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m
2
φ
2
/2
λφ
4
/4
λφ
n
/n
3 Gpc ∼ 10
28
cm
100 Mpc
∼ 4%
10
−9
75% 25%
∼ 22% ∼ 74%
14
1 pc 3, 26 × anos − luz 3, 08 × 10
18
cm
1901
10
1912
v
e
c z
z =
λ
obs
− λ
emit
λ
emit
=
v
e
c
,
λ
obs
λ
emit
v
e
c
1929
cz = H
0
r,
H
0
v
e
= H
0
r.
v(t) = H(t)d(t),
H(t)
dv = Hdr dt = dr/c
a
1 + z =
a(t
obs
)
a(t
emit
)
.
H = ˙a/a
z = 0 z = ∞
z = −1
1948
5K ≈ 3K
1964
1978 1989
0, 5mm 10cm
T = 2, 725 ±0, 001 ±K
3 × 10
6
K
∼ 13, 6eV
3000K 300000 1/1000
14
ds
2
= dt
2
− a
2
(t)
dr
2
1 − kr
2
+ r
2
dθ
2
+ sen
2
θdφ
2
,
k
k +1 0
−1 t a(t) r θ
φ
a(t)
R
µ
ν
−
1
2
R = 8πGT
µ
ν
,
c = 1 G
T
µ
ν
= diag (ρ, −p, −p, −p) ,
ρ p
µ = ν = 0
˙a
a
2
=
8πG
3
ρ −
k
a
2
,
µ = ν = 1
¨a
a
= −
4πG
3
(ρ + 3p) .
µ = ν = 2 µ = ν = 3
r
v = |v|ˆr = |v|
r
|r|
=
˙
r
|r|
r.
r r
r = a(t)r
⇒
˙
r = ˙ar
⇒ v =
|˙ar
|
|ar
|
r.
v =
˙a
a
r
v = Hr
H =
˙a
a
,
H
2
=
8πG
3
ρ −
k
a
2
.
a(t)
G ≡ M
2
P
M
P
ρ
ρ =
3M
2
P
8π
H
2
+
k
a
2
.
H ρ
k = 0 ρ
c
ρ
c
(t) =
3M
2
P
8π
H
2
.
Ω
Ω =
ρ
ρ
c
.
Ω > 1 ⇔ k = 1;
Ω = 1 ⇔ k = 0;
Ω < 1 ⇔ k = −1.
Ω
i
=
ρ
i
ρ
c
,
Ω
Ω =
i
Ω
i
.
˙ρ + 3
˙a
a
(ρ + p) ≡ ˙ρ + 3H (ρ + p) = 0,
p = ωρ ⇒ ω =
p
ρ
.
ω
ρ ∝ a
−3(1+ω)
.
p = ρ/3 ⇒ ω = 1/3
ρ ∝ a
−4
.
p = 0 ω = 0
ρ ∝ a
−3
,
ρ
ρ
a
−1
ω = −1/3 ρ ∝ a
−2
p > −ρ/3 ρ > a
−2
a k/a
2
(8πG/3)ρ
a ∝ t
2
3(1+ω)
.
a ∝ t
1/2
.
a ∝ t
2/3
.
t = 0
(8πG/3)ρ 1/a
2
t
c
V
0
Λ = 8πGV
0
ω = −1
a ∝ e
√
Λ
3
t
.
ω
−1
H = ˙a/a
H
t =
2
3H
,
t =
1
2H
.
c
ds
2
= 0.
η ≡
dt
a(t)
.
dχ
2
=
dr
2
1 − kr
2
,
ds
2
= a
2
(η)
dη
2
− dχ
2
− Φ
2
(χ)(dθ
2
+ sen
2
θdφ
2
)
,
r χ Φ(χ)
Φ
2
(χ) =
senh
2
χ, k = −1
χ
2
, k = 0
sen
2
χ, k = +1
.
θ, φ = const
dη
2
− dχ
2
= 0.
χ(η) = ±η + const.,
±45
0
η − χ
t
χ
p
(η) = η − η
i
=
t
t
i
dt
a(t
)
,
η
i
a(t
i
), t
i
R(t)
R
p
(t) = a(t)χ
p
= a(t)
t
t
i
dt
a(t
)
.
a ∝ t
2/3
R
pm
= 3t = 2[H(t)]
−1
,
R
pr
= 2t = [H(t)]
−1
.
