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Universidade de Bras´ılia
Instituto de C iˆencias Exatas
Departamento de Matem´atica
Bifurca¸c˜ao de Hopf gener aliz ada para um sistema
planar su ave por p artes
por
Izabel Santana Almeida Arantes
2007
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Universidade de Br as´ılia
Instituto de Ciˆencias Exatas
Departamento de Matem´atica
Bifurca¸c˜ao de Hopf gener aliz ada para um sistema
planar suave por partes
por
Izabel Santana Almeida Arantes
Disserta¸c˜ao apresentada ao Departamento de Matem´atica da Universi-
dade de Bras´ılia, como parte dos requisitos para obten¸c˜ao do grau de
MESTRE EM MATEM
´
ATICA
Bras´ılia, 09 de Novembro de 2007.
Comiss˜ao Examinadora:
Prof. Jorge Carlos Lucero - MAT/UnB Orientador
Prof. Helmar Nunes Moreira - MAT/UnB Membro
Prof. Edson Cataldo - MAT/UFF Membro
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`
A minha fa m´ılia, ao meu noivo e meus amigos.
iii
Agradecimentos
“Agradecei ao Senhor porque Ele ´e bom, porque a Sua miseric´ordia dura para sempre.”
(Salmo 135,1)
Deus, com certeza ´e para Ele que v˜ao meus primeiros agradececimentos, por ilu-
minar e guiar meus passos e me ajudar incondicionalmente todos os dias.
Agrade¸co aos meus pais Luiz Antˆonio e Maria Beatriz por todo amor, paciˆencia,
incentivo, apoio e por sempre acreditarem em minha capacidade.
`
As minhas irm˜as Cec´ılia
e Alice pelo companheirismo, pela for¸ca, boas conversas e por sempre torcerem por mim.
Ao meu noivo Luiz Alberto por toda dedica¸c˜ao, cumplicidade e por sempre estar ao meu
lado em minhas lutas.
Agrade¸co ao Professor Jorge Carlos Lucero pela orienta¸c˜a o, paciˆencia, confian¸ca em
meu tra balho e disposi¸c˜ao para compartilhar seus conhecimentos matem´aticos. Agrade¸co
aos professores Helmar Moreira, UnB, Edson Cataldo, UFF, pelo tempo dispensado `a
avalia¸c˜ao de meu trabalho e pela oportunidade de enriquecˆe-lo com suas corre¸c˜oes e
sugest˜oes. Agrade¸co a todos os professores que conribu´ıram de certo modo em minha
caminhada e a todo s os funcion´arios do Departamento de Matem´atica da Universidade
de Bras´ılia.
Agrade¸co aos meus amigos Paola, Alexandra, Allan, Bruno, Aline, H´elio, Paulo
Boni, Shelly, Luiz Alberto, Vera, Luany, Zeca, Fred, Alessandra, Ricardo, Sandra, K´atia,
Cris, Adriana pelo apoio, pelos conselhos e momentos de descontra¸c˜ao.
iv
E, claro, agrade¸co `aqueles que me acompanharam nessa caminhada e conhecem
cada etapa pela qual passei nesses dois anos, pelas hor as de estudo, pelo apoio tanto nas
horas alegres quanto nas tristes, por sempre me darem for¸ca e sobretudo pela amizade,
meus amigos e c´umplices Mary, L´u, Magno, Miguel, L´eo, Jorge. E aos meus colegas
Va gner, Karise, Man´u, Anyele, Ricardo, Fl´avia, Teo, Tertu, K´elem, Lineu, Luverci e
todos que me ajudaram a concluir este trabalho.
Muito obrigada a todos aqueles que me ajudaram nessa conquista.
v
Resumo
Neste trabalho utilizamos a teoria qualitativa das equa¸c˜oes diferenciais para estudar
rapidamente a bifurca¸c˜ao de Hopf para um sistema dinˆamico planar suave mediante a
varia¸c˜ao do parˆametro de controle do sistema, e a bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada e-
manada de um canto de um sistema planar suave por partes, sobre a gera¸c˜ao de uma
fam´ılia de ´orbitas peri´odicas bifurcando, tamb´em variando o parˆametro de controle.
Para isso, definimos o n´umero de Liapunov e a aplica¸c˜ao de Po incar´e. E, a partir da
composi¸c˜ao de aplica¸c˜oes de Poincar´e, constru´ımos uma aplica¸c˜ao Retorno e estudamos
seus pontos fixos.
Ilustramos esses fenˆomenos de bifurca¸c˜ao atrav´es de uma an´alise dos modelos suave
e suave por partes da oscila¸c˜ao das pregas vocais no processo de produ¸c˜ao da voz (fona¸c˜ao).
A maio r parte desta disserta¸c˜ao est´a baseada em [2 8, 30, 35, 37, 40].
Palavras-chaves: bifurca¸c˜ao de Hopf, solu¸c˜ao peri´o dica, aplica¸c˜ao de Poincar´e,
aplica¸c˜ao Retorno, modelo da fona¸c˜ao.
vi
Abstract
In this work we use the qualitative theory of the differential equations to quickly
study the Hopf bifurcation for a smooth planar dynamical system under the variation of
the control parameter of the system, and a generalized Hopf bifurcation emanated from a
corner for piecewise smooth planar dynamical system, about the generation of a branch
of periodic orbits bifurcating, varying the control parameter.
For this, we define the L ia punov number and the Poincar´e map. And, through the
composition of the Poinacr´e maps, we build a Return map and we study its fixed points.
We illustrate those bifurcation phenomena by a analysis of the smooth and piece-
wise smooth models for a vocal fold oscillation in process of the voice production (phona-
tion). The main par t of this dissertation is based on [28, 30, 35, 37, 40].
Key words: Hopf bifurcation, periodic solution, Poincar´e map, Return map,
phonation model.
vii
SUM
´
ARIO
Introdu¸c˜ao 1
1 Preliminares 5
1.1 Aplica¸c˜ao de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Sistemas anal´ıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Bifurca¸c˜ao de Hopf para um sistema planar suave 13
2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 A bifurca¸c˜ao de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Teorema da Bifurca¸c˜ao de Ho pf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Modelo suave da oscila¸c˜ao das pregas vocais . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Bifurca¸c˜ao de H opf generalizada para um sistema planar suave por
partes 27
3.1 Sistema planar suave por partes e canto simples . . . . . . . . . . . . . . . 2 8
viii
3.2 Aplica¸c˜ao Retorno para um sistema linear por partes . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Aplica¸c˜ao Retorno para um sistema n˜ao linear . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Bifurca¸c˜ao de Ho pf generalizada para um canto simples . . . . . . . . . . . 45
3.5 Extens˜ao para o canto geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6 Modelo suave por partes da oscila¸c˜ao das pregas vocais . . . . . . . . . . . 54
Conclus˜ao 62
Referˆencias Bibliogr´aficas 64
ix
Introdu¸c˜ao
“ Hopf bifurcation is the door that opens from the small room of equilibria to the lar ge
hall of periodic solutions, which in turn is just a small part of the realm of functions.”
R¨udiger Seydel
O surgimento de ´orbitas peri´odicas atrav´es da bifurca¸c˜ao de Hopf ´e um mecanismo
bem conhecido na teoria da bifurca¸c˜ao. Esse assunto foi muito explorado por Poincar´e,
Andronov e Hopf [7]. Os r esultados b´asicos sobre esse fenˆomeno for am mostrados po r
Poincar´e; o caso planar foi especialmente explorado por Andronov em 1929 [3].
A bifurca¸c˜ao de Hopf para sistemas suaves ´e caracterizada analiticamente por um
simples cruzamento de um par de autovalores complexos conjugados do sistema linearizado
pelo eixo imagin´ario. Geometricamente isso significa que, enquanto a solu¸c˜ao estacion´aria
do sistema muda sua estabilidade, solu¸c˜oes peri´odicas surgem. Essa descri¸c˜a o anal´ıtica
da bifurca¸c˜ao de Hopf exige suavidade do problema considerado j´a que precisamos das
propriedades de lineariza¸c˜a o. Por isso, essa aproxima¸c˜ao n˜ao ´e suficiente para o caso do
sistema n˜ao ser suave, pois a no¸c˜ao de um sistema linearizado n˜a o existe. Para lidar com
esse caso, alguns autores como em [24] e [40] baseiam-se em um m´etodo geom´etrico para
investigar a bifurca¸c˜ao de Hopf.
Atualmente, o conjunto das bifurca¸c˜oes causadas por algum tipo de descontinuidade
1
Introdu¸c˜ao
ou n˜ao-diferenciabilidade ´e chamado de C-bifurca¸c˜ao. Mas esse termo foi mencionado
pela primeira vez por Feigin ao estudar a duplica¸c˜ao do per´ıodo de oscila¸c˜ao em sistemas
cont´ınuos por parte.
Alguns tipos de C-bifurca¸c˜ao, bem como suas classifica¸c˜oes podem ser encontrados
em [13]. A bifurca¸c˜ao ‘Gr azing’ de ciclos limites, por exemplo, ocorre quando uma ´orbita
peri´odica cruza tangencialmente a linha de descontinuidade [6, 12]. J´a a bifurca¸c˜ao ‘Slid-
ing’ acontece quando par te da ´orbita peri´odica coincide com a linha de descontinuidade
[23, 15]. E a bifurca¸c˜ao ‘Border-collision’ de pontos fixos em aplica¸c˜oes ocorre quando
uma fam´ılia de pontos fixos cruza t ranversalmente a linha de descontinuidade `a medida em
que o parˆametro de controle do sistema considerado varia [13, 32, 33]. Um caso especial
desse fenˆomeno ´e a bifurca¸c˜ao ‘corner-collision’, explorado em [1 1].
Estudaremos um tipo de C-bifurca¸c˜ao chamada de bifurca¸c˜ao de Hopf genera-
lizada, que ocorre quando uma ´orbita peri´odica ´e criada ou desaparece [24, 39, 38, 40].
Mais especificamente, estudaremos a bifurca¸c˜a o de Hopf generalizada quando a solu¸c˜ao
estacion´aria permanece em um canto do dom´ınio para todo valor do parˆametro de controle
[37, 38]. Outros tipos desse f enˆomeno de bifurca¸c˜ao como o caso em que ´orbitas peri´odicas
s˜ao criadas no infinito [17, 16] o u quando o equil´ıbrio permanece em uma linha suave de
descontinuidade e a ´orbita peri´odica bifurcada cruza essa linha pelo menos duas vezes
[24, 39, 40], tamb´em tˆem sido muito explorados recentemente.
O estudo e classifica¸c˜ao dos tipos de C-bifurca¸c˜ao em sistemas dinˆamicos suaves
por partes tˆem despertado o interesse de muitos matem´aticos, engenheiros e cientistas
pela teoria da bifurca¸c˜ao. E cada vez mais esses fenˆomenos de bifurca¸c˜a o tˆem sido estu-
dados em diferentes aplica¸c˜oes. Em [30], por exemplo, ´e investigada a bifurca¸c˜ao de Hopf
generalizada no modelo suave por partes da oscila¸c˜ao das pregas vocais no processo da
fona¸c˜ao.
Nosso objetivo nesse tra balho ´e estudar rapidamente a bifurca¸c˜ao de Hopf para um
sistema dinˆamico planar suave e, posteriormente, estudar a bifurca¸c˜ao de Hopf genera-
lizada para um sistema dinˆamico planar suave por partes e observ´a-la no modelo suave
por partes da oscila¸c˜ao das pregas vocais baseado nos artigos [28, 30]. Todo nosso estudo
2
Introdu¸c˜ao
´e feito em R
2
.
Come¸caremos nosso trabalho definindo a aplica¸c˜ao de Poincar´e, que ´e uma ferra-
menta muito utilizada na teoria das bifurca¸c˜oes das ´orbitas per´ı´odicas e estabilidade. Em
seguida, fa remos uma discuss˜ao para sistemas anal´ıticos planares sobre a aplica¸c˜ao de
Poincar´e na vizinhan¸ca de um foco e definiremos o n´umero de Liapunov.
No segundo cap´ıtulo, trataremos da defini¸c˜a o da bifurca¸c˜ao de Hopf. Em seguida,
enunciaremos o principal resultado desse cap´ıtulo, o Teorema da Bifurca¸c˜ao de Hopf, o
qual garante a existˆencia de uma bifurca¸c˜ao de Hopf para um sistema planar suave que
depende de um parˆametro µ, da forma
˙x = µx − y + p(x, y)
˙y = x + µy + q(x, y)
,
com p(x, y) e q(x, y) fun¸c˜oes anal´ıticas. Por ´ultimo, aplicaremos esse teorema na equa¸c˜ao
que modela os movimentos das pregas vocais no processo da fona¸c˜ao dada por
M ¨x + B(1 + ηx
2
) ˙x + Kx =
2P
L
τ ˙x
x
0
+ x + τ ˙x
,
com x
0
+ x + τ ˙x > 0.
No terceiro cap´ıtulo o estudo ´e mais minucioso. Ele ´e dividido em seis se¸c˜oes.
Come¸caremos na primeira se¸c˜ao com algumas defini¸c˜oes preliminares. Na segunda se¸c˜ao,
definiremos a aplica¸c˜ao de Poincar´e para cada subsistema de um sistema planar linear
por partes e, fazendo uma composi¸c˜a o, obteremos uma aplica¸c˜ao Retorno para tal sis-
tema. Usando um m´etodo similar ao utilizado na segunda se¸c˜ao, na terceira definiremos
a aplica¸c˜ao Retorno para um sistema planar n˜ao linear.
Os principais resultados do nosso trabalho encontram-se nas trˆes ´ultimas se¸c˜oes. Na
quarta, estudaremos o surgimento da bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada no canto (simples)
de um sistema planar n˜ao linear suave por partes da forma
( ˙x, ˙y)
T
= F (x, y, µ),
3
Introdu¸c˜ao
onde ( x, y) pertence a um disco Ω de raio r, µ pertence a um intervalo M contendo a
origem e a fun¸c˜ao F = (F
1
, F
2
)
T
descreve o campo de vetores do sistema. A id´eia do
m´etodo usado ´e simples: a procura por pontos fixos n˜ao triviais da aplica¸c˜ao Retorno.
Na quinta se¸c˜ao, estenderemos os resultados principais da se¸c˜ao anterior para o caso de
um dom´ınio contendo um canto qualquer. Na ´ultima se¸c˜a o, faremos uma aplica¸c˜ao dos
resultados a presentados ao modelo da fo na ¸c˜ao suave por partes
M ¨x + B(1 + ηx
2
) ˙x + Kx =
2P
L
τ ˙x
x
0
+ x + τ ˙x
, se ˙x ≥ 0
0, se ˙x < 0
,
onde o retrato de fase ´e dividido em duas regi˜oes nas quais o campo de vetores do sistema
´e suave e na fronteira entre essas duas regi˜oes o campo de vetores n˜ao ´e suave.
4
CAP
´
ITULO 1
Preliminares
Neste cap´ıtulo, vamos definir a aplica¸c˜ao de Poincar´e ou aplica¸c˜ao de Primeiro
Retorno, definida por Henri Poincar´e em 1881, [35], que ´e uma ferramenta muito uti-
lizada na teoria das bifurca¸c˜oes das ´orbitas peri´odicas e estabilida de. Trabalharemos no
espa¸co de dimens˜ao dois, R
2
, mas os re s ultados podem ser facilmente estendidos para
dimens˜oes superiores . Posteriormente, faremos uma discuss˜a o para sistemas anal´ıticos
planares sob re a aplica¸c˜ao de Poincar´e na vizinhan¸ca de um foco e definiremos o n´umero
de Liapunov que ser´a bastante usado no cap´ıtulo seguinte. Basearemos o pre s ente cap´ı tulo
em [ 35] e [36].
