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INSTITUTO
DE
TECNOLOGIA
DE
PERNAMBUCO -
ITEP OS
MESTRADO
PROFISSIONAL
EM
TECNOLOGIA
AMBIENTAL
IMPORTÂNCIA DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA O ESTUDO
DAS QUESTÕES AMBIENTAIS
HÉLIO OLIVEIRA RODRIGUES
Recife, 2008
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1
HÉLIO OLIVEIRA RODRIGUES
IMPORTÂNCIA DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA O ESTUDO
DAS QUESTÕES AMBIENTAIS
Dissertação apresentada ao Curso de
Mestrado Profissional em Tecnologia
Ambiental do Instituto de Tecnologia de
Pernambuco – ITEP, como parte dos
requisitos para obtenção do grau de
Mestre.
Linha de Pesquisa – Áreas Degradadas
Orientador: Jaime Joaquim da Silva
Pereira Cabral - PhD
Coordenadora: Dra Sônia Valéria Pereira
Recife, 2008
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3
A Deus e a todos que estiveram ao meu lado
nesta parte da caminhada, que mesmo sem
saber contribuíram para a minha chegada até
aqui e de um modo especial aos meus pais,
irmãos, esposa e filhos, pelo carinho, respeito e
paciência, encorajando-me nos momentos de
dificuldade.
4
AGRADECIMENTOS
A Deus, fonte de toda sabedoria, pela força e oportunidade que me
concedeu, auxiliando em meu aprendizado.
A minha esposa Sônia Maria dos Santos e aos meus filhos Hélio Oliveira
dos Santos Rodrigues e Héverton Oliveira dos Santos Rodrigues pela força e apoio
para concluir o trabalho de dissertação do mestrado.
Ao Professor Jaime Joaquim da Silva Pereira Cabral pela orientação, com
diretrizes seguras e constantes incentivos.
Aos professores e funcionários da Associação Instituto de Tecnologia de
Pernambuco pela atenção e dedicação.
A todos que direta ou indiretamente me estimularam e contribuíram com o
desenvolvimento deste trabalho e para meu progresso na vida, pois, mesmo diante
das dificuldades enfrentadas, tais contribuições foram decisivas.
5
O mundo da cultura que se alonga no mundo
da história é um mundo de liberdade, de opção,
de decisão, mundo de possibilidade em que a
decência pode ser negada, a liberdade
ofendida e recusada. Por isso mesmo a
capacitação de mulheres e de homens em
torno de saberes instrumentais jamais pode
prescindir de sua formação ética.
Paulo Freire
6
RESUMO
Muitos dos princípios em ciências e em engenharia dizem respeito a relações entre
quantidades, as quais estão sempre variando. Uma vez que taxas de variação são
matematicamente representadas por derivadas, não é surpreendente que tais
princípios estejam freqüentemente expressos em forma de Equações Diferenciais.
Neste trabalho são apresentados alguns modelos matemáticos importantes, que
envolvem a aplicação dessas equações voltadas para a resolução de problemas de
questões ambientais, mostrando, não só a importância de suas aplicações nesse
campo do conhecimento, mas também, sua aplicação a partir de situações
problemas, justificando-se assim a importância dessas equações a partir da
resolução numérica de tais problemas por meio do software Maple, utilizando seus
principais comandos e dá soluções exatas e gráficas, com a perspectiva de
contribuir de forma significativa com a construção do conhecimento.
Palavras Chaves: Equações Diferenciais; Modelagem Matemática; Questões
Ambientais
7
ABSTRACT
Many of the principles in science and engineering concern relations between
quantities, which are always changing. Since rates of change are represented by
mathematical derivatives, it is not surprising that these principles are often expressed
in the form of Differential Equations. This paper presents some important
mathematical models, involving the application of these equations geared to solving
problems of environmental issues, showing not only the importance of its applications
in this field of knowledge, but their application to situation-problems, justifying the
importance of these equations for the numerical resolution of such problems through
the MAPLE software, using its major commands, giving their exact solutions and
graphics, with the intention to contribute significantly to the construction of
knowledge.
Keywords: Differential Equations; Mathematical Modelling; Environmental Issues
8
LISTA DE FIGURAS
Figura 01 Atrator estranho de modelo presa-predador ............................................ 54
Figura 02 Espaço de fase do sistema de comportamento caótico ........................... 55
Figura 03 Diagrama de ocorrência de bifurcação de transição caótica ................... 55
Figura 04 Divisão do sistema de água subterrânea................................................. . 93
Figura 05 Arranjamento da água subterrânea....................................................... ... 94
Figura 06 Processos que influenciam o destino e transporte dos componentes
químicos .................................................................................................................. .. 95
9
LISTA DE TABELAS
Tabela 01 Estimativas do estoque reprodutor recrutamento. .................................. 59
Tabela 02 Machos de tilápia do Nilo – CPIP ............................................................ 64
Tabela 03 Distribuição do sulfato de amicacina e dimensões dos halos de
inibição correspondentes ......................................................................................... 69
10
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 01 Curva de crescimento de Curva de Ricker (determinação da captura
ótima). ...................................................................................................... 58
Gráfico 02 Ajuste dos dados do crescimento em comprimento............................... 64
Gráfico 03 Ajuste dos dados do crescimento em peso.. ......................................... 65
Gráfico 04 Valor limite de peso. ................................................................................ 65
Gráfico 05 Limite de comprimento.. .......................................................................... 66
Gráfico 06 Efeito de concentração do etanol sobre a biodegradação do
benzeno ..................................................................................................103
Gráfico 07 Representação bidimensional do volume elementar........................... ..109
Gráfico 08 Comparação entre os resultados .........................................................111
Gráfico 09 Análise das condições de contorno. .....................................................111
Gráfico 10 Comparação entre as soluções analítica e numérica (concentração
longitudinal)............ ................................................................................112
Gráfico 11 Comparação entre as soluções analítica e numérica (concentração
transversal) .............................................................................................112
Gráfico 12 Representação geométrica do comportamento da função na
aplicação .............................................................................................123
Gráfico 13 Representação do combate (presas x tempo decorrido). .....................127
Gráfico 14 Representação do campo de direções no primeiro quadrante
................
129
Gráfico 15 Representação do campo de direções no segundo quadrante...
...........
129
Gráfico 16 Representação do campo de direções no terceiro quadrante.
................
130
Gráfico 17 Representação do campo de direções no quarto quadrante..
.................
130
Gráfico 18 Representação do campo de direções nos quatro quadrantes
...............
131
Gráfico 19 Representação gráfica da demarcação das condições de contorno no
campo de direções..
................................................................................................
132
11
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
EDOs Equações Diferenciais Ordinárias
EDPs Equações Diferenciais Parciais
ECOPATH Programa Computacional para Descrever Trocas Entre os Componentes
de um Ecossistema
STELLA Structured Thinking Learning Laboratory with Animation
ICLARM International Center of Living Aquatic Resources Management
PVI Problema de Valor Inicial
NAPL Nonaqueous Phase Liquids
DNAPL Dense Nonaqueous Phase Liquids
BTEX Compostos orgânicos benzeno, tolueno, etil-benzeno e xileno
WUDS Weighted Upstream Differencing Scheme
MAPLE Sistema de Álgebra Computacional
12
LISTA DE SÍMBOLOS
N
t
.número de indivíduos da população no instante t
N
0
.número inicial de indivíduos da população
λ = e
X
razão finita de aumento da população
r razão intrínseca
x número de presas;
y número de predadores;
r razão intrínseca do aumento de presas;
m coeficiente de mortalidade de predadores;
a e b constantes;
MTB Micobacterium tuberculose;
X população de indivíduos suscetíveis a infecção pelo MTB;
X
BCG
indivíduos vacinados;
L indivíduos infectados pelo MTB (primeira infecção, mas não infecciosos);
X
1
indivíduos no estado latente;
TB indivíduos com tuberculose primária;
TB
S
indivíduos com tuberculose secundária (reinfecção exógena);
TB
R
indivíduos que recebem tratamento;
p proporção de indivíduos que entram na classe dos vacinados X
BCG
;
β coeficiente de transmissão do MTB;
r taxa na qual os indivíduos suprimem a prima-infecção ou taxa de perda de
imunidade pela vacina e retornam para classe de vacinados;
ω
1
taxa na qual aos indivíduos infectados desenvolvem rapidamente a tuberculose;
ω
2:
taxa na qual os indivíduos infectados progridem para a classe dos indivíduos
latentes X
1
;
λ taxa na qual os indivíduos infectados desenvolvem a tuberculose pela
reativação endógena;
β’ taxa na qual os indivíduos infectados desenvolvem a tuberculose pela infecção
exógena;
ξ taxa de tratamento;
13
σ taxa na qual os indivíduos tratados retornam para classe X
1;
φ(x ) função de interação trófica do predador;
f(x ) e f(y ) funções logísticas da presa e do predador respectivamente;
V
1:
volume a ser tomado da solução concentrada;
C
1
concentração da solução concentrada;
V
2
volume final da solução diluída;
C
2
concentração da diluição desejada;
V velocidade;
K condutividade hidráulica;
I Gradiente hidráulico (adimensional;
H carga hidráulica;
Kx condutividade hidráulica na direção x;
Ky condutividade hidráulica na direção y;
Q condição de fluxo de contorno aplicada;
ө
w
umidade volumétrica de água (adimensional);
t tempo (t);
S
m:
solubilidade dos compostos hidrofóbicos na mistura binária de solventes;
S
w:
é a solubilidade dos compostos hidrofóbicos na água pura;
f
c:
é a fração volumétrica do co-solvente na mistura de solventes binários;
β
aumento relativo de solubilidade dos compostos hidrofóbicos orgânicos;
K
ow:
o coeficiente de partição octanol-água;
K
d:
é o coeficiente de distribuição;
D tensor dispersão;
ρ
b:
densidade do aqüífero;
C
f
concentração da fonte de contaminante;
S massa de soluto adsorvida por unidade de massa seca do meio poroso;
S
f
massa de soluto proveniente da fonte de contaminante adsorvida por unidade de
massa seca do meio poroso;
R fator retardo;
K permeabilidade absoluta;
µ viscosidade dinâmica;
λ coeficiente de descaimento de primeira ordem.
14
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 16
1 OBJETIVOS .......................................................................................................... 17
1.1 Objetivo geral ................................................................................................... 18
1.2 Objetivos específicos....................................................................................... 18
2.EVOLUÇÃO HISTÓRICA DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. ............................ 19
2.1 Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e Equações Diferenciais
Parciais (EDPs).... ............................................................................................. 28
2.2 Aplicação das Equações Diferenciais no Estudo das Relações
Entre o Meio Ambiente e a Vida .................................................................... 32
3 APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ÀS QUESTÕES
BIOLÓGICAS ........................................................................................................... 35
3.1 Ecossistemas e Modelagem Ecológica .......................................................... 36
3.1.1 Ferramentas Para Elaboração de Modelos de Ecossistemas .................. 44
3.1.2 Modelo Predador-Presa ................................................................................ 47
3.1.2.1 Modelo para Dinâmica de Populações com Interação Predador-
Presa .................................................................................................................... 47
3.1.2.2 Estudo do Modelo Predador-Presa para Interações Tróficas
Entre Espécies .................................................................................................... 51
3.1.3 Modelo de Crescimento de Peixes .............................................................. 56
3.1.3.1 Aspectos da Matemática na Exploração Sustentável de Recursos
Pesqueiros ........................................................................................................... 56
3.1.3.2 Modelagem Matemática para Crescimento de Peixes ............................. 60
3.1.4 Antibióticos e seu Emprego em Pesquisas com Bactérias
Fitopatogênicas ................................................................................................... 66
3.1.4.1 Tuberculose: Questões sobre Reinfecção Exógena e
Reativação Endógena ......................................................................................... 70
3.2 Estimação de Parâmetros em Modelos Ecológicos Baseados em EDO ...... 74
3.2.1 Parâmetros Ecológicos e Biológicos. .......................................................... 76
15
3.2.2 Calibração de Modelos Ecológicos Baseados em EDOs ............................ 78
3.2.3 – Dificuldades na Calibração de Modelos Ecológicos ................................ 83
4 APLICAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AO TRANSPORTE DE
POLUENTES ........................................................................................................ 85
4.1 Modelagem e Simulação Numérica ................................................................ 87
4.2 Modelos de Propagação de Poluentes ........................................................... 93
4.2.1 Simulação Composicional para Transporte de Hidrocarbonetos
em Aqüíferos ....................................................................................................... 93
4.2.2
Solução Numérica do Problema de Derramamento de Gasolina
Acrescida de Álcool no Solo... ........................................................................... 99
4.2.2.1 Modelos de Simulação Pesquisados .......................................................101
4.2.2.2 A Influência do Etanol na Biodegradação dos BTEX .............................102
4.2.2.3 Efeito de Co-solvência do Etanol na Gasolina .......................................103
4.2.2.4 O Efeito de Sorção – A Interação do Contaminante com o Solo...........105
4.2.2.5 Formulação Matemática ............................................................................106
4.2.2.6 Formulação Numérica ...............................................................................108
5 MATERIAL E MÉTODOS ....................................................................................114
6 UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE MAPLE PARA RESOLUÇÃO DE
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A PARTIR DE UMA QUESTÃO
AMBIENTAL .......................................................................................................120
6.1 Aplicação Numérica 1 – Modelo de Crescimento Populacional ..................121
6.2 Aplicação Numérica 2 – Modelo Predador Presa ........................................124
6.3 Aplicação Numérica 3 – Modelo Predador Presa .........................................127
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS E SUGESTÕES ......................................................133
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................135
APÊNDICE 1 – Artigo para ser submetido à publicação: Importância
das Equações Diferenciais para o Estudo das Questões Ambientais .............146
16
INTRODUÇÃO
Na idade antiga, as necessidades da sociedade impulsionaram a busca pelo
desenvolvimento dos modelos matemáticos para explicar as observações do mundo
físico, na tentativa de se obter uma melhor compreensão dos fenômenos da
natureza. A enorme complexidade dos problemas ecológicos tem sido uma grande
barreira para a compreensão dos problemas ambientais, neste sentido, a
modelagem matemática como uma forte ferramenta, vem dando grandes
contribuições, não só para organizar informações, mas também, para fazer
previsões nas mais diferentes situações.
Os mais variados tipos de modelos matemáticos existentes se fundamentam em
Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e Parciais (EDPs). As Equações
Diferenciais Ordinárias se destacam nas aplicações de sistemas ecológicos, onde no
desenvolvimento de modelos dessa natureza, a condição de contorno é de
fundamental importância para se chegar a obtenção de um modelo eficiente e
realista.
As Equações Diferenciais Parciais normalmente apresentam várias limitações,
tendo-se em vista a grande variabilidade de parâmetros, propriedades dos materiais
e das condições de contorno e em geral, isso ocorre normalmente em solos que
apresentam uma condutividade hidráulica de forma anisotrópica e homogênica no
espaço discretizado. Suas soluções são apresentadas através de métodos
numéricos em qualquer distribuição espacial, sendo as propriedades dos materiais
bastante variadas em qualquer geometria, que variam com o tempo, ou seja, em
condições transientes. Os principais métodos numéricos são utilizados na
engenharia civil, ou seja, diferenças finitas, elementos finitos e elementos de
contorno, que são métodos numéricos que envolvem representação do domínio,
sejam de fluxo de água, de calor, de equilíbrio de estruturas etc.
Desta forma, este trabalho tem como objetivo realizar um estudo sobre a importância
das Equações Diferenciais, bem como sua aplicabilidade na resolução de problemas
17
que envolvam as questões ambientais e posteriormente sugerir alternativas que
possibilitem um maior aprofundamento neste campo de estudo e
conseqüentemente, uma melhor compreensão sobre tais problemas.
18
1 OBJETIVOS
1.1 Objetivo Geral
Estudar as Equações Diferenciais, bem como sua importância para o estudo de
questões relacionadas ao meio ambiente.
1.2 Objetivos Específicos
− Levantar dados quanto à aplicação das Equações Diferenciais na solução de
problemas ambientais;
− Fazer um estudo de suas aplicações no já citado campo de conhecimento, em
especial para a modelagem ecológica;
− Sugerir alternativas que contribuam com o desenvolvimento de pesquisas a partir
das Equações Diferenciais Ordinárias e ou Parciais para o referido estudo.
19
2 EVOLUÇÃO HISTÓRICA DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
A cultura da humanidade tem nos mostrado, que na idade antiga, as necessidades
da sociedade impulsionam a busca pelo desenvolvimento dos modelos matemáticos
para explicar as observações do mundo físico, para se obter uma melhor
compreensão de tudo que ocorre na natureza.
Assim, neste momento será feito um breve relato histórico sobre tais aplicações
matemáticas, na tentativa de se dar uma melhor compreensão sobre o que deverá
ser estudado.
Nos últimos 300 anos, as equações diferenciais se constituíram como um dos mais
importantes ramos da matemática, por ser uma ferramenta de alta importância para
as ciências físicas tendo suas múltiplas aplicações tanto no campo da matemática
pura, quanto na aplicada.
Os fundamentos deste assunto, segundo alguns autores como Boyer (1996), Joseph
(1996), entre outros estão dominados graças as contribuições do grande matemático
Leonhard Euler (Séc. XVIII). Muitos foram os matemáticos que contribuíram com o
desenvolvimento das Equações Diferenciais, mas os conhecimentos de Euler foram
de alta relevância para que se pudesse entender o cálculo e a análise, para que
fossem desenvolvidas as idéias fundamentais e a partir daí, fossem produzidas
novas idéias além do seu entendimento.
Segundo Boyer (1996), o cálculo surgiu no século XVII, a partir dos conhecimentos
matemáticos de Fermat, Newton e Leibniz, por estes matemáticos entenderem que o
conceito de derivada estava relacionado com o estudo das proporcionalidades e
conseqüentemente, desenvolverem estes estudos a partir das Equações
Diferenciais.
20
Ao longo do tempo foi descoberto que as soluções para as equações diferenciais
não eram tão fáceis, as manipulações simbólicas e as simplificações algébricas
ajudavam, mas não eram suficientes para concretizar tais estudos.
A integral antiderivada, teve um papel importante quando no desenvolvimento do
Teorema Fundamental do Cálculo, por oferecer ajuda direta e principalmente
quando as variáveis da equação eram separadas. O método das generalizações das
variáveis foi desenvolvido por Jakob Bernoulli e generalizado por Leibniz no século
XVII.
No início do século XVIII, pesquisadores das Equações Diferenciais começaram a
aplicar estes tipos de equações a problemas relacionados com a astronomia e
ciências físicas. Bernoulli, por exemplo, estudou e escreveu cuidadosamente as
equações diferenciais para o movimento planetário, usando os princípios de
gravidade e momento desenvolvidos por Newton.
O trabalho de Bernoulli incluiu o desenvolvimento da catenária e o uso de
coordenadas polares. Nesta época, as equações diferenciais estavam interagindo
com outros tipos de matemática e ciências, para resolver problemas aplicados
significativos.
Por exemplo, Halley as utilizou para analisar a trajetória de um cometa que hoje leva
seu nome. Johann Bernoulli, foi provavelmente o primeiro matemático a entender o
cálculo de Leibniz e os princípios de mecânica para modelar matematicamente
fenômenos físicos usando Equações Diferenciais para encontrar suas soluções.
Já Taylor usou Séries para "resolver" Equações Diferenciais e outros matemáticos
desenvolveram e utilizaram as Séries para vários propósitos. Contudo, o
desenvolvimento de Taylor a partir de estudos das diferenças finitas criou um novo
ramo da matemática intimamente relacionado ao desenvolvimento das Equações
Diferenciais.
21
No início do século XVIII, muitos outros matemáticos tinham acumulado uma
crescente variedade de técnicas para analisar e resolver muitas variedades de
Equações Diferenciais, contudo, muitas equações ainda eram desconhecidas em
termos de propriedades ou métodos de resolução.
Após cinqüenta anos de estudos das equações diferenciais, verificou-se um
progresso considerável, mas não uma teoria geral e isto indicava que tais estudos
precisavam avançar.
Muitas equações pareciam fáceis, mas tornavam-se decepcionantemente difíceis no
ato de suas resoluções e em muitos casos, técnicas de soluções iludiram
perseguidores por cerca de 50 anos, até quando Leonhard Euler chegou à cena das
equações diferenciais tendo como escopo o benefício dos trabalhos anteriores, mas
a chave principal para seu entendimento foi o seu conhecimento e percepção sobre
o desenvolvimento das funções.
Euler entendeu o papel e a estrutura de funções a partir de suas propriedades e
definições. Rapidamente achou que funções eram a chave para entender equações
diferenciais e desenvolver métodos para suas resoluções. Usando seu
conhecimento de funções, desenvolveu procedimentos para soluções de muitos
tipos de equações e foi o primeiro a entender as propriedades e os papéis das
funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e muitas outras funções
elementares.
Desenvolvendo várias funções baseadas em soluções em séries de tipos especiais
de equações diferenciais suas técnicas de conjecturar e encontrar os coeficientes
indeterminados foram etapas fundamentais para desenvolver este assunto.
Em 1739, Euler desenvolveu o método de variação de parâmetros, neste trabalho
também foi incluído o uso de aproximações numéricas e o desenvolvimento de
métodos numéricos, os quais proveram "soluções" aproximadas para quase todos os
tipos de equações.
22
Euler continuou seus estudos aplicando seu trabalho em mecânica, que levou a
modelos de Equações Diferenciais, bem como suas soluções, onde a partir daí, este
foi um assunto coeso e central para o desenvolvimento da matemática aplicada
moderna.
Babini e Pastor (2000), afirmam que ao aprofundar muitas das idéias de Euler em
1728, Daniel Bernoulli usou os métodos desenvolvidos por Euler, para ajudá-lo a
estudar oscilações e as Equações Diferenciais que produzem alguns tipos de
soluções aproximadas. Um outro trabalho desenvolvido a partir dos mesmos
conhecimentos foi o de D'Alembert em física matemática, que envolveu Equações
Diferenciais parciais e explorações por soluções das formas mais elementares.
Lagrange seguiu de perto os passos de Euler, desenvolvendo mais teorias e
estendendo resultados em mecânica e especialmente em equações de movimento
(problema dos três corpos) e energia potencial.
As maiores contribuições de Lagrange foram provavelmente na definição de função
e propriedades, ou seja, o que manteve o interesse em generalizar métodos e
analisar novas famílias de Equações Diferenciais.
Lagrange foi provavelmente o primeiro matemático com conhecimento teórico e
ferramentas suficientes para ser considerado um verdadeiro analista das Equações
Diferenciais e com sua incomensurável sabedoria em 1788 introduziu equações
gerais de movimento para sistemas dinâmicos, hoje conhecidas como equações de
Lagrange.
O trabalho de Laplace, também sobre a estabilidade do sistema solar, fundamentado
nos conhecimentos anteriores levou a mais avanços, incluindo técnicas numéricas
melhores e um melhor entendimento de integração.
Em 1799, Laplace introduziu as idéias de um laplaciano de uma função e claramente
reconheceu as raízes de seu trabalho quando escreveu "Leia Euler, leia Euler, ele é
nosso mestre".
23
O trabalho de Legendre sobre as equações diferenciais foi motivado pelo movimento
de projéteis, levando em conta novos fatores, como resistência do ar e velocidades
iniciais. Um outro matemático que deu grandes contribuições aos estudos das
Equações Diferenciais foi Lacroix, que trabalhou em avanços nas equações
diferenciais parciais e incorporou muitos a esses estudos muitos conhecimentos
desde os tempos de Euler, sintetizando muitos dos resultados deixados por Euler,
Laplace e Legendre.
Fourier, em sua pesquisa matemática deu contribuições importantes ao estudo e
cálculos da difusão de calor e à solução de equações diferenciais. Muito deste
trabalho aparece em The Analytical Theory of Heat (A Teoria Analítica do
Calor,1822) de Fourier, no qual ele faz uso extensivo da série que leva seu nome e
este resultado foi uma ferramenta importante para o estudo de oscilações.
As contribuições de Charles Babbage vieram por uma rota diferente, elas
desenvolveu uma máquina de calcular chamada de Máquina de Diferença que
usava diferenças finitas para aproximar soluções de equações, quando o próximo
avanço importante neste assunto ocorreu no início do século 19, quando as teorias e
conceitos de funções de variáveis complexas se desenvolveram. Os principais
estudiosos deste assunto foram Gauss e Cauchy.
Gauss usou equações diferenciais para melhorar as teorias das órbitas planetárias e
de gravitação, estabeleceu a teoria do potencial como um ramo coerente da
matemática e reconheceu que a teoria das funções de uma variável complexa era a
chave para entender muito dos resultados necessários em equações diferenciais
aplicadas.
Cauchy aplicou equações diferenciais para modelar a propagação de ondas sobre a
superfície de um líquido. Os resultados são agora clássicos em hidrodinâmica. Ele
inventou o método das características, o qual é importante na análise e solução de
várias equações diferenciais parciais.
24
Cauchy foi o primeiro a definir completamente as idéias de convergência e
convergência absoluta de séries infinitas e iniciou uma análise rigorosa de cálculo e
equações diferenciais. Como grande pesquisador Cauchy foi o primeiro a
desenvolver uma teoria sistemática para números complexos e a desenvolver a
transformada de Fourier para prover soluções algébricas para equações diferenciais.
Os trabalhos iniciais de Poisson em mecânica apareceram em Traité de mécanique
em 1811 e eram de alta importância, pois esse matemático aplicou seu
conhecimento de equações diferenciais à aplicações em física e mecânica, incluindo
elasticidade e vibrações. Muito de seu trabalho original foi feito na solução e análise
de equações diferenciais.
George Green desenvolveu seus trabalhos a partir de fundamentos matemáticos de
gravitação, eletricidade e magnetismo, publicado em 1828 em An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to Electricity and Magnetism. A matemática de
Green proveu a base na qual Thomson, Stokes, Rayleigh, Maxwel e outros
construíram a teoria atual do magnetismo.
Bessel era um amigo de Gauss e aplicou seu conhecimento sobre equações
diferenciais à astronomia. Seu trabalho sobre funções de Bessel foi feito para
analisar perturbações planetárias. Posteriormente estas construções foram usadas
para resolver equações diferenciais. Ostrogradsky colaborou com Laplace,
Legendre, Fourier, Poisson e Cauchy enquanto usava equações diferenciais para
desenvolver teorias sobre a condução do calor.
Já Joseph Liouville foi o primeiro a resolver problemas de contorno através de
equações integrais equivalentes, um método refinado por Fredholm e Hilbert no
início da década de 1900. O trabalho de Liouville sobre a teoria de integrais de
funções elementares foi uma contribuição substancial para soluções de equações
diferenciais.
As investigações teóricas e experimentais de Stokes, utilizando métodos de
equações diferenciais desenvolveram estudos sobre a hidrodinâmica, elasticidade,
luz, gravitação, som, calor, meteorologia e física solar.
