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UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE – UNESC
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
MESTRADO EM EDUCAÇÃO
JÓYCE NÜRNBERG
TABUADA: significados e sentidos produzidos pelos professores das Séries Iniciais do
Ensino Fundamental
CRICIÚMA, MARÇO DE 2008.
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JÓYCE NÜRNBERG
TABUADA: significados e sentidos produzidos pelos professores das Séries Iniciais do
Ensino Fundamental
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Educação da Universidade do
Extremo Sul Catarinense - UNESC, Estado de Santa
Catarina, como um dos requisitos para obtenção do
título de Mestre em Educação.
Orientador: Professor Doutor Ademir Damazio
CRICIÚMA, DE MARÇO DE 2008.
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SUMÁRIO
O PLANO DA DISSERTAÇAO.................................................................................07
1. A TEMÁTICA DE PESQUISA NO CONTEXTO DO ENSINO MATEMÁTICO:
percepções iniciais.......................................................................................................09
1.1. O contexto metodológico do estudo..................................................................19
1.2. O diálogo com quem ensina tabuada.................................................................21
2. A TABUADA NO CONTEXTO HISTÓRICO PEDAGÓGICO..............................27
3. AS BASES TEÓRICAS DO ESTUDO......................................................................40
4. SIGNIFICADOS E SENTIDOS DA TABUADA: no contexto da estrutura da
atividade de ensino dos professores das séries iniciais.................................................60
5. OS SIGNIFICADOS E SENTIDOS DA TABUADA NA ESTRUTURA DA
ATIVIDADE DOCENTE: considerações finais...........................................................83
REFERÊNCIAS.............................................................................................................93
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AGRADECIMENTOS
Sou sinceramente grata:
Aos meus familiares pela compreensão e apoio.
Ao Prof. Dr. Ademir Damazio, pela dedicação e comprometimento na
orientação desta pesquisa.
Aos componentes da Banca pelas contribuições para o aprimoramento deste
estudo.
Aos professores do Curso de Mestrado em Educação da UNESC, pelas
contribuições nas discussões e reflexões.
Aos colegas/amigos do Curso de Mestrado em Educação da UNESC e do
Grupo de Pesquisa em Educação Matemática, pelas trocas e companheirismo.
A amiga e parceira Elisandra por todos os momentos que compartilhamos
juntas.
Aos professores entrevistados pela disposição e contribuições para a
realização deste estudo.
Ao auxílio financeiro, bolsa de estudo, da CAPES.
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RESUMO
O presente estudo, fundamentado na abordagem Histórico-Cultural e em
específico na Teoria da Atividade, analisa os significados e sentidos produzidos pelos
professores das Séries Iniciais do Ensino Fundamental das redes pública municipal e estadual,
do município de São Ludgero. Tem como objetivo verificar o lugar que a tabuada ocupa na
estrutura da atividade de ensino e aprendizagem, bem como, suas implicações ao processo de
apropriação conceitual. A escolha do objeto de estudo desta pesquisa é decorrente de
reflexões sobre do status que a tabuada expressa na esfera cultural e educacional. Participam
como sujeitos desta pesquisa doze professores, sendo que oito deles lecionam na escola
municipal – Centro Educacional Professor Henrique Buss –, três pertencem à instituição –
Escola de Educação Básica São Ludgero – e uma professora trabalha na – Escola de Ensino
Fundamental Bom Retiro – ambas estaduais. O método utilizado para a interpretação dos
dados é o dialético e a perspectiva qualitativa. Para a coleta de dados foram usados os
procedimentos de gravação em áudio e a técnica de entrevista semi-estruturada. Os resultados
demonstram que a tabuada manifesta-se na estrutura da atividade de ensino, em linhas gerais,
como ação. È pré-requisito para a multiplicação. Dentre as operações empregar pelo professor
para que o aluno se aproprie desta significação destaca-se: os recursos pedagógicos, o
movimento conceitual realizado e a linguagem específica utilizada. No que se refere ao
planejamento docente há um tempo e um momento para ser ensinada e apropriada.
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O PLANO DA DISSERTAÇÃO
Falar em “tabuada”, para muitos professores e pesquisadores em Educação
Matemática, pode parecer estranho, algo passageiro que constituiu o currículo de matemática
dos primeiros anos escolares.
Essa estranheza, para nós, é reveladora de apenas um posicionamento entre tantos
que poderiam existir sobre o tema. Tratar-se-ia, então, de um possível ”conteúdo” do ensino
atual.
Esse nos levou a conjecturar que também poderia existir uma outra forma de ver a
“tabuada”: está presente no ensino de matemática, porém não é explicitado para não correr o
risco da estigmatização, sob pena de ser considerada algo ultrapassado.
Nasce em nós a ansiedade de saber as percepções apontadas, anteriormente,
propiciaria a problematização e definição de um objeto de estudo. Nesse sentido, o referencial
teórico histórico-cultural foi decisivo ao pressupor que todo o conhecimento é uma produção
social humana. Sendo assim, a “tabuada”, independente de sua presença no currículo de
matemática contemporâneo, se configura como saber produzido pela humanidade. Desse
modo, tornou-se tema da presente dissertação. A Teoria da Atividade apontou elementos
conceituais que produziram questionamentos acerca de seus teores, entre os quais
antecipamos: no contexto da atividade de ensinar e aprender matemática, a tabuada se
constitui em ação ou operação?
Enfim, o estudo se efetivou traduzido na presente dissertação cujo plano,
apresentamos:
- O primeiro capítulo - A TEMÁTICA DE PESQUISA NO CONTEXTO DO
ENSINO MATEMÁTICO: percepções iniciais – é composto pela justificativa que
problematiza o tema, define o problema e os questionamentos decorrentes e estabelece os
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objetivos. Acrescem-se duas seções: a primeira - “O contexto metodológico do estudo” - em
que apontamos a definição da metodologia adotada, seus pressupostos e os instrumentos; a
segunda - “O diálogo com quem ensina tabuada” - discorre sobre as pessoas e seus ambientes
de trabalho que contribuíram para as questões empíricas.
- O capítulo 2 - A Tabuada no contexto histórico Pedagógico - foi destinado a
um estudo histórico-pedagógico sobre a constituição das significações adquiridas pela tabuada
segundo diversas correntes pedagógicas e as diferentes tendências no ensino da matemática.
- O capítulo 3 - As bases teóricas do estudo - é o espaço em que são tratados os
fundamentos filosóficos, psicológicos e pedagógicos da pesquisa.
- No capítulo 4 - Significados e sentidos da tabuada: no contexto da estrutura da
atividade de ensino dos professores das séries iniciais - é estabelecido um diálogo entre os
pressupostos teóricos e as percepções dos professores do Ensino Fundamental sobre a
tabuada.
- Finalmente, Os significados e sentidos da tabuada na estrutura da atividade
docente: considerações finais é o trecho que sintetiza os estudos como um todo. É, ainda,
responsável por fazer anúncios da compreensão do objeto de estudo pela perspectiva teórica
adotada.
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1. A TEMÁTICA DE PESQUISA NO CONTEXTO DO ENSINO DE MATEMÁTICA:
percepções iniciais
As discussões nos ambientes escolares e acadêmicos, ao longo da história da
educação, são reveladoras quanto ao pensamento pedagógico de um determinado período.
Nelas permeiam atenções para o ensino, conhecimento e aprendizagem referentes à
matemática. Aliadas aos determinantes políticos, econômicos e sociais, elas contribuíram para
o surgimento de Tendências no ensino da Matemática com a pretensão de solucionar, de
distintos modos, as questões educacionais conflitivas e desconfortáveis de cada época.
No rol de conteúdos, conceitos e temas constantes nos programas de ensino ou
propostas curriculares oficiais, a multiplicação de números naturais se faz presente e adquire
status de grande importância. No entanto, no momento do ensino a referida operação - por
razões históricas, sócio-culturais e políticas - tem se convertido em um outro conceito:
tabuada. Nessa transformação conceitual ela passa a constituir um aspecto polêmico em
educação matemática. E, como tal, qualificaria e justificaria a escolha deste tema. Mas, a
aproximação acerca dele é decorrente das inúmeras inquietações que permeiam a nossa
prática pedagógica. Foram, especificamente, as preocupações referentes aos processos de
transmissão e apropriação dos conhecimentos matemáticos que nos levaram ao
desenvolvimento de uma pesquisa, na área da educação matemática, em 2004. Tratava-se de
uma análise do conceito de Multiplicação no livro didático.
Em tal pesquisa, resultado do trabalho de conclusão do curso de Pedagogia, várias
constatações foram feitas, mas uma em específico chamou nossa atenção: o livro didático
analisado, ao abordar o conceito de Multiplicação, não fazia referência à tabuada. Contudo,
isso não impedia os professores da rede municipal pública de São Ludgero, que inclusive
optaram pela adoção do livro em questão, de realizar um trabalho paralelo com a tabuada no
ensino de tal conceito.
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Naquele momento, analisávamos as características das atividades matemáticas no
livro didático. O foco principal era observar as atividades capazes de propiciar ao aluno a
apropriação das significações do conceito de multiplicação. Concluímos que alguns aspectos
tornam frágeis e dúbias as possibilidades de elaboração desse conceito. Além disso,
constatamos que o livro apresentava uma abordagem eclética: ora tendendo ao
tradicionalismo pelas atividades prontas, ora ao construtivismo pela contemplação de idéias
conceituais e constantes questionamentos que direcionavam os alunos a construírem
pensamento multiplicativo.
É imprescindível ressaltar: as tendências expressas na composição do pressuposto
teórico do livro vinham de encontro aos pressupostos adotados pela proposta pedagógica da
rede municipal pública de São Ludgero. Tal rede elaborou um documento que norteia os
trabalhos docentes a pelo menos 10 anos. Trata-se de uma Proposta Educacional Pedagógica
que, desde sua primeira publicação, permanece fiel ao marco teórico metodológico então
adotado: o materialismo histórico dialético, tendo por base psicológica a teoria histórico-
cultural (PREFEITURA MUNICIPAL DE SÃO LUDGERO, 2000).
Evidenciamos esse paradoxo como um elemento para contextualizar a temática da
atual pesquisa e elucidar que o objeto de estudo se manifesta no âmbito escolar. Portanto, não
é nosso objetivo a análise da efetivação da referida proposta, tampouco sua coerência com os
livros que adota.
O desenvolvimento da pesquisa que acima descrevemos e nossa experiência
docente levaram-nos a perceber que, mesmo não estando referenciada no livro didático, a
tabuada nas aulas de matemática tem vínculo com o conceito de multiplicação. Comumente,
ouvíamos nas escolas do município a seguinte afirmação de colegas: “aluno que não decora a
tabuada não aprende multiplicação”. Isso, aparentemente, evidencia uma forma de
apresentação do conceito de Multiplicação.
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Ainda neste contexto, há a importância de diversificação dos meios que iriam
auxiliar a memorização “alegre” e “prazerosa” da tabuada. Vários recursos didáticos foram
adquiridos pelas escolas da rede municipal para serem utilizados pelo aluno em situações
extraclasse, como: jogos de madeira que continham a tabuada de multiplicação, CDs de
música na forma de paródias para facilitar a memorização, dentre outros.
Assim, apesar do livro didático que orienta a prática pedagógica da referida rede
não contemplar a tabuada, a mesma continuava sendo alvo de preocupação da escola. A
hipótese é de que sua apresentação em sala de aula ocorra de forma sutil, já que ela é uma
clássica necessidade de conhecimento da tendência formalista e, como dissemos, há um
documento norteador com outra base teórica.
As percepções não se esgotam, pois, num ambiente tão complexo como da rede
municipal pública de ensino, outras apreensões ocorrem e precisam ser estudadas.
A tabuada sofreu influência de diferentes concepções explicitadas nas diversas
tendências, legitimando sua importância histórica. Dito isso, passemos às inquietações que,
especificamente, nos trazem à pesquisa e nos fazem reavivar o debate sobre o objeto de
estudo em questão. Ressaltamos uma situação de simultaneidade em que sua constância e
ausência se confundem. Apesar de incessantemente criticada e negada, a tabuada tem uma
forte presença no ensino de matemática.
Na esfera social, sua marca se revela nas produções distribuídas e veiculadas pela
mídia. Compreendem uma enorme variedade de produtos: revistas específicas que contêm a
tabuada para pintar e decorar, dominós, quebra-cabeças e jogos de memória, etc. Esses
materiais são largamente vendidos em bancas, livrarias ou diretamente nas escolas. Além
disso, tornaram-se produtos amplamente oferecidos na rede mundial de computadores
(Internet). Ali são encontrados artigos que a legitimam ou censuram, e indicações de sites que
fornecem dowload gratuitos de jogos diversos para a sua memorização. Enfim, vários são os
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recursos disponibilizados que têm em comum o mesmo objetivo: a memorização da tabuada.
Embora a acessibilidade dos meios eletrônicos favoreça apenas aqueles alunos oriundos de
classes sociais de maior poder aquisitivo.
Dentre os muitos sites, chama a atenção, por exemplo, o “Clube da tabuada”
1
pela nomeação e acesso. De acordo com as informações ali contidas, ele foi criado com o
objetivo de oferecer “exercícios” capazes divertir, educar, instruir e permitir aos professores,
pais e alunos uma grande integração em suas atividades diárias. Abrangem, gradualmente,
todas as disciplinas do Ensino Fundamental. As atividades e materiais pedagógicos, à venda
ou disponíveis para uso na página, englobam: o uso do Cartão Postal Tabuada, dos Painéis
Magnéticos, Artesanais e Polivalentes, das Cruzadas com a Tabuada, dos vários tipos de
Baralhos e Álbuns de Figurinhas.
No que tange à esfera cultural, acreditamos que se definiu - no processo
ensino/aprendizagem - um momento que marque a passagem das “continhas” à
matematização. Para Damazio (2000), no Ensino Fundamental, o ponto de honra para pais e
professores é a memorização das tabuadas (0 a 10) de multiplicação dos números naturais. Na
linguagem deles “tabuada de vezes”. A crença que se cristalizou compreende que o aluno só
alcança um nível mais elaborado de conhecimento matemático quando começa a decorar as
tabuadas. Sobretudo, a manutenção desse pensamento tem ficado a cargo da comunidade e
pais analfabetos, semi-alfabetizados e mesmo aqueles com níveis diferentes de escolaridade,
mas incapazes de admitir que seus filhos “não saibam as tabuadas”.
Educacionalmente, a experiência escolar tem nos mostrado que, apesar da
possível afiliação com a proposta pedagógica histórico-crítica, é comum entre os professores
das escolas, com os quais convivemos, recorrerem a procedimentos formalistas clássicos de
memorização da tabuada. Há, ainda, os que a negam como também os procedimentos de
1
Disponibilizada no endereço eletrônico www.tabuada.com.br. - 30/05/07, 16:40 horas.
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memorização. Porém, vinculam-na ao ensino espontaneísta que privilegia o uso do material
didático como um fim em si mesmo.
O contexto que apresentamos nos remete à outra face de nossa problemática, qual
seja: o predomínio do senso comum no pensamento docente e o ecletismo inconsciente têm
conduzido os professores a inúmeras gafes e distorções teóricas, com influência na concepção
sobre a tabuada. Abertamente, poucos são os professores que discordariam das afirmativas de
cunho histórico-crítica: “o conhecimento é resultado de um processo de elaboração humana”,
“no ensino há que se tomar como ponto de partida o concreto”. Afinal, no Estado de Santa
Catarina, elas são amplamente divulgadas nos cursos de capacitação de professores, nos
documentos referentes à Proposta Curricular Estadual e, também, de muitas redes municipais
de ensino.
No que se refere ao modo como a tabuada se apresenta, a contradição com esses
pressupostos passa a ser um objeto de estudo. Inicialmente, ela é tomada como pré-requisito
ao ensino da Multiplicação ou está relacionada ao espontaneísmo escolanovista. Segundo
Duarte (1999, p. 14), “... o ideário pedagógico da maioria dos educadores é constituído por
uma mistura de princípios pedagógicos tradicionais e escolanovistas”.
Dentre as investigações já realizadas sobre a temática, encontramos teses e
dissertações que fazem menções à tabuada, mas a mesma não constitui o objeto de estudo de
nenhuma delas. De modo geral, tratam das estruturas multiplicativas com abordagens teóricas
construtivistas ou, como denomina Duarte (1999), das pedagogias baseadas no lema do
aprender a aprender. Destacam-se:
• A tese realizada por Ewbank (2002 - Unicamp) intitulada “O ensino da multiplicação
para crianças e adultos: conceitos, princípios e metodologias”. O objetivo do trabalho
foi verificar a influência das concepções e crenças dos professores sobre a
multiplicação e sua aprendizagem mediante a forma utilizada para ensinar crianças e
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adultos. Para a análise do ensino de multiplicação aplicado por professores do Ensino
Fundamental e da Educação de Jovens e Adultos (realizada em dez escolas públicas da
cidade de Ribeirão Preto/SP), a pesquisadora adotou como referencial teórico a
epistemologia genética piagetiana e a obra de Vergnaud. No texto, a referência à
tabuada é tangencial no capítulo 3 - “O significado de Multiplicar” - em que a
pesquisadora trata da multiplicação na história da humanidade. Aparece,
especificamente, na apresentação e análise dos resultados como um dos conceitos,
crenças e metodologias presentes nas concepções dos professores.
A pesquisa, neste aspecto, explicita algumas perspectivas dos professores
sobre a tabuada no ensino, quais sejam: relacionam-na com os castigos que sofreram
quando crianças; compreendem-na como sinônimo de ensino tradicional e explicam-
na como uma decomposição sucessiva de algoritmos. Neste sentido, consideram que o
ensino da multiplicação não deve exigir tal memorização, só pode ser decorada depois
de entendida. Constatou que ela assumiu, para os professores, um papel secundário no
processo de ensino, mas concomitantemente é importante para a rapidez na solução
das operações de multiplicação.
• A dissertação elaborada por Bonano (2007 – PUC/SP), no curso de Mestrado
profissional em ensino da Matemática, intitulada “Um estudo sobre o cálculo
operatório no campo multiplicativo com alunos de 5ª série do Ensino Fundamental”,
teve por objetivo a investigação do cálculo operatório no campo multiplicativo. Além
disso, buscou identificar os conhecimentos que os alunos da 5ª série do Ensino
Fundamental possuem em relação a duas grandes expectativas de aprendizagem nesse
momento da escolarização. A primeira envolve a análise, interpretação e a resolução
de situações-problema com os diferentes significados da multiplicação e divisão; a
segunda norteia o desempenho do grupo de alunos em cálculos - mentais e escritos,
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exatos ou aproximados - por meio de várias estratégias. No caso da Multiplicação e
divisão, a opção da pesquisadora foi por explorar um campo amplo de significados:
multiplicação comparativa, idéia de proporcionalidade, configuração retangular e idéia
de combinatória. Juntamente com as situações-problema, verificou-se a importância
do trabalho com o cálculo mental escrito, exato e aproximado. A idéia é de
exploração das regularidades nas tabuadas, com a finalidade de agilizar os cálculos e
memorizar compreensivamente os resultados.
A pesquisadora faz uma breve retrospectiva histórica que aponta o predomínio,
na escola, do treino mecânico desprovido de compreensão, frente às operações de
multiplicação e divisão. Diz (p. 17-18) que, até a década de 50 e 60, o ensino de
multiplicação e divisão focava o “decorar” de resultados. As tabuadas de
multiplicação e divisão eram importantes e os professores passavam um grande tempo
fazendo com que os alunos decorassem esses resultados sem compreensão. Utilizavam
métodos que ficaram na lembrança dos alunos vitimados pelos castigos aplicados a
quem não soubesse a tabuada de cor.
Em meados da década de 60, a ênfase no ensino de matemática passou a ser a
teoria de conjuntos, devido à influência da Matemática Moderna. A memorização de
tabuadas, sem o entendimento de seus princípios é, então, questionada.
Mas o destaque dos diferentes significados das operações ganha evidência na
década de 80 e 90. O trabalho com multiplicação e divisão caracterizava-se pelo uso
do Material Dourado (Montessori), tabelas e esquemas. Nesta pesquisa, o referencial
teórico adotado apóia-se na contribuição de diferentes autores, em específico: Gerard
Vergnaud, Constance Kamii e Irma Saiz. Salientamos o fato da pesquisadora em um
trecho citar Davidov, embora não o tenha listado nas referências.
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Esse panorama é inspirador para reafirmarmos o quão presente e latente a tabuada
está no pensamento escolar e social. Mesmo silenciada e camuflada, ela tem manifestado ares
de vivacidade. Mediante as considerações feitas, justificamos a necessidade do
desenvolvimento de nossa pesquisa.
Consideramos fundamental a investigação para entender o status atual do tema, o
que nos levou a buscar na literatura as diferentes manifestações da tabuada, o seu papel e
importância no currículo de matemática frente às tendências que constituíram o ensino no
Brasil. Por considerarmos relevantes esses distintos modos de vê-la e concebê-la, decidimos
apresentá-los em seção do segundo capítulo do presente texto.
A importância de contextualizar a tabuada nas diferentes tendências do ensino da
matemática é justificada pelo pressuposto que permeou nossa pesquisa. Segundo ele, a
tabuada é uma produção decorrente da atividade humana. Dessa forma, se insere num
processo de transmissão e apropriação de suas significações produzidas historicamente, nos
meios escolares, para a formação do pensamento conceitual dos estudantes.
Por atender nossas convicções, a matriz teórica adotada tem sua base filosófica no
materialismo histórico dialético, a abordagem Histórico-Cultural com atenção para a Teoria
da Atividade e a pedagogia Histórico-crítica.
Anunciamos que a concepção Histórico-Cultural tem sua origem na insatisfação
de L.S. Vygotsky e seus colaboradores perante as tendências desenvolvidas segundo a base
teórica da Antiga Psicologia. Esta pontuava o problema do psiquismo humano de maneira
superficial e fragmentada. Duas correntes até então predominavam: a psicologia experimental
que se restringia a abordar apenas os processos psicológicos elementares e a psicologia
mentalista por não aceitar que, cientificamente, os processos psicológicos superiores
pudessem ser descritos.
