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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR
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INSTITUTO DE CI
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ENCIAS EXATAS E NATURAIS
PROGRAMA DE P
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OS-GRADUAC¸
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AO EM F
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ISICA
Densidade de energia e for¸ca de radia¸c˜ao
sobre fronteiras em movimento
para estados arbitr´arios do campo:
aplica¸c˜ao ao estado coerente
Disserta¸c˜ao de Mestrado
Mateus Gomes Lima
Bel´em
Agosto de 2008
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR
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A
INSTITUTO DE CI
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ENCIAS EXATAS E NATURAIS
PROGRAMA DE P
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OS-GRADUAC¸
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AO EM F
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ISICA
Densidade de energia e for¸ca de radia¸c˜ao
sobre fronteiras em movimento
para estados arbitr´arios do campo:
aplica¸c˜ao ao estado coerente
Disserta¸c˜ao de Mestrado
Orientador: Prof. Dr. Danilo Teixeira Alves
Bel´em
Agosto de 2008
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Densidade de energia e for¸ca de radia¸c˜ao
sobre fronteiras em movimento
para estados arbitr´arios do campo:
aplica¸c˜ao ao estado coerente
Mateus Gomes Lima
Julgado em:
Conceito:
Comiss˜ao Julgadora:
———————————————–
Prof. Dr. Danilo Teixeira Alves
Orientador - Universidade Federal do Par´a
———————————————–
Prof. Dr. Viktor Dodonov
Membro - Universidade de Bras´ılia
———————————————–
Prof. Dr. Silvana Perez
Membro - Universidade Federal do Par´a
———————————————–
Prof. Dr. Lu´ıs Carlos Crispino
Suplente - Universidade Federal do Par´a
Bel´em
Agosto de 2008
iii
Resumo
No presente trabalho n´os consideramos um campo escalar real n˜ao massivo
em um espa¸co-tempo bidimensional, satisfazendo a condi¸c˜ao de fronteira Di-
richlet ou Neumann na posi¸c˜ao instantˆanea de uma fronteira em movimento.
Para uma lei de movimento relativ´ıstica, n´os mostramos que as condi¸c˜oes de
fronteira Dirichlet e Neumann produzem a mesma for¸ca de radia¸c˜ao sobre um
espelho em movimento quando o estado inicial do campo ´e invariante sobre
transla¸c˜oes temporais. Obtemos as f´ormulas exatas para a densidade de ener-
gia do campo e da for¸ca de radia¸c˜ao na fronteira para os estados de v´acuo,
coerente e comprimido. No limite n˜ao-relativistico, nossos resultados coinci-
dem com os encontrados na literatura. N´os tamb´em investigamos o campo
dentro de uma cavidade oscilante. Considerando as condi¸c˜oes de fronteira
Neumann e Dirichlet, escrevemos a f´ormulas exata para a densidade d e ener-
gia dentro de uma cavidade n˜ao-est´atica, para um estado inicial arbitr´ario do
campo. Tomando como base a equa¸c˜ao de Moore, n´os calculamos recursiva-
mente a densidade de energia e investigamos a evolu¸c˜ao temporal da densidade
de energia para o estado coerente do campo.
iv
Abstract
In this work we consider a real massless scalar field in a two-dimensional
spacetime, satisfying Dirichlet or Neumann boundary condition at the instan-
taneous position of a moving boundary. For a relativistic law of motion, we
show that Dirichlet and Neumann boundary conditions yield the same radia-
tion force on a moving mirror when the initial field state is invariant under
time translations. We obtain the exact formulas for the energy density of
the field and the radiation force on the boundary for vacuum, coherent and
squeezed state. In the nonrelativistic limit, our results coincide with th ose
found in the literature. We also investigate the field inside an oscillating ca-
vity. Considering Neumann and Dirichlet boundary conditions, we write the
exact formula for the energy density inside a non-static cavity for an arbitrary
initial field state. Taking as b asis the Moore equation, we calculate recursively
the energy density and investigate its time evolution for the coherent state.
v
“
`
A minha m˜ae, Rita Alves (In Memoriam)”.
Agradecimentos
Em nome de Allah, clemente e misericordioso!
Gostaria de agradecer, a minha m˜ae, Rita Alves (In memoriam), que sempre esteve
ao meu lado, me ap oiando e dando for¸cas para eu alcan¸car meus objetivos. Com ela a
paz e a gl´oria!
`
As minhas irm˜as Rosangela e Monica que sempre acreditaram em mim e incentivaram
os meus estudos. Aos meus sobrinhos Willian e Yasmin, para os quais eu tento ser um
exemplo de que estudar vale o sacrif´ıcio.
Ao meu orientador e amigo Danilo T. Alves, por me orientar de forma serena e honesta,
corrigindo minhas falhas e favorencendo, assim, meu crescimento acadˆemico e, principal-
mente, meu amadurecimento pessoal. Atrav´es da for¸ca de suas a¸c˜oes, aprendi li¸c˜oes que
levarei para o resto da minha vida. Muito obrigado!
Aos amigos de gradua¸c˜ao do curso de f´ısica noturno: Alessandre Sampaio, Alexandre
Pantoja, Andr´e Luiz, Amauri Paix˜ao, Clayton Costa, Edson Carlos, Fl´avio Daniel, Greg´orio
Barbosa, Gerson Castro, Jˆonatas Barros, Marcos Vin´ıcius, Rog´erio Ferreira, Saulo Mar-
tins e Wanderson Medeiros.
Aos outros membros da “Equipe da Jamaica”: Bruno Wallacy, Ezequiel Belo, Kl´eber
Jos´e e Marcel Luiz. Sempre transformando os bons e maus momentos em um BBB!
Aos amigos de convivˆencia: Alex Cabral, Armando Neto, Elaine Palheta, Maronilson
dos Santos, Rodrigo Canavieira, Rodrigo Gester, L´ıgia Matos, Kelly Braz, Joseane Cabral,
Iramaia Lima, Michelle Gabriela, Aldilene Saraiva, Dami˜ao Meira, Lizangela Almeida,
Brenda Brand˜ao, Shirsley dos Santos, Di´ogenes Le˜ao, Jorge Edson, Diego Miranda, Jo˜ao
Reis, Marcio Sales e Eduardo Gomes.
Aos companheiros do GTQC: Hector Okada, Andreson Rego, Wagner Pires e Edney
Ramos.
Aos professores Lu´ıs Carlos Crispino, S´ergio Vizeu, Marcelo Lima, Van S´ergio e Jos´e
M. F. Bassalo por elucidarem muitas das minhas d´uvidas; Gandhy Aranha Jr. que se
tornou um exemplo para mim; Miguel Ayan pela simpatia e disposi¸c˜ao para solucio-
nar problemas burocr´aticos e Jair Amaral, Heleno Cunha e Samuel Maciel pelos s´abios
conselhos e companheirismo nas horas de descontra¸c˜ao.
Gostaria de fazer um agradecimento especial `a professora Silvana Perez, pela aten¸c˜ao,
compreens˜ao e bons conselhos dispensados a mim depois da perda de minha m˜ae e quando
retornei a ser seu aluno, durante a disciplina mecˆanica estat´ıstica.
Gostaria de agradecer ao secret´ario da p´os-gradua¸c˜ao, Anderson Viana, e a Dona
Jaciara que s˜ao as pessoas que permitem o avan¸co da ciˆencia no laborat´orio de f´ısica da
UFPA. Falando nisso, tamb´em gostaria d e agradecer a CAPES pelo suporte financeiro e
a Donald Knuth por criar o T
E
X.
Finalizando, gostaria de agradecer ao
´
As japonˆes da avia¸c˜ao Saburo Sakai (1916 -
2000) que atrav´es de seu livro, Samurai (onde n arra, na minha opini˜ao, algumas das
maiores fa¸canhas guerreiras de todos os tempos), inspira e fortalece meus princ´ıpios, com
suas atitudes nobres e honradas, mostrando o verdadeiro significado do Bushido.
“Nanu Hachiman Daibosatu”.
viii
“Amareis a paz como um meio para uma nova guerra, e amareis mais a paz breve que a
prolongada. Aconselho-vos n˜ao a trabalhar, mas a lutar. Aconselho-vos n˜ao `a paz, mas `a
vit´oria! Dize is que a boa causa santifica at´e mesmo a guerra? Eu vos digo: ´e a boa guerra que
santifica toda causa. A guerra e a coragem tˆem realizado mais do que a caridade.”
Friedrich Wilhelm Nietzshe
Sum´ario
1 Introdu¸c˜ao 12
2 Uma fronteira m´ovel 17
2.1 Densidade de energia e for¸ca de radia¸c˜ao: f´ormulas exatas . . . . . . . . . 17
2.2 Estado inicial do campo: estado coerente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Cavidade com uma fronteira m´ovel 27
3.1 Densidade de energia: f´ormulas exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Situa¸c˜ao est´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Situa¸c˜ao n˜ao-est´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.1 Estados diagonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.2 Estados n˜ao diagonais: aplica¸c˜ao ao estado coerente . . . . . . . . . 42
4 Coment´arios finais 48
4.1 Perspectiva: aplica¸c˜ao ao estado comprimido . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2 Coment´arios finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
A A condi¸c˜ao de Neumann para um referencial de laborat´orio 51
B Invariˆancia conforme da equa¸c˜ao de Klein - Gordon 53
C Mapeamento conforme das coordenadas do sistema 56
D Mapeamento conforme das condi¸c˜oes de fronteira 59
10
D.1 Para uma fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
D.2 Para uma cavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
D.2.1 Fronteira em repouso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
D.2.2 Fronteira em movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
E A fun¸c˜ao de correla¸c˜ao C 63
E.1 Para uma fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
F Densidade de energia e for¸ca de radia¸c˜ao 65
F.1 Para uma fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
F.1.1 Densidade de energia: f´ormulas gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
F.1.2 For¸ca de radia¸c˜ao: f´ormulas gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
F.1.3 Aplica¸c˜ao ao estado coerente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
F.2 Para uma cavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
F.2.1 Densidade de energia: f´ormulas gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
11
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
O conceito de v´acuo, discutido desde a antig¨uidade cl´assica, ganhou um novo signifi-
cado a partir da hip´otese de Max Planck (1858-1947) sobre a radia¸c˜ao do corpo negro que
culminou na cria¸c˜ao da mecˆanica quˆantica. Com a mecˆanica quˆantica surgem conceitos
como o de energia de ponto zero (energia decorrente de flutua¸c˜oes quˆanticas que n˜ao po-
dem ser eliminadas por nenhum processo f´ısico), a cria¸c˜ao e aniquila¸c˜ao de part´ıculas, o
princ´ıpio da incerteza de Heisenberg, entre outros. O estado de v´acuo quˆantico (conside-
rado como o estado de menor energia do sistema quˆantico) comporta-se como um meio
capaz de se polarizar, magnetizar ou mesmo se desestabilizar, emitindo part´ıculas reais.
Diante desse novo significado do conceito de v´acuo, em maio de 1948 Hendrik Brugt
Gehard Casimir (1909-2000) publicou o famoso artigo: On the attraction between two
perfectly conducting plates [1], onde mostrou que a mudan¸ca na energia de ponto zero
do campo eletromagn´etico quantizado, induzida pela presen¸ca de placas met´alicas, fixas,
neutras, paralelas e perfeitamente condutoras estando no v´acuo, d´a origem a uma for¸ca
macrosc´opica entre as placas que decai rapidamente com distˆancia e ´e mensur´avel quando
a distˆancia entre os objetos ´e extremamente pequena. Desde ent˜ao, a denomina¸c˜ao for¸cas
de Casimir tem sido empregada para descrever, de um modo gen´erico, as for¸cas entre
corpos macrosc´opicos, provocadas pelas distor¸c˜oes nos modos do campo, causadas pela
presen¸ca desses corpos, quando esse campo encontra-se no estado de v´acuo.
A primeira verifica¸c˜ao experimental do efeito Casimir foi feita em 1958 por M. J.
12
Sparnaay [2], por´em o grau de incerteza na medida da separa¸c˜ao entre as placas metalicas
gerava uma incerteza muito grande a respeito dos resultados finais. Quase quarenta anos
depois, em janeiro de 1997, S. K. Lamoreaux publicou seus resultados obtidos atrav´es de
um experimento com uma geometria modificada [3], uma placa e uma lente esf´erica aco-
plados a um pˆendulo de tor¸c˜ao. Lamoreaux mediu a for¸ca d e Casimir com uma incerteza
de apenas 5%. Em 1998, U. Mohideen e A. Roy realizaram outro experimento [4], agora
com um microsc´opio de for¸ca atˆomica, confirmando com alta precis˜ao o efeito Casimir.
Recentemente houveram outros experimentos [5] que n˜ao deixam qualquer d´uvida sobre
a existˆencia concreta do efeito descoberto por Casimir e que leva o seu nome.
As for¸cas dinˆamicas de Casimir s˜ao aquelas exercidas pelas flutua¸c˜oes do v´acuo do
campo considerado, sobre corpos macrosc´opicos em movimento. No caso do campo ele-
tromagn´etico, s˜ao for¸cas de rea¸c˜ao da radia¸c˜ao sobre fronteiras em movimento. Um dos
efeitos relacionados com essa for¸ca ´e a poss´ıvel dissipa¸c˜ao da energia desses corpos, le-
vando `a cria¸c˜ao de quanta reais do campo em quest˜ao. Tal cria¸c˜ao de part´ıculas reais
pode ser entendida em termos do princ´ıpio da conserva¸c˜ao da energia: for¸cas dissipativas
de Casimir retiram energia dos corpos em movimento, sendo que esta energia ´e convertida
em quanta reais do campo (f´otons no caso do campo eletromagn´etico).
Uma diferen¸ca b´asica entre as for¸cas de Casimir est´aticas e dinˆamicas ´e que as ´ultimas
aparecem mesmo no caso onde existe somente um corpo em movimento (uma placa
met´alica ou espelho, por exemplo).
Na d´ecada de 70, os primeiros trabalhos investigando o problema quˆantico da radia¸c˜ao
emitida por espelhos se movendo no v´acuo foram publicados, motivados pela investiga¸c˜ao
de cria¸c˜ao de part´ıculas em um universo n˜ao estacion´ario (ver Refs. [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]).
Moore [6] investigou a radia¸c˜ao gerada em uma cavidade com uma fronteira em mo-
vimento, no contexto de um campo escalar real n˜ao massivo em espa¸co - tempo bi-
dimensional. Impondo a condi¸c˜ao de fronteira Dirichlet para o campo e tamb´em uma
lei prescrita para o movimento da fronteira, Moore obteve uma f´ormula exata para o
valor do tensor energia-momentum, assumindo o estado inicial do campo como sendo o
v´acuo. A solu¸c˜ao do campo obtida por Moore ´e dada em termos de uma equa¸c˜ao funcio-
13
nal, usualmente chamada de equa¸c˜ao de Moore, para a qual n˜ao h´a uma t´ecnica geral de
solu¸c˜ao anal´ıtica.
Fullling e Davies [8] estudaram o problema da radia¸c˜ao de um espelho se movendo,
tamb´em no contexto de um campo escalar real em um espa¸co - tempo bidimensional. Eles
obtiveram uma f´ormula exata para a parte f´ısica finita do valor esperado do tensor energia-
momentum, assumindo o estado inicial do campo como sendo o v´acuo. Seus resultados
revelaram que a radia¸c˜ao ´e originada no espelho e propagada para al´em dele.
Law [13] obteve uma solu¸c˜ao anal´ıtica exata para a equa¸c˜ao de Moore, para um par-
ticular movimento ressonante da fronteira (veja tamb´em a Refs. [14]). Cole e Schieve
[15] propuseram um m´etodo num´erico para resolver exatamente a equa¸c˜ao de Moore,
para uma lei de movimento geral da fronteira. Solu¸c˜oes anal´ıticas aproximadas para a
equa¸c˜ao de Moore foram tamb´em obtidas, por exemplo, por Dodonov-Klimov-Nikonov
[16] e Dalvit-Mazzitelli [17].
Com abordagens diferentes daquelas adotadas por Moore [6] e Fulling-Davies [8],
m´etodos pertubativos foram desenvolvidos para resolver o problema de um campo quˆantico
na presen¸ca de uma ´unica fronteira em movimento [18, 19] e tamb´em em cavidades osci-
lantes [20, 21].
Ford e Vilenkin [18] desenvolveram um m´etodo perturbativo que pode ser aplicado
a espelhos que se deslocam com pequenas amplitudes e velocidades n˜ao relativ´ısticas.
Nesta aproxima¸c˜ao, eles obtiveram para um campo escalar real em um espa¸co - tempo
bidimensional que a for¸ca de radia¸c˜ao ´e proporcional `a terceira derivada temporal da
lei de movimento do espelho, que ´e o limite n˜ao relativ´ıstico do resultado obtido na
Ref. [8]. Ford e Vilenkin tamb´em aplicaram seu m´etodo a um camp o escalar em quatro
dimens˜oes no espa¸co - tempo, obtendo uma for¸ca proporcional `a quinta derivada temporal
do deslocamento do espelho.
Os primeiros trabalhos investigando o problema da cria¸c˜ao de p art´ıculas por espelhos
em movimento, com estados iniciais diferentes do v´acuo, tamb´em foram publicados h´a
trinta anos atr´as, mostrando que a presen¸ca de part´ıculas reais no estado inicial ampli-
fica o fenˆomeno de cria¸c˜ao de part´ıculas. Como exemplo, temos o trabalho de Davies e
14
Fulling [10] (veja tamb´em a Ref. [22]), onde eles encontraram uma classe de trajet´orias
hiperb´olicas de um espelho que se desloca num espa¸co - tempo de Minkowski em 1 + 1
dimens˜oes, para o qual a radia¸c˜ao emitida corresponde a um espectro t´ermico, que pode-
ria ser registrado por um detector inercial. Para o banho t´ermico como o estado “in” do
campo, ao inv´es do v´acuo, Jaekel e Reynaud [23] obtiveram para o camp o escalar em 1+1
dimens˜oes, a contribui¸c˜ao t´ermica para a for¸ca dissipativa proporcional `a velocidade do
espelho, v´alida no limite n˜ao relativ´ıstico.
