( PDF ) Existência da multiplicidade de soluções para uma classe de equações elípticas quase lineares sobre IR com perturbação

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Existˆencia e Multiplicidade de Solu¸c˜oes

para uma Classe de Equa¸c˜oes El´ıpticas

Quase Lineares sobre R com Perturba¸c˜ao

Maria Jos´e Alves

Belo Horizonte 07 de mar¸co de 2008

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universidade federal de minas gerais

instituto de ci

encias exatas

departamento de matem

atica

Maria Jos´e Alves

Existˆencia e Multiplicidade de Solu¸c˜oes para uma Classe de

Equa¸c˜oes El´ıpticas Quase Lineares sobre R com Perturba¸c˜ao

Belo Horizonte

2008

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Maria Jos

e Alves

Existˆencia e Multiplicidade de Solu¸c˜oes para uma Classe de

Equa¸c˜oes El´ıpticas Quase Lineares sobre R com Perturba¸c˜ao

Tese apresentada ao corpo docente

de P´os Gradua¸c˜ao em Matem´atica do

Instituto

de Ciˆencias Exatas da Universidade

Federal de Minas Gerais, como parte

dos requisitos para obten¸c˜ao do t´ıtulo

de Doutor em Matem´atica

Orientador:

Ol´ımpio Hiroshi Miyagaki

Universidade Federal de Vi¸cosa

Co-orientador:

Paulo C´esar Carri˜ao

Universidade Federal de Minas Gerais

Aos meus pais, Antˆonio e Ana.

Ao meu esposo, Roberto.

A minha ﬁlha, Bruna.

Agradecimentos

Acima de tudo agrade¸co a Deus, por estar sempre comigo dando-me sa´ude e for¸cas

para realizar este trabalho.

Aos meus orientadores, Paulo C´esar Carri˜ao e Ol´ımpio Hiroshi Miyagaki, por me

aceitarem como aluna de doutorado, pela amizade, compreens˜ao e dedica¸c˜ao em todos

os momentos. Expresso tamb´em a minha admira¸c˜ao pela competˆencia proﬁssional

que possuem, com o qual conduziram com seguran¸ca, determina¸c˜ao e paciˆencia este

trabalho, de forma excepcional.

Aos professores que compuseram minha banca, Daniel Cordeiro de Morais Filho,

Emerson Alves Mendon¸ca de Abreu , Gast˜ao de Almeida Braga e Jesus Carlos da

Mota, pelas sugest˜oes apresentadas.

Aos professores, funcion´arios e colegas do Departamento de Matem´atica da UFMG

pelo carinho e respeito que sempre demonstraram por mim. Em especial ao Professor

Ronaldo Brasileiro Assun¸c˜ao pelas in´umeras sugest˜oes, corre¸c˜oes e cr´ıticas.

A minha fam´ılia, que sempre me incentivou e me apoiou. Em particular, agrade¸co

aos meus queridos pais, ao meu esposo e a minha ﬁlha, aos quais dedico este trabalho,

que me incentivaram, vibraram comigo em cada vit´oria, pela paciˆencia e amor com

que suportaram os momentos dif´ıceis, sempre ao meu lado e se abdicaram por vezes

do pouco conforto para permitirem que eu me concentrasse nos estudos.

iii

Resumo

Neste trabalho estamos interessados em obter um resultado de existˆencia de pelo

menos uma solu¸c˜ao positiva ( no caso homogˆeneo ) e de duas solu¸c˜oes positivas

( no caso n˜ao homogˆeneo ) para uma classe de equa¸c˜oes el´ıpticas quase lineares

em R envolvendo o operador p-Laplaciano, com uma perturba¸c˜ao n˜ao autˆonoma.

O resultado de existˆencia de solu¸c˜ao do caso homogˆeneo ´e obtida como sendo um

m´ınimo na variedade de Nehari. Para o caso n˜ao homogˆeneo, a primeira solu¸c˜ao

´e obtida como sendo um m´ınimo local em uma vizinhan¸ca da origem e a segunda

solu¸c˜ao por argumentos do passo da montanha. Este problema ´e complexo pelo fato

do operador n˜ao ser linear e de estarmos trabalhando em um sub-espa¸co de Banach

de W

1,p

(R). Devido a este fato, tivemos de provar a convergˆencia q. t. p. em R da

sequˆencia dos gradientes .

Palavras-chave: Perturba¸c˜ao n˜ao autˆonoma, equa¸c˜ao de Schr¨odinger, p-Laplaciano,

m´etodo variacional.

Abstract

This paper is concerned with the existence of one positive solution ( in the

homogeneous case ) and of two positive solutions ( in the nonhomogeneous case )

for a class of quasilinear elliptic equations in R involving the p-Laplacian, with a non

autonomous perturbation. By The existence of solution result in the homogeneous

case is obtained as a minimum in the Nehari’s manifold. In the nonhomogeneous

case, the ﬁrst solution is obtained as a local minimum in a neighborhood of 0 and

the second one by a mountain-pass argument. The special features of the problem

here is the ”complex”structure of the nonlinear part which, in particular, oblige to

work in the space W

1,p

(R). The main diﬃculty is the convergence of the sequences

of derivatives u



→ u



Keywords: Non autonomous perturbations, Schr¨odinger equation, p-Laplacian,

variational method.

Nota¸c˜oes

≡ igualdade por deﬁni¸c˜ao

q. t. p. quase todo ponto

B(0, R) bola fechada centrada em 0 e com raio R

|S| medida do conjunto S



≡

p−1

expoente conjugado de p

∆

u(x) ≡ [|u



(x)|

p−2



(x)]



operador p-laplaciano

∗

espa¸co dual do espa¸co X

∞

(R) espa¸co das fun¸c˜oes de classe C

∞

com suporte

compacto em R

→ u convergˆencia forte (em norma)

 u convergˆencia fraca

(R)



u : R → R mensur´avel :



|u(x)|

dx < ∞,

1 ≤ p < ∞}

munido da norma |u|

≡





|u(x)|



1/p

1,p

(R) {u ∈ L

(R) | existe g ∈ L

(R) tal que



uϕ



= −



gϕ para toda ϕ ∈ C

∞

(R)



, munido

da norma u =





(|u(x)|

+ |u



(x)|

) dx



cone positivo das fun¸c˜oes do espa¸co dual (L



(R))

∗

≡ L

(R), s ≥ 1 deﬁnido por:



f ∈ L

(R) \ {0} :



f(x)u(x)dx ≥ 0, para todo

u ∈ W

1,p

(R), u(x) ≥ 0 q. t. p sobre R,

onde

= 1



(P S)

sequˆencia de Palais-Smale para o funcional I no

n´ıvel c ∈ R: ´e uma sequˆencia (u

) ⊂ W

1,p

(R) tal que

lim

n→∞

I(u

) = c e lim

n→∞

I



)

1,p

(R))

∗

= 0.

1,α

(R) conjunto formado pelas fun¸c˜oes u : R → R,

de classe C

, cuja derivada ´e h¨older cont´ınua

com expoente α, α ∈ R ∩ (0, 1).

Sum´ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Minimiza¸c˜ao sobre a variedade de Nehari 7

1.1 Introdu¸c˜ao 7

1.2 Lemas auxiliares 8

1.3 Prova do Teorema 0.1 24

2 Multiplicidade de solu¸c˜oes 34

2.1 Introdu¸c˜ao 34

2.2 Preliminares para o Teorema 0.2 38

2.3 Prova do Teorema 0.2 44

2.4 Preliminares para o Teorema 0.3 52

2.5 Prova do Teorema 0.3 54

Orbitas homocl´ınicas para o problema autˆonomo 65

4 Conclus˜ao 73

Referˆencias Bibliogr´aﬁcas 74

A Apˆendice 78

A.1 Desigualdades 78

A.2 Lema de Br´ezis e Lieb 79

A.3 Princ´ıpio Variacional de Ekeland 79

A.4 Teorema de Poincar´e-Bendixson 79

A.5 Teorema do Passo da Montanha 80

A.6 Princ´ıpio do M´aximo de V´azquez 81

A.7 Teorema de Arzel´a-Ascoli 82

A.8 Teorema de Hewitt-Stromberg 82

A.9 Lema de Concentra¸c˜ao e Compacidade 83

A.10 Teorema de convergˆencia em L

(R) 83

A.11 Deﬁni¸c˜ao da variedade de Nehari 83

A.12 Deﬁni¸c˜ao de solu¸c˜ao fraca e regularidade do funcional I 83

Introdu¸c˜ao

Neste trabalho estudaremos os problemas de existˆencia e multiplicidade de solu¸c˜oes

positivas para uma classe de equa¸c˜oes diferenciais el´ıpticas quase lineares sobre R,

envolvendo o operador p-Laplaciano, da forma







Lu + V (x)|u|

p−2

u = |u|

q−2

u + g(x), em R,

u ∈ W

1,p

(R), u ≥ 0 em R,

(0.0.1)

onde o operador L ´e deﬁnido por

Lu ≡ −[|u



p−2



]



− K

{[(|u|

)



]

p−1

}



|u|

β−2

u, (0.0.2)

> 0, β > 1, p > 1, q ≥ p β, g ∈ L

(R), para algum s ≥ 1 e V : R → R ´e uma

fun¸c˜ao potencial satisfazendo a condi¸c˜ao b´asica

) existe uma constante α

> 0 tal que inf

V (x) ≥ α

> 0.

Equa¸c˜oes quase lineares do tipo

−



i=1

∂

∂x



|∇u|

p−2

∂u

∂x



+ V (x)|u|

p−2

u = f(x, u), em R

aparecem, naturalmente, como modelo de v´arios fenˆomenos f´ısicos relacionados a

v´arios tipos de fun¸c˜oes f. Alguns destes problemas vˆem de diferentes ´areas da

Matem´atica Aplicada e F´ısica. Por exemplo, surgem na teoria de elasticidade n˜ao

linear, rea¸c˜oes e difus˜oes, glaciologia, teoria de combust˜ao, biologia das popula¸c˜oes,

leis de ﬂuxos n˜ao lineares, sistemas de equa¸c˜oes diferenciais parciais de Monge-

Kantorovich e no estudo de ﬂuidos n˜ao Newtonianos. Veja por exemplo, [21, 23,

27, 36, 48] e suas referˆencias.

No caso onde p = β = 2, a equa¸c˜ao (0.0.1) descreve a existˆencia de solu¸c˜oes

estacion´arias para equa¸c˜oes de Schr¨odinger quase lineares da forma

= −∆z + V (x)z − h(|z|

)z − K

∆f(|z|



(|z|

)z em R

, (0.0.3)

onde V ´e uma fun¸c˜ao potencial dada, K

´e uma constante real, h e f s˜ao fun¸c˜oes

reais. O caso em que f(s) = s, foi usado na obten¸c˜ao da equa¸c˜ao da membrana

de superﬂuido em F´ısica dos Plasmas por Kurihura em [33]. Para f(s) = (1 + s)

a equa¸c˜ao (0.0.3) modela a canaliza¸c˜ao de um laser ultra curto de alta potˆencia na

mat´eria, veja Borovskii e Galkin[15] e De Bouard, Hayashi e Saut [16]. A equa¸c˜ao

(0.0.3) tamb´em aparece em F´ısica dos Plasmas e Mecˆanica dos Fluidos (veja [8, 46]),

em Mecˆanica e Teoria da Mat´eria Condensada (veja [28, 40], respectivamente).

Equa¸c˜oes do tipo (0.0.1) aparecem tamb´em quando procuramos a existˆencia

de ondas solit´arias em equa¸c˜oes n˜ao lineares do tipo Klein-Gordon ( [9, 54] ) ou

Schr¨odinger ( [34, 45]).

O caso semilinear de (0.0.1), ou seja quando p = β = 2, correspondente a K

= 0,

tem sido intensivamente estudado nos ´ultimos anos, considerando v´arios tipos de

fun¸c˜oes g, veja por exemplo [9, 26, 31], bem como as suas referˆencias. Sendo mas

preciso, Rabinowitz em [47] (veja tamb´em [7, 19]) estudou o caso quando V satisfaz

a condi¸c˜ao de coercividade do tipo

) lim

|x|→∞

V (x) = +∞.

A situa¸c˜ao no qual V ´e limitado e satisfaz a condi¸c˜ao de periodicidade

) V (x + p) = V (x), x ∈ R, p ∈ Z,

foi estudada, ainda no caso semilinear, por exemplo, por Coti-Zelati e Rabinowitz

[20], Kryszewski e Szulkin [32] e Montecchiari [41]. Outra situa¸c˜ao, quando V tende

assintoticamente a uma constante

V ≡ sup

x∈R

V (x), isto ´e,



) lim

|x|→∞

V (x) =

V , e V ≤ V ,

onde a ´ultima desigualdade ´e estrita sobre um subconjunto de R

de medida positiva,

foi estudada por Noussair, Swanson e Yang em [42].

O problema (0.0.1) em R

, com 1 < p < n, K

= 0 e g = 0, tamb´em foi

considerado por Zhu e Yang [58].

Alves, Carri˜ao e Miyagaki em [1] trataram o problema (0.0.1) quando K

= 0,

g = 0 e V tende assintoticamente a uma fun¸c˜ao peri´odica V

, isto ´e,

) lim

|x|→∞

[V (x) − V

(x)] = 0 e V (x) ≤ V

(x) ,

onde a ´ultima desigualdade ´e estrita sobre um subconjunto de R

de medida positiva.

Ainda no caso K

= 0, Rˇadulescu e Smets em [49] obtiveram um resultado de

multiplicidade de solu¸c˜oes para o problema (0.0.1) quando g = 0 e β = p = 2.

O caso semilinear correspondente a K

= 0 e 4 ≤ q + 1 ≤

n−2

se n ≥ 3 e

q ≥ 3 se n = 1, 2, foi estudado, por exemplo, em [5, 37, 38, 39, 45]. Sendo mais

espec´ıﬁco, Liu, Wang e Wang em [39] estabeleceram a existˆencia de solu¸c˜ao, tanto

com um ´unico sinal quanto nodal do tipo ”ground states”, usando o m´etodo de Nehari.

Poppenberg, Schmitt e Wang em [45] e Liu e Wang em [37], usando um argumento

de minimiza¸c˜ao, obtiveram uma solu¸c˜ao do problema (0.0.1), considerando g = 0 e

com um multiplicador de Lagrange associado ao termo n˜ao linear. Em verdade, eles

usaram o princ´ıpio de concentra¸c˜ao e compacidade, devido a P.L. Lions, e o m´etodo

de multiplicador de Lagrange e obtiveram uma solu¸c˜ao positiva (u, θ), da equa¸c˜ao

−u



+ V (x)u − K

)



u = θ|u|

p−1

u , x ∈ R. (0.0.4)

Em seguida, Liu, Wang e Wang em [38] usando mudan¸ca de vari´aveis, reduziram o

problema quase linear (0.0.1) em R

com p = β = 2 e g = 0 a um semilinear e seus

resultados n˜ao dependia mais da constante θ. Para n = 1, usando uma t´ecnica de

aproxima¸c˜ao variacional perturbativa, Ambrosetti e Wang em [5], tamb´em retiraram

o multiplicador de Lagrange. Este argumento, usando mudan¸ca de vari´aveis, tamb´em

foi utilizado por Colin e Jeanjean em [17], quando p = β = 2 e V = 0 e Severo [50],

para n ≥ p > 1, β = 2, p = 2 e g = 0. Note que no caso K

= 0 e n = 1, as id´eias

de Severo em [50] n˜ao se aplicam diretamente. Estes autores provaram a existˆencia

de solu¸c˜oes aplicando um resultado cl´assico dado por Berestycki e Lions [13], quando

n = 1 ou n ≥ 3 e Berestycki, Gallou¨et e Kavian em [10], quando n = 2. Vale ressaltar

que todos os artigos mencionados anteriormente consideraram os potenciais descritos

acima. Ainda considerando n = 2, a equa¸c˜ao (0.0.1) ( sem o termo com expoente q ),

para p = β = 2 e g satisfazendo uma condi¸c˜ao de crescimento envolvendo exponencial

e o expoente cr´ıtico, foi tratada por exemplo, em [43].

Para provar a existˆencia e multiplicidade de solu¸c˜oes estritamente positivas para

problema (0.0.1), enfrentamos as seguintes diﬁculdades:

• Ao trabalhar com este operador envolvendo o p-Laplaciano, vemos que

surgem de forma natural in´umeras diﬁculdades de ordem bastante t´ecnicas,

essencialmente pelo fato deste operador n˜ao ser linear e de estarmos trabalhando

em um sub-espa¸co de Banach de W

1,p

(R).

Tivemos que provar uma desigualdade, do tipo Br´ezis e Lieb, isto ´e,

• Sejam u

 u fracamente em W

1,p

(R), quando n → ∞ e v

= u

− u. Ent˜ao

lim inf

n→∞



β−1

≥ lim inf

n→∞



β−1

+ |u



|u|

β−1

O caso p = 2, foi provado por Poppenberg, Schmitt e Wang em [45]. Para

p = 2, as id´eias de Poppenberg, Schmitt e Wang n˜ao se aplicam diretamente e

para obter este resultado tivemos que utilizar teoremas importantes da teoria

de An´alise, por exemplo, o Teorema de Arzel´a Ascoli e o Teorema Hewitt-

Stromberg ( veja Apˆendice A ).

