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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA –UFPB
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA –CCEN
COORDENAÇÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA –CPGF
Dissertação de Mestrado
Con…namento Geodésico clássico em espaço produto
distorcido
Lucio Fabio Pereira da Silva
João Pessoa - Paraíba - Brasil
Fevereiro 2008
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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA –UFPB
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA –CCEN
COORDENAÇÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA –CPGF
Con…namento Geodésico clássico em espaço
produto distorcido
Lucio Fabio Pereira da Silva
Dissertação de mestrado apresentada
à Coordenação do Programa de Pós-
graduação em Física da Universidade
Federal da Paraíba(UFPB) como parte
dos requisitos para a obtenção do grau de
Mestre em Física.
Orientador: Dr. Carlos Augusto Romero Filho
João Pessoa - Paraíba - Brasil
Fevereiro de 2008
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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA –UFPB
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA –CCEN
COORDENAÇÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA –CPGF
Con…namento Geodésico clássico em espaço
produto distorcido
Lucio Fabio Pereira da Silva
Banca Examinadora:
Dr. Carlos Augusto Romero Filho
Dr. Jorge Herbert Soares de Lira (UFC)
Dr. Valdir Barbosa Bezerra (UFPB)
Dr. Janilo Santos (Suplente-UFRN)
Dr. Joel Batista da Fonseca Neto (Suplente-UFPB)
João Pessoa - Paraíba - Brasil
Fevereiro de 2008
Conteúdo
Resumo iv
Abstract v
Agradecimentos vi
1 Introdução 1
2 Prolegômenos Matemáticos 7
2.1 Imersões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Variedade-produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Folheações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Variedades semi-riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.1 Conexões a…ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.2 Geodésicas em variedades semi-riemannianas . . . . . . . . . . 29
2.5.3 Curvatura intrínseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.4 Subvariedades semi-riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.5 Conexão induzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.6 A segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.7 Subvariedades totalmente geodésicas . . . . . . . . . . . . . . 41
i
3 Produto de variedades semi-riemannianas 44
3.1 Espaço produto distorcido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Movimento no hiperespaço 51
4.1 Força extra em espaço produto distorcido . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Con…namento do movimento no espaço-tempo tetradimensional . . . 55
4.3 Con…namento via potencial efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4 A análise do movimento geodésico nas proximidades do espaço-tempo
para uma co-dimensão n = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5 Análise qualitativa do movimento na quinta dimensão . . . . . . . . . 61
4.5.1 Movimento geodésico pentadimensional de partículas maciças
nas imediações de uma hipersuperfície tetradimensional . . . . 62
4.6 O movimento de fótons nas proximidades de uma hipersuperfície do
tipo tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.7 Movimento de partículas nas proximidades da subvariedade M
4
com
M = R
n
F
M
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5 Conclusão 73
A Apêndices 76
A.1 Sistemas autônomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
A.1.1 Estabilidade de um sistema autônomo . . . . . . . . . . . . . 77
A.1.2 Classi…cação dos pontos de equilíbrio dos sistemas autônomos
no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
A.2 Sistemas não lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
ii
Lista de Figuras
2.1 Ilustração da de…nição 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Base do espaço tangente em p 2 M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Folheação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Transporte paralelo segundo uma conexão riemanniana . . . . . . . . 27
2.5 Ilustração da segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1 Espaço produto distorcido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1 L = 1 (verde) e L = 0 (vermelho). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 O ponto de equilíbrio E no caso onde f(l
0
) > 0. . . . . . . . . . . . . 64
4.3 As partículas entram e saem inde…nidamente da hipersuperfície (l =
l
0
). Isto dá origem a um mecanismo de quasi-con…namento. . . . . . 65
4.4 Quando f
00
(l
0
) < 0 o ponto de equilíbrio é um ponto de sela. Neste
caso o con…namento é altamente instável. A única exceção correspon-
dende às linhas AE e BE, ao longo das quais partículas são atraídas
de volta para a folha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5 Retrato de fase do movimento de fótons em presença de simetria Z
2
com uma função f(l) monotônica crescente para l 0 e f(l) ! 1
quando l ! 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.6 Retrato de fase correspondente ao caso onde f(l) é um função monotônica
decrescente para l 0. Nessa conjuntura f(l) ! 1 quando l ! 1. 70
A.1 Retratos de fase estáveis típicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
A.2 Retratos de fase instáveis típicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
iii
Resumo
Nesta dissertação nosso objetivo principal é estudar os movimentos geodési-
cos clássicos de partículas-teste com massa de repouso não-nula e fótons em espaço
produto distorcido penta-dimensional. Mostramos que é possível obter um quadro
geral destes movimentos, utilizando o desacoplamento que acontece em tal espaço,
entre os movimentos na quinta dimensão e o movimento nas hiper-superfícies. Este
artifício nos permite utilizar a análise do espaço de fase para investigar o possível
con…namento de partículas e fótons em hiper-superfícies em espaço produto dis-
torcido penta-dimensional. Usando tal análise encontramos uma forma de quasi-
con…namento, o qual é oscilatório e neutramente estável. A importância de um tal
con…namento está no fato de ser puramente devido aos efeitos gravitacionais clás-
sicos, sem a necessidade de mecanismos de con…namento do tipo-brana. A seguir
estendemos este procedimento para estudar os movimentos geodésicos clássicos de
partículas teste de massa de repouso não-nula e fótons no caso mais geral de um
espaço de produto-distorcido com (3 + 1 + n)dimensões. Novamente, uma carac-
terística importante destes espaços é que eles permitem um desacoplamento natural
entre os movimentos no espaço-tempo (3 + 1)dimensional e o movimento nas di-
mensões extras. Usando este desacoplamento mais uma vez e empregando a análise
do espaço de fase, investigamos as condições para que haja con…namento de partícu-
las e fótons para na subvariedade espaço-tempo. Além de prover informação relativa
ao movimento de fótons, mostramos também, que estes movimentos não dependem
do valor da curvatura extrínseca. Obtemos as condições gerais para o con…namento
de geodésicas no caso de uma variedade semi-riemanniana, como também estabele-
cemos as condições para a estabilidade de tal con…namento.
iv
Abstract
In this dissertation our main objective is to study the classical geodesic
motions of nonzero rest mass test particles and photons in …ve-dimensional warped
product spaces. We show that it is possible to obtain a general picture of these mo-
tions, using the natural decoupling that occurs in such spaces between the motions
in the …fth dimension and the motion in the hypersurfaces. This splitting allows
the use of phase space analysis in order to investigate the possible con…nement of
particles and photons to hypersurfaces in …ve-dimensional warped product spaces.
Using such analysis, we …nd a novel form of quasi-con…nement which is oscillatory
and neutrally stable. The importance of such a con…nement is that it is purely due
to the classical gravitational e¤ects, without requiring the presence of brane–type
con…nement mechanisms. We then extend this procedure to study the classical geo-
desic motions of nonzero rest mass test particles and photons in the more general
case of a (3 + 1 + n)dimensional warped product spaces. Again, an important
feature of these spaces is that they allow a natural decoupling between the motions
in the (3 + 1)dimensional spacetime and those in the extra n dimensions. Using
this decoupling once more and employing phase space analysis we investigate the
conditions for con…nement of particles and photons to the (3 + 1) spacetime sub-
manifold. In addition to providing information regarding the motion of photons,
we also show that these motions are not constrained by the value of the extrinsic
curvature. We obtain the general conditions for the con…nement of geodesics in
the case of semi-riemannian manifolds as well as establishing the conditions for the
stability of such con…nement.
v
Agradecimentos
Agradeço a ajuda prestimosa de meu orientador Dr. Carlos Romero pela
paciência e atenção com que sempre me acolheu.
Agradeço aos Professores da Pós-graduação em Física da UFPB pela valiosa
aprendizagem que tive.
Ao Dr. Edgar Madriz pela oportunidade de colaboração em outros trabalhos
e por sua amizade.
Aos meus amigos Ferdinand, Denis, Márcio Fablício, Jansen e Marco Au-
relho agradeço a força os conselhos, ajudas, auxílios e incentivos.
Aos amigos Thiago Caramês e Weliton pelas valiosas correções e sugestões
a esse trabalho.
vi
Introdução 1
Capítulo 1
Introdução
Não se devem admitir mais causas às coisas da natureza que aquelas que
forem tanto verdadeiras quanto su…cientes para explicar sua aparência.
(Sir Isaac Newton. Princípios Matemáticos da Filoso…a Natural)
Certas partes da física teórica alcançaram um patamar dedutivo que pos-
sibilita uma cadeia lógica de argumentos, que partem de determinadas premissas
aceitas, até conseqüências aparentemente muito remotas e abstratas, mediante de-
duções puramente matemáticas. Isto comparece principalmente no que diz respeito a
relatividade geral, a qual, preceitua que a gravitação é uma manifestação da própria
estrutura geométrica do espaço-tempo. Com essa teoria Einstein[2] inaugurou uma
importante revolução no pensamento cientí…co de sua época. Logo, um novo e am-
bicioso paradigma reverberou nas denodadas mentes de físicos e matemáticos, que
não tardaram a suscitar a seguinte questão: Será possível geometrizar as demais
interações da matéria? Isto é, serão as outras forças fundamentais da natureza
conseqüências de certa estrutura geométrica existente em nosso universo? Concita-
dos pela "perfeição estética" proporcionada pela geometrodinâmica
1
, alguns teóri-
1
A geometrodinâmica remete às idéias de Cli¤ord que, em 1870, em uma conferência na Cam-
bridge Philosophical Society, intitulada Sobre a teoria espacial da matéria, a…rmou que: "pequenas
porções do espaço são análogas às colinas numa superfície predominantemente plana(...) e esta
propriedade de curvatura ou distorção se transmite permanentemente de uma porção do espaço à
outra na maneira das ondas. A variação da curvatura do espaço é o que realmente acontece quando
se dá o fenômeno a que chamamos movimento da matéria. No mundo físico nada mais existe para
Introdução 2
cos acometeram-se de outra pretensão ainda mais altiva, essa por sua vez, viria a
ser denominada teoria geométrica do tudo. Nessa ousada teoria, a matéria tam-
bém manifestar-se-ia da geometria do espaço-tempo. Frente a esse desa…o, muitas
foram as correntes teóricas que se destacaram em busca de tal teoria, diversas
idéias ergueram-se até entusiasticamente, mas logo entibiaram-se perante as im-
placáveis obstâncias próprias a conciliações coerentes das teorias que descrevem as
interações da natureza. Contudo, uma classe distinta de teorias proporciona impor-
tantes avanços na direção da uni…cação. Nessas teorias subsome-se a existência de
dimensões extras como alternativa para obter a uni…cação.
Em verdade, a estrutura do cosmo pode ser em sua forma "absoluta",
dramaticamente dessemelhante a qualquer abstração que possamos imaginar. Ne-
nhuma teoria física conhecida delibera que haja somente três dimensões espaciais.
Então, é razoável que uma ilação cienti…ca conduzida com devida cautela, possa
constituir um caminho valido para elucidar essa questão, desde que, antes de qual-
quer coisa, reconheçamos as dimensões extras como hipótese e não como certeza, no
mais, segue-se na maneira usual do método cienti…co.
Façamos aqui, alguns reconhecimentos de méritos. Em 1909, H. Minkowski[2]
indicou, que um considerável ganho em elegância e praticidade na relatividade espe-
cial externa-se quando consideramos o tempo uma dimensão adicional, substituindo
assim o conceito de espaço newtoniano por um novo conceito: o de espaço-tempo.
Ressaltemos uma de suas frases:
[...], por que há de o matemático perturbar-se com a abstração um pouco
maior proveniente de o número de eixos passar a quatro?
O fato é que, já se fazia 55 anos que a forma de pensar dos matemáticos havia
se modi…cado peremptoriamente. O autor dessa proeza foi o perspicaz matemático
alemão Bernhard Riemann, sucessor de Carl Gauss na Universidade de Göttingen.
Riemann[3] havia não só estendido a geometria diferencial de Gauss para espaços
com dimensões maiores, como também generalizado as geometrias não-euclidianas.
A genial idéia de Minkowski revelou-se fundamental para outras teorias, sobretudo
além de tal variação"[1].
Mais tarde essas idéias viriam a ser defendidas por Einstein, John Wheeler e outros.
Introdução 3
para a teoria da relatividade geral, originando um novo tipo de geometria, na qual
a "distância" entre dois pontos não é mais de…nidamente positiva.
Na relatividade geral proposta por Albert Einstein, a geometria passa a ser
lorentziana e a gravitação entre os corpos deixa de ser concebida como uma "força
física", passando a ser considerada como uma propriedade geométrica do espaço-
tempo.
O enredo das dimensões extras na Física avançou sob o ânimo de Gunnar
Nordström em seu trabalho publicado em 1914[4], com a intenção de uni…car a
gravitação e o eletromagnetismo. Nordström propôs a existência de uma dimensão
extra espacial; todavia ele não foi afortunado em sua tentativa, provavelmente por
estar a lidar com uma teoria escalar de gravitação[5] "defeituosa", a saber, a teoria
de gravitação de Mie. A "falha" de Nordström, não comprometeu, cinco anos mais
tarde, a teoria de Kaluza[6] (que, decerto, possuía o mesmo …m, isto é, a uni…cação da
gravitação e o eletromagnetismo), tendo em vista que essa teoria já estava alicerçada
nas equações de Einstein, aliadas ao postulado da existência de uma dimensão extra
do tipo espaço, munida de uma condição cilíndrica. Evidentemente, uma condição
desta natureza se reveste de um caráter ad hoc, o que acabou por torná-la menos
"aprazível" aos espíritos mais rigorosos da época.
Em 1926, Oskar Klein introduziu vários aperfeiçoamentos na teoria de Kaluza[7],
declarando que a quinta dimensão estava enrolada sobre si mesma. Na terminologia
matemática diz-se que essas dimensões são compactas. Reside aí a gênese da teoria
de Kaluza-Klein.
A teoria original de Kaluza-Klein serviu de modelo para novas tentativas
de uni…cação[8] ainda mais ousadas, que visavam incorporar as demais interações
da Natureza, a saber, a interação nuclear forte e a interação nuclear fraca. Uma
dessas tentativas, chamada de teoria da Supergravidade[9], propõe uma extensão da
relatividade geral para onze dimensões
2
; contudo, esta teoria revelou-se insatisfatória
por uma série de di…culdades matemáticas[9].
Sucederam-se, então, outras propostas de uni…cação. Em 1968, o físico
Gabriele Veneziano implementou uma teoria, a qual foi denominada teoria das su-
2
Uma versão posterior da supergravidade diminuiu o número de dimensões de onze para dez.
Introdução 4
percordas, admitindo que a estrutura topológica do universo está repleta de minús-
culos objetos (da ordem do comprimento de Planck(10
33
cm)) chamados de cordas,
cujos diferentes modos de vibração estão associados aos vários números quânticos
que caracterizam as partículas elementares. Esta era uma teoria de…nida em 26
dimensões.
Em 1984 os físicos John Schwarz e Michael Green[10] produziram os primeiros
resultados convincentes de que a teoria de supercordas poderia ser a solução para o
problema da uni…cação, além de contemplar uma teoria quântica da gravitação[11].
No entanto, a teoria de supercordas necessita de um número de onze dimensões para
o espaço-tempo, além de existirem, pelo menos, cinco formulações diferentes[12].
Em 1995, Eduard Witten mostrou que é possível considerar as diversas
formulações da teoria de supercordas como aspectos diferentes de uma teoria sub-
jacente ainda mais fundamental, e que tamb ém postula um espaço-tempo de onze
dimensões. Nessa teoria, os objetos dinâmicos são chamados de d-branas[13], das
quais as cordas são casos particulares. Witten chamou essa teoria de Teoria M (o
"M" vem de "membrana")[12].
Uma das questões suscitadas pelas teorias de uni…cação diz respeito à razão
da interação gravitacional ser tão fraca em relação às outras três. Esta questão
fundamental …cou conhecida como o problema da hierarquia. Uma alternativa inte-
ressante para resolver essa questão, adveio de se procurarem as relações entre a inten-
sidade da força gravitacional e as intensidades das demais forças, levando em conta
as dimensões extras compactas, de tal modo que a "constante gravitacional" deve-
ria levar em conta estas dimensões. Essa teoria foi proposta por Arkani-Hammed,
Dimopoulos e Dvali[15] no …nal do século XX, e recebeu o nome de braneworld (
mundo-brana), que por sua vez, advoga que tanto a matéria como as forças não-
gravitacionais estão con…nadas no espaço-tempo tetradimensional, enquanto a força
gravitacional pode se propagar através de um espaço de dimensão superior conhecido
na literatura como bulk[12]; isto signi…ca que a gravitação é peculiarmente diferente
das demais interações.
Outra possibilidade é que as dimensões extras, em vez de estarem limitadas
por uma segunda brana, sejam in…nitas, como no Modelo de Randall-Sundrum,
Introdução 5
proposto no …nal do século XX por Lisa Randall, da Universidade de Princeton e
Raman Sundrum, da Universidade de Boston [16], [17]. Essa teoria alvitra que nosso
universo é uma hipersuperfície tetradimensional imersa em um espaço-tempo maior,
de cinco dimensões (bulk). Aparentemente promissor, o modelo de Randall-Sundrum
surgiu como alternativa, envolvendo uma única dimensão extra, que também pre-
tende resolver o problema de hierarquia[12]. Neste modelo a constante cosmológica
pentadimensional impede que a gravitação se propague livremente nas dimensões
extras.
