Download PDF
ads:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE S
˜
AO CARLOS
CENTRO DE CI
ˆ
ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE P
´
OS-GRADUAC¸
˜
AO EM MATEM
´
ATICA
A Influˆencia da Geometria do Dom´ınio
Sobre a Existˆencia de Equil´ıbrios
Est´aveis N˜ao-C onst antes Para Alguns
Sistemas Parab´olicos
Gustavo Ferron Madeira
Orientador: Prof. Dr. Arnaldo Simal do Nascimento
S˜ao Carlos - SP
Abril de 2004
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE S
˜
AO CARLOS
CENTRO DE CI
ˆ
ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE P
´
OS-GRADUAC¸
˜
AO EM MATEM
´
ATICA
A Influˆencia da Geometria do Dom´ınio Sobre a
Existˆencia de Equil´ıbrios Est´aveis
N˜ao-Constantes Para Alguns Sistemas
Parab´olicos
Gustavo Ferron Madeira
Orientador: Prof. Dr. Arnaldo Simal do Nascimento
Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa
de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da
UFSCar como parte dos requisitos
para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em
Matem´atica
S˜ao Carlos - SP
Abril de 2004
ads:
.
Orientador
Prof. Dr. Arnaldo Simal do Nascimento
Dedico este trabalho a minha av´o Edmea Fortes Madeira,
com carinho e admira¸c˜ao, sempre na esperan¸ca de que
Deus est´a conosco.
Agradecimentos
A Deus Pai, Filho e Esp´ırito Santo: Criador, Redentor e Santificador. Au-
tor e mantenedor da vida; sempre presente e atuante. Meu profundo louvor e
gratid˜ao.
Ao Prof. Dr. Arnaldo Simal do Nascimento pela orienta¸c˜ao, disponibili-
dade, exemplo e por ser um formador.
A meus mais amados, minha fam´ılia: a meu pai Claudio, minha m˜ae Tere-
zinha e minha irm˜a Claudia. Por toda for¸ca, presen¸ca e acolhida. Amo vocˆes.
`
A Angela, minha namorada, por todo incentivo, interesse e confian¸ca com
os quais sempre me agraciou.
A todos os meus familiares. Em especial, `as tias Vania, Lourdes e Sandra,
tio Paulo, v´o Am´elia e vˆo Pio.
Aos amigos da Par´oquia N. Sra. do Carmo, em especial: Paula, Jaque, Cris,
Daiane, Gustavo, Patr´ıcia, Walace, Seu J´ulio e D. Rita.
Aos amigos e frequentadores de rep´ublica, em especial: Bruno, Hercules,
Dhˆaranˆa, Marquito, Miky e Th.
Aos amigos do GPP-S˜ao Carlos e do GOU.
Aos amigos e colegas do DM, que fazem o ambiente de trabalho ser sempre
um ambiente de amplo crescimento. Em particular, `a Ana, Ricardo (Valdir) e
Hoffman pela amizade mais pr´oxima.
`
A C´elia, por ser sempre amiga e batalhadora pela nossa causa.
A todos os professores do PPGM e em particular: Arnaldo, C´esar R., Ruidi-
val, Salvador e Jo˜ao Sampaio.
`
As amigas Jurema, Lola e a todos os amigos do Xiquerinho.
`
As amigas do quiosque Aninha e Marisa.
`
A “galera do Recanto”: Marcelo, Bruno, Rodrigo, Dimas, Brunin, Diego,
Paraguai, Odilon, X´a, Maneco, P. Hubiratan, Samuel, Marquinho e a todos os
amigos e amigas de Cachoeiro.
`
As minhas orientadoras de inicia¸c˜ao cient´ıfica, Prof
a
. Dra. Claudia Buttarel-
lo Gentile e Prof
a
. Dra. Margareth da Silva Alves.
Aos professores e funcion´arios do DMA/UFV. Em especial ao Ol´ımpio, pelo
grande exemplo, Margareth, Paulo Tadeu, Marinˆes, Val´eria Mattos, Simone e ao
Seu Jair e Val´eria.
A todos os amigos de Vi¸cosa; do alojamento, da RCC, do PUR, da Capela
e do Imaculado. Vocˆes est˜ao sempre no meu cora¸c˜ao.
Aos grandes amigos de Campinas: Laercio, Lucy e J´ulio.
Aos qu´ımicos vi¸cosenses de S˜ao Carlos: Elivelton, Eddy Murphy, M´ario e
Rodrigo, pela importante ajuda logo que aqui cheguei.
Ao CNPq pelo aux´ılio financeiro.
Resumo
Neste trabalho estudamos o problema da existˆencia de equil´ıbrios est´aveis
n˜ao-constantes de alguns sistemas parab´olicos, sendo eles o sistema de Ginzburg-
Landau, o sistema de Landau-Lifshitz e sistemas de rea¸c˜ao-difus˜ao com estrutura
anti-gradiente. Em todos os casos, evidencia-se que a geometria do dom´ınio tem
um papel fundamental para uma resposta ao problema: se o dom´ınio tem fron-
teira suave e ´e convexo, ent˜ao n˜ao existem solu¸c˜oes de equil´ıbrio n˜ao-constantes
est´aveis, ou seja, todo equil´ıbrio n˜ao-constante ´e inst´avel.
Abstract
In this work we study the problem of existence of non-constant stable equi-
libria to some parabolic systems. Specifically, the Ginzburg-Landau system, the
Landau-Lifshitz system and systems with skew-gradient structure. In all cases,
we note that the geometry of the domain has a fundamental role in the problem
above: if the domain has a smooth boundary and is convex, then there are no
non-constant stable equilibrium solutions, that is, every non-constant equilibrium
is unstable.
Sum´ario
Introdu¸c˜ao 1
1 Conceitos e Resultados B´asicos 6
1.1 Espa¸cos de fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Preliminares de Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Alguns resultados gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Fatos b´asicos de An´alise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Um problema el´ıptico semilinear escalar . . . . . . . . . . 17
1.3.3 Lemas fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 O Sistema de Ginzburg-Landau 24
3 Sistema tipo Landau-Lifshitz 37
4 Sistemas de Rea¸c˜ao-Difus˜ao com Estrutura Anti-gradiente 46
A Solu¸c˜oes Inst´aveis em Quaisquer Dom´ınios 58
Referˆencias Bibliogr´aficas 64
Introdu¸c˜ao
A quest˜ao da existˆencia de solu¸c˜oes de equil´ıbrio, ou equil´ıbrios, est´aveis de
equa¸c˜oes de rea¸c˜ao e difus˜ao come¸cou a ser estudada fortemente na d´ecada de
setenta. Em particular, as equa¸c˜oes de rea¸c˜ao e difus˜ao semilineares foram alvos
muito visados.
Os estudos pioneiros do problema de existˆencia de equil´ıbrios est´aveis n˜ao -
constantes de equa¸c˜oes parab´olicas semilineares foram de Richard G. Casten e
Charles J. Holland em 1978, e Hiroshi Matano em 1979. Na realidade, os dois
trabalhos estabelecem condi¸c˜oes sobre a geometria do dom´ınio de forma que n˜ao
existam tais solu¸c˜oes.
Casten e Holland abordaram brevemente o caso de sistemas, mas a parte mais
substancial de seu artigo [2] ´e a discuss˜ao do problema no caso escalar. Matano
estudou, entre outros assuntos, o mesmo problema escalar em [16].
Tanto em [2] quanto em [16] estuda-se a equa¸c˜ao parab´olica semilinear escalar,
com condi¸c˜ao de fronteira de Neumann homogˆenea em um dom´ınio limitado
Ω ⊂ R
n
com fronteira ∂Ω suave, dada por
∂u
∂t
= ∆u + f(u) em Ω × IR
+
,
u(0, x) = u
0
(x) em Ω,
∂u
∂ν
= 0 em ∂Ω × IR
+
,
(0.0.1)
sendo ν o vetor normal exterior a ∂Ω e f ∈ C
1
(R). As solu¸c˜oes de equil´ıbrio ou
1
Introdu¸c˜ao 2
equil´ıbrios de (0.0.1) s˜ao solu¸c˜oes do problema el´ıptico associado
∆u + f(u) = 0 em Ω,
∂u
∂ν
= 0 em ∂Ω.
(0.0.2)
Casten e Holland e Matano observaram que ao problema de existˆencia de solu¸c˜oes
de equil´ıbrio est´aveis n˜ao-constantes era poss´ıvel dar uma resposta de car´ater
essencialmente geom´etrico. Tal resposta ´e o seguinte resultado:
“ Se Ω ⊂ R
n
´e um dom´ınio convexo com fronteira suave e u ∈ C
3
(Ω) ´e um equil´ıbrio
n˜ao-constante de (0.0.1), ent˜ao u ´e inst´avel.”
Este resultado mostra que a convexidade de um dom´ınio Ω ⊂ R
n
com fronteira
suave ´e uma condi¸c˜ao suficiente para a n˜ao-existˆencia de equil´ıbrios est´aveis n˜ao-
constantes de (0.0.1).
No entanto, convexidade n˜ao ´e uma condi¸c˜ao necess´aria. Matano mostrou que
em dom´ınios anelares - dom´ınios limitados por duas esferas concˆentricas - n˜ao
existe solu¸c˜ao de equil´ıbrio n˜ao-constante de (0.0.1) que seja est´avel. Outra
contribui¸c˜ao relevante de Matano foi mostrar em dom´ınios n˜ao-convexos tipo
“dumbell-shaped”e s ob determinadas hip´oteses sobre f a existˆencia de solu¸c˜ao
de equil´ıbrio est´avel n˜ao-constante de (0.0.1).
Nosso trabalho se concentra no estudo do mesmo problema abordado por Casten e
Holland e Matano, a quest˜ao da existˆencia de equil´ıbrios est´aveis n˜ao-constantes,
para o caso de sistemas, sendo eles o sistema de Ginzburg-Landau, uma classe
de sistemas do tipo Landau-Lifshitz e sistemas de rea¸c˜ao-difus˜ao com estrutura
anti-gradiente.
O Cap´ıtulo 1 ´e dedicado a conceitos e resultados b´asicos. E le cont´em a defini¸c˜ao
de alguns espa¸cos de fun¸c˜oes, os espa¸cos L
p
(1 ≤ p ≤ ∞) e os espa¸cos W
k,p
(k inteiro positivo, 1 ≤ p ≤ ∞) de Sobolev, alguns conceitos e resultados gerais
de Geometria, principalmente referentes `as curvaturas principais de superf´ıcies
n-dimensionais e sobre a Segunda Forma Fundamental, al´em de lemas extra´ıdos
e alguns adaptados de [2], [16] e [9].
No Cap´ıtulo 2 consideramos o sistema de Ginzburg-Landau, um sistema que surge
Introdu¸c˜ao 3
por exemplo em teoria de supercondutividade, o qual s uplementado com condi¸c˜ao
de fronteira de Neumann homogˆenea e desconsiderando-se os efeitos magn´eticos
´e dado por
∂U
∂t
= ∆U + (1 − |U|
2
)U em Ω × IR
+
∂U
∂ν
= 0 em ∂Ω × IR
+
,
(0.0.3)
com
U = (u, v) , |U| =
u
2
+ v
2
1
2
,
Ω um dom´ınio limitado em R
n
com fronteira ∂Ω de classe C
3
e ν o vetor normal
unit´ario exterior a ∂Ω.
Essa equa¸c˜ao de evolu¸c˜ao apareceu tratada como exemplo em [3] em 1977, no qual
foi mostrado que as solu¸c˜oes de (0.0.3) s˜ao atra´ıdas para o conjunto {(u, v) ; u
2
+
v
2
≤ 1}. Em 1981, K. J. Brown, P. C. Dunne e R. A. Gardner provaram em [1]
que o conjunto ω-limite de qualquer solu¸c˜ao de (0.0.3) est´a contido no conjunto
das solu¸c˜oes de equil´ıbrio de (0.0.3), dadas por
∆V + (1 − |V |
2
)V = 0 em Ω,
∂V
∂ν
= 0 em ∂Ω,
(0.0.4)
ou seja, que as solu¸c˜oes de (0.0.3) se aproximam do conjunto das solu¸c˜oes de
(0.0.4).
Em 1994, Shuichi Jimbo e Yoshihisa Morita trataram de (0.0.3) em [9] motivados
principalmente pelos resultados em [2] e [16]. Jimbo e Morita conseguiram esten-
der os resultados de Casten e Holland e Matano para o caso do sistema (0.0.3),
provando o seguinte:
“ Se Ω ⊂ R
n
´e um dom´ınio convexo com fronteira ∂Ω ∈ C
3
, ent˜ao qualquer solu¸c˜ao
n˜ao-constante de (0.0.4) ´e um equil´ıbrio inst´avel de (0.0.3).”
Na verdade, eles demonstraram o mesmo resultado para uma classe de sistemas
parab´olicos semilineares com estrutura gradiente e N equa¸c˜oes (N ≥ 1) que tem
Introdu¸c˜ao 4
(0.0.3) como c aso particular.
No Cap´ıtulo 3 estudamos com a mesma perspectiva uma classe de sistemas do
tipo Landau-Lifshitz, derivada do problema ferro-magn´etico, que com condi¸c˜ao
de fronteira de Neumann homogˆenea ´e dada por
∂
t
u = ∆u + |∇u|
2
− {W
u
− (W
u
· u)u} em Ω × IR
+
,
∂u
∂ν
= 0 em ∂Ω × IR
+
,
u = (u
1
, u
2
, . . . , u
m
) ∈ S
m−1
,
(0.0.5)
sendo Ω ⊂ R
n
um dom´ınio limitado com fronteira ∂Ω de classe C
3
, W ∈ C
3
(R
m
),
W (u) ≥ 0 para u ∈ S
m−1
(m ≥ 2) e W
u
:= (∂
u
1
W, ∂
u
2
W, . . . , ∂
u
m
W )
t
.
Esta classe de sistemas foi estudada por Shuichi Jimbo e Jian Zhai em [10] em
2003.
O principal resultado obtido diante do problema de existˆencia de solu¸c˜oes de
equil´ıbrio est´aveis n˜ao-constantes de (0.0.5) ´e o mesmo obtido para a equa¸c˜ao
de Ginzburg-Landau por Casten e Holland e Matano no caso escalar e Jimbo e
Morita no caso de sistemas gradientes:
“ Se Ω ⊂ R
n
´e um dom´ınio convexo com fronteira ∂Ω ∈ C
3
, ent˜ao qualquer equil´ıbrio
n˜ao-constante de (0.0.5) ´e inst´avel.”
No Cap´ıtulo 4, estudamos sistemas de rea¸c˜ao-difus˜ao com estrutura anti-gradiente,
que s˜ao sistemas do tipo ativador-inibidor consistindo de dois sistemas gradientes
acoplados de modo anti-sim´etrico, ou seja, s˜ao sistemas com m + n componentes
da forma
Su
t
= C∆u + f(u, v) em Ω × IR
+
,
T v
t
= D∆v + g(u, v) em Ω × IR
+
,
∂u
∂ν
= 0 =
∂v
∂ν
em ∂Ω × IR
+
,
(0.0.6)
sendo u(x, t) = (u
1
, · · · , u
m
)
t
e v(x, t) = (v
1
, · · · , v
n
)
t
, Ω um dom´ınio limitado em
Introdu¸c˜ao 5
R
N
com fronteira suave,
∂
∂ν
a derivada normal exterior em ∂Ω, S e C matrizes
de ordem m sim´etricas positivas definidas, T e D matrizes de ordem n sim´etricas
positivas definidas e de modo que os termos n˜ao-lineares f = (f
1
, · · · , f
m
)
t
:
R
m+n
−→ R
m
e g = (g
1
, · · · , g
n
)
t
: R
m+n
−→ R
n
s˜ao expressos por
f(u, v) = +∇
u
H(u, v) e g(u, v) = −∇
v
H(u, v)
para alguma fun¸c˜ao H : R
m+n
−→ R de classe C
3
, sendo ∇
u
e ∇
v
operadores
gradiente com rela¸c˜ao a u e v, respectivamente, isto ´e,
∇
u
:=
∂
∂u
1
, · · · ,
∂
∂u
m
t
, ∇
v
:=
∂
∂v
1
, · · · ,
∂
∂v
n
t
.
Tal classe de sistemas foi estudada por Yanagida em [21] em 2002.
