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Universidade de Bras´ılia
Instituto de Ciˆencias Exatas
Departamento de Matem´atica
Comutatividade Fraca e ntre Grupos
Isomorfos.
por
Ricardo Nunes de Oliveira
Bras´ılia
2007
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Universidade de Bras´ılia
Instituto de Ciˆencias Exatas
Departamento de Matem´atica
Comutatividade Fraca entre Grupos Isomorfos.
por
Ricardo Nunes de Oliveira
∗
Tese apresentada ao Departamento de Matem´atica da Universidade de Bras´ılia, como
parte dos requisitos para obten¸c˜ao do grau de
Doutor em Matem´atica
15 de junho de 2007
Comiss˜ao Examinadora:
Prof. Said Najati Sidki - UnB (Orientador).
Prof. Alexei Krassilnikov - UnB.
Prof. Nora´ı Romeu Rocco - UnB.
Prof. Alexander Nikolaevich Grishkov - USP.
Profa. Ana Cristina Vieira - UFMG.
∗
O autor foi b ols ista do CNPq/Capes durante a elabora¸c˜ao des ta tes e.
ads:
A quem em breve ser´a bem vindo(a)...
Agradecimentos
Agrade¸co a Deus, por mais esta conquista.
Agrade¸co aos meus pais e irm˜aos, pelo incentivo, pela compreens˜ao nos momentos
dif´ıceis e pela confian¸ca que depositou em mim.
Agrade¸co a minha linda namorada, pelo incentivo, e principalmente pelo(a) belo(a)
filho(a) que breve nascer´a.
Agrade¸co ao Prof. Said Najati Sidki, o orientador deste trabalho, pelas sugest˜oes,
ensinamentos, e pela ajuda na escolha do tema desta tese.
Agrade¸co a Tˆania Maria S. Sert˜ao, da secretaria de p´os-gradua¸c˜ao, p e la maneira
simp´atica, carinhosa e eficiente com que resolve as burocracias de nossa vida acadˆemica.
Agrade¸co a todos os meus amigos, pelo carinho, alegria, est´ımulo e companheirismo,
fatores essenciais nesta fase de minha vida.
Agrade¸co aos demais professores e funcion´arios do Departamento de Matem´atica da
Universidade de Bras´ılia, que de alguma forma contribu´ıram para a realiza¸c˜ao deste tra-
balho.
Finalmente, agrade¸co ao CNPq/Capes, p elo suporte financeiro.
iii
Resumo
Nesta tese estudamos alguns aspectos da comutatividade fraca entre grupos nilpotentes
isomorfos, onde a comutatividade ´e determinada por isomorfismos ou mais geralmente
por bije¸c˜oes entre esses grupos. O conceito de comutatividade fraca foi introduzido por
Sidki em 1980 [1]. Nesse trabalho foi definido o Grupo de Comutatividade Fraca gerado
por duas c´opias isomorfas de um grupo H,
χ(H) =
H, H
ψ
| [h, h
ψ
] = 1, ∀h ∈ H
,
onde h → h
ψ
um isomorfismo entre H e H
ψ
.
Seguindo um ponto de vista combinat´orio elementar analisamos nesta tese a estrutura
do grupo
χ(H, σ) =
H,
˙
H| [h, h
σ
] = 1, ∀h ∈ H
onde
˙
H ´e uma c´opia isomorfa de H, σ ´e uma bije¸c˜ao de H para
˙
H tal que 1
σ
= 1 e H ´e
um p-grupo finito, com ˆenfase no caso H um p-grupo abeliano elementar.
Palavras chaves: Comutatividade fraca, permutabilidade fraca, crit´erio de finitude,
classe de nilpotˆencia, grau de solubilidade, classes duplas.
iv
Abstract
In this thesis we study some aspects of the weak commutativity between isomorphic
nilpotent groups, where the commutativity is defined by isomorphisms or more generally
by bijections between such groups. The concept of weak commutativity was introduced
by Sidki in 1980 [1]. In this work was defined the Weak Commutativity Group generated
by two isomorphic copies of a group H,
χ(H) =
H, H
ψ
| [h, h
ψ
] = 1, ∀h ∈ H
,
where h → h
ψ
a isomorphism between H and H
ψ
.
Following an elementary combinatorial point of view we analyze in this thesis the
structure of the group
χ(H, σ) =
H,
˙
H| [h, h
σ
] = 1, ∀h ∈ H
,
where
˙
H is an isomorphic copy of H, σ is a bijection from H to
˙
H such that 1
σ
= 1 and
H is a finite p-group with emphasis in the case where H is elementary abelian p-group.
Key words: Weak Commutativity, weak permutability, finiteness criterion, nilpotency
class, solvavility degree, double cosets.
v
Introdu¸c˜ao.
Nesta tese estudamos alguns aspectos da comutatividade fraca entre grupos nilpotentes
isomorfos, onde a comutatividade ´e determinada por isomorfismos ou mais geralmente por
bije¸c˜oes entre estes grupos. O conceito de comutatividade fraca ´e um caso particular de
permutabilidade fraca entre grupos, introduzido por Sidki em 1980 [1]. No mesmo trabalho
foi definido o seguinte grupo gerado por duas c´opias de um grupo H, que comutam
fracamente entre si,
χ(H) =
H, H
ψ
| [h, h
ψ
] = 1, ∀h ∈ H
,
onde h → h
ψ
um isomorfismo entre H e H
ψ
. Foi mostrado que χ pode ser considerado
um operador na classe dos grupos que tem a propriedade de conservar finitude, fatores
primos de |H|, solubilidade, nilpotˆencia para grupos finitos. Mais tarde esta situa¸c˜ao foi
considerada por Rocco e Sidki em 1980 [6], onde s˜ao feitos avan¸cos considerando-se H
p-grupo finito, p ´ımpar, e por Gupta, Rocco e Sidki em 1986 [8], onde s˜ao estabelecidas
cotas, bastante precisas, para a classe nilpotˆencia de χ(H) em fun¸c˜ao da classe de H, onde
H ´e um grupo nilpotente finitamente gerado. A constru¸c˜ao foi motivada pela seguinte
conjectura formulada por Sidki em 1976 [9], sobre um crit´erio de n˜ao-simplicidade de
grupos finitos
Conjectura 1. Seja G um grupo finito que contenha um subgrupo A que ´e 2-abeliano
elementar de posto k 1 tal que toda involu¸c˜ao em G comute com alguma involu¸c˜ao de
A. Ent˜ao, A ∩ O
2
(G) n˜ao ´e trivial.
No mesmo trabalho, a conjectura foi verificada para k 3. Muito recentemente,
em 2006, foi enunciado por Archbacher-Guralnik-Segev [2] uma solu¸c˜ao positiva para a
vi
conjectura geral. A demonstra¸c˜ao dada utiliza profundamente a classifica¸c˜ao dos grupos
finitos simples.
Seguindo um ponto de vista combinat´orio elementar analisamos nesta tese a estrutura
do grupo
χ(H, σ) =
H,
˙
H| [h, h
σ
] = 1, ∀h ∈ H
onde
˙
H ´e uma c´opia de H, σ ´e uma bije¸c˜ao de H para
˙
H tal que 1
σ
= 1 e H ´e um p-grupo
finito, com ˆenfase no caso em que H ´e um p-grupo abeliano elementar. Os resultados
conhecidos para χ(H) e desta tese ap´oiam a seguinte
Conjectura 2. Se H ´e um p-grupo finito ent˜ao χ(H, σ) tamb´em ´e um p-grupo finito.
Uma outra linha de generaliza¸c˜ao de χ(H) desenvolvida nesta tese ´e de se considerar
grupos gerados por um sistema de grupos isomorfos que comutam fracamente entre si.
Mais precisamente, considerando H um grupo nilpotente, o grupo definido pela apre-
senta¸c˜ao
G =
H, ψ | [h
ψ
i
, h
ψ
j
] = 1, [D
ij
, L
kl
] = 1, ψ
n
, ∀h ∈ H, i, j, k, l ∈ {0, . . . n − 1}
onde D
ij
= [H
ψ
i
, H
ψ
j
], e L
ij
= [H
ψ
l
, ψ
j
] com [h
ψ
i
, ψ
j
] = h
−ψ
i
h
ψ
i+j
, possui n subgrupos
H, H
ψ
, . . . , H
ψ
n−1
, que comutam fracamente. Assim definimos o grupo de comutatividade
fraca entre n c´opia de H como sendo
χ(n, H) =
H, H
ψ
, . . . , H
ψ
n−1
.
A inclus˜ao das rela¸c˜oes [D
ij
, L
kl
] = 1 na defini¸c˜ao do grupo G, deve-se ao fato de que em
χ(H) vale a rela¸c˜ao [D(H), L(H)] = 1, onde D(H) = [H, H
ψ
] e L(H) = [H, ψ] e ao fato
de que sem estas rela¸c˜oes temos exemplos onde o grupo G ´e infinito.
No cap´ıtulo 2 estudamos a possibilidade de simplificar a apresenta¸c˜ao do grupo χ(H),
para H um p-grupo abeliano ou um p-grupo n˜ao abeliano de ordem p
3
, reduzindo o
conjunto de rela¸c˜oes [h, h
ψ
] = 1. Mais especificamente, dado H = a
i
| 1 i n um
grupo finito de posto n, consideramos o grupo
χ(H) =
H, H
ψ
| [a
i
, a
ψ
i
] = 1 = [a
i
a
j
, a
ψ
i
a
ψ
j
], 1 i < j k
vii
junto com o epimorfismo natural
θ : χ(H) χ(H).
O estudo foi no sentido de determinar quais valores de H tornam o epimorfismo θ injetivo,
ou, n˜ao sendo poss´ıvel, determinar o n´ucleo de θ. Tratamos dos casos onde H ´e 2-abeliano
elementar de posto 3, ou abeliano finito de ordem ´ımpar ou n˜ao abeliano de ordem p
3
.
Teorema 1. Seja H = um grupo abeliano finito.
i. Se H ´e de ordem ´ımpar, ent˜ao χ(H) = χ(H);
ii. Se H
∼
=
Z
3
2
, ent˜ao N
θ
∼
=
Z
4
.
Proposi¸c˜ao 1. Se H ´e um grupo n˜ao abeliano de ordem p
3
, ent˜ao χ(H)
∼
=
χ(H).
No Cap´ıtulo 3 estudamos o grupo χ(H, σ), onde o enorme n´umero de bije¸c˜oes entre H
e
˙
H, e tamb´em a natureza combinatorial do problema, nos motivou a dar um tratamento
computacional para a quest˜ao. O sistema computacional para
´
Algebra Discreta, GAP
[10], junto com um programa para c´alculo de classes duplas gentilmente fornecido pelo
Prof. Alexander Hulpke, a quem agradecemos, com nossa gratid˜ao, foi utilizado neste
capitulo. O c´alculo direto de todos grupos χ(H, σ), que a principio somam (|H| − 1)!
grupos, n˜ao ´e vi´avel `a medida que a ordem do grupo H torna-se maior. De maneira a
contornar esta situa¸c˜ao temos os resultados
Proposi¸c˜ao 2. Sejam H um grupo finito, A
∼
=
Aut(H),
˙
A
∼
=
Aut(
˙
H), os grupos de
automorfismos, σ ∈ Bij(H
#
,
˙
H
#
), α ∈ A e β ∈
˙
A. Ent˜ao χ(H, σ)
∼
=
χ(H, ασβ).
Proposi¸c˜ao 3. Seja H = C
n
p
= a
1
, . . . , a
n
um p-grupo abeliano elementar de posto n.
Ent˜ao, dado σ ∈ Bij(H
#
,
˙
H
#
) podemos obter σ ∈ Bij(H
#
,
˙
H
#
) tal que a
σ
i
= a
i
, 1 i
n e χ(H, σ)
∼
=
χ(H, σ).
Proposi¸c˜ao 4. (Sidki)Sejam H um p-grupo abeliano elementar finito, p ´ımpar, σ ∈
Bij(H
∗
,
˙
H
#
). Ent˜ao ´e poss´ıvel obter σ ∈ Bij(H
#
,
˙
H
#
), permutando os subgrupos c´ıclicos
de H, de forma que χ(H, σ) seja imagem homomorfa do grupo χ(H, σ)
viii
Se considerarmos H = {1, h
1
, . . . , h
n
}, uma enumera¸c˜ao de H, podemos considerar as
bije¸c˜oes entre H e
˙
H como elementos do grupo S
|H|−1
, via h
σ
i
=
˙
h
iσ
. Assim, seguindo as
nota¸c˜oes da Proposi¸c˜ao 2, temos
A =
˙
A S
|H|−1
.
Ent˜ao a proposi¸c˜ao nos diz que basta calcularmos os grupos χ(H, σ) para σ um represen-
tante de classe dupla do quociente A\S
|H|−1
/A, o que reduz subs tancialmente a quantidade
de grupos.
Um outro fato importante no tratamento dos grupos χ(H, σ) ´e a possibilidade da
cria¸c˜ao de uma ´arvore cuja raiz ´e um comutador b´asico de peso 2, do tipo [x, ˙y], x, y ∈ H,
onde os v´ertices s˜ao obtidos pelo i. e ii. abaixo.
i. [a, ˙x] = 1 ⇒ [a,
˙
b] = [a, ˙x
˙
b],
ii. [y,
˙
b] = 1 ⇒ [a,
˙
b] = [ya,
˙
b].
Onde a, b, x, y ∈ H. A utiliza¸c˜ao deste grafo permite descrever a s´erie central descendente
e s´erie derivada em v´arias situa¸c˜oes. Para estes fatos temos uma rotina, A.0.1, escrita no
ambiente do GAP [10], que permite obter a ´arvore computacionalmente.
Como hav´ıamos mencionado χ(H, σ) = χ(H) quando σ ´e um isomorfismo, σ : H
˙
H. O se guinte teorema trata do caso onde σ ´e uma transposi¸c˜ao.
Teorema 2. Sejam H = a
1
, · · · , a
n
um p-grupo abeliano elementar de posto n, p-´ımpar,
σ, uma tranposi¸c˜ao de H com 1
σ
= 1. Ent˜ao, χ(H, σ) ´e um quociente de χ(H).
No Cap´ıtulo 4 tratamos do grupo χ(n, H). Neste caso mostramos alguns resultados
sobre nilpotˆencia, semelhantes aos obtidospor Gupta-Rocco-Sidki em [8]. J´a para H
abeliano finito damos uma estimativa para a ordem do grupo χ(n, H), que acreditamos
ser a ordem exata.
Teorema 3. Sejam H um grupo nilpotente m-gerado de classe no m´aximo c com m 2,
c 1. Ent˜ao para m c + 2, γ
c+3
(χ(n, H)) = 1.
Teorema 4. Sejam H um grupo nilpotente m-gerado de classe no m´aximo c com m 2,
c 1. Ent˜ao para m c + 2, γ
c+3
(χ(n, H)) ´e um 2-grupo abeliano elementar de posto
ix
no m´aximo
m
k=c+3
m
k
.
Teorema 5. Se H ´e um grupo abeliano finito, ent˜ao a ordem do grupo χ(n, H) divide
|χ(H)|
m
|H|
n−2m
, onde m =
n
2
.
x
Sum´ario
1 O grupo de comutatividade fraca χ(H). 1
1.1 Defini¸c˜oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Crit´erio de Finitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 H um grupo nilpotente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Reduzindo a apresenta¸c˜ao de χ(H). 4
2.1 Defini¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 H um grupo abeliano finito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 H p-grupo n˜ao abeliano de ordem p
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Comutatividade fraca por bije¸c˜ao entre 2 c´opias H. 19
3.1 Defini¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Refinamentos para σ ∈ Bij(H
#
,
˙
H
#
). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.1 O grupo χ(H, σ), σ uma transposi¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 H p-grupo abeliano elementar de posto no m´aximo 4, p = 2, 3. . . . . . . . 23
3.4 Calculo do grupo χ(H, σ), para H p-grupo abeliano elementar, p ´ımpar, e
σ uma transposi¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Comutatividade fraca por isomorfismo entre n c´opias de H. 29
4.1 Defini¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 χ(H) como subgrupo de χ(n, H). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Nilpotˆencia de χ(n, H). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4 Estimativa para ordem de χ(n, H), H abeliano. . . . . . . . . . . . . . . . 34
A Algoritmos 36
xi
B C´alculo do Grupo χ(H, σ), H p-abeliano elementar de posto no m´aximo
4, p = 2, 3. 39
Referˆencias Bibliogr´aficas 65
xii
Cap´ıtulo 1
O grupo de comutatividade fraca
χ(H).
Neste Cap´ıtulo apresentamos alguns aspectos do grupo de comutatividade fraca χ(H),
relativos aos trabalhos de Sidki em 1980 [1], Rocco-Sidki em 1980 [6], Gupta-Rocco-Sidki
em 1986 [8].
1.1 Defini¸c˜oes.
Defini¸c˜ao 1.1.1. Sejam H um grupo finito, ψ : H H
ψ
um isomorfismo entre H e
H
ψ
. O grupo de comutatividade fraca ´e definido por
χ(H) =
H, H
ψ
| [h, h
ψ
] = 1 ∀h ∈ H
.
Ou seja, χ(H) ´e o quociente do produto livre H ∗ H
ψ
pelo fecho normal do conjunto
{[h, h
ψ
], h ∈ H}.
Destacamos abaixo alguns subgrupos importantes para a an´alise da estrutura de χ(H).
D(H) = [H, H
ψ
], L(H) = [H, ψ], W (H) = D(H) ∩ L(H),
L
1
= [L, H], L
2
= [L, H
ψ
],
R = [H, L, H
ψ
],
onde [h, ψ] := h
−1
h
ψ
.
1
1.2 Crit´erio de Finitude
Defini¸c˜ao 1.2.1. Sejam H, K grupos finitos, e γ : H → K uma fun¸c˜ao. Ent˜ao a tripla
(H, K, γ) ´e dita especial se valem
i. γ(1) = 1, γ
−1
(1) = {1},
ii. |γ(γ
−1
(S))| |S|,
onde S ´e um subconjunto arbitr´ario de K tal que 1 ∈ S
O pr´oximo teorema fornece um crit´erio de finitude para grupos definidos por uma
esp´ecie mais geral de permutabilidade fraca.
Teorema 1.2.1. (Sidki)Seja (H, K, γ) uma tripla especial, onde H e K s˜ao grupos
finitos de ordens m e n respectivamente, tal que 1 < m n. Sejam δ : H → K,
: H → H. Ent˜ao o grupo definido por
χ(H, K; γ, δ, ) =
H, K, | hh
γ
(h
)
−1
(h
δ
)
−1
= 1, ∀h ∈ H
´e finito, de ordem no m´aximo ne
n−1
. Em particular, se |H| = n ent˜ao |χ(H)| (n−1)e
n
.
1.3 H um grupo nilpotente.
Uma das caracter´ısticas do grupo χ(H), ´e que este pode ser visto como um operador na
classe dos grupos que preserva nilpotˆencia para grupos finitamente gerados e tamb´em a
solubilidade. O pr´oximo lema fornece algumas identidades entres os comutadores b´asicos
de χ(H) que s˜ao de fundamental importˆancia na an´alise da estrutura do grupo χ(H).
Lema 1.3.1. (Sidki)Sejam h
1
, h
2
, h
3
∈ H. Ent˜ao,
i. [h
1
, h
ψ
2
] = [h
ψ
1
, h
2
],
ii. [h
1
, ψ] comuta com [h
2
, h
ψ
3
],
iii. [h
1
, h
ψ
2
] = [ψ, h
2
, h
1
][h
1
, h
2
].
2
A estrutura de χ(H) para H um p-grupo abeliano finito, onde p ´e um numero primo,
revela uma diferen¸ca entre os casos p = 2 e p ´ımpar. Por exemplo se H ´e um p-grupo
abeliano elementar de p osto k, ent˜ao
|χ(H)| =
p
k(k−1)
2
p
2k
, p impar
2
2
k
−1
2
k
, p = 2
Os pr´oximos resultados s˜ao referentes aos trabalhos de Rocco-Sidki de 1980 [6],
Gupta-Rocco-Sidki [8] , onde se estabelecem cotas superiores para ordem do grupo
χ(H), e para a classe de nilpotˆencia χ(H).
Teorema 1.3.1. (Rocco-Sidki)Seja H um p-grupo de ordem p
n
com classe de nilpotˆencia
c. Ent˜ao χ(H) ´e um p-grupo de ordem divisor de p
2n
p
n(n−1)
2
, com a classe de nilpotˆencia
n˜ao maior que 2c.
Teorema 1.3.2. (Gupta-Rocco-Sidki)Sejam H um grupo nilpotente m-gerado de
classe no m´aximo c com m 2, c 1. Ent˜ao para m c + 2, γ
c+3
(χ(H)) = 1.
Teorema 1.3.3. (Gupta-Rocco-Sidki)Sejam H um grupo nilpotente m-gerado de
classe no m´aximo c com m 2, c 1. Ent˜ao para m c + 2, γ
c+3
(χ(H)) ´e um
2-grupo abeliano elementar de posto no m´aximo
m
k=c+3
m
k
.
