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UNIVERSIDADE FEDERAL DE S
˜
AO CARLOS
CENTRO DE CI
ˆ
ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE P
´
OS-GRADUAC¸
˜
AO EM MATEM
´
ATICA
Existˆencia Global de Solu¸c˜oes para
uma Classe de Leis de
Conserva¸c˜ao e Algumas
Considera¸c˜oes sobre um Sistema
de Leis de Conserva¸c˜ao
Ricardo Edem Ferreira
S˜ao Carlos - SP
2006
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE S
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AO CARLOS
CENTRO DE CI
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ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE P
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OS-GRADUAC¸
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AO EM MATEM
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ATICA
Existˆencia Global de Solu¸c˜oes para uma Classe de Leis de
Conserva¸c˜ao e Algumas Considera¸c˜oes sobre um Sistema de
Leis de Conserva¸c˜ao
Ricardo Edem Ferreira
Orientador: Prof. Dr. Cezar Issao Kondo
Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa
de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da
UFSCar como parte dos requisitos
para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em
Matem´atica.
S˜ao Carlos - SP
Mar¸co de 2006
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Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da
Biblioteca Comunitária da UFSCar
F383eg
Ferreira, Ricardo Edem.
Existência global de soluções para uma classe de leis de
conservação e algumas considerações sobre um sistema de
leis de conservação / Ricardo Edem Ferreira. -- São Carlos :
UFSCar, 2006.
81 p.
Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São
Carlos, 2006.
1. Equações diferenciais parciais. 2. Leis de
conservação. I. Título.
CDD: 515.353 (20
a
)
.
Orientador
Prof. Dr. Cezar Issao Kondo
.
Banca Examinadora
Prof. Dr. Cezar Issao Kondo
Prof. Dr. J R S dos S Filho
Prof. Dr. Marcelo R Ebert
Aos meus pais Francisco e Francisca.
Amo muito vocˆes.
.
”Tudo tem o seu tempo determinado, e h´a tempo para
todo prop´osito debaixo do ceu: h´a tempo de nascer e
tempo de morrer; tempo de plantar e tempo de arran-
car o que se plantou; tempo de matar e tempo de curar;
tempo de derribar e tempo de edificar; tempo de chorar
e tempo de rir; tempo de prantear e tempo de saltar
de alegria; tempo de espalhar ped ras e tempo de ajun-
tar pedras; tempo de abra¸car e tempo de afastar-se d e
abra¸car; tempo de buscar e tempo de perder; tempo de
guardar e tempo de deitar fora; tempo de rasgar e tempo
de coser; tempo de estar calado e tempo de falar; tempo
de amar e tempo de aborrecer; tempo de guerra e tempo
de paz.”
(Eclesiastes 3)
Agradecimentos
Primeiramente a Deus por estar sempre ao meu lado, por ter me presentiado
com a vida, por ter me dado uma fam´ılia t˜ao querida, por me dar for¸ca e esperan¸ca
para sempre continuar.
Aos meus pais, Francisco e Francisca, pelo amor, confian¸ca, apoio, e por cri-
arem uma fam´ılia t˜ao maravilhosa.
`
A minha av´o Geralda. Aos meus irm˜aos, Renato,
Helio e Ana Paula, pela amizade, paciˆencia e apoio de sempre.
`
As minhas cunhadas,
Brigida e Viviane.
`
As minh as amadas sobrinhas, Maria Clara e Maria Eduarda.
`
A
minha av´o Geralda. Em especial a Fernanda Leal, que sempre foi muito importante
em minha vida e que tanto me apoiou nesse per´ıodo.
Ao Prof. Dr. Cezar Issao Kondo, pela coordena¸c˜ao, dedica¸c˜ao, apoio e
paciˆencia. Em especial a Profa. Dra. Catarina M endes de Jesus que tanto me
apoiou no inicio desse trabalho.
`
As minhas amigas, Adriana e Simone, nem mesmo a distˆancia diminui a for¸ca
da nossa amizade.
Aos amigos e aos professores do PPG-M.
Ao CNPq pelo aux´ılio financeiro.
Resumo
Nesse trabalho, construiremos solu¸c˜ao global para uma lei de conserva¸c˜ao, devido a
C. M. Dafermos. Tamb´em discutiremos algumas propriedades para uma classe de
sistemas de leis de conseva¸c˜ao.
Abstract
In this work, we will construct global solutions for a conservation law, due to C. M.
Dafermos. Also we will discuss some properties for a class of systems of conservation
laws, due to B. Rubino.
Sum´ario
Introdu¸c˜ao 11
1 Preliminares 13
2 Aproxima¸c˜ao Poligonal de Solu¸c˜oes do Problema de Valor Inicial
para uma Lei de Conseva¸c˜ao 17
2.1 Introdu¸c˜ao................................. 17
2.2 Solu¸c˜oes Admiss´ıveis ........................... 19
2.3 Existˆencia de Solu¸c˜oes Admiss´ıveis ................... 24
3 Algumas Considera¸c˜oes sobre o Problema de Cauchy para um Sis-
tema 2 × 2 de uma Lei de Conserva¸c˜ao 40
3.1 Introdu¸c˜ao................................. 40
3.2 Regi˜oesInvariantes ............................ 44
3.3 Estudo do Sistema Viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Entropias ................................. 65
3.4.1 EntropiasdoTipoProduto ................... 67
3.4.2 EntropiasdoTipoSoma ..................... 68
3.4.3 Entropias Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.4 O Problema de Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Referˆencias Bibliogr´aficas 80
Introdu¸c˜ao
Esse trabalho est´a dividido em duas partes, apresentaremos inicialmente um
m´etodo para constru¸c˜ao de uma solu¸c˜ao global para uma classe de leis de conserva¸c˜ao
baseado em [D], depois faremos algumas considera¸c˜oes sobre um sistema n˜ao-linear
2 × 2 hiperb´olico de leis de conserva¸c˜ao baseadas em [Ru].
No segundo cap´ıtulo, estudaremos o problema de valor inicial
u
t
+ f(u)
x
= 0 (x, t) ∈ IR × [0, +∞)
u(x, 0) = u
0
(x) x ∈ IR
(1)
onde f ´e localmente Lipschitz cont´ınua em IR e u
0
´e limitada e de varia¸c˜ao local-
mente limitada em IR. Primeiro, definiremos uma solu¸c˜ao fraca admiss´ıvel para (1).
Depois, mostraremos a existˆencia de solu¸c˜ao fraca admiss´ıvel para (1) em alguns
casos particulares e construiremos uma solu¸c˜ao fraca admiss´ıvel global para o caso
geral.
No terceiro cap´ıtulo, faremos algumas considera¸c˜oes sobre o problema de Cauchy
u
t
+
1
2
+ a
u
2
+ f(v)
x
= 0
v
t
+ (uv)
x
= 0
(u, v)
t=0
= (u
0
, v
0
),
(2)
para fun¸c˜oes u, v definidas em IR
x
× IR
+
t
a valores reais. Assumiremos que a >
1
2
´e
constante, f ∈ C
2
(IR) ´e par e ∀ v satisfaz
f
′
(v)v > 0, v = 0
f
′′
(v) > 0, v = 0.
12
Verificaremos a existˆencia de regi˜oes invariantes e faremos algumas estimativas a
priori em L
∞
. Depois, estudaremos o sistema viscoso, mostraremos a existˆencia
de infinitas entropias de diferentes tipos e aplicaremos os argumentos de Tartar e
DiPerna para provar a existˆencia de uma entropia polinomial. Finalmente, estu-
daremos o problema de Goursat.
Cap´ıtulo 1
Preliminares
Neste cap´ıtulo apresentaremos alguns conte´udos p reliminares (defin i¸c˜oes,
lemas, teoremas) necess´arios para o desenvolvimento da disserta¸c˜ao.
Enunciaremos agora, algumas defini¸c˜oes e alguns resultatos que ser˜ao usados
no primeiro cap´ıtulo.
Defini¸c˜ao 1.1 Sejam f : [a, b] → IR e P = {a = x
0
< x
1
< ... < x
n
= b} uma
parti¸c˜ao de [a, b] ⊂ IR. Definimos
(f, P ) ≡
n−1
i=0
|f(x
i+1
) − f(x
i
)|.
A varia¸c˜ao da fun¸c˜ao f, no intervalo [a, b], ´e definida por
V ar
[a,b]
f ≡ sup
P
(f, P ).
Dizemos que f tem varia¸c˜ao limitada, no intervalo [a, b], se existe M > 0 tal
que V ar
[a,b]
f ≤ M.
Defini¸c˜ao 1.2 Uma fun¸c˜ao f : IR → IR ´e cont´ınua `a esquerda de x
0
∈ IR se
lim
x→x
−
0
f(x) ≡ f(x
−
0
) = f(x
0
)
Teorema 1.1 Se f tem varia¸c˜ao limitada ent˜ao f(x
−
) existe ∀ x ∈ IR e o conjunto
onde f ´e descont´ınua ´e enumer´avel.
14
Demonstra¸c˜ao: ver [R].
Teorema 1.2 (Teorema de Helly) Considere uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes f
ν
: IR →
IR, tais que V ar
IR
f
ν
≤ M e |f
ν
(x)| ≤ M, ∀ ν e ∀ x ∈ IR. Ent˜ao existe uma
fun¸c˜ao f e uma subseq¨uˆencia {f
n
} tal que f
n
(x) → f(x), ∀ x ∈ IR, V ar
IR
f ≤ M e
|f(x)| ≤ M, ∀ x ∈ IR.
Demonstra¸c˜ao: ver [B].
A seguir, enunciaremos algumas defini¸c˜oes e alguns resultados que ser˜ao usados
no segundo cap´ıtulo.
Defini¸c˜ao 1.3 Seja T > 0, definamos o conjunto de fun¸c˜oes Γ
T
por
Γ
T
= {u ∈ L
∞
([0, T ] × IR); u(t) − ¯u
∞
≤ r},
e o operador G sobre Γ
T
por
G(u)(t) = Z(t) ∗ u
0
−
t
0
Z
x
(t − s) ∗ f(u(s)) ds,
u ∈ Γ
T
, onde Z ´e a solu¸c˜ao fundamental da equa¸c˜ao do calor e ∗ denota uma
convolu¸c˜ao em x.
Lema 1.1 Supomos que u
0
− ¯u ∈ L
∞
L
2
, f(¯u) = 0 e que u
0
− ¯u
∞
= s < r.
Ent˜ao se T > 0 ´e suficientemente pequeno (dependendo de s), valem as seguintes
afirma¸c˜oes:
a) G aplica Γ
T
em si pr´oprio.
b) G ´e uma contra¸c˜ao na topologia L
∞
sobre Γ
T
.
c) Existe uma constante C
0
dependendo apenas de Z e f, tal que sempre que u ∈ Γ
T
satisfizer
u(t)
2
≤ C
0
u
0
2
, t ∈ [0, T ], (1.1)
ent˜ao G(u) tamb´em satisfaz (1.1).
15
d) Existe uma constante C
1
dependendo apenas de Z e f , tal que sempre que u ∈ Γ
T
satisfizer
u
x
(t)
p
≤
C
1
u
0
p
√
t
, 0 < t ≤ T, (1.2)
para p = 2 ou p = ∞, ent˜ao G(u) tamb´em satisfaz (1.2).
e) Dado t
0
∈ (0, T ), existe uma constante C
2
dependendo apenas de Z, f e t
0
, tal
que, sempre que u ∈ Γ
T
satisfizer (1.2) e
u
xx
(t)
2
≤
C
2
(u
0
2
+ u
0
2
2
)
√
t − t
0
, t
0
< t ≤ T, (1.3)
ent˜ao G(u) tamb´em satisfaz (1.3).
Demonstra¸c˜ao: ver [W].
Teorema 1.3 Suponhamos u
0
− ¯u ∈ L
∞
L
2
e u
0
− ¯u
∞
= s < r. Ent˜ao existe
uma ´unica solu¸c˜ao u de (3.4) definida em uma faixa [0, T ] × IR, onde T depende
somente de Z, f e s. Mais ainda, u
t
, u
x
, u
xx
s˜ao H¨older cont´ınuas em t ≥ t
0
> 0;
u
t
(t), u
x
(t), u
xx
(t) e u
tx
(t) est˜ao em L
2
(IR) para t > 0.
Demonstra¸c˜ao: ver [W].
Teorema 1.4 Sejam Ω
0
= IR × (0, T ] e Ω = IR × [0, T ]. Seja L um operador
parab´olico com coeficientes cont´ınuos em Ω
0
, da forma
Lψ = a(x, t)
∂
2
ψ
∂x
2
+ b(x, t)
∂ψ
∂x
+ c(x, t)ψ −
∂ψ
∂t
,
satisfazendo
|a(x, t)| ≤ M, |b(x, t)| ≤ M(|x| + 1), c(x, t) ≤ M(|x|
2
+ 1).
Assuma que Lv ≤ 0 em Ω
0
e que
v(x, t) ≥ −Be
β|x|
2
em Ω,
para algumas constantes positivas B, β. Se v(x, 0) ≥ 0 em IR ent˜ao v(x, t) ≥ 0 em
Ω.
16
Demonstra¸c˜ao: ver [Fr].
Defini¸c˜ao 1.4 A seq ¨uˆencia {f
k
}
∞
k=1
em L
∞
(Ω), converge fraco * a f ∈ L
∞
(Ω), e
escreve-se
f
k
∗
⇀ f em L
∞
(Ω)
se
lim
k→∞
Ω
f
k
g dx =
Ω
fg dx
para cada g ∈ L
1
(Ω).
Cap´ıtulo 2
Aproxima¸c˜ao Poligonal de
Solu¸c˜oes do Problema de Valor
Inicial para uma Lei de
Conseva¸c˜ao
2.1 Introdu¸c˜ao
Segundo [D], Considere o problema de valor inicial
u
t
+ f(u)
x
= 0 (x, t) ∈ IR × [0, +∞)
u(x, 0) = u
0
(x) x ∈ IR,
(2.1)
onde f ´e localmente Lipschitz cont´ınua em IR e u
0
´e limitada e de varia¸c˜ao localmente
limitada em IR.
Em geral, n˜ao existe solu¸c˜ao cl´assica de (2.1), mesmo quando f e u
0
s˜ao suaves.
Segundo [D], estabeleceremos a existˆencia de uma solu¸c˜ao que satisfaz a condi¸c˜ao
proposta por Hopf [Hf]. Tal solu¸c˜ao ser´a constru´ıda primeiro em um caso especial
onde u
0
´e uma fun¸c˜ao constante por partes e f(u) ´e linear por partes. No caso geral,
aproximaremos f(u) por uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes lineares por partes e u
0
por uma
seq¨uˆencia de fun¸c˜oes constantes por partes, ent˜ao estabeleceremos a existˆencia de
18
solu¸c˜ao atrav´es de um argumento sugerido por Oleinik [O].
19
2.2 Solu¸c˜oes Admiss´ıveis
Defini¸c˜ao 2.1 Uma fun¸c˜ao localme nte limitada e mensur´avel u(x, t) definida em
IR×[0, +∞) ´e chamada uma solu¸c˜ao fraca admiss´ıvel de (2.1), segundo [Hf], se para
qualquer fun¸c˜ao h(u) n˜ao-decrescente e qualquer fun¸c˜ao φ(x, t) ∈ C
1
c
(IR × [0, +∞))
n˜ao-negativa, tivermos
+∞
0
+∞
−∞
(I(u)φ
t
+ F (u)φ
x
) dxdt +
+∞
−∞
I(u
0
)φ(x, 0) dx ≥ 0, (2.2)
onde
I(u) ≡
u
h(ξ) dξ, F (u) ≡
u
h(ξ) df(ξ). (2.3)
Observa¸c˜ao 2.1 Se u(x, t) ´e definida em IR × [0, T ) e (2.2) ´e satisfeita para toda
fun¸c˜ao φ(x, t) ∈ C
1
c
(IR×[0, +∞)) n˜ao-negativa, ent˜ao u(x, t) ´e chamada uma solu¸c˜ao
local fraca admiss´ıvel de (2.1) em IR × [0, T ).
Observa¸c˜ao 2.2 Se h(u) ≡ 1 ent˜ao I(u) = u e F (u) = f(u), logo (2.2) torna-se
+∞
0
+∞
−∞
(uφ
t
+ f(u)φ
x
) dxdt +
+∞
−∞
u
0
φ(x, 0) dx ≥ 0,
por outro lado, se h(u) ≡ −1 ent˜ao I(u) = −u e F (u) = −f (u), assim (2.2) torna-se
+∞
0
+∞
−∞
(−uφ
t
− f(u)φ
x
) dxdt +
+∞
−∞
−u
0
φ(x, 0) dx ≥ 0,
as duas desigualdades mostram que
+∞
0
+∞
−∞
(uφ
t
+ f(u)φ
x
) dxdt +
+∞
−∞
u
0
φ(x, 0) dx = 0,
essa ´e uma condi¸c˜ao satisfeita por qualquer solu¸c˜ao fraca de (2.1).
Proposi¸c˜ao 2.1 Uma fun¸c˜ao constante por partes u(x, t) com linha de descon-
tinuidade suave x = ¯x(t), t ∈ (a, b), ou seja, a fun¸c˜ao u(x, t) ´e descont´ınua em
(¯x(t), t), t ∈ (a, b), que satisfaz u(x, 0) = u
0
(x), x ∈ IR, ´e uma solu¸c˜ao fraca ad-
miss´ıvel de (2.1) se, e somente se, a seguinte condi¸c˜ao ´e satisfeita: suponha que
x = ¯x(t), t ∈ (a, b), ´e qualquer linha de descontinuidade de u(x, t) e sejam
u
−
≡ lim
x→¯x(t)
−
u(x, t), u
+
≡ lim
x→¯x(t)
+
u(x, t).