Quando nos deparamos com o problema de existˆenc ia de solu¸c˜oes de equil´ıbrio
est´aveis n˜ao-constantes - ou espacialmente n˜ao-homogˆeneas - de (0.0.6) obtemos
uma resp osta idˆentica `aquelas obtidas ao considerarmos o mesmo problema para
os sistemas (0.0.1), (0.0.3) e (0.0.5):
“Seja Ω ⊂ R
N
um dom´ınio convexo com fronteira C
3
. Se (ϕ, ψ) ´e um equil´ıbrio
de (0.0.6) espacialmente n˜ao-homogˆeneo, ent˜ao (ϕ, ψ) ´e um equil´ıbrio inst´avel de
(0.0.6) no sentido de Lyapunov para certas S e T.”
Ao final do trabalho fazemos um apˆendice no qual exibimos solu¸c˜oes de equil´ıbrio
n˜ao-constantes de (0.0.3) que s˜ao inst´aveis em quaisquer dom´ınios Ω ⊂ R
n
, inde-
pendentemente de suas propriedades geom´etricas.
Cap´ıtulo 1
Conceitos e Resultados B´asicos
Neste cap´ıtulo consideraremos alguns conceitos e resultados gerais que servir˜ao
de alicerce para os resultados contidos nos cap´ıtulos seguintes.
1.1 Espa¸cos de fun¸c˜oes
Tendo em vista os prop´ositos deste trabalho, definiremos alguns espa¸cos de fun¸c˜oes
reais em s ubconjuntos de R
n
, muito embora seja poss´ıvel consider´a-los em espa¸cos
bem mais gerais.
Um dom´ınio Ω ⊂ R
n
´e um conjunto aberto e conexo. Uma fun¸c˜ao mensur´avel
em Ω significar´a uma classe de equivalˆencia de fun¸c˜oes mensur´aveis em Ω que
diferem apenas em um conjunto de medida zero.
Defini¸c˜ao 1.1.1 Se 1 ≤ p < ∞, o espa¸co L
p
(Ω) ´e espa¸co das fun¸c˜oes u men-
sur´aveis em Ω que s˜ao p-integr´aveis, isto ´e, que satisfazem
||u||
L
p
(Ω)
≡ ||u||
p
:=
Ω
|u|
p
dx
1
p
< ∞.
Se p = ∞, o espa¸co L
∞
(Ω) ´e o espa¸co das fun¸c˜oes u mensur´aveis em Ω que
s˜ao essencialmente limitadas, ou seja, que satisfazem |u(x)| ≤ k, q.t.p. em Ω,
e o ´ınfimo do conjunto de tais constantes k, chamado supremo essencial de u e
denotado por esssup |u|, ´e finito.
6
Cap´ıtulo 1: Conceitos e Resultados B´asicos 7
Assim, u ∈ L
∞
(Ω) se, e somente se,
||u||
L
∞
(Ω)
≡ ||u||
∞
:= esssup |u| < ∞
Definimos tamb´em o espa¸co das fun¸c˜oes localmente p-integr´aveis
L
p
loc
(Ω) := {u : Ω −→ R | u ∈ L
p
(V ) para cada V ⊂⊂ Ω},
sendo que V ⊂⊂ Ω quando V ´e um aberto contido em Ω e tal que V ⊂ Ω, com
V compacto.
Tamb´em podemos considerar o espa¸co
(L
p
(Ω))
N
:= L
p
(Ω) × · · · × L
p
(Ω) (N vezes),
1 ≤ p ≤ ∞, munido da norma
||u||
(L
p
(Ω))
N
:=
N
k=1
||u
k
||
p
L
p
(Ω)
1
p
, se 1 ≤ p < ∞,
N
k=1
||u
k
||
∞
, se p = ∞,
para u = (u
1
, . . . , u
N
) ∈ (L
p
(Ω))
N
.
Denotamos por C
∞
c
(Ω) o espa¸co das fun¸c˜oes teste, ou seja, das fun¸c˜oes φ : Ω → R
tendo suporte, definido como sendo o conjunto {x ∈ Ω | φ(x) = 0}, compacto.
Agora vamos definir os espa¸cos de Sobolev e para isso necessitamos do conceito
de derivada no sentido fraco ou derivada generalizada de uma fun¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 1.1.2 Suponha u, v ∈ L
1
loc
(Ω) e seja α um multi-´ındice. Dizemos que
v ´e a α- ´esima derivada parcial fraca de u, denotada por D
α
u, se a igualdade
Ω
uD
α
φ dx = (−1)
|α|
Ω
vφ dx
se verifica para toda fun¸c˜ao teste φ ∈ C
∞
c
(Ω).
Cap´ıtulo 1: Conceitos e Resultados B´asicos 8
Defini¸c˜ao 1.1.3 Sejam 1 ≤ p ≤ ∞ e k um inteiro positivo. O espa¸co de
Sobolev W
k,p
(Ω) ´e o espa¸co de todas as fun¸c˜oes localmente integr´aveis u : Ω → R
tais que para cada multi-´ındice α, com |α| ≤ k, D
α
u existe no sentido fraco e
pertence a L
p
(Ω).
Quando p = 2, escrevemos
H
p
(Ω) := W
k,2
(Ω).
Defini¸c˜ao 1.1.4 A norma de uma fun¸c˜ao u em W
k,p
(Ω) ´e definida por
||u||
k,p,Ω
≡ ||u||
W
k,p
(Ω)
:=
|α|≤k
Ω
|D
α
u|
p
dx
1
p
, se 1 ≤ p < ∞,
|α|≤k
esssup |D
α
u| , se p = ∞.
Se escrevermos tamb´em ||u||
W
k,p
(Ω)
=
|α|≤k
||D
α
u||
p
, obtemos uma norma equiva-
lente a da Defini¸c˜ao (1.1.4).
Os e spa¸cos W
k,p
(Ω) s ˜ao espa¸cos de Banach e os espa¸cos H
k
(Ω) s ˜ao espa¸cos de
Hilbert sob o produto escalar
(u, v)
H
k
(Ω)
=
|α|≤k
Ω
D
α
uD
α
v dx.
Consideraremos tamb´em o espa¸co de Hilbert
H
k
(Ω)
N
:= H
k
(Ω) × · · · × H
k
(Ω) (N vezes)
munido do produto escalar
(u, v)
(H
k
(Ω))
N
=
n
j=1
(u
j
, v
j
)
H
k
(Ω)
,
sendo u = (u
1
, . . . , u
N
), v = (v
1
, . . . , v
N
), u, v ∈ (H
k
(Ω))
N
.
Cap´ıtulo 1: Conceitos e Resultados B´asicos 9
1.2 Preliminares de Geometria
Veremos nesta se¸c˜ao alguns conceitos e resultados de Geometria Diferencial que
podem ser encontrados em [20], [15] e [13].
Defini¸c˜ao 1.2.1 Seja Ω ⊂ R
n
um conjunto aberto. Dizemos que ∂Ω ´e de classe
C
k
, o que denotamos por ∂Ω ∈ C
k
, quando para cada ponto x
0
∈ ∂Ω pudemos
encontrar uma fun¸c˜ao ρ de classe C
k
em uma vizinhan¸ca W de x
0
tal que
ρ(x
0
) = 0, ∇ρ(x
0
) = 0 e
Ω ∩ W = {x ∈ W | ρ(x) < 0}.
Defini¸c˜ao 1.2.2 Um conjunto S ⊂ R
n+1
´e chamado superf´ıcie n-dimensional
ou superf´ıcie diferenci´avel (de classe C
k
) quando ´e localmente o gr´afico de uma
fun¸c˜ao de n vari´aveis diferenci´avel (de classe C
k
).
Em outras palavras, S ⊂ R
n+1
´e uma superf´ıcie quando cada ponto p de S
pertence a um aberto V ⊂ R
n+1
tal que V ∩S ´e o gr´afico de uma fun¸c˜ao de classe
C
k
definida num aberto do espa¸co R
n
.
Defini¸c˜ao 1.2.3 Uma superf´ıcie S ⊂ R
n+1
de classe C
k
´e compacta quando ´e
um subconjunto fechado e limitado de R
n+1
.
Defini¸c˜ao 1.2.4 Seja S ⊂ R
n+1
uma superf´ıcie diferenci´avel. Dado p ∈ S,
o conjunto de todos os vetores velocidade α
(t
0
) das curvas α : I ⊂ R −→ S
contidas em S, diferenci´aveis no ponto t
0
do aberto I ⊂ R e tais que α(t
0
) = p, ´e
chamado espa¸co tangente a S em p, denotado por T
p
S.
O nome espa¸co tangente dado a T
p
S tem sua justificativa no pr´oximo teorema,
cuja prova pode ser encontrada em [13], Teorema 6, p. 166.
Teorema 1.2.1 Se a superf´ıcie S ⊂ R
n+1
´e diferenci´avel, ent˜ao para cada p ∈ S
o conjunto T
p
S ´e um subespa¸co n-dimensional de R
n+1
.
Cap´ıtulo 1: Conceitos e Resultados B´asicos 10
Defini¸c˜ao 1.2.5 Um campo vetorial normal a uma superf´ıcie S ⊂ R
n+1
´e chama-
do uma orienta¸c˜ao em S. Uma superf´ıcie a qual est´a associada uma orienta¸c˜ao ´e
chamada superf´ıcie orientada.
Defini¸c˜ao 1.2.6 Seja S uma superf´ıcie em R
n+1
com orienta¸c˜ao dada por um
campo normal unit´ario N.
(i) A aplica¸c˜ao de Weingarten L
p
: T
p
S −→ T
p
S entre os espa¸cos tangentes
a S em p ´e a aplica¸c˜ao dada por
L
p
(v) = −
∂
∂v
N(p), v ∈ T
p
S.
(ii) Quando |v| = 1, o n´umero
k(v) = L
p
(v) · v
´e chamado curvatura normal de S em p na dire¸c˜ao v.
(iii) Os autovalores κ
1
(p), . . . , κ
n
(p) da aplica¸c˜ao de Weingarten L
p
em p ∈ S
s˜ao chamados curvaturas principais de S em p e os autovetores unit´arios cor-
respondentes s˜ao chamados dire¸c˜oes principais de S em p.
A aplica¸c˜ao de Weingarten ´e bem definida (cf. [20], p. 55) e possui algumas
propriedades dadas no pr´oximo teorema, cuja demonstra¸c˜ao pode ser encontrada
em [20], Teorema 1, p. 57 e Teorema 2, p. 58.
Teorema 1.2.2 Seja S uma superf´ıcie em R
n+1
orientada por um campo normal
unit´ario N. Ent˜ao,
(i) Dados p ∈ S e v ∈ T
p
S, para qualquer curva parametrizada α : I ⊂ R −→ S
com α(t
0
) = p e tal que ˙α(t
0
) = v para algum t
0
∈ I, vale
L
p
(v) · v = ¨α(t
0
) · N(p).
(ii) A aplica¸c˜ao de Weingarten L
p
em p ∈ S ´e auto-adjunta, isto ´e,
L
p
(v) · w = L
p
(w) · v, ∀ v, w ∈ T
p
S.
Cap´ıtulo 1: Conceitos e Resultados B´asicos 11
Defini¸c˜ao 1.2.7 Seja V um espa¸co vetorial real com produto interno · e de di-
mens˜ao finita. Uma fun¸c˜ao S : V −→ R ´e chamada forma quadr´atica quando
existe uma forma bilinear β : V × V −→ R (isto ´e, β(u, v) ´e linear em cada
vari´avel) tal que
S(v) = β(v, v),
para todo v ∈ V.
Note que se L : V −→ V ´e um operador auto-adjunto, a fun¸c˜ao S : V −→ R
dada por
S(v) = L(v) · v, v ∈ V,
´e uma forma quadr´atica pois a fun¸c˜ao β : V × V −→ R definida p or β(u, v) =
L(u) · v, para u, v ∈ V, ´e uma forma bilinear.
Neste caso especial, chamamos S de forma quadr´atica asso ciada a L.
Defini¸c˜ao 1.2.8 Uma forma quadr´atica S : V −→ R ´e
(i) positiva definida, se S(v) > 0 para todo V v = 0;
(ii) negativa definida, se S(v) < 0 para todo V v = 0;
(iii) definida, se ´e positiva ou negativa definida.
Defini¸c˜ao 1.2.9 A forma quadr´atica associada `a aplica¸c˜ao de Weingarten L
p
num ponto p de uma superf´ıcie orientada S ⊂ R
n+1
´e chamada Segunda Forma
Fundamental de S em p e ´e denotada por S
p
. Assim,
S
p
(v) := L
p
(v) · v = ¨α(t
0
) · N(p),
sendo α : I ⊂ R −→ S qualquer curva parametrizada em S com α(t
0
) = p e tal
que ˙α(t
0
) = v.
Vamos enunciar o conhecido Teorema do Multiplicador de Lagrange, que nos ser´a
´util na demonstra¸c˜ao do resultado mais importante desta se¸c˜ao sobre a Segunda
Forma Fundamental de uma superf´ıcie compacta, orient´avel e sem bordo, e cuja
prova pode ser encontrada em [13], p. 171.
Lembremos que se f : Ω −→ R ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel no aberto Ω ⊂ R
n
, um
Cap´ıtulo 1: Conceitos e Resultados B´asicos 12
n´umero c ∈ R ´e chamado valor regular de f quando n˜ao existem pontos cr´ıticos
no n´ıvel c, isto ´e, se f (x) = c ent˜ao ∇f(x) = 0.
Teorema 1.2.3 (Teorema do multiplicador de Lagrange)
Sejam f : Ω −→ R uma fun¸c˜ao de classe C
k
(k ≥ 1) no aberto Ω ⊂ R
n
e
S = ϕ
−1
(c) uma superf´ıcie contida em Ω, imagem inversa do valor regular c por
uma fun¸c˜ao ϕ : Ω −→ R de classe C
k
. Um ponto p ∈ S ´e ponto cr´ıtico de f
S
se,
e somente se, existe λ ∈ R tal que
∇f(p) = λ∇ϕ(p).
O pr´oximo teorema ´e o principal resultado desta se¸c˜ao.
Teorema 1.2.4 Seja S uma superf´ıcie em R
n+1
compacta, orient´avel e sem bor-
do. Ent˜ao existe um ponto no qual a Segunda Forma Fundamental ´e definida.
A id´eia da prova ´e colocar S em uma esfera suficientemente grande e depois
encolhˆe-la at´e que ela toque S. O ponto de contato ´e um ponto que realiza a tese
do teorema.
Prova do Teorema (1.2.4). Defina g : R
n+1
−→ R pondo g(x
1
, . . . , x
n+1
) =
x
2
1
+ · · · + x
2
n+1
.
Como S ´e compacta, existe um ponto p ∈ S onde o m´aximo de g em S se realiza.
Sendo S uma superf´ıcie, ´e localmente gr´afico de fun¸c˜ao de modo que existem uma
vizinhan¸ca W de p em R
n+1
e uma fun¸c˜ao f : W −→ R tal que
M := S ∩ W = f
−1
(0),
com ∇f = 0 em M.
Assim, pelo Teorema do Multiplicador de Lagrange, existe λ ∈ R tal que
∇g(p) = λ∇f(p) = µN(p),
com µ = ±λ|∇f(p)| e N (p) o vetor normal a S em p.
O sinal de µ depende da orienta¸c˜ao de S; suponhamos que µ > 0, isto ´e, que S
est´a orientada p elo campo normal exterior. Ent˜ao,
µ = |µ| = |µN(p)| = |∇g(p)| = 2|p|,
Cap´ıtulo 1: Conceitos e Resultados B´asicos 13
de modo que
N(p) =
1
µ
∇g(p) =
1
|p|
p.
Agora, para v ∈ T
p
M, o espa¸co tangente a M em p, seja α : I ⊂ R −→ M uma
curva com α(t
0
) = p e tal que ˙α(t
0
) = v.
Como p ´e o ponto de m´aximo global de g em S, temos que g ◦ α(t
0
) ≥ g ◦ α(t)
para todo t ∈ I, de forma que
0 ≥
d
2
dt
2
t
0
(g ◦ α) =
d
dt
t
0
∇g(α(t)) · ˙α(t))
=
d
dt
t
0
2α(t) ·
dα
dt
(t) = 2
| ˙α(t
0
)|
2
+ α(t
0
) · ¨α(t
0
)
= 2
| ˙α(t
0
)|
2
+ p · ¨α(t
0
)
= 2
| ˙α(t
0
)|
2
+ |p| N(p) · ¨α(t
0
)
= 2
| ˙α(t
0
)|
2
+ |p| L
p
(v) · v
.