Notemos que este ´ultimo teorema fornece um refinamento para a cota de nilpotˆencia
de χ(H) estabelecida no Teorema 1.3.1.
3
Cap´ıtulo 2
Reduzindo a apresenta¸c˜ao de χ(H).
2.1 Defini¸c˜oes
Neste capitulo vamos introduzir uma varia¸c˜ao do grupo χ(H), onde consideramos uma
vers˜ao com menos rela¸c˜oes, a proposta ´e verificar se nesta nova vers˜ao ainda temos um
grupo finito. Para isto sejam
H = a
i
| 1 i k
um grupo abeliano k-gerado,
χ(H) =
H, H
ψ
| [a
i
, a
ψ
i
] = 1 = [a
i
a
j
, a
ψ
i
a
ψ
j
], 1 i < j k
o grupo enfraquecido. Como a aplica¸c˜ao
θ : χ(H) χ(H), tal que h
θ
= h, (h
ψ
)
θ
= h
ψ
´e um epimorfismo, a quest˜ao ´e analisar o n´ucleo desta aplica¸c˜ao. Faremos isto para alguns
valores de H.
O seguinte exemplo mostra que um maior enfraquecimento das rela¸c˜oes leva a grupos
infinitos.
Exemplo 2.1.1. Sejam A = a
1
, a
2
um p-grupo abeliano elementar de posto 2, A
ψ
uma
c´opia isomorfa a A. Ent˜ao o grupo
A, A
ψ
|[a
1
, a
ψ
1
] = [a
2
, a
ψ
2
] = 1
4
´e isomorfo ao seguinte produto direto de produto livre de grupos
a
1
∗
a
ψ
2
×
a
ψ
1
∗ a
2
.
2.2 H um grupo abeliano finito.
Teorema 2.2.1. Seja um grupo abeliano 3-gerado, H = a
1
, a
2
, a
3
.
i. Se H ´e finito e tem ordem ´ımpar, ent˜ao χ(H) = χ(H);
ii. Se H
∼
=
Z
3
2
, ent˜ao Ker(θ)
∼
=
Z
4
.
Antes de provar o teorema acima vamos fazer uma descri¸c˜ao do n´ucleo do epimorfismo
θ : χ(H) χ(H).
Lema 2.2.1. Seja H um grupo. Suponhamos que
[x, x
ψ
] = 1 = [y, y
ψ
], x, y ∈ H.
Ent˜ao,
i. [xy, x
ψ
y
ψ
] = [x
y
, y
ψ
][y, (x
y
)
ψ
]. Se al´em disso [x, y] = 1, ent˜ao
[xy, x
ψ
y
ψ
] = [x, y
ψ
][y, x
ψ
];
ii. Se ainda [x, y] = 1 e mais [xy, x
ψ
y
ψ
] = 1, ent˜ao [x, y
ψ
] = [x
ψ
, y].
Demonstra¸c˜ao..
i.
[xy, x
ψ
y
ψ
] = [x, x
ψ
y
ψ
][y, x
ψ
y
ψ
]
= [x, y
ψ
]
y
[x, x
ψ
]
y
ψ
y
[y, y
ψ
][y, x
ψ
]
y
ψ
= [x
y
, y
ψ
][y, (x
y
)
ψ
]
ii. Segue de i.
No pr´oximo lema daremos f´ormulas para comutadores envolvendo potˆencias de gera-
dores e produto de potˆencias de geradores de H.
5
Lema 2.2.2. Seja H = a
1
, a
2
, a
3
um grupo abeliano 3-gerado. Ent˜ao valem as seguintes
igualdades,
i. [a
m
i
, a
ψ
j
] = [a
i
, a
mψ
j
] = [a
i
, a
ψ
j
]
m
;
ii. [a
m
i
, a
nψ
j
] = [a
i
, a
ψ
j
]
mn
;
iii. [a
m
i
a
n
j
, a
mψ
i
a
nψ
j
] = [a
i
, a
ψ
j
]
mn
[a
j
, a
ψ
i
]
mn
.
para i, j ∈ {1, 2, 3}, n, m ∈ N.
Demonstra¸c˜ao..
i. Usando rela¸c˜oes b´asicas de comutadores e indu¸c˜ao sobre m podemos escrever
[a
m
i
, a
ψ
j
] = [a
i
, a
ψ
j
]
a
m−1
i
[a
m−1
i
, a
ψ
j
]
lema2.2.1
= [a
ψ
i
, a
j
]
a
m−1
i
[a
i
, a
ψ
j
]
m−1
= [a
i
, a
ψ
j
][a
i
, a
ψ
j
]
m−1
= [a
i
, a
ψ
j
]
m
.
A outra igualdade segue de maneira similar.
ii. Novamente usando rela¸c˜oes b´asicas de comutadores e indu¸c˜ao sobre m temos,
[a
m
i
, a
nψ
j
] = [a
i
, a
nψ
j
]
a
m−1
i
[a
m−1
i
, a
nψ
j
]
= [a
i
, a
ψ
j
]
na
m−1
i
[a
i
, a
ψ
j
]
(m−1)n
lema2.2.1
= [a
ψ
i
, a
j
]
na
m−1
i
[a
i
, a
ψ
j
]
(m−1)n
= [a
ψ
i
, a
j
]
n
[a
i
, a
ψ
j
]
(m−1)n
= [a
i
, a
ψ
j
]
mn
iii. Neste passo usaremos o item ii. acima, o lema 2.2.1 e rela¸c˜oes b´asicas de comuta-
dores,
[a
m
i
a
n
j
, a
mψ
i
a
nψ
j
] = [a
m
i
, a
mψ
i
a
nψ
j
]
a
n
j
[a
n
j
, a
mψ
i
a
nψ
j
]
= [a
m
i
, a
nψ
j
]
a
n
j
[a
m
i
, a
mψ
i
]
a
nψ
j
a
n
j
[a
n
j
, a
nψ
j
][a
n
j
, a
mψ
i
]
a
nψ
j
= [a
i
, a
ψ
j
]
mn
[a
j
, a
ψ
i
]
mn
6
Enfim podemos dar uma descri¸c˜ao do n´ucleo de θ.
Proposi¸c˜ao 2.2.1. Seja H = a
1
, a
2
, a
3
um grupo abeliano 3-gerado; o n´ucleo do epi-
morfismo θ : χ(H) χ(H), ´e o grupo
Ker(θ) = ξ
χ(H)
,
com ξ = [a
1
a
2
a
3
, a
ψ
1
a
ψ
2
a
ψ
3
].
Demonstra¸c˜ao. Se adicionarmos `as rela¸c˜oes do grupo χ(H) os comutadores
i. [a
m
i
, a
mψ
i
],
ii. [a
m
i
a
n
j
, a
mψ
i
a
nψ
j
],
iii. [a
1
a
2
a
3
, a
ψ
1
a
ψ
2
a
ψ
3
],
iv. [a
m
1
a
n
2
a
l
3
, a
mψ
1
a
nψ
2
a
lψ
3
],
com i, j ∈ {1, 2, 3}, m, n, k ∈ N, obteremos o grupo χ(H).
Os elementos em i. e ii. s˜ao triviais de acordo com os lemas 2.2.1, 2.2.2. Assim, para
demonstramos a proposi¸c˜ao ´e suficiente mostramos que a rela¸c˜ao em iv. ´e conseq¨uˆencia
de iii.. Para isto consideremos as seguintes igualdades,
[a
m
1
a
n
2
a
l
3
, a
mψ
1
a
nψ
2
a
lψ
3
] = [a
m
1
a
n
2
, a
mψ
1
a
nψ
2
a
lψ
3
]
a
l
3
[a
l
3
, a
mψ
1
a
nψ
2
a
lψ
3
]
= [a
m
1
a
n
2
, a
lψ
3
][a
l
3
, a
mψ
1
a
nψ
2
]
= [a
m
1
, a
lψ
3
]
a
n
2
[a
n
2
, a
lψ
3
][a
l
3
, a
nψ
2
][a
l
3
, a
mψ
1
]
a
nψ
2
= [a
1
, a
ψ
3
]
mla
m
2
[a
1
, a
ψ
3
]
−mla
nψ
2
.
Mas se retirarmos as potˆencias das igualdades acima obtemos,
[a
1
a
2
a
3
, a
ψ
1
a
ψ
2
a
ψ
3
] = [a
1
, a
ψ
3
]
a
2
[a
1
, a
ψ
3
]
−a
ψ
2
,
ou seja [a
m
1
a
n
2
a
l
3
, a
mψ
1
a
nψ
2
a
lψ
3
] ´e conseq¨uˆencia de [a
1
a
2
a
3
, a
ψ
1
a
ψ
2
a
ψ
3
] = 1, pois, no ´ultimo caso,
a a¸c˜ao de [a
2
, ψ] = a
−1
2
a
ψ
2
sobre [a
1
, a
ψ
3
] ´e trivial.
Com esta descri¸c˜ao para n´ucleo de θ podemos demonstrar o Teorema 2.2.1.
Demonstra¸c˜ao do Teorema 2.2.1.
7
i. Na proposi¸c˜ao acima verificamos a igualdade,
ξ = [a
1
a
2
a
3
, a
ψ
1
a
ψ
2
a
ψ
3
] = [a
1
, a
ψ
3
]
a
2
[a
ψ
3
, a
1
]
a
ψ
2
. (2.1)
Fazendo a
1
↔ a
3
, a
2
↔ a
2
, obtemos
ξ = [a
3
, a
ψ
1
]
a
2
[a
ψ
1
, a
3
]
a
ψ
2
. (2.2)
e igualando as express˜oes temos
[a
1
, a
ψ
3
]
a
2
[a
3
, a
ψ
1
]
a
ψ
2
= [a
3
, a
ψ
1
]
a
2
[a
1
, a
ψ
3
]
a
ψ
2
[a
ψ
1
, a
3
]
a
2
[a
1
, a
ψ
3
]
a
2
= [a
1
, a
ψ
3
]
a
ψ
2
[a
ψ
1
, a
3
]
a
ψ
2
[a
1
, a
ψ
3
]
2a
2
= [a
1
, a
ψ
3
]
2a
ψ
2
donde segue
[a
2
1
, a
ψ
3
]
[a
2
,ψ]
= [a
2
1
, a
ψ
3
].
Ou seja [a
2
1
a
2
a
3
, a
2ψ
1
a
ψ
2
a
ψ
3
] = 1, e assim
χ(H) = χ
a
2
1
, a
2
, a
3
= χ(H).
ii. Inicialmente vamos escrever ξ de diferentes maneiras. Da rela¸c˜ao 2.1 temos
ξ = [a
1
a
2
a
3
, a
ψ
1
a
ψ
2
a
ψ
3
] = [a
1
, a
ψ
3
]
a
2
[a
ψ
3
, a
1
]
a
ψ
2
,
e assim,
ξ = [a
1
, a
ψ
3
]
a
2
[a
ψ
3
, a
1
]
a
ψ
2
= [a
1
, a
ψ
3
]
a
2
[a
ψ
1
, a
3
]
a
ψ
2
= [a
1
, a
ψ
3
]
a
2
[a
1
, a
ψ
3
][a
ψ
1
, a
3
][a
ψ
1
, a
3
]
a
ψ
2
= ([a
1
, a
ψ
3
][a
1
, a
ψ
3
]
a
2
)
−1
[a
ψ
1
, a
3
][a
ψ
1
, a
3
]
a
ψ
2
= [a
1
, a
ψ
3
, a
2
]
−1
[a
ψ
1
, a
3
, a
ψ
2
]
= [a
1
, a
ψ
3
, a
2
]
−1
[a
1
, a
ψ
3
, a
2
]
ψ
= [a
1
, a
ψ
3
, a
2
, ψ].
Ent˜ao, uma permuta¸c˜ao das vari´aveis leva a
ξ = [a
1
, a
ψ
2
, a
3
, ψ]
= [a
1
, a
ψ
3
, a
2
, ψ]
= [a
2
, a
ψ
3
, a
1
, ψ].
8
Isto possibilita escrever um conjunto de geradores do grupo ξ
χ(H)
. Inicialmente
vamos calcular ξ
a
1
usando
ξ = [a
1
, a
ψ
3
, a
2
]
−1
[a
ψ
1
, a
3
, a
ψ
2
].
Conjugando por a
1
temos,
ξ
a
1
= [a
1
, a
ψ
3
, a
2
]
−1
[a
ψ
1
, a
3
, a
ψ
2
]
a
1
,
mas, pelo lema 2.2.1
[a
ψ
1
, a
3
, a
ψ
2
] = [a
1
, a
ψ
3
, a
ψ
2
].
Usando a identidade de Witt temos
[a
1
, a
ψ
3
, a
ψ
2
]
a
ψ
3
[a
ψ
3
, a
ψ
2
, a
1
]
a
ψ
2
[a
ψ
2
, a
1
, a
ψ
3
]
a
1
= 1
donde
[a
ψ
1
, a
3
, a
ψ
2
]
a
1
= [a
1
, a
ψ
2
, a
ψ
3
]
−1
e
ξ
a
1
= [a
1
, a
ψ
3
, a
2
]
−1
[a
1
, a
ψ
2
, a
ψ
3
]
−1
2↔3
= [a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
−1
[a
1
, a
ψ
3
, a
ψ
2
]
−1
.
Fazendo 1 ↔ 2, 1 ↔ 3 na express˜ao acima obtemos outros conjugados
ξ
a
2
= [a
2
, a
ψ
3
, a
1
]
−1
[a
1
, a
ψ
2
, a
ψ
3
]
−1
= [a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
−1
[a
2
, a
ψ
3
, a
ψ
1
]
−1
,
ξ
a
3
= [a
1
, a
ψ
3
, a
2
]
−1
[a
2
, a
ψ
3
, a
ψ
1
]
−1
= [a
2
, a
ψ
3
, a
1
]
−1
[a
1
, a
ψ
2
, a
ψ
3
]
−1
.
De maneira semelhante podemos escrever
ξ
a
ψ
1
= [a
1
, a
ψ
2
, a
3
][a
1
, a
ψ
3
, a
ψ
2
] = [a
1
, a
ψ
3
, a
2
][a
1
, a
ψ
2
, a
ψ
3
],
ξ
a
ψ
2
= [a
1
, a
ψ
2
, a
3
][a
2
, a
ψ
3
, a
ψ
1
] = [a
2
, a
ψ
3
, a
1
][a
1
, a
ψ
2
, a
ψ
3
],
ξ
a
ψ
3
= [a
3
, a
ψ
2
, a
1
][a
1
, a
ψ
3
, a
ψ
2
] = [a
1
, a
ψ
3
, a
2
][a
3
, a
ψ
2
, a
ψ
1
].
S˜ao 6 os comutadores envolvidos nos conjugados de ξ, escritos acima,
[a
1
, a
ψ
2
, a
3
], [a
1
, a
ψ
2
, a
ψ
3
],
[a
1
, a
ψ
3
, a
2
], [a
1
, a
ψ
3
, a
ψ
2
],
[a
2
, a
ψ
3
, a
1
], [a
2
, a
ψ
3
, a
ψ
1
].
De modo a verificar que eles comutam entre si, temos os seguintes conjugados,
9
[a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
a
1
= [a
1
, a
ψ
2
, a
3
], [a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
a
2
= [a
1
, a
ψ
2
, a
3
], [a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
a
3
= [a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
−1
,
[a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
a
ψ
1
= [a
1
, a
ψ
3
, a
2
]
−1
, [a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
a
ψ
2
= [a
2
, a
ψ
3
, a
1
]
−1
,
[a
1
, a
ψ
3
, a
2
]
a
1
= [a
1
, a
ψ
3
, a
2
], [a
1
, a
ψ
3
, a
2
]
a
2
= [a
1
, a
ψ
3
, a
2
]
−1
, [ a
1
, a
ψ
3
, a
2
]
a
3
= [a
1
, a
ψ
3
, a
2
],
[a
1
, a
ψ
3
, a
2
]
a
ψ
1
= [a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
−1
,[a
1
, a
ψ
3
, a
2
]
a
ψ
3
= [a
2
, a
ψ
3
, a
1
]
−1
,
[a
2
, a
ψ
3
, a
1
]
a
1
= [a
2
, a
ψ
3
, a
1
]
−1
, [a
2
, a
ψ
3
, a
1
]
a
2
= [a
2
, a
ψ
3
, a
1
], [a
2
, a
ψ
3
, a
1
]
a
3
= [a
2
, a
ψ
3
, a
1
],
[a
2
, a
ψ
3
, a
1
]
a
ψ
2
= [a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
−1
,[a
2
, a
ψ
3
, a
1
]
a
ψ
3
= [a
1
, a
ψ
3
, a
2
]
−1
,
onde as a¸c˜oes s˜ao obtidas de maneira direta ou usando a identidade de Witt. Ob-
servando que
[a
i
, a
ψ
j
, a
ψ
k
] = [a
i
, a
ψ
j
, a
k
]
ψ
,
temos to dos os conjugados, pelos elementos {a
1
, a
2
, a
3
, a
ψ
1
, a
ψ
2
, a
ψ
3
}, determinados,
exceto,
[a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
a
ψ
3
, [a
1
, a
ψ
3
, a
2
]
a
ψ
2
, [a
2
, a
ψ
3
, a
1
]
a
ψ
1
.
Mas dos conjugados rec´em calculados tiramos as rela¸c˜oes ,
[a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
a
ψ
1
= [a
2
, a
ψ
3
, a
1
]
a
ψ
3
, [a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
a
ψ
2
= [a
1
, a
ψ
3
, a
2
]
a
ψ
3
.
Conseq¨uentemente,
[a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
a
ψ
3
= [a
1
, a
ψ
3
, a
2
]
a
ψ
2
= [a
2
, a
ψ
3
, a
1
]
a
ψ
1
.
Podemos, enfim, calcular as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao, usando os conjugados determi-
nados anteriormente,
[a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
[a
1
,a
ψ
2
,a
ψ
3
]
= [[a
1
, a
ψ
2
], a
3
]
[a
1
,a
ψ
2
]a
ψ
3
[a
1
,a
ψ
2
]a
ψ
3
= [a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
−a
ψ
3
(a
1
a
ψ
2
a
1
a
ψ
2
)a
ψ
3
= [a
2
, a
ψ
3
, a
1
]
−a
ψ
1
(a
1
a
ψ
2
a
1
a
ψ
2
)a
ψ
3
= [a
2
, a
ψ
3
, a
1
]
−a
1
a
ψ
1
(a
ψ
2
a
1
a
ψ
2
)a
ψ
3
= [a
2
, a
ψ
3
, a
1
]
a
ψ
1
a
ψ
2
a
1
a
ψ
2
a
ψ
3
= [a
1
, a
ψ
3
, a
2
]
(a
ψ
2
)
2
a
1
a
ψ
2
a
ψ
3
= [a
1
, a
ψ
3
, a
2
]
a
ψ
2
a
ψ
3
= [a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
(a
ψ
3
)
2
= [a
1
, a
ψ
2
, a
3
];
10
[a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
[a
1
,a
ψ
3
,a
2
]
= [a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
([a
1
,a
ψ
3
]a
2
)
2
= [a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
a
1
/ a
ψ
3
a
1
a
ψ
3
a
2
([a
1
,a
ψ
3
]a
2
)
= [a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
a
1
a
ψ
1
a
ψ
3
a
2
([a
1
,a
ψ
3
]a
2
)
= [a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
−a
ψ
1
a
ψ
3
a
2
([a
1
,a
ψ
3
]a
2
)
= [a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
−(a
ψ
3
)
2
a
2
/ ([a
1
,a
ψ
3
]a
2
)
= [a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
−([a
1
,a
ψ
3
]a
2
)
= [a
1
, a
ψ
2
, a
3
],
utilizando os c´alculos acima podemos escrever,
[a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
[a
1
,a
ψ
3
,a
ψ
2
]
= [a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
([a
1
,a
ψ
3
]a
ψ
2
)
2
= [a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
−a
ψ
2
([a
1
,a
ψ
3
]a
ψ
2
)
= [a
2
, a
ψ
3
, a
1
]
[a
1
,a
ψ
3
]a
ψ
2
= [a
2
, a
ψ
3
, a
1
]
a
1
a
ψ
3
a
1
a
ψ
3
a
ψ
2
= [a
2
, a
ψ
3
, a
1
]
−a
ψ
3
a
1
a
ψ
3
a
ψ
2
= [a
1
, a
ψ
3
, a
2
]
a
1
a
ψ
3
a
ψ
2
= [a
1
, a
ψ
3
, a
2
]
a
ψ
2
a
ψ
3
= [a
1
, a
ψ
2
, a
3
]
(a
ψ
3
)
2
= [a
1
, a
ψ
2
, a
3
].
E assim permutando as vari´aveis podemos concluir que os 6 comutadores se centra-
lizam, e conseq¨uentemente vemos que
ξ
a
ψ
i
= ξ
−a
i
, i = {1, 2, 3}.