Ent˜ao:
20
i) A curva ¯x(t) ´e uma reta com inclina¸c˜ao
d¯x
dt
=
f(u
+
) − f(u
−
)
u
+
− u
−
. (2.4)
ii) Para qualquer u entre u
−
e u
+
f(u
+
) − f(u)
u
+
− u
≤
f(u
+
) − f(u
−
)
u
+
− u
−
. (2.5)
Observa¸c˜ao 2.3 A equa¸c˜ao (2.4) ´e a cl´assica condi¸c˜ao de salto, em dinˆamica dos
gases ´e conhecida como condi¸c ˜ao de Rankine-Hugoniot, enquando (2.5) ´e a condi¸c˜ao
de Oleinik.
Observa¸c˜ao 2.4 De acordo com (2.5), observamos que se u est´a entre u
+
e u
−
e f ´e estritamente convexa, ent˜ao temos que o ponto (u, f(u)), est´a abaixo da reta
que passa pelos pontos (u
−
, f(u
−
)) e (u
+
, f(u
+
)), logo u
+
< u
−
. Do mesmo modo,
se u est´a entre u
+
e u
−
e f ´e estritamente cˆoncava, temos que o ponto (u, f(u)),
est´a acima da reta que passa pelos pontos (u
−
, f(u
−
)) e (u
+
, f(u
+
)), logo u
−
< u
+
.
Agora demonstraremos a Proposi¸c˜ao 2.1.
Demonstra¸c˜ao:
Supomos que u(x, t) ´e uma solu¸c˜ao fraca adm´ıssivel de (2.1). Ent˜ao, ∀ h(u)
n˜ao-decrescente e ∀ φ(x, t) ∈ C
1
c
(IR × [0, +∞) n˜ao-negativa, u(x, t) satisfaz (2.2).
Sejam ¯x uma curva suave na qual u tem um salto de descontinuidade, e
u
−
≡ lim
x→¯x(t)
−
u(x, t) e u
+
≡ lim
x→¯x(t)
+
u(x, t).
Sejam p um p onto pertencente a ¯x e B uma bola fechada, centrada em p tal que
t > 0, ∀ (x, t) ∈ B. Seja φ ∈ C
1
c
(B), assim
+∞
−∞
I(u
0
)φ(x, 0) dx = 0, logo temos
B
(I(u)φ
t
+ F (u)φ
x
) dxdt =
B
1
I(u
−
)φ
t
+ F (u
−
)φ
x
dxdt
+
B
2
I(u
+
)φ
t
+ F (u
+
)φ
x
dxdt ≥ 0,
21
t
x
p
B
1
B
2
Q
1
Q
2
u
+
u
−
Figura 2.1: B = B
1
B
2
contem o suporte compacto da φ.
onde B
1
= {(x, t); t ≥ ¯x(t)}
B e B
2
= {(x, t); t ≤ ¯x(t)}
B.
Usando o Teorema de Green, temos que
B
(I(u)φ
t
+ F (u)φ
x
) dxdt =
∂B
1
−I(u
−
)φ dx + F (u
−
)φ dt
+
∂B
2
−I(u
+
)φ dx + F (u
+
)φ dt ≥ 0.
Como φ = 0 em ∂B, temos que
Q
2
Q
1
−I(u
−
) + I(u
+
)
φ(¯x(t), t) dx +
F (u
−
) − F (u
+
)
φ(¯x(t), t) dt ≥ 0,
∀ φ ∈ C
1
0
(B).
Parametrizando x = ¯x(t) e como φ ´e arbitr´aria temos que
I(u
+
) − I(u
−
)
dx
dt
≥ F (u
+
) − F (u
−
). (2.6)
Fazendo h(u) ≡ 1 temos que I(u) = u e F (u) = f(u), assim
u
+
− u
−
dx
dt
≥ f(u
+
) − f(u
−
).
Por outro lado, se h(u) ≡ −1 ent˜ao I(u) = −u e F (u) = −f(u), logo
u
−
− u
+
dx
dt
≥ f(u
−
) − f(u
+
).
22
Portanto
dx
dt
=
f(u
+
) − f(u
−
)
u
+
− u
−
,
assim, verificamos o item i). Para verificarmos o item ii), supomos primeiro que
u
−
≤ ˜u ≤ u
+
. Definimos
h(u) =
0, u < ˜u
1, u ≥ ˜u,
assim, temos que
I(u) =
0, u < ˜u
u − ˜u, u ≥ ˜u
, F (u) =
0, u < ˜u
f(u) − f(˜u), u ≥ ˜u.
Logo I(u
−
) = 0, I(u
+
) = u
+
− ˜u, F (u
−
) = 0 e F (u
+
) = f(u
+
) − f(˜u), dessa forma
obtemos, de (2.6)
f(u
+
) − f(˜u)
u
+
− ˜u
≤
f(u
+
) − f(u
−
)
u
+
− u
−
.
Um argumento an´alogo mostra que a desigualdade ´e verdadeira quando u
+
≤ ˜u ≤
u
−
.
Reciprocamente, supomos que u(x, t) ´e uma fun¸c˜ao constante por partes, com
uma linha de descontinuidade suave, ¯x(t), que satisfaz u(x, 0) = u
0
(x), x ∈ IR,
sem perda de generalidade podemos supor que ¯x(t) passa pela origem, al´em disso,
supomos que u(x, t) satisfaz i) e ii).
Sejam φ(x, t) ∈ C
1
c
(IR×[0, +∞) e R = [a, b]×[0, T ] um retˆangulo que contem o
suporte de φ, tal que R = R
1
R
2
, como na figura (2.2), onde R
1
= R
{(x, t); t ≥
¯x(t)} e R
2
= R
{(x, t); t ≤ ¯x(t)}. Queremos mostrar que u(x, t) satisfaz (2.2).
23
t
x
R
1
R
2
T
u
−
u
+
a
Figura 2.2: R = R
1
R
2
´e o suporte compacto de φ.
Como φ(x, 0) = 0, temos que
R
(I(u)φ
t
+ F (u)φ
x
) dxdt =
∂R
1
−I(u
−
)φ dx + F (u
−
)φ dt
+
∂R
2
−I(u
+
)φ dx + F (u
+
)φ dt
=
T
0
−I(u
−
) + I(u
+
)
f(u
+
) − f(u
−
)
u
+
− u
−
+
T
0
F (u
−
) − F (u
+
)
φ(¯x(t), t) dt.
Pelo Lema 6.1 de [G-R], temos que
−I(u
−
) + I(u
+
)
f(u
+
) − f(u
−
)
u
+
− u
−
+
F (u
−
) − F (u
+
)
≥ 0,
assim, u(x, t) satisfaz (2.2).
24
2.3 Existˆencia de Solu¸c˜oes Admiss´ıveis
O resultado mais importante desse cap´ıtulo ´e o
Teorema 2.1 Assuma que u
0
´e cont´ınua `a esquerda, tem varia¸c˜ao localmente lim-
itada em IR e que existem m, M ∈ IR, tais que
m ≤ u
0
(x) ≤ M, x ∈ IR. (2.7)
Se f(u) ´e localmente lipschitz cont´ınua em IR e
|f(u) − f(u
′
)| ≤ K|u − u
′
|, ∀ u, u
′
∈ [m, M], (2.8)
ent˜ao existe uma solu¸c˜ao fraca admiss´ıvel u(x, t) de (2.1) que tem as seguintes pro-
priedades, para todo t fi xo em [0, +∞):
• u(x, t) ´e cont´ınua `a esquerda.
• u(x, t) ´e limitada superiormente por M e inf eriorme nte por m.
• u(x, t) tem varia¸c˜ao localmente limitada em IR.
• A restri¸c˜ao de u(x, t) em qualquer intervalo [x
1
, x
2
] est´a unicamente deter-
minada pela restri¸c˜ao de u
0
no intervalo [x
1
− Kt, x
2
+ Kt] (dom´ınio de de-
pendˆencia finita).
• Al´em disso,
V ar
[x
1
,x
2
]
u(x, t) ≤ V ar
[x
1
−Kt,x
2
+Kt]
u
0
(x) (2.9)
Antes de demonstrarmos o Teorema 2.1, estudaremos dois casos especiais,
Lema 2.1 e Lema 2.2.
Lema 2.1 (O problema de Riemann para uma aproxima¸c˜ao poligonal)
Assuma que f ´e linear por partes, ou seja, existe uma parti¸c˜ao P = {m = x
0
<
··· < x
n
= M} de [m, M] tal que f ´e linear em cada intervalo [x
i−1
, x
i
], i = 1, . . . , n.
Supomos que f satisfaz (2.8) e
u
0
≡
u
l
, x ∈ (−∞, 0]
u
r
, x ∈ (0, +∞).
25
onde u
l
e u
r
s˜ao constantes em [m, M]. Ent˜ao existe uma solu¸c˜ao fraca admiss´ıvel
de (2.1), que consiste de um n´umero finito de constantes separadas por ondas de
choque centradas na origem.
Demonstra¸c˜ao: Supomos primeiro que u
l
< u
r
. A fronteira da casca convexa
do conjunto {(u, v); u
l
≤ u ≤ u
r
, v ≥ f(u)} ´e uma poligonal com v´ertices nos pon-
tos (u
l
, f(u
l
)) , ( u
1
, f(u
1
)) , ( u
2
, f(u
2
)) , . . . ,
u
k
, f(u
k
)
, (u
r
, f(u
r
)), sendo u
l
< u
1
<
··· < u
k
< u
r
, onde (u
1
, f(u
1
)) , ( u
2
, f(u
2
)) , . . . ,
u
k
, f(u
k
)
s˜ao tamb´em v´ertices do
gr´afico de f.
ft
u
u
l
u
r
u
1
u
2
u
3
Figura 2.3: A linha pontilhada ´e um exemplo de representa¸c˜ao de fronteira da casca
convexa entre u
1
e u
3
, para uma fun¸c˜ao f linear por partes.
Mostraremos primeiro que
−K ≤
f (u
n+1
) − f (u
n
)
u
n+1
− u
n
<
f (u
n+2
) − f (u
n+1
)
u
n+2
− u
n+1
≤ K,
onde n = 0, 1, 2, . . . , k −1, u
0
= u
l
e u
k+1
= u
r
.
Como os pontos (u
l
, f(u
l
)) , (u
1
, f(u
1
)) , (u
2
, f(u
2
)) , . . . ,
u
k
, f(u
k
)
, (u
r
, f(u
r
)) s˜ao
v´ertices de uma poligonal convexa, todos os pontos do gr´afico de f est˜ao acima
da reta que passa pelos pontos (u
n
, f(u
n
)) e (u
n+1
, f(u
n+1
)) e acima da reta que
passa pelos pontos (u
n+1
, f(u
n+1
)) e (u
n+2
, f(u
n+2
)), n = 0, 1, 2, . . . , k − 1. Sejam
y
1
e y
2
as equa¸c˜oes dessas retas e m
1
e m
2
suas inclina¸c˜oes, respectivamente. Se
m
1
= m
2
ent˜ao y
1
e y
2
s˜ao a mesma reta e o ponto (u
n+1
, f(u
n+1
)) n˜ao ´e v´ertice,
o que ´e uma contradi¸c˜ao pela constru¸c˜ao. Supomos agora que m
1
> m
2
. Como
y
1
(u
n+1
) = y
2
(u
n+1
) e u
n+1
< u
n+2
, ent˜ao y
1
(u
n+2
) > y
2
(u
n+2
). Mas nesse caso
26
temos um ponto da poligonal que est´a abaixo da reta y
1
, o que ´e uma contradi¸c˜ao,
pois a poligonal ´e convexa. Portanto m
1
< m
2
. Como −K ≤ m
1
< m
2
≤ K, pois f
´e lipschitz em [m, M] com constante K, temos que
−K ≤
f (u
1
) − f (u
l
)
u
1
− u
l
<
f (u
2
) − f (u
1
)
u
2
− u
1
< ···
<
f
u
k
− f
u
k−1
u
k
− u
k−1
<
f (u
r
) − f
u
k
u
r
− u
k
≤ K. (2.10)
Definimos
u(x, t) =
u
l
,
x
t
≤
f (u
1
) − f (u
l
)
u
1
− u
l
u
1
,
f (u
1
) − f (u
l
)
u
1
− u
l
<
x
t
≤
f (u
2
) − f (u
1
)
u
2
− u
1
.
.
.
u
k
,
f
u
k
− f
u
k−1
u
k
− u
k−1
<
x
t
≤
f (u
r
) − f
u
k
u
r
− u
k
u
r
,
f (u
r
) − f
u
k
u
r
− u
k
<
x
t
,
(2.11)
portanto u(x, t) definida em (2.11) satisfaz (2.4). Devido a convexidade da poligonal
que forma a fronteira da casca convexa, obtemos
f(u
n+1
) − f(u)
u
n+1
− u
≤
f(u
n+1
) − f(u
n
)
u
n+1
− u
n
,
∀ u ∈ (u
n
, u
n+1
), n = 0, 1, 2, . . . , k − 1, logo u(x, t) satisfaz (2.5). Assim, segundo a
Proposi¸c˜ao 2.1, temos que u(x, t) ´e uma solu¸c˜ao fraca admiss´ıvel de (2.1).
No caso em que u
l
> u
r
, sejam (u
r
, f(u
r
)),
u
k
, f(u
k
)
, . . ., (u
1
, f(u
1
)),
(u
l
, f(u
l
)), onde u
r
< u
k
< ··· < u
1
< u
l
, os v´ertices da fronteira da casca cˆoncava
do conjunto {(u, v); u
r
≤ u ≤ u
l
, v ≤ f(u)}. Ent˜ao (2.10) ´e verificado. Assim, u(x, t)
definida como em (2.11) ´e uma solu¸c˜ao fraca admiss´ıvel de (2.1).
Lema 2.2 O Teorema 2.1 ´e verdadeiro se f(u) ´e linear por partes satisfazendo (2.8)
27
t
u
l
u
k
u
r
u
1
x
Figura 2.4: Representa¸c˜ao de uma solu¸c˜ao fraca admiss´ıvel de (2.1), p ara u
l
< u
r
.
com
u
0
≡
v
1
, x ≤ x
1
v
2
, x
1
< x ≤ x
2
.
.
.
v
s
, x
s−1
< x,
(2.12)
onde v
j
´e constante em [m, M], j = 1, . . . , s.
Demonstra¸c˜ao: Seja
(u
1
, f(u
1
)) , . . . ,
u
k
, f(u
k
)
o conjunto de todos os v´ertices
do gr´afico de f com abscissas u em [m, M]. Defina J ≡
u
1
, . . . , u
k
{v
1
, . . . , v
s
}.
Diremos que uma fun¸c˜ao u(x, t) em IR × [0, T ) ´e de classe D
T
se as seguintes
condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas:
i) u(x, t) ´e uma solu¸c˜ao fraca local admiss´ıvel de (2.1) em IR × [0, T ).
ii) Para qualquer t ∈ [0, T ) fixo, u(x, t) ´e uma fun¸c˜ao constante por partes com
valores em J, cont´ınua `a esquerda e de varia¸c˜ao limitada em IR. Mais ainda
V ar
IR
u(x, t) ≤ V ar
IR
u
0
(x). (2.13)
iii) Para todo t, t
′
∈ [0, T )
+∞
−∞
|u(x, t) − u(x, t
′
)|dx ≤ K|t − t
′
| V ar
IR
u
0
. (2.14)
Provaremos que existe uma fun¸c˜ao u(x, t) de classe D
∞
, ou seja, u(x, t) ´e uma
fun¸c˜ao que satisfaz os itens i), ii) e iii) para todo T > 0. Para isso ´e suficiente
28
mostrarmos primeiro que para algum τ > 0 existe uma fun¸c˜ao em D
τ
e segundo que
se u(x, t) ´e de classe D
T
para algum T > 0, ent˜ao existe T
′
> T e uma extens˜ao de
u(x, t) em IR × [0, T
′
) a qual ´e de classe D
T
′
.
Aplicando o Lema 2.1 para v
j
e v
j+1
, j = 1, 2, . . . , s − 1, temos um n´umero
finito de solu¸c˜oes u
j
(x, t), j = 1, 2, . . . , s − 1, que assumem valores no conjunto
J, e um n´umero finito de choques entre as linhas de descontinuidade. Escolhemos
τ > 0 de modo que ele seja menor que o instante T onde ocorre o primeiro choque
entre as linhas d e descontinuidade. Definimos u(x, t) = u
j
(x, t) se u
0
(x) = v
j
,
j = 1, 2, . . . , s − 1, e u(x, t) = u
s−1
(x, t) se u
0
(x) = v
s
, assim obtemos uma solu¸c˜ao
fraca local admiss´ıvel u(x, t) de (2.1) em IR × [0, τ), pelo Lema 2.1.
Fixando τ , de acordo com a demonstra¸c˜ao do Lema 2.1, temos que se v
j
< v
j+1
,
j = 1, 2, . . . , s − 1, ent˜ao os v´ertices da poligonal que formam a fronteira da casca
convexa do conjunto {(u, w); v
j
≤ u ≤ v
j+1
, w ≥ f(u)}, s˜ao tais que v
j
< u
1
j
<
··· < u
m
j
< v
j+1
, j = 1, 2, . . . , s − 1. Assim, para t ∈ [0, τ) fixo, dado uma parti¸c˜ao
P = {a = x
0
< x
1
< ··· < x
n
= b}, de um intervalo [a, b] ∈ IR, onde u(a, t) = v
j
e
u(b, t) = v
j+1
, para algum j = 1, . . . , s − 1, temos
n
i=1
| u(x
i
, t) − u(x
i−1
, t) |=| u(b, t) − u(a, t) |=| v
j+1
− v
j
| .
