( PDF ) Estabilidade dinâmica para sistemas quânticos dependentes do tempo

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE S

AO CARLOS

CENTRO DE CI

ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE P

OS-GRADUAC¸

AO EM MATEM

ATICA

Estabilidade Dinˆamica para

Sistemas Quˆanticos

Dependentes do Tempo

Mariza Stefanello Simsen

S˜ao Carlos - SP

2006

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE S

AO CARLOS

CENTRO DE CI

ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE P

OS-GRADUAC¸

AO EM MATEM

ATICA

Estabilidade Dinˆamica para Sistemas Quˆanticos Dependentes do

Tempo

Mariza Stefanello Simsen

Tese apresentada ao Programa de P´os-

Gradua¸c˜ao em Matem´atica da UFSCar

como parte dos requisitos para obten¸c˜ao

do t´ıtulo de doutor em Matem´atica, ´area

de concentra¸c˜ao: Matem´atica Aplicada

S˜ao Carlos - SP

Outubro de 2006

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Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da

Biblioteca Comunitária/UFSCar

S614ed

Simsen, Mariza Stefanello.

Estabilidade dinâmica para sistemas quânticos

dependentes do tempo / Mariza Stefanello Simsen. -- São

Carlos : UFSCar, 2006.

123 p.

Tese (Doutorado) -- Universidade Federal de São Carlos,

2006.

1. Análise matemática. 2. Análise funcional. 3.

Estabilidade. 4. Teoria espectral (Matemática). 5.

Schrödinger, operadores de I. Título.

CDD: 515 (20

)

Orientador

Prof. Dr. C´esar Rog´erio de Oliveira

Banca Examinadora

Prof. Dr. C´esar Rog´erio de Oliveira

Prof. Dr. M´ario Bas´ılio de Matos

Prof. Dr. Jo˜ao Carlos Alves Barata

Prof. Dr. Paulo Faria da Veiga

Prof. Dr. Pedro Paulo de Magalh˜aes Rios

Dedico este trabalho ao meu marido Jacson.

Agradecimentos

Ao meu orientador, professor C´esar Rog´e rio de Oliveira, por ter me dado

oportunidade de realizar este trabalho, pela amizade e por ser exemplo de proﬁssional

a ser seguido, sempre atencioso, dedicado e paciente, que contribuiu muito com sua

experiˆencia, para o meu aprendizado.

A CAPES pelo suporte ﬁnanceiro.

Aos meus pais, irm˜aos e sobrinhos, que me incentivaram e acompanharam

minha jornada, por todo amor, carinho que tˆem por mim, e que apesar da distˆancia

estiveram sempre presentes.

A Deus, por ter me dado sa´ude e for¸ca para enfrentar e superar as diﬁcul-

dades e assim realizar este sonho.

Aos Professores do Departamento de Matem´atica da UFSCar e da UFSM,

em especial, ao Marcus Vin´ıcius de Araujo Lima pelas disc us˜oes e amizade, e ao

Jo˜ao Batista Peneireiro que mais do que professor foi e continua sendo amigo.

Aos amigos Luiza, Francisco, Chiquinho, Kelly, Marcos, Tamara, Giuliano,

Ivo, Josiane, Marcelo, Helena, Marciano e Gisele pela amizade e solidariedade nos

momentos bons e nos dif´ıceis.

Aos alunos do PPG-M pelo excelente ambiente de trabalho e amizade.

Ao Jacson, meu maravilhoso marido, por tudo.

As secret´arias, C´elia e Irma, por estarem sempre prontas a nos ajudar.

Resumo

Estudamos se um sistema dep e ndente do tempo ´e dinamicamente e st´avel ou

inst´avel, i.e., se o valor esperado de um observ´avel positivo e discreto ´e uma fun¸c˜ao

limitada do tempo ou n˜ao. Inicialmente consideramos propriedades topol´ogicas das

´orbitas dos estados do sistema e como estas propriedades se relacionam com a esta-

bilidade dinˆamica. No caso de dependˆencia temporal peri´odica apresentamos uma

f´ormula que permite decidir sobre a estabilidade conhecendo o comportamento dos

elementos de matriz do resolvente do operador de Floquet em rela¸c˜ao a uma de-

terminada base do espa¸co de Hilbert. Finalmente, apresentamos um exemplo de

operador de Floquet com espectro pontual puro e autofun¸c˜oes decaindo exponenci-

almente cujo sistema ´e dinamicamente inst´avel.

Abstract

We study if a time-dependent system is either dynamically stable or uns-

table, i.e., if the expected value of a positive and discrete observable is a bounded

function of time or not. Initially we consider topological properties of the orbits

of the states of the system and how these properties are related to dynamical sta-

bility. In the case of periodic time dependence, we present a formula that allows

one to dec ide about stability from the behavior of the matrix elements of the resol-

vent associated with the Floquet operator. Finally, we give an example of Floquet

operator with purely point spectrum and exponentially decaying eigenfunctions and

dynamical instability.

Sum´ario

0 Introdu¸c˜ao 11

1 Preliminares 21

1.1 Existˆencia da Dinˆamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Integral Direta e Aplica¸c˜oes Peneperi´odicas . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3 Formalismo de Howland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4 Formula¸c˜ao de Jauslin-Lebowitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Estabilidade Via Propriedades Topol´ogicas de Subespa¸cos 38

2.1 Hamiltonianas Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2 Hamiltonianas Peri´odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3 Hamiltonianas Quaseperi´odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4 Limita¸c˜ao do valor esperado da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3 Energia Para Hamiltonianas Peri´odicas no Tempo 65

3.1 Energia M´edia via Fun¸c˜ao de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2 Aplica¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2.1 Hamiltonianas Independentes do Tempo . . . . . . . . . . . . 71

3.2.2 Um Limite Inferior para as Fun¸c˜oes de Green . . . . . . . . . 73

3.2.3 Perturba¸c˜oes Kicked de Posto 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.2.4 Perturba¸c˜oes Kicked por V em L

) . . . . . . . . . . . . . 78

4 Operador de Floquet com Espectro Pontual e Instabilidade 88

4.1 Apresenta¸c˜ao dos Ope radores Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2 Espectro Pontual Puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.3 Instabilidade Dinˆamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.3.1 Lemas Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.3.2 Transformadas de Borel e de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 101

4.3.3 Varia¸c˜ao de β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.3.4 Demonstra¸c˜ao do Teorema 4.2(ii) . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5 Conclus˜ao 114

Cap´ıtulo 0

Introdu¸c˜ao

A evolu¸c˜ao temporal dos estados de um sistema quˆantico com Hamiltoniana depen-

dente do tempo ´e determinada pela equa¸c˜ao de Schr¨odinger

dψ

(t) = H(t)ψ(t)

em que H(t) ´e uma fam´ılia de operadores auto-adjuntos em um espa¸co de Hilbert

separ´avel H e ψ(t) ∈ H ∀ t ∈ IR. Sob condi¸c˜oes adequadas em H(t), como veremos

no Cap´ıtulo 1, existe uma solu¸c˜ao do problema de valor inicial ψ(s) = ψ: ψ(t) =

U(t, s)ψ. Os propagadores, ou operadores de evolu¸c˜ao temporal U (t, s) formam uma

fam´ılia fortemente cont´ınua de operadores unit´arios satisfazendo

U(t, r)U(r, s) = U(t, s)

U(t, t) = I

(operador identidade)

para todo t, r, s.

Para estudar tais Hamiltonianas depe ndentes do tempo ´e comum conside-

rar um espa¸co estendido K

= L

(IR, H, dt) ≡ L

(IR) ⊗ H ≡



⊕

H de forma que a

vari´avel t passe a ser incorporada como vari´avel espacial, e estudam-se as proprie-

dades espectrais do operador auto-adjunto, formalmente dado por

K = −i

+ H(t)

agindo no espa¸co de Hilbert estendido K. Tal operador ´e conhecido como operador

quase-energia (“quasienergy”em inglˆes). Obt´em-se assim a equa¸c˜ao de Schr¨odinger

estendida

dψ

dσ

= Kψ

cuja solu¸c˜ao ´e ψ(σ) = e

−iσK

e como veremos no Cap´ıtulo 1, existe uma rela¸c˜ao entre

−iσK

e os propagadores U(t, s). O operador quase-energia K foi previamente deﬁ-

nido para Hamiltonianas peri´odicas [34], [55], e ent˜ao adaptado para Hamiltonianas

H(t) = H

+ V (t) com V (t) = V (θ(t)), em que θ(t) ´e uma trajet´oria de um sistema

dinˆamico invert´ıvel tendo uma medida erg´odica invariante [42].

Neste trabalho estudaremos modelos cujas Hamiltonianas s˜ao da forma

H(t) = H

+ V (t) em que H

´e um operador auto-adjunto n˜ao-limitado em H e com

espectro discreto, isto ´e, formado apenas por autovalores isolados de multiplicidade

ﬁnita. A principal quest˜ao a ser investigada ´e: se ψ

∈ dom H

e ψ(t) = U(t, 0)ψ

´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger, como se comportam em t os valores

(t)

= ψ(t), H

ψ(t)

(t)

= ψ(t), H(t)ψ(t),

mais precisamente, E

(t) e E

(t) s ˜ao fun¸c˜oes limitadas de t? E se n˜ao forem

limitadas como comportam-se quando t → ∞? O fato do valor esperado da energia

(t) ser uma fun¸c˜ao n˜ao-limitada de t corresponde a uma absor¸c˜ao ilimitada de

energia pelo sistema n˜ao-perturbado sob a perturba¸c˜ao V (t).

Motivado nesses modelos cuja Hamiltoniana pode ser posta da forma H(t) =

+ V (t) ´e sugerido analisar o comportamento de uma “energia abstrata”ou “ob-

serv´avel”que representaremos por um op erador auto-adjunto, positivo, n˜ao-limitado

e com espectro discreto A : dom A ⊂ H → H, Aϕ

= λ

, 0 ≤ λ

< λ

n+1

. Por

simplicidade evitaremos algumas quest˜oes de dom´ınio assumindo que se ψ ∈ dom A,

ent˜ao U(t, 0)ψ ∈ dom A ∀ t ≥ 0, logo E

(t)

= U (t, 0)ψ, AU(t, 0)ψ ´e ﬁnito

para qualquer t ≥ 0 ﬁxado. Assim, no decorrer deste trabalho diremos que o sis-

tema ´e A-dinamicamente est´avel quando E

(t) for uma fun¸c˜ao limitada de t, e A-

dinamicamente inst´avel caso contr´ario. Em geral usaremos apenas dinamicamente

est´avel/inst´avel. E quando o espectro do operador quase-energia K for pontual puro,

diremos que o sistema ´e espectralmente est´avel, sendo espectralmente inst´avel caso

contr´ario.

Se a Hamiltoniana H(t) ´e peri´odica no tempo com per´ıodo T , ou seja, H(t+

T ) = H(t) para todo t ∈ IR, ent˜ao os propagadores tˆem as seguintes propriedades

U(t + T, s + T ) = U(t, s) ∀ t, s ∈ IR

U(t + nT, s) = U (t, s)[U(s + T, s)]

∀ t, s ∈ IR, ∀ n ∈ ZZ.

Assim ´e suﬁciente conhecer U(t, s) por um per´ıodo t ∈ [s, s+T ], para qualquer s. Em

particular U

(s)

= U(s + T, s) ´e chamado de operador de Floquet em s ou operador

de monodromia. Sabe-se que U

) e U

) para quaisquer s

, s

∈ IR ﬁxados s˜ao

unitariamente equivalentes e portanto geralmente trabalha-se com o operador de

Floquet U

= U

(0) = U(T, 0). Outra propriedade interessante dos propagadores

no caso peri´odico ´e que eles podem ser escritos da seguinte forma

U(t, 0) = P (t)e

−iGt

em que G ´e um operador auto-adjunto e P (t) s˜ao operadores unit´arios fortemente

cont´ınuos, T peri´odicos e satisfazem P (0) = P(nT ) = Id ∀ n ∈ ZZ.

E conhecido que e

−iT K

´e unitariamente equivalente `a Id ⊗ U(T, 0) (Teo-

rema 1.6). Assim, muitas vezes ´e equivalente estudar as propriedades espectrais de

K ou U

, e escolhe-se o mais apropriado em cada caso para decidir sobre a estabili-

dade ou instabilidade espectral. Para Hamiltonianas diferenci´aveis, as propriedades

espectrais s˜ao geralmente obtidas atrav´es do estudo do operador quase-energia K.

No caso em que a Hamiltoniana ´e singular, entre outros, quando ela corresponde

a um sistema kicked, freq¨uentemente trabalha-se diretamente com o operador de

Floquet, por ter-se uma express˜ao expl´ıcita. Em ambas as situa¸c˜oes, estamos tipi-

camente confrontados com o problema em que um operador pontual puro, algumas

vezes com espectro denso num intervalo, ´e perturbado ou pela adi¸c˜ao de um opera-

dor auto-adjunto no primeiro caso, ou por uma perturba¸c˜ao unit´aria multiplicativa

no segundo caso. Veja entre outros ([4], [26], [25], [31], [22], [33], [48], [38],[14])

para o caso diferenci´avel e ([13], [20], [7], [8], [9]) para o caso kicked. No caso di-

ferenci´avel, quando um operador auto-adjunto com espectro pontual puro denso ´e

perturbado pela adi¸c˜ao de um operador auto-adjunto, geralmente ´e empregado um

m´etodo, conhecido c omo m´etodo KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser), para encontrar

condi¸c˜oes em que K tem espectro pontual puro. Tal m´etodo consiste em aplicar a

K = K

+ V , K

o operador com espectro pontual puro e denso e V a perturba¸c˜ao,

uma seq¨uˆencia inﬁnita de transforma¸c˜oes unit´arias de forma que no s-´esimo passo

+ V  K

+ G

+ V

com V

= O(V 

s−1

r−σ

)

isto ´e, K

+V ´e unitariamente equivalente a uma parte diagonal K

, na base de

autovetores de K

, mais uma parte n˜ao-diagonal V

que ´e exponencialmente pequena

na vari´avel s desde que V 

seja suﬁcientemente pequena.

Ainda no caso peri´odico, quanto `a estabilidade ou instabilidade dinˆamica

basta c onsiderar o comportamento para t = mT , m ∈ ZZ, ou seja, precisamos estudar

o comportamento em m da seguinte grandeza

U(mT, 0)ψ, AU (mT, 0)ψ = U

ψ, AU

ψ

para ψ ∈ dom A, A uma energia abstrata como acima.

E uma conseq¨uˆencia do

Teorema RAGE (Ruelle-Amrein-Georgescu-Enss) (veja Teorema 2.3) que estabili-

dade dinˆamica para algum A implica estabilidade espectral, pois no Cap´ıtulo 2

´e mostrado (o resultado conhecido) que se o espectro do operador de Floquet ´e

cont´ınuo ent˜ao o valor esperado da energia cresce no tempo para qualquer estado

inicial. J´a a implica¸c˜ao oposta n˜ao ´e verdadeira como mostra o exemplo, no caso

autˆomomo, em [19] e nosso exemplo descrito no Cap´ıtulo 4, no caso n˜ao-autˆonomo.

Em [19] ´e mostrado que o operador auto-adjunto H

θ,α,λ

: l

(ZZ

) → l

(ZZ

), sendo

= {n ∈ ZZ : n ≥ 0} e {e

}

∞

n=0

a base canˆonica de l

(ZZ

), dado por

θ,α,λ

u)(n) = u(n + 1) + u(n − 1) + V

θ,α,λ

(n)u(n) (1)

com uma condi¸c˜ao de fronteira de Dirichlet em n = −1, e em que V

θ,α,λ

(n) ´e um

potencial real em ZZ

dado por

θ,α,λ

(n) = 3 cos(παn + θ) + λδ

(2)

satisfaz:

(a) Para cada α irracional tem-se que para q.t.p. θ ∈ [0, 2π) e λ ∈ IR,

θ,α,λ

tem um conjunto completo de autofun¸c˜oes normalizadas e cada autofun¸c˜ao

decai exponencialmente;

(b) Pode-se construir um α irracional de modo que para todo θ ∈ [0, 2π) e

λ ∈ [0, 1]

lim sup

t→∞

e

−itH

θ,α,λ

, X

−itH

θ,α,λ



F (t)

= ∞

em que F (t) =

ln t

e X

: l

(ZZ

) → l

(ZZ

) ´e o momento de ordem 2 dado por



n∈ZZ

e

, ·e

Neste caso estamos considerando H(t) = H

θ,α,λ

∀ t, assim U(t, 0) = e

−itH

θ,α,λ

Logo para um α irracional adequadamente constru´ıdo, q.t.p. θ ∈ [0, 2π) e q.t.p. λ ∈

[0, 1] tem-se um sistema que ´e espectralmente est´avel mas que n˜ao ´e dinamicamente

est´avel.

A estabilidade dinˆamica de um sistema dependente do tempo foi estudada

por exemplo nas referˆencias [28], [11], [21], [49], [41], [18], [3], [1], [23], [30], [46],

[29] e [2]. Em [1] ´e provado que a aplicabilidade do m´etodo KAM fornece um

limite uniforme no crescimento da energia para Hamiltonianas como em [26], mais

precisamente

Teorema 0.1 Sejam g, T =

2π

> 0, V : IR → B(H) uma fun¸c˜ao C

∞

de per´ıodo

T , em que B(H) denota o conjunto dos operadores limitados em H. Considere



com

n+1

−E

≥ cte > 0 para algum α > 0. Ent˜ao vale para o

propagador U(t, 0) de H(t) = H

+ gV (t), ψ ∈ Q(H

) (= dom´ınio de forma de H

|U(t, 0)ψ, H

U(t, 0)ψ| ≤ cte

|U(t, 0)ψ, H(t)U(t, 0)ψ| ≤ cte

desde que g seja suﬁcientemente pequeno e ω ∈ Ω

∞

⊂ [ω

−

, ω

] ⊂ (0, ∞), o conjunto

constru´ıdo pelo m´etodo KAM com medida de Lebesgue |[ω

−

, ω

] \ Ω

∞

| = O(

√

g).

A mesma t´ecnica se aplica para Hamiltonianas como em [25]. Veja [27].

Para Hamiltonianas da forma H(t) = H

+ V (t) com V (t) limitado e di-

ferenci´avel (n˜ao-nece ssariame nte peri´odico) e H

operador auto-adjunto positivo

com σ(H

) =



∞

j=1

(n˜ao necessariamente discreto), denote ∆

= dist(σ

j+1

, σ

) e

= sup

λ,µ∈σ

|λ − µ|, limites superiores do tipo

U(t, 0)ψ, H(t)U (t, 0)ψ ≤ cte t

1+α

nα

foram obtidos em [49] se ψ ∈ Q(H

) = dom H

≤ ∆

≤ Cj

c, α > 0, C < ∞,

≤ dj

e V ∈ C

uniformemente em IR, com n ≥ [

1+α

2α

] + 1 e n < ∞, isto ´e,

max

l=1,...,n

sup

t∈IR

(

)

V (t) < ∞, e [·] denota a parte inteira do n´umero real. A

demonstra¸c˜ao ´e baseada em t´ecnicas adiab´aticas n˜ao permitidas para dependˆencias

temporais n˜ao-diferenci´aveis e portanto n˜ao se aplica a sistemas kicked.

Em [41] s˜ao obtidas estimativas superiores complementares `aquela de Nen-

ciu [49] descrita acima para H(t) = H

+ V (t), pois n˜ao se imp˜oem condi¸c˜oes de

diferenciabilidade `a perturba¸c˜ao V e n˜ao se restringem os tamanhos dos gaps no

espectro de H

, contudo pede-se que V seja “pequena”. Mais precisamente, sob as

hip´oteses

H1- σ(H

) =



∞

j=1

, com σ

⊂ [λ

, Λ

], Λ

< λ

j+1

, lim

j→∞

= ∞ e

sup

< ∞. Denote por P

o projetor espectral associado a σ

relativo `a H

H2- A aplica¸c˜ao t → V (t) ´e fortemente C

e existem 0 ≤ a(t) < ∞, ∀ t,

0 ≤ b < 1 de forma que para ξ ∈ dom H

V (t)ξ ≤ bH

ξ + a(t)ξ

e sejam

(t) =

∞



j=1

V (t)P

e V

(t) = V (t) − V

(t).

H3- Vale uma das alternativas:

(i) Existe q ≥

com t →



P

(t) ∈ L

loc

(IR).

(ii) Existe q ≥

com t →



P

(t)

∈ L

loc

(IR).

Tem-se que, deﬁnindo para T ∈ B(H) e p ≥ 1

T 

p,H



∞



j=1

P

T 



se H1, H2 e H3(i) valem e ξ ∈ dom H

ent˜ao

U(t, 0)ξ, H

U(t, 0)ξ ≤ cte





V

(s)

1,H



e se H1, H2 e H3(ii) valem e ξ ∈ dom H

ent˜ao

U(t, 0)ξ, H

U(t, 0)ξ ≤ cte





V

(s)

2,H



Como prosseguimento desse trabalho de Joye tem-se [3] no qual um resul-

tado similar ´e demonstrado.

Os trabalhos [49], [41] e [3] citados acima n˜ao fornecem estimativas in-

feriores. Poderemos talvez esperar obter estimativas inferiores no c aso peri´odico,

com H(t) = H

+ V (t) e H

com esp ec tro discreto H

= λ

, j = 1, 2, . . .,

0 < λ

< λ

< . . . e λ

→ ∞, da teoria abstrata iniciada em [30] e melhorada em

([12], [46], [29], [2]). Escrevendo



iλ

para a decomposi¸c˜ao espectral de U

, o resultado principal em [30] aﬁrma o se guinte:

Se a medida espectral dξ, E

ξ ≡ dµ

(x) satisfaz ∀ x ∈ S

, µ

(x −, x + ) ≤ cte 

para 0 <  suﬁcientemente pequeno ent˜ao

M

ξ,q

(T ) ≥ cte λ

α−

∀  > 0 (3)

em que M

ξ,q

(T ) ´e a m´edia de Ces`aro

M

ξ,q

(T ) =



m=0

U

ξ, H

ξ.

No caso λ

= j teremos

M

ξ,q

(T ) ≥ cte T

(α−)q

(4)

Em [46] ´e mostrado que (3) e (4) valem com  = 0 se µ

´e α−cont´ınua, isto

´e, µ

(E) = 0 para qualquer boreliano E com

(E)

= lim

δ↓0

inf

δ−cobe rturas de E



= 0

em que uma fam´ılia {I

}

∞

j=1

de intervalos abertos em IR ´e uma δ−cobertura de

E ⊂ IR se E ⊂



e |I

| < δ ∀ j. Sabe-se que para cada E existe um ´unico α(E),

chamado dimens˜ao de Hausdorﬀ de E e denotado α(E) = dim

(E), de forma que

(E) =











∞ se α < α(E)

0 se α > α(E)

Finalmente em [2] mostra-se que dado  > 0, existe uma constante C() de

modo que

M

ξ,q

(T ) ≥ C()λ

(dim

−)

em que 0 ≤ dim

≤ 1 denota a dimens˜ao de Hausdorﬀ de µ

, deﬁnida por

dim

= µ

− supess

x∈S

−

(x)

sendo

−

(x)

= lim inf

↓0

ln µ

(x − , x + )

ln 

O problema com tais limites inferiores ´e que a informa¸c˜ao na medida espectral

´e dif´ıcil de checar; n˜ao conhecemos nenhum modelo com dependˆencia temporal

peri´odica em que isso tenha sido feito, a n˜ao ser numericamente ou para os casos

triviais em que dim

= 0 ou dim

= 1.

Este trabalho ´e organizado da seguinte maneira:

No Cap´ıtulo 1 revisaremos alguns resultados preliminares sobre a existˆencia

da dinˆamica, o formalismo de Howland para Hamiltonianas dependentes do tempo

e a vers˜ao proposta por Jauslin-Lebowitz, em particular o caso quaseperi´odico (um

n´umero ﬁnito de freq¨uˆencias) para o qual existe uma generaliza¸c˜ao natural do ope-

rador de Floquet cujo espectro tamb´em est´a em correspondˆencia com o espectro do

operador quase-energia.

No Cap´ıtulo 2 trataremos de resultados topol´ogicos na dinˆamica das ´orbitas

ξ(t) = U (t, 0)ξ, faremos uma coletˆanea de resultados obtidos neste sentido em [28],

[21], [23] e [42] e daremos alguns resultados novos complementares, em particular,

mostraremos que no caso peri´odico uma ´orbita ´e peneperi´odica se, e somente se, for

precompacta, e daremos um e xemplo, no caso quasiperi´odico, de ´orbita precompacta

que n˜ao ´e peneperi´odica (“almos t periodic”em inglˆes). Tamb´em no Cap´ıtulo 2,

Se¸c˜ao 2.4, apresentamos resultados que garantem estabilidade dinˆamica no caso de

estabilidade espectral.

No Cap´ıtulo 3 trabalharemos com Hamiltonianas da forma H(t) = H

V (t), peri´odicas no tempo e com H

auto-adjunto, positivo, n˜ao-limitado e com

espectro discreto. Introduziremos uma f´ormula (Teorema 3.1) para a m´edia temporal

a la Laplace de U

ξ, H

ξ no tempo T , em termos dos autovalores de H

e da

fun¸c˜ao de Green associada a U

no circunferˆencia de raio e

1/T

, de modo que obtemos

resultados em estabilidade atrav´es do comportamento de tais fun¸c˜oes de Green. O

restante do cap´ıtulo ´e dedicado a aplica¸c˜oes de tal resultado.