O efeito Casimir dinˆamico tem sido investigado, ainda considerando o banho t´ermico,
para o caso de um ´unico espelho [23, 24, 25, 26], e tamb´em para uma cavidade oscilante
[16, 25, 27]. O estado coerente como estado inicial do campo foi considerado para uma
fronteira em movimento nas Refs. [26, 28, 29, 30], assim como, a superposi¸c˜ao de estados
coerentes em conex˜ao com a investiga¸c˜ao de descoerˆencia via efeito Casimir dinˆamico [31].
Os estados comprimidos tamb´em foram considerados [26].
Recentemente, v´arios trabalhos tˆem investigado a influˆencia de diferentes condi¸c˜oes
de fronteira no efeito Casimir dinˆamico [28, 32]. No efeito Casimir est´atico, diferentes
condi¸c˜oes de fronteira podem alterar o sinal da for¸ca de Casimir [33]. Aplica¸c˜oes desta
mudan¸ca, por exemplo, na constru¸c˜ao de sistemas nano-eletromecˆanicos foram discutidos
na Refs. [34]. O papel das condi¸c˜oes de Dirichlet e Neumann na for¸ca de Casimir est´atica
foi investigado na Refs. [35] no contexto do campo escalar. Neste contexto, Alves, Farina
e Maia Neto [28] mostraram que as condi¸c˜oes de fronteira Dirichlet e Neumann produ-
zem a mesma for¸ca em um espelho em movimento, quando o estado inicial do campo
´e sim´etrico sobre transla¸c˜oes temporais [28]. No entanto, a validade desta conclus˜ao,
obtida no contexto da aproxima¸c˜ao de Ford-Vilenkin [18], foi restrita a aproxima¸c˜oes
n˜ao-relativ´ısticas e de pequenas amplitud es.
O m´etodo exato de Fulling-Davies [8] ´e freq¨u entemente considerado menos flex´ıvel do
que os m´etodos perturbativos, porque ´e baseado em transforma¸c˜oes conformes e aplic´avel
apenas para o espa¸co - tempo bidimensional [36, 37], en quanto que a abordagem per-
turbativa pode ser extendida `as dimens˜oes superiores. Por outro lado, o m´etodo de
Fulling-Davies permite a obten¸c˜ao de resultados exatos para o campo escalar no espa¸co -
15
tempo bidimensional.
No p resente trabalho (Cap´ıtulo 2), em vez de seguir a abordagem aproximada consi-
derada, por exemplo, na Ref. [28], usamos a abordagem exata prop osta por Fulling e
Davies [8] e calculamos, para um campo escalar real n˜ao massivo em um espa¸co - tempo
bidimensional, as f´ormulas (relativ´ısticas) exatas para a densidade de energia do campo e
para a for¸ca de radia¸c˜ao em um espelho, sendo que o estado inicial do campo ´e um estado
arbitr´ario, mostrando que, tamb´em para leis de movimento relativ´ısticas, as condi¸c˜oes de
fronteira Dirichlet e Neumann produzem a mesma for¸ca de radia¸c˜ao em um esp elho em
movimento, quando o estado inicial do campo ´e sim´etrico sobre transla¸c˜oes temporais. No
limite n˜ao relativ´ıstico, comparamos essas f´ormulas exatas com os resultados aproximados
encontrados nas Refs. [23, 28]. Aplicamos nossas f´ormulas exatas para o estado inicial
do campo sendo coerente, que ´e um exemplo de estado n˜ao invariante sobre transla¸c˜oes
temporais. No cap´ıtulo 3, no contexto do m´etodo de Cole-Schieve [15] p ara solucionar
recursivamente a equa¸c˜ao de Moore, n´os estendemos, para um estado inicial do campo
arbitr´ario, a rela¸c˜ao de recorrˆencia para a den sidade de energia encontrada na Ref. [38].
Com esta generaliza¸c˜ao, obtemos recursivamente a densidade de energia dentro da cavi-
dade, para um ponto arbitr´ario do espa¸co - tempo, em termos dos valores conhecidos da
densidade de energia, calculada nas “regi˜oes est´aticas”, onde o estado inicial do campo
n˜ao foi afetado pela pertuba¸c˜ao causada pelo movimento da fronteira. N´os investigamos
a evolu¸c˜ao temporal da densidade de energia dentro de uma cavidade com uma fronteira
m´ovel, considerando as condi¸c˜oes de fronteira Dirichlet e Neumann e tamb´em um estado
inicial do campo arbitr´ario. Tamb´em aplicamos as f´ormulas obtidas para o campo em
um estado inicial coerente. No cap´ıtulo 4, apresentamos algumas perspectivas, como a
particulariza¸c˜ao das express˜oes exatas da densidade de energia do campo e da for¸ca de
radia¸c˜ao, para o estado inicial do campo sendo o estado compr imido. Conclu´ımos este
cap´ıtulo sumarizando nossos resultados mais importantes e comentando-os.
16
Cap´ıtulo 2
Uma fronteira m´ovel
Neste cap´ıtulo consideramos um campo escalar real n˜ao massivo em um espa¸co-tempo
bidimensional, satisfazendo a condi¸c˜ao de fronteira Dirichlet ou Neumann na posi¸c˜ao
instantˆanea de uma fronteira em movimento. Para uma lei de movimento relativ´ıstica,
n´os mostramos que as condi¸c˜oes de fronteira Dirichlet e Neumann produzem a mesma
for¸ca de radia¸c˜ao sobre um espelho em movimento, quando o estado inicial do campo ´e
invariante sob transla¸c˜oes temporais. Obtemos as f´ormulas exatas para a densidade de
energia do campo e para a for¸ca de radia¸c˜ao na fronteira, para um estado inicial do campo
arbitr´ario e, posteriormente, aplicamos estes resultados a um estado inicial coerente. No
limite n˜ao-relativ´ıstico, nossos resultados coincidem com os encontrados na literatura
1
.
2.1 Densidade de energia e for¸ca de radia¸c˜ao: f´ormulas
exatas
Come¸camos revendo a solu¸c˜ao exata para o campo escalar n˜ao massivo que est´a em
um espa¸co - tempo plano, com condi¸c˜oes de fronteira dinˆamica de Dirichlet ou Neumann
1
Este cap´ıtulo comp˜oe parte do artigo “Quantum radiation force on a moving mirror with Dirichlet
and Neumann boundary conditions at vacuum, finite temp erature and coherent state”, publicado na
revista Physical Review D 77, 125001 (2008).
17
x
III
IV
II
I
Figura 2.1: Trajet´oria do espelho em movimento. As linhas tracejadas s˜ao linhas-nulas
separando a regi˜ao I da regi˜ao II, e regi˜ao III da regi˜ao IV.
[7, 8, 9]. Vamos considerar o campo n˜ao massivo φ (t, x) que satisfa¸ca a equa¸c˜ao de Klein
- Gordon (n´os assumimos ao longo do presente texto = c = 1):
∂
2
t
− ∂
2
x
φ (t, x) = 0 (2.1)
e obede¸ca a condi¸c˜ao de Dirichlet (φ
′
(t
′
, x
′
)|
fronteira
= 0) ou Neumann (∂
x
′
φ
′
(t
′
, x
′
)|
fronteira
=
0 ), tomadas no referencial de Lorentz instantaneamente co-m´ovel, na posi¸c˜ao x = z(t)
da fronteira em movimento. N´os examinamos um conjunto particular de trajet´orias do
espelho para o qual z(t < 0) = 0, como mostrado na Fig. 2.1.
Usando a transforma¸c˜ao de Lorentz, as condi¸c˜oes de Dirichlet e Neumann podem ser
escritas em termos de quantidades no referencial inercial de laborat´orio, respectivamente,
como segue
2
:
φ [t, z(t)] = 0, (2.2)
{[ ˙z(t)∂
t
+ ∂
x
] φ (t, x)}|
x=z(t)
= 0. (2.3)
A solu¸c˜ao do campo pode ser obtida atrav´es da explora¸c˜ao da invariˆancia conforme da
2
Cf. a demonstra¸c˜ao da condi¸c˜ao de Neumann no referencial de laborat´orio, mostrada no Apˆendice A
18
equa¸c˜ao Klein - Gordon [6, 8]. Considerando as transforma¸c˜oes conformes de coordenadas
t − x = f (w − s) e t + x = g (w + s) , (2.4)
a equa¸c˜ao da onda escalar em 1 + 1 dimens˜oes permanece invariante
3
:
∂
2
t
− ∂
2
x
φ (t, x) = 0 →
∂
2
w
− ∂
2
s
φ (w, s) = 0. (2.5)
As fun¸c˜oes f e g podem ser definidas, para uma grande classe de leis de movimento
z(t) (ver Ref. [8]), de modo que a curva s = 0 coincide com a trajet´oria da fronteira
x = z(t): [t, z(t)] → (w, 0) [8]
4
. Ent˜ao, podemos fazer o seguinte mapeamento conforme
das condi¸c˜oes de fronteira
5
:
φ [t, z(t)] = 0 → φ(w, 0) = 0, (2.6)
{[ ˙z(t)∂
t
+ ∂
x
] φ (t, x)}|
x=z(t)
= 0 → [∂
s
φ(w, s)]
s=0
= 0. (2.7)
Os modos normais solu¸c˜ao da equa¸c˜ao da onda no espa¸co (w, s), com condi¸c˜oes de
fronteira est´atica de Dirichlet ou Neumann, s˜ao bem conhecidos, de modo que, voltando
`as coordenadas (t, x), obtemos o operador campo na descri¸c˜ao de Heisenberg dado por:
φ (t, x) =
∞
0
dω
ˆa
ω
φ
ω
+ ˆa
†
ω
φ
∗
ω
, (2.8)
onde
φ
ω
(t, x) = (4πω)
−
1
2
γe
−iωr(v)
+ γ
∗
e
−iωp(u)
(2.9)
forma um conjunto completo de solu¸c˜oes com freq¨uˆencias positivas, e, ao longo de todo o
presente trabalho, adotamos a nota¸c˜ao:
u = t − x e v = t + x. (2.10)
Na Eq. (2.9), introduzimos uma nota¸c˜ao que nos p ermite por em uma ´unica f´ormula,
as solu¸c˜oes para as condi¸c˜oes de fronteira de Dirichlet e Neumann, bem como as solu¸c˜oes
3
Cf. o Apˆendice B.
4
Cf. o Apˆendice C.
5
Cf. o Apˆendice D.
19
do campo para o lado direito (regi˜oes I e II, na Fig. 2.1), e lado esquerdo (regi˜oes III
e IV na Fig. 2.1) do espelho. Neste sentido, para γ = 1, a Eq.(2.9) d´a a solu¸c˜ao para
a condi¸c˜ao de fronteira de Neumann, enquanto que, para γ = i, temos a solu¸c˜ao para a
condi¸c˜ao de fronteira Dirichlet.
Para as regi˜oes I e II mostradas na Fig. 2.1: r (v) = v e 2τ(u) − u = f
−1
(u) ≡ p (u),
onde τ (u) pode ser obtido de τ(u) − z[τ (u)] = u; para as regi˜oes III and IV: p (u) = u
e 2τ(v) − v = g
−1
(u) ≡ r (v), onde τ(v) + z[τ(v)] = v. Como exigˆencia da causalidade,
o campo nas regi˜oes I e IV, representado por φ
0
(t, x), n˜ao ´e afetado pelo movimento da
fronteira [8], de modo que as fun¸c˜oes p e r s˜ao igualmente escolhidas para serem as fun¸c˜oes
identidade nestas regi˜oes est´aticas. Neste cap´ıtulo, consideramos as m´edias ... tomadas
sobre um estado inicial arbitr´ario do campo (regi˜oes I e IV na Fig. 2.1) assumido aqui,
por simplicidade, como sendo o mesmo estado para ambos os lados do espelho.
Continuamos a nossa an´alise escrevendo a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao C = φ
0
(t, x)φ
0
(t
′
, x
′
),
dividida da seguinte forma:
C = C
vac
+ C
non−vac
, (2.11)
com
C
non−vac
= C
ˆa
†
ˆa
+ C
ˆaˆa
, (2.12)
onde
6
C
vac
=
∞
0
dωF
1
(ω, ω
′
, |γ|, γ)|
ω=ω
′
, (2.13)
C
ˆa
†
ˆa
=
∞
0
∞
0
dωdω
′
ˆa
†
ω
′
ˆa
ω
F
1
(ω, ω
′
, |γ|, γ) + c.c., (2.14)
C
ˆaˆa
=
∞
0
∞
0
dωdω
′
ˆa
ω
ˆa
ω
′
F
1
(ω, −ω
′
, γ, |γ|) + c.c. (2.15)
e
F
1
(ω, ω
′
, ρ, λ) =
e
−i(ωt−ω
′
t
′
)
4π
√
ωω
′
ρ
2
e
−i(ωx−ω
′
x
′
)
+λ
2
e
−i(ωx+ω
′
x
′
)
+ c.c.
. (2.16)
6
Cf. o Apˆendice E.
20
A partir das Eqs. (2.13), (2.14), (2.15) e (2.16) verificamos que, na presen¸ca de fronteiras,
C
vac
, C
ˆa
†
ˆa
e C
ˆaˆa
n˜ao s˜ao sim´etricos sob transla¸c˜oes espaciais. O termo C
vac
´e sim´etrico
sob transla¸c˜oes temporais, enquanto que C
ˆa
†
ˆa
´e sim´etrico se
ˆa
†
ω
′
ˆa
ω
∝ δ(ω
′
− ω). Por
outro lado C
ˆaˆa
, se for n˜ao nulo, n˜ao ´e sim´etrico sob transla¸c˜oes temporais.
No contexto da abordagem perturbativa de Ford- Vilenkin [18], de acordo com as re-
ferˆencias [18, 28] a for¸ca de radia¸c˜ao pode ser dada em termos das fun¸c˜oes de correla¸c˜ao, as
quais s˜ao dependentes do operador campo n˜ao perturbado φ
0
: [∂
x
∂
x
′
C]
x
′
=x=0
e [C]
x
′
=x=0
,
para as cond i¸c˜oes de fronteira Dirichlet e Neumann respectivamente. Conforme mostrado
na Ref. [28], as partes da for¸ca relacionadas com C
vac
e C
ˆa
†
ˆa
s˜ao as mesmas para as
condi¸c˜oes de fronteira Dirichlet e Neumann. Contudo, a parte relacionada com C
ˆaˆa
´e
diferente por um sinal. Em outras palavras, na Ref. [28] ´e mostrado que a diferen¸ca
entre a for¸ca agindo nos casos Dirichlet e Neumann emerge, no contexto do movimento
n˜ao relativ´ıstico com pequena amplitude do espelho, na parte C
ˆaˆa
, que ´e a parte n˜ao
invariante sob transla¸c˜oes temporais.
Agora vamos investigar este problema da for¸ca de radia¸c˜ao sobre a fronteira, no
contexto de uma abordagem exata, iniciando a partir da solu¸c˜ao do campo (Eq. (2.9))
e obtendo as f´ormulas exatas para o valor esperado d o operador densidade de energia
T =
ˆ
T
00
(t, x), bem como a for¸ca resultante F (t) que atua sobre a fronteira em movi-
mento, a qual ´e definida por (visto que T
00
= T
11
neste modelo)
7
:
F (t) = T [t, z(t)]
(−)
− T [t, z(t)]
(+)
, (2.17)
onde o sobrescrito “+” indica as regi˜oes I e II, enquanto que “-” indica as regi˜oes III e IV
na Fig. 2.1.
Vamos separar T , escrevendo:
T = T
vac
+ T
non−vac
, (2.18)
com
T
non−vac
= T
ˆa
†
ˆa
+ T
ˆaˆa
, (2.19)
7
Para visualizar esses c´alculos com maiores detalhes cf. o Apˆendice F.
21
onde:
T
vac
=
1
2
∞
0
dωF
2
(ω, ω
′
, |γ|, |γ|)|
ω=ω
′
, (2.20)
T
ˆa
†
ˆa
=
1
2
∞
0
∞
0
dωdω
′
ˆa
†
ω
ˆa
ω
′
F
2
(ω, ω
′
, |γ|, |γ|) + c.c., (2.21)
T
ˆaˆa
= −
1
2
∞
0
∞
0
dωdω
′
ˆa
ω
ˆa
ω
′
F
2
(−ω, ω
′
, γ, γ
∗
) + c.c. (2.22)
e
F
2
(ω, ω
′
, ρ, λ) =
√
ωω
′
2π
ρ
2
[r
′
(v)]
2
e
i(ω−ω
′
)r(v)
+ λ
2
[p
′
(u)]
2
e
i(ω−ω
′
)p(u)
. (2.23)
O termo T
vac
´e a densidade local de energia relacionada com o estado de v´acuo, que
´e divergente. Ap´os a regulariza¸c˜ao e renormaliza¸c˜ao (veja a Ref. [8]), T
vac
pode ser
redefinido como a densidade local de energia renormalizada:
T
vac
= −|γ|
2
/24π
p
′′′
(u)/p
′
(u) − (3/2)p
′′
(u)
2
/p
′
(u)
2
+p(u) → r(v), (2.24)
onde o objeto aparecendo nos colchetes ´e conhecido como a derivada Schwarziana. N´os
observamos que, de acordo com a nossa nota¸c˜ao, para o lado direito do espelho temos
r(v) = v, de modo que a Eq. (2.24) d´a a f´ormula encontrada na Ref. [8] para a condi¸c˜ao de
fronteira Dirichlet. Al´em disso, verificamos que a mesma f´ormula ´e v´alida para a condi¸c˜ao
de fronteira Neumann (|γ| = 1 em ambos os casos).