Logo,
S
p
(v) = L
p
(v) · v ≤ −
|v|
2
|p|
< 0, ∀v = 0,
o que significa que a Segunda forma Fundamental em p ´e negativa definida.
Observe que se S estivesse orientada pelo campo normal interior concluir´ıamos
que a Segunda Forma Fundamental em p seria positiva definida, o que justifica o
enunciado do teorema.
O teorema anterior ´e v´alido sob panorama mais geral, ao considerarmos S uma
variedade compacta sem bordo e sem a hip´otese da orientabilidade.
Cap´ıtulo 1: Conceitos e Resultados B´asicos 14
1.3 Alguns resultados gerais
Esta se¸c˜ao cont´em resultados b´asicos de An´alise e lemas diretamente relacionados
com os resultados principais deste trabalho.
1.3.1 Fatos b´asicos de An´alise
Teorema 1.3.1 (F´ormula da integra¸c˜ao por partes) Sejam Ω ⊂ R
n
um
dom´ınio limitado com ∂Ω ∈ C
1
, g ∈ H
1
(Ω) e F = (f
1
, · · · , f
n
) ∈ [H
1
(Ω)]
n
.
Ent˜ao
Ω
g divF dx = −
Ω
F · ∇g dx +
∂Ω
g (F · ν) dσ,
sendo g e as componentes f
i
de F na integral sobre ∂Ω os tra¸cos de g e f
i
, para
cada i = 1, . . . , n.
Em particular, se F = ∇f para alguma f ∈ H
2
(Ω), temos
Ω
g∆f dx = −
Ω
∇f · ∇g dx +
∂Ω
g
∂f
∂ν
dσ.
A demonstra¸c˜ao da F´ormula da integra¸c˜ao p or partes pode ser encontrada, por
exemplo, em [17].
Teorema 1.3.2 (F´ormula de Taylor com resto de Lagrange)
Sejam Ω ⊂ R
n
um aberto, a ∈ Ω e f : Ω −→ R de classe C
k
. Suponha que o
segmento [a, a + v] est´a contido em Ω e f ´e k + 1 vezes diferenci´avel no segmento
aberto (a, a + v). Ent˜ao, existe θ ∈ (0, 1) tal que
f(a + v) = f(a) + df(a) · v +
1
2
d
2
f(a) · v
2
+ · · · +
1
k!
d
k
f(a) · v
k
+ r
k
(v),
com
r
k
(v) =
1
(k + 1)!
d
(k+1)
f(a + θv) · v
(k+1)
.
A demonstra¸c˜ao da F´ormula de Taylor com resto de Lagrange pode ser encontrada
em [13], p. 150.
Cap´ıtulo 1: Conceitos e Resultados B´asicos 15
Teorema 1.3.3 Seja Ω ⊂ R
n
aberto e convexo.
(i) Se f : Ω −→ R ´e diferenci´avel e convexa, ent˜ao para x, x + v ∈ Ω quaisquer
tem-se
f(x + v) ≥ f(x) + df(x) · v.
(ii) Se f : Ω −→ R ´e de classe C
2
e convexa, ent˜ao para cada x ∈ Ω, d
2
f(x) ´e
uma forma quadr´atica n˜ao-negativa, isto ´e,
n
i,j=1
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
(x)v
i
v
j
≥ 0, ∀v = (v
1
, · · · , v
n
) ∈ R
n
.
Prova. (i) Sejam x ∈ Ω e v ∈ R
n
tais que x + v ∈ Ω. Defina ϕ pondo ϕ(t) =
f(x + tv), t ∈ [0, 1]. Note que ϕ est´a bem definida pois, como x, x + v ∈ Ω e Ω
´e convexo, ent˜ao (1 − t)x + t(x + v) ∈ Ω, ou seja, x + tv ∈ Ω, qualquer que seja
t ∈ [0, 1]. Ainda, da convexidade de Ω e da diferenciabilidade de f em Ω, segue
que ϕ ´e diferenci´avel em [0, 1]. Como f ´e convexa, temos:
ϕ(t) = f (x+tv) = f(x+tv+tx−tx) ≤ (1−t)f(x)+tf(x+v) = (1−t)ϕ(0)+tϕ(1).
Da´ı,
ϕ(t) − ϕ(0) ≤ t[ϕ(1) − ϕ(0)], ∀ t ∈ [0, 1]. (1.3.1)
Sendo ϕ cont´ınua em [0, 1] e diferenci´avel em (0, 1), pelo Teorema do Valor M´edio
existe α ∈ (0, 1) tal que
ϕ(1) − ϕ(0) = ϕ
(α) (1.3.2)
Assim, segue de (1.3.1) e (1.3.2) que
ϕ(t) − ϕ(0)
t
≤ ϕ
(α), ∀ t ∈ (0, 1].
Logo, fazendo t → 0, t > 0, obtemos
ϕ
+
(0) ≤ ϕ
(α) = ϕ(1) − ϕ(0),
ou seja,
f(x + v) ≥ f(x) + df(x) · v,
Cap´ıtulo 1: Conceitos e Resultados B´asicos 16
como quer´ıamos demonstrar.
(ii) Suponha que existe x ∈ Ω tal que d
2
f(x) n˜ao ´e n˜ao-negativa. Ent˜ao, existe
w ∈ R
n
tal que d
2
f(x) · w
2
< 0. Tome α ∈ (0, 1) de modo que x + αw ∈ Ω. Pela
F´ormula de Taylor com resto de Lagrange, existe θ ∈ (0, 1) tal que
f(x + αw) = f (x) + df (x) · (αw) + r
1
(αw),
com
r
1
(αw) =
1
2
d
2
f(x + θ(αw)) · (αw)
2
.
Da´ı,
1
2
d
2
f(x + θ(αw)) · (αw)
2
= f (x + αw) − f (x) − df (x) · (αw)
item (i)
≥ 0,
e assim
α
2
2
d
2
f(x + θ(αw)) · w
2
≥ 0,
donde
d
2
f(x + θ(αw)) · w
2
≥ 0.
Fazendo α → 0, como f ´e de classe C
2
, obtemos
d
2
f(x) · w
2
≥ 0,
o que ´e uma contradi¸c˜ao com o suposto inicialmente.
Portanto, d
2
f(x) ´e uma forma quadr´atica n˜ao-negativa para todo x ∈ Ω, isto ´e,
m
i,j=1
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
(x)v
i
v
j
≥ 0, ∀ v = (v
1
, · · · , v
m
) ∈ R
m
,
e a proposi¸c˜ao est´a provada.
Vale observar que as rec´ıprocas dos itens (i) e (ii) da Proposi¸c˜ao (1.3.3) tamb´em
s˜ao verdadeiras.
Cap´ıtulo 1: Conceitos e Resultados B´asicos 17
1.3.2 Um problema el´ıptico semilinear escalar
Consideremos o seguinte problema el´ıptico n˜ao-linear
∆u + f(u) = 0 em Ω,
∂u
∂ν
= 0 em ∂Ω,
(1.3.3)
sendo Ω ⊂ R
n
um dom´ınio limitado com fronteira suave e f ∈ C
1
. Uma fun¸c˜ao
u
0
∈ C
2
(Ω) ∩ C
1
(Ω) chama-se super-solu¸c˜ao de (1.3.3) se u
0
satisfaz
∆u
0
+ f(u
0
) ≤ 0 em Ω,
∂u
0
∂ν
≥ 0 em ∂Ω.
Analogamente, v
0
chama-se sub-solu¸c˜ao de (1.3.3) se v
0
satisfaz
∆v
0
+ f(v
0
) ≥ 0 em Ω,
∂v
0
∂ν
≤ 0 em ∂Ω,
O pr´oximo teorema que vamos enunciar ´e um teorema do tipo compara¸c˜ao de
solu¸c˜oes que nos ser´a ´util no apˆendice ao final deste trabalho.
Teorema 1.3.4 Suponha que u
0
e v
0
s˜ao super e sub solu¸c˜oes de (1.3.3), com
u
0
≥ v
0
em Ω. Ent˜ao, e xiste uma solu¸c˜ao u de (1.3.3) tal que
u
0
(x) ≥ u(x) ≥ v
0
(x),
para todo x ∈ Ω.
Para a demonstra¸c˜ao do teorema anterior, veja [19], Teorema 10.3, p. 96 e veja
tamb´em p. 99.
Cap´ıtulo 1: Conceitos e Resultados B´asicos 18
1.3.3 Lemas fundamentais
Lema 1.3.1 Seja Ω ⊂ R
n
um dom´ınio limitado com ∂Ω de classe C
3
e seja
u ∈ C
3
(Ω). Se Ω ´e convexo e
∂u
∂ν
= 0 em ∂Ω,
ent˜ao
∂
∂ν
|∇u|
2
≤ 0 em ∂Ω.
Prova. Como
1
2
∂
∂ν
|∇u|
2
= ∇u ·
∂
∂ν
∇u, em ∂Ω,
sendo
∂
∂ν
∇u =
∂
∂ν
∂u
∂x
1
, · · · ,
∂
∂ν
∂u
∂x
n

,
para demonstrarmos o lema ´e suficiente provarmos que
∇u(x) ·
∂
∂ν
∇u(x) ≤ 0, ∀x ∈ ∂Ω.
Seja x ∈ ∂Ω. Sem perda de generalidade, podemos assumir que x ´e a origem
de um sistema de coordenadas e, gra¸cas a regularidade de ∂Ω, supor que x
n
=
g(x
1
, · · · , x
n−1
) ´e uma fun¸c˜ao C
3
convexa cujo gr´afico descreve a fronteira de Ω
em alguma vizinhan¸ca da origem. Al´em disso, podemos tamb´em supor que na
origem o eixo −x
n
est´a na dire¸c˜ao normal exterior a ∂Ω.
Ent˜ao, ν(0) = (0, · · · , 0, −1) e como
∂u
∂x
n
(0) = − lim
t→0
u(−tν(0)) − u(0)
−t
= −
∂u
∂ν
(0) = 0,
Cap´ıtulo 1: Conceitos e Resultados B´asicos 19
segue que
∇u(0) ·
∂
∂ν
∇u(0) =
n
i=1
∂u
∂x
i
(0)
∂
∂ν
∂u
∂x
i
(0)
=
n
i=1
∂u
∂x
i
(0)
n
j=1
∂
2
u
∂x
i
∂x
j
(0) ν
j
(0)
= −
n
i=1
∂u
∂x
i
(0)
∂
2
u
∂x
i
∂x
n
(0)
= −
n−1
i=1
∂u
∂x
i
(0)
∂
2
u
∂x
i
∂x
n
(0) (1.3.4)
Agora, sabemos que se x
n
= g(x
1
, · · · , x
n−1
) em uma vizinhan¸ca V, ent˜ao ν =
g
x
1
(x
1
, · · · , x
n−1
), · · · , g
x
n−1
(x
1
, · · · , x
n−1
), −1
em V.
Da´ı, ∂
ν
u = 0 ´e equivalente a
n−1
i=1
u
x
i
x
1
, · · · , x
n−1
, g(x
1
, · · · , x
n−1
)
g
x
i
(x
1
, · · · , x
n−1
)
− u
x
n
x
1
, · · · , x
n−1
, g(x
1
, · · · , x
n−1
)
= 0. (1.3.5)
Diferenciando (1.3.5) com rela¸c˜ao a x
j
na origem, 1 ≤ j ≤ n − 1, obtemos
n−1
i=1
u
x
i
(0)g
x
i
x
j
(0) − u
x
j
x
n
(0) = 0, (1.3.6)
pois como g ´e convexa e Ω ´e convexo a origem ´e p onto de m´ınimo de g, de modo
que g
x
i
(0) = 0, i = 1, . . . , n − 1. Substituindo a express˜ao (1.3.6) para u
x
j
x
n
(0)
em (1.3.4) segue que
∇u(0) ·
∂
∂ν
∇u(0) = −
n−1
i,j=1
g
x
i
x
j
(0)u
x
i
(0)u
x
j
(0). (1.3.7)
Pela Teorema (1.3.3)-(ii), o lado direito de (1.3.7) ´e n˜ao-positivo, o que implica
que
∇u(0) ·
∂
∂ν
∇u(0) ≤ 0.
Como x ∈ ∂Ω foi arbitr´ario, conclu´ımos que
∇u(y) ·
∂
∂ν
∇u(y) ≤ 0, ∀y ∈ ∂Ω,
Cap´ıtulo 1: Conceitos e Resultados B´asicos 20
e o lema est´a provado.
O resultado anterior tamb´em ´e v´alido no caso vetorial:
Lema 1.3.2 Seja Ω ⊂ R
n
um dom´ınio limitado com ∂Ω de classe C
3
e seja
u ∈ C
3
(Ω, R
m
). Se Ω ´e convexo e
∂u
∂ν
= 0 em ∂Ω,
ent˜ao
∂
∂ν
|∇u|
2
≤ 0 em ∂Ω.
Prova. Suponha que
∂u
∂ν
= 0 em ∂Ω. Ent˜ao,
∂u
j
∂ν
= 0 em ∂Ω, para 1 ≤ j ≤ m.
Pelo Lema (1.3.1),
∂
∂ν
|∇u
j
|
2
≤ 0 em ∂Ω,
para todo 1 ≤ j ≤ m. Logo,
∂
∂ν
|∇u|
2
=
m
j=1
∂
∂ν
|∇u
j
|
2
≤ 0 em ∂Ω.
Lema 1.3.3 Seja P ∈ ∂Ω e u ∈ C
2
(Ω ∩ W), com W uma vizinhan¸ca de P . Se
nenhuma curvatura principal de ∂Ω se anula em P e u satisfaz
∂u
∂ν
= 0 em ∂Ω ∩ W,
(1.3.8)
∂
∂ν
∂u
∂x
j
(P ) = 0 (1 ≤ j ≤ n),
ent˜ao
∇u(P ) = 0.
Prova. Inicialmente, escolhemos um sistema local de coordenadas x = (x
1
, · · · , x
n
)
em W tal que {x
n
= 0} ∩ W = ∂Ω ∩ W, isto ´e, Φ(∂Ω ∩ W) = {x
n
= 0} ∩ W, com
Φ : W −→ Φ(W) um difeomorfismo.
Cap´ıtulo 1: Conceitos e Resultados B´asicos 21
Por uma rota¸c˜ao de coordenadas podemos assumir que o eixo x
n
est´a na dire¸c˜ao
ν(P ). Por uma rota¸c˜ao adicional, podemos assumir que os eixos x
1
, · · · , x
n−1
est˜ao nas dire¸c˜oes principais correspondentes `a κ
1
, · · · , κ
n−1
, as curvaturas prin-
cipais de ∂Ω em P , respectivamente.
Assim, com rela¸c˜ao ao sistema de curvaturas principais em P ∈ ∂Ω ∩ W,
sabemos que
∂ν
i
∂x
j
= κ
i
δ
ij
, i, j = 1, · · · , n − 1, (1.3.9)
sendo δ
ij
o delta de Kronecker e ν
i
a i-´esima componente de ν, 1 ≤ i ≤ n − 1.
Agora, estendamos o campo vetorial ν(x) fora de ∂Ω suavemente. Aplicando ∂
x
j
para 1 ≤ j ≤ n − 1 `a primeira equa¸c˜ao de (1.3.8) em x = P , obtemos
∂ν
∂x
j
(P ) · ∇u(P ) + ν(P ) · ∇
∂u
∂x
j
(P ) = 0, 1 ≤ j ≤ n − 1. (1.3.10)
Usando a segunda equa¸c˜ao de (1.3.8) em (1.3.10), segue que
∂ν
∂x
j
(P ) · ∇u(P ) = 0, 1 ≤ j ≤ n − 1. (1.3.11)
Note que como o campo ν ´e unit´ario,
∂ν
∂x
j
pertence ao espa¸co tangente a ∂Ω em
P para cada 1 ≤ j ≤ n − 1, e como
∂ν
∂x
j
(P ) =
∂ν
1
∂x
j
(P ), · · · ,
∂ν
n−1
∂x
j
(P ), 0
(1.3.9)
= (0, · · · , κ
j
, 0, · · · , 0),
com κ
j
na j-´esima posi¸c˜ao, para 1 ≤ j ≤ n − 1, segue da hip´otese sobre as cur-
vaturas principais n˜ao se anularem em P que os n − 1 vetores
∂ν
∂x
1
(P ),
∂ν
∂x
2
(P ), · · · ,
∂ν
∂x
n−1
(P ) (1.3.12)
geram o espa¸co tangente a ∂Ω em P .
