( PDF ) Avaliação temporal da clorose variegada dos citros (CVC), no noroeste do Paraná, utilizando modelos não lineares

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CLARA MATIKO UEDA

AVALIAÇÃO TEMPORAL DA CLOROSE VARIEGADA DOS CITROS (CVC),

NO NOROESTE DO PARANÁ UTILIZANDO MODELOS NÃO LINEARES

MARINGÁ

PARANÁ – BRASIL

ABRIL – 2008

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CLARA MATIKO UEDA

AVALIAÇÃO TEMPORAL DA CLOROSE VARIEGADA DOS CITROS (CVC),

NO NOROESTE DO PARANÁ UTILIZANDO MODELOS NÃO LINEARES

Tese apresentada à Universidade Estadual

de Maringá como parte das exigências do

Programa de Pós-Graduação em Agronomia,

para obtenção do título de Doutor em

Agronomia, Área de Concentração em

Proteção de Plantas.

MARINGÁ

PARANÁ – BRASIL

ABRIL – 2008

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

U22a

Ueda, Clara Matiko

Avaliação temporal da clorose variegada dos citros

(CVC), no noroeste do Paraná, utilizando modelos não

lineares. Clara Matiko Ueda – Maringá, 2008.

75 p.

Orientador: Prof. Dr. William Mário de Carvalho Nunes

Tese de Doutorado – Universidade Estadual de Maringá

1. Clorose variegada dos citros. 2. Igualdade de

modelos. 3. Amostragem por Cluster. 4. Modelos não

lineares. I. Nunes, William Mário de Carvalho. II.

Universidade Estadual de Maringá.

CDD – 581.2 - 22. ed.

Ao Mauro, pelo amor, compreensão e companheirismo.

À Ana, à Simone e ao Marcelo pela paciência e apoio.

AGRADECIMENTOS

À Universidade Estadual de Maringá, em especial ao Departamento de

Agronomia, em seu Programa de Pós-graduação em Agronomia, pela

oportunidade de realização do curso de Doutorado.

Ao Professor Dr. William Mário de Carvalho Nunes, pela orientação,

apoio, amizade e pelo exemplo profissional.

Ao Professor co-orientador Dr. Carlos Alberto Scapim, pelos

ensinamentos, orientação e apoio.

À Professora co-orientadora Dra. Terezinha Aparecida Guedes, no

desenvolvimento de todas as etapas do trabalho.

Aos todos os Professores e colegas do curso, pela dedicação e

convivência.

À Akemi, pelo incentivo, dedicação, amizade e companheirismo.

Aos colegas do Núcleo de Pesquisa em Biotecnologia Aplicada da

Universidade Estadual de Maringá (NBA/UEM), pela valiosa contribuição no

trabalho de apoio de campo.

A todos aqueles que de alguma forma contribuíram para a realização

deste trabalho.

iii

BIOGRAFIA

Clara Matiko Ueda, filha de Tamotsu Fugisao e Maria Fugisao, nasceu

em Apucarana-PR, em 19 de setembro de 1949.

Em dezembro de 1970, graduou-se em Licenciatura em Ciências pela

Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e Letras de Londrina.

De 1972 a 1995, atuou como professora do Departamento de

Matemática da Universidade Estadual de Maringá.

Em dezembro de 1976, graduou-se em Licenciatura em Matemática

pela Fundação Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Mandaguari.

Em 1978 e em 1981, obteve títulos de especialista em Matemática,

pela Universidade Estadual de Maringá.

Em 1998, iniciou atividades como professora de Matemática do Centro

Universitário de Maringá.

Em 2003, obteve o título de Mestre em Engenharia de Produção pela

Universidade Federal de Santa Catarina.

ÍNDICE

RESUMO ...........................................................................................................vi

ABSTRACT...................................................................................................... viii

INTRODUÇÃO....................................................................................................1

REVISÃO DE LITERATURA...............................................................................3

Clorose Variegada dos Citros ..........................................................................3

Tamanho de Amostra e Amostragem por Clusters ..........................................5

Modelos de Crescimento Sigmoidal.................................................................8

Medidas de Não-linearidade ..........................................................................11

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................14

CAPÍTULO 1.....................................................................................................19

MODELO NÃO-LINEAR PARA A CURVA DE PROGRESSO DE INCIDÊNCIA

DA CLOROSE VARIEGADA DOS CITROS (CVC) EM DOIS MUNICÍPIOS DA

REGIÃO NOROESTE DO ESTADO DO PARANÁ ........................................19

RESUMO ......................................................................................................19

ABSTRACT ...................................................................................................20

INTRODUÇÃO...............................................................................................21

MATERIAL E MÉTODOS...............................................................................23

RESULTADOS E DISCUSSÃO .....................................................................27

CONCLUSÕES..............................................................................................42

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...............................................................43

CAPÍTULO 2.....................................................................................................45

IGUALDADE DE MODELOS E TAMANHO ÓTIMO DA AMOSTRA, NUMA

AMOSTRAGEM POR CLUSTER, PARA A INCIDÊNCIA DA CLOROSE

VARIEGADA DOS CITROS (CVC) NO NOROESTE DO PARANÁ...............45

RESUMO ......................................................................................................45

ABSTRACT ...................................................................................................46

INTRODUÇÃO...............................................................................................47

MATERIAL E MÉTODOS...............................................................................49

RESULTADOS E DISCUSSÃO .....................................................................54

CONCLUSÕES..............................................................................................72

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...............................................................73

RESUMO

UEDA, Clara Matiko, D.S. Universidade Estadual de Maringá, abril de 2008.

Avaliação Temporal da Clorose Variegada dos Citros (CVC) no Noroeste

do Paraná Utilizando Modelos Não-Lineares. Professor Orientador: Dr.

William Mário de Carvalho Nunes. Professor Conselheiro: Dr. Carlos Alberto

Scapim e Dra. Terezinha Aparecida Guedes.

A Clorose Variegada dos Citros (CVC) é considerada uma doença de grande

importância econômica, já que ataca diversas variedades de laranja doce

(Citrus sinensis Osbeck) deixando os seus frutos impróprios para

comercialização in natura e inadequados para a indústria de suco cítrico

concentrado. A doença é causada pela Xylella fastidiosa (Wells), uma bactéria

gram-negativa, em forma de bastonete, encontrada nos vasos do xilema das

plantas. Como existem poucos estudos sobre a epidemiologia dessa doença no

noroeste do Estado do Paraná, propõe-se realizar estudos sobre o

comportamento da curva de crescimento temporal da incidência da CVC,

escolhendo para isso o melhor modelo não-linear e também obter o tamanho

ótimo da amostra, utilizando amostragem por clusters. Esse estudo foi

realizado com os dados de três pomares comerciais de laranja doce (Citrus

sinensis Osbeck) nas variedades “Pêra”, “Valência”, “Natal” e “Folha Murcha”,

localizados nos municípios de Nova Esperança e Loanda, em que todas as

plantas do talhão foram avaliadas visualmente com relação à presença ou à

ausência de sintomas da CVC. Para estimar o modelo que melhor se ajusta

aos dados de crescimento da proporção da doença em cada talhão, foram

consideradas curvas não-lineares de crescimento sigmoidal: a logística e a de

Gompertz. A escolha do melhor modelo foi feita com base em medidas de

curvatura intrínseca e paramétrica de Bates e Watts, viés de Box e medida de

assimetria de Hougaard. Em todas as variedades de Loanda, o modelo que

melhor se ajustou aos dados foi o logístico de Fermi-Dirac, cujo componente

determinístico é

y(t)

1exp( )

−

e na maioria das de Nova Esperança foi

uma das reparametrizações do modelo logístico,

y(t)

(expB)C

. Pela

natureza dos dados, foi usada a distribuição beta binomial e a amostragem por

clusters, e em cada talhão foram considerados quadrats de tamanhos 2x2, 3x3,

4x4 e 5x5. Com essa metodologia, os dados de cada variedade e de cada

localidade foram representados por um modelo único.

Palavras-chave: Curva de crescimento; modelos não-lineares; clorose

variegada dos citros; igualdade de modelos, amostragem

cluster, tamanho ótimo da amostra

vii

ABSTRACT

UEDA, Clara Matiko, D.S. State University of Maringá, April 2008. Temporal

Evaluation of Citrus Variegated Chlorosis (CVC) in the Northwest of

Paraná State, Using Nonlinear Models. Adviser teacher: Dr. William Mario de

Carvalho Nunes. Committee member: Dr. Carlos Alberto Scapim and Dra.

Terezinha Aparecida Guedes.

Citrus Variegated Chlorosis (CVC) is considered to be a disease of great

economic importance since it attacks several varieties of sweet orange (Citrus

sinensis Osbeck), making its fruits inadequate to commercialization in natura or

to the concentrate orange juice industry. The disease is caused by a rod

shaped gram-negative bacterium named Xylella fastidiosa (Wells), found in the

plants’ xylem vessels. As there are very few studies on this disease

epidemiology in the Northwest of Paraná State, the objective of this work has

been, therefore, to study the behavior of CVC’s incidence temporal growth

curve, by choosing the best nonlinear model, and also obtaining the optimum

sample size using sampling by clusters. Data from three commercial orchards,

located in the cities of Nova Esperança and Loanda – PR, with varieties “Pêra”,

“Valência”, “Natal” and “Folha Murcha” was collected by visually assessing the

plants concerning the presence or absence of CVC symptoms. To estimate the

model that Best adjusted to the data of the disease’s growth rate in each plot,

logistic and Gompertz’s nonlinear sigmoidal growth curves were considered.

The choise for the best model was carried out based on measurements of

Bates and Watts’ intrinsic and parametric curvatures, Box bias, and Hougaard’s

asymmetry measurement. For all varieties from Loanda plots, the model that

better adjusted to the data was Fermi-Dirac’s logistic model, whose

deterministic component is

y(t)

1exp( )

−

, whereas for the most part of

plots in Nova Esperança, it was one of the reparametrization of the Logistic

Model,

y(t)

(expB)C

. Due to the data’s nature, beta binomial distribution

viii

and cluster sampling was employed, and for each plot quadrats sizes 2x2, 3x3,

4x4 and 5x5 were considered. By using this methodology, data from each

variety, and from each place were represented by a single model.

Key-words: Growth curve; nonlinear models; citrus variegated chlorosis; model

equivalence; cluster sampling; optimum sample size.

INTRODUÇÃO

O Brasil destaca-se como maior produtor mundial de laranja, com

produção em torno de 18 milhões de toneladas no ano de 2007, representando

importante papel na economia brasileira (IBGE, 2008). O principal produto de

exportação é o suco de laranja concentrado congelado que, em 2007, totalizou

1,39 milhão de toneladas, gerando 2,3 bilhões de dólares e que representou

1,43% do total das exportações brasileiras (Associtrus, 2008; Funcex, 2008). A

produção da citricultura brasileira poderia ser ainda maior se não fossem

alguns problemas fitossanitários, como por exemplo, a ocorrência de doenças

como a Morte Súbita dos Citros, a Clorose Variegada dos Citros (CVC), o

Cancro Cítrico e o Huanglongbing (HLB).

A produção de laranja, no Paraná, passou de aproximadamente 100

mil toneladas, em 1992, para aproximadamente 332 mil toneladas em 2003.

Apesar do crescimento, a produção do Estado do Paraná, em 2003,

representou pouco mais de 2% do total produzido no Brasil (SEAB, 2007).

A plantação de laranja está surgindo como uma nova opção na

agricultura no Estado do Paraná (SEAB, 2007). O despontar da laranja, neste

Estado, não ameaça nem de longe a produção do Estado de São Paulo, mas

pode trazer com ela os mesmos problemas da citricultura paulista, entre os

quais a CVC, que causam grandes prejuízos para os produtores (GARCIA

JUNIOR et al., 1995).

A CVC é considerada de grande importância econômica, uma vez que

ataca principalmente a laranja doce (Citrus sinensis L. Osbeck), afetando a

qualidade dos frutos, tornando-os de tamanho reduzido para a comercialização

in natura e mesmo para produção de suco cítrico concentrado (PALAZZO,

1993; LARANJEIRA; PALAZZO, 1999).

Os sintomas da CVC nas folhas são manchas cloróticas na face

adaxial que correspondem a pontuações pequenas cor palha na face abaxial,

que podem se tornar marrom escuro e até necróticas, com o avanço da

doença. A doença causa a formação de pencas de quatro a dez frutos de

tamanho reduzido, endurecido e com maturação precoce (ROSSETTI; DE

NEGRI, 1990a; MACHADO et al., 1992; PALAZZO, 1993; NUNES et al., 2006).

Nos ramos, ocorre a queda das folhas em virtude dos sintomas avançados da

clorose e o aparecimento de uma quantidade grande de galhos secos nos

ponteiros (DE NEGRI; GARCIA JUNIOR, 1993). Em estádios avançados,

ocorrem poucas brotações, ocasionando crescimento mais lento nos ramos

afetados (DE NEGRI; GARCIA JUNIOR, 1993; GARCIA JUNIOR et al., 1995)

Em relação aos pomares já implantados, quando detectada a doença,

precocemente, pode-se diminuir a sua disseminação e aumentar as chances

de convivência com ela. A doença é mais severa quando atinge pomares

jovens e a severidade diminui quando incide em árvores com mais de sete

anos após o plantio (DE NEGRI; GARCIA JUNIOR, 1993; GARCIA JUNIOR et

al., 1995). Assim, é preciso que sejam tomadas medidas de controle, visando

permitir que as plantas afetadas possam ultrapassar essa fase crítica. O

manejo da cultura, de forma objetiva, permitirá que o plantio de citros continue

a ser uma atividade economicamente viável (GARCIA JUNIOR et al., 1995).

A pesquisa, na identificação e na caracterização molecular de X.

fastidiosa como agente causal da CVC, avançou rapidamente, enquanto a

pesquisa epidemiológica tem recebido pouca atenção, resultando em poucos

trabalhos epidemiológicos (PALAZZO; CARVALHO, 1992; GOTTWALD et al.,

1993; LARANJEIRA, 1997; NUNES, 1999).

Por existir poucos trabalhos sobre essa doença, no Noroeste do Estado

do Paraná, a exemplo do que foi feito no Estado de São Paulo (NUNES, 1999;

LARANJEIRA, 2002), foram realizados estudos sobre o comportamento da

curva de crescimento da incidência da doença Clorose Variegada dos Citros

(CVC) com os dados de três pomares comerciais de laranja doce, na região

noroeste do Estado do Paraná.

Utilizando os dados de incidência da doença, os objetivos deste

trabalho foram encontrar Modelos não-lineares para as curvas de progresso de

incidência da Clorose Variegada dos Citros (CVC) em dois municípios da

região noroeste do Estado do Paraná; testar a igualdade de modelos e

tamanho ótimo da amostra, numa amostragem por cluster, para a incidência da

Clorose Variegada dos Citros (CVC) no Noroeste do Paraná.

REVISÃO DE LITERATURA

Clorose Variegada dos Citros

A Clorose Variegada dos Citros (CVC) ou “amarelinho” representa hoje

uma das principais ameaças à citricultura brasileira, pois ataca todas as

variedades comerciais de laranja doce, que constitui a base das indústrias de

suco de laranja. A doença atinge o pomar economicamente, pois afeta a

qualidade dos frutos, tornando-os duros e de tamanho reduzido, impróprios

para a comercialização e para produção de suco cítrico concentrado

(PALAZZO; CARVALHO, 1992; LARANJEIRA, 1997).

A CVC foi constatada no Brasil, pela primeira vez em 1987, nos

pomares cítricos do Triângulo Mineiro e das regiões norte e nordeste do Estado

de São Paulo (ROSSETTI; DE NEGRI, 1990a). Em 1990, associou-se a

expressão dos sintomas de CVC à presença constante de Xylella fastidiosa. A

comprovação da patogenicidade da bactéria causadora da CVC ocorreu em

1993 (CHANG et al., 1993; FUNDECITRUS, 2007). Em 1996, ocorreu a

identificação de cigarrinhas como vetores do patógeno (LOPES, 1996).

A Xylella fastidiosa é uma bactéria gram-negativa, limitada ao xilema.

Ela é o agente causal de doenças de importância econômica em diversas

culturas, dentre as quais se destacam a “escaldadura da folha” no cafeeiro, a

"Pierce's disease" em videira, "phony peach" em pessegueiro, além de causar

Clorose Variegada de Citros em laranja (PURCELL et al., 1979; HOPKINS,

1989; CHANG et al., 1993; PARADELA et al., 1995; PAIVA et al., 1996;

QUEIROZ-VOLTAN et al., 2004).