No Cap´ıtulo 4 daremos o primeiro exemplo de um operador de Floquet

que tem espectro pontual puro mas o valor esperado da energia n˜ao ´e limitado

(Teorema 4.2). Consideramos uma escolha particular na fam´ılia de operadores de

Floquet estudados em [10]; tais operadores descrevem a dinˆamica quˆantica de certos

modelos f´ısicos interessantes (veja [5, 10]), e apresentam uma estrutura pentadia-

gonal com respeito a uma base ortogonal {ϕ

} de l

(IN) ou l

(ZZ). A constru¸c˜ao do

nosso operador de Floquet ´e uma fus˜ao dos operadores estudados em [10], agora sob

adequadas perturba¸c˜oes de posto um, e os argumentos apresentados em [19] para

o modelo (1)-(2). Para valores adequados dos parˆametros conseguimos as s eguintes

propriedades:

1. Os operadores unit´arios resultantes U

(β, θ)

(depois de uma perturba¸c˜ao de

posto um; veja Eq. (4.7)) ainda pertence a fam´ılia de operadores de Floquet

considerada em [10].

2. U

(β, θ)

tem espectro pontual puro com autofun¸c˜oes decaindo exponencial-

mente.

3. A evolu¸c˜ao temporal pelo operador de Floquet U

(β, θ)

na condi¸c˜ao inicial

apresenta instabilidade dinˆamica.

(β, θ)

´e obtido com o uma perturba¸c˜ao de p osto um da classe de ope ra-

dores peneperi´odicos estudados na Se¸c˜ao 7 de [10]. Para conseguir espectro pontual

puro, utilizamos um argumento de [32] usado para demonstrar localiza¸c˜ao para ope-

radores unit´arios aleat´orios, tal argumento combina a teoria de perturba¸c˜oes de

posto um e positividade dos expoentes de Lyapunov com autofun¸c˜oes generaliza-

das polinomialmente limitadas. Para demonstrar instabilidade dinˆamica, embora

adaptamos id´eias de [19], destacamos que alguns resultados (Lema 4.6, Lema 4.7)

necessitam de uma demonstra¸c˜ao n˜ao-trivial e completamente diferente.

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Neste cap´ıtulo apresentaremos alguns resultados sobre a existˆencia da dinˆamica, a

formula¸c˜ao proposta por Howland-Yajima para estudar Hamiltonianas dependentes

do tempo e tamb´em a formula¸c˜ao proposta por Jauslin-Lebowitz.

1.1 Existˆencia da Dinˆamica

Come¸caremos com a deﬁni¸c˜ao de propagador unit´ario.

Deﬁni¸c˜ao 1.1 (a) Um propagador fortemente cont´ınuo sobre o espa¸co de Hilbert

H ´e uma fam´ılia de operadores U(t, s), (t, s) ∈ IR

, satisfazendo

(i) U (t, s) : H → H s˜ao invert´ıveis para cada t, s;

(ii) U (t, t) = Id ∀ t ∈ IR;

(iii) U (t, r)U (r, s) = U(t, s) ∀ t, r, s;

(iv) Para cada ξ ∈ H a aplica¸c˜ao IR

 t, s → U (t, s)ξ ´e cont´ınua.

(b) Uma tal fam´ılia ´e um propagador unit´ario se al´em de (a) satisfaz U(t, s) ´e

unit´ario para todo t, s.

Note que de (iii) s egue que U (t, s)

−1

= U(s, t). Tamb´em U(t, s) = U(t, 0)U(0, s) =

U(t, 0)U(s, 0)

−1

O seguinte resultado (Teorema X.70 em [50]) cont´em condi¸c˜oes suﬁcientes

convenientes na Hamiltoniana H(t) para a existˆencia dos propagadores unit´arios

U(t, s).

Teorema 1.1 Considere a aplica¸c˜ao H(t) que a cada t ∈ IR associa um operador

auto-adjunto H(t)de modo que

(a) O dom´ınio D de H(t), denso em H, ´e independente de t.

(b) A fun¸c˜ao

t, s → (t − s)

−1

[(i + H(t))(i + H(s))

−1

− I

]

estende-se a uma fun¸c˜ao fortemente cont´ınua em IR

Ent˜ao existe um ´unico propagador unit´ario U(t, s) de forma que U(t, s)D ⊂ D e

U(t, s)ψ = H(t)U(t, s)ψ

para toda ψ ∈ D.

O te orema acima se aplica quando H(t) = H para todo t e neste caso

tem-se que U(t, s) = e

−i(t−s)H

Observa¸c˜oes. 1. Se para cada s existe uma ´unica solu¸c˜ao U(t, s) de











U(t, s) = −iH(t)U(t, s)

U(s, s) = Id

(1.1)

ent˜ao para cada r tem-se U(t, r)U(r, s) = U (t, s). De fato, se

V (t)

= U(t, r)U (r, s) − U (t, s)

ent˜ao para ξ ∈ dom H(s)

V (t)ξ

= −iH(t)U (t, r)U (r, s)ξ + iH(t)U(t, s)ξ, V (t)ξ+

V (t)ξ, −iH(t)U(t, r)U (r, s)ξ + iH(t)U(t, s)ξ

= −iH(t)V (t)ξ, V (t)ξ+ V (t)ξ, −iH(t)V (t)ξ = 0

e como V (r) = U(r, r)U(r, s) − U (r, s) = 0 tem-se que V (t) = 0 ∀ t e o resultado

segue.

2. Se para cada s existe uma ´unica solu¸c˜ao de (1.1) e H(t) ´e auto-adjunto para cada

t ent˜ao U(t, s) s˜ao unit´arios. De fato, para ξ ∈ dom H(s)

U(t, s)ξ

= i

U(t, s)ξ, U (t, s)ξ

= −H(t)U (t, s)ξ, U (t, s)ξ+ U (t, s)ξ, H(t)U(t, s)ξ = 0

como U (s, s)ξ = ξ segue que U (t, s)ξ = ξ ∀ t. Assim para cada ξ ∈

dom H(s) denso em H tem-se que U(t, s)ξ = ξ e c omo os U(t, s) s˜ao invert´ıveis

o resultado segue.

3. Se para cada s existe uma ´unica solu¸c˜ao de (1.1) e H(t + T ) = H(t) ent˜ao

U(t + T, s + T ) = U(t, s) ∀ t, s. De fato, se V (t)

= U(t + T, s + T ) − U(t, s) ent˜ao

para ξ ∈ dom H(s)

V (t)ξ

= 0

e como V (s) = U(s + T, s + T ) − U(s, s) = 0 tem-se que V (t) = 0 ∀ t e o resultado

segue.

Resultados mais gerais de existˆencia e unicidade de propagadores unit´arios

para a equa¸c˜ao de Schr¨odinger correspondendo a uma Hamiltoniana H(t) podem

ser encontrados, entre outros, em [43], [44], [36], [37], [24] e [51]. Uma das condi¸c˜oes

que ´e enfraquecida ´e que o dom´ınio de H(t) n˜ao precisa ser constante. O seguinte

exemplo mostra que a solu¸c˜ao pode existir mesmo que domH(t) ∩ domH(s) = {0}

para t = s.

Exemplo 1.1 Sejam D = −i

em L

(IR), com dom D = {ψ ∈ L

(IR) : ∃ g ∈

(IR) tal que



dϕ

dx = −



gϕdx ∀ ϕ ∈ C

∞

(IR)}

= H

(IR) denso em L

(IR),

q ∈ L

∞

(IR) com q(x) real e sem derivada em qualquer ponto. Considere

H(t) = e

iq(x)t

−iq(x)t

com dom H(t) = {e

iq(x)t

ψ(x) : ψ ∈ dom D} denso em L

(IR), ent˜ao H(t) ´e auto-

adjunto para qualquer t.

Agora se t = s ent˜ao dom H(t) ∩ dom H(s) = {0}. De fato, se φ ∈

dom H(t) ∩ dom H(s) ent˜ao φ(x) = e

iq(x)t

ψ(x) = e

iq(x)s

ϕ(x) para ψ, ϕ ∈ dom D,

logo ψ(x) = e

−iq(x)t

iq(x)s

ϕ(x) ∈ dom D e portanto ϕ s´o pode ser nula pois q n˜ao

tem derivada em qualquer ponto e o resultado segue.

Contudo para ψ ∈ dom H(s), s ﬁxado, a equa¸c˜ao de Schr¨odinger











dψ

(t) = H(t)ψ(t)

ψ(s) = ψ

possui uma solu¸c˜ao

ψ(t) = e

iq(x)t

−i(D+q(x))(t−s)

−iq(x)s

  

U(t,s)

pois para ψ ∈ dom H(s) tem-se

U(t, s)ψ = iq(x)e

iq(x)t

−i(D+q(x))(t−s)

−iq(x)s

iq(x)t

(−i)(D + q(x))e

−i(D+q(x))(t−s)

−iq(x)s

= −ie

iq(x)t

−i(D+q(x))(t−s)

−iq(x)s

= −ie

iq(x)t

−iq(x)t

iq(x)t

−i(D+q(x))(t−s)

−iq(x)s

= −iH(t)U (t, s)ψ

e U (t, s) ´e propagador unit´ario.

1.2 Integral Dir eta e Aplica¸c˜oes Pene peri´odicas

As demonstra¸c˜oes dos resultados enunciados nessa se¸c˜ao podem ser encontradas em

[47] e [50], no caso de integral direta, e em [15] para aplica¸c˜oes peneperi´odicas.

Sejam (Ω, A, µ) um espa¸co de medida e H um espa¸co de Hilbert separ´avel.

Seja a aplica¸c˜ao

Ω  ω → ξ

∈ H

denotaremos ξ

= {ξ

}

ω∈Ω

= {ξ(ω)}

ω∈Ω

. Dizemos que ξ ´e mensur´avel se para todo

η ∈ H a fun¸c˜ao

Ω  ω → η, ξ



´e mensur´avel.

Disto segue que para ξ = {ξ

} e η = {η

} mensur´aveis o produto interno

Ω  ω → ξ

, η

 =



ξ

, e

e

, η



em que {e

} ´e uma base ortonormal de H, ´e mensur´avel. Deﬁna ξ+η = {ξ

+η

}

ω∈Ω

e para α ∈ C, αξ = {αξ

}

Deﬁni¸c˜ao 1.2 O espa¸co vetorial dos ξ = {ξ

}

ω∈Ω

acima em que



Ω

ξ



dµ(ω) < ∞,

com produto interno ξ, η



Ω

ξ

, η

dµ(ω) ´e um espa¸co de Hilbert chamado de

integral direta ou soma direta cont´ınua de H relativamente a (Ω, A, µ), e denotado

por



⊕

Ω

Hdµ(ω).

Um exemplo simples ´e L

(IR) =



⊕

C dt.

Se {e

} ´e base ortonormal de H, ent˜ao cada vetor ξ = {ξ

}

ω∈Ω

corresponde

exatamente ao conjunto das seq¨uˆencias num´ericas

(ω) = e

, ξ



e ξ





Ω

(ω)|

dµ(ω) < ∞.

Denotaremos I



⊕

Ω

Hdµ(ω). Se φ : Ω → C

∈ L

∞

(Ω), deﬁne-se o operador

de multiplica¸c˜ao M

: I → I por

ξ)

= φ(ω)ξ

ω ∈ Ω

e veriﬁca-se que

M

 = supess |φ(ω)| = φ

∞

e C denotar´a o conjunto desses operadores de multiplica¸c˜ao.

Deﬁni¸c˜ao 1.3 Um operador limitado T em I =



⊕

Ω

Hdµ(ω) ´e dito ser ﬁbrado se

existe uma fun¸c˜ao T (·) de Ω em B(H ) de forma que para todo ξ ∈ I

(T ξ)

= T(ω)ξ

Escreveremos T =



⊕

Ω

T (ω)dµ(ω) = {T (ω)}

ω∈Ω

. Diremos que T (·) ´e mensur´avel

se para todas ϕ, ψ ∈ H a aplica¸c˜ao ω → ϕ, T (ω)ψ ´e mensur´arel. Tem-se que

T  = supess T (ω).

Valem os seguintes resultados

Teorema 1.2 Um operador limitado T : I → I ´e ﬁbrado se, e somente se, T

comuta com todo operador em C.

Proposi¸c˜ao 1.1 Seja T ﬁbrado. Ent˜ao:

(a) T ´e invert´ıvel se, e somente se, T (ω) ´e invert´ıvel para ω µ−q.t.p. e

supess T (ω)

−1

 < ∞.

(b) T ´e unit´ario se, e somente se, T (ω) ´e unit´ario µ−q.t.p.

operador em



⊕

Hdt dado por

ξ)

= ξ

t−σ

Ent˜ao T ´e constante se, e somente se, T comuta com T

∀ σ ∈ IR.

Deﬁni¸c˜ao 1.4 Uma fun¸c˜ao T (·) de um espa¸co de medida (Ω, A, µ) no espa¸co dos

operadores auto-adjuntos em um espa¸co de H ilbert H (n˜ao necessariamente limita-

dos) ´e dita mensur´avel se a fun¸c˜ao (T(·) +i)

−1

´e mensur´avel. Dada uma tal fun¸c˜ao,

deﬁnimos um operador T em I =



⊕

Ω

Hdµ com

dom T =



ξ ∈ I : ξ

∈ dom T (ω) µ − q.t.p. e



Ω

T (ω)ξ



dµ(ω) < ∞



por

(T ξ)

= T(ω)ξ

Escreve-se T =



⊕

Ω

T (ω)dµ(ω) = {T(ω)}

ω∈Ω

As propriedades de tais operadores s˜ao resumidas por:

Teorema 1.3 Seja T =



⊕

Ω

T (ω)dµ(ω) em que T (·) ´e mensur´avel e T (ω) ´e auto-

adjunto para cada ω. Ent˜ao:

(a) O operador T ´e auto-adjunto.

(b) Um operador auto-adjunto T em I tem a forma



⊕

Ω

T (ω)dµ(ω) se, e somente se,

(T + i)

−1

´e um operador ﬁbrado.

F (T ) =



⊕

Ω

F (T (ω))dµ(ω).

(d) λ ∈ σ(T ) se, e somente se, ∀  > 0

µ({ω : σ(T (ω)) ∩ (λ − , λ + ) = ∅}) > 0.

(e) λ ´e um autovalor de T se, e somente se,

µ({ω : λ ´e um autovalor de T(ω)}) > 0.

(f) Se cada T (ω) tem espectro absolutamente cont´ınuo puro ent˜ao T tamb´em tem

espectro absolutamente cont´ınuo puro.

A parte (f) do teorema acima diz que uma condi¸c˜ao suﬁciente para T =



⊕

Ω

T (ω)dµ(ω) ter espectro absolutamente cont´ınuo puro ´e que cada T (ω) tenha

espectro absolutamente cont´ınuo puro. Mas essa condi¸c˜ao n˜ao ´e necess´aria. Na

verdade, T pode ter espectro absolutamente cont´ınuo puro e cada T (ω) ter espectro

discreto. O seguinte exemplo ilustra este fenˆomeno.

Exemplo 1.2 Sejam Ω = [0, 1] com medida de Lebesgue, H um espa¸co de Hilbert

separ´avel de dimens˜ao inﬁnita e T =



⊕

[0,1]

T (t)dt com cada T (t) auto-adjunto. Su-

ponha que {ψ

(.)}

∞

n=1

s˜ao fun¸c˜oes de [0, 1] em H de classe C

, e {λ

(.)}

∞

n=1

s˜ao

fun¸c˜oes de [0, 1] em C de classe C

tais que:

(i)

dλ

(t) > 0 ∀ n, t.

(ii) T (t)ψ

(t) = λ

(t)ψ

(t) para todo t ∈ [0, 1]; n = 1, 2, . . ..

(iii) Para cada t, o conjunto {ψ

(t)}

∞

n=1

´e uma base ortonormal para H.

Ent˜ao T tem espectro absolutamente cont´ınuo puro.

Demonstra¸c˜ao: Para cada n deﬁna

= {ξ ∈ I : ξ = fψ

; f ∈ L

([0, 1])}.

Ent˜ao os I

s˜ao subspa¸cos fechados que s˜ao mutuamente ortogonais e I =



pois cada ξ ∈ I tem uma expans˜ao

∞



n=1

ψ

(t), ξ

ψ

(t).

Al´em disso, I

⊂ dom T com T (I

) ⊂ I

. Considere a aplica¸c˜ao unit´aria U

: I

→

([0, 1]), dada por U

(fψ

) = f. Ent˜ao T

≡ U



−1

´e dado por

= λ

(t)f(t).

Basta mostrar que cada T

tem espectro absolutamente cont´ınuo puro. Deﬁna W :

([0, 1]) → L

([λ

(0), λ

(1)]) por

(W f)(t) =



−1

(t)



f(λ

−1

(t))

ent˜ao

(W T

−1

g)(t) = tg(t).

Assim T

´e unitariamente equivalente `a M

e o resultado segue.

Deﬁni¸c˜ao 1.5 Seja B um espa¸co de Banach. Uma fun¸c˜ao cont´ınua f : IR → B

´e peneperi´odica se, para cada  > 0 existe um n´umero l() > 0 de forma que cada

intervalo na reta real de comprimento l() cont´em um n´umero τ com a propriedade

que

f(t + τ) − f(t) < , t ∈ IR.

S˜ao v´alidas, entre outras, as seguintes propriedades:

Teorema 1.4 (a) Toda fun¸c˜ao peneperi´odica ´e limitada.

(b) Toda fun¸c˜ao peneperi´odica ´e uniformemente cont´ınua.

a fun¸c˜ao transladada f

: IR → B dada por f

(t) = f(t + h) s˜ao peneperi´odicas. A

fun¸c˜ao t → f(t) tamb´em ´e peneperi´odica.

(d) Se f

´e uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes peneperi´odicas com valores em B, e se

lim

n→∞

(t) = f(t)

uniformemente em IR no sentido da convergˆencia na norma, ent˜ao f ´e peneperi´o-

dica.

(e) Se f : IR → B ´e peneperi´odica ent˜ao {f(t) : t ∈ IR} ´e precompacto em B.

(f) A soma de duas fun¸c˜oes peneperi´odicas ´e peneperi´odica.

(g) Uma fun¸c˜ao T : IR → B , cujos valores s˜ao dados por T (t) =



k=1

iλ

que λ

∈ IR e c

∈ B, ´e um polinˆomio trigonom´etrico (ou aplica¸c˜ao quaseperi´odica).

Uma fun¸c˜ao f : IR → B de modo que para todo  > 0 existe um polinˆomio trigo-

nom`etrico T



de forma que

f(t) − T



(t) < , t ∈ IR

´e peneperi´odica.

(h) Se f : IR → B ´e peneperi´odica e f



(a derivada de f) ´e uniformemente cont´ınua

ent˜ao f



´e peneperi´odica.

(i) Se f : IR → B ´e cont´ınua e para todo t satisfaz f(t + T ) = e

−iα

f(t) para algum

0 < T < ∞ e α ∈ IR ent˜ao f ´e peneperi´odica.

(j) f : IR → C

´e peneperi´odica se, e somente se, Re f(t) e Im f(t) s˜ao peneperi´odi-

cas.

(k) Se f, g : IR → C s˜ao peneperi´odicas ent˜ao f(x)g(x) ´e peneperi´odica. Al´em disso

se f : IR → C ´e peneperi´odica e a ´e um n´umero real ent˜ao f(ax) ´e peneperi´odica.

(l) Se f : IR → C

´e peneperi´odica, f(x) = (f

(x), . . . , f

(x)), ent˜ao f

(x) ´e pene-

peri´odica 1 ≤ j ≤ n.

Fun¸c˜oes f : IR → B que s˜ao peneperi´odicas mas que n˜ao s˜ao quaseperi´odicas

podem ser obtidas considerando aplica¸c˜oes da forma f(t) =



∞

k=1

iλ

, tomando

os coeﬁcientes c

de forma adequada para garantir convergˆencia uniforme em IR no

sentido da convergˆencia na norma de B, e os λ

’s racionalmente independentes.

1.3 Formalismo de Howland

Nesta se¸c˜ao descreveremos um m´etodo devido a Howland e Yajima ([35], [34], [55])

tornando problemas dep e ndentes do tempo em problemas independentes do tempo.

As equa¸c˜oes de Hamilton para um sistema com fun¸c˜ao Hamiltoniana

H(p

, . . . , p

, q

, . . . , q

, t) s˜ao

∂H

∂p

, −

∂H

∂q

, i = 1, . . . , n.

Se H depende em t, a energia n˜ao ´e conservada para um tal sistema, mas pode-se

montar um sistema correspondente que conserva e nergia introduzindo t como uma

coordenada e a energia E como seu momento conjugado. A nova Hamiltoniana ´e

K(p, q, t, E) = E + H(p; q; t)

portanto se denotarmos por σ o novo parˆametro “temporal”, as equa¸c˜oes de Hamil-

ton correspondentes s˜ao

dσ

∂H

∂p

, −

dσ

∂H

∂q

, i = 1, . . . , n

dσ

∂K

∂E

= 1, −

dσ

∂H

∂t

Note que t = σ + cte e, assim, essas duas formula¸c˜oes s˜ao equivalentes.

Pode-se reformular o problema em Mecˆanica Quˆantica s imilarmente. Seja

H(t) uma fam´ılia de operadores auto-adjuntos em um espa¸co de Hilbert H e seja

= L

(IR, H, dt) ≡



⊕

Hdt. Deﬁnindo K em K por

(Kf)(t) = −i

f(t) + H(t)f(t)

existiria (de acordo com a analogia cl´assica) uma correspondˆencia entre as solu¸c˜oes

dσ

ϕ(σ) = −iKϕ(σ)

em K e as solu¸c˜oes do problema dependente do tempo

(t) = −iH(t)ϕ

(t) ϕ

(s) = ψ

em H. Os detalhes t´ecnicos s˜ao:

Proposi¸c˜ao 1.2 Dado um propagador fortemente cont´ınuo e limitado U(t, s) sobre

H, tem-se que W

: K → K dado por,

= U(t, t − σ)f(t − σ)

´e um grupo fortemente cont´ınuo a um parˆametro σ. Se K ´e o operador auto-adjunto

gerador inﬁnitesimal de W

, ent˜ao escreve-se W

= e

−iKσ

Por exemplo, se U(t, s) = Id ∀ t, s ent˜ao (W

= Idf(t − σ) = (T

portanto e

−iKσ

= T

e ´e conhecido que K = −i

Deﬁni¸c˜ao 1.6 Um grupo limitado fortemente cont´ınuo e

−iσK

sobre K ´e um grupo

de evolu¸c˜ao limitado se, para cada σ, e

−iσK

∗

´e um operador ﬁbrado e limitado.

Note que pelo Teorema 1.2 esse operador ´e ﬁbrado se, e somente se,

−iσK

∗

= M

−iσK

∗

para toda φ ∈ L

∞

(IR). Isto ´e equivalente a

= T

∗

= e

−iσK

iσK

sendo φ

(t) = φ(t − σ).

Dado o propagador U(t, s) fortemente cont´ınuo nota-se pela Proposi¸c˜ao 1.2

que

−iKσ

= U(t, t − σ)f(t − σ)

o qual ´e um grupo de evolu¸c˜ao limitado, pois

−iKσ

∗

= {U(t, t − σ)}

Al´em disso

−iKσ

∗

)

= U(t, t − σ)f(t) = U(t, 0)U (0, t − σ)f (t)

= U(t, 0)T

U(0, t)f(t + σ) = U(t, 0)T

U(t, 0)

−1

∗

f(t)

e assim e

−iσK

= UT

−1

em que U ´e o operador ﬁbrado U = {U(t, 0)}

. Portanto

tal grupo de evolu¸c˜ao ´e similar a T

e o operador que faz a similaridade ´e ﬁbrado.

O pr´oximo teorema aﬁrma que isso permanece verdadeiro em geral.

Teorema 1.5 Um grupo limitado fortemente cont´ınuo e

−iσK

em K ´e um grupo de

evolu¸c˜ao limitado se, e somente se, existe um operador ﬁbrado U = {U(t)}

t∈IR

forma que

−iσK

= UT

−1

Al´em disso, se e

−iσK

´e unit´ario, ent˜ao U pode ser escolhido unit´ario.

Observa¸c˜ao. Se no Teorema 1.5 U e U

s˜ao tais que UT

−1

= e

−iσK

= U

−1

ent˜ao T

−1

= U

−1

logo pela Proposi¸c˜ao 1.1(c ) U

−1

´e um operador ﬁbrado

constante. Portanto, U(t) = U

(t)B em que B ´e invert´ıvel. Isso signiﬁca que o

propagador U(t, s) = U(t)U(s)

−1

´e unicamente determinado e portanto existe uma

correspondˆencia bijetiva entre propagadores e grupos de evolu¸c˜ao.

No caso H(t + τ ) = H(t) sabemos que os propagadores satisfazem U(t +

τ, s + τ) = U(t, s) para todo t, s ∈ IR e ent˜ao ∀ n ∈ ZZ

U(t + nτ, s) = U (t, s)[U (s + τ, s)]

e o operador U

(s)

= U(s + τ, s) ´e chamado de operador de Floquet em s ou opera-

dor de monodromia. Como U

(t) = U(t + τ, t) = U(t + τ, s + τ )U (s + τ, s)U(s, t) =

U(t, s)U

(s)U(t, s)

−1

segue que U

(t) e U

(s) s˜ao unitariamente equivale ntes e tra-

balhamos com o operador de Floquet como sendo U

= U

(0) = U(τ, 0).

Suponha que Kf = λf , como (e

−iKσ

g)(t) = U (t, t − σ)g(t − σ) ent˜ao

−iλσ

f(t) = U(t, t − σ)f(t − σ)

logo

f(t) = e

iλσ

U(t, t − σ)f(t − σ) ∀ σ ∈ IR

denotando t − σ = s

f(t) = e

iλ(t−s)

U(t, s)f(s)

e como U(·, ·) ´e fortemente cont´ınuo conclui-se

Lema 1.1 Se Kf = λf em K, ent˜ao a aplica¸c˜ao IR  t → f(t) ∈ H ´e cont´ınua.

