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Eduardo Thiesen Magalh˜aes Costa
Estabilidade de aglomerados granulares:
influˆencia do coeficiente de restitui¸c˜ao
Tese de Doutorado
Tese apresentada ao Programa de P´os–gradua¸c˜ao em F´ısica do
Departamento de F´ısica da PUC-Rio como requisito parcial para
obten¸c˜ao Do t´ıtulo de Doutor em F´ısica
Orientador: Prof. Welles Antonio Martinez Morgado
Rio de Janeiro
Fevereiro de 2008
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Eduardo Thiesen Magalh˜aes Costa
Estabilidade de aglomerados granulares:
influˆencia do coeficiente de restitui¸c˜ao
Tese apresentada ao Programa de P´os–gradua¸c˜ao em F´ısica do
Departamento de F´ısica do Centro T´ecnico Cient´ıfico da PUC-
Rio como requisito parcial para obten¸c˜ao Do t´ıtulo de Doutor em
F´ısica. Aprovada pela Comiss˜ao Examinadora abaixo assinada.
Prof. Welles Antonio Martinez Morgado
Orientador
Departamento de F´ısica — PUC-Rio
Prof. Rosane Rieira Freire
Departamento de F´ısica - PUC-Rio
Prof. C´elia B. Anteneodo de Porto
Departamento de F´ısica - PUC-Rio
Prof. Evaldo M. F. Curado
CBPF
Prof. Lad´ario da Silva
Escola Naval
Prof. Sergio G. Coutinho
UFPE
Prof. Jos´e Eugenio Leal
Coordenador Setorial do Centro T´ecnico Cient´ıfico — PUC-Rio
Rio de Janeiro, 29 de Fevereiro de 2008
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Todos os direitos reservados.
´
E proibida a reprodu¸c˜ao total
ou parcial do trabalho sem autoriza¸c˜ao da universidade, do
autor e do orientador.
Eduardo Thiesen Magalh˜aes Costa
Graduou-se em bacharelado e em licenciatura em f´ısica na
Universidade do Estado do Rio de Janeiro, mestrou-se em
f´ısica pela Pontif´ıcia Universidade Cat´olica do Rio de Janeiro.
Ficha Catalogr´afica
Costa, Eduardo Thiesen Magalh˜aes
Estabilidade de aglomerados granulares: influˆencia do
coeficiente de restitui¸c˜ao / Eduardo Thiesen Magalh˜aes
Costa; orientador: Welles Antonio Martinez Morgado. —
2008.
v., 73 f: il. ; 30 cm
1. Tese (Doutorado em F´ısica) - Pontif´ıcia Universidade
Cat´olica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2008.
Inclui bibliografia
1. F´ısica – Teses. 2. Gases Granulares. 3. Aglomerados. 4.
Mecˆanica Estat´ıstica. I. Morgado, Welles Antonio Martinez.
II. Pontif´ıcia Universidade Cat´olica do Rio de Janeiro.
Departamento de F´ısica. III. T´ıtulo.
CDD: 530
Agradecimentos
Ao meu orientador, Welles Morgado, pela dedica¸c˜ao e paciˆencia em todas
as fases do trabalho.
Aos meus colegas de sala e/ou amigos da PUC-Rio, Anderson, Edson,
La´ercio, Wilson, Lucas, Renato, Diogo, Anderson, Nei e Henrique, que muito
contribu´ıram para o bom andamento dos trabalhos. A todos os demais colegas
da PUC-Rio que, direta ou indiretamente, colaboraram para o desenvolvimento
desta tese, bem como a todos os funcion´arios e professores do Departamento
de F´ısica. Aos amigos e tamb´em doutorandos da UFF que, envolvidos com
pesquisas na mesma ´area, gentilmente me receberam em suas reuni˜oes de
debates sobre suas linhas de trabalho. Em especial ao Marcus, que tanto me
incentivou e orientou, dentro e fora do meio acadˆemico.
`
As fam´ılias Thiesen e Magalh˜aes Costa por todo o suporte.
`
A Tathiana,
que me acompanhou e tanto me incentivou ao longo desses anos. E ao Felipe,
por sua boa f´e e preo cupa¸c˜ao com minha trajet´oria.
`
A CAPES, ao CNPq e a esta universidade pelo apoio financeiro atrav´es
das bolsas concedidas.
Resumo
Costa, Eduardo Thiesen Magalh˜aes; Morgado, Welles
Antonio Martinez. Estabilidade de aglomerados granulares:
influˆencia do coeficiente de restitui¸c˜ao. Rio de Janeiro, 2008.
73p. Tese de Doutorado — Departamento de F´ısica, Pontif´ıcia
Universidade Cat´olica do Rio de Janeiro.
Esta tese tem como objetivo estudar o comportamento de equil´ıbrio de um
sistema granular unidimensional, composto por um aglomerado e um g´as
formado por um ´unico gr˜ao. Analisamos o comportamento de longo prazo de
vari´aveis do aglomerado, tais como a press˜ao, a velocidade m´edia quadr´atica
e o espa¸camento entre os gr˜aos, para uma variedade de coeficientes de
restitui¸c˜ao dependentes da velocidade relativa. Foi proposta uma forma
para a dependˆencia entre o coeficiente de restitui¸c˜ao e a velocidade relativa
entre os gr˜aos, que possui como casos particulares modelos encontrados na
literatura, como o visco-el´astico e o caso em que o coeficiente independe
da velocidade. Os resultados obtidos, dissolu¸c˜ao do aglomerado quando
h´a dependˆencia entre o coeficiente e a velocidade, e a permanˆencia do
mesmo quando n˜ao h´a, est˜ao de acordo com estudos hidrodinˆamicos que
apontam para a natureza transiente das instabilidades na densidade de gases
granulares, cujo coeficiente de restitui¸c˜ao dep ende da velocidade.
Palavras–chave
Gases Granulares. Aglomerados. Mecˆanica Estat´ıstica.
Abstract
Costa, Eduardo Thiesen Magalh˜aes; Morgado, Welles Antonio
Martinez. Granular clusters stability: influence of the
coefficient of restitution. Rio de Janeiro, 2008. 73p. PhD Thesis
— Department of F´ısica, Pontif´ıcia Universidade Cat´olica do Rio
de Janeiro.
This thesis aims to study the behavior of a one-dimensional granular system,
composed of a cluster and a gas formed by only one grain. We analyze the
behavior of long-term variables of the cluster, such as a pressure, the RMS
velocity and mean space between grains, for a variety of velocity dependent
coefficients of restitution. We proposed a form for the dependence of the
coefficient of restitution on the relative velocity between grains, which shows
as particular cases important classes of models found in the literature, such
as the visco-elastic and the coefficient of restitution independent of the
velocity. The results obtained show the dissolution of the cluster when there
is dependence between the coefficient and speed, and permanence of the
cluster when the dependence exists, in accordance with the hydrodynamic
studies pointing to the transient nature of the instabilities in the density of
the granular gas, whose coefficient of restitution depends on the speed.
Keywords
Granular Gas. Clusters. Statistical Mechanics.
Sum´ario
1 Introdu¸c˜ao 10
1.1 Objetivo 16
2 Tratamento para o G´as Granular 18
2.1 M´etodos Cont´ınuos 18
2.2 Dinˆamica Molecular 30
2.3 Dinˆamica Molecular Dirigida por Eventos 36
2.4 Limites da Abordagem Hidrodinˆamica 38
3 Aglomerado Granular 40
3.1 Aglomerados em Sistemas Granulares 40
3.2 Premissas do Modelo 41
3.3 Equil´ıbrio Aglomerado-g´as 44
3.4 An´alise Adimensional 49
3.5 Comportamento de Longo Prazo 50
3.6 Outros Modelos na Literatura 53
3.7 Oscila¸c˜oes do Aglomerado 54
3.8 Conseq¨uˆencias do Modelo 54
4 Discuss˜ao dos Resultados 56
A Equa¸c˜oes do Equil´ıbrio Aglomerado-g´as 61
A.1 m > 0 61
A.2 m = 0 65
B Dissipa¸c˜ao da Energia do Aglomerado na
Colis˜ao Aglomerado-g´as 67
B.1 m > 0 67
B.2 m = 0 69
C Comportamento de Longo Prazo: Solu¸c˜oes Assint´oticas 70
Lista de figuras
1.1 (a) Exemplo para uma distribui¸c˜ao de tamanhos diferentes de gr˜aos,
com os diˆametros dos mesmos medidos em µm. Abaixo, fotos
tiradas com um microsc´opio em escalas de 500 µm (b) e de 10 µm
(c). Figura reproduzida do artigo [1]. 11
1.2 Dois gr˜aos cobertos por um filme de ´agua. A tens˜ao superficial
encontrada a´ı gera for¸cas de atra¸c˜ao entre os gr˜aos. 12
1.3 Experimento de Reynolds. O recipiente cont´em gr˜aos e uma certa
quantidade de ´agua. Ao aplicarmos uma press˜ao na parede lateral,
os gr˜aos atingem uma configura¸c˜ao onde a ´agua penetra nos
espa¸cos entre eles, fazendo com que o n´ıvel da ´agua no recipiente
diminua. 12
1.4 Sistema de disco de tamanhos idˆenticos com diferentes densidades:
(a) ρ = 0.5628, (b) ρ = 0.7394 e (c) ρ = 0.8681. Figura
reproduzida da referˆencia [2]. 13
1.5 Aglomerado de gr˜aos em uma ampulheta com a presen¸ca de um
arco dentro dessa estrutura. 15
2.1 Duas esferas de diˆametro δ separadas por uma distˆancia s. 22
2.2 Representa¸c˜ao esquem´atica do cisalhamento entre duas camadas. 26
3.1 As N part´ıculas do aglomerado e a part´ıcula do g´as. A distˆancia
m´edia entre duas part´ıculas consecutivas do aglomerado ´e ε
(ausente na figura), o diˆametro de cada part´ıcula ´e d e o
comprimento total ´e L + (N + 1)d. 42
3.2 Forma geral do coeficiente de restitui¸c˜ao para diferentes valores de
m. 43
3.3 Escalas de tempo percorridas pelo sistema. Em t = 0, todas
as part´ıculas do sistema encontram-se igualmente espa¸cadas e
com velocidades aproximadamente iguais. A partir de t = t
∗
0
,
o aglomerado granular come¸ca a se formar, pr´oximo a parede
inel´astica. Finalmente, em t = t
0
, a configura¸c˜ao inicial do nosso
modelo est´a dada, com o aglomerado de um lado e o g´as granular
do outro. 44
3.4 Seq¨uˆencia de colis˜oes. 45
3.5 Coeficiente de restitui¸c˜ao independente das velocidades. O ´unico
caso est´avel em todos os instantes de tempo. O espa¸camento
m´edio, ε, ´e medido em unidades de L/N. 51
3.6 Evolu¸c˜ao temporal para alguns exemplos de coeficientes de
restitui¸c˜ao dependentes da velocidade. A linha pontilhada
representa m = 2, a tracejada m = 1 e a cheia m = 1/5. 53
3.7 Valor n˜ao perturbado de ε menos o valor perturbado, como uma
fun¸c˜ao do tempo, normalizado pelo pr´oprio ε. 55
1
Introdu¸c˜ao
Materiais granulares s˜ao constitu´ıdos por um grande n´umero de entidades
macrosc´opicas e s´olidas, os gr˜aos. Os sistemas granulares possuem gr˜aos de
tamanhos que podem variar desde p´o (poeira), com 10
−4
m, at´e aster´oides
(an´eis planet´arios), com mais de 10
2
m. Esses sistemas est˜ao amplamente
presentes na natureza e tamb´em desempenham um papel importante em um
grande n´umero de processos industriais. Assim como sistemas moleculares, os
sistemas granulares podem apresentar fase s´olida, l´ıquida e gasosa, dependendo
das condi¸c˜oes f´ısicas impostas externamente. Um exemplo bem familiar ´e o da
pilha de areia: em repouso, comporta-se como um s´olido; depositada numa
superf´ıcie plana e bastante inclinada, comporta-se como um fluido; ou ainda,
suficientemente agitada dentro de um recipiente, apresenta o comportamento
de um g´as (se a quantidade de gr˜aos for pequena). Al´em disso, v´arios aspectos
das teorias por tr´as desses modelos podem ser aplicados a muitos fenˆomenos
que, tradicionalmente, n˜ao est˜ao associados aos materiais granulares. Como
exemplos, podemos citar o movimento de fluxo de linhas em supercondutores,
fluxo de tr´afego, aglomera¸c˜ao de gal´axias e an´eis planet´arios.
Gr˜aos s˜ao tipicamente r´ıgidos e podem apresentar diferentes densidades,
formas, tamanhos e rugosidades de superf´ıcie. Al´em disso, misturas reais de
gr˜aos s˜ao caracterizadas por uma distribui¸c˜ao variada de tamanhos, como
mostra a figura 1.1, usada em uma aplica¸c˜ao industrial. Vemos ali uma
larga distribui¸c˜ao de tamanhos, bem como diferentes formas geom´etricas para
diferentes tamanhos dos gr˜aos.
Entre os gr˜aos existem intera¸c˜oes de v´arios tipos. Durante o contato
entre os gr˜aos encontramos for¸cas el´asticas compressivas e de van der Wals
(que tornam-se muito relevantes quando o diˆametro dos gr˜aos ´e menor que
80 µm, e estes encontram-se pr´oximos uns dos outros). Em geral, um certo
grau de umidade ´e encontrado no ar e, portanto, se a superf´ıcie dos gr˜aos
estiver ´umida, um filme de ´agua po de cobrir os mesmos (figura 1.2) e formar
um meio l´ıquido que permeia o espa¸co entre eles. Esta umidade gera for¸cas de
atra¸c˜ao entre os gr˜aos devido `a tens˜ao superficial.
Essas for¸cas de atra¸c˜ao s˜ao globalmente chamadas de for¸cas de coes˜ao
Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 11
Figura 1.1: (a) Exemplo para uma distribui¸c˜ao de tamanhos diferentes de gr˜aos,
com os diˆametros dos mesmos medidos em µm. Abaixo, fotos tiradas com um
microsc´opio em escalas de 500 µm (b) e de 10 µm (c). Figura reproduzida do
artigo [1].
e tamb´em tornam-se relevantes apenas abaixo de um determinado valor para
o tamanho dos gr˜aos (al´em de depender do grau de umidade). Fora as for¸cas
atrativas, h´a tamb´em as for¸cas eletrost´aticas repulsivas, que surgem devido `as
cargas sobre a superf´ıcie dos gr˜aos, originadas do atrito entre eles.
Um dos pioneiros no estudo dos meios granulares foi Osborne Reynolds,
que introduziu entre outros o conceito de dilatˆancia [ 3], um efeito facilmente
observado quando caminhamos sobre a areia ´umida numa praia. Ao exercermos
uma press˜ao na areia com nossos p´es, a regi˜ao ao redor deles torna-se
imediatamente ressecada. Reynolds explicou esse fato mostrando atrav´es de
um experimento bem simples (um recipiente, com uma parede deform´avel,
cheio com areia e um n´ıvel de ´agua suficiente) que, dado que os gr˜aos antes da
deforma¸c˜ao est˜ao compactados acima de uma determinada densidade cr´ıtica
(conhecida como densidade de Reynolds, ρ
R
), eles precisam se separar por uma
certa distˆancia antes de moverem uns em rela¸c˜ao aos outros (considerando que
Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 12
Figura 1.2: Dois gr˜aos cobertos por um filme de ´agua. A tens˜ao superficial
encontrada a´ı gera for¸cas de atra¸c˜ao entre os gr˜aos.
os gr˜aos s˜ao essencialmente r´ıgidos) quando a compress˜ao ´e aplicada. Assim
a ´agua escorre pelo espa¸co criado na areia “seca”. Ao liberarmos a press˜ao, o
processo inverso acontece. A figura 1.3 mostra o experimento de Reynolds.
Figura 1.3: Experimento de Reynolds. O recipiente cont´em gr˜aos e uma certa
quantidade de ´agua. Ao aplicarmos uma press˜ao na parede lateral, os gr˜aos
atingem uma configura¸c˜ao onde a ´agua penetra nos espa¸cos entre eles, fazendo
com que o n´ıvel da ´agua no recipiente diminua.
Um dos parˆametros mais importantes que caracterizam um sistema
granular ´e a sua densidade. Ela controla o comportamento mecˆanico do
sistema. A figura 1.4 mostra o resultado de uma simula¸c˜ao computacional
de um sistema compactado de discos de tamanhos idˆenticos, por´em com
diferentes densidades. No quadro (c) da figura, vemos a aparˆencia ordenada
da estrutura, t´ıpica de uma alta densidade. O quadro (b) mostra a situa¸c˜ao
quando o sistema se encontra justamente com a densidade cr´ıtica de Reynolds,
ρ
R
. Trata-se do maior valor da densidade no qual o efeito da dilatˆancia, descrito
anteriormente, n˜ao ocorre durante a deforma¸c˜ao. Finalmente, no quadro (a), o
sistema encontra-se t˜ao dilu´ıdo que n˜ao mais observamos a dilatˆancia quando
ele ´e submetido a uma compress˜ao. Neste caso, o sistema granular responde a
uma compress˜ao como um s´olido usual o faz.
Sistemas granulares tˆem uma fenomenologia muito rica cujo compor-
tamento freq¨uentemente difere daqueles observados em s´olidos, l´ıquidos e
gases. Um exemplo bem conhecido ´e o do armazenamento de cereais em
silos. Poder´ıamos assumir que, para calcularmos a press˜ao nas paredes do
Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 13
Figura 1.4: Sistema de disco de tamanhos idˆenticos com diferentes densidades:
(a) ρ = 0.5628, (b) ρ = 0.7394 e (c) ρ = 0.8681. Figura reproduzida da
referˆencia [2].
silo, a aproxima¸c˜ao hidrost´atica (press˜ao crescente com a profundidade) fosse
suficiente. Entretanto, na pr´atica, uma distribui¸c˜ao de estresse linear e irregular
forma-se atrav´es dos gr˜aos e, com isso, as press˜oes locais nas paredes podem
atingir valores muito elevados, capazes de quebrar o silo e causar um grande
dano.
Por outro lado, para sistemas granulares em fluxo, as colis˜oes inel´asticas
entre as part´ıculas que comp˜oem o sistema desempenham um papel crucial em
sua evolu¸c˜ao. Se, por exemplo, deixarmos cair dez bolas de gude sobre uma
superf´ıcie de a¸co, cada uma delas ir´a colidir v´arias vezes com a mesma at´e
parar. Por´em, se colocarmos as mesmas dez bolas de gude dentro de um saco,
deixando o mesmo cair sobre a mesma superf´ıcie de a¸co, todas as bolas ir˜ao
parar ap´os um pequeno intervalo de tempo. Isto se deve ao fato de que, al´em
das colis˜oes inel´asticas entre as bolas e a superf´ıcie, h´a tamb´em v´arias colis˜oes
entre as pr´oprias bolas, com a convers˜ao de energia cin´etica em energia t´ermica.