Quando v
j
> v
j+1
, j = 1, 2, . . . , s − 1, obtemos o mesmo resultado.
Dessa forma, se u(a, t) = v
1
e u(b, t) = v
s
ent˜ao
n−1
i=1
|u(x
i
, t) − u(x
i−1
, t)| =
j=s−1
j=1
|v
j+1
− v
j
|,
portanto
V ar
IR
u(x, t) = V ar
IR
u
0
(x).
At´e agora, mostramos que u(x, t) satisfaz i) e ii) em IR×[0, τ), resta mostrarmos
que u(x, t) satisfaz iii) em IR × [0, τ).
Para isso ´e suficiente mostrarmos que: supondo v
j
< u
n
< u
n+1
< v
j+1
, sejam
t, t
′
∈ [0, τ) e x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, os pontos onde as linhas de descontinuidade tocam
as retas t e t
′
, conforme a figura (2.5). Notamos que x
1
= α
1
t + c, x
2
= α
1
t
′
+ c, x
3
=
29
α
2
t
′
+ c, x
4
= α
3
t
′
+ c, x
5
= α
2
t + c e x
6
= α
3
t + c, onde α
1
, α
2
e α
3
s˜ao as inclina¸c˜oes
das linhas de descontinuidade e c ´e uma constante, conforme a figura (2.5).
t
t
′
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
v
j
v
j+1
u
n
u
n+1
Figura 2.5:
Assim, temos
x
6
x
1
|u(x, t) − u(x, t
′
)|dx =
x
2
x
1
|u
n
− v
j
|dx +
x
4
x
3
|u
n+1
− u
n
|dx
+
x
5
x
4
|v
j+1
− u
n
|dx +
x
6
x
5
|v
j+1
− u
n+1
|dx
=
u
1
− v
j
(α
1
t
′
− α
1
t) +
u
n+1
− u
n
(α
3
t
′
− α
2
t
′
)
+ (v
j+1
− u
n
) (α
2
t − α
3
t
′
) +
v
j+1
− u
n+1
(α
3
t − α
2
t)
= (u
n
− v
j
) α
1
(t
′
− t) +
v
j+1
− u
n+1
α
3
(t
′
− t)
+
u
n+1
− u
n
α
2
(t − t
′
)
≤ |v
j+1
− v
j
|K|t − t
′
|.
Segue que
+∞
−∞
|u(x, t) − u(x, t
′
)|dx ≤
s−1
j=1
|v
j+1
− v
j
|K|t − t
′
| ≤ K|t − t
′
|V ar
IR
u
0
,
∀ t, t
′
∈ [0, τ). Portando u(x, t) ´e de classe D
τ
.
Supomos agora que u(x, t) ´e de classe D
T
. Mostraremos que existe T
′
> T tal
que podemos extender u a ˜u de classe D
T
′
.
Dados B ⊂ IR compacto e t, t
′
∈ [0, T ), de (2.14) obtemos
B
|u(x, t) − u(x, t
′
)|dx ≤ K|t − t
′
| V ar
IR
u
0
.
30
Como L
1
Loc
(IR) ´e completo, existe u(x, T ) ∈ L
1
Loc
(IR) tal que u(x, t) → u(x, T ),
quando t → T , em L
1
Loc
(IR).
Sejam x
1
, x
2
∈ IR tais que x
1
< x
2
. Ent˜ao
x
2
x
1
|u(x, t
′
) − u(x, t)|dx ≤ K|t
′
− t| V ar
IR
u
0
,
tomando o limite quando t
′
→ T , temos
x
2
x
1
|u(x, T ) − u(x, t)|dx ≤ K|T − t| V ar
IR
u
0
.
Como x
1
e x
2
s˜ao arbitr´arios, fazendo x
1
→ −∞ e depois x
2
→ +∞, obtemos
+∞
−∞
|u(x, T ) − u(x, t)|dx ≤ K|T − t| V ar
IR
u
0
.
Consideramos agora a fam´ılia {u(x, t)}
t∈[0,T )
. Temos que ∀ t ∈ [0, T ) fixo,
|u(x, t)| ≤ |u
0
(x)| ≤ max{|M|, |m|}, e que u(x, t) satisfaz (2.13). Assim pelo Teo-
rema (1.2) (Teorema de Helly) existe uma subseq¨uˆencia (u(x, t)) de {u(x, t)}
t∈[0,T )
que converge pontualmente para uma fun¸c˜ao limitada e de varia¸c˜ao limitada. Como
u(x, t) → u(x, T ) em L
1
Loc
(IR), ent˜ao u(x, T ) pode ser identificada como uma fun¸c˜ao
de varia¸c˜ao limitada cont´ınua `a esquerda, al´em disso, |u(x, T )| ≤ max{|M|, |m|} e
V ar
IR
u(x, T ) ≤ V ar
IR
u
0
, (2.15)
Em particular, como existe uma subseq¨uˆencia (u(x, t)) de {u(x, t)}
t∈[0,T )
que
converge pontualmente para u(x, T ), conclu´ımos que u(x, T ) ´e constante por partes
com valores em J, al´em disso, devido a (2.15), u(x, T ) tem um n´umero cont´avel de
pontos de descontinuidade.
Supomos que u(x, T ) tem um n´umero infinito de pontos de descontinuidade
em u m intervalo [a, b] ⊂ IR. Dada uma parti¸c˜ao P = {x
0
= a, x
1
, . . . , x
n
= b} do
intervalo [a, b], devido a nossa hip´otese e ao fato que u(x, T ) assume valores em J,
podemos supor que |u(x
j
, T ) − u(x
j−1
, T )| > 0, j = 1, . . . , n, assim obtemos
n
j=1
|u(x
j
, T ) − u(x
j−1
, T )| ≥ nC,
onde C = min{|x − y|; x, y ∈ J, x = y}. Fazendo n → ∞ temos uma contradi¸c˜ao
com (2.15). Com um argumento similar podemos mostrar uma contradi¸c˜ao quando
31
todo intervalo [a, b] ∈ IR possui um n´umero finito de pontos de descontinuidades.
Portanto u(x, T ) tem um n´umero finito de pontos de descontinuidades.
Podemos ent˜ao usar a fun¸c˜ao u(x, T ) como novo dado inicial no enunciado
do Lema 2.2 e construir uma solu¸c˜ao fraca local admiss´ıvel u
′
(x, t) de (2.1) em
IR ×[T, T
′
) que admite condi¸c˜ao inicial u(x, T ). Como antes, (2.14) ´e satisfeita para
quaisquer t, t
′
∈ [T, T
′
). Mais ainda
V ar
IR
u
′
(x, t) = V ar
IR
u(x, T ),
∀ t ∈ [T, T
′
).
Assim, por (2.15), conclu´ımos que
˜u(x, t) =
u(x, t), t ∈ [0, T )
u
′
(x, t), t ∈ [T, T
′
).
satisfaz (2.13), e se t ∈ [0, T ) e t
′
∈ [T, T
′
) ent˜ao
+∞
−∞
|˜u(x, t) − ˜u(x, t
′
)|dx =
+∞
−∞
|u(x, t) − u
′
(x, t
′
)|dx
≤
+∞
−∞
|u(x, t) − u(x, T )|dx
+
+∞
−∞
|u(x, T ) − u
′
(x, t
′
)|dx
≤ KV ar
IR
u
0
(|t − T | + |t
′
− T |)
≤ K|t − t
′
| V ar
IR
u
0
,
logo ˜u(x, t) satisfaz (2.14), portanto ´e de classe D
T
′
.
Continuando esse processo estabelecemos a existˆencia de uma solu¸c˜ao fraca
admiss´ıvel de (2.1) em D
∞
.
Agora, mostraremos que (2.9) ´e verificada. Considerando ainda a solu¸c˜ao
u(x, t) de (2.1), em IR × [0, T ). Sejam x
1
, x
2
∈ IR tais que x
1
< x
2
, t ∈ [0, T ) fixo,
32
u(x
1
, t) = u
j
e u(x
2
, t) = u
i
, sendo u
j
, u
i
∈ J. Suponha que u
0
(x) ∈ {v
k−1
, v
k
, v
k+1
},
x ∈ [x
1
− Kt, x
2
+ Kt], e al´em disso que u
j
est´a entre os valores v
k−1
e v
k
e u
i
est´a
entre os valores v
k
e v
k+1
. Seja P = {x
1
= s
0
< s
1
< ... < s
m
= x
2
} uma parti¸c˜ao
do intervalo [x
1
, x
2
], assim temos que
m
l=1
|u(s
l
, t) − u(s
l−1
, t)| = |u
j
− v
k
| + |v
k
− u
i
|,
pois devido a constru¸c˜ao da solu¸c˜ao os valores que a fun¸c˜ao u(x, t) assum e entre u
j
e v
k
e entre v
k
e u
i
, est˜ao dispostos de forma crescente ou decrescente, de modo que
temos cancelamentos. Supomos ainda que v
k−1
< u
j
< v
k
< u
i
< v
k+1
, assim
m
l=1
|u(s
l
, t) − u(s
l−1
, t)| = v
k
− u
j
+ u
i
− v
k
= u
i
− u
j
< v
k+1
− v
k−1
< |v
k+1
− v
k
| + |v
k−1
− v
k
|,
Seja P
′
= P
{x
1
− Kt = s
′
, x
2
+ Kt = s
′′
}, que ´e uma parti¸c˜ao do intervalo
[x
1
− Kt, x
2
+ Kt], assim
m
l=1
|u
0
(s
l
) − u
0
(s
l−1
)| + |u
0
(s
0
) − u
0
(s
′
)| + |u
0
(s
′′
) − u
0
(s
m
)|
≤ |v
k+1
− v
k
| + |v
k−1
− v
k
| ≤ V ar
[x
1
−Kt,x
2
+Kt]
u
0
(x),
logo
m
l=1
|u(s
l
, t) − u(s
l−1
, t)| < |v
k+1
− v
k
| + |v
k−1
− v
k
| ≤ V ar
[x
1
−Kt,x
2
+Kt]
u
0
(x).
Portanto
V ar
[x
1
,x
2
]
u(x, t) ≤ V ar
[x
1
−Kt,x
2
+Kt]
u
0
(x).
Os casos v
k−1
> v
k
> v
k+1
, v
k−1
> v
k
e v
k
< v
k−1
, v
k−1
< v
k
e v
k
> v
k+1
s˜ao
an´alogos. (ver figura (2.6)).
Assim o m´etodo de constru¸c˜ao garante que (2.9) ´e verificado.
Finalmente, a restri¸c˜ao de u(x, t) a qualquer intervalo [x
1
, x
2
], fica determinada
de forma ´unica pela restri¸c˜ao de u
0
ao intervalo [x
1
−Kt, x
2
+Kt]. De fato, pelo limite
na inclina¸c˜ao das linhas de descontinuidade da solu¸c˜ao u(x, t), podemos aplicar os
resultados anteriores a restri¸c˜ao de u
0
, por constru¸c˜ao temos a unicidade.
33
t
x
1
− Kt
x
1
x
2
x
2
+ Kt
v
k−1
v
k
v
k+1
u
j
u
i
Figura 2.6: Dom´ınio de dependˆen cia finita.
Observa¸c˜ao 2.5 A prova do Lema (2.2), sugere o seguinte m´etodo num´erico
de constru¸c˜ao de uma solu¸c˜ao de (2.1) para f(u) linear por partes e u
0
(x) uma
fun¸c˜ao constante por partes: por superposi¸c˜ao de solu¸c˜oes do problema de Riemann
constru´ımos uma solu¸c˜ao em IR×[0, T
1
), onde T
1
´e o tempo em que o primeiro choq ue
ocorre. Ent˜ao repetimos o processo usando u(x, T
1
) como nova condi¸c˜ao inicial
(que ´e tam b´em uma fun¸c˜ao constante por partes). Assim extendemos a solu¸c˜ao em
IR × [0, T
2
), onde T
2
´e o tempo em que o primeiro ”novo” choque ocorre, e assim
continuamos sucessivamente. Implementando, este processo n˜ao existe garantia que
possamos atingir todos os pontos t ∈ [0, +∞) em um n´umero finito de passos. (ver
figura (2.7)).
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
v
1
v
2
v
3
v
4
x
1
x
2
x
3
u
6
u
7
u
8
u
9
u
10
u
11
u
16
u
12
u
13
u
14
u
15
T
′
T
Figura 2.7: Exemplo de superposi¸c˜ao de solu¸c˜oes locais fracas admiss´ıveis.
Exemplo 2.1 Suponha por´em que f(u) ´e convexa, e que v
j+1
< v
j
, j = 1, ..., s −1.
Nesse caso, pela observa¸c˜ao 2.4, podemos construir a solu¸c˜ao com apenas uma linha
de descontinuidade separando dois valores diferentes do dado inicial, al´em disso
duas, ou mais linhas de descontinuidades, quando se tocam produzem no m´aximo
uma linha de descontinuidade. Assim a solu¸c˜ao global pode ser constru´ıda em um
34
n´umero finito de passos. Quando a fun¸c˜ao f ´e cˆoncava, podemos fazer uma an´alise
semelhante. (ver figura (2.8)).
t
x
v
1
v
2
v
3
x
1
x
2
Figura 2.8: Exemplo de solu¸c˜ao para f convexa.
Agora, estamos preparados para demostrar o Teorema 2.1.
Demonstra¸c˜ao:
Assumimos primeiro que u
0
(x) ´e de varia¸c˜ao limitada em IR. Como u
0
(x) ´e
cont´ınua `a esquerda e limitada, podemos aproxim´a-la por baixo, como na integral
de Riemann, por uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes (u
n
0
) constantes por partes tais que
u
n
0
(x) → u
0
(x), n → +∞,
∀ x ∈ IR. Al´em disso, temos que |u
n
0
(x)| ≤ max{|m|, |M|}, ∀ n ∈ IN.
Dados u
n
0
(x) e [a, b] ⊂ IR, seja P = {x
0
= a, x
1
, . . . , x
n
= b} a parti¸c˜ao do
intervalo [a, b] tal que u
n
0
(x
j
) = u
0
(x
j
), j = 0, 1, . . . , n, e dado y ∈ u
n
0
([a, b]) ent˜ao
u
n
0
(x
j
) = y para algum j = 0, 1, . . . , n, isso ´e poss´ıvel devido `a constru¸c˜ao das u
n
0
(x).
Dessa forma, obtemos
n
j=1
|u
n
0
(x
j
) − u
n
0
(x
j−1
)| =
n
j=1
|u
0
(x
j
) − u
0
(x
j−1
)| ≤ V ar
IR
u
0
(x).
Assim, dada qualquer parti¸c˜ao Q do intervalo [a, b], temos
(u
n
0
, Q) ≤
(u
n
0
, Q
p) =
(u
n
0
, P ) ≤ V ar
IR
u
0
(x).
Portanto temos que
u
n
0
(x) → u
0
(x), n → +∞ em L
1
Loc
(IR). (2.16)
V ar
IR
u
n
0
(x) ≤ V ar
IR
u
0
(x). (2.17)
35
Considere tamb´em a seq¨uˆencia (f
n
(u)) de fun¸c˜oes lineares por partes com
v´ertices nos pontos (u
0
, f(u
0
)) , ..., (u
n
, f(u
n
)), onde u
i
= m+
i(M − m)
n
, i = 0, ..., n,
ou seja, para cada n ∈ IN, dividimos o intervalo [m, M] em n subintervalos de
comprimento igual a
1
n
, sendo que u
0
= m e u
n
= M. Note que devido a (2.8)
|f
n
(u) − f
n
(u
′
)| ≤ K|u − u
′
|, (2.18)
∀ u, u
′
∈ [m, M] e
| f(u) − f
n
(u) | ≤
2K(M − m)
n
, (2.19)
∀ u ∈ [m, M], n = 1, 2, ....
De fato, se u ∈ [u
j−1
, u
j
] e u
′
∈ [u
j
, u
j+1
] ent˜ao
|f
n
(u) − f
n
(u
′
)| ≤ |f
n
(u) − f
n
(u
j
)| + |f
n
(u
j
) − f
n
(u
′
)|
≤ K|u − u
j
| + K|u
j
− u
′
| = K|u − u
′
|.
Para verificar (2.19), se u ∈ [u
j−1
, u
j
], notamos que f
n
(u
j
) = f(u
j
), assim
|f(u) − f
n
(u)| ≤ |f(u) − f(u
j
)| + |f
n
(u) − f
n
(u
j
)|
≤ 2K|u − u
j
| ≤ 2K
(M − m)
n
.
Seja u
n
(x, t) a solu¸c˜ao fraca admiss´ıvel do problema de valor inicial
u
t
+ f
n
(u)
x
= 0 (x, t) ∈ IR × [0, +∞)
u(x, 0) = u
n
0
(x) x ∈ IR,
(2.20)
cuja existˆencia ´e verificada no Lema 2.2 e que satisfaz as propriedades da classe
D
∞
. Para t odo t ∈ [0, +∞) fixo, e em virtude de (2.13) e (2.17), a seq¨uˆencia
(u
n
(x, t)) ´e uniformemente limitada e de varia¸c˜ao uniformemente limitada em IR,
pois |u
n
(x, t)| ≤ |u
0
(x)| ≤ max{|M|, |m|}, ∀ n ∈ IN, al´em disso
V ar
IR
u
n
(., t) ≤ V ar
IR
u
n
0
≤ V ar
IR
u
0
,
∀ n ∈ IN.
