( PDF ) Incerteza de medição ? método proposto para a análise da conformidade do produto

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

Paulo Henrique Incerpi

INCERTEZA DE MEDIÇÃO – MÉTODO

PROPOSTO PARA A ANÁLISE DA

CONFORMIDADE DO PRODUTO

Dissertação submetida ao Programa de Pós-

Graduação em Engenharia de Produção como

requisito parcial à obtenção do título de Mestre em

Engenharia de Produção

Orientador: Prof. José Leonardo Noronha, Dr.

Co-orientador: Prof. Luiz Fernando Barca, MSc.

Itajubá

Abril de 2008

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

Paulo Henrique Incerpi

INCERTEZA DE MEDIÇÃO – MÉTODO

PRPOSTO PARA A ANÁLISE DA

CONFORMIDADE DO PRODUTO

Dissertação aprovada por banca examinadora em Abril de 2008, conferindo ao autor o

título de Mestre em Engenharia de Produção

Banca Examinadora:

Prof. Dr. José Leonardo Noronha (Orientador)

Prof. Dr. Ricardo Sutério

Prof. Dr. João Batista Turrioni

Prof. Luiz Fernando Barca (Co-orientador)

Itajubá

Abril de 2008

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iii

Dedicatória

À minha esposa, Mariangela Carvalho Nogueira Incerpi,

que surgiu em minha vida e em todos os momentos está

contribuindo para que eu seja uma pessoa melhor.

Aos meus filhos Pedro e Beatriz que são os melhores

presentes que Deus me deu.

Agradecimentos

À minha esposa que com sua força, inteligência e

sabedoria soube conduzir e manter com extrema competência

toda a rotina profissional, a rotina de mãe e a rotina de pai

durante a minha ausência quando da minha fase de dedicação

exclusiva a este trabalho.

Em especial aos meus sogros, Ronaldo e Alba, que me

receberam em seu lar e, como sempre, trataram-me como filho

durante todo o período de obtenção dos créditos necessários para

este título.

Aos meus pais sem os quais eu não estaria aqui e que

sempre me incentivaram a terminar este trabalho.

Ao meu orientador, José Leonardo Noronha, que sempre

foi paciente entendendo minhas restrições, apoiando-me quando

necessário e incentivando-me com palavras sábias nas muitas

vezes em que tive dificuldades.

Resumo

Durante a avaliação da conformidade do produto, o cálculo da incerteza de medição é

um importante parâmetro para a definição do nível de qualidade das medições. Este trabalho

propõe o uso de um método simplificado que pode ser utilizado na verificação desta

conformidade, no chão de fábrica.

Para isso foram identificados os métodos disponíveis na literatura e os procedimentos

praticados nas indústrias. Foi verificado que o cálculo da incerteza de medição na indústria é

utilizado, principalmente, para auxiliar a seleção do instrumento de medição compatível com

o nível de qualidade adequado para seus processos de fabricação e que a relação entre a

incerteza de medição e a tolerância de fabricação é o parâmetro mais utilizado para selecionar

o processo de medição adequado ao controle geométrico de um processo de fabricação.

Os procedimentos de cálculo de incerteza destes métodos foram analisados, resultando

na indicação de um método considerado adequado para execução do cálculo e avaliação da

incerteza dos processos de medição de grandezas geométricas no nível operacional. O método

foi recomendado com base na sua facilidade de execução e na adequação aos diversos níveis

de incerteza exigidos para diferentes processos metrológicos no nível operacional.

Com a definição do método a ser usado, foram realizados ensaios no laboratório de

metrologia da Universidade Federal de Itajubá - UNIFEI, para que fosse verificada a variação

das componentes das incertezas. Essa verificação forneceu dados para a elaboração das

equações que foram usadas na simulação e confirmação ao método proposto.

A simulação permitiu estabelecer o coeficiente que estabelece a razão entre o valor da

incerteza do Guia para Expressão da Incerteza de Medição (ISO GUM) e o valor da incerteza

do método proposto.

Abstract

During the product conformity assessment, the uncertainty of measurement is an

important parameter for defining the measurements quality level. This paper proposes the use

of a simplified method that can be used in the verification of compliance at the operational

level.

For that were identified in the literature available methods and procedures applied in

industries. It was found that the calculation of measurement uncertainty in the industry is used

mainly to help the selection of the measuring instrument compatible with the quality level

suitable for their manufacturing processes and that the relationship between the measurement

uncertainty and manufacturing tolerance is the parameter most used to select the appropriate

procedure for measuring the geometric control of a process of manufacture.

This procedures has been tested and with this was possible indicated a simplified

method for implementation of uncertainty calculation of measurement geometric at the

operational level. The method was recommended based on its ease of implementation and

suitability for different levels of uncertainty required for different processes at the operational

level metrological.

With the definition of the method being used, were tested in the metrology laboratory

of the Federal University of Itajubá - UNIFEI, for be checked the uncertainty components.

That review provided data for drawing up the equations that were used in simulation and

verification to the method proposed.

The simulation allowed establishing the relationship coefficient between the

uncertainty value of the ISO GUM and the uncertainty value of the proposed method.

SUMÁRIO

DEDICATÓRIA................................................................................................................ III

AGRADECIMENTOS.......................................................................................................IV

RESUMO.............................................................................................................................V

ABSTRACT........................................................................................................................VI

1. INTRODUÇÃO..........................................................................................................10

1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS......................................................................................10

1.2 OBJETIVO DO TRABALHO.......................................................................................11

1.3 JUSTIFICATIVA.......................................................................................................12

1.4 LIMITAÇÕES ..........................................................................................................13

1.5 ESTRUTURA DO TRABALHO....................................................................................13

2. 2 DETERMINAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO.........................................14

2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS......................................................................................14

2.2 MENSURANDO.......................................................................................................14

2.3 RESULTADO DE UMA MEDIÇÃO (RM).....................................................................14

2.4 MODELO MATEMÁTICO .........................................................................................15

2.5 INCERTEZA DE MEDIÇÃO .......................................................................................16

2.6 INCERTEZA TIPO “A” (U

)......................................................................................17

2.7 INCERTEZA TIPO “B” (U

)......................................................................................18

2.7.1 Incerteza declarada com fator de abrangência k (Nível de Confiança)

informado.....................................................................................................................18

2.7.2 Incerteza declarada com nível de confiança (p) informado............................19

2.7.3 Limites de erro especificados pelo fabricante................................................19

2.7.4 Incerteza gerada por efeitos sistemáticos não compensados..........................19

2.7.5 Incerteza devido à resolução de um instrumento analógico...........................20

2.7.6 Incerteza devido à resolução de um instrumento digital ................................21

2.7.7 Incerteza devido à influência da temperatura................................................21

2.7.8 Deformação devido à força de medição ........................................................21

2.8 GRAU DE LIBERDADE (

) ....................................................................................22

2.9 GRAU DE LIBERDADE EFETIVO (

EFF

) .....................................................................22

2.10 MENSURANDO VARIÁVEL......................................................................................22

2.11 MENSURANDO INVARIÁVEL...................................................................................23

2.12 INCERTEZA COMBINADA (U

).................................................................................23

2.13 INCERTEZA EXPANDIDA (U)...................................................................................23

2.14 PRINCIPAIS CONSIDERAÇÕES NA AVALIAÇÃO DA IM EM MEDIÇÃO DIRETA ...............24

2.15 MÉTODO PADRONIZADO PELO ISO GUM................................................................24

2.16 MÉTODOS APLICADOS............................................................................................26

2.16.1 Método usado na indústria metal mecânica...................................................26

2.16.2 Metodologia dependente do mensurando, do conhecimento sobre o sistema de

medição e da quantidade de medições realizadas. ........................................................26

2.16.3 Metodologia baseada na distribuição de erros..............................................30

2.17 CUSTOS DA QUALIDADE.........................................................................................30

2.17.1 Conformidade com a especificação...............................................................32

2.18 RELAÇÃO ENTRE OS CUSTOS DA QUALIDADE E A INCERTEZA DE MEDIÇÃO................32

2.19 MÉTODO PROPOSTO PARA ESTE TRABALHO.............................................................34

3. EXPERIMENTO........................................................................................................36

3.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS......................................................................................36

3.2 INCERTEZAS CONSIDERADAS..................................................................................37

3.2.1 Incertezas consideradas no método do ISO GUM..........................................37

3.2.2 Incertezas consideradas no método proposto ................................................37

3.2.3 Medições e ensaios realizados com o paquímetro..........................................38

3.2.4 Medições e ensaios realizados com o micrômetro .........................................41

3.3 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS...........................................................................45

3.3.1 Ensaios realizados com o paquímetro ...........................................................45

3.3.2 Ensaios realizados com o micrômetro...........................................................51

3.3.3 Coeficiente de relação médio........................................................................56

3.4 CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................58

4. SIMULAÇÃO.............................................................................................................59

4.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS......................................................................................59

4.2 DISTRIBUIÇÕES DAS PARCELAS DE INCERTEZA........................................................60

4.3 SIMULAÇÃO DO PAQUÍMETRO COM 10 MEDIÇÕES....................................................60

4.3.1 Método do ISO GUM....................................................................................60

4.3.2 Método Proposto...........................................................................................64

4.4 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS...........................................................................67

4.5 COEFICIENTES DE RELAÇÃO ...................................................................................68

5. CONCLUSÕES..........................................................................................................70

5.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS......................................................................................70

5.2 CONTRIBUIÇÃO DO TRABALHO...............................................................................70

5.3 RECOMENDAÇÕES E SUGESTÕES.............................................................................71

6. APÊNDICE 1 – ENSAIOS REALIZADOS...............................................................72

6.1 ENSAIOS REALIZADOS COM O PAQUÍMETRO ............................................................72

6.1.1 Ensaios com 3 medições................................................................................73

6.1.2 Ensaios com 5 medições...............................................................................79

6.1.3 Ensaios com 10 medições..............................................................................85

6.1.4 Ensaios com 20 medições..............................................................................90

6.1.5 Ensaios com 50 medições..............................................................................95

6.2 ENSAIOS REALIZADOS COM O MICRÔMETRO..........................................................100

6.2.1 Ensaios com 3 medições..............................................................................100

6.2.2 Ensaios com 5 medições..............................................................................106

6.2.3 Ensaios com 10 medições............................................................................111

6.2.4 Ensaios com 20 medições............................................................................116

6.2.5 Ensaios com 50 medições............................................................................121

6.3 DESVIOS PADRÃO ENCONTRADOS NOS ENSAIOS ....................................................126

6.3.1 Resultados encontrados para o paquímetro.................................................126

6.3.2 Resultados encontrados para o micrômetro.................................................126

7. APÊNDICE 2 – PLANILHAS USADAS NA SIMULAÇÃO..................................127

7.1 PLANILHAS UTILIZADAS DO MÉTODO DO ISO GUM..............................................127

7.1.1 Planilhas utilizadas para a simulação do paquímetro .................................127

7.1.2 Planilhas utilizadas para a simulação do micrômetro.................................129

7.2 PLANILHAS UTILIZADAS NO MÉTODO PROPOSTO....................................................131

7.2.1 Planilhas utilizadas para paquímetro..........................................................131

7.2.2 Planilhas utilizadas para a simulação do micrômetro.................................132

7.3 ESTATÍSTICAS ENCONTRADAS NA SIMULAÇÃO ......................................................134

ANEXO A – T DE STUDENT.........................................................................................136

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................137

1. Introdução

1.1 Considerações Iniciais

Nas últimas décadas, a crescente concorrência industrial tem direcionado novos

desafios em todos os ramos da engenharia. As indústrias do setor de manufatura buscam cada

vez mais exercer esforços para garantir a sua competitividade e, conseqüentemente, alcançar

sua sobrevivência. Essa competitividade pode ser expressa como função da maior qualidade

aliada a custos reduzidos, permitindo um ganho efetivo e a manutenção do mercado

consumidor.

Considerando o custo do controle, segundo a classificação de custos de qualidade

apresentada por Feigenbaun (1991), um dos trabalhos desenvolvidos pelas empresas para

alcançar esse objetivo é a correta determinação e avaliação da incerteza da medição quando

da avaliação da conformidade do produto com as especificações.

Segundo Liska (1999), a indústria de fabricação mecânica, de um modo geral, utiliza a

relação existente entre a incerteza do equipamento de medição e o intervalo de tolerância de

fabricação para decidir se este equipamento está apto ou não para avaliar a conformidade de

determinada característica geométrica do produto.

Visando contribuir nesse sentido, este trabalho tem como objetivo demonstrar o

método estabelecido no Guia para Expressão da Incerteza de Medição na Calibração (ISO

GUM) e mostrar um método proposto (simplificado) para avaliação da incerteza de medição

em medições diretas, que possa ser usado pela indústria mecânica na avaliação da

conformidade de determinada característica geométrica do seu produto, atendendo a

recomendação da Associação Brasileira de Normas Técnicas – ABNT, 2004, no que diz

respeito à documentação e aceitação de um outro método não previsto no ISO GUM.

Neste trabalho são apresentados os principais conceitos usados na determinação e

avaliação da incerteza de medição, visando uniformizá-los para um melhor entendimento do

processo de cálculo sugerido. Na seqüência são mostrados os métodos encontrados na

literatura, a abordagem do método proposto no ISO GUM e a do método proposto.

Em seguida são apresentados os resultados da avaliação da incerteza de medição ao

serem usados os dois métodos de cálculo. Para isso será mostrado como foi realizado o

experimento, que constou de ensaios em laboratório metrológico para que fosse verificada a

variação das componentes das incertezas. Essa verificação foi feita para que pudessem ser

elaboradas as equações que foram usadas na simulação com o software Crystal Ball 2000.

A simulação foi realizada para que fosse possível determinar o coeficiente que

estabelece a razão entre o valor da incerteza do ISO GUM e o valor da incerteza do método

proposto.

A hipótese que será estudada é a que a aplicação do método proposto não resulta em

valores que possam ser relacionados com os do método do ISO GUM, em decorrência da sua

inconsistência ou variabilidade.

Nesta pesquisa são consideradas variáveis independentes o Mensurando, a

metodologia de cálculo, as grandezas de entrada direta, a avaliação do Tipo A e a avaliação

do Tipo B da Incerteza de Medição.

1.2 Objetivo do Trabalho

O tema deste trabalho é elaboração e apresentação de uma metodologia para a

avaliação e determinação da Incerteza de Medição.

Como objetivo principal, este trabalho verifica a existência de um método confiável e

simples que propicia uma avaliação adequada da incerteza de medição na verificação da

conformidade de características geométricas em medições diretas.

O resultado verificado com este método é comparado com o resultado obtido ao ser

usado o método padronizado pelo ISO GUM a fim de se verificar a possibilidade do uso de

um fator de correção que assegure a confiabilidade do método proposto.

Para atingir o objetivo deste trabalho, o pesquisador:

- Identificou na literatura outros métodos para a avaliação e expressão da Incerteza

de Medição - IM;

- Avaliou a formulação descrita no Guia para Expressão da Incerteza de Medição

(ISO GUM);

- Definiu o método proposto adequado ao controle da produção, de acordo com as

limitações;

- Determinou o valor da IM do ensaio proposto, utilizando esses métodos propostos;

- Estabeleceu a relação entre o método do ISO GUM e o método proposto.

O problema a ser eliminado com este trabalho é a dificuldade de se calcular a incerteza

de medição no chão de fábrica, minimizando o erro que ocorre durante a avaliação da

Incerteza de Medição e que causa erro na consideração sobre a conformidade do produto

fazendo aumentar os custos da qualidade.

Avaliando o objetivo deste trabalho, tem-se que considerar que para esta pesquisa a

única variável dependente é o valor da Incerteza de Medição.

1.3 Justificativa

A justificativa desta busca está baseada na redução do tempo para o levantamento da

incerteza de medição sem que isso acarrete significativa redução da confiabilidade ou

diminuição da credibilidade dos resultados.