• Para o caso p = 2, tivemos tamb´em de provar a convergˆencia da sequˆencia das

derivadas, isto ´e,



→ u



q.t.p em R, quando n → ∞,

para uma sequˆencia limitada (u

) em um sub-espa¸co de Banach de W

1,p

(R).

Esta convergˆencia foi obtida usando alguns argumentos obtido por Boccardo e

Murat.

No Cap´ıtulo 1, vamos estudar o problema







Lu + V (x)|u|

p−2

u = |u|

q−2

u, em R,

u ∈ W

1,p

(R), u > 0 em R,

(0.0.5)

que corresponde ao problema (0.0.1) no caso onde g(x) = 0.

Usando a t´ecnica desenvolvida por Ambrosetti and Wang em [5] e combinando

o princ´ıpio de concentra¸c˜ao e compacidade devido Lions, com um processo de

minimiza¸c˜ao, vamos provar a existˆencia de uma solu¸c˜ao estritamente positiva para

problema (0.0.5). Precisamente, obteremos o seguinte resultado

Teorema 0.1. Sejam β > 1, p > 1 e q ≥ p β e suponha a condi¸c˜ao (V

). Se

V satisfaz uma das condi¸c˜oes (V

), (V

) ou (V

) ent˜ao o problema (0.0.5) tem no

m´ınimo uma solu¸c˜ao estritamente positiva.

O Teorema 0.1 estende o artigo do Ambrosetti e Wang nos seguintes sentidos:

• Ele fez para g(x) ≡ 0, p = 2, β = 2 e q = r + 1.

• Ele considerou V assint´otico a uma constante e n´os consideramos V assint´otico

a uma fun¸c˜ao peri´odica.

O Cap´ıtulo 2, foi motivado pelo artigo do Rˇadulescu e Smets em [49], este autores

ﬁzeram uma extens˜ao do trabalho de Tarantello em [55], para dom´ınios ilimitados

e operadores mais gerais, e provaram a existˆencia de duas solu¸c˜oes positivas para o

problema







−div (|x|

∇u) = |u|

∗

−2

u, em Ω,

Ω ⊂ R

, n ≥ 2 , α ∈ (0, 2), 2

∗

n−2+α

Neste Cap´ıtulo, vamos aplicar o m´etodo variacional, considerando o caso K

= 1

e provaremos a existˆencia de duas solu¸c˜oes estritamente positivas para o problema

(0.0.1) ( veja tamb´em Assun¸c˜ao, Carri˜ao e Miyagaki [6] e Jeanjean em [30] ). Nossos

resultados s˜ao os seguintes:

Teorema 0.2. Seja V uma fun¸c˜ao potencial limitada satisfazendo a condi¸c˜ao (V

) e

uma das condi¸c˜oes (V

) ou (V

). Suponha K

= 1, β > 1, p > 1 e q ≥ p β ent˜ao

o problema (0.0.1) tem no m´ınimo uma solu¸c˜ao se g = 0 e |g|

for suﬁcientemente

pequena. Al´em disso, se g ∈ C

ent˜ao esta solu¸c˜ao ´e estritamente positiva.

Teorema 0.3. Seja V uma fun¸c˜ao potencial limitada satisfazendo a condi¸c˜ao (V

) e

uma das condi¸c˜oes (V

) ou (V

). Suponha K

= 1, β > 1, p > 1 e q ≥ p β ent˜ao

para cada f ∈ C

o problema (0.0.1) com g = f tem no m´ınimo duas solu¸c˜oes

estritamente positivas, para todo  > 0 suﬁcientemente pequeno.

No Cap´ıtulo 3, seguindo argumentos utilizados por Arnold em [4] e Sotomayor em

[52], vamos generalizar a potˆencia q, retirando a sua dependˆencia de β, precisamente,

q > p e vamos mostrar que a equa¸c˜ao

Lu + |u|

p−2

u = |u|

q−2

u, em R, (0.0.6)

ter´a duas solu¸c˜oes distintas.

Vamos provar o seguinte resultado

Teorema 0.4. Para cada β > 1, K

> 0, p > 1 e q > p a equa¸c˜ao (0.0.6) possui

uma solu¸c˜ao estritamente positiva e uma solu¸c˜ao estritamente negativa.

—1—

Minimiza¸c˜ao sobre a variedade de

Nehari

1.1 Introdu¸c˜ao

O objetivo deste cap´ıtulo ´e demonstrar o Teorema 0.1. Vamos considerar o problema

(0.0.5), a saber,







Lu + V (x)|u|

p−2

u = |u|

q−2

u, em R,

u ∈ W

1,p

(R), u > 0 em R,

onde o operador L ´e deﬁnido pela igualdade (0.0.2), K

> 0, β > 1, p > 1, q ≥ pβ e

V : R → R ´e uma fun¸c˜ao potencial satisfazendo a condi¸c˜ao b´asica (V

Vamos demonstrar que este problema possui uma solu¸c˜ao positiva no subespa¸co

de W

1,p

(R) deﬁnido por

X ≡



u ∈ W

1,p

(R) :



V (x)|u|

dx < +∞



com a norma dada por

u

≡



[|u



+ V (x)|u|

]dx.

Devido a condi¸c˜ao (V

) obtemos que X est´a continuamente imerso em W

1,p

(R).

Observa¸c˜ao 1.1. Recordemos que a imers˜ao de W

1,p

(R) dentro de L

(R) para s = ∞

ou para s ≥ p ´e cont´ınua, veja [13].

O funcional energia I : X −→ R, associado a equa¸c˜ao (0.0.1) ( veja Apˆendice,

se¸c˜ao A12) ´e dado por,

8 1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari

I(u) ≡





[|u



+ V (x)|u|

] +

p−1

|u|

p(β−1)



−

|u|



dx.

Temos que I ∈ C

(X, R) ( veja Apˆendice, se¸c˜ao A12 ) e sua derivada de Fr´echet ´e

dada por



(u) · v =







p−2







dx +



V (x)



|u|

p−2



vdx

+ K



p−1

(β − 1)



|u|

p(β−1)−2

u|u





vdx

+ K



p−1



|u|

p(β−1)



p−2







dx −





|u|

q−2



vdx,

onde conclui-se que



(u) · u = u

+ β



|u|

β−1

− |u|

, u ∈ X.

Seja M a variedade de Nehari deﬁnida no Apˆendice, se¸c˜ao A11.

Vamos provar na pr´oxima se¸c˜ao ( veja Lema 1.2-(d) ) que os pontos cr´ıticos do

funcional I restrito a variedade de Nehari M s˜ao precisamente solu¸c˜oes fracas ( veja

a deﬁni¸c˜ao no apˆendice, se¸c˜ao A12 ) do problema (0.0.5) .

Para provar o Teorema 0.1 vamos precisar de alguns resultados preliminares

descritos nos lemas abaixo.

1.2 Lemas auxiliares

Lema 1.2. Suponha β > 1, p > 1 e q ≥ p β. Ent˜ao

(a) M ´e uma variedade e M = ∅.

(b) Para qualquer u ∈ X\{0} com I



(u) · u < 0, existe um ´unico 0 < λ < 1 tal que

λu ∈ M.

1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari 9

(d) Se ¯u ∈ M ´e um ponto cr´ıtico de I restrito a M, ent˜ao I



(¯u) = 0 e ¯u ´e uma solu¸c˜ao

do problema (0.0.5).

(e) m = inf

u∈M

I(u) ≥ C > 0, onde C ´e uma constante.

Prova:

(a) Vamos provar que M ´e de fato uma variedade. Para u ∈ M temos que



|u|

β−1

= |u|

− u

. (1.2.1)

Usando a igualdade (A.12.5) ( veja Apˆendice, se¸c˜ao A12 ) obtemos que



(u).u.u = p(1 − β)u

+ (pβ − q)|u|

Como β > 1 e q ≥ pβ concluimos que



(u) · u · u < 0 (1.2.2)

e portanto 0 ´e um valor regular. Logo M ´e uma variedade.

Para provar que M = ∅, ﬁxe u ∈ X\{0} e deﬁna

Ψ(t) = I(tu) =

u

p−1

pβ



|u|

β−1

−

|u|

Ent˜ao



(t) = t

p−1



u

+ β

p(β−1)



|u|

β−1

− t

q−p

|u|



= t

p−1

f(t),

onde

f(t) = u

+ β

p(β−1)



|u|

β−1

− t

q−p

|u|

. (1.2.3)

10 1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari

(b)

Caso 1 : se q > pβ. Observe que



(t) = p(β − 1)β

p(β−1)−1



|u|

β−1

− (q − p)t

q−p−1

|u|

Como q > p, impondo a condi¸c˜ao f



(t) = 0, obtemos que

t ≡



p(β − 1)β



|u|

β−1

(q − p)|u|



q−pβ

satisfaz f



(

t) = 0. Desde que f



(t) < 0 para t >

t e f



(t) > 0 se 0 < t <

t ent˜ao

´e o ´unico ponto critico ( de m´aximo ) para f.

Como f(0) = u

> 0 e f(t) > 0, para valores pequenos t e f(t) < 0, para valores

grandes de t, ent˜ao existe um ´unico

t > 0 ( pois f tem um ´unico ponto cr´ıtico ) tal

que f(

t) = 0 e segue que

tu ∈ M.

Al´em disso, desde que f(0) = u

> 0 e f (1) = I



(u) · u < 0 ent˜ao 0 <

t < 1.

Case 2 : se q = pβ. Aﬁrmamos que para todo  > 0 existe uma fun¸c˜ao Φ



∈ W

1,p

(R)

tal que



|Φ



dx = 1 e



|Φ





dx = 

. Basta considerar a fun¸c˜ao φ : R → R, de

classe C

∞

(R) tal que

o suporte da φ est´a contido em [−1, 1],



−1

|φ(x)|

dx = 1 e



−1

|φ



(x)|

dx = ε

, para todo x ∈ R.

Deﬁna



(x) ≡ 

φ(x).

Tomando as fun¸c˜oes |u



≡ Φ



(x), obtemos que

1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari 11

||u



β−1





e |u



= 1.

Correspondendo a tais u



encontramos

f(t) = u





+ β

p(β−1)



− t

q−p

= u





+ t

q−p



− 1).

Escolhendo 

obtemos que



(t) = (q − p)t

(q−p)−1



− 1) < 0, para todo : t > 0.

Portanto f ´e decrescente. Desde que f(0) = u





> 0 e f(t) < 0 quando t → ∞,

ent˜ao existe um ´unico

t tal que f (

t) = 0. Da igualdade (1.2.3) obtemos que

f(1) = I



(u) < 0. Assim 0 <

t < 1. Segue tamb´em que



∈ M.

u

= −K



|u|

β−1

+ |u|

≤ |u|

≤ Cu

u ≥





q−p

≡ ρ > 0.

(d) Seja χ(u) ≡ I



(u) · u. Desde que ¯u ∈ M ´e um ponto cr´ıtico de I restrito a M,

segue de [24, Theorem 1.4.2], que existe λ ∈ R tal que I



(¯u) = λχ



(¯u). Portanto

0 = I



(¯u) · ¯u = λχ



(¯u) · ¯u.

Por outro lado, como I satisfaz a desigualdade (1.2.2), tamb´em obtemos que



(¯u) · ¯u = I



(¯u) · ¯u · ¯u < 0 e assim concluimos que λ = 0. Logo I



(¯u) = 0 e ¯u ´e uma

solu¸c˜ao da equa¸c˜ao ( 0.0.5).

(e) Para cada u ∈ M, da igualdade (1.2.1) obtemos que

(u) =

β − 1

pβ

u

q − pβ

pqβ

|u|

. (1.2.4)

12 1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari

Desde que β − 1 > 0, q − pβ > 0 and u > ρ ( Lema 1.2-(c)), concluimos que

(u) ≥

β − 1

pβ

> 0.

Portanto

m = inf

u∈M

I(u) > 0.

No lema a seguir usaremos a seguinte deﬁni¸c˜ao:

Deﬁni¸c˜ao 1.3. Dizemos que uma sequˆencia (u

) ⊂ M ´e minimizante para I se

I(u

) → m quando n → ∞.

Lema 1.4. Seja (u

) ⊂ M uma sequˆencia minimizante para I. Ent˜ao

(a) u

´e limitada em X e existe u ∈ X tal que u

 u fracamente em X, quando

n → ∞,

(b) lim

n→∞

> 0,

= u

− u. Ent˜ao I



(u) · u + lim inf

n→∞



) · v

≤ 0 de onde conclui-se

que I



(u) · u ≤ 0 ou lim inf

n→∞



) · v

≤ 0.

Para provar este Lema usaremos a seguinte proposi¸c˜ao, cuja demonstra¸c˜ao ser´a feita

posteriormente.

Proposi¸c˜ao 1.5. Sejam u

 u fracamente em W

1,p

(R), quando n → ∞ e

= u

− u. Ent˜ao

lim inf

n→∞



β−1

≥ lim inf

n→∞



β−1

+ |u



|u|

β−1

Observamos que no caso p = 2, este resultado foi provado em [45].

Assumindo esta Proposi¸c˜ao, vamos concluir a prova do Lema 1.4, como segue.

1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari 13

Prova do Lema 1.4:(a) Seja (u

) ⊂ M uma sequˆencia minimizante para I. Ent˜ao

dado  > 0 existe n

∈ N tal que

|I(u

) − m| < , para todo n ≥ n

Disto concluimos que

m −  ≤

β − 1

pβ

u

q − pβ

pqβ

|u|

≤ m + .

Portanto u



e |u|

s˜ao limitadas em X. Ent˜ao podemos assumir que u

 u

fracamente em X, quando n → ∞.

(b) Desde que u

∈ M para todo n, do Lema 1.2-(c) obtemos que

= u



+ β



β−1

≥ u



≥ ρ

> 0.

= u

− u. Como I



) · u

= 0 segue que

− u



= β



β−1

Tomando o limite inferior na igualdade acima, usando o Lema de Br´ezis e Lieb ( veja

Apˆendice, Lema A.2 ), o fato da sequˆencia (u

) ⊂ M e a Proposi¸c˜ao 1.5, concluimos

que

lim

n→∞



+ |u|

− v



− u



≥ β

lim inf

n→∞



β−1

+ β



|u|

β−1

Desde que

0 ≥ lim

n→∞

||v

− lim

n→∞

+ β

lim inf

n→∞



β−1

+ I



(u)u,

ent˜ao

14 1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari

lim inf

n→∞



).v

+ I



(u).u ≤ 0.

Lema 1.6. Seja (u

) ⊂ M uma sequˆencia minimizante para I tal que u



u f racamente em X, quando n → ∞. Se u ∈ M ent˜ao I(u) = m.

Prova: Seja (u

) ⊂ M uma sequˆencia minimizante para I. Do Lema 1.4-(a) segue

que u

 u fracamente em X, quando n → ∞. De (1.2.4) concluimos que

m + o(1) = I(u

) =

q − p

u



(q − pβ)

p−1

||u

β−1



Da Proposi¸c˜ao 1.5 e usando o fato da norma ser semi-continua inferiormente obtemos

que

m = lim inf

n→∞

I(u

)

≥

q − p

u

(q − pβ)

p−1

||u|

β−1



(q − pβ)

p−1

lim inf

n→∞

||v

β−1



≥

q − p

u

(q − pβ)

p−1

||u|

β−1



= I(u).

Assim I(u) ≤ m. Como u ∈ M, segue que I(u) = m.

Para provar a Proposi¸c˜ao 1.5, usaremos o seguinte lema:

Lema 1.7. Seja (u

) ⊂ M uma sequˆencia minimizante para I tal que u

 u

fracamente em W

1,p

(R), quando n → ∞. Ent˜ao



→ u



q. t. p. em R, quando n → ∞.

1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari 15

A prova deste Lema segue adaptando alguns argumentos usados por Boccardo e Murat

em [11] (veja tamb´em, [6] e [44] ).

De fato, deﬁna a fam´ılia de fun¸c˜oes

(s) =



s, se |s| ≤ η

|s|

, se |s| > η.

Fixe um conjunto compacto K ⊂ R e tome uma fun¸c˜ao corte φ

: R → R satisfazendo

∈ C

∞

(R), 0 ≤ φ

≤ 1 em R e φ

= 1 em K.

Considere a fun¸c˜ao teste φ

− u) ∈ W

1,p

(R). Desde que (u

) ⊂ M ´e uma

sequˆencia minimizante para I, pelo Princ´ıpio Variacional de Ekeland (veja Apˆendice,

Teorema A.3 e [57]), podemos supor que u

satisfaz

I(u

) → m e I



) → 0, quando n → ∞.

Portanto,

o(1) = I



)φ

− u) − I



(u)φ

− u)







p−2



− |u



p−2





(φ

− u))





V (x)



p−2

− |u|

p−2



− u)dx

+ K



p−1

(β − 1)



p(β−1)−2



− |u|

p(β−1)−2

u|u





− u)dx

+ K



p−1



p(β−1)



p−2



− |u|

p(β−1)



p−2





(φ

− u))



−





q−2

− |u|

q−2



− u)dx.

Adicionando e subtraindo o termo |u

p(β−1)



p−2



dentro da quarta integral

concluimos que

16 1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari

o(1) = I



)φ

− u) − I



(u)φ

− u)





1 + K

p−1

p(β−1)





p−2



− |u



p−2





(φ

− u))





V (x)



p−2

− |u|

p−2



− u)dx



p−1

(β − 1)



p(β−1)−2



− |u|

p(β−1)−2

u|u





− u)dx



p−1



p(β−1)

− |u|

p(β−1)





p−2



(φ

− u))



−





q−2

− |u|

q−2



− u)dx. (1.2.5)

Aﬁrmativa 1.8. Aﬁrmamos que

(a) Se V (x) ´e limitado ent˜ao





V (x)



p−2

− |u|

p−2



− u)dx



= o(1).