Os aglomerados de X. fastidiosa instalam-se nos vasos condutores de

seiva bruta das plantas, chamados xilema, por onde passam água e sais

minerais, que são obstruídos pela presença da bactéria, deste modo

ocasionando a doença. As bactérias produzem uma goma, que bloqueia o

xilema impedindo a circulação de água e de nutrientes na planta, o que causam

aspectos de murcha na copa e sintomas que lembram deficiência de zinco,

carência de potássio e toxicidade de boro nas folhas (ROSSETTI; DE NEGRI,

1990a; MALAVOLTA et al., 1993; ALVES, 2003). É comum esses sintomas

serem confundidos com os da CVC, levando ao diagnóstico tardio da doença e

esse engano pode retardar as práticas recomendadas pelos técnicos para

eliminar, o mais rápido possível, a presença da bactéria na árvore (ROSSETTI;

DE NEGRI, 1990a; MACHADO et al., 1992).

As plantas jovens são mais suscetíveis ao ataque da CVC, e quanto

mais nova for a planta infectada, mais rapidamente ela será afetada. Plantas

sintomáticas com idade até um ano e meio e aquelas com idade de dois a

quatro anos com desenvolvimento atrasado ou que possuem muitos ramos

com frutos miúdos devem ser erradicadas, pois a experiência mostra que elas

não se recuperam (GARCIA JUNIOR et al., 1995). Para plantas sintomáticas

com idade aproximada de dois anos que apresentam bom desenvolvimento, os

ramos afetados devem ser podados em bisel, 50 cm abaixo da última folha com

sintoma. Já para plantas mais velhas (três a seis anos), a poda poderá ser

efetuada 20 cm abaixo da última folha sintomática (DE NEGRI; GARCIA

JUNIOR, 1993; GARCIA JUNIOR et al., 1995). Em plantas com mais de sete

anos de idade, a CVC progride mais lentamente, causando menores danos

econômicos, apesar disso a doença precisa ser controlada para diminuir o

potencial de inóculo no pomar (PRATES et al., 1993; GARCIA JUNIOR et al.,

1995).

Os primeiros sintomas da CVC são visíveis nas folhas maduras da

copa, depois nos frutos e, finalmente atingem toda a planta. Não há

manifestação da doença em folhas novas, mesmo em plantas severamente

afetadas (FUNDECITRUS, 2007).

A clorose é caracterizada por pequenas manchas amareladas,

espalhadas na página ventral da folha e lesões de cor palha na página dorsal.

Essas manchas evoluem para lesões de cor palha dos dois lados da folha

(ROSSETTI, 1993; LEE et al., 1993). Nas folhas mais velhas, podem surgir

manchas necróticas com formação de pústulas de goma na face dorsal,

inicialmente de tonalidade palha ou marrom clara e com o agravamento da

doença podem se tornar marrom escura ou mesmo necróticas (LEE et al.,

1991; DE NEGRI; GARCIA JUNIOR, 1993). Com o avanço da doença, as

plantas apresentam galhos salientes na parte superior da copa, ocorrendo a

desfolha dos ramos e ponteiros mais altos da copa (ROSSETTI et al., 1990b;

MALAVOLTA, 1990). Em folhas novas, ocorre deformação com redução da

expansão foliar, afilamento e encurvamento para cima (MACHADO et al., 1992).

Na copa das plantas doentes, ocorre redução de crescimento, redução

da emissão de brotações de primavera, morte de alguns galhos ponteiros,

encurtamento de entre nós, surgimento de brotações basais vigorosos e com

características juvenis (espinho, folhas largas e caule angular) (MACHADO et

al, 1992).

Os frutos de um galho afetado pela CVC são de tamanho reduzido,

casca endurecida, de maturação precoce e, geralmente, ocorrem pencas de

quatro a dez frutos, o que é atípico para as principais variedades de laranja

doce. Alguns frutos podem cair precocemente e outros que restam são,

geralmente, queimados pelo sol que os atinge porque não há quantidade

suficiente de folhas para protegê-los (ROSSETTI; DE NEGRI, 1990a; LEE et al.,

1991; MACHADO et al., 1992; LEE et al, 1993; DE NEGRI; GARCIA JUNIOR,

1993).

A maioria das bactérias fitopatogênicas é disseminada por vento ou

por chuva, mas a Xylella fastidiosa depende de insetos vetores para sua

disseminação natural. Esses insetos (Hemiptera: Cicadelidae), conhecidos

como cigarrinhas, transmitem a bactéria quando se alimentam, sugam a seiva

do xilema das plantas infectadas (LOPES, 1996; LARANJEIRA et al., 1998).

Foram identificadas 11 espécies de cigarrinhas transmissoras da bactéria para

citros (MOLINA, 2006). A bactéria ainda pode ser transmitida por métodos

mecânicos por enxertia de borbulhas infectadas (LEE et al., 1991; ROSSETTI,

1994; COLETTA FILHO et al., 2000) e por encostia de mudas infectadas nas

plantas sadias (NUNES et al., 2004).

Tamanho de Amostra e Amostragem por Clusters

Para fazer pesquisa de campo, é necessário determinar um tamanho

ideal da amostra, pois uma amostra muito grande demanda desperdício de

recursos, enquanto amostras muito pequenas resultarão em um intervalo de

confiança muito grande em torno do nível médio estimado de doença. Existem

fórmulas que podem ser usadas para determinar o tamanho ótimo da amostra,

com nível desejado de precisão, como encontrados em Karandinos (1976),

Campbell e Madden (1990) e Madden e Hughes (1999).

Os dados de amostragem podem ser resultados de contagem ou de

incidência. Os dados de contagem têm como limite inferior zero, mas não

existe limite superior. Por exemplo, em dados fitopatológicos, pode ser número

de folhas doentes por ramo e, em dados entomológicos, pode ser número de

afídeos por planta.

Nos dados de incidência de doença, cada indivíduo é classificado como

doente ou sadio, sendo então uma variável binária. Por exemplo, em dados

fitopatológicos, pode ser o número de plantas doentes no campo ou a

proporção de folhas doentes na planta (HUGHES et al., 1996).

Os dados de contagem e dados de incidência têm propriedades

estatísticas diferentes e, por isso, métodos distintos são necessários para fazer

a avaliação do padrão espacial (ser agregado ou não). A agregação pode ser

entendida como a tendência de plantas apresentarem o mesmo status de

doença em uma unidade amostral, que pode ser um quadrat, uma folha ou uma

planta (HUGHES et al., 1996). Para obter a medida de agregação da incidência

da doença, faz-se necessária uma amostragem em clusters, pois nessa

amostragem, a unidade amostral não é um indivíduo, mas sim um grupo de

indivíduos. Assim, cada unidade amostral contém n indivíduos, e todos os

indivíduos serão observados (KISH, 1965; HUGHES et al., 1996; MADDEN;

HUGHES, 1999). No presente trabalho, será considerada amostragem

agrupada em que a unidade amostral será o quadrat com n constante, embora

n possa ser variável em cada unidade amostral.

A probabilidade de quaisquer dois elementos de uma mesma unidade

amostral ter o mesmo status da doença (p

) é dada por p

= 1 – 2p(1 – p)(1 – ρ),

no qual ρ é o coeficiente de correlação intracluster e para qualquer valor da

proporção média da incidência da doença p, p

aumenta com ρ (MAK, 1988;

HUGHES et al., 1996). A tendência de plantas, que estão na mesma unidade

amostral ter o mesmo status de doença, pode, portanto, ser medida

diretamente pela estimativa de ρ. Se ρ = 0 indica que o status da doença de

uma planta no cluster não influencia o status da doença de outra planta no

mesmo cluster, sendo, neste caso, adequado o uso da distribuição binomial,

pois a doença se distribui aleatoriamente. Valores de ρ maiores que 0, com

limite superior 1, caracterizam a existência de agregação, sendo a distribuição

beta binomial mais apropriada para descrever o padrão de plantas doentes

dentro da unidade amostral (HUGHES et al., 1996; MADDEN; HUGHES, 1999).

A distribuição beta binomial (BBD) é usada quando a probabilidade de

uma unidade de planta estar doente não for fixa, mas sim uma variável

aleatória π representada pela função densidade probabilidade beta, então X

(número de indivíduos doentes) é descrita pela BBD (HUGHES; MADDEN,

1993; HUGHES; MADDEN, 2002). A densidade de probabilidade beta é dada

por

f(π) =

(1 )

Be( , )

−β

π−π

−

em que 0 < π < 1 representa a probabilidade de uma planta individual estar

doente, α e β são parâmetros positivos, e Be(α,β) é a função beta (WILKS,

1962; ROUSSAS, 1973; KENDALL; STUART, 1977; MADDEN; HUGHES,

1995; HUGHES; MADDEN, 2002).

Uma parametrização alternativa muito usada da BBD é p =

α+β

θ=

α+β

, em que p é interpretado como proporção de uma planta estar doente,

isto é, p =

∑

e θ é um índice de agregação. Esse índice cresce com o

aumento de θ, que varia de 0 a ∝. Outra parametrização que é usada

freqüentemente é p =

α+β

ρ=

+β+

, em que ρ é coeficiente de

correlação intracluster (HUGHES; MADDEN, 1993; MADDEN; HUGHES, 1995;

MADDEN; HUGHES, 1999; HUGHES; MADDEN, 2002).

Para a determinação do tamanho ótimo de amostra com um grau de

confiança desejado, Karandinos (1976) apresentou várias versões de fórmulas,

para dados entomológicos e Hughes et al. (1996) apresentaram adaptações

para dados fitopatológicos. Pela natureza dos dados, a distribuição beta

binomial é mais adequada e para determinar o número mínimo de quadrats, N

será utilizada a fórmula estabelecida por Hughes et al. (1996),

(1 p)[1 (n 1)]

npC

−

+ρ −

(1)

em que C é o coeficiente de variação dado por

se(p)

= ; n é o número de

plantas em cada quadrat; se(p) é o erro-padrão, obtido de z

α/2

. se(p) = Hp, em

que p é a proporção da planta doente em cada quadrat, H é a proporção da

média p, z

α/2

= 1,96 que corresponde a 95% de confiabilidade e ρ é o

coeficiente de correlação intracluster da distribuição beta-binomial (BBD).

Modelos de Crescimento Sigmoidal

Um modelo de regressão não-linear pode ser escrito na forma:

= f(x

,θ

) + ε

, t = 1, ..., n

em que x

é a variável independente ou regressora, θ

é o vetor dos parâmetros,

f é a função resposta não-linear nos parâmetros θ e ε

é o vetor de erros

aleatórios.

Os modelos de crescimento que ocorrem em Biologia, Agricultura,

Engenharia e Economia, geralmente, são curvas sigmoidais que começam num

ponto fixo e sua razão de crescimento aumenta até alcançar um ponto de

inflexão; após isso, essa razão decresce aproximando assintoticamente para

algum valor (RATKOWSKY, 1983; BATES; WATTS, 1988; SOUZA, 1998;

MAZUCHELI; ACHCAR, 2002). Existem diversos modelos para ajustar curvas

sigmoidais, e neste trabalho serão utilizados o de Gompertz e o Logístico, cujo

componente determinístico é dado, respectivamente, por

e =−−y(t) Aexp( exp(B Ct)) =

+−

y(t)

1exp(BCt)

, e os parâmetros serão

estimados por Método dos Mínimos Quadrados.

No modelo logístico, a taxa de crescimento da doença (derivada da

função),

é proporcional à quantidade de doença, y, e à disponibilidade de

tecido sadio, (1 – y), isto é,

= ry(1 – y), em que r é uma constante de

proporcionalidade chamada taxa aparente de infecção. A taxa de crescimento

aumenta atingindo o valor máximo quando y = 0,5, isto é, quando 50% do

tecido estiver doente. O ponto (t,y) do gráfico onde isso ocorre é o ponto de

inflexão, e a partir desse ponto a taxa decresce, tendendo a zero. Como pode

ser visto na Figura 1(a), o gráfico da função logística é uma curva em forma de

S e é simétrica em torno de seu ponto de inflexão e a sua abscissa coincide

com a do pico da derivada. O modelo de Gompertz apresenta um gráfico

também em forma de S que difere, porém, do logístico por apresentar um

crescimento mais acentuado em seu início, como pode ser visto na Figura 1(b),

sendo que o seu ponto de inflexão ocorre no ponto (t,y), em que y =

≃ 0,37

(CAMPBELL; MADDEN, 1990; BERGAMIN FILHO et al., 1995).

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 100 200 300 400 500 600

ndapa

0,0000

0,0010

0,0020

0,0030

0,0040

0,0050

dp/dt

Logístico Der iv ada

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 100 200 300 400 500 600

ndapa

0,0000

0,0010

0,0020

0,0030

0,0040

0,0050

dp/dt

Gompertz Derivada

x=A

(t,p)

(a) (b)

Figura 1. a) Modelo logístico: proporção (p) da doença versus tempo () e taxa

de crescimento (dp/dt) versus tempo (); o ponto (t,p) assinalado no

gráfico é o ponto de inflexão e x = A é a reta assíntota; b) Modelo de

Gompertz: proporção (p) da doença versus tempo () e taxa de

crescimento (dp/dt) versus tempo (); o ponto (t,p) assinalado no

gráfico é o ponto de inflexão e x = A é a reta assíntota.

Existem várias reparametrizações dos modelos logístico e de Gompertz,

dentre as quais são destacados alguns modelos, cujos componentes

determinísticos estão expressos na Tabela 1. Os seis primeiros, y

a y

, foram

sugeridos por Ratkowsky (1983); y

é o modelo de Fermi-Dirac ou Fermi e y

o modelo Germinação ou Germi encontrado em Scharf e Seidel (1986); os três

últimos são reparametrizações do modelo de Gompertz, sendo as duas

primeiras, y

e y

, encontradas em Ratkowsky (1983) e a y

, em Freitas (2007).

Tabela 1. Funções que representam os componentes determinísticos das

reparametrizações dos modelos logísticos e de Gompertz usadas

para ajuste dos dados de progresso da CVC

Modelos Logísticos Modelos de Gompertz

Log1: =

+−

y(t)

1exp(BCt)

Log5:

y(t)

(expB)C

Gom1: =−−

y(t) Aexp( exp(B Ct))

Log2: =

+−

y(t)

Bexp( Ct)

Log6: =

+−

y(t)

1 Bexp( Ct)

Gom2: =−

y (t) exp(A BC )

Log3:

y(t)

ABC

Fermi:

−

y(t)

1exp( )

Gom3: =−−y (t) Aexp( Bexp( Ct))

Log4: =

y(t)

1(expB)C

Germi:

+−−

y(t)

1exp(B(tC))

t = tempo em dias após a primeira avaliação

y(t) = proporção de plantas afetadas no talhão no tempo t

A, B e C = parâmetros do modelo

As curvas sigmoidais começam em algum ponto fixo e sua razão de

crescimento aumenta até atingir o ponto de inflexão, após isto, a razão de

crescimento decresce assintoticamente. As assíntotas são alcançadas quando

o tempo t tende a infinito, assim, para o modelo Gom2 a assíntota é y = expA,

nos modelos Log2, Log3 e Log5 é y =

e nos demais modelos a assíntota

ocorre em y = A.

Em todas as reparametrizações do modelo logístico, o valor de y do

ponto de inflexão é a metade do valor da assíntota; isto significa que a

coordenada t do ponto de inflexão representa o tempo t necessário para que

ocorra 50% de crescimento da doença. Para o modelo de Gompertz, o valor de

y do ponto de inflexão é

≃ 0,368 do valor da assíntota, isto é, a coordenada

t é o tempo necessário para que ocorra 36,8% de crescimento da doença.

Assim, o valor de t no ponto de inflexão no modelo Log1 e Gom1 é t =

, no

modelo Fermi-Dirac, t = B e no modelo Germinação, t = C. No modelo

Germinação da Tabela 1, o parâmetro C mede o tempo para o qual 50% das

plantas são atingidas pela doença, o parâmetro B está relacionado com a razão

de crescimento da doença e o parâmetro A está relacionado com o valor

máximo da razão entre o número de plantas com sintomas e o número total de

plantas.

Medidas de Não-linearidade

Um modelo de regressão não-linear é considerado “intrinsecamente

linear” se este pode ser reduzido a um modelo linear por meio de uma

reparametrização ou uma transformação apropriada. Caso isso não seja

possível, o modelo é chamado “intrinsecamente não-linear” (MAZUCHELI;

ACHCAR, 2002).

Os estimadores de mínimos quadrados não-viesados, normalmente

distribuídos e variância menor possível são as propriedades dos modelos de

regressão linear aceitas como as melhores que uma classe de estimadores

pode apresentar (SEARLE, 1971). Em uma regressão não-linear, essas

propriedades são válidas assintoticamente, isto é, quando o tamanho da

amostra for suficientemente grande. Assim, é desejável que um modelo de

regressão não-linear tenha comportamento próximo do linear. Quanto mais

próximo do linear for o comportamento de um modelo, mais confiáveis serão as

inferências. As medidas de não-linearidade determinam se o modelo tem um

comportamento mais próximo do linear ou não (RATKOWSKY, 1983;

MAZUCHELI; ACHCAR, 2002).