Lema 1.2 No caso de sistemas com per´ıodo τ, valem:

(a) Se Kf = λf ent˜ao U

(s)f(s) = e

−iλτ

f(s), ∀ s ∈ IR.

(b) Se U

(s)ξ

= e

−iλτ

, ξ

∈ H ∀ s, ent˜ao a fun¸c˜ao f

(t)

= e

iλ(t−s)

U(t, s)ξ

∈

dom K e Kf

= λf

Denote por W



⊕

[0,τ]

U(t, 0)dt o operador unit´ario ﬁbrado em K =



⊕

[0,τ]

Hdt

e B



⊕

[0,τ]

dt = Id ⊗ U



⊕

[0,τ]

U(τ, 0)dt, tem-se que

Teorema 1.6 W (Id⊗U

∗

= e

−iKτ

, ou seja, Id⊗U

e e

−iKτ

s˜ao unitariamente

equivalentes.

Demonstra¸c˜ao: Seja {ξ

} base ortonormal de H e considere a base ortonormal

de K {u

n,j

} dada por (u

n,j

)(t) =

√

2πint

. Tem-se que

(W (Id ⊗ U

∗

n,j

)(t) = U(t, 0)((Id ⊗ U

∗

n,j

)(t)

= U(t, 0)U

∗

n,j

)(t)

= U(t, 0)U(τ, 0)U(t, 0)

−1

n,j

(t)

√

2πint

U(t + τ, τ)U(τ, 0)U(0, t)ξ

√

2πint

U(t + τ, t)ξ

√

2πint

U(t, t − τ)ξ

e por outro lado

−iKτ

n,j

)(t) = U(t, t − τ)u

n,j

(t − τ) =

√

2πint

U(t, t − τ)ξ

e assim

W (Id ⊗ U

∗

n,j

= e

−iKτ

n,j

∀ n, j

e portanto W(Id ⊗ U

∗

= e

−iKτ

1.4 Formula¸c˜ao de Jauslin-Lebowitz

Seja g

: Ω → Ω um sistema dinˆamico, em que Ω ´e m´etrico compacto, poss ui uma

medida erg´odica invariante µ e g

t+s

= g

◦ g

, g

−1

= g

−t

, ∀ t, s ∈ IR.

Considera-se para θ ∈ Ω a Hamiltoniana

(t) = H(g

(θ)) = H

+ V (g

(θ))

(θ)

(t) = H

(t + r).

Supondo a existˆencia do propagador U

(t, s) tem-se

(θ)

(t, s) = U

(t + r, s + r).

O pr´oximo passo ´e seguir as id´eias de Howland-Yajima e construir um

sistema autˆonomo. Contudo aqui toma-se como vari´aveis adicionais “θ” e o espa¸co

estendido ser´a



⊕

Ω

Hdµ(θ) = L

(Ω, H, dµ)

e o grupo a um parˆametro ser´a

(

W (t)f)

= U

−t

(θ)

(t, 0)f

−t

(θ)

agindo em

Ou de outra forma:

(

W (t)f)

= F

−t

(t, 0)f

= U

(0, −t)F

−t

sendo F

−t

= f

−t

(θ)

. O gerador inﬁnitesimal

K de

W (t) age como

(

Kf)

= i

−t

(θ)



t=0

+ H

em que H

= H

(0).

No caso de Hamiltonianas p e ri´odicas Ω = S

≡ [0, 2π) com a medida de

Lebesgue normalizada dµ =

dθ

2π

e g

(θ) = θ + ωt, θ ∈ S

, ω =

2π

, tem-se

(

W (t)f)

= U

(0, −t)f

−t

(θ)

= U

(0, −t)f

θ−ωt

(

Kf)

= −iω

∂

∂θ

+ H

agindo em L

, H,

dθ

2π

No caso de Hamiltonianas quaseperi´odicas com H dependendo quaseperio-

dicamente no tempo com duas frequˆecias incomensur´aveis ω

, ω

, Ω = S

× S

µ =

dθ

2π

dθ

2π

e g

(θ

, θ

) = (θ

+ ω

t, θ

+ ω

t) com ω

2π

e ω

2π

, tem-se

(

Kf)

,θ



− iω

∂

∂θ

− iω

∂

∂θ

+ H(θ

, θ

)



,θ

(1.2)

agindo em L

× S

, H, dµ). E isto pode ser generalizado para um n´umero ﬁnito

de frequˆencias.

Se f

´e um autovalor do operador quase-energia generalizado

K ent˜ao

(t, 0)f

(θ) = F

−i

(θ) = F

−iλt

(θ) = e

−iλt

(θ)) (1.3)

A partir de (1.3) temos a indica¸c˜ao para se deﬁnir o operador de Floquet generali-

zado no c aso em que Ω = S

× S

e g

(θ

, θ

) = (θ

+ ω

t, θ

+ ω

t). Deﬁna para

φ ∈ L

) ⊗ H ≡ L

, H)

φ)(θ

) = φ(θ

+ ω

Ent˜ao (1.3) torna-se

−iλt

(θ

+ ω

t, θ

+ ω

t) = U

(θ

,θ

)

(t, 0)f

(θ

, θ

)

e ﬁxando θ

= θ

, deﬁne-se h

(θ

) = f

(θ

, θ

), e para t = T

(θ

,θ

)

, 0)h

(θ

) = e

−iλT

(θ

+ ω

, θ

+ ω

)

= e

−iλT

(θ

+ ω

, θ

)

= e

−iλT

(θ

+ ω

) = e

−iλT

(θ

)

portanto

−iλT

(θ

) = T

−T

(θ

,θ

)

, 0)h

(θ

)

e o operador de Floquet generalizado associado a θ

´e o operador unit´ario

(θ

) = T

−T

(θ

,θ

)

, 0)

agindo e m K

= L

, H,

dθ

2π

). Quando nos referimos ao operador de Floquet ge-

neralizado estamos pensando em U

= U

(0) e suas propriedades espectrais s˜ao

equivalentes `aquelas do operador quase-energia ge neralizado. Algumas vezes, deno-

taremos

= T

−T

(1.4)

em que u

(θ

) = U

(θ

,0)

, 0). Para mais detalhes e resultados veja [42] e [6].

Para Hamiltonianas quaseperi´odicas com mais de duas frequˆencias, ou seja,

Ω = S

× S

× . . . S

  

n vezes

o operador de Floquet generalizado ser´a

= T

−T

(θ

,...,θ

n−1

,0)

, 0)

agindo em L

× S

× . . . S

, H,

dθ

2π

. . .

dθ

n−1

2π

) com, para φ ∈

× S

× . . . S

, H,

dθ

2π

. . .

dθ

n−1

2π

)

−T

φ)(θ

, . . . , θ

n−1

) = φ(θ

+ ω

, . . . , θ

n−1

+ ω

n−1

O resultado a seguir foi demonstrado em [42] para o caso quaseperi´odico,

mas a mesma demonstra¸c˜ao se adapta ao caso geral.

Teorema 1.7 Seja ϕ ∈ H de maneira que 1 ⊗ ϕ ∈ K

(

K), o subspa¸co espectral

pontual de

K. E nt˜ao a evolu¸c˜ao temporal IR  t → U

(t, 0)ϕ ´e peneperi´odica para

q.t.p. θ ∈ Ω.

Demonstra¸c˜ao: Como 1 ⊗ ϕ ∈ K

(

K) tem-se que

1 ⊗ ϕ =



em que ψ

s˜ao as autofunc˜oes de

K, a saber,

Kψ

= λ

(t, 0)ϕ = F

(

W (t)(1 ⊗ ϕ))

= F

−i

(1 ⊗ ϕ))

= F





−iλ







−iλ



Agora



−iλ

´e peneperi´odica pois ´e a soma de fun¸c˜oes peneperi´odicas

que convergem uniformemente, e como conseq¨uˆencia existem η

∈ IR e σ

∈

K de

forma que

0 = 



−iλ

−



−iη





Ω

U

(t, 0)ϕ −



(σ

)

−iη



dθ

o que implica que

(t, 0)ϕ =



(σ

)

−iη

para q.t.p. θ, ou seja, U

(t, 0)ϕ ´e peneperi´odica para q.t.p. θ.

Cap´ıtulo 2

Estabilidade Via Propriedades

Topol´ogicas de Subespa¸cos

Neste cap´ıtulo dado ξ em um espa¸co de Hilbert H estudaremos o comportamento

da ´orbita de ξ, ou seja, de ξ(t) = U(t, 0)ξ em que U(t, 0) ´e um propagador unit´ario

de um sistema quˆantico. De acordo com as propriedades de tais ´orbitas obteremos

resultados na estabilidade dinˆamica e espectral do sistema. Na Se¸c˜ao 2.1 isso ser´a

feito para Hamiltonianas gerais. Nas Se¸c˜oes 2.2 e 2.3 nos restringeremos a Hamilto-

nianas peri´odicas e quaseperi´odicas, respectivamente. Em particular, na Se¸c˜ao 2.3,

daremos um exemplo de ´orbita precompacta que n˜ao ´e peneperi´odica, o que n˜ao

ocorre no caso de Hamiltonianas p e ri´odicas e autˆonomas. Na Se¸c˜ao 2.4 trabalhamos

no sentido de encontrar condi¸c˜oes para obtermos limita¸c˜ao no valor esperado da

energia.

2.1 Hamiltonianas Gerais

Considere uma fam´ılia de operadores auto-adjuntos H(t) para t ∈ IR, agindo em

um espa¸co de Hilbert separ´avel H. Assumiremos que a equa¸c˜ao de Schr¨odinger

correspondente possua solu¸c˜ao com propagadores unit´arios U(t, s) que satisfazem

U(t, s)dom H(s) ⊂ dom H(t). Uma H(t) dessa forma s er´a chamada de Hamilto-

niana geral. Al´em disso, seja A : dom A ⊂ H → H um operador auto-adjunto,

positivo, n˜ao-limitado e com es pec tro discreto, Aϕ

= λ

, 0 ≤ λ

≤ λ

n+1

, com

dom A invariante sob a evolu¸c˜ao temporal. Tal A ser´a chamado de energia abstrata

ou observ´avel. F (A > E) denotar´a a proje¸c˜ao espectral no subspa¸co gerado pelos

autovetores de A correspondendo aos autovalores maiores do que E ∈ IR. Dado

ξ ∈ H considere a aplica¸c˜ao IR  t → ξ(t) = U(t, 0)ξ ∈ H, vamos introduzir os

seguintes subconjuntos de H.

Deﬁni¸c˜ao 2.1 (i) A ´orbita de ξ ∈ H ´e o conjunto O(ξ)

= {ξ(t) : t ∈ IR}.

(ii) H

= {ξ ∈ H : O(ξ) ´e precompacta em H}.

(iii) H



ξ ∈ H : lim

T →∞



CU(t, 0)ξdt = 0 para qualquer operador

compacto C



(iv) H

pene

= {ξ ∈ H : a aplica¸c˜ao IR  t → ξ(t) ´e peneperi´odica}.

(v) H

= {0 = ξ ∈ H : lim

E→∞

sup

t∈IR

F (A > E)U(t, 0)

ξ

 = 0} ∪ {0}.

(vi) H

= {0 = ξ ∈ H : lim

E→∞

sup

t∈IR

F (A > E)U(t, 0)

ξ

 = 1} ∪ {0}.

(vii) S

(A)

= {ξ ∈ dom A : a fun¸c˜ao t → E

(t) ´e limitada} em que E

(t)

U(t, 0)ξ, AU (t, 0)ξ.

(viii) S

(A)

= {ξ ∈ dom A : a fun¸c˜ao t → E

(t) n˜ao ´e limitada}.

Lema 2.1 (a) H

´e subspa¸co fechado de H.

(b) H

´e subspa¸co fechado de H.

pene

´e subspa¸co fechado de H e H

pene

⊂ H

Demonstra¸c˜ao: (a)

E f´acil ver que H

´e subspa¸co linear de H. Sejam ξ ∈ H

e C

um operador compacto. Dado  > 0, tome ψ ∈ H

de forma que ψ −ξ < . Assim



CU(t, 0)ξdt =



CU(t, 0)(ξ − ψ) + CU (t, 0)ψdt

≤



CU(t, 0)(ξ − ψ) + CU (t, 0)ψdt

≤



C(ξ − ψ) + CU (t, 0)ψdt

≤ C(ξ −ψ) +



CU(t, 0)ψdt

Se T ´e suﬁcientemente grande,



CU(t, 0)ψ

dt < 

e vˆe-se que ξ ∈ H

. Isso implica que H

´e fechado e (a) est´a provado.

(b) H

´e subspa¸co vetorial pois:

(i) ξ = 0 ∈ H

(ii) Se ξ, ψ ∈ H

ent˜ao dado  > 0 tem-se O(ψ) ⊂



j=1

B(ψ(t



) e O(ξ) ⊂



i=1

B(ξ(s



). Assim para t ∈ IR existem t

e s

tais que

ψ(t) − ψ(t

) <



e ξ(t) − ξ(s

) <



logo

(ψ + ξ)(t) − ψ(t

) − ξ(s

) ≤ ψ(t) − ψ(t

) + ξ(t) − ξ(s

) <



= ,

ou seja, O(ψ + ξ) ⊂



i,j

B(ψ(t

) + ξ(s

), ) e portanto ψ + ξ ∈ H

(iii) Similarmente, se λ ∈ C e ξ ∈ H

ent˜ao λξ ∈ H

Para ver que H

´e fechado seja {ψ

} ∈ H

com lim

j→∞

= ψ. Dado

 > 0 existe N ∈ IN de modo que ∀ j ≥ N tem-se

ψ − ψ

 <



como ψ

∈ H

tem-se O(ψ

) ⊂



i=1

B(ψ



). Assim dado t ∈ IR existe

∈ IR com ψ

(t) − ψ

) <



ψ(t) − ψ(t

) = ψ(t) − ψ

(t) + ψ

(t) − ψ

) + ψ

) − ψ(t

)

≤ ψ(t) − ψ

(t) + ψ

(t) − ψ

) + ψ

) − ψ(t

)

≤ ψ − ψ

 +



+ ψ − ψ

 <



= 

logo O(ψ) ⊂



i=1

B(ψ(t

), ) e portanto ψ ∈ H

e H

´e subspa¸c o vetorial fechado

de H.

que H

pene

´e subspa¸co vetorial. Suponha que {ξ

} ⊂ H

pene

com lim

j→∞

= ξ. Dado

 > 0 existe N ∈ IN de forma que ∀ j ≥ N tem-se ξ

− ξ < . Logo dado  > 0

existe N como acima de forma que se j ≥ N tem-se ∀ t ∈ IR

ξ(t) − ξ

(t) = U(t, 0)ξ −U(t, 0)ξ

 ≤ ξ −ξ

 < 

logo ξ

→ ξ uniformemente e como cada ξ

(t) ´e peneperi´odica segue que ξ(t) ´e

peneperi´odica pelo Teorema 1.4(d) , e portanto H

pene

´e subspa¸co vetorial fechado

de H. Do Teorema 1.4(e) segue que H

pene

⊂ H

As demonstra¸c˜oes de (a) e (b) do Lema 2.1 foram apresentadas em [21].

pene

´e um subspa¸co introduzido neste trabalho.

Tem-se a seguinte caracteriza¸c˜ao de H

, demonstrada em [23],

Lema 2.2 ψ ∈ H

se, e somente se, para cada  > 0 existe um projetor ortogonal



que projeta em um subspa¸co de dimens˜ao ﬁnita de H de forma que

(Id − P



)U(t, 0)ψ <  ∀ t ∈ IR

Demonstra¸c˜ao: Suponha ψ ∈ H

, como U(t, 0) ´e unit´ario, O(ψ) ´e um conjunto

limitado (por ψ). Seja {ϕ

} uma seq¨uˆencia ortogonal em O(ψ). Se a seq¨uˆencia

{ϕ

} ´e ﬁnita ent˜ao O(ψ) est´a contida em um subspa¸co de dimens˜ao ﬁnita e acabou.

Se a seq¨uˆencia {ϕ

} for inﬁnita, se ja

= sup

ϕ∈[ϕ

,...,ϕ

]

⊥

∩O(ψ)

ϕ ≤ ψ

e neste caso basta mostrar que λ

→ 0 quando n → ∞. Sup onha que λ

 0 ent˜ao

existe 

> 0 e uma subseq¨uˆencia ortogonal ψ

∈ ([ϕ

, . . . , ϕ

]

⊥

∩ O(ψ)) de modo

que

ψ

 ≥ 

> 0. (2.1)

Como {ψ

} ´e ortogonal e limitada ent˜ao ψ

 0. Mas {ψ

} est´a no conjunto

precompacto O(ψ) e assim {ψ

} tem uma subseq¨uˆencia convergente, digamos {ψ



}

que ´e tamb´em convergente a zero, isto ´e, ψ



 → 0 e isso contradiz (2.1) e portanto

→ 0 quando n → ∞.

Reciprocamente, dado  > 0 temos, por hip´otese, que P



O(ψ) est´a con-

tido em um subspa¸co de dimens˜ao ﬁnita e y <  ∀ y ∈ (Id − P



)O(ψ). Sejam

, . . . , p

n()

de modo que



O(ψ) ⊂

n()



i=1

B(p

, )

e tome x ∈ (Id−P



)O(ψ). Se v ∈ O(ψ) v = v



⊕v

⊥



∈ P



O(ψ) v

⊥



∈ (Id−P



)O(ψ)

ent˜ao para algum j v



− p

 <  e obtemos

v − p

⊕ x

= v



− p



+ v

⊥



− x

< 

+ (v

⊥



 + x)

< 

+ ( + )

= 5

logo O(ψ) ⊂



n()

i=1

B(p

⊕ x, 5

) e sendo  arbitr´ario segue que ψ ∈ H

Em [21] foi demonstrado que

Lema 2.3

⊥ H

Demonstra¸c˜ao: Sejam ϕ ∈ H

e ξ ∈ H

. Ent˜ao

ϕ, ξ =



ϕ, ξdt =



U(t, 0)ϕ, U(t, 0)ξdt

Para cada  > 0 existe P



que projeta em um subspa¸co de dimens˜ao ﬁnita de H tal

que, ∀ t, (Id − P



)U(t, 0)ξ <



2ϕ

; assim

ϕ, ξ =



(P



+ Id − P



)U(t, 0)ϕ, U(t, 0)ξdt



P



U(t, 0)ϕ, U(t, 0)ξdt



(Id − P



)U(t, 0)ϕ, U(t, 0)ξdt

e ent˜ao

|ϕ, ξ| ≤ ξ



P



U(t, 0)ϕdt + ϕ



(Id − P



)U(t, 0)ξdt

Como ϕ ∈ H



P



U(t, 0)ϕdt <



2ξ

se T ´e grande suﬁciente. Portanto, |ϕ, ξ| ≤  para qualquer  > 0, e o lema e st´a

demonstrado.

A mesma demonstra¸c˜ao de [23] para Hamiltonianas peri´odicas ´e v´alida para

demonstrar que

Teorema 2.1 Tem-se que

(a) H

= H

;

(b) H

⊂ H

Demonstra¸c˜ao: (a) Seja ψ ∈ H

. Ent˜ao para cada  > 0 existe P



que projeta

em um subspa¸co de dimens˜ao ﬁnita de H de forma que (Id − P



)U(t, 0)ψ < ,

para qualquer t ∈ IR. Temos

sup

t∈IR

F (A > E)U(t, 0)ψ ≤ sup

t∈IR

F (A > E)P



U(t, 0)ψ

+ sup

t∈IR

F (A > E)(Id − P



)U(t, 0)ψ

Como P



projeta em um subspa¸co de dimens˜ao ﬁnita, o primeiro termo no lado

direito da express˜ao acima se anula para E suﬁcientemente grande, e o segundo

termo ´e limitado por  pois F (A > E)(Id−P



)U(t, 0)ψ ≤ (Id−P



)U(t, 0)ψ < ,

para qualquer t ∈ IR. Portanto,

lim

E→∞

sup

t∈IR

F (A > E)U(t, 0)ψ ≤ ,

para qualquer  > 0, e ψ ∈ H

Reciprocamente, seja ψ ∈ H

. Pela Deﬁni¸c˜ao 2.1,

lim

E→∞

sup

t∈IR

F (A > E)U(t, 0)ψ = 0,

logo para qualquer  > 0 existe E



de forma que sup

t∈IR

F (A > E



)U(t, 0)ψ < ;

portanto

(Id − F (A ≤ E



))U(t, 0)ψ = F (A > E



)U(t, 0)ψ < ,

e, aplicando o Lema 2.2 com P



= F(A ≤ E



), obtemos ψ ∈ H

(b) Seja ψ ∈ H

com ψ = 1. Ent˜ao,

1 = ψ =



U(t, 0)ψdt



[F (A > E)U(t, 0)ψ + F (A ≤ E)U(t, 0)ψ]dt

≤



F (A > E)U(t, 0)ψdt +



F (A ≤ E)U(t, 0)ψdt

≤ sup

t∈IR

F (A > E)U(t, 0)ψ +



F (A ≤ E)U(t, 0)ψdt.

Pela Deﬁni¸c˜ao 2.1(iii) com C = F (A ≤ E), o segundo termo no lado direito tende a

zero quando τ tende ao inﬁnito; assim sup

t∈IR

F (A > E)U(t, 0)ψ = 1, para todo

E, portanto ψ ∈ H

Conseguimos demonstrar que

Teorema 2.2 Seja H(t) uma Hamiltoniana geral e A como acima, ent˜ao se ψ ∈

dom A e ψ /∈ H

ent˜ao ψ ∈ S

(A).

Demonstra¸c˜ao: Seja ψ ∈ dom A de modo que ψ /∈ H

. Lembre-se que 0 ≤ λ

≤

≤ λ

≤ . . . denotam os autovalores de A (todos com multiplicidade ﬁnita e λ

→

∞ quando n → ∞) e seja P

o projetor no subspa¸co gerado pelos autovetores de A

cujos autovalores sejam menores ou igual a λ

, logo dim ImP

< ∞ e AP

= P

em domA. Assim para cada N ∈ IN

ψ(t), Aψ(t) = (P

+ (Id − P

))ψ(t), (P

+ (Id − P

))Aψ(t)

= P

ψ(t), P

Aψ(t) + (Id − P

)ψ(t), (Id − P

)Aψ(t)

= P

ψ(t), AP

ψ(t) + (Id − P

)ψ(t), A(Id − P

)ψ(t)

≥ (Id − P

)ψ(t), A(Id − P

)ψ(t)

≥ λ

(Id − P

)ψ(t), (Id − P

)ψ(t)

= λ

(Id − P

)ψ(t)

Como ψ /∈ H

pelo Lema 2.2 existe 

> 0 de modo que para qualquer projetor

ortogonal P em um subspa¸co de dimens˜ao ﬁnita existe t

de forma que (Id −

P )ψ(t

) ≥ 

. Assim para cada N ∈ IN existe t

∈ IR de modo que

(Id − P

)ψ(t

) ≥ 

logo

sup

|ψ(t), Aψ(t)| ≥ λ



∀ N ∈ IN

e como λ

→ ∞ para N → ∞ segue que ψ(t), Aψ(t) n˜ao ´e limitado.

Corol´ario 2.1 (a) (dom A ∩ H

) \ {0} ⊂ S

(A);

(b) S

(A) ⊂ H

Demonstra¸c˜ao: (a) Seja 0 = ξ ∈ dom A ∩ H

, ent˜ao ξ ∈ dom A e ξ ∈ H

. Pelo

Lema 2.3 como ξ = 0 segue que ξ /∈ H

e pelo teorema acima segue que ξ ∈ S

(A).

(b) Segue facilmente do teorema.

Se a Hamiltoniana H(t) for da forma H(t) = H

+ V (t) com H

auto-

adjunto, positivo, n˜ao-limitado e com espectro discreto, ent˜ao os resultados acima

valem com A = H

O resultado pode n˜ao valer se A possuir um autovalor λ

de multiplicidade

inﬁnita, pois neste caso pode existir ψ ∈ H de forma que para qualquer t ∈ IR, ψ(t)

esteja no auto-espa¸co correspondente ao autovalor λ

que tem dimens˜ao inﬁnita com

O(ψ) n˜ao sendo precompacta, mas neste caso ter´ıamos

ψ(t), Aψ(t) = ψ(t), λ

ψ(t) = λ

ψ(t)

que por sua vez seria limitado.

2.2 Hamiltonianas Peri´odicas

No caso peri´odico temos `a nossa disposi¸c˜ao o operador de Floquet U

= U (T, 0)

e denotaremos por H

o subspa¸co espectral pontual de U

e por H

o subspa¸co

espectral cont´ınuo de U

. Nesta se¸c˜ao o operador A ´e como na se¸c˜ao anterior.

Teorema 2.3 (RAGE) Seja C : H → H um operador compacto e ψ ∈ H

, ent˜ao

lim

τ→∞



CU(t, 0)ψdt = 0

A demonstra¸c˜ao deste teorema ´e um tanto longa e pode ser encontrada no

trabalho de Enss e Veselic [28]. Como conseq¨uˆencia deste teorema c onclui-se que,

no caso peri´odico, se ξ ∈ H

ent˜ao ξ ∈ H

e portanto pelo Corol´ario 2.1 segue que se

A ´e uma “energia abstrata”e 0 = ξ ∈ dom A, ent˜ao a aplica¸c˜ao U(t, 0)ξ, AU (t, 0)ξ

n˜ao ´e limitada.

Em [23] ´e demonstrado que ξ ∈ H

se, e som ente se, ξ ∈ H

. Conseguimos

demonstrar um pouco mais, como discutido no que segue.

Lema 2.4 Seja ξ ∈ H

um autovetor de U

, isto ´e, U

ξ = e

−iα

ξ, α ∈ IR. Ent˜ao

ξ ∈ H

pene

⊂ H

Demonstra¸c˜ao: Como U(t, 0) ´e fortemente cont´ınuo tem-se que a aplica¸c˜ao t →

ξ(t) ´e cont´ınua.