(b)







p(β−1)−2



− |u|

p(β−1)−2

u|u





− u)dx



= o(1).

(c)







p(β−1)

− |u|

p(β−1)





p−2



(φ

− u))





= o(1).

(d)







q−2

− |u|

q−2



− u)dx



≤ Cη.

(e)

lim sup

n→∞

≤ Cη,

1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari 17

onde

≡







1 + β

p−1

p(β−1)





p−2



− |u



p−2





(φ

− u))





Assumindo a Aﬁrmativa acima, concluimos a prova do Lema 1.7. De fato, deﬁna as

fun¸c˜oes e

por

(x) =



1 + K

p−1

p(β−1)





p−2



− |u



p−2





(τ

− u))



Desde que



1 + K

p−1

p(β−1)



> 0, da desigualdade ( veja Apˆendice, Lema A.1 e

tamb´em [44, 51] )



|x|

p−2

x − |y|

p−2



(x − y) ≥







|x−y|

(|x|+|y|)|

2−p

se 1 < p < 2

C|x − y|

se p ≥ 2, ∀x, y ∈ R

(1.2.6)

concluimos que e

≥ 0. Aﬁrmamos tamb´em que



(x)dx < ∞.

De fato, pela desigualdade de H¨older segue que







1 + β

p−1

p(β−1)





p−2



− |u



p−2





(τ

− u))





≤







1 + β

p−1

p(β−1)



p−1





p−2



− |u



p−2





p−1



p−1









− u)





18 1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari

Usando a Observa¸c˜ao 1.1 e a desigualdade (a + b)

≤ 2

p−1

+ b

) concluimos que a

primeira integral ´e limitada. A segunda integral ´e tamb´em limitada porque a fun¸c˜ao

− u) ´e limitada em X.

Fixe θ com 0 < θ < 1. Considere um conjunto compacto K ⊂ R e deﬁna

= {x ∈ K/|u

− u| ≤ η} e G

= {x ∈ K/|u

− u| > η}.

Usando a desigualdade de H¨older obtemos



(x)dx =



(x)dx +



(x)dx

≤







(x)











1−θ







(x)











1−θ





(x)dx



1−θ





(x)dx



1−θ

Agora ﬁxe η; ent˜ao |G

| → 0 quando n → ∞ porque u

→ u uniformemente em K e

q. t. p., quando n → ∞. Da limita¸c˜ao uniforme de (e

) em L

(R) obtemos que

lim sup

n→∞



(x)dx ≤ (Cη)

1−θ

Fazendo η → 0 conseguimos que e

→ 0 em L

(K), quando n → ∞. Portanto,

cobrindo R por uma sequˆencia de conjuntos compactos encaixantes, isto ´e, R = ∪K

⊂ K

⊂ ..., o termo dentro da integral tende a zero q. t. p. em R, quando

n → ∞. Usando a desigualdade (1.2.6) e o fato de



1 + β

p−1

p(β−1)



> 0

concluimos que



→ u



q. t. p. em R, quando n → ∞.

Prova da Aﬁrmativa 1.8:

(a) Desde que τ

− u) ´e limitada em X, pelo Teorema de Arzel´a-Ascoli obtemos

que τ

− u) → 0 em conjuntos compactos de R, quando n → ∞. Portanto, como

1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari 19

V ´e limitada, o item (a) segue porque

p−2

− |u|

p−2

u ´e limitada em L

p−1

(R).

De fato, usando que u and u

∈ L

(R), a imers˜ao W

1,p

(R) em L

(R) ´e cont´ınua, a

desigualdade de H¨older e a desigualdade (a + b)

≤ 2

p−1

+ b

) obtemos que







p−2

− |u|

p−2



p−1



p−1

≤



p−1

−1



p−1



p−1

−1











p−2



p−1



p−1







|u|

p−2



p−1



p−1











p−1





|u|



p−1



≤ C[u



p−1

+ u

p−1

(b) Temos que a sequˆencia u

´e uniformente equicont´ınua. De fato, usando que u

´e

limitada em K e a desigualdade de H¨older obtemos que

(x) − u

(y)| =



(s)



|ds

≤





(|u

(s)











p−1

≤ M|x − y|

p−1

Portanto segue do Teorema de Arzel´a-Ascoli que existe uma subsequˆencia de (u

)

( que denotaremos tamb´em por (u

) ) que converge uniformemente para u, em K,

quando n → ∞.

Por outro lado, u

e u ∈ L

∞

(R), u



e u



∈ L

(R) e τ

´e cont´ınua em K e portanto

− u) → 0 uniformemente quando n → ∞. Logo dado  > 0 existe N > 0 tal

que |τ

− u)| <  em K, se n ≥ N. Assim

I :≡







p(β−1)−2



− |u|

p(β−1)−2

u|u





− u)dx



≤ 





p(β−1)−2



− |u|

p(β−1)−2

u|u





dx ≤ M.

20 1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari

Desde que  ´e arbitr´ario segue que I = o(1), quando n → ∞.



p(β−1)

− |u|

p(β−1)



→ 0,

uniformemente em conjuntos compactos , quando n → ∞. Agora, usando este fato e

a desigualdade de H¨older, concluimos que





p−1



p(β−1)

− |u|

p(β−1)





p−2



(φ

− u))





≤ β

p−1











p(β−1)

− u|

p(β−1)





p−2



p−1



p−1











− u)





≤ M







p(β−1)

− |u|

p(β−1)



p−1





= o(1), para algum M > 0.

(d) Usando a desigualdade de H¨older, a limita¸c˜ao de φ

e a Observa¸c˜ao 1.1, obtemos

que







q−2

− |u|

q−2



− u)dx



≤ η







q−2

− |u|

q−2



q−1



q−1

≤ η



q−1

−1



q−1



q−1

−1











q−2



q−1



q−1







|u|

q−2



q−1



q−1



= η









q−1





|u|



q−1



≤ ηN[u



q−1

+ u

q−1

] := Cη, para algum C > 0 e N > 0.

1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari 21

(e) Este item segue tomando o limite superior na equa¸c˜ao (1.2.5) e usando os itens

anteriores, de (a) `a (d), da Aﬁrmativa 1.8 .

Prova da Proposi¸c˜ao 1.5:

Desde que v

= u

− u, obtemos que



β−1









+ u



+ u|

p(β−1)

dx.

Considere a desigualdade

|A + B|

≥ |A|

+ |B|

− µ



|B|

p−1

|A| + |A|

p−1

|B|



onde A, B ∈ R

e µ = µ(p) ´e uma constante positiva ( veja Apˆendice, se¸c˜ao A.1 ).

Usando esta desigualdade, colocando os expoentes p e p(β − 1), obtemos que



β−1





≥







+ |u



− µ





p−1



| + |v



p−1







p(β−1)

+ |u|

p(β−1)

− ν



|u|

p(β−1)−1

| + |v

p(β−1)−1

|u|



≡

j=16



j=1

onde as integrais I

s˜ao deﬁnidas abaixo.







β−1



dx,







|u|

β−1



dx,

= −ν





|u|

p(β−1)−1

|dx,

= −ν





p(β−1)−1

|u|dx,

22 1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari







β−1



dx,







|u|

β−1



dx,

= −ν





p(β−1)−1

|u|dx,

= −ν





|u|

p(β−1)−1

|dx,

= −µ





p−1

p(β−1)



|dx,

= −µ





p−1

|u|

p(β−1)



|dx

= µν





p−1

|u|

p(β−1)−1



||v

|dx,

= µν





p−1

p(β−1)−1



||u|dx,

= µν





p−1

|u|

p(β−1)−1

||u



|dx,

= µν





p−1

p(β−1)−1

|u||u



|dx,

= −µ





p−1

p(β−1)



|dx

= −µ





p−1

|u|

p(β−1)



|dx,

onde ν = ν(p(β − 1)) e µ = µ(p) s˜ao contantes positivas.

Claramente, desde que I

≥ 0 se j = 2, 5, 11, 12, 13 e 14, a Proposi¸c˜ao estar´a

provada se demonstrarmos que as outras integrais convergem para zero, quando

n → ∞, exceto para j = 1 e j = 6.

Desde que u ∈ W

1,p

(R) ent˜ao

dado ε > 0 existe R > 0 tal que |u(x)| < ε se |x| > R. (1.2.7)

1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari 23

Como a sequˆencia (v

) ´e limitada em X, pelo Teorema de Arzel´a-Ascoli ( veja

Apˆendice, se¸c˜ao A.7, Teorema A.8 ) tamb´em temos que v

→ 0 uniformemente em

conjuntos compactos de R, quando n → ∞. Portanto, dado ε

concluimos que

(x)| <

se |x| ≤ R. (1.2.8)

Usando (1.2.7) e (1.2.8) e o fato de {v

} ser limitado em L

∞

(R), obtemos que

≡





|u|

p(β−1)−1

|dx

≤ |u|

p(β−1)−1

∞



|x|≤R



+ εC



|x|>R



Portanto I

→ 0 quando n → ∞. Analogamente, I

→ 0 quando n → ∞.

Desde que u



∈ L

(R) e usando o mesmo argumento acima obtemos que I

, I

→

0 quando n → ∞.

Como antes, |v

∞

´e limitado e juntamente com (1.2.8) e a desigualdade de H¨older

concluimos que

≡





p−1

p(β−1)−1



|dx

≤





|x|≤R





p−1





|x|≤R





+ C





|x|>R





p−1





|x|>R





Desde que u



∈ L

(R) ent˜ao dado ε > 0, podemos escolher R tal que



|x|>R



dx < ε.

Logo I

→ 0 quando n → ∞.

Recordando que u ∈ L

∞

(R), pelo Lema 1.7 temos que v



→ 0 q. t. p. em R

quando n → ∞. Desde que |u



p−1

∈ L

p−1

(R) e v



 0 fracamente em L

(R) quando

24 1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari

n → ∞, pelo Teorema A.9 ( veja Apˆendice, se¸c˜ao A.8 ) concluimos que

≡





p−1

|u|

p(β−1)−1



|dx

tende a zero, quando n → ∞.

Argumentando como no caso I

e usando o fato que |v



p−1

´e tamb´em limitado

em L

p−1

(R) e v



 0 fracamente em L

p−1

(R), quando n → ∞, obtemos que

, I

tendem a zero, quando n → ∞.

1.3 Prova do Teorema 0.1

Seja (u

) ⊂ M uma sequˆencia minimizante para I. Do Lema 1.4-(a), u

´e limitada

em X e portanto u

 u fracamente em X, quando n → ∞. Provaremos o Teorema

0.1 distinguindo as trˆes condi¸c˜oes que o potencial V satisfaz.

Caso I (V

´e assumido). De (V

) e (V

) temos que X est´a continuamente e

compactamente imerso no espa¸co L

s+1

(R), para todo s ≥ p ( veja Bartsh e Wang em

[7] ). Assim u

→ u em L

(R), quando n → ∞. Usando o Lema 1.4-(b) segue que

u = 0.

Seja v

= u

n−u

. Vamos provar que lim

n→∞

v



= 0 e ent˜ao u

→ u em X,

quando n → ∞.

Suponha por contradi¸c˜ao que lim

n→∞

v



→ l > 0. Ent˜ao temos, passando a

uma subsequˆencia,



) · v

= v



+ β



β−1

− |v

≥ v



− |v

Tomando o limite inferior, quando n → ∞, de ambos os lados e usando o fato do

lim

n→∞

= 0, concluimos que

lim inf

n→∞



) · v

> 0.

1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari 25

Do Lema 1.4-(c) temos que I



(u) · u < 0. Desde que u = 0, pelo Lema 1.2-(b) existe

0 < λ < 1 tal que λu ∈ M. Usando o Lema de Br´ezis e Lieb A.2 ( veja Apˆendice,

se¸c˜ao A.2 ), obtemos que a sequˆencia (u

) satisfaz

u



= v



+ u

+ o(1), quando n → ∞ (1.3.1)

= |v

+ |u|

+ o(1), quando n → ∞. (1.3.2)

Segue de (1.3.1), (1.3.2) e da deﬁni¸c˜ao de m dado pelo Lema 1.2-(e) que

m + o(1) = I(u

)

β − 1

pβ

v



β − 1

pβ

u

q − pβ

pqβ

q − pβ

pqβ

|u|

+ o(1)

≥

β − 1

pβ

−p

λu

+ λ

−q

q − pβ

pqβ

|λu|

+ o(1).

Desde que 0 < λ < 1 ent˜ao

m >

β − 1

pβ

λu

q − pβ

pqβ

|λu|

= I(λu)|

que contradiz o fato de λu ∈ M. Portanto lim

n→∞

v



= 0.

Caso II (V

´e assumido). Desde que u

satisfaz o Lema 1.4-(b) ent˜ao u

n˜ao

converge para zero em L

(R), n → ∞. Logo por um resultado devido a Lions, veja

Apˆendice, se¸c˜ao A.9, Lema A10 (veja tamb´em [57, Lema 1.21]) aﬁrmamos que existe

γ, r > 0 e y

∈ R tal que

lim inf

n→∞



−r

(x)|

dx ≥ γ > 0. (1.3.3)

Podemos assumir que y

´e um m´ultiplo inteiro do per´ıodo p de V , se necess´ario,

tome a constante r suﬁcientemente grande em (1.3.3).

Deﬁna

(x) ≡ u

(x + y

). Desde que V ´e peri´odico ent˜ao (u

) ´e tamb´em uma

sequˆencia minimizante, limitada em X e satisfaz (1.3.3) para y

= 0. Isto implica

26 1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari

que u

 u fracamente em X, quando n → ∞. Portanto u = 0.

Vamos provar que I



(u) · u = 0. O resultado segue dos Lema 1.6 e Lema 1.2-(d).

Suponha por contradi¸c˜ao que I



(u) · u = 0.

Se I



(u) · u < 0, do Lema 1.2-(b) existe 0 < λ < 1 tal que λu ∈ M . Desde que

) ´e uma sequˆencia minimizante para I, argumentando como no caso I chegamos

a uma contradi¸c˜ao.

Se I



(u) · u > 0, do Lema 1.4-(c) concluimos que lim inf

n→∞



) · v

< 0. Assim,

passando a uma subsequˆencia, lim

n→∞



) · v

< 0. Ent˜ao para n suﬁcientemente

grande, do Lema 1.2-(b) existe 0 < λ

< 1 tal que λ

∈ M. Al´em disso, tem-se

que lim sup

n→∞

< 1.

De fato, se lim sup

n→∞

= 1, tomando uma subsequˆencia tal que, λ

→ 1

quando n → ∞, concluimos que



) · v

= I



(λ

) · λ

+ o(1), quando n → ∞.

Logo lim

n→∞



)·v

= 0. Mas isto ´e uma contradi¸c˜ao porque lim

n→∞



)·v

< 0.

Portanto lim sup

n→∞

< 1.

Argumentando como no caso I, encontramos que

m + o(1) =

β − 1

pβ

v



β − 1

pβ

u

q − pβ

pqβ

q − pβ

pqβ

|u|

+ o(1)

≥

β − 1

pβ

v



q − pβ

pqβ

+ o(1)

β − 1

pβ

−p

λ



+ λ

−q

q − pβ

pqβ

|λ

+ o(1).

Desde que lim sup

n→∞

< 1, segue que

m >

β − 1

pβ

λ



q − pβ

pqβ

|λ

= I(λ

1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari 27

que ´e uma contradi¸c˜ao porque λ

∈ M. Portanto I



(u) · u = 0.

Caso III (V

´e assumido). Seja

(u) =





[|u



+ V

(x)|u|

] +

p−1

||u|

β−1



−

|u|



dx.

vamos usar as nota¸c˜oes m

, M

, I



para este caso.

Do Caso II sabemos que I

tem um ponto cr´ıtico ¯u ∈ M

, onde



u ∈ X \ {0} : I



(u) · u = 0



A prova de que ¯u > 0 em R, vai ser feita no ﬁnal deste cap´ıtulo. Demonstraremos

este fato aplicando o Princ´ıpio do M´aximo de V´azquez. Veremos que esta prova

independe das condi¸c˜aoes impostas sobre o potencial V . Ent˜ao a partir de agora

vamos asssumir que ¯u > 0.

Se V n˜ao ´e constante, de (V

) concluimos que I



(¯u) · ¯u < I

(¯u) · ¯u = 0. Portanto

do Lema 1.2-(b) existe um ´unico 0 < λ

¯u

< 1 tal que λ

¯u

¯u ∈ M.

Por outro lado, usando novamente (V

) temos que

I(λ

¯u

¯u) =

β − 1

pβ

¯u



[|¯u



+ V (x)|¯u|

] dx + λ

¯u

q − pβ

pqβ

|¯u|

β − 1

pβ

¯u



[|¯u



+ V

(x)|¯u|

] dx + λ

¯u

q − pβ

pqβ

|¯u|

= I

(¯u) = m

Logo

m ≤ I(λ

¯u

¯u) < m

. (1.3.4)

Seja (u

) uma sequˆencia minimizante para I. Pelo Lema 1.4-(a) u

 u

fracamente em X, quando n → ∞. Vamos provar que u = 0 e I



(u) · u = 0 e o

28 1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari

resultado segue do Lema 1.6 e Lema 1.2-(d).

