)w + [−χe
1
+ χe
1
+ ie
1
] w|w|
2
+ [ Re d
2
+ χe
2
1
− χe
2
− χe
2
1
+ χe
2
+ ie
2
] w|w|
4
...
= (χ + i)w + iIm d
1
w|w|
2
+ [ Re d
2
+ iIm d
2
] w|w|
4
...
= (χ + i)w + d
1
(χ)w|w|
2
+ d
2
(χ)w|w|
4
+ ...
j´a que neste caso Re d
1
= 0 e sendo assim i Im d
1
´e o pr´oprio d
1
. Finalmente, introduzindo
a nova vari´avel complexa u
w =
u
4
|l
2
(χ)|
,
que ´e poss´ıvel, pois Re c
2
(0) = 0 e, portanto, l
2
(0) = 0. A equa¸c˜ao toma ent˜ao a forma
1
4
|l
2
|
du
dθ
= (χ + i)
u
4
|l
2
|
+ d
1
u
4
|l
2
|
u
4
|l
2
|
2
+ l
2
u
4
|l
2
|
u
4
|l
2
|
4
... ,
⇒
du
dθ
= (χ + i)u +
d
1
(χ)
|l
2
(χ)|
u|u|
2
+
l
2
(χ)
|l
2
(χ)|
u|u|
4
+ O(|u|
6
)
= (χ + i)u + ζu|u|
2
+ su|u|
4
+ O(|u|
6
),
com s = sinal l
2
(0) = sinal Re c
2
(0).
Defini¸c˜ao 2.1.1 As fun¸c˜oes l
1
(χ) e l
2
(χ) s˜ao chamadas de primeiro e segundo coefi-
ciente de Lyapunov, respectivamente.
O que (2.29) e (2.31) nos diz ´e que o primeiro e o segundo coeficientes de Lyapunov,
para χ = 0, podem ser calculados pelas f´ormulas
l
1
(0) =
1
2ω
2
0
Re(ig
20
g
11
+ ω
0
g
21
). (2.32)
29
e
l
2
(0) =
1
12
1
ω
0
Re g
32
+
1
ω
2
0
Im
g
20
¯g
31
− g
11
(4g
31
+ 3¯g
22
) −
1
3
g
02
(g
40
+ ¯g
13
) − g
30
g
12
+
1
ω
3
0
Re
g
20
¯g
11
(3g
12
− ¯g
30
) + g
02
¯g
12
−
1
3
g
30
+
1
3
¯g
02
g
03
+g
11
¯g
02
5
3
¯g
30
+ 3g
12
+
1
3
g
02
¯g
03
− 4g
11
g
30
+3Im (g
20
g
11
)Im g
21
+
1
ω
4
0
Im (g
11
¯g
02
(¯g
2
20
− 3¯g
20
g
11
− 4g
2
11
))
+Im(g
20
g
11
) (3Re (g
20
g
11
) − 2|g
02
|
2
)
,
(2.33)
respectivamente. Isto significa que necessitamos somente das segunda, terceira, quarta e
quinta derivadas parciais no ponto de bifurca¸c˜ao para calcularmos l
1
(0) e l
2
(0).
Observa¸c˜ao 2.1.1 Os valores de l
1
(0) e l
2
(0) depender˜ao da normaliza¸c˜ao dos autove-
tores q e p, enquanto que seu sinal ´e invariante pela escolha de q, p, obviamente conside-
rando a normaliza¸c˜ao p, q = 1.
Observa¸c˜ao 2.1.2 O que o sinal dos coeficientes de Lyapunov nos mostra ´e que sendo
λ
1,2
(ξ) = γ(ξ) ±iω(ξ),
onde γ(0) = 0 e ω(0) = ω
0
> 0, e sendo l
1
> 0 (l
1
< 0), ent˜ao temos um foco repulsor
(atrator) fraco sobre a superf´ıcie central.
Note que se a equa¸c˜ao (2.28) com sinal s = −1 for escrita na sua forma real, ela
coincidir´a com o sistema (2.10). Podemos agora resumir os resultados obtidos nos seguintes
teoremas:
Teorema 2.1.1 (Teorema da bifurca¸c˜ao de Hopf gen´erica) Qualquer sistema dinˆa-
mico da forma
˙
x = f(x, ξ),
(2.34)
30
onde f ´e suave, x ∈ R
2
e ξ ∈ R, tendo para todo |ξ| suficientemente pequeno, o equil´ıbrio
e = 0 com autovalores
λ
1,2
(ξ) = γ(ξ) ±iω(ξ),
onde γ(0) = 0, ω(0) = ω
0
> 0, satisfazendo:
(1) l
1
(0) = 0 (condi¸c˜ao de n˜ao degenerescˆencia);
(2) γ
′
(0) = 0 (condi¸c˜ao de transversalidade),
´e localmente topologicamente equivalente, em torno da origem, a uma das seguintes formas
normais
˙y
1
˙y
2
=
ζ −1
1 ζ
y
1
y
2
± (y
2
1
+ y
2
2
)
y
1
y
2
.
Demonstra¸c˜ao 2.1.1 Utilizando os Lemas 2.1.3, 2.1.4, 2.1.7, 2.1.8 e 2.1.10, transfor-
mamos o sistema (2.34) na equa¸c˜ao (2.28), e ent˜ao pelo Lema 2.1.1, conclu´ımos o resultado.
Portanto, o Teorema 2.1.1 nos garante que um sistema em duas dimens˜oes que possui
autovalores imagin´arios puros e satisfaz as condi¸c˜oes (1) e (2) desse mesmo teorema, possui
uma bifurca¸c˜ao de Hopf.
Teorema 2.1.2 (Teorema da bifurca¸c˜ao de Hopf degenerada) Considere o sistema
planar
˙
x = f(x, ξ),
onde f ´e suave, x ∈ R
2
e ξ ∈ R
2
, tendo o equil´ıbrio e
0
= 0 com autovalores
λ
1,2
(ξ) = γ(ξ) ±iω(ξ),
para todo ξ suficientemente pequeno, onde ω(0) = ω
0
> 0. Para ξ = 0, sejam as
condi¸c˜oes para a bifurca¸c˜ao de Hopf degenerada
γ(0) = 0, l
1
(0) = 0,
onde l
1
(ξ) ´e o primeiro coeficiente de Lyapunov. Assuma que as seguintes condi¸c˜oes
gen´ericas sejam satisfeitas:
31
(1)
l
2
(0) = 0, onde l
2
(0) ´e o segundo coeficiente de Lyapunov dado por (2.33);
(2) a fun¸c˜ao ξ → (γ(ξ), l
1
(ξ))
⊤
´e regular em ξ = 0.
Ent˜ao, pela introdu¸c˜ao de uma vari´avel complexa e aplicando uma transforma¸c˜ao de coor-
denadas que dependa suavemente da escolha do parˆametro e do tempo, o sistema pode ser
reduzido `a seguinte forma complexa
˙z = (χ + i)z + ζz|z|
2
+ sz|z|
4
+ O(|z|
6
), (2.35)
onde s = sinal l
2
(0) = ±1.
Para o teorema acima veja [6] p. 311.
Para analisar esta bifurca¸c˜ao, podemos estudar a aproxima¸c˜ao da forma normal da
express˜ao (2.35) pela exclus˜ao dos termos O(|z|
6
). Vemos assim que esta aproxima–se da
forma normal para a bifurca¸c˜ao de Hopf degenerada.
O Teorema 2.1.2 garante–nos que um sistema em duas dimens˜oes, possuindo autovalo-
res imagin´arios puros, tal que as condi¸c˜oes (1) e (2) desse mesmo teorema sejam satisfeitas,
possui uma bifurca¸c˜ao de Hopf degenerada.
2.2 M´etodo da proje¸c˜ao
Estudada a bifurca¸c˜ao de Hopf em sistemas de duas dimens˜oes, nosso objetivo agora ´e
obter um m´etodo para estud´a–la em sistemas de n–dimens˜oes. Tal m´etodo baseia–se em
transformar o sistema, escrevendo–o em uma base formada pelos seus autovetores. Por´em,
somente autovetores correspondentes aos valores cr´ıticos (respons´aveis pela bifurca¸c˜ao) s˜ao
usados para se projetar o sistema e restringi–lo ao caso bidimensional.
Inicialmente faremos um breve resumo de alguns resultados de
´
Algebra Linear que
ser˜ao necess´arios para a se¸c˜ao.
Seja A uma matriz quadrada e λ um autovalor de A com multiplicidade alg´ebrica m,
com v
1
, v
2
, ..., v
l
, 1 ≤ l ≤ m, autovetores linearmente independentes correspondentes
32
a λ. Para cada autovetor v
j
, existe uma escolha maximal de vetores w
(j)
1
, w
(j)
2
, ..., w
(j)
k
,
onde k = k(j) ∈ N, tal que
Aw
1
= λw
1
,
Aw
2
= λw
2
+ w
1
,
...
Aw
k
= λw
k
+ w
k−1
.
Note que podemos escolher o vetor w
1
= w
(j)
1
como sendo o pr´oprio autovetor v
j
.
Defini¸c˜ao 2.2.1 Os vetores w
(j)
i
, com i ≥ 2, s˜ao chamados autovetores generalizados
de A correspondentes ao autovalor λ.
Os autovetores generalizados w
(j)
1
, w
(j)
2
, ..., w
(j)
k
, relativos a um autovalor λ s˜ao sempre
linearmente independentes e o subespa¸co
X = {x ∈ C
n
: x = α
1
w
(j)
1
+ α
2
w
(j)
2
+ ... + α
k
w
(j)
k
, α
i
∈ C}
´e A–invariante.
O estudo das formas canˆonicas de Jordan nos garante que o espa¸co C
n
pode ser decom-
posto em subespa¸cos A–invariantes correspondentes aos autovalores de A e gerados pelos
respectivos autovetores e autovetores generalizados. Esses subespa¸cos s˜ao chamados de
autoespa¸cos generalizados de A. Se a matriz A ´e real, esses subespa¸cos A–invariantes
do R
n
ser˜ao gerados pelos autovetores e autovetores generalizados de A, correspondentes
aos autovalores reais e `as partes real e imagin´aria dos autovalores complexos com, por
exemplo, parte imagin´aria positiva. Ver Kuznetsov [6] e Pontryagin [11].
Seja e
0
um ponto de equil´ıbrio n˜ao–hiperb´olico de
˙
x = F(x, 0), x ∈ R
n
, (2.36)
onde F (x, 0), dada por (2.19) ´e uma fun¸c˜ao suave, A = f
x
(0, ξ
0
) corresponde `a parte linear
do sistema e possui um par de autovalores imagin´arios puros λ = iω
0
e
¯
λ = −iω
0
, ω
0
> 0
e n˜ao admite outro autovalor com parte real nula.
Seja q ∈ C
n
o autovetor correspondente `a λ. Ent˜ao
A(ξ
0
)q(ξ
0
) = iω
0
q(ξ
0
), A(ξ
0
)¯q(ξ
0
) = −iω
0
¯q(ξ
0
).
33
Introduzindo agora o autovetor adjunto p ∈ C
n
com a propriedade
A
⊤
(ξ
0
)p(ξ
0
) = −iω
0
p(ξ
0
), A
⊤
(ξ
0
)¯p(ξ
0
) = iω
0
¯p(ξ
0
),
e satisfazendo `a normaliza¸c˜ao
p(ξ
0
), q(ξ
0
) =
n
i=1
¯p
i
(ξ
0
)q
i
(ξ
0
) = 1,
onde A
⊤
(ξ
0
) ´e a matriz transposta de A(ξ
0
) e p(ξ
0
), q(ξ
0
) ´e o produto escalar usual em
C
n
. Considere o autoespa¸co real T
c
, correspondente a λ e
¯
λ. T
c
tem dimens˜ao dois e ´e
gerado por {Re q, Im q}. O autoespa¸co real generalizado T
su
, correspondente a todos os
outros autovalores de A, tem dimens˜ao (n −2).
Sempre podemos decompor x ∈ R
n
em
x = zq + ¯z¯q + y
su
,
onde z ∈ C, zq + ¯z¯q ∈ T
c
e y
su
∈ T
su
, uma vez que T
su
⊕ T
c
= R
n
.
Lema 2.2.1 Seja y ∈ R
n
. y ∈ T
su
se, e somente se, p, y = 0.
Demonstra¸c˜ao 2.2.1
Parte I (y ∈ T
su
⇒ p, y = 0).
Sejam µ
1
, µ
2
, ..., µ
l
os autovalores reais de A e η
1
, ¯η
1
; η
2
, ¯η
2
; ...; η
k
, ¯η
k
, os autovalores
complexos (n˜ao reais) de A, diferentes de λ e
¯
λ.
Seja T
µ
i
o autoespa¸co generalizado correspondente ao autovalor µ
i
e T
η
j
,¯η
j
o autoespa¸co
real generalizado correspondente aos autovalores η
j
, ¯η
j
.
Temos, ent˜ao, que
T
su
= T
µ
1
⊕ T
µ
2
⊕ ... ⊕T
µ
l
⊕ T
η
1
,¯η
1
⊕ T
η
2
,¯η
2
⊕ ... ⊕T
η
k
,¯η
k
.
Como T
µ
i
s˜ao espa¸cos generalizados, ´e fato que para cada i existe um N
µ
i
∈ N, tal que, se
y ∈ T
µ
i
, ent˜ao (A −µ
i
I
n
)
N
µ
i
y = 0. Portanto,
0 =
p, (A −µ
i
I
n
)
N
µ
i
y
=
(A
⊤
− ¯µ
i
I
n
)
N
µ
i
p, y
=
(
¯
λ − ¯µ
i
)
N
µ
i
p, y
= (λ −µ
i
)
N
µ
i
p, y
34
e, como λ = µ
i
, temos que
p, y = 0.
Do mesmo modo, como T
η
j
,¯η
j
s˜ao espa¸cos generalizados, para cada j existe um N
η
j
∈ N,
tal que, se y ∈ T
η
j
,¯η
j
, ent˜ao (A −η
j
I
n
)
N
η
j
(A − ¯η
j
I
n
)
N
η
j
y = 0. Portanto,
0 =
p, (A −η
j
I
n
)
N
η
j
(A − ¯η
j
I
n
)
N
η
j
y
=
(A
⊤
− ¯η
j
I
n
)
N
η
j
p, (A − ¯η
j
I
n
)
N
η
j
y
=
(A
⊤
− η
j
I
n
)
N
η
j
(A
⊤
− ¯η
j
I
n
)
N
η
j
p, y
=
(
¯
λ − η
j
)
N
η
j
(
¯
λ − η
j
)
N
η
j
p, y
= (λ − ¯η
j
)
N
η
j
(λ − η
j
)
N
η
j
p, y.
e como λ = η
j
e λ = ¯η
j
, temos que
p, y = 0.
Portanto, para qualquer y ∈ T
su
, como podemos escrever
y =
l
i=1
y
µ
i
+
k
j=1
y
η
j
,
com y
µ
i
∈ T
µ
i
para i = 1, ..., l e y
η
j
∈ T
η
j
,¯η
j
para j = 1, ..., k, podemos concluir ent˜ao
que
p, y = p, y
µ
1
+ ... + y
µ
l
+ y
η
1
+ ... + y
η
k
= p, y
µ
1
+ ... + p, y
µ
l
+ p, y
η
1
+ ... + p, y
η
k
= 0.
Parte II (p, y = 0, y ∈ R
n
⇒ y ∈ T
su
).
Seja y qualquer, tal que y ∈ T
su
⊕ T
c
⊂ R
n
. Portanto podemos escrever
y = y
su
+ y
c
,
com y
su
∈ T
su
e y
c
∈ T
c
. Como T
c
´e gerado por q, ¯q, mas y
c
∈ R
n
,
y
c
= αq + ¯α¯q,
com α ∈ C, conclu´ımos que
y = y
su
+ αq + ¯α¯q. (2.37)
35
Queremos mostrar aqui que y
c
= 0, o que ser´a feito mostrando que α = 0.
Da hip´otese, temos
0 = p, y = p, y
su
+ y
c
= p, y
su
+ p, y
c
.
Do in´ıcio deste lema (Parte I), temos que p, y
su
= 0. Portanto
p, y
c
= 0
⇒ p, αq + ¯α¯q = 0
⇒ α p, q + ¯α p, ¯q = 0
⇒ α = 0,
pois p, q = 1 e p, ¯q = 0. De fato,
p, ¯q =
p,
1
¯
λ
A¯q
=
1
¯
λ
A
⊤
p, ¯q
=
λ
¯
λ
p, ¯q,
1 −
λ
¯
λ
p, ¯q = 0.
Como λ n˜ao ´e real, temos λ =
¯
λ e, portanto p, ¯q = 0.
Utilizando o lema anterior, podemos agora explicitar z e y com rela¸c˜ao a x. Sendo
x = zq + ¯z¯q + y ∈ R
n
, com zq + ¯z¯q ∈ T
c
e y ∈ T
su
, vale que
p, x = p, zq + ¯z¯q + y = p, zq + p, ¯z¯q + p, y.
Como p, y = 0, pois y ∈ T
su
(lema 2.2.1),
p, x = p, zq + p, ¯z¯q = z p, q + ¯z p, ¯q,
e lembrando que p, q = 1 e p, ¯q = 0, como visto na demonstra¸c˜ao do lema anterior
(Parte II), conclu´ımos que
z = p, x,
y = x − p, xq − ¯p, x ¯q.
(2.38)
Teorema 2.2.1 (Teorema da Variedade Central)
Localmente, existe um conjunto in-
variante W
c
(0) de (2.36) que ´e tangente a T
c
em e
0
= 0. Tal conjunto ´e o gr´afico de uma
aplica¸c˜ao suave, cujas derivadas parciais de todas as ordens s˜ao unicamente determinadas.
Se ψ
t
denota o fluxo associado a (2.36), ent˜ao existe uma vizinhan¸ca U de e
0
= 0, tal que
se ψ
t
x ∈ U para todo t ≥ 0 (t ≤ 0), ent˜ao ψ
t
x → W
c
(0) para t → +∞ (t → −∞). Ver
Kuznetsov [6].
36
Defini¸c˜ao 2.2.2
W
c
´e chamado de variedade central.
Considere uma variedade central W
c
que tenha a mesma classe de diferenciabilidade
(finita) que f (se f ∈ C
k
para algum k finito, W
c
´e tamb´em uma variedade de classe C
k
)
em alguma vizinhan¸ca U de e
0
. Contudo, quando k → ∞, a vizinhan¸ca U poder´a encolher
e, em alguns casos, resultar na n˜ao–existˆencia de uma variedade W
c
de classe C
∞
, para
algum sistema C
∞
.
Assim, o sistema
˙
x = f(x), x ∈ R
n
,
pode ser escrito como
˙z = Bz + g(z, y),
˙
y = Cy + h(z, y),
(2.39)
onde z ∈ T
c
, y ∈ T
su
, B ´e uma matriz 2 × 2 formada pelos autovalores com partes reais
nulas, e C ´e uma matriz (n −2) ×(n −2) formada pelos autovalores com partes reais n˜ao
nulas. As fun¸c˜oes g e h tˆem a expans˜ao de Taylor come¸cando com os termos quadr´aticos.
A variedade central W
c
do sistema (2.39) pode ser localmente representada como um
gr´afico de uma fun¸c˜ao suave
W
c
= {(z, ¯z, y) : y = V (z, ¯z)}.
Veja Figura 2.5. Aqui, V : T
c
→ T
su
, e devido `a propriedade de tangˆencia de W
c
,
V (z, ¯z) = O(|z|
2
).
Qualquer vetor z ∈ T
c
pode ser representado como z = wq + ¯w¯q, onde w = p, z ∈ C.
A variedade central bidimensional pode ser parametrizada por w, ¯w por meio de uma
imers˜ao da forma x = H(w, ¯w), onde H : C
2
→ R
n
tem sua expans˜ao de Taylor da forma
H(w, ¯w) = wq + ¯w¯q +
2≤j+k≤5
1
j!k!
h
jk
w
j
¯w
k
+ O(|w|
6
), (2.40)
com h
jk
∈ C
n
e h
jk
=
¯
h
kj
. Substituindo (2.40) em (2.36), obt´em–se a seguinte equa¸c˜ao
diferencial
H
w
w
′
+ H
¯w
¯w
′
= F (H(w, ¯w)), (2.41)
37
Figura 2.5: Variedade central como um gr´afico de y = V (z, ¯z).
onde F ´e dada pela expans˜ao (2.19). De acordo com a f´ormula (2.25), temos que o campo
restrito `a variedade central pode ser escrito na forma
w
′
= iω
0
w +
1
2
g
21
w|w|
2
+
1
12
g
32
w|w|
4
+ O(|w|
6
), (2.42)
com g
jk
∈ C. Em outras palavras, o que estamos fazendo ´e projetar o campo de vetores
sobre a variedade central. Assim, sobre a variedade central, a equa¸c˜ao diferencial se
comporta como no plano.