A for¸ca de radia¸c˜ao resultante F que age sobre o espelho em movimento pode ser
escrita como:
F = F
vac
+ F
non−vac
, (2.25)
com
F
non−vac
= F
ˆa
†
ˆa
+ F
ˆaˆa
, (2.26)
22
onde:
F
vac
= |γ|
2
1 + ˙z
2
×
(¨z
2
˙z/2π)/
1 − ˙z
2
4
+ (
...
z
/6π)/
1 − ˙z
2
3
, (2.27)
F
ˆa
†
ˆa
= 2
∞
0
∞
0
dωdω
′
ˆa
†
ω
′
ˆa
ω
F
3
(ω, ω
′
, |γ|, |γ|) + c.c. , (2.28)
F
ˆaˆa
= −
∞
0
∞
0
dωdω
′
ˆa
ω
ˆa
ω
′
F
3
(ω, ω
′
, γ
∗
, γ) + c.c. , (2.29)
e
F
3
(ω, ω
′
, ρ, λ) =
√
ωω
′
4π
−ρ
2
(1 + ˙z)
2
(1 − ˙z)
2
e
−i(ω−ω
′
)p[t−z(t)]
+ρ
2
e
−i(ω−ω
′
)[t−z(t)]
−[(z, ˙z, p, ρ) → (−z, −˙z, r, λ)]} . (2.30)
Vemos que F
vac
e F
ˆa
†
ˆa
dependem de |γ|
2
, que tem o mesmo valor para as condi¸c˜oes
Dirichlet e Neumann. Por outro lado, F
ˆaˆa
depende de γ
∗ 2
( ou γ
2
) que se distinguem
por um sinal nos casos Dirichlet e Neumann. Notando que o termo C
ˆaˆa
(ˆaˆa = 0) n˜ao
´e sim´etrico sob transla¸c˜oes temporais, pod emos generalizar o resultado encontrado na
Ref. [28], concluindo que, para uma lei de movimento geral (relativ´ıstica), as condi¸c˜oes
de fronteira Dirichlet e Neumann produzem a mesma for¸ca de radia¸c˜ao sobre um espelho
em movimento, quando o estado inicial campo ´e sim´etrico sob transla¸c˜oes temporais.
Desse modo, temos uma generaliza¸c˜ao do resultado encontrado na Ref. [28], v´alido para
movimentos n˜ao relativ´ısticos, oscilat´orios e de pequenas amplitudes.
Assumindo o limite n˜ao relativ´ıstico (sem usar a condi¸c˜ao de movimento de pequena
amplitude), recuperamos a f´ormula:
F
vac
(t) ≈ |γ|
2
...
z
/6π, (2.31)
encontrada na Ref. [18] para a condi¸c˜ao de Dirichlet e, na Ref. [28] para a condi¸c˜ao de
Neumann. Vale mencionar que, nessas referˆencias, a obten¸c˜ao da f´ormula aproximada
dada pela Eq. (2.31) tamb´em envolveu a considera¸c˜ao de que o movimento da fronteira ´e
de pequena amplitude.
23
2.2 Estado inicial do campo: estado coerente
Vamos analisar a for¸ca de radia¸c˜ao em um espelho em movimento, quando h´a part´ıculas
reais no estado inicial do campo. Para isso, consideramos o estado inicial como sendo o
estado coerente, que ´e um exemplo de um estado n˜ao invariante sob transla¸c˜oes tempo-
rais. O estado coerente de amplitude α ´e definido como um auto-estado do operador
aniquila¸c˜ao: ˆa
ω
|α = αδ (ω − ω
0
) |α, onde α = |α|e
iθ
e ω
0
´e a freq¨uˆencia do modo
excitado. Para este caso, temos que T
ˆa
†
ˆa
e T
ˆaˆa
s˜ao renomeados como T
(α)
ˆa
†
ˆa
e T
(α)
ˆaˆa
,
respectivamente, e dados por:
T
(α)
ˆa
†
ˆa
=
|γ|
2
ω
0
(2π)
|α|
2
r
′
(v)
2
+ p
′
(u)
2
, (2.32)
T
(α)
ˆaˆa
= −
ω
0
4π
α
2
γ
2
[r
′
(v)]
2
e
−2iω
0
r(v)
+γ
∗ 2
[p
′
(u)]
2
e
−2iω
0
p(u)
+ c.c.
. (2.33)
As for¸cas exatas F
ˆa
†
ˆa
e F
ˆaˆa
, renomeadas como as for¸cas coerentes F
(α)
ˆa
†
ˆa
e F
(α)
ˆaˆa
,
respectivamente, s˜ao dadas por:
F
(α)
ˆa
†
ˆa
= −
4|γ|
2
ω
0
π
|α|
2
˙z
(1 + ˙z
2
)
(1 − ˙z
2
)
2
(2.34)
e
F
(α)
ˆaˆa
= −
ω
0
4π
|α|
2
e
−2i(ω
0
t−θ)
×
γ
2
e
2iω
0
z(t)
1 − ˙z
1 + ˙z
2
− e
−2iω
0
z(t)
−γ
∗2
1 + ˙z
1 − ˙z
2
e
−2iω
0
z(t)
− e
2iω
0
z(t)
+ c.c.. (2.35)
Se considerarmos simultaneamente velocidades n˜ao relativ´ısticas e pequenas amplitudes
de deslocamento (no sentido considerado na Ref. [28]), de acordo com o que ´e requerido
pela abordagem de Ford-Vilenkin [18], a for¸ca coerente exata F
(α)
non−vac
= F
(α)
ˆa
†
ˆa
+ F
(α)
ˆaˆa
pode ser aproximada como:
F
(α)
≈ −
2ω
0
π
|α|
2
2|γ|
2
˙q (t) −
γ
2
+ γ
∗2
× [cos (2ω
0
t − 2θ) ˙q (t) − sin (2ω
0
t − 2θ) ω
0
q (t)]}. (2.36)
24
O resultado acima est´a em acordo com o obtido com o obtido na Ref. [28], a menos de
um sinal, que acreditamos estar equivocado em [28].
Na Fig. 2.2 plotamos a for¸ca coerente exata como uma fun¸c˜ao do tempo, para a
condi¸c˜ao de fronteira Dirichlet e diferentes valores da velocidade do espelho. Assumindo
que o espelho se movimenta com velocidade uniforme, em dire¸c˜ao ao sentido negativo do
eixo - x, a Fig. 2.2 mostra a for¸ca oscilante F
(α)
non−vac
e o gr´afico deslocado para a regi˜ao
positiva do eixo vertical, conforme a velocidade do espelho aumenta, tornando a for¸ca
mais intensa e oposta ao movimento.
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
Coherent force
Figura 2.2: For¸ca coerente exata F
(α)
non−vac
como fun¸c˜ao do tempo, para o caso Dirichlet.
Consideramos α = e
(iπ/2)
, ω
0
= 10 e os seguintes valores da velocidade: −10
−8
(linha
pontilhada), −10
−2
(linha tracejada) e −8 × 10
−1
(linha s´olida). As linhas pontilhada e
s´olida exibem a for¸ca coerente multiplicadas pelos fatores 5×10
5
e 1/125 respectivamente.
Para a condi¸c˜ao de fronteira Neumann, Fig. 2.3, a for¸ca oscila de uma maneira dife-
rente, mas exibe deslocamento an´alogo para velocidades relativ´ısticas.
25
0.2 0.4 0.6 0.8
1
t
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
F
Figura 2.3: For¸ca coerente exata F
(α)
non−vac
como fun¸c˜ao do tempo, para o caso Neumann.
Consideramos α = e
(iπ/2)
, ω
0
= 10 e os seguintes valores da velocidade: −10
−8
(linha
pontilhada), −10
−2
(linha tracejada) e −8 × 10
−1
(linha s´olida). As linhas pontilhada e
s´olida exibem a for¸ca coerente multiplicadas pelos fatores 5×10
5
e 1/125 respectivamente.
26
Cap´ıtulo 3
Cavidade com uma fronteira m´ovel
Neste cap´ıtulo, investigamos a evolu¸c˜ao temporal da densidade de energia, para um
campo escalar real n˜ao massivo em um espa¸co - tempo bidimensional, dentro de uma
cavidade n˜ao est´atica. Considerando as poss´ıveis combina¸c˜oes das condi¸c˜oes de fronteira
Neumann e Dirichlet, escrevemos a f´ormula exata para a densidade de en ergia dentro
de uma cavidade, para um estado inicial do campo arbitr´ario. Tomando como base a
equa¸c˜ao de Mo ore (vista a seguir na Eq. (3.5)), calculamos recursivamente a densidade
de energia e investigamos a sua evolu¸c˜ao temporal para o estado inicial do campo como
sendo o estado coerente.
3.1 Densidade de energia: f´ormulas exatas
Assim como no cap´ıtulo 2, come¸camos considerando o campo φ (t, x) que satisfaz a
equa¸c˜ao de Klein - Gordon (2.1). Mas, agora, o campo obedece a duas condi¸c˜oes de
fronteira: a condi¸c˜ao imposta na fronteira est´atica em x = 0, e tamb´em a condi¸c˜ao
imposta na posi¸c˜ao da fronteira em movimento em x = L(t), onde x = L(t) ´e uma lei
prescrita para a fronteira em movimento e L(t < 0) = L
0
, com L
0
sendo o comprimento
da cavidade na situa¸c˜ao est´atica.
N´os investigamos quatro tipos de condi¸c˜oes de fronteira. A condi¸c˜ao de fronteira
Dirichlet-Neumann (DN) imp˜oe a condi¸c˜ao de Dirichlet na fronteira est´atica, enquanto
27
a derivada espacial do campo, tomada no referencial de Lorentz instantaneamente co-
m´ovel `a fronteira dinˆamica, se anula (condi¸c˜ao d e Neumann) na posi¸c˜ao da fronteira em
movimento (vide cap´ıtulo anteiror). Usando a transforma¸c˜ao de Lorentz, conforme j´a
mencionado, esta condi¸c˜ao de fronteira pode ser escrita em termos de quantidades no re-
ferencial inercial d e laborat´orio como segue
1
: ∂
x
′
φ
′
(t
′
, x
′
) =
˙
L(t)∂
t
+ ∂
x
φ (t, x)
x=L(t)
=
0. A condi¸c˜ao de fronteira Neumann-Neumann (NN) imp˜oe: [∂
x
φ (t, x)]|
x=0
= 0 e
˙
L(t)∂
t
+ ∂
x
φ (t, x)
x=L(t)
= 0. A condi¸c˜ao de fronteira Neumann-Dirichlet (ND) imp˜oe:
[∂
x
φ (t, x)]|
x=0
= 0 e φ (t, L(t)) = 0, enquanto a condi¸c˜ao de fronteira Dirichlet-Dirichlet
(DD) imp˜oe: φ (t, 0) = 0 e φ (t, L(t)) = 0.
Considerando o procedimento adotado nas Refs. [6, 8], o campo na cavidade pode ser
obtido pela explora¸c˜ao da invariˆancia conforme da equa¸c˜ao de Klein-Gordon
2
. O operador
campo, solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de onda (2.1), para uma cavidade ´e dado por:
φ(t, x) = λ[
ˆ
A +
ˆ
Bφ
(0)
(t, x)] +
∞
n=1−2β
[ˆa
n
φ
n
(t, x) + H.c.] , (3.1)
onde
φ
(0)
(t, x) = [R(v) + R(u)] /2, (3.2)
e os modos do campo φ
n
(t, x) s˜ao dados por:
φ
n
(t, x) =
1
4(n + β)π
γ ϕ
(β)
n
(v) + γ
∗
ϕ
(β)
n
(u)
, (3.3)
com
ϕ
(β)
n
(z) = e
−i(n+β)πR(z)
, (3.4)
sendo u e v dados pela Eq. (2.10), e R satisfazendo a equa¸c˜ao funcional
R[t + L(t)] − R[t − L(t)] = 2, (3.5)
que ´e a equa¸c˜ao de Moore
3
.
1
Cf. a demonstra¸c˜ao da condi¸c˜ao de Neumann no referencial de laborat´orio no Apˆendice A.
2
Cf. o Apˆendice B.
3
Cf. o Apˆendice C.
28
Nas Eqs. (3.1) e (3.3), n´os introduzimos uma nota¸c˜ao que nos permite colocar dentro
de uma ´unica f´ormula, as solu¸c˜oes para as quatro condi¸c˜oes de fronteira mencionadas
acima. Neste sentido, para λ = γ = 1 e β = 0, as Eqs. (3.1) e (3.3) d˜ao a solu¸c˜ao NN,
onde
ˆ
A e
ˆ
B s˜ao operadores que satisfazem as regras de comuta¸c˜ao
ˆ
A,
ˆ
B
= i,
ˆ
A, ˆa
n
=
ˆ
B, ˆa
n
= 0. As outras trˆes poss´ıveis situa¸c˜oes s˜ao recuperadas se n´os considerarmos
λ = 0, β = 0 e γ = i para o caso DD; β = 1/2 e γ = i para o caso DN; β = 1/2 e γ = 1
para o caso ND.
Daqui em diante, investigaremos as m´edias ... tomadas sobre um estado inicial arb-
tir´ario do campo, desde que aniquilado pelo operador
ˆ
B. Neste contexto, n´os escreveremos
as f´omulas exatas para o valor esperado do operador densidade de energia T =
ˆ
T
00
(t, x).
N´os podemos separar T , da mesma forma como foi feito no cap´ıtulo 2, escrevendo:
T = T
vac
+ T
non-vac
, (3.6)
onde:
T
vac
=
π
4
∞
n=1−2β
(n + β)|γ|
2
R
′
2
(v) + R
′
2
(u)
(3.7)
e
T
non-vac
= T
ˆa
†
ˆa
+ T
ˆaˆa
. (3.8)
Definimos, em seguida:
T
ˆa
†
ˆa
= g
1
(v) + g
1
(u), ( 3.9)
T
ˆaˆa
= g
2
(v) + g
2
(u), (3.10)
sendo
g
1
(z) =
π |γ|
2
4
∞
n,n
′
=(1−2β)
(n + β) (n
′
+ β)
× Re
2e
i(n−n
′
)πR(z)
[R
′
(z)]
2
ˆa
†
n
ˆa
n
′
(3.11)
e
g
2
(z) = −
πγ
2
4
∞
n,n
′
=(1−2β)
(n + β) (n
′
+ β)
× Re
2e
−i(n+n
′
+2β)πR(z)
[R
′
(z)]
2
ˆa
n
ˆa
n
′
. (3.12)
29
A densidade de energia local relacionada ao estado de v´acuo T
vac
´e divergente. S e-
guindo a Ref. [8], n´os adotamos o m´etodo de regulariza¸c˜ao “point-splitting” (o mesmo
m´etodo u sado no cap´ıtulo 2) e obtemos
4
T
vac
(agora redefinida) como a densidade local
de energia renormalizada:
T
vac
= −f(v) − f(u), (3.13)
onde
f =
|γ|
2
24π
R
′′′
R
′
−
3
2
R
′′
R
′
2
+ π
2
1
2
− 3(β − β
2
)
R
′
2
. (3.14)
Na equa¸c˜ao acima, as derivadas s˜ao tomadas com respeito ao argumento da fun¸c˜ao R.
N´os podemos escrever a parte n˜ao-v´acuo da densidad e de energia em uma nota¸c˜ao
an´aloga:
T
non-vac
= −g(v) − g(u), (3.15)
onde g = −(g
1
+ g
2
). Note que T
vac
e T
ˆa
†
ˆa
dependem de |γ|
2
, que tem o mesmo valor
para as quatro combina¸c˜oes de condi¸c˜oes de fronteira consideradas. Por outro lado, T
ˆaˆa
depende de γ
2
, que pode diferir por um sinal, dependendo da situa¸c˜ao considerada. Para
an´alises posteriores ´e conveniente tamb´em escrever a densidade de energia como:
T = −h(v) − h(u), (3.16)
onde h = f + g.
3.2 Situa¸c˜ao est´atica
Vamos primeiro examinar as f´ormulas obtidas na se¸c˜ao anterior para a situa¸c˜ao est´atica
(t ≤ 0), quando a equa¸c˜ao de Moore ´e reduzida a R (t + L
0
) − R(t − L
0
) = 2 . Para este
caso, a fun¸c˜ao R ´e dada por R(z) = z/L
0
[6] e as fun¸c˜oes f, g, g
1
e g
2
, renomeadas,
respectivamente, por f
(s)
, g
(s)
, g
(s)
1
e g
(s)
2
, s˜ao dadas por:
f
(s)
= |γ|
2
π/(24L
2
0
)
1/2 − 3(β − β
2
)
, (3.17)
4
C.f. Apˆendice F.
30
g
(s)
= −g
(s)
1
− g
(s)
2
, (3.18)
g
(s)
1
(z) =
π |γ|
2
4L
2
0
∞
n,n
′
=(1−2β)
(n + β) (n
′
+ β)
×Re
2e
i(n−n
′
)π(z/L
0
)
ˆa
†
n
ˆa
n
′
(3.19)
e
g
(s)
2
(z) = −
πγ
2
4L
2
0
∞
n,n
′
=(1−2β)
(n + β) (n
′
+ β)
× Re
2e
−i(n+n
′
+2β)π(z/L
0
)
ˆa
n
ˆa
n
′
. (3.20)
Observe que f
(s)
´e uma constante e, neste caso, o termo T
vac
´e a densidade de energia
de Casimir e pode ser renomeado como T
cas
, de modo que:
T
DD
cas
= T
NN
cas
= −π/(24L
2
0
), (3.21)
T
DN
cas
= T
ND
cas
= π/(48L
2
0
), (3.22)
onde os sobrescritos DD, NN, DN e ND significam os tipos de condi¸c˜oes de fronteira
considerados nos c´alculos. Os resultados mostrados n as Eqs. (3.21) e (3.22), po dem ser
encontrados na literatura [40, 41]. Note que, para condi¸c˜oes de fronteira mistas (neste caso
ND ou DN), a energia de Casimir ´e positiva, originando uma for¸ca de Casimir r epulsiva
(veja a Ref. [42]).
Por outro lado, em geral, g
(s)
´e dependente do espa¸co - tempo, implicando que T
ˆa
†
ˆa
e T
ˆaˆa
, nesta situa¸c˜ao est´atica renomeados como T
(s)
ˆa
†
ˆa
e T
(s)
ˆaˆa
, sejam, em geral, fun¸c˜oes
das vari´aveis do espa¸co - tempo.