Suponha que u ≡ 0. De (V

), dado  > 0, existe R > 0 tal que

|V (x) − V

(x)| ≤ ε se |x| > R, (1.3.5)

|V (x) − V

| ≤ 2|V

| se |x| ≤ R. (1.3.6)

Desde que u

 u ≡ 0 fracamente em X, quando n → ∞, ent˜ao |u

→ 0,

quando n → ∞, em partes compactas de R. Logo

≤

if |x| ≤ R, para algum R > 0. (1.3.7)

Segue de (1.3.5), (1.3.6) e (1.3.7) que

I(u

) − I

) =



[V (x) − V

] |u

≤



|x|≤R

dx +



|x|>R

≤

4NR

u



, para algum N > 0.

Portanto,

lim

n→∞

) = lim

n→∞

I(u

) = m. (1.3.8)

Analogamente, temos que

lim

n→∞



) · u

= lim

n→∞



) · u

= 0. (1.3.9)

Ent˜ao existe uma subsequˆencia (n

) e

> 0 tal que

≡

∈ M

Vamos provar que

´e limitado. Observe que

1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari 29

0 =

u



+ β

pβ

K|u



β−1

−

+ o(1).

Disto obtemos que

u



p(β−1)



q−pβ

− β

K|u



β−1



+ o(1). (1.3.10)

Como u



e |u



β−1

s˜ao limitadas, usando o Lema 1.4-(b) deduzimos que

´e

limitado.

Por outro lado,

n˜ao converge para zero, quando n → ∞; caso contr´ario,

0 < m ≤ I(

)

β − 1

pβ

u



q − pβ

pqβ

|u|

→ 0, quando n → ∞,

que ´e uma contradi¸c˜ao.

Usando (1.3.8), a propriedade da variedade de Nehari, isto ´e, I(λu) ≤ I(u), para todo

u ∈ M, λ > 0 e o fato de u

∈ M, concluimos que

≤ I

(

) = I(

) + o(1)

≤ I(u

) + o(1) = m + o(1),

onde na primeira desigualdade foi usado que

´e limitado. Mas esta desigualdade

contradiz (1.3.4). Portanto u = 0.

Seja v

= u

− u. Agora vamos provar que

0 ≥ lim inf

n→∞



) · v

+ I



(u) · u. (1.3.11)

De fato, do Lema 1.4-(c) concluimos que

30 1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari

0 ≥ lim inf

n→∞



) · v

+ I



(u) · u

= lim inf

n→∞





(V (x) − V

(x))|v



[|v



+ V

(x)|v

] dx +β

p−1

||v

β−1



− |v





+ I



(u) · u

= lim inf

n→∞





) · v



(V (x) − V

(x))|v



+ I



(u) · u.

Por (V

) e aplicando o Teorema de Arzel´a-Ascoli obtemos que





− V ) [|u

− |u|

] dx





|x|≤R

− V ) ||u

− |u|

| dx +



|x|>R

− V ) ||u

− |u|

| dx = o(1).

Portanto





− V )|v



= o(1), quando n → ∞

0 ≥ lim inf

n→∞



).v

+ I



(u).u.

Se I



(u) · u < 0, do Lema 1.2-(b) existe 0 < λ < 1 tal que λu ∈ M. Desde que (u

)

´e uma sequˆencia minimizante e u = 0, argumentando como no Caso I chegamos a

uma contradi¸c˜ao.

Se I



(u)·u > 0, de (1.3.11) concluimos que lim inf

n→∞



)·v

< 0. Assim, passando

uma subsequˆencia, lim

n→∞



) · v

< 0. Agora vamos argumentar como na prova

do Caso II, onde obtemos, do Lema 1.2-(b), para n suﬁcientemente grande, que

existe 0 < λ

< 1 tal que λ

∈ M

. Al´em disto, tem-se que lim sup

n→∞

< 1.

Caso contr´ario, se lim sup

n→∞

= 1, passando a uma subsequˆencia, λ

→ 1 quando

n → ∞, concluimos que



) · v

= I



(λ

) · λ

+ o(1).

1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari 31

Portanto lim

n→∞



) · v

= 0 e isto ´e uma contradi¸c˜ao. Logo lim sup

n→∞

< 1.

Observe que

m + o(1) = I(u

)

≥



β − 1

pβ

−p

[|λ



+ V

(x)|λ

] dx



β − 1

pβ

−p

[V (x) − V

(x)|λ

] dx

+λ

−q

q − pβ

pqβ

|λ

+ o(1).

Desde que lim sup

n→∞

< 1, por (V

) segue que

m >

β − 1

pβ

λ



q − pβ

pqβ

|λ

= I

(λ

que ´e uma contradi¸c˜ao porque λ

∈ M

. Portanto I



(u).u = 0.

Logo provamos que o problema (0.0.5) possui uma solu¸c˜ao u = 0 se uma das

condi¸c˜oes V

, V

ou V

for satisfeita.

Temos que (|u

|) ´e tamb´em uma sequˆencia minimizante para I, pois m = I(u

) =

I(|u

|). Assim u ≥ 0.

Resta mostrar que u > 0. Vamos provar este fato aplicando o Princ´ıpio do

M´aximo de V´azquez ( veja Apˆendice, Teorema A.7 ). Para aplicar V´azquez, temos

que fazer uma mudan¸ca de vari´aveis para eliminar o termo n˜ao linear ( o termo que

´e multiplicado por K

) do operador L, deﬁnido pela igualdade (0.0.2). Vamos usar

um argumento desenvolvido por Liu, Wang e Wang em [38] (veja tamb´em [17] para

p = 2 e Severo em [50] para p = 2, β = 2 e n ≥ p > 1).

Vamos fazer a mudan¸ca de vari´aveis u = f(v), onde f : R → R ´e deﬁnido por

f(0) = 0, f(−t) = −f(t) em (−∞, 0]



(t) =

[1 + β

p−1

|f(t)|

p(β−1)

]

em [0, ∞).

32 1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari

Observa¸c˜ao 1.9. A fun¸c˜ao f existe pois ´e solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao diferencial

ordin´aria. De fato, deﬁna a fun¸c˜ao

g(t, f) =

[1 + β

p−1

|f(t)|

p(β−1)

]

Temos que g ´e limitada em [0, ∞) e portanto f ´e lipschitziana em todo sub-intervalo

de (−∞, 0]. Devido a um resultado de EDO (Sotomayor, Proposi¸c˜ao 4, pag.15), o

problema



(t) = g(t, f), f(0) = 0,

tem uma ´unica solu¸c˜ao φ(t) deﬁnida no intervalo [0, b], tal que φ(0) = 0. Agora,

considere o problema



(t) = g(t, f), f(b) = φ(b).

Usando novamente o fato de f ser lipschitiziana, podemos estender φ(t) para todo t

pertencente a [0, c], com c > b. Logo, podemos estender φ(t) para todo t em [0, ∞).

Al´em disso, como f ´e ´ımpar, a solu¸c˜ao φ(t) vai estar deﬁnido em toda reta.

Al´em disso, f ´e C

(R) e invert´ıvel. De fato, provamos acima que a fun¸c˜ao f ´e

unicamente deﬁnida. Portanto f ´e invert´ıvel. Como f



´e de classe C

no intervalo

[0, ∞) ent˜ao f ´e de classe C

Portanto se u ´e uma solu¸c˜ao cl´assica do problema (0.0.5), fazendo a mudan¸ca de

vari´aveis u = f(v), obtemos a seguinte equa¸c˜ao

−∆

v ≡ −(|v



p−2



)



[1 + β

p−1

|f(v)|

p(β−1)

]

H(x, v), x em R, (1.3.12)

onde

H(x, v) = −V (x)|f(v)|

p−2

f(v) + |f(v)|

q−2

f(v).

Logo

1 Minimizac¸

ao sobre a Variedade de Nehari 33

−(|v



p−2



)





V (x)|f(v)|

p−2

f(v)





(v) = f



(v)



|f(v)|

q−2

f(v)



, x em R.

Como u = 0 ent˜ao v = 0. Desde que f



> 0 e f ´e crescente, obtemos que

−(|v



p−2



)





V (x)|f(v)|

p−2

f(v)





(v) ≥ 0, q. t. p. em R.

Deﬁna, como em V´azquez ( veja Apˆendice, se¸c˜ao A6 )

β(s) ≡



V (x)|f(v)|

p−2

f(v)





(v).

Pelo Lema 2.1-(c), (e) temos que

[β(s)s]

−

≥



f(s)|f(v)|

p−2

f(v)



−

f(s)

≥

|s|

Portanto



[β(s)s]

−

ds = ∞.

Ent˜ao, aplicando o Princ´ıpio do M´aximo de V´azquez obtemos que v > 0 em R. Como

f ´e crescente u = f(v) ´e tamb´em estritamente positiva em R.

—2—

Multiplicidade de solu¸c˜oes

2.1 Introdu¸c˜ao

Neste cap´ıtulo estudaremos uma perturba¸c˜ao n˜ao autˆonoma do problema (0.0.5),

a saber,







Lu + V (x)|u|

p−2

u = |u|

q−2

u + g(x), em R,

u ∈ W

1,p

(R), u ≥ 0 em R,

onde o operador L ´e deﬁnido pela igualdade (0.0.2), K

> 0, β > 1, p > 1, q ≥ pβ,

g : R → R, g ∈ L

(R) para algum s ≥ 1 e V : R → R ´e uma fun¸c˜ao potencial

satisfazendo a condi¸c˜ao b´asica (V

Considerando K

= 1, vamos provar, via o m´etodo variacional, a existˆencia de

duas solu¸c˜oes positivas para o problema (0.0.1).

Seja I : W

1,p

(R) −→ R o funcional energia associado ao problema (0.0.1),

I(u) ≡



{

[|u



+ V (x)|u|

] dx +



p−1

|u|

p(β−1)



−



|u|

− g(x)u(x)}dx (2.1.1)

e sua derivada de Fr´echet dada pela express˜ao

2 Multiplicidade de soluc¸

oes 35



(u) · z =







p−2







dx +



V (x)



|u|

p−2



zdx



p−1

(β − 1)



|u|

p(β−1)−2

u|u





zdx



p−1



|u|

p(β−1)



p−2







−





|u|

q−2



zdx −



g(x)z(x)dx. (2.1.2)

Vamos mostrar mais adiante que solu¸c˜oes fracas do problema (0.0.1) s˜ao obtidas

como limite fraco de uma determinada sequˆencia. Devido a segunda integral na

express˜ao de I, bem como a segunda integral na express˜ao de I



, possuir termo com a

potˆencia cr´ıtica da imers˜ao de Sobolev, n˜ao podemos usar teoremas de convergˆencia

para obter o resultado.

Para contornar essa diﬁculdade, vamos usar a mudan¸ca de vari´aveis deﬁnida no

ﬁnal do Cap´ıtulo 1 para eliminar o termo n˜ao linear do operador L ( o termo que ´e

multiplicado por K

). Seja u = f(v), onde a fun¸c˜ao f ´e dada por

f(0) = 0, f(−t) = −f(t) em (−∞, 0]



(t) =

[1 + β

p−1

|f(t)|

p(β−1)

]

em [0, ∞).

Temos tamb´em que f satisfaz as seguintes propriedades dadas no lema abaixo

Lema 2.1.

(a) f ´e unicamente deﬁnida, C

(R) e invert´ıvel.

(b) |f



(t)| ≤ 1, para todo t ∈ R.

(d)

f(t)

→ 1, quando t → 0.

(e) Para t ≥ 0 temos que

f(t) ≤ tf



(t) ≤ f(t).

36 2 Multiplicidade de soluc¸

oes

(f) |f(t)| ≤ β

pβ

|t|

, para todo t ∈ R.

(g)

f(t)

→ C > 0, quando t → ∞.

Prova

(a) Foi demonstrado na Observa¸c˜ao 1.9.

A prova do item (b) ´e imediata e a do item (c) segue do teorema do valor m´edio.

(d) Como uma consequˆencia do teorema do valor m´edio para integrais, vemos que

f(t) =



[1 + β

p−1

|f(s)|

p(β−1)

]

ds = t

[1 + β

p−1

|f(ξ)|

p(β−1)

]

onde ξ ∈ (0, t). Desde que f(0) = 0 concluimos que

lim

t→0

f(t)

= lim

ξ→0

[1 + β

p−1

|f(ξ)|

p(β−1)

]

= 1.

(e) Para provar a primeira desigualdade deﬁnimos a fun¸c˜ao H : R

→ R por

H(t) = βt −



1 + β

p−1

|f(t)|

p(β−1)



f(t). Desde que H(0) = 0 e usando a deﬁni¸c˜ao

de f obtemos que



(t) = (β − 1)

1 + β

p−1

|f(t)|

p(β−1)

= (β − 1) [f



(t)]

≥ 0 para todo t ≥ 0.

Logo H ´e uma fun¸c˜ao n˜ao decrescente e a primeira desigualdade est´a provada. A

segunda desigualdade ´e obtida de modo semelhante.

(f) Para mostrar (f), integramos f



(t)



1 + β

p−1

|f(t)|

p(β−1)



= 1 e obtemos





(s)



1 + β

p−1

|f(s)|

p(β−1)



ds = t, para t > 0.

Usando a mudan¸ca de vari´avel y = f(s), obtemos

2 Multiplicidade de soluc¸

oes 37

t =



f(t)



1 + β

p−1

p(β−1)



dy ≥ β

p−1



f(t)

β−1

dy = β

p−1

f(t)

= β

−

f(t)

Portanto o item (f) est´a provado para t ≥ 0. Para t < 0 usamos o fato que f ´e

´ımpar.

(g) A desigualdade (e) implica que para todo t > 0,



f(t)



βf



(t)t − f(t)

β+1

≥ 0.

Logo a fun¸c˜ao

f(t)

´e n˜ao decrescente para t > 0. Este fato juntamente com a

estimativa (f), mostra o item (g).

Portanto se u ´e uma solu¸c˜ao cl´assica do problema (0.0.1), fazendo a mudan¸ca de

vari´aveis u = f(v), obtemos a equa¸c˜ao (1.3.12), a saber,

−∆

v ≡ −(|v



p−2



)



[1 + β

p−1

|f(v)|

p(β−1)

]

H(x, v), x em R,

onde

H(x, v) = −V (x)|f(v)|

p−2

f(v) + |f(v)|

q−2

f(v) + g(x).

O funcional energia associado a equa¸c˜ao (1.3.12) dado por

J(v) ≡





[|v



+ V (x)|f(v)|

] −

|f(v)|

− g(x)f(v)



(2.1.3)

e sua derivada de Fr´echet

38 2 Multiplicidade de soluc¸

oes



(v) · w =







p−2







dx +



V (x)



|f(v)|

p−2

f(v)f



(v)



wdx

−





|f(v)|

q−2

f(v)f



(v)



wdx −



g(x)f



(v)wdx, (2.1.4)

s˜ao bem deﬁnidos no espa¸co W

1,p

(R), devido a Observa¸c˜ao 1.1 do Cap´ıtulo 1, a fun¸c˜ao

f satisfazer os itens (b) e (c) do Lema 2.1 e o fato do potencial V ser limitado.

Para provar o Teorema 0.2 e o Teorema 0.3, motivado por argumentos usados

em Tarantello [55], Rˇadulescu e Smets [49], Assun¸c˜ao, Carri˜ao and Miyagaki em [6],

necessitaremos de alguns preliminares que ser˜ao descritos pelos lemas abaixo.

2.2 Preliminares para o Teorema 0.2

Lema 2.2. Seja (u

) ⊂ W

1,p

(R) uma sequˆencia (P S)

limitada para o funcional I.

Ent˜ao existe uma subsequˆencia de (u

) ( tamb´em denotada por (u

)) tal que

(a) u

 u, fracamente em W

1,p

(R), quando n → ∞.

(b) u

→ u q. t. p em R, quando n → ∞.



→ u



q. t. p em R, quando n → ∞.

Prova:

Como (u

) ⊂ W

1,p

(R) ´e sequˆencia limitada, existe uma subsequˆencia (ainda

denotada da mesma forma) fracamente convergente para uma fun¸c˜ao u ⊂ W

1,p

(R).

Portanto, vale o item (a).

Usando o item (a) e passando a uma subsequˆencia, temos a convergˆencia em quase

todo ponto em R. Logo, vale o item (b).

A prova do item (c) segue adaptando argumentos usados em Boccardo e Murat [11]

(veja tamb´em, [6] e [44]) e ser´a feita a seguir.

Deﬁna a fam´ılia de fun¸c˜oes

(s) =



s, se |s| ≤ η

|s|

, se |s| > η.

2 Multiplicidade de soluc¸

oes 39

Fixe um conjunto compacto K ⊂ R e tome a fun¸c˜ao corte φ

: R → R, satisfazendo

∈ C

∞

(R), 0 ≤ φ

≤ 1 em R e φ

= 1 em K.