No início dos anos 90 uma nova versão não-compacta da teoria de Kaluza-
Klein foi sugerida pelo físico inglês Paul Wesson, da Universidade de Waterloo,
no Canadá e colaboradores. No cenário proposto por Wesson, chamado teoria
Espaço-Tempo-Matéria(STM), matéria e campo gravitacional estão uni…cados
na geometria do hiperespaço. Em outras palavras, essa teoria explica as propriedades
e a existência da matéria em nosso mundo-brana a partir de um aparente vazio
pentadimensional[12]; daí, a teoria ser freqüentemente referida na literatura como
teoria da matéria induzida[18], [12].
A teoria de Wesson e o modelo de Randall-Sundrum são exemplos do que
se convencionou chamar na literatura de teorias de imersão. Com efeito, para que
estas teorias sejam consistentes, se faz necessário que estejam ex leges, isto é, que se
garanta a observância dos teoremas de imersão[12]. A teoria de Wesson assenta-se
sobre o Teorema de Campb ell-Magaard [20],[19]. Este, por sua vez, não se aplica ao
modelo de Randall-Sundrum. Para prosseguir com teorias de imersão mais gerais
que a de Wesson, o teorema de Campbell não seria mais satisfatório, seria necessário
generalizá-lo. Sucedeu-se então sua generalização por C. Romero e F. Dahia [21],[12].
Uma peculiaridade inerente às teorias de Wesson e ao modelo de Randall-
Sundrum, é que a dinâmica das partículas no espaço pentadimensional leva ao surgi-
mento de uma "aceleração anômala" no espaço-tempo tetradimensional, geralmente
denominada quinta força ou força extra [23],[24].
As implementações do modelo de Randall-Sundrum [16][17] no mundo-
brana[30], como também, na procura para soluções de supergravidade[31], costuma-
se fazer uso do warped product space (WPS)-o espaço produto distorcido(EPD). O
Introdução 6
conceito de um espaço produto distorcido foi introduzido por Bishop e O’Neill[25]. A
vinculação com a relatividade geral foi feita primeiro por Beem, Ehrich, e Powell,[26],[27]
que chamaram atenção para o fato de várias soluções das equações de campo de Ein-
stein serem EPD semi-riemannianas. Em [28] Beem e Ehrich …zeram importantes
avanços explorando este tipo de estrutura. Em [29] O’Neill levou esta linha de de-
senvolvimento a uma conclusão natural, elevando o EPD a um papel central. Ao
longo desses anos, esse tipo especial de variedade diferenciável vem despertando um
considerável interesse na literatura da Matemática e da Física.
Prolegômenos Matemáticos 7
Capítulo 2
Prolegômenos Matemáticos
A glória da geometria é que desses poucos princípios, oriundos de fora,
seja capaz de produzir tantas coisas. Portanto, a geometria baseia-se
na prática mecânica, e nada mais é do que aquela parte da mecânica
universal que propõe com rigor a arte de medir.
(Sir Isaac Newton, Princípios Matemáticos da Filoso…a Natural)
O objetivo destes prolegômenos é fornecer a base matemática necessária
para que o leitor possa compreender o conceito de espaço produto distorcido. Com
este …m, serão introduzidos os conceitos de variedade diferenciável, subvariedades,
folheações, conexão e geodésica, bem como as de…nições dos tensores de torção e
curvatura. A partir daí, será, então, considerada uma métrica e mostrar-se-á que a
mesma induz de forma única uma conexão a ela compatível. O conceito de segunda
forma fundamental também merecerá uma certa atenção, posto que em termos dele
é enunciado o teorema da totalidade geodésica de uma subvariedade. Este, por sua
vez, será aqui analisado para um espaço produto distorcido lorentziano.
Podemos dizer que o conceito de variedade diferenciável é sine qua non
1
para estender os métodos do cálculo diferencial a espaços mais gerais que o R
n
. Este
conceito surge para generalizar o conceito de superfície diferenciável e apresenta-se
como a designação matematicamente precisa da palavra "espaço "[32]. Essa copiosa
abrangência o aloca distintamente entre os mais importantes conceitos da geometria.
1
Sem a qual não (Indispensável).
Prolegômenos Matemáticos 8
Em conseqüência de uma consideração inerente ao caráter de nossos conheci-
mentos da natureza, de fato, é indissolúvel a concatenação entre a física e geometria,
esta primeira, apresenta-se como a ciência das relações contingentes
2
da natureza,
a segunda, por sua vez, exprime os conectivos destas relações. Em verdade, a im-
portância da geometria diferencial para a física teórica reside na possibilidade de
estabelecer sistemas de correlação uniformes, nos termos dos quais, as relações con-
tingentes dos fatores das teorias físicas possam ser expressas. Isso permite encontrar
estruturas básicas semelhantes em áreas muito distintas da física.
Na intenção de encontrar as equações que determinam a dinâmica de um
dado fenômeno físico, como também, na busca das condições su…cientes, se não
necessárias, para garantir que os enunciados das teorias tenham signi…cado inde-
pendente do sistema de coordenadas, acaba-se por estatuir uma relação dicotômica
substancial entre a geometria e a dinâmica que se queira analisar. E na maneira
usual de se proceder, primeiramente decide-se …xar a geometria e, em conseqüên-
cia dessa escolha, o tipo de dinâmica que ela comporta. Por outro lado, também
poder-se-ia partir de certos conceitos dinâmicos e veri…car, com isto, se a geometria
poderá ser determinada. De qualquer maneira, esta adjunção de dinâmica e geome-
tria exige sobretudo que a natureza da estrutura geométrica do sistema físico a ser
descrito, tenha que ser postulada a priori. De um modo ou de outro, claro está, que
essa estrutura geométrica deverá ser su…cientemente abastada para que assim possa
albergar a dinâmica em questão. Neste contexto, decorre que a geometrização de
um dado fenômeno implica, prima facie
3
, propor uma estrutura diferenciável a uma
variedade.
Se faz conveniente, aqui, inserir as principais terminologias e propriedades
admitidas neste estudo. No intuito de assegurar uma melhor contextualização em-
preenderemos neste capítulo uma conceitualização "formal" das noções básicas de
geometria diferencial, mas, assumimos a despretensão de esgotar aqui esse assunto,
podendo o leitor ávido por mais detalhes encontrar formidáveis asserções em [32],[33].
2
Diz-se das coisas e dos acontecimentos que se concebem, sob qualquer um dos aspectos da sua
existência, como podendo ser ou não ser, não trazendo em si a razão da sua existência.
3
À primeira vista.
Prolegômenos Matemáticos 9
Em nosso primeiro contato, desejamos introduzir as noções básicas da geome-
tria em variedades diferenciáveis, estas por sua vez hão de nortear às que posterior-
mente se …zerem necessárias ao escopo da nossa ab ordagem. É importante ressaltar,
que em todo esse trabalho, as variedades diferenciáveis consideradas sempre serão
supostas como Hausdor¤ e com base enumerável. "Diferenciável" signi…cará "de
classe C
1
", e quando …zermos M
n
= M para indicar uma variedade diferenciável, n
indicará a dimensão de M. Utilizaremos também a convenção de Einstein, que im-
plica na omissão do somatório, quando um índice é repetido duas vezes num mesmo
termo de uma equação, entende-se que há uma somatória em todos os valores desses
índices.
De…nição 1 Uma variedade diferenciável n-dimensional é um conjunto M munido
de uma família f(U
; '
)g tal que:
1. Cada '
: U
R
n
! M é um mapeamento injetor de abertos U
de R
n
em
M, e denominado uma parametrização de M.
2.
[
'
(U
) = M.
3. Se W = '
(U
) \ '
(U
) 6= ;, a aplicação '
1
'
é um difeomor…smo
4
entre
os abertos '
1
(W ) e '
1
(W ), contidos em R
n
.
4. A família A = f(U
; '
)g é denominada atlas de M e deve ser maximal em
relação às condições anteriores.
O atlas f(U
; '
)g tamb ém denominado estrutura diferenciável, induz de
forma natural uma topologia em M, de…nindo-se que W M é aberto se '
1
(W \
'
(U) R
n
é aberto para todo 2 f0; 1; :::; ng. De fato, segue de (1) que M e ;
são abertos. As condições relativas à união e à interseção …nita de abertos decorrem
das relações
'
1
(
[
U
) =
[
'
1
(U
);
4
Função diferenciável com inversa diferenciável
Prolegômenos Matemáticos 10
'
1
(
\
U
) =
\
'
1
(U
);
Figura 2.1: Ilustração da de…nição 1
A idéia por trás do conceito de variedade diferenciável é a de um espaço que
pode ser curvo e possuir topologias complicadas, mas que localmente se assemelha ao
R
n
. Dessa forma, as condições (1)-(3) da De…nição 1 garantem que toda variedade
pode ser mapeada mediante cartas (U
; '
), desde que cartas distintas p ossam ser
transformadas uma na outra quando sobrepostas. O propósito da condição (4)
é evitar que dois espaços equivalentes, munidos de atlas diferentes, …gurem como
variedades distintas.
De agora em diante, quando nos referirmos a uma n-variedade diferenciável,
o faremos indicando por M
n
, o índice n indicando a dimensão de M.
Agora faz-se necessário estender a noção de diferenciabilidade às aplicações
entre variedades.
De…nição 2 Sejam M
n
e B
m
variedades diferenciáveis. Uma aplicação f : M ! B
é dita diferenciável em p 2 M se dada uma carta '
: U
R
m
! N em f(p)
existe uma outra carta
: U
R
n
! M em p tal que f(
(U
)) '
(U
),
Prolegômenos Matemáticos 11
aplicação '
1
f
: U R
n
! R
m
é diferenciável em
1
(p). A aplicação f é
diferenciável em um aberto de M se é diferenciável em todos os pontos desse aberto.
De…nição 3 Sejam M e B duas variedades diferenciáveis e : M ! B uma
aplicação bijetora. Diz-se que é um difeomor…smo entre M e B se e
1
são
diferenciáveis.
Assim, notemos que a de…nição de variedade diferenciável é dada de forma
a independer da escolha de coordenadas locais particulares. Esse caráter inexorável,
imprime uma vigorosa abrangência a este formalismo. Com efeito, comparece aqui
o conceito de covariância geral ou, mais simpli…cadamente, podemos dizer que as
leis da física, uma vez expressas neste formalismo, hão de se fazer imutáveis sob o
juízo de observadores diversos.
A diferenciabilidade de uma variedade dota-a de uma estrutura su…ciente-
mente fértil para podermos de…nir um grande número de objetos geométricos como:
curvas, funções, vetores tangentes, campos, tensores, etc.
De…nição 4 Sejam p 2 M e f : M ! R função diferenciável de…nida em M,
com D(M) sendo o conjunto de todas as funções diferenciáveis de M em R . O
vetor tangente a M no ponto p é uma aplicação v : D(M) ! R, tal que
Condição de linearidade: v(af + bg) = av(f) + bv(g),
Regra de Leibniz: v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g) para a; b 2 R e f; g 2 D(M).
De…nição 5 Sendo M uma variedade diferenciável, então uma aplicação c : t 2
I
= ]; [ ! M é chamada de curva. Dizemos que a curva c é diferenciável em
0 2 I
se existir uma carta local (U; ') de M em torno de p = c(0) tal que a curva
c
'
(t) = '
1
c : I
! R
m
seja diferenciável na origem. O vetor tangente à curva
c em t = 0 é a função c
0
(0) : D(M) ! R dada por
c
0
(0)f =
d(f c)
dt
j
t=0
,f 2 D(M):
Um vetor tangente em p é o vetor tangente em t = 0 de alguma curva c : ]; [ !
M com p = c(0). O conjunto dos vetores tangentes a M em p será indicado por
T
p
M.
Prolegômenos Matemáticos 12
Se escolhermos um sistema de coordenadas locais '
:U
! M
n
em p =
'
(0), podemos exprimir a função f e a curva c nesta parametrização por
f '
(q) = f(x
1
; :::; x
n
); q = (x
1
; :::; x
n
) 2 U
;
e
'
1
c(t) = (x
1
(t); :::; x
n
(t));
respectivamente. Portanto, restringimos f a c. Obtemos
c
0
(0) =
d(f c)
dt
j
t=0
=
d
dt
f(x
1
(t); :::; x
n
(t)) j
t=0
= (2.1)
=
n
X
i=1
_x
i
(0)
@f
@x
i
=
n
X
i=1
_x
i
(0)
@
@x
i
0
!
f:
É possível mostrar que o conceito de tangência entre curvas não depende
da carta local escolhida, e ainda, que a noção de tangência entre curvas de…ne uma
relação de equivalência. No entanto, por ora, nos basta a de…nição acima[33].
M
i
x
∂
∂
j
x
∂
∂
i
x
j
x
n
R
ϕ
p
Figura 2.2: Base do espaço tangente em p 2 M.
De…nição 6 Seja M uma variedade diferenciável e T
p
(M) o espaço tangente em
p 2 M. O conjunto T M = f(p; v); p 2 M; v 2 T
p
(M))g denomina-se …brado
tangente de M.
Prolegômenos Matemáticos 13
Este é o espaço de con…gurações no qual trabalhamos em mecânica analitica.
Uma aplicação diferenciável entre duas variedades induz uma transformação
linear entre os espaços tangentes respectivos:
De…nição 7 Seja : M ! N uma aplicação diferenciável. Denominamos diferen-
cial de em p 2 M à transformação linear d
p
: T
p
M ! T
(p)
N de…nida por:
d
p
(v)(f) v(f );
onde f : M ! R é qualquer função diferenciável de…nida numa vizinhança de p.
Se (U; x
1
; :::; x
n
) é um sistema de coordenadas em p e (V; y
1
; :::; y
m
) é um
sistema de coordenadas em (p), obtemos d
p
@
@x
i
j
p
=
m
P
j=1
@(y
j
)
@x
i
j
p
@
@y
j
(p)
. À
matriz das derivadas parciais
@(y
j
)
@x
i
chamamos matriz jacobiana da transformação
em relação aos sistemas de coordenadas escolhidos.
Uma classe de entidades geométricas importantes de…nidas em M é a dos
campos vetoriais. Este conceito está implicitamente ligado à diferenciabilidade de
M, sendo, um campo vetorial um operador diferencial. Podemos assim usar este
fato para de…nir um campo vetorial de um modo independente das coordenadas.
De…nição 8 Um campo vetorial X em uma variedade diferenciável M é uma
aplicação do tipo
p 2 M 7! X
p
2 T
p
M:
Um campo vetorial X atua nas funções D(M) da seguinte maneira: (Xf)(p) = X
p
f.
Dizemos que X é diferenciável se Xf 2 D(M) para todo f 2 D(M ). Denotaremos
por $(M) o espaço dos campos vetoriais diferenciáveis em M. Cada campo vetorial
é uma aplicação Rlinear de D(M) em D(M), isto é:
X(fg) = gXf + f Xg:
Inversamente, toda aplicação com esta propriedade é um campo vetorial diferen-
ciável. Denotemos por $(M) o conjunto dos campos vetoriais diferenciáveis em M.
De certo pode-se escrever em um dado sistema de coordenadas locais
X(p) =
n
X
i=1
X
i
(p)
@
@x
i
(2.2)
Prolegômenos Matemáticos 14
onde cada a
i
: U ! R é uma função em U e
@
@x
i
é a base associada a '
,
i = 1; :::; n.
Lema 1 Dados dois campos vetoriais X e Y em M, existe um único campo de
vetores de M, denotado por [X; Y ] e chamado colchete, tal que para todo f 2 D(M)
temos [X; Y ] f = X(Y f) Y (Xf).
Prova. Basta determinar uma (única) expressão local de um campo com
esta propriedade. De fato, se X =
P
i
X
i
@
@x
i
e Y =
P
j
Y
j
@
@x
j
são expressões locais de
X e Y num sistema de co ordenadas (U; ') de M, temos:
X(Y f ) = X
X
j
Y
j
@f
@x
j
!
=
X
ij
X
i
@Y
j
@x
i
@f
@x
j
+
X
ij
@
2
f
@x
i
@x
j
: (2.3)
Por outro lado,
Y (Xf ) = Y
X
i
X
i
@f
@x
i
!
=
X
ij
Y
j
@X
i
@x
j
@f
@x
j
+
X
@
2
f
@x
i
@x
j
.
Portanto,
[X; Y ] =
X
i
@Y
j
@x
i
Y
i
@X
j
@x
i
@
@x
j
(2.4)
de…ne um campo sobre M:
De…nição 9 Seja M uma variedade diferenciável e p 2 M. O espaço T
p
M denomina-
se espaço tangente a M em p. O dual T
p
M é denominado espaço cotangente a M
em p e seus elementos são chamados de 1-formas.
Teorema 1 Seja M uma variedade n-dimensional. Os conjuntos
@
@x
i
: i = 1; :::; n
(via isomor…smo) e fdx
j
: j = 1; :::; ng são bases duais para T
p
M e T
p
M, respecti-
vamente, denominadas bases locais de coordenadas( ou canônicas).
Prova. Da De…nição 4 decorre que o conjunto
@
@x
i
: i = 1; :::; n
é base
para T
p
M. Seja agora df 2 T
p
M. De…nido por
df(v) = vf
2 R Como a dimensão de T
p
M é …nita, a a…rmação de que o conjunto fdx
j
: j = 1; :::; ng
é uma base de T
p
M decorre da equação (2.1), fazendo-se f = x
j
e v =
@
@x
i
.
O dual T
p
M é denominado espaço cotangente a M em p e seus elementos
são denominados 1-formas. Decorre, também, daí que:
Prolegômenos Matemáticos 15
Teorema 2 Seja M uma variedade diferenciável. Existe, associada a cada ponto
p 2 M, uma única álgebra linear, gerada pelos espaços T
p
M e T
p
M.
Prova. A existência e unicidade de uma álgebra gerada por um espaço
linear é demonstrada de forma construtiva no Capítulo 4 da referência [38]. A
álgebra assinalada acima denomina-se álgebra tensorial e cada elemento seu, de grau
(r; s), denominado tensor de ordem (r; s), corresponde a uma aplicação multilinear
T : T
p
M ::: T
p
M
|
{z }
r
T
p
M ::: T
p
M
| {z }
s
! R: (2.5)
O Conjunto dos tensores de ordem (r; s) será denotado por T
r
s
(M). Dados
os tensores T 2 T
r
s
(M) e S 2 T
p
q
(M), o produto de T por S na álgebra tensorial,
denominado produto tensorial, é o tensor T S 2 T
r+p
s+q
(M) dado por
T S(w
1
; :::; w
r
; :::; w
r+p
; X
1
; :::; X
s
; :::; X
s+q
) =
= T (w
1
; :::; w
r
; X
1
; :::; X
s
)S(w
r+1
; :::; w
r+p
; X
s+1
; :::; X
s+q
);
onde w
i
2 T
p
M
; i = 1; :::; r + p; e X
j
2 T
p
M; j = 1; :::; s + q:
Teorema 3 O conjunto dos elementos de grau (r; s) constitui um espaço linear de
dimensão n
r+s
, cuja base é dada por elementos da forma e
i
1
:::e
i
r
e
j
1
:::e
j
s
,
onde fe
i
k
: i
k
= 1; :::; ng é base de T
p
M e fe
j
l
: j
l
= 1; :::; ng é base de T
p
M
. Em
particular, D T
0
0
(M), T
p
M T
1
0
(M) e T
p
M
T
0
1
(M).
Decorre da de…nição de variedade que todos os tensores estão de…nidos a
menos de mudança de coordenadas, ou seja, difeomor…smos que transformam as
componentes quando a base coordenada de T
r
s
(M) muda.
O teorema acima garante que tensores são objetos pontuais, mas todo tensor
pode ser estendido a uma vizinhança de um ponto. Com efeito, é conseqüência da
topologia induzida pelas cartas que toda variedade é localmente conexa, pois
sempre existe uma vizinhança aberta em p 2 M homeomorfa a um aberto do R
n
.
Prolegômenos Matemáticos 16
2.1 Imersões
As propriedades da diferencial de uma aplicação entre variedades carac-
terizam os predicados locais da aplicação. A seguinte de…nição distingue os tipos
principais de aplicações diferenciáveis:
De…nição 10 Seja : M
1
! M
2
uma aplicação diferenciável.
(a) diz-se uma imersão se d
p
: T
p
M
1
! T
(p)
M
2
é injetiva, para todo o
p 2 M
1
;
(b) se é uma imersão e além disso, é um homeomor…smo sobre (M
1
) M
2
,
onde (M
1
) tem a topologia induzida por M
2
, diz-se que é um mergulho.
(c) diz-se uma submersão se d
p
: T
p
M
1
! T
(p)
M
2
é sobrejetiva, para todo
o p 2 M
1
;
(d) diz-se um étale
5
se d
p
: T
p
M
1
! T
(p)
M
2
é um isomor…smo para todo
o p 2 M
1
.
As imersões, submersões e étales possuem formas canônicas locais. Todas
elas são casos particulares de um teorema geral denominado teorema do posto.
O posto de uma transformação linear T entre dois espaços vetoriais A e B é a
dimensão de sua imagem, isto é, o número máximo de vetores de sua base, ou,
equivalentemente, o número máximo de colunas linearmente independentes de uma
matriz dessa transformação T . Enunciaremos agora o teorema do posto:
Teorema 4 Seja : M
1
! M
2
uma aplicação diferenciável e p 2 M
1
. Se a
aplicação d
p
: T
p
M
1
! T
(p)
M
2
tem posto constante r, para todo o ponto q na
vizinhaça de p, então existem coordenadas locais (U; ) = (U; x
1
; :::; x
n
) centradas
em p e coordenadas locais (V;
) = (V; y
1
; :::; y
m
) centradas em (p), tais que:
1
(x
1
; :::; x
n
) = (x
1
; :::; x
r
; 0; :::; 0):
Aqui omitiremos a prova deste teorema, para não onerar desnecessariamente
nossa exposição. Para maiores esclarecimentos consultar [34].
5
Visto que uma etale não e mais que uma aplicação que é, simultaneamente, uma imersão e
uma submersão, basicamente uma etale é a mesma coisa que um difeomor…smo local.
Prolegômenos Matemáticos 17
2.2 Subvariedades
De…nição 11 Sendo : M
n
!
M
n+m
uma imersão. Então, para cada p 2 M,
existe uma vizinhança U M de p tal que (U)
M é uma subvariedade de M.
De…nição 12 Sendo :
M
n+m
! M
n
uma submersão. Então para todo p 2 M, a
…bra
1
(p) =
p
é uma subvariedade de
M e um vetor tangente de
M a alguma
p
, p 2 M, é chamado vetor vertical da submersão.
Para simpli…car a notação, quando nos referirmos a subvariedade o faremos
identi…cando U com (U) e cada vetor v 2 T
p
M, q 2 U, com d
q
(v) 2 T
(q)
M.
2.3 Variedade-pro duto
Em primeira instância, trataremos aqui de saber, se o produto cartesiano de
duas ou mais variedades diferenciáveis é, por sua vez, uma variedade diferenciável.
Iniciemos por analisar a seguinte proposição:
Proposição 1 Sejam M
1
e M
2
duas variedades diferenciáveis, e A = f(U
; '
)g e
B = f(V
;
)g seus respectivos atlas. Temos que M
1
M
2
é uma variedade, com
atlas dado por A B = f(U
V
; '
)g
Tal resultado decorre imediatamente do fato do produto cartesiano de con-
juntos abertos de um espaço euclidiano ser um conjunto aberto, e do produto
cartesiano de aplicações diferenciáveis ser diferenciável. Com efeito, chamemos por
variedade-produto a variedade resultante do produto de uma ou mais variedades,
atendendo é claro, ao enunciado da proposição acima.
Utilizando um sistema de coordenadas produto em (p; q) 2 M
1
M
2
com
p 2 M
1
e q 2 M
2
não é difícil conferir que:
(a) As projeções naturais:
: M
1
M
2
! M
1
enviando (p; q) para p,
: M
1
M
2
! M
2
enviando (p; q) para q;
Prolegômenos Matemáticos 18
são submersões.
(b) Para cada (p; q) 2 M
1
M
2
…xo, as folhas
M
1
q = f(r; q) 2 M
1
M
2
: r 2 M
1
g, folha vertical,
p M
2
= f(p; b) 2 M
1
M
2
: b 2 M
2
g, folha horizontal,
são subvariedade de M
1
M
2
.
(c) Para cada (p; q)
j(M
1
q) é um difeomor…smo de M
1
q em M
1
.
j(p M
2
) é um difeomor…smo de p M
2
em M
2
Os espaços tangentes
T
(p;q)
M
1
T
(p;q)
(M
1
q) e T
(p;q)
M
2
T
(p;q)
(p M
2
)
são subespaços do espaço tangente de M
1
M
2
em (p; q).
Lema 2 T
(p;q)
(M
1
M
2
) é a soma direta dos subespaços T
(p;q)
M
1
e T
(p;q)
M
2
. Isso
quer dizer, que cada elemento z de T
(p;q)
(M
1
M
2
) tem uma expressão única, tal
que:
z = u + v onde u 2 T
(p;q)
M
1
e v 2 T
(p;q)
M
1
:
Prova. Como jp M
2
é constante, d
(p;q)
: T
(p;q)
M
2
! T
p
(M
1
) é uma
aplicação nula. Entretanto, d
(p;q)
: T
(p;q)
(M
1
) é um isomor…smo de T
(p;q)
M
1
em
T
p
(M
1
). Assim T
(p;q)
(M
1
)\ T
(p;q)
(M
2
) = ?. O resultado segue então como T
(p;q)
(M
1
)
de dimensão m e T
(p;q)
(M
2
) de dimensão n são subespaços de T
(p;q)
(M
1
M
2
) de
dimensão m + n, então:
T
(p;q)
(M
1
M
2
) = T
p
M
1
T
q
M
2
.
De…nição 13 Se f 2 D(M
1
), o levantamento de f para M
1
M
2
é:
~
f = f 2 D(M
1
M
2
).
Prolegômenos Matemáticos 19
De…nição 14 Se v 2 T
p
M
1
e q 2 M
2
, então a levantamento ~v de v em p para (p; q)
é o único vetor em T
(p;q)
M
1
tal que
d(~v) = v.
De…nição 15 Se X 2 $(M
1
) a levantamento de X para $(M
1
M
2
) é o campo
vetorial
~
X denominado levantamento vertical de X, cujo valor em cada (p; q) é o
levantamento de X
p
para (p; q). Assim o levantamento de X 2 $(M
1
) para M
1
M
2
é o único elemento de $(M
1
M
2
) que se relaciona com X e se relaciona
com o campo vetorial nulo em M
2
.
De…nição 16 Se V 2 $(M
2
) a levantamento de V para M
1
M
2
é o campo vetorial
~
V denominado levantamento horizonatal de V , cujo valor em cada (p; q) é o
levantamento de V
q
para (p; q). Assim o levantamento de V 2 $(M
2
) para M
1
M
2
é o único elemento de $(M
1
M
2
) que se relaciona com V e se relaciona com
o campo vetorial nulo em M
1
.
Denominaremos por L(M
1
) o conjunto dos levantamentos horizontais e por
L(M
2
) o conjunto dos levantamento verticais.
Corolário 1 1. Se
~
X;
~
Y 2 L(M
1
), então, [
~
X;
~
Y ] =
^
[X; Y ] 2 L(M
1
), e similar-
mente para L(M
2
).
2. Se
~
X 2 L(M
1
) e
~
V 2 L(M
2
), o [
~
X;
~
V ] = [X; V ] = 0.
Prova. (1) Decorre diretamente da linearidade da operação levantamento
(~).(2) Pode ser facilmente demonstrada usando-se uma base coordenada.
Mais adiante mostraremos outras propriedades importantes desse tipo es-
pecial de variedade.
2.4 Folheações
A ideia intuitiva de folheação corresponde à decomposição de uma variedade
numa união de subvariedades conexas, disjuntas, de mesma dimensão chamadas
folhas, as quais se acumulam localmente como as folhas de um livro.
Prolegômenos Matemáticos 20
De…nição 17 A familia z = fL
: 2 I 2 R de subconjuntos conexos de uma
variedade M
n
é uma folheação de dimensão k se:
S
L
= M
n
,
6= =) L
T
L
= ;,
para qualquer ponto p 2 M existe um sistema de coordenadas local (U
p
; '
p
), tal
que p 2 U
p
e '(U
p
)
T
L
6= ;, para algum L
, de tal forma que '
1
(U
p
\ L
)
é da forma
A
c
=
(x
1
; :::; x
k
) 2 '
1
(U
p
) : x
v+1
= c
v+1
; :::; x
k
= c
k
(2.6)
e c
i
2 R é constante.
Figura 2.3: Folheação
Portanto, uma folheação ndimensional de uma variedade diferenciável M
n
é, a grosso modo, uma decomposição de M em subvariedades conexas de dimensão k
chamadas folhas, as quais se aglomeram localmente como os subconjuntos de R
n
=
R
nk
R
k
, com as coordenadas (x
k+1
; :::; x
n
) constantes.
Em geral, as folhas não são mergulhadas, pois, uma folha pode intersectar
um número in…nito de vezes um domínio de coordenadas '(U
p
) e acumular-se sobre
se própria.
Prolegômenos Matemáticos 21
Seja : M ! B uma submersão. Pela forma local das submersões, as
componentes conexas de
1
(q), onde q 2 B, formam uma folheação de M. Esta
folheação tem codimensão igual à dimensão de B. Neste caso, as folhas são todas
variedades mergulhadas.
Prolegômenos Matemáticos 22
2.5 Variedades semi-riemannianas
A primeira coisa que um habitante de uma variedade semi-rimanniana, com
alguma curiosidade pela geometria, talvez queira saber é como medir a distância
entre dois pontos em seu mundo-variedade.
Evidentemente, ao tentar medir distâncias em seu habitat o faria de maneira
não necessariamente igual a um habitante do R
n
. Tal discrepância decorre da noção
de métrica que caracteriza sua variedade.
De…nição 18 Uma métrica semi-riemanniana g de classe C
k
em uma variedade
diferenciável M de dimensão n é de…nida como sendo um campo tensorial de classe
C
k
, do tipo (0; 2), simétrica e não-degenerada, isto é, uma correspondência que
associa à cada ponto p de M uma forma bilinear g tal que: g : T
p
M T
p
M ! R,
satisfazendo as seguintes propriedades:
g(v; w) = g(w; v), 8 v; w 2 T
p
M;
se g(v; w) = 0, 8 w 2 T
p
M, então v é um vetor nulo.
Seja '
: U R
n
! M um sistema de coordenadas locais em torno de p,
com '
(x
1
; :::; x
n
) = p 2 '
(U) e
@
@x
i
p
uma base coordenada em T
p
M. Estão
g(v; w) = g
@
@x
i
(p);
@
@x
j
(p)
v
i
w
j
j
p
= g
ij
v
i
w
j
j
p
com v; w 2 T
p
M.
Pode-se mostrar que g
ij
(x
1
; :::; x
n
) são funções deferenciáveis em U. Vemos
que g(; ) é o produto interno usual a menos da condição de ser positivamente de…nido.
As funções g
ij
são as componentes do campo tensorial g, em um dado sis-
tema de coordendas locais '
: U R
n
! M.
A existência de uma métrica semi-riemanniana desse tipo é sempre possível
em uma variedade, porto que variedade satisfaz o axioma de Hausdor¤ e o axioma
da base enumerável.
Prolegômenos Matemáticos 23
De…nição 19 Dizemos que a assinatura de uma métrica g semi-riemanniana é o
número s (0 s n) de autovalores positivos da matriz g
ij
.
De…nição 20 Uma métrica g é dita riemanniana se n = s.
Notemos que essa de…nição equivale a dizer que a mesma é positiva-de…nida.
De…nição 21 Uma métrica g semi-riemanniana é dita lorentziana se s = 1.
De…nição 22 Seja v 2 T
p
M vetor não-nulo. Então v pertence a uma das três
classes distintas:
g(v; v) > 0; v é do tipo "tempo".
g(v; v) < 0; v é do tipo "espaço".
g(v; v) = 0; v é do tipo "luz".
Se a métrica é não-degenerada e contínua, os vetores do tipo luz de T
p
M
formam em cada ponto de M um duplo "cone "(o cone de luz) o qual separa
os vetores do tipo tempo dos do tipo espaço. Esta separação provê a “estrutura
causal”nessa variedade.
Uma variedade diferenciável é dita semi-riemanniana se nela está de…nida
uma métrica semi-riemanniana.
Prolegômenos Matemáticos 24
2.5.1 Conexões a…ns
Numa variedade diferenciável inexiste intrinsecamente a noção de paralelismo
6
entre vetores de…nidos em pontos diferentes. Para suplantar esta de…ciência, podemos
lançar mão do conceito de conexão a…m e a partir dela construir uma regra que per-
mita estabelecer uma certa noção de paralelismo.
A conexão a…m em uma variedade diferenciável corresponde à introdução de
uma estrutura adicional que independe conceitualmente da métrica. Com efeito, se
a variedade dispõe de uma conexão a…m, possui uma estrutura potencialmente fértil
que lhe confere a possibilidade de estabelecer a noção de derivada covariante, que
por sua vez, será o substrato de várias das de…nições posteriores, como geodésicas e
curvatura.
De…nição 23 Seja uma aplicação f : M ! R denominamos gradiente de f um
campo vetorial grad f em M de…nido por:
g(grad f(p); v) = df
p
(v) (2.7)
Com p 2 M; v 2 T
p
M.
De…nição 24 Uma conexão a…m r em uma variedade diferenciável M é uma apli-
cação
r : $(M) $(M) ! $(M)
que se indica por (X; Y )
r
! r
X
Y e que satisfaz as seguintes propriedades:
r
fX+gY
Z = fr
X
Z + gr
Y
Z
r
X
(Y + Z) = r
X
Y + r
X
Z
r
X
(fY ) = fr
X
Y + X(f)Y , onde f,g 2 D(M)
6
Foi Levi Civita, em 1926, quem transpôs o conceito de "campo de vetores paralelos ", ao
longo de uma curva mergulhada no espaço no espaço euclidiano, para o caso generalizado de uma
variedade difereciável n-dimensional. Contudo, o fez admitindo a priori uma métrica riemaniana
e uma derivada covariante.
Prolegômenos Matemáticos 25
Podemos expressar uma conexão a…m via uma carta (U; '
) de M. Mais
precisamente, se X,Y 2 $(M), então, usando esse sistema de coordenadas; X =
X
i
@
@x
i
e Y = Y
j
@
@x
j
. Se denotarmos
@
@x
i
por @
i
e se r é uma conexão a…m sobre M,
teremos r
X
Y escrito na seguinte forma:
r
X
Y = r
X
i
@
i
Y = X
i
r
@
i
(Y
j
@
j
) = X
i
Y
j
r
@
i
@
j
+ X
i
@
j
(Y
j
)@
j
:
Se escrevermos ainda r
@
i
@
j
=
k
ij
@
k
( onde as funções
k
ij
devem ser diferenciáveis),
teremos a expressão
r
X
Y =
X
i
Y
j
k
ij
+ X(Y
k
)
@
k
(2.8)
o que signi…ca que r
X
Y em um ponto p de M depende de X
i
(p), Y
j
(p) e das
derivadas X(Y
k
) de Y
k
na direção de X.
A noção de conexão fornece, portanto, uma maneira de derivar vetores na
direção de vetores.
Precisamos, agora, introduzir o conceito de derivada covariante de um
campo vetorial X 2 $(M) ao longo de uma curva em particular. Para esse …m,
consideremos, então, a seguinte proposição:
De…nição 25 Estando M
n
munida de uma conexão a…m r, existe então uma única
correspondência que associa a um campo vetorial X de…nido ao longo de uma curva
(t) um outro campo vetorial
DX
dt
ao longo de (t), denominado derivada covariante
de X ao longo de (t), tal que:
D
dt
(X + Y ) =
DX
dt
+
DY
dt
D
dt
(fX) =
df
dt
X + f
DX
dt
, onde X = X(t) é uma campo vetorial de…nido em (t)
e f 2 D(M) restrita ao longo de (t);
Se Y 2 $(M), isto é Y (t) = Y ((t)), então
DY
dt
= r
d
dt
Y .
Aqui introduzimos esses atributos inerentes à derivada covariante via uma
de…nição. No entanto, os mesmos podem ser alcançados via uma proposição, demon-
strável a partir das propriedades da conexão a…m. Em verdade, toda essa demon-
stração encontra-se translúcida em [33]
Prolegômenos Matemáticos 26
De…nição 26 Dizemos que X de…nido ao longo de (t) é paralelo se a derivada
covariante
DX
dt
de X ao longo de , for nula.
Proposição 2 Ou ainda pode-se dizer que X foi transportado paralelamente ao
longo de .
Seja o segmento ([t
0
; t
1
]), onde t
0
; t
1
2 I. Tomamos então uma vizinhança
coordenada '
(U) de um sistema de coordenadas '
: U R
n
! M em torno
de (I). Seja '
1
((t)) = (x
1
(t); :::; x
n
(t)) a expressão local de (t) e seja X =
X
i
@
@x
i
(t
0
)
.
Da de…nição de derivada covariante temos:
DX
dt
=
D
dt
X
i
@
i
=
dX
i
dt
@
i
+ X
i
D@
i
dt
. (2.9)
e ainda que:
D@
i
dt
= r
d
dt
@
j
= r
(
dx
i
dt
@
i
)
@
j
=
dx
i
dt
r
@
i
@
j
, i; j = 1; :::; n: (2.10)
portanto,
DX
dt
=
dX
i
dt
@
i
+ X
i
dx
i
dt
r
@
i
@
j
: (2.11)
Convenientemente escrevemos r
@
i
@
j
=
k
ij
@
k
, e, trocando j p or k na primeira
soma, obtemos
DX
dt
=
dX
k
dt
+ X
j
dx
i
dt
k
ij
@
k
= 0 (2.12)
As equações (2.12) nos levam a um sistema de n equações diferenciais para
X
k
(t),
dX
k
dt
+
k
ij
X
j
dx
i
dt
= 0 (2.13)
Da teoria das equações diferenciais sabemos que (2.13) por ser uma EDO
linear, p ossui uma única solução satisfazendo a condição inicial X
k
(t
0
) = X
k
0
.
Conexão de Levi-Civita
Mesmo após termos de…nido o conceito de conexão a…m em uma variedade
diferenciável, notamos a existência de certa arbitrariedade quanto a esse conceito.
Em uma variedade semi-riemaniana que está munida de um conceito de métrica,
Prolegômenos Matemáticos 27
que por sua vez nos permite medir o comprimento de vetores. Ainda necessitamos
estabelecer a maneira pela qual se darão as relações entre estes dois conceitos. Se
optarmos por uma conexão tal que o produto escalar dos campos vetoriais X e Y
de…nido por g(X; Y ) se mantenha constante ao transportarmos os vetores paralela-
mente (r
X = 0, r
Y = 0), ao longo de uma curva , esta é denominada conexão
de Levi–Civita ou Riemanniana. Também decorrerá daí que a conexão de Levi–
Civita estará completamente determinada em virtude do extraordinário teorema de
Levi–Civita.
Figura 2.4: Transporte paralelo segundo uma conexão riemanniana
De…nição 27 Seja M uma variedade semi-riemanniana munida de uma conexão
a…m r e uma métrica g . r é dita compatível com g, se
r
X
g(Y; Z) = g(r
X
Y; Z) + g(Y; r
X
Z); para todo X; Y; Z 2 $(M): (2.14)
De…nição 28 Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão a…m r. A
aplicação T : $(M) $(M) ! $(M) dada por: T (X; Y ) = r
X
Y r
Y
X [X; Y ],
é chamada de torsão.
Teorema 5 ( Levi-Civita) Dada uma variedade semi-riemanniana (M; g) existe uma
única conexão r, chamada de conexão de Levi-Civita, tal que:
Proposição 3 A torsão T é identicamente nula (r é simétrica).
Prolegômenos Matemáticos 28
r é compatível com a métrica.
Prova. Usando (2.14) podemos escrever as seguintes igualdades:
X[g(Y; Z)] = g(r
X
Y; Z) + g(Y; r
X
Z); (2.15)
Y [g(Z; X)] = g(r
Y
Z; X) + g(Z; r
Y
X); (2.16)
Z[g(X; Y )] = g(r
Z
X; Y ) + g(X; r
Z
Y ); (2.17)
Somando (2.15) com (2.16) e subtraindo o resultado de (2.17) chegamos à
seguinte equação:
2g(r
X
Y; Z) = X[g(Y; Z)] + Y [g(X; Z)] Z[g(X; Y )] + (2.18)
+g([X; Y ] ; Z) + g([Z; X] ; Y ) + g([Z; Y ] ; X): (2.19)
Essa é a equação de Koszul, que indica que r está unicamente determinada por g .
Também podemos escrever convenientemente
2g(r
X
Y; Z) = F (X; Y; Z) (2.20)
onde
F (X; Y; Z) = X[g(Y; Z)] + Y [g(X; Z)] Z[g(X; Y )] +
+g([X; Y ] ; Z) + g([Z; X] ; Y ) + g([Z; Y ] ; X):
A conexão determinada pelo teorema acima é denominada conexão de Levi-
Civita.
Por …m, podemos expressar a equação acima em um sistema de coordenadas
(U; '
).
Substituindo (2.4) e (2.8) em (2.18) após algumas manipulações segue-se
que:
l
ij
g
lk
=
1
2
@
@x
i
g
jk
+
@
@x
j
g
ki
@
@x
k
g
ij
(2.21)
que é exatamente a expressão dos símbolos de Christo¤el de primeira espécie.
Prolegômenos Matemáticos 29
Ou ainda, tendo em vista que a matriz (g
lk
) admite uma inversa (g
lk
), temos:
m
ij
=
1
2
g
km
@
@x
i
g
jk
+
@
@x
j
g
ki
@
@x
k
g
ij
(2.22)
A equação (2.22) é a expressão já bem conhecida dos símbolos de Christo¤el
de segunda espécie.
2.5.2 Geodésicas em variedades semi-riemannianas
A importância das geodésicas surge através da lei segundo a qual uma
partícula que não esteja sujeita a constrições move-se em uma geodésica. Precisa-
mente geodésicas são as curvas nas quais o transporte paralelo mantém o vetor
constantemente tangente à curva durante todo o deslocamento paralelo.
De…nição 29 Uma curva : I 2 R ! M em uma variedade diferenciável M
munida de uma conexão a…m r é dita uma geodésica, se para todo t 2 I temos
r
d
dt
d
dt
= 0 (2.23)
.
Vamos agora determinar a expressão da equação r
d
dt
d
dt
= 0 em um sistema
de coordenadas. Para isto, tomemos um sistema de coordenadas locais (U; '
) em
torno de (t
0
) em U. Assim,
(t) = (x
1
(t); :::; x
n
(t)):
Agora, façamos uso da de…nição de geodésica, isto é,
r
d
dt
d
dt
=
d
dt
(
dx
k
dt
) +
dx
i
dt
dx
j
dt
k
ij
@
k
= 0
Portanto, temos:
d
2
x
k
dt
2
+
k
ij
dx
i
dt
dx
j
dt
= 0. (2.24)
A equação (2.24) constitui um problema de valor inicial, com dados iniciais
'
p
(0) = p, _(0) = v 2 T
p
M, (2.25)
Prolegômenos Matemáticos 30
em princípio solúvel, posto que o teorema da existência e da unicidade da teoria
de equações diferenciais ordinárias assim o garante. Intuitivamente po demos dizer
que quando nos deslocamos sobre uma geodésica caminhamos ao longo da "mesma
direção". Neste sentido, as geodésicas são generalizações das linhas retas do espaço
euclidiano.
Devido ao carácter lorentziano de M, podemos fazer uma distinção entre
três classes de geodésicas. São elas as geodésicas temporais, nulas e espaciais.
Contudo, devido à "estrutura causal", somente as duas primeiras poderão servir
para a descrição do movimento de partículas.
Podemos então caracterizar um caminho num espaço-tempo como sendo
uma geodésica se existe uma parametrização, tal que os vetores tangentes à curva
correspondente constituem um campo de vetores paralelos ao longo da curva.
Proposição 4 Seja uma reparametrização (s) da geodésica ~(t(s)) pelo parâmetro
a…m t = as + b, onde a; b 2 R. Então (s) é uma geodésica.
Prova. Suponhamos que de…nimos ~(t) = (s) com t = as + b e a; b
constantes. Expressando a equação de geodésica num sistema de coordenadas fx
k
g,
temos:
d
2
x
k
dt
2
+
k
ij
dx
i
dt
dx
j
dt
=
ds
dt
d
ds
(
dx
k
ds
ds
dt
) +
k
ij
dx
i
dt
dx
j
dt
(
ds
dt
)
2
= a
2
(
d
2
x
k
ds
2
+
k
ij
dx
i
ds
dx
j
ds
) = 0;
o que implica
d
2
x
k
ds
2
+
k
ij
dx
i
ds
dx
j
ds
= 0. (2.26)
Outra propriedade interessante é a seguinte, como o vetor tangente a uma
geodésica (t), v = _, é transportado paralelamente a si próprio, tem-se que: r
v
v =
0. Logo temos:
r
v
g(v; v) =
= g(r
v
v; v) + g(v; r
v
v) = 0
) g(v; v) = K = constante
Prolegômenos Matemáticos 31
Todavia, o valor da contante K po de alterar-se por reparametrização da
geodésica. De fato, fazendo ~(s) = (at + b), decorre que ~v =
v
a
e, portanto,
g(~v; ~v) =
K
a
2
. Toda curva regular em M para a qual o transporte paralelo de seu
vetor tangente em relação a se proprio, admite uma reparametrização que o torna
compatível com (2.23) denomina-se pregeodésica. Em verdade, prova-se [36] que
toda curva regular em M tal que
r
d
ds
d
ds
= f(s)
d
ds
, (2.27)
é uma pregeodésica.
De sorte que em um sistema de coordenadas locais '
(x
1
; :::; x
n
) em M a
primeira integral de (2.23) é:
g
ij
dx
i
d
dx
j
d
= K; (2.28)
Em uma variedade M lorentziana as geodésicas são classi…cadas segundo a
seguinte de…nição:
De…nição 30 Quanto às geodésicas em uma variedade lorentziana, distinguimos
três situações:
1. Quando K > 0 é uma geodésica temporal e existe uma parametrização tal
que
g(v; v) = g
ij
dx
i
d
dx
j
d
= 1;
2. Quando K = 0 é uma geodésica nula ou tipo luz e existe uma parametrização
tal que
g(v; v) = g
ij
dx
i
d
dx
j
d
= 0;
3. Finalmente, quando K < 0 é uma geodésica espacial e existe uma parame-
trização tal que
g(v; v) = g
ij
dx
i
d
dx
j
d
= 1;
Prolegômenos Matemáticos 32
De forma resumida podemos dizer, que sempre é possivel reparametrizar
uma geodédica de modo a termos
g
ij
dx
i
ds
dx
j
ds
= K; (2.29)
onde K = 0; 1:
Partículas materiais (massa de repouso não nula) descrevem trajetórias de
tipo tempo, isto é, com K = 1, enquanto que as partículas sem massa (isto é, fótons,
grávitons) descrevem trajetórias de tipo-luz, isto é, com K = 0. Trajetórias com
K = 1 não têm realidade física, uma vez que um movimento reprentado por elas
violaria a casualidade.
É interessante notar que o comprimento de arco das geodésicas do tipo-
tempo é interpretado como o tempo próprio medido no referencial da partícula.
Geodésicas do tipo-luz não podem ser parametrizadas pelo comprimento de arco,
mas admitem parâmetros a…ns.
Usando os métodos variacionais as equações de geodésica podem ser conse-
bidas de maneira diferente.
De…nição 31 Sejam (M; g) variedade semi-riemanniana e uma função potencial
rdiferenciável (r 2) : M ! R. Denominamos Lagragiana uma aplicação
L : T M ! R tal que L
(p;v)
=
1
2
g(v; v) j
p
(p) ou seja, dL = 0.
Seja L : T M ! R, uma função diferenciável no …brado tangente de M. A
curva em M é um extremo de L contanto que, para uma quantidade su…ciente de
sistemas de coordenadas (x
1
; :::; x
n
; _x
1
; :::; _x
n
) que cubram TM a seguinte equação é
valida:
d
ds
@L
@ _x
i
(
0
) =
@L
@x
i
(
0
) para i = 1; :::; n. (2.30)
Para variedade semi-riemanniana M, consideremos L : T M ! R como
sendo L(v) =
1
2
g(v; v). Em termos das coordenadas, L =
1
2
g
ij
_x
i
_x
j
+ (x).
As equações de Euler resultantes são:
d
ds
g
ij
dx
j
ds
=
1
2
@g
jk
@x
i
dx
j
ds
dx
k
ds
+
1
2
@
@x
i
para k = 1; :::; n.
Prolegômenos Matemáticos 33
g
ij
d
2
x
j
ds
2
+
@g
ij
@x
k
1
2
@g
jk
@x
i
dx
j
ds
dx
k
ds
=
@
@x
i
. (2.31)
Notemos agora que, usando propriedades de simetria nos indices j e k, o
segundo termo em (2.31) também po de ser escrito como
@g
ij
@x
k
1
2
@g
jk
@x
i
dx
j
ds
dx
k
ds
=
1
2
@g
ij
@x
k
+
@g
ik
@x
j
@g
jk
@x
i
dx
j
ds
dx
k
ds
conseqüentemente
g
ij
d
2
x
j
ds
2
+
1
2
@g
ij
@x
k
+
@g
ik
@x
j
@g
jk
@x
i
dx
j
ds
dx
k
ds
=
@
@x
i
(2.32)
aplicando g
li
em toda equação (2.32) teremos
d
2
x
i
ds
2
+
1
2
g
li
@g
ij
@x
r
+
@g
ik
@x
j
@g
jk
@x
k
dx
j
ds
dx
k
ds
= g
li
@
@x
i
e tendo em conta (2.22), …nalmente
d
2
x
l
ds
2
+
1
2
l
jk
dx
j
ds
dx
k
ds
= g
li
@
@x
i
Assim, quando (x) = 0 recuperamos a equação (2.24), isso é:
d
2
x
l
ds
2
+
1
2
l
jk
dx
j
ds
dx
k
ds
= 0
2.5.3 Curvatura intrínseca
Consideremos uma curva (t) M e suponhamos que partimos de um
ponto p e transportamos paralelamente o vetor X ao longo dessa curva, regressando
ao ponto inicial. Então obteremos o vetor
X que, em geral, será diferente do campo
inicial. Se consideramos, agora, outra curva (s) M que passe também por p
e transportarmos X ao longo da nova curva, obteremos
~
X, que, em geral, será
diferente de X e
X. Esta não-integrabilidade do transporte paralelo corresponde ao
fato de que, em geral, as derivadas covariantes não comutam. O tensor curvatura de
Riemann nos dá uma “medida”desta não-comutatividade, estando assim de…nido:
Prolegômenos Matemáticos 34
De…nição 32 A curvatura R de uma variedade semi-riemanniana M é uma apli-
cação R : $(M) $(M) $(M) ! $(M) dada por :
R(X; Y; Z) = r
Y
r
X
Z r
X
r
Y
Z + r
[X;Y ]
Z: (2.33)
Uma vez …xados X; Y 2 $(M), podemos considerar o operador curvatura
R(X; Y ) dado por R(X; Y ) : $(M) ! $(M), tal que R(X; Y )Z = R(X; Y; Z).
Seja M = R
n
, e indiquemos por Z
i
= (z
1
; :::; z
n
); as componentes do campo
Z nas coordenadas naturais do R
n
. Obteremos assim (r
X
Z)
i
= (Xz
1
; :::Xz
n
),
(r
Y
r
X
Z)
i
= (Y Xz
1
; :::; Y Xz
1
), o que implica que
R(X; Y; Z) = r
Y
r
X
Z r
X
r
Y
Z + r
[X;Y ]
Z = 0: (2.34)
Podemos, portanto, pensar em R como uma maneira de medir o quanto M deixa de
ser euclidiana.
Lema 3 O tensor de curvatura R satifaz as igualdades abaixo para todos X; Y; Z; W 2
$(M) e f; h 2 D(M)
R(fX + hY; Z) = fR(X; Z) + hR(Y; Z)
R(X; fY + hZ) = fR(X; Y ) + hR(X; Z)
R(X; Y )(fZ + hW ) = fR(X; Y )Z + hR(X; Y )W
Prova. A demonstração do lema acima é uma aplicação imediata da
de…nição e das propriedades da conexão a…m.
Proposição 5 Seja (M; g) uma variedade semi-riemanniana com uma conexão r
de Levi-Civita um sistema de coordenadas locais em p 2 M. Então R
ijkl
g(R(X
i
; X
j
)X
k
; X
l
) tem a forma:
R
ijkl
= g
si
@
s
jk
@x
i
@
s
ik
@x
j
+ f
r
jk
s
ir
r
ik
s
jr
g
:
Prova. Usando a base coordenada @
i
=
@
@x
i
, decorre da comutatividade das
derivadas parciais que [@
i
; @
j
] = 0. Portanto decorre que:
R(@
i
; @
j
)@
k
= r
@
j
r
@
i
@
k
r
@
i
r
@
j
@
k
Prolegômenos Matemáticos 35
= r
@
j
(
l
ik
@
l
) r
@
i
(
l
jk
@
l
)
=
@
l
ik
@x
j
@
l
+
l
ik
r
jl
@
r
@
l
jk
@x
i
@
l
l
jk
r
il
@
r
!
=
@
l
ik
@x
j
@
l
jk
@x
i
+ (
r
ik
l
jr
r
jk
l
ir
)
!
@
l
:
Vejamos, agora, dois resultados importantes, para os quais, entretanto, pre-
sentaremos demonstrações:
Proposição 6 Para todo X; Y; Z 2 $(M), temos ,
R(X; Y )Z + R(Y; Z)X + R(Z; X)Y = 0;
(Primeira identidade de Bianchi).
Proposição 7 Para todo T; W; X; Y; Z 2 $(M)
r
T
g(R(X; Y )Z; W ) + r
Z
g(R(X; Y )W; T ) + r
W
g(R(X; Y )T; Z) = 0
(Segunda identidade de Bianchi).
Da contração não-nula do tensor curvatura de Riemann decorre de sua um
outro tensor denominado tensor de Ricci, que de…niremos a seguir.
De…nição 33 Seja R a curvatura de Riemann de…nida em uma variedade semi-
riemanniana (M; g), com uma fE
m
g uma base ortonornal de T
p
M . Teremos que:
1. O tensor de Ricci em p 2 M está de…nido como
Ric
p
(X) =
X
m
R(X; E
m
)E
m
(2.35)
2. A curvatura de Ricci em p 2 M está de…nida como
Ric
p
(X; Y ) =
X
m
g(R(X; E
m
)Y; E
m
), (2.36)
3. O escalar de curvatura R
p
está de…nido como
R
p
(X; X) =
X
m
Ric
p
(X; X) (2.37)
Prolegômenos Matemáticos 36
2.5.4 Subvariedades semi-riemannianas
Nesta seção, de…niremos alguns conceitos e obteremos resultados necessários
à investigação da imersão de uma variedade diferenciável M; de dimensão n; em
uma variedade Riemanniana
M, de dimensão n + m. Em virtude do que já foi dito,
sabemos que ao ser imersa em
M, a variedade M herda de maneira natural sua
métrica semi-riemanniana. Em seguida, estudaremos as relações entre as geometrias
de M e de
M.
De…nição 34 Suponhamos que (
_
M; g;
_
r) é uma variedade semi-riemanniana. Supon-
hamos que M é uma variedade diferenciável e que : M !
_
M é uma imer-
são, ou seja, dado p 2 M a derivada d
p
: T
p
M ! T
(p)
_
M é injetora. Nestas
condições, podemos munir a variedade M de uma métrica semi-riemanniana através
da de…nição
g(u; v)
p
= g(d
p
(u); d
p
(v))
(p)
; u; v 2 T
p
M
Dizemos então que a variedade M tem a métrica induzida pela variedade semi-
riemanniana
_
M e, portanto, (M) é denominada subvariedade semi-riemanniana
de
_
M. A aplicação é dita uma imersão isométrica.
Sabemos que, dado p 2 M, existe um aberto U
M contendo p tal que
(U
)
_
M é uma subvariedade mergulhada em
_
M. Identi…camos, então, U
com
(U
) e cada vetor v 2 T
p
M, onde p 2 U
, com o vetor d (v) 2 T
(p)
M.
Observemos que dados p 2 M e v 2 T
p
M, em razão de g, dispomos de
uma decomposição natural dada por T
p
M = T
p
M (T
p
M)
?
, onde (T
p
M)
?
é o
complemento ortogonal de T
p
M em T
p
M . Podemos assim escrever v 2 T
p
M da
seguinte forma
v = v
T
+ v
?
; v
T
2 T
p
M; v
?
2 (T
p
M)
?
Os vetores em (T
p
M)
?
são ditos normais a M em p e naturalmente v 2 T
p
M é
dito tangente a M em p. Desta forma, um campo de vetores X 2 $(
M) é dito
normal a M, se W
p
2 (T
p
M)
?
para todo p 2 M e denotamos o conjunto de tais
campos por $(
M)
?
. Temos portanto uma decomposição natural em soma direta:
$(
M) = $(M) $(
M)
?
Prolegômenos Matemáticos 37
Proposição 8 Sejam
f 2 D(
M) e
X 2 $(
M). Temos que
X(
f) j
M
= X(f) 2 R,
sendo f 2 D(M ) e X 2 $(M).
Prova. Se
X é a extensão de X e
f e a extensão de f , esse resultado e
conseqüência imediata da própria de…nição de extensão.
A proposição acima tem imediatas conseqüências, tais como: Sejam X; Y 2
$(M) e
X;
Y 2 $(
M) suas respectivas extensões, então:
i [
X;
Y ] j
M
= [X; Y ], X; Y 2 $(M);
ii g(
X;
Y ) j
M
= g(X; Y ).
2.5.5 Conexão induzida
Se M é uma subvariedade semi-riemanniana de
M, a conexão a…m
r de
M induz naturalmente uma aplicação de r : $(M) $(M) ! $(M) denominada
conexão induzida em M
M.
Se Y 2 $(M) e X 2 $(M),
r
Y
X não tem signi…cado imediato, posto que
Y e X não estão em $(
M). Porém para cada p 2 M sendo
Y e
X extensões locais
suaves de Y e X respectivamente em uma vizinhança coordenada U
de p em
M.
De…ne-se
r
Y
X em U
\ M como sendo a restrição de
r
Y
X a U
\ M.
Lema 4
r
Y
X é um campo vetorial bem de…nido em M
Prova. Como a restrição de um campo de vetorial,
r
Y
X j
U
\M
é suave,
basta mostrar que a mesma independe da escolha de extensões. Em termos de um
sistema de coordenada em U
escrevemos
X =
X
i
@
i
. Então
r
Y
X =
Y (
X
i
)
@
i
+
X
i
r
Y
(
@
i
): (2.38)
Mas em
p 2 U
\ M; (
Y
X
i
)(p) =
Y
p
(
X
i
) = Y
p
(X
i
) (2.39)
e
r
Y
(
@
i
) j
p
=
r
Y
j
@
j
(
@
i
) j
p
=
Y
j
(p)
r
@
j
(
@
i
) j
p
= (2.40)
= Y
j
(p)
k
ji
(p)
@
k
= Y
j
(p)
k
ji
(p)@
k
. (2.41)
Prolegômenos Matemáticos 38
Assim a restrição
r
Y
X j
U
\M
depende apenas de Y e X.
De…nição 35 Sejam X,Y 2 $(M) e
X,
Y 2 $(
M) suas respectivas extensões.
Então de…nimos a conexão induzida r em M por
M como
r
X
Y = (
r
X
Y )
T
(2.42)
Assim de…nida, a candidata à conexão de M deve mostrar-se capaz de
gozar das propriedades de uma conexão de Levi-Civita. Portanto, para este …m
são importantes os seguintes resultados:
Corolário 2 Sendo r a conexão induzida de M
M. Se X,Y ,Z 2 $(M), temos:
1. r
Y
X é D(M)linear em Y .
2. r
Y
X é Rlinear em X.
3. r
Y
(fX) = (Y f)X + fr
Y
X para f 2 D(M).
4. [Y; X] = r
Y
X r
X
Y .
5. Zg(X; Y ) = g(r
Z
X; Y ) + g(X; r
Z
Y ).
Prova. Para todo ponto p 2 M, estendamos a
M campos vetoriais e
funções a uma vizinhança de p em
M As cinco propriedades acima descritas, corre-
spondem as propriedades da conexão de Levi-Civita em p 2
M. Portanto, a restrição
a M dá os resultados acima, pois:
(a)
r
Y
X =
r
Y
X j
M
(b)
X(
f) = X(f) j
M
(c) g(
X;
Y ) j
M
= g(X; Y )
(d)
X;
Y
j
M
= [X; Y ].
Um fato básico aqui é que para X; Y ambos tangentes a M, a derivada
covariante
r
Y
X não necessita ser tangente a M. Então é natural perguntar o que
são e (
r
Y
X)
?
e (
r
Y
X)
T
.
Prolegômenos Matemáticos 39
2.5.6 A segunda forma fundamental
Para ilustrar o conceito que apresentaremos nessa seção, imaginemos criat-
uras bidimensionais que vivam em uma folha de papel amassada. Essas criaturas
certamente iriam concluir que seu mundo é perfeitamente plano, posto que os seus
corpos também estão amassados, todavia. Se tentassem se mover pela folha, iriam
sentir uma força misteriosa, invisível, que os impediria de se deslocarem em linha
reta. Obviamente para um observador externo, quando estes seres movem-se sobre
a folha de papel não o fazem em linha reta [37].
O quadro acima proposto refere-se ao seguinte fato: estando albergada em
um espaço de dimensão maior, a subvariedade pode empenar-se nas dimensões ex-
tras. Isto acontece por que uma subvariedade está dotada em cada ponto de um
tensor denominado segunda forma fundamental.
De…nição 36 A segunda forma fundamental de M é de…nida como sendo a apli-
cação : $(M) $(M) ! $(M)
?
dada por
(X; Y ) =
r
X
Y r
X
Y: (2.43)
que é um campo local de
M normal a M.
A segunda forma fundamental (X; Y ) não depende das extensões
X,
Y .
Pelo Lema 4 e pelo fato de r
X
Y não depender das extensões,
X e
Y vemos que
(X; Y ) tamb ém nào depende das extensões
X e
Y .
Proposição 9 A segunda forma fundamental de uma imersão isométrica é D(M)-
bilinear e simétrica.
Prova. De fato, se f 2 D(M), X,Y 2 $(M) e
f 2 D(
M) uma extensão
local de f, levando em conta as propriedades de linearidade de uma conexão, conclui-
se de facilmente que é aditiva em X e Y .
Quanto à simetria, observemos que usando a simetria de ambas as conexões
r e
r temos
Prolegômenos Matemáticos 40
Figura 2.5: Ilustração da segunda forma fundamental
(X; Y ) =
r
X
Y r
X
Y = (2.44)
=
r
X
Y r
X
Y +
X;
Y
j
M
[X; Y ]
| {z }
= 0
= (2.45)
=
r
Y
X r
Y
X = (Y; X): (2.46)
Quanto a (fX; Y ) = f(X; Y )
(X; fY ) =
r
X
f
Y r
X
(fY ) =
=
f
r
X
Y fr
X
Y +
X(
f) j
M
Y X(f)Y
| {z }
= 0.
= f(X; Y )
Similarmente temos que (X; fY ) = f(X; Y ).
Agora podemos de…nir a uma aplicação H
, a qual expressa o valor da
projeção normal de (X; Y ) em p 2 M.
De…nição 37 Seja p 2 M e N 2 (T
p
M)
?
. A aplicação H
: T
p
M T
p
M ! R
dada por
H
(X; Y ) = g((X; Y ); N), X; Y 2 T
p
M (2.47)
denominamos por curvatura extrínseca de M.
Prolegômenos Matemáticos 41
Observemos que à aplicação bilinear H
que po de associar-se com uma apli-
cação linear auto-adjunta S
: T
p
M ! T
p
M denominada apliacação de Weingartem
na direção N de…nida por
g(S
(X); Y ) = H
(X; Y ) = g((X; Y ); N)
p
: (2.48)
A proposição seguinte guiar-nos-á até uma expressão de S
em termos da
derivada covariante da normal N.
Proposição 10 Sejam p 2 M, X 2 T
p
M e N 2 (T
p
M)
?
. Seja
N uma extensão
local de N normal a M: Então
S
(X) = (
r
X
N)
T
: (2.49)
Prova. Sejam X,Y 2 T
p
M e
X,
Y extensões locais de X,Y , respectiva-
mente, e tangentes a M. Então g(N; Y ) = 0, e portanto
g(S
(X); Y ) = g((X; Y ) j
p
; N) = g(
r
X
Y r
X
Y; N) j
p
=
= g(
r
X
Y; N) j
p
g(r
X
Y; N)
| {z }
=0
j
p
=
=
Xg(
Y; N
| {z }
) j
p
=0
g(
Y;
r
X
N) j
p
=
= g(
Y;
r
X
N) j
p
= g(
r
X
N; Y ) j
p
= g((
r
X
N)
T
; Y )
para todo
Y 2 T
p
M.
2.5.7 Subvariedades totalmente geodésicas
Teorema 6 Toda geodésica de M partindo de p é geodésica de
M em p, se e só
se, e a segunda forma fundamental for nula em p.
Prova. Tomemos vetor tangente ao longo de logo:
r
= 0 (2.50)
por outra parte, podemos fazer
(; ) =
r
r
(2.51)
Prolegômenos Matemáticos 42
Como é nula em p, (; ) tambem o será; portanto:
r
= r
= 0. (2.52)
Nesse caso dizemos, que M é uma subvariedade geodésica em p e total-
mente geodésica se é geodésica em todos os pontos de M.
Resumidamente, uma subvariedade semi-riemanniana M de
M é totalmente
geodésica se = 0 para todo p 2 M.
Então uma subvariedade M totalmente geodésica é extrinsecamente plana:
observadores em
M não percebem uma curvatura em M. Isto não é dizer que M é
intrinsecamente plana.
De…nição 38 Um ponto p de M
M é umbílico se existe um vetor normal Z 2
T
p
(M)
?
tal que
(X; Y ) = g(X; Y )Z; para todo X; Y 2 $(M) (2.53)
Então Z é chamado de vetor curvatura normal de M em p.
Uma subvariedade M de
M é totalmente umbílica se todo ponto de M é
umbílico. Então existe um campo vetorial normal Z em p 2 M, chamado campo
vetorial curvatura normal de M, tal que (V; W ) = g(V; W )Z para todo V; W 2
$(M). Assim uma subvariedade totalmente umbílica é totalmente geodésica para
Z = 0.
Lema 5 Sejam M
M uma subvariedade Lorentziana e totalmente umbílica. Toda
geodésica do tipo luz de M é geodésica de
M
Prova. Se tomarmos X(t) campo tangente ao uma geodésica do tipo luz
em M
(X; X) = g(X; X)Z =
r
X
X r
X
X
como g(X; X) = 0 e também r
X
X = 0 então:
r
X
X = 0
Prolegômenos Matemáticos 43
Para métricas Lorentziana, a fórmula (X; X) = g(X; X)Z mostra que M
encurva-se na direção de Z nas direções tipo-espaço, e afasta-se Z nas do tipo-tempo.
Prolegômenos Matemáticos 44
Capítulo 3
Produto de variedades
semi-riemannianas
É muito possível que a verdade não se preste a enunciados pictóricos,
mas apenas a expressão em fórmulas matemáticas.
( Bertrand Russell. Análise da Matéria)
Anteriormente vimos que o produto cartesiano de duas variedades difer-
enciáveis é uma variedade diferenciável. Claro, ainda ali não poderíamos eviden-
ciar as propriedades métricas e de conexão, posto ainda não as termos introduzido.
Todavia, após, nosso breve passeio pelas terminologias e de…nições da geometria
semi-riemanniana, passemos substrato de nossas análises futuras.
Proposição 11 Sejam (M
1
; g
1
) e (M
2
; g
2
) variedades semi-riemannianas e consid-
eremos o produto cartesiano M
1
M
2
com estrutura diferencial do produto. Sejam
: M
1
M
2
! M
1
e : M
1
M
2
! M
2
as projeções naturais. Então introduzir-se-a
em M N uma métrica ( métrica do produto) semi-riemaniana de…nindo-se:
g(u; v)
(p;q)
= g
2
(d(u); d(v))
p
+ g
1
(d(u); d(v))
q
(3.1)
para todo (p; q) 2 M
1
M
2
, u; v 2 T
(p;q)
(M
1
M
2
).
O espaços produtos admitem certas peculiaridades simpli…cadoras. Ap-
resentaremos agora algumas de importância fundamental, cujos resultados estão
discutidos de forma primorosa em [29].
Prolegômenos Matemáticos 45
Proposição 12 Sejam M
1
e M
2
variedades semi-riemannianas. Consideremos o
produto M
1
M
2
com a métrica do produto. Sejam r
1
e r
2
conexões de Levi-Civita
respectivamente de M
1
e M
2
, então a conexão r do produto M = M
1
M
2
é de
Levi-Civita e expressa por:
r
Y
1
+Y
2
(X
1
+X
2
) = r
1
Y
1
X
1
+r
2
Y
2
X
2
; para X
1
; Y
1
2 L(M
1
) e X
2
; Y
2
2 L(M
2
): (3.2)
Uma das grandes fontes para a construção de exemplos e contra-exemplos
em geometria semi-riemanniana são os produtos distorcidos de variedades.
3.1 Espaço produto distorcido
De…nição 39 Sejam M
1
e M
2
variedades semi-riemannianas e F : M
1
! R uma
função suave e diferenciável. A variedade produto M = M
1
F
M
2
é um produto
distorcido
1
se estiver munida da seguinte métrica:
g(u; v)
(p;q)
= g
1
(d(u); d(v))
p
+ (F )
2
g
2
(d(u); d(v))
q
(3.3)
para todo (p; q) 2 M
1
M
2
, u; v 2 T
(p;q)
(M
1
M
2
)
Aqui chamaremos M
2
a base de M e M
1
de …bra. Objetivamos apresentar
a geometria de M em termos da função de distorção F e as geometrias de M
1
e M
2
.
Como no caso de um produto semi-riemanniano é facil ver, que as folhas
horizontais p M
2
=
1
(p) e as folhas verticais M
1
q =
1
(q) são subvariedades
semi-riemannianas de M ( ver Figura 3.1).
A métrica distorcida é caracterizada por:
(1) Para cada q 2 M
2
, a aplicação j(M
1
q) é uma isometria em M
1
.
(2) Para cada p 2 M
1
, a aplicação j(p M
2
) é uma homotetia
2
positiva em M
2
,
com fator escalar
1
F (p)
.
1
Esta de…nição de Bishop M
1
F
1
M
2
de um produto umbílico, é um caso particular de outro
que B. Chen[39], em 1977 chamou twisted product e que é M
1
(F
1
;F
2
)
M
2
.
2
Homotetia signi…ca ampliação(positiva) ou redução(negativa) das distâncias dos pontos de
um espaço em relação a um ponto …xo.
Prolegômenos Matemáticos 46
Figura 3.1: Espaço produto distorcido.
(3) Para cada (p; q) 2 M, a …bra M
1
q e a folha p M
2
são ortogonais em (p; q)
Os vetores tangentes as folhas horizontais são horizontais; os vetores tan-
gentes as folhas verticais são verticais.
Da seção 2.2 lembremos a noção de levantamento de um campo vetorial
em M
1
e M
2
para M
1
M
2
, onde os conjuntos de todos os levantamentos são
denotados por L(M
1
) e L(M
2
). Por simplicidade, utilizamos a mesma notação para
um campo vetorial e seu levantamento.
A relação do produto distorcido com a …bra M
1
é quase tão simples quanto
no caso do produto semi-riemanniano; todavia, a relação com a base M
1
geralmente
envolve a função de distorção.
Quanto a uma conexão Levi-Civita temos a seguintes peculiaridades:
Proposição 13 Seja (
M; g;
r), tal que :
M = M
1
F
M
2
. Se X,Y 2 L(M
1
), e
V ,W 2 L(M
2
); então
(1)
r
X
V =
r
V
X = (
XF
F
)V ,
(2)
1
(X; Y ) = 0 em M
1
,
(3) (
r
V
W )
?
=
2
(V; W ) = (
g(V;W )
F
) grad F em M
2
.
Prolegômenos Matemáticos 47
Prova. Lembremos dois resultados importantes:
T
(p;q)
(
M) = T
(p;q)
(M
1
M
2
) = T
p
(M
1
) + T
q
(M
2
)
Consideremos a fórmula de Koszul (2.18), que vêm da condição de compa-
tibilidade da conexão com a métrica
2g(
r
X
V; Y ) = X[g(V; Y )] + V [g(X; Y )] Y [g(X; V )] + g([X; V ]; Y )+
+g([Y; V ]; X)+g([Y; X]; V )
Obviamente teremos
g(
r
X
V; Y ) =
1
2
V [g(X; Y )] =
1
2
V [g
1
(X; Y )] = 0:
Além disso
2g(
r
X
V; W ) = X[g(V; W )] + V [g(X; W )] W [g(X; V )] + g([X; V ]; W )+
+g([W; V ]; X)+g([W; X]; V )
Igualmente, temos
g(
r
X
V; W ) =
1
2
X[g(V; W )].
Todavia,
g(V; W )
(p;q)
= F
2
g
2
(V; W )
(p;q)
:
e
Xg(V; W ) = X(F
2
g
2
(V; W )) = 2F (XF )g
2
(V; W ):
Rescrevendo
Xg(V; W ) =
2XF
F
g(V; W ):
Temos, então:
g(
r
X
V; W ) =
XF
F
g(V; W ):
E ainda:
g(
r
X
V; W ) = g(
XF
F
V; W ):
Portanto, como [X; V ] = 0
Prolegômenos Matemáticos 48
(1)
r
X
V =
r
V
X =
XF
F
V:
Agora consideremos:
r
X
g(Y; V ) = g(
r
X
Y; V ) + g(X;
r
Y
V ) = 0
logo
g(
r
X
Y; V ) = g(X;
r
X
V ); (3.4)
que pode ser escrita na seguinte forma:
g(
1
(X; Y ) + r
1
X
Y; V ) =
XF
F
g(X; V ); (3.5)
consequentemente:
(2)
1
(X; Y ) = 0 (3.6)
Sabemos, ainda, que:
r
V
g(W; X) = g(
r
V
W; X) + g(W;
r
V
X) = 0:
Conseqüentemente,
g(
r
V
W; X) = g(W;
r
V
X):
Como
r
V
X =
XF
F
V ,
temos então:
g(
r
V
W; X) = g(W;
XF
F
V ) =
XF
F
g(W; V ):
Como XF = g(grad F; X), temos:
g(
r
V
W; X) =
g(grad F; X)
F
g(W; V ) = g(
g(W; V ) grad F
F
; X)
e, por conseguinte
Prolegômenos Matemáticos 49
(3)
2
(V; W ) = (
r
V
W )
?
=
g(W; V ) grad F
F
:
Corolário 3 Seja um espaço produto distorcido M = M
1
F
M
2
com p 2 M
1
e q 2 M
2
. As folhas M
1
q são totalmente geodésicas e as folhas p M
2
são
totalmente umbílicas.
Prova. Este resultado é conseqüência imediata de (2) e (3) da proposição
13.
Proposição 14 Uma curva = (; ) em M = M
1
F
M
2
é uma geodésica se, e
somente se,
(1)
00
= g(
0
;
0
)F grad F em M
1
;
(2)
00
=
2
F
d(F )
ds
0
em M
2
.
Prova. Suponhamos que seja a curva regular integral de
0
2 $(M), como
estamos em um espaço produto podemos dizer que
0
= X + V tal que X 2 L(M
1
)
e V 2 L(M
2
), se e duas curvas integrais regulares de X e V respectivamente,
decorre que:
00
=
r
Y
Y =
r
X+V
(X + V ) =
r
X
X +
r
X
V +
r
V
X +
r
V
V
Evidentemente
00
= 0 se, e somente se, (
00
)
T
= 0 e (
00
)
?
= 0. isto é
r
1
X
X + (
r
V
V )
?
= 0
2
r
V
X + (
r
V
V )
T
= 0
Devido a (Proposição 14) temos que:
r
1
X
X
g(V; V )
F
grad F = 0;
2
XF
F
V + r
2
V
V = 0
Prolegômenos Matemáticos 50
E ainda sabemos que: g(V; V ) = F
2
g
2
(V; V ),
0
= X e
0
= V .
Quanto a equação (1) da proposição acima, podemos fazer um desacopla-
mento tomando
g(
0
;
0
) = g
1
(
0
;
0
) + F
2
g
2
(
0
;
0
) = K
e substituir em (1), com isso teremos:
00
= [K g
1
(
0
;
0
)] grad F (3.7)
Esse resultado traz importantes conseqüências que viabilizarão nossas análises
subseqüentes.
Movimento no Hiperespaço 51
Capítulo 4
Movimento no hiperespaço
Quanto mais compreendemos o mundo físico e penetramos nas leis da
natureza, mais nos parece que o mundo físico se evapora e nos resta
apenas a matemática. Quanto mais aprofundamos o conhecimento das
leis da física, mais somos conduzidos a este mundo da matemática e dos
conceitos matemáticos.
( Sir. Roger Penrose. O Grande, o Pequeno e a Mente Humana).
O modelo de Randall-Sundrum e outras teorias Kaluza-Klein não-compactas
como STM, embora possam estatuir dimensões extras por motivações distintas,
confrontam-se com desa…os semelhantes. De um ponto de vista teórico, elas devem
predizer efeitos observáveis das dimensões extras. De um ponto de vista experimen-
tal, o assunto vital é a descoberta de fenômenos anômalos que poderíamos associar à
existência de dimensões extras. Um possível modo de testar as conseqüências físicas
advindas da existência de dimensões extras é examinar a dinâmica de partículas
teste. Em suma, pretende-se procurar anomalias no universo em 4D. Por isso, o
movimento geodésico em variedades 5D e subvariedades 4D tem sido um assunto de
investigações intensivas[23]. Resultados importantes emergiram ao reduzirem-se as
equações de geodésicas em 5D. Constatou-se que o movimento livre em 5D é obser-
vado em 4D como estando submetido a uma aceleração anômala.Também conclui-se
que ao se mover livremente no hiperespaço (bulk) uma partícula pode ser con…nada
a uma subvariedade 4D (espaço-tempo) , isto é, mesmo movendo-se no hiperespaço
Movimento no Hiperespaço 52
terá impressão que move-se em 4D. O assunto central que consideramos é a na-
tureza do mecanismo de con…namento e se tal mecanismo tem qualquer propriedade
observável.
No cenário de branas con…namento estável de campos de matéria é possível
a nível quântico se levarmos em conta interação com um campo escalar [48]. Em
um cenário puramente clássico, no entanto, se fará necessário dispor de mecanismos
de con…namento geodésico de forma a restringir partículas maciças a mover-se sobre
hipersuperfícies de maneira estável.
Procuramos determinar em que condições a estrutura geométrica de um
bulk espaço produto distorcido semi-riemanniano pode con…nar tal movimento.
Consideremos as equações de geodésicas no hiperespaço ndimensional
(n = m+4). Sendo o espaço-tempo uma variedade lorentziana tetradimensional M
4
e estando ele imerso em um hiperespaço(bulk) B
n
F
M
4
, com métrica distorcida,
ou seja, uma espaço produto distorcido, com B
n
munido de uma estrutura rieman-
niana. A questão aqui já suscitada, e apresentada ao longo do trabalho, vem a ser
propriamente o movimento geodésico (quanto à questão do con…namento).
Um ponto interessante é que a "força extra" desaparece se = 0. Neste
caso, geodésicas em M
4
serão automaticamente geodésicas de B
n
F
M
4
. isso provêm
do teorema 6 da totalidade geodésica de uma subvariedade. Porém, devemos
observar que = 0 é su…ciente, mas não condição necessária para que uma geodésica
particular em M
4
também sejá uma geodésica no hiperespaço.
4.1 Força extra em espaço produto distorcido
A equação (2) da proposição 14 indica que o movimento geodésico no
bulk é percebido nas folhas horizontais (espaço-tempo) como uma pregeodésica, isso
é, o movimento das partículas con…nadas a essas folhas, está acometido de uma
aceleração anômala, que depende da função de distorção.
Nas teorias físicas que consideram o universo como uma hiper-superfície
tetradimensional
4
imersa em um espaço produto distorcido pentadimensional M
5
o movimento das partículas são curvas no espaço M
5
, não necessariamente con…-
Movimento no Hiperespaço 53
nadas às hiper-superfície
4
. A esse respeito, podemos "esperar" que os efeitos do
movimento em cinco dimensões apareçam em quatro dimensões como uma força ex-
tra capaz de afetar o movimento de partículas no espaço-tempo usual. Esse assunto
tem sido investigado recentemente em [23], aqui também alguns resultados críticos
encontrados em[24].
Façamos (por conveniência de notação) as seguintes implementações a de…nição
38:
M = B
n
F
M
4
e F : B
n
! R é dada por e
f
, adotamos tamb ém métrica g com
assinatura (+; ; :::; ). Assim, (3.3) agora considerada em
M tornar-se-á:
ds
2
= e
2f(y)
h
dx
dx
k
ab
dy
a
dy
b
; (4.1)
onde, os índices gregos referem-se às coordenadas do espaço-tempo M
4
e os
latinos às coordenadas de B
n
que, por sua vez, supomos se dotada de uma estrutura
riemanniana.
Evoquemos agora a proposição 15:
Uma curva = (; ) em
M = M
m
F
M
n
é uma geodésica se, e somente
se,
00
=
2
F
d(F )
ds
0
em M
4
: (4.2)
00
= g(
0
;
0
)F grad F em B
n
; (4.3)
Consideremos um sistema de coordenadas em M, tal que: Z = (x
1
; :::; x
4
; y
1
; :::; y
n
):
A equação geodésica em M é dada por:
dZ
A
d
2
+
A
BC
dZ
B
d
dZ
A
d
= 0; (4.4)
onde é um parâmetro a…m. Após certa manipulação algébrica chegamos a :
d
2
x
d
2
+
(4)
dx
d
dx
d
=
; (4.5)
onde
=
ab
dy
a
d
dy
b
d
2
b
dx
d
dy
b
d
Movimento no Hiperespaço 54
e
d
2
y
a
d
2
+
(n)
a
bc
dy
b
d
dy
c
d
=
a
, (4.6)
onde
a
=
dx
d
dx
d
2
b
dx
d
dy
b
d
Evidentemente (4.5) e (4.6) são as transcrições de (4.2) e (4.3) neste sistema
de coordenadas.
Supomos agora que
M po de ser folheado por uma família de subvariedades
de…nida por n equações y
a
= y
a
o
=constante. A geometria de M
4
é, então, deter-
minada pela métrica induzida
ds
2
= g
(x; y
1
o
; :::; y
n
o
)dx
dx
:
De modo que as quantidades
(4)
que aparecem no lado à esquerda de (4.5) podem
ser identi…cadas com os símbolos de Christo¤el associados à métrica induzida nas
folhas da foliação de…nida acima.
Conseqüentemente as quantidades
e
a
reduzem-se, respectivamente, a:
= 0
e
a
= f
;a
e
2f
h
_x
_x
onde f
;a
=
@f
@y
a
, e denotamos com ponto a derivada com respeito ao parâmetro
a…m. Também estamos usando a notação f
;a
= k
ab
f
;b
. Notemos que se o fator de
distorção f for constante, as equações (4.4) que descrevem as geodésicas do produto
distorcido M separam-se-a nas equações de geodésicas totalmente desacopladas das
duas subvariedades M
4
e B
n
, conforme à proposição 14. Novamente fazendo uso
de (2.29) da mesma maneira que anteriormente, teremos para a métrica (4.1)
e
2f
h
_x
_x
k
ab
_y
a
_y
b
= K. (4.7)
Desse modo, temos que as equações (4.5) e (4.6) tornare-se-ão repectiva-
mente
•x
+
(4)
_x
_x
= 2f
;a
_x
_y
a
; (4.8)
Movimento no Hiperespaço 55
•y
a
+
a
bc
_y
b
_y
c
= f
;a
(K + k
bc
_y
b
_y
c
): (4.9)
As equações acima constituem um sistema de equações diferenciais de se-
gunda ordem que, por sua vez, p ode ser resolvido, em princípio, se f = f(y
1
; :::; y
n
)
for conhecida.
4.2 Con…namento do movimento no espaço-tempo
tetradimensional
Nesta seção desejamos investigar a possibilidade de con…namento de partícu-
las maciças e fótons na variedade espaço-tempo M
4
. Em outras palavras, nosso
objetivo aqui é encontrar as condições matemáticas que devem ser satisfeitas pelo
fator de distorção f para geodésicas do tip o tempo e nulas …quem aprisonadas
em M
4
. O teorema 6 nos adverte que uma subvariedade M
4
de uma variedade
semi-riemaniana M é totalmente geodésica se, e somente se, toda geodésica de M
4
é
também uma geodésica em M, isto é, a subvariedade M
4
é totalmente geodésica se,
e somente se, todas as componentes da curvaturas extrínsecas de M
4
se anulam. Se
a geometria de M é lorentziana, se M
4
é totalmente umbílica, então, como iremos
mostrar nesta seção, o teorema continua válido, mas, refere-se apenas às geodésicas
tipo-tempo e tipo-espaço, posto que as geodésicas nulas por natureza já são geo-
désicas de ambos os espaços independentemente do valor da curvatura extrínseca.
Em verdade, iremos mostrar que o con…namento de geodésicas nulas não depende
do valor da curvatura extrínseca. De um ponto de vista físico parece ser muito
interessante que os feixes de luz (fotons) não "percebam" a curvatura extrínseca do
espaço-tempo. Este fato é uma generalização do resultado apontado na seção 3.1
no qual o caso de imersões de hipersuperfícies de codimensão um são estudados.
Vamos retornar às equações (4.8) e (4.9). Seja uma geodésica tipo-tempo
(ou tipo-espaço) da subvariedade M
4
. Uma vez que 2 M
4
devemos ter _y
a
= 0, e
assim (4.8) é identicamente satisfeita. Agora se f
;a
(y
1
0
; :::; y
n
0
) = 0, então (4.9) tam-
bém vale.Por outro lado, se qualquer geodésica de M com equações paramétri-
cas (x
= x
(); y
a
= y
a
0
) é uma geodésica de M
4
, então de (4.9) devemos ter
Movimento no Hiperespaço 56
f
;a
(y
1
0
; :::; y
n
0
) = 0. Vamos agora considerar o valor da curvatura extrínseca (ou cur-
vatura normal) de M
4
. De (4.1) vemos que os vetores N
(a)
=
@
@y
a
da base co ordenada
n
@
@x
;
@
@y
a
o
são normais à subvariedade M
4
.
Seja uma curva de M
4
com vetor tangente dado por
V =
dx
d
; 0
: (4.10)
A curvatura normal de M
4
, em um ponto p 2 M
4
, na direção de N
(a)
é dada pelo
produto interno
H
N(a)
= g
N
(a)
;
DV
d
(4.11)
em p, onde
DV
d
é a derivada covariante de V com respeito à conexão de Levi-Civita
determinada por g. Após calcular
DV
d
de (4.1) facilmente mostramos que
H
a
= g
@
@y
a
;
DV
d
= k
ab
b
_x
_x
= f
a
e
2f
h
_x
_x
(4.12)
Assim, os coe…cientes da curvatura normal
H
a
= H
a
_x
_x
(4.13)
são dados por
H
a
= f
a
e
2f
h
: (4.14)
Claro está que H
a
= 0 se, e somente se, f
a
= 0. Portanto, em vista do exposto
acima, exatamente o que diz o Teorema 6 concluímos o seguinte: geodésicas do tipo
tempo ou do tipo espaço podem ser con…nadas na subvariedade M
4
, se e somente se
a curvatura extrínseca de M
4
se anula. É interessante analisar o que acontece com
as geodésicas nulas.
Uma vez que agora K = 0 se a curva é uma geodésica nula de M
4
então as equações (4.8) e (4.9) nos informam que também é uma geodésica de
M, independentemente do valor de f
a
, e então independentemente dosvalores das
curvaturas normais de M
4
.
4.3 Con…namento via potencial efetivo
Uma análise do movimento nas dimensões extras também po de ser viabi-
lizada reduzindo-se o problema ao movimento de uma partícula sujeita à ação de
Movimento no Hiperespaço 57
um potencial efetivo V = V (y). Para generalidade nesta seção suporemos que a
métrica k de B
n
é riemanniana (positivo-de…nida). Assim, considerando (4.1)
dS
2
= e
2f
h
dx
dx
k
ab
dy
a
dy
b
, (4.15)
as equações geodésicas para a parte extra são dadas por
d _y
a
d
1
2
k
bc
_y
b
_y
c
f
;a
e
2f
h
dx
d
dx
d
= 0. (4.16)
Tendo em vista a equação (4.7)
e
2f
h
dx
d
dx
d
k
ab
dy
a
d
dy
b
d
= K (4.17)
temos então, que o movimento nas dimensões extras é descrito pelas equações
d _y
a
d
1
2
k
bc
_y
b
_y
c
f
;a
K k
bc
_y
b
_y
c
= 0 (4.18)
Podemos encontrar a primeira integral da equação (4.18) multiplicando-a
por 2 _ye
2f
. De fato, obtemos
2e
2f
_y
a
d _y
a
d
1
2
_y
a
k
bc
_y
b
_y
c
2 _y
a
e
2f
f
;a
K k
bc
_y
b
_y
c
= 0.
Podemos assim escrevâ-la como:
e
2f
d
d
k
bc
_y
b
_y
c
+
de
2f
d
k
bc
_y
b
_y
c
K
de
2f
d
= 0,
…nalmente, teremos
e
2f
k
bc
_y
b
_y
c
= C Ke
2f
;
podemos ainda sem p erda de generalidade supor que f(0; :::; 0) = 0, e com isto termo
C = _y
2
0
+ K
onde _y
2
0
k
bc
_y
i
0
_y
j
0
está relacionado com a energia cinética inicial correspondente
ao movimento na direção extra. Assim, a Lagrangiana do movimento …ca assim
representada:
L = e
2f
k
bc
_y
b
_y
c
= _y
2
0
V (y) (4.19)
com V (y) representando um potencial efetivo dado por:
V = K(e
2f
1).
Movimento no Hiperespaço 58
Considerando que k
ab
é uma métrica riemanniana, podemos deduzir que o
movimento estará delimitado caso exista solução para a equação V (y) = _y
2
0
. Con-
tudo, delimitado não quer dizer con…nado, quando lidamos com espaço de codimen-
são maior. Con…namento implica o retorno contínuo da partícula à hipersuperfí-
cie. Para analisar a existência do con…namento precisamos de informações sobre a
métrica k
ab
.
Por simplicidade, consideremos o caso particular em que M = M
4
B
2
.
onde o a geometria de N
2
é caracterizada pelo seguinte elemento de linha:
dl
2
= u
2
(r)(dr
2
+ r
2
d
2
) (4.20)
Obviamente r está relacionado com a distância dos pontos em relação à hiper-
superfície e a função u(r) mede o "afastamento" em relação à métrica euclidiana.
Observemos que a única restrição a esta métrica é o fato de que ela depende da
coordenada extra. De fato, toda métrica semi-riemanniana bidimensional e confor-
malmente plana e pode ser escrita na forma (4.20)[50]. Admitimos tamb ém que
f = f(r). Com efeito, temos que a equação de movimento (4.18) …ca
e
2f
u
2
_r
2
+ r
2
_
2
= _y
2
0
V (r) :
Da equação de movimento (4.18) para , obtemos a seguinte constante de movi-
mento:
u
2
r
2
_
= L = constante.
Deste modo, a equação para o movimento radial se reduz a
e
2f
u
2
_r
2
= _y
2
0
V (r) + L
2
e
2f
u
2
r
2
Aqui L está relacionado ao momento angular do movimento em torno da
subvariedade M
4
.
A existência de estados ligados depende do comportamento do potencial
efetivo
V
eff
=
V (r) + L
2
e
2f
u
2
r
2
Podemos deduzir algumas propriedades gerais do movimento. Estamos ad-
mitindo que f (0) = 0 e que u(0) é regular e diferente de zero na origem, caso
Movimento no Hiperespaço 59
contrário, a métrica induzida no espaço-tempo M
4
não seria bem de…nida. Assim,
o termo dominante do potencial V
eff
para r ! 0 é L
2
e
2f
u
2
r
2
! 1 .
Primeira conclusão (…sicamente óbvia):
A partícula não retornará a hipersurperfície se L 6= 0, podendo estar num
estado ligado ou não.
Para L = 0, o potencial V
eff
será con…nante (para qualquer valor de _y
2
0
) se
f (r) ! 1 assintoticamente quando (r ! 1).
Podemos, agora, analisar um caso particular encontrado na literatura [51]
em que as funções f(r) e u(r) são explicitamente dadas por:
e
2f
=
c
2
+ ar
2
c
2
+ r
2
u
2
=
c
4
(c
2
+ r
2
)
2
:
.Neste caso, o potencial efetivo tem a seguinte forma:
V
eff
=
K
c
2
+ ar
2
c
2
+ r
2
1
+ L
2
(c
2
+ ar
2
)(c
2
+ r
2
)
c
4
r
2
O potencial V
eff
será con…nante para os casos a > 1 e L = 0. Ainda neste
casos, existe um limite de energia cinética inicial acima da qual a partícula escapará
para o in…nito ( ver …gura 4.1).
Figura 4.1: L = 1 (verde) e L = 0 (vermelho).
Movimento no Hiperespaço 60
4.4 A análise do movimento geodésico nas proxi-
midades do espaço-tempo para uma co-dimensão
n = 1
Da mesma maneira que em [43], vamos analisar o caso em que M
4
é uma
hipersuperfície e B
n
= R. Com esse …m, usaremos técnicas da teoria de sistemas
dinâmicos ( ver Apêndice I). Especi…camente estamos a considerar nessa seção
que
M está munida do seguinte elemento de linha
ds
2
= e
2f
h
dx
dx
dl
2
; (4.21)
onde f = f (l) e h
= h
(x).
Para esta métrica é fácil ver que:
(5)
44
= 0 (4.22)
(5)
4
=
1
2
g
g
;4
=
df
dl
= f
0
. (4.23)
Assim a expressão da força extra em (4.5) se reduz a
= 2f
0
dx
d
dl
d
(4.24)
Agora as equações (4.5) tornam-se
d
2
x
d
2
+
(4)
dx
d
dx
d
= 2f
0
dx
d
dl
d
: (4.25)
É evidente que se tomarmos que l = l
0
=constante, o lado direito …ca
identicamente nulo.
Com isso, não é difícil mostrar que (4.6) conduz à expressão:
d
2
l
d
2
+ f
0
e
2f
h
dx
d
dx
d
= 0: (4.26)
Em conseqüencia, as equações (4.9) resduzem-se a equação:
d
2
l
d
2
+ f
0
K +
dl
d
2
!
= 0: (4.27)
Movimento no Hiperespaço 61
A equação (4.27) diz respeito à parte pentadimensional do movimento geo-
désico. Como já exposto, os valores de K de…nem que tipo de geodésicas estaremos a
estudar. Decerto, nos interessamos por partículas cujo movimento satisfaz o Princí-
pio da Causalidade. Assim os valores de K deverão ser ou 0 ou 1. A equação (4.27)
é uma equação diferencial de segunda ordem, que em princípio, pode ser resolvida
se admitirmos conhecida a função f
0
= f
0
(l). Reciprocamente, se l = l() é então
conhecido, conseqüentemente f = f(l) será determinado (a menos de uma constante
de integração) contanto que possamos escrever = (l).
4.5 Análise qualitativa do movimento na quinta
dimensão
Recordemos que a hipersuperfície …xa as condições de limite para o fator de
distorção. Se o fator de distorção f = f(l) não é conhecido a priori, não disporemos
de uma maneira que nos leve a obter informações conclusivas sobre o movimento
na quinta dimensão. Contudo, aqui mostraremos que uma análise qualitativa via
sistemas dinâmicos nos fornecerá informações relevantes sobre tal movimento.
Para efetuar a análise de…nimos a variável q =
dl
d
e, assim, passamos a
considerar (4.27) como o seguinte sistema dinâmico autônomo (vide Apêndice I).
dl
d
= q; (4.28)
dq
d
= P (q; l);
com
P (q; l) = f
0
(K + q
2
): (4.29)
Na investigação de sistemas dinâmicos, um papel preponderante é desem-
penhado pelos pontos de equilíbrio, que neste caso particular do sistema (4.45) é
caracterizado por
Movimento no Hiperespaço 62
q = 0 (4.30)
P (q; l) = 0. (4.31)
O conhecimento desses pontos, juntamente com as propriedades de estabil-
idade, permite auferir importantes informações relativas aos tipos de comportamen-
tos permitidos ao sistema. Assim, se para uma geodésica particular conhecemos t
como uma função do parâmetro , isto é, t = t(), então como
dt
d
6= 0 e sabendo
a priori o comportamento de l = l() a análise qualitativa nos permitirá deduzir
a evolução temporal do movimento de uma partícula (ou feixes de luz) na quinta
dimensão.
4.5.1 Movimento geodésico pentadimensional de partículas
maciças nas imediações de uma hipersuperfície tetradi-
mensional
Iniciemos por considerar o caso das partículas de massa de repouso não-nulas
(K = 1), cujo movimento na quinta dimensão é governado pelo sistema dinâmico.
dl
d
= q (4.32)
dq
d
= f
0
(1 + q
2
). (4.33)
O ponto de equilíbrio é determinado por q = 0 e os zeros da função f
0
(l)
(se existem), denotamos genericamente por l
0
. Estas soluções são interpretadas
como pontos críticos no plano de fase, e correspondem a curvas que se mantém
completamente em uma hipersuperfície (ou folha)
0
de uma folheação l = constante
de M.
A existência de pontos de equilíbrio do sistema dinâmico (4.32) tem a im-
portante consequência de que as geodésicas do hiperespaço e as da hipersuperfície
(l = l
0
=contante) coincidem. Note que para a métrica (4.21) a curvatura extrínseca
da hipersuperfície
0
é dada por
H
N
(@
; @
b
) = f
0
e
2f
h
(x), (4.34)
Movimento no Hiperespaço 63
que é claramente nula para os pontos de equilibrío, onde f
0
= 0. Então, na ausência
de pontos de equilibrío, (i.e. f
0
6= 0) a curvatura extrínseca não se anula, e de acordo
o teorema 6, com efeito, a hipersuperfície não será totalmente geodésica.
Para obter informações sobre os possíveis modos de comportamento de
partículas e raios de luz em tais hipersuperfícies é importante estudar a natureza e es-
tabilidade dos correspondentes p ontos de equilíbrio. Isto pode ser feito linearizando
as equações (4.32) (ver Apêndice I). Temos, então, as equações:
dl
d
= q, (4.35)
dq
d
= f
00
(l
0
)l(1 + q
2
), (4.36)
que podem ser representados pela equação matricial
_
l
_q
=
0
@
0 1
f
00
(l
0
)(1 + q
2
) 0
1
A
l
q
cujo polinômio característico é:
2
+ f
00
(l
0
)l(1 + q
2
) = 0
Estudando os autovalores da correspondente matriz jacobiana nos pontos
de equilíbrio e supondo que a função f
0
(l) se anula em pelo menos algum ponto l
0
,
podemos prontamente mostrar que os correspondentes autovalores são determinados
pelo sinal da segunda derivada f
00
(l
0
), as seguintes possibilidades emergem para os
pontos de equilíbrio do sistema dinâmico :
Caso I. Se f
00
(l
0
) > 0, então o ponto de equilíbrio (q = 0; l = l
0
) é um
vórtice ou centro (ver …gura 4.1). Este representa o caso no qual as soluções próximas
ao ponto de equilíbrio tem a topologia de um círculo. Neste caso, o retrato de fase
consiste em curvas fechadas que descrevem o movimento da partícula oscilando em
torno da hipersuperfície
0
(l = l
0
) inde…nidamente (ver …gura 4.2).
As amplitudes das oscilações dependerão somente das condições iniciais.
Notemos que a existência de tais movimentos cíclicos é independente do espaço-
tempo tetradimensional, exceto pelas condições f
0
(l
0
) = 0 e f
00
(l
0
) > 0, o fator de
Movimento no Hiperespaço 64
Figura 4.2: O ponto de equilíbrio E no caso onde f(l
0
) > 0.
distorção f(l) continuando completamente arbitrário. A presença de tais pontos de
equilíbrio tem como conseqüência o quase-con…namento de partículas, que pode ser
entendido como um exemplo de hipersuperfícies quase totalmente geodésicas ( Ver
ilustração (…gura 4.2)).
Caso II. Se f
00
(l
0
) < 0, então o ponto (q = 0; l = l
0
) é um ponto de sela.
Neste caso, a solução correspondente ao ponto de equilíbrio E é altamente instável.
Isto quer dizer que a menor perturbação leva a uma divergência exponencial das
soluções.(ver …gura 4.3).
Um exemplo deste con…namento altamente instável é dado pelo fator de
distorção [45].
f(l) = bln cosh(cl); (4.37)
onde b e c são constantes positivas. Aqui temos um único ponto de equilíbrio,
em l = 0. Também podemos veri…car que f
00
(0) < 0 neste caso. Aproveitando
este exemplo, notamos que para grandes valores de l o fator de distorção (4.37)
Movimento no Hiperespaço 65
Figura 4.3: As partículas entram e saem inde…nidamente da hipersuperfície (l =
l
0
). Isto dá origem a um mecanismo de quasi-con…namento.
aproxima-se daquele presente na métrica de Randall-Sundrum [16],[17]
ds
2
= e
2kjlj
dx
dx
dl
2
(4.38)
onde k é uma constante. Neste caso f
0
(l) = k, conforme o valor de l seja positivo
ou negativo. Então, para l 6= 0 não existem pontos de equilíbrio e, portanto, não
há con…namento de partículas devido puramente a efeitos geometricos. No entanto,
neste limite de …na espessura, se assumirmos nulo o valor da curvatura extrínseca da
brana l = 0, então (4.32) implica em con…namento. Todavia, como apontado em [46]
este é um con…namento altamente instável no sentido de que qualquer perturbação
transversal no movimento das partículas maciças ao longo da brana acarretará uma
fuga para a dimensão extra. Porém, este caso está fora do elenco das métricas
que estamos considerando aqui, pois, o fator de distorção não é suave (a primeira
devivada de f(l) com respeito à coordenada extra não é contínua em l = 0).
Caso III. Se f
00
(l
0
) = 0, então ambos os autovalores são nulos, o que
corresponde a um caso degenerado. Para continuar analisando qualitativamente as
soluções próximas do ponto de equilíbrio, neste caso, necessitaríamos conhecer a
derivada terceira (ou de ordem superior) da função f(l). Não desejamos considerar
este caso em sua generalidade. No entanto, se f(l) é constante (caso IV), então
podemos facilmente desenhar um retrato de fase global do sistema.
Caso IV. Se f(l) =contante, então f
0
(l) se anula para todos os valores de
Movimento no Hiperespaço 66
Figura 4.4: Quando f
00
(l
0
) < 0 o ponto de equilíbrio é um ponto de sela. Neste caso
o con…namento é altamente instável. A única exceção correspondende às linhas AE
e BE, ao longo das quais partículas são atraídas de volta para a folha.
l, o que implica que há uma in…nidade de pontos de equilíbrio não-isolados, ou seja,
temos uma linha contínua de pontos de equilíbrio (q = 0). Perturbações ao longo
desta linha são neutramente estáveis, o que implica que partículas colocadas em
qualquer uma das hipersuperfícies da folheação l = l
0
=constante irão permanecer
lá até receberem uma velo cidade tranversal à hipersuperfície.
Caso V. Se não temos pontos de equilíbrio, ou seja, se no fator de distorção
f(l) não existe ponto de retorno para nenhum valor de l, então não po demos ter
con…namento de partículas clássicas nas hipersuperfícies devido somente a efeitos
geométricos. Um exemplo desta situação é ilustrado pelo fator de distorção
f(l) =
1
2
ln (l
2
=3) (4.39)
considerado na referência [49].
Notamos que mesmo quando não há pontos de equilíbrio, a representação da
dinâmica ainda pode ser obtida se f(l) é conhecido, obtendo-se a primeira integral do
sistema de…nido por (4.28). Mas, escrevendo este sistema como a equação diferencial
Movimento no Hiperespaço 67
de primeira ordem
dl
dq
=
q
f
02
(K + q
2
)
; (4.40)
a qual pode ser prontamente integrada, levando a
f(l) = ln
p
K + q
2
+ B, (4.41)
onde B é uma constante de integração.
Movimento no Hiperespaço 68
4.6 O movimento de fótons nas proximidades de
uma hipersuperfície do tipo tempo
Examinemos agora as geodésicas nulas (movimento de fótons) no intuito de
saber quando são elas con…nadas na hipersuperfície ou, pelo menos numa vizinhança
desta. Neste caso, o sistema dinâmico (4.28) torna-se:
dl
d
= q (4.42)
dq
d
= f
02
q
2
(4.43)
Os pontos de equilíbrio são dados, agora, por q = 0, que consiste em uma
linha de pontos de equilíbrio ao longo de eixo l, com ambos os autovalores iguais
a zero. Como resultado, existem geodésicas nulas 5D em qualquer hipersuperfície
l =constante. Isto demonstra que o con…namento de fótons na hipersuperfície não
depende do fator de distorção. Há, também, regiões de estabilidade e instabilidade
com respeito à pequenas perturbações ao longo do eixo l.
Como foi apontado na seção anterior, podemos facilmente obter uma inte-
gral primeira do sistema (4.42) que é dado por (4.41). No caso do movimento dos
fótons, (K = 0) isto dá
q = Ae
f(l)
(4.44)
onde A é uma constante de integração. Portanto, podemos obter uma dinâmica
global das soluções (4.42) a partir de certo conhecimento qualitativo da função f(l).
Muitos casos diferentes podem surgir, dependendo da natureza de f(l).
Aqui, por simplicidade, vamos impor a simetria Z
2
1
sobre a geometria do bulk. O
que se segue são alguns exemplos possíveis:
1. f(l) é uma função monotonicamente crescente para l 0 que se aproxima
do limite f(l) ! 1 quando l ! 1( isto pode ser perfeitamente visto em (4.5)).
Isto inclui o caso do fator distorção considerada em [49].
2. f(l) é uma função monotonicamente decrescente para l 0 que se
aproxima do limite f(l) ! 1 quando l ! 1, que é o caso do fator distorção
dado em [46] (veja a 4.5). Note o curioso comportamento dos fótons que não são
Movimento no Hiperespaço 69
Figura 4.5: Retrato de fase do movimento de fótons em presença de simetria Z
2
com
uma função f(l) monotônica crescente para l 0 e f(l) ! 1 quando l ! 1.
con…nados: se os colocamos em movimento em direção à hipersuperfície (l = 0),
então após alcançar uma distância mínima de ; são lançados de volta ao in…nito,
mostrando claramente que são repelidos por ;
3. f(l) é constante, e neste caso temos o mesmo diagrama de fase que temos
no caso de partículas maciças.
Finalmente é relevante notar que no caso de geodésicas nulas, os pontos de
equilíbrio da equação (4.42) não exigem que f
0
= 0, que é uma consequência da apli-
cação do lema 6 ao corolário 3, isso é, como as folhas espaço-tempo são umbílicas,
então, as geodésicas do tipo luz da folha também são geodésicas do bulk. Outra
conclusão importante é que, nos casos em que as hipersuperfícies são localizadas nos
pontos de retorno l = l
0
das funções f, H
= f
0
e
2f
h
(x) satisfaz a simetria Z
2
por de…nição.
Movimento no Hiperespaço 70
Figura 4.6: Retrato de fase correspondente ao caso onde f(l) é um função
monotônica decrescente para l 0. Nessa conjuntura f(l) ! 1 quando l ! 1.
4.7 Movimento de partículas nas proximidades da
subvariedade M
4
com M = R
n
F
M
4
Por simplicidade, consideraremos o caso em que a métrica k
ab
, de (4.1), é
euclidiana, isto é, k
ab
= diag(+:::+). Isto irá nos permitir veri…car facilmente a
existência de pontos de equilíbrio[47].
Se de…nirmos
dy
a
d
= z
a
podemos, então, expressar as equações (4.9) como
um sistema dinâmico autônomo dado por
dy
a
d
= z
a
, (4.45)
dz
a
d
= P
a
(z; y),
com
P
a
(z; y) = f
;a
(K + k
bc
z
b
z
c
)
a
bc
z
b
z
c
; (4.46)
e
z
a
= (z
1
; :::z
n
); y
a
= (y
1
; :::; y
n
): (4.47)
Movimento no Hiperespaço 71
Novamente K = 1 para partículas de maciças e K = 0 para partículas com massa
de repouso nula (caso dos fótons). Também temos que
z
a
= 0 e P
a
(z; y) = 0, (4.48)
determinam os pontos de equilíbrio de (4.45) (ver Apêndice I).
O conhecimento destes pontos junto com as suas propriedades de estabili-
dade nos permitirá ganhar muitas informações relativas aos tipos de compotamento
permitido ao sistema.
Se as equações f
;a
= 0 possuírem raízes reais ( que denotamos por y
o
=
(y
1
o
; :::; y
n
o
)), os pontos de equilíbrio estarão determinados por (z
a
= 0; y = y
o
).
Tanto a natureza, como tamb ém a estabilidade destes pontos de equilíbrio,
podem ser obtidos através de linearização das equações (4.45), estudando-se os auto-
valores da matriz jacobiana correspondente calculada nos pontos de equilíbrio. Neste
caso, esta é uma matriz 2n 2n dada por
J =
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
0 ::: 0 1 0 ::: 0
0 ::: 0 0 ::: 1 0
::: ::: ::: ::: ::: ::: 1
f
11
f
12
::: f
1n
0 ::: 0
f
21
f
22
::: f
2n
0 ::: 0
::: 0 ::: 0
f
n1
f
n2
::: f
nn
0 ::: 0
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
(4.49)
onde f
;ab
=
@
2
f
@y
a
@y
b
: Não é difícil ver que o determinante det J e o traço I de J são
determinados, respectivamente por
det J = (1)
n+1
det f
;ab
(4.50)
e I = 0.
Para formas gerais do fator de distorção f os auto-valores do sistema são
raízes de um polinômio de ordem 2n, que seria difícil analisar analiticamente. Porém,
aqui nosso propósito primário, é descobrir se o sistema é, em princípio, capaz de
prover con…namento de partículas nas proximidades da subvariedade espaço-tempo
Movimento no Hiperespaço 72
M
4
. Assim em lugar de procurar o caso geral, aqui, nos perguntaremos se existem
classes de fatores de distorção especiais f para os quais tal o con…namento é possível.
Como exemplo, consideremos os casos em que onde f
ij
possua pontos de
equilíbrio nulos para todo o i 6= j, e números reais positivos caso i = j. Em tal
circunstância a matriz J simpli…ca-se e os auto-valores podem ser encontrados
prontamente:
= i
p
f
;aa
; a = 1::::2n (4.51)
onde f
;aa
não subtende nenhuma soma. Esta condição seria satisfeita para funções
do tipo
f =
X
a
c
a
(y
a
)
n
, (4.52)
para n 2 Z
+
, isto é, valores inteiros e positivos n.
Isto nos permite ver o sistema como um conjunto de osciladores harmônicos
acoplados:
d
2
y
i
dt
2
= !
2
i
y
i
onde novamente nenhuma adição é subtendida em !
i
= f
ii
. Assim, no caso de
codimensão n, o movimento está con…nado a um n-toro. Isto generaliza o caso do
ponto de equilíbrio de vórtice que foi encontrado para codimensão um, a um caso de
con…namento toroidal de partículas nas proximidades da subvariedade espaço-tempo
M
4
.
Conclusões 73
Capítulo 5
Conclusão
Não é o conhecimento, mas o ato de aprender, não a posse, mas o ato
de ali chegar, que me dá o maior prazer. Quando acabo por clari…car
e explorar completamente um assunto, então afasto-me dele para entrar
na escuridão outra vez. (Carl Friedrich Gauss.Carta enviada por Gauss
ao seu amigo Wolfgang Bolyai)
Nesta dissertação, estivemos a estudar alguns aspectos do movimento de
partículas maciças e fótons em espaço produto distorcido. Espaços deste tipo têm
recebido uma grande atenção ao longo dos recentes anos, principalmente em conexão
com cenários de braneworld.
Empregando a vantajosa separação que ocorre naturalmente em tais espaços
entre o movimento nas dimensões extras e o movimento no espaço-tempo, usando
a análise do espaço de fase, encontramos uma forma de quase-con…namento das
geodésicas, neutramente estável. De certa maneira, isto é importante para uma
generalização do con…namento tipo de partículas em branas. Uma importante
razão para considerar um outro tipo de modelos de branas em que se tenha um
comprimento extra mínimo característico é dado pela teoria de cordas [52][53].
A importância do tipo de con…namento discutido aqui está no fato de que
sua origem se deve puramente a efeitos gravitacionais clássicos, sem a requerer pre-
sença de mecanismos de con…namento tipo do campo escalar. Como exemplo, en-
contramos que no caso do modelo de Randall-Sundrum a geometria não é capaz de
con…nar partículas maciças, enquanto que fótons podem ser con…nados. Como é
Conclusões 74
bem conhecido, o con…namento de partículas neste cenário é alcancado por meios
de um campo escalar [16].
Uma hipótese usualmente admitida em cenários mundo-brana, que desem-
penha um papel importante em conexão com o con…namento nestes modelos, é a
simetria Z
2
. É, portanto, importante, notar que, alguns resultados que encontramos
são capazes de levar a con…namento, nesta perspectiva. Finalmente comparamos
nossos resultados com teorema da totalidade geodésica de uma subvariedade, que
diz que as geodésicas de um espaço semi-riemanniano coincidem com as geodési-
cas de uma subvariedade (totalmente geodésica) imersa se e somente se a segunda
forma fundamental subvariedade se anula. A análise desse fato está discutida com
detalhes no capítulo 2. Nossa análise, por outro lado, enquanto restrita ao caso de
espaços produto distorcidos, fornece informações referentes à estabilidade do con-
…namento em subvariedades lorentziana tetradimensionais totalmente geodésicas,
com o seguido uso da análise de sistemas dinâmicos.
Finalmente, gostaríamos de fazer as seguintes considerações:
Uma classe importante de modelos de dimensionalidade superior no chamado
cenário “braneworld”apresenta as seguintes características em comum:
a) Nosso espaço-tempo é representado por uma hipersuperfície quadridimensional
(“brana”) imersa num espaço de dimensão superior (“bulk”ou hiperespaço);
b) a geometria do hiper-espaço é caracterizada por uma variedade diferencial dotada
de produto distorcido;
c) toda a matéria fermiônica do Universo está con…nada na brana devido a uma
interação dos férmions com um campo escalar, cuja existência é aprioristica-
mente suposta;
d) o campo escalar mencionado depende apenas das dimensões extras do hiper-
espaço.
Dito isto, uma idéia que parece ser interessante e rica de conseqüências é ex-
aminar a possibilidade de dotar o hiper-espaço de um carácter não-riemanniano, de
Conclusões 75
maneira a aparecerem graus de liberdade extra na geometria. Estes graus de lib er-
dade poderiam seu usados para simular classicamente um con…namento quântico de
uma maneira puramente geométrica. Um exemplo desse esquema de investigação foi
elaborado recentemente, tendo como modelo uma geometria de Weyl [54]. Acredita-
mos, que seja possível, ir além da geometria de Weyl, investigando sistematicamente
outras geometrias não-riemannianas (ou pós-riemannianas), tais como geometrias
com torção, variedades complexas, geometrias de Finsler, para citar algumas.
Apêndice A 76
Apêndice A
Apêndices
Um sistema dinâmico é um sistema de n equações diferenciais de primeira
ordem em n varíaveis x = (x
1
; :::; x
n
) que descrevem a evolução temporal do estado
de um sistema. Essas equações possuem a seguinte forma:
_x =F (x; ), (A.1)
com x 2 U R
N
, 2 V R
P
, com U e V conjuntos abertos em R
N
e R
P
,
respectivamente.
Na literatura da teoria de sistemas dinâmicos temos as seguintes de…nições:
x é chamado vetor de estado;
F (x). Corresponde à evolução do sistema (descreve a dinâmica), e descreve a
trajetória do sistema;
trajetória é a seqüencia de estados exibida por um sistema dinâmico durante
sua evolução temporal.
O conjunto de valores que toma x é denominado espaço de fase.
A.1 Sistemas autônomos
De…nição 40 Chamam-se autônomos os sistemas de equações diferenciais invari-
antes sob translações do tempo. Isto é:
Apêndice A 77
_x = F (x) (A.2)
É claro que um sistema será autônomo se, e somente se, os lados direitos
das equações não dependerem explicitamente do tempo.
A.1.1 Estabilidade de um sistema autônomo
De…nição 41 Um vetor x
0
em R
n
se diz um ponto crítico ou de equilibrio para o
sistema autônomo se F (x
0
) = 0:
Neste contexto, o primeiro problema da teoria da estabilidade é o de deter-
minar as condições sob as quais as soluções de (A.2) que partem das vizinhanças de
um ponto de equilíbrio para o sistema permanecem sempre perto desse ponto, caso
este que denominamos ponto de equilíbrio estável, e as condições sob as quais não
permanecem por perto, caso este que dizemos equilibrio instável.
A.1.2 Classi…cação dos pontos de equilíbrio dos sistemas
autônomos no plano
Dada uma equação
_x = Ax; (A.3)
com x =(x
1
; x
2
) 2 R
2
, onde A : R
2
! R
2
é uma matriz constante 2 2, de…ne-se
um sistema autônomo linear no plano.
Uma vez solucionada (A.3), poder-se-á traçar as curvas x
1
(t) vs t e x
2
(t)
vs t. Também é possivel traçar uma curva x
1
(t) vs x
2
(t), em um plano x
1
x
2
conhecido como o plano de fase. A curva resultante é uma trajetória de (A.3), e
pode visualizar-se como uma curva paramétrica de…nida por (x
1
(t); x
2
(t)).
A solução de (A.3) depende das condições iniciais. Com efeito, a trajetória
também dependerá das condições iniciais. Sobre o mesmo plano de fase se po dem
traçar diferentes trajetórias obtidas com distintas condições iniciais; o resultado disso
Apêndice A 78
é o que chamamos por retrato de fase. A seguir, mostramos alguns diagramas de fase
típicos de um sistema dinâmico planar nas vizinhanças de um ponto de equilíbrio:
A Figura A.1 mostra os retratos de fase típicos de sistemas lineares estáveis
e a Figura A.2 mostra os retratos de fase típicos de sistemas lineares instáveis.
Devemos ressaltar que a forma dos retratos de fase depente fundamentalmente dos
auto-valores de A [55].
Figura A.1: Retratos de fase estáveis típicos
Apêndice A 79
Figura A.2: Retratos de fase instáveis típicos
Apêndice A 80
A.2 Sistemas não lineares
Um sistema autônomo, não-linear, de segunda ordem, é de…nido por duas
equação diferenciais
8
<
:
_x = f(x; y),
_y = g(x; y),
onde f e g não são simples combinação linear das variáveis x e y. Não existem
técnicas analiticas gerais para resolver esse tipo de equação. E os métodos numéri-
cos apresentam mais problemas do que no caso de equações lineares. No entanto, a
análise grá…ca no espaço de fase pode fornecer muitas informações sobre o compor-
tamento do sistema. Uma forma e…caz de determinar a estabilidade de um sistema
dinâmico não-linear é a linearização. O propósito deste método é determinar se um
ponto crítico é estável, estipulando que nas proximidades deste ponto o comporta-
mento desse sistema se aproxime de um sistema linear.
Portanto, nas vizinhanças do ponto crítico (u; v) as duas funções podem ser
escritas na forma de uma série de Taylor:
f(x; y) = f(u; v) + (x u)
@f
@x
(u;v)
+ (y v)
@f
@y
(u;v)
+ :::
g(x; y) = g(u; v) + (x u)
@g
@x
(u;v)
+ (y v)
@g
@y
(u;v)
+ :::
Como (u; v) é um p onto crítico do sistema, f(u; v) e g(u; v) serão nulas.
Com efeito, se mudarmos a origem das coordenadas para o ponto crítico (u; v),
numa vizinhança da origem, o sistema pode ser aproximado pelo següinte sistema
linear:
_x
_y
=
0
@
@f
@x
@f
@y
@g
@x
@g
@y
1
A
(u;v)
x
y
Essa matriz, obtida a partir das derivadas das funções de estado, designa-se
por matriz jacobiana.
Bibliogra…a 81
Bibliogra…a
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