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Então, o que foi negligenciado pelas demais abordagens tornou-se motivo
propulsor no estudo da teoria vygotskyana, qual seja: o desenvolvimento dos processos
psicológicos superiores abordadas na perspectiva histórica, não idealista.
Ao elaborar tal teoria psicológica, Vygotsky acaba por definir o marco diferencial
entre homens e animais. Conseqüentemente, converteu a visão de desenvolvimento humano
de unicamente biológico para também social.
Leontiev (1978b) - um de seus colaboradores - considera que, desde o início, o
desenvolvimento do psiquismo humano é regido por leis sócio-históricas responsáveis pela
formação das funções e faculdades psíquicas próprias do homem. Como um ser social ele
produz, sob formas específicas, um processo de transmissão e apropriação de conhecimentos
da realidade. Assim, a apropriação do homem se constitui nas relações reais, determinadas
pelas condições históricas sociais, do sujeito com o mundo. Ou seja, desvinculada do processo
de transmissão dos resultados do desenvolvimento sócio-histórico a continuação da espécie
humana seria impraticável.
Para Leontiev (1978b, p. 291), “o movimento da história só é, portanto, possível
com a transmissão, às novas gerações, das aquisições da cultura humana, isto é, da educação.”
Para apropriar-se dos resultados da cultura humana e fazer dela suas aptidões, o ser humano
deve entrar em relação com os fenômenos do mundo, por meio dos outros homens. Deve
aprender a atividade adequada.
Entendidas, sob a ótica da Teoria da Atividade, as ações humanas de transmitir e
apropriar-se de conhecimentos caracterizam as atividades de ensino e de aprendizagem. De
acordo com Leontiev (1978a), a atividade do homem revela sua capacidade de atuação
voluntária e intencional no mundo. Ela é sempre um ato social, histórico e consciente que
surgiu da relação do homem com o mundo. Constitui-se por uma estrutura específica e que
possui uma dinâmica, transições e transformações próprias, quais sejam: motivo, fim e meta.
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Essas, por sua vez, vinculam-se aos objetivos, aos procedimentos, aos objetos, às ações,
operações, aos sentidos e às significações.
Nesse contexto teórico, a tabuada é compreendida como síntese de múltiplas
determinações, um produto de um longo processo histórico de elaboração das significações do
sistema conceitual de Multiplicação. Ensiná-la é um processo que envolve funções
especificamente humanas como o desenvolvimento da atenção voluntária e da memória
lógica. Decorá-la, nessa perspectiva, não é um mero procedimento na formação do
pensamento conceitual multiplicativo é, sobretudo, uma aprendizagem que possibilita
maturações dessas funções quando em vias de desenvolvimento. Portanto, pode ocupar
diferentes lugares na estrutura da atividade, tanto de ensino quanto de aprendizagem. Nesses
termos, a questão que se apresenta no presente estudo é: Atualmente, no contexto das escolas
que adotam a abordagem Histórico Cultural como referencial teórico, qual o status da
tabuada? Quais os significados e sentidos produzidos em relação à tabuada?
Por conseguinte, desdobram-se questões norteadoras como:
• Ela é uma ação da atividade do ensino e da aprendizagem da Matemática
ou apenas uma operação do processo de apropriação do conceito de
multiplicação? Ou seja, é um conceito ou procedimento de ensino?
• A ação é definida a priori, no planejamento do professor, ou é uma ação
paralela ao do conceito de multiplicação? Algo silencioso para não
caracterizar uma prática pedagógica formalista clássica?
• Quais as operações adotadas pelo docente para que os alunos se apropriem
de suas significações?
Assim, elencamos como nosso objetivo geral a compreensão do significado da
tabuada - a luz da Teoria da Atividade - na prática pedagógica nas séries iniciais da rede
pública de São Ludgero, município localizado no sul do Estado de Santa Catarina.
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Especificamente, pretendemos analisar:
• O lugar que a tabuada ocupa na estrutura da atividade de ensino e
aprendizagem, além de suas implicações ao processo de apropriação
conceitual;
• No contexto da escola, a abordagem da tabuada e suas implicações para o
processo de elaboração conceitual;
• As percepções dos professores a respeito da tabuada e a importância que a
ela é atribuída no planejamento de ensino.
1.2. O contexto metodológico do estudo
Compreendemos que o método é algo muito mais complexo que um mero
conjunto de procedimentos, ele é a síntese de uma concepção de conhecimento que se
respalda numa determinada concepção de homem.
A captura do real, na sua concreticidade, é fundamental ao desenvolvimento da
pesquisa, mas a práxis cotidiana é composta por fenômenos e formas fenomênicas. Portanto, o
investigador de imediato não alcança tal concreticidade. Marx diz: se isso fosse possível, a
aparência fenomênica e a essência se revelariam instantaneamente ao homem, sem a
necessidade da existência da filosofia e da ciência.
Na concepção materialista do conhecimento da realidade, o processo do abstrato
ao concreto é o movimento dialético da totalidade concreta. A apreensão de tal totalidade pelo
pensamento ocorre via ascensão desse processo. Caso contrário, a aproximação do
pesquisador será superficial ou sensorial tendendo ao falseamento do real.
Segundo Marx (1989), o concreto só o é por ser unidade do diverso, por
concentrar múltiplas determinações. Contudo, o pensamento aparece não como ponto de
partida, embora também o seja, mas como ponto de chegada. A dialética concebe o concreto
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como ponto de partida e chegada do conhecimento, pois ele não é apreensível de maneira
imediata pelo pensamento e sim mediatizado por abstrações.
Jardinetti (1996, p. 50) afirma que compreender o concreto nesta perspectiva
implica diferenciar dois momentos na sua apreensão:
O concreto ponto de partida refere-se ao seu aspecto sincrético, sensorial, empírico,
captado nas suas manifestações mais imediatas, o que lhe confere um conhecimento
superficial e fragmentário.
O concreto ponto de chegada refere-se ao seu aspecto multifacetado, revelado em
sua essência, em suas propriedades não acessíveis à apreensão sensorial. Trata-se do
concreto apreendido na multiplicidade de suas determinações.
Nestes termos, e em consonância com a perspectiva teórica adotada, optamos pela
utilização do método dialético. Não é só o pesquisador que dá sentido ao seu trabalho, mas as
relações que estabelece com os indivíduos do seu grupo social imprimem, também,
significado e intencionalidade às suas ações e produções.
Para Leontiev (1978), os significados e sentidos da atividade e da ação do homem
são elaborações sócio-históricas encarnadas nos produtos culturais. Analisá-los significa, a
priori, entender sua constituição histórica ao longo do desenvolvimento social. Neste sentido,
Vygotsky (1994, p. 86) propõe que, num estudo sobre o pensamento humano, a análise seja
do processo e não do produto. O método, para ele, é “ao mesmo tempo, pré-requisito e
produto, o instrumento e o resultado do estudo”.
Vygotsky, ao estudar o desenvolvimento das formas superiores de
comportamento, estabeleceu três princípios como fundamento para a pesquisa:
1) Analisar processos e não objetos em si mesmo, ou seja, a ênfase dada pelo
pesquisador será na investigação do processo de sua constituição e
composição. No caso de nosso estudo, o diálogo com os professores abre
possibilidade de conhecermos os significados e sentidos produzidos em
relação à tabuada, na escola, e suas implicações.
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2) Explicação versus descrição, pois na mera descrição não são reveladas as
relações dinâmico-causais reais subjacentes ao fenômeno. Na descrição, ele é
explicado por suas características externas, fenotípicas. Por sua vez, na
explicação é abordado com base em sua origem, pelos seus aspectos internos,
genotípicos. A tarefa da análise objetiva, fundamentada na explicação, é
mostrar a essência do fenômeno psicológico ao nível perceptível.
3) O problema do comportamento fossilizado que são os processos não
facilmente observáveis, por terem cristalizado um tipo de comportamento tão
repetido ao ponto de torná-los psicologicamente automatizados e
mecanizados. Sua aparência externa não revela sua origem tampouco as
ligações internas.
Pensamos que o entendimento desse conjunto de pressupostos, aliados aos
anteriormente elencados, favoreceu a explicitação do nosso objeto e elaboração do problema.
Ou seja, nos permitiu evidenciar e compreender os sentidos e significados que os professores
das séries iniciais do Ensino Fundamental das redes pública estadual e municipal de São
Ludgero têm sobre o ensinar e aprender a tabuada de multiplicação.
1.2.1. O diálogo com quem ensina tabuada
A tabuada expressa status nas esferas culturais e educacionais. Desta totalidade
concreta, genérica surgem as possibilidades para a análise de localidades específicas e
particulares de suas manifestações, como no contexto das escolas do município em questão.
Delineado o referido recorte, precisávamos evidenciar as percepções e significações
matemáticas e pedagógicas dos professores sobre a tabuada. Por isso, buscamos suas falas
como forma de alcançar tal objetivo.
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Mas, trazer à tona essas percepções e significados nos exigiu disciplina e
planejamento capazes de englobar levantamento bibliográfico e entrevistas com pessoas que
tiveram experiências práticas com o problema pesquisado. O primeiro determinou estudos
sistemáticos e permanentes das matrizes pedagógicas abordando aspectos filosóficos,
metodológicos, psicológicos e didáticas, inclusive do tema frente a esses fundamentos. O
segundo exigiu a aproximação com o local das entrevistas e dos sujeitos da pesquisa, além de
procedimentos como: solicitação de autorização e aceitação, gravação e transcrição. Também
requereu a organização e análise dos dados coletados.
Outra opção foi a técnica de entrevista semi-estruturada. Trata-se de um dos
procedimentos mais usuais nas ciências sociais e humanas, por apresentar diversos benefícios.
Dois deles, listados por Fiorentini e Lorenzato (2006): o primeiro é a possibilidade de
obtenção mais direta e imediata dos dados; o outro é pela dupla vantagem, pois, quando
realizada com pessoas de menor escolaridade dá a oportunidade de expressar verbalmente
aquilo que por escrito teriam dificuldades e se feita com pessoas com grande conhecimento,
possibilita ao entrevistado contemplar itens que não estão presentes em um simples
questionário.
Os autores apresentam três diferentes modalidades de entrevista: a estruturada, a
não-estruturada e a semi-estruturada. Para eles, essa última é mais utilizada em pesquisas
educacionais e a preferida nas abordagens histórico-dialéticas. O pesquisador que pretende
aprofundar-se sobre um fenômeno específico ou uma questão científica, organiza um roteiro
que pode ser modificado ao longo da entrevista.
O município de São Ludgero conta com sete escolas, sendo que quatro delas
pertencem à rede pública municipal, duas à rede pública estadual e uma ao ensino privado.
Dentre as quatro municipais: três delas – Educandário Municipal Menino Deus, Educandário
Divina Providência e Centro de Educação Infantil Dom Gregório Warmeling – são creches,
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atendem crianças de zero a cinco anos em período integral. Apenas, o Centro Educacional
Professor Henrique Buss oferece as séries iniciais do Ensino Fundamental.
A Escola de Educação Básica São Ludgero e a Escola de Ensino Fundamental
Bom Retiro representam o ensino estadual no município. Ambas ofertam o Ensino
Fundamental completo, todavia a primeira conta, também, com o Ensino Médio. O Colégio
Evolução, por sua vez, é a única escola particular saoludgerense. Além, da Educação Básica
disponibiliza o Ensino Superior e Cursos de Capacitação Profissional.
Nossa escolha gerou em torno de dois critérios: primeiro, a existência das séries
iniciais do Ensino Fundamental – pois, lá estariam os sujeitos da pesquisa; e o segundo,
esteve vinculado à abordagem teórica adotada pelas instituições, buscamos as que vinham ao
encontro da nossa opção, ou, a que mais se aproximava. Portanto, com o roteiro semi-
estruturado, direcionamos-nos à: Escola de Educação Básica São Ludgero; Escola de Ensino
Fundamental Bom Retiro e ao Centro Educacional Professor Henrique Buss.
O Centro Educacional Professor Henrique Buss foi a primeira escola que
contatamos. Lá, explicamos de que se tratava a investigação e solicitamos autorização para
realizá-la naquele ambiente. Estão matriculados na instituição cerca de quinhentos alunos. Do
primeiro ao terceiro ano trabalham treze pedagogos – apesar da escola, também, contar com
professores licenciados em Letras, História e Educação Física – que lecionam todas as
disciplinas do currículo escolar. Do quarto ao quinto ano, há uma divisão por disciplina,
inclusive, as salas são determinadas por elas. Exemplifiquemos: a sala da matemática, a sala
de português. Os alunos mudam de sala de acordo com o horário estabelecido. Tal divisão
fundamenta-se no sistema adotado pela escola denominado rodízio.
O quarto ano tem três professores, em cada uma das três turmas. Cada um é
regente, responsável por uma delas, além de ministrar a disciplina pela qual fez a opção. O
mesmo ocorre no quinto ano, mas como são duas turmas por período apenas dois professores
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executam o rodízio.
A aproximação com os professores para a solicitação e autorização da entrevista
ocorreu, inicialmente, com aqueles que lecionam nos primeiros anos e ministram todas as
disciplinas. Foram abordados aleatoriamente, pois adotamos como critério a disponibilidade
de cada um. No diálogo com a diretora para apresentar o trabalho e solicitar permissão para
fazer as entrevistas, indagamos sobre o local da escola mais apropriado e da disposição dos
professores. A sugestão foi que utilizássemos à sala de coordenação pedagógica, por ser local
destinado aos professores. Nesse ambiente, o corpo docente planeja e organiza as atividades
de sala de aula. Informou, ainda, que lá estava exposto um quadro dos horários indicativo dos
momentos em que estariam naquele local. Além disso, entendia ser o melhor espaço físico.
Nossas primeiras ações foram orientadas pela sugestão da direção do referido
estabelecimento de ensino. Dirigimo-nos até o local, que se tornou o recinto onde
permaneceríamos por dois ou três períodos dos quatro dias que estivemos na escola.
Entretanto, não seguimos a risca no que diz respeito ao convite para a entrevista.
Primeiramente, focamos os professores que se encontravam naquele local desenvolvendo suas
atividades. Outros foram abordados de forma distinta. Observamos e anotamos os horários de
planejamentos de todos os professores que, num determinado período (matutino e vespertino),
pudessem estar dispostos a aceitar o convite. Entre os professores do quarto e quinto anos,
dirigimo-nos àqueles que ministravam a disciplina de matemática.
Feito isso, apresentamos a pesquisa e oficializamos o convite e a permissão para
gravar a entrevista e referenciar suas falas na elaboração da dissertação. Conforme a resposta
obtida, marcávamos um horário no período que, segundo eles, estivessem livres. Tivemos as
seguintes posturas dos professores frente ao convite: se recusaram, aceitaram a princípio e
desistiram sem aviso, aceitaram com restrições do local para realização e aceitaram. Dentre
argumentações de recusa e de êxito, sublinhamos: “Eu não ministro essa disciplina!”, “Eu
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ainda não trabalhei esse conteúdo”, “No primeiro ano a gente não trabalha a tabuada”, “Não
sei se vou saber responder”.
Após oito convites aceitos, começamos as entrevistas. As duas iniciais ocorreram
na sala de coordenação pedagógica. Mas, constatamos que o local não era adequado, pois os
professores ficavam constrangidos e receosos com a presença de outros colegas. Havia,
também, muita movimentação e barulho. Decidimos solicitar aos demais professores que as
gravações acontecessem nas respectivas salas. Isso modificou consideravelmente a postura
dos docentes. Apenas uma entrevista ocorreu fora do ambiente escolar, a professora que a
concedeu alegou que teria mais tempo e estaria mais tranqüila em sua casa.
Decorrente das entrevistas, tivemos a permissão para registramos os trabalhos
realizados por eles e pelos alunos. Além disso, documentamos os materiais sobre a tabuada
adquiridos pela escola.
Na Escola de Ensino Fundamental Bom Retiro, solicitamos à direção autorização
para efetuar a pesquisa no ambiente escolar. Imediatamente, nosso pedido foi encaminhado às
professoras das séries iniciais. Tendo em visto que esta escola se localiza a doze quilômetros
do centro do município, comunidade do Bom Retiro, o contato com os professores foi por
telefone. Com a confirmação de aceitação de nosso pedido nos dirigimos à escola.
Nesta escola, as aulas do terceiro e segundo anos são no período matutino. As
demais se concentram no período vespertino. O número de alunos é reduzido, pois atende
alunos residentes na pequena localidade e de outras comunidades rurais circunvizinhas.
Todas as professoras aceitaram ser entrevistadas. Porém, por incompatibilidade de
horários e alguns desencontros, acabamos por efetivar apenas uma. A professora entrevistada
havia preparado os alunos e a sala com o tema de nossa pesquisa. Colocou à disposição, para
fotos, todo o material utilizado na aula. Destacamos que essa entrevista foi realizada na
presença dos alunos, uma vez que a professora não disponibilizava de tempo livre naquela
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manhã. Ainda assim, insistiu para que ela acontecesse. Fez, inclusive, demonstrações de
procedimentos didáticos que propõe aos alunos sobre o assunto.
Algo semelhante ocorreu na Escola de Educação Básica São Ludgero, apesar de
certa expectativa de nossa parte a respeito da receptividade que teríamos. Ali, também
permitiram que registrássemos os materiais didáticos usados no ensino da tabuada. Os
professores concordaram em conceder a entrevista com a condição de que fossem
estabelecidos horários e datas para que a participação fosse coletiva. Ou seja, todas
responderiam, mesmo que as perguntas fossem direcionadas a um deles, contribuindo com as
experiências docentes vivenciadas em séries que hoje não lecionam mais.
Nesta escola entrevistamos três professoras, uma trabalha com o segundo, outra
com o terceiro e uma delas com o quarto e quinto anos, especificamente, com a disciplina de
matemática. A escola adotada o mesmo sistema utilizado no Centro Educacional Professor
Henrique Buss, anteriormente descrito. Todas pertencem ao quadro efetivo do referido
educandário com carga horária de quarenta horas semanais. Por isso, exercem suas atividades
docentes no período matutino e vespertino. Suas experiências no magistério público estadual
ultrapassam vinte anos.
Buscamos estabelecer relações informais com os entrevistados, pois em algumas
das aproximações mais formais constatamos que eles se mostram receosos e inseguros. Vale
reafirmar que todos consentiram que as entrevistas fossem gravadas, o que nos possibilitou
uma análise criteriosa de suas falas sobre o objeto de estudo.
Realizadas as entrevistas, iniciamos a transcrição literal das falas e depois a
análise com base nas categorias destacadas no referencial teórico: a estrutura das atividades
interna e externa, bem como, as componentes ações e operações. Tal análise, momento de
fundamental importância da constituição do trabalho, articulou os dados aos aspectos teóricos.
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2. A TABUADA NO CONTEXTO HISTÓRICO PEDAGÓGICO
Ao recorremos à história da educação no Brasil é possível observar que, no século
XX, se apresentaram ao pensamento educacional, simultaneamente, diferentes concepções
teóricas. Até a década de 1920, houve um predomínio da pedagogia tradicional. Por volta de
1930, as novas necessidades sociais e econômicas possibilitaram as primeiras manifestações
do movimento escolanovista. As leis empreendidas por Francisco Campos expressavam o
movimento renovador da educação (ROMANELI, 2003). Na década de 1970 e 1980,
proliferam-se idéias de tendências pedagógicas (LIBÂNEO, 2005) e abordagens do ensino
(MIZUKAMI, 1986) que se apresentam ao professor nos diferentes modos de formação
profissional.
O movimento das tendências ou abordagens pode ser evidenciado no decurso do
processo histórico da educação no país. Diversos aspectos contribuíram com as mudanças
ocorridas no sistema educacional, dentre eles destacamos os sociais, políticos, econômicos,
filosóficos e pedagógicos. De acordo com Romanelli (2003), na década de 1920, o ensino
ainda se restringia a um pequeno grupo. Porém, a partir de 1930 expande-se fortemente
devido à demanda social de educação. Apesar de grande, sua ampliação se mostrou ineficiente
quantitativa e estruturalmente.
A escola expandiu um tipo de educação deficiente por não dar conta das novas
necessidades sociais e econômicas. Por isso, instaurou-se uma defasagem entre a educação e o
desenvolvimento sócio-econômico. Romanelli (2003) aponta que existiu até a data de 1964, o
predomínio de facções conservadoras. Entretanto, no mesmo período - entre 1930 a 1964 -
novo mudanças se processaram no setor educativo. As reformas ocorridas visavam à
adequação do sistema educacional ao modelo de desenvolvimento adotado. O importante era
afastar do ensino tudo que pudesse remeter à “velha concepção de educação”. As palavras de
ordem eram “eficácia e produtividade”, cujo conteúdo ideológico expressava a nova
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organização sócio-econômica que se constituía. No que se refere ao pós 1964, a autora supõe
que as inovações possuem os mesmos objetivos das anteriormente ocorridas.
Assim, as modificações na orientação teórico-metodológica da escola
manifestavam as transformações políticas, econômicas e sociais no país. Em meio ao
conturbado contexto, constitui-se um novo pensamento pedagógico brasileiro. Sublinhemos
que acerca desse tema inúmeras pesquisas e estudiosos de distintas concepções buscaram
compreender seu desenvolvimento.
Mizukami (1986) extraiu desse ideário as abordagens do processo ensino-
aprendizagem, presentes no decurso da história na escola, as denomina: tradicional,
comportamentalista, humanista, cognitivista e sócio-cultural. Analisa os conceitos de homem,
mundo, sociedade/cultura, conhecimento, educação, escola, ensino-aprendizagem, professor-
aluno, metodologia e avaliação. Afirma que existem diferentes formas de se conceber o
fenômeno educativo, havendo em algumas um ecletismo.