Considere a fun¸c˜ao teste φ

− u) ∈ W

1,p

(R). Desde que (u

) ´e uma sequˆencia

(P S)

para o functional I obtemos que

o(1) = I



)φ

− u) − I



(u)φ

− u)





1 + β

p−1

p(β−1)





p−2



− |u



p−2





(φ

− u))





V (x)



p−2

− |u|

p−2



− u)dx



p−1

(β − 1)



p(β−1)−2



− |u|

p(β−1)−2

u|u





− u)dx



p−1



p(β−1)

− |u|

p(β−1)





p−2



(φ

− u))



−





q−2

− |u|

q−2



− u)dx

−



g(x)φ

− u)dx. (2.2.1)

Aﬁrmativa 2.3. Aﬁrmamos que

(a) Se V (x) ´e limitado ent˜ao



V (x) [|u

p−2

− |u|

p−2

u] φ

− u)dx| = o(1).

(b) |





p(β−1)−2



− |u|

p(β−1)−2

u|u





− u)dx| = o(1).





p(β−1)

− |u|

p(β−1)





p−2



(φ

− u))



dx| = o(1).

(d) |



[|u

q−2

− |u|

q−2

u] φ

− u)dx| ≤ Cη.

(e) |



g(x)φ

− u)dx| = o(1).

40 2 Multiplicidade de soluc¸

oes

(f) lim sup

n→∞

≤ Cη,

onde

≡ |





1 + β

p−1

p(β−1)





p−2



− |u



p−2





(φ

− u))



dx|.

Assumindo a Aﬁrmativa 2.3, a prova do item (c) do Lema 2.2 ´e an´alogo a prova

do Lema 1.7 do Cap´ıtulo 1.

Prova da Aﬁrmativa 2.3:

A prova dos itens (a) at´e (d) seguem como no Lema 1.7 do Cap´ıtulo 1 (veja

tamb´em, [2, Lema 4.2]). A conclus˜ao do item (e) segue do fato de g ∈ L

(R), para

algum s ≥ 1 e (u

) ser limitada em W

1,p

(R). O item (f) ´e obtido tomamando o limite

superior na equa¸c˜ao (2.2.1) e usando os itens de (a) at´e (e).

Lema 2.4. (v

) ⊂ W

1,p

(R) ´e uma sequˆencia (P S)

limitada para o funcional J

deﬁnido em (2.1.3) se e somente se u

= f(v

) ∈ W

1,p

(R) ´e tamb´em uma sequˆencia

(P S)

limitada para o funcional I deﬁnido em (2.1.1). Al´em disso, v



→ v



q. t. p.

em R, quando n → ∞.

Prova: Para concluir a primeira parte do Lema vamos provar que

(a) I(u

) = J(v

);

(b) Se a sequˆencia (v

) ´e limitada em W

1,p

(R) ent˜ao a sequˆencia (u

)

´e tamb´em limitada em W

1,p

(R);

para o funcional J ´e limitada em W

1,p

(R).

Usando que u



= f



) · v



, o item (a) segue porque



= |u



+ β

p−1

p(β−1)



De fato,



+ β

p−1

p(β−1)



= |f



) · v



+ β

p−1

|f(v

p(β−1)



) · v



= |f



) · v





1 + β

p−1

|f(v

p(β−1)



= |f



) · v



−p

= |v



O item (b) segue do Lema 2.1-(c). De fato,

2 Multiplicidade de soluc¸

oes 41

u

 = f(v

) ≤ v

 ≤ M.

Prova o item (c): Usando o Lema 2.1-(e), a desigualdade de H¨older, (V

) e a

Observa¸c˜ao 1.1 do Cap´ıtulo 1, obtemos que



1,p

(R))

∗

· v

 + 1 ≥

J(v

) −



) · v



pβ

−





[|v



+ V (x)|f(v

dx]

−



−

qβ





g(x)f(v

)dx

≥



pβ

−





[|v



+ V

|f(v

dx] −



−

qβ





g(x)f(v

)dx

≥ C



pβ

−



v



−



−

qβ

|g|





≥ C



pβ

−



v



− C



−

qβ



|g|

v

.

Portanto v

´e limitada em W

1,p

(R).

Agora vamos provar que v



→ v



. Recordemos que u



→ u



, u

→ u q. t. p. em

R quando n → ∞ ( Lemma 2.2) e [f

−1

]



) ´e continua, porque



−1





(t) =



(f(−t))



1 + β

p−1

p(β−1)



quando t ≥ 0.

Usando estes fatos concluimos que





−1





→



−1





(u)u



= v



q. t. p. em R, quando n → ∞.

A pr´oxima proposi¸c˜ao diz que toda solu¸c˜ao fraca da equa¸c˜ao (1.3.12) ´e uma solu¸c˜ao

fraca da equa¸c˜ao (0.0.1).

42 2 Multiplicidade de soluc¸

oes

Proposi¸c˜ao 2.5. Seja u = f (v). Ent˜ao v ´e um ponto cr´ıtico do funcional J se e

somente se u ´e um ponto cr´ıtico do funcional I. Al´em disso, se v ∈ W

1,p

(R) ent˜ao

u ∈ W

1,p

(R) ∩ C

1,α

(R).

Prova:

Temos pelo Lema (2.1)-(b), (c) que |u|

≤ |f(v)|

≤ |v|

and |u



≤ |f



(v)v



≤



. Portanto u =





(|u|

+ |u



) dx



≤ v ≤ ∞. Desde que v ´e um ponto

cr´ıtico do funcional J ent˜ao v ´e uma solu¸c˜ao fraca do problema (1.3.12). Usando o fato

que f ∈ C

(R) e que v ∈ C

1,α

(R) ( veja [22, 51] ), concluimos que u = f (v) ∈ C

1,α

(R).

Logo u ∈ W

1,p

(R) ∩ C

1,α

(R).

A prova da equivalˆencia: v ´e um ponto cr´ıtico do funcional J se e somente se u ´e

um ponto cr´ıtico do funcional I, segue se provarmos que



(u) · z = J



(v) · w, se z = f



(v) · w. (2.2.2)

Para provar a igualdade (2.2.2), usaremos novamente que u



= f



(v) · v



= [f



(v)]



· w + f



(v) · w



, onde



(v) = −β

p−1

(β − 1)|f



(v)|

p+2

|f(v)|

p(β−1)−2

f(v)v



Temos que



p−2



+ β

p−1

|u|

p(β−1)



p−2



+ β

p−1

(β − 1)|u|

p(β−1)−1



= |f



(v)v



p−2



(v)v





1 + β

p−1

|f(v)|

p(β−1)



+β

p−1

(β − 1)|f(v)|

p(β−1)−1



(v)v



= |f



(v)v



p−2



(v)v



(v)|

−p

+ β

p−1

(β − 1)|f(v)|

p(β−1)−1



(v)v



= z



p−2



(v)|

−1

+ β

p−1

(β − 1)|f(v)|

p(β−1)−1



(v)v



= |v



p−2



(v)|

−1



−β

p−1

(β − 1)|f



(v)|

p+2

|f(v)|

p(β−1)−2

f(v)v



(v)w



] + β

p−1

(β − 1)|f(v)|

p(β−1)−1



(v)v



(v)w

= |v



p−2



Portanto a igualdade (2.2.2) est´a provada.

2 Multiplicidade de soluc¸

oes 43

Agora vamos provar que o limite fraco de uma sequˆencia de Palais-Smale para o

funcional J, no n´ıvel c ∈ R, ´e uma solu¸c˜ao fraca do problema (1.3.12).

Lema 2.6. Seja (v

) ⊂ W

1,p

(R) uma sequˆencia de Palais-Smale para o funcional J

no n´ıvel c ∈ R. Se a sequˆencia (v

) converge fracamente para algum v

∈ W

1,p

(R)

quando n → ∞ ent˜ao v

´e uma solu¸c˜ao fraca do problema (1.3.12).

Prova:

Considere uma fun¸c˜ao arbitr´aria φ : R → R, φ ∈ C

∞

(R). Desde que J



) ·φ → 0

quando n → ∞ vamos provar que J



) · φ = 0. Portanto, por argumento de

densidade, concluimos que J



) · w = 0, para todo w ∈ W

1,p

(R). Logo J



) = 0 e

´e uma solu¸c˜ao fraca do problema (0.0.1).

Prova de que J



) · φ = 0, para φ ∈ C

∞

(R):

0 = lim

n→∞



) · φ

= lim

n→∞









p−2







dx −





|f(v

q−2

f(v



)



φdx



V (x)



|f(v

p−2

f(v



)



φdx −



g(x)f



)φdx



Denotemos as integrais acima por J

) · φ, J

) · φ e J

) · φ,

respectivamente. Vamos provar que J

) · φ → J

) · φ quando n → ∞, para

todo i = 1, 2, 3, 4.

Temos que |v



p−2



´e limitado em L



(R) onde p



p−1

. Usando este fato

juntamente com o Lema 2.4, obtemos que |v



p−2



 |v



p−2



quando n → ∞.

Desde que φ



´e limitado em L

(R), pelo Teorema A.9 ( veja apˆendice, sec˜ao A.8 )

concluimos que J

) · φ → J

) · φ, quando n → ∞.

Note que (v

) converge fracamente para algum v

∈ W

1,p

(R) quando n → ∞

ent˜ao, pelo Lema 2.2, v

→ v

q. t. p. em R, quando n → ∞. Segue que f(v

) → f(v

)

e f



) → f



) q. t. p. em R, quando n → ∞ ( porque f ∈ C

(R) ). Como antes,

desde que V (x) ´e limitado ´e suﬁciente provar que |f(v

p−2

f(v



) ´e limitado em



(R) para concluir que J

) · φ → J

) · φ, quando n → ∞.

De fato, pelo Lema 2.1 obtemos que

44 2 Multiplicidade de soluc¸

oes





V (x)|f (v

p−2

f(v



)



p−1

dx|

≤ M



|f(v



p−1

≤



dx ≤ v



< ∞.

Argumentando como no caso J

e usando a Observa¸c˜ao 1.1, tamb´em provamos

que

|f(v

q−2

f(v



) ´e limitado em L

q−1

(R). Portanto, segue que J

)·φ → J

)·φ

quando n → ∞.

A convergˆencia da integral J

segue diretamente do Teorema da Convergˆencia

Dominada , porque g ∈ L

(R) para algum s ≥ 1 e f



´e continua.

2.3 Prova do Teorema 0.2

Vamos provar que existe um n´umero c < 0 e R > 0 tal que o funcional J possui uma

sequˆencia (v

), (P S)

, limitada, isto ´e

||v

|| ≤ R, J(v

) → c e J



) → 0, quando n → ∞,

onde

c = inf



J(v)/v ∈ W

1,p

(R) e v ∈





v ∈ W

1,p

(R)/v ≤ R



Vamos mostrar que c ´e assumido para algum v

∈ W

1,p

(R) e J



) = 0.

Usando o Princ´ıpio Variacional de Ekeland ( veja Apˆendice, Teorema A.3 )

obtemos a seguinte resultado:

Aﬁrmativa 2.7. Existe uma sequˆencia (v

) ∈ W

1,p

(R) ∩

tal que

J(v

) → c, J



) → 0 em (W

1,p

(R))

∗

quando n → ∞,

Assumindo esta Aﬁrmativa, temos que a sequˆencia (v

) ´e limitada em W

1,p

(R) ∩

e portanto v

 v converge fracamente, quando n → ∞ e v

→ v q. t. p. em R,

quando n → ∞. Pelo Lema 2.6, obtemos que v ´e uma solu¸c˜ao do problema (1.3.12)

2 Multiplicidade de soluc¸

oes 45

e J



(v) = 0.

Observe tamb´em que pela deﬁni¸c˜ao de c e usando que g = 0, conclui-se que

c < J(0) = 0.

Agora vamos provar que J(v

) = c. Temos que (v

) satisfaz

c + o(1) = J(v

)



[|v



+ V (x)|f(v

] dx −



|f(v

dx −



g(x)f(v

)dx

e, para todo w ∈ W

1,p

(R),

0 = J



) · w







p−2







dx +



V (x)



|f(v

p−2

f(v



)



wdx

−





|f(v

q−2

f(v



)



wdx −



g(x)f



)wdx.

Escolhendo w = w

f(v

)



)

obtemos que



= f





1 + β

p−1

|f(v

p(β−1)



+f(v

)β

p−1

p(β − 1)



1 + β

p−1

|f(v

p(β−1)



−1

|f(v

p(β−1)−2

f(v



= v



+ β

p−1

(β − 1)|f(v

p(β−1)



= v





1 +

p−1

(β − 1)|f(v

p(β−1)

1 + β

p−1

|f(v

p(β−1)



Observe que w

´e limitada ( pelo Lema 2.1-(e) ) e portanto

0 = J



) · w







1 +

p−1

(β − 1)|f(v

p(β−1)

1 + β

p−1

|f(v

p(β−1)



dx +



V (x)|f (v

−



|f(v

dx −



g(x)f(v

)dx.

46 2 Multiplicidade de soluc¸

oes

Concluimos que

−



|f(v

dx = −







1 +

p−1

(β − 1)|f(v

p(β−1)

1 + β

p−1

|f(v

p(β−1)



−



V (x)|f(v

dx +



g(x)f(v

)dx.

Assim

c + o(1) = J(v

)





−



1 +

p−1

(β − 1)|f(v

p(β−1)

1 + β

p−1

|f(v

p(β−1)







−





V (x)|f(v

dx +



− 1





g(x)f(v

)dx.

Vamos provar que c ≥ J(v). Usando este fato, a deﬁni¸c˜ao de c e o fato que v ∈

concluimos que J(v) = c.

Denotaremos as integrais acima por J

), J

) e J

), respectivamente. Para

provar a desigualdade c ≥ J(v) usaremos o Lema de Fatou nas integrais J

) e

De fato, se deﬁnirmos

(x) =



−



1 +

p−1

(β − 1)|f(v

p(β−1)

1 + β

p−1

|f(v

p(β−1)





desde que v

→ v q. t. p. em R, v



→ v



q. t. p. em R, quando n → ∞ e f ´e continua,

temos que

(x) →



−



1 +

p−1

(β − 1)|f(v)|

p(β−1)

1 + β

p−1

|f(v)|

p(β−1)





q. t. p. em R.

Usando a observa¸c˜ao 1.1 e o Lema 2.1-(c) obtemos que

2 Multiplicidade de soluc¸

oes 47



(x)dx ≤







1 + β

p−1

(β − 1)v



p(β−1)







dx ≤ Cv



< ∞,

ou seja, h

∈ L

(R). Deﬁnindo a ≡ β

p−1

|f(v)|

p(β−1)

aﬁrmamos que

1 +

(β − 1)a

1 + a

< 1 + β − 1 = β

e portanto

(x) =



−



1 +

p−1

(β − 1)|f(v

p(β−1)

1 + β

p−1

|f(v

p(β−1)





≥



−





q − pβ



≥ 0.

Pelo Lema de Fatou obtemos que

lim

n→∞

inf J

) ≥





−



1 +

p−1

(β − 1)|f(v)|

p(β−1)

1 + β

p−1

|f(v)|

p(β−1)





dx. (2.3.1)

Agora vamos deﬁnir

(x) =



−



V (x)|f (v

Observe que, quando n → ∞,

(x) →



−



V (x)|f (v)|

q. t. p em R,

porque v

→ v q. t. p. sobre R e f ´e continua.

Desde que

(x) ≥ 0 e h

∈ L

(R),

48 2 Multiplicidade de soluc¸

oes

novamente usando Lema de Fatou, concluimos que

lim

n→∞

inf J

) ≥



−





V (x)|f(v)|

dx. (2.3.2)

Note que a prova da convergˆencia da integral,

) → J

(v), (2.3.3)

segue direto aplicando o Teorema da Convergˆencia Dominada porque g ∈ L

(R) para

algum s ≥ 1 e f ´e continua. Tomando o limite inferior na igualdade (2.7), usando

(2.3.1), (2.3.2) e (2.3.3) concluimos que c ≥ J(v).

Observa¸c˜ao 2.8. Desde que g ∈ C

, a fun¸c˜ao v pode ser substituido por |v| e ent˜ao

obtemos uma solu¸c˜ao n˜ao negativa para o problema (0.0.1). Al´em disso, do fato de

g ∈ C

temos tamb´em que g ≥ 0 q. t. p em R. Ent˜ao aplicando o Teorema de

V´azquez concluimos que v ´e estritamente positiva. Portanto a prova do Teorema 0.2

est´a completa.

Prova da Aﬁrmativa 2.7:

Pelo Lema 2.1-(d), existem constantes R

> 0 e C

= C

) > 0 tais que

|f(v)| ≥ C

|v| se |v| ≤ R

. (2.3.4)

Usando a desigualdade de H¨older, (2.3.4), Lema 2.1-(c), a condi¸c˜ao (V

) e a

Observa¸c˜ao 1.1 obtemos que

J(v) =





[|v



+ V (x)|f(v)|

] −

|f(v)|

− g(x)f(v)



≥



[|v



+ V

|v|

] dx −

v

−



g(x)f(v)dx.

2 Multiplicidade de soluc¸

oes 49

Seja C = C(R

) ≡ min{1, V

}. Pela desigualdade de Young, concluimos que

J(v) ≥

Cv

−

v

− C

|g|

v

≥

(C − 

)v

−

v

− C



|g|



Fixando  ∈ (0, 1), tome n´umeros reais R < R

, δ

> 0, ρ

> 0 tais que J(v) ≥ ρ

v = R e |g|

< δ

. Portanto J ´e limitado inferiormente sobre

Vamos provar que J ´e semi-continuo inferiormente em

. Relembrando que J ´e

semi-continuo inferiormente em

, se e somente se, para todo z

tal que z

→ z em

, quando n → ∞, obt´em-se que lim inf

n→∞

J(z

) ≥ J(z).