η
χ > χ
e
(η) =
η
max
η
dη
= η
max
− η,
R
e
(t) = a(t)
t
max
t
dt
a(t
)
,
max
t
max
η
max
R
e
H
cH
−1
c = 1
(aH)
−1
η =
a
0
da
a
1
a
H(a
)
.
70
ρ
T t → 0
t = 0
t < 0 t = 0
G c
M
P
≡
c
5
G
= 1, 22 × 10
19
GeV.
t
P
≡
G
c
5
= 5, 39 × 10
−44
seg.
T
0
M
P
T
0
= 10
17
GeV
Ω
|Ω − 1| =
|ρ(t) − ρ
c
|
ρ
c
=
|k|
a
2
H
2
.
a(t) |Ω − 1|
|Ω − 1| ∝ t,
|Ω − 1| ∝ t
2/3
.
t t
0
4×10
17
seg
|Ω − 1|
• t ∼ 10
13
seg |Ω − 1| 10
−5
• t ∼ 10
12
seg |Ω − 1| 10
−6
• t ∼ 1seg |Ω − 1| 10
−18
• t ∼ 10
−12
seg |Ω − 1| 10
−30
0, 1 Ω 2,
Ω
Ω |Ω − 1|
10
−59
(M
2
P
/T
2
) T ∼ M
P
|Ω − 1| 10
−59
.
S
d
dt
(sa
3
) = 0,
s = S/a
3
N
b
(T )
T N
f
(T )
T m T µ
ρ = 3p =
π
2
30
N(T )T
4
,
s =
2π
2
45
N(T )T
3
,
n =
ζ(3)
π
2
N
(T )T
3
,
N(T ) = N
b
(T ) +
7
8
N
f
(T ),
N
(T ) = N
b
(T ) +
3
4
N
f
(T ),
ζ(3) = 1, 20206...
˙
T
T
2
+ (T )T
2
=
4π
3
45
GN(T )T
4
,
(T ) = k
2π
2
45
N(T )
S
2/3
.
S
ρ ρ < 10ρ
c
k
a
2
< 9H
2
.
k = ±1
a >
1
3
H
−1
≈ 3 × 10
9
anos.
T
γ
2, 7K
S
S
γ
> 3 × 10
85
.
S > 10
86
|| < 10
−58
N
2/3
ρ − ρ
c
ρ
c
=
45
4π
3
M
2
P
NT
2
|| < 3 × 10
−59
N
−1/3
M
P
T
2
.
T = 10
17
GeV N ≈ 10
2
|ρ − ρ
c
|
ρ
c
< 10
−55
.
T
i
= 10
17
GeV H
i
10
55
t
P
≈ M
−1
P
ρ
c
10
−55
ρ
c
t
c
t
P
ρ 10
−55
ρ
c
ρ
c
r 100Mpc
a(t) a(t) ∝ t
1/2
t = 0 t
l(t) = a(t)
t
0
dt
a(t
)
= 2t.
O O
t 2l(t) = 4t
T O(10
−4
T )
t = t
i
T 10
14
GeV 2l(t
i
)
T ∼ 10
14
GeV T
0
= 2, 75K ∼ 2, 4 ×10
−13
GeV
T
T
0
≈ 4 × 10
26
.
T 10
14
GeV t
i
≈ 10
−35
s
2l(t
i
) ≈ 2ct
i
≈ 6 × 10
−25
cm.
2, 4 × 10
2
cm
ct
0
≈ 10
28
cm.
t = 0
l(t) = a(t)
t
0
dt
a
−1
(t
) = 2t.
L(t) t
S(t) =
constante S(t) = S
p
L(t) =
s
p
s(t)
1/3
L
p
,
s
p
L
p
≈ 10
10
anos − luz
l
3
L
3
=
11
43
45
4π
3
3/2
N
−1/2
M
P
L
P
T
γ
T
3
= 4 × 10
−89
N
−1/2
(
M
P
T
)
3
.
N = 10
2
T
0
= 10
17
GeV
l
3
0
L
3
0
= 10
−83
.