25
Na metade do século XIX, uma nova estrutura era necessária para atacar sistemas
de mais de uma equação diferencial. Vários matemáticos vieram em socorro e foi aí,
quando Jacobi desenvolveu a teoria de determinantes e transformações em uma
ferramenta poderosa para avaliar integrais múltiplas e resolver equações
diferenciais.
A estrutura do jacobiano foi desenvolvida em 1841. Como Euler, Jacobi tinha muita
habilidade com o cálculo e um grande perito numa variedade de campos aplicados.
Cayley também trabalhou com determinantes e criou uma teoria para operações
com matrizes em 1854.
Cayley era um amigo de J. J. Sylvester e foi para os Estados Unidos lecionar na
Universidade Johns Hopkins entre 1881 e 1882. Cayley publicou mais de 900 artigos
cobrindo muitas áreas da matemática, dinâmica teórica e astronomia, criando
inclusive a noção de matrizes em 1858, com estes estudos desenvolveu uma grande
parte da teoria de matrizes nas décadas posteriores.
Josiah Gibbs fez contribuições à termodinâmica, ao eletromagnetismo e à mecânica.
Por seu trabalho nos fundamentos de sistemas de equações, Gibbs é conhecido
como o pai da análise vetorial.
À medida que o final do século 19 se aproximava, os principais esforços em
equações diferenciais se moveram para um plano teórico e em 1876, Lipschitz
(1832--1903) desenvolveu teoremas de existência para soluções de equações
diferenciais de primeira ordem. O trabalho de Hermite foi desenvolver a teoria de
funções e soluções de equações.
À medida que a teoria se desenvolveu, as seis funções trigonométricas básicas
foram provadas transcendentais, assim como as inversas das funções
trigonométricas e as funções exponenciais e logarítmicas.
Hermite mostrou que a equação de quinta ordem poderia ser resolvida por funções
elípticas. Enquanto seu trabalho era teórico, os polinômios e as funções de Hermite
26
se mostraram posteriormente muito úteis para resolver a equação de onda de
Schrödinger e outras equações diferenciais.
O próximo a construir um fundamento teórico foi Bernhard Riemann, seu doutorado
foi obtido, sob a orientação de Gauss, na teoria de variáveis complexas. Riemann
também teve o benefício de trabalhar com o físico Wilhelm Weber. O trabalho de
Riemann em equações diferenciais contribuiu para resultados em dinâmica e física.
Kovalevsky, grande física teórica e a maior matemática antes do século 20, venceu
dificuldades consideráveis por causa da discriminação de seu gênero e teve
oportunidade de estudar com Weierstrass.
No início de sua pesquisa, completou três artigos sobre equações diferenciais
parciais. No seu estudo da forma dos anéis de Saturno, ela se apoiou no trabalho de
Laplace, cujo trabalho ela generalizou.
Basicamente, o trabalho de Kovalevsky era sobre a teoria de equações diferenciais
parciais e um resultado central sobre a existência de soluções ainda leva seu nome.
Publicou vários artigos sobre equações diferenciais parciais, desenvolvendo
trabalhos teóricos de Fredholm e Hilbert refinando os resultados iniciais e
desenvolvendo novas classificações para o entendimento posterior de algumas das
mais complicadas famílias de equações diferenciais.
Carl Runge desenvolveu métodos numéricos para resolver as equações diferenciais
que surgiram no seu estudo do espectro atômico. Estes métodos numéricos ainda
são usados até os nossos dias.
Ele utilizou uma enorme quantidade de cálculos matemáticos em sua pesquisa, que
os físicos pensaram que fosse matemático, e fez tanta física que os matemáticos
pensaram que fosse físico. Hoje seu nome está associado com os métodos de
Runge-Kutta para resolver equações diferenciais.
27
Kutta, outro matemático aplicado alemão, também é lembrado por sua contribuição à
teoria de Kutta-Joukowski de sustentação de aerofólios em aerodinâmica, baseada
em equações diferenciais.
Na última metade do século 20, muitos matemáticos e cientistas da computação
implementaram métodos numéricos para equações diferenciais em computadores
para dar soluções rápidas e eficientes para sistemas complicados, sobre geometrias
complexas, de grande escala. Richard Courant e Garrett Birkhoff foram pioneiros
bem sucedidos neste esforço.
Segundo Joseph (1996), os babilônios muitos séculos antes de Cristo já resolviam
equações lineares e não lineares, mas as equações não lineares até pouco tempo
criaram grandes obstáculos no campo da matemática. Poincaré, o maior matemático
de sua geração fez grandes estudos sobre as referidas equações, produzindo
inclusive mais de 30 livros técnicos sobre física matemáticas e mecânica celeste.
A maioria destes trabalhos envolveu o uso e análise de equações diferenciais. Em
mecânica celeste, Poincaré trabalhando com os resultados do astrônomo americano
George Hill, conquistou a estabilidade das órbitas e iniciou a teoria qualitativa de
equações diferenciais não lineares. Muitos resultados de seus trabalhos foram as
sementes de novas maneiras de pensar, as quais floresceram estudos sobre à
análise de séries divergentes e equações diferenciais não lineares.
Poincaré deu grandes contribuições a quatro áreas importantes da matemática, ou
seja, análise, álgebra, geometria e teoria de números. Ele tinha um domínio criativo
de toda a matemática de seu tempo e foi, provavelmente, a última pessoa a estar
nesta posição.
No século 20, George Birkhoff com seu grande conhecimento, utilizou as idéias de
Poincaré para analisar sistemas dinâmicos grandes e estabelecer uma teoria para a
análise das propriedades das soluções destas equações.
28
2.1 Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e Equações Diferenciais Parciais
(EDPs)
Uma parcela bastante significativa dos modelos emprega Equações Diferenciais
Ordinárias (EDOs) e Equações Diferenciais Parciais (EDPs) e para definir Equações
Diferenciais é de fundamental importância apresentar o conceito de derivada.
Segundo Kreider (et al., 1972) e Boyer (1996), derivadas são expressões que
representam como uma certa função varia de acordo com uma ou mais variáveis,
denominadas dependentes ou independentes.
As Equações Diferenciais Ordinárias são aquelas que apresentam em sua estrutura
apenas uma variável e essas são muito utilizadas principalmente pelos sistemas
ecológicos, por estes serem eminentemente dinâmicos. O uso de EDOs para
modelar este tipo de problema está consagrado com uma infinidade de aplicações
desenvolvidas a partir de uma sólida teoria que embasa e justifica a sua utilização.
As Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), em sua forma normal pedem ser
categorizados a partir da função, ou seja:
Y(x) = x² Equação (2.1)
Podendo ser definida como:
que é chamada de primeira derivada ou de derivada de primeira ordem e representa
como a função dada anteriormente varia em relação aos valores de x.
Pode-se definir também, a derivada de uma derivada, ou seja:
29
também conhecida como segunda ou como derivada de segunda ordem podendo
também ser representada por:
Da mesma forma poderia-se definir a derivada terceira a partir da segunda derivada
e assim sucessivamente. Porém, todas estas derivadas só poderão ser definidas em
relação à variável x, que é a única presente na função y(x).
Por outro lado, quando se tem uma função na forma:
Y(x) = x² + t², Equação (2.2)
pode-se definir a derivada em relação à variável independente x, ou seja:
que é a derivada em relação à variável independente t, ou seja:
que são denominadas derivadas parciais de y(x,t) em relação a x e em relação a t. A
exemplo das derivadas ordinárias, pode-se também definir derivadas parciais de
ordem superior, derivando novamente em relação a mesma variável independente,
como no caso da derivada segunda de y(x,t) em relação a x, ou seja:
usualmente representada por:
30
desta forma, pode-se também derivar em relação a outra variável independente da
função, como na derivada segunda y(x,t) em relação a t, ou seja:
que também pode ser representada por:
Segundo Chapra e Canale (2002), as equações diferenciais parciais (EDPs) são
utilizadas para estudar uma série de fenômenos da natureza, nas mais diversas
áreas de aplicação. Por exemplo, para utilizá-las na resolução computacional é
necessário discretizar o domínio com uma malha de pontos.
Em situações reais, a malha para ser utilizada deve ser muito refinada, com uma
enorme quantidade de pontos e, além disso, para que sejam estudados de longo
prazo, as equações diferenciais parciais devem ser integradas em longos intervalos
de tempo.
As (EDPs), podem ser classificadas em três categorias básicas Elípticas, que são
aquelas que estão associadas a problemas estacionários, Parabólicas e
Hiperbólicas, que apresentam características difusa ou convectiva.
Os problemas evolutivos envolvem a variação temporal das grandezas físicas de
interesse, onde a partir dos valores iniciais dessas grandezas em um certo tempo é
calculado através da solução numérica da equação diferencial parcial (EDPs),
estando seus valores em sucessivos intervalos de tempo, até alcançar o instante
final.
31
Na discretização, para tratar de um problema diferencial computacionalmente é
necessário expressar de forma adequada a região (domínio), onde o problema será
resolvido.
Usualmente, não é possível obter soluções numéricas sobre o domínio, numa região
contínua, devido a infinidade de pontos envolvidos, mas para isso, inicialmente o
domínio é discretizado, substituído por um conjunto finito de pontos representativos,
para que sejam encontradas as soluções a partir desses pontos.
Obviamente, quanto maior for a quantidade de pontos da discretização, mais
aproximado será o resultado obtido.
As condições de contorno que são normalmente encontradas na solução de
equações diferenciais parciais (EDPs), apresentam:
1 – As condições de contorno de Dirichlet, ou seja, especifica o valor da função no
contorno;
2 – As condições de contorno de Neuman, ou seja, especifica uma derivada normal
à função do domínio, isto é, um fluxo;
3 – As condições de contorno de Cauchy, ou seja, especifica uma combinação de
dois tipos anteriores.
As equações de diferenças finitas consistem em substituir as derivadas parciais
presentes na equação diferencial, por aproximações por diferenças finitas, no
método explicito, as equações são independentes, permitindo solução por cômputo
direto.
Em métodos implícitos, tem-se uma condição de estabilidades mais favoráveis,
apesar das equações resultantes serem aclopadas e exige a resolução de um
sistema de equações a cada passo de integração no tempo, o que pode tornar os
métodos lentos e de difícil paralelização.
32
Portanto, a partir desses conceitos pode-se então definir as equações diferenciais,
como sendo aquelas que possuem um ou mais termos envolvendo derivadas de
alguma função desconhecida, onde aquelas que apresentarem derivadas simples
serão categorizadas como equações diferenciais ordinárias (EDOs) e por outro lado,
quando aparecerem derivadas parciais nas equações, essas serão categorizadas
como equações diferenciais parciais (EDPs).
2.2 Aplicação das Equações Diferenciais no Estudo das Relações Entre o Meio
Ambiente e a Vida
A enorme complexidade dos sistemas ecológicos tem sido uma grande barreira para
a compreensão e o gerenciamento dos problemas ambientais. Neste sentido, a
modelagem matemática é uma valiosa ferramenta, devido a sua capacidade de
organizar as informações disponíveis sobre estes sistemas e fazer previsões ao seu
respeito, para diferentes condições.
Alguns autores como, por exemplo, Jorgensen (1977) afirmam que o
desenvolvimento de modelos matemáticos para explicar observações do mundo
físico vem tendo grandes avanços nos últimos tempos e seu progresso ocorre,
graças ao esforço de uma maior compreensão dos fenômenos naturais e de
pensadores, que não se contentam apenas com as descrições quantitativas.
Nas últimas décadas, a sociedade em geral começou a tomar consciência dos
enormes impactos que ela impõe ao meio ambiente de sua qualidade de vida e de
como sua própria sobrevivência são afetadas por tais impactos.
Desta forma, conciliar atividades humanas com o meio ambiente, se tornou um dos
maiores desafios para a humanidade. Este grande desafio, se estende também à
comunidade acadêmica que, como produtora e detentora do conhecimento científico
deve fornecer subsídios científicos e tecnológicos, para que à sociedade possa
enfrentar os problemas ambientais.
33
Segundo Lago e Pádua (1984), esses subsídios devem se referir as diversas facetas
da problemática ambiental, valendo-se dos conhecimentos físicos, químicos,
biológicos, econômicos, sociais, geográficos e de qualquer outra área que possa
contribuir a entender e solucionar tais problemas ambientais.
Dentre as diversas disciplinas que lidam com o meio ambiente, a ecologia, é
provavelmente aquela que tem o desenvolvimento mais intimo. Seu rápido
desenvolvimento na década de 70 (setenta) aconteceu, a partir de uma
conscientização das questões ambientais, onde os conhecimentos advindos do
estudo da ecologia alertaram sobre a degradação, bem como suas conseqüências
colocando em evidência as questões ambientais (ODUM, 1955).
Os sistemas ecológicos normalmente possuem uma grande quantidade de
elementos que interagem de forma complexa e apesar do estímulo para se estudar
tais sistemas, sua enorme complexidade tem sido uma grande barreira para um
entendimento mais completo (JORGENSEN, 1998).
Segundo Jorgensen (1997), os modelos matemáticos podem desempenhar um
papel relevante na busca deste entendimento, pois provêem uma representação
bem estruturada dos elementos de um sistema ecológico e de suas inter-relações.
A representação destes sistemas por meio de modelos matemáticos abre uma rede
de inter-relações, apontando efeitos indiretos e a característica chave do sistema
facilitando o seu monitoramento, permitindo inclusive, que sejam feitos prognósticos,
sobre o comportamento futuro do sistema ou sua reação a diferentes tipos de
perturbações.
Para Jorgensen (1994a), os modelos matemáticos além de serem valiosas
ferramentas para o gerenciamento ambiental, ajudam a entender melhor os sistemas
ecológicos. Com isso pode-se tentar estabelecer os possíveis efeitos de agentes
potencialmente impactantes num sistema, subsidiando o estabelecimento de
medidas de controle e limites de tolerância para atividades humanas que promovam
a degradação ambiental.
34
Além disso, as simulações podem ser usadas para estabelecer cenários que
resultariam de alternativas de ação em relação a um sistema ecológico, permitindo
comparar diferentes estratégias de gerenciamento.
Assim, devido a grande diversidade de temas e de sistemas ambientais que podem
ser estudados e a imensa variedade de modelos matemáticos que podem ser
empregados, tem-se hoje uma imensa quantidade de modelos ecológicos dos mais
diferentes tipos.
35
3 APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A QUESTÕES
BIOLÓGICAS
A complexidade dos sistemas ecológicos tem sido uma grande problemática para se
obter uma melhor compreensão e gerenciamento do meio ambiente. Desta forma, a
modelagem matemática pode ser caracterizada como uma poderosa ferramenta,
não só pela capacidade de organizar as informações, mas também, por fazer
importantes previsões nas mais diversas condições.
Dentre os mais diferentes tipos de modelos disponíveis podem ser ressaltados os
das equações diferenciais, que a partir de suas aplicações em sistemas ecológicos,
obedecendo a uma metodologia adequada, pode-se chegar a um modelo eficiente e
realista.
Conciliar as atividades humanas com a proteção ao meio ambiente, se tornou um
dos maiores desafios para toda humanidade. Este desafio se dá a partir da
consciência de que os sistemas ecológicos normalmente possuem uma grande
quantidade de elementos que interagem de forma complexa e apesar do grande
estímulo ao estudo neste campo do conhecimento é enorme a complexidade desses
sistemas e isso, de certa forma tem sido uma grande barreira para se chegar a um
entendimento.
Os modelos matemáticos podem desempenhar um papel relevante na busca desse
entendimento, pois provêem uma representação bem estruturada dos elementos de
um sistema ecológico e de suas inter-relações provenientes de uma síntese dos
conhecimentos disponíveis a respeito deste sistema (JORGENSEN, 1977).
A representação por modelos matemáticos abre uma rede de inter-relações
apontando efeitos indiretos, que facilita o seu monitoramento permitindo uma
previsão de prognósticos sobre o comportamento futuro do sistema ou de sua
reação a diferentes tipos de perturbações.
36
Esse processo de síntese, segundo alguns autores, pode facilitar a identificação de
lacunas ajudando a direcionar um estudo de forma eficiente, tornando os modelos
matemáticos, valiosa ferramentas para o gerenciamento ambiental. Com isso, pode-
se tentar estabelecer medidas de controle e limites de tolerância para atividades
humanas que promovam a degradação ambiental.
3.1 Ecossistemas Modelo e Modelagem Ecológica
Nas últimas décadas o movimento da modelagem matemática nacional e
internacionalmente tem se desenvolvido bastante, contando com contribuições
importantes de matemáticos aplicados que migraram para à área da Educação
Matemática (BLUM & NISS, 1991; FIORENTINI, 1996).
No Brasil, a modelagem matemática está ligada à noção de trabalho de projeto.
(BASSANEZI, 1990, 1994; BIEMBENGUT, 1990, 1999; BORBA, MENEGGHETTI &
HERMINI, 1997, 1999).
Para Dambrózio (1986), os modelos podem ser modificados, aprimorados ou
substituídos por outros para se obter uma compreensão correta daquilo que está
ocorrendo na natureza. O desenvolvimento de modelos matemáticos para explicar
as observações do mundo físico teve grande avanço desde tempos antigos.
Bssanezi (1990) afirma que a matemática teve o seu progresso intimamente
associado ao esforço para a compreensão dos fenômenos naturais, graças aos
espíritos inquiridores de pensadores que não se contentaram apenas com as
descrições qualitativas dos mesmos.
Desde tempos antigos, a geometria, por exemplo, tem sido desenvolvida para tratar
de problemas de mensuração para calcular áreas de terras e volumes de celeiros. A
linguagem concisa, precisa e abrangente - em termos de símbolos (ou notações) -
da matemática tem sido útil para elaborar idéias e metodologias para compreender e
explorar o mundo físico.
37
Não foi sem razão que Galileu defendeu ardentemente uma descrição quantitativa -
e dedutiva - dos fenômenos naturais que pudesse ser preditiva (utilizando fórmulas
matemáticas), deixando de lado a comodidade de descrições apenas qualitativas e
factuais dos fenômenos.
Uma vez que a compreensão de fenômenos naturais deve ser baseada em idéias
desenvolvidas a partir de intuições (pensamento novo) e conhecimentos já
adquiridos, o uso de modelos é de grande valia.
Os modelos matemáticos são desenvolvidos a partir de uma elaboração cuidadosa
de idéias voltadas para partes do fenômeno, que permitirão a aferição das suas
hipóteses em confronto com as observações.
A lei da atração gravitacional por exemplo é um resultado de modelagem
matemática e a sua importância deve-se ao fato de ser uma lei universal que
consegue explicar tanto o movimento das estrelas e galáxias quanto o movimento de
pequenos objetos em queda livre na terra. O extraordinário desenvolvimento dos
modelos matemáticos deve-se ao fato de que os fenômenos naturais envolvem
seres inanimados que são passíveis de serem observados repetitivamente.
Embora se tenha uma idéia do que seja um modelo matemático é importante
conceituar a palavra modelo. Segundo alguns autores, a palavra modelo é
popularmente usada para designar algo perfeito ou muito próximo a perfeição.
Para a modelagem, enquanto atividade científica, modelo tem um significado, de
certa forma antiético, pois, não estaríamos muito longe de uma imitação. Um modelo
é algo que possui as seguintes características:
1 – Representa alguma coisa que existe no mundo real;
2 – Todas as suas partes representam alguns correspondentes daquilo que o
modelo procura representar como um todo;
3 – Pelo menos alguns dos relacionamentos entre tais partes são análogos aos que
se verificam entre os componentes reais que elas representam.
38
Para Jorgensen (1994 b), um modelo é nada mais que uma simplificação do todo.
A ecologia estuda as relações entre os seres e o meio ambiente, inclusive o homem,
essas interações ocorrem em diferentes níveis, por exemplo, no nível mais básico,
organismos individuais interagem uns com os outros e com o meio físico de
Indivíduos de uma mesma espécie vivendo numa mesma área e interagem
normalmente de forma semelhante e independente.
Por isso, as interações podem ser agregadas, originando as interações ao nível das
populações. As populações de diferentes espécies, convivendo numa mesma área,
também produzem em geral, padrões definidos de interações que se diz pertencer
ao nível das comunidades.
Devido aos objetos de estudos da ecologia, ela sempre se valeu tanto de modelos
físicos, quanto de modelos feitos de pura informação. A grande complexidade e
extensão física que a maior parte dos sistemas ecológicos possuem, tornam
impraticável a condução de experimentos com alto nível de controle e
reprodutibilidade, como ocorre nos estudos feitos nos laboratórios.
Normalmente é necessário simplificar os sistemas ecológicos originais de várias
formas, ou seja, delimitando áreas, escolhendo uma ou poucas espécies,
acompanhando um pequeno grupo de indivíduos, considerando apenas algumas
características do ambiente físico, etc.
Ao fazer estas simplificações, se está na realidade, definindo um modelo para o
sistema original, embora inúmeras vezes isto não seja percebido. Como exemplo
podem ser citados frascos, cercados e demarcações de áreas que são modelos
físicos, freqüentemente utilizados para se estudar os modelos ecológicos que não
poderiam ser estudados ao mesmo tempo e principalmente em detalhe
(JORGENSEN e MEJER, 1977).
O emprego de modelos não-físicos na ecologia é mais sutil e difuso, mas não menos
freqüente ou importante. A simplificação necessária para o estudo dos sistemas
39
ecológicos é, em boa medida, alcançada separando-se e enfocando-se alguns de
seus aspectos mais relevantes. Este processo é chamado de análise do sistema.
Para alcançar um entendimento mais completo dos sistemas ecológicos, se faz
necessário integrar os conhecimentos gerados nestes estudos de aspectos
particulares, o que constitui o chamado processo de síntese do sistema.
(BERTALANFFY, 1968).
Para executar corretamente estes processos e compreender os resultados obtidos, é
imprescindível utilizar ferramentas como esquemas gráficos, definições verbais e
modelos matemáticos, isto é, modelos não físicos dos sistemas ecológicos
estudados.
No estudo dos sistemas ecológicos, os modelos matemáticos têm tido grande
importância, bem maior do que nas ciências biológicas em geral. Alguns autores
como (ODUM, 1971) relacionam a modelagem matemática com a própria origem da
ecologia como disciplina científica.
Odum (1971) ainda afirma que às equações de Lotka-Volterra, expressões de
crescimento logístico e exponencial, a distribuição de Poisson e os modelos de
regressão linear são exemplos definidos de modelos matemáticos que ocupam
posições centrais na teoria e na metodologia de pesquisa ecológica.
O freqüente reconhecimento dos recortes de ecossistemas como modelos físicos, e
a posição de destaque que os modelos matemáticos ocupam no meio ambiente são
os prováveis motivos para que o termo “modelo ecológico” tenha ficado mais
associado aos modelos matemáticos.
Proposto em 1935 pelo ecólogo britânico A. G. Tansley, o termo ecossistema está
baseado em conceitos mais antigos como o “superorganismo” de Clemente 1916.
Em 1987, 645 membros da Sociiedade Britânica de Ecologia classificaram o
conceito de ecossistema como o mais importante para a ecologia.
40
Entre muitos dos conceitos demarcados nesta classificação estão os de fluxo de
energia, conservação de recursos, ciclagem de materiais e fragilidade de
ecossistemas. Esses conceitos têm como principal idéia a unidade entre os
organismos.
Segundo Von Bertalanffy (1977), devido à complexidade dos ecossistemas, usa-se a
análise de sistemas para sua compreensão, pois, ela permite que fenômenos
complexos sejam reduzidos em partes elementares, possibilitando a aplicação de
métodos quantitativos.
Kingsland (1985), afirma ter sido Lotka (modelo predador-presa) o primeiro a
mencionar a abordagem sistêmica. Atuando como químico, Lotka defendia não ter
sentido estudar primeiro o hidrogênio, para depois o oxigênio e após tais estudos
concluir algo sobre a água. Para ele, o entendimento sobre a mesma situação se dá
a partir do estudo do comportamento de toda molécula.
O conceito de ecossistemas foi utilizado inicialmente de forma qualitativa, forma de
estruturação do pensamento, enquanto atualmente é uma aplicação de métodos
quantitativos. Este método é a modelagem matemática, que vem se transformando
gradativamente num instrumento cada vez mais eficaz na previsão de mudanças em
ecossistemas. Desta forma, os modelos são construídos para organizar uma melhor
compreensão dos sistemas gerar idéias para avaliar dados observados, fornecer o
entendimento das ligações entre os componentes, definir os problemas e fazer
previsões.
A modelagem matemática voltada para o meio ambiente evoluiu através de
diferentes campos, por exemplo, no campo da ecologia, que apresenta vários níveis
hierárquicos, a modelagem evoluiu através de estudos de populações, comunidades
e ecossistemas, onde os primeiros modelos aplicados às populações foram o de
Malthus de 1978 e o de Verhulst de crescimento logístico de 1928, sendo este último
elaborado por Verhulst sendo melhor estudado no século XX.
41
Odum (1955), atribuiu 24 características quantificáveis aos ecossistemas, permitindo
aferir seus estágios de maturidade. Assim, desde aquela época até os nossos dias,
funções emergentes como ascendência e exergia tentam sintetizar as informações
sobre fluxos de energia e biomassa em relação a um estado de clímax teórico.
O primeiro modelo matemático a ser apresentado à Ecologia foi o modelo de
Malthus (1798) Esse modelo tem grande significado para a ecologia, por prever o
crescimento populacional, baseando-se em equações diferênciais muito simples, ou
seja:
= r. N
t.
, isto, para t = 0 e
N
t
= N
0
Equação (3.1)
com a solução analítica:
N
t
=
N
0
λ.t
Equação (3.2)
Onde:
N
t
= número de indivíduos da população no instante t;
N
0
= número inicial de indivíduos da população;
λ = e
r
= razão finita de aumento da população;
r = razão intrínseca (r = b – d, onde b é a taxa de nascimento e d é a taxa de
mortalidade).
Esta equação é também conhecida como a equação de crescimento geométrico,
pois para Malthus, a população humana cresceria de forma geométrica enquanto
que os alimentos de maneira aritmética, isto é, através da equação de uma reta.
Além do modelo em si, a importância das idéias de Malthus, reside na decisiva
influência exercida sobre Charles Darwin em sua busca do mecanismo da evolução
das espécies.
Desta forma, a população crescendo em uma escala geométrica iria inevitavelmente
superar uma oferta de alimentos que só poderia aumentar em escala aritmética, daí,
apenas os mais aptos sobreviveriam e deixariam mais descendentes.
42
Como as populações não crescem indefinidamente, seguindo o modelo malthusiano,
a equação 3.1 foi modificada por Verhulst (1838, apud: HUTCHINSONT, 1978).
= . Nt.
, isto, para t = 0 e
N
t
= N
0
Equação (3.3)
cuja solução analítica, também pode ser dada por:
N
t
= k
Equação (3.4)
Até hoje, muito conhecida como equação logística.