1.1 Aplica¸c˜ao de Poincar´e
Resumidamente, um sistema dinˆamico planar ´e uma fun¸c˜a o φ(t, x), C
1
, definida
para todo t ∈ R e x ∈ E ⊂ R
2
, que descreve como pontos x ∈ E movem-se com rela¸c˜ao
ao tempo t ([35], Se¸c˜a o 3 .1 ) . E, se φ(t, x) ´e um sistema dinˆamico em E ⊂ R
2
, em geral
5
Cap´ıtulo 1. Preliminares
temos que a fun¸c˜ao f(x) =
d
dt
φ(t, x)|
t=0
define um campo de vetores C
1
em E. Al´em
disso, par a cada x
0
∈ E, φ(t, x
0
) ´e solu¸c˜ao do problema de valor inicial
˙
x = f(x)
x(0) = x
0
,
e o intervalo m´aximo de existˆencia de φ(t, x
0
) ´e I(x
0
) = (−∞, ∞).
Logo, cada sistema dinˆamico causa um campo vetorial-C
1
, f, e descreve o conjunt o
solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial definida po r esse campo vetorial. Nesse caso, ent˜ao, dizemos
que φ(t, x) ´e o sistema dinˆamico em E definido po r
˙
x = f(x).
Agora, podemos definir a aplica¸c˜ao de Poincar´e.
G
S
x
0
x
P(x)
Figura 1.1: A aplica¸c˜ao de Poincar´e.
Va mos, primeiramente, apresentar a id´eia da aplica¸c˜ao de Poincar´e: Considere um
sistema dinˆamico planar da fo r ma
˙
x = f(x), (1.1)
com f ∈ C
1
(E) e E um subconjunto aberto de R
2
. Seja Γ uma ´orbita peri´odica desse
sistema que passa pelo ponto x
0
e Σ uma reta normal a Γ em x
0
. Para um ponto x ∈ Σ
6
Cap´ıtulo 1. Preliminares
da vizinhan¸ca de x
0
, V
ξ
(x
0
), a solu¸c˜ao do sistema (1.1) por x em t = 0, φ
t
(x), cruzar´a a
reta Σ novamente em algum ponto P (x) pr´oximo de x
0
. Chamamos a aplica¸c˜ao que leva
x a P (x) de aplica¸c˜ao de Poincar´e (ver figura 1.1).
Apresentamos ent ˜ao, um teorema que garante a existˆencia e continuidade de P (x),
bem como a continuidade de suas primeiras derivadas DP (x).
Teorema 1.1. Seja E um sub conjunto aberto de R
2
e seja f ∈ C
1
(E). Suponha que
φ
t
(x
0
) seja uma ´orbita peri´odica do sistema (1.1) de per´ıodo T e que E contenha o ciclo
Γ =
x ∈ R
2
; x = φ
t
(x
0
) com 0 ≤ t ≤ T
.
Seja agora Σ a reta normal a Γ em x
0
. Ent˜ao existe uma constante ξ > 0 e uma ´unica
fun¸c˜ao τ(x), definida e continuamente diferenci´avel para x ∈ V
ξ
(x
0
), tal que τ(x
0
) = T e
φ
τ(x)
(x) ∈ Σ para todo x ∈ V
ξ
(x
0
).
Demonstra¸c˜ao: Usaremos nesta demonstra¸c˜ao basicamente o teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita
[27]. Como Σ ´e a reta nor mal a Γ em x
0
, podemos escrevˆe-la da forma
Σ = {x ∈ R
2
|(x − x
0
) · f(x
0
) = 0}.
Va mos definir para cada ponto x
0
∈ Γ ⊂ E, a fun¸c˜ao
F (t, x) = [φ
t
(x) − x
0
] · f(x
0
).
Segundo Perko ([35],Teorema 1, Se¸c˜ao 2.5), temos que F ∈ C
1
(R ×E). E, devido a
periodicidade de φ
t
(x
0
) (φ
T
(x
0
) = x
0
), temos a inda que F (T, x
0
) = 0. Al´em disso, sendo
φ(t, x
0
) = φ
t
(x
0
) uma solu¸c˜ao de (1.1) e desde que x
0
∈ Γ n˜ao seja ponto de equil´ıbrio de
(1.1) pois, nesse caso o campo vetorial f ´e nulo, temos
∂F (T, x
0
)
∂t
=
∂φ(T, x
0
)
∂t
· f(x
0
) = f(x
0
) · f (x
0
) = |f(x
0
)|
2
= 0
7
Cap´ıtulo 1. Preliminares
Ent˜ao, pelo torema da fun¸c˜ao impl´ıcita, existe uma constante ξ > 0 e uma ´unica
fun¸c˜ao τ(x) definida e continuamente diferenci´avel para todo x ∈ V
ξ
(x
0
) tal que
τ(x
0
) = T e F (τ (x), x) = 0
para todo x ∈ V
ξ
(x
0
).
Portanto, para todo x ∈ V
ξ
(x
0
),
[φ(τ(x), x) − x
0
] · f(x
0
) = 0,
ou seja,
φ
τ(x)
(x) ∈ Σ.
Essa demonstra¸c˜ao, para R
n
, pode ser encontrada em [[35], p.194, 195].
Defini¸c˜ao 1.1. (Aplica¸c˜ao de Poincar´e) Sejam Γ, Σ, ξ e τ(x) como no Teorema 1.1.
Ent˜ao a fun¸c˜ao P (x) = φ
τ(x)
(x), para x ∈ V
ξ
(x
0
) ∩Σ, ´e chamada a aplica¸c˜ao de Poincar´e
para Γ em x
0
.
Observa¸c˜ao 1.2. 1. Segue do Teorema 1.1 que P ∈ C
1
(V ) onde V = V
ξ
(x
0
)∩Σ. E,
se f ´e anal´ıtica em E, segue pelo teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita para fun¸c˜oes anal´ıticas
que P ´e anal´ıtica em V.
2. Se considerarmos o sistema (1.1) com t → −t, pode ser mostrado que a aplica¸c˜ao de
Poincar´e P tem uma inversa C
1
, P
−1
, ou seja, que P ´e um difeomorfismo (fun¸c˜ao
suave com inversa suave).
Defini¸c˜ao 1.3. (Ponto Fixo) Os pontos x ∈ Σ tais que P (x) = x s˜ao chamados de pontos
fixos da aplica¸c˜ao de Poincar´e.
Va mos assumir, sem perda de generalidade, que x
0
∈ Γ ∩ Σ seja a origem do
sistema (1.1) (se necess´ario ´e s´o fazer uma transla¸c˜ao). Ent˜ao, Σ ser´a a reta normal `a Γ
8
Cap´ıtulo 1. Preliminares
que passa pela origem de (1 .1 ) . Note que 0 ∈ Γ∩Σ divide Σ em dois segmentos (abertos).
Denotaremos por Σ
i
e Σ
e
os segmentos que permanecem inteiramente no interior e no
exterior da regi˜ao delimitada po r Γ, respectivamente. Agora consideremos s a distˆancia
(da origem) marcada ao longo de Σ, sendo s > 0 para pontos em Σ
i
e s < 0 para pontos
em Σ
e
(ver figura 1.2).
Observe que, pelo Teorema 1.1, a aplica¸c˜ao de Po incar´e P (s) est´a definida para
|s| < ξ, uma vizinhan¸ca da origem, e que P (0) = 0.
G
S
x
y
O
s
P( )s
Figura 1.2: A r eta Σ normal a Γ na origem.
Nosso objetivo a gora ´e concluir que a estabilidade do ciclo Γ ´e determinada pela
derivada P
′
(0), onde (’) denota a derivada com rela¸c˜a o a s . Para isso, vamos introduzir
a fun¸c˜ao deslocamento
d(s) = P(s) - s.
Da´ı, temos que d(0) = 0 e d
′
(s) = P
′
(s) −1. Ent˜ao, pelo Teorema do Valor M´edio,
existe uma constante k entre 0 e s tal que
d(s) = d
′
(k)s (1.2)
Como d
′
(s) ´e cont´ınua (Teorema 1.1), temos que, para |s| suficientemente pequeno,
o sinal de d
′
(s) e, conseq¨uentemente, o de d
′
(k), ser´a o mesmo de d
′
(0), j´a que d
′
(0) = 0.
9
Cap´ıtulo 1. Preliminares
Ent˜ao, se P (0) = 0 e P
′
(0) < 1, temos que d
′
(0) < 0, o que implica, por (1.2),
em d(s) < 0 para s > 0 e em d(s) > 0 para s < 0. Da´ı, conclu´ımos que Γ ´e uma ´orbita
peri´odica (isolada) est´avel ou um ciclo ω-limite de (1.1). E, se P (0) = 0 e P
′
(0) > 1,
temos que d
′
(0) > 0, o que implica, por (1.2), em d(s) > 0 para s > 0 e em d(s) < 0 para
s < 0. Da´ı, Γ ´e uma ´orbita peri´odica (isolada) inst´avel ou um ciclo α-limite de (1.1).
Portanto, conclu´ımos que a estabilidade da ´orbita peri´odica Γ do sistema (1.1) ´e
determinada pela derivada P
′
(0).
1.2 Sistemas anal´ıticos
Para sistemas anal´ıticos planares a discuss˜ao sobre a aplica¸c˜ao de Poincar´e na
vizinhan¸ca de um foco ´e importante para o presente trabalho.
Considere que (1.1) seja anal´ıtico. Suponha que esse sistema possua um f oco na
origem (se necess´ario fa¸ca uma transla¸c˜ao) e que sua matriz Jacobiana aplicada na origem
tenha determinante n˜ao-nulo. Ent˜ao, desde de que b = 0, o sistema (1.1) ´e linearmente
equivalente ao sistema (na fo rma canˆonica)
˙x = ax − by + p(x, y)
˙y = bx + ay + q(x, y)
, (1.3)
onde p(x, y) e q(x, y) s˜ao fun¸c˜oes anal´ıticas dadas pelas s´eries
p(x, y) =
i+j≥2
a
ij
x
i
y
j
= (a
20
x
2
+ a
11
xy + a
02
y
2
) + (a
30
x
3
+ a
21
x
2
y + a
12
xy
2
+ a
03
y
3
) + ...
(1.4)
10
Cap´ıtulo 1. Preliminares
e
q(x, y) =
i+j≥2
b
ij
x
i
y
j
= (b
20
x
2
+ b
11
xy + b
02
y
2
) + (b
30
x
3
+ b
21
x
2
y + b
12
xy
2
+ b
03
y
3
) + ...
(1.5)
Teorema 1.2. Seja P (s) a aplica¸c˜ao de Poincar´e para um foco na origem do sistema
anal´ıtico planar (1.3) com b = 0 e suponha que P (s) est´a definida em 0 < s < ζ
0
. Ent˜ao
existe ζ > 0 tal que P (s) pode ser estendida por uma fun¸c˜ao anal´ıtica definida para
|s| < ζ. Al´em disso, P (0) = 0 e P
′
(0) = exp
2πa
|b|
.
Demonstra¸c˜ao: Esse teorema est´a demonstrado em [2].
Quando
d(0) = 0 e d
′
(0) = 0,
o foco ´e chamado um foco simples e, de acordo com o torema anterior, vemos que se no
sistema (1.3), b = 0, ent˜ao esse sistema po ssui um foco simples na origem se, e somente
se, a = 0, j´a que, nesse caso, d
′
(0) = P
′
(0) − 1 ´e estritamente positivo ou estritamente
negativo.
Observe que o sinal de d
′
(0) = P
′
(0)−1 ou, equivalentemente, o sinal de a determina
a estabilidade da origem: se a < 0 a origem ´e um f oco est´avel e se a > 0, a origem ´e um
foco inst´a vel. Mas se d
′
(0) = 0, ou seja, a = 0, ent˜ao por ([35], Se¸c˜ao 2 .10, Teorema 5) se
o sistema (1.3) for n˜ao-linear, ele tem um foco ou um centro na origem.
Se d
′
(0) = 0, o foco ´e chamado de foco m´ultiplo e a primeira derivada n˜ao nula da
fun¸c˜ao deslocamento aplicada nele ´e o seu n´umero de Liapunov σ: σ ≡ d
(k)
(0) = 0. Al´em
11
Cap´ıtulo 1. Preliminares
disso, o foco ´e est´avel se σ < 0 e inst´avel se σ > 0 ([18], Se¸c˜ao 1.3 ). Em particular, se
d
′
(0) = d
′′
(0) = 0 e d
′′′
(0) = 0, o n´umero de Liapunov para o foco na origem ´e dado pela
f´ormula
σ ≡ d
′′′
(0) =
3π
2b
{[3(a
30
+ b
03
) + (a
12
+ b
21
)]
−
1
b
[2(a
20
b
20
− a
02
b
02
) − a
11
(a
02
+ a
20
) + b
11
(b
02
+ b
20
)]
,
(1.6)
onde a
ij
e b
ij
s˜ao os coeficientes das s´eries (1.4) e (1.5), respectivamente. O valor do
n´umero de Liapunov ser´a muito ´util no pr´oximo cap´ıtulo para garantir a existˆencia da
bifurca¸c˜ao de Hopf.
Observa¸c˜ao 1.4. Para um sistema anal´ıtico planar na forma geral
˙x = ax + by + p(x, y)
˙y = cx + dy + q(x, y)
, (1.7)
onde ∆ = ad − bc > 0, a + d = 0 e as f un¸c˜oes anal´ıticas p(x, y) e q(x, y) s˜ao dadas pelas
s´eries (1.4) e (1.5), respectivamente, a f´ormula do n´umero de Liapunov ´e dada por
σ =
−3π
2b∆
3
2

ac(a
2
11
+ a
11
b
02
+ a
02
b
11
) + ab(b
2
11
+ a
20
b
11
+ a
11
b
02
)
+c
2
(a
11
a
02
+ 2a
02
b
02
) − 2ac(b
2
02
− a
20
a
02
) − 2ab(a
2
20
− b
20
b
02
)
−b
2
(2a
20
b
20
+ b
11
b
20
) + (bc −2a
2
)(b
11
b
02
− a
11
a
20
)]
−(a
2
+ bc)[3(cb
03
− ba
30
) + 2a(a
21
+ b
12
) + (ca
12
− bb
21
)]}.
(1.8)
As condi¸c˜oes ∆ = ad−bc > 0 e a+d = 0 sobre o sistema (1.7) s˜ao colocadas para garantir
que a matriz Jacobiana desse sistema aplicada na origem,
Df(0) =
a b
c d
,
possua um par de autovalores imagin´arios [35] e que, com isso, a origem possa ser um
foco, um centro desse sistema ou um centro-foco [35, 1].
12
CAP
´
ITULO 2
Bifurca¸c˜ao de Hopf para um sistema
planar suave
Neste cap´ıtulo, primeiramente, fal aremos sobre a defini¸c˜ao da bifurca¸c˜ao de Hopf
e a ilustraremos atrav´es de um exemplo. Em seguida, enunciaremos o Teorema da Bi-
furca¸c˜ao de Hopf para um sistema planar n˜ao-linear suave (particular) o qual garante a
existˆen cia de uma bif urca¸c˜ao de Hopf para tal sistema e, em seguida, aplicaremo s esse
teorema na equa¸c˜ao (s uav e ) que modela os movimentos das pregas vocais no processo da
fona¸c˜ao.
2.1 Introdu¸c˜ao
Em nosso estudo faremos uso de um sistema dinˆamico planar n˜ao-linear, que de-
pende de um parˆametro real µ da forma
˙
x = f(x, µ), (2.1)
13
Cap´ıtulo 2. Bifurca¸c˜ao de Hopf para um sistema planar suave
com x = (x, y) ∈ R
2
Na teoria de sistemas n˜ao -lineares, uma bifurca¸c˜ao seria a mudan¸ca qualitativa do
comportamento dinˆamico para um valor cr´ıtico do parˆametro [1 , 36, 29]. E existem v´arios
tipos de bifurca¸c˜ao que ocorrem no ponto de equil´ıbrio x
0
de um sistema como (2.1).