A aprovação ou reprovação do produto avaliado depende do resultado da medição e da

qualidade deste resultado e, segundo o VIM, o resultado só estará completo se tiver a

indicação da incerteza de medição associada a este resultado.

Como conseqüência desta redução de tempo e manutenção da confiabilidade no

resultado espera-se a uma redução dos Custos da Qualidade.

Para uma correta decisão sobre a conformidade com a especificação, o valor da

incerteza deve considerar o efeito de todas as fontes aleatórias e sistemáticas não factíveis de

correção.

O ISO GUM salienta que não é necessária qualquer distinção entre as contribuições de

incerteza provenientes de efeitos sistemáticos ou aleatórios. Entretanto, segundo Donatelli et

al (1998), a influência dos erros sistemáticos sobre a distribuição dos resultados de medição é

diferente daquela dos erros aleatórios. Ainda segundo o autor, um erro sistemático que se

mantém constante produz somente um deslocamento na média da distribuição dos valores

medidos e um erro que é variável na faixa de medição afeta a forma da distribuição. Assim, a

variância pode aumentar ou diminuir dependendo da inclinação da curva de erro sistemático.

Assim, a justificativa desta pesquisa está na identificação da necessidade de se

estabelecer uma metodologia simples e confiável e que forneça uma adequada análise da

incerteza na verificação da conformidade do produto, baseada nos seguintes princípios:

- A aprovação depende do resultado da medição e da qualidade deste; e

- O resultado só está completo se tiver a indicação da incerteza, de acordo com o

VIM.

1.4 Limitações

Como em qualquer outro trabalho de pesquisa, neste também serão estabelecidas

algumas limitações. Esse método proposto será usado na avaliação da conformidade de

grandezas geométricas realizadas através de medições diretas no controle do processo durante

a produção na indústria metal-mecânica

1.5 Estrutura do Trabalho

O trabalho contém uma revisão bibliográfica relativa aos métodos para o cálculo e

avaliação da incerteza de medição, uma aplicação prática destes métodos com o detalhamento

do procedimento de cada uma, a apresentação da forma de coleta de dados, a avaliação dos

resultados encontrados, as considerações relevantes, as conclusões, a verificação da hipótese

do fator de correção, as recomendações para trabalhos futuros e a lista de referências

utilizadas no seu desenvolvimento.

2 Determinação da Incerteza de Medição

2.1 Considerações Iniciais

Para cumprir com o objetivo deste trabalho, foi realizada a pesquisa para o

levantamento de métodos existentes na literatura, bem como o levantamento daqueles

procedimentos praticados nas indústrias.

Seguindo esta orientação, foi possível identificar quatro métodos e um procedimento

que podem ser utilizados para a determinação da incerteza de medição. Estes métodos e

procedimento serão apresentados no decorrer deste trabalho.

Antes que sejam apresentados os métodos e procedimentos identificados durante o

processo de revisão bibliográfica, serão apresentados os conceitos necessários para a

contextualização daquilo que é chamado de incerteza de medição. A grande maioria das

definições mostradas será extraída do VIM.

Para este trabalho, será usado o termo “incerteza” no lugar de “incerteza de medição”

sempre que isso não causar dúvida para o entendimento do texto, pois a palavra incerteza

refere-se tanto ao conceito geral de incerteza como também a qualquer uma ou todas as

medidas quantitativas associadas a este conceito.

Como dito anteriormente, a declaração do resultado de uma medição somente é

completa se ela contiver tanto o valor atribuído ao mensurando quanto a incerteza associada a

este valor. Neste documento todas as grandezas que não são conhecidas exatamente são

tratadas como variáveis aleatórias, incluindo as grandezas de influência que podem afetar o

valor medido.

2.2 Mensurando

De acordo com o VIM, mensurando é a grandeza específica submetida à medição.

Dentro do escopo deste trabalho, pode-se definir o mensurando como sendo o objeto que

deverá ser medido a fim de se verificar a sua conformidade com as especificações de projeto

ou de qualidade.

2.3 Resultado de uma Medição (RM)

Segundo o VIM, o RM é o valor atribuído ao objeto que está sendo medido obtido por

medição. Em geral, o RM é somente uma aproximação ou estimativa do valor de uma

quantidade específica que pode ser medida. Segundo Inmetro 2003, este resultado somente

estará completo quando ele contiver tanto o valor atribuído ao mensurando quanto a incerteza

de medição associada a este valor. Neste documento todas as grandezas que não são

conhecidas exatamente são tratadas como variáveis aleatórias incluindo as grandezas de

influência que podem afetar o valor medido.

2.4 Modelo Matemático

Na avaliação da conformidade de um produto, quando se avalia diretamente uma

grandeza geométrica, usualmente se lida com somente um mensurando ou grandeza de saída

Y que depende de uma série de grandezas de entrada Xi de acordo com a relação funcional

mostrada na equação 4.

A função modelo ƒ descreve como os valores da grandeza de saída Y são obtidos a

partir dos valores das grandezas de entrada Xi. Na maioria dos casos será uma expressão

analítica, mas também pode haver casos em que será descrita por um grupo de expressões que

incluem correções e fatores de correção para efeitos sistemáticos, levando assim a uma

equação mais complexa que não pode ser representada por uma função analítica explícita.

Além disso, ƒ pode ser determinada experimentalmente, ou existir somente como um

algoritmo de computação que deve ser avaliado numericamente, ou ainda, pode ser uma

combinação dos casos descritos acima.

Y =

, X

, ..., X

) (1)

1) O conjunto de grandezas de entrada X

pode ser agrupado em duas categorias de

acordo com a maneira pela qual o valor da grandeza e sua incerteza associada

tenham sido determinados:

a) Quando ambas são diretamente determinadas na medição, os seus valores podem

ser obtidos, por exemplo, de uma única observação, de observações repetidas, ou

através de julgamento baseado na experiência. Eles podem envolver a avaliação

de correções para as indicações dos instrumentos bem como correções para

grandezas de influência, tais como temperatura ambiente, pressão barométrica

ou umidade;

b) Quando ambas são incorporadas à medição a partir de fontes externas.

2) Uma estimativa do mensurando estimativa de saída designada por y é obtida pela

equação 5 usando as estimativas de entrada x

para os valores das grandezas de

entrada X

y =

, x

, ..., x

) (2)

Entende-se que os valores de entrada são as melhores estimativas que foram

corrigidas para todos os efeitos significativos para o modelo. Se não o foram, as

correções necessárias devem ser introduzidas como grandezas de entrada

separadas.

3) Para uma variável aleatória a variância de sua distribuição ou a raiz quadrada

positiva da variância, chamada de desvio padrão utilizada como uma medida da

dispersão de valores. A incerteza padrão de medição associada à estimativa de

saída ou resultado de medição y, designado por u(y) é o desvio padrão do

mensurando Y. Ela deve ser determinada a partir das estimativas x

_ das grandezas

de entrada X

; e suas incertezas padrão associadas u(x

). A incerteza padrão

associada a uma estimativa, tem a mesma dimensão da estimativa. Em alguns

casos, pode ser apropriado utilizar a incerteza padrão relativa de medição, que é

a incerteza padrão de medição associada a uma estimativa dividida pelo módulo

desta estimativa e que é, portanto, adimensional. Este conceito não pode ser

utilizado se a estimativa for igual a zero.

2.5 Incerteza de Medição

A palavra “incerteza”, dentro do contexto metrológico, significa “dúvida”. Assim, de

forma ampla “incerteza da medição” significa “dúvida sobre o resultado de uma medição”.

Segundo o VIM, incerteza (de medição) é o parâmetro, associado ao resultado de uma

medição, que caracteriza a dispersão de valores que podem ser razoavelmente atribuídos ao

mensurando. Em outras palavras, incerteza de medição é o resultado quantitativo que permite

avaliar a confiabilidade do resultado de uma medição.

A incerteza, portanto, está associada ao resultado da medição. Não corresponde ao

erro aleatório do sistema de medição. Ela reflete a falta de conhecimento sobre o valor do

mensurando. O resultado de uma medição, após correção dos efeitos sistemáticos

reconhecidos, é ainda, tão somente uma estimativa do valor do mensurando por causa da

incerteza proveniente dos efeitos aleatórios e da correção imperfeita do resultado para efeitos

sistemáticos.

Desta forma, pode-se dizer que não há uma relação matemática explícita entre a

incerteza de um processo de medição e a repetitividade de um sistema de medição.

É preciso ter o cuidado para não confundir a incerteza do resultado de uma medição

com o erro, pois não representam o mesmo conceito e possuem princípios diferentes. As

principais diferenças estão indicadas no quadro 2.1.

Cabe ressaltar que a comparação, da forma como está apresentada, só é válida quando

mais de uma medição é feita para estimar o valor do mensurando.

Erro Incerteza

Resultado de uma medição

menos o valor verdadeiro do

mensurando

Indicada quantitativamente em função da dispersão

de valores que podem ser razoavelmente atribuídos

ao mensurando

Correção pode ser feita Correção não pode ser feita

Estimado de um valor médio

das medições

A sua estimativa não depende do valor médio das

medições e sim do desvio padrão das medições

Quadro 2.1: Principais diferenças entre erro e incerteza, adaptado de Kornblit 1997

2.6 Incerteza Tipo “A” (u

)

A incerteza do tipo “A” é a incerteza calculada com base numa distribuição de

probabilidade.

Por adotar fatores estatísticos, para a determinação deste tipo de incerteza deve-se

executar uma série de repetições em iguais condições. Segundo Liska (1997), para bons

resultados, o número de repetições deve ser no mínimo 10, e ainda contar com um

mensurando de boa qualidade. Caso essa incerteza seja calculada em condições de calibração,

devem ser utilizados padrões de ótima qualidade.

O procedimento a ser adotado é mostrado a seguir:

1) Executar um número "n" de medições;

2) Calcular o desvio padrão das medições através da Equação 01:

)(

−

(3)

Onde:

s = desvio padrão

= resultado da medição atual

= média dos resultados

n = número de medições

k = índice da medição atual

3) Calcular a incerteza (conforme utilização):

Adotando-se valores individuais (situação mais crítica):

u = s (4)

Adotando-se médias dos valores (quando consideramos a média como o resultado

das medições):

(5)

2.7 Incerteza Tipo “B” (u

)

A incerteza do tipo "B" é o método de avaliação da incerteza realizado por outros

meios que não a análise estatística de uma série de observações. Segue abaixo alguns

exemplos de incertezas do tipo “B”.

− Dados de medições anteriores;

− Especificações de fabricantes;

− Experiência na utilização e verificação do comportamento do instrumento com o

tempo;

− Dados fornecidos em certificados de calibração.

Dentre os muitos casos possíveis podemos citar:

2.7.1 Incerteza declarada com fator de abrangência k (Nível de Confiança)

informado

Alguns fabricantes fornecem, através dos manuais ou certificados de calibração, um

valor de fator de abrangência, que é baseado no nível de confiança dos resultados fornecidos

pelo instrumento, onde para:

k = 2: a incerteza declarada foi estimada para um nível de confiança de 95%;

k = 3: a incerteza declarada foi estimada para um nível de confiança de 99,73%.

Tanto a incerteza expandida quanto o fator de abrangência são obtidos dos certificados

de calibração e a partir destes dois valores pode-se determinar o valor da incerteza padrão

(incerteza do tipo "B"), pois basta dividir o resultado da incerteza expandida pelo fator de

abrangência.

2.7.2 Incerteza declarada com nível de confiança (p) informado

Conhecendo-se o nível de confiança, pode-se calcular a incerteza do tipo B dividindo

o valor encontrado pelo t de Student correspondente. Existe um valor de t de Student para

cada nível de confiança e número de amostras desejado, uma vez que a distribuição de

Student considera o número de amostras e se equivale a uma distribuição Normal, que

considera o comportamento da população. A tabela completa encontra-se no anexo A.

Mostram-se aqui os valores usuais para um número infinito de medições, sendo o de nível de

confiança de 95%, o mais empregado:

Nível de confiança (p) t de Student

90% 1,64

95% 1,96

99% 2,58

Tabela 2.1: t de Student para infinitas medições e nível de confiança indicado

2.7.3 Limites de erro especificados pelo fabricante

Em alguns casos o fabricante nos fornece apenas os limites de erro do equipamento de

medição. Então adota-se o seguinte procedimento:

- Calcular "a", que é a média dos limites inferior e superior.

- Calcular a incerteza do tipo "B" pela expressão:

u =

(6)

Esses limites são facilmente encontrados em catálogos de fabricantes de instrumentos

de medição universais. Por exemplo, se um fabricante de instrumentos especifica no seu

catálogo que um dado paquímetro tem ±0,02 mm de exatidão (incerteza de medição), "a" vai

ser 0,04 / 2 = 0,02 mm.

2.7.4 Incerteza gerada por efeitos sistemáticos não compensados

Em algumas situações práticas os erros sistemáticos não são compensados e a

distribuição desses erros não é simétrica em relação a um ponto de referência. Com isso, o

cálculo da incerteza fica mais difícil.

Assim, para simplificar os cálculos no chão de fábrica, contrariando o rigor

matemático, a incerteza de medição pode ser determinada através de uma distribuição

retangular, em que é usada a diferença entre o maior e o menor valor encontrado nas medições

como numerador. Desta forma, temos a incerteza de medição determinada como indicada

abaixo:

−

(7)

Onde:

é o maior valor encontrado e

é o menor valor encontrado.

2.7.5 Incerteza devido à resolução de um instrumento analógico

De acordo com Albertazzi G. Jr. (2002), nos sistemas com mostradores analógicos, a

resolução teórica é zero. Entretanto, em função das limitações do operador, da qualidade do

dispositivo indicador e da própria necessidade de se realizar leituras mais ou menos

criteriosas, a resolução adotada (RA) pode ser:

• RA = Valor da divisão (VD), quando o mensurando apresenta flutuações

superiores ao próprio VD, ou no caso de tratar-se de uma escala grosseira ou

de má qualidade;

• RA = VD/2, quando se tratar de SM de qualidade regular ou inferior e/ou o

mensurando apresentar flutuações significativas e/ou quando o erro de

indicação direta não for crítico;

• RA = VD/5, quando se tratar de SM de boa qualidade (traços e ponteiros finos,

etc.) e a medição em questão tiver de ser feita criteriosamente;

• RA = VD/10, quando o SM for de qualidade, o mensurando estável a medição

for altamente crítica quanto a erros de indicação direta e a incerteza do SM for

inferior ao VD.

Considerando o que foi dito no parágrafo anterior, pode-se dizer que ao se utilizar um

instrumento de medição analógico, o operador está sujeito ao erro de arredondamento devido

à resolução adotada para o sistema de medição. Em função disto, durante o processo de

medição é introduzida uma componente adicional de incerteza. Seu efeito é de natureza

aleatória e pode ser quantificado através dos limites máximos possíveis, segundo uma

distribuição retangular. Assim, o máximo erro de arredondamento decorre da resolução

adotada (RA) e a incerteza de um instrumento analógico será dada por:

u =

(8)

2.7.6 Incerteza devido à resolução de um instrumento digital

Em alguns casos, utilizar o valor da resolução do instrumento (R) e calcular a

incerteza pela expressão:

u =

(9)

Isto é aplicável, por exemplo, quando o instrumento tiver seu mostrador digital onde o

valor mostrado pode variar devido ao truncamento numérico.