Qualquer t ∈ IR pode ser escrito na forma t = nT + s, com n ∈ ZZ e

0 ≤ s < T , e temos U

ξ = e

−iα

ξ e U

−1

ξ = e

iα

ξ. Como para t ≥ 0 (n ≥ 0)

U(t, 0)ξ = U (s + nT, nT )U(nT, (n − 1)T ) . . . U(T, 0)ξ

= U(s, 0) U(T, 0) . . . U (T, 0)

  

n vezes

ξ = U(s, 0)e

−inα

e para t < 0 (n < 0)

U(t, 0)ξ = U (s + nT, nT )U(nT, (n + 1)T ) . . . U(−T, 0)ξ

= U(s, 0) U(T, 0)

−1

. . . U(T, 0)

−1



 

−n vezes

ξ = U(s, 0)e

−inα

tem-se, para t = nT + s ∈ IR, n ∈ ZZ e 0 ≤ s < T , que

U(t, 0)ξ = U(s, 0)e

−inα

ξ.

Portanto para cada t = nT + s ∈ IR

ξ(t + T ) = U (t + T, 0)ξ = U(s, 0)e

−i(n+1)α

= e

−iα

U(s, 0)e

−inα

ξ = e

−iα

ξU (t, 0)ξ = e

−iα

ξ(t)

e assim t → ξ(t) ´e peneperi´odica pelo Teorema 1.4(i).

E uma conseq¨uˆencia do Teorema RAGE e do Lema 2.3 que

Lema 2.5 H

⊥ H

Em [23] ´e demonstrado que H

= H

e H

= H

, no caso

peri´odico. Conseguimos demonstrar que H

pene

= H

e ent˜ao temos

Teorema 2.4 Se a Hamiltoniana ´e peri´odica no tempo ent˜ao

(a) H

= H

pene

;

(b) H

= H

Demonstra¸c˜ao: (a) (i) H

= H

. J´a foi demonstrado no Teorema 2.1(a).

(ii) H

pene

⊂ H

. Foi demonstrado no Lema 2.1(c).

(iii) H

⊂ H

E uma conseq¨uˆencia imediata de (ii) e dos Lemas 2.4 e

2.1(b).

(iv) H

⊂ H

. Segue facilmente do Lema 2.5, e H

⊥

= H

; na verdade,

⊂ H

⊥

= H

(v) H

⊂ H

pene

E uma conseq¨uˆencia imediata dos Lemas 2.4 e 2.1(c) que

⊂ H

pene

. Como j´a demonstramos que H

= H

o resultado segue.

(b) (i) H

⊂ H

. Segue facilmente do Teorema 2.3.

(ii) H

⊂ H

. A demonstra¸c˜ao ´e imediata do Lema 2.3 junto com (iii) e

(iv) acima e H

⊥

= H

; na verdade, H

⊂ H

⊥

= H

⊥

= H

(iii) H

⊂ H

. Foi demonstrado no Teorema 2.1(b).

(iv) H

⊂ H

. Seja ψ ∈ H

com ψ = 1, e suponha que ψ = ψ

⊕ ψ

∈ H

= H

e ψ

∈ H

. Ent˜ao,

F (A > E)U(t, 0)ψ = F (A > E)U(t, 0)(ψ

⊕ ψ

)

≤ F (A > E)U(t, 0)ψ

 + F (A > E)U(t, 0)ψ

,

para todo t ∈ IR. Como ψ ∈ H

, obtemos

1 = lim

E→∞

sup

t∈IR

F (A > E)U(t, 0)ψ

≤ lim

E→∞

sup

t∈IR

F (A > E)U(t, 0)ψ

 + lim

E→∞

sup

t∈IR

F (A > E)U(t, 0)ψ

.

O ´ultimo termo dessa identidade se anula pois ψ

∈ H

= H

, e vˆe-se imediata-

mente que ψ = ψ

∈ H

Se H(t) ´e uma Hamiltoniana geral em um espa¸co de Hilbert H, n˜ao ne-

cessariamente peri´odica, como vimos no Cap´ıtulo 1 que temos associado `a mesma

o operador quase-energia K = −i

+ H(t) agindo no espa¸co de Hilbert estendido

K = L

(IR, H, dt). Pode-se ent˜ao considerar a Hamiltoniana

H(t), independente do

tempo, dada por

H(t) = K para todo t, a qual ´e, em particular, peri´odica e tem

operador de Floquet e

−iK

. A esta Hamiltoniana pode-se aplicar os resultados desta

se¸c˜ao. Em particular, se K

(K) e K

(K) denotam, respectivamente, o subspa¸co

espectral pontual e cont´ınuo de K, obt´em-se:

Corol´ario 2.2 (a) ψ ∈ K

(K) se, e somente se, O(ψ) = {e

−iKσ

ψ : σ ∈ IR} ´e

precompacto em K se, e somente se, a aplica¸c˜ao σ → e

−iKσ

ψ ´e peneperi´odica.

(b) ψ ∈ K

(K) se, e somente se, para cada operador compacto C em K tem-se

lim

τ→∞



Ce

−iKσ

ψdσ = 0

Lembrando que (e

−iKσ

f)(t) = U(t, t − σ)f(t − σ), conseguimos o seguinte

resultado.

Proposi¸c˜ao 2.1 Seja ξ ∈ H de modo que 1 ⊗ ξ ∈ K

(K) ent˜ao a aplica¸c˜ao t →

U(t, 0)

−1

ξ ´e peneperi´odica. Se os autovetores de K forem da forma ψ

= 1 ⊗ ξ

com ξ

∈ H ent˜ao ξ ∈ H

pene

Demonstra¸c˜ao: Se 1 ⊗ ξ ∈ K

(K) ent˜ao

1 ⊗ ξ =



com Kψ

= λ

. Logo

iKσ

(1 ⊗ ξ) =



iλ

e portanto para c ada t ∈ IR

U(t, t + σ)ξ = (e

iKσ

(1 ⊗ ξ))(t) =



−iλ

(t)

e conclui-se ent˜ao, que para cada t ﬁxo, a aplica¸c˜ao

σ → U(t, t + σ)ξ

´e peneperi´odica, em particular tomando t = 0 tem-se que σ → U (0, σ)ξ ´e pene-

peri´odica e o resultado segue.

Agora, se os autovetores de K forem da forma ψ

= 1 ⊗ ξ

ent˜ao

ξ(t) = U(t, 0)ξ = (e

−iKt

(1 ⊗ ξ))(t) =



−iλ

(t) =



−iλ

Se a soma for ﬁnita segue que a aplica¸c˜ao t → ξ(t) ´e peneperi´odica pois ´e um

polinˆomio trigonom´etrico. Se a soma for inﬁnita tem-se que



m=1

−iλ

→



∞

m=1

−iλ

uniformemente quando k → ∞; e portanto a aplica¸c˜ao t → ξ(t)

´e peneperi´odica, ou seja, ξ ∈ H

pene

Como vimos, para sistemas quˆanticos peri´odicos tem-se

H = H

⊕ H

. (2.2)

Apresentaremos agora um exemplo, que aparece em [21], o qual mostra que para

Hamiltonianas gerais a rela¸c˜ao (2.2) pode n˜ao valer. Embora um tanto peculiar, esse

exemplo ilustra as poss´ıveis propriedades n˜ao usuais de sistemas com dependˆencia

temporal arbitr´aria. Deﬁnimos o subspa¸co H

pela rela¸c˜ao

H = H

⊕ H

Exemplo 2.1 Seja {

}, n ≥ 1, uma seq¨uˆencia com 

∈ {−1, 0, 1}. O modelo ´e

dado pela Hamiltoniana kicked

H(t) = p

+ x

∞



n=1



δ(t − n), x ∈ [0, 2π) (2.3)

agindo em H = L

(T), em que p = −i

. O operador evolu¸c˜ao temporal at´e t =

(n + 1 − 0), n ∈ IN (um pouco antes do (n + 1)−´esimo kick), ´e dado por

U(n, 0) ≡ V

n−1

. . . V

em que V

= e

−ip

−i

. Entre dois kicks consecutivos temos a evolu¸c˜ao temporal

livre. Se denotarmos os auto-estados da Hamiltoniana n˜ao perturbada p

por ψ

−isx

e Γ

= 

+ 

+ . . . + 

, temos

U(n, 0)ψ

= exp



− i



j=1

(Γ

+ s)



exp[−i(Γ

+ s)x]

U(n, 0)ψ

, p

U(n, 0)ψ

 = (Γ

+ s)

Sejam u

= 4(10

+ 10

n−1

+ . . . + 10) para n ≥ 1, u

= 0, e escolha













1 se j ∈ A

= [u

+ 1, u

+ 10

n+1

]

−1 se j ∈ B

= [u

+ 1 + 10

n+1

, u

+ 2 × 10

n+1

]

0 se j ∈ C

= [u

+ 1 + 2 ×10

n+1

, u

n+1

]

(2.4)

Como 

= 0 se, e somente se, j ∈ C

e (o s´ımbolo #Z denota a cardinalidade do

conjunto Z)

+ #B

+ #C

segue que

lim

τ→∞



P

U(t, 0)ψ

dt =

em que P

´e o operador proje¸c˜ao (compacto) no subspa¸co gerado por ψ

. Portanto,

/∈ H

para todo s, como {ψ

: s ∈ ZZ} ´e uma base de H e pelo Lema 2.1(a) H

´e

subspa¸co fechado, segue que H

= {0}.

Como para cada m ∈ IN, m ≥ s, existe j ∈ IN de forma que U(j, 0)ψ

iθ(s,m)

para algum fator θ(s, m), o conjunto {U(t, 0)ψ

: t ∈ IR} n˜ao ´e precom-

pacto; ent˜ao ψ

/∈ H

, para todo s, e podemos concluir que H

= {0}. Portanto

para o modelo (2.3)-(2.4), H = H

Assim, para o modelo (2.3)-(2.4) tem-se p elo Teorema 2.2 que s e 0 = ψ ∈

dom p

ent˜ao ψ ∈ S

). Ou seja, H

= S

2.3 Hamiltonianas Quaseperi´odicas

Neste caso usaremos o formalismo de Jauslin-Lebowitz como na Se¸c˜ao 1.4 para

Hamiltonianas quaseperi´odicas, e temos `a nossa disposi¸c˜ao o ope rador de Floquet

generalizado U

(veja (1.4)), deﬁnido em K

= L

, H,

dθ

2π

), e o operador quase-

energia generalizado

K (veja (1.2)) deﬁnido em

K = L

× S

, H,

dθ

2π

dθ

2π

), ambos

com propriedades espectrais equivalentes. Nesta se¸c˜ao trabalharemos c om apenas

duas freq¨uˆencias, mas os resultados permanecem v´alidos para um n´umero ﬁnito de

freq¨uˆencias, em espa¸cos adequados.

Para t ﬁxo seja o operador unit´ario U(t) : K

→ K

dado por

(U(t)ψ)(θ

) = U

(θ

,0)

(t, 0)ψ(θ

), ou seja, U(t) =



⊕

(θ

,0)

(t, 0)

dθ

2π

e dada ψ ∈ K

seja

O(ψ) = {ψ(t) = U(t)ψ : t ∈ IR}

a ´orbita de ψ. Seja A um operador em K

auto-adjunto, positivo, n˜ao-limitado, com

espectro discreto e com U(t)dom A ⊂ dom A e F (A > E) o operador proje¸c˜ao como

anteriormente. Denotaremos

Deﬁni¸c˜ao 2.2 (a) K

1,p

o subspa¸co espectral pontual do operador de Floquet gene-

ralizado U

(b) K

1,c

o subspa¸co espectral cont´ınuo de U

1,f



ψ ∈ K

: lim

τ→∞



CU(t)ψ

dt = 0 para qualquer operador

compacto C em K



(d) K

1,pc

= {ψ ∈ K

O(ψ) ´e precompacta em K

(e) K

1,pene

= {ψ ∈ K

: a aplica¸c˜ao IR  t → ψ(t) ´e peneperi´odica}.

(f) K

1,be

= {0 = ψ ∈ K

: lim

E→∞

sup

t∈IR

F (A > E)U(t)

ψ

 = 0} ∪ {0}.

(g) K

1,ue

= {0 = ψ ∈ K

: lim

E→∞

sup

t∈IR

F (A > E)U(t)

ψ

 = 1} ∪ {0}.

De forma an´aloga `a Se¸c˜ao 2.1 demonstra-se:

Proposi¸c˜ao 2.2 (a) K

1,f

, K

1,pc

e K

1,pene

s˜ao subspa¸cos fechados de K

(b) ψ ∈ K

1,pc

se, e somente se, para cada  > 0 existe um projetor ortogonal P



que

projeta em um subspa¸co de dimens˜ao ﬁnita de K

de forma que

(Id − P



)U(t)ψ <  ∀ t ∈ IR.

1,pc

⊥ K

1,f

Em [42] ´e demonstrado o an´alogo do Teorema RAGE para Hamiltonianas

quaseperi´odicas. A demonstra¸c˜ao ´e uma adapta¸c˜ao da aﬁrma¸c˜ao similar para o caso

peri´odico do trabalho [28]. Assim, tem-se

Teorema 2.5 (RAGE) Seja C : K

→ K

um operador compacto e φ ∈ K

1,c

ent˜ao

lim

τ→∞



CU(t)φ

dt = 0.

Sendo tal resultado v´alido conclui-se

Corol´ario 2.3 (a) K

1,c

⊂ K

1,f

;

(b) K

1,pc

⊥ K

1,c

Portanto, de forma an´aloga ao Teorema 2.4, foi demonstrado em [23] que

Teorema 2.6 Para Hamiltonianas quaseperi´odicas tem-se

(a) K

1,p

= K

1,pc

= K

1,be

;

(b) K

1,c

= K

1,ue

= K

1,f

De forma an´aloga ao Teorema 2.2 demonstra-se que

Teorema 2.7 Seja H

(t) uma hamiltoniana quaseperi´odica e A como acima, ent˜ao

se ψ ∈ dom A e 0 = ψ ∈ K

1,c

ent˜ao

t → U(t)ψ, AU (t)ψ

n˜ao ´e limitado.

Assim, o fato de o operador de Floquet generalizado ter espec tro cont´ınuo

implicar´a em crescimento n˜ao-limitado da energia no espa¸co estendido K

, mas n˜ao

necessariamente no espa¸co de Hilbert original H.

Na formula¸c˜ao de Jauslin-Lebowitz, para cada θ ∈ Ω tem-se uma Hamilto-

niana H

(t) e pode-se deﬁnir, naturalmente, os subconjuntos no espa¸co de Hilbert

original H, dependendo de θ; O

(ξ)

= {ξ

(t) = U

(t, 0)ξ : t ∈ IR}, H

, H

pene

, H

, S

e S

, sendo v´alidos os resultados da Se¸c˜ao 2.1 para cada θ ∈ Ω.

No caso peri´odico, em que Ω = S

, tem-se em particular que H

pene

= H

para

cada θ ∈ S

, pois H

(t + T

) = H

(θ)

(t) = H

(t) e s˜ao v´alidos os resultados da

Se¸c˜ao 2.2. O exemplo que segue mostrar´a que o mesmo n˜ao ´e verdadeiro para o caso

quaseperi´odico.

Primeiramente, vamos introduzir o modelo e alguns resultados cujas de-

monstra¸c˜oes p odem ser encontradas em [6].

Uma Hamiltoniana quaseperi´odica geral agindo em H = C

´e da forma

(t) = h

(t)Id +



j=1

(t)σ

(2.5)

em que h

(t) s˜ao fun¸c˜oes quaseperi´odicas reais, isto ´e, h

(t) =

(ω

t + θ

, ω

t + θ

)

com

(θ

, θ

) cont´ınua e 2π-peri´odica nos dois argumentos θ

, θ

∈ S

; ω

, ω

n´umeros reais positivos e σ

s˜ao as matrizes de Pauli, ou seja,







0 1

1 0







, σ







0 −i

i 0







, σ







1 0

0 −1







Denotaremos

= α.

A Hamiltoniana ´e uma matriz hermitiana 2 × 2 com tra¸co zero, e assim o

propagador U

(t, s) ´e unit´ario com determinante um, isto ´e, U

(t, s) ∈ SU(2).

Sabemos que U

= T

−T

em que u

(θ

) = U

(θ

,0)

, 0) ∈ SU(2) e por-

tanto tem a forma

(θ

) =







a b

−b a







(2.6)

com |a|

+ |b|

= 1, e b denota o complexo conjugado de b.

Para o pr´oximo lema inclu´ımos a demonstra¸c˜ao apresentada em [6], pois a

mesma ´e usada na constru¸c˜ao de nosso exe mplo.

Lema 2.6 Para qualquer esco lha de fun¸c˜oes C

, a, b de S

em C, l =

0, 1, . . . , ∞, com |a|

+ |b|

= 1 existe algum H

(t) quaseperi´odico da forma (2.5) de

modo que (2.6) ´e o operador monodromia correspondente.

Demonstra¸c˜ao: 1

◦

passo: Se o propagador U

(θ

,0)

(t, 0) ´e dado para todo θ

∈ S

e para cada t ∈ [0, T

] ent˜ao ele ´e completamente determinado para todo t: Seja

k ∈ IN

∗

(θ

,0)

(kT

, 0) = U

(θ

,0)

(kT

, (k − 1)T

) . . . U

(θ

,0)

, 0)

= U

(θ

+(k−1)2πα,0)

, 0) . . . U

(θ

+2πα,0)

, 0)U

(θ

,0)

, 0)

= u

(θ

+ (k − 1)2πα) . . . u

(θ

+ 2πα)u

(θ

Para k = 0, U

(θ

,0)

(0T

, 0) = Id e para k < 0

(θ

,0)

(kT

, 0) = U

(θ

,0)

(kT

, (k + 1)T

) . . . U

(θ

,0)

(−T

, 0)

= U

(θ

+k2πα,0)

(0, T

) . . . U

(θ

−2πα,0)

(0, T

)

= u

(θ

+ k2πα)

−1

(θ

+ (k + 1)2πα)

−1

. . . u

(θ

− 2πα)

−1

Agora dado t ∈ IR tem-se t = kT

+ δ

com 0 ≤ δ

< T

e ent˜ao

(θ

,0)

(t, 0) = U

(θ

,0)

(kT

+ δ

, 0)

= U

(θ

,0)

(kT

+ δ

, kT

(θ

,0)

(kT

, 0)

= U

(θ

+k2πα,0)

(δ

, 0)U

(θ

,0)

(kT

, 0).

passo: Constru¸c˜ao do propagador para t ∈ [0, T

O conjunto {u

(θ

) : θ

∈ S

} ⊂ SU(2) ´e simplesmente conexo. Assim para

∈ S

ﬁxado podemos construir uma fun¸c˜ao v(t; θ

), t ∈ [0, T

], que ´e um caminho

diferenci´avel em SU(2) que liga a Id em t = 0 com u

(θ

) em t = T

. Com essa v

deﬁnimos para t = kT

+ δ

(θ

,0)

(t, 0) = v(δ

; θ

+ k2πα)U

(θ

,0)

(kT

, 0).

passo: Constru¸c˜ao da Hamiltoniana: Seja h

(θ

,0)

(t) dada por

(θ

,0)

(t) =



∂

∂t

(θ

,0)

(t, 0)



(θ

,0)

(t, 0)

−1



∂

∂t

v(δ

; θ

+ k2πα)



v(δ

, θ

+ k2πα)

−1

= V (δ

; θ

+ k2πα)

Procedemos como segue para veriﬁcar que h

(θ

,0)

(t) ´e quaseperi´odico e construir dele

uma Hamiltoniana mais geral dependendo em dois parˆametros θ

, θ

: Levando em

conta que

= (t)

modT

(ω

mod2π

, kT

= t −

(ω

mod2π

e V ´e 2π-peri´odica no segundo argumento

(θ

,0)

(t) = V



(ω

mod2π

;



+ ω

t −

(ω

mod2π



mod2π



= V



(ω

mod2π

; (θ

+ ω

mod2π

−

(ω

mod2π



Deﬁnindo a fun¸c˜ao 2π-peri´odica nos dois argumentos

A(ϑ

, ϑ

) = V



(ϑ

)

mod2π

; (ϑ

)

mod2π

−

(ϑ

)

mod2π



podemos deﬁnir a Hamiltoniana quaseperi´odica

(t) = A(ω

t + θ

; ω

t + θ

)

que por constru¸c˜ao tem u

como matriz monodromia.

Na Se¸c˜ao 2.2 (Teorema 2.4) demonstramos que para Hamiltonianas com

dependˆencia temporal peri´odica, uma ´orbita ´e precompacta se, e somente se, ela ´e

peneperi´odica. O pr´oximo exemplo, que constru´ımos, demonstra que j´a no caso de

dependˆencia temporal quasep eri´odica podemos encontrar ´orbitas precompactas que

n˜ao s˜ao peneperi´odicas.

Exemplo 2.2 Seja u

(θ

) =







iθ

0 e

−iθ







, ´e conhecido que o operador de Flo-

quet correspondente tem espectro absolutamente cont´ınuo puro para qualquer α =

irracional. Pelo Lema 2.6 existe uma Hamiltoniana H

(t) da forma (2.5) que tem

(θ

) = U

(θ

,0)

, 0) como operador monodromia, e pela constru¸c˜ao feita em tal

lema tem-se para k ∈ ZZ, k > 0

(θ

,0)

(kT

, 0) = u

(θ

+ (k − 1)2πα) . . . u

(θ

+ 2πα)u

(θ

)







i(θ

+(k−1)2πα)

0 e

−i(θ

+(k−1)2πα)







. . .







iθ

0 e

−iθ













i(θ

+(k−1)2πα)

. . . e

iθ

0 e

−i(θ

+(k−1)2πα)

. . . e

−iθ













i(kθ

+(1+2+...(k−1))2πα)

0 e

−i(kθ

+(1+2+...(k−1))2πα)













ik(θ

+(k−1)πα)

0 e

−ik(θ

+(k−1)πα)







e para k < 0 o mesmo ´e v´alido; portanto para todo k ∈ ZZ tem-se que

(θ

,0)

(kT

, 0) =







ik(θ

+(k−1)πα)

0 e

−ik(θ

+(k−1)πα)







Al´em disso, para θ

∈ S

deﬁna para 0 ≤ t ≤ T

v(t; θ

) =







(θ

−1)πα)

0 e

−i

(θ

−1)πα)







ent˜ao v(t; θ

) ´e diferenci´avel e satisfaz

v(0; θ

) =







1 0

0 1







= Id, v(T

; θ

) =







iθ

0 e

−iθ







= u

(θ

e tem-se que para t ∈ IR, t = kT

+ δ

, 0 ≤ δ

≤ T

(θ

,0)

(t, 0) = v(δ

; θ

+ k2πα)U

(θ

,0)

(kT

, 0),

ou seja, tem-se que

(θ

,0)

(t, 0) =







(θ

−1)πα)

0 e

−i

(θ

−1)πα)







Assim para ξ ∈ H = C

, ξ =













tem-se

(θ

,0)

(t, 0)ξ =







(θ

−1)πα)

−i

(θ

−1)πα)







Como a aplica¸c˜ao, para 0 = a ∈ IR, t → sin at

n˜ao ´e peneperi´odica, pois n˜ao ´e

uniformemente cont´ınua (Teorema 1.4(b)), tem-se que a aplica¸c˜ao t → e

iat

n˜ao ´e

peneperi´odica (Teorema 1.4(j)). Disto conclui-se que a aplica¸c˜ao

t → g(t) = e

(θ

−1)πα)

= e

4π

−it

n˜ao ´e peneperi´odica, pois se fosse ter´ıamos que e

−i

g(t)e

= e

4π

seria

peneperi´odica (Teorema 1.4(k)).

Portanto se ξ = 0 ent˜ao a aplica¸c˜ao t → U

(θ

,0)

(t, 0)ξ n˜ao ´e peneperi´odica

para todo θ

∈ S

(Teorema 1.4(l) e (c)). E temos um exemplo de ´orbita precompacta

(fechado e limitado em C

´e compacto) e que n˜ao ´e peneperi´odica.

O exemplo descrito acima pode ser estendido para o espa¸co de Hilbert de

dimens˜ao inﬁnita H =



n∈IN

dos elementos ξ = (ξ

)

n∈IN

em que ξ

∈ C



|ξ

< ∞. Denote

˜u

(θ

) =







iθ

0 e

−iθ







sabemos que existe

(t) quaseperi´odico de forma que ˜u

(θ

) ´e o correspondente

operador mono dromia. Al´em disso σ(

) ´e absolutamente cont´ınuo para todo α

irracional. Seja

(θ

) =













iθ

0 e

−iθ













iθ

0 e

−iθ













iθ

0 e

−iθ













ou, escrevendo de uma outra forma, u

(θ

) =



˜u

(θ

). Para ξ ∈ H tem-se

(θ

)ξ =



˜u

(θ

)ξ

. O operador de Floquet correspondente `a u

(θ

), U

−T

: L

, H,

dθ

2π

) → L

, H,

dθ

2π

) tem espectro absolutamente cont´ınuo para

todo α irracional.

Se H

(t) =



n∈IN

(t) ent˜ao o propagador de H

(t) ´e U

(t, 0) =



(t, 0)

e assim H

(t) tem u

(θ

) como operador monodromia correspondente. Agora dado

ξ ∈ H e θ = (θ

, 0) ∈ S

× S

tem-se p elo caso anterior que

(θ

,0)

(t, 0)ξ =









(θ

−1)πα)

0 e

−i

(θ

−1)πα)















(θ

−1)πα)

−i

(θ

−1)πα)







logo t → U

(θ

,0)

(t, 0)ξ n˜ao ´e peneperi´odica. Se ξ for da forma ξ = ⊕ξ

com ξ

= 0

se, e somente se, n = l ent˜ao

(θ

,0)

(t, 0)ξ =







(θ

−1)πα)

−i

(θ

−1)πα)







e portanto a ´orbita ´e precompacta pois n˜ao sai de um e spa¸co de dimens˜ao ﬁnita. Da

mesma maneira se ξ ´e da forma ξ = ⊕ξ

com ξ

= 0 ap enas para ﬁnitos n, tem-se

exemplo de ´orbita precompacta que n˜ao ´e peneperi´odica.