Observa¸c˜ao 2.2.1 Temos que a equa¸c˜ao (2.42) ´e exatamente igual `a equa¸c˜ao (2.25).
Vejamos, w
2
¯w = w|w|
2
, w
3
¯w
2
= w|w|
4
e tomando
c
1
=
1
2
g
21
e c
2
=
1
12
g
32
chegamos `a equa¸c˜ao (2.42).
Temos
H
w
= q + h
20
w + h
11
¯w +
1
2
h
30
w
2
+ h
21
w ¯w +
1
2
h
12
¯w
2
+
1
6
h
40
w
3
+
1
2
¯
h
31
w
2
¯w +
1
2
h
22
w ¯w
2
+
1
6
h
13
¯w
3
+
1
4
h
32
w
2
¯w
2
+ ... ,
H
¯w
= ¯q + h
11
w + h
02
¯w + h
12
w ¯w +
1
2
h
21
w
2
+
1
2
h
03
¯w
2
+
1
2
h
13
w ¯w
2
+
1
2
h
22
w
2
¯w +
1
6
h
31
w
3
+
1
6
h
04
¯w
3
+
1
6
h
32
w
3
¯w + ... .
38
Aplicando H
w
, H
¯w
, w
′
, ¯w
′
em (2.41), temos
H
w
w
′
+ H
¯w
¯w
′
= q iω
0
w − ¯q iω
0
¯w + h
20
iω
0
w
2
− h
02
iω
0
¯w
2
+
1
2
h
30
iω
0
w
3
+
1
2
q g
21
+
1
2
h
21
iω
0
w
2
¯w +
1
2
¯q ¯g
21
−
1
2
h
12
iω
0
w ¯w
2
−
1
2
h
03
iω
0
¯w
3
+
1
6
h
40
iω
0
w
4
+
1
2
g
21
h
20
+
1
3
h
31
iω
0
w
3
¯w+
1
2
g
21
h
11
+
1
2
¯g
21
h
11
w
2
¯w
2
+
1
2
h
02
¯g
21
−
1
3
h
13
iω
0
w ¯w
3
−
1
6
h
04
iω
0
¯w
4
+
1
12
q g
32
+
1
2
g
21
h
21
+
1
12
h
32
iω
0
+
1
4
h
21
¯g
21
w
3
¯w
2
+ ... .
Por outro lado,
F (H(w, ¯w)) = A(q)w +A(¯q) ¯w +w
2
1
2
B(q, q)+
1
2
A(h
20
)
+ ¯w
2
1
2
B(¯q, ¯q)+
1
2
A(h
02
)
+
w ¯w
B(q, ¯q) + A(h
11
)
+ w
3
1
6
C(q, q, q) +
1
2
B(h
20
, q) +
1
6
A(h
30
)
+ w
2
¯w
1
2
C(¯q, q, q) +
B(h
11
, q)+
1
2
B(¯q, h
20
)+
1
2
A(h
21
)
+w ¯w
2
1
2
C(q, ¯q, ¯q)+B(h
11
, ¯q)+
1
2
B(q, h
02
)+
1
2
A(h
12
)
+
¯w
3
1
6
C(¯q, ¯q, ¯q)+
1
2
B(h
02
, ¯q)+
1
6
A(h
03
)
+w
4
1
24
D(q, q, q, q)+
1
4
C(h
20
, q, q)+
1
6
B(h
30
, q)+
1
8
B(h
20
, q, q)+
1
24
A(h
40
)
+w
3
¯w
1
6
D(¯q, q, q, q)+
1
2
C(h
11
, q, q)+
1
2
C(¯q, h
20
, q)+
1
2
B(h
21
, q)+
1
2
B(h
11
, h
20
)+
1
6
B(¯q, h
30
)+
1
6
A(h
31
)
+w
2
¯w
2
1
4
D(¯q, ¯q, q, q)+
1
4
C(h
02
, q, q)+C(¯q, h
11
, q)+
1
2
B(h
12
, q) +
1
2
B(h
11
, h
11
) +
1
4
C(¯q, ¯q, h
20
) +
1
4
B(h
02
, h
20
) +
1
2
B(¯q, h
21
) +
1
4
A(h
22
)
+
¯w
4
1
24
D(¯q, ¯q, ¯q, ¯q)+
1
4
C(h
02
, ¯q, ¯q)+
1
6
B(h
03
, ¯q)+
1
8
B(h
02
, h
02
)+
1
24
A(h
04
)
+w ¯w
3
1
6
D(q, ¯q, ¯q, ¯q)+
1
2
C(h
11
, ¯q, ¯q) +
1
2
C(q, h
02
, ¯q) +
1
2
B(h
12
, ¯q) +
1
6
B(q, h
03
) +
1
2
B(h
02
, h
11
) +
1
6
A(h
13
)
+
w
3
¯w
2
1
12
E(¯q, ¯q, q, q, q)+
1
12
D(h
02
, q, q, q)+
1
2
D(¯q, h
11
, q, q)+
1
4
D(¯q, ¯q, h
20
, q)+
1
4
C(h
12
, q, q)+
1
2
C(h
11
, h
11
, q)+
1
4
C(h
02
, h
20
, q)+
1
2
C(¯q, h
21
, q)+
1
2
C(¯q, h
11
, h
20
)+
1
12
C(¯q, ¯q, h
30
)+
1
4
B(h
22
, q)+
1
4
B(h
12
, h
20
) +
1
2
B(h
11
, h
21
) +
1
12
B(h
02
, h
30
) +
1
6
B(¯q, h
31
) +
1
12
A(h
32
)
.
39
Aplicando (H
w
w
′
+ H
¯w
¯w
′
) e F (H(w, ¯w)) em (2.41), temos
q iω
0
= A(q),
¯q iω
0
= −A(¯q),
h
20
= (2iω
0
I
n
− A)
−1
B(q, q),
h
11
= −A
−1
(B(q, ¯q)),
h
02
= (−2iω
0
I
n
− A)
−1
B(¯q, ¯q),
h
30
= (3iω
0
I
n
− A)
−1
(C(q, q, q) + 3B(h
20
, q)),
h
03
= (−3iω
0
I
n
− A)
−1
(C(¯q, ¯q, ¯q) + 3B(h
02
, ¯q)),
(2.43)
onde I
n
´e a matriz identidade n × n.
Obtemos um sistema singular para o termo h
21
(iω
0
I
n
− A)h
21
= C(¯q, q, q) −g
21
q + 2B(h
11
, q) + B(¯q, h
20
), (2.44)
que possui solu¸c˜ao se, e somente se,
p, C(¯q, q, q) − g
21
q + 2B(h
11
, q) + B(¯q, h
20
) = 0.
Sendo assim,
g
21
= p, C(¯q, q, q) + 2B(h
11
, q) + B(¯q, h
20
),
onde h
11
e h
20
s˜ao dados por (2.43).
O primeiro coeficiente de Lyapunov, conforme equa¸c˜ao (2.31), ´e dado por
l
1
=
Re c
1
(0)
ω
0
=
1
2ω
0
Re g
21
,
ou seja,
l
1
=
1
2ω
0
Re [p, C(¯q, q, q) + 2 p, B(h
11
, q) + p, B(¯q, h
20
)] . (2.45)
Podemos encontrar o valor de h
21
resolvendo o seguinte sistema
iω
0
I
n
− A q
¯p 0
h
21
s
=
C(¯q, q, q) − g
21
q + 2B(h
11
, q) + B(¯q, h
20
)
0
,
(2.46)
tal que p, h
21
= 0.
40
Lema 2.2.2
O sistema (2.46) ´e n˜ao singular, e se (ϑ, r) ´e solu¸c˜ao, tal que p, ϑ = 0, ϑ
´e solu¸c˜ao de (2.44).
Demonstra¸c˜ao 2.2.2 Escrevamos R
n
= T
c
⊕ T
su
, onde T
c
e T
su
s˜ao, respectivamente,
autoespa¸co generalizado de A correspondente aos autovalores com parte real nula e au-
tovalores com parte real n˜ao nula, ambos invariantes por A. Pelo Lema 2.2.1, temos que
ϑ ∈ T
su
se, e somente se, p, ϑ = 0.
Defina
v = C(¯q, q, q) − g
21
q + 2B(h
11
, q) + B(¯q, h
20
).
Seja (ϑ, r) a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao obtida a partir de (2.46). Equivalentemente,
(iω
0
I
n
− A)ϑ + r q = 0,
p, ϑ = 0.
(2.47)
Da segunda equa¸c˜ao de (2.47) segue que ϑ ∈ T
su
, e consequentemente, (iω
0
I
n
−A)ϑ ∈ T
su
.
Portanto p, (iω
0
I
n
− A)ϑ = 0.
Agora, do produto interno de p com o primeiro termo de (2.47), vem
p, (iω
0
I
n
− A)ϑ + r q = 0
⇒ p, (iω
0
I
n
− A)ϑ + r p, q = 0.
Como p, q = 1 e p, (iω
0
I
n
− A)ϑ = 0, temos
r p, q = 0 ⇔ r = 0.
Substituindo r = 0, na primeira equa¸c˜ao de (2.47), temos que
(iω
0
I
n
− A)ϑ = 0
⇒ ϑ = α q,
(2.48)
α ∈ C. No entanto,
0 = p, ϑ = p, α q = α p, q = α,
que em (2.48), nos fornece ϑ = 0. Portanto, (ϑ, r) = (0, 0). Logo, o sistema (2.46) ´e
n˜ao singular.
Seja agora (ϑ, r) solu¸c˜ao de (2.46). Ent˜ao, temos
(iω
0
I
n
− A)ϑ + r q = v, p, ϑ = 0. (2.49)
41
Da segunda equa¸c˜ao de (2.49), segue que v ∈ T
su
, e que
(iω
0
I
n
− A)ϑ ∈ T
su
⇒ p, (iω
0
I
n
− A)ϑ = 0.
Fazendo o produto interno de p com a primeira equa¸c˜ao de (2.49) temos que
p, (iω
0
I
n
− A)ϑ + rq = p, v
⇒ p, (iω
0
I
n
− A)ϑ + r p, q = p, v.
Como p, v = 0, p, q = 1, p, (iω
0
I
n
− A)ϑ = 0, segue que r = 0. Substituindo
r = 0 na primeira equa¸c˜ao de (2.49) obtemos
(iω
0
I
n
− A)ϑ = v.
Logo, ϑ ´e solu¸c˜ao de (2.44).
Observa¸c˜ao 2.2.2 De forma an´aloga, obteremos h
32
.
Os termos seguintes, ser˜ao necess´arios para calcularmos o segundo coeficiente de Lya-
punov.
h
40
= (4iω
0
I
n
− A)
−1
(D(q, q, q, q) + 6C(h
20
, q, q) + 4B(h
30
, q) + 3B(h
20
, h
20
),
h
31
= (2iω
0
I
n
− A)
−1
(D(¯q, q, q, q) + 3C(h
11
, q, q) + 3C(¯q, h
20
, q) + 3B(h
21
, q)
−3g
21
h
20
+ 3B(h
11
, h
20
) + B(¯q, h
30
)),
h
22
= −A
−1
(D(¯q, ¯q, q, q) + C(h
02
, q, q) + 4C(¯q, h
11
, q) + 2B(h
12
, q) + 2B(h
11
, h
11
)
+C(¯q, ¯q, h
20
) + B(h
02
, h
20
) + 2B(¯q, h
21
) − 2h
11
(g
21
+ ¯g
21
)),
h
13
= (−2iω
0
I
n
− A)
−1
(D(q, ¯q, ¯q, ¯q) + 3C(h
11
, ¯q, ¯q) + 3C(q, h
02
, ¯q) + 3B(h
12
, ¯q)
+B(q, h
03
) + 3B(h
02
, h
11
) − 3 h
02
¯g
21
),
h
04
= (−4iω
0
I
n
− A)
−1
(D(¯q, ¯q, ¯q, ¯q) + 6C(h
02
, ¯q, ¯q) + 4B(h
03
¯q) + 3B(h
02
, h
02
)).
(2.50)
Para l
1
= 0, devemos ter g
21
+ ¯g
21
= 0, de onde o ´ultimo termo de h
22
se torna nulo.
O termo singular associado a h
32
, ´e dado por
(iω
0
I
n
− A) h
32
= E(¯q, ¯q, q, q, q) + D(h
02
, q, q, q) + 6D(¯q, h
11
, q, q) + 3C(h
12
, q, q)
+6C(h
11
, h
11
, q) + 3D(¯q, ¯q, h
20
, q) + 3C(h
02
, h
20
, q) + 6C(¯q, h
21
, q)
+3B(h
22
, q) + 6C(¯q, h
11
, h
20
) + 3B(h
12
, h
20
) − 6g
21
h
21
+ 6B(h
11
, h
21
)
+C(¯q, ¯q, h
30
) + B(h
02
, h
30
) + 2B(¯q, h
31
) − 3h
21
¯g
21
− g
32
q.
42
Fazendo
H
32
= E(¯q, ¯q, q, q, q) + D(h
02
, q, q, q) + 6D(¯q, h
11
, q, q) + 3C(h
12
, q, q)
+6C(h
11
, h
11
, q) + 3D(¯q, ¯q, h
20
, q) + 3C(h
02
, h
20
, q) + 6C(¯q, h
21
, q)
+3B(h
22
, q) + 6C(¯q, h
11
, h
20
) + 3B(h
12
, h
20
) − 6g
21
h
21
+ 6B(h
11
, h
21
)
+C(¯q, ¯q, h
30
) + B(h
02
, h
30
) + 2B(¯q, h
31
) − 3h
21
¯g
21
,
podemos reescrever
(iω
0
I
n
− A) h
32
= H
32
− g
32
q,
que possui solu¸c˜ao se, e somente se,
p, H
32
− g
32
q = 0
g
32
= p, H
32
,
sendo que os termos −6g
21
h
21
e −3h
21
¯g
21
n˜ao entram na ´ultima equa¸c˜ao pois, p, h
21
= 0.
O segundo coeficiente de Lyapunov, conforme equa¸c˜ao (2.31), ´e definido por
l
2
=
Re c
2
(0)
ω
0
=
1
12ω
0
Re g
32
,
ou seja,
l
2
=
1
12ω
0
Re
p, E(q, q, ¯q, ¯q) + D(q, q, q,
¯
h
20
) + 3D(q, ¯q, ¯q, h
20
) + 6D(q, q, ¯q, h
11
)
+C(¯q, ¯q, h
30
) + 3C(q, q,
¯
h
21
) + 6C(q, ¯q, h
21
) + 3C(q,
¯
h
20
, h
20
)
+6C(q, h
11
, h
11
) + 6C(¯q, h
20
, h
11
) + 2B(¯q, h
31
) + 3B(q, h
22
)
+B(
¯
h
20
, h
30
) + 3B(
¯
h
21
, h
20
) + 6B(h
11
, h
21
)
,
(2.51)
Consideremos novamente a equa¸c˜ao diferencial (2.1) tal que as condi¸c˜oes definidas na
p. 6 sejam satisfeitas. Temos que F (x) ´e uma fun¸c˜ao de x suave com respeito a ξ, com
sua expans˜ao de Taylor dada por (2.19) e A(ξ) = f
x
(0, ξ
0
) corresponde `a parte linear do
sistema com um par de autovalores complexos
λ
1
(ξ) = λ(ξ), λ
2
(ξ) =
¯
λ(ξ),
onde
λ(ξ) = γ(ξ) + iω(ξ),
43
satisfazendo a condi¸c˜ao de Hopf para ξ = 0
γ(0) = 0, ω(0) = ω
0
> 0.
Um ponto de Hopf e
0
´e um ponto de equil´ıbrio de (2.1) onde a matrix Jacobiana
A = f
x
(e
0
, ξ
0
) tem um par de autovalores imagin´arios puros λ
1,2
= ±iω
0
, ω
0
> 0, e n˜ao
admite nenhum outro autovalor com parte real nula. No ponto de Hopf, uma variedade
central de dimens˜ao dois est´a bem definida e ´e invariante pelo fluxo de (2.1) podendo
ser continuada com uma classe de diferenciabilidade suficientemente grande para valores
dos parˆametros tomados suficientemente pr´oximos. De fato, ´e conveniente definir uma
s´erie de Taylor infinita da variedade central, bem como de sua continua¸c˜ao, com duas
destas variedades tendo contato com uma arbitr´aria e suficientemente grande classe de
diferenciabilidade.
Um ponto de Hopf ´e chamado transversal se os autovalores complexos que dependem
do parˆametro interceptam o eixo imagin´ario com derivadas n˜ao nulas. Em uma vizi-
nhan¸ca de um ponto de Hopf transversal - ponto H1 - com l
1
= 0 a dinˆamica do sistema
(2.1), reduzido a uma fam´ılia parˆametro dependente de variedades centrais, ´e orbitalmente
topologicamente equivalente `a seguinte forma normal complexa
w
′
= (γ + iω)w + l
1
w|w|
2
,
w ∈ C, γ, ω e l
1
s˜ao fun¸c˜oes a valores reais possuindo derivadas de ordens arbitrariamente
grandes, as quais s˜ao continua¸c˜oes de 0, ω
0
e o primeiro coeficiente de Lyapunov no
ponto H1. Veja [6]. Quando l
1
< 0 (l
1
> 0) uma fam´ılia de ´orbitas peri´odicas est´aveis
(inst´aveis) podem ser encontradas nesta fam´ılia de variedades, reduzindo a um ponto de
equil´ıbrio em H1.
Um ponto de Hopf de codimens˜ao 2 ´e um ponto de Hopf onde l
1
se anula. Este ´e
chamado transversal se γ = 0 e l
1
= 0 tˆem intersec¸c˜ao transversal, onde γ = γ(ξ) ´e a
parte real do autovalor cr´ıtico. Em uma vizinhan¸ca de um ponto de Hopf transversal de
codimens˜ao 2 - ponto H2 - com l
2
= 0 a dinˆamica do sistema (2.1), reduz-se a uma fam´ılia
parˆametro dependente de variedades centrais e ´e orbitalmente topologicamente equivalente
a
w
′
= (γ + iω)w + ηw|w|
2
+ l
2
w|w|
4
,
44
onde γ e η podem ser entendidos como parˆametros. Veja [6]. O diagrama de bifurca¸c˜ao
para l
2
= 0 pode ser encontrado em [6], p. 313, e em [17].
Os pr´oximos teoremas nos mostram como verificar a condi¸c˜ao de transversalidade para
a bifurca¸c˜ao de Hopf gen´erica e a bifurca¸c˜ao de Hopf degenerada.
Teorema 2.2.2 (Condi¸c˜ao de transversalidade para a bifurca¸c˜ao de Hopf gen´erica)
Considere o sistema (2.1), cuja matriz Jacobiana A(ξ) possui um par de autovalores pu-
ramente imagin´arios para ξ = 0, λ
1,2
= γ(ξ) ± iω(ξ), γ(0) = 0, ω(0) = ω
0
> 0. Ent˜ao,
γ
′
(0) = Re p, A
′
(0)q,
onde p, q ∈ C
n
satisfazem
A(0)q = iω
0
q, A
⊤
(0)p = −iω
0
p, p, q = 1.
Demonstra¸c˜ao 2.2.2 Derivando ambos os membros da equa¸c˜ao
A(ξ)q(ξ) = λ(ξ)q(ξ)
com rela¸c˜ao a ξ, obtemos
A
′
(ξ)q(ξ) + A(ξ)q
′
(ξ) = λ
′
(ξ)q(ξ) + λ(ξ)q
′
(ξ).
Aplicando, agora, o produto escalar por p em ambos os membros, temos
p, A
′
q + Aq
′
= p, λ
′
q + λq
′
⇒ p, A
′
q + p, Aq
′
= p, λ
′
q + p, λq
′
⇒ p, A
′
q +
A
⊤
p, q
′
= λ
′
p, q + λ p, q
′
.
Para ξ = 0, A
⊤
p = −iω
0
p, portanto
p, A
′
(0)q + iω
0
p, q
′
= (γ
′
(0) + iω
′
(0)) p, q + iω
0
p, q
′
⇒ p, A
′
(0)q = (γ
′
(0) + iω
′
(0)) p, q
e, finalmente, como p, q = 1,
p, A
′
(0)q = γ
′
(0) + iω
′
(0).