2.7.7 Incerteza devido à influência da temperatura

Considerando que existem variações de temperatura mesmo num ambiente controlado,

faz-se necessário considerar a parcela de incerteza de medição decorrente. Para este tipo de

incerteza, assume-se uma distribuição triangular. Deve-se considerar a máxima variação de

temperatura dentro dos limites de especificação, ou a máxima variação de temperatura

possível entre a peça e o sistema de medição, caso não seja feita a correção. Esta parcela de

incerteza é determinada por uma distribuição triangular, calculada conforme a equação

abaixo:

TLL

∆

(10)

Onde:

∆L = variação no comprimento

L = comprimento nominal ou média das medições

α = coeficiente de dilatação térmica do material (aço: α = 11,8 µm/ºC)

∆T= variação da temperatura (variação expressa em ºC no cálculo)

2.7.8 Deformação devido à força de medição

Mais uma consideração importante para instrumentos dimensionais. A deformação

devido à força de medição é dada por:

FLL

∆

(11)

Onde:

∆L = variação no comprimento

∆F = variação máxima na força de medição

L = comprimento medido

A = área da secção transversal

E = módulo de elasticidade do material

Demonstra-se aqui algumas das incertezas de medição tipo “B”. É evidente que

existem outras fontes de incerteza que podem ser enumeradas.

As incertezas demonstradas aqui nem sempre são válidas para todos os casos.

2.8 Grau de Liberdade (

)

Grau de liberdade corresponde ao número n de observações independentes de uma

determinada variável. Entretanto, um grau de liberdade será perdido para cada restrição que

existir sobre as n observações.

Em geral temos que o grau de liberdade é dado pela expressão:

−

(12)

2.9 Grau de Liberdade Efetivo (

νν

eff

)

Grau de liberdade efetivo é o valor que estima a combinação dos graus de liberdade

(

) associados a cada uma das incertezas padrão, com uma ponderação pelas respectivas

incertezas padrão (VIM).

Seu cálculo é feito usando-se a fórmula de Welch-Satterwaite, descrita na equação 13.

eff

uuuu

νννν

...++++

= (13)

2.10 Mensurando Variável

O mensurando será considerado variável se o seu valor não permanecer constante

durante todo o período de estudo ou de interesse no seu valor ou ainda quando as variações

puderem ser percebidas pelo sistema de medição.

2.11 Mensurando Invariável

O mensurando será considerado invariável se o seu valor permanecer constante

durante todo o período em que houver interesse no seu valor ou quando as variações não

puderem ser percebidas pelo SM. Pode-se dizer também que o mensurando é invariável

quando suas variações inferiores à resolução do SM ou quando não há variações.

2.12 Incerteza Combinada (u

)

A incerteza combinada consiste na soma quadrática das diversas incertezas de medição

apresentadas por um instrumento qualquer, ou seja:

...

uuuuu ++++=

(14)

Esse valor não é adotado como real, pois representa uma probabilidade estatística de

aproximadamente 68% de se encontrar o erro de medição, e assim não constitui de uma boa

aproximação. Para se determinar a incerteza com nível de confiança maior, deve-se calcular a

incerteza expandida, cujo valor estará dentro de uma confiança de 95%.

O valor da incerteza combinada contempla também as incertezas herdadas dos padrões

corrigidas se necessário (conforme as diretrizes dos certificados de calibração

correspondentes).

2.13 Incerteza Expandida (U)

Incerteza Expandida (U), que é definida como sendo a grandeza que define um

intervalo em torno do resultado de uma medição que pode ser esperado englobar uma grande

fração da distribuição de valores que podem ser razoavelmente atribuídos ao mensurando

(VIM). Esta fração pode ser vista como a probabilidade de abrangência ou nível de confiança

do intervalo.

Para associar um nível de confiança específico ao intervalo definido pela incerteza

expandida, são necessárias suposições explícitas ou implícitas com respeito à distribuição de

probabilidade caracterizada pelo resultado da medição e sua incerteza combinada. O nível de

confiança que pode ser atribuído a este intervalo só pode ser conhecido na medida em que tais

suposições possam ser justificadas. A incerteza expandida é dada pela Equação 15.

U = k u

(15)

Onde k é o fator de abrangência para o nível de confiança desejado.

É muito comum a incerteza expandida ser representada pelo símbolo U e o fator de

abrangência pelo símbolo k e, em geral, o nível de confiança ser 95%. O fator de abrangência

95%

equivale ao coeficiente de Student para dois desvios padrão.

2.14 Principais considerações na avaliação da IM em medição

direta

Na metrologia dimensional, quando se realizam medições diretas, as principais fontes

de incerteza que podem estar presentes durante o processo de medição são:

- A incerteza da calibração do sistema de medição (IC), que é a incerteza herdada;

- O arredondamento devido à resolução do sistema de medição (IR);

- A influência da diferença de temperatura entre a peça e a escala do sistema de

medição (IT);

- A incerteza do Tipo A (u

);

- A tendência dos sistemas de medição, que é a influência sistemática;

- A influência da força de medição; e

- Diferença entre o material da peça e o do SM.

Outras fontes de incerteza podem estar presentes, mas neste trabalho será considerado

que o sistema de medição está adequado ao uso, que o operador está capacitado para realizar a

medição corretamente e que o mensurando não sofre modificação indevida pelo sistema de

medição. Assim, as fontes de incerteza podem ser identificadas e avaliadas de forma

consistente e segura.

2.15 Método padronizado pelo ISO GUM

Este método teve como origem a necessidade de se criar um procedimento que fosse

internacionalmente aceito para expressar a incerteza de medição. Para isso, o Bureau

International des Poids et Mesures (BIPM) convocou um grupo de trabalho que desenvolveu

a Recomendação INC-1 (1980), Expressão de Incertezas Experimentais (BIPM, 1993).

A tarefa de desenvolver um Guia detalhado foi transferida para a Organização

Internacional de Normalização (ISO). A ISO confiou a responsabilidade ao ISO Technical

Advisory Group on Metrology (TAG 4), que por sua vez estabeleceu o Grupo de Trabalho 3

(ISO/TAG 4/WG3) para executar esta tarefa. Esse Grupo de Trabalho estabeleceu o seguinte

termo de referência:

Desenvolver um documento-Guia baseado na recomendação do Grupo de Trabalho

do BIPM sobre a Declaração de Incertezas que forneça regras sobre a expressão da

incerteza de medição para a utilização em normalização, calibração, acreditação

(credenciamento) de laboratórios e serviços de metrologia.

O ISO GUM estabelece regras para que as medições e especificações metrológicas

realizadas em diversas partes do mundo possam ser facilmente comparadas. Para isso, o ISO

GUM faz com que a incerteza de medição seja calculada e expressa de uma maneira

padronizada, para que a interpretação da mesma também possa ser padronizada

(MATHIESEN, 1997).

O método ideal para expressar a incerteza de medição deve ser aplicável a todas as

espécies de medições em todos os níveis de exatidão (BIPM, 1993).

Para usar o método padronizado pelo ISO GUM, é preciso conhecer todos os

conceitos definidos nos itens anteriores deste capítulo, uma vez que este método está baseado

na determinação da incerteza expandida (U).

A incerteza expandida deve ser calculada com, no mínimo, um nível da confiança de

95%, o valor do mensurando e a incerteza expandida, devem ser escritos da seguinte forma:

y ± U

e acompanhados da seguinte declaração de confiança do tipo:

O valor da incerteza está baseado na incerteza padrão combinada, multiplicada por um fator

de abrangência k = 2, resultando um nível da confiança de aproximadamente 95%. (BIPM,

1993)

Incertezas são geralmente expressas em intervalos bilaterais (±) com unidades do

mensurando ou, em casos especiais, com valores relativos, por exemplo: porcentagem (%).

De forma geral, o método proposto pelo ISO GUM pode ser resumido no

procedimento mostrado abaixo:

1) Expressar a função matemática das grandezas de entrada:

Y = f (X

, X

, ..., X

)

2) Determinar o valor de cada uma das grandezas de entrada (X

);

3) Avaliar a incerteza padrão(u) de cada estimativa de entrada;

4) Avaliar as covariâncias associadas com quaisquer estimativas de entrada que sejam

correlacionadas;

5) Calcular o resultado da medição a partir da expressão do item 1 usando as

estimativas obtidas no item 2 y;

6) Determinar a incerteza combinada (u

) do resultado da medição a partir das u e das

covariâncias com as estimativas de entrada;

7) Determinar a incerteza expandida U;

8) Relatar o resultado da medição juntamente com a u

ou U:

RM = y

±±

2.16 Métodos aplicados

2.16.1 Método usado na indústria metal mecânica

Segundo Liska (1999), nas indústrias de fabricação mecânica, inclusive nas

certificadas pela ISO 9001, o cálculo de incerteza de medição, quando executado, ocorre na

calibração do instrumento de medição.

A metodologia mais usada é dada pela equação 15

IM = ± (|ES| máx + DSM ) (16)

onde :

- ES = Erro Sistemático = VVC –

- VVC = Valor Verdadeiro Convencional

- DSM = desvio do sistema de medição = t.s

o t = fator de Student

o s = desvio padrão

2.16.2 Metodologia dependente do mensurando, do conhecimento sobre o

sistema de medição e da quantidade de medições realizadas.

Segundo Albertazzi G. Jr. (2002), a metodologia usada para determinar o resultado da

medição para os casos onde várias fontes de incertezas relevantes estão envolvidas, o ponto de

partida é a determinação do balanço de incertezas do processo de medição. Caso medições

indiretas estejam presentes, as incertezas envolvidas devem ser corretamente combinadas.

Com estas informações, o procedimento para a determinação do resultado da medição

pode ser aplicado. Entretanto, é fundamental que quem efetua a medição esteja apto a fazê-la

para que seja garantido o tripé formado por: conhecimento técnico, honestidade e bom senso

(ALBERTAZZI G. Jr, 2002).

Para expressar o RM é necessário verificar em qual situação está inserida a medição

que está sendo realizada. Os diversos tipos de situação estão resumidos a seguir.

a) Avaliação do resultado da medição de um mensurando invariável

Do ponto de vista metrológico é sempre interessante compensar os efeitos

sistemáticos. Sempre haverá um ganho que resultará na redução da incerteza de

medição. Porém, por questões operacionais, seja para simplificar, seja para acelerar o

processo de medição, há casos em que os erros sistemáticos não são compensados. Isto

é uma prática correta, mas com isto aumenta-se a incerteza da medição.

A seguir serão mostradas duas situações distintas para a determinação do RM:

com a compensação ou sem a compensação dos efeitos sistemáticos:

a.1) Compensando efeitos sistemáticos

Neste caso, tanto o valor da correção (C) quanto o valor da repetitividade (Re)

são conhecidos, podendo-se então compensá-los. Assim, considerando todas as

condições reais do processo de medição, incluindo o número de medições efetuadas e

os limites de variação das grandezas de influência, tem-se:

• Para o caso em que apenas uma medição é efetuada, estima-se o resultado

da medição por:

RM = I + C ± R

(17)

onde:

- I: indicação obtida;

- C: correção do sistema;

- R

: Repetitividade do SM.

• Para o caso em que são realizadas “n” medições, estima-se o resultado da

medição por:

CMIRM

±+=

(18)

onde:

- MI: média das indicações;

- C: correção do sistema;

- R

: Repetitividade do SM;

- n : número de medições.

a.2) Não compensando efeitos sistemáticos

Neste caso não foram compensados os efeitos sistemáticos. Seja de forma

deliberada ou por desconhecimento deste valor. O balanço de incertezas fornece a

estimativa da incerteza expandida (U

), considerando que nenhum dos efeitos

sistemáticos foi compensado, as condições reais do processo de medição, incluindo o

número de medições efetuadas e os limites de variação das grandezas de influência.

Desta forma, o resultado esperado será a própria indicação, ou a média das

indicações, e a incerteza de medição do resultado será a própria incerteza expandida

do processo de medição.

No caso em que apenas uma medição é efetuada, o resultado da medição é

dado por:

RM = I

± E

max

(19)

onde:

- I: indicação obtida

- E

max

: erro máximo do SM nas condições em que a medição foi efetuada

No caso em que “n” diferentes medições forem efetuadas, o resultado da

medição pode ser avaliado a partir da média das “n” indicações disponíveis por:

RM = MI

± E

max

(20)

onde:

- MI: média das “n” indicações disponíveis;

- E

max

: erro máximo do SM nas condições em que a medição foi efetuada.

b) Avaliação do resultado da medição de um mensurando variável

Nesta situação, o valor do mensurando não é único e pode apresentar variações

com o tempo, com o espaço ou de amostra para amostra. Assim, o RM deve exprimir

uma faixa que inclua todos os valores possíveis de serem assumidos pelo mensurando

nas condições em que este é observado. As incertezas do processo de medição também

são consideradas e isso amplia a faixa ideal.

Para este caso, o resultado da medição só será obtido se obedecer as seguintes

restrições: que a incerteza expandida tenha sido estimada a partir de um conjunto

suficientemente grande e representativo das variações do mensurando e que a

componente de incerteza padrão relativa à repetitividade tenha sido considerada para

uma medição e não para a média de "n" medições.

Também aqui são estudadas duas situações distintas para a determinação do

RM, classificados em função da compensação ou não dos efeitos sistemáticos:

b.1) Compensando efeitos sistemáticos

Neste caso, o resultado da medição não depende do número de medições e é

obtido da soma da média das indicações com a correção, e a incerteza da medição é

formada pelo módulo da máxima variação e pela repetitividade do SM em relação a

média das indicações

RM = MI + C ± (Re + ∆I

max

) (21)

onde:

- MI: média das “n” indicações disponíveis;

- C: correção do SM;

- R

: repetitividade do SM

- ∆I

max

: valor absoluto da máxima diferença entre as indicações e seu valor

médio.

b.2) Não compensando efeitos sistemáticos

Neste caso, seja por simplicidade ou por desconhecimento, o valor da correção

não está sendo utilizado para compensar os efeitos sistemáticos. Assim, deve-se usar o

erro máximo para estimar o resultado da medição.

O resultado base é calculado a partir da média das indicações (ou da indicação,

se for feita somente uma medição) e a incerteza da medição é estimada pela soma do

erro máximo do sistema de medição com a variação máxima das indicações em

relação ao seu valor médio:

RM = MI + (E

max

+ ∆I

max

) (22)

onde:

- MI: média das “n” indicações disponíveis

- ∆I

max

: valor absoluto da máxima diferença entre as indicações e seu valor médio;

- E

max

: erro máximo do SM nas condições em que as medições são efetuadas.

Todos os casos mostrados neste item estão resumidos no quadro 2.2

Número de medições efetuadas Tipo de

Mensurando

Dados conhecidos

do SM

n = 1 n > 1

max

RM = I ± E

max

RM = MI ± E

max

Invariável

C e R

RM = I + C ± R

RM = MI + C ± R

/ n

max

Não se aplica

RM = MI + (E

max

+ ∆I

max

)

Variável

C e R

Não se aplica

RM = MI + C ± (Re + ∆I

max

)

Quadro 2.2 – Resultado da Medição – RM, retirado de Albertazzi G. Jr (2002)

2.16.3 Metodologia baseada na distribuição de erros

Nesta metodologia, segundo Vuolo (1996), a incerteza padrão é função do limite de

erro (L). O limite de erro L é o máximo valor que pode ter o erro

Assim, para uma confiança P =100%, temos que

- L < η < + L (23)

Um problema que aparece com muita freqüência em medições é a determinação da

relação existente entre o limite de erro (L) e a incerteza padrão. A partir da determinação

desta relação pode-se evidenciar o valor da incerteza padrão.

Não cabe neste trabalho demonstrar em detalhes esta questão da determinação da

relação. Desta forma, para o atender o objetivo deste trabalho, serão apresentadas de forma

direta a relação para as principais distribuições de erros a qual está associada à amostra que

está sendo estudada ou verificada.

a) Distribuição Gaussiana para P= 99%:

u =

(24)

b) Distribuição Gaussiana para P= 95%:

u =

(25)

c) Distribuição Uniforme:

u =

(26)

d) Distribuição Triangular:

u =

(27)

2.17 Custos da qualidade

Há diversas abordagens para entender e determinar os custos da qualidade. Mostram-

se aqui algumas dessas abordagens com a intenção de propiciar o seu entendimento e

conciliá-las de maneira que se possa conduzir este trabalho com a base necessária para

estabelecer a relação de dependência daqueles com a correta avaliação da incerteza de

medição.