O parâmetro k é a assintota da curva e representa o número máximo de indivíduos
que a população pode conter, devido as imposições do ambiente como escassez de
espaço e / ou alimento. A este parâmetro é denominado o nome de capacidade
suporte.
Lotka (1925) e Volterra (1926,1931), apresentaram um outro modelo muito
importante no campo da ecologia que é o modelo de predador/presa. Neste modelo,
as equações descrevem mudanças oscilatórias em duas populações que interagem,
ou seja:
= r. x – a.y.x
Equação (3.5)
= b.x.y – m.y
Equação (3.6)
onde:
x = número de presas;
y = número de predadores;
r = razão intrínseca do aumento de presas;
m = coeficiente de mortalidade de predadores;
a e b = constantes
43
Estas equações são muito conhecidas na literatura como equações de Lotka e
Volterra. Desta forma a modelagem ecológica “sobe” no nível hierárquico, para
poder tentar explicar o comportamento de uma comunidade e não mais de uma
população ou espécie.
Grause (1994), ainda afirma que o modelo de Lotka e Volterra tem servido de
inspiração para muitos trabalhos, desse modo com exceção de trabalhos
desenvolvidos em laboratório. Entretanto, a validade quase sempre criticada pelos
estudiosos específicos da área.
Para alguns autores um fato é que, o uso de quaisquer modelos matemáticos
aplicados à ecologia, sempre foi motivo de ceticismo, desta forma é interessante
observar que o pensamento dos ecólogos inicialmente era de que o uso dos
modelos poderia, além de ser uma nova ferramenta analítica, conferir à ecologia um
certo status.
Odum (1960, 1967, 1969 e 1971), utilizou modelos de circuitos elétricos para
explicar diversos fenômenos ecológicos. Um dos pontos importantes da pesquisa do
referido autor é que ele inclui o homem nestes sistemas, permitindo a análise de
problemas econômicos em modelos ecológicos, desta forma, acredita-se, que as
idéias ecossistêmicas desenvolvidas por ele serviram de base para a modelagem
moderna.
No Brasil, o uso de modelos matemáticos em ambientes aquáticos está em
desenvolvimento, onde entre eles destacam-se alguns trabalhos que incorporam o
modelo de crescimento individual de Von Bertalanffy de 1934, muito utilizado para
crescimento de espécies de peixes.
Trabalhos com modelagem em ecossistemas aquáticos podem ser destacados
através de Coutinho e Yoneshigue (1988); Valentin e Coutinho (1990); Richey (et
al., 1990); Muricy (1990); Koutsoukos e Hart (1991); Collart (1991); Begossi (1992);
Bidone (et al., 1993); Valentin (1993); Pereira (et al., 1994); Bonilha (1995); Angelini
e Petrere (1996).
44
O desenvolvimento da ascendência ocorre com intuito de determinar a maturidade
de um ecossistema, desta forma, um ecossistema evolui quando aumenta sua
ascendência. Isto mostra que o amadurecimento do sistema é decorrente do
aumento do fluxo de energia e das interações existentes.
Christensen (1995), em seus estudos categorizou a partir de um “ranking” de
maturidade, 41 ecossistemas do mundo usando vários parâmetros e atributos de
maturidade. Desta forma, Christensen constatou que a maturidade tem uma forte
relação negativa com a ascendência e uma forte correlação positiva com o
“overhead”.
Christensen ainda em acréscimo afirma que, um ecossistema evolui quando
aumenta sua energia de reserva, contrariando com essas considerações o primeiro
postulado de Ulanowicz. E isso pode caracterizar de certa forma que, Ullanowicz
acertou no desenvolvimento dos cálculos, mas, errou nas suas interpretações.
3.1.1 Ferramentas Para Elaboração de Modelos de Ecossistemas
Duas ferramentas computacionais vêm recebendo destaques na elaboração de
modelos em ecossistemas são o ECOPATH e o STELLA. Tais ferramentas são
muito utilizadas para auxiliar a quantificação de ecossistemas e principalmente em
sistemas aquáticos.
Segundo Polovina (1984), o programa ECOPATH foi desenvolvido para estimar a
biomassa e o consumo de vários elementos de um ecossistema aquático, utilizando
a teoria de Ulanowicz (1986), para análises de fluxos entre os elementos do
ecossistema.
Esta união foi proposta por Pauly et al. (1987) para auxiliar a construção de modelos
“steady-state”, isto é, em estado de equilíbrio, dos ecossistemas aquáticos. O
programa foi desenvolvido pelo ICLARM (international Center of Living Aquatic
Resources Management) e vem ganhando inovações a cada ano. Seu uso em todo
45
mundo produz informações eficazes para comparações de redes trófica (“network
analysis”), que inclui análises de ciclos de fluxos de estoques pesqueiros.
A equação básica do ECOPATH é a de um sistema balanceado, sob condições de
equilíbrio. Existe condições de equilíbrio em um sistema quando a biomassa média
anual para cada espécie ou de grupo de espécies, não varia de ano para ano ou
ainda, se a soma entre as interações entre os componentes for maior que a
interação do sistema com o meio externo (CHRISTENSEN & PAULY, 1991).
Assim, um sistema com n grupos (compartimentos) terá n equações lineares
(MACKAY, 1981), onde os dados requeridos pelo ECOPATH podem ser resumidos.
Como o programa faz a ligação entre os diferentes compartimentos, ele estimará
qualquer parâmetro desconhecido (CHRISTENSEN & PAULY, 1991, 1993).
Alguns autores afirmam que o programa STELLA desenvolvido em 1987 e é um
programa ideal para iniciantes em dinâmica de sistemas. Este modelo consiste em
se desenhar na tela com as várias variáveis de estado (retângulos), que são as
variáveis de interesse de estudo, com as variáveis forçantes (círculos), que
influenciam as variáveis de estado, após essas demarcações, se elabora uma
equação para cada inter-relação entre os componentes, que juntas descreverão toda
dinâmica do modelo.
Constanza (1987), afirma que o programa STELLA é muito importante, pois permite
através da computação a construção de grandes modelos de simulação apesar de
sua programação ser tida como atividade tendiosa, que requer muito tempo.
Para Constanza, o programa pode ser utilizado como ferramenta pelos biólogos,
pois não requer grandes conhecimentos de métodos matemáticos. O esforço de
modelagem em sistemas ecológicos deve concentrar sobre a ecologia e não sobre o
conhecimento matemático ou computacional.
A Teoria dos ecossistemas tem contribuído de forma significativa com o
desenvolvimento dos modelos matemáticos, mas, acredita-se ser óbvio, que os
46
modelos também têm enriquecido a teoria. Com isso segundo alguns autores
tornaram quase impossível traçar um divisor entre a teoria e a modelagem, onde
apesar dos avanços da visão ecossistêmica, a visão originada a partir de ambas,
tem sido muito questionada como apontam (Mansson e Mcglade (1993).
Muitos modelos dinâmicos têm procurado medir o ajuste das espécies nos
ecossistemas, para saber quais as mais adaptadas e as que suportariam mudanças
e / ou impactos futuros. Para isso, três fatores são fundamentais quando se procura
determinar o sistema a ser modelado e isso pode ser obtido, a partir de três níveis,
ou seja, população, comunidade e ecossistema, onde seguindo essa hierarquia à
modelagem ecológica se desenvolveu.
Segundo Starfield & Bleloch (1986), de modo geral os modelos ecológicos podem
ser classificados em :
I – Modelos icônicos (imagens, ícones), que reproduzem a aparência do objeto a ser
modelado, fornecendo uma descrição apenas qualitativa, sintetizando o todo e como
exemplo, podem ser citados: maquetes, mapas, diagramas entre outros.
II – Modelos analógicos, que simulam uma situação real, possuem um grau de
abstração média, sendo usados principalmente no campo da engenharia e como
exemplo podem ser citados pequenos modelos de avião postos à prova em túneis
de vento.
III – Modelos matemáticos, são aqueles cujo grau de calibração é máximo e
representam princípios que (supostamente) regem a realidade.
Os principais problemas apontados pelos pesquisadores neste campo do
conhecimento, diz respeito a generalizações dos modelos, pois, na identificação dos
componentes, geralmente o número de espécies é muito grande, mesmo em
sistemas considerados simples.
Ulanowicz (1996), em suas considerações aponta que o atual estágio do estudo dos
ecossistemas guarda semelhança com o estágio da medicina na época de Leonardo
47
da Vinci, faltando ainda um maior aprofundamento no campo da filosofia dos
ecossistemas.
Portanto, o uso de modelos matemáticos como hipótese de trabalho é de
fundamental importância para a implantação de estudos interdisciplinares e com
base em tais modelos, alguns autores afirmam que é possível fazer um
delineamento experimental de coleta de dados, que seja equilibrada e objetiva na
busca dos valores necessários para que sejam estabelecidos os consideráveis
parâmetros do modelo.
3.1.2 Modelo Predador-Presa
3.1.2.1 Um Modelo para Dinâmica de Populações com Interação Predador-
Presa
Este modelo é composto por um sistema de duas equações diferenciais ordinárias,
contendo sete parâmetros e foi escolhido para este estudo de caso por dois motivos.
Primeiro, por possuir uma complexidade balanceada, podendo inclusive ser
considerado simples em relação aos modelos já existentes, mas ainda
suficientemente complexo por apresentar algum desafio para sua utilização e
segundo, por apresentar uma diversidade de comportamentos, tendendo a gerar
ciclos, que pode tornar o problema mais difícil em relação a um modelo que sempre
atinja pontos estáveis (GRAGANI 1997).
Muitas atividades acadêmicas foram realizadas envolvendo modelos matemáticos
propostos para representar o processo de predação. O modelo de Lotka-Volterra,
que segundo Grause (1934), desenvolvido entre as décadas de 20 e 30
representado por um sistema de equações diferenciais ordinárias citados
anteriormente descrito pelas Equação 4.5 e Equação 4.6 respectivamente.
48
Este modelo ficou muito famoso, como uma descrição compacta e elegante da
interação entre populações de predadores e presas, mas, apesar de muito utilizado
até hoje, apresenta grandes falhas como representação do processo de predação e
das populações envolvidas. A partir dessa detecção, vários modelos alternativos
foram desenvolvidos como alternativas na tentativa de aperfeiçoar a representação
do já referido sistema e uma dessas representações é dada pelo modelo chamado
Hassel-Varley (Hassel e Varley, 1969), definido pelo seguinte sistema de equações
diferenciais ordinárias:
= r. x - Equação (3.7)
= - m . y Equação (3.8)
Sendo:
x população de presas;
y população de predadores;
r , k , a, b, c, h e m > 0 parâmetros do modelo.
O que pode ser observado é que o modelo de Hassel-Varley apresenta basicamente
duas adaptações em relação ao modelo de Lotka-Volterra, que visam torna-lo mais
coerente, apresentando algumas características importantes do processo de
predação.
A primeira adaptação que pode ser observada é quanto a adição do termo – r x² / k,
na equação referente a população da presa. Com esta adaptação, pode-se levar em
consideração a limitação no crescimento da população de presas devido a
competição intra-específica (KOROBEINIKOV, 2001).
Desta forma, como todos os indivíduos da população de presas necessitam
essencialmente dos mesmos recursos, à medida em que o tamanho da população
aumenta, tais recursos começam a escassear, restringindo a possibilidade da
população continuar crescendo.
49
Uma outra consideração que pode ser feita em relação a adaptação diz respeito a
maneira como a predação é modelada. No modelo de Lotka-Volterra, ao se
representar a predação pelos termos – a x y e + b x y, está se fazendo de forma
implícita de que predadores e presas se encontram ao acaso sendo, portanto, a
intensidade da predação proporcional a probabilidade deste encontro, que depende
do tamanho das duas populações. Por isso, a intensidade da predação seria
proporcional ao produto xy, dos tamanhos das duas populações (GRAUSE, 1934).
Esta forma de modelar a predação, embora possa parecer razoável à primeira vista
acarreta dois sérios problemas conceituais: o primeiro pode ser considerado a partir
de que se fizermos a predação proporcional ao produto xy, teremos que a sua
intensidade crescerá linearmente tanto com o aumento da população da presa,
quanto do predador.
Entretanto isso só é verificado para uma certa faixa de valores dos tamanhos
populacionais. Se a população de presas, por algum motivo for muito maior que a de
predadores, o aumento da intensidade da predação não será proporcional ao
aumento do número de presas disponíveis, pois, os predadores já estarão
consumindo tantas presas quanto necessitem (GRAGNANI, 1997).
Assim, supor que a magnitude da predação cresce de forma assintótica com o
aumento da população de presas, atingindo um valor de saturação para uma
população constante de predadores seria muito mais realista. Holling (1959), fez um
estudo de diversas possibilidades e a partir dos resultados obtidos e propôs uma
classificação das possíveis alternativas, de acordo com certas características. Tais
formas funcionais ficaram conhecidas como funções-resposta do predador, embora
tal expressão fosse a mais adequada.
Segundo Myerscough et al. (1996), a mais importante dessas funções desenvolvida
por Holling, acredita-se ser a conhecida como Holling disc equation, que é obtida a
partir da substituição da variável x, nos termos –axy e +bxy por x/(c+x), obtendo
assim os termos
50
=
Nos casos em que o predador necessita efetivamente desprender esforços para
encontrar suas presas é razoável supor que, quanto maior a densidade da
população de predadores, maior será o esforço de cada predador para conseguir
presas. Assim, o aumento da população de predadores deve afetar de forma
negativa, a intensidade da predação.
Por isso, o modelo de Hassel-Varley acrescenta o termo hy no denominador dos
termos –axy/(c+x) e +bxy/(c+x) com h constante, para que seja diminuída a
intensidade da predação (por predador) com o aumento da população de
predadores, refletindo o fato de que estes precisam despender cada vez mais
esforços para capturar suas presas (GRAGNANI, 1997).
Segundo Sá (2003), o estudo desenvolvido por Hassel-Varley demarca duas
características importantes, que o diferenciam dos outros estudos. A primeira refere-
se a simplicidade do problema da calibração, tendo-se em vista que o modelo possui
apenas duas Equações Diferenciais Ordinárias e sete parâmetros a serem
calibrados. Por esta simplicidade, a resolução do PVI (Problema de Valor Inicial)
correspondente a cada genótipo, passo limitante para a ferramenta de calibração
será muito mais rápida.
A segunda característica diz respeito ao fato de serem utilizados dados artificiais que
foram gerados pela execução do próprio modelo para um conjunto conhecido de
parâmetros. Isto pode garantir, que existe realmente uma ótima combinação de
parâmetros, para a qual o modelo teria uma margem zero de erro.
3.1.2.2 Estudo do Modelo Predador-Presa para Interações Tróficas entre
Espécies
Os ecossistemas acomodam interações nos mais diferentes níveis tróficos. Uma das
cadeias tróficas existentes em sistemas ecológicos são interações entre espécies.
51
Os modelos matemáticos exercem um papel importante para expor fatos da
natureza a um nível de entendimento.
Cadeia trófica do tipo predador-presa é um exemplo clássico de aplicação da teoria
de sistemas dinâmicos à ecologia (MAIONCHI, 2004). Modelos não-lineares onde
três ou mais espécies interagem podem exibir comportamentos extremamente ricos
e interessantes, inclusive com dinâmicas caóticas.
Modelos matemáticos na dinâmica de populações hoje são implementados tanto a
partir de Equações Diferenciais Ordinárias ou parciais, quanto no modelo lógico
Fuzzy. De forma geral, um subconjunto fuzzy A de um conjunto universo X é definido
pela função de pertinência ψ
A
: X → [0,1].
A base de regras é composta por uma coleção de proposições condicionais fuzzy na
forma de regras se-então (JAFELICE et al., 2003). Importantes contribuições foram
dadas nesse campo do conhecimento por Lotka e Volterra e Verhust com a
introdução do fator de densidade-dependente (MAIONCHI, 2004 e GAKKBAR,
2003).
Segundo Maionchi (2004), grandes contribuições nesse campo do conhecimento
também foram dadas por Holling, Tanner e Kolmogorov, como estudo da resposta
funcional. Desta forma o presente estudo optou por utilizar o modelo presa-predador,
dependendo da taxa de crescimento da presa e decaimento do predador.
A dinâmica do sistema em estudo fica caracterizada pela sensibilidade às condições
iniciais, através da obtenção do expoente de Lyapunov. O diagrama de bifurcação
através de Poincaré mostra transição de duplicação de período para regiões
caóticas.
Os modelos de interações tróficas estão fundamentados em DeAngelis e
posteriormente pelos trabalhos desenvolvidos por Lotka-Volterra, a partir de suas
considerações de que a taxa de alimentação fosse ao produto dos consumidores, x
2
pelo suprimento do alimento x
1
, o que nos leva a taxa de alimentação dada por:
52
F = fx
1.
x
2
Equação (3.9)
Estudos extensivos foram realizados em relação a Equação (5.11) no uso de
modelos. A situação de abundancia de alimentos em certas condições, isto é, a taxa
de absorção de alimentos deveria ser proporcional apenas a população consumidora
(HOLLING, 1959).
F = Equação (3.10)
Um termo suficientemente simples que permite uma análise detalhada, porém,
podendo simular várias situações de interações tróficas é dado por:
F = Equação (3.11)
Sendo:
f
12
e W
12
parâmetros do modelo Komogorov.
A interpretação ecológica modela a ponderação da abundancia de alimentos em
relação a população consumidora, que permite situações do comportamento da
função trófica da interação.
O modelo abordado que expressa interações tróficas do tipo presa-predador é um
sistema de Equações Diferenciais, que descreve um sistema geral para duas
espécies, ou seja:
(x) y Equação (3.12)
Equação (3.13)
Sendo:
φ(x ) função de interação trófica do predador;
f(x ) e f(y ) funções logísticas da presa e do predador respectivamente.
53
Caracterizando a limitação de recursos pela competição existente entre as espécies,
o sistema passará a ter a seguinte forma, ou seja:
x
1
(1- x
1
) – Equação (3.14)
- d x
2
– bx
2
2
Equação (3.15)
Sendo:
x
1
número de presas;
x
2
número de predadores;
ax
1
² e bx
2
² taxas de Verhulst, caracterizando a densidade-dependente.
A função de interação trófica utilizada pode ser um caso particular de Gayse (In:
Moghadas e Alexander, 2005) e ter comportamento equivalente as de Lotka-Volterra
e Holling (In: Wang e Li W., 2004), onde espécie 1 (caracterizada como preza) é
uma alimentação autotrófica abundante.
Fazendo a introdução da perturbação periódica do tipo cossenoidal, pode-se ter:
r(t) = g
0
+ g(1 – cos(ωt)) Equação (3.16)
Substituindo a equação no sistema de equações com forçamento e tomando W =
wt, tem-se:
- dx
2
b x
2
2
Equação (3.17)
daí resulta:
= W Equação (3.18)
Nas simulações numéricas do sistema de equações com forçamento cossenoidal e
senoidal pode ser facilmente observado que o sistema estudado é facilmente
influenciado pelas perturbações e resposta funcional.
54
No que diz respeito a uma análise mais específica, pode ser observado que o
modelo apresentou órbitas distintas no espaço de fase para os parâmetros testados,
se assemelhando ao espaço da fase de outros modelos. Desta forma, a dinâmica do
modelo pode ter um atrator com condições amortecidas ou até mesmo um com
flutuações populacional com ciclo limite e dinâmica caótica, o estranho atrator como
resultado da simulação apresenta uma estrutura de fractal, apresentando diagramas
de bifurcações com amplitude, onde estes resultados mostram que o sistema exibe
soluções caóticas como pode ser observado na Figura 1, Figura 2 e Figura 3 a
seguir:
A figura 1 representa o atrator estranho do modelo predador-presa, com resposta
funcional e densidade dependente, gerados em condições iniciais:
Figura 1 –
Atrator estranho do modelo predador-presa
(
GAKKABAR, 2003)
55
A figura 2 representa o espaço de fase do sistema com comportamento caótico:
Figura 2 –
Espaço de fase do sistema de comportamento caótico
(
GAKKABAR, 2003)
A figura 3 apresenta evidências do comportamento aperiódico do sistema ocorrendo
duplicação de período e transição para o caos:
Figura 3 –
Diagrama de ocorrência de bifurcação de transição caótica (GAKKABAR, 2003)
Numa breve análise do trabalho verifica-se que mesmo diante a complexidade da
modelagem, que envolve os movimentos caóticos são de alta relevância as
significativas contribuições dadas por Lotka-Volterra e Holling ao referido campo do
56
conhecimento, o primeiro em relação a introdução do fator de densidade-
dependente e o segundo por definir que a taxa de absorção de alimentos deveria ser
proporcional apenas à população consumidora.
Na função trófica de Holling (In: Wang e Li W., 2004) e no caso particular de Gayse
(In: Moghadas e Alexander, 2005), verifica-se uma representação refinada em
contraposto ao de Lotka-Volterra e Holling. Como comportamento de interações
tróficas são bastante diferenciados, os modelos podem ser aplicados nas mais
diversas situações apresentando uma complexidade variada, mas fica caracterizado
que o uso particular de diferentes funções tróficas é de fundamental importância
para a aplicação em vários níveis tróficos que mostram inclusive, comportamentos
de populações encontradas no ecossistema.
3.1.3 Modelo de Crescimento de Peixes
3.1.3.1 Aspectos da Matemática na Exploração Sustentável de Recursos
Pesqueiros
Segundo Abuabara e Petrere Jr., (1997), o estudo de modelos e de métodos para
estimação de recursos pesqueiros é por si só uma área de pesquisa muito intensa.
Neste sentido, a produção de peixes como atividade agro-industrial vem crescendo
de forma substancial nas últimas décadas e diante as exigências nutricionais dos
organismos aquáticos, a produção de rações principalmente para peixes necessita
de conhecimentos específicos das mais variadas espécies.
Segundo Clark (1981), os modelos estatísticos e matemáticos, utilizados nessas
determinações podem ou não ser adequados aos parâmetros biológicos avaliados a
partir das curvas de crescimento.
Muitos são os modelos matemáticos dedicados à ciência da pesca, enquanto alguns
estudam técnicas para estimar o tamanho de cardumes, outros se dedicam ao
estudo da dinâmica populacional das várias espécies que concorrem no mesmo
57
ecossistema. Estes estudos possibilitam Ilustrar com dados estatísticos a produção
de peixes no nordeste, que tem-se como objetivo descrever a pesca predatória como
um tema para a consolidação do espírito científico e de cidadania.
Segundo Ricker (1954), o modelo aqui trabalhado é muito simples e baseia-se na
relação entre o estoque reprodutor e o recrutamento, sendo o recrutamento R
definido como a população de peixes passível de ser capturada, enquanto que o
estoque reprodutor E a população de peixes que escapam aos aparelhos de pesca e
vai compor um novo recrutamento.
O estoque reprodutor é dado pela diferença entre o recrutamento e a captura C,
efetuada na temporada e portanto, a relação básica entre as três grandezas é dada
por:
C = R - E Equação (3.19)
Dependendo do estoque reprodutor E numa temporada de pesca, o recrutamento R
poderá sofrer grandes alterações na temporada seguinte, pois, a população E
juntamente com as particularidades do meio demarcarão o recrutamento.
Do ponto de vista matemático, diz-se que o recrutamento é função do estoque
reprodutor, ou seja:
R = f(E) Equação (3.20)
O cálculo reprodutor E, para que se possa ter o máximo de captura é dado a partir
do Cálculo Diferencial, onde os máximos e os mínimos da função diferenciável serão
obtidos a partir dos zeros de sua primeira derivada, ou seja:
= 0, ou seja, f’ (E) – 1 = 0 Equação (3.21)
O valor de E*, considerado aqui como ótimo é calculado a partir da Equação (3.22)
f’ (E) - 1 = 0
58
Na prática, a relação de dependência entre o recrutamento e o estoque reprodutor R
= f (E) é dado por:
F (E) = Ee
a - bE
ou seja, R = Ee
a - bE
Equação (3.23)
onde, a,b > 0 variam de acordo com as espécies das populações estudadas.
Segundo Rickker (1954), a função acima é conhecida como curva de reprodução e
foi desenvolvida a partir de estudos desenvolvidos sobre o salmão do Pacífico.
Conhecendo-se o comportamento típico da função f, pode-se fazer uma
interpretação geométrica do cálculo da captura ótima C*.
Segundo Fonteles Filho (1989) e Paiva (1997), os trabalhos realizados no Brasil, por
pesquisadores da Universidade Federal do Ceará mostraram que a curva de Rickes
descreve satisfatoriamente as curvas de reprodução para diversas espécies de
peixes economicamente encontrados na costa brasileira, que correspondem
inclusive as estimativas do estoque reprodutor e isto pode ser observado no Gráfico
1.
Gráfico 1-
Curva de Crescimento de Ricker (FONTELES FILHO, 1989)
59
Tabela 1 –
Estimativas do estoque reprodutor e do recrutamento
Ano
E
(em milhões)
Ano
R
Z
= In (R/E)
(Linearização)
1970 0,434956 1971 1,359604 1,139704
1971 0,453752 1972 2,502356 1,707437
1972 0,557176 1973 1,736815 1,136927
1973 1,026496 1974 1,578720 0,430463
1974 1,267969 1975 2,183823 0,543661
1975 1,509981 1976 2,580708 0,535967
1976 1,440540 1977 2,496351 0,549812
1977 1,746568 1978 2,476963 0,349381
1978 1,762855 1979 2,399826 0,308462
1979 1,092157 1980 3,093349 1,041100
Fonte: Fonteles Filho, (1989)
Baseado nos estudos quantitativos de Ricker ao fazer-se um estudo sobre a
exploração sustentável de uma espécie de peixe chamada de pargo da costa
brasileira para determinar a sua captura ótima, na tentativa de aplicarmos o modelo
anteriormente descrito devemos ser capazes de determinar a curva de reprodução
que melhor se adapta aos dados apresentados, admitindo que a curva de Rickes
dada por f (E) = exp(a – b) é adequada para representar o crescimento da população
de pargo (FONTELES, 1989).
Segundo Ruggierio e Lopes, (1996), se a função descrever a forma geométrica de
uma função linear, o cálculo pode ser realizado diretamente através das fórmulas de
mínimos quadrados, discutidos no cálculo numérico.
O estudo de modelos e métodos para a estimativa de recursos pesqueiros por si só
é uma área de pesquisa muito dinâmica. A discussão da pesca não predatória
permite-nos a oportunidade de desenvolver, ilustrar e motivar os mais diversos
aspectos da matemática e principalmente a modelagem, os métodos numéricos e a
computação científica.
60
3.1.3.2 Modelagem Matemática para Crescimento de Peixes
A piscicultura é uma atividade que foi introduzida no Brasil em 1904 e visa o cultivo
racional de peixes, exercendo um grande e particular controle sobre o crescimento, e
a alimentação.