Por outro lado, da primeira equa¸c˜ao de (1.3.8) segue que ∇u(P ) ´e tangente a ∂Ω.
Cap´ıtulo 1: Conceitos e Resultados B´asicos 22
Deste fato e (1.3.11), conclu´ımos que ∇u(P ) ´e o vetor nulo, ou seja,
∇u(P ) = 0.
O lema anterior tem uma vers˜ao no caso vetorial. Vamos enunci´a-la de acordo
com o nosso interesse em utiliz´a-la no Cap´ıtulo 3.
Lema 1.3.4 Seja Ω ⊂ R
n
um dom´ınio limitado com fronteira ∂Ω de classe C
3
e
seja u ∈ C
2
(Ω, R
m
). Suponha que existe um conjunto relativamente aberto Γ em
∂Ω tal que nenhuma curvatura principal de ∂Ω se anula em Γ e que
∂u
∂ν
Γ
= 0 e
∂
∂ν
∂u
∂x
j
Γ
= 0 (1 ≤ j ≤ n).
Ent˜ao,
∇u = 0 em Γ,
isto ´e,
∇u
k
= 0 em Γ, ∀ k = 1, · · · , m.
Prova. Como Γ ´e relativamente aberto em ∂Ω, existe W aberto de R
n
tal que
Γ = ∂Ω ∩ W.
Seja P ∈ Γ. Ent˜ao, por hip´otese, nenhuma curvatura principal de ∂Ω se anula
em P . Al´em disso,
∂u
∂ν
Γ
= 0 ⇐⇒
∂u
k
∂ν
Γ
= 0, ∀ 1 ≤ k ≤ m,
∂
∂ν
∂u
∂x
j
Γ
= 0 ⇐⇒
∂
∂ν
∂u
k
∂x
j
Γ
= 0, ∀ 1 ≤ k ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Logo, aplicando o Lema(1.3.3) a u
k
para cada 1 ≤ k ≤ m, obtemos
∇u
k
(P ) = 0 em Γ, ∀ k = 1, · · · , m.
Cap´ıtulo 1: Conceitos e Resultados B´asicos 23
Como P ∈ Γ ´e arbitr´ario, vemos que
∇u
k
= 0 em Γ, ∀ k = 1, · · · , m,
ou seja,
∇u = 0 em Γ.
Lema 1.3.5 Suponha ∂Ω de classe C
3
e sejam u
1
, · · · , u
N
fun¸c˜oes em C
2
(Ω)
satisfazendo
∆u
k
+
N
j=1
a
kj
(x)u
j
(x) = 0 em Ω (1 ≤ k ≤ N ), (1.3.13)
com a
kj
∈ C(Ω). Se existe um ponto P ∈ ∂Ω e uma vizinhan¸ca W de P tal que
u
k
(x) = 0, x ∈ ∂Ω ∩ W (1 ≤ k ≤ N),
(1.3.14)
∂u
k
∂ν
(x) = 0, x ∈ ∂Ω ∩ W (1 ≤ k ≤ N).
Ent˜ao,
u
k
(x) = 0, ∀ x ∈ Ω (1 ≤ k ≤ N).
O lema anterior deriva do Teorema da Continua¸c˜ao
´
Unica de Calder´on. Sua
demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em [18], Cap´ıtulo 6.
Cap´ıtulo 2
O Sistema de Ginzburg-Landau
O sistema de Ginzburg-Landau surge como um modelo matem´atico que
descreve um fenˆomeno de transi¸c˜ao de fase em v´arios campos como supercon-
dutividade, rea¸c˜oes qu´ımicas e mecˆanica de fluidos. Ele ´e oriundo do sistema
fundamental Ginzburg-Landau ao se ignorar o efeito magn´etico e, suplementado
com a condi¸c˜ao de fronteira de Neumann homogˆenea, ´e dado por
∂U
∂t
= ∆U + (1 − |U|
2
)U em Ω × IR
+
∂U
∂ν
= 0 em ∂Ω × IR
+
,
(2.0.1)
com
U = (u, v)
t
, |U| =
u
2
+ v
2
1
2
.
Aqui Ω ´e um dom´ınio limitado em R
n
com fronteira ∂Ω de classe C
3
e ν ´e o vetor
normal unit´ario e xterior a ∂Ω.
Em um espa¸co de fase adequado X, (2.0.1) define um sistema dinˆamico. Al´em
disso, (2.0.1) possui uma fun¸c˜ao de Lyapunov
E (U ) =
Ω
1
2
|∇U|
2
−
1
2
|U|
2
+
1
4
|U|
4
dx,
o que permitiu que em [1] fosse provado que qualquer solu¸c˜ao de (2.0.1) se aproxi-
ma do conjunto das solu¸c˜oes de equil´ıbrio.
24
Cap´ıtulo 2: O Sistema de Ginzburg-Landau 25
Defini¸c˜ao 2.0.1 Uma solu¸c˜ao de equil´ıbrio ou um equil´ıbrio do problema
(2.0.1) ´e uma solu¸c˜ao do problema el´ıptico associado
∆V + (1 − |V |
2
)V = 0 em Ω,
∂V
∂ν
= 0 em ∂Ω.
(2.0.2)
Neste cap´ıtulo, nosso interesse se concentra no problema da existˆencia de solu¸c˜oes
de equil´ıbrio est´aveis n˜ao-constantes do problema (2.0.1), sendo o conceito de
estabilidade no sentido de Lyapunov, segundo a defini¸c˜ao seguinte:
Defini¸c˜ao 2.0.2 Uma solu¸c˜ao V de (2.0.2) ´e est´avel quando, dada qualquer
vizinhan¸ca W de V em X, existe uma vizinhan¸ca W
de V tal que qualquer
solu¸c˜ao U (t, .) de (2.0.1) com U (0, .) ∈ W
, satisfaz U(t, .) ∈ W (∀t ≥ 0).
Uma solu¸c˜ao inst´avel ´e uma solu¸c˜ao que n˜ao ´e est´avel.
Defini¸c˜ao 2.0.3 Uma solu¸c˜ao V de (2.0.2) ´e assintoticamente est´avel se ´e
est´avel e existe uma vizinhan¸ca U de V em X tal que qualquer solu¸c˜ao U(t, .) de
(2.0.1) com U (0, .) ∈ U satisfaz
lim
t→+∞
||U(t, .) − V ||
X
= 0.
Uma pergunta ulterior que podemos responder inicialmente ´e a seguinte: “ Existe
alguma solu¸c˜ao de equil´ıbrio de (2.0.1) assintoticamente est´avel?” O pr´oximo
teorema responde esta pergunta.
Teorema 2.0.5 N˜ao existe solu¸c˜ao de equil´ıbrio de (2.0.1) que seja assintotica-
mente est´avel.
Prova. Primeiramente, note que (2.0.1) e (2.0.2) s˜ao invariantes por rota¸c˜oes,
isto ´e, s˜ao invariantes sob a transforma¸c˜ao
U −→ (γ)U,
Cap´ıtulo 2: O Sistema de Ginzburg-Landau 26
com
(γ) =
cos γ − sin γ
sin γ cos γ
,
pois
(γ)U =
cos γ − sin γ
sin γ cos γ
u
v
=
u cos γ − v sin γ
u sin γ + v cos γ
,
∂
∂t
((γ)U) =
∂
∂t
(u cos γ − v sin γ)
∂
∂t
(u sin γ + v cos γ)
=
cos γ − sin γ
sin γ cos γ
∂u
∂t
∂v
∂t
= (γ)
∂U
∂t
,
∆((γ)U) =
∆(u cos γ − v sin γ)
∆(u sin γ + v cos γ)
=
cos γ − sin γ
sin γ cos γ
∆u
∆v
= (γ)∆U,
e
1 − |(γ)U |
2
(γ)U =
=
1 −
(u cos γ − v sin γ)
2
+ (u sin γ + v cos γ)
2
u cos γ − v sin γ
u sin γ + v cos γ
=
1 −
u
2
(cos
2
γ + sin
2
γ) + v
2
(sin
2
γ + cos
2
γ)
cos γ − sin γ
sin γ cos γ
u
v
= (1 − |U|
2
) (γ)U.
Logo,
Cap´ıtulo 2: O Sistema de Ginzburg-Landau 27
∂
∂t
((γ)U) = ∆((γ)U) + (1 − |(γ)U |
2
)(γ)U
⇐⇒
∂U
∂t
= ∆U + (1 − |U|
2
)U,
ou seja, U ´e solu¸c˜ao de (2.0.1) se, e somente se, (γ)U tamb´em o ´e. O mesmo
vale para (2.0.2). Isto implica que para cada equil´ıbrio V de (2.0.1) existe um
cont´ınuo de solu¸c˜oes associado
(γ)V ; γ ∈ [0, 2π)
.
Desta invariˆancia decorre a afirma¸c˜ao do teorema. De fato, dados V uma solu¸c˜ao
de (2.0.2) e W uma vizinhan¸ca de V em X, tomando γ > 0 suficientemente pe-
queno de forma que (γ)V ∈ W, temos que (γ)V ´e solu¸c˜ao de (2.0.2), portanto
solu¸c˜ao de (2.0.1), tal que
lim
t→+∞
(γ)V − V
X
= (γ)V − V
X
> 0.
Portanto, n˜ao existe solu¸c˜ao de equil´ıbrio de (2.0.1) que seja assintoticamente
est´avel.
Para atacar nosso problema inicial, a quest˜ao da existˆencia de solu¸c˜oes de equil´ıbrio
est´aveis n˜ao-constantes de (2.0.1), vamos considerar a seguinte classe de sistemas
parab´olicos semilineares
∂u
k
∂t
= ∆u
k
+
∂F
∂u
k
(u
1
, · · · , u
N
), em Ω × IR
+
∂u
k
∂ν
= 0, em ∂Ω × IR
+
, (k = 1, · · · , N),
(2.0.3)
com F ∈ C
3
R
N
, R
(N ≥ 1).
Note que (2.0.1) ´e um caso particular de (2.0.3), se consideramos N = 2 e
F (u
1
, u
2
) =
1
2
u
2
1
+ u
2
2
−
1
4
u
2
1
+ u
2
2
2
.
Cap´ıtulo 2: O Sistema de Ginzburg-Landau 28
Defini¸c˜ao 2.0.4 Uma solu¸c˜ao de equil´ıbrio ou um equil´ıbrio do problema
(2.0.3) ´e uma solu¸c˜ao do problema el´ıptico associado
∆u
k
+
∂F
∂u
k
(u
1
, · · · , u
N
) = 0 em Ω
∂u
k
∂ν
= 0 em ∂Ω (k = 1, · · · , N ).
(2.0.4)
O principal resultado deste cap´ıtulo ´e o pr´oximo teorema.
Teorema 2.0.6 Suponha que F ´e uma fun¸c˜ao de classe C
3
e que ∂Ω ∈ C
3
. Se
Ω ´e convexo, ent˜ao toda solu¸c˜ao n˜ao-constante de (2.0.4) ´e um equil´ıbrio inst´avel
de (2.0.3).
Corol´ario 2.0.1 Suponha a mesma condi¸c˜ao em ∂Ω. Se Ω ´e convexo, ent˜ao
qualquer solu¸c˜ao n˜ao-constante de (2.0.2) ´e um equil´ıbrio inst´avel de (2.0.1).
O resultado que responde o nosso problema inicial ´e o Corol´ario (2.0.1), isto ´e, se
Ω ´e convexo, n˜ao existe equil´ıbrio n˜ao-constante est´avel de (2.0.1).
Prova do Teorema (2.0.6). Seja U = (u
1
, · · · , u
N
) uma solu¸c˜ao n˜ao-constante
de (2.0.4). Vamos considerar o problema de autovalores linearizado em torno de
U
LΨ + µΨ = 0
com
L : D(L) ⊂
L
2
(Ω)
N
−→
L
2
(Ω)
N
dado por
[LΨ]
k
= ∆ψ
k
+
N
l=1
∂
2
F
∂u
k
∂u
l
(U) ψ
l
(1 ≤ k ≤ N),
D(L) =
Ψ ∈
H
2
(Ω)
N
∂Ψ
∂ν
= 0 em ∂Ω
, Ψ = (ψ
1
, · · · , ψ
N
).
Cap´ıtulo 2: O Sistema de Ginzburg-Landau 29
Temos que L ´e auto-adjunto com resolvente compacto, de forma que o espectro
de L ´e formado somente por autovalores reais.
Para inferirmos sobre a estabilidade de U , vamos analisar o espectro de L: como
queremos demonstrar que U ´e inst´avel, ´e suficiente mostrarmos que o primeiro
autovalor µ
1
´e negativo (cf. [8], Teorema 5.1.3, p. 102).
Defina
K(Ψ) =
Ω
N
k=1
|∇ψ
k
|
2
−
1≤k,l≤N
∂
2
F
∂u
k
∂u
l
(U)ψ
k
ψ
l
dx, ||Ψ|| =
N
k=1
||ψ
k
||
2
L
2
(Ω)
1
2
Como L ´e auto-adjunto, sabemos (veja por exemplo [5]) que µ
1
´e caracterizado
por
µ
1
= inf
Ψ∈
(
H
1
(Ω)
)
N
Ψ=0
K(Ψ)
||Ψ||
2
. (2.0.5)
Seja
Ψ
j
=
∂U
∂x
j
∈
H
1
(Ω)
N
.
Sendo U n˜ao-constante, Ψ
j
= 0 para pelo menos um j. Por (2.0.5),
µ
1
≤ min
K(Ψ
j
)
||Ψ
j
||
2
; Ψ
j
= 0, 1 ≤ j ≤ n
. (2.0.6)
Note que
n
j=1
K(Ψ
j
) =
n
j=1
Ω
N
k=1
∇
∂u
k
∂x
j
2
−
N
k,l=1
∂
2
F
∂u
k
∂u
l
(U)
∂u
k
∂x
j
∂u
l
∂x
j
dx
=
n
j=1
∂Ω
N
k=1
∂u
k
∂x
j
∂
∂ν
∂u
k
∂x
j
dσ −
n
j=1
Ω
N
k=1
∂u
k
∂x
j
∂
∂x
j
∆u
k
+
∂F
∂u
k
(U)
dx
=
n
j=1
∂Ω
N
k=1
∂u
k
∂x
j
∂
∂ν
∂u
k
∂x
j
dσ
=
1
2
∂Ω
N
k=1
∂
∂ν
|∇u
k
|
2
dσ
Lema (1.3.1)
≤ 0. (2.0.7)
Cap´ıtulo 2: O Sistema de Ginzburg-Landau 30
Assim, por (2.0.6) e por (2.0.7) conclu´ımos que µ
1
≤ 0, pois
||Ψ
j
||
2
µ
1
≤ K(Ψ
j
), ∀ 1 ≤ j ≤ n
(2.0.8)
=⇒
n
j=1
||Ψ
j
||
2
µ
1
≤
n
j=1
K(Ψ
j
)
(2.0.7)
≤ 0.
Se µ
1
< 0, o teorema est´a provado. Suponha que µ
1
= 0.
De (2.0.8) obtemos K(Ψ
j
) ≥ 0 e, com isso,
0 ≤
n
j=1
K(Ψ
j
) ≤ 0
o que implica K(Ψ
j
) = 0 para j = 1, . . . , n. Logo, os Ψ
j
’s n˜ao-nulos realizam
(2.0.5) e pelo Teorema (2.0.7) do Apˆendice ao final de ste cap´ıtulo, s˜ao autofun¸c˜oes
correspondendo ao primeiro autovalor µ
1
= 0 de L e satisfazem a condi¸c˜ao de
fronteira de Neumann.