45
Teorema 2.2.3 (Condi¸c˜ao de transversalidade para a bifurca¸c˜ao de Hopf degenerada)
Considere o sistema (2.1), tal que as condi¸c˜oes para a bifurca¸c˜ao de Hopf degenerada, des-
critas no Teorema 2.1.2, sejam satisfeitas. Assim, temos que a aplica¸c˜ao ξ → (γ(ξ), l
1
(ξ))
´e regular ao longo de l
1
= 0 se, e somente se, ∇γ e ∇l
1
s˜ao linearmente independentes ao
longo desta mesma curva, ou seja, as superf´ıcies γ = 0 e l
1
= 0 se interceptam transver-
salmente.
Cap´ıtulo 3
Estudo Qualitativo do Modelo em R
2
3.1 As equa¸c˜oes desacopladas
Nesta se¸c˜ao estudaremos o modelo (1.5) que como vimos ´e dado por
x
′
= −a(x + by + 2xy + y
2
+ xy
2
) + c(x − z),
y
′
= x + y + 2xy + y
2
+ xy
2
,
z
′
= −a(z + bw + 2zw + w
2
+ zw
2
) + c(z − x),
w
′
= z + w + 2zw + w
2
+ zw
2
,
tomando c = 0, ou seja, com as equa¸c˜oes desacopladas, para assim obtermos informa¸c˜oes
que ir˜ao nos ajudar, posteriormente, a analisar este por completo.
O sistema desacoplado fica, ent˜ao, dado por (1.4)
x
′
= −a(x + by + 2xy + y
2
+ xy
2
),
y
′
= x + y + 2xy + y
2
+ xy
2
,
e temos que este sistema apresenta um ´unico ponto de equil´ıbrio, sendo ele (x, y) = (0, 0).
Lema 3.1.1 A lineariza¸c˜ao do sistema (1.4) aplicado na origem apresenta 2 autovalores
dados por
λ
1
=
1
2
(1 − a) +
1
2
(1 − a)
2
− 4a(b −1),
λ
2
=
1
2
(1 − a) −
1
2
(1 − a)
2
− 4a(b −1).
(3.1)
46
47
Demonstra¸c˜ao 3.1.1 Sendo J(x, y) a matriz Jacobiana do sistema desacoplado (1.4),
calculada em (x, y), temos
J(x, y) =
−a − 2ay − ay
2
−ab − 2ax − 2ay −2axy
1 + 2y + y
2
1 + 2x + 2y + 2xy
.
Na origem, temos
J(x, y) = J(0, 0) =
−a −ab
1 1
.
Assim
T = trJ(0, 0) = 1 − a,
e
D = det J(0, 0) = a(b − 1).
Logo, a equa¸c˜ao caracter´ıstica fica definida por
λ
2
− T λ + D = 0
e seus autovalores s˜ao dados por
λ
1,2
=
T
2
±
√
T
2
− 4D
2
,
ou seja,
λ
1,2
=
1
2
(1 − a) ±
1
2
(1 − a)
2
− 4a(b −1).
Lema 3.1.2 A origem (0, 0) ´e um equil´ıbrio
(a) repulsor, se 1 − a > 0,
(b) atrator, se 1 − a < 0,
(c) equil´ıbrio n˜ao–hiperb´olico, se 1 −a = 0.
Demonstra¸c˜ao 3.1.2 Visto que a > 0 e b > 1 (plano de parˆametros), temos a(b −1) > 0.
Assim, −4a(b − 1) < 0, e
(i) se 1 −a > 0, ent˜ao Reλ
1
> 0 e Reλ
2
> 0, e teremos um equil´ıbrio repulsor,
48
(ii) se 1 −a < 0, ent˜ao Reλ
1
< 0 e Reλ
2
< 0, e teremos um equil´ıbrio atrator,
(iii) se 1 − a = 0, ent˜ao Reλ
1
= 0 e Reλ
2
= 0, e teremos, portanto, um equil´ıbrio
n˜ao–hiperb´olico.
Assim, quando tomarmos 1 − a = 0 a matriz J(0, 0) ter´a os autovalores dados por
λ
1
= −λ
2
= i
√
b − 1. Assim, fica definida a reta de Hopf H
0
= {a = 1} no plano de
parˆametros. Veja Figura 3.1.
Figura 3.1: Reta de Hopf H
0
.
3.2 Encontrando o primeiro coeficiente de Lyapunov
Consideremos o sistema (1.4). Temos que este sistema pode ser reescrito como
dx
dt
dy
dt
=
−a −ab
1 1
x
y
+
−2axy − ay
2
− axy
2
2xy + y
2
+ xy
2
,
(3.2)
onde chamaremos de
A =
−a −ab
1 1
(3.3)
a matriz correspondente `a parte linear deste sistema, e de
F (x) =
−2axy − ay
2
− axy
2
2xy + y
2
+ xy
2
49
a fun¸c˜ao que corresponde `a parte n˜ao linear de (3.2). Portanto, sendo x = (x, y), temos
que o nosso sistema ser´a dado por
˙
x = Ax + F (x).
A ´e exatamente a matriz Jacobiana do sistema (1.4) aplicada em (0, 0) e F (x) os termos
de ordem 2 e superiores.
Assim, tomando os parˆametros sobre a reta H
0
no plano de parˆametros, temos que os
autovalores do sistema (1.4), ficam dados por
λ
1
= i
√
b − 1 = iω
0
,
λ
2
= −i
√
b − 1 = −iω
0
,
(3.4)
onde ω
0
=
√
b − 1 > 0. Conforme a se¸c˜ao 2.2, p. 32, chamaremos de q o autovetor
correspondente a λ
1
= iω
0
. Calculando este autovetor, obtemos
q = (−1 + iω
0
, 1). (3.5)
Na verdade, sabemos que qualquer m´ultiplo n˜ao nulo de q ser´a autovetor correspondente
a λ
1
= iω
0
, o comprimento escolhido, por´em, alterar´a o valor do coeficiente de Lyapunov,
mas n˜ao o seu sinal. Veja Observa¸c˜ao 2.1.1, p. 29. Calculamos agora p, o autovetor de
A
⊤
correspondente ao autovalor −iω
0
, normalizando p para que p, q = 1, obtemos
p =
i
2ω
0
(1, 1 − iω
0
). (3.6)
Lema 3.2.1 As fun¸c˜oes multilineares B(x, y) e C(x, y, z), com x = (x
1
, y
1
), y = (x
2
, y
2
), z =
(x
3
, y
3
) ∈ R
2
, para o sistema (1.4), s˜ao dadas por
B(x, y) =
−2ax
1
y
2
− 2ay
1
x
2
− 2ay
1
y
2
2x
1
y
2
+ 2y
1
x
2
+ 2y
1
y
2
,
C(x, y, z) =
−2ax
1
y
2
y
3
− 2ay
1
x
2
y
3
− 2ay
1
y
2
x
3
2x
1
y
2
y
3
+ 2y
1
x
2
y
3
+ 2y
1
y
2
x
3
.
50
Demonstra¸c˜ao 3.2.1 Notemos inicialmente que as fun¸c˜oes B e C, como acabamos de
definir, satisfazem a f´ormula (2.19).
Seja x = (x, y), ent˜ao,
B(x, x) =
−4axy − 2ay
2
4xy + 2y
2
,
C(x, x, x) =
−6axy
2
6xy
2
,
Portanto,
F (x) =
1
2
B(x, x) +
1
6
C(x, x, x) + O ( x
4
).
Para encontrarmos as fun¸c˜oes B e C utilizamos as f´ormulas definidas no Cap´ıtulo 2, e
dadas por
B
i
(x, y) =
2
j,k=1
∂
2
F
i
(η, 0)
∂η
j
∂η
k
η=0
x
j
y
k
,
C
i
(x, y, z) =
2
j,k,l=1
∂
3
F
i
(η, 0)
∂η
j
∂η
k
∂η
l
η=0
x
j
y
k
z
l
,
para i = 1, 2.
Para encontrarmos B
1
(x, y), por exemplo, consideramos F
1
(x, y) = −2axy − ay
2
e
calculamos
∂F
1
∂x
1
= −2ay,
∂F
1
∂y
1
= −2ax − 2ay,
∂
∂x
2
∂F
1
∂x
1
= 0,
∂
∂x
2
∂F
1
∂y
1
= −2a,
∂
∂y
2
∂F
1
∂x
1
= −2a,
∂
∂y
2
∂F
1
∂y
1
= −2a.
Assim, temos que
B
1
(x, y) = 0x
1
x
2
−2ay
1
x
2
−2ax
1
y
2
−2ay
1
y
2
,
ou simplesmente
B
1
(x, y) = −2ay
1
x
2
− 2ax
1
y
2
− 2ay
1
y
2
.
51
Trabalhando de modo an´alogo, obtemos as fun¸c˜oes B
2
, C
1
e C
2
, e com isso conclu´ımos
o resultado.
Assim, as fun¸c˜oes B(q, q), B(q, ¯q) e C(q, q, ¯q) ficam dadas por
B(q, q) = −2(2iω
0
− 1)
1
−1
,
B(q, ¯q) = 2
1
−1
,
C(q, q, ¯q) = 2(3 − iω
0
)
1
−1
.
Seja agora
h
11
= −A
−1
B(q, ¯q)
e
h
20
= (2iω
0
I
2
− A)
−1
B(q, q).
Ent˜ao, h
11
e h
20
ficam dados por
h
11
= 2
1
0
,
h
20
=
2(2iω
0
− 1)
3ω
0
ω
0
+ 2i
−2i
.
Calculando ent˜ao B(q, h
11
) e B(¯q, h
20
), temos
B(q, h
11
) = −4
1
−1
,
B(¯q, h
20
) =
4(2iω
0
− 1)(ω
0
− 2i)
3ω
0
1
−1
.
52
Portanto, de p, B(q, h
11
), p, B(¯q, h
20
) e p, C(q, q, ¯q), temos
p, B(q, h
11
) = 2,
p, B(¯q, h
20
) = −
2(3ω
0
+ 2i + 2iω
2
0
)
3ω
0
,
p, C(q, q, ¯q) = −3 + iω
0
.
Como
p, B(q, −A
−1
B(q, ¯q))
= p, B(q, h
11
)
e
p, B(¯q, (2iω
0
I
2
− A)
−1
B(q, q))
= p, B(¯q, h
20
),
a f´ormula para o c´alculo do coeficiente de Lyapunov, vista em (2.45) p. 39, ´e dada por
l
1
=
1
2ω
0
Re[p, C(q, q, ¯q) + 2 p, B(q, h
11
) + p, B(¯q, h
20
)].
De onde, temos que
l
1
= −
1
2ω
0
.
Mas, ω
0
=
√
b − 1, assim l
1
fica dado por
l
1
= −
1
2
√
b − 1
(3.7)
e, portanto, a bifurca¸c˜ao de Hopf ´e n˜ao–degenerada pois l
1
= 0, mais especificamente,
l
1
< 0.
3.3 A condi¸c˜ao de transversalidade
Consideremos a matriz A do sistema (3.2), dada em (3.3), mantendo a dependˆencia com
rela¸c˜ao ao parˆametro a, conforme sugere o Teorema 2.2.2, p. 44. Calculamos, ent˜ao,
∂
∂a
A
a=1
= A
′
(1),
obtendo
A
′
(1) =
−1 −b
0 0
.
(3.8)
Calculando, agora, γ
′
(1) = Re p, A
′
(1)q, obtemos
γ
′
(1) = −
1
2
,
e, portanto, γ
′
(1) = 0, como quer´ıamos.
53
3.4 Teorema de Hopf para o sistema (1.4)
De acordo com as an´alises da condi¸c˜ao de n˜ao–degenerescˆencia (se¸c˜ao 3.2) e da condi¸c˜ao
de transversalidade (se¸c˜ao 3.3) acima, podemos enunciar o seguinte teorema:
Teorema 3.4.1 Considere a fam´ılia a 2–parˆametros de equa¸c˜oes diferenciais ordin´a-
rias (1.4). Ent˜ao, para a = 1 e todo b > 1, o ponto de Hopf (0, 0) ´e um foco atrator
fraco. Al´em do mais, para a < 1 suficientemente pequeno, existe uma ´orbita peri´odica
atratora envolvendo o equil´ıbrio repulsor na origem. Veja Figura 3.2.
Figura 3.2: Diagrama de bifurca¸c˜ao do sistema (1.4) na origem.
Cap´ıtulo 4
Estudo Qualitativo do Modelo em R
4
4.1 Os pontos de equil´ıbrio
Consideremos o nosso sistema (1.5), que como vimos ´e dado por
x
′
= −a(x + by + 2xy + y
2
+ xy
2
) + c(x − z),
y
′
= x + y + 2xy + y
2
+ xy
2
,
z
′
= −a(z + bw + 2zw + w
2
+ zw
2
) + c(z − x),
w
′
= z + w + 2zw + w
2
+ zw
2
.
Este sistema apresenta cinco pontos de equil´ıbrio, sendo eles
e
0
= (0, 0, 0, 0),
e
1
=
−
1
2
, 1, −
1
2
−
a(b − 1)
c
, −1
,
e
2
=
−
1
2
−
a(b − 1)
c
, −1, −
1
2
, 1
,
e
3,4
=
p, −
p
p + 1
, −
p
2p + 1
,
p
p + 1
,
onde p satisfaz `a equa¸c˜ao
2cp
2
+ (2p + 1)(2c + a(b − 1)) = 0.
54
55
4.2 An´alise do espectro
Seja J(x), x ∈ R
4
, a matrix Jacobiana de (1.5), dada por
J(x) =
σ
11
σ
12
−c 0
σ
21
σ
22
0 0
−c 0 σ
33
σ
34
0 0 σ
43
σ
44
,
onde
σ
11
= −a −2ay − ay
2
+ c,
σ
12
= −ab −2ax − 2ay − 2axy,
σ
21
= 1 + 2y + y
2
,
σ
22
= 1 + 2x + 2y + 2xy,
σ
33
= −a −2aw − aw
2
+ c,
σ
34
= −ab −2az − 2aw − 2azw,
σ
43
= 1 + 2w + w
2
,
σ
44
= 1 + 2z + 2w + 2zw.
4.2.1 O equil´ıbrio e
0
Lema 4.2.1 A lineariza¸c˜ao do sistema (1.5) no ponto e
0
apresenta quatro autovalores
dados por
λ
1
=
1
2
−(a − 1) +
(a − 1)
2
− 4a(b −1)
,
λ
2
=
1
2
−(a − 1) −
(a − 1)
2
− 4a(b −1)
,
λ
3
=
1
2
−(−1 − 2c + a) +
(−1 − 2c + a)
2
− 4(a(b −1) + 2c)
,
λ
4
=
1
2
−(−1 − 2c + a) −
(−1 − 2c + a)
2
− 4(a(b −1) + 2c)
.
Demonstra¸c˜ao 4.2.1 Calculando J(x) em e
0
, obtemos
J(e
0
) =
c − a −ab −c 0
1 1 0 0
−c 0 c − a −ab
0 0 1 1
.
56
Assim, a equa¸c˜ao caracter´ıstica pode ser encontrada resolvendo
det(J(e
0
) − λI
4
) = 0,
onde I
4
´e a matriz identidade 4 × 4. Obtemos, portanto, a equa¸c˜ao
λ
2
+ (a −1)λ + a(b − 1)
λ
2
+ (−1 −2c + a)λ + (2c −a + ab)
= 0.
Logo, os autovalores ficam dados por
λ
1,2
= −
1
2
(a − 1) ±
1
2
(a − 1)
2
− 4a(b −1)
e
λ
3,4
= −
1
2
(−1 − 2c + a) ±
1
2
(−1 − 2c + a)
2
− 4(a(b −1) + 2c)
.
Lema 4.2.2 O equil´ıbrio e
0
= (0, 0, 0, 0) ´e
(a) repulsor, se a < 1;
(b) sela 2–2, se 1 < a < 1 + 2c;
(c) atrator, se 1 + 2c < a.
Demonstra¸c˜ao 4.2.2 Visto que em D (espa¸co de parˆametros) temos a(b − 1) > 0, segue
que
(i) se 1 − a > 0, ent˜ao Reλ
1
> 0 e Reλ
2
> 0;
(ii) se 1 − a = 0, ent˜ao Reλ
1
= 0 e Reλ
2
= 0;
(iii) se 1 − a < 0, ent˜ao Reλ
1
< 0 e Reλ
2
< 0.
Visto que em D tamb´em temos (a(b −1) + 2c) > 0, segue tamb´em que
(i) se 1 + 2c −a > 0, ent˜ao Reλ
3
> 0 e Reλ
4
> 0;
(ii) se 1 + 2c −a = 0, ent˜ao Reλ
3
= 0 e Reλ
4
= 0;
(iii) se 1 + 2c −a < 0, ent˜ao Reλ
3
< 0 e Reλ
4
< 0.
57
Com base nestes resultados temos ainda
(i) se a < 1, ent˜ao Reλ
i
> 0, i = 1, 2, 3, 4, assim e
0
´e um repulsor;
(ii) se 1 < a < 1 + 2c, ent˜ao Reλ
1
< 0, Reλ
2
< 0, Reλ
3
> 0 e Reλ
4
> 0, assim e
0
´e uma
sela 2–2;
(iii) se 1 + 2c < a, ent˜ao Reλ
i
< 0, i = 1, 2, 3, 4, assim e
0
´e um atrator.
Teremos ainda que o equil´ıbrio e
0
´e n˜ao–hiperb´olico em um dos seguintes casos:
(i) se 1 − a = 0, pois teremos autovalores λ
1
= −λ
2
= i
√
b − 1, Reλ
3
= 0 e Reλ
4
= 0;
(ii) se 1 + 2c − a = 0, pois teremos autovalores Reλ
1
= 0, Reλ
2
= 0 e λ
3
= −λ
4
=
i
b(2c + 1) − 1.
As superf´ıcies H
1
= {a = 1} e H
2
= {a = 2c+1} em D podem corresponder aos lugares
geom´etricos para as bifurca¸c˜oes de Hopf. Para uma ilustra¸c˜ao de como s˜ao as superf´ıcies
H
1
e H
2
, veja Figura 4.1.
1
2
3
4
5
b
0
2
4
c
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
a
(a)
1
2
3
4
5
b
0
2
4
c
0
5
10
a
(b)
Figura 4.1: Superf´ıcies H
1
e H
2
, respectivamente.
58
4.2.2 Os equil´ıbrios e
1
e e
2
As matrizes Jacobianas J(x) em e
1
e e
2
resultam em
J(e
1
) =
−4a + c −ab −c 0
4 1 0 0
−c 0 c 2a − ab
0 0 0 −1
e
J(e
2
) =
c 2a − ab −c 0
0 −1 0 0
−c 0 −4a + c −ab
0 0 4 1
.
A equa¸c˜ao caracter´ıstica para ambos os casos ser´a dada por
(1 + λ)
λ
3
− (1 + 2c − 4a)λ
2
− (−2c + 4a − 4ab + 4ac)λ −4ac(b − 1)
= 0. (4.1)
Segue que um autovalor ´e
λ
1
= −1
e os outros autovalores ser˜ao dados pelas ra´ızes de
λ
3
− (1 + 2c − 4a)λ
2
− (−2c + 4a − 4ab + 4ac)λ −4ac(b − 1) = 0. (4.2)
Assim, tanto para e
1
quanto para e
2
e para parˆametros (a, b, c) ∈ D, vale ac(b −1) > 0.
Logo, a equa¸c˜ao (4.2) possui apenas solu¸c˜oes n˜ao nulas. Podemos dizer ainda, com base
em (4.2), que pelo menos uma das suas solu¸c˜oes, digamos λ
2
, ´e positiva.
Pelo Crit´erio de Routh–Hurwitz, ver Pontryagin [11] p. 58, se
a
1
a
2
= a
3
(4.3)
onde a
1
, a
2
e a
3
s˜ao os coeficientes do polinˆomio
λ
3
+ a
1
λ
2
+ a
2
λ + a
3
= 0,
ent˜ao teremos um par de autovalores imagin´arios puros.
59
Assim, como em D vale ac(b −1) > 0, temos que
−4ac(b − 1) < 0,
ou seja, a
3
< 0. Para que a igualdade (4.3) seja v´alida deveremos ter tamb´em
a
1
< 0 e a
2
> 0,
ou
a
1
> 0 e a
2
< 0.
Por´em, como a
1
´e dado por menos a soma dos autovalores, λ
2
´e positivo e sendo λ
3
e λ
4
o par de autovalores imagin´arios puros, temos que a
1
deve ser negativo, ou seja,
a
1
< 0.
Logo,
−(2c − 4a + 1) < 0
⇔ a <
2c + 1
4
.