O trabalho desenvolvido por Bertalanffy (1934, 1957) foi voltado para crescimento de
peixes e ajuste linear pelo método dos quadrados mínimos, esse estudo possibilitou
um maior aprofundamento na busca por melhores resultados quanto ao crescimento
em peso e em comprimento.
As ferramentas a serem exploradas neste estudo são Equações Diferenciais
Ordinárias, pois, o uso dessas equações é adequado em modelagem matemática
quando as situações de modelagens envolvem variáveis contínuas evoluindo em
relação a outras variáveis contínuas.
Quando se tem apenas uma variável independente envolvida no problema, o modelo
matemático indicado é dado em termos de equações diferenciais ordinárias e
apenas um grupo de equações diferenciais, em que estão incluídos os modelos mais
simples, são equações diferenciais lineares, admitindo soluções na forma de uma
função analiticamente explicita (BASSANEZI, 2002).
Em termos de modelagem matemática de fenômenos caracterizados por um
processo dinâmico, a formulação do modelo quase sempre precede a análise dos
dados experimentais. De modo geral, o modelo depende de parâmetros e sua
validação, da aproximação do modelo com a realidade exige a estimação desses
parâmetros de modo que a curva ajustada represente o mais próximo possível o
fenômeno estudado (RUGGIERIO e LOPES, 1996).
Richards (1959) estudando crescimento de plantas e Chapman (1961), estudando o
crescimento de peixes consideraram que a constante alometrica de 2/3, do modelo
de Bertalanffy era muito restritiva, por poder assumir diferentes valores, dependendo
a natureza da população, mas, France e Thomley (1984), afirmam que Richards foi o
61
primeiro pesquisador a aplicar a equação de crescimento desenvolvida por
Bertalanffy.
A generalização de Chapman-Richards quanto ao modelo de Bertalanff indica que o
mesmo é uma expressão matemática de uma hipótese que diz respeito a causas
essenciais do fenômeno de crescimento de tal forma que os parâmetros no modelo
tem pelo menos uma total interpretação biológica ou fisiológica (PIENAAR e
TUMBULL, 1973).
Segundo Bassanezi (2002), pelo Princípio da Alometria tem-se que o crescimento do
peso do peixe é proporcional à área da sua superfície externa (anabolismo) e o
decaimento é a energia consumida (catabolismo) dado pela equação:
= α. A - β. p Equação (3.24)
Sendo:
α constante de anabolismo, representando a taxa de síntese de massa por unidade
de área;
β constante de catabolismo, representando a taxa de diminuição da massa por
unidade de massa;
p = peso do peixe;
. a área da superfície externa, proporcional a p
2/3
, sendo este fator dado pelo
princípio da alometria.
Sabendo que o peso é proporcional ao volume; o volume proporcional ao cubo do
comprimento dado por p = k
1
L³ e a área proporcional ao quadrado do comprimento,
ou seja, A = k
2
L² v, pode-se concluir que:
=
L³ => L = ³
:
. A = k
3
. p
2/3
Desta forma, o modelo de Von Bertalanffy para o acréscimo em peso de peixes é
dado por:
62
= α. p
2/3
- βp, Equação (3.25)
Que é uma equação de Bernoulli com n = 2/3.
Para resolver tal equação terá que ser feita uma mudança de variável. Pode-se
considerar z = p
1 - n
, ou seja, z = p
1/3
. Desta forma derivando z(t) teremos:
= p
-2/3
.
Equação (3.26)
Substituindo a equação (3.24) em (3.25), teremos:
p
–
- βp) = - p
–
Equação (3.27)
Portanto, temos uma equação linear diferencial de primeira ordem, ou seja:
- z, Equação (3.28)
com solução:
z (t) = , Equação (3.29)
onde c é uma constante real arbitrária.
Considerando a variável p (t) como peso e fazendo:
p(t) =
5
Equação (3.30)
Considerando c constante, quando t = 0, o valor de p será insignificante.
Quando t tender a infinito, o limite de p (t) será dado por:
63
lim p (t) = lim
5
= Equação (3.31)
t ∞ t ∞
Portanto, o peso máximo do peixe será dado por:
p
∞
= Equação (3.32)
Como para Bertalanffy o peso do peixe é proporcional ao volume e o volume
proporcional ao cubo do comprimento, existirá sempre uma relação entre
crescimento e engorda (BASSANEZI e FERREIRA, 1988).
Betalanffy ao desenvolver seus estudos sobre organismos aquáticos chegou a
conclusão de que para uma classe principal de organismos, a relação alométrica
entre a área da superfície e o volume é de fundamental importância para se chegar
as então chamadas relações alométricas dos organismos.
Segundo Silva (1986), a vantagem da equação de Bertalanffy está na sua
fundamentação teórica, onde a razão anabiótica é proporcional a área da superfície
do organismo, enquanto a razão catabólica é proporcional ao volume da biomassa.
A seguir será apresentada uma tabela de valores experimentais envolvendo os
machos de tilápia do Nilo que possibilita calcular l
∞
(limite de comprimento) e p
∞
(limite de peso), quando o tempo tende a infinito, considerando os cinco e quatro
últimos dados da Tabela 2 que descrevem comprimento (l) e peso (p), a partir de
quatro gráficos, onde os dois primeiros representarão ajustes de crescimento em
comprimento e ajuste de crescimento em peso respectivamente e os dois últimos
gráficos representarão limite de peso e limite de comprimento, realizado pelo Centro
de Pesquisas Ictiológicas de Pentecostes.
Posteriormente serão apresentados os gráficos relacionando comprimento e peso,
utilizando ajuste linear, onde para calcular comprimento e peso, o tempo t tendendo
64
ao infinito foi utilizando o método apresentado por Sanches e Jafelice (2004), que
consiste em considerar l(t) = l(t + 1) e p(t) = p (t + 1), quando o comprimento e o
peso estão estabilizados (BASSANEZI e FERREIRA, 1988).
Tabela 2 –
Machos de tilápia do Nilo – CPIP
t: Tempo (mês)
l: Comprimento médio (cm) p = Peso médio (g)
0 11.0 26.0
1 15.0 59,5
2 17.4 105.4
3 20.6 200.2
4 22.7 239.5
5 25.3 361.2
6 27.4 419.8
7 28.2 475.4
8 29.3 488.2
Fonte: Sanches e Jafelice (2004)
Gráfico 2 –
Ajuste dos dados do crescimento em comprimento
(
SANCHES e JAFELICE, 2004)
l(t)
l(t+1)
30
29
28
27
26
25
24
22
23
24
25
26
27
28
29
30
65
Gráfico 3 –
Ajuste dos dados do crescimento em peso (SANCHES e JAFELICE, 2004)
Gráfico 4 –
Valor limite de peso
p
∞
(SANCHES e JAFELICE, 2004)
Crescimento em peso de peixes
tempo
p(t)
t
Crescimento em peso de peixes
p (t+1)
p (t)
500
480
460
440
420
400
380
300
320
340
360
380
400
420
440
460
480
500
p
∞
0,3p
∞
t’
66
Gráfico 5 –
Limite de comprimento
l
∞
(SANCHES e JAFELICE, 2004)
Os gráficos 2, 3, 4 e 5 acima determinam o crescimento máximo, em comprimento e
em peso, da tilápia macho do Nilo. Nos procedimentos adotados foram utilizados
cálculos envolvendo equações diferenciais ordinárias e ajuste linear. Num período
de três meses foram estudadas as relações entre crescimento máximo, em
comprimento e peso, sendo encontrada uma constante de proporcionalidade entre o
peso do peixe e o cubo de seu comprimento, o que corrobora os conceitos de
Bertalanff (BASSANEZI e FERREIRA 1988).
3.1.4 Antibióticos e seu Emprego em Pesquisas com Bactérias Fitopatogênicas
A matemática tem dado grandes contribuições na solução de problemas
populacionais como, por exemplo, fazer previsões da população em algum instante
futuro. Neste procedimento matemático, parâmetros tais como nascimento e
mortalidade são avaliados utilizando informações das populações passadas e
futuras, através de modelos matemáticos.
Crescimento em tamanho de peixes
tempo
l(t)
t
l
∞
67
Segundo Borges (2000), vários outros problemas podem ser relacionados, como por
exemplo, o crescimento de uma cultura bacteriana e sua taxa de crescimento, que
pode ser estimada a partir de dados experimentais, onde as grandes culturas podem
ser postas em amostras de intervalos de tempo regulares e a concentração de
células na câmara de crescimento pode ser monitorada.
Os antibiogramas são bioensaios “in vivo” para se testar a sensibilidade de bactérias
a antibióticos. Vale ressaltar que a extrapolação de resultados “in vitro”, onde se
possui um grande controle de variáveis envolvidas, para situações “in vitro”, precisa
ser feita com extrema cautela, afinal, comprovar a sensibilidade de uma fitobactéria
por meio de bioensaios específicos, não assegura necessariamente, a eficácia deste
antibiótico para o controle da enfermidade por ela incitada (ROMEIRO, 1984a,
1984b, 1984c e 1984e).
Os bioensaios não se apresentam apenas para se saber a quais antibióticos um
determinado isolamento bacteriano é sensível ou resistente. Numa pesquisa com
bactérias fitopatogênicas, os bioensaios podem ser usados também para detectar e
quantificar antibióticos em solo, órgãos vegetais, etc., bem como servir como
instrumento auxiliar em inúmeros tipos de pesquisas (ROMEIRO, 1984d).
Como exemplo tem-se o estudo de uma mancha foliar e da desfolha causadas por
bactérias que foram relatadas como sintomas de uma doença nova para eucaliptura
nacional, pode esta provocando danos expressivos nas fases de vieiro e campo
(GONÇALVES et al., 2001).
Muitos são os bioensaios com antibióticos que envolvem difusão do composto em
um gel e esses métodos de difusão fundamentam-se e tem sua validade em fatos
que merecem específicos reparos, onde dois são de fundamental importâncias para
uma melhor interpretação.
O primeiro é que a proporcionalidade existente entre a concentração e o halo de
inibição é de natureza exponencial ou logarítmica e não aritmeticamente linear e o
segundo é que se uma relação linear é obtida pela transformação dos dados de
68
concentração em seus respectivos logaritmos, essa relação é linear e, portanto, a
validade quantitativa do bioensaio existe e é confiável dentro de certos limites, como
acontece em qualquer curva padrão.
Segundo Clark & Switzer (1977), se for aumentada muito a concentração de
antibióticos em teste, os aumentos no diâmetro do halo deixam de ser diretamente
proporcional aos logaritmos das concentrações, o que provoca uma caracterização
de trabalho fora da região linear da reta.
Alguns pesquisadores afirmam que a bactéria deve ser antes de tudo, de fácil e
rápido crescimento em meios de rotina e de fácil manutenção, por processos simples
de preservação e ao ser escolhida deve ser muito sensível ao antibiótico em estudo,
para que se formem halos visíveis e mensuráveis como resposta a baixas
concentrações.
Segundo Fadigas & Tavares (1995), relacionar a equivalência entre algumas
unidades de peso e volume é de fundamental importância, principalmente para
aquelas usadas para expressar pequenas quantidades que são pouco conhecidas.
Em trabalho com antibióticos, normalmente não se usam unidades de concentração
como molaridade e normalidade, pois tais valores seriam demasiadamente
fracionários e isso conseqüentemente, dificultaria o cálculo de parâmetros.
Quanto às diluições bem como seus cálculos, muitos pesquisadores encontram
enormes dificuldades para realizar cálculo de diluições e um dos modelos mais
simples, mas de grande auxilio pode ser dado por:
V
1
.C
1
= V
2
.C
2
Equação (3.33)
Sendo:
V
1
volume a ser tomado da solução concentrada;
C
1
concentração da solução concentrada;
V
2
volume final da solução diluída (V – V
1
);
C
2
concentração da diluição desejada.
69
Na construção de curvas-padrão, se faz necessário a disposição de uma
representação cartesiana que correlaciona matematicamente as grandezas, para
que sejam demarcados os crescimento ou decrescimento das concentrações de um
antibiótico e os diâmetros ou áreas dos halos de inibição correspondente e isso pode
ser observado em (ROMEIRO et al., 1991).
A Tabela 3 a seguir foi elaborada pela necessidade de se detectar resíduos de
sulfato de amicacina em bulbilhos de alho e solo, por pesquisadores da
Universidade Federal de Viçosa, sendo usada como bactéria teste Pseudomonas
fluorescens, agente etiológico da queima bacteriana do alho. A detecção seria por
meio de bioensaios e havia necessidade da construção de uma curva padrão.
Tabela 3 -
Distribuição do sulfato de amicacina e dimensões dos halos de inibição correspondentes
CONCENTRAÇÃO DO ANTIBIÓTICO DIÂMETRO DO HALO DE INIBIÇÃO
ug / ml ng / ml (cm
2
)
16,384 16.384 3,44
4,096 4.096 3,18
1,024 1.024 2,82
0,256 256 2,38
0,064 64 1,70
0,016 16 1,32
0,004 4 0,82
Fonte: Romeiro et al., (1991)
Nos estudos realizados pelos pesquisadores a partir da construção da Tabela 3 foi
constatada a dificuldade tanto de visualizar, quanto de calcular graficamente
concentrações em função da área de halo.
Segundo os autores, para isso, seria necessário que fossem feitas uma série de
análises estatísticas, para ser encontrado um modelo matemático confiável e
ajustado, pois a curva para ser usada em pesquisa como curva padrão precisa que o
seu esboço obedeça a sistematização de um modelo matemático rígido, que seja
representada por uma equação matemática que possibilite uma melhor análise para
que se possa fazer não apenas uma solução gráfica.
70
Numa breve reflexão sobre a dificuldade apresentada pelos pesquisadores quanto a
necessidade de se achar uma equação matemática que possibilitasse a construção
de um gráfico para dar uma melhor compreensão da descrição de uma curva, foi
observado Kreider (1972) que esta necessidade poderá estar relacionada a um
problema de valor inicial, onde a partir de uma equação diferencial linear, se poderia
ter uma melhor compreensão do estudo abordado.
3.1.4.1 Tuberculose: Questões sobre Reinfecção Exógena e Reativação
Endógena
A tuberculose (TB) permanece, ainda neste milênio como a doença que mata mais
no mundo, com 1,6 milhões de mortes em 2005, onde um terço da população
mundial está infectada por Mycobacterium tuberculosis (MTB) e uma grande
proporção poderá desenvolver e transmitir assa doença (WORLD HEALTH
ORGANIZATION, 2007).
È uma doença infecciosa com aspectos singulares e uma epidemiologia diferente da
maioria das doenças infecciosas, devido ao tempo extremamente variável entre a
doença e a primeira infecção. Aproximadamente 90% indivíduos infectados
permanecem no estado latente e 10% progridem rapidamente para a doença.
A perda ou redução da imunidade, devido ao vírus da imunodeficiência humana
(HIV), por exemplo, pode aumentar a probabilidade de reativação da tuberculose
em até 10% (RAIMUNDO et al., 2002).
Segundo Murphy et al. (2003), os fatores relacionados à progressão para a doença
ainda não estão bem definidos, ou seja, se é devida à reativação da prima-infecção
(reativação endógena) ou a uma nova etapa, ou seja, (reinfecção exógena).
Raimundo e Young (2004), desenvolveram um estudo teórico sobre a dinâmica da
transmissão da tuberculose, com o propósito de discutir o impacto o impacto da
reinfecção exógena e reativação endógena, bem como a eficiência da vacina BCG.
71
Neste trabalho foi desenvolvido um modelo matemático, com a dinâmica descrita por
um sistema de equações diferenciais ordinárias não lineares, para o estudo do ponto
de equilíbrio trivial em duas situações endêmicas distintas, discutindo suas
implicações biológicas, apresentando conclusões.
Para formular este modelo matemático, se fez necessário considerar uma população
total N e dividi-la em sete compartimentos, em cada instante de tempo t, ou seja:
N = X + X
BCG
+ L + X
1
+ TB + TB
S
+ TB
R
, Equação (3.34)
Sendo:
. X a população de indivíduos suscetíveis a infecção pelo MTB (MIcobacterium
tuberculosis);
. X
BCG
os indivíduos vacinados;
. L os indivíduos infectados pelo MTB (primeira infecção, mas não infecciosos);
. X
1
os indivíduos no estado latente;
. TB os indivíduos com tuberculose primária;
. TB
S
os indivíduos com tuberculose secundária (reinfecção exógena);
. TB
R
os indivíduos que recebem tratamento.
Sabendo-se que todos os parâmetros são positivos e que existe um fluxo de entrada
constante (II) nas classes dos suscetíveis e vacinados (X e X
BCG
), considera-se µ a
taxa de mortalidade natural e α como a taxa de mortalidade pela doença, onde os
indivíduos suscetíveis tornam-se infectados pelo MTB, através de contato com
indivíduos com TB (doença).
Raimundo e Yang (2005); afirmam que os indivíduos vacinados também podem ser
infectados e o período para desenvolver a tuberculose de forma rápida é dado por
ω
1
-1
e de forma lenta por (ω
2
-1
+ λ)
-1
.
72
Desta forma, definindo como:
(1 – p) proporção de indivíduos recrutados para a classe dos suscetíveis X;
p proporção de indivíduos que entram na classe dos vacinados X
BCG
;
β coeficiente de transmissão do MTB;
r taxa na qual os indivíduos suprimem a prima-infecção ou taxa de perda de
imunidade pela vacina e retornam para classe de vacinados;
ω
1
taxa na qual ao indivíduos infectados desenvolvem rapidamente a tuberculose;
ω
2
taxa no qual os indivíduos infectados progridem para a classe dos indivíduos
latentes X
1
;
λ taxa na qual os indivíduos infectados desenvolvem a tuberculose pela reativação
endógena;
β’ taxa na qual os indivíduos infectados desenvolvem a tuberculose pela infecção
exógena;
ξ taxa de tratamento;
σ taxa na qual os indivíduos tratados retornam para classe X
1.
Com esses conceitos, pode-se descrever o modelo através do seguinte sistema de
equações diferenciais ordinárias:
= (1 – p) II - β X (TB + TB
S
) - µ X
= p II - q β x
BCG
(TB + TB
S
) - µ x
BCG
+ r L
= β X (TB + TB
S
) + q β x
BCG
(TB + TB
S
) – (ω
1 +
ω
2 + r +
µ) L
= - λ X
1 -
β’ X
1
(TB + TB
S
) + σTB
R +
ω
2
µ
= λ X
1 +
ω
1
L – (ξ + µ + α)TB
= β’ X
1
(TB + TB
S
) - (ξ + µ + α)TB
S
= ξ(TB + TB
S) –
( µ + σ)TB
R,
73
Sendo:
= II - µN – α(TB + TB
S
);
Para N > II/µ, a população total é decrescente, ou seja,
∂
N/
∂
t < 0;
Se α = 0, então = II - µN e tem-se, a assintota N(t) → II/µ, quando t → ∞;
Se α = 0 e II = µN, então = 0, e a população constante, N(0).
O número de reprodutibilidade basal é um parâmetro epidemiológico muito útil para
quantificar a transmissão de um patógeno, sendo definido como o número médio de
infecções produzidas por um indivíduo infectado, quando introduzido numa
população inteiramente suscetível, na ausência de qualquer tipo de
heterogeneidade.
Desta forma, a epidemia persiste na população, independentemente das condições
iniciais do sistema. Um dos grandes problemas evidentes é o empobrecimento, a
urbanização, a favelização e a pandemia pela infecção do HIV, que nas grandes
metrópoles recrudeceram a tuberculose. Diante esse quadro, a Organização Mundial
da Saúde (WORLD HEALTH ORGANIZATION, 1994), propôs uma emergência
global a partir de um tratamento diretamente observado, na tentativa de aumentar a
taxa de detecção e cura da doença.
Em 2006, foi publicado um novo plano de controle mundial da tuberculose proposto
pela Organização Mundial da Saúde (STOP TB PARTMENTS, 2006), onde nesse
novo plano, outras estratégias foram adotadas considerando a realização de
pesquisas como prioridade no campo da epidemiologia, modelagem matemática,
pesquisa básica aplicada, pesquisa clinica, etc.
Nas últimas décadas, muitos autores têm proposto modelos na área de tuberculose
simulando parâmetros, simulando programas e, analisando e quantificando os
instrumentos de controle da doença.
74
Isso mostra que a modelagem matemática pode contribuir de forma significativa, não
apenas para avaliar os impactos de fatores da epidemia, mas também, possibilitar
uma melhor compreensão das causas, para que a tuberculose seja combatida com
eficiência a partir de estratégias de controle.
3.2 Estimação de Parâmetros em Modelos Ecológicos Baseados em EDOs
Para se obter um modelo de fato representativo de um sistema em estudo é
necessário que os valores dos parâmetros sejam escolhidos de forma adequada.
Isto geralmente não é uma tarefa fácil, principalmente quando se trata de modelos
ecológicos. Desta forma existem diferentes formas a serem abordadas, que podem
ser utilizadas para se obter estimativas reais de valores, para os parâmetros de um
modelo ecológico.
Segundo Jorgensen (1997), os parâmetros são estabelecidos a partir da
necessidade do modelo e de estudos que são fruto do real funcionamento do
sistema. Entretanto, poucos são os parâmetros que podem ser estimados devido a
problemas logísticos, associados à observação em campo, de muito dos fenômenos
que podem ser de interesse num modelo ecológico.
Muitas são as formas de se estimar parâmetros, por exemplo, uma forma ideal para
se estimar parâmetros de modelos ecológicos é através da realização de trabalhos
de campo na área em que está localizado o sistema que se quer modelar, pois as
observações “in loco”, pode fornecer informações confiáveis, visto que são feitas
diretamente sobre o sistema estudado.
Uma outra forma apropriada para estimar parâmetros pode ser através de
experimentos em laboratórios, neste caso, não se terá mais o sistema em sua
plenitude como nos trabalhos de campo, mas pode-se levar para estudar em
laboratório componentes do sistema que se quer modelar, como indivíduos de
diferentes espécies, ou seja, amostras de água ou de solo, etc.
75
As equações diferenciais ordinárias são de fundamentais importâncias para os
estudos dos modelos ecológicos, porém, não se pode afirmar com certeza que são
mais utilizadas do que as equações algébricas, matrizes ou distribuições de
probabilidade, mesmo sabendo da sua influência para o desenvolvimento da própria
teoria ecológica.
Apesar de se saber que o uso de EDOs na modelagem ecológica está basicamente
associado a construção de modelos causais, determinísticos dinâmicos e agregados
para outros aspectos do sistema, sabe-se que vários motivos levam a construção de
modelos ecológicos com tais características e o maior deles, se caracteriza pelos
modelos ecológicos possuírem grandes quantidades de componentes, unidos por
forte redes de interações.
Um outro fator muito apresentado são as dificuldades para obtenção de dados para
a modelagem, já em função das grandes extensões normalmente apresentadas
pelos modelos ecológicos (U.S. EPA, 1996). Assim, a escassez de dados, imprime a
necessidade da existência da realização de significativas simplificações para a
construção de um modelo.
Desta forma, os modelos que se apresentam com muitas variáveis, como por
exemplo, estocásticos ou distribuídos, exigem formulações matemáticas mais
complexas, como probabilidade ou equações diferenciais parciais (EDPs), o que
dificulta não só, o desenvolvimento, mas também a utilização do modelo, requerendo
uma maior quantidade de dados para construir representações matemáticas
realísticas e eficientes.
Teoricamente, as EDPs, são ferramentas mais versáteis, por permitirem modelar as
variações de qualquer componente de um sistema em relação a duas ou mais
variáveis ao mesmo tempo, enquanto que as EDOs, só podem representar as
variações em função de uma única variável.
Segundo Chen e Orlob (1975), essa limitação das EDOs não é tão significativa o
quanto possa parecer, pois, quando na aplicação de suas estruturas é possível
76
considerar as mais diversas influências dos diversos diferentes fatores sobre uma
variável de interesse.
Os procedimentos para se construir um modelo ecológico do tipo causal para um
sistema ecológico são definidos a partir de dois momentos:
No primeiro momento, são formuladas as expressões matemáticas mais gerais, que
representam características e processos do sistema de uma forma mais genérica e
no segundo momento, procura-se tornar as expressões mais específicas e
representativas do sistema particular que está se tentando modelar.
Nestes modelos, os parâmetros desempenham um papel importante entre as
expressões genéricas e específicas. Por exemplo, o modelo de Verlhust
apresentado abaixo:
= r. N
t
.
Equação (3.35)
A princípio, esse modelo pode ser utilizado para descrever o crescimento de uma
população de qualquer organismo, onde para modelar o crescimento de uma
população específica é necessário definir os valores dos parâmetros r e K, que
sejam compatíveis com a taxa de crescimento e com a capacidade suporte da
população no ambiente onde ela está se desenvolvendo.
Assim, através da especificação de valores numéricos para os parâmetros r e K, se
transforma o modelo genérico de Verlhust num modelo específico e representativo
para uma dada população e isto vale em geral, para modelos mecanicistas.
3.2.1 Parâmetros Ecológicos e Biológicos
Geralmente, não é fácil tratar de modelos ecológicos, devido às dificuldades para
obtenção de informações sobre os sistemas. Para se obter um modelo
representativo do sistema é necessário que os valores dos parâmetros sejam
77
escolhidos de forma adequada, desta forma, as variáveis que podem ser medidas
como mão-de-obra especializada, etc.,são diferentes abordagens que podem ser
utilizadas para obter estimativas realistas de valores para os parâmetros de um
modelo ecológico.
Experimentos e observações realizadas em laboratório se apresentam como a
segunda forma apropriada de estimar parâmetros para um modelo ecológico. No
ambiente controlado do laboratório é muito mais fácil resolver problemas logísticos
associados a observações necessárias para se chegar à estimativa de determinados
parâmetros, porém, surgirão incertezas por não se estar estudando um sistema
completo.
Pesquisadores como Jorgensen (1994a) e Warren (1971) acreditam que uma das
formas conveniente para se obter à estimativa para um modelo ecológico é procurar
a literatura especializada, desta forma, pode-se encontrar valores que são frutos de
estudos complexos e criteriosos, que poderiam ser muito difíceis para os próprios
modelistas realizarem por falta de tempo, como materiais ou até mesmo de
capacitação.
Portanto, quando se tem um modelo que requer parâmetros para os quais não
conseguimos estimativas por nenhuma das metodologias adequadas, a saída é
utilizar estimativas feitas para modelos ecológicos similares e dependendo dos
parâmetros pretendidos, pode-se eventualmente se valer das propriedades gerais
para estimá-los, diretamente em função de alguma característica conhecida do
sistema.
Segundo Jorgensen (1994a), dentre os parâmetros utilizados para um modelo
biológico, aqueles que se referem aos componentes e processos biológicos do
sistema são geralmente mais difíceis de estimar, por apresentarem um maior
número de incertezas nos parâmetros de natureza física ou química.