As ferramentas mais utilizadas na avaliação da não-linearidade de um

modelo de regressão não-linear são: a medida de viés de Box e as medidas de

curvatura de Bates e Watts. Neste trabalho, além dessas medidas foi utilizada

também a medida de assimetria de Hougaard. As medidas mencionadas

podem também, ser usadas para a escolha do melhor modelo possível, dentre

todos os propostos, considerando melhor modelo aquele que apresentar o

comportamento mais próximo do comportamento linear (RATKOWSKY, 1983).

A medida de assimetria de Hougaard pode ser utilizada para avaliar se

o parâmetro está próximo de ser linear ou não e pode ser calculada por meio

da fórmula

(

)

()

⎡

⎤

θ− θ

⎣

⎦

3/2

ˆˆ

em que L

são elementos apropriados de L =

(

)

−

⋅

JJ, J é a matriz jacobiana,

=n⋅m

, m

é o terceiro momento e n é o número total de

observações. De acordo com Ratkowsky (1990), se |g

| < 0,1, o estimador do

parâmetro tem o comportamento se aproximando do linear; se 0,1 < |g

| < 0,25,

o estimador é razoavelmente próximo do linear; se 0,25 < |g

| < 1, a assimetria

é bem aparente; e se |g

| > 1, o comportamento é considerado não-linear.

()

⎡

θ− θ

⎣

ˆˆ

⎤

⎦

Bates e Watts (1988) desenvolveram medidas de não-linearidade

baseadas no conceito geométrico de curvatura, mostrando que a não-

linearidade de um modelo pode ser dividida em duas componentes: a não-

linearidade intrínseca relacionada com a curvatura da solução local, e a não-

linearidade paramétrica associada ao efeito de parâmetros.

De acordo com Mazucheli e Achcar (2002), a medida de curvatura de

não-linearidade intrínseca (IN) é a medida de curvatura do espaço de

estimação no espaço amostral, em que espaço de estimação se refere a todas

as possíveis soluções do problema de mínimos quadrados. A solução de

mínimos quadrados é o ponto no espaço de estimação que se encontra mais

próximo do vetor de variáveis respostas. O valor de IN é nulo em um modelo de

regressão linear, pois o espaço de estimação é uma reta, um plano ou um

hiperplano; em um modelo não-linear, o espaço de estimação é curvilíneo e IN

mede a extensão dessa curvatura. Sendo assim, quanto maior o valor de IN,

mais o modelo se afasta do modelo linear.

De acordo com Ratkowsky (1983), o espaçamento desigual e falta de

paralelismo das projeções das linhas paramétricas sobre o plano tangente à

solução local é a medida da curvatura de não-linearidade paramétrica (PE). A

medida PE é um escalar que representa o valor máximo do efeito da

parametrização, obtida a partir de um vetor aceleração tridimensional. No caso

linear, as linhas paramétricas são retas paralelas e a matriz de aceleração é

formada de zeros, assim PE = 0.

Avalia-se a significância estatística de IN e PE comparando seus

valores estimados com o valor crítico,

, em que F = F(p,n-p;α) é obtida da

tabela da distribuição F com p e n-p graus de liberdade e nível de significância

α. O modelo será considerado linear, para um nível de significância α, se

IN <

e PE <

. Além disso, quanto menor o valor de IN e PE, mais

próximo do linear é o modelo (RATKOWSKY, 1983).

Um alto valor da medida da curvatura paramétrica indica que, no

mínimo, um parâmetro no modelo está afastado fortemente do comportamento

linear e a medida do viés de Box revela quais parâmetros são os maiores

responsáveis por isso. A fórmula estabelecida por Box para calcular o viés é

Viés(

) =

nnn

i1 i1 i1

F( )F ( ) F( ) tr F( )F ( ) H( )

−

===

⎡

⎤

−σ

⎡⎤ ⎛ ⎞

θθ θθθ

⎢

⎥

⎜⎟

⎢⎥

⎣⎦ ⎝ ⎠

⎢

⎥

⎣

⎦

∑∑∑

em que F(θ) é a matriz px1 das derivadas primeiras de f(x

,θ

) e H(θ) é a matriz

pxp das derivadas segundas com relação a cada elemento de θ

, avaliada em

, em que t = 1, 2, ..., n. É comum expressar o valor da estimativa do viés em

porcentagem e sendo este acima de 1%, em valor absoluto, indica o

comportamento não-linear do modelo (RATKOWSKY, 1983).

Outro critério útil para examinar o comportamento de um modelo na

estimação é o valor t de Student, definido como

t =

1/2

()

Var

em que

é o vetor dos parâmetros estimados e

1/2

Var

é a variância

estimada. Um alto valor de

t associado com um parâmetro estimado tende a

indicar que a estimação é bem determinada no modelo, enquanto um baixo

valor de

t tende a indicar que a estimativa é pobremente determinada. Os

valores de

t podem ser testados por distribuição t de Student com n-p graus de

liberdade. Um baixo valor de t usualmente significa que intervalos de confiança

ou regiões de confiança que envolve aquele parâmetro pode incluir zero. A

grandeza dos valores de

t pode ser um indicador útil do comportamento não-

linear, embora um alto valor-t não-necessariamente indica que o parâmetro

estimado exibirá boa aproximação do comportamento linear na estimação.

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CAPÍTULO 1

MODELO NÃO-LINEAR PARA A CURVA DE PROGRESSO DE INCIDÊNCIA

DA CLOROSE VARIEGADA DOS CITROS (CVC) EM DOIS MUNICÍPIOS DA

REGIÃO NOROESTE DO ESTADO DO PARANÁ

RESUMO. A citricultura é afetada por diversas doenças, dentre as quais a

Clorose Variegada dos Citros (CVC) causada pela bactéria

Xylella fastidiosa

(Wells). Para a região noroeste do Estado do Paraná, onde foi avaliada a CVC,

propõe-se encontrar modelos não-lineares de curvas de progresso de

incidência da CVC que representem o percentual de plantas acometidas pela

doença. Para avaliar o comprometimento dos pomares com relação à doença,

foram escolhidos pomares comerciais em dois municípios, onde foi

determinada a proporção de plantas doentes. Foram selecionados talhões de

laranja doce (

Citrus sinensis Osbeck) nas variedades “Pêra”, “Valência”, “Natal”

e “Folha Murcha” e a avaliação de todas as plantas do talhão foi realizada

visualmente em relação à presença ou à ausência de sintomas de CVC. Para

estimar o modelo que melhor se ajustou aos dados de progresso da proporção

da doença em cada talhão, foram considerados modelos não-lineares de

crescimento sigmoidal, o logístico e o de Gompertz, conforme sugerido na

literatura. A escolha do melhor modelo foi com base em medidas de curvatura

intrínseca e paramétrica de Bates e Watts, viés de Box e medida de assimetria

de Hougaard. O modelo que melhor ajustou aos dados de Loanda foi o modelo

de Fermi-Dirac e aos dados de Nova Esperança foi outra reparametrização do

Modelo Logístico, denominado de Log5.

Palavras-chave: Curva de crescimento; modelos não-lineares; Clorose

Variegada dos Citros.

NONLINEAR MODEL FOR A PROGRESS CURVE OF THE INCIDENCE OF

CITRUS VARIEGATED CHLOROSIS (CVC) IN TWO MUNICIPALITIES IN

THE NORTHWEST REGION OF PARANÁ STATE

ABSTRACT. Citric cultures are affected by several diseases, including Citrus

Variegated Chlorosis (CVC) caused by

Xylella fastidiosa (Wells) bacteria. In

northwestern region of Paraná State, where CVC has been assessed, the

proposal was to find nonlinear progression curves models of the disease’s

incidence, which represents the percentage of plants attacked by the disease.

To assess the extension of damage to the plantations, two commercial orchards

in two different cities (Loanda and Nova Esperança) were chosen, where the

rate of affected plants was determined. Plots of sweet orange (

Citrus sinensis

Osbeck) varieties “Pêra”, “Valência”, “Natal” and “Folha Murcha” were selected,

and the plants were visually assessed in relation to the presence or absence of

CVC symptoms. To estimate the model that best fitted the data of the disease’s

progression rate in each plot, nonlinear logistic and Gompertz’s sigmoidal

growth curves were considered, as suggested in literature. The choice for the

best model was carried out based on measurements of Bates and Watts’

parametric and intrinsic curvatures, Box bias, and Hougaard’s asymmetry

measurement. The model that best fitted the data from Loanda was the Fermi-

Dirac model, whereas the data from Nova Esperança was another

reparametrization of the logistic model, called Log5.

Keywords: Growth curve; nonlinear models; Citrus Variegated Chlorosis;

model equivalence.

INTRODUÇÃO

A Clorose Variegada dos Citros (CVC), causada pela bactéria gram-

negativa,

Xylella fastidiosa (Wells), limitada ao xilema, tem-se constituído em

ameaça para a citricultura em diversas regiões brasileiras (ROSSETTI; DE

NEGRI, 1990; GARCIA JUNIOR et al., 1995). A doença foi observada em

plantas cítricas, pela primeira vez em 1987, nas regiões norte e nordeste do

Estado de São Paulo e na região do Triângulo Mineiro (LARANJEIRA et al.,

2003), e espalhou-se rapidamente pelos demais Estados produtores de laranja.

Os sintomas da CVC são manchas foliares cloróticas e necróticas,

frutos de tamanho reduzido e endurecido, em pencas de quatro a dez frutos,

crescimento lento da planta, morte dos ponteiros e queda de folhas

(ROSSETTI, et al., 1990; GARCIA JUNIOR et al., 1995; NUNES, et al., 2006).

Os trabalhos de Chang et al., (1993) e Lee et al. (1993), que provaram

a patogenicidade da bactéria

Xylella fastidiosa, por meio dos postulados de

Koch, foram concluídos no início de 1993 (DE NEGRI; GARCIA JUNIOR, 1993).

Gottwald et al. (1993) relataram que o progresso temporal da CVC é

bem representado pelo modelo de Gompertz, entretanto, este relato foi

baseado numa epidemia, em que as avaliações da doença foram feitas

anualmente. Mais tarde, Laranjeira et al. (1998) estudaram o progresso

espacial e temporal da doença em 11 blocos de laranja doce que foram

amostrados bimensalmente, concluindo que o modelo logístico representa

melhor o progresso da CVC.

Como não se tem estudos sobre a epidemiologia dessa doença, no

noroeste do Estado do Paraná, a exemplo do que foi feito no Estado de São

Paulo (NUNES, 1999; LARANJEIRA, 2002), propõe-se encontrar modelos não-

lineares de curvas de progresso da incidência da doença Clorose Variegada

dos Citros (CVC) que melhor se ajuste aos dados da proporção de plantas

comprometidas pela doença.

A escolha do modelo de melhor ajuste foi feita com base em medidas

de curvatura intrínseca e paramétrica, viés de Box, medida de assimetria de

Hougaard, normalidade dos resíduos e o valor de t associado às estimativas

dos parâmetros, pois essas medidas indicam que modelo mais se aproxima do

linear (RATKOWSKY, 1983; MAZUCHELI; ACHCAR, 2002).

MATERIAL E MÉTODOS

Para avaliar o comprometimento dos pomares com relação à doença

na região noroeste do Estado do Paraná, foi escolhido um pomar comercial no

município de Nova Esperança (23°11’S, 52°13’O) e dois em Loanda (22º55’S,

53°08’O), onde foi realizada a contagem do número de plantas doentes por

talhões e foi estimada a proporção de plantas doentes.

Na Fazenda Laranjeira, de Nova Esperança, foram selecionados

talhões de laranja doce (

Citrus sinensis Osbeck), variedade “Pêra” com 946

plantas, variedade “Valência” com 927 plantas, variedade “Natal” com 1.047

plantas e variedade “Folha Murcha” com 1.042 plantas, todos dispostos em dez

linhas de plantio e espaçamento entre linhas de 7 m e entre plantas de 4 m.

Foram realizadas 34, 33, 22 e 19 avaliações nos talhões de laranja “Pêra”,

“Valência”, “Natal” e “Folha Murcha”, respectivamente, no período de maio de

2000 a março de 2004.

Na Fazenda Janete, de Loanda, foi selecionado um talhão de laranja

doce da variedade “Pêra” com 1.186 plantas e dois da variedade “Valência”

denominadas “Valência 1” com 954 plantas e “Valência 2” com 1.292 plantas e

na Fazenda Colorado, também de Loanda, foi selecionado um talhão da

variedade “Folha Murcha” com 609 plantas e outro da variedade “Valência”

denominada “Valência 3” com 437 plantas. Foram realizadas 17, 30, 32, 17 e

31 avaliações nos talhões de laranja “Pêra”, “Valência 1”, “Valência 2”,

“Valência 3” e “Folha Murcha”, respectivamente, no período de outubro de 2000

a dezembro de 2004. Todos os talhões possuem a mesma disposição e

espaçamento da Fazenda Laranjeira.

A variável independente é o tempo t, em dias, após a primeira

avaliação, ndapa e a variável resposta é a proporção de plantas afetadas no

talhão no tempo t.

Para estimar o modelo que melhor se ajustou aos dados de progresso

da proporção de plantas doentes em cada talhão, foram considerados modelos

não-lineares de crescimento sigmoidal, mais especificamente, os modelos

logístico e de Gompertz, conforme sugerido por Gottwald (1993), Laranjeira

(1997), Laranjeira et al. (2003) e Nunes et al (2006).

Foram utilizados, inicialmente, oito reparametrizações do modelo

logístico, e os seis primeiros, y

a y

, foram sugeridos por Ratkowsky (1983); y

é o modelo de Fermi-Dirac ou Fermi e y

é o modelo Germinação ou Germi

encontrado em Scharf e Seidel (1986); e os três últimos são reparametrizações

do modelo de Gompertz, sendo as duas primeiras, y

e y

, encontradas em

Ratkowsky (1983) e a y

, em Freitas (2007).

Os componentes determinísticos desses modelos são expressos na

Tabela 1.

Tabela 1. Funções que representam os componentes determinísticos das

reparametrizações dos modelos logísticos e de Gompertz, usadas

para ajuste dos dados de progresso da CVC

Modelos Logísticos Modelos de Gompertz

Log1: =

+−

y(t)

1exp(BCt)

Log5:

y(t)

(expB)C

Gom1: =−−

y(t) Aexp( exp(B Ct))

Log2: =

+−

y(t)

Bexp( Ct)

Log6: =

+−

y(t)

1 Bexp( Ct)

Gom2: =−

y (t) exp(A BC )

Log3:

y(t)

ABC

Fermi:

−

y(t)

1exp( )

Gom3: =−−y (t) Aexp( Bexp( Ct))

Log4: =

y(t)

1(expB)C

Germi:

+−−

y(t)

1exp(B(tC))

t = tempo em dias após a primeira avaliação

y(t) = proporção de plantas afetadas no talhão no tempo t

A, B e C = parâmetros do modelo

Para a estimação dos parâmetros de cada um dos modelos,

inicialmente, foi utilizado o programa TableCurve 2D Windows v2.03, para obter

os valores iniciais e, posteriormente, o procedimento NLIN do SAS foi utilizado

para determinar as estimativas finais.

As estimativas finais dos parâmetros e as medidas de assimetria de

Hougaard foram obtidas pelo procedimento NLIN do SAS.

A medida de assimetria de Hougaard pode ser utilizada para avaliar se

o parâmetro está próximo de ser linear ou não e pode ser calculada por meio

da fórmula

(

)

()

⎡

⎤

θ− θ

⎣

⎦

3/2

ˆˆ

em que L

são elementos apropriados de L =

(

)

−

⋅

JJ, J é a matriz jacobiana,

= n⋅m

, m

é o terceiro momento e n é o número total de

observações. De acordo com Ratkowsky (1990), se |g

| < 0,1, o estimador do

parâmetro tem o comportamento se aproximando do linear; se 0,1 < |g

| < 0,25,

o estimador é razoavelmente próximo do linear; se 0,25 < |g

| < 1, a assimetria

é bem aparente; e se |g

| > 1, o comportamento é considerado não-linear.

Comparando-se os modelos, o melhor foi aquele cujos parâmetros

apresentaram comportamento mais próximo do linear.

()

⎡

θ− θ

⎣

ˆˆ

⎤

⎦

Para determinar as medidas de curvatura de não-linearidade de Bates

e Watts e o viés de Box foi utilizado o procedimento IML do SAS, conforme

sugerido por Souza (1998).