2.4 Limita¸c˜ao do valor esperado da energia

Vamos considerar H(t) = H

+ V (t) em que H

´e auto-adjunto em H, n˜ao-limitado,

positivo e com espectro discreto puro. Os autovalores de H

ser˜ao 0 ≤ h

< h

< . . ., com multiplicidades ﬁnitas.

Se ψ

∈ dom H

e ψ(t) = U(t, 0)ψ

´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger,

sob quais condi¸c˜oes

(t) = ψ(t), H

ψ(t)

´e uma fun¸c˜ao limitada de t? Tamb´em, quando

(t) = ψ(t), H(t)ψ(t)

´e fun¸c˜ao limitada? Neste sentido obtemos os seguintes resultados:

Proposi¸c˜ao 2.3 Se V (t) ´e operador limitado para todo t, e sup

V (t) < ∞ ent˜ao

(t) ´e limitado se, e somente se, E

(t) ´e limitado.

Demonstra¸c˜ao: Basta observar que

(t) = ψ(t), H(t)ψ(t) = E

(t) + ψ(t), V (t)ψ(t)

e que

sup

|ψ(t), V (t)ψ(t)| ≤ sup

ψ(t)

V (t) = sup

ψ



V (t) < ∞.

Proposi¸c˜ao 2.4 Se ψ(t) ∈ C

(IR; H) ´e peneperi´odica e sua derivada ´e uniforme-

mente cont´ınua, ent˜ao E

(t) ´e limitado.

Demonstra¸c˜ao: Pelo Teorema 1.4(h) tem-s e que ψ



(t) ´e peneperi´odica e portanto

dψ

(t) bem como ψ(t) s˜ao aplica¸c˜oes limitadas. Como

(t) = ψ(t), H(t)ψ(t) = ψ(t), i

dψ

(t)

o resultado segue.

Proposi¸c˜ao 2.5 Se t → V (t) ´e fortemente C

e ψ



(t) ∈ dom H(t) para todo t,

ent˜ao:

(a) A aplica¸c˜ao t → E

(t) ´e diferenci´avel e

(t) = ψ(t), V



(t)ψ(t).

(b) |E

(t) − E

(0)| ≤ t × sup

V



(s).



(t) ≤

Cte

(1+|t|)

, com a > 1 ent˜ao E

(t) e E

(t) s˜ao limitados.

Demonstra¸c˜ao: (a) E

(t) = ψ(t), (H

+ V (t))ψ(t) e portanto

(t) = ψ



(t), H(t)ψ(t) + ψ(t), H(t)ψ



(t) + ψ(t), V



(t)ψ(t)

= ψ



(t), iψ



(t) + iψ



(t), ψ



(t) + ψ(t), V



(t)ψ(t)

= ψ(t), V



(t)ψ(t).

(b) Como

(t) − E

(0) =



(s)ds =



ψ(s), V



(s)ψ(s)ds

o resultado segue.

Uma possibilidade para a proposi¸c˜ao acima ´e V (t) = B

sent +

(1+|t|)

com

, B

∈ B(H) e auto-adjuntos. Disto vemos que certamente as esc olhas de ψ

devem depender de B

O pr´oximo resultado fornece condi¸c˜oes para que um sistema quˆantico pe-

ri´odico, com operador de Floquet possuindo espectro pontual, seja dinamicamente

est´avel.

Proposi¸c˜ao 2.6 Se V ´e peri´odico de per´ıodo T , ent˜ao se o subconjunto

{ξ

, . . . , ξ

} de autovetores de U

est´a em dom H

, se t → ξ

(t) ´e de classe C

ent˜ao se ψ =



j=1

tem-se que E

(t) ´e limitada. Se, al´em disso, V (t) s˜ao

limitados e sup

V (t) < ∞ ent˜ao E

(t) tamb´em ´e limitada.

Demonstra¸c˜ao: Suponha U

= e

iλ

com λ

∈ IR, 1 ≤ j ≤ n. Tem-se

,ξ

(t)

= ξ

(t), H(t)ξ

(t) = ξ

(t), i

(t)

e segue que t → E

,ξ

(t) ´e cont´ınua. Agora

,ξ

(t + T ) = U(t + T, 0)ξ

, H(t + T )U(t + T, 0)ξ



= U(t + T, T )U

, H(t)U(t + T, T )U



= e

−iλ

iλ

U(t, 0)ξ

, H(t)U(t, 0)ξ



= e

i(λ

−λ

)

,ξ

(t)

e segue que t → E

(t) ´e peneperi´odica (Teorema 1.4(i) e (f)) e portanto ´e limitada.

A segunda aﬁrma¸c˜ao segue da Proposi¸c˜ao 2.3.

No cas o peri´odico precisamos de condi¸c˜oes para que os autovetores de U

perten¸cam a dom H

e t → ξ

(t) de classe C

. Obtemos os seguintes resultados:

Lema 2.7 Seja ξ ∈ H de forma que H(t)U(t, s)ξ esteja bem deﬁnido, ent ˜ao a

aplica¸c˜ao t → H(t)U(t, s)ξ ´e de classe C

se, e somente se, t → e

iλ(t−s)

U(t, s)ξ

´e de classe C

r+1

para λ, s ∈ IR ﬁxos.

Demonstra¸c˜ao: Observe que

iλ(t−s)

U(t, s)ξ) = iλe

iλ(t−s)

U(t, s)ξ − ie

iλ(t−s)

H(t)U(t, s)ξ.

Assim se t → H(t)U(t, s)ξ ´e C

ent˜ao t → e

iλ(t−s)

U(t, s)ξ ´e C

r+1

e reciprocamente

se t → e

iλ(t−s)

U(t, s)ξ ´e C

r+1

ent˜ao t → H(t)U (t, s)ξ ´e C

Corol´ario 2.4 Se f

(λ)

´e autovetor de K, Kf

(λ)

= λf

(λ)

ent˜ao a aplica¸c˜ao t →

(λ)

(t) ´e de classe C

se, e somente se, existe s ∈ IR com t → H(t)U(t, s)f

(λ)

(s) de

classe C

r−1

Demonstra¸c˜ao: Da discus˜ao anterior ao Lema 1.1 tem-se que f

(λ)

(t) =

iλ(t−s)

U(t, s)f

(λ)

(s) e o resultado segue do Lema 2.7.

Corol´ario 2.5 (a) Se H(t + T) = H(t), e ξ

(λ)

´e autovetor de U

(s), U

(s)ξ

(λ)

−iλT

(λ)

, ent˜ao ξ

(λ)

∈ dom H(s) se, e somente se, existe um autovetor f

(λ)

de K,

(λ)

= λf

(λ)

com t → f

(λ)

(t) cont´ınua e diferenci´avel.

(b) Em particular, U

(s) possui uma base de autovetores em dom H(s) se, e somente

se, K possui uma base de autovetores {f

} de forma que t → f

(t) ´e cont´ınua e

diferenci´avel para cada j.

Demonstra¸c˜ao: (a) Suponha ξ

(λ)

∈ dom H(s). Pelo Lem a 1.2(b) sabemos que

(t) = e

iλ(t−s)

U(t, s)ξ

∈ dom K e Kf

= λf

. Como ξ

(λ)

∈ dom H(s)

tem-se U(t, s)ξ

∈ dom H(t) e H(t)U(t, s)ξ

faz sentido e tem-se i∂

U(t, s)ξ

H(t)U(t, s)ξ

. Assim t → f

(λ)

(t) ´e cont´ınua e diferenci´avel.

Reciprocamente, existe f

(λ)

autovetor de K com t → f

(λ)

(t) cont´ınua e

diferenci´avel. Assim f

(t) = e

iλ(t−s)

U(t, s)ξ

e Kf

(λ)

= λf

(λ)

implica −i∂

(t)+

H(t)f

(t) = λf

(t) e portanto ξ

∈ dom H(s).

(b) Segue de (a).

Na representa¸c˜ao de Jauslin-Lebowitz vamos procurar o an´alogo para o

valor esperado do operador auto-adjunto positivo e discreto A : dom A ⊂ H → H.

Se o operador quase-energia generalizado

K for pontual puro, existe uma base B

}

∞

n=1

ortonormal de

K com

= λ

. Do Teorema 1.7, para toda f ∈

tem-se que t → U

(t, 0)f(θ) ´e peneperi´odica µ-q.t.p. Em particular, se f = 1 ⊗ ξ

tem-se t → U

(t, 0)ξ ´e peneperi´odica µ-q.t.p.

Vamos denotar

n,m

(A)



Ω

f

(θ), Af

(θ)

dµ(θ) = f

, (1 ⊗ A)f



Se f ∈

K ent˜ao f =



, com



= f

. Para o valor esperado

de A, no instante t, em rela¸c˜ao `a f e m´edio em Ω

(t) =



Ω

U

(t, 0)f(θ), AU

(t, 0)f(θ)

dµ(θ)



Ω

(F

−i

f)(θ), A(F

−i

f)(θ)

dµ(θ)

= F

−i

f, (1 ⊗ A)F

−i

f

= e

−i

f, (1 ⊗ A)e

−i

f



n,m

−it(λ

−λ

)

f

, (1 ⊗ A)f





n,m

−it(λ

−λ

)

n,m

(A).

Note que se essa soma for absolutamente conve rgente ent˜ao A

(t) ´e fun¸c˜ao

limitada e peneperi´odica de t, e

t → U

(t, 0)f(θ), AU

(t, 0)f(θ)

´e limitada µ-q.t.p.

Proposi¸c˜ao 2.7 Se f =



j=1

, em que f

s˜ao autovetores de

K e f

(θ) ∈

dom A, para todo θ, ent˜ao t → A

(t) ´e limitada e peneperi´odica, al´em disso,

t → U

(t, 0)f(θ), AU

(t, 0)f(θ)

´e limitada µ-q.t.p.

Na formula¸c˜ao de Jauslin-Lebowitz, supondo que o operador quase-energia

generalizado

K tenha espectro pontual, obtemos o seguinte resultado geral:

Teorema 2.8 Suponha que Ω seja uma variedade diferenci´avel compacta, g

: Ω →

Ω um ﬂuxo C

com sup

t,θ

∂

(θ) < ∞ e

(λ)

= λf

(λ)

com θ → f

(λ)

(θ) de classe

. Ent˜ao µ−q.t.p. em θ tem-se que U

(t, 0)f

(λ)

(θ) ∈ dom H

(t) e a energia



(t, 0)f

(λ)

(θ), H

(t)U

(t, 0)f

(λ)

(θ)



´e uma fun¸c˜ao limitada de t. Al´em disso, se H

(t) = H

+ V (g

(θ)) com V (g

(θ))

limitado e sup

t,θ

V (g

(θ)) < ∞ ent˜ao



(t, 0)f

(λ)

(θ), H

(t, 0)f

(λ)

(θ)



tamb´em ´e limitada.

Demonstra¸c˜ao: Como

(λ)

= λf

(λ)

tem-se que f

(λ)

(θ) ∈ dom H

(0) q.t.p. em

θ e portanto U

(t, 0)f

(λ)

(θ) ∈ dom H

(t) q.t.p. em θ. Tamb´em temos que

(t, 0)f

(λ)

(θ) = F

−i

(λ)

(θ) = F

−iλt

(λ)

(θ) = e

−iλt

(λ)

(θ))

e das hip´oteses de diferenciabilidade segue

∂

∂t

(t, 0)f

(λ)

(θ) = λe

−iλt

(λ)

(θ)) + ie

−iλt

dθ

(λ)

(θ))

(θ)

o que implica que i

∂

∂t

(t, 0)f

(λ)

(θ) = H

(t)U

(t, 0)f

(λ)

(θ) ´e limitada e o primeiro

resultado segue. A segunda parte se gue como na Proposi¸c˜ao 2.3.

Podemos ent˜ao concluir que:

Corol´ario 2.6 Suponha v´alidas as hip´oteses do teorema acima para Ω e g

e que

para todo autovetor f

(λ

)

∈

K tenha-se θ → f

(λ

)

(θ) de classe C

. Ent˜ao para θ

µ−q.t.p., para todo vetor em H da forma

ξ = a

(λ

)

(θ) + . . . + a

(λ

)

(θ)

a energia

U

(t, 0)ξ, H

(t)U

(t, 0)ξ

´e limitada.

No caso de ξ =



∞

n=1

(λ

)

(θ) com



< ∞, uma condi¸c˜ao suﬁciente

para U

(t, 0)ξ ∈ dom H

(t) e energia limitada ´e

∞



j=1



|λ

| + sup

∂

(θ)



< ∞

pois isto implica que

t → U

(t, 0)ξ =

∞



j=1

−iλ

(θ))

´e de classe C

e i∂

(t, 0) ´e limitada.

Cap´ıtulo 3

Energia Para Hamiltonianas

Peri´odicas no Tempo

Neste cap´ıtulo estudaremos estabilidade para sistemas dependendo periodicamente

do temp o. Como no estudo de modelos tight-binding ([17] e referˆencias deles), vamos

introduzir a m´edia temporal `a la Laplace de U

ξ, AU

ξ, isto ´e,

∞



m=0

−

U

ξ, AU

ξ

em que, ξ ´e um elemento do espa¸co de Hilbert, U

´e o operador de Floquet e A ´e

uma energia abstrata. Demostraremos que a m´edia acima ´e igual a

πe

−

∞



j=1



2π

|ϕ



− e

−iE

1/T



−1

ξ|

em que Aϕ

= λ

. Assim, conhecendo o comportamento dos elementos de matriz

do operador resolvente R

) = (U

−zI

)

−1

(z = e

−iE

1/T

) na base {ϕ

} do espa¸co

de Hilbert, obt´em-se informa¸c˜oes sobre o valor espe rado de energia. O restante do

cap´ıtulo ´e dedicado a aplica¸c˜oes de tal resultado.

3.1 Energia M´edia via Fun¸c˜ao de Green

Considere uma Hamiltoniana H(t) com H(t + τ) = H(t) para todo t ∈ IR. Suponha

a existˆencia dos propagadores U(t, s), e temos o operador de Floquet U

= U(τ, 0)

`a nossa disposi¸c˜ao. Seja A um operador auto-adjunto, n˜ao-limitado, positivo e com

espectro discreto, Aϕ

= λ

, para j = 1, 2, 3, . . ., e vamos supor, primeiramente

que cada autovetor tenha multiplicidade um, ou seja, 0 ≤ λ

< λ

< . . . e λ

→ ∞,

de forma que {ϕ

}

∞

j=1

´e uma base ortonormal de H.

O principal interesse ´e no estudo de

(m)

= U

ξ, AU

ξ

para m ∈ IN sup ondo que dom A ´e invariante sob a evolu¸c˜ao temporal. Outra

grandeza de interesse ´e a dependˆencia temporal do mom ento associado a A, ou seja

(m)

∞



j=1

|ϕ

, U

ξ|

Nosso primeiro resultado ´e:

Proposi¸c˜ao 3.1 Se U

ξ ∈ dom A

, para todo m, ent˜ao

(m) = M

(m).

Demonstra¸c˜ao: Tem-se que

(m) =

∞



j=1

|λ

, U

ξ|

∞



j=1

|A

, U

ξ|

∞



j=1

|ϕ

, A

ξ|

= A

ξ

= A

ξ, A

ξ = U

ξ, AU

ξ = E

(m)

que ´e o resultado aﬁrmado.

Vamos considerar a m´edia temporal de E

`a la Laplace

(T )

∞



m=0

−

(m)

Temos que os expoentes de crescimento de ordem superior para tal m´edia temporal

e para a m´edia Ces`aro C

(T ) =



m=0

(m) s˜ao iguais. Para os expoe ntes de

ordem inferior n˜ao conseguimos demonstrar a igualdade, mais precisamente:

Lema 3.1 Seja (h(m))

∞

m=0

uma seq¨uˆencia n˜ao-negativa, com h(m) ≤ Cm

para

algum C > 0 e n ≥ 0 ent˜ao

lim sup

T →∞

log(



m=0

h(m))

log T

= lim sup

T →∞

log(



∞

m=0

−

h(m))

log T

lim inf

T →∞

log(



m=0

h(m))

log T

≤ lim inf

T →∞

log(



∞

m=0

−

h(m))

log T

Demonstra¸c˜ao: Denote por

= lim sup

T →∞

log(



m=0

h(m))

log T

, β

−

= lim inf

T →∞

log(



m=0

h(m))

log T

= lim sup

T →∞

log(



∞

m=0

−

h(m))

log T

, β

−

= lim inf

T →∞

log(



∞

m=0

−

h(m))

log T

Note que para 0 ≤ m ≤ T tem-se e

−2

≤ e

−

≤ 1 e da´ı vale a desigualdade



m=0

h(m) ≤



m=0

−

h(m) ≤ e

∞



m=0

−

h(m),

o que implica β

≤ β

Por outro lado, tem-se para cada  > 0, denotando · o menor inteiro

maior ou igual que um n´umero real dado,

∞



m=0

−

h(m) =

T

1+





m=0

−

h(m) +

∞



m=T

1+

+1

−

h(m)

≤

T

1+





m=0

h(m) + C

∞



m=T

1+

+1

−

Para  e n ﬁxados tem-se que para T suﬁcintemente grande

< T

1+

≤ T

1+

 e

assim

∞



m=T

1+

+1

−

≤



∞

T

1+



−

dt.

Portanto, para cada  > 0 e T suﬁcientemente grande

∞



m=0

−

h(m) ≤

T

1+





m=0

h(m) + C



∞

T

1+



−

≤

T

1+





m=0

h(m) +

−2T



Como, para cada  > 0, e

−2T



→ 0 quando T → ∞ segue que

= lim sup

T →∞

log



∞

m=0

−

h(m)

log T

≤ lim sup

T →∞

log



T

1+



m=0

h(m)

log T

= lim sup

T →∞

log



T

1+



m=0

h(m)

logT

1+



logT

1+



log T

≤ lim sup

T →∞

log



T

1+



m=0

h(m)

logT

1+



log(T + 1)

1+

log T

= (1 + ) lim sup

T →∞

log



T

1+



m=0

h(m)

logT

1+



≤ (1 + )β

Como  ´e arbitr´ario β

≤ β

A fun¸c˜ao de Green G

(j) associada a A, U

em ξ ∈ H e z ∈ C, |z| = 1 ´e

dada pelos elementos de matriz do operador resolvente R

) = (U

− zI

)

−1

rela¸c˜ao `a base ortonormal {ϕ

}

∞

j=1

, ou seja,

(j)

= ϕ

, R

)ξ.

A principal raz˜ao t´ecnica para trabalhar com este tipo de m´edia temporal de

Laplace ´e o teorema que segue. Observe que devido a este resultado ´e poss´ıvel obter

resultados em estabilidade conhecendo o comportamento das fun¸c˜oes de Green G

(j)

para z = e

−iE

1/T

, T > 0, em uma vizinhan¸ca exterior a S

. Destacamos que tal

resultado n˜ao leva em conta as propriedades espectrais do operador de Floquet U

e po dem os obter resultados em estabilidade diretamente sem passar explicitamente

pelas propriedades espectrais de U

Teorema 3.1 Para ξ ∈ H de maneira que U

ξ ∈ dom A

para cada m ∈ IN tem-se

(T ) =

πe

−

∞



j=1



2π

(j)|

dE,

sendo z = e

−iE+

Demonstra¸c˜ao: Denote por µ

a medida espectral de U

associada ao par (ϕ

, ξ)

e por F a transformada de Fourier F : L

([0, 2π]) → l

(ZZ). Tem-se

ϕ

, U

ξ =



2π

−iE



dµ



Para cada j seja a

(j)

= (a

(j)

(m))

m∈ZZ

a seq¨uˆencia

(j)

(m) =











0 se m < 0

−



2π

−iE



dµ



) se m ≥ 0

Como F ´e unit´ario a

(j)



(ZZ)

= F

−1

(j)



([0,2π])

e como a

(j)

∈ l

(ZZ) ∩ l

(ZZ),

temos

−1

(j)

)(E) =

√

2π

∞



m=−∞

iEm

(j)

(m)

√

2π

∞



m=0

iEm

−



2π

−iE



dµ



)

√

2π



2π



∞



m=0

im(E−E



)



dµ



)

√

2π



2π

1 − e

i(E−E



)

dµ



)

√

2π



2π

dµ



)

i(E+

)

−i(E+

)

− e

−iE



)

= −

√

2πe

i(E+

)



2π

dµ



)

−iE



− e

−i(E+

)

= −

√

2πe

i(E+

)

ϕ

, R

−i(E+

)

)ξ

= −

√

2πe

−

(j),

sendo z = e

−iE+

. Portanto

−1

(j)

(E) =

2πe

−

(j)|

ou seja

F

−1

(j)



([0,2π])

2πe

−



2π

(j)|

dE,

e disto segue que

(T ) =

∞



m=0

−

(m)

∞



j=1

∞



m=0

−

|ϕ

, U

ξ|

∞



j=1

∞



m=0



−



2π

−iE



dµ



)



∞



j=1

a

(j)



(ZZ)

∞



j=1

F

−1

(j)



([0,2π])

πe

−

∞



j=1



2π

(j)|

dE,

que ´e exatamente o resultado aﬁrmado.

O Teorema 3.1 tamb´em vale se os autovalores λ

possu´ırem multiplicidade

ﬁnita. Neste caso a cada λ

considere os autovetores ortonormais ϕ

, . . . , ϕ

, ent˜ao

(T ) =

πe

−

∞



j=1





n=1



2π

|ϕ

, R

)ξ|



em que z ´e como no Teorema 3.1.

No caso em que a condi¸c˜ao inicial ´e ξ = ϕ

, denote η

(z)

= R

)ϕ

Assim, (U

− z)η

(z)

= ϕ

implica que U

(z)

= zη

(z)

+ ϕ

e portanto

ϕ

, U

(z)

 = zϕ

, η

(z)

 + δ

j,1

e denotando G

(j)

= G

(j), conclu´ımos

Lema 3.2

(j) =











(ϕ

, U

(z)

 − 1), se j = 1

ϕ

, U

(z)

, se j > 1

Na Se¸c˜ao 3.2 vamos considerar alguns operadores de Floquet conhecidos e

analisar a equa¸c˜ao

− z)η

(z)

= ϕ

na tentativa de explicitar G

(j) e aplicar o Teorema 3.1.

3.2 Aplica¸c˜oes

Esta se¸c˜ao ´e devotada para algumas aplica¸c˜oes da f´ormula obtida no Teorema 3.1.

A principal diﬁculdade ´e encontrar express˜oes e/ou limites das fun¸c˜oes de Green.

3.2.1 Hamiltonianas Independentes do Tempo

Como um suporte para a f´ormula apresentada no Teorema 3.1, consideramos o

caso especial de Hamiltonianas autˆonomas. Neste caso H(t) = H

para todo t e

assumimos que H

´e um operador auto-adjunto positivo e com espectro discreto,

= λ

, de forma que {ϕ

}

∞

j=1

´e base ortonormal de H e 0 ≤ λ

< λ

. . . com λ

→ ∞. Para q > 0 podemos considerar H

como nosso operador energia

abstrata A.

E conhecido que U

= e

−iH

e para ξ ∈ dom H

tem-se

−iH

− z)R

−iH

)ξ = ξ,

e portanto para c ada j ∈ IN

ϕ

, (e

−iH

− z)R

−iH

)ξ = ϕ

, ξ,

ou seja,

e

, R

−iH

)ξ − zϕ

, R

−iH

)ξ = ϕ

, ξ.

Como e

= e

iλ

tem-se

−iλ

− z)ϕ

, R

−iH

)ξ = ϕ

, ξ,

portanto

(j) =

ϕ

, ξ

−iλ

− z

Assim, para z = e

−iE

(T )

= L

(T ) =

πe

−

∞



j=1



2π

(j)|

πe

−

∞



j=1



2π

|ϕ

, ξ|

−iλ

− z|

dE (3.1)

πe

−

∞



j=1

|ϕ

, ξ|



2π

−iλ

− z|

Vamos agora calcular I



2π

−iλ

−z|

. Seja γ o caminho fechado em C

dado por γ(E) = e

com 0 ≤ E ≤ 2π, α

= e

iλ

e β

= e

−

iλ

ent˜ao



2π

−iλ

− z)(e

iλ

− z)



2π

−iλ

− e

−iE

)(e

iλ

− e

)



2π

−

−iλ

− e

−iE

)(e

−

iλ

− e

)

= −



2π

−iE

−

−iλ

− α

)(e

− β

)

= −

−iλ



2π

− α

)(e

− β

)

−iλ



(w − α

)(w − β

)

Como |α

| > 1 e |β

| < 1, β

´e o ´unico p´olo no interior de γ e pelo Teorema dos

Res´ıduos

−iλ

2πi

(β

− α

)

2π

− 1

e I

independe de λ

Com este c´alculo obtemos de (3.1) que

(T ) =

πe

−

∞



j=1

|ϕ

, ξ|

2π

− 1

−

− 1)

∞



j=1

|ϕ

, ξ|

(1 − e

−

)

H

ξ

Como (1 − e

−

) =

+ O(

), para T grande obt´em-se

(T ) ≈ H

ξ

com (para ξ ∈ dom H

)

lim

T →∞

(T ) = ξ, H

ξ.

Ent˜ao conclu´ımos que a fun¸c˜ao e

−iH

ξ, H

−iH

ξ ´e limitada para ξ ∈ dom H

que ´e (claramente) um resultado esperado (veja Proposi¸c˜ao 3.1).