Como
1 = [(a
1
a
2
a
3
)
2
, a
ψ
1
a
ψ
2
a
ψ
3
]
= ξ
a
1
a
2
a
3
ξ
temos que a
1
a
2
a
3
inverte ξ, da´ı a f´ormula
ξ
a
i
a
j
= ξ
−a
k
= ξ
a
ψ
k
= ξ
−a
ψ
i
a
ψ
j
= ξ
a
i
a
ψ
j
, {i, j, k} = {1, 2, 3}.
Al´em disto segue tamb´em que
[ξ
a
i
, ξ] = 1 = [ξ
a
i
, ξ
a
j
], i, j ∈ {1, 2, 3},
11
e da´ı
ξ
χ(H)
= ξ, ξ
a
1
, ξ
a
2
, ξ
a
3
´e um grupo abeliano de posto no m´aximo 4. Finalmente para verificar que ele ´e
abeliano livre de posto 4, vamos considerar um modelo matricial dado pela aplica¸c˜ao,
a
1
→
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 −1 0
0 0 −1 0 0
x −x y y 1
, a
2
→
0 0 1 0 0
0 0 0 −1 0
1 0 0 0 0
0 −1 0 0 0
x y −x y 1
,
a
3
→
0 0 0 1 0
0 0 −1 0 0
0 −1 0 0 0
1 0 0 0 0
x y y −x 1
,
a
ψ
1
→
0 −1 0 0 0
−1 0 0 0 0
0 0 0 −1 0
0 0 −1 0 0
w w y y 1
, a
ψ
2
→
0 0 −1 0 0
0 0 0 −1 0
−1 0 0 0 0
0 −1 0 0 0
w y w y 1
,
a
ψ
3
→
0 0 0 −1 0
0 0 −1 0 0
0 −1 0 0 0
−1 0 0 0 0
w y y w 1
12
Onde ´e f´acil verificar que esta aplica¸c˜ao se estende a um homomorfismo, e
ξ →
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
4(−x − y + w) 0 0 0 1
O que mostra que
N
θ
∼
=
Z
4
.
Considerando H = a
1
, . . . , a
n
um grupo abeliano finito de ordem ´ımpar, os c´alculos
desenvolvidos acima nos mostram que para x, y, z ∈ H com
[x, x
ψ
] = [y, y
ψ
] = [z, z
ψ
] = [xy, x
ψ
y
ψ
] = [xz, x
ψ
z
ψ
] = [yz, y
ψ
z
ψ
] = 1,
vale [x
i
y
j
z, x
iψ
y
jψ
z
ψ
] = 1, i, j ∈ N. Assim considerando x = a
1
, y = a
1
, z = a
k
3
a
l
4
, k, l ∈
N, os comutadores
[a
i
1
a
j
2
a
k
3
a
k
4
, a
iψ
1
a
jψ
2
a
kψ
3
a
lψ
4
], i, j, k, l ∈ N
s˜ao triviais em χ(H). Prosseguindo indutivamente sobre o n´umero de geradores temos o
seguinte teorema.
Teorema 2.2.2. Se H ´e um grupo abeliano finito de ordem ´ımpar, ent˜ao χ(H) = χ(H).
2.3 H p-grupo n˜ao abe liano de ordem p
3
.
Na ´ultima se¸c˜ao conseguimos reduzir a apresenta¸c˜ao do grupo χ(H) quando H ´e um grupo
abeliano finito de ordem ´ımpar. Aqui tratamos de casos onde ´e poss´ıvel obter tal redu¸c˜ao
para grupos n˜ao-abelianos, em alguns casos devemos adequar os conjuntos geradores dos
grupos. Por exemplo, se H = C
2
3
C
3
= x, y | x
3
, y
3
, (xy)
3
, (x
−1
y)
3
, ent˜ao o n´ucleo de
θ : χ(H) χ(H), N
θ
, ´e infinito e
N
θ
N
θ
∼
=
Z
30
.
Teorema 2.3.1. Seja H um p-grupo n˜ao abeliano de ordem p
3
; ent˜ao χ(H) ´e isomorfo
a χ(H).
13
Os grupos H em considera¸c˜ao s˜ao classificados pela seguinte lista:
• Grupos de ordem 8,
D
8
=
x, y | x
4
, y
2
, x
y
= x
−1
,
Q
8
=
x, y | x
4
, x
2
= y
2
, x
y
= x
−1
.
• Grupos de ordem p
3
, p ´ımpar,
C
p
2
C
p
=
x, y | x
p
2
, y
p
, x
p
= [x, y], [x
p
, y]
,
C
2
p
C
p
= x, y, z | x
p
, y
p
, z
p
, z = [x, y], [x, z], [y, z] .
A demonstra¸c˜ao do teorema acima ´e conseq¨uˆencia das pr´oximas Proposi¸c˜oes.
Proposi¸c˜ao 2.3.1. Se H ´e um grupo n˜ao abeliano de ordem 8, ent˜ao χ(H) = χ(H).
Demonstra¸c˜ao. Temos que
χ(H) =
H, H
ψ
| [x, x
ψ
], [y, y
ψ
], [xy, x
ψ
y
ψ
]
.
Expandindo a rela¸c˜ao definidora [xy, x
ψ
y
ψ
] obtemos
[x
−1
, y
ψ
] = [x
−ψ
, y], [x
ψ
, y
−1
] = [x, y
−ψ
].
conforme o lema 2.2.1 sobre a troca de ψ.
Como H = {x
i
y
j
| i ∈ N, j ∈ {0, 1}}, para mostrar que χ(H) = χ(H) ´e suficiente
verificar que 1 = [x
i
y, x
iψ
y
ψ
].
Notemos que
[x
i
y, x
iψ
y
ψ
] = [x
−i
, y
ψ
][y, x
−iψ
].
Usando as rela¸c˜oes obtidas acima temos
[x
−i
, y
ψ
] = [x
−1
, y
ψ
]
x
1−i
[x
1−i
, y
ψ
]
= [x
−ψ
, y
x
1−i
][x
1−i
, y
ψ
]
= [x
−ψ
, x
2(1−i)
y][x
1−i
, y
ψ
]
= [x
−ψ
, yx
2(1−i)
][x
1−i
, y
ψ
]
= [x
−ψ
, y][x
1−i
, y
ψ
]
14
De onde vemos que
[x
−i
, y
ψ
] = [x
−1
, y
ψ
]
i
, ∀i ∈ N.
E de maneira semelhante temos tamb´em
[y, x
−iψ
] = [y, x
ψ
]
i
, ∀i ∈ N.
Logo
[x
i
y, x
iψ
y
ψ
] = [x
−i
, y
ψ
][y, x
−iψ
] = [x
−1
, y
ψ
]
i
[y, x
−ψ
]
i
= [x
−1
, y
ψ
]
i−i
= 1.
Proposi¸c˜ao 2.3.2. Se H = C
p
2
C
p
, ent˜ao χ(H)
∼
=
χ(H).
Demonstra¸c˜ao. Temos que
χ(H) =
H, H
ψ
| [x, x
ψ
], [y, y
ψ
], [xy, x
ψ
y
ψ
]
.
Afim de que χ(H) = χ(H) ´e suficiente que os comutadores
[x
i
y
j
, x
iψ
y
iψ
]
sejam triviais em χ(H). Notemos que
[x
i
y
j
, x
iψ
y
iψ
] = [x
i
, x
iψ
y
jψ
]
y
j
[y
j
, x
iψ
y
jψ
]
= [x
i
, y
jψ
]
y
j
[y
j
, x
iψ
]
y
jψ
= [x
iy
j
, y
jψ
][y
j
, x
iy
j
ψ
]
= [x
i(p+1)
j
, y
jψ
][y
j
, x
i(p+1)
j
ψ
]
assim basta mostrarmos que podemos ”movimentar”ψ nos dois ´ultimos comutadores.
Para isto vamos derivar algumas rela¸c˜oes. Expandindo a rela¸c˜ao definidora [xy, x
ψ
y
ψ
] = 1
obtemos
[xy, x
ψ
y
ψ
] = [x, y
ψ
]
y
[y, x
ψ
]
y
ψ
= [x
p+1
, y
ψ
][y, x
(p+1)ψ
].
Consideremos agora os comutadores [x
i(p+1)
, y
ψ
],
[x
(i+1)(p+1)
, y
ψ
] = [x
p+1
, y
ψ
]
x
i(p+1)
[x
i(p+1)
, y
ψ
].
Onde indu¸c˜ao sobre i mostra que
[x
i(p+1)
, y
ψ
] = [x
i(p+1)ψ
, y], ∀i ∈ N.
15
Agora olhando para os comutadores [x
i(p+1)
, y
jψ
], temos
[x
i(p+1)
, y
jψ
] = [x
i(p+1)
, y
ψ
][x
i(p+1)
, y
(j−1)ψ
],
[x
i(p+1)ψ
, y
j
] = [x
i(p+1)ψ
, y][x
i(p+1)ψ
, y
(j−1)
].
Onde indu¸c˜ao sobre j mostra que
[x
i(p+1)
, y
jψ
] = [x
i(p+1)ψ
, y
j
], ∀i, j ∈ N,
o que encerra a demonstra¸c˜ao do caso H = C
p
2
C
p
.
O caso onde H = (C
p
× C
p
) C
p
segue da pr´oxima proposi¸c˜ao, mais geral.
Proposi¸c˜ao 2.3.3. Se H ´e o grupo nilpotente livre de classe 2, 2-gerado, ent˜ao χ(H)
∼
=
χ(H)
Demonstra¸c˜ao. Aqui vamos considerar a seguinte apresenta¸c˜ao para H,
H = x, y, z | z = [x, y], [x, z] = [y, z] = 1 .
Conseq¨uentemente,
χ(H) =
H, H
ψ
| [x, x
ψ
], [y, y
ψ
], [z, z
ψ
], [xy, x
ψ
y
ψ
], [xz, x
ψ
z
ψ
], [yz, y
ψ
z
ψ
]
.
Vamos iniciar considerando a rela¸c˜ao definidora [xy, x
ψ
y
ψ
] = 1.
[xy, x
ψ
y
ψ
] = [zyx, z
ψ
y
ψ
x
ψ
]
= [zy, z
ψ
y
ψ
x
ψ
]
x
[x, z
ψ
y
ψ
x
ψ
]
= [zy, x
ψ
]
x
[x, z
ψ
y
ψ
]
x
ψ
= [zy
x
, x
ψ
][x, z
ψ
y
x
ψ
]
= [zyz
−1
, x
ψ
][x, z
ψ
y
ψ
z
−ψ
]
= [y, x
ψ
][x, y
ψ
]
de onde tiramos que [x, y
ψ
] = [x
ψ
, y]. Novamente pela rela¸c˜ao acima temos,
[xy, x
ψ
y
ψ
] = [x, y
ψ
]
y
[y, x
ψ
]
y
ψ
= [x
y
, y
ψ
][y, x
yψ
]
= [xz, y
ψ
][y, x
ψ
z
ψ
]
16
de onde vemos que [x, y
ψ
]
z
= [x, y
ψ
]
z
ψ
(⇔ [x, y
ψ
, z] = [x, y
ψ
, z
ψ
])
Agora vamos mostrar que [yx, y
ψ
x
ψ
] = 1, expandindo temos
[yx, y
ψ
x
ψ
] = [y, x
ψ
]
x
[x, y
ψ
]
x
ψ
= [y
x
, x
ψ
][x, y
xψ
]
= [yz
−1
, x
ψ
][x, y
ψ
z
−ψ
]
= [y, x
ψ
]
z
−1
[x, y
ψ
]
z
−ψ
= [x, y
ψ
]
z
−1
−z
−ψ
= 1
pois vimos acima a a¸c˜ao de [z, ψ] sobre [x, y
ψ
] ´e trivial.
Para concluir a demonstra¸c˜ao basta mostrarmos que os comutadores
[x
i
y
j
z
k
, x
iψ
y
jψ
z
kψ
]
s˜ao triviais em χ(H). Notemos que
[x
i+1
, y
ψ
] = [x, y
ψ
]
x
i
[x
i
, y
ψ
] = [x, y
ψ
]
x
iψ
[x
i
, y
ψ
]
onde indu¸c˜ao sobre i mostra que
[x
i
, y
ψ
] = [x
iψ
, y], ∀i ∈ N.
Tamb´em
[x
i+1
, y
ψ
]
y
= [x
i
, y
ψ
]
xy
[x, y
ψ
]
y
= [x
i
, y
ψ
]
x
ψ
y
ψ
[x, y
ψ
]
y
ψ
,
novamente indu¸c˜ao s obre i mostra que
[x
i
, y
ψ
]
y
= [x
i
, y
ψ
]
y
ψ
, ∀i ∈ N.
Mais ainda
[x
i
, y
(j+1)ψ
] = [x
i
, y
jψ
][x
i
, y
ψ
]
y
jψ
onde indu¸c˜ao sobre j mostra que
[x
i
, y
jψ
] = [x
iψ
, y
j
], ∀i, j ∈ N.
Como conseq¨uˆencia deste ´ultimo fato temos
[x
i
, y
(j+1)ψ
] = [x
iψ
, y
j+1
] ⇒ [x
i
, y
jψ
]
y
= [x
i
, y
ψ
]
y
ψ
.
17
Agora
[x
i
y
j
, x
iψ
y
jψ
] = [x
i
, y
jψ
]
y
j
[y
j
, x
iψ
]
y
jψ
= 1, ∀i, j ∈ N.
Enfim expandindo o comutador [x
i
y
j
z
k
, x
iψ
y
jψ
z
kψ
] temos
[x
i
y
j
z
k
, x
iψ
y
jψ
z
kψ
] = [x
i
y
j
, x
iψ
y
jψ
z
kψ
]
z
k
[z
k
, x
iψ
y
jψ
z
kψ
] = [x
i
y
j
, z
kψ
][z
k
, x
iψ
y
jψ
],
j´a sabemos que [xy, z
ψ
] = [x
ψ
y
ψ
, z].Agora
[x
i+1
y
j+1
, z
kψ
] = [x
i
xyy
j
, z
kψ
]
= [x
i
xy, z
kψ
]
y
j
[y
j
, z
kψ
]
= [x
i
, z
kψ
]
xy
j+1
[xy, z
kψ
]
y
j
[y
j
, z
kψ
]
e
[x
(i+1)ψ
y
(j+1)ψ
, z
k
] = [x
iψ
x
ψ
y
ψ
y
jψ
, z
k
]
= [x
iψ
x
ψ
y
ψ
, z
k
]
y
jψ
[y
jψ
, z
k
]
= [x
iψ
, z
k
]
x
ψ
y
(j+1)ψ
[x
ψ
y
ψ
, z
k
]
y
jψ
[y
jψ
, z
k
]
Assim para encerrar a demonstra¸c˜ao basta verificar que
[xy, z
ψ
]
y
= [xy, z
ψ
]
y
ψ
o que ´e direto.
E como conseq¨uˆencia imediata da ´ultima proposi¸c˜ao temos
Corol´ario 2.3.1. Se H = C
2
p
C
p
ent˜ao χ(H)
∼
=
χ(H).
Com isto encerramos a demonstra¸c˜ao do teorema enunciado no inicio de se¸c˜ao.
18
Cap´ıtulo 3
Comutatividade fraca por bije¸c˜ao
entre 2 c´opias H.
3.1 Defini¸c˜oes
Defini¸c˜ao 3.1.1. Sejam h →
˙
h um isomorfismo entre os grupos H e
˙
H, σ ∈ Bij(H
#
,
˙
H
#
)
o conjunto das bije¸c˜oes de H
#
em
˙
H
#
, onde H
#
= H \ {1}. O grupo
χ(H, σ) = {H,
˙
H | [h, h
σ
], ∀h ∈ H
#
}
´e definido como sendo o quociente do produto livre H ∗
˙
H pelo fecho normal das rela¸c˜oes
{[h, h
σ
], ∀h ∈ H
#
}.
Notemos que se h
σ
=
˙
h, ∀h ∈ H
#
, ent˜ao o grupo χ(H, σ) reduz-se ao grupo χ(H) e
neste caso,
˙
h deve ser substitu´ıdo por h
ψ
3.2 Refinamentos para σ ∈ Bij(H
#
,
˙
H
#
).
Nesta sess˜ao utilizamos dois m´etodos para simplificar o estudo do conjunto de grupos
χ(H, σ) | σ ∈ Bij(H
#
,
˙
H
#
)
descritos nas pr´oximas proposi¸c˜oes.
19
Proposi¸c˜ao 3.2.1. Sejam H um grupo finito, A = Aut(H),
˙
A = Aut(
˙
H), os respectivos
grupos de automorfismos de H, σ ∈ Bij(H
#
,
˙
H
#
), α ∈ A e β ∈
˙
A. Ent˜ao
χ(H, σ)
∼
=
χ(H, ασβ).
Demonstra¸c˜ao. Temos o epimorfismo natural,
ϕ : χ(H, σ) χ(H, ασβ),
h → h
(α
−1
)
˙
h →
˙
h
β
,
j´a que,
[h, h
σ
]
ϕ
= [h
α
−1
, h
σβ
] = [h
α
−1
, h
α
−1
ασβ
].
De maneira semelhante definimos
ϕ
1
: χ(H, σ) χ(H, ασβ),
h → h
α
˙
h →
˙
h
β
−1
,
que claramente ´e o inverso de ϕ.
Lema 3.2.1. Sejam H um p-grupo abeliano elementar de posto n,
˙
H uma c´opia isomorfa
de H, σ ∈ Bij(H
#
,
˙
H
#
). Ent˜ao σ leva alguma base de H em uma base de
˙
H.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que C seja um subconjunto linearmente independe de H com
j < n elementos, tal que C
σ
tamb´em seja linearmente independente em
˙
H. Consideremos
U = C e W = C
σ
, como U < H podemos es colher v ∈ H \ U. Assim o conjunto
L = {uv
i
| u ∈ U, 1 j p − 1}
possui p
j
(p − 1) elementos que s˜ao independentes de C.
Agora temos que
L
σ
∩ W ⊆ W
#
\ C
σ
pois para x ∈ L
σ
∩ W , temos que x = y
σ
com y ∈ L
σ
, agora se supormos que x ∈ C
f
teriamos que y = x
σ
−1
∈ L ∩ C, o que n˜ao pode acontecer visto que o ´ultimo conjunto ´e
vazio. De fato temos, L
σ
∩ W ⊆ W
#
\ C
σ
. Como
|W
#
\ C
σ
| = p
j+1
− (1 + j)
20
temos que
|L
σ
\ (L
σ
∩ W )| = |L
σ
| − |L
σ
∩ W | p
j+1
− 2p
j
+ (1 + j).
Assim existem pelo menos 1 + j elementos v
∈ L tal que v
f
´e independente de C
f
. Desta
forma podemos obter uma base de H que ´e levada por σ `a uma base de
˙
H.
Proposi¸c˜ao 3.2.2. Seja H = C
n
p
= a
1
, . . . , a
n
um p-grupo abeliano elementar de posto
n. Ent˜ao, para σ ∈ Bij(H
#
,
˙
H
#
) podemos obter σ ∈ Bij(H
#
,
˙
H
#
) tal que a
σ
i
= ˙a
i
, 1
i n e χ(H, σ)
∼
=
χ(H, σ).
Demonstra¸c˜ao. Pelo lema anterior podemos encontrar uma base B de H tal que B
σ
´e
uma base de
˙
H. Tamb´em podemos encontrar α ∈ Aut(H) e β ∈ Aut(
˙
H) tal que
{a
1
, . . . , a
n
}
α
= B, e (B
σ
)
β
= {˙a
1
, . . . , ˙a
n
}.
Assim basta escolher σ = ασβ.
Considerando h ∈ H, σ ∈ Bij(H
#
,
˙
H
#
), ent˜ao [h, h
σ
] = 1 ´e uma rela¸c˜ao definidora
do grupo χ(H, σ), ent˜ao, claramente, [h
n
, (
˙
h
σ
)
n
] = 1 tamb´em ´e uma rela¸c˜ao, conseq¨uˆencia
da primeira. Assim de maneira a obter grupos com ordem ”superiores”, ´e natural definir
(h
n
)
σ
= (h
σ
)
n
, ou seja considerar σ permutando os subgrupos c´ıclicos de H. Pois se n˜ao
fosse este o caso ter´ıamos como rela¸c˜oes definidoras, [h, h
σ
] = [h
n
, (h
n
)
σ
] = 1, e como
conseq¨uˆencia, [h
n
, (h
σ
)
n
] = 1, o que causar uma diminui¸c˜ao na ordem de χ(H, σ), isto
quando H n˜ao for 2-abeliano elementar. A pr´oxima proposi¸c˜ao nos mostra que os χ(H, σ),
com σ permutando os subgrupos c´ıclicos de H, que n˜ao ´e 2-abeliano elementar, tem a
propriedade de serem preimagens dos grupo χ(H, β) com β ∈ Bij(H
#
,
˙
H
#
) arbitr´ario.
Proposi¸c˜ao 3.2.3. (Sidki)Sejam H um p-grupo abeliano elementar finito, p ´ımpar,
σ ∈ Bij(H
#
,
˙
H
#
). Ent˜ao ´e poss´ıvel obter σ ∈ Bij(H
#
,
˙
H
#
), permutando os subgrupos
c´ıclicos de H, de forma que χ(H, σ) seja imagem homomorfa do grupo χ(H, σ).