(4.4)
Ainda pelo crit´erio de Routh–Hurwitz temos tamb´em que a superf´ıcie H
3
do espa¸co
de parˆametros D correspondente aos valores para as bifurca¸c˜oes de Hopf ser´a definida
implicitamente por
[−(2c − 4a + 1)] [2(c − 2ac + 2ab −2a)] = −4ac(b − 1).
Assim, encontrando b em fun¸c˜ao de a e c obtemos explicitamente a superf´ıcie H
3
e a
representaremos por b = b
c
, onde
b
c
= 1 +
c(2a − 1)(2c − 4a + 1)
2a(c − 4a + 1)
,
(4.5)
com c − 4a + 1 = 0. Veja Figura 4.2.
Para valores dos parˆametros fora de H
3
, temos as seguintes situa¸c˜oes:
• se b > b
c
, ou seja, se b ∈ D
1
, onde D
1
= {(a, b, c) ∈ D/b > b
c
}, ent˜ao a parte real dos
autovalores λ
3
e λ
4
´e menor que 0 e teremos uma sela hiperb´olica 3–1,
• se b < b
c
, ou seja, se b ∈ D
2
, onde D
2
= {(a, b, c) ∈ D/b < b
c
}, ent˜ao a parte real dos
autovalores λ
3
e λ
4
´e maior que 0 e teremos uma sela hiperb´olica 1–3.
60
0
2
4
a
0
2
4
c
0
5
b
Figura 4.2: Superf´ıcie H
3
.
4.2.3 Os equil´ıbrios e
3
e e
4
A matriz Jacobiana aplicada em e
3
e e
4
fica dada por
J(e
3
) = J(e
4
) =
σ
11
−ab −c 0
σ
21
1 0 0
−c 0 σ
33
−ab
0 0 σ
43
1
,
onde
σ
11
=
−2a(b − 1) + (b −3)c − 2
√
a
(b − 1)(a(b − 1) + 2c)
b − 1
,
σ
21
=
4c
2
a(−
√
a(b − 1) +
(b − 1)(a(b − 1) + 2c))
2
,
σ
33
=
−2a(b − 1) + (b −3)c + 2
√
a
(b − 1)(a(b − 1) + 2c)
b − 1
,
σ
43
=
2(a(b − 1) + c −
√
a
(b − 1)(a(b − 1) + 2c)
a(b − 1)
.
Como a equa¸c˜ao caracter´ıstica ´e dada por det(J(e
0
) − λI
4
) = 0, temos que
λ
4
+ ∆
1
λ
3
+ ∆
2
λ
2
+ ∆
3
λ + ∆
4
= 0, (4.6)
61
com ∆
1
, ∆
2
, ∆
3
e ∆
4
dados por
∆
1
=
2
b − 1
(1 − 2a − b + 3c + 2ab − bc),
∆
2
=
1
(b − 1)
2
(1 − 8a − 2b + 12c + 20ab − 4ac − 20bc + 8abc + b
2
+ 8c
2
− 16ab
2
−4bc
2
+ 8b
2
c − 4ab
2
c + 4ab
3
),
∆
3
= −
2
(b − 1)
(2a − 3c − 4ab + 4ac + 3bc − 6abc − 8c
2
+ 2ab
2
+ 2bc
2
+ 2ab
2
c),
∆
4
= 4c(a(b −1) + 2c).
Como ∆
4
> 0 para (a, b, c) ∈ D, segue que λ
i
= 0, i = 1, 2, 3, 4.
A condi¸c˜ao necess´aria para a existˆencia de um ´unico par de autovalores imagin´arios
puros ´e
∆
1
= 0,
∆
3
∆
1
> 0,
∆
3
∆
1
+ ∆
4
∆
1
∆
3
= ∆
2
(4.7)
ou
∆
1
= 0, ∆
3
= 0, ∆
4
< 0. (4.8)
As condi¸c˜oes (4.8) n˜ao s˜ao satisfeitas para parˆametros em D.
A equa¸c˜ao (4.6) tem dois pares de autovalores imagin´arios puros se, e s´o se,
∆
1
= 0, ∆
3
= 0, ∆
2
> 0, ∆
4
> 0. (4.9)
Denotemos por H
4
o conjunto de parˆametros (a, b, c) ∈ D satisfazendo as condi¸c˜oes
dadas em (4.7). Ent˜ao, tomando valores para os parˆametros sobre a superf´ıcie H
4
, temos
que estes correspondem a valores para as bifurca¸c˜oes de Hopf nos equil´ıbrios e
3
e e
4
. Assim,
para c fixo, as condi¸c˜oes (4.7) s˜ao satisfeitas para (a, b) situados sobre a curva Λ
1
ou Λ
2
.
Veja Figura 4.3.
Para obtermos a Figura 4.3 tomamos c = 4, e assim obtemos o plano (a, b) dado, onde
temos que a regi˜ao onde ∆
3
/∆
1
> 0 ´e a regi˜ao preenchida da figura, e os parˆametros sobre
as curvas Λ
1
e Λ
2
satisfazem a todas as condi¸c˜oes de (4.7). Para valores dos parˆametros
sobre a curva Λ
3
teremos que a condi¸c˜ao ∆
3
/∆
1
> 0 n˜ao ´e satisfeita.
Enquanto isso, os parˆametros que satisfazem as condi¸c˜oes (4.9) est˜ao situados em uma
curva H
5
correspondentes aos valores dos parˆametros para as bifurca¸c˜oes Hopf–Hopf nos
62
Figura 4.3: Plano c = 4.
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
a
1
2
3
4
b
0
2
4
6
c
(a)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
a
1
2
3
4
b
0
2
4
6
c
(b)
Figura 4.4: Curva H
5
no espa¸co de parˆametros (a, b, c), onde temos dois pares de autova-
lores imagin´arios puros.
equil´ıbrios e
3
e e
4
. Temos que o conjunto H
5
´e n˜ao vazio, em particular o ponto (a, b, c) =
(0.229309, 2.57395, 2) ∈ H
5
. Como ilustra¸c˜ao deste fato temos a Figura 4.4 (a) que ´e dada
pela intersec¸c˜ao das superf´ıcies {∆
1
= 0} e {∆
3
= 0} e a Figura 4.4 (b) que ´e dada pelo
complementar da intersec¸c˜ao dos s´olidos {∆
2
> 0} e {∆
4
> 0}. Temos que H
5
´e dado pela
curva intersec¸c˜ao de {∆
1
= 0} e {∆
3
= 0}, ou seja, Ω
1
, onde Ω
1
= {∆
1
= 0}
{∆
3
= 0},
que se encontra “fora”de Ω
2
, onde Ω
2
= Complementar de {∆
2
> 0}
{∆
4
> 0}. Veja
Figura 4.5.
Assim, para parˆametros em D, os equil´ıbrios n˜ao–hiperb´olicos do sistema (1.5) s˜ao
somente do tipo Hopf ou Hopf–Hopf.
63
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
a
1
2
3
4
b
0
2
4
6
c
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
a
1
2
3
4
b
0
2
4
6
c
Figura 4.5: Curva H
5
.
4.3 As fun¸c˜oes multilineares B, C, D e E
Consideremos novamente o sistema (1.5). Temos que este sistema pode ser reescrito como
dx
dt
dy
dt
dz
dt
dw
dt
=
c − a −ab −c 0
1 1 0 0
−c 0 c − a −ab
0 0 1 1
x
y
z
w
+
−2axy −ay
2
− axy
2
2xy + y
2
+ xy
2
−2azw −aw
2
− azw
2
2zw + w
2
+ zw
2
,
(4.10)
onde chamaremos de
A =
c − a −ab −c 0
1 1 0 0
−c 0 c − a −ab
0 0 1 1
(4.11)
a matriz correspondente `a parte linear deste sistema, e de
F (x) =
−2axy − ay
2
− axy
2
2xy + y
2
+ xy
2
−2azw − aw
2
− azw
2
2zw + w
2
+ zw
2
a fun¸c˜ao que corresponde `a parte n˜ao linear de (4.10). Portanto, sendo x = (x, y, z, w),
temos que o nosso sistema ser´a dado por
˙
x = Ax + F (x).
64
A ´e exatamente a matriz Jacobiana do sistema (1.5) aplicada em e
0
, e F (x) cont´em os
termos de ordem 2 e superiores. Assim, temos
Lema 4.3.1 As fun¸c˜oes multilineares B(x, y), C(x, y, z), D(x, y, z, u) e E(x, y, z, u, v),
com x = (x
1
, y
1
, z
1
, w
1
), y = (x
2
, y
2
, z
2
, w
2
), z = (x
3
, y
3
, z
3
, w
3
), u = (x
4
, y
4
, z
4
, w
4
), v =
(x
5
, y
5
, z
5
, w
5
) ∈ R
4
, para o sistema (4.10), s˜ao dadas por
B(x, y) =
−2ax
1
y
2
− 2ay
1
x
2
− 2ay
1
y
2
2x
1
y
2
+ 2y
1
x
2
+ 2y
1
y
2
−2az
1
w
2
− 2aw
1
z
2
− 2aw
1
w
2
2z
1
w
2
+ 2w
1
z
2
+ 2w
1
w
2
,
C(x, y, z) =
−2ax
1
y
2
y
3
− 2ay
1
x
2
y
3
− 2ay
1
y
2
x
3
2x
1
y
2
y
3
+ 2y
1
x
2
y
3
+ 2y
1
y
2
x
3
−2az
1
w
2
w
3
− 2aw
1
z
2
w
3
− 2aw
1
w
2
z
3
2z
1
w
2
w
3
+ 2w
1
z
2
w
3
+ 2w
1
w
2
z
3
,
D(x, y, z, u) ≡ 0,
E(x, y, z, u, v) ≡ 0.
Demonstra¸c˜ao 4.3.1 Notemos inicialmente que as fun¸c˜oes B(x, y), C(x, y, z), D(x, y, z, u)
e E(x, y, z, u, v), como acabamos de definir, satisfazem a f´ormula (2.19).
Seja x = (x, y, z, w), ent˜ao,
B(x, x) =
−
4
axy
−
2
ay
2
4xy + 2y
2
−4azw − 2aw
2
4zw + 2w
2
,
C(x, x, x) =
−6axy
2
6xy
2
−6azw
2
6zw
2
,
65
D(x, x, x, x) ≡ 0,
E(x, x, x, x, x) ≡ 0.
Portanto,
F (x) =
1
2
B(x, x) +
1
6
C(x, x, x) +
1
24
D(x, x, x, x) +
1
120
E(x, x, x, x, x) + O(x
6
).
Para encontrarmos as fun¸c˜oes B(x, y), C(x, y, z), D(x, y, z, u) e E(x, y, z, u, v) uti-
lizamos as f´ormulas definidas no Cap´ıtulo 2, e dadas por
B
i
(x, y) =
4
j,k=1
∂
2
F
i
(η, 0)
∂η
j
∂η
k
η=0
x
j
y
k
,
C
i
(x, y, z) =
4
j,k,l=1
∂
3
F
i
(η, 0)
∂η
j
∂η
k
∂η
l
η=0
x
j
y
k
z
l
,
D
i
(x, y, z, u) =
4
j,k,l,r=1
∂
4
F
i
(η, 0)
∂η
j
∂η
k
∂η
l
∂η
r
η=0
x
j
y
k
z
l
u
r
,
E
i
(x, y, z, u, v) =
4
j,k,l,r,s=1
∂
5
F
i
(η, 0)
∂η
j
∂η
k
∂η
l
∂η
r
∂η
s
η=0
x
j
y
k
z
l
u
r
v
s
,
para i = 1, 2, 3, 4.
Para encontrarmos B
1
(x, y), por exemplo, consideramos F
1
(x, y, z, w) = −2axy − ay
2
e calculamos
∂F
1
∂x
1
=
−
2
ay,
∂F
1
∂y
1
=
−
2
ax
−
2
ay,
∂F
1
∂z
1
= 0
,
∂F
1
∂w
1
= 0
,
∂
∂x
2
∂F
1
∂x
1
= 0,
∂
∂x
2
∂F
1
∂y
1
= −2a,
∂
∂x
2
∂F
1
∂z
1
= 0,
∂
∂x
2
∂F
1
∂w
1
= 0,
∂
∂y
2
∂F
1
∂x
1
= −2a,
∂
∂y
2
∂F
1
∂y
1
= −2a,
∂
∂y
2
∂F
1
∂z
1
= 0,
∂
∂y
2
∂F
1
∂w
1
= 0,
∂
∂z
2
∂F
1
∂x
1
= 0,
∂
∂z
2
∂F
1
∂y
1
= 0,
∂
∂z
2
∂F
1
∂z
1
= 0,
∂
∂z
2
∂F
1
∂w
1
= 0,
∂
∂w
2
∂F
1
∂x
1
= 0,
∂
∂w
2
∂F
1
∂y
1
= 0,
∂
∂w
2
∂F
1
∂z
1
= 0,
∂
∂w
2
∂F
1
∂w
1
= 0.
66
Assim, temos
B
1
(x, y) = 0x
1
x
2
−2ay
1
x
2
+0z
1
x
2
+0w
1
x
2
−2ax
1
y
2
−2ay
1
y
2
+0z
1
y
2
+0w
1
y
2
+0x
1
z
2
+0y
1
z
2
+0z
1
z
2
+0w
1
z
2
+0x
1
w
2
+0y
1
w
2
+0z
1
w
2
+0w
1
w
2
,
ou simplesmente,
B
1
(x, y) = −2ay
1
x
2
− 2ax
1
y
2
− 2ay
1
y
2
.
Trabalhando de modo an´alogo, obtemos B
2
, B
3
, B
4
, C
1
, C
2
, C
3
, C
4
, D
1
, D
2
, D
3
, D
4
, E
1
,
E
2
, E
3
e E
4
, e com isso conclu´ımos o resultado.
Agora que encontramos as fun¸c˜oes multilineares sim´etricas podemos prosseguir encon-
trando os coeficientes de Lyapunov e assim estudar as bifurca¸c˜oes de Hopf para nosso
sistema.
4.4 Encontrando o primeiro coeficiente de Lyapunov
para a = 1
Consideremos a superf´ıcie do espa¸co de parˆametros H
1
= {a = 1}. Os autovalores de (1.5)
ficam dados por
λ
1
= i
√
b − 1 = iω
0
,
λ
2
= −i
√
b − 1 = −iω
0
,
λ
3
= c +
c
2
− ((b −1) + 2c),
λ
4
= c −
c
2
− ((b −1) + 2c),
(4.12)
onde ω
0
=
√
b − 1 > 0. Conforme a se¸c˜ao 2.2, p. 32, chamaremos de q o autovetor de A
correspondente a λ
1
= iω
0
. Calculando este autovetor, obtemos
q = (−1 + iω
0
, 1, −1 + iω
0
, 1). (4.13)
Agora, calculando p, o autovetor de A
⊤
correspondente ao autovalor −λ
1
e, normalizando
p para que p, q = 1, obtemos
p =
i
4ω
0
(1, 1 − iω
0
, 1, 1 −iω
0
). (4.14)
67
Assim, as fun¸c˜oes B(q, q), B(q, ¯q) e C(q, q, ¯q) ficam dados por
B(q, q) = 2(1 − 2iω
0
)
1
−1
1
−1
,
B(q, ¯q) = 2
1
−1
1
−1
,
C(q, q, ¯q) = 2(3 − iω
0
)
1
−1
1
−1
.
Seja agora
h
11
= −A
−1
B(q, ¯q)
e
h
20
= (2iω
0
I
4
− A)
−1
B(q, q),
definidos em (2.43). Ent˜ao, h
11
e h
20
ficam dados por
h
11
= 2
1
0
1
0
,
h
20
= −
2(2ω
0
+ i)
3ω
0
2 − iω
0
−2
2 − iω
0
−2
.
68
Calculando B(q, h
11
) e B(¯q, h
20
), temos
B(q, h
11
) = −4
1
−1
1
−1
,
B(¯q, h
20
) =
4(2iω
0
− 1)(ω
0
− 2i)
3ω
0
1
−1
1
−1
.
Portanto, p, B(q, h
11
), p, B(¯q, h
20
) e p, C(q, q, ¯q), valem
p, B(q, h
11
) = 2,
p, B(¯q, h
20
) = −
2(3ω
0
+ 2i + 2iω
2
0
)
3ω
0
,
p, C(q, q, ¯q) = −3 + iω
0
.
Como
p, B(q, −A
−1
B(q, ¯q))
= p, B(q, h
11
)
e
p, B(¯q, (2iω
0
I
4
− A)
−1
B(q, q))
= p, B(¯q, h
20
),
a f´ormula para c´alculo do primeiro coeficiente de Lyapunov, vista em (2.45) p. 39, ´e dada
por
l
1
=
1
2ω
0
Re [p, C(q, q, ¯q) + 2 p, B(q, h
11
) + p, B(¯q, h
20
)] ,
de onde
l
1
= −
1
2ω
0
. (4.15)
Mas, como ω
0
=
√
b − 1, l
1
fica dado por
l
1
= −
1
2
√
b − 1
, (4.16)
com b ∈ D. Logo, a bifurca¸c˜ao de Hopf ´e n˜ao–degenerada, pois l
1
= 0, mais especifica-
mente, l
1
< 0.
69
4.5 A condi¸c˜ao de transversalidade para a = 1
Consideremos agora a matriz A, dada pelo sistema (4.10) em (4.11), mantendo a de-
pendˆencia com rela¸c˜ao ao parˆametro a, conforme sugere o Teorema 2.2.2, p. 44. Calcu-
lamos, ent˜ao,
∂
∂a
A
a=1
= A
′
(1),
obtendo
A
′
(a) =
−1 −b 0 0
0 0 0 0
0 0 −1 −b
0 0 0 0
.
(4.17)
Calculando, agora, γ
′
(1) = Re p, A
′
(1)q, obtemos
γ
′
(1) = −
1
2
e, portanto, γ
′
(1) = 0, como quer´ıamos.
4.6 Teorema de Hopf para o sistema (1.5) em e
0
quando a = 1
De acordo com as an´alises da condi¸c˜ao de n˜ao–degenerescˆencia (se¸c˜ao 4.4) e da condi¸c˜ao
de transversalidade (se¸c˜ao 4.5) acima, podemos enunciar o seguinte teorema:
Teorema 4.6.1 Considere a fam´ılia a 3–parˆametros de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias (1.5).
Ent˜ao, para a = 1, b > 1 e c > 0, o ponto de Hopf (0, 0, 0, 0) ´e um foco atrator fraco sobre
a superf´ıcie central. Al´em do mais, para a < 1 suficientemente pequeno, existe uma ´orbita
peri´odica atratora envolvendo o equil´ıbrio repulsor na origem.
70
4.7 Encontrando o primeiro coeficiente de Lyapunov
para a = 2c + 1
Consideremos a superf´ıcie do espa¸co de parˆametros H
2
= {a = 2c + 1}. Os autovalores de
A relativos a (1.5), ficam dados por
λ
1
= −c +
c
2
− (2c + 1)(b − 1),
λ
2
= −c −
c
2
− (2c + 1)(b − 1),
λ
3
= i
b(2c + 1) − 1 = iω
0
,
λ
4
= −i
b(2c + 1) − 1 = −iω
0
,
(4.18)
onde ω
0
=
b(2c + 1) − 1 > 0. Conforme a se¸c˜ao 2.2, p. 32, chamaremos de q o autovetor
de A correspondente a λ
3
= iω
0
. Calculando este autovetor, obtemos
q = (−1 + iω
0
, 1, 1 −iω
0
, −1). (4.19)
Agora, calculando p, o autovetor de A
⊤
correspondente ao autovalor −λ
3
e normalizando
p para que p, q = 1, obtemos
p =
(ω
0
+ i)
4ω
0
(ω
2
0
+ 1)
(1 + iω
0
, ω
2
0
+ 1, −1 − iω
0
, −ω
2
0
− 1). (4.20)
As fun¸c˜oes B(q, q), B(q, ¯q) e C(q, q, ¯q) ficam dadas por
B(q, q) = 2(1 − 2iω
0
)
2c + 1
−1
2c + 1
−1
,
B(q, ¯q) = 2
2c + 1
−1
2c + 1
−1
,
C(q, q, ¯q) = 2(3 − iω
0
)
2c + 1
−1
−2c − 1
1
.
71
Como
h
11
= −A
−1
B(q, ¯q)
e
h
20
= (2iω
0
I
4
− A)
−1
B(q, q),
temos
h
11
= 2
1
0
1
0
,
h
20
= −
2 (2ω
0
+ i)
3ω
2
0
− 4icω
0
+ 2c
−iω
2
0
+ 4cω
0
+ 2ω
0
+ 2ic
−2ω
0
−iω
2
0
+ 4cω
0
+ 2ω
0
+ 2ic
−2ω
0
.