Segundo Bates e Watts (1988), a não-linearidade de um modelo pode

ser decomposta em duas componentes: a não-linearidade intrínseca e a não-

linearidade paramétrica. De acordo com Mazucheli e Achcar (2002), a medida

de curvatura de não-linearidade intrínseca (IN) é a curvatura do espaço de

estimação no espaço amostral, em que espaço de estimação se refere a todas

as possíveis soluções do problema de mínimos quadrados. A solução de

mínimos quadrados é o ponto no espaço de estimação que se encontra mais

próximo do vetor de variáveis respostas. O valor de IN é nulo em um modelo de

regressão linear, pois o espaço de estimação é uma reta, um plano ou um

hiperplano; em um modelo não-linear, o espaço de estimação é curvilíneo e IN

mede a extensão dessa curvatura. Sendo assim, quanto maior o valor de IN,

mais o modelo se afasta do modelo linear.

De acordo com Ratkowsky (1983), o espaçamento desigual e a falta de

paralelismo das projeções das linhas paramétricas sobre o plano tangente à

solução local é a medida da curvatura de não-linearidade paramétrica (PE). A

medida PE é um escalar que representa o valor máximo do efeito da

parametrização, obtida a partir de um vetor de aceleração tridimensional. No

caso linear, as linhas paramétricas são retas paralelas e a matriz de aceleração

é formada de zeros, assim PE = 0. Para avaliar a significância estatística de IN

e PE compararam-se seus valores estimados com o valor crítico,

, em que

F = F(

p,n-p;α) foi obtido da tabela da distribuição F com p e n-p graus de

liberdade e nível de significância α.

O modelo foi considerado linear, para um nível de significância α, se

IN <

e PE <

. Além disso, quanto menor o valor de IN e PE, mais

próximo do linear era o modelo.

Alto valor da medida da curvatura paramétrica indicou que, no mínimo,

um parâmetro no modelo está afastado fortemente do comportamento linear e

a medida do viés de Box revelou quais parâmetros foram os maiores

responsáveis por isso. A fórmula adotada, estabelecida por Box para calcular o

viés, é

Viés(

) =

nnn

i1 i1 i1

F( )F ( ) F( ) tr F( )F ( ) H( )

−

===

⎡

⎤

−σ

⎡⎤ ⎛ ⎞

θθ θθθ

⎢

⎥

⎜⎟

⎢⎥

⎣⎦ ⎝ ⎠

⎢

⎥

⎣

⎦

∑∑∑

em que F(θ) é a matriz px1 das derivadas primeiras de f(x

,θ

) e H(θ) é a matriz

pxp das derivadas segundas com relação a cada elemento de θ

, avaliada em

, em que t = 1, 2, ..., n. É comum expressar o valor da estimativa do viés em

porcentagem e sendo este acima de 1%, em valor absoluto, indica o

comportamento não-linear do modelo.

Para verificar o pressuposto de normalidade dos resíduos, de cada um

dos modelos, foram realizados testes por meio do procedimento UNIVARIATE

do SAS. A normalidade dos resíduos foi verificada pelos testes de Shapiro-Wilk,

Kolmogorov-Smirnov, Cramer-von Mises e Anderson-Darling.

RESULTADOS E DISCUSSÃO

Observando o gráfico da proporção da doença e da taxa de

crescimento da doença versus tempo, em cada uma das variedades, das duas

localidades (Figura 1 e 2), revelou-se que na maioria dos talhões, a

coordenada p do ponto de inflexão (t,p) se situa entre 0,4 e 0,5, indicando que

os modelos logístico e de Gompertz são os modelos mais adequados para os

dados,pois p = 0,5 e p

≃ 0,4, respectivamente.

Loanda

Para o ajuste das informações da proporção da doença, de todas as

variedades selecionadas dos pomares de Loanda, foram utilizados os modelos

Log1 e Gom1, sugeridos por Ratkowsky (1983). Esses modelos apresentaram

as medidas de curvatura intrínseca (IN) menores que o valor crítico

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

para todos os conjuntos de dados, enquanto as medidas de curvatura

paramétrica (PE) foram maiores que esse valor, exceto para os dados de

“Valência 1”, conforme consta na Tabela 2, o que nos leva a concluir que na

maioria desses casos, os modelos não se aproximaram da linearidade.

Este fato sugeriu examinar as outras reparametrizações dos dois

modelos.

Pêra - Loanda

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,1

0 100 200 300 400 500 600 700

ndapa

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

0,007

dp/dt

proporção da doença taxa de crescimento

Valência1 - Loanda

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,1

0 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 1500 1650

ndapa

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0,003

dp/dt

proporção da doença taxa de crescimento

Figura 1. Proporção da doença (p) e da taxa de crescimento da doença (dp/dt)

em talhões de laranjeiras no município de Loanda – Estado do

Paraná; (t,p) é o ponto de inflexão e ndapa é o número de dias após

a primeira avaliação.

Valência2 - Loanda

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 1500 1650

ndapa

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0,003

dp/dt

proporção da doença taxa de crescimento

Valência3- Loanda

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,1

0 100 200 300 400 500 600 700

ndapa

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

dp/dt

proporção da doença taxa de crescimento

Folha Murcha - Loanda

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 1500 1650

ndapa

0,0005

0,001

0,0015

0,002

dp/dt

proporção da doença taxa de crescimento

(t,p)

Pêra - Nova Esperança

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,1

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600

ndapa

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0,003

0,0035

dp/dt

proporção da doença taxa de crescimento

Valência - Nova Esperança

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,1

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300

ndapa

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

dp/dt

proporção da doença taxa de crescimento

Natal - Nova Esperança

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

ndapa

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0,003

0,0035

0,004

dp/dt

proporção da doença taxa de crescimento

Folha Murcha - Nova Esperança

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 1500 1650

ndapa

0,0005

0,001

0,0015

0,002

dp/dt

proporção da doença taxa de crescimento

Figura 2. Proporção da doença (p) e da taxa de crescimento da doença (dp/dt)

em talhões de laranjeiras no município de Nova Esperança – Estado

do Paraná; (t,p) é o ponto de inflexão e ndapa é o número de dias

após a primeira avaliação.

Tabela 2. Valor crítico

⎛

⎜

⎝⎠

⎞

⎟

e medidas de curvatura intrínseca (IN) e

paramétrica (PE) dos modelos Log1 e Gom1 para o conjunto de

dados de cada variedade de laranja doce, das Fazendas Janete e

Colorado, situados no município de Loanda, Estado do Paraná

Modelo

Variedades

Medida de

Curvatura

Log1 Gom1

IN 0,1253 0,1626

“Pêra” 0,2734

PE 0,2816 0,3308

IN 0,1253 0,1626

“Valência 1” 0,2906

PE 0,2816 0,3308

IN 0,1453 0,1021

“Valência 2” 0,2919

PE 0,3806 0,3232

IN 0,115 0,098

“Valência 3” 0,2734

PE 0,3428 0,4741

IN 0,1044 0,1405

“Folha Murcha” 0,2913

PE 0,3183 0,5914

(t,p)

Nas outras reparametrizações do modelo logístico, observou-se que os

valores de medida de curvatura paramétrica foram maiores que o valor crítico,

exceto no modelo de Fermi-Dirac, o qual apresentou medida de curvatura

paramétrica menor que o valor crítico em todas as variedades (Tabela 3).

Neste modelo, as porcentagens do viés de Box foram menores que 1% em

todos os parâmetros e em todos os conjuntos de dados (Tabela 3). Além disso,

na Tabela 4, pode-se observar que a maioria das medidas de assimetria de

Hougaard, em valor absoluto, foi menor que 0,25 para cada parâmetro, com

exceção de dois deles, que ficaram suavemente maiores que 0,25. Esses fatos

sugerem que dentre as reparametrizações do modelo logístico, o modelo que

mais se aproxima do modelo linear é o modelo de Fermi-Dirac.

As reparametrizações do modelo de Gompertz exibiram de modo geral

altas curvaturas paramétricas, com exceção da “Valência 1”, enquanto as

curvaturas intrínsecas foram menores que os valores críticos, para todos os

conjuntos de dados, conforme a Tabela 5. Além disso, várias medidas de

assimetria de Hougaard apresentaram valores acima de 0,25, de acordo com a

Tabela 6.

Dessa forma, o modelo de Fermi-Dirac mostrou ser o modelo

apropriado para os conjuntos de dados de Loanda, pois ajustou bem aos dados,

a julgar por sua baixa curvatura intrínseca e paramétrica, pelo viés de Box,

sempre menor que 1% em todos os parâmetros; pelas medidas de assimetria

de Hougaard, quase sempre apresentando valores que levaram ao

comportamento bem próximo do linear. Ainda, o modelo apresentou altos

valores de t associados à estimativa dos parâmetros, indicando que a

estimação é bem determinada no modelo, além disso, os resíduos foram todos

aproximadamente normais com nível de significância de 0,05.

Tabela 3. Viés de Box para os parâmetros e as medidas de curvatura

intrínseca (IN) e paramétrica (PE) dos modelos logísticos, para o

conjunto de dados de cada variedade de laranja doce, das

Fazendas Janete e Colorado, situados no município de Loanda,

Estado do Paraná

Modelo

Variedades

Parâ-

metro

Log1 Log2 Log3 Log4 Log5 Log6 Fermi Germi

A 0,029% -0,015% -0,015% 0,029% -0,015% 0,029% 0,029% 0,029%

B 0,593% 3,317% 3,317% 0,593% 0,568% 3,273% 0,007% 0,554%

C 0,554% 0,554% -0,01% -0,01% -0,01% 0,554% 0,150% 0,007%

IN 0,1253 0,1253 0,1253 0,1253 0,1253 0,1253 0,1253 0,1253

PE 0,2816 1,0513 1,0571 0,2772 0,2651 1,0196 0,1289 0,2722

“Pêra”

A 0,024% -0,012% -0,012% 0,024% -0,012% 0,024% 0,024% 0,024%

B 0,252% 0,594% 0,594% 0,252% 0,224% 0,592% 0,015% 0,226%

C 0,226% 0,226% -0,001% -0,001% -0,001% 0,226% 0,114% 0,015%

IN 0,0944 0,0944 0,0944 0,0944 0,0944 0,0944 0,0944 0,0944

PE 0,2545 0,2991 0,2998 0,2535 0,2280 0,2823 0,1150 0,2315

“Valência 1”

A 0,052% -0,033% -0,033% 0,052% -0,033% 0,052% 0,052% 0,052%

B 0,604% 1,331% 1,331% 0,604% 0,488% 1,331% 0,010% 0,502%

C 0,502% 0,502% -0,003% -0,003% -0,003% 0,502% 0,279% 0,010%

IN 0,1453 0,1453 0,1453 0,1453 0,1453 0,1453 0,1453 0,1453

PE 0,3806 0,4435 0,4446 0,3789 0,3490 0,4197 0,1768 0,3628

“Valência 2”

A 0,055% -0,038% -0,038% 0,055% -0,038% 0,055% 0,055% 0,055%

B 0,516% 1,589% 1,589% 0,516% 0,465% 1,583% 0,054% 0,412%

C 0,412% 0,412% -0,005% -0,005% -0,005% 0,412% 0,263% 0,054%

IN 0,115 0,115 0,115 0,115 0,115 0,115 0,115 0,115

PE 0,3428 0,5806 0,5832 0,3398 0,3142 0,5502 0,1875 0,3308

“Valência 3”

A 0,058% -0,023% -0,023% 0,058% -0,023% 0,058% 0,058% 0,058%

B 0,348% 3,111% 3,111% 0,348% 0,264% 2,995% 0,056% 0,353%

C 0,353% 0,353% -0,002% -0,002% -0,002% 0,353% 0,092% 0,056%

IN 0,1044 0,1044 0,1044 0,1044 0,1044 0,1044 0,1044 0,1044

PE 0,3183 1,3349 1,3374 0,3165 0,2692 1,2347 0,1502 0,2955

“Folha

Murcha”

Tabela 4. Medidas de assimetria de Hougaard para os parâmetros dos

modelos logísticos, para o conjunto de dados de cada variedade de

laranja doce, das Fazendas Janete e Colorado, situados no

município de Loanda, Estado do Paraná

Modelo

Variedades

Parâ-

metro

Log1 Log2 Log3 Log4 Log5 Log6 Fermi Germi

A 0,0463 0,0261 0,0261 0,0463 0,0261 0,0463 0,0463 0,0463

B 0,2630 0,8740 0,8740 0,2630 0,2612 0,8661 -0,0682 0,3062

C 0,3062 0,3062 -0,3016 -0,3016 -0,3016 0,3062 -0,1972 -0,0682

“Pêra”

A 0,0642 0,0002 0,0002 0,0642 0,0002 0,0642 0,0642 0,0642

B 0,0850 0,3419 0,3419 0,0850 0,0919 0,3276 -0,0443 0,1759

C 0,1759 0,1759 -0,1748 -0,1748 -0,1748 0,1759 -0,1739 -0,0443

“Valência 1”

A 0,1014 -0,0177 -0,0177 0,1014 -0,0177 0,1014 0,1014 0,1014

B 0,1314 0,5125 0,5125 0,1314 0,1371 0,4965 -0,0993 0,2617

C 0,2617 0,2617 -0,2599 -0,2599 -0,2599 0,2617 -0,2686 -0,0993

“Valência 2”

A 0,1158 -0,0377 -0,0377 0,1158 -0,0377 0,1158 0,1158 0,1158

B 0,1913 0,6033 0,6033 0,1913 0,1870 0,5962 -0,0810 0,2217

C 0,2217 0,2217 -0,2185 -0,2185 -0,2185 0,2217 -0,2712 -0,081

“Valência 3”

A 0,1117 0,0019 0,0019 0,1117 0,0019 0,1117 0,1117 0,1117

B 0,2395 0,8371 0,8371 0,2395 0,2295 0,8234 0,0680 0,2281

C 0,2281 0,2281 -0,2268 -0,2268 -0,2268 0,2281 -0,1720 0,068

“Folha

Murcha”

Tabela 5. Viés de Box para os parâmetros e as medidas de curvatura

intrínseca (IN) e paramétrica (PE) dos modelos de Gompertz, para

o conjunto de dados de cada variedade de laranja doce, das

Fazendas Janete e Colorado, situados no município de Loanda,

Estado do Paraná

Modelo

Variedades Parâmetro

Gom1 Gom2 Gom3

A 0,030% -0,607% 0,030%

B 0,727% 1,411% 1,411%

C 0,510% -0,006% 0,510%

IN 0,1626 0,1626 0,1626

PE 0,3308 0,5805 0,5772

“Pêra”

A 0,018% -0,342% 0,018%

B 0,210% 0,184% 0,184%

C 0,124% -0,001% 0,124%

IN 0,0655 0,0655 0,0655

PE 0,2191 0,1925 0,2077

“Valência 1”

A 0,038% -0,223% 0,038%

B 0,511% 0,434% 0,434%

C 0,276% -0,002% 0,276%

IN 0,1021 0,1021 0,1021

PE 0,3232 0,2872 0,3049

“Valência 2”

A 0,093% -4,017% 0,093%

B 0,713% 0,712% 0,712%

C 0,355% -0,003% 0,355%

IN 0,098 0,098 0,098

PE 0,4741 0,4142 0,4468

“Valência 3”

A 0,137% -0,116% 0,137%

B 0,582% 1,681% 1,681%

C 0,524% -0,002% 0,524%

IN 0,1405 0,1405 0,1405

PE 0,5914 0,7578 0,7481

“Folha

Murcha”

Tabela 6. Medidas de assimetria de Hougaard para os parâmetros dos

modelos de Gompertz, para o conjunto de dados de cada

variedade de laranja doce, das Fazendas Janete e Colorado,

situados no município de Loanda, Estado do Paraná

Modelo

Variedades Parâmetro

Gom1 Gom2 Gom3

A 0,0871 0,0504 0,0871

B 0,3232 0,6658 0,6658

C 0,3196 -0,3167 0,3196

“Pêra”

A 0,0658 0,0389 0,0658

B 0,0573 0,1856 0,1856

C 0,1283 -0,1277 0,1283

“Valência 1”

A 0,1018 0,0667 0,1018

B 0,0899 0,2889 0,2889

C 0,1898 -0,1887 0,1898

“Valência 2”

A 0,2215 0,1719 0,2215

B 0,1702 0,4194 0,4194

C 0,1709 -0,1686 0,1709

“Valência 3”

A 0,2462 0,1570 0,2462

B 0,3269 0,7046 0,7046

C 0,2622 -0,2612 0,2622

“Folha

Murcha”

Assim, o modelo que melhor se ajustou aos dados de Loanda foi o de

Fermi-Dirac,

y(t)

1exp( )

−

em que as estimativas dos parâmetros A, B e C para cada variedade são as

que constam na Tabela 7.