36
Seja {t
n
} um conjunto enumer´avel de n´umeros racionais, em [0, ∞). Pelo Teo-
rema (1.2) (Teorema de Helly), existe uma subseq¨uˆen cia (u
1
n
(x, t
1
)) de {u
n
(x, t
1
)}
pontualmente convergente. Considerando agora a fam´ılia {u
1
n
(x, t
2
)}, novamente
pelo Teorema (1.2) existe uma subseq¨uˆencia (u
2
n
(x, t
2
)) de {u
1
n
(x, t
2
)}, pontualmente
convergente. Continuando esse processo, encontramos uma subseq¨uˆencia (u
m
n
(x, t
m
))
de {u
m−1
n
(x, t
m−1
)}, pontualmente convergente. Tome ent˜ao a seq¨uˆencia (u
n
n
(x, t)).
Seja t
j
∈ {t
n
}, como (u
j
n
(x, t
j
)) ´e convergente, ent˜ao (u
n
n
(x, t
j
)) converge pontual-
mente quando n → +∞, para cada j ∈ IN. Para simplificar a nota¸c˜ao vamos chamar
u
n
n
(x, t) de u
n
(x, t).
Seja u
n
(x, t
j
) → φ
j
(x), n → +∞, para cada j ∈ IN, assim, para qualquer
intervalo [x
1
, x
2
] ⊂ IR,
x
2
x
1
|u
n
(x, t
j
) − u
m
(x, t
j
)|dx ≤
x
2
x
1
|u
n
(x, t
j
) − φ
j
(x)|dx
+
x
2
x
1
|u
m
(x, t
j
) − φ
j
(x)|dx.
Pelo Teorema da Convergˆencia Dominada ∃ k
0
∈ IN tal que se n > k
0
ent˜ao
x
2
x
1
|u
n
(x, t
j
) − φ
j
(x)|dx <
ε
6
Assim, se m, n ≥ k
0
ent˜ao
x
2
x
1
|u
n
(x, t
j
) − u
m
(x, t
j
)|dx <
ε
6
+
ε
6
=
ε
3
.
Logo (u
n
(x, t)) converge tamb´em em L
1
Loc
(IR), ∀ t ∈ {t
n
} fixo.
Sejam t ∈ [0, ∞), t
′
∈ [0, ∞) racional e [x
1
, x
2
] ⊂ IR, ent˜ao
x
2
x
1
|u
n
(x, t) − u
m
(x, t)|dx ≤
+∞
−∞
|u
n
(x, t) − u
n
(x, t
′
)|dx
+
x
2
x
1
|u
n
(x, t
′
) − u
m
(x, t
′
)|dx +
+∞
−∞
|u
m
(x, t) − u
m
(x, t
′
)|dx. (2.21)
De (2.14) e (2.17), temos que
+∞
−∞
|u
n
(x, t) − u
n
(x, t
′
)|dx ≤ K|t − t
′
|V ar
IR
u
n
0
(x)
≤ K|t − t
′
|V ar
IR
u
0
(x) (2.22)
37
∀ n ∈ IN.
Dados t ∈ [0, ∞) e ε > 0, tome t
′
∈ [0, ∞) racional tal que
|t − t
′
| ≤
ε
3KV ar
IR
u
0
(x)
,
ent˜ao
x
2
x
1
|u
n
(x, t) − u
m
(x, t)|dx <
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε.
Por outro lado, dados B ⊂ [0, ∞) compacto, t ∈ B e ε > 0. Seja ε
1
=
ε
KV ar
IR
u
0
(x)
. Temos que B ⊂
t
j
∈{t
n
}
B
(t
j
− ε
1
, t
j
+ ε
1
), logo existe n
1
∈ IN tal
que B ⊂
n
1
j=1
(t
j
− ε
1
, t
j
+ ε
1
).
Tome 1 ≤ j ≤ n
1
tal que
|t − t
j
| <
ε
3KV ar
IR
u
0
(x)
.
Sejam m, n ≥ k
0
ent˜ao
x
2
x
1
|u
n
(x, t) − u
m
(x, t)|dx ≤ ε.
Vemos assim que (u
n
(x, t)) ´e convergente em L
1
Loc
(IR), uniformemente em t,
para t em conjuntos compactos. Em particular, dado um compacto [a, b] × [c, d] ⊂
IR × [0, ∞), temos que
b
a
d
c
|u
n
(x, t) − u
m
(x, t)|dxdt ≤ ε|b − a|.
Conclu´ımos assim, que (u
n
(x, t)) ´e convergente em L
1
Loc
(IR × [0, ∞)) e
u
n
(x, t) → u(x, t), n → +∞ (2.23)
em L
1
Loc
(IR × [0, ∞)), ∀ t ∈ [0, ∞) fixo.
Passando a uma subseq¨uˆencia se necess´ario, u
n
(x, t) → u(x, t), pontualmente
∀ t ∈ [0, ∞) fixo, q.t.p. em x ∈ IR. Assim, devido ao Teorema (1.2) (Teorema de
Helly) e as observa¸c˜oes anteriores, u(x, t) (modificando se necess´ario em um conjunto
de medida nula) ´e limitada superiormente por M, inferiormente por m, ´e cont´ınua `a
esquerda e de varia¸c˜ao limitada em IR. Mais ainda
V ar
IR
u(x, t) ≤ V ar
IR
u
0
, t ∈ [0, ∞). (2.24)
38
Afirma¸c˜ao 2.1 u(x,t) ´e a solu¸c˜ao fraca admiss´ıvel de (2.1) desejada.
De fato, fixando uma fun¸c˜ao crescente h(u) e uma fun¸c˜ao φ(x, t) ∈ C
1
c
(IR ×[0, +∞))
n˜ao-negativa. De (2.2)
+∞
0
+∞
−∞
(I(u
n
)φ
t
+ F
n
(u
n
)φ
x
) dxdt +
+∞
−∞
I(u
n
0
)φ(x, 0) dx ≥ 0, (2.25)
onde
F
n
(u) ≡
u
m
h(ξ) df
n
(ξ). (2.26)
Subtraindo (2.2) e (2.25) temos
+∞
0
+∞
−∞
(I(u)φ
t
+ F (u)φ
x
) dxdt +
+∞
−∞
I(u
0
)φ(x, 0) dx
≥
+∞
0
+∞
−∞
{(I(u) − I(u
n
))φ
t
+ (F (u) − F
n
(u))φ
x
} dxdt
+
+∞
0
+∞
−∞
(F
n
(u) − F
n
(u
n
))φ
x
dxdt +
+∞
−∞
(I(u
0
) − I(u
n
0
))φ(x, 0) dx.
(2.27)
Definimos o conjunto
H ≡ max
[m,M]
|h(ξ)| = max{|h(m)|, |h(M)|}.
Usando (2.3), (2.18), (2.19) e (2.26), temos que
|I(u) − I(u
n
)| =
u
n
m
h(ξ) dξ −
u
m
h(ξ) dξ
=
u
n
u
h(ξ) dξ
≤ H|u − u
n
|,
|I(u
0
) − I(u
n
0
)| ≤ H|u
0
− u
n
0
|,
|F
n
(u) − F
n
(u
n
)| =
u
m
h(ξ) df
n
(ξ) −
u
n
m
h(ξ) df
n
(ξ)
=
u
n
u
h(ξ) df
n
(ξ)
≤ KH|u − u
n
|,
39
|F (u) −F
n
(u)| =
u
m
h(ξ) df(ξ) −
u
m
h(ξ) df
n
(ξ)
=
u
m
h(ξ) d(f(ξ) − f
n
(ξ))
=
h(u)[f(u) − f
n
(u)] −
u
m
(f(ξ) − f
n
(ξ)) dh(ξ) |
≤
h(u)2K
M − m
n
−
u
m
2K
M − m
n
dh(ξ)
≤
2K(M − m)
n
|h(u)| +
u
m
|dh(ξ)|
≤ 2K(H + h(M) − h(m))
M − m
n
.
Relembrando (2.16) e (2.23), conclu´ımos que o lado direito de (2.27) tende a zero,
quando n → +∞, tal que (2.2) ´e satisfeita.
Assim u(x, t) ´e uma solu¸c˜ao fraca admiss´ıvel de (2.1), devido a Defini¸c˜ao 2.1.
Para n = 1, 2, ..., u
n
(x, t) tem a propriedade do dom´ınio de dependˆencia finita
e isso implica que u(x, t) tem a mesma propriedade. Portanto, podemos relaxar a
hip´otese de que u
0
(x) ´e de varia¸c˜ao limitada em IR, assumindo que u
0
(x) ´e localmente
de varia¸c˜ao limitada.
Temos ainda que, passando a uma subseq¨uˆencia se necess´ario, u
n
(x, t) →
u(x, t), pontualmente ∀ t ∈ [0, ∞) fixo. Sejam t ∈ [0, ∞) fixo, [x
1
, x
2
] ⊂ IR e P
uma parti¸c˜ao de [x
1
, x
2
]. Temos que
V ar
[x
1
,x
2
]
u
n
(., t) ≤ V ar
[x
1
−Kt,x
2
+Kt]
u
0
,
∀ n ∈ IN. Dessa forma, obtemos
m
j=1
|u(x
j
, t) − u(x
j−1
)| = lim
n→+∞
m
j=1
|u
n
(x
j
, t) − u
n
(x
j−1
)| ≤ V ar
[x
1
−Kt,x
2
+Kt]
u
0
,
logo (2.9) ´e verificada.
Cap´ıtulo 3
Algumas Considera¸c˜oes sobre o
Problema de Cauchy para um
Sistema 2 × 2 de uma Lei de
Conserva¸c˜ao
3.1 Introdu¸c˜ao
Segundo [Ru], considere o seguinte sistema n˜ao-linear 2 × 2 hiperb´olico de
Leis de Conserva¸c˜ao
u
t
+
1
2
+ a
u
2
+ f(v)
x
= 0
v
t
+ (uv)
x
= 0
(u, v)
t=0
= (u
0
, v
0
),
(3.1)
para fun¸c˜oes u, v definidas em IR
x
×IR
+
t
a valores reais. Assumimos que a >
1
2
, f ∈
C
2
(IR) ´e uma fun¸c˜ao par e ∀ v satisfaz
vf
′
(v) > 0, v = 0
f
′′
(v) > 0, v = 0.
O sistema (3.1) n˜ao ´e estritamente hiperb´olico quando (u, v) = (0, 0), caso
41
contr´ario o sistema ´e estritamente hiperb´olico. Mais ainda, o sistema n˜ao ´e genuina-
mente n˜ao linear ao longo do eixo u.
De fato, o sistema (3.1) pode ser escrito na forma vetorial como uma simples
Lei de Conserva¸c˜ao
U
t
+ F (U)
x
= 0
U
t=0
= U
0
,
(3.2)
onde U = (u, v)
T
, F (U) =
1
2
+ a
u
2
+ f(v), uv
T
e U
0
= (u
0
, v
0
)
T
, ou seja,
u
v
t
+
1
2
+ a
u
2
+ f(v)
uv
x
= 0.
O sistema (3.1) ´e dito estritamente hiperb´olico se os dois autovalores λ
∓
=
λ
∓
(u, v), satisfazem
λ
−
< λ
+
.
Em nosso caso, denotando por G = G(u, v) = a
2
u
2
+ vf
′
(v) e g
∓
= g
∓
(u, v) =
−au ∓
G(u, v), podemos encontrar os autovalores do problema como segue: seja
A =
(1 + 2a)u f
′
(v)
v u
,
ent˜ao, o sistema (3.1) torna-se
u
v
t
+ A
u
v
x
= 0.
Como
det(A − λI) =
(1 + 2a)u − λ f
′
(v)
v u − λ
= λ
2
− λ(2u + 2au) − vf
′
(v) + (1 + 2a)u
2
,
fazendo det(A − λI) = 0, temos que
λ = (1 + a)u ±
a
2
u
2
+ vf
′
(v),
42
portanto
λ
∓
.
= λ
∓
(u, v) = (1 + a)u ∓
√
G.
Observamos que
λ
−
(u, v) = (1 + a)u −
√
G < (1 + a)u +
√
G = λ
+
(u, v)
∀ (u, v) = (0, 0), pois vf
′
(v) > 0, ∀ v = 0. Ent˜ao a origem ´e chamada de ponto
isolado umbilical para (3.1).
Podemos calcular os autovetores `a direita e `a esquerda de A. Dado (u, v) fixo,
com v = 0, temos que
A − λI =
(1 + 2a)u − λ f
′
(v)
v u − λ
,
ent˜ao, para encontrar os autovetores `a direita, precisamos resolver o sistema
(u + 2au − λ)x + f
′
(v)y = 0
vx + (u − λ)y = 0.
Temos que os autovetores `a direita de A s˜ao
r
−
≡ r
−
(u, v) =
f
′
(v)
g
−
, r
+
≡ r
+
(u, v) =
f
′
(v)
g
+
.
Para encontrarmos os autovetores `a esquerda, precisamos resolver o sistema
(u + 2au − λ)x + vy = 0
f
′
(v)x + (u − λ)y = 0.
Logo os autovetores `a esquerda de A s˜ao
ℓ
−
≡ ℓ
−
(u, v) =
v
au
√
G + G
−
1
√
G
, ℓ
+
≡ ℓ
+
(u, v) =
−
v
au
√
G − G
1
√
G
.
Observamos tamb´em que
ℓ
+
.r
−
=
−v
au
√
G − G
,
1
√
G
.
f
′
(v), −au −
√
G
=
−vf
′
(v)
√
G − a
2
u
2
√
G + auG − auG + G
√
G
(au
√
G − G)
√
G
= 0,
43
ℓ
−
.r
+
=
v
au
√
G + G
, −
1
√
G
.
f
′
(v), −au +
√
G
=
vf
′
(v)
√
G − a
2
u
2
√
G + auG − auG − G
√
G
(auG − G)
√
G
= 0.
O sistema (3.1) ´e dito genuinamente n˜ao linear se ▽λ
∓
.r
∓
= 0, ∀ (u, v), em
nosso caso temos
∇λ
∓
.r
∓
=
(1 + a) ∓
a
2
u
√
G
, ∓
vf
′′
(v) + f
′
(v)
2
√
G
.
f
′
(v), −au ∓
√
G
= f
′
(v) + af
′
(v) ∓
f
′
(v)a
2
u
√
G
±
auvf
′′
(v) + auf
′
(v)
2
√
G
+
vf
′′
(v) + f
′
(v)
2
=
1
2
√
G
f
′
(v)
(2a + 3)
√
G ∓ au(2a − 1)
+ vf
′′
(v)
√
G ± au
,
como
√
G > au e (2a + 3) > (2a − 1), ent˜ao quando v > 0 temos ∇λ
∓
.r
∓
> 0,
e quando v < 0 temos ∇λ
∓
.r
∓
< 0. Por´em se v = 0 ent˜ao ∇λ
∓
.r
∓
= 0. Logo o
argumento de genuinamente n˜ao linear falha no eixo u, ou seja, em {(u, v) ∈ IR
2
:
v = 0}.
Uma solu¸c˜ao fraca para (3.2) ´e uma fun¸c˜ao mensur´avel limitada U = U(x, t)
tal que para toda φ ∈ C
1
0
(IR × IR
+
), temos
+∞
0
+∞
−∞
(Uφ
t
+ F (U)φ
x
) dxdt +
+∞
−∞
U
0
(x)φ(x, 0) dx = 0.
Um par de entropia-fluxo de entropia (η, q), que chamaremos de forma abre-
viada de um par e-f, do sistema (3.1) ´e definido como
∇q = ∇η∇F. (3.3)
44
3.2 Regi˜oes Invariantes
Consideramos agora, a aproxima¸c˜ao de viscosidade nula para o sistema (3.1)
u
t
+
1
2
+ a
u
2
+ f(v)
x
= εu
xx
v
t
+ (uv)
x
= εv
xx
(u, v)
t=0
= (u
0
, v
0
)
(3.4)
ε > 0. Para estabelecermos uma estimativa a priori, independente de ε, usaremos
o Teorema de Regi˜oes Invariantes devido a Chueh, Conley e Smoller[C-C-S]. Os
resultados de [C-C-S] podem ser resumidos no seguinte
Teorema 3.1 Sejam g
∓
duas fun¸c˜oes suaves, φ
∓
: IR
2
→ IR e Σ = {(u, v); φ
+
(u, v) ≤
0}
{(u, v); φ
−
(u, v) ≤ 0}. Assuma que, ∀ t > 0 e (
u, v) ∈ ∂Σ, as seguintes
condi¸c˜oes se verificam:
a) ∇φ
∓
´e um autovetor `a esquerda de ∇F (u, v).
b) φ
∓
´e quasi-convexo em (u, v), isto ´e, ∀ ζ ∈ IR
2
ζ.∇φ
∓
= 0 ⇒ ∇
2
φ
∓
(ζ, ζ) ≥ 0.
Ent˜ao Σ ´e uma regi˜ao invariante para (3.4), para cada ε > 0, ou seja, se (u
0
, v
0
) ∈ Σ,
∀ x ∈ IR ent˜ao (u
ε
(x, t), v
ε
(x, t)) ∈ Σ, ∀ (x, t) ∈ IR × [0, +∞).