Campanella (1999) define custos da qualidade como sendo aqueles que representam a

diferença entre o custo atual de um produto ou serviço e o custo ideal, se não houvesse o

serviço fora do padrão, falha de produtos, ou defeitos na manufatura. Nesta definição, os

custos da qualidade são uma medida dos custos associados com o atendimento das

especificações (requisitos) do produto. Estes incluem as especificações de mercado,

especificações de produto e processo, pedidos de engenharia, desenhos e procedimentos

operacionais e administrativos, regulamentos governamentais e qualquer outro documento ou

necessidade do consumidor que possa afetar a definição do produto ou serviço.

Juran e Gryna (1988), afirmam que o termo custos da qualidade tem diferentes

significados para diferentes pessoas. Enquanto alguns associam os custos da qualidade com os

custos da obtenção da qualidade, outros associam o termo aos gastos do Departamento da

Qualidade. Para esses, o termo custos da qualidade significa "Custos da má qualidade" -

aqueles custos que desapareceriam, se os produtos e processos da empresa fossem perfeitos.

Feigenbaum (1991), define os custos da qualidade como sendo os custos associados à

definição, criação e controle da qualidade, os associados à avaliação e realimentação de

conformidade com exigências de qualidade, de confiabilidade e de segurança, bem como

àqueles associados às conseqüências provenientes das falhas em atendimento a estas

exigências, tanto no interior da fábrica como nas mãos dos clientes.

Harrington (1993) prefere adotar o termo Poor-Quality Cost, definindo-o como sendo

o custo por ausência de qualidade e afirma que é mais barato fornecer um produto ou serviço

de alta qualidade, do que um de má qualidade.

Assim, para os propósitos desse trabalho, os custos da qualidade podem ser

sintetizados como sendo os gastos incorridos para assegurar e garantir a qualidade, bem como

as perdas incorridas quando a qualidade satisfatória não é obtida. Pode-se ainda classificar os

custos da qualidade em quatro categorias: prevenção, avaliação, falhas internas e falhas

externas.

Os custos de prevenção estão ligados com a prevenção de problemas, com as falhas e

erros, e estes não são escopo deste trabalho. Os custos de avaliação são aqueles ligados ao

controle da qualidade estabelecidos para verificar a ocorrência de problemas ou erros durante

ou após a elaboração do produto com relação à conformidade com a especificação. Os custos

das falhas internas são os que se referem às ações decorrentes da detecção de erros durante a

operação interna, resultado da etapa de avaliação. Os custos das falhas externas são os que

referem-se à não detecção de erros ou falhas dentro da operação, sendo então percebidos pelo

consumidor. Problemas, falhas ou erros são os responsáveis pelo não atendimento da

especificação, ou seja, a não conformidade com a especificação.

2.17.1 Conformidade com a especificação

Segundo Van der Veen (2003), a conformidade com a especificação significa produzir

de acordo com as especificações estabelecidas em projeto. Para garantir a conformidade do

produto são necessárias as seguintes etapas:

- Definir as características de qualidade do produto;

- Definir como medir cada uma das características de qualidade;

- Definir padrões de qualidade para cada uma das características de qualidade;

- Controlar a qualidade com relação a esses padrões;

- Encontrar e corrigir causas de má qualidade, caso elas venham a ocorrer; e

- Propor melhorias.

Segundo Silva e Donatelli (2003), o ideal da qualidade classe mundial só é alcançado

com processos de produção que operam no valor nominal e com variância mínima. Ainda

segundo o autor, para que um processo opere nessa condição, é necessário:

- Eliminar os modos de operação inconsistente;

- Identificar e eliminar as causas especiais de variação;

- Reduzir as variações por causas estruturais e comuns.

2.18 Relação entre os custos da qualidade e a incerteza de

medição

Para mostrar a relação entre os custos da qualidade e a incerteza de medição será

mostrado a seguir o resultado de uma medição realizada para verificar a conformidade de uma

determinada característica geométrica com a indicação da sua respectiva incerteza de

medição.

Considere um eixo de aço cuja especificação de projeto é dada pelo valor nominal de

22,00 mm com tolerância de ± 0,02 mm. O exemplo trata de avaliar se esse eixo foi produzido

em conformidade com a especificação de projeto.

Para que fossem indicados o resultado da medição e a sua respectiva incerteza, foi

usado um micrômetro milesimal e foram consideradas as seguintes fontes de incerteza:

− Incerteza da calibração do sistema de medição (I

);

− Arredondamento devido à resolução do sistema de medição(I

);

− Influência da diferença de temperatura entre a peça e a escala do micrômetro (I

);

− Incerteza tipo A (I

O resultado da medição, após serem consideradas todas as fontes de incerteza e a

metodologia de cálculo usada, está indicado a seguir.

RM = (22,0004 ± 0,0028) mm.

Como pode ser verificado, a julgar pela média o eixo avaliado está aprovado pois está

dentro da tolerância de projeto. Entretanto, ao se considerar a incerteza de medição o eixo

deve ser reprovado, pois existe a probabilidade de que a medida seja maior que 22,02 mm. O

valor máximo possível para esse exemplo é de 22,0032 mm o que representa uma

probabilidade de 1,13% de ocorrência de não conformidade.

Pode-se verificar, através do exemplo, que existe oportunidades em que o operador

decide-se pela conformidade quando esta não é verdadeira. Neste caso os custos da qualidade

enquadram-se com os de falhas externas. Como exemplo de conseqüências desta incorreta

classificação de conformidade pode-se citar:

- Perda da confiança por parte do consumidor, afetando negócios futuros;

- Aborrecimento dos consumidores por eventuais perdas de tempo;

- Litígio ou indenizações para evitá-los; e

- Custos de garantia.

Por outro lado, se o operador classifica-se como não-conforme uma peça conforme, os

custos da qualidade seriam enquadrados nos de falhas internas e dentre conseqüências desta

incorreta classificação de conformidade pode-se citar:

- Custos de peças e materiais refugados;

- Custos de peças e materiais retrabalhados;

- Tempo de produção perdido na produção da peça não-conforme; e

- Tempo de produção gasto na produção para tornar a peça conforme, quando

possível.

Assim, verifica-se a relação direta entre a incerteza de medição e os custos da

qualidade.

Segundo a ISO14253-1 (1998), há regiões de dúvida em virtude da incerteza associada

ao processo de medição, reduzindo teoricamente os limites de especificação do produto.

Processos com elevada capacidade requerem medições menos rigorosas (baixa probabilidade

de produzir unidades próximas aos limites de especificação), enquanto que processos com

baixa capacidade exigem medições com menor incerteza, para diminuir o risco de errar na

avaliação da conformidade. Isto pode ser visto na figura 2.3.

Fonte: (Adaptado de ISO 14253-1 1998)

Figura 2.3– O efeito da incerteza de medição na avaliação da conformidade

2.19 Método proposto para este trabalho

Neste item é apresentado o método que foi definido como sendo o proposto para

execução deste trabalho e que será usado em substituição ao método padronizado pelo ISO

GUM. O método proposto está baseado no método usado na indústria, citado em 2.15.1.

Este método está sendo proposto para facilitar os trabalhos de determinação da

incerteza da medição no chão de fábrica e, para que esta facilitação fosse possível, foram

feitas as seguintes simplificações:

• Desconsiderado o valor do erro sistemático do sistema de medição, baseado na

premissa de que as tendências foram eliminadas na calibração;

• Usada a soma linear das parcelas de incerteza, indicando uma falsa linearidade das

parcelas de incerteza.

Em outras palavras, o rigor matemático foi substituído por uma expressão simplificada

para facilitar os trabalhos no chão de fábrica, como proposta de se obter um valor aproximado

da incerteza de medição.

No método proposto, considera-se a incerteza do sistemas de medição, verificada na

calibração deste, bem como a influência do número de medições realizadas para avaliar a

conformidade do produto.

Estas considerações são importantes uma vez que durante a avaliação da conformidade

do produto, realizada no nível operacional, as fontes de incerteza não estão sob controle e

estas contribuem para a dúvida sobre o resultado de medição.

Esta proposta de método visa viabilizar a determinação da influência da quantidade de

medições realizadas, no resultado final da incerteza de medição.

O método proposto está representada pela equação 28.

IIM

(28)

Assim, o resultado da medição será representado como:

+±=

IMRM

c (29)

Onde:

- RM = Resultado da medição;

= média das medições realizadas;

- I

= Incerteza da calibração do instrumento no ponto referente à média das

medidas;

- t = fator de Student (Anexo A), para “n-1” leituras realizadas e para o nível

de confiança desejado;

- s = desvio padrão das medições realizadas.

3. EXPERIMENTO

3.1 Considerações Iniciais

O experimento foi dividido em duas etapas bem distintas: ensaio em laboratório e

simulação. O ensaio no laboratório foi realizado para que fosse possível estabelecer a

amplitude das variações das componentes que integram a incerteza expandida em cada um

dos métodos estudados: ISO GUM e proposto.

Para a elaboração deste trabalho foram utilizados dois sistemas de medição diferentes

realizando medições em bloco padrão. Cada um dos sistemas de medição trabalhou com um

bloco padrão diferente e aqui este bloco padrão foi chamado de peça.

Chama-se de Ensaio, o conjunto composto por Sistema de Medição-Peça-Medições.

Para cada um dos ensaios foram feitas dez repetições. Assim tem-se um total de 100 ensaios

diferentes.

O número de medições utilizado nos ensaios foi definido com base nas práticas

industriais e na necessidade de determinação da influência do número de medições.

Para o primeiro caso, segundo Liska (1999), aquele praticado nas indústrias, o número

de medições é 3 e para o segundo, os números são 5, 10, 20 e 50.

A coleta de dados foi realizada no Laboratório de Metrologia da Universidade Federal

de Itajubá - UNIFEI. A coleta foi realizada uma única vez e serviu para a avaliação e

expressão da incerteza de medição ao serem usados os dois métodos apresentados neste

trabalho. O laboratório foi escolhido por apresentar as condições necessárias para a realização

dos ensaios: sistemas de medição e controle do ambiente.

As medições realizadas foram registradas numa planilha para que fossem compiladas

automaticamente para as duas metodologias utilizadas: a do ISO GUM e a Alternativa.

A tabela 3.1 apresenta as características dos sistemas de medição, onde o valor de I

95%

é a incerteza de calibração do sistema de medição com nível de confiança de 95% e k é o

fator de abrangência.

Sistema de medição Resolução I

c 95%

K Temperatura ºC

Paquímetro quadrimensional digital 0,01 mm 0,02 mm 2,3 (20 ± 3)

Micrômetro externo milesimal (analógico) 0,001 mm 0,0025 mm 2,1 (20 ± 3)

Tabela 3.1. Características dos sistemas de medição ensaiados e da condição ambiental do ensaio.

Os resultados encontrados com os dois métodos tem basicamente a mesma forma de

apresentação: “RM =

± IM", sendo que para o método do ISO GUM o valor de IM

corresponde à incerteza expandida (U) e para o método simplificado corresponde a “I

+ t.s”.

Foram usados os mesmos conjuntos de medições como base para os dois métodos para

eliminar a diferença da incerteza Tipo A que é uma das parcelas que compõe a incerteza de

medição.

A seguir serão apresentadas as medições encontradas durante a primeira repetição de

do ensaio realizado com 10 medições. Os demais ensaios realizados estão no Apêndice A.

3.2 Incertezas consideradas

3.2.1 Incertezas consideradas no método do ISO GUM

Conforme dito anteriormente, será considerado que o sistema de medição está

adequado ao uso, que o operador está capacitado para realizar a medição corretamente e que o

mensurando não sofre modificação indevida pelo sistema de medição. Assim, as fontes de

incerteza podem ser identificadas e avaliadas de forma consistente e segura. São elas:

- Incerteza tipo A - I

- Incerteza devido à variação da temperatura - I

∆=

Onde:

∆

Variação da temperatura;

- α = Coeficiente de dilatação térmica;

= Média das medições.

- Incerteza da Calibração - I

- Incerteza da Resolução -I

3.2.2 Incertezas consideradas no método proposto

O método proposto pressupõe a ausência de outras fontes de incerteza na medição que

não aquela devido à calibração e aquela devido ao desvio padrão das medições. Com estas

considerações tem-se que as seguintes parcelas de incerteza:

- Desvio padrão das medições - s

- Incerteza da Calibração - I

3.2.3 Medições e ensaios realizados com o paquímetro

Assim como nos demais ensaios que serão mostrados, foram realizadas as medições de

acordo com as características indicadas na Tabela 3.1, com os procedimentos de cada um dos

métodos, com as incertezas indicadas nos itens 3.2.1 e 3.2.2 e também com o número de

medições do ensaio.

3.2.3.1 Resultados obtidos com o método do ISO GUM

Como foi visto no item 3.2.1, as incertezas padrão que serão avaliadas neste ensaio

serão incerteza tipo A das medições (I

) a incerteza devido à variação da Temperatura (I

), a

Incerteza da Calibração (I

) e a Incerteza da Resolução (I

Neste item será mostrado, a título de ilustração, o procedimento de cálculo do ensaio

realizado com o paquímetro realizando 10 medições.

Assim, considerando o procedimento de cálculo do método do ISO GUM, as

informações da Tabela 3.1 e as medições realizadas neste ensaio, tem-se:

a) Dimensão do bloco padrão: 20,000 mm;

b) Sistema de Medição utilizado: Paquímetro centesimal digital;

c) Estimativa dos efeitos sistemáticos das fontes de erro:

Considerando-se que a tendência do equipamento de medição é zero, que a

influência da força de medição não é significativa e que o equipamento de

medição e a peça são do mesmo material, não existem efeitos sistemáticos para

serem corrigidos.

d) Incerteza da calibração do sistema de medição (I

) - Avaliação tipo B;

Do certificado de calibração do paquímetro tem-se U

95%

= 0,02 mm, para um fator

de abrangência k = 2,3 (nível de confiança de 95% e graus de liberdade estimado

ef). A incerteza de calibração é dada pela equação abaixo.

= U

95%

/ k. = I

= 0,02 / 2,3 = 0,0087 mm

e) Arredondamento devido à resolução do SM (I

) - Avaliação tipo B.

A resolução do paquímetro introduz uma componente adicional de erro devido ao

truncamento numérico. Seu efeito é aleatório e pode ser quantificado através dos

limites máximos possíveis. O máximo erro de arredondamento corresponde a um

terço do valor da resolução e segue uma distribuição retangular. O seu valor é

calculado pela equação abaixo.

= )12/(res = 12/01,0 = 0,0029mm

f) Incerteza devido à variação da temperatura (I

) - Avaliação tipo B

A variação de comprimento da peça é estimada com base em uma distribuição

triangular. A máxima variação da temperatura foi estimada em 3 ºC e o coeficiente

de dilatação térmica do aço é de 0,0000118mm/ºC. O seu valor desta parcela de

incerteza é calculado pela equação:

6/TaLL ∆⋅⋅=∆=

6/3.1000/8,11.997,19

= 0,00029

g) Dispersão das medições - Avaliação tipo A (I

)

A incerteza padrão do tipo A corresponde ao desvio padrão da média das

medições. No ensaio que está sendo mostrado neste item, foram realizadas 10

medições: 19,99; 19,99; 19,99; 20,01; 20,01; 20,01; 19,99; 20,00; 20,00 e 20,01

mm.