Tabela 7. Valores dos parâmetros estimados do modelo logístico de Fermi-

Dirac, para o conjunto de dados de cada variedade de laranja doce,

das Fazendas Janete e Colorado, situados no município de Loanda,

Estado do Paraná

Variedades

Parâmetros

“Pêra” “Valência 1” “Valência 2” “Valência 3” “Folha Murcha”

0,9476 0,9526 0,8642 0,9588 0,4226

116,90 171,50 148,20 101,10 477,70

-55,33 -163,3 -151,7 -77,58 -151,2

Na Figura 3, estão apresentados os gráficos do modelo logístico de

Fermi-Dirac ajustado aos dados observados de acordo com os parâmetros

estimados para cada uma das variedades de laranja doce.

Pêra - Loanda

0,2

0,4

0,6

0,8

1,2

0 100 200 300 400 500 600

ndapa

Dados observados Curva ajustada

Valência1 - Loanda

0,2

0,4

0,6

0,8

1,2

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ndapa

Dados observados Curva ajustada

Valência2 - Loanda

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ndapa

Dados observados Curva ajustada

Valência3 - Loanda

0,2

0,4

0,6

0,8

1,2

0 100 200 300 400 500 600

ndapa

Dados observados Curva ajustada

Folha Murcha - Loanda

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ndapa

Dados observados Curva ajustada

Figura 3. Modelo de Fermi-Dirac com os parâmetros estimados (linha

contínua) e com dados originais (

) de cada variedade de laranja

doce, das Fazendas Janete e Colorado, situadas no município de

Loanda, Estado do Paraná.

Nova Esperança

Os modelos Log1 e Gom1, utilizados para o ajuste das informações

oriundas dos pomares de Nova Esperança, apresentaram as medidas de

curvatura intrínseca menores que o valor crítico para todos os conjuntos de

dados, exceto para a variedade “Folha Murcha”. Os valores das medidas de

curvatura paramétrica foram maiores que o valor crítico nos dados de

“Valência” e “Folha Murcha”, e menores que esse valor para os de “Pêra” e

“Natal”, conforme consta na Tabela 8.

Tabela 8. Valor crítico

⎛

⎜

⎝⎠

⎞

⎟

e as medidas de curvatura intrínseca (IN) e

paramétrica (PE) dos modelos Log1 e Gom1 para o conjunto de

dados de cada variedade de laranja doce, da Fazenda Laranjeira,

situado no município de Nova Esperança, Estado do Paraná

Modelo

Variedades

Medida de

Curvatura

Log1 Gom1

IN 0,0370 0,0386

“Pêra” 0,2930

PE 0,1212 0,1675

IN 0,0732 0,0617

“Valência” 0,2925

PE 0,3217 0,3889

IN 0,3811 0,2759

“Folha Murcha 2” 0,2778

PE 1,4588 1,6714

IN 0,0718 0,0665

“Natal” 0,2827

PE 0,2151 0,2793

De acordo com a Tabela 9, e examinando as reparametrizações do

modelo logístico, constata-se que os dados de “Folha Murcha” apresentaram

medida de curvatura paramétrica mais alta que o valor crítico em todas as

reparametrizações, enquanto nos de “Valência”, essa medida foi menor em

quatro delas, e o menor valor foi no modelo Fermi-Dirac. Nos dados de “Pêra” e

“Natal”, os valores da medida de curvatura paramétrica foram todos menores

que o valor crítico. Os vieses percentuais de Box foram menores que 1%

(Tabela 9) e as medidas de assimetria de Hougaard, em valor absoluto, foram

menores que 0,25 para cada parâmetro (Tabela 10), com exceção dos dados

de “Folha Murcha”. Os menores valores de medida de curvatura paramétrica

ocorreram no modelo de Fermi-Dirac, enquanto os vieses percentuais de Box e

as medidas de assimetria de Hougaard foram menores nos modelos de Fermi-

Dirac e Log5, em todos os conjuntos de dados, exceto “Folha Murcha”.

Tabela 9. Viés de Box para os parâmetros e as medidas de curvatura

intrínseca (IN) e paramétrica (PE) dos modelos logísticos, para o

conjunto de dados de cada variedade de laranja doce, da Fazenda

Laranjeira, situado no município de Nova Esperança, Estado do

Paraná

Modelo

Variedades

Parâ-

metro

Log1 Log2 Log3 Log4 Log5 Log6 Fermi Germi

A 0,006% -0,004% -0,004% 0,006% -0,004% 0,006% 0,006% 0,006%

B 0,043% 0,055% 0,055% 0,043% 0,035% 0,058% 0,014% 0,028%

C 0,028% 0,028% 0,000% 0,000% 0,000% 0,028% 0,026% 0,014%

IN 0,0370 0,0370 0,0370 0,0370 0,0370 0,0370 0,0370 0,037

PE 0,1212 0,0993 0,0990 0,1208 0,1061 0,1173 0,0576 0,1122

“Pêra”

A 0,038% -0,027

% -0,027% 0,038% -0,027% 0,038% 0,038% 0,038%

B 0,217% 0,214% 0,214% 0,217% 0,163% 0,236% 0,126% 0,114%

C 0,114% 0,114% -0,001

% -0,001% -0,001% 0,114% 0,138% 0,126%

IN 0,0732 0,0732 0,0732 0,0732 0,0732 0,0732 0,0732 0,0732

PE 0,3217 0,2597 0,2589 0,3209 0,2738 0,3156 0,1505 0,2941

“Valência”

A 1,075% -0,774

% -0,774% 1,075% -0,774% 1,075% 1,075% 1,075%

B 4,117% 9,042% 9,042% 4,117% 1,740% 9,353% 2,580% 3,287%

C 3,287% 3,287% -0,013

% -0,013% -0,013% 3,287% 3,429% 2,580%

IN 0,3811 0,3811 0,3811 0,3811 0,3811 0,3811 0,3811 0,3811

PE 1,4588 1,4128 1,4143 1,4556 1,2886 1,3816 0,8144 1,414

“Folha

Murcha 2”

A 0,021% -0,013

% -0,013% 0,021% -0,013% 0,021% 0,021% 0,021%

B 0,145% 0,290% 0,290% 0,145% 0,113% 0,296% 0,036% 0,122%

C 0,122% 0,122% -0,001

% -0,001% -0,001% 0,122% 0,085% 0,036%

IN 0,0718 0,0718 0,0718 0,0718 0,0718 0,0718 0,0718 0,0718

PE 0,2151 0,1982 0,1988 0,2139 0,1890 0,2047 0,1010 0,1936

"Natal”

Tabela 10. Medidas de assimetria de Hougaard para os parâmetros dos

modelos logísticos, para o conjunto de dados de cada variedade

de laranja doce, da Fazenda Laranjeira, situado no município de

Nova Esperança, Estado do Paraná

Modelo

Variedades

Parâ-

metro

Log1 Log2 Log3 Log4 Log5 Log6 Fermi Germi

A 0,0465 -0,0199 -0,0199 0,0465 -0,0199 0,0465 0,0465 0,0465

B 0,0227 0,1010 0,1010 0,0227 0,0267 0,0942 -0,0160 0,0542

C 0,0542 0,0542 -0,0538 -0,0538 -0,0538 0,0542 -0,0852 -0,016

“Pêra”

A 0,1450 -0,0817 -0,0817 0,1450 -0,0817 0,1450 0,1450 0,145

B 0,0429 0,1991 0,1991 0,0429 0,0562 0,1791 -0,0111 0,1008

C 0,1008 0,1008 -0,1001 -0,1001 -0,1001 0,1008 -0,2004 -0,0111

“Valência”

A 0,6696 -0,3408 -0,3408 0,6696 -0,3408 0,6696 0,6696 0,6696

B 0,5363 1,4381 1,4381 0,5363 0,5006 1,4129 0,5513 0,6034

C 0,6034 0,6034 -0,6003 -0,6003 -0,6003 0,6034 -0,9515 0,5513

“Folha Murcha

2”

A 0,0731 -0,0189 -0,0189 0,0731 -0,0189 0,0731 0,0731 0,0731

B 0,0618 0,2412 0,2412 0,0618 0,0670 0,2304 -0,0130 0,1157

C 0,1157 0,1157 -0,1144 -0,1144 -0,1144 0,1157 -0,1566 -0,013

“Natal”

As reparametrizações do modelo de Gompertz exibem altas medidas

de curvatura paramétrica, embora as medidas de curvatura intrínseca sejam

baixas para todos os conjuntos de dados, com exceção da “Pêra”, conforme a

Tabela 11, e as medidas de assimetria de Hougaard apresentam valores

abaixo de 0,25 exceto para “Folha Murcha”, de acordo com a Tabela 12.

Tabela 11. Viés de Box para os parâmetros e as medidas de curvatura

intrínseca (IN) e paramétrica (PE) dos modelos de Gompertz, para

o conjunto de dados de cada variedade de laranja doce, da

Fazenda Laranjeira, situado no município de Nova Esperança,

Estado do Paraná

Modelo

Variedades Parâmetro

Gom1 Gom2 Gom3

A 0,010% 0,462% 0,010%

B 0,138% 0,038% 0,038%

C 0,032% 0,000% 0,032%

IN 0,0386 0,0386 0,0386

PE 0,1675 0,1509 0,1649

“Pêra”

A 0,046% 2,626% 0,046%

B 0,646% 0,116% 0,116%

C 0,091% 0,000% 0,091%

IN 0,0617 0,0617 0,0617

PE 0,3889 0,3473 0,3857

“Valência”

A 1,209% -0,913% 1,209%

B 4,489% 4,068% 4,068%

C 2,243% -0,007% 2,243%

IN 0,2759 0,2759 0,2759

PE 1,6714 1,4578 1,5982

“Folha

Murcha 2”

A 0,032% -0,249% 0,032%

B 0,241% 0,145% 0,145%

C 0,114% -0,001% 0,114%

IN 0,0665 0,0665 0,0665

PE 0,2793 0,2493 0,2735

“Natal”

Tabela 12. Medidas de assimetria de Hougaard para os parâmetros dos

modelos de Gompertz, para o conjunto de dados de cada

variedade de laranja doce, da Fazenda Laranjeira, situado no

município de Nova Esperança, Estado do Paraná

Modelo

Variedades Parâmetro

Gom1 Gom2 Gom3

A 0,0697 0,0527 0,0697

B 0,0161 0,0703 0,0703

C 0,0566 -0,0562 0,0566

“Pêra”

A 0,1784 0,1435 0,1784

B 0,0261 0,1122

“Valência”

0,1122

C 0,0835 -0,0829 0,0835

A 0,8698 0,6908 0,8698

B 0,5132 1,0380 1,038

C 0,4206 -0,4183 0,4206

“Folha

Murcha 2”

A 0,1120 0,0797 0,112

B 0,0429 0,1528 0,1528

C 0,1058 -0,1047 0,1058

“Natal”

Comparando-se os resultados das reparametrizações dos modelos

logístico e de Gompertz, o modelo Log5 mostrou ser o modelo mais adequado

aos conjuntos de dados de “Pêra”, “Valência” e “Natal” de Nova Esperança,

pois se aproximou mais do comportamento linear por apresentar baixa

curvatura intrínseca e paramétrica. Os vieses de Box foram sempre menores

que 1% em todos os parâmetros e as medidas de assimetria de Hougaard

quase sempre menores que 0,10. Ainda apresentaram altos valores de t

associados à estimativa dos parâmetros indicando que a estimação foi bem

determinada no modelo e os resíduos foram todos aproximadamente normais

em nível de significância de 0,05.

Assim, o modelo que melhor se ajustou aos dados de Nova Esperança

foi o Log5,

y(t)

(expB)C

em que as estimativa dos parâmetros A, B e C para cada variedade estão

apresentadas na Tabela 13.

Tabela 13. Valores dos parâmetros do modelo logístico Log5 para o conjunto

de dados de cada variedade de laranja doce, da Fazenda

Laranjeira, situado no município de Nova Esperança, Estado do

Paraná

Variedades

Parâmetros

“Pêra” “Valência” “Folha Murcha 2” “Natal”

A 0,9958 1,0030 3,1766 1,1293

B 0,6768 0,6162 2,3905 1,0768

C 0,9948 0,9952 0,9960 0,9906

Na Figura 4, estão apresentados os gráficos do modelo logístico Log5,

ajustados aos dados observados de acordo com os parâmetros estimados para

cada uma das variedades de laranja doce.

Pêra - Nova Esperança

0,2

0,4

0,6

0,8

1,2

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ndapa

Dados observados Curva ajustada

Valência - Nova Esperança

0,2

0,4

0,6

0,8

1,2

0 200 400 600 800 1000 1200

ndapa

Dados observados Curva ajustada

Folha Murcha - Nova Esperança

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ndapa

Dados observados Curva ajustada

Natal - Nova Esperança

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 200 400 600 800

ndapa

Dados observados Curva ajustada

Figura 4. Modelo Log5 com os parâmetros estimados (linha contínua) e com

dados originais (

) de cada variedade de laranja doce, da Fazenda

Laranjeira, situado no município de Nova Esperança, Estado do

Paraná.

CONCLUSÕES

A medida de curvatura intrínseca foi menor que o valor crítico para os

dados de todas as variedades para todas as reparametrizações dos modelos

logístico e de Gompertz, com exceção para os dados da variedade “Folha

Murcha” de Nova Esperança.

Para os dados de Loanda, em todas as variedades, a medida de

curvatura paramétrica foi menor que o valor crítico somente para o modelo de

Fermi-Dirac. Os vieses percentuais de Box foram menores que 1% para todas

as variedades nos modelos Log1, Log4, Log5, Fermi, Germi e Gom1. A maioria

das medidas de Hougaard foi, em módulo, menores que 0,25, sendo os

melhores resultados aqueles observados no modelo de Fermi-Dirac. Dessa

forma, conclui-se que o modelo de Fermi-Dirac mostrou-se mais adequado

para esses dados.

Para os dados de Nova Esperança, nas variedades “Pêra” e “Natal”, a

medida de curvatura paramétrica foi menor que o valor crítico, em todas as

reparametrizações, sendo o menor deles no modelo Fermi-Dirac. Nessas

variedades, os vieses percentuais de Box foram menores que 1% e as medidas

de assimetria de Hougaard foram, em módulo, menores que 0,25, e a maioria

dessas medidas foi menor no modelo Log5. Assim, o modelo Log5 foi

considerado mais adequado para esses dados.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BATES, D. M.; WATTS, D. G.

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CAPÍTULO 2

IGUALDADE DE MODELOS E TAMANHO ÓTIMO DA AMOSTRA, NUMA

AMOSTRAGEM POR CLUSTER, PARA A INCIDÊNCIA DA CLOROSE

VARIEGADA DOS CITROS (CVC) NO NOROESTE DO PARANÁ

RESUMO. Os dados utilizados para o presente trabalho foram coletados em

pomares comerciais de laranja “Pêra” e “Valência” (

Citrus sinensis Osbeck), e

as plantas foram avaliadas visualmente em relação à presença ou à ausência

de sintomas da Clorose Variegada dos Citros (CVC). A dispersão da CVC é

caracterizada por agregação, o que recomenda o uso da distribuição beta

binomial e amostragem por

cluster, sendo usado como unidade amostral o

quadrat. Os talhões foram subdivididos em quadrats de tamanhos 2x2, 3x3,

4x4 e 5x5 e usadas duas reparametrizações do modelo logístico, sendo uma

delas o modelo de Fermi-Dirac. Determinou-se o tamanho ótimo da amostra,

com nível desejado de confiabilidade, em cada talhão, em cada avaliação.

Constatou-se que não houve diferença significativa nos parâmetros do modelo,

sendo possível expressar a curva de progresso da doença por meio de uma

única função.

Palavras-chave:

Igualdade de modelos, amostragem cluster, tamanho ótimo

da amostra

MODELS EQUIVALENCE AND OPTIMUM SAMPLE SIZE, IN A CLUSTER

SAMPLING FOR THE INCIDENCE OF CITRUS VARIEGATED CHLOROSIS

(CVC) IN THE NORTHWEST OF PARANÁ STATE

ABSTRACT. The data used in this work was collected in commercial orchards

of orange varieties “Pêra” and “Valência” (

Citrus sinensis Osbeck). The plants

were visually assessed in relation to the presence or absence of Citrus

Variegated Chlorosis (CVC) symptoms. CVC dispersion is chracterized by

aggregation, which recommends the use of beta binomial distribution and

cluster sampling, with the quadrat being used as the sampling unit. The plots

were divided into

quadrats sizing 2x2, 3x3, 4x4 and 5x5, and two logistic model

reparametrizations were used, one of them the Fermi-Dirac model. The

optimum sample size was determined with desired level of reliability for each

plot, and in each assessment. There was no significant difference in the model

parameters, being possible to express the disease’s progress curve of through

a single function.