O pr´oximo Lema tem grande importˆancia para lidar com os grupos χ(H, σ), fornecendo
um crit´erio eficiente para determinar igualdade entre comutadores, o que possibilita cal-
cular os termos de serie central descendente de χ(H, σ) em v´arias situa¸c˜oes.
Lema 3.2.2. (Gerador de rela¸c˜oes)
Sejam H um grupo e a, b, x, y ∈ H. Ent˜ao, em χ(H, σ) valem:
21
i. [a, ˙x] = 1 ⇒ [a,
˙
b] = [a, ˙x
˙
b].
ii. [y,
˙
b] = 1 ⇒ [a,
˙
b] = [ya,
˙
b];
Demonstra¸c˜ao. i. [a, ˙x
˙
b] = [a,
˙
b][a, ˙x]
a
= [a,
˙
b];
ii. [ya,
˙
b] = [y,
˙
b]
a
[a,
˙
b] = [a,
˙
b].
Denotando o comutador simples [a,
˙
b] p or (a, b), os passos i. e ii., do ´ultimo lema
podem ser exibidos na forma de um grafo:
(ya, b) ← (a, b) → (a, xb).
Exemplo 3.2.1. Sejam H = a
1
, a
2
o grupo de Klein,
σ : a
1
→ ˙a
1
a
2
→ ˙a
1
˙a
2
a
1
a
2
→ ˙a
2
Denotando [a
1
, ˙a
2
] por (1, 2) e usando o lema 3.2.2 para construir o grafo temos
(1, 2) ← (1, 12) ← (12, 12) ← (12, 1) ← (2, 1) ← (2, 2) ← (1, 2) → (1, 12) → (12, 12) → (12, 1) → (2, 1)
de onde vemos que
[a
1
, ˙a
2
] = [a
2
, ˙a
1
] = [a
2
, ˙a
2
] ∈ Z(χ(H, σ)).
Como
χ(H, σ)
= [a
i
, ˙a
j
], i, j = 1, 2
χ(H,σ)
vemos que χ(H, σ) ´e de classe 2.
Para e ste lema escrevemos uma rotina, A.0.1, para ser usado no GAP [10], que permite
computar o grafo para os comutadores simples, como o do exemplo acima, computacional-
mente.
3.2.1 O grupo χ(H, σ), σ uma transposi¸c˜ao.
Nesta parte vamos ver que ao considerarmos H um p-grupo abeliano elementar, σ = (i, j)
uma transposi¸c˜ao, o conjunto C = {h
i
, h
j
} ´e linearmente independente de H sempre que
22
p = 2. J´a para p ´ımpar temos a possibilidade do conjunto C ser linearmente dependente.
Se este for o caso ter´ıamos
h
j
∈ h
i
,
de onde vemos que σ fixa todos os subgrupos c´ıclicos de H. Assim, dentro de χ(H, σ)
temos que,
[h
i
, h
ψ
j
] = [h
i
, h
kψ
i
] = 1 =⇒ [h
i
, h
ψ
i
] = 1,
de onde vemos que
χ(H, σ) = χ(H).
O pr´oximo Lema nos mostra que todos grupos χ(H, σ), com H fixo e σ uma trans-
posi¸c˜ao, trocando elementos LI de H, s˜ao isomorfos.
Lema 3.2.3. Seja H um p-grupo abeliano elementar de posto n, GL(n, p) seu grupo de
automorfismos. Suponhamos que {h, k} e {
h,
k} s˜ao subconjuntos linearmente indepen-
dentes de H. Para cada σ ∈ Bij(H
#
, H
#
) tal que h
σ
= k ´e poss´ıvel obter α ∈ GL(n, p)
tal que
h
σ
α
=
k.
Demonstra¸c˜ao. Basta considerar α ∈ GL(n, p) tal que
h
α
= h,
k
α
= k.
3.3 H p-grupo abeliano elementar de posto no m´aximo
4, p = 2, 3.
A seguir vamos listar os resultados obtidos via GAP [10], usando os refinamentos demons-
trados na ´ultima se¸c˜ao. Computacionalmente, consideramos os elementos de H ordenados
segundo alguma ordem sobre seus elementos. Notemos que no sistema GAP a ordem so-
bre palavras associativas ´e definida pelo comprimento e pela lexicografia, isto ´e palavras
de comprimento menor s˜ao menores do que palavra de comprimento maior e palavras de
mesmo comprimento s˜ao comparadas segundo a ordem lexicogr´afica induzida por uma
ordena¸c˜ao dos geradores. Os geradores s˜ao ordenados pela ordem em que s˜ao criados; se
23
um gerador g ´e invert´ıvel ent˜ao ele ´e maior que seu inverso g
−1
e g
−1
´e maior que qualquer
gerador menor do que g . Desta forma podemos considerar que o grupo Bij(H
#
,
˙
H
#
)
age nos ´ındices dos elementos de
˙
H
#
, de onde passaremos a identificar Bij(H
#
,
˙
H
#
)
com S
|H|−1
. Ent˜ao o grupo dos automorfismos de H poder´a ser visto como subgrupo de
S
|H|−1
, simplesmente observando as permuta¸c˜oes, em S
|H|−1
, induzidas pelos e lementos
de Aut(H),
α ∈ Aut(H) e h
α
i
= h
j
⇒ i
α
= j.
Desta forma temos que
A = Aut(H) = Aut(
˙
H) S
|H|−1
,
isto nos permite calcular as classes duplas
A\S
|H|−1
/A = {AsA | s ∈ S
|H|−1
}
usando as fun¸c˜oes dispon´ıveis no GAP.
Agradecemos ao Prof. Alexander Hulpke por ter nos disponibilizados uma melhoria
para uma fun¸c˜ao do sistema GAP [10], que permitiu calcular as classes duplas men-
cionadas acima. Esta fun¸c˜ao tem a sintaxe
DoubleCosetRepsAndSizes( G, U, V );
ela retorna uma lista com os representantes das classes duplas U\G/V junto com a res-
pectiva ordem de cada classe.
Nos pr´oximos casos denotaremos por c e d a classe de nilpotˆencia e o comprimento
derivado de χ(H, σ) respectivamente.
Caso 1. H = C
2
2
= {1, a
1
, a
2
, a
1
a
2
};
S
3
= (2, 3, 4), (2, 3) = GL(2, 2).
Da´ı
χ(H, σ)
∼
=
χ(H), ∀σ ∈ S
3
.
Caso 2. H = C
3
2
= {1, a
1
, a
2
, a
3
, a
1
a
2
, a
1
a
3
, a
2
a
3
, a
1
a
2
a
3
}.
S
7
= (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), (2, 3) ,
24
G = GL(3, 2) = (2, 7, 4, 6, 5, 8, 3), (2, 8, 7)(3, 4, 6) .
Abaixo temos os representantes de classes duplas G\S
7
/G com o respectivo n´umero de ele-
mentos em cada classe, e uma tabela com a ordem a classe de nilpotˆencia e o comprimento
derivado dos grupos χ(H, σ).
{{(), 168}, {(7, 8), 1176}, {(6, 7, 8), 2352}, {(5, 6, 7, 8), 1344}}.
σ |χ(H, σ)| c d
() 2
10
3 2
(6, 7) 2
10
3 2
(6, 7, 8) 2
8
2 2
(5, 6, 7, 8) 2
8
2 2
Caso 3. H = C
4
2
= a
1
, a
2
, a
3
, a
4
,
S
15
= (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16), (2, 3) ,
GL(4, 2) = (3, 12, 16, 6, 9, 15)(4, 8, 14)(5, 11, 7)(10, 13), (2, 3, 13, 11, 4)(5, 7, 6, 8, 12)(9, 10, 15, 16, 14) .
Temos 3374 representantes de classes duplas. Abaixo mostramos as ordens dos grupos
com a respectiva quantidade,
{{2
9
, 1888}, {2
10
, 1278}, {2
11
, 171}, {2
12
, 14}, {2
13
, 13}, {2
15
, 5}, {2
19
, 5}}.
Por exemplo, para os 5 grupos de ordem 2
19
, temos a seguinte situa¸c˜ao,
σ |χ(H, σ)| c d
() 2
19
4 2
(15, 16) 2
19
3 3
(11, 14)(15, 16) 2
19
5 3
(9, 11)(10, 13)(12, 14) 2
19
5 3
(9, 12)(10, 13)(11, 14) 2
19
4 2
Nos pr´oximos casos temos os resultados para H = C
k
3
, k = 2, 3. Nestes casos al´em
do refinamento das classes duplas dado pela Proposi¸c˜ao 3.2.1, vamos usar a Proposi¸c˜ao
25
3.2.3, para reduzir ainda mais a quantidade dos grupos χ(H, σ), onde σ permuta somente
o conjunto dos subgrupos c´ıclicos de H . Se H = C
k
p
ent˜ao a a¸c˜ao sobre estes grupos
c´ıclicos sera dada pelo grupo S
n
, com n =
p
k
−1
p−1
e a a¸c˜ao do grupo GL(k, p) sera dada pelo
grupo P GL(k, p), j ´a que os elementos do centro agem de maneira trivial sobre o conjunto
dos subgrupos c´ıclicos de H.
Caso 4. H = C
2
3
= a
1
× a
2
Abaixo temos um sistemas de geradores para os subgrupos c´ıclicos de H,
SGC = {{a
1
, 2}, {a
2
, 3}, {a
1
a
2
, 5}, {a
1
a
2
2
, 8}},
onde os elementos do conjunto acima representam o gerador escolhido e sua posi¸c˜ao dentro
do grupo, segundo a ordem para H. Assim temos,
S
4
= (2, 3, 5, 8), (2, 3) = P GL(2, 3).
Neste caso σ = 1 ´e o ´unico representante de classes dupla, o que mostra,
χ(H) χ(H, σ), ∀σ ∈ S
|H|−1
.
Caso 5. H = C
3
3
= a
1
× a
2
× a
3
Aqui escolhemos o seguinte sistema de geradores dos subgrupos c´ıclicos e suas respectivas
posi¸c˜oes em H,
SGC = {{a
1
, 2}, {a
2
, 3}, {a
3
, 4}, {a
1
a
2
, 6}, {a
1
a
3
, 7}, {a
2
a
3
, 9}, {a
1
a
2
2
, 13},
{a
1
a
2
3
, 15}, {a
2
a
2
3
, 17}, {a
1
a
2
a
3
, 14}, {a
1
a
2
2
a
3
, 21}, {a
1
a
2
a
2
3
, 22}, {a
1
a
2
2
a
2
3
, 26}}.
S
13
= (2, 3, 4, 6, 7, 9, 13, 14, 15, 17, 21, 22, 26), (2, 3) ,
P GL(3, 3) = (2, 14, 15, 26, 13, 22, 21, 7)(3, 4, 9, 17), (2, 21, 4, 17, 26, 3, 6, 15)(7, 22, 13, 9) .
Onde temos 252 representantes de classes duplas, e abaixo listamos a quantidade de
grupos com mesma ordem,
{{3
6
, 235}, {3
7
, 11}, {3
8
, 5}, {3
9
, 1}}.
Notemos que neste caso, ao contrario do caso p = 2, n temos apenas um grupo de ordem
m´axima, 3
9
, que ´e a ordem do grupo χ(H, 1)
∼
=
χ(H). Todos os grupos possuem classe de
nilpotˆencia no m´aximo 2.
Ressaltamos que temos provas diretas para as evidencias computacionais que acabamos
de mencionar, estes c´alculos se encontram no Apˆendice B.
26
3.4 Calculo do grupo χ(H, σ), para H p-grupo abeliano
elementar, p ´ımpar, e σ uma transposi¸c˜ao.
Nesta se¸c˜ao vamos mostrar que o grupo χ(H, σ) ´e um quociente do grup o χ(H) quando
H ´e um p-grupo abe liano elementar finito, p-´ımpar, e σ uma transposi¸c˜ao. Assim, neste
caso, verificamos a conjectura. No Lema 3.2.3 mostramos que se σ , σ
1
s˜ao transposi¸c˜oes,
ent˜ao χ(H, σ)
∼
=
χ(H) ou χ(H, σ)
∼
=
χ(H, σ
1
).
Lema 3.4.1. Sejam H = a
1
, . . . , a
n
um grupo finito de ordem ´ımpar, σ uma permuta¸c˜ao
de H tal que a
σ
i
= a
i
, (a
i
a
−1
j
) = a
i
a
−1
j
, ∀i, j ∈ {1, . . . , n}. Ent˜ao
[a
i
, ˙a
j
] = [˙a
i
, a
j
], ∀i, j ∈ {1, . . . , n}.
Demonstra¸c˜ao. Inicialmente vamos obter algumas rela¸c˜oes decorrentes do grafo para co-
mutadores, lema 3.2.2,
[a
i
, ˙a
j
] = [a
i
a
−1
j
, ˙a
j
] = [a
i
a
−1
j
, ˙a
i
] = [a
−1
j
, ˙a
i
],
de onde vemos que o comutador [a
i
, ˙a
j
] ´e centralizado por a
i
, a
j
, ˙a
i
, ˙a
j
com i, j ∈ {1, · · · , n},
mais ainda
1 = [a
j
a
−1
j
, ˙a
i
] = [a
j
, ˙a
i
]
a
−1
j
[a
−1
j
, ˙a
i
] = [a
j
, ˙a
i
][a
−1
j
, ˙a
i
],
o que resulta
[a
i
, ˙a
j
] = [˙a
i
, a
j
], ∀i, j ∈ {1, · · · , n}.
Teorema 3.4.1. Sejam H = a
1
, · · · , a
n
um p-grupo abeliano elementar finito de posto
n 3, p ´ımpar e σ uma transposi¸c˜ao. Ent˜ao o grupo χ(H, σ) ´e um quociente do grupo
χ(H), cuja ordem divide
|χ(H)|
3
.
Demonstra¸c˜ao. Pelo Lema 3.2.3 vemos que o grupo χ(H, σ)
∼
=
χ(H) quando σ permuta
elementos linearmente dependentes de H. Assim podemos supor σ permutando elementos
linearmente independente de H, por conveniˆencia vamos escolher
σ : a
1
a
n
←→ a
2
a
n
27
Temos que as rela¸c˜oes de χ(H, σ) as rela¸c˜oes que n˜ao est˜ao na defini¸c˜ao de χ(H) s˜ao
[a
1
a
n
, ˙a
1
˙a
n
] = [a
2
a
n
, ˙a
2
˙a
n
] = 1. Assim considerando k ∈ {1, 2}, temos
[a
i
a
n
, ˙a
i
˙a
n
] = [a
i
, ˙a
i
˙a
n
]
a
n
[a
n
, ˙a
i
˙a
n
] = [a
i
, ˙a
n
][a
n
, ˙a
i
],
logo usando o ultimo lema vemos que vemos que os comutadores acima s˜ao triviais em
χ(H, σ). Desta forma a aplica¸c˜ao
φ : χ(H) −→ χ(H, σ)
a
i
−→ a
i
˙a
i
−→ ˙a
i
pode ser estendida `a um epimorfismo. Expandindo a rela¸c˜ao definidora [a
1
a
n
, ˙a
2
˙a
n
] temos,
[a
1
, ˙a
2
] = [a
n
, ˙a
1
][a
n
, ˙a
2
],
o que mostra que [a
1
, ˙a
2
]
−1
[a
1
, ˙a
n
][a
n
, ˙a
2
] ´e um elemento de ordem 3 no n´ucleo φ, assim
vemos que
|χ(H, σ)| divide
|χ(H)|
3
.
28
Cap´ıtulo 4
Comutatividade fraca por
isomorfismo entre n c´opias de H.
4.1 Defini¸c˜oes
Consideremos H um grupo finito, o grupo χ(H) definido no primeiro cap´ıtulo tinha como
caracter´ısticas:
• Possuir duas c´opias do grupo H, comutando fracamente,
• possuir um automorfismo de ordem 2 que permuta estas duas c´opias,
ψ : h ↔ h
ψ
.
De maneira a generalizar este comportamento vamos considerar o grupo definido pela
apresenta¸c˜ao
G =
H, ψ | [h
ψ
i
, h
ψ
j
] = 1, [D
ij
, L
kl
] = 1, ψ
n
, ∀h ∈ H, i, j, k, l ∈ {0, . . . n − 1}
onde D
ij
= [H
ψ
i
, H
ψ
j
], e L
ij
= [H
ψ
l
, ψ
j
] com [h
ψ
i
, ψ
j
] = h
−ψ
i
h
ψ
i+j
. Notemos que o grupo
G possui n subgrupos H, H
ψ
, . . . , H
ψ
n−1
, que comutam fracamente. Assim definimos o
grupo de comutatividade fraca entre n c´opias de H como sendo
χ(n, H) =
H, H
ψ
, . . . , H
ψ
n−1
.
A inclus˜ao das rela¸c˜oes [D
ij
, D
kl
] = 1 na defini¸c˜ao do grupo G, deve ao fato de que em
χ(H) vale a rela¸c˜ao [D(H), L(H)] = 1, onde D(H) = [H, H
ψ
] e L(H) = [H, ψ] e ao
29
fato de que sem estas rela¸c˜oes temos exemplos onde o grupo G infinito, por exemplo, se
H = C
2
2
, o grupo
H, ψ | [h, h
ψ
] = 1, ψ
3
= 1, ∀h ∈ H
,
´e uma extens˜ao de Z
4
por um grupo finito de ordem (2
13
)3.
4.2 χ(H) como subgrupo de χ(n, H).
Temos as seguintes aplica¸c˜oes, que podem ser estendidas `a homomorfismos,
φ
1
: χ(H) → χ(n, H)
h → h
h
ψ
→ h
ψ
φ
2
: χ(n, H) χ(H)
h → h
h
ψ
→ h
ψ
h
ψ
i
→ 1
onde a composi¸c˜ao φ
1
φ
2
´e a identidade sobre χ(H), de onde vemos que
χ(H) → χ(n, H).
4.3 Nilpotˆencia de χ(n, H).
Uma caracter´ıstica marcante do grup o χ(H) ´e o fato dele herdar algumas propriedades do
grupo H, por exemplo a finitude, solubilidade, nilpotˆencia, entre outras. Vamos examinar
a quest˜ao de nilpotˆencia. Para isto vamos supor que o grupo H ´e nilpotente de classe
c. Observamos ainda que os pr´oximos resultados s˜ao generaliza¸c˜oes de resultados obtidos
para o grupo χ(H) por Gupta-Rocco-Sidki [8].
Lema 4.3.1. Sejam x, y, z, y
i
, z
i
∈ H, ent˜ao:
i. [x
ε
, y] = [x, y
ε
], ε ∈ {ψ, ψ
2
· · · , ψ
n−1
};
ii. [x
ε
, y]
z
ε
= [x
ε
, y]
z
, onde ε ∈ {ψ, ψ
2
· · · , ψ
n−1
};
30
iii. [x
ε
, y]
w(z
ε
1
1
,z
ε
2
2
,...,z
ε
n
n
)
= [x
ε
, y]
w(z
1
,z
2
,...,z
n
)
, onde ε
i
∈ {1, ψ, ψ
2
· · · , ψ
n−1
} e w ´e uma
palavra nas suas entradas;
iv. [x
ε
, y, x] = [x, y, x
ε
], ε ∈ {ψ, . . . , ψ
n−1
};
v. [x
ε
, y
1
, . . . , y
n
, x] = [x, y
1
, . . . , y
n
, x
ε
], ε ∈ {ψ, . . . , ψ
n−1
}.
Demonstra¸c˜ao. i.
1 = [xy
−1
, x
ε
y
−ε
]
= [x, x
ε
y
−ε
]
y
−1
[y
−1
, x
ε
y
−ε
]
= [x, y
−ε
]
y
−1
[y
−1
, x
ε
]
y
−ε
.
Conjugando a igualdade acima por yy
ε
, obtemos
[x, y
−ε
]
y
ε
[y
−1
, x
ε
]
y
−ε
= 1
de onde segue que
[x
ε
, y] = [x, y
ε
].
ii.
[x
ε
z
ε
, y] = [xz, y
ε
]
[x
ε
, y]
z
ε
[z
ε
, y] = [x, y
ε
]
z
[z, y
ε
]
[x
ε
, y]
z
ε
[z
ε
, y] = [x
ε
, y]
z
[z
ε
, y]
[x
ε
, y]
z
ε
= [x
ε
, y]
z
.
iii. Notemos que a rela¸c˜ao [D, L] ´e uma conseq ¨uˆencia das rela¸c˜oes [h, h
ψ
] = 1. Por outro
lado, o fato
[x
ε
, y]
z
ε
i
= [x
ε
, y]
z
,
deve-se a rela¸c˜ao [H
ε
, H; H, ε
i
] = 1, aqui [x, y; z, w] = [[x, y], [z, w]].
iv. A expans˜ao da igualdade [y, x
ε
x] = [y, xx
ε
] resulta em,
[y, x][y, x
ε
][y, x
ε
, x] = [y, x
ε
][y, x][y, x, x
ε
].