Diremos que ω
−
∈ C
1
(ω
+
, respectivamente) ´e uma primeira (segunda, respec-
tivamente) Invariante de Riemann para (3.1) se para todo (u, v)
∇ω
−
(u, v).r
+
(u, v) = 0
(∇ω
+
(u, v).r
−
(u, v) = 0, respectivamente). Como l
+
.r
−
= 0 e l
−
.r
+
= 0, ent˜ao ∇ω
∓
e ℓ
∓
s˜ao paralelos, logo ∇ω
−
e ∇ω
+
s˜ao autovetores `a esquerda de ∇F .
Al´em disso, para qualquer solu¸c˜ao cl´assica (u, v) de (3.1), ω
−
= ω
−
(u, v) e
ω
+
= ω
+
(u, v) satisfazem
45
∂ω
−
∂t
+ λ
−
∂ω
−
∂x
= 0
∂ω
+
∂t
+ λ
+
∂ω
+
∂x
= 0.
(3.5)
De fato, seja (u, v) solu¸c˜ao cl´assica de (3.1), como ∇ω
−
´e autovetor `a esquerda
de ∇F , e
∂ω
−
∂t
=
∂ω
−
∂u
∂u
∂t
+
∂ω
−
∂v
∂v
∂t
∂ω
−
∂x
=
∂ω
−
∂u
∂u
∂x
+
∂ω
−
∂v
∂v
∂x
,
ent˜ao
∂ω
−
∂t
+ λ
−
∂ω
−
∂x
=
∂ω
−
∂u
u
t
+
∂ω
−
∂v
v
t
+ λ
−
∂ω
−
∂u
u
x
+
∂ω
−
∂v
v
x
=
∂ω
−
∂u
,
∂ω
−
∂v
.
u
t
+ λ
−
u
x
v
t
+ λ
−
v
x
= ∇ω
−
.
u
v
t
+ λ
−
u
v
x
= ∇ω
−
. [−F (U)
x
+ λ
−
U
x
]
= {∇ω
−
. [−∇F (U) + λ
−
I]}U
x
= 0.
De modo an´alogo temos
∂ω
+
∂t
+ λ
+
∂ω
+
∂x
= 0.
Diremos que uma onda de rarefa¸c˜ao ´e uma solu¸c˜ao cont´ınua de (3.2) da forma
U = U(
x
t
), para t > 0, segundo [Sm]. Existem duas fam´ılias d e ondas de rarefa¸c˜ao,
correspondentes aos dois autovetores r
−
e r
+
. Uma onda da fam´ılia relacionada a r
−
ser´a chamada de primeira onda de rarefa¸c˜ao, uma onda da fam´ılia relacionada a r
+
ser´a chamada de segunda onda de rarefa¸c˜ao. Em nosso caso, a primeira (segunda,
respectivamente) onda de rarefa¸c˜ao satisfaz a EDO de primeira ordem
dv
du
=
g
−
f
′
(v)
dv
du
=
g
+
f
′
(v)
, respectivamente
. (3.6)
46
De fato, se t > 0, seja U = U(ξ) solu¸c˜ao de (3.2), onde ξ =
x
t
, como
U
t
= U
ξ
ξ
t
= U
ξ
−
x
t
2
U
x
= U
ξ
ξ
x
= U
ξ
1
t
,
ent˜ao, substituindo em (3.2) temos
U
ξ
ξ
t
+ DF (U)U
ξ
ξ
x
= −U
ξ
x
t
1
t
+ DF (U)U
ξ
1
t
= 0,
logo
−ξU
ξ
+ DF (U)U
ξ
= 0.
Assim, U
ξ
´e um autovetor de DF (U) associado ao autovalor ξ. Como DF (U) tem
dois autovalores distintos λ
−
e λ
+
, temos
(DF (U(ξ)) − λ
∓
I) U
ξ
=
au ∓
G(u, v) f
′
(v)
v −au ∓
G(u, v)
.
u
ξ
v
ξ
= 0,
ent˜ao
au ∓
G(u, v)
u
ξ
+ f
′
(v)v
ξ
= 0
vu
ξ
+
−au ∓
G(u, v)
v
ξ
= 0,
logo
dv
du
=
v
ξ
u
ξ
=
−au ±
G(u, v)
f
′
(v)
=
g
±
f
′
(v)
(3.7)
e
dv
du
=
v
ξ
u
ξ
=
v
au ±
G(u, v)
. (3.8)
As duas igualdades anteriores s˜ao equivalentes, para vermos isso basta multi-
plicarmos e dividirmos (3.7) por au ±
G(u, v) (respectivamente).
A curva integral referente `a primeira onda de rarefa¸c˜ao ser´a denominada de
R
−
e a cu rva integral referente `a segunda onda de rarefa¸c˜ao ser´a denominada de R
+
.
47
Lema 3.1 Com as hip´oteses anteriores temos as seguintes propriedades:
a) O conjunto {(u, v) : u > 0, v = 0} ´e uma curva R
+
.
b) As curvas R
+
est˜ao em uma correspondˆencia biun´ı voca com os pontos da parte
negativa do eixo u.
c) As curvas R
+
n˜ao interceptam a parte positiva do eixo u.
d) Toda curva R
+
que n˜ao fica sobre o eixo u tende a infinito quando u → +∞.
Assim podemos concluir que qualquer curva R
+
que come¸ca na origem fica
sobre o eixo u e vai para infinito pela direita, caso contr´ario intersecta a parte
negativa do eixo u e lim
|v|→+∞
u(v) = ∞. Finalmente, para (3.1), podemos construir
Invariantes de Riemann ω
−
, ω
+
tais que ω
−
(u, v) ≤ 0 ≤ ω
+
(u, v).
Demonstra¸c˜ao: a) De (3.8) temos que
dv
du
=
v
au +
a
2
u
2
+ vf
′
(v)
.
Seja u
0
> 0, ent˜ao v ≡ 0 ´e uma solu¸c˜ao da EDO acima com condi¸c˜ao inicial
v(u
0
) = 0, logo o conjunto {(u, v) : u > 0, v = 0} ´e uma curva R
+
.
b) Definimos h(u, v) =
f
′
(v)
−au +
a
2
u
2
+ vf
′
(v)
. Seja Ω = [b, c] × [−1, 1], onde
b, c < 0. Queremos mostrar que h ´e Lipschitz em Ω. Observamos que
∂h
∂u
=
af
′
(v)
(−au +
a
2
u
2
+ vf
′
(v))
2
+
1
(−au +
a
2
u
2
+ vf
′
(v))
2
a
2
u
a
2
u
2
+ vf
′
(v)
48
∂h
∂v
=
f
′′
(v)
−au +
a
2
u
2
+ vf
′
(v)
+
1
(−au +
a
2
u
2
+ vf
′
(v))
2
−af
′
(v)
2
−au +
a
2
u
2
+ vf
′
(v)
+
a
2
uf
′
(v)
2
a
2
u
2
+ vf
′
(v)(−au +
a
2
u
2
+ vf
′
(v))
+
f
′
(v)
−au +
a
2
u
2
+ vf
′
(v)
(f
′
(v) + vf
′′
(v))
.
Como
∂h
∂u
e
∂h
∂v
s˜ao cont´ınuas e Ω ´e compacto, temos que
|∇h| ≤ C,
onde C ´e constante. Portanto h ´e Lipschitz em Ω. Aplicando o Teorema de Picard,
conclu´ımos que dado u
0
< 0 existe uma ´unica curva R
+
em Ω que passa em u
0
. Um
argumento an´alogo mostra que v ≡ 0 ´e a ´unica solu¸c˜ao para a EDO em a).
Por outro lado, dado uma curva R
+
que n˜ao come¸ca no conjunto {(u, v) :
u > 0, v = 0}, temos que R
+
´e estritamente crescente quando v > 0 e estritamente
decrescente quando v < 0. De fato, como g
+
(u, v) = −au +
a
2
u
2
+ vf
′
(v) > 0 e
vf
′
(v) > 0, ∀ v = 0, ent˜ao quando v > 0 temos f
′
(v) > 0, logo
dv
du
=
g
+
f
′
(v)
> 0.
Por outro lado, como g
−
(u, v) = −au −
a
2
u
2
+ vf
′
(v) > 0, ent˜ao se v < 0 temos
f
′
(v) < 0, logo
dv
du
=
g
+
f
′
(v)
< 0. De (3.7), notamos que
du
dv
=
f
′
(v)
−au +
a
2
u
2
+ vf
′
(v)
,
como f ´e par, ent˜ao f
′
´e ´ımpar, assim
du
dv
´e ´ımpar em v, logo u(v) ´e par, assim
R
+
´e sim´etrica em rela¸c˜ao ao eixo u. Pela simetria e continuidade da curva R
+
e
considerando o resultado do item a), temos que ela corta a parte negativa do eixo u
apenas uma vez. Notamos que as curvas R
+
n˜ao s˜ao fechadas.
c) Decorre de a) e b).
49
d) De fato, supomos que existe M > 0 tal que uma curva IR
+
permanece no
semiplano superior entre as curvas v =
M
2
e v = M, para todo u > ¯u. Obtemos
de (3.8), que lim
u→+∞
v
au +
√
G
= 0, isto ´e claro pois v ´e limitado e au +
√
G → +∞,
quando u → +∞. Por´em f
′
´e cont´ınua, ent˜ao existe B > 0 tal que f
′
(v) ≤ B,
∀ v ∈
M
2
, M
, assim
vf
′
(v) ≤ BM.
Temos tamb´em que ∃ ˜u > ¯u tal que BM ≤ 3a
2
u
2
, ∀ u > ˜u, assim
au +
a
2
u
2
+ vf
′
(v) ≤ au + 2au = 3au,
∀ u > ˜u, portanto
dv
du
=
v
au +
a
2
u
2
+ vf
′
(v)
≥
M
2
1
3au
=
M
6au
,
∀ u > ¯u, integrando a desigualdade, temos
u
˜u
dv
du
du ≥
u
˜u
M
6au
du,
assim
v(u) ≥
M
6a
ln |u| + c,
onde c ´e uma constante, quando u → +∞temos que o lado esquerdo da desigualdade
tende a infinito, isso mostra uma contradi¸c˜ao.
Para estudarmos a convexidade da curva R
+
, calculamos a segunda derivada
em (3.7)
d
2
v
du
2
=
1
f
′
(v)
−a +
1
2
+
a
2
u
√
G
−
au
2
√
G
−
vf
′′
(v)
2f
′
(v)
−
auvf
′′
(v)
2
√
Gf
′
(v)
−
2a
2
u
2
f
′′
(v)
f
′
(v)
2
+
2auf
′′
(v)
√
G
f
′
(v)
2
=
1
2f
′
(v)
√
G
(1 − 2a)g
+
−
vf
′′
(v)
f
′
(V )
g
+
+
2auf
′′
(v)
f
′
(v)
2
g
2
+
=
g
+
(u, v)
2f
′
(v)
G(u, v)
1 − 2a −
vf
′′
(v)
f
′
(v)
+
2auf
′′
(v)g
+
(u, v)
(f
′
(v))
2
.
50
Como
∂
∂u
ug
+
=
∂
∂u
−au
2
+ u
a
2
u
2
+ vf
′
(v)
= −2au +
√
G +
a
2
u
2
√
G
=
2a
2
u
2
+ vf
′
(v) − 2au
√
G
√
G
=
g
2
+
√
G
≥ 0,
ent˜ao, para cada v fixo, ug
+
(u, v) ´e uma fun¸c˜ao crescente de u. Como
lim
u→+∞
ug
+
(u, v) = lim
u→+∞
vf
′
(v)
a +
a
2
+
vf
′
(v)
u
2
=
vf
′
(v)
2a
,
ent˜ao sup
u∈IR
ug
+
≤
vf
′
(v)
2a
. Dessa forma temos que
−
vf
′′
(v)
f
′
(v)
+
2auf
′′
(v)g
+
(u, v)
(f
′
(v))
2
≤ 0.
Considerando ainda que g
+
> 0 e a >
1
2
, conclu´ımos que
d
2
v
du
2
≤
(1 − 2a)
2
g
+
f
′
(v)
√
G
≤ 0,
quando v > 0.
Al´em disso, como f ´e par, e observando que se u > 0 ent˜ao
g
+
(−u, v)
f
′
(v)
=
−a(−u) + vf
′
(v)
f
′
(v)
=
au + vf
′
(v)
f
′
(v)
= −
−au − vf
′
(v)
f
′
(v)
= −
g
−
(u, v)
f
′
(v)
,
conclu´ımos que as curvas R
−
s˜ao obtidas por uma reflex˜ao das curvas R
+
sobre o
eixo v. Podemos assim restringir nossa aten¸c˜ao `a fam´ılia R
+
.
Portanto, no plano u × v, as curvas R
+
s˜ao cˆoncavas no semiplano positivo
e, devido a simetria em rela¸c˜ao ao eixo u, s˜ao convexas no semiplano negativo.
Similarmente, no plano u × v, as curvas R
−
s˜ao cˆoncavas no semiplano positivo e
convexas no semiplano negativo.
Os invariantes de Riemann ω
+
s˜ao constantes ao longo de cada cu rva R
−
,
bem como os invariantes ω
−
s˜ao constantes ao longo de cada curva R
+
. De fato,
derivando-se ω
±
(U(ξ)) em ξ e escolhendo U
ξ
= r
∓
, obtemos
∇ω
±
(U(ξ)).U
ξ
= ∇ω
±
.r
∓
(U(ξ)) = 0.
51
Podemos assim, definir
ω
−
(u, 0) =
u, u < 0
0, u ≥ 0
ω
+
(u, 0) =
0, u ≤ 0
u, u > 0.
(3.9)
Dado um ponto (u, v) existe uma ´unica curva integral R
+
e uma ´unica curva
integral R
−
, que passam pelo ponto (u, v) e tocam o eixo dos u. Os invariantes ω
−
e ω
+
s˜ao constantes ao longo das curvas R
+
e R
−
, respectivamente.
Para u < 0 e v > 0 existe um ´unico u
1
< u e existe um ´unico u
2
> 0, tais que
ω
−
(u, v) = ω
−
(u
1
, 0) = u
1
< 0 < u
2
= ω
+
(u
2
, 0) = ω
+
(u, v).
Com um argumento an´alogo, podemos chegar a mesma conclus˜ao quando o
ponto (u, v) estiver em outro quadrante. Portanto
ω
−
(u, v) ≤ 0 ≤ ω
+
(u, v).
v
u
R
+
Figura 3.1: Curvas Integrais R
+
.
Da geometria das curvas temos tamb´em o seguinte
Corol´ario 3.1 Seja v = 0. Os invariantes de Riemann constru´ıdos como antes
satisfazem,
1
f
′
(v)
∂ω
−
∂v
< 0
1
f
′
(v)
∂ω
+
dv
> 0.
52
Demonstra¸c˜ao: Por defini¸c˜ao,
∇ω
±
.r
∓
=
∂ω
±
∂u
f
′
(v) +
∂ω
±
∂v
−au ∓
√
G
= 0,
ent˜ao
∂ω
±
∂v
1
f
′
(v)
=
∂ω
±
∂u
1
au ±
√
G
.
Para v = 0 fixo, sejam u
1
< u
2
, ent˜ao existem ´unicos ¯u
1
e ¯u
2
tais que
ω
−
(u
1
, v) = ω
−
(¯u
1
, 0) = ¯u
1
ω
−
(u
2
, v) = ω
−
(¯u
2
, 0) = ¯u
2
,
devido ao Lema 3.1 temos que ¯u
1
< ¯u
2
, caso contrario teriamos duas curvas R
+
distintas, se cruzando. Portanto para v = 0 fixo, ω
−
´e crescente. Um argumento
an´alogo mostra que ω
+
tamb´em ´e crescente para v = 0 fixo. Logo
∂ω
±
∂u
> 0.
Como au +
√
G > 0 e au −
√
G < 0, ent˜ao
1
f
′
(v)
∂ω
−
∂v
< 0 e
1
f
′
(v)
∂ω
+
∂v
> 0
De agora em diante, usaremos os invariantes de Riemann ω
−
, ω
+
fornecidos
pela constru¸c˜ao anterior. Por defini¸c˜ao, ∇ω
∓
s˜ao autovetores `a esquerda de ∇F , os
invariantes de Riemann s˜ao as fun¸c˜oes ω
∓
usadas para definir as regi˜oes invariantes
segundo o Teorema 3.1. Portanto encontramos uma fam´ılia de regi˜oes dadas por:
Σ
c
= {ω
−
+ c ≥ 0}
{ω
+
− c ≤ 0}, c > 0.
Essas regi˜oes s˜ao limitadas por duas fam´ılias de curvas. Para c
1
> c
2
temos que
Σ
c
1
⊃ Σ
c
2
. Devido ao Lema 3.1, quando c → ∞ ent˜ao Σ
c
gera todo o IR
2
.
Para mostrarmos que Σ
c
´e uma regi˜ao invariante resta mostrarmos a pro-
priedade b) do Teorema 3.1.
Lema 3.2 Quando (u, v) = (0, 0), temos
∇
2
ω
+
(r
−
, r
−
) ≥ 0
∇
2
ω
−
(r
+
, r
+
) ≤ 0,
sendo ω
+
quase-convexa e ω
−
quase-cˆoncava.
53
v
u
ω
+
ω
−
Figura 3.2: Regi˜ao Invariante.
Demonstra¸c˜ao: Para (u, v) = (0, 0) fixo, supomos v = 0. Denotemos
∇
2
ω
+
(r
−
, r
−
) = (r
−
(u, v))
T
.∇
2
ω
+
(u, v).r
−
(u, v).