Key-words: model equivalence; cluster sampling; optimum sample size.

INTRODUÇÃO

As primeiras ocorrências da Clorose Variegada dos Citros (CVC), no

Brasil, foram registradas em meados de 1987 no Triângulo Mineiro e nas

regiões norte e nordeste do Estado de São Paulo (ROSSETTI; DE NEGRI,

1990).

A CVC é causada pela bactéria

Xylella fastidiosa, limitada ao xilema

(HARTUNG et al., 1994) que obstrui os vasos da planta, causando deficiência

hídrica e nutricional e, consequentemente, apresenta aspecto de planta murcha,

copa com crescimento irregular e amarelada, frutos endurecido com tamanho

reduzido e maturação precoce, o que resulta em plantas economicamente

inviáveis (DE NEGRI; GARCIA JUNIOR, 1993; LEE et al., 1993; MALAVOLTA

et al., 1993; SALVA et al., 1995, LARANJEIRA, 1997; FUNDECITRUS, 2007).

A bactéria pode ser transmitida por meio de borbulhas contaminadas e

também pelas cigarrinhas infectadas, de planta em planta (PAIVA et al., 1996;

NUNES et al., 2006). Ao se alimentarem nas brotações novas de plantas

afetadas, esses insetos podem adquirir a bactéria que será posteriormente

transmitida às laranjeiras sadias. As espécies de cigarrinhas mais abundantes

no pomar de laranjeira “Pêra”, no noroeste do Paraná, são

Acrogonia citrina,

Dilobopterus costalimai

e Bucephalogonia xanthophis (MOLINA, 2006).

Pelo fato da dispersão da CVC ocorrer de planta em planta levado pela

cigarrinha, o

status da doença numa planta depende do status da doença das

plantas vizinhas. Essa tendência das plantas é denominada agregação ou

heterogeneidade espacial (HUGHES et al., 1996) e para detectar a sua

presença é usada a amostragem por

clusters. Numa amostragem por clusters,

a unidade amostral não é uma planta, mas sim um grupo de plantas em que

todos os indivíduos do agrupamento são avaliados (KISH, 1965; HUGHES et

al., 1996). Uma unidade amostral pode ser uma planta, uma folha ou um

quadrat e, nesse trabalho, a unidade amostral escolhida foi um quadrat,

consistindo de n plantas contíguas (CAMPBELL; MADDEN, 1990).

A doença não apresentando agregação usa-se a distribuição binomial,

e se houver agregação a distribuição beta binomial é mais adequada, para

descrever o padrão de plantas doentes dentro da unidade amostral (SKELAM,

1948; HUGHES et al., 1996). Por se tratar de doença transmitida por insetos

vetores, sua propagação ocorre de planta em planta e o raio de atuação fica

em torno de 12 m, segundo Roberto et al. (2002). Dessa forma, como existem

possibilidades dos dados serem agregados, foi empregada a distribuição beta

binomial (HUGHES; MADDEN, 1993).

Nas pesquisas de campo, é necessário escolher um tamanho ideal da

amostra, pois amostras grandes são dispendiosas, enquanto que amostras

pequenas não são confiáveis. Karandinos (1976) estabeleceu fórmulas para

determinar o tamanho ótimo da amostra com grau de confiabilidade pré-

especificado, em cada uma das distribuições: binomial, Poisson e binomial

negativa.

Hughes et al. (1996) desenvolveram fórmulas apropriadas para

determinar o tamanho ótimo da amostra, para dados de incidência de doença

em amostragem por

cluster, baseados no trabalho de Karandinos (1976).

Frequentemente, em análise de regressão, é preciso saber se várias

equações ajustadas podem ser expressas por uma única equação. Nesse

sentido, Regazzi e Silva (2004) estabeleceram metodologia para testar a

identidade de modelos de regressão não-linear.

O objetivo desse trabalho foi determinar a quantidade mínima de

plantas a ser amostrada, com nível desejado de precisão e verificar se

qualquer amostra utilizada para descrever a curva de progresso da CVC, em

cada variedade, localidade e modelo, pode ser expressa por uma única

equação.

MATERIAL E MÉTODOS

Os dados de incidência da doença Clorose Variegada dos Citros (CVC),

em laranjais para esse estudo são provenientes das avaliações realizadas pela

equipe do Núcleo de Pesquisa em Biotecnologia Aplicada (NBA) da

Universidade Estadual de Maringá (UEM). Os sintomas da Clorose Variegada

dos Citros (CVC) foram avaliados em pomares comerciais nos municípios de

Nova Esperança e Loanda, situados na região noroeste do Estado do Paraná.

Na Fazenda Laranjeira, em Nova Esperança, foram selecionados

talhões de laranja doce (

Citrus sinensis Osbeck), variedade “Pêra" com 946

plantas e 34 avaliações e variedade “Valência” com 927 plantas e 33

avaliações, todos dispostos em dez linhas de plantio e espaçamento entre

linhas de 7 m e entre plantas de 4 m, no período de maio de 2000 a março de

2004.

Na Fazenda Janete, em Loanda, foram selecionados talhões de laranja

doce da variedade “Pêra” com 1.186 plantas e 17 avaliações e da variedade

“Valência” com 954 plantas e 30 avaliações, no período de outubro de 2000 a

dezembro de 2004, todos os talhões tendo a mesma disposição e

espaçamento da Fazenda Laranjeira.

O mapa de cada avaliação da doença foi dividido em

quadrats de

tamanhos 2x2, 3x3, 4x4 e 5x5, de tal forma que em cada

quadrat contivesse

quatro, nove, 16 e 25 plantas, respectivamente, no início das avaliações

segundo exemplos de Gottwald et al. (1996), Ridout; e Xu (2000), Xu e Ridout

(2000), Hughes e Madden (2002), Lima et al. (2006). Para cada avaliação em

cada

quadrat, foram contadas as plantas com sintomas da doença e foi

determinado o valor de p, que é a proporção de plantas doentes.

A variável independente é o tempo t, em dias, após a primeira

avaliação, ndapa e a variável resposta é a proporção de plantas afetadas no

talhão no tempo t.

O tamanho ótimo da amostra, N

, com a confiabilidade desejada, foi

determinado, utilizando a fórmula estabelecida em Hughes et al. (1996),

−

+ρ −

(1 p)[1 (n 1)]

npC

, (1)

em que C é o coeficiente de variação dado por

se(p)

; n é o número de

plantas em cada

quadrat; se(p) é o erro-padrão, obtido de z

α/2

. se(p) = Hp, em

que p é a proporção de plantas doentes em cada

quadrat, H é a proporção da

média p, z

α/2

= 1,96 que corresponde a 95% de confiabilidade e ρ =

+θ1

é o

coeficiente de correlação

intracluster da distribuição beta-binomial (BBD). O θ é

o parâmetro da BBD que foi obtido com o uso do software BBD, versão 1.2,

desenvolvido por Madden e Hughes (1994).

Determinada a quantidade de

quadrats, N

, selecionou-se

aleatoriamente essa quantidade do talhão, obtendo a proporção da doença, em

cada avaliação, formando uma amostra. Essas amostras aleatórias foram

obtidas por meio do programa

quadrat. Foram elaborados dez amostras e o

conjunto total com todos os

quadrats.

No capítulo 1, concluiu-se que os modelos que apresentaram

comportamento mais próximo do linear foram Log5 e Fermi-Dirac, por isso eles

serão utilizados para os dados das duas variedades, das duas localidades, em

todos os tamanhos de

quadrats. A parte determinística do modelo que melhor

se ajustou aos dados de Nova Esperança foi o Log5:

y(t)

(expB)C

aos de Loanda foi o Fermi-Dirac:

−

y(t)

1exp( )

, em que t é o tempo em

dias após a primeira avaliação, y

(t) é a proporção de plantas afetadas no

talhão no tempo t e A, B e C são os parâmetros do modelo. Essas funções

representam curvas de crescimento denominadas função logística. O

parâmetro A está associado com a assíntota do gráfico da função. No modelo

Log5, a assíntota é

e no modelo Fermi-Dirac é A. Ainda neste modelo, B

mede o tempo para o qual 50% das plantas são atingidas pela doença.

Para a estimação dos parâmetros de cada um dos modelos, para todas

as amostras e para o conjunto total, inicialmente, foi utilizado o programa

TableCurve 2D Windows v2.03 para obter os valores iniciais e, posteriormente,

o procedimento NLIN do SAS foi utilizado para determinar as estimativas finais.

O conjunto total foi aquele que continha a proporção de plantas doentes de

todos os

quadrats, em cada avaliação.

Com as dez amostras obtidas, foram feitas dez comparações em que

cada uma delas estava entre o modelo G do conjunto total e o modelo g

uma amostra, com

m variando de um a dez. As comparações foram para

determinar se uma única equação pode ser considerada adequada para os

dois modelos, ou seja, se os valores dos parâmetros do modelo podem ser

substituídos pela média das dez amostras (KLEINBAUM et al., 1998;

REGAZZI; SILVA, 2004). Para isto, foram realizados testes de hipóteses como

em Regazzi e Silva (2004) para os modelos G e g

, em que A

, B

e C

são os

parâmetros do modelo G e A

, B

e C

são dos modelos g

, como seguem:

• H

(1)

: A

vs. H

(1)

: A

≠ A

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

• H

(2)

: B

= B

vs. H

(2)

: B

≠ B

• H

(3)

: C

= C

vs. H

(3)

: C

≠ C

• H

(4)

: A

= A

e B

= B

vs. H

(4)

: A

≠ A

≠ B

(2)

• H

(5)

: A

= A

e C

= C

vs. H

(5)

: A

≠ A

ou C

≠ C

• H

(6)

: B

= B

e C

= C

vs. H

(6)

: B

≠ B

ou C

≠ C

• H

(7)

: A

= A

, B

= B

e C

= C

vs. H

(7)

: pelo menos uma

igualdade é uma desigualdade.

em que H

é a hipótese nula e H

a hipótese alternativa.

Os modelos das equações Log5 e Fermi-Dirac para a análise são

escritos de acordo com Regazzi e Silva (2004), respectivamente, como:

A(expB)C

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

∑

+ ε

e y

ij i

1exp( )

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

∑

+ ε

em que d

são as variáveis “dummy” para i = 0, 1 tais que:

⎧

⎨

⎩

1se a observação y pertence ao grupo i,

0 em caso contrário

Pelo uso de proc NLIN do SAS, obtiveram-se as estimativas de soma

de quadrados de resíduos da regressão (SQRR) necessárias para realizar o

teste estatístico das várias hipóteses descritas acima.

Bates e Watts (1988) apresentaram um teste de razão de

verossimilhança como no caso de modelos lineares para comparar modelos de

regressão não-linear, cuja tabela de análise de variância é dada na Tabela 1.

A estatística do teste, de acordo com Bates e Watts (1988), é dada por

−

parc comp comp parc

calc

comp comp

(S S )/(P P )

S/(KP)

(3)

em que S

parc

e S

comp

são, respectivamente, a Soma dos Quadrados do modelo

parcial e completo; P

parc

e P

comp

são, respectivamente, o número de parâmetros

do modelo parcial e completo e K é o número total de observações. O modelo

completo tem todos os parâmetros variando, enquanto o modelo parcial tem

pelo menos um parâmetro fixo, representado pela média.

Tabela 1. Análise de Variância para execução do teste proposto por Bates e

Watts (1988) sobre a igualdade de parâmetros em modelos de

regressão não-linear

FV GL SQ QM F

Diferenças P

comp

– P

parc

– S

comp

−

parc comp

comp parc

/ s

comp

Modelo completo N – P

comp

−

comp

Modelo parcial N – P

parc

S = soma de quadrados residuais, P = número de parâmetros, K = número total de

observações e subscritos comp e parc, para modelo completo e modelo parcial,

respectivamente.

Como os modelos utilizados nesse trabalho são não-lineares, a análise

é aproximada, pois a razão do quadrado médio calculado não tem distribuição

F exata (BATES e WATTS, 1988; SOUZA, 1998). Apesar disso, esse teste foi

utilizado, pois como mostrado no capítulo 1, a não-linearidade intrínseca é

geralmente pequena, nos modelos dos diversos conjuntos, e segundo Bates e

Watts (1988), a distribuição da razão do quadrado médio é somente afetada

pela não-linearidade intrínseca, e não pela paramétrica.

Para completar a análise, comparou-se o F

calc

como definido em (3)

com F

tab

= F(v

;α) e não se rejeitou o modelo parcial se a razão do quadrado

médio calculado foi menor que o valor tabelado (BATES; WATTS, 1988;

REGAZZI; SILVA, 2004).

RESULTADOS E DISCUSSÃO

Para ajustar os dados da proporção da doença, foram escolhidas as

variedades “Pêra” e “Valência” dos pomares de Loanda e Nova Esperança e

utilizados os modelos Log5 e Fermi-Dirac, pois os mesmos quase sempre

apresentaram valores que levam ao comportamento bem próximo do linear,

conforme os resultados do capítulo 1.

Os quatro talhões foram subdivididos em

quadrats de tamanhos 2x2,

3x3, 4x4 e 5x5 para verificar se existiam diferenças nos resultados em função

do tamanho dos

quadrats. Assim, todas as análises foram realizadas nos

quatro tamanhos de

quadrats, nas duas variedades, nos dois locais, totalizando

16 conjuntos de dados, para cada um dos modelos Log5 e Fermi-Dirac.

Os testes de hipóteses aplicados aos modelos G e g

com as

amostras obtidas, utilizando-se as quantidades de

quadrats dadas por N

, em

cada avaliação, foram todos não-significativos. Dessa forma, pode-se concluir

que o modelo G do conjunto total e o modelo g

das amostras podem ser

substituídos por um modelo único, para cada um dos 16 conjuntos de dados

para os modelos Log5 e Fermi-Dirac.

A correção do número de

quadrats N

, como sugerido em Hughes et al.

(1996), foi realizada em todos os conjuntos de dados. O efeito foi reduzir o N

calculado para N

qred

= (1 – f)N

, em que f =

e N é o número total de

quadrats do talhão. Feitas as correções sugeridas, houve considerável redução

no número de

quadrats a serem avaliados, como pode ser observado nas

Tabelas 2, 3, 4 e 5.