Devido ao item ii. temos que,
1 = [y, x
ε
; y, x
ε
] = [y, x
ε
; y, x],
31
usando isto na igualdade acima, ela se reduz a,
[y, x
ε
, x] = [y, x, x
ε
],
onde conjugamos esta ultima por −[x
ε
, y] para escrever,
[y, x
ε
, x]
−[x
ε
,y]
= [y, x, x
ε
]
−[x
ε
,y]
”
ii.
= [y, x, x
ε
]
−[x,y]
[x
ε
, y, x] = [x, y, x
ε
]
v. Podemos demonstrar o resultado indutivamente. Pelo item anterior temos que,
[x
ε
, y
1
y
2
, x] = [x, y
1
y
2
, x
ε
],
onde a expans˜ao leva a,
[[x
ε
, y
2
][x
ε
, y
1
][x
ε
, y
1
, y
2
], x] = [[x, y
2
][x, y
1
][x, y
1
, y
2
], x
ε
],
e ent˜ao,
[x
ε
, y
2
, x]
[x
ε
,y
1
][x
ε
,y
1
,y
2
]
[x
ε
, y
1
, x]
[x
ε
,y
1
,y
2
]
[x
ε
, y
1
, y
2
, x] =
[x, y
2
, x
ε
]
[x,y
1
][x,y
1
,y
2
]
[x, y
1
, x
ε
]
[x,y
1
,y
2
]
[x, y
1
, y
2
, x
ε
]. Agora usando os itens ii. e iv pode-
mos cancelar os primeiros membros de ambos lados, restando a igualdade,
[x
ε
, y
1
, y
2
, x] = [x, y
1
, y
2
, x
ε
].
Lema 4.3.2. i. [H
ε
, H, H
ε
1
, . . . , H
ε
n
] = [H
ε
, (n+1)H], para n 1 e ε, ε
i
∈ {1, ψ, . . . , ψ
n−1
};
ii. [H
ε
, mH; γ
n
(H)] [H
ε
, (m + n)H], para m 0, n 1;
iii. [H
ε
1
, H
ε
2
, . . . , H
ε
n
]
ε∈ψ
[H
ε
, (n − 1)H]
ψ
γ (H
ε
)
χ(n,H)
.
Demonstra¸c˜ao. i. Segue imediatamente do lema anterior item iii.
ii. Vamos fazer a prova usando indu¸c˜ao sobre n. O resultado ´e imediato para n = 1.
Agora, para n 2, vamos assumir o resultado valido para n − 1, e consideremos
32
x ∈ γ
n−1
(H), y ∈ H e z ∈ [H
ε
, mH]. Agora usando o item iii. do lema anterior e a
forma alternativa da identidade de Witt,
[z, [x, y]] = [z, y
−1
, x
z
]
y
[z, x
−1
, y
−1
]
xy
,
temos,
[H
ε
, mH; γ
n
(H)] [H
ε
, (m + 1)H, γ
n−1
(H)]
H
[H
ε
, mH, γ
n−1
(H), H]
[H
ε
, (m + 1)H, γ
n−1
(H)][H
ε
, mH, γ
n−1
(H), H]
[H
ε
, (m + n)H].
iii. Denotando os expoentes de H no comutador [H
ε
1
, . . . , H
ε
n
] por (ε
1
, . . . , ε
n
), temos
que
[H
ε
1
, . . . , H
ε
n
]
ε
= [H
ε
1
ε
, . . . , H
ε
n
ε
]
´e representado por
(ε
1
, . . . , ε
n
)ε = (ε
1
ε, . . . , ε
n
ε).
Para o caso de (ε
1
, . . . , ε
n
) = (1, . . . , 1), (ψ
i
, . . . , ψ
i
), o resultado ´e direto. As outras
possibilidades para (ε
1
, . . . , ε
n
), s˜ao:
• (ε, . . . , ε, 1, . . .);
• (ε, . . . , ε, ε
1
, . . .) = (εε
−1
1
, . . . , εε
−1
1
, 1, . . .)ε
1
Como podemos observar, pela lista acima, os outros casos se resumem `a (ε, . . . , ε, 1, . . .),
a menos da a¸c˜ao por ψ. Supondo ent˜ao (ε
1
, . . . , ε
n
) = (ε, . . . , ε, 1, ε
i+2
, . . . , ε
n
) para
1 i < n, temos
[H
ε
1
, . . . , H
ε
n
] = [γ
i
(H)
ε
, H, H
ε
i+2
, . . . , H
ε
n
]
i.
= [γ
i
(H)
ε
, H, (n − i − 1)H]
= [γ
i
(H), H
ε
, (n − i − 1)H]
= [H
ε
, γ
i
(H), (n − i − 1)H]
[H
ε
, iH, (n − i − 1)H]
ii.
[H
ε
, (n − 1)H]
33
Como conseq¨uˆencia deste ´ultimo lema temos o pr´oximo.
Lema 4.3.3. Se γ
c+1
(H) = 1 e χ
n
= χ(n, H), ent˜ao
[γ
c+1
(χ
3
), γ
2
(χ
3
)] = 1;
Demonstra¸c˜ao.
[γ
c+1
(χ
3
), γ
2
(χ
3
)] [[H
ε
, cH], γ
2
(χ
3
)]
[H
ε
, cH; H
ε
1
, H
ε
2
] , ε
1
, ε
2
∈ {1, ψ, . . . , ψ
n−1
}
= [H
ε
, cH; H, H]
= [H
ε
, H; H
ε
, cH]
= [H
ε
, H; H, cH]
= 1
Os pr´oximos resultados s˜ao an´alogos aos encontrados em [8] e suas demonstra¸c˜oes
ser˜ao omitidas.
Teorema 4.3.1. Se H ´e um grupo nilpotente 2-gerado de classe no m´aximo c, ent˜ao
χ(n, H) ´e nilpotente de classe no m´aximo c + 1.
Teorema 4.3.2. Sejam H um grupo nilpotente m-gerado de classe no m´aximo c com
m 2, c 1. Ent˜ao para m c + 2, γ
c+3
(χ(n, H)) = 1.
Teorema 4.3.3. Sejam H um grupo nilpotente m-gerado de classe no m´aximo c com
m 2, c 1. Ent˜ao para m c + 2, γ
c+3
(χ(n, H)) ´e um 2-grupo abeliano elementar de
posto no m´aximo
m
k=c+3
m
k
.
4.4 Estimativa para ordem de χ(n, H), H abeliano.
Teorema 4.4.1. Se H ´e um grupo abeliano finito, ent˜ao |χ(n, H)| divide |χ(H)|
m
|H|
n−2m
,
onde m =
n
2
.
Demonstra¸c˜ao. Inicialmente temos que
χ(n, H)
= D
ij
1i<jn
.
34
Tamb´em
[D
ij
, D
kl
] = 1, ∀i, j ∈ {1..n}
pois
[h
ψ
i
, k
ψ
j
]
[h
ψ
k
1
,k
ψ
l
2
]
= [h
ψ
i
, h
ψ
j
]
[h
1
,k
2
]
= [h
ψ
i
, h
ψ
j
]
1
.
Como
D
ij
∼
=
D, ∀i, j ∈ {1, . . . , n}, e |D| =
|χ(H)|
|H|
2
segue
χ(n, H)
| |D|
m
,
e conseq¨uentemente
|χ(n, H)| | |χ(n, H)
||H|
n
| |D|
m
|H|
n
= |χ(H)|
m
|H|
n−2m
.
Considerando H = C
2
2
, C
3
2
, C
2
3
, C
3
3
o uso do sistema GAP mostra uma igualdade no
teorema acima.
35
Apˆendice A
Algoritmos
Aqui apresentamos uma vers˜ao do lema 3.2.2, escrito para o GAP, onde H ´e 3-grupo
abeliano elementar. Temos 4 fun¸c˜oes:
1. gerel: computa os elementos da arvore,
2. encontre: procura por um comutador na lista criada pela fun¸c˜ao ”gerel”,
3. encontre1: procura por elementos na primeira posi¸c˜ao dos comutadores criados pela
fun¸c˜ao ”gerel”,
4. encontre2: procura por elementos na segunda posi¸c˜ao dos comutadores criados pela
fun¸c˜ao ”gerel”.
36
Algoritmo A.0.1.
#H,HP s~ao as duas c´opias de H.
#SIGMA ´e a permuta¸c~ao que define o grupo.
#COMUT ´e uma lista com as ra´ızes das arvores para serem construidas.
ger:=function(H,HP,SIGMA,COMUT)
local x,y,a,b,eh,ehp;
eh:=Elements(H);ehp:=Elements(HP);
for x in COMUT do
for y in x do
for a in Group(ehp[Position(eh,y[1])^SIGMA]) do
if not [eh[Position(eh,y[1])],ehp[Position(ehp,a*y[2])]] in x then
Add(x,[eh[Position(eh,y[1])],ehp[Position(ehp,a*y[2])]]);
fi;
od;
for b in Group(eh[Position(ehp,y[2])^(SIGMA^-1)]) do
if not [eh[Position(eh,b*y[1])],ehp[Position(ehp,y[2])]] in x then
Add(x,[eh[Position(eh,b*y[1])],ehp[Position(ehp,y[2])]]);
fi;
od;
od;
od;
end;
37
encontre:=function(COM,COMUT)
local lista,x;
for x in COMUT do if COM in x then Print(x[1],"\n");fi;od;
lista:=[];for x in COMUT do lista:=Concatenation(lista,x);od;
if not COM in lista then Print("N~ao posso","\n");fi;
end;
#################################
encontre1:=function(EH,COM,COMUT)
local l1,l2,x,i,z;
for x in COMUT do if COM in x then l1:=x;break;fi;od;
for i in [1..Size(l1)] do if l1[i][1] in Group(EH) then
Print(COM,"=",l1[i],"\n");break;fi;od;
l2:=List(l1,z->z[1]);
if Size(Intersection(l2, Group([EH])))=0 then
Print("N~ao posso","\n");fi;
end;
##################################
encontre2:=function(EHP,COM,COMUT)
local l1,l2,x,i,z;
for x in COMUT do if COM in x then l1:=x;break;fi;od;
for i in [1..Size(l1)] do if l1[i][2] in Group(EHP) then
Print(COM,"=",l1[i],"\n");break;fi;od;
l2:=List(l1,z->z[2]);
if Size(Intersection(l2, Group([EHP])))=0 then
Print("N~ao posso","\n");fi;
end;
38
Apˆendice B
C´alculo do G rupo χ(H, σ), H
p-abeliano elementar de posto no
m´aximo 4, p = 2, 3.
Proposi¸c˜ao 1. Seja H = C
3
2
= a
1
, a
2
, a
3
. Ent˜ao o grupo χ(H, σ) ´e um 2-grupo, ∀σ ∈
{(6, 7), (6, 7, 8), (5, 6, 7, 8)}.
Demonstra¸c˜ao. Inicialmente vamos considerar σ = (6, 7). As rela¸c˜oes que n˜ao aparecem
na defini¸c˜ao de χ(H) s˜ao,
[a
1
a
3
, ˙a
2
˙a
3
], [a
2
a
3
, ˙a
1
˙a
3
].
Assim, considerando N = a
3
, ˙a
3
χ(H,σ)
, temos que
χ(H, σ)
N
∼
=
χ(a
1
, a
2
)
[a
1
, a
ψ
2
]
χ(H)
que ´e um 2-grupo de ordem 2
4
. De maneira a obter um conjunto de geradores para o
grupo N vamos considerar o seguinte conjunto formado por comutadores,
COMUT = {[a
1
, ˙a
3
], [a
2
, ˙a
3
], [˙a
1
, a
3
], [˙a
2
, a
3
]},
e usar o gerador de rela¸c˜oes, Lema 3.2.2, para obter formas equivalentes para eles. Aqui
denotamos o comutador [a
i
, ˙a
j
] por (i, j).
(1, 3) → (1, 13) → (123, 13) → (123, 2) → (13, 2) → (13, 3) → (1, 3);
39
(2, 3) → (2, 23) → (123, 23) → (123, 1) → (23, 1) → (23, 3) → (2, 3);
(3, 1) → (3, 13) → (2, 13) → (2, 123) → (13, 123) → (13, 1) → (3, 1);
(3, 2) → (3, 23) → (1, 23) → (1, 123) → (23, 123) → (23, 2) → (3, 2).
Notemos que nas duas primeira linhas (tamb´em nas duas ´ultimas linhas), uma linha pode
ser obtida da outra fazendo 1 ↔ 2. Observemos que temos uma maneira direta de calcular
os seguintes conjugados,
[a
i
, x]
a
i
= [a
i
, x]
−1
, x ∈
˙
H
[a
i
, x]
˙a
i
= [a
i
, x], x ∈
˙
H
[y, ˙a
i
]
a
i
= [y, ˙a
i
], y ∈ H
[y, ˙a
i
]
˙a
i
= [y, ˙a
i
]
−1
, y ∈ H
Com isto e com os grafos acima podemos calcular todos os conjugados do conjunto
COMUT . Abaixo calculamos os conjugados que n˜ao seguem diretamente.
[a
1
, ˙a
3
]
a
2
= [a
1
a
3
, ˙a
2
]
a
2
= [a
1
a
3
, ˙a
2
] = [a
1
, ˙a
3
];
[a
1
, ˙a
3
]
˙a
2
= [a
1
a
3
, ˙a
2
]
˙a
2
= [a
1
a
3
, ˙a
2
]
−1
= [a
1
, ˙a
3
]
−1
;
[a
2
, ˙a
3
]
a
1
= [a
2
a
3
, ˙a
1
]
a
1
= [a
2
a
3
, ˙a
1
] = [a
1
, ˙a
3
];
[a
2
, ˙a
3
]
˙a
1
= [a
2
a
3
, ˙a
1
]
˙a
1
= [a
2
a
3
, ˙a
1
]
−1
= [a
1
, ˙a
3
]
−1
;
[˙a
1
, a
3
]
a
2
= [ ˙a
1
˙a
3
, a
2
]
a
2
= [˙a
1
, a
3
]
−1
;
[˙a
1
, a
3
]
˙a
2
= [ ˙a
1
˙a
3
, a
2
]
˙a
2
= [˙a
1
, a
3
];
[˙a
2
, a
3
]
a
1
= [ ˙a
2
˙a
3
, a
1
]
a
1
= [˙a
2
, a
3
]
−1
;
[˙a
2
, a
3
]
˙a
1
= [ ˙a
2
˙a
3
, a
1
]
˙a
1
= [˙a
2
, a
3
].
Assim vemos que o grupo
N
1
= [a
1
, ˙a
3
], [a
2
, ˙a
3
], [˙a
1
, a
3
], [˙a
2
, a
3
]
´e abeliano, donde temos que,
N
= [N
1
, a
3
, ˙a
3
] .
Mais ainda, para i ∈ {1, 2},
[a
i
, ˙a
3
, a
3
] = 1
[a
i
, ˙a
3
, ˙a
3
] = [a
i
, ˙a
3
]
−2
[˙a
i
, a
3
, a
3
] = [ ˙a
i
, a
3
]
−2
[˙a
i
, a
3
, ˙a
3
] = 1
40
Por outro lado expandindo as rela¸c˜oes [a
1
a
3
, ˙a
2
˙a
3
] = [a
2
a
3
, ˙a
1
˙a
3
] = 1, e usando o gerador
de rela¸c˜oes para o comutador [a
1
, ˙a
2
], obtemos,
[a
1
, ˙a
2
] = [˙a
1
, a
2
], [a
1
, ˙a
2
]
2
= 1,
[a
1
˙a
3
][a
3
, ˙a
2
] = [a
1
, ˙a
2
] = [a
2
, ˙a
3
][a
3
, ˙a
1
].
De onde tiramos,
[a
1
, ˙a
3
]
2
[˙a
3
, a
1
]
2
= 1 = [a
2
, ˙a
3
]
2
[a
3
, ˙a
1
]
2
.
Agora usando o grafo, obtido pelo gerador de rela¸c˜oes, temos,
[a
1
, ˙a
3
] = [a
1
a
3
, ˙a
2
] = [a
1
, ˙a
2
]
a
3
[a
3
, ˙a
2
].
Elevando ao quadrado,
[a
1
, ˙a
3
]
2
= [a
3
, ˙a
2
]
2
,
e similarmente,
[a
2
, ˙a
3
]
2
= [a
3
, ˙a
2
]
2
de onde tiramos que [a
1
, ˙a
3
]
4
= 1 e j´a que
[a
1
, ˙a
3
]
2
∈ Z(χ(H, σ)),
temos que,
N
=
[a
1
, ˙a
3
]
2
.
Logo N ´e nilpotente gerado por 2-elementos. Agora usando as rela¸c˜oes,
[a
1
˙a
3
][a
3
, ˙a
2
] = [a
1
, ˙a
2
] = [a
2
, ˙a
3
][a
3
, ˙a
1
],
podemos mostrar, calculando os conjugados, que
N = a
3
, ˙a
3
, [a
1
, ˙a
3
], [a
2
, ˙a
3
], [a
1
, ˙a
2
] .
Assim,
o(N
) | 2,
o(
N
N
) | 2
5
,
o(
χ(H, σ)
N
) = 2
4
.
41
Logo vemos que χ(H, σ) ´e um 2-grupo de ordem dividindo 2
10
.
Consideremos σ = (6, 7, 8).Temos que as rela¸c˜oes que n˜ao aparecem na defini¸c˜ao de
χ(H) s˜ao
[a
1
a
3
, ˙a
2
˙a
3
] = [a
2
a
3
, ˙a
1
˙a
2
˙a
3
] = [a
1
a
2
a
3
, ˙a
1
˙a
3
].
Consideremos N = a
3
, ˙a
3
χ(H,σ)
, logo vemos que
χ(H, σ)
N
∼
=
χ(a
1
, a
2
)
[a
1
, ˙a
2
]
χ
que ´e um 2-grupo de ordem 2
4
. Escrevendo os grafos pelo gerador de rela¸c ˜oes, lema 3.2.2,
temos
(1, 3) → (1, 13) → (23, 13) → (23, 2) → (3, 2),
(1, 3) → (13, 3) → (13, 2) → (123, 2) → (123, 123) → (1, 123) → (1, 23) → (3, 23) → (3, 2)
(2, 3) → (2, 23) → (123, 23) → (123, 12) → (3, 12) → (3, 123) → (2, 123) → (2, 13) →
(13, 13) → (13, 12) → (23, 12) → (23, 3) → (2, 3),
(3, 1) → (3, 13) → (12, 13) → (12, 23) → (23, 23) → (23, 1) → (123, 1) →
→ (123, 3) → (12, 3) → (12, 123) → (13, 123) → (13, 1) → (3, 1),
[a
1
, ˙a
3
] = [a
3
, ˙a
2
],
[a
2
, ˙a
3
] = [a
1
a
3
, ˙a
1
˙a
3
] = [a
1
, ˙a
3
]
a
3
˙a
3
[a
3
, ˙a
1
] = [a
1
, ˙a
3
]
−1
[a
3
, ˙a
1
],
[˙a
1
, a
3
] = [ ˙a
3
, a
1
a
2
] = [˙a
3
, a
2
][˙a
3
, a
1
] = [˙a
3
, a
2
][˙a
3
, a
1
]
[˙a
2
, a
3
] = [a
1
, ˙a
3
].
Vemos que o grupo N
1
= [a
1
, ˙a
3
], [a
2
, ˙a
3
] ´e abeliano normalizado por χ(H, σ), tamb´em
[a
1
, ˙a
3
]
a
3
= [a
3
, ˙a
2
]
a
3
⇒ [a
1
, ˙a
3
] = [a
1
, ˙a
3
]
−1
. Logo
N = a
3
, ˙a
3
, [a
1
, ˙a
3
], [a
2
, ˙a
3
]
e,
N
= [N
1
, a
3
, ˙a
3
] = 1.
De onde vemos que χ(H, σ) ´e um 2-grupo de ordem dividindo 2
8
.
42
Para finalizar a demonstra¸c˜ao vamos considerar σ = (5, 6, 7, 8), neste caso vamos
calcular a serie derivada de χ(H, σ). As rela¸c˜oes que na aparecem na defini¸c˜ao de χ(H)
s˜ao
[a
1
a
2
, ˙a
1
˙a
3
] = [a
1
a
3
, ˙a
2
˙a
3
] = [a
2
a
3
, ˙a
1
˙a
2
˙a
3
] = [a
1
a
2
a
3
, ˙a
1
˙a
2
].
De maneira a obter geradores para o grupo χ(H, σ)
vamos usar o geradores de rela¸c˜oes,
Lema 3.2.2.
(1, 2) → (1, 12) → (23, 12) → (23, 3) → (2, 3),
(1, 2) → (12, 2) → (12, 123) → (13, 123) → (13, 1) → (3, 1),
(2, 1) → (2, 12) → (13, 12) → (13, 13) → (23, 13) → (23, 2) → (3, 2),
(2, 1) → (12, 1) → (12, 3) → (123, 3) → (123, 123) → (1, 123) → (1, 23) → (3, 23) →
(3, 2),
(1, 3) → (1, 13) → (2, 13) → (2, 123) → (3, 123) → (3, 12) → (12, 12) → (12, 23) →
(23, 23) → (23, 1) → (123, 1) → (123, 2) → (13, 2) → (13, 3) → (1, 3),
(3, 13) → (123, 13) → (123, 23) → (2, 23) → (2, 3).