Outro autor que se preocupa em classificar as concepções presentes nos meios
educacionais é Libâneo (2005) que, por sua vez, organizou o que chamou de tendências
pedagógicas, da seguinte maneira: Pedagogia Liberal - tradicional, renovada progressivista,
renovada não-diretiva, tecnicista; Pedagogia Progressista - libertadora, libertária, crítico-social
dos conteúdos.
A Pedagogia Liberal não pode ser traduzida por democrática. Na verdade, o
termo liberal se refere à organização da produção baseada na propriedade privada, ou seja, no
modo de produção capitalista. Nessa perspectiva, a escola tem por função preparar os
indivíduos para o desempenho de papéis sociais, de acordo com as aptidões individuais.
Entretanto, a pedagogia progressista possui outra conotação. O termo progressista é utilizado,
segundo Libâneo, por Synders para designar as tendências que partem de uma análise crítica
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da realidade. Aponta as finalidades sociopolíticas presentes explícita e implicitamente na
educação.
Cabe salientar que não é nosso objetivo repetir todas as elaborações desses
autores que caracterizam cada uma das concepções que estiveram e estão presentes no
pensamento pedagógico brasileiro. Mas sim, pontuar que os diferentes significados atribuídos
à tabuada, que compõe o seu atual status no ensino da matemática, se constituíram no
decorrer desse percurso.
Neste sentido, recorremos a um estudo que Fiorentini (1995) realizou sobre as
tendências no ensino de matemática no Brasil, baseado nas pedagogias anteriormente citadas.
Destaca que, intrinsecamente, a cada forma de ensinar estão expressas concepções de
aprendizagem, ensino, matemática e educação. Inclui também, os valores e finalidades que o
professor atribui ao ensino da matemática; a relação professor-aluno; o modo como é
concebido o mundo, o conhecimento e o homem.
Fiorentini classifica as tendências no ensino da matemática em: Formalista
Clássica, Empírico-Ativista, Formalista Moderna, Tecnicista, Construtivista, Sócio-
interacionista, Semântica e Histórico-Crítica. Traduzindo-as, segundo a classificação das
tendências pedagógicas realizada por Libâneo, comporiam a Pedagogia Liberal: o formalismo
clássico, o empírico-ativista, o formalismo moderno e o tecnicismo. As demais, construtivista,
sócio-interacionista semântica e histórico-crítica, se inserem nas pedagogias progressistas.
Argumenta-se que essas tendências têm por objetivo a melhoria da qualidade do
ensino. Fiorentini (1995) diz que o conceito de qualidade se expressa de maneiras distintas em
cada uma delas. Há aquelas que atribuem tal qualidade ao rigor e formalização dos conteúdos
matemáticos trabalhados na escola. Para outras, é importante no ensino a aplicação das
técnicas e o controle do processo ensino-aprendizagem. Além disso, existem aquelas que
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acreditam em um ensino da matemática vinculado ao uso de conhecimentos cotidianos.
Conseqüentemente, cada uma delas traz uma concepção de trabalho educativo.
Optamos, atendendo nossas convicções teóricas atuais, por compreender a
temática e o objeto do nosso estudo com base em uma pedagogia progressista que pressupõe
como papel fundamental da escola a difusão dos conceitos científicos, qual seja: histórico-
crítica. Neste sentido, corroboramos com os principais pressupostos elaborados por seus
divulgadores, Saviani e Duarte.
De acordo com Saviani (2005), o trabalho educativo escolar visa reproduzir - no
processo de aprendizagem - o saber objetivo produzido historicamente. Propicia aos
indivíduos humanos a assimilação dos elementos culturais que lhes humanize. Foi a passagem
dos processos educativos como condicionantes naturais aos sociais que permitiram a
manifestação do que hoje conhecemos como escola. Desde a origem do seu desenvolvimento,
o homem transmite e apropria os elementos da espécie e do gênero; a escola, por sua vez, é
uma manifestação derivada de tais processos.
Saviani (2005, p. 13) concebe o trabalho educativo como
o “ato de produzir, direta
e intencionalmente, em cada indivíduo singular, a humanidade que é produzida histórica e
coletivamente pelo conjunto dos homens”. Estabelece como objeto da educação:
Assim, o objeto da educação diz respeito, de um lado, à identificação dos elementos
culturais que precisam ser assimilados pelos indivíduos da espécie humana para que
eles se tornem humanos e, de outro lado e concomitantemente, à descoberta das
formas mais adequadas para atingir esse objetivo. (SAVIANI, 2005b, p. 13)
O autor (2005a), ao estudar os fatores que culminam na marginalização social,
dividiu as teorias educacionais em dois grupos: teorias críticas que se empenham em
compreender a educação por meio dos condicionantes socioeconômicos, e não críticas que
entendem a educação como autônoma e buscam analisá-la a partir dela mesma. Há, ainda, as
teorias que fazem críticas à escola como instrumento de reprodução da sociedade e não
acreditam na superação dessas condições. São as teorias crítico-reprodutivistas. Elas
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entendem que, sem a superação social, não existe possibilidade de se realizar um trabalho
transformador dentro da escola. Não explicitam o papel que propõem ao trabalho educativo
para que tal transformação torne-se possível.
Duarte (1998) argumenta que, frente ao ato de ensinar, as teorias crítico-
reprodutivistas e as não críticas assumem um posicionamento negativo. As primeiras, por não
propor um corpo teórico-metodológico que possa orientar a prática pedagógica, e as segundas
por estarem vinculadas a concepções psicológicas baseadas no modelo epistemológico
biológico, naturalizante ou em um espontaneísmo. Trazem consigo concepções que
“secundarizam o ensino” como momento de transmissão dos conteúdos escolares pelo
professor. Valorizam somente os conhecimentos que o aluno adquire sozinho e têm como
centro do processo educativo o ato de “aprender a aprender”.
O autor chama atenção para o forte movimento internacional de revigoramento
das concepções educacionais respaldadas no lema do “aprender a aprender”. De acordo com
sua análise, tal perspectiva valoriza a formação de um indivíduo voltada à adaptação, à
sociedade regida por um modo de produção baseado no capital. O papel do professor é
conhecer a realidade social para melhor desenvolver um trabalho pedagógico que aprimore as
competências e habilidades que estão sendo exigidas.
É nesse contexto pedagógico que se insere a tabuada como um saber matemático
possuidor de dinamicidade e vivacidade, mas que também pode ser tratada como algo
absoluto e imutável. A matemática, concebida de forma conspícua, revela outros atributos que
a ela foram incorporados. Para tal, é preciso remetê-la à forma como é apresentada no âmbito
educacional. De um lado, como um saber pronto e acabado, como conteúdo estanque/linear,
ensinada com procedimentos iguais para a obtenção de respostas imediatas e/ou instantâneas.
O objetivo é o condicionamento, submissão, opressão, discriminação. Por outro lado, pode se
traduzir em elemento de formação humana e de leitura de mundo.
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Assim sendo, ao longo dos tempos, a tabuada foi cercada de estigmas e constituiu
um pequeno aporte da matemática. Segundo Caraça (1951, 25), pode ser vista como “uma
ciência à parte, desligada da realidade, vivendo na penumbra do gabinete, um gabinete
fechado, onde não entram os ruídos do mundo exterior, nem o sol, nem os clamores dos
homens”.
Partimos do pressuposto que a reflexão de sua importância no currículo escolar só
pode ser feita à luz das diversas tendências que se apresentaram no ensino da matemática, no
Brasil. Alvo de inquietações, principalmente nas séries iniciais do Ensino Fundamental, a
tabuada manifesta peculiaridades nas distintas formas de ver e conceber a matemática, seu
ensino e aprendizagem.
A Escola Tradicional, que se traduz em tendência Formalista Clássica do ensino
da matemática (FIORENTINI, 1995), traz consigo um modelo euclidiano e a concepção
platônica. O enfoque dado à operação multiplicação é a tabuada. O fundamental era ensinar a
fazer contas de “vezes”. Assim, entende-se que a condição primeira para o sucesso de
aprendizagem era decorar a tabuada, isto é, mera memorização. Além disso, estava associada
aos castigos específicos do ensino da matemática. Quando o aluno “desobedecia” o professor
ou deixava de cumprir obrigações que a escola determinava, era imposto que escrevesse por
diversas vezes uma, várias ou todas as tabuadas de 1 a 10.
Damazio (1996, p.76), descrevendo as características didáticas do ensino
matemático fundamentado na Escola Tradicional, revela procedimentos e castigos aplicados
aos alunos entre os quais cita a tabuada.
(...) Era comum o aluno memorizar uma série de exercícios, e, após o sorteio feito
pelo professor de um ou mais desses exercícios, ter que recitá-los ou escrevê-los.
Para fazer prevalecer e salvaguardar sua autoridade, muitas vezes, o professor
recorria à atitude policialesca, como: castigo (por exemplo, escrever mil vezes uma
determinada tabuada) e agressões verbais e físicas.
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A ênfase dada aos exercícios de memorização e fixação é uma das marcas mais
importantes do ensino tradicional. Decorar a tabuada era uma obrigação discente extraclasse.
Ou seja, o exercício de sua memorização não ocorria na escola. Ali, o professor passava no
quadro e o aluno copiava no caderno para em casa estudá-la. No início da aula, o professor
“tomava a tabuada” e o aluno que não houvesse decorado na “ponta da língua”, era submetido
a alguma forma de castigo.
Vale dizer que o ensino tradicional foi fortemente marcado pelas punições físicas,
pois se acreditava que ela era um meio necessário e eficiente à aprendizagem. O castigo, no
qual se incorporava à tabuada, era sinônimo de qualidade. Prova disso, são os ditados que
permeavam o meio escolar: “A letra com sangue entra” e/ou “Quem bem te quer, te fará
chorar”.
Com o passar do tempo, as deficiências do ensino tradicional começaram a ser
desveladas pelo fracasso e evasão escolar (FACCI, 2004). O automatismo exacerbado, na
memorização dos conteúdos, resultou em um ensino mecânico e vazio de sentido. Só uns
poucos, os tidos como aptos, seriam capazes de aprendê-lo (FIORENTINI, 1995). A Escola
Tradicional passa a sofrer ferrenhas críticas de um movimento renovador da educação, o
chamado escolanovismo ou Movimento da Escola Nova.
Em meados da década de 1930, o escolanovismo se apresenta com o propósito de
reformulação da escola, mais especificamente nos seus aspectos físicos e curriculares. A
pretensão é dar à escola ares de vivacidade, alegria e movimento (SAVIANI, 1998). O, até
então, fundamental formalismo matemático torna-se algo ultrapassado, limitador da
criatividade e sem utilidade para os problemas da vida real.
As idéias escolanovistas são inspiradoras da Tendência Empírico-Ativista do
ensino da matemática, em que o conhecimento matemático é concebido como algo que
emerge e é extraído do mundo físico pelo homem e por meio dos sentidos. Por isso, no
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processo ensino-aprendizagem da matemática, uma condição é a manipulação e visualização
de objetos ou as atividades práticas. Didaticamente, são valorizados os conhecimentos que o
aluno adquire com pesquisa, atividades experimentais e a resolução de problemas. O lema é:
aprender a aprender (FIORENTINI, 1995).
Nessa tendência, a tabuada é compreendida como um conceito empírico que, via
experiência ou processo associativo, deve ser memorizada e aprendida. Nesse sentido, vale
destacar o trabalho de Maria Montessori (1965) que recorre a vários materiais para o ensino
das tabuadas de multiplicação. Um deles é o sistema de barras numéricas coloridas. De acordo
com a autora, prepara e facilita a execução das primeiras operações aritméticas pelas crianças,
garantindo a rápida aquisição do cálculo mental. Enquanto realiza e repete os jogos, como a
série de barrinhas de contas pretas e brancas chamadas de “serpentes”, a criança fixa na
memória as combinações.
Entre outros, há um material utilizado especificamente para as tabuadas de
multiplicação que, segundo a autora, auxilia a criança na descoberta de combinações que vão
desde 1x1 até 10x10. Compõe-se
(...) por um lado, de uma prancha quadrada perfurada com cem buraquinhos
dispostos em dez fileiras de dez. Em cima da primeira fileira, acham-se inscritos,
horizontalmente, os algarismos: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. À esquerda, há uma pequena
janela quadrada em que se pode enfiar um cartão onde há impresso um algarismo,
de 1 até 10, que indica o multiplicador. (MONTESSORI, 1965 p.261)
Por exemplo, se o cartão colocado na janela é o 3, a criança deverá dispor na
prancha três vezes uma conta, três vezes duas contas e assim sucessivamente, até três vezes
dez contas.
Um outro material adotado pelos empírico-ativistas são as barrinhas coloridas de
Cuiseinaire, largamente divulgado no Brasil por volta da década de 1950. Pereira (1961)
sugere, entre outros conteúdos, a montagem da tabuada.
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Entretanto, uma pedagogia que se apresenta como uma proposição à solução dos
problemas educacionais, principalmente no que se refere ao ensino e à aprendizagem, também
passa a ser questionada. A base dos críticos está na sua indicação para quem ela se destina e a
quem ela beneficiaria. Segundo Saviani (2005, p. 9), a Escola Nova desloca o eixo da questão
pedagógica do “intelecto para o sentimento, do aspecto lógico para o psicológico (...)”. Fez
rebaixar a qualidade do ensino destinado às classes mais pobres e aprimorou aquele destinado
à elite. Mais uma vez, frustram-se as esperanças daqueles que advogavam uma escola pública
gratuita e laica com oportunidades iguais de acesso, independente de classe social.
No Brasil, após 1950, a educação matemática passa a conviver com novas
proposições. Chega até aqui, a mobilização surgida nos Estados Unidos e Europa e atinge um
grande número de matemáticos e professores brasileiros: o movimento internacional de
reformulação e modernização do currículo escolar, conhecido como Movimento da
Matemática Moderna. Propôs a retomada/continuação do formalismo matemático sob uma
nova base, qual seja: das estruturas algébricas e da linguagem formal da matemática
contemporânea. (FIORENTINI, 1995)
A Matemática Moderna só foi implantada no país por volta da década de 1960,
promovendo várias alterações na matemática escolar. Assim, a título de exemplo, o conceito
de Multiplicação é visto no contexto da Teoria de Conjuntos. A tabuada perde seu dispositivo
vertical e passa a ter um novo componente: é a recorrência às propriedades estruturais, à
linguagem dos conjuntos e pares ordenados. Nesse caso, 3x2 poderia ser traduzido da seguinte
forma:
A B
A D
B E
C
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A = {a, b, c} B = {d, e}.
Produto cartesiano: A x B = {(a, d), (a, e), (b, d), (b, e), (c, d), (c, e)}.
N (A) = 3
N (B) = 2
N (A) x N (B) = 3x2 = 6.
Ou seja, o produto 6 representa a quantidade de pares ordenados obtidos com dois
conjuntos, respectivamente, de três e dois elementos.
Apesar de ganhar um novo formato, a tabuada permanece vinculada à
memorização mecânica, pois o aluno procurava visualizar a representação - em diagramas de
flecha ou entre chaves - dos pares ordenados que se formavam com os elementos dos
conjuntos.
Assim como o Movimento da Matemática Moderna, a tendência tecnicista aparece
manifestando nova configuração à matemática e à educação como um todo. Todavia, continua
atrelada à idéia de tabuada como repetição, automatismo.
O tecnicismo teve seu auge, no Brasil, entre as décadas de 1960 e 1970, se
traduzindo na pedagogia oficial do regime militar pós-1964. Pretendia inserir, na escola, os
modelos de racionalização do sistema de produção capitalista. Por estar fundamentada
psicologicamente no behaviorismo, privilegiava a instrução programada (FIORENTINI,
1995). Eram valorizados todos os procedimentos que conduziam, de forma linear, os alunos a
obterem as respostas previamente estabelecidas. Conserva-se a idéia de tabuada como algo a
decorar. Muda apenas o modo de conduzir os procedimentos de ensino para que o estudante
atingisse os resultados pré-estabelecidos e o aprimoramento das habilidades técnicas.
Do exposto, depreende-se o pressuposto de que a história da tabuada confunde-se
com a história da educação e do ensino da matemática brasileiros. Foi abordada, nos meios
escolares, de modos distintos conforme as concepções pedagógicas e matemáticas. Mas, até
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esse momento, continua sem questionamento o aspecto que será alvo de críticas da próxima
tendência que estudaremos: a defesa pelo saber de cor.
Com a entrada das idéias construtivas no Brasil, a tabuada torna-se sinônimo de
rótulo, fracasso e dificuldade de um ensino apontado como discriminador e uniforme,
centrado no professor. O construtivismo tem como base a epistemologia genética piagetiana e
iniciou o movimento que pretendeu afastar a multiplicação de sua técnica operatória.
Para os construtivistas, como Maria Cecília de Oliveira Micotti (s.d), o ensino que
prioriza o aluno médio ideal e fundamenta-se em concepções educativas preocupadas com o
produto final acentua as desigualdades e dificuldades que se apresentam na aprendizagem da
matemática. Insatisfeita com os argumentos e justificativas que sustentam o cenário de
estudos das tabuadas, Micotti (s.d) produz um texto intitulado “Apenas Tabuadas”. O escrito
questiona a sua prioridade no processo ensino e aprendizagem da multiplicação.
Parafraseando PIAGET & SZEMINSKA, a autora enfatiza - como base do ensino -
a importância da construção do número, no contexto, a aprendizagem de sistema de
numeração. O entendimento é que a própria noção de número envolve operações aritméticas
capazes de se completar com as operações aditivas e multiplicativas.
Assim, a tabuada vai perder tanto o caráter de memorização mecânica quanto o
requisito de centralidade. Nesse período, por pressuposto teórico, é praticamente abolida das
escolas, dos livros e materiais didáticos. Porém, a sua impregnação histórica no ideário dos
professores e da comunidade não é desfeita de um momento para outro. Além disso, conforme
diz Fiorentini (1995), o professor não adere a uma tendência instantaneamente, mas adota
fragmentos de várias delas. Como, por exemplo, para os construtivistas “decorar” a tabuada é
inconcebível e, por isso, ela passa a ser “cobrada” dos alunos de forma camuflada. Ou seja,
sorrateiramente os professores encobrem o trabalho com a tabuada do formalismo clássico na
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escola, com recursos que levam os alunos a estudá-la em casa. Com o advento das
tecnologias, mais mecanismos externos foram sendo criados para efetivação desse trabalho.
Mas a polêmica “memorizar ou compreender”, “aderir ou banir” se estendeu
inclusive a outras tendências pedagógicas e matemáticas. Para a tendência socioetnocultural, a
tabuada além de perder o valor de memorização, como no construtivismo, passa a ser
assumida como uma expressão cultural de determinado grupo social. Essa tendência surge na
década de 1980, questionando as explicações sobre as dificuldades na aprendizagem
matemática dos alunos de classes economicamente menos favorecidas, atribuindo-as como
conseqüência da educação formal nas vertentes clássicas. Para os partidários do
socioetnoculturalismo, abordar o conhecimento matemático, na escola, significa vinculá-lo
aos problemas da realidade de cada aluno. Neste sentido, FREIRE (1980, p. 52), um dos
principais inspiradores dessa tendência no ensino da matemática, assevera:
O que se pretende com o diálogo, em qualquer hipótese (seja em torno de um
conhecimento experiencial), é a problematização do próprio conhecimento em sua
indiscutível reação com a realidade concreta na qual se gera e sobre a qual incide,
para melhor compreendê-la, explicá-la, transformá-la.
Se 4x4 são 16, e isto só é verdadeiro num sistema decimal, não há de ser por isto
que o educando deve simplesmente memorizar que são 16. É necessário que se
problematize a objetividade desta verdade em sistema decimal.
De fato, 4x4, sem uma relação com a realidade no aprendizado, sobretudo de uma
criança seria uma falsa abstração. Uma coisa é 4x4 na tabuada que deve ser
memorizada, outra coisa é 4x4 traduzidos na experiência concreta: fazer quatro
tijolos quatro vezes. Em lugar de memorização mecânica de 4x4 impõe-se
descobrir sua relação com um que fazer humano.
Outra tendência que traz contribuições à temática é a histórico-crítica que concebe
a matemática como um saber dinâmico, vivo que vem – historicamente - sendo produzido e
sistematizado pelo homem (FIORENTINI, 1995). Em termos específicos, isso implica
compreender os conhecimentos matemáticos em um processo lógico e histórico. A tabuada,
de acordo com Duarte (1987), é concebida na história da humanidade como um instrumento
para facilitar a realização das grandes multiplicações.
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Duarte (1987,
p. 161
) aponta que há incoerência lógica e histórica em um ensino
que faça o aluno memorizar as tabuadas e, só depois, realizar as multiplicações. Uma
seqüência histórica revela com clareza a seqüência lógica.
Primeiro surge o algoritmo da multiplicação enquanto uma maneira mais abreviada
de efetuar grandes adições de parcelas iguais e então surge a necessidade da criação
da tabuada e memorização da mesma, para possibilitar o máximo de
aproveitamento do algoritmo da multiplicação.
A tabuada, como é possível constatar, sofreu influência de diferentes concepções
explicitadas nas diversas tendências e legitimando sua importância histórica.
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3. AS BASES DO ESTUDO
A tabuada, como se pode constatar no capítulo anterior, é uma produção humana
que ao longo da história sofreu inúmeras influências e mudanças, isso fez compor as
diferentes formas de vê-la e concebê-la. Compreender os significados e os sentidos
produzidos pelos professores das séries iniciais do Ensino Fundamental, requer o
entendimento do lugar que a tabuada pode ocupar na estrutura da atividade de ensino. Para
tanto, baseamos-nos nas contribuições de Leontiev sobre o desenvolvimento histórico do
psiquismo humano, desenvolvimento do psiquismo infantil, bem como os pressupostos da
teoria da atividade humana, sua estrutura e componentes. Recorremos, também, a autores que,
de maneira direta ou indireta, colaboraram com o referencial teórico/metodológico da
abordagem histórico-cultural.