Como os Ψ
j
’s identicamente nulos satisfazem a condi¸c˜ao de fronteira de Neumann
homogˆenea trivialmente, segue que
∂Ψ
j
∂ν
=
∂
∂ν
∂U
∂x
j
= 0 em ∂Ω (1 ≤ j ≤ n). (2.0.9)
Agora, como Ω ´e um dom´ınio limitado com fronteira C
3
em R
n
, ∂Ω ´e uma su-
perf´ıcie (n − 1)-dimensional compacta orient´avel e sem bordo. Ent˜ao, pelo Teo-
rema (1.2.4) existe um ponto P ∈ ∂Ω tal que a Segunda Forma Fundamental S
P
´e definida em P .
Por continuidade, existe uma vizinhan¸ca V de P em R
n
tal que S
P
´e uma forma
definida em ∂Ω ∩ V, de modo que seus autovalores, as curvaturas principais, tem
o mesmo sinal de S
P
em ∂Ω ∩ V. Assim, qualquer curvatura principal ´e n˜ao nula
em ∂Ω ∩ V.
Em virtude das condi¸c˜oes de fronteira de Neumann de U e por (2.0.9), podemos
aplicar o Lema (1.3.3) para obtermos
∇u
k
= 0 em ∂Ω ∩ V. (2.0.10)
Cap´ıtulo 2: O Sistema de Ginzburg-Landau 31
Combinando as informa¸c˜oes obtidas, temos que para cada j = 1, . . . , n, V = Ψ
j
satisfaz o seguinte problema
LV = 0 em Ω,
V = 0,
∂V
∂ν
= 0, em ∂Ω ∩ V,
isto ´e,
∂u
k
∂x
j
satisfaz
∆
∂u
k
∂x
j
+
N
l=1
∂
2
F
∂u
k
∂u
l
(U)
∂u
l
∂x
j
= 0 em Ω,
∂u
k
∂x
j
= 0 em ∂Ω ∩ V,
∂
∂ν
∂u
k
∂x
j
= 0 em ∂Ω ∩ V, (1 ≤ k ≤ N),
(2.0.11)
para cada 1 ≤ j ≤ n. Aplicando o Lema (1.3.5) a (2.0.11), obtemos
∂u
k
∂x
j
(x) = 0, ∀x ∈ Ω, (1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ k ≤ N ).
Como Ω ´e aberto e conexo, conclu´ımos que u
1
, · · · , u
N
s˜ao constantes em Ω, o
que ´e uma contradi¸c˜ao com o suposto inicialmente.
Portanto, µ
1
< 0 e o teorema est´a provado.
Cap´ıtulo 2: O Sistema de Ginzburg-Landau 32
Apˆendice
Na demonstra¸c˜ao do Teorema (2.0.6) consideramos U = (u
1
, · · · , u
N
) uma solu¸c˜ao
n˜ao-constante de (2.0.4) e o problema de autovalores linearizado em torno de U
LΨ + µΨ = 0
com
L : D(L) ⊂
L
2
(Ω)
N
−→
L
2
(Ω)
N
dado por
[LΨ]
k
= ∆ψ
k
+
N
l=1
∂
2
F
∂u
k
∂u
l
(U) ψ
l
(1 ≤ k ≤ N),
D(L) =
Ψ ∈
H
2
(Ω)
N
∂Ψ
∂ν
= 0 em ∂Ω
, Ψ = (ψ
1
, · · · , ψ
N
).
(2.0.12)
Pondo
K(Ψ) =
Ω
N
k=1
|∇ψ
k
|
2
−
1≤k,l≤N
∂
2
F
∂u
k
∂u
l
(U) ψ
k
ψ
l
dx, ||Ψ|| =
N
k=1
||ψ
k
||
2
2
1
2
,
temos que esse problema de autovalores est´a intimamente ligado a um problema
variacional. Isto ´e o conte´udo do teorema que demonstraremos neste apˆendice.
Teorema 2.0.7 Se Θ = (θ
1
, · · · , θ
N
) ´e uma fun¸c˜ao na qual
µ = inf
Ψ∈
(
H
1
(Ω)
)
N
Ψ=0
K(Ψ)
||Ψ||
2
(2.0.13)
´e atingido, ent˜ao Θ ´e uma autofun¸c˜ao de L associada ao autovalor µ e satisfaz a
condi¸c˜ao de fronteira de Neumann homogˆenea.
Prova. Defina a forma bilinear
Λ : (H
1
(Ω))
N
× (H
1
(Ω))
N
−→ R
Cap´ıtulo 2: O Sistema de Ginzburg-Landau 33
dada por
Λ(Φ, Ψ) =
Ω
N
k=1
∇φ
k
· ∇ψ
k
−
N
k,l=1
∂
2
F
∂u
k
∂u
l
(U) φ
k
ψ
l
dx.
Sejam Θ uma fun¸c˜ao que realiza (2.0.13), µ =
K(Θ)
||Θ||
2
e 0 ≡ Φ ∈ (H
1
(Ω))
N
.
Se c ∈ R ´e uma constante arbitr´aria tal que ||Θ + cΦ|| = 0, temos
K(Θ + cΦ) ≥ µ||Θ + cΦ||
2
.
Por outro lado,
K(Θ + cΦ) =
Ω
N
k=1
|∇(θ
k
+ cφ
k
)|
2
−
N
k,l=1
∂
2
F
∂u
k
∂u
l
(U)(θ
k
+ cφ
k
)(θ
l
+ cφ
l
)
dx
=
Ω
N
k=1
|∇θ
k
|
2
−
N
k,l=1
∂
2
F
∂u
k
∂u
l
(U) θ
k
θ
l
dx
+ 2c
Ω
N
k=1
∇θ
k
· ∇φ
k
−
N
k,l=1
∂
2
F
∂u
k
∂u
l
(U) θ
k
φ
l
dx
+ c
2
Ω
N
k=1
|∇φ
k
|
2
−
k,l=1
∂
2
F
∂u
k
∂u
l
(U) φ
k
φ
l
dx
= K(Θ) + c
2
K(Φ) + 2cΛ(Θ, Φ).
Assim,
µ||Θ + cΦ||
2
≤ K(Θ + cΦ) = K(Θ) + c
2
K(Φ) + 2cΛ(Θ, Φ)
e como K(Θ) = µ||Θ||
2
, obtemos
µ
||Θ||
2
+ 2cΘ, Φ
(L
2
(Ω))
N
+ c
2
||Φ||
2
≤ µ||Θ||
2
+ c
2
K(Φ) + 2cΛ(Θ, Φ)
e da´ı
2cµΘ, Φ
(L
2
(Ω))
N
+ c
2
µ||Φ||
2
≤ c
2
K(Φ) + 2cΛ(Θ, Φ),
ou seja,
Cap´ıtulo 2: O Sistema de Ginzburg-Landau 34
c
2
K(Φ) − µ||Φ||
2
+ 2c
Λ(Θ, Φ) − µΘ, Φ
(L
2
(Ω))
N
≥ 0. (2.0.14)
Se K(Φ) − µ||Φ||
2
= 0, da arbitrariedade de c segue que
Λ(Θ, Φ) = µΘ, Φ
(L
2
(Ω))
N
.
Agora, se K(Φ) − µ||Φ||
2
= 0 (e assim K(Φ) − µ||Φ||
2
> 0 por (2.0.13)), o lado
esquerdo (2.0.14) ´e um polinˆomio na vari´avel c cujas ra´ızes s˜ao
c = 0 e c = −2
Λ(Θ, Φ) − µΘ, Φ
(L
2
(Ω))
N
K(Φ) − µ||Φ||
2
.
Como este polinˆomio ´e n˜ao-negativo e K (Φ) − µ||Φ||
2
> 0, c = 0 ´e a ´unica raiz o
que implica
Λ(Θ, Φ) = µΘ, Φ
(L
2
(Ω))
N
,
que ´e equivalente a
Ω
N
k=1
∇θ
k
· ∇φ
k
−
N
k,l=1
∂
2
F
∂u
k
∂u
l
(U) θ
k
φ
l
dx = µ
Ω
N
k=1
θ
k
φ
k
dx.
Integrando por partes, obtemos
Ω
N
k=1
−∆θ
k
φ
k
dx+
∂Ω
N
k=1
∂θ
k
∂ν
φ
k
dσ−
Ω
N
k,l=1
∂
2
F
∂u
k
∂u
l
(U)θ
k
φ
l
dx =µ
Ω
N
k=1
θ
k
φ
k
dx,
que equivale a
Ω
N
k=1
−
∆θ
k
+
N
l=1
∂
2
F
∂u
k
∂u
l
(U)θ
l
φ
k
dx +
∂Ω
N
k=1
∂θ
k
∂ν
φ
k
dσ = µ
Ω
N
k=1
θ
k
φ
k
dx,
ou
Ω
−
N
k=1
[LΘ]
k
φ
k
dx +
∂Ω
N
k=1
∂θ
k
∂ν
φ
k
dσ = µ
Ω
N
k=1
θ
k
φ
k
dx. (2.0.15)
Tomando Φ
i
= (0, · · · , 0, φ
i
, 0, · · · , 0) ∈ (H
1
(Ω))
N
, 1 ≤ i ≤ N, sendo φ
i
a i-´esima
componente de Φ
i
e tal que φ
i
∈ C
∞
c
(Ω), obtemos por (2.0.15)
Cap´ıtulo 2: O Sistema de Ginzburg-Landau 35
Ω
[LΘ]
i
φ
i
dx =
Ω
(−µθ
i
)φ
i
dx, ∀φ
i
∈ C
∞
c
(Ω), para cada i = 1, . . . , N.
Logo,
[LΘ]
i
= −µθ
i
q.t.p. em Ω, para cada i = 1, . . . , N, (2.0.16)
donde segue que
LΘ + µΘ = 0 q.t.p. em Ω.
Da regularidade dos coeficientes de L temos que Θ ´e regular e, assim,
LΘ + µΘ = 0 em Ω.
Ainda, tendo em vista (2.0.16), (2.0.15) se reduz a
∂Ω
N
k=1
∂θ
k
∂ν
φ
k
dσ = 0 (2.0.17)
e escolhendo agora Φ
r
= (0, · · · , 0, ϕ
r
, 0, · · · , 0) ∈ (H
1
(Ω))
N
, 1 ≤ r ≤ N, sendo
ϕ
r
a r-´esima componente de Φ
r
e tal que ϕ
r
∈ C
∞
(Ω), obtemos por (2.0.17)
∂Ω
∂θ
r
∂ν
ϕ
r
dσ = 0, ∀ϕ
r
∈ C
∞
(Ω), para cada r = 1, . . . , N,
o que produz
∂θ
r
∂ν
= 0 q.t.p. em ∂Ω, ∀r = 1, . . . , N.
Portanto,
∂Θ
∂ν
= 0 q.t.p. em ∂Ω
e, pela regularidade de Θ, obtemos
∂Θ
∂ν
= 0 em Ω.
Cap´ıtulo 2: O Sistema de Ginzburg-Landau 36
Agora, se ||Θ + cΦ|| = 0 com c = 0, ent˜ao Θ + cΦ = 0, ou seja, Φ = −
1
c
Θ.
Da´ı, sendo Θ solu¸c˜ao de (2.0.12) segue que Φ tamb´em o ´e e, como
K(Φ)
||Φ||
2
=
K
−
1
c
Θ
−
1
c
Θ
2
=
K(Θ)
||Θ||
2
= µ,
(2.0.13) tamb´em ´e atingido em Φ, o teorema est´a provado.
Cap´ıtulo 3
Sistema tipo Landau-Lifshitz
O sistema de Landau-Lifshitz foi derivado do problema ferro-magn´etico por
Landau e Lifshitz em 1935. A teoria ferro-magn´etica afirma que abaixo de uma
temperatura cr´ıtica, um corpo ferro-magn´etico suficientemente largo se quebra
em pequenas regi˜oes uniformemente magnetizadas, separadas por estreitas ca-
madas de transi¸c˜oes.
O sistema que vamos considerar, suplementado com a condi¸c˜ao de fronteira de
Neumann homogˆenea, ´e dado por:
∂
t
u = ∆u + |∇u|
2
− {W
u
− (W
u
· u)u} em Ω × IR
+
,
∂u
∂ν
= 0 em ∂Ω × IR
+
,
u = (u
1
, u
2
, . . . , u
m
) ∈ S
m−1
,
(3.0.1)
sendo Ω ⊂ R
n
um dom´ınio limitado com fronteira ∂Ω de classe C
3
, W ∈ C
3
(R
m
),
W (u) ≥ 0 para u ∈ S
m−1
(m ≥ 2) e
W
u
:=
∂
u
1
W, ∂
u
2
W, . . . , ∂
u
m
W
t
.
O sistema (3.0.1) se reduz ao sistema de Landau-Lifshitz para corpos homogˆeneos
num certo sentido e quando consideramos u ∈ S
2
.
37
Cap´ıtulo 3: Sistema Tipo Landau-Lifshitz 38
(3.0.1) tem o seguinte funcional energia:
E(u) =
Ω
1
2
|∇u|
2
+ W (u)
dx. (3.0.2)
Defini¸c˜ao 3.0.5 Uma solu¸c˜ao de equil´ıbrio ou um equil´ıbrio de (3.0.1) ´e
uma solu¸c˜ao do sistema el´ıptico associado
∆u + |∇u|
2
− {W
u
− (W
u
· u)u} = 0 em Ω,
∂u
∂ν
= 0 em ∂Ω,
u = (u
1
, u
2
, . . . , u
m
) ∈ S
m−1
.
(3.0.3)
O principal resultado deste cap´ıtulo afirma que qualquer solu¸c˜ao de equil´ıbrio
n˜ao-constante de (3.0.1) ´e inst´avel quando Ω ´e convexo. Este ´e o conte´udo do
seguinte
Teorema 3.0.8 Se Ω ´e convexo, ent˜ao qualquer solu¸c˜ao suave n˜ao-constante de
(3.0.3) ´e um equil´ıbrio inst´avel de (3.0.1).
Prova. Suponha que u : Ω −→ S
m−1
⊂ R
m
´e uma solu¸c˜ao suave n˜ao-constante
de (3.0.3). Vamos provar que existe uma fun¸c˜ao teste tal que a segunda varia¸c˜ao
do funcional energia (3.0.2) em u toma um valor m´ınimo. Isto ´e, u ´e inst´avel.
Para qualquer ϕ ∈ C
∞
Ω, R
m
, defina
v
ε
(x) =
u(x) + εϕ(x)
|u(x) + εϕ(x)|
.
Assim, v
ε
= (v
1
ε
, · · · , v
m
ε
) com
v
i
ε
=
u
i
+ εϕ
i
|u(x) + εϕ(x)|
, i = 1, · · · , m.
Calculando
d
dε
v
i
ε
para cada 1 ≤ i ≤ m, obtemos
d
dε
v
i
ε
=
ϕ
i
|u + εϕ| − (u
i
+ εϕ
i
)|u + εϕ|
−1
m
j=1
(u
j
+ εϕ
j
)ϕ
j
|u + εϕ|
2
.
Cap´ıtulo 3: Sistema Tipo Landau-Lifshitz 39
Avaliando em ε = 0 e usando o fato de u ∈ S
m−1
, ou seja, |u(x)| = 1 qualquer
que seja x ∈ Ω, segue que
d
dε
v
i
ε
ε=0
= ϕ
i
− u
i
m
j=1
u
j
ϕ
j
= ϕ
i
− u
i
(ϕ · u),
para cada i = 1, · · · , m. Da´ı,
d
dε
v
ε
ε=0
=
d
dε
v
1
ε
ε=0
, . . . ,
d
dε
v
m
ε
ε=0
=
ϕ
1
− u
1
(ϕ · u), . . . , ϕ
m
− u
m
(ϕ · u)
= ϕ − u (ϕ · u).
Procedendo analogamente, temos
d
2
dε
2
v
ε
ε=0
= −|ϕ|
2
u − 2(ϕ · u)ϕ + 3(ϕ · u)
2
u.
Tamb´em por c´alculos diretos, obtemos a segunda varia¸c˜ao K(ϕ) do funcional
energia (3.0.2), que ´e definida por
K(ϕ) =
d
2
dε
2
E(v
ε
)
ε=0
.
Aplicando
d
2
dε
2
a (3.0.2), obtemos
d
2
dε
2
E(v
ε
) =
Ω
m
i=1
d
dε
∇v
i
ε
2
+
m
i=1
∇v
i
ε
· ∇
d
2
dε
2
v
i
ε
(3.0.4)
+
m
k,l=1
∂
2
W
∂u
l
∂u
k
(v
ε
)
d
dε
v
l
ε
d
dε
v
k
ε
+
m
k=1
∂W
∂u
k
(v
ε
)
d
2
dε
2
v
k
ε
dx.