Para um estado inicial arbitr´ario do campo, n´os temos:
L
0
0
T
(s)
ˆa
†
ˆa
dx =
∞
n=(1−2β)
ω
n
N
n
(3.23)
e
L
0
0
T
(s)
ˆaˆa
dx = 0, (3.24)
31
onde ω
n
= π(n + β)/L
0
e N
n
=
ˆa
†
n
ˆa
n
´e a m´edia do n´umero inicial de part´ıculas no
n-´esimo modo do campo. Portanto, para uma cavidade est´atica, a fun¸c˜ao T
(s)
ˆaˆa
pode
contribuir para o comportamento no espa¸co e no tempo da densidade de energia T , mas
n˜ao para a energia total armazenada na cavidade. A energia est´atica total E
(s)
pode ser
escrita (como esperado) como:
E
(s)
= E
cas
+
n
ω
n
N
n
, (3.25)
onde
E
cas
=
L
0
0
T
cas
dx. (3.26)
Conclu´ımos que, para uma cavidade est´atica, para qualquer estado inicial do campo ani-
quilado pelo operador
ˆ
B, temos que, nessa cavidade:
E
(s)ND
= E
(s)DN
, (3.27)
E
(s)DD
= E
(s)NN
. (3.28)
Consideremos, agora, estados iniciais do campo “diagonais”, ou seja, cuja matriz den-
sidade seja diagonal na base de Fock, de modo que:
ˆa
n
ˆa
n
′
= 0 e
ˆa
†
n
ˆa
n
′
= N
n
δ
nn
′
. (3.29)
Para estes estados, temos que:
g
(s)
2
(z) = 0, (3.30)
∂
z
[g
(s)
(z)] = 0, (3.31)
g
(s)
(z) ≥ 0, (3.32)
ou seja, g
(s)
n˜ao depende das vari´aveis do espa¸co-tempo, conduzindo `a uma densidade
de energia uniforme na situa¸c˜ao est´atica. Para estados iniciais “n˜ao diagonais”, para os
quais
ˆa
n
ˆa
n
′
= 0, (3.33)
32
Figura 3.1: Trajet´oria das fronteiras (linhas s´olidas). As linhas tracejadas s˜ao linhas nulas
separando as regi˜oes I de II, e II de III.
a fun¸c˜ao g
(s)
, ou mais especificamente g
(s)
2
, t em uma dependˆencia das coordenadas do
espa¸co-tempo:
∂
z
[g
(s)
(z)] = 0. (3.34)
Estados t´ermicos e coerentes s˜ao, respectivamente, exemplos de estados diagonal e n˜ao-
diagonal.
3.3 Situa¸c˜ao n˜ao-est´atica
Agora, vamos examinar a cavidade na situa¸c˜ao n˜ao-est´atica (t > 0). Os modos do
campo na Eq. (3.1) s˜ao formados por partes que se propagam para a esquerda (fun¸c˜oes
de v) e para a direita (fun¸c˜oes de u). Como requer a causalidade, o campo na regi˜ao I (Fig
33
3.1) n˜ao ´e afetado pelo movimento da fronteira, de modo que esta regi˜ao ´e considerada
como uma “zona est´atica”. Na regi˜ao II (v > L
0
e u ≤ L
0
), as partes dos modos do
campo (Eq.(3.3)) que se propagam para a direita, permanecem n˜ao sendo afetadas pelo
movimento da fronteira; logo, a regi˜ao II tamb´em ´e uma zona est´atica para estes termos.
Por outro lado, as partes dos modos do campo que se propagam para a esquerda na regi˜ao
II s˜ao, em geral, afetadas pelo movimento da fronteira. Na regi˜ao III (u > L
0
), tanto as
partes dos modos do campo que se propagam para a esquerda, quanto as que se propagam
para a direita, s˜ao afetadas. Em suma, as fun¸c˜oes correspond entes `as partes dos modos
do campo que se propagam para a esquerd a e para a direita s˜ao consideradas na zona
est´atica, se o argumento z dessas fun¸c˜oes (z simbolizando v ou u) ´e tal que z ≤ L
0
. Na
zona est´atica R(z) = z/L
0
.
Para um certo ponto (
˜
t, ˜x) no espa¸co-tempo, o operador campo φ(
˜
t, ˜x) ´e conhecido se as
partes que se propagam para a esquerda e para a direita, tomadas sobre, respectivamente,
as linhas nulas v = z
1
e u = z
2
(onde z
1
=
˜
t+ ˜x e z
2
=
˜
t−˜x), s˜ao conhecidas; ou, em outras
palavras, φ(
˜
t, ˜x) ´e conhecido se R(v)|
v=z
1
e R(u)|
u=z
2
s˜ao conhecidos. Cole e Schieve [15]
propuseram um m´etodo r ecursivo para obter a fun¸c˜ao R para um lei de movimento geral
da fronteira, tr a¸cando reversamente uma sequˆencia de linhas nulas, at´e que uma linha nula
entre na zona est´atica, onde R ´e uma fun¸c˜ao conhecida. Para uma breve discuss˜ao desse
m´etodo, vamos assumir que (
˜
t, ˜x) pertence `a regi˜ao III, e que a linha nula v = z
1
intercepta
linha de mundo da fronteira em movimento no ponto [t
1
, L(t
1
)] (veja a Ref. [15]). Assim,
n´os temos que R(v)|
v=z
1
= R[t
1
+ L(t
1
)]. Usando a equa¸c˜ao de Moore (3.5), obtemos
R(v)|
v=z
1
= R(u)|
u=t
1
−L(t
1
)
+ 2. Disto conclu´ımos que a parte do campo propagada para
a esquerda, tomada sobre a linha nula v = z
1
, pode ser escrita em termos da parte
propagada para a direita, tomada sobre a linha nula u = t
1
− L(t
1
). Se t
1
− L(t
1
) ≤ L
0
,
ent˜ao a linha nula u = t
1
− L(t
1
) est´a na zona est´atica, de modo que podemos escrever
R(u)|
u=t
1
−L(t
1
)
= [t
1
−L(t
1
)]/L
0
, e tamb´em R (v)|
v=z
1
= [t
1
−L(t
1
)]/L
0
+2. Por outro lado,
se t
1
−L(t
1
) > L
0
, podemos tra¸car outra linha nula v = t
1
−L(t
1
), interceptando a linha
de mundo da fronteira est´atica no ponto [t
1
− L(t
1
), 0]. Ent˜ao obtemos R(u)|
u=t
1
−L(t
1
)
=
R(v)|
v=t
1
−L(t
1
)
, o que quer dizer que a parte de um dado modo do campo propagando-se
34
para a direita, tomada sobre a linha nula u = t
1
− L(t
1
), tem o mesmo valor da parte
propagando-se para a esquerd a, tomada sobre a linha nula v = t
1
− L(t
1
), ou, em outras
palavras, a reflex˜ao da radia¸c˜ao do campo na fronteira est´atica n˜ao muda seu valor. Em
seguida, n´os podemos escrever R(v)|
v=z
1
= R(v)|
v=t
1
−L(t
1
)
+2. Assumindo que a linha nula
v = t
1
−L(t
1
) intercepta a linha de mundo da fronteira em movimento no ponto (t
2
, L(t
2
)),
temos t
2
+ L(t
2
) = t
1
−L(t
1
), e tamb´em: R(v)|
v=z
1
= R[t
2
+ L(t
2
)] + 2. Da mesma forma,
considerando a equa¸c˜ao de Moore, n´os podemos escrever R(v)|
v=z
1
= R(u)|
u=t
2
−L(t
2
)
+4, e
assim por diante, at´e uma linha nula considerada nesse processo entrar na zona est´atica,
onde a fun¸c˜ao R ´e conhecida. Em resumo, de acordo com a Ref. [15], n´os podemos
escrever: R(z) = 2n + [z − 2
n
i=1
L(t
i
)]/L
0
, onde n ´e o n´umero de reflex˜oes sobre a
fronteira em movimento, necess´arias para conectar uma linha nula v = z (ou u = z) a
uma linha nula na zona est´atica.
Vamos agora examinar o comportamento das partes dos modos do campo que se propa-
gam na cavidade. Levand o em considera¸c˜ao a an´alise acima, para o comportamento fun¸c˜ao
R, para os casos DD e NN (para ambos β = 0), temos: ϕ
(0)
n
(v)|
v=z
1
= ϕ
(0)
n
(u)|
u=t
1
−L(t
1
)
,
ϕ
(0)
n
(u)|
u=t
1
−L(t
1
)
=ϕ
(0)
n
(v)|
v=t
1
−L(t
1
)
, e ϕ
(0)
n
(v)|
v=t
1
−L(t
1
)
=ϕ
(0)
n
(u)|
u=t
2
−L(t
2
)
. N´os podemos
ver que os valores de ϕ
(0)
n
n˜ao se alteram sob uma reflex˜ao nas fronteiras est´atica ou
dinˆamica. Ressaltamos, portanto, que o fato relevante aqui ´e a seq¨uˆencia de pontos do
espa¸co-tempo onde as reflex˜oes ocorrem, porque ela ´e que ir´a mapear uma linha nula inicial
em uma zona n˜ao est´atica, em uma certa linha nula na zona est´atica onde o valor de ϕ
(0)
n
´e ent˜ao determinado. Esta ´ultima conclus˜ao tamb´em ´e v´alida para o caso de condi¸c˜oes mis-
tas (β = 1/2), mas, para esse caso, temos: ϕ
(1/2)
n
(v)|
v=z
1
=−ϕ
(1/2)
n
(u)|
u=t
1
−L(t
1
)
, ϕ
(1/2)
n
(u)|
u=t
1
−L(t
1
)
=
ϕ
(1/2)
(1/2)
(v)|
v=t
1
−L(t
1
)
, e ϕ
(1/2)
n
(v)|
v=t
1
−L(t
1
)
=−ϕ
(1/2)
n
(u)|
u=t
2
−L(t
2
)
. N´os observamos que o valor
de ϕ
(1/2)
n
n˜ao se altera sob uma reflex˜ao n a fronteira est´atica, mas muda por um sinal ao
refletir na fronteira dinˆamica.
O comportamento da densidade de energia na cavidade, no caso do estad o inicial sendo
o v´acuo, ´e descrito pelo comportamento da fun¸c˜ao f, a qual obedece `a equa¸c˜ao a seguir,
35
obtida por Cole-Schieve [38]:
f [t + L (t)] = f [t − L (t)] A(t) + B(t), (3.35)
onde
A(t) =
1 − L
′
(t)
1 + L
′
(t)
2
, (3.36)
B(t) = −
1
12π
L
′′′
(t)
[1 + L
′
(t)]
3
[1 − L
′
(t)]
−
1
4π
L
′′2
(t) L
′
(t)
[1 + L
′
(t)]
4
[1 − L
′
(t)]
2
, (3.37)
que nos permite obter f(z), e conseq¨uentemente T
vac
, recursivamente, em termos do valor
de f = f
(s)
na zona est´atica (veja a Ref. [38]).
Para um estado inicial arbitr´ario, o comportamento da densidade de energia na ca-
vidade ´e descrito tanto pelo comportamento da fun¸c˜ao f (relacionada com a part e de
v´acuo), quanto pelo comportamento da fun¸c˜ao g (relacionada com a parte n˜ao-v´acuo).
Para esta ´ultima, obtemos a seguinte equa¸c˜ao
5
:
g [t + L (t)] = g [t − L (t)] A(t), (3.38)
que nos permite obt er a fun¸c˜ao “n˜ao-v´acuo” g(z), e conseq¨uentemente T
non-vac
, recursi-
vamente a partir dos valores calculados na zona est´atica, onde g = g
(s)
. Agora, para uma
an´alise completa envolvendo simultaneamente as partes v´acuo e n˜ao-v´acuo, escrevemos a
seguinte equa¸c˜ao que defin e o comportamento da fun¸c˜ao h:
h [t + L (t)] = h [t − L (t)] A(t) + B(t). (3.39)
O processo para resolver a Eq. (3.39) inicia tra¸cando-se a linha nula v = t
1
+ L (t
1
), de
forma que n´os fazemos z = t
1
+L (t
1
). Da Eq. (3.39), ap´os a primeira reflex˜ao na fronteira
dinˆamica, obtemos:
h(z) = h [t
1
− L (t
1
)] A(t
1
) + B(t
1
). (3.40)
5
C.f Apˆendice F.
36
Seguindo conforme o procedimento j´a descrito, n´os igualamos t
1
− L (t
1
) = t
2
+ L (t
2
), e,
ap´os a segunda reflex˜ao na fronteira dinˆamica, obtemos:
h(z) = h [t
2
− L (t
2
)] A(t
2
)A(t
1
) + B(t
2
)A(t
1
) + B(t
1
).
Este processo segue, at´e que uma linha nula entre na zona est´atica, onde: h = h
(s)
=
f
(s)
+ g
(s)
´e conhecido. Ao fim do processo, temos:
h(z) = h
(s)
(z)
˜
A(z) +
˜
B(z) (3.41)
onde:
h
(s)
(z) = f
(s)
+ g
(s)
[˜z(z)], (3.42)
˜
A(z) = Π
n
i=1
A(t
i
), (3.43)
˜
B(z) = B(t
n
)Π
n−1
i=1
A(t
i
) + B(t
n−1
)Π
n−2
i=1
A(t
i
)
+... + B(t
2
)A(t
1
) + B(t
1
). (3.44)
Enfatizamos que o n´umero n de reflex˜oes e a seq¨uˆencia de instantes t
1
, ...t
n
dependem de
z. Neste sentido, na Eq. (3.42) n´os definimos:
˜z(z) = t
n
− L(t
n
). (3.45)
Deste processo, n´os observamos que o valor de h n˜ao se altera sob reflex˜oes na fronteira
est´atica, mas se altera quando h reflete na fronteira dinˆamica, o que ´e esperado. N´os
tamb´em observamos que, da Eq. (3.39), a fun¸c˜ao h, ap´os uma reflex˜ao na fronteira
dinˆamica, muda da mesma forma para todas as condi¸c˜oes de fronteira consideradas no
presente trabalho (para uma mesma lei de movimento da fronteira).
Uma observa¸c˜ao fundamental para as an´alises seguintes ´e que, na Eq. (3.41), as
fun¸c˜oes
˜
A e
˜
B somente dependem da lei de movimento da fronteira, enquanto que toda
a depen dˆencia das condi¸c˜oes de fronteira e do estado incial do campo est˜ao armazenadas
na fun¸c˜ao da zona est´atica h
(s)
(z).
37
A densidade de energia T novamente ´e escrita como na Eq. (3.6), T = T
vac
+T
non-vac
,
mas agora com as partes T
vac
e T
non-vac
reescritas como:
T
vac
= −f
(s)
˜
A(u) −
˜
B(u) + u → v , (3.46)
T
non-vac
= −g
(s)
[˜z(u)]
˜
A(u) + u → v. (3.47)
Para uma lei de movimento gen´erica para a fronteira,
˜
A e
˜
B s˜ao fun¸c˜oes diferentes entre
si. E las tamb´em possuem as seguintes propriedades:
˜
A(z) > 0 ∀ z, (3.48)
˜
A(z ≤ L
0
) = 1, (3.49)
˜
B(z ≤ L
0
) = 0. (3.50)
Verificamos, ainda, que a dinˆamica da evolu¸c˜ao da densidade de energia na cavidade ´e
regida, de forma geral, pelas fun¸c˜oes
˜
A(z),
˜
B(z) e g
(s)
[˜z(z)].
3.3.1 Estados diagonais
Para estados diagonais (Eq. (3.29)), temos as conclus˜oes descritas nas Eqs. (3.30)-(3.32),
as quais implicam que:
∂
z
[h
(s)
(z)] = 0, (3.51)
onde h
(s)
est´a definido na Eq. (3.42). Temos, ent˜ao, que dada uma cavidade com um
certo estado inicial diagonal, a evolu¸c˜ao temporal da densidade de energia nessa cavidade
´e definida apenas pelas fun¸c˜oes
˜
A(z) e
˜
B(z) que, para um movimento gen´erico da fronteira,
s˜ao em distintas entre si (conforme j´a comentado). Disto conclu´ımos que, de um modo
geral, a dependˆencia espacial, bem como a evolu¸c˜ao temporal de T
vac
, T
non-vac
e T s˜ao
distintos entre si. Podemos, entretanto, encontrar leis de movimento da fronteira, para
as quais T
vac
, T
non-vac
e T apresentem aproximadamente uma estrutura similar, o que
significa, por exemplo, que se houverem picos e vales em cada um desses termos, eles
estariam localizados aproximadamente na mesma posi¸c˜ao na cavidade. Isto pode ser
38
poss´ıvel para leis de movimento que proporcionem uma dependˆencia linear entre
˜
B(z) e
˜
A(z), ou seja:
˜
B(z) ≈ k
1
˜
A(z) + k
2
, (3.52)
onde k
1
e k
2
s˜ao constantes. Usando as condi¸c˜oes dadas nas Eqs. (3.49) e (3.50), obtemos
que k
1
≈ −k
2
, o que resulta:
˜
B(z) ≈ k
1
[
˜
A(z) − 1]. (3.53)
Substituindo a Eq. (3.53) em (3.46) e (3.47), obtemos:
T
vac
= −(f
(s)
+ k
1
)[
˜
A(u) +
˜
A(v)] + 2k
1
, (3.54)
T
non-vac
= −g
(s)
[
˜
A(u) +
˜
A(v)], (3.55)
T = −(f
(s)
+ g
(s)
+ k
1
)[
˜
A(u) +
˜
A(v)] + 2k
1
. (3.56)
As densidades de energia dadas nas Eqs. (3.54)-(3.56) que apresentarem os fatores mul-
tiplicativos do termo
˜
A(u) +
˜
A(v) com o mesmo sinal, ter˜ao estruturas similares entre si,
no sentido comentado acima.