Trabalharemos com uma bifurca¸c˜ao que aparece quando a matriz Df (x
0
, µ
0
), do
sistema (2.1), tem somente um par de autovalores imagin´arios puros, e os autovalores de
Df(x
µ
, µ) atravessam transversalmente o eixo imagin´ario quando µ = µ
0
, fazendo com
que a estabilidade do ponto de equil´ıbrio mude `a medida em que µ passa pelo valor de
bifurca¸c˜ao µ
0
. Essa bifurca¸c˜ao ´e chamada de bifurca¸c˜ao de Hopf. Geometricamente, a
bifurca¸c˜ao de Hopf ocorre se existe uma mudan¸ca de estabilidade do ponto de equil´ıbrio,
de foco est´avel para foco inst´avel (ou o contr´ario), gerando um ciclo limite.
Logo, esse comportamento dos autovalores de Df(x
µ
, µ), para o caso do sistema
planar ser suave, ´e essencial que ocorra para gara ntir a existˆencia da bifurca¸c˜ao de Hopf.
Contudo, no caso n˜ao-suave, tratado em outro cap´ıtulo, veremos que a mudan¸ca de esta-
bilidade do ponto de equil´ıbrio pode ocorrer por outros motivos, mas ainda produzindo a
bifurca¸c˜ao.
2.2 A bi furca¸c˜ao de Hopf
A partir deste momento, vamos considerar o seguinte sistema planar suave, depen-
dente de um parˆametro µ
˙x = µx − y + p(x, y)
˙y = x + µy + q(x, y)
, (2.2)
com p(x, y) e q(x, y) fun¸c˜oes anal´ıticas dadas pelas s´eries (1.4) e (1.5), resp ectivamente.
14
Cap´ıtulo 2. Bifurca¸c˜ao de Hopf para um sistema planar suave
Observe que a matriz do sistema linear correspondente (matriz Jacobiana),
µ −1
1 µ
est´a na forma no rmal. Nesse caso, temos a garantia que tal matriz possui um par de a uto -
valores complexos conjugados e, em particular, para µ = 0 ela tem um par de autovalores
imagin´arios.
Com o intuito de ilustrar a bifurca¸c˜ao de Hopf, apresentaremos um exemplo ex-
posto em ([35], p.31 5). Toda a an´a lise usada neste exemplo foi baseada na pr´opria teoria
desse livro e de [1].
Exemplo 2.1. Considere o sistema planar suave
˙x = −y + x(µ − x
2
− y
2
)
˙y = x + y(µ − x
2
− y
2
)
. (2.3)
O sistema linear correspo ndente ´e dado por
˙x = µx − y
˙y = x + µy
, (2.4)
e ´e baseado nele que analisaremos as solu¸c˜oes do sistema (2.4).
Para (2.3), temos que a origem ´e o ´unico ponto cr´ıtico.
Observando que a matriz Jacobiana de (2.3) aplicada na origem,
Df(0, µ) =
µ −1
1 µ
,
est´a na forma normal, vemos que a orig em ´e um foco est´avel desse sistema n˜ao linear
quando µ < 0 e um foco inst´a vel quando µ > 0. Para µ = 0, a matriz Df(0, 0) t em um
par de autovalores imagin´arios puros, ou seja, a origem ´e um centro para o sistema linear
15
Cap´ıtulo 2. Bifurca¸c˜ao de Hopf para um sistema planar suave
(2.4), ent˜ao, por ([3 5], Se¸c˜ao 2.10, Teorema 5) e Teorema de Dulac [3 5], a origem ou ´e um
cent ro ou um foco de (2.3).
Va mos analisar melhor tal teoria baseando-nos no retrato de fase do sistema (2.3).
Para isso, usaremos coordenadas polares: x = rcosθ e y = rsenθ, lembrando que tanto r
quanto θ dependem do tempo t. Os c´alculos ser˜ao omitidos, mas o processo para obter a
equa¸c˜ao param´etrica de ˙r consiste em multiplicar a primeira equa¸c˜ao em (2.3) por x, a
segunda por y e adicionar as equa¸c˜oes resultantes. E, para obter a equa¸c˜a o param´etrica
de
˙
θ, multiplicamos a equa¸c˜ao de ˙x por y e a de ˙y por x e subtra´ımos os resultados. Com
isso, escrevemos o sistema (2.3) da forma
˙r = r(µ − r
2
)
˙
θ = 1
.
Da equa¸c˜ao de ˙r, para µ = 0 a origem ´e um foco est´avel, assim como para µ < 0.
Mas se µ > 0, existe um ciclo limite est´avel, pois quando t → ∞, no interior do c´ırculo de
raio
√
µ, as trajet´orias est˜ao dirigidas para fora desse c´ırculo, enquanto, no seu exterior,
as trajet´o r ia s est˜ao dirigidas para dentro ( ver figura 2.1). O ciclo limite ocorre exatamente
quando r =
√
µ.
m m
>
<
0
0
x
y
x
y
Figura 2.1: Retrato de fase para o sistema (2.3).
Como tal ciclo limite depende do valor de µ escrevemos
Γ
µ
: γ
µ
(t) = µ(cost, sent)
T
.
16
Cap´ıtulo 2. Bifurca¸c˜ao de Hopf para um sistema planar suave
Observe que as curvas Γ
µ
representam, na verdade, uma fam´ılia de ciclos limites
do sistema (2.3) (para cada µ temos um ciclo limite) e essa fam´ılia, por sua vez, define
uma superf´ıcie em R
2
× R, ver Figura 2.2.
O
m
r
m
G
m
x
y
O
BifurcaçãodeHopf
Soluçãoestacionáriaestável
Ciclolimiteestável
Soluçãoestacionáriainstável
BifurcaçãodeHopf
Soluçãoestacionária
estável
Ciclolimiteestável
Solução estacionária
instável
Figura 2.2 : Diagrama de bifurca¸c˜ao (esquerda); Fam´ılia de ciclos limites Γ
µ
resultando na bifurca¸c˜ao de H opf de (2.3)
(direita).
A bifurca¸c˜ao do ciclo limite da origem que ocorre `a medida que essa muda sua
estabilidade no valor de bifurca¸c˜ao µ = 0, ´e a chamada bifurca¸c˜ao de Hopf.
Mais informa¸c˜oes sobre a bifurca¸c˜ao de Hopf em sistemas dinˆamicos suaves e sua
defini¸c˜ao podem ser encontradas em ([36], Se¸c˜ao 2.6).
2.3 Teorema da Bifurca¸c˜ao d e Hopf
Al´em da resolu¸c˜ao expl´ıcita do sistema, que muitas vezes ´e trabalhosa, a bifurca¸c˜ao
de Hopf pode ser investigada atrav´es do estudo de pontos fixos da aplica¸c˜ao de Poincar´e.
Mas n˜a o faremos um estudo t˜ao detalhado no caso de sistema suave. Apresentare-
mos, ent˜ao, um teorema que garante a existˆencia da bifurca¸c˜ao de Hopf na origem do
sistema (2.2).
Esse teorema ´e baseado no valor do n´umero de Liapunov σ para o foco na origem
17
Cap´ıtulo 2. Bifurca¸c˜ao de Hopf para um sistema planar suave
desse sistema, para µ = 0. J´a a estabilidade do ciclo limite de (2.2), ´e determinada pela
derivada da aplica¸c˜ao de Poincar´e, ver Cap´ıtulo 1 ([35], Se¸c˜ao 3.4).
Apresentaremos aqui somente a f´ormula do n´umero de Lia punov para o foco na
origem de (2.2) ([35], Se¸c˜ao 4.3), comparar com ( 1.6) no Cap´ıtulo 1:
σ =
3π
2
[3(a
30
+ b
21
) − 2(a
20
b
20
− a
02
b
02
)
+a
11
(a
02
+ a
20
) − b
11
(b
02
+ b
20
)] .
Agora podemos enunciar o teorema que ga rante a existˆencia de uma bifurca¸c˜ao de
Hopf na origem de (2 .2 ) e mais, o surgimento de um ciclo limite como solu¸c˜ao, na vers˜ao
proposta por [35].
Teorema 2.1. (Bifurca¸c˜ao de Hopf) Se o n´umero de Liapunov σ ´e diferente de zero,
ent˜ao uma bifurca¸c˜ao de Hopf ocorre no ponto de equil´ıbrio do sistema planar suave (2.2 )
para o valor de bifurca¸c˜ao µ = 0. Al´em disso,
• se σ < 0, ent˜ao o sistema (2.2 ) tem um ´unico ciclo limite est´avel para µ > 0 e n˜ao
possui ciclo limite para µ ≤ 0;
• se σ > 0, o sistema (2.2) tem um ´unico ciclo limite inst´avel para µ < 0 e n˜ao possui
ciclo limite para µ ≥ 0.
Demonstra¸c˜ao: A demonstra¸c˜ao desse teorema pode ser encontrado em ([2] ou [18]
p.25-27).
A se¸c˜ao seguinte, ilustra a aplica¸c˜a o do teorema da bifurca¸c˜ao Hopf na equa¸c˜ao
que modela a oscila¸c˜ao das pregas vocais na produ¸c˜ao da voz (fona¸c˜ao) apresentada por
[28].
18
Cap´ıtulo 2. Bifurca¸c˜ao de Hopf para um sistema planar suave
2.4 Mod elo suave da oscila¸c˜ao das pregas vocais
Esse modelo foi minuciosamente estudado em [18], nosso objetivo ´e fazer uma
r´apida an´alise qualitativa do modelo, como forma de ilustrar a aplica¸c˜ao do Teorema
(2.1).
O modelo sup˜oe completa simetria entre as pregas vocais. A vibra¸c˜ao ´e caracte-
rizada por um movimento ondulat´orio dos tecidos que se propaga ao longo da glote na
dire¸c˜ao do fluxo de ar.
Figura 2.3: Modelo das pregas vocais.
A aerodinˆamica da glot e ´e modelada desconsiderando todos os efeitos do trato
vocal, e mais, assumindo que a press˜ao subglotal
1
´e constante e igual `a press˜ao pulmonar
P
L
, pois s˜ao desconsideradas as perdas de press˜ao nos brˆonquios e traqu´eia, e a press˜ao
supraglotal
2
´e constante e igual `a press˜ao atmosf´erica P
0
= 0. Essas s˜ao considera¸c˜oes
padr˜oes para se investigar os principais mecanismos da oscila¸c˜ao das pregas vocais, e
correspondem aproximadamente a condi¸c˜oes de laborat´orio [28, 30, 4].
Considerando que a distˆa ncia entre as pregas vocais ao longo da altura T da glote
´e constante, quando est˜ao em sua posi¸c˜ao de repouso, a ´area a da sec¸c˜ao transversal da
1
Press˜ao na entrada da laringe.
2
Press˜ao na sa´ıda da laringe.
19
Cap´ıtulo 2. Bifurca¸c˜ao de Hopf para um sistema planar suave
glote a uma altura y ´e
a = 2L(x
0
+ ξ),
onde x
0
´e a distˆancia das pregas vocais ao ponto m´edio da glote quando elas est˜ao em
sua posi¸c˜ao de repouso, L ´e o comprimento da glote e ξ ´e o deslocamento horizontal dos
tecidos das pregas vocais [28].
Observe que, quando as pregas vocais opostas colidem uma com a outra, f echando
a glote, a posi¸c˜ao delas ´e −x
0
.
A ´area a
1
na margem inferior das pregas vocais, y = −T/2, e a
2
na margem
sup erior, y = T/2, s˜ao dadas aproximadamente por
a
1
= 2L(x
0
+ x + τ ˙x) (2.5)
e
a
2
= 2L(x
0
+ x − τ ˙x), (2.6)
onde x ´e o deslocamento dos tecidos do ponto m´edio da glote, τ ´e o tempo gasto para a
onda superficial se deslocar metade da altura da glote T/2.
Ent˜ao, concentrando as propriedades mecˆanicas dos tecidos das pregas vocais no
ponto m´edio da glote, temos a equa¸c˜ao
M ¨x + B(1 + ηx
2
) ˙x + Kx = P
g
, (2.7)
onde M ´e a massa da g lote, B ´e o coeficiente de amortecimento e K, o coeficiente da
mola, por unidade de ´area da sup erf´ıcie m´edia das pregas vocais. P
g
´e a press˜ao de ar na
glote e η ´e um coeficiente ad-hoc que representa caracter´ısticas n˜ao lineares dos tecidos.
A press˜ao na glote P
g
´e dada por
P
g
= P
L
1 −
a
2
a
1
, (2.8)
com a
1
> 0 e onde P
L
´e a press˜ao de a r pulmonar.
20
Cap´ıtulo 2. Bifurca¸c˜ao de Hopf para um sistema planar suave
Substituindo a
1
e a
2
em (2.8), obtemos
P
g
=
2P
L
τ ˙x
x
0
+ x + τ ˙x
, (2.9)
com x
0
+ x + τ ˙x > 0.
Assim,
M ¨x + B(1 + ηx
2
) ˙x + Kx =
2P
L
τ ˙x
x
0
+ x + τ ˙x
, (2.10)
Queremos descobrir se essa equa¸c˜ao (2.10) possui uma bifurca¸c˜ao de Hopf e sob
qual condi¸c˜ao h´a o surgimento de um ciclo limite.
Va mos ent˜ao obter um sistema bidimensional de equa¸c˜o es diferenciais similar a
(1.7) para a equa¸c˜ao (2.10). Nesse processo, precisaremos normalizar o modelo (2.10).
Utilizaremos a seguinte vari´avel adimensional
ν = U.t,
onde U denotaremos no decorrer do processo.
Lembrando que ˙x =
dx
dt
, t emos agora
x
′
=
dx
dν
=
dx
dt
dt
dν
=
dx
dt
1
U
= ˙x
1
U
(2.11)
e
x
′′
=
d
dν
dx
dν
=
d
dν
dx
dt
1
U
=
d
2
x
dt
2
dt
dν
1
U
=
1
U
2
¨x. (2.12)
Primeiramente, dividimos a equa¸c˜ao (2.10) por M
¨x +
B
M
(1 + ηx
2
) ˙x +
K
M
x =
2P
L
τ ˙x
M(x
0
+ x + τ ˙x)
,
21
Cap´ıtulo 2. Bifurca¸c˜ao de Hopf para um sistema planar suave
e, em seguida, substitu´ımos as equa¸c˜oes (2.11) e (2.12), obtendo
U
2
x
′′
+
BU
M
(1 + ηx
2
)x
′
+
K
M
x =
2P
L
τUx
′
M(x
0
+ x + τUx
′
)
. (2.13)
Para que o coeficiente de x
′′
seja um, consideramos U =
K
M
e dividimos (2.13)
por U
2
. Com isso, obtemos,
x
′′
+
B
√
KM
(1 + ηx
2
)x
′
+ x =
2P
L
τx
′
√
KM (x
0
+ x + τ
K
M
x
′
)
(2.14)
Com o intuito de simplificar a equa¸c˜ao em (2.14), consideramos os seguintes parˆametros
α =
B
√
KM
, γ =
2P
L
τ
√
KM
e ρ = τ
K
M
,
da mesma maneira que ´e feito em [28]. Logo, (2.14) fica da forma
x
′′
+ α(1 + ηx
2
)x
′
+ x =
γx
′
(x
0
+ x + ρx
′
)
.
Agora, introduzimos a segunda vari´avel adimensional u =
x
x
0
do nosso processo.
Da´ı,
x
0
u
′′
+ α(1 + ηx
2
0
u
2
)x
0
u
′
+ x
0
u =
γx
0
u
′
(x
0
+ x
0
u + ρx
0
u
′
)
,
ou seja, obtemos a seguinte equa¸c˜ao normalizada para (2.10)
u
′′
+ α(1 + βu
2
)u
′
+ u =
γu
′
(1 + u + ρu
′
)
,
sendo β = ηx
2
0
e com 1 + u + ρu
′
> 0.
22
Cap´ıtulo 2. Bifurca¸c˜ao de Hopf para um sistema planar suave
Por fim, consideramos u
′
= v e, correspondendo `a equa¸c˜a o (2.10), obtemos o
seguinte sistema planar
u
′
= v
v
′
= −α(1 + βu
2
)v − u +
γv
(1 + u + ρv)
, (2.15)
com 1 + u + ρv > 0.