Tabela 2. Número de quadrats (N

), número de quadrats corrigido (N

qred

) e a

proporção de doença (p) no talhão para os

quadrats 2x2, 3x3, 4x4 e

5x5 da variedade “Valência” da Fazenda Laranjeira, situada no

município de Nova Esperança, Estado do Paraná

2x2 3x3 4x4 5x5

avaliação

qred

1 0,279 227 227 89 89 45 45 31 31

2 0,411 187 186 89 80 45 41 31 28

3 0,448 161 143 80 71 45 37 31 25

4 0,463 147 100 74 62 45 33 31 22

5 0,491 126 57 72 53 45 29 31 19

6 0,545 101 57 56 43 41 25 31 16

7 0,560 96 56 55 33 37 21 31 14

8 0,594 85 54 49 23 30 18 31 12

9 0,629 78 52 45 23 27 15 29 10

10 0,694 58 44 34 22 22 12 18 8

11 0,731 45 37 27 19 17 11 14 8

12 0,739 43 35 25 18 16 11 13 8

13 0,769 35 30 21 17 14 10 11 8

14 0,786 33 29 20 16 13 10 10 7

15 0,791 32 28

19 15 12 9 10 7

16 0,799 30 27 18 15 12 9 10 7

17 0,817 26 24 17 14 11 9 9 7

18 0,827 25 23 16 14 11 9 8 6

19 0,838 22 20 13 12 9 8 6 5

20 0,893 14 14 9 9 3 3 4 4

21 0,910 12 12 7 7 3 3 3 3

22 0,937 8 8 5 5 2 2 3 3

23 0,951 7 7 3 3 2 2 2 2

24 0,969 5 5 3 3 1 1 1 1

25 0,970 4 4 3 3 1 1 1 1

26 0,972 4 4 3 3 1 1 1 1

27 0,973 4 4 3 3 1 1 1 1

28 0,976 4 4 3 3 1 1

1 1

29 0,977 4 4 3 3 1 1 1 1

30 0,978 3 3 3 3 1 1 1 1

31 0,980 3 3 2 2 1 1 1 1

32 0,983 3 3 2 2 1 1 1 1

33 0,985 3 3 2 2 1 1 1 1

Tabela 3. Número de quadrats (N

), número de quadrats corrigido (N

qred

) e a

proporção de doença (p) no talhão para os

quadrats 2x2, 3x3, 4x4 e

5x5 da variedade “Pêra” da Fazenda Laranjeira, situada no

município de Nova Esperança, Estado do Paraná

2x2 3x3 4x4 5x5

avaliação

qred

1 0,322 217 217 81 81 38 38 22 22

2 0,370 186 55 80 21 38 24 22 21

3 0,432 150 55 59 21 37 10 22 20

4 0,457 123 55 49 21 29 10 22 18

5 0,503 104 55 41 21 28 10 22 16

6 0,507 106 55 41 21 29 10 22 14

7 0,605 74 49 40 21 24 10 22 12

8 0,622 69 48 40 21 24 10 22 10

9 0,637 64 46 38 21 22 10 22 8

10 0,688 53 41 32 20 19 10 16 6

11 0,724 48 38 25 18 14 9 15 6

12 0,738 45 36 23 17 14 9 14 6

13 0,762 39 32 20 16 10 8 14 6

14 0,799 30 26 15 13 7 6 11 6

15 0,805 28 25

13 11 6 6 10 6

16 0,833 21 19 12 11 6 6 7 5

17 0,862 18 17 10 9 5 5 6 5

18 0,882 15 14 9 8 5 5 6 5

19 0,896 12 12 6 6 3 3 4 4

20 0,941 7 7 4 4 2 2 2 2

21 0,947 6 6 4 4 2 2 2 2

22 0,966 4 4 3 3 1 1 1 1

23 0,967 4 4 3 3 1 1 1 1

24 0,970 4 4 2 2 1 1 1 1

25 0,976 3 3 2 2 1 1 1 1

26 0,977 3 3 2 2 1 1 1 1

27 0,979 3 3 2 2 1 1 1 1

28 0,984 2 2 1 1 1 1

1 1

29 0,987 2 2 1 1 1 1 1 1

30 0,988 2 2 1 1 1 1 1 1

31 0,992 1 1 1 1 1 1 1 1

32 0,997 1 1 1 1 1 1 1 1

33 0,998 1 1 1 1 1 1 1 1

34 0,999 1 1 1 1 1 1 1 1

Tabela 4. Número de quadrats (N

), número de quadrats corrigido (N

qred

) e a

proporção de doença (p) no talhão para os

quadrats 2x2, 3x3, 4x4 e

5x5 da variedade “Pêra” da Fazenda Janete, situada no município

de Loanda, Estado do Paraná

2x2 3x3 4x4 5x5

avaliação

qred

1 0,075 287 287 110 110 56 56 39 39

2 0,374 161 72 71 28 48 13 31 9

3 0,424 132 72 58 28 36 13 25 9

4 0,626 64 50 26 20 17 12 12 9

5 0,740 40 35 16 14 15 11 10 8

6 0,800 30 27 13 12 12 10 7 6

7 0,836 24 22 11 10 10 9 6 6

8 0,871 19 18 9 9 9 8 4 4

9 0,888 17 16 8 8 8 7 4 4

10 0,908 13 13 6 6 6 6 3 3

11 0,922 11 11 5 5 5 5 2 2

12 0,926 11 11 5 5 5 5 2 2

13 0,936 9 9 5 5 4 4 2 2

14 0,959 6 6 3 3 3 3 2 2

15 0,976 4 4

2 2 2 2 1 1

16 0,989 2 2 1 1 1 1 1 1

17 1,000 1 1 1 1 1 1 1 1

Tabela 5. Número de quadrats (N

), número de quadrats corrigido (N

qred

) e a

proporção de doença (p) no talhão para os

quadrats 2x2, 3x3, 4x4 e

5x5 da variedade “Valência” da Fazenda Janete, situada no

município de Loanda, Estado do Paraná

2x2 3x3 4x4 5x5

avaliação

qred

1 0,150 219 219 85 85 39 39 28 28

2 0,339 182 55 85 85 39 39 28 28

3 0,397 139 55 80 22 39 39 28 28

4 0,479 103 55 64 22 39 39 28 28

5 0,514 96 54 57 22 39 39 28 28

6 0,593 66 47 38 22 35 10 22 7

7 0,611 62 45 34 21 32 10 20 7

8 0,653 57 43 29 20 25 10 16 7

9 0,671 54 41 28 19 23 10 14 7

10 0,715 41 34 22 17 18 10 13 7

11 0,733 36 31 18 15 14 9 11 7

12 0,739 35 30 18 15 14 9 10 7

13 0,774 32 28 16 13 13 9 8 6

14 0,826 21 19 11 10 9 7 5 5

15 0,847 19 18

10 9 8 7 5 5

16 0,868 16 15 9 9 8 7 4 5

17 0,879 15 14 9 9 9 7 5 5

18 0,895 12 12 7 7 7 6 4 4

19 0,910 10 10 6 6 5 5 3 3

20 0,927 8 8 5 5 5 5 3 3

21 0,932 8 8 4 4 4 4 3 3

22 0,933 7 7 4 4 4 4 3 3

23 0,934 7 7 4 4 4 4 3 3

24 0,937 7 7 4 4 4 4 2 2

25 0,939 7 7 4 4 4 4 2 2

26 0,943 6 6 4 4 3 3 2 2

27 0,956 4 4 3 3 3 3 2 2

28 0,957 4 4 3 3 3 3

2 2

29 0,973 3 3 2 2 2 2 1 1

30 0,979 2 2 2 2 1 1 1 1

Apesar das reduções nos números de

quadrats, a hipótese da

igualdade dos parâmetros não foi rejeitada e os resultados da estatística F

ficaram ainda todos não-significativos como constam nas Tabelas 6, 7, 8 e 9.

Tabela 6. Estatísticas F calculado (F

calc

) e tabelado (F

tab

) para amostras obtidas

com número de

quadrats (N

) e número de quadrats corrigido (N

qred

)

nos

quadrats 2x2, 3x3, 4x4 e 5x5 da variedade “Valência” da

Fazenda Laranjeira, situada no município de Nova Esperança,

Estado do Paraná

2x2 3x3 4x4 5x5

Parâmetros

qred

constantes

tab

calc

A 1,561 1,546 0,690 1,484 0,563 0,285 0,272 0,269 0,355

B 1,561 0,170 0,258 0,159 0,131 0,146 0,222 0,094 0,326

C 1,561 0,693 0,451 0,879 0,717 0,424 0,294 0,290 0,645

e B 1,748 0,869 0,563 0,812 0,356 0,243 0,305 0,209 0,337

e C 1,748 0,933 0,669 0,993 0,599 0,462 0,380 0,438 0,500

e C 1,748 0,525 0,465 0,624 0,563 0,369 0,344 0,202 0,666

Log5

B e C 2,630 0,648 0,506 0,783 0,600 0,466 0,344 0,375 0,696

A 1,561 1,546 0,690 1,484 0,563 0,285 0,272 0,269 0,355

B 1,561 0,587 0,607 0,605 0,449 0,341 0,444 0,175 0,628

C 1,561 0,693 0,451 0,879 0,717 0,424 0,294 0,290 0,645

e B 1,748 0,823 0,474 0,799 0,361 0,226 0,266 0,152 0,459

e C 1,748 0,933 0,669 0,993 0,599 0,462 0,380 0,438 0,500

e C 1,748 0,608 0,524 0,675 0,547 0,362 0,363 0,219 0,596

Fermi

B e C 2,630 0,648 0,506 0,783 0,600 0,466 0,344 0,375 0,696

Tabela 7. Estatísticas F calculado (F

calc

) e tabelado (F

tab

) para amostras obtidas

com número de

quadrats (N

) e número de quadrats corrigido (N

qred

)

nos

quadrats 2x2, 3x3, 4x4 e 5x5 da variedade “Pêra” da Fazenda

Laranjeira, situada no município de Nova Esperança, Estado do

Paraná

2x2 3x3 4x4 5x5

Parâmetros

qred

constantes

tab

calc

A 1,560 0,892 0,372 0,892 0,599 0,436 0,346 0,779 0,304

B 1,560 0,193 0,186 0,305 0,823 0,212 0,578 0,128 0,353

C 1,560 0,554 0,314 1,044 0,516 0,590 0,699 0,341 0,648

e B 1,747 0,596 0,304 0,623 0,849 0,336 0,421 0,539 0,377

e C 1,747 0,904 0,490 1,088 1,018 0,566 0,571 0,827 0,587

e C 1,747 0,410 0,451 0,815 0,602 0,448 0,522 0,309 0,595

Log5

B e C 2,629 0,723 0,657 0,988 0,871 0,527 0,596 0,661 0,577

A 1,560 0,892 0,372 0,892 0,599 0,436 0,346 0,779 0,304

B 1,560 0,361 0,490 0,562 0,823 0,283 0,293 0,405 0,574

C 1,560 0,554 0,314 1,044 0,516 0,590 0,699 0,341 0,648

e B 1,747 0,494 0,426 0,562 0,655 0,301 0,402 0,443 0,332

e C 1,747 0,904 0,490 1,088 1,018 0,566 0,571 0,827 0,587

e C 1,747 0,458 0,407 0,819 0,666 0,448 0,488 0,363 0,595

Fermi

B e C 2,629 0,723 0,657 0,988 0,871 0,527 0,596 0,661 0,577

Tabela 8. Estatísticas F calculado (F

calc

) e tabelado (F

tab

) para amostras obtidas

com número de

quadrats (N

) e número de quadrats corrigido (N

qred

)

nos

quadrats 2x2, 3x3, 4x4 e 5x5 da variedade “Pêra” da Fazenda

Janete, situada no município de Loanda, Estado do Paraná

2x2 3x3 4x4 5x5

Parâmetros

qred

constantes

tab

calc

A 1,595 0,339 0,657 0,294 0,144 0,573 0,343 0,473 0,949

B 1,595 0,327 0,415 0,303 0,256 0,167 0,230 0,233 0,285

C 1,595 0,454 0,617 0,477 0,303 0,289 0,158 0,416 0,227

e B 1,777 0,315 0,540 0,273 0,184 0,350 0,311 0,337 0,691

e C 1,777 0,394 0,615 0,367 0,198 0,381 0,298 0,441 0,667

e C 1,777 0,294 0,545 0,339 0,328 0,239 0,183 0,293 0,688

Log5

B e C 2,654 0,333 0,542 0,326 0,256 0,293 0,281 0,378 0,851

A 1,595 0,339 0,657 0,294 0,144 0,573 0,343 0,473 0,949

B 1,595 0,103 0,455 0,188 0,321 0,234 0,211 0,126 1,144

C 1,595 0,454 0,617 0,477 0,303 0,289 0,158 0,416 0,227

e B 1,777 0,230 0,475 0,222 0,234 0,328 0,309 0,290 1,031

e C 1,777 0,394 0,615 0,367 0,198 0,381 0,298 0,441 0,667

e C 1,777 0,285 0,563 0,333 0,315 0,261 0,181 0,287 0,675

Fermi

B e C 2,654 0,333 0,542 0,326 0,256 0,293 0,281 0,378 0,851

Tabela 9. Estatísticas F calculado (F

calc

) e tabelado (F

tab

) para amostras obtidas

com número de

quadrats (N

) e número de quadrats corrigido (N

qred

)

nos

quadrats 2x2, 3x3, 4x4 e 5x5 da variedade “Valência” da

Fazenda Janete, situada no município de Loanda, Estado do Paraná

2x2 3x3 4x4 5x5

Parâmetros

qred

constantes

tab

calc

A 1,565 0,372 1,106 1,009 0,656 0,660 0,853 0,743 1,179

B 1,565 0,156 0,274 0,143 0,204 0,072 0,212 0,168 0,342

C 1,565 0,463 0,441 0,665 0,164 0,347 0,402 0,537 1,127

e B 1,751 0,242 0,762 0,540 0,444 0,352 0,541 0,442 0,658

e C 1,751 0,337 0,887 0,627 0,456 0,436 0,630 0,540 0,882

e C 1,751 0,391 0,576 0,478 0,318 0,258 0,440 0,377 0,800

Log5

B e C 2,632 0,343 0,834 0,466 0,515 0,339 0,595 0,396 0,783

A 1,565 0,372 1,106 1,009 0,656 0,660 0,853 0,743 1,179

B 1,565 0,302 0,762 0,387 0,444 0,212 0,482 0,282 0,505

C 1,565 0,463 0,441 0,665 0,164 0,347 0,402 0,537 1,127

e B 1,751 0,280 0,812 0,526 0,562 0,349 0,597 0,393 0,713

e C 1,751 0,337 0,887 0,627 0,456 0,436 0,630 0,540 0,882

e C 1,751 0,377 0,603 0,514 0,308 0,277 0,451 0,407 0,792

Fermi

B e C 2,632 0,343 0,834 0,466 0,515 0,339 0,595 0,396 0,783

As Tabelas 10, 11, 12 e 13 apresentam o resultado dos cálculos do

número de plantas a serem avaliadas, n e n

red

, em cada ocasião, obtidas com o

uso de N

e N

qred

, respectivamente.