Para estas medições temos a média de 20,000 mm e o desvio padrão de 0,0094

mm. O valor de I

é dado pela equação:

0094,0

= 0,0030

h) Incerteza Combinada (u

)

É a incerteza padrão de um resultado de medição quando este resultado é obtido

por meio dos valores de várias outras grandezas, sendo igual à raiz quadrada

positiva de uma soma de termos, sendo estes as variâncias ou covariâncias destas

outras grandezas, ponderadas de acordo com quanto o resultado da medição varia

com mudanças nestas grandezas (ISO GUM). Assim, a incerteza combinada é

obtida com aplicação da equação:

...

uuuu ++++ =

2222

TRCL

IIII +++ =

2222

00029,00029,00087,00030,0 +++ = 0,0096 mm

i) Incerteza Expandida (U)

Para que se possa estimar o valor da incerteza expandida é necessário determinar o

número de número de graus de liberdade efetivo (ν

eff

). O

eff

é o obtido a partir da

equação 6 dada pela fórmula de Welch-Satterthwaite, particularizada para o

exemplo, onde

é o grau de liberdade de cada uma das fontes de incerteza e I

é a

incerteza de cada uma das fontes consideradas:

+++

eff

νννν

No exemplo tem-se: 4058,13

00029,00029,0

0087,0

0030,0

0096,0

4444

∞

eff

Com a determinação de ν

eff

e com a definição do nível de confiança desejado é

possível determinar o valor de k. No exemplo temos ν

eff

= 13.4058 e deseja-se

95% de confiança. Isso nos leva ao valor de k = 2,1604 (distribuição-t). A valor de

U é dado pela equação:.

U = k . u

No exemplo tem-se: mmukU

021,00096,0.1604,2.

%95%95

===

Após as considerações necessárias, pode-se apresentar o resultado da medição:

RM = (20,000 ± 0,021) mm.

3.2.3.2 Resumo dos dados e cálculos para o método do ISO GUM

Medições realizadas (mm)

19,99 19,99 19,99 20,01 20,01

20,01 19,99 20,00 20,00 20,01

Média das medições (mm) 20,000

Variação da temperatura (°C)

Coeficiente de dilatação do aço (mm/°C)

0,0000118

Incerteza de Calibração, com 95% (mm) 0,02

Fator de abrangência – k 2,3

Resolução do sistema de medição (mm) 0,01

Número de medições 10

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (mm)

Incerteza Tipo A Normal 0,0030

Influência da Temperatura Triangular 0,00029

Calibração do SM Student 0,0087

Resolução do SM Uniforme 0,0029

Incerteza Padrão Combinada 0,0096

Graus de Liberdade 13,4058

Fator de Abrangência – k

2,1604

Incerteza Expandida 0,021

3.2.3.3 Resultados obtidos com o método proposto

Como foi visto no item 3.2.2, as incertezas padrão que serão avaliadas neste ensaio

são: incerteza das medições (I

) e a Incerteza da Calibração (I

Neste item também será mostrado o procedimento de cálculo do ensaio realizado com

o paquímetro com as mesmas 10 medições usadas no método do ISO GUM. Assim,

considerando o procedimento de cálculo do método proposto, as informações da Tabela 3.1 e

as medições realizadas neste ensaio, tem-se:

a) Dimensão do bloco padrão: 20,000 mm;

b) Sistema de Medição utilizado: Paquímetro centesimal digital;

c) Incerteza da calibração do sistema de medição (I

) - Avaliação tipo B;

Do certificado de calibração do paquímetro tem-se U

95%

= 0,02 mm, para um fator

de abrangência k = 2,3 (nível de confiança de 95% ). A incerteza de calibração é

dada por : I

= U

95%

/ k. = I

= 0,02 / 2,3 = 0,0087 mm

d) Desvio padrão das medições (s) Avaliação tipo A;

A incerteza padrão devido às variações das medições é dada pelo desvio padrão

destas. No ensaio que está sendo mostrado neste item, as 10 medições foram:

19,99; 19,99; 19,99; 20,01; 20,01; 20,01; 19,99; 20,00; 20,00 e 20,01 mm.

Para estas medições tem-se:

- média: de 20,000 mm e

- desvio padrão (s), calculado pela equação 1: 0,0094 mm

e) A incerteza de medição, dada pela equação 28, para o exemplo que está sendo

mostrado neste item é:

015,010/0094,0.2622,20087,0

=+=+=

ICI

3.2.3.4 Resumo dos dados e cálculos para o método proposto

Medições realizadas (mm)

19,99 19,99 19,99 20,01 20,01

20,01 19,99 20,00 20,00 20,01

Média das medições (mm) 20,000

Incerteza de Calibração, com 95% (mm) 0,02

Fator de abrangência – k 2,3

Número de medições 10

Fator de Student 2,2622

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (mm)

Desvio padrão das medições Normal 0,0094

Calibração do SM Student 0,0087

Incerteza da medição 0,015

3.2.4 Medições e ensaios realizados com o micrômetro

Assim como nos demais ensaios que serão mostrados, foram realizadas as medições de

acordo com as características indicadas na Tabela 3.1, com os procedimentos de cada um dos

métodos, com as incertezas indicadas nos itens 3.2.1 e 3.2.2 e também com o número de

medições do ensaio.

3.2.4.1 Resultados obtidos com o método do ISO GUM

Como foi visto no item 3.2.1, as incertezas padrão que serão avaliadas neste ensaio

serão: incerteza tipo A das medições (I

) a incerteza devido à variação da Temperatura (I

), a

Incerteza da Calibração (I

) e a Incerteza da Resolução (I

Neste item será mostrado, a título de ilustração, o procedimento de cálculo do ensaio

realizado com o micrômetro realizando 10 medições.

Assim, considerando o procedimento de cálculo do método do ISO GUM, as

informações da Tabela 3.1 e as medições realizadas neste ensaio, tem-se:

a) Dimensão do bloco padrão: 22,000 mm;

b) Sistema de Medição utilizado: Micrômetro externo milesimal;

c) Estimativa dos efeitos sistemáticos das fontes de erro:

Considerando-se que a tendência do equipamento de medição é zero, que a

influência da força de medição não é significativa e que o equipamento de

medição e a peça são do mesmo material. Com isso não existem efeitos

sistemáticos para serem corrigidos.

d) Incerteza da calibração do sistema de medição (I

)- Avaliação tipo B;

Do certificado de calibração do micrômetro tem-se U

95%

= 0,0025 mm, para um

fator de abrangência k = 2,1 (nível de confiança de 95% e graus de liberdade

estimado

ef). A incerteza de calibração é dada por pela equação abaixo.

= U

95%

/ k. = I

= 0,0025 / 2,1 = 0,0012 mm

e) Arredondamento devido à resolução do sistema de medição (I

) -Avaliação tipo

A resolução do micrômetro introduz uma componente adicional de erro devido ao

truncamento numérico. Seu efeito é aleatório e pode ser quantificado através dos

limites máximos possíveis. O máximo erro de arredondamento corresponde a um

terço do valor da resolução e segue uma distribuição retangular. O seu valor é

calculado pela equação abaixo.

= )12/(res = 12/001,0 = 0,00029mm

f) Dispersão das leituras - Avaliação tipo A (I

)

A incerteza padrão do tipo A corresponde ao desvio padrão da média das

medições. No ensaio que está sendo mostrado neste item, foram realizadas 10

medições em mm:

21,999, 21,999, 22,001, 22,000, 22,000, 22,000, 21,998, 22,000, 21,999 e 21,999.

Para estas medições temos a média de 22,0000 mm e o desvio padrão (s) de

0,00085 mm. O valor de I

é dado pela equação:

00085,0

= 0,00027

g) Incerteza devido à variação da temperatura (I

) - Avaliação tipo B

A variação de comprimento da peça é estimada com base em uma distribuição

triangular. A máxima variação da temperatura foi estimada em 3 ºC e o coeficiente

de dilatação térmica do aço é de 0,0000118mm/ºC. O seu valor desta parcela de

incerteza é calculado pela equação:

6/TaLL ∆⋅⋅=∆=

6/3.1000/8,11.000,22

= 0,00032

h) Incerteza Combinada (u

)

incerteza combinada é obtida com aplicação da equação:

...

uuuu ++++ =

2222

TRCL

IIII +++ =

2222

00032,000029,00012,000027,0 +++ = 0,0013mm

i) Incerteza Expandida (U)

é a incerteza de cada uma das fontes consideradas:

+++

eff

νννν

No exemplo temos: 5221,12

00032,000029,0

0012,0

00027,0

0013,0

4444

∞

eff

Com a determinação de ν

eff

e com a definição do nível de confiança desejado é

possível determinar o valor de k. No exemplo temos ν

eff

= 12,5221 e desejamos

95% de confiança. Isso nos leva ao valor de k = 2,1788 (distribuição-t). A valor de

U é dado pela equação: U = k . u

No exemplo tem-se: mmukU

0028,00013,0*1788,2.

%95%95

===

Após as considerações necessárias, pode-se apresentar o resultado da medição:

RM = (21,9995 ± 0,0028) mm.

3.2.4.2 Resumo dos dados e cálculos para o método do ISO GUM

Medições realizadas em mm:

21,999

22,001

22,000

21,998

22,000

21,999

Média das medições (mm) 22,0000

Variação da temperatura (°C)

Coeficiente de dilatação do aço (mm/°C)

0,0000118

Incerteza de Calibração, com 95% (mm) 0,0025

Fator de abrangência – k 2,1

Resolução do sistema de medição (mm) 0,001

Número de medições 10

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (mm)

Incerteza Tipo A Normal 0,00027

Influência da Temperatura Triangular 0,00032

Calibração do SM Student 0,0012

Resolução do SM Uniforme 0,00029

Incerteza Padrão Combinada 0,0013

Graus de Liberdade 12,5221

Fator de Abrangência – k

2,1788

Incerteza Expandida 0,0028

3.2.4.3 Resultados obtidos com o método proposto

Como foi visto no item 3.2.2, as incertezas padrão que serão avaliadas neste ensaio

são: incerteza das medições (I

) e a Incerteza da Calibração (I

Neste item também será mostrado, a título de ilustração, o procedimento de cálculo do

ensaio realizado com o micrômetro com as mesmas 10 medições usadas no método do ISO

GUM.

Assim, considerando o procedimento de cálculo do método Proposto, as informações

da Tabela 3.1 e as medições realizadas neste ensaio, tem-se:

f) Dimensão do bloco padrão: 22,000 mm;

g) Sistema de Medição utilizado: Micrômetro centesimal digital;

h) Incerteza da calibração do sistema de medição (I

)- Avaliação tipo B;

Do certificado de calibração do micrômetro tem-se U

95%

= 0,0025mm, para um

fator de abrangência k = 2,1 (nível de confiança de 95% e graus de liberdade

estimado

ef). A incerteza de calibração é dada por pela equação:

= U

95%

/ k. = I

= 0,0025 / 2,1 = 0,0012 mm

i) Desvio padrão das medições (σ) Avaliação tipo A;

A incerteza padrão devido às variações das medições é dada pelo desvio padrão

destas. No ensaio que está sendo mostrado neste item, as 10 medições foram

medições em mm:

21,999, 21,999, 22,001, 22,000, 22,000, 22,000, 21,998, 22,000, 21,999 e 21,999.

Para estas medições tem-se:

- média: de 22,0000 mm e

- desvio padrão (s), calculado pela equação 1: 0,00085 mm

j) A incerteza de medição, dada pela equação 28, para o exemplo que está sendo

mostrado neste item é:

0018,010/00085,0*2622,2

===

3.2.4.4 Resumo dos dados e cálculos para o método proposto

Medições realizadas em mm:

21,999

22,001

22,000

21,998

22,000

21,999

Média das medições (mm) 22,0000

Incerteza de Calibração, com 95% (mm) 0,0025

Fator de abrangência – k 2,1

Resolução do sistema de medição (mm) 0,001

Número de medições 10

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (mm)

Desvio padrão das medições Normal 0,00085

Fator de Student Student 2,2622

Calibração do SM Student 0,0012

Incerteza da medição 0,0018

3.3 Comparação dos Resultados

Neste item serão apresentados de forma resumida os resultados encontrados nos

ensaios. Mostrar-se-ão apenas os resultados da incerteza de medição em cada um dos ensaios

realizados para que se possa verificar a existência de uma relação consistente entre os dois

métodos. Os resultados completos, como dito anteriormente, estão apresentados no Apêndice

3.3.1 Ensaios realizados com o paquímetro

Neste item, serão mostrados os resultados das incertezas de medição encontrados para

cada um dos ensaios realizados com o paquímetro, visando demonstrar a existência de um

coeficiente de relação entre os dois métodos. Em cada uma das tabelas e gráficos está

indicado este coeficiente.

3.3.1.1 Paquímetro realizando 3 medições

Ensaio ISO GUM Proposto Coeficiente de

relação

Coeficiente

Médio

1 0,025 0,037 1,5

2 0,021 0,023 1,1

3 0,021 0,023 1,1

4 0,024 0,034 1,4

5 0,020 0,009 0,4

6 0,021 0,023 1,1

7 0,021 0,023 1,1

8 0,020 0,009 0,4

9 0,021 0,023 1,1

10 0,021 0,023 1,1

1,0

Tabela 3.2 – Coeficientes de relação para 3 medições – Paquímetro

Relação - P3M

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

0,040

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

IM Guia (mm)

IM Alternativo (mm)

Coeficiente de Relação

Coeficiente Médio

3.3.1.2 Paquímetro realizando 5 medições

Ensaio ISO GUM Proposto Coeficiente de

relação

Coeficiente

Médio

1 0,021 0,015 0,7

2 0,022 0,021 1,0

3 0,021 0,019 0,9

4 0,021 0,019 0,9

5 0,021 0,019 0,9

6 0,021 0,015 0,7

7 0,021 0,020 0,9

8 0,021 0,020 0,9

9 0,021 0,019 0,9

10 0,021 0,020 0,9

0,9

Tabela 3.3 – Coeficientes de relação para 5 medições – Paquímetro

Relação - P5M

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

IM Guia (mm)

IM Alternativo (mm)

Coeficiente de Relação

Coeficiente Médio

3.3.1.3 Paquímetro realizando 10 medições

Ensaio ISO GUM Proposto Coeficiente de

relação

Coeficiente

Médio

1 0,021 0,015 0,7

2 0,020 0,012 0,6

3 0,021 0,015 0,7

4 0,021 0,014 0,7

5 0,021 0,015 0,7

6 0,021 0,014 0,7

7 0,021 0,015 0,7

8 0,021 0,015 0,7

9 0,021 0,014 0,7

10 0,021 0,015 0,7

0,7

Tabela 3.4 – Coeficientes de relação para 10 medições – Paquímetro

Relação - P10M

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

IM Guia (mm)

IM Alternativo (mm)

Coeficiente de Relação

Coeficiente Médio

3.3.1.4 Paquímetro realizando 20 medições

Ensaio ISO GUM Proposto Coeficiente de

relação

Coeficiente

Médio

1 0,020 0,013 0,6

2 0,020 0,013 0,6

3 0,021 0,013 0,6

4 0,020 0,013 0,6

5 0,020 0,013 0,6

6 0,021 0,012 0,6

7 0,020 0,013 0,6

8 0,020 0,013 0,6

9 0,020 0,013 0,6

10 0,021 0,012 0,6

0,6

Tabela 3.5 – Coeficientes de relação para 20 medições – Paquímetro

Relação - P20M

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

IM Guia (mm)

IM Alternativo (mm)

Coeficiente de Relação

Coeficiente Médio

3.3.1.5 Paquímetro realizando 50 medições

Ensaio ISO GUM Proposto Coeficiente de

relação

Coeficiente

Médio

1 0,020 0,011 0,5

2 0,020 0,011 0,5

3 0,020 0,011 0,5

4 0,020 0,011 0,5

5 0,020 0,011 0,5

6 0,020 0,011 0,5

7 0,020 0,011 0,5

8 0,020 0,011 0,5

9 0,020 0,011 0,5

10 0,020 0,011 0,5

0,5

Tabela 3.6 – Coeficientes de relação para 50 medições – Paquímetro

Relação - P50M

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

IM Guia (mm)

IM Alternativo (mm)

Coeficiente de Relação

Coeficiente Médio

3.3.2 Ensaios realizados com o micrômetro

Neste item, serão mostrados os resultados das incertezas de medição encontrados para

cada um dos ensaios realizados com o micrômetro, visando demonstrar a existência de um

coeficiente de relação entre os dois métodos. Em cada uma das tabelas e gráficos está

indicado este coeficiente.