(n
b
/n
γ
) ∼ 10
−8
− 10
−10
c
1922
k = 0 ρ = 0
φ
φ φ
V (φ)
R
µν
−
1
2
g
µν
R = 8πGT
µν
= 8πG
˜
T
µν
+ g
µν
V (φ)
,
T
µν
˜
T
µν
g
µν
V (φ)
˜
T
µ
ν
= diag(ρ, −p, −p, −p) g
µ
ν
V (φ)
p = −ρ = −V (φ)
ρ
vac
ρ
c
≈ 10
−29
g/cm
3
|ρ
vac
| = |V (φ
0
)| ≤ 10
−29
g/cm
3
≈ 10
−47
GeV
4
.
ρ
m α m
= c = 1
ρ =
α
0
4πk
2
dk
(2π)
3
1
2
√
k
2
+ m
2
α
4
16π
2
.
α = (8πG)
−1/2
ρ ∼ 10
71
GeV
4
,
118
ρ
α
4
QCD
16π
2
∼ 10
−6
GeV,
41
ρ
v
8πG
Λ Λ = 8πGV (φ)
∼ 10
17
GeV
10
40
V (φ) φ
V (φ)
φ
φ
L =
1
2
∂
µ
φ∂
µ
φ − V (φ).
ρ p φ
ρ =
1
2
˙
φ
2
+ V (φ),
p =
1
2
˙
φ
2
− V (φ).
H
2
=
8π
3M
2
P
1
2
˙
φ
2
+ V (φ)
−
k
a
2
.
φ
¨
φ + 3H
˙
φ + V
φ
= 0.
φ V (φ)
φ
˙
φ
2
V (φ)
p ≈ −ρ ≈ −V (φ) ⇒ ω ≈ −1.
V (φ)
φ V (φ)
k = 0
˙
φ
¨
φ
H
2
8πV (φ)
3M
2
P
,
˙
φ −
V
φ
3H
,
¨a > 0,
¨a
a
=
˙
H + H
2
> 0 ⇒ −
˙
H
H
2
< 1.
V
(φ) 1, |η
V
(φ)| 1,
V
η
V
V
(φ) =
M
2
P
16π
V
φ
V (φ)
2
,
η
V
(φ) =
M
2
P
8π
V
φφ
V (φ)
.
φ
φ
H(φ)
φ
H(φ)
H
(φ) =
M
2
P
4π
H
φ
H(φ)
2
,
η
H
(φ) =
M
2
P
4π
H
φφ
H(φ)
.
¨a > 0
d
dt
(aH)
−1
< 0.
N
N(t) ≡ ln
a(t
f
)
a(t)
.
N 0
70
1/[a(t)H(t)]
˜
N(t) = ln
a(t
f
)H(t
f
)
a(t)H(t)
,
a(t)
H(t)
φ
N ≡ ln
a(t
f
)
a(t)
=
t
f
t
Hdt
8π
M
2
P
φ
φ
f
V
V
φ
dφ,
φ
f
(φ
f
) = 1
∼ 10
19
GeV
S
p
= Z
3
S
0
,
S
p
S
0
a
3
s Z
ρ − ρ
c
ρ
c
< Z
2
10
−55
.
|ρ − ρ
c
|/ρ
c
100%
Z
Z > 3 × 10
27
.
Z
−1
Z Z
l
3
0
L
3
0
= Z
3
10
−83
,
(l
3
0
/L
3
0
) ≈ 1
Z > 5 × 10
27
,
10
14
GeV V (φ)
φ = 0 φ
φ
10
14
GeV φ = 0
V (φ) φ = 0 T
c
10
14
GeV φ = 0
φ
φ T
c
∼ 10
14
GeV
φ = 0
φ = 0
φ = 0
V (0)
a(t) ∝ exp (Ht) 3H
2
= 8πM
−2
P
V (0)
φ
T
c
∼ 10
15
GeV φ = φ
0
φ = 0
φ = 0
φ = φ
0
φ φ = φ
0
φ = φ
0
φ = 0
φ = 0
φ = 0
∆t 70H
−1
= 70M
P
3
8πV (0)
.
a 10
28
aT
T
c
10
28
T
0
SU(5)
T
0
∼ 10
14
GeV,
T
c
≤ 10
−14
GeV ≈ 0, 1K,
φ φ
0
V (φ) φ = 0
∂
2
V
∂φ
2
= 0.