Observe que

lim inf

n→∞

J(z

) = lim inf

n→∞







dx +



V (x)|f(z

−



|f(z

dx −



g(x)f(z

)dx



(2.3.5)

Denotaremos as integrais acima por J

), J

) and J

respectivamente. Desde que | · |

´e semi-continua inferiormente ent˜ao

lim inf

n→∞





dx ≥





dx. (2.3.6)

Usando o Lema 2.1-(b), o Teorema do Valor M´edio e a Observa¸c˜ao 1.1, concluimos

que





|f(z

) − f(z)|



≤ M



− z|

≤ Cz

− z

→ 0, quando n → ∞.

50 2 Multiplicidade de soluc¸

oes

Portanto f(z

) → f (z) in L

(R), quando n → ∞. Logo, pelo Teorema A.11 ( veja

Apˆendice, se¸c˜ao A10 ), existe uma subsequˆencia de (f (z

)) ( que denotaremos tamb´em

por (f(z

)) ) e h ∈ L

(R) tal que

f(z

) → f(z) q. t. p. em R, quando n → ∞

|f(z

)| ≤ h(x), para todo n e h ∈ L

(R).

Desde que V ´e limitado, pelo Teorema da Convergˆencia Dominada, temos que



V (x)|f (z

dx →



V (x)|f(z)|

dx quando, n → ∞. (2.3.7)

Analogamente, provamos que



|f(z

dx →



|f(z)|

dx, quando n → ∞. (2.3.8)

E como g ∈ L

(R), para algum s ≥ 1, obtemos que

) →



g(x)f(z)dx, quando n → ∞. (2.3.9)

Assim, usando (2.3.6), (2.3.7), (2.3.8), (2.3.9) na igualdade (2.3.5), concluimos que

2 Multiplicidade de soluc¸

oes 51

lim inf

n→∞

J(z

) = lim inf

n→∞







dx +



V (x)|f(z

−



|f(z

dx −



g(x)f(z

)dx



= lim inf

n→∞





dx +



V (x)|f (z)|

−



|f(z)|

dx −



g(x)f(z)dx

≥





dx +



V (x)|f(z)|

−



|f(z)|

dx −



g(x)f(z)dx = J(z).

Portanto J ´e semi-continuo inferiormente em

Desde que J ´e semi-continuo inferiormente e limitado sobre

, pelo Princ´ıpio

Variacional de Ekeland ( veja Apˆendice, Teorema A.3 ), obtemos que para qualquer

n inteiro positivo, existe uma sequˆencia (v

) tal que

c ≤ J(v

) ≤ c +

(2.3.10)

J(w) ≥ J(v

) −

v

− w, para todo w ∈

. (2.3.11)

Aﬁrmamos que v

 < R, para todo n suﬁcientemente grande. Caso contr´ario, se

v

 = R para inﬁnitos n, podemos assumir, sem perda de generalidade, que

v

 = R para todo n ≥ 1. Disto segue, pela escolha de ρ

que J(v

) ≥ ρ

> 0.

Combinando este resultado com a desigualdade (2.3.10) e fazendo n → ∞ concluimos

que 0 < ρ

≤ lim I(v

) = c < 0 e isto ´e uma contradi¸c˜ao.

Finalmente vamos provar que J



)

∗

1,p

(R))

→ 0, n → ∞.

De fato, para qualquer v ∈ W

1,p

(R) tal que v = 1, vamos deﬁnir w

= v

+ tv.

Para um n ﬁxado temos que w

 ≤ v

 + t < R, se t ´e suﬁcientemente pequeno.

Usando a desigualdade (2.3.11) obtemos que

52 2 Multiplicidade de soluc¸

oes

J(w

) = J(v

+ tv) ≥ J(v

) −

|t|

v.

Portanto

J(v

+ tv) − J(v

)

|t|

≥ −

v = −

Fazendo t → 0

concluimos que



) · v ≥ −

Usando um argumento similar para t → 0

−

, obtemos que J



) · v ≤

, para todo

v ∈ W

1,p

(R) com v = 1. Portanto

J



)

∗

1,p

(R))

= sup

v=1



) · v| ≤

→ 0, quando n → ∞

e (v

) ´e uma sequˆencia (P S)

2.4 Preliminares para o Teorema 0.3

Vamos deﬁnir o funcional energia I

: X → R do problema (0.0.5) pela igualdade

(2.1.1), com g ≡ 0 ( que corresponde ao funcional I do problema (0.0.1) sem a

perturba¸c˜ao g ). Pelo Teorema 0.1 ( veja tamb´em Alves, Carri˜ao e Miyagaki em [2]

) sabemos que este problema tem uma solu¸c˜ao positiva ¯u, tal que I

(¯u) = m onde

m = inf

u∈M

(u)

e M ´e a variedade Nehari associada ao funcional I

, deﬁnida no Apˆendice, se¸c˜ao A11.

Agora vamos provar que I possui a geometria do passo da montanha.

Lema 2.9. ( Geometria do Passo da Montanha ). O funcional I satisfaz

2 Multiplicidade de soluc¸

oes 53

(a) I(0) = 0,

(b) existe uma constante positiva ρ e R tal que I(u) ≥ ρ se u = R,

> R e z ∈ W

1,p

(R) tal que

I(z) < 0 = I(0) se z > R

Prova: O item (a) ´e imediato. Usando desigualdade de H¨older, desigualdade de

Young ( veja Apˆendice A.1, desigualdade 3 ) , a condi¸c˜ao (V

) e a Observa¸c˜ao 1.1 do

Cap´ıtulo 1, obtemos que

I(u) ≡



[|u



+ V (x)|u|

] +



p−1

|u|

p(β−1)



−



|u|

−



g(x)u(x)dx

≥

u

−

u

− C

|g|

u

≥

u

−

u

−



u

− C



[|g|

]





−





u

−

u

− C



[|g|

]



Fixando  ∈ (0, 1), podemos encontrar R > 0, δ

> 0 suﬁcientemente pequeno e ρ > 0

tal que I(u) ≥ ρ se u = R e |g|

< δ

. Portanto o item (b) est´a provado.

Para provar o item (c), ´e suﬁciente observar que I

(t¯u) → −∞, quando t → ∞

( porque q > p ). Ent˜ao existe t

> 0 tal que I

(t¯u) < 0 se t ≥ t

. Deste fato,

juntamente com g ∈ C

, obtemos que

I(t¯u) = I

(t¯u) − t



g(x)u(x)dx < 0, se t ≥ t

Deﬁna z ≡ t¯u ∈ W

1,p

(R), segue que para todo t ≥ t

, z > R e I(z) < 0.

Observa¸c˜ao 2.10. Segue do Lema 2.9, aplicando uma vers˜ao do Teorema do Passo

da Montanha de Ambrosetti e Rabinowitz em [3], feita por Br´ezis e Nirenberg [14](

veja Apˆendice Teorema A.5 ), que existe uma sequˆencia (z

) ⊂ W

1,p

(R), (P S)

tal

que

54 2 Multiplicidade de soluc¸

oes

I(z

) → c

, I



) → 0 em (W

1,p

(R))

∗

, quando n → ∞,

onde

= inf

h∈Γ

sup

u∈h

I(u) > 0,

com

Γ =



h ∈ C([0, 1], W

1,p

(R)) : h(0) = 0 e h(1) = t

¯u



2.5 Prova do Teorema 0.3

Recordemos que v

´e uma solu¸c˜ao para o problema (1.3.12), dada pelo Lema 2.6, tal

que J(v

) = c. Ent˜ao segue da prova do Lema 2.4-(a) que I(u

) = J(v

) = c, onde

= f (v

) ´e uma solu¸c˜ao fraca para o problema (0.0.1), dada pela Proposi¸c˜ao 2.5.

Pelo Lema 2.9 e a Observa¸c˜ao 2.10, existe uma sequˆencia n˜ao negativa, (P S)

) ⊂ W

1,p

(R) ( porque g ∈ C

, podemos considerar a sequˆencia |u

| ) tal que

I(u

) → c

, I



) → 0 em (W

1,p

(R))

∗

, quando n → ∞.

Usando a desigualdade de H¨older, a condi¸c˜ao (V

) e a Observa¸c˜ao 1.1, concluimos

que



1,p

(R))

∗

· u

 + 1 ≥ I(u

) −



) · u



−





[|u



+ V (x)|u

dx] +



p−1

−



||u

β−1



−



1 −





g(x)u

(x)dx

≥



−





[|u



+ V

dx] −



1 −





g(x)u

(x)dx

≥ C



−



u



−



1 −



|g|



≥ C



−



u



− C



1 −



|g|

u

.

2 Multiplicidade de soluc¸

oes 55

Portanto a sequˆencia (u

) ´e limitada em W

1,p

(R). Pelo Lema 2.4, (v

) ´e tamb´em

uma sequˆencia (P S)

e limitada para o funcional funcional J. Portanto v

 v

fracamente em W

1,p

(R), quando n → ∞ e do Lema 2.6, v

´e uma solu¸c˜ao fraca do

problema (1.3.12). Pela Proposi¸c˜ao 2.5, u

≡ f (v

) ´e uma solu¸c˜ao fraca do problema

(0.0.1). Pela Observa¸c˜ao 2.8 temos que v

´e estritamente positiva. Como f ´e crescente

ent˜ao u

´e tamb´em estritamente positiva. Vamos provar que u

= u

mostrando que

I(u

) = I(u

). Faremos isto argumentando como Rˇadulescu e Smets em [49].

Lema 2.11. Seja (u

) ⊂ W

1,p

(R) a sequˆencia (P S)

para o funcional I dada acima,

tal que u

 u

, fracamente em W

1,p

(R), quando n → ∞. Ent˜ao ou a sequˆencia (u

)

converge fortemente em W

1,p

(R) ou c

≥ m + I(u

Assumindo este Lema por enquanto, segue que ou u

→ u

em W

1,p

(R), quando

n → ∞ e neste caso concluimos que

I(u

) = lim

n→∞

I(u

) = c

> 0 > c = I(u

);

= lim

n→∞

I(u

) ≥ I(u

) + m.

Supondo I(u

) = I(u

) = c, obtemos que c

≥ c + m e isto contradiz o Lema seguinte.

Lema 2.12. Sejam c, c

e m deﬁnidos anteriormente e a fun¸c˜ao f ∈ C

que

satisfazendo |f|

(R)

= 1. Ent˜ao existem n´umeros reais R > 0 e δ

= δ

(R) tais

que c

< c + m para toda fun¸c˜ao g = f sempre que  < δ

, onde R ´e dado na prova

da Aﬁrmativa 2.7.

Portanto o Teorema 0.3 ﬁca provado se escolhermos 0 <  < δ onde δ = min{δ

, δ

Prova do Lema 2.11:

Pelo Lema 2.6 e a Proposi¸c˜ao 2.5, se u

→ u

quando n → ∞, pela continuidade

do funcional I, obtemos que u

´e um ponto cr´ıtico de I e I(u

) = c

Por outro lado, se a sequˆencia (u

) n˜ao converge fortemente em W

1,p

(R), deﬁnimos

= u

− u

e obtemos que z

 0, fracamente em W

1,p

(R), quando n → ∞. Assim

podemos assumir que

56 2 Multiplicidade de soluc¸

oes

z

 → γ > 0, quando n → ∞. (2.5.1)

Temos que u

 u

, fracamente em W

1,p

(R), quando n → ∞ e g ∈ L

(R) para algum

s ≥ 1, ent˜ao segue disto juntamente com a Observa¸c˜ao 1.1 e o Teorema A.9 ( veja

Apˆendice, se¸c˜ao A.8 ) que



g(x)z

(x)dx → 0, quando n → ∞.

Assim

I(z

) = I

) + o(1).

Temos tamb´em que

lim inf

n→∞

[I(u

) − I(u

) − I(z

)] = lim inf

n→∞



u



p−1

||u

β−1



−



−

u



−

p−1

||u

β−1





−

z



−

p−1

||z

β−1



+ |z





Usando a Proposi¸c˜ao 1.5 do Cap´ıtulo 1 ( para p = 2 veja [45]), isto ´e,

lim inf

n→∞



β−1

≥ lim inf

n→∞



β−1

+ |u



β−1

e as identidades dadas pelo Lema de Br´ezis e Lieb ( veja Apˆendice, Lema A.2 ),

||u

− ||u

− ||z

= o(1), quando n → ∞,

− |u

− |z

= o(1), quando n → ∞, (2.5.2)

obtemos que

2 Multiplicidade de soluc¸

oes 57

lim inf

n→∞

[I(u

) − I(u

) − I(z

)] ≥ 0.

Portanto tomando uma subsequˆencia, se necess´ario, segue que

lim

n→∞

[I(u

) − I(u

) − I(z

)] ≥ 0,

onde conclui-se que

+ o(1) = I(u

) ≥ I(u

) + I(z

) + o(1) = I

) + I(u

) + o(1). (2.5.3)

Analogamente, usando o Lema 2.6 e a Proposi¸c˜ao 2.5, obtemos que

o(1) = I



) · u

≥ I



) · u

+ I



) · z

+ o(1) = I



) · z

+ o(1).

Logo



) · z

≤ o(1). (2.5.4)

Se lim

n→∞



) · z

< 0, ent˜ao, para n suﬁcientemente grande, pelo Lema 1.2

existe λ

∈ ]0, 1[ tal que λ

∈ M. Al´em disso temos que

lim sup

n→∞

< 1. (2.5.5)

Caso contr´ario, se lim sup

n→∞

= 1, ent˜ao ao longo de uma subsequˆencia, temos

que λ

→ 1, quando n → ∞. Portanto



) · z

= I



(λ

) · λ

+ o(1).

58 2 Multiplicidade de soluc¸

oes

Assim lim

n→∞



) · z

= 0. Mas isto ´e uma contradi¸c˜ao. Logo lim sup

n→∞

Desde que λ

∈ M, pela desigualdade (2.5.3) temos que

+ o(1) = I(u

) ≥ I

) + I(u

) + o(1)



[|z



+ V (x)|z

] +



p−1

p(β−1)



−



+ I(u

) + o(1)

−p



[|λ



+ V (x)|λ

] +



p−1

−pβ

|λ

p(β−1)

|λ



−λ

−q



|λ

+ I(u

) + o(1)

β − 1

pβ

−p



[|λ



+ V (x)|λ

] + λ

−q

q − pβ

pqβ

|λ

+ I(u

) + o(1).

Usando a desigualdade (2.5.5) e tomando o limite superior na desigualdade acima

obtemos que

≥

β − 1

pβ



[|λ



+ V (x)|λ

] +

q − pβ

pqβ

|λ

+ I(u

)

= I

(λ

+ I(u

) + o(1) = m + I(u

)

e o Lema 2.11 est´a provado.

Agora, vamos estudar o caso onde lim

n→∞



)·z

= 0. Desde que a desigualdade

(2.5.3) ´e satisfeita, basta provar que

) ≥ m + o(1). (2.5.6)

Vamos deﬁnir

≡ I



).z

2 Multiplicidade de soluc¸

oes 59

≡



[|z



+ V (x)|z

] ,

≡



p(β−1)



≡



Portanto

0 = lim

n→∞



).z

= lim

n→∞

= lim

n→∞

[ϕ

+ θ

− ψ

] . (2.5.7)

Usando que V satisfaz a condi¸c˜ao (V

), obtemos que

≥ Cz



→ γ > 0. (2.5.8)

Note tamb´em que

e θ

s˜ao n´umeros ﬁnitos e n˜ao negativos. (2.5.9)

Segue da igualdade (2.5.7) que

(a) χ

= 0, exceto um n´umero ﬁnito de ´ındices n, ou

60 2 Multiplicidade de soluc¸

oes

(b) existe uma subsequˆencia (χ

) tal que χ

→ 0, quando n → ∞ e χ

= 0 para

todo j.

Se ocorrer o item (a), obtemos que z

∈ M e portanto m ≤ I

). Assim a

desigualdade (2.5.6) ´e veriﬁcada.

Se ocorrer o item (b), a prova da desigualdade (2.5.6) segue adaptando alguns

argumentos usados por Rˇadulescu e Smets em [49] ( veja tamb´em [1] e [6] ).

Necessitamos da seguinte a aﬁrmativa:

Aﬁrmativa 2.13. Existe uma sequˆencia (t

) ⊂ R tal que

lim

n→∞

= 1



) · t

= 0.

Admitindo essa Aﬁrmativa por enquanto, obtemos que

lim

n→∞

) − I

)] =

(1 − t

) +

p−1

(1 − t

pβ

)|z

β−1





−

(1 − t

)z



= 0.

E desde que t

∈ M, conseguimos que

) = I

) + o(1) ≥ m + o(1).

Isto completa a prova do Lema 2.11 .

Prova da Aﬁrmativa 2.13:

Seja t = 1 + τ, onde τ > 0 ´e suﬁcientemente pequeno. Usando a deﬁni¸c˜ao de

, ϕ

, θ

, e ψ

obtemos que

2 Multiplicidade de soluc¸

oes 61



((1 + τ)z

).(1 + τ)z

= (1 + τ)

+ (1 + τ)

pβ

− (1 + τ)

= ϕ

(1 + τ)

+ (1 + τ)

pβ

− (1 + τ)

(ϕ

+ θ

− χ

)

= [(1 + τ)

− (1 + τ)

] ϕ



(1 + τ)

pβ

− (1 + τ)



− (1 + τ)

= τ (p − q)ϕ

+ ϕ

o(τ) + (pβ − q)τ θ

+ θ

o(τ) + (1 + τ)

= τ [(p − q)ϕ

+ (pβ − q)θ

] + ϕ

o(τ) + θ

o(τ) + (1 + τ)

Deﬁna

≡

K|χ

(q − p) + θ

(q − pβ)

, onde K > 1 ´e uma constante.