3.3.2.1 Micrômetro realizando 3 medições

Ensaio ISO GUM Proposto Coeficiente de

relação

Coeficiente

Médio

1 0,0031 0,0041 1,3

2 0,0031 0,0041 1,3

3 0,0029 0,0026 0,9

4 0,0029 0,0026 0,9

5 0,0029 0,0026 0,9

6 0,0029 0,0026 0,9

7 0,0029 0,0026 0,9

8 0,0029 0,0026 0,9

9 0,0029 0,0026 0,9

10 0,0030 0,0037 1,2

1,0

Tabela 3.2 – Coeficientes de relação para 3 medições – Micrômetro

Relação - M3M

0,000

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

IM Guia (mm)

IM Alternativo (mm)

Coeficiente de Relação

Coeficiente Médio

3.3.2.2 Micrômetro realizando 5 medições

Ensaio ISO GUM Proposto Coeficiente de

relação

Coeficiente

Médio

1 0,0029 0,0022 0,8

2 0,0029 0,0022 0,8

3 0,0029 0,0026 0,9

4 0,0029 0,0026 0,9

5 0,0029 0,0022 0,8

6 0,0029 0,0024 0,8

7 0,0029 0,0023 0,8

8 0,0029 0,0022 0,8

9 0,0029 0,0022 0,8

10 0,0029 0,0022 0,8

0,8

Tabela 3.3 – Coeficientes de relação para 5 medições – Micrômetro

Relação - M5M

0,000

0,001

0,002

0,003

0,004

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

IM Guia (mm)

IM Alternativo (mm)

Coeficiente de Relação

Coeficiente Médio

3.3.2.3 Micrômetro realizando 10 medições

Ensaio ISO GUM Proposto Coeficiente de

relação

Coeficiente

Médio

1 0,0027 0,0018 0,7

2 0,0027 0,0018 0,7

3 0,0027 0,0019 0,7

4 0,0027 0,0018 0,7

5 0,0027 0,0018 0,7

6 0,0027 0,0017 0,6

7 0,0027 0,0019 0,7

8 0,0027 0,0018 0,7

9 0,0027 0,0019 0,7

10 0,0027 0,0018 0,7

0,7

Tabela 3.4 – Coeficientes de relação para 10 medições – Micrômetro

Relação - M10M

0,000

0,001

0,002

0,003

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

IM Guia (mm)

IM Alternativo (mm)

Coeficiente de Relação

Coeficiente Médio

3.3.2.4 Micrômetro realizando 20 medições

Ensaio ISO GUM Proposto Coeficiente de

relação

Coeficiente

Médio

1 0,0028 0,0016 0,6

2 0,0028 0,0016 0,6

3 0,0028 0,0016 0,6

4 0,0028 0,0016 0,6

5 0,0028 0,0016 0,6

6 0,0028 0,0016 0,6

7 0,0028 0,0016 0,6

8 0,0028 0,0016 0,6

9 0,0028 0,0016 0,6

10 0,0028 0,0015 0,6

0,6

Tabela 3.5 – Coeficientes de relação para 20 medições – Micrômetro

Relação - M20M

0,000

0,001

0,002

0,003

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

IM Guia (mm)

IM Alternativo (mm)

Coeficiente de Relação

Coeficiente Médio

3.3.2.5 Micrômetro realizando 50 medições

Ensaio ISO GUM Proposto Coeficiente de

relação

Coeficiente

Médio

1 0,0028 0,0014 0,5

2 0,0028 0,0014 0,5

3 0,0028 0,0014 0,5

4 0,0028 0,0014 0,5

5 0,0028 0,0014 0,5

6 0,0028 0,0014 0,5

7 0,0028 0,0014 0,5

8 0,0028 0,0014 0,5

9 0,0028 0,0014 0,5

10 0,0028 0,0014 0,5

0,5

Tabela 3.6 – Coeficientes de relação para 50 medições – Micrômetro

Relação - M50M

0,000

0,001

0,002

0,003

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

IM Guia (mm)

IM Alternativo (mm)

Coeficiente de Relação

Coeficiente Médio

3.3.3 Coeficiente de relação médio

Neste item é mostrado o coeficiente médio de relação entre o método proposto e o

método padronizado pelo ISO GUM, considerando-se apenas o número de medições

realizadas.

Esta abordagem visa resumir os ensaios realizados para simplificar ainda mais o

cálculo no chão de fábrica.

Coeficiente para o

Paquímetro

Coeficiente para o

Micrômetro

Coeficiente

médio

1,48 1,31

1,08 1,31

1,08 0,92

1,41 0,92

0,43 0,92

1,08 0,92

0,43 0,92

1,08 0,92

3 medições

1,08 1,22

1,0

Tabela 3.7 – Coeficiente médio de relação para 3 medições

Coeficiente para o

Paquímetro

Coeficiente para o

Micrômetro

Coeficiente

médio

0,75 0,78

0,97 0,78

0,90 0,88

0,90 0,78

0,75 0,84

0,92 0,80

0,92 0,78

0,90 0,78

5 medições

0,92 0,78

0,9

Tabela 3.8 – Coeficiente médio de relação para 5 medições

Coeficiente para o

Paquímetro

Coeficiente para o

Micrômetro

Coeficiente

médio

0,74 0,66

0,60 0,67

0,73 0,68

0,68 0,68

0,71 0,66

0,67 0,61

0,72 0,68

0,73 0,67

0,68 0,69

medições

0,71 0,68

0,7

Tabela 3.9 – Coeficiente médio de relação para 10 medições

Coeficiente para o

Paquímetro

Coeficiente para o

Micrômetro

Coeficiente

médio

0,62 0,56

0,65 0,58

0,62 0,57

0,62 0,59

0,60 0,57

0,63 0,56

0,62 0,58

0,63 0,57

medições

0,61 0,55

0,6

Tabela 3.10 – Coeficiente médio de relação para 20 medições

Coeficiente para o

Paquímetro

Coeficiente para o

Micrômetro

Coeficiente

médio

0,55 0,50

0,55 0,51

0,54 0,50

0,55 0,51

0,54 0,50

0,54 0,51

0,53 0,51

0,54 0,51

medições

0,54 0,51

0,5

Tabela 3.11 – Coeficiente médio de relação para 50 medições

3.4 Considerações Finais

Conforme dito no início deste capítulo, o experimento foi realizado para que fosse

possível conhecer a amplitude das variações das componentes de incerteza, que integram a

incerteza expandida de cada um dos métodos estudados neste trabalho. As distribuições

associadas a cada uma das parcelas já foi indicada no capítulo anterior.

Também foi possível determinar a relação entre os resultados das incertezas de

medição dos dois métodos.

Estas distribuições e as suas variações máximas serão utilizadas na elaboração da

simulação, que será apresentada no próximo capítulo. Com a simulação espera-se demonstrar

e consolidar o método proposto como um método simples e confiável, ao ser verificada a

relação existente entre os dois métodos.

4. SIMULAÇÃO

4.1 Considerações Iniciais

No capítulo anterior foi relatada a realização dos experimentos, onde foram utilizados

os dois métodos de cálculo de incerteza de medição: o padronizado pelo ISO GUM e o

proposto neste trabalho.

Neste capítulo será realizada a simulação da realização de milhares daqueles ensaios,

usando-se o software Crystal Ball 2000. Ele está disponível para download através do site

http://www.decisioneering.com/downloadform.html. O usuário poderá usar o software

livremente por um período de até 30 dias. Após este período, caso haja interesse, o usuário

deverá registrá-lo e pagar pela licença de uso.

Este software automatiza as mais complexas análises de incerteza usando simulação

de Monte Carlo, através da aplicação de uma escala de valores ou de uma distribuição de

probabilidades para cada variável incerta.

Para isso, o programa gera valores randômicos dentro de cada limite dos valores da

função densidade de probabilidade e recalcula o modelo milhares de vezes, armazenando os

resultados de cada cenário de incerteza. Este processo de geração e armazenamento de dados

agiliza os processos experimentais, economizando tempo na geração manual dos dados

necessários para que sejam testados os diferentes cenários de incerteza.

O Crystal Ball calcula automaticamente milhares de casos, mantendo a entrada de

dados e os resultados dos cálculos como cenários individuais. A análise destes cenários revela

a escala de resultados possíveis, sua probabilidade de ocorrer, qual entrada tem um efeito

maior em seu modelo e onde eventualmente deve-se atuar.

Neste trabalho, para a realização da simulação, serão consideradas as distribuições e as

máximas variações de cada uma das parcelas de incerteza, determinadas no capítulo anterior.

Para que se possa realizar a simulação utilizada neste capítulo, é necessário que o

pesquisador siga os passos a seguir:

− Estabelecer a formulação a ser simulada;

− Especificar as distribuições de cada uma das parcelas envolvidas na formulação;

− Especificar as características de cada uma destas distribuições;

− Determinar a quantidade de simulações a serem realizadas;

− Executar a simulação e avaliar os resultados.

A simulação consiste em fazer variar os valores para cada uma das parcelas de

incerteza, segundo a distribuição e as variações estabelecidas.

Neste capítulo serão apresentados os resultados da simulação realizada para o caso do

paquímetro realizando 10 medições, com as mesmas condições do ensaio realizado no

laboratório. As demais simulações estão reproduzidas no Apêndice B.

4.2 Distribuições das parcelas de incerteza

Na tabela 4.1 estão indicados os tipos de distribuição bem como o valor

correspondente a sua incerteza padrão, que foi definida como sendo a máxima variação da

parcela de incerteza. Os valores desta tabela correspondem aos resultados para o paquímetro

realizando 3 medições.

Parcelas da Incerteza Método Distribuição Incerteza Padrão (mm)

Incerteza Tipo A ISO GUM Normal 0,0062

Influência da Temperatura ISO GUM Triangular 0,00029

Resolução do SM ISO GUM Uniforme 0,0029

Calibração do SM

ISO GUM e

Proposto

Student 0,0087

Desvio Padrão das Medições Proposto Normal 0,0195

Tabela 4.1 – Variações Máximas encontradas nos ensaios

Para os ensaios onde o número de medições é diferente de 3, a parcela que sofre

alteração é aquela relativa ao desvio padrão das medições. Assim, para os demais casos temos

as variações máximas de 0,0110, 0,0105, 0,0103 e 0,0095 mm, respectivamente a 5, 10, 20 e

50 medições.

4.3 Simulação do Paquímetro com 10 medições

4.3.1 Método do ISO GUM

Para a elaboração da simulação foram definidas as distribuições com os seus

respectivos valores. A simulação foi feita com 5000 experimentos utilizando a formulação

que está indicada no item 3.2.3.1. A planilha elaborada para executar a simulação está

reproduzida a seguir (tabela 4.2). As distribuições e os seus respectivos parâmetros estão

apresentados na seqüência.

4.3.1.1 Planilha elaborada para executar a simulação

Para a execução da simulação foi elaborada a planilha mostrada na tabela 4.2, onde se

têm as variáveis independentes que serão simuladas: as parcelas da incerteza; o número de

medições a ser simulado e as variáveis dependentes resultantes da simulação e do número de

medições: incerteza de medição combinada, grau de liberdade, fator de abrangência e

principalmente a incerteza expandida.

Tabela 4.2 – Planilha de cálculo usada na simulação para o método do ISO GUM

4.3.1.2 Resultados da Simulação

Como resultados da simulação, o software Crystal Ball 2000 oferece as seguintes

informações:

a) Distribuição de freqüência, mostrada na figura 4.1: onde se verifica a

probabilidade e a freqüência de cada resultado, os valores máximo e mínimo para

a incerteza de acordo com o grau de confiança desejada.

Figura 4.1 – Distribuição de freqüência para 10 medições – método do ISO GUM

b) Estatísticas, mostradas na figura 4.2: onde são verificados os indicadores

relevantes ao trabalho (média das incertezas de medição, desvio padrão das

incertezas de medição, Mediana, Valor Mínimo, Valor Máximo, Amplitude de

Variação e o Erro padrão médio).

Figura 4.2- Indicadores estatísticos relevantes ao trabalho – método do ISO GUM

c) Gráfico da sensibilidade de cada uma das parcelas da incerteza (Fig. 4.3): onde é

verificada a contribuição de cada uma das parcelas da incerteza para o resultado da

incerteza expandida.

Figura 4.3- Sensibilidade às incertezas – método do ISO GUM

d) Resultados dos experimentos agrupados por faixa

No gráfico apresentado na figura 4.1, mostrado no item “a”, os experimentos

foram divididos em 100 grupos, conforme pode ser visto na tabela 4.3.

e) Resultados individuais: o software também apresenta a lista que contêm os

resultados encontrados em cada um dos experimentos. Como esta lista é extensa

(5000 experimentos), ela não será apresentada neste capítulo.

Grupo Valor

Inicial

Valor

Final

Freqüência

∞

22,6640 35

1 22,6640 22,7620 5

2 22,7620 22,8601 9

3 22,8601 22,9581 5

4 22,9581 23,0561 6

5 23,0561 23,1541 8

6 23,1541 23,2522 10

7 23,2522 23,3502 11

8 23,3502 23,4482 15

9 23,4482 23,5462 6

10 23,5462 23,6443 10

11 23,6443 23,7423 15

12 23,7423 23,8403 14

13 23,8403 23,9383 13

14 23,9383 24,0364 18

15 24,0364 24,1344 19

16 24,1344 24,2324 19

17 24,2324 24,3304 33

18 24,3304 24,4285 26

19 24,4285 24,5265 30

20 24,5265 24,6245 27

21 24,6245 24,7226 32

22 24,7226 24,8206 31

23 24,8206 24,9186 43

24 24,9186 25,0166 43

25 25,0166 25,1147 43

26 25,1147 25,2127 42

27 25,2127 25,3107 47

28 25,3107 25,4087 54

29 25,4087 25,5068 57

30 25,5068 25,6048 50

31 25,6048 25,7028 71

32 25,7028 25,8008 71

33 25,8008 25,8989 69

34 25,8989 25,9969 76

35 25,9969 26,0949 80

36 26,0949 26,1930 57

37 26,1930 26,2910 61

38 26,2910 26,3890 90

39 26,3890 26,4870 110

40 26,4870 26,5851 73

41 26,5851 26,6831 98

42 26,6831 26,7811 110

43 26,7811 26,8791 108

44 26,8791 26,9772 91

45 26,9772 27,0752 92

46 27,0752 27,1732 93

47 27,1732 27,2712 85

48 27,2712 27,3693 96

49 27,3693 27,4673 94

50 27,4673 27,5653 109

Grupo

Valor

Inicial

Valor

Final

Freqüência

27,5653

27,6633

27,7614

7,8594

101

27,8594

27,9574

104

27,9574

28,0555

101

28,0555

28,1535

109

28,1535

28,2515

28,3495

28,4476

101

28,4476

28,5456

28,6436

100

28,6436

28,7416

28,8397

28,839

28,9377

29,0357

29,1337

29,2318

29,3298

29,4278

29,5259

29,6239

29,7219

29,8199

29,9180

0,0160

30,0160

30,1140

30,2120

30,3101

30,4081

30,5061

30,6041

30,7022

30,8002

30,8982

30,9962

31,0

943

31,0943

31,1923

31,2903

31,3884

31,4864

31,5844

31,6824

31,7805

31,8785

31,9765

32,0745

32,1726

32,2706

32,3686

100

32,3686

32,4666

∞

Tabela 4.3 – Distribuição de freqüência dentro dos grupos estabelecidos – método do ISO GUM

4.3.2 Método Proposto

Para este caso também foram definidas as distribuições e os seus respectivos valores.