Um exemplo de uma lei de movimento para a qual a aproxima¸c˜ao (3.53) pode ser
v´alida, ´e a seguinte:
L (t) = L
0
1 + ε sin
pπt
L
0
, |ε| < < 1 e p = 1, 2, ... (3.57)
Considerando em (3.57) os parˆametros L
0
= 1 e p = 2, e na Eq. (3.53) a constante
k
1
= −πp
2
/(48L
2
0
), mostramos nas Figs. 3.2, 3.3 e 3.4 uma compara¸c˜ao entre os gr´aficos
das fun¸c˜oes
˜
B(z) e k
1
[
˜
A(z) − 1], sendo ambas calculadas de forma exata, com base n as
f´ormulas (3.43) e (3.44). Nestas figuras, consideramos, respectivamente, ǫ = 0.01, ǫ = 0.05
e ǫ = 0.1. Obervamos que quanto menor o valor de ǫ, ou seja, quanto menor a amplitude
do movimento, maior ´e a validade da aproxima¸c˜ao (3.53). Observamos ainda que, para
este caso, e ainda para qualquer uma das condi¸c˜oes de contorno consideradas no presente
trabalho, temos:
f
(s)
+ k
1
< 0 e g
(s)
< 0. (3.58)
39
–0.06
–0.04
–0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
z
Figura 3.2: Compara¸c˜ao entre os gr´aficos das fun¸c˜oes
˜
B(z) (linha pontilhada) e k
1
[
˜
A(z)−1]
(linha cont´ınua), para ǫ = 0.01.
No contexto desta lei de movimento com pequenas amplitudes de oscila¸c˜ao, a Eq. (3.58)
considerada em (3.54 - 3.56), resulta que a estrutura da densidade de energia (no sentido
da posi¸c˜ao de picos e vales) ´e, em boa aproxima¸c˜ao, a mesma para T
vac
, T
non-vac
e T .
Esta conclus˜ao, neste contexto aproximado, est´a de acordo com a obtida por Andreata e
Dodonov na Ref. [30].
Finalizando esta se¸c˜ao, conclu´ımos ainda que, para um mesmo estado inicial diagonal
do campo:
T
DD
(t, x) = T
NN
(t, x), (3.59)
T
ND
(t, x) = T
DN
(t, x), (3.60)
As Eqs. (3.59) e (3.60) significam que, qualquer que seja o movimento da fronteira,
para um mesmo estado inicial do campo, desde que diagonal, a densidade de energia na
cavidade DD ser´a igual `a densidade NN a todo instante, sendo que o mesmo ocorrer´a
entre os casos ND e DN. A Eq. (3.60) generaliza, para um estado diagonal arbitr´ario, a
conclus˜ao encontrada na Ref. [39], onde a igualdade T
ND
(t, x) = T
DN
(t, x) apenas foi
40
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
z
Figura 3.3: Compara¸c˜ao entre os gr´aficos das fun¸c˜oes
˜
B(z) (linha pontilhada) e k
1
[
˜
A(z)−1]
(linha cont´ınua), para ǫ = 0.05.
–8
–6
–4
–2
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
z
Figura 3.4: Compara¸c˜ao entre os gr´aficos das fun¸c˜oes
˜
B(z) (linha pontilhada) e k
1
[
˜
A(z)−1]
(linha cont´ınua), para ǫ = 0.1.
41
apontada para o caso de v´acuo.
3.3.2 Estados n˜ao diagonais: aplica¸c˜ao ao estado coerente
Para os estados diagonais, os valores d as fun¸c˜oes f
(s)
e g
(s)
, tomados sobre linhas
nulas n a zona est´atica, s˜ao constantes e independem da linha nula na zona est´atica em
que est˜ao sendo consideradas. Aqui, para estados n˜ao-diagonais, h´a uma altera¸c˜ao: a
fun¸c˜ao g
(s)
= g
(s)
(u)|
u=t
n
−L(t
n
)
(vide Eq. (3.45)), ou seja, g
(s)
passa a depender de sobre
qual linha nula na zona est´atica ela ´e considerada. Tomemos um estado coerente, tal que
ˆa
n
|α = αδ
nn
0
|α, onde α = |α|e
iθ
, e n
0
est´a relacionado `a freq¨uˆencia do modo excitado
[43]. Para este caso, o termo g
(s)
1
´e const ante na zona est´atica, enquanto que o termo
g
(s)
2
n˜ao o ´e, sendo este ´ultimo o gerador da altera¸c˜ao mencionada acima. Em fun¸c˜ao
desse comportamento distinto entre g
(s)
1
e g
(s)
2
, vamos subd vidir o termo T
non-vac
do modo
feito na Eq. (3.8): T
non-vac
= T
ˆa
†
ˆa
+ T
ˆaˆa
. Assim sendo, para facilicitar a visualiza¸c˜ao,
reescreveremos as Eqs. (3.46) e (3.47) da seguinte forma:
T
vac
= −f
(s)
˜
A(u) −
˜
B(u) + u → v , (3.61)
T
ˆa
†
ˆa
= g
(s)
1
˜
A(u) + u → v. (3.62)
T
ˆaˆa
= g
(s)
2
[˜z(u)]
˜
A(u) + u → v. (3.63)
Temos, ent˜ao, que dada uma cavidade com um estado inicial coerente, a evolu¸c˜ao temporal
da densidade de energia nessa cavidade ´e definida pelas fun¸c˜oes
˜
A(z),
˜
B(z) e g
(s)
2
[˜z(z)],
as quais, para um movimento gen´erico d a fronteira, s˜ao, em geral, distintas entre si.
Enfatizamos, ent˜ao, que a dependˆencia espacial, bem como a evolu¸c˜ao temporal de T
vac
,
T
non-vac
e T s˜ao distintos entre si.
Da mesma forma que na se¸c˜ao anterior, vamos enfocar o caso de leis de movimento da
fronteira, tais que a aproxima¸c˜ao (3.53) seja v´alida. Assim sendo, teremos:
T
vac
= −(f
(s)
+ k
1
)[
˜
A(u) +
˜
A(v)] + 2k
1
, (3.64)
T
ˆa
†
ˆa
= g
(s)
1
[
˜
A(u) +
˜
A(v)], (3.65)
42
T
ˆaˆa
= g
(s)
2
[˜z(u)]
˜
A(u) + g
(s)
2
[˜z(v)]
˜
A(v), (3.66)
T = −(f
(s)
− g
(s)
1
+ k
1
)[
˜
A(u) +
˜
A(v)] + g
(s)
2
[˜z(u)]
˜
A(u) + g
(s)
2
[˜z(v)]
˜
A(v) + 2k
1
. (3.67)
As densidades de energia dadas nas Eqs. (3.64) e (3.65) que apresentarem os fatores
multiplicativos constantes do termo
˜
A(u) +
˜
A(v) com o mesmo sinal, ter˜ao estruturas
similares entre si, no sentido comentado na se¸c˜ao anterior. Novamente, considerando a lei
de movimento espec´ıfica mostrada na Eq. (3.57), com os mesmos parˆametros e tamb´em
o valor da constante k
1
adotados na se¸c˜ao anterior, obtemos que, para o caso coerente, e
ainda qualquer uma das condi¸c˜oes de contorno consideradas no presente trabalho, temos:
−(f
(s)
+ k
1
) > 0 e g
(s)
1
> 0. (3.68)
Ent˜ao, no contexto dessa lei de movimento e com pequenas amplitudes de oscila¸c˜ao, temos
que a estrutura da densidade de energia ´e, em boa aproxima¸c˜ao, a mesma para os termos
T
vac
e T
ˆa
†
ˆa
.
O termo T
non-vac
da densidade de energia coerente (agora renomeado como T
(α)
non-vac
)
´e dado por:
T
(α)
non-vac
=
π
2
(n
0
+ β)|α|
2
×
R
′
2
(v) − γ
2
R
′
2
(v) cos [2π(n
0
+ β)R(v) − 2θ] + v → u
. (3.69)
Observamos que, com a mudan¸ca d e fase θ → θ
′
= θ +
π
2
, n´os temos que:
T
(α) DD
non-vac
|
θ
= T
(α) NN
non-vac
|
θ+
π
2
, (3.70)
T
(α) DN
non-vac
|
θ
= T
(α) ND
non-vac
|
θ+
π
2
. (3.71)
A Eq. (3.69) pode ser escrita em termos das fun¸c˜oes
˜
A, da seguinte forma:
T
(α)
non-vac
= T
(α)
ˆa
†
ˆa
+ T
(α)
ˆaˆa
, (3.72)
onde
T
(α)
ˆa
†
ˆa
=
π
(2L
2
0
)
(n
0
+ β) |γ|
2
|α|
2
˜
A (u) +
˜
A (v)
, (3.73)
43
T
(α)
ˆaˆa
= −
π
(2L
2
0
)
γ
2
|α|
2
(n
0
+ β)
×
cos [2 (n
0
+ β) π (˜z (u) /L
0
) − 2θ] ×
˜
A (u)
+u → v}. (3.74)
Um gr´afico correspondente `a Eq. (3.73), gerado com uso d a Eq. (3.43), pode ser visuali-
zado na Fig. 3.5. Vˆe-se que a parte correspondente a (3.73), que tem a mesma estrutura
da parte de v´acuo, est´a relacionada com a forma¸c˜ao d e “picos”. Al´em disso, observa-se
apenas duas linhas, em virtude do fator |γ|
2
em (3.73), que torna o caso NN idˆentico a
DD, e ND idˆentico a DN.
Um gr´afico correspondente `a Eq. (3.74), tamb´em gerado com uso da Eq. (3.43), pode
ser visualizado na Fig. 3.6. Vˆe-se que a parte correspondente a (3.74) pode assumir
valores negativos, apresentando gr´aficos diferentes para cada uma das quatro condi¸coes
de contorno consideradas, em virtude dos fatores γ
2
e β.
O gr´afico resultante, soma dos gr´aficos mostrados nas Figs. 3.5 e 3.6, mostra a inter-
ferˆencia de (3.74) em (3.73), produzindo uma distor¸c˜ao nos picos de (3.73), que na Ref.
[30] foi chamada de “estrutura fina”.
44
0
200
400
600
800
0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26
χ
Figura 3.5: Densidade de energia T
(α)
ˆa
†
ˆa
(eixo vertical), em fun¸c˜ao de χ = x/L
0
(eixo
horizonal), para |α| = 1, t = 50.3L
0
, L
0
= 1, ǫ = 0.01 e a lei de movimento dada na
Eq. (3.57). A linha tracejada corresponde a ambos casos DD e NN. A linha cont´ınua
corresponde a ambos os casos DN e ND.
45
–800
–600
–400
–200
0
200
400
600
800
0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26
χ
Figura 3.6: Densidade de energia T
(α)
ˆaˆa
(eixo vertical), em fun¸c˜ao de χ = x/L
0
(eixo
horizonal), para |α| = 1, t = 50.3L
0
, L
0
= 1, ǫ = 0.01 e a lei de movimento dada na
Eq. (3.57). A linha pontilhada corresponde a ambos: T
(α) DD
ˆaˆa
com θ = 0, e T
(α) NN
ˆaˆa
com
θ = π/2. A linha tipo tra¸co-ponto corresponde a ambos: T
(α) NN
ˆaˆa
com θ = 0, e T
(α) DD
ˆaˆa
com θ = π/2. A linha cont´ınua corresponde a ambos: T
(α) DN
ˆaˆa
com θ = 0, e T
(α) ND
ˆaˆa
com
θ = π/2. A linha tipo espa¸co-ponto corresponde a ambos: T
(α) ND
non-vac
com θ = 0, e T
(α) DN
non-vac
com θ = π/2.
46
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26
χ
Figura 3.7: Densidade de energia T
(α)
non-vac
(eixo vertical), em fun¸c˜ao de χ = x/L
0
(eixo
horizonal), para |α| = 1, t = 50.3L
0
, L
0
= 1, ǫ = 0.01 e a lei de movimento dada na Eq.
(3.57). A linha pontilhada corresponde a ambos: T
(α) DD
non-vac
com θ = 0, e T
(α) NN
non-vac
com
θ = π/2. A linha t ipo tra¸co-ponto corresp onde a ambos: T
(α) NN
non-vac
com θ = 0, e T
(α) DD
non-vac
com θ = π/2. A linha cont´ınua corresponde a ambos: T
(α) DN
non-vac
com θ = 0, e T
(α) ND
non-vac
com θ = π/2. A linh a tipo espa¸co-ponto corresponde a ambos: T
(α) ND
non-vac
com θ = 0, e
T
(α) DN
non-vac
com θ = π/2.
47
Cap´ıtulo 4
Coment´arios finais
Finalizamos esta disserta¸c˜ao, apresentando uma perspectiva imediata da aplica¸c˜ao dos
resultados obtidos para um estado inicial arbitr´ario, para um estado comprimido (no caso
de uma fronteira). Al´em disso, sumarizamos e comentamos os resultados mais relevantes,
mostrando quais s˜ao as generaliza¸c˜oes ou extens˜oes naturais que fizemos aqui, apontando,
quando for o caso, as perspectivas de trabalhos futuros.
4.1 Perspectiva: aplica¸c˜ao ao estado comprimido
Um outro exemplo de um estado n˜ao invariante sob transla¸c˜oes temporais ´e o estado
comprimido puro de modo ´u nico, gerado pela a¸c˜ao do operador de compress˜ao
ˆ
S (ξ) = exp
ξ
∗
ˆa
2
ω
0
− ξ
ˆa
†
ω
0
2
2
(4.1)
no estado de v´acuo: |ξ =
ˆ
S (ξ) |0, onde ξ = re
iϕ
(veja a Ref. [44]).
As for¸cas exatas F
ˆa
†
ˆa
e F
ˆaˆa
, neste caso, ser˜ao renomeadas como F
(ξ)
ˆa
†
ˆa
e F
(ξ)
ˆaˆa
,
respectivamente. N´os encontramos que as f´ormulas para F
(ξ)
ˆa
†
ˆa
e F
(ξ)
ˆaˆa
exibem a mesma
estrutura encontrada para o caso coerente, no sentido que F
(ξ)
ˆa
†
ˆa
pode ser escrito apenas
pela mudan¸ca do coeficiente |α|
2
→ sinh(r)
2
em F
(α)
ˆa
†
ˆa
, enquanto que F
(ξ)
ˆaˆa
pode ser escrito
pela mudan¸ca |α|
2
e
±2iθ
→ −sinh(r) cosh(r)e
±iϕ
em F
(α)
ˆaˆa
.
48
C´alculos para cavidades est˜ao em andamento. N´os tamb´em estamos considerand o o
estado de gato de Schr¨odinger como estado inicial. Finalmente, corre¸c˜oes t´ermicas para
a densidade de energia tamb´em est˜ao sendo investigadas.
4.2 Coment´arios finais
Em s´ıntese, centrando-se sobre as vantagens da abordagem de Fulling-Davies, para
o caso de um campo escalar n˜ao massivo em 1 + 1 dimens˜oes, nesta disserta¸c˜ao calcula-
mos a for¸ca de Casimir dinˆamica exata que atua sobre um espelho em movimento sob `as
condi¸c˜oes de fronteira Neumann ou Dirichlet, para um estado inicial arbitr´ario do campo
(Eqs. (2.25 - 2.30)). Estes resultados comp˜oe parte do artigo “Quantum radiation force on
a moving mirror with Dirichlet and Neumann boundary conditions at vacuum, finite tem-
perature and coherent state”, publicado na revista Physical Review D 77, 125001 (2008).
Vale mencionar que Fulling e Daves tamb´em obtiveram a for¸ca de Casimir dinˆamica exata
[8], por´em eles consideram apenas a condi¸c˜ao de fronteira Dirichlet e o estado inicial do
campo como sendo o v´acuo.
Para o caso em que o estado inicial do campo ´e o v´acuo, obtivemos a for¸ca de Casimir
dinˆamica aproximada (Eq. (2.31)), generalizando o resultado n˜ao relativ´ıstico encontrado
na Ref. [18] para a condi¸c˜ao de Dirichlet e, na Ref. [28] para a condi¸c˜ao de Neumann.
Para o estado inicial do campo sendo coerente, encontramos as f´ormulas exatas para a
for¸ca de radia¸c˜ao (Eqs. (2.34 e 2.35)), que s˜ao diferentes, se considerarmos a condi¸c˜ao
Dirichlet ou Neumann, generalizando as f´ormulas perturbativas encontradas na Ref. [28].
Posteriormente, estendemos para uma lei de movimento geral (relativ´ıstica) da fronteira a
conclus˜ao encontrada na literatura [28], que as condi¸c˜oes de fronteira Dirichlet e Neumann
produzem a mesma for¸ca de radia¸c˜ao sobre um espelho em movimento, quando o estado
inicial do campo ´e invariante sob transla¸c˜oes temporais.
N´os propusemos express˜oes gerais exatas para a densidade de energia dentro de uma
cavidade unidimensional que contenham as condi¸c˜oes de fronteira DD, NN, DN ou ND
e um campo escalar real n˜ao massivo, com um estado inicial arbitr´ario (Eqs. (3.6 -
49
3.16)). Neste sentido, generalizamos a f´ormula para a densidade de energia encontrada
na literatura [6, 8] (que ´e v´alida somente para a condi¸c˜ao de fronteira Dirichlet e o v´acuo
como o estado inicial do campo).
No contexto do m´etodo de Cole-Schieve [15] para solucionar recursivamente a equa¸c˜ao
de Moore, n´os estendemos, para um estado inicial arbitr´ario do campo, a rela¸c˜ao de re-
corrˆencia para a densidade de energia encontrada na Ref. [38] (Eq. (3.39)). Esta extens˜ao
nos permite obter recursivamente a densidade de energia dentro da cavidade, para um
ponto arbitr´ario do espa¸co - tempo, em termos dos valores conhecidos da densidade de
energia calculada nas “regi˜oes est´aticas”, onde o estado inicial do campo n˜ao foi afetado
pela pertuba¸c˜ao causada pelo movimento da fronteira (Eqs. (3.46 e 3.47)).
Finalmente, como um exemplo da efetividade destas equa¸c˜oes e da abordagem num´erica
de Cole e Schieve, n´os descrevemos o comportamento da densidade de energia para es-
tados diagonais e n˜ao diagonais, onde conclu´ımos que para um mesmo estado inicial do
campo, qualquer que seja o movimento da fronteira ou o instante considerado, temos que:
i) Para um estado diagonal, a densidade de en ergia na cavidade DD ser´a igual `a
densidade NN. O mesmo ocorrer´a para as condi¸c˜oes de fronteira mistas ND e DN (Eqs.