SU(5) → SU(3) × SU(2) × U(1)
T M
X
V (φ, T ) =
5
8
g
2
T
2
φ
2
+
25g
4
φ
4
128π
2
ln
φ
φ
0
−
1
4
+
9M
4
X
32π
2
+ λT
4
,
λ 10
T
V (φ, T ) φ = 0 T M
X
∼ 10
14
GeV
V (φ) φ ∼ φ
0
φ → 0
φ = 0 T 10
14
GeV
V (φ, T ) φ = 0 T
φ = φ
0
T M
X
φ = 0
φ = φ
0
φ = 0
T
T
c
∼ 10
6
GeV
φ φ
0
V (φ, T
c
) φ ≈ φ
0
φ = 0
φ
φ
3φ
1
φ 3φ
1
≈
12πT
c
g
5 ln
M
X
T
c
φ
0
,
V (φ
1
, T ) = V (φ
0
, T ),
φ
1
φ
0
φ
m
2
=
d
2
V
dφ
2
≤ 75g
2
T
2
c
∼ 25T
2
c
.
φ
φ(T
1
) ∼ φ
0
φ
e
mt
φ(T
1
)
τ ≥ m
−1
∼ 0, 2T
−1
c
φ φ
0
τ m
−1
τ ≈ T
−1
c
.
V (φ) V (0)
φ φ
0
M
X
∼ 5 × 10
14
GeV H
H =
8πV (0)
3M
2
P
=
M
2
X
2M
P
3
π
≈ 10
10
GeV.
τ e
Hτ
e
Hτ
∼ e
H/T
c
∼ e
2000
∼ 10
800
.
O(T
−1
c
) ∼ 10
−20
cm
10
−20
× e
Hτ
cm ≈ 10
780
cm.
l ∼ 10
28
cm
τ
V (0) ≈ T
4
1
T
1
∼ 10
14
GeV
φ
φ(T
1
) ∼ φ
0
10
14
GeV
∼ T
−1
c
l
1
10
740
cm (l
1
T
1
)
3
10
85
T
1
∼ 10
14
GeV
aT
∼ T
−1
c
V (0)
φ
V (φ)
V (φ)
φ = 0
φ
φ
φ
V (φ)
φ
φ
m
2
φ
2
/2 λφ
4
/4 φ
n
φ ∼ e
αφ
α <
√
16π
m
2
φ
2
/2
φ
φ m
V (φ) =
m
2
2
φ
2
.
V (φ) φ = 0 φ
˙a = 0 ⇒ H = 0
φ
¨
φ = −m
2
φ.
3H
˙
φ
¨
φ + 3H
˙
φ = −m
2
φ.
φ
H
2
+
k
a
2
=
4π
3M
2
P
˙
φ
2
+ m
2
φ
2
.
φ φ > M
P
/(2
√
π)
H
3H
˙
φ φ
φ
φ
¨
φ 3H
˙
φ H
2
k
a
2
˙
φ
2
m
2
φ
2
˙
φ = −
mM
P
2
√
3π
H =
˙a
a
=
2mφ
M
P
π
3
.
φ
H
exp(Ht)
10
−35
seg
φ(t)
φ(t) = φ
0
−
mM
P
2
√
3π
t,
t =
2
√
3π
mM
P
(φ
0
− φ) ,
a(t)
a(t) = a
0
exp
2π
M
2
P
φ
2
0
− φ
2
(t)
.
τ ∼ φ/(mM
P
) φ
φ(τ) ≈ 0, 86φ
0
V (φ(τ)) ≈ 0, 74V (φ
0
)
H
a(t + ∆t) ∼ a(t)e
H∆t
∆t τ = φ/mM
P
φ
φ
f
∼ M
P
/(2
√
π) φ φ
V (φ) ∼
m
2
φ
2
f
2
∼
m
2
M
2
P
4π
φ
φ V (φ)
T
r
λφ
4
/4
V (φ) =
λ
4
φ
4
.
¨
φ + 3H
˙
φ = −λφ
3
H
2
+
k
a
2
=
4π
3M
2
P
˙
φ
2
+
λ
2
φ
4
.