Notemos que n˜ao ´e necess´ario calcular os outros comutadores b´asicos visto que eles apare-
cem nos c´alculos acima. Com isto temos as rela¸c˜oes
[a
1
, ˙a
2
] = [a
2
, ˙a
3
] = [a
3
, ˙a
1
],
[a
2
, ˙a
1
] = [a3, ˙a
2
] = [a
1
a
2
, ˙a
3
] = [a
1
, ˙a
3
]
a
2
[a
2
, ˙a
3
],
[a
1
, ˙a
3
] = [a
3
, ˙a
1
˙a
2
] = [a
1
a
3
, ˙a
1
] = [a
1
a
3
, ˙a
2
].
De onde vemos que
χ(H, σ)
= [a
1
, ˙a
2
], [a
1
, ˙a
3
]
´e um grupo abeliano de ordem dividindo 2
2
, como
χ(H, σ)
χ(H, σ)
= |H|
2
temos que χ(H, σ)
´e um 2-grupo de ordem dividindo 2
8
.
Na pr´oxima proposi¸c˜ao ilustramos a aplica¸c˜ao do algoritmo, implementado para o
sistema GAP, que tem como base o Lema 3.2.2
Proposi¸c˜ao 2. Sejam H = C
3
3
= a
1
× a
2
× a
3
,
43
SGC = {{ ˙a
1
, 2}, {˙a
2
, 3}, {˙a
3
, 4}, {˙a
1
˙a
2
, 6}, {˙a
1
˙a
3
, 7}, {˙a
2
˙a
3
, 9}, {˙a
1
˙a
−1
2
, 13},
{˙a
1
˙a
−1
3
, 15}, {˙a
2
˙a
−1
3
, 17}, {˙a
1
˙a
2
˙a
3
, 14}, {˙a
1
˙a
−1
2
˙a
3
, 21}, {˙a
1
˙a
2
˙a
−1
3
, 22}, {˙a
1
˙a
−1
2
˙a
−1
3
, 26}} um sis-
tema de geradores dos subgrupos c´ıclicos de
˙
H, com sua respectiva posi¸c˜ao em
˙
H, σ =
(6, 9, 14, 7)(13, 15, 21, 22, 26, 17). Ent˜ao χ(H, σ) ´e um 3-grupo de classe no m´aximo 2, de
ordem dividindo 3
8
. Al´em disto podemos considerar rela¸c˜oes de permutabilidade restrita
apenas ao conjunto
{a
1
, a
2
, a
3
, a
1
a
2
, a
1
a
3
, a
2
a
3
, a
1
a
2
a
3
}.
Demonstra¸c˜ao. Vamos considerar que σ = σ|
X
, onde
X = {a
1
, a
2
, a
3
, a
1
a
2
, a
1
a
3
, a
2
a
3
, a
1
a
2
a
3
}. Esquematicamente temos,
a
1
→ ˙a
1
a
2
→ ˙a
2
a
3
→ ˙a
3
a
1
a
2
→ ˙a
2
˙a
3
a
1
a
3
→ ˙a
1
˙a
2
a
2
a
3
→ ˙a
1
˙a
2
˙a
3
a
1
a
2
a
3
→ ˙a
1
˙a
3
Consideremos χ =
H,
˙
H | [x, x
σ
], ∀x ∈ X
. Vamos demonstrar que χ ´e um 3-grupo de
classe 2 e isomorfo `a χ(H, σ). Fazendo N = χ
, temos,
N = [a
i
, ˙a
j
] | 1 i, j 3
χ
.
Usando o algoritmo baseado no le ma 3.2.2, podemos escrever,
[a
1
, ˙a
2
] = [a
1
a
2
, ˙a
2
] = [a
1
a
2
2
, ˙a
2
] = [a
2
1
a
3
, ˙a
1
˙a
2
] = [a
2
3
, ˙a
1
˙a
2
] = [a
1
a
2
, ˙a
2
2
˙a
3
] = [a
1
a
2
, ˙a
2
3
] =
[a
2
3
, ˙a
1
˙a
2
˙a
2
3
] = [a
2
3
, ˙a
1
˙a
2
˙a
3
] = [a
1
a
2
a
2
3
, ˙a
2
3
] = [a
1
a
2
a
3
, ˙a
2
3
] = [a
2
, ˙a
1
˙a
2
˙a
3
] = [a
2
2
a
3
, ˙a
1
˙a
2
˙a
3
] =
[a
1
a
2
a
3
, ˙a
1
] = [a
1
a
2
a
3
, ˙a
2
1
˙a
3
] = [a
2
, ˙a
1
˙a
2
2
˙a
3
] = [a
2
, ˙a
1
˙a
3
] = [a
2
1
a
2
a
3
, ˙a
1
] = [a
2
a
3
, ˙a
1
] =
[a
1
a
2
2
a
3
, ˙a
1
˙a
3
] = [a
2
1
a
2
3
, ˙a
1
˙a
3
] = [a
2
a
3
, ˙a
2
1
˙a
2
˙a
3
] = [a
2
a
3
, ˙a
2
2
˙a
2
3
] = [a
2
1
a
2
3
, ˙a
2
2
˙a
3
] = [a
2
1
a
2
3
, ˙a
2
1
˙a
2
˙a
3
] =
[a
2
1
a
3
, ˙a
2
2
˙a
2
3
] = [a
1
a
2
2
a
3
, ˙a
2
2
˙a
2
3
].
[a
1
, ˙a
3
] = [a
1
, ˙a
1
˙a
3
] = [a
1
, ˙a
2
1
˙a
3
] = [a
1
a
3
, ˙a
3
] = [a
1
a
2
3
, ˙a
3
] = [a
2
1
a
2
a
3
, ˙a
1
˙a
3
] = [a
2
2
a
2
3
, ˙a
1
˙a
3
] =
[a
1
a
3
, ˙a
1
˙a
2
˙a
3
] = [a
1
a
3
, ˙a
2
1
˙a
2
2
˙a
3
] = [a
2
2
a
2
3
, ˙a
2
2
] = [a
2
2
a
2
3
, ˙a
2
1
˙a
2
˙a
2
3
] = [a
1
a
2
a
2
3
, ˙a
1
˙a
2
˙a
3
] = [a
1
a
2
2
, ˙a
1
˙a
2
˙a
3
] =
44
[a
2
a
2
3
, ˙a
2
2
] = [a
2
3
, ˙a
2
2
] = [a
2
3
, ˙a
2
2
˙a
2
3
] = [a
2
3
, ˙a
2
2
˙a
3
] = [a
2
1
a
2
2
a
2
3
, ˙a
2
2
˙a
2
3
] = [a
1
a
2
a
2
3
, ˙a
2
2
˙a
2
3
] = [a
2
1
a
2
2
a
2
3
, ˙a
2
1
˙a
2
2
˙a
3
] =
[a
2
1
a
2
2
a
2
3
, ˙a
1
˙a
2
2
]
[a
2
, ˙a
1
] = [a
2
, ˙a
1
˙a
2
] = [a
2
, ˙a
1
˙a
2
2
] = [a
1
a
2
, ˙a
1
] = [a
2
1
a
2
, ˙a
1
] = [a
1
a
2
a
3
, ˙a
1
˙a
2
] = [a
2
1
a
2
a
2
3
, ˙a
1
˙a
2
] =
[a
1
a
2
, ˙a
1
˙a
2
˙a
3
] = [a
1
a
2
, ˙a
1
˙a
2
2
˙a
2
3
] = [a
1
a
2
a
3
, ˙a
2
1
˙a
2
˙a
3
] = [a
1
a
2
a
3
, ˙a
2
˙a
2
3
] = [a
1
a
2
2
a
3
, ˙a
1
˙a
2
˙a
3
] =
[a
1
a
2
3
, ˙a
1
˙a
2
˙a
3
]
[a
2
, ˙a
3
] = [a
2
, ˙a
2
˙a
3
] = [a
2
, ˙a
2
2
˙a
3
] = [a
2
a
3
, ˙a
3
] = [a
2
a
2
3
, ˙a
3
] = [a
1
a
2
2
, ˙a
2
˙a
3
] = [a
2
1
, ˙a
2
˙a
3
] =
[a
2
a
3
, ˙a
1
˙a
2
˙a
2
3
] = [a
2
a
3
, ˙a
2
1
˙a
2
2
] = [a
2
1
, ˙a
2
1
˙a
2
˙a
3
] = [a
2
1
, ˙a
1
˙a
2
˙a
3
] = [a
2
1
a
2
, ˙a
2
1
˙a
2
2
] = [a
1
a
2
a
2
3
, ˙a
2
1
˙a
2
2
] =
[a
2
1
a
2
a
3
, ˙a
1
˙a
2
˙a
3
] = [a
2
1
a
2
2
a
2
3
, ˙a
1
˙a
2
˙a
3
] = [a
2
1
a
2
2
a
2
3
, ˙a
2
] = [a
2
1
a
2
2
a
2
3
, ˙a
2
1
˙a
2
˙a
2
3
] = [a
2
1
a
2
3
, ˙a
2
] = [a
2
1
a
2
a
2
3
, ˙a
2
] =
[a
2
1
a
2
3
, ˙a
2
1
] = [a
2
1
a
2
3
, ˙a
1
˙a
2
2
] = [a
1
a
2
3
, ˙a
2
1
] = [a
2
3
, ˙a
2
1
] = [a
2
3
, ˙a
2
1
˙a
2
3
[a
2
3
, ˙a
2
1
˙a
3
] = [a
2
1
a
2
2
a
3
, ˙a
2
1
˙a
2
3
] =
[a
1
a
2
, ˙a
2
1
˙a
2
3
] = [a
1
a
2
, ˙a
2
1
˙a
2
] = [a
1
a
2
, ˙a
2
1
˙a
2
2
˙a
3
].
[a
3
, ˙a
1
] = [a
3
, ˙a
1
˙a
3
] = [a
3
, ˙a
1
˙a
2
3
] = [a
1
a
3
, ˙a
1
] = [a
2
1
a
3
, ˙a
1
] = [a
1
a
2
a
2
3
, ˙a
1
˙a
3
] = [a
2
1
a
2
2
, ˙a
1
˙a
3
] =
[a
1
a
3
, ˙a
2
1
˙a
2
] = [a
1
a
3
, ˙a
2
2
] = [a
2
1
a
2
2
, ˙a
1
˙a
2
2
] = [a
2
1
a
2
2
, ˙a
1
˙a
2
˙a
2
3
] = [a
1
a
2
2
a
3
, ˙a
2
2
] = [a
1
a
2
a
3
, ˙a
2
2
] =
[a
1
a
2
a
3
, ˙a
1
˙a
2
2
˙a
3
] = [a
1
a
2
a
3
, ˙a
2
1
˙a
2
2
˙a
2
3
] = [a
1
, ˙a
2
1
˙a
2
2
˙a
2
3
] = [a
1
a
2
2
a
2
3
, ˙a
2
1
˙a
2
2
˙a
2
3
] = [a
1
, ˙a
2
2
˙a
2
3
] = [a
1
, ˙a
1
˙a
2
2
˙a
2
3
] =
[a
2
2
, ˙a
2
2
˙a
2
3
] = [a
2
1
a
2
, ˙a
2
2
˙a
2
3
] = [a
2
2
, ˙a
2
˙a
2
3
] = [a
2
2
, ˙a
2
3
] = [a
2
2
a
2
3
, ˙a
2
3
] = [a
2
2
a
3
, ˙a
2
3
] = [a
2
2
a
2
3
, ˙a
2
1
˙a
2
2
˙a
3
] =
[a
2
2
a
2
3
, ˙a
1
˙a
2
] = [a
1
a
2
2
, ˙a
1
˙a
2
] = [a
2
1
a
2
2
a
3
, ˙a
1
˙a
2
]
[a
3
, ˙a
2
] = [a
3
, ˙a
2
˙a
3
] = [a
3
, ˙a
2
˙a
2
3
] = [a
2
a
3
, ˙a
2
] = [a
2
2
a
3
, ˙a
2
] = [a
1
a
2
a
3
, ˙a
2
˙a
3
] = [a
2
1
a
2
2
a
3
, ˙a
2
˙a
3
] =
[a
2
a
3
, ˙a
1
˙a
2
2
˙a
3
] = [a
2
a
3
, ˙a
2
1
˙a
2
3
] = [a
1
a
2
a
3
, ˙a
1
˙a
2
˙a
2
3
] = [a
1
a
2
a
3
, ˙a
2
1
˙a
2
] = [a
2
1
, ˙a
2
1
˙a
2
3
] = [a
1
a
2
2
a
2
3
, ˙a
2
1
˙a
2
3
] =
[a
2
1
, ˙a
1
˙a
2
3
] = [a
2
1
, ˙a
2
3
] = [a
2
1
a
2
3
, ˙a
2
3
] = [a
2
1
a
3
, ˙a
2
3
] = [a
2
1
a
2
3
, ˙a
2
1
˙a
2
2
˙a
2
3
] = [a
2
1
a
2
3
, ˙a
1
˙a
2
˙a
2
3
] = [a
2
1
a
2
2
a
3
, ˙a
2
1
˙a
2
2
˙a
2
3
] =
[a
2
1
a
2
, ˙a
2
1
˙a
2
2
˙a
2
3
]
Selecionando de maneira conveniente temos,
[a
1
, ˙a
2
] = [a
2
, ˙a
1
˙a
3
] = [a
2
3
, ˙a
1
˙a
2
] = [a
2
a
3
, ˙a
1
] = [a
1
a
2
, ˙a
2
3
]
[a
1
, ˙a
3
] = [a
2
3
, ˙a
2
2
]
[a
2
, ˙a
3
] = [a
2
1
, ˙a
2
˙a
3
] = [a
2
3
, ˙a
2
1
] = [a
2
1
a
2
3
, ˙a
2
]
[a
3
, ˙a
1
] = [a
1
, ˙a
2
1
˙a
2
3
] = [a
2
2
, ˙a
2
3
] = [a
1
a
3
, ˙a
2
2
]
[a
3
, ˙a
2
] = [a
2
1
, ˙a
2
3
].
45
De onde obtemos que
[a
1
, ˙a
2
], [a
2
, ˙a
3
], [a
3
, ˙a
1
] ∈ Z(χ),
{a
2
, a
3
, ˙a
1
, ˙a
3
} ⊆ C
χ
([a
1
, ˙a
3
]),
{a
2
, a
3
, ˙a
1
, ˙a
3
} ⊆ C
χ
([a
3
, ˙a
2
]).
Expandindo as rela¸c˜oes definidoras de χ, e usando as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao obtidas acima
obtemos as seguinte equa¸c˜oes
[a
1
, ˙a
2
][a
2
, ˙a
3
][a
1
, ˙a
3
] = 1 (1)
[a
1
, ˙a
2
][a
3
, ˙a
1
][a
3
, ˙a
2
] = 1 (2)
[a
2
, ˙a
3
][a
3
, ˙a
1
][a
1
, ˙a
1
][a
3
, ˙a
2
] = 1 (3)
[a
2
, ˙a
3
][a
1
, ˙a
3
][a
3
, ˙a
1
][a
2
, ˙a
1
] = 1 (4)
Seguindo o esquema (1) → (2) → (4) → (3) ´e f´acil mostrar que todos os comutadores
envolvidos nas equa¸c˜oes acima s˜ao centrais, o que mostra que N = Z(χ), ou seja, o
grupo χ ´e classe 2.
Denotando o comutador [a
i
, ˙a
j
], por x
ij
, i, j ∈ {1, 2, 3}, e adotando a nota¸c˜ao aditiva
podemos escrever o sistema de equa¸c˜oes acima como um sistema linear homogˆeneo nas
vari´aveis x
ij
,
x
12
+ x
13
+ x
23
= 0
x
12
+ x
31
+ x
32
= 0
x
21
+ x
23
+ x
31
+ x
32
= 0
x
13
+ x
21
+ x
23
+ x
31
= 0
que ´e equivalente `a
x
12
+ x
31
+ x
32
= 0
x
13
+ − x
32
= 0
x
21
+ + 2x
31
+ x
32
= 0
x
23
− x
31
= 0
donde temos que N ´e 2-gerado por elementos de ordem dividindo 3, j´a que χ ´e de classe
2. Ent˜ao
|χ| | |H|
2
3
2
= 3
8
.
46
Enfim basta mostrar que χ
∼
=
χ(H, σ); para isto basta mostrar que as rela¸c˜oes definido-
ras de χ(H, σ) s˜ao triviais em χ. O grupo χ ´e de classe 2 por tanto os comutadores s˜ao
fun¸c˜oes bilineares de suas entradas, ent˜ao basta expandirmos as rela¸c˜oes que esperamos
que sejam triviais, o que ´e feito por c´alculo de um sistema linear direto.
Na ´ultima proposi¸c˜ao mostramos que o grupo χ(H, σ) ´e de classe 2, considerando
apenas as rela¸c˜oes propostas. Isto se deve ao fato de o grafo para os comutadores ainda
ter informa¸c˜oes suficientes para tal, notemos tamb´em que ao trabalharmos com todas as
rela¸c˜oes definidoras de χ(H, σ) o grafo nos da uma quantidade maior de informa¸c˜oes que
possibilita uma demonstra¸c˜ao mais ”enxuta”. Por exemplo neste caso o grafo n˜ao nos deu
nenhuma informa¸c˜ao para o comutador [a
2
, ˙a
1
], mas usando todas as rela¸c˜oes obtemos o
seguinte grafo:
[a
2
, ˙a
1
] = [a
2
, ˙a
1
˙a
2
] = [a
2
, ˙a
1
˙a
2
2
] = [a
1
a
2
, ˙a
1
] = [a
2
1
a
2
, ˙a
1
] = [a
1
a
2
a
3
, ˙a
1
˙a
2
] = [a
2
1
a
2
a
2
3
, ˙a
1
˙a
2
] =
[a
3
, ˙a
1
˙a
2
2
] = [a
2
2
a
2
3
, ˙a
1
˙a
2
2
] = [a
1
a
2
, ˙a
1
˙a
2
˙a
3
] = [a
1
a
2
, ˙a
1
˙a
2
2
˙a
2
3
] = [a
2
1
a
2
, ˙a
3
] = [a
2
1
a
2
, ˙a
2
1
˙a
2
3
] =
[a
1
a
2
a
3
, ˙a
2
1
˙a
2
˙a
3
] = [a
1
a
2
a
3
, ˙a
2
˙a
2
3
] = [a
2
1
a
2
a
2
3
, ˙a
2
1
˙a
2
2
˙a
2
3
] = [a
2
1
a
2
a
2
3
, ˙a
3
] = [a
3
, ˙a
1
˙a
2
2
˙a
3
] = [a
3
, ˙a
1
˙a
2
2
˙a
2
3
] =
[a
2
2
a
2
3
, ˙a
2
1
˙a
3
] = [a
2
2
a
2
3
, ˙a
2
˙a
2
3
] = [a
1
a
2
2
a
3
, ˙a
1
˙a
2
˙a
3
] = [a
1
a
2
3
, ˙a
1
˙a
2
˙a
3
] = [a
2
1
a
2
2
a
2
3
, ˙a
1
˙a
2
2
˙a
2
3
] = [a
2
1
a
2
a
3
, ˙a
3
] =
[a
2
2
a
3
, ˙a
2
1
˙a
2
3
] = [a
1
a
2
3
, ˙a
2
1
˙a
2
3
] = [a
2
1
a
2
2
, ˙a
2
1
˙a
2
˙a
3
] = [a
2
3
, ˙a
2
1
˙a
2
˙a
3
] = [a
2
1
, ˙a
2
˙a
2
3
] = [a
2
1
a
2
2
, ˙a
2
1
˙a
2
2
˙a
2
3
] =
[a
2
1
a
3
, ˙a
2
1
˙a
2
2
˙a
2
3
] = [a
2
1
a
2
3
, ˙a
1
˙a
2
2
˙a
3
] = [a
1
, ˙a
1
˙a
2
2
˙a
3
] = [a
2
1
a
2
3
, ˙a
2
1
˙a
3
] = [a
1
a
2
a
2
3
, ˙a
2
1
˙a
3
] = [a
1
a
2
2
a
3
, ˙a
2
1
˙a
2
2
] =
[a
1
a
2
2
a
3
, ˙a
2
3
] = [a
1
a
2
3
, ˙a
2
2
] = [a
2
1
a
2
2
a
2
3
, ˙a
2
1
˙a
2
2
] = [a
2
1
a
2
2
a
2
3
, ˙a
2
2
˙a
3
] = [a
2
1
a
2
a
3
, ˙a
2
2
˙a
2
3
] = [a
2
1
a
2
a
3
, ˙a
2
] =
[a
2
2
a
3
, ˙a
1
˙a
2
˙a
2
3
] = [a
2
2
a
3
, ˙a
2
2
˙a
2
3
] = [a
2
1
a
2
2
, ˙a
2
1
] = [a
2
3
, ˙a
2
1
˙a
2
˙a
2
3
] = [a
2
3
, ˙a
2
1
˙a
2
] = [a
2
1
, ˙a
1
˙a
2
˙a
2
3
] =
[a
2
1
, ˙a
2
1
˙a
2
˙a
2
3
] = [a
2
1
a
3
, ˙a
2
] = [a
2
1
a
3
, ˙a
1
˙a
3
] = [a
2
1
a
2
3
, ˙a
2
˙a
3
] = [a
1
, ˙a
2
1
˙a
2
2
˙a
3
] = [a
1
, ˙a
2
2
˙a
3
] = [a
1
a
2
a
2
3
, ˙a
1
˙a
2
˙a
2
3
] =
[a
1
a
2
a
2
3
, ˙a
2
2
] = [a
2
2
, ˙a
2
1
˙a
2
2
] = [a
1
a
2
2
a
2
3
, ˙a
2
3
] = [a
1
a
2
2
, ˙a
2
3
] = [a
1
a
2
2
a
2
3
, ˙a
2
2
] = [a
2
a
3
, ˙a
2
2
˙a
3
] = [a
1
a
3
, ˙a
2
2
˙a
2
3
] =
[a
2
1
a
2
2
a
3
, ˙a
2
] = [a
2
2
, ˙a
2
1
] = [a
1
a
2
2
, ˙a
2
1
] = [a
1
a
3
, ˙a
2
1
˙a
2
˙a
2
3
] = [a
2
2
, ˙a
2
1
˙a
2
] = [a
2
a
3
, ˙a
2
1
˙a
2
] = [a
2
a
2
3
, ˙a
1
˙a
3
] =
[a
1
a
2
2
, ˙a
1
˙a
3
] = [a
2
a
2
3
, ˙a
2
˙a
3
] = [a
1
a
2
2
a
2
3
, ˙a
2
˙a
3
] = [a
2
1
a
2
2
a
3
, ˙a
2
1
˙a
2
2
˙a
3
] = [a
2
a
2
3
, ˙a
2
1
˙a
2
2
˙a
3
] = [a
2
a
3
, ˙a
1
˙a
2
3
] =
[a
1
a
3
, ˙a
1
˙a
2
3
] = [a
2
1
a
2
2
a
3
, ˙a
1
˙a
2
3
]
o que j´a permite concluir que [a
2
, ˙a
1
] central.