O autor ainda afirma, que isso se dá por vários motivos e um deles é o
comportamento mais regular e previsível de sistemas químicos e físicos que
78
possibilitou o desenvolvimento de teorias bem mais definidas, com um maior poder
preditivo, facilitando desta forma, a estimativa dos parâmetros a partir de
propriedades gerais.
Além disso, os procedimentos necessários para mediação de parâmetros físicos e
químicos são normalmente mais simples do que aqueles que se precisa utilizar para
medir parâmetros biológicos, por estes freqüentemente não poderem ser observados
de forma direta.
Os parâmetros biológicos além de serem mais sensíveis, em geral são influenciados
por uma gama maior de fatores ambientais, que com freqüência podem interagir de
uma forma sinérgica. Desta forma, a confiabilidade dos parâmetros biológicos é
ainda afetada pelo fato dos organismos vivos estarem em constantes mudanças
(WARREN, 1971).
3.2.2 Calibração de Modelos Ecológicos Baseados em EDOs
A calibração de um modelo matemático é o processo pelo qual ajusta-se os valores
dos parâmetros, é um procedimento indispensável para a construção de um modelo
ecológico adequado. Segundo Van der Molen e Pinter (1993), a calibração é uma
forma indireta de estimar os valores dos parâmetros, sendo os ajustes feitos de tal
forma que, os modelos reproduzam com a maior aproximação possível o
comportamento do sistema, caracterizado por um conjunto de dados.
Para realizar tais ajustes é necessário comparar o comportamento apresentado pelo
modelo com o comportamento esperado para o sistema modelado, pois, por os
sistemas ecológicos serem muitos complexos, quase sempre é impossível
caracterizar completamente o comportamento do sistema. Isto é o que geralmente
utiliza-se, para a calibração dos dados coletados a respeito de alguns componentes
chaves do sistema, para serem comparados aos resultados fornecidos pelo modelo
para as variáveis correspondentes.
79
A calibração pode ser vista como um processo acessório para a estimação dos
valores dos parâmetros, que no caso dos modelos ecológicos é quase
indispensável, desta forma, vários são os motivos que contribuem para que a
calibração seja considerada como de fundamental importância para a obtenção de
modelos ecológicos eficazes (JORGENSEN 1994a).
Desta forma, como a estimação de parâmetros para modelos ecológicos é muito
difícil e trabalhosa e seus valores disponíveis na literatura específica compreendem
apenas uma pequena porcentagem dos parâmetros de potencial interessante para
os modelos ecológicos, quase sempre se faz necessário recorrer à abordagem de
usarmos alternativas feitas para sistemas semelhantes, por meio de princípios gerais
ou baseada em opinião de especialistas.
Os parâmetros necessários para modelos ecológicos são normalmente encontrados
na literatura sob a forma de uma faixa de valores plausíveis e isso reflete as
incertezas presentes na coleta de dados e a variabilidade natural do sistema.
Entretanto, para quem está construindo um modelo em EDOs ou outro tipo de
modelo determinístico é necessário fazer a escolha de um único valor para o uso do
modelo. Escolher dentro do intervalo o valor que mais se aproxima ao modelo, não é
uma tarefa trivial e a média não significa necessariamente uma boa escolha
(JORGENSEN, 1994a).
A calibração é o passo mais trabalhoso e um dos principais pontos fracos no
desenvolvimento de um modelo matemático ecológico. Isto se deve a interação de
dois fatores, ou seja, a presença de termos não-lineares e de circuitos de
retroalimentação, que determinam fortes dependências entre os termos de um
modelo, fazendo com que o valor ótimo para cada parâmetro varie de acordo com
outros valores atribuídos aos demais parâmetros.
Os modelos são simplificações da natureza e muitas das características do sistema
são deixadas de fora, para que os parâmetros sejam ajustados convenientemente,
para compensar alguns detalhes que eventualmente não tenha sido incluídos e
tornar o modelo mais eficaz (NIELSEN, 1992b).
80
O número de parâmetros, somado a necessidade de estimá-los conjuntamente,
devido a sua independência, resulta numa grande quantidade de combinações de
valores que precisam ser testadas.
Duas são as abordagens para fazer a calibração de um modelo, a primeira se dá
ajustando os parâmetros simplesmente por tentativa e erro, que a chamada
calibração manual e a segunda, através da utilização de procedimentos matemáticos
computacionais que possibilita o ajuste de pelo menos alguns parâmetros, o que
denominamos de calibração automática.
Segundo Jorgensen (1998), na maioria das vezes, a calibração de um modelo é feita
exclusivamente por tentativa e erro, devido às dificuldades para implantação de
procedimentos automáticos.
A calibração manual além de ser um procedimento trabalhoso, não garante a
obtenção de uma solução adequada, mesmo que ela exista em função de um
grande número de combinações que precisam ser testadas.
Para se fazer uma calibração manual, é preciso agir de forma sistemática por conta
do número das combinações dos parâmetros ser muito grande e conseqüentemente,
fácil de se perder no processo (JORGENSEN, 1994a).
A calibração automática, a partir do ponto de vista matemático, pode-se dizer que é
basicamente um problema de otimização, ou seja, encontrar um conjunto de valores
para os parâmetros que resulte no melhor ajuste do modelo em relação ao
comportamento do sistema (WISMER e CHATERGGRGY, 1978)
Desta forma, os procedimentos de calibração automática são basicamente derivados
de métodos de busca e otimização. Para se utilizar um procedimento de calibração
automática, baseado em qualquer tipo de método é imprescindível que possamos
formular os objetivos da calibração na forma quantitativa, definindo o que é
conhecido no jargão da área como, por exemplo, à função objetivo ou função de
custo (WISMER e CHATTERGUY, 1978).
81
Na calibração manual, o mais comum é que à função objetivo seja algum tipo de
medida de erro do modelo em relação aos dados de calibração. Como os resultados
produzidos pelos modelos dependem diretamente dos valores dos parâmetros,
também à função objetivo dependerá destes e o método de otimização usado
deverá conseqüentemente achar o conjunto de valores de parâmetros que resulte no
menor valor possível para à função objetivo.
Após a definição da função objetivo e das restrições do espaço de busca, se faz
necessário escolher um método de otimização que se adeque ao problema, pois,
normalmente os problemas de otimização associados a calibração de modelos
ecológicos apresentam características com alta complexidade.
A presença de não-linearidades, variáveis discretas, espaço de busca não-convexos
e funções de custo multimodiais que inviabilizam o uso dos métodos de otimização
mais populares são freqüentes (BATES e WATTES, 1988).
Um método numérico para resolver o PVI consiste em determinar valores
aproximados de uma solução num conjunto de pontos formando uma malha no
intervalo estabelecido, ou seja, considerando que y
0
, y
1
,........,y
n
, sejam valores
aproximados de uma solução y(x), num conjunto de pontos x
0
, x
1
, ....., x
n
= b
formando uma malha do intervalo [x
0
, b] e supondo que os pontos x
0
, x
1
, ..... , x
n
=
b estejam igualmente distanciados no intervalo [x
0
, b], então x
n
= x
0
+ nh, com n =
0,1,.....,N, onde x
n
= b e o passo h é dado por h = (b - x
0
)/N = constante. Desta
forma, tem-se que y(x
0
) = y
0
mas em geral, y(n) é diferente de yn, para todo e
qualquer n maior ou igual a 1 (Boyce e DiPrima, 1997; Campos, 2003 e Pina, 1995).
Assim, para se fazer a calibração automática de métodos baseados em EDOs,
normalmente usa-se uma abordagem de busca-simulação, onde acopla-se um
modelo de otimização com um método de resolução numérica de PVIs, ou de outros
tipos de problemas de contorno. Nesta abordagem simula-se o comportamento do
modelo para diferentes tipos de combinações de valores dos parâmetros, resolvendo
numericamente o PVI correspondente.
82
A partir destas soluções numéricas e dos dados de calibração, calcula-se uma
medida de erro escolhida, obtendo-se valores para à função objetivo,
correspondendo as combinações de parâmetros testadas, onde os valores e as
combinações dos parâmetros testadas são utilizados pelo método de otimização
para procurar o conjunto de parâmetros que minimizam o erro do modelo Sá (2003).
Jorgensen (1994a), afirma que os modelos de calibração automática disponíveis só
são eficientes para calibrar conjuntos que possuem no máximo 6 a 9 parâmetros e
isto de certa forma, não quer dizer que só possamos calibrar um modelo com no
máximo 10 parâmetros, mas que, se o modelo tiver vários parâmetros, uma parte
deles não deverá entrar na calibração automática, tendo que ser calibrado de forma
manual.
São muitas as considerações quanto à modificação dos ecossistemas e alguns
autores chegam até a sugerir que estes estão constantemente modificando a sua
estrutura de forma a maximizar ou minimizar a sua própria grandeza, embora isto
não seja totalmente aceita por uma grande parte da comunidade científica.
Odum e PinkerTon (1955) sugerem que os ecossistemas procuram maximizar o
fluxo de energia, enquanto Margalef (1968) sugere que os ecossistemas tentam
maximizar a biomassa total. Glansdorff e Prigogine (1971) sugerem que os
ecossistemas tentam minimizar a entropia e Jorgensen e Mejer (1981) sugerem que
os ecossistemas maximizam a energia.
Desta forma, a partir de uma análise pode-se aproveitar a idéia de que os próprios
ecossistemas perseguem uma certa função objetivo para a calibração buscando as
combinações de parâmetros que fazem com que esta função objetivo possa ser
maximizada ou minimizada no modelo, ao invés de buscar as combinações que
minimizam o erro em relação aos dados de calibração.
83
3.2.3 Dificuldades na Calibração de Modelos Ecológicos
Muitas vezes um modelo ecológico não pode ser calibrado adequadamente e isso se
deve a alguns motivos inesperados, por exemplo, pela possibilidade da formulação
matemática utilizada não ser apropriada para a representação do sistema. Desta
forma, nenhum conjunto de parâmetros aceitáveis poderá resultar num
comportamento compatível com o do sistema real (SÁ, 2003).
Em muitos casos, isto pode ser resolvido substituindo algumas das funções
utilizadas na formulação, por outras que descrevam mais adequadamente os
componentes e relacionamentos considerados no modelo.
Na maioria das vezes, entretanto, o problema está estabelecido na própria filosofia
da modelagem utilizada, herdada da modelagem de sistemas físicos (JORGENSEN,
1977). Quando se modela este tipo de equações por meio de equações diferenciais,
o usual é que se utilize basicamente equações com coeficientes constantes.
Nos sistemas ecológicos é muito comum, que os parâmetros referentes aos
componentes biológicos variem em função de mudanças nas condições ambientais.
Por isso, o conjunto de parâmetros mais apropriado sob certas condições pode não
sê-lo sob outras e, nos piores casos pode acontecer que nenhum conjunto fixo de
parâmetro possa descrever o sistema submetido durante o período de interesse.
Uma outra dificuldade para não obtenção de uma calibração aceitável são
problemas que os dados de calibração podem apresentar, ou seja, a baixa
qualidade, inadequação ao modelo ou a pouca representatividade em relação ao
sistema estudado.
Como modelos baseados em EDOs são quase que freqüentemente modelos
dinâmicos, sendo uma questão que está relacionada com a representatividade dos
dados de particular importância, que diz respeito a freqüência temporal, com a qual
coletamos os dados a respeito do sistema, para que se possa caracterizar
adequadamente a dinâmica do sistema é preciso que os dados sejam coletados
84
numa freqüência compatível com a dinâmica dos componentes do modelo (SÁ,
2003).
Diante os vários motivos apresentados, verifica-se que a calibração, também pode
vir a fracassar, principalmente se o modelista não utilizar um método de otimização
apropriado na calibração automática do seu modelo, ou se não for sistemático e
suficientemente perseverante na calibração manual.
A calibração é quase sempre uma tarefa trabalhosa e dificilmente será possível
ajustar um modelo em algumas poucas investidas, normalmente, centenas de vezes
são necessárias nas execuções do modelo, para que se possa obter um conjunto
adequado de parâmetros (JORGENSEN, 1994a).
Uma grande quantidade de estudos tem demonstrado que a preservação do meio
ambiente e a compatibilização das atividades humanas com este preceito são
questões fundamentais para a sobrevivência e para a qualidade de vida das
pessoas.
Por isso, o processo de calibração, onde ajusta-se os valores dos parâmetros de
forma que os resultados do modelo fiquem numa maior harmonia possível com o
comportamento do sistema modelado é geralmente indispensável na construção de
um modelo ecológico.
Normalmente a calibração é feita, por tentativa e erro, processo este tremendamente
trabalhoso e propenso à falhas. Pode-se considerar também, a possibilidade de se
fazer a calibração automática, utilizando um modelo de otimização, para buscar os
melhores valores para os parâmetros.
Assim, à modelagem matemática se apresenta como uma valiosa ferramenta para
lidar com à complexidade dos sistemas e problemas ecológicos, pois fornece uma
metodologia vantajosa para organizar e representar os conhecimentos existentes
sobre eles, facilitando desta forma, o entendimento e a manipulação destes
sistemas, permitindo fazer previsões sobre o seu provável comportamento em
diferentes condições.
85
4 APLICAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AO TRANSPORTE
DE POLUENTES
Os processos que regem o transporte de contaminantes no meio poroso requerem
uma série de estudos devido a sua complexidade e ao número de variáveis
envolvidas. O termo contaminaste geralmente é usado para se dá referência tanto
para compostos dissolvidos, como a não miscíveis no meio poroso NAPL
(Nonaqueous Phase Liquids) adicionados à água como conseqüência das atividades
humanas.
Muitos estudos foram realizados nesse campo do conhecimento e alguns autores
como Young (1992), Hinkley e Killough (1992) entre outros, constataram que a
causa física para o transporte de NAPL no meio poroso é a mesma para o transporte
de em reservatórios de petróleo.
Os simuladores de fluxo de petróleo são muito importantes para a previsão do
comportamento de reservatórios na industria petrolífera. A tecnologia de simulação
de reservatórios de petróleo pode ser utilizada na simulação de fluxo de NAPL de
águas subterrâneas.
A escolha de um modelo simulador composicional é de fundamental importância,
pois, isto na maioria das vezes é definido de acordo com as características do
agente poluente introduzido no aqüífero. Para isso, devem ser estudados vários
tipos de comportamentos dependentes das características do meio e propriedades
do poluente em questão.
O aproveitamento do recurso hidrológico, no que diz respeito às águas
subterrâneas, vem crescendo desordenadamente nas últimas décadas,
apresentando-se como uma alternativa para o desenvolvimento sócio-econômico
das massas populacionais, sobretudo onde fontes de águas superficiais são
escassas e inacessíveis, a exploração desse recurso subterrâneo se apresenta
economicamente viável.
86
Segundo (Informativo da ABAS, 1977), as águas subterrâneas representam 3% da
água doce disponível em todo planeta, com exceção das calotas polares e geleiras.
O Brasil detém um quinto de toda água doce disponível no planeta. Um dos
reservatórios existentes no Nordeste do Brasil possui um volume de 18 trilhões de
metros cúbicos de água disponível para o consumo humano. Volume suficiente para
abastecer toda população brasileira por aproximadamente 60 anos.
Segundo Pacheco e Rebouças (1984), este é um recurso considerado
complementar, sendo mais barato do que a água servida pela rede pública de
abastecimento, dispensando obras caras de captação, adução e tratamento, sendo
de fundamental importância para o desenvolvimento econômico e bem-estar social. (
Os recursos subterrâneos hídricos constituem a origem do escoamento básico dos
rios, representam grandes reservas de água, comumente de boa qualidade e
dispensam os altos custos das estações de tratamento.
Embora as águas subterrâneas estejam naturalmente bem protegidas dos agentes
contaminantes dos rios, elas são alvo de vazamentos de tanques de
armazenamento, através de derramamento de compostos poluentes no solo, sendo
atingidas por infiltração, além de vários outros tipos de poluição, devido aos
impactos da produção industrial e da agroindústria (SANTOS, 1998).
Nos dias atuais, uma das grandes preocupações tanto a nível nacional como
internacional é com as águas subterrâneas, principalmente pela sua escassez.
Desta forma, experiências têm mostrado que os compostos voláteis formam um
grupo de contaminantes encontrados freqüentemente em águas subterrâneas e
solos. Como exemplo desses compostos, podem ser citados os alcanos, alcenos,
aromáticos e os compostos de gasolina.
A problemática da contaminação da água subterrânea e solo por compostos
organohalogenados, ainda é uma questão muito estudada e principalmente no
Brasil, apesar de vários casos de contaminação já serem conhecidos.
87
Por não existir um cadastro oficial de locais contaminados, a falta de informações
constitui-se na principal dificuldade da modelagem do problema, haja visto que, o
meio onde os fluidos estão contidos não pode ser bem caracterizado.
O potencial de contaminação por gasolina foi tratado em Oliveira et al., (1990), como
uma eminente ameaça de contaminação por milhares de tanques de gasolina
enterrados. Segundo os autores, no Brasil em 1995 mais de 1300 postos de
gasolina possuíam tanques de estocagem sem proteção, onde a maioria deles sem
nenhuma proteção sofrem erosão e vazam no máximo dentro de 20 (vinte) anos
após sua instalação.
As técnicas de remediação de sítios contaminados são consideradas muito caras e
portanto, pouco praticadas, desta forma uma legislação cada vez mais rígida quanto
ao controle ambiental pode aumentar a necessidade de estudos dessas técnicas.
Simuladores numéricos do fluxo e transporte de contaminantes são de fundamentais
importâncias para o entendimento da extensão da contaminação e
conseqüentemente para o estudo de métodos de remediação, pois, simuladores
com capacidade de modelar diversos processos de descontaminação de aqüíferos
são importantes na fase de desenvolvimento e implantação de tais técnicas.
4.1 Modelagem e Simulação Numérica
Segundo Pinder e Abriola (1986), a habilidade para simular o comportamento de
componentes não aquosos numa fase líquida NAPL do meio poroso é um passo
importante no esforço para o entendimento da migração e transporte de
contaminantes na água subterrânea. Para eles as equações que governam o fluxo
multifásico de contaminantes no meio poroso são altamente não lineares. Na
solução destas equações, algumas restrições de estabilidade e conveniência limitam
o espaçamento nodal e time-steps, o que resulta numa grande demanda de esforços
e tempo.
88
O entendimento dos processos que regem o transporte de contaminantes no meio
poroso requer uma série de estudos, devido à complexidade e o número de variáveis
envolvidas no processo da modelagem.
Todas essas dificuldades fazem da utilização dos simuladores uma viagem
crescente que deve ser explorada, assim, utilização de simuladores na indústria do
petróleo é essencial como mecanismo de previsão de comportamento dos
reservatórios.
Segundo Young (1992), a causa física para o transporte de NAPL no meio poroso é
a mesma para o transporte de óleo, gás e água em reservatórios de petróleo,
entretanto, há diferenças na importância dos vários mecanismos de transporte, tais
como, difusão-dispersão, e, processos físicos, como a degradação microbiológica.
Embora os modelos de reservatórios de petróleo e de águas subterrâneas tenham
fenômenos de fluxo similares, há uma limitação quanto a tais fenômenos, onde os
modelos composicionais permitem a utilização de vários componentes na simulação
de reservatórios, sendo de grande importância na reprodução de um modelo de
aqüífero contaminado por hidrocarbonetos.
Hinkley e Killough (1992), em suas publicações, apresentaram a aplicação de um
simulador de reservatório de petróleo para o problema do transporte multifásico de
contaminantes na zona não saturada. Os resultados da infiltração de gasolina e de
um contaminante mais pesado que a água foram apresentados, mas, o simulador
não permitiu que os componentes entrassem na fase água, por não se levar em
consideração a solubilidade na água, nesse processo.
Hinkley e Killough (1992) ainda afirmam que o incompatível nível de capacidade da
análise do fluxo multifásico dos simuladores de petróleo chegam a resultados
satisfatórios com muito sucesso, a partir de simulações no caso de NAPL na água
subterrânea.
89
Segundo Guiguer (1991), uma outra característica importante que justifica a escolha
do simulador, é a mudança na composição dos hidrocarbonetos, quando
transportados no meio poroso, o modelo composicional permite a variação da
composição em todas as fases.
Alguns autores e entre eles Young (1992) descrevem o equacionamento para a
modelagem de transporte de poluentes de hidrocarbonetos no meio poroso saturado
e não-saturado e várias modelagens utilizam o equacionamento composicional, que,
diga-se de passagem, é muito usado em petróleo, enquanto outras modelagens
utilizam o equacionamento da hidrogeologia, usado para água subterrânea.
Muitos foram os modelos desenvolvidos nesse campo de conhecimento. Por
exemplo, Young (1992), desenvolveu um importante trabalho na capacitação da
utilização de um simulador composicional de petróleo, para os casos de
contaminação de água subterrânea por hidrocarbonetos.
O equacionamento desenvolvido por Young (1992) assume o equilíbrio local para a
partição dos componentes entre as fases, não considerando a dissorção, difusão e a
dispersão hidrodinâmica. Tais equações, não consideram as reações químicas e
nem a degradação biológica.
Young, após muitos estudos chegou à conclusão de que o método de simulação
composicional pode tratar um número arbitrário de fases e componentes orgânicos
na água subterrânea, embora sejam necessários alguns ajustes, para o tratamento
de processos químicos, físicos e biológicos importantes na água.
Pinder e Abriola (1986) desenvolveram formulações que descrevem o transporte
simultâneo de contaminante químico de três formas físicas: como uma fase não
aquosa (imiscível), componente solúvel da fase aquosa e fração móvel da fase de
gás. Essas formulações permitem determinar a saturação de fluido e a concentração
de poluente em cada fase, em função do espaço e do tempo num meio homogêneo,
onde a partir da obtenção do sistema de equações, sua resolução não pode ser
90
realizada por meios analíticos, sendo, portanto obtida uma boa aproximação através
da discretização por diferenças finitas.
Faust (1985) apresentou um modelo matemático baseado na simplificação do
convencional fluxo trifásico de equações. Fundamentado nesta simplificação, um
modelo numérico foi desenvolvido descrevendo o fluxo simultâneo de água de fluido
imiscível sob condições de meio poroso e não saturado.
Faust,(1985), para o desenvolvimento de seus estudos tomou como ponto de
partida, as equações de Peaceman (1977) para fluxo trifásico, onde as formulações
do fluxo trifásico podem ser simplificadas para a aplicação em fluxo imiscíveis na
zona não saturada e superfície da água subterrânea.
Osborne e Sykes (1986) desenvolveram um modelo matemático bifásico e
bidimensional, baseado na lei de Darcy e conservação de massa para cada líquido,
para simular a migração de um solvente orgânico não aquoso numa seção vertical
abaixo do local contaminado.
Guiguer (1991), desenvolveu um modelo numérico para estudo do destino de
resíduos de DNAPL (Dense Nonaqueos Phase Liquid) em aqüíferos heterogêneos.
Estes componentes têm densidade específica maior que a da água e por serem
mais densos podem ficar retidos nos poros por forças capilares formando uma
saturação residual, que lentamente poderá ir se dissolvendo na fase água e
movendo-se por advecção e dispersão.
Desta forma, o modelo numérico bidimensional, envolvendo a dissolução de vários
componentes orgânicos na água subterrânea, também incorpora fatores como a
adsorção e biodegradação.
Charbeneau e Weaver (1992), estudaram os processos envolvidos na modelagem
do transporte de contaminantes no meio poroso, tais como: volatilização,
degradação, adsorção e partição multifásica, lixivação, advecção e dispersão.
91
Para o estudo de transporte de NAPL na zona vadosa e aqüífero, existem alguns
trabalhos pesquisados e como exemplo, já citado anteriomente o de Charbeneau e
Weaver (1992), que desenvolveu uma tecnologia em estudos de reservatórios de
petróleo.
Um outro trabalho que também pode ser citado é o trabalho apresentado por Faust
(1985), que é uma adaptação das técnicas da indústria de petróleo, sendo especial
para condições típicas de contaminação de águas subterrâneas.
Segundo Pinder e Abriola (1986), para modelar o fluxo multifásico no meio poroso, a
Lei de Darcy tem sido usada com muito sucesso, por acomodar equações
diferenciais e descrever o fluxo de água subterrânea e transporte de soluto no
aqüífero.
As equações para a modelagem do transporte de poluentes no meio poroso
dependem das características do meio, ou seja, das propriedades do poluente e das
considerações adotadas na modelagem. Cada caso de contaminação deverá ser
analisado especificamente, para que as suposições adotadas na modelagem sejam
as mais próximas possíveis da situação real.
Peaceman (1977) afirma que as equações diferenciais apresentadas para a
modelagem do transporte de poluentes são similares, na forma, daquelas usadas na
indústria do óleo, para modelagem composicional de fluxos em reservatório de
petróleo, porém, na modelagem de reservatórios de petróleo a adsorção é
importante apenas para os processos de recuperação química, onde em sua maioria
esses processos chegam a ser inviáveis.
Para formulação do modelo composicional do petróleo pode ser considerado um
caso geral com N componentes químicos, onde cada um deles pode existir em
qualquer uma das três fases, ou seja, gás, óleo e água.
A porção solúvel na água da fase não aquosa é desprezada junto com o fluxo de
massa dispersivo/difusivo, a pressão na fase gás não é assumida constante no
92
reservatório, pelo fato do sistema não estar em contato com a atmosfera e em
muitas vezes, pressurizado.
Do ponto de vista da contaminação, o hidrologista preocupa-se primeiramente com o
sistema onde a fase molhante é a água (water-wet) e o fluxo é dominado pela
gravidade, sendo a força capilar uma chave importantíssima nesse sistema.
Young (1992), faz uma série de considerações quanto à obtenção de uma relação
entre os modelos de fluxo da indústria do petróleo e da hidrologia, comparando as
equações de transporte de NAPL no subsolo com aquelas desenvolvidas nos
modelos composicionais de simulação de reservatório de petróleo.
Segundo Santos (1998), a simulação do fluxo multifásico em reservatórios de
petróleo se tornou popular por volta de 1965, onde as primeiras simulações eram
restritas aos modelos Black-Oil, que consideram três componentes, ou seja,
hidrocarbonetos pesados, hidrocarbonetos leves, e água, acompanhados por três
fases (óleo, gás e aquosa).
Ressalta ainda Santos (1998), que na aproximação Black-Oil, os componentes
hidrocarbonetos leves podem se particionar entre as fases óleo e gás, enquanto que
outros componentes podem residir apenas numa fase. Com o desenvolvimento dos
computadores mais poderosos, cresceu a utilização de modelos composicionais que
tem uma maior complexidade no tratamento do comportamento entre as fases, onde
o simulador composicional considera três fases de fluido.
Para Santos (1998), entre 1965 e 1980, os programas de simulação de reservatórios
foram projetados para um tipo específico de situação, ou seja, os programas de
Black-Oil eram totalmente diferentes dos composicionais, tendo a maior contribuição
de funcionalidade dentro de um programa básico de simulação sido ocorrida a partir
do desenvolvimento de um algoritmo composicional de solução generalizada.