Abaixo temos o retrato de fase de (2.15) para α = 0, 32, β = 100, γ = 0, 78 e
ρ = 0, 97, valores caracter´ısticos de um adulto, com seis trajet´or ia s. A linha tracejada
corresponde `a condi¸c˜ao 1 + u + ρv = 0, e marca a validade de (2.15). Para mais detalhes
ver [28].
5 0 0.5 1
5
0
0.5
1
u
v
1
2
3
4
5
6
Figura 2.4: Retrato de fase de (2.15) para α = 0, 32, β = 100, γ = 0, 78 e ρ = 0, 97.
Agora, nosso objetivo ´e aplicar o teorema da bifurca¸c˜ao de Hopf ao sistema suave
de equa¸c˜oes diferenciais (2.15).
Temos que a press˜ao pulmonar P
L
´e o principal parˆametro de controle do in´ıcio e
fim do processo da fona¸c˜ao e tamb´em da intensidade da voz [28]. E, diretamente ligado `a
ela est´a o parˆametro γ,
γ =
2P
L
τ
√
KM
.
23
Cap´ıtulo 2. Bifurca¸c˜ao de Hopf para um sistema planar suave
Por isso, γ ser´a considerado como o parˆametro de contro le da estrutura dinˆamica do
modelo que estamos trabalhando. Mas, a fim de usarmos a mesma vari´avel µ do teorema
da bifurca¸c˜ao de Hopf, faremos a seguinte adapta¸c˜ao: µ = −α + γ. Ent˜ao, o sistema
(2.15) ficar´a em fun¸c˜ao de µ.
Observemos que (2.15) possui uma posi¸c˜ao de equil´ıbrio em (u, v) = (0, 0). Ent˜ao,
a matriz Jacobiana J(u, v, µ) desse sistema em (0, 0) ´e dada por
J(0, µ) =
0 1
−1 µ
,
j´a que
J(u, v, µ) =
0 1
−2αβuv − 1 −
(µ + α)v
(1 + u + ρv)
2
−α(1 + βu
2
) +
(µ + α)(1 + u)
(1 + u + ρv)
2
.
Enfim, para µ = 0 (γ = α), usando o a ux´ılio do software Maple na equa¸c˜ao de v
′
em (2.15) para fazermos uma extens˜ao em s´erie de Taylor, obtemos o sistema
u
′
= v
v
′
= −u − αvu −α(β − 1)u
2
v + 2αρuv
2
+ αρ
2
v
3
+ ...
(2.16)
Comparando (2.16) com o sistema (1.7), temos que a = d = 0, b = 1 e c = −1 e, com isso,
a + d = 0 e ∆ = 1, ou seja, o determinante da matriz Jacobiana ´e positivo; al´em disso,
as fun¸c˜oes p(u, v) e q(u, v) de (2.16) podem ser escritas atrav´es das s´eries (1.4) e (1.5),
respectivamente. Ent˜ao, atrav´es da f´ormula (1.8) vemos que a express˜ao do n´umero de
Liapunov fica
σ =
−3π
2
[−b
11
b
20
− b
11
b
02
+ (−3b
03
− b
21
)].
E, utilizando as informa¸c˜oes da fun¸c˜ao q(u, v), obtemos enfim
24
Cap´ıtulo 2. Bifurca¸c˜ao de Hopf para um sistema planar suave
σ =
3π
2
α(1 − β + αρ + 3ρ
3
). (2.17)
Agora, considerando os seguintes valores para os parˆametros adimensionais: α =
0.32, β = 100 e ρ = 0.97, que s˜ao valores caracter´ısticos de um adulto, basta substitu´ı-los
em (2.17) e descobrir o valor do n´umero de Liapunov. Logo, σ
∼
=
−144, 6.
Ent˜ao, pelo Teorema da Bifurca¸c˜ao de Hopf, como σ ´e n˜ao-nulo, ocorre uma bi-
furca¸c˜ao de Hopf na origem do sistema planar (2.16) para o valor de bifurca¸c˜ao µ = 0
(equivalentemente γ = α). Al´em disso, como σ < 0, o sistema (2.16) possui um ´unico
ciclo limite est´avel se µ > 0 (γ > α) e n˜ao possui ciclo limite se µ < 0 (γ < α).
Logo, conclu´ımos que a equa¸c˜ao do modelo da fona¸c˜ao apresenta uma bifurca¸c˜ao
de Hopf no ponto de equil´ıbrio para o valor de parˆametro µ = 0 (γ = α) e um ´unico ciclo
limite para µ > 0 (γ > α), que ´e est´avel.
Observa¸c˜ao 2.1. A equa¸c˜ao caracter´ıstica da matriz Jacobiana aplicada na posi¸c˜ao de
equil´ıbrio J(0, µ) possui um par de autovalores imagin´arios puros se µ = 0 ou, equivalen-
temente, γ = α. De fato, sua equa¸c˜ao cara cter´ıstica ´e dada por
λ
2
− µλ + 1 = 0,
E suas ra´ızes (dependentes do parˆametro µ) s˜ao: λ =
µ ±
µ
2
− 4
2
.
Observe que o par de autovalores complexos de ta l matriz (que acontece se −2 <
µ < 2) at ravessa transversalmente o eixo imagin´ario `a medida que µ passa por zero, o u
seja, `a medida que γ passa por γ = α quando seu valor aumenta.
J´a J(u, v, µ), para (u, v) = (0, 0) e 1 + u + ρv > 0, possui um par de autovalo r es
complexos, com parte real n˜ao nula para µ = 0.
Todos esses resultados eram esp erados, visto que uma bifurca¸c˜ao de Hopf ocorre
25
Cap´ıtulo 2. Bifurca¸c˜ao de Hopf para um sistema planar suave
na origem do sistema (2.16).
Portanto, se temos um sistema planar suave, a existˆencia de uma bifurca¸c˜ao de Hopf
no ponto de equil´ıbrio desse sistema fica condicionada ao valor do n´umero de Liapunov
para o valor de bifurca¸c˜ao. Pois, se σ = 0, temos que `a medida que o parˆametro de
controle do sistema atravessa o valor de bifurca¸c˜ao, a estabilidade do ponto de equil´ıbrio
muda (j´a que o par de autovalores complexos da matriz Jacobiana, aplicada nesse ponto,
corta tra nsversalmente o eixo imagin´ario) e um ciclo limite ´e gerado, conseq¨uentemente,
uma bifurca¸c˜ao de Hopf ocorre.
26
CAP
´
ITULO 3
Bifurca¸c˜ao de Hopf generali zada
para um sistema planar suave por
partes
Neste cap´ıtulo, trabalh a remos a bi f urca¸c˜ao de Hopf generalizada considerando uma
situa¸c˜ao es pecial em que o ponto de equil´ıbrio se localiza em um canto do dom´ınio pa ra tod o
valor do parˆametro de con trole. Mais do que isso, apresentare mos o teorema que garante
a ex i s tˆencia de uma fam´ılia de ´orbitas peri´od i cas bi f urcando para o ponto de equil´ıbrio, o
canto. Es te cap´ıtulo ser´a baseado nos trabalhos [1, 28, 30, 37, 40].
Faremos no ssas conclus˜oes, primeiramente, em um canto ”simples” e, ent˜ao, es-
tenderemos as mesmas para um canto geral.
Por ´ultimo, aplicaremo s o teorema ”estendido” na equa¸c˜ao suave por partes que
modela os movime ntos das pregas vocais no processo da fona¸c˜ao.
Como vimos no cap´ıtulo anterior, no caso suave, a bifurca¸c˜ao de Hopf ´e determi-
nada por um par de autovalores complexos que atravessa o eixo imagin´ario. Mas no caso
27
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
suave por partes, os autovalores de cada subsistema suave n˜ao precisam, necessariamente,
atravessar o eixo imagin´ario para garantir a existˆencia da bifurca¸c˜ao de Hopf. Essa garan-
tia vem da descontinuidade do sistema que causar´a a troca de estabilidade do canto do
dom´ınio.
Fazemos a observa¸c˜ao de que o sistema a ser trabalhado neste cap´ıtulo (definido
na pr´oxima se¸c˜ao) ´e espec´ıfico e representa, na verdade, uma classe de sistemas suaves
por partes que incluem fenˆomenos especiais de bifurca¸c˜ao e que apresentam resultados
interessantes de serem estudados. N˜ao podemos utiliz´a-lo como um sistema geral a ser
analisado.
3.1 Sistema planar suave por partes e canto s i mples
Seja Ω um disco aberto com raio r positivo e centrado na origem.
Definindo J = {I, II, III, IV } como sendo um conjunto de ´ındices, seja Ω
j
, com
j ∈ J, a interse¸c˜ao do dom´ınio Ω com os quatro quadrantes do plano cartesiano, respecti-
vamente; note que Ω
j
, pa ra cada j ∈ J, n˜ao cont´em pontos dos semi-eixos. E denotamos
por L
j
, j ∈ J, a interse¸c˜ao do dom´ınio Ω com os quatro semi-eixos, ver Figura 3.1.
x
y
I
L
II
III
IV
W
I
W
II
W
III
W
IV
O
W
L
L
L
Figura 3.1: Dom´ınio Ω.
28
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
E mais, seja M um intervalo aberto contendo zero.
Va mos ent˜ao, considerar um sistema dinˆamico planar suave por partes, que depende
de um parˆametro µ, da forma
( ˙x, ˙y)
T
= F (x, y, µ), (3.1)
com (x, y) ∈ Ω e µ ∈ M, onde a fun¸c˜ao F = (F
1
, F
2
)
T
: Ω × M → R
2
´e definida como
F (x, y, µ) = F
j
(x, y, µ), (3.2)
(x, y) ∈ Ω
j
, j ∈ J. As fun¸c˜oes F
j
= (F
j
1
, F
j
2
), j ∈ J, descrevem o campo de vetores de
(3.1).
No decorrer do trabalho, apresentaremos quatro hip´oteses que ser˜ao a base do nosso
resultado principal, apresentado na Se¸c˜ao 3.4 e sua vers˜ao para o caso geral apresentada
na Se¸c˜a o 3.5. Nesta se¸c˜ao aprentaremos trˆes delas, ficando a quarta hip´otese para a
pr´oxima se¸c˜ao.
A primeira hip´otese considerada neste cap´ıtulo ´e sobre as fun¸c˜oes F
j
, e ela implica
que a descontinuidade do sistema (3.1) ocorre em L
j
, para todo j ∈ J, ver a defini¸c˜ao em
(3.2).
H
1
As fun¸c˜oes F
j
(x, y, µ), j ∈ J s˜ao C
K
- suaves, K ≥ 2, para (x, y, µ) ∈ Ω × M.
Seguindo os autores Zou e K¨upper [37], o canto em um dom´ınio ´e o ponto de
interse¸c˜ao das linhas de descontinuidade de um sistema definido nesse dom´ınio. Quando
essas linhas de descontinuidade coincidem com os quatro semi-eixos do plano cartesiano,
os mesmos autores denominam esse canto de canto simples. Ent˜ao, pela hip´otese H
1
,
temos que a origem de Ω ´e um canto simples, ver Fig ura 3.1.
J´a a segunda hip´otese, assegura que a origem ´e ponto de equil´ıbrio, ou solu¸c˜ao
estacion´aria, de (3.1), pois como sabemos, as fun¸c˜oes F
j
, j ∈ J, descrevem o campo de
vetores desse sistema.
29
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
H
2
F
j
(0, 0, µ) ≡ 0, j ∈ J para todo valor de µ ∈ M.
A partir de H
1
e H
2
podemos expandir a fun¸c˜ao F
j
(x, y, µ), para algum j ∈ J,
usando a f´ormula de Taylor [27] em (x
0
, y
0
) = (0, 0)
F
j
(x
0
+ x, y
0
+ y, µ) = F
j
(x
0
, y
0
, µ) + A
j
(µ)(x, y)
T
+ (g
j
1
(x, y, µ), g
j
2
(x, y, µ))
T
,
ou seja,
F
j
(x, y, µ) = A
j
(µ)(x, y)
T
+ (g
j
1
(x, y, µ), g
j
2
(x, y, µ))
T
, (3.3)
onde A
j
(µ) ´e uma matriz 2 × 2 e (g
j
1
, g
j
2
)
T
, o termo n˜ao linear de ordem superior, ´e C
k
-
suave e satisfaz |g
j
1,2
| = O(x
2
+ y
2
) `a medida em que (x, y) tende uniformemente a (0, 0),
para µ ∈ M.
Para garantir que a matriz A
j
(µ) t enha um par de autovalores complexos, α
j
(µ) ±
iβ
j
(µ) (i
2
= −1), vamos assumir:
H
3
Para cada j ∈ J, a matriz A
j
(µ) est´a na forma normal:
A
j
(µ) =
α
j
(µ) β
j
(µ)
−β
j
(µ) α
j
(µ)
, (3.4)
com β
j
(0) > 0.
A condi¸c˜ao β
j
(0) > 0 ´e assumida para que as solu¸c˜oes de (3.1) cruzem as linhas de
descontinuidade no sentido hor´ario `a medida em que o tempo a umenta, ver Figura 3.2.
Lembremos que, se a matriz A
j
(µ) tem um par de autova lores complexos, a solu¸c˜ao
estacion´aria do sistema (3.1) ´e um foco se α = 0 e, caso contr´ario, a solu¸c˜ao estacion´aria
´e um centro se o sistema ´e linear e pode ser um centro, um foco o u um foco-centro se o
sistema ´e n˜ao-linear [1, 35].
Observa¸c˜ao 3.1. A partir da hip´otese H
1
, sendo K
j
uma fun¸c˜ao C
K
-suave para todo
j ∈ J, temos que cada coordenada da matriz A
j
(µ) em (3.4) ser´a C
K
-suave tamb´em. Da´ı,
30
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
como em H
3
assumimos que β
j
(0) > 0, temos que β
j
(µ) ser´a positivo em uma vizinhan¸ca
de µ, ou seja, existe uma constante β
∗
> 0 tal que β
j
(µ) ≥ β
∗
para µ ∈ M, se necess´ario,
reduz-se o intervalo M.
x
y
I
L
II
W
I
W
II
W
III
W
IV
O
W
L
III
L
IV
L
Figura 3.2: Dire¸c˜ao do fluxo de (3.1) sob a hip´otese H
3
.
A seguir, apresentamos uma extens˜ao pa dr˜ao do sistema (3.1) [10, 20, 24] de forma
que ele tamb´em fique definido em L
j
, para todo j ∈ J
( ˙x(t), ˙y(t))
T
∈ F(x(t), y(t), µ), (3.5)
onde definimos F : Ω × M → 2
R
2
por
F(x, y, µ) =
{F
j
(x, y, µ)} se (x, y) ∈ Ω
j
, j ∈ J
{qF
j
(x, y, µ)
+(1 − q)F
j+1
(x, y, µ)| 0 ≤ q ≤ 1} se (x, y) ∈ L
j
, j ∈ J
(3.6)
onde F
IV +I
= F
I
.
O parˆametro q ´e um parˆametro que define uma combina¸c˜ao convexa e n˜ao tem
significado f´ısico. A extens˜ao de um sistema descont´ınuo por uma inclus˜ao diferencial
(3.6) ´e conhecida como m´etodo convexo de Filippov [26].
31
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
E de acordo com [10, 20] a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao do sistema (3.5) em
uma vizinhan¸ca da origem, s˜ao obtidas sob as hip´oteses H
1
-H
3
.
3.2 Aplica¸c˜ao Retorno para um sistema linear por
partes
Nessa se¸c˜ao definiremos a a plica¸c˜ao de Poincar´e para cada subsistema de um sis-
tema planar linear por partes e, fazendo uma composi¸c˜ao, obteremos uma aplica¸c˜ao Re-
torno para o sistema. Por fim, a partir dessa aplica¸c˜ao, obteremos condi¸c˜oes que garantam
a existˆencia de uma fam´ılia de ´orbitas peri´odicas bifurcando .
A equa¸c˜ao (3.3) nos permite definir uma lineariza¸c˜ao para o sistema (3.1). Mas,
nesta se¸c˜ao, podemos tr abalhar em um dom´ınio mais a mplo que Ω.