Proposi¸c˜ao B.0.1. Se H = a
1
, a
2
, a
3
, a
4
´e um 2-grupo abeliano elementar de posto 4 e
σ = (8, 10) ent˜ao χ(H, σ) ´e um 2-grupo.
Demonstra¸c˜ao. Vamos considerar H com a ordem usual. J´a que σ = (8, 10) e h
8
= a
1
a
4
e h
10
= a
2
a
4
temos que as rela¸c˜oes definidoras de χ(H, σ) que n˜ao aparecem na defini¸c˜ao
47
de χ(H) s˜ao exatamente
[a
1
a
4
, ˙a
2
˙a
4
], [a
2
a
4
, ˙a
1
˙a
4
].
Assim considerando N = a
4
, ˙a
4
χ(H,σ)
, vemos que
χ(H, σ)/N = χ(a
1
, a
2
, a
3
)/ [a
1
, ˙a
2
]
χ
que ´e um 2-grupo.
Para mostrar que N ´e um 2-grupo vamos considerar
M = [a
1
, ˙a
4
], [a
2
, ˙a
4
], [a
3
, ˙a
4
], [a
1
a
3
, ˙a
4
], [a
2
a
3
, ˙a
4
], [a
1
, ˙a
2
], [a
1
a
3
, ˙a
2
], a
4
, ˙a
4
.
e ent˜ao mostraremos que M ´e um grupo nilpotente gerado por 2-elementos igual a N,
o que encerra a demonstra¸c˜ao. Para isto vamos calcular a a¸c˜ao do grupo χ(H, σ) sobre
M, por´em, antes ´e necess´ario calcular as ordens dos geradores de M e escrever algumas
rela¸c˜oes.
1 = [a
1
a
4
, ˙a
2
˙a
4
]
= [a
1
, ˙a
2
˙a
4
]
a
4
[a
4
, ˙a
2
˙a
4
]
= [a
1
, ˙a
4
]
a
4
[a
1
, ˙a
2
]
a
4
˙a
4
[a
4
, ˙a
4
][a
4
, ˙a
2
]
˙a
4
= [a
1
, ˙a
4
][a
1
, ˙a
2
]
a
4
˙a
4
[a
4
, ˙a
2
],
donde obtemos,
[a
1
, ˙a
2
]
a
4
˙a
4
= [a
1
, ˙a
4
]
−1
[a
4
, ˙a
2
]
−1
,
como 1 = [a
1
, (˙a
4
)
2
] = [a
1
, ˙a
4
]
˙a
4
[a
1
, ˙a
4
], obtemos que a
4
˙a
4
inverte [a
1
, ˙a
4
], com mesmo
racioc´ınio vemos que a
4
˙a
4
inverte [a
2
, ˙a
4
], dai
[a
1
, ˙a
2
] = [a
1
, ˙a
4
][a
4
, ˙a
2
],
agora fazendo 1 ↔ 2, obtemos tamb´em
[a
2
, ˙a
1
] = [a
2
, ˙a
4
][a
4
, ˙a
1
],
por outro lado, usando somente os indices para indicar os elementos, temos,
(1, 2) → (12, 2) → (12, (12)2) = (12, 1) → ((12)1, 1) = (2, 1)
48
dai
1 = [(a
1
)
2
, ˙a
2
] = [a
1
, ˙a
2
]
a
1
[a
1
, ˙a
2
] = [a
2
, ˙a
1
]
a
1
[a
1
, ˙a
2
] = [a
1
, ˙a
2
]
2
e assim podemos escrever a rela¸c˜ao,
[a
1
, ˙a
4
][a
4
, ˙a
2
] = [a
1
, ˙a
2
] = [a
2
, ˙a
4
][a
4
, ˙a
1
] (B.1)
Novamente usando o gerador de rela¸c˜oes temos o se guinte,
(14, 1) → (14, (24)1) = (14, 124) → (14(124), 124) = (2, 124) → (2, (2)124) = (2, 14),
(14, 2) → (14, (24)2) = (14, 4) → (14(4), 4) = (1, 4),
(24, 1) → (24, (14)1) = (24, 4) → (24(4), 4) = (2, 4),
(24, 2) → (24, (14)2) = (24, 124) → (24(124), 124) = (1, 124) → (1, (1)124) = (1, 24).
Donde derivamos as seguintes rela¸c˜oes,
[a
1
a
4
, ˙a
1
] = [a
2
, ˙a
1
˙a
4
] (B.2)
[a
1
a
4
, ˙a
2
] = [a
1
, ˙a
4
] (B.3)
[a
2
a
4
, ˙a
1
] = [a
2
, ˙a
4
] (B.4)
[a
2
a
4
, ˙a
2
] = [a
1
, ˙a
2
˙a
4
] (B.5)
Agora suponha que [a
i
a
j
, ˙a
i
˙a
j
] = 1, ent˜ao usando o esquema dos grafos obtemos:
(i, j) → (ij, j) → (ij, (ij)j) = (ij, i) → (ij(i), i) = (j, i)
donde obtemos que
[a
i
, a
j
]
2
= 1,
pois 1 = [(a
i
)
2
, ˙a
j
] = [a
i
, ˙a
j
]
a
i
[a
i
, a
j
] = [a
j
, ˙a
i
]
a
i
[a
i
, ˙a
j
] = [a
i
, ˙a
j
]
2
.Assim vemos que todos
os geradores de M tem ordem 2, exceto [a
1
, ˙a
4
] e [a
2
, ˙a
4
] que s˜ao exatamente os geradores
que falham a condi¸c˜ao [a
i
a
j
, ˙a
i
˙a
j
] = 1, para os quais temos as rela¸c˜oes B.1, B.2, B.3, B.4,
B.5.
Elevando ao quadrado a rela¸c˜ao B.5 e em seguida usando B.3 temos
[a
1
, ˙a
4
]
2
[a
4
, ˙a
2
]
2
= 1 = [a
2
, ˙a
4
]
2
[a
4
, ˙a
1
],
49
[a
1
, ˙a
4
] = [a
1
, ˙a
2
]
a
4
[a
4
, ˙a
2
] ⇒ [a
1
, ˙a
4
]
2
= [a
4
, ˙a
2
] = [a
4
, ˙a
2
]
−2
,
de onde vemos que
[a
1
, ˙a
4
]
2
= [a
2
, ˙a
4
]
2
= [˙a
1
, a
4
]
2
= [˙a
2
, a
4
]
2
, [a
1
, ˙a
4
]
4
= 1. (B.6)
50
A¸c˜ao sobre m1 = [a
1
, ˙a
4
]:
[a
1
, ˙a
4
]
a
1
= [a
1
, ˙a
4
]
−1
, [a
2
1
, ˙a
4
] = [a
1
, ˙a
4
]
a
1
[a
1
, ˙a
4
]
[a
1
, ˙a
4
]
a
2
B.1
= ([a
1
, ˙a
2
][a
4
, ˙a
2
]
−1
)
a
2
= [a
1
, ˙a
4
]
[a
1
, ˙a
4
]
a
3
= [a
1
, ˙a
4
]
a
3
[a
3
, ˙a
4
]
2
= [a
1
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
]
[a
1
, ˙a
4
]
a
4
= = [a
1
, ˙a
4
]
[a
1
, ˙a
4
]
˙a
1
= = [a
1
, ˙a
4
]
[a
1
, ˙a
4
]
˙a
2
B.3
= [a
1
a
4
, ˙a
2
]
˙a
2
= [a
1
, ˙a
4
]
−1
[a
1
, ˙a
4
]
˙a
3
∗
= = [a
1
a
3
, ˙a
2
][a
2
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
]
[a
1
, ˙a
4
]
˙a
4
= = [a
1
, ˙a
4
]
−1
∗ Inicialmente, pelo gerador de rela¸c˜oes temos
(13, 4) → (13, 134) → (4, 134) → (4, 13)
isto ´e
[a
1
a
3
, ˙a
4
] = [˙a
1
˙a
3
, a
4
]
dai
[a
1
a
3
, ˙a
4
]
a
3
˙a
3
= [˙a
1
˙a
3
, a
4
]
a
3
˙a
3
[a
1
, ˙a
4
]
˙a
3
[˙a
3
, a
4
] = [ ˙a
1
, a
4
]
a
3
[a
3
, ˙a
4
]
[a
1
, ˙a
4
]
˙a
3
= [˙a
1
, a
4
]
a
3
B.1
= ([a
1
, ˙a
2
][a
2
, ˙a
4
])
a
3
= [a
1
a
3
, ˙a
2
][a
2
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
],
donde temos que
[a
1
, ˙a
4
]
˙a
3
= [a
1
a
3
, ˙a
2
][a
2
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
].
51
A¸c˜ao sobre m2 = [a
2
, ˙a
4
]:
[a
2
, ˙a
4
]
a
1
B.4
= ([a
2
a
4
, ˙a
1
])
a
1
= [a
2
, ˙a
4
]
[a
2
, ˙a
4
]
a
2
= = [a
2
, ˙a
4
]
−1
[a
2
, ˙a
4
]
a
3
= [a
2
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
]
2
= [a
2
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
]
[a
2
, ˙a
4
]
a
4
= = [a
2
, ˙a
4
]
[a
2
, ˙a
4
]
˙a
1
B.4
= ([a
2
a
4
, ˙a
1
])
˙a
1
= [a
2
, ˙a
4
]
−1
[a
2
, ˙a
4
]
˙a
2
= = [a
2
, ˙a
4
]
[a
2
, ˙a
4
]
˙a
3
∗
= = [a
1
a
3
, ˙a
2
][a
1
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
2
]
[a
2
, ˙a
4
]
˙a
4
= = [a
2
, ˙a
4
]
−1
∗ Pelo gerador de rela¸c˜oes temos
(23, 4) → (23, 234) → (4, 234) → (4, 23)
isto ´e
[a
2
a
3
, ˙a
4
] = [˙a
2
˙a
3
, a
4
]
dai
[a
2
a
3
, ˙a
4
]
a
3
˙a
3
= [˙a
2
˙a
3
, a
4
]
a
3
˙a
3
[a
2
, ˙a
4
]
˙a
3
[˙a
3
, a
4
] = [ ˙a
2
, a
4
]
a
3
[a
3
, ˙a
4
]
[a
2
, ˙a
4
]
˙a
3
= [˙a
2
, a
4
]
a
3
B.1
= ([a
1
, ˙a
2
][a
1
, ˙a
4
])
a
3
= [a
2
a
3
, ˙a
2
][a
1
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
],
donde temos que
[a
2
, ˙a
4
]
˙a
3
= [a
1
a
3
, ˙a
2
][a
1
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
].
52
A¸c˜ao sobre m3 = [a
3
, ˙a
4
]:
[a
3
, ˙a
4
]
a
1
= [a
3
, ˙a
4
]
a
1
[a
1
, ˙a
4
][a
1
, ˙a
4
]
−1
= [a
1
a
3
, ˙a
4
][a
1
, ˙a
4
]
−1
[a
3
, ˙a
4
]
a
2
= [a
3
, ˙a
4
]
a
2
[a
2
, ˙a
4
][a
2
, ˙a
4
]
−1
= [a
2
a
3
, ˙a
4
][a
2
, ˙a
4
]
−1
[a
3
, ˙a
4
]
a
3
= = [a
3
, ˙a
4
]
[a
3
, ˙a
4
]
a
4
= = [a
3
, ˙a
4
]
[a
3
, ˙a
4
]
˙a
1
∗
= = [a
2
, ˙a
4
][a
1
a
3
, ˙a
4
][a
1
a
3
, ˙a
2
]
[a
3
, ˙a
4
]
˙a
2
∗∗
= = [a
2
a
3
, ˙a
4
][a
1
, ˙a
2
][a
1
, ˙a
4
]
−1
[a
3
, ˙a
4
]
˙a
3
= = [a
3
, ˙a
4
]
[a
3
, ˙a
4
]
˙a
4
= = [a
3
, ˙a
4
]
∗Pelo gerador de rela¸c˜oes podemos mostrar que [a
1
a
3
, ˙a
4
] = [ ˙a
1
˙a
3
, a
4
], donde podemos
concluir que
[a
3
, ˙a
4
]
˙a
1
= [a
1
a
3
, ˙a4][ ˙a
1
, a
4
]
−1
agora, por B.1 temos que
[˙a
1
, a
4
] = [a
1
, ˙a
2
][a
2
, ˙a
4
],
o que leva a
[a
3
, ˙a
4
]
˙a
1
= [a
1
a
3
, ˙a
4
][a
2
, ˙a
4
]
−1
[a
1
, ˙a
2
].
∗∗Basta fazer 1 ↔ 2 em ∗.
53
A¸c˜ao sobre m4 = [a
1
a
3
, ˙a
4
]:
[a
1
a
3
, ˙a
4
]
a
1
= ([a
3
, ˙a
4
]
a
1
[a
1
, ˙a
4
])
a
1
= [a
3
, ˙a
4
][a
1
, ˙a
4
]
−1
[a
1
a
3
, ˙a
4
]
a
2
∗
= = [a
1
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
][a
2
a
3
, ˙a
4
][a
2
, ˙a
4
]
−1
[a
1
a
3
, ˙a
4
]
a
3
= ([a
1
, ˙a
4
]
a
1
[a
3
, ˙a
4
])
a
3
= [a
1
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
]
[a
1
a
3
, ˙a
4
]
a
4
= = [a
1
a
3
, ˙a
4
]
[a
1
a
3
, ˙a
4
]
˙a
1
∗∗
= = [a
3
, ˙a
4
][a
1
, ˙a
2
][a
2
, ˙a
4
]
[a
1
a
3
, ˙a
4
]
˙a
2
∗∗∗
= = [a
1
, ˙a
4
][a
1
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
][a
2
a
3
, ˙a
4
][a
1
, ˙a
2
]
[a
1
a
3
, ˙a
4
]
˙a
3
∗∗∗∗
= = [a
2
, ˙a
4
][a
1
, ˙a
2
][a
3
, ˙a
4
]
[a
1
a
3
, ˙a
4
]
˙a
4
= = [a
1
a
3
, ˙a
4
]
∗Temos que
[a
1
a
3
, ˙a
4
]
a
2
= [a
1
, ˙a
4
]
a
2
a
3
[a
3
, ˙a
4
]
a
2
= [a
1
, ˙a
4
]
a
3
[a
3
, ˙a
4
]
a
2
= [a
1
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
][a
2
a
3
, ˙a
4
][a
2
, ˙a
4
]
−1
∗∗Usando o gerador de rela¸c˜oes obtemos,
[a
1
a
3
, ˙a
4
]
˙a
1
= [ ˙a
1
˙a
3
, a
4
]
˙a
1
= [a
3
, ˙a
4
]
a
2
1
[˙a
1
, a
4
]
−1
= [a
3
, ˙a
4
][a
2
, ˙a
2
][a
2
, ˙a
4
]
−1
∗ ∗ ∗
[a
1
a
3
, ˙a
4
]
˙a
2
= [˙a
1
˙a
3
, a
4
]
˙a
2
= [˙a
1
, a
4
]
˙a
2
, ˙a
3
[a
3
, ˙a
4
]
˙a
2
= [˙a
1
, a
4
]
˙a
3
[a
3
, ˙a
4
]
a
2
= [a
1
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
]][a
2
a
3
, ˙a
4
][˙a
2
, a
4
]
B.1
= [a
1
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
]][a
2
a
3
, ˙a
4
][a
1
, ˙a
2
][a
1
, ˙a
4
]
−1
∗ ∗ ∗∗
[a
1
a
3
, ˙a
4
]
˙a
3
= [˙a
1
˙a
3
, a
4
]
˙a
3
= [˙a
1
, a
4
]
˙a
2
3
[a
3
, ˙a
4
]
B.1
= [a
1
, ˙a
2
][a
2
, ˙a
4
]][a
3
, ˙a
4
]
54
A¸c˜ao sobre m5 = [a
2
a
3
, ˙a
4
]:
[a
2
a
3
, ˙a
4
]
a
1
∗
= = [a
2
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
][a
1
a
3
, ˙a
4
][a
1
, ˙a
4
]
[a
2
a
3
, ˙a
4
]
a
2
= [a
3
, ˙a
4
]
a
2
2
[a
2
, ˙a
4
]
a
2
= [a
3
, ˙a
4
][a
2
, ˙a
4
]
−1
[a
2
a
3
, ˙a
4
]
a
3
= [a
2
, ˙a
4
]
a
2
3
[a
3
, ˙a
4
]
a
3
= [a
2
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
]
[a
2
a
3
, ˙a
4
]
a
4
= = [a
2
a
3
, ˙a
4
]
[a
2
a
3
, ˙a
4
]
˙a
1
∗∗
= = [a
2
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
][a
1
a
3
, ˙a
4
][a
2
, ˙a
4
]
−1
[a
1
, ˙a
2
]
[a
2
a
3
, ˙a
4
]
˙a
2
∗∗∗
= = [a
3
, ˙a
4
][a
1
, ˙a
4
]
−1
[a
1
, ˙a
2
]
[a
2
a
3
, ˙a
4
]
˙a
3
∗∗∗∗
= = [a
1
, ˙a
2
][a
2
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
2
]
[a
2
a
3
, ˙a
4
]
˙a
4
= = [a
2
a
3
, ˙a
4
]
∗
[a
2
a
3
, ˙a
4
]
a
1
= [a
2
, ˙a
4
]
a
1
a
3
[a
3
, ˙a
a
1
]
= [a
2
, ˙a
4
]
a
3
[a
3
, ˙a
4
]
a
1
= [a
2
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
][a
1
a
3
, ˙a
4
][a
1
, ˙a
4
]
−1
∗∗
[a
2
a
3
, ˙a
4
]
˙a
1
= [˙a
2
˙a
3
, a
4
]
˙a
1
[a
3
, ˙a
a
1
]
= [a
2
, ˙a
4
]
˙a
1
˙a
3
[a
3
, ˙a
4
]
˙a
1
B.1
= [ ˙a
2
, a
4
]
a
3
[a
3
, ˙a
4
]
˙a
1
= [˙a
1
˙a
3
, a
4
][˙a
3
, a
4
][˙a
1
˙a
3
][˙a
1
, a
4
]
−1
B.1
= [a
1
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
][a
1
a
3
, ˙a
4
][a
2
, ˙a
4
]
−1
[a
1
, ˙a
2
]
∗ ∗ ∗Pelo gerador de rela¸c˜oes temos,
[a
2
a
3
, ˙a
4
]
˙a
2
= [˙a
2
˙a
3
, a
4
]
˙a
2
= [˙a
3
, a
4
]
a
2
2
[˙a
2
, a
4
]
˙a
2
= [a
3
, ˙a
4
][˙a
2
, a
4
]
−1
B.1
= [a
3
, ˙a
4
][a
1
, ˙a
4
]
−1
[a
1
, ˙a
2
]
∗ ∗ ∗∗ Da mesma maneira do anterior temos,
[a
2
a
3
, ˙a
4
]
˙a
3
= [˙a
2
˙a
3
, a
4
]
˙a
3
= [˙a
2
, a
4
]
a
2
3
[˙a
3
, a
4
]
˙a
3
= [˙a
2
, a
4
][˙a
3
, a
4
]
B.1
= [a
1
, ˙a
2
][a
1
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
]
55
A¸c˜ao sobre m6 = [a
1
, ˙a
2
]:
[a
1
, ˙a
2
]
a
1
= = [a
1
, ˙a
2
]
[a
1
, ˙a
2
]
a
2
= = [a
1
, ˙a
2
]
[a
1
, ˙a
2
]
a
3
= = [a
1
a
3
, ˙a
3
]
[a
1
, ˙a
2
]
a
4
∗
= = [a
1
, ˙a
4
][a
1
, ˙a
2
][a
1
, ˙a
4
]
[a
1
, ˙a
2
]
˙a
1
= = [a
1
, ˙a
4
][˙a
2
, s
4
]
[a
1
, ˙a
2
]
˙a
2
= = [a
1
, ˙a
2
]
[a
1
, ˙a
2
]
˙a
3
= [a
1
˙a
3
, ˙a
2
] = [a
1
a
3
, ˙a
2
]
[a
1
, ˙a
2
]
˙a
4
∗∗
= = [a
,
˙a
4
][a
1
, ˙a
2
][a
2
, ˙a
4
]
∗
[a
1
, ˙a
2
]
a
4
B.1
= ([a
1
, ˙a
4
][a
4
, ˙a
2
])
a
4
= [a
1
, ˙a
4
][˙a
2
, a
4
]
B.1
= [a
1
, ˙a
4
][a
1
, ˙a
2
][a
1
, ˙a
4
]
∗∗
[a
1
, ˙a
2
]
˙a
4
B.1
= [a
1
, ˙a
4
]
˙a
4
[a
4
˙a
1
]
˙a
4
= [a
2
, ˙a
4
][a
4
, ˙a
1
]
−1
B.1
= [a
2
, ˙a
4
][a
1
, ˙a
2
][a
2
, ˙a
4
]
56
A¸c˜ao sobre m7 = [a
1
a
3
, ˙a
2
]:
[a
1
a
3
, ˙a
2
]
a
1
= [a
1
, ˙a
2
]
a
1
a
3
= [a
1
a
3
, ˙a
2
]
[a
1
a
3
, ˙a
2
]
a
2
= = [a
1
a
3
, ˙a
2
]
[a
1
a
3
, ˙a
2
]
a
3
= [a
1
, ˙a
2
]
a
2
3
= [a
1
, ˙a
2
]
[a
1
a
3
, ˙a
2
]
a
4
∗
= = [a
1
a
3
, ˙a
4
]([a
1
a
3
, ˙a
2
][a
3
, ˙a
4
])
2
[a
1
a
3
, ˙a
2
]
˙a
1
= [a
1
, a
3
]
˙a
1
˙a
3
= [a
1
a
3
, ˙a
2
]
[a
1
a
3
, ˙a
2
]
˙a
2
= [a
1
, ˙a
2
]
˙a
2
˙a
3
= [a
1
a
3
, ˙a
2
]
[a
1
a
3
, ˙a
2
]
˙a
3
= [a
1
, ˙a
3
]
˙a
2
3
= [a
1
, ˙a
2
]
[a
1
a
3
, ˙a
2
]
˙a
4
∗∗
= = [a
1
a
3
, ˙a
2
]([a
1
a
3
, ˙a
4
][a
2
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
])
2
∗
[a
1
a
3
, ˙a
4
]
a
4
= [a
1
, a
2
]
a
4
a
3
= ([a
1
, ˙a
2
][a
1
, ˙a
4
]
2
)
a
3
= [a
1
a
3
, ˙a
2
]([a
1
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
])
2
∗∗
[a
1
a
3
, ˙a
2
]
˙a
4
= [a
1
, a
2
]
˙a
4
˙a
3
= ([a
1
, ˙a
2
][a
1
, ˙a
4
]
2
)
˙a
3
= [a
1
a
3
, ˙a
2
]([a
1
a
3
, ˙a
4
][a
2
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
])
2
57
A¸c˜ao sobre m8 = a
4
:
a
˙a
1
4
= [ ˙a
1
, a
4
]a
4
B.1
= [a
1
, ˙a
2
][a
2
, ˙a
4
]a
4
a
˙a
2
4
= [ ˙a
2
, a
4
]a
4
B.1
= [a
1
, ˙a
2
][a
1
, ˙a
4
]a
4
a
˙a
3
4
= [ ˙a
3
, a
4
]a
4
= [a
3
, ˙a
4
]a
4
a
˙a
4
4
= = a
4
A¸c˜ao sobre m9 = ˙a
4
:
˙a
a
1
4
= [a
1
, ˙a
4
]˙a
4
˙a
a
2
4
= [a
2
, ˙a
4
]˙a
4
˙a
a
3
4
= [a
3
, ˙a
4
]˙a
4
˙a
a
4
4
= ˙a
4
58
Agora de posse das a¸c˜oes podemos observar que M χ(H, σ) e M = N, donde podemos
colocar n
i
= m
i
.