A simulação também foi realizada com 5000 experimentos, mas desta vez a formulação

utilizada é a que está indicada no item 3.2.3.3. A planilha elaborada para executar a simulação

está reproduzida na tabela 4.4.

4.3.2.1 Planilha elaborada para executar a simulação

Para a execução da simulação foi elaborada a planilha abaixo onde se têm as variáveis

independentes que serão simuladas: as parcelas da incerteza; o número de medições a ser

simulado e a variável dependente resultante da simulação e do número de medições: incerteza

de medição.

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (µm)

Desvio Padrão das medições Normal 8,0342

Calibração do SM Student 8,7000

Número de medições 10

t de Student 2,2622

Incerteza da Medição (µ

µµ

µm)

14,4473

Tabela 4.4 – Planilha de cálculo usada na simulação para o método proposto

4.3.2.2 Resultados da Simulação

Da mesma forma, como resultados da simulação, o software Crystal Ball 2000

oferece as seguintes informações:

a) Distribuição de freqüência, mostrada na figura 4.4.

Figura 4.4 – Distribuição de freqüência para 10 medições – método proposto

b) Estatísticas, mostradas na figura 4.5

Figura 4.5- Indicadores estatísticos relevantes ao trabalho – método proposto

c) Gráfico da sensibilidade de cada uma das parcelas da incerteza, mostrado na

Figura 4.6.

Figura 4.6- Sensibilidade às incertezas – método proposto

d) Resultados dos experimentos agrupados por faixa. No gráfico mostrado no item

“a”, os experimentos foram divididos em 100 grupos.

e) Resultados individuais: o software também apresenta a lista que contêm os

resultados encontrados em cada um dos experimentos. Como esta lista é extensa

(5000 experimentos), ela não será apresentada neste capítulo.

Grupo Valor

Inicial

Valor

Final

Freqüência

- ∞

11,1809

11,2467 2

11,2467

11,3125 2

11,3125

11,3783 3

11,3783

11,4441 4

11,4441

11,5099 7

11,5099

11,5757 8

11,5757

11,6415 8

11,6415

11,7073 13

11,7073

11,7731 17

11,7731

11,8389 15

11,8389

11,9047 16

11,9047

11,9705 9

11,9705

12,0363 20

12,0363

12,1021 15

12,1021

12,1679 30

12,1679

12,2337 19

12,2337

12,2995 23

12,2995

12,3653 29

12,3653

12,4311 31

12,4311

12,4969 29

12,4969

12,5627 36

12,5627

12,6285 35

12,6285

12,6943 41

12,6943

12,7601 43

12,7601

12,8259 54

12,8259

12,8917 46

12,8917

12,9575 49

12,9575

13,0233 52

13,0233

13,0891 58

13,0891

13,1549 59

13,1549

13,2207 63

13,2207

13,2865 61

13,2865

13,3522 59

13,3522

13,4180 75

13,4180

13,4838 67

13,4838

13,5496 86

13,5496

13,6154 89

13,6154

13,6812 98

13,6812

13,7470 93

13,7470

13,8128 80

13,8128

13,8786 79

13,8786

13,9444 81

13,9444

14,0102 101

14,0102

14,0760 114

14,0760

14,1418 94

14,1418

14,2076 91

14,2076

14,2734 104

14,2734

14,3392 96

14,3392

14,4050 94

14,4050

14,4708 102

Grupo Valor

Inicial

Valor

Final

Freqüência

14,4708 14,5366 115

14,5366 14,6024 85

14,6024 14,6682 125

14,6682 14,7340 117

14,7340 14,7998 82

14,7998 14,8656 100

14,8656 14,9314 84

14,9314 14,9972 108

14,9972 15,0630 119

15,0630 15,1288 99

15,1288 15,1946 81

15,1946 15,2604 84

15,2604 15,3262 71

15,3262 15,3920 62

15,3920 15,4578 75

15,4578 15,5236 76

15,5236 15,5894 77

15,5894 15,6552 74

15,6552 15,7210 59

15,7210 15,7868 56

15,7868 15,8526 61

15,8526 15,9184 56

15,9184 15,9842 51

15,9842 16,0500 49

16,0500 16,1158 39

16,1158 16,1816 35

16,1816 16,2474 46

16,2474 16,3132 36

16,3132 16,3790 24

16,3790 16,4448 36

16,4448 16,5106 35

16,5106 16,5764 20

16,5764 16,6422 22

16,6422 16,7080 21

16,7080 16,7738 12

16,7738 16,8396 20

16,8396 16,9054 19

16,9054 16,9712 12

16,9712 17,0370 11

17,0370 17,1028 9

17,1028 17,1686 11

17,1686 17,2344 13

17,2344 17,3002 6

17,3002 17,3660 9

17,3660 17,4318 6

17,4318 17,4976 9

17,4976 17,5633 5

17,5633 17,6291 8

17,6291 17,6949 2

100

17,6949 17,7607 4

18,5369

+ ∞

Tabela 4.3 – Distribuição de freqüência dentro dos grupos estabelecidos – método proposto

4.4 Comparação dos Resultados

Para que se possam comparar os resultados encontrados com os dois métodos, é

preciso analisar as estatísticas de cada um deles. A tabela 4.6 mostra estas estatísticas.

Estatística ISO GUM

Proposto

Média 27,5345

14,4243

Mediana 27,5501

14,4470

Desvio Padrão 1,9220

1,2844

Variância 3,6939

1,6497

Assimetria (Skewness) -0,08

-0,02

Curtose (Kurtosis) 2,93

3,06

Coef. de Variabilidade 0,07

0,09

Valor Mínimo 20,7995

9,5922

Valor Máximo 34,0135

18,8603

Amplitude 13,2140

9,2681

Erro padrão médio 0,0272

0,0182

Tabela 4.6 – Comparativo entre as estatísticas dos dois métodos

O valor da assimetria das duas distribuições – Skewness – mostra que elas podem ser

consideradas distribuições normais, pois estes valores tendem a zero.

De acordo com o que foi dito no parágrafo anterior e considerando que são usadas as

mesmas medições para os dois métodos estudados, é possível admitir que o coeficiente de

relação entre as incertezas dos dois métodos pode ser baseado na relação entre as médias

destas incertezas. Desta forma e com estas condições simplificadoras, pode-se dizer que o

coeficiente de relação do experimento mostrado neste item é igual a 0,52.

Assim, para um mesmo conjunto de medições, obteremos o valor da incerteza de

medição calculada pelo método do ISO GUM, dividindo por 0,52 o valor da incerteza de

medição calculada pelo método proposto.

Os demais coeficientes serão apresentados de forma similar, mas resumidamente e

assim ter-se-á estabelecido o coeficiente para cada um dos grupos de número de medições

realizados.

4.5 Coeficientes de relação

Como pode ser visto no apêndice 2, as distribuições encontradas na simulação são

consideradas distribuições normais e desta forma pode-se estabelecer os coeficientes de

relação mostrados na tabela 4.7, para o paquímetro, e na tabela 4.8, para o micrômetro.

Nº de medições Método Média do

Método

Coeficiente de

relação

Coeficiente

Médio

ISO GUM 33,0833

Proposto 22,4593

0,68

ISO GUM 29,2299

Proposto 18,8271

0,64

ISO GUM 27,5345

Proposto 14,4243

0,52

ISO GUM 26,8998

Proposto 12,6638

0,47

ISO GUM 26,6162

Proposto 10,9927

0,41

0,55

Tabela 4.7 – Coeficientes de relação entre os dos dois métodos – Paquímetro

33,083

29,230

27,535

26,900

26,616

22,459

18,827

14,424

12,664

10,993

0,55

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

35,0

3 5 10 20 50

Nº Medições - Simulação

Incerteza (mm)

Guia

Proposto

Média

Razão

Nº de medições Método Média do

Método

Coeficiente de

relação

Coeficiente

Médio

ISO GUM 4,1941

Proposto 2,7789

0,66

ISO GUM 4,1048

Proposto 2,0867

0,51

ISO GUM 4,0417

Proposto 1,5913

0,39

ISO GUM 4,0623

Proposto 1,3590

0,33

ISO GUM 4,0428

Proposto 1,1901

0,29

0,44

Tabela 4.8 – Coeficientes de relação entre os dos dois métodos - Micrômetro

4,194

4,105

4,042

4,062

4,043

2,779

2,087

1,591

1,359

1,190

0,44

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

3 5 10 20 50

Nº Medições - Simulação

Incerteza (mm)

Guia

Proposto

Média

Razão

5. CONCLUSÕES

5.1 Considerações Iniciais

Durante a condução deste trabalho, o pesquisador estabeleceu simplificações e

condições de contorno, em detrimento do rigor matemático. Estas considerações foram

estabelecidas visando facilitar o trabalho do operador no chão de fábrica, oferecendo um

método simplificado. As considerações utilizadas no método proposto foram:

• As parcelas da incerteza foram tratadas como lineares, apesar de não serem

dependentes;

• Não avaliação do Erro Sistemático dos Sistemas de Medição, considerando que

estes estão livres daquele erro em decorrência da calibração e do uso correto do

mesmo.

Após o trabalho de revisão bibliográfica foi possível verificar a existência de diversos

métodos para o cálculo da Incerteza de Medição.

Um destes métodos tem grande aplicação nas indústrias metal mecânicas e isto

validou o ensaio para seu uso como método proposto. Para poder oferecer a facilidade

pretendida, foi proposta a alteração.

O trabalho foi dividido em duas partes: experimento e simulação. O experimento em

laboratório balizou a simulação e esta por sua vez consolidou os resultados, confirmando-os.

A simulação permitiu verificar a existência da relação (hipótese) entre os dois métodos

estudados e estabelecer um coeficiente de relação entre eles. Estes coeficientes estão descritos

no item 4.5 e podem ser utilizados para os dois sistemas de medição estudados.

5.2 Contribuição do Trabalho

Este trabalho deixa como resultado, um método proposto para a avaliação e

determinação da incerteza de medição. Um método de custo mais baixo, que de maneira

simplificada e com o uso de um fator de correção conhecido, permite que seja determinado

corretamente o valor da incerteza, como se estivesse sendo usado o método padronizado pelo

ISO GUM.

5.3 Recomendações e sugestões

Como recomendações o pesquisador salienta que mesmo sendo um método de menor

custo, antes de fazer a opção por qualquer um dos métodos deve-se analisar:

Custo do sistema de medição, uma vez que se tenha uma incerteza de medição

menor é necessário que seja utilizado um sistema de medição de custo maior e

vice versa;

b) Custo do “controle” para que possa ser usado o método do ISO GUM;

c) Custo devido ao aumento do número de medições ao ser usado o método proposto;

d) Efeitos sistemáticos, quando relevantes.

Além dos cuidados indicados no parágrafo anterior, outra recomendação refere-se à

replicação do trabalho. Assim, o pesquisador propõe que o procedimento desenvolvido neste

trabalho seja aplicado a outros sistemas de medição de uso na indústria.

6. Apêndice 1 – Ensaios realizados

Neste apêndice são mostrados os valores das medições encontradas em cada um dos

ensaios realizados. Reforça-se que as medições serviram de base para os dois métodos em

estudo. Desta forma, elas serão mostradas apenas uma vez servindo para os cálculos dos dois

métodos.

As distribuições também são comuns aos ensaios realizados. Cada uma das parcelas de

incerteza que compõe a incerteza de medição tem sua distribuição descrita como segue:

Parcelas da Incerteza Distribuição

Incerteza Tipo A Normal

Influência da Temperatura Triangular

Calibração do SISTEMA DE MEDIÇÃO Student

Resolução do SISTEMA DE MEDIÇÃO Uniforme

O coeficiente de dilatação do aço e a variação máxima da temperatura têm também os

mesmos valores em todos os ensaios realizados e são dados por:

- Coeficiente de dilatação do Aço: 0,0000118 mm/ºC

- Variação máxima da temperatura: 3ºC

6.1 Ensaios realizados com o paquímetro

Para os ensaios realizados com o paquímetro, além das medições realizadas, outra

parcela comum aos dois métodos é o valor da incerteza de calibração (I

). Assim, para a

apresentação do resumo dos dados e cálculos, deixaremos em evidência a parte comum,

destacando apenas os valores do memorial de cálculo. Do quadro 1 temos que o valor da

c 95%

do paquímetro e o valor do fator de abrangência. A partir destes valores podemos determinar

o valor da parcela da incerteza devido à calibração do sistema de medição. Temos:

Incerteza de Calibração, com 95% (mm) 0,02

Fator de abrangência - k 2,3

Parcela da incerteza devido à incerteza da calibração = 0,02/2,3 = 0,087mm

Outra parcela comum é aquela relativa à resolução do sistema de medição. Para o caso

do paquímetro temos, do quadro 1, a resolução é de 0,01mm. Assim, aplicando a equação 9

temos que a parcela de incerteza devido à resolução é de 0,0029mm.

6.1.1 Ensaios com 3 medições

6.1.2 Ensaios com 5 medições

6.1.3 Ensaios com 10 medições

6.1.4 Ensaios com 20 medições

6.1.5 Ensaios com 50 medições

100

6.2 Ensaios realizados com o micrômetro

Da mesma forma que foi considerado para os ensaios realizados com o paquímetro,

além das medições realizadas, outra parcela comum aos dois métodos é o valor da incerteza

de calibração (I

). Assim, para a apresentação do resumo dos dados e cálculos, deixaremos

em evidência a parte comum, destacando apenas os valores do memorial de cálculo.

Do quadro 2 temos o valor da

c 95%

do micrômetro e o valor do fator de abrangência.

A partir destes valores podemos determinar o valor da parcela da incerteza devido à

calibração do sistema de medição. Temos:

Incerteza de Calibração, com 95% (mm) 0,0025

Fator de abrangência - k 2,1

Parcela da incerteza devido à incerteza da calibração = 0,0025/2,1 = 0,012 mm

Outra parcela comum é aquela relativa à resolução do sistema de medição. Para o caso

do micrômetro temos, do quadro 1, a resolução é de 0,001mm. Assim, aplicando a equação 9

temos que a parcela de incerteza devido à resolução é de 0,00029mm.

6.2.1 Ensaios com 3 medições

101

102

103

104

105

106

6.2.2 Ensaios com 5 medições

107

108

109

110

111

6.2.3 Ensaios com 10 medições

112

113

114

115

116

6.2.4 Ensaios com 20 medições

117

118

119

120

121

6.2.5 Ensaios com 50 medições

122

123

124

125

126

6.3 Desvios padrão encontrados nos ensaios

Com os resultados encontrados em cada um dos ensaios realizados, foi estabelecido o

desvio padrão médio e o desvio padrão dos respectivos desvios padrão. Estes valores estão

resumidos na tabelas A1.1 e A1.2, respectivamente para paquímetro e micrômetro.

6.3.1 Resultados encontrados para o paquímetro

Número de Medições

3 5 10 20 50

Desvio padrão Médio 5,6188 8,1254 8,0342 8,4816 8,1070

Desvio padrão dos desvios padrão 3,6152 1,4826 1,3180 0,6023 0,3677

Tabela A1.1 – Desvio padrão médio e desvio padrão dos desvios - Paquímetro.

6.3.2 Resultados encontrados para o micrômetro

Número de Medições

3 5 10 20 50

Desvio padrão Médio 0,7351 0,9105 0,8823 0,8552 0,8149

Desvio padrão dos desvios padrão 0,2574 0,1102 0,0888 0,0527 0,0542

Tabela A1.2 – Desvio padrão médio e desvio padrão dos desvios - Micrômetro.