Nesta demonstra¸c˜ao vamos usar as particulares fun¸c˜oes teste:
ϕ ∈ C
3
Ω, R
m
, com ϕ · u = 0. (3.0.5)
Cap´ıtulo 3: Sistema Tipo Landau-Lifshitz 40
Para qualquer ϕ neste conjunto, a segunda varia¸c˜ao do funcional energia (3.0.2)
tem uma vers˜ao mais simplificada, dada por
d
2
dε
2
E(v
ε
)
ε=0
=
Ω
|∇ϕ|
2
− |ϕ|
2
|∇u|
2
+ ϕ · W
uu
(u)ϕ − |ϕ|
2
W
u
(u) · u
dx.
De fato, vamos avaliar (3.0.4) em ε = 0. Lembrando que u ∈ S
m−1
, o que significa
que
m
k=1
u
2
k
= 1, segue que u ·
∂u
∂x
j
= 0 para cada j = 1, · · · , n. Ent˜ao,
d
2
dε
2
E(v
ε
)
ε=0
=
Ω
m
i=1
d
dε
∇v
i
ε
ε=0
2
+
m
i=1
∇v
i
ε
ε=0
· ∇
d
2
dε
2
v
i
ε
ε=0
+
m
k,l=1
∂
2
W
∂u
l
∂u
k
(v
ε
ε=0
)
d
dε
v
l
ε
ε=0
l
d
dε
v
k
ε
ε=0
k
+
m
k=1
∂W
∂u
k
(v
ε
ε=0
)
d
2
dε
2
v
k
ε
ε=0
dx ;
mas
•
m
i=1
d
dε
∇v
i
ε
ε=0
2
=
m
i=1
n
j=1
d
dε
∂v
i
ε
∂x
j
ε=0
2
(†)
=
m
i=1
n
j=1
∂ϕ
i
∂x
j
2
= |∇ϕ|
2
,
•
m
i=1
∇v
i
ε
ε=0
· ∇
d
2
dε
2
v
i
ε
ε=0
(‡)
=
m
i=1
n
j=1
∂u
i
∂x
j
− |ϕ|
2
∂u
i
∂x
j
=
m
i=1
n
j=1
−|ϕ|
2
∂u
i
∂x
j
2
= −|ϕ|
2
|∇u|
2
,
•
m
k,l=1
∂
2
W
∂u
l
∂u
k
(v
ε
ε=0
)
d
dε
v
l
ε
ε=0
l
d
dε
v
k
ε
ε=0
k
()
=
m
k,l=1
∂
2
W
∂u
l
∂u
k
(u)ϕ
l
ϕ
k
= ϕ · W
uu
(u)ϕ
Cap´ıtulo 3: Sistema Tipo Landau-Lifshitz 41
•
m
k=1
∂W
∂u
k
(v
ε
ε=0
)
d
2
dε
2
v
k
ε
ε=0
()
=
m
k=1
∂W
∂u
k
(u)
− |ϕ|
2
u
k
= −|ϕ|
2
m
k=1
∂W
∂u
k
(u)u
k
= −|ϕ|
2
W
u
(u) · u.
Em (†), (‡), () e () computamos diretamente v
i
ε
ε=0
,
d
dε
∂v
i
ε
∂x
j
ε=0
,
d
2
dε
2
v
i
ε
ε=0
,
usamos que ϕ · u = 0 e, al´em destes fatos, lan¸camos m˜ao em (†) da rela¸c˜ao
m
k=1
ϕ
k
∂u
k
∂x
j
= −
m
k=1
u
k
∂ϕ
k
∂x
j
,
obtida ao aplicarmos
∂
∂x
j
em ϕ · u = 0.
Logo,
K(ϕ) =
d
2
dε
2
E(v
ε
)
ε=0
=
Ω
|∇ϕ|
2
− |ϕ|
2
|∇u|
2
+ ϕ · W
uu
(u)ϕ − |ϕ|
2
W
u
(u) · u
dx.
Queremos encontrar uma fun¸c˜ao teste Ψ satisfazendo K(Ψ) < 0.
Para isto, vamos considerar o problema de autovalores para o operador linearizado
(auto-adjunto) em torno de u
LΨ = ∆Ψ + 2(∇u · ∇Ψ)u + |∇u|
2
Ψ −
m
l=1
Ψ
l
W
uu
l
(u)
+
m
l,j=1
Ψ
l
u
j
W
u
l
u
j
(u)
u + (W
u
(u) · Ψ)u + (W
u
(u) · u)Ψ,
com Ψ = (Ψ
1
, . . . , Ψ
m
). Isto ´e,
LΨ + µΨ = 0 em Ω,
∂Ψ
∂ν
∂Ω
= 0, Ψ · u = 0, Ψ ∈ (H
2
(Ω))
m
.
(3.0.6)
Cap´ıtulo 3: Sistema Tipo Landau-Lifshitz 42
Sabemos (veja por exemplo [5]) que o m´etodo alternativo de caracterizar o primeiro
autovalor µ
1
de (3.0.6) ´e o seguinte problema de minimiza¸c˜ao:
µ
1
= inf
K(Ψ)
||Ψ||
2
(L
2
(Ω))
m
Ψ ∈ (H
2
(Ω))
m
, Ψ · u = 0, Ψ ≡ 0
. (3.0.7)
Como, por hip´otese, u ´e n˜ao-constante, existe j tal que
∂
x
j
u ≡ 0 em Ω. (3.0.8)
Note que u · ∂
x
j
u = 0 (pois u ∈ S
m−1
), podemos tomar ent˜ao
Ψ
j
= ∂
x
j
u
como fun¸c˜ao teste em (3.0.7). Da´ı, obtemos
µ
1
≤
K(Ψ
j
)
||Ψ||
2
(L
2
(Ω))
m
(3.0.9)
para qualquer Ψ
j
≡ 0.
Do fato que u · ∂
x
j
u = 0, seguem as seguintes rela¸c˜oes
(i) ∂
x
j
u · ∂
x
j
(|∇u|
2
u) = |∇u|
2
|∂
x
j
u|
2
;
(ii) ∂
x
j
u · ∂
x
j
{(W
u
· u)u} = (W
u
· u)|∂
x
j
u|
2
;
(iii)
m
l=1
W
u
k
u
l
∂
x
j
u
l
= ∂
x
j
W
u
k
.
Cap´ıtulo 3: Sistema Tipo Landau-Lifshitz 43
Com efeito,
(i) ∂
x
j
u · ∂
x
j
(|∇u|
2
u) =
m
r=1
∂
x
j
u
r
∂
x
j
m
s=1
n
l=1
(∂
x
l
u
s
)
2
u
r
=
m
r=1
∂
x
j
u
r
m
s=1
n
l=1
2 ∂
x
l
u
s
u
r
+ (∂
x
l
u
s
)
2
∂
x
j
u
r
=
m
r=1
m
s=1
n
l=1
2 ∂
x
j
u
r
∂
x
l
u
s
u
r
+ (∂
x
j
u
r
)
2
(∂
x
l
u
s
)
2
= 2
m
s=1
n
l=1
∂
x
l
u
s
m
r=1
∂
x
j
u
r
u
r
+
m
s=1
n
l=1
(∂
x
l
u
s
)
2
m
r=1
(∂
x
j
u
r
)
2
=
m
r=1
|∇u
s
|
2
(∂
x
j
u
r
)
2
= |∇u|
2
|∂
x
j
u|
2
,
(ii) ∂
x
j
u · ∂
x
j
{(W
u
· u)u} =
m
r=1
∂
x
j
u
r
∂
x
j
(W
u
· u)u
r
=
m
r=1
∂
x
j
u
r
∂
x
j
(W
u
· u)u
r
+ (W
u
· u)∂
x
j
= ∂
x
j
(W
u
· u)
m
r=1
∂
x
j
u
r
u
r
+ (W
u
· u)
m
r=1
(∂
x
j
u
r
)
2
= (W
u
· u)(|∂
x
j
u|
2
= (W
u
· u)|Ψ
j
|
2
,
(iii) ∂
x
j
W
u
k
= ∂
x
j
∂
u
k
W =
m
l=1
W
u
k
u
l
∂
x
j
u
l
Usaremos as rela¸c˜oes anteriores no seguinte c´alculo direto:
Cap´ıtulo 3: Sistema Tipo Landau-Lifshitz 44
n
j=1
K(Ψ
j
) =
n
j=1
Ω
|∇Ψ
j
|
2
− |∇u|
2
|Ψ
j
|
2
+
m
k,l=1
W
u
k
u
l
Ψ
j
k
Ψ
j
l
− (W
u
· u)|Ψ
j
|
2
dx =
n
j=1
∂Ω
Ψ
j
· ∂
ν
Ψ
j
dσ −
n
j=1
Ω
Ψ
j
· ∆Ψ
j
+ |∇u|
2
|Ψ
j
|
2
−
m
k,l=1
W
u
k
u
l
Ψ
j
k
Ψ
j
l
+ (W
u
· u)|Ψ
j
|
2
dx
=
n
j=1
∂Ω
1
2
∂
ν
|∂
x
j
u|
2
dσ
−
n
j=1
m
k=1
Ω
∂
x
j
u
k
∂
x
j
∆u
k
+ |∇u|
2
u
k
− W
u
k
+ (W
u
· u)u
k

dx
=
∂Ω
1
2
∂
ν
|∂
x
j
u|
2
dσ. (3.0.10)
Aplicando o Lema (1.3.2) em (3.0.10), obtemos
n
j=1
K(Ψ
j
) ≤ 0 donde, juntamente
com (3.0.8) e (3.0.9), conclu´ımos que µ
1
≤ 0, pois
||Ψ
j
||
2
µ
1
≤ K(Ψ
j
), ∀ 1 ≤ j ≤ n,
=⇒
n
j=1
||Ψ
j
||
2
µ
1
≤
n
j=1
K(Ψ
j
) ≤ 0.
Se µ
1
< 0 o teorema est´a provado. Suponhamos µ
1
= 0.
Ent˜ao, Ψ
j
= ∂
x
j
u, com Ψ
j
≡ 0, ´e um minimizante em (3.0.7), j´a que Ψ
j
· u = 0 e
µ
1
= 0 implica K(Ψ
j
) = 0. Ainda, Ψ
j
≡ 0 ´e uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (3.0.6) com
µ = 0, isto ´e, satisfaz
LΨ
j
= 0 em Ω,
∂
ν
Ψ
j
= 0 em ∂Ω.
(3.0.11)
Observe que (3.0.11) tamb´em ´e satisfeita por Ψ
j
≡ 0. De (3.0.3) e (3.0.11), temos
que
∂
ν
u = 0, ∂
ν
|∇u|
2
= 0 em ∂Ω.
Cap´ıtulo 3: Sistema Tipo Landau-Lifshitz 45
Defina
Γ = {x ∈ ∂Ω | nenhuma curvatura principal de ∂Ω se anula em x}.
Afirma¸c˜ao: Γ ´e n˜ao-vazio e relativamente aberto em ∂Ω.
De fato, como Ω ´e um dom´ınio limitado com fronteira C
3
em R
n
, ∂Ω ´e uma
superf´ıcie (n − 1)-dimensional compacta orient´avel e sem bordo. Ent˜ao, pelo
Teorema (1.2.4) existe um ponto P ∈ ∂Ω tal que a Segunda Forma Fundamental
S
P
´e definida em P , ou seja, as curvaturas principais de ∂Ω s˜ao n˜ao-nulas em P
donde vemos que Γ ´e n˜ao vazio.
Por continuidade, existe uma vizinhan¸ca V de P em R
n
tal que S
P
´e uma forma
definida em ∂Ω ∩ V, de modo que seus autovalores, as curvaturas principais, tem
o mesmo sinal de S
P
em ∂Ω ∩ V. Assim, qualquer curvatura principal de ∂Ω ´e
n˜ao nula em ∂Ω ∩ V, isto ´e, ∂Ω ∩ V ⊂ Γ e ´e um aberto de ∂Ω, provando que Γ ´e
relativamente aberto em ∂Ω.
Aplicando o Lema (1.3.4) a u, obtemos
∇u = 0 em Γ ⊂ ∂Ω.
Usando o Teorema da Continua¸c˜ao
´
Unica de Calder´on (cf. [18], Cap´ıtulo 6) a
∂
x
j
u, com 1 ≤ j ≤ n repetidamente, obtemos
|∇u| ≡ 0 em Ω.
Logo, u ´e constante, contradizendo o suposto inicialmente. Portanto, µ
1
< 0 e o
teorema est´a provado.
Cap´ıtulo 4
Sistemas de Rea¸c˜ao-Difus˜ao com
Estrutura Anti-gradiente
Um sistema de rea¸c˜ao-difus˜ao com estrutura anti-gradiente ´e um tipo de sistema
ativador-inibidor que consiste de dois sistemas gradientes acoplados de modo anti-
sim´etrico. Exemplos de tais sistemas s˜ao o sistema difusivo de FitzHugh-Nagumo
e o sistema de Gierer-Meinhardt.
Considere os sistemas de rea¸c˜ao-difus˜ao com m + n componentes da forma
Su
t
= C∆u + f(u, v) em Ω × IR
+
,
T v
t
= D∆v + g(u, v) em Ω × IR
+
,
∂u
∂ν
= 0 =
∂v
∂ν
em ∂Ω × IR
+
,
(4.0.1)
sendo u(x, t) = (u
1
, · · · , u
m
)
t
e v(x, t) = (v
1
, · · · , v
n
)
t
, Ω um dom´ınio limitado em
R
N
com fronteira suave,
∂
∂ν
a derivada normal exterior em ∂Ω, S e C matrizes
de ordem m sim´etricas positivas definidas, T e D matrizes de ordem n sim´etricas
positivas definidas.
Assumimos que os termos n˜ao-lineares f = (f
1
, · · · , f
m
)
t
: R
m+n
−→ R
m
e g =
(g
1
, · · · , g
n
)
t
: R
m+n
−→ R
n
s˜ao expressos por
46
Cap´ıtulo 4: Sistemas de Rea¸c˜ao-Difus˜ao com Estrutura Anti-gradiente 47
f(u, v) = +∇
u
H(u, v) e g(u, v) = −∇
v
H(u, v)
para alguma fun¸c˜ao H : R
m+n
−→ R de classe C
3
, sendo ∇
u
e ∇
v
operadores
gradiente com rela¸c˜ao a u e v, respectivamente, isto ´e,
∇
u
:=
∂
∂u
1
, · · · ,
∂
∂u
m
t
, ∇
v
:=
∂
∂v
1
, · · · ,
∂
∂v
n
t
.
Neste caso, dizemos que o sistema (4.0.1) tem estrutura anti-gradiente.
Defini¸c˜ao 4.0.6 Uma solu¸c˜ao de equil´ıbrio ou um equil´ıbrio
(u, v) = (ϕ(x), ψ(x)) de (4.0.1) ´e uma solu¸c˜ao do sistema el´ıptico associado
C∆ϕ + f (ϕ, ψ) = 0 em Ω,
D∆ψ + g(ϕ, ψ) = 0 em Ω,
∂ϕ
∂ν
= 0 =
∂ψ
∂ν
em ∂Ω.
(4.0.2)
Quando v ´e substitu´ıda por ψ(x) e fixada na primeira equa¸c˜ao de (4.0.1), temos
o sistema para u
Su
t
= C∆u + f(u, ψ) em Ω × IR
+
,
∂u
∂ν
= 0 em ∂Ω × IR
+
.
(4.0.3)
Analogamente, quando u ´e substitu´ıda por ϕ(x) e fixada na segunda equa¸c˜ao de
(4.0.1), temos o sistema para v
T v
t
= D∆v + g(ϕ, v) em Ω × IR
+
,
∂v
∂ν
= 0 em ∂Ω × IR
+
.
(4.0.4)
O operador linearizado em torno de ϕ associado a (4.0.3) definido em [H
1
(Ω)]
m
´e
A := C∆ + f
u
, (4.0.5)
Cap´ıtulo 4: Sistemas de Rea¸c˜ao-Difus˜ao com Estrutura Anti-gradiente 48
sendo f
u
= f
u
(ϕ, ψ) a matriz sim´etrica m × m dada por
f
u
:= ∇
u
f =
∂f
i
∂u
j
=
+
∂
2
H
∂u
i
∂u
j
, 1 ≤ i, j ≤ m.