Desta forma, o algoritmo facilita o projeto de um programa modular, permitindo um
alto grau de flexibilidade dentro de um simulador básico. A idéia básica desta
93
aproximação é a separação dos cálculos de fluxo dos cálculos das propriedades dos
fluxos, que contém a maioria dos problemas dependentes das características, onde
a flexibilidade desta nova aproximação permite a modelagem do transporte de
contaminantes de NAPL.
4.2 Modelos de Propagação de Poluentes
4.2.1 Simulação Composicional para Transporte de Hidrocarbonetos em
Aqüíferos
Aqüífero é uma formação geológica que contém água e permite fluxo significante
através dele. Um aquiclude é uma formação que pode conter água, mas é
impermeável, um aquitarde é uma camada acima ou abaixo de um aqüífero, a qual
atua como uma barreira semi-impermeável, através da qual, apenas pequenas
quantidades de fluidos podem passar (CLEARY, 1989), como pode ser observado
na Figura 4.
Figura 4 –
Divisão do sistema de água subterrânea
(
CLEARY, 1989)
A zona vadosa é a região do solo onde os vazios estão preenchidos por ar e água e.
a superfície freática separa a zona de saturação da zona vadosa.
A definição de lençol freático pode ser dada como a superfície por onde à pressão
da água nos vazios é igual à pressão atmosférica local. Sua elevação flutua
94
naturalmente durante todo ano fazendo parte de um ciclo hidrológico. A franja
capilar, a qual contém água móvel, está acima da superfície freática. O topo da
franja capilar é chamado de superfície da água (BLUNT E HOMBROOK, 1993),
como mostra a Figura 5.
Figura 5 –
Arranjamento da água subterrânea
(
BLUNT e HAMBROOK, 1991)
A quantidade de água e ar no solo é determinada pela quantidade de água
disponível e pelo tipo da estrutura e da estratificação do solo.
Quando ocorre uma contaminação, as características do solo em conjunto com as
propriedades físicas e químicas do poluente é que vão determinar o comportamento
desses poluentes no solo, ou seja, sua migração através da sub-superfície.
Segundo Guiguer (1996), no caso de uma contaminação por hidrocarbonetos, as
propriedades físicas do solo que mais influenciam o comportamento dos
combustíveis líquidos são porosidade, condutividade hidráulica e a heterogeneidade
dessas propriedades entre os diferentes tipos de solo. A porosidade e a
condutividade hidráulica podem variar dentro de um mesmo tipo de solo, sendo que
diferenças em grande escala nessas propriedades podem influenciar o transporte
multifásico de hidrocarbonetos.
95
Um dos processos importantes para um maior entendimento quanto a extensão da
contaminação e do estudo de métodos de remediação se dá através de simuladores
numéricos do fluxo de transporte de contaminantes. Porém, simuladores com
capacidade de modelar diversos processos de contaminação de aqüíferos são
importantes na fase de desenvolvimento e implantação de técnicas.
Na área da fonte de contaminação e durante o transporte de poluentes, alguns dos
componentes químicos podem se perder devido a degradação, por fatores básicos,
mas se as perdas e a retardação não forem consideráveis, alguns componentes
podem alcançar a superfície da água e serão conseqüentemente transportados com
o fluxo de água subterrânea.
O fluxo de um contaminante imiscível é controlado por seu próprio potencial de fluxo,
o qual depende da pressão, gravidade e forças de superfície, não sendo similar ao
potencial de fluxo da água subterrânea (FAUST, 1985).
Segundo Charbeneau e Weaver (1992), vários são os fatores e processos que
afetam o transporte de poluentes, entre eles podem ser citados a infiltração,
volatilização, exposição, imobilização, degradação biótica e abiótica, lixiviação,
retardação-adsorção, advecção, dispersão e degradação, como mostra a Figura 6
Figura 6 –
Processos que influenciam o destino e transporte dos componentes químicos
(
CHARBENEAU e WEAVER,1992)
96
Em algumas aplicações como, por exemplo, derramamento de hidrocarbonetos de
petróleo, além das fases água, ar e solo, existe uma fase imiscível presente, onde os
componentes químicos individuais, se particionam em várias fases de acordo com os
princípios de equilíbrio termodinâmico e fatores cinéticos.
Desta forma, para cada fase de cada constituinte, as concentrações são de massa
por unidade de volume, sendo a concentração da fase solo especificada como
massa sorvida por massa de solo e a concentração total obtida através da massa
por unidade de volume.
O entendimento dos fatores que afetam o destino e transporte de contaminantes no
solo não saturado e na água subterrânea é de fundamental importância para
determinar a capacidade assimilativa do solo, ou seja, o quanto é provável o
acumulo de componentes químicos no perfil do solo ou o transporte destes, para
contaminar a água subterrânea.
A maioria dos produtos de hidrocarbonetos é formada pela destilação do óleo cru,
onde as frações leves formam a gasolina, as frações médias são usadas para a
composição do óleo diesel e combustível de avião e os constituintes pesados
utilizados para óleo de motor, tendo todos esses componentes químicos, uma
significante solubilidade na água (FREEZE e CHERRY, 1979).
Quando num derramamento, no solo ou na água, os componentes leves evaporam,
deixando apenas os resíduos mais pesados e viscosos. Durante os primeiros dias,
este é o mecanismo dominante natural de remoção de hidrocarbonetos.
Nos derramamentos em mares calmos, metade da massa derramada será
evaporada em aproximadamente 50 (cinqüenta) horas, mas para componentes
menos voláteis, a taxa é mais demorada. Todos os constituintes hidrocarbonetos do
óleo cru são biodegradáveis e o mais significante processo de degradação se dá por
oxidação química ou biológica.
97
Alguns autores entre eles Young (1992) apontam que as equações para modelagem
de transporte de poluentes são similares nas formas das equações utilizadas na
indústria do óleo para modelagem composicional de fluxo de reservatórios de
petróleo, já Prinder e Abriola (1986), afirmam que a Lei de Darcy, tem sido uma das
mais usadas para modelar o fluxo multifásico no meio poroso.
Os princípios da Lei de Darcy que descrevem a velocidade como sendo proporcional
ao gradiente hidráulico é dada pela Equação 5.1, ou seja:
V = K.i. Equação (4.1)
Sendo:
V velocidade (L/T);
K condutividade hidráulica;
i Gradiente hidráulico (adimensional).
Segundo Krahn (2004a), em solo saturado todos os vazios estão preenchidos com
água, de sorte que a umidade volumétrica da água coincide com a porosidade do
solo dada pela Equação 4.2, ou seja:
ө
w
= n.St Equação (4.2)
Sendo:
ө
w
umidade volumétrica de água (admensional);
n porosidade do solo (admensional);
St grau de saturação do solo.
A função da umidade volumétrica da água descreve, portanto, a capacidade do solo
de armazenar água sob mudanças de pressões nos poros.
A equação que descreve o fluxo de águas subterrâneas em meio poroso é dada por:
= +
+ Q
Equação (4.3)
98
Sendo:
H carga hidráulica (L);
Kx condutividade hidráulica na direção x (L/T);
Ky condutividade hidráulica na direção y (L/T);
Q condição de fluxo de contorno aplicada (L³/T);
ө
w
umidade volumétrica de água (admensional);
t tempo (t).
Esta equação determina que o fluxo entrando e saindo de um volume elementar em
um ponto, num determinado tempo é igual a variação da umidade volumétrica da
água. Especificamente, esta equação determina que a soma das taxas de variação
dos fluxos nas direções x e y mais a condição de contorno externa aplicada é igual à
taxa de variação de umidade volumétrica da água no respectivo tempo (KRAHN,
2004a).
Sob condições de tempo estacionário, o fluxo entrando e saindo de um volume
elementar é o mesmo em todos os tempos. Portanto, a relação
∂
ө
w
/∂t
da Equação
4.3 desaparece, podendo então ser escrita na forma como se apresenta a Equação
4.4, ou seja:
+
+ Q = 0
Equação (4.4)
Quando na formulação de um modelo composicional no petróleo, pode-se
considerar um caso geral, com N componentes químicos, onde cada um pode existir
em qualquer uma das três fases, ou seja, gás, óleo e água.
Na equação do modelo composicional do petróleo, não existem os termos referentes
aos processos de difusão/dispersão, adsorsão e degradação e isso possibilita que o
modelo utilizado pela hidrogeologia seja mais completo na descrição do fluxo de
água subterrânea e transporte de poluentes.
99
As equações do modelo composicional de petróleo incluem os termos de
acumulação, advecção e fonte, sem incluir os termos de dispersão e difusão,
adsorsão e degradação, que são usualmente incluídos nas equações de transporte
de poluentes no meio poroso.
Portanto, em qualquer caso de poluição, é de extrema importância o conhecimento
do tipo de poluente, bem como suas propriedades físicas e químicas. Desta forma,
faz-se necessário uma análise prévia do contaminante, antes de ser realizada a
modelagem do seu transporte pelo meio poroso e aqüífero, por serem muitas as
incertezas existentes na caracterização geológica de uma região. Sendo assim de
suma importância, uma previsão do comportamento de uma pluma de
contaminação, para que sejam verificados os dados e conseqüentemente um ajuste
do modelo adotado.
4.2.2
Solução Numérica do Problema de Derramamento de Gasolina Acrescida
de Álcool no Solo
Segundo Cordazzo (2000), dados estatísticos das agências de proteção ambiental
têm mostrado que o solo vem sendo contaminado freqüentemente com problemas
decorrentes de vazamentos, derrames e acidentes durante a exploração,
refinamento transporte e operações de armazenamento do petróleo e seus
derivados.
Destes, a gasolina merece destaque, seja pela quantidade envolvida, ou pela sua
periculosidade, verificada perante a liberação, ao entrar em contato com a água
subterrânea os compostos BTEX, ou seja, benzeno, tolueno, etil-benzeno e xileno.
Estes compostos são substâncias depressoras do sistema nervoso central e
causadores de leucemia (CORSEUIL e MARTINS, 1997).
No Brasil, este problema com gasolina toma uma maior dimensão, por a maioria dos
tanques de armazenamento de combustível terem sido construídos na década de
setenta. Como a vida média desses tanques está estimada em 25 anos, o aumento
100
de ocorrências de vazamentos é quase inevitável nos postos de todo país
(CORSEUIL e MARTINS, 1997).
Muitos são os modelos que fornecem soluções analíticas e numéricas para o
problema de vazamentos de tanques de combustíveis, no entanto, a gasolina
comercializada no Brasil é muito diferenciada de outros paises por com freqüência
ser feita uma mistura de aproximadamente equivalente a 22% de álcool (etanol),
podendo causar um comportamento totalmente diferente no deslocamento da pluma
(FERNANDES e CORSEUIL, 1996).
Cordazzo et al. (1999) apresentaram uma formulação matemática e numérica do
problema em questão, onde as hipóteses assumidas e os resultados preliminares
foram comparados com a solução numérica.
A solubilidade dos hidrocarbonetos monoaromáticos denominados BTEX
encontrados na gasolina poderá ainda ser maior se a gasolina for misturada com
solventes orgânicos, tais como álcool e éteres, como é o caso da gasolina comercial
brasileira, que é misturada com etanol, que é um cosolvente potencial (CORSEUIL e
ALVAREZ, 1996).
Antes da década de oitenta, muitos microbiologistas acreditavam que a vida abaixo
dos primeiros metros do solo era muito limitada ou até mesmo inexistente (BORDEN
E BEDIENT, 1986). Posteriormente, foram desenvolvidos estudos que a partir de
novas técnicas demonstraram que diversas populações microbianas estão presentes
na subsuperfície, e, aparentemente a predominância é de bactérias (HIRSCH e
RADES-ROHKOHL, 1983).
Amostras de águas subterrâneas de mais de 12 aqüíferos foram analisadas, onde
nelas foram encontradas bactérias consumindo hidrocarbonetos em todas as
amostras a níveis acima de 10
-6
organismos/ml (LICTHFIELD E CLARK, 1973).
Portanto, o processo de biodegradação é uma reação bioquímica que é mediada por
microorganismos.
101
Um importante modelo de degradação que merece destaque é o modelo cinético
Monod, que faz distinção entre compostos orgânicos de diferentes potenciais de
biodegradação. Tal modelo, numericamente é mais complexo para simular, pois,
requer uma grande quantidade de informação, ou seja, dados de campo e por este
motivo, poucos trabalhos têm sido desenvolvidos quanto a sua aplicação em
situações práticas (RIFAI e BEDIENT, 1990).
Uma alternativa simples para determinar a razão de degradação envolve o uso de
uma equação de primeira ordem (BEDIENT et al., 1994), do tipo:
= - λ.C
Equação (4.5)
onde C é a concentração biodegradada e λ o coeficiente de decaimento de primeira
ordem.
4.2.2.1 Modelos de Simulação Pesquisados
As dificuldades tecnológicas e econômicas associadas a remediação de solos e
aqüíferos e a falta de critérios de qualidade ambiental que levem em consideração
fatores específicos do local contaminado, tem dificultado ações dos órgãos de
controle ambiental, como a das partes responsáveis pela contaminação (CORSEIUL
e MARTINS, 1997). Daí a importância de uma ferramenta que auxilie na simulação e
visualização do problema de contaminação de solos.
Segundo (NEWEL el al., 1996), o software “Bioscreen” é uma das ferramentas
disponíveis para simulação de derramamento de contaminantes. Esta ferramenta
inclui três diferentes modelos, ou seja, transporte de soluto de decaimento,
transporte de soluto com processo de decaimento de primeira ordem modelado com
biodegradação e, transporte de soluto com biodegradação modelada com reação a
boidegradação”instantânea” (NEWEL et al., 1996). Entende-se por decaimento neste
estudo, a queda temporal da concentração do contaminante.
102
A simulação de contaminação de solos e aqüíferos a partir de NAPL incluindo as três
fases envolvidas no problema (água, NAPL e gás), pode ser feita a partir do “NAPL
Simulator Documentation” (GUARNACCIA et al., 1997), que resolva numericamente
por elementos finitos, um conjunto de equações diferenciais parciais acopladas,
caracterizadas como equações de balanço fundamentais e relações termodinâmicas.
Rifai et al. (1998) elaboraram o modelo “Bioplume III”, bidimensional, em diferenças
finitas para simulação da atenuação natural de contaminantes orgânicos em águas
subterrâneas, incluindo os processos de advecção, dispersão, sorção e
biodegradação. Esta ferramenta numérica, baseia-se no Método das Características
(MOC). Tal modelo acopla as equações hidrodinâmicas da água com as equações
de transporte do soluto (KONIKOW e BREDEHOEFT, 1978).
O trabalho desenvolvido por Cordazo et al. (1999) propõe um modelo que resolve
por volumes finitos, o campo de concentração bidimensional considerando a difusão,
a advecção e a sorção do contaminante. A influência da presença do etanol na
gasolina é considerada nos fenômenos de biodegradação e co-solvência dos BTEX,
sendo o campo de velocidades da água subterrânea obtido a partir da equação de
Darcy.
4.2.2.2 A Influência do Etanol na Biodegradação dos BTEX
Nos trabalhos pesquisados, não foi verificada a existência de modelos que
simulassem a presença de dois contaminantes, como etanol e compostos BTEX, o
caso da gasolina brasileira.
Santos (1996) comprovou que há preferencialmente a degradação do etanol por
parte dos microorganismos, retratando a degradação dos compostos BTEX,
conforme está ilustrado no Gráfico 6, para o benzeno. Percebe-se pela figura que a
amostra do contaminante puro foi totalmente consumida em menos de quatro dias,
enquanto que misturado a uma grande concentração de etanol (300 mg/l), em doze
dias não verifica-se uma biodegradação significativa.
103
Gráfico 6 -
Efeito de concentração do etanol sobre a biodegradação do benzeno
(CORDAZZO et al.,1999)
Pela descrição da geométrica do Gráfico 6 pode ser percebido que a amostra do
contaminante puro foi totalmente consumida em menos de 4 (quatro) dias, enquanto
que misturado a uma grande concentração de etanol (300 ml/l), em 12 (doze) dias
não foi verificado uma biodegradação significativa.
A causa mais provável para a não degradação dos compostos BTEX em presença
de etanol, deve-se a preferencial degradação dos microorganismos pelo etanol que
é um substrato mais simples em relação ao benzeno, tolueno, etilbenzeno e xileno, o
que ocasiona uma demanda de oxigênio suficiente para tornar o meio anaeróbico
(SANTOS, 1996).
4.2.2.3 Efeito de Co-solvência do Etanol na Gasolina
A solubilidade efetiva de um composto orgânico presente na gasolina, pode ser
estimado a partir da solubilidade do composto puro e sua fração molar na gasolina.
A solubilidade na gasolina aumenta, se o composto orgânico contiver oxigênio, como
o álcool e o éter. Quando a gasolina entra em contato com a água, o álcool existente
neste combustível, completamente miscível em água irá migrar para a água
subterrânea (CORSEUIL e FERNANDES, 1999).
104
Desta forma, uma grande quantidade de etanol na água pode facilitar a transferência
dos BTEX presentes na gasolina para a fase aquosa, aumentando
conseqüentemente, a solubilidade dos hidrocarbonetos aromáticos na água
subterrânea, num processo chamado de “efeito co-solvência” (BENERJEE e
YALKOWSKY, 1988).
Um modelo matemático simples para predizer o possível aumento da solubilidade de
contaminantes na presença de etanol na água subterrânea, consiste em assumir
que a solubilidade dos compostos hidrofóbicos na água (BETEX, por exemplo)
aumenta log-linearmente com o aumento da fração volumétrica dos solventes
orgânicos completamente miscíveis na água, numa mistura binária. Esta relação
pode ser representada matematicamente como o proposto por (YALKOWSKY e
ROSEMAN, 1981).
log ( S
m
) = log ( S
w
) + f
c
β
Equação (4.6)
onde S
m
é a solubilidade dos compostos BTEX ou de outros compostos hidrofóbico
na mistura binária de solventes, S
w
é a solubilidade dos compostos BTEX ou de
outros compostos hidrofóbicos na água pura, f
c
é a fração volumétrica do co-
solvente (etanol, por exemplo) na mistura de solventes binários e
β
é difundido como
o aumento relativo de solubilidade dos compostos hidrofóbicos orgânicos com o
aumento da fração de co-solvente e pode ser determinado a partir de (CORSEUIL e
FERNANDES, 1999).
β = 1,02 log (K
ow
) - 1,52
Equação (4.7)
Sendo K
ow
o coeficiente de partição octanol-água, que para os compostos BTEX,
assume valores entre 2 e 3 (HOWARD, 1990), representando a hidrofobicidade dos
compostos (BEDIENT et al., 1994).
Os experimentos de laboratório demonstram que a massa total dos compostos
BTEX aumenta, aproximadamente 30%, para uma fração de 10% de etanol na água
(CORSEUIL e FERNANDES, 1999).
105
4.2.2.4 O Efeito de Sorção – A Interação do Contaminante com o Solo
Os processos de sorção podem ser divididos em dois, ou seja, adsorção e absorção.
O primeiro refere-se ao excesso de concentração de contaminante na superfície do
sólido (solo) e o segundo, implica na maior ou menor penetração no sólido pelo
contaminante.
A hidrofobicidade dos contaminantes orgânicos na água justifica a sua acumulação
na interface sólido-água (BEDIENT et al., 1994).
A sorção é determinada experimentalmente pela mensuração do parcionamento do
contaminante em um sedimento particular, solo ou rochas. Os diversos modelos
aplicados em sistemas ambientais relatam a quantidade de soluto, S, retardada por
unidade de fase sólida.
Os resultados representados através de um gráfico, originam as expressões
avaliadas num sistema fixo de temperatura, conhecido como “isoterma de sorção”. A
isoterma de Freundlich é o modelo não-linear mais amplamente utilizado (WEBER Jr
et ai., 1991), sendo dado pela equação:
S = K
d
C
b
Equação (4.8)
Nesta equação, K
d
é o coeficiente de distribuição e b, um coeficiente obtido
experimentalmente. Se b = 1, então a Equação (16) é conhecido como isoterma
linear. A isoterma linear é apropriada para casos em que o potencial da sorção
aumenta uniformemente com o aumento da concentração.
Este modelo tem sido considerado em alguns casos e principalmente naqueles em
que existem concentrações baixas de contaminante e para sólidos com baixo
potencial de sorção (WEBER et al., 1991). Assim, no trabalho de Weber et al (1991)
optou-se por este modelo de sorção, em virtude da substancial redução da
complexidade numérica, tendo-se em vista que desta forma elimina-se qualquer
106
possibilidade de não-linearidades no problema, que demandariam a atualização
constantes dos coeficientes para nível temporal.
4.2.2.5 Formulação Matemática
O modelo matemático a ser resolvido envolve a solução das equações de Darcy no
meio poroso (que são as equações do movimento), acrescidas das equações de
transporte de soluto (concentração) para os elementos BTEX e etanol. Desta forma,
aqui é proposta uma formulação matemática que será resolvida numericamente.
A metodologia adotada neste procedimento, além de considerar heterogeneidades
no modelo, permitirá tratar a fonte de contaminação como fisicamente isto é: um
termo fonte para a equação diferencial.
Todas as soluções analíticas pesquisadas trazem as “informações” da fonte de
contaminação para a equação diferencial como uma condição de contorno, o que
implica na impossibilidade da visualização da dispersão (dispersão harmônica +
difusão molecular), a montante, que em alguns casos, embora assumindo valores
pequenos, não pode ser desprezada.
A solução numérica também permite a solução de problemas físicos que apresentam
mais de uma fonte de contaminação do domínio analisado e estes fatores
justificaram a escolha do método numérico.
Os processos físicos que controlam o fluxo que entra e sai do volume elementar são
advecção e dispersão hidrodinâmica. A perda ou ganho de massa de soluto no
volume elementar pode ocorrer como um resultado de reações químicas ou
bioquímicas ou decaimento radioativo.
A principal equação diferencial que descreve o transporte de elementos reativos
dissolvidos em um meio poroso saturado é dada por (BEDIENT et al., 1994), ou seja:
107
= +
- - λρ . +
-
( ρS) +
Equação (4.9)
onde D é o tensor dispersão, λ o coeficiente de decaimento de 1ª ordem,
ρ
b
a
densidade do aqüífero, n a porosidade, W o fluxo volumétrico de contaminante por
unidade de comprimento,
C
f
a concentração da fonte de contaminante e S e
S
f
,
são
respectivamente a massa de soluto adsolvida por unidade de massa seca do meio
poroso e massa de soluto proveniente da fonte de contaminante adsorvida por
unidade de massa seca do meio poroso, que são calculadas a partir da Equação
(4.8).
Assim, quando b = 1 na isoterma de Freundich, substituindo na Equação (4.9), será
obtida a equação de transporte, que será utilizada para os elementos BTEX e o
etanol, ou seja:
=
+
- λρC +
Equação (4.10)
onde R é chamado de fator retardo, que tem o efeito de retardar as espécies
adsorvidas em relação a velocidade advectiva da água subterrânea, dado por:
R = 1 +
Equação (4.11)
Como em inúmeros casos o termo advectivo é o mais importante no transporte de
contaminantes, justifica-se, portanto, a contribuição deste trabalho, inclusive na
determinação do campo de velocidades da água subterrânea, e será utilizado na
determinação dos campos de concentração.
108
Neste ponto, vale salientar que os modelos pesquisados, com exceção do “Bioplume
III”, apresentaram-se deficientes por não possibilitarem a determinação do campo de
velocidades.
Em um meio poroso, a velocidade de escoamento é proporcional ao gradiente de
pressão. Esta é a chamada Lei de Darcy (BEJAN, 1995). A equação para o caso
monofásico e meio isotrópico é dada por:
V
=
Equação (4.12)
Sendo K, a permeabilidade absoluta e µ a viscosidade.
Desta forma, considera-se importante a determinação do campo de velocidades,
uma vez que quando existir um bombeamento de água subterrânea, o campo de
velocidades que poderia estar sendo considerado unidimensional, alterar-se-á
consideravelmente.
4.2.2.6 Formulação Numérica
Embora não sejam freqüentes modelos que resolvam problemas de derramamento
de contaminantes em águas subterrâneas foi empregada uma técnica numérica
utilizando uma metodologia, para justificar a referida escolha. Isso pode ser
justificado, por tratar-se, de uma técnica numérica amplamente utilizada em
problemas que envolvem escoamentos de fluidos, e, portanto, nada mais próprio
que utilizá-la. Trabalhos como o de Maliska e Maliska Jr (1994), pode melhor
caracterizar a resolução de problemas de dispersão em água com escoamento em
meio poroso.
É prática dos volumes finitos obter a aproximação numérica de uma equação
diferencial na integração do volume de controle elementar numa relação entre tempo
109
e espaço a partir da taxa de variação de uma situação bidimensional e isto pode ser
melhor compreendido a partir do que está apresentado no Gráfico 7.
Gráfico 7 –
Representação Bidimensional do Volume Elementar
(
CORDAZZO et al.,1999)
Assim, integrando a Equação (4.10) no tempo e no espaço bidimensional, conforme
(MALISKA,1995) e avaliando as derivadas cruzadas nos pontos e, w, n e s por
aproximações de segunda ordem (do tipo diferenças centrais), enquanto que a
avaliação das funções e suas outras derivadas nestes mesmos pontos, pela função
de interpolação WUDS (Weighted Upstream Differencing Scheme), pode-se chegar
a equação geral para o transporte de concentração, ou seja:
A
P
C
P
= A
e
C
E
+ A
w
C
W
+ A
n
C
N
+
+ A
s
C
S
+ A
ne
C
NE
+ A
se
C
SE
+
+ A
n
n
w
w
C
NW
+ A
sw
C
SW
+ B
Equação (4.13)
onde os A
i
são coeficientes, os sub-índices E, W, N, S, SE, NE, NW e SW são os
pontos onde são avaliadas as propriedades e B é o termo fonte. As componentes da
velocidade média intersticial u e v são dadas pela velocidade de Darcy (velocidade
média do volume), dividida pela propriedade n, na forma:
V = -
Equação (4.14)
110
A Equação (4.14) pode ser aproximada de forma conveniente para contemplar a
heterogeneidade do meio, resultando em expressões para a velocidade da
componente u avaliada na fase leste do volume de controle apresentado na Fig. 2,
como por exemplo:
Equação (4.15)
Segundo Bejam (1995), substituindo as equações de u
e
, u
w
, v
n
e v
s
na equação :
Equação (4.16)
obtém-se a equação geral, para a pressão dada por:
A
p
P
P
= A
e
P
E
+ A
w
P
W
+ A
n
P
N
+ A
s
P
S
+ B
Equação (4.17)
Nesta equação, os A
i
são chamados de coeficientes enquanto que os sub-indices E,
W, N e S são considerados os pontos onde são avaliadas as propriedades, onde B
se apresenta como termo fonte. Uma vez determinado o campo de pressões do tipo
da Equação (4.15), determina-se o campo de velocidades.