3.2.2 Um Limite Inferior para as Fun¸c˜oes de Green

Como uma primeira aplica¸c˜ao te´orica, conseguimos instabilidade dinˆamica a partir

de limites inferiores das fun¸c˜oes de Green.

Teorema 3.2 Suponha que existam K > 0 e α > 0 de modo que para qualquer

2N > 0 suﬁcientemente grande exista um conjunto de Borel n˜ao-vazio A(N ) ⊂ S

de forma que

(j)| ≥

, 1 ≤ j ≤ 2N,

e z = e

−iE+

com E ∈ B(T ) = {E



∈ S

: ∃ E



∈ A(N); |E



− E



| ≤

} (a

−vizinhan¸ca de A(N )). Ent˜ao se δ =

1+α

tem-se

(T ) ≥ cte |B(T )|λ

]

δ(1−2α)−1

em que [·] denota a parte inteira de um n´umero real. Se al´em disso λ

≥ cte j

γ ≥ 0, ent˜ao

(T ) ≥ cte T

δ(γ−2α+1)−2

Demonstra¸c˜ao: Escolha 2N(T ) = [T

]. Assim

(T ) =

πe

−

∞



j=1



2π

(j)|

≥

cte

2N(T )



j=N (T )



2π

(j)|

≥

cte

N(T )

2N(T )



j=N (T )



B(T )

(j)|

≥

cte

N(T )

2N(T )



j=N (T )

N(T )

2α

|B(T )|

cte

|B(T )|λ

N(T )

2α−1

cte

|B(T )|λ

]

2α−1

≥ cte |B(T)|λ

]

δ(1−2α)−1

Se λ

≥ cte j

, como |B(T )| ≥

tem-se que

(T ) ≥ cte

δγ

δ(1−2α)−1

= cte T

δ(γ−2α+1)−2

e o resultado est´a demonstrado.

3.2.3 Perturba¸c˜oes Kicked de Posto 1

Agora considere

H(t) = H

+ κP



δ(t − n2π),

em que H

´e como na Subse¸c˜ao 3.2.1 com base de autovetores {ϕ

}

∞

j=1

e λ

autovalores correspondentes; P

(·) = φ, ·φ sendo φ c´ıclico para H

com φ = 1 e

κ ∈ IR. Seja

φ =



Neste caso sabe-se que, [9, 13],

= U

+ αP

em que U

= e

−i2πH

e α = (e

−i2πκ

−1). Estamos interessados em η

(z)

= R

)ϕ

Como |z| = 1 tem-se η

(z)

∈ H. Ent˜ao p odemos escrever

(z)

∞



j=1

Note que a

= G

(j) e temos que

(z)

− zη

(z)

= ϕ

. (3.2)

Tamb´em

(z)

= U

(z)

+ αU

(z)

∞



j=1

+ αU

φ, η

(z)

φ

∞



j=1

−i2πλ

+ αφ, η

(z)



∞



j=1

−i2πλ

∞



j=1

+ αφ, η

(z)

b

−i2πλ

e de (3.2) segue

∞



j=1

+ αφ, η

(z)

b

−i2πλ

− z

∞



j=1

= ϕ

ou seja,

∞



j=1

−i2πλ

− z) + αφ, η

(z)

b

−i2πλ

]ϕ

= ϕ

e conseguimos as equa¸c˜oes

−i2πλ

− z) + αφ, η

(z)

b

−i2πλ

= 1,

−i2πλ

− z) + αφ, η

(z)

b

−i2πλ

= 0 para j > 1.

Assim

1 − αφ, η

(z)

b

−i2πλ

− z

, (3.3)

= −

αφ, η

(z)

b

−i2πλ

− z

j > 1. (3.4)

Para o caso trivial α = 0, ou equivalentemente, κ ∈ ZZ tem-se

−i2πλ

− z

, a

= 0 j > 1,

e η

(z)

−i2πλ

−z

. Neste caso a an´alise de L

(T ) se reduz a



2π

dE =



2π

−i2πλ

− z|

2π

− 1

como calculado na Subse¸c˜ao 3.2.1. Assim L

(T ) ≈ H

 para T grande e

U

, H

 ´e limitado.

Voltando ao caso geral α = 0, note que

φ, η

(z)

 =

∞



j=1

= b



1 − αφ, η

(z)

b

−i2πλ

− z



∞



j=2

(−α)φ, η

(z)

b

−i2πλ

− z

−i2πλ

− z

− φ, η

(z)



∞



j=1

α|b

−i2πλ

− z

Logo

φ, η

(z)

 =

−i2πλ

− z)



1 +

∞



j=1

α|b

−i2πλ

− z



−1

Denotando

τ(z) = 1 +

∞



j=1

α|b

−i2πλ

− z

por (3.3) e (3.4) obtemos, ﬁnalmente, as rela¸c˜oes

−i2πλ

− z

−

α|b

−i2πλ

τ(z)

−1

−i2πλ

− z)

= −

αb

−i2πλ

τ(z)

−1

−i2πλ

− z)(e

−i2πλ

− z)

j > 1.

Um Oscilador Harmˆonico

Apresentamos agora uma aplica¸c˜ao das rela¸c˜oes acima para o kicked de um oscilador

harmˆonico com freq¨uˆencia natural igual a 1, ou seja,

Proposi¸c˜ao 3.2 Seja H

a Hamiltoniana de um oscilador harmˆonico com parˆametros

apropriados de modo que seus autovalores sejam λ

= j, j ≥ 1, e U

= U

+αP

)

como acima. Ent˜ao para qualquer κ ∈ IR e vetor c´ıclico φ para H

, existe C > 0 tal

que

(T ) ≤ C, ∀T > 0,

em que ϕ

´e o autovetor associado a λ

= 1.

Demonstra¸c˜ao: Usamos a nota¸c˜ao acima. Neste caso temos

τ(z) = 1 +

∞



j=1

α|b

1 − z

= 1 +

1 − z

φ

1 − z + α

1 − z

e portanto

1 − z

−

α|b

(1 − z)(e

−i2πκ

− z)

= −

αb

(1 − z)(e

−i2πκ

− z)

j > 1.

Calculemos agora I



2π

dE. Para j > 1 e γ(E) = e

, 0 ≤ E ≤ 2π,



2π

dE =



2π



αb

(1 − z)(e

−i2πκ

− z)



= |α|



2π

|(1 − e

−iE

)(e

−i2πκ

− e

−iE

|α|

−i2πκ



wdw

(w − β

)(w − β

)

em que β

= e

, β

= e

−

, β

= e

i2πκ

e β

= e

−

i2πκ

; β

e β

s˜ao os p´olos no

interior de γ. E pelo Teorema dos Res´ıduos, para j > 1,

2π|α|

−i2πκ



(β

− β

)(β

− β

)(β

− β

)

(β

− β

)(β

− β

)(β

− β

)



2πα|b

− 1)(e

−i2πκ

− e

)

−

2πα|b

i2πκ

− 1)(e

i2πκ

− e

)

2πα|b

− 1)



−i2πκ

− e

−

i2πκ

− e



e para j = 1



2π



1 − z

−

α|b

(1 − z)(e

−i2πκ

− z)





2π

(1 − z)(1 − z)

− α|b



2π

(1 − z)(1 − z)(e

i2πκ

− z)

−α|b



2π

(1 − z)(1 − z)(e

−i2πκ

− z)

+|α|



2π

(1 − z)(1 − z)(e

−i2πκ

− z)(e

i2πκ

− z)

;

calculando as integrais obtemos

2π

− 1)

−

2π|b

− 1)

−

2π|b

i2πκ

− e

)

−

2πα|b

− 1)(e

−i2πκ

− e

)

2πα|b

− 1)



−i2πκ

− e

−

i2πκ

− e



e depois de substituir isso na express˜ao da m´edia para a energia obtemos

(T ) =

(1 − e

−



1 − |b

−

α|b

−i2πκ

− e

)



−

2|b

−

i2πκ

− e

2α|b

(1 − e

−



−i2πκ

− e

−

i2πκ

− e



φ, H

φ.

Portanto, para T grande existe uma constante C(κ, b

) > 0 tal que

(T ) ≤ C(κ, b

)



1 + φ, H

φ +



e o resultado segue.

E conhecido que o operador de Floquet associado ao modelo da Proposi-

¸c˜ao 3.2 tem espectro pontual puro ([8, 9]), mas nada era conhecido sobre a estabili-

dade dinˆamica de tal sistema quˆantico.

Para osciladores harmˆonicos com autovalores λ

= ωj, ω = 1, o c´alculo das

integrais resultantes ´e mais complicado e n˜ao foram realizados.

3.2.4 Perturba¸c˜oes Kicked por V em L

)

Kicked Linear Rotor

Considere

H(t) = ωp + V (x)



n∈ZZ

δ(t − n2π),

em que p = −i

, ω ∈ IR e V ∈ L

). O espa¸co de Hilbert ´e L

); esse modelo

foi considerado em [4, 22, 18] e referˆencias deles. O operador de Floquet ´e

= U

= e

−i2πωp

−iV (x)

Sejam ϕ

(x) =

ijx

√

2π

para j ∈ ZZ; p

tem autovalores λ

= j

para j = 0, 1, 2, 3, . . .,

com multiplicidade um e autovetor correspondente ϕ

e os demais λ

’s com

multiplicidade dois e autovetores correspondentes ϕ

e ϕ

−j

Considere o caso ω = 1; ent˜ao

((U

− z)

−1

)(x) =

√

2π(e

−iV (x)

− z)

e portanto

(j) = ϕ

, R

)ϕ

 =

2π



2π

−ijx

−iV (x)

− z

dx.

Denote I



2π

(j)|

dE. Segue que

(2π)



2π





2π

−ijx

−iV (x)

− z



(2π)



2π





2π

−ijx

−iV (x)

− z





2π

−ijx

−iV (x)

− z



(2π)



2π





2π

−ijx

−iV (x)

− z





2π

ijy

iV (y)

− z



(2π)



2π





2π



2π

−ijx

ijy

−iV (x)

− z)(e

iV (y)

− z)

dxdy



(2π)



2π



2π

−ijx

ijy





2π

−iV (x)

− z)(e

iV (y)

− z)



dxdy.

Para x, y ∈ S

ﬁxados denote I



2π

−iV (x)

−z)(e

iV (y)

−z)

. Se γ(E) = e

, 0 ≤

E ≤ 2π tem-se



2π

−iV (x)

− e

−iE

)(e

iV (y)

− e

)



2π

−iE

−iV (x)

− e

iV (x)

−

iV (y)

− e

)

= −

−iV (x)



(w − e

iV (x)

)(w − e

−

iV (y)

)

e pelo Teorema dos Res´ıduos

= −

2π

−iV (x)

−

iV (y)

− e

iV (x)

)

2π

− e

−iV (x)

iV (y)

)

Portanto

(2π)



2π



2π

−ijx

ijy

2π

− e

−iV (x)

iV (y)

)

dxdy

2π



2π

−ijx





2π

ijy

− e

−iV (x)

iV (y)

)



dx (3.5)

2π



2π

−ijx

−iV (x)





2π

ijy

iV (x)

− e

iV (y)

)



dx.

O c ´alculo dessas integrais n˜ao ´e uma tarefa f´acil. Como uma ilustra¸c˜ao, considere o

potencial particular V (x) = x; pela F´ormula Integral de Cauchy



2π

ijy

− e

)

= −



j−1

(w − e

)

= 0 se j ≥ 1,

e pelo Teorema dos Res´ıduos



2π

ijy

− e

)

= −



1−j

(w − e

)

2π

)

1−j

se j ≤ 0,

e conclu´ımos que

= 0 se j ≥ 1

2π



2π

−ijx

−ix

2π

)

1−j

dx =

(1−j)



2π

dx =

2π

(1−j)

se j ≤ 0.

Portanto, segue que para qualquer q > 0

(T ) =

πe

−

∞



j=1

−j

∞



j=1

−

e conclu´ımos que neste caso

U

, p

 = m

Esse ´e um resultado esperado visto que o espectro de U

´e absolutamente cont´ınuo

neste caso [4], mas aqui conseguimos o resultado explicitamente sem passar por argu-

mentos espectrais, embora de uma maneira mais complicada. De qualquer maneira,

´e novamente um suporte para a f´ormula no Teorema 3.1.

Para V (x) = kx com k ≥ 2, k inteiro, j´a complica um pouco, mas fazendo

c´alculos similares obtemos











0 se j = lk, l ≥ 1

2π

(1−l)

se j = lk, l ≤ 0

e portanto

(T ) ≥

∞



l=1

−

;

logo U

, p

 ≥ C(k, q)m

. O mesmo ´e v´alido se V (x) = kx com k ≤ −1.

Sistemas Kicked com Potˆencia em p

Devido a diﬁculdade em calcular as integrais em (3.5), a ﬁm de estimar L

(T ), em

algumas situa¸c˜oes, consideraremos uma maneira alternativa.

Considere os modelos Kicked em L

) com operador de Floquet

= U

= e

−i2πωf(p)

−iV (x)

correspondendo a Hamiltoniana

H(t) = 2πωf(p) + V (x)



n∈ZZ

δ(t − 2πn)

em que p, V, ϕ

s˜ao como anteriormente e f(p) = p

para algum s ∈ IN. Seja

F : L

) → l

(ZZ) a transformada de Fourier. Ent˜ao FU

−1

: l

(ZZ) → l

(ZZ) e

−1

= Fe

−i2πωf(p)

−iV (x)

−1

= Fe

−i2πωf(p)

−1

−iV (x)

−1

em que Fe

−i2πωf(p)

−1

´e representado por uma matriz diagonal D cujas entradas

s˜ao

D(m, n) = e

−i2πωf(n)

e Fe

−iV (x)

−1

´e representado pela matriz W cujas entradas s ˜ao

W (m, n) = (Fρ)(m − n) = ˆρ(m − n),

em que ρ(x) =

√

2π

−iV (x)

. Denote B = DW ent˜ao B(m, n) = e

−i2πωf(n)

ˆρ(m −n) e

tem-se

= F

−1

BF. (3.6)

Seja η

(z)

= R

)ϕ

ent˜ao

(z)

− zη

(z)

= ϕ

e usando (3.6) obtemos

BFη

(z)

− zFη

(z)

= Fϕ

Assim, para cada n ∈ ZZ,

(BFη

(z)

)(n) − (zFη

(z)

)(n) = (Fϕ

)(n),

o que resulta em

−i2πωf(n)



j∈ZZ

ˆρ(n − j)G

(j) − zG

(n) = δ

. (3.7)

A partir desta equa¸c˜ao, para conseguirmos obter uma express˜ao para as

fun¸c˜oes de Green, vamos considerar os casos que seguem:

Caso Tridiagonal

. Para lidar com tal equa¸c˜ao, tentamos simpliﬁc´a-la supondo que

V seja tal que ˆρ(m − n) = 0 se |m − n| > 1. Ent˜ao, para cada n ∈ ZZ ﬁxado a

equa¸c˜ao (3.7) se reduz a

−i2πωf(n)



|n−j|≤1

ˆρ(n − j)G

(j) − zG

(n) = δ

(3.8)

e F

−1

F = B ´e tridiagonal e tem a forma

B =







g(−1)ˆρ(0) g(−1)ˆρ(−1)

ˆρ(1) ˆρ(0) ˆρ(−1)

g(1)ˆρ(1) g(1)ˆρ(0) g(1)ˆρ(−1)

g(2)ˆρ(1) g(2)ˆρ(0)







em que g(n) = e

−i2πωf(n)

. Agora, se U ´e um operador unit´ario em l

(ZZ) tri-

diagonal ent˜ao ou ele ´e unitariamente equivalente a um operador shift (bilateral),

ou ele ´e a soma direta inﬁnita de matrizes unit´arias 2 × 2 e 1 × 1. (Lema 3.1

de [10]). Para demonstrar tal resultado foi usado apenas que se U ´e unit´ario e

= α

k−1

+ β

+ γ

k+1

em que {e

} ´e a base canˆonica de l

(ZZ), ou seja,

U =







k−1

k+1







ent˜ao valem, dentre outras, as rela¸c˜oes para todo k ∈ ZZ

|α

+ |β

+ |γ

= 1,

k−1

+ β

= 0,

= 0.

Aplicando essas rela¸c˜oes `a B = F

−1

F obtemos

• Se ˆρ(−1) = 0 ent˜ao ˆρ(1) = ˆρ(0) = 0 e |ˆρ(−1)| = 1.

• Se ˆρ(1) = 0 ent˜ao ˆρ(−1) = ˆρ(0) = 0 e |ˆρ(1)| = 1.

• Se ˆρ(0) = 0 ent˜ao ˆρ(1) = ˆρ(−1) = 0 e |ˆρ(0)| = 1.

O pr´oximo passo ´e investigar esses casos. O caso em que ˆρ(0) = 0 reduz-se

ao caso H(t) = H

j´a considerado ante riormente.

Os casos ˆρ(−1) = 0 e ˆρ(1) = 0 s˜ao similares, vamos considerar o caso

ˆρ(1) = 0. Para n ∈ ZZ ﬁxado a equa¸c˜ao (3.8) ﬁca

−i2πωf(n)

ˆρ(1)G

(n − 1) − zG

(n) = δ

, (3.9)

e portanto pode-se esc rever G

(n) em termos de G

(0) e G

(−1) para todo n ∈ ZZ,

a saber

(n) =

−i2πω(f(n)+...+f(1))

ˆρ(1)

(0) n ≥ 1,

(−n) =

n−1

−i2πω(f(−n+1)+...+f(−1))

ˆρ(1)

n−1

(−1) n ≥ 2;

al´em disso, para n = 0 em (3.9) tem-se ˆρ(1)G

(−1) − zG

(0) = 1, logo para

z = e

−iE

1/T

com E ∈ S

e T > 1

1 ≤ |G

(−1)| + |z||G

(0)|

= |G

(−1)| + e

1/T

(0)|

≤ e(|G

(−1)| + |G

(0)|),

ou seja, para z = e

−iE

1/T

com E ∈ S

e T > 1

(−1)|

+ |G

(0)|

≥ d > 0.

Portanto, para T > 1

(T ) =

πe

−

∞



n=1





2π

(n)|

dE +



2π

(−n)|



πe

−

∞



n=1





2π

(0)|

2(n−1)



2π

(−1)|



≥

πe

−

∞



n=1

−



2π



(0)|

+ |G

(−1)|



≥ d

∞



n=0

(n + 1)

−

logo U

, p

 ≥ C(m + 1)

Caso Pentadiagonal. Suponha agora que V seja de forma que ˆρ(m − n) = 0 se

|m − n| > 2. Ent˜ao para cada n ∈ ZZ ﬁxado a equa¸c˜ao (3.7) se reduz a

−i2πωf(n)



|n−j|≤2

ˆρ(n − j)G

(j) − zG

(n) = δ

, (3.10)

e F

−1

F ´e pentadiagonal e tem a forma similar a F

−1

F do caso anterior, acres-

centando os elementos cuja distˆancia `a diagonal principal ´e 2, os elementos acima

da diagonal sendo da forma e

−i2πωf(n)

ˆρ(−2) e os abaixo da forma e

−i2πωf(n)

ˆρ(2).

Para n˜ao recairmos no caso anterior, teremos de supor que ˆρ(2) ou ˆρ(−2) ´e n˜ao-

nulo. Agora, se U ´e um operador unit´ario e pentadiagonal em l

(ZZ), ou seja,

= ζ

k−2

+ α

k−1

+ β

+ γ

k+1

+ θ

k+2

e em forma matricial

U =







k−2

k−1

k−2

k−1

k+1

k−2

k−1

k+1

k+2

k−1

k+1

k+2

k+1

k+2







ent˜ao s˜ao v´alidas as seguintes rela¸c˜oes, para cada k ∈ ZZ

|ζ

+ |α

+ |β

+ |γ

+ |θ

= 1

k−1

+ α

k−1

+ β

k−1

+ γ

k−1

= 0

k−2

+ β

k−1

+ α

+ β

k+1

= 0

k−1

+ α

+ ζ

k+1

= 0

k+1

k−1

+ α

k+1

k−1

+ β

k+1

k−1

= 0

k−1

+ ζ

= 0

k+1

k−2

+ α

k+1

k−2

= 0

k+2

k−2

= 0.

Vamos supor ˆρ(2) = 0. O caso ˆρ(−2) = 0 ´e similar. Ent˜ao pelas rela¸c˜oes acima

aplicadas ao nosso caso, obt´em-s e que ˆρ(−2) = ˆρ(−1) = ˆρ(0) = ˆρ(1) = 0 e portanto

(3.10) ﬁca

−i2πωf(n)

ˆρ(2)G

(n − 2) − zG

(n) = δ

Para n = 0 tem-se ˆρ(2)G

(−2) − zG

(0) = 1 e de forma an´aloga ao caso anterior

(−2)|

+ |G

(0)|

≥ d > 0,

para z = e

−iE

1/T

, E ∈ S

e T > 1. Como para n ≥ 1

(2n) =

−i2πω(f(2n)+f(2n−2)+···+f (2))

ˆρ(2)

(0),

(−2n) =

n−1

(−2)

ˆρ(2)

n−1

−i2πω(f(−2(n−1))+···+f(−2))

obtemos que

(T ) ≥

πe

−

∞



n=1

(2n)





2π

(2n)|

dE +



2π

(−2n)|



πe

−

∞



n=1

(2n)





2π

(0)|

2(n−1)



2π

(−2)|



≥

πe

−

∞



n=1

(2n)

−



2π



(0)|

+ |G

(−2)|



≥ d

∞



n=0

(2(n + 1))

−

e portanto

U

, p

 ≥ C(2(m + 1))

Caso N -diagonal. No c aso de V ser de forma que ˆρ(m−n) = 0 se |m−n| > N, para

n˜ao se recair nos casos anteriores tem-se que supor que ˆρ(N) ou ˆρ(−N) ´e n˜ao-nulo.

No caso de ˆρ(N) = 0 tem-se pela unitariedade e pela estrutura de F

−1

F que

ˆρ(N − 1) = . . . ˆρ(0) = ˆρ(−1) = . . . = ˆρ(−N) = 0 e p ortanto (3.7) se reduz, para

cada n ∈ ZZ, `a

−i2πωf(n)

ˆρ(N )G

(n − N) − zG

(n) = δ

logo

(−N)|

+ |G

(0)|

≥ d > 0,

para z = e

−iE

1/T

, T > 1 e al´em disso para n ≥ 1

(nN) =

−i2πω(f(nN)+f ((n−1)N )+···+f(N))

ˆρ(N )

(0),

(−nN) =

n−1

(−N)

ˆρ(N )

n−1

−i2πω(f(−N(n−1))+···+f (−N ))

Portanto, de forma similar aos casos anteriores conclu´ımos que

(T ) ≥ d

∞



n=0

(N(n + 1))

−

Podemos ent˜ao enunciar o seguinte resultado:

Teorema 3.3 Para sistemas Kicked em L

) com

= e

−i2πωf(p)

−iV (x)

em que f(p) = p

, tem-se que FU

−1

: l

(ZZ) → l

(ZZ) ´e representado pela matriz

B com entradas B(m, n) = e

−i2πωf(n)

ˆρ(m − n) sendo ρ(x) = (2π)

−

−iV (x)

. Se V

´e de forma que ˆρ(m − n) = 0 se |m − n| > N ∈ IN

∗

e ˆρ(N) ou ˆρ(−N) ´e n˜ao-nulo,

isto ´e, V (x) = ±N x + θ com θ ∈ IR, ent˜ao FU

−1

´e unitariamente equivalente a

em que T ´e o operador shift bilateral (`a direita ou `a esquerda) e

(T ) ≥ d

∞



n=0

(N(n + 1))

−

Demonstra¸c˜ao: Falta demonstrar apenas que FU

−1

´e unitariamente equiva-

lente a T

. Vamos supor que ˆρ(N) = 0 (o caso para ˆρ(−N) = 0 ´e similar) ent˜ao

pela discus˜ao precedente tem-se que

B(m, n) =











0 se m = n + N

−i2πωf(n)

ˆρ(N ) se m = n + N

ou seja, Be

= e

−i2πωf(n)

ˆρ(N )e

n+N

, em que {e

} ´e a base c anˆonica de l

(ZZ). Como

|ˆρ(N)| = 1, vamos escrever ˆρ(N) = e

−iθ

. Seja W um operador unit´ario deﬁnido por

W e

= e

iϑ

, n ∈ ZZ.

Se ϑ

satisfaz para todo n ∈ ZZ

n+N

− ϑ

= 2πωf(n) + θ (3.11)

segue que W

−1

BW = T

. (3.11) ´e satisfeita tomando, por exemplo, ϑ

= ϑ

. . . = ϑ

N−1

= 0 e os demais ϑ

obedecendo (3.11).

Observamos que o resultado acima j´a ´e conhecido, visto que para V (x) = x

sabe-se que o espectro de U

= U

´e absolutamente cont´ınuo puro, donde segue tal

crescimento para o valor esperado da energia pela teoria desenvolvida em [2, 29, 30,

46].

Cap´ıtulo 4

Operador de Floquet com

Espectro Pontual e Instabilidade

Em [10] s˜ao estudados uma classe de operadores Floquet em l

(ZZ) e l

(IN

∗

) que s˜ao

pentadiagonais. Tais operadores em l

(IN

∗

) descrevem a dinˆamica quˆantica de certos

modelos, veja [5, 10] e referˆencias l´a citadas. Neste cap´ıtulo consideramos uma classe

especial desses operadores e construiremos um exemplo de operador de Floquet com

espectro pontual puro e energia n˜ao-limitada. Para mostrar que o espectro ´e pontual

puro usaremos um argumento de [32] que foi usado para demonstrar a presen¸ca

desse tipo espectral, com autofun¸c˜oes decaindo exponencialmente, para operadores

unit´arios aleat´orios; o argumento combina perturba¸c˜ao de posto 1 e positividade

do expoente de Lyapunov com limita¸c˜ao polinomial das autofun¸c˜oes generalizadas.