Calculando B(q, h
11
) e B(¯q, h
20
), obtemos
B(q, h
11
) = −4
2c + 1
−1
−2c − 1
1
,
B(¯q, h
20
) =
4 (2ω
0
+ i) (iω
2
0
+ 2ω
0
+ 2ic + 4cω
0
)
3ω
2
0
− 4icω
0
+ 2c
2c + 1
−1
−2c − 1
1
.
Portanto, p, B(q, h
11
), p, B(¯q, h
20
) e p, C(q, q, ¯q), valem
p, B(q, h
11
) =
2(ω
0
+ 2ic)
ω
0
,
72
p, B(¯q, h
20
) =
2 (2c − iω
0
) (1 − 2iω
0
) (iω
2
0
+ 4cω
0
+ 2ω
0
+ 2ic)
ω
0
(3ω
2
0
− 4icω
0
+ 2c)
,
p, C(q, q, ¯q) = −
(2c − iω
0
) (ω
0
+ 3i)
ω
0
.
Como l
1
´e dado por
l
1
=
1
2ω
0
Re[p, C(q, q, ¯q) + 2 p, B(q, h
11
) + p, B(¯q, h
20
)].
segue que
l
1
=
−(26c + 9)ω
4
0
+ 4c (24c
2
+ 46c + 13) ω
2
0
+ 4c
2
(6c + 7)
18ω
4
0
+ 8c(4c + 3)ω
2
0
+ 8c
2
.
(4.21)
Como ω
0
=
b(2c + 1) − 1, l
1
fica dado por
l
1
=
−104c
3
− 140c
2
− 62c − 9 b
2
+ 192c
4
+ 464c
3
+ 392c
2
+ 140c + 18 b − 72c
3
− 156c
2
− 78c − 9
(72c
2
+ 72c + 18) b
2
+ (64c
3
+ 80c
2
− 48c − 36) b − 24c
2
− 24c + 18
, (4.22)
com b, c ∈ D.
Como ω
0
> 0 e c > 0, de (4.21), o denominador de l
1
ser´a sempre positivo. Assim o
sinal do l
1
depender´a apenas do sinal do seu numerador, ou seja, depender´a apenas do
sinal de
−104c
3
− 140c
2
− 62c − 9 b
2
+ 192c
4
+ 464c
3
+ 392c
2
+ 140c + 18 b − 72c
3
− 156c
2
− 78c − 9.
(4.23)
Tomando (4.23) igual a 0 e encontrando b em fun¸c˜ao de c, teremos que, para parˆametros
em D, o primeiro coeficiente de Lyapunov l
1
se anular´a quando tivermos
b
c
=
48c
3
+ 92c
2
+ 52c + 9 + 4
√
2
√
72c
6
+ 276c
5
+ 362c
4
+ 179c
3
+ 29c
2
52c
2
+ 44c + 9
. (4.24)
Para valores do parˆametro b diferentes de b
c
(b cr´ıtico), temos
• se b > b
c
, ent˜ao, b ∈ D
1
, onde D
1
= {(a, b, c) ∈ D/a = 2c + 1, l
1
< 0},
• se b < b
c
, ent˜ao, b ∈ D
2
, onde D
2
= {(a, b, c) ∈ D/a = 2c + 1, l
1
> 0}.
Assim sendo, o que teremos que fazer agora ´e encontrar o segundo coeficiente de Lya-
punov (l
2
), para o caso em que {l
1
= 0}, pois, s´o assim poderemos fazer afirma¸c˜oes sobre
o comportamento do sistema para esses valores de parˆametros.
Observa¸c˜ao 4.7.1 Observemos que em (4.21) omitimos o termo ω
0
no denominador da
express˜ao uma vez que o ´unico interesse ´e calcular o sinal de l
1
. Como vimos anterior-
mente, ω
0
> 0, e assim n˜ao alterar´a o sinal de l
1
.
73
c
b
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
1.5
2.0
3.0
3.5
4.0
2.5
1.2
= 0
Figura 4.6: Gr´afico de l
1
.
4.8 Encontrando o segundo coeficiente de Lyapunov
para a = 2c + 1
Como na se¸c˜ao 4.7, consideraremos a superf´ıcie do espa¸co de parˆametros dada por H
2
=
{a = 2c+1}, com autovalor λ
3
, autovetor q e autovetor adjunto p, dados por (4.18), (4.19)
e (4.20), respectivamente. Assim, os vetores
¯
h
11
e
¯
h
20
definidos como os vetores complexos
conjugados aos vetores h
11
e h
20
, ficam dados por
¯
h
11
= 2
1
0
1
0
,
¯
h
20
=
2 (2ω
0
− i)
3ω
2
0
+ 4icω
0
+ 2c
−iω
2
0
− 4cω
0
− 2ω
0
+ 2ic
2ω
0
−iω
2
0
− 4cω
0
− 2ω
0
+ 2ic
2ω
0
.
Consideremos agora o sistema n˜ao–singular (4 + 1)–dimensional, dado em (2.46), e
definido por
iω
0
I
n
− A q
¯p 0
h
21
s
=
C(q, q, ¯q) + B(¯q, h
20
) + 2B(q, h
11
) − g
21
q
0
.
74
Assim, temos que
h
21
= −
(2c + iω
0
) (ω
0
+ i) (iω
2
0
+ 12cω
0
+ 4ω
0
+ 6ic)
2ω
2
0
(3ω
2
0
− 4icω
0
+ 2c)
iω
0
+ 1
−1
−iω
0
− 1
1
.
Seja agora
¯
h
21
, o vetor complexo conjugado de h
21
. Temos
¯
h
21
= −
(2c − iω
0
) (ω
0
− i) (−iω
2
0
+ 12cω
0
+ 4ω
0
− 6ic)
2ω
2
0
(3ω
2
0
+ 4icω
0
+ 2c)
1 − iω
0
−1
iω
0
− 1
1
.
Calculando, ent˜ao, as fun¸c˜oes C(q, q, q) e B(q, h
20
), temos
C(q, q, q) = 6 (1 −iω
0
)
2c + 1
−1
−2c − 1
1
,
B(q, h
20
) = −
4i (2ω
0
+ i) (3ω
2
0
+ 4icω
0
+ 2iω
0
− 2c)
3ω
2
0
− 4icω
0
+ 2c
2c + 1
−1
−2c − 1
1
.
Como
h
30
= (3iω
0
I
4
− A)
−1
[C(q, q, q) + 3B(q, h
20
)] ,
temos
h
30
=
3 (3ω
0
+ i) (−5ω
2
0
− 4icω
0
− 4iω
0
+ 2c)
4ω
2
0
(3ω
2
0
− 4icω
0
+ 2c)
−iω
2
0
+ 6cω
0
+ 3ω
0
+ 2ic
−2ic − 3ω
0
iω
2
0
− 6cω
0
− 3ω
0
− 2ic
2ic + 3ω
0
.
75
Assim, podemos calcular tamb´em D(q, q, q, ¯q), C(q, q, h
11
), C(q, ¯q, h
20
), B(h
20
, h
11
),
B(¯q, h
30
), B(q, h
21
) e g
21
h
20
, que por sua vez ficam dados por
D(q, q, q, ¯q) ≡ 0,
C(q, q, h
11
) = −4
2c + 1
−1
2c + 1
−1
,
C(q, ¯q, h
20
) =
4 (1 − 2iω
0
) (ω
2
0
+ 4icω
0
+ 6iω
0
− 2c)
3ω
2
0
− 4icω
0
+ 2c
2c + 1
−1
2c + 1
−1
,
B(h
20
, h
11
) = −
16ω
0
(2ω
0
+ i)
3ω
2
0
− 4icω
0
+ 2c
2c + 1
−1
2c + 1
−1
,
B(¯q, h
30
) = S
1
2c + 1
−1
2c + 1
−1
,
onde
S
1
= −
3 (3ω
0
+ i) (−5iω
2
0
+ 4cω
0
+ 4ω
0
+ 2ic) (2ω
2
0
− 4icω
0
− 3iω
0
+ 2c)
2ω
2
0
(3ω
2
0
− 4icω
0
+ 2c)
,
B(q, h
21
) =
(2c + iω
0
) (ω
0
+ i) (iω
2
0
+ 12cω
0
+ 4ω
0
+ 6ic)
ω
2
0
(3ω
2
0
− 4icω
0
+ 2c)
2c + 1
−1
2c + 1
−1
,
76
g
21
h
20
= S
2
−iω
2
0
+ 4cω
0
+ 2ω
0
+ 2ic
−2ω
0
−iω
2
0
+ 4cω
0
+ 2ω
0
+ 2ic
−2ω
0
,
onde
S
2
=
2 (2c − iω
0
) (ω
0
+ i) (2ω
0
+ i) (ω
2
0
− 12icω
0
− 4iω
0
+ 6c)
ω
0
(3iω
2
0
+ 4cω
0
+ 2ic)
2
.
Consideremos agora
h
31
= (2iω
0
I
4
− A)
−1
[D(q, q, q, ¯q) + 3C(q, q, h
11
) + 3C(q, ¯q, h
20
)
+3B(h
20
, h
11
) + B(¯q, h
30
) + 3B(q, h
21
) − 3g
21
h
20
] .
Ent˜ao,
h
31
=
3
2ω
2
0
(3iω
2
0
+ 4cω
0
+ 2ic)
3
σ
11
σ
21
σ
31
σ
41
,
onde
σ
11
= −10ω
9
0
+ (−68ic − 49i)ω
8
0
+ 240c
2
− 146c − 69 ω
7
0
+ 2752ic
3
+ 3328ic
2
+ 188ic − 166i ω
6
0
+ −768c
4
− 10080c
3
− 8276c
2
− 1162c + 40 ω
5
0
+ −1024ic
4
− 12304ic
3
− 7152ic
2
− 776ic ω
4
0
+ −256c
4
+ 6344c
3
+ 2372c
2
+ 112c ω
3
0
+ −960ic
4
+ 1296ic
3
+ 232ic
2
ω
2
0
+ 496c
4
− 56c
3
ω
0
+ 80ic
4
,
σ
21
= 44iω
8
0
+ (312c + 50)ω
7
0
+ −1472ic
2
+ 140ic + 170i ω
6
0
+ 384c
3
+ 4288c
2
+ 908c − 40 ω
5
0
+ 704ic
3
+ 3936ic
2
+ 728ic ω
4
0
+ −480c
3
− 1384c
2
− 112c ω
3
0
+ −144ic
3
− 152ic
2
ω
2
0
+ 16c
3
ω
0
,
σ
31
= −10ω
9
0
+ (−68ic − 49i)ω
8
0
+ 240c
2
− 146c − 69 ω
7
0
+ 2752ic
3
+ 3328ic
2
+ 188ic − 166i ω
6
0
+ −768c
4
− 10080c
3
− 8276c
2
− 1162c + 40 ω
5
0
+ −1024ic
4
− 12304ic
3
− 7152ic
2
− 776ic ω
4
0
+ −256c
4
+ 6344c
3
+ 2372c
2
+ 112c ω
3
0
+ −960ic
4
+ 1296ic
3
+ 232ic
2
ω
2
0
+ 496c
4
− 56c
3
ω
0
+ 80ic
4
,
σ
41
= 44iω
8
0
+ (312c + 50)ω
7
0
+ −1472ic
2
+ 140ic + 170i ω
6
0
+ 384c
3
+ 4288c
2
+ 908c − 40 ω
5
0
+ 704ic
3
+ 3936ic
2
+ 728ic ω
4
0
+ −480c
3
− 1384c
2
− 112c ω
3
0
+ −144ic
3
− 152ic
2
ω
2
0
+ 16c
3
ω
0
.
Para o c´alculo de h
22
precisamos encontrar agora as fun¸c˜oes D(q, q, ¯q, ¯q), C(q, ¯q, h
11
),
C(¯q, ¯q, h
20
), C(q, q,
¯
h
20
), B(h
11
, h
11
), B(q,
¯
h
21
), B(¯q, h
21
), B(
¯
h
20
, h
20
) e h
11
l
1
. Assim temos
D(q, q, ¯q, ¯q) ≡ 0,
C(q, ¯q, h
11
) = −4
2c + 1
−1
2c + 1
−1
,
77
C(¯q, ¯q, h
20
) =
4 (2ω
0
+ i) (3iω
2
0
+ 4cω
0
+ 6ω
0
+ 2ic)
3ω
2
0
− 4icω
0
+ 2c
2c + 1
−1
2c + 1
−1
,
C(q, q,
¯
h
20
) =
4 (2ω
0
− i) (−3iω
2
0
+ 4cω
0
+ 6ω
0
− 2ic)
3ω
2
0
+ 4icω
0
+ 2c
2c + 1
−1
2c + 1
−1
,
B(h
11
, h
11
) ≡ 0,
B(q,
¯
h
21
) =
(iω
0
− 2c) (ω
2
0
+ 12icω
0
+ 4iω
0
+ 6c) (2ω
2
0
− iω
0
+ 1)
ω
2
0
(3ω
2
0
+ 4icω
0
+ 2c)
2c + 1
−1
2c + 1
−1
,
B(¯q, h
21
) =
(2ic − ω
0
) (iω
2
0
+ 12cω
0
+ 4ω
0
+ 6ic) (2ω
2
0
+ iω
0
+ 1)
3ω
4
0
− 4icω
3
0
+ 2cω
2
0
2c + 1
−1
2c + 1
−1
,
B(
¯
h
20
, h
20
) =
(512c + 128)ω
4
0
+ (128c + 32)ω
2
0
9ω
4
0
+ 4c(4c + 3)ω
2
0
+ 4c
2
2c + 1
−1
2c + 1
−1
,
h
11
l
1
=
(−52c − 18)ω
4
0
+ (192c
3
+ 368c
2
+ 104c) ω
2
0
+ 48c
3
+ 56c
2
18ω
4
0
+ 8c(4c + 3)ω
2
0
+ 8c
2
1
0
1
0
.
Como h
22
´e dado por
h
22
= −A
−1
D(q, q, ¯q, ¯q) + 4C(q, ¯q, h
11
) + C(¯q, ¯q, h
20
) + C(q, q,
¯
h
20
)
+2B(h
11
, h
11
) + 2B(q,
¯
h
21
) + 2B(¯q, h
21
) + B(
¯
h
20
, h
20
) − 4h
11
l
1
,
78
segue que
h
22
=
4
−9ω
8
0
− 2c(8c −3)ω
6
0
+ 4c
2
(8c + 5)ω
4
0
+ 8c
3
ω
2
0
σ
11
σ
21
σ
31
σ
41
,
onde
σ
11
= −(52c + 29)ω
8
0
+ (192c
3
+ 360c
2
+ 166c + 13) ω
6
0
−4c (96c
3
+ 116c
2
+ 62c + 13) ω
4
0
− 4c
2
(72c
2
+ 50c + 11) ω
2
0
− 48c
4
,
σ
21
= −(26c + 9)ω
6
0
+ 4c (24c
2
+ 46c + 13) ω
4
0
+ 4c
2
(6c + 7)ω
2
0
,
σ
31
= −(52c + 29)ω
8
0
+ (192c
3
+ 360c
2
+ 166c + 13) ω
6
0
−4c (96c
3
+ 116c
2
+ 62c + 13) ω
4
0
− 4c
2
(72c
2
+ 50c + 11) ω
2
0
− 48c
4
,
σ
41
= −(26c + 9)ω
6
0
+ 4c (24c
2
+ 46c + 13) ω
4
0
+ 4c
2
(6c + 7)ω
2
0
.
(4.25)
Assim, como visto em (2.51) o segundo coeficiente de Lyapunov l
2
´e dado por
l
2
=
1
12ω
0
Re
p, E(q, q, ¯q, ¯q) + D(q, q, q,
¯
h
20
) + 3D(q, ¯q, ¯q, h
20
) + 6D(q, q, ¯q, h
11
)
+C(¯q, ¯q, h
30
) + 3C(q, q,
¯
h
21
) + 6C(q, ¯q, h
21
) + 3C(q,
¯
h
20
, h
20
)
+6C(q, h
11
, h
11
) + 6C(¯q, h
20
, h
11
) + 2B(¯q, h
31
) + 3B(q, h
22
)
+B(
¯
h
20
, h
30
) + 3B(
¯
h
21
, h
20
) + 6B(h
11
, h
21
)
,
com ω
0
=
b(2c + 1) − 1.
Assim,
l
2
(b, c) =
Ψ
1
(b, c)
Ψ
2
(b, c)
,
onde
Ψ
1
(b, c) = (2c + 1)(135(2c − 3)(2c + 1)
6
b
8
− 2(2c + 1)
5
8816c
3
+ 7236c
2
+ 1296c − 1539
b
7
+2(2c + 1)
4
116992c
5
+ 305280c
4
+ 280192c
3
+ 105372c
2
+ 10368c − 5103
b
6
−2(2c + 1)
3
(167936c
7
+ 914432c
6
+ 2105920c
5
+ 2544432c
4
+ 1592432c
3
+ 475776c
2
+42552c − 9639)b
5
+ 4(2c + 1)
2
(180224c
8
+ 1133568c
7
+ 3138560c
6
+ 4733392c
5
+4120272c
4
+ 2038384c
3
+ 525780c
2
+ 46575c − 5670)b
4
+ 2(98304c
10
− 1957888c
9
−13537792c
8
− 36205696c
7
− 52702912c
6
− 46079648c
5
− 24962480c
4
− 8283352c
3
−1535940c
2
− 99630c + 8505)b
3
+ 2(−110592c
9
+ 1013760c
8
+ 7142400c
7
+16522816c
6
+ 19115136c
5
+ 12241104c
4
+ 4480064c
3
+ 927756c
2
+ 84456c − 3969)b
2
+6(13824c
8
− 79488c
7
− 575808c
6
− 1157408c
5
− 1032848c
4
− 439352c
3
− 95388c
2
−11718c + 351)b − 27(2c + 3)
2
96c
5
− 688c
4
− 1104c
3
− 216c
2
− 50c + 1
),
(4.26)
79
e
Ψ
2
(b, c) = 2(b − 1)(2cb + b − 1)
4c
2
+ 4(4c + 3)(2cb + b − 1)c + 9(2cb + b − 1)
2
3
,
(4.27)
com b, c ∈ D.
A partir de uma breve an´alise de (4.27) vemos que Ψ
2
(b, c) > 0 para todo b, c ∈ D.
Portanto, o sinal de l
2
depender´a apenas do sinal do seu numerador.
Por´em, como nos interessa saber o sinal de l
2
apenas sobre a curva {l
1
= 0}, fixando
valores para b e c sobre esta ´ultima curva, verificamos que l
2
ser´a sempre positivo para
todo b e c sobre {l
1
= 0}, com b, c ∈ D. Veja Tabela 4.1.
b c l
1
(b, c) l
2
(b, c)
1, 2 0, 049909 0, 0 0, 79494
1, 4 0, 106104 0, 0 246, 164
1, 6 0, 168492 0, 0 10232
1, 8 0, 236760 0, 0 185129
2, 0 0, 310419 0, 0 2, 09395 × 10
6
2, 5 0, 514246 0, 0 2, 73575 × 10
8
3, 0 0, 738925 0, 0 1, 26338×10
10
3, 5 0, 977270 0, 0 3, 00164×10
11
4, 0 1, 224520 0, 0 4, 44708×10
12
Tabela 4.1: Sinal de l
2
sobre {l
1
= 0}.
Como ilustra¸c˜ao destas an´alises, na Figura 4.7 est˜ao desenhados os conjuntos disjuntos
{l
1
= 0} e {l
2
= 0}.
4.9 A condi¸c˜ao de transversalidade para a = 2c + 1
Para verificarmos a condi¸c˜ao de transversalidade para H
2
= {a = 2c + 1}, conforme vimos
no Teorema 2.2.3 basta mostrarmos que ∇H
2
e ∇l
1
s˜ao linearmente independentes ao
longo de l
1
= 0, ou seja, devemos mostrar que o vetor ∇H
2
n˜ao ´e um m´ultiplo escalar de
∇l
1
. Assim, tomando
H(a, b, c) = a − (2c + 1),
80
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
1.5
2.0 2.5
3.0 3.5
4.0
b
c
Figura 4.7: Curvas {l
1
= 0} e {l
2
= 0}.
temos que seu vetor gradiente ´e dado por
∇H = (1, 0, −2).
Tomando o numerador do l
1
, que como vimos ´e dado por
l
1
=
−104c
3
− 140c
2
− 62c − 9
b
2
+
192c
4
+ 464c
3
+ 392c
2
+ 140c + 18
b − 72c
3
− 156c
2
− 78c − 9,
temos que o seu vetor gradiente ´e
∇l
1
=
∂
∂a
l
1
,
∂
∂b
l
1
,
∂
∂c(a)
l
1
,
onde
∂
∂b
l
1
= b (−208c
3
− 280c
2
− 124c −18) + 192c
4
+ 464c
3
+ 392c
2
+ 140c + 18.