Denominamos o j-´esimo quadrante do plano cartesiano por Π
j
e por Σ
j
denotamos
o semi-eixo que cont´em L
j
, continuamos com j ∈ J.
P
I
P
II
P
III
P
IV
O
S
I
S
II
S
III
S
IV
x
y
Figura 3.3: Dom´ınio do sistema (3.7).
32
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
Agora vamos considerar o seguinte sistema linear por partes
( ˙x, ˙y)
T
= A
j
(µ)(x, y)
T
, (3.7)
com (x, y) ∈ Π
j
, µ ∈ M e j ∈ J.
Observa¸c˜ao 3.2. Lembramos que, dado o problema de valor inicial
( ˙x, ˙y)
T
= A(µ)(x, y)
T
(x(0), y(0 )) = (x
0
, y
0
)
, (3.8)
onde a matriz A(µ) est´a na f orma no rmal
A(µ) =
α(µ) β(µ)
−β(µ) α(µ)
,
temos que o fluxo desse problema ´e dado por
Φ(x
0
, y
0
, µ, t) = ϕ(µ, t)(x
0
, y
0
)
T
, (3.9)
onde
ϕ(µ, t) =
cos(β(µ)t) sen(β(µ)t)
−sen(β(µ)t) cos(β(µ)t)
.
Essa matriz representa a rota¸c˜ao da ´orbita em µ radianos.
Va mos agora definir a aplica¸c˜ao de Poincar´e em cada subsistema de (3.7). Fa r emos
essa defini¸c˜ao de forma que aplica¸c˜ao de Poincar´e fique em termos da coordenada y.
Para algum ponto (0, y
0
) ∈ Σ
I
, o fluxo Φ
I
(0, y
0
, µ, t) far´a o seguinte trajeto, `a
medida em que o tempo aumenta: sa´ıra de
Π
II
atravessando o semi-eixo Σ
I
e entrar´a em
Π
I
.
Da´ı, definimos a aplica¸c˜ao de Poincar´e do subsistema definido no primeiro qua-
drante P
I
: R
+
×M → R
+
, tal que (P
I
(y, µ), 0)
T
∈ Σ
IV
, como sendo o primeiro ponto de
sa´ıda do conjunto
Π
I
para o valor inicial (0, y
0
)
T
∈ Σ
I
sob o fluxo Φ
I
(x, y, µ, t), ou seja,
´e a coordenada-x do ponto de interse¸c˜ao do fluxo Φ
I
(0, y
0
, µ, t) com Σ
IV
.
33
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
Denotaremos a aplica¸c˜ao Per´ıodo (tempo m´ınimo de passagem) de Φ
I
(x, y, µ, t)
pelo conjunto
Π
I
, por T
I
: R
+
× M → R.
Analisando de maneira an´aloga o trajeto do fluxo de (3.7) a trav´es dos outros trˆes
quadrantes, podemos definir as aplica¸c˜oes de Poincar´e em termos dos outros subsistemas
P
II
: R
−
× M → R
+
, P
III
: R
−
× M → R
−
e P
IV
: R
+
× M → R
−
,
ver Figura 3.4, bem como as aplica¸c˜oes Per´ıodo correspondentes
T
II
: R
−
× M → R, T
III
: R
−
× M → R e T
IV
: R
+
× M → R.
P
I
P
II
P
III
P
IV
O
P
II
P
I
P
IV
P
III
S
I
S
II
S
III
S
IV
x
y
Figura 3.4: Aplica¸c˜ao de Poincar´e para cada subsistema linear de (3.7).
Logo, se as hip´ot eses H
1
, H
2
e H
3
s˜ao satisfeitas e µ ∈ M, podemos expor as
express˜oes da aplica¸c˜ao de Poincar´e e da aplica¸c˜ao Per´ıodo em termos de cada subsistema
de (3.7).
Primeiramente, vamos apresentar a express˜ao da aplica¸c˜ao Per´ıodo, de cada sub-
sistema, pois ela ser´a usada para encontrar a express˜ao da aplica¸c˜ao de Poincar´e.
34
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
Defini¸c˜ao 3.3. A aplica¸c˜ao Per´ıodo T
j
´e dada por
T
j
(y, µ) ≡
π
2
β
j
(µ)
(3.10)
com j ∈ J.
Observe que a aplica¸c˜ao Per´ıodo n˜ao depende de y. Para mais detalhes sobre essa
defini¸c˜ao ver [40].
A partir da Defini¸c˜ao 3.3 da aplica¸c˜ao Per´ıodo e da express˜ao do fluxo dada na
Observa¸c˜ao 3.2, basta substituir (3.10) em (3.9), para obtermos uma express˜ao para a
aplica¸c˜ao de Poincar´e P
j
para cada subsistema de (3.7).
Defini¸c˜ao 3.4. A aplica¸c˜ao de Poincar´e P
j
para y = 0 ´e dada por
P
j
(y, µ) = e
T
1
Φ(0, κ
j
y, µ , T
j
(y, µ)) = κ
j
y exp
π
2
α
j
(µ)
β
j
(µ)
, (3.11)
onde e
T
1
= (1, 0), j ∈ J, κ
j
= 1 se j = I, III e κ
j
= −1 se j = II, IV .
Va mos estender a defini¸c˜ao das fun¸c˜oes P
j
e T
j
, j ∈ J, para y ≡ 0, de modo que
elas sejam (suficientement e) suaves no dom´ınio ({0 } ∪ R
+
∪ R
−
) × M, da seguinte forma
P
j
(0, µ) ≡ 0 e T
j
(0, µ) ≡
π
2
β
j
(µ)
.
Basta verificarmos que os limites (laterais) dessas fun¸c˜oes e de suas derivadas
quando y tende a zero s˜ao iguais as suas respectivas extens˜oes feitas para y = 0.
Tal extens˜ao ´e necess´aria pois o valor de κ
j
n˜ao foi definido para y = 0, conseq¨uen-
temente, as fun¸c˜oes P
j
, j ∈ J, tamb´em n˜ao.
Agora podemos construir a aplica¸c˜ao Retorno P (y, µ) do sistema linear por partes
(3.7) definida no eixo-y, compondo as quatro a plica¸c˜oes de Poincar´e referentes aos quatro
35
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
subsistemas C
K
- suaves. Ent ˜ao temos,
P (y, µ) :=
P
II
(P
III
(P
IV
(P
I
(y, µ), µ), µ), µ), y > 0,
0, y = 0,
P
IV
(P
I
(P
II
(P
III
(y, µ), µ), µ), µ), y < 0.
(3.12)
E
T (µ) :=
π
2
β
I
(µ)
+
π
2
β
II
(µ)
+
π
2
β
III
(µ)
+
π
2
β
IV
(µ)
,
(3.13)
que, na verdade, ´e a soma dos per´ıodos definidos para cada subsistema.
Usando recursivamente a Defini¸c˜ao 3.4, encontramos uma express˜ao para a aplica¸c˜ao
Retorno (3.12).
De fato, consideremos primeiramente o caso y > 0 . Para j = I temos,
P
I
(y, µ) = y exp
π
2
α
I
(µ)
β
I
(µ)
Defina a := P
I
(y, µ). Com isso,
P
IV
(P
I
(y, µ), µ) = P
IV
(a, µ) = −a exp
π
2
α
IV
(µ)
β
IV
(µ)
.
Defina b := P
IV
(a, µ). D a´ı,
P
III
(P
V I
(P
I
(y, µ), µ), µ) = P
III
(b, µ) = b exp
π
2
α
III
(µ)
β
III
(µ)
.
Por fim, defina c := P
III
(b, µ) e, a partir disso, temos
P
II
(P
III
(P
V I
(P
I
(y, µ), µ), µ), µ) = P
II
(c, µ) = −c exp
π
2
α
II
(µ)
β
II
(µ)
.
36
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
Logo,
P (y, µ) = P
II
(P
III
(P
V I
(P
I
(y, µ), µ), µ), µ)
= −c exp
π
2
α
II
(µ)
β
II
(µ)
= −b exp
π
2
α
III
(µ)
β
III
(µ)
exp
π
2
α
II
(µ)
β
II
(µ)
= −
−a exp
π
2
α
IV
(µ)
β
IV
(µ)
exp
π
2
α
III
(µ)
β
III
(µ)
exp
π
2
α
II
(µ)
β
II
(µ)

= y exp
π
2
α
I
(µ)
β
I
(µ)
exp
π
2
α
IV
(µ)
β
IV
(µ)
exp
π
2
α
III
(µ)
β
III
(µ)
exp
π
2
α
II
(µ)
β
II
(µ)
= y exp
π
2
α
I
(µ)
β
I
(µ)
+
π
2
α
IV
(µ)
β
IV
(µ)
+
π
2
α
III
(µ)
β
III
(µ)
+
π
2
α
II
(µ)
β
II
(µ)
= y exp
π
2
α
I
(µ)
β
I
(µ)
+
α
II
(µ)
β
II
(µ)
+
α
III
(µ)
β
III
(µ)
+
α
IV
(µ)
β
IV
(µ)

.
Analogamente, para o caso y < 0, de acordo com a defini¸c˜ao da aplica¸c˜ao Retorno
(3.12) temos a seguinte express˜ao
P (y, µ) = P
IV
(P
I
(P
II
(P
III
(y, µ), µ), µ), µ)
= y exp
π
2
α
I
(µ)
β
I
(µ)
+
α
II
(µ)
β
II
(µ)
+
α
III
(µ)
β
III
(µ)
+
α
IV
(µ)
β
IV
(µ)

.
Para simplificarmos a express˜ao de P (y, µ), vamos considerar a seguinte fun¸c˜ao
B(µ) =
π
2
α
I
(µ)
β
I
(µ)
+
α
II
(µ)
β
II
(µ)
+
α
III
(µ)
β
III
(µ)
+
α
IV
(µ)
β
IV
(µ)
,
chamada fun¸c˜ao bifurca¸c˜ao [37].
Logo, podemos expressar a aplica¸c˜ao Retorno como
P (y, µ) = y exp(B(µ)).
37
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
Note que a fun¸c˜ao bifurca¸c˜ao, na verdade, determina a aplica¸c˜ao de Poincar´e para
o sistema linear por partes.
Observa¸c˜ao 3.5. Nossa fun¸c˜ao bifurca¸c˜ao aplica-se a sistemas dinˆamicos suaves ta mb´em.
Se a equa¸c˜ao (3.1) ´e suave, a express˜ao da fun¸c˜ao bifurca¸c˜ao fica
B(µ) = 2π
α(µ)
β(µ)
.
Ent˜ao,
P (y, µ) = y exp
2π
α(µ)
β(µ)
.
Isso leva `a afirma¸c˜ao padr˜ao da bifurca¸c˜ao de Hopf [40].
E mais, note que
P (0, µ) = 0 e P
′
(0, µ) = exp
2π
α(µ)
β(µ)
,
como mencionado no Teorema 1.2 no primeiro cap´ıtulo.
Por fim, como ´ultima hip´otese do nosso trabalho, consideraremos
H
4
B(0) = 0 e B
′
(0) = 0.
Observa¸c˜ao 3.6. A hip´otese H
4
, no caso de um sistema linear po r partes, assume o
papel da condi¸c˜ao cl´assica α ( 0) = 0,
dα(0)
dµ
= 0 e β(0) > 0 para a Bifurca¸c˜ao de Hopf no
caso suave, ver cap´ıtulo anterior.
Agora temos condi¸c˜oes de enunciar o principal resultado desta se¸c˜a o. O teorema a
seguir garante a existˆencia de uma fam´ılia de ´orbitas peri´odicas circulando em torno da
origem do sistema linear por partes (3.7). Resultado similar pode ser encont rado em [37].
38
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
Teorema 3.1. Assuma as hip´oteses H
1
-H
4
. Ent˜ao,
1. Existe uma ´orbita peri´odica n˜ao-trivial para o sistema (3.7) se, e somente se, B(µ) =
0.
2. Para µ satisfazendo B(µ) = 0 existe uma fam´ılia de ´orbitas peri´odicas circulando
em torno da origem com per´ıodo T (µ) para o sistema (3.7).
Demonstra¸c˜ao: 1. e 2. Os dois ´ıtens seguem imediatamente, segundo [37, 40], da
correspondˆencia dos pontos fixos da aplica¸c˜ao Retorno P (·, µ) com as ´orbitas peri´odicas
cont´ınuas do sistema linear por partes (3.7): Seja y = 0, ent˜ao
P (y, µ) = y ⇔ exp(B(µ)) = 1 ⇔ B(µ) = 0.
Ou seja, toda vez que µ satisfizer B(µ) = 0, seja qual for o valor de y diferente
de zero, teremos P (y, µ) = y, ou seja, uma ´orbita peri´odica n˜ao trivial para o sistema
linear por partes ( 3.7). Da´ı a existˆencia, na verdade, de uma fam´ılia de ´orbitas peri´o dicas
para (3 .7) circulando em torno da solu¸c˜a o estacion´aria, a origem. O per´ıodo da ´orbita ´e
o per´ıodo correspondente `a P (y, µ), ou seja, T (µ).
Assumindo as hip´oteses H
1
-H
4
, podemos ver que a solu¸c˜ao estacion´aria (0, 0) do
sistema (3.7) ´e (um foco) assintoticamente est´avel se B(µ) < 0 e (um foco) inst´avel se
B(µ) > 0.
De fato, se B(µ) < 0 ent˜ao temos que exp(B(µ)) < 1. Com isso, para y
0
= 0,
||Φ(T, y
0
)|| = ||P (y
0
, µ)|| = ||y
0
exp(B(µ))|| < ||y
0
||,
1
ou seja, quando o tempo aumenta, as ´orbitas de (3.7), que nesse caso s˜ao espirais (H
3
e B(µ ) = 0), se aproximam da origem desse sistema que ´e a solu¸c˜ao estacion´a r ia (H
2
).
1
Utilizamos a norma Eucidiana.
39
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
Logo, se B(µ) < 0 ent˜ao a solu¸c˜ao estacion´aria de (3.7) ´e assintoticamente est´avel
(ver defini¸c˜ao em [5, 36]).
No entanto, se B(µ) > 0 ent˜ao exp(B(µ)) > 1 e, com isso, para y
0
= 0, temos
||Φ(T, y
0
)|| = ||P (y
0
, µ)|| = ||y
0
exp(B(µ))|| > ||y
0
||,
ou seja, quando o tempo a umenta, as ´orbitas de (3.7) se afastam da origem desse sistema.
Logo, se B(µ) > 0 ent˜ao a solu¸c˜ao estacion´aria de (3.7) ´e inst´avel.
Observa¸c˜ao 3.7. Segundo [24] a estabilidade do sistema ”combinado” pelos quatro sub-
sistemas suaves ´e determinada pela influˆencia do(s) subsistema(s) inst´avel(eis); a quanti-
dade pode ser dada em termos do tempo gasto pela ´orbita do sistema em cada subsistema,
isto ´e, por uma compara¸c˜ao da parte imagin´a r ia dos a utovalores dos subsistemas, ver a
Defini¸c˜ao 3.3 de per´ıodo.
3.3 Aplica¸c˜ao Retorno para um sistema n˜ao li near
Definiremos a aplica¸c˜ao Retorno para um sistema n˜ao linear, para que, na pr´oxima
se¸c˜ao, possamos enunciar o principal resultado do nosso trabalho.
O m´etodo usado ´e similar ao da se¸c˜ao anterior: considerando o intervalo M, o
conjunto de ´ındices J e os subconjuntos de R
2
: Ω, Ω
j
e L
j
(j ∈ J), como na Se¸c˜ao 3.1
(ver Figura 3.1), definiremos uma aplica¸c˜ao de Poincar´e para cada um dos subsistemas,
inclusive nas linhas de descontinuidade do sistema n˜ao linear e, ent˜ao, construiremos uma
aplica¸c˜ao Retorno at rav´es da compo si¸c˜ao das aplica¸c˜oes de Poincar´e.
A partir de ag ora vamos trabalhar com um sistema planar n˜ao linear suave por
partes da forma
( ˙x, ˙y)
T
= F (x, y, µ), (3.14)
40
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
com (x, y) ∈ Ω e µ ∈ M e onde a fun¸c˜ao F = (F
1
, F
2
)
T
´e definida como na Se¸c˜ao 3.1.