Esse ´e um dos motivos pelos quais os sacos de areia tˆem uma boa capacidade
de absorver impactos.
As intera¸c˜oes entre gr˜aos de areia secos s˜ao predominantemente
repulsivas. As energias t´ıpicas envolvidas na dinˆamica desses sistemas s˜ao da
ordem da energia mecˆanica desses gr˜aos,
mgd +
1
2
mv
2
,
onde m e d s˜ao a massa e o diˆametro t´ıpico dos gr˜aos, g a acelera¸c˜ao
da gravidade e v a velocidade t´ıpica. Essa energia, para gr˜aos de areia de
d ∼ 3 ×10
−4
m com v ∼ 10
0
m/s, ´e da ordem de (ou at´e maior que) 10
13
k
B
T ,
onde k
B
T ´e a energia t´ermica t´ıpicamente associada a 1 grau de liberdade
em equil´ıbrio
1
. As intera¸c˜oes entre os gr˜aos podem depender tamb´em das
1
k
B
= 1, 381 × 10
−23
J/K ´e a constante de Boltzmann. Para sistemas granulares,
escrevemos T com dimens˜ao de energia, equivalente a k
B
= 1.
Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 14
propriedades f´ısicas do g´as intersticial.
´
E comum definir uma temperatura granular (T
g
) em termos da m´edia da
energia cin´etica dos gr˜aos. Uma vez mostrado que T
g
k
B
T , a temperatura
ordin´aria ser´a irrelevante para a dinˆamica macrosc´opica do sistema. Isto
significa que a temperatura ordin´aria n˜ao participa diretamente da dinˆamica
granular. Podemos acrescentar tamb´em que velocidades t´ıpicas dos gr˜aos s˜ao
da ordem de 10
0
m/s, enquanto que as velocidades t´ıpicas dos ´atomos s˜ao da
ordem de 10
3
−10
4
m/s. Como a raz˜ao entre a massa de um gr˜ao e a massa de
um ´atomo ´e da ordem de 10
23
, temos, portanto, que (visto o exemplo acima)
T
g
k
B
T
1.
Se deixarmos um g´as granular inicialmente homogˆeneo evoluir livremente
no tempo, ou seja, sem trocar energia com o meio externo, ele n˜ao alcan¸car´a
um estado estacion´ario (como esperar´ıamos para os gases moleculares)
devido `a inelasticidade das colis˜oes (que provoca um decr´escimo na
temperatura granular). Ao inv´es disso, o sistema alcan¸car´a inicialmente um
estado de resfriamento homogˆeneo, onde sua temperatura m´edia decrescer´a
monotonicamente, obedecendo (inicialmente) a Lei de Haff [4],
T (t) = T
0
1 +
t
τ
−h
,
onde τ ´e um intervalo de tempo transiente t´ıpico, e h ´e um expoente que
assume diferentes valores de acordo com a dep endˆencia entre o coeficiente
de restitui¸c˜ao entre os gr˜aos e a velocidade relativa inicial dos mesmos, r e
v
rel
, respectivamente. Usamos este conceito pois a maneira mais simples de
caracterizarmos a dissipa¸c˜ao que o corre numa colis˜ao inel´astica ´e atrav´es do
coeficiente de restitui¸c˜ao, r. Com isso, determinamos o grau de perda de energia
numa colis˜ao, com 0 ≤ r ≤ 1, sendo 0 o caso totalmente inel´astico e 1 o caso
perfeitamente el´astico.
A F´ısica de Gr˜aos ainda ´e uma ´area eminentemente experimental, e trata
de problemas bastante complexos que envolvem diversos tipos de intera¸c˜oes
entre os componentes do sistema. Por isso, s˜ao ainda poucas as previs˜oes
te´oricas concretizadas que, de fato, anteciparam-se a resultados experimentais.
Um dos primeiros modelos te´oricos a dar contribui¸c˜oes significativas ao
entendimento de sistemas granulares foi proposto por Bagnold [5], ajudando na
compreens˜ao de muitos fenˆomenos associados ao fluxo r´apido de gr˜aos. Este
modelo baseia-se no equil´ıbrio entre o momento retirado do fluxo de ar e o
momento absorvido pelos gr˜aos em vˆoo. Outro, ainda mais antigo, de 1885, foi
o modelo de Janssen que descreve a distribui¸c˜ao m´edia do estresse em rela¸c˜ao
Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 15
`a profundidade de um sistema est´atico de gr˜aos [6]. Neste ´ultimo, os gr˜aos s˜ao
tratados como um meio cont´ınuo.
Uma das principais causas da dificuldade em se tratar teoricamente
os sistemas granulares atrav´es dos m´etodos da Mecˆanica Estat´ıstica ´e a
presen¸ca de grandes flutua¸c˜oes nas quantidades f´ısicas relevantes. Nos sistemas
moleculares usuais, podemos tomar um elemento de volume representativo e
obter boas m´edias das vari´aveis dinˆamicas dentro dele, pois encontra-se a´ı um
grande n´umero de mol´eculas. Isto nos permite passar ao limite do cont´ınuo, ou
seja, dos longos comprimentos de onda, com boa aproxima¸c˜ao. J´a nos sistemas
granulares, n˜ao podemos nunca escolher um volume tal que contenha uma
quantidade suficientemente grande de gr˜aos devido ao tamanho macrosc´opico
dos mesmos em rela¸c˜ao ao recipiente.
Um problema freq¨uentemente abordado pelas linhas de pesquisa atuais
em sistemas granulares ´e o da forma¸c˜ao de aglomerados, que podem ser
encontrados em muitos dos sistemas de interesse pr´atico, tais como condutos
e tubos para gr˜aos.
Um instrumento bastante popular, onde podemos observar a presen¸ca de
aglomerados, ´e a ampulheta. A possibilidade de medirmos (com boa precis˜ao)
a passagem do tempo com este dispositivo, deve-se ao fato de que o fluxo
de gr˜aos tem uma velocidade aproximadamente constante atrav´es do orif´ıcio
central. Este fenˆomeno ocorre gra¸cas `a uma caracter´ıstica dos aglomerados, os
arcos, que fazem com que a press˜ao n˜ao dependa da altura da coluna de areia.
A figura 1.5 mostra um esquema de uma ampulheta, com a forma¸c˜ao de um
aglomerado e a presen¸ca de um arco acima do orif´ıcio central.
Figura 1.5: Aglomerado de gr˜aos em uma ampulheta com a presen¸ca de um
arco dentro dessa estrutura.
A forma¸c˜ao desses aglomerados ocorre gra¸cas a um aumento das colis˜oes
entre os gr˜aos dentro do sistema, seguido por uma redu¸c˜ao da energia
Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 16
cin´etica dos mesmos. Uma abordagem bastante comum desse problema
´e feita atrav´es de aproxima¸c˜oes hidrodinˆamicas, que fornecem resultados
bem distintos para sistemas granulares inel´asticos (cujos gr˜aos apresentam
coeficientes de restitui¸c˜ao independentes da velocidade relativa entre eles)
e el´asticos (com coeficientes constantes). Tais resultados mostram que, ao
contr´ario dos sistemas el´asticos, as instabilidades na densidade dos gr˜aos s˜ao
apenas transientes nos sistemas com coeficientes de restitui¸c˜ao dependentes da
velocidade, nos casos em que consideramos a gravidade nula. Por isso, essa
dependˆencia que o coeficiente de restitui¸c˜ao apresenta em rela¸c˜ao `a velocidade
relativa dos gr˜aos pode ser a causa da dissolu¸c˜ao dos aglomerados em sistemas
inel´asticos.
At´e o presente momento, v´arios modelos baseados em aproxima¸c˜oes,
tanto hidrodinˆamicas como oriundas da teoria cin´etica, foram usados para
descrever a forma¸c˜ao e o comportamento de aglomerados em sistemas
granulares em fluxo. Essa modelagem ´e bastante complexa e uma conseq¨uˆencia
direta dessa dificuldade ´e o surgimento de in´umeras t´ecnicas de simula¸c˜ao
num´erica [7], que s˜ao usadas, por exemplo, para prever e otimizar o
funcionamento de m´aquinas destinadas a operar com gr˜aos, antes mesmo
delas serem constru´ıdas. Experimentos com prot´otipos de engenharia s˜ao
freq¨uentemente caros e, assim, tais simula¸c˜oes s˜ao um bom complemento,
podendo at´e servirem como substitutas virtuais daqueles em alguns casos.
Contudo, o uso de t´ecnicas num´ericas para a an´alise das instabilidades
dos aglomerados granulares possui, em geral, um alto custo computacional
quando nenhuma aproxima¸c˜ao ´e utilizada. Isto se deve ao n´umero colossal de
colis˜oes entre os gr˜aos em um tempo finito. Al´em disso, para uma descri¸c˜ao
mais precisa, ´e preciso alcan¸car tempos extremamente longos na evolu¸c˜ao do
sistema, bem como velocidades extremamente pequenas.
1.1
Objetivo
Na tentativa de descrever, de maneira cont´ınua, o comportamento de um
g´as granular de baixa densidade, composto por gr˜aos inel´asticos, propomos um
modelo te´orico baseado em equa¸c˜oes do tipo campo m´edio. O modelo analisa
o comportamento de um aglomerado de gr˜aos em 1 dimens˜ao e apresenta
solu¸c˜oes assint´oticas para tempos muito longos. Diferentes comportamentos
do coeficiente de restitui¸c˜ao s˜ao considerados para as colis˜oes entre os gr˜aos.
Trata-se de uma proposta de generaliza¸c˜ao do coeficiente de restitui¸c˜ao dos
gr˜aos, a partir de v´arios casos particulares estudados na literatura [8].
Muitos artigos que tratam do comportamento do aglomerado granular
Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 17
podem ser encontrados na literatura. Alguns dos mais not´aveis fazem um bom
resumo do assunto [9, 10, 11] (e nas referˆencias). Entretanto, at´e o presente
momento, poucos s˜ao os trabalhos que tratam do problema do aglomerado
granular em tempos muito longos, dada a dificuldade computacional para se
atingir tal limite. Com isso em mente, o presente trabalho contribui com um
modelo te´orico qualitativo, que apresenta uma forma generalizada para a forma
do coeficiente de restitui¸c˜ao. Com ele podemos encontrar, como resultados
particulares, v´arios casos estudados at´e agora (como o caso el´astico e o visco-
el´astico).
Esta tese est´a organizada da seguinte maneira: no cap´ıtulo 2 estudamos
algumas das teorias usadas para o tratamento dos gases granulares. Analisamos
as equa¸c˜oes da hidrodinˆamica granular para os sistemas de gr˜aos em fluxo
r´apido. Al´em disso, discutimos as bases das t´ecnicas de simula¸c˜ao num´erica que
utilizam equa¸c˜oes de movimento, dependentes do tempo, para as part´ıculas que
comp˜oem os sistemas granulares. Esta abordagem ´e conhecida como Dinˆamica
Molecular.
No cap´ıtulo 3, apresentamos a motiva¸c˜ao principal para esta tese. Suas
premissas b´asicas s˜ao discutidas a fim de situar o problema dentro do que ´e
feito atualmente na ´area da f´ısica de gr˜aos. As id´eias principais s˜ao discutidas
juntamente com as principais equa¸c˜oes do modelo. No sentido de facilitar
a compreens˜ao, foram inclu´ıdos trˆes apˆendices com os desenvolvimentos
matem´aticos mais importantes.
No cap´ıtulo 4, discutimos as conclus˜oes do trabalho. Para finalizar, ainda
no mesmo cap´ıtulo, s˜ao deixadas sugest˜oes para trabalhos futuros que podem
complementar o que foi feito at´e agora.
2
Tratamento para o G´as Granular
O presente cap´ıtulo analisa matematicamente os materiais granulares,
em especial o g´as granular. Algumas das principais abordagens envolvem
conceitos trazidos da Hidrodinˆamica Cl´assica, da Teoria Cin´etica dos Gases,
complementadas por simula¸c˜ao num´erica, do tipo Dinˆamica Molecular ou
Monte Carlo. Supomos ausˆencia de gravidade na maior parte das vezes quando
tratamos do g´as granular.
2.1
M´etodos Cont´ınuos
Podemos considerar a areia fluindo ao longo de uma canaleta, ou mesmo
vibrando sobre uma placa, como um fluido: Podemos fazer uma descri¸c˜ao
do seu movimento de acordo com as equa¸c˜oes de movimento dos fluidos.
O primeiro passo nesse sentido foi dado por Bagnold [5] ao introduzir o
conceito de viscosidade, η , para um fluxo de gr˜aos de areia. Ele encontrou
empiricamente a lei que determina que η ´e proporcional `a velocidade, e n˜ao
uma constante, como no caso de fluidos newtonianos (´agua, ar, ...).
A teoria cin´etica para sistemas granulares foi desenvolvida principalmente
a partir do in´ıcio dos anos 80 [4, 12], e descreve um meio granular em
movimento atrav´es do arcabou¸co da dinˆamica dos fluidos. Uma de suas
principais contribui¸c˜oes foi a adi¸c˜ao de um termo de dissipa¸c˜ao nas equa¸c˜oes
do fluxo de energia.
2.1.1
Compara¸c˜oes Entre Sistemas Granulares e Fluidos
Antes de prosseguirmos com o nosso estudo do g´as granular e
das principais equa¸c˜oes envolvidas nele, ´e importante comentar algumas
compara¸c˜oes importantes entre sistemas granulares e sistemas fluidos simples.
Tamanhos de gr˜aos e mol´eculas
Quando propriedades das part´ıculas constituintes de um sistema devem
ser consideradas, a diferen¸ca mais ´obvia entre gr˜aos e mol´eculas est´a no
Cap´ıtulo 2. Tratamento para o G´as Granular 19
tamanho macrosc´opico dos gr˜aos (e sua massa macrosc´opica). Um gr˜ao de
areia, que ´e o exemplo mais comum de uma part´ıcula granular, ´e da ordem
de 10
18
vezes mais massivo e volumoso que, digamos, uma mol´ecula de ´agua.
Embora esta seja uma diferen¸ca not´avel, isso n˜ao impede que, na descri¸c˜ao
microsc´opica do movimento das part´ıculas constituintes do sistema, ambas
sejam tratadas de maneira similar utilizando-se t´ecnicas de Teoria Cin´etica.
N˜ao-conserva¸c˜ao da energia
Apesar das trajet´orias dos gr˜aos e das mol´eculas poderem ser descritas
pela Mecˆanica Cl´assica, a natureza quˆantica de uma mol´ecula ´e exibida atrav´es
de sua capacidade de sofrer colis˜oes totalmente el´asticas. Por outro lado, os
gr˜aos s˜ao totalmente cl´assicos e todas as colis˜oes envolvem perda de energia
cin´etica, que reaparece como calor nos gr˜aos envolvidos na colis˜ao. Em sistemas
granulares, o fato da energia cin´etica n˜ao se conservar na colis˜ao entre os gr˜aos
leva a um comportamento macrosc´opico totalmente diferente daquele esperado
de um sistema molecular.
Gr˜aos n˜ao s˜ao part´ıculas idˆenticas
N˜ao h´a dois gr˜aos precisamente idˆenticos. Espera-se que a existˆencia
de um espectro de tamanhos e formas de gr˜aos introduza uma s´erie de
complica¸c˜oes no desenvolvimento de uma modelagem te´orica de sistemas
granulares. Entretanto, no modelo a ser apresentado no cap´ıtulo seguinte,
consideramos que os gr˜aos possuem, com boa aproxima¸c˜ao, o mesmo tamanho
e forma esf´erica, e que as pequenas diferen¸cas n˜ao tˆem grandes efeitos sobre o
movimento.
Intera¸c˜oes entre gr˜aos n˜ao s˜ao centrais
Como os gr˜aos reais n˜ao s˜ao exatamente esf´ericos (e alguns est˜ao bem
longe disso) e tamb´em apresentam superf´ıcies rugosas, for¸cas (tangenciais) de
atrito podem existir e, portanto, a for¸ca de intera¸c˜ao entre dois gr˜aos n˜ao ´e
central. Isto significa que na maioria das colis˜oes entre gr˜aos haver´a movimento
de rota¸c˜ao devido ao torque das for¸cas. Embora mol´eculas n˜ao sejam
necessariamente esf´ericas, muitas podem ser consideradas aproximadamente
como tal, al´em de n˜ao haver uma quantidade an´aloga `a for¸ca de atrito.
Contudo, mol´eculas tamb´em podem ter graus de rota¸c˜ao excitados durante
colis˜oes moleculares.
Cap´ıtulo 2. Tratamento para o G´as Granular 20
Validade da hip´otese do cont´ınuo
Devido ao tamanho das part´ıculas granulares, sua densidade
(part´ıculas/volume) ´e muito menor do que a densidade de part´ıculas de
um fluido molecular correspondente. Isto levanta algumas d´uvidas sobre a
validade da hip´otese do cont´ınuo. Um mil´ımetro c´ubico de ´agua cont´em,
aproximadamente, 10
19
mol´eculas, mas o mesmo volume de areia p ode conter
10 gr˜aos, ou menos. Num sistema hidrodinˆamico, quantidades macrosc´opicas,
como a velocidade do fluido, por exemplo, podem mudar significativamente
ao longo de 1 mm. Contudo, o n ´umero de mol´eculas envolvidas ´e t˜ao grande
que podemos dividir 1 mm
3
em volumes menores, e ainda assim teremos
um grande n´umero delas em cada um desses volumes, de forma que a
mudan¸ca nas quantidades macrosc´opicas entre sub-volumes sucessivos seja
muito pequena. Por outro lado, num sistema granular, n˜ao podemos seguir
o mesmo procedimento com a mesma precis˜ao.
Se o ´unico comprimento de escala num experimento envolvendo fluxo
granular fosse o tamanho dos gr˜aos, a hip´otese do cont´ınuo seria bem adequada
tanto aos sistemas hidrodinˆamicos como aos materiais granulares, pois n˜ao
haveria como distinguir entre os dois sistemas. Entretanto, h´a pelo menos
dois outros comprimentos (independentes) que sempre entram em qualquer
experimento com fluxo de gr˜aos. Um deles ´e o tamanho do recipiente que
cont´em o material. A raz˜ao entre essa dimens˜ao linear e o diˆametro molecular
pode ser da ordem de 10
8
, enquanto a raz˜ao correspondente poderia ser de
apenas 10
3
para um sistema de gr˜aos de areia (e sistemas de gr˜aos de areia
s˜ao muito pequenos quando comparados com alguns sistemas granulares de
interesse pr´atico).