(3.59 e 3.60)), sendo que o resultado obtido para as condi¸c˜oes mistas generaliza a conclus˜ao
encontrada na Ref. [39], v´alida apenas para o estado de v´acuo.
ii) Para um estado inicial coer ente (exemplo de um est ado n˜ao diagonal), a densidade
de energia na cavidade DD, calculada em uma certa fase θ, ser´a igual `a densidade NN
calculada em θ
′
= θ +
π
2
. O mesmo ocorrer´a para as condi¸c˜oes de fronteira mistas ND e
DN (Eqs. (3.70 e 3.71)).
AP
ˆ
ENDICES
50
Apˆendice A
A condi¸c˜ao de Neumann para um
referencial de laborat´orio
Neste apˆendice, deduzimos a condi¸c˜ao de fronteira Neumann para o caso de um espelho
em movimento, nos baseando na Ref. [20].
Considerando um espelho (fronteira) movendo-se em um espa¸co-tempo bidimensional
(t, x), de acordo com x = z (t), podemos associar uma estrutura de Lorentz S
′
(t
0
) a este
espelho, cujo a trajet´oria vista no referencial de laborat´orio S ´e dada por
x = ˙z (t
0
) (t − t
0
) + z (t
0
) , (A.1)
de modo que S
′
(t
0
) representa um referencial inercial instantaneamente co-m´ovel ao es-
pelho no instante t
0
. As quantidades tomadas em S
′
(t
0
) ser˜ao denotadas por primo.
As coordenadas espa¸co-temporais em S
′
(t
0
) est˜ao relacionadas `aquelas em S por
x = γ ( ˙z (t
0
)) (x
′
+ ˙z (t
0
) t
′
) + z (t
0
) , (A.2)
t = γ ( ˙z (t
0
)) (t
′
+ ˙z (t
0
) x
′
) + t
0
, (A.3)
onde γ ( ˙z (t
0
)) =
1 − ˙z (t
0
)
2
−1/2
. No referencial de laborat´orio S, a posi¸c˜ao do espelho
no espa¸co - tempo (t
0
, z (t
0
)) corresponde a posi¸c˜ao (0, 0) no referencial S
′
(t
0
) .
O campo φ
′
(t
′
, x
′
) irradiado no espelho no instante t
0
obedece a condi¸c˜ao de Neumann
51
para o referencial S
′
(t
0
):
[∂
x
′
φ
′
(t
′
, x
′
)]|
(x
′
=0,t
′
=0)
= 0, (A.4)
mas do ponto de vista do referencial S, a condi¸c˜ao de Neumann n˜ao ´e percebida desta
forma, pois, ao contr´ario do referencial S
′
(t
0
), no instante t
0
o espelho est´a em movimento
com rela¸c˜ao ao referencial S. Por outro lado, p odemos escrever o lado esquerdo da E q.
(A.4) em termos das quantidades sem primo do referencial S, usando as Eqs. (A.2) e
(A.3) como segue:
∂
∂x
′
=
∂x
∂x
′
∂
∂x
+
∂t
∂x
′
∂
∂t
= γ( ˙z(t
0
))
∂
∂x
+ ˙z(t
0
)
∂
∂t
, (A.5)
logo,
[∂
x
′
φ
′
(t
′
, x
′
)]|
(x
′
=0,t
′
=0)
= γ( ˙z(t
0
))
∂
∂x
+ ˙z(t
0
)
∂
∂t
φ (t, x)
(x=z(t
0
),t=t
0
)
= 0. (A.6)
Podemos, ainda, fazer t
0
→ t na express˜ao acima. Portanto, a condi¸c˜ao de Neumann para
um espelho em movimento no referencial de laborat´orio S ser´a:
∂
∂x
+ ˙z(t)
∂
∂t
φ (t, x)
(x=z(t))
= 0. (A.7)
52
Apˆendice B
Invariˆancia conforme da equa¸c˜ao de
Klein - Gordon
A teoria quˆantica dos sistemas tratados nesta disserta¸c˜ao, tanto para uma fronteira (es-
pelho), quanto para uma cavidade ´e mais facilmente construida, com a ajuda de u m
conjunto completo de modos normais solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Klein - Gordon (2.1) e das
condi¸c˜oes de contorno impostas aos espelhos. Estas solu¸c˜oes podem ser obtidas pela
explora¸c˜ao da invariˆancia conforme da Eq. (2.1).
Podemos escrever o camp o φ (t, x) como Φ (w, s), pois o mesmo ´e um campo escalar e
´e invariante por transforma¸c˜ao conforme, de forma que as primeiras derivadas em rela¸c˜ao
a t e x ser˜ao:
∂
∂t
φ (t, x) =
∂
∂t
Φ (w (t, x) , s (t, x)) =
∂Φ
∂w
∂w
∂t
+
∂Φ
∂s
∂s
∂t
. (B.1)
∂
∂x
φ (t, x) =
∂
∂x
Φ (w (t, x) , s (t, x)) =
∂Φ
∂w
∂w
∂x
+
∂Φ
∂s
∂s
∂x
. (B.2)
Portanto, para mostrar que a equa¸c˜ao de Klein - Gordon ´e invariante sobre transforma¸c˜ao
conforme ´e necess´ario realizar uma mudan¸ca de operadores na Eq. (2.1):
∂
t
= ∂
t
s∂
s
+ ∂
t
w∂
w
(B.3)
∂
x
= ∂
x
s∂
s
+ ∂
x
w∂
w
(B.4)
53
A partir das transforma¸c˜oes conformes (2.4), obtemos as vari´aveis conformes w e s:
w =
1
2
g
−1
(t + x) + f
−1
(t − x)
e s =
1
2
g
−1
(t + x) − f
−1
(t − x)
, (B.5)
onde as fun¸c˜oes f e g s˜ao arbitr´arias. Calculando as derivadas de w e s com rela¸c˜ao a t e
x, vir´a:
∂s
∂t
=
∂
∂t
1
2
g
−1
(t + x) − f
−1
(t − x)
=
1
2
∂g
−1
(t + x)
∂ (t + x)
−
∂f
−1
(t − x)
∂ (t − x)
, (B.6)
∂w
∂t
=
∂
∂t
1
2
g
−1
(t + x) + f
−1
(t − x)
=
1
2
∂g
−1
(t + x)
∂ (t + x)
+
∂f
−1
(t − x)
∂ (t − x)
(B.7)
e
∂s
∂x
=
∂
∂x
1
2
g
−1
(t + x) − f
−1
(t − x)
=
1
2
∂g
−1
(t + x)
∂ (t + x)
+
∂f
−1
(t − x)
∂ (t − x)
, (B.8)
∂w
∂x
=
∂
∂x
1
2
g
−1
(t + x) + f
−1
(t − x)
=
1
2
∂g
−1
(t + x)
∂ (t + x)
−
∂f
−1
(t − x)
∂ (t − x)
. (B.9)
Substituindo as express˜oes (B.6) e (B.7) em (B.3), temos que
∂
∂t
=
1
2
∂g
−1
(t + x)
∂ (t + x)
−
∂f
−1
(t − x)
∂ (t − x)
∂
∂s
+
1
2
∂g
−1
(t + x)
∂ (t + x)
+
+
∂f
−1
(t − x)
∂ (t − x)
∂
∂w
(B.10)
54
e ent˜ao,
∂
2
∂t
2
=
1
2
∂
2
g
−1
(t + x)
∂ (t + x)
2
−
∂
2
f
−1
(t − x)
∂ (t − x)
2
∂
∂s
+
+
1
2
∂
2
g
−1
(t + x)
∂ (t + x)
2
+
∂
2
f
−1
(t − x)
∂ (t − x)
2
∂
∂w
+
+
1
2
∂g
−1
(t + x)
∂ (t + x)
−
∂f
−1
(t − x)
∂ (t − x)
2
∂
2
∂s
2
+
+
1
2
∂g
−1
(t + x)
∂ (t + x)
+
∂f
−1
(t − x)
∂ (t − x)
2
∂
2
∂w
2
. (B.11)
De maneira an´aloga, substituimos as express˜oes (B.8) e (B.9) em (B.4) e obtemos
∂
∂x
=
1
2
∂g
−1
(t + x)
∂ (t + x)
+
∂f
−1
(t − x)
∂ (t − x)
∂
∂s
+
1
2
∂g
−1
(t + x)
∂ (t + x)
+
−
∂f
−1
(t − x)
∂ (t − x)
∂
∂w
, (B.12)
logo, temos que
∂
2
∂x
2
=
1
2
∂
2
g
−1
(t + x)
∂ (t + x)
2
−
∂
2
f
−1
(t − x)
∂ (t − x)
2
∂
∂s
+
+
1
2
∂
2
g
−1
(t + x)
∂ (t + x)
2
+
∂
2
f
−1
(t − x)
∂ (t − x)
2
∂
∂w
+
+
1
2
∂g
−1
(t + x)
∂ (t + x)
+
∂f
−1
(t − x)
∂ (t − x)
2
∂
2
∂s
2
+
1
2
∂g
−1
(t + x)
∂ (t + x)
−
∂f
−1
(t − x)
∂ (t − x)
2
∂
2
∂w
2
. (B.13)
Finalmente, substituindo as Eqs. (B.11) e (B.13) na Eq. (2.1), obtemos:
∂
2
∂t
2
−
∂
2
∂x
2
φ (t, x) =
∂g
−1
(t + x)
∂ (t + x)
∂f
−1
(t − x)
∂ (t − x)
∂
2
∂w
2
−
∂
2
∂s
2
Φ (w, s) = 0. (B.14)
Para n˜ao carregar a n ota¸c˜ao, vamos escrever o campo Φ (w , s) como φ (w, s). Portanto,
sendo as fun¸c˜oes f e g anal´ıticas e suas derivadas invers´ıveis, temos:
∂
2
∂w
2
−
∂
2
∂s
2
φ (w, s) = 0, (B.15)
que ´e a equa¸c˜ao de Klein - Gordon no sistema de coordenadas (w, s), como quer´ıamos
demonstrar.
55
Apˆendice C
Mapeamento conforme das
coordenadas do sistema
Neste apˆendice, descrevemos o mapeamento conforme de coordenadas utilizado por Moore
[6] e Fulling e Davies [8], que usamos nesta disserta¸c˜ao para tratar tanto o caso de uma
fronteira (ou espelho) quanto para uma cavidade unidimensional.
O mapeamento conforme de duas curvas quaisquer de uma geometria para outra pre-
servar´a o ˆangulo entre estas curvas, por isso, este ´e um mapeamento restrito `a duas
dimens˜oes. As situa¸c˜oes analisadas nesta disserta¸c˜ao envolvem um campo escalar n˜ao
massivo em 1+1 dimens˜oes, com um espelho (ou um dos espelhos, para o caso da cavidade
n˜ao-est´atica) em movimento sob as condi¸c˜oes de contorno de Dirichlet e/ou Neumann.
Em 1 + 1 dimens˜oes, esta fronteira se torna um ponto no espa¸co, movendo-se, em geral,
de acordo com x = z (t) com |˙z (t)| < 1. Al´em disso, o campo n˜ao massivo φ (t, x) satisfaz
a equa¸c˜ao de Klein - Gordon Eq. (2.1) na regi˜ao `a direita [x > z (t)] do espelho.
Moore [6] demonstrou que considerar o movimento do espelho sobre certas condi¸c˜oes,
em modelos bidimensionais n˜ao massivos, ´e sempre equivalente (classicamente), sobre
uma transforma¸c˜ao conforme, aos modelos com espelhos estacion´arios, simplificando o
problema. Com esse intuito, constru´ımos um sistema de coordenadas conformes retarda-
das (w, s) que se relaciona com o sistema de coordenadas (t, x). Assim, uma geometria
56
espa¸co-temporal ´e substitu´ıda por outra, mas os pontos das duas geometrias s˜ao identifi-
cados atrav´es das transforma¸c˜oes conformes d e coordenadas, dada pela Eq. (2.4).
Um conjunto de trajet´orias do espelho de interesse particular s˜ao aquelas em que a
velocidade inicial ´e uniforme [8]. Uma escolha apropriada da origem do sistema e estrutura
de Lorentz, nos permite assumir que z (t) = 0 para t < 0. A partir das transforma¸c˜oes
conformes (2.4) podemos isolar as coordenadas t e x:
t =
1
2
[f (w − s) + g (w + s)] e x =
1
2
[g (w + s) − f (w − s)] . (C.1)
Para o caso de uma ´unica fronteira, as fun¸c˜oes f e g s˜ao escolhidas de modo que a curva
s = 0 coincida com trajet´oria do espelho x = z (t). Logo, fazendo uso da Eq. (C.1) temos:
1
2
[g (w) − f (w)] = z
1
2
[f (w) + g (w)]
. (C.2)
Existem solu¸c˜oes globais dessa equa¸c˜ao para movimentos razo´aveis de z (t). Desconside-
ramos os casos em que a trajet´oria do espelho aproxima-se de uma ass´ıntota como t → ∞.
A Eq. (C.2) satizfaz a condi¸c˜ao de velocidade inicial uniforme, se f (w) = g (w) = w para
w < 0. Portanto, z (w) = z (t) = 0 para w e t < 0.
Para o caso de uma cavidade, as fun¸c˜oes f e g s˜ao escolhidas de modo que o espelho
em repouso n a origem (x = 0) seja mapeado pela curva s = 0, enquanto que o espelho
em movimemto (x = L (t)) seja mapeado pela curva s = 1. Agora, substituindo o ma-
peamento conforme realizado no espelho em repouso (x = 0 → s = 0) nas transforma¸c˜oes
conformes (2.4), teremos que: t = f (w) = g (w) , ∀ t. A partir da rela¸c˜ao anterior, intro-
duzimos uma fun¸c˜ao real R que est´a relacionada com f e g por meio de sua inversa [6]:
f (w) = g (w) = R
−1
(w).
As transforma¸c˜oes conformes inversas ser˜ao:
w − s = f
−1
(t − x) e w + s = g
−1
(t + x) . (C.3)
Ent˜ao, substituindo o mapeamento conforme realizado no espelho em movimento (x =
L (t) → s = 1) na express˜ao anterior, juntamente com a fun¸c˜ao real R, temos que w −1 =
R (t − L (t)) e w+1 = R (t + L (t)). Fazendo a diferen¸ca de (w−1) e (w+1) encontramos
57
a equa¸c˜ao funcional Eq. (3.5), conhecida como equa¸c˜ao de Moore. Ela ´e de grande
relevˆancia na an´alise das recorrˆencias da radia¸c˜ao na cavidade, assim como na evolu¸c˜ao
do comportamento da densidade de energia na cavidade.
58
Apˆendice D
Mapeamento conforme das condi¸c˜oes
de fronteira
Neste apˆendice, mapeamos as condi¸c˜oes de fronteira Dirichlet e Neumann das coordenadas
(t, x) para as coordenadas (w, s), atrav´es das transforma¸c˜oes conformes (2.4), tanto para
o problema com uma fronteira quanto para a cavidade n˜ao-estacion´aria.
D.1 Para uma fronteira
Como visto no Apˆendice C, podemos escolher as fun¸c˜oes f e g, a fim de obter o seguinte
mapeamento para uma fronteira: [t, z(t)] → (w, 0) [8]. De imediato, obtemos a condi¸c˜ao
de Dirichlet conforme: φ (w, s)|
s=0
= 0.
A condi¸c˜ao de Neumann nas coorden adas (t, x) ´e dada pela Eq. (A.7). A partir
das transforma¸c˜oes conformes inversas (C.3), obtemos as vari´aveis conformes w e s como
est˜ao na Eq. (B.5). Os operadores diferenciais ∂
t
e ∂
x
nas coordenadas (w, s) s˜ao dados,
respectivamente, pelas Eqs. (B.10) e (B.12).
Aplicando o mapeamento [t, z(t)] → (w, 0) na Eq. (C.3) obtemos que g
−1
(t + z (t)) =
59
f
−1
(t − z (t)) = w, cuja a rela¸c˜ao entre as derivadas dos operandos ser´a:
∂g
−1
(t + z (t))
∂t
=
∂f
−1
(t − z (t))
∂ (t − z (t))
∂ (t − z (t))
∂t
=
∂f
−1
(t − z (t))
∂ (t − z (t))
[1 − ˙z (t)] . (D.1)
A derivada do lado esquerdo da express˜ao (D.1) acima ´e:
∂g
−1
(t + z (t))
∂t
=
∂g
−1
(t + z (t))
∂ (t + z (t))
∂ (t + z (t))
∂t
=
∂g
−1
(t + z (t))
∂ (t + z (t))
[1 + ˙z (t)] , (D.2)
igualando as Eqs. (D.1) e (D.2) obtemos, finalmente, a seguinte rela¸c˜ao entre as derivadas:
∂g
−1
(t + z (t))
∂ (t + z (t))
=
∂f
−1
(t − z (t))
∂ (t − z (t))
1 − ˙z (t)
1 + ˙z (t)
. (D.3)
Sabemos que x = z (t), ent˜ao, podemos escrever com o auxilio da Eq. (2.4) que
˙z (t) = ˙z
1
2
[f (w − s) + g (w + s)]
s=0
= ˙z (w) . (D.4)
Portanto, subst ituindo as Eqs. (B.10), (B.12) e (D.4) no lado esquerdo da Eq. (A.7), com
a substitui¸c˜ao de vari´aveis dada p ela Eq. (2.10), temos que
1
2
∂g
−1
(v)
∂v
∂
∂s
+
∂
∂w
[1 + ˙z (w)] +
+
1
2
∂f
−1
(u)
∂u
∂
∂s
−
∂
∂w
[1 − ˙z (w)]
φ (w, s)
s=0
= 0 , (D.5)
agora substituindo a Eq. (D.3) na express˜ao anterior e manipulando de forma alg´ebrica,
vir´a:
[1 − ˙z (w)]
∂f
−1
(u)
∂u
∂
∂s
φ (w, s)
s=0
= 0. (D.6)
Finalmente, podemos escrever a condi¸c˜ao de Neumann mapeada nas coorden adas (w, s)
como:
∂
∂s
φ (w, s)
s=0
= 0. (D.7)
D.2 Para uma cavidade
Vamos analisar o mapemanto conforme feito n o Apˆend ice C para cada fronteira.