E tamb´em assumiremos que as hip´oteses H
1
- H
4
estejam satisfeitas.
Andronov et al. em ([1], Se¸c˜ao 8), fazem um estudo detalhado do comportamento
do fluxo de um sistema n˜ao linear pr´oximo da origem e segundo [37], essas propriedades
podem ser aplicadas em cada subsistema suave de (3.14), para pontos pr´oximos da origem,
e permitir que a aplica¸c˜ao de Poincar´e seja definida em L
j
, para cada j ∈ J.
A aplica¸c˜ao de Poincar´e para os subsistemas de (3.14) ser´a definida em fun¸c˜ao
da coordenada-y. Tamb´em definiremos a aplica¸c˜a o Per´ıodo correspondente. Com essas
aplica¸c˜oes expressas, enunciaremos algumas de suas caracter´ısticas para ent˜ao definir a
aplica¸c˜ao Retorno para (3.1 4).
Denotaremos por Ψ
j
(x, y, µ, t), j ∈ J, a solu¸c˜ao fluxo de cada subsistema em Ω
j
.
Va mos, primeiramente, analisar o comportamento da solu¸c˜ao do subsistema de
(3.14) em Ω
I
para ent˜ao definirmos a aplica¸c˜a o de Poincar´e para esse subsistema.
Lembrando que Ω ´e um disco centrado na or ig em e com raio r > 0, de acordo com
([1], Se¸c˜ao 8, Lema 3), existe uma constante positiva δ
I
, com 0 < δ
I
< r, e uma constante
tamb´em positiva τ
I
tal que, se
0 < y < δ
I
, µ ∈ M e 0 ≤ t ≤ τ
I
,
ent˜ao o fluxo Ψ
I
(0, y, µ , t) pertence `a Ω.
Correspo ndente `a constante δ
I
fica definida uma fun¸c˜a o tempo
˜
T
I
: (0, δ
I
) ×M →
R
+
.
Tamb´em por ([1], Se¸c˜ao 8, Lema 3), o fluxo Ψ
I
(0, y, µ , t) cruzar´a a linha L
IV
, e isso
acontece quando t =
˜
T
I
(y, µ); al´em disso, enquanto 0 < t <
˜
T
I
(y, µ) esse fluxo permanece
no interior de Ω
I
.
Agora que conhecemos o comportamento do fluxo do subsistema que est´a definido
41
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
em Ω
I
, podemos definir, nessa regi˜ao, a aplica¸c˜ao de Poincar´e
˜
P
I
(y, µ) : (0, δ
I
)×M → R
+
.
P
I
ser´a a coordenada-x do ponto de interse¸c˜ao de Ψ
I
(0, y, µ , t) com a linha L
IV
, ou seja,
˜
P
I
(y, µ) = e
T
1
Ψ
I
(0, y, µ ,
˜
T
I
(y, µ)),
onde e
1
= (1, 0)
T
.
Da mesma forma que analisamos o comportamento do fluxo do subsistema de (3.14)
que est´a definido em Ω
I
, podemos fazer o mesmo para os outros subsistemas e ta mb´em
definir a aplica¸c˜ao de Poincar´e e Per´ıodo para cada um deles.
Logo,
˜
P
II
: (−δ
II
, 0) × M → R
+
,
˜
P
III
: (−δ
III
, 0) × M → R
−
e
˜
P
IV
: (0, δ
IV
) × M → R
−
,
onde δ
II,III,IV
> 0 existem ([1], Se¸c˜ao 8 , Lema 3).
E, resp ectivamente,
˜
T
II
: (−δ
II
, 0) × M → R
+
,
˜
T
III
: (−δ
III
, 0) × M → R
−
e
˜
T
IV
: (0, δ
IV
) × M → R
−
.
Seja, agora, 0 < δ < min{δ
I
, δ
II
, δ
III
, δ
IV
} e considere |y| < δ. Ent˜ao, podemos
definir a aplica¸c˜ao de Poincar´e como a seguir.
Defini¸c˜ao 3.8. A aplica¸c˜ao de Poincar´e
˜
P
j
, j ∈ J, par a y = 0 ´e dada por
˜
P
j
(y, µ) = e
T
1
Ψ
j
(0, κ
j
y, µ ,
˜
T
j
(y, µ)), (3.15)
onde κ
j
= 1 se j = I, III e κ
j
= −1 se j = II, IV .
42
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
Assim como na se¸c˜ao anterior, vamos estender as fun¸c˜oes
˜
P
j
e
˜
T
j
, j ∈ J, para
y ≡ 0. Ent˜ao, fa¸ca
˜
P
j
(0, µ) ≡ 0 ,
˜
T
j
(0, µ) = T
j
(µ) ≡
π
2
β
j
(µ)
. (3.16)
Essas extens˜oes v˜ao garantir que as aplica¸c˜oes Retorno e Per´ıodo do sistema (3.14),
definidas mais adiante, sejam cont´ınuas em uma vizinhan¸ca da origem.
Observa¸c˜ao 3.9. Se em (3 .3 ) o termo n˜ao linear ´e identicamente nulo, temos o caso da
se¸c˜ao anterior e, ent˜ao,
˜
P
j
(y, µ) = P
j
(y, µ), bem como,
˜
T
j
(y, µ) = T
j
(y, µ), para j ∈ J.
Lembrando que
˜
P
j
(y, µ) e
˜
T
j
(y, µ) est˜ao definidas para va lores positivos de y se
j = I, IV e para valores negativos de y se j = II, III e que para y = 0 s˜ao dadas por
(3.16), apresentamos o seguinte lema para, mais ta r de, caracterizarmos a aplica¸c˜ao Re-
torno.
Lema 3.10. Suponha que as hi p´oteses H
1
- H
3
estejam satisfeitas. Ent˜ao,
1. As fun¸c˜oes
˜
P
I,IV
(y, µ) e
˜
T
I,IV
(y, µ) s˜ao cont´ınuas para 0 ≤ y < δ e µ ∈ M. E as
fun¸c˜oes
˜
P
II,III
(y, µ) e
˜
T
II,III
(y, µ) s˜ao cont´ınuas para −δ < y ≤ 0 e µ ∈ M.
2.
`
A m edida em q ue y → 0
+
, os limites laterais `a dire i ta das derivadas
˜
P
I,IV
i
e
˜
T
I,IV
i
para i = y, µ, yµ , µ y existem, e mais,
˜
P
I,IV
y µ
=
˜
P
I,IV
µy
para 0 ≤ y < δ.
3.
`
A medid a em q ue y → 0
−
, os limites laterais `a esquerda das derivadas
˜
P
II,III
i
e
˜
T
II,III
i
para i = y, µ, yµ, µ y existem, e mais,
˜
P
II,III
y µ
=
˜
P
II,III
µy
para −δ < y ≤ 0.
Demonstra¸c˜ao: Esse lema segue diretamente do fato do fluxo Ψ
j
(x, y, µ, t), j ∈ J, de-
pender suavemente dos dados iniciais (x, y, µ ) [22, 37, 40].
43
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
Observa¸c˜ao 3.11. Os limites laterais `a direita citados no item 2. do lema acima deno-
taremos por:
lim
y →0
+
˜
P
I,IV
i
(y, µ) :=
˜
P
I,IV
i
(0
+
, µ) e lim
y →0
+
˜
T
I,IV
i
(y, µ) :=
˜
T
I,IV
i
(0
+
, µ);
e os limites laterais `a esquerda citados no item 3. do mesmo lema denotaremos por:
lim
y →0
−
˜
P
II,III
i
(y, µ) :=
˜
P
II,III
i
(0
−
, µ) e lim
y →0
−
˜
T
II,III
i
(y, µ) :=
˜
T
II,III
i
(0
−
, µ).
Todas as considera¸c˜oes sobre as aplica¸c˜oes de Poincar´e e Per´ıodo que precis´avamos
para esta se¸c˜ao, j´a foram feitas. A partir daqui, podemos definir ent˜ao a aplica¸c˜ao Retorno,
a qual nos a uxiliar´a a chegar no principal resultado deste cap´ıtulo, como mencionado no
in´ıcio da se¸c˜ao.
Definimos a a plica¸c˜ao Retorno do sistema (3 .1 4),
˜
P : (−δ, δ) × M → R, para um
valor apropriado de δ, como
˜
P (y, µ) :=
˜
P
II
(
˜
P
III
(
˜
P
IV
(
˜
P
I
(y, µ), µ), µ), µ), y > 0,
0, y = 0,
˜
P
IV
(
˜
P
I
(
˜
P
II
(
˜
P
III
(y, µ), µ), µ), µ), y < 0.
(3.17)
E a sua corresp ondente aplica¸c˜ao Per´ıodo
˜
T
j
: (−δ, δ) × M → R por
˜
T (y, µ) :=
˜
T
I
(y, µ)
+
˜
T
IV
(
˜
T
I
(y, µ), µ)
+
˜
T
III
(
˜
T
IV
(
˜
T
I
(y, µ), µ), µ)
+
˜
T
II
(
˜
T
III
(
˜
T
IV
(
˜
T
I
(y, µ), µ), µ), µ), y > 0,
T (y, µ), y = 0,
˜
T
III
(y, µ)
+
˜
T
II
(
˜
T
III
(y, µ), µ)
+
˜
T
I
(
˜
T
II
(
˜
T
III
(y, µ), µ), µ)
+
˜
T
IV
(
˜
T
I
(
˜
T
II
(
˜
T
III
(y, µ), µ), µ), µ), y < 0.
(3.18)
44
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
Atrav´es do Lema 3.10, que caracteriza as aplica¸c˜oes de Poincar´e e suas derivadas
parcias, podemos enunciar o pr´oximo lema.
Lema 3.12. Suponha que as hi p´oteses H
1
- H
3
estejam satisfeitas. Ent˜ao,
1. A aplica¸c˜ao Per´ıodo
˜
T (y, µ) ´e cont´ınua para −δ < y < δ e µ ∈ M.
2. A ap l i ca¸c˜ao Retorno
˜
P junto com suas derivadas
˜
P
i
, i = y, µ, yµ, µy ´e cont´ınua e
satisfaz
˜
P
y µ
=
˜
P
µy
para −δ < y < δ e µ ∈ M.
3. Para y = 0 temos,
∂
˜
P
∂µ
(0, µ) ≡ 0 e
∂
˜
P
∂y
(0, µ) = exp(B(µ )). (3.19)
Demonstra¸c˜ao: Uma demonstra¸c˜ao similar pode ser encontrada em ([40], Se¸c˜a o 4).
Observa¸c˜ao 3.13. Se calcularmos os limites lat erais
˜
T
i
(0
+
, µ) e
˜
T
i
(0
−
, µ) para i = y, µ,
esses limites s˜ao diferentes de
˜
T (0, µ) = T (µ). Logo, a aplica¸c˜ao Per´ıodo
˜
T , no caso de
um sistema planar n˜ao linear, n˜ao ´e diferenci´avel em y = 0.
3.4 Bifurca¸c˜ao de Hopf g eneralizada para u m canto
simples
A existˆencia de ´orbitas peri´odicas bifurcando da solu¸c˜ao estacion´aria em um sistema
dinˆamico planar suave por partes ´e o fenˆomeno interpretado como bifurca¸c˜ao de Hopf
generalizada [40].
Queremos estudar, nesta se¸c˜ao, o surgiment o da bifurca¸c˜a o de Hopf generalizada no
canto simples do sistema (3.14 ) . Ent˜ao, apresent aremos o teorema que gara nte a existˆencia
de uma f am´ılia cont´ınua de ´orbitas peri´odicas que bifurca da origem desse sistema.
45
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
A id´eia usada ´e similar `a do Teorema 3.1 : a procura po r pontos fixos n˜ao t r iviais
da aplica¸c˜ao Retorno
˜
P pois, procurando por esses pontos fixos, chegaremos na existˆencia
das ´orbitas peri´odicas bifurcando do sistema.
Va mos introduzir ent˜ao, uma nova fun¸c˜ao a pa rt ir de
˜
P que chamaremos de fun¸c˜ao
distˆancia
V (y, µ) :=
˜
P ( y, µ) − y.
Nosso objetivo ´e estudar os zeros dessa fun¸c˜ao pois, com isso, estamos estudando
os pontos fixos de
˜
P .
O seguinte resultado ´e proposto em [37], bem como sua demonstra¸c˜ao.
Teorema 3.2. Assuma as hip´oteses H
1
-H
4
. Para µ = 0, bifurca uma fam´ılia cont´ınua de
´orbitas peri´odicas da origem do sistema (3.14), isto ´e, existe uma constante δ
∗
e um fun¸c˜ao
cont´ınua unicamente determinada µ
∗
(y) : (−δ
∗
, δ
∗
) → R satisfazendo µ
∗
(0) = 0 tal que
para cada y ∈ (−δ
∗
, δ
∗
) existe uma ´orbita peri´odica γ
∗
(y) do sistema (3.1 4) passando por
(0, y) para o parˆametro µ = µ
∗
(y) com per´ıodo
˜
T (y, µ
∗
(y)). A fun¸c˜ao
˜
T (y, µ) ´e cont´ınua
e satisfaz
˜
T (0, 0) :=
π
2
β
I
(0)
+
π
2
β
II
(0)
+
π
2
β
III
(0)
+
π
2
β
IV
(0)
.
(3.20)
Al´em disso, n˜ao existe nenhuma outra ´orbita peri´odica do sistema (3.14) localmente pr´o-
xima de x = y = 0 e µ = 0.
Demonstra¸c˜ao: 1
a
Etapa:
Primeiramente vamos demonstrar a existˆencia de uma fam´ılia cont´ınua de ´orbitas
paeri´odicas bifurcando da origem.
Considere a fun¸c˜ao
˜
V : (−δ, δ) × M → R (δ como na se¸c˜ao anterior) definida po r
˜
V (y, µ) =
1
0
∂V
∂y
(sy, µ)ds.
46
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
que ´e equivalente a V (y, µ), com exce¸c˜ao para a solu¸c˜ao trivial y ≡ 0 [37, 40].
Pelo Lema 3.12 temos que a fun¸c˜ao
˜
V (y, µ) e sua derivada parcial
˜
V
µ
(y, µ) s˜ao
cont´ınuas para |y| < δ e µ ∈ M. Vamos encontrar V (0, µ) e V
µ
(0, µ), pois precisaremos
de suas express˜oes. Temos que
∂V
∂y
(y, µ) =
∂
˜
P
∂y
(y, µ) − 1,
e para o ponto (sy, µ), s fixo, obtemos
∂V
∂y
(sy, µ) =
∂
˜
P
∂y
(sy, µ) − 1.
Ent˜ao,
˜
V (y, µ) =
1
0
∂
˜
P
∂y
(sy, µ) − 1
ds =
1
0
∂
˜
P
∂y
(sy, µ)ds − 1 .
Logo, para y = 0, t emos
˜
V (0, µ ) =
1
0
∂
˜
P
∂y
(0, µ)ds − 1.
Por fim, usando o item 3. do Lema 3.12, obtemos
˜
V (0, µ ) =
1
0
exp(B(µ))ds − 1
= s · exp(B(µ))|
1
0
− 1
= exp(B(µ)) −1
Portanto,
˜
V (0, µ) = exp(B(µ)) − 1 (3.21)
47
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
Da´ı, temos
˜
V
µ
(0, µ) = B
′
(µ)exp(B(µ)), (3.22)
Note que, de acordo com a hip´otese H
4
, a equa¸c˜ao ( 3.21) nos fornece
˜
V (0, 0) = exp(B(0)) − 1 = 0.
E, a partir de (3.22), temos
˜
V
µ
(0, 0) = 0.