Usando (2.5.7), (2.5.8) e (2.5.9) concluimos que

lim

n→∞

= 0.

Observe que



((1 + τ

) · (1 + τ

K|χ

(q − p) + θ

(q − pβ)

[(p − q)ϕ

+ (pβ − q)θ

]

+ϕ

o(τ

) + θ

o(τ

) +



1 +

K|χ

(q − p) + θ

(q − pβ)

+ o(τ

)



= −K|χ

| + χ

K|χ

(q − p) + θ

(q − pβ)

+ ϕ

o(τ

) + θ

o(τ

) + χ

o(τ

Usando que K > 1, o lim

n→∞

= 0, (2.5.8) e (2.5.9), concluimos que



((1 + τ

) · (1 + τ

< 0, para n suﬁcientemente grande.

Analogamente,



((1 − τ

) · (1 − τ

> 0, para n suﬁcientemente grande.

Portanto existe t

∈ (1 − τ

, 1 + τ

) tal que

62 2 Multiplicidade de soluc¸

oes



).t

= 0.

Prova do Lema 2.12:

A prova deste Lema segue usando a seguinte aﬁrmativa.

Aﬁrmativa 2.14. sup

t≥0

I(t¯u) < m + c, onde ¯u ´e a solu¸c˜ao do problema (0.0.1),

considerando g(x) = 0.

Prova: Necessitamos provar que c + m > 0, para δ

> 0 e R > 0 dados na prova do

Teorema 0.2. De fato, seja u uma solu¸c˜ao do problema (0.0.1) obtida pelo Teorema

0.2. Desde que I



(u).u = 0 tem-se que

c = I(u) =



−





[|u



+ V (x)|u|

] + K

p−1



q − pβ



||u|

β−1



−



1 −





g(x)u(x)dx.

Usando o fato do segundo termo ser positivo, a condi¸c˜ao (V

), a desigualdade de

H¨older e a Observa¸c˜ao 1.1, concluimos que

c ≥



−



Cu

−



1 −



|g|

u,

onde C ´e uma constante. Aplicando a desigualdade de Young, encontramos que

c ≥



−



Cu

−

u

−





1 −





|g|







p−1



Agora tomando a constante λ ≡



1 −



e argumentando como [49] ( veja tamb´em

[6] ) tem-se que

2 Multiplicidade de soluc¸

oes 63



1 −



−





1 −







1 −







q − 1







1 −



p−1

≡ µ > 0.

Ent˜ao

c ≥



−



Cu

−



−



Cu

− µ|g|



= −µ|g|



. (2.5.10)

Escolhendo |g|

suﬁcientemente pequeno, obtemos que o n´umero negativo c tende a

zero e desde que m > 0 concluimos que c + m > 0.

Como c + m > 0 = I(0) e o funcional I ´e cont´ınuo, existe t



> 0 e 



> 0,

satisfazendo 0 < |g|

< 



, tal que

sup

t∈[0 , t



]

I(t¯u) < m + c, se |g|

< 



< δ

Assim, para concluir a Aﬁrmativa (2.14) basta provar que

sup

t≥t



I(t¯u) < m + c, se |g|

´e suﬁcientemente pequena.

Mas, desde que I(¯u) = m, usando uma propriedade da variedade de Nehari para o

funcional I

, precisamente, I

(λu) ≤ I

(u), para todo u pertencente a variedade e

λ > 0, temos que

64 2 Multiplicidade de soluc¸

oes

I(t¯u) ≤ sup

t≥t



I(t¯u)

≤ sup

t≥t







[|¯u



+ V (x)|¯u|

] +

p−1

pβ

||¯u|

β−1

¯u



−

|¯u|

−t





g(x)¯u(x)dx



= sup

t≥t





(t¯u) − t





g(x)¯u(x)dx



≤ sup

t≥0

(t¯u) − t





g(x)¯u(x)dx

≤ I

(¯u) − t





g(x)¯u(x)dx

= m − t





g(x)¯u(x)dx = m − t



a

onde a



f(x)¯u(x)dx ´e positivo porque f ∈ C

, |f|

= 1 e g = f. De (2.5.10) e

do fato que |g|

= 

|f|

= 

<  with  ≤ 



segue que

c ≥ −µ|g|



> −µ



Escolhendo 



> 0, suﬁcientemente pequeno, tal que −t



a

< −µ



, for all  < 



concluimos que

I(t¯u) < m + c.

Para terminar a prova do Lema 2.12 basta tomar δ

= min{



, 



—3—

Orbitas homocl´ınicas para o

problema autˆonomo

Neste cap´ıtulo vamos demonstrar o Teorema 0.4. Para isto consideraremos o

problema autˆonomo (0.0.6), a saber

Lu + |u|

p−2

u = |u|

q−2

u, em R,

onde o operador L ´e deﬁnido pela igualdade (0.0.2), β > 1, K

> 0, p > 1 e q > p.

Renomeando



= |v|

−p+2

p−1

v, (3.0.1)

obtemos que



p−2



= |v|

p−2

p−1

|v|

−p+2

p−1

v = v.

Ent˜ao

v = |u



p−2



(3.0.2)

e portanto







p−2







. (3.0.3)

Note que

{[(|u|

)



]

p−2

(|u|

)



|u|

β−2

u =





β|u|

β−2





p−2



β|u|

β−2







|u|

β−2



p−1



|u|

β−2



p−1



p−2







|u|

β−2





|u|

β−2



p−1







|u|

β−2

= β

p−1

|u|

β−2



(p − 1)



|u|

β−2



p−2

(β − 1)|u|

β−2





|u|

β−2



p−1





66 3

Orbitas homocl

ınicas para o problema aut

onomo

Reescrevendo a equa¸c˜ao (0.0.6) e usando que v = |u



p−2



, obtemos o seguinte sistema

sobre R













= |v|

−p+2

p−1





1 + K

p−1



|u|

β−2





−1

[|u|

p−2

u − |u|

q−2

−K

(p − 1)(β − 1)β

p−1



|u|

p(β−2)

p−1



p−1

(3.0.4)

Note que (−1, 0), (0, 0) e (1, 0) s˜ao pontos singulares do sistema (3.0.4).

Deﬁna a fun¸c˜ao energia E : R

→ R por

E(u, v) =



1 + K

p−1



|u|

β−2





|v|

p−1

p − 1



|u|

−

|u|



Vamos mostrar que E(γ(t)) ´e constante ao longo das ´orbitas γ(t) ≡ (u(t), v(t)) ∈

\{(0, 0)} do sistema (3.0.4).

De fato, temos que

E(u, v) = E

· u



+ E

· v



= K

|v|

p−1



|u|

β−2



p−1

(β − 1)|u|

β−2



p − 1



|u|

q−2

u − |u|

p−2





p − 1



1 + K

p−1



|u|

β−2





|v|

p−1

−2



= K

|v|

p−1



|u|

β−2



p−1

(β − 1)|u|

β−2



p − 1



|u|

q−2

u − |u|

p−2





p − 1



|u|

p−2

u − |u|

q−2

u − K

(p − 1)(β − 1)β

p−1



|u|

p(β−2)

p−1



p−1

|v|

p−1



|v|

−p+2

p−1

= K

p−1

(β − 1)



|u|

p(β−2)

p−1



p−1

|v|

p−1



p − 1



|u|

q−2

u − |u|

p−2





p − 1



|u|

p−2

u − |u|

q−2

u − K

(β − 1)(p − 1)β

p−1



|u|

p(β−2)

p−1



p−1

|v|

p−1



|v|

−p+2

p−1

Usando a igualdade (3.0.2) obtemos que

E(u, v) = 0.

Note que sobre a ´orbita α(t) ≡ (0, 0), a fun¸c˜ao energia E(α(t)) = E((0, 0)) = 0.

Orbitas homocl

ınicas para o problema aut

onomo 67

Agora, considere uma ´orbita γ(t) ≡ (u(t), v(t)) = (0, 0) tal que E(γ(t)) =

E((u(t), v(t))) = 0. Desde que E ´e constante ao longo das ´orbitas γ(t), obtemos

que

|v|

p−1

p − 1

|u|



1 −

|u|

q−p



1 + K

p−1

(|u|

β−2

Portanto

v = ±|u|

p−1



1 −

|u|

q−p



p−1

{(p − 1) [1 + K

p−1

(|u|

β−2

u(t))

]}

p−1

. (3.0.5)

Vamos analisar a ´orbita γ distinguindo dois casos:

Caso 1: u > 0.

Neste caso, pela equa¸c˜ao (3.0.5) obtemos que no plano uv, a ´orbita γ ´e sim´etrica em

rela¸c˜ao ao eixo

−→

0u e corta esse eixo em u(t) = a ≡





q−p

> 1. No ponto (a, 0), por

(3.0.4) e usando o fato que q > p, obtemos que o vetor γ



(t) = (u



, v



(a,0)

= (0, v



tangente a ´orbita γ(t) possui v



negativo e ´e perpendicualar ao eixo

−→

0u. Como q > p,

obtemos que a fun¸c˜ao energia ´e positiva para u > a, por exemplo veja ﬁgura 3.3 e

ﬁgura 3.4. Al´em disso a curva formada por α(t) ∪ γ(t), com u > 0 cont´em o ponto

(1, 0) no seu interior, por exemplo veja ﬁgura 3.1 e ﬁgura 3.2.

Al´em disso, analisando a fun¸c˜ao E, observamos que a energia nos pontos interiores

a curva α(t) ∪ γ(t) ´e negativa, por exemplo veja ﬁgura 3.3.

Note que a ´orbita γ(t) est´a contida no compacto K ≡ α(t) ∪ γ(t) e portanto tem

a seguinte propriedade

γ(t) = (u(t), v(t)) → 0, quando |t| → ∞.

E pelo sistema (3.0.4) vemos tamb´em que



(t) = (u



(t), v



(t)) → 0, quando |t| → ∞.

68 3

Orbitas homocl

ınicas para o problema aut

onomo

Deste dois fatos concluimos que a ´orbita γ ´e homocl´ınica.

Caso 2: u < 0.

Como o gr´aﬁco da fun¸c˜ao v(t) ´e sim´etrico em rela¸c˜ao a origem, de modo an´alogo a

Caso 1 obtemos uma ´orbita θ(t), com u(t) < 0 para todo t ∈ R que ´e homocl´ınica

e a curva θ(t) ∪ α(t), com u(t) < 0 para todo t ∈ R, cont´em o ponto (−1, 0) no seu

interior, por exemplo veja ﬁgura 3.2 e ﬁgura 3.4.

Portanto, o Teorema 0.4 segue do Caso 1 e Caso 2.

Observa¸c˜ao 3.1. Note que a regi˜ao interior a curva α(t)∪γ(t) possui somente ´orbitas

fechadas. De fato, seja P um ponto interior a curva α(t)∪γ(t) tal que E(p) = E(1, 0)

e E(p) = E(0, 0). Se a ´orbita que passa por P n˜ao ´e fechada, pelo Teorema de

Poincar´e-Bendixson, ( veja Apˆendice, Teorema A.4 ), esta ´orbita tende aos pontos

singulares (1, 0) ou (0, 0). Como a energia ´e constante ao longo das ´orbitas, conclui-

se que E(p) = E(1, 0) ou E(p) = E(0, 0), que ´e uma contradi¸c˜ao. Portanto todas

´orbitas no interior da curva α(t) ∪ γ(t) s˜ao fechadas.

Observa¸c˜ao 3.2. Desde que q > p obtemos que a fun¸c˜ao energia restrita ao segmento

compreendido entre os pontos (1, 0) e (a, 0), isto ´e, E(0, v) =

p−1



|u|

−

|u|



´e

uma fun¸c˜ao negativa e crescente. Al´em disso, temos tamb´em que E(u, 0) = |v|

p−1

> 0

para todo v ∈ R, v = 0. Destes dois fatos e usando que a energia ´e constante sobre as

´orbitas, concluimos que na regi˜ao exterior e muito pr´oxima a curva α(t) ∪ γ(t) n˜ao

existe nenhuma ´orbita em que a energia seja zero sobre ela. Portanto a ´orbita γ ´e

isolada.

Orbitas homocl

ınicas para o problema aut

onomo 69

−1

−2

1−1−2

Figura 3.1: Gr´aﬁco da ´orbita γ(t) = (u(t), v(t)) com u > 0, p = 2, β = 3 e q = 6.

70 3

Orbitas homocl

ınicas para o problema aut

onomo

−1

−2

1−1−2

Figura 3.2: Gr´aﬁcos: ´orbita γ(t) = (u(t), v(t)) com u > 0 e ´orbita θ(t) = (u(t), v(t)) com

u < 0, no caso p = 2, β = 3 e q = 6.

Orbitas homocl

ınicas para o problema aut

onomo 71

1.0

2.0

3.0

-1.0

-2.0

1.0

2.0

3.0

-1.0

-2.0

1.0

2.0

3.0

-1.0

-2.0

Figura 3.3: Gr´aﬁco da superf´ıcie E(u, v) com p = 2, β = 3 e q = 6.

72 3

Orbitas homocl

ınicas para o problema aut

onomo

1.0

2.0

3.0

-1.0

-2.0

1.0

2.0

3.0

-1.0

-2.0

1.0

2.0

3.0

-1.0

-2.0

Figura 3.4: Gr´aﬁco da superf´ıcie E(u, v) com p = 2, β = 3 e q = 6.

—4—

Conclus˜ao

Neste trabalho, mostramos a existˆencia de duas solu¸c˜oes positivas para o problema

(0.0.1). A garantia da existˆencia dessas duas solu¸c˜oes ´e devido a presen¸ca da

perturba¸c˜ao g, com norma |g|

suﬁcientemente pequena, que faz com que funcional

energia possua dois pontos cr´ıticos, um com energia negativa ( obtida pelo Princ´ıpio

Variacional de Ekeland ) e outro com energia positiva ( dado pela Geometria do Passo

da Montanha ).

Para provar existˆencia da primeira solu¸c˜ao, Teorema 0.2, tivemos que demonstrar

que solu¸c˜oes fracas do problema (0.0.1) foram obtidas como limite fraco de uma

determinada sequˆencia (PS)

( Lema 2.6 ) e esse resultado foi conseguido usando o

teorema de convergˆencia, Teorema A.9 ( veja Apˆendice ). Pelo fato das express˜oes

do funcional energia associado I e de sua derivada de Fr´echet I



terem termos

com a potˆencia cr´ıtica da imers˜ao de Sobolev, n˜ao pudemos aplicar esse teorema

de convergˆencia diretamente no funcional I e I



. Por isso foi necess´ario fazer uma

mudan¸ca de vari´avel, obtendo um problema equivalente ao anterior ( no sentido da

Prosi¸c˜ao 2.5 ), cujo o funcional energia associado n˜ao possuisse termos com potˆencia

cr´ıtica da imers˜ao de Sobolev na sua express˜ao .

Para obter a segunda solu¸c˜ao, Teorema 0.3, tivemos de provar primeiro a existˆencia

de solu¸c˜ao positiva, Teorema 0.1, para o problema (0.0.5), sem a perturba¸c˜ao g, e em

seguida, provamos os Lema 2.11 e Lema 2.12, os quais fazem uma compara¸c˜ao entre

os n´ıveis de energia, da primeira solu¸c˜ao, da segunda solu¸c˜ao e o n´ıvel de energia

(positivo) do caso g = 0.

No Cap´ıtulo, usando problemas autˆonomos, obtivermos uma generaliza¸c˜ao na

potˆencia q, retirando a sua dependˆencia de β, precisamente q > p, e conseguimos

provar que a equa¸c˜ao (0.0.6) admite duas solu¸c˜oes distintas. Vale ressaltar que, para

fazer essa generaliza¸c˜ao, usamos uma ferramenta poderosa de Sistemas Dinˆamicos,

que n˜ao se aplica para problemas n˜ao autˆonomos.

Referˆencias Bibliogr´aﬁcas

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—A—

Apˆendice

A.1 Desigualdades

1. Sejam a, b ∈ R

, µ = µ(p) ´e uma constante positiva e p, p



expoentes conjugados,

isto ´e, 1/p + 1/p



= 1. Ent˜ao

|a + b|

≥ |a|

+ |b|

− µ



|b|

p−1

|a| + |a|

p−1

|b|



Refer

encia. Stroock [53, p´ag. 122].

Desigualdades de Young : Sejam a, b ∈ R

e p, p



expoentes conjugados. Ent˜ao

2. ab ≤



3. ab ≤ εa

+ C(ε)b



, onde ε > 0 e C(ε) = (εp)

−



)

−1

Refer

encia. Evans [25, p´ag. 622].

4. Sejam a, b ∈ R

, a ≥ 0, b ≥ 0 e 1 ≤ p < ∞. Ent˜ao

(a + b)

≤ 2

p−1

+ b

Lema A.1. Sejam x, y ∈ R

e seja ·, ·

o produto escalar usual em R

. Ent˜ao existe

uma constante C = C(p) tal que



|x|

p−2

x − |y|

p−2

y, x − y



≥



|x−y|

(|x|+|y|)

2−p

se 1 < p < 2,

C|x − y|

se p ≥ 2.