127

7. Apêndice 2 – Planilhas usadas na Simulação

Neste apêndice mostram-se as planilhas que foram elaboradas para que fosse possível

executar a simulação através do software Crystal Ball.

Com a execução da simulação através destas planilhas, pode-se determinar a relação

entre os resultados encontrados com os dois métodos.

7.1 Planilhas utilizadas do método do ISO GUM

7.1.1 Planilhas utilizadas para a simulação do paquímetro

7.1.1.1 Paquímetro realizando 3 medições

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (µm)

Incerteza Tipo A Normal 10,7295

Influência da Temperatura Triangular 0,2730

Calibração do SM Student 8,7000

Resolução do SM Uniforme 2,8868

Número de medições 3

Incerteza padrão combinada 14,1145

Graus de Liberdade 5,4644

Fator de Abrangência - k 2,5706

Incerteza Expandida (µ

µµ

µm)

36,2825

7.1.1.2 Paquímetro realizando 5 medições

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (µm)

Incerteza Tipo A Normal 10,7295

Influência da Temperatura Triangular 0,2730

Calibração do SM Student 8,7000

Resolução do SM Uniforme 2,8868

Número de medições 5

Incerteza padrão combinada 14,1145

Graus de Liberdade 10,0482

Fator de Abrangência - k 2,2281

Incerteza Expandida (µ

µµ

µm)

31,4492

128

7.1.1.3 Paquímetro realizando 10 medições

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (µm)

Incerteza Tipo A Normal 10,7295

Influência da Temperatura Triangular 0,2970

Calibração do SM Student 8,7000

Resolução do SM Uniforme 2,8868

Número de medições 10

Incerteza padrão combinada 14,1150

Graus de Liberdade 18,8202

Fator de Abrangência - k 2,1009

Incerteza Expandida (µ

µµ

µm)

29,6546

7.1.1.4 Paquímetro realizando 20 medições

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (µm)

Incerteza Tipo A Normal 10,7295

Influência da Temperatura Triangular 0,2730

Calibração do SM Student 8,7000

Resolução do SM Uniforme 2,8868

Número de medições 20

Incerteza padrão combinada 14,1145

Graus de Liberdade 29,7497

Fator de Abrangência - k 2,0452

Incerteza Expandida (µ

µµ

µm)

28,8675

7.1.1.5 Paquímetro realizando 50 medições

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (µm)

Incerteza Tipo A Normal 10,7295

Influência da Temperatura Triangular 0,2730

Calibração do SM Student 8,7000

Resolução do SM Uniforme 2,8868

Número de medições 50

Incerteza padrão combinada 14,1145

Graus de Liberdade 43,7570

Fator de Abrangência - k 2,0167

Incerteza Expandida (µ

µµ

µm)

28,4647

129

7.1.2 Planilhas utilizadas para a simulação do micrômetro

7.1.2.1 Micrômetro realizando 3 medições

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (µm)

Incerteza Tipo A Normal 0,7071

Influência da Temperatura Triangular 0,3179

Calibração do SM Student 1,1905

Resolução do SM Uniforme 0,2887

Número de medições 3

Incerteza padrão combinada 1,4497

Graus de Liberdade 12,6861

Fator de Abrangência - k 2,1788

Incerteza Expandida (µ

µµ

µm)

3,1586

7.1.2.2 Micrômetro realizando 5 medições

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (µm)

Incerteza Tipo A Normal 0,7933

Influência da Temperatura Triangular 0,3179

Calibração do SM Student 1,1905

Resolução do SM Uniforme 0,2887

Número de medições 5

Incerteza padrão combinada 1,4937

Graus de Liberdade 15,4484

Fator de Abrangência - k 2,1315

Incerteza Expandida (µ

µµ

µm)

3,1837

7.1.2.3 Micrômetro realizando 10 medições

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (µm)

Incerteza Tipo A Normal 0,8080

Influência da Temperatura Triangular 0,3179

Calibração do SM Student 1,1905

Resolução do SM Uniforme 0,2887

Número de medições 10

Incerteza padrão combinada 1,5015

Graus de Liberdade 18,7880

Fator de Abrangência - k 2,1009

Incerteza Expandida (µ

µµ

µm)

3,1545

130

7.1.2.4 Micrômetro realizando 20 medições

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (µm)

Incerteza Tipo A Normal 0,8137

Influência da Temperatura Triangular 0,3179

Calibração do SM Student 1,1905

Resolução do SM Uniforme 0,2887

Número de medições 10

Incerteza padrão combinada 1,5046

Graus de Liberdade 18,8482

Fator de Abrangência - k 2,1009

Incerteza Expandida (µ

µµ

µm)

3,1610

7.1.2.5 Micrômetro realizando 50 medições

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (µm)

Incerteza Tipo A Normal 0,8152

Influência da Temperatura Triangular 0,3179

Calibração do SM Student 1,1905

Resolução do SM Uniforme 0,2887

Número de medições 10

Incerteza padrão combinada 1,5054

Graus de Liberdade 18,8641

Fator de Abrangência - k 2,1009

Incerteza Expandida (µ

µµ

µm)

3,1627

131

7.2 Planilhas utilizadas no método proposto

7.2.1 Planilhas utilizadas para paquímetro

7.2.1.1 Paquímetro realizando 3 medições

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (µm)

Desvio Padrão das medições Normal 5,6188

Calibração do SM Student 8,7000

Número de medições 3

T de Student 4,3027

Incerteza da Medição (µ

µµ

µm)

22,6579

7.2.1.2 Paquímetro realizando 5 medições

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (µm)

Desvio Padrão das medições Normal 8,1254

Calibração do SM Student 8,7000

Número de medições 5

t de Student 2,7765

Incerteza da Medição (µ

µµ

µm)

18,7890

7.2.1.3 Paquímetro realizando 10 medições

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (µm)

Desvio Padrão das medições Normal 8,0342

Calibração do SM Student 8,7000

Número de medições 10

t de Student 2,2622

Incerteza da Medição (µ

µµ

µm)

14,4473

7.2.1.4 Paquímetro realizando 20 medições

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (µm)

Desvio Padrão das medições Normal 8,4816

Calibração do SM Student 8,7000

Número de medições 20

t de Student 2,0930

Incerteza da Medição (µ

µµ

µm)

12,6695

132

7.2.1.5 Paquímetro realizando 50 medições

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (µm)

Desvio Padrão das medições Normal 8,1070

Calibração do SM Student 8,7000

Número de medições 50

t de Student 2,0096

Incerteza da Medição (µ

µµ

µm)

11,0040

7.2.2 Planilhas utilizadas para a simulação do micrômetro

7.2.2.1 Micrômetro realizando 3 medições

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (µm)

Desvio Padrão das medições Normal 0,7351

Calibração do SM Student 1,1905

Número de medições 3

t de Student 4,3027

Incerteza da Medição (µ

µµ

µm)

3,0166

7.2.2.2 Micrômetro realizando 5 medições

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (µm)

Desvio Padrão das medições Normal 0,9105

Calibração do SM Student 1,1905

Número de medições 5

t de Student 2,7765

Incerteza da Medição (µ

µµ

µm)

2,3210

7.2.2.3 Micrômetro realizando 10 medições

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (µm)

Desvio Padrão das medições Normal 0,8823

Calibração do SM Student 1,1905

Número de medições 10

t de Student 2,2622

Incerteza da Medição (µ

µµ

µm)

1,8216

133

7.2.2.4 Micrômetro realizando 20 medições

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (µm)

Desvio Padrão das medições Normal 0,8552

Calibração do SM Student 1,1905

Número de medições 20

t de Student 2,0930

Incerteza da Medição (µ

µµ

µm)

1,5907

7.2.2.5 Micrômetro realizando 50 medições

Parcelas da Incerteza Distribuição Valor (µm)

Desvio Padrão das medições Normal 0,8149

Calibração do SM Student 1,1905

Número de medições 50

t de Student 2,0096

Incerteza da Medição (µ

µµ

µm)

1,4221

134

7.3 Estatísticas encontradas na simulação

Paquímetro 3 medições Paquímetro 5 medições

Estatística ISO GUM

Proposto

ISO GUM Proposto

Média 33,0833

22,4593

29,2299

18,8271

Mediana 32,9417

22,4243

29,2321

18,7785

Desvio Padrão 3,1097

8,9956

2,1840

2,0728

Variância 9,6701

80,9210

4,7698

4,2964

Assimetria (Skewness) 0,34

0,01

0,02

0,06

Curtose (Kurtosis) 3,31

2,96

2,95

Coef. de Variabilidade 0,09

0,40

0,07

0,11

Valor Mínimo 23,4607

-10,0755

20,9888

11,5686

Valor Máximo 48,4269

54,0406

37,0136

27,0872

Amplitude 24,9661

64,1161

16,0248

15,5186

Erro padrão médio 0,0440

0,1272

0,0309

0,0293

Paquímetro 10 medições Paquímetro 20 medições

Estatística ISO GUM

Proposto

ISO GUM Proposto

Média 27,5345

14,4243

26,8998

12,6638

Mediana 27,5501

14,4470

26,8999

12,6623

Desvio Padrão 1,9220

1,2844

1,8597

0,9104

Variância 3,6939

1,6497

3,4585

0,8288

Assimetria (Skewness) -0,08

-0,02

-0,06

-0,01

Curtose (Kurtosis) 2,93

3,06

3,04

3,00

Coef. de Variabilidade 0,07

0,09

0,07

Valor Mínimo 20,7995

9,5922

19,0122

8,2591

Valor Máximo 34,0135

18,8603

32,7399

15,9802

Amplitude 13,2140

9,2681

13,7277

7,7211

Erro padrão médio 0,0272

0,0182

0,0263

0,0129

Paquímetro 50 medições

Estatística ISO GUM

Proposto

Média 26,6162

10,9927

Mediana 26,5874

10,9976

Desvio Padrão 1,8770

0,8725

Variância 3,5232

0,7612

Assimetria (Skewness) 0,05

0,02

Curtose (Kurtosis) 2,96

2,99

Coef. de Variabilidade 0,07

0,08

Valor Mínimo 20,3815

8,0370

Valor Máximo 33,3681

13,9026

Amplitude 12,9866

5,8656

Erro padrão médio 0,0265

0,0123

135

Micrômetro 3 medições Micrômetro 5 medições

Estatística ISO GUM

Proposto

ISO GUM Proposto

Média 4,1941

2,7693

4,1048

2,0867

Mediana 4,1297

2,7789

3,9845

2,0894

Desvio Padrão 1,1663

0,6473

1,1395

0,1949

Variância 1,3602

0,4191

1,2984

0,0380

Assimetria (Skewness) 0,15

-0,03

0,21

-0,03

Curtose (Kurtosis) 2,13

2,98

2,04

2,91

Coef. de Variabilidade 0,28

0,23

0,28

0,09

Valor Mínimo 1,4668

0,6843

1,2209

1,4022

Valor Máximo 8,6468

5,0191

6,9936

2,7196

Amplitude 7,1800

4,3347

5,7727

1,3174

Erro padrão médio 0,0165

0,0092

0,0161

0,0028

Micrômetro 10 medições Micrômetro 20 medições

Estatística ISO GUM

Proposto

ISO GUM Proposto

Média 4,0417

1,5890

4,0623

1,3590

Mediana 3,8748

1,5913

3,8853

1,3589

Desvio Padrão 1,1054

0,1520

1,1090

0,1411

Variância 1,2219

0,0231

1,2298

0,0199

Assimetria (Skewness) 0,28

-0,08

0,31

0,01

Curtose (Kurtosis) 1,94

3,13

1,89

2,94

Coef. de Variabilidade 0,27

0,10

0,27

0,10

Valor Mínimo 1,7744

0,9574

2,0000

0,8730

Valor Máximo 6,5470

2,2003

6,5668

1,9128

Amplitude 4,7725

1,2429

4,5668

1,0398

Erro padrão médio 0,0156

0,0021

0,0157

0,0020

Micrômetro 50 medições

Estatística ISO GUM

Proposto

Média 4,0428

1,1876

Mediana 3,8764

1,1895

Desvio Padrão 1,0932

0,1436

Variância 1,1951

0,0206

Assimetria (Skewness) 0,32

0,00

Curtose (Kurtosis) 1,89

2,94

Coef. de Variabilidade 0,27

0,12

Valor Mínimo 1,9549

0,6630

Valor Máximo 6,4173

1,6858

Amplitude 4,4624

1,0227

Erro padrão médio 0,0155

0,0020

136

ANEXO A – t de Student

Valores do Coeficiente de Student

Número de valores

Individuais (n)

P = 68,3%

1,00 σ

σσ

P = 95,0%

1,96 σ

σσ

P = 99,0%

2,58 σ

σσ

P = 99,73%

3,00 σ

σσ

2 1,8395 12,7062 63,6559 235,7736

3 1,3224 4,3027 9,9250 19,2062

4 1,1978 3,1824 5,8408 9,2189

5 1,1425 2,7765 4,6041 6,6200

6 1,1113 2,5706 4,0321 5,5070

7 1,0913 2,4469 3,7074 4,9040

8 1,0775 2,3646 3,4995 4,5299

9 1,0673 2,3060 3,3554 4,2765

10 1,0594 2,2622 3,2498 4,0942

11 1,0533 2,2281 3,1693 3,9570

12 1,0483 2,2010 3,1058 3,8499

13 1,0441 2,1788 3,0545 3,7643

14 1,0407 2,1604 3,0123 3,6941

15 1,0377 2,1448 2,9768 3,6358

16 1,0352 2,1315 2,9467 3,5864

17 1,0329 2,1199 2,9208 3,5441

18 1,0310 2,1098 2,8982 3,5074

19 1,0292 2,1009 2,8784 3,4754

20 1,0277 2,0930 2,8609 3,4472

21 1,0263 2,0860 2,8453 3,4221

22 1,0251 2,0796 2,8314 3,3997

23 1,0239 2,0739 2,8188 3,3795

24 1,0229 2,0687 2,8073 3,3613

25 1,0219 2,0639 2,7970 3,3448

26 1,0211 2,0595 2,7874 3,3296

27 1,0203 2,0555 2,7787 3,3157

28 1,0195 2,0518 2,7707 3,3030

29 1,0188 2,0484 2,7633 3,2913

30 1,0182 2,0452 2,7564 3,2804

31 1,0176 2,0423 2,7500 3,2703

32 1,0171 2,0395 2,7440 3,2609

33 1,0165 2,0369 2,7385 3,2521

34 1,0160 2,0345 2,7333 3,2440

35 1,0156 2,0322 2,7284 3,2363

36 1,0152 2,0301 2,7238 3,2291

37 1,0147 2,0281 2,7195 3,2223

38 1,0144 2,0262 2,7154 3,2159

39 1,0140 2,0244 2,7116 3,2099

40 1,0136 2,0227 2,7079 3,2042

45 1,0122 2,0154 2,6923 3,1797

50 1,0110 2,0096 2,6800 3,1605

55 1,0100 2,0049 2,6700 3,1450

60 1,0092 2,0010 2,6618 3,1322

65 1,0085 1,9977 2,6549 3,1215

70 1,0079 1,9949 2,6490 3,1124

75 1,0075 1,9925 2,6439 3,1046

80 1,0070 1,9905 2,6395 3,0977

85 1,0066 1,9886 2,6356 3,0918

90 1,0063 1,9870 2,6322 3,0865

95 1,0060 1,9855 2,6291 3,0817

100 1,0057 1,9842 2,6264 3,0775

105 1,0055 1,9830 2,6239 3,0737

110 1,0053 1,9820 2,6217 3,0702

120 1,0049 1,9801 2,6178 3,0643

∞ 1,0000 1,9600 2,5800 3,0000

t de Student obtido com o uso de função específica do Excel ®.

137

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