Para mostrar instabilidade dinˆamica adaptaremos os resultados preliminares usados

para conseguir instabilidade para o modelo em [19], alguns resultados possuem uma

demonstra¸c˜ao completamente diferente.

Este cap´ıtulo ´e organizado como segue: Na Se¸c˜ao 4.1 apresentaremos o

modelo de ope rador de Floquet que iremos considerar, alguns resultados preliminares

sobre eles s˜ao apresentados e o resultado principal deste cap´ıtulo (Teorema 4.2) ´e

enunciado. Na Se¸c˜ao 4.2 demonstraremos que o operador de Floquet considerado

tem espectro pontual puro. A Se¸c˜ao 4.3 ´e dedicada `a demonstrar instabilidade

dinˆamica do modelo.

4.1 Apresenta¸c˜ao dos Operadores Floquet

Neste cap´ıtulo o espa¸co de Hilb e rt ´e l

(ZZ) ou l

(IN

∗

), em que IN

∗

´e o conjunto dos

inteiros positivos, e denotaremos a base canˆonica de l

(ZZ) por {ϕ

}

k∈ZZ

e similar-

mente para l

(IN

∗

). Se S ´e uma matriz unit´aria 2 × 2 ent˜ao S pode ser escrita

como

S = e

−iθ







−iα

ite

iγ

ite

−iγ

iα







em que α, γ, θ ∈ S

e t, r ∈ IR e s atisfazem t

+ r

= 1; t ´e chamado de coeﬁciente

de transmiss˜ao e r de coeﬁciente de reﬂex˜ao.

Considere {S

}

k∈ZZ

um conjunto inﬁnito de tais matrizes, em que S

de-

pende das fases α

, γ

, θ

e dos coeﬁcientes de reﬂex˜ao e transmiss˜ao t

, r

. Sejam

os projetores ortogonais nos subspa¸cos gerados por ϕ

, ϕ

j+1

em l

(ZZ) e U

e U

os operadores unit´arios em l

(ZZ) deﬁnidos por



k∈ZZ

e U



k∈ZZ

2k+1

ou, em representa¸c˜ao matricial na base canˆonica,







−2







e similarmente para U

, com S

2k+1

no lugar de S

Os operadores Floquet U , considerados em [10] e que estudaremos neste

cap´ıtulo, s˜ao deﬁnidos por

U = U

tal que, para qualquer k ∈ ZZ

Uϕ

= ir

2k−1

−i(θ

+θ

2k−1

)

−i(α

−γ

2k−1

)

2k−1

−i(θ

+θ

2k−1

)

−i(α

−α

2k−1

)

+ir

2k+1

−i(θ

+θ

2k+1

)

−i(γ

+α

2k+1

)

2k+1

−t

2k+1

−i(θ

+θ

2k+1

)

−i(γ

+γ

2k+1

)

2k+2

Uϕ

2k+1

= −t

2k−1

−i(θ

+θ

2k−1

)

i(γ

+γ

2k−1

)

2k−1

(4.1)

+ir

2k−1

−i(θ

+θ

2k−1

)

i(γ

+α

2k−1

)

2k+1

−i(θ

+θ

2k+1

)

i(α

−α

2k+1

)

2k+1

+ir

2k+1

−i(θ

+θ

2k+1

)

i(α

−γ

2k+1

)

2k+2

Em forma matricial, sem explicitar os elementos, temos a estrutura

U =







∗ ∗ ∗ ∗







(4.2)

Considere t

= t, r

= r, ∀ k ∈ ZZ com r

+ t

= 1 e 0 < r, t < 1. Os casos extremos

em que rt = 0 s˜ao e spe ctralmente triviais; no caso t = 0, i.e., r = 1, U ´e pontual

puro e se t = 1, i.e. r = 0, U ´e absolutamente cont´ınuo. (Proposi¸c˜ao 3.1 de [10]).

Denote a matriz (4.2) por M({θ

}, {α

}, {γ

}) e identiﬁque U a ela, ´e

conhecido que (Lema 3.2 de [10]) para quaisquer seq¨uˆencias {θ

}, {α

}, {γ

}, k ∈ ZZ

U ≡ M({θ

}, {α

}, {γ

})  M({θ

}, {α

}, {0})

em que  signiﬁca unitariamente equivalente, e pode-se substituir {γ

} na deﬁni¸c˜ao

de U p or qualquer outra seq¨uˆencia {γ



Considerando a equa¸c˜ao de autovalores

Uψ = e

ψ,

ψ =



k∈ZZ

, c

∈ C

, E ∈ C, (4.3)

vˆe-se da estrutura (4.2) do operador U , que se ψ satisfaz (4.3) tem-se a seguinte

rela¸c˜ao entre os coeﬁcientes (c

, c

2k+1

) e (c

2k−2

, c

2k−1

)







2k+1







= T

(E)







2k−2

2k−1







em que T

(E) ´e a matriz 2 × 2 cujas entradas s˜ao

(E)

= −e

−i(E+γ

2k−1

+γ

2k−2

+θ

2k−1

+θ

2k−2

)

(E)

= i

−i(E+γ

2k−1

−α

2k−2

+θ

2k−1

+θ

2k−2

)

− e

−i(γ

2k−1

−α

2k−1

)

(E)

= i

−i(θ

2k−2

−θ

+γ

2k−1

+γ

2k−2

+α

2k−1

)

(4.4)

−e

−i(E+θ

2k−2

+θ

2k−1

+γ

2k−1

+γ

2k−2

+α

)

(E)

= −

i(E+θ

+θ

2k−1

−γ

2k−1

)

−i(γ

+γ

2k−1

)

i(θ

−θ

2k−2

+α

2k−2

−α

2k−1

)

+ e

−i(α

−α

2k−1

)

−

−i(E+θ

2k−2

+θ

2k−1

+γ

2k−1

+α

−α

2k−2

)

det T

(E) = e

−i(θ

2k−2

−θ

+γ

+2γ

2k−1

+γ

2k−2

)

Note que |det T

(E)| = 1, ∀ k. Portanto para k ∈ IN

∗







2k+1







= T

(E) . . . T

(E)T

(E)













≡ Φ

(E)



















−2k

−2k+1







= T

−k+1

(E)

−1

. . . T

−1

(E)

−1

(E)

−1













≡ Φ

−k

(E)













No contexto f´ısico [5], o espa¸co de Hilbert natural ´e l

(IN

∗

), e a deﬁni¸c˜ao

de acordo com [10] de operador de Floquet, denotado por U

, ´e

= re

−i(θ

+θ

)

−iα

+ ite

−i(θ

+θ

)

−iγ

= Uϕ

, k > 1 (4.5)

com Uϕ

como em (4.1). Neste caso a equa¸c˜ao de autovalores ´e

ψ = e

com ψ =



∞

k=1

. Ent˜ao come¸cando de c

, c

, temos







2k+1







= T

(E) . . . T

(E)













, k = 2, 3, . . .

em que as matrizes de transferˆencia T

(E) s˜ao dadas por (4.4), com a condi¸c˜ao

adicional













= c







(E)







em que

(E) =



−i(E+γ

+θ

)

− re

−i(γ

−α

)



(E) = −

i(E+θ

+θ

−γ

)

−i(γ

+γ

)



i(θ

−θ

−α

)

+ re

−i(α

−α

)



−

−i(E+θ

+θ

+γ

+α

)

Para mais detalhes e generaliza¸c˜oes dessa classe de operadores unit´arios,

referimos o leitor a [10, 39, 40, 32]. Em particular, quando as fases s˜ao vari´aveis

aleat´orias i.i.d., alguns resultados t´ıpicos `aqueles obtidos para operadores de Schr¨o-

dinger aleat´orios, discretos e unidimensionais s˜ao mostrados em [10, 39] para o caso

unit´ario acima. Por exemplo, a estrutura de um formalismo de matrizes de trans-

ferˆencia para expressar autovalores generalizados permite introduzir um expoente de

Lyapunov para demonstrar uma vers˜ao unit´aria do Teorema de Ishii-Pastur (e con-

seguir ausˆencia de espectro absolutamente cont´ınuo) e do Teorema de Oseledec [10].

Vamos considerar o exemplo peneperi´odico U ≡ M({θ

}, {α

}, {γ

}) em

que α

= α ∀ k, γ

= (−1)

k+1

α e a peneperiodicidade ﬁca com as fases θ

deﬁnidas

por θ

= 2πβk + θ, em que β ∈ IR e θ ∈ [0, 2π). Denotaremos U por U = U (β, θ)

que com as escolhas acima passa a ser dado por (veja (4.1))

U(β, θ)ϕ

= irte

−i(2πβ(4k−1)+2θ)

2k−1

−i(2πβ(4k−1)+2θ)

+irte

−i(2πβ(4k+1)+2θ)

2k+1

−t

−i(2πβ(4k+1)+2θ)

2k+2

U(β, θ)ϕ

2k+1

= −t

−i(2πβ(4k−1)+2θ)

2k−1

(4.6)

+itre

−i(2πβ(4k−1)+2θ)

−i(2πβ(4k+1)+2θ)

2k+1

+itre

−i(2πβ(4k+1)+2θ)

2k+2

Let U(β, θ)

o operador correspondente em l

(IN

∗

) deﬁnido por (4.5). O seguinte

resultado foi demonstrado e m [10].

Teorema 4.1 (i) Para β racional e cada θ ∈ [0, 2π), U(β, θ) tem espectro absoluta-

mente cont´ınuo puro, σ

(U(β, θ)

) = ∅, σ

(U(β, θ)

) = σ

(U(β, θ)) e o espectro

pontual de U (β, θ)

consiste de ﬁnitos autovalores simples no conjunto resolvente

de U (β, θ).

(ii) Sejam T

(E) as matrizes de transferˆencia em E correspondendo a U (β, θ). Para

β irracional, o expoente de Lyapunov γ(E) satisfaz, para q.t.p. θ,

(E) = lim

N→∞

ln 



k=1

(E)

≥ ln

> 0,

e portanto σ

(U(β, θ)) = ∅. O mesmo ´e verdadeiro para U(β, θ)

Finalmente, introduziremos o m odelo particular aqui estudado. Conside-

ramos a perturba¸c˜ao de posto um de U(β, θ)

, λ ∈ [0, 2π) (veja tamb´em [13])

(β, θ)

:= U(β, θ)

iλP

= U(β, θ)



+ (e

iλ

− 1)P



, (4.7)

em que P

(·) = ϕ

, ·ϕ

. Observe que

U(β, θ)

≡ U

({θ

}

∞

k=0

, {α

}

∞

k=1

, {γ

}

∞

k=1

)

e U

(β, θ)

≡ U



{

}

∞

k=0

, { ˜α

}

∞

k=1

, { ˜γ

}

∞

k=1



em que

= θ

− λ e

= θ

˜α

= α

, ˜γ

= γ

para k ≥ 1. Portanto, o operador perturbado U

(β, θ)

tamb´em

pertence `a fam´ılia de operadores Floquet estudadas em [10].

Seja X

o operador momento de ordem m > 0 em l

(IN

∗

)



k≥1

ϕ

, ·ϕ

, (4.8)

o qual ´e auto-adjunto e tem espectro discreto.

Podemos agora enunciar nossa principal contribui¸c˜ao neste cap´ıtulo:

Teorema 4.2 (i) Para β irracional, U

(β, θ)

tem apenas espectro pontual para

q.t.p. θ, λ ∈ [0, 2π), e na base {ϕ

} suas autofun¸c˜oes decaem exponencialmente.

(ii) β pode ser escolhido irracional de forma que

lim sup

n→∞

X (U

(β, θ)

)



F (n)

= ∞,

para todo θ ∈ [0, 2π) e qualquer λ ∈ [

], em que F (n) =

ln(2+n)

e X ´e o momento

de ordem m = 1 dado por (4.8).

Observa¸c˜oes. 1. Juntando (i) e (ii) do teorema acima obtemos que, para algum β

irracional, para q.t.p. θ ∈ [0, 2π) e λ ∈ [

], U

(β, θ)

tem espectro pontual puro

e a fun¸c˜ao

n →



(β, θ)



, X



(β, θ)





´e n˜ao-limitada. Ou seja, tem-se espectro pontual puro e instabilidade dinˆamica.

2. Podemos modiﬁcar a demonstra¸c˜ao e substituir a fun¸c˜ao f(n) = ln(2 + n) por

qualquer seq¨uˆecia mon´otona f com lim

n→∞

f(n) = ∞.

4.2 Espectro Pontual Puro

Nesta se¸c˜ao demonstraremos a parte (i) do Teorema 4.2. Precisamos do lema preli-

minar:

Lema 4.1 Para qualquer β e θ, o vetor ϕ

´e c´ıclico para U(β, θ)

Demonstra¸c˜ao: Fixe β e θ. Indicaremos que qualquer vetor ϕ

, k ∈ IN

∗

pode

ser escrito como uma combina¸c˜ao linear dos vetores (U (β, θ)

)

, n ∈ ZZ. Como

U(β, θ)

= re

−i(2πβ+2θ)

−iα

+ ite

−i(2πβ+2θ)

−iα

ent˜ao

= −

i(2πβ+2θ)

iα

U(β, θ)

. (4.9)

Agora



U(β, θ)



−1

= a

+ a

, (4.10)

em que a

, a

e a

s˜ao n´umeros complexos n˜ao-nulos. Assim, usando (4.9) e (4.10),

uma combina¸c˜ao linear adequada de (U(β, θ)

)

−1

, ϕ

e U(β, θ)

fornece ϕ

Como U (β, θ)

= b

obtemos que ϕ

pode ser escrito como

uma combina¸c˜ao linear desejada. Devido a estrutura de U(β, θ)

, o processo pode

ser iterado para obter qualquer ϕ

Estamos em condi¸c˜oes de demonstrar espectro pontual puro para nosso

modelo.

Demonstra¸c˜ao: (Teorema 4.2(i)) Fixe β irracional e seja |·| uma nota¸c˜ao para

a medida de Lebesgue em [0, 2π). Pelo Teorema 4.1(ii), para qualquer E ∈ [0, 2π)

existe Ω(E) ⊂ [0, 2π) com |Ω(E)| = 1 de forma que

(E) > 0, ∀ θ ∈ Ω(E).

Assim, pelo Teorema de Fubini,

1 =



2π

|Ω(E)|

2π



2π





2π

Ω(E)

(θ)

dθ

2π



2π



2π





2π

Ω(E)

(θ)

2π



dθ

2π

e para θ em um conjunto de medida um



2π

Ω(E)

(θ)

2π

= 1,

ou seja, θ ∈ Ω(E) para quase todo E ∈ [0, 2π). Ent˜ao existe um conjunto Ω

⊂

[0, 2π) com |Ω

| = 1 de modo que para qualquer θ ∈ Ω

existe A

⊂ [0, 2π) com

| = 0 e

(E) > 0, ∀ E ∈ A

:= [0, 2π) \ A

Seja µ

θ,λ

a medida espectral associada com

(β, θ)



2π

θ,λ

(E)

e os respectivos vetores ϕ

, de modo que para k ∈ IN

∗

e todo conjunto de Borel

Λ ⊂ [0, 2π)

θ,λ

(Λ) = ϕ

, F

θ,λ

(Λ)ϕ

.

Agora, para perturba¸c˜oes de posto um de operadores unit´arios, como em per-

turba¸c˜oes de posto um de operadores auto-adjuntos (veja [53, 54] para o caso auto-

adjunto e [8, 13] para o caso unit´ario) vale: Para qualquer f ∈ L

([0, 2π)) tem-se



2π

dλ



2π

f(E)dµ

θ,λ

(E) =



2π

f(E)

2π

. (4.11)

Ent˜ao, aplicando (4.11) com f a fun¸c˜ao caracter´ıs tica de A

obtemos

0 = |A

| =



2π

(E)

2π



2π

dλ



2π

(E)dµ

θ,λ

(E) =



2π

dµ

θ,λ

)dλ,

e portanto µ

θ,λ

) = 0 para q.t.p. λ. Portanto, para cada θ ∈ Ω

, e xiste J

⊂

[0, 2π) com |J

| = 0 de forma que

θ,λ

) = 0, ∀ λ ∈ J

. (4.12)

Pelo Lema 4.1 e (4.12), segue que F

θ,λ

) = 0 para todo θ ∈ Ω

e λ ∈ J

. Al´em

disso, seja S

θ,λ

o conjunto dos E ∈ [0, 2π) de modo que a equa¸c˜ao

(β, θ)

ψ = e

tem uma solu¸c˜ao n˜ao-trivial polinomialmente limitada.

E conhecido que

θ,λ

([0, 2π) \ S

θ,λ

) = 0

(veja [10, 32]). Assim, conclu´ımos que S

θ,λ

∩ A

´e um suporte para F

θ,λ

(·) (veja

observa¸c˜ao abaixo) para todo θ ∈ Ω

e λ ∈ J

Agora, se E ∈ S

θ,λ

∩ A

ent˜ao U

(β, θ)

ψ = e

ψ tem uma solu¸c˜ao n˜ao-

trivial polinomialmente limitada ψ e γ

(E) > 0. Por constru¸c˜ao γ

θ,λ

(E) = γ

(E)

em que γ

θ,λ

(E) ´e o expoente de Lyapunov associado com U

(β, θ)

. Assim, pelo

Teorema de Oseledec, toda solu¸c˜ao que ´e polinomialmente limitada tem que decair

exponencialmente, logo ψ est´a em l

(IN

∗

) e ´e uma uma autofun¸c˜ao de U

(β, θ)

Portanto, conclu´ımos que cada E ∈ S

θ,λ

∩ A

´e um autovalor de U

(β, θ)

com a

autofun¸c˜ao correspondente decaindo exponencialmente. Como l

(IN

∗

) ´e separ´avel,

segue que S

θ,λ

∩A

´e cont´avel e ent˜ao F

θ,λ

(·) tem suporte cont´avel para todo θ ∈ Ω

e λ ∈ J

. Assim U

(β, θ)

tem espe ctro pontual puro para q.t.p. θ, λ ∈ [0, 2π).

Observa¸c˜ao. Dizemos que um conjunto de Borel S suporta a proje¸c˜ao espectral F (·)

se F ([0, 2π) \ S) = 0.

4.3 Instabilidade Dinˆamica

Nesta se¸c˜ao apresentaremos a demonstra¸c˜ao do Teorema 4.2(ii). A estrat´egia inicial

´e aquela do Apˆendice 2 de [19]. No entanto, alguns resultados t´ecnicos importantes

precisam de argumentos diferentes, que s˜ao os casos do Lema 4.6 e do Lema 4.7.

Iniciaremos com a discuss˜ao de uma s´erie de lemas preliminares, adaptados do caso

auto-adjunto para o caso unit´ario.

4.3.1 Lemas Preliminares

Seja P

n≥a

a proje¸c˜ao sobre os vetores suportados por {n : n ≥ a}, ou seja, para

ψ ∈ l

(IN

∗

)

n≥a

ψ)(n) =











0, se n < a

ψ(n), se n ≥ a

e similarmente para P

n<a

. Seja f (n) uma seq¨uˆencia mon´otona crescente com f(n) →

∞ quando n → ∞.

Lema 4.2 Se existe T

→ ∞, T

∈ IN para todo m, de forma que

+ 1



j=T

P

n≥

f(T

)



(β, θ)





≥

f(T

)

, (4.13)

ent˜ao

lim sup

j→∞

X



(β, θ)





f(j)

= ∞.

Demonstra¸c˜ao: Por hip´otese existe T

→ ∞ de forma que



j=T

P

n≥

f(T

)



(β, θ)





≥

+ 1

f(T

)



j=T

f(T

)

logo existe algum j

∈ [T

, 2T

] de modo que

P

n≥

f(T

)



(β, θ)





≥

f(T

)

e ent˜ao

X



(β, θ)







n∈IN

∗



(β, θ)



(n)|

≥



n∈IN

∗



f(T

)



n≥

f(T

)



(β, θ)





(n)





f(T

)



P

n≥

f(T

)



(β, θ)





≥

f(T

)

Portanto

f(j

)

X



(β, θ)





≥

f(j

)

f(T

)







f(j

)

f(T

)



f(j

)

≥

f(j

) → ∞

e o lema est´a demonstrado.

Para demonstrar o Teorema 4.2(ii) queremos aplicar o lema acima com

f(n) = (ln(n + 2))

1/5

. Mantendo este interesse em mente, a estimativa na rela¸c˜ao

(4.13) ´e crucial, bem como os lemas s eguintes.

Lema 4.3 Seja ξ um vetor unit´ario, P uma proje¸c˜ao, e U um operador unit´ario.

Se ξ = η + ψ com η, ψ = 0, ent˜ao

T + 1



j=T

(I

− P )U

ξ

≥ ψ

− 3





T + 1



j=T

P U

ψ





1/2

. (4.14)

Demonstra¸c˜ao: Denote D :=

T +1



j=T

(I

− P )U

ξ

. Ent˜ao

D =

T + 1



j=T

(1 − P U

ξ

)

T + 1



j=T

(ψ

+ η

− P U

(η + ψ)

)

= ψ

+ η

−

T + 1



j=T

(P U

η

+ P U

ψ

+ 2Re (P U

η, P U

ψ))

= η

−

T + 1



j=T

P U

η

+ψ

−

T + 1



j=T

(P U

ψ

+ 2Re (P U

η, P U

ψ))

= A + B,

com A = η

−

T +1



j=T

P U

η

e B = ψ

−

T +1



j=T

(P U

ψ

2Re (P U

η, P U

ψ)). Claramente,

T + 1



j=T

P U

η

≤

T + 1



j=T

η

= η

≤ 1,

e o mesmo ´e verdadeiro com η substitu´ıdo por ψ. Portanto

A ≥ η

− η

= 0

B = ψ

−

T + 1



j=T

P U

ψ

−

T + 1



j=T

Re (P U

η, P U

ψ)

≥ ψ

−

T + 1



j=T

P U

ψ

−

T + 1



j=T

|P U

η, P U

ψ|

≥ ψ

−

T + 1



j=T

P U

ψ

−

T + 1



j=T

P U

ηP U

ψ

≥ ψ

−



T + 1



j=T

P U

ψ



− 2



j=T

P U

η

(T + 1)

P U

ψ

(T + 1)

100

≥ ψ

−



T + 1



j=T

P U

ψ



−2



T + 1



j=T

P U

η





T + 1



j=T

P U

ψ



≥ ψ

− 3



T + 1



j=T

P U

ψ



O resultado segue imediatamente.

Lema 4.4 Seja U =



2π

(t) a decomposi¸c˜ao espectral de um operador unit´ario

U em um espa¸co de Hilbert H. Seja ξ ∈ H um vetor absolutamente cont´ınuo para

U, i.e., a medida espectral µ

, associada a U e ξ, ´e absolutamente cont´ınua com

respeito `a medida de Lebesgue, e denote por g =

dµ

∈ L

([0, 2π)) a correspondente

derivada de Radon-Nikodym. Deﬁna

|ξ| = g

1/2

∞

Ent˜ao, para qualquer η ∈ H, tem-se



j∈ZZ

|U

ξ, η|

≤ 2π |ξ|

η

Demonstra¸c˜ao: Se |ξ| = ∞ ent˜ao o resultado ´e claro. Suponha |ξ| < ∞ e seja

η ∈ H. Denote por P

a proje¸c˜ao espectral no subespa¸co absolutamente cont´ınuo

de U, η

= P

η e ˜g =

dµ

dλ

; ent˜ao µ

ξ,η

´e absolutamente cont´ınua e sua derivada

de Radon-Nikodym h ´e estimada p or

|h(x)| ≤ (g˜g)

(x) = g

(x) ˜g

(x) ≤ |ξ| ˜g

(x).

Portanto h ∈ L

([0, 2π)) com norma L

estimada por

h

≤ |ξ|





2π

˜g(x)dx



= |ξ|





2π

dµ



= |ξ| · η

 ≤ |ξ| · η.

Como

U

ξ, η =



2π

ijt

dµ

ξ,η

(t) =



2π

ijt

h(t)dt =

√

2π(Fh)(j),

segue que



j∈ZZ

|U

ξ, η|



j∈ZZ

2π|(Fh)(j)|

= 2πh

≤ 2π|ξ|

η

que ´e precisamente o resultado aﬁrmado.

101

4.3.2 Transformadas de Borel e de Cauchy

Dada uma medida de probabilidade µ em ∂D = {z ∈ C : |z| = 1}, suas transformadas

de Cauchy F

(z) e Borel R

(z) s˜ao, respectivamente, para z ∈ C com |z| = 1,

(z) =



∂D

+ z

− z

dµ(t)

(z) =



∂D

− z

dµ(t).

est´a relacionada com F

por

(z) = 2zR

(z) + 1. (4.15)

Al´em disso, F

tem as seguintes propriedades [52]:

• lim

r↑1

(re

iθ

) existe para q.t.p. θ, e decompondo a medida em suas partes

absolutamente cont´ınua e singular

dµ(θ) = ω(θ)

dθ

2π

+ dµ

(θ),

ent˜ao

ω(θ) = lim

r↑1

Re F

(re

iθ

). (4.16)

• µ({θ

}) = 0 se, e somente se, lim

r↑1

(1 − r)Re F

(re

iθ

) = 0.

• dµ

´e suportada em {θ : lim

r↑1

(re

iθ

) = ∞}.