O gráfico 8 mostra que os resultados obtidos concordam com a solução analítica
comparando os resultados numéricos de Davis et al. (1994), com os resultados
obtidos neste estudo a partir da solução analítica dada por Bear (1979).
111
Gráfico 8 -
Comparação entre os resultados (CORDAZZO et al.,1999)
A solução numérica do problema representada no Gráfico 9, bidimensional, com
decaimento de 1ª ordem, velocidade constante e horizontal e, com retardo é
apresentada por Macquarrie et al. (1990), enquanto que a solução analítica pode ser
encontrada em Sudicky (1985).
O gráfico 9 possibilita a analise das condições de contorno e domínio do problema
na forma bidimensional tomando u = 0,09 m/d, α
L
= 0,6 m, α
T
= 0,005 m, R = 1,2 e λ
= 0,007 d
-1
Gráfico 9 –
Análise das condições de contorno (CORDAZZO et al., 1999)
= 0
= 0
= 0
C = C
0
112
O gráfico 10 faz a comparação entre as soluções analítica e numérica a partir de um
perfil de concentração longitudinal, com z = 0
Gráfico 10 –
Comparação entre as soluções analítica e numérica
(concentração longitudinal)
(
CORDAZZO et al., 1999)
O gráfico 11 faz a comparação entre as soluções analítica e numérica a partir do
perfil de concentração transversal, com x = 10 m
Gráfico 11 –
Comparação entre as soluções analítica e numérica
(concentração transversal
)
(CORDAZZO et al., 1999)
113
Fazendo-se uma comparação entre as soluções analíticas e as obtidas a partir da
metodologia de volumes finitos pode ser verificado que os Gráficos 10 e 11
caracterizam que os resultados obtidos podem ser considerados muito satisfatórios.
Segundo Bear (1969), para permitir uma comparação das situações resolvidas com
a solução analítica, o campo de velocidades foi admitido como unidimensional e
constante, as componentes do tensor dispersão D
ij
diferentes de zero e a difusão
molecular desprezada, onde cada D
ij
pode ser dado a partir das equações:
D
xx
= a
L
u
Equação (4.18)
D
yy
= a
T
u
Equação (4.19)
Os resultados obtidos no trabalho desenvolvido por Cordazzo et al. (1999) apontam
que o problema unidimensional de transporte de benzeno, supondo decaimento de
primeira ordem, sem retardo, foi resolvido e comparado com os resultados de Davis
et al. (1994) Para o caso da velocidade da água subterrânea u = 0,1524 m/d,
dispersividade α
L
= 6,858 m, e o domínio limitado em 150 m, para um tempo de
aproximadamente 4 anos. A meia-vida do contaminante foi assumida como sendo
t
1/2
= 50 d. A condição inicial é C(x,0) = 0. Já as condições de contorno são C(0,t) =
15 mg/l e derivada nula à jusante.
Isto mostra que mesmo de forma preliminar o modelo matemático para previsão de
contaminantes no lençol freático considerando sorção, retardo, biodegradação e
principalmente, a influencia do etanol na biodegradação de primeira ordem e na co-
solvência dos compostos BTEX pode ser resolvido eficientemente com o método dos
volumes finitos.
A possibilidade de determinar o campo de velocidades através das equações de
Darcy permitem que escoamentos mais complexos, envolvendo bombeamentos e
sucções no solo, possam ser fornecidos às equações de conservação dos
contaminantes, conferindo ao método características que o tornam importante
ferramenta na área da engenharia ambiental.
114
5
MATERIAL E MÉTODOS
A metodologia adotada neste trabalho foi desenvolvida com o objetivo, a princípio
mostrar a importância das Equações Diferenciais Ordinárias e Parciais para o estudo
e resolução dos problemas ambientais e posteriormente relacionar os aspectos
relevantes nesse campo do conhecimento, utilizando um procedimento
computacional.
Nestas áreas têm se destacado alguns ambientes computacionais interativos de
simulação que permitem a exploração de conexões entre o modelo e o
comportamento real do sistema, como Matlab, Mathematica e o Maple. Desta forma,
para mostrar a importância das equações diferenciais na resolução de problemas
das questões ambientais foi trabalhada uma ferramenta computacional através da
utilização do software Maple. A escolha do Maple como ambiente para o
desenvolvimento da ferramenta se deu devido aos seguintes motivos:
a) Maple é muito usado para a computação de expressões algébricas, simbólicas e
cálculo numérico permitindo inclusive o desenho de gráficos a duas ou a três
dimensões, oferecendo uma visualização matemática interativa, tornando-se uma
importante ferramenta para usuários nos campos da educação, pesquisa e indústria.
b) É de fácil compreensão e utilização, sendo ideal para pesquisadores por ser um
ambiente de matemática completo para resolução de problemas e possuir uma
imensa variedade de operações matemáticas que além de resolver equações
diferenciais, derivação e integração tem a capacidade de calcular soluções tanto
analíticas como numéricas para equações diferenciais ordinárias (EDOs) e parciais
(EPDs), solucionando sistemas de equações diferenciais, inclusive as condições
iniciais e de contorno.
c) A disponibilidade de diversos recursos, como boas ferramentas de visualização,
rotinas para ordenação de vetores e cálculos, que facilitam o trabalho de
programação.
115
Nos conceitos iniciais utilizados no software Maple, uma linha de comando é
caracterizada por >(promp), onde ao final de cada linha de comando deve-se:
1º - colocar : (dois pontos) e teclar Enter, para o Maple executar o comando;
2º - colocar ; (ponto e virgula) e teclar Enter, para o Maple executar e exibir o
resultado do comando.
Para realização das operações no software Maple devem ser utilizados alguns dos
seguintes símbolos:
.
+ (adição);
.
– (oposto aditivo);
.
* (multiplicação);
.
/ (inverso multiplicatvo);
.
^ (potência);
.
x^(m/n) (para raiz n-ésima de x elevado a m-ésima potência);
.
sqrt(x) (raiz quadrada de x);
.
= (igual);
.
< (menor);
.
> (maior);
.
<= (menor ou igual);
.
>= (maior ou igual);
.
<> (diferente);
.
exp(1) ( número e);
.
Pi (número pi);
.
: = (para se definir uma expressão).
Alguns comandos do Maple são específicos, por isso serão agrupados em pacotes,
onde para disponibiliza-los se fará necessário carregar o pacote através do comando
with, sendo possível carregar mais de um pacote numa mesma aplicação.
Os comandos mais utilizados para resolução de Equações Diferenciais no Software
Maple tomam a seguinte simbologia:
116
.
> dsolve (ode);
.
> dsolve (ode,y(x),extra_args);
.
> dsolve ({ode, ICs},y(x),extra_args)
.
> dsolve ({sysODE,ICs},{funcs},extra_args)
sendo:
.
ode - uma equação diferencial ordinária;
.
y(x) – qualquer função indeterminada de uma variável;
.
ICs – condições iniciais de uma equação diferencial;
.
{sysODE} – um conjunto com um sistema de equações diferenciais ordinárias;
.
{funcs} – um conjunto com funções indeterminadas;
.
extra_args – opcional, dependendo do problema a ser resolvido, ou seja:
- “implicit” – quando se deseja a solução na forma implícita;
- “explicit” – quando se deseja a solução na forma explicita.
.
> dsolve – Resolver equações diferenciais é uma das principais tarefas da
computação científica. O comando “dsolve” além de possuir uma opção de solução
numérica tem a capacidade de resolver diferentes tipos de problemas envolvendo
EDO, que incluem desde simples equações, como sistemas de equações
diferenciais envolvendo ou não condições iniciais, bem como soluções usando
transformadas de Laplace e de Fourier.
> Deplot (qens, vars, trange, inits) – tem a capacidade de traçar as curvas solução
de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem ou de um sistema de
equações diferenciais de primeira ordem. Já o símbolo “inits” é de fundamental
importância para o desenvolvimento do estudo das equações diferenciais, pois ele
tem como objetivo resolver problemas de valor inicial (PVI), para solução de curvas
num campo direcional.
O breve estudo realizado sobre o software Maple, dos seus principais comandos e
de suas ferramentas, principalmente as que se referem as equações diferenciais
ordinárias (EDOs), se deu por ele possuir uma tela semelhante aos demais
117
programas utilizados no computador, onde nele as equações diferenciais
introduzidas recebem comandos muito específicos de forma semelhante à notação
matemática usual.
Os comandos nele utilizados são o dsolve, que será utilizado para obtenção de
soluções de equações diferenciais e o DEplot que será utilizados para a obtenção de
soluções gráficas. Tais soluções serão de alta importância para que seja feita uma
análise do comportamento da solução de uma equação diferencial ordinária.
Para o desenvolvimento das situações numéricas descritas neste trabalho foram
utilizados os seguintes comandos:
>eq: equação;
>diff: diferencial;
>dsolve: dá solução de equação diferencial;
>solve: dá solução de uma equação;
>subs: substitua;
>plot: esboce o gráfico;
>dfieldplot: demarque o campo de direções
>DEplot: dê a solução gráfica;
>evalf: dê o resultado
As soluções particulares dessas equações, foram obtidas por meio de condições
iniciais, que consiste no valor que a função solução deve assumir um determinado
ponto.
Os métodos desenvolvidos neste trabalho, se deram a partir de três momentos, No
primeiro momento foi apresentada uma situação problema caracterizada como
aplicação numérica (1), para que fosse feita uma descrição a partir de um Modelo de
Crescimento Populacional.
A importância desta contextualização se caracteriza a partir do momento em que o
contexto envolve questões ambientais como degradação ambiental, lançamento de
esgotos domésticos em rios e córregos (degradação ambiental) e crescimento
populacional.
118
O desenvolvimento desta aplicação se deu a partir de dois questionamentos, o
primeiro visa estimar a possível quantidade de habitantes propensa a degradar o
meio ambiente num determinado espaço de tempo e o segundo consiste na
construção de um gráfico, para que se possa ter uma melhor compreensão
geométrica do comportamento da função no transcorrer do tempo.
No segundo momento foi apresentada uma situação problema caracterizada como
aplicação numérica (2), para descrever o Modelo Predador-Presa, sugerido por Euler
em 1760 e desenvolvido por Malthus em 1798.
A relevância desta contextualização se dá a partir do momento em que o contexto
envolve um modelo, bem demarcado na revisão bibliográfica deste trabalho.visando
dá ênfase ao objetivo sob o qual esse trabalho se propõe no campo da Modelagem
Ecológica.
A contextualização que descreve a situação foca a intenção do controle de uma
determinada espécie, caracterizada aqui como presa, a partir de uma outra espécie
predadora em busca pelo equilíbrio do ecossistema para manter o desenvolvimento
de uma lavoura.
O desenvolvimento desta situação se deu a partir de três questionamentos, o
primeiro, para calcular o tempo necessário para reduzir a quantidade de presas, para
se pudesse começar um novo plantio na lavoura, o segundo, para que fosse
calculada a quantidade de presas ainda existentes em um determinado tempo e o
terceiro, para que fosse descrita uma representação gráfica para que a partir da
representação geométrica se possa fazer uma melhor análise quanto a descrição da
redução da espécie.
No terceiro momento foi desenvolvido um estudo sobre uma situação caracterizada
como aplicação numérica (3), na tentativa de descrever O Modelo Predador-Presa,
desta feita desenvolvido por Lotka e Volterra, nas décadas de 20 e 30 do século XX.
Este modelo diz respeito aos estudos ecológicos, a partir de um sistema de
equações diferenciais lineares.
119
A importância desta contextualização consiste em, além de envolver o estudo sobre
sistemas de equações diferenciais lineares, demarcar a inserção destas no contexto
da revisão bibliográfica, caracterizando de forma explicita, a demarcação do objetivo
deste trabalho.
A contextualização desta aplicação tem como foco mostrar a alta importância da
aplicação das equações diferenciais na resolução das questões ambientais, a partir
do estudo do campo de direções e da demarcação das condições de contorno,
através do software Maple, por este ser constituído por um programa de linguagem
simbólica, com vários recursos gráficos e numéricos.
O software Maple, também permite a realização de várias tarefas no estudo de uma
equação diferencial ordinária, como por exemplo, a obtenção de uma solução geral
e particular (simbólica numérica), elaborar os gráficos das soluções, desenhar
campos, entre outros.
120
6 UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE MAPLE PARA RESOLUÇÃO DE
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A PARTIR DE UMA QUESTÃO
AMBIENTAL
Nos últimos anos o desenvolvimento de softwares tem proporcionado muitas
mudanças nas formas das pessoas resolverem problemas. Neste sentido,
profissionais na área da engenharia têm trazido grandes benefícios e principalmente
novas ferramentas para as áreas de processamento de sinais, modelagem de
sistemas dinâmicos e, identificação e controle de sistemas dinâmicos.
Desta forma neste momento serão apresentadas três aplicações envolvendo um
modelos matemáticos, que além de aplicações numéricas serão apresentadas
representações gráficas, abordando campos direcionais e condições de contorno
através do software Maple, para uma melhor caracterização do objetivo deste
trabalho.
Os métodos aqui apresentados a seguir nos resultados e discussões serão divididos
em três aplicações, ou seja:
Aplicação 1 – Descreve o modelo desenvolvido por Malthus caracterizando o
campo da modelagem de crescimento populacional;
. Aplicação 2: Descreve o Modelo Predador-Presa, desenvolvido por Malhus
caracterizando o campo da Modelagem Ecológica;
. Aplicação 3: Descreve o Modelo Predador-Presa, desenvolvido por Lotka e
Volterra demarcando o estudo da Ecologia a partir de um sistema de equações
diferenciais lineares.
121
6.1 Aplicação 1 – Modelo de Crescimento Populacional
Numa determinada cidade, em 1998, foi verificado que uma população de 250.000
habitantes contribuía de forma direta com a degradação do meio ambiente através
de lançamento de esgotos em rios e córregos. Em 2008, após um novo
levantamento estatístico realizado na cidade verificou-se que essa população havia
aumentado para 300.000 habitantes. Considerando que a população continue a
crescer de forma exponencial a uma taxa constante, determine as seguintes
situações, ou seja:
a ) a quantidade de habitantes estimada para degradar o meio ambiente em 2048;
b ) a representação gráfica do comportamento da função;
a) Situação 1 - a quantidade de habitantes estimada para degradar o meio ambiente
em 2048.
Neste momento, está sendo feita a apresentação da equação diferencial para que
seja feita sua representação algébrica, que será aqui identificada pelo programa
através do símbolo eq1.
>eq1 := diff(P(t),t)=a*P(t);
A partir da representação da equação diferencial no momento anterior caracterizada
como eq.1 e utilizando a substituição das condições dadas pela situação problema,
ou seja, P(0) = 250.000, (condição inicial) foi utilizado o comando dsolve para
resolver a equação diferencial que representa o modelo do crescimento populacional
aqui identificada pelo programa através do símbolo eq.1.1.
>eq1.1 := dsolve({eq1,P(0)=250000},P(t));
122
A equação diferencial através do comando dsolve foi transformada numa função
exponencial, que através das informações dadas pela situação problema, ou seja,
com P(t) = 300.000 e t = 10 utilizou o comando solve para através do comando
subs resolver a função exponencial
>solve(subs(P(t)=300000,t=10,eq1.1),{a});
Ao ser iniciada a resolução da função exponencial foi encontrado o valor da
incógnita “a” em função do logaritmo neperiano, obtido esse valor foi utilizado o
comando subs em conjunto com o símbolo % na equação eq1.2, para se obter
dados em forma de percentual a partir da equação eq1.1
> eq1.2 := subs(%,eq1.1);
Estimando-se o tempo em 40 anos e utilizado o comando subs, em função da eq1.2
será obtida a função exponencial que permitirá chegar ao resultado desejado, ou
seja:
>subs(t=40,eq1.2);
O símbolo % em conjunto com o comando evalf permitiu a representação do último
valor a ser calculado em forma de número decimal
> evalf(%);
123
Desta forma, este resultado permite prever que a população da cidade estimada
para degradar o meio ambiente após 40 anos estará em torno de 518.400
habitantes.
b ) Situação 2 - Representação gráfica do comportamento da função relacionando o
crescimento da população com o tempo
> P := t->250000*exp(1/10*ln(6/5)*t);
Gráfico 12 – Representação geométrica do comportamento da função
O comando plot permite a representações gráficas de funções uma ou duas
variáveis Na representação gráfica descrita acima, a função, P(t), representa o
crescimento da população no intervalo 0 < t < 50 anos.
P(t)
t
124
6.2 Aplicação 2 – Modelo Predador Presa
Em Ecologia, quando se procura determinar o sistema a ser modelado, pode-se
pensar em três níveis: população, comunidade e ecossistema. Desta forma, Malthus
(1798), para prever o crescimento populacional baseou-se numa equação muito
simples, dada pela forma:
∂N(t) / ∂ t = r.N(t), para t = 0 e N(t) = N (0).
Considere uma população de presas que precisa ser controlada, em virtude da
degradação causada numa lavoura. Para isso, foram desenvolvidos predadores,
para combater a degradação. Ao ser iniciado o combate através dos predadores foi
observado num lote de 120.000 presas que 20.000 delas foram eliminadas em 10
dias, seguindo um combate entre predador e presa proporcionalmente a cada
instante. Para desenvolver um novo plantio com segurança foi necessário estimar
previsões a partir de três situações. A primeira, verificar em quanto tempo as presas
estariam reduzidas à metade, para que se pudesse reiniciar um novo plantio. A
segunda, estimar a quantidade de presas restantes após 30 dias de combate e a
terceira, fazer uma descrição gráfica para que fosse possível observar o controle da
situação.
a ) Situação 1 - O tempo necessário para que as presas sejam reduzidas à metade
da população inicial.
Neste momento está sendo realizada a apresentação da equação diferencial através
da linguagem Maple, para que seja feito o seu reconhecimento e
conseqüentemente, sua representação algébrica, aqui identificada pelo símbolo eq1.
>
eq1:=diff(N(t),t)=r*N(t);
A partir da representação da equação diferencial no momento anterior caracterizada
como eq.1 e utilizando a substituição das condições dadas pela situação problema,
125
ou seja, N(0) = 120.000 foi utilizado o comando dsolve para resolver a equação
diferencial que representa o modelo predador presa, aqui identificada pelo programa
através do símbolo eq.1.1.
>eq1.1 := dsolve({eq1, N(0)=120000},N(t));
A equação diferencial através do comando dsolve foi transformada numa equação
exponencial, que através das informações dadas pela situação problema, ou seja
N(t) = 100.000 e o tempo t = 10 utilizou o comando solve para através do comando
subs resolver a equação exponencial
>solve(subs(N(t)=100000,t=10,eq1.1),{r});
Ao ser iniciada a resolução da equação exponencial foi encontrado o valor da
incógnita “r” em função do logaritmo neperiano, obtido esse valor foi utilizado o
comando subs em conjunto com o símbolo % na equação eq1.2, para se obter
dados em forma de percentual a partir da equação eq1.1
>
eq1.2 := subs(%,eq1.1);
O comando evalf em conjunto com o símbolo % permitiu a representação do último
valor a ser calculado em forma de número decimal, ou seja:
>evalf(solve(subs(N(t)=60000,eq1.2),{t}));
126
Desta forma, através deste resultado é possível prever que o tempo necessário para
que as presas sejam reduzidas à metade da população inicial, que é de
aproximadamente 38 dias.
b) Situação 2 - Seguindo esta modalidade de combate, qual a quantidade de presas
restantes após decorrerem 30 dias
Seguindo o raciocínio de que, a partir da utilização da eq1.2, após decorrerem 30
dias para a resolução da equação exponencial foi utilizado o comando subs em
conjunto com o símbolo % para se chegar ao resultado desejado, ou seja:
>
subs(t=30,eq1.2);
O símbolo % em conjunto com o comando evalf permitiu a representação do último
valor a ser calculado em forma de número decimal
>evalf(%);
Desta forma, através deste resultado é possível prever que, seguindo a mesma
modalidade de combate a quantidade de presas restantes após 30 dias é de
aproximadamente 104.000 presas.
c) Situação 3 - Representação gráfica da situação do combate (presas x tempo
decorrido)
127
>
plot(120000*exp(1/10*ln(5/6)*t),t=-10..100);
Gráfico 13 – Representação gráfica do comportamento da função
O comando plot permite a representações gráficas de funções uma ou duas
variáveis Na representação gráfica acima descrita, a função, representa a população
de presas, para o intervalo -10 < t < 100 dias.
6.3 Aplicação 3 – Modelo Predador Presa
Um modelo matemático muito conhecido é o de Lotka Volterra, que pode ser
representado por um sistema de duas equações lineares, descritas na forma:
onde x representa a população de presas no instante t e y é a população de
predadores no mesmo instante, sendo: r, a, b e m > 0, parâmetros do modelo.
Considere o sistema de equações diferenciais que descreve a evolução da
população de duas espécies diferentes, onde uma é predadora (y) e outra presa (x).
= r. x – a. x . y
= b. x. y – m . y
N(t)
t
128
x’ = x.(1 – y)
y’ = 0,5.(x – 1),
Nestas condições, descreva as seguintes situações, ou seja:
a) o campo de direções dessa situação;
b) demarque as condições de contorno do campo de direções.
a) Situação 1 – descrição do campo de direções.
O presente estudo tem como objetivo fazer a descrição do campo de direções a
partir de um modelo simplificado de equações diferenciais ordinárias, aqui
representado pelas equações em forma de símbolos descritas como eq1 e eq2 em
conjunto com o comando diff que caracteriza a representação de um sistema de
equações diferenciais linear e envolve a descrição da evolução de duas espécies,
sendo uma predadora e outra presa apresentadas através da linguagem Maple, para
que seja feito o reconhecimento e conseqüentemente sua representação algébrica.
>eq1:=diff(x(t),t)=x(t)*(1-y(t));
>eq2:=diff(y(t),t)=0.5*y(t)*(x(t)-1);
O comando dfieldplot em conjunto com o símbolo eq1 permitira a representação
gráfica do sistema linear apresentado a partir das condições iniciais do campo de
direções. Em experimentos científicos é comum plotar gráficos a partir de dados
obtidos e em geral esses dados em geral vêm em forma de conjunto finito de pontos.
Neste momento serão feitas as representações dos Gráficos de números 14, 15, 16 ,
17, 18 e 19 respectivamente:
129
>
dfieldplot([eq1,eq2],[x(t),y(t)],t=0..5,x=0..2,y=0..2);
Gráfico 14 – Representação gráfica no primeiro quadrante
O gráfico 14 foi descrito admitindo t variando de 0 até 5, x variando de 0 até 2 e y
variando de 0 até 2, caracterizando a demarcação do primeiro quadrante do sistema
de eixos apresentado.
>
dfieldplot([eq1,eq2],[x(t),y(t)],t=0..5,x=-2..0,y=0..2);
Gráfico 15 – Representação gráfica no segundo quadrante
O gráfico 15 foi descrito admitindo t variando de 0 até 5, x variando de - 2 até 0 e y
variando de 0 até 2, caracterizando a demarcação do segundo quadrante do sistema
de eixos apresentado.
130
>
dfieldplot([eq1,eq2],[x(t),y(t)],t=0..10,x=-2..0,y=-2..0);
Gráfico 16 – Representação gráfica no terceiro quadrante
O gráfico 16 foi descrito admitindo t variando de 0 até 10, x variando de - 2 até 0 e y
variando de - 2 até 0, caracterizando a demarcação do terneiro quadrante do
sistema de eixos apresentado.
>
dfieldplot([eq1,eq2],[x(t),y(t)],t=0..10,x=0..2,y=-2..0);
Gráfico 17 – Representação gráfica no quarto quadrante
O gráfico 17 foi descrito admitindo t variando de 0 até 10, x variando de 0 até 2 e y
variando de 0 até - 2, caracterizando a demarcação do quarto quadrante do sistema
de eixos apresentado.
131
>
dfieldplot([eq1,eq2],[x(t),y(t)],t=0..10,x=-2..2,y=-2..2);
Gráfico 18 – Representação gráfica nos quatro quadrantes para uma melhor
visualização do campo de direções
O gráfico 18 foi descrito admitindo t variando de 0 até 10, x variando de - 2 até 2 e y
variando de - 2 até 2, caracterizando desta forma, a demarcação dos quatro
quadrantes quadrante do sistema de eixos apresentado.
132
b ) Situação 2 – demarcação das condições de contorno.
>
DEplot([eq1,eq2],[x(t),y(t)],t=0..10,[[x(0)=1,y(0)=0.5]]);
Gráfico 19 – Representação gráfica da demarcação das condições de contorno do
campo de direções
O gráfico 19 foi descrito admitindo t variando de 0 até 10, x(0) = 1 e y(0) = 0.5,
caracterizando a demarcação das condições de contorno no primeiro quadrante do
sistema de eixos apresentado.
Segundo Vieira, (2007), as condições de contorno podem ser dadas por contornos
de terras que representam regiões de fronteira as margens de um corpo d’água e
contornos abertos que representam os limites do domínio de água e não uma
fronteira física.
Para Anton (2000), um campo de direções é dado pela inclinação de uma reta
tangente em um ponto (x,y) sobre uma curva integral, descrevendo geometricamente
as curvas de uma equação diferencial.
133
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS E SUGESTÕES
As Equações Diferenciais Parciais (EDOs) são de fundamentais importância para
que sejam estudados vários fenômenos da natureza, nas mais diferentes áreas de
aplicação. No presente estudo isto pode ser observado a partir do momento que elas
exercem um papel importante para se estudar os fenômenos ambientais e um
exemplo pode ser dado, quando no campo da resolução computacional se faz
necessário discretizar o domínio com uma malha de pontos em situações reais.
No campo da engenharia as soluções podem ser obtidas através do método dos
modelos finitos, que são modelados matematicamente com a intenção de descrever
os fenômenos físicos que envolvem particularmente casos em estudo, como por
exemplo, o de determinar a variabilidade das tensões de uma peça mecânica e suas
respectivas deformações, distribuir o fluxo de temperatura numa placa metálica, até
mesmo estudar o fluxo de água num meio poroso, entre outros.
A solução analítica dessas equações diferenciais, em sua grande maioria é
impossibilitada pela grande dispersão das propriedades dos materiais e da complexa
geometria que envolve os sistemas ambientais. Neste sentido, diante da grande
utilização de métodos numéricos, no qual se tem a substituição da solução exata
analítica, por uma solução aproximada, em especial pode ser destacado o método
dos elementos finitos, que se apresenta como uma das melhores ferramentas
disponíveis para solução dos mais variados problemas encontrados nos mais
diversos campos da engenharia.