Para finalizar a de monstra¸c˜ao vamos ve rificar que N ´e de classe 2, e para isto mostraremos
que os elementos [a
1
, ˙a
4
]
2
, [a
1
, ˙a
4
]
2a
3
s˜ao centrais e geram N
:
[n
1
, n
2
] = n
−1
1
[a
1
, ˙a
4
]
a
2
˙a
4
a
2
˙a
4
= n
−1
1
[a
1
, ˙a
4
]
−a
2
˙a
4
= n
−1
1
[a
1
, ˙a
4
]
= 1,
[n
1
, n
3
] = n
−1
1
[a
1
, ˙a
4
]
a
3
˙a
4
a
3
˙a
4
= n
−1
1
([a
1
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
])
a
3
˙a
4
= n
−1
1
[a
1
, ˙a
4
]
˙a
4
= [a
1
, ˙a
4
]
2
,
[n
1
, n
4
] = [n
4
, n
1
]
−1
= (n
−1
4
[a
1
a
3
, ˙a
4
]
a
1
˙a
4
a
1
˙a
4
)
−1
= (n
−1
4
([a
3
, ˙a
4
][a
1
, ˙a
4
]
−1
)
˙a
4
a
1
˙a
4
)
−1
= (n
−1
4
([a
3
, ˙a
4
][a
1
, ˙a
4
])
a
1
˙a
4
)
−1
= (n
−1
4
([a
1
a
3
, ˙a
4
][a
1
, ˙a
4
]
−2
)
˙a
4
)
−1
= [a
1
, ˙a
4
]
2
,
[n
1
, n
5
] = n
−1
1
[a
1
, ˙a
4
]
a
2
a
3
˙a
4
a
2
a
3
˙a
4
= n
−1
1
([a
1
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
])
a
2
a
3
˙a
4
= n
−1
1
([a
1
, ˙a
4
]
a
3
)
a
3
a
2
˙a
4
= n
−1
1
[a
1
, ˙a
4
]
−1
= [a
1
, ˙a
4
]
2
,
[n
1
, n
6
] = n
−1
1
[a
1
, ˙a
4
]
a
1
˙a
2
a
2
˙a
2
= n
−1
1
[a
1
, ˙a
4
]−˙a
2
a
1
˙a
2
= n
−1
1
[a
1
, ˙a
4
]
−a
1
˙a
2
= n
−1
1
[a
1
˙a
4
]
= 1,
59
[n
1
, n
7
] = n
−1
1
[a
1
, ˙a
4
]
a
3
a
1
˙a
2
a
1
˙a
2
a
3
= n
−1
1
= n
−1
1
= 1,
[n
1
, n
8
] = n
−1
1
[a
1
, ˙a
4
]
a
4
= n
−1
1
[a
1
, ˙a
4
]
= 1,
[n
1
, n
9
] = n
−1
1
[a
1
, ˙a
4
]
a
4
= n
−1
1
[a
1
, ˙a
4
]
−1
= [a
1
, ˙a
4
]
2
,
[n
2
, n
3
] = n
−1
2
[a
2
, ˙a
4
]
a
3
˙a
4
a
3
˙a
4
= n
−1
2
([a
2
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
])
a
3
˙a
4
= n
−1
2
[a
2
, ˙a
4
]
˙a
4
= [a
1
, ˙a
4
]
2
,
[n
2
, n
4
] = n
−1
2
[a
2
, ˙a
4
]
a
1
a
3
˙a
4
a
1
a
3
˙a
4
= n
−1
2
([a
2
a
3
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
])
a
3
a
1
˙a
4
= n
−1
2
[a
2
, ˙a
4
]
a
1
˙a
4
= [a
1
, ˙a
4
]
2
,
[n
2
, n
5
] = [n
5
, n
2
]
−1
= (n
−1
5
([a
3
, ˙a
4
]
a
2
[a
2
, ˙a
4
])
a
2
˙a
4
a
2
˙a
4
)
−1
= (n
−1
5
([a
3
, ˙a
4
][a
2
, ˙a
4
])
a
2
˙a
4
)
−1
= (n
−1
5
(n
5
[a
2
, ˙a
4
]
2
))
−1
= [a
2
, ˙a
4
]
2
,
[n
2
, n
6
] = n
−1
2
[a
2
, ˙a
4
]
a
1
˙a
2
a
1
˙a
2
= n
−1
2
[a
2
, ˙a
4
]
−a
1
˙a
2
= 1,
60
[n
2
, n
7
] = [a
1
, ˙a
2
]
−a
3
[a
1
, ˙a
2
]
a
3
a
2
˙a
4
a
2
˙a
4
= [a
1
, ˙a
2
]
−a
3
[a
1
, ˙a
2
]
a
3
˙a
4
a
2
˙a
4
= [a
1
, ˙a
2
]
−a
3
[a
1
, ˙a
2
]
˙a
3
˙a
4
a
2
˙a
4
= [a
1
, ˙a
2
]
−a
3
([a
1
, ˙a
4
]
2
[a
1
, ˙a
2
])
˙a
3
a
2
˙a
4
= [a
1
, ˙a
2
]
−a
3
([a
1
, ˙a
4
]
2
[a
1
, ˙a
2
])
a
3
a
2
˙a
4
= [a
1
, ˙a
2
]
−a
3
([a
1
, ˙a
4
]
2
[a
1
, ˙a
2
])
a
3
˙a
4
= [a
1
, ˙a
2
]
−a
3
([a
1
, ˙a
4
]
2
[a
1
, ˙a
2
])
˙a
3
˙a
4
= [a
1
, ˙a
2
]
−a
3
([a
1
, ˙a
4
]
2
[a
2
, ˙a
4
]
2
[a
1
, ˙a
2
])
˙a
3
= [a
1
, ˙a
2
]
−a
3
([a
1
, ˙a
2
]a
3
[n
2
, n
8
] = n
−1
2
[a
2
, ˙a
4
]
a
4
= 1,
[n
2
, n
8
] = n
−1
2
[a
2
, ˙a
4
]
˙a
4
= [a
2
, ˙a
4
]
2
,
[n
3
, n
4
] = (n
4
n
3
)
−2
= [a
1
, ˙a
4
]
2a
3
,
[n
3
, n
5
] = (n
5
n
3
)
−2
= [a
2
, ˙a
4
]
2a
3
[n
3
, n
6
] = ([a
1
, ˙a
2
]
−1
[a
1
, ˙a
2
]
a
3
˙a
4
a
3
˙a
4
)
−1
= ([a
1
, ˙a
2
]
−1
[a
1
, ˙a
2
]
˙a
3
˙a
4
a
3
˙a
4
)
−1
= ([a
1
, ˙a
2
]
−1
[a
1
, ˙a
2
]
˙a
4
˙a
3
a
3
˙a
4
)
−1
= ([a
1
, ˙a
2
]
−1
([a
2
, ˙a
4
]
2
[a
1
, ˙a
2
])
˙a
3
a
3
˙a
4
)
−1
= ([a
1
, ˙a
2
]
−1
([a
2
, ˙a
4
]
2
[a
1
, ˙a
2
])
˙a
4
)
−1
= 1
[n
3
, n
7
] = [n
3
, n
6
] = 1
[n
3
, n
8
] = n
−1
3
[a
3
, ˙a
4
]
a
4
= 1,
[n
3
, n
9
] = n
−1
3
[a
3
, ˙a
4
]
˙a
4
= 1,
61
[n
4
, n
5
] = n
−1
4
([a
1
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
])
a
3
a
2
˙a
4
a
2
a
3
˙a
4
= n
−1
4
([a
1
, ˙a
4
]
−1
[a
2
a
3
, ˙a
4
][a
2
, ˙a
4
])
a
2
a
3
˙a
4
= n
−1
4
([a
1
, ˙a
4
]
−a
3
[a
2
a
3
, ˙a
4
][a
2
, ˙a
4
]
−a
3
)
˙a
4
= n
−1
4
([a
1
, ˙a
4
]
a
3
[a
2
a
3
, ˙a
4
][a
2
, ˙a
4
]
a
3
)
= 1,
[n
4
, n
6
] = ([a
1
, ˙a
2
][a
1
, ˙a
2
]
a
1
a
3
˙a
4
a
1
a
3
˙a
4
)
−1
= ([a
1
, ˙a
2
][a
1
, ˙a
2
]
˙a
4
˙a
3
a
1
a
3
˙a
4
)
−1
= ([a
1
, ˙a
2
]([a
1
, ˙a
4
]
2
[a
1
, ˙a
2
])
˙a
3
a
1
a
3
˙a
4
)
−1
= ([a
1
, ˙a
2
]([a
1
, ˙a
4
]
2
[a
1
, ˙a
2
])
a
1
˙a
4
)
−1
= 1
[n
4
, n
7
] = n
−1
4
([a
1
, ˙a
4
]
a
3
[a
3
, ˙a
4
])
a
3
[a
1
, ˙a
2
]a
3
= n
−1
4
([a
1
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
])
[a
1
, ˙a
2
]a
3
= n
−1
4
([a
1
, ˙a
4
]
a
3
[a
3
, ˙a
4
])
= 1,
[n
4
, n
8
] = n
−1
4
[a
1
a
3
, ˙a
4
]
a
4
= 1,
[n
4
, n
9
] = n
−1
4
[a
1
a
3
, ˙a
4
]
˙a
4
= 1,
[n
5
, n
6
] = [n
4
, n
6
]
= 1
[n
5
, n
7
] = n
−1
5
([a
2
, ˙a
4
]
a
3
[a
3
, ˙a
4
])
a
3
[a
1
, ˙a
2
]a
3
= n
−1
5
([a
2
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
])
[a
1
, ˙a
2
]a
3
= n
−1
4
([a
2
, ˙a
4
]
a
3
[a
3
, ˙a
4
])
= 1,
[n
5
, n
7
] = n
−1
5
([a
2
, ˙a
4
]
a
3
[a
3
, ˙a
4
])
a
3
[a
1
, ˙a
2
]a
3
= n
−1
5
([a
2
, ˙a
4
][a
3
, ˙a
4
])
[a
1
, ˙a
2
]a
3
= n
−1
4
([a
2
, ˙a
4
]
a
3
[a
3
, ˙a
4
])
= 1,
[n
5
, n
8
] = n
−1
5
[a
2
a
3
, ˙a
4
]
a
4
= 1,
62
[n
5
, n
9
] = n
−1
5
[a
2
a
3
, ˙a
4
]
˙a
4
= 1,
[n
6
, n
7
] = n
−1
6
([a
1
, ˙a
2
]
a
3
)
a
1
˙a
2
a
1
˙a
2
a
3
= n
−1
6
([a
1
, ˙a
2
]
a
3
)
˙a
2
a
1
˙a
2
a
3
= n
−1
6
([a
1
, ˙a
2
]
˙a
3
)
˙a
2
a
1
˙a
2
a
3
= n
−1
6
([a
1
, ˙a
2
]
˙a
3
)
a
1
˙a
2
a
3
= · · ·
= 1,
[n
6
, n
8
] = n
−1
6
[a
1
, ˙a
2
]
a
4
= n
−1
6
[a
1
, ˙a
2
][a
1
, ˙a
4
]
2
= [a
1
, ˙a
4
]
2
,
[n
6
, n
9
] = n
−1
6
[a
1
, ˙a
2
]
˙a
4
= n
−1
6
[a
1
, ˙a
2
][a
2
, ˙a
4
]
2
= [a
2
, ˙a
4
]
2
,
[n
7
, n
8
] = [n
6
, n
8
]
a
3
= [a
1
, ˙a
4
]
2a
3
,
[n
7
, n
9
] = [n
6
, n
9
]
˙a
3
= [a
2
, ˙a
4
]
2a
3
,
A seguinte tabela resume a situa¸c˜ao:
[∗, ∗] n
1
n
2
n
3
n
4
n
5
n
6
n
7
n
8
n
9
n
1
1 1 [a
1
, ˙a
4
]
2
[a
1
, ˙a
4
]
2
[a
1
, ˙a
4
]
2
1 1 1 [a
1
, ˙a
4
]
2
n
2
1 [a
1
, ˙a
4
]
2
[a
1
, ˙a
4
]
2
[a
1
, ˙a
4
]
2
1 1 1 [a
1
, ˙a
4
]
2
n
3
1 [a
1
, ˙a
4
]
2a
3
[a
1
, ˙a
4
]
2a
3
1 1 1 1
n
4
1 1 1 1 1 1
n
5
1 1 1 1 1
n
6
1 1 [a
1
, ˙a
4
]
2
[a
1
, ˙a
4
]
2
n
7
1 [a
1
, ˙a
4
]
2a
3
[a
1
, ˙a
4
]
2a
3
n
8
1 1
n
9
1
(B.7)
63
Restando apenas mostrar que os elementos [a
1
, ˙a
4
]
2
, [a
1
, ˙a
4
]
2a
3
s˜ao centrais em N. Para
tanto vamos calcular os comutadores:
[n
2
1
, n
2
] = [n
1
, n
2
]
n
1
[n
1
, n
2
] = 1,
[n
2
1
, n
3
] = [n
1
, n
3
]
n
1
[n
1
, n
3
] = n
2n
1
1
n
2
1
= 1,
[n
2
1
, n
4
] = [n
1
, n
4
]
n
1
[n
1
, n
4
] = n
2n
1
1
n
2
1
= 1,
[n
2
1
, n
5
] = [n
1
, n
5
]
n
1
[n
1
, n
5
] = n
2n
1
1
n
2
1
= 1,
[n
2
1
, n
6
] = [n
1
, n
6
]
n
1
[n
1
, n
6
] = 1,
[n
2
1
, n
7
] = [n
1
, n
7
]
n
1
[n
1
, n
7
] = 1,
[n
2
1
, n
8
] = [n
1
, n
8
]
n
1
[n
1
, n
8
] = 1,
[n
2
1
, n
9
] = [n
1
, n
9
]
n
1
[n
1
, n
9
] = n
2n
1
1
n
2
1
= 1.
Por outro lado, para 1 ≤ j ≤ 9, temos:
[n
2a
3
1
, n
j
] = 1 ⇔ [n
2
1
, n
a
3
j
] = 1,
mas
[n
2
1
, n
a
3
j
] = [n
2
1
, w(n
1
, · · · , n
9
)] = 1,
j´a que n
2
1
∈ Z(χ(H, σ)).
64
Referˆencias Bibliogr´aficas
[1] Sidki, S.N., On Weak Permutability between Groups. Journal of Algebra. , v.63, p.186
- 225, 1980.
[2] Aschbacher, M.,Guralnick, R., Segev, Y., Elementary Abelian 2-subgroups of Sidki-
Type in Finites Groups, Groups, Geomety and Dynamics, to appear
[3] Gupta, N; Rocco, N., R.; Sidki, S.N., Diagonal Embeddings of Nilpotent Groups.
Illinois J. of Math. , v.30, p.274 - 283, 1986.
[4] Johnson, D L, Topics in the theory of group presentations, Cambridge Univ Press.
[5] Magnus, W., Karras, A., Solitar, D., Combinatorial group theory: presentations of
groups in terms of generators and relations, 2nd ed., New york, Dover, 1976.
[6] Rocco, N., R. Comutatividade fraca entre p-grupos finitos, Tese de Doutorado, 1980.
[7] Rocco, N., R. A Presentation for a Crossed Embedding of Finite Solvable Groups.
Communications in Algebra, v.22(6), p. 1975-1998, 1994.
[8] Sidki, S.N., Some Commutation Patterns between Involutions of a Finite Group. I.
Journal of Algebra. , v.39, p.52 - 65, 1976.
[9] Sidki, S.N., Some Commutation Patterns between Involutions of a Finite Group. II.
Journal of Algebra. , v.39, p.66 - 74, 1976.
[10] The GAP Group, GAP – Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.4.9; 2006.
(http://www.gap-system.org).
65
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
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