Agora, seja U um operador unit´ario em um espa¸co de Hilbert separ´avel H

e φ um vetor c´ıclico para U. Considere a perturba¸c˜ao de posto um de U

= Ue

iλP

= U(I

+ (e

iλ

− 1)P

em que P

(·) = φ, ·φ e λ ∈ [0, 2π). Denote por dµ

a medida espectral associada

com U

e φ, F

= F

e R

= R

. Tem-se as seguintes rela¸c˜oes entre R

e R

, F

e F

102

Lema 4.5 Para |z| = 1, tem-se

(z) =

(z)

iλ

+ z(e

iλ

− 1)R

(z)

(4.17)

(z) =

iλ

− 1) + (e

iλ

+ 1)F

(z)

iλ

+ 1) + (e

iλ

− 1)F

(z)

(4.18)

Em particular, para λ = π,

Re F

(z) =

(1 + y

)Re F

(z)

|1 + iyF

(z)|

, (4.19)

em que y =

sin λ

1+cos λ

, e para λ = π

Re F

(z) =

Re F

(z)

(z)|

. (4.20)

Demonstra¸c˜ao: A rela¸c˜ao (4.17) foi demonstrada em [13]. Para checar (4.18)

usamos as rela¸c˜oes (4.15) e (4.17). De fato,

(z) = 2zR

(z) + 1 = 2z

(z)

iλ

+ z(e

iλ

− 1)R

(z)

+ 1

iλ

+ z(e

iλ

− 1)R

(z) + 2zR

(z)

iλ

+ z(e

iλ

− 1)R

(z)

iλ

+ z(e

iλ

+ 1)R

(z)

iλ

+ z(e

iλ

− 1)R

(z)

iλ

+ 2ze

iλ

(z) + 2zR

(z)

iλ

+ 2ze

iλ

(z) − 2zR

(z)

iλ

− 1 + e

iλ

+ 2e

iλ

(z) + 1 + 2zR

(z)

iλ

+ 1 + e

iλ

+ 2e

iλ

(z) − 1 − 2zR

(z)

iλ

− 1) + (e

iλ

+ 1)(1 + 2zR

(z))

iλ

+ 1) + (e

iλ

− 1)(1 + 2zR

(z))

iλ

− 1) + (e

iλ

+ 1)F

(z)

iλ

+ 1) + (e

iλ

− 1)F

(z)

Agora, para λ = π temos e

iλ

+ 1 = 0 e ent˜ao

(z) =

iλ

−1

iλ

+ F

(z)

1 +



iλ

−1

iλ



(z)

iy + F

(z)

1 + iyF

(z)

1 − iyF

(z)

1 − iyF

(z)

iy + F

(z) − iy|F

(z)|

+ y

(z)

|1 + iyF

(z)|

em que

iλ

−1

iλ

= iy e y =

sin λ

1+cos λ

. Logo, para λ = π,

Re F

(z) =

(1 + y

)Re F

(z)

|1 + iyF

(z)|

103

e (4.19) ´e obtida. Para λ = π tem-se F

(z) =

(z)

e (4.20) segue.

Lema 4.6 Fixe um n´umero racional β. Ent˜ao existem C

> 0 e C

< ∞, e para

cada θ ∈ [0, 2π) e λ ∈ [

] uma decomposi¸c˜ao

= η

θ,λ

+ ψ

θ,λ

de forma que

η

θ,λ

, ψ

θ,λ

 = 0, (4.21)

ψ

θ,λ

 ≥ C

, (4.22)

|ψ

θ,λ

|

(β,θ)

≤ C

. (4.23)

Demonstra¸c˜ao: Quebramos a demonstra¸c˜ao em alguns passos.

Passo

. Pelo Teorema 4.1, como β ´e racional,

(U(β, θ)

) = ∅, σ

(U(β, θ)

) = σ

(U(β, θ))

e o espectro pontual de U(β, θ)

consiste de ﬁnitos autovalores no c onjunto resol-

vente de U(β, θ). Denote por µ

θ,λ

a medida espectral associada a U

(β, θ)

e (o

vetor c´ıclico) ϕ

, e por µ

a medida espectral associada a U(β, θ)

e ϕ

(i.e., o caso

λ = 0). Escreva

dµ

θ,λ

(E) = f

θ,λ

(E)

2π

+ dµ

θ,λ

(E),

dµ

(E) = f

(E)

2π

+ dµ

(E).

Passo. Rela¸c˜ao entre f

θ,λ

e f

: Pelo Lema 4.5, para λ = π tem-se

Re F

θ,λ

(z) =

(1 + y

)Re F

(z)

|1 + iyF

(z)|

em que y =

sin λ

1+cos λ

e ent˜ao

θ,λ

(E) =

(1 + y

(E)

|1 + iy lim

r↑1

(re

Passo. Rela¸c˜ao entre f

e f

: Por (4.6) e (4.5) conseguimos

U(β, θ)

= e

−i2θ

U(β, 0)

(4.24)

104

e usando essa rela¸c˜ao tem-se que



U(β, θ)



= e

−ij2θ



U(β, 0)



para todo j ∈ ZZ. Assim, pelo teorema espectral, para qualquer j ∈ ZZ,



2π

−ijE

(E)

2π



2π

−ijE

(E −2θ)

2π

Portanto

(E) = f

(E −2θ) (4.25)

para q.t.p. E.

Passo

. Limita¸c˜ao superior e inferior para f

θ,λ

: Temos

lim

r↑1

(re

) = f

(E) + i lim

r↑1

Im F

(re

)

lim

r↑1

Im F

(re

) = lim

r↑1



2π



+ re

− re



(t)

2π

+ lim

r↑1



2π



+ re

− re



dµ

(t).

Se denotarmos

(E) = lim

r↑1



2π



+ re

− re



(t)

2π

ent˜ao por (4.25) obtemos g

(E) = g

(E−2θ) para q.t.p. E. Por outro lado, por (4.24)

temos que E ´e um autovalor de U (β, θ)

se, e somente se, E − 2θ ´e um autovalor

de U(β, 0)

. Seja {E

}

j=1

o conjunto dos autovalores de U(β, θ)

(lembre-se que

n < ∞) e dµ



j=1

(δ

´e a medida de Dirac em E). Ent˜ao

lim

r↑1



2π



+ re

− re



dµ

(t) = lim

r↑1



2π

2r sin(E −t)

1 + r

− 2r cos(E −t)

dµ

(t)

= lim

r↑1



j=1

2r sin(E −E

)κ

1 + r

− 2r cos(E −E

)



j=1

2 sin(E −2θ − E

)κ



− e

i(E−2θ)



105

Como f

∈ L

([0, 2π)), por um resultado de [45] (Teorema 1.6 no Cap´ıtulo III), a

fun¸c˜ao g

´e do tipo L

fraco, i.e., g

´e mensur´avel e existe uma constante C > 0 de

forma que para todo T > 0 a medida de Lebesgue

|{E : |g

(E)| ≤ T }| ≥ 1 −

. (4.26)

Tome S > 0 de modo que Ω



E :

≤ f

(E) ≤ S



satisfaz |Ω

| > 0 e

dist (Ω

, {E

}

j=1

) = L > 0. Ent˜ao escolha T suﬁcientemente grande de forma que

A := Ω

∩ {E : |g

(E)| ≤ T }

satisfaz |A| > 0; por (4.26) isso ´e poss´ıvel. Para θ ∈ [0, 2π) seja

:= {E ∈ [0, 2π) : E − 2θ ∈ A};

assim |I

| = |A| > 0. Ent˜ao, para todo θ ∈ [0, 2π), λ ∈ [0,

] (equivalentemente

y ∈ [0, 1]) e E ∈ I

tem-se



1 + iy lim

r↑1

(re

)



≤ 1 + |y|



(E)|+ |g

(E)|





j=1

2 sin(E −2θ − E

)κ

− e

i(E−2θ)





≤ 1 + |f

(E −2θ)| + |g

(E −2θ)| +



j=1

2|κ

≤ 1 + S + T +

Logo, para todo θ ∈ [0, 2π), λ ∈ [0,

] e E ∈ I

θ,λ

(E)| =

(1 + y

(E)

|1 + iy lim

r↑1

(re

))|

≥

(E −2θ)

(1 + S + T + 2/L

)

≥

S(1 + S + T + 2/L

)

Para conseguir um limite superior, note que



1 + iy lim

r↑1

(re

)



≥ |yf

(E)|,

106

e assim, para todo θ ∈ [0, 2π), λ ∈ [

] (equivalentemente y ∈



√

, 1



) e E ∈ I

θ,λ

(E)| =

(1 + y

(E)

|1 + iy lim

r↑1

(re

≤

(1 + y

(E)

(1 + y

)

(E −2θ)

≤ 2(2 +

√

Juntando as informa¸c˜oes, para todo θ ∈ [0, 2π), λ ∈ [

] e E ∈ I

demonstramos que

S(1 + S + T + 2/L

)

≤ |f

θ,λ

(E)| ≤ 2(2 +

√

S. (4.27)

Passo. Conclus˜ao: Para λ ∈ [

] e θ ∈ [0, 2π) sejam

θ,λ

= P

θ,λ

, η

θ,λ

= (I

− P

θ,λ

)ϕ

em que P

θ,λ

´e a proje¸c˜ao e spectral (de U

(β, θ)

) em I

. Ent˜ao para cada θ ∈ [0, 2π)

e λ ∈ [

] temos a decom pos i¸c ˜ao ϕ

= ψ

θ,λ

+ η

θ,λ

que satisfaz (4.21). Al´em disso

por (4.27)

ψ

θ,λ



= ψ

θ,λ

, ψ

θ,λ

 = P

θ,λ

, P

θ,λ



= ϕ

, P

θ,λ

 =



2π

(E)dµ

θ,λ



θ,λ

(E)

2π

≥

|A|

2πS(1 + S + T + 2/L

)

logo (4.22) vale com



|A|

2πS(1 + S + T + 2/L

)



1/2

> 0;

tamb´em

|ψ

θ,λ

|

(β,θ)

= |P

θ,λ

|

(β,θ)

= χ

θ,λ



∞

≤ 2(2 +

√

e (4.23) vale com C

= (2(2 +

√

1/2

< ∞. O lema est´a demonstrado.

No caso auto-adjunto, o lema similar ao Lema 4.6 ´e demonstrado a partir

de estimativas nas matrizes de transferˆencia. Neste caso n˜ao foi poss´ıvel adaptar tal

argumento, e conseguimos demonstrar tal resultado considerando as transformadas

de Borel e de Cauchy como explicitado na demonstra¸c˜ao acima.

107

4.3.3 Varia¸c˜ao de β

O pr´oximo lema fornece uma estimativa da dependˆencia da dinˆamica em β. Sua

demonstra¸c˜ao usa fortemente a estrutura de U

(β, θ)

. O resultado similar no caso

auto-adjunto ´e obtido aplicando a F´ormula de Duhamel, que n˜ao se aplica neste

caso.

Lema 4.7 Sejam β, β



∈ IR. Ent˜a o, para n ≥ 1,





(β, θ)



−



(β



, θ)





≤ 2 × 4

(2n

− n)2π



β −β





Demonstra¸c˜ao:

E uma indu¸c˜ao. Temos

(β, θ)

= U(β, θ)

+ (e

iλ

− 1)P

)ϕ











U(β, θ)

se j > 1

U(β, θ)

+ (e

iλ

− 1)U(β, θ)

se j = 1











U(β, θ)

se j > 1

iλ

U(β, θ)

se j = 1

Assim

(β, θ)

= e

iλ

U(β, θ)

= a

−i(2πβ)

+ a

−i(2πβ)

em que a

= re

iλ

−i(α+2θ)

e a

= ite

iλ

−i(α+2θ)

. Como

−ix

− e

−ix



| ≤ 2|x − x



| (4.28)

and |a

| ≤ 1, j = 1, 2, ent˜ao



(β, θ)

− U

(β



, θ)



≤ 2



−i(2πβ)

− e

−i(2πβ



)



≤ 4 × 2|2πβ − 2πβ



| = 2 × 4 × 2π



β −β





e o lema est´a demonstrado para n = 1.

108

Agora



(β, θ)



= U

(β, θ)

= U

(β, θ)

−i(2πβ)

+ a

−i(2πβ)

)

= e

iλ

−i(2πβ)

U(β, θ)

+ a

−i(2πβ)

U(β, θ)

= e

iλ

−i(2πβ)



−i(2πβ)

+ b

−i(2πβ)



−i(2πβ)



−i(3.(2πβ))

+ c

−i(3.(2πβ))

−i(5.(2πβ))

+ c

−i(5.(2πβ))



Como |a

| < 1, |b

| < 1, |c

| < 1 e temos 2 + 4 < 4 × 4 termos na expans˜ao de

(β, θ)

)

em que o maior exp oente (o qual fornece a maior contribui¸c˜ao por

(4.28)) ´e obtido do produto das exponenciais e

−i(2πβ)

−i((2+3)2πβ)

−i((1+2+3)2πβ)

, obtemos





(β, θ)



−



(β



, θ)





≤ 4 × 4 × 2(1 + 2 + 3)2π



β −β





= 2 × 4

(1 + 2 + 3)2π



β −β





e o lema est´a demonstrado para n = 2. De uma maneira similar pela e strutura de

(β, θ)

conclu´ımos que (U

(β, θ)

)

tem no m´aximo 4

× 4 termos em que o

maior expoente est´a em e

−i(1+2+3)2πβ

−i((4+5)2πβ)

= e

−i((1+2+3+4+5)2πβ)

e assim





(β, θ)



−



(β



, θ)





≤

≤ 4 × 4 × 4 × 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5)2π



β −β





= 2 × 4

(1 + 2 + 3 + 4 + 5)2π



β −β





Indutivamente obtemos que (U

(β, θ)

)

tem no m´aximo 4

termos, e de acordo

com (4.28) a maior contribui¸c˜ao vem do produto

−i(1+2+...+2n−3)2πβ

−i(((2n−2)+(2n−1))2πβ)

= e

−i((1+2+...+2n−1)2πβ)

e ent˜ao





(β, θ)



−



(β



, θ)





109

≤ 2 × 4

(1 + 2 + . . . + 2n − 1)2π



β −β





;

como 2n

− n = 1 + 2 + . . . + 2n − 1, o resultado segue.

4.3.4 Demonstra¸c˜ao do Teorema 4.2(ii)

Finalmente, usando esse conjunto preparat´orio de resultados, terminamos a demons-

tra¸c˜ao do nosso resultado principal.

Seja f(n) = (ln(2 + |n|))

. Seq¨uˆencias β

, T

, ∆

ser˜ao constru´ıdas indu-

tivamente, come¸c ando com β

= 1, de forma que

(i) β

m+1

− β

= 2

−κ

para algum κ

∈ IN;

(ii)



j=T

P

n≥

f(T

)

(β, θ)

)



≥

f(T

)

para todo θ ∈ [0, 2π), λ ∈

[

] e β com |β − β

| ≤ ∆

;

(iii) |β

m+1

− β

| < ∆

para k = 1, 2, . . . , m.

Se (i), (ii) e (iii) s˜ao satisfeitos ent˜ao conclu´ımos por (i) que β

∞

= lim β

´e

irracional (veja justiﬁcativa no ﬁnal da demonstra¸c˜ao), por (iii) que |β

∞

−β

| ≤ ∆

e ent˜ao por (ii) que

+ 1



j=T

P

n≥

f(T

)



(β

∞

, θ)





≥

f(T

)

para θ ∈ [0, 2π) e λ ∈ [

]. Portanto pelo Lema 4.2

lim sup

n→∞

X



(β, θ)





f(n)

= ∞

para β = β

∞

e o resultado est´a demonstrado.

Ent˜ao constru´ıremos β

, T

, ∆

em que (i), (ii) e (iii) valem. Come¸camos

com β

= 1. Dados β

, . . . , β

, T

, . . . , T

m−1

e ∆

, . . . , ∆

m−1

mostraremos como

escolher T

, ∆

e β

m+1

Dado β

, seja ϕ

= η + ψ a dec omposi¸c ˜ao dada pelo Lema 4.6 e sejam

, C

as constantes correspondentes. Escolha T

≥ 2T

m−1

(e T

≥ 2) de forma que

− 3

√

2πC

(2f(T

)

−1

+ T

−1

)

≥ 2f(T

)

−1

. (4.29)

110

Isso ´e poss´ıvel pois C

e C

est˜ao ﬁxados (dado β

) e f(n) → ∞.

Note que

T + 1



j=T

P

f(T )



(β

, θ)



ψ

≤

2π

T + 1



n : n <

f(T )



|ψ|

; (4.30)

de fato

T + 1



j=T

P

f(T )



(β

, θ)



ψ

T + 1



j=T



f(T )







(β

, θ)





(n)



T + 1



f(T )



j=T







(β

, θ)





(n)



≤

T + 1



f(T )

∞



j=−∞



ϕ



(β

, θ)



ψ



ent˜ao pelo Lema 4.4

T + 1



j=T

P

f(T )



(β

, θ)



ψ

≤

T + 1



f(T )

2π|ψ|

e (4.30) segue.

Pelo Lema 4.3 e (4.30)

+ 1



j=T

P

n≥

f(T

)



(β

, θ)





≥

≥ ψ

− 3



+ 1



j=T

P

f(T

)



(β

, θ)



ψ



≥ ψ

− 3



2π

+ 1



n : n <

f(T

)



|ψ|



≥ C

− 3



2π

+ 1



n : n <

f(T

)





= C

− 3

√

2πC



+ 1



n : n <

f(T

)



Como #



n : n <

f(T

)



≤ 2

f(T

)

+ 1 segue que

+ 1



j=T

P

n≥

f(T

)



(β

, θ)





≥ C

− 3

√

2πC



+ 1



f(T

)

+ 1



≥ C

− 3

√

2πC



f(T

)



111

para θ ∈ [0, 2π) e λ ∈ [

]. Assim por (4.29), obtemos

+ 1



j=T

P

n≥

f(T

)



(β

, θ)





≥

f(T

)

para θ ∈ [0, 2π) e λ ∈ [

Logo, pelo Lema 4.7, para β ∈ IR, θ ∈ [0, 2π) e λ ∈ [

]

+ 1



j=T

P

n≥

f(T

)



(β, θ)





≥



+ 1



j=T

P

|n|≥

f(T

)



(β, θ)









+ 1



j=T



n≥

f(T

)



(β

, θ)



n≥

f(T

)





(β, θ)



−



(β

, θ)









≥



+ 1



j=T



n≥

f(T

)



(β

, θ)





−







(β, θ)



−



(β

, θ)









≥



+ 1



j=T

(P

n≥

f(T

)



(β

, θ)





−4

j+1

(2j

− j)π|β − β



≥



f(T

)

−

+ 1





j=T

j+1

(2j

− j)π



|β − β



Tomando

∆

+ 1

f(T

)



j=T

j+1

(2j

− j)π

obtemos que, se |β − β

| < ∆

+ 1



j=T

P

n≥

f(T

)



(β, θ)





≥

f(T

)

Finalente, tome β

m+1

racional de modo que

|β

− β

m+1

| < ∆

n = 1, . . . , m,

e β

m+1

= β

+ 2

−κ

para algum κ

∈ IN. Isso termina a demonstra¸c˜ao do Teo-

rema 4.2(ii).

112

Demonstra¸c˜ao de que β

∞

´e irracional: Lembremos que um n´umero α ∈ IR ´e alg´ebrico

de grau n se α ´e raiz de um polinˆomio a

+ a

n−1

+ . . . + a

x + a

com a

∈ ZZ

para todo j e a

= 0. Se um n´umero α ∈ IR n˜ao ´e raiz de nenhum polinˆomio como

acima ent˜ao ele ´e dito transcedente. Vˆe-se facilmente que se α ∈ IR ´e transcedente

ent˜ao α ´e irracional.

Seja α ∈ IR alg´ebrico de grau n, assim α ´e raiz de

f(x) = a

+ a

n−1

+ . . . + a

x + a

com a

∈ ZZ para todo j e a

= 0. Seja d > 0 de modo que α seja a ´unica raiz de f

em I

= [α − d, α + d] e M

= max

x∈I



(x)|. Assim, para

∈ I, q > 0,

= α, pelo

Teorema do Valor M´edio













− f(α)



≤ M



− α



Por outro lado,









+ a

n−1

+ . . . + a

n−1

p + a



≥

Juntando estas rela¸c˜oe s obtemos



− α



≥

|f(p/q)|

≥

para α =

∈ I, q > 0. Se

/∈ I ent˜ao



− α



> d ≥

. Portanto, para

= min{

, d} segue que



− α



∀

= α, q > 0.

E conclu´ımos que:

Se α ´e alg´ebrico de grau n, ent˜ao existe A > 0 de forma que



α −



∀

= α, q > 0.

113

Vamos mostrar que β

∞

´e transcedente e portanto irracional. Suponha que

∞

n˜ao ´e transcedente, ent˜ao β

∞

´e alg´e brico de grau n, para algum n. Pelo c´alculo

acima existe A > 0 de forma que



∞

−



∀

= β

∞

, q > 0. (4.31)

Por outro lado, como β

∞

= lim

m→∞

com β

m+1

= β

+ 2

−κ

e β

= 1 tem-se

que β

= 1 +

+ . . . +

m−1

e κ

→ ∞ quando m → ∞. Assim, por

(4.31) segue que

m−1

)

< |β

∞

− β

| =

∞



j=m

e portanto para m suﬁcientemente grande

A <

∞



j=m

(κ

!−nκ

m−1

≤

∞



j=m

j−1

Como



∞

j=m

j−1

→ 0 quando m → ∞ chegamos a uma contradi¸c˜ao pois A > 0.

Portanto β

∞

´e transcedente.

Observa¸c˜ao. Para o operador U

(β, θ) := U (β, θ)(I

+ (e

iλ

−1)P

) em l

(ZZ) pode-

mos dem onstrar um resultado an´alogo. A demonstra¸c˜ao de instabilidade dinˆamica

para algum β irracional praticamente n˜ao muda exceto pelo Lema 4.6 que ´e simpli-

ﬁcado p ois U (β, θ) tem espectro absolutamente cont´ınuo puro para β racional. Por

outro lado, com respeito a espectro pontual puro, a principal diferen¸ca neste caso ´e

que ϕ

talvez n˜ao seja c´ıclico, e assim, n˜ao conseguimos espectro pontual puro para

(β, θ) para q.t.p. θ e λ como obtido em l

(IN

∗

), mas c onseguimos que ϕ

est´a no

subespa¸co esp ec tral pontual correspondente a U

(β, θ) para q.t.p. θ e λ.

Cap´ıtulo 5

Conclus˜ao

Neste trabalho estudamos a quest˜ao de estabilidade dinˆamica para Hamil-

tonianas dependentes do tempo. A maioria dos resultados obtidos foi para o caso

de dependˆencia temporal peri´odica, pois neste caso a presen¸ca do operador de Flo-

quet, cujas propriedades espectrais est˜ao diretamente relacionadas com a quest˜ao de

estabilidade, ajuda-nos, e muito, a obter informa¸c˜oes sobre a dinˆamica do sistema.

Destacamos as seguintes contribui¸c˜oes:

• Se ξ ∈ H ´e um autovetor de U

ent˜ao ξ(t) = U(t, 0)ξ ´e peneperi´odica.

Isto nos permite concluir que o subspa¸co H

pene

que introduzimos satisfaz

pene

= H

(no c aso peri´odico). Veja Lema 2.4 na p´agina

46 e Teorema 2.4 na p´agina 47;

• Para Hamiltonianas gerais, se ξ ∈ H ´e tal que 1 ⊗ξ est´a no subspa¸co es pectral

pontual do operador quase-energia K, ent˜ao a aplica¸c˜ao U(t, 0)

−1

ξ ´e pene-

peri´odica. Se 1 ⊗ ξ ´e autovetor de K ent˜ao ξ ∈ H

pene

. Veja Proposi¸c˜ao 2.1 na

p´agina 48;

• Para Hamiltonianas com dependˆencia tem poral quaseperi´odica, damos um

exemplo de ´orbita precompacta que n˜ao ´e peneperi´odica. Veja Exemplo 2.2

na p´agina 56;

115

• Apresentamos v´arias condi¸c˜oes na Se¸c˜ao 2.4 que garantem limita¸c˜ao no valor

esperado da energia;

• A f´ormula da energia m´edia via fun¸c˜ao de Green no Cap´ıtulo 3 (Teorema 3.1,

p´agina 68), a qual permite obter resultados de estabilidade a partir de estima-

tivas ou express˜oes do resolvente do operador de Floquet, sem se preocupar

com as propriedades espectrais;

• Nosso exemplo no Cap´ıtulo 4 (Teorem a 4.2, p´agina 94) de Operador de Floquet

com espectro pontual puro e instabilidade dinˆamica, o primeiro no c aso n˜ao-

autˆonomo.

No caso de operadores de Schr¨odinger discretos unidimensionais em que a

Hamiltoniana ´e dada por um operador auto-adjunto da forma H

: l

(ZZ) → l

(ZZ)

deﬁnido por (H

ξ)(n) = ξ(n + 1) + ξ(n −1) + V (n)ξ(n) em que V ´e uma seq¨uˆencia

limitada, caso em que nos inspiramos para obter a f´ormula do Cap´ıtulo 3, o problema

similar ´e calcular



|e

, R

E+

|

dE,

em que {e

} denota a base canˆonica l

(ZZ). Neste caso o resolvente R

E+

est´a relacionado com as correspondentes matrizes de transferˆencia T (n, 1; E +

que por sua vez est˜ao conectadas com T (n, 1; E). Assim limites superiores adequados

em n das matrizes de transferˆencia T (n, 1; E) para algum conjunto de E’s, resulta

em estimativas no resolvente e ent˜ao propriedades de transporte (crescimento em t

dos momentos) s˜ao obtidas, isso foi estudado em [17] e referˆencias l´a c itadas, como

uma conseq¨uˆencia existem interessantes aplica¸c˜oes para modelos n˜ao-triviais.

Nos operadores de Floquet descritos no Cap´ıtulo 4 temos um formalismo

de matrizes de transferˆencia, mas neste caso as matrizes s˜ao bem mais complicadas

do que no caso descrito acima e conseguir estimativas adequadas n˜ao ´e muito f´acil,

de forma que ainda n˜ao obtivemos sucesso neste sentido.

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