O outro comprimento surge da existˆencia de inelasticidade nas colis˜oes
entre dois gr˜aos. Neste caso, para uma melhor compreens˜ao, consideremos
a resposta do sistema a uma inje¸c˜ao localizada (um pulso, por exemplo) de
energia. Ap´os um certo n´umero n de colis˜oes, a energia cin´etica no pulso ser´a
diminu´ıda por um fator de e
−1
. Para vermos isso, suponhamos que, a cada
colis˜ao, a energia sofra um decr´escimo de e
−d/
. Quando as n colis˜oes tiverem
ocorrido, teremos uma diminui¸c˜ao de
e
− n d/
= e
−1
na energia, onde
n d = .
O raio correspondente do pulso, nesse instante, fornece o comprimento em
Cap´ıtulo 2. Tratamento para o G´as Granular 21
quest˜ao, . Se a inelasticidade envolvida for grande, n n˜ao ser´a grande e,
assim, ser´a igual a uns poucos m´ultiplos do diˆametro granular. Dessa forma,
ao menos enquanto o transporte de energia estiver sendo considerado, n˜ao ´e
dif´ıcil conceber situa¸c˜oes onde mudan¸cas em quantidades macrosc´opicas podem
ocorrer ao longo de distˆancias da ordem de poucos diˆametros dos gr˜aos.
Intera¸c˜oes entre gr˜aos n˜ao possuem atra¸c˜ao de longo alcance
Geralmente as intera¸c˜oes intermoleculares em um fluido possuem um
“n´ucleo repulsivo” devido ao princ´ıpio da exclus˜ao de Pauli, b em como uma
atra¸c˜ao de curto alcance (relativamente fraca) que ´e respons´avel por fenˆomenos
como a tens˜ao superficial, e que desempenha um importante papel na avalia¸c˜ao
de propriedades do fluido, como a viscosidade. Para sistemas granulares, os
gr˜aos podem ser considerados como esferas r´ıgidas durante a intera¸c˜ao, e
tamb´em assumimos que n˜ao h´a parte atrativa. Quando a presen¸ca de cargas
el´etricas torna-se importante no caso estudado, ou quando filmes na superf´ıcie
dos gr˜aos introduzem uma certa quantidade de coes˜ao, as aproxima¸c˜oes
assumidas aqui devem ser revistas.
A Hip´otese de colis˜oes bin´arias
Uma simplifica¸c˜ao muito utilizada em gases moleculares, embora de
validade duvidosa para sistemas densos, ´e que apenas colis˜oes bin´arias s˜ao
importantes na evolu¸c˜ao dinˆamica do fluido. Essa hip´otese certamente n˜ao ´e
v´alida para densidades em que as caudas dos potenciais de mol´eculas vizinhas
no fluido come¸cam a se sobrepor. Contudo, em um fluido de esferas r´ıgidas,
devido `a ausˆencia de potenciais com cauda, a hip´otese de colis˜oes bin´arias
permanece v´alida em densidades maiores. No caso granular, o alcance ϕ da
intera¸c˜ao superficial n˜ao ´e nulo, mas ´e determinado por caracter´ısticas tais
como a rugosidade da sup erf´ıcie do gr˜ao. A raz˜ao entre ϕ e o diˆametro δ de
um gr˜ao ´e
ϕ
δ
1.
J´a para o caso molecular,
ϕ
δ
≈ 1.
Portanto, essa hip´otese ´e muito mais adequada a sistemas granulares, como o
descrito aqui, do que a fluidos moleculares.
Cap´ıtulo 2. Tratamento para o G´as Granular 22
2.1.2
O Estado F´ısico do Meio Granular Denso
At´e aqui foram comentadas v´arias aproxima¸c˜oes importantes para os
modelos que tratam do estado f´ısico das part´ıculas que comp˜oem a maioria
dos sistemas granulares estudados na literatura, tais como gr˜aos sendo esf´ericos
e r´ıgidos, sem coes˜ao, etc. Al´em destas aproxima¸c˜oes, consideraremos que as
equa¸c˜oes apresentadas a seguir assumem uma densidade ρ grande o bastante
para que o espa¸camento m´edio entre os gr˜aos vizinhos, s, seja sempre menor
que o diˆametro δ dos gr˜aos. Ou seja, assumiremos que
s δ. (2.1)
Seja, por simplicidade, um sistema de esferas suaves idˆenticas, de massa
m e diˆametro δ, no qual apenas intera¸c˜oes bin´arias e colis˜oes centrais (sem
rota¸c˜oes) acontecem. Seja s a distˆancia t´ıpica de separa¸c˜ao entre os gr˜aos,
como mostra a fig.(2.1).
✫✪
✬✩
✛ ✲
δ
✫✪
✬✩
✛ ✲
δ
✛✲
s
Figura 2.1: Duas esferas de diˆametro δ separadas por uma distˆancia s.
Dadas as hip´oteses acima, h´a uma simplifica¸c˜ao consider´avel nas equa¸c˜oes
do movimento, que resulta do fato que a densidade ρ ´e aproximadamente
constante. A dependˆencia de ρ em rela¸c˜ao a s ´e dada por
ρ ≈
m
(s + δ)
3
, (2.2)
tal que
ρ ≈
m
δ
3
(2.3)
sob a condi¸c˜ao (2.1). O efeito pr´atico que temos aqui ´e que derivadas
da densidade podem ser igualadas a zero, com a conseq¨uente redu¸c˜ao na
complexidade dos c´alculos.
Por outro lado, um processo de transporte envolver´a uma taxa de colis˜ao
proporcional a s
−1
. Uma vez que s
−1
pode abranger todo o intervalo [δ
−1
, ∞[ e
ainda satisfazer `a condi¸c˜ao (2.1), fica claro que as propriedades de transporte
s˜ao bastante sens´ıveis ao valor de s e, conseq¨uentemente, `a densidade.
Cap´ıtulo 2. Tratamento para o G´as Granular 23
Outra observa¸c˜ao a ser feita ´e que, embora estejamos considerando ρ
grande o bastante, tal que s δ, n˜ao haver´a a possibilidade de termos
s = 0. Em qualquer colis˜ao, especificamente, a separa¸c˜ao entre os dois gr˜aos
envolvidos tende a zero. Por´em, s, definido no ponto da colis˜ao, permanece n˜ao-
nulo, uma vez que representa a separa¸c˜ao m´edia dos gr˜aos naquela vizinhan¸ca.
Para s = 0, os gr˜aos n˜ao perderiam o contato por longos per´ıodos de tempo,
e ficariam grudados, deslizando uns sobre os outros. No caso oposto, s = 0,
os gr˜aos colidiriam continuamente uns contra os outros, como mol´eculas num
fluido.
Uma ´ultima quest˜ao importante deve ser levantada a respeito do papel do
fluido intersticial. Todos os resultados obtidos aqui assumem que as trajet´orias
dos gr˜aos entre as colis˜oes n˜ao s˜ao afetadas pela presen¸ca de ar, ´agua ou outro
fluido. Ou seja, os c´alculos se aplicam a um fluxo de gr˜aos no v´acuo.
Com tais premissas, podemos analisar agora as equa¸c˜oes que descrevem
o fluxo granular.
Equa¸c˜oes hidrodinˆamicas
Sejam as equa¸c˜oes de movimento dadas pelas equa¸c˜oes de conserva¸c˜ao
da mecˆanica cl´assica:
Conserva¸c˜ao da massa
Se u = (u
1
, u
2
, u
3
) ´e a velocidade macrosc´opica local m´edia do fluxo de
gr˜aos no sistema, a conserva¸c˜ao da massa leva a
∂ρ
∂t
+
∂
∂x
i
(ρ u
i
) = 0, (2.4)
onde x = (x
1
, x
2
, x
3
) ´e o vetor posi¸c˜ao. Uma vez que assumimos ρ
aproximadamente constante, podemos obter ent˜ao
∇ ·u = 0. (2.5)
Conserva¸c˜ao do momento
Queremos derivar uma equa¸c˜ao para descrever a conserva¸c˜ao do
momento para um sistema granular. Em hidrodinˆamica, a equa¸c˜ao de
evolu¸c˜ao do momento (Navier-Stokes) incorpora um termo da for¸ca
devida `a viscosidade que ´e proporcional ao termo ∂u
i
/∂x
k
. O coeficiente
de proporcionalidade η (viscosidade) ´e formado dimensionalmente por
uma densidade, um comprimento e uma velocidade. Esta ´ultima ´e a
velocidade quadr´atica m´edia que, com boa aproxima¸c˜ao, ´e considerada
constante. Assim, em muitos casos, η pode ser considerado um parˆametro
constante. Em um fluxo granular, um termo de viscosidade pode ser
Cap´ıtulo 2. Tratamento para o G´as Granular 24
constru´ıdo dimensionalmente, mas uma vez que as velocidades existentes
s˜ao aproximadamente da mesma ordem da velocidade do fluxo, o termo
de for¸ca ´e n˜ao-linear em u [13].
Entretanto, como supostamente as velocidades num fluxo granular
variam muito lentamente de um ponto a outro, e como a viscosidade
surge do movimento relativo de diferentes partes do sistema, podemos,
com boa aproxima¸c˜ao, considerar, em um sistema granular, que o termo
da for¸ca possui uma forma semelhante `aquela encontrada em um sistema
hidrodinˆamico. Portanto, a equa¸c˜ao para a evolu¸c˜ao do momento ´e dada
por:
∂
∂t
(ρ u
i
) = −
∂
∂x
k
p δ
ik
+ ρ u
i
u
k
− η
∂u
i
∂x
k
+
∂u
k
∂x
i
, (2.6)
onde p = p(x, t) ´e a press˜ao. Os estresses n˜ao-diagonais s˜ao da forma
η
∂u
i
∂x
k
.
A quantidade η pode ser chamada de coeficiente de viscosidade, embora
desempenhe um papel mais ativo em um sistema granular do que em
um sistema hidrodinˆamico. As propriedades de transporte do meio
dependem da velocidade relativa de gr˜aos vizinhos. Esta velocidade
relativa pode ser escrita em termos de u, mas n˜ao pode incorporar
sua propriedade direcional. Dessa forma, devemos assumir que η (e
outros coeficientes similares) depende da energia do fluxo. Segue que
uma descri¸c˜ao consistente de um fluxo de gr˜aos deve, necessariamente,
envolver uma equa¸c˜ao para a energia, al´em das equa¸c˜oes (2.4) e (2.6).
A equa¸c˜ao da energia
A equa¸c˜ao da conserva¸c˜ao da energia ´e considerada aqui com a mesma
forma da equa¸c˜ao hidrodinˆamica an´aloga:
∂
∂t
1
2
ρu
2
+
1
2
ρv
2
= −
∂
∂x
k
ρu
k
p
ρ
+
1
2
ρu
2
+
1
2
ρv
2
− u
i
η
∂u
i
∂x
k
+
∂u
k
∂x
i
− κ
∂
∂x
k
1
2
ρv
2
+ ρu
i
g
i
− I. (2.7)
Cap´ıtulo 2. Tratamento para o G´as Granular 25
A grandeza v ´e equivalente, num sistema granular, `a velocidade t´ermica.
Da mesma forma, κ corresponde `a difusividade t´ermica. (Contudo, assim
como η, a forma e o valor de κ ser˜ao determinados pelo estado do fluxo,
como veremos posteriormente.) Uma vez que dividimos a energia em
duas partes, a energia cin´etica do fluxo,
1
2
ρu
2
, e a energia interna,
1
2
ρv
2
,
podemos considerar que
1
2
ρv
2
comporta-se como a temperatura granular
do sistema
T
g
=
1
2
ρv
2
Este paralelo ´e uma forma conveniente de descrever o sistema, embora
seja importante ressaltar que n˜ao ´e poss´ıvel fazer uma analogia
completa com a Termodinˆamica. Por exemplo, um sistema granular est´a
geralmente longe do equil´ıbrio, e n˜ao sabemos se a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao
de velocidade, num ponto onde a energia interna (translacional) por
part´ıcula ´e
1
2
ρv
2
, ´e de fato caracterizada por uma distribui¸c˜ao de
Maxwell-Boltzmann, com k
B
T correspondendo a
1
2
ρv
2
. Em muitos casos
isto n˜ao acontece, e distribui¸c˜oes que diferem da forma de Maxwell-
Boltzmann aparecem.
A quantidade I representa a taxa na qual a energia do sistema ´e perdida
devido ao fato das colis˜oes entre os gr˜aos serem de natureza inel´astica.
Como η e κ, I depende da taxa de colis˜oes, e assim de v e s. Veremos na
se¸c˜ao a seguir modelos simples para estas trˆes quantidades.
Coeficientes de transporte
Podemos usar alguns argumentos cl´assicos da Teoria Cin´etica dos Gases
para a obten¸c˜ao de express˜oes para η, κ e I, bem como uma equa¸c˜ao de estado
relacionando p, T
g
e ρ.
Viscosidade
Consideremos duas camadas de esferas deslizando uma sobre a outra,
como mostra a figura (2.2). O gradiente da velocidade do fluxo, u,
encontra-se na dire¸c˜ao y, perpendicular a essas duas camadas de gr˜aos,
de forma que, na m´edia, a camada superior move-se com uma velocidade
relativa de ∆u em rela¸c˜ao `a camada inferior.
Quando ocorrem colis˜oes entre gr˜aos das duas camadas, h´a transferˆencia
de momento de magnitude m ∆u na dire¸c˜ao do fluxo. O estresse de
cisalhamento, Σ, exercido pela camada de cima sobre a camada inferior
Cap´ıtulo 2. Tratamento para o G´as Granular 26
(ou seja, a for¸ca tangencial exercida por uma camada sobre a outra), na
dire¸c˜ao do fluxo, ´e dado por
Σ ∼
m ∆u
δ
2
v
s
, (2.8)
onde
v
s
=
1
τ
representa a taxa de colis˜oes (sendo τ o tempo m´edio entre duas colis˜oes).
O incremento ∆u ´e a mudan¸ca em u ao longo de uma distˆancia da ordem
de δ, tal que
∆
u
δ
∼
du
dy
.
O estresse pode ser posto na forma
Σ = b
1
δ
2
ρ
v
s
du
dy
, (2.9)
onde b
1
´e uma constante adimensional. Comparando este exemplo
bidimensional com a eq.(2.6), temos ent˜ao
η = b
1
δ
2
ρ
v
s
(2.10)
como a express˜ao para o coeficiente de viscosidade.
✫✪
✬✩
✫✪
✬✩
✫✪
✬✩
✫✪
✬✩
✫✪
✬✩
✫✪
✬✩
✫✪
✬✩
✫✪
✬✩
✲
u
✻
❄
δ
✲
u + 2 ∆u✻
y
Figura 2.2: Representa¸c˜ao esquem´atica do cisalhamento entre duas camadas.
Difusividade t´ermica
Cap´ıtulo 2. Tratamento para o G´as Granular 27
O termo de difusividade t´ermica, κ, que aparece na eq.(2.7), pode ser
encontrado de uma forma similar `a usada para a viscosidade η. O fluxo de
energia devido `as colis˜oes entre gr˜aos ´e, em m´edia, a energia transferida
por colis˜ao, multiplicada pela taxa de colis˜ao e dividida pela ´area. A
energia m´edia transferida ´e dada por mv∆v, onde ∆v ´e a diferen¸ca na
velocidade t´ermica m´edia entre gr˜aos vizinhos e, portanto,
Q ∼
m v ∆v
δ
2
v
s
= −b
2
δ
2
v
s
∂
∂y
1
2
ρ v
2
(2.11)
= −b
2
δ
2
v
s
∂T
g
∂y
,
onde b
2
´e uma constante adimensional, e
δ
2
∂
∂y
1
2
ρ v
2
=
1
2
m
δ
∂
∂y
v
2
=
mv
δ
∂v
∂y
=
mv∆v
δ
2
.
O termo que envolve κ na eq.(2.7) ´e o divergente do fluxo interno de
energia. Com isso, identificamos
κ = b
2
δ
2
v
s
. (2.12)
Taxa de dissipa¸c˜ao
Na eq.(2.7), a taxa I representa a energia perdida para o sistema,
de forma irrevers´ıvel, devido ao fato das colis˜oes entre os gr˜aos serem
inel´asticas. Seja r o coeficiente de restitui¸c˜ao que descreve a colis˜ao entre
dois gr˜aos. A velocidade relativa entre eles ´e dada por V
2
− V
1
ap´os a
colis˜ao, e por V
2
− V
1
antes da mesma. Al´em disso, p odemos considerar
que
(V
2
− V
1
) = −r (V
2
− V
1
) ∼ v,
ou seja, que ambas as velocidades relativas s˜ao da ordem da velocidade
t´ermica v. Com isso, podemos escrever que a energia perdida por colis˜ao
tem a seguinte forma:
Cap´ıtulo 2. Tratamento para o G´as Granular 28
∆E =
1
2
m
(V
2
− V
1
)
2
− (V
2
− V
1
)
2
∼ −
1 − r
2
1
2
m v
2
(2.13)
Multiplicando-se a eq.(2.13) pela taxa de colis˜ao, v/s, e pela densidade
num´erica, n, temos a taxa na qual a energia ´e perdida atrav´es das colis˜oes,
por unidade de volume e por segundo:
I = b
3
1 − r
2
ρ
v
3
s
∼ T
3/2
g
, (2.14)
onde b
3
´e um fator adimensional.
Equa¸c˜ao de estado
´
E necess´ario, agora, relacionar a press˜ao p, os co eficientes de transporte
η e κ, e o termo de dissipa¸c˜ao I `as vari´aveis que aparecem nas equa¸c˜oes
de conserva¸c˜ao j´a estudadas. Uma t´ıpica transferˆencia de momento em
uma colis˜ao entre gr˜aos ´e da ordem de mv. O tempo m´edio entre duas
colis˜oes ´e dado por τ ∼ s/v. Portanto, a press˜ao (momento transferido
por unidade de ´area e unidade de tempo) pode ser escrita como
p ∼
mv
τ
1
δ
2
∼
ρ δ
v
2
s
.
(2.15)
A partir da eq.(2.2), temos que:
m
ρ
= (s + δ)
3
≈ δ
3
+ 3 δ
2
s ⇒ s ≈
m
3 ρ δ
2
−
δ
3
.
Assim:
p ∼ ρ δ
v
2
m
3ρδ
2
−
δ
3
∼ ρ δ
3 v
2
m
ρδ
2
− δ
p =
b
0
6
ρ δ
3 v
2
m
ρδ
2
− δ
(2.16)
onde b
0
´e outra constante adimensional de proporcionalidade.