φ
¨
φ 3H
˙
φ H
2
k
a
2
˙
φ
2
λ
2
φ
4
˙
φ
φ
= −M
P
λ
6π
H =
˙a
a
=
1
M
P
2πλ
3
φ
2
.
φ
φ(t) = φ
0
exp
−M
P
λ
6π
t
,
a(t) = a
0
exp
π
M
2
P
φ
2
0
− φ
2
(t)
.
φ
f
∼
M
P
√
π
.
λφ
n
/n
V (φ) =
λ
n
φ
n
,
¨
φ + 3H
˙
φ = −λφ
n−1
H
2
+
k
a
2
=
8π
3M
2
P
1
2
˙
φ
2
+
λ
n
φ
n
.
¨
φ 3H
˙
φ H
2
k
a
2
˙
φ
2
λ
n
φ
n
˙
φφ
2−n
2
= −M
P
nλ
24π
,
H =
1
M
P
8πλ
3n
φ
n/2
,
φ
4−n
2
(t) = φ
4−n
2
0
−
4 − n
2
M
P
nλ
24π
t, n = 4
a(t) = a
0
exp
4π
nM
2
P
φ
2
0
− φ
2
(t)
, ∀ n.
φ
f
∼
nM
P
4
√
π
.
V (φ) = V
0
e
αφ
,
α
¨
φ + 3H
˙
φ = −αV
0
e
αφ
H
2
+
k
a
2
=
8π
3M
2
P
1
2
˙
φ
2
+ V
0
e
αφ
.
α
1, 2, 3 4
k = 0 H
H
2
=
8π
3M
2
P
V
0
.
dφ
√
1 − e
αφ
=
2V
0
dt.
tanh(α
V
0
/2t) α
V
0
/2t α
φ(t) = φ
0
−
2
α
ln
t
t
0
,
φ
0
= φ(t
0
) = −
2
α
ln
α
V
0
2
t
0
.
a
a(t) = a
0
t
p
, p =
16π
α
2
.
p 1
α
√
16π ∼ 7 H H
−1
φ
φ < φ
f
φ
f
= 0 V
0
V
α
1, 2, 3 4
l
P
∼ 10
−33
cm 10
−35
seg
10
120
cm
10
28
cm
∼ 10
−33
cm
10
28
cm
φ
φ
V ∼ m
2
φ
2
V ∼ λφ
4
95%
φ
V (φ)
φ V (φ)
φ
σ
φ φ
c
σ
V (φ, σ) =
1
2
m
2
φ
2
+
1
4
λ
σ
2
− M
2
2
+
1
2
gσ
2
φ
2
,
V (φ, σ) = V
0
+
1
2
m
2
φ
2
−
1
2
m
2
σ
σ
2
+
1
4
λσ
4
+
1
2
gσ
2
φ
2
,
V
0
= m
2
σ
M
2
/4 m
2
σ
= λM
2
σ
φ σ = 0
V = V
0
+
1
2
m
2
φ
2
.
φ φ
c
V (φ, σ) σ
V σ φ
c
V (φ ≤ φ
c
, σ)
σ
−m
2
σ
+ gφ
2
φ
c
φ
c
=
m
σ
√
g
=
λ
g
M.
σ φ
φ
c
φ = 0 σ = M
φ
V (0, 0) = V
0
=
m
2
σ
M
2
4
=
λM
4
4
.
H
2
=
2πλM
4
3M
2
P
.
φ
3H
˙
φ = −m
2
φ.
∆t = H
−1
=
3
2πλ
M
P
M
2
φ
c
φ
∆φ =
m
2
M
2
P
2π
√
λgM
3
.
V
0
m
2
φ
2
2
φ
φ = φ
c
exp
−
m
2
(t − t
c
)
3H
.
φ
φ
H
−1
δφ(x) 3H
˙
φ φ
H
−1
|δφ(x)| ≈
H
2π
.
φ
δt =
δφ
˙
φ
∼
H
2π
˙
φ
.
ρ =
3M
2
P
H
2
/(8π) H ∼ t
−1
δ
H
∼ δρ/ρ ∼ δt/t
δ
H
∼
H
2
2π
˙
φ
.