Na Figura 4.8 est˜ao plotados as curvas {l
1
= 0} e
∂
∂b
l
1
= 0
. Podemos observar
que n˜ao h´a intersec¸c˜ao destas duas curvas, o que implica que os vetores ∇H
2
e ∇l
1
s˜ao
linearmente independentes.
Observa¸c˜ao 4.9.1 Para os c´alculos feitos acima consideramos l
1
como sendo dado apenas
pelo seu numerador, o que ´e permitido, pois o sinal do denominador ´e invariante, em
particular, neste caso, ser´a sempre positivo, conforme visto na p. 72, sendo que assim o
denominador n˜ao ira interferir em nossa an´alise.
81
Figura 4.8: Curvas {l
1
= 0} e
∂
∂b
l
1
= 0
.
4.10 Teorema de Hopf para o sistema (1.5) em e
0
quando a = 2c + 1
Com base nas an´alises feitas no decorrer deste cap´ıtulo, e como as condi¸c˜oes de n˜ao–degene-
rescˆencia (se¸c˜ao 4.8) e a condi¸c˜ao de transversalidade (se¸c˜ao 4.9) foram satisfeitas, podemos
enunciar os teoremas a seguir, para os quais consideraremos a fam´ılia a 3–parˆametros de
equa¸c˜oes diferenciais (1.5), tal que os parˆametros assumam valores restritos `a regi˜ao do
espa¸co de parˆametros dada por
D = {(a, b, c) ∈ R
3
/a = 2c + 1, b > 1, c > 0}.
Teorema 4.10.1 O ponto de equil´ıbrio e
0
quando restrito `a superf´ıcie central ´e um foco
atrator fraco se (a, b, c) ∈ D
1
, e um foco repulsor fraco se (a, b, c) ∈ D
2
, onde D
1
=
{(a, b, c) ∈ D/a = 2c + 1, l
1
< 0} e D
2
= {(a, b, c) ∈ D/a = 2c + 1, l
1
> 0}. Al´em do
mais, para a < 2c + 1 suficientemente pequeno e pr´oximo da regi˜ao D
1
surge uma ´orbita
peri´odica atratora, do mesmo modo que para a > 2c+1 suficientemente pequeno e pr´oximo
da regi˜ao D
2
surge uma ´orbita peri´odica repulsora.
Por´em, apenas com a an´alise do l
1
n˜ao podemos fazer afirma¸c˜oes acerca da estabilidade
do sistema sobre a curva {l
1
= 0}, e deste modo faz–se necess´ario o c´alculo do l
2
(se¸c˜ao 4.8),
de onde temos:
82
Teorema 4.10.2
Como l
2
> 0 para todo b e c sobre {l
1
= 0}, veja p. 79, temos que o
ponto de equil´ıbrio e
0
restrito `a superf´ıcie central ´e um foco repulsor fraco para parˆametros
sobre a curva {l
1
= 0}.
Com base nestes teoremas temos o seguinte diagrama de bifurca¸c˜ao para o sistema (1.5)
pr´oximo `a superf´ıcie H
2
:
Figura 4.9: Corte transversal `a superf´ıcie H
2
passando pelo ponto P .
83
Figura 4.10: Diagrama de bifurca¸c˜ao do sistema (1.5) pr´oximo `a superf´ıcie H
2
.
Cap´ıtulo 5
Simula¸c˜oes Num´ericas
Faremos, neste cap´ıtulo, algumas simula¸c˜oes num´ericas para os sistemas (1.4) e (1.5) em
torno da origem. Para tanto, fixaremos dois dos parˆametros, e variaremos o outro de
forma a ilustrar o surgimento de ´orbitas peri´odicas inst´aveis e est´aveis para tais sistemas,
e assim confirmar o surgimento das bifurca¸c˜oes de Hopf para um conjunto espec´ıfico de
dados. As simula¸c˜oes foram desenvolvidas usando o Software MATHEMATICA 6 [21].
5.1 As equa¸c˜oes desacopladas
Conforme visto no Cap´ıtulo 1 e, posteriormente, no Cap´ıtulo 3 o sistema de equa¸c˜oes
diferenciais que descrevem o modelo de propaganda em estudo, quando desacoplado, ´e
dado por (1.4) e este, por sua vez, apresenta um ´unico ponto de equil´ıbrio e
0
= (0, 0).
Assim, o que faremos agora, ´e apresentar alguns valores para os parˆametros, e a partir
destes verificar o surgimento de ´orbitas peri´odicas.
De acordo com o Teorema 3.4.1, o sistema sofre uma bifurca¸c˜ao de Hopf quando o
parˆametro a intercepta transversalmente a reta de Hopf H
0
= {a = 1} para todo b > 1.
Esta bifurca¸c˜ao ser´a ilustrada nas Figuras 5.1, 5.2 e 5.3. Para desenhar estas figuras
tomamos o parˆametro b = 2 e variamos apenas o parˆametro a. Na Figura 5.1 tomamos
a > 1, mais especificamente, tomamos a = 1.01 e a condi¸c˜ao inicial (1.6, −0.6). O tempo
de integra¸c˜ao para esta figura foi [0; 1140]. Na Figura 5.2 tomamos a = 1, por´em com
a mesma condi¸c˜ao inicial e tempo de integra¸c˜ao dados anteriormente. J´a na Figura 5.3
tomamos a < 1, ou seja, a = 0.95 e as condi¸c˜oes iniciais (1.6, −0.6) para a ´orbita externa
e (0.001, 0.001) para a ´orbita interna ao ciclo limite. Nesta figura tomamos o tempo de
84
85
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
x
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
y
Figura 5.1: Retrato de fase para a > 1.
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
x
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
y
Figura 5.2: Retrato de fase para a = 1.
integra¸c˜ao [0; 600] para ambos os casos. Note que para estes valores dos parˆametros o
valor de bifurca¸c˜ao ´e a = 1.
Tanto na Figura 5.1 quanto na Figura 5.2 temos que o equil´ıbrio e
0
´e um atrator, mas
pelas ilustra¸c˜oes vemos que a convergˆencia na Figura 5.2 ´e mais lenta que a convergˆencia
na Figura 5.1, ou seja, quando o parˆametro tende ao valor cr´ıtico H = {a = 1} o com-
portamento espiral atrator das solu¸c˜oes torna–se mais lento, e o ciclo limite surge quando
86
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
x
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
y
Figura 5.3: Retrato de fase para a < 1.
o parˆametro a intercepta transversalmente a reta de Hopf passando a assumir valores
menores que 1.
5.2 As equa¸c˜oes acopladas
De acordo com o Cap´ıtulo 4 temos que o sistema (1.5) apresenta cinco pontos de equil´ıbrio,
dos quais, conforme visto no Cap´ıtulo 1 se¸c˜ao 1.2, estamos interessados em analisar as
bifurca¸c˜oes de Hopf relacionadas `a origem. O que faremos ent˜ao ´e apresentar alguns
valores para os parˆametros, e a partir destes verificar o surgimento das ´orbitas peri´odicas
quando estes s˜ao tomados pr´oximos `as superf´ıcies H
1
= {a = 1} e H
2
= {a = 2c + 1}.
5.2.1 Bifurca¸c˜oes de Hopf pr´oximas `a superf´ıcie H
1
Pelo Teorema 4.6.1 o sistema (1.5) sofre uma bifurca¸c˜ao de Hopf quando o parˆametro a
intercepta transversalmente a superf´ıcie H
1
= {a = 1} para b > 1 e c > 0, sendo que sobre
a superf´ıcie central o ponto de Hopf e
0
= (0, 0, 0, 0) ´e um foco atrator fraco, e a ´orbita
peri´odica atratora surge quando o parˆametro a ´e tomado menor que 1. Por´em, como o
espa¸co de fase do sistema (1.5) ´e quadridimensional, somente as proje¸c˜oes dos retratos de
fase poder˜ao ser apresentadas. Faremos tais proje¸c˜oes no plano. Vale observar que em
87
tais proje¸c˜oes poderemos ter que as ´orbitas se auto–interceptam sem que isso contrarie a
condi¸c˜ao de existˆencia e unicidade das solu¸c˜oes para tal sistema, pois, como j´a hav´ıamos
dito anteriormente, estamos trabalhando com proje¸c˜oes das ´orbitas.
Para obtermos os retratos de fase tomamos b = 4 e c = 0.1 mantendo–os sempre
constantes e variando apenas o parˆametro a. Na Figura 5.4 tomamos a > 1, mais es-
1
1
2
x
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
y
(a)
1
1
2
x
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
w
(b)
1
1
2
x
1
1
2
z
(c)
Figura 5.4: Proje¸c˜oes das ´orbitas nos espa¸cos bidimensionais quando a > 1.
pecificamente, tomamos a = 1.01 e a condi¸c˜ao inicial (1.6, −0.6, 1.6, −0.6). O tempo de
integra¸c˜ao para esta figura foi [0; 340]. Para obter a Figura 5.5 tomamos o parˆametro
a = 1, e mantemos a condi¸c˜ao inicial e o tempo de integra¸c˜ao usados para obter a Figura
5.4. J´a na Figura 5.6 tomamos a < 1, ou mais especificamente, tomamos a = 0.95 e as
condi¸c˜oes iniciais (1.6, −0.6, 1.6, −0.6) para a ´orbita externa e (0.001, 0.001, 0.001, 0.001)
88
1
1
2
x
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
y
(a)
1
1
2
x
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
w
(b)
1
1
2
x
1
1
2
z
(c)
Figura 5.5: Proje¸c˜oes das ´orbitas nos espa¸cos bidimensionais quando a = 1.
para a ´orbita interna ao ciclo limite. O intervalo de integra¸c˜ao foi de [0; 290] para ambos
os casos.
Tanto na Figura 5.4 quanto na Figura 5.5 temos que a origem ´e um atrator, e conforme
afirmava a teoria, observando as figuras vemos que as ´orbitas da Figura 5.5 convergem
mais lentamente que as ´orbitas da Figura 5.4, sendo que assim, quando o parˆametro a
intercepta transversalmente a superf´ıcie de Hopf passando a assumir valores menores que
1 surge o ciclo limite. Tal fato ´e ilustrado na Figura 5.6.
89
1
1
2
x
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
y
(a)
1
1
2
x
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
w
(b)
1
1
2
x
1
1
2
z
(c)
Figura 5.6: Proje¸c˜oes das ´orbitas nos espa¸cos bidimensionais quando a < 1.
5.2.2 Bifurca¸c˜oes de Hopf pr´oximas `a superf´ıcie H
2
Pelo Teorema 4.10.1 o sistema (1.5) sofre uma bifurca¸c˜ao de Hopf quando o parˆametro a
intercepta transversalmente a superf´ıcie H
2
= {a = 2c + 1} para b > 1 e c > 0, sendo
que sobre a superf´ıcie central o ponto de Hopf e
0
= (0, 0, 0, 0) ´e um foco repulsor fraco
se (a, b, c) ∈ D
2
e um foco atrator fraco se (a, b, c) ∈ D
1
. Tamb´em pelo Teorema 4.10.1,
temos que as ´orbitas peri´odicas surgem para a > 2c+1 suficientemente pequeno e pr´oximo
`a regi˜ao D
2
e para a < 2c + 1 suficientemente pequeno e pr´oximo `a regi˜ao D
1
, sendo que
no primeiro caso a ´orbita peri´odica que surge ´e repulsora e no segundo caso a ´orbita ´e
atratora.
Nesta se¸c˜ao, assim como na se¸c˜ao 5.2.1, trabalharemos apenas com as proje¸c˜oes dos
90
retratos de fase, pois, como hav´ıamos dito anteriormente, o espa¸co de fase do sistema
(1.5) ´e quadridimensional. Tamb´em neste caso faremos as proje¸c˜oes dos retratos de fase
no plano.
Para obtermos o retrato de fase descrito pela Figura 5.7 tomamos b = 2, c = 0.5 e
0.5
0.5
1.0
x
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
y
(a)
0.5
0.5
1.0
x
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
w
(b)
0.5
0.5
1.0
x
0.5
0.5
1.0
1.5
z
(c)
Figura 5.7: Proje¸c˜oes das ´orbitas nos espa¸cos bidimensionais quando a < 2c + 1 pr´oximo
`a regi˜ao D
2
.
a < 2 c + 1, mais especificamente, tomamos a = 1.975. A condi¸c˜ao inicial tomada para
obter esta figura foi (0.047, −0.007, −0.034, 0.006) e o intervalo de integra¸c˜ao tomado foi
[0; 215].
Na Figura 5.8, tomamos os mesmos b e c que na figura anterior, por´em, agora o
parˆametro a se encontra sobre a superf´ıcie H
2
, ou seja, a = 2c + 1 = 2. A condi¸c˜ao inicial
91
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
x
0.5
0.5
y
(a)
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
x
0.5
0.5
1.0
w
(b)
1
2
3
x
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
z
(c)
Figura 5.8: Proje¸c˜oes das ´orbitas nos espa¸cos bidimensionais quando a = 2c + 1 sobre a
regi˜ao D
2
.
e o tempo de integra¸c˜ao tomados foram, respectivamente, (0.040, −0.108, −0.047, 0.123) e
[0; 410].
Para obtermos a Figura 5.9 tomamos b = 2, c = 0.5 e a > 2c+1, mais especificamente,
tomamos a = 2.05. As condi¸c˜oes iniciais tomadas foram (0.0, 0.54, 0.18, −0.38) para a
´orbita externa, e (0.19, 0.29, 0.18, −0.38) para a ´orbita interna ao ciclo limite. Para os
intervalos de integra¸c˜ao tomamos [0; 55] e [0; 1260], para as ´orbitas externa e interna,
respectivamente.
Com base nas figuras anteriormente apresentadas, temos que tanto na Figura 5.7
quanto na Figura 5.8 o equil´ıbrio e
0
´e um foco repulsor, por´em, como podemos obser-
var, temos que na Figura 5.8 as ´orbitas afastam–se do equil´ıbrio mais lentamente que na
Figura 5.7, como forma de reafirmar o fato vejamos que o intervalo de integra¸c˜ao para a
Figura 5.8 ´e bem maior que o intervalo de integra¸c˜ao tomado para a Figura 5.7. Agora,
observando a Figura 5.9, bem como os parˆametros e as condi¸c˜oes iniciais tomados para
92
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
x
0.5
0.5
1.0
y
(a)
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
x
0.5
0.5
1.0
w
(b)
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
x
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
z
(c)
Figura 5.9: Proje¸c˜oes das ´orbitas nos espa¸cos bidimensionais quando a > 2c + 1 pr´oximo
`a regi˜ao D
2
.
obtˆe–la, podemos perceber que o equil´ıbrio e
0
passa a ser atrator quando o parˆametro a
intercepta transversalmente a superf´ıcie H
2
na regi˜ao D
2
, marcando assim, o surgimento
da ´orbita peri´odica repulsora para tais valores do parˆametro a.
Agora que j´a ilustramos as bifurca¸c˜oes que ocorrem pr´oximo `a regi˜ao D
2
, passaremos
a ilustrar as bifurca¸c˜oes que ocorrem pr´oximo `a regi˜ao D
1
. Conforme visto no in´ıcio desta
se¸c˜ao, devemos obter que o equil´ıbrio que ´e atrator para valores do parˆametro a tomados
acima da superf´ıcie H
2
e pr´oximos da regi˜ao D
1
, passa a ser repulsor quando este intercepta
transversalmente a superf´ıcie H
2
passando a assumir valores abaixo desta superf´ıcie.
Assim, para obtermos a Figura 5.10 tomamos b = 3, c = 0.5 e a > 2c + 1, mais
especificamente, tomamos a = 2.1. A condi¸c˜ao inicial tomada para obter esta figura foi
(0.0, 0.85, −0.5, −0.38) e o intervalo de integra¸c˜ao tomado foi [0; 150].
93
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
x
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
y
(a)
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
x
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
w
(b)
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
x
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
z
(c)
Figura 5.10: Proje¸c˜oes das ´orbitas nos espa¸cos bidimensionais quando a > 2c + 1 pr´oximo
`a regi˜ao D
1
.
Para obter a Figura 5.11 tomamos os mesmos b e c que foram tomados na figura ante-
rior, por´em, agora o parˆametro a se encontra sobre a superf´ıcie H
2
, ou seja, a = 2c + 1 = 2.
A condi¸c˜ao inicial e o tempo de integra¸c˜ao tomados foram, (0.0, 0.85, −0.5, −0.38) e
[0; 280], respectivamente.
Na Figura 5.12 tomamos b = 4, c = 0.4 e a < 2c + 1, mais especificamente, tomamos
a = 1.7. A condi¸c˜ao inicial tomada foi (0.0001, 0.0018, 0.0014, 0.0012) e o tempo de inte-
gra¸c˜ao [0; 260].
De acordo com estas ´ultimas figuras, temos que o equil´ıbrio e
0
´e um foco atrator tanto
na Figura 5.10 quanto na Figura 5.11, por´em, como podemos ver, na Figura 5.11 as ´orbitas
tendem ao equil´ıbrio mais lentamente que na Figura 5.10, caracterizando assim o atrator
94
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
x
0.5
0.5
1.0
y
(a)
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
x
0.5
0.5
1.0
w
(b)
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
x
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
z
(c)
Figura 5.11: Proje¸c˜oes das ´orbitas nos espa¸cos bidimensionais quando a = 2c + 1 sobre a
regi˜ao D
1
.
fraco que surge sobre a superf´ıcie de Hopf. Agora, pela Figura 5.12 e considerando as
condi¸c˜oes inicias e o tempo de integra¸c˜ao tomados para obtˆe–la, podemos perceber que o
equil´ıbrio que antes era atrator, passa agora a ser repulsor, ou seja, quando variamos o
parˆametro a de modo que ele passe a assumir valores abaixo da superf´ıcie H
2
e suficiente-
mente pr´oximo da regi˜ao D
1
o equil´ıbrio muda sua estabilidade e temos o surgimento de
uma ´orbita peri´odica atratora.
5.3 Interpreta¸c˜ao econˆomica
Do ponto de vista econˆomico, o per´ıodo em que o n´umero de usu´arios da marca e o n´umero
de potenciais compradores aumentam, corresponde a um per´ıodo de prosperidade. Quando
h´a um decl´ınio no n´umero de potenciais compradores, mas o n´umero de usu´arios da marca
95
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
x
0.5
0.5
1.0
y
(a)
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
x
0.5
0.5
1.0
w
(b)
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
x
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
z
(c)
Figura 5.12: Proje¸c˜oes das ´orbitas nos espa¸cos bidimensionais quando a < 2c + 1 pr´oximo
`a regi˜ao D
1
.
ainda aumenta, h´a um per´ıodo de satura¸c˜ao, e este ´e mantido pela fama da marca no
mercado. Se o n´umero de potenciais compradores e o n´umero de usu´arios diminuem,
temos um per´ıodo de crise, enquanto que se o n´umero de potenciais compradores aumenta
e o n´umero de usu´arios diminuem h´a um per´ıodo de recupera¸c˜ao, sustentado, por exemplo,
por uma campanha publicit´aria.
Analisando o comportamento das quatro vari´aveis do sistema (1.5) referentes ao per´ıodo
do ciclo limite na Figura 5.13, descobrimos uma seq¨uencia de fases para ambos os produtos.
Tal seq¨uencia corresponde a 8 regimes de comportamento, veja Figura 5.13, isto ´e:
1. y, z aumentam, e x, w diminuem. H´a um per´ıodo de satura¸c˜ao para o primeiro
produto e de recupera¸c˜ao para o segundo;
96
0.0
0.5
y
1
0
1
2
z
0.0
0.5
w
1
0
1
2
x
1
0
1
2
z
0.0
0.5
w
1
0
1
2
x
0.0
0.5
y
1
0
1
2
z
1
0
1
2
x
0.0
0.5
y
0.0
0.5
w
121
122
123
124
125
t
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
w
121
122
123
124
125
t
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
x
121
122
123
124
125
t
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
y
121
122
123
124
125
t
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
z
1
8
2
3
4 5
6
7
Figura 5.13: Proje¸c˜oes 3D do ciclo limite para a = 1.93, b = 4.0 e c = 0.5 e proje¸c˜oes das
vari´aveis em fun¸c˜ao do tempo.