As investigações de Aléxis Leontiev – fiel quanto ao aporte teórico a Vygotsky,
principal representante da psicologia soviética – caminharam na direção de um estudo
sistemático sobre a gênese do funcionamento e da estrutura do reflexo psíquico da realidade
que mediatiza a vida dos indivíduos. Afirma que a compreensão psicológica desse fenômeno
versa sobre três categorias, quais sejam: a atividade concreta, a consciência e a
personalidade.
Com a análise da atividade, Leontiev (1978b, p.11) introduziu na psicologia
unidades - portadoras do reflexo psíquico - inseparáveis dos elementos da atividade humana
que o engendram e são mediatizados por ele. Na categoria consciência, Leontiev buscou
captar o seu movimento interno particular originado no movimento da atividade externa. Isso
significou compreender as passagens reais que ligam o psiquismo dos indivíduos concretos, a
consciência social e as formas desta. No que concerne à personalidade diz, baseado em Marx,
que: “é uma qualidade particular que o indivíduo natural adquire no sistema de relações
sociais”.
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Em “Ensaio Sobre o Desenvolvimento do Psiquismo” objetivou compreender, por
meio da estrutura da atividade de indivíduos colocados em condições de trabalho coletivo
primitivo, a raiz originária da consciência. Para ele, quando um membro de uma sociedade
primitiva realiza a atividade de trabalho, o faz para atingir um fim, qual seja: satisfazer uma
necessidade. Contudo, quando aquilo para o qual estão orientados seus processos de atividade
não coincide com o seu motivo, temos as ações. Elas podem contrariar o sentido biológico
imediato. É nesse contexto que surgem os significados e sentidos:
(...) Isso só toma um significado nas condições do trabalho coletivo. São elas que
conferem esta ação o seu sentido humano e racional. Com as ações, “esta unidade”
principal da atividade humana, surge assim “a unidade” fundamental, social por
natureza, do psiquismo humano, o sentido racional para o homem daquilo para que a
atividade se orienta. (LEONTIEV, 1978b p.85)
Percebendo a estreita relação entre a atividade humana e as formas de reflexo
psíquico, a unidade psíquica entre a estrutura da atividade material externa e a estrutura da
atividade interna teórica. O autor argumenta que essa identidade estrutural possibilitou que
uma atividade externa definida transformasse a atividade externa. Portanto, uma estrutura
reformulada modifica diretamente a outra.
A atividade humana de produção da vida ocasionou a primeira mudança
substancial no psiquismo. Ela é a protoforma do agir humano, é a circunstância primária e
fundamental da existência humana, da produção dos meios e das condições para tal. O
trabalho, segundo Leontiev, desencadeou a transformação e a hominização do cérebro, dos
órgãos da atividade externa e dos órgãos dos sentidos. É a categoria fundante, pois nele e por
ele, o homem produziu a si e aos seus.
Para Marx (apud SERRÃO), o trabalho é o processo que liga o homem à natureza
para satisfação de necessidades e produção de valores de uso. Conhecendo a natureza, as
propriedades e a lógica natural dos objetos, o homem conseguiu transformá-lo e inseri-lo na
lógica de sua atividade. Tal objeto ganhou uma função no interior da prática social. Nele são
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fixadas as significações que se tornarão, futuramente, fundamento de novas apropriações,
objetivações e exteriorizações num processo contínuo à satisfação de necessidades.
No trabalho, dois elementos interdependentes operam. Além da fabricação e uso
de instrumentos, ele é realizado em condições coletivas. Dessa maneira, executá-lo significa
estabelecer, igualmente, uma relação determinada com a natureza e com outros homens. Nas
palavras de Leontiev (1978b), “é apenas por intermédio desta relação com outros homens que
o homem se encontra em relação com a natureza”.
Por mais complexa e instrumental que seja a atividade dos animais, ela tem
caráter unicamente biológico e imediatista. Diferentemente, a atividade humana possui caráter
de processo social, é realizada coletivamente e determina as relações de comunicação entre os
seres que a executam. Portanto, o trabalho além de possibilitar a passagem da esfera
meramente biológica à social, forma o ponto fundamental no distanciamento do homem em
relação aos demais animais.
O conceito de atividade propriamente dito, como o concebe Leontiev (1978ª,
p.68), encontra-se no seu objeto. De acordo com ele, na atividade o objeto aparece de duas
formas: “primeiro, em sua existência independente como subordinando e transformando a
atividade do sujeito; segundo, como imagem do objeto, como produto do reflexo psíquico de
sua propriedade, que se efetua como resultado da atividade do sujeito (...)”.
A condição essencial do surgimento de uma atividade é a necessidade. Ela carrega
consigo as determinações do objeto, ou seja, os motivos que levam o sujeito a agir. Efetiva-se
perante um conjunto de ações que estão submetidas a fins parciais e podem estar
desvinculadas do fim geral. Possui uma dinâmica, elementos que a compõem e que a
caracterizam. Ela pertence a um sistema possuidor de estrutura, desenvolvimento, transições e
transformações internas. Sua estrutura é composta por: motivo, fim e meta; intrínsecos estão:
ações, operações, procedimentos, objetivo, objeto, sentido e significado.
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A função da necessidade é regular e orientar a atividade, mas só ocorre se há o
encontro com o objeto. Elas se desenvolvem com a objetivação do seu conteúdo. A
necessidade apresenta-se ao sujeito como condição de motivo da atividade. Quando os
motivos pelos quais o sujeito age não coincidem com o objeto ou objetivo da atividade,
constitui-se uma ação. Ela é o processo submetido à representação que se tem do resultado a
ser adquirido, ou seja, do produto final da atividade. A ação e a atividade não possuem o
mesmo objeto, portanto, uma pode se transformar na outra.
Isso ocorre graças ao deslocamento do motivo por uma força impulsionadora.
Psicologicamente, o último descolamento propicia a criação de novas necessidades. Ou seja, o
deslocamento dos motivos da ação para os fins acarreta a criação de novas necessidades.
Marx e Engels (1999, p. 40) afirmam: suprida a primeira necessidade, “a ação de satisfazê-la
e o meio de satisfação já adquirido conduzem a novas necessidades”.
Assim, por exemplo, um professor ao ensinar em uma aula um conceito
matemático, planeja um texto que será entregue aos alunos. O planejamento do texto é uma
ação da atividade docente, o objeto é o conteúdo. O objetivo é o planejamento desse texto.
Nesses termos, ocorre a separação entre o motivo que o leva a agir - ensinar um conceito - e o
objeto/objetivo de sua ação. Todavia, se o objetivo do professor fosse planejar o conteúdo
programático do ano letivo, a atividade de planejar resultaria na coincidência entre objetivo e
motivo.
Outra transformação pode ocorrer: a ação tornar-se operação, modificar-se em
meio para alcançar um fim. Uma operação se constitui por fusão de ações parciais em uma
única ação. Leontiev (1978a) denomina as formações de sistemas funcionais específicos, ou
melhor, o conjunto de funções psicofisiológicas de operações motriz-externas e mentais.
O surgimento de uma operação é determinado por meios, condições e
procedimentos presentes na ação. Uma mesma operação pode realizar diversas ações e vice-
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versa. A ação é orientada a um fim e a operação pelas condições desse fim. Todavia, as
operações não precisam estar, necessariamente, conscientes e/ou presentes todo o tempo na
realização da ação. Pode ocupar outro lugar na consciência e serem trazidas à tona quando
preciso.
Exemplifiquemos: se temos que estudar a tabuada de multiplicação, nossa ação
será memorizá-la ativamente. Faremos isso de maneiras distintas, ou seja, de acordo com a
situação e com as condições e meios disponíveis. Se dispusermos de lápis e papel, podemos
copiar a fórmula várias vezes; contudo, em outras condições seria mais fácil repeti-la em voz
alta. A memorização é a ação das duas situações apresentadas, porém as operações realizadas
se diferem.
Em aritmética, por exemplo, a adição pode ser uma ação ou uma operação. Com
efeito, a criança aprende primeiro a adição como determinada ação, em que o meio,
isto é, a operação, a adjunção unidade por unidade. Depois tem de resolver
problemas cujas condições exigem que se efetue a adição de grandezas (“para saber
tal coisa, deve-se adicionar tais e tais grandezas”). Neste caso a ação mental da
criança já não é a adição, mas a resolução do problema; a adição torna-se então uma
operação e deve, portanto, tomar a forma de uma prática suficientemente elaborada e
automatizada. (LEONTIEV, 1978b, p. 325)
Nesses termos, é impraticável aprender um procedimento primeiro, ou seja, uma
operação. Para que possa ser aprendida, a operação precisa, antes, aparecer à consciência no
processo que visa um fim específico, uma ação. Por outro lado, depois de fixadas,
automatizadas pelo processo de transformação, uma mesma operação pode realizar diferentes
ações. Assim, como uma ação pode requerer distintas operações.
Subjacente à composição da estrutura da atividade encontramos, também, o
significado (significação) e o sentido. No início do desenvolvimento humano, as atividades
realizadas, as relações estabelecidas, o modo de produção da vida e o sistema de significações
lingüísticas limitado produziam uma coincidência entre significação e sentido. O produto do
trabalho se configurava como coletivo, tanto os meios como o produto do trabalho pertenciam
a todos daquela organização. Aquilo que era produto de um, satisfazia igualmente as
necessidades coletivas e individuais. Assim, significado subjetivo e objetivo eram comuns.
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Desse modo, na sociedade primitiva engendravam-se particularidades específicas no
desenvolvimento do psiquismo.
Leontiev (1978b) assegura que, no trajeto do desenvolvimento histórico, as
mudanças de caráter geral da consciência humana ocorreram devido às transformações do
modo de vida. Ambos os elementos constitutivos da consciência, sentido e significação
afastam-se e separam-se à medida que as relações sociais de produção da existência humana
adquirem complexidade. Com o estabelecimento da sociedade dividida em classes, surge a
consolidação dessa disjunção, mas as possibilidades de tal separação foram articuladas no
cerne da formação social primitiva.
Embora separados pelo modo de produção, sentido e significado aparecem à
consciência de forma intrínseca. Com efeito, a significação pertence ao mundo das
objetivações históricas, é uma generalização da realidade fixada na linguagem. Encontra-se
presente no conteúdo da consciência social e também individual. Pois, uma significação não é
algo que pode estar fora do pensamento, é uma consciência real. Ela aparece de forma
particular, aparece ao homem como reflexo da realidade.
O sentido se traduz pelo que o mundo é refletido e, também, por aquilo que os
objetos, as relações representam para o sujeito. Do ponto de vista psicológico, o sentido é a
relação entre o que incita o indivíduo a agir e aquilo para o qual sua ação se orienta como
resultado imediato. Portanto, traduz a relação do motivo com o fim. Reflete a relação que se
origina na realização das atividades cotidianas dos sujeitos e depende do motivo.
A leitura que Damazio (2000, p. 52) realiza dessa situação indica a diferença
básica entre sentido e significado: “o sentido, embora social, tem uma conotação mais
pessoal, enquanto que a significação é codificada social e culturalmente”.
A crescente complexificação da psique humana e das atividades manifestou a
necessidade, como veremos, de um tipo específico de atividade humana formalmente
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destinada à transmissão e à apropriação das capacidades que o gênero humano alcançou. O
conteúdo e a forma de produção da vida exigiram uma intencionalidade nesse processo. As
aptidões humanas não são simplesmente dadas ao homem nos fenômenos objetivos da cultura
material e espiritual que os encarnam. Para Leontiev (1978b, p.291), essa é a função educativa
formal ou não.
É evidente que a educação pode ter e tem efetivamente formas muito diversas. Na
sua origem, nas primeiras etapas do desenvolvimento da sociedade humana, como
nas crianças pequenas, é uma simples imitação dos atos do meio, que se opera sob o
seu controle e com a sua intervenção; depois complica-se e especializa-se, tomando
formas tais como o ensino e a educação escolares, diferentes formas de educação
superior e até formação autodidata.
Nesta perspectiva, o ato educativo é uma atividade orientada e intencional. Sua
complexificação é originada no desenvolvimento da humanidade, pois quanto mais ela
progride, tanto mais rica será a prática sócio-histórico acumulada. Conseqüentemente, são
maiores as exigências frente às atividades de ensino, instrução, transmissão e, também, os
esforços para a compreensão dos processos que caracterizam as atividades de ensino e
aprendizagem.
A escola e o professor são as figuras imprescindíveis nesse cenário. A escola se
constituiu como o local em que se criam possibilidades da apropriação dos produtos da
cultura humana. Seu compromisso é, sobretudo, com a aprendizagem. No entanto, nem todo o
ensino gera o desenvolvimento psicológico da criança. Por isso, faz-se necessário a
organização de ações que cumpram tal objetivo. O professor, ao realizar atividades de ensino,
executa ações e operações destinadas à configuração de possibilidades de aprendizagem.
Vygotsky (2000, p. 331), quando se refere aos processos de desenvolvimento e da
aprendizagem na infância, afirma: “na fase infantil, só é boa aquela aprendizagem que passa à
frente do desenvolvimento e o conduz”. Assim, o ensino deve organizar-se de maneira que a
aprendizagem se adiante ao desenvolvimento.
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A atividade de ensino tem como objetivo a aprendizagem. Portanto, deve estar
articulada de modo a orientar e conduzir a atividade de estudo a ser desenvolvida pelo aluno.
Cabe ressaltar que um indivíduo realiza atividades predominantes em determinados períodos
de sua vida. A isso, Leontiev chamou atividade principal ou dominante, dividida - por ele -
nas fases pré-escolar, escolar e de trabalho. A atividade predominante de cada período é
definida pelo lugar que o indivíduo ocupa nas relações estabelecidas socialmente. Na idade
escolar, a principal atividade é o estudo.
Leontiev (1978a) assegura que a atividade de aprendizagem escolar se define por
exigir um aprendizado das capacidades de atuar internamente. É especificamente cognitiva.
Serrão (2006) atenta para a diferenciação entre a atividade de estudo e de aprendizagem.
Baseada em Davidov, afirma que: por meio da atividade de estudo, o estudante adquire
atitudes e habilidades de investigação que lhe possibilita apropriar-se dos conhecimentos
historicamente produzidos. E, em Lompscher e Hedegaard, a autora diz que a atividade de
aprendizagem leva às mudanças quantitativas e qualitativas na estrutura e características
psíquicas do indivíduo. Por se tratar da assimilação da experiência sócio-histórica, é um
processo complexo.
Markóva e Davidov (1987) concebem o processo de estudo como a atividade
capaz de transformar qualitativamente a atividade do indivíduo, devido à exigência
psicológica das disciplinas curriculares.
Para eles, o ensino é o sistema de organização e meio pelo qual se transmite ao
indivíduo a experiência elaborada socialmente. É no e pelo ensino que se pode divulgar o
mais elevado grau de elaboração conceitual que o gênero humano alcançou, qual seja: o
científico. Pelo conhecimento científico, configuram-se as possibilidades de elevar o
pensamento empírico ao nível teórico.
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O conhecimento empírico é transmitido e apropriado espontaneamente. O
pensamento correspondente se forma por procedimentos particulares e isolados, na solução
das tarefas cotidianas. Então, para apropriar o conhecimento empírico basta que a criança se
relacione com os indivíduos que a cercam. Vale frisar a importância deste conhecimento no
desenvolvimento sócio-histórico do indivíduo; no entanto, com a consciência de que ele é
limitado. A generalização empírica ocorre com base na observação e comparação das
propriedades externas dos objetos.
Todavia, a generalização teórica acontece graças à ação de análise dos nexos
internos, da essência do objeto. Ao estruturar e assimilar os procedimentos gerais de dada área
do conhecimento, o aluno amplia os procedimentos de resolução de uma tarefa.
Concomitantemente, adquire habilidades e hábitos particulares e práticos que compõem a
generalização de base teórica. Davidov e Markóva (1987) alertam: a aprendizagem e o
desenvolvimento do pensamento teórico não são garantidos por qualquer atividade, mas em
específico, pela atividade de estudo formativa.
Eles abordam o conteúdo e a estrutura da atividade de estudo com foco para o
conhecimento e pensamento teórico. Para Davidov e Markóva (1987, p. 324), “a unidade
fundamental da atividade de estudo é a tarefa de estudo”. A diferença entre ela e as demais
atividades reside na sua finalidade que tem por resultado a transformação do próprio sujeito
atuante. Pela atividade de estudo, o aluno assimila os conceitos científicos. Neste sentido, “o
conteúdo principal da atividade de estudo é a assimilação dos procedimentos generalizados da
ação na esfera dos conceitos científicos”. A estrutura dessa atividade é composta por tarefas,
ações e operações de estudo.
A particularidade principal da tarefa de estudo consiste em que durante sua solução
os escolares vão dominando o procedimento general da ação com cuja ajuda se
pode, posteriormente, resolver mais rapidamente e sem erros diferentes problemas
concretos e particulares. No processo de realização sistemática da atividade de
estudo se observa nos alunos uma formação mais intensa das operações mentais de
caráter teórico que naquelas crianças que assimilam os conhecimentos segundo os
procedimentos tradicionais. (DAVIDOV e
MARKÓVA
, 1987, p. 23)
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Além disso, devemos ressaltar a importância da composição na atividade da esfera
motivacional. Leontiev (1978b) considera que, psicologicamente, se apresentam dois tipos de
motivos à consciência da criança, em idade escolar: os “eficazes” e os “compreendidos”. Nos
eficazes, o objeto coincide com o objetivo. Há coincidência entre o motivo e o fim da
atividade. Por sua vez, nos “compreendidos”, isso não ocorre. Eles são ações, pois o motivo
se difere do objeto. O autor ilustra os motivos “compreendidos” com o exemplo de uma
criança que estuda como condição imposta pelos pais para poder brincar: “Você só vai
brincar, se concluir todas as tarefas escolares”. Afirma que tais motivos podem, com o passar
do tempo, se transformar realmente em algo eficiente para a sua atividade. Isso acontece, se a
criança recorre ao brinquedo ou a brincadeira como uma estratégia de estudo.
O material de estudo, de acordo com Leontiev (1978a p. 195), aparece à
consciência como objeto a ser assimilado. Sobre o caráter didático do objeto da consciência, o
autor diz: “o processo de transformação de determinado conteúdo em conteúdo
verdadeiramente consciente depende do lugar que ele ocupa na estrutura da referida
atividade”.
A atividade de estudo suscita a aprendizagem de conceitos científicos, ou seja, a
formação de um sistema conceitual teórico. Vygotsky (2000) destaca que, no
desenvolvimento dos conceitos científicos na idade escolar, uma questão primordial é a
importância das tarefas que a escola propõe à criança. Na atividade de ensino, o
desenvolvimento relacionado com o conceito em específico requer dupla compreensão: a do
processo de sua apropriação e da formação conceitual.
Vygotsky (2000) argumenta que um conceito é um ato de generalização, que não
se reduz a soma de vínculos associativos formados pela memória e nem a um hábito mental.
A generalização só ocorre quando o desenvolvimento da criança atingir um nível mais
elevado. Em cada idade, um conceito pode ser expresso por uma mesma palavra, mas os seus
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significados evoluem. A aprendizagem de novos significados gera desenvolvimento. No
início, é uma generalização de tipo elementar; mas no curso do desenvolvimento pode resultar
em uma mais elevada e capaz de possibilitar o processo de formação dos verdadeiros
conceitos.
O conceito surge no processo de operação intelectual; não é o jogo de associações
que leva à obstrução dos conceitos: em sua formação participam todas as funções
intelectuais elementares em uma original combinação, sendo que o momento central
de toda essa operação é o uso funcional da palavra como meio de orientação
arbitrária da atenção, da abstração, da discriminação de atributos particulares e de
sua síntese e simbolização como o auxilio do signo. (VYGOTSKY, 2000, p. 236)
A formação de conceito, na concepção vygotskyana, é um processo que se inicia
na infância e alcança pleno desenvolvimento na adolescência. Somente na puberdade as
funções psicológicas superiores amadurecem e permitem o desenvolvimento de um nível mais
elaborado de pensamento. Isso não significa, de modo algum, que Vygotsky não valorize as
apropriações da criança. Ele compreende que na infância há o predomínio de determinado
tipo de pensamento. Na criança, os conceitos fenotipicamente são equivalentes aqueles dos
adultos, o que possibilita comunicação entre ambos, entretanto uma análise genotípica revela
as fragilidades dessa aparência. Com o desenvolvimento dos conceitos, prospectivamente, a
criança chega à formação do pensamento conceitual.
No estágio inicial de seu desenvolvimento, uma criança é capaz de compreender e
visualizar o objetivo colocado num problema, mas ela se utiliza de equivalentes funcionais de
conceitos. Para Vygotsky (2000, p. 161), “a questão central, fundamental, vinculada ao
processo de formação de conceito e ao processo de atividade voltada para um fim, é o
problema dos meios através dos quais se realiza essa ou aquela operação psicológica”.
O emprego funcional e o desenvolvimento da palavra, bem como das suas
múltiplas formas de aplicação qualitativamente em cada fase etária, são a chave do estudo de
Vygotsky sobre a formação de conceitos. Ele distingue três estágios do pensamento de
natureza psicológica na formação dos conceitos: sincrético, por complexo e conceitos.
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No que se refere ao estágio sincrético, Vygotsky (2000) expõe que o pensamento
infantil se caracteriza pela formação de uma pluralidade não informada e não ordenada dos
objetos. O amontoado a ser discriminado é unificado sem fundamento interno suficiente, ou
seja, sem semelhança interna e sem ligações entre as partes que o constituem. As imagens
sincréticas da criança se baseiam, especificamente, nos vínculos emocionais e subjetivos. As
impressões se confundem com os objetos.
A criança associa diversos elementos internamente desconexos. Por meio de uma
única impressão, os fundem em uma mesma imagem que não pode ser desmembrada. O
significado da palavra, nesse estágio, é uma extensão difusa e não direcionada. Vygotsky
agrega três fases ao estágio sincrético, quais sejam: imagem sincrética ou amontoados de
objetos, disposição espacial e atribuição de significado.