φ H
2
/2π
˙
φ
V = m
2
φ
2
/2
δ
H
∼
4
M
3
P
π
3
mφ
2
.
φ
H(φ)
−1
exp φ
2
/4
l
φ
2
ln l ∼ φ
2
.
l
δ
H
∼ mφ
2
∼ m ln l.
φ
φ
H
−1
H
−1
φ
H
−1
φ M
P
∆t = H
−1
H
−3
φ
0
φ ∆t
e
e
3
∼ 20 20
φ
∆φ ∆φ
qua
∆φ = ∆φ
cla
+ ∆φ
qua
,
∆φ
cla
∆φ
∆φ
cla
∆φ
qua
1/20
φ ≥ φ
0
∆t
φ 1/e
3
≈ 1/20
∆φ
qua
0, 61 |∆φ
cla
|
∆φ
cla
≈
˙
φ
cla
H
−1
,
∆φ
qua
≈ H/2π
H
2
˙
φ
cla
> 3, 8.
V (φ) =
m
2
φ
2
/2
˙
φ = −
m
2
φ
3H
,
H =
2mφ
M
P
π
3
,
∆φ = −
mM
P
6
3
π
∆t.
∆t = H
−1
φ
∆φ = M
2
P
/(4πφ)
φ
∗
∼
M
P
2
M
P
m
,
φ φ
∗
φ
|δφ| |∆φ| φ φ
∗
→ |∆φ| |δφ|
∆t H
−1
φ φ
∗
e
e
3
∼ 20 φ
φ φ
∗
10 H
−1
100
V (φ) = λφ
4
/4
˙
φ ≈ −
λφ
3
3H
,
H
2
≈
2πλ
3M
2
P
φ
4
.
φ > 0, 75λ
−1/6
M
P
.
λ ∼ 10
−12
φ
V = 0, 079λ
1/3
M
4
P
.
H
2
=
8π
3M
2
P
ρ,
¨a
a
= −
4π
3M
2
P
(ρ + 3p) ,
H
2
=
8π
3M
2
P
1
2
˙
φ
2
+ V (φ)
,
˙
H = −
4π
M
2
P
˙
φ
2
.
a = a(t) φ = φ(t)
V = V (φ)
W = W (φ) H = W (φ)
a(t)
˙
φ = −
M
2
P
4π
W
φ
,
V (φ) =
3M
2
P
8π
W
2
−
M
4
P
32π
2
W
2
φ
.
W = φ,
φ W φ
φ(t) = φ
0
−
M
2
P
t
4π
.
φ
0
M
P
φ
0
M
P
V (φ) =
3M
2
P
8π
φ
2
−
M
4
P
32π
2
.
a(t) = a
0
exp
φ
0
t −
M
2
P
8π
t
2
.
W = n
φ
,
n 1 W
φ(t) =
1
ln (n)
ln
4π
M
2
P
ln (n)
2
t
.
n
2 3 4
V (φ) =
3
8
M
2
P
n
2φ
π
−
1
32
M
4
P
ln (n)
2
n
2φ
π
2
.
n 2 3 4
a(t) = t
4π
ln (n)
2
M
2
P
.
φ
n
n
2 3 4
25
S =
d
4
x
√
−g
−
1
16πG
R + L(φ, ∂
µ
φ)
,
g g
µν
L
c = 1
δS =
d
4
x
√
−g
−
1
16πG
R
1
√
−g
δ
√
−g
δg
µν
+
δR
δg
µν
+ L
1
√
−g
δ
√
−g
δg
µν
+
δL
δg
µν
δg
µν
.
δR = R
µν
δg
µν
,
δ
√
−g = −
1
2
√
−gg
µν
δg
µν
.
δS =
d
4
x
√
−g
−
1
16πG
R
µν
−
1
2
g
µν
R
+
δL
δg
µν
−
1
2
g
µν
L
δg
µν
.
δS = 0 δg
µν
R
µν
−
1
2
g
µν
R = 8πG
2
δL
δg
µν
− g
µν
L
.
G
µν
= 8πGT
µν
,
G
µν
= R
µν
−
1
2
g
µν
R,
L
T
µν
= 2
∂L
∂g
µν
− g
µν
L.
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