Logo, pelo teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita [9], existem vizinhan¸cas (−δ
∗
, δ
∗
) de y = 0,
0 < δ
∗
≤ δ, e (−ǫ, ǫ) ⊂ M de µ = 0, e uma ´unica fun¸c˜ao µ
∗
: (−δ
∗
, δ
∗
) → (−ǫ, ǫ),
cont´ınua, tal que µ
∗
(0) = 0 e
˜
V (y, µ
∗
(y)) = 0 para todo y ∈ (−δ
∗
, δ
∗
). Portanto, para
cada y ∈ (−δ
∗
, δ
∗
) existe um ´unico µ
∗
(y) ∈ (−ǫ, ǫ) tal que
˜
P ( y, µ
∗
(y)) = y, ou seja,
o teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita garante a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao n˜ao trivial
pr´oxima de (y, µ) = (0, 0) para a equa¸c˜ao
˜
P ( y, µ) = y.
Portanto, como os pontos fixos n˜ao triviais da aplica¸c˜ao Retorno correpondem a
´orbitas peri´odicas do sistema (3.14 ) , conclu´ımos que, para cada y ∈ (−δ
∗
, δ
∗
) existe uma
´orbita peri´odica dependendo de y, γ
∗
(y), de (3.14) passando pelo ponto (0, y) (a primeira
coordenada ´e referente `a coordenada x) para o parˆametro µ
∗
(y) = µ.
Sendo
˜
T o per´ıodo correspondente `a
˜
P , t emos que o per´ıodo de cada ´orbita γ
∗
(y)
´e dado por
˜
T (y, γ
∗
(y)). Pelo Lema 3.12, temos que
˜
T ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua para y ∈
(−δ
∗
, δ
∗
) e µ
∗
(y) ∈ M; e, por (3.20), tamb´em temos
˜
T (0, 0) = T (0) =
π
2
β
I
(0)
+
π
2
β
II
(0)
+
π
2
β
III
(0)
+
π
2
β
IV
(0)
.
2
a
Etapa:
48
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
Agora, vamos demonstrar que n˜ao existe nenhuma outra ´orbita peri´odica de ( 3.14)
pr´oxima de x = y = 0 e µ = 0 .
Usando a segunda equa¸c˜ao de (3.19),
∂
˜
P
∂y
(0, µ) = exp(B(µ)), e o fa t o de
˜
P
y
ser
cont´ınua para −δ < y < δ e µ ∈ M (Lema 3.12) , temos que em uma vizinhan¸ca U :=
[−δ
∗
, δ
∗
]
2
× (−ǫ, ǫ),
∂
˜
P
∂y
(y, µ) > 0 para |y| < δ
∗
e µ ∈ (−ǫ, ǫ), ou seja, para algum
µ ∈ (−ǫ, ǫ) dado, a fun¸c˜ao
˜
P ( y, µ) ´e estritamente mon´otona em y ∈ [−δ
∗
, δ
∗
].
Va mos supor por contradi¸c˜ao que exista um parˆametro µ
0
∈ (−ǫ, ǫ) para o qual
o sistema (3.14) possua, al´em da ´orbita peri´odica bifurcando, uma ´orbita peri´odica em
[−δ
∗
, δ
∗
]
2
.
De acordo com ([1], Se¸c˜ao 8, Lema 4), essa ´o r bita peri´o dica n˜ao pode permanecer
inteiramente no interior de algum quadrante j´a que ela cruza todos os semi-eixos. Ent˜ao,
sem perda de generalidade, vamos assumir que ela cruza primeiro o semi-eixo- y positivo
em (0, y
0
), y
0
> 0. Ent˜ao, os pr´o ximos quatro pontos de interse¸c˜ao da ´o rbita peri´odica
com cada semi-eixo ser˜ao da forma: (x
1
, 0), com x
1
> 0, (0, y
2
), com y
2
< 0, (x
3
, 0), com
x
3
< 0 e (0,
˜
P ( y
0
, µ
0
)), com
˜
P ( y
0
, µ
0
) > 0.
Se
˜
P ( y
0
, µ
0
) = y
0
, pela unicidade local da ´orbita peri´odica dada e pela 1
a
Etapa
da demonstra¸c˜ao, temos que µ
0
= µ
∗
(y
0
) e, ent˜ao, essa ´orbita peri´odica coincide com a
´orbita γ
∗
(y
0
).
Se
˜
P (y
0
, µ
0
) = y
0
, pelo fato de
˜
P ( ·, µ
0
) ser mon´otona, temos que a n-´esima aplica¸c˜ao
de
˜
P em (y
0
, µ
0
) ser´a diferente de y
0
, isto ´e,
˜
P
n
(y
0
, µ
0
) = y
0
para todo n ≥ 1. O que ´e
um absurdo, pois esse fato contraria a periodicidade da ´orbita dada.
A dire¸c˜ao em que ocorre a bifurca¸c˜ao no caso de suavidade ´e determinada pela
forma da fun¸c˜ao µ = µ
∗
(y), que ´e dada em termos de derivadas de ordem superior [31].
49
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
Mas, como no caso de n˜ao suavidade a fun¸c˜ao µ
∗
´e somente cont´ınua (ver Teo-
rema 3.2), n˜ao conseguimos determinar tal dire¸c˜ao da mesma maneira. Em alguns casos
podemos obter a estabilidade unilateral da ´orbita peri´odica bifuncando.
Por exemplo, segundo [37], a propriedade de establidade da solu¸c˜ao estacion´aria do
sistema (3.14) e a unicidade apresentada no Teorema 3.2 garantem que a ´orbita peri´o dica
bifurcando que passa por (0, y, µ) ´e assintoticamente est´avel no interior (da regi˜ao delim-
itada pela ´orbita peri´odica) se B(µ) > 0 e inst´avel se B(µ) < 0.
Qunto `a estabilidade da solu¸c˜ao estacion´aria, em [25] existem resultados que nos
permitem estender a s propriedades sobre estabilidade da solu¸c˜a o estacion´aria do sistema
(3.1), citados no final da Se¸c˜ao 3.2, para a solu¸c˜ao estacion´aria do sistema (3.14) sob
certas condi¸c˜oes dos pr´oprios sistemas tais como continuidade e homogeneidade, bem
como sob certas condi¸c˜oes das solu¸c˜o es dos sistemas.
Entre outros resultados, Lasota e Strauss em ([25], Se¸c˜ao 4) provam que se a o rigem
(solu¸c˜ao estacion´aria) de um sistema linear com determinadas caracter´ısticas ´e um atrator,
al´em dela ser exponencialmente est´avel para esse sistema, ela ser´a localmente exponen-
cialmente est´avel (assintoticamente est´avel) para um certo sistema n˜ao linear.
3.5 Extens˜ao para o canto geral
Para esta se¸c˜ao, temos a extens˜ao dos resultados principais da se¸c˜ao anterior, mais
especificamente, do Teorema 3.2, para o caso do dom´ınio contendo um canto qualquer.
Basearemos essa etapa basicament e nos resultados de [37].
Considere o dom´ınio Ω como na Se¸c˜ao 3.1. Seja, agora,
ˆ
J = {1, 2, ..., n} o conjunto
de ´ındices. Vamos supor que L
j
, com j ∈
ˆ
J, sejam as n linhas de descontinuidade no
dom´ınio e que possuam um ´unico ponto de interse¸c˜ao, a origem. Ela ser´a o canto (geral)
no dom´ınio, ver Figura 3.5.
50
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
Note que essas n linhas de descontinuidade dividem o disco Ω em n setores Ω
j
,
j ∈
ˆ
J, e sejam ω
j
> 0, j ∈
ˆ
J seus ˆangulos respectivos, tais que: ω
1
+ ... + ω
n
= 2π.
x
y
2
L
3
n
1
W
1
W
2
W
3
W
n
W
w
1
2
3
n
L
L
L
w
w
w
Figura 3.5: Canto geral no dom´ıni o Ω.
Consideremos o sistema planar suave por partes da forma
( ˙x, ˙y)
T
= F
j
(x, y, µ) = (F
j
1
(x, y, µ), F
j
2
(x, y, µ)), (3.23)
com (x, y)
T
∈ Ω
j
, µ ∈ M e j ∈
ˆ
J. As fun¸c˜oes F
j
= (F
j
1
, F
j
2
), j ∈
ˆ
J, descrevem o campo
de vetores de (3.23).
Va mos assumir nesta se¸c˜ao tamb´em, hip´oteses similares as da Se¸c˜ao 3.1 e 3.2.
A primeira hip´otese garante que a descontinuidade do sistema (3.1) ocorre em L
j
,
para todoj ∈
ˆ
J:
ˆ
H
1
As fun¸c˜oes F
j
(x, y, µ), j ∈
ˆ
J s˜ao C
K
- suaves, K ≥ 2, para (x, y, µ) ∈ Ω × M.
J´a a segunda hip´otese assegura que a origem ´e a solu¸c˜ao estacion´aria de (3.23):
51
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
ˆ
H
2
F
j
(0, 0, µ) ≡ 0, j ∈
ˆ
J para todo valor de µ em M.
Assim como na Se¸c˜ao 3.1, a partir de
ˆ
H
1
e
ˆ
H
2
a fun¸c˜ao F
j
(x, y, µ), para algum
j ∈
ˆ
J, tem a seguinte expans˜ao de Taylor em (x, y) = (0, 0)
F
j
(x, y, µ) = A
j
(µ)(x, y)
T
+ (g
j
1
(x, y, µ), g
j
2
(x, y, µ))
T
(3.24)
onde A
j
(µ) ´e uma matriz 2 × 2 e (g
j
1
, g
j
2
)
T
, o termo de ordem superior e n˜ao linear, ´e
C
k
-suave e satisfaz |g
j
1,2
| = O ( x
2
+ y
2
) `a medida em que (x, y) tende uniformement e a
(0, 0), para µ ∈ M.
Para garantir que a matriz A
j
(µ) t enha um par de autovalores complexos, α
j
(µ) ±
iβ
j
(µ) (i
2
= −1), assumiremos:
ˆ
H
3
Para cada j ∈
ˆ
J, a matriz A
j
(µ) est´a na forma normal:
A
j
(µ) =
α
j
(µ) β
j
(µ)
−β
j
(µ) α
j
(µ)
, (3.25)
com β
j
(0) > 0.
Lembrando que
ˆ
H
3
implica que as solu¸c˜oes de (3.23) cruzam as linhas de descon-
tinuidade no sentido hor´ario `a medida em que o tempo aumenta.
De maneira an´aloga `a se¸c˜ao anterior, podemos definir as n aplica¸c˜oes de Poincar´e
ˆ
P
j
em Ω
j
para todo j ∈
ˆ
J, bem como as aplica¸c˜oes Per´ıodo correspondentes
ˆ
T
j
, j ∈
ˆ
J. D a´ı,
definimos a aplica¸c˜ao Retorno
ˆ
P : (−
ˆ
δ,
ˆ
δ) × (−ˆǫ, ˆǫ) → R para o sistema (3.23) a t r av´es
da composi¸c˜ao das n aplica¸c˜oes de Poincar´e, e sua correspondente aplica¸c˜ao Per´ıodo
ˆ
T : (−
ˆ
δ,
ˆ
δ) × (−ˆǫ, ˆǫ) → R atrav´es da composi¸c˜ao das aplica¸c˜oes Per´ıodo definidas para
cada um dos n subsistemas de (3.23 ) .
Na defini¸c˜ao da aplica¸c˜ao Retorno para (3.23) surge a fun¸c˜ao bifurca¸c˜ao
52
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
ˆ
B(µ) =
α
1
(µ)ω
1
β
1
(µ)
+
α
2
(µ)ω
2
β
2
(µ)
+ ... +
α
n
(µ)ω
n
β
n
(µ)
,
como hav´ıamos visto na Se¸c˜ao 3.2.
E, a partir dessa fun¸c˜ao, assumiremos a quarta e ´ultima hip´otese:
ˆ
H
4
ˆ
B(0) = 0 e
ˆ
B
′
(0) = 0.
Agora, podemos enunciar a extens˜ao do Teorema 3.2, o principal resultado do nosso
trabalho.
Teorema 3.3. Assuma as hip´oteses
ˆ
H
1
-
ˆ
H
4
. Para µ = 0, bifurca uma fam´ılia cont´ınua de
´orbitas peri´odicas da origem do sistema (3.23), isto ´e, existe uma constante
ˆ
δ
∗
e um fun¸c˜ao
cont´ınua unicamente determinada ˆµ
∗
(y) : (−
ˆ
δ
∗
,
ˆ
δ
∗
) → R satisfazendo ˆµ
∗
(0) = 0 tal que
para cada y ∈ (−
ˆ
δ
∗
,
ˆ
δ
∗
) existe uma ´orbita peri´odica ˆγ
∗
(y) do sistema (3.2 3) passando por
(0, y) para o parˆametro µ = ˆµ
∗
(y) com per´ıodo
ˆ
T (y, ˆµ
∗
(y)). A fun¸c˜ao
ˆ
T (y, µ) ´e cont´ınua
e satisfaz
ˆ
T (0, 0) :=
ω
1
β
1
(0)
+
ω
2
β
2
(0)
+ ... +
ω
n
β
n
(0)
.
(3.26)
Al´em disso, n˜ao existe nenhuma o utra ´orbita peri´odica do sistema (3 .23) localmente
pr´oxima de x = y = 0 e µ = 0 .
A demonstra¸c˜a o desse teorema ´e a n´aloga `a demonstra¸c˜ao do Teorema 3.2, os ar-
gumentos s˜ao os mesmos, por isso a omitiremos.
Por fim, como visto na se¸c˜ao anterior, a ´orbita peri´odica bifurcando ˆγ
∗
(y) ´e assin-
toticamente est´avel na regi˜ao interna se
ˆ
B(µ) > 0 e inst´avel se
ˆ
B(µ) < 0. E como nosso
estudo se limita ao interior de Ω, onde est´a essa ´orbita, n˜ao podemos tirar conclus˜oes so-
bre a estabilidade da ´orbita na regi˜ao externa a ela. Zou e K¨upper em [37], por exemplo,
usam experimentos num´ericos para verificar a estabilidade da ´orbita na r egi˜ao externa.
53
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
Faremos, na pr´oxima se¸c˜ao, a aplica¸c˜ao desse teorema `a equa¸c˜ao do modelo da
fona¸c˜ao para o caso em que o sistema de equa¸c˜oes diferenciais correspondente ´e suave por
partes.
3.6 Mod elo suave por partes da o scila¸c˜ao das pregas
vocais
Esta se¸c˜ao foi baseada em informa¸c˜oes de [28, 30].
Va mos trabalhar agora, com o modelo da fona¸c˜ao suave por partes, ou seja, o
modelo ´e um sistema dinˆamico suave po r partes. Nesse sistema, o retrato de fase ´e
dividido em duas regi˜oes nas quais o campo de vetores do sistema ´e suave [13]. J´a na
fronteira entre essas duas regi˜oes o campo de vetores n˜ao ´e suave (´e cont´ınuo mas n˜ao ´e
diferenci´avel) [30 ].
Usamos o mesmo modelo da Se¸c˜ao 2.4. Entretanto, segundo pesquisas recentes
sobre a aerodinˆamica da fona¸c˜ao [34], a press˜ao de ar na glote assume express˜oes diferentes
segundo o canal formado pela glote seja convergente (a
1
≥ a
2
) ou divergente (a
1
< a
2
).
Quando a glote toma uma forma convergente, isto ´e, a
1
≥ a
2
, t emos
2L(x
0
+ x + τ ˙x) ≥ 2L(x
0
+ x − τ ˙x) ⇔ τ ˙x ≥ −τ ˙x ⇔ ˙x ≥ 0, (3.27)
o que significa que as pregas vocais (opostas) movem-se para longe uma da outra. E,
nesse caso, a press˜ao glo tal ´e dada por
P
g
= P
L
1 −
a
2
a
1
=
2P
L
τ ˙x
x
0
+ x + τ ˙x
.
(3.28)
com a
1
= 2L(x
0
+ x + τ ˙x) > 0.
54
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
Como P
g
> 0, ela age impulsionando as pregas vocais para longe uma da outra.