(A.1.1)

Refer

encia. Peral [44, Lema A.0.5, p´ag. 78] e Simon [51, Lema 2.1].

A Ap

endice 79

A.2 Lema de Br´ezis e Lieb

Lema A.2. (Br´ezis e Lieb). Sejam (Ω, µ) espa¸co de medida e (f

) : Ω → C ( C ´e o

conjunto dos n´umeros complexos ) fun¸c˜oes mensur´aveis. Suponha que

1. as fun¸c˜oes f

, para n = 1, 2, 3, ..., ∞, sejam uniformemente limitadas em L

(Ω),

para algum 0 < p < ∞ e

2. f

→ f q. t. p em Ω.

Ent˜ao

lim

n→∞



− |f

− f|



= |f|

Refer

encia. Br´ezis e Lieb [13, Teorema 1, p´ag. 487].

A.3 Princ´ıpio Variacional de Ekeland

Teorema A.3. Seja (X, d) espa¸co m´etrico completo com m´etrica d e seja J : X →

R ∪{+∞} uma fun¸c˜ao semicont´ınua inferiormente. Suponhamos que J seja limitada

inferiormente e deﬁnamos

c ≡ inf

x∈X

J(x).

Ent˜ao, para todo ε > 0, existe u

tal que

c ≤ J(u

) ≤ c + ε

e para todo x ∈ X tal que x = u

, temos

J(x) − J(u

) + εd(x, u

) > 0.

Refer

encia. Ekeland [24].

A.4 Teorema de Poincar´e-Bendixson

Sejam ∆ um subconjunto aberto do espa¸co euclidiano R

e X : ∆ → R

um campo

vetorial de classe C

, k ≥ 1.

80 A Ap

endice

Seja ϕ(t) = ϕ(t, p) a curva integral de X passando pelo ponto P deﬁnida no seu

intervalo m´aximo I

, I

= (ω

−

(p), ω

(p)). Se ω

(p) = ∞ deﬁne-se o conjunto

ω(p) ≡ {q ∈ ∆; existe uma sequˆencia (t

), com t

→ ∞ e ϕ(t

) → q, quando n → ∞} .

Analogamente, se ω

−

(p) = −∞ deﬁne-se o conjunto

α(p) ≡ {q ∈ ∆; existe uma sequˆencia (t

) com t

→ −∞ e ϕ(t

) → q, quando n → ∞} .

Os conjuntos ω(p) e α(p) s˜ao chamados respectivamente de conjuntos ω − limite e

α − limite de p.

Vamos deﬁnir por γ

≡ {ϕ(t, p); t ≥ 0} a semi-´orbita positiva conduzida pelo ponto

Teorema A.4. Seja ϕ(t) = ϕ(t, p) a curva integral de X, deﬁnida para todo t ≥ 0,

tal que γ

esteja contida num compacto K ⊂ ∆. Suponha que o campo X possua um

n´umero ﬁnito de singularidades em ω(p). Tem-se as seguintes alternativas:

(a) Se ω(p) cont´em somente pontos regulares, ent˜ao ω(p) ´e uma ´orbita peri´odica.

(b) Se ω(p) cont´em pontos regulares e singulares, ent˜ao ω(p) consiste de um conjunto

de ´orbitas, cada uma das quais tende a um desses pontos singulares quando t → ±∞.

Refer

encia. Sotomayor [52, Teorema (Poincar´e-Bendixson), p´ag. 248].

A.5 Teorema do Passo da Montanha

Teorema A.5. ( Sem a condi¸c˜ao (P S)

). Sejam E espa¸co de Banach e Φ : E → R

fun¸c˜ao de classe C

. Suponhamos que existam vizinhan¸ca U da origem em E e

constante ρ ∈ R

tais que Φ ≥ ρ, para todo u ∈ ∂U,

A Ap

endice 81

Φ(0) < ρ e Φ(v) < ρ, para algum v ∈ U.

Deﬁnimos

c ≡ inf

P ∈P

max

w∈P

Φ(w) > 0,

em que P denota a classe de caminhos cont´ınuos em E unindo a origem a v ∈ U.

Ent˜ao existe uma sequˆencia (u

) ⊂ E tal que

Φ(u

) → c e Φ



) → 0 em E

∗

, quando n → ∞.

Refer

encia. Br´ezis e Nirenberg [14, Teorema 2.2].

A.6 Princ´ıpio do M´aximo de V´azquez

Considere a equa¸c˜ao

∆

v(x) + β(v(x)) = h(x) em Ω,

onde ∆

v = div (|∇v|

p−2

∇v), ∇v ´e o gradiente de v, p > 1.

Deﬁni¸c˜ao A.6. Seja x

∈ ∂Ω. Se existe uma bola aberta B

) ⊂ Ω tal que

B ∩ ∂Ω = {x

} ent˜ao podemos escolher um vetor unit´ario

ν =

− x

onde ν ´e um vetor unit´ario normal a ∂Ω no ponto x

apontando para o interior da

bola.

Teorema A.7. Seja v ∈ C

(Ω) com ∆

v ∈ L

loc

(Ω), u ≥ 0 q. t. p. em Ω, ∆

v ≤ β(v)

q. t. p em Ω, com β : [0, ∞) → R, cont´ınua, n˜ao decrescente, tal que β(0) = 0.

Suponha que β(s) = 0, para algum s > 0 ou β(s) > 0, para todo s > 0 e satisfaz a

condi¸c˜ao



[β(s)s]

−

ds = ∞.

82 A Ap

endice

Se v n˜ao ´e identicamente nula em Ω ent˜ao v ´e estritamente positiva em Ω.

Al´em disso, se v ∈ C

(Ω ∪ {x

}), para algum x

∈ ∂Ω satisfazendo u(x

) = 0 e a

deﬁni¸c˜ao A.6 ent˜ao

∂v

∂ν

) > 0.

Refer

encia. V´azquez [56, Teorema 5, p´ag. 200].

A.7 Teorema de Arzel´a-Ascoli

Teorema A.8. Suponha que (f

), k = 1, 2, 3, ..., ´e uma sequˆencia de fun¸c˜oes,

: R

→ R tal que as fun¸c˜oes f

sejam equicont´ınuas e

(x)| ≤ M, para todo k = 1, 2, 3, ... e x ∈ R

, para alguma constante M.

Ent˜ao existe uma subsequˆencia (f

) ⊂ (f

), j = 1, 2, 3, ... e uma de fun¸c˜ao

cont´ınua f tal que

→ f uniformente em conjuntos compactos de R

Refer

encia. Conway [18, Teorema 3.8, p´ag. 175] e Evans [25, p´ag. 622].

A.8 Teorema Hewitt-Stromberg

Teorema A.9. Suponha que 1 < p < ∞ e que a sequˆencia (f

) seja limitada em

(R). Se

→ f q. t. p. em R, ent˜ao f

 f fracamente em L

(R), ou seja

lim

n→∞



g dµ =



fg dµ, para toda g ∈ L



(E),



= 1.

Refer

encia. Hewitt and Stromberg [29, Teorema 13.44, p´ag. 207].

A Ap

endice 83

A.9 Lema de Concentra¸c˜ao e Compacidade

Lema A.10. (P. L. Lions,1984). seja r > 0 e 2 ≤ q < ∞. Se a sequˆencia (u

) ´e

limitada em W

1,p

(R) e

sup

y∈R



B(y,r)

→ 0, quando n → ∞,

ent˜ao u

→ 0 em L

(R) para todo 2 < p < ∞.

Refer

encia. Lions [35, Lema I.1, p´ag. 115].

A.10 Teorema de convergˆencia em L

(R)

Teorema A.11. Seja f

uma sequˆencia em L

(R) e f ∈ L

(R), para 1 ≤ p < ∞,

tais que |f

− f|

→ 0, quando n → ∞. Ent˜ao existe uma subsequˆencia (f

) da

sequˆencia (f

) tais que

(a) f

(x) → f(x) q. t. p. em R, quando n → ∞.

(b) Existe uma fun¸c˜ao h ∈ L

(R) tal que |f

(x)| ≤ h(x), q. t. p. em R, para todo k.

Refer

encia. Br´ezis [12, Teorema IV.9), p´ag. 58].

A.11 Deﬁni¸c˜ao da variedade de Nehari

Seja I : W

1,p

(R) −→ R, de classe C

1,p

(R), R). Deﬁna

M = {u ∈ X\{0} : I



(u) · u = 0} .

M ´e chamada de variedade de Nehari associada ao funcional I.

A.12 Deﬁni¸c˜ao de solu¸c˜ao fraca e regularidade do

funcional I

Vamos considerar o problema (0.0.1), a saber,







Lu + V (x)|u|

p−2

u = |u|

q−2

u + g(x), em R,

u ∈ W

1,p

(R), u ≥ 0 em R,

84 A Ap

endice

onde o operador L ´e deﬁnido por

Lu ≡ −[|u



p−2



]



− K

{[(|u|

)



]

p−1

}



|u|

β−2

> 0, β > 1, p > 1, q ≥ p β, g ∈ L

(R), para algum s ≥ 1 e V : R → R ´e uma

fun¸c˜ao potencial veriﬁcando a condi¸c˜ao (V

Multiplicando a equa¸c˜ao (0.0.1) por uma fun¸c˜ao z ∈ C

∞

(R), integrando por partes e

usando o fato que lim

|x|→∞

u(x) = 0 ( pois u ∈ W

1,p

(R) ), obtemos que



[|u|

q−2

u]zdx +



g(x)zdx =



[|u



p−2



dx +



[V (x)|u|

p−2

u]zdx



{[(|u|

)



]

p−1

}[|u|

β−2

uz]



dx.

Mas,



{[(|u|

)



]

p−1

}[|u|

β−2

uz]





p−1

(β − 1)[|u|

p(β−1)−2

u|u



]zdx +



p−1

[|u|

p(β−1)



p−2



dx.

Portanto



[|u



p−2



dx +



[V (x)|u|

p−2

u]zdx +



p−1

(β − 1)[|u|

p(β−1)−2

u|u



]zdx



p−1

[|u|

p(β−1)



p−2



dx −



[|u|

q−2

u]zdx −



g(x)zdx = 0. (A.12.1)

Desde que o espa¸co das fun¸c˜oes C

∞

(R) ´e denso em W

1,p

(R), a igualdade (A.12.1) ´e

v´alida para todo z ∈ W

1,p

(R).

A Ap

endice 85

Deﬁna o funcional energia I : W

1,p

(R) −→ R por

I(u) ≡



[|u



+ V (x)|u|

] dx +

p−1



|u|

p(β−1)



−



|u|

dx −



g(x)udx. (A.12.2)

Para mostrar a existˆencia da derivada de Fr´echet do funcional I, usamos o Teorema

da Convergˆencia Dominada de Lebesgue. O existˆencia da derivada de Fr´echet do

quarto termo da express˜ao de I ´e imediato. Vamos provar a existˆencia da derivada de

Fr´echet para o segundo termo da express˜ao de I. Os demais termos est˜ao provados

no livro do Willem, [57] em [57, Proposi¸c˜ao 1.12, p´ag. 9].

Vamos deﬁnir J : W

1,p

(R) −→ R por

J(u) =

p−1



|u|

p(β−1)



dx.

Provaremos que



(u) · z =



p−1

(β − 1)



|u|

p(β−1)−2

u|u





zdx



p−1



|u|

p(β−1)



p−2







dx. (A.12.3)

Dado x ∈ R e 0 < |t| < 1, pelo Teorema do Valor M´edio, existe 0 < λ < 1 tal que



|u + tz|

p(β−1)



+ tz



− |u|

p(β−1)





p−1

(β − 1)



|u + λtz|

p(β−1)−2

(u + λtz)|u



+ λtz





+β

p−1



|u + λtz|

p(β−1)



+ λtz



p−2



+ λtz)





Usando a desigualdade 4 do Apˆendice, se¸c˜ao A.1, a desigualdade de H¨older, o fato de

86 A Ap

endice

0 < |t| < 1, 0 < λ < 1 e u, z ∈ W

1,p

(R) estarem continuamente imerso em L

∞

(R),

obtemos que

|t|



|u + tz|

p(β−1)



+ tz



− |u|

p(β−1)





| ≤



+ z



+ C



+ z



p−1



∈ L

(R), (A.12.4)

onde C

e C

s˜ao constantes positivas.

Vamos deﬁnir a fun¸c˜ao p : R → R, p(t) = J(u + tz). Note que p(0) = J(u),



(t) = J



(u + tz) · z e que J



(u) · z = p



(0) = lim

t→0

[J(u + tz) − J(u)]. Ent˜ao



(u) · z = p



(0) = lim

t→0

p−1





|u + tz|

p(β−1)



+ tz



dx −



|u|

p(β−1)





Ent˜ao

lim

t→0

[J(u + tz) − J(u) − J



(u) · tz] =

lim

t→0





p−1

|u + tz|

p(β−1)



+ tz



dx −

p−1

|u|

p(β−1)



− β

p−1

(β − 1)



|u|

p(β−1)−2

u|u





tz − β

p−1



|u|

p(β−1)



p−2









dx.

Usando a desigualdade (A.12.4), podemos aplicar o Teorema da Convergˆencia

Dominada e passar o limite para dentro do sinal de integra¸c˜ao e obtermos que

lim

t→0

[J(u + tz) − J(u) − J



(u) · tz] = 0

Logo a igualdade (A.12.3) segue .

Ent˜ao temos que a derivada de Fr´echet do funcional I ´e dada por

A Ap

endice 87



(u) · z =







p−2







dx +



V (x)



|u|

p−2



zdx

+ K



p−1

(β − 1)



|u|

p(β−1)−2

u|u





zdx

+ K



p−1



|u|

p(β−1)



p−2







dx −





|u|

q−2



zdx −



g(x)zdx.

Deﬁni¸c˜ao A.12. Dizemos que u ∈ W

1,p

(R) ´e uma solu¸c˜ao fraca do problema (0.0.5)

se u satisfaz a igualdade (A.12.1), isto ´e, I



(u) · v = 0, para toda v ∈ W

1,p

(R) .

Agora vamos provar que o funcional energia I ´e de classe C

1,p

(R), R). Temos

que sua derivada de Fr´echet ´e dada por



(u) · z =

1=6



i=1



(u) · z,

onde



(u) · z =







p−2







dx,



(u) · z =



V (x)



|u|

p−2



zdx,



(u) · z =



p−1

(β − 1)



|u|

p(β−1)−2

u|u





zdx,



(u) · z =



p−1



|u|

p(β−1)



p−2







dx,

88 A Ap

endice



(u) · z = −





|u|

q−2



zdx



(u) · z = −



g(x)z(x)dx.

Seja u

→ u em W

1,p

(R), quando n → ∞. Vamos provar que



) · z − I



(u) · z| → 0, quando n → ∞ , para todo n = 1, 2, ..., 6.

A continuidade dos termos I



(u) · z, I



(u) · z, I



(u) · z e I



(u) · z, seguem por

argumentos semelhantes, utilizados por Willem em [57, Proposi¸c˜ao 1.12, p´ag. 9].

O termo I



(u) · z tamb´em ´e cont´ınuo. De fato, note que



) · z − I



(u) · z| = C







p(β−1)−2



− |u|

p(β−1)−2

u|u





zdx



Desde u

→ u em W

1,p

(R), quando n → ∞, obtemos que u

→ u em L

(R), quando

n → ∞. Al´em disso, |u



− u



≤ Mu

− u, onde concluimos que u



→ u



(R), quando n → ∞. Portanto existe uma fun¸c˜ao h pertecente a L

(R) tal que



(x)| ≤ h(x) q. t. p. em R.

Deﬁna

(x) =



p(β−1)−2



− |u|

p(β−1)−2

u|u





Note que f

→ 0 q. t. p. em R. Usando o fato de W

1,p

(R) est´a imerso em L

∞

(R)

e a Observa¸c˜ao 1.1 obtemos que |f

| ≤ C [|h(x)|

+ |u



] ∈ L

(R) e o resultado segue

pelo Teorema da Convergˆencia Dominada.

Agora vamos provar a continuidade do termo I

. Observe que

A Ap

endice 89



) · z − I



(u) · z| = C







p(β−1)



− |u|

p(β−1)



p−2









Desde u

→ u em L

(R), quando n → ∞ ent˜ao existe uma fun¸c˜ao l pertecente a

(R) tal que |u

(x)| ≤ l(x) q. t. p. em R.

Deﬁna

(x) =



p(β−1)−1

||u



− |u|

p(β−1)−1

|u||u



p−2







Observe que f

→ 0 q. t. p. em R. Usando que W

1,p

(R) est´a imerso

em L

∞

(R), a desigualdade de H¨older e a Obseva¸c˜ao 1.1 obtemos que |k

|(x) ≤

C [|h(x)|

p−1

l(x) + |u



p−1

u] ∈ L

(R) e o resultado segue novamente pelo Teorema da

Convergˆencia Dominada. Portanto I ∈ C

1,p

(R), R).

Note que, se deﬁnirmos γ(u) ≡ I



(u) · u, desde que γ ´e cont´ınuo, podemos obter



que ´e dado pela express˜ao abaixo.



(u) · u (A.12.5)

≡ pu

p−1

+ pβ

p+1

(β−1)



− q|u|

−



g udx.

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