Vygotsky traz alguns traços que caracterizam as particularidades do segundo
estágio, pensamento por complexos: 1) diversidade de vínculos; 2) uma natureza concreta e
figurada; 3) traços essencialmente iguais em seu significado funcional; 4) inexistência de
vínculos e relações hierárquicas; 5) impossibilidade de definir os seus contornos e a essencial
ausência de limites; 6) uma base de vínculos factuais que se revelam na experiência imediata.
O pensamento por complexo apresenta-se, segundo Vygotsky, em cinco fases:
associativa, coleção, cadeia, difusa e, por fim, o pseudoconceito. Essa última fase assemelha-
se muito ao verdadeiro conceito, entretanto, sua aparência é apenas externa, pois internamente
carece de vínculos entre os seus nexos de ordem teórica. Os complexos refletem vínculos
objetivos que não se baseiam na hierarquia entre traços. A generalização é obtida pelo uso
funcional da palavra.
No estágio de desenvolvimentos dos verdadeiros conceitos, Vygotsky identifica as
seguintes fases: dos traços genuínos, dos conceitos potenciais, de combinação de atributos e a
superior de formação de conceitos.
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No conceito, a palavra pode ser aplicada diversamente. Como signo, pode servir de
meio para operações intelectuais distintas. Ainda que, na fase adulta, o pensamento
predominante seja por conceito, Vygotsky afirma que sua linguagem está repleta de resquícios
de pensamento por complexos.
Em todas as fases de desenvolvimento do conceito ocorrem evoluções. Também, a
passagem de uma forma de pensar à outra se constitui em momentos revolucionários da
formação conceitual. O desenvolvimento dos conceitos acontece de forma espiralada, passa
pelo mesmo ponto a cada nova evolução enquanto avança para um nível superior. Portanto, os
estágios e suas respectivas fases de formação conceitual não ocorrem linearmente, pois uma
fase superada engloba a outra.
A formação de conceitos desencadeia o desenvolvimento de uma série de funções
psicológicas superiores: atenção arbitrária, memória lógica, abstração, a comparação e a
discriminação. São processos que não ocorrem por mera memorização ou assimilação de
palavras. Por isso, seria um equívoco esperar que um aluno aproprie-se das significações de
um conceito por uma repetição verbalista deste.
O professor que envereda por esse caminho costuma não conseguir senão uma
assimilação vazia de palavras, um verbalismo puro e simples que estimula e imita a
existência dos respectivos conceitos na criança, mas, na prática, esconde um vazio.
Em tais casos, a criança não assimila o conceito, mas a palavra capta mais de
memória que de pensamento e sente-se impotente diante de qualquer tentativa de
emprego consciente do conhecimento assimilado. No fundo, esse método puramente
escolástico de ensino, que substitui a apreensão do conhecimento vivo pela
apreensão de esquemas verbais mortos e vazios. (VYGOTSKY, 2000, p. 247)
Para ilustrar a afirmação de Vygotsky, utilizaremos o exemplo de ensino
infrutífero trazido por Leontiev (1978b, p. 199), relacionado à ação aritmética de adição, cujo
ensino e aprendizagem não se iniciam pela tabuada da adição. “Antes de dar a tabuada à
criança, ensina-se-lhe obrigatoriamente como efetuar a ação da adição com a ajuda de objetos
concretos; em seguida, transforma-se progressivamente esta ação da criança, sob a qual é
fixada nas expressões aritméticas do tipo 2+3=5, etc.”. Para Leontiev, a partir deste momento,
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a tabuada de adição pode ser apresentada à criança para contar, o que, adiante, permitirá
efetuar o processo de adição “de cabeça”.
Neste caso, para o aluno, o conteúdo da adição que inicialmente ocupava o lugar
de ação se automatiza, tornando-se a condição necessária para a realização de uma outra
operação aritmética. A apropriação de um conceito científico matemático como é a adição, em
situação escolar, além de ocupar distintos lugares na estrutura da atividade, é uma formação
conceitual que requer atos de pensamento diferentes e ligados ao sistema de conceitos. Esse
movimento pressupõe uma generalização de generalizações anteriormente constituídas, de
maneira consciente e arbitrária. Ou melhor, é uma ação orientada para um fim consciente e
será condição para a realização de outras ações.
O aluno, no processo de apropriação do conceito de adição, poderá realizar ações
como também operações. Nas mais diversas situações-problema, deverá operar com as idéias
conceituais que constituem esse conceito: acrescentar e juntar. Nesta circunstância, ele não
realiza ações e operações de “tabuar” e sim de adicionar. Na verdade, a tabuada é uma tabela
onde estão dispostas expressões aritméticas de adição que, memorizadas, poderão agilizar a
realização da técnica operatória e, não contrariamente. Portanto, deve ser ensinada como uma
significação do conceito e não como o conceito propriamente dito.
Ao longo dos anos, a tabuada - uma técnica operatória desenvolvida pela
humanidade para auxiliar na simplificação de multiplicações com altas grandezas - adquiriu
atribuições fazendo com que esta significação do conceito tomasse o lugar do próprio
conceito. Ou seja, ocupasse na atividade docente o lugar de ação que, segundo algumas
perspectivas pedagógicas, torna seu ensino infrutífero, um obstáculo à apropriação das idéias
conceituais da multiplicação.
Duarte (1987, p. 31), ao se referir ao processo de formação conceitual na
educação de jovens e adultos, afirma: “o educador que vê o conteúdo matemático apenas
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como um produto e não consegue ver o processo da gênese desse conteúdo, encontrará
grandes dificuldades em compreender o processo pelo qual o educando assimila esse
conteúdo”.
Para abordagem histórico-cultural, apropriar um conhecimento matemático
significa internalizar o seu significado. Na internalização de um conceito, o aluno reelabora a
atividade psicológica tendo como base as operações com signos. Vygotsky (1994, p. 74)
defende que “a internalização é a reconstrução interna de uma operação externa”. Dentre as
transformações surgidas no processo de internalização, destaca: 1) uma operação que,
inicialmente, representa uma atividade externa é reconstruída e começa a ocorrer
internamente; 2) um processo interpessoal é transformado num processo intrapessoal; 3) a
transformação de um processo interpessoal num processo intrapessoal é o resultado de uma
longa série de eventos ocorridos ao longo do desenvolvimento.
Culturalmente, os diferentes tipos de conhecimentos produzem um maior ou
menor nível de generalização, o que implica em modos distintos de pensar. Para Vygotsky
(2000), transmissão e apropriação, fora e dentro do ambiente escolar, constituem dois tipos de
conceitos: espontâneos e científicos.
O desenvolvimento desses conceitos é decorrente de um processo único na
formação conceitual, dadas condições externas e internas determinadas. Porém, não
constituem duas formas diferentes de pensamento. Apesar de processos distintos, estão
interligados e um exerce influência sobre o outro. O desenvolvimento do científico apóia-se
no nível das funções maturacionais dos espontâneos. O primeiro difere do segundo, tanto no
surgimento quanto nas implicações trazidas ao pensamento.
Assim, por exemplo, os conceitos matemáticos apropriados socialmente no
cotidiano apresentam uma forma simples de lógica dos conceitos matemáticos de grau
científico. A criança ou um adulto que nunca tenha freqüentado a escola possui alguns
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conhecimentos aritméticos que a possibilitam, nas suas atividades diárias, operarem com
contagens, adições, subtrações e mesmo porcentagens.
Os conceitos espontâneos são definidos por Vygotsky (2000) como sendo aqueles
que a criança apropria na esfera das experiências empíricas, nas relações que estabelece em
situações não formais de ensino. Caracteriza-se aspecto de assistematização se relacionado
aos conhecimentos científicos. Outras diferenças são: generalizações isoladas e de nível
elementar, relações de não arbitrariedade e conscientização, nível elementar de abstração,
ausência de definição verbal. Além disso, sua relação com o objeto demonstra uma
generalização genérica que vai do concreto ao abstrato, do objeto ao conceito.
De acordo com Vygotsky, os conceitos científicos são produções humanas
sistematizadas por um longo processo histórico, cujas apropriações ocorrem na instrução
escolar. Por isso, transmitidas intencionalmente. Eles pressupõem uma relação distinta com o
objeto, mediado por outros conceitos com vínculos internos e inter-relacionados. O caminho
percorrido na apropriação de um conceito científico é do abstrato ao concreto, do conceito ao
objeto que representa. Como generalizações de pensamento, requerem a formação de um
sistema que se configura com base em ações conscientes e arbitrárias.
Só no sistema de conceito pode adquirir as potencialidades de conscientizável e a
arbitrariedade. A potencialidade de conscientizável e a sistematicidade são, no
sentido pleno, sinônimos em relação aos conceitos exatamente como a
espontaneidade, a potencialidade de não conscientizável e a não-sistematicidade são
três expressões diferentes para designar a mesma coisa na natureza dos conceitos
infantis. (VYGOTSKY, 2000, p. 291)
Neste sentido, o caminho do desenvolvimento de conceitos científicos não
coincide com aquele percorrido pelos espontâneos, evidenciando uma contradição lógica na
operação com ambos. Vygotsky (2000) ilustra a trajetória percorrida pelos dois conceitos
dizendo: são linhas opostas, uma se projetando de cima para baixo, alcançando um definido
nível no ponto em que a outra se aproxima ao fazer o movimento de baixo para cima. Os
conceitos espontâneos abrem caminho para o desenvolvimento dos científicos ao crescer de
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baixo para cima e cria as estruturas imprescindíveis ao surgimento das propriedades inferiores
e elementares do conceito. Por sua vez, os científicos abrem caminho ao desenvolvimento dos
conceitos espontâneos, ao se deslocar de cima para baixo, forma as estruturas indispensáveis à
apreensão das propriedades superiores para qualificar os espontâneos.
Aprendizagem e desenvolvimento são articulados aos conceitos científicos e
espontâneos. Ambos os processos não coincidem, mas possuem complexas inter-relações e,
portanto, não podem ser vistos como processos humanos que ocorrem separadamente. Para
Vygotsky, por decorrência da aprendizagem, as funções psíquicas em maturação
desenvolvem-se. A aprendizagem, via colaboração e processo de imitação, é responsável pelo
desenvolvimento das faculdades especificamente humanas. Daí a importância do ensino
escolar ter por princípio a aprendizagem.
Nesse contexto, surge um conceito essencial para a concepção vygotskyana: a
zona de desenvolvimento proximal
2
definida como a distância entre o nível de
desenvolvimento real e o potencial. É a distância entre aquilo que o aluno já possui e as
possibilidades de aprendizagem e desenvolvimento que pode vir a alcançar.
A zona de desenvolvimento proximal se constitui nas relações que a criança
estabelece em colaboração com indivíduos mais experientes e se configuram as possibilidades
de aprendizagem. Na escola, o professor assume o papel de criar situações de interação com
os alunos mediados pelos conceitos científicos. Suas intervenções intencionais ampliam as
possibilidades de aprendizagem dos estudantes, isto é, o vir a ser em termos de
desenvolvimento.
Leontiev (1978a, p. 295) argumenta que, na análise psicológica da tarefa
pedagógica, encontramos o lugar concreto do material didático. Pedagogicamente, é preciso
2
No livro “A construção do pensamento e linguagem” o tradutor Paulo Bezerra destaca que alguns conceitos
vygotskyanos foram traduzidos, no Brasil, equivocadamente e o conceito de zona de desenvolvimento proximal
compõe esse rol. A tradução correta da palavra russa que normalmente se faz por proximal seria ‘imediato’.
Contudo, optando pela terminologia mais conhecida.
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utilizá-lo, mas é fundamental escolher o método adequado para incorporá-lo e manejá-lo no
processo pedagógico para que seu uso seja efetivo e não apenas acessório.
O autor conclui que o lugar e o papel ocupados pelo material didático, no
processo de aprendizagem, são determinados pela relação entre a atividade que a criança
exerce sobre ele e a atividade que conduz à consciência. Nesse caso, ocorrem três tipos de
relações: a) a máxima eficácia do material é assegurada quando uma e outra atividade
coincidem; b) uma atividade cria a necessidade de outra; c) quando desvinculadas, a sua
utilização do material didático torna-se, inclusive, um fator de distração.
Para Vygotsky (1998), uma das funções psíquicas superiores que cumpre um
papel fundamental na aprendizagem é a memória. Há um conteúdo que se memoriza de
maneira imediata e outro que precisa ser compreendido. O pensamento pode transcorrer por
dupla forma de memorização: imediata ou mediada. Pelo processo imediato, obtêm-se uma
instantânea memorização, porém a mediada ocorre com a ajuda de determinados signos ou
procedimentos. Ambos os tipos de memória possuem desenvolvimento e dinâmicas distintas.
O desenvolvimento da memória varia, por um lado, com as funções que ajudam na
memorização e, por outro, com a relação interfuncional que a une às demais.
A criança que memoriza com a ajuda do material auxiliar organiza a operação num
plano distinto da que o memoriza de forma imediata. Da criança que utiliza signos e
operações auxiliares não se exige tanto a memória ou a habilidade para criar novas
conexões, para criar uma nova estrutura, mas que possua uma imaginação rica, às
vezes uma forma de pensamento desenvolvido, ou seja, certas qualidades psíquicas
que na memorização imediata não desempenham um papel importante.
(VYGOTSKY, 1998, p. 42)
Para Vygotsky, a atividade da memória desenvolve-se mais fortemente na
infância precoce, pois o pensamento nesse período é por ela determinado. Para a criança
pequena, pensar é recordar. O caráter sincrético de seu pensamento se constitui não pela
estrutura lógica dos conceitos, mas pelas lembranças que reproduzem do objeto. Esta questão
supõe a compreensão do significado da palavra que, na criança, se apresenta diferentemente
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do adulto. O procedimento que define a memorização por parte da criança está vinculado
diretamente à memória. Por isso, as idéias infantis se constituem por denominação de
palavras, de fenômenos, ou seja, por sobrenomes.
O desenvolvimento do pensamento infantil é determinado pela influência que a
memória sofre das experiências nela acumuladas. Portanto, a atividade de memorização não
pode ser reduzida a uma única lei, como a da associação, por exemplo. Ela ocorre de acordo
com as leis de correlação semântica de uma lei com outra.
Na opinião de Vygotsky, há uma distinção entre memorizar um material com e
sem sentido, pois desprovido deste os elementos se formam com grande dificuldade. Ou seja,
na memorização das partes não se consegue estabelecer uma correspondência estrutural. Uma
pessoa, que tenha visualizado um cartão uma única vez, pode ser capaz de recordar mais
facilmente a figura contida nele que uma que o tenha visto repetidas vezes.
Para Leontiev (1978b), o processo de desenvolvimento da memória acarreta várias
transformações no desenvolvimento psíquico. O lugar que ela ocupa muda as diferentes
atividades realizadas pelo indivíduo em determinados períodos de sua vida. Por exemplo, nos
primeiros dias na escola, o objetivo principal do aluno é memorizar o que deve fazer. É
colocado diante dele um fim especial: memorizar. Leontiev entende que, na ação de
memorizar, corroboram dois conceitos: memorização e evocação. Eles são responsáveis pelos
aspectos de voluntariedade e controle presente nesse processo. Caso contrário, a memorização
será espontânea e o aluno não lembrará com precisão o que deve fazer. É preciso que, na
atividade, ela ganhe um motivo suscetível que leva o aluno a atribuir um sentido àquela ação.
Só assim, segundo Leontiev, ocorre a transformação da ação voluntária e consciente da
memorização em ação.
Para Leontiev (1978a, p. 93), “a repetição é a mãe da aprendizagem”, pois ao
aprender o aluno se apropria da ação e a internaliza como operação. Diferentemente,
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Vygotsky diz que “a memorização é a mãe da aprendizagem”. Nessa situação, o aluno
apreende as significações do conceito. Vale lembrar que o primeiro está preocupado em
definir a estrutura da atividade e o seu funcionamento; o segundo em apontar o processo de
desenvolvimento e aprendizagem intelectual humana pela análise da ontogênese do
pensamento, demonstrando como ocorre o sistema de generalizações conceituais.
A repetição é fundamental para a fixação de algo na memória. Mas é um equívoco
pensar que uma repetição mecânica, sem sentido conduz à fixação na memória. Pelo
contrário, memorizar mecanicamente é conseqüência da não compreensão do que se quer
fixar. É o processo de formação de pensamento que não produz o desenvolvimento das
funções da memória. Entretanto, quando há compreensão repetir é a possibilidade de se fazer
comparações mais detalhadas e, porquanto, as conexões temporais criadas serão diferenciadas
formando novos sistemas. Com isso, a fixação na memória será mais racional (SMIRNOV,
1961).
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4. SIGNIFICADOS E SENTIDOS DA TABUADA: no contexto da estrutura da
atividade de ensino dos professores das séries iniciais
Objetivamos, neste capítulo, compreender os significados e sentidos produzidos
pelos professores das séries iniciais sobre a tabuada, tendo como referência o lugar que ela
ocupa na estrutura da atividade de ensino. As falas docentes e alguns procedimentos, por eles
indicados e por nós fotografados, fornecem indícios de suas percepções sobre o tema do
presente estudo. Com base no referencial teórico adotado, destacamos como categorias de
análise: a atividade, as ações e operações externas e internas.
A identidade dos professores foi preservada. Por isso, adotamos letras do alfabeto
(A, B, C, ...) ao fazermos referências as suas contribuições. Foram entrevistados 12 docentes
das séries iniciais, agora contempladas por nove anos. Dentre eles, quatro são do segundo ano,
dois do terceiro, quatro do quarto ano e dois do quinto ano. Atuam em três escolas da rede
pública de São Ludgero, SC, sendo duas estaduais e uma municipal.
A leitura apurada das entrevistas nos possibilitou constatar que a tabuada está
sempre, implícita ou explicitamente, no planejamento desses docentes. Vale adiantar que a
tabuada é uma das significações do conceito de multiplicação. É parte integrante da atividade
de ensino e aprendizagem. Sendo assim, é algo a ser apropriado pelos alunos em situação
escolar. Apropriar uma significação quer dizer internalizar os resultados da cultura, ou seja,
humanizar-se. Para Leontiev (1978b, p.96), “significação é o reflexo generalizado da
realidade elaborado pela humanidade e fixado sob a forma de conceitos, de um saber ou
mesmo de um saber fazer”.
De acordo com Leontiev (1978b), a significação - mesmo sendo produzida
historicamente e, portanto, de vínculo social - apresenta-se de forma diferente para cada
indivíduo, pois depende do sentido subjetivo e pessoal. No processo educativo, ensinar a
tabuada faz parte de uma atividade que agrega tarefas docentes intencionais e dirigidas a
determinados fins. Entretanto, cada professor, mesmo seguindo orientações curriculares sobre
as disciplinas e conteúdos a serem ministrados, organiza suas ações e operações relativas à
tabuada conforme a experiência adquirida ao longo dos anos, na sua formação e os sentidos
conferidos às significações apropriadas. Isso pode ser constatado na fala da entrevistada H:
...indo curso e conversando com outras professoras, ai que a gente vai aprendendo,
vai vendo... vai aprendendo, não tem!.
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A tabuada tem lugar de destaque na estrutura de ensino constituída pelos docentes
entrevistados. Sua importância também é reveladora de uma concepção utilitarista e
pragmática de Matemática: é usada no dia-a-dia. As manifestações das professoras I, J, C e D
trazem em seu conteúdo tal entendimento:
E ela é importante no ensino “porque a gente utiliza muito, né”! (Professor I)
Assim como os demais conteúdos da matemática, a tabuada faz parte do dia-a-dia. É
um conteúdo que precisa na vida deles, não é um conteúdo obrigatório, mas é um
conteúdo que faz parte do dia-a-dia das crianças! (Professora J)
É importante “porque é uma coisa que tu usa no dia-a-dia” (Professora C).
Com a multiplicação, e eles sabendo a tabuada, ia ser muito mais cômodo e muito
mais rápido eles resolverem qualquer situação do cotidiano (Professora D).
Ao atribuir à aplicação da tabuada um sentido especial, é priorizado seu valor
prático em detrimento ao aspecto formativo e ao desenvolvimento do pensamento
multiplicativo. Ou, como diz Davydov (1986), visa à formação do pensamento empírico em
vez do pensamento teórico. O autor faz restrições a tal postura ou objetivo escolar, pois
qualquer que seja a opção pelo tipo de pensamento a desenvolver nos estudantes, é resultado
da atividade de ensino aprendizagem que, por sua vez, depende da organização da base que a
orientará. Ela auxiliará na constituição da imagem que o sujeito terá da ação a executar, bem
como, o resultado final a adquirir e as condições nas quais será realizada.
Galperin (apud NÚÑEZ; PACHECO, 1997) afirma que o homem apóia-se em
uma base orientadora da sua ação que constitui o modelo da atividade. Traduzir isso para o
ensino, significa criar um modelo de atividade que oriente a ação discente. Ela, então, pode
ser definida em conjunto por professor e estudante. Este terá a sua disposição: os
conhecimentos necessários sobre o objeto da ação, as condições de realização, o conjunto das
ações, os meios de controle e os limites da sua aplicação.
A organização das ações e operações que orientaram a atividade discente no
ensino da tabuada apresenta - por parte dos professores participantes da presente pesquisa -
algumas diferenças superficiais. Em última análise, possuem a mesma essência: ação
vinculada à multiplicação. À exceção de uma docente. Apesar de dizer que “não toma a
tabuada”, utiliza-se de procedimentos incompatíveis com essa postura inicial. Identificamos
três leituras que dão sentido e significado à tabuada no contexto escolar: 1) ação, conceito; 2)
pré-requisito para a multiplicação; 3) inversamente, a multiplicação é a preparação para a
tabuada. Há um tempo e um momento para ser ensinada, uma linguagem própria a ser
apropriada e um movimento de generalização conceitual específico a ser realizado.