Da mesma forma, o operador linearizado em torno de ψ associado a (4.0.4)
definido em [H
1
(Ω)]
n
´e
B := D∆ + g
v
(4.0.6)
sendo g
v
= g
v
(ϕ, ψ) a matriz sim´etrica n × n dada por
g
v
:= ∇
v
g =
∂g
i
∂v
j
=
−
∂
2
H
∂v
i
∂v
j
, 1 ≤ i, j ≤ n.
O problema de autovalores linearizado em torno de ϕ associado a (4.0.3) ´e
Au = λSu em Ω,
∂u
∂ν
= 0 em ∂Ω,
(4.0.7)
e o problema de autovalores linearizado em torno de ψ associado a (4.0.4) ´e
Bv = λT v em Ω,
∂v
∂ν
= 0 em ∂Ω.
(4.0.8)
Algumas propriedades dos problemas (4.0.7) e (4.0.8) s˜ao dadas no pr´oximo teo-
rema e suas demonstra¸c˜oes podem ser encontradas em [21].
Introduzimos as seguintes nota¸c˜oes
C∇u, ∇u :=
m
i,j=1
c
ij
∇u
i
· ∇u
j
e
D∇v, ∇v :=
n
i,j=1
d
ij
∇v
i
· ∇v
j
,
com C = (c
ij
) e D = (d
ij
).
Cap´ıtulo 4: Sistemas de Rea¸c˜ao-Difus˜ao com Estrutura Anti-gradiente 49
Teorema 4.0.9 (i) Os autovalores de (4.0.7) s˜ao reais. Al´em disso, existe um
autovalor maximal λ
u
com multiplicidade finita que ´e caracterizado por
λ
u
= sup
u∈[H
1
(Ω)]
m
Ω
− C∇u, ∇u + f
u
u · u
dx
Ω
Su · u dx
,
e o supremo ´e atingido por uma autofun¸c˜ao de (4.0.7) associada a λ
u
.
(ii) Os autovalores de (4.0.8) s˜ao reais. Al´em disso, existe um autovalor maxi-
mal λ
v
com multiplicidade finita que ´e caracterizado por
λ
v
= sup
v∈[H
1
(Ω)]
n
Ω
− D∇v, ∇v + g
v
v · v
dx
Ω
T v · v dx
,
e o supremo ´e atingido por uma autofun¸c˜ao de (4.0.8) associada a λ
v
.
Note que λ
u
depende de S mas seu sinal n˜ao e, similarmente, λ
v
depende de T
mas seu sinal n˜ao, pois S e T s˜ao matrizes sim´etricas positivas definidas, o que
garante que
Ω
Su · u dx > 0 e
Ω
T v · v dx > 0.
Defini¸c˜ao 4.0.7 (i) Dizemos que uma solu¸c˜ao de equil´ıbrio u = ϕ de (4.0.3)
´e linearmente est´avel se λ
u
< 0 e linearmente inst´avel se λ
u
> 0.
(ii) Dizemos que uma solu¸c˜ao de equil´ıbrio v = ψ de (4.0.4) ´e linearmente
est´avel se λ
v
< 0 e linearmente inst´avel se λ
v
> 0.
Seja (ϕ, ψ) uma solu¸c˜ao de (4.0.2). Sabemos que a estabilidade de (u, v) =
(ϕ, ψ) como solu¸c˜ao de equil´ıbrio de (4.0.1) pode ser determinada pela an´alise do
problema de autovalores
C∆u + f
u
u + f
v
v = λSu
D∆v + g
u
u + g
v
v = λT v
(4.0.9)
Cap´ıtulo 4: Sistemas de Rea¸c˜ao-Difus˜ao com Estrutura Anti-gradiente 50
em Ω sob condi¸c˜oes de fronteira de Neumann homogˆenea, com f
u
, f
v
, g
u
, g
v
,
calculadas em (ϕ, ψ).
Vamos rees crever (4.0.9) na forma
Au + f
v
v = λSu
Bv + g
u
u = λT v
(4.0.10)
sendo A e B definidos por (4.0.5) e (4.0.6) e f
v
= f
v
(ϕ, ψ) e g
u
= g
u
(ϕ, ψ).
Note que o autovalor λ pode ser complexo e a autofun¸c˜ao (ϕ, ψ) pode ter valores
complexos, devido ao fato de problema (4.0.10) n˜ao ser auto-adjunto.
Defini¸c˜ao 4.0.8 Dizemos que (u, v) = (ϕ, ψ) ´e linearmente est´avel como
solu¸c˜ao de equil´ıbrio de (4.0.1) se para algum δ > 0, os autovalores de (4.0.10)
satisfazem Re(λ) < −δ, isto ´e, tˆem partes reais estritamente menores que −δ,
para algum δ > 0.
A solu¸c˜ao de equil´ıbrio (u, v) = (ϕ, ψ) ´e linearmente inst´avel se existe algum
autovalor de (4.0.10) com parte real positiva.
Um fato conhecido ´e que solu¸c˜oes de equil´ıbrio line armente est´aveis (resp. in-
st´aveis) s˜ao est´aveis (resp. inst´aveis) no sentido de Lyapunov (veja por exemplo
[11]).
Observa¸c˜ao 4.0.1 Yanagida demonstrou em [21] que se (ϕ, ψ) ´e uma solu¸c˜ao de
(4.0.2) e u = ϕ ´e uma solu¸c˜ao de (4.0.3) linearmente inst´avel (ou seja, se λ
u
> 0),
ent˜ao para cada S fixada, se ||T
−1
|| ´e suficientemente pequeno, (u, v) = (ϕ, ψ) ´e
uma solu¸c˜ao de equil´ıbrio linearmente inst´avel de (4.0.1). O mesmo vale mutatis
mutandis para v = ψ.
No Cap´ıtulo 2 (cf. tamb´em [9] e [14]), vimos que sistemas de rea¸c˜ao-difus˜ao com
estrutura gradiente em dom´ınios convexos tem a propriedade que qualquer solu¸c˜ao
de equil´ıbrio espacialmente n˜ao-homogˆenea, isto ´e, n˜ao constante ´e linearmente
inst´avel. A mesma propriedade se verifica para sistemas de rea¸c˜ao-difus˜ao com
estrutura anti-gradiente em dom´ınios convexos, o que ´e a parte principal deste
cap´ıtulo e passamos a ver agora.
Cap´ıtulo 4: Sistemas de Rea¸c˜ao-Difus˜ao com Estrutura Anti-gradiente 51
Teorema 4.0.10 Seja Ω ⊂ R
N
um dom´ınio convexo com fronteira C
3
. Se (ϕ, ψ)
´e uma solu¸c˜ao de (4.0.2) espacialmente n˜ao-homogˆenea, ent˜ao λ
u
> 0 ou λ
v
> 0.
Prova. Para u ∈ [H
1
(Ω)]
m
e v ∈ [H
1
(Ω)]
n
, defina
J
u
(u) =
Ω
− C∇u, ∇u + f
u
u · u
dx
e
J
v
(v) =
Ω
− D∇v, ∇v + g
v
v · v
dx.
Temos que
J
u
(ϕ
x
j
) =
Ω
− C∇ϕ
x
j
, ∇ϕ
x
j
+ f
u
ϕ
x
j
· ϕ
x
j
dx
= −
∂Ω
Cϕ
x
j
·
∂
∂ν
ϕ
x
j
dσ +
Ω
C∆ϕ
x
j
+ f
u
ϕ
x
j
· ϕ
x
j
dx.
(4.0.11)
e
J
v
(ψ
x
j
) =
Ω
− D∇ψ
x
j
, ∇ψ
x
j
+ g
v
|ψ
x
j
|
2
dx
= −
∂Ω
Dψ
x
j
·
∂
∂ν
ψ
x
j
dσ +
Ω
D∆ψ
x
j
+ g
v
ψ
x
j
· ψ
x
j
dx.
(4.0.12)
De fato,
Ω
−C∇ϕ
x
j
, ∇ϕ
x
j
dx =
Ω
−
m
i,k=1
c
ik
∇ϕ
i
x
j
· ∇ϕ
k
x
j
dx
=
m
i,k=1
c
ik
Ω
∆ϕ
i
x
j
ϕ
k
x
j
dx −
∂Ω
∂
∂ν
ϕ
i
x
j
ϕ
k
x
j
dσ
=
Ω
m
i,k=1
c
ik
∆ϕ
i
x
j
ϕ
k
x
j
dx −
∂Ω
m
i,k=1
c
ik
∂
∂ν
ϕ
i
x
j
ϕ
k
x
j
dσ.
Como
Cap´ıtulo 4: Sistemas de Rea¸c˜ao-Difus˜ao com Estrutura Anti-gradiente 52
Ω
m
i,k=1
c
ik
∆ϕ
i
x
j
ϕ
k
x
j
dx =
Ω
m
k=1
m
i=1
c
ik
∆ϕ
i
x
j
ϕ
k
x
j
dx
C ´e sim´etrica
=
Ω
m
k=1
m
i=1
c
ki
∆ϕ
i
x
j
ϕ
k
x
j
dx
=
Ω
C∆ϕ
x
j
· ϕ
x
j
dx
e
m
i,k=1
c
ik
∂
∂ν
ϕ
i
x
j
ϕ
k
x
j
dσ = Cϕ
x
j
·
∂
∂ν
ϕ
x
j
,
ent˜ao
Ω
−C∇ϕ
x
j
, ∇ϕ
x
j
dx =
Ω
C∆ϕ
x
j
· ϕ
x
j
dx −
∂Ω
Cϕ
x
j
·
∂
∂ν
ϕ
x
j
dσ,
donde
J
u
(ϕ
x
j
) =
Ω
C∆ϕ
x
j
· ϕ
x
j
−
∂Ω
Cϕ
x
j
·
∂
∂ν
ϕ
x
j
dσ +
Ω
f
u
ϕ
x
j
· ϕ
x
j
dx
= −
∂Ω
Cϕ
x
j
·
∂
∂ν
ϕ
x
j
dσ +
Ω
C∆ϕ
x
j
+ f
u
ϕ
x
j
· ϕ
x
j
dx,
o que prova (4.0.11). De forma inteiramente an´aloga prova-se (4.0.12).
Agora, (4.0.2) ´e equivalente a
m
k=1
c
ik
∆ϕ
k
+ f
i
(ϕ, ψ) = 0 em Ω (1 ≤ i ≤ m),
n
r=1
d
lr
∆ψ
r
+ g
l
(ϕ, ψ) = 0 em Ω (1 ≤ l ≤ n).
(4.0.13)
Aplicando
∂
∂x
j
na primeira equa¸c˜ao de (4.0.13), pela Regra da Cadeia obtemos
Cap´ıtulo 4: Sistemas de Rea¸c˜ao-Difus˜ao com Estrutura Anti-gradiente 53
0 =
m
k=1
c
ik
∆ϕ
k
+
m
k=1
∂f
i
∂u
k
(ϕ, ψ)
∂ϕ
k
∂x
j
+
n
s=1
∂f
i
∂v
s
(ϕ, ψ)
∂ψ
s
∂x
j
= C∆ϕ
x
j
+ ∇
u
f(ϕ, ψ) · ϕ
x
j
+ ∇
v
f(ϕ, ψ) · ψ
x
j
= C∆ϕ
x
j
+ f
u
(ϕ, ψ)ϕ
x
j
+ f
v
(ϕ, ψ)ψ
x
j
,
e, analogamente, aplicando
∂
∂x
j
na segunda equa¸c˜ao de (4.0.13), segue que
D∆ψ
x
j
+ g
u
(ϕ, ψ)ϕ
x
j
+ g
v
(ϕ, ψ)ψ
x
j
= 0,
ou seja,
C∆ϕ
x
j
+ f
u
ϕ
x
j
+ f
v
ψ
x
j
= 0 em Ω,
D∆ψ
x
j
+ g
u
ϕ
x
j
+ g
v
ψ
x
j
= 0 em Ω.
(4.0.14)
Da´ı,
C∆ϕ
x
j
+ f
u
ϕ
x
j
· ϕ
x
j
+
D∆ψ
x
j
+ g
v
ψ
x
j
· ψ
x
j
= −f
v
ψ
x
j
· ϕ
x
j
− g
u
ϕ
x
j
· ψ
x
j
= 0
em ∂Ω, j´a que f
v
= −g
t
u
. Logo,
J
u
(ϕ
x
j
) + J
v
(ψ
x
j
) =
Ω
C∆ϕ
x
j
+ f
u
ϕ
x
j
· ϕ
x
j
+
D∆ψ
x
j
+ g
v
ψ
x
j
· ψ
x
j
dx
−
∂Ω
Cϕ
x
j
·
∂
∂ν
ϕ
x
j
+ Dψ
x
j
·
∂
∂ν
ψ
x
j
dσ.
= −
∂Ω
Cϕ
x
j
·
∂
∂ν
ϕ
x
j
+ Dψ
x
j
·
∂
∂ν
ψ
x
j
dσ.
Somando em j,
N
j=1
J
u
(ϕ
x
j
) + J
v
(ψ
x
j
)
= −
∂Ω
N
j=1
Cϕ
x
j
·
∂
∂ν
ϕ
x
j
+ Dψ
x
j
·
∂
∂ν
ψ
x
j
dσ.
Mas, como
Cap´ıtulo 4: Sistemas de Rea¸c˜ao-Difus˜ao com Estrutura Anti-gradiente 54
−
N
j=1
∂Ω
Cϕ
x
j
·
∂
∂ν
ϕ
x
j
dσ = −
∂Ω
N
j=1
m
r=1
m
s=1
c
rs
ϕ
s
x
j
∂
∂ν
ϕ
s
x
j
dσ
= −
1
2
∂Ω
2
m
r,s=1
c
rs
N
j=1
∂
∂ν
ϕ
r
x
j
ϕ
s
x
j
dσ
= −
1
2
∂Ω
m
r,s=1
c
rs
N
j=1
∂
∂ν
ϕ
r
x
j
ϕ
s
x
j
dσ
= −
1
2
∂Ω
∂
∂ν
m
r,s=1
c
rs
∇ϕ
r
· ∇ϕ
s
dσ
= −
1
2
∂Ω
∂
∂ν
C∇ϕ, ∇ϕ dσ
e de modo semelhante
−
N
j=1
∂Ω
Dψ
x
j
·
∂
∂ν
ψ
x
j
dσ = −
1
2
∂Ω
∂
∂ν
D∇ψ, ∇ψ dσ,
vemos que
N
j=1
J
u
(ϕ
x
j
)+J
v
(ψ
x
j
)
= −
1
2
∂Ω
∂
∂ν
C∇ϕ, ∇ϕ+D∇ψ, ∇ψ
dσ. (4.0.15)
Da convexidade de Ω e da condi¸c˜ao de fronteira Neumann homogˆenea, segue que
(cf. [21])
∂
∂ν
C∇ϕ, ∇ϕ ≤ 0 e
∂
∂ν
D∇ψ, ∇ψ ≤ 0 em ∂Ω. (4.0.16)
Suponha que λ
u
≤ 0 e λ
v
≤ 0. Ent˜ao, para ϕ
x
j
≡ 0 e ψ
x
j
≡ 0, pelo Teorema
(4.0.9)(i),(ii) temos
J
u
(ϕ
x
j
)
Ω
Sϕ
x
j
· ϕ
x
j
dx
=
Ω
− C∇ϕ
x
j
, ∇ϕ
x
j
+ f
u
ϕ
x
j
· ϕ
x
j
dx
Ω
Sϕ
x
j
· ϕ
x
j
dx
≤ λ
u
≤ 0
e
J
v
(ψ
x
j
)
Ω
T ψ
x
j
· ψ
x
j
dx
=
Ω
− D∇ψ
x
j
, ∇ψ
x
j
+ g
v
ψ
x
j
· ψ
x
j
dx
Ω
T ψ
x
j
· ψ
x
j
dx
≤ λ
v
≤ 0,
Cap´ıtulo 4: Sistemas de Rea¸c˜ao-Difus˜ao com Estrutura Anti-gradiente 55
o que implica que
J
u
(ϕ
x
j
) ≤ 0 e J
v
(ψ
x
j
) ≤ 0
pois S e T s˜ao matrizes sim´etricas positivas definidas, o que garante
Ω
Sϕ
x
j
· ϕ
x
j
dx > 0 e
Ω
T ψ
x
j
· ψ
x
j
dx > 0.