2.
z aumenta, x, y e w diminuem. H´a um per´ıodo de crise para o primeiro produto,
enquanto que o segundo ainda est´a em um per´ıodo de recupera¸c˜ao;
3. z e w aumentam, x e y diminuem. O per´ıodo de crise para o primeiro produto
continua, enquanto que para o segundo come¸ca um per´ıodo de prosperidade;
4. x, z e w aumentam, e y diminui. H´a um per´ıodo de recupera¸c˜ao para o primeiro
produto e de prosperidade para o segundo;
5. x e w aumentam, y e z diminuem. O per´ıodo de recupera¸c˜ao continua para o primeiro
97
produto e h´a um per´ıodo de satura¸c˜ao para o segundo;
6. x aumenta, y, z e w diminuem. Este ´e um per´ıodo de recupera¸c˜ao para o primeiro
produto e de crise para o segundo;
7. x e y aumentam, z e w diminuem. O primeiro produto est´a em um per´ıodo de
prosperidade, enquanto que o segundo ainda est´a em um per´ıodo de crise;
8. x, y e z aumentam, w diminui. O primeiro produto ainda esta no per´ıodo de pros-
peridade, enquanto que o segundo esta em um per´ıodo de recupera¸c˜ao.
Conseq¨uentemente, se as oscila¸c˜oes de x e z s˜ao idˆenticas, a liga¸c˜ao entre os dois
osciladores tˆem como efeito um retardo entre as fases x e z. A mesma conclus˜ao ´e v´alida
para y e w. Este retardo depende diretamente do parˆametro c.
´
E importante observar que estas conclus˜oes s´o s˜ao v´alidas em uma vizinhan¸ca de e
0
.
Longe de e
0
, a dinˆamica ´e influenciada tamb´em pela presen¸ca dos outros quatro equil´ıbrios,
e assim o comportamento de x, y, z e w ´e bastante diferente e complexo.
Conclus˜oes
Neste trabalho estudamos a dinˆamica de comportamento entre o n´umero de potenciais
compradores e o n´umero de usu´arios de duas marcas concorrentes dispon´ıveis a uma certa
popula¸c˜ao. Como vimos, este modelo ´e composto por 4 equa¸c˜oes diferenciais simetrica-
mente acopladas via um fluxo de potenciais compradores e s˜ao dadas por
x
′
= −a(x + by + 2xy + y
2
+ xy
2
) + c(x − z),
y
′
= x + y + 2xy + y
2
+ xy
2
,
z
′
= −a(z + bw + 2zw + w
2
+ zw
2
) + c(z − x),
w
′
= z + w + 2zw + w
2
+ zw
2
.
Detalhes de como o sistema foi obtido podem ser encontrados no Cap´ıtulo 1 se¸c˜ao 1.1.
Para tanto, no Cap´ıtulo 2, fizemos um resumo da teoria usada no embasamento deste
trabalho, sendo que este apresenta inicialmente o estudo das formas normais da bifurca¸c˜ao
de Hopf em sistemas bidimensionais, e posteriormente, aplicando o m´etodo da proje¸c˜ao
estendemos esta defini¸c˜ao para casos n–dimensionais.
De posse do estudo do sistema para o caso bidimensional feito no Cap´ıtulo 3, no
Cap´ıtulo 4 estendemos o estudo para o sistema quadridimensional. Pudemos perceber
que o interessante seria tomarmos valores para os parˆametros imediatamente acima da
superf´ıcie H
2
= {a = 2c + 1}, pois assim temos, sob certas condi¸c˜oes, o surgimento de
´orbitas peri´odicas.
O surgimento, ou desaparecimento, de ´orbitas peri´odicas dependentes dos parˆametros
foram ilustradas no Cap´ıtulo 5 atrav´es de simula¸c˜oes num´ericas, corroborando assim, com
os c´alculos feitos nos cap´ıtulos anteriores.
Como sugest˜ao para trabalhos futuros pode–se citar:
• tomar um sistema de equa¸c˜oes diferenciais da forma (1.5), por´em n˜ao simetricamente
acoplados;
98
99
•
acoplar outras duas equa¸c˜oes diferencias ao sistema (1.5), passando a trabalhar
agora, n˜ao mais com quatro, mas com seis equa¸c˜oes diferenciais, sendo todas elas
acopladas duas a duas simetricamente, ou n˜ao.
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101
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[21] Software MATHEMATICA 6: http://www.wolfram.com/
Anexo I
Cálculo do Primeiro Coeficiente
de Lyapunov para a = 1 em
R
2
O sistema é dado por
f1x, y: a x b y 2 x y y
2
x y
2
f2x, y: x y 2 x y y
2
x y
2
Encontrando o Ponto de Equilíbrio
s1 RefineSimplifySolvef1x, y 0, f2x, y 0, x, y, a 0 && b 1;
e
0
x, y. s11
0, 0
A Jacobiana é dada por
Dfx, y:
Derivative1, 0f1x, y, Derivative0, 1f1x, y,
Derivative1, 0f2x, y, Derivative0, 1f2x, y
MatrixFormDfx, y
a 1 2 y y
2
a b 2 x 2 y 2 x y
1 2 y y
2
1 2 x 2 y 2 x y
A Superfície de Hopf é dada por
a 1
1
Encontrando os Autovalores
Fazendo b = 1+
Ω
0
2
b 1 Ω
0
2
1 Ω
0
2
102
Matrix Jacobiana em
e
0
Ae
0
Dfe
0
1, 1 Ω
0
2
, 1, 1
MatrixFormAe
0
1 1 Ω
0
2
1 1
Encontrando o Polinômio Característico
pΛ: DetAe
0
Λ IdentityMatrix2
pΛ
Λ
2
Ω
0
2
Logo os autovalores são dados por
Λn RefineFullSimplifyEigenvaluesAe
0
, a 0 && b 1 && c 0;
Λ1 Λn2
Ω
0
Λ2 Λn1
Ω
0
Encontrando os Autovetores
qn RefineFullSimplifyEigenvectorsAe
0
, a 0 && b 1 && c 0;
q1 qn2
1 Ω
0
, 1
q2 qn1
1 Ω
0
, 1
Trabalharemos com
Autovalor
Λ Λ1
Ω
0
Autovetor associado a Λ
q q1
1 Ω
0
, 1
103
O Complexo Conjugado de
q
é
qb ComplexExpandConjugateq
1 Ω
0
, 1
O Autovetor Adjunto associado a
q
é
p
2 Ω
0
1, 1 Ω
0
2 Ω
0
,
1 Ω
0
2 Ω
0
O Complexo Conjugado de
p
é
pb ComplexExpandConjugatep
2 Ω
0
,
1
2
2 Ω
0
Normalizando
p
com respeito a
q
O fator de normalização é
u Simplify1pb.q
1
Assim
p
normalizado é
pb u pb
2 Ω
0
,
1
2
2 Ω
0
As Funções Multilineares são dadas por
bbx1, y1, x2, y2: 2 a x1 y2 2 a y1 x2 2 a y1 y2, 2 x1 y2 2 y1 x2 2y1 y2
bbx1, y1, x2, y2MatrixForm
2 x2 y1 2 x1 y2 2 y1 y2
2 x2 y1 2 x1 y2 2 y1 y2
ccx1, y1, x2, y2, x3, y3:
2 a x1 y2 y3 2 a y1 x2 y3 2a y1 y2 x3, 2 x1 y2 y3 2 y1 x2 y3 2 y1 y2 x3
ccx1, y1, x2, y2, x3, y3MatrixForm
2 x3 y1 y2 2 x2 y1 y3 2 x1 y2 y3
2 x3 y1 y2 2 x2 y1 y3 2 x1 y2 y3
104
Cálculo dos Vetores Complexos
h
11
h11 FullSimplifyInverseAe
0
.bbq, qb
2, 0
h
20
h20 ExpandSimplifyInverse2 Ω
0
IdentityMatrix2 Ae
0
.bbq, q
10
3
4
3 Ω
0
4 Ω
0
3
,
8
3
4
3 Ω
0
Componentes do Primeiro Coeficiente de Lyapunov
U01 Re p, ccq, q, q
U01 ComplexExpandRepb.ccq, q, qb
3
U02 2Re p, bbq, h
11
U02 ComplexExpand2 Repb.bbq, h11
4
U03 Re p, bbq, h
20
U03 ComplexExpandRepb.bbqb, h20
2
Assim, o Primeiro Coeficiente de Lyapunov para a = 1 em
R
2
fica dado por
l
1
=
1
2Ω
0
[U01 + U02 + U03]
l1 12 Ω
0
U01 U02 U03
1
2 Ω
0
Mas
Clearb
Ω
0
b 1
1 b
Então
105
Então
l1
1
2 1 b
106
Anexo II
Cálculo do Primeiro Coeficiente
de Lyapunov para a = 1 em
R
4
O sistema é dado por
f1x, y, z, w: a x b y 2 x y y
2
x y
2
cx z
f2x, y, z, w: x y 2 x y y
2
x y
2
f3x, y, z, w: a z b w 2z w w
2
z w
2
c z x
f4x, y, z, w: z w 2 z w w
2
z w
2
Encontrando os Pontos de Equilíbrio
s2 RefineSimplifySolvef1x, y, z, w 0, f2x, y, z, w 0,
f3x, y, z, w 0, f4x, y, z, w 0, x, y, z, w, a 0 && b 1 && c 0;
e
0
FullSimplifyx, y, z, w. s21
0, 0, 0, 0
e
1
FullSimplifyx, y, z, w. s25
1
2
, 1,
1
2
a a b
c
, 1
e
2
FullSimplifyx, y, z, w. s22
1
2
a a b
c
, 1,
1
2
, 1
e
3
FullSimplifyx, y, z, w. s24
a 1 b 2 c a 1 ba 1 b 2 c
2 c
,
1 b1 b
2 c
a
1 b
,
a a b 2 c a 1 ba 1 b 2 c
2 c
,
1 b1 b
2 c
a
1 b
e
4
FullSimplifyx, y, z, w. s23
a a b 2 c a 1 ba 1 b 2 c
2 c
,
1 b1 b
2 c
a
1 b
,
a 1 b 2 c a 1 ba 1 b 2 c
2 c
,
1 b1 b
2 c
a
1 b
107
A Jacobiana é dada por
Dfx, y, z, w:
Derivative1, 0, 0, 0f1x, y, z, w, Derivative0, 1, 0, 0f1x, y, z, w,
Derivative0, 0, 1, 0f1x, y, z, w, Derivative0, 0, 0, 1f1x, y, z, w,
Derivative1, 0, 0, 0f2x, y, z, w, Derivative0, 1, 0, 0f2x, y, z, w,
Derivative0, 0, 1, 0f2x, y, z, w, Derivative0, 0, 0, 1f2x, y, z, w,
Derivative1, 0, 0, 0f3x, y, z, w, Derivative0, 1, 0, 0f3x, y, z, w,
Derivative0, 0, 1, 0f3x, y, z, w, Derivative0, 0, 0, 1f3x, y, z, w,
Derivative1, 0, 0, 0f4x, y, z, w, Derivative0, 1, 0, 0f4x, y, z, w,
Derivative0, 0, 1, 0f4x, y, z, w, Derivative0, 0, 0, 1f4x, y, z, w
MatrixFormDfx, y, z, w
c a 1 2 y y
2
a b 2 x 2 y 2 x y c 0
1 2 y y
2
1 2 x 2 y 2 x y 0 0
c 0 c a 1 2 w w
2
a b 2 w 2 z 2 w z
0 0 1 2 w w
2
1 2 w 2 z 2 w z
A Superfície de Hopf é dada por
a 1
1
Encontrando os Autovalores
Fazendo
b 1 Ω
0
2
b 1 Ω
0
2
1 Ω
0
2
Matriz Jacobiana em
e
0
Ae
0
Dfe
0
1 c, 1 Ω
0
2
, c, 0, 1, 1, 0, 0, c, 0, 1 c, 1 Ω
0
2
, 0, 0, 1, 1
MatrixFormAe
0
1 c 1 Ω
0
2
c 0
1 1 0 0
c 0 1 c 1 Ω
0
2
0 0 1 1
Encontrando o Polinômio Característico
pΛ: DetAe
0
Λ IdentityMatrix4
pΛ
2 c Λ
2
2 c Λ
3
Λ
4
2 c Ω
0
2
2 c Λ Ω
0
2
2 Λ
2
Ω
0
2
Ω
0
4
Logo os autovalores são dados por
Λn RefineFullSimplifyEigenvaluesAe
0
, a 0 && b 1 && c 0;
108
Λ1 Λn2
Ω
0
Λ2 Λn1
Ω
0
Λ3 Λn4
c 2 cc Ω
0
2
Λ4 Λn3
c 2 cc Ω
0
2
Encontrando os Autovetores
qn RefineFullSimplifyEigenvectorsAe
0
, a 0 && b 1 && c 0;
q1 qn2
1 Ω
0
, 1, 1 Ω
0
, 1
q2 qn1
1 Ω
0
, 1, 1 Ω
0
, 1
q3 qn4
1 c 2 cc Ω
0
2
, 1, 1 c 2 cc Ω
0
2
, 1
q4 qn3
1 c 2 cc Ω
0
2
, 1, 1 c 2 cc Ω
0
2
, 1
Trabalharemos com
Autovalor
Λ Λ1
Ω
0
Autovetor associado a Λ
q q1
1 Ω
0
, 1, 1 Ω
0
, 1
O Complexo Conjugado de
q
é
qb ComplexExpandConjugateq
1 Ω
0
, 1, 1 Ω
0
, 1
109
O Autovetor Adjunto associado a
q
é
p
4 Ω
0
1, 1 Ω
0
, 1, 1 Ω
0
4 Ω
0
,
1 Ω
0
4 Ω
0
,
4 Ω
0
,
1 Ω
0
4 Ω
0
O Complexo Conjugado de
p
é
pb ComplexExpandConjugatep
4 Ω
0
,
1
4
4 Ω
0
,
4 Ω
0
,
1
4
4 Ω
0
Normalizando
p
com respeito a
q
O fator de normalização é
u Simplify1pb.q
1
Assim
p
normalizado é
pb u pb
4 Ω
0
,
1
4
4 Ω
0
,
4 Ω
0
,
1
4
4 Ω
0
As Funções Multilineares são dadas por
bbx1, y1, z1, w1, x2, y2, z2, w2: 2 a x1 y2 2 a y1 x2 2 a y1 y2,
2 x1 y2 2 x2 y1 2y1 y2, 2 a z1 w2 2 a w1 z2 2a w1 w2, 2 z1 w2 2w1 z2 2 w1 w2
bbx1, y1, z1, w1, x2, y2, z2, w2MatrixForm
2 x2 y1 2 x1 y2 2 y1 y2
2 x2 y1 2 x1 y2 2 y1 y2
2 w1 w2 2 w2 z1 2 w1 z2
2 w1 w2 2 w2 z1 2 w1 z2
ccx1, y1, z1, w1, x2, y2, z2, w2, x3, y3, z3, w3:
2 a x1 y2 y3 2 a y1 x2 y3 2a y1 y2 x3, 2 x1 y2 y3 2 y1 x2 y3 2 y1 y2 x3,
2 a z1 w2 w3 2a w1 z2 w3 2 a w1 w2 z3, 2 z1 w2 w3 2 w1 z2 w3 2w1 w2 z3
ccx1, y1, z1, w1, x2, y2, z2, w2, x3, y3, z3, w3MatrixForm
2 x3 y1 y2 2 x2 y1 y3 2 x1 y2 y3
2 x3 y1 y2 2 x2 y1 y3 2 x1 y2 y3
2 w2 w3 z1 2 w1 w3 z2 2 w1 w2 z3
2 w2 w3 z1 2 w1 w3 z2 2 w1 w2 z3
110
Cálculo dos Vetores Complexos
h
11
h11 FullSimplifyInverseAe
0
.bbq, qb
2, 0, 2, 0
h
20
h20 ExpandSimplifyInverse2 Ω
0
IdentityMatrix4 Ae
0
.bbq, q
10
3
4
3 Ω
0
4 Ω
0
3
,
8
3
4
3 Ω
0
,
10
3
4
3 Ω
0
4 Ω
0
3
,
8
3
4
3 Ω
0
Componentes do Primeiro Coeficiente de Lyapunov
U01 Re p, ccq, q, q
U01 ComplexExpandRepb.ccq, q, qb
3
U02 2Re p, bbq, h
11
U02 ComplexExpand2 Repb.bbq, h11
4
U03 Re p, bbq, h
20
U03 ComplexExpandRepb.bbqb, h20
2
Assim, o Primeiro Coeficiente de Lyapunov para a = 1 em
R
4
fica dado por
l
1
=
1
2Ω
0
[U01 + U02 + U03]
l1 12 Ω
0
U01 U02 U03
1
2 Ω
0
Mas
Clearb
Ω
0
b 1
1 b
Então
111
Então
l1
1
2 1 b
112
Anexo III
Cálculo do Primeiro e Segundo
Coeficientes de Lyapunov para a
= 2c + 1 em
R
4
O Sistema é dado por
f1x, y, z, w: a x b y 2 x y y
2
x y
2
cx z
f2x, y, z, w: x y 2 x y y
2
x y
2
f3x, y, z, w: a z b w 2z w w
2
z w
2
c z x
f4x, y, z, w: z w 2 z w w
2
z w
2
A Jacobiana é dada por
Dfx, y, z, w:
Derivative1, 0, 0, 0f1x, y, z, w, Derivative0, 1, 0, 0f1x, y, z, w,
Derivative0, 0, 1, 0f1x, y, z, w, Derivative0, 0, 0, 1f1x, y, z, w,
Derivative1, 0, 0, 0f2x, y, z, w, Derivative0, 1, 0, 0f2x, y, z, w,
Derivative0, 0, 1, 0f2x, y, z, w, Derivative0, 0, 0, 1f2x, y, z, w,
Derivative1, 0, 0, 0f3x, y, z, w, Derivative0, 1, 0, 0f3x, y, z, w,
Derivative0, 0, 1, 0f3x, y, z, w, Derivative0, 0, 0, 1f3x, y, z, w,
Derivative1, 0, 0, 0f4x, y, z, w, Derivative0, 1, 0, 0f4x, y, z, w,
Derivative0, 0, 1, 0f4x, y, z, w, Derivative0, 0, 0, 1f4x, y, z, w
MatrixFormDfx, y, z, w
c a 1 2 y y
2
a b 2 x 2 y 2 x y c 0
1 2 y y
2
1 2 x 2 y 2 x y 0 0
c 0 c a 1 2 w w
2
a b 2 w 2 z 2 w z
0 0 1 2 w w
2
1 2 w 2 z 2 w z
A Superfície de Hopf é dada por
a 2c 1
1 2 c
113
Encontrando os Autovalores
O ponto de equilíbrio que iremos estudar é
e
0
0, 0, 0, 0
0, 0, 0, 0
Fazendo
b
1Ω
0
2
12 c
b
1 Ω
0
2
1 2 c
1 Ω
0
2
1 2 c
Matriz Jacobiana em
e
0
Ae
0
SimplifyDfe
0
1 c, 1 Ω
0
2
, c, 0, 1, 1, 0, 0, c, 0, 1 c, 1 Ω
0
2
, 0, 0, 1, 1
MatrixFormAe
0
1 c 1 Ω
0
2
c 0
1 1 0 0
c 0 1 c 1 Ω
0
2
0 0 1 1
Encontrando o Polinômio Característico
pΛ: DetAe
0
Λ IdentityMatrix4
pΛ
2 c Λ
2
2 c Λ
3
Λ
4
2 c Ω
0
2
2 c Λ Ω
0
2
2 Λ
2
Ω
0
2
Ω
0
4
Logo os autovalores são dados por
Λn RefineFullSimplifyEigenvaluesAe
0
, a 0 && b 1 && c 0;
Λ1 Λn2
Ω
0
Λ2 Λn1
Ω
0
Λ3 Λn4
c c 2 c Ω
0
2
Λ4 Λn3
c c 2 c Ω
0
2
114
Encontrando os Autovetores
qn RefineFullSimplifyEigenvectorsAe
0
, a 0 && b 1 && c 0;
q1 qn2
1 Ω
0
, 1, 1 Ω
0
, 1
q2 qn1
1 Ω
0
, 1, 1 Ω
0
, 1
q3 qn4
1 c c 2 c Ω
0
2
, 1, 1 c c 2 c Ω
0
2
, 1
q4 qn3
1 c c 2 c Ω
0
2
, 1, 1 c c 2 c Ω
0
2
, 1
Trabalharemos com
Autovalor
Λ Λ1
Ω
0
Autovetor associado a Λ
q 1q1
1 Ω
0
, 1, 1 Ω
0
, 1
Complexo Conjugado de q
q
)
qb RefineConjugateq, Ω
0
0
1 Ω
0
, 1, 1 Ω
0
, 1
Autovetor Adjunto associado a Λ
p Simplify
Ω
0
4 Ω
0
1 Ω
0
2
1 Ω
0
, Ω
0
2
1, 1 Ω
0
, Ω
0
2
1
4 Ω
0
,
1
4
4 Ω
0
,
4 Ω
0
,
Ω
0
4 Ω
0
Complexo Conjugado de p
p
)
pb SimplifyRefineConjugatep, Ω
0
0
4 Ω
0
,
1
4
4 Ω
0
,
4 Ω
0
,
1
4
4 Ω
0
115
Normalizando
p
com respeito a
q
O fator de normalização é
u Simplify1pb.q
1
Assim
p
normalizado é
pb u pb
4 Ω
0
,
1
4
4 Ω
0
,
4 Ω
0
,
1
4
4 Ω
0
As Funções Multilineares são dadas por
bbx1, y1, z1, w1, x2, y2, z2, w2: 2 a x1 y2 2 a y1 x2 2 a y1 y2,
2 x1 y2 2 x2 y1 2y1 y2, 2 a z1 w2 2 a w1 z2 2a w1 w2, 2 z1 w2 2w1 z2 2 w1 w2
bbx1, y1, z1, w1, x2, y2, z2, w2MatrixForm
2 1 2 cx2 y1 2 1 2 cx1 y2 2 1 2 cy1 y2
2 x2 y1 2 x1 y2 2 y1 y2
2 1 2 cw1 w2 2 1 2 cw2 z1 2 1 2 cw1 z2
2 w1 w2 2 w2 z1 2 w1 z2
ccx1, y1, z1, w1, x2, y2, z2, w2, x3, y3, z3, w3:
2 a x1 y2 y3 2 a y1 x2 y3 2a y1 y2 x3, 2 x1 y2 y3 2 y1 x2 y3 2 y1 y2 x3,
2 a z1 w2 w3 2a w1 z2 w3 2 a w1 w2 z3, 2 z1 w2 w3 2 w1 z2 w3 2w1 w2 z3
ccx1, y1, z1, w1, x2, y2, z2, w2, x3, y3, z3, w3MatrixForm
2 1 2 cx3 y1 y2 2 1 2 cx2 y1 y3 2 1 2 cx1 y2 y3
2 x3 y1 y2 2 x2 y1 y3 2 x1 y2 y3
2 1 2 cw2 w3 z1 2 1 2 cw1 w3 z2 2 1 2 cw1 w2 z3
2 w2 w3 z1 2 w1 w3 z2 2 w1 w2 z3
ddx1, y1, z1, w1, x2, y2, z2, w2,
x3, y3, z3, w3, x4, y4, z4, w4: 0, 0, 0, 0
ddx1, y1, z1, w1, x2, y2, z2, w2, x3, y3, z3, w3, x4, y4, z4, w4MatrixForm
0
0
0
0
eex1, y1, z1, w1, x2, y2, z2, w2, x3, y3, z3, w3,
x4, y4, z4, w4, x5, y5, z5, w5: 0, 0, 0, 0
eex1, y1, z1, w1, x2, y2, z2, w2,
x3, y3, z3, w3, x4, y4, z4, w4, x5, y5, z5, w5MatrixForm
0
0
0
0
116
Cálculo dos Vetores Complexo
h
11
h11 FullSimplifyInverseAe
0
.bbq, qb
2, 0, 2, 0
h
20
h20 SimplifyInverse2 Ω
0
IdentityMatrix4 Ae
0
.bbq, q
2 2 Ω
0
2 c 2 1 2 cΩ
0
Ω
0
2
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
,
4 Ω
0
2 Ω
0
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
,
2 2 Ω
0
2 c 2 1 2 cΩ
0
Ω
0
2
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
,
4 Ω
0
2 Ω
0
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
Componentes do Primeiro Coeficiente de Lyapunov
T1 p, ccq, q, q
T1 Simplifypb.ccq, q, qb
3 2 c
6 c
Ω
0
Ω
0
U1 = Re[T1]
U1 ComplexExpandReT1
3 2 c
T2 2 p, bbq, h
11
T2 Simplify2 pb.bbq, h11
4
8 c
Ω
0
U2 = Re[T2]
U2 ComplexExpandReT2
4
T3 p, bbq, h
20
T3 Simplifypb.bbqb, h20
2 1 2 Ω
0
4 c
2
2 c 3 4 cΩ
0
2 1 cΩ
0
2
Ω
0
3
Ω
0
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
117
U3 = Re[T3]
U3 SimplifyComplexExpandReT3
2 4 c
2
3 4 c 4 c 5 24 c 16 c
2
Ω
0
2
9 4 cΩ
0
4
4 c
2
4 c 3 4 cΩ
0
2
9 Ω
0
4
g
21
= T1 + T2 + T3
g21 FullSimplifyT1 T2 T3
2 c Ω
0
Ω
0
6 c 4 12 c Ω
0
Ω
0
Ω
0
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
O Primeiro Coeficiente de Lyapunov
l
1
1
2
U1 U2 U3
l1 Simplify12U1 U2 U3
4 c
2
7 6 c 4 c 13 46 c 24 c
2
Ω
0
2
9 26 cΩ
0
4
8 c
2
8 c 3 4 cΩ
0
2
18 Ω
0
4
Obs.: Naexpressãodo l
1
omitimos o termo Ω
0
do denominador,
temos que issoé permitido uma vezque estamos interessado apenas no sinaldo l
1
.