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Como ação e operação, a tabuada expressa as significações e sentidos a ela
atrelados que foram produzidos, tanto na vivência ainda como alunos, quanto na prática
docente. O processo vivido no tempo de estudante traz lembranças negativas: memorização,
repetição, como também perfil de professor e procedimentos tradicionais. Com a expectativa
de contrapor à vivência discente nas suas tarefas docentes, os professores passam a entender e
vivenciar como aspectos positivos: valorização dos conhecimentos cotidianos; agilidade na
realização de cálculos; recursos didáticos motivadores e, portanto, escola inovadora. Dessa
forma, as ações, operações, significações e sentidos – relativas à “tabuada de multiplicar” –
compõem, fundem-se e confundem-se na estrutura da atividade docente.
Na Escola tradicional, a tabuada permeava as quatro operações – adição,
subtração, multiplicação e divisão. Determinações históricas patentearam as tendências no
ensino da matemática fazendo sobressair àquela relacionada à multiplicação. Somente o
entrevistado I - atuante no quinto ano - também enfoca a divisão. Os demais professores não
sabem que, até os anos de 1960, existiam e eram exigidas dos alunos a memorização de
tabelas da adição, subtração e divisão. “Saber de cor” essas tabuadas era a exigência e
“quesito” para se ter facilidade na resolução de problemas de qualquer natureza operacional
apresentada.
Até os anos de 1950, o ensino focado na tendência formalista clássica,
(FIORENTINI, 1995) ao priorizar a memorização mecânica, dava um tratamento isolado a
cada operação sem enfatizar as inter-relações entre elas. A idéia de estrutura (algébrica,
topológica e ordem) que fundamenta a matemática moderna – apresentada às escolas nos anos
de 1960 e consolidada na década de 1970 - é que rompe com a independência existente entre
adição/subtração, multiplicação/divisão. A estrutura algébrica, ao requerer - entre outras - a
propriedade inversa ou a reversibilidade, cria a interdependência entre as operações
matemáticas.
O construtivismo piagetiano, ao adotar a analogia entre as estruturas matemáticas
e as estruturas da inteligência (PIAGET, 1968), também contribuiu para que no processo de
ensino/aprendizagem passasse a ser considerada a vinculação entre as operações. Com isso, a
tabuada de multiplicar passa a ser a única a ter sua evidência por ser uma condição ou “pré-
requisito” para seu próprio algoritmo e para a operação de divisão. Com a ressalva de que ela
assume outras nomenclaturas. De “tabuada de vezes” passa a ser traduzida por “tabela de
multiplicação” e “fatos básicos da multiplicação”.
Decorar a tabuada deixa de ser a condição primária para se transformar num
processo de construção galgado na própria constituição interna da matemática. Assim sendo, a
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multiplicação e a tabuada se confundem com a adição, subtração e expressão numérica. Em
8x7, por exemplo, uma criança que soubesse que 8x10 é 80 e 8x3 é 24, subtrairia 24 de 80
para atingir o 56. Ou seja: 8x7= (8x10)-(8x3).
Pelos depoimentos dos professores entrevistados, foi possível identificar uma
peculiaridade na estruturação do ensino da tabuada. A postura é semelhante nas escolas das
redes municipal e estadual que, por sinal, não foi constituída intencional e propositalmente ou
acordada entre os professores. Nesse sentido, é unânime, entre eles, a idéia de que é no
segundo ano escolar que a tabuada é apresentada de forma sistemática aos alunos, desde que
seja em conformidade com o “nível”, “ritmo” da turma. Da mesma forma, está convencionado
que o limite do algoritmo de multiplicação - até cinco - também depende do potencial da
classe. As falas a seguir evidenciam nossa afirmação:
Tem criança, quando eu trabalhei até cinco, que não pegou nem a de dois, né! Eu
penso assim, né: cinco crianças aprendendo até cinco, tá bom! Uma aprendendo a de
dois. Tem criança que não consegue depende do ritmo de cada criança, né! E tem
criança que se preocupa que a mãe ajuda bastante em casa que consegue até a de
nove. (Entrevista H)
Porque até agora foi mais assim situações problema, adição, subtração como é a
nível de primeira série, né! Mas agora já dá pra dá uma noção de tabuada pra eles,
né! De multiplicação e de divisão! (...) Da de um até a de cinco da pra dá uma
noção. Não é que eles vão chega lá na segunda série sabendo, né! Mas dá pra dá uma
noção. (Entrevistada G)
Na segunda série, eles têm contato mais direto com a tabuada, porque já aprenderam
a ler. Na primeira, ainda é só uma noção breve. A tabuada está exposta no quadro,
nós temos assim, né! (...) Conforme o aluno ia progredindo eu ia assinalando na
tabela. Eles já sabem bem a de três, já sabem bem a de quatro... e eu ia assinalando!
(Entrevistada J)
Olha! Essa turma que eu tenho hoje, assim, tem bastante dificuldade. Não comecei
ainda, porque eu vejo que eu preciso tá ainda mais em cima da adição e da
subtração, ainda. Pretendo dá uma noção da tabuada. Mostrar pra eles o que é a
tabuada. (...) A gente não consegue avançar uma coisa enquanto que eles não dão
conta de outra! (Entrevistada F)
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A vinculação da tabuada com “nível da turma”, “ritmo de aprendizagem” ou “já
aprenderam a ler” diz respeito à relação desenvolvimento e aprendizagem. Nos seus estudos,
Vygotsky (2000) buscou compreender o movimento dialético existente entre ambos.
Constatou que duas vertentes abordavam o problema distinta e equivocamente. Uma
considera aprendizagem e desenvolvimento momentos diferentes e desconexos com o ensino.
A segunda considera que os dois processos se apresentavam inter-relacionados. Primeiro,
ocorre o desenvolvimento de etapas e de níveis determinados, somente depois a
aprendizagem.
Para o autor, a aprendizagem adianta-se ao desenvolvimento. Pode, inclusive,
ocorrer concomitantemente. No entanto, o desenvolvimento está a reboque da aprendizagem.
Aquilo que o aluno apropria em sua atividade desenvolve as funções que estão em maturação.
O ensino que objetiva a formação do pensamento teórico precisa ser organizado de modo a
desenvolver as funções psicológicas superiores, com base na aprendizagem. Dessa forma, o
nível das significações conceituais que o aluno se apropria determina o tipo de generalização
elaborada. Vygotsky (1995, p.159 e 165) diz que uma criança só domina a operação
aritmética se dominar o sistema dos estímulos aritméticos que se desenvolvem em três fases.
A primeira - natural ou primitiva - cuja característica é a resolução direta das tarefas
pertinentes por não fazer uso de signos e por não ter consciência de como atuam. Na segunda,
são usadas operações com signos externos. E, na última fase, os signos internos.
Nas séries iniciais, um sistema conceitual científico começa a ser elaborado e,
conseqüentemente, conforme Leontiev (1978b), uma ação é apropriada quando se torna
operação para uma nova ação. Contudo, ao se adotar atividades estruturadas e organizadas de
modo que os conteúdos tenham uma seqüência linear e uma forma hierarquizada de
sistematização, impossibilita-se a reprodução das etapas essenciais de uma seqüência
histórica.
Duarte (1999, p.45) afirma que a aprendizagem de um conceito matemático deve
estar orientada para reproduzir as etapas essenciais de uma seqüência histórica. A reprodução
dos traços essenciais significa a apropriação da lógica, do significado de um produto histórico.
Contudo, para que essa apropriação realize-se, não é necessária uma seqüência que contemple
e condense toda seqüência histórica, mas sim os traços essenciais.
A organização, isto é, a estrutura da atividade das redes pública municipal e
estadual prevê que a ação de ensinar a tabuada no segundo ano escolar ocorre em meados do
mês de setembro de cada período letivo. Entretanto, efetivamente, isso ocorre se o professor
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entender que o nível intelectual dos alunos atenda as condições para tal. Caso contrário,
somente uma breve noção é introduzida no fim de novembro e início de dezembro.
Nos demais anos escolares, algumas diferenças podem ser pontuadas. No terceiro
ano, por exemplo, a entrevistada L diz que apresenta a tabuada no terceiro bimestre, pois a
ênfase à multiplicação é dada neste período. Para a professora E, isso ocorre “entre os meses
de maio e junho, mais ou menos”.
Nos anos seguintes, há uma maior diversidade de postura em relação ao momento
de iniciar e ao tempo destinado a ação de ensinar a tabuada. De acordo com a professora do
quarto ano, B:
Não parei assim pra trabalha a tabuada. Eu tava trabalhando a multiplicação e assim
só parei um dia pra explica a lógica da tabuada pra eles, né! Só isso assim aqueles.
Acho que foram umas duas aulas, acho que nem foi tudo isso! E daí pra explicar que
ajudaria e facilita, mas só que indiretamente eu já tava trabalhando. Não, mais daí eu
trabalhava era multiplicação não era tabuada!
A preocupação dessa professora não é apresentar a tabuada em um tempo
definido. Na estrutura de sua atividade de ensino, ela não é um momento, ou seja, uma
“operação da ação” do processo para apropriação das significações e conceito de
multiplicação. Todavia, declara seu descontentamento: “Daí tem uma dependência muito
grande, eles não conseguem fazer divisão sem a tabuada”. Por isso, dá a abertura para atender
expectativas dos alunos: “eu pedi que decorassem, mas não cobrei”, “eu sempre deixei eles
usarem a tabuada”. Complementa: “Se pedi pra eles dizerem duas vezes um, dois; duas vezes
dois quatro, eles não conseguem. Eles se perdem, porque é uma coisa decorada, mecânica!
Eles não conseguem!”.
Constatamos, na fala da professora, certa precaução ao mencionar a memorização
e a repetição. A docente disse que tem por base as contribuições pedagógicas de Duarte
(1988) - “seqüências de ensino das quatro operações” – e, inclusive, utiliza o ábaco. Esse
material é adotado pelo autor em seus estudos que foram base ao texto “Educação Matemática
para Jovens e Adultos”. Sendo assim, não há razão para que B se sinta constrangida, uma vez
que o terceiro passo da proposta do autor, para a aprendizagem da multiplicação é “a
montagem da tabuada e sua memorização”. Para Duarte (1988), torna-se mais fácil realizar a
operação se soubermos de cor, por exemplo, que nove parcelas de três resultam em 27.
A repetição é operação corriqueira da atividade docente quando se trata da
multiplicação. Contudo, sua discussão provoca, na comunidade escolar, desconforto e/ou
constrangimento. Subjacentes a essa reação, estão a desvalorização, negações e rejeições dos
conceitos de memorização e repetição. Sua gênese está na crítica das diversas tendências
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pedagógicas à memorização dos conteúdos, via repetição mecânica, postura do formalismo
clássico. Os termos “memorização” e “repetição” caracterizaram-se como adjetivos
intrínsecos à Escola Tradicional e traduzidos como um dos obstáculos à qualidade da
educação. Por isso, foram banidos do discurso pedagógico por serem os supostos causadores
da repulsa pela matemática.
Smirnov (1961) dá crédito à memorização que suscita compreensão daquilo que
está sendo repetido. Afirma que as repetições só são efetivas quando recordadas no próprio
processo de fixação. Esse é o princípio, fundamental que requer: a distribuição do tempo, a
quantidade, a forma e o conteúdo a ser fixado. Portanto, não se trata, simplesmente, de cuidar
para que os alunos lembrem aquilo que estudam somente no final do processo de fixação ou
depois de muitas repetições.
Vale esclarecer que não somos adeptos dos procedimentos formalistas de ensino,
mas compreendemos que aprender tabuada é uma forma de desenvolver as funções da
memória. É, também, uma significação historicamente produzida que contribui para
procedimentos multiplicativos de maior prestígio e rapidez. Dessa forma, há discordância com
a professora B, quando diz que os alunos “não aprendem, porque repetem”. Outros aspectos
podem contribuir para que as apropriações conceituais não ocorram, dentre eles sublinhamos:
ela não lidou com as significações do conceito que foram produzidos historicamente; não
utilizou procedimentos de memorização ativa e, mesmo que tenha apresentado a “tabela
multiplicativa”, não pode ter definido operações de ensino que contribuíssem para que os
alunos memorizassem a tabuada. Sua estratégia/operação não passou de informação, pois as
proposições feitas aos alunos não traduziam os traços essenciais do conceito.
Além desses, vale destacar que os sentidos e significados dados pela docente aos
conceitos de memorização, repetição e a tabuada propriamente dita, traduzem insegurança ou
algo que seja “errado” por se tratar de procedimentos pedagógicos da Escola Tradicional ou
do formalismo no ensino da matemática. Por sinal, compreensão que se estende a outros
professores. Vejamos na fala das professoras, como isso se objetiva no cenário educacional:
“O tradicional é tu tá cobrando mesmo dos alunos, a postura deles na sala de aula, o
comportamento, né”! Tu tens que resgatar o que veio lá do tradicional, né! Porque
senão, eles tão muito liberal, muito liberado, né! (Professora G)
Quando está proferindo a palavra “cobrar”, ela se reporta à repetição, à
memorização, não só da tabuada como de sílabas. Coisas que exigem postura, segundo a
entrevistada, do professor tradicional. O professor I é incisivo ao afirmar:
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“
Se a gente pedir pra decorar a tabuada, ficam dizendo: ‘aquele lá é o professor
tradicional’. Se tu tá cobrando demais, tu é tradicional, se tu faz isso é porque tu é
isso, né! É taxado como tradicional!”. (Professor I)
Ressaltamos que a tendência em associar a tabuada à memorização, à repetição e
ao ensino tradicional é postura de todos os entrevistados. Esta relação reflete uma outra,
igualmente problemática, qual seja: a tendência em tornar a Escola Tradicional indicador de
algo danoso para uma escola inovadora, atual. Os estudos de Miranda (2005) sobre as
“pedagogias psicológicas e a reforma educacional” confirmam que os professores expressam
a sua compreensão da prática construtivista em contraposição ao ensino tradicional. As
menções feitas à abordagem adotada rechaçavam o modelo anterior considerado
completamente impróprio, inconveniente e inadequado. De modo geral, sentem-se obrigados
a se adequar ao novo modelo. Mas, na verdade, o modelo tradicional é incompreendido e
guarda pouco do modelo surgido como o processo de escolarização moderna. É um conceito
não histórico, apenas algo que a escola não deve ser.
Como conseqüência, cria-se uma percepção com dupla característica que se
materializa no cotidiano da prática docente. Uma que admite a tabuada como ação da
atividade de ensino/aprendizagem. Suas operações se relacionam com os materiais didáticos e
os problemas diários dos homens tais como: calcular as parcelas do crediário, os juros de um
financiamento e outras. A outra trata a tabuada como uma operação do processo de elaboração
do conceito de multiplicação que secundariza: os processos de memorização ativa, o
conhecimento científico e sua transmissão, as contribuições históricas. A duplicidade de
importância da tabuada resolveu, para professores, a polêmica “trabalhá-la” ou “baní-la” no
processo educativo matemático escolar, além de cercear os debates sobre o seu papel.
O posicionamento adotado dá margem para manifestações equivocadas e
contraditórias. É assim que, em determinados momentos, afirmam que a tabuada é tratada a
partir do mês de setembro, enquanto em outro momento é tema abordado desde o início do
ano letivo.
“Já tem que começar a trabalhar desde o início. Quando eu comecei no início do ano
eu já cobrava a tabuada, junto com a adição e a subtração. Até pra eles terem uma
noção, pra quando chegar na multiplicação eles já estarem sabendo, né!” Professora
C
“(...) eles tinham que saber. Eu começava no começo do ano. Eu passava no quadro
e eles copiavam na folha. Tinha que saber decorado”. Professor I
“No quinto ano, a tabuada é trabalhada sempre no começo do ano, mais a gente
trabalha sempre, o ano todo! Para eles não esquecerem!”. Professora A
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Assim como a professora B utiliza o referencial proposto por Duarte (1988), uma
outra entrevistada é adepta aos pressupostos elaborados por Perrenoud. Porém, na condição
substituta da professora e por ter pouco tempo de experiência no magistério, não pode
vivenciar o referencial teórico no exercício da docência. Não concorda com um ensino que
ainda “trabalha a tabuada”. Por estar substituindo, sentia-se impotente para realizar uma
atividade de acordo com o que considera pressupostos de um bom professor, ensino e
aprendizagem. Revelou preocupação com a forma alegre e interessante de apresentar o tema
aos alunos, porém vivencia a pratica da professora titular. Diz: “Eu dei continuidade no que já
estava”!
A percepção dessa docente evidência outra face da problemática, à desvinculação
entre atividade teórica e atividade material, como também é evidenciada pela professora G:
“Assim ó... tem situações que tu até tenta colocar na prática, não tem! Mais é
complicado. Uma coisa é a teoria e outra coisa é a prática”.
Há, pois, uma desvinculação entre os componentes teóricos do curso de formação
e a atividade docente, principalmente no que diz respeito aos conhecimentos que adquirem ao
longo de sua formação. A insegurança é latente ao que se relaciona, por exemplo, às
significações do que é um bom ensino e professor, às condições objetivas para a condução e à
realização do trabalho pedagógico.
De acordo com Leontiev (1978b), a divisão atividade teórica/atividade prática
ocorreu com o modo de produção capitalista. A divisão do trabalho na sociedade de classes
isolou a função de organizar a produção e a troca da função da ação. Ou seja, a atividade
espiritual foi separada da atividade material e passa a ser realizada por pessoas diferentes. Por
isso, perderam o caráter de unidade, são tratadas como opostas/distintas e não faces de um
mesmo processo. “Este isolamento da atividade intelectual reflete-se igualmente na cabeça
dos homens, que começam a vê-la não como uma das formas surgidas historicamente do
processo único da vida real do homem, mas a manifestação (...) do mundo à consciência”
(LEONTIEV, 1978b, p. 117).
Tal separação, de cunho idealista, pressupõe que ambas as atividades são coisas
completamente diferentes e, portanto, independentes. Compreendemos que existam
particularidades que as qualifiquem, mas por participarem de um processo único e pela
identidade de suas estruturas é incoerente pensar que haja uma independência entre elas. Uma
ocorre em função da outra e vice-versa. Podem modificar-se mutuamente. Considerar tal
independência é consentir a supervalorização de uma atividade em relação à outra.
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Parafraseando Leontiev, “a manifestação do mundo pedagógico”, “à consciência dos
professores é a atividade prática que eles entendem que seja a repetição com adendos, do
vivido na qualidade de discente e não as teorias estudadas no curso de formação”. Construir e
adotar uma nova postura requer o entendimento das múltiplas determinações que fazem com
que a tendência é repetir o vivido, isto é, o prático. Por exemplo, abandonar uma significação
matemática historicamente produzida, como a tabuada, causa um mal estar não só entre o
corpo docente e pessoal técnico/administrativo da escola como, também, entre os pais dos
alunos. Esses atores sociais mesmo, que façam restrições ou tenham recordações pouco
agradáveis da forma como aprenderam ou a recordam, reivindicam procedimentos
pedagógicos idênticos. Por isso, os professores tendem a “praticar” o vivido e, em nome da
atualização, buscam “adendos ou operações” variadas para “cobrar” que os alunos decorem a
tabuada.
Há os que “tomam” a tabuada na seqüência ou aleatoriamente e “salteada” –
conforme expressão dos próprios professores – todos os dias que trabalham a disciplina
matemática. Existem aqueles que “cobram” esporadicamente em forma de “torradinhas”,
“tirinhas” e “provinhas”. Às vezes sem aviso prévio e outras com data marcada. Outros não
cobram ou fazem duas ou três vezes por mês. Sublinhamos que, a maior parte dos
entrevistados tem o tema em referência na rotina semanal e recorrem a operações
diversificadas que demonstrem a memorização por parte dos alunos. Observemos algumas
falas:
“Toda a semana eu faço ditado e faço bingo com eles. Agora que terminou o
bimestre, semana passada é que eu tô assim... eu não trabalhei. Uma aula! Porque o
bingo, dependendo, vai uma aula, uma aula e meia, porque tu joga duas ou três
vezes, depende” (Entrevistada C);
“Acho que umas três vezes por mês” (Entrevistada D);
“Todas as aulas que tinha matemática e pedia como tarefa. Pra eles tá brincando em
casa, brincando de escolinha. Dava uma tarefinha extra, às vezes pedia pra eles
estudarem a tabuada. Como é que eu cobrava? Em forma de uma torradinha, uma
mini prova assim, né! Ou eles diziam pra mim ou nas atividades eles completavam o
resultado que faltava. Eu seguia o meu horário, assim! Se as minhas aulas de
matemáticas eram no início eu já faria no início. Se eram depois eu faria depois.
Mas antes de eu estar cobrando, eu sempre dava um tempo pra eles estarem se
preparando, uns cinco minutos. Para estudar melhor, dar mais uma olhadinha. E a
partir do momento que eles estavam preparados eu fazia a cobrança” (Entrevistada
E);
“Só isso, assim, aqueles acho que foi umas duas aulas, acho que nem foi tudo isso!”
(Entrevistada B);
“Este ano assim eu tô... eu digo vamos dizer a tabuada de sete, às vezes, junto com o
grupo ou por fila, ou só os meninos. Depois sozinho, porque eu gosto de observar
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quem conseguiu saber todas oralmente. Agora, eu tô partindo pros joguinhos assim...
em dupla. Eu mando em dupla: vamos vê quem consegue fazer mais rápido e certo.
E cada uma que eu passo eu tento cobra de todos individual. Então, tem aquela que
diz: - Eu já sei! E que ia lá dizer. Tem dia que eu tomo a de quatro, tem dia que eu
toma a de cinco. Outro dia de uma fila! Tem dia que aquela fila vai dizer aquela
tabuada que agente tiver trabalhando” (Entrevistada M).
Observando as falas, é possível reafirmar que a tabuada tem presença marcante na
atividade dos docentes e, por extensão, nas escolas da rede pública de ensino de São Ludgero.