Cap´ıtulo 2. Tratamento para o G´as Granular 29
Podemos, ainda, reescrever a eq.(2.16) da seguinte maneira:
m
ρ δ
2
− δ
p =
b
0
2
ρ δ v
2
= b
0
δ T
g
, (2.17)
onde
T
g
=
1
2
ρ v
2
´e a temperatura granular.
Seja
N =
ρ
m
V
o n´umero de part´ıculas e V o volume, de forma que multiplicando a
eq.(2.17) por N obtemos
m
ρ δ
2
− δ
p
ρ
m
V = b
0
δ T
g
ρ
m
V
m
ρ
− δ
3
p
ρ
m
V = b
0
δ
3
T
g
ρ
m
V
(V − N δ
3
) p = (b
0
δ
3
) N T
g
. (2.18)
A eq.(2.18) ´e similar `a equa¸c˜ao de estado de van der Waals, sem os termos
que surgem da sobreposi¸c˜ao das caudas dos potenciais moleculares de
atra¸c˜ao. A quantidade N δ
3
corresponde ao termo de volume exclu´ıdo.
As trˆes equa¸c˜oes diferenciais (2.4), (2.6) e (2.7), juntamente com as
equa¸c˜oes (2.10), (2.12), (2.14) e (2.16), para η, κ, I e p, constituem um conjunto
fechado de equa¸c˜oes que, com as devidas condi¸c˜oes de contorno e condi¸c˜oes
iniciais, d˜ao uma solu¸c˜ao para os campos de velocidade, densidade, press˜ao e
(atrav´es da eq.(2.18)) a temperatura de um fluido granular.
At´e agora, vimos como as abordagens baseadas na Teoria Cin´etica e na
Hidrodinˆamica Cl´assica podem ser usadas no tratamento do g´as granular. A
seguir apresentaremos dois dos m´etodos num´ericos mais usados para simular
e descrever o comportamento de sistemas granulares.
Cap´ıtulo 2. Tratamento para o G´as Granular 30
2.2
Dinˆamica Molecular
A Dinˆamica Molecular desempenha o papel mais importante dentro dos
m´etodos usados para descrever e simular sistemas granulares. Trata-se de
uma solu¸c˜ao num´erica, dependente do tempo, das equa¸c˜oes de movimento de
Newton para todas as part´ıculas que comp˜oem o sistema granular.
2.2.1
Equa¸c˜oes de Movimento
As part´ıculas que comp˜oem os materiais granulares interagem atrav´es
de for¸cas de curto alcance, isto ´e, via contato mecˆanico. For¸cas de longo
alcance, como as eletromagn´eticas, n˜ao s˜ao consideradas aqui. A dinˆamica
de um material granular ´e governada pelas equa¸c˜oes de movimento de Newton
para as coordenadas do centro de massa e os ˆangulos de Euler (se existir atrito
de superf´ıcie) entre suas part´ıculas i (i = 1 , 2, ..., N):
∂
2
r
i
∂t
2
=
1
m
i
F
i
(r
j
, v
j
, ϕ
j
, ω
j
) (2.19)
∂
2
ϕ
i
∂t
2
=
1
ˆ
J
i
M
i
(r
j
, v
j
, ϕ
j
, ω
j
), (j = 1, 2, ..., N). (2.20)
A for¸ca
F
i
e o torque
M
i
, que atuam sobre a part´ıcula i de massa m
i
, bem como
o tensor de momento de in´ercia,
ˆ
J
i
, s˜ao fun¸c˜oes das posi¸c˜oes das part´ıculas, r
j
,
de suas orienta¸c˜oes angulares, ϕ
j
, e das correspondentes velocidades, v
j
e ω
j
.
Quando s˜ao considerados apenas sistemas unidimensionais (no sentido de que
discos ou esferas se movimentam linearmente), ou bidimensionais, a orienta¸c˜ao
angular de uma part´ıcula fica descrita apenas por um escalar, ϕ
i
, e o tensor de
momento de in´ercia fica reduzido a um escalar, J
i
. As equa¸c˜oes acima podem,
ent˜ao, ser reescritas como
∂
2
r
i
∂t
2
=
1
m
i
F
i
(r
j
, v
j
, ϕ
j
, ω
j
) (2.21)
∂
2
ϕ
i
∂t
2
=
1
J
i
M
i
(r
j
, v
j
, ϕ
j
, ω
j
), (j = 1, 2, ..., N). (2.22)
Computar as for¸cas e os torques instantˆaneos ´e a parte central de cada
simula¸c˜ao em Dinˆamica Molecular.
Em geral, sistemas de equa¸c˜oes diferenciais n˜ao-lineares acopladas, como
os que obedecem `as equa¸c˜oes acima, n˜ao podem ser resolvidos analiticamente.
A solu¸c˜ao num´erica dessas equa¸c˜oes, isto ´e, a descri¸c˜ao das trajet´orias de todas
as part´ıculas do sistema, ´e a chamada Dinˆamica Molecular. Primeiramente essa
Cap´ıtulo 2. Tratamento para o G´as Granular 31
t´ecnica foi desenvolvida para a simula¸c˜ao num´erica de gases moleculares [ 14].
Hoje em dia, j´a existe a possibilidade de simular o comportamento de sistemas
com bilh˜oes de part´ıculas em um per´ıodo de tempo bem curto [15]. A simula¸c˜ao
de sistemas granulares possui um alto custo computacional devido `a intera¸c˜ao
peculiar entre os gr˜aos: as part´ıculas exercem enormes for¸cas sobre as outras,
mas apenas quando est˜ao em contato mecˆanico. Contudo, uma vez que as
part´ıculas granulares s˜ao r´ıgidas, as for¸cas repulsivas de intera¸c˜ao crescem
bastante com a compress˜ao toda vez que h´a contato entre os gr˜aos. Para
obtermos resultados confi´aveis, devemos usar passos de integra¸c˜ao no tempo
muito pequenos para descrever as trajet´orias das part´ıculas do sistema.
Para gr˜aos na ausˆencia de campos de longo alcance, a for¸ca
F
i
e o torque
M
i
, que agem sobre uma part´ıcula i, s˜ao dados pelo somat´orio dos pares de
intera¸c˜ao entre duas part´ıculas i e j (com i = j):
F
i
=
N
j=1
F
ij
, (2.23)
M
i
=
N
j=1
M
ij
. (2.24)
A limita¸c˜ao dessa abordagem est´a no fato de que os gr˜aos precisam ser,
com boa aproxima¸c˜ao, totalmente r´ıgidos. Caso isso n˜ao ocorra, os detalhes das
formas de intera¸c˜ao entre as part´ıculas devem ser contabilizados. Al´em disso,
temos que lidar com outros trˆes problemas quando utilizamos simula¸c˜oes em
Dinˆamica Molecular:
1. Somat´orio das for¸cas e dos torques, de acordo com ( 2.23) e (2.24),
2. Integra¸c˜ao das equa¸c˜oes de movimento, de acordo com (2.19) e (2.20),
3. Extra¸c˜ao de dados das trajet´orias computadas.
Da mesma forma como um problema de Mecˆanica de Fluidos precisa de
condi¸c˜oes iniciais e de contorno, a descri¸c˜ao de um sistema de part´ıculas s´o fica
completa se o comportamento das part´ıculas na fronteira da regi˜ao simulada ´e
descrito, e se os valores iniciais das coordenadas e das velocidades das part´ıculas
forem dados.
Cap´ıtulo 2. Tratamento para o G´as Granular 32
2.2.2
Condi¸c˜oes de Contorno
Em muitos casos, as propriedades de um sistema granular s˜ao
substancialmente afetadas pela intera¸c˜ao do material granular com as
fronteiras do sistema - por exemplo, pelas propriedades do recipiente ou
da superf´ıcie que cont´em o material. Muito cuidado deve ser tomado ao se
descrever essa intera¸c˜ao, pois os resultados podem ser bastante afetados por
elas [16].
Outro ponto de fundamental importˆancia ´e a modelagem realista da
rugosidade das paredes que encerram os gr˜aos. Infelizmente, a intera¸c˜ao
mecˆanica de corpos aproximadamente r´ıgidos (ou seja, que podem se deformar
levemente) com paredes ´asperas ainda ´e pouco entendida. Um m´etodo muito
eficiente para contornar esse problema consiste em considerar que tal intera¸c˜ao
obedece `as mesmas regras das intera¸c˜oes entre as part´ıculas do sistema. Com
isso, as paredes podem ser facilmente incorporadas `a simula¸c˜ao, uma vez que
nenhuma for¸ca extra precisa ser definida. Outras alternativas para se modelar
a rugosidade das paredes podem ser encontradas, por exemplo, em modelos
que usam a dinˆamica molecular para simular o comportamento de materiais
granulares submetidos a vibra¸c˜oes em duas dimens˜oes [17, 18].
2.2.3
Condi¸c˜oes Iniciais
As condi¸c˜oes iniciais definem os valores das co ordenadas r
i
(t = 0), das
velocidades v
i
(t = 0), dos ˆangulos de Euler ϕ
i
(t = 0) e das velocidades
angulares ω
i
(t = 0), para i = 1, ··· , N . Para o caso das part´ıculas esf´ericas, as
for¸cas de intera¸c˜ao s˜ao independentes da orienta¸c˜ao espacial e, portanto, n˜ao
´e preciso definir condi¸c˜oes iniciais para ϕ
i
.
Condi¸c˜oes iniciais s˜ao usadas apenas uma ´unica vez na simula¸c˜ao, por isso
n˜ao h´a a necessidade de se implementar algoritmos extremamente sofisticados
para sua gera¸c˜ao. Al´em disto, em muitos problemas estudados na pr´atica,
o comportamento de longo prazo do sistema ´e independente das condi¸c˜oes
iniciais. Se estivermos interessados nas caracter´ısticas estacion´arias de um
sistema, as condi¸c˜oes iniciais podem ser geradas aleatoriamente, apenas com o
cuidado de n˜ao permitirmos que uma part´ıcula se sobreponha a outra qualquer.
Um esquema simples de gera¸c˜ao de posi¸c˜oes aleat´orias ´e adequado a esses
casos. Ap´os o posicionamento correto de todas as part´ıculas, os passos da
simula¸c˜ao podem ser executados. Isto significa integrar as vari´aveis pertinentes
at´e que o estado estacion´ario seja atingido. Correla¸c˜oes esp´urias, tais como ter
Cap´ıtulo 2. Tratamento para o G´as Granular 33
inicialmente todas as part´ıculas com a mesma velocidade, tamb´em devem ser
evitadas.
2.2.4
Modelagem de Part´ıculas Esf´ericas
O modelo mais simples para uma part´ıcula granular ´e o de uma esfera.
A maioria dos trabalhos encontrados na literatura faz uso do modelo esf´erico.
Em duas dimens˜oes as esferas s˜ao reduzidas a cilindros circulares.
Contato entre as esferas
Simula¸c˜oes que usam part´ıculas esf´ericas s˜ao numericamente muito
eficientes uma vez que as colis˜oes podem ser identificadas de uma maneira
muito simples: duas part´ıculas estar˜ao em contato mecˆanico se
ξ
ij
≡ R
i
+ R
j
− |r
i
−r
j
| > 0, (2.25)
ou seja, se a soma dos raios ( R
i
+ R
j
) exceder a distˆancia entre os centros
|r
i
−r
j
|. A quantidade ξ
ij
´e chamada de compress˜ao m´utua entre duas part´ıculas
i e j. Para qualquer outra forma assumida pelos gr˜aos, a detec¸c˜ao dos contatos
´e mais complicada do que no caso de gr˜aos esf´ericos, pois depender´a da
orienta¸c˜ao de cada gr˜ao.
A for¸ca entre part´ıculas em contato ´e descrita por
F
ij
=
F
n
ij
+
F
t
ij
se ξ
ij
≥ 0
0 caso contr´ario.
(2.26)
A for¸ca normal
F
n
ij
causa mudan¸cas no movimento de transla¸c˜ao, enquanto a
for¸ca tangencial
F
t
ij
causa mudan¸cas nos movimentos de rota¸c˜ao e transla¸c˜ao
das part´ıculas. Ambas as componentes da for¸ca s˜ao fun¸c˜oes da posi¸c˜ao relativa,
r
i
−r
j
, e da velocidade relativa, v
i
−v
j
, das part´ıculas.
Componente normal da for¸ca
Quando duas part´ıculas granulares colidem, parte da energia cin´etica de
seu movimento relativo ´e dissipada, ou seja, ´e transformada em calor. Se as
deforma¸c˜oes das part´ıculas forem consideradas pequenas, sua forma esf´erica
´e conservada (em m´edia) ap´os v´arias colis˜oes. Al´em disso, a mudan¸ca na
temperatura das part´ıculas pode ser desprezada. Isto ´e justificado se o calor
gerado for descarregado do material, ou se o calor gerado pelas deforma¸c˜oes
for muito menor que a energia t´ermica total do sistema.
Cap´ıtulo 2. Tratamento para o G´as Granular 34
For¸ca linear
A for¸ca normal F
n1
consiste de uma parte dissipativa e outra
conservativa. No ansatz linear mais simples,
F
n
= Kξ + γ
dξ
dt
, (2.27)
onde K e γ s˜ao as constantes el´astica e dissipativa, respectivamente. Para
colis˜oes entre duas part´ıculas, a for¸ca representada pela eq.(2.27) causa uma
redu¸c˜ao de r na velocidade das part´ıculas. Este fator ´e chamado de coeficiente
de restitui¸c˜ao e ´e definido como
r ≡
g
g
,
onde g ´e o m´odulo da velocidade relativa absoluta normal antes da colis˜ao e g
´e
o valor correspondente ap´os a colis˜ao. Integrando-se as equa¸c˜oes de movimento
de Newton, encontramos o coeficiente de restitui¸c˜ao correspondente `a eq.(2.27):
r = exp
−
πγ
2 m
eff
K
m
eff
−
γ
2 m
eff
2
, (2.28)
onde
m
eff
≡
m
i
m
j
(m
i
+ m
j
)
´e a massa efetiva das part´ıculas envolvidas na colis˜ao. O coeficiente de
restitui¸c˜ao ´e uma caracter´ıstica importante do material em quest˜ao. Como
pode ser visto na eq.(2.28), a forma linear da parte el´astica da for¸ca imp˜oe ao
coeficiente de restitui¸c˜ao a independˆencia da velocidade. Muitos resultados
anal´ıticos em teoria cin´etica de gases granulares foram obtidos atrav´es da
eq.(2.27), isto ´e, com r constante em rela¸c˜ao `a velocidade relativa dos gr˜aos.
Entretanto, como vimos no cap´ıtulo anterior, em praticamente todos os casos
h´a uma forte dependˆencia do coeficiente r em rela¸c˜ao `a velocidade [19].
Caso viscoel´astico
A for¸ca de intera¸c˜ao de esferas el´asticas foi derivada em 1882 por H.
Hertz [20] como uma fun¸c˜ao da deforma¸c˜ao ξ e dos parˆametros Y (m´odulo de
Young) e ν (raz˜ao de Poisson) do material:
F
n
el
=
2Y
√
R
eff
3(1 − ν
2
)
ξ
3/2
, (2.29)
onde
1
R
eff
=
1
R
i
+
1
R
j
. (2.30)
1
A partir de agora, para n˜ao sobrecarregar a nota¸c˜ao, os ´ındices i e j ser˜ao omitidos.
Cap´ıtulo 2. Tratamento para o G´as Granular 35
A quantidade R
eff
´e chamada de raio efetivo das esferas que colidem. Esse
resultado foi posteriormente generalizado para descrever o contato entre
part´ıculas viscoel´asticas (amortecidas) [21]:
F
n
=
2Y
√
R
eff
3(1
−
ν
2
)
ξ
3/2
+ A
ξ
dξ
dt
, (2.31)
com A sendo uma constante dissipativa que depende da viscosidade do
material. O termo dissipativo na eq.(2.31) segue da solu¸c˜ao das equa¸c˜oes
viscoel´asticas para esferas deformadas [21, 22].
As equa¸c˜oes (2.29) e (2.31) servem apenas para esferas feitas do mesmo
material. No caso em que as esferas possuem diferentes materiais constituintes,
a modelagem fica mais complicada. A parte el´astica tem a forma
F
n
el
=
4
√
R
eff
3
1 − ν
2
i
Y
i
+
1 − ν
2
j
Y
j
−1
ξ
3/2
, (2.32)
ou seja, a combina¸c˜ao (1 − ν
2
)/Y ´e adicionada para ambas as part´ıculas.
Fazendo ν
i
= ν
j
e Y
i
= Y
j
, voltamos `a eq.(2.29).
A parte dissipativa da intera¸c˜ao n˜ao pode ser resolvida de uma forma t˜ao
direta como no caso da parte el´astica. Em geral, n˜ao h´a uma maneira simples
de se adicionar combina¸c˜oes de propriedades dissipativas para obtermos o
parˆametro de amortecimento A.
Componente tangencial da for¸ca
Part´ıculas granulares nunca s˜ao, de fato, esferas perfeitamente lisas, uma
vez que apresentam facetas ou texturas particulares nas superf´ıcies. Portanto,
nas colis˜oes obl´ıquas existem (al´em das for¸cas normais) for¸cas tangenciais
F
t
, tamb´em conhecidas como for¸cas de cisalhamento. Essas for¸cas s˜ao
determinadas principalmente pelas propriedades do material que constituem
os gr˜aos, e s˜ao essenciais na simula¸c˜ao real´ıstica de sistemas granulares. Em
termos pr´aticos, usaremos apenas a modelagem esf´erica pois esta representa
um sistema granular bem o suficiente para ainda podermos aplicar t´ecnicas
anal´ıticas ao mesmo.
Para a descri¸c˜ao das for¸cas normais, assumimos uma forma exatamente
esf´erica para os gr˜aos. Por outro lado, sabemos que a existˆencia de for¸cas
tangenciais provˆem da textura da superf´ıcie dos mesmos, ou seja, atrav´es de
desvios na forma perfeitamente esf´erica. Os m´etodos encontrados na literatura
[7] para corrigir tal inconsistˆencia possuem um alto custo computacional.
Entretanto, for¸cas tangenciais po dem ser modeladas de uma forma
intuitivamente simples. A velocidade relevante para a for¸ca tangencial ´e a
velocidade tangencial relativa das superf´ıcies das part´ıculas no ponto de
Cap´ıtulo 2. Tratamento para o G´as Granular 36
contato, v
t
rel
. O ponto de contato ´e uma aproxima¸c˜ao, uma vez que para a
descri¸c˜ao das for¸cas normais uma certa compress˜ao ξ das esferas ´e assumida,
o que implica uma superf´ıcie de contato, ou uma linha de contato em duas
dimens˜oes. Para parˆametros reais do material, em particular Y (m´odulo de
Young), que possui valores da ordem de 10 − 200 GP a, o raio de contato ´e
sempre muito menor que os raios das part´ıculas que colidem. Portanto, numa
colis˜ao entre duas part´ıculas i e j, o ponto de contato para i (ou para j) ´e
definido como a interse¸c˜ao da superf´ıcie (n˜ao-deformada) da esfera i (ou da j)
com o vetor r
i
−r
j
que conecta os dois centros. Para o caso de esferas r´ıgidas
essa defini¸c˜ao descreve o ponto de contato exatamente, enquanto que para o
caso de esferas deform´aveis trata-se de uma boa aproxima¸c˜ao.
2.3
Dinˆamica Molecular Dirigida por Eventos
Uma outra vers˜ao muito utilizada da Dinˆamica Molecular ´e a chamada
Dirigida por Eventos (EDMD). Nesta vers˜ao as for¸cas n˜ao s˜ao calculadas a
cada instante, mas ao inv´es disso as part´ıculas s˜ao consideradas totalmente
r´ıgidas e as colis˜oes acontecem com dura¸c˜ao nula. Para este tipo de dinˆamica,
as intera¸c˜oes entre as part´ıculas s˜ao do tipo esferas r´ıgidas, e as trocas de
momento e energia se d˜ao de maneira instantˆanea. A EDMD tira proveito deste
fato de modo a separar o tempo em intervalos entre colis˜oes sucessivas. Nestes
intervalos a evolu¸c˜ao temporal do sistema ´e em vˆoo (queda) livre. Portanto,
calculados os intervalos de temp o entre cada colis˜ao e a dinˆamica da colis˜ao
entre as part´ıculas, a evolu¸c˜ao do sistema se torna razoavelmente simples e
direta de implementar. Os algoritmos devem ser eficientes para construir a
lista de colis˜oes que deve ser constantemente atualizada. Um bom exemplo
pode ser encontrado na referˆencia [23], que mostra que o tempo de execu¸c˜ao
pode ser da ordem de ln N, onde N ´e o n´umero de part´ıculas do sistema. Esta
t´ecnica tem sido muito utilizada no estudo de sistema de gr˜aos, cuja dinˆamica
de colis˜ao via o coeficiente de restitui¸c˜ao ´e explicitado a seguir.
Caso Inel´astico: sem atrito de superf´ıcie
No caso de colis˜oes inel´asticas, p odemos descrever esta inelasticidade
atrav´es do coeficiente de restitui¸c˜ao. Este ser´a definido por
r ≡ r(|g|) = −
ˆ
k · g
ˆ
k · g
≤ 0. (2.33)
O caso r = 1 acontece quando a colis˜ao ´e el´astica. As vari´aveis que descrevem
a colis˜ao s˜ao as mesmas que para o caso el´astico. As novas equa¸c˜oes para as
partes radial e tangencial ser˜ao:
Cap´ıtulo 2. Tratamento para o G´as Granular 37
ˆ
k · g
= −r
ˆ
k · g = −r
ˆ
k · (v
2
− v
1
)
g
−
ˆ
k
ˆ
k · g
= g −
ˆ
k
ˆ
k · g = (v
2
− v
1
) −
ˆ
k
ˆ
k · (v
2
− v
1
),
As novas formas para as velocidades finais, como fun¸c˜ao do coeficiente de
restitui¸c˜ao ser˜ao:
v
2
− v
1
= ( v
2
− v
1
) − (1 + r)
ˆ
k
ˆ
k · (v
2
− v
1
)
v
2
+ v
1
= v
2
+ v
1
. (2.34)
Da´ı obtemos as velocidades p´os-colisionais em fun¸c˜ao das velocidades pr´e-
colisionais e do vetor diretor da colis˜ao:
v
2
= v
2
−
(1 + r)
2
ˆ
k
ˆ
k · (v
2
− v
1
)
v
1
= v
1
+
(1 + r)
2
ˆ
k
ˆ
k · (v
2
− v
1
). (2.35)
Para massas e diˆametros diferentes temos que os c´alculos seguem
caminhos muito parecidos com o caso anterior. As velocidades relativas radial
e tangencial seguem a mesma lei:
v
2
− v
1
= (v
2
− v
1
) − (1 + r)
ˆ
k
ˆ
k · (v
2
− v
1
). (2.36)
A conserva¸c˜ao de momento linear se escreve:
m
2
v
2
+ m
1
v
1
= m
2
v
2
+ m
1
v
1
,
ou ainda
v
2
+
m
1
m
2
v
1
= v
2
+
m
1
m
2
v
1
. (2.37)
Obtemos ent˜ao:
v
2
= v
2
− (1 + r)
m
1
m
1
+ m
2
ˆ
k
ˆ
k · (v
2
− v
1
) (2.38)
v
1
= v
1
+ (1 + r)
m
2
m
1
+ m
2
ˆ
k
ˆ
k · (v
2
− v
1
). (2.39)
As equa¸c˜oes (2.38) e (2.39) d˜ao as velocidades p´os-colisionais das part´ıculas
no caso geral em que m
1
= m
2
.
Cap´ıtulo 2. Tratamento para o G´as Granular 38
2.4
Limites da Abordagem Hidrodinˆamica
Conforme mencionado no cap´ıtulo anterior, materiais granulares podem
imitar o comportamento de gases, s´olidos, fluidos e etc. Em muitos casos,
podem ser tratados como um fluido molecular comum, modelados de maneira
a esconder a granulosidade da substˆancia constituinte. Portanto, ´e natural
tentarmos aplicar as mesmas equa¸c˜oes, conceitos e teorias, que funcionam para
os fluidos moleculares aos materiais granulares.
Contudo, h´a uma diferen¸ca fundamental entre mol´eculas e gr˜aos. Um
fluido molecular usual conserva a energia dentro dos graus de liberdade
observados. Assim, se injetarmos calor num fluido, esse calor ir´a contribuir
para a energia cin´etica de cada mol´ecula durante o processo de aumento da
temperatura do fluido. Essa energia adicional nunca ´e perdida, exceto pela
possibilidade de dissipa¸c˜ao (ou radia¸c˜ao) atrav´es das paredes do recipiente
que encerra o fluido. Por isso, neste caso, o movimento relativo das part´ıculas
constituintes nunca cessa.
Por outro lado, em um material granular, alguma energia ´e perdida
durante as colis˜oes entre as part´ıculas. A energia na forma de calor ´e
armazenada nos ´atomos dentro dos gr˜aos, e n˜ao na forma de energia
cin´etica dos gr˜aos. Com isso, o sistema dissipa energia muito rapidamente.
Se for abandonado a si mesmo, o sistema evoluir´a at´e uma configura¸c˜ao
s´olida (ou v´ıtrea), com o desaparecimento do movimento relativo. Assim,
materiais como a areia, por exemplo, poder˜ao nunca apresentar a relaxa¸c˜ao
para o equil´ıbrio uniforme global que ´e exigido pelas deriva¸c˜oes usuais das
equa¸c˜oes hidrodinˆamicas. Devido a essa falha, n˜ao podemos ter certeza
de at´e onde as equa¸c˜oes hidrodinˆamicas descrever˜ao o comportamento dos
materiais granulares de uma maneira geral. Na realidade, estas equa¸c˜oes
falham ao aparecerem instabilidades no sistema. Estas instabilidades, que
destroem o estado do g´as homogˆeneo, s˜ao basicamente de dois tipos: v´ortices
e aglomera¸c˜oes (regi˜oes de alta densidade). Os v´ortices se devem `a colima¸c˜ao
natural das velocidades dos gr˜aos p´os-colis˜ao, dado que os momentos linear
e angular devem ser globalmente conservados para o g´as em um recipiente.
Da´ı v´ortice e antiv´ortice aparecem. Os aglomerados s˜ao regi˜oes que aparecem
devido a flutua¸c˜oes na densidade. Uma flutua¸c˜ao positiva leva a maior
densidade, mais colis˜oes, mais dissipa¸c˜ao e mais captura de gr˜aos. Por
conseguinte, h´a um aumento ainda maior na densidade. Este ´e o foco do
presente trabalho.
A modelagem de colis˜oes entre gr˜aos atrav´es de coeficientes de restitui¸c˜ao
constantes pode ser muito simples e intuitiva, mas essa aproxima¸c˜ao possui
Cap´ıtulo 2. Tratamento para o G´as Granular 39
v´arias limita¸c˜oes. Por exemplo, a aproxima¸c˜ao de um meio granular por um
g´as de part´ıculas r´ıgidas, com coeficiente de restitui¸c˜ao constante, pode levar a
comportamentos n˜ao-f´ısicos, como o colapso inel´astico computacional [24]. De
fato, sabemos que o co eficiente de restitui¸c˜ao depende da velocidade relativa
das part´ıculas que colidem. Essa dependˆencia ´e capturada por modelos tais
como o modelo visco-el´astico [19]. Para gr˜aos n˜ao-esf´ericos, o coeficiente de
restitui¸c˜ao pode depender tamb´em do ponto de contato.
3
Aglomerado Granular
Neste cap´ıtulo trataremos do comportamento de equil´ıbrio de um modelo
simples de g´as granular composto por uma ´unica part´ıcula e um aglomerado
unidimensional de gr˜aos [8]. Consideraremos que todos os gr˜aos do sistema
possuem mesma massa. Al´em disso, cabe ressaltar que usaremos a letra m
para nomear o expoente da velocidade relativa entre os gr˜aos, e que a mesma
n˜ao deve ser confundida com a massa dos gr˜aos. Analisaremos este modelo
para uma grande variedade de coeficientes de restitui¸c˜ao, r, dependentes
da velocidade relativa entre os gr˜aos. Quando esta ´ultima tende a zero, o
coeficiente de restitui¸c˜ao, r, tende a 1. Por um lado, quando r → 1 (caso
el´astico), esperamos que o sistema se comporte como g´as. Por outro, quando
v → 0, esperamos que o sistema “congele” e comporte-se como um aglomerado.
No sentido de resolver este dilema, obteremos equa¸c˜oes que descrevem o
comportamento de longo prazo da press˜ao do aglomerado, da velocidade
quadr´atica m´edia e do espa¸camento entre os gr˜aos.
Nosso objetivo n˜ao ´e estudar a forma¸c˜ao da pilha de areia est´atica, mas
sim a estabilidade de um aglomerado granular devido, ´unica e exclusivamente,
aos efeitos dinˆamicos das colis˜oes. Portanto, n˜ao levaremos em conta nem
a rugosidade e atrito de superf´ıcie, nem a acelera¸c˜ao da gravidade, a qual
suporemos nula em nosso modelo.
3.1
Aglomerados em Sistemas Granulares
Um aspecto not´avel dos sistemas granulares, em especial o g´as granular,
´e a tendˆencia inerente `a forma¸c˜ao de aglomerados. Essa aglomera¸c˜ao ´e devido
a um aumento na taxa de colis˜oes dentro do sistema e ´e seguida por um
resfriamento granular (redu¸c˜ao da energia cin´etica). V´arios trabalhos que
analisam tal comportamento [9, 25, 26, 27] consideram, inicialmente, os gr˜aos
distribu´ıdos homogeneamente e com uma certa quantidade de energia cin´etica.
Posteriormente, ao resfriar, durante a fase de aglomera¸c˜ao, apresentam um
comportamento conhecido como resfriamento homogˆeneo (descrito pela Lei de
Haff [4] para a temperatura granular) e, para tempos mais longos, comportam-
Cap´ıtulo 3. Aglomerado Granular 41
se de forma mais complexa com as colis˜oes tendendo a correlacionar o
movimento dos gr˜aos, via o aparecimento de v´ortices.
Sabemos que aproxima¸c˜oes hidrodinˆamicas prevˆeem instabilidades
permanentes na densidade para sistemas granulares inel´asticos na ausˆencia de
gravidade [28] (para coeficientes de restitui¸c˜ao independentes da velocidade).
J´a em sistemas equivalentes que apresentam coeficientes de restitui¸c˜ao
dependentes da velocidade, tais como o do modelo visco-el´astico [21, 22, 29],
as instabilidades s˜ao apenas transientes [30, 31]. Com isso, essa dependˆencia
que o coeficiente de restitui¸c˜ao apresenta em rela¸c˜ao `a velocidade pode ser a
causa da dissolu¸c˜ao do aglomerado. Isso ´e devido ao fato de r → 1 `a medida
que a velocidade relativa tende a zero.
Analisar o comportamento inst´avel dos aglomerados atrav´es de t´ecnicas
num´ericas pode ter um alto custo computacional se nenhuma aproxima¸c˜ao for
usada. Na maioria das simula¸c˜oes que usam o modelo de Dinˆamica Molecular
Dirigida por Eventos [7], o coeficiente de restitui¸c˜ao ´e igualado a 1 quando
a velocidade torna-se menor que um limite el´astico, de forma que as colis˜oes
abaixo desse limite passam a ser consideradas el´asticas [30, 32]. Isto n˜ao deixa
de ser uma pequena “trapa¸ca”.
Para conseguir uma descri¸c˜ao mais realista, devemos alcan¸car tempos
extremamente longos e velocidades pequenas. Um modelo qualitativo de um
aglomerado em 1 dimens˜ao, com solu¸c˜oes assint´oticas para o comportamento
do sistema em tempos muito longos (ainda n˜ao acess´ıveis `as simula¸c˜oes
computacionais) pode ser obtido [ 8]. A vantagem deste modelo ´e seu
tratamento anal´ıtico, que torna poss´ıvel encontrar as solu¸c˜oes em t → ∞.
3.2
Premissas do Modelo
Estudaremos sistemas com coeficiente de restitui¸c˜ao dado pela forma
geral [33] (quando g ´e pr´oximo de zero - ver figura 3.2):
r = 1 − A
g
g
0
m
, (3.1)
onde 0 ≤ A < 1 [31], g ´e a velocidade relativa inicial, g
0
´e uma constante
referente `a escala de dissipa¸c˜ao e m ≥ 0. Dsta forma, conseguimos uma boa
aproxima¸c˜ao para o coeficiente de restitui¸c˜ao apenas na regi˜ao onde g ∼ 0.
Os casos m = 0 (r independente da velocidade) e m = 1/5 (visco-el´astico)
[21, 22, 29] s˜ao casos particulares bastante conhecidos da eq.(3.1).
O sistema come¸ca sua evolu¸c˜ao como um g´as granular dentro de um
recipiente unidimensional, cujas paredes laterais s˜ao uma el´astica (a da direita,
por conven¸c˜ao) e outra inel´astica (a da esquerda). O aglomerado se forma
Cap´ıtulo 3. Aglomerado Granular 42
pr´oximo `a parede inel´astica, enquanto o g´as fica localizado na extremidade
oposta, pr´oximo `a parede el´astica, ap´os um longo intervalo de tempo [11, 34],
conforme a fig.(3.1). Finalmente, o g´as ter´a apenas um ´unico gr˜ao. Assumimos
isso no desenvolvimento do nosso modelo, embora n˜ao seja realmente essencial
(os resultados poderiam ser facilmente estendidos aos sistemas de gases com
v´arios gr˜aos, uma vez que a energia cin´etica vai assintoticamente a zero, e as
equa¸c˜oes obtidas n˜ao s˜ao essencialmente diferentes).
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N
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1
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✛
v
0
✲✛
Nd + Nε
✲✛
L + (N + 1)d
Figura 3.1: As N part´ıculas do aglomerado e a part´ıcula do g´as. A distˆancia
m´edia entre duas part´ıculas consecutivas do aglomerado ´e ε (ausente na figura),
o diˆametro de cada part´ıcula ´e d e o comprimento total ´e L + (N + 1)d.
Obteremos equa¸c˜oes de movimento para quantidades granulares
dinˆamicas e quase-termodinˆamicas, a saber: velocidade do g´as, temperatura
granular do aglomerado (de fato, a m´edia da energia cin´etica dos gr˜aos)
e press˜ao interna. Veremos que efeitos puramente dinˆamicos, devidos `a
dissipa¸c˜ao de energia, podem ser os respons´aveis pela forma¸c˜ao do aglomerado,
mas n˜ao por sua permanˆencia indefinidamente (exceto, novamente, pelo caso
irrealista do coeficiente de restitui¸c˜ao independente da velocidade).
Nossa aproxima¸c˜ao, de natureza qualitativa, pode ser modelada por um
sistema de esferas r´ıgidas, lisas e idˆenticas, com um coeficiente de restitui¸c˜ao
r dado pela eq.(3.1). A parede el´astica apresenta uma similaridade com uma
parede “quente”, enquanto a parede inel´astica seria uma parede “fria” [35],
uma vez que a parede inel´astica retira energia do sistema. Contudo, n˜ao
estamos injetando nenhuma quantidade de energia no sistema e, portanto,
nenhum estado estacion´ario se desenvolve. As colis˜oes na parede esquerda
(inel´astica) s˜ao governadas pela mesma eq.(3.1), sendo essa parede considerada
um “gr˜ao infinitamente massivo”.
As velocidades de dois gr˜aos que colidem entre si s˜ao V
1
e V
2
ap´os a
colis˜ao, e V
1
e V
2
antes da mesma. Dada a conserva¸c˜ao do momento
V
2
+ V
1
= V
2
+ V
1
,
e usando a defini¸c˜ao do coeficiente de restitui¸c˜ao
V
2
− V
1
= −r (V
2
− V
1
) ,
Cap´ıtulo 3. Aglomerado Granular 43
Figura 3.2: Forma geral do coeficiente de restitui¸c˜ao para diferentes valores de
m.
temos, conseq¨uentemente, uma rela¸c˜ao entre as velocidades dos gr˜aos antes e
depois de uma colis˜ao:
V
1
=
1 − r
2
V
1
+
1 + r
2
V
2
(3.2)
e
V
2
=
1 + r
2
V
1
+
1 − r
2
V
2
. (3.3)
O sistema tem inicialmente uma dada quantidade de energia cin´etica que
ser´a dissipada devido `as colis˜oes inel´asticas. Uma aglomera¸c˜ao parcial de gr˜aos
ocorre inicialmente na parede inel´astica devido `a press˜ao exercida pelo restante
do g´as [11]. A fase de aglomerado se forma enquanto as velocidades relativas
ainda s˜ao relativamente grandes se comparadas a g
0
e, assim, o coeficiente de
restitui¸c˜ao ´e menor que 1. O g´as perde part´ıculas para o aglomerado at´e restar
apenas uma ´unica part´ıcula [34].
Cabe, aqui, ressaltar a diferen¸ca entre um aglomerado e um colapso
de part´ıculas. Neste ´ultimo, ocorre um n´umero infinito de colis˜oes entre as
part´ıculas em um espa¸co finito de tempo, enquanto aquele ´e apenas uma
concentra¸c˜ao muito densa de part´ıculas com velocidades relativas pequenas.
Em uma dimens˜ao, a aglomera¸c˜ao pode preceder o colapso (para r ≈ 1) [36].
Ap´os um intervalo de tempo inicial, t
0
, as velocidades de todos os gr˜aos,
incluindo o aglomerado e o g´as, ser˜ao muito menores que a velocidade que
determina a escala de dissipa¸c˜ao g
0
.
Cap´ıtulo 3. Aglomerado Granular 44
Em nosso modelo usamos a escala de tempo apresentada na figura 3.3.
Em t = 0 todas as part´ıculas do sistema encontram-se, aproximadamente,
separadas de maneira uniforme umas das outras. A partir de t = t
∗
0
, o
aglomerado come¸ca a se formar at´e que, em t = t
0
, ponto que as equa¸c˜oes
do modelo passam a valer, temos o algomerado de um lado (pr´oximo `a parede
inel´astica) e o g´as de uma ´unica part´ıcula do outro (pr´oximo `a parede el´astica).
Nas equa¸c˜oes que seguem, omitimos a constante t
0
para simplificar a nota¸c˜ao.
✲
t = 0 t = t
∗
0
t = t
0
Figura 3.3: Escalas de tempo percorridas pelo sistema. Em t = 0, todas as
part´ıculas do sistema encontram-se igualmente espa¸cadas e com velocidades
aproximadamente iguais. A partir de t = t
∗
0
, o aglomerado granular come¸ca a
se formar, pr´oximo a parede inel´astica. Finalmente, em t = t
0
, a configura¸c˜ao
inicial do nosso modelo est´a dada, com o aglomerado de um lado e o g´as
granular do outro.
Nomeamos a part´ıcula do g´as com 0 e as demais (do aglomerado) com
i = 1 ···N. Assumimos que g
0
v
0
v
i=1,··· ,N
. Embora a velocidade da
part´ıcula do g´as seja muito maior que as velocidades das part´ıculas que formam
o aglomerado, o fator de escala g
0
ser´a sempre bem maior que a velocidade
da part´ıcula do g´as para tempos longos. Temos a seguinte hierarquia (somente
para m > 0) no instante em que come¸camos a estudar o comportamento do
sistema:
v
i
v
0
v
0
g
0
m
v
i
v
0
2
v
i
v
0
v
0
g
0
m
. (3.4)
Come¸camos a observar o sistema em um momento em que o g´as tem
uma energia bem maior que a do aglomerado. Com o passar do tempo,
ambos v
0
e v
i
decrescem, sendo que v
i
decresce mais lentamente. Com isso,
v
i
v
0
pode, eventualmente, aumentar. A hierarquia (3.4) nos diz que, para tempos
suficientemente longos,
v
i
g
0
→ 0, e, uma vez que o g´as continuar´a bombeando
energia no aglomerado, a raz˜ao
v
i
v
0
n˜ao se anular´a. Esta ´ultima hip´otese ser´a
verificada de maneira autoconsistente.
3.3
Equil´ıbrio Aglomerado-g´as
Analisaremos agora, separadamente, as grandezas importantes do
sistema. Detalharemos alguns passos que levam `as equa¸c˜oes principais no
Cap´ıtulo 3. Aglomerado Granular 45
apˆendice A.
3.3.1
Press˜ao do G´as
Para calcularmos a press˜ao exercida pelo g´as sobre o aglomerado,
precisamos levar em conta a troca de momentos entre a part´ıcula do g´as
e o aglomerado ap´os cada colis˜ao entre eles. Uma colis˜ao aglomerado-g´as ´e
completada quando a part´ıcula do g´as deixa o aglomerado, com uma velocidade
de sa´ıda que ´e pr´oxima ao valor absoluto de sua velocidade antes da colis˜ao,
muito maior do que a velocidade t´ıpica das part´ıculas do aglomerado. Isso est´a
ilustrado na figura (3.4).
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1
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2
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1
v
2
012N
v
0
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1
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2
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N−1
012N
v
0
v
1
v
2
v
N−1
v
N
012N
v
0
v
1
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2
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N
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v
0
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1
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2
v
N
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v
0
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1
v
2
v
N
012N
···
···
.
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.
···
···
···
.
.
.
···
···
···
···
···
Figura 3.4: Seq¨uˆencia de colis˜oes.
Cap´ıtulo 3. Aglomerado Granular 46
Notamos que, `a medida que o g´as colide com o aglomerado, ´e como
se a “part´ıcula r´apida” (g´as) passasse atrav´es das part´ıculas do aglomerado,
colidisse com a parede inel´astica e retornasse, inversamente pelo mesmo
caminho, em dire¸c˜ao `a parede el´astica. Esse processo se repete v´arias vezes e,
com isso, obtemos o momento trocado entre o g´as e o aglomerado. De acordo
com o apˆendice A, temos (V ´e a velocidade inicial da part´ıcula do g´as e ´e
sempre positiva):
˙
V = −(2N + 1)
A
4L
V
g
0
m
V
2
, (3.5)
que ´e a equa¸c˜ao que governa o comportamento da velocidade do g´as.
Da eq.(A.7), que d´a o momento total absorvido pelo aglomerado devido
`a colis˜ao com o g´as, ∆℘
aglomerado
, obtemos a taxa de transferˆencia de momento
(press˜ao do g´as)
p
gas
=
(1 + m)
2
˙
V
˙ε
V
, (3.6)
onde p
gas
´e a press˜ao exercida pelo g´as sobre o aglomerado.
Para o caso do coeficiente de restitui¸c˜ao constante (m = 0), assumimos
que A < 1 e r = 1 −A. Com isso, a press˜ao do g´as fica relacionada `a varia¸c˜ao
em sua velocidade, conforme a eq.(A.14):
p
gas
=
1 − (1 − A)
N
1 + (1 − A)
N
˙
V . (3.7)
A press˜ao do g´as muda de regime ao passarmos do caso m > 0 para o
caso m = 0. A press˜ao exercida pelo g´as ´e mais fraca no primeiro caso, pois o
fator
˙
V est´a multiplicado por ˙ε/V na eq.(3.6).
3.3.2
Vari´aveis do Aglomerado
Outras vari´aveis importantes do sistema devem ser analisadas. Definimos
a variˆancia da velocidade das part´ıculas do aglomerado, σ
2
, como
σ
2
=
N
i=1
(v
i
− v
cm
)
2
N
, (3.8)
onde a velocidade do centro de massa do aglomerado ´e dada por
v
cm
=
N
i=1
v
i
N
, (3.9)
ou seja, trata-se da m´edia das velocidades das N part´ıculas que constituem o
aglomerado.
O espa¸camento m´edio entre os gr˜aos, ε, ´e definido (com x
N+1
= 0) por
ε =
N+1
i=1
|x
i
− x
i−1
− d|
N
. (3.10)
Cap´ıtulo 3. Aglomerado Granular 47
O tamanho total do aglomerado ´e, ent˜ao, N(d + ε). Uma aproxima¸c˜ao
razo´avel para a velocidade do centro de massa do aglomerado pode ser obtida
assumindo-se que o mesmo expande e contrai seu tamanho uniformemente
(pelo menos para ε pequeno):
v
cm
≈
1
N
N
i=1
i ˙ε
≈
N(N + 1)
2N
˙ε. (3.11)
No limite N → ∞, a eq.(3.11) se reduz a
v
cm
≈
N
2
˙ε.
A acelera¸c˜ao do centro de massa ´e dada, a partir da eq.(3.11), por
a
cm
=
N(N + 1)
2N
¨ε. (3.12)
No limite N → ∞, a eq.(3.12) se reduz a
a
cm
=
N
2
¨ε.
A seguir chegaremos a uma equa¸c˜ao para a evolu¸c˜ao do espa¸camento ε,
onde a eq.(3.12) ser´a desmembrada em dois termos de acordo com a Segunda
Lei de Newton.
3.3.3
Press˜ao da Parede e Espa¸camento M´edio
O aglomerado sofre a press˜ao de duas fontes externas: o g´as e a parede
inel´astica. Essa press˜ao pode ser calculada usando-se uma aproxima¸c˜ao que
assume que os momentos trocados com a part´ıcula de ´ındice N, em todas as
colis˜oes, s˜ao da ordem de 2 σ, enquanto a taxa de colis˜oes da mesma part´ıcula
com a parede ´e da ordem de σ/ε [6]. A press˜ao de campo m´edio ´e
p
parede
=
2σ
2
ε
> 0. (3.13)
A equa¸c˜ao de evolu¸c˜ao temporal para o espa¸camento m´edio, ε, ´e obtida
atrav´es da Segunda Lei de Newton, escrita para o aglomerado em uma
dimens˜ao (p
parede
´e a for¸ca positiva e p
gas
a negativa),
a
cm
= p
parede
+ p
gas
.
Para o caso dependente da velocidade (m > 0), usando as equa¸c˜oes
Cap´ıtulo 3. Aglomerado Granular 48
(3.6), (3.12) e (3.13), obtemos a seguinte equa¸c˜ao de campo m´edio (em forma
adimensional):
N
2
¨ε =
2σ
2
ε
+
(1 + m)
2
˙
V
˙ε
V
. (3.14)
J´a para o caso independente da velocidade (m = 0), a equa¸c˜ao equiva-
lente ´e obtida trocando-se apenas a eq.(3.6) pela eq.(3.7),
N
2
¨ε =
2σ
2
ε
+
1 − (1 − A)
N
1 + (1 − A)
N
˙
V . (3.15)
Como foi visto na subse¸c˜ao 3.3.1, a press˜ao do g´as ´e mais fraca no
caso m > 0 devido ao fator ˙ε/V . Isto se reflete aqui (no lado direito das
duas equa¸c˜oes anteriores) e ser´a fundamental no resultado da evolu¸c˜ao do
aglomerado nos casos estudados.
3.3.4
Dissipa¸c˜ao de Energia Dentro do Aglomerado
C´alculos similares ao da redu¸c˜ao da velocidade do aglomerado s˜ao
desenvolvidos no apˆendice B para sua energia, devido ao efeito da colis˜ao
aglomerado-g´as. At´e a ordem de aproxima¸c˜ao que estabelecemos, |V/g
0
|
m
, as
corre¸c˜oes ser˜ao da ordem de σ
2
|V/g
0
|
2m
(muito menor que σ
2
). A compara¸c˜ao
entre as energias cin´eticas do aglomerado, antes e ap´os a colis˜ao com a part´ıcula
do g´as, leva a
N
i
(v
i
)
2
≈
N
i
v
2
i
. (3.16)
Ou seja, a energia cin´etica do aglomerado n˜ao ´e afetada p ela colis˜ao
aglomerado-g´as, na ordem de aproxima¸c˜ao adotada. Isso nos diz que apenas as
colis˜oes internas ser˜ao importantes para o resfriamento do aglomerado neste
regime.
Na aproxima¸c˜ao de campo m´edio, a energia dissipada por part´ıcula
corresponde ao produto da energia perdida em cada colis˜ao pela taxa de colis˜ao
por part´ıcula. Para um g´as unidimensional de N part´ıculas confinado num
volume livre,
1D
, com a variˆancia das N velocidades dada por σ
2
, a perda
de energia por colis˜ao corresponde (em termos adimensionais), conforme a
eq.(A.6) a
∆v ∝ −|v|
1+m
.
A taxa de colis˜ao ´e dada por Nv/
1D
[6]. Logo, para calcular a taxa
de dissipa¸c˜ao de energia dentro do aglomerado, com o espa¸camento entre
as part´ıculas tornando-se bem pequeno `a medida que t → ∞ (mas n˜ao
nulo), precisamos estimar a taxa de colis˜oes internas e multiplic´a-la pela
Cap´ıtulo 3. Aglomerado Granular 49
perda de energia para cada colis˜ao. A taxa de colis˜oes para um aglomerado
unidimensional difere da de um g´as apenas pelo fato do espa¸camento entre
as part´ıculas, ε, ser pequeno comparado `a distˆancia m´edia entre as part´ıculas
de um g´as. Levando isso em conta, a taxa de colis˜oes do aglomerado ser´a da
ordem
q = N
σ
2ε
.
A varia¸c˜ao da velocidade interna t´ıpica do aglomerado deve-se `as colis˜oes
entre os gr˜aos, como mostrado no apˆendice B. Assumimos que as velocidades
relativas dos gr˜aos nas colis˜oes s˜ao da ordem de σ e que as colis˜oes quase-
el´asticas ir˜ao reduzir essas velocidades por uma quantidade da ordem de
∆σ = −A
σ
g
0
m
σ.
A mudan¸ca em σ, por unidade de tempo, ´e dada pelo produto q ∆σ. Assim,
obtemos a equa¸c˜ao heur´ıstica
˙σ = −
NAσ
2
2ε
σ
g
0
m
. (3.17)
A equa¸c˜ao equivalente para m = 0 ´e
˙σ ≈ −
σ
2
ε
, (3.18)
conforme o apˆendice B.
3.4
An´alise Adimensional
Em nosso estudo, analisamos o comportamento qualitativo das equa¸c˜oes
obtidas, com o objetivo de obter o comportamento assint´otico no tempo das
mesmas. Portanto, vamos reescrever as equa¸c˜oes (3.5), (3.14), (3.15) e (3.17)
numa forma totalmente adimensional (note que V, σ, ε > 0 ∀t).
Primeiramente, as equa¸c˜oes para V e σ tˆem a mesma forma, tanto para
m > 0 como para m = 0. Logo
˙
V = −V
2+m
, (3.19)
˙σ = −
σ
2+m
ε
. (3.20)
A equa¸c˜ao para ¨ε, para m = 0, fica
¨ε =
σ
2
ε
+
˙
V , (3.21)
enquanto que para m > 0, temos
Cap´ıtulo 3. Aglomerado Granular 50
¨ε =
σ
2
ε
+
˙
V
V
˙ε. (3.22)
Para recuperarmos as unidades dimensionais, lembramos que σ e V s˜ao
dados em termos de g
0
, e ε ´e medido em termos de L/N. Poucas constantes
tˆem que ser usadas nas equa¸c˜oes (3.19), (3.20), (3.21) e (3.22) para que fiquem
dimensionalmente coerentes.
A eq.(3.19) pode ser resolvida exatamente, dado que esta ´e desacoplada
das outras, e o resultado ´e
V =
V
0
[1 + (1 + m)V
1+m
0
t]
1/(1+m)
. (3.23)
Esta ´e a extens˜ao da Lei de Haff [4, 21, 37, 38] para os casos descritos pela
eq.(3.1). Observamos que
t → ∞ ⇒ V ∼ t
−1/(1+m)
⇒ T
g
= V
2
∼ t
−2/(1+m)
.
Para o caso do coeficiente de restitui¸c˜ao independente do tempo, m = 0,
T
g
∼ t
−2
. Para o coeficiente de restitui¸c˜ao viscoel´astico [22, 29, 21], m = 1/5,
T
g
∼ t
−5/3
como esperado [21, 37, 38]. As equa¸c˜oes (3.19), (3.20), (3.21) e
(3.22) constituem o sistema a ser resolvido a seguir.
3.5
Comportamento de Longo Prazo
Devemos lembrar que existe uma escala impl´ıcita de velocidade, associada
`as propriedades do coeficiente de restitui¸c˜ao, g
0
, que divide as velocidades
sempre que uma potˆencia m = 0 aparece (uma conseq¨uˆencia da forma do
coeficiente de restitui¸c˜ao). Para o caso do coeficiente constante (m = 0),
obtemos, a partir das equa¸c˜oes (3.20) e (3.21),
˙ε − V + σ = c
0
, (3.24)
onde a constante c
0
est´a relacionada `as condi¸c˜oes iniciais para V , σ e ˙ε por
c
0
= ˙ε
0
− V
0
+ σ
0
. (3.25)
As equa¸c˜oes que descrevem o aglomerado granular s˜ao v´alidas no limite quando
V σ, ˙ε. A seguir, analisaremos o comportamento do aglomerado para toda
a extens˜ao de valores de m, com base nas equa¸c˜oes ( 3.19 - 3.24).
3.5.1
Cap´ıtulo 3. Aglomerado Granular 51
m = 0
Nesse caso, o coeficiente de restitui¸c˜ao n˜ao depende do impacto relativo
da velocidade. Temos
c
0
= ˙ε
0
− V
0
+ σ
0
≈ −V
0
, (3.26)
˙ε = V − σ − V
0
. (3.27)
`
A medida que t → ∞, observamos que V e σ tendem a zero e, assim,
˙ε ≈ −V
0
< 0. Das equa¸c˜oes (3.19) e ( 3.20), podemos escrever
dV
−(1+m)
dt
=
1 + m
L
e
dσ
−(1+m)
dt
=
1 + m
ε
=
1 + m
L
L
ε
1 + m
L
.
Com isso, σ
−(1+m)
cresce bem mais rapidamente do que V
−(1+m)
. Logo, σ vai
a zero mais rapidamente do que V .
Na pr´atica, n˜ao ´e poss´ıvel observar o limite assint´otico acima, uma vez
que o colapso acontece num intervalo de tempo finito (ver figura 3.5 ). Portanto,
o aglomerado fica est´avel e n˜ao se dissolver´a.
1.0 1.2 1.4 1.6
t
0
2×10
-5
4×10
-5
6×10
-5
8×10
-5
1×10
-4
ε
Figura 3.5: Coeficiente de restitui¸c˜ao independente das velocidades. O ´unico
caso est´avel em todos os instantes de tempo. O espa¸camento m´edio, ε, ´e medido
em unidades de L/N.
3.5.2
Cap´ıtulo 3. Aglomerado Granular 52
m > 0
Quando o coeficiente de restitui¸c˜ao depende da velocidade relativa inicial
da colis˜ao, ou seja, quando m > 0, o comportamento f´ısico do sistema muda
qualitativamente. Mostramos isso no apˆendice A.
Um argumento de escala auto-consistente pode ser usado e comparado
com o resultado de simula¸c˜oes para obtermos o comportamento de longo prazo
das vari´aveis V , σ e ε. A solu¸c˜ao assint´otica para ε e σ pode ser escrita como
potˆencias do tempo e do logaritmo do tempo:
V ∼ t
β
1
, σ ∼ t
β
2
(ln t)
α
2
, ε ∼ t
β
3
(ln t)
α
3
. (3.28)
O uso do logaritmo para ε e σ deve-se `a possibilidade de comportamentos
escondidos e lentos existirem. De outra forma, os mesmos n˜ao seriam
evidenciados nas equa¸c˜oes (3.28), implicando em solu¸c˜oes esp´urias ou at´e
contradit´orias.
Substituindo as equa¸c˜oes (3.28) nas equa¸c˜oes (3.19), (3.20), (3.21) e
(3.22), encontramos as express˜oes para os expoentes β
1
, β
2
, β
3
, α
2
e α
3
. Os
desenvolvimentos que levam a tais expoentes encontram-se no apˆendice C.
As solu¸c˜oes s˜ao
β
1
= −
1
1 + m
, (3.29)
α
2
= −
1
m
, (3.30)
β
2
= 0, (3.31)
α
3
= −
1
m
, (3.32)
β
3
= 1. (3.33)
Assim, o comportamento de longo prazo de σ e ε ´e dado por
σ ∼ (ln t)
−1/m
e ε ∼ t(ln t)
−1/m
. (3.34)
Essas s˜ao as solu¸c˜oes auto-consistentes de longo prazo para σ e ε. Vejamos
esse comportamento de σ com mais detalhes.
Para m > 0, n˜ao h´a colapso granular. Ap´os algum tempo transiente,
o aglomerado crescer´a quase linearmente (como p ode ser visto na figura 3.6,
consistente com o comportamento aproximado de ε ∼ t) e, eventualmente,
ocupar´a todo o recipiente, tornando-se mais uma vez um g´as com um
espa¸camento entre os gr˜aos dado por ε ∼ L/N. Isso leva um longo tempo
para acontecer de fato. A figura 3.6 ilustra os casos m = 1/5, m = 1 e m = 2.
Cap´ıtulo 3. Aglomerado Granular 53
10
0
10
1
10
2
t
10
-4
10
-3
10
-2
ε
Figura 3.6: Evolu¸c˜ao temporal para alguns exemplos de coeficientes de
restitui¸c˜ao dependentes da velocidade. A linha pontilhada representa m = 2,
a tracejada m = 1 e a cheia m = 1/5.
Para tempos longos, nosso modelo torna-se quase-el´astico (r = 1
com excelente aproxima¸c˜ao) quando m > 0. Para este caso dependente da
velocidade, a dissipa¸c˜ao interna do aglomerado torna-se desprez´ıvel (β
2
= 0),
mas sua energia interna n˜ao ´e conservada. Esta aparente contradi¸c˜ao surge
do fato de β
2
= 0 e σ → 0, em primeira aproxima¸c˜ao. Por´em, σ decai como
uma potˆencia de ln t e, mais significativamente, em nosso modelo ε ≤ L/N,
portanto, o crescimento de ε ser´a limitado. Uma vez que as equa¸c˜oes de campo
m´edio n˜ao imp˜oem condi¸c˜oes de contorno para ε, a eq.(3.20) dar´a ˙σ → 0 `a
medida que t → ∞, consistente com β
2
= 0. Na verdade, depois de atingir seu
tamanho limite, a dissipa¸c˜ao normal do g´as prevalecer´a e o aglomerado, agora
um g´as, seguir´a novamente a Lei de Haff para a dissipa¸c˜ao de energia.
Outro importante argumento de consistˆencia pode ser extra´ıdo da
eq.(3.34). Se tomarmos o limite m → 0 antes do limite t → ∞ ser tomado,
obtemos ε = σ = 0. Isso est´a de acordo com o nosso resultado que mostra que
o colapso granular acontece num intervalo de tempo finito quando m = 0.
3.6
Outros Modelos na Literatura
Notamos que em [30, 31] os autores simularam um sistema granular,
dependente da velocidade, com um limiar el´astico (impuseram r = 1 abaixo de
um certo limiar relativo `a velocidade relativa de colis˜ao), e supuseram ainda
que os resultados eram extens´ıveis ao regime viscoel´astico. Isso est´a de acordo
com nossos resultados. Contudo, a forma do coeficiente de restitui¸c˜ao em [30]
Cap´ıtulo 3. Aglomerado Granular 54
est´a mais pr´oxima do caso m > 1 do que do caso m = 1/5. Como observado
em nossos c´alculos, ε n˜ao tender´a a zero, nem permanecer´a est´avel em ambos
os casos, o que ´e consistente com [30].
3.7
Oscila¸c˜oes do Aglomerado
Uma caracter´ıstica interessante dos aglomerados observada ´e que eles
oscilam em baixa freq¨uˆencia em tempos muito longos. A eq.(3.20) prevˆe
oscila¸c˜oes em torno do comportamento de escala com freq¨uˆencias decrescentes.
Para vermos isso, podemos analisar o caso de uma pequena perturba¸c˜ao φ sobre
o valor assint´otico calculado de ε, tal que
ε = t (ln t)
−1/m
[1 + φ].
Obtemos uma equa¸c˜ao assint´otica para a parte principal da equa¸c˜ao da
perturba¸c˜ao relativa φ:
¨
φ +
1
t
˙
φ +
1
t
2
φ = 0. (3.35)
Essa equa¸c˜ao ´e similar a de um oscilador harmˆonico amortecido, com uma
freq¨uˆencia efetiva que tende a zero com t
−1
(ln t)
1/2
.
O efeito de pequenas perturba¸c˜oes no valor assint´otico de ε ´e dif´ıcil de
ser observado diretamente. Contudo, conseguimos observ´a-lo rodando nossas
simula¸c˜oes para obtermos os valores de ε, σ e suas derivadas em tempos longos.
Perturbamos ε usando (1 + ∆)ε, com ∆ = 10
−4
.
Rodamos duas vezes a simula¸c˜ao, uma com condi¸c˜ao inicial n˜ao-
perturbada, e a outra usando a solu¸c˜ao perturbada como acima. A diferen¸ca
deve, ent˜ao, obedecer a eq.(3.35). O resultado ´e mostrado na figura 3.7, numa
escala logar´ıtmica (o gr´afico mostra no eixo das ordenadas o valor absoluto de
φ; os sinais correspondem `as regi˜oes onde φ ´e positivo ou negativo).
Pode ser visto que o per´ıodo ´e crescente (da ordem do tempo total,
consistente com uma freq¨uˆencia da ordem de t
−1
(ln t)
1/2
), o que se reflete em
oscila¸c˜oes com a mesma “largura” no eixo logaritmo dos tempos.
3.8
Conseq¨uˆencias do Modelo
A conseq¨uˆencia mais imediata do presente modelo (para m = 0) ´e a
evidˆencia de que h´a uma natureza transiente para algumas singularidades
em um g´as granular resfriando livremente, quando o coeficiente de restitui¸c˜ao
depende da velocidade. Isso indica que um tratamento hidrodinˆamico pode ser
adequado para tais sistemas, ao menos ap´os um tempo transiente. Tamb´em
Cap´ıtulo 3. Aglomerado Granular 55
Figura 3.7: Valor n˜ao perturbado de ε menos o valor perturbado, como uma
fun¸c˜ao do tempo, normalizado pelo pr´oprio ε.
deduzimos de nossos resultados que efeitos puramente dinˆamicos n˜ao podem
gerar aglomerados permanentes se m = 0 (no regime onde n˜ao h´a alimenta¸c˜ao
externa de energia).
Outra conseq¨uˆencia ´e a eventual evapora¸c˜ao de aglomerados, mesmo
para sistemas onde os gr˜aos s˜ao perfeitamente lisos. A equa¸c˜ao de Burgers foi
proposta como um mecanismo de forma¸c˜ao para aglomerados granulares com
coeficiente de restitui¸c˜ao independente da velocidade [32, 39]. Para sistemas
com m = 0, podemos questionar se a equa¸c˜ao de Burgers ´e ainda adequada, e
que tipo de regime ´e estabelecido nos per´ıodos de evapora¸c˜ao do aglomerado
(em temp os muitos longos). Atualmente, trabalhos tˆem sido desenvolvidos
nessa linha.
A ausˆencia de colapso quando m = 0 nos d´a a esperan¸ca de que
pode ser poss´ıvel tratar (hidrodinamicamente) aglomerados de duas ou trˆes
dimens˜oes como fases granulares muito densas, mas n˜ao-singulares (para
sistemas lisos), descritas pelas vari´aveis internas de comportamento n˜ao-
anal´ıtico (possivelmente similares a σ e ε). Isso facilitaria a incorpora¸c˜ao do
tratamento dos aglomerados nos m´etodos hidrodinˆamicos dispon´ıveis hoje.
4
Discuss˜ao dos Resultados
Estudamos a estabilidade de longo prazo de sistemas granulares n˜ao-
for¸cados, nos quais aglomerados s˜ao formados. O modelo microsc´opico e
qualitativo desenvolvido tornou poss´ıvel observar os aglomerados em tempos
extremamente longos, ainda n˜ao dispon´ıveis `as simula¸c˜oes computacionais.
Assumimos uma forma geral para o coeficiente de restitui¸c˜ao que inclui
os modelos independente da velocidade (m = 0) e viscoel´astico (m = 1/5)
como casos particulares:
r = 1 − A
g
g
0
m
, (4.1)
onde 0 ≤ A < 1, g ´e a velocidade relativa, g
0
´e uma constante referente `a
escala de dissipa¸c˜ao e m ≥ 0.
A partir da´ı, podemos resumir os resultados da seguinte forma:
Coeficiente de Restitui¸c˜ao ( m) Situa¸c˜ao
m = 0 COLAPSO
m > 0 G
´
AS
Tabela 4.1: Resumo dos resultados obtidos. Na coluna esquerda, o valor do
coeficiente de restitui¸c˜ao. Na coluna da direita, a situa¸c˜ao correspondente do
sistema.
O interesse por tr´as desse estudo tem duas raz˜oes fundamentais. A
primeira ´e que o comportamento de longo prazo de um aglomerado granular
depende do parˆametro de inelasticidade (que pode ser definido aqui como
q =
1−r
2
). De acordo com nosso modelo, se o coeficiente de restitui¸c˜ao se tornar
igual a 1, `a medida que a velocidade relativa tende a zero, como a maioria dos
sistemas reais, ent˜ao o aglomerado de esferas r´ıgidas e lisas ser´a inst´avel para
sistemas com gravidade zero. Isso sugere um comportamento dinˆamico para
o g´as granular que compreende uma fase inicial homogˆenea, na qual a Lei de
Haff prediz a evolu¸c˜ao da temperatura granular m´edia. O sistema entra na fase
de separa¸c˜ao ap´os um tempo transiente e a energia cin´etica global varia com
uma potˆencia diferente do tempo [32]. Ap´os um tempo muito longo, a press˜ao
Cap´ıtulo 4. Discuss˜ao dos Resultados 57
externa do g´as granular j´a n˜ao ´e mais suficiente para manter as part´ıculas do
g´as unidas, dessa forma o aglomerado se dissolve num g´as granular homogˆeneo
de velocidade interna muito baixa. A Lei de Haff ser´a ent˜ao, mais uma vez,
aplicada a esse g´as (uma vez que m = 0). Isso n˜ao representa uma contradi¸c˜ao
com os resultados obtidos em [39], uma vez que tais resultados aplicam-se a
sistemas com coeficientes de restitui¸c˜ao independentes do tempo (m = 0).
A segunda raz˜ao ´e que, para coeficientes de restitui¸c˜ao dependentes da
velocidade, os aglomerados n˜ao colapsam realmente, mas se comportam como
fluidos muito densos (sem atrito superficial e com gravidade zero). De fato,
poder´ıamos pensar na fase de coexistˆencia entre g´as e aglomerado como uma
separa¸c˜ao suave entre ambos, sem um contorno singular, exceto para o caso do
coeficiente de restitui¸c˜ao constante (m = 0). Um tratamento hidrodinˆamico
cont´ınuo para esse caso deve ser mais apropriado.
Nosso modelo mostrou que ´e poss´ıvel tratar o aglomerado como uma fase
densa, quando m > 0. Isso permitiu o tratamento anal´ıtico com equa¸c˜oes para
as vari´aveis do aglomerado. Este tratamento partiu das equa¸c˜oes fundamentais
do sistema, ao contr´ario de modelos fenomenol´ogicos, como em [9].
Algumas quest˜oes surgem a respeito da dissolu¸c˜ao de longo prazo dos
aglomerados granulares: eles obedecer˜ao `as mesmas equa¸c˜oes que aquelas
encontradas para a fase de colapso? Uma vez que a irreversibilidade da
dinˆamica granular impede a revers˜ao temporal, as equa¸c˜oes de dissolu¸c˜ao
devem ser diferentes daquelas do colapso. Uma poss´ıvel extens˜ao para o nosso
modelo ´e a descri¸c˜ao do comportamento transiente, que ocorre entre t = t
∗
0
e
t = t
0
, conforma a figura (3.3), com equa¸c˜oes para a forma¸c˜ao do aglomerado.
Nesta tese, estudamos sistemas na ausˆencia de gravidade de modo a
isolar o efeito, na estabilidade do aglomerado, da dependˆencia da velocidade
na dissipa¸c˜ao. A presen¸ca de gravidade induz uma quebra de simetria direcional
e introduz a necessidade de realiza¸c˜ao de trabalho externo para a quebra do
aglomerado. Em nosso modelo, a quantidade de trabalho requerida para tanto
´e nula. Em suma, a gravidade ´e equivalente a uma press˜ao externa e s´o po de
ser vencida dada a utiliza¸c˜ao de trabalho externo, enquanto que pro curamos
apenas entender os efeitos dinˆamicos internos na estabilidade do sistema.
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granular system. Phys. Rev. E, 63(041302):1–7, 2001. 3.2
[36] N. Sela, I. Goldhirsch. Hydrodynamics of a one-dimensional granular
medium. Phys. Fluids, 7(3):507–525, 1995. 3.2
[37] N. V. Brilliantov, T. P¨oschel. Velocity distribution in granular gases of
viscoelastic particles. Phys. Rev. E, 61(5):5573–5587, 2000. 3.4
[38] W. A. M. Morgado, I. Oppenheim. Kinetic equations for smooth granular
systems. Physica A, 246(3-4):547–562, 1997. 3.4
[39] E. Ben-Naim, S. Y. Chen, G. D. Doolen, S. Redner. Shocklike dynamics
of inelastic gases. Phys. Rev. Lett., 83(20):4069, 1999. 3.8, 4
A
Equa¸c˜oes do Equil´ıbrio Aglomerado-g´as
A.1
m > 0
Das equa¸c˜oes 3.2 e 3.3, obtemos as velocidades para duas part´ıculas de
mesma massa, substituindo o valor de r dado p ela eq.(3.1) e considerando o
tempo de dura¸c˜ao da colis˜ao nulo:
v
1
=
1 −
A
2
v
1
− v
0
g
0
m
v
0
+
A
2
v
1
− v
0
g
0
m
v
1
=
1 −
A
2
V
g
0
m
1 + m
v
1
V
(−V ) +
A
2
V
g
0
m
1 + m
v
1
V
v
1
= −V +
A
2
V
g
0
m
1 + m
v
1
V
V +
A
2
V
g
0
m
1 + m
v
1
V
v
1
= −V +
A
2
V
g
0
m
1 + m
v
1
V
(V + v
1
)
= −V +
A
2
V
g
0
m
1 + m
v
1
V
1 +
v
1
V
V
≈ −V +
A
2
V
g
0
m
1 + m
v
1
V
+
v
1
V
V
≈ −V +
A
2
V
g
0
m
V + (1 + m)
A
2
V
g
0
m
v
1
(A.1)
onde, a partir da segunda linha, fizemos v
0
= −V . Nas duas ´ultimas linhas, a
ordem (
v
1
V
)
2
foi eliminada.
v
0
=
A
2
v
1
− v
0
g
0
m
v
0
+
1 −
A
2
v
1
− v
0
g
0
m
v
1
= −
A
2
V
g
0
m
1 + m
v
1
V
V +
1 −
A
2
V
g
0
m
1 + m
v
1
V
v
1
= v
1
−
A
2
V
g
0
m
1 + m
v
1
V
1 +
v
1
V
V
≈ v
1
−
A
2
V
g
0
m
V − (1 + m)
A
2
V
g
0
m
v
1
(A.2)
Apˆendice A. Equa¸c˜oes do Equil´ıbrio Aglomerado-g´as 62
Usamos acima equa¸c˜oes b´asicas da dinˆamica de colis˜oes entre part´ıculas.
Assumimos que g
0
≥ |v
0
| = V ≥ |v
1
| e expandimos o ´ultimo termo da eq.(3.1)
da seguinte maneira:
v
1
− v
0
g
0
m
=
v
0
g
0
m
1 −
v
1
v
0
m
≈
V
g
0
m
1 + m
v
1
V
. (A.3)
Portanto, a eq.(A.1) e a eq.(A.2) representam as velocidades da part´ıcula 1 do
aglomerado e do g´as, respectivamente, logo ap´os a primeira colis˜ao. Com isso,
a part´ıcula 1 do aglomerado passa a ser a part´ıcula r´apida, enquanto a do g´as
´e, agora, a lenta.
Ap´os colis˜oes, a velocidade da part´ıcula r´apida ser´a a -´esima:
v
≈ −V +
A
2
V
g
0
m
V + (1 + m)
A
2
V
g
0
m
−1
i=1
v
i
,
e a ( − 1)-´esima part´ıcula (que sofreu duas colis˜oes) ter´a a velocidade:
v
−1
≈ v
−
A
2
V
g
0
m
V − (1 + m)
A
2
V
g
0
m
v
.
Depois de colidir N vezes, a part´ıcula r´apida alcan¸car´a a parede
inel´astica. Sua velocidade, antes de colidir com essa parede, ser´a:
v
N
= −V + N
A
2
V
g
0
m
V + (1 + m)
A
2
V
g
0
m
℘
cl
,
onde
℘
cl
=
N
i=1
v
i
´e o momento total do aglomerado antes de colidir com o g´as. Dessa forma, o
momento total dado pelo g´as ao aglomerado ´e:
∆℘
aglomerado
1
= −N
A
2
V
g
0
m
V − (1 + m)
A
2
V
g
0
m
℘
cl
.
Ap´os a colis˜ao com a parede inel´astica, temos:
V
= v
N
= V − (N + 1)
A
2
V
g
0
m
V − (1 + m)
A
2
V
g
0
m
℘
cl
. (A.4)
O procedimento para os c´alculos referentes `a volta da part´ıcula r´apida atrav´es
do aglomerado ´e similar ao descrito acima. O resultado final (at´e a mesma
ordem de aproxima¸c˜ao usada) para a velocidade da part´ıcula do g´as (antes de
colidir com a parede el´astica) ´e:
Apˆendice A. Equa¸c˜oes do Equil´ıbrio Aglomerado-g´as 63
v
0
= V
− N
A
2
V
g
0
m
V
+ (1 + m)
A
2
V
g
0
m
℘
cl
, (A.5)
onde
℘
cl
=
N
i=1
v
i
.
O momento total recebido pelo aglomerado, devido a essas colis˜oes, ´e
ent˜ao:
∆℘
aglomerado
2
= N
A
2
V
g
0
m
V
− (1 + m)
A
2
V
g
0
m
℘
cl
= N
A
2
V
g
0
m
V − (1 + m)
A
2
V
g
0
m
℘
cl
onde substitu´ımos a eq.(A.4) aqui.
Substituindo a eq.(A.4) na eq.(A.5), podemos reescrever esta ´ultima na
forma
v
0
= V − (2N + 1)
A
2
V
g
0
m
V + (1 + m)
A
2
V
g
0
m
(℘
cl
− ℘
cl
).
Depois de colidir com a parede el´astica, a part´ıcula do g´as fica com a velocidade
v
0
= −V + (2N + 1)
A
2
V
g
0
m
V − (1 + m)
A
2
V
g
0
m
(℘
cl
− ℘
cl
).
Assim, o valor absoluto da varia¸c˜ao da velocidade da part´ıcula do g´as (para
um ´unico ciclo de colis˜ao com o aglomerado) ´e dado p or:
∆V = −v
0
− V
= −(2N + 1)
A
2
V
g
0
m
V + (1 + m)
A
2
V
g
0
m
(℘
cl
− ℘
cl
)
= −(2N + 1)
A
2
V
g
0
m
V, (A.6)
onde descartamos termos de ordem O(|
V
g
0
|
2m
).
O momento total absorvido pelo aglomerado devido `a colis˜ao com o g´as
(ap´os 1 cilco) ´e, ent˜ao
Apˆendice A. Equa¸c˜oes do Equil´ıbrio Aglomerado-g´as 64
∆℘
aglomerado
total
= ∆ ℘
aglomerado
1
+ ∆℘
aglomerado
2
= −(1 + m)
A
2
V
g
0
m
(℘
cl
+ ℘
cl
)
= −(1 + m)A
V
g
0
m
℘
cl
. (A.7)
Assumimos que o tempo inicial ´e grande o bastante para que quantidades
tais como NA|V/g
0
|
m
sejam pequenas, e a dissipa¸c˜ao total a cada colis˜ao
aglomerado-g´as possa ser uma pequena fra¸c˜ao da energia cin´etica do g´as.
As equa¸c˜oes (A.6) e (A.7) s˜ao resultados fundamentais. Podemos
transform´a-las em equa¸c˜oes de taxa com a determina¸c˜ao da taxa de colis˜ao
aglomerado-g´as. O tempo entre duas colis˜oes sucessivas ´e dado por
∆t =
2L
V
.
Portanto, utilizando a eq.(A.6 ), obtemos a equa¸c˜ao que governa o
comportamento do valor absoluto da velocidade do g´as:
˙
V =
∆V
∆t
= −(2N + 1)
A
4L
V
g
0
m
V
2
. (A.8)
A equa¸c˜ao para a press˜ao do g´as (taxa de transferˆencia de momento)
tamb´em ´e obtida:
p
gas
=
∆℘
aglomerado
total
∆t
= −(1 + m)
A
2L
V
g
0
m
V ℘
cl
.
Para N 1, podemos usar a eq.(A.8) e reescrever a equa¸c˜ao para a
press˜ao do g´as como:
Apˆendice A. Equa¸c˜oes do Equil´ıbrio Aglomerado-g´as 65
p
gas
= −(1 + m)
A
2L
V
g
0
m
V ℘
cl
= (1 + m)
2
˙
V
V (2N + 1)
℘
cl
= (1 + m)
˙
V
V
N +
1
2
℘
cl
=
(1 + m)
2
˙
V
V
˙ε. (A.9)
A.2
m = 0
No caso particular de um coeficiente de restitui¸c˜ao constante, assumimos
que:
A 1 ⇒ r = 1 − A ≈ 1.
Depois de uma colis˜ao com a part´ıcula lenta a part´ıcula r´apida adquire a
velocidade
v
= (1 − A) v.
Ao final de uma seq¨uˆencia de N colis˜oes, a velocidade da part´ıcula r´apida
(antes de colidir com a parede inel´astica) ser´a
v
N
= (1 − A)
N
v
0
.
O momento trocado com o aglomerado ser´a
∆℘
aglomerado
1
= [(1 − A )
N
− 1]v
0
.
Ap´os colidir com a parede inel´astica, a part´ıcula do g´as fica com a
velocidade
v
N
= −(1 − A)
N
v
0
.
Depois de colidir outras N vezes com as part´ıculas do aglomerado, a
part´ıcula do g´as ter´a a velocidade
v
N
= −(1 − A)
2N
v
0
.
O momento trocado com o aglomerado ser´a
Apˆendice A. Equa¸c˜oes do Equil´ıbrio Aglomerado-g´as 66
∆℘
aglomerado
2
= −(1 − A)
N
[(1 − A)
N
− 1]v
0
A mudan¸ca total na velocidade da part´ıcula do g´as, ap´os a colis˜ao com
a parede el´astica, ser´a
∆V = −[1 − (1 − A)
2N
]V. (A.10)
A taxa de com que V varia ´e dada por
˙
V = −
1 − (1 − A)
2N
2L
V
2
. (A.11)
O momento total ganho pelo aglomerado ap´os a colis˜ao ´e ent˜ao
∆℘
aglomerado
total
= ∆ ℘
aglomerado
1
+ ∆℘
aglomerado
2
= −[(1 − A)
N
− 1]
2
V. (A.12)
A press˜ao do g´as ser´a dada de forma similar ao caso m > 0:
p
gas
=
∆℘
aglomerado
total
∆t
= −
[(1 − A)
N
− 1]
2
2L
V
2
. (A.13)
Podemos ver que a press˜ao do g´as est´a relacionada `a varia¸c˜ao em sua
velocidade atrav´es da equa¸c˜ao
p
gas
=
1 − (1 − A)
N
1 + (1 − A)
N
˙
V . (A.14)
H´a uma clara mudan¸ca de regime na press˜ao do g´as quando passamos do
caso m > 0 para o caso m = 0. Isso faz com que a press˜ao aplicada pelo g´as, no
caso m > 0, seja mais fraca, dado que o fator
˙
V na eq.(A.9) est´a multiplicado
pelo fator ˙ε/V .
B
Dissipa¸c˜ao da Energia do Aglomerado na
Colis˜ao Aglomerado-g´as
B.1
m > 0
Para mostrarmos que a energia cin´etica do aglomerado n˜ao ´e afetada
pela colis˜ao aglomerado-g´as (na ordem de aproxima¸c˜ao considerada),
consideraremos a soma das velocidades depois da primeira passagem da
part´ıcula do g´as pelo aglomerado, em dire¸c˜ao `a parede inel´astica. Essa soma ´e
obtida atrav´es da conserva¸c˜ao do momento, ∆℘
gas
= ∆℘
aglomerado
, onde
∆℘
gas
= v
N
− v
0
e
∆℘
aglomerado
=
N−1
i=0
v
i
−
N
i=1
v
i
.
Portanto (lembrando que estamos usando a nota¸c˜ao v
0
= −V ),
N−1
i=0
v
i
=
N
i=1
v
i
− (v
N
− v
0
)
=
N
i=1
v
i
−
−
A
2
V
g
0
m
Nv
0
− (1 + m)
A
2
v
0
V
V
g
0
m
N
i=1
v
i
=
N
i=1
v
i
+
A
2
V
g
0
m
Nv
0
+ (1 + m)
A
2
v
0
V
V
g
0
m
N
i=1
v
i
=
N
i=1
v
i
−
A
2
V
g
0
m
NV − (1 + m)
A
2
v
0
V
V
g
0
m
N
i=1
v
i
=
1 − (1 + m )
A
2
v
0
V
V
g
0
m
N
i=1
v
i
−
A
2
V
g
0
m
NV. (B.1)
Nossos c´alculos s˜ao levados at´e a ordem N|V/g
0
|
m
no desenvolvimento do
coeficiente de restitui¸c˜ao, conforme a hierarquia (3.4). Eliminamos, assim,
Apˆendice B. Dissipa¸c˜ao da Energia do Aglomerado na
Colis˜ao Aglomerado-g´as 68
termos menores que N|V/g
0
|
m
.
Consideremos, agora, a soma das velocidades depois da passagem de volta
da part´ıcula do g´as,
N
i=1
v
i
=
1 − (1 + m)
A
2
v
0
V
V
g
0
m
N−1
i=0
v
i
−
A
2
V
g
0
m
NV. (B.2)
Substituindo a eq.(B.1) na eq.(B.2), temos
N
i=1
v
i
=
1 − (1 + m)
A
2
v
0
V
V
g
0
m
×
1 − (1 + m)
A
2
v
0
V
V
g
0
m
N
i=1
v
i
−
A
2
V
g
0
m
NV
+
A
2
V
g
0
m
NV
=
1 − (1 + m)
A
2
v
0
V
V
g
0
m
2
N
i=1
v
i
−
1 − (1 + m)
A
2
v
0
V
V
g
0
m
A
2
V
g
0
m
NV
+
A
2
V
g
0
m
NV
=
1 − (1 + m)A
V
g
0
m
N
i=1
v
i
−
A
2
V
g
0
m
NV +
A
2
V
g
0
m
NV
=
N
i=1
v
i
− (1 + m)A
V
g
0
m
N
i=1
v
i
.
Logo, temos a equa¸c˜ao que d´a a press˜ao exercida sobre o aglomerado pelo g´as:
N
i=1
v
i
−
N
i=1
v
i
= −(1 + m)A
V
g
0
m
N
i=1
v
i
. (B.3)
De maneira similar, obtemos as somas para os quadrados das velocidades:
N−1
i=0
(v
i
)
2
=
N
i=1
v
2
i
− AV
V
g
0
m
N
i=1
v
i
(B.4)
e
N
i=1
(v
i
)
2
=
N−1
i=0
(v
i
)
2
+ AV
V
g
0
m
N−1
i=0
v
i
(B.5)
Apˆendice B. Dissipa¸c˜ao da Energia do Aglomerado na
Colis˜ao Aglomerado-g´as 69
As equa¸c˜oes (B.1), (B.4) e (B.5) mostram que a energia cin´etica do
aglomerado permanece a mesma,
N
i=1
(v
i
)
2
=
N
i=1
v
2
i
+ O(σ
2
|V/g
0
|
2m
). (B.6)
B.2
m = 0
Como visto no apˆendice A, o g´as transfere momento para o aglomerado.
Assumiremos que NA 1. Isso n˜ao ´e t˜ao restritivo ao nosso argumento, uma
vez que mostraremos que um colapso granular de longo prazo acontecer´a para
o caso do coeficiente de restitui¸c˜ao quase-el´astico independente da velocidade.
Assim, isso certamente ocorrer´a para o caso em que o produto NA for grande.
Notamos que, `a medida que o g´as colide com o aglomerado, ele (o g´as)
transfere energia mudando as velocidades das part´ıculas em uma quantidade
proporcional a NA
˙
V . Ap´os elevar ao quadrado as velocidades (em rala¸c˜ao ao
centro de massa do aglomerado) de todas as part´ıculas do aglomerado, som´a-
las e subtrair seu valor inicial, obtemos uma taxa de energia, transferida ao
aglomerado, proporcional ao produto
˙
V e ˙ε.
A taxa com que σ muda tem duas parcelas principais: uma negativa,
proveniente das colis˜oes internas, e outra positiva, devida `a colis˜ao aglomerado-
g´as. Esta ´ultima pode ser desprezada. Isso ocorre porque, uma vez que |
˙
V |
|
˙
V ˙ε|, se assumirmos que |
˙
V ˙ε| >
σ
2
ε
, ent˜ao σ decair´a mais lentamente quando o
termo de transferˆencia de energia estiver presente. O termo correspondente
`a press˜ao da parede, na eq.(3.21), continuar´a sendo bem menor que o
correspondente `a press˜ao do g´as.
C
Comportamento de Longo Prazo: Solu¸c˜oes Assint´oticas
Vamos agora analisar a validade das solu¸cˆoes, dadas pelas equa¸c˜oes
(3.28),
V ∼ t
β
1
, σ ∼ t
β
2
(ln t)
α
2
, ε ∼ t
β
3
(ln t)
α
3
, (C.1)
propostas para o comportamento assint´otico das vari´aveis V , σ e ε, quando
m > 0. Para tanto, partiremos das equa¸c˜oes (3.19), (3.20) e (3.22):
˙
V = −V
2+m
, (C.2)
˙σ = −
σ
2+m
ε
. (C.3)
¨ε =
σ
2
ε
+
˙
V
V
˙ε. (C.4)
Come¸cando por β
1
, que corresponde `a lei de Haff, temos:
dV
dt
= −V
2+m
dV
V
2+m
= −dt
−
V
−(1+m)
1 + m
+ C
0
= −(t − t
0
).
Quando t = t
0
, temos:
C
0
=
V
−(1+m)
0
1 + m
.
Portanto, com esse valor de C
0
, podemos chegar a uma equa¸c˜ao para V com
uma forma similar `a apresentada no cap´ıtulo 3. Dessa forma:
Apˆendice C. Comportamento de Longo Prazo: Solu¸c˜oes Assint´oticas 71
−
1
1 + m
1
V
1+m
−
1
V
1+m
0
= −(t − t
0
)
1
V
1+m
=
1
V
1+m
0
+ (1 + m) (t − t
0
)
V
1+m
=
V
1+m
0
1 + (1 + m) (t − t
0
)V
1+m
0
V =
V
0
[1 + (1 + m) (t − t
0
)V
1+m
0
]
1
1+m
(C.5)
A eq.( C.5) corresponde `a eq.(3.23), com a diferen¸ca apenas em t
0
. Em nosso
modelo, come¸camos a an´alise do sistema em t
0
, que foi omitido das equa¸c˜oes
apresentadas para n˜ao sobrecarregar a nota¸c˜ao. Dessa forma, chegamos ao
primeiro expoente, β
1
,
V ∼ t
− 1
1+m
⇒ β
1
= −
1
1 + m
.
Para os pr´oximos coeficientes, usaremos as seguintes identidades:
d
dt
t
β
(ln t)
α
= β t
β−1
(ln t)
α
+ α t
β
(ln t)
α−1
t
−1
= β
t
β
t
(ln t)
α
+ α
t
β
t
(ln t)
α
(ln t)
=
β
t
+
α
t (ln t)
t
β
(ln t)
α
(C.6)
Apˆendice C. Comportamento de Longo Prazo: Solu¸c˜oes Assint´oticas 72
d
2
dt
2
t
β
(ln t)
α
=
d
dt
β
t
+
α
t (ln t)
t
β
(ln t)
α
=
β
t
+
α
t (ln t)
d
dt
t
β
(ln t)
α
+
t
β
(ln t)
α
d
dt
β
t
+
α
t (ln t)
=
β
t
+
α
t (ln t)
d
dt
t
β
(ln t)
α
+
t
β
(ln t)
α
−
β
t
2
−
α (1 + ln t)
t
2
(ln t)
2
=
β
t
+
α
t (ln t)
2
t
β
(ln t)
α
−
t
β
(ln t)
α
β
t
2
+
α (1 + ln t)
t
2
(ln t)
2
=
β(β − 1)
t
2
+
(2β − 1)α
t
2
ln t
+
α(α − 1)
t
2
(ln t)
2
t
β
(ln t)
α
(C.7)
Substituindo a solu¸c˜ao para σ, dada em (C.1), na eq.(C.3), temos:
˙σ ∼ −
t
β
2
(2+m)
(ln t)
α
2
(2+m)
t
β
3
(ln t)
α
3
(C.8)
Da identidade (C.6), temos que:
˙σ ∼
β
2
t
β
2
(ln t)
α
2
t
+
α
2
t
β
2
(ln t)
α
2
t (ln t)
. (C.9)
Comparando as equa¸c˜oes (C.8) e (C.9), temos:
−
t
β
2
(2+m)
(ln t)
α
2
(2+m)
t
β
3
(ln t)
α
3
∼
β
2
t
β
2
(ln t)
α
2
t
+
α
2
t
β
2
(ln t)
α
2
t (ln t)
−
1
t
β
3
−β
2
(2+m)
(ln t)
α
3
−α
2
(2+m)
∼
β
2
t
1−β
2
(ln t)
−α
2
+
α
2
t
1−β
2
(ln t)
1−α
2
(C.10)
Para que a eq.(C.10) seja consistente, uma das parcelas `a direita deve ser
nula. Para fazermos isso, temos que escolher β
2
= 0. Se tiv´essemos escolhido
α
2
= 0, ter´ıamos eliminado o logaritmo do lado direito da equa¸c˜ao e,
conseq¨uentemente, esta teria ficado inconsistente. Portanto:
β
2
= 0. (C.11)
Com isso, a eq.(C.10) fica
Apˆendice C. Comportamento de Longo Prazo: Solu¸c˜oes Assint´oticas 73
−
1
t
β
3
(ln t)
α
3
−α
2
(2+m)
∼
α
2
t(ln t)
1−α
2
(C.12)
Da eq.(C.12), vemos que α
2
< 0. Al´em disso,
β
3
= 1. (C.13)
Comparando os expoentes de (ln t) nos dois lados da eq.(C.12), temos
que
α
3
− α
2
(2 + m) = 1 − α
2
e, dessa forma, obtemos uma rela¸c˜ao entre α
2
e α
3
:
α
2
= −
1 − α
3
1 + m
. (C.14)
Com os valores de β
1
, β
2
e β
3
j´a obtidos, usaremos a eq.(C.4) para obter
α
2
e α
3
.
Substituindo as solu¸c˜oes (C.1) na eq.(C.4), temos:
¨ε ∼
t
2β
2
(ln t)
2α
2
t
β
3
(ln t)
α
3
+
β
1
t
β
3
t
+
α
3
t (ln t)
t
β
3
(ln t)
α
3
(C.15)
∼
(ln t)
2α
2
−α
3
t
−
1
1 + m
(ln t)
α
3
t
(C.16)
onde desprezamos o segundo termo entre colchetes na eq.(C.15), uma vez que
estamos analisando o comportamento assint´otico.
A eq.(C.16) representa o comportamento assint´otico de ¨ε. Como ¨ε
representa a acelera¸c˜ao do aglomerado, e uma vez que n˜ao h´a fonte de energia
alimentando o sistema, os termos `a direita na eq.(C.16) devem cancelar um ao
outro. Para isso, as duas potˆencias de (ln t) devem ser iguais. Logo
2α
2
− α
3
= α
3
. (C.17)
Dessa forma, com as equa¸c˜oes (C.14) e (C.17), encontramos:
α
2
= −
1
m
(C.18)
e
α
3
= −
1
m
. (C.19)
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