Cálculo dos Vetores Complexos
Clearb
h
20
h20b SimplifyComplexExpandConjugateh20
2 2 Ω
0
2 c 2 1 2 cΩ
0
Ω
0
2
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
,
4 Ω
0
2 Ω
0
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
,
2 2 Ω
0
2 c 2 1 2 cΩ
0
Ω
0
2
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
,
4 Ω
0
2 Ω
0
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
118
h
21
h21 x, y, z, w. SimplifySolve
Ω
0
IdentityMatrix4 Ae
0
11, Ω
0
IdentityMatrix4 Ae
0
12,
Ω
0
IdentityMatrix4 Ae
0
13, Ω
0
IdentityMatrix4 Ae
0
1
4, q1, Ω
0
IdentityMatrix4 Ae
0
21,
Ω
0
IdentityMatrix4 Ae
0
22, Ω
0
IdentityMatrix4 Ae
0
2
3, Ω
0
IdentityMatrix4 Ae
0
24, q2,
Ω
0
IdentityMatrix4 Ae
0
31, Ω
0
IdentityMatrix4 Ae
0
3
2, Ω
0
IdentityMatrix4 Ae
0
33,
Ω
0
IdentityMatrix4 Ae
0
34, q3,
Ω
0
IdentityMatrix4 Ae
0
41, Ω
0
IdentityMatrix4 Ae
0
4
2, Ω
0
IdentityMatrix4 Ae
0
43,
Ω
0
IdentityMatrix4 Ae
0
44, q4,
pb1, pb2, pb3, pb4, 0.x, y, z, w, s
Simplifyccq, q, qb bbqb, h20 2bbq, h11 g21 q1,
Simplifyccq, q, qb bbqb, h20 2bbq, h11 g21 q2,
Simplifyccq, q, qb bbqb, h20 2bbq, h11 g21 q3,
Simplifyccq, q, qb bbqb, h20 2bbq, h11 g21 q4,
0, x, y, z, w, s1
1 Ω
0
2
12 c
2
2 c 1 12 cΩ
0
2 2 7 cΩ
0
2
Ω
0
3
2 Ω
0
2
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
,
Ω
0
12 c
2
2 c 1 12 cΩ
0
2 2 7 cΩ
0
2
Ω
0
3
2 Ω
0
2
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
,
1 Ω
0
2
12 c
2
2 c 1 12 cΩ
0
2 2 7 cΩ
0
2
Ω
0
3
2 Ω
0
2
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
,
Ω
0
12 c
2
2 c 1 12 cΩ
0
2 2 7 cΩ
0
2
Ω
0
3
2 Ω
0
2
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
h
21
h21b SimplifyComplexExpandConjugateh21
1 Ω
0
2
12 c
2
2 c 1 12 cΩ
0
2 2 7 cΩ
0
2
Ω
0
3
2 Ω
0
2
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
,
Ω
0
12 c
2
2 c 1 12 cΩ
0
2 2 7 cΩ
0
2
Ω
0
3
2 Ω
0
2
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
,
1 Ω
0
2
12 c
2
2 c 1 12 cΩ
0
2 2 7 cΩ
0
2
Ω
0
3
2 Ω
0
2
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
,
Ω
0
12 c
2
2 c 1 12 cΩ
0
2 2 7 cΩ
0
2
Ω
0
3
2 Ω
0
2
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
119
h
30
h30 FullSimplifyInverse3 Ω
0
IdentityMatrix4 Ae
0
.ccq, q, q 3 bbq, h20
3 3 Ω
0
2 c 4 1 cΩ
0
5 Ω
0
2
2 c Ω
0
3 6 c Ω
0
4 Ω
0
2
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
,
3 2 c 3 Ω
0
3 Ω
0
2 c 4 4 c 5 Ω
0
Ω
0
4 Ω
0
2
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
,
3 3 Ω
0
2 c 4 4 c 5 Ω
0
Ω
0
2 c Ω
0
3 6 c Ω
0
4 Ω
0
2
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
,
3 2 c 3 Ω
0
3 Ω
0
2 c 4 4 c 5 Ω
0
Ω
0
4 Ω
0
2
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
h
31
h31
FullSimplifyInverse2 Ω
0
IdentityMatrix4 Ae
0
.ddq, q, q, qb 3ccq, q, h11
3ccq, qb, h20 3bbh20, h11 bbqb, h30 3 bbq, h21 3 g21 h20
3 80 c
4
Ω
0
8 7 62 cc
3
Ω
0
8 c
2
29 6 c 27 20 c Ω
0
4 c 28 c 593 2 c 793 32 c
Ω
0
8 c 97 2 c 447 c 769 64 c Ω
0
2 20 c 581 2 c 2069
24 c 105 8 c Ω
0
2 83 2 c 47 16 c 52 43 c
Ω
0
69 2 73 120 cc Ω
0
49 68 c 10 Ω
0
2 Ω
0
2
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
3
, 3 8 c
3
Ω
0
4 c
2
19 18 c Ω
0
4 c 14 5 c1 12 c
Ω
0
4 c 91 492 c 88 c
2
Ω
0
20 2 c 227 16 c 67 6 c
Ω
0
85 70 c 736 c
2
25 156 c 22 Ω
0
Ω
0
Ω
0
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
3
, 3 80 c
4
Ω
0
8 7 62 cc
3
Ω
0
8 c
2
29 6 c 27 20 c Ω
0
4 c 28 c 593 2 c 793 32 c
Ω
0
8 c 97 2 c 447 c 769 64 c Ω
0
2 20 c 581 2 c 2069
24 c 105 8 c Ω
0
2 83 2 c 47 16 c 52 43 c
Ω
0
69 2 73 120 cc Ω
0
49 68 c 10 Ω
0
2 Ω
0
2
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
3
, 3 8 c
3
Ω
0
4 c
2
19 18 c Ω
0
4 c 14 5 c1 12 c
Ω
0
4 c 91 492 c 88 c
2
Ω
0
20 2 c 227 16 c 67 6 c Ω
0
85 70 c
736 c
2
25 156 c 22 Ω
0
Ω
0
Ω
0
2 c 4 c Ω
0
3 Ω
0
2
3
h
22
h22 Simplify
InverseAe
0
.ddq, q, qb, qb 4 ccq, qb, h11 ccqb, qb, h20 ccq, q, h20b
2 bbh11, h11 2bbq, h21b 2 bbqb, h21 bbh20b, h20 4 h11 l1
4 48 c
4
4 c
2
11 50 c 72 c
2
Ω
0
2
4 c 13 62 c 116 c
2
96 c
3
Ω
0
4
13 166 c 360 c
2
192 c
3
Ω
0
6
29 52 cΩ
0
8
8 c
3
Ω
0
2
4 c
2
5 8 cΩ
0
4
2 3 8 cc Ω
0
6
9 Ω
0
8
,
4 4 c
2
7 6 c 4 c 13 46 c 24 c
2
Ω
0
2
9 26 cΩ
0
4
8 c
3
4 c
2
5 8 cΩ
0
2
2 3 8 cc Ω
0
4
9 Ω
0
6
,
4 48 c
4
4 c
2
11 50 c 72 c
2
Ω
0
2
4 c 13 62 c 116 c
2
96 c
3
Ω
0
4
13 166 c 360 c
2
192 c
3
Ω
0
6
29 52 cΩ
0
8
8 c
3
Ω
0
2
4 c
2
5 8 cΩ
0
4
2 3 8 cc Ω
0
6
9 Ω
0
8
,
4 4 c
2
7 6 c 4 c 13 46 c 24 c
2
Ω
0
2
9 26 cΩ
0
4
8 c
3
4 c
2
5 8 cΩ
0
2
2 3 8 cc Ω
0
4
9 Ω
0
6
Componentes do Segundo Coeficiente de Lyapunov
120
Componentes do Segundo Coeficiente de Lyapunov
U01 Re p, eq, q, q, q, q
>
U01 Repb.eeq, q, q, qb, qb
0
U02 Re p, dq, q, q, h
20
>
U02 Repb.ddq, q, q, h20b
0
U03 3Re p, dq, q, q, h
20
U03 3 Repb.ddq, qb, qb, h20
0
U04 6Re p, dq, q, q, h
11
U04 6 Repb.ddq, q, qb, h11
0
U05 Re p, cq, q, h
30
U05 SimplifyComplexExpandReFullSimplifypb.ccqb, qb, h30
3 16 c
3
6 5 c 4 c 9 21 c 156 c
2
80 c
3
Ω
0
2
6 9 150 c 238 c
2
Ω
0
4
15 5 28 cΩ
0
6
8 c
2
Ω
0
2
8 c 3 4 cΩ
0
4
18 Ω
0
6
U06 3Re p, cq, q, h
21
U06 3 SimplifyComplexExpandReSimplifypb.ccq, q, h21b
18 1 Ω
0
2
4 c
3
2 c 1 12 c 8 c
2
Ω
0
2
3 11 cΩ
0
4
4 c
2
Ω
0
2
4 c 3 4 cΩ
0
4
9 Ω
0
6
U07 Re p, cq, q, h
21
U07 6 SimplifyComplexExpandReFullSimplifypb.ccq, qb, h21
6 48 c
3
1 c 4 c 3 21 c 88 c
2
48 c
3
Ω
0
2
2 9 44 c 42 c
2
32 c
3
Ω
0
4
9 16 cΩ
0
6
4 c
2
Ω
0
2
4 c 3 4 cΩ
0
4
9 Ω
0
6
U08 3Re p, cq, h
20
, h
20
U08 3 SimplifyComplexExpandReFullSimplifypb.ccq, h20b, h20
144 1 2 cΩ
0
2
1 4 Ω
0
2
4 c
2
4 c 3 4 cΩ
0
2
9 Ω
0
4
U09 6Re p, cq, h
11
, h
11
121
U09 6Re p, cq, h
11
, h
11
U09 6 SimplifyComplexExpandRepb.ccq, h11, h11
0
U10 6Re p, cq, h
20
, h
11
U10 6 SimplifyComplexExpandReSimplifypb.ccqb, h20, h11
96 2 c
2
c 3 8 cΩ
0
2
3 Ω
0
4
4 c
2
4 c 3 4 cΩ
0
2
9 Ω
0
4
U11 2Re p, bq, h
31
U11 2 SimplifyComplexExpandReSimplifypb.bbqb, h31
3 256 1 cc
7
64 c
5
57 307 c 128 c
2
48 c
3
Ω
0
2
32 c
4
535 6336 c 10218 c
2
3552 c
3
384 c
4
Ω
0
4
16 c
3
1290 30 889 c 104800 c
2
103968 c
3
28160 c
4
1024 c
5
Ω
0
6
16 c
2
369 14 507 c 105 515 c
2
223520 c
3
167488 c
4
35840 c
5
Ω
0
8
4 c 4563 49419 c 205904 c
2
313680 c
3
147968 c
4
Ω
0
10
2 1701 4212 c 1602 c
2
5408 c
3
Ω
0
12
297 9 16 cΩ
0
14
Ω
0
2
4 c
2
4 c 3 4 cΩ
0
2
9 Ω
0
4
3
U12 3Re p, bq, h
22
U12 SimplifyComplexExpandReFullSimplifypb.3bbq, h22
12 48 c
4
4 c
2
11 64 c 84 c
2
Ω
0
2
4 c 13 88 c 208 c
2
144 c
3
Ω
0
4
13 184 c 412 c
2
192 c
3
Ω
0
6
29 52 cΩ
0
8
8 c
3
Ω
0
2
4 c
2
5 8 cΩ
0
4
2 3 8 cc Ω
0
6
9 Ω
0
8
U13 Re p, bh
20
, h
30
U13 SimplifyComplexExpandReFullSimplifypb.bbh20b, h30
3 16 c
3
3 c 4 c 13 59 c 168 c
2
16 c
3
Ω
0
2
2 25 32 c 574 c
2
864 c
3
Ω
0
4
161 576 cΩ
0
6
8 c
2
Ω
0
2
8 c 3 4 cΩ
0
4
18 Ω
0
6
U14 3Re p, bh
21
, h
20
U14 3 SimplifyComplexExpandReFullSimplifypb.bbh21b, h20
3 16 c
3
4 3 c 4 c 7 39 c 144 c
2
48 c
3
Ω
0
2
22 76 c 84 c
2
704 c
3
Ω
0
4
25 104 cΩ
0
6
4 c
2
Ω
0
2
4 c 3 4 cΩ
0
4
9 Ω
0
6
U15 6Re p, bh
11
, h
21
U15 SimplifyComplexExpandReFullSimplifypb.6bbh11, h21
6 16 c
3
2 3 c 4 c 2 15 c 68 c
2
48 c
3
Ω
0
2
4 3 17 c 15 c
2
Ω
0
4
3 Ω
0
6
4 c
2
Ω
0
2
4 c 3 4 cΩ
0
4
9 Ω
0
6
122
O Segundo Coeficiente de Lyapunov
l
2
=
1
12
[U01 + U02 + U03 + U04 + U05 + U06 + U07 + U08 + U09 + U10 + U11 + U12 + U13 +
U14 + U15]
l2 Simplify
112U01 U02 U03 U04 U05 U06 U07 U08 U09 U10 U11 U12 U13 U14 U15
256 c
8
7 6 c 128 c
6
35 296 c 364 c
2
144 c
3
Ω
0
2
128 c
5
173 2084 c 4132 c
2
2592 c
3
576 c
4
Ω
0
4
32 c
4
1065 17 560 c 62 180 c
2
70128 c
3
27392 c
4
3072 c
5
Ω
0
6
32 c
3
558 6099 c 43254 c
2
106560 c
3
89216 c
4
22528 c
5
Ω
0
8
8 c
2
1125 24104 c 178188 c
2
350992 c
3
228608 c
4
41984 c
5
Ω
0
10
8 c 1269 13680 c 54 620 c
2
76320 c
3
29248 c
4
Ω
0
12
2 81 216 c 7236 c
2
8816 c
3
Ω
0
14
135 3 2 cΩ
0
16
2 Ω
0
2
2 c Ω
0
2
4 c
2
4 c 3 4 cΩ
0
2
9 Ω
0
4
3
Definindo
Ω
0
Ω
0
1 b 1 2 c
1 b 1 2 c
O Primeiro Coeficiente de Lyapunov fica dado por
l1 Simplifyl1
4 c
2
7 6 c 9 26 c1 b 2 b c
2
4 c 1 b 2 b c13 46 c 24 c
2
8 c
2
8 c 3 4 c1 b 2 b c 18 1 b 2 b c
2
O Segundo Coeficiente de Lyapunov fica dado por
l2 Simplifyl2
256 c
8
7 6 c 135 3 2 c1 b 2 b c
8
128 c
6
1 b 2 b c
35 296 c 364 c
2
144 c
3
2 1 b 2 b c
7
81 216 c 7236 c
2
8816 c
3
128 c
5
1 b 2 b c
2
173 2084 c 4132 c
2
2592 c
3
576 c
4
8 c 1 b 2 b c
6
1269 13 680 c 54 620 c
2
76320 c
3
29248 c
4
32 c
4
1 b 2 b c
3
1065 17 560 c 62 180 c
2
70128 c
3
27392 c
4
3072 c
5
32 c
3
1 b 2 b c
4
558 6099 c 43254 c
2
106560 c
3
89216 c
4
22528 c
5
8 c
2
1 b 2 b c
5
1125 24104 c 178188 c
2
350992 c
3
228608 c
4
41984 c
5
2 1 b1 2 c1 b 2 b c4 c
2
4 c 3 4 c1 b 2 b c 9 1 b 2 b c
2
3
123
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