O maior espaçamento de tempo de sua “cobrança” é adotado pela professora D por
compreender que o título dos conteúdos não precisa ser trazido à consciência do aluno, pois
está presente nas ações e operações propostas em sala de aula:
“Sem dá foco... ó agora é isso... agora é aquilo, né! Porque, na verdade, no
cotidiano a gente acaba usando isso e tu não tens noção muitas vezes!”.
A compreensão de D é uma característica da tendência empírico-ativista do ensino
da matemática e da Etnomatemática, como também dos adeptos à transdisciplinaridade ao
afirmarem que o importante não é a palavra definidora do conceito ou do conteúdo, mas o
conjunto de suas idéias. Contrariamente, Vygotsky (2000) diz que a palavra é indicadora da
tomada de consciência e o portão para a apropriação de conceitos científicos. Ou, como diz
Leontiev (1978b), uma possibilidade para a transformação do lugar de uma ação ao nível do
domínio do consciente para uma operação. A palavra “tabuada” traduz um conhecimento
altamente elaborado constituído de significações teóricas e integra-se ao sistema conceitual de
multiplicação. Portanto, a palavra em si deve ser apropriada como síntese de múltiplas
significações históricas que tem uma lógica cuja essência deve ser enfatizada pela seqüência
de ensino. Isso quer dizer que há necessidade de um processo educativo intencional
caracterizado por uma atividade de ensino/aprendizagem com “base orientadora” e
“operações” bem definidas. Tais especificidades não são encontradas nas atividades
cotidianas como alude a professora D. Duarte (2001), parafraseando Heller, argumenta que as
atividades cotidianas e não-cotidianas ao traduzirem o conjunto das ações humanas são
referências dialéticas entre reprodução da sociedade e reprodução do indivíduo. Não há vida
humana sem atividade cotidiana, porém não se pode pormenorizá-la a ponto de reduzi-la ao
reino das necessidades biológicas.
Mas a maioria dos professores ultrapassa a idéia de dispersar a tabuada no
contexto da atividade pedagógica, isto é, sem evidenciá-la nominalmente, como entende a
professora D. A preocupação é com procedimentos ou operações que levam os alunos a
“decorar” sem a estigmatização de “ser tradicional”. Nesse sentido, são elencados: bingo,
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trilha, litrões, ábaco, dominó, músicas, cartelas com as tabuadas, cartazes, tabela
multiplicativa, tabuada ilustrada, canudos de plástico, dados, torradinha
3
, tirinha, dedos,
materiais dos próprios alunos, feijões e papéis diversos. Analisemos o modo de uso e os
motivos pelos quais são utilizados.
O bingo é o recurso didático mais utilizado pelos professores de uma das escolas
públicas municipais. É citado por seis dos oito entrevistados. Consiste em uma cartela
dividida em quadrados nos quais estão distribuídos alguns números sem uma seqüência
definida e com diferentes grandezas. O aluno marca com algum objeto – feijão, ou outro
indicador – o resultado da multiplicação que o professor solicitar. Por exemplo, se estudam as
tabuadas de seis e sete, somente multiplicações que tenham um ou dois desses fatores serão
ditados, como: seis x três, sete x sete e assim sucessivamente. O aluno deve marcar, na
cartela, o quadrado em que estiver, respectivamente, dezoito e quarenta e nove. Caso não
possua o resultado, fica sem marcar. A exigência é que ele precisa conhecer os resultados,
além de contar com a sorte para preencher todos os quadrados da cartela e vencer o jogo.
Abaixo temos ilustrado um dos modelos de bingo utilizado pelos professores:
Este jogo chama atenção, não só pelo número de vezes que foi citado pelos
professores entrevistados, mas pelo modo como é desenvolvido. Para ser aceito pelos alunos,
3
Torradinha é uma atividade realizada em um pedaço de papel, no qual estão distribuídas algumas
multiplicações para serem completadas. Ela é semelhante a tirinha, mas conta com o fator surpresa. A professora
a realiza sem aviso prévio.
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precisa de “estímulos”, qual seja: competição e recompensa. Os alunos que o vencem, que
preenchem toda a cartela são premiados. As falas a seguir apresentam a necessidade de
premiação como incentivadora do próprio jogo:
“Daí como premiação, às vezes, eu dou um lápis, dependendo do que eles têm lá na
frente” (Entrevistada C);
“E sempre no final, pra avaliar, a gente dá um prêmio e eles adoram, né!”
(Entrevistada E);
“(...) eu terminei de passar... eu faço assim muito é... competição, não tem!”
(Entrevistada H).
Mas, competir e premiar são coisas que se estendem, também, para os outros tipos
de jogos. A atitude de recompensar uma reação é adotada pelos partidários da psicologia neo-
behaviorista, cujo pressuposto é a relação estímulo-resposta. Ou seja, mediante definido
estímulo, espera-se determinada resposta. Vygotsky afirma que este esquema é insuficiente
para explicar as reações do indivíduo, uma vez que envolve a protagonização da tríade:
professor/conhecimento científico/aluno.
Entretanto, as operações lúdicas que os professores planejam para os alunos
“fixarem” a tabuada têm, ainda, outra finalidade: motivar os alunos para aprender um
determinado conteúdo, nesse caso a tabuada. O conceito de motivo ou motivação é abordado
de maneira distinta, tanto nas diferentes correntes da psicologia quanto da pedagogia. Entre os
professores - referências do presente estudo - o entendimento é aquele vinculado às
significações produzidas na pedagogia escolanovista que, ao deslocar o eixo da questão
pedagógica para a psicológica, provocou inúmeras modificações na estrutura do ensino. Na
matemática, seus efeitos são percebidos nas características da tendência empírico-ativista.
Com a Escola Nova, segundo Saviani (1997, p. 21), o docente passa a ser visto como um
“estimulador e orientador da aprendizagem cuja iniciativa principal caberia aos próprios
alunos”.
O currículo delineado pelos interesses e necessidades dos discentes traz consigo a
preocupação de que a escola se torne um ambiente estimulante, alegre, movimentado,
barulhento, multicolorido. Os materiais didáticos adotados são ricos, incitantes e motivadores.
Para o autor, essa mudança de perspectiva se deve à modificação do interesse burguês. Na
medida em que se consolidou no poder, passou de classe revolucionária à reacionária e seu
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foco foi a perpetuação do modo de produção que defendia. A princípio a justificava era a
necessidade de uma pedagogia em que todos teriam diretos iguais, mas, ao conquistar o poder
contrapõem-se ao movimento de liberdade da humanidade em seu conjunto.
Na atualidade, tal perspectiva se manifesta, conforme Duarte (2000), no lema do
“aprender a aprender” cuja base norteia-se pelas psicologias biologizantes, Essas, visam
adaptar os indivíduos à situação vigente das relações de produção. Traz também um novo
ingrediente ao estabelecer que os interesses e necessidades dos alunos devem estar ligados ao
desenvolvimento de competências e habilidades. Chama a atenção de que a sociedade atual -
‘do conhecimento em mudança constante’ - requer uma formação dinâmica dos indivíduos
humanos, dá ao professor a incumbência de estar atento às cobranças do mercado.
Assim, a escola, frente ao mundo das imagens e dos jogos de linguagem, é
desinteressante. Por isso, docentes, em nome das exigências da sociedade, sentem-se na
obrigação de lançar mão do maior número de recursos possível para atrair a atenção do aluno.
“Não vejo, assim, motivação! Não sei se é porque a gente também não sabe dá
motivação pra eles...”. (Entrevistada C)
Portanto, motivo tornou-se sinônimo de estímulo. Não é motivo da atividade de
estudo e aprendizagem, própria do ser humano, mas da aula ou do processo de
“aprendizagem” de um conteúdo. A fala de I expressa esse entendimento:
“Hoje, assim, a gente dá aquela motivação assim, né! Aquele empurrão, né! Aquele
impulso pra vê se eles conseguem, né! Pra vê se grava alguma coisa (...)”.
O motivo, para Leontiev (1978a), surge de uma necessidade pessoal, mas
depende do lugar que o indivíduo ocupa nas relações que estabelece, dos seus interesses e
personalidade. Contudo, compreender os motivos pessoais significa pressupor, inicialmente,
sua existência como significação e sentido social, ou seja, como motivo social de uma
atividade.
Na idade escolar, ocorre que nem sempre o estudo fornece satisfação imediata de
necessidades. Por isso, o estudante precisa esforçar-se para não dispersar sua atenção, o que é
algo comum. Para Smirnov (1961, p. 194), “a escola tem grandes exigências de atenção da
criança”. O autor afirma que dois tipos de atenção operam na atividade de estudo: a voluntária
e a involuntária. Tanto na atenção involuntária, quanto na voluntária, o lugar que a
significação da atividade ocupa na vida do sujeito determina o seu sentido e de sua execução.
Em ambas, participam os interesses, mas na voluntária a relação com eles é indireta. A
atenção voluntária pode se modificar para involuntária e vice-versa.
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Smirnov (1961) diz que, na prática escolar, não se deve manter a atenção
involuntária por muito tempo, tampouco exigir constantemente uma atenção voluntária. O
aluno carece estar atento, inclusive, quando o trabalho em si não o interessa de maneira
imediata. Neste sentido, Saviani (2003) contribui ao afirmar que nem sempre o que interessa
ao estudante é o que realmente ele precisa saber.
Quando o professor oferece uma premiação no jogo, desloca o motivo da
atividade de estudo para uma operação de competição e passa a lidar com motivos
compreensíveis. O foco do aluno deixa de estar direcionado para a aprendizagem ou
apropriação do conteúdo e volta-se para a recompensa, objeto que receberá ao término da
operação. A atenção se desloca e o que deveria ser motivo de aprendizagem, pode ser o
gerador de distração.
O material didático serve como item de fascínio aos partícipes do processo
educativo. Muitas vezes, são atribuídas significações e incumbências inautênticas, como a
capacidade de por si só garantir a aprendizagem de definido conteúdo. Ressaltamos que,
dependendo do lugar que ocupa na estrutura da atividade de ensino, desvia a concentração do
estudante para o objeto, em detrimento das significações conceituais. Portanto, utilizá-lo não é
tarefa fácil tampouco simples, pois qualquer que seja a forma se sua utilização há um respaldo
teórico de cunho epistemológico, ontológico, pedagógico e psicológico.
Na perspectiva histórico-cultural, ele é um elemento do processo de elaboração
conceitual e não seu determinante. A atividade de aprendizagem do estudante das séries
iniciais do Ensino Fundamental – conforme Lúria (1987) e Krutestik (1991) – está fortemente
ligada ao pensamento visual-imaginativo e a percepção sensorial. Contudo, desenvolver
pensamento teórico verbal implica desvincular-se desta necessidade inicial.
Outro material - com teor da tabuada e disponível nas escolas dos entrevistados -
é o dominó que pode ser visto na figura abaixo. Cada peça está dividida em duas partes.
Numa está o número que representa o produto de uma dada multiplicação. Do outro, a
expressão multiplicativa de dois fatores. Ao aluno, cabe identificar duas peças de modo que o
produto de uma “encaixe” com a operação da outra e, assim sucessivamente, formando uma
seqüência.
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A entrevistada D foi a docente que nos relatou a maior variedade de “recursos
didáticos” para a tabuada. Dentre eles, destacamos os canudos e a música. Nas figuras a
seguir, podemos observar canudos na vertical e na horizontal. O jogo funciona assim: os
canudos que estão na posição vertical fazem o papel do multiplicador e aqueles dispostos
horizontalmente são o multiplicando. O produto é representado pela quantidade de vezes que
os canudos se tocam. Por exemplo, na figura a seguir, há dois palitos na vertical e dez na
horizontal que traduz a operação 2x10. O resultado é dado pelo cruzamento entre eles. O
resultado é dado pelo aluno em voz alta, pressupondo-se que ele já o saiba de cor. Os canudos
são usados para orientar o aluno a lembrar ou “fixar” a tabuada.
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A música - justifica a professora D - “auxilia a trabalhar as tabuadas mais
difíceis”. E, “porque daí não fica aquela coisa maçante, eles não vão cansar e é uma coisa
significativa. Como eles têm o CD, em casa, essas outras no CD fica um pouquinho melhor”.
A letra de uma das paródias da tabuada é apresentada a seguir:
A multiplicidade de materiais utilizados e disponíveis na escola mostra a
preocupação dos professores com a tabuada, com sua memorização, com a atenção e interesse
do aluno para com ela. A forma como esses recursos são explorados, em sala de aula, tem a
mesma finalidade dos procedimentos formalistas clássicos: decorar. A nova roupagem dada à
tabuada encobre a essência do tratamento dado pelo ensino tradicional. Ou seja, uma condição
para o bom desempenho no algoritmo da multiplicação. Sendo assim, os materiais nada mais
são do que um modo diferente de “fixar” a tabuada em comparação aos recursos didáticos
adotados pelo formalismo clássico, como revelam os dois registros que seguem:
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As imagens acima contrariam a principal inquietação apontada nas falas:
“Eu vi, no início, que eles não sabiam o que era dois x dois, a lógica da tabuada. É o
que eu percebi! (...) É! Aí, no caso expliquei aquilo ali que na vertical tinha que
somar... daí expliquei a lógica e depois comecei a trabalhar mais, a cobrar mais”
(Entrevistada C);
“Até teve um pai que veio aqui no segundo bimestre e disse: - Que legal! Assim é
fácil entender a tabuada. Duas vezes o dois duas vezes o três fico fácil pra pode dizer
de onde vem a interpretação dessa tabuada” (J);
“Quando eu comecei a trabalhar lá no Bom Retiro já estava na época da discussão
da proposta, então,já tinha um pensamento assim: que os alunos entendessem o que
era a tabuada. A preocupação ainda era a tabuada, mas daí entende como é que se
forma a tabuada. Assim: duas x três daí duas x o número três, três mais três. Isso eu
já fazia lá com os alunos quando eu comecei a trabalhar. Mas a ênfase era a tabuada”
(Entrevistada B);
“Pra eles entenderem o porquê que é a tabuada. Eu fazia eles entenderem porque que
duas vezes o número dois é quatro” (E).
A explicação dos professores sobre o que chamam de “lógica da tabuada” é dada
por meio de um cartaz em que estão presentes algoritmos multiplicativos horizontais e
respectivas ilustrações, em conjuntos representados por diagramas. Por exemplo, duas vezes
quatro aparece de duas formas: primeiro o algoritmo “2 x 4 = 8”, abaixo dois conjuntos
distribuídos em linha reta com quatro elementos cada. O resultado aparece em quatro
conjuntos que possuem a quantidade de elementos correspondentes dos dois anteriores. A
dinâmica descrita pela entrevistada H é uma amostragem do trabalho com este recurso:
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“Ai a gente faz... assim em tiras, não tem! Cada dupla de aluno vai fazer, por
exemplo, a tabuada de dois, né! Duas vezes zero, ai eles vão ilustrar. Dois vezes um,
dois vezes dois! Aí, depois a gente monta na parede, não tem, a tabuada”.
Vejamos as imagens cedidas por H:
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A figura anterior, que traduz uma operação da ação conceituada desenvolvida
pelos alunos, é denominada pelos professores de “tabuada ilustrada”. A própria nomenclatura
explicita que o foco é tabuada e não a idéia de multiplicação em si. À primeira vista, a
impressão é de que ali se evidência, pelos diagramas, uma das significações essenciais do
conceito de multiplicação: a adição de parcelas iguais. Observa-se que a finalidade é
apresentar a tabuada com dupla linguagem: numérica e figurativa. A ênfase, por exemplo, é o
fato de que 4 x 2 também pode ser representado por quatro diagramas com dois desenhos em
cada um. Essa apropriação não garante a generalização teórica do conceito de multiplicação,
como significação da adição de parcelas, pois nem a simbologia aritmética aditiva, 2 + 2 + 2 +
2, não é tratada. Há, portanto, somente uma concomitância do ilustrativo com a sentença
multiplicativa 4 x 2 = 8. Dessa forma, a tabuada é apenas tabuada e descaracterizada da idéia
de sistema conceitual em que a adição também faz parte. Assim, por mais bem intencionada
que seja, a proposição didática das professoras pode levar somente à “verbalização sem
sentido, um “papagaísmo”, como diria Vygotsky (2000).
Contudo, para os professores, esses procedimentos de ensino refletiram
preocupação com a mudança de postura frente à tabuada se comparada com o início da
carreira e agora. Segundo a professora H, nos primeiros anos de sua carreira docente,
costumava ser algo à parte no ensino de matemática, independente do conceito de
multiplicação.
“Então, no início quando comecei a trabalhar com primeira série é... eu trabalhava
assim, a tabuada. Pegava e já dava pronta no cartaz, na cartolina já botava na parede,
não tem iii... E dizia que era... não tinha assim até eu não tinha aquela noção que era
a soma, a soma não tem! Eu não sabia disso!” (Entrevistada H)
A referida “mudança” é conseqüência, segundo os professores da formação
acadêmica, dos cursos de capacitação e do diálogo com colegas. Todavia, essa modificação,
para Leontiev (1978b), é apenas o alargamento de conhecimento, mas não caracteriza a
descoberta da sua plena significação ou de uma nova significação. Ele não se tornou outro
ponto de vista do seu sentido pessoal por considerar as articulações essenciais entre as ações e
operações da atividade de aprendizagem na qual se insere o tema em estudo.
O lugar que a tabuada ocupa na estrutura do ensino não se modificou. Ela, ainda,
é tratada como ação. Sua “lógica” é abordada antes do conceito de multiplicação. Quando o
conceito é exposto, a priori, consiste somente em uma preparação para a tabuada. Conforme
expressam as falas:
“Quando eu comecei no início do ano eu já cobrava a tabuada, junto com a adição e
a subtração. Até pra eles terem uma noção, pra quando chegar na multiplicação eles
já estarem sabendo, né!” (Entrevistado C);
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“Desde o início, eu procurava trabalhar desde o início a tabuada (Entrevistado F)”;
Eu trabalho a tabuada primeiro. Primeiro tem que saber bem a tabuada, né! Pra
poder fazê a divisão (Entrevistado G)”;
“Primeiro eu dava a tabuada e depois eu entrava na parte das multiplicações (I)”;
“Primeiro a tabuada” (Entrevistado A);
“Isso, primeiro eu mostro de onde vem!” (Entrevistado J);
“Primeiro eu dô uma ênfase sobre o que é a multiplicação. Aí, primeiro trabalhamos
a tabuada ilustrada, daí o porquê que existe a tabuada. Ali a compreensão da
multiplicação, né! Quando eu vi que eles pegaram, começamos a resolver continhas,
mais atividades que fazem parte da multiplicação (Entrevistado E)”.
Psicologicamente, apropriar uma ação - como a tabuada - é apreendê-la como
conceito. Se tomarmos o princípio vygotskyano de que toda palavra é um conceito, então
podemos assim considerá-la. Está inserida num sistema conceitual e, portanto, subordinado a
outros. É nessa confluência entre conceitos que a tabela onde se encontram expressões
numéricas de multiplicação, dependendo das operações da atividade de aprendizagem,
permite generalizar idéias multiplicativas e a tabuada em si. No contexto da teoria da
atividade, a tabuada é operação e ação. Operação, quando alunos recorrem a ela como
procedimentos operativos para resolução de problemas ou “contas” de multiplicação. É ação,
quando o foco é a sua apropriação conceitual, ou seja, com recorrência às diversas operações
para a sua sistematização. Assim se apresenta no “terceiro passo”, da seqüência de ensino
proposta por Duarte (1988). Nesse momento, é proposto aos alunos um conjunto de
“procedimentos didáticos” (operações), pertinentes com as suas possibilidades de
aprendizagem que constituirão a “zona de desenvolvimento proximal”. Dessa forma, é
indispensável a disposição do professor para ajudar o aluno. Vale lembrar que a ZDP é
caracterizada pela necessidade do aluno ser orientado por não ter as condições suficientes para
realizar, sozinho, as tarefas escolares que propiciam a aprendizagem de um determinado
conceito.
Essa base teórica atribui, tanto ao professor quanto ao aluno, um papel ativo no
processo de “aprendizagem” de tabuada. Isso quer dizer que não compete somente ao docente
a função de entregar ao estudante o conjunto de tabuada (1 a 10) para o aluno memorizar em
casa, como ocorre na tendência formalista clássica. Ou ainda, recorrendo duplicidade
ilustração/sentença numérica com a idéia de associação da tendência empírico ativista.
Portanto, o professor não dá a tabuada para o aluno decorar. Pelo contrário, propicia
operações com orientações constantes que desenvolvem memória pela via de apropriações de
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significações. Elas explicitam a essência lógica do referido conceito. “Aprender a tabuada” é
processo e, como tal, é marcado por contínuos momentos de análise (abstrações) e sínteses
(generalizações). Pressupostos esses, que aparecem de forma obscura nas escolas estudadas.
A tabuada é uma síntese apresentada a priori, isto é, um produto generalizado à mercê de um
processo de elaborações.
Basicamente, o ensino da tabuada - nas escolas públicas do município de São
Ludgero - segue o roteiro: primeiro, a tabuada; depois, a multiplicação e, por último, as
situações problema. Forma de intervenção, de organização da apropriação de conhecimentos
científicos que pode não propiciar o alcance de generalizações em nível teórico.
O movimento de análise é precário para que o aluno chegue à síntese. As
generalizações realizadas são apoiadas em observações e comparações externas, ou seja, são
empíricas e por associação. Para Davydov (1982), essas operações são limitadas. Elas apenas
descrevem, verbalmente, os traços externos dos conceitos e ascender do particular para o
geral. Excluem a possibilidade de operar mentalmente com o conceito. Dominar um conceito
pressupõe conhecer seus traços internos e operar com eles. Todavia, assimilar um conceito é
realizar movimentos não só de baixo para cima – do particular para o geral – mas, também de
cima para baixo – do geral para o particular.
Sendo assim, as boas intenções que movem o fazer pedagógico dos professores
desconsideram a dinamicidade do processo de elaboração do conceito do modo que entende a
abordagem histórico-cultural. Como conseqüência, apesar dos esforços, geram
descontentamento.