60
D.2.1 Fronteira em repouso
A fronteira em repouso est´a na origem e ´e mapeda pela curva s = 0: [t, 0] →
(w, 0). Se a fronteira em repouso odecer a condi¸c˜ao de Dirichlet, esta ser´a dada por
φ (w, s)|
s=0
= 0. Por outro lado, se a fronteira em repouso obedecer a condi¸c˜ao de Neu-
mann [∂
x
φ (t, x)]|
x=0
= 0, escrevemos o operador diferencial ∂
x
nas coordenadas (w, s)
como na Eq. ( B.12), ond e as vari´aveis conformes s˜ao dadas pela Eq. (B.5).
Fazendo uso das mudan¸cas de vari´aveis (2.10), obtemos que
[∂
x
φ (t, x)]|
x=0
=
1
2
∂g
−1
(v)
∂v
∂
∂s
+
∂
∂w
+
+
1
2
∂f
−1
(u)
∂u
∂
∂s
−
∂
∂w
φ (w, s)
s=0
= 0 . (D.8)
Substituindo a fun¸c˜ao real R (introduzida no Apˆendice C) na express˜ao anterior, vir´a:
1
2
∂R (v)
∂v
+
∂R (u)
∂u
∂
∂s
+
1
2
∂R (v)
∂v
−
∂R (u)
∂u
∂
∂w
φ (w, s)
s=0
= 0. (D.9)
Manipulando as transforma¸c˜oes conformes inversas (C.3), juntamente com a fun¸c˜ao real
R, obtemos:
∂w
∂x
=
1
2
[R
′
(t + x) − R
′
(t − x)] e
∂s
∂x
=
1
2
[R
′
(t + x) + R
′
(t − x)] , (D.10)
com isso, a express˜ao (D.9) se torna
∂s
∂x
x=0
∂
∂s
+
∂w
∂x
x=0
∂
∂w
φ (w, s)
x=0
= 0. (D.11)
Portanto, a condi¸c˜ao de Neumann para a fronteira em repouso, dada em termos das
coordenadas (w, s) ser´a: ∂
x
φ (w, s)|
s=0
= 0.
D.2.2 Fronteira em movimento
A fronteira est´a em movimento de acordo com x = L (t), sendo mapeda pela curva
s = 1: [t, L (t)] → (w, 1). Se a fronteira em movimento odecer a condi¸c˜ao de Dirichlet,
esta ser´a dada por φ (w, s)|
s=1
= 0.
61
Se a fronteira em movimento obedecer a condi¸c˜ao de Neumann, usamos o mesmo
procedimento empregado no item anterior, para calcular a condi¸c˜ao de Neumann para
uma fronteira e obtemos uma express˜ao que difere da Eq. (D.7), apenas pelo valor em
que s ´e tomado:
∂
∂s
φ (w, s)
s=1
= 0. (D.12)
62
Apˆendice E
A fun¸c˜ao de correla¸c˜ao C
Neste apˆendice, obtemos a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao, que nos permite concluir se o campo
considerado ´e ou n˜ao invariante sobre transla¸c˜oes temporais, tanto para uma fronteira
quanto para uma cavidade.
E.1 Para uma fronteira
Vamos calcular o correlator φ(t, x)φ(t
′
, x
′
), para isso, utilizamos as Eqs. (2.8) e (2.9)
e escrevemos o correlator em termos das m´edias dos operadores ˆa
ω
e ˆa
†
ω
:
φ(t, x)φ(t
′
, x
′
) =
∞
0
∞
0
dωdω
′
1
4π
√
ωω
′
(A + B + C + D) , (E.1)
onde
A = ˆa
ω
ˆa
ω
′
γe
−iωr(v)
+ γ
∗
e
−iωp(u)
γe
−iω
′
r(v
′
)
+ γ
∗
e
−iω
′
p(u
′
)
, (E.2)
B =
ˆa
ω
ˆa
†
ω
′
γe
−iωr(v)
+ γ
∗
e
−iωp(u)
γ
∗
e
iω
′
r(v
′
)
+ γe
iω
′
p(u
′
)
, (E.3)
C =
ˆa
†
ω
ˆa
ω
′
γ
∗
e
iωr(v)
+ γe
iωp(u)
γe
−iω
′
r(v
′
)
+ γ
∗
e
−iω
′
p(u
′
)
(E.4)
e
D =
ˆa
†
ω
ˆa
†
ω
′
γ
∗
e
iωr(v)
+ γe
iωp(u)
γ
∗
e
iω
′
r(v
′
)
+ γe
iω
′
p(u
′
)
. (E.5)
Note que A ´e igual ao Hermitiano conjugado de D.
63
A partir do comutador
ˆa
ω
, ˆa
†
ω
′
= δ (ω − ω
′
), temos que a m´edia
ˆa
ω
ˆa
†
ω
′
= δ (ω − ω
′
)+
ˆa
†
ω
′
ˆa
ω
, que substitu´ıda em B e, posteriormente, na Eq. (E.1) nos d´a (ap´os certa mani-
pula¸c˜ao alg´ebrica):
φ(t, x)φ(t
′
, x
′
) =
∞
0
∞
0
dωdω
′
1
4π
√
ωω
′
×
δ (ω − ω
′
)
|γ|
2
e
−i[ωr(v)−ω
′
r(v
′
)]
+ e
−i[ωp(u)−ω
′
p(u
′
)]
+ γ
2
e
−i[ωr(v)−ω
′
p(u
′
)]
+ γ
∗2
e
−i[ωp(u)−ω
′
r(v
′
)]
+
+Re {2C} + Re {2A}}. (E.6)
Para o campo n˜ao pertubado (regi˜oes I e IV na Fig. 2.1), temos que: p(u) = u e
r(v) = v. Logo a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao p ara uma fronteira C = φ
0
(t, x)φ
0
(t
′
, x
′
), ser´a:
C =
∞
0
dω
1
4πω
e
−iω(t−t
′
)
|γ|
2
e
−iω(x−x
′
)
+ γ
2
e
−iω(x+x
′
)
+ c.c.
+
∞
0
∞
0
dωdω
′
1
4π
√
ωω
′
×
ˆa
†
ω
′
ˆa
ω
e
−i(ωt−ω
′
t
′
)
|γ|
2
e
−i(ωx−ω
′
x
′
)
+ γ
2
e
−i(ωx+ω
′
x
′
)
+ c.c.
+
+
ˆa
ω
ˆa
ω
′
e
−i(ωt+ω
′
t
′
)
γ
2
e
−i(ωx+ω
′
x
′
)
+ |γ|
2
e
−i(ωx−ω
′
x
′
)
+ c.c.
+ c.c.
. (E.7)
Observando a express˜ao anterior podemos distinguir os termos C
vac
, C
ˆa
†
ˆa
e C
ˆaˆa
, dados
pelas Eqs. (2.13), (2.14) e (2.15), respectivamente.
64
Apˆendice F
Densidade de energia e for¸ca de
radia¸c˜ao
Neste apˆendice, mostramos os c´alculos da densidade de energia e da for¸ca de radia¸c˜ao
com maiores detalhes.
F.1 Para uma fronteira
F.1.1 Densidade de energia: f´ormulas gerais
O operador densidade de energia em um espa¸co - tempo plano ´e dado por
ˆ
T
00
(t, x) =
1
2
(∂
t
φ (t, x))
2
+ (∂
x
φ (t, x))
2
, (F.1)
onde o operador campo φ (t, x), juntamente com os modos normais desse campo, s˜ao dados
pelas Eqs. (2.8) e (2.9), respectivamente. Sendo
ˆa
ω
, ˆa
†
ω
′
= δ (ω − ω
′
) e ˆa
†
ω
′
ˆa
ω
=
ˆa
†
ω
ˆa
ω
′
†
,
escrevemos o operador densidade de energia como
ˆ
T
00
(t, x) =
1
2
∞
0
dω
|∂
t
φ
ω
|
2
+ |∂
x
φ
ω
|
2
+
+
1
2
∞
0
∞
0
dωdω
′
×
ˆa
†
ω
ˆa
ω
′
[∂
t
φ
∗
ω
∂
t
φ
ω
′
+ ∂
x
φ
∗
ω
∂
x
φ
ω
′
] + c.c.
+ ˆa
ω
ˆa
ω
′
[∂
t
φ
ω
∂
t
φ
ω
′
+ ∂
x
φ
ω
∂
x
φ
ω
′
] + c.c.}. (F.2)
65
Utilizando a mudan¸ca de vari´aveis dada pela Eq. (2.10), escrevemos as derivadas dos
modos normais do campo como segue:
∂
t
φ
ω
= −i
ω
4π
γr
′
(t + x) e
−iωr(t+x)
+ γ
∗
p
′
(t − x) e
−iωp(t−x)
(F.3)
e
∂
x
φ
ω
= i
ω
4π
−γr
′
(t + x) e
−iωr(t+x)
+ γ
∗
p
′
(t − x) e
−iωp(t−x)
. (F.4)
Logo, temos que
∂
t
φ
∗
ω
∂
t
φ
ω
′
=
1
4π
√
ωω
′
×
|γ|
2
[r
′
(t + x)]
2
e
i(ω−ω
′
)r(t+x )
+ [p
′
(t − x)]
2
e
i(ω−ω
′
)p(t−x)
+r
′
(t + x) p
′
(t − x)
γ
2
e
i[ωp(t−x)−ω
′
r(t+x )]
+ γ
∗2
e
i[ωr(t+x)−ω
′
p(t−x)]
,
(F.5)
∂
t
φ
ω
∂
t
φ
ω
′
= −
1
4π
√
ωω
′
×
|γ|
2
r
′
(t + x) p
′
(t − x)
e
−i[ωr(t+x)+ω
′
p(t−x)]
+ e
−i[ωp(t−x)+ω
′
r(t+x )]
+ γ
2
[r
′
(t + x)]
2
e
−i(ω+ω
′
)r(t+x)
+ γ
∗2
[p
′
(t − x)]
2
e
−i(ω+ω
′
)p(t−x)
, (F.6)
∂
x
φ
∗
ω
∂
x
φ
ω
′
=
1
4π
√
ωω
′
×
|γ|
2
[r
′
(t + x)]
2
e
i(ω−ω
′
)r(t+x )
+ [p
′
(t − x)]
2
e
i(ω−ω
′
)p(t−x)
− r
′
(t + x) p
′
(t − x)
γ
2
e
i[ωp(t−x)−ω
′
r(t+x )]
+ γ
∗2
e
i[ωr(t+x)−ω
′
p(t−x)]
(F.7)
e
∂
x
φ
ω
∂
x
φ
ω
′
= −
1
4π
√
ωω
′
×
−|γ|
2
r
′
(t + x) p
′
(t − x)
e
−i[ωr(t+x)+ω
′
p(t−x)]
+ e
−i[ωp(t−x)+ω
′
r(t+x )]
+γ
2
[r
′
(t + x)]
2
e
−i(ω+ω
′
)r(t+x)
+ γ
∗2
[p
′
(t − x)]
2
e
−i(ω+ω
′
)p(t−x)
. (F.8)
66
Portanto, substituindo esses produtos de derivadas na Eq. (F.2) e tomando o valor es-
perado sobre um estado arbitr´ario, escrevemos a densidade de energia na forma geral
como:
T =
ˆ
T
00
(t, x)
=
1
2
∞
0
dω
|∂
t
φ
ω
|
2
+ |∂
x
φ
ω
|
2
+
+
1
4π
∞
0
∞
0
dωdω
′
√
ωω
′
×
ˆa
†
ω
ˆa
ω
′
|γ|
2
[r
′
(t + x)]
2
e
i(ω−ω
′
)r(t+x )
+ [p
′
(t − x)]
2
e
i(ω−ω
′
)p(t−x)
+ c.c.
− ˆa
ω
ˆa
ω
′
γ
2
[r
′
(t + x)]
2
e
−i(ω+ω
′
)r(t+x )
+ γ
∗2
[p
′
(t − x)]
2
e
−i(ω+ω
′
)p(t−x)
+ c.c.
.
(F.9)
De modo que T pode ser separado como: T = T
vac
+ T
non−vac
(com T
non−vac
= T
ˆa
†
ˆa
+
T
ˆaˆa
), onde seus termos s˜ao dados, respectivamente, pelas Eq. (2.20), (2.21) e (2.22), com
o aux´ılio da Eq. (2.23).
Regulariza¸c˜ao do termo de v´acuo
O termo T
vac
´e divergente:
T
vac
=
1
2
∞
0
dω [∂
t
φ
ω
∂
t
φ
∗
ω
+ ∂
x
φ
ω
∂
x
φ
∗
ω
] . (F.10)
Por isso, ´e n ecess´ario realizar a regulariza¸c˜ao e renormaliza¸c˜ao deste termo. Neste sentido,
escolhemos a t´ecnica de regulariza¸c˜ao point-splitting (veja a Ref. [8]) que consiste em
considerar os modos normais do campo conjugado, como sendo φ
∗
ω
(t, x) = φ
∗
ω
(t + ε, x) na
Eq. (2.9), onde ε ´e uma quatidade infinitesimal com a parte imagin´aria positiva. Sendo
assim, temos que
∂
t
φ
ω
∂
t
φ
∗
ω
=
ω
4π
|γ|
2
r
′
(v) r
′
(v + ε) e
−iω[r(v)−r(v+ε)]
+ p
′
(u) p
′
(u + ε) e
−iω[p(u)−p(u+ε)]
+
+γ
2
r
′
(v) p
′
(u + ε) e
−iω[r(v)−p(u+ε)]
+ γ
∗2
p
′
(u) r
′
(v + ε) e
−iω[p(u)−r(v+ε)]
(F.11)
67
e
∂
x
φ
ω
∂
x
φ
∗
ω
=
ω
4π
|γ|
2
r
′
(v) r
′
(v + ε) e
−iω[r(v)−r(v+ε)]
+ p
′
(u) p
′
(u + ε) e
−iω[p(u)−p(u+ε)]
+
− γ
2
r
′
(v) p
′
(u + ε) e
−iω[r(v)−p(u+ε)]
− γ
∗2
p
′
(u) r
′
(v + ε) e
−iω[p(u)−r(v+ε)]
.
(F.12)
Logo,
T
vac
=
1
4π
|γ|
2
r
′
(v) r
′
(v + ε)
∞
0
ω
e
−iω[r(v)−r(v+ε)]
dω
+ p
′
(u) p
′
(u + ε)
∞
0
ω
e
−iω[p(u)−p(u+ε)]
dω
. (F.13)
Deste modo, para eliminarmos os termos esp´urios da express˜ao anterior, realizamos
uma expans˜ao em torno do parˆametro ε e tomamos o limite quando ε → 0, obtendo o
termo T
vac
renormalizado como est´a na Eq. (2.24).
F.1.2 For¸ca de radia¸c˜ao: f´ormulas gerais
Agora vamos calcular a for¸ca resultante sobre a fronteira, dada por: F (t) = T
[t, z (t)]
(−)
− T [t, z (t)]
(+)
, onde “+” indica a regi˜ao `a direita da fronteira, enquanto
que “-” indica a regi˜ao `a esquerda da fronteira.
Para isso, precisamos das 3 primeiras derivadas das fun¸c˜oes p(u) e r(v) em rela¸c˜ao aos
seus argumentos, tomadas nos instantes τ (u) e τ (v), respectivamente (τ corresponde `a
coordenada temporal da interce¸c˜ao da trajet´oria do espelho, com as linhas nulas u e v).
Definindo ˙z ≡ dz (τ ) /dτ, temos que essas derivadas ser˜ao:
dp (u)
du
=
1 + ˙z
1 − ˙z
, (F.14)
d
2
p (u)
du
2
=
2¨z
(1 − ˙z)
3
, (F.15)
d
3
p (u)
du
3
=
6¨z
2
(1 − ˙z)
5
+
2
...
z
(1 − ˙z)
4
, (F.16)
dr (v)
dv
=
1 − ˙z
1 + ˙z
, (F.17)
68
d
2
r (v)
dv
2
= −
2¨z
(1 + ˙z)
3
(F.18)
e
d
3
r (v)
dv
3
=
6¨z
2
(1 + ˙z)
5
−
2
...
z
(1 + ˙z)
4
. (F.19)
Se fazemos:
(I) r(v) = v e p(u) = 2τ(u) −u, onde τ (u) −z (τ (u)) = u, temos o resultado `a direita
da fronteira. Portanto,
T
(+)
vac
= −
1
4π
¨z
2
˙z
(1 − ˙z)
4
(1 + ˙z)
2
−
1
12π
...
z
(1 − ˙z)
3
(1 + ˙z)
(F.20)
e os termos de T
(+)
non−vac
ser˜ao dados por:
T
(+)
ˆa
†
ˆa
=
1
4π
∞
0
∞
0
dωdω
′
√
ωω
′
×
ˆa
†
ω
ˆa
ω
′
|γ|
2
e
i(ω−ω
′
)v
1 +
1 + ˙z
1 − ˙z
2
+ c.c. (F.21)
e
T
(+)
ˆaˆa
= −
1
4π
∞
0
∞
0
dωdω
′
√
ωω
′
׈a
ω
ˆa
ω
′
e
−i(ω+ω
′
)v
γ
2
+ γ
∗2
1 + ˙z
1 − ˙z
2
+ c.c. (F.22)
Se fazemos:
(II) r(v) = 2τ(v)−v e p(u) = u, onde τ (v)+z (τ(v)) = v, temos o resultado `a esquerda
da fronteira. Portanto,
T
(−)
vac
=
1
4π
¨z
2
˙z
(1 + ˙z)
4
(1 − ˙z)
2
+
1
12π
...
z
(1 + ˙z)
3
(1 − ˙z)
(F.23)
e os termos de T
(−)
non−vac
ser˜ao dados por:
T
(−)
ˆa
†
ˆa
=
1
4π
∞
0
∞
0
dωdω
′
√
ωω
′
×
ˆa
†
ω
ˆa
ω
′
|γ|
2
e
i(ω−ω
′
)u
1 − ˙z
1 + ˙z
2
+ 1
+ c.c. (F.24)
69
e
T
(−)
ˆaˆa
= −
1
4π
∞
0
∞
0
dωdω
′
√
ωω
′
׈a
ω
ˆa
ω
′
e
−i(ω+ω
′
)u
γ
2
1 − ˙z
1 + ˙z
2
+ γ
∗2
+ c.c.. (F.25)
Finalmente temos que
F
vac
= T
(−)
vac
− T
(+)
vac
, (F.26)
F
ˆa
†
ˆa
= T
(−)
ˆa
†
ˆa
− T
(+)
ˆa
†
ˆa
(F.27)
e
F
ˆaˆa
= T
(−)
ˆaˆa
− T
(+)
ˆaˆa
, (F.28)
cujo os resultados s˜ao dados, respectivamente, pelas Eqs. (2.27), (2.28) e (2.29).