Como ∇ω
±
.r
∓
= 0, ent˜ao
∂ω
±
∂u
,
∂ω
±
∂v
. (f
′
(v), g
∓
) = f
′
(v)
∂ω
±
∂u
+ g
∓
∂ω
±
∂v
= 0. (3.10)
Diferenciando em rela¸c˜ao a u, temos
f
′
(v)
∂
2
ω
±
∂u
2
+ g
∓
∂
2
ω
±
∂u∂v
+
∂ω
±
∂v
∂g
∓
∂u
= 0.
Multiplicando por
1
f
′
(v)
∂ω
±
∂v
2
,
∂ω
±
∂v
2
∂
2
ω
±
∂u
2
+
g
∓
f
′
(v)
∂ω
±
∂v
2
∂
2
ω
±
∂u∂v
+
1
f
′
(v)
∂ω
±
∂v
2
∂ω
±
∂v
∂g
∓
∂u
= 0,
logo
∂ω
±
∂v
2
∂
2
ω
±
∂u
2
+
g
∓
f
′
(v)
∂ω
±
∂v
2
∂
2
ω
±
∂u∂v
= −
1
f
′
(v)
∂ω
±
∂v
3
∂g
∓
∂u
. (3.11)
Por outro lado, diferenciando (3.10) em rela¸c˜ao a v temos
f
′
(v)
∂
2
ω
±
∂v∂u
+ f
′′
(v)
∂ω
±
∂u
+ g
∓
∂
2
ω
±
∂v
2
+
∂g
∓
∂v
∂ω
±
∂v
= 0.
Multiplicando por
1
f
′
(v)
∂ω
±
∂u
∂ω
±
∂v
,
∂ω
±
∂u
∂ω
±
∂v
∂
2
ω
±
∂v∂u
+
f
′′
(v)
f
′
(v)
∂ω
±
∂u
2
∂ω
±
∂v
+
g
∓
f
′
(v)
∂
2
ω
±
∂v
2
∂ω
±
∂u
∂ω
±
∂v
+
1
f
′
(v)
∂g
∓
∂v
∂ω
±
∂u
∂ω
±
∂v
2
= 0. (3.12)
54
Como
∂ω
±
∂u
= −
g
∓
f
′
(v)
∂ω
±
∂v
, ent˜ao de (3.11) e (3.12) temos
∂ω
±
∂v
2
∂
2
ω
±
∂u
2
−
∂ω
±
∂u
∂ω
±
∂v
∂
2
ω
±
∂u∂v
= −
∂ω
±
∂v
3
1
f
′
(v)
∂g
∓
∂u
(3.13)
∂ω
±
∂u
2
∂
2
ω
±
∂v
2
−
∂ω
±
∂u
∂ω
±
∂v
∂
2
ω
±
∂v∂u
=
f
′′
(v)
f
′
(v)
∂ω
±
∂u
2
∂ω
±
∂v
+
1
f
′
(v)
∂g
∓
∂v
∂ω
±
∂u
∂ω
±
∂v
2
. (3.14)
Lembramos que l
±
.r
∓
= 0 e por defini¸c˜ao ∇ω
±
.r
∓
= 0, ou seja, ∇ω
±
´e paralelo
a l
±
. Como ∇ω
±
=
∂ω
±
∂u
,
∂ω
±
∂v
, ent˜ao
−
∂ω
±
∂v
,
∂ω
±
∂u
´e paralelo a r
∓
, logo
∃ γ = 0 ∈ IR tal que
−
∂ω
±
∂v
,
∂ω
±
∂u
= γr
∓
assumimos, sem perda de generalidade, que r
∓
=
−
∂ω
±
∂v
,
∂ω
±
∂u
.
Assim,
∇
2
ω
±
(r
∓
, r
∓
) =
∂
2
ω
±
∂u
2
∂ω
±
∂v
2
− 2
∂
2
ω
±
∂u∂v
∂ω
±
∂u
∂ω
±
∂v
+
∂
2
ω
±
∂v
2
∂ω
±
∂u
2
,
adicionando (3.13) e (3.14), obtemos
∇
2
ω
±
(r
∓
, r
∓
) =
f
′′
(v)
f
′
(v)
∂ω
±
∂v
∂ω
±
∂u
2
+
∂ω
±
∂v
2
∂ω
±
∂u
∂g
∓
∂v
1
f
′
(v)
−
∂ω
±
∂v
3
1
f
′
(v)
∂g
∓
∂u
=
1
f
′
(v)
3
∂ω
±
∂v
3
f
′′
(v)
∂ω
±
∂u
2
f
′
(v)
2
∂ω
±
∂v
−2
+
∂ω
±
∂u
∂g
∓
∂v
f
′
(v)
2
∂ω
±
∂v
−1
− f
′
(v)
2
∂g
∓
∂u
=
1
f
′
(v)
3
∂ω
±
∂v
3
f
′′
(v)g
2
∓
− f
′
(v)g
∓
∂g
∓
∂v
− f
′
(v)
2
∂g
∓
∂u
,
55
a ´ultima igualdade ´e dada por (3.10). Devido ao corol´ario (3.1), precisamos provar
apenas que
L
±
(u, v) ≡ f
′′
(v)g
2
∓
− f
′
(v)g
∓
∂g
∓
∂v
− f
′
(v)
2
∂g
∓
∂u
(3.15)
´e n˜ao-negativo. Para isso, temos que
1
g
∓
∂g
∓
∂u
=
1
−au ∓
√
G
−a
√
G ∓ a
2
u
√
G
= ±
a
√
G
,
podemos escrever (3.15) como
L
±
(u, v) = g
∓
g
∓
f
′′
(v) ∓ f
′
(v)
2
a
√
G
± f
′
(v)
f
′
(v) + vf
′′
(v)
2
√
G
.
Como ∓g
∓
(u, v) ≥ 0, precisamos apenas mostrar que
Q
±
(u, v) ≡ ∓
g
∓
f
′′
(v) ∓ f
′
(v)
2
a
√
G
± f
′
(v)
f
′
(v) + vf
′′
(v)
2
√
G
= ∓
f
′′
(v)
g
∓
±
vf
′
(v)
2
√
G
∓
f
′
(v)
2
√
G
2a − 1
2
´e n˜ao-negativo. Mas
∓
g
∓
±
vf
′
(v)
2
√
G
= ∓
−au ∓
√
G ±
vf
′
(v)
2
√
G
= ∓
−2au
√
G ∓ 2a
2
u
2
∓ 2vf
′
(v) ± vf
′
(v)
2
√
G
=
2a
2
u
2
+ vf
′
(v) ± 2au
√
G
2
√
G
,
assim o Lema 3.2 ´e verdadeiro se ∓u ≥ 0. se ∓u ≤ 0, observamos que
2a
2
u
2
+ vf
′
(v)
2
= 4a
4
u
4
+ v
2
f
′
(v)
2
+ 4a
2
u
2
vf
′
(v)
≥ 4a
4
u
4
+ 4a
2
u
2
vf
′
(v)
≥ 4a
2
u
2
a
2
u
2
+ vf
′
(v)
=
2au
√
G
2
,
logo 2a
2
u
2
+ vf
′
(v) ≥ 2au
√
G. Nesse caso, Q
±
(u, v) ≥ 0.
56
Mostraremos agora que ω
+
´e quase-convexa, ou seja, que ∀ ζ ∈ IR
2
temos
ζ.∇ω
+
= 0 ⇒ ∇
2
ω
+
(ζ, ζ) ≥ 0.
De fato, ∇ω
+
´e paralelo a l
+
, como l
+
e r
−
s˜ao linearmente indep endentes, ent˜ao
podemos escrever ζ = αl
+
+ βr
−
, α, β ∈ IR. Se ζ.∇ω
+
= 0 ent˜ao temos que α = 0,
pois ∇ω
+
.r
−
= 0, dessa forma temos que
∇
2
ω
+
(ζ, ζ) = ∇
2
ω
+
(βr
−
, βr
−
) = β
2
∇
2
ω
+
(r
−
, r
−
) ≥ 0.
De modo an´alogo temos que ω
−
´e quase-cˆoncava. Derivando em (3.9), quando
v = 0, temos que ∇
2
ω
∓
´e identicamente nula.
Devido a propriedade de quasi-convexidade, podemos concluir com o seguinte
Teorema 3.2 Assuma que (u
0
, v
0
) ∈ L
∞
(IR) × L
∞
(IR). Considere o problema de
viscosidade (3.4), ent˜ao a solu¸c˜ao (u
ε
, v
ε
) ´e limitada a priori em L
∞
independen te
de ε.
57
3.3 Estudo do Sistema Viscoso
Mostraremos agora que, para cada ε > 0 fixo, (3.4) tem uma solu¸c˜ao global.
A prova ser´a obtida usando o resultado da se¸c˜ao (3.2) e o teorema da contra¸c˜ao.
Sejam C
T
= C(IR) munido com a norma
(u, v) ≡ sup
x
u + sup
x
v
e C([0, T ] × IR)
(u, v) ≡ sup
0≤τ ≤T
(u, v)(τ).
Sejam ε > 0 fixo qualquer e
Γ
T
≡ {U = (u, v) ∈ C([0, T ] ×IR); (u, v)(t) − Z
ε
∗ (u
0
, v
0
) ≤ (u
0
, v
0
)},
onde Z
ε
(x, t) =
1
√
4πεt
e
−
x
2
4εt
´e o n´ucleo do calor e * denota a convolu¸c˜ao em x.
Usando o Princ´ıpio de Duhamel e propriedades de convolu¸c˜ao, temos
U
ε
≡ U
ε
(x, t) =
+∞
−∞
Z
ε
(x − y, t)U
0
(y) dy +
t
0
+∞
−∞
Z
ε
x
(x − y, t − τ)F (U
ε
(y, τ )) dydτ.
Seja
G(U
ε
) ≡
+∞
−∞
Z
ε
(x − y, t)U
0
(y) dy +
t
0
+∞
−∞
Z
ε
x
(x − y, t − τ)F (U
ε
(y, τ )) dydτ.
Mostraremos que G : Γ
T
→ Γ
T
para T > 0 suficientemente pequeno. De fato,
temos a estimativa
+∞
−∞
|Z
ε
x
(x − y, t − τ)|dy ≤
c
√
t − τ
.
Por outro lado, se U
ε
∈ Γ
T
ent˜ao
|U
ε
| ≤ |U
ε
− Z
ε
∗ U
0
| + |Z
ε
∗ U
0
| ≤ 2U
0
,
Observamos que Γ
T
´e um conjunto fechado e limitado. Como f ´e cont´ınua,
denotamos por
f
U
0
≡ max
U
ε
∈Γ
T
|f(v
ε
)|
1
U
0
2
.
58
Se U
ε
∈ Γ
T
, temos que
|F (U
ε
)| =
1
2
+ a
(u
ε
)
2
+ f(v
ε
)
u
ε
v
ε
≤
1
2
+ a
(u
ε
)
2
+ f(v
ε
)
+ |u
ε
v
ε
|
≤
1
2
+ a
(u
ε
)
2
+ |f(v
ε
)| + sup
x
|u
ε
|sup
x
|v
ε
|
≤
1
2
+ a
sup
x
(u
ε
)
2
+ |f(v
ε
)| + 4U
0
2
≤
1
2
+ a
2U
0
2
+ |f(v
ε
)| + 4U
0
2
≤ (2a + 5 + f
U
0
) U
0
2
,
assim
sup
y∈IR
|F (U
ε
(y, τ ))| ≤ (2a + 5 + f
U
0
)U
0
2
.
Portanto segue que
|G(U
ε
) − Z
ε
∗ U
0
| ≤
t
0
+∞
−∞
|Z
ε
x
(x − y, t − τ)||F (U
ε
(y, τ ))|dydτ
≤ c(2a + 5 + f
U
0
)U
0
2
t
0
1
√
t − τ
dτ ≤ 2c(2a + 5 + f
U
0
)U
0
2
√
t.
O lado direito da desigualdade est´a limitado por U
0
, desde que
t ≤ T
1
≡
1
[2c (2a + 5 + f
U
0
) U
0
]
2
.
Para T suficientemente pequeno, G : Γ
T
→ Γ
T
´e uma contra¸c˜ao em Γ
T
. De
fato, se U
ε
1
, U
ε
2
∈ Γ
T
, ent˜ao
|F (U
ε
1
) − F (U
ε
2
)| =
(1 + a) ((u
ε
1
)
2
− (u
ε
2
)
2
) + f(v
ε
1
) − f(v
ε
2
)
u
ε
1
v
ε
1
− u
ε
2
v
ε
2
=
(1 + a) (u
ε
1
+ u
ε
2
) (u
ε
1
− v
ε
1
) + f(v
ε
1
) − f(v
ε
2
)
u
ε
1
(v
ε
1
− v
ε
2
) + v
ε
2
(u
ε
1
− u
ε
2
)
.
59
Como
|(1 + a) (u
ε
1
+ u
ε
2
) (u
ε
1
− v
ε
1
) + f(v
ε
1
) − f(v
ε
2
)| ≤ |(1 + a) (u
ε
1
+ u
ε
2
) (u
ε
1
− v
ε
1
)|
+ |f(v
ε
1
) − f(v
ε
2
)|
≤ |(1 + a) (u
ε
1
+ u
ε
2
) (u
ε
1
− v
ε
1
)|
+K |v
ε
1
− v
ε
2
|
≤ (1 + a)4U
0
|U
ε
1
− U
ε
2
|
+K |U
ε
1
− U
ε
2
|
e
|u
ε
1
(v
ε
1
− v
ε
2
) + v
ε
2
(u
ε
1
− u
ε
2
)| ≤ 2U
0
|U
ε
1
− U
ε
2
|,
ent˜ao
|F (U
ε
1
) − F (U
ε
2
)| ≤ c
a,f,U
0
U
ε
1
− U
ε
2
onde c
a,f,U
0
> 0 ´e constante.
Dessa forma, temos que
G(U
ε
1
) − G(U
ε
2
)
t
=
t
0
+∞
−∞
Z
ε
x
(x − y, t − τ)(F (U
ε
1
) − F (U
ε
2
)) dydτ
≤
t
0
+∞
−∞
Z
ε
x
(x − y, t − τ)(F (U
ε
1
) − F (U
ε
2
))dydτ
≤
t
0
cc
a,f,U
0
U
ε
1
− U
ε
2
√
t − τ
dτ ≤ 2cc
a,f,U
0
U
ε
1
− U
ε
2
√
t.
O lado direito da desigualdade anterior, est´a limitado por U
ε
1
− U
ε
2
, desde que
t ≤ T
2
≡
1
(2cc
a,f,U
0
)
2
.
Portanto para cada ε > 0 fixo, (3.4) tem uma ´unica solu¸c˜ao em C((0, T
∗
), C(T
∗
)),
onde
T
∗
≡
1
2 [max {2c(2a + 5 + f
U
0
)U
0
, 2cc
a,f,U
0
}]
2
60
Por causa da existˆencia de uma regi˜ao invariante, T
∗
depende apenas de U
0
. ent˜ao
podemos repetir o argumento tomando (u, v)
|t=T
∗
como dado inicial. Portanto temos
a prova.
Teorema 3.3 Com as mesmas hip´oteses anteriores a aproxima¸c˜ao (3.4) para o
problema (3.1) tem uma ´unica solu¸c˜ao suave dentro de uma regi˜ao invariant e limi-
tada apropriada.
A suavidade da solu¸c˜ao ´e garantida p elo Lema 1.1 pelo Teorema 1.3.
Conclu´ımos essa se¸c˜ao mostrand o que, quando os dados est˜ao no semiplano
v > 0, a solu¸c˜ao permanece nele para todo v > 0. Para estabelecer esse resultado
aplicamos um teorema de solu¸c˜oes positivas para equa¸c˜oes parab´olicas de segunda
ordem.
Seja ε > 0 fixo. Considere o operador linear
Lψ ≡ ε
∂
2
ψ
∂x
2
− u
∂ψ
∂x
−
∂ψ
∂t
− u
x
ψ,
para qualquer fun¸c˜ao suave ψ. Se U = (u, v) ´e solu¸c˜ao de (3.4) ent˜ao Lv = 0.
Devido `a equa¸c˜ao (3.4) e ao Teorema 3.2, existe M > 0 tal que |u|, |v| < M.
Portanto, para todo (x, t), β > 0, temos
v ≥ −M ≥ −Me
β|x
2
|
.
Deduziremos um limite a priori U
x
∞
em termos de (u
0
)
x
∞
e (v
0
)
x
∞
. De
fato, se diferenciarmos (3.4) com respeito a x obteremos
U
ε
x
(x, t) =
+∞
−∞
Z
ε
(x − y, t)(U
0
)
x
(y) dy +
t
0
+∞
−∞
Z
ε
x
(x − y, t − τ)F (U(y, τ))
x
dxdτ.
Denotamos por
Φ(τ) ≡ max{sup
x
|u
ε
x
(x, τ)|, sup
x
|v
ε
x
(x, τ)|},
ent˜ao
61
|F (U
ε
)
x
| ≡ |∇F (U
ε
)U
ε
x
| ≤
(1 + 2a)u
ε
f
′
(v
ε
)
v
ε
u
ε
.
u
ε
x
v
ε
x
≤
(1 + 2a)u
ε
u
ε
x
+ f
′
(v
ε
)v
ε
x
v
ε
u
ε
x
+ u
ε
v
ε
x
≤ (|1 + 2a||u
ε
| + |f
′
(v
ε
)|) Φ(τ) + (|v
ε
| + |u
ε
|) Φ(τ)
≤ c
a,M,f
Φ(τ),
onde c
a,M,f
depende de a, Mef.