“É mais nas situações problemáticas, eles têm dificuldade pra saber qual operação
realizar. Se é pra fazer só o cálculo daí não. O que tá faltando é interpretação, né!”
(I); “Eles têm que saber lê e interpretar, porque senão eles não conseguem resolver
os probleminhas. As situações problema não saem” (E).
As falas anteriores demonstram que estar em contato com definições ou
memorizar a tabuada por associação não garantem a aprendizagem. Segundo Sforni (2007),
uma ação que não é pensada teoricamente corre o risco de ser limitada ao contexto específico
em que foi abordada. Assim, uma operação executada mecanicamente não será,
possivelmente, apropriada em seu significado. Tomando com referência a Teoria da
Atividade, se aprender a tabuada não é uma ação consciente para o estudante, será pouco
provável que ela se torne operação para a apropriação de outra ação. A aprendizagem só
acontece quando o pensamento e as operações dele decorrentes passam ao domínio
voluntário. Por exemplo, utilizá-lo na resolução de problemas cuja solução é obtida por
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princípio multiplicativo. Nesse caso, a ação mental do aluno não é mais a tabuada em si, mas
a identificação da idéia de multiplicação que a ele se apresenta implícita ou explicitamente.
Acrescido, ainda, do ritual algoritmo para encontrar o produto (resultado) ou resposta
solicitada.
De acordo com Leontiev (1978b, p.304), a operação requer um fim novo por se
converter em um meio de execução. Nas palavras do autor: “o que era o fim da primeira ação
deve transformar-se numa das condições da ação requerida pelo novo fim”. A transformação
da “ação tabuada” para “operação tabuada” de resolver situações problemas. Ela ocorre em
um nível suficientemente elevado que dê condições para a realização da ação mais complexa
que é a resolução de problemas. Como diz Kalmykova (1991, p.9), todo o pensamento - como
é o caso de multiplicar e resolver problemas - “implicam processo de análise e síntese, com
diversos graus e dificuldades, a solução de problemas requer um nível superior de atividade
analítico-sintético”.
Ao resolver uma multiplicação, tendo como uma das operações a tabuada, o aluno
se envolve com apenas um elemento: o simbólico. Nesse caso, a síntese pode realizar-se ao
nível de análise elementar. Para resolução do problema, são exigidos sínteses em nível de
análise complexa que solicita a combinação dos diversos componentes: o valor procurado, a
informação dada no texto e a relação entre eles.
Ressalvamos que, não é nosso objetivo nesta pesquisa analisar as implicações da
estrutura de ensino para apropriações conceituais. Pretendemos delinear, dentro dos limites do
estudo, o que compreendemos por conseqüências do lugar que a tabuada ocupa nesta
estrutura. Pois, a passagem das ações às operações conscientes não é um processo fácil,
tampouco, simples. Ela requer tomada de consciência da própria ação, generalização e
pensamento teórico, bem como, movimento de ascensão do abstrato ao concreto.
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5. OS SIGNIFICADOS E SENTIDOS DA TABUADA NA ESTRUTURA DA
ATIVIDADE DOCENTE: considerações finais.
Objetivamos, neste capítulo, sublinhar as constatações da pesquisa sobre o lugar
que a tabuada ocupa na estrutura da atividade de ensino dos docentes da rede pública estadual
e municipal, no município de São Ludgero. Além, claro, dos sentidos e significados
produzidos nesse contexto. Também, dentro dos limites da investigação, expressar percepções
iniciais da relação entre tais significados e sentidos e as idéias pedagógicas no Brasil.
É inegável, a presença do ensino da tabuada na estrutura da atividade docente: todos a
abordam por concebê-la importante. O sentido pessoal conferido a esta importância apresenta
algumas diferenças. Entretanto, geralmente se vincula ao sentido social: ensinar aos
estudantes conhecimentos úteis à realização de suas ações diárias, com destaque para algo
interno à própria matemática, ou seja, a operação multiplicação.
Os docentes entrevistados têm a preocupação com o distanciamento entre a vida
escolar e a extra-escolar que ocorreu no passado, durante a trajetória de estudante. Para eles, a
atividade de estudo esteve afastada do indivíduo real. Portanto, ensinar/aprender a tabuada
também tem o compromisso de diminuir este estranhamento e aproximar a escola e a vida
cotidiana.
A contradição entre o cotidiano - a realidade dos estudantes, o real, o concreto - e
o conhecimento científico trabalhado na instituição – tido como abstrato e irreal - é
aparentemente superada na consciência do docente quando o conhecimento cotidiano parece
superior, como motivo da atividade escolar, justificativa do conhecimento científico. Por isso,
valorizar aquilo que o estudante conhece e partir da sua realidade é importante.
Duarte (2001), ao analisar as relações entre a educação escolar e o conceito de
vida cotidiana, confirma essa tendência pedagógica que leva os professores a construir o
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discurso da preocupação em relacionar o cotidiano como sendo o diário. O autor diz que, para
os educadores, o termo ganhou uma acepção natural e espontânea. Entretanto, defende uma
posição crítica mediante a obviedade atribuída ao cotidiano e, sobretudo, a marginalização do
não cotidiano. Afirma que nas atividades que o indivíduo realiza, em ambas as esferas, estão
presentes: cotidiano e não-cotidiano. No primeiro, participam as atividades que reproduzem o
indivíduo e, indiretamente, a sociedade. Constituem as objetivações genéricas em-si,
formadas por objetos, pela linguagem, por usos e costumes. Na segunda, as atividades visam à
reprodução da sociedade, embora contribuam para a reprodução dos indivíduos. São bases das
objetivações genéricas para-si e compõem os âmbitos da ciência, da arte, da filosofia, da
moral e da política.
Por sua vez, a especificidade da atividade escolar é lidar com objetivações
genéricas para-si, pois visa produzir nos indivíduos necessidades elaboradas, não-cotidianas.
Neste contexto, a atividade docente responde a uma necessidade social complexa: o ato
educativo institucionalizado. Este cumpre o papel de fornecer aos indivíduos o nível mais
elevado de aproximação com a realidade já alcançada pela humanidade, traduzido em
conhecimento científico. A formação humana caminha na apropriação de tais conhecimentos
e, portanto, rejeitá-los é negar a humanização. É reduzir os indivíduos ao nível do imediato,
recusar as possibilidades do “vir-a-ser” socialmente existentes.
Para Moraes (2007), o que chamamos de significação sobre a supervalorização do
cotidiano é um dos preceitos da agenda pós-moderna que advoga a adequação da educação a
esfera da prática. A autora diz que a relação entre produção e consumo é desprovida de
profundidade teórica. Denuncia a existência de um empobrecimento do conhecimento,
pormenorizado a múltiplos saberes engendrados dentro e fora da academia. Teoria e prática
estão laceradas no processo cognitivo em que se sobressai com absoluta prerrogativa a
segunda.
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Respondendo as questões e hipóteses que nortearam a investigação podemos
afirmar:
• A tabuada compõe a estrutura da atividade de ensino, em linhas gerais,
como ação. Há um tempo destinado ao seu estudo/aprendizagem. É
indispensável para procedimentos algorítmicos da multiplicação e,
também, divisão;
• No planejamento docente é determinado um momento para ensinar e
concluir o ensino, bem como a sua seqüência em cada ano escolar;
• Dentre as operações utilizadas pelos professores para que o aluno
memorize a tabuada cita-se: os recursos didáticos, os exercícios escritos e
a verbalização;
• À medida que é memorizada, deixa de ser ação e passa a ser operação para
aprendizagem dos algoritmos multiplicativos e, posteriormente, para a
resolução de problemas com a operação multiplicação e divisão.
Nesse contexto de ação e operação estão configurados os significados e sentidos do
ensino da tabuada, marcado pelo que denominamos de por percepções positivas e negativas.
As positivas se traduzem no entendimento de seus benefícios: utilização na vida
prática, agilidade na resolução de cálculos escolares e situações problema extra-escolares,
recursos didáticos motivadores.
Por sua vez, as percepções negativas se voltam ao passado, não de sua prática docente,
mas das experiências como alunos. Revelam-se na ojeriza pela memorização e repetição. Tais
procedimentos adotados para o ensino exclusivo da tabuada assumem um caráter
generalizador de uma corrente pedagógica: a tradicional. O conjunto das operações do seu
ensino passa a ser a expressão de estigmatização do que seja um professor autoritário.
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Característica docente que é negada na atualidade, pois é compreendida como incompatível
com uma escola alinhada com as exigências sociais democráticas.
As lições negativas, referentes à aprendizagem da tabuada, são propulsoras para que os
professores assumam o pacto: “não vou submeter meus alunos às mesmas situações
constrangedoras vividas como estudante”.
Em síntese, a tabuada tem seu destaque como conteúdo de ensino-aprendizagem do
processo pedagógico de escolas da rede municipal e estadual de São Ludgero. Nesse seu
trânsito entre ação e operação da atividade docente, há uma preocupação para que seu
“método de ensino” apresente características de pedagogias ou tendências inovadoras.
Portanto, há uma necessidade implícita marcada por certa vigilância para não repetir
procedimentos da Pedagogia Tradicional e da tendência Formalista Clássica.
Entretanto, esse zelo converge para as operações de ensino da tabuada e não para os
seus fins. Sendo assim, o uso de diversos materiais com a pretensão de tornar a sua
aprendizagem um momento interessante e prazeroso encobre uma concepção de matemática
clássica. Ou seja, um conhecimento imutável, perfeito e distante de serem produções
históricas da humanidade. Evocam a memorização e a repetição que também causam o
esquecimento. Ainda, da diversidade de materiais didáticos, ocorre para o desvio do
desenvolvimento do pensamento teórico para o pensamento empírico. As evidências mostram
que as significações da tabuada a serem apropriadas pelos alunos são constituídas de um jogo
de palavras que repete a escrita de colunas com dez sentenças multiplicativas.
As operações/procedimentos dão margem para gerar incerteza se o seu
desenvolvimento, pelos estudantes, oportuniza a formação do pensamento multiplicativo. Elas
são estabelecidas com a finalidade de dar uma base material e verbal em lugar de estratégias
de pensamento. Conseqüentemente, a generalização apresentará características empíricas que,
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segundo Davidov (1991), obstaculizam o movimento conceitual do geral para o particular e
vice-versa.
Porém, admitimos que os sentidos e as significações que os professores elaboram,
referentes à tabuada, não são criações próprias. Pelo contrário, são apropriadas em suas
trajetórias de formação profissional e prática docente. São decorrentes do veiculamento das
diversas correntes pedagógicas e de idéias matemáticas nos ambientes escolares em que
conviveram.
A importância e as implicações do lugar que a tabuada ocupa na estrutura da
atividade de ensino e aprendizagem traduzem um imaginário característico das proposições
pedagógicas convergentes com as relações de produção da atualidade.
Ao examinar a história da Educação, especificamente, as idéias pedagógicas que
se configuraram nas últimas décadas, Saviani (2007) apresenta uma nova fase, nesse
movimento de reformas educacionais. Surge, por volta de 1930, com o chamado
escolanovismo pelas necessidades de adequação ao novo modelo econômico. Essa tendência,
por oposição a Escola Tradicional, modificou substancialmente o eixo do processo educativo.
Nas palavras de Saviani (2005, p.9), “da questão pedagógica do intelecto para o
psicológico; dos conteúdos cognitivos para os métodos ou processos pedagógicos; do
professor para o aluno; do esforço para o interesse; da disciplina para a espontaneidade; (...)”.
Diferentemente do ensino tradicional, o importante é aprender a aprender, aprender sozinho.
O professor, então, conforme Piaget (apud DUARTE, 1998, p.93), é um animador, alguém
que fornece condições para que o aluno por si mesmo construa conhecimentos.
Os escritos do segundo capítulo desta dissertação - que aponta a constituição do
status da tabuada ao longo da história das tendências matemáticas e pedagógicas no Brasil – e
as análises do terceiro capítulo subsidiam a constatação de que a tabuada perdeu seu caráter
de memorização mecânica com o escolanovismo. O construtivismo se apresenta reafirmando
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esse posicionamento, ao dizer que memorizar a tabuada rechaça a construção de estruturas
multiplicativas, do desenvolvimento e da aprendizagem autônoma.
Para Duarte (1998), esses movimentos iniciam o desenvolvimento de posturas que
consideram idéias negativas como: “transmissão do conhecimento” e valorização do papel do
professor. Isso contribuiu para o esvaziamento de conhecimentos não-cotidianos da escola ou
tornou-os insipiente à humanização dos sujeitos históricos. Para o autor, na atualidade,
animam-se internacionalmente pedagogias que revigoram concepções calcadas no lema do
aprender a aprender.
Duarte diz que o lema compõe-se de ideais pedagógicos escolanovista – que
estiveram e estão presentes no ideário docente independente de menções explícitas ou não – e
da epistemologia genética piagetiana difundidas pelo construtivismo. A adesão a ele é algo
que não pode ser vista de maneira isolada, mesmo que incorporado como sedução a
modismos. É um movimento de intenções e objetivos claros: perpetuar o capitalismo via
necessidade de adaptação. Ganha impulsão “no processo de mundialização do capital e de
difusão, na América Latina, do modelo econômico, político e ideológico neoliberal e também
seus correspondentes no plano teórico, o pós-modernismo e o pós-estruturalismo” (DUARTE,
2004, p. 30).
A disseminação das orientações pedagógicas do “aprender a aprender” é
percebida no capítulo “Princípios e Fundamentos dos Parâmetros Curriculares Nacionais”.
Segundo Duarte (2003), ali são indicados quatro posicionamentos valorativos que reforçam os
métodos ativos originários da Escola Nova. São eles: 1) aquilo que o indivíduo aprender por
si é mais desejável, em termos educacionais e sociais ao que lhe é transmitido; 2) o método de
conhecimento é mais importante que o conhecimento já produzido socialmente; 3) as
atividades realizadas pelos alunos devem ser motivadas e dirigidas por seus interesses e
necessidades; 4) a educação deve preparar os indivíduos a se adaptarem às mudanças sociais.
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Os apontamentos nos permitem, ainda, outra reflexão sobre as críticas da
perspectiva escolanovistas - na matemática expressada pelo empírico-ativismo - mediante a
tradicional. O ensino tradicional passou a ser considerado impedimento ao novo, por trazer na
sua estrutura as raízes do modelo econômico anterior, incoerente com as inovações. Como diz
Romanelli (2003), o importante era afastar do ensino tudo que pudesse remeter à “velha
concepção de educação”. Outras concepções pedagógicas manifestaram-se com a tendência
em negar o ensino tradicional.
O discurso da pedagogia tradicional tornou-se obsoleto. Seus conteúdos de ensino
passaram a ser considerados ultrapassados e improdutivos para o desenvolvimento das
capacidades criadoras dos indivíduos. Por conseqüência, é visto como causador da má
formação de trabalhadores e do desemprego, além de limitador do progresso. Urgia, então,
outra pedagogia para uma nova escola compatível com as exigências de mercado. A atividade
escolar foi eleita estratégia para fazer face às vertiginosas mudanças. Segundo Moraes (2007,
p. 3), há que se garantir competências, educar é insuficiente. Mas, como o processo de
aprendizagem não é igual para todos, para uns o ensino exige altos níveis de competências
que não são assegurados pela experiência empírica. E às maiorias, restam as competências
“no sentido genérico que o termo adquiriu hoje em dia, o de saber tácito, que permitem a
sobrevivência nas franjas do núcleo duro de um mercado de trabalhado fragmentado, com
exigências formidáveis e sofisticadas a níveis de exclusão”.
As bases econômico-pedagógicas - como as concebem Saviani (2007) - até os
meados da década de 1970, exigiam da educação escolar a preparação das pessoas para atuar
num mercado de trabalho em expansão, a valorização dos processos e da adaptação à
sociedade. Com a crise da sociedade capitalista, neste período, reestruturam-se os processos
produtivos de marcado que substitui a técnica fordista pela toyotista. Constituíu-se o
neoprodutivismo. Modifica-se a teoria do capital humano que passa a demandar a
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flexibilidade e os interesses privados. Conserva-se a crença, na escola, que contribui para o
processo econômico-produtivo, mas voltada ao desenvolvimento de competências e
habilidades operacionais.
A educação passa a ser entendida como um investimento em capital humano
individual que habilita as pessoas para a competição pelos empregos disponíveis. O
acesso a diferentes graus de escolaridade amplia as condições de empregabilidade do
indivíduo, o que, entretanto, não lhe garante emprego, pelo simples fato de que, na
forma atual de desenvolvimento do capital, não há empregos para todos: a economia
pode crescer convivendo com altas taxas de desemprego e com grandes contingentes
populacionais excluídos do processo. (SAVIANI, 2007, p. 428)
Significa preparar os indivíduos com cursos diversos de capacitação, com a
insistência de tornar os conteúdos escolares cada vez mais empregáveis e produtivos, como
forma de livrar os alunos da condição de excluídos. Aqueles que eles não conseguem ascender
economicamente, pelo trabalho, assumirão a responsabilidade pelo nível de qualidade de vida.
Saviani (2007) diz que é a verdadeira pedagogia da exclusão.
Esse panorama de mudança reclama a formação de um novo indivíduo. Portanto,
suscita - como constatamos - entre os professores uma nova educação. Especialmente,
articuladas na década de 1990, com as reformas nas orientações pedagógicas, psicológicas,
didáticas e administrativas que foram lideradas e empreendidas pelo pensamento neoliberal e
pós-moderno.
Advogando a crise da razão, ciência e paradigmas modernos, a agenda pós-
moderna nega a esfera da objetividade e centra-se no subjetivismo. A educação, argumenta
Duarte (2004), guia-se sob um cinismo imobilista e um ativismo pragmático e imediatista. O
conhecimento toma característica de solipsismo, irracionalismo e fragmentação. Configura o
cenário das “neo”, assim renomeadas por Saviani: neoescolanovismo, neoconstrutivismo e
neotecnismo.
No neoescolanovismo, a necessidade de constante atualização re-significa o lema
para “aprender a aprender a reaprender”. No neoconstrutivismo, alterações também
ocorreram. Por exemplo, raras são as recorrências e menções sobre os estágios psicogenéticos.
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O centro agora são as quatro diferenças estabelecidas por Piaget entre inteligência sensório-
motora e inteligência conceitual, em que a primeira prevalece. Contudo, conforme Saviani
(2007), a inteligência é importante para o êxito, a conquista de um fim prático e não a
construção. Para ele, o neoconstrutivismo resulta da fusão do construtivismo, do pragmatismo
e das pedagogias das competências.
O neotecnismo se manifesta na valorização dos mecanismos de mercado, apelo à
iniciativa privada e às organizações não governamentais, a redução do tamanho do Estado e
das iniciativas do setor público. Redefine o papel da escola que realiza o controle do produto
pela avaliação. E mais uma vez
o educador, como tal, é ofuscado, cedendo lugar ao treinador: a educação deixa de
ser um trabalho de esclarecimento, de abertura das consciências para tornar-se
doutrinação, convencimento e treinamento para a eficácia dos agentes que atuam no
mercado. (SAVIANI, 2007, p. 439)
Com isso, a maneira de ver e conceber o professor, os processos de transmissão e
apropriação do conhecimento. Enfim, a atividade educativa se coopta nessa nova face das
concepções que remontam à educação contemporânea e arrolam o que denominamos
concepções negativas sobre o ensino da tabuada. Negativas, pois secundarizam o papel da
memorização e da repetição que se apóia na formação do pensamento teórico para aderir a um
ensino respaldado no desenvolvimento de competências e habilidades.
A convivência com a necessidade de desvalorização e superação do
tradicionalismo pedagógico e formalismo matemático faz com que os professores do Ensino
Fundamental de São Ludgero construam seus posicionamentos a respeito da tabuada.
Valorizam o discurso do lema “aprender a aprender” e, ao mesmo tempo, conflituosamente
buscam formas de propiciar aos alunos a aprendizagem com as características do formalismo
clássico.
Portanto, justificamos a necessidade de uma concepção afirmativa sob a tabuada.
Não aquela que substitui a imponência de procedimentos que temoriza o estudante
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(formalismo clássico), por recursos didáticos manipulativos para adquirir formas empíricas e
perceptíveis de obter “fatos básicos” multiplicativos. Em síntese, que a tabuada não seja
apenas uma ação isolada da atividade de ensino/aprendizagem ou pré-requisito para bom
desempenho nos algoritmos, mas um conceito fortemente articulado com outros de um
sistema conceitual. E como tal, apresenta uma lógica que precisa ser apropriada pelos alunos.
Ela é instrumento de interpretação, não só da inter-relação interna que organiza o sistema de
conceito no qual se insere como também o próprio pensamento matemático no todo. Como
elemento de pensamento, pode haver diferentes manifestações que, implícita ou
explicitamente, traduzem distintas formas de apropriações por ocorrem em circunstâncias
culturais e históricas específicas, isto é, universais ou particulares. Porém, apresentam idéias e
princípios que constituem as significações capazes de caracterizar a estrutura da matemática
elaborada histórica e socialmente. Como diz Giardinetto (2002), as diferentes produções
matemáticas em contextos com certas especificidades sociais não “são diferentes
matemáticas” e sim “diferentes manifestações da matemática”.
Enfim, a tabuada como uma objetivação do gênero humano que incumbe à escola,
o papel de dar ao estudante a oportunidade de sua apropriação. Porém, com a consciência de
que é um conhecimento elaborado e dado o nível de complexidade que atualmente atingiu,
apresenta níveis de abstração cada vez maiores. A apropriação das suas significações é
resposta de que a escola está cumprindo com o trabalho de formação do estudante.
Portanto, é constitutiva da estrutura da atividade de ensinar e aprender e, em
momentos distintos, ocupa lugares diferentes: ora como ação por exigir em uma série de
operações propiciadora da sua apropriação; ora como operação que conduz a apropriações de
novas objetivações humanas.
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