A modelagem matemática apresenta-se como uma valiosa ferramenta para lidar com
à complexidade dos sistemas e problemas ecológicos, pois fornece uma
metodologia vantajosa para organizar e representar os conhecimentos existentes
sobre eles facilitando o entendimento e a manipulação destes sistemas permitindo
fazer previsões sobre o seu provável comportamento em diferentes condições.
134
Desta forma fazer previsões de populações em algum instante futuro e estimar
parâmetros tais como nascimento e mortalidade é uma das principais funções dos
modelos matemáticos. Todos esses processos têm como escopo principal para o
seu desenvolvimento as Equações Diferenciais, pois essas são responsáveis de
forma direta pela sistematização do estudo dos fenômenos da natureza, nas mais
diferentes áreas de aplicação.
Sugestões:
Portanto, neste trabalho sugere-se, a partir da fuga de uma formalização tradicional
conservadora acadêmica, em direção ao entendimento conceitual que se venha:
Introduzir no currículo dos cursos de graduação de Matemática, Física, Química e
Engenharia à disciplina Equações Diferenciais, para incentivar o desenvolvimento de
pesquisas no campo da modelagem matemática.
Incentivar a aplicabilidade do software Maple na resolução de Equações Diferenciais
voltadas às doenças epidêmicas para possibilitar um maior poder de análise nos
resultados de experimentos que auxiliem o aprofundamento no estudo dessas
doenças.
Divulgar pesquisas envolvendo Equações Diferenciais mostrando sua importância
para a formulação de modelos representativos dos fenômenos físicos, químicos,
biológicos e sociais.
135
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APÊNDICE 1
IMPORTÂNCIA DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA O ESTUDO DAS
QUESTÕES AMBIENTAIS
Hélio Oliveira Rodrigues – FAINTVISA PE; ITEP/PE; SEE/PE
e-mail: [email protected]om
Jaime Joaquim da Silva Pereira Cabral – UFPE
RESUMO
Muitos dos princípios em ciências e em engenharia dizem respeito a relações entre
quantidades, as quais estão sempre variando. Uma vez que taxas de variação são
matematicamente representadas por derivadas, não é surpreendente que tais
princípios estejam freqüentemente expressos em forma de Equações Diferenciais.
Neste trabalho serão apresentados alguns modelos matemáticos importantes, que
envolvem a aplicação dessas equações voltadas para a resolução de problemas de
questões ambientais, mostrando não só, a importância de suas aplicações nesse
campo do conhecimento, mas também, sua aplicação a partir da resolução numérica
através do software MAPLE, utilizando seus principais comandos, soluções exatas e
gráficas, com a perspectiva de contribuir de forma significativa com a construção do
conhecimento.
Palavras Chaves: Equações Diferenciais; Modelagem Matemática; Questões
Ambientais
147
ABSTRACT
Many of the principles in science and engineering concern relations between
quantities, which are always changing. Since rates of change are represented by
mathematically derived, it is not surprising that these principles are often expressed
in the form of Differential Equations. This paper will be presented some important
mathematical models, involving the application of these equations geared to solving
problems of environmental issues, showing not only the importance of its applications
in this field of knowledge, but their application from situations problems, justifying the
importance of these equations from the numerical resolution of such problems
through the MAPLE software, using its major commands, giving their exact solutions
and graphics, with the view to contribute significantly to the construction of
knowledge.
Keywords: Differential Equations; Mathematical Modelling; Environmental Issues
1 INTRODUÇÃO
Na idade antiga, às necessidades da sociedade impulsionou a busca pelo
desenvolvimento dos modelos matemáticos para explicar as observações do mundo
físico, na tentativa de se obter uma melhor compreensão dos fenômenos da
natureza. Neste sentido, a enorme complexidade dos problemas ecológicos tem sido
uma grande barreira para a compreensão dos problemas ambientais, desta forma, a
modelagem matemática como uma forte ferramenta vem dando grandes
contribuições, não só para organizar informações, mas também, para fazer
previsões nas mais diferentes situações.
Os mais variados tipos de modelos matemáticos existentes, se fundamentam em
Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e Parciais (EDPs). As Equações
Diferenciais Ordinárias se destacam nas aplicações de sistemas ecológicos, onde no
desenvolvimento de modelos dessa natureza, a condição de contorno é de
fundamental importância para se chegar a obtenção de um modelo eficiente e
realista. As Equações Diferenciais Parciais, normalmente apresentam várias
148
limitações, tendo-se em vista a grande variabilidade de parâmetros, propriedades
dos materiais e das condições de contorno. Assim, neste trabalho tem como objetivo
realizar um estudo sobre a importância das Equações Diferenciais, bem como a sua
aplicabilidade na resolução de problemas que envolvam as questões ambientais e
posteriormente sugerir alternativas que possibilitem um maior aprofundamento neste
campo de estudo e conseqüentemente, se chegar a uma melhor compreensão sobre
tais problemas.
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1- EVOLUÇÃO HISTÓRICA DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Nos últimos 300 anos, as equações diferenciais se constituíram, como um dos mais
importantes ramos da matemática, por ser uma ferramenta de alta importância para
as ciências físicas tendo suas múltiplas aplicações tanto no campo da matemática
pura, quanto na aplicada. Os fundamentos deste assunto, segundo alguns autores
estão dominados graças as contribuições do grande matemático Leonhard Euler
(Séc. XVIII). Muitos foram os matemáticos que contribuíram com o desenvolvimento
das Equações Diferenciais, mas os conhecimentos de Euler foram de alta relevância
para que se pudesse entender o cálculo e a análise, para que fossem desenvolvidas
as idéias fundamentais e a partir daí, fossem produzidas novas idéias além do seu
entendimento.
Segundo Boyer (1996), o cálculo surgiu no século XVII, a partir dos conhecimentos
matemáticos de Fermat, Newton e Leibniz, por estes matemáticos entenderem que o
conceito de derivada estava relacionado com o estudo das proporcionalidades e
conseqüentemente, desenvolverem estes estudos a partir das Equações
Diferenciais. Ao longo do tempo foi descoberto que as soluções para este tipo de
equações não eram tão fáceis, as manipulações simbólicas e as simplificações
algébricas ajudavam, mas não eram suficientes para concretizar tais estudos. A
integral, antiderivada teve um papel importante quando no desenvolvimento do
1
49
Teorema Fundamental do Cálculo, por oferecer ajuda direta e principalmente
quando as variáveis da equação eram separadas. O método das generalizações das
variáveis foi desenvolvido por Jakob Bernoulli e generalizado por Leibniz no século
XVII.
No início do século XVIII, pesquisadores das Equações Diferenciais começaram a
aplicar estes tipos de equações a problemas relacionados com a astronomia e
ciências físicas. Bernoulli por exemplo estudou e escreveu cuidadosamente as
equações diferenciais para o movimento planetário, usando os princípios de
gravidade e momento desenvolvidos por Newton. O trabalho de Bernoulli incluiu o
desenvolvimento da catenária e o uso de coordenadas polares. Nesta época, as
equações diferenciais estavam interagindo com outros tipos de matemática e
ciências, para resolver problemas aplicados significativos. Por exemplo, Halley as
utilizou para analisar a trajetória de um cometa que hoje leva seu nome. Johann
Bernoulli, foi provavelmente o primeiro matemático a entender o cálculo de Leibniz e
os princípios de mecânica para modelar matematicamente fenômenos físicos
usando Equações Diferenciais para encontrar suas soluções. Já Taylor usou Séries
para "resolver" Equações Diferenciais e outros matemáticos desenvolveram e
utilizaram as Séries para vários propósitos. Contudo, o desenvolvimento de Taylor a
partir de estudos das diferenças finitas criou um novo ramo da matemática
intimamente relacionado ao desenvolvimento das Equações Diferenciais.
Pastor y Babini (2000), afirmam que ao aprofundar muitas das idéias de Euler em
1728, Daniel Bernoulli usou os métodos desenvolvidos por Euler, para ajudá-lo a
estudar oscilações e as Equações Diferenciais que produzem alguns tipos de
soluções aproximadas. Um outro trabalho desenvolvido a partir dos mesmos
conhecimentos foi o de D'Alembert em física matemática, que envolveu Equações
Diferenciais parciais e explorações por soluções das formas mais elementares.
Lagrange seguiu de perto os passos de Euler, desenvolvendo mais teorias e
estendendo resultados em mecânica e especialmente em equações de movimento
(problema dos três corpos) e energia potencial.
As maiores contribuições de Lagrange foram provavelmente na definição de função
e propriedades, ou seja, o que manteve o interesse em generalizar métodos e
150
analisar novas famílias de Equações Diferenciais. Lagrange foi provavelmente o
primeiro matemático com conhecimento teórico e ferramentas suficientes para ser
considerado um verdadeiro analista das Equações Diferenciais e com sua
incomensurável sabedoria em 1788 introduziu equações gerais de movimento para
sistemas dinâmicos, hoje conhecidas como equações de Lagrange. O trabalho de
Laplace, também sobre a estabilidade do sistema solar, fundamentado nos
conhecimentos anteriores levou a mais avanços, incluindo técnicas numéricas
melhores e um melhor entendimento de integração. Em 1799, Laplace introduziu as
idéias de um laplaciano de uma função e claramente reconheceu as raízes de seu
trabalho quando escreveu "Leia Euler, leia Euler, ele é nosso mestre".
O trabalho de Legendre sobre as equações diferenciais foi motivado pelo movimento
de projéteis, levando em conta novos fatores, como resistência do ar e velocidades
iniciais. Um outro matemático que deu grandes contribuições aos estudos das
Equações Diferenciais foi Lacroix, que trabalhou em avanços nas equações
diferenciais parciais e incorporou muitos a esses estudos muitos conhecimentos
desde os tempos de Euler, sintetizando muitos dos resultados deixado por Euler,
Laplace e Legendre. Fourier, em sua pesquisa matemática deu contribuições
importantes ao estudo e cálculos da difusão de calor e à solução de equações
diferenciais. Muito deste trabalho aparece em The Analytical Theory of Heat (A
Teoria Analítica do Calor,1822) de Fourier, no qual ele faz uso extensivo da série
que leva seu nome e este resultado foi uma ferramenta importante para o estudo de
oscilações. As contribuições de Charles Babbage vieram por uma rota diferente,
elas desenvolveu uma máquina de calcular chamada de Máquina de Diferença que
usava diferenças finitas para aproximar soluções de equações, quando o próximo
avanço importante neste assunto ocorreu no início do século 19, quando as teorias e
conceitos de funções de variáveis complexas se desenvolveram.
Joseph (1996), em suas considerações afirma que os babilônios muitos séculos
antes de Cristo já resolviam equações lineares e não lineares, mas as equações não
lineares até pouco tempo criaram grandes obstáculos no campo da matemática e
Poincaré, o maior matemático de sua geração fez grandes estudos sobre as
referidas equações, produzindo inclusive mais de 30 livros técnicos sobre física
matemáticas e mecânica celeste. A maioria destes trabalhos envolveu o uso e
151
análise de equações diferenciais. Em mecânica celeste, trabalhando com os
resultados do astrônomo americano George Hill, conquistou a estabilidade das
órbitas e iniciou a teoria qualitativa de equações diferenciais não lineares. Muitos
resultados de seus trabalhos foram as sementes de novas maneiras de pensar, as
quais floresceram, estudos sobre à análise de séries divergentes e equações
diferenciais não lineares. Poincaré deu grandes contribuições a quatro áreas
importantes da matemática, ou seja, análise, álgebra, geometria e teoria de
números. Ele tinha um domínio criativo de toda a matemática de seu tempo e foi,
provavelmente, a última pessoa a estar nesta posição. No século 20, George
Birkhoff com seu grande conhecimento, utilizou as idéias de Poincaré para analisar
sistemas dinâmicos grandes e estabelecer uma teoria para a análise das
propriedades das soluções destas equações.
3
ECOSSISTEMAS E MODELAGEM ECOLÓGICA
Nas últimas décadas o movimento da modelagem matemática nacional e
internacionalmente tem se desenvolvido bastante, contando com contribuições
importantes de matemáticos aplicados que migraram para à área da Educação
Matemática (BLUM & NISS, 1991; FIORENTINI, 1996). No Brasil, a modelagem
matemática está ligada à noção de trabalho de projeto. (BASSANEZI, 1990,
BIEMBENGUT, 1990, 1999; BORBA, MENEGGHETTI & HERMINI, 1997, 1999).
Para Dambrózio (1986), os modelos podem ser modificados, aprimorados ou
substituídos por outros para se obter uma compreensão correta daquilo que está
ocorrendo na natureza. O desenvolvimento de modelos matemáticos para explicar
as observações do mundo físico teve grande avanço desde tempos antigos.
Alguns autores afirmam, que a matemática teve o seu progresso intimamente
associado ao esforço para a compreensão dos fenômenos naturais, graças aos
espíritos inquiridores de pensadores que não se contentaram apenas com as
descrições qualitativas dos mesmos. Desde tempos antigos, a geometria, por
exemplo, tem sido desenvolvida para tratar de problemas de mensuração para
152
calcular áreas de terras e volumes de celeiros. A linguagem concisa, precisa e
abrangente - em termos de símbolos (ou notações) - da matemática tem sido útil
para elaborar idéias e metodologias para compreender e explorar o mundo físico.
Não foi sem razão que Galileu defendeu ardentemente uma descrição quantitativa -
e dedutiva - dos fenômenos naturais que pudesse ser preditiva (utilizando fórmulas
matemáticas), deixando de lado a comodidade de descrições apenas qualitativas e
factuais dos fenômenos. Uma vez que a compreensão de fenômenos naturais deve
ser baseada em idéias desenvolvidas a partir de intuições (pensamento novo) e
conhecimentos já adquiridos, o uso de modelos é de grande valia. Os modelos
matemáticos são desenvolvidos a partir de uma elaboração cuidadosa de idéias
voltadas para partes do fenômeno, que permitirão a aferição das suas hipóteses em
confronto com as observações.
A lei da atração gravitacional por exemplo é um resultado de modelagem
matemática e a sua importância deve-se ao fato de ser uma lei universal que
consegue explicar tanto o movimento das estrelas e galáxias quanto o movimento de
pequenos objetos em queda livre na terra.
O extraordinário desenvolvimento dos modelos matemáticos deve-se ao fato de que
os fenômenos naturais envolvem seres inanimados que são passíveis de serem
observados repetitivamente. Embora tenhamos uma idéia do que seja um modelo
matemático é importante conceituarmos a palavra modelo. Segundo alguns autores,
a palavra modelo é popularmente usada para designar algo perfeito ou muito
próximo a perfeição.
A ecologia estuda as relações entre os seres e o meio ambiente, inclusive o homem,
essas interações ocorrem em diferentes níveis, por exemplo, no nível mais básico,
organismos individuais interagem uns com os outros e com o meio físico de
Indivíduos de uma mesma espécie vivendo numa mesma área interagem
normalmente de forma semelhante e independente, por isso, as interações podem
ser agregadas, originando as interações ao nível das populações.
153
As populações de diferentes espécies, convivendo numa mesma área, também
produzem em geral, padrões definidos de interações que dizemos pertencer ao nível
das comunidades, as comunidades e os fatores físicos com os quais elas se
interagem se unem funcionalmente formando os ecossistemas, sistemas estes, de
alta complexidade que acabam toda rede de inter-relações que sustentam a vida,
em qualquer lugar onde ela exista (JORGENSEN, 1997). A complexidade dos
sistemas ecológicos tem sido uma grande problemática para se obter uma melhor
compreensão e gerenciamento do meio ambiente, neste sentido, a modelagem
matemática pode ser caracterizada como uma poderosa ferramenta, não só pela
capacidade de organizar as informações, mas também, por fazer importantes
previsões nas mais diversas condições.
A modelagem matemática voltada para o meio ambiente evoluiu através de
diferentes campos, por exemplo, no campo da ecologia, que apresenta vários níveis
hierárquicos, a modelagem evoluiu através de estudos de populações, comunidades
e ecossistemas, onde os primeiros modelos aplicados às populações foram o de
Malthus de 1978 e o de Verhulst de crescimento logístico de 1928, sendo este último
elaborado por Verhulst e muito estudado no século XX.
Odum (1969), atribuiu 24 características quantificáveis aos ecossistemas, permitindo
aferir seus estágios de maturidade. Assim, desde aquela época até os nossos dias,
funções emergentes como ascendência e exergia tentam sintetizar as informações
sobre fluxos de energia e biomassa em relação a um estado de clímax teórico.
O primeiro modelo matemático a ser apresentado à Ecologia foi o modelo de
Malthus (1798), esse modelo tem grande significado para a ecologia, por prever o
crescimento populacional, baseando-se em Equações Diferênciais muito simples, ou
seja:
, isto, para t = 0 e
N
t
= N
0
Equação (5.1)
Onde:
N
t
= número de indivíduos da população no instante t;
154
N
0
= número inicial de indivíduos da população;
r = razão intrínseca (r = b – d, onde b é a taxa de nascimento e d é a taxa de
mortalidade).
Portanto, o uso de modelos matemáticos como hipótese de trabalho é de
fundamental importância para a implantação de estudos interdisciplinares e com
base em tais modelos, alguns autores afirmam que é possível fazer um
delineamento experimental de coleta de dados, que seja equilibrada e objetiva na
busca dos valores necessários para que sejam estabelecidos os consideráveis
parâmetros do modelo.
4 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS EM MODELOS ECOLÓGICOS E
BIOLÓGICOS BASEADOS EM EDOs
Para se obter um modelo de fato representativo de um sistema em estudo é
necessário que os valores dos parâmetros sejam escolhidos de forma adequada.
Isto geralmente não é uma tarefa fácil, principalmente quando se trata de modelos
ecológicos. Desta forma existem diferentes formas a serem abordadas, que podem
ser utilizadas para se obter estimativas reais de valores, para os parâmetros de um
modelo ecológico. Segundo Jorgensen (1997), os parâmetros são estabelecidos a
partir da necessidade do modelo e de estudos que são fruto do real funcionamento
do sistema. Entretanto, poucos são os parâmetros que podem ser estimados devido
a problemas logísticos, associados à observação em campo, de muito dos
fenômenos que podem ser de interesse num modelo ecológico.
As Equações Diferenciais Ordinárias são de fundamentais importâncias para os
estudos dos modelos ecológicos, porém, não se pode afirmar com certeza que são
mais utilizadas do que as equações algébricas, matrizes ou distribuições de
probabilidade, mesmo sabendo da sua influencia para o desenvolvimento da própria
teoria ecológica. Apesar de se saber que o uso de EDOs na modelagem ecológica
está basicamente associado a construção de modelos causais, determinísticos
dinâmicos e agregados para outros aspectos do sistema, sabe-se que vários motivos
levam a construção de modelos ecológicos com tais características e o maior deles,
155
se caracteriza por os modelos ecológicos possuírem grandes quantidades de
componentes, unidos por forte redes de interações.
Geralmente, não é fácil se tratar de modelos ecológicos, devido às dificuldades para
obtenção de informações sobre os sistemas. Para se obter um modelo
representativo do sistema é necessário que os valores dos parâmetros sejam
escolhidos de forma adequada, desta forma, as variáveis que podem ser medidas
como mão-de-obra especializada, etc.,são diferentes abordagens que podem ser
utilizadas para obter estimativas realistas de valores para os parâmetros de um
modelo ecológico.
Experimentos e observações realizadas em laboratório se apresentam como a
segunda forma apropriada de estimar parâmetros para um modelo ecológico. No
ambiente controlado do laboratório é muito mais fácil resolver problemas logísticos
associados a observações necessárias para se chegar à estimativa de determinados
parâmetros, porém, surgirão incertezas por não se estar estudando um sistema
completo. Os parâmetros biológicos além de serem mais sensíveis, em geral são
influenciados por uma gama maior de fatores ambientais, que com freqüência
podem interagir de uma forma sinérgica. Desta forma, a confiabilidade dos
parâmetros biológicos é ainda afetada pelo fato dos organismos vivos estarem em
constantes mudanças (WARREN, 1971).
5 MATERIAL E MÉTODOS
A metodologia adotada neste trabalho foi desenvolvida com o objetivo de, a princípio
mostrar a importância das Equações Diferenciais Ordinárias e Parciais para o estudo
e resolução dos problemas ambientais e posteriormente relacionar os aspectos
relevantes nesse campo do conhecimento, utilizando um procedimento
computacional. Nestas áreas têm se destacado alguns ambientes computacionais
interativos de simulação que permitem a exploração de conexões entre o modelo e o
comportamento real do sistema, como MATLAB, MATHEMÁTICA e o MAPLE. Desta
forma, para mostrar a importância das equações diferenciais na resolução de
problemas das questões ambientais foi desenvolvida neste trabalho, uma ferramenta
computacional e implementada através da utilização do software Maple. A escolha
156
do Maple como ambiente para o desenvolvimento da ferramenta se deram aos
seguintes motivos:
a) O Maple é muito usado para a computação de expressões algébricas, simbólicas
e cálculo numérico permitindo inclusive o desenho de gráficos a duas ou a três
dimensões, oferecendo uma visualização matemática interativa tornando-se uma
importante ferramenta para usuários nos campos da educação, pesquisa e indústria.
b) É de fácil compreensão e utilização, sendo ideal para pesquisadores por ser um
ambiente de matemática completo para resolução de problemas e possuir uma
imensa variedade de operações matemáticas que além de resolver equações
diferenciais, derivação e integração tem a capacidade de calcular soluções tanto
analíticas como numéricas para equações diferenciais ordinárias (EDOs) e parciais
(EPDs), solucionando sistemas de equações diferenciais, inclusive às condições
iniciais e de contorno.
c) A disponibilidade de diversos recursos, como boas ferramentas de visualização,
rotinas para ordenação de vetores e cálculos, que facilitam o trabalho de
programação.
6 UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE MAPLE PARA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS A PARTIR DE UMA QUESTÃO AMBIENTAL
Nos últimos anos o desenvolvimento de softwares tem proporcionado muitas
mudanças nas formas das pessoas resolverem problemas. Neste sentido,
profissionais na área da engenharia têm trazido grandes benefícios e principalmente
novas ferramentas para as áreas de processamento de sinais, modelagem de
sistemas dinâmicos, identificação e controle de sistemas dinâmicos. Desta forma
neste momento serão apresentadas duas aplicações numéricas envolvendo um
modelo matemático, onde além da aplicação numérica serão feitas representações
gráficas, através do software MAPLE, para melhor caracterizar o objetivo deste
trabalho.
6.1 .APLICAÇÃO NUMÉRICA
157
Em Ecologia, quando se procura determinar o sistema a ser modelado, pode-se
pensar em três níveis, ou seja, população, comunidade e ecossistema. Desta forma,
Malthus (1978), para prever o crescimento populacional baseou-se na equação dada
pela forma:
, para t = 0 e N(t) = N (0).
Considere uma população de presas que precisa ser controlada, em virtude da
degradação causada numa lavoura. Ao ser iniciado o combate através de
predadores foi observado que num lote de 120.000 presas 20.000 delas foram
eliminadas em 10 dias, isto, seguindo um combate entre predador e presa
proporcionalmente a cada instante. Necessitando voltar a desenvolver suas
atividades com segurança, o agricultor contratou uma empresa para fazer uma
investigação e estimar previsões a partir de três situações. A primeira, verificar em
quanto tempo as presas estariam reduzidas a metade, para que ele pudesse
reiniciar um novo plantio. A segunda, estimar a quantidade de presas restantes após
30 dias de combate e a terceira, fazer uma descrição gráfica para que pudesse ser
observado o controle da situação.
a ) O tempo necessário para que as presas sejam reduzidas a metade da população
inicial;
> eq1:=diff(N(t),t)=r*N(t);
> eq1.1 := dsolve({eq1, N(0)=120000},N(t));
> solve(subs(N(t)=100000,t=10,eq1.1),{r});
158
> eq1.2 := subs(%,eq1.1);
> evalf(solve(subs(N(t)=60000,eq1.2),{t}));
b ) Seguindo esta modalidade de combate, qual a quantidade de presas restantes
após decorrerem 30 dias;
> subs(t=30,eq1.2);
> evalf(%);
c ) Representação gráfica da situação
> plot(120000*exp(1/10*ln(5/6)*t),t=-10..100);
Gráfico 13 – Representação geométrica do comportamento da função
159
No Gráfico da função, N(t), representa a população de presas, para o intervalo -10 <
t < 100 dias.
7 – CONSIDERAÇÕES FINAIS E SUGESTÕES
As Equações Diferenciais Parciais (EDOs) são de fundamentais importância para
que sejam estudados vários fenômenos da natureza, nas mais diferentes áreas de
aplicação. No presente estudo isto pode ser observado a partir do momento que elas
exercem um papel importante para se estudar os fenômenos ambientais e um
exemplo pode ser dado, quando no campo da resolução computacional se faz
necessário discretizar o domínio com uma malha de pontos em situações reais. Para
que sejam estudados os efeitos de longo prazo. As Equações Diferenciais Parciais
podem ser classificadas em Elípticas, Parabólicas e Hiperbólicas, evolutivas com
características difusas ou convectiva. No campo da engenharia as soluções podem
obtidas através do método dos modelos finitos, que são modelados
matematicamente com a intenção de descrever os fenômenos físicos que envolvem
particularmente casos em estudo, como a intensão de determinar a variabilidade das
tensões de uma peça mecânica e suas respectivas deformações, a distribuição do
t
Nt
160
fluxo de temperatura em uma placa metálica, o fluxo de água num meio poroso,
entre outros. A solução analítica dessas equações diferenciais, em sua grande
maioria é impossibilitada, pela grande dispersão das propriedades dos materiais e
da complexa geometria que envolve os sistemas ambientais. Desta forma, diante da
grande utilização de métodos numéricos, no qual se tem à substituição da solução
exata analítica, por uma solução aproximada, em especial pode ser destacado o
método dos elementos finitos, que se apresenta como uma das melhores
ferramentas disponíveis para solução dos mais variados problemas. Neste sentido,
neste trabalho sugere-se, a partir da fuga de uma formalização tradicional
conservadora acadêmica, em direção ao entendimento conceitual que venha
contemplar a gênese do conhecimento e o desenvolvimento dos conteúdos na sua
crítica e elaboração contextual, transdissiplinar e cultural, para uma maior interação
sobre os fundamentos de sistemas dinâmicos na tentativa de motivar estudantes
pesquisadores a aproveitar as potencialidades do software MAPLE, não apenas
para resoluções de questões ambientais, mas utilizar seus métodos nos cursos de
graduação, fazendo o desenvolvimento das aplicações numéricas a partir desta
ferramenta, por esta se adequar de forma inconstetavel a resolução interativa de
problemas, sendo de grande importância para obtenção instantânea de gráficos,
onde os resultados desejados vão desde as mais simples modificações na
parametrização das situações, até as grandes mudanças de contextos possibilitando
o desenvolvimento de experimentos e auxiliando no estudo do comportamento das
funções, dando grandes contribuições nas áreas de Engenharia de Controle e
Automação, Elétrica, Mecânica e Computação.
161
REFERÊNCIAS
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