Logo,
J
u
(ϕ
x
j
) ≤ 0 e J
v
(ψ
x
j
) ≤ 0, ∀j = 1, · · · , N. (4.0.17)
Mas (4.0.16) implica que o lado direito de (4.0.15) ´e n˜ao-negativo e lan¸cando m˜ao
de (4.0.17) vemos que
J
u
(ϕ
x
j
) = 0 e J
v
(ψ
x
j
) = 0, ∀j = 1, · · · , N.
Assuma que ϕ
x
j
≡ 0 para algum j.
Como
J
u
(ϕ
x
j
)
Ω
Sϕ
x
j
· ϕ
x
j
dx
= 0, ent˜ao ϕ
x
j
maximiza o problema
sup
u∈[H
1
(Ω)]
m
Ω
− C∇u, ∇u + f
u
u · u
dx
Ω
Su · u dx
= 0
e assim, pelo Teorema (4.0.9)(i), u = ϕ
x
j
´e uma autofun¸c˜ao de (4.0.7) associada
ao autovalor λ
u
= 0, de modo que ϕ
x
j
satisfaz
∂ϕ
x
j
∂ν
= 0 em ∂Ω.
Agora, como Ω ´e um dom´ınio limitado com fronteira C
3
em R
N
, ∂Ω ´e uma
superf´ıcie (N − 1)-dimensional compacta orient´avel e sem bordo. Ent˜ao, pelo
Teorema (1.2.4) existe um ponto P ∈ ∂Ω tal que a Segunda Forma Fundamental
S
P
´e definida em P .
Por continuidade, existe uma vizinhan¸ca V de P em R
N
tal que S
P
´e uma forma
definida em ∂Ω ∩ V, de modo que seus autovalores, as curvaturas principais, tem
o mesmo sinal de S
P
em ∂Ω ∩ V. Assim, qualquer curvatura principal ´e n˜ao nula
Cap´ıtulo 4: Sistemas de Rea¸c˜ao-Difus˜ao com Estrutura Anti-gradiente 56
em ∂Ω ∩ V.
Temos
ϕ
x
j
= 0 em ∂Ω ∩ V,
∂
∂ν
ϕ
x
j
= 0 em ∂Ω ∩ V,
e pelo Lema (1.3.2) vemos que
∇ϕ
k
= 0 em ∂Ω ∩ V, 1 ≤ k ≤ m.
Combinando estes fatos juntamente a (4.0.7) com λ = 0, segue que
C∆ϕ
x
j
+ f
u
ϕ
x
j
= 0 em Ω,
ϕ
x
j
= 0 em ∂Ω ∩ V,
∂ϕ
x
j
∂ν
= 0 em ∂Ω ∩ V.
Assim, pelo Teorema da Continua¸c˜ao
´
Unica de Calder´on (cf. [18], Cap´ıtulo 6),
obtemos ϕ
x
j
≡ 0 em Ω, uma contradi¸c˜ao.
Assim, provamos que se λ
u
≤ 0 e λ
v
≤ 0, ent˜ao ϕ
x
j
≡ 0 para cada j = 1, · · · , N,
ou seja, ϕ ´e constante.
Procedendo da mesma forma, podemos concluir que ψ tem que ser constante se
supusermos λ
u
≤ 0 e λ
v
≤ 0.
Portanto, se (ϕ, ψ) ´e espacialmente n˜ao-homogˆenea ent˜ao λ
u
> 0 ou λ
v
> 0 e o
teorema est´a provado.
Corol´ario 4.0.2 Seja Ω ⊂ R
N
um dom´ınio convexo com fronteira C
3
. Se (ϕ, ψ) ´e
uma solu¸c˜ao de (4.0.2) espacialmente n˜ao-homogˆenea, ent˜ao (ϕ, ψ) ´e um equil´ıbrio
inst´avel de (4.0.1) no sentido de Lyapunov para certas S e T.
Prova. Suponha que (ϕ, ψ) ´e uma solu¸c˜ao de (4.0.2) espacialmente n˜ao-homogˆenea.
Ent˜ao, pelo Teorema (4.0.10) temos λ
u
> 0 ou λ
v
> 0 e, pela Observa¸c˜ao (4.0.1),
segue que (ϕ, ψ) ´e uma solu¸c˜ao de equil´ıbrio linearmente inst´avel de (4.0.1) para
Cap´ıtulo 4: Sistemas de Rea¸c˜ao-Difus˜ao com Estrutura Anti-gradiente 57
certas S e T satisfazendo ||S
−1
|| e ||T
−1
|| suficientemente pequenos.
Portanto, (ϕ, ψ) ´e um equil´ıbrio inst´avel de (4.0.1) no sentido de Lyapunov para
tais S, T, e o corol´ario est´a provado.
Apˆendice A
Solu¸c˜oes Inst´aveis em Quaisquer
Dom´ınios
Sabemos que as fun¸c˜oes dadas por
U =
cos γ
sin γ
w(x), 0 ≤ γ < 2π, (1.0.1)
com w(x) solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de rea¸c˜ao e difus˜ao escalar
∆w + (1 − w
2
)w = 0 em Ω,
∂w
∂ν
= 0 em ∂Ω,
(1.0.2)
s˜ao solu¸c˜oes de (2.0.2).
De fato,
∆U +
1 − |U|
2
U
= ∆
cos γ w(x)
sin γ w(x)
+
1 −
cos γ w(x)
sin γ w(x)
2
cos γ w(x)
sin γ w(x)
58
Apˆendice: Solu¸c˜oes Inst´aveis em Quaisquer Dom´ınios 59
=
cos γ ∆w(x)
sin γ ∆w(x)
+ (1 − w
2
(x))
cos γ w(x)
sin γ w(x)
=
cos γ ∆w(x) + cos γ w(x) − w
3
(x) cos γ
sin γ ∆w(x) + sin γ w(x) − w
3
(x) sin γ
=
cos γ
∆w(x) + [1 − w
2
(x)]w(x)
sin γ
∆w(x) + [1 − w
2
(x)]w(x)
=
0
0
,
qualquer que seja x ∈ Ω e
∂
∂ν
cos γ w(x)
sin γ w(x)
=
cos γ
∂
∂ν
w(x)
sin γ
∂
∂ν
w(x)
=
0
0
,
para todo x ∈ ∂Ω.
Matano foi o primeiro a demonstrar em espa¸cos de dimens˜oes elevadas a existˆencia
de solu¸c˜oes est´aveis n˜ao-constantes de
∂w
∂t
= ∆w + (1 − w
2
)w em Ω × IR
+
,
∂w
∂ν
= 0 em ∂Ω × IR
+
,
(1.0.3)
em dom´ınios n˜ao-convexos, por exemplo, em dom´ınios do tipo “ dumbbell-shaped”
ou “ osso de cachorro”(cf. [16]).
No entanto, quando se trata de sistemas, isto pode n˜ao ocorrer. Vamos demons-
trar que as solu¸c˜oes do sistema (2.0.2) dadas por (1.0.1) e (1.0.2) s ˜ao inst´aveis
em qualquer dom´ınio Ω ⊂ R
n
com fronteira suave, isto ´e, as solu¸c˜oes dadas por
(1.0.1) e (1.0.2) s˜ao inst´aveis independentemente da geometria de Ω.
Apˆendice: Solu¸c˜oes Inst´aveis em Quaisquer Dom´ınios 60
Teorema A.0.11 Seja Ω ⊂ R
n
um dom´ınio com fronteira suave. Ent˜ao, qual-
quer solu¸c˜ao n˜ao-constante de (2.0.2) dada por (1.0.1) e (1.0.2) ´e um equil´ıbrio
inst´avel de (2.0.1).
Prova. Seja
U =
cos γ
sin γ
w(x), 0 ≤ γ < 2π, (1.0.4)
uma solu¸c˜ao n˜ao-constante dada por (1.0.1) e (1.0.2).
O operador linearizado em torno de U ´e dado por
LP = ∆P + (1 − w
2
(x))P − 2w
2
(x)
cos
2
γ
cos γ sin γ
cos γ sin γ
sin
2
γ
P,
P = (p, q)
t
∈ D(L) =
P ∈ [H
2
(Ω)]
2
∂
∂ν
P = 0 em ∂Ω
.
(1.0.5)
Atrav´es da transforma¸c˜ao
P −→ P := (γ)
P =
cos γ − sin γ
sin γ cos γ
P ,
o problema de autovalores
LP + λP = 0
´e equivalente ao problema de autovalores dado por
L
P + λ
P = 0,
com
L
P = ∆
P + (1 − w
2
(x))
P − 2w
2
(x)
1 0
0 0
P ,
D(L) = D(
L)
De fato, por (1.0.5),
Apˆendice: Solu¸c˜oes Inst´aveis em Quaisquer Dom´ınios 61
L((γ)
P ) = ∆((γ)
P ) + (1 − w
2
(x))(γ)
P
− 2w
2
(x)
cos
2
γ
cos γ sin γ
cos γ sin γ
sin
2
γ
(γ)
P ,
donde
L((γ)
P ) = (γ)∆(
P ) + (1 − w
2
(x))(γ)
P − 2w
2
(x)
cos γ 0
sin γ 0
P ,
e assim
[(γ)]
−1
L((γ)
P ) = ∆(
P ) + (1 − w
2
(x))
P − 2w
2
(x)
1 0
0 0
P .
Da´ı, definindo
L
P = [(γ)]
−1
L((γ)
P ), obtemos
L
P = ∆
P + (1 − w
2
(x))
P − 2w
2
(x)
1 0
0 0
P ,
D(L) = D(
L).
L
P ainda pode ser escrito na forma
L
P =
L
1
p
L
2
q
=
∆p + (1 − 3w
2
(x))p
∆q + (1 − w
2
(x))q
(1.0.6)
Agora, como w(x) n˜ao-constante satisfaz (1.0.2),
P = (0, w(x))
t
´e um autovetor
correspondente ao autovalor zero de
L e, com isso, w(x) ´e um autovetor corre-
spondente ao autovalor zero de L
2
. Mas sabemos que o menor autovalor de L
2
´e simples e tem uma autofun¸c˜ao correspondente positiva (cf. argumentos em [7],
Apˆendice: Solu¸c˜oes Inst´aveis em Quaisquer Dom´ınios 62
Teorema 8.38, p. 214).
Assim, se zero n˜ao ´e o menor autovalor de L
2
, ent˜ao existe um autovalor λ < 0
de L
2
e, desta forma, existe q ≡ 0 tal que L
2
q + λq = 0. Isto implica que (0, q)
t
´e um autovetor associado a λ < 0, de modo que λ ´e um autovalor de L negativo
o que implica que U ´e inst´avel (cf. [8], Teorema 5.1.3, p. 102) e o teorema fica
provado.
Logo, se zero ´e o menor autovalor de L
2
ent˜ao w ´e positiva.
Afirma¸c˜ao: A ´unica solu¸c˜ao positiva de (1.0.2) ´e w ≡ 1.
Com efeito, vemos em [3] que qualquer solu¸c˜ao de (1.0.3) com dado inicial L
∞
permanece assintoticamente em
B
0
=
(u, v) ∈ [L
∞
(Ω)]
2
| u
2
(x) + v
2
(x) ≤ 1, ∀x ∈ Ω
,
ou seja, qualquer solu¸c˜ao z de (1.0.2) s atisfaz |z(x)| ≤ 1, para todo x ∈ Ω.
Seja w solu¸c˜ao de (1.0.2) com 0 < w(x) ≤ 1. Considere z ≡ ε, com 0 < ε <
min
x∈Ω
w(x). Temos:
∆ w + (1 − w
2
) w = 0 em Ω,
∆ε + (1 − ε
2
)ε ≥ 0 em Ω
∂
ν
w = 0 em ∂Ω,
∂
ν
ε = 0 em ∂Ω.
Assim, comparando w e ε, pelo Teorema (1.3.4) segue que
w ≤ ε em Ω.
Da´ı, se w ≡ 1, existe x
0
∈ Ω tal que w(x
0
) < 1 e, deste modo,
min
x∈Ω
w(x) ≤ w(x
0
) ≤ ε < min
x∈Ω
w(x),
o que ´e um absurdo. Logo, w ≡ 1, isto ´e, a ´unica solu¸c˜ao positiva de (1.0.2) ´e
w ≡ 1 e a afirma¸c˜ao est´a provada.
Apˆendice: Solu¸c˜oes Inst´aveis em Quaisquer Dom´ınios 63
Combinando os fatos acima vemos que w ≡ 1, o que contradiz a hip´otese de U
ser n˜ao-constante.
Portanto, qualquer solu¸c˜ao n˜ao-constante de (2.0.2) dada por (1.0.1) e (1.0.2) ´e
uma solu¸c˜ao de equil´ıbrio inst´avel de (2.0.1) e o teorema est´a provado.
Referˆencias Bibliogr´aficas
[1] Brown, K.J., Dunne, P.C., Gardner, R.A. A Semilinear Parabolic System
arising in the Theory of Superconductivity. J. Diff. E qns, v. 40, p. 232-252,
1981.
[2] Casten, R.G., Hollad, C.J. Instability Results for Reaction Diffusion Equa-
tions with Neumann Boundary Conditions. J. Diff. Eqns, v. 27, p. 266-273,
1978.
[3] Chueh, K.N., Conley, C.C, Smoller, J.A. Positively Invariant Regions for
Systems of Nonlinear Diffusion Equations. Indiana Univ. Math Journal,
v. 26, p. 373-392, 1977.
[4] Dautray, R., Lions, J-L. Mathematical Analysis and Numerical Me-
thods for Science and Tecnology. v .2, Berlin: Springer-Verlag, 1988.
[5] Dautray, R., Lions, J-L. Mathematical Analysis and Numerical Me-
thods for Science and Tecnology. v .3, Berlin: Springer-Verlag, 1990.
[6] Evans, L.C. Partial Differential Equations. Graduate Texts in Mathe-
matics, v. 19: AMS, 1998.
[7] Gilbarg, D., Trudinger, N.S. Elliptic Partial D ifferential Equations of
Second Order. 2 ed. Berlin: Springer-Verlag, 1983.
[8] Henry, D. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations.
Berlin: Springer-Verlag, 1981.
64
Referˆencias Bibliogr´aficas 65
[9] Jimbo, S., Morita, Y. Stability of Nonconstant Steady-State Solutions to a
Ginzburg-Landau Equation in Higher Space Dimensions. Nonlinear Anal.,
v. 22, p. 753-779, 1994.
[10] Jimbo, S., Zhai, J. Instability in a Geometric Parabolic Equation on Convex
Domain. J. Diff. Eqns., v. 188, p .447-460, 2003.
[11] Kielh¨ofer, H. Stability and Semilinear Evolution Equations in Hilbert Spaces.
Arch. Rational Mech. Anal., v. 57, p. 150-165, 1974.
[12] Lima, E.L.
´
Algebra Linear. 4 ed. Rio de Janeiro: Cole¸c˜ao Matem´atica
Universit´aria, 2000.
[13] Lima, E.L. Curso de An´alise. v. 2, 5 ed. Rio de Janeiro: Projeto Euclides,
1999.
[14] Lopes, O. Radial and Nonradial Minimizers for Some Radially Symmetric
Functionals. Elect. J. Diff. Eqns, n. 3, p. 1-14, 1996.
[15] Carmo, M.P. Elementos de Geometria Diferencial. Rio de Janeiro: Ao
Livro T´ecnico e Universidade de Bras´ılia, 1971.
[16] Matano, H. Asymptotic Behavior and Stability of Solutions of Semilinear
Diffusion Equations. Public. RIMS Kyoto Univ., v. 15, p. 401-454, 1979.
[17] Mikhailov, V.P. Partial Differential Equations. Moscow: Mir Publishers,
1978.
[18] Mizohata, S. The Theory of Partial Differential Equations. Holland:
Cambridge University Press, 1973.
[19] Smoller, J. Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations. New
York: Springer-Verlag, 1983.
[20] Thorpe, J.A. Elementary Topics in Differential Geometry. New York:
Springer-Verlag, 1979.
[21] Yanagida, E. Mini-Maximizers for Reaction-Diffusion Systems with Skew-
Gradient Structure. J. Diff. Eqns., v. 179, p. 311-335, 2002.
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo