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UNIVERSIDADE FEDERAL DE S
˜
AO CARLOS
CENTRO DE CI
ˆ
ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE P
´
OS-GRADUAC¸
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AO EM MATEM
´
ATICA
Extens˜oes de Distribui¸c˜oes
Quase-homogˆeneas
Elaine Bonfante
S˜ao Carlos - SP
2007
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AO CARLOS
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PROGRAMA DE P
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OS-GRADUAC¸
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AO EM MATEM
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ATICA
Extens˜oes de Distribui¸c˜oes
Quase-homogˆeneas
Elaine Bonfante
Orientador: Prof. Dr. Jos´e Ruidival Soares dos Santos Filho
Co-Orientador: Prof. Dr. Ivo Machado da Costa
Defesa apresentada ao Programa de
P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da UFSCar,
como parte dos requisitos para a obten¸c˜ao do
t´ıtulo de “Mestre em Matem´atica” .
S˜ao Carlos
Fevereiro de 2007
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Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da
Biblioteca Comunitária da UFSCar
B713ed
Bonfante, Elaine.
Extensões de distribuições quase-homogêneas / Elaine
Bonfante. -- São Carlos : UFSCar, 2007.
78 p.
Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São
Carlos, 2007.
1. Equações diferenciais parciais. 2. Operadores
diferenciais parciais. 3. Teoria das distribuições. 4. Espaço
euclidiano. 5. Extensões de distribuições homogêneas. I.
Título.
CDD: 515.353 (20
a
)
Orientador
,.
Banca Examinadora:
Prol. Dr. José Ruidival Soares dos Santos Filho ..
DM -UFSCar
~
Prol. Dr. Cezar Issao Kondo
DM-UFSCar
c~ ~.~ dx;J;-
Prol. Dr. Ma ceio Rempel Ebert
FFCLRP/USP
Agradecimentos
A Deus e a Nossa Senhora de F´atima pela vida e pela constante companhia.
Aos Professores Dr. Jos´e Ruidival Soares dos Santos Filho e ao Dr. Ivo
Machado da Costa. O primeiro pela orienta¸c˜ao dedicada a este trabalho,
disponibilidade, paciˆencia e compreens˜ao durante nossas horas de estudos. O
segundo pela amizade, apoio e por sua inesgot´avel aten¸c˜ao e disposi¸c˜ao em me
ajudar.
Aos meus pais Jos´e e Tereza, pelo amor e compreens˜ao em todos os monentos
de minha vida. Ao meu irm˜ao Everton e minha cunhada Graciela pelo apoio
e carinho. A minha sobrinha Giovana o meu maior tesouro. A minha vov´o
Carmela pelo carinho e amizade.
Aos meus familiares que tornaram esse sonho poss´ıvel direta ou indiretamente.
Aos professores do Centro Universit´ario “Bar˜ao de Mau´a”em especial aos Pro-
fessores Dr. Afonso Celso Marino Guimar˜aes, Dr. Marcelo Noronha Zini e a
Professora Dra. Monica Magalh˜aes Costa Zini.
Aos professores da UFSCAR pelos ensinamentos matem´aticos e pela amizade.
Aos meus amigos em especial a Claudete e ao Jamil, pela amizade e pelas
palavras de incentivo nas horas dif´ıceis. Tamb´em s´o posso agradecer e retribuir
com meu bem mais valioso: a emo¸c˜ao que sinto quando me lembro das pessoas
que fizeram ou fazem parte de meus sonhos e tamb´em daqueles de cujos sonhos
eu tamb´em fiz ou fa¸co parte de alguma forma. N´os nos tornamos c´umplices
na arte de sonhar com os olhos abertos. Mas preciso poupar vocˆe, leitor de
uma lista que poderia ser intermin´avel e ainda assim cometeria injusti¸cas por
omiss˜oes inevit´aveis. Essas pessoas sabem o que significam para mim e tenho
certeza de que entendem as raz˜oes pelas quais s ´o nomino algumas delas.
Finalizo pedindo desculpas aqueles a quem eu possa ter frustado por n˜ao con-
tribuir com os seus sonhos enquanto tentava realizar os meus.
Resumo
Nesta disserta¸c ˜ao a autora demonstra dois resultados de extens˜oes para IR
n
de
solu¸c˜oes distribucionais em IR
n
\{0} do operador L
λ,a
=
n
i=1
λ
i
x
i
∂
x
i
− a, com
λ = (λ
1
, . . . , λ
n
) ∈ IR
n
+
e a ∈ C.
Abstract
In this dissertation the author proves two results of extensions for IR
n
of dis-
tribution solutions in IR
n
\{0} of the operator L
λ,a
=
n
i=1
λ
i
x
i
∂
x
i
− a, with
λ = (λ
1
, . . . , λ
n
) ∈ IR
n
+
and a ∈ C.
Sum´ario
Introdu¸c˜ao 9
1 Distribui¸c˜oes Homogˆeneas em IR 13
1.1 Distribui¸c˜oes Homogˆeneas de grau a com Re(a) > −1 . . . . . . 13
1.2 Distribui¸c˜oes Homogˆeneas de grau a com a ∈ ZZ
−
. . . . . . . . 16
1.3 Distribui¸c˜oes com a ∈ ZZ
−
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Distribui¸c˜oes Homogˆeneas de IR
n
24
2.1 Caracteriza¸c˜ao de Distribui¸c˜oes Homogˆeneas de IR
n
\{0} . . . . 24
2.2 Alguns Lemas
´
Uteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Extens˜oes de Distribui¸c˜oes Homogˆeneas de IR
n
\{0} 35
3.1 Extens˜oes de Distribui¸c˜oes Homogˆeneas de IR
n
\{0} - Parte I . . 35
3.2 Extens˜oes de Distribui¸c˜oes Homogˆeneas de IR
n
\{0} - Parte II . 43
4 Distribui¸c˜oes Quase-homogˆeneas de IR
n
52
4.1 Caracteriza¸c˜ao de Distribui¸c˜oes Quase-homogˆeneas de IR
n
\{0} . 52
4.2 Alguns Lemas
´
Uteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5 Extens˜oes de Distribui¸c˜oes Quase-homogˆeneas de IR
n
\{0} 62
5.1 Extens˜oes de Distribui¸c˜oes Quase-homogˆeneas de IR
n
\{0}
- Parte I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2 Extens˜oes de Dis tribui¸c˜oes Quase-homogˆeneas de IR
n
\{0}
- Parte II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Referˆencias Bibliogr´aficas 78
Introdu¸c˜ao
Seja λ = (λ
1
, . . . , λ
n
) ∈ IR
n
+
e a ∈ C, da´ı considere L
λ,a
=
n
i=1
λ
i
x
i
∂
x
i
− a.
O objetivo deste trabalho ´e apresentar resultados de extens˜oes para IR
n
de
solu¸c˜oes homogˆeneas em IR
n
\{0} de L
λ,a
. Para atingirmos este objetivo seguire-
mos de perto os resultados L.H¨ormander, em [H¨o], para o caso λ = (1, . . . , 1).
Neste caso as solu¸c˜oes s˜ao denominadas distribui¸c˜oes homogˆeneas. Isto nos
motivou a denominar as solu¸c˜oes de L
λ,a
de distribui¸c˜oes λ− homogˆeneas de
grau a. Para λ e a arbitr´arios o conjunto de todas essas distribui¸c˜oes ser˜ao
chamadas de quase-homogˆeneas.
Est´a disserta¸c˜ao est´a assim organizada:
Iniciamos com uma lista de nota¸c˜oes e conceitos.
No primeiro cap´ıtulo definiremos distribui¸c˜oes homogˆeneas de grau a em IR.
Veremos que quando a ∈ C\ZZ
−
existem tais distribui¸c˜oes, no entanto quando
a ∈ ZZ
−
este n˜ao ´e o caso.
No segundo cap´ıtulo estenderemos a defini¸c˜ao de distribui¸c˜oes homogˆeneas
para IR
n
\{0} e IR
n
. Veremos por meio de um lema trˆes formas equivalentes de
definir distribui¸c˜oes homogˆeneas em IR
n
\{0} e demonstraremos alguns resul-
tados necess´arios para o cap´ıtulo precedente.
No terceiro cap´ıtulo na se¸c˜ao 3.1, seguindo L.H¨ormander em [H¨o], enuncia-
remos e demonstraremos o resultado de extens˜ao para IR
n
de distribui¸c˜oes
homogˆeneas em IR
n
\{0} de grau a com a /∈ {k ∈ ZZ ; k ≤ −n} e veremos que,
9
10
neste caso, uma tal extens˜ao homogˆenea de mesmo grau pode ser obtida, j´a na
se¸c˜ao 3.2 demonstraremos um teorema de extens˜ao para IR
n
de distribui¸c˜oes
homogˆeneas em IR
n
\{0} de grau inteiro a sendo a = −n −k com k ∈ IN. Neste
caso s´o excepcionalmente a distribui¸c˜ao obtida ´e homogˆenea.
No quarto cap´ıtulo demonstraremos um lema an´alogo ao do Cap´ıtulo 2, des-
crevendo, portanto, trˆes formas equivalentes para definir distribui¸c˜oes ho-
mogˆeneas em IR
n
\{0}.
No quinto cap´ıtulo na se¸c˜ao 5.1 estenderemos para IR
n
distribui¸c˜oes
quase-homogˆeneas (ou λ−homogˆeneas) em IR
n
\{0} de grau a, quando
a /∈ {−|λ|− < α, λ >; i = 1, . . . , n}, j´a na se¸c˜ao 5.2 estenderemos para o IR
n
distribui¸c˜oes quase-homogˆeneas ( ou λ−homogˆeneas) em IR
n
\{0}, quando
a = −|λ|− < α, λ >, para algum α ∈ IN
n
. Condi¸c˜oes para que exista ex-
tens˜oes homogˆeneas s˜ao tamb´em descritas.
As bibliografias utilizadas foram: [L] e [R] para os elementos de An´alise Real.
[Ho], [H¨o], [O] e [F] para os fundamentos da teoria de distribui¸c˜oes. Finalmente
[H¨o] e [G] para o estudo de distribui¸c˜oes homogˆeneas e quase-homogˆeneas em
IR
n
.
Lista de Nota¸c˜oes e Conceitos
IR
n
= o espa¸co euclidiano n-dimensional (n ≥ 1).
IN
n
= o conjunto das n-uplas α = (α
1
, α
2
, . . . , α
n
) com α
j
∈ IN para cada
j = 1, 2, . . . , n.
|α| = α
1
+ α
2
+ . . . + α
n
.
∂
α
= ∂
α
1
x
1
∂
α
2
x
2
. . . ∂
α
n
x
n
com ∂
x
j
=
∂
∂
x
j
.
x
α
= x
1
α
1
x
2
α
2
. . . x
n
α
n
os monˆomios em x de expoente α.
Se α, β ∈ IN
n
, dizemos que β ≤ α se β
j
≤ α
j
, ∀j = 1, 2, . . . , n.
α! := α
1
!α
2
! . . . α
n
!.
α
β
:=
α!
β!(α − β)!
, ∀β ≤ α.
Para λ ∈ IR, [λ] = a parte inteira de λ.
Ω ´e um subconjunto aberto de IR
n
.
Ω
c
´e o complementar de Ω em IR
n
.
K ⊂⊂ Ω, significa que K ´e subconjunto compacto de Ω.
C
∞
(Ω) = o espa¸co das fun¸c˜oes complexas infinitamente diferenci´aveis.
Se K ⊂⊂ Ω e j ∈ IN e ϕ ∈ C
∞
(Ω),
p
K,j
(ϕ) = sup
x∈K
|α|≤j
|∂
α
ϕ(x)|
´e a fam´ılia de seminormas que definem a topologia de C
∞
(Ω).
C
∞
c
(Ω) = {f : Ω −→ C; f ∈ C
∞
(Ω) e S(f) ⊂⊂ Ω} .
Quando K ⊂⊂ Ω, C
∞
c
(K) = {ϕ ∈ C
∞
(Ω) : S(ϕ) ⊂⊂ K} .
11
12
D
= o espa¸co das distribui¸c˜oes em Ω.
u ∈ D
⇔ u : C
∞
c
(Ω) → C ´e um funcional linear e para cada compacto K ⊂ Ω
existem constantes C ∈ IR e k ∈ IN tais que:
| < u, ϕ > | ≤ C
|α|≤k
sup |∂
α
ϕ|; ϕ ∈ C
∞
c
(Ω) com S(ϕ) ⊂ K. (0.0.1)
Denotamos T
u
a distribui¸c˜ao dada por < T
u
, ϕ >=
u(x)ϕ(x) dx, se u ∈ L
1
loc
e ϕ ∈ C
∞
c
.
A ordem da distribui¸c˜ao u ∈ D
´e o menor valor inteiro n˜ao-negativo de k,
se k em (0.0.1) puder ser tomado independente de K. Se n˜ao existir k finito
que satisfa¸ca a desigualdade citada para todo K, dizemos que u possui ordem
infinita.
Suporte de u = S(u) =
V ; u
V
=0
V
c
.
Cap´ıtulo 1
Distribui¸c˜oes Homogˆeneas em IR
1.1 Distribui¸c˜oes Homogˆeneas de grau a com
Re(a) > −1
Seja λ ∈ IR. Dizemos que uma fun¸c˜ao real f em IR \ {0} ´e homogˆenea de grau
λ se f(tx) = t
λ
f(x) para t > 0, ou analogamente, se
f(x) =
x
λ
f(1), para x > 0
(−x)
λ
f(−1), caso x < 0.
Consideremos ent˜ao as fun¸c˜oes f
+
= f(1)x
λ
+
e f
−
= f(−1)x
λ
−
com
x
λ
+
: IR \ {0} −→ IR definida por
x
λ
+
(x) =
x
λ
, se x > 0
0, se x < 0,
e x
λ
−
: IR \ {0} −→ IR definida por
x
λ
−
(x) =
0, se x > 0
|x|
λ
, para x < 0.
Logo, f(x) = f
+
(x) + f
−
(x) ∀x ∈ IR \ {0}.
Observa¸c˜ao 1.1.1 Como x
λ
+
(−x) = x
λ
−
(x), para qualquer x = 0, vamos estu-
dar a fun¸c˜ao x
λ
+
. Resultados an´alogos s˜ao obtidos por x
λ
−
.
13
14
Mas geralmente, para qualquer a ∈ C, seja x
a
+
: IR \ {0} −→ C definida por:
x
a
+
(x) =
x
a
, se x > 0
0, se x < 0.
Para x > 0
x
a
= e
a ln(x)
= x
Re(a)
e
iIm(a) ln x
.
Para estender tais distribui¸c˜oes para IR precisamos dar um sentido as dis-
tribui¸c˜oes homogˆeneas em IR. Observamos que quando Re(a) > −1, ent˜ao
x
a
+
∈ L
1
loc
(IR) e da´ı, se estende para uma distribui¸c˜ao em IR. De fato, seja
x
a
+
: IR −→ C definida por:
x
a
+
(x) =
x
a
, se x > 0
0, se x ≤ 0.
Logo, para K compacto de IR, temos:
K
|x
a
+
| dx =
K∩(0,+∞)
x
Re(a)
e
iIm(a) ln x
dx
=
K∩(0,+∞)
x
Re(a)
dx
=
K∩(0,+∞)
x
Re(a)
dx < +∞, se Re(a) > −1.
Da´ı x
a
+
define uma distribui¸c˜ao.
Fazendo uma mudan¸ca de vari´avel obtemos que a distribui¸c˜ao u = T
x
a
+
satisfaz
< u, ϕ >= t
a
< u, ϕ
t
>, para toda ϕ ∈ C
∞
c
(IR) com ϕ
t
(x) = tϕ(tx) e t > 0
da´ı, consideremos:
Defini¸c˜ao 1.1.1 Dado a ∈ C
, u ∈ D
(IR) ´e homogˆenea de grau a se:
< u, ϕ >= t
a
< u, ϕ
t
>, (1.1.1)
para toda ϕ ∈ C
∞
c
(IR) com ϕ
t
(x) = tϕ(tx) e t > 0.
15
´
E f´acil mostrar as seguintes propriedades:
x.x
a
+
= x
a+1
+
se Re (a) > −1, em D
(IR) (1.1.2)
e
d
dx
x
a
+
= ax
a−1
+
se Re (a) > 0, em D
(IR). (1.1.3)
Nosso pr´oximo objetivo ´e estender a defini¸c˜ao de x
a
+
como distribui¸c˜ao para
todo a ∈ C, de forma que as propriedades (1.1.2) e (1.1.3) sejam preservadas.
Veremos no entanto que a veracidade destas propriedades n˜ao valem para todo
a ∈ C. De fato, um exemplo simples ´e a = 0, pois neste caso temos que o lado
esquerdo de (1.1.3) ´e H
= δ e o lado direito ´e nulo.
Assim para estendermos esta an´alise para todo a ∈ C, consideremos
para cada ϕ ∈ C
∞
c
(IR) fixa a seguinte fun¸c˜ao:
I
ϕ
: {a ∈ C; Re(a) > −1} −→ C
definida por I
ϕ
(a) =< x
a
+
, ϕ >=
+∞
0
x
a
ϕ(x)dx. Afirmamos que esta fun¸c˜ao
´e anal´ıtica.
De fato, basta verificarmos que
∂(I
ϕ
)
∂a
= 0. Assim temos que
∂(I
ϕ
)
∂a
=
1
2
∂
∂a
1
+ i
∂
∂a
2
(I
ϕ
) =
1
2
∂I
ϕ
∂a
1
+ i
∂I
ϕ
∂a
2
.
Da´ı,
∂(I
ϕ
)
∂a
1
=
∂
∂a
1
+∞
0
x
a
ϕ(x) dx
=
+∞
0
∂
∂a
1
x
a
1
x
ia
2
ϕ(x)
dx
=
+∞
0
x
a
ln(x)ϕ(x) dx,
onde a segunda igualdade segue do Teorema da Convergˆencia Dominada. Analoga-
mente
∂(I
ϕ
)
∂a
2
=
∂
∂a
2
+∞
0
x
a
ϕ(x) dx
=
+∞
0
∂
∂a
2
x
a
1
x
ia
2
ϕ(x) dx
= i
+∞
0
x
a
ln(x)ϕ(x) dx,
16
a convergˆencia segue do Teorema da Convergˆencia Dominada.
Logo,
∂(I
ϕ
)
∂a
= 0 e portanto I
ϕ
´e anal´ıtica quando Re(a) > −1.
Observa¸c˜ao 1.1.2 Se Re(a) > −1 e k > 0 for um inteiro, podemos mostrar
que:
< x
a
+
, ϕ >= (−1)
k
< x
a+k
+
, ϕ
(k)
>
(a + 1) . . . (a + k)
. (1.1.4)
De fato, por indu¸c˜ao em k, mostraremos que vale a igualdade acima para
k = 1. Observemos que < x
a+1
+
, ϕ
>= −(a + 1) < x
a
+
, ϕ > por (1.1.3). Da´ı,
(−1) < x
a+1
+
, ϕ
(1)
>
(a + 1)
=
(−1)
2
(a + 1)
(a + 1) < x
a
+
, ϕ >
= < x
a
+
, ϕ > .
Suponhamos que valha para k, isto ´e,
< x
a
+
, ϕ >= (−1)
k
< x
a+k
+
, ϕ
(k)
>
(a + 1) . . . (a + k)
.
Provaremos que vale para k + 1.
Observemos que
< x
a+k+1
+
, ϕ
(k+1)
>= −(a + k + 1) < x
a+k
+
, ϕ
(k)
>
por (1.1.3). Da´ı,
(−1)
k+1
< x
a+k+1
+
, ϕ
(k+1)
>
(a + 1) . . . (a + k)(a + k + 1)
=
(−1)
k+2
(a + k + 1) < x
a+k
+
, ϕ
(k)
>
(a + 1) . . . (a + k)(a + k + 1)
=
(−1)
k
(a + 1) . . . (a + k)
< x
a+k
+
, ϕ
(k)
>
= < x
a
+
, ϕ > .
Assim para Re(a) > −1, com k inteiro positivo, temos (1.1.4) vale.
1.2 Distribui¸c˜oes Homogˆeneas de grau a com
a ∈ ZZ
−
A aplica¸c˜ao a → x
a
+
e a → x
a
−
se estendem analiticamente para
a ∈ C\ZZ
−
, definindo distribui¸c˜oes homogˆeneas de grau a.
17
Observemos que lado direito da rela¸c˜ao (1.1.4) da se¸c˜ao 1.1 ´e anal´ıtico para
Re(a) > −1 − k exceto para os p´olos simples −1, −2, . . . , −k, pois x
a+k
+
´e
anal´ıtica para Re(a) > −1 − k e
1
(a + 1) . . . (a + k)
´e anal´ıtica exceto nos
p´olos simples −1, −2, . . . , −k.
Ainda, x
a
+
define uma distribui¸c˜ao de ordem menor ou igual que k, pois para
toda ϕ ∈ C
∞
c
(IR), com S(ϕ) ⊂ K ⊂⊂ IR, temos:
< x
a
+
, ϕ >
=
(−1)
k
(a + 1) . . . (a + k)
< x
a+k
+
, ϕ
(k)
>
= c
k,a
< x
a+k
+
, ϕ
(k)
>
≤ c
k,a
c sup |ϕ
(k)
|
≤ C
k,a
k
j=0
sup |ϕ
(j)
|,
onde
k = ord(x
a
+
) =
0, se Re(a) > −1
−[Re(a)], se Re(a) ≤ −1.
Proposi¸c˜ao 1.2.1 < x
a
+
, ϕ > se estende por continua¸c˜ao anal´ıtica com res-
peito `a a para a ∈ C\ZZ
−
.
Demonstra¸c˜ao: Temos por (1.1.4) que al´em de anal´ıticas para
Re(a) > −1, s˜ao iguais. Mas o lado direito ´e anal´ıtico para Re(a) > −1 − k
exceto para os p´olos simples −1, −2, . . . , −k, logo, pelo Princ´ıpio da Extens˜ao
Anal´ıtica segue que < x
a
+
, ϕ >= (−1)
k
< x
a+k
+
, ϕ
(k)
>
(a + 1) . . . (a + k)
em C\ZZ
−
.
Pela Proposi¸c˜ao 1.2.1 definiremos x
a
+
por continua¸c˜ao anal´ıtica com respeito a
a.
Usando (1.1.4) mostra-se que x
a
+
com a /∈ ZZ
−
, satisfaz (1.1.2) e (1.1.3) e s˜ao
distribui¸c˜oes homogˆeneas de grau a.
Todos os resultados sobre x
a
+
, com a ∈ C\ZZ
−
, s˜ao an´alogos para x
a
−
.
18
1.3 Distribui¸c˜oes com a ∈ ZZ
−
Estendemos a aplica¸c˜ao a → x
a
+
para a ∈ ZZ
−
, no entanto, ela n˜ao ´e
homogˆenea.
A motiva¸c˜ao para definirmos x
a
+
quando a ∈ ZZ
−
´e o seguinte. Primeiramente
observe que para a = −k o res´ıduo da fun¸c˜ao a →< x
a
+
, ϕ > ´e
lim
a→−k
(a + k) < x
a
+
, ϕ >=
ϕ
(k−1)
(0)
(k − 1)!
,
pois,
lim
a→−k
(a + k) < x
a
+
, ϕ > = lim
a→−k
(a + k)(−1)
k
< x
a+k
+
, ϕ
(k)
>
(a + 1) . . . (a + k)
= −
+∞
0
ϕ
(k)
(x) dx
(k − 1)!
=
ϕ
(k−1)
(0)
(k − 1)!
.
Assim,
(a + k)x
a
+
→ (−1)
k−1
δ
(k−1)
0
(k − 1)!
, quando a → −k. (1.3.1)
Subtraindo a parte singular, obtemos, quando a + k = ε → 0, que
lim
a→−k
< x
a
+
, ϕ > −
ϕ
(k−1)
(0)
(k − 1)!(a + k)
= lim
ε→0
(−1)
k
< x
ε
+
, ϕ
(k)
>
(ε + 1 − k) . . . (ε − 1)ε
−
ϕ
(k−1)
(0)
(k − 1)!ε
= lim
ε→0
(−1)
k
+∞
0
x
ε
ϕ
(k)
(x) dx
(ε + 1 − k) . . . (ε − 1)ε
−
ϕ
(k−1)
(0)
(k − 1)!ε
= lim
ε→0
(−1)
k
+∞
0
(x
ε
− 1)ϕ
(k)
(x) dx
(ε + 1 − k) . . . (ε − 1)ε
+
(−1)
k
+∞
0
ϕ
(k)
(x) dx
(ε + 1 − k) . . . (ε − 1)ε
−
ϕ
(k−1)
(0)
(k − 1)!ε
19
= lim
ε→0
(−1)
k
(ε + 1 − k) . . . (ε − 1)
+∞
0
(x
ε
− 1)ϕ
(k)
(x) dx
ε
+
(−1)
k+1
ϕ
(k−1)
(0)
(ε + 1 − k) . . . (ε − 1)ε
−
ϕ
(k−1)
(0)
(k − 1)!ε
= −
+∞
0
ln(x)ϕ
(k)
(x) dx
(k − 1)!
+ lim
ε→0
ϕ
(k−1)
(0)
ε
(k − 1)! − (k − 1 − ε) . . . (1 − ε)
(k − 1)!(k − 1 − ε) . . . (1 − ε)
= −
+∞
0
ln(x)ϕ
(k)
(x) dx
(k − 1)!
+ lim
ε→0
ϕ
k−1
(0)
(k − 1)!
(k − 1)(k − 2 − ε) . . . (1 − ε) + . . . + (k − 1 − ε) . . . (2 − ε)
ε
d
dε
[(k − 1 − ε) . . . (1 − ε)] + (k − 1 − ε) . . . (1 − ε)
= −
+∞
0
ln(x)ϕ
(k)
(x) dx
(k − 1)!
+
ϕ
(k−1)
(0)
(k − 1)!
1
(k − 1)!
(k − 1)!
(k − 1)
+ . . . +
(k − 1)!
1
= −
+∞
0
ln(x)ϕ
(k)
(x) dx
(k − 1)!
+
ϕ
(k−1)
(0)
(k − 1)!
k−1
j=1
1
j
.
Deste modo definimos
< x
−k
+
, ϕ >= −
+∞
0
ln(x)ϕ
(k)
(x) dx
(k − 1)!
+
ϕ
(k−1)
(0)
(k − 1)!
k−1
j=1
1
j
. (1.3.2)
Note que a homogeneidade ´e perdida quando a = −k. Desta forma, obtemos
de (1.3.2) que:
< x
−k
+
, ϕ >= t
−k
< x
−k
+
, ϕ
t
> + ln(t)
ϕ
(k−1)
(0)
(k − 1)!
. (1.3.3)
De fato,
t
−k
< x
−k
+
, ϕ
t
> = t
−k
−1
(k − 1)!
+∞
0
ln(x) (tϕ(tx))
(k)
dx
+ t
k
ϕ
(k−1)
(0)
1
(k − 1)!
k−1
j=1
1
j
= t
−k
−1
(k − 1)!
+∞
0
ln(x)t
k
ϕ
(k)
(tx) d(tx)
+ t
k
ϕ
(k−1)
(0)
1
(k − 1)!
k−1
j=1
1
j
20
= −
1
(k − 1)!
+∞
0
ln(
y
t
)ϕ
(k)
(y) dy +
ϕ
(k−1)
(0)
(k − 1)!
k−1
j=1
1
j
= −
1
(k − 1)!
+∞
0
ln(y)ϕ
(k)
(y) dy +
1
(k − 1)!
ln(t)ϕ
(k−1)
(0)
+ ϕ
(k−1)
(0)
1
(k − 1)!
k−1
j=1
1
j
= < x
−k
+
, ϕ > + ln(t)
ϕ
(k−1)
(0)
(k − 1)!
.
Se a ∈ ZZ
−
, afirmamos que vale a propriedade (1.1.2).
De fato,
< x
−k
+
, xϕ >= −
+∞
0
ln(x)ϕ
(k−1)
(x) dx
(k − 2)!
+
ϕ
(k−2)
(0)
(k − 2)!
k−2
j=1
1
j
. (1.3.4)
pois,
lim
a→−k
(a + k) < x
a
+
, xϕ > = lim
a→−k
(a + k)(−1)
k
< x
a+k
+
, (xϕ)
(k)
>
(a + 1) . . . (a + k)
=
(−1)
+∞
0
(xϕ(x))
(k)
dx
(k − 1)!
=
(−1)
(k − 1)!
+∞
0
kϕ
(k−1)
(x) dx
+
(−1)
(k − 1)!
+∞
0
xϕ
(k)
(x) dx
=
k
(k − 1)!
ϕ
(k−2)
(0) +
(−1)
(k − 1)!
ϕ
(k−2)
(0)
=
ϕ
(k−2)
(0)
(k − 2)!
.
Analogamente, calculamos o res´ıduo da fun¸c˜ao a → x
a+1
+
(ϕ), o qual ´e
lim
a→−k
(a + k) < x
a+1
+
, ϕ >=
1
(k − 2)!
ϕ
(k−2)
(0).
Desta forma, subtra´ıremos um termo
c
(a + k)
que ´e o mesmo em ambos os
lados. Da´ı,
21
lim
a→−k
< x
a
+
, xϕ > −
ϕ
(k−2)
(0)
(k − 2)!(a + k)
= lim
ε→0
(−1)
k
< x
ε
+
, (xϕ)
(k)
>
(ε + 1 − k) . . . (ε − 1)ε
−
ϕ
(k−2)
(0)
(k − 2)!ε
= lim
ε→0
(−1)
k
+∞
0
x
ε
(xϕ)
(k)
(x)
dx
(ε + 1 − k) . . . (ε − 1)ε
−
ϕ
(k−2)
(0)
(k − 2)!ε
= lim
ε→0
(−1)
k
(k − ε − 1)
+∞
0
x
ε
ϕ
(k−1)
(x) dx
(ε + 1 − k) . . . (ε − 1)ε
−
ϕ
(k−2)
(0)
(k − 2)!ε
= lim
ε→0
(−1)
k
(k − ε − 1)
+∞
0
(x
ε
− 1)ϕ
(k−1)
(x) dx
(ε + 1 − k) . . . (ε − 1)ε
+
(−1)
k
(k − ε − 1)
+∞
0
ϕ
(k−1)
(x) dx
(ε + 1 − k) . . . (ε − 1)ε
−
ϕ
(k−2)
(0)
(k − 2)!ε
= (−1)
k
(k − 1)
+∞
0
ln(x)ϕ
(k−1)
(x) dx
(−1)
k−1
(k − 1)!
+ lim
ε→0
(−1)
k
(k − ε − 1)ϕ
(k−2)
(0)
(ε + 1 − k) . . . (ε − 1)ε
−
ϕ
(k−2)
(0)
(k − 2)!ε
= −
+∞
0
ln(x)ϕ
(k−1)
(x) dx
(k − 2)!
+ lim
ε→0
ϕ
(k−2)
(0)
ε
−(k − ε − 1)(k − 2)! − (k − 1 − ε) . . . (1 − ε)
(k − 2)!(k − 1 − ε) . . . (1 − ε)
= −
+∞
0
ln(x)ϕ
(k−1)
(x) dx
(k − 2)!
+ lim
ε→0
ϕ
k−2
(0)
(k − 2)!
(k − 1)(k − 2)! + (k − 1) . . . (1 − ε) + . . . + (k − 1 − ε) . . . (2 − ε)
ε
d
dε
[(k − 1 − ε) . . . (1 − ε)] + (k − 1 − ε) . . . (1 − ε)
= −
+∞
0
ln(x)ϕ
(k−1)
(x) dx
(k − 2)!
+
ϕ
(k−2)
(0)
(k − 2)!
1
(k − 2)!
(k − 2)!
(k − 2)
+ . . . +
(k − 2)!
1
= −
+∞
0
ln(x)ϕ
(k−1)
(x) dx
(k − 2)!
+
ϕ
(k−2)
(0)
(k − 2)!
k−2
j=1
1
j
.
22
De maneira similar segue que
lim
a→−k
< x
a+1
+
, ϕ > −
ϕ
(k−2)
(0)
(k − 2)!(a + k)
= −
+∞
0
ln(x)ϕ
(k−1)
(x) dx
(k − 2)!
+
ϕ
(k−2)
(0)
(k − 2)!
k−2
j=1
1
j
.
Observa¸c˜ao 1.3.1
Se a = −k ∈ ZZ
+
mostremos que
d
dx
x
−k
+
= −kx
−k−1
+
+ (−1)
k
δ
(k)
0
k!
. Uma vez que
de (1.3.1) temos:
lim
a→−k
d
dx
x
a
+
+ kx
a−1
+
= lim
a→−k
ax
a−1
+
+ kx
a−1
+
= lim
a→−k
(a + k)x
a−1
+
= lim
a→−k−1
(a + k + 1)x
a
+
= (−1)
k
δ
(k)
0
k!
,
e assim eliminando termos da forma
cδ
(k)
0
a + k
, os quais devem cancelar-se, obte-
mos
d
dx
x
−k
+
= −kx
−k−1
+
+ (−1)
k
δ
(k)
0
k!
em D
. (1.3.5)
De fato,
d
dx
x
−k
+
+ kx
−k−1
+
, ϕ
= − < x
−k
+
, ϕ
> +k < x
−k−1
+
, ϕ >
= − lim
a→−k
< x
a
+
, ϕ
> −
ϕ
(k)
(0)
(k − 1)!(a + k)
+ k lim
a→−k−1
< x
a
+
, ϕ > −
ϕ
(k)
(0)
k!(a + k + 1)
= lim
a→−k
− < x
a
+
, ϕ
> +
ϕ
(k)
(0)
(k − 1)!(a + k)
+ k lim
a→−k−1
(−1)
(a + 1)
< x
a+1
+
, ϕ
> −
ϕ
(k)
(0)
k!(a + k + 1)
23
= lim
a→−k
− < x
a
+
, ϕ
> +
ϕ
(k)
(0)
(k − 1)!(a + k)
+
(−1)
a
k < x
a
+
, ϕ
> −
ϕ
(k)
(0)
(k − 1)!(a + k)
= lim
a→−k
− < x
a
+
, ϕ
> −
k
a
< x
a
+
, ϕ
>
= lim
a→−k
−
(a + k)
a
< x
a
+
, ϕ
>
=
(−1)
k
k!
δ
k
0
(ϕ),
a ´ultima igualdade segue de (1.3.1).
Outra maneira de obter esse resultado ´e usar diretamente (1.3.2). Com efeito;
d
dx
x
−k
+
, ϕ
= −x
−k
+
, ϕ
=
1
(k − 1)!
+∞
0
ln(x)ϕ
(k+1)
(x)dx − ϕ
(k)
(0)
k−1
j=1
1
j
=
k
k!
+∞
0
ln(x)ϕ
(k+1)
(x)dx − ϕ
(k)
(0)
k
j=1
1
j
+
1
k
ϕ
(k)
(0)
=
−kx
k−1
+
+ (−1)
k
δ
(k)
0
k!
, ϕ
.
Todos os resultados sobre x
a
+
, com a ∈ ZZ
−
, s˜ao an´alogos para x
a
−
.
Cap´ıtulo 2
Distribui¸c˜oes Homogˆeneas de
IR
n
Nosso objetivo neste cap´ıtulo ´e definir distribui¸c˜oes homogˆeneas de
IR
n
e apresentarmos alguns resultados b´asicos que ser˜ao usados na extens˜ao
de distribui¸c˜oes homogˆeneas de IR
n
\{0} para IR
n
.
2.1 Caracteriza¸c˜ao de Distribui¸c˜oes Homogˆeneas
de IR
n
\{0}
Defini¸c˜ao 2.1.1 Diz-se que Γ ´e um cone aberto em IR
n
se: Γ for um conjunto
aberto em IR
n
e tx ∈ Γ ∀t > 0, ∀x ∈ Γ.
Tal como em IR definiremos:
Defini¸c˜ao 2.1.2 Dado a ∈ C e Γ um cone aberto diz-se que u ∈ D
(Γ) ´e
homogˆenea de grau a se,
< u, ϕ >= t
a
< u, ϕ
t
>, ∀ ϕ ∈ C
∞
c
(Γ) com ϕ
t
(x) = t
n
ϕ(tx), t > 0.
Agora expressaremos a no¸c˜ao de homogeneidade de duas maneiras equiva-
lentes. Antes de fazˆe-lo, recordaremos o seguinte resultado:
24
25
Teorema 2.1.1 Sejam Ω e Y subconjuntos abertos de IR
n
e IR
m
, respectiva-
mente, ϕ ∈ C
∞
(Ω × Y ) e u ∈ D
(Ω). Se existe K ⊂⊂ Ω tal que ϕ(x, y) = 0
quando x /∈ K, ent˜ao a aplica¸c˜ao y →< u, ϕ(·, y) > pertence a C
∞
(Y ) e
∂
α
y
< u, ϕ(·, y) >=< u, ∂
α
y
ϕ(·, y) >,
para todo multi-´ındice α.
A demonstra¸c˜ao deste resultado pode ser encontrado em [H¨o], pg 34.
Considere e = (1, . . . , 1) assim temos que L
e,0
=
n
i=1
x
i
∂
x
i
.
Lema 2.1.1 Se u ∈ D
(IR
n
\{0}), ent˜ao as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equiva-
lentes :
(a) < u, ϕ >= t
a
< u, ϕ
t
>, ∀ ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}), t > 0.
(2.1.1)
(b) (a + n) < u, ϕ > + < u, L
e,0
ϕ >= 0, ∀ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}).
(2.1.2)
(c) < u, ψ >= 0, se ψ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) e
+∞
0
r
a+n−1
ψ(rw) dr = 0, ∀ w ∈ S
n−1
(2.1.3)
Demonstra¸c˜ao: Mostremos que (a) ⇒ (b). Diferenciando a igualdade
em (a) em rela¸c˜ao `a t e usando o Teorema 2.1.1, seguir´a que
(a + n) < u, ϕ > + < u, L
e,0
ϕ >= 0, onde ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}).
De fato,
0 =
d
dt
(< u, ϕ >) =
d
dt
(t
a
< u(·), t
n
ϕ(tx) >)
=
u(·),
d
dt
(t
a+n
ϕ(tx))
=
u, (a + n)t
a+n−1
ϕ(tx) + t
a+n
d
dt
(ϕ(tx))
26
= (a + n)t
a−1
< u, t
n
ϕ(tx) > +t
a−1
u, t
n
n
j=1
tx
j
(∂
x
j
ϕ)(tx)
= (a + n)t
a−1
< u, ϕ
t
(x) > +t
a−1
u,
n
j=1
x
j
(∂
x
j
ϕ)
t
(x)
= (a + n)t
−1
< u, ϕ > +t
−1
u,
n
j=1
x
j
(∂
x
j
ϕ)
∀ t
=⇒
0 = (a + n) < u, ϕ > + < u,
n
j=1
x
j
(∂
x
j
ϕ) >
= (a + n) < u, ϕ > + < u, L
e,0
ϕ >
aqui a segunda igualdade segue do Teorema 2.1.1 e a sexta igualdade segue da
homogeneidade de u.
Para demonstrarmos que (b) ⇒ (c), primeiro observamos que a integral
f(x) =
+∞
0
r
a+n−1
ψ(rx) dr ´e uma fun¸c˜ao homogˆenea de grau −n − a, pois
f(tx) =
+∞
0
r
a+n−1
ψ(rtx) dr
=
+∞
0
s
t
a+n−1
ψ(sx)
ds
t
= t
−a−n
+∞
0
s
a+n−1
ψ(sx) ds
= t
−a−n
f(x).
Deste modo, basta verificar que a equa¸c˜ao (a + n)ϕ + L
e,0
ϕ = ψ, tem solu¸c˜ao
ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}). Entretanto, em coordenadas polares tal equa¸c˜ao diferencial
pode ser escrita como:
∂
∂r
(r
a+n
ϕ(rw)) = r
a+n−1
ψ(rw), com ||w|| = 1. (2.1.4)
Com efeito,
∂
∂r
(r
a+n
ϕ(rw)) = (a + n)r
a+n−1
ϕ(rw) + r
a+n
∂
∂r
(ϕ(rw))
27
= (a + n)r
a+n−1
ϕ(rw) + r
a+n−1
n
j=1
rw
j
(∂
j
ϕ)(rw)
= r
a+n−1
[(a + n)ϕ(rw) + (L
e,0
ϕ)(rw)]
= r
a+n−1
ψ(rw).
Mostremos que dado ψ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) satisfazendo
+∞
0
r
a+n−1
ψ(rw)dr = 0,
ent˜ao existe ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}), tal que ∂
r
(r
a+n
ϕ(rw)) = r
a+n−1
ψ(rw). Consi-
deremos g : (0, +∞)×IR
n
\{0} → C definida por g(r, w) =
r
0
s
a+n−1
ψ(sw) ds.
Temos que g ∈ C
∞
((0, ∞) × IR
n
\{0}). Tomemos ϕ : IR
n
\{0} → C definida
por ϕ(x) = g(||x||,
x
||x||
) = ||x||
−a−n
||x||
0
s
a+n−1
ψ
s
x
||x||
ds. Assim vemos
que ϕ ∈ C
∞
(IR
n
\{0}), pois ´e composta de fun¸c˜oes de classe C
∞
.
Agora mostremos que S(ϕ) ⊂⊂ IR
n
\{0}. Como S(ψ) ⊂⊂ IR
n
\{0}, isto ´e,
existe R > 1 tal que S(ψ) ⊂ A
0,
1
R
, R
, onde estamos considerando
A
0,
1
R
, R
= {x;
1
R
≤ ||x|| ≤ R}.
Se ||x|| ≤
1
R
, ent˜ao ϕ(x) = ||x||
−a−n
||x||
0
s
a+n−1
ψ
s
x
||x||
=0
ds = 0.
Quando ||x|| ≥ R, ent˜ao
ϕ(x) = ||x||
−a−n
||x||
0
s
a+n−1
ψ
s
x
||x||
ds
= 0, por hip´otese .
Portanto S(ϕ) ⊂ A
0,
1
R
, R
, isto ´e , S(ϕ) ⊂⊂ IR
n
\{0}.
Vamos verificar que ϕ ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial (2.1.4). Observemos
que
r
a+n
ϕ(rw) = ||rw||
−a−n
r
a+n
||rw||
0
s
a+n−1
ψ
s
rw
||rw||
ds
= r
−a−n
r
a+n
r
0
s
a+n−1
ψ(sw) ds
=
r
0
s
a+n−1
ψ(sw) ds.
Assim
∂
∂r
r
a+n
ϕ(rw)
= r
a+n−1
ψ(rw).
28
Logo,
< u, ψ > = < u, (a + n)ϕ + L
e,0
ϕ >
= (a + n) < u, ϕ > + < u, L
e,0
ϕ >
= 0,
aqui a ´ultima igualdade segue da hip´otese.
Mostremos agora que (c) ⇒ (a). Dado ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) e fixado
t > 0, tome ψ
t
(y) = ϕ(y) − t
a+n
ϕ(ty), logo ψ
t
∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}). Veremos que
+∞
0
r
a+n−1
ψ
t
(rx)dr = 0 para x = 0.
De fato,
+∞
0
r
a+n−1
ψ
t
(rx) dr =
+∞
0
r
a+n−1
ϕ(rx) − t
a+n
ϕ(rtx)
dr
=
+∞
0
r
a+n−1
ϕ(rx) dr −
+∞
0
r
a+n−1
t
a+n
ϕ(trx) dr
= < r
a+n−1
+
, ϕ(·x) > −t
a+n−1
+∞
0
r
a+n−1
tϕ(t · x) dr
= < r
a+n−1
+
, ϕ(·x) > −t
a+n−1
< r
a+n−1
+
, (ϕ
0
)
t
(·x) >
= < r
a+n−1
+
, ϕ(·x) > − < r
a+n−1
+
, ϕ(·x) >
= 0,
aqui a quinta igualdade segue da defini¸c˜ao da homogeneidade de r
a+n−1
+
em
IR\{0} e na quarta estamos considerando ϕ
0
(s) = ϕ(srt).
Logo, < u, ψ
t
>= 0, ou seja, vale (a).
Observa¸c˜ao 2.1.1
(i) Seja u ∈ D
(IR
n
\{0}) e homogˆenea de grau a. Ent˜ao
L
e,0
u = au, em D
. (2.1.5)
Tal igualdade ´e conhecida como Identidade de Euler.
Primeiramente observemos que
< u, L
e,0
ϕ >= − < L
e,0
u, ϕ > −n < u, ϕ >, ∀ ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}).
29
De fato,
< u, L
e,0
ϕ > = < u,
n
j=1
x
j
∂
j
ϕ >
= −
n
j=1
< ∂
j
(x
j
u), ϕ >
= −
n
j=1
< u∂
j
x
j
, ϕ > −
n
j=1
< x
j
∂
j
u, ϕ >
= −n < u, ϕ > − < L
e,0
u, ϕ > .
Logo, pelo item (b) do Lema 2.1.1 temos que L
e,0
u = au.
(ii) Se ψ for uma fun¸c˜ao C
∞
(IR
n
\{0}) homogˆenea de grau b, isto ´e,
ψ(tx) = t
b
ψ(x) e u ∈ D
(IR
n
\{0}) homogˆenea de grau a, ent˜ao ψu ´e
homogˆenea de grau a + b em IR
n
\{0}. De fato:
< ψu, ϕ > = < u, ψϕ >
= t
a
< u, (ψϕ)
t
>
= t
a+n
< u, t
b
ψ(x)ϕ(tx) >
= t
a+b
< ψu, ϕ
t
> .
(iii) Notemos que L
e,0
∂
j
u = ∂
j
(L
e,0
u)−∂
j
u = (a−1)∂
j
u, onde a ´ultima igual-
dade segue de (2.1.5). Conclu´ımos ent˜ao que a diferencia¸c˜ao diminui
uma unidade o grau de homogeneidade.
(iv) Usando (2.1.5) e o Corol´ario 3.1.5 de [H¨o], mostra-se que quando n = 1
as distribui¸c˜oes homogˆeneas s˜ao multiplos de |x|
a
em cada semi-eixo.
2.2 Alguns Lemas
´
Uteis
Os pr´oximos trˆes lemas ser˜ao usados no pr´oximo cap´ıtulo.
Seja u uma fun¸c˜ao L
1
loc
(IR
n
\{0}) homogˆenea de grau a e ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}).
30
Ent˜ao, em coordenadas esf´ericas, podemos e screver
< u, ϕ > =
IR
n
\{0}
u(x)ϕ(x) dx
=
|w|=1
∞
0
u(w)r
a+n−1
ϕ(rw) drdw
=
|w|=1
u(w)
r
a+n−1
+
, ϕ(·w)
dw.
Desta forma, para ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
) arbitr´aria e x = 0, ´e natural con-
siderarmos o operador R
a
: C
∞
c
(IR
n
) → C
∞
(IR
n
\{0}) definido por
(R
a
ϕ)(x) =< t
a+n−1
+
, ϕ(·x) >. Primeiramente mostremos o
Lema 2.2.1 O operador R
a
: C
∞
c
(IR
n
) → C
∞
(IR
n
\{0}) definido por
(R
a
ϕ)(x) =< t
a+n−1
+
, ϕ(·x) >, (2.2.1)
´e cont´ınuo.
Demonstra¸c˜ao: Inicialmente provaremos que R
a
est´a bem definido, ou
seja, para ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
) temos que R
a
ϕ ∈ C
∞
(IR
n
\{0}). Como o conceito
de diferenciabilidade ´e local, basta mostrarmos que, para cada x ∈ IR
n
\{0},
existe uma vizinhan¸ca V
x
, de x, tal que R
a
ϕ ∈ C
∞
(V
x
). Seja R > 0 tal
que S(ϕ) ⊂ B
R
(0). Seja x
0
= 0 e tomaremos t
0
∈ IR tal que |t
0
| >
R
||x
0
||
.
Definiremos m
t
0
: IR
n
→ IR
n
por m
t
0
(x) = t
0
x. Pela linearidade de m
t
0
, temos
que m
t
0
∈ C
∞
(IR
n
). Assim podemos encontrar δ > 0 tal que ||t
0
x|| > R para
todo x ∈ B
δ
(x
0
). Desta forma, basta tomar 0 < δ < ||x
0
|| −
R
|t
0
|
assim, para
x ∈ B
δ
(x
0
) e t ∈ IR tal que |t| > |t
0
|, temos que ϕ(tx) = 0, pois ||tx|| > R.
Tomando u = t
a+n−1
+
∈ D
(X), X = IR, ψ(t, x) = ϕ(tx) ∈ C
∞
(X × Y ),
Y = B
δ
(x
0
) e K ⊂ (−∞, −|t
0
|) ∪ (|t
0
|, ∞), p elo Te orema 2.1.1 temos que a
fun¸c˜ao ´e de classe C
∞
(B
δ
(x
0
)).
Para mostrarmos que R
a
´e um operador cont´ınuo, tendo em vista o Lema 3
de [F] (pg 125), ´e suficiente demonstrar que R
a
: C
∞
c
(K) → C
∞
(IR
n
\{0}),
K ⊂⊂ IR
n
´e cont´ınuo. Desta forma consideremos a fam´ılia
de seminormas q
j
(ϕ) =
|α|≤j
∂
α
ϕ
∞,K
j
em C
∞
(IR
n
\{0}) com
31
K
j
= {x ∈ IR
n
;
1
j
≤ x ≤ j
} e seja p
j
(ϕ) =
|α|≤j
∂
α
ϕ
∞
uma fam´ılia de
normas em C
∞
c
(K). Assim basta verificarmos que dado j
∈ Z
+
existem C > 0
e j ∈ Z
+
tal que q
j
(R
a
ϕ) ≤ Cp
j
(ϕ). Tomemos
q
j
(R
a
ϕ) = q
j
(
t
a+n−1
+
, ϕ(·x)
)
=
|α|≤j
∂
α
(
t
a+n−1
+
, ϕ(·x)
)
∞,K
j
=
|α|≤j
t
a+n−1
+
, ∂
α
(ϕ(·x))
∞,K
j
. (2.2.2)
Para cada α fixo, temos:
t
a+n−1
+
, ∂
α
(ϕ(·x))
∞,K
j
= sup
K
j
|
t
a+n−1
+
, ∂
α
(ϕ(·x))
|
= sup
K
j
|
t
a+n−1
+
, t
|α|
∂
α
ϕ(·x)
|
≤ sup
K
j
C
k,j
j
0
k
l=0
sup
|t|≤j
j
0
d
l
dt
l
(∂
α
ϕ(·x))
,(2.2.3)
com k = ord(t
a+n−1+|α|
+
) e K ⊂ B
j
0
(0). Observemos que
S (ϕ(·x)) ⊂ {t; |t| ≤ j
0
j
} se
1
j
≤ ||x|| ≤ j
. De (2.2.3) temos que:
sup
K
j
C
k,j
j
0
k
l=0
sup
|t|≤j
j
0
d
l
dt
l
(∂
α
ϕ(·x))
= sup
K
j
k
l=0
C
k,j
j
0
sup
|t|≤j
j
0
|β|=l
x
β
∂
α+β
ϕ(·x)
Tomando tx = y e do fato que |x
β
| ≤ ||x||
|β|
≤ j
|β|
, temos:
q
j
(R
a
ϕ) ≤
|α|≤j
sup
K
j
k
l=0
C
k,j
j
0
sup
|t|≤j
j
0
|β|=l
j
|β|
∂
α+β
ϕ(·x)
≤
|α|≤j
C
k,j
j
0
k
l=0
sup
B
j
0
j
2
(0)
|β|=l
j
|β|
(∂
α+β
ϕ)(y)
≤ C
k,j
j
0
(k + 1)
|α|≤j
|β|≤k
j
|β|
(∂
α+β
ϕ)(y)
∞,K
≤ C
k,j
j
0
(k + 1)j
k
|γ|≤j
+k
||∂
γ
ϕ| |
∞,K
= C
k,j
j
0
(k + 1)j
k
p
j
(ϕ)
sendo j = j
+ k.
32
Lema 2.2.2 Existe uma fun¸c˜ao ψ
1
∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) tal que
+∞
0
ψ
1
(tx)
t
dt = 1, se x = 0 (2.2.4)
Demonstra¸c˜ao: Provemos inicialmente para o caso n = 1. Seja
ψ
0
∈ C
∞
c
(0, +∞) tal que
+∞
0
ψ
0
(x) dx > 0. Assim, temos que:
+∞
0
ψ
0
(tx)
t
dt =
+∞
0
ψ
0
(s)
s
ds = λ
Tomemos ψ
1
(x) =
1
λ
ψ
0
(|x|). Desta forma,
+∞
0
ψ
1
(tx)
t
dt =
1
λ
+∞
0
ψ
0
(|tx|)
t
dt
=
1
λ
+∞
0
ψ
0
(t|x|)
t
dt
= 1.
Provemos agora o caso geral (n > 1). Seja ψ
1
∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) definida por
ψ
1
(x) =
1
λ
ψ
0
(||x||). Portanto,
+∞
0
ψ
1
(tx)
t
dt =
1
λ
+∞
0
ψ
0
(||tx||)
t
dt =
1
λ
+∞
0
ψ
0
(t||x||)
t
dt = 1.
Sejam ψ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) e K = S(ψ), da´ı segue:
Lema 2.2.3 O operador M
ψ
: C
∞
(IR
n
\{0}) → C
∞
c
(K), definido por
M
ψ
(ϕ) = ψϕ,
´e cont´ınuo.
Demonstra¸c˜ao: Para mostrarmos que M
ψ
´e um operador cont´ınuo, consi-
deremos a fam´ılia de seminormas q
j
(ϕ) =
|α|≤j
∂
α
ϕ
∞,K
j
em C
∞
(IR
n
\{0})
com K
j
= {x ∈ IR
n
;
1
j
≤ x ≤ j
} e p
j
(ϕ) =
|α|≤j
∂
α
ϕ
∞
uma fam´ılia de
33
normas em C
∞
c
(K). Assim basta verificarmos que dado j ∈ Z
+
, existem C > 0
e j
∈ Z
+
tal que p
j
(M
ψ
(ϕ)) ≤ Cq
j
(ϕ) em C
∞
c
(K). Tomemos,
p
j
(M
ψ
(ϕ)) = p
j
(ψϕ)
=
|α|≤j
||∂
α
(ψϕ) ||
∞,K
≤
|α|≤j
0≤β≤α
α
β
||∂
α−β
ψ||
∞,K
||∂
α
ϕ||
∞,K
≤ C
|α|≤j
||∂
α
ϕ||
∞,K
≤ Cq
j
(ϕ),
com K
j
⊃ K.
Observa¸c˜ao 2.2.1
(i)Temos que
|α|=j
b
α
∂
α
δ
0
= 0, com b
α
∈ C se, e somente se, b
α
= 0, ∀α.
De fato, fixado α
0
com |α
0
| = j, consideremos ϕ
0
∈ C
∞
c
(IR
n
) com ϕ
0
≡ 1
numa vizinhan¸ca de zero. Da´ı, tomemos ϕ(x) = x
α
0
ϕ
0
(x).
Logo,
0 =
|α|=j
b
α
∂
α
δ
0
, ϕ
=
∂
α
δ
0
,
|α|=j
b
α
ϕ
=
|α|=j
b
α
(−1)
|α|
∂
α
ϕ(x)
x=0
=
|α|=j
b
α
(−1)
|α|
∂
α
(x
α
0
ϕ
0
(x))
x=0
=
|α|=j
0≤β≤α
α
β
b
α
(−1)
|α|
∂
α−β
(x
α
0
)
x=0
∂
β
ϕ
0
(x)
x=0
= (−1)
|α
0
|
b
α
0
α
0
!ϕ
0
(0)
= (−1)
|α
0
|
b
α
0
α
0
!
o que implica b
α
0
= 0.
34
Portanto, b
α
= 0, ∀α.
(ii)Temos que ∂
α
δ
0
´e homogˆenea de grau −n − |α|.
De fato,
∂
α
δ
0
, ϕ
t
= t
n
∂
α
δ
0
, ϕ(tx)
= t
n
(−1)
|α|
δ
0
, ∂
α
(ϕ(tx))
= (−1)
|α|
t
n+|α|
δ
0
, (∂
α
ϕ) (tx)
= t
n+|α|
(−1)
|α|
δ
0
, ∂
α
ϕ
= t
n+|α|
∂
α
δ
0
, ϕ .
Cap´ıtulo 3
Extens˜oes de Distribui¸c˜oes
Homogˆeneas de IR
n
\{0}
Nosso objetivo neste cap´ıtulo ´e estender para IR
n
os resultados obti-
dos no Cap´ıtulo 1. Na primeira se¸c˜ao mostraremos que no caso em que
a /∈ {k ∈ ZZ ; k ≤ −n} as distribui¸c˜oes homogˆeneas de IR
n
\{0} de grau a po-
dem ser estendidas para IR
n
. Na segunda se¸c˜ao consideremos o caso em que
a ∈ { k ∈ ZZ ; k ≤ −n}.
3.1 Extens˜oes de Distribui¸c˜oes Homogˆeneas de
IR
n
\{0} - Parte I
Por extens˜ao entendemos:
Defini¸c˜ao 3.1.1 Sejam u ∈ D
(X) e X ⊂ Y . Dizemos que v ∈ D
(Y )´e uma
extens˜ao de u se < v, ϕ >=< u, ϕ > para toda ϕ ∈ C
∞
c
(X).
Nesta discuss˜ao o pr´oximo exemplo se imp˜oe:
Exemplo 3.1.1 u =
∞
n=1
a
n
δ
1
n
∈ D
(IR\{0}) se a
n
∈ IR ∀n, por´em se os
a
n
s forem escolhidos suficientemente grandes ent˜ao u n˜ao admite extens˜ao em
D
(IR). Construiremos este exemplo em 4 etapas.
35
36
(1) Tome ϕ
0
∈ C
∞
c
(IR\{0}) com ϕ
0
≥ 0 tal que S(ϕ
0
) ⊂ [1, 3] e ϕ
0
(2) = 1
(2) Para cada n ∈ ZZ
+
. Consideremos o difeomorfismo ψ
n
: IR → IR tal que
ψ
n
(
1
n+1
) = 1 , ψ
n
(
1
n
) = 2 e ψ
n
(s) = s se s ≥ 3.
(3) Defina ϕ
n
= ϕ
0
◦ ψ
n
. Afirmamos que ϕ
n
∈ C
∞
c
(IR\{0}), pois ´e composta
de fun¸c˜oes de classe C
∞
e temos que S(ϕ
n
) ⊂ (0, 3] e ainda ϕ
n
≥ 0.
Tome p
n,K
(ϕ) =
n
j=0
||ϕ
(j)
||
∞,K
e defina a
n
> np
n
(ϕ
n
).
(4) Afirmamos agora que u n˜ao admite extens˜ao para D
(IR). De fato, su-
ponhamos que u admita extens˜ao para D
(IR) e seja K = [0, 3]. Logo,
existe C > 0 e j
0
∈ IN tal que | < u, ϕ
n
> | ≤ Cp
j
0
(ϕ
n
). Por´em, como
ϕ
n
≥ 0, temos que | < u, ϕ
n
> | ≥ a
n
, o que implica que a
n
≤ Cp
j
0
(ϕ
n
).
Mas como j
0
´e fixo, ent˜ao para n ≥ j
0
temos que a
n
≤ Cp
n
(ϕ
n
) ⇒
C > n, para n >> 1, o que consiste numa contradi¸c˜ao. Portanto nestas
condi¸c˜oes u n˜ao admite extens˜ao.
No que se segue usaremos:
Teorema 3.1.1 Se u ´e uma distribui¸c˜ao de ordem k com suporte igual a {y},
ent˜ao u tem a forma
< u, ϕ >=
|α|≤k
a
α
∂
α
ϕ(y), ϕ ∈ C
k
.
A demonstra¸c˜ao deste resultado pode ser encontrado em [H¨o], pg 46.
Consideremos agora a /∈ {k ∈ ZZ ; k ≤ −n} e tomemos o seguinte conjunto
H
a
(Γ) = {u ∈ D
(Γ); homogenea de grau a} .
Teorema 3.1.2 Para toda u ∈ H
a
(IR
n
\{0}) existe uma ´unica extens˜ao
E(u) ∈ H
a
(IR
n
). Al´em disso, se P ´e uma fun¸c˜ao polinomial homogˆenea, ent˜ao
E(P u) = P E(u). Se a = 1 − n, ent˜ao E(∂
j
u) = ∂
j
E(u). Al´em do mais, o
operador definido por u → E(u), ´e cont´ınuo na topologia das distribui¸c˜oes.
37
Demonstra¸c˜ao: (Unicidade) Sejam U
1
, U
2
∈ H
a
(IR
n
) extens˜oes de
u ∈ H
a
(IR
n
\{0}). Como U
1
|
IR
n
\{0}
= u e U
2
|
IR
n
\{0}
= u, ent˜ao temos que
para toda ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) que:
< U
1
− U
2
, ϕ >=< U
1
, ϕ > − < U
2
, ϕ >=< u, ϕ > − < u, ϕ >= 0.
Suponhamos que S (U
1
− U
2
) ⊂ {0}. Logo, pelo Teorema 3.1.1, U
1
− U
2
´e uma
combina¸c˜ao linear de derivadas de δ
0
, ou seja, existem c
α
∈ C e k > 0 tais que
U
1
= U
2
+
|α|≤k
c
α
∂
α
δ
0
.
Notemos que
v = U
1
− U
2
=
|α|≤k
c
α
∂
α
δ
0
=
k
j=0
|α|=j
c
α
∂
α
δ
0
.
Como v ´e homogˆenea de grau a, temos:
t
a
< v, ϕ
t
>=
k
j=0
|α|=j
c
α
(−1)
|α|
∂
α
ϕ(0)
t
a+n+j
,
pela Observa¸c˜ao 2.2.1-(ii).
Por outro lado,
< v, ϕ >=
k
j=0
|α|=j
c
α
∂
α
δ
0
, ϕ
=
k
j=0
|α|=j
c
α
(−1)
|α|
∂
α
ϕ(0)
.
Da´ı, segue que:
k
j=0
|α|=j
c
α
(−1)
|α|
∂
α
ϕ(0)
b
j
t
a+n+j
=
k
j=0
|α|=j
c
α
(−1)
|α|
∂
α
ϕ(0)
b
j
.(∗)
Mostremos que os b
j
= 0, ∀j. Seja, por absurdo, j
1
o menor elemento de
IN ∩ [0, k] tal que b
j
1
= 0. Sabemos que a + n + j
1
= 0, pois caso contr´ario
ter´ıamos a = −n − j
1
, contradizendo a hip´otese sobre a. Assim temos que
Re(a+n+j
1
) = 0 ou Im(a+n+j
1
) = 0. Suponhamos que Re(a+n+j
1
) = 0.
Desta forma, dividindo ambos os lados de (∗) por t
a+n+j
1
temos:
k
j=j
1
b
j
t
a+n+j
t
−(a+n+j
1
)
=
k
j=j
1
b
j
t
−(a+n+j
1
)
.
38
Tomando-se o limite quando t → 0 ou t → +∞ e considerando tanto
Re(a + n + j
1
) > 0 ou Re(a + n + j
1
) < 0 temos que: b
j
1
= +∞ ou b
j
1
= 0
se
k
j=j
1
b
j
= 0 o que ´e um absurdo, agora se
k
j=j
1
b
j
= 0 temos que b
j
1
= 0 ou
b
j
1
= ∞ que tamb´em ´e um absurdo. Assim, se considerarmos Im(a+n+j
1
) = 0
segue analogo ao argumento anterior.
Portanto, b
j
= 0, ∀j.
Pela Observa¸c˜ao 2.2.1 item (i)
|α|=j
c
α
(−1)
|α|
∂
α
ϕ(0) = 0, ∀j = 0, 1, . . . , k.
Ent˜ao c
α
= 0, ∀α.
Portanto, U
1
= U
2
.
(Existˆencia) Uma extens˜ao de u ´e obtida a partir das quatro etapas abaixo.
Etapa 1: Seja R
a
do Lema 2.2.1. Mostremos que R
a
ϕ ´e uma fun¸c˜ao homogˆenea
de grau −n − a e R
a
(ψR
a
ϕ) = R
a
ϕ com ψ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) satisfazendo a
condi¸c˜ao do Lema 2.2.2. De fato,
(R
a
ϕ)(lx) = < t
a+n−1
+
, ϕ(·lx) >
= l
−1
< t
a+n−1
+
, lϕ(·lx) >
= l
−1
l
−a−n+1
< t
a+n−1
+
, ϕ(·x) >
= l
−a−n
(R
a
ϕ)(x),
aqui a terceira igualdade segue da homogeneidade de t
a+n−1
+
. Portanto, R
a
ϕ ´e
homogˆenea de grau −a − n, isto ´e, R
a
ϕ(lx) = l
−a−n
R
a
ϕ(x).
Afirma¸c˜ao: R
a
(ψR
a
ϕ) = (R
a
ϕ). De fato,
R
a
(ψR
a
ϕ)(x) = < t
a+n−1
+
, (ψR
a
ϕ)(·x) >
=
+∞
0
t
a+n−1
ψ(tx)R
a
ϕ(tx) dt
=
+∞
0
t
a+n−1
ψ(tx)t
−a−n
R
a
ϕ(x) dt
= (R
a
ϕ)(x)
+∞
0
ψ(xt)
t
dt
= (R
a
ϕ)(x),
aqui a terceira igualdade segue da hip´otese de R
a
ϕ ser homogˆenea de grau
−a − n.
39
Etapa 2: < u, ψR
a
ϕ > independe da escolha de ψ com ψ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0})
satisfazendo a condi¸c˜ao do Lema 2.2.2 e u ∈ H
a
.
De fato, sejam ψ
1
, ψ
2
∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) satisfazendo a condi¸c˜ao do Lema 2.2.2.
Assim
+∞
0
r
a+n−1
(ψ
1
− ψ
2
)(rx)R
a
ϕ(rx) dr =
+∞
0
r
a+n−1
ψ
1
(rx)R
a
ϕ(rx) dr
−
+∞
0
r
a+n−1
ψ
2
(rx)R
a
ϕ(rx) dr
=
+∞
0
r
a+n−1
ψ
1
(rx)r
−a−n
R
a
ϕ(x) dr
−
+∞
0
r
a+n−1
ψ
2
(rx)r
−a−n
R
a
ϕ(x) dr
= R
a
ϕ(x)
+∞
0
r
−1
ψ
1
(rx) dr
− R
a
ϕ(x)
+∞
0
r
−1
ψ
2
)(rx) dr
= 0,
aqui a segunda igualdade segue da homogeneidade de R
a
ϕ.
Portanto, temos por (2.1.3) do Lema 2.1.1 que u, ψ
1
R
a
ϕ − ψ
2
R
a
ϕ = 0 o que
implica que < u, ψ
1
R
a
ϕ >=< u, ψ
2
R
a
ϕ >.
Etapa 3: < u, ψR
a
ϕ >=< u, ϕ > se ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}). De fato,
+∞
0
r
a+n−1
(ψR
a
ϕ − ϕ)(rx) dr =
+∞
0
r
a+n−1
ψ(rx)R
a
ϕ(rx) dr
−
+∞
0
r
a+n−1
ϕ(rx) dr
= R
a
ϕ(x) − R
a
ϕ(x)
= 0.
Logo por (2.1.3) do Lema 2.1.1 temos u, ψR
a
ϕ − ϕ = 0 o que implica que
< u, ψR
a
ϕ >=< u, ϕ > .
Etapa 4: Definimos E(u) por:
< E(u), ϕ >=< u, ψR
a
ϕ > (3.1.1)
para toda ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
). Mostremos que E(u) ∈ D
(IR
n
) e ´e uma extens˜ao de u
homogˆenea de grau a. Para demonstrar isto consideremos os s eguintes passos.
40
Passo 1: E(u) ∈ D
(IR
n
) e ´e uma extens˜ao de u.
De fato, claramente E(u) ´e um funcional linear.
Temos que E(u) ´e um funcional cont´ınuo, pois ´e composto de funcionais cont´ınuos,
a saber E(u) = u ◦ L
ψ
◦ R
a
onde temos que u ´e um funcional cont´ınuo por
hip´otese, L
ψ
: C
∞
(IR
n
\{0}) → C
∞
c
(IR
n
\{0}) ´e cont´ınuo, pois L
ψ
= M
ψ
◦ I
onde inclus˜ao I : C
∞
c
(K) → C
∞
c
(IR
n
\{0}) ´e cont´ınua e M
ψ
´e cont´ınuo pelo
Lema 2.2.3 e ainda R
a
: C
∞
c
(IR
n
) → C
∞
(IR
n
\{0}) ´e cont´ınuo pelo Lema 2.2.1.
Notemos que < E(u), ϕ >=< u, ψR
a
ϕ >=< u, ϕ > para toda ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}),
pela Etapa 3. Logo, E(u) ´e uma extens˜ao de u.
Passo 2: E(u) ∈ D
(IR
n
) ´e homogˆenea de grau −a. Para isso, observemos
primeiramente que:
(R
a
ϕ
r
)(x) = r
n
< t
a+n−1
+
, ϕ(·rx) >
= r
n
r
−1
< t
a+n−1
+
, rϕ(·rx) >
= r
n−1
r
−a−n+1
< t
a+n−1
+
, ϕ(·x) >
= r
−a
R
a
ϕ(x).
Da´ı, temos que:
< E(u), ϕ
t
>=< u, ψR
a
ϕ
t
>= t
−a
< u, ψR
a
ϕ >= t
−a
< E(u), ϕ >
ou seja, < E(u), ϕ >= t
a
< E(u), ϕ
t
>. Logo E(u) ´e homogˆenea de grau a.
Demonstra¸c˜ao de (E(Pu) = PE(u))
Se P ´e uma fun¸c˜ao polinomial homogˆenea, ent˜ao mostremos que
E(P u) = P E(u).
Suponhamos que o grau de P seja m, observemos que P u ´e homogˆenea de grau
a + m. De fato,
< P u, ϕ > = < u, P ϕ >
= t
a
< u, (P ϕ)
t
>
= t
a+n
< u, P (tx)ϕ(tx) >
= t
a+m
< P u, ϕ
t
> .
41
Portanto, P u ´e homogˆenea de grau a + m.
Notemos que a + m /∈ {k ∈ ZZ ; k ≤ −n} , pois se a + m ∈ {k ∈ ZZ ; k ≤ −n},
isto ´e, a + m = k ent˜ao a = −m + k ≤ k ≤ −n contradizendo a hip´otese sobre
a /∈ {k ∈ ZZ ; k ≤ −n}. Assim, pelo Teorema 3.1.2 temos que E(P u) ´e uma
extens˜ao de P u e homogˆenea de grau a + m.
Observemos que P E(u) ´e uma outra extens˜ao de P u. De fato, para toda
ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}), temos que:
< P E(u), ϕ >=< E(u), P ϕ >=< u, P ϕ >=< P u, ϕ > .
Como o grau de E(u) coincide com o grau de u, ent˜ao segue que P E(u) ´e
homogˆenea de grau a + m. Como o Teorema 3.1.2 garante a existˆencia de uma
´unica extens˜ao, logo temos que E(P u) = P E(u).
Demonstra¸c˜ao de (E(∂
j
u) = ∂
j
E(u))
Primeiramente observemos que ∂
j
u ´e homogˆenea de grau a − 1. De fato, para
toda ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) temos que:
< ∂
j
u, ϕ > = (−1) < u, ∂
j
ϕ >
= (−1)t
a
< u, (∂
j
ϕ)
t
>
= (−1)t
a+n
< u, (∂
j
ϕ)(tx) >
= (−1)t
a+n−1
< u, t(∂
j
ϕ)(tx) >
= (−1)t
a−1+n
< u, ∂
j
(ϕ(tx)) >
= (−1)t
a−1
< u, ∂
j
(ϕ
t
) >
= t
a−1
< ∂
j
u, ϕ
t
> .
donde conclu´ımos que o grau de ∂
j
u ´e a − 1.
Notemos que a − 1 /∈ {k ∈ ZZ ; k ≤ −n} , pois se a − 1 = −n ent˜ao a = 1 − n
contradizendo a hip´otese. Desta forma, pelo Teorema 3.1.2 temos que E(∂
j
u)
´e uma extens˜ao homogˆenea de grau a − 1 de (∂
j
u).
42
Observemos que ∂
j
E(u) ´e uma outra extens˜ao de ∂
j
u. De fato, para toda
ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) temos que:
< ∂
j
E(u), ϕ > = (−1) < E(u), ∂
j
ϕ >
= (−1) < u, ∂
j
ϕ >
= < ∂
j
u, ϕ > .
Como o grau E(u) coincide com o grau de u, segue que ∂
j
E(u) ´e homogˆenea de
grau a−1. Como o Teorema 3.1.2 garante a existˆencia de uma ´unica extens˜ao,
logo segue que E(∂
j
u) = ∂
j
E(u).
Demonstra¸c˜ao de (O operador H
a
→ D
(IR
n
) ´e cont´ınuo)
Mostremos que o operador
H
a
→ D
(IR
n
)
definido por u → E(u) ´e cont´ınuo. De fato, dado u ∈ H
a
seja u
n
uma seq¨uˆencia
em H
a
tal que u
n
→ u em H
a
. Mostremos que E(u
n
) → E(u) em D
(IR
n
), isto
´e, para toda ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
) temos que < E(u
n
), ϕ >→< E(u), ϕ >.
De fato,
lim
n→+∞
< (E(u
n
) − E(u)), ϕ > = lim
n→+∞
< (u
n
− u), ψR
a
ϕ >= 0, ∀ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
),
o que prova a continuidade do operador acima.
Exemplo 3.1.2 Seja f ∈ C
1
(S
n−1
) e a ∈ C definimos
u
a,f
(x) = ||x||
a
f
x
||x||
em IR
n
\{0}. Temos que u ∈ C
1
(IR
n
\{0})
´e homogˆenea de grau a. Logo, pelo Teorema 3.1.2 u admite
uma ´unica extens˜ao E(u) ∈ D
(IR
n
) homogˆenea de grau a, se
a /∈ {k ∈ ZZ ; k ≤ −n} .
43
3.2 Extens˜oes de Distribui¸c˜oes Homogˆeneas de
IR
n
\{0} - Parte II
Nesta se¸c˜ao, estendemos para IR
n
o resultado obtido na se¸c˜ao 1.3 do
Cap´ıtulo 1.
Aqui consideremos o caso a = −n − k com k ∈ IN.
Defini¸c˜ao 3.2.1 Dado k ∈ IN. Dizemos que u ∈ D
(Γ) tem paridade oposta a
k se < u, ϕ >= (−1)
k+1
< u, ϕ(−·) > ∀ϕ ∈ C
∞
c
(Γ).
Teorema 3.2.1 Se u ∈ H
−n−k
(IR
n
\{0}) com k ∈ IN, ent˜ao:
(1) u tem uma extens˜ao E(u) ∈ D
(IR
n
) satisfazendo
< E(u), ϕ >= t
−k−n
< E(u), ϕ
t
> + ln(t)
|α|=k
< u, x
α
ψ >
∂
α
ϕ(0)
α!
.
(3.2.1)
onde t > 0 e ψ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) como no Lema 2.2.2.
(2) Se U ´e uma extens˜ao de u ent˜ao
U, ϕ = t
−n−k
U, ϕ
t
+
|α|≤l
(1 − t
|α|−k
)a
α
∂
α
δ
0
, ϕ
+ ln(t)
|α|=k
u, x
α
ψ
∂
α
ϕ(0)
α!
.
(3) Seja U uma extens˜ao de u na forma do item (2). Ela ´e homogˆenea de
grau a se, e somente se, a
α
= 0 para |α| ≤ l, |α| = k e
< u, x
α
ψ >= 0 (3.2.2)
para |α| = k. Al´em disso (3.2.2) independe da escolha de ψ.
(4) Uma escolha consistente de extens˜ao pode ser feita de forma tal que
E(P u) = P E(u) para toda fun¸c˜ao polinomial P homogˆenea.
44
(5) u tem paridade oposta a k se, e somente se,
< u, ϕ >= (sgnt)t
a
< u, ϕ
t
>, t = 0 (3.2.3)
com ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}). Neste caso vale (3.2.2).
(6) Suponha que u ∈ D
(IR
n
\{0}) satisfaz (3.2.3) ent˜ao existe uma ´unica
extens˜ao E
1
(u) ∈ D
(IR
n
) com paridade oposta a k. Al´em disso ela ´e
dada por
E
1
(u), ϕ = S
< t
−k−1
, ϕ(t·) >
2
u
, (3.2.4)
sendo t
−k
=
(t+i0)
−k
+(t−i0)
−k
2
= t
−k
+
+ (−1)
k
t
−k
−
e S(v) =< v, ψ >.
Demostra¸c˜ao:
(1) Motivada pela rela¸c˜ao (3.1.1) do Teorema 3.1.2 definimos uma extens˜ao
E(u) de u como sendo < E(u), ϕ >=< u, ψR
a
ϕ > para toda ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
).
J´a mostramos que E(u) ∈ D
(IR
n
) e ´e uma extens˜ao de u na demonstra¸c˜ao do
Teorema 3.1.2.
Vejamos que,
R
−n−k
ϕ(x) = t
−n−k
R
−n−k
ϕ
t
(x) + ln(t)
|α|=k
x
α
∂
α
ϕ(0)
α!
.
De fato,
R
−n−k
ϕ
t
(x) = t
n
< r
−k−1
+
, ϕ(·tx) >
= t
n−1
< r
−k−1
+
, tϕ(·tx) >
= t
n−1
t
k+1
< r
−k−1
+
, ϕ(·x) > −t
k+1
ln(t)
1
k!
d
k
dr
k
(ϕ(rx))
r=0
= t
n+k
R
−n−k
ϕ(x) − t
n+k
ln(t)
|α|=k
x
α
∂
α
ϕ(0)
α!
,
aqui a terceira igualdade segue de (1.3.3).
Portanto, R
−n−k
ϕ(x) = t
−n−k
R
−n−k
ϕ
t
(x) + ln(t)
|α|=k
x
α
∂
α
ϕ(0)
α!
.
45
Da´ı, temos
< E(u), ϕ > =
u, ψ
t
−n−k
R
−n−k
ϕ
t
+ ln(t)
|α|=k
x
α
∂
α
ϕ(0)
α!
= t
−k−n
< u, ψR
−n−k
ϕ
t
> + ln(t)
|α|=k
u, x
α
ψ
∂
α
ϕ(0)
α!
= t
−k−n
< E(u), ϕ
t
> + ln(t)
|α|=k
u, x
α
ψ
∂
α
ϕ(0)
α!
.
(2) Seja U ∈ D
(IR
n
) uma extens˜ao de u ∈ H
−n−k
(IR
n
\{0}). Usando o
Teorema 3.1.1, temos que U − E(u) =
|α|≤l
a
α
∂
α
δ
0
onde a
α
∈ C e l ∈ IN.
Substituindo E(u) por U −
|α|≤l
a
α
∂
α
δ
0
em (3.2.1) o termo do logaritmo n˜ao
muda, mas aparece um outro termo, a saber:
|α|≤l
(1 − t
|α|−k
)a
α
∂
α
δ
0
. (3.2.5)
De fato, temos:
U −
|α|≤l
a
α
∂
α
δ
0
, ϕ
= t
−k−n
U −
|α|≤l
a
α
∂
α
δ
0
, ϕ
t
+ln(t)
|α|=k
u, x
α
ψ
∂
α
ϕ(0)
α!
.
Mas,
−
|α|≤l
a
α
∂
α
δ
0
, ϕ
t
= −
|α|≤l
a
α
∂
α
δ
0
, t
n
ϕ(t·)
= −
|α|≤l
a
α
(−1)
|α|
δ
0
, t
n+|α|
(∂
α
ϕ)(t·)
= −
|α|≤l
a
α
t
n+|α|
∂
α
δ
0
, ϕ .
Da´ı:
U, ϕ = t
−n−k
U, ϕ
t
+
|α|≤l
(1 − t
|α|−k
)a
α
∂
α
δ
0
, ϕ
+ln(t)
|α|=k
u, x
α
ψ
∂
α
ϕ(0)
α!
.
(3) De (2), U ´e homogˆenea se, e somente se,
|α|≤l
(1 − t
|α|−k
)a
α
∂
α
δ
0
, ϕ
+ ln(t)
|α|=k
< u, x
α
ψ >
∂
α
ϕ(0)
α!
= 0,
∀ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
).
46
Como as fun¸c˜oes
(1 − t
|α|−k
), |α| ≤ l, |α| = k
{ln(t)} s˜ao linearmente in-
dependentes, basta verificarmos que a
α
= 0 para |α| ≤ l, |α| = k e que
< u, x
α
ψ >= 0 para |α| = k.
Para todo α com |α| = k temos que (1 − t
|α|−k
) = 0, logo resta verificar que
< u, x
α
ψ >= 0 ∀α, |α| = k se
|α|=k
< u, x
α
ψ >
∂
α
ϕ(0)
α!
= 0 ∀ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
).
Mas isto segue da Observa¸c˜ao 2.2.1-(i).
Agora se |α| ≤ l e |α| = j = k, assim basta verificarmos que
|α|=j
(1 − t
|α|−k
)a
α
∂
α
δ
0
= 0 se, e somente se, a
α
= 0 ∀|α| ≤ l, que segue da
Observa¸c˜ao 2.2.1-(i).
A rec´ıproca ´e imediata.
Mostremos agora que se < u, x
α
ψ >= 0 ∀α com |α| = k independe
da escolha de ψ. De fato, seja v ∈ D
(IR
n
\{0}) homogˆenea de grau −n ent˜ao
< v, ψ > independe da escolha de ψ.
Com efeito, sejam ψ
1
, ψ
2
∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) satisfazendo a condi¸c˜ao do
Lema 2.2.2. Da´ı, temos que:
+∞
0
r
a+n−1
(ψ
1
− ψ
2
)(rx) dr =
+∞
0
r
−1
(ψ
1
− ψ
2
)(rx) dr
=
+∞
0
r
−1
ψ
1
(rx) dr −
+∞
0
r
−1
ψ
2
(rx) dr
= 0,
assim pelo Lema 2.1.1 item (c) temos que < v, (ψ
1
− ψ
2
) >= 0 o que implica
que < v, ψ
1
>=< v, ψ
2
>,.
Tomemos v = x
α
u e observemos que x
α
u ´e homogˆenea de grau −n. De fato,
< x
α
u, ψ > = < u, x
α
ψ >
= t
a
< u, (x
α
ψ)
t
>
= t
a+n+|α|
< u, x
α
ψ(t·) >
= t
−n
< x
α
u, ψ
t
> .
Portanto, x
α
u ´e homogˆenea de grau −n. Logo, < u, x
α
ψ > independe da
escolha de ψ.
47
Antes de prosseguir na demonstra¸c˜ao faremos uma observa¸c˜ao que motiva e
d´a importˆancia ao papel de S.
Observa¸c˜ao:
(i) Se v for uma fun¸c˜ao cont´ınua e homogˆenea de grau −n em IR
n
\{0} intro-
duzindo coordenadas polares temos:
S(v) = < v, ψ >
=
IR
n
\{0}
v(x)ψ(x) dx
=
+∞
0
|w|=1
r
−n
v(w)ψ(wr)r
n
dw
dr
r
=
|w|=1
+∞
0
ψ(wr)
dr
r
=1
v(w) dw
=
|w|=1
v(w) dw,
aqui a terceira igualdade segue da homogeneidade de v. Observemos que S(v)
´e a integral de v sobre a esfera unit´aria.
(ii) Notemos que se u ´e homogˆenea de grau a e a /∈ {k ∈ ZZ ; k ≤ −n}, ent˜ao
(3.1.1) pode ser escrito na forma:
< E(u), ϕ > = < u, ψR
a
ϕ >
= < (R
a
ϕ)u, ψ >
= S((R
a
ϕ)u)
= S(< t
a+n−1
+
, ϕ(t·) > u)
pois, (R
a
ϕ)u ´e homogˆenea de grau −a − n + a = −n, em vista da Observa¸c˜ao
2.1.1-(ii).
Quando a = −n − k com k ∈ IN ent˜ao (3.1.1) pode depender da escolha de ψ.
(iii) (3.2.1) pode ser reescrita como:
< E(u), ϕ >= t
−k−n
< E(u), ϕ
t
> + ln(t)
|α|=k
S(x
α
u)
∂
α
ϕ(0)
α!
. (3.2.6)
(4) Se P ´e uma fun¸c˜ao polinomial homogˆenea de grau m, com uma fun¸c˜ao
48
ψ fixada garantimos que E(P u) = P E(u). De fato,
< P E(u), ϕ >=< E(u), P ϕ >=< u, ψR
−n−k
P ϕ >
Mas,
R
−n−k
(P ϕ)(x) = < t
−k−1
+
, P (·x)ϕ(·x) >
= < t
−k−1+m
+
P (x), ϕ(·x) >
= P (x) < t
m−k−1
+
, ϕ(·x) >
= P (x)R
m−n−k
(ϕ)(x).
Da´ı,
< P E(u), ϕ >=< u, ψP R
−n−k+m
(ϕ) >=< P u, ψR
−n−k+m
(ϕ) >=< E(P u), ϕ > .
(5) Suponhamos que u tenha paridade oposta. Se t > 0, (3.2.3) ´e v´alida,
pois < u, ϕ >= t
a
< u, ϕ
t
> por hip´otese. Agora s e t < 0, tamb´em conclu´ımos
que (3.2.3) ´e v´alida, pois:
< u, ϕ > = (−t)
a
< u, ϕ
−t
>
= (−t)
a+n
< u, ϕ(−t·) >
= t
a+n
(−1)
a+n
(−1)
k+1
< u, ϕ(t·) >
= t
a
(−1) < u, t
n
ϕ(t·) >
= (sgnt)t
a
< u, ϕ
t
>,
aqui a terceira igualdade segue da hip´otese de u ter paridade oposta.
Reciprocamente, suponha que (3.2.3) ´e v´alida. Tomando t = −1,
< u, ϕ > = (sgnt)t
a
< u, ϕ
t
>
= (−1)(−1)
a
< u, ϕ
−1
>
= (−1)(−1)
a+n
< u, ϕ(−x) >
= (−1)
k+1
< u, ϕ(−x) > .
49
Agora se u satisfaz (3.2.3) ent˜ao (3.2.2) ´e v´alida. De fato, se ψ ´e par, ou seja,
ψ(x) = ψ(−x) e tomemos φ(x) = x
α
ψ(x), com |α| = k e ψ satisfazendo a
condi¸c˜ao do Lema 2.2.2, ent˜ao para t = −1, temos,
< u, φ > = (−1)(−1)
a
< u, φ
−1
>
= (−1)(−1)
a
< u, (−1)
n
φ(−x) >
= (−1)(−1)
a
< u, (−1)
n
(−x)
α
ψ(−x) >
= (−1)(−1)
a
< u, (−1)
n+|α|
x
α
ψ(x) >
= (−1)(−1)
a
< u, (−1)
n+k
φ(x) >
= (−1) < u, φ >,
aqui a quarta igualdade segue da hip´otese de ψ ser par.
Portanto, < u, φ >= 0 quando |α| = k. Logo por (1) u possui uma extens˜ao
homogˆenea.
(6) Inicialmente mostraremos a unicidade da extens˜ao E
1
(u). Sejam E
1
(u),
E
2
(u) extens˜oes de u. Logo E
1
(u) − E
2
(u) =
|α|≤l
a
α
∂
α
δ
0
. Da´ı
E
1
(u) − E
2
(u), ϕ = (sng(t))t
−n−k
E
1
(u) − E
2
(u), ϕ
t
, ∀ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
)
pois E
1
(u) e E
2
(u) tem paridade oposta a k.
Logo,
|α|≤l
1 − t
|α|−k
(sgnt)
a
α
(−1)
|α|
(∂
α
ϕ)(0) = 0 o que implica que para
cada α, com |α| ≤ l, temos que a
α
1 − t
|α|−k
(sgnt)
= 0. Logo, a
α
= 0 ∀α,
pois (1 − t
|α|−k
(sgnt)) = 0 ∀t = 0 uma vez que a fun¸c˜ao h(t) = t
|α|−k
(sgnt), se
t = 0, n˜ao ´e constante.
Portanto, E
1
(u) = E
2
(u).
Agora mostremos a existˆencia da extens˜ao de u.
Primeiramente observemos que
< t
−k−1
, ϕ(t·) > =
t
−k−1
+
+ (−1)
k+1
t
−k−1
−
, ϕ(t·)
= < t
−k−1
+
, ϕ(t·) > +(−1)
k−1
< t
−k−1
−
, ϕ(t·) >
= < t
−k−1
+
, ϕ(t·) > +(−1)
k−1
< t
−k−1
+
, ϕ(−t·) > .
50
Tomemos U uma extens˜ao de u dada por (3.1.1) ent˜ao (3.2.4) significa que
2 < E
1
(u), ϕ >=< U, ϕ > +(−1)
k+n−1
< U, ϕ
−1
>,
para toda ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
).
De fato,
2S
< t
−k−1
, ϕ(t·) >
2
u
= S
< t
−k−1
, ϕ(t·) > u
= S
< t
−k−1
+
, ϕ(t·) > +(−1)
k−1
< t
−k−1
−
, ϕ(t·) >
u
= S
< t
−k−1
+
, ϕ(t·) > +(−1)
k−1
< t
−k−1
+
, ϕ(−t·) >
u
=
R
a
ϕ + (−1)
k+n−1
R
a
ϕ
−1
u, ψ
= < U, ϕ > +(−1)
k+n−1
< U, ϕ
−1
>,
aqui quarta igualdade segue da defini¸c˜ao de S, pois
R
a
ϕ + (−1)
k+n−1
R
a
ϕ
−1
´e homogˆenea de grau k e u ´e homogˆenea de grau −n − k, logo pela Observa¸c˜ao
2.1.1 item (ii) temos
R
a
ϕ + (−1)
k+n−1
R
a
ϕ
−1
u ´e homogˆenea de grau −n.
Afirma¸c˜ao: (3.2.4) define uma distribui¸c˜ao D
(IR
n
), ´e uma extens˜ao de u e
tem paridade oposta a k. Para demonstrar este fato dividiremos em passos:
Passo 1: Afirmamos que E
1
(u) ∈ D
(IR
n
).
De fato, claramente E
1
(u) ´e um funcional linear.
Temos que E
1
(u) ´e um funcional cont´ınuo, pois U ´e um funcional cont´ınuo e
soma de cont´ınuos ´e cont´ınuo.
Portanto, E
1
(u) ∈ D
(IR
n
).
Passo 2: E
1
(u) ´e uma extens˜ao de u.
De fato, seja ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) ent˜ao 2 < E
1
(u), ϕ >= 2 < U, ϕ > por (3.2.3)
tomando t = −1. Assim temos que:
2 < E
1
(u), ϕ > = < U, ϕ > +(−1)
k+n−1
< U, ϕ
−1
>
= < U, ϕ > + < U, ϕ >
= 2 < U, ϕ > .
Portanto, < E
1
(u), ϕ >=< U, ϕ >, para toda ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}). Logo, E
1
(u)
51
´e uma extens˜ao de u, isto ´e, < E
1
(u), ϕ >=< U, ϕ >=< u, ϕ >, para toda
ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}).
Passo 3: E
1
(u) tem paridade oposta a k em IR
n
.
De fato, para toda ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
) e tomando t = −1 temos:
2 < E
1
(u), ϕ
−1
> = < U, ϕ
−1
> +(−1)
k+n−1
< U, ϕ >
= 2(−1)
k+n−1
< E
1
(u), ϕ > −(−1)
k+n−1
< U, ϕ >
+ (−1)
k+n−1
< U, ϕ >
= 2(−1)
k+n−1
< E
1
(u), ϕ > .
Portanto, < E
1
(u), ϕ >= (−1)
k+1
< E
1
(u), ϕ(−·) > .
Exemplo 3.2.1 Seja f ∈ C
1
(S
n−1
) e definimos u(x) = ||x||
−n
f
x
||x||
em IR
n
\{0}. Temos que u ∈ C
1
(IR
n
\{0}) ´e homogˆenea de
grau −n. Logo, pelo Teorema 3.2.1 u admite uma extens˜ao
E(u) ∈ D
(IR
n
) satisfazendo
< E(u), ϕ >= t
−n
< E(u), ϕ
t
> + ln(t)
S
n−1
u(ω) dω ϕ(0).
Cap´ıtulo 4
Distribui¸c˜oes Quase-homogˆeneas
de IR
n
Nosso objetivo neste cap´ıtulo ´e definir distribui¸c˜oes quase-homogˆeneas
de IR
n
e apresentarmos alguns resultados b´asicos que ser˜ao usados na extens˜ao
de distribui¸c˜oes quase-homogˆeneas de IR
n
\{0} para IR
n
.
4.1 Caracteriza¸c˜ao de Distribui¸c˜oes Quase-homogˆeneas
de IR
n
\{0}
Consideremos λ = (λ
1
, . . . , λ
n
) ∈ IR
n
+
, as quase-homotetias H
t
λ
(x) =
(t
λ
1
x
1
, . . . , t
λ
n
x
n
) com t > 0 e H
t
γ
: C → C dada por
H
t
γ
(z) = t
γ
z, com γ ∈ C. Definimos
ϕ
t,λ
(x) = H
t
|λ|
ϕ(H
t
λ
(x))
= t
|λ|
ϕ(t
λ
1
x
1
, . . . , t
λ
n
x
n
)
com x ∈ IR
n
, t > 0.
Denotamos |λ| =
n
i=1
λ
i
e < a, λ >=
n
i=1
a
i
λ
i
, com a = (a
1
, . . . , a
n
).
Analogamente ao caso homogˆeneo considere:
Defini¸c˜ao 4.1.1 Uma fun¸c˜ao f : IR
n
→ C
´e dita λ - homogˆenea de grau
m ∈ C se f(H
t
λ
(x)) = t
m
f(x), t > 0.
52
53
Defini¸c˜ao 4.1.2 Diz-se Γ ´e cone λ−homogˆeneo se Γ ´e aberto
e (t
λ
1
x
1
, . . . , t
λ
n
x
n
) ∈ Γ ∀t > 0, ∀x ∈ Γ.
Defini¸c˜ao 4.1.3 Dado a ∈ C e Γ um cone λ−homogˆeneo, diz-se
que u ∈ D
(Γ) ´e λ-homogˆenea de grau a se
< u, ϕ >= t
a
< u, ϕ
t,λ
>, ∀ ϕ ∈ C
∞
c
(Γ) e t > 0.
Exemplo 4.1.1 Temos que ∂
β
δ
0
´e λ-homogˆenea de grau −|λ|− < β, λ >.
De fato,
∂
β
δ
0
, ϕ
t,λ
= t
|λ|
∂
β
δ
0
, ϕ(H
t
λ
(x))
= t
|λ|
(−1)
|β|
δ
0
, ∂
β
ϕ(H
t
λ
(x))
= t
|λ|
δ
0
, (−1)
|β|
t
<β,λ>
(∂
β
ϕ)(H
t
λ
(x))
= t
|λ|+<β,λ>
(−1)
|β|
∂
β
ϕ(0)
= t
|λ|+<β,λ>
∂
β
δ
0
, ϕ
.
Logo,
< ∂
β
δ
0
, ϕ >= t
−|λ|−<β,λ>
< ∂
β
δ
0
, ϕ
t,λ
>, ∀ ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
) e t > 0. (4.1.1)
Agora expressamos a no¸c˜ao de λ−homogeneidade de duas maneiras equiva-
lentes. Considere o operador L
λ,0
definido anteriormente e denotamos
ϕ
x
λ
(s) = ϕ(H
s
λ
(x)) = ϕ(s
λ
1
x
1
, . . . , s
λ
n
x
n
) se ϕ ∈ C
∞
c
(Γ).
Lema 4.1.1 Se u ∈ D
(IR
n
\{0}) ent˜ao as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equiva-
lentes:
(a) < u, ϕ >= t
a
< u, ϕ
t,λ
>, ∀ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}).
(b) (a + |λ|) < u, ϕ > + < u, L
λ,0
ϕ >= 0, ∀ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}).
(c) < u, ψ >= 0, se ψ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) e
+∞
0
r
a+|λ|−1
ψ(H
r
λ
(x)) dr = 0.
54
Demonstra¸c˜ao: Mostremos que (a) ⇒ (b). Diferenciando (a) em rela¸c˜ao
a t e usando o Teorema 2.1.1 seguir´a (b). De fato,
0 =
d
dt
(< u, ϕ >)
= < u,
d
dt
t
a+|λ|
ϕ(H
t
λ
(x))
>
=
u, (a + |λ|)t
a+|λ|−1
ϕ(H
t
λ
(x)) + t
a+|λ|
n
i=1
λ
i
t
λ
i
−1
x
i
(∂
x
i
ϕ)(H
t
λ
(x))
= (a + |λ|)t
a−1
u, t
|λ|
ϕ(H
t
λ
(x))
+ t
a−1
u, t
|λ|
n
i=1
λ
i
t
λ
i
x
i
(∂
x
i
ϕ)(H
t
λ
(x))
= (a + |λ|)t
a−1
u, ϕ
t,λ
(x) + t
a−1
u,
n
i=1
λ
i
x
i
(∂
x
i
ϕ)
t,λ
(x)
= (a + |λ|)t
−1
u, ϕ + t
−1
u, L
λ,0
ϕ ,
aqui a segunda igualdade segue do Teorema 2.1.1 e a sexta igualdade segue da
quase-homogeneidade de u.
Portanto, (a + |λ|) < u, ϕ > + < u, L
λ,0
ϕ >= 0
Mostremos que (b) ⇒ (c). Para provar esta implica¸c˜ao, basta verificar que a
equa¸c˜ao (a + |λ|) ϕ + L
λ,0
ϕ = ψ tem solu¸c˜ao ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}).
Tal equa¸c˜ao diferencial pode ser escrita como:
d
dr
r
a+|λ|
ϕ(H
r
λ
(x))
= r
a+|λ|−1
ψ(H
r
λ
(x)). (4.1.2)
Com efeito,
d
dr
r
a+|λ|
ϕ(H
r
λ
(x))
= (a + |λ|)r
a+|λ|−1
ϕ(H
r
λ
(x))
+ r
a+|λ|
d
dr
(ϕ(H
r
λ
(x)))
= (a + |λ|)r
a+|λ|−1
ϕ(H
r
λ
(x))
+ r
a+|λ|
n
i=1
λ
i
r
λ
i
−1
x
i
(∂
x
i
ϕ)(H
r
λ
(x))
= (a + |λ|)r
a+|λ|−1
ϕ(H
r
λ
(x))
+ r
a+|λ|−1
n
i=1
λ
i
r
λ
i
x
i
(∂
x
i
ϕ)(H
r
λ
(x))
55
= r
a+|λ|−1
{(a + |λ|)ϕ(H
r
λ
(x))
+ L
λ,0
ϕ(H
r
λ
(x))}
= r
a+|λ|−1
ψ(H
r
λ
(x)).
Mostremos assim que dado ψ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) tal que
+∞
0
r
a+|λ|−1
ψ(H
r
λ
(x)) dr = 0, ent˜ao existe ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}), com
d
dr
r
a+|λ|
ϕ(H
r
λ
(x))
= r
a+|λ|−1
ψ(H
r
λ
(x)). Tomemos ψ
λ
: (0, ∞)×IR
n
\{0} → C
dada por ψ
λ
(r, x) = r
−(a+|λ|)
r
0
s
a+|λ|−1
ψ (H
s
λ
(x)) ds , temos que
ψ
λ
∈ C
∞
((0, ∞) × IR
n
\{0}) .
Agora mostremos que S(ψ
λ
(1, ·) ⊂⊂ IR
n
\{0}. Como S(ψ) ⊂⊂ IR
n
\{0},
isto ´e, existe R > 1 tal que S(ψ) ⊂ A
0,
1
R
, R
, com
A
0,
1
R
, R
=
x ∈ IR
n
;
1
R
≤ ||x|| ≤ R
.
Se ||x|| ≤
1
R
ent˜ao ψ
λ
(1, x) =
1
0
s
a+|λ|−1
ψ(H
s
λ
(x))
=0
ds = 0.
Se ||x|| ≥ R ent˜ao ψ
λ
(1, x) =
1
0
s
a+|λ|−1
ψ(H
s
λ
(x)) ds =
+∞
0
s
a+|λ|−1
ψ(H
s
λ
(x)) ds,
pois
+∞
1
s
a+|λ|−1
ψ(H
s
λ
(x)) ds = 0. Da´ı pela hip´otese de (c) ψ
λ
(1, x) = 0.
Portanto S(ψ
λ
(1, ·)) ⊂ A
0,
1
R
, R
, logo S(ψ
λ
(1, ·)) ⊂⊂ IR
n
\{0}.
Vamos verificar que ψ
λ
(1, ·) ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial (4.1.2). Observe-
mos que
r
a+|λ|
ψ
λ
(1, ·)(H
r
λ
(x)) = r
a+|λ|
ψ
λ
(r, x)
= r
a+|λ|
r
−a−|λ|
r
0
s
a+|λ|−1
ψ(H
s
λ
(x)) ds
=
r
0
s
a+|λ|−1
ψ(H
s
λ
(x)) ds,
assim
d
dr
r
a+|λ|
ψ
λ
(1, ·)(H
r
λ
(x))
= r
a+|λ|−1
ψ(H
r
λ
(x)).
Logo,
< u, ψ > = < u, (a + |λ|)ψ
λ
(1, ·) + L
λ,0
ψ
λ
(1, ·) >
= (a + |λ|) < u, ψ
λ
(1, ·) > + < u, L
λ,0
ψ
λ
(1, ·) >
= 0,
56
por (b). Da´ı segue (c).
Demonstremos agora (c) ⇒ (a). Dado ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) e fixado t > 0
tomemos ψ
t
(y) = ϕ(y)−t
a+|λ|
ϕ(H
t
λ
(y)), logo ψ
t
∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}). Verifiquemos
que
+∞
0
r
a+|λ|−1
ψ
t
(H
r
λ
(x)) dr = 0 para x = 0.
De fato,
+∞
0
r
a+|λ|−1
ψ
t
(H
r
λ
(x)) dr =
+∞
0
r
a+|λ|−1
ϕ(H
r
λ
(x)) dr
−
+∞
0
r
a+|λ|−1
t
a+|λ|
ϕ(H
tr
λ
(x)) dr
= < r
a+|λ|−1
+
, ϕ(H
r
λ
(x)) >
− t
a+|λ|−1
< r
a+|λ|−1
+
, tϕ(H
tr
λ
(x)) >
= < r
a+|λ|−1
+
, ϕ(H
r
λ
(x)) >
− t
a+|λ|−1
< r
a+|λ|−1
+
, tϕ
x
λ
(tr) >
= < r
a+|λ|−1
+
, ϕ(H
r
λ
(x)) >
− < r
a+|λ|−1
+
, ϕ(H
r
λ
(x)) >
= 0,
aqui a quarta igualdade segue da homogeneidade de r
a+|λ|−1
+
.
Logo, < u, ψ
t
>= 0. Da´ı < u, ϕ >= t
a
< u, ϕ
t,λ
> e vale (a).
Observa¸c˜ao 4.1.1
(i): Na demonstra¸c˜ao do Lema 4.1.1, para mostrarmos que (b) ⇒ (c), devemos
ter λ ∈ IR
n
+
, pois caso contr´ario ψ
λ
(1, ·) /∈ C
c
(IR
n
\{0}).
(ii): Tal como no caso homogˆeneo temos: u ∈ D
(IR
n
\{0}) ´e quase-homogˆenea
de grau a se, e somente se, L
λ,0
u = au.
4.2 Alguns Lemas
´
Uteis
Fixado λ ∈ IR
n
+
, logo:
Lema 4.2.1 Existe uma ψ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) tal que
+∞
0
ψ(H
t
λ
(x))
t
dt = 1, se x = 0. (4.2.1)
57
Demonstra¸c˜ao: Tomemos ψ(x) = ψ
1
(p
λ
(x)), sendo
p
λ
(x) =
(x
1
)
2
λ
1
+ (x
2
)
2
λ
2
+ ... + (x
n
)
2
λ
n
com ψ
1
como no Lema 2.2.2. Da´ı,
+∞
0
ψ(H
t
λ
(x))
t
dt =
+∞
0
ψ
1
(p
λ
(H
t
λ
(x)))
t
dt
=
+∞
0
ψ
1
(tp
λ
(x))
t
dt
= 1.
Como no caso homogˆeneo, definimos o operador R
b
: C
∞
c
(IR
n
) → C
∞
(IR
n
\{0})
com b = a + |λ| e λ ∈ IR
n
+
. A defini¸c˜ao ser´a dada em dois casos:
(i) Se Re(b) > 0 ou λ ∈ ZZ
n
+
definimos
R
b
ϕ(x) :=< r
b−1
+
, ϕ(H
r
λ
(x)) > . (4.2.2)
(ii) Se Re(b) ≤ 0 e λ /∈ ZZ
n
+
o operador R
b
ser´a expresso em (4.2.3) seguindo
a constru¸c˜ao abaixo.
Seja ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
) e tomemos a expans˜ao de Taylor de ordem k em
torno do ponto x = 0, isto ´e, ϕ(x) =
|β|≤k
∂
β
ϕ(0)
β!
x
β
+ (E
k
ϕ)(x) com
E
k
ϕ = o(||x||
k
).
Seja θ ∈ C
∞
c
(IR
n
) com θ ≡ 1 vizinhan¸ca do zero, assim escrevemos
ϕ = θϕ + (1 − θ)ϕ e tomemos θϕ = ϕ
1
e (1 − θ)ϕ = ϕ
2
. Assim temos :
Afirma¸c˜ao 1: < r
b−1
+
, ϕ
1
(H
r
λ
(x)) > est´a bem definido.
De fato, observemos primeiramente que
ϕ
1
(x) = (θϕ)(x)
= θ(x)
|β|≤k
∂
β
ϕ(0)
β!
x
β
+ (E
k
ϕ)(x)
=
|β|≤k
∂
β
ϕ(0)
β!
x
β
θ + θ(x)(E
k
ϕ)(x).
58
Assim tomemos ϕ
1,1
=
|β|≤k
∂
β
ϕ(0)
β!
x
β
θ, ϕ
1,2
= θ(E
k
ϕ). A Afirma¸c˜ao 1 seguir´a
de (1.i) e (1.ii) abaixo.
(1.i):
r
b−1
+
, ϕ
1,1
(H
r
λ
(x))
=
|β|≤k
∂
β
ϕ(0)
β!
x
β
r
b−1+<β,λ>
+
, θ (H
r
λ
(x))
est´a bem definido.
De fato, observemos que ϕ
1,1
∈ C
∞
c
(IR
n
) e olhando-a como fun¸c˜ao de r, isto ´e,
r → ϕ
1,1
(H
r
λ
(x)) notemos que ϕ
1,1
∈ C
∞
c
(IR), pois θ ≡ 1 vizinhan¸ca do zero.
(1.ii): Tomemos k sendo o menor inteiro positivo maior que
−Re(b)
λ
min
, logo
r
b−1+kλ
min
+
∈ L
1
loc
(IR). Desta forma, observamos que
||H
r
ˆ
λ
(x)||
k
θ(H
r
λ
(x))
(E
k
ϕ)(H
r
λ
(x))
||H
r
λ
(x)||
k
∈ C
0
c
(IR).
Logo com
ˆ
λ = (λ
1
− min {λ
i
; i = 1, . . . , n} , . . . , λ
n
− min {λ
i
; i = 1, . . . , n})
temos que
r
b−1
+
, ϕ
1,2
(H
r
λ
(x))
=
r
b−1+kλ
min
+
, ||H
r
ˆ
λ
(x)||
k
θ(H
r
λ
(x))
(E
k
ϕ)(H
r
λ
(x))
||H
r
λ
(x)||
k
com min {λ
i
; i = 1, . . . , n} = λ
min
est´a bem definido.
Afirma¸c˜ao 2: < r
b−1
+
, ϕ
2
(H
r
λ
(x)) >=
r
b−1
+
, ((1 − θ)ϕ) (H
r
λ
(x))
est´a bem
definido.
De fato, observemos que ϕ
2
∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) e olhando-a como fun¸c˜ao de r, isto
´e, r → ϕ
2
(H
r
λ
(x)) temos que ϕ
2
∈ C
∞
c
(IR\{0}), pois θ ≡ 1 vizinhan¸ca do zero,
logo (1 − θ) = 0 numa vizinhan¸ca do zero e da´ı segue a Afirma¸c˜ao 2.
Finalmente, definimos o operador R
b
como sendo:
R
b
ϕ(x) : =
r
b−1
+
, ((1 − θ)ϕ) (H
r
λ
(x))
+
|β|≤k
∂
β
ϕ(0)
β!
x
β
r
b−1+<β,λ>
+
, θ (H
r
λ
(x))
+
r
b−1+kλ
min
+
, ||H
r
ˆ
λ
(x)||
k
θ(H
r
λ
(x))
(E
k
ϕ)(H
r
λ
(x))
||H
r
λ
(x)||
k
. (4.2.3)
Mostremos que o operador R
b
independe de θ com θ como no caso (ii)
acima.
59
Lema 4.2.2 O operador R
b
independe de θ.
Demonstra¸c˜ao: Sejam θ
1
, θ
2
∈ C
∞
c
(IR
n
) com θ
1
≡ 1 vizinhan¸c a do zero
e θ
2
≡ 1 vizinhan¸ca do zero. Observemos que θ
2
− θ
1
∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}). Da´ı,
temos que:
R
θ
1
b
ϕ(x) − R
θ
2
b
ϕ(x) =
r
b−1
+
, ((θ
2
− θ
1
)ϕ) (H
r
λ
(x))
+
|β|≤k
∂
β
ϕ(0)
β!
x
β
r
b−1+<β,λ>
+
, (θ
1
− θ
2
) (H
r
λ
(x))
+
r
b−1+kλ
min
+
, (θ
1
− θ
2
)(H
r
λ
(x))||H
r
ˆ
λ
(x)||
k
(E
k
ϕ)(H
r
λ
(x))
||H
r
λ
(x)||
k
=
+∞
0
r
b−1
(θ
2
− θ
1
)(H
r
λ
(x))
ϕ((H
r
λ
(x))
−
|β|≤k
∂
β
ϕ(0)
β!
(H
r
λ
(x))
β
− ||H
r
λ
(x)||
k
(E
k
ϕ)(H
r
λ
(x))
||H
r
λ
(x)||
k
dr
=
+∞
0
r
b−1
(θ
2
− θ
1
)
ϕ −
|β|≤k
∂
β
ϕ(0)
β!
(x)
β
− (E
k
ϕ)
(H
r
λ
(x))
dr
= 0.
Lema 4.2.3 O operador R
b
: C
∞
c
(IR
n
) → C
∞
(IR
n
\{0}) definido por
R
b
ϕ(x) : =
r
b−1
+
, ((1 − θ)ϕ) (H
r
λ
(x))
+
|β|≤k
∂
β
ϕ(0)
β!
x
β
r
b−1+<β,λ>
+
, θ (H
r
λ
(x))
+
r
b−1+kλ
min
+
, ||H
r
ˆ
λ
(x)||
k
θ(H
r
λ
(x))
(E
k
ϕ)(H
r
λ
(x))
||H
r
λ
(x)||
k
,
´e cont´ınuo.
Demonstra¸c˜ao: Para mostrarmos que R
b
´e um operador cont´ınuo,
tendo em vista o Lema 3 de [F] (pg 125), ´e suficiente demonstrar que
60
R
b
: C
∞
c
(K) → C
∞
(IR
n
\{0}), K ⊂⊂ IR
n
´e cont´ınuo. Basta verificarmos
que R
b
ϕ
m
→ R
b
ϕ em C
∞
(IR
n
\{0}) se ϕ
m
→ ϕ em C
∞
c
(K). Recordemos
que ϕ
m
→ ϕ em C
∞
c
(K) significa que ϕ
m
∈ C
∞
c
(K) e que ∂
β
ϕ
m
→ ∂
β
ϕ
uniformemente em K quando m → +∞ e para β ∈ IN
n
. Analisemos cada
termo do operador R
b
.
1
o
termo: Para mostrarmos que
r
b−1
+
, ((1 − θ)ϕ
m
) (H
r
λ
(x))
→
r
b−1
+
, ((1 − θ)ϕ) (H
r
λ
(x))
,
tendo em vista o Teorema 2.1.1 n˜ao h´a perda de generalidade em tomarmos
β = 0. Mas |(1 − θ)ϕ
m
− (1 − θ)ϕ| = |(1 − θ)(ϕ
m
− ϕ)| → 0 uniformemente
quando m → +∞.
2
o
termo: Mostremos que
|β|≤k
∂
β
ϕ
m
(0)
β!
x
β
r
b−1+<β,λ>
+
, θ (H
r
λ
(x))
converge para
|β|≤k
∂
β
ϕ(0)
β!
x
β
r
b−1+<β,λ>
+
, θ (H
r
λ
(x))
.
De fato, como ∂
β
ϕ
m
(0) → ∂
β
ϕ(0) quando m → +∞, logo
|β|≤k
∂
β
ϕ
m
(0)
β!
x
β
r
b−1+<β,λ>
+
, θ (H
r
λ
(x))
converge para
|β|≤k
∂
β
ϕ(0)
β!
x
β
r
b−1+<β,λ>
+
, θ (H
r
λ
(x))
.
3
o
termo: Mostremos que
r
b−1+kλ
min
+
, ||H
r
ˆ
λ
(x)||
k
θ(H
r
λ
(x))
(E
k
ϕ
m
)(H
r
λ
(x))
||H
r
λ
(x)||
k
converge para
r
b−1+kλ
min
+
, ||H
r
ˆ
λ
(x)||
k
θ(H
r
λ
(x))
(E
k
ϕ)(H
r
λ
(x))
||H
r
λ
(x)||
k
.
Recordemos que
(E
k
ϕ)(H
r
λ
(x)) = k
1
0
(1 − t)
k−1
(k − 1)!
ϕ
(k)
(H
r
λ
(0 + tx)) dt
onde ϕ
(k)
(H
r
λ
(0 + tx)) =
|β|≤k
∂
β
ϕ(H
r
λ
(0 + tx))
β!
(H
r
λ
(x))
β
, ou seja, escrevemos
o resto da F´ormula de Taylor sob forma integral. Temos por hip´otese que
61
∂
β
ϕ
m
(H
r
λ
(tx)) → ∂
β
ϕ(H
r
λ
(tx)) uniformemente quando m → +∞. E assim,
(E
k
ϕ
m
) → (E
k
ϕ) uniformemente quando m → +∞.
Logo,
r
b−1+kλ
min
+
, ||H
r
ˆ
λ
(x)||
k
θ(H
r
λ
(x))
(E
k
ϕ
m
)(H
r
λ
(x))
||H
r
λ
(x)||
k
=
r
b−1
+
, θ(H
r
λ
(x))(E
k
ϕ
m
)(H
r
λ
(x))
converge para
r
b−1
+
, θ(H
r
λ
(x))(E
k
ϕ)(H
r
λ
(x))
=
r
b−1+kλ
min
+
, ||H
r
ˆ
λ
(x)||
k
θ(H
r
λ
(x))
(E
k
ϕ)(H
r
λ
(x))
||H
r
λ
(x)||
k
.
Portanto, temos que R
b
ϕ
m
→ R
b
ϕ, ou seja, R
b
´e cont´ınuo.
Cap´ıtulo 5
Extens˜oes de Distribui¸c˜oes
Quase-homogˆeneas de IR
n
\{0}
Na primeira se¸c˜ao mostraremos que no caso em que a /∈ {−|λ|− < α, λ >; α ∈ IN
n
}
as distribui¸c˜oes quase-homogˆeneas de IR
n
\{0} podem ser estendidas para IR
n
.
Na segunda se¸c˜ao consideremos o caso em que a = −|λ|− < α, λ >, para
algum α ∈ IN
n
.
5.1 Extens˜oes de Distribui¸c˜oes Quase-homogˆeneas
de IR
n
\{0} - Parte I
Tomando como ponto de partida a defini¸c˜ao de R
b
, com b = a + |λ|, proposto
no cap´ıtulo 4 na se¸c˜ao 4.2, mostraremos:
Lema 5.1.1 Suponha que a /∈ {−|λ|− < α, λ >; α ∈ IN
n
}, ent˜ao R
b
ϕ
´e λ−homogˆenea de grau −b.
Demonstra¸c˜ao:
A demonstra¸c˜ao ser´a feita em dois casos.
Caso 1: Re(b) > 0 ou λ ∈ ZZ
n
+
.
62
63
De fato,
R
b
ϕ(H
l
λ
(x)) = < r
b−1
+
, ϕ
H
r
λ
(H
l
λ
(x))
>
= l
−1
< r
b−1
+
, lϕ(H
lr
λ
(x)) >
= l
−1
< r
b−1
+
, lϕ
x
λ
(lr) >
= l
−1
l
−b+1
< r
b−1
+
, ϕ
x
λ
(r) >
= l
−b
< r
b−1
+
, ϕ(H
r
λ
(x)) >
= l
−b
R
b
ϕ(x),
aqui a quarta igualdade segue da homogeneidade r
b−1
+
.
Caso 2: Quando Re(b) ≤ 0 e λ /∈ ZZ
n
+
.
Conforme a se¸c˜ao 4.2 do cap´ıtulo 4, temos:
R
b
ϕ(H
l
λ
(x)) =
r
b−1
+
, ((1 − θ)ϕ) (H
lr
λ
(x))
+
|β|≤k
∂
β
ϕ(0)
β!
l
<β,λ>
x
β
r
b−1+<β,λ>
+
, θ
H
lr
λ
(x)
+ l
kλ
min
r
b−1+kλ
min
+
, ||H
lr
ˆ
λ
(x)||
k
θ(H
lr
λ
(x))
(E
k
ϕ)(H
lr
λ
(x))
||H
lr
λ
(x)||
k
= (I) + (II) + (III), respectivamente.
Estudamos cada parcela (I), (II) e (III) individualmente. Consideremos os
seguintes subcasos:
Subcaso 2.1: An´alise do termo (I)
(I) = l
−1
r
b−1
+
, l ((1 − θ)ϕ) (H
lr
λ
(x))
= l
−b
r
b−1
+
, ((1 − θ)ϕ) (H
r
λ
(x))
,
com a ´ultima igualdade seguindo da homogeneidade de r
b−1
+
em IR\{0}. Logo,
(I) ´e λ−homogˆenea de grau −b.
Subcaso 2.2: An´alise do termo (II).
Dado β ∈ IN
n
com |β| ≤ k temos: Se b − 1+ < β, λ > /∈ ZZ
−
o resultado segue
da homogeneidade de r
b−1+<β,λ>
+
.
64
Se b − 1+ < β, λ >= −j
β
∈ ZZ
−
temos que j
β
≥ 2, pois se j
β
= 1 ter´ıamos que
a = −|λ|− < β, λ > contradizendo a hip´otese sobre a. Analisemos o termo
(II)
β
, onde (II)
β
a parcela de (II) correspondente a β
(II)
β
= l
<β,λ>−1
∂
β
ϕ(0)
β!
x
β
r
b−1+<β,λ>
+
, lθ
H
lr
λ
(x)
= l
−b
∂
β
ϕ(0)
β!
x
β
r
b−1+<β,λ>
+
, θ (H
r
λ
(x))
− l
−b
∂
β
ϕ(0)
β!
x
β
ln(l)
1
(j
β
− 1)!
+∞
0
θ(H
r
λ
(x))
(j
β
)
dr
= l
−b
∂
β
ϕ(0)
β!
x
β
r
b−1+<β,λ>
+
, θ (H
r
λ
(x))
,
aqui a segunda igualdade segue de (1.3.3). Logo, temos que termo (II) ´e
λ−homogˆeneo para β ∈ IN
n
com |β| ≤ k.
Subcaso 2.3: An´alise do termo (III).
(III) = l
−1+kλ
min
r
b−1+kλ
min
+
, l||H
lr
ˆ
λ
(x)||
k
θ(H
lr
λ
(x))
(E
k
ϕ)(H
lr
λ
(x))
||H
lr
λ
(x)||
k
= l
−b
r
b−1+kλ
min
+
, ||H
r
ˆ
λ
(x)||
k
θ(H
r
λ
(x))
(E
k
ϕ)(H
r
λ
(x))
||H
r
λ
(x)||
k
com a ´ultima igualdade seguindo da homogeneidade de r
b−1+kλ
min
+
.
Observa¸c˜ao 5.1.1 Seja θ ∈ C
∞
c
(IR
n
) com θ ≡ 1 vizinhan¸ca do zero, como o
operador R
b
independe de θ fixado ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) podemos tomar o S(θ) t˜ao
pequeno tal que S(θ) ∩ S(ϕ) = ∅. Da´ı temos : R
b
ϕ(x) =< r
b−1
+
, ϕ(H
r
λ
(x)) > .
An´alogo o que foi visto na demonstra¸c˜ao do Teorema 3.1.2 temos:
Lema 5.1.2 R
b
(ψR
b
ϕ) = R
b
ϕ ∀ψ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) se
+∞
0
ψ(H
t
λ
(x))
t
dt = 1, ∀x = 0.
Demonstra¸c˜ao: Observemos primeiramente que ψR
b
ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}),
da´ı pela Observa¸c˜ao 5.1.1 temos:
R
b
(ψR
b
ϕ) (x) = < r
b−1
+
, (ψR
b
ϕ) (H
r
λ
(x)) >
65
=
+∞
0
r
b−1
ψ(H
r
λ
(x))R
b
ϕ(H
r
λ
(x)) dr
= R
b
ϕ(x)
+∞
0
r
b−1
r
−b
ψ(H
r
λ
(x)) dr
= R
b
ϕ(x),
aqui a terceira igualdade segue do fato de R
b
ser λ−homogˆenea de grau −b e
a quarta igualdade segue da hip´otese adicional da ψ.
Consideremos o conjunto H
a,λ
(Γ) = {u ∈ D
(Γ); λ − homogenea de grau a} .
Teorema 5.1.1 Se u ∈ H
a,λ
(IR
n
\{0}) com a /∈ {−|λ|− < α, λ >; α ∈ IN
n
}
ent˜ao u tem uma ´unica extens˜ao E(u) ∈ H
a,λ
(IR
n
).
Demonstra¸c˜ao: (Unicidade) Suponha que U
1
, U
2
∈ H
a,λ
(IR
n
) extens˜oes
de u ∈ H
a,λ
(IR
n
\{0}) . Assim usando o Teorema 3.1.1 temos que, existem
a
α
∈ C e k > 0 tais que U
1
− U
2
=
|α|≤k
a
α
δ
α
0
.
Mostremos que a
α
= 0 ∀α. Consideremos ϕ
0
∈ C
∞
c
(IR
n
) tal que ϕ
0
≡ 1
vizinhan¸ca do zero e suponha que U
1
− U
2
= 0, logo existe α
0
fixado com
|α
0
| ≤ k tal que a
α
0
= 0, tomemos ϕ(x) = x
α
0
ϕ
0
(x). Da´ı temos que
< U
1
− U
2
, ϕ > =
|α|≤k
a
α
∂
α
δ
0
, ϕ
= a
α
0
(−1)
|α
0
|
α
0
!
observemos que U
1
− U
2
´e λ-homogˆenea de grau a, logo
t
a
< U
1
− U
2
, ϕ
t,λ
> = t
a
|α|≤k
a
α
∂
α
δ
0
, t
|λ|
ϕ(H
t
λ
(x))
= a
α
0
(−1)
|α
0
|
α
0
!t
a+|λ|+<α
0
,λ>
.
Da´ı, temos que a
α
0
(−1)
|α
0
|
α
0
! = a
α
0
(−1)
|α
0
|
α
0
!t
a+|λ|+<α
0
,λ>
, logo
a + |λ|+ < α
0
, λ >= 0 o que implica a = −|λ|− < α
0
, λ > contradizendo a
hip´otese sobre a. Portanto, a
α
= 0 ∀α.
(Existˆencia) Uma extens˜ao de u ´e obtida a partir das trˆes etapas abaixo.
Etapa 1: < u, ψR
b
ϕ > independe da escolha de ψ, com ψ nas condi¸c˜oes do
Lema 4.2.1.
66
De fato, sejam ψ
1
, ψ
2
∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) satisfazendo a condi¸c˜ao do Lema 4.2.1,
assim temos:
+∞
0
r
b−1
(ψ
1
R
b
ϕ − ψ
2
R
b
ϕ)(H
r
λ
(x)) dr =
+∞
0
r
b−1
ψ
1
(H
r
λ
(x))R
b
ϕ(H
r
λ
(x)) dr
−
+∞
0
r
b−1
ψ
2
(H
r
λ
(x))R
b
ϕ(H
r
λ
(x)) dr
=
+∞
0
r
b−1
ψ
1
(H
r
λ
(x))r
−b
R
b
ϕ(x) dr
−
+∞
0
r
b−1
ψ
2
(H
r
λ
(x))r
−b
R
b
ϕ(x) dr
= R
b
ϕ(x)
+∞
0
r
−1
ψ
1
(H
r
λ
(x))
=1
dr
− R
b
ϕ(x)
+∞
0
r
−1
ψ
2
)(H
r
λ
(x))
=1
dr
= 0,
aqui a segunda igualdade segue da λ-homogeneidade de R
b
ϕ.
Portanto, pelo item (c) do Lema 4.1.1 segue que u, ψ
1
R
b
ϕ − ψ
2
R
b
ϕ = 0 o
que implica que < u, ψ
1
R
b
ϕ >=< u, ψ
2
R
b
ϕ >.
Etapa 2: < u, ψR
b
ϕ >=< u, ϕ > se ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}).
De fato, como ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) temos pela Observa¸c˜ao 5.1.1 que
R
b
ϕ(x) =< r
b−1
+
, ϕ(H
r
λ
(x)) > .
Da´ı,
+∞
0
r
b−1
(ψR
b
ϕ − ϕ) (H
r
λ
(x)) dr =
+∞
0
r
b−1
ψ(H
r
λ
(x))R
b
ϕ(H
r
λ
(x)) dr
−
+∞
0
r
b−1
ϕ(H
r
λ
(x)) dr
= R
b
ϕ(x)
+∞
0
r
−b+b−1
ψ(H
r
λ
(x)) dr − R
b
ϕ(x)
= R
b
ϕ(x)
+∞
0
r
−1
ψ(H
r
λ
(x)) dr − R
b
ϕ(x)
= R
b
ϕ(x) − R
b
ϕ(x)
= 0,
aqui a segunda igualdade segue da hip´otese de R
b
ser λ-homogˆenea de grau
−b e a quarta igualdade segue da hip´otese da ψ.
67
Etapa 3: Definimos E(u) por:
< E(u), ϕ >=< u, ψR
b
ϕ > (5.1.1)
para ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
). Mostremos que E(u) ∈ D
(IR
n
) e ´e uma extens˜ao de u
quasi-homogˆenea de grau a. Para demonstrar isto consideremos os seguintes
passos.
Passo 1: E(u) ∈ D
(IR
n
) e ´e uma extens˜ao de u.
De fato, claramente E(u) ´e um funcional linear.
Temos que E(u) ´e um funcional cont´ınuo, pois ´e composto de funcionais cont´ınuos,
isto ´e , E(u) = u ◦ L
ψ
◦ R
b
onde temos que u ´e um funcional cont´ınuo por
hip´otese, L
ψ
: C
∞
(IR
n
\{0}) → C
∞
c
(IR
n
\{0}) ´e cont´ınuo, pois L
ψ
= M
ψ
◦ I
onde inclus˜ao I : C
∞
c
(K) → C
∞
c
(IR
n
\{0}) ´e cont´ınua e M
ψ
´e cont´ınuo pelo
Lema 2.2.3 e ainda R
b
: C
∞
c
(IR
n
) → C
∞
(IR
n
\{0}) ´e cont´ınuo pelo Lema 4.2.3.
Como < E(u), ϕ >=< u, ψR
b
ϕ >=< u, ϕ > para toda ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}).
Logo, E(u) ´e uma extens˜ao de u.
Passo 2: E(u) ´e λ-homogˆenea de grau a.
Repetindo o mesmo argumento do Lema 5.1.1 temos que R
b
ϕ
t,λ
(x) = t
−a
R
b
ϕ(x),
ou seja, R
b
ϕ ´e λ−homogˆenea de grau −a.
Notemos que < E(u), ϕ
t,λ
>=< u, ψR
b
ϕ
t,λ
>= t
−a
< u, ψR
b
ϕ >=< E(u), ϕ >
Portanto, < E(u), ϕ >= t
a
< E(u), ϕ
t,λ
>, isto ´e, E(u) ´e λ-homogˆenea de grau
a.
5.2 Extens˜oes de Distribui¸c˜oes Quase-homogˆeneas
de IR
n
\{0} - Parte II
Antes de enunciar o teorema, faremos algumas considera¸c˜oes.
Defini¸c˜ao 5.2.1 Se λ ∈ ZZ
n
+
e Γ um cone aberto dizemos que u ∈ D
(Γ) tem
paridade oposta a < α, λ > se < u, ϕ >= (−1)
<α,λ>+1
< u, ϕ(H
(−1)
λ
(x)) >,
ϕ ∈ C
∞
c
(Γ).
68
Tomando como ponto de partida a defini¸c˜ao do operador R
b
definido por (4.2.3)
proposto na se¸c˜ao 4.2 do Cap´ıtulo 4 temos:
Lema 5.2.1 Suponha que a = −|λ|− < α, λ > para algum α ∈ IN
n
e λ ∈ IR
n
+
,
ent˜ao
R
b
ϕ(x) = t
−|λ|−<α,λ>
R
b
ϕ
t,λ
(x) + ln(t)
<β,λ>=<α,λ>
b
β
∂
β
ϕ(0)
< β, λ >!
x
β
com b = − < α, λ >≤ 0, k o menor inteiro positivo maior que
< α, λ >
λ
min
como
em (4.2.3) e b
β
∈ C indep e ndentes de ϕ.
Demonstra¸c˜ao: Pela defini¸c˜ao de R
b
apresentado na se¸c˜ao 4.2 do
Cap´ıtulo 4 e usando a nota¸c˜ao l´a apresentada, observando que
Re(b) = b = − < α, λ >≤ 0, temos dois casos:
Caso 1: λ ∈ ZZ
n
+
De fato, neste caso temos
R
−<α,λ>
ϕ
t,λ
(x) = < r
−<α,λ>−1
+
, t
|λ|
ϕ(H
rt
λ
(x)) >
= t
|λ|−1
< r
−<α,λ>−1
+
, tϕ(H
rt
λ
(x)) >
= t
|λ|−1
< r
−<α,λ>−1
+
, tϕ
x
λ
(·t) >
= t
|λ|−1
t
<α,λ>+1
< r
−<α,λ>−1
+
, ϕ
x
λ
(·) >
− t
<α,λ>+1
ln(t)
1
< α, λ >!
d
<α,λ>
dr
<α,λ>
(ϕ
x
λ
(r))
r=0
= t
|λ|+<α,λ>
R
−<α,λ>
ϕ(x)
− t
|λ|+<α,λ>
ln(t)
<β,λ>=<α,λ>
b
β
x
β
∂
β
ϕ(0)
< β, λ >!
,
aqui a quarta igualdade segue de (1.3.3).
Caso 2: λ /∈ ZZ
n
+
De fato, neste caso temos
R
b
ϕ
t,λ
(x) = t
|λ|
r
−<α,λ>−1
+
, ((1 − θ)ϕ) (H
tr
λ
(x))
+
|β|≤k
∂
β
ϕ(0)
β!
t
<β,λ>+|λ|
x
β
r
−<α,λ>−1+<β,λ>
+
, θ
H
tr
λ
(x)
69
+ t
|λ|+kλ
min
r
−<α,λ>−1+kλ
min
+
, ||H
tr
ˆ
λ
(x)||
k
θ(H
tr
λ
(x))
(E
k
ϕ)(H
tr
λ
(x))
||H
tr
λ
(x)||
k
= (I) + (II) + (III).
Estudamos cada termo (I), (II) e (III) individualmente. C onsideremos os
seguintes casos:
Caso 1: An´alise do termo (I).
(I) = t
|λ|−1
r
−<α,λ>−1
+
, t ((1 − θ)ϕ) (H
tr
λ
(x))
= t
|λ|+<α,λ>
r
−<α,λ>−1
+
, ((1 − θ)ϕ) (H
r
λ
(x))
.
com a ´ultima igualdade seguindo da homogeneidade r
−<α,λ>−1
+
em IR\{0}.
Caso 2: An´alise do termo (II). Denominaremos (II)
β
a parcela de (II)
correspondente a β. Consideremos os seguintes subcasos:
Subcaso 2.1: Se β for tal que − < α, λ > + < β, λ > −1 = −j
β
∈ ZZ
−
com
j
β
≥ 2 a mesma afirma¸c˜ao do Caso 1 segue por integra¸c˜ao por partes para
(II)
β
.
Subcaso 2.2: Se β for tal que − < α, λ > + < β, λ > −1 = −1 temos:
(II)
β
= t
|λ|+<β,λ>−1
∂
β
ϕ(0)
β!
x
β
r
−<α,λ>−1+<β,λ>
+
, tθ(H
tr
λ
(x))
= t
|λ|+<α,λ>
∂
β
ϕ(0)
β!
x
β
r
−<α,λ>+<β,λ>−1
+
, θ(H
r
λ
(x))
− t
|λ|+<α,λ>
ln(t)
∂
β
ϕ(0)
β!
x
β
θ(0)
= t
|λ|+<α,λ>
∂
β
ϕ(0)
β!
x
β
r
−<α,λ>−1+<β,λ>
+
, θ(H
r
λ
(x))
− t
|λ|+<α,λ>
ln(t)
∂
β
ϕ(0)
β!
x
β
,
aqui a segunda igualdade segue de (1.3.3).
Subcaso 2.3: Se − < α, λ > + < β, λ > −1 /∈ ZZ
−
a mesma afirma¸c˜ao do
Caso 1 para (II)
β
segue, pela homogeneidade r
−<α,λ>+<β,λ>−1
+
.
Caso 3: An´alise do termo (III).
(III) = t
|λ|+kλ
min
−1
r
−<α,λ>−1+kλ
min
+
, t||H
tr
ˆ
λ
(x)||
k
θ(H
tr
λ
(x))
(E
k
ϕ)(H
tr
λ
(x))
||H
tr
λ
(x)||
k
= t
|λ|+<α,λ>
r
−<α,λ>−1+kλ
min
+
, ||H
r
ˆ
λ
(x)||
k
θ(H
r
λ
(x))
(E
k
ϕ)(H
r
λ
(x))
||H
r
λ
(x)||
k
70
com a ´ultima igualdade seguindo da homogeneidade de r
−<α,λ>−1+kλ
min
+
.
Finalmente podemos enunciar o nosso resultado principal desta se¸c˜ao:
Teorema 5.2.1 Seja u ∈ H
a,λ
(IR
n
\{0}) com a = −|λ|− < α, λ >
para algum α ∈ IN
n
ent˜ao:
(1) u admite uma extens˜ao E(u) ∈ D
(IR
n
) satisfazendo
< E(u), ϕ > = t
−|λ|−<α,λ>
< E(u), ϕ
t,λ
>
+ ln(t)
<β,λ>=<α,λ>
b
β
∂
β
ϕ(0)
< β, λ >!
< u, x
β
ψ > .(5.2.1)
com t > 0, b
β
∈ C independe de ϕ e ψ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) como no
Lema 4.2.1.
(2) Se U ´e uma extens˜ao de u ent˜ao
U, ϕ = t
−|λ|−<α,λ>
U, ϕ
t,λ
+
|β|≤l
(1 − t
<β,λ>−<α,λ>
)a
β
∂
β
δ
0
, ϕ
+ ln(t)
<β,λ>=<α,λ>
b
β
∂
β
ϕ(0)
< β, λ >!
u, x
β
ψ
.
para algum l ∈ IN.
(3) Seja U uma extens˜ao de u na forma do item (2). U ∈ H
a,λ
(IR
n
) se, e
somente se, a
β
= 0 se < β, λ >=< α, λ > e
< u, x
β
ψ >= 0 (5.2.2)
para < β, λ >=< α, λ >. Observamos tamb´em que (5.2.2) independe da
escolha de ψ.
(4) Suponha que λ ∈ ZZ
n
+
. u tem paridade oposta a < α, λ > se, e somente
se,
< u, ϕ >= (sgnt)t
a
< u, ϕ
t,λ
>, t = 0 (5.2.3)
com ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}). Observamos tamb´em que neste caso vale (5.2.2)
71
(5) Suponha que λ ∈ ZZ
n
+
. Se u ∈ D
(IR
n
\{0}) satisfaz (5.2.3) ent˜ao existe
uma ´unica extens˜ao E
1
(u) ∈ D
(IR
n
) com paridade oposta a < α, λ >.
Al´em disso ela ´e dada por
E
1
(u), ϕ = S
< t
−<α,λ>−1
, ϕ(H
t
λ
(·)) >
2
u
, (5.2.4)
sendo t
−<α,λ>
=
(t+i0)
−<α,λ>
+(t−i0)
−<α,λ>
2
= t
−<α,λ>
+
+ (−1)
<α,λ>
t
−<α,λ>
−
e
S(v) =< v, ψ >.
Demostra¸c˜ao:
(1) Tal como em (5.1.1) do Teorema 5.1.1 definimos < E(u), ϕ >=< u, ψR
b
ϕ >
para ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
). J´a mostramos que E(u) ∈ D
(IR
n
) e ´e uma extens˜ao de u.
Assim pelo Lema 5.2.1 temos:
R
−<α,λ>
ϕ(x) = t
−|λ|−<α,λ>
R
−<α,λ>
ϕ
t,λ
(x)
+ ln(t)
<β,λ>=<α,λ>
b
β
x
β
∂
β
ϕ(0)
< β, λ >!
.
Da´ı, segue que
< E(u), ϕ > =
u, ψ
t
−|λ|−<α,λ>
R
b
ϕ
t,λ
+ ln(t)
<β,λ>=<α,λ>
b
β
x
β
∂
β
ϕ(0)
< β, λ >!
= t
−|λ|−<α,λ>
u, ψR
b
ϕ
t,λ
+ ln(t)
<β,λ>=<α,λ>
b
β
u, x
β
ψ
∂
β
ϕ(0)
< β, λ >!
= t
−|λ|−<α,λ>
< E(u), ϕ
t,λ
> + ln(t)
<β,λ>=<α,λ>
b
β
u, x
β
ψ
∂
β
ϕ(0)
< β, λ >!
.
(2) Seja U ∈ D
(IR
n
) uma extens˜ao de u. Usando o Teorema 3.1.1, temos que
U − E(u) =
|β|≤l
a
β
∂
β
δ
0
com a
β
∈ C e l ∈ IN.
Substituindo E(u) por U −
|β|≤l
a
β
∂
β
δ
0
em (5.2.1) o termo do logaritmo n˜ao
muda, mas aparece um outro termo, a saber:
|β|≤l
(1 − t
<β,λ>−<α,λ>
)a
β
∂
β
δ
0
. (5.2.5)
72
De fato, temos:
U −
|β|≤l
a
β
∂
β
δ
0
, ϕ
= t
−|λ|−<α,λ>
U −
|β|≤l
a
β
∂
β
δ
0
, ϕ
t,λ
+ ln(t)
<β,λ>=<α,λ>
b
β
∂
β
ϕ(0)
< β, λ >!
u, x
β
ψ
.
Mas,
−
|β|≤l
a
β
∂
β
δ
0
, ϕ
t,λ
= −
|β|≤l
a
β
∂
β
δ
0
, t
|λ|
ϕ(H
t
λ
(x))
= −
|β|≤l
a
β
(−1)
|β|
δ
0
, t
|λ|+<β,λ>
(∂
β
ϕ)(H
t
λ
(x))
= −
|β|≤l
a
β
t
|λ|+<β,λ>
∂
β
δ
0
, ϕ
.
Da´ı:
U, ϕ = t
−|λ|−<α,λ>
U, ϕ
t,λ
+
|β|≤l
(1 − t
<β,λ>−<α,λ>
)a
β
∂
β
δ
0
, ϕ
+ ln(t)
<β,λ>=<α,λ>
b
β
∂
β
ϕ(0)
< β, λ >!
u, x
β
ψ
.
(3) De (2), U ´e quase-homogˆenea se , e somente se,
|β|≤l
(1 − t
<β,λ>−<α,λ>
)a
β
∂
β
δ
0
, ϕ
+ ln(t)
<β,λ>=<α,λ>
b
β
∂
β
ϕ(0)
< β, λ >!
< u, x
β
ψ >= 0,
∀ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
).
Como as fun¸c˜oes
(1 − t
<β,λ>−<α,λ>
), |β| ≤ l e < β, λ >=< α, λ >
{ln(t)}
s˜ao linearmente independentes, basta verificarmos que a
β
= 0 para |β| ≤ l se
< β, λ >=< α, λ > e que < u, x
β
ψ >= 0 quando < β, λ >=< α, λ > .
Se |β| ≤ l e < β, λ >=< α, λ >, assim basta verificarmos
|β|≤l
(1 − t
<β,λ>−<α,λ>
)a
β
∂
β
δ
0
, ϕ
= 0
se, e somente se, a
β
= 0 ∀|β| ≤ l. Mas isto segue da Observa¸c˜ao 2.2.1-(i).
Agora para todo β com < β, λ >=< α, λ > temos que (1 − t
<β,λ>−<α,λ>
) = 0,
logo resta verificar que < u, x
β
ψ >= 0 ∀β, < β, λ >=< α, λ > se
ln(t)
<β,λ>=<α,λ>
b
β
∂
β
ϕ(0)
< β, λ >!
< u, x
β
ψ >= 0
73
∀ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
). Mas isto segue da Observa¸c˜ao 2.2.1 − (i).
A rec´ıproca tamb´em ´e v´alida.
Agora mostraremos que < u, x
β
ψ >= 0 com < β, λ >=< α, λ > independe da
escolha de ψ. Primeiramente verifiquemos a afirma¸c˜ao para α = 0.
Com efeito, sejam ψ
1
, ψ
2
∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) satisfazendo a condi¸c˜ao do
Lema 4.2.1 ent˜ao:
+∞
0
r
a+|λ|−1
(ψ
1
− ψ
2
)(H
r
λ
(x)) dr =
+∞
0
r
−1
(ψ
1
− ψ
2
)(H
r
λ
(x)) dr
=
+∞
0
r
−1
ψ
1
(H
r
λ
(x)) dr
−
+∞
0
r
−1
ψ
2
(H
r
λ
(x)) dr
= 0,
assim pelo item (c) do Lema 4.1.1 temos que < u, (ψ
1
−ψ
2
) >= 0 o que implica
que < u, ψ
1
>=< u, ψ
2
>,.
Para α arbitr´ario tomemos x
α
u e observemos que x
α
u ´e λ−homogˆenea de grau
−|λ|.
De fato,
< x
α
u, ψ > = < u, x
α
ψ >
= t
a
< u, (x
α
ψ)
t,λ
>
= t
a+|λ|
< u, (H
t
λ
(x))
α
ψ(H
t
λ
(x)) >
= t
a+|λ|+<α,λ>
< u, x
α
ψ(H
t
λ
(x)) >
= t
−|λ|
< x
α
u, ψ
t,λ
> .
Portanto, x
α
u ´e quase-homogˆenea de grau −|λ|. Logo, < x
α
u, ψ >=< u, x
α
ψ >
independe da escolha de ψ.
(4) Suponhamos que u tenha paridade oposta a < α, λ >. Se t > 0, (5.2.3)
´e v´alida, pois < u, ϕ >= t
a
< u, ϕ
t,λ
> por hip´otese. Agora se t < 0, tamb´em
74
conclu´ımos que (5.2.3) ´e v´alida, pois:
< u, ϕ > = (−t)
a
< u, ϕ
−t,λ
>
= (−t)
a+|λ|
< u, ϕ(H
−t
λ
(x)) >
= (−t)
a+|λ|
(−1)
<α,λ>+1
< u, ϕ(H
t
λ
(x)) >
= t
a+|λ|
(−1)
a+|λ|
(−1)
<α,λ>+1
< u, ϕ(H
t
λ
(x)) >
= (−1)t
a
< u, ϕ
t,λ
>
= (sgnt)t
a
< u, ϕ
t,λ
>,
aqui a terceira igualdade segue da hip´otese de u ter paridade oposta.
Reciprocamente, suponha que (5.2.3) ´e v´alida. Tomando t = −1,
< u, ϕ > = (sgnt)t
a
< u, ϕ
t,λ
>
= (−1)(−1)
a
< u, ϕ
−1,λ
>
= (−1)(−1)
a+|λ|
< u, ϕ(H
−1
λ
(x)) >
= (−1)
<α,λ>+1
< u, ϕ(H
−1
λ
(x)) > .
Se u satisfaz (5.2.3) ent˜ao (5.2.2) ´e v´alida. De fato, seja ψ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0})
tal que ψ(H
1
λ
(x)) = ψ(H
−1
λ
(x)) com ψ satisfazendo a condi¸c˜ao do Lema 4.2.1
e tomemos φ(x) = x
β
ψ(x), ent˜ao para t = −1, temos,
< u, φ > = (−1)(−1)
a
< u, φ
−1,λ
>
= (−1)(−1)
a
< u, (−1)
|λ|
φ(H
−1
λ
(x)) >
= (−1)(−1)
a
< u, (−1)
|λ|
(H
−1
λ
(x))
β
ψ(H
−1
λ
(x)) >
= (−1)(−1)
a
< u, (−1)
|λ|+<β,λ>
x
β
ψ(H
1
λ
(x)) >
= (−1)(−1)
a
< u, (−1)
|λ|+<β,λ>
φ(x) >
= (−1) < u, φ >,
aqui a quarta igualdade segue da hip´otese da ψ.
Portanto, < u, φ >= 0 quando < β, λ >=< α, λ >. Logo por (1) u possui
uma extens˜ao quase-homogˆenea.
75
Antes de prosseguir na demonstra¸c˜ao faremos uma observa¸c˜ao que motiva e
d´a importˆancia ao papel de S.
Observa¸c˜ao:
(i) Se v for uma fun¸c˜ao cont´ınua e λ−homogˆenea de grau −|λ| em IR
n
\{0}
introduzindo coordenadas polares temos:
S(v) = < v, ψ >
=
IR
n
\{0}
v(x)ψ(x) dx
=
+∞
0
|w|=1
r
−|λ|
v(w)ψ(H
r
λ
(x))r
|λ|
dw
dr
r
=
|w|=1
+∞
0
ψ(H
r
λ
(x))
dr
r
=1
v(w) dw
=
|w|=1
v(w) dw,
aqui a terceira igualdade segue da λ−homogeneidade de v. Observemos que
S(v) ´e a integral de v sobre a esfera unit´aria.
(ii) Notemos que se u ´e quase-homogˆenea de grau a e
a /∈ {−|λ|− < α, λ >; α ∈ IN
n
}, ent˜ao (5.1.1) pode ser escrito na forma:
< E(u), ϕ > = < u, ψR
b
ϕ >
= < (R
b
ϕ)u, ψ >
= S((R
b
ϕ)u).
pois, (R
b
ϕ)u ´e λ−homogˆenea de grau −a − |λ| + a = −|λ|.
Quando a = −|λ|− < α, λ > ent˜ao (5.1.1) depende da escolha de ψ.
(5) Inicialmente mostremos a unicidade da extens˜ao E
1
(u). Sejam E
1
(u), E
2
(u)
extens˜oes de u. Logo E
1
(u) − E
2
(u) =
|β|≤l
a
β
∂
β
δ
0
. Da´ı
E
1
(u) − E
2
(u), ϕ = (sng(t))t
−|λ|−<α,λ>
E
1
(u) − E
2
(u), ϕ
t,λ
, ∀ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
)
pois E
1
(u) e E
2
(u) tem paridade oposta a < α, λ >.
Logo
|β|≤l
1 − t
<β,λ>−<α,λ>
(sgnt)
(−1)
|β|
a
β
(∂
β
ϕ)(0) = 0 o que implica que
para cada β, com |β| ≤ l, temos que
1 − t
<β,λ>−<α,λ>
(sgnt)
a
β
= 0. Logo,
76
a
β
= 0 ∀β, pois
1 − t
<β,λ>−<α,λ>
(sgnt)
= 0 ∀t = 0 uma vez que a fun¸c˜ao
h(t) = t
<β,λ>−<α,λ>
(sgnt), t = 0, n˜ao ´e constante.
Portanto, E
1
(u) = E
2
(u).
Agora mostremos a existˆencia de uma tal extens˜ao de u.
Primeiramente observemos que
< t
−<α,λ>−1
, ϕ(H
t
λ
(·)) > =
t
−<α,λ>−1
+
+ (−1)
<α,λ>+1
t
−<α,λ>−1
−
, ϕ(H
t
λ
(·))
= < t
−<α,λ>−1
+
, ϕ(H
t
λ
(·)) >
+ (−1)
<α,λ>+1
< t
−<α,λ>−1
−
, ϕ(H
t
λ
(·)) >
= < t
−<α,λ>−1
+
, ϕ(H
t
λ
(·)) >
+ (−1)
<α,λ>−1
< t
−<α,λ>−1
+
, ϕ(H
−t
λ
(·)) > .
Seja U uma extens˜ao de u logo ela ´e escrita como (5.1.1) ent˜ao (5.2.4) significa
que
2 < E
1
(u), ϕ >=< U, ϕ > +(−1)
<α,λ>+|λ|−1
< U, ϕ
−1,λ
>,
para toda ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
).
De fato,
2S
<
t
−<α,λ>−1
, ϕ(H
t
λ
(·)) >
2
u
= S
< t
−<α,λ>−1
+
, ϕ(H
t
λ
(·)) >
+ (−1)
<α,λ>−1
< t
−<α,λ>−1
−
, ϕ(H
t
λ
(·)) >
u
= S
< t
−<α,λ>−1
+
, ϕ(H
t
λ
(·)) >
+ (−1)
<α,λ>−1
< t
−<α,λ>−1
+
, ϕ(H
−t
λ
(·)) >
u
=
R
b
ϕ + (−1)
<α,λ>+|λ|−1
R
b
ϕ
−1,λ
u, ψ
= < U, ϕ > +(−1)
<α,λ>+|λ|−1
< U, ϕ
−1,λ
>,
aqui a terceira igualdade segue da defini¸c˜ao de S, pois
R
b
ϕ + (−1)
<α,λ>+|λ|−1
R
b
ϕ
−1,λ
´e λ−homogˆenea de grau < α, λ > e u ´e
λ-homogˆenea de grau − < α, λ > −|λ|, logo pela Observa¸c˜ao 2.1.1 item (ii)
temos
R
b
ϕ + (−1)
<α,λ>+|λ|−1
R
b
ϕ
−1,λ
u ´e λ−homogˆenea de grau −|λ|.
77
Afirma¸c˜ao: (5.2.4) define uma dis tribui¸c˜ao em D
(IR
n
), ´e uma extens˜ao de u
e tem paridade oposta a < α, λ > . Para demonstrar este fato, dividiremos em
passos:
Passo 1: Afirmamos que E
1
(u) ∈ D
(IR
n
).
De fato, claramente E
1
(u) ´e um funcional linear.
Temos que E
1
(u) ´e um funcional cont´ınuo, pois U ´e um funcional cont´ınuo e
soma de cont´ınuos ´e cont´ınuo.
Portanto, E
1
(u) ∈ D
(IR
n
).
Passo 2: E
1
(u) ´e uma extens˜ao de u.
De fato, seja ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}) ent˜ao 2 < E
1
(u), ϕ >= 2 < U, ϕ > por (5.2.3)
tomando t = −1. Assim temos que:
2 < E
1
(u), ϕ > = < U, ϕ > +(−1)
<α,λ>+|λ|−1
< U, ϕ
−1,λ
>
= < U, ϕ > + < U, ϕ >
= 2 < U, ϕ > .
Portanto, < E
1
(u), ϕ >=< U, ϕ >, para toda ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}). Logo, E
1
(u)
´e uma extens˜ao de u, isto ´e, < E
1
(u), ϕ >=< U, ϕ >=< u, ϕ >, para toda
ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
\{0}).
Passo 3: E
1
(u) tem paridade oposta < α, λ > .
De fato, para toda ϕ ∈ C
∞
c
(IR
n
) e tomando t = −1 temos:
2 < E
1
(u), ϕ
−1,λ
> = < U, ϕ
−1,λ
> +(−1)
<α,λ>+|λ|−1
< U, ϕ >
= 2(−1)
<α,λ>+|λ|−1
< E
1
(u), ϕ > −(−1)
<α,λ>+|λ|−1
< U, ϕ >
+ (−1)
<α,λ>+|λ|−1
< U, ϕ >
= 2(−1)
<α,λ>+|λ|−1
< E
1
(u), ϕ > .
Portanto, < E
1
(u), ϕ >= (−1)
<α,λ>+1
< E
1
(u), ϕ(H
−1
λ
(x)) > .
Referˆencias Bibliogr´aficas
[F] Figueiredo, D.G e Treves, J.F., Espa¸cos Vetoriais Topol´ogicos E Dis-
tribui¸c˜oes, IMPA, Rio de Janeiro, 1968.
[G] Gabriel, C.P.C., Extens˜oes de Solu¸c˜oes Homogˆeneas de Uma
Classe de Operadores Diferencias Parciais Reais de Ordem UM,
Disserta¸c˜ao de Mestrado, Gr´afica UFSCAR, S˜ao Carlos, 2005.
[Ho] Hounie, J., Teoria Elementar das Distribui¸c˜oes, 12
◦
Col. Bras.
Mat.,IMPA , Rio de Janeiro, 1979.
[H¨o] H¨ormander, L., The Analysis of Linear Partial Differential Ope-
rators I, Vol. 1, Springer-Verlag, Berlin, 1990.
[L] Lima, E.L., Curso de An´alise, Vol.1, 2, IMPA , Rio de Janeiro, 2005.
[O] Onofre, J., Resolubilidade para Operadores Diferenciais:
Condi¸c˜oes Necess´arias, Disserta¸c˜ao de Mestrado, Gr´afica UFSCAR,
S˜ao Carlos, 2002.
[R] Rudin, W. , Real and Complex Analysis, Tata McGraw-Hill Pub-
lishing Company Ltd., New Delhi, 1979.
78
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