Afirmamos que
Φ(t) − Φ(0) = max{sup
x
|u
ε
x
(x, τ)|, sup
x
|v
ε
x
(x, τ)|} − max{sup
x
|(u
0
)
x
|, sup
x
|(v
0
)
x
|}
≤ sup
x
|U
ε
x
(x, t) − U
ε
x
(x, 0)|.
De fato, supondo que
max
sup
x
|u
ε
x
(x, t)|, sup
x
|v
ε
x
(x, t)|
= sup
x
|u
ε
x
(x, t)|
e
max
sup
x
|(u
0
)
x
|, sup
x
|(v
0
)
x
|
= sup
x
|(v
0
)
x
|,
como
sup
x
|u
ε
x
(x, t)| ≤ sup
x
|u
ε
x
(x, t) − (u
0
)
x
| + sup
x
|(u
0
)
x
|
≤ sup
x
|u
ε
x
(x, t) − (u
0
)
x
| + sup
x
|(v
0
)
x
|,
ent˜ao
sup
x
|u
ε
x
(x, t)| − sup
x
|(v
0
)
x
| ≤ sup
x
|u
ε
x
(x, t) − (u
0
)
x
| ≤ sup
x
|U
ε
x
(x, t) − U
ε
x
(x, 0)|.
Os outros casos s˜ao an´alogos.
62
Portanto
Φ(t) − Φ(0) ≤ sup
x
|U
ε
x
(x, t) − U
ε
x
(x, 0)|
= sup
x
t
0
+∞
−∞
Z
ε
x
(x − y, t − τ)F (U
ε
(y, τ ))
x
dydτ
≤ sup
x
t
0
+∞
−∞
|Z
ε
x
(x − y, t − τ||F (U
ε
(y, τ ))
x
| dydτ
≤
t
0
c
√
t − τ
c
a,M,f
Φ(τ) dτ, (3.16)
Assuma que T > 0. Defina A : C([0, T ]) → C([0, T ]) por
(AΨ)(t) =
t
0
Ψ(τ)
√
t − τ
dτ.
Temos assim que
AΨ
∞
≤ sup
t
t
0
Ψ(τ)
√
t − τ
dτ
≤ sup
t
t
0
1
√
t − τ
dτ
Ψ
∞
= sup
t
2
√
tΨ
∞
= 2
√
T Ψ
∞
,
Da´ı A ´e limitado e
A = sup{AΨ
∞
; Ψ
∞
= 1} ≤ 2
√
T .
Se T <
1
(2cc
a,M,f
)
2
ent˜ao A ≤
1
cc
a,M,f
, portanto o operador (I −cc
a,M,f
A) ´e
invert´ıvel.
Seja
Ψ(t) = [(I −cc
a,M,f
A)
−1
Φ(0)](t),
ent˜ao
(I −cc
a,M,f
A)Ψ(t) = Φ(0),
logo
Ψ(t) = Φ(0) + cc
a,M,f
t
0
Ψ(τ)
√
t − τ
dτ.
63
Afirmamos que Φ(t) ≤ Ψ(t), ∀ t ∈ [0, T ]. De fato, seja g(t) ≡ max{0, Φ − Ψ}.
Ent˜ao g(0) = 0, para t = 0 usando (3.16), temos que
g(t) ≤ cc
a,M,f
t
0
g(τ)
√
t − τ
dτ.
Se 0 ≤ τ ≤ T ent˜ao g(τ) ≤ sup
0≤t≤T
g(t), assim para t = 0
g(t) ≤ cc
a,M,f
t
0
1
√
t − τ
sup
0≤t≤T
g(t) dτ
≤ cc
a,M,f
sup
0≤t≤T
g(t)
t
0
1
√
t − τ
dτ
≤ 2cc
a,M,f
√
t sup
0≤t≤T
g(t)
≤ 2cc
a,M,f
√
T sup
0≤t≤T
g(t).
Assim
sup
0≤t≤T
g(t) ≤ 2cc
a,M,f
√
T sup
0≤t≤T
g(t).
Por´em 2cc
a,M,f
√
T < 1, p ortanto a desigualdade anterior s´o ´e verdadeira se g(t) = 0,
∀ t ∈ [0, T ]. Isso prova nossa afirma¸c˜ao. Como
Ψ
∞
≤ |Φ(0)| + 2cc
a,M,f
√
T Ψ
∞
,
ent˜ao
Φ
∞
≤ Ψ
∞
≤
|Φ(0)|
1 − 2cc
a,M,f
√
T
.
Conclu´ımos que Φ ´e limitada em [0, T ] e, como T d epende apenas de M,
podemos interar os argumentos anteriores, e obtermos para todo T > 0
sup
x
|u
x
|(t) ≤ c
T,(u
0
)
x
∞
,(v
0
)
x
∞
∀ t ∈ [0, T ].
Resumimos nossas conclus˜oes nos seguintes resultados
Proposi¸c˜ao 3.1 Assuma que u
0
, v
0
,
∂u
0
∂x
,
∂v
0
∂x
∈ L
∞
(IR), v
0
(x) ≥ 0, ∀ x ∈ IR, ent˜ao
a solu¸c˜ao (u
ε
, v
ε
) para (3.4) satisfaz v
ε
(x, t) ≥ 0 ∀ (x, t) ∈ IR × [0, +∞).
64
Demonstra¸c˜ao: Segue do Teorema 1.4.
Corol´ario 3.2 Com as mesmas hip´oteses anteriores temos ∀ (x, t) ∈ IR × [0, +∞)
w
∗
− lim
ε→0
+
(u
ε
, v
ε
) ∈ {(u, v) : v ≥ 0}.
Demonstra¸c˜ao: O Teorema de Banach-Alaoglu aplicado aos espa¸cos L
p
nos diz
que se tivermos U
ε
p
uniformemente limitada, com 1 < p ≤ ∞, ent˜ao podemos
obter uma subseq¨uˆencia que continuamos denotando por (U
ε
) e uma fun¸c˜ao U tal
que U
ε
→ U (U
ε
→ U fraco * no caso L
∞
).
65
3.4 Entropias
Nessa se¸c˜ao, discutiremos algumas propriedades da entropia associada ao
nosso problema.
A equa¸c˜ao (3.3) pode ser escrita explicitamente como
∂q
∂u
= (2a + 1)u
∂η
∂u
+ v
∂η
∂v
∂q
∂v
= f
′
(v)
∂η
∂u
+ u
∂η
∂v
.
Derivando a primeira equa¸c˜ao em rela¸c˜ao a v e a segunda em rela¸c˜ao a u temos
∂
2
q
∂v∂u
= (2a + 1)u
∂
2
η
∂v∂u
+
∂η
∂v
+ v
∂
2
η
∂v
2
∂
2
q
∂u∂v
= f
′
(v)
∂
2
η
∂u
2
+
∂η
∂v
+ u
∂
2
η
∂u∂v
.
Eliminando q, obtemos uma equa¸c˜ao diferencial parcial de segunda ordem em η
v
∂
2
η
∂v
2
− f
′
(v)
∂
2
η
∂u
2
+ 2au
∂
2
η
∂u∂v
= 0. (3.17)
O produto interno de (3.3) com o autovetor `a direita r
∓
de ∇F pro duz a forma
caracter´ıstica de
(λ
∓
∇η − ∇q).r
∓
= 0 (3.18)
que ´e equivalente `a (3.3). Assim, os invariantes de Riemann (ω
−
, ω
+
) est˜ao bem
definidos, pois de acordo com o Lema 3.1
T : (u, v) → (ω
−
, ω
+
)
´e uma bije¸c˜ao que define uma mudan¸ca de coordenadas no semiplano {(u, v); v ≥ 0}.
De fato, dado um ponto (u, v), v ≥ 0, existe apenas uma curva integral R
+
, e
apenas uma curva integral R
−
, que passam pelo ponto dado, caso contr´ario teriamos
duas solu¸c˜oes diferentes de um mesmo P.V.I. que se cruzam nesse ponto, o que ´e
uma contradi¸c˜ao pelo teorema de existˆencia e unicidade, isso define um ´unico ponto
(ω
−
, ω
+
) relacionada ao p onto (u, v). Por outro lado, dado um ponto (ω
−
, ω
+
), como
66
ω
−
´e constante sobre a curva R
+
e ω
+
´e constante sobre a curva R
−
, e as curvas
R
+
e R
−
se cruzam em um ´unico ponto, quando v ≥ 0, temos que elas definem um
´unico ponto (u, v), v ≥ 0.
Podemos considerar r
−
e r
+
normalizados de forma que
∇ω
−
.r
−
= 1 ∇ω
−
.r
+
= 0
∇ω
+
.r
−
= 0 ∇ω
+
.r
+
= 1.
Definimos os operadores
∂
∂ω
−
= r
−
.∇
∂
∂ω
+
= r
+
.∇,
que tranformam o sistema (3.18) em
λ
−
η
ω
−
= q
ω
−
λ
+
η
ω
+
= q
ω
+
.
(3.19)
De fato, devido a (3.3), temos
∂q
∂ω
−
= ∇q.r
−
= ∇η.∇F.r
−
= λ
−
∇η.r
−
= λ
−
∂η
∂ω
−
,
da mesma forma
∂q
∂ω
+
= ∇q.r
+
= ∇η.∇F.r
+
= λ
+
∇η.r
+
= λ
+
∂η
∂ω
+
.
Al´em disso, se no sistema (3.19), derivarmos a primeira equa¸c˜ao em rela¸c˜ao a
ω
+
e a segunda em rela¸c˜ao a ω
−
obtemos
∂λ
−
∂ω
+
∂η
∂ω
−
+ λ
−
∂
2
η
∂ω
+
∂ω
−
=
∂
2
q
∂ω
+
∂ω
−
∂λ
+
∂ω
−
∂η
∂ω
+
+ λ
+
∂
2
η
∂ω
−
∂ω
+
=
∂
2
q
∂ω
−
∂ω
+
.
Eliminando
∂
2
q
∂ω
−
∂ω
+
temos, em coordenadas ω = (ω
−
, ω
+
),
∂
2
η
∂ω
−
∂ω
+
+
1
λ
+
(ω) − λ
−
(ω)
∂λ
+
(ω)
∂ω
−
∂η
∂ω
+
−
∂λ
−
(ω)
∂ω
+
∂η
∂ω
−
= 0. (3.20)
Consideramos (3.20) apenas quando ω
−
≤ 0 ≤ ω
+
.
Estudaremos a seguir alguns tipos particulares de entropia.
67
3.4.1 Entropias do Tipo Produto
Procuramos solu¸c˜oes da forma
η(u, v) = α(u)β(v).
Para uma tal fun¸c˜ao η(u, v), (3.17) assume a forma
vα(u)β
′′
(v) − f
′
(v)α
′′
(u)β(v) + 2auα
′
(u)β
′
(v) = 0. (3.21)
Dividindo por α(u)β(v)f
′
(v) e diferenciando em rela¸c˜ao a u, obtemos
α
′′
(u)
α(u)
′
= 2a
u
α
′
(u)
α(u)
′
β
′
(v)
β(v)f
′
(v)
.
que nos permite concluir que existe um k ∈ IR tal que
α(u) =
u
0
e
k
2
t
2
dt
β(v) = e
k
2a
f(v)
.
Portanto encontramos uma fam´ılia de entropias do seguinte tipo
η
k
(u, v) =
u
0
e
k
2
(
f (v)
a
+t
2
)
dt.
Por outro lado, dividindo (3.21) por α(u)β(v)f
′
(v) e diferenciando com respeito
a v, obtemos
vβ
′′
(v)
f
′
(v)β(v)
′
= −2au
α
′
(u)
α(u)
β
′
(v)
f
′
(v)β(v)
′
.
Ent˜ao existe um h ∈ IR tal que
α(u) = e
−hu
2
β(v) = v
ah+1
.
Portanto encontramos uma outra fam´ılia de entropias dependentes do para-
metro h do tipo
η
h
(u, v) = v
ah+1
e
−hu
2
. (3.22)
68
Observamos que (3.22) ´e uma entropia para nosso problema que n˜ao depende
de f, e η
h
´e convexa se h ≥ 0. De fato, temos que
∂
2
η
h
∂u
2
=
4h
2
u
2
− 2h
v
ah+1
e
−hu
2
∂
2
η
h
∂u∂v
=
−2ah
2
u − 2hu
v
ah
e
−hu
2
∂
2
η
h
∂v
2
=
a
2
h
2
+ ah
v
ah−1
e
−hu
2
.
Mostraremos que
∇
2
η
h
((w, z), (w, z)) =
∂
2
η
h
∂u
2
w
2
+ 2
∂
2
η
h
∂u∂v
zw +
∂
2
η
h
∂v
2
z
2
≥ 0
∀ (w, z) ∈ IR
2
. Como v
2ah
e
−hu
2
≥ 0, (u, v) ∈ IR
2
, ent˜ao ´e suficiente mostrarmos que
2ah
2
u + 2hu
2
−
−2h + 4h
2
u
2
a
2
h
2
+ ah
≥ 0,
ou seja,
h
2
h
2a
2
+ 4au
2
+
2a + 4u
2
≥ 0.
Como h
2
≥ 0, ∀ h ∈ IR, basta que
h
2a
2
+ 4au
2
+
2a + 4u
2
≥ 0,
logo precisamos que h ≥ −
1
a
. Como a >
1
2
, basta que h ≥ 0 ≥ −
1
a
.
3.4.2 Entropias do Tipo Soma
Agora, procuramos por solu¸c˜oes da forma
η(u, v) = α(u) + β(v).
Nesse caso (3.17) reduz-se a
vβ
′
(v) − f
′
(v)α
′′
(u) = 0,
69
que admite a seguinte solu¸c˜ao
α(u) =
1
2
u
2
β(v) =
v
0
y
0
f
′
(z)
z
dzdy,
assim
η(u, v) =
1
2
u
2
+
v
0
y
0
f
′
(z)
z
dzdy
´e uma entropia convexa bem definida. De fato, para v = 0, temos
∇
2
η(u, v) =
1 0
0
f
′
(v)
v
.
Dado (w, z) ∈ IR
2
, temos que
∇
2
η((w, z), (w, z)) = w
2
+
f
′
(v)
v
z
2
ent˜ao η ´e convexa.
Lembramos que ∇q = ∇η∇F , ent˜ao
∇q =
(1 + 2a) u
2
+ v
v
0
f
′
(ξ)
ξ
dξ, uf
′
(v) + u
v
0
f
′
(ξ)
ξ
dξ
,
logo o fluxo correspondente ´e dado por
q(u, v) =
2a + 1
3
u
3
+ uv
v
0
f
′
(z)
z
dz.
3.4.3 Entropias Polinomiais
Nessa subse¸c˜ao, assumimos que f ´e um polinˆomio de grau n. Com essa
hip´otese provaremos a existˆencia de entropias polinomiais p or um processo de in-
tera¸c˜ao.
Supomos primeiro que f(v) =
1
2
v
2
, sem perda de generalidade, pois se f(v) =
c
2
2
v
2
, por meio de uma mudan¸ca de vari´avel v →
v
c
, obtemos
u
t
+
1
2
+ a
u
2
+
1
2
v
2
x
= 0
1
c
v
t
+
1
c
(uv)
x
= 0
70
que ´e o problema (3.1), com f(v) =
1
2
v
2
.
De fato, (3.17) reduz-se a
v
∂
2
η
∂v
2
− v
∂
2
η
∂u
2
+ 2au
∂
2
η
∂u∂v
= 0 (3.23)
que ´e invariante sobre a dilata¸c˜ao
(u, v, η) → (cu, cv, cη).
Sejam ξ =
u
v
e ˜η(ξ) =
η(u, v)
v
α
, onde α > 0 ´e um inteiro que queremos deter-
minar para que η seja um polinˆomio de grau α. Ent˜ao
∂
2
η
∂u
2
(u, v) = ˜η
′′
(ξ)v
α−2
∂
2
η
∂v
2
(u, v) = ˜η
′′
(ξ)u
2
v
α−4
− (α − 2)˜η
′
(ξ)uv
α−3
− α˜η
′
(ξ)uv
α−3
+ α(α − 1)˜η(ξ)v
α−2
∂
2
η
∂v∂u
(u, v) = ˜η
′′
(ξ)uv
α−3
+ (α − 1)˜η
′
(ξ)v
α−2
.
Substituindo em (3.23), temos
˜η
′′
(ξ)
u
2
v
α−3
− v
α−1
− 2au
2
v
α−3
+ ˜η
′
(ξ)
−(α − 2)uv
α−2
− αuv
α−2
−2au(α − 1)v
α−2
+ ˜η(ξ)α(α − 1)v
α−1
= 0.
Escolhendo α = 1, obtemos
˜η
′′
(ξ)
u
2
v
−2
− 1 − 2au
2
v
−2
= 0.
Como [u
2
v
−2
(1 − 2a) − 1] = 0, pois a >
1
2
, ent˜ao ˜η(ξ) = k
1
ξ + k
2
, onde k
1
e k
2
s˜ao
constantes. Portanto
η(u, v) = v˜η
u
v
= k
1
u + k
2
v,
´e uma solu¸c˜ao polinomial de grau 1 de (3.23).
Agora, supomos que f ´e uma fun¸c˜ao polinomial de grau n que pode ser escrita
como
f(v) =
1
2
v
2
+ g(v),
71
onde g ´e uma fun¸c˜ao polinomial de grau maior que 2.
Seja
L(η) = v
∂
2
η
∂v
2
−
∂
2
η
∂u
2
+ 2au
∂
2
η
∂u∂v
− g
′
(v)
∂
2
η
∂u
2
.
Ent˜ao (3.17) pode ser escrita como
L(η) = 0. (3.24)
Seja
L
0
(η) = v
∂
2
η
∂v
2
−
∂
2
η
∂u
2
+ 2au
∂
2
η
∂u∂v
.
Ent˜ao podemos encontrar solu¸c˜oes para
L
0
(η) = 0. (3.25)
Queremos encontrar uma solu¸c˜ao para (3.24). Seja η
0
uma solu¸c˜ao para (3.25).
Podemos, ent˜ao escrever a solu¸c˜ao para (3.24) da seguinte forma
η = η
0
+ H
0
1
+ H
R
1
,
onde H
0
1
´e uma solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao n˜ao-homogenea
L
0
(η) = g
′
(v)
∂
2
η
0
∂u
2
.
Como
L(η) = v
∂
2
η
0
∂v
2
−
∂
2
η
0
∂u
2
+ 2au
∂
2
η
0
∂u∂v
− g
′
(v)
∂
2
η
0
∂u
2
+v
∂
2
H
0
1
∂v
2
−
∂
2
H
0
1
∂u
2
+ 2au
∂
2
H
0
1
∂u∂v
− g
′
(v)
∂
2
H
0
1
∂u
2
+v
∂
2
H
R
1
∂v
2
−
∂
2
H
R
1
∂u
2
+ 2au
∂
2
H
R
1
∂u∂v
− g
′
(v)
∂
2
H
R
1
∂u
2
= −g
′
(v)
∂
2
H
0
1
∂u
2
+ L(H
R
1
),
72
ent˜ao H
R
1
´e uma solu¸c˜ao de
L(η) = g
′
(v)
∂
2
H
0
1
∂u
2
.
Vamos agora dividir H
R
1
da seguinte forma
H
R
1
= H
0
2
+ H
R
2
,
onde H
0
2
´e uma solu¸c˜ao de
L
0
(η) = g
′
(v)
∂
2
H
0
1
∂u
2
.
Como
L(H
R
1
) = v
∂
2
H
0
2
∂v
2
−
∂
2
H
0
2
∂u
2
+ 2au
∂
2
H
0
2
∂u∂v
− g
′
(v)
∂
2
H
0
2
∂u
2
+v
∂
2
H
R
2
∂v
2
−
∂
2
H
R
2
∂u
2
+ 2au
∂
2
H
R
2
∂u∂v
− g
′
(v)
∂
2
H
R
2
∂u
2
= −g
′
(v)
∂
2
H
R
2
∂u
2
+ L(H
R
2
),
ent˜ao H
R
2
´e uma solu¸c˜ao de
L(η) = g
′
(v)
∂
2
H
0
2
∂u
2
.
Assim, a solu¸c˜ao η ´e dada por
η = η
0
+ H
0
1
+ H
R
1
+ H
0
2
+ H
R
2
.
Ent˜ao, continuando esse processo, depois de k passos obtemos
η = η
0
+
k
j=1
H
0
j
+ H
R
k
,
onde
L
0
(η
0
) = 0
L
0
(H
0
j
) = g
′
(v)
∂
2
H
0
j−1
∂u
2
,
(3.26)
para j ≥ 0. Finalmente, temos
73
Proposi¸c˜ao 3.2 Com as hip´oteses anteriores as seguintes propriedades s˜ao ver-
dadeiras:
a) Se H
0
j−1
´e um polinˆomio ent˜ao existe H
0
j
que tamb´em ´e um polinˆomio.
b) ∃k > 0 tal que H
R
k
≡ 0.
Demonstra¸c˜ao: Supomos que H
0
j−1
tem grau m
1
em u e m
2
em v, isto ´e,
H
0
j−1
(u, v) =
m
1
k=0
m
2
h=0
d
k,h
u
k
v
h
,
ent˜ao
∂
2
H
0
j−1
∂u
2
=
m
1
k=0
m
2
h=0
k(k −1)d
k,h
u
k−2
v
h
e existe
˜
d
k,h
tal que
g
′
(v)
∂
2
H
0
j−1
∂u
2
=
m
1
−2
k=0
m
2
+n−1
h=0
˜
d
k,h
u
k
v
h
.
Se assumirmos que
H
0
j
(u, v) =
k
1
≥0,h
1
≥0
c
k
1
,h
1
u
k
1
v
h
1
,
ent˜ao (3.26)
j
torna-se
k
1
≥0,h
1
≥2
h
1
(h
1
− 1)c
k
1
,h
1
u
k
1
v
h
1
−1
−
k
1
≥2,h
1
≥0
k
1
(k
1
− 1)c
k
1
,h
1
u
k
1
−2
v
h
1
+1
+
k
1
≥1,h
1
≥1
2ah
1
k
1
c
k
1
,h
1
u
k
1
v
h
1
−1
=
k=0,h=2
˜
d
k,h
u
k
v
h
,
ou equivalente
k
1
≥0,h
1
≥1
h
1
(h
1
+ 1)c
k1,h
1
+1
u
k
1
v
h
1
−
k
1
≥0,h
1
≥1
(k
1
+ 2)(k
1
+ 1)c
k
1
+2,h
1
−1
u
k
1
v
h
1
+
k
1
≥1,h
1
≥0
2a(h
1
+ 1)k
1
c
k
1
,h
1
+1
u
k
1
v
h
1
=
k=0,h=2
˜
d
k,h
u
k
v
h
74
de onde obtemos
c
k,1
= 0, se k ∈ IN
c
k,2
= 0, se k ∈ IN
(h + 1)(h + 2ak)c
k,h+1
− (k + 1)(k + 2)c
k+2,h−1
=
˜
d
k,h
,
se k ≤ m
1
− 2 e h ≤ m
2
+ n − 1
c
k,h
= 0, caso contr´ario.
Podemos escolher alguns dos coeficientes c
k,h
arbitrariamente, por exemplo
c
m
1
−1,h
= 0
c
m
1
,h
= 0.
Assim, obtemos H
0
j
com grau m
1
− 2 em u, de fato se η
0
tem grau γ em u, depois
de
γ
2
+ 1 p assos obtemos uma fun¸c˜ao que ´e independente de u.
Portanto provamos que
Teorema 3.4 Se considerarmos (3.1) com um poli nˆomio f de grau n, ent˜ao existe
uma entropia polinomial em (u, v).
3.4.4 O Problema de Goursat
Consideramos o sistema de coordenadas de invariantes de Riemann (ω
−
, ω
+
).
Nesse caso, encontramos que as curvas caracter´ısticas para as equa¸c˜oes de entropia
s˜ao as retas paralelas aos eixos coordenados. O problema de Goursat consiste em en-
contrar uma solu¸c˜ao η de (3.20) quando seus valores nas duas curvas caracter´ısticas
s˜ao conhecidos.
Tomamos duas constantes ω
∗
−
, ω
∗
+
com ω
∗
−
≤ ω
∗
+
. Estudaremos o problema de
Gousat.
∂
2
η
∂ω
−
∂ω
+
+
1
λ
+
(ω) − λ
−
(ω)
∂λ
+
(ω)
∂ω
−
∂η
∂ω
+
−
∂λ
−
(ω)
∂ω
+
∂η
∂ω
−
= 0
η(ω
−
, ω
∗
+
) = θ
−
(ω
−
)
η(ω
∗
−
, ω
+
) = θ
+
(ω
+
),
(3.27)
onde θ
−
e θ
+
s˜ao fun¸c˜oes suaves dadas.
Relembramos o seguinte resultado devido a Sobolev
75
Teorema 3.5 O problema de Goursat (3.27) admite uma solu¸c˜ao t˜ao regular quanto
os dados iniciais θ
−
e θ
+
em qualquer dom´ınio limitado fora do ponto umbilical e
do eixo ω
+
.
Demonstra¸c˜ao: Segundo [Sb], considere que a equa¸c˜ao (3.27) seja da forma
∂
2
η
∂ω
−
∂ω
+
+ α
∂η
∂ω
−
+ β
∂η
∂ω
+
= 0
η(ω
−
, ω
∗
+
) = θ
−
(ω
−
) ω
∗
−
≤ ω
−
≤ a
η(ω
∗
−
, ω
+
) = θ
+
(ω
+
) ω
∗
+
≤ ω
+
≤ b,
(3.28)
onde
α ≡ α(ω
−
, ω
+
) =
−1
λ
+
(ω) − λ
−
(ω)
∂λ
−
(ω)
∂ω
+
e
β ≡ β(ω
−
, ω
+
) =
1
λ
+
(ω) − λ
−
(ω)
∂λ
+
(ω)
∂ω
−
.
Supomos tamb´em que θ
−
(ω
∗
−
) = θ
+
(ω
∗
+
). Sejam
∂η
∂ω
−
= u e
∂η
∂ω
+
= v, (3.29)
dessa forma temos
∂u
∂ω
+
=
∂v
∂ω
−
= −αu − βv, (3.30)
segue que
u(ω
−
, ω
+
) = u(ω
−
, ω
∗
+
) +
ω
+
ω
∗
+
(−αu − βv) dω
+
v(ω
−
, ω
+
) = v(ω
∗
−
, ω
+
) +
ω
−
ω
∗
−
(−αu − βv) dω
−
η(ω
−
, ω
+
) = η(ω
−
, ω
∗
+
) +
ω
+
ω
∗
+
v dω
+
.
(3.31)
De (3.28) e (3.29) temos
u(ω
−
, ω
∗
+
) =
∂η
∂ω
−
ω
+
=ω
∗
+
= θ
′
−
(ω
−
)
(3.32)
v(ω
∗
−
, ω
+
) =
∂η
∂ω
+
ω
−
=ω
∗
−
= θ
′
+
(ω
+
).
76
Assim, (3.31) torna-se
u(ω
−
, ω
+
) = θ
′
−
(ω
−
) +
ω
+
ω
∗
+
(−αu − βv) dω
+
v(ω
−
, ω
+
) = θ
′
+
(ω
+
) +
ω
−
ω
∗
−
(−αu − βv) dω
−
η(ω
−
, ω
+
) = θ
−
(ω
−
) +
ω
+
ω
∗
+
v dω
+
.
(3.33)
Qualquer solu¸c˜ao do sistema (3.33) satisfaz (3.30) e a segunda equa¸c˜ao em (3.29),
observamos ainda que
∂η
∂ω
−
= θ
′
−
(ω
−
) +
ω
+
ω
∗
+
∂v
∂ω
−
dω
+
= θ
′
−
(ω
−
) +
ω
+
ω
∗
+
(−αu − βv) dω
+
= u.
Consequentemente a primeira equa¸c˜ao em (3.29) tamb´em ´e satisfeita. Segue ainda
de (3.33) que η satisfaz
η(ω
−
, ω
∗
+
) = θ
−
(ω
−
)
η(ω
∗
−
, ω
+
) = θ
−
(ω
∗
−
) +
ω
+
ω
∗
+
v dω
+
= θ
−
(ω
∗
−
) +
ω
+
ω
∗
+
θ
′
+
(ω
+
) dω
+
= θ
−
(ω
∗
−
) + θ
+
(ω
+
) − θ
+
(ω
∗
+
)
= θ
+
(ω
+
),
condi¸c˜oes iniciais de (3.28)
Portanto, qualquer solu¸c˜ao do sistema (3.33) ´e uma solu¸c˜ao do problema (3.28).
Segue que o sistema (3.33) ´e equivalente ao problema (3.28).
Encontraremos ent˜ao uma solu¸c˜ao de (3.33) por um m´etodo de aproxima¸c˜oes
sucessivas. Sejam u
0
(ω
−
, ω
∗
+
) = θ
′
−
(ω
−
), v
0
(ω
∗
−
, ω
+
) = θ
′
+
(ω
+
) e η
0
(ω
−
, ω
∗
+
) =
θ
−
(ω
−
), e escrevemos ∀ n ≥ 1
77
u
n
= θ
′
−
(ω
−
) +
ω
+
ω
∗
+
(−αu
n−1
− βv
n−1
) dω
+
v
n
= θ
′
+
(ω
+
) +
ω
−
ω
∗
−
(−αu
n−1
− βv
n−1
) dω
−
η
n
= θ
−
(ω
−
) +
ω
+
ω
∗
+
v
n−1
dω
+
.
(3.34)
Mostraremos que as seq¨uˆencias u
n
, v
n
e η
n
convergem. Para isso, assumimos
que todas as fun¸c˜oes θ
−
, θ
+
, θ
′
−
, θ
′
+
, α e β s˜ao limitadas no retˆangulo definido em
(3.28). Assim temos
u
n+1
− u
n
= −
ω
+
ω
∗
+
α (u
n
− u
n−1
) + β (v
n
− v
n−1
) dω
+
v
n+1
− v
n
= −
ω
−
ω
∗
−
α (u
n
− u
n−1
) + β (v
n
− v
n−1
) dω
−
η
n+1
− η
n
= −
ω
+
ω
∗
+
(v
n
− v
n−1
) dω
+
.
Mostraremos que
|u
n
− u
n−1
| ≤ K
n−1
A
(ω
−
+ ω
+
− ω
∗
−
− ω
∗
+
)
n−1
(n − 1)!
|v
n
− v
n−1
| ≤ K
n−1
A
(ω
−
+ ω
+
− ω
∗
−
− ω
∗
+
)
n−1
(n − 1)!
|η
n
− η
n−1
| ≤ K
n−1
A
(ω
−
+ ω
+
− ω
∗
−
− ω
∗
+
)
n−1
(n − 1)!
,
onde K > |α|+ |β| e os A’s s˜ao n´umeros independentes de n. Como estamos em um
78
retˆangulo definido em (3.28), temos que se n = 1 ent˜ao
|u
1
− u
0
| ≤
b
ω
∗
+
αθ
′
−
(ω
−
)
dω
+
+
b
ω
∗
+
βθ
′
+
(ω
+
)
dω
+
≤ A
1
|v
1
− v
0
| ≤
a
ω
∗
−
αθ
′
−
(ω
−
)
dω
−
+
a
ω
∗
−
βθ
′
+
(ω
+
)
dω
−
≤ A
2
,
|η
1
− η
0
| ≤
b
ω
∗
+
|v
1
− v
0
| dω
+
≤ A
2
b − ω
∗
+
= A
3
,
onde A
1
, A
2
e A
3
s˜ao constantes.
Supomos agora, que a desigualdade vale para n, mostraremos que ela ´e v´alida
para n + 1, assim
|u
n+1
− u
n
| ≤
ω
+
ω
∗
+
|α||u
n
− u
n−1
| + |β||v
n
− v
n−1
| dω
+
≤
ω
+
ω
∗
+
(|α| + |β|) K
n−1
A
ω
−
+ ω
+
− ω
∗
−
− ω
∗
+
n−1
(n − 1)!
dω
+
≤ AK
n
ω
+
ω
∗
+
ω
−
+ ω
+
− ω
∗
−
− ω
∗
+
n−1
(n − 1)!
dω
+
≤
AK
n
n!
ω
−
+ ω
+
− ω
∗
−
− ω
∗
+
n
−
ω
−
− ω
∗
−
n
≤ AK
n
ω
−
+ ω
+
− ω
∗
−
− ω
∗
+
n
n!
,
as outras diferen¸cas s˜ao estimadas de forma semelhante. Segue que as s´eries
u
0
+
+∞
n=1
(u
n
− u
n−1
)
v
0
+
+∞
n=1
(v
n
− v
n−1
)
η
0
+
+∞
n=1
(η
n
− η
n−1
) ,
79
s˜ao absolutamente e uniformemente convergente, pois seus termos s˜ao limitados
pelos termos correspondente da s´erie
A + A
+∞
n=1
K
n−1
ω
−
+ ω
+
− ω
∗
−
− ω
∗
+
n−1
(n − 1)!
,
que ´e a fun¸c˜ao A + Ae
K(ω
−
+ω
+
−ω
∗
−
−ω
∗
+
)
. Consequentemente, u
n
, v
n
e η
n
tendem
uniformemente para limites definidos no retˆangulo definido em (3.28). Tomando o
limite na formula (3.34), vemos que as fun¸c˜oes limites u, v e η satisfazem (3.33),
assim nosso problema est´a resolvido. Podemos aplicar um argumento similar para
os casos a < ω
∗
−
, b < ω
∗
+
. Para mostrarmos a unicidade, ´e suficiente mostrarmos
que no caso onde θ
−
(ω
−
) ≡ θ
+
(ω
+
) ≡ 0, o sistema (3.33) n˜ao possui outra solu¸c˜ao
limitada al´em de u = 0, v = 0 e η = 0. Supomos que existe alguma solu¸c˜ao que
satisfaz as condi¸c˜oes |u| < A, |v| < A e |η| < A. Ent˜ao as fun¸c˜oes u, v e η satisfazem
as desigualdades
|u| ≤ K
n−1
A
(ω
−
+ ω
+
− ω
∗
−
− ω
∗
+
)
n−1
(n − 1)!
|v| ≤ K
n−1
A
(ω
−
+ ω
+
− ω
∗
−
− ω
∗
+
)
n−1
(n − 1)!
|η| ≤ K
n−1
A
(ω
−
+ ω
+
− ω
∗
−
− ω
∗
+
)
n−1
(n − 1)!
,
(3.35)
que s˜ao obtidas por aproxima¸c˜oes sucessivas. Temos assim a unicidade da solu¸c˜ao,
pois as ´unicas fun¸c˜oes que satisfazem (3.35), ∀ n ∈ IN, s˜ao u = v = η = 0.
Referˆencias Bibliogr´aficas
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