J´a no caso em que a glote toma uma forma divergente, isto ´e, a
1
< a
2
, temos que
˙x < 0. Nesse caso, as pregas vocais opostas movem-se para perto uma da outra, fechando
a glote. E nessa situa¸c˜ao, devido `a expans˜ao da ´area da glote, o fluxo de ar forma um
jato que se separa das paredes da glote. Devido a essa separa¸c˜ao, acontecem v´ort ices e
outros fenˆomenos de turbulˆencia na sa´ıda da glote. A press˜ao de ar na glote, nesse caso,
pode ser aproximada por P
g
= 0.
Logo, sendo o movimento das pregas vocais no processo da fona¸c˜ao modelado pela
equa¸c˜ao
M ¨x + B(1 + ηx
2
) ˙x + Kx = P
g
,
temos o seguinte modelo suave po r partes
M ¨x + B(1 + ηx
2
) ˙x + Kx =
2P
L
τ ˙x
x
0
+ x + τ ˙x
, se ˙x ≥ 0
0, se ˙x < 0
. (3.29)
Para ˙x ≥ 0, de acordo com a Se¸c˜ao 2.4, temos o seguinte sistema de equa¸c˜oes
diferenciais para (3.29)
u
′
= v
v
′
= −α(1 + βu
2
)v − u +
γv
(1 + u + ρv)
, (3.30)
com 1 + u + ρv > 0.
E para ˙x < 0, fazendo o processo an´alogo ao da Se¸c˜ao 2.3, obtemos
u
′
= v
v
′
= −u − αv − αβu
2
v
(3.31)
Lembremos que u =
x
x
0
e que v = u
′
. Log o u est´a diretamente relacionado a x e v,
diretamente relacionado a ˙x.
55
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
De acordo com os sistemas (3.30) e (3.31), vemos que os do is subsistema de (3.2 9)
s˜ao suaves em seus dom´ınios.
Mais que isso, se fizermos o limite lateral `a direita do modelo (3.29), quando ˙x
tende a zero, obtemos que ele ´e cont´ınuo em ˙x = 0 ou, equivalentemente, v = 0. Mas n˜ao
´e diferenci´avel.
Logo, (3.29) satisfaz a hip´otese
ˆ
H
1
e a sua linha de descontinuidade acontece em
v = 0.
Ent˜ao, nesse caso, a origem (u, v) = (0, 0) ser´a considerada o canto do sistema.
Note ainda, por (3.30) e (3.31), que (u, v) = (0, 0) ´e a solu¸c˜ao estacion´aria do
sistema (3.29). Logo, (3.29) satisfaz a segunda hip´otese
ˆ
H
2
.
Como o interesse de nossa an´a lise est´a em uma vizinhan¸ca da solu¸c˜ao estacion´aria
do sistema, as hip´oteses
ˆ
H
3
e
ˆ
H
4
ser˜ao verificadas para essa solu¸c˜ao. Lembra ndo que o
estudo do comportamento qualitativo do sistema n˜ao linear (3.29) nessa vizinhan¸ca pode
ser feito atrav´es de um sistema linear ( Teorema de Grobmann-Hartman, [21]).
Va mos considerar essa vizinhan¸ca como sendo Ω, o disco aberto de raio r e centrado
na origem de (3.29), e M um intervalo contendo zero.
Como vimos no final do Cap´ıtulo 2, a matriz Jacobiana J
1
(u, v, γ) do subsistema
(3.30) em (0, 0, γ) ´e dada por
J
1
(0, γ) =
0 1
−1 −α + γ
.
Mas, para esse modelo, o parˆametro de controle considerado ´e µ = γ−2α (adequado
ao modelo para que o valor de bifurca¸c˜ao deja µ = 0). Com isso, fazendo γ = µ + 2α,
obtemos
J
1
(0, µ) =
0 1
−1 α + µ
.
56
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
J´a a matr iz Jacobiana J
2
(u, v, γ) do subsistema (3.31) em (0, 0, µ) ´e dada por
J
2
(0, µ) =
0 1
−1 −α
.
Para verificarmos a hip´otese
ˆ
H
3
, basta confirmarmos que a matriz Jacobiana de
cada subsistema possui um par de autova lores complexos, ao inv´es de transform´a -las para
a forma normal.
Para J
1
(0, µ), baseando no que j´a foi calculado no Cap´ıtulo 2, temos
λ
1
(µ) =
(α + µ) ±
(α + µ)
2
− 4
2
.
J´a os autovalores de J
2
(0, γ), s˜ao obtidos a t r av´es de sua equa¸c˜ao caracter´ıstica
(λ
2
(µ))
2
+ αλ
2
(µ) + 1 = 0,
Da´ı,
λ
2
(µ) =
−α ±
√
α
2
− 4
2
.
Para que eles sejam complexos, temos que as condi¸c˜oes −2 < α < 2 e −2 < α+µ <
2 devem ser satisfeitas. Mas o valor de α deve ser positivo, pois ele est´a relacionado
diretamente com o valo r do coeficiente de amortecimento B do modelo, ver Cap´ıtulo 2,
ent˜ao a primeira condi¸c˜ao fica reduzida a 0 < α < 2.
Uma outra condi¸c˜ao de
ˆ
H
3
que tem que ser satisfeita ´e β
1
(0) > 0 e β
2
(0) > 0.
Ent˜ao, vamos considerar
λ
1
(µ) =
(α + µ) +
(α + µ)
2
− 4
2
=
(α + µ) + i
4 − (α + µ)
2
2
e
λ
2
(µ) =
−α +
√
α
2
− 4
2
=
−α + i
√
4 − α
2
2
.
57
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
Logo, desde que 0 < α < 2 e −2 < α + µ < 2, a matriz Jacobiana de cada
subsistema aplicada na orig em, possui um autovalor complexo tal que a parte imagin´aria
aplicada em µ = 0 ´e positiva. O que equivale a satisfazer a hip´otese
ˆ
H
3
. Lembrando que
´e esta hip´otese que implica que a s solu¸c˜o es do sistema cruzam a linha de descontinuidade
no sentido hor´ario `a medida em que o tempo cresce.
Por fim, verificaremos a quarta hip´otese em uma vizinhan¸ca de (u, v) = (0, 0):
ˆ
B(0) = 0,
ˆ
B
′
(0) = 0,
Lembrando que
λ
1
(µ) = α
1
(µ) + i β
1
(µ) =
(α + µ) + i
4 − (α + µ)
2
2
e
λ
2
(µ) = α
2
(µ) + i β
2
(µ) =
−α + i
√
4 − α
2
2
.
Como a linha de descont inuidade de (3.29) ´e v = 0, ela divide Ω em dois setores,
Ω
1
e Ω
2
, com ˆangulos ω
1
= ω
2
= π. Ent˜ao, temos que a fun¸c˜ao bifurca¸c˜ao, pa ra esse caso,
´e dada por
ˆ
B(µ) = π
α
1
(µ)
β
1
(µ)
+
α
2
(µ)
β
2
(µ)
= π
α + µ
4 − (α + µ)
2
−
α
√
4 − α
2
(3.32)
A partir da´ı, obtemos
ˆ
B
′
(µ) = π
1
(4 − (α + µ)
2
)
1/2
+
(α + µ)
2
(4 − (α + µ)
2
)
3/2
(3.33)
Va mos verificar, primeiramente, se
ˆ
B(0) = 0.
58
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
Fazendo µ = 0 em (3.32), temos
ˆ
B(0) = π
α
1
(0)
β
1
(0)
+
α
2
(0)
β
2
(0)
= π
α
√
4 − α
2
−
α
√
4 − α
2
= 0.
Portanto,
ˆ
B(0) = 0. (3.34)
Por fim, vamos verificar se
ˆ
B
′
(0) = 0.
Fazendo µ = 0 em (3.33), obtemos
ˆ
B
′
(0) = π
1
(4 − α
2
)
1/2
+
α
2
(4 − α
2
)
3/2
= π
(4 − α
2
) + α
2
(4 − α
2
)
3/2
=
4π
(α
2
− 4)
3/2
Logo, conclu´ımos que
ˆ
B
′
(0) = 0. (3.35)
Ent˜ao, para o parˆametro de controle µ = γ −2α, a partir de (3.34) e (3.35), vemos
que a quarta e ´ultima hip´otese
ˆ
H
4
tamb´em ´e satisfeita para o modelo suave por partes
(3.29).
Logo, desde que 0 < α < 2 e −2 < α + µ < 2 as hip´oteses
ˆ
H
1
-
ˆ
H
4
s˜ao satisfeitas
pelo sistema (3.29) com parˆametro de controle µ = γ − 2α.
59
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
Ent˜ao, de acordo com o Teorema 3.3, para o valor de parˆametro µ = 0 bifurca uma
fam´ılia cont´ınua de ´orbitas peri´odicas da solu¸c˜ao estacion´aria (u, v) = (0, 0), ou equi-
valentemente, ( ˙x, x) = (0, 0) , para o sistema (3.2 9); isto ´e, existe uma constante po sitiva
ˆ
δ e uma fun¸c˜ao cont´ınua ˆµ
∗
: (−δ
∗
, δ
∗
) → R unicamente determinada, tal que µ(0) = 0
e mais, para cada u ∈ (−δ
∗
, δ
∗
) existe uma ´orbita peri´odica ˆγ
∗
(u) do sistema (3.29) para
µ = ˆµ
∗
(u) passando pelo ponto (u, 0) e com um per´ıodo
ˆ
T (u, ˆµ
∗
(u)). A fun¸c˜ao
ˆ
T (u, ˆµ
∗
(u))
´e cont´ınua e satisfaz
ˆ
T (0, 0) =
ω
1
β
1
(0)
+
ω
2
β
2
(0)
=
π
√
4 − α
2
/2
+
π
√
4 − α
2
/2
=
4π
√
4 − α
2
.
Al´em disso, tamb´em pelo Teorema 3.3, temos que n˜ao existe nenhuma outra ´orbita
peri´odica do sistema (3.29) localmente pr´oxima de (u, v) = (0, 0) (ou ( ˙x, x) = (0, 0)) e
µ = 0.
Ainda podemos fazer outra conclus˜ao, a ´orbita peri´odica bifurcando ˆγ
∗
(u) ´e assinto-
ticamente est´avel na regi˜ao interna se
ˆ
B(µ) > 0 e inst´avel se
ˆ
B(µ) < 0. Observemos
novamente a express˜ao da fun¸c˜ao bifurca ¸c˜ao
ˆ
B(µ) = π
α + µ
4 − (−α − µ)
2
−
α
√
4 − α
2
.
Para que
ˆ
B(µ) > 0 seja satisfeita, precisamos que a seguinte desigualdade aconte¸ca
α + µ
4 − (−α −µ)
2
>
α
√
4 − α
2
,
ou seja,
µ(2α + µ) > 0. (3.36)
60
Cap´ıtulo 3. Bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada par a um sistema planar suave por partes
Ent˜ao, para que a ´orbita p eri´odica bifurcando ˆγ
∗
(u) seja assintoticamente est´a vel na
regi˜ao interna, a desigualdade (3.36) tem que ser satisfeita. Caso contr´ario, −2α ≤ µ ≤ 0,
ˆγ
∗
(u) ´e inst´avel nessa regi˜ao.
Portanto, para o modelo suave por partes do movimento das pregas vocais no
processo da fona¸c˜ao (3.29), existe uma bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada emanada do canto
do sistema suave por partes correspondente em γ = 2α (µ = 0). Note que esse valor ´e
o dobro do obtido para o sistema suave apresentado no Cap´ıtulo 2. Tal resultado ´e
natural, considerando que a press˜ao da glo t e (ver (3.28)) s´o atua na metade de cada ciclo
da vibra¸c˜ao, no modelo suave por partes (3.29). Na outra metade, a press˜ao ´e zero. E isso
fornece uma valida¸c˜ao dos resultados te´oricos calculados, pois fazem sentido do ponto de
vista fisiol´ogico.
61
Conclus˜ao
Estudamos analiticamente a bifurca¸c˜ao de Hopf para um sistema suave e, mais
detalhadamente, a bifurca¸c˜ao de Hopf g eneralizada para um canto de um sistema suave
por partes esp ec´ıfico.
Para o sistema planar suave dependente de um parˆametro µ da forma
˙x = µx − y + p(x, y)
˙y = x + µy + q(x, y)
,
com p(x, y) e q(x, y) fun¸c˜oes a nal´ıticas, enunciamos o n´umero de Liapunov e, se ele for
diferente de zero, vimos que existe uma bifurca¸c˜ao de Hopf no ponto de equil´ıbrio do
sistema para o valor de bifurca¸c˜ao do parˆametro µ = 0. Al´em disso, vimos que para
determinado valor de µ, o sistema apresenta um ciclo limite e que sua estabilidade tamb´em
pode ser determinada.
Ent˜ao, aplicamos esses resultados na equa¸c˜ao que modela a oscila¸c˜ao das pregas
vocais na produ¸c˜ao da voz a presentada por [28].
M ¨x + B(1 + ηx
2
) ˙x + Kx =
2P
L
τ ˙x
x
0
+ x + τ ˙x
,
onde x
0
+ x + τ ˙x > 0, para ilustrar tal fenˆomeno de bifurca¸c˜ao, usando sempre valores de
parˆametro caracter´ısticos de um adulto.
62
Conclus˜ao
Para um sistema planar n˜ao linear suave por partes da f orma
( ˙x, ˙y)
T
= F
j
(x, y, µ) = (F
j
1
(x, y, µ), F
j
2
(x, y, µ)),
com (x, y)
T
∈ Ω
j
, µ ∈ M e j ∈
ˆ
J, onde as fun¸c˜oes F
j
= (F
j
1
, F
j
2
), j ∈
ˆ
J, descrevem o
campo de vetores do sistema, fizemos um estudo na vizinhan¸ca da origem e, submetendo-o
a quatro hip´oteses b´asicas
ˆ
H
1
-
ˆ
H
4
, conclu´ımos que ele possui uma bifurca¸c˜ao de Hopf
generalizada no canto do dom´ınio considerado para o valo r de bifurca¸c˜ao do parˆametro
µ = 0.
Como o nosso estudo foi feito em uma vizinhan¸ca da origem, s´o conseguimos tirar
conclus˜oes sobre a estabilidade das ´orbitas peri´odicas na parte interna da regi˜a o delimitada
por elas atrav´es da fun¸c˜ao bifurca¸c˜ao
ˆ
B(µ), ficando a an´alise da estabilidade na regi˜ao
externa sujeita a m´etodos geom´etricos.
Por fim, estudando a equa¸c˜ao que modela a oscila¸c˜ao das pregas vocais no processo
da fona¸c˜ao
M ¨x + B(1 + ηx
2
) ˙x + Kx =
2P
L
τ ˙x
x
0
+ x + τ ˙x
, se ˙x ≥ 0
0, se ˙x < 0
,
que corresponde a um sistema suave por partes, verificamos que, sob certas condi¸c˜oes,
ela satisfaz as quatro hip´oteses b´asicas
ˆ
H
1
-
ˆ
H
4
e ent˜ao, conclu´ımos que possui uma
bifurca¸c˜ao de Hopf generalizada no canto do dom´ınio para o va lo r de bifurca¸c˜ao µ =
γ − 2α = 0.
Al´em disso, se a condi¸c˜ao µ(2α + µ) > 0 for satisfeita, a fun¸c˜ao bifurca¸c˜ao ´e
positiva,
ˆ
B(µ) > 0, o que implica que a ´orbita peri´odica bifucando ´e assintoticamente
est´avel na regi˜ao interna. Caso contr´ario (−2α ≤ µ ≤ 0), temos
ˆ
B(µ) < 0 e, ent˜ao, a
´orbita peri´odica bifucando ´e inst´avel nessa regi˜ao.
Alertamos que o ´ultimo sistema trabalhado submetido `as hip´oteses
ˆ
H
1
-
ˆ
H
4
rep-
resenta, na verdade, uma classe espec´ıfica de sistemas suaves por partes que incluem
63
Conclus˜ao
fenˆomenos especiais de bifurca¸c˜ao e que apresentam resultados interessantes de serem
estudados. Mas n˜ao podemos utiliz´a-lo como um sistema geral a ser analisado.
64
REFER
ˆ
ENCIAS
BIBLIOGR
´
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68
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