F.1.3 Aplica¸c˜ao ao estado coerente
Quando tomamos as m´edias sobre um estado coerente (ˆa
ω
|α = αδ (ω − ω
0
) |α),
obtemos que:
T
(α)(+)
ˆa
†
ˆa
= |γ|
2
ω
0
2π
|α|
2
1 +
1 + ˙z
1 − ˙z
2
, (F.29)
T
(α)(+)
ˆaˆa
= −
ω
0
4π
α
2
e
−2iω
0
(t+z(t))
γ
2
+ γ
∗2
1 + ˙z
1 − ˙z
2
+ c.c., (F.30)
T
(α)(−)
ˆa
†
ˆa
= |γ|
2
ω
0
2π
|α|
2
1 − ˙z
1 + ˙z
2
+ 1
(F.31)
e
T
(α)(−)
ˆaˆa
= −
ω
0
4π
α
2
e
−2iω
0
(t−z(t))
γ
2
1 − ˙z
1 + ˙z
2
+ γ
∗2
+ c.c.. (F.32)
Substituindo α = |α|e
(iθ)
, temos que as for¸cas coerentes exatas
F
(α)
ˆa
†
ˆa
= T
(α)(−)
ˆa
†
ˆa
− T
(α)(+)
ˆa
†
ˆa
(F.33)
e
F
(α)
ˆaˆa
= T
(α)(−)
ˆaˆa
− T
(α)(+)
ˆaˆa
(F.34)
70
s˜ao dadas pelas Eqs. (2.34) e (2.35), respectivemente.
Agora vamos obter as express˜oes dos termos coerentes da for¸ca de radia¸c˜ao para velo-
cidades n˜ao relativ´ısticas e pequenas amplitudes, para isso, substituimos z (t) = εq (t) e
expandimos as express˜oes (2.34) e (2.35) em torno de epsilon, obtendo assim:
F
I
(t) = F
(α)
ˆa
†
ˆa
≈ −
4ω
0
π
|γ|
2
|α|
2
˙q (t) (F.35)
e
F
II
(t) = F
(α)
ˆaˆa
≈
2ω
0
π
|α|
2
γ
2
+ γ
∗2
×[cos (2ω
0
t − 2θ) ˙q (t) − sin (2ω
0
t − 2θ) ω
0
q (t)] . (F.36)
Portanto, a for¸ca coerente aproximada
F
(α)
= F
I
(t) + F
II
(t) (F.37)
´e dada pela Eq. (2.36).
F.2 Para uma cavidade
F.2.1 Densidade de energia: f´ormulas gerais
O operador densidade de energia em um espa¸co - tempo plano ´e dado pela Eq. (F.1).
Para a cavidade, o operador campo φ (t, x) e os modos normais desse campo, s˜ao dados
pelas Eqs. (3.1) e (3.3), respectivamente. Sabendo que
ˆa
n
, ˆa
†
n
′
= δ
nn
′
, escrevemos o
operador densidade de energia como
ˆ
T
00
(t, x) =
1
2
n=1−2β
|∂
t
φ
n
|
2
+ |∂
x
φ
n
|
2
+
+
1
2
n,n
′
=1−2β
ˆa
†
n
ˆa
n
′
[∂
t
φ
∗
n
∂
t
φ
n
′
+ ∂
x
φ
∗
n
∂
x
φ
n
′
] + c.c.
+ ˆa
n
ˆa
n
′
[∂
t
φ
n
∂
t
φ
n
′
+ ∂
x
φ
n
∂
x
φ
n
′
] + c.c.}. (F.38)
71
Utilizando a mudan¸ca de vari´aveis dada pela Eq. (2.10), escrevemos as derivadas dos
modos normais do campo como segue:
∂
t
φ
n
(t, x) = −i
(n + β) π
4
γe
−i(n+β)πR(t+x)
R
′
(t + x) + γ
∗
e
−i(n+β)πR(t−x)
R
′
(t − x)
(F.39)
e
∂
x
φ
n
(t, x) = −i
(n + β) π
4
γe
−i(n+β)πR(t+x)
R
′
(t + x) − γ
∗
e
−i(n+β)πR(t−x)
R
′
(t − x)
.
(F.40)
Utilizando as 2 equa¸c˜oes acima, obtemos:
∂
t
φ
∗
n
∂
t
φ
n
′
+ ∂
x
φ
∗
n
∂
x
φ
n
′
=
π
2
(n + β) (n
′
+ β)
|γ|
2
e
i(n−n
′
)πR(t+x)
(R
′
(t + x))
2
+ e
i(n−n
′
)πR(t−x)
(R
′
(t − x))
2
, (F.41)
∂
t
φ
n
∂
t
φ
∗
n
′
+ ∂
x
φ
n
∂
x
φ
∗
n
′
=
π
2
(n + β) (n
′
+ β)
|γ|
2
e
−i(n−n
′
)πR(t+x)
(R
′
(t + x))
2
+ e
−i(n−n
′
)πR(t−x)
(R
′
(t − x))
2
, (F.42)
∂
t
φ
n
∂
t
φ
n
′
+ ∂
x
φ
n
∂
x
φ
n
′
= −
π
2
(n + β) (n
′
+ β)
γ
2
e
−i(n+n
′
+2β)πR(t+x)
(R
′
(t + x))
2
+ γ
∗2
e
i(n+n
′
+2β)πR(t−x)
(R
′
(t − x))
2
(F.43)
e
∂
t
φ
∗
n
∂
t
φ
∗
n
′
+ ∂
x
φ
∗
n
∂
x
φ
∗
n
′
= −
π
2
(n + β) (n
′
+ β)
γ
∗2
e
i(n+n
′
+2β)πR(t+x)
(R
′
(t + x))
2
+ γ
2
e
i(n+n
′
+2β)πR(t−x)
(R
′
(t − x))
2
. (F.44)
Substituindo os termos obtidos acima, na express˜ao d o operador densidade de energia
(F.38) e tomando o valor esperado da mesma, escrevemos a densidade de energia na
72
forma geral como:
T =
ˆ
T
00
(t, x)
=
π
4
n=1−2β
(n + β) |γ|
2
(R
′
(t + x))
2
+ (R
′
(t − x))
2
+
+
π
4
n,n
′
=1−2β
(n + β) (n
′
+ β)
×
|γ|
2
e
i(n−n
′
)πR(t+x)
(R
′
(t + x))
2
+ e
i(n−n
′
)πR(t−x)
(R
′
(t − x))
2
×
ˆa
†
n
ˆa
n
′
+ c.c. +
−
γ
2
e
−i(n+n
′
+2β)πR(t+x)
(R
′
(t + x))
2
+ γ
∗2
e
−i(n+n
′
+2β)πR(t−x)
(R
′
(t − x))
2
× ˆa
n
ˆa
n
′
+ c.c.}. (F.45)
A partir da express˜ao acima, podemos escrever T como est´a na Eq. (3.6), onde a parte
relacionada a densidade de energia do estado de v´acuo T
vac
´e dada p ela Eq. (3.7) e as
partes do estado n˜ao-v´acuo:
T
ˆa
†
ˆa
=
π
4
n,n
′
=1−2β
(n + β) (n
′
+ β)
×
|γ|
2
e
i(n−n
′
)πR(t+x)
(R
′
(t + x))
2
+ e
i(n−n
′
)πR(t−x)
(R
′
(t − x))
2
×
ˆa
†
n
ˆa
n
′
+ c.c.
(F.46)
e
T
ˆaˆa
= −
π
4
n,n
′
=1−2β
(n + β) (n
′
+ β)
×
γ
2
e
−i(n+n
′
+2β)πR(t+x)
(R
′
(t + x))
2
+ γ
∗2
e
−i(n+n
′
+2β)πR(t−x)
(R
′
(t − x))
2
׈a
n
ˆa
n
′
+ c.c.}, (F.47)
s˜ao expressas em termos de fun¸c˜oes dad as pelas Eq. (3.11) e (3.12).
Regulariza¸c˜ao do termo de v´acuo
A densidade local de energia do estado de v´acuo, dada pela Eq. (3.7) ´e divergente.
Ent˜ao, realizaremos a regulariza¸c˜ao e renormaliza¸c˜ao deste termo, atrav´es do m´etodo
73
point-splitting descrito na se¸c˜ao anterior. Neste sentido, partimos da seguinte express˜ao
para densidade de energia do estado de v´acuo:
T
vac
=
1
2
n=1−2β
[∂
t
φ
n
∂
t
φ
∗
n
+ ∂
x
φ
n
∂
x
φ
∗
n
] , (F.48)
de modo que
∂
t
φ
n
∂
t
φ
∗
n
=
π
4
(n + β)
|γ|
2
e
i(n+β)π[R(v+ε)−R(v)]
R
′
(v) R
′
(v + ε) +
+ e
i(n+β)π[R(u+ε)−R(u)]
R
′
(u) R
′
(u + ε)
+
+γ
2
e
i(n+β)π[R(u+ε)−R(v)]
R
′
(v) R
′
(u + ε) +
+γ
∗2
e
i(n+β)π[R(v+ε)−R(u)]
R
′
(u) R
′
(v + ε)
(F.49)
e
∂
x
φ
n
∂
x
φ
∗
n
=
π
4
(n + β)
|γ|
2
e
i(n+β)π[R(v+ε)−R(v)]
R
′
(v) R
′
(v + ε) +
+ e
i(n+β)π[R(u+ε)−R(u)]
R
′
(u) R
′
(u + ε)
+
−γ
2
e
i(n+β)π[R(u+ε)−R(v)]
R
′
(v) R
′
(u + ε) +
−γ
∗2
e
i(n+β)π[R(v+ε)−R(u)]
R
′
(u) R
′
(v + ε)
. (F.50)
Logo,
T
vac
=
1
4
|γ|
2
R
′
(v) R
′
(v + ε)
∞
n=1−2β
(n + β) πe
i(n+β)π[R(v+ε)−R(v)]
+
+v → u. (F.51)
Utilizando a seguinte substitui¸c˜ao:
R (v + ε) − R (v) = ρ, (F.52)
T
vac
ser´a dado por:
T
vac
=
1
4
|γ|
2
R
′
(v) R
′
(v + ε)
∞
n=1−2β
(n + β) πe
i(n+β)πρ
+
+v → u. (F.53)
74
Este somat´orio pode ser expresso como:
∞
n=1−2β
(n + β) πe
i(n+β)πρ
= −i
∂
∂ρ
∞
n=1−2β
e
i(n+β)πρ
. (F.54)
A s´erie geom´etrica (infinita) que est´a no segund o termo da equa¸c˜ao acima ´e semelhante a
uma PG que possui infinitos elementos, com raz˜ao q = e
iπρ
, sendo que o primeiro termo
ser´a denotado por a
1
, ent˜ao:
−i
∂
∂ρ
e
iβπρ
∞
n=1−2β
e
inπρ
= −i
∂
∂ρ
a
1
1 − q
= π
e
i(1−β)πρ
1 − e
iπρ
(1 − β) +
e
iπρ
(1 − e
iπρ
)
. (F.55)
Portanto, a densidade de energia no v´acuo ser´a:
T
vac
=
π
4
|γ|
2
R
′
(v) R
′
(v + ε)
e
i(1−β)π[R(v+ε)−R(v)]
1 − e
iπ[R(v+ε)−R(v)]
(1 − β) +
e
iπ[R(v+ε)−R(v)]
(1 − e
iπ[R(v+ε)−R(v)]
)
+
+v → u.
(F.56)
Expandindo a express˜ao acima em torno do parˆametro ε e, posteriormente, tomando
o limite quando ε → 0, obtemos o termo T
vac
(agora sem quantidades esp´urias) como na
Eq. ( 3.13).
Rela¸c˜ao de recorrˆencia para o termo n˜ao-v´acuo
Com a inten¸c˜ao de obter uma rela¸c˜ao de recorrˆencia para a densidade de energia rela-
cionada ao estado n˜ao-v´acuo, vamos separar o termo T
non−vac
em fun¸c˜ao das coordenadas
[t + L (t)] e [t − L (t)], da seguinte forma:
g [t + L (t)] =
π
4
n,n
′
=1−2β
(n + β) (n
′
+ β)
×
|γ|
2
[R
′
(t + L (t))]
2
e
i(n−n
′
)πR(t+L(t))
+ e
−i(n−n
′
)πR(t+L(t))
ˆa
†
n
ˆa
n
′
+
−[R
′
(t + L (t))]
2
γ
2
ˆa
n
ˆa
n
′
e
−i(n+n
′
+2β)πR(t+L(t))
+
+ γ
∗2
ˆa
†
n
ˆa
†
n
′
e
i(n+n
′
+2β)πR(t+L(t))
(F.57)
75
e
g [t − L (t)] =
π
4
n,n
′
=1−2β
(n + β) (n
′
+ β)
×
|γ|
2
[R
′
(t − L (t))]
2
e
i(n−n
′
)πR(t−L(t))
+ e
−i(n−n
′
)πR(t−L(t))
ˆa
†
n
ˆa
n
′
+
−[R
′
(t − L (t))]
2
γ
∗2
ˆa
n
ˆa
n
′
e
−i(n+n
′
+2β)πR(t−L(t))
+
+ γ
2
ˆa
†
n
ˆa
†
n
′
e
i(n+n
′
+2β)πR(t−L(t))
. (F.58)
A partir da equa¸c˜ao de Moore Eq. (3.5), temos:
R
′
(t + L (t)) =
t −
˙
L (t)
t +
˙
L (t)
R
′
(t − L (t)) (F.59)
que substitu´ıdo na express˜ao (F.57), juntamente com a pr´opria equa¸c˜ao de Moore, provem:
g [t + L (t)] =
π
4
t −
˙
L (t)
t +
˙
L (t)
2
[R
′
(t − L (t))]
2
n,n
′
=1−2β
(n + β) (n
′
+ β)
×
|γ|
2
e
i(n−n
′
)πR(t−L(t))
e
2i(n−n
′
)π
+ e
−i(n−n
′
)πR(t−L(t))
e
−2i(n−n
′
)π
ˆa
†
n
ˆa
n
′
+
−
γ
2
ˆa
n
ˆa
n
′
e
−i(n+n
′
+2β)πR(t−L(t))
e
−2i(n+n
′
+2β)π
+
+ γ
∗2
ˆa
†
n
ˆa
†
n
′
e
i(n+n
′
+2β)πR(t−L(t))
e
2i(n+n
′
+2β)π
. (F.60)
Como n e n
′
s˜ao n´umeros inteiros e β ´e 0 ou 1/2, obtemos que
e
±2i(n−n
′
)π
= e
±2i(n+n
′
+2β)π
= 1. (F.61)
Portanto, a fun¸c˜ao que ralaciona as recorrˆencias da radia¸c˜ao nas linhas nulas u e v, para
o termo T
non−vac
ser´a:
g [t + L (t)] =
π
4
t −
˙
L (t)
t +
˙
L (t)
2
g [t − L (t)] . (F.62)
76
Referˆencias Bibliogr´aficas
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[2] M. J. Sparnaay, Physica XXIV, 751 (1958).
[3] S. K. Lamoreaux, Phys.Rev. Lett. 78, 5 (1997).
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[5] A. Roy, C.-Y. Lin, e U. Mohideen, Phys. Rev. D 60, 111101(R) (1999); A. Roy e U.
Mohideen, Phys. Rev. Lett. 82, 4380 (1999); K. A. Milton, J. Phys. A: Math. Gen.
37, 209 (2004); A. Agnesi et al, J. Phys. A: Math. Gen. 41, 164 (2008).
[6] G. T. Moore, J Math. Phys. 11, 2679 (1970).
[7] B. S. DeWitt, Phys. Rep. 19, 295 (1975).
[8] S. A. Fulling e P. C. W. Davies, Proc. R. Soc. London, A 348, 393 (1976).
[9] P. C. W. Davies e S. A. Fulling, Proc. R. Soc. London, A 354, 59 (1977).
[10] P. C. W. Davies e S. A. Fulling, Proc. R. Soc. London, A 356, 237 (1977).
[11] P. Candelas e D. J. Raine, J. Math. Phys. 17, 2101 (1976).
[12] P. Candelas e D. J. Raine, Proc. R. Soc. London, A 354, 79 (1977).
[13] C. K. Law, Phys. Rev. Lett. 73, 1931 (1994).
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Wegrzyn, J. Phys. B 40, 2621 (2007).
[15] C. K. Cole e W. C. Schieve, Phys. Rev. A 52, 4405 (1995).
[16] V. V. Dodonov, A. B. Klimov e D. E. Nikonov, J. Math. Phys. 34, 2742 (1993).
[17] D. A. R. Dalvit e F. D. Mazzitelli, Phys. Rev. A 57, 2113 (1998).
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[19] P. A. Maia Neto, J. Phys. A 27, 2167 (1994); P. A. Maia Neto e L. A. S. Machado,
Phys. Rev. A 54, 3420 (1996).
[20] D. F. Mundarain e P. A. Maia Neto, Phys. Rev. A 57, 1379 (1998).
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Maia Neto e C. Farina, Phys. Rev. D 66, 105016 (2002).
[25] G. Plunien, R. Schutzhold e G. Soff, Phys. Rev. Lett. 84, 1882 (2000).
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78
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[30] M. A. Andreata e V. V. Dodonov, J. Phys. A 33, 3209 (2000).
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[33] T. H. Boyer, Phys. Rev. A 9, 2078 (1974); I. Klich, A. Mann e M. Revzen, Phys.
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[42] T. H. Boyer, Phys. Rev. A 9, 2078 (1974).
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University Press, 1995).
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