Tabela 10. Número de plantas amostradas (n) e número de plantas corrigidas

red

) e a proporção de doença no talhão (p), para os quadrats 2x2,

3x3, 4x4 e 5x5 da variedade “Pêra” da Fazenda Janete, situada no

município de Loanda, Estado do Paraná

2x2 3x3 4x4 5x5

avaliação

n n

red

n n

red

n n

red

n n

red

1 0,322 1148 1148 990 990 896 896 975 975

2 0,370 644 288 639 252 768 208 775 225

3 0,432 528 288 522 252 576 208 625 225

4 0,457 256 200 234 180 272 192 300 225

5 0,503 160 140 144 126 240 176 250 200

6 0,507 120 108 117 108 192 160 175 150

7 0,605 96 88 99 90 160 144 150 150

8 0,622 76 72 81 81 144 128 100 100

9 0,637 68 64 72 72 128 112 100 100

10 0,688 52 52 54 54 96 96 75 75

11 0,724 44 44 45 45 80 80 50 50

12 0,738 44 44 45 45 80 80 50 50

13 0,762 36 36 45 45 64 64 50 50

14 0,799 24 24 27 27 48 48 50 50

15 0,805 16 16

18 18 32 32 25 25

16 0,833 8 8 9 9 16 16 25 25

17 0,862 4 4 9 9 16 16 25 25

Tabela 11. Número de plantas amostradas (n) e número de plantas corrigidas

red

) e a proporção de doença no talhão (p) para os quadrats 2x2,

3x3, 4x4 e 5x5 da variedade “Valência” da Fazenda Janete, situada

no município de Loanda, Estado do Paraná

2x2 3x3 4x4 5x5

avaliação

n n

red

n n

red

n n

cor

n n

cor

1 0,322 876 876 765 765 624 624 700 700

2 0,370 728 220 765 765 624 624 700 700

3 0,432 556 220 720 198 624 624 700 700

4 0,457 412 220 576 198 624 624 700 700

5 0,503 384 216 513 198 624 624 700 700

6 0,507 264 188 342 198 560 160 550 175

7 0,605 248 180 306 189 512 160 500 175

8 0,622 228 172 261 180 400 160 400 175

9 0,637 216 164 252 171 368 160 350 175

10 0,688 164 136 198 153 288 160 325 175

11 0,724 144 124 162 135 224 144 275 175

12 0,738 140 120 162 135 224 144 250 175

13 0,762 128 112 144 117 208 144 200 150

14 0,799 84 76 99 90 144 112 125 125

15 0,805 76 72

90 81 128 112 125 125

16 0,833 64 60 81 81 128 112 100 125

17 0,862 60 56 81 81 144 112 125 125

18 0,882 48 48 63 63 112 96 100 100

19 0,896 40 40 54 54 80 80 75 75

20 0,941 32 32 45 45 80 80 75 75

21 0,947 32 32 36 36 64 64 75 75

22 0,966 28 28 36 36 64 64 75 75

23 0,967 28 28 36 36 64 64 75 75

24 0,970 28 28 36 36 64 64 50 50

25 0,976 28 28 36 36 64 64 50 50

26 0,977 24 24 36 36 48 48 50 50

27 0,979 16 16 27 27 48 48 50 50

28 0,984 16 16 27 27 48 48

50 50

29 0,987 12 12 18 18 32 32 25 25

30 0,988 8 8 18 18 16 16 25 25

Tabela 12. Número de plantas amostradas (n) e número de plantas corrigidas

red

) e a proporção de doença no talhão (p) para os quadrats 2x2,

3x3, 4x4 e 5x5 da variedade “Valência” da Fazenda Laranjeira,

situada no município de Nova Esperança, Estado do Paraná

2x2 3x3 4x4 5x5

avaliação

n n

red

n n

red

n n

red

n n

red

1 0,279 908 908 801 801 720 720 775 775

2 0,411 748 744 801 720 720 656 775 700

3 0,448 644 572 720 639 720 592 775 625

4 0,463 588 400 666 558 720 528 775 550

5 0,491 504 228 648 477 720 464 775 475

6 0,545 404 228 504 387 656 400 775 400

7 0,560 384 224 495 297 592 336 775 350

8 0,594 340 216 441 207 480 288 775 300

9 0,629 312 208 405 207 432 240 725 250

10 0,694 232 176 306 198 352 192 450 200

11 0,731 180 148 243 171 272 176 350 200

12 0,739 172 140 225 162 256 176 325 200

13 0,769 140 120 189 153 224 160 275 200

14 0,786 132 116 180 144 208 160 250 175

15 0,791 128 112 171 135 192 144 250 175

16 0,799 120 108 162 135 192 144 250 175

17 0,817 104 96 153 126 176 144 225 175

18 0,827 100 92 144 126 176 144 200 150

19 0,838 88 80 117 108 144 128 150 125

20 0,893 56 56 81 81 48 48 100 100

21 0,910 48 48 63 63 48 48 75 75

22 0,937 32 32 45 45 32 32 75 75

23 0,951 28 28 27 27 32 32 50 50

24 0,969 20 20 27 27 16 16 25 25

25 0,970 16 16 27 27 16 16 25 25

26 0,972 16 16 27 27 16 16 25 25

27 0,973 16 16 27 27 16 16 25 25

28 0,976 16 16 27 27 16 16 25 25

29 0,977 16 16 27 27 16 16 25 25

30 0,978 12 12 27 27 16 16 25 25

31 0,980 12 12 18 18 16 16 25 25

32 0,983 12 12 18 18 16 16 25 25

33 0,985 12 12 18 18 16 16 25 25

Tabela 13. Número de plantas amostradas (n) e número de plantas corrigidas

red

) e a proporção de doença no talhão (p) para os quadrats 2x2,

3x3, 4x4 e 5x5 da variedade “Pêra” da Fazenda Laranjeira, situada

no município de Nova Esperança, Estado do Paraná

2x2 3x3 4x4 5x5

avaliação

n n

red

n n

red

n n

red

n n

red

1 0,322 868 868 729 729 608 608 550 550

2 0,370 744 220 720 189 608 384 550 525

3 0,432 600 220 531 189 592 160 550 500

4 0,457 492 220 441 189 464 160 550 450

5 0,503 416 220 369 189 448 160 550 400

6 0,507 424 220 369 189 464 160 550 350

7 0,605 296 196 360 189 384 160 550 300

8 0,622 276 192 360 189 384 160 550 250

9 0,637 256 184 342 189 352 160 550 200

10 0,688 212 164 288 180 304 160 400 150

11 0,724 192 152 225 162 224 144 375 150

12 0,738 180 144 207 153 224 144 350 150

13 0,762 156 128 180 144 160 128 350 150

14 0,799 120 104 135 117 112 96 275 150

15 0,805 112 100

117 99 96 96 250 150

16 0,833 84 76 108 99 96 96 175 125

17 0,862 72 68 90 81 80 80 150 125

18 0,882 60 56 81 72 80 80 150 125

19 0,896 48 48 54 54 48 48 100 100

20 0,941 28 28 36 36 32 32 50 50

21 0,947 24 24 36 36 32 32 50 50

22 0,966 16 16 27 27 16 16 25 25

23 0,967 16 16 27 27 16 16 25 25

24 0,970 16 16 18 18 16 16 25 25

25 0,976 12 12 18 18 16 16 25 25

26 0,977 12 12 18 18 16 16 25 25

27 0,979 12 12 18 18 16 16 25 25

28 0,984 8 8 9 9 16 16

25 25

29 0,987 8 8 9 9 16 16 25 25

30 0,988 8 8 9 9 16 16 25 25

31 0,992 4 4 9 9 16 16 25 25

32 0,997 4 4 9 9 16 16 25 25

33 0,998 4 4 9 9 16 16 25 25

34 0,999 4 4 9 9 16 16 25 25

Pode-se observar que houve redução do número de plantas a serem

amostradas em cada avaliação e este número foi maior quanto menor foi o

valor de p (proporção da doença), até a doença atingir aproximadamente 60%

do talhão. As maiores reduções, em torno de 70%, foram nos talhões de laranja

“Pêra” de Loanda, nos

quadrats 4x4 e 5x5, quando p = 0,37, de laranja

“Valência” de Loanda, no

quadrat 4x4x com p = 0,51 e de laranja “Pêra” de

Nova Esperança, nos

quadrats 3x3 e 2x2, quando p = 0,37 e no quadrat 4x4,

com p = 0,43. Na variedade “Pêra” de Nova Esperança, no

quadrat 4x4 poderia

ter avaliado 58% das plantas que seria avaliado com o uso de N

De acordo com Karandinos (1976) e Hughes et al. (1996), para usar a

fórmula do cálculo de N

da equação (1), é preciso estabelecer a proporção fixa

H da média p. Estabelecendo o valor de H igual a 0,1; 0,13; 0,15; 0,18 e 0,2,

nos dados da variedade “Valência” de Loanda subdividido em

quadrats 4x4,

observou-se que o número de

quadrats N

diminuiu à medida que H aumentou,

e na avaliação 7, o número de

quadrats passou de 32 para 8, como se observa

na Tabela 14. Mesmo com essa redução, a estatística F resultou ser não-

significativa, como consta na Tabela 15.

Tabela 14. Número de quadrats N

para diferentes valores de H, em que H é a

proporção fixa da média p e p é a proporção da doença no talhão,

subdividido em

quadrat 4x4, da variedade “Valência”, da Fazenda

Janete, situada no município de Loanda, Estado do Paraná

Número de

quadrats (N

)

avaliação

H=0,1 H=0,13 H=0,15 H=0,18 H=0,2

1 0,147 39 39 39 39 35

2 0,369 39 39 32 22 18

3 0,421 39 37 28 19 16

4 0,498 39 33 25 18 14

5 0,527 39 32 24 17 14

6 0,607 35 21 16 11 9

7 0,625 32 19 15 10 8

8 0,665 25 15 11 8 7

9 0,676 23 14 11 8 6

10 0,726 18 11 8 6 5

11 0,745 14 9 7 5 4

12 0,752 14 8 6 5 4

13 0,782 13 8 6 4 4

14 0,832 9 6 4 3 3

15 0,857 8 5 4 3 2

16 0,869 8 5 4 3 2

17 0,878 9 5 4 3 2

18 0,897 7 4 3 2 2

19 0,913 5 3 2 2 2

20 0,929 5 3 2 2 2

0,931 4 3 2 2 1

22 0,933 4 3 2 2 1

23 0,933 4 3 2 2 1

24 0,936 4 3 2 2 1

25 0,939 4 3 2 2 1

26 0,942 3 2 2 1 1

27 0,954 3 2 1 1 1

28 0,954 3 2 1 1 1

29 0,968 2 1 1 1 1

30 0,978 1 1 1 1 1

Tabela 15. Estatísticas F calculado (F

calc

) e tabelado (F

tab

) para amostras

obtidas com N

quadrats para diferentes valores de H, em que H é

a proporção fixa da média p, no talhão da variedade “Valência”,

subdividido em

quadrat 4x4, da Fazenda Janete, situada no

município de Loanda, Estado do Paraná

Parâmetros

calc

constantes

tab

H=0,1 H=0,13 H=0,15 H=0,18 H=0,2

A 1,565 0,660 0,721 0,557 0,492 1,058

B 1,565 0,072 0,204 0,103 0,200 0,176

C 1,565 0,347 0,727 0,329 0,468 0,848

e B 1,751 0,352 0,411 0,333 0,317 0,595

e C 1,751 0,436 0,540 0,474 0,438 0,714

e C 1,751 0,258 0,536 0,296 0,349 0,740

Log5

B e C 2,632 0,339 0,461 0,455 0,401 0,629

A 1,565 0,660 0,721 0,557 0,492 1,058

B 1,565 0,212 0,331 0,242 0,222 0,693

C 1,565 0,347 0,727 0,329 0,468 0,848

e B 1,751 0,349 0,419 0,369 0,325 0,643

e C 1,751 0,436 0,540 0,474 0,438 0,714

e C 1,751 0,277 0,542 0,289 0,344 0,762

Fermi-Dirac

B e C 2,632 0,339 0,461 0,455 0,401 0,629

No talhão de laranja “Valência” da Fazenda Janete de Loanda, o qual

foi subdivido em dois tamanhos de

quadrats, 2x2 e 5x5, foram realizados esses

mesmos processos em três modelos g

inf,

meio

e g

sup

)

das amostras em que

quadrats foram tomados de forma concentrada na parte inferior g

inf

, na

região central g

meio

e na parte superior g

sup

do talhão e, na maioria dos casos,

os resultados obtidos de F

calc

foram maiores que F

tab

, conforme Tabela 16.

Dessa forma, houve diferença significativa nos parâmetros do modelo, o que

leva a concluir que os modelos g

obtidos assim não podem ser substituídos por

um modelo único, ou seja, a amostragem deve ser aleatória.

Tabela 16. Estatísticas F calculado (F

calc

) e tabelado (F

tab

) para comparação

das amostras com os

quadrats concentrados na parte inferior (g

inf

superior (g

sup

) e no meio (g

meio

) do talhão, tomadas nos quadrats

2x2 e 5x5 da variedade “Valência” da Fazenda Janete do município

de Loanda, Estado do Paraná

calc

Parâmetros

2x2 5x5

constantes

tab

inf

sup

meio

inf

sup

meio

A 2,383 3,215 5,124 11,214 1,503 44,471 2,967

B 2,383 0,262 0,438 0,259 0 0,106 0,17

C 2,383 2,559 4,292 11,128 0,939 0,424 5,171

e B 2,537 1,608 3,46 6,858 0,845 23,824 2,035

e C 2,537 7,578 2,956 6,901 3,24 41,665 10,215

e C 2,537 6,857 10,883 22,471 1,362 1,588 6,316

Log5

B e C 2,766 14,741 7,518 15,642 4,57 42 14,468

A 2,383 3,215 5,124 11,214 1,503 44,471 2,967

B 2,383 6,102 16,818 33,125 0,657 0 3,56

C 2,383 2,559 4,292 11,128 0,939 0,424 5,171

e B 2,537 7,841 8,409 16,605 2,066 27,794 5,68

e C 2,537 7,578 2,956 6,901 3,24 41,665 10,215

e C 2,537 4,429 10,029 20,617 0,798 0,212 4,408

Fermi-Dirac

B e C 2,766 14,741 7,518 15,642 4,57 42 14,468

Foram feitas comparações dos modelos únicos dos

quadrats de

tamanhos 2x2, 3x3, 4x4 e 5x5 para cada um dos quatro talhões e constatou-se

não haver diferença significativa entre as amostras, nos parâmetros do modelo,

como pode se observar na Tabela 17.

Sendo assim, pode-se tomar um modelo único para cada variedade em

cada localidade. Na variedade “Pêra” de Nova Esperança, alguns valores de

calc

ficaram levemente maiores que F

tab

, como consta na Tabela 17, mas

apesar disso os resultados foram mantidos. Isto porque as análises realizadas

nos modelos únicos dos

quadrats de tamanhos 2x2, 3x3 e 4x4 mostraram não

haver diferença significativa entre as amostras; nos parâmetros do modelo, o

mesmo ocorreu para os

quadrats 2x2, 3x3 e 5x5 (Tabela 18). Dessa forma, de

acordo com as necessidades e interesses do pesquisador, pode ser utilizado

qualquer tamanho de

quadrat, uma vez que não há diferenças significativas

entre eles.

Tabela 17. Estatísticas F calculado (F

calc

) e tabelado (F

tab

) para comparação

das amostras tomadas nos

quadrats 2x2, 3x3, 4x4 e 5x5 das

variedades “Pêra” e “Valência” dos municípios de Nova Esperança

e Loanda, Estado do Paraná

Nova Esperança Loanda

Parâmetros

“Pêra” “Valência” “Pêra” “Valência”

constantes

tab

calc

tab

calc

tab

calc

tab

calc

A 1,95 0,13 1,96 1,51 2,04 0,98 1,97 1,72

B 1,95

2,42

1,96 0,47 2,04 0,15 1,97 0,26

C 1,95 0,41 1,96 1,59 2,04 0,27 1,97 0,23

e B 2,17 1,46 2,17 0,82 2,25 0,53 2,18 1,18

e C 2,17 0,35 2,17 1,02 2,25 0,65 2,18 1,24

e C 2,17

2,38

2,17 1,00 2,25 0,35 2,18 0,72

Log5

B e C 2,67 1,69 2,67 0,98 2,75 0,68 2,68 1,15

A 1,95 0,13 1,96 1,51 2,04 0,98 1,97 1,72

B 1,95

3,87

1,96 0,44 2,04 0,33 1,97 1,38

C 1,95 0,41 1,96 1,59 2,04 0,27 1,97 0,23

e B 2,17

2,31

2,17 0,92 2,25 0,73 2,18 1,25

e C 2,17 0,35 2,17 1,02 2,25 0,65 2,18 1,24

e C 2,17 2,15 2,17 0,95 2,25 0,32 2,18 0,81

Fermi-Dirac

B e C 2,67 1,69 2,67 0,98 2,75 0,68 2,68 1,15

Tabela 18. Estatísticas F calculado (F

calc

) e tabelado (F

tab

) para comparação

das amostras tomadas nos

quadrats a=2x2, b=3x3, c=4x4 e d=5x5

da variedade “Pêra” do município de Nova Esperança, Estado do

Paraná

Parâmetros

a,b,c,d a,b,c a,b,d a,b

constantes

tab

calc

tab

calc

tab

calc

tab

calc

A 1,95 0,13 2,11 0,07 2,11 0,20 2,36 0,20

B 1,95

2,42

2,11 1,72 2,11 1,66 2,36 1,48

C 1,95 0,41 2,11 0,55 2,11 0,63 2,36 1,08

e B 2,17 1,46 2,31 0,95 2,31 0,99 2,52 0,74

e C 2,17 0,35 2,31 0,34 2,31 0,44 2,52 0,61

e C 2,17

2,38

2,31 1,39 2,31 1,43 2,52 0,74

Log5

B e C 2,67 1,69 2,70 1,00 2,70 0,98 2,75 0,49

A 1,95 0,13 2,11 0,07 2,11 0,20 2,36 0,20

B 1,95

3,87

2,11 2,00 2,11 1,98 2,36 0,40

C 1,95 0,41 2,11 0,55 2,11 0,63 2,36 1,08

e B 2,17

2,31

2,31 1,31 2,31 1,27 2,52 0,50

e C 2,17 0,35 2,31 0,34 2,31 0,44 2,52 0,61

e C 2,17 2,15 2,31 1,27 2,31 1,33 2,52 0,74

Fermi-Dirac

B e C 2,67 1,69 2,70 1,00 2,70 0,98 2,75 0,49

Os parâmetros estimados dos modelos únicos para Log5 e Fermi-Dirac

para cada talhão, ou seja, para as variedades “Pêra” e “Valência” dos

municípios de Loanda e Nova Esperança, da região noroeste do Paraná, estão

apresentados na Tabela 19.

Tabela 19. Valores dos parâmetros estimados dos modelos únicos para Log5 e

para Fermi-Dirac, para as variedades “Pêra” e “Valência” dos

municípios de Loanda e Nova Esperança (NE), Estado do Paraná

Log5 Fermi-Dirac

Parâmetros

A B C A B C

“Pêra”

0,997 0,721 0,995 1,003 134,243 -185,974

“Valência”

0,996 0,603 0,995 1,005 127,945 -211,080

“Pêra”

1,059 2,188 0,982 0,945 117,380 -55,492

Loanda

“Valência”

1,043 1,057 0,994 0,959 163,618 -161,623

CONCLUSÕES

Para cada um dos talhões que usa diferentes

quadrats, chegou-se ao

modelo único tanto para número de

quadrats (N

), quanto para número de

quadrats corrigido (N

qred

). Dessa forma, é mais vantajoso usar N

qred

e optar por

tamanho de

quadrat de acordo com as necessidades e interesses do

pesquisador.

O uso de diferentes valores de proporção da média (H) em um dos

talhões permitiu verificar que, com aumento de H, houve diminuição do número

quadrats a serem avaliados.

Em cada um dos quatro talhões, foi determinada uma função única

para Log5 e outra para Fermi-Dirac que fosse possível descrever o padrão de

crescimento da CVC para qualquer tamanho de

quadrat analisado. Mais que

isso, foi possível determinar um modelo único para Log5 e outro para Fermi-

Dirac para cada talhão, isto é, para as variedades “Pêra” e “Valência" dos

municípios de Loanda e Nova Esperança, da região noroeste do Paraná.

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