( PDF ) Decisão ótima de corte de uma floresta de eucalipto, utilizando diferenças finitas totalmente implícitas com algoritmo PSOR

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Universidade Presbiteriana Mackenzie

Programa de Pós-Graduação em Administração de Empresas

DECISÃO ÓTIMA DE CORTE DE UMA FLORESTA DE EUCALIPTO,

UTILIZANDO DIFERENÇAS FINITAS TOTALMENTE IMPLÍCITAS

COM ALGORITMO PSOR

Roberto Borges Kerr

São Paulo

2008

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Roberto Borges Kerr

Decisão ótima de corte de uma floresta de eucalipto, utilizando diferenças

finitas totalmente implícitas com algoritmo PSOR

Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação

em Administração de Empresas da Universidade

Presbiteriana Mackenzie como parte dos

requisitos para a obtenção do título de Doutor em

Administração de Empresas

Orientador: Professor Doutor Diógenes Manoel Leiva Martin

São Paulo

2008

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K41d Kerr, Roberto Borges

Decisão ótima de corte de uma floresta de eucalipto, utilizando diferenças finitas totalmente

implícitas com algoritmo PSOR. São Paulo, 2008.

145 p. : il. ; 30 cm

Referências: p. 123-128

Tese de doutorado em Administração de Empresas – Universidade Presbiteriana

Mackenzie, 2008.

1. Teoria de Investimento 2. Decisões ótimas de investimento 3. Opções reais I. Título

CDD 338.7

Reitor da Universidade Presbiteriana Mackenzie

Professor Dr. Manasses Claudino Fontelis

Coordenadora Geral da Pós-Graduação

Professora Dra. Sandra Maria Dotto Stump

Diretor da Centro de Ciências Sociais e Aplicadas

Professor Dr. Moisés Ari Zilber

Coordenadora do Programa de Pós-Graduação em Administração de

Empresas

Professora Dra. Darcy Mitiko Mori Hanashiro

Roberto Borges Kerr

Decisão ótima de corte de uma floresta de eucalipto, utilizando diferenças

finitas totalmente implícitas com algoritmo PSOR

Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação

em Administração de Empresas da Universidade

Presbiteriana Mackenzie como parte dos

requisitos para a obtenção do título de Doutor em

Administração de Empresas.

Aprovado em ___/____/2008.

BANCA EXAMINADORA

___________________________________________________________

Prof. Dr. Diógenes Manoel Leiva Martin

Universidade Presbiteriana Mackenzie

____________________________________________________________

Prof. Dr. Dirceu da Silva

Universidade Municipal de São Caetano do Sul

____________________________________________________________

Prof. Dr. Leonardo Fernando da Cruz Basso

Universidade Presbiteriana Mackenzie

____________________________________________________________

Prof. Dr. Luiz Gonzaga de Castro Junior

Universidade Federal de Lavras

____________________________________________________________

Prof. Dr. Wilson Toshiro Nakamura

Universidade Presbiteriana Mackenzie

Dedico este trabalho aos meus filhos: Elise, Bob,

Elena (in memoriam) e Fred, os quais eu tive a

benção de poder ver crescer e se transformar em

pessoas maravilhosas.

AGRADECIMENTOS

Agradeço em primeiro lugar a Deus que permitiu que eu concretizasse esse sonho e me

acompanhou durante a jornada.

Agradeço ao professor Dr. Diógenes, meu orientador e amigo, cuja competência e cuja

enorme dedicação, que excedeu em muito as obrigações de um orientador, possibilitaram que

eu concluísse esse trabalho.

Agradeço ao professor Dr. Leonardo e ao professor Dr. Luiz Gonzaga, pelas pertinentes

sugestões e pelos importantes comentários feitos por ocasião da qualificação, que eu procurei

incorporar ao trabalho.

Agradeço ao Bob, mestre em engenharia elétrica pela Poli-USP (o que me enche de orgulho),

pela competente programação do BobPsor, que permitiu que este trabalho fosse realizado.

Agradeço ao professor Dr. Perera, meu amigo, pela leitura dos manuscritos, pelos

comentários e sugestões e pela ajuda na formatação das tabelas.

Agradeço à professora Dra. Eliane Brito, coordenadora do programa de pós-graduação em

administração durante a elaboração deste trabalho, pelo incansável e incondicional apoio ao

longo da jornada.

Agradeço ao meu irmão, à minha mãe e aos meus filhos, que tiveram a brilhante idéia de me

presentear com um notebook, especialmente destinado à elaboração deste trabalho.

Agradeço à Maria Gabriela, competente bibliotecária, pelas incontáveis vezes em que me

ajudou a achar papers imprescindíveis para este trabalho.

Agradeço à Dagmar, detentora de todas as informações sobre as normas do programa, sempre

atenciosa e disposta a ajudar.

Agradeço à Lenira, pela elaboração da ficha catalográfica.

Agradeço a todos os colegas e amigos, que não vou nomear para evitar cometer injustiças,

pelo incentivo e pela empatia durante a labuta.

“Apega-te à instrução e não a largues;

guarda-a, porque ela é a tua vida.”

Provérbios 4:13

RESUMO

A Teoria das Decisões Financeiras procura entender e explicar como indivíduos e seus

agentes tomam decisões de consumo, poupança e investimento dentre as alternativas

disponíveis. O estudo do consumo e de decisões de investimento, feitas por indivíduos e

empresas, permite diversos modelos, apresentados neste trabalho. Entretanto, a teoria de

investimento ortodoxa não reconhece a importância qualitativa e as implicações quantitativas

da interação entre irreversibilidade, incerteza e a decisão ótima do ponto no tempo. A maioria

das decisões de investimento compartilha em maior ou menor grau três características

importantes, o investimento é parcialmente ou completamente irreversível, há incerteza

quanto aos fluxos de caixa futuros do investimento, há alguma margem de tempo para que a

decisão seja tomada. Estas três características têm que ser levadas em conta na determinação

da decisão ótima de investimento, pois a flexibilidade tem valor. O objetivo deste trabalho é

demonstrar que a abordagem das opções reais é capaz de quantificar adequadamente a

flexibilidade gerencial na avaliação de um projeto de investimento de capital sob incerteza e

produz melhores resultados na modelagem da decisão ótima de corte de um povoamento de

árvores em um projeto de reflorestamento. A decisão ótima de colheita foi modelada como

uma opção real do tipo americano, as inequações diferencias do problema de

complementaridade linear foram resolvidas pelo método das diferenças finitas totalmente

implícitas e o sistema linear de equações simultâneas foi resolvido por meio de uma técnica

interativa denominada projected over relaxation (PSOR), com a ajuda de um software

especialmente desenvolvido para este fim.

Palavras-chave: Teoria do Investimento, decisões ótimas de investimento, opções reais.

ABSTRACT

The Theory of Financial Decision Making tries to understand and explain how individuals

and their agents make choices among alternatives that have uncertain payoffs over multiple

time periods. The theory that explains how and why these decisions are made allows serveral

models, presented in this thesis. However, the ortodox theory does not recognize the

qualitative importance and quantitative implications of the interactions among irriversibility,

uncertainty, and optimal point in time for investment. Decision making involves almost

always three important characteristics; the investment is partially or completely irreversible,

there is uncertainty about the stream of future cash flows, and there is a window of time for

the decision to be made. These characteristics have to be taken into consideration in

determining the optimal time for investment, because flexibility has value. The objective of

this thesis is to demonstrate that the real options approach to uncertainty in resource allocation

and investment decision making is able to capture the value of managerial flexibility properly

and produces better results in modeling the optimal time to cut a stand of trees in a forestry

investment project. The theory of real options is used to model the optimal tree harvesting

decision. The linear complementarity partial differential inequalities were solved using the

numerical method known as fully implicit finite difference method, with the projected over

relaxation (PSOR) algorithm, using a software developed specially for this purpose.

Key-words: Investment science, optimal resource allocation, real options.

SUMÁRIO

LISTA DE TABELAS …………………………………………………………………. 12

LISTA DE QUADROS ………………………………………………………………... 13

LISTA DE FIGURAS ………………………………………………………………… 14

1. INTRODUÇÃO …………………………………………………………… 16

1.1. Justificativa …………………………………………………………………. 18

1.2. O problema de pesquisa …………………………………………………… 19

1.3. Objetivos ……………………………………………………………………. 20

1.3.1. Objetivo geral ………………………………………………………………. 20

1.3.2. Objetivos específicos ……………………………………………………… 20

1.4. Estrutura do trabalho ……………………………………………………… 20

2. REFERENCIAL TEÓRICO ……………………………………………… 22

2.1. Decisões de consumo e investimento em condições de certeza, com período

de tempo único e ausência de mercados de capitais. ....................................... 22

2.2. Decisões de investimento em condições de certeza, com período de tempo

único e mercados de capitais .......................................................................... 29

2.2.1. Efeitos das variações em r .............................................................................. 31

2.2.2. Efeitos da Inflação ......................................................................................... 33

2.2.3. Análise da demanda por capital ...................................................................... 33

2.2.4. Decisões de investimento em condições de certeza e tempo discreto ............ 34

2.3. Decisões de investimento em condições de certeza, multiperíodo ................. 35

2.3.1. A abordagem do valor presente descontado para decisões de investimento .. 35

2.4. Decisões de investimento em condições de certeza, em tempo contínuo ....... 36

2.4.1. Alocação ótima de recursos ao longo do tempo ............................................. 37

2.4.2 Recursos finitos .............................................................................................. 41

2.4.3 Caminho ótimo de preços ............................................................................... 42

2.5. Avaliação de investimentos ............................................................................ 43

2.5.1 Período único .................................................................................................. 46

2.5.2 Àrvore binomial-dupla .................................................................................... 47

2.5.3. Investimentos com incerteza privada .............................................................. 50

2.5.4. Análise do preço de compra ........................................................................... 52

2.5.5. Certeza equivalente e utilidade exponencial ................................................... 52

2.5.6. Decisões de investimento em condições de incerteza em tempo contínuo .... 54

2.6. Decisões de investimento em condições de incerteza em tempo contínuo –

opções reais ..................................................................................................... 56

2.7. Soluções numéricas ........................................................................................ 60

2.8. Diferenças finitas ............................................................................................ 60

2.8.1. Discretização da PDE para avaliar opções ..................................................... 64

2.9. Diferenças finitas totalmente implícitas ......................................................... 65

2.10. Diferenças finitas explícitas ............................................................................ 69

2.11. Método de Crank-Nicholson ........................................................................... 70

2.12. Método de Hopscotch ..................................................................................... 72

2.13. Sistema de Equações Lineares ........................................................................ 72

2.13.1. Decomposição LU .......................................................................................... 72

2.13.2. Métodos Interativos ....................................................................................... 74

2.13.2.1. Jacobi .............................................................................................................. 74

2.13.2.2. Gauss-Seidl ..................................................................................................... 75

2.13.2.3.

Successive over-relaxation (SOR) .................................................................. 75

2.13.2.4.

Projected successive over-relaxation (PSOR) ................................................ 76

2.13.3. Simulação de Monte Carlo e opções americanas .......................................... 76

2.13.4. Elementos finitos ........................................................................................... 78

3. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS .................................................. 79

3.1. Tipo e método de pesquisa ............................................................................ 79

3.2. Hipóteses ....................................................................................................... 79

3.3. Definição e operacionalização das variáveis ................................................. 80

3.3.1. Variável dependente ...................................................................................... 80

3.3.2. Variáveis independentes ................................................................................. 80

3.4. Metodologia ................................................................................................... 81

3.4.1. Modelagem da opção de cortar as árvores .................................................... 81

3.4.2.

Decisão de colheita com preços seguindo movimento browniano geométrico

(MBG) ............................................................................................................

3.4.3.

Decisão de colheita com preços seguindo movimento de reversão geométrica

á média (RGM) ..............................................................................................

3.4.4. O software BobPsor desenvolvido para a solução numérica do problema ... 89

3.5. Amostra e dados ............................................................................................ 91

4. ANÁLISE DE DADOS E RESULTADOS .................................................. 96

4.1. Análise das séries históricas de preços de madeira ....................................... 96

4.2. Tratamento dos dados para aplicação no

software Bobpsor ......................... 100

4.3. Resultados ...................................................................................................... 105

4.4. Limitações do Estudo ..................................................................................... 120

5. CONCLUSÕES ............................................................................................. 120

5.1. Recomendações ..................................................................................... 122

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 123

APÊNDICE A .............................................................................................................. 129

APÊNDICE B .............................................................................................................. 131

APÊNDICE C .............................................................................................................. 137

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 Teste ADF para preços nominais de coníferas canadenses ......................... 98

Tabela 2 Teste ADF para preços deflacionados de coníferas canadenses ................. 98

Tabela 3 Teste ADF para preços nominais de eucaliptos brasileiros .......................... 99

Tabela 4 Teste ADF para preços deflacionados de eucaliptos brasileiros ................. 99

Tabela 5 Resultados da regressão com dados de coníferas canadenses ..................... 103

Tabela 6 Estatísticas da regressão com dados de coníferas canadenses .................... 103

Tabela 7 Resultados da regressão com dados de eucalipto brasileiro ........................ 103

Tabela 8 Estatísticas da regressão com dados de eucalipto brasileiro ....................... 103

Tabela 9 Parâmetros estimados com dados das coníferas canadenses ....................... 104

Tabela 10 Parâmetros estimados com dados de eucalipto brasileiro ........................... 104

Tabela 11 Valor do povoamento de eucaliptos no Brasil – MBG ................................ 105

Tabela 12 Valor do povoamento de eucaliptos no Brasil – RGM ................................ 105

Tabela 13 Valor do povoamento de coníferas no Canadá – MBG ............................... 106

Tabela 14 Valor do povoamento de coniíferas no Canadá – RGM .............................. 106

Tabela 15 Preços críticos para os dois processos de difusão de preços no Brasil e no

Canadá .......................................................................................................... 107

Tabela 16 Efeitos do aumento de volatilidade sobre os valores da opção – Brasil

processos de difusão MBG e RGM ............................................................. 110

Tabela 17 Valores da Opção em função dos preços de eucalipto e das taxas de juros

para quatro idades diferentes e dois processos de difusão de preços MGB e

RGM ............................................................................................................ 112

Tabela 18 Valores da floresta brasileira em função da idade, dos preços da madeira e

das três velocidades de reversão à média .................................................... 114

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 Opções financeiras versus opções reais .................................................. 57

Quadro 2 Equações de discretização mais comuns em diferenças finitas ............... 63

Quadro 3 Aceitação/Rejeição das hipóteses formuladas ......................................... 119

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Decisão de consumir ................................................................................ 24

Figura 2 Decisão de investimento .......................................................................... 26

Figura 3 Linhas Iso-VP ......................................................................................... 27

Figura 4 Produtividade de investimento ............................................................... 28

Figura 5 Decisão ótima de investimento com aplicação financeira ...................... 29

Figura 6 Decisão ótima de investimento com empréstimo financeiro .................. 30

Figura 7 Oferta e demanda .................................................................................... 32

Figura 8 Árvore binomial ...................................................................................... 48

Figura 9 Árvore binomial dupla ............................................................................ 48

Figura 10 Aproximação da tangente à função no ponto P, por diferenças finitas ... 62

Figura 11 Matriz tridiagonal que resulta do método das diferenças finitas ............. 67

Figura 12 Série histórica de preços nominais de coníferas canadenses ................... 92

Figura 13 Série histórica de preços deflacionados de coníferas canadenses ........... 92

Figura 14 Série histórica de preços nominais de eucaliptos no Brasil .................... 93

Figura 15 Série histórica de preços deflacionados de eucaliptos no Brasil ............. 94

Figura 16 Volume de madeira em função da idade – coníferas canadenses ............ 94

Figura 17 Volume de madeira em função da idade – eucaliptos no Brasil ............. 95

Figura 18 Taxa de crescimento do volume de madeira x idade para o povoamento

de coníferas canadenses .......................................................................... 101

Figura 19 Taxa de crescimento do volume de madeira x idade para o povoamento

de eucaliptos brasileiros .......................................................................... 101

Figura 20 Comparação entre valores da opção (aos 12 anos) em função dos preços

de madeira, para os dois processos de difusão, com a série brasileira de

preços de eucaliptos................................................................................... 107

Figura 21 Comparação entre valores da opção (aos 85 anos) em função dos preços

de madeira, para os dois processos de difusão, com a série canadense de

preços de coníferas .................................................................................. 108

Figura 22 Comparação das fronteiras ótimas de exercício (preços críticos) para os

dois processos de difusão, com a série brasileira de preços de eucalipto.. 108

Figura 23 Diferença (

Δ = P

crit-MBG

– P

crit-RGM

) entre preços críticos dos dois

processos de difusão MBG e RGM – dados eucalipto Brasil ................. 109

Figura 24 Efeitos do aumento de volatilidade sobre os preços críticos – Brasil –

processo de difusão RGM ....................................................................... 111

Figura 25 Valores da opção em função dos preços de eucalipto e das taxas de juros

para o povoamento de eucaliptos brasileiros aos sete anos de idade ...... 113

Figura 26 Valores da floresta brasileira aos 7 anos de idade em função dos preços

de madeira, com

η = 0,45 e η = 1,36 ....................................................... 114

Figura 27 Preços críticos em função da idade da floresta brasileira de eucaliptos,

para as velocidades de reversão η = 0,45 e η = 1,36 ............................... 115

Figura 28 Valores da floresta brasileira aos sete anos de idade em função dos

preços da madeira, com velocidades de reversão η = 0,45 e η = 0,09 .... 115

Figura 29 Valores da floresta brasileira aos 12 anos de idade em função dos preços

da madeira, com velocidades de reversão η = 0,45 e η = 0,09 ................ 116

Figura 30 Preços críticos em função da idade da floresta de eucaliptos brasileira,

com velocidades de reversão η = 0,45 e η = 0,09 ................................... 116

Figura 31 Valores da floresta canadense aos 85 anos de idade, em função dos

preços de madeira, com velocidades de reversão η = 0,227 e η = 0,682 117

Figura 32 Valor da floresta brasileira aos sete anos de idade em função dos preços

da madeira que seguem MBG ................................................................. 118

1. INTRODUÇÃO

A teoria das decisões financeiras, que é objeto de estudo da Teoria de Finanças e da

Teoria Microeconômica, procura entender e explicar como indivíduos e seus agentes tomam

decisões de consumo, poupança e investimento dentre as alternativas disponíveis.

O estudo do consumo e de decisões de investimento, feitas por indivíduos e empresas,

permite diversos modelos. O modelo mais simples supõe um único indivíduo — portanto a

inexistência de mercados de capitais — em um único período de tempo e supõe decisões

tomadas em condições de certeza, é conhecido na literatura de microeconomia como o

modelo Robson Crusoe, em uma alusão ao célebre personagem do romance de Daniel Defoe,

que viveu anos em uma ilha deserta após um naufrágio. Esse indivíduo deve decidir entre

consumo no tempo corrente e consumo no tempo futuro. Nesse modelo, a decisão de não

consumir agora significa a mesma coisa que investir. Para tomar uma decisão, nesse modelo

simplificado, o investidor precisa de apenas dois tipos de informação, entender seu próprio

processo de compensação entre consumo corrente e consumo futuro, sintetizado nas curvas de

indiferença e entender os processos viáveis de compensação entre consumo corrente e

consumo futuro, tecnologicamente possíveis, sintetizados nos conjuntos de oportunidades de

investimento. Nesse modelo, a decisão ótima de investimento estabelece uma taxa de juros

subjetiva para o investidor, que representa sua taxa particular de troca entre consumo corrente

e consumo futuro. Pode-se entender essa taxa de juros como sendo o preço do consumo

diferido ou a taxa de retorno exigida pelo investidor sobre o investimento.

O segundo modelo, um pouco menos restritivo, supõe uma economia com vários

indivíduos (vários sextas feiras já teriam desembarcado na ilha), introduz o mercado de

capitais e a possibilidade para o investidor de trocar consumo corrente por consumo futuro,

tomando empréstimos ou fazendo empréstimos. A introdução dessas oportunidades de troca

resulta em uma única taxa de juros, a taxa determinada pelo mercado, que todos os

investidores podem usar para tomar decisões ótimas de consumo e investimento. Além disso,

demonstra-se que a existência de mercado de capitais nesse modelo causará um aumento da

utilidade para praticamente todos os participantes.

O terceiro modelo, o modelo dinâmico, enfoca a decisão de investimento em

empresas, em um contexto multiperíodo, mas ainda em condições de certeza. Administradores

necessitam de regras ótimas de investimento para ajudá-los a selecionar os projetos que

maximizem a riqueza dos acionistas. Essa seria uma tarefa impossível para um administrador,

considerando-se que as funções utilidade de cada investidor não são iguais e não podem ser

comparadas e nem combinadas. Entretanto, se os mercados de capitais forem perfeitos, no

sentido de que não há atritos que possam fazer com que as taxas para tomar empréstimos

sejam diferentes das taxas para emprestar, então vale o Teorema da Separação de Fischer que

diz basicamente que em um dado mercado de capitais perfeito e completo, a decisão de

produção é função unicamente de um critério objetivo de mercado, representado pela

maximização da riqueza, e não mais pelas preferências subjetivas que entram nas decisões de

consumo dos indivíduos. Como conseqüência, os indivíduos podem delegar decisões de

investimento ao administrador da empresa da qual são investidores. Independentemente da

forma das funções de utilidade individuais dos investidores, o administrador maximizará a

riqueza individual e coletiva desses acionistas investindo até que taxa de retorno do projeto

mais desfavorável seja exatamente igual à taxa de retorno determinada pelo mercado. O

princípio da separação, introduzido pelo teorema de Fisher, faz com que maximizar a riqueza

dos acionistas seja o mesmo que maximizar o valor presente do consumo total desses

investidores descontado ao custo de oportunidade do capital, que é a taxa determinada pelo

mercado.

O critério de aceitação de projetos de investimento pelo valor presente líquido

descontado (VPL), pressupõe algumas hipóteses restritivas. Não há incerteza nos fluxos de

caixa futuros do projeto. O custo de oportunidade do capital, ou seja, a taxa determinada pelo

mercado, é conhecida. O mercado de capitais não tem atritos, de modo que vale o teorema da

separação de Fisher e, finalmente, os custos de monitoramento são nulos. Para estender o

critério do valor presente líquido para fluxos de caixa com incerteza, será utilizado o conceito

de certeza equivalente, que é o fluxo de caixa certo que tem o mesmo valor presente do que o

fluxo de caixa incerto, naquele mesmo ponto no tempo.

A maioria das decisões de investimento compartilha em maior ou menor grau três

características importantes, o investimento é parcialmente ou completamente irreversível, há

incerteza quanto aos fluxos de caixa futuros do investimento, há alguma margem de tempo

para que a decisão seja tomada. Essas três características têm que ser levadas em conta na

determinação da decisão ótima de investimento. A teoria de investimento ortodoxa não

reconhece, entretanto a importância qualitativa e as implicações quantitativas da interação

entre irreversibilidade, incerteza e a decisão ótima do ponto no tempo. Algumas decisões que

são o oposto de investimento, como por exemplo, a obtenção de um benefício imediato em

troca de um custo futuro incerto, também são decisões irreversíveis.

A teoria das opções reais, que será usada neste trabalho para modelar a decisão ótima

de investimento, procura completar estas deficiências da teoria ortodoxa. A teoria das opções

reais mostra que o risco pode ser influenciado pela flexibilidade administrativa e faz com que

esta se torne um instrumento importante na criação de valor. Nessas circunstâncias, a

incerteza pode aumentar o valor de uma oportunidade de investimento. Este trabalho irá

examinar um exemplo que é recorrente na teoria ortodoxa de investimento, o corte de um lote

de árvores, que será tratado como uma opção real, semelhante em natureza a uma opção de

compra americana, com os custos de colheita das árvores como preço de exercício e sob

preços de madeira aleatórios. Entretanto, esta modelagem conduz ao problema de avaliar o

valor de uma opção do tipo americano sobre um ativo que paga dividendos e tem preço de

exercício não nulo. Não há solução analítica conhecida para este problema, então, quando se

avalia um investimento florestal como uma opção real, é necessário resolver numericamente

as equações diferenciais parciais (partial differential equation, PDE) que resultam da

modelagem, o que foi feito neste trabalho, utilizando uma abordagem numérica conhecida

com método das diferenças finitas totalmente implícitas, que exige a solução de um sistema

de equações lineares, o qual foi resolvido com um algoritmo denominado de projected

successive over relaxation (PSOR).

1.1. Justificativa

A abordagem das opções reais na avaliação de projetos de investimento sob condições

de incerteza está revolucionando o processo de tomada de decisões nas empresas. É um novo

paradigma para avaliação, administração de projetos e tomada de decisões estratégicas que

permite a flexibilidade e o escalonamento nas tomadas de decisão sob condições de incerteza.

Esta abordagem consegue capturar o valor da flexibilidade gerencial de adaptar e rever as

decisões, em um tempo futuro, sob as condições certas e com o benefício de melhores

informações (SCHWARTZ e TRIGEORGIS, 2001).

A flexibilidade tem valor. Embora esta afirmação seja conceitualmente óbvia, a prática

se mostra surpreendentemente complexa. A presença da flexibilidade não está refletida por

completo nas técnicas tradicionais de análise de investimento, como o fluxo de caixa

descontado, simulação de Monte Carlo e árvores de decisão, mas os modelos baseados em

opções, desenvolvidos nos últimos anos, são capazes de capturar o impacto da flexibilidade

nas decisões de alocação de recursos (TRIGEORGIS, 2000).

É relevante academicamente e praticamente a quantificação da flexibilidade gerencial

na avaliação de projetos de investimento de capital sob incerteza. O presente trabalho é

original por aplicar esse modelo na decisão ótima de corte de um povoamento de

eucaliptos de reflorestamento no Brasil, utilizando o método das diferenças finitas

totalmente implícitas e resolvendo o sistema linear de equações resultante, através da

técnica interativa conhecida como projected successive over relaxation (PSOR). Não se

tem conhecimento, até o momento, de outros trabalhos realizados no Brasil, que buscassem

determinar o tempo ótimo de corte de um povoamento de reflorestamento, utilizando a

abordagem de opões reais e que tenham resolvido numericamente as equações diferenciais

pertinentes utilizando este método numérico com esta técnica interativa, como foi feito neste

trabalho.

1.2. O problema de pesquisa

Segundo Cervo e Bervian (2002, p.84), “problema é uma questão que envolve

intrinsecamente uma dificuldade teórica ou prática, para a qual se pretende encontrar uma

solução”.

A formulação do problema está intimamente ligada ao tema proposto e esclarece uma

dificuldade específica e que se pretende resolver por intermédio da pesquisa (MARCONI e

LAKATOS, 2001).

O problema de pesquisa envolve uma ou mais dúvidas ou dificuldades em relação

tema, que o trabalho se propõe a resolver. O problema deve expressar uma relação entre duas

ou mais variáveis, deve ser formulado claramente e sem ambigüidade em forma de uma

pergunta. A formulação deve implicar a possibilidade de realizar um teste empírico, portanto

as variáveis devem ser passíveis de observação e mensuração (KERLINGER, 2003).

Com base nas definições acima e considerando-se que a teoria de investimento

ortodoxa não reconhece a importância qualitativa e as implicações quantitativas da interação

entre irreversibilidade, incerteza e a decisão ótima do ponto no tempo e que a teoria das

opções reais mostra que o risco pode ser influenciado pela flexibilidade administrativa e faz

com que esta se torne um instrumento importante na criação de valor e que nestas

circunstâncias, a incerteza pode aumentar o valor de uma oportunidade de investimento,

formulou-se o seguinte problema de pesquisa:

A abordagem das opções reais na avaliação de um projeto de investimento de capital

sob incerteza é capaz de quantificar a flexibilidade gerencial e é capaz de modelar a decisão

ótima de corte de um lote de árvores em um projeto de reflorestamento?

1.3. Objetivos

1.3.1. Objetivo geral

O objetivo geral deste trabalho é demonstrar que a abordagem das opções reais é capaz de

quantificar a flexibilidade gerencial na avaliação de um projeto de investimento de capital sob

incerteza e é capaz de modelar a decisão ótima de colheita de um povoamento de árvores em

um projeto de reflorestamento.

1.3.2. Objetivos específicos

Os objetivos específicos são:

a) Mostrar as técnicas de precificação de opções financeiras essenciais para a

avaliação e entendimento das opções reais;

b) Apresentar uma revisão bibliográfica detalhada da teoria de análise de

investimento ótimo em condições de incerteza;

c) Aplicar a teoria das opções reais em um caso prático, de forma a obter o valor de

um povoamento de árvores em um projeto de reflorestamento e a fronteira ótima

de exercício da opção de corte das árvores;

d) Comparar a decisão ótima de colheita obtida quando os preços do ativo objeto

seguem o processo estocástico de difusão conhecido como movimento browniano

geométrico (MBG), com a decisão ótima de colheita obtida quando os preços do

ativo objeto seguem o processo estocástico de difusão conhecido como reversão

geométrica à média (RGM).

e) Realizar análises de sensibilidade para auxiliar o processo de tomada de decisão de

exercício da opção e observar os movimentos ocorridos na fronteira ótima e no

valor da opção.

1.4 Estrutura do Trabalho

Este trabalho apresenta primeiramente os modelos da Teoria de Finanças e da Teoria

Microeconômica, que estudam o problema da decisão de consumo e investimento feita por

indivíduos e empresas.

No Capítulo 2 são apresentados os modelos de decisão. Primeiramente o modelo de

consumo e investimento de um indivíduo, em condições de certeza, com período único e na

ausência de um mercado de capitais. Depois o modelo de decisões de investimento de

empresas, em condições de certeza, com período único e considerando a existência de um

mercado de capitais. Em seguida o modelo de decisões de investimento, em condições de

certeza, multiperíodo e em tempo contínuo. Apresenta-se depois o de decisões de

investimento em condições de incerteza e em tempo contínuo. Finalmente é apresentado o

modelo de decisões de investimento em condições de incerteza e em tempo contínuo, com a

abordagem das opções reais.

No capítulo 3, são apresentados os procedimentos metodológicos da pesquisa. O

problema de pesquisa é explicitado no item 3.1. As hipóteses do trabalho são formuladas no

item 3.2. As variáveis dependentes e independentes são definidas e é mostrado como foram

operacionalizadas no item 3.3. A metodologia utilizada é apresentada no item 3.4.,

especificamente as modelagens da opção de colher as árvores de um povoamento de

reflorestamento e a decisão de colheita utilizando dois processos de difusão de preços, são

apresentadas nos subitens deste item. Amostra e dados estão explicados no item 3.5. Análise

de dados e resultados são apresentadas no item 4. As conclusões são apresentadas no item 5.

Finalizando, as recomendações para os próximos estudos são apresentadas no item 5.1.

2. REFERENCIAL TEÓRICO

2.1. Decisões de consumo e investimento em condições de certeza, com período de tempo

único e ausência de mercados de capitais.

Estoque de capital, sob o ponto de vista da economia, é a soma total de máquinas,

prédios, e outros recursos de produção existentes em uma sociedade em algum ponto no

tempo. Estes ativos representam uma parte da produção passada daquela economia, que não

foi consumida, mas que em vez foi poupada para ser usada em produção no futuro. Sacrifício

presente em troca de ganhos futuros é um aspecto essencial da acumulação de capital.

(NICHOLSON, 2002).

Seja uma sociedade consumindo inicialmente ao nível Co já por algum tempo. No

tempo t

é tomada a decisão de poupar parte da produção atual, a quantia s, durante um

período. No período t

este consumo poupado em t

é, de algum modo, investido para

produzir consumo futuro. Ligado a este processo está o conceito de taxa de retorno, que é a

taxa obtida sobre aquela parte do consumo que foi poupada e investida. Se, por exemplo, todo

o consumo poupado for usado para produzir consumo adicional somente em um período

seguinte, t

, o consumo será aumentado em x no período t

e então retornará ao nível histórico

Co. A sociedade poupou em um ano de modo a poder consumir mais no ano seguinte. A taxa

de retorno de um período (r

) em um investimento é o consumo extra, produzido no período

(2), expressa como uma fração do consumo poupado no período (1). Isto é:







(1)

Se x  s, isto é, se o resultado deste processo é a possibilidade de se obter mais

consumo no período (2) do que aquele que foi poupado no período (1), diz-se que a taxa de

retorno de um único período de acumulação de capital é positiva (NICHOLSON, 2002).

Por outro lado se esta sociedade tiver uma visão de mais longo prazo em seu processo

de acumulação de capital, novamente uma quantia s será poupada no tempo t

, mas este

consumo poupado será usado para aumentar o nível de consumo em todos os períodos futuros

subseqüentes. Se o nível de consumo permanente for elevado a Co + , então a taxa de retorno

perpétua (r



), que é o incremento em consumo futuro expresso como uma fração do consumo

inicial poupado, será dada por:







(2)

Se a acumulação de capital conseguir aumentar o consumo C

permanentemente, r



será positiva.

Pode-se definir taxa de retorno como sendo uma medida dos termos de troca entre

consumo corrente e consumo futuro (NICHOLSON, 2002).

A taxa de retorno de equilíbrio é determinada pela oferta e demanda por bens futuros.

Considerando-se apenas dois períodos – o período presente, indicado pelo subscrito (0) e o

período seguinte, indicado pelo subscrito (1), a taxa de retorno de um único período, entre

estes dois períodos, será dada por:







(3)

onde o símbolo  é utilizado para indicar a variação em consumo entre os dois períodos.

Reescrevendo-se a Equação (3) tem-se:





(4)







(5)

Esta equação indica o quanto de Co deve ser poupado para aumentar C

em uma unidade.

O preço relativo de bens futuros, (P

), é definido como sendo a quantidade de bens

presentes que deve ser poupada para aumentar o consumo futuro em uma unidade e é dado

por:









(6)

A teoria da demanda por bens futuros é uma aplicação do modelo de maximização da

utilidade. Neste caso, a utilidade do indivíduo depende do consumo corrente e do consumo

futuro [Utilidade = U (C

, C

)] e o indivíduo deverá decidir quanto de sua riqueza atual (W)

deverá alocar para cada período. Riqueza não consumida correntemente pode ser investida à

taxa de retorno r, para se obter consumo no período seguinte. P

reflete o custo de consumo

futuro. A restrição orçamentária do indivíduo é dada por:

W = C

+ P

(7)

Se toda a riqueza for consumida em C

, o consumo corrente atual no período (1) será

W e o consumo no período (2) será zero. Por outro lado, se toda a riqueza for poupada, o

consumo atual será zero e o consumo em C

será W/P

= W (1+ r). Em outras palavras, se toda

a riqueza for investida à taxa de retorno r, a riqueza atual crescerá até atingir W (1 + r) no

período (2), como mostra a Figura abaixo (NICHOLSON, 2002).

Figura 1 – Decisão de Consumir

Fonte: Nicholson, 2002

Sobrepondo-se sobre o gráfico de restrição orçamentária, o mapa de curvas de

indiferença para C

e C

, obtém-se a maximização da utilidade (ver Fig. 1). A utilidade é

maximizada em Co* e C

*. O indivíduo consome correntemente Co e poupa W – Co* para

consumo futuro. Este consumo futuro é dado, a partir da restrição orçamentária, por:



 CWCP

(8)









 (9)









rCWC 



(10)

Em outras palavras, riqueza não consumida (W – Co*) é investida à taxa de retorno r e

crescerá para atingir C

* no próximo período.

As escolhas de maximização de utilidade de um indivíduo dependerão de como ele se

sente a respeito dos méritos relativos de consumo corrente versus consumo futuro. Uma

maneira de representar esta impaciência do consumidor é supor que a utilidade de consumo

futuro está implicitamente descontada na mente do indivíduo (PINDYCK & RUBINFELD,

1998).

Supondo-se que a função utilidade de consumo seja igual nos dois períodos U(C) e

supondo-se que U`(C) > 0 e U” (C) < 0 ,supondo-se ainda que a utilidade no período (1) seja

descontada implicitamente na mente do indivíduo a uma taxa de preferência temporal ( > 0),

a função utilidade intertemporal seria dada por:

     

1010

CUCUCCU







(11)

Com a restrição:





(12)

Maximizando a função dada em (11), com a restrição intertemporal de orçamento dada

em (12), e utilizando o Multiplicador Lagrangeano temos:

 

















CWCCU

010



(13)

Portanto as condições de primeira ordem são dadas por:

 

1£

0´































(14)

Resolvendo, obtém-se:

   





 (15)

Embora um consumidor possa ter a preferência por bens presentes ( > 0), ele poderá

consumir mais no futuro do que no presente se a taxa de retorno recebida sobre a poupança

for suficientemente alta (NICHOLSON, 2002).

No contexto das decisões ótimas de investimento em tempo discreto em um único

período, a política ótima de investimentos é obtida combinando os conceitos de uma curva de

produtividade de investimento e um mapa de curvas de indiferença para poder determinar a

política ótima de investimento de uma empresa em particular. A Figura 2 mostra a

sobreposição das curvas de indiferença para um indivíduo hipotético confrontado com as

oportunidades de investimento resumidas na curva de produtividade de investimento W

d. A

riqueza inicial do indivíduo é W

Figura 2 – Decisão de Investimento

Fonte: Levy & Sarnat (1994)

A Figura 2 mostra que o padrão de fluxo de caixa (C

, C

) designado por C* permite

ao indivíduo alcançar sua curva de indiferença mais alta (I

) no ponto de tangência das duas

curvas. A combinação de consumo ótima indica a política de investimento ótima, o ponto C*

pode ser obtido através da combinação do consumo de C

no período corrente com o

investimento de W

- C

= I

de modo a fornecer um fluxo de caixa no segundo período que

seja suficiente para garantir um consumo de C

(LEVY & SARNAT, 1994).

O valor presente da utilidade de um indivíduo, confrontado com fluxos de caixa C

primeiro período e C

no segundo período, será dado por:





(16)

onde r designa o custo de oportunidade do capital para o indivíduo, que em um mercado

perfeito sob condições de certeza é também igual ao custo da taxa de juros sem risco para

tomar emprestado e para emprestar. Para qualquer dado valor de VP, há infinitas

combinações de C

e C

que satisfazem esta equação. Portanto pode-se escrever a seguinte

relação linear entre C

e C









rCrVC  11

011

(17)

como r é constante, a interseção desta linha com o eixo vertical é a constante VP

(1 + r) e a

inclinação da reta é dada por – (1 + r ) . Todas as combinações de fluxos de caixa (C

, C

)

que caem sobre esta reta fornecem o mesmo valor presente de consumo, o qual neste caso

particular é igual a VP

. Desejando-se encontrar combinações de (C

, C

) que forneçam um

valor presente mais alto, por exemplo VP

, substitui-se este valor na Equação (17) gerando

uma segunda reta com a mesma inclinação mas com um intercepto maior no eixo vertical. O

conjunto de valores de VP é representado por uma série de retas paralelas, cada uma com a

propriedade de que qualquer combinação (C

, C

) sobre a reta, conduz ao mesmo valor

presente, daí o nome linhas iso-VP (LEVY & SARNAT, 1994).

Figura 3 – Linhas Iso-VP

Fonte: Levy & Sarnat (1994).

Examinando-se o conjunto típico de retas iso-VP mostradas na Figura 3, vê-se que o

investidor preferiria alcançar a linha mais alta, VP

, pois para cada combinação de (C

, C

)

nas linhas VP

e VP

, há uma combinação de (C

, C

) na linha VP

, que fornece uma

combinação de consumo mais alta nos dois períodos. Entretanto, nem todas estas linhas

representam combinações de fluxos de caixa alcançáveis; a viabilidade de uma linha iso-VP

depende da riqueza inicial do indivíduo,W

, bem como das oportunidades de investimento

disponíveis, representada pela curva de produtividade do investimento. A Figura 4 mostra a

sobreposição de um mapa de linhas iso-VP sobre a curva de produtividade do investimento.

A riqueza inicial é representada por W

no eixo horizontal.

Figura 4 – Produtividade de Investimento

Fonte: Levy & Sarnat (1994).

Examinando-se a Figura 4, vê-se que o indivíduo preferiria atingir a reta VP

entretanto nenhuma das combinações de (C

, C

) que caem nesta reta são atingíveis porque

esta reta fica acima da linha de produtividade do investimento. Dadas as oportunidades de

produtividade do investimento e a sua riqueza inicial, a combinação de fluxos de caixa

líquidos (C

, C

) designada pelo ponto C* e pelo investimento corrente I

necessário para se

atingir esta combinação são as melhores alternativas no sentido de que elas maximizam o

valor presente dos fluxos de caixa (LEVY & SARNAT, 1994).

O valor presente do consumo é dado por:

 





(18)

O investidor tem uma riqueza inicial de W

, e investe I

, portanto W

– I

= C

substituindo-se em (18) tem-se:

 





(19)

Como C1 é o fluxo de caixa futuro devido ao investimento, C1 / (1 + r) – I

= VPL,

portanto:

LVWV 

(20)

Portanto aceitando-se todos os projetos com VPL positivo maximizamos o VP do

consumo. Maximizar o VPL dos projetos ou alcançar a reta de VP de consumo mais alta,

conduz à mesma decisão de investimento, isto é, investir I

(LEVY & SARNAT, 1994).

2.2. Decisões de investimento em condições de certeza, com período de tempo único e

mercados de capitais.

Sobrepondo-se agora as curvas de indiferença do indivíduo sobre a Figura 4 obtém-se

a Figura 5 abaixo.

Figura 5 – Decisão Ótima de Investimento com Aplicação Financeira

Fonte: Levy & Sarnat (1994).

O indivíduo investe a quantia I

atingindo o ponto C*, ponto de tangência entre a mais

alta linha iso-VP atingível e a curva de produtividade do investimento. Mas a curva de

indiferença que passa pelo ponto C* (I

) fica abaixo de I

, que também é atingível se forem

levadas em consideração as alternativas financeiras. Dadas suas preferências pela forma de

suas curvas de indiferença, o indivíduo pode atingir uma taxa mais alta de satisfação

emprestando a quantia L ao custo de oportunidade de capital r. Isto é indicado por um

movimento ao longo da linha iso-VP até o ponto C** no qual a linha iso-VP é tangente à

curva de indiferença I

. Além do ponto C* o indivíduo prefere emprestar a investir pois no

período 2 ele receberá L (1 + r) como retorno por seu empréstimo. A taxa efetiva de juros na

transação financeira, r, é maior do que a taxa de retorno no investimento produtivo além deste

ponto, como é possível de se verificar através da comparação das inclinações da curva de

investimento e da linha do VPL (LEVY & SARNAT, 1994).

Se o ponto de tangência com a curva de indiferença ficasse à direita do ponto C*, o

indivíduo também investiria até o ponto C*, como antes, mas tomaria emprestado a quantia B

de modo a aumentar seu consumo corrente, como mostra a Figura 6.

Figura 6 – Decisão Ótima de Investimento com Empréstimo Financeiro

Fonte: Levy & Sarnat (1994).

As curvas de indiferença da Figura 6 são muito mais inclinadas, o que indica a

preferência deste indivíduo por consumo corrente em relação a consumo futuro. Entretanto,

apesar desta forte preferência por consumo corrente, o indivíduo neste caso primeiro

aproveita as oportunidades de investimento e investe I

, isto é investe até o ponto C*. O

padrão de consumo preferido é alcançado através de uma transação financeira, neste caso um

empréstimo. Finalmente, se a curva de indiferença for tangente à curva de produtividade do

investimento no próprio ponto C*, o indivíduo não tomará empréstimos e nem fará

empréstimos e o ponto C* representa a combinação ótima de fluxos de caixa, ou seja, de

consumo (LEVY & SARNAT, 1994).

O ponto importante desta análise é que a decisão de investimento ótima, designada

pelo ponto C*, não depende da forma das curvas de indiferença. Se o indivíduo desejar

redistribuir seu consumo no tempo, ele pode tomar empréstimos ou emprestar, mas a decisão

de investimento permanece a mesma. Os projetos representados pelos segmentos W

* da

curva de investimento são aceitos, este é o sub-conjunto de projetos com VPL positivo ao

custo de capital r que permitem ao indivíduo alcançar a linha de VP mais alta que é possível

atingir. Portanto, desde que o indivíduo escolha investimentos de modo a maximizar o VP,

isto é de modo a alcançar a linha iso-VP mais alta que se for possível atingir, ele também

estará garantindo que será capaz de maximizar sua satisfação (utilidade) redistribuindo, se

necessário, seu consumo no tempo tomando emprestado ou emprestando à taxa r. Neste

sentido, a regra do VPL é ótima, isto é, tomar decisões de investimento utilizando a regra do

VPL maximiza o VPL, permitindo alcançar a mais alta linha de VP e portanto é também

fundamental para a maximização da utilidade do investidor (LEVY & SARNAT, 1994).

A independência das decisões de investimento e financiamento, denominada propriedade

da separação, é de fundamental importância para a teoria de investimento, pois se houver um

mercado de capitais eficiente, permitirá ao indivíduo ou à empresa alcançar suas decisões de

investimento produtivo sem ter que explicitamente levar em consideração suas decisões de

financiamento.

2.2.1. Efeitos das Variações em r

A análise estática comparativa do equilíbrio ilustrado na Figura 1 é direta. Se P

cair, isto

é r subir, a receita e o efeito de substituição causarão mais demanda por C

, exceto na

improvável hipótese de C

ser um bem inferior. Portanto a curva de demanda por C

, Será

decrescente. Um aumento em r de fato abaixa o preço de C

e o consumo deste bem,

portanto, aumenta. Esta curva de demanda é denominada por D na Figura 7.

Figura 7 – Oferta e Demanda

Fonte: Nicholson (2002).

Equilíbrio no mercado, mostrado na Figura 7, está em P

* e C

*. Neste ponto a oferta

e procura dos indivíduos por bens futuros está em equilíbrio, e a quantidade necessária de

bens correntes será poupada para acumulação de capital para produzir C

* no futuro

(FISHER, 1907; apud NICHOLSON, 2002).

Há algumas razões para se supor que P

< 1. O custo de um bem futuro é menor do

que o sacrifício de um bem corrente. Em outras palavras, os indivíduos exigem algum prêmio

por esperar. Mas há também razões de oferta. Acumulação de capital é produtiva, sacrificar

um bem hoje renderá mais do que um bem no futuro.

Há alguns exemplos da produtividade do capital simples e recorrentes na teoria de

investimento, tais como plantar árvores. Proprietários de áreas de reflorestamento se abstém

de cortá-las na expectativa de que o tempo as fará mais valiosas no futuro.

Embora seja óbvio que a acumulação de capital em uma moderna sociedade industrial

é mais complexa do que a atividade de reflorestamento, acredita-se que os dois processos

tenham bastante similaridade. Em ambos os casos investir em bens correntes faz o processo

mais longo e mais complexo e portanto aumenta o poder de produtividade geral de outros

recursos utilizados na produção (NICHOLSON, 2002).

É possível agora definir a relação entre taxa de retorno (r) e o que foi denominado de

preço de bens futuros, através da fórmula:







(21)

Como supõe-se que P

* < 1, a taxa de retorno ( r ) será positiva.

A taxa de retorno r e P

são maneiras equivalentes de mensurar em que termos bens

presentes podem ser transformados em bens futuros.

2.2.2. Efeitos da Inflação

Se houver uma expectativa de que todos os preços subirão entre dois períodos de tempo, a

uma taxa de variação



, a Taxa Nominal de Juros ( R ) esperada, entre os dois períodos, será

dada por:









ePrR



 111 (22)

1 1

R r Pe rPe

    

 

(23)

Supondo







muito pequeno temos:

ePrR





(24)

2.2.3. Análise da Demanda por Capital

Sob concorrência perfeita uma empresa escolherá contratar um número de máquinas tal

que a receita marginal será exatamente igual à taxa de aluguel de mercado.

Seja uma empresa que esteja no negócio de alugar máquinas. O proprietário da empresa

enfrentará dois tipos de custo: depreciação da máquina e o custo de oportunidade de ter seus

fundos amarrados à máquina em vez de estarem em um investimento ganhando a taxa de

retorno atual disponível. Assumindo-se que os custos de depreciação por período sejam uma

porcentagem constante (d) do preço de mercado da máquina e que a taxa real de juros seja r,

os custos totais para o dono da máquina serão dados por:

P.d + P.r = P (r + d) (25)

Se o mercado de aluguel de máquinas for perfeitamente competitivo, não poderá ser

obtido nenhum lucro anormal de longo prazo do aluguel de máquinas. A taxa de aluguel por

período para a máquina (v) será exatamente igual aos custos para o proprietário da máquina.



= P (r + d) (26)

Em um caso hipotético de uma máquina que não deprecie (d=0) a Equação (26) poderá

ser escrita como:



(27)

Esta equação diz que em equilíbrio uma máquina de duração infinita, portanto que não se

deprecia, é equivalente a um título perpétuo (NICHOLSON, 2002).

Assumiu-se até aqui que as empresas alugam todas as máquinas de que necessitam. A

propriedade de máquinas torna a análise de demanda por capital algo mais complexa do que a

análise de demanda por mão-de-obra da microeconomia. Entretanto levando-se em

consideração a diferença entre estoque e fluxo, pode-se perceber que as duas demandas são

bastante similares.

A empresa usa serviços de capital para produzir

output. Estes serviços são magnitudes

que têm natureza de fluxo. No caso das máquinas o que é relevante ao processo produtivo é o

número de horas-máquina e não o número de máquinas propriamente dito. Entretanto,

freqüentemente formula-se a hipótese de que o fluxo de capital é proporcional ao estoque de

máquinas, supondo-se as máquinas em plena utilização, portanto estes dois conceitos

diferentes acabam sendo utilizados como sinônimos. A demanda por serviços de capital da

empresa é também a demanda por capital (NICHOLSON, 2002).

Seja uma empresa maximizadora de lucros em um mercado de concorrência perfeita,

ela contratará capital adicional até o ponto em que a receita marginal (MRP

) seja igual à taxa

de aluguel de mercado v. Sob concorrência perfeita, a taxa de aluguel estará refletindo custos

de depreciação e custos de oportunidade de investimentos alternativos. Portanto tem-se:

MRP

= v = P (r + d) (28)

2.2.4. Decisões de Investimento em condições de certeza e tempo discreto

Se uma empresa que segue a regra de maximização de lucro da Equação (28) deseja mais

serviços de capital do que os fornecidos por seu estoque atual de máquinas, ela terá duas

escolhas. Primeiro, ela poderá contratar as máquinas adicionais que são necessárias no

mercado de aluguel de máquinas. Isto seria formalmente idêntico à sua decisão de contratar

mão de obra adicional. Segundo, a empresa poderia comprar novas máquinas para atender

suas necessidades. Denomina-se esta segunda alternativa, que é a mais freqüentemente

escolhida, de investimento.

Demanda por investimento é um componente importante da

demanda agregada na teoria

macroeconômica. Assume-se freqüentemente que esta demanda por fábricas e equipamento

(isto é, máquinas) é inversamente relacionada à taxa de juros, ou o que denominamos de

taxa

de retorno. Uma queda na taxa de juros (r), ceteris paribus causará uma queda na taxa de

aluguel de capital (Equação 26). Esta queda em v implica que o capital se tornou um bem

relativamente menos caro, isto induzirá as empresas a aumentarem seu uso de capital

(NICHOLSON, 2002).

2.3. Decisões de investimento em condições de certeza, multiperíodo

2.3.1. A abordagem do Valor Presente Descontado para Decisões de Investimento

Quando uma empresa compra um máquina, na realidade ela está comprando um fluxo de

receitas líquidas em períodos futuros. Para decidir se deve comprar a máquina, a empresa tem

que calcular o valor presente descontado deste fluxo. Isto fornece uma abordagem alternativa

para explicar as decisões de investimento (NICHOLSON, 2002).

Considere-se uma empresa em processo de decidir se compra uma máquina em particular.

Espera-se que a máquina dure n anos e dê a seu proprietário um fluxo de retornos monetários

(isto é, receita marginal) em cada um dos n anos. O valor presente descontado do fluxo de

receitas líquidas é dado por:

PDV =

   







...

(29)

Se o valor presente descontado (PDV) deste fluxo de pagamentos exceder o preço P da

máquina, a empresa e outras empresas semelhantes, devem fazer a compra.

Em concorrência perfeita o único equilíbrio que pode prevalecer é aquele em que o

preço da máquina é igual ao valor presente descontado das receitas líquidas da máquina.

Somente nesta situação não haverá nem demanda excessiva por máquinas nem oferta

excessiva de máquinas. O equilíbrio de mercado requer que:

   

PDVP









...

(30)

Assuma-se que as máquinas durem infinitamente e que a receita marginal seja a

mesma em todos os anos. Este retorno uniforme também será igual à taxa de aluguel de

máquinas ( v ), porque isto é o que uma outra empresa pagaria pelo uso da máquina durante

qualquer período. Com estas hipóteses simplificadoras, podemos escrever o valor presente

descontado da propriedade da máquina como:

PDV



(31)

Mas, em equilíbrio P = VPD, portanto



(32)



(33)

Para este caso, o critério do valor presente descontado fornece resultado idêntico ao

obtido anteriormente.

2.4. Decisões de investimento em condições de certeza, em tempo contínuo.

A Equação (26) pode ser deduzida para o caso mais geral em que a taxa de aluguel de

máquinas não é constante no tempo e no caso em que há depreciação. Suponha-se que a taxa

de aluguel para uma máquina nova em qualquer tempo seja dada por v(s). Assuma-se que a

máquina se deprecia exponencialmente à taxa d (neste caso de depreciação, admite-se que a

máquina perca valor a uma taxa fixa por unidade de tempo, este modelo é similar às hipóteses

de redução radioativa da física). No ano (s) a taxa de aluguel líquida em uma máquina antiga

comprada no ano anterior (t) será dada por:









tsd





(34)

Sendo (s-t) o número de anos em que a máquina vem se depreciando.

Se a empresa está estudando comprar uma máquina nova no ano (t), ela deve

descontar todos estas quantias de aluguel líquidas de volta para a data (t). Se a taxa de juros

for r, o valor presente do aluguel liquido no ano (s) descontado de volta ao ano (t) é, portanto:

 





   





 

sdrdrtsdtsr

eseese







(35)

Porque, de novo, (s-t) anos se passam desde que a máquina foi comprada até que o

aluguel líquido seja recebido. O valor presente descontado da máquina comprada no ano (t) é

portanto a soma (integral) de todos estes valores presentes. A somatória deve ser levada a

cabo da ano t (quando a máquina foi comprada) através de todos os anos futuros:

 

dsesetPDV

sdr













(36)

Usando o fato de que, em equilíbrio, o preço da máquina no ano t, P(t), deverá ser

igual ao valor presente, obtém-se a equação fundamental:

 

dsesetP

tdr 











(37)

Esta equação é simplesmente uma versão mais complexa da Equação (30) e pode ser

usada para deduzir a Equação (26). Primeiro re-escreve-se a Equação (37):

 

dsesetP

sdrdr











(38)

Em seguida diferencia-se em relação a t, usando a regra de derivada do produto:





 

   

 

     

ttPdretedsesedr

tdP

tdrtdrtdr













(39)

Portanto:

     





tdP

tPdrt





(40)

Que é precisamente o resultado mostrado anteriormente na Equação (26), a menos do

termo –dP(t)/dt que foi acrescentado. A explicação econômica para a presença deste termo é

que ele representa os ganhos de capital que se capitalizarão para o proprietário da máquina. Se

houver uma expectativa de alta no preço da máquina, por exemplo, o proprietário da máquina

pode aceitar algo menos do que (r+d)P pelo seu aluguel. Por outro lado, se houver uma

expectativa de baixo no preço da máquina [dP(t)/dt <0], o proprietário da máquina poderá

exigir mais pelo aluguel do que o valor especificado na Equação (26). Se houver uma

expectativa de que o preço da máquina permaneça constante ao longo do tempo, dP(t)/dt = 0 e

as equações são idênticas. Esta análise mostra que há uma relação definida entre o preço de

uma máquina em qualquer tempo, o fluxo de caixa futuros que a máquina promete e a taxa de

aluguel corrente da máquina (NICHOLSON, 2002).

2.4.1. Alocação Ótima de Recursos ao longo do tempo

A Teoria do Capital se preocupa principalmente com a alocação de recursos no tempo.

Empresas e indivíduos são levados a separar uma parte de sua produção corrente como

acumulação de capital, de modo a produzir mais em períodos futuros. Muitos dos problemas

econômicos são deste tipo geral; agentes econômicos devem tomar decisões sobre aumento ou

redução do nível de estoque de determinado bem e tais decisões irão afetar ambos, o bem-

estar atual e o bem-estar futuro. Examinar-se-á agora como tais decisões são tomadas de

modo ótimo, isto é, maximizando a utilidade.

Há duas variáveis de maior interesse no problema de alocação de recursos no tempo: o

estoque que está sendo alocado (K) e uma variável de “controle” (C) utilizada para causar

acréscimos ou decréscimos em K. Neste estudo é conveniente pensar em K como estoque de

Capital e em C como taxa de poupança ou investimento líquido total (poupança é igual ao

consumo não realizado, que é totalmente investido), mas muitas outras interpretações

aparecem na economia. Como, obviamente, tais variáveis assumirão diferentes valores em

diferentes períodos de tempo, elas devem ser definidas como funções do tempo [K(t) e C(t)].

Para a maior parte deste desenvolvimento, entretanto, será conveniente não registrar essa

dependência funcional do tempo explicitamente (NICHOLSON, 2002).

Escolhas de pares de K e C gerarão benefícios ao longo do tempo para os agentes

econômicos envolvidos. Tais benefícios, em qualquer ponto do tempo, serão exprimidos por

U(K, C, t). O objetivo do agente é maximizar

 



dttCKU

,, (41)

onde T designa o período de tempo durante o qual as decisões devem ser tomadas.

Há dois tipos de restrições neste problema. O primeiro tipo mostra a regra de variação

de K ao longo do tempo:

 

tCKf

,, (42)

A notação indica que variações em K dependerão do nível da própria variável, das

decisões de controle (C) tomadas, e (possivelmente) do ponto no tempo em particular que está

sendo observado. Adotar-se-á a convenção de designar a derivada no tempo de qualquer

variável, X, por



. Assim, a restrição dada pela Equação (42) será:

 

tCKfK

,,



(43)

Um segundo tipo de restrição neste problema de maximização diz respeito às

condições iniciais e finais especificadas para o estoque K. No início do problema, K existirá

como parte de um dado histórico que não pode ser alterado, e no término do período de

planejamento, algum outro tipo de exigência pode ser posta em K (por exemplo, que K seja

zero). Escrever-se-á estas restrições de pontos extremos como:





 

KTK

KoK



(44)

onde o valor particular das restrições K

e K

dependerão da natureza do problema que está

sendo analisado.

O problema dinâmico de otimização descrito requer que se encontre um caminho de

tempo ótimo para as variáveis K e C, o que é bem mais complicado do que se descobrir

apenas um único ponto ótimo. Para facilitar a solução é basta converter o problema dinâmico

em um problema de período único e então demonstrar que a solução daquele problema

simplificado de período único, para qualquer ponto arbitrário no tempo, resolve também o

problema dinâmico.

Para converter o problema dinâmico em um problema de período único, é necessário

reconhecer-se primeiro que qualquer decisão atual sobre como o estoque de K deve ser

mudado afetará ambos o bem-estar corrente e o bem-estar futuro. Uma escolha ótima que

utilize C para efetuar variações correntes em K, deve contrapor os custos correntes de mudar

K com os benefícios futuros de mudar K e vice-versa. Para ajudar neste processo, introduz-se

o multiplicador Lagrangeano,

(t), o qual pode ser interpretado como uma mudança marginal

em benefícios futuros, ocasionada por uma variação unitária em K. Portanto,

(t) é uma

medida do valor marginal do estoque K no tempo corrente t. Esta variável, do mesmo modo

como nos problemas de maximização, permite uma solução que contrapõe benefícios e custos

de decisões correntes (NICHOLSON, 2002).

Tendo deste modo convertido o problema dinâmico em um problema de período único,

resta reformular a solução em um contexto dinâmico. Tal reformulação consiste em mostrar

como (t) tem que mudar ao longo do tempo de modo a:

(1) manter variações em K ocorrendo de modo ótimo e,

(2) garantir que as condições finais sobre K (Equação 44) sejam satisfeitas.

Esta solução final fornecerá um caminho no tempo para os valores de C e K que maximiza

a integral dada na Equação (41). A solução ótima, além disso, também fornecerá um caminho

no tempo para o multiplicador , que mostrará como a avaliação marginal de K, isto é, seu

preço, varia ao longo do tempo.

Seja o multiplicador (t) uma medida do valor marginal do estoque K em qualquer

instante. O valor total do estoque será dado por

(t) K, e a taxa de variação neste valor, isto é,

o valor dos ganhos e das perdas que estejam ocorrendo no estoque de capital, é dado por:





d t K

dK d

K K K

dt dt dt



  

   



(45)

Portanto o valor total líquido da utilidade a qualquer tempo (incluindo qualquer efeito que

variações correntes em K possam ter — é isto que permite o problema de período único

refletir muitos períodos) é dado por









KKtCUH  ,, (46)

sendo que a expressão foi rotulada como

H em uma referência à função Hamiltoniana

encontrada na teoria de otimização dinâmica formal. A função H é de certo modo similar à

expressão Lagrangeana utilizada para resolver problemas de maximização.

A condição de primeira ordem para escolher C de modo a maximizar H é:

















tCKU





(47)

porque  e K (ao contrário de



) não são dependentes do valor corrente de C. Re-

escrevendo esta condição de primeira ordem tem-se:













(48)

Isto significa que para que C seja ótimo o acréscimo marginal em U devido ao

acréscimo em C deve ser exatamente compensado por qualquer efeito que este aumento possa

ter na diminuição da variação no estoque de K, onde tais variações são avaliadas

marginalmente por .

Escolhido C para maximizar a medida aumentada de período único da utilidade, é

necessário agora se concentrar em como o valor marginal de K, isto é, , deve aumentar ao

longo do tempo. É possível fazer-se isso determinando o valor de K que maximiza H. K, na

realidade, não é uma variável controlável em nenhum instante — seu valor é determinado

pelo histórico anterior. Mas, imaginando-se que K esteja em seu valor ótimo, é possível

inferir-se o valor que  deve ter. Diferenciando-se H em relação a K resulta em:

0

















(49)

como condição de primeira ordem para um máximo. Re-arranjando os termos tem-se:















(50)

Lembrando que  representa o valor marginal do estoque de capital no instante t. Enquanto

que





representa a variação do valor marginal. A segunda parcela do termo à direita da

Equação (50), representa o ganho de produtividade. Esta expressão pode ser lida como:

qualquer diminuição no valor marginal de K deve ser igual à produtividade líquida de K

obtida por aumento de U ou por aumento de



. O valor de K deve estar variando de modo

oposto aquele com que o próprio K impacta a soma dos benefícios presentes e futuros.

Considerando o conjunto das restrições, tem-se:





































(51)

Estas equações mostram como C e

 devem evoluir ao longo do tempo de modo a manter

K em seu caminho ótimo. Uma vez posto em marcha o sistema de equações, todo o caminho

ótimo das variáveis relevantes é determinado. Para fornecer uma solução completa, é também

necessário certificar-se que o caminho de K é factível no sentido de que ele respeita as

restrições de ponto extremo dadas na Equação (44). Isto pode ser geralmente obtido

ajustando-se os valores iniciais de C e de  aos níveis apropriados (NICHOLSON, 2002).

2.4.2. Recursos Finitos

A questão envolve o padrão de tempo ótimo para depleção dos recursos finitos, logo pode-

se utilizar os resultados obtidos no modelo matemático do controle ótimo.

Suponha-se que o inverso, isto é, a função demanda do recurso em questão seja dada por:





CPP  (52)

onde P é o preço de mercado e C é a quantidade total consumida durante um período. Para

qualquer nível de output C, a utilidade total de consumo é dada por:

   





dccPCU

(53)

Se a taxa de preferência temporal for dada por r, o padrão de utilização ótimo do recurso será

aquele que maximiza:

 

dtCUe





(54)

As restrições deste problema são de dois tipos. Primeiro, como o estoque do recurso é

fixo,

A cada período este nível de estoque é reduzido pelo nível de consumo:

CK 



(55)

Além dessa restrição para variações de K, o estoque do recurso também deverá

obedecer às condições finais:





 

KTK



(56)

Geralmente, o estoque inicial K

, representa a quantidade corrente de reservas

conhecidas do recurso, enquanto que o estoque final, K

, será zero.

As equações hamiltonianas então ficam:









KCUeKKUeH

rtrt











(57)

que gera as seguintes condições de primeira ordem para um máximo:

0















(58)

0











(59)

Esta última equação mostra que neste caso, o preço base do recurso () deve permanecer

constante ao longo do tempo. Como se está alocando um estoque que é fixo, qualquer

trajetória na qual o recurso tenha um preço base mais alto em um período mais alto do que em

outro, pode ser melhorada, em termos de produzir mais utilidade, através da redução do

consumo em um período no qual o preço base é alto aumentando-se o consumo em outro

período no qual o preço base é baixo. Um dos primeiros autores a reconhecer este ponto

fundamental foi H. Hotelling, em seu artigo “The Economics of Exhaustible Resources”,

Journal of Political Economy 39 (April 1931) apud (NICHOLSON, 2002).

2.4.3. Caminho ótimo de preços

Derivando-se a Equação (53) tem-se:

 





(60)

substituindo-se na Equação (58), tem-se:











CPe

(61)

Como  deve ser constante, esta equação exige que o caminho para C seja escolhido de modo

que o preço de mercado aumente à taxa r por período, que é exatamente a solução que se

obteria em um mercado competitivo. Isto é, para que qualquer recurso possa fornecer um

investimento que esteja em equilíbrio com outras alternativas, seu preço deve subir à razão da

taxa de juros. Razões mais baixas de crescimento de preços levarão os investidores a buscar

outras alternativas e razões mais altas de crescimento de preços atrairão todos os investidores

para o referido recurso. Este resultado sugere que, pelo menos neste caso, mercados

competitivos alocarão recursos naturais eficientemente ao longo do tempo (NICHOLSON,

2002).

2.5. Avaliação de Investimentos

A avaliação de oportunidades de investimento segundo a teoria ortodoxa está baseada

na avaliação dos fluxos de caixa em termos de seu valor presente. Uma avaliação adequada,

entretanto, deve levar em conta a incerteza do fluxo de caixa, bem como a relação do fluxo

com outros ativos. Portanto para estabelecer um procedimento geral de avaliação é necessário

ter-se uma estrutura para representar fluxos de caixa multi-períodos de vários ativos. Tendo-

se esta estrutura, os conceitos familiares de avaliação neutra ao risco e maximização da

utilidade podem ser estendidos para multi-períodos (LUENBERGER, 1998).

O componente básico desta estrutura de avaliação é um gráfico (geralmente uma

árvore) que define um processo aleatório de transições de estado. O nó no ponto extremo do

lado esquerdo representa o ponto inicial do processo no tempo t = 0. O processo pode então

seguir para qualquer dos nós adjacentes em t = 1 e assim sucessivamente. É atribuída uma

probabilidade para cada um dos arcos. Cada probabilidade é maior do que zero e a soma das

probabilidades de todos os arcos saindo de um nó em particular deve ser igual a 1.

Um ativo é definido por um processo de fluxos de caixa, que por sua vez é definido

atribuindo-se um fluxo de caixa a cada nó do gráfico. Simbolicamente, cada fluxo de caixa é

representado por uma série da forma  = (

, 

, ... , 

), onde cada 

é o fluxo de caixa no

tempo t. Os fluxos 

são aleatórios pois dependem de qual estado no tempo t realmente

ocorrerá, portanto 

é um símbolo para todos os valores possíveis no tempo t.

Associado a cada ativo há ainda o processo de preço, o qual analogamente é designado

por S = (S

, S

,...., S

). O preço S

representa o preço ao qual o ativo seria negociado no tempo

t, após o recebimento do fluxo de caixa. S

para qualquer t > 0 também é aleatório pois

depende de qual nó está realmente valendo no tempo t.

Assumindo-se que haja n ativos. Ativo i, para i = 1, 2,...,n possui o processo

estocástico de fluxos de caixa 

= (

, 

, ... , 

). O ativo i também tem um processo

estocástico de preços S

= (S

, S

,...., S

). Uma estratégia de negociação é uma carteira

destes ativos cuja composição pode depender do tempo e dos nós particulares visitados.

Correspondendo a uma estratégia designada por , há uma quantidade 

do ativo i no tempo

t, mas



pode também depender do estado particular no tempo t. Portanto cada 

= (

, 

, ..., 

) é por si mesmo um processo definido no gráfico subjacente — o processo de quanto

do ativo i é mantido na carteira (LUENBERGER, 1998).

Uma estratégia de negociação define um novo ativo, com um processo associado de

fluxo de caixa 

. O processo é dado pela equação:

 

















(62)

onde, por convenção, coloca-se



-1

= 0 para todo i. O primeiro termo dentro da somatória

representa a quantia de dinheiro recebida no tempo t devido a mudanças na composição da

carteira no tempo t. O segundo termo é o total de dividendos recebidos no tempo t dos ativos

ponderados na carteira no tempo t - 1. Por exemplo, uma estratégia de comprar um ativo no

tempo t = 0 pelo preço S e mantê-lo, gerará o fluxo de caixa líquido expresso por (-S, 

, 

, ...

, 

T).

É possível encontrar-se uma estratégia que dê resultado positivo sem custo. Tal

estratégia é uma arbitragem. Formalmente, uma estratégia de negociação  é uma arbitragem

se 



 0 e 



não for identicamente nulo. Isto é,  é uma arbitragem se gerar um processo de

dividendo que tenha pelo menos um termo positivo e nenhum termo negativo

(LUENBERGER, 1998).

Um ativo será considerado livre de risco no curto prazo no tempo t, se seu dividendo

no tempo t + 1 for 

t+1

= 1 e zero em todos as outras posições. Seu preço S

no tempo t

fornece o fator de desconto d

= S

. A compra deste ativo no tempo t resultaria no processo de

fluxo de caixa (0, 0, ..., - S

, 1, 0, ... , 0). Define-se o retorno livre de risco como R

t, t+1

= 1 / d

Supondo-se que existam empréstimos livres de risco no curto prazo para todo t, 0  t  T.

Define-se o retorno futuro como

...





stt

ddd

(63)

para s > t.

Existindo empréstimos livres de risco no curto prazo em todos os períodos, então

existe uma taxa livre de risco para todos os nós da árvore (LUENBERGER, 1998).

Suponha-se novamente que haja n ativos definidos no gráfico (árvore) de processos de

estado subjacentes. A partir destes ativos, novos ativos podem ser construídos usando

estratégias de negociação. Diz-se que probabilidades neutras ao risco existem se um conjunto

de probabilidades pode ser atribuído aos arcos do gráfico de tal modo que qualquer ativo ou

qualquer política de negociação satisfaça à equação:

 









(64)

para todo t = 0,1,2, ...,T–1 e onde Ê

designa expectativa no tempo t com respeito às

probabilidades neutras ao risco.

Esta definição se aplica a apenas um período de cada vez e está expressa de modo

inverso, pois S

é dado em função de valores alcançáveis de S

t+1

e 

t+1

(LUENBERGER,

1998).

De acordo com a definição, existirão probabilidades neutras a risco, se não houver

oportunidade de arbitragem entre os ativos disponíveis. Geralmente, estas probabilidades não

são únicas.

Se os ativos cobrem os graus de liberdade do gráfico subjacente, como é o caso de

dois ativos em uma árvore binomial, então os preços neutros ao risco são únicos. Se eles não

cobrem, como no caso de dois ativos em uma árvore trinomial, haverá graus de liberdade

adicionais, e as probabilidades neutras ao risco não são únicas (LUENBERGER, 1998).

Quando há graus de liberdade adicionais, um conjunto específico de probabilidades

neutras ao risco pode ser definido pela introdução da função utilidade U, medindo-se a

utilidade do nível final de riqueza, e descobrindo a política de trocas que maximiza o valor

esperado de U(X

). A política de trocas ótima levará a um conjunto de preços neutros ao risco

de modo similar ao caso de um período.

Esta discussão limitar-se-á a funções utilidade que tenham a propriedade da separação.

Para entender a propriedade da separação, supõe-se que inicialmente haja um nível de riqueza

. Após o primeiro período, a riqueza será X

= 

o

x X

, onde 

o

é um fator aleatório de

retorno que depende nas variáveis da política de trocas no período zero. Por analogia temos

que:

1 1

0 1 1 0

. ... .

T T

X X



 

  





fazendo-se U(X

) = ln X

, então:

U(X

0110

... 



nnnn







(65)

Maximiza-se E

[U(X

)], portanto, maximizando-se Et [ln(

t

)] para cada t, onde Et

significa o valor esperado no tempo t. Esta maximização é equivalente a maximizar-se

Et[ln(

t

)] = Et[U(X

T+1

)] em relação a 

. Esta é a propriedade da separação. Maximiza-

se o valor esperado da utilidade final, maximizando-se a mesma função utilidade em cada

etapa do processo.

A propriedade da separação vale para a função utilidade logarítmica e também para a

função utilidade exponencial U(X

) = (1/ ) X



. Quando a propriedade da separação é válida,

o caso de multiperíodo se reduz a uma série de casos de um único período, todos com a

função utilidade da mesma forma (LUENBERGER, 1998).

2.5.1. Período único

O problema de um período no tempo t, considerando-se que há n ativos em um nó

específico daquele ponto no tempo, é selecionar quantidades 

para i = 1,2,..., n ativos,

formando uma carteira. Deseja-se maximizar a utilidade esperada do valor desta carteira em t

+ 1 sujeita à condição de que o custo total desta carteira no tempo t seja 1. Portanto, busca-se



’s para resolver o sistema (66) abaixo com as restrições (67) e (68).

Maximizar









1



UE em relação a



(66)

sujeito a







e a

 









111



(67) e (68)

O valor esperado é calculado com relação às probabilidades reais dos nós sucessivos.

Se houver K nós, denominam-se estas probabilidades p

, p

, ... , pk. Dadas quantidades 

para i = 1,2,..., n, o valor da riqueza no período seguinte X

t+1

dependerá do nó k consecutivo

particular que ocorrer. A função objetivo pode ser escrita como:

 

XUp







(69)

onde U(X

t+1

)

designa o valor de U(X

t+1

) no nó k.

Resolvendo-se é possível encontrar um conjunto de probabilidades neutras ao risco, a

saber:





 

XpkU

XUp















(70)

onde X

t+1

designa o valor ótimo (aleatório) da riqueza no período seguinte. Se a função

utilidade U for crescente, U’ (X

t+1

)

será positiva, portanto todos os q

’s serão positivos.

As probabilidades neutras ao risco podem ser utilizadas para avaliar qualquer ativo

usando a fórmula geral:

 











(71)

que assume a forma específica

 













kSqk



(72)

2.5.2. Árvore Binomial-Dupla

O ponto de partida para a análise geral de investimentos é um gráfico que representa uma

família de processos de ativos. Por exemplo, pode-se construir um gráfico para dois ativos de

risco combinando-se em um único gráfico as representações separadas de cada ativo.

Especificamente, duas árvores binomiais podem ser combinadas para formar uma árvore que

representa ambos os ativos (LUENBERGER, 1998).

Sejam dois ativos A e B, cada um deles representado por uma árvore binomial. Cada um

deles tem fatores de subida ou de descida, bem como probabilidades, mas os movimentos dos

dois ativos podem ser correlacionados, como mostra a Figura 8, abaixo.

Figura 8 – Árvore Binomial

Fonte: Luenberger (1998).

A combinação destas duas árvores é uma árvore com quatro galhos em cada ponto no

tempo. Utilizam-se índices duplos para identificar os nós desta árvore dupla, que serão

designados por 11, 12, 21, 22, com probabilidades de transição p

, p

respectivamente, O primeiro índice refere-se à primeira árvore e o segundo à segunda árvore,

como demonstra a Figura 9.

Figura 9 – Árvore Binomial-Dupla

Fonte: Luenberger (1998).

O nó central é o nó do tempo inicial, e os quatro nós externos são os quatro possíveis

nós subseqüentes (LUENBERGER, 1998).

Seja uma ação A, com fatores de nó u

e d

com probabilidades p

e p

respectivamente. Seja também uma ação B, com fatores de nó u

e d

, com probabilidades p

e p

, respectivamente. Se a covariância do logaritmo dos dois fatores de retorno for 

conhecida, é possível selecionar as probabilidades da árvore dupla de modo a satisfazer as

equações (73) abaixo:

     

 

11 12 1

21 22 2

12 21 1

11 1 1 12 1 2 21 2 1

22 2 2

A B A B A B A B A B A B

A B A B

p p p

p p p p p p D p p p D

p p p D D

   



 

     

  

(73)

onde U

= ln u

, D

= ln d

, U

= ln u

, e D

= ln d

O caso particular, quando a covariância é zero, significa que os retornos entre os ativos

são independentes. Neste caso as probabilidades apropriadas para a árvore são:

= p

(74)

= p

Quando um ativo livre de risco é acrescentado, temos quatro nós, mas apenas três

ativos, os dois ativos de risco e o ativo sem risco. Há um grau de liberdade a mais. Portanto

as probabilidades neutras ao risco não estão completamente especificadas, como nas árvores

simples originais (LUENBERGER, 1998).

Uma maneira de especificar as probabilidades neutras ao risco é introduzir uma função

utilidade. Funções utilidade diferentes poderão conduzir a diferentes probabilidades neutras

ao risco, mas sob certas condições uma quarta relação poderá valer independentemente da

função utilidade particular que estiver sendo usada.

Seja a função utilidade U. Determina-se as probabilidades neutras ao risco

maximizando a utilidade esperada. Designando-se por W

o valor ótimo da riqueza no ponto

seguinte do tempo, isto é, no nó ij, e correspondentemente definindo-se U’

= U’(W

), então

as probabilidades neutras ao risco são, da Equação (70),

ijij







(75)

para i, j = 1, 2. Se a função utilidade U for estritamente crescente, então as probabilidades

neutras ao risco serão estritamente positivas.

Em certos casos, haverá uma relação entre os q

’s que fornecerá a relação adicional

necessária para torná-los únicos. Dois destes casos particulares são resolvidos pelo teorema

da razão (LUENBERGER, 1998).

Teorema da Razão: Sejam q

’s determinados pela Equação (75). Então a relação:

2112

2211

2112

2211



(76)

é válida se qualquer uma das condições abaixo for satisfeita:

a) Um dos ativos originais aparece no nível zero na carteira ótima.

b) O intervalo de tempo 

entre períodos tender a zero.

2.5.3. Investimentos com Incerteza Privada

Suponha-se um projeto que exige um investimento inicial e que, ao fim de um período,

produzirá um fluxo de caixa incerto. Suponha-se também que a incerteza seja de ambos os

tipos incerteza privada e incerteza de mercado. Basicamente, incerteza de mercado pode ser

replicada com participação no mercado, enquanto que incerteza privado não pode. Por

exemplo, o fluxo de caixa de uma mina de ouro depende de ambos os tipos de incerteza, a

incerteza de mercado dos preços de ouro e a incerteza privada de quanto ouro existe nos veios

ainda não explorados (LUENBERGER, 1998).

Um modo de atribuir um valor a tal projeto é supor que o valor do projeto é um preço

e então ajustar o preço de tal modo que um investidor pudesse ficar indiferente a comprar uma

parte do projeto ou não. A esta operação dá-se o nome de avaliação nível zero. Obviamente,

assume-se que o investidor tem a opção de comprar outros ativos, incluindo pelo menos um

título livre de risco com retorno total R.

Se houver somente incerteza privada o preço nível zero é apenas o valor esperado

(utilizando-se probabilidades reais) do projeto, descontado. Não pode ser avaliado abaixo

desse preço, porquanto outros investidores iriam querer comprar uma parte e não pode ser

avaliado acima desse preço, ou outros investidores iriam querer vender partes deste projeto a

descoberto. O valor é portanto:

 

CV  (77)

Onde C

e C

são os fluxos de caixa inicial e final, respectivamente.

Este resultado de avaliação de nível zero obtido para projetos com incerteza privada

pode ser generalizado para projetos que tenham incerteza privada e incerteza de mercado.

Incertezas privadas incluem, por exemplo, eficiência de produção desconhecida, incerteza

quanto a recursos (tal como a quantidade de óleo em um campo petrolífero), e um

componente da incerteza de preços de commodities que não tenham um mercado líquido (tal

como o preço futuro de um lote de terra isolado). Incertezas de mercado são aquelas

associadas com preços de commodities negociadas e outros ativos (LUENBERGER, 1998).

Formalmente suponha-se que os estados do mundo sejam fatorados em duas partes:

uma componente de mercado e uma componente não de mercado (privada). Um estado geral

(ou nó no gráfico) pode ser, portanto, grafado como (S

, S

), onde S

e S

correspondem

respectivamente aos componentes de mercado e privados no tempo t. Por simplicidade

(embora não seja necessário) assume-se que estes dois componentes são estatisticamente

independentes (LUENBERGER, 1998).

Para cada estado há vários estados subseqüentes possíveis. Na árvore indexa-se o

estado de mercado subseqüente (que são nós da árvore) por i e os nós não de mercado por j. A

probabilidade do i-ésimo nó de mercado é p

e a probabilidade do j-ésimo nó não de mercado

é p

. Como os dois componentes são independentes, a probabilidade conjunta de i e j é p

. Isto significa uma árvore dupla.

Assume-se também que a parcela de mercado do sistema é completa no sentido de que

há um conjunto de ativos que cobre todos os estados de mercado. Sabe-se que assim haverá

probabilidades neutras ao risco únicas, q

i,,

para os estados de mercado (LUENBERGER,

1998).

Se os preços forem tais que o projeto propriamente dito, entra na carteira ao nível zero,

U’

é independente do índice j, e pelo teorema da razão, as probabilidade neutras ao risco q

são independentes. Portanto q

tem a forma:

= q

(78)

onde q

é a probabilidade neutra ao risco para o estado de mercado e p

é a probabilidade

para o estado não de mercado e é também a probabilidade neutra ao risco para este estado

(LUENBERGER, 1998).

Se não houver componente de mercado em um projeto, o preço do projeto (ou valor) é

determinado por suas probabilidades ordinárias, isto é, como o valor esperado descontado de

seus fluxos de caixa. No outro extremo, se o projeto não tiver uma componente de incerteza

privada, seu preço é determinado pelas probabilidades neutras ao risco de, mercado, isto é,

como o valor esperado descontado de seus fluxos de caixa (LUENBERGER, 1998).

2.5.4. Análise do Preço de Compra

Freqüentemente surgem oportunidades de negócio nos quais o investimento deve ser

feito ou em um nível fixo positivo ou no nível zero, sem meio termo. Em tais situações o

preço de nível zero pode não ser um valor apropriado, pois o investimento inicial pode

representar uma parcela significativa do capital do investidor.

O conceito de preço de compra é um conceito melhor de valor em tais situações. Preço

de compra é o preço que o investidor estaria disposto a pagar para participar em um projeto a

um nível especificado. Este preço v

pode ser melhor compreendido em termos de utilidade

esperada. Calcula-se primeiro a utilidade esperada que poderia ser atingida sem a

participação no projeto. Calcula-se em seguida a utilidade esperada que seria atingida com a

participação no projeto, incluindo um pagamento inicial adicional de uma quantia v

. O valor

de v

que torna estas duas utilidades esperadas iguais é o preço de compra. Em outras

palavras, se o valor a ser pago pelo projeto for v

então o investidor fica indiferente entre

comprar ou não comprar o projeto. O preço é diferente do preço nível zero, o qual faz o

investidor ficar indiferente entre participar ou não participar do projeto em um nível muito

pequeno (LUENBERGER, 1998).

2.5.5. Certeza Equivalente e Utilidade Exponencial

O preço de compra de um projeto pode ser calculado facilmente se for assumido que a

função utilidade do investidor tem a forma exponencial, U(X) = -e

-ax

para algum a > 0. O

procedimento de cálculo utiliza certeza equivalente em vez de valores esperados.

Suponha-se que um investidor tenha uma função utilidade U. Suponha-se também que

W é uma variável aleatória que descreva a riqueza do investidor no fim do período. Então a

utilidade esperada da riqueza do investidor é E [U(W)]. A certeza equivalente é a quantia não

aleatória x tal que U(x) = E [U(W)]. Freqüentemente escreve-se CE(X) para designar a

certeza equivalente de X.

Como um caso específico, suponha-se que U(W) = -e

-ax

e suponha-se ainda que a

variável aleatória W tem dois resultados possíveis W

e W

ocorrendo com probabilidades p

e p

, respectivamente. A utilidade esperada é:

















212211

awaw

epepWUpWUpWUE



 (79)

Para encontrar a certeza equivalente x, resolve-se:

axax

epepe









(80)

Tomando-se o logaritmo de ambos os lados, resulta:

 





axax

epepn





  (81)

A propriedade especial que advém desta equação é que se uma constante

 for

adicionada à variável aleatória, a certeza equivalente aumenta também em . Esta propriedade

é freqüentemente denominada de propriedade delta. Formalmente,









 CC (82)

para qualquer variável aleatória W e qualquer constante

. Esta propriedade só é válida para

funções utilidade que sejam exponenciais ou lineares (LUENBERGER, 1998).

Seja um projeto de um único período, com um fluxo de caixa inicial conhecido C

seguido ao fim do período por um fluxo de caixa aleatório que pode assumir os valores C

com probabilidades p

e p

, respectivamente. Há também um ativo livre de risco com

retorno R.

Assume-se que o investidor tenha uma riqueza inicial de W

e usa uma função

utilidade exponencial para a riqueza final. Assume-se também que é possível tomar

emprestado ou emprestar sem risco para transferir qualquer fluxo de caixa no tempo inicial

para um fluxo de caixa no tempo final. Se o projeto não for aceito então o valor final da

utilidade será U(RW

) pois a riqueza inicial é transformada pelo retorno livre de risco.

Se o projeto for aceito a um preço v

, a utilidade esperada da riqueza final será dada

por:

















1 1 0 0 0 2 2 0 0 0

p U C R C p C R C

  

   

        

   

(83)

Quando o preço v

está corretamente ajustado, a utilidade esperada com o projeto será igual à

utilidade esperada sem o projeto, U(RW

). Igualando-se as certezas equivalentes destes duas

utilidades esperadas, tem-se:













000020001

,  RCXRCCRCC



(84)

Resolvendo para v

, obtém-se a expressão para o preço de compra do projeto:

 

2100

ccC

c 



(85)

Esta expressão se assemelha em tudo com a fórmula do valor presente líquido.

Esta expressão pode ser estendida para processos de fluxos de caixa definidos sobre

vários períodos, mas o coeficiente de aversão ao risco da função utilidade precisa ser ajustado

para cada período. Especificamente, o coeficiente de aversão ao risco usado para avaliar a

certeza equivalente no tempo t deve ser (a R

T-1

) em vez do a original. Isto reflete o fato de que

a efetiva função utIlidade para a importância W recebida no tempo t é U(R

T-1

W) em vez de

U(W) porque W terá sido transformado em R

T-1

W no tempo T.

Suponha-se agora que os estados da natureza possam ser fatorados em componentes

independentes de mercado e não de mercado. Um estado geral no tempo t é designado por

, S

), correspondendo às componentes de mercado e não de mercado. Assume-se também

que a parcela de mercado do sistema é completa, isto é, que haja um conjunto completo de

ativos que cubram todas as dimensões do mercado. Neste caso sabe-se que há probabilidades

neutras ao risco únicas, para os estados de mercado.

Assume-se que o investidor tenha uma função utilidade exponencial para riqueza ao

fim do período e o projeto tenha fluxos de caixa especificados em cada nó.

Para determinar o preço de compra, o procedimento é vir do fim da árvore para o

início. No tempo final o preço de compra em qualquer nó é igual ao fluxo de caixa naquele

nó. Em qualquer outro nó (S

, S

) anterior do processo de trás para frente, são necessários

cálculos feitos em dois passos. Primeiro, para cada sucessor fixo de mercado i, calcula-se o

equivalente de certeza com respeito aos componentes não de mercado j. Isto é, acha-se o

equivalente de certeza CE

tal que U(R

T-t

) = 

U(R

T-t

) onde v

é o preço de compra do

nó subseqüente ij. Então obtem-se o preço de compra pela fórmula:

nmnm







(86)

Em outras palavras, utiliza-se o cálculo do equivalente de certeza no componente não

de mercado e a precificação neutra ao risco no componente de mercado (LUENBERGER,

1998).

2.5.6. Decisões de investimento em condições de incerteza em tempo contínuo.

Os princípios de avaliação discutidos aqui podem ser aplicados a problemas

formulados em tempo contínuo, bem como em tempo discreto. As equações de avaliação são

mais compactas e os resultados mais elegantes em tempo contínuo. Entretanto, a utilização

prática provavelmente envolverá algum tipo de aproximação. A estrutura subjacente é

análoga à formulação feita em tempo discreto, mas envolve teoria de probabilidades mais

avançada.

Seja uma ação cujo preço segue a equação de Ito









dztsdttsds ,,





(87)

onde z é um processo Wiener padronizado. Suponha-se também que haja uma taxa de juros

constante r. Para precificar um ativo que seja derivado do preço da ação é útil ter uma

estrutura de probabilidades neutras ao risco. Dada por:





zdtsrSdtds



 (88)

onde

é novamente um processo de Wiener padronizado.

Em outras palavras, apenas trocamos o fator

 (S,t) por rS, que pode ser facilmente

demonstrado para o caso de  (S,t) =  S.

Este resultado para um único ativo pode ser estendido para o caso de vários processos

de preços de ativos. Por simplicidade de notação apresentamos o resultado para apenas dois

ativos-objeto.

Suponha-se que dois ativos tenham preços S

e S

governados por:













22112121112111

,,,,,, dztSSdztSSdttSSdS









(89)













22122121212122

,,,,,, dztssdztssdttssdS









(90)

onde z

e z

são processos padronizados de Wiener independentes. Suponha-se que a taxa

livre de risco seja r.

O mundo neutro ao risco gerado por estes dois ativos, então, é definido por:









22,1121211111

zdtSSzdtSSdtrSdS





(91)









221221212122

zdtSSzdtSSdtrSdS





(92)

onde novamente

são processos padronizados de Wiener independentes.

Suponha-se que S seja o preço de qualquer ativo derivado destes dois ativos e

suponha-se que estes ativos derivados tenham um processo de fluxo de caixa  (S1, S2, t) e

valor final S (S1, S2, T). Então o preço do ativo derivado em qualquer tempo t < T é:

     



















tSSSeduuSSeEtS

,,,,

2121





(93)

onde Êt é o valor esperado com relação ao mundo neutro ao risco, como visto no tempo t.

Em outras palavras, assim como no caso de um único ativo, apenas mudou-se a taxa

de drift de 

(S1, S2, t) para r e S

. O resultado obviamente pode ser generalizado para vários

ativos (LUENBERGER, 1998)

2.6. Decisões de investimento em condições de incerteza em tempo contínuo - Opções

Reais

A flexibilidade tem valor. Embora esta afirmação seja conceitualmente óbvia, a prática

se mostra surpreendentemente complexa. A presença da flexibilidade não está refletida por

completo nas técnicas tradicionais de análise de investimento, como o fluxo de caixa

descontado, simulação de Monte Carlo e árvores de decisão, mas os modelos baseados em

opções, desenvolvidos nos últimos anos, são capazes de capturar o impacto da flexibilidade

nas decisões de alocação de recursos (TRIGEORGIS, 2000).

A análise de oportunidades de investimento como opções é o produto de mais de uma

década de pesquisa por diversos economistas, e é um tópico ainda muito ativo nos jornais

acadêmicos. As regras tradicionais ignoram a irreversibilidade do investimento e as várias

opções que existem, opção de adiar o investimento, de desistir, etc. Pelo mesmo motivo esta

teoria também contradiz a visão econômica ortodoxa de oferta e demanda, que vai até

Marshall, segundo a qual a empresa entra no mercado e se expande quando o preço excede o

custo médio de longo prazo e sai ou se contrai quando o preço cai abaixo do custo variável

médio (DIXIT & PINDICK, 1994).

Assim muitos acadêmicos e gestores já reconhecem que a abordagem tradicional do

método do fluxo de caixa descontado para a avaliação de projetos de investimento de capital,

não consegue capturar adequadamente a flexibilidade da administração para se adaptar e rever

decisões em resposta às evoluções inesperadas no mercado e ao fluxo corrente de informações

(TRIGEORGIS, 2000).

As ferramentas de análise baseadas no fluxo de caixa descontado não consideram a

possibilidade de se esperar até que nova informação, que possa afetar a decisão, esteja

disponível. Quando uma empresa toma uma decisão de investimento irreversível, ela está

exercendo sua opção de investir e desistindo da possibilidade de esperar até que nova

informação, que possa afetar os resultados, esteja disponível. Este valor da opção que é

ignorado pelas abordagens ortodoxas, deve ser incluído como parte do custo do investimento

e a análise de oportunidades de investimento como opções leva em consideração este valor

(DIXIT & PINDYCK, 1994).

O termo opções reais foi utilizado pela primeira vez por Stewart Myers (1977). Myers

foi o primeiro a identificar que ativos reais das empresas podem ser visto como opções de

compra. Tourinho (1979 apud DIAS, 1999), foi o primeiro a aplicar as idéias de precificação

de opções para avaliar reservas de recursos naturais. As opções reais advêm da teoria de

opões financeiras de quem herdam toda a matemática para avaliação. O quadro (2.6.1)

apresentado a seguir, mostra uma comparação interessante entre opções reais e opções

financeiras.

Quadro 1: Opções Financeiras versus Opções Reais.

QUADRO 1 - Diferenças entre Opções Financeiras e Reais

Opções Financeiras Opções Reais

Mercados Completos. A estrutura de resultados pode

ser imitada através de uma carteira replicante.

Mercados Incompletos. A estrutura de resultados não

pode ser imitada praticamente através de uma carteira

replicante.

Ativo negociado. O ativo objeto é negociado em

mercados financeiros.

Ativo gêmeo. O ativo objeto não é negociado, em vez,

deve-se supor um ativo substituto, ou ativo gêmeo, cujo

valor é correlacionado ao valor do ativo objeto. Isto

também se aplica ao FCD e VPL.

Preços correntes observáveis. O preço corrente do

ativo objeto é observável.

Preços correntes não observáveis. O preço corrente do

ativo objeto não pode ser observado. Deve ser

estimado, descontando-se os fluxos de caixa futuros a

valor presente.

Taxa de desconto desnecessária. Não é necessária uma

taxa de desconto para avaliar a opção por causa da

existência de um preço observável, o uso de replicação

e o pressuposto de não haver arbitragem.

É necessária uma taxa de desconto. Freqüentemente é

necessária uma taxa de desconto para calcular o VP de

um fluxo de caixa futuro como substituto para o preço

corrente do ativo objeto.

Não há interação. Opções financeiras são contratos

fechados em si mesmos; não interagem.

Grande Interação. Freqüentemente há complexas

interações entre diferentes opções reais dentro de um

projeto ou até mesmo de um projeto para outro. O

comportamento de uma opção afeta o valor da outra.

Fontes de incerteza restritas. Opções financeiras

envolvem um ou dois ativos objeto incertos.

Múltiplas fontes de incerteza. Opções reais envolvem

vários ativos objeto ou ativos com várias fontes de

incerteza.

Titularidade única. Opções financeiras têm

propriedade definida.

Titularidade compartilhada. Opções reais são

freqüentemente compartilhadas por concorrentes. O

exercício de uma opção real por uma empresa pode

matar ou enfraquecer significativamente a mesma

opção real para um concorrente e vice-versa.

Perda de valor. O titular de uma opção financeira pode

estar sujeito à perda de valor dos benefícios enquanto

espera para exercer a opção, por causa de pagamento de

dividendos que está disponível aos proprietários do

ativo objeto, mas não aos titulares da opção. A taxa e o

padrão desta desvalorização podem ser estimados

através de dados históricos ou através da utilização de

convenções do mercado.

Concorrentes, parceiros, compartilhamento. O titular de

uma opção real pode estar sujeito à diminuição ou ao

aumento de seus benefícios enquanto espera para

exercer a opção, por causa das ações de concorrentes,

de parceiros e por causa da titularidade compartilhada,

todas estas causas podem ser muito difíceis de

quantificar.

Fonte: Succi et al.(2002)

Diversos autores brasileiros publicaram trabalhos sob o tema de avaliação de projetos

de investimento utilizando a abordagem das opções reais, dentre eles, Nogueira (2005), que

examinou a opção de abandono de uma lavoura de café, utilizando o modelo de árvores

trinomiais, Sato (2004), que estudou a decisão de abandono de investimento em lavouras de

café, utilizando o modelo de árvores binomiais. Baran (2005), que estudou a avaliação de uma

floresta de eucaliptos na presença de um mercado de certificados para reduções de emissões

de carbono. Batista (2002), que examinou a avaliação de projetos de investimento em

exploração e produção de petróleo. Dezen (2001), que examinou a escolha de alternativas

tecnológicas para o desenvolvimento de campos marítimos de petróleo. Ruffeil Neto (2002),

que estudou a avaliação da viabilidade econômica de investimentos em poços independentes

de petróleo. Berredo (2001), que examinou o processo de privatização do setor de

comunicações. Brandão (2002), que examinou a avaliação de uma concessão rodoviária no

Brasil. Castro (2000), que examinou a avaliação de projetos de geração termoelétrica no

Brasil. Gomes (2002), que examinou o problema de avaliação de termoelétricas no Brasil

estudando o melhor momento de investimento. Padilha (2003), que estudou a avaliação de

implantação de unidades de redes varejistas. Tavares (2003), que examinou a garantia de

recompra fornecida por uma rede de franquias. Marreco (2001), que estudou otimização

dinâmica sob condição de incerteza. Salles (2002), que estudou a aplicação de opções reais

como um tratamento para o planejamento adaptativo, na Embraer.

A literatura sobre o problema estocástico de corte de árvores começou nos anos 80,

com trabalhos tais como Malliaris e Brock (1982), Brock et al. (1988), Brock e Rothschild

(1984), e Miller e Voltaire (1983). Em geral estes trabalhos apresentam modelos que mostram

como podem ser determinadas as regras de colheita ótima e como pode ser obtido o valor do

ativo quando o preço da madeira P segue um movimento browniano geométrico (MBG), dado

por:

dP = Pdt + Pdz (94)

onde  é a taxa de desvio (drift rate) constante,  é a taxa de variância constante, e dz o

incremento de um processo de Wiener, isto é:

dz t





, onde







0,1

N





t s

 



, para

t s



Clarke & Reed (1989) e Reed & Clarke (1990), demonstraram que, se o preço segue

um MBG e se os custos de colheita forem ignorados, uma regra de barreira pode ser

determinada para o tempo ótimo de colheita. A regra de barreira resulta em termos de idade

ótima de corte, quando o crescimento de volume de madeira é especificado como dependente

da idade e resulta em termos de tamanho ótimo de corte, quando o crescimento de volume de

madeira é especificado como dependente do tamanho. Nenhum dos dois, nem a idade nem o

tamanho, dependem do nível absoluto de preços da madeira. Dados os preços estocásticos, a

escolha do tempo ótimo de corte de um lote de árvores representa uma opção real semelhante

a uma opção americana de compra. O pressuposto de Clarke & Reed de que os preços

evoluem segundo um MBG e a exclusão dos custos de colheita permite uma solução analítica

para a opção real. Isto é análogo a avaliar uma opção de compra americana, com preço de

exercício zero, cujo ativo objeto é uma ação que paga dividendos. Uma vez incluídos os

custos de colheita como preço de exercício, a opção não pode mais ser resolvida

analiticamente.

Outros trabalhos que estudaram colheita ótima sob preços estocásticos foram Morck et

al.(1989), Yin e Newman (1997), e Thomson (1992), todos assumiram que os preços da

madeira seguem MBG. Conrad (1997) e Forsyth (2000) calcularam o valor de lazer mínimo

para preservar uma floresta antiga quando o valor de lazer é estocástico. Reed (1993)

modelou a receita do corte das árvores e outras receitas advindas da floresta em pé (lazer),

como variáveis estocásticas seguindo um MBG. Saphores et al. (2000) examinou o impacto

de saltos (jumps) na decisão de colheita. Haight e Holmes (1991) e Plantinga (1998)

consideraram as implicações de assumir que os preços seguem um caminho aleatório sem

desvio (drift) comparado com a reversão à média.

O pressuposto de MBG adotado em muitos dos trabalhos anteriores encerra algumas

implicações não realistas para o comportamento de preços de uma commodity real. Por um

lado, o valor esperado e a variância dos preços crescem sem limite. Como observado por

Schwartz (1997), um raciocínio microeconômico básico sugeriria que quando o preço de uma

commodity está relativamente alto, a oferta desta commodity aumenta à medida que novos

produtores com custos mais altos entram no mercado, pondo uma pressão de baixa nos preços

e vice-versa. Tal comportamento resultará mais provavelmente em um movimento

estocástico de regressão à média do que em um movimento browniano geométrico. Além

disso, pode ser visto pela Equação (94) que se o preço sob MBG por ventura chegar a zero,

permanecerá em zero para sempre. Não se espera que o preço de uma commodity atinja zero,

mas esta característica do MBG também afeta o valor da opção quando os preços do ativo

objeto estão baixos, conseqüentemente as estimativas de valor da opção serão incorretos para

preços baixos do ativo objeto.

O paradigma de produção de madeira no mundo tem mudado do corte de árvores

existentes, para o corte de árvores de reflorestamento (SEDJO, 1997). Esta mudança de

paradigma para operações de plantação administradas sugere que no futuro os preços da

madeira seguirão mais provavelmente um comportamento de regressão à média (RM), com

uma média que reflita no longo prazo o custo marginal de produção. Isto fornece uma

motivação adicional para analisar o impacto no valor de um investimento florestal de preços

regredindo à média.

2.7. Soluções Numéricas

Raramente encontram-se soluções analíticas fechadas para precificar opções reais

tornando-se então necessário se recorrer às soluções numéricas que são as mais usualmente

utilizadas.

As soluções numéricas mais comuns são árvores binomiais, árvores trinomiais,

simulação de Monte Carlo, método das diferenças finitas e mais raramente o método dos

elementos finitos. Wilmott (2000) afirma que na prática ele utiliza o método das diferenças

finitas em 75% dos casos, Simulação de Monte Carlo em 20% dos casos, e métodos explícitos

nos restantes 5% dos casos. Estes métodos explícitos, ele explica, são quase sempre as

fórmulas de Black-Scholes para Opções de Compra e Opções de Venda e acrescenta que

somente uma vez ele utilizou com seriedade um método binomial, mesmo assim o método foi

utilizado mais para ajudar na modelação do que para a análise numérica. No Brasil há

diversos outros trabalhos que utilizaram árvores binomiais para resolver opções reais, como

por exemplo, Sato (2004) e alguns que utilizaram árvores trinomiais como, por exemplo,

Nogueira (2005).

2.8. Diferenças Finitas

Diferenças finitas são aproximações de derivadas. Lembrando a definição de

derivada:

 









´ lim

u x u x

u x

 

  





(95)

isto significa que o termo:









u x u x

  



(96)

pode fornecer um aproximação para u’(x). O problema é determinar quão boa é esta

aproximação.

Utilizando-se a expansão por série de Taylor pode-se demonstrar que:

 









 

u x u x

u x O x

  

 



(97)

Observa-se então que o quociente expresso por (108) aproxima a derivada com um

erro de O (Δx), este termo de erro é denominado erro de truncamento (truncation error).

Quando uma função U e suas derivadas são funções finitas e contínuas de x, então

pelo teorema de Taylor:

         

' 2 '' 3 '''

1 1

2 6

U x h U x hU x h U x h U x

     



         

' 2 '' 3 '''

1 1

2 6

U x h U x hU x h U x h U x

     



Somando-se estas expansões, tem-se:





















2 '' 4

U x h U x h U x h U x O h

     

(98)

onde





O h

representa os termos contendo ordens superiores a quatro de h.

Supondo que estes infinitésimos sejam, em comparação com os termos de ordem mais

baixa, negligenciáveis, segue-se que:

       

 

2 2

x x

d U

U x U x h U x U x h

dx h



 

     

 

 

(99)

com um erro de truncamento, no lado direito, da ordem de h

Subtraindo-se agora as expansões





U x h







U x h



e negligenciando-se os termos

de ordem maior do que h

tem-se:

     

 

x x

U x U x h U x h

dx h



 

    

 

 

(100)

com um erro de truncamento da ordem de h

Examinando-se a figura 10 abaixo, percebe-se que esta equação é claramente uma

aproximação da inclinação da tangente no ponto P, substituída pela inclinação da corda AB e

é denominada de central-difference (SMITH, 1985).

A aproximação da inclinação da tangente no ponto também poderia ser feita através da

inclinação da corda PB, que é denominada de forward-difference, cuja fórmula é:

     

 

U x U x h U x

   (101)

A aproximação da inclinação da tangente no ponto poderia ainda ser feita através da

inclinação da corda AP, esta aproximação é denominada de backward-difference, cuja

fórmula é:

     

 

U x U x U x h

   (102)

u(x-h)

u(x)

U(x+h)

u(x)

x-h

x+h

Figura 10 – Aproximação da tangente à função no ponto P, por diferenças finitas

Fonte: Smith (1985).

Ambas as fórmulas de aproximação podem ser deduzidas imediatamente a partir das

expansões de Taylor para





U x h







U x h



, respectivamente, supondo-se que os termos

de ordem superior sejam negligenciáveis. Isto mostra que os erros de truncamento

preponderantes nas aproximações por backward-difference e por forward-difference são da

ordem de





O h

, maiores, portanto, do que o erro de truncamento da aproximação por central-

difference, que é da ordem de





O h

. Esta é uma razão importante para a preferência em se

utilizar central-difference para aproximar as derivadas espaciais (TAVELLA, 2002). As

diferenças finitas por central-difference são geralmente utilizadas no interior da malha,

enquanto que diferenças unilaterais (backward e forward) são utilizadas nas regiões de

fronteira. Há diversos modelos para construir as diferenças finitas, os mais usuais estão

mostrados no quadro 2 abaixo.

Fonte: Tavella e Randall, 2000

Há fundamentalmente duas fontes de erro em métodos numéricos de diferenças

finitas. Uma fonte é o erro de truncamento que ocorre na discretização espacial, a outra

fonte de erro é o erro de truncamento que ocorre na discretização da variável tempo.

O resultado disso é que o método numérico resolve um problema que não é

exatamente o mesmo problema que se está tentando resolver. Para caracterizar o que um

QUADRO 2 – Equações de discretização mais comuns em diferenças finitas

Derivada Equação de discretização

Precisão











, ,

u x y u x y

  



















, ,

u x y u x y

  



























, , , ,

x y x y x Y x y

x y

u x y u x y u x y u x y

           

 





















2 , 4 , 3 ,

x x

u x y u x y u x y

      























3 , 4 , 2 ,

x x

u x y u x y u x y

     























, 2 , ,

x x

u x y u x y u x y

     























, 2 , 2 ,

x x

u x y u x y u x y

     























, 2 , ,

x x

u x y u x y u x y

     



























3 , 4 2 , 5 , 2 ,

x x x

u x y u x y u x y u x y

         



























2 , 5 , 4 2 , 3 ,

x x x

u x y u x y u x y u x y

        









x y



 

















, , , ,

x x y y

x y

u x y u x y u x y u x y

          

 









x y

O O

  

x y



 

















, , , ,

y x y x

x y

u x y u x y u x y u x y

          

 









x y

O O

  

x y



 

















, , , ,

y x x y

x y

u x y u x y u x y u x y

          

 









x y

O O

  

x y



 

















, , , ,

x y x Y

x y

u x y u x y u x y u x y

          

 









x y

O O

  

x y



 

















, , , ,

x y x y x Y x y

x y

u x y u x y u x y u x y

          

 









x y

O O

  

método numérico de fato faz, é necessário abordar três aspectos fundamentais de

métodos numéricos:

1. Consistência. Diz-se que um método numérico é consistente se a formulação

por diferenças finitas converge para a PDE que se está tentando resolver à medida que

os passos de tempo e espaço tendem a zero.

2. Estabilidade. Diz-se que um método numérico é estável se a diferença entre a

solução numérica e a solução exata permanece delimitado à medida que o número de

passos tende a infinito.

3. Convergência. Diz-se que um método é convergente se a diferença entre a

solução numérica e a solução exata em um ponto fixo do domínio de interesse tende a

zero uniformemente à medida que as discretizações de tempo e espaço tendem a zero

(não necessariamente independentemente uma da outra).

Richtmyer (1957) cita e demonstra o teorema de Lax que diz basicamente que

dado um problema de valor inicial linear, adequadamente especificado e um método de

diferenças finitas consistente, estabilidade é condição necessária e suficiente para a

convergência. Este resultado é importante e torna o cuidado e a preocupação com

estabilidade mais relevante.

2.8.1. Discretização da PDE para avaliar opções

Imagine-se, por exemplo, a equação diferencial parcial (partial differential

equation, PDE) utilizada para avaliar uma opção de venda do tipo americano sobre um

ativo-objeto que não paga dividendos. Segundo Hull (2002), a equação diferencial que a

opção deve satisfazer é:

rfsrS







(103)

onde:

f = valor da opção

r = taxa de juros livre de risco

S = preço do ativo-objeto

= variância dos preços do ativo-objeto

Supondo-se que a vida da opção seja dada por T. Divide-se este tempo T em N

intervalos igualmente espaçados, cada um com o duração de

δt = T/N. Tem-se então

um total de N+1 instantes de tempo (0, δt, 2δt, 3δt, ......, T).

Supondo-se agora que haja um preço do ativo-objeto S

max

suficientemente grande que,

quando alcançado, a opção de venda tenha valor praticamente igual a zero.

Analogamente como foi feito com o intervalo de tempo, dividi-se este preço S

max

em M

partes de modo que cada parte

δS = S

max

/M, tem-se então M+1 preços do ativo-objeto

(0, δS, 2δS, 3δS, ....., S

max

Constrói-se então uma malha com os instantes de tempo e os valores do ativo-

objeto acima descritos, colocando-se, por exemplo, no eixo das abcissas o tempo e no

eixo das ordenadas o preço do ativo-objeto.

Esta malha terá um total de (M+1) x (N+1) pontos, cada ponto (i, j) na malha

corresponde ao instante de tempo i δt e ao preço do ativo-objeto i δS.

O valor da opção no ponto (i, j) será definido pela variável f

i,j

, mas para isso é

necessário considerar qual dos métodos de diferenças finitas será utilizado.

Os métodos principais e mais comumente utilizados para resolver as PDE’s em

questão, são o método das diferenças finitas totalmente implícitas (utilizado neste

trabalho), método das diferenças finitas explícitas, método de Crank-Nicholson e o

método de Hopscotch, descritos sucintamente abaixo.

2.9. Diferenças Finitas Totalmente Implícitas

No método das diferenças finitas totalmente implícitas, utilizado neste trabalho,

geralmente denominado em inglês de fully implicit finite difference method, para um

ponto (i, j), a discretização de ∂f /∂t é feita com a forward difference, abaixo, de modo

que o valor no tempo iδt é relacionado ao valor no tempo (i+1)δt:

1, ,

i j i j

f f

t t











(104)

O termo ∂f/∂S pode ser discretizado, para um ponto (i,j) no interior da malha,

com a forward difference ou com a backward difference, mas geralmente é utilizada

uma aproximação mais simétrica que é a média das duas, assim:

, 1 ,

i j i j

f f

S S













, forward difference

, , 1

i j i j

f f

S S











, backward difference

A média das equações de diferenças acima é:

, 1 , , , 1

i j i j i j i j

f f f f

S S S

 

 

 

 



 

 



 

que simplificando-se resulta em:

, 1 , 1

i j i j

f f

S S



 









(105)

A aproximação

backward difference de



no ponto (i,j) é dada por:

, , 1

i j i j

f f

S S











(106)

Então a aproximação backward difference de



no ponto (i, j+1) será dada por:

, 1 ,

i j i j

f f

S S













(107)

Portanto a aproximação por diferenças finitas do termo



, será dada por:

, 1 , , , 1

i j i j i j i j

f f f f

S S

 



 

 

 



 



 





e que, simplificando, resulta em:

, 1 , , 1

2 2

i j i j i j

f f f

S S



 

 







(108)

Substituindo agora as equações (104), (105) e (108) na equação (103) e lembrando que

S j S





obtem-se:

1, , , 1 , 1 , 1 , , 1

2 2 2

2 2

i j i j i j i j i j i j i j

f f f f f f f

i j

t S

rj S j S rf

 



  

    

   

   (109)

Fazendo-se:

2 2

1 1

2 2

a rj t j t

  

  (110)

2 2

b j t r t

  

   (111)

2 2

1 1

2 2

c rj t j t

  

   (112)

E rearranjando-se a equação (109), tem-se

, 1 , , 1 1,

j i j j i j j i j i j

a f b f c f f

  

   (113)

Esta é a equação discretizada do método das diferenças finitas totalmente

implícitas, a qual fornece a relação entre três valores da opção no temo i

δt, isto é,

i, j-1

, f

i, j

e f

i, j+1

e um valor da opção no tempo (1 + i) δt, isto é, f

i+1,j

. Como o problema

está sendo resolvido de trás para frente (voltando no tempo), então o fato de um valor

conhecido determinar três valores a conhecer leva a um sistema de equações no interior

da malha. Nos extremos da malha é necessário que se leve em consideração as

condições de contorno, para que se tenha o mesmo número de equações e incógnitas.

O valor da opção de venda no tempo T é o max (K – S

, 0), onde S

é o preço do

ativo-objeto no tempo T. Portanto, temos as condições de contorno:

N,j

= max(K - j δS, 0), para j = 0, 1, 2, ......., M (114)

Por outro lado, o valor da opção quando o preço do ativo-objeto é zero é K. Portanto,

temos as condições de contorno:

i, 0

= K, para i = 1, 2, .........., N (115)

Supondo-se, finalmente, que a opção de venda assuma o valor zero quando S = S

max

temos as condições de contorno:

i, M

= 0, para i = 1, 2, .........., N (116)

As equações (114), (115) e (116) definem o valor da opção ao longo das três

bordas da malha de discretização, onde S = 0, S = S

max

e t = T. Utiliza-se então a

equação (113) para se obter os valores de f em todos os outros pontos da malha,

iniciando-se pelos pontos na coluna correspondente ao tempo T – δt e prosseguindo-se

em direção ao momento atual.

As equações (113) para cada j conduzem a um sistema de (M-1) equações

simultâneas e (M-1) incógnitas, para cada coluna de tempo N

da malha de

discretização, do tipo mostrado na figura 11 abaixo. Entretanto a matriz de parâmetros é

tridiagonal, o que simplifica a solução.

1,0 ,0

1,1 ,1

1,2 ,2

1, 2 , 2

1, 1 , 1

1, ,

0 0 0

j j

N N

j j j

N N

j j j

N N

j j j

N M N M

j j j

N M N M

j j

N M N M

b c

f f

a b c

f f

a b c

f f

a b c

f f

a b c

f f

a b

f f



  



 

   

 

   

 

   

 

   

 

   



 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

   

 

 

  

  

 

  

 

Figura 11: Matriz tridiagonal que resulta do método das diferenças finitas

Fonte: o autor.

A maior complexidade deste método é amplamente compensada pela

estabilidade e convergência. O método, é convergente e é dito incondicionalmente

estável, não havendo limitações para a proporção entre intervalo de preço e intervalo de

tempo na malha de discretização (BURDEN e FAIRES, 2003).

2.10. Diferenças Finitas Explícitas

A discretização da PDE no método das diferenças finitas explícitas é feita

fazendo:

jiji



,,1









(117)

jiji



1,11,1 







(118)

1,1,11,1

fff

jijiji











(119)

A equação (103) discretizada fica sendo, então:

jijijjijjij

ffcfbfa

,1,1

1,1





(120)

onde:





tjtrja









(121)





tjb





1 



(122)





tjtrjc









(123)

A equação (120) é a equação (103) discretizada pelo método das diferenças

finitas explícitas, a qual fornece a relação entre um valor da opção no tempo i δt , isto é

i, j

, e três diferentes valores da opção no tempo (1 + 1) δt, isto é f

i+1,j–1

, f

i+1, j

e f

i+1, j+1

Como o problema estará sendo resolvido recursivamente, isto é do vencimento para trás,

voltando no tempo, então o fato de três valores conhecidos determinarem um valor a ser

conhecido, leva a um problema de fácil solução, com uma equação e uma incógnita.

Embora atraente pela simplicidade, o método tem problemas de estabilidade e

consequentemente de convergência e é considerado apenas condicionalmente estável,

devido à dificuldade de se controlar os tamanhos do intervalo de tempo e de preço na

malha de discretização que devem guardar a relação 0 < α < 0.5, onde α = δt/δS

, para

garantir estabilidade e convergência, lembrando que à medida que o intervalo δt é

reduzido, mantendo-se α constante, o número de interações necessárias para a

convergência aumenta (WILMOTT, HOWISON, DEWYNNE, 1993).

2.11. Método de Crank-Nicholson

O método de Crank-Nicholson pode ser visto como uma média dos métodos

explícito e implícito.

A equação discretizada do método de Crank-Nicholson, será obtida fazendo-se a

média das equações (109), que é a equação (103) discretizada pelo método de diferenças

finitas implícitas, com a equação (120), que é a equação (110) discretizada pelo método

das diferenças finitas explícitas, ambas apresentadas acima. Obtém-se, então:

* * *

, 1, 1, 1 1, 1, 1 , 1 , , 1

i j i j j i j j i j j i j j i j j i j j i j

f f a f b f c f a f b f c f

       

       (124)

e fazendo-se:

* * *

, , , 1 , , 1

i j i j j i j j i j j i j

g f a f b f c f

 

   

(125)

tem-se a equação de discretização pelo método de Crank-Nicholson:

, 1, 1 1, 1, 1 1,

i j j i j j i j j i j i j

g a f b f c f f

     

   

(126)

Percebe-se que o método de Crank-Nicholson é semelhante, para implantar, ao método

de diferenças finitas totalmente implícitas. A vantagem do método de Crank-Nicholson

é que este método converge mais rapidamente do que os dois mostrados anteriormente,

o implícito e o explícito.

O método tem grande aceitação em finanças e é tido como acurado e estável.

Estabilidade é um problema quando o modelo discretizado é sensível a pequenos erros

que surgem devido a precisão finita da aritmética do computador. Convergência é a

capacidade do modelo discretizado de produzir soluções que tendem às soluções da

equação diferencial, à medida que a discretização é refinada fazendo com que os

intervalos discretos tendam a zero. Insley (2002) afirma que o método implícito e o

método de Crank-Nicholson são mais robustos do que o método explícito, ou os

métodos das árvores binomial e trinomial, porque eles sempre convergem para a

solução da equação diferencial e são incondicionalmente estáveis. Entretanto Insley

(2002) reporta que tentou utilizar o método de Crank-Nicholson, mas este apresentou

oscilações espúrias. Wilmott (2000, p.892) vai um pouco mais longe e afirma que:

[...] the beauty of this method lies in its stability and accuracy. As with the

fully implicit method there is no relevant limitation on the size of the

timestep for the method to converge. Better yet, the method is more

accurate than the two [explicit and implicit] considered so far.

Wilmott (2000) afirma ainda que, assim como no método implícito, não há

limitações na malha para o tamanho do intervalo de tempo

δt, então pode-se utilizar

intervalos de tempo maiores e ainda assim obter soluções acuradas. Entretanto o

método, assim como o método explícito e contrariamente ao que afirmam estes autores,

não está livre de problemas. Duffy (2004, p.195) afirma que:

The Crank Nicholson method has gained wide acceptance in the financial

literature and seem to be the de-facto finite difference scheme for Black-

Scholes equations. It has been known for some considerable time that

centered differencing schemes in space combined with averaging in time

(which is essentially the CrankNicholson scheme) leads to spurious

oscillations in the approximate solution and in the divided differences for

approximating its derivatives. These oscillations have nothing to do with

the physical or financial problem that the scheme is trying to solve. Thus,

the scheme is

wrong! To make a very bad pun: Crank Nicholson is not what

it is cranked up to be

2.12. Método de Hopscotch

A particularidade deste método reside na forma como os pontos da malha são

resolvidos. A cada passo no tempo, duas varreduras são executadas, a primeira em

pontos “impares” da malha definidos em (i + j) e a segunda utilizando os valores recém-

calculados para calcular os pontos “pares” da malha. No passo de tempo seguinte os

pontos pares e impares de cálculo são invertidos. Embora seja tecnicamente implícito, o

esquema evita a solução de equações simultâneas.

2.13. Sistema de Equações Lineares

O método das diferenças finitas totalmente implícitas, que é utilizado neste

trabalho, exige a solução de sistemas de equações lineares, como mostrado acima. Um

sistema do tipo













A x B

 pode ser resolvido obtendo-se a matriz inversa







desde que a matriz





seja passível de inversão. Entretanto uma matriz tridiagonal,

como a mostrada na figura 11, quando invertida produz uma matriz completa. Enquanto

que uma matriz tridiagonal ocupa pouco espaço de memória do computador, uma matriz

completa exige muito mais espaço de memória, tornando o método computacionalmente

pouco eficiente. Há diversas alternativas para se resolver o sistema, as mais usuais são

explicadas a seguir.

2.13.1.Decomposição LU

O método consiste em resolver um sistema do tipo:













A x B

 (127)

decompondo-se a matriz





em duas sub-matrizes, sendo uma a matriz





e outra a

matriz





, assim denominadas porque ambas são matrizes triangulares a





é a matriz

triangular inferior (lower triangular) e a





é a matriz triangular superior (upper

triangular). Por exemplo:

11 1 1

1 1

1 0 0

n n

m mn m

a a U

a a L

     

     



     

     

  

        

  

Decompondo-se





, obtem-se:













A L U

 (128)

Substituindo-se no sistema, tem-se:

















L U x B



(129)

e rearranjando:





















L U x B

 (130)

fazendo:













U x y



(131)

tem-se:













L y B

 (132)

O sistema (127) pode agora ser resolvido em duas etapas, primeiro calcula-se





utilizando-se o sub-sistema (132) e depois resolve-se





utilizando-se o sub-sistema

(131). Como ambas as matrizes





no sistema (132) e





no sistema (131) são

triangulares, isto simplifica a solução, pois o sistema (132) pode ser resolvido por

forward substitution e o sistema (131) pode ser resolvido por backward substitution

(WILMOTT, DEWYNNE e HOWISON, 1993).

A solução de













L y B

 por forward substituition, é dada por:



i i ij j

y b l y





 

 

 

 



para i = 2,....,n.

A solução de













U x y

 por backward substituition, é dada por:



i i ij j

j i

x y u x

 

 

 

 

 



i i ij j

j i

x y u x

 

 

 

 

 



para i = n-1,......,1.

O método é eficiente para resolver sistemas com matrizes tridiagonais,

entretanto, em sistemas grandes com um grande número de entradas zero, como

acontece nos sistemas gerados pelos métodos de diferenças finitas, os métodos

interativos são mais eficientes, tanto em termos de cálculo, com em termos de

armazenamento (BURDEN e FAIRES, 2003). No Apêndice A é apresentado um

exemplo simples de sistema linear resolvido por LU.

2.13.2. Métodos Interativos

O método interativo usualmente utilizado para resolver o sistema de equações

produzido pelas diferenças finitas totalmente implícitas é o método conhecido como

super-relaxação sucessiva, ou em inglês Successive Over Relaxation (SOR) ou, no caso

das opções do tipo americano que têm que respeitar a restrição de exercício antecipado,

o método da super-relaxação sucessiva projetada, em inglês Projected Successive Over

Relaxation (PSOR). Ambos são evoluções do método de Gauss-Seidl, que por sua vez

é uma evolução do método de Jacobi, descritos sucintamente a seguir. O Apêndice B,

traz uma explicação mais detalha destes métodos, através da solução de um exemplo

numérico simples pelos três métodos.

2.13.3.1. Jacobi

Seja o sistema linear proposto em (127), fazendo [A] = [D] + ([L]+[U]), onde

[D] é a matriz diagonal, [L] a triangular inferior e [U] a triangular superior de [A], então

o sistema (126) pode ser re-escrito como:

[D] . [x] + ([L]+[U]) . [x] = [B] (133)

então

[x] = [D]

-1

{[B] – ([L] + [U]).[x]} (134)

se a

≠ 0 para cada i, a interação pelo método de Jacobi pode ser expressa por:

[x]

(k+1)

= [D]

-1

{[B] – ([L] + [U]). [x]

(k)

} (135)

onde k é a contagem interativa.

Geralmente a equação (135) é expressa em termos dos elementos das matrizes:



 )1(k

 

















1j

jiii

xab , para i = 1, 2, .....,n (136)

2.13.3.2. Gauss-Seidl

No método de Gauss-Seidl a equação (135) é expressa pela equação abaixo:

(k+1)

= (1/a

) (b

- ∑ a

(k+1)

- ∑ a

(k)

), para i = 1,2,..., n. (137)

j< i j >i

A principal diferença entre o método de Gauss-Seidl e o método de Jacobi é que o

cálculo é feito com x

(k+1)

substituindo x

(k)

, ou seja, os elementos são imediatamente

utilizados na interação à medida que vão sendo obtidos.

A diferença pode parecer pequena, mas o sistema converge em velocidade muito

maior do que utilizando o método de Jacobi.

2.13.3.3. Successive over-relaxation (SOR)

Successive over-relaxation (SOR) é utilizado para acelerar a convergência do

método de Gauss-Seidl. Se a obtenção do novo valor x

m+1

, cada interação do método de

Gauss-Seidl, for vista como a adição de um incremento, ao elemento x

obtido na

interação anterior, então este incremento teria o valor (x

m+1

- x

). Para acelerar a

convergência pode-se tentar adicionar um incremento maior, multiplicando-se por um

coeficiente de aceleração w o incremento (x

m+1

- x

), então a equação de interação (136)

do método de Gauss-Seidl fica sendo:

       

1 1

(1 )

n n

k k k k

i i i ij j ij j

j i i

x w x w b a x a x

 

  

 

    

 

 

 

, para i = 1,2,....,n. (138)

onde w = fator de aceleração.

Se a escolha do fator de aceleração w>1, diz-se que o método é de sobre-

relaxação e se a escolha for 0<w<1, diz-se que o método é de sub-relaxação (BURDEN

e FAIRES, 2003).

É possível determinar-se o fator de aceleração (w) ótimo, mas isto não é

conveniente do ponto de vista computacional, pois não é computacionalmente eficiente

computacionalmente e isto pode ser feito experimentalmente, computando-se o tempo

de processamento para as primeiras interações e ajustando-se o w convenientemente

(DUFFY, 2004).

Embora o SOR seja um pouco mais lento do que o método da decomposição LU,

para a avaliação de opções do tipo europeu, a vantagem em utilizá-lo é que com uma

pequena modificação no algoritmo, utilizando o método PSOR, descrito abaixo, o

mesmo programa de computador pode calcular o opções do tipo europeu e americano.

2.13.3.4. Projected successive over-relaxation (PSOR)

O método projected successive over relaxation (PSOR) é uma generalização do

método SOR, o qual resolve a malha de discretização sem levar em consideração que a

restrição de exercício antecipado deve ser sempre satisfeita em todos os nós da malha,

portanto poder-se-ia utilizar o método SOR para avaliar uma opção do tipo europeu,

mas não para avaliar uma opção do tipo americano. O método PSOR consiste em

verificar a restrição de exercício antecipado tomando em cada nó o valor máximo entre

o preço calculado e o preço de exercício, deste modo ele é o método indicado para

opções do tipo americano e é o método que utilizado neste trabalho.

2.13.4. Simulação de Monte Carlo e Opções Americanas

Simulação de Monte Carlo é um procedimento numérico que permite a

modelagem do valor futuro de uma variável através da simulação de seu comportamento

ao longo do tempo.

A função probabilidade de uma variável aleatória discreta (ou a função

densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua) fornece informação

sobre a probabilidade da variável assumir um valor em particular (ou no caso da

variável contínua, a probabilidade desta assumir um valor dentro de determinado

intervalo). Mesmo que o evento que a variável aleatória está procurando modelar

ocorra uma única vez, há a percepção de que se fosse repetido diversas vezes a variável

aleatória assumiria valores na proporção destas probabilidades.

Na simulação de Monte Carlo simplesmente imita-se o comportamento das

variáveis aleatórias subjacentes e acompanha-se o valor das variáveis aleatórias de

saída, que são as variáveis de interesse. O elemento essencial é a repetição. Repetindo-

se o processo um grande número de vezes (não é incomum uma repetição na casa das

centenas de milhares de vezes), produz-se uma distribuição da variável de saída com a

qual se pode construir uma distribuição de probabilidades.

A simulação de Monte Carlo pode ser utilizada com relativa facilidade na

avaliação de opções de compra ou de venda do tipo europeu. O primeiro passo é

identificar a distribuição de probabilidades da variável subjacente. Os pacotes de

simulação de Monte Carlo existentes – por exemplo, o software @RISK da Palisade Co.

– têm uma biblioteca de distribuições de probabilidade incorporada e, também permitem

construir uma distribuição de probabilidades sob medida conforme desejo do

programador. O segundo passo é simular o comportamento da variável aleatória

subjacente. O terceiro passo é combinar os dados de entrada conforme a lógica do

sistema. Isto é, descrever o modo em que cada dado de entrada (valor da variável

aleatória subjacente) é combinado para produzir um dado de saída (valor da opção). O

quarto passo é repetir o terceiro passo tantas vezes quantas forem necessárias para se

obter a distribuição do valor futuro do ativo.

A simulação de Monte Carlo é uma técnica bastante poderosa. As principais

desvantagens são: o tempo de processamento – o método é lento quando comparado

com a solução da equação diferencial com o método das diferenças finitas – e a

dificuldade de aplicação da simulação de Monte Carlo para opções do tipo Americano.

Esta complicação é devida à possibilidade do exercício antecipado ser ótimo. Para se

saber quando é ótimo exercer a opção deve-se calcular o preço da opção para todos os

valores da ação objeto e do tempo até o vencimento de modo que seja possível

certificar-se de que não há qualquer possibilidade de arbitragem em nenhum dos

períodos de tempo. Entretanto, a simulação de Monte Carlo, em sua forma básica, é

usada apenas para estimar o preço da opção em um ponto do espaço Preço x Tempo, em

um dado instante de tempo e com o preço atual do ativo objeto.

No método das diferenças finitas calcula-se o preço da opção no sentido inverso

do tempo, isto é, do vencimento para o momento presente. Fazendo-se isto, pode-se

calcular o valor da opção em cada ponto da malha das diferenças finitas, desde o

momento atual, até o vencimento da opção. Isto significa que, ao longo do caminho,

será possível certificar-se de que não há possibilidades de arbitragem e, em particular,

verificar que a restrição de exercício antecipado seja sempre satisfeita em todos os nós

da malha, o que é praticamente impossível com o método da simulação de Monte Carlo,

pois seria necessário fazer uma simulação para cada um dos nós da malha, obter o preço

médio e compará-lo ao preço de exercício e certificar-se de que a restrição de exercício

antecipado esteja sempre sendo satisfeita em todos os nós da malha.

2.13.5. Elementos Finitos

O método dos elementos finitos, do ponto de vista matemático, iniciou-se com o

trabalho de Courant (1943) apud Zienkiewicz (1971), que utilizou o método variacional

de Ritz de análise numérica para obter soluções aproximadas para sistemas de vibração.

Do ponto de vista de engenharia, o método dos elementos finitos originou-se no

método dos deslocamentos utilizado em análise matricial de estruturas, que emergiu ao

longo de várias décadas principalmente na pesquisa aeroespacial britânica, como uma

alternativa adequada para a análise de estruturas com o uso de computadores.

No fim da década de 50 os conceitos básicos de matriz de rigidez e de

agrupamento de elementos já existiam na forma como são utilizados hoje e, em 1965, a

NASA solicitou propostas para o desenvolvimento de um software de análise de

elementos finitos (ZIENKIEWICZ, 1971).

O método dos elementos finitos é utilizado para resolver equações diferenciais

parciais. O método exige a discretização do domínio em sub-regiões ou células. Por

exemplo, um domínio bidimensional pode ser dividido e aproximado por um conjunto

de triângulos, que são as células. Em cada célula a função é aproximada por uma forma

característica. A essência do método dos elementos finitos é tomar um problema

complexo, cuja solução é difícil (senão impossível) de obter e decompô-lo em pedaços

sobre os quais uma aproximação simples da solução possa ser construída e, então,

agregar as soluções aproximadas locais para se obter uma solução global aproximada. O

método tem sido utilizado em uma ampla gama de aplicações em problemas de

engenharia e de física, desde que eles possam ser expressos por uma equação diferencial

parcial.

Este método adapta-se bem à solução de problemas de fronteira livre em forma

de inequações variacionais, portanto pode ser utilizado para resolver o problema de

complementaridade linear relativo à fronteira ótima de exercício de opções americanas.

Na realidade ZVAN

et al. (1998) mostraram que o método pode ser utilizado em

modelos de precificação de opções. Entretanto, segundo Wilmott et al. (1993), o método

conduz ao mesmo problema numérico que a modelagem do problema de

complementaridade linear em diferenças finitas conduz, de modo que optou-se por

utilizar, neste trabalho, o método das diferenças finitas totalmente implícitas (fully

implicit finite difference method), com o algoritmo de solução interativa PSOR.

3. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

3.1. Tipo e Método de Pesquisa

Segundo a classificação de tipos de pesquisa de Vergara (2007), o presente

trabalho pode ser classificado, quanto aos fins como uma pesquisa descritiva e, quanto

aos meios, como uma pesquisa experimental.

Segundo Richardson et al. (2008) os métodos de pesquisa podem ser

classificados em método quantitativo e método qualitativo. O método quantitativo

caracteriza-se pelo uso da quantificação, tanto na coleta de informações, quanto no

tratamento dos dados, por meio de técnicas estatísticas. De acordo com esta

classificação, este trabalho utilizará o método de pesquisa quantitativo.

3.2. Hipóteses

A abordagem das opções reais contém o instrumental teórico-prático necessário

para quantificar adequadamente a flexibilidade gerencial na avaliação de um projeto de

investimento de capital sob incerteza e produz melhores resultados na modelagem da

decisão ótima de corte de um lote de árvores em um projeto de reflorestamento. São

propostas as seguintes Hipóteses neste trabalho:

0,1

: a série de preços obedece a um movimento browniano geométrico;

A,1

: a série de preços obedece a um processo de difusão com reversão a média;

Para as demais hipóteses, a seguir, H

está implícita ou subtendida.

A,2

: o valor do povoamento florestal se altera em função do processo de difusão;

A,3

: a decisão de tempo ótimo de corte se altera em função do processo de difusão;

A,4

: o valor do povoamento florestal, com qualquer dos dois processos de difusão de

preços, se altera em função da volatilidade dos preços da madeira;

A,5

: a decisão de tempo ótimo de corte, com qualquer dos dois processos de difusão de

preços, se altera em função da volatilidade dos preços da madeira;

A,6

: o valor do povoamento florestal, com qualquer dos dois processos de difusão de

preços, se altera em função da taxa de juros;

A,7

: a decisão de tempo ótimo de corte, com qualquer dos dois processos de difusão de

preços, se altera em função da taxa de juros;

A,8

: o valor do povoamento florestal, quando os preços seguem um processo de

reversão geométrica à média, se altera em função da velocidade de reversão à

média;

A,9

: a decisão de tempo ótimo de corte, quando os preços seguem um processo de

reversão geométrica à média, se altera em função da velocidade de reversão à

média;

A,10

: o valor do povoamento florestal, quando os preços seguem um processo

browniano geométrico, se altera em função dos custos de colheita;

A,11

: a decisão de tempo ótimo de corte, quando os preços seguem um processo

browniano geométrico, se altera em função dos custos de colheita.

3.3. Definição e operacionalização das variáveis

3.3.1. Variável Dependente

O valor do investimento com opção de abandono embute a flexibilidade gerencial de,

a cada instante t, decidir se é valioso ou não manter a operação. O valor da opção de

abandono é, então, identificado pela diferença entre o resultado da avaliação pela teoria

de opções reais e o resultado obtido pela metodologia tradicional (modelo de fluxo de

caixa descontado) e é considerado a variável dependente neste trabalho.

3.3.2. Variáveis independentes

As variáveis independentes, que influem no valor do investimento com opção de

abandono, estão identificadas abaixo:

 Preço do ativo-objeto, S: é o valor do ativo-objeto que está sendo

referenciado pela opção;

 Preço de exercício, K: é o preço pré-determinado com a qual a opção

pode ser exercida;

 Prazo de vencimento, T: é o período de duração com a qual a opção pode

ser exercida;

 Desvio-padrão do valor do ativo, σ: é a medida de imprevisibilidade do

movimento futuro do preço do ativo-alvo. É medida pelo desvio-padrão

do preço do ativo-objeto;

 Taxa de juros livre de risco, R: é o rendimento de um ativo livre de risco,

com o mesmo tempo de maturação que o prazo de vencimento da opção;

 Processo de difusão que determina a trajetória dos retornos (MBG ou

RGM);

 Velocidade de reversão à média (η), que mede a velocidade com a qual

os preços revertem à média no processo de difusão de reversão

geométrica à média (RGM).

 Dividendos que podem ser pagos pelo ativo-objeto, D: são os valores

pagos com regularidade pelo ativo-objeto.

3.4. Metodologia

3.4.1. Modelagem da opção de cortar as árvores

A escolha do tempo ótimo de corte de um lote de árvores de idades homogêneas

será modelada como uma opção real, semelhante a uma opção de compra do tipo

Americano, com os custos de colheita sendo o preço de exercício.

A colheita das árvores gera ao proprietário receita da venda dos troncos, mas

também envolve diversos custos incluindo custos de colheita, perda de benefícios

futuros de outras receitas (líquidos dos custos de administração) que poderiam advir de

um bosque, e perda do volume de madeira adicional de madeira que poderia haver caso

se deixasse as árvores crescer por mais um período. Sob preços aleatórios, se a colheita

é adiada até o próximo período, o proprietário também enfrenta incerteza quanto aos

preços que poderão estar mais altos ou mais baixos do que estão no período corrente.

Supondo-se que o preço da madeira, P, siga algum processo estocástico conhecido que é

dado em termos gerais por:









dztPbdttPadP ,, 

(139)

onde:

a (P,t) é o termo de desvio (drift)

b(P,t) é o termo de variância

Os termos a (P,t) e b(P,t) , são funções não aleatórias conhecidas e dz é o

incremento de um processo de Wiener. Supõe-se que o volume de madeira em um lote

de árvores, X, cresça de acordo com uma função determinística, conhecida, dependente

de idade: dX(t) = g(t) dt.

A decisão de corte pode ser especificada com um problema de parada ótima —

optimal stopping problem — que é resolvido utilizando-se a técnica de programação

dinâmica (DIXIT e PINDYCK, 1994). A receita é designada por R e o volume de

madeira por X. Então R = X x P onde P segue o processo estocástico mostrado na

Equação (139). A equação de Bellman é dada abaixo, onde V(R, t) é o valor da opção

de colher a floresta no tempo t:

         





, max ; 1 ,

V R t R t K A t t r t E V R R t t



 

         

 

(140)

Na Equação (96), R(t) é a receita quando se corta as árvores no tempo t, K é o

custo da colheita, A(t) é uma eventual receita adicional (líquida de custos de

administração) oriunda da floresta no período t, se as árvores não forem cortadas (esta

receita pode ser gerada, por exemplo, por lazer e por isso, neste trabalho, esta eventual

receita adicional será doravante denominada de lazer). A taxa de desconto instantânea é

dada por r. Dadas certas condições de regularidade (DIXIT e PINDYCK, 1994), para

cada t haverá um valor crítico de receita, R*, de tal modo que preservar a floresta é

ótimo se R < R* , enquanto que cortar é ótimo se R > R*. A solução para o problema

de corte de árvores envolve descobrir a fronteira livre, R = R* (t).

Seguindo a argumentação de Dixit e Pindyck (1994), calculando o limite para t

 0, e aplicando o Lemma de Ito, a partir da Equação (140) obtém-se uma equação

diferencial parcial satisfeita pela função valor na região de continuação:

     





 

   

2 2

, , ,

t R RR

g t

rV R t A t V a R t X R t V b R t X V

X t

 

    

 

 

(141)

O problema de parada ótima (Equação 140) será re-especificado na forma que é

mais útil para avaliar uma opção de compra americana com uma fronteira livre e

formulado como um problema de complementaridade linear — linear complementarity

formulation (WILMOTT ET. AL. 1993). Há outra formulação possível, a da inequação

variacional, mas ambas conduzem ao mesmo resultado (INSLEY, 2002). Ambas as

formulações eliminam qualquer dependência explícita da fronteira livre; a fronteira

pode ser recuperada depois que o problema da avaliação da opção tiver sido resolvido

(WILMOTT, 1998).

Para formular o problema de corte das árvores como um problema de

complementaridade linear, escreve-se a Equação (141), com

 definido como o tempo

remanescente,

 = T – t, assim:

     





 

2 2

, , ,

RR R

HV rV R V b R X V a R X R V



   



 

      

 

 

(142)

O problema da complementaridade linear pode agora ser especificado como:

(i)



(ii)









0,  RtRV

(143)

(iii)













0,  KRtRVHV

Esta formulação pode ser vista intuitivamente como uma descrição da estratégia

do indivíduo racional quando de posse de uma opção americana. A parte (i) do

problema de complementaridade linear especifica que o retorno exigido (V) menos o

retorno real por adiar a colheita não será negativo. Se HV = 0 então o retorno exigido

para manter a opção é igual ao retorno real e é ótimo continuar mantendo a opção. Se

HV > 0, então o retorno exigido excede o retorno real, implicando em que a opção deva

ser exercida. O caso quando HV < 0 implica em que o retorno real excede o retorno

exigido, uma situação que não se espera persistir em mercados competitivos. A parte (ii)

do problema de complementaridade linear estabelece que o valor da opção de colher,

V(R,t), nunca pode ser menor do que o valor de cortar as árvores imediatamente, (R-K).

Isto se dá devido ao fato de que a opção de cortar pode ser exercida a qualquer tempo.

Se o valor da opção cai abaixo do nível de payout, ela seria imediatamente exercida,

portanto nunca cairia abaixo do valor de payout. A parte (iii) estabelece que ou (i) ou

(ii) (ou ambos) continuam valendo como uma igualdade estrita. Se HV = 0, então

esperar é ótimo; ser V(R,t) – (R – K) = 0, então o corte é ótimo. Se ambos são

identicamente nulos então o valor de cortar é igual ao valor de esperar e o proprietário

fica teoricamente indiferente às duas alternativas.

Para uma solução numérica do Sistema (143) é necessário especificar as

condições de contorno. Percebe-se que como a formulação de complementaridade linear

não depende explicitamente da fronteira livre, não é necessário especificar as condições

value matching e smooth pasting. Em vez, estas condições são uma conseqüência

desta formulação (INSLEY, 2002).

Condição de Contorno 1. Para valores não nulos de X, como R

 0, P  0,

visto que R = X . P.

Na Equação (139), de modo a evitar preços negativos, é necessário que b

 0,

quando P  0 e a  0 quando P  0. Portanto quando R  0 é possível reescrever a

Equação (142) como:









, ,

HV rV R V a R XV



 

    

(144)

Supondo-se que a part (i) do Sistema (143) seja uma igualdade estrita e a

expressão na parte (ii) seja estritamente positiva, isto significa que HV = 0 de modo

que:









, ,

V a R XV rV R



 

   

(145)

A Equação (145) é uma equação hiperbólica de primeira ordem que tem

características de limite e portanto não são necessárias condições de contorno adicionais

(HALL & PORSHING, 1990). Mais precisamente pode ser mostrado que, desde que

b(R,t)  0 mais rapidamente do que R

1/2

nenhuma condição de contorno é necessária

em R = 0.

Se, ao contrário, é ótimo colher, então a parte (ii) do Sistema (143) será uma

igualdade. O valor da opção quando R  0 é exatamente igual ao payout, que será o

oposto dos custos de colheita (isto é, V(R,t) = - K).

Condição de Contorno 2. A medida que a receita, R, fica muito grande, a

condição de contorno que parece intuitivamente razoável é:









RRV



,

(146)

para alguma função (). À medida que R tende ao infinito, sobra pouco potencial de

subida para a opção, devido a ganhos de capital sobre a floresta. Assume-se, portanto,

que o valor da opção é proporcional a R. Isto implica que V

= () e V

= 0.

Substituindo-se na Equação (142) tem-se:

 









 

, ,

a R X g

V rV R V V R t A

R X



 



 

     

 

 





R (147)

Mesmo para um R muito grande, pode ser ótimo adiar a colheita se as árvores

ainda estiverem crescendo rapidamente. Estando-se na região de continuação onde é

ótimo adiar a colheita, então HV = 0 e Equação (147) transforma-se em:

 









a R X g

V V R r A

R X



 



 

   

 

 





(148)

Se, ao contrário, HV > 0, significando que é ótimo colher então a part (ii) do Sistema

(143) é uma igualdade estrita e ignorando K (porque R é muito grande) tem-se:





    

1,01











RRV

(149)

Então, à medida que R aumenta, a função

 = 1 se colher for ótimo. Na solução

numérica do problema, um número arbitrariamente grande é escolhido para o máximo

valor de R. Será feita uma verificação para ter certeza que aumentando o R máximo

ainda mais não haverá variação significativa nos resultados. Para os exemplos neste

trabalho o R máximo reflete um preço máximo da madeira de cinqüenta vezes o valor

corrente em termos reais.

Condição Final. À medida que o tempo remanescente tende a zero, o valor da

opção ou é a receita da colheita, ou o valor de lazer, aquele que for maior:









 ,max0, RRV



(150)

O algoritmo numérico para se determinar o valor da opção envolve a

discretização do problema de complementaridade linear (Sistema 143) usando um

método de diferenças finitas implícitas (WILMOTT ET AL., 1993). O problema de

complementaridade linear foi resolvido neste trabalho, a cada passo de tempo, pelo

método da super-relaxação sucessiva projetada (PSOR), em inglês Projected Successive

Over Relaxation Method, que é uma modificação do SOR tradicional (WILMOTT ET

AL., 1995), utilizado para calcular numericamente o valor de opções americanas do

SOR tradicional (WILMOTT ET AL., 1995). O problema da complementaridade linear

também pode ser resolvido pelo método da penalidade (ZVAN

ET AL.,1998) que é um

meio eficiente de impor a condição de que o valor da opção nunca pode ser mais baixo

do que a receita líquida de cortar as árvores.

3.4.2. A decisão de colheita com preços seguindo movimento browniano geométrico

(MBG)

Sob MBG, os parâmetros do processo estocástico generalizado, equação (139),

são especificados como a(R, τ) = µP = µ(R/X) para uma taxa de crescimento (drif rate)

µ e b(R,

τ) = σ P = σ (R/X) para uma taxa de variância constante, σ. A equação (142)

fica sendo:

( )

2 2

( , )

RR R

HV rV R V R V RV A



  

 

     

 

(151)

A solução da equação (151) acima fornece o corte ótimo. A equação (151) terá

que ser discretizada para se utilizar o método da diferenças finitas totalmente implícitas.

Reescrevendo a equação (151) acima, na notação de Hull (2002), tem-se:

( )

2 2

f f g f

i j

t X R

rf R R A



 

  

 



 

     

 

(152)

onde:

f = valor da opção

r = taxa de juros livre de risco

= taxa de variância do preço do ativo objeto

R = receita com a colheita da floresta

µ = drift rate no movimento de difusão de preços

g(τ) = derivada da função de crescimento do volume de madeira em função da idade

X = função de crescimento da madeira em função da idade

A = receita líquida de custos, proveniente da floresta não cortada (lazer)

Para discretizar a equação (152) as derivadas parciais serão substituídas por:

1, ,

i j i j

f f

t t











(153)

, 1 , 1

i j i j

f f

S S



 







(154)

, 1 , , 1

2 2

i j i j i j

f f f

S S



 

 





(155)

Lembrando ainda que:

R j R





(156)

Substituindo (153), (154), (155) e (156) em (152), tem-se:









1, , , 1 , , 1 , 1 , 1

( )

2 2 2

2 2

i j i j i j i j i j i j i j

f f f f f f f

i j

t X R

rf j R j R A



 



   

    

   

 

     

 

Simplificando, rearranjando, assumindo que A = 0 e fazendo:

( )

2 2

1 1

2 2

a j t j t



   

 

  

 

(157)

2 2

b j t r t

  

  

(158)

 

2 2

1 1

2 2

c j t j t



   

 

   

 

(159)

Tem-se:

, 1 , , 1 1,

j i j j i j j i j i j

a f b f c f f

  

  

(160)

Esta equação, como mencionado anteriormente, será revolvida pelo método de

diferenças finitas totalmente implícitas, com a utilização do algoritmo PSOR.

3.4.3. A decisão de colheita com preços seguindo movimento de reversão

geométrica à média (RGM)

A modelagem da decisão de colheita com o processo de difusão dos preços

seguindo um movimento browniano geométrico (MBG).

Como explicado anteriormente, é bastante razoável supor que os preços de

madeira para fabricação de celulose, devido à sua característica de quasi-commodity,

siga um processo de difusão de preços que reverta a média. Neste caso, será utilizado

um processo de difusão conhecido como Geometric Ornstein-Uhlenbeck que tem a

forma:





dP P P dt Pdz

 

  

(161)

Neste processo P reverte para a média

a uma velocidade determinada pelo

parâmetro η. A taxa de variância cresce com P, de modo que a variância é zero se P for

zero. Este formato é mais adequado do que o processo simples de Ornstein-Uhlenbeck

no qual a taxa de variância é σdz. No processo simples, à medida que a o preço P se

aproxima de zero, a volatilidade constante poderia fazer com que os preços ficassem

negativos.

Substituindo-se a equação (161) acima na equação (142) tem-se:

   

 

   

2 2

( , )

RR R

V R V PX R R V rV R A



       

 

     

 

(162)

A solução da equação (162) fornecerá o corte ótimo em cada instante t.

Esta equação (162) modela o corte de árvores com o processo de difusão de

preços de reversão geométrica à média.

A equação (162) acima terá que ser discretizada, a exemplo do que foi feito com

a equação (151), para se utilizar o método da diferenças finitas implícitas.

Reescrevendo a equação (145) acima, com a notação de Hull (2002), tem-se:

   

 

2 2

f f f

t R

R PX R R rf A



     

  

 



 

     

 

(163)

Para discretizar a equação (146) as derivadas parciais serão substituídas por:

jiji



,,1









(164)

jiji



1,1, 







(165)

1,,1,

fff

jijiji











(166)

Substituindo (164), (165), (166) em (163) e lembrando que R = jδR, tem-se:













, 1 , 1

2 2

1 1

, , 1 , , 1

2 2

, 1,

i j i j

f f

i j i j i j i j i

X R

i j i j

f j t f f f PX j R j R t

r tf f



      



 



 



 

      

 

 

Rearranjando, tem-se:

jijijjijjij

ffcfbfa

,11,,1,

...



 (167)

onde:

].).(..[

RjRjXPtja







(168)

trtjb





(169)

].).(..[...

RjRjXPtjc







(170)

Do mesmo modo que a equação (151), que utiliza o Movimento Browniano Geométrico

como processo de difusão de preços, esta equação será revolvida pelo método de

diferenças finitas totalmente implícitas, com a utilização do algoritmo PSOR.

3.4.4. O software BobPsor desenvolvido para a solução numérica do problema

As equações discretizadas (160) e (170) serão resolvidas com a ajuda do

software BobPsor, escrito em linguagem C, especialmente desenvolvido para este fim.

A linguagem C e C++ são praticamente iguais. Inicialmente, pensou-se em utilizar o

software Matlab® (Matrix Laboratory), cuja linguagem é bastante amigável e voltada

para resolver problemas matriciais. A grande vantagem no uso do Matlab® é que as

rotinas são intuitivas, de fácil compreensão e flexíveis. Entretanto, esta é uma

linguagem interpretada (

mathematical scripting language), enquanto que C/C++ são

linguagens compiladas. Isto significa que os comandos escritos para um software em

Matlab® tem que ser interpretados pelo computador antes de serem executados,

enquanto que em linguagens compiladas como C/C++, primeiro escreve-se o programa,

depois com auxilio de um

software de compilação as séries de comandos, ou rotinas do

programa, são traduzidas para linguagem de máquina (essencialmente binária) e o

computador ao executar os comandos não tem que traduzi-los antes, roda diretamente

em linguagem de máquina. Isto se reflete em uma maior velocidade de execução dos

programas compilados, em relação aos interpretados. Neste trabalho utilizou-se o

compilador MinGW com ajuda de uma interface de comunicação Dev-C++ que é um

IDE (

integrated development environment), open source, escrito em Delphi e

distribuído pela GNU General Public License. Pauly (2004), que escreveu dois

softwares para fazer simulação numérica de opções americanas, reporta que o programa

escrito em C++ era em média trinta e sete vezes mais rápido do que o mesmo programa

escrito em Matlab®.

A decisão de escolher a linguagem C mostrou-se sábia, considerando que as

análises de sensibilidade foram rodadas em um notebook HP Pavillion com processador

AMD Sempron 3400+, com 1 GB de memória RAM e que, com o software BobPsor

escrito em C, cada análise de sensibilidade, com uma malha de (N = 150 x M = 500),

demorava cerca de 5 minutos para ser processada, isto significa que se o programa

tivesse sido escrito em Matlab®, cada análise de sensibilidade demoraria cerca de 3h e

5 minutos para ser rodada. Como foram rodadas quase 40 análises, isto teria levado 123

horas aproximadamente. Há uma explicação detalhada sobre a malha de discretização

(N x M) no Apêndice C.

O parâmetro de tolerância (ε) utilizado foi 10

-6

, que é o mesmo utilizado por

Insley (2002), por Kerman (2002) e recomendado por Pauly (2004). Este último fez

diversas análises de sensibilidade utilizando tolerâncias de 10

-3

, 10

-6

, 10

-7

, 10

-8

e 10

-9

Concluiu que a tolerância de 10

-3

leva a resultados não suficientemente acurados e que,

a tolerância mais eficiente do ponto de vista da relação custo/beneficio é a tolerância ε =

-6

, pois o tempo de processamento dobra, quando a tolerância vai de 10

-6

para 10

-9

Neste trabalho, a título de curiosidade, foi feita uma experiência com tolerância de 10

-3

que também produziu resultados não acurados. Há uma explicação mais detalhada sobre

o parâmetro de tolerância no Apêndice B.

O parâmetro de sobre-relaxação (w) utilizado foi 1,105. Há, teoricamente, um w ótimo

(w*). O valor de w* é discutido em detalhes em Smith (1985). Na prática, entretanto, o

w* é obtido por tentativa e erro, como explicado no Apêndice B.

O número de divisões da malha (N, M) tem óbvia influência na acurácia dos

resultados. Teoricamente, com o número de divisões tendendo a infinito o resultado

numérico tenderia ao resultado real da equação diferencial, se não houver problemas de

instabilidade. De modo geral, quanto maior o número de divisões da malha, maior a

precisão dos resultados e maior o tempo de processamento, do mesmo modo como

aconteceu com o parâmetro de tolerância. O número de divisões adotado neste trabalho

(N = 150; M = 500) foi obtido por aproximações sucessivas, utilizando-se uma opção

financeira com solução analítica exata pela fórmula de Black e Scholes, como

benchmark para se aferir os resultados.

3.5. Amostra e Dados

Os dados são secundários e é necessária uma série histórica de preços de

madeira, para estimar os parâmetros do modelo. No caso específico deste trabalho, seria

necessária uma série histórica de preços de eucalipto reflorestado, para utilização na

fabricação de celulose, para se estimar o valor da taxa de desvio (

drift rate - µ) e o valor

da taxa de variância (

), no caso em que se utilizou o movimento geométrico

browniano como processo de difusão. No caso em que se utilizou a reversão

geométrica à média, como processo de difusão de preços, a série histórica de preços de

madeira seria utilizada também para estimar a velocidade de reversão à média (η) e a

média à qual os preços supostamente revertem (

Para se testar se os preços revertem à média, utiliza-se um teste de raiz unitária

conhecido como

augmented Dickey Fuller (ADF). O teste foi originalmente

desenvolvido por Dickey e Fuller (1981) e foi depois estendido e refinado (daí o

augmented) e é normalmente encontrado nos pacotes estatísticos disponíveis no

mercado. Entretanto, como alertam Dixit e Pindyck (1994), é necessária uma série

história bastante longa, com dados de muitos anos, para se poder determinar com algum

grau de confiança se a variável de fato reverte à média. Dixit e Pindyck (op. cit.)

apresentam dois exemplos, com séries históricas de preços de petróleo cru e cobre,

expressos em dólares constantes de 1967, com 120 anos (1870 a 1990). Relatam ainda

que, nestes exemplos, aplicandom-se os testes de raiz unitária às series inteiras de

dados, com os 120 anos, rejeita-se facilmente a hipótese de

random walk, aceitando-se a

hipótese alternativa de reversão dos preços à média, entretanto informam, que se os

testes forem aplicados usando apenas os dados de 30 ou 40 anos, não se consegue

rejeitar a hipótese de

random walk.

Devido à dificuldade em se conseguir uma longa série histórica de preços de

eucalipto reflorestado, para uso em fabricação de celulose no Brasil, utilizou-se como

amostra neste trabalho, a exemplo que fez Insley (2002), uma série de preços de

coníferas reflorestadas no Canadá. Os dados são mensais e foram obtidos na página da

Canada´s National Statistical Agency (CANSIM). A série de preços (série 329-0042 da

CANSIM) inicia-se em janeiro de 1956 e se estende até novembro de 2007,

compreendendo, portanto quase cinqüenta e dois anos. Os preços foram deflacionados e

convertidos a dólares canadenses constantes de novembro de 2007, por meio de um

índice canadense de preços de commodities (série 329-0039 da CANSIM).

As figuras 12 e 13, abaixo, mostram respectivamente a evolução dos preços da

madeira de 1956 a 2007 e os mesmos preços deflacionados em dólares canadenses de

novembro de 2007, constantes.

Figura 12 – Série histórica de preços nominais de coníferas canadenses

Fonte: elaborado pelo autor com dados CANSIM (2007).

Figura 13 - Série histórica de preços deflacionados de coníferas canadenses

Fonte: elaborado pelo autor com dados CANSIM (2007).

Verifica-se, visualmente, que a série de preços parece ter um comportamento

compatível com um movimento browniano geométrico, enquanto que a série de preços

deflacionada, parece ter um comportamento mais compatível com uma reversão

geométrica à média.

100

120

140

160

1956/01

1958/09

1961/05

1964/01

1966/09

1969/05

1972/01

1974/09

1977/05

1980/01

1982/09

1985/05

1988/01

1990/09

1993/05

1996/01

1998/09

2001/05

2004/01

2006/09

100

120

140

1956/01

1958/08

1961/03

1963/10

1966/05

1968/12

1971/07

1974/02

1976/09

1979/04

1981/11

1984/06

1987/01

1989/08

1992/03

1994/10

1997/05

1999/12

2002/07

2005/02

2007/09

Obteve-se também uma série brasileira de preços de eucalipto reflorestado em

pé, para uso em fabricação de celulose, na praça de Bauru, publicados pelo Centro de

Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA) da Escola Superior de Agricultura

Luiz de Queiroz da Universidade de São Paulo (Esalq/USP), ver figuras 14 e 15 abaixo.

A série de preços é mensal e inicia-se em outubro de 2002, estendendo-se até agosto de

2007, compreendendo um período de quase 5 anos, insuficiente para se verificar se os

preços revertem à média. A exemplo do que foi feito com a série canadense, os preços

foram deflacionados e convertidos em reais constantes de agosto de 2007, usando-se

para isto dois índices de preços, a saber, o Índice de Preços ao Consumidor Amplo

(IPCA) publicado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), que é o

índice oficial do Governo Federal para medição das metas inflacionárias, e o Índice

Geral de Preços-Disponibilidade Interna (IGP-DI), publicado pela Fundação Getulio

Vargas (FGV). As séries deflacionadas pelos dois índices ficaram praticamente iguais e

não há diferença significativa entre as médias da série deflaciona pelo IGP-DI e pelo

IPCA, mesmo ao nível de significância de 1%. No modelo optou-se então por utilizar a

série deflacionada pelo IGP-DI. A figura (Y) abaixo mostra a evolução dos preços em

Reais nominais e a figura (Z) mostra a evolução dos preços em Reais constantes de

agosto de 2007, deflacionados pelo IGP-DI, note-se que visualmente não há evidências

de que os preços revertam à média. Observe-se também que a série canadense tem 622

observações contra 58 observações da série brasileira.

Figura 14 – Série histórica de preços nominais de eucaliptos no Brasil

Fonte: elaborado pelo autor com dados CEPEA (2007)

4/19/2001 9/1/2002 1/14/2004 5/28/2005 10/10/2006 2/22/2008

Figura 15 – Série histórica de preços deflacionados de eucaliptos no Brasil

Fonte: elaborado pelo autor com dados CEPEA (2007) e FGV (2007).

É necessária ainda para o modelo uma equação que forneça o volume de madeira

em povoamentos de eucalipto em função da idade da floresta. No caso de povoamentos

de coníferas canadenses utilizou-se a equação abaixo, obtida em Rollins et al.(1995).

0,5

792 5313

V t



  (171)

onde V

é o volume de madeira produzido no povoamento, medido em m

/ha e t é a

idade da floresta em anos, sendo que o domínio desta equação é

46 150

 

, pois

abaixo de 45 anos a equação produz volumes negativos e supõe-se que não seja viável

colher a madeira com esta idade e, acima de 150 anos, supõe-se que a floresta não

cresça mais. A figura 16, abaixo, mostra a evolução do volume de madeira reflorestada

em função da idade, segundo a equação (171) acima.

Figura 16 – Volume de madeira em função da idade - coníferas canandenses

Fonte: o autor

100

150

200

250

300

350

400

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Idade em anos

Volume m3/ha

4/19/2001 9/1/2002 1/14/2004 5/28/2005 10/10/2006 2/22/2008

No caso de eucalipto brasileiro utilizou-se a equação abaixo, obtida em

Rodriguez, Bueno e Rodrigues (1997).

6,0777

751,336

V e



 (172)

onde V

é o volume de madeira produzido no povoamento medido em m

/ha e t é a

idade da floresta em anos, sendo que o domínio desta função é

2 30

 

, pois se supôs

que a floresta não produza madeira comercializável antes de 2 anos e naõ cresça após os

30 anos.

A figura 17 abaixo, mostra a evolução do volume de madeira reflorestada em

função da idade, segundo a equação (172) acima.

Figura 17 – Volume de madeira em função da idade - eucaliptos no Brasil

Fonte: o autor

Interessante notar que, no povoamento canadense de Ontário, são necessários

quase 100 anos para que as coníferas reflorestadas produzam um volume de 250m

/ha,

enquanto que no povoamento brasileiro de eucalipto este mesmo volume é atingido em

cerca de apenas 6 anos.

O preço de colheita da madeira, que no modelo de opções reais é representado

pelo preço de exercício da opção de compra, no caso dos dados canadenses foi estimado

em $30/m

obtido em Rollins et al. (op.cit.), no caso dos dados brasileiros estimou-se o

custo de colheita em reais constantes de novembro de 2007, com dados obtidos no

Agrianual (2006) e no Agrianual (2007), indexado pelo IGP-DI no período de outubro

de 2002 a agosto de 2007. A média dos custos de colheita no período, em reais

constantes, foi de R$12,04/m

. Souza, Rezende e Oliveira (2001) informam ainda que

100

200

300

400

500

600

700

0 5 10 15 20 25 30

Idade em anos

Volume em m3/ha

os custos de colheita no Brasil vem caindo proporcionalmente ao preço da madeira,

provavelmente devido à mecanização da colheita, sendo que na década de 60 os custos

de colheita representavam cerca de 50% da receita obtida com a venda da madeira e

atualmente representam menos de 20%.

4. ANÁLISE DE DADOS E RESULTADOS

4.1. Análise das séries históricas de preços de madeira

A hipótese H1

deste trabalho estipula que a série de preços obedece a um

movimento browniano geométrico e tem como hipótese alternativa H1

que a série de

preços obedece a um processo de difusão com reversão à média. Então, inicialmente,

procurou-se verificar as características das séries históricas de preços de madeira.

Ambas as séries históricas de preços de madeira, a canadense e a brasileira, foram

submetidas a um teste de raiz unitária (

unit root) do tipo Augmented Dickey-Fuller

(ADF), como sugerido por Dixit e Pindyck (1994).

O objetivo do teste de raiz unitária é detectar estacionariedade em séries

temporais. O modelo mais simples é o modelo auto-regressivo de primeira ordem

conhecido como AR(1), já que o valor de Y no instante t será regredido sobre seu valor

no instante







. Se o coeficiente de



for, de fato, igual a 1, diz-se que há um

processo de raiz unitária, isto é, a série é não-estacionária. O modelo é da forma:

t t t

Y Y u



 

(173)

onde

é o termo de erro estocástico, que segue as hipóteses clássicas, isto é, média

zero, variância constante e não é autocorrelacionado. Este termo é conhecido como

termo de erro branco. Será necessário então rodar a regressão:

t t t

Y Y u





 

(174)

se for verificado que, de fato,





, então a variável estocástica Y tem uma raiz

unitária (unit root) e diz-se que a série tem um comportamento de random walk ou

passeio aleatório, que é um exemplo de série temporal não-estacionária. A maneira mais

usual de apresentar a equação (174) é obtida subtraindo-se



de ambos os lados da

equação obtendo-se então:





1 1

t t t t

Y Y P u



 

   

(175)

fazendo-se

1t t

Y Y



  

que é o operador de primeira diferença, tem-se:

t t

P u





  

(176)

neste caso, se a hipótese nula de





não puder ser rejeitada, isto significa que





a série tem um comportamento de random walk. Uma extensão do modelo (173) é o

random walk com drift, que tem a forma:

t t t

Y Y d u



  

(177)

onde d é o componente de drift. Entretanto, se os erros

forem serialmente

correlacionados, o modelo deve ser transformado em um modelo com uma variável

dependente

lagged. Este princípio pode ser generalizado para qualquer número de

termos, portanto o modelo geral fica sendo:

t i i t

Y t Y u

  



   



t i i t

Y t Y u

  



   



(178)

o qual pode ser expresso na forma equivalente:





1 1 2 3 1

t t t t

P P t t P u

   

 

      

(179)

Dickey e Fuller (1981) propuseram um teste para a hipótese conjunta de









que contém a raiz unitária. O teste ADF consiste em estimar os modelos restrito e não-

restrito da equação (179) e depois construir a estatística:





 

/ 2

R IR

SQR SQR

SQR n k







(180)

onde SQR

é a soma dos quadrados dos resíduos no modelo restrito e SQR

é a soma

dos quadrados dos resíduos no modelo não restrito, n é o número de observações e k é o

número de parâmetros na regressão sem restrição. A estatística do teste ADF tem a

mesma distribuição da estatística do teste de Dickey-Fuller e é conhecida como a

estatística

τ (tau), cujos valores críticos forma tabulados por Dickey-Fuller com base em

simulações de Monte Carlo (GUJARATI, 2000).

Neste trabalho foram utilizados os modelos abaixo, para o teste de Dickey-Fuller

aumentado, cujas regressões foram obtidas com ajuda do software livre Gretl, versão

1.7.5, para Windows, de 2008:





1 1 1

t t t t

P P P u

 

 

    

(181)





1 1 2 1

t t t t

P P t P u

  

 

     

(182)





1 1 2 3 1

t t t t

P P t t P u

   

 

      

(183)

Os resultados são mostrados nas tabelas abaixo. Os resultados para a série de

preços nominais de coníferas do Canadá publicados pela Cansim são mostrados na

tabela 1, os resultados para a mesma série de preços deflacionada com um índice geral

canadense de preços de

commodities também publicado pela Cansim são mostrados na

tabela 2. Os resultados para a série de preços brasileiros de eucalipto em pé, para

celulose, publicados pela Cepea, são mostrados na tabela 3 e os resultados para a mesma

série de preços, mas em reais constantes, deflacionada pelo IGP-DI, publicado pela

FGV, são mostrados na tabela 4.

Tabela 1. – Teste ADF para preços nominais de coníferas canadenses

Nota-se que no caso da tabela 1, em dólares canadenses nominais, o p-value é

inferior a 5% no modelo 2 e 3, de forma que a hipótese nula conjunta









pode ser rejeitada, isto significa que não se pode afirmar que a série tenha um

comportamento de random walk, ao contrário do que a observação visual do gráfico da

figura 12 sugeria.

Tabela 2. – Teste ADF para preços deflacionados de coníferas canadenses

No caso da tabela 2, em dólares canadenses constantes de novembro de 2007, o

p-value é inferior a 5% em todos os modelos, de forma que a hipótese nula também

pode ser rejeitada e não se pode afirmar que a série tenha um comportamento de

random walk, confirmando o que visualmente o gráfico da figura 13 sugeria.

Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3

Coef. AC 1ª ord. u 0,0220 0,0180 0,0190

λ - 1

-0,0068 -0,0377 -0,0372

Tau -1,7571 -3,7757 -3,7145

p-value 0,4024 0,0177 0,0677

Fonte: o autor

TABELA 1 - Teste ADF: Série de preços de coníferas, em dólares canadenses nominais

 

1 1 1

t t t t

P P P u

 

 

    

 

1 1 2 1

t t t t

P P t P u

  

 

     

 

1 1 2 3 1

t t t t

P P t t P u

   

 

      

Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3

Coef. AC 1ª ord. u 0,027 0,027 0,026

- 1

-0,0325 -0,0331 -0,0369

Tau -3,8405 -3,8334 -4,0907

p-value 0,0025 0,0148 0,0241

Fonte: o autor

TABELA 2 - Teste ADF: Série de preços de coníferas, em dólares canadenses constantes

 

1 1 1

t t t t

P P P u

 

 

    

 

1 1 2 1

t t t t

P P t P u

  

 

     

 

1 1 2 3 1

t t t t

P P t t P u

   

 

      

100

Tabela 3. – Teste ADF para preços para de eucalipto, em reais nominais

No caso da série de preços em Reais nominais, como era de se esperar, a

hipótese nula não pode ser rejeitada e isto significa que os preços provavelmente se

comportam como uma

random walk, como sugeria a figuras 14.

Tabela 4. – Teste ADF para preços para de eucalipto, em reais constantes

No caso da série de preços em Reais constantes, da mesma forma como a série

em Reais nominais, a hipótese nula não pode ser rejeitada e isto significa que os preços

provavelmente se comportam como uma random walk, como sugeria a figuras 14. A

série de preços é, entretanto, muito curta para que essa afirmação possa ser feita.

Configura-se um processo de reversão à média quando





(FRANSES, 2002),

então pode-se afirmar, ao nível de significância de 5%, que ambas as séries de preços

canadenses, tanto a série em dólares nominais, como a série em dólares constantes,

seguem um processo de reversão à média.

Este resultado confirma, no caso das coníferas canadenses, a expectativa de que

os preços de madeira para celulose se assemelham a commodities e, portanto, devem ter

um comportamento de preços que, no longo prazo, segue um processo de reversão à

média. No caso de eucaliptos brasileiros isto não pode ser constatado, porém a série é

demasiadamente reduzida para que se possa concluir que não há reversão à média nos

preços de eucalipto no Brasil.

Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3

Coef. AC 1ª ord. u 0,0060 -0,0170 -0,0040

- 1

-0,0081 -0,1212 -0,3134

Tau -0,2307 -2,0505 -2,4920

p-value 0,9322 0,5729 0,5732

Fonte: o autor

TABELA 4 - Teste ADF: Série de preços de eucaliptos, em reais constantes

 

1 1 1

t t t t

P P P u

 

 

    

 

1 1 2 1

t t t t

P P t P u

  

 

     

 

1 1 2 3 1

t t t t

P P t t P u

   

 

      

Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3

Coef. AC 1ª ord. u 0,0020 -0,0240 -0,0070

- 1

0,0045 -0,1072 -0,2744

Tau 0,1577 -1,9332 -2,4146

p-value 0,9699 0,6369 0,6167

Fonte: o autor

TABELA 3 - Teste ADF: Série de preços de eucaliptos, em reais nominais

 

1 1 1

t t t t

P P P u

 

 

    

 

1 1 2 1

t t t t

P P t P u

  

 

     

 

1 1 2 3 1

t t t t

P P t t P u

   

 

      

101

4.2. Tratamento dos dados para aplicação no software BobPsor

O modelo de opções reais com o processo de difusão de preços seguindo um

movimento browniano geométrico (MBG) exige como dados de entrada, entre outros

(ver equações 141,142,143), o drift (µ) e a taxa de variância (σ

), que serão obtidos a

partir da série histórica de preços da madeira. No caso dos dados canadenses

(CANSIM), primeiro deflacionou-se a série de preços nominais, pelo índice geral de

preços de commodities, transformando os preços (P

) em dólares canadenses constantes

de novembro de 2007. Depois se calculou o logaritmo neperiano dos preços

deflacionados





t t

p P



e a média do logaritmo da primeira diferença dos preços pela

fórmula:

t t

p p











(184)

Se o processo de difusão dos preços for um MBG, então a estimativa de máxima

verossimilhança da taxa de variância σ

é s

, onde s é o desvio padrão da série

t t

p p



e a estimativa de máxima verossimilhança do drift (µ) é obtida com a fórmula abaixo,

depois de se fazer a necessária agregação temporal para anualizar as estimativas

mensais da média e do desvio padrão:

m s



  (185)

onde m é a média e s é o desvio padrão da série

t t

p p



 .

Além desses dados, serão necessárias estimativas da taxa de juros livre de risco

anual, capitalizada continuamente (r), neste trabalho adotou-se r = 5% ao ano (INSLEY,

2002). Também será necessária uma estimativa dos custos de colheita, como

mencionado no item 3.5.3., deste trabalho, no caso dos dados canadenses adotou-se

Can$ 30/m3 (ROLLINS, ET AL., 1995).

Nas equações (157) e (159) aparece ainda o quociente de duas equações

( )



 

 

A equação que aparece no denominador é a equação de volume estimado de madeira em

função da idade, já apresentada no item 3.5.3, deste trabalho. A equação g(τ) é a

derivada da função volume, dada abaixo pela equação (186).

No caso dos dados canadenses de reflorestamento de coníferas, g(τ) é dado pela

equação abaixo:

102

 

1,5

2656,5

g t





 

(186)

Fica claro que o quociente

( )



 

 

, que representa a taxa de crescimento do

volume de madeira em função da idade, mostrado na figura 18 abaixo, realmente sugere

que se pode desprezar o crescimento do volume de madeira após os 150 anos.

Figura 18 – Taxa de crescimento do volume de madeira x idade para coníferas canadenses

Fonte: o autor

No caso dos dados brasileiros de reflorestamento de eucalipto, g(τ) é dado pela

equação abaixo:

 

6.0777

4566.3948

g t e





 

(187)

A figura 19 abaixo mostra a taxa de crescimento do volume de madeira em

função da idade da floresta para os povoamentos de eucalipto dos dados brasileiros.

Verifica-se ainda que a taxa de crescimento, segundo este modelo, é desprezível após os

30 anos.

Figura 19 – Taxa de crescimento do volume de madeira x idade para eucaliptos brasileiros

Fonte: o autor

20%

40%

60%

80%

100%

120%

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Idade em anos

Taxa de crescimento %

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Idade em anos

Taxa de crescimento %

103

Na falta de dados sobre o valor A, que representa outras possíveis receitas,

líquidas de custos, que poderiam advir da floresta em pé (lazer, no Canadá, é uma fonte

de receita extra para o povoamento em pé, no Brasil desconhece-se o uso de bosques de

reflorestamento para lazer, que originem ou não receitas), nos exemplos numéricos

deste trabalho o valor de A foi considerado zero.

O modelo de opções reais, com o processo de difusão de preços seguindo um

movimento de reversão geométrica à média (RGM), exige como dados de entrada

estimativas do valor da média à qual os preços revertem e do parâmetro que fornece a

velocidade com que esta reversão à média aconteceria, além das estimativas de taxa de

variância e da taxa de crescimento do volume comercializável de madeira do

povoamento

( )



 

 

, que já foram obtidas.

Ainda que não tenha sido possível rejeitar a hipótese de

random walk na série de

preços brasileira, é plausível que no futuro os preços de eucalipto para celulose no

Brasil venham a mostrar um comportamento compatível com um processo de reversão à

média. A série histórica, portanto, não é confiável para se estimar os necessários

parâmetros, entretanto para se obter alguma estimativa ainda que grosseira, será

utilizada para obter os necessários parâmetros a mesma série histórica do CEPEA

utilizada para obter os parâmetros no caso do processo de difusão de preços seguindo

um MBG.

O processo de reversão à média utilizado neste trabalho e conhecido como

processo Ornstein-Uhlenbeck geométrico é dado pela equação (161) apresentada no

item 3.5.3 e reproduzida abaixo:





dP P P dt Pdz

 

   (188)

Uma aproximação discreta desta equação, pode ser dada por:

1 1 1

t t t t t

P P P t P t P t

   

  

      

(189)

onde



tem distribuição normal com média zero e desvio padrão unitário





0,1

N .

Dividindo-se ambos os termos por



e utilizando a notação:





c t



  





c P



 

t t t

 

 

(190)

Obtém-se a equação (191) abaixo, que será utilizada como estimativa da equação (189),

rodando-se uma regressão para obter os parâmetros.

   

1 1

1 2

t t

P P

c c e

P P



 



  

(191)

104

Esta regressão foi rodada, com ajuda de uma planilha Excel, para a série de

preços de coníferas reflorestadas no Canadá e os resultados estão na tabela 5 abaixo. As

estatísticas dessa regressão são mostradas na tabela 6 abaixo.

Tabela 5 – Resultados da regressão com dados de coníferas canadenses

Fonte: o autor

Tabela 6 – Estatísticas da regressão com dados de coníferas canadenses

Fonte: o autor

A regressão também foi rodada para a série de preços de eucalipto brasileiro e os

resultados estão na tabela 7 abaixo. As estatísticas dessa regressão são mostradas na

tabela 8 abaixo.

Tabela 7 – Resultados da regressão com dados de eucalipto brasileiro

Fonte: o autor

Tabela 8 – Estatísticas da regressão com dados de eucalipto brasileiro

Fonte: o autor

Os resultados dos parâmetros estimados com as regressões com a séries histórica

de preços de coníferas canadense são apresentados a seguir na tabela 9 abaixo.

R múltiplo 0.20218

R-Quadrado 0.04088

R-quadrado ajustado 0.02677

Erro padrão 0.04331

Observações 70

Estatística de regressão

Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P

Interseção -0.0905 0.0562 -1.6113 0.1118

Variável X 1 71.7062 42.1202 1.7024 0.0932

R múltiplo 0.08372

R-Quadrado 0.00701

R-quadrado ajustado 0.00541

Erro padrão 0.03963

Observações 622

Estatística de regressão

Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P

Interseção -0.0189 0.0094 -2.0237 0.0434

Variável X 1 1.5889 0.7596 2.0919 0.0369

105

Tabela 9 – Parâmetros estimados com dados das conífereas canadenses

Fonte: o autor

Os resultados dos parâmetros estimados com as regressões com a série histórica

de preços de eucaliptos brasileiros são apresentados a seguir na tabela 10 abaixo.

Tabela 10 – Parâmetros estimados com dados dos eucaliptos brasileiros

Fonte: o autor

Embora as séries se refiram a tipos de povoamentos de reflorestamento com

espécies diferentes, em locais diferentes, com moedas diferentes e com realidades

completamente diferentes, é interessante notar, a título de curiosidade apenas, que o

preço médio de colheita no Canadá representa cerca de 35% do preço médio de

comercialização das coníferas canadenses (que é de aproximadamente de R$ 156,00/m

considerando-se a cotação média do dólar canadense em novembro de 2007), enquanto

que o custo de colheita no Brasil representa cerca de 20% do preço médio de

comercialização do eucalipto brasileiro que é de aproximadamente R$ 62,00/m

c1 c2 Δt m

-0.037861 2.859194 0.083333 0.001745

Pmed

0.4543329

0.100718

62.25

0.006817

Parâmetros estimados

Δt

-0.018947

1.588914

0.083333

-0.005193

Pmed

0.227364

0.137512

85.12791

0.004262

Parâmetros estimados

106

4.3 Resultados

Os parâmetros apresentados acima foram utilizados como dados de entrada no

software de avaliação de projetos BobPsor, para modelar a decisão de colheita de um

povoamento de reflorestamento para celulose como uma opção real de compra, do tipo

americano. O valor da opção, que resulta do modelo, representa o valor de mercado do

povoamento de árvores em pé nas várias idades. A tabela 11 abaixo mostra os valores

de mercado do povoamento de eucalipto brasileiro, nas idades de sete, doze, dezessete e

vinte e dois anos, para quatro preços de madeira diferentes, quando o modelo de difusão

de preços utilizado é o MBG.

Tabela 11 – Valor do Povoamento de Eucaliptos no Brasil – MBG

A tabela 12 mostra os valores de mercado do povoamento canadense de

coníferas, nas idades cinqüenta e cinco, sessenta e cinco, setenta e cinco, noventa e

cinco, cento e quinze e cento e trinta e cinco anos, para seis preços de madeira

diferentes, quando o modelo de difusão de preços é o MBG.

Tabela 12 – Valor do Povoamento de Coníferas no Canadá – MBG

A tabela 13 mostra os valores de mercado do povoamento de eucaliptos

brasileiros, com as mesmas idades e preços da tabela 11, quando o modelo de difusão de

preços utilizado é o RGM.

55 anos 65 anos 75 anos 95 anos 115 anos 135 anos

$100 $6,322.45 $9,315.35 $12,502.39 $17,292.32 $20,770.60 $23,443.94

$90 $5,518.09 $8,009.07 $10,743.02 $14,858.90 $17,847.70 $20,144.84

$80 $4,664.45 $6,650.83 $8,895.68 $12,303.80 $14,778.66 $16,680.79

$70 $3,854.15 $5,385.07 $7,136.31 $9,870.38 $11,855.76 $13,381.69

$62 $3,177.14 $4,349.29 $5,640.84 $7,801.97 $9,371.30 $10,577.46

$50 $2,296.93 $3,042.02 $3,791.73 $5,039.23 $6,009.97 $6,783.50

Fonte: o autor

Valor da Opção

Preço Madeira

7 anos 12 anos 17 anos 22 anos

$122.00 $46,616.36 $49,782.65 $57,779.26 $62,669.98

$95.50 $35,922.35 $37,786.14 $43,855.74 $47,567.90

$69.00 $25,039.74 $25,794.14 $29,932.21 $32,465.82

$42.50 $14,157.68 $14,846.45 $16,008.69 $17,363.74

Fonte: o autor

Valor da Opção

107

Tabela 13 – Valor do Povoamento de Eucaliptos no Brasil – RGM

A tabela 14 mostra os valores de mercado do povoamento de coníferas

canadenses, para as mesmas idades e preços da tabela 12, quando o modelo de difusão

de preços é o RGM.

Tabela 14 – Valor do Povoamento de Coníferas no Canadá – RGM

Nas análises e comparações que serão feitas a seguir dar-se-á preferência à série

brasileira de preços, mas alguns exemplos com a série canadense também são

mostrados.

A hipótese H2 deste trabalho estipula que o valor do povoamento florestal se

altera em função do processo de difusão e a hipótese H3 deste trabalho estipula que a

decisão de tempo ótimo de corte se altera em função do processo de difusão. A seguir

analisam-se ambas estas hipóteses.

Os resultados mostram diferenças significativas entre os dois processos de

difusão. Os valores da opção para o MBG, quando os preços da madeira estão acima da

média, tendem a ser maiores que os valores para o RGM, o que era esperado, uma vez

que o MBG pressupõe um drift que pode levar a opção a valer mais. Entretanto, os

valores da opção para o MBG, quando os preços da madeira estão abaixo da média

tendem a ser menores do que os valores que se obtém para o processo de difusão RGM.

Este resultado era esperado, uma vez que segundo o processo de reversão à média, se os

preços estão abaixo da média tenderão a retornar á média, o que faz com que o valor da

opção seja maior.

55 anos 65 anos 75 anos 95 anos 115 anos 135 anos

$100 $10,641.91 $17,710.26 $18,445.26 $18,974.32 $20,770.60 $23,443.94

$90 $10,725.37 $17,493.61 $17,959.36 $17,961.21 $18,598.80 $20,144.84

$80 $10,807.95 $17,274.26 $17,501.03 $17,095.45 $17,181.85 $17,524.40

$70 $10,881.98 $17,073.08 $17,106.61 $16,411.91 $16,155.67 $16,055.90

$62 $10,941.50 $16,907.89 $16,799.24 $15,914.24 $15,456.21 $15,126.56

$50 $11,017.26 $16,692.69 $16,418.68 $15,335.87 $14,689.59 $14,143.85

Fonte: o autor

Valor da Opção

Preço Madeira

7 anos 12 anos 17 anos 22 anos

$122.00 $34,670.83 $49,782.65 $57,779.26 $62,669.98

$95.50 $26,315.93 $37,786.14 $43,855.74 $47,567.90

$69.00 $19,823.51 $25,789.62 $29,932.21 $32,465.82

$42.50 $16,487.79 $18,450.18 $20,006.45 $20,955.26

Fonte: o autor

Valor da Opção

Preço da

Madeira R$

108

Os resultados demonstram ainda diferenças significativas na fronteira ótima de

exercício da opção, ou seja, no momento ótimo de colheita do povoamento de árvores.

A tabela 15 abaixo mostra os preços críticos, em diversas idades para a série de preços

de eucaliptos no Brasil e de coníferas no Canadá, com os dois processos de difusão de

preços. Preços críticos são os preços para os quais é indiferente exercer ou não a opção.

Nesta modelagem especificamente, exercer a opção significa colher as árvores do

povoamento.

Tabela 15 – Preços críticos para os dois processos de difusão no Brasil e no Canadá

A figura 20 abaixo mostra a variação dos valores da opção, aos doze anos de

idade da floresta brasileira, em função dos preços da madeira, para os dois processos de

difusão de preços MBG e RGM. O

payout da opção, que nesta modelagem equivale à

receita líquida que seria obtida com a colheita das árvores, também é mostrado. O

ponto onde os valores da opção tocam o payout indica o preço crítico mínimo de

exercício da opção. Percebe-se que, com o processo de difusão RGM, quando os preços

da madeira estão baixos, os valores da opção são mais elevados e o preço crítico

mínimo também.

Figura 20 – Comparação entre valores da opção (aos 12 anos) em função dos preços de madeira,

para os dois processos de difusão, com a série brasileira de preços.

Fonte: o autor.

-20000

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

0 50 100 150 200 250 300

Preços da madeira R$

Valores da opção R$

Payout

MBG

RGM

MBG RGM MBG RGM

2 $202.86 $215.00 55 $180.61 $162.38

7 $238.19 $92.46 65 $94.37 $177.65

12 $75.35 $63.20 75 $53.40 $158.44

17 $19.50 $58.24 95 $51.50 $115.56

22 $16.28 $56.58 115 $49.53 $96.34

Preços Críticos - Canadá

Tabela 5 - Preços críticos para MBG e RGM no Brasil e Canadá

Fonte: o autor

Idade em

anos

Idade em

anos

Preços Críticos - Brasil

109

A figura 21 abaixo é semelhante à figura 20, mas se refere aos dados obtidos

com coníferas canadenses aos oitenta e cinco anos de idade, as diferenças são ainda

mais visíveis.

Figura 21 – Comparação entre valores da opção (aos 85 anos) versus preços de madeira, para os

dois processos de difusão, com a série canadense de preços.

Fonte: o autor

A figura 22 abaixo mostra os preços críticos da série brasileira, quando eles

existem, em todos os anos da série, com os dois processos de difusão.

Figura 22 – Comparação das fronteiras ótimas de exercício (preços críticos), para os dois processos

de difusão, com a série brasileira de preços brasileira.

Fonte: o autor.

É interessante notar que com o processo de difusão de preços RGM é ótimo

exercer a opção em idade mais tenra. Os preços críticos, em ambos os processos de

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25 30

Idade em anos

Preços Críticos

RGM

MBG

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

50000

0 50 100 150 200 250 300

Preços da madeira Can$

Valores da Opção Can$

Payout

MBG

RGM

110

difusão, são altos no início, caem vertiginosamente e se estabilizam após alguns anos,

quando o povoamento começa a crescer mais lentamente. Os preços críticos são maiores

para o movimento browniano geométrico até os doze anos de idade, daí em diante os

preços críticos para o processo de reversão à média são maiores. As diferenças entre os

preços críticos para os dois processos de difusão são mostradas na figura 23 abaixo.

Figura 23 – Diferença (Δ = P

Crit-MBG

– P

Crit–RGM

) entre preços críticos dos dois processos de difusão

MBG e RGM – dados Brasil.

Fonte: o autor.

As diferenças máximas ocorrem entre as idades de sete anos e quatro meses e

onze anos e seis meses, sendo que a diferença máxima ocorre aos nove anos e dez

meses. Portanto, se o processo de difusão de preços seguir um movimento de reversão

geométrica à média, é muito mais provável que as árvores sejam colhidas neste período

entre sete anos e quatro meses e onze anos e seis meses. Isto de fato ocorre no Brasil,

trabalhos como o de Dias et al. (2005), Souza, Rezende e Oliveira (2001) e Bramucci

(2001) mostram que a idade usual de colheita de eucalipto no Brasil está entre sete e

doze anos. Estes resultados sugerem que, provavelmente, os preços de madeira no

Brasil de fato seguem um movimento de reversão geométrica à média, embora não

tenha sido possível comprovar isso com a série histórica obtida pelos motivos já

explicados.

A hipótese H2 e a hipótese H3 deste trabalho foram confirmadas para ambas as

séries de preços.

Foram realizadas também algumas análises de sensibilidade para examinar os

efeitos das variáveis independentes volatilidade, taxa de juros, velocidade de reversão à

-$100.00

-$50.00

$0.00

$50.00

$100.00

$150.00

$200.00

0 5 10 15 20 25 30

Idade em anos

Diferença de Preços Críticos R$

111

média e custos de colheita, sobre a variáveis dependentes, valor da opção e preços

críticos de exercício, cujos resultados são apresentados a seguir.

A hipótese H4 deste trabalho estipula que o valor do povoamento florestal, com

qualquer dos dois processos de difusão de preços, se altera em função da volatilidade

dos preços da madeira e a hipótese H5 estipula que a decisão de tempo ótimo de corte,

com qualquer dos dois processos de difusão de preços, se altera em função da

volatilidade dos preços da madeira. Analisa-se a seguir estas duas hipóteses.

Foi realizada uma simulação triplicando o valor da volatilidade (

σ) que

originalmente era de σ = 0,10072 e passou a ser, nesse caso, de σ = 0,3022. A tabela 16

abaixo mostra o efeito deste aumento na volatilidade sobre o valor da opção quando os

preços seguem qualquer um dos dois processos de difusão analisados.

Tabela 16 – Efeitos do aumento de volatilidade nos valores da opção – Brasil

processos de difusão MBG e RGM.

Volatilidades mais altas aumentam o valor de se postergar a colheita em um

movimento browniano geométrico porque quanto maior a volatilidade maior a

probabilidade de os preços aumentarem, visto que há um drift positivo no processo de

difusão. Volatilidade mais altas também tendem a aumentar o valor de se postergar a

colheita em um processo de difusão de preços de reversão à média, devido à maior

probabilidade de se obter no futuro um preço significativamente mais alto, quando os

preços atuais estão abaixo da média.

Abaixo, na figura 24, mostram-se os efeitos do aumento de volatilidade sobre os

preços críticos de exercício da opção com os dados brasileiros e com o processo de

difusão de preços RGM.

A hipótese H4 e a hipótese H5 deste trabalho foram confirmadas para ambas as

séries de preços.

MGB RGM MGB RGM MGB RGM MGB RGM

σ = 0,10 $14,158 $16,488 $25,040 $19,824 $35,922 $26,316 $46,616 $34,671

σ = 0,30 $14,248 $19,120 $24,532 $22,253 $34,060 $27,167 $42,439 $34,671

σ = 0,10 $13,846 $18,450 $25,794 $25,790 $37,786 $37,786 $49,783 $49,783

σ = 0,30 $13,930 $21,348 $25,796 $26,663 $37,786 $17,786 $49,783 $49,783

σ = 0,10 $16,009 $20,006 $29,932 $29,932 $43,856 $43,856 $57,779 $57,779

σ = 0,30 $16,009 $22,821 $29,932 $29,932 $43,856 $43,856 $57,779 $57,779

σ = 0,10 $17,364 $20,955 $32,466 $32,466 $47,568 $47,568 $62,670 $62,670

σ = 0,30 $17,364 $22,447 $32,466 $32,466 $47,568 $47,568 $62,670 $62,670

Fonte: o autor

17 anos

Tabela 16 - Valores da opção x Preços da madeira - Brasil - MGB e RGM - σ = 0,10 e σ = 0,30

22 anos

R$ 95,50 R$ 122,00

Preços da madeira

Idade em

anos

Volatilidade

R$ 42,50 R$ 69,00

7 anos

12 anos

112

Figura 24 – Efeitos do aumento de volatilidade sobre os preços críticos, processo de difusão RGM,

eucaliptos brasileiros.

Fonte: o autor.

A hipótese H6 estipula que o valor do povoamento florestal, com qualquer dos

dois processos de difusão de preços, se altera em função da taxa de juros e a hipótese

H7 estipula que a decisão de tempo ótimo de corte, com qualquer dos dois processos de

difusão de preços, se altera em função da taxa de juros. Examinam-se a seguir estas

duas hipóteses, a influência da taxa juros sobre o valor do povoamento e sobre a decisão

de corte.

Foram realizadas duas análises de sensibilidade para cada processo de difusão de

preços, com a série brasileira de preços. A solução original utiliza taxa de juros de 10%,

a.ano. Na primeira simulação adotou-se a taxa de juros de 5% a.a. e na segunda

simulação a taxa de juros de 15% a.a. Os resultados são apresentados na tabela 17

abaixo e mostram diferenças significativas. De um modo geral, juros maiores produzem

menores valores da opção.

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25 30

Idade em anos

Preços Críticos em R$

DP = 0,10

DP = 0,30

113

Tabela 17 – Valores da Opção em função dos preços de eucalipto e das taxas de

juros para quatro idades diferentes e dois processos de difusão MGB e RGM.

É interessante notar que para o processo de difusão de preços MGB os valores

da opção praticamente não se alteram a partir dos dezessete anos de idade, para

qualquer valor de taxa de juros, 5%, 10% ou 15%, enquanto que para o processo de

difusão de preços RGM até aos 22 anos ainda aparecem diferenças nos valores da

opção, para os preços mais baixos de madeira. Por outro lado, entretanto, para as idades

mais baixas, quando o processo de difusão é MGB há grandes variações do valor da

opção em função da taxa de juros. Observe-se, por exemplo, aos sete anos de idade da

floresta, o que ocorre com o valor da opção, quando os preços seguem MBG,

principalmente para os preços de madeira mais altos. Por exemplo, para o preço da

madeira a R$ 122,00, o valor da opção para taxa de juros de 15% é 37% menor do que o

valor da opção para taxa de juros de 5%.

A figura 25 abaixo mostra os valores da opção para o povoamento de eucaliptos

brasileiros com sete anos de idade, em função do preço da madeira, para as três taxas de

juros diferentes.

A hipótese H6 e a hipótese H7 deste trabalho foram confirmadas para ambas as

séries de preços.

Tabela 17 - Valores da Opção - Brasil - Processos MBG e RGM - função dos preços da madeira e dos juros

MBG RGM MBG RGM MBG RGM MBG RGM

10% $14,158 $16,488 $25,040 $19,824 $35,922 $26,316 $46,616 $34,671

7 anos 5% $20,596 $20,725 $35,727 $22,727 $50,312 $27,005 $62,919 $34,671

15% $11,621 $14,179 $20,865 $18,553 $30,131 $26,316 $39,393 $34,671

10% $13,846 $18,450 $25,794 $25,790 $37,786 $37,786 $49,783 $49,783

12 anos 5% $16,093 $22,296 $29,087 $26,114 $42,112 $37,786 $55,126 $49,783

15% $13,793 $16,461 $25,797 $25,790 $37,786 $37,786 $49,783 $49,783

10% $16,009 $20,006 $29,932 $29,932 $43,856 $43,856 $57,779 $57,779

17 anos 5% $16,158 $23,581 $30,003 $29,932 $43,897 $43,856 $57,805 $57,779

15% $16,009 $18,136 $29,932 $29,932 $43,856 $438,556 $57,779 $57,779

10% $17,364 $20,955 $32,466 $32,466 $47,568 $47,568 $62,670 $62,670

22 anos 5% $17,364 $23,530 $32,466 $32,466 $47,568 $47,568 $62,670 $62,670

15% $17,364 $19,268 $32,466 $32,466 $47,568 $47,568 $62,670 $62,670

Fonte: o autor

Preços da Madeira e processo de difusão dos preços

Idade Juros

$42.50 $69.00 $95.50 $122.00

114

Figura 25 – Valores da Opção em função dos preços de eucalipto e das taxas de juros para o

povoamento de eucaliptos brasileiros aos sete anos de idade.

Fonte: o autor.

A hipótese H8 deste trabalho estipula que o valor do povoamento florestal,

quando os preços seguem um processo de reversão geométrica à média, se altera em

função da velocidade de reversão à média. A hipótese H9 estipula que a decisão de

tempo ótimo de corte, quando os preços seguem um processo de reversão geométrica à

média, se altera em função da velocidade de reversão à média. Examina-se a seguir a

influência da velocidade de reversão à média (η) sobre o valor do povoamento e sobre a

decisão de colheita, quando o processo de difusão de preços é RGM. Utilizando a série

brasileira e triplicando a velocidade de reversão à média (η = 1,363), verificam-se

diferenças significativas nos valores da opção e, principalmente, nos preços críticos de

exercício com os preços mais baixos da madeira.

Foi feita ainda uma simulação dividindo-se a velocidade de reversão à média por

cinco (η = 0,0909). Os valores de opção obtidos com este η mais baixo foram

significativamente diferentes dos valores originais. O mesmo acontecendo com os

preços críticos que definem a fronteira ótima de exercício. A tabela 18 abaixo mostra os

resultados destas análises de sensibilidade para a floresta brasileira com idades de

quatro, doze, dezessete e vinte e dois anos e quatro preços de madeira diferentes.

-10000

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Preço do Eucalipto

Valor da Opção R$

r = 10%

r = 5%

r = 15%

115

Tabela 18 – Valores da floresta brasileira em função da idade, dos preços da

madeira e das quatro velocidades de reversão à média.

Fonte: o autor

A figura 26 abaixo mostra os valores da opção para o povoamento de eucaliptos

no Brasil com sete anos de idade em função dos preços da madeira, considerando as

duas velocidades de reversão das primeiras análises de sensibilidade. Graficamente não

é perceptível a diferença dos valores devido à escala do desenho.

Figura 26 – Valores da floresta brasileira aos 7 anos de idade em função dos preços da madeira,

com

η = 0,45 e η = 1,36.

Fonte: o autor.

A figura 27 abaixo mostra, para a série brasileira, os preços críticos em função

da idade da floresta, para as duas primeiras velocidades de reversão. A diferença entre

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

0 50 100 150 200 250 300

Preços da Madeira R$

Valores da Opção R$

Original

ETA x 3

7 12 17 22

η = 0,091 $14,769.89 $14,870.55 $16,154.54 $17,363.74

η = 0,454 $16,487.79 $18,450.18 $20,006.45 $20,955.26

η = 1,363 $17,045.25 $20,774.78 $23,056.00 $24,540.13

η = 0,091 $22,229.76 $25,789.62 $29,932.21 $32,465.82

η = 0,454 $19,823.51 $25,789.62 $29,932.21 $32,465.82

η = 1,363 $18,445.10 $25,789.62 $29,932.21 $32,465.82

η = 0,091 $30,292.59 $37,786.14 $43,855.74 $47,567.90

η = 0,454 $26,315.93 $37,786.14 $43,855.74 $47,567.90

η = 1,363 $26,314.93 $37,786.14 $43,855.74 $47,567.90

η = 0,091 $38,596.14 $49,782.65 $57,779.26 $62,669.98

η = 0,454 $34,670.83 $49,782.65 $57,779.26 $62,669.98

η = 1,363 $34,670.83 $49,782.65 $57,779.26 $62,669.98

Preço da

madeira

Idade da floresta em anos

Tabela 18 - Valores da Opção função do

η - Brasil

$42.50

$69.00

$95.50

$122.00

116

as duas fronteiras ótimas de exercício é claramente visível, mesmo com a escala

reduzida da figura.

Figura 27 – Preços críticos em função da idade da floresta brasileira de eucaliptos, para as

velocidade de reversão

η = 0,45 e η = 1,36.

Fonte: o autor

A figura 28 a seguir mostra o valor da floresta brasileira, com as idades de sete

anos, em função do preço da madeira, para as velocidades η = 0,45 (original) e η = 0,09

(

1 0

/ 5

 



). Neste caso as diferenças são bastante perceptíveis.

Figura 28 – Valores da floresta brasileira aos sete anos de idade em função dos preços da madeira,

processo de difusão de preços RGM, com

η = 0,45 e η = 0,09.

Fonte: o autor.

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25 30

Idade em anos

Preços críticos R$

Original

Eta x 3

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

0 50 100 150 200 250

Idade em anos

Valores da opção em R$

Original

Eta x 0,2

117

A figura 29 abaixo mostra o valor da floresta brasileira, com a idade de doze anos, em

função do preço da madeira, para as velocidades de reversão à média

η = 0,45 (original)

e η = 0,09 (

1 0

/ 5

 

 ).

Figura 29 – Valores da floresta brasileira aos 12 anos de idade em função dos preços da madeira,

processo de difusão de preços RGM, com

η = 0,45 e η = 0,09.

Fonte: o autor.

A figura 30 mostra a comparação entre a fronteira ótima de exercício com a

velocidade de reversão original η = 0,45 e a velocidade reduzida η = 0,09.

Figura 30 – Preços críticos em função da idade da floresta de eucaliptos brasileira, processo de

difusão de preços RGM, com

η = 0,45 e η = 0,09.

Fonte: o autor.

Examinou-se também a série canadense, que comprovadamente reverte à média.

Foram encontradas diferenças significativas tanto no valor da opção como na fronteira

ótima de exercício. Com o η mais alto a reversão dos preços à média se dará mais

rapidamente e se esses preços estiverem baixos valerá a pena esperar por preços

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25 30

Idade em anos

Preços críticos R$

Original

Eta x 0,2

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

0 50 100 150 200 250 300

Preço da madeira em R$

Valores da opção em R$

Original

Eta x 0,2

118

melhores. A figura 31 mostra os valores da opção de um povoamento canadense de

coníferas aos oitenta e cinco anos de idade, função do preço da madeira.

Figura 31 – Valores da floresta canadense aos 85 anos de idade em função dos preços da madeira,

com duas velocidades de reversão à média.

Fonte: o autor.

A hipótese H8 e a hipótese H9 deste trabalho foram confirmadas para ambas as

séries de preços.

A hipótese H10 deste trabalho estipula que o valor do povoamento florestal,

quando os preços seguem um processo browniano geométrico, se altera em função dos

custos de colheita e a hipótese H11 estipula que a decisão de tempo ótimo de corte,

quando os preços seguem um processo browniano geométrico, se altera em função dos

custos de colheita. Examina-se a seguir estas duas hipóteses, a influência dos custos de

colheita sobre o valor do povoamento e sobre a decisão de corte. Como mencionado

anteriormente, Clarke e Reed (1989) e Reed e Clarke (1990), mostraram que se os

preços seguem um MBG e custos de colheita forem ignorados, é possível determinar-se

analiticamente uma idade ótima de corte, que depende exclusivamente de µ (drift do

MGB), g(τ)/V (taxa determinística de crescimento da madeira) e r (taxa de juros). Foi

feita uma simulação adotando custos de colheita zero e os resultados confirmaram as

conclusões destes autores. A figura 32 abaixo mostra os valores da opção em função dos

preços da madeira para a floresta brasileira aos sete anos de idade.

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

50000

0 50 100 150 200 250 300

Preço das coníferas canadenses

Valor da Opção em Can$

Original

η x 3

119

Figura 32 – Valor da floresta brasileira aos sete anos de idade em função dos preços da madeira

que seguem MGB.

Fonte: o autor.

Resultado bastante interessante foi encontrado na fronteira ótima de exercício.

Como previsto por Clarke e Reed (op. cit.) e Reed e Clarke (op. cit.), só existe um preço

crítico e uma data ótima de corte. Nesta simulação, para o caso com custos de colheita

nulos, obteve-se uma data ótima de corte de onze anos e quatro meses.

A hipótese H10 e a hipótese H11 deste trabalho foram confirmadas para ambas

as séries de preços.

Resumindo as análises feitas, o quadro 3, abaixo, mostra a aceitação/rejeição das

hipóteses formuladas.

-10000

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

0 50 100 150 200

Preço da Madeira R$

Valor da Opção R$

Original

Colheita Zero

120

Quadro 3 : Aceitação/Rejeição da hipóteses formuladas.

Fonte: o autor

Hipótese Descrição Canadá Brasil

0,1

A série de preços obedece a um movimento browniano

geométrico;

rejeitada aceita

A,1:

A série de preços obedece a um processo de difusão com

reversão a média;

aceita rejeitada

A,2

O valor do povoamento florestal se altera em função do

processo de difusão;

aceita aceita

A,3

A decisão de tempo ótimo de corte se altera em função

do processo de difusão;

aceita aceita

A,4

O valor do povoamento florestal, com qualquer dos dois

processos de difusão de preços, se altera em função da

volatilidade dos preços da madeira;

aceita aceita

A,5

A decisão de tempo ótimo de corte, com qualquer dos

dois processos de difusão de preços, se altera em função

da volatilidade dos preços da madeira;

aceita aceita

A,6

O valor do povoamento florestal, com qualquer dos dois

processos de difusão de preços, se altera em função da

taxa de juros;

aceita aceita

A,7

A decisão de tempo ótimo de corte, com qualquer dos

dois processos de difusão de preços, se altera em função

da taxa de juros;

aceita aceita

A,8

O valor do povoamento florestal, quando os preços

seguem um processo de reversão geométrica à média, se

altera em função da velocidade de reversão à média;

aceita aceita

A,9

A decisão de tempo ótimo de corte, quando os preços

seguem um processo de reversão geométrica à média, se

altera em função da velocidade de reversão à média;

aceita aceita

A,10

O valor do povoamento florestal, quando os preços

seguem um processo browniano geométrico, se altera

em função dos custos de colheita;

aceita aceita

A,11

A decisão de tempo ótimo de corte, quando os preços

seguem um processo browniano geométrico, se altera

em função dos custos de colheita.

aceita aceita

Quadro 3: Aceitação ou rejeição das hipóteses formuladas

121

4.4. Limitações do Estudo

A escolha do tempo ótimo de corte de um lote de árvores de idades homogêneas

foi modelada supondo-se uma única rotação da floresta. A abordagem numérica

utilizada poderia ser estendida para o caso de rotação múltipla, mas isto envolveria a

resolução de um problema bidimensional, que está além do escopo deste trabalho.

Foi escolhido o modelo de um fator estocástico, o preço da madeira, com dois

possíveis processos de difusão diferentes, MGB e RGM, cujos resultados foram

comparados. Entretanto, a taxa de juros também poderia ser considerada como uma

variável aleatória pressupondo-se um processo estocástico de difusão próprio, o que

resultaria em um modelo de dois fatores estocásticos, mas isto também está além do

escopo deste trabalho.

A série histórica de preços de eucalipto reflorestado para celulose no Brasil é

infelizmente muito curta, mas não foi possível conseguir uma série mais longa, o que

impossibilitou a constatação de uma possível reversão à média dos preços.

5. CONCLUSÕES

O problema de colheita de um povoamento de árvores foi tratado, neste trabalho,

com uma opção real, semelhante em natureza a uma opção de compra americana, com

os custos de colheita das árvores como preço de exercício.

Sabe-se que não há solução analítica para o problema de avaliação de uma opção de

compra americana, com preço de exercício não nulo, sobre um ativo que paga

dividendos. Então, quando se avalia um investimento florestal como uma opção real, é

necessário resolver numericamente as inequações diferenciais do problema de

complementaridade linear (linear complementarity problem). Este trabalho utilizou uma

metodologia denominada de método das diferenças finitas totalmente implícitas (fully

implicit finite difference method), com um algoritmo interativo para a solução do

sistema linear de equações simultâneas resultante, denominado de sobre-relaxação

sucessiva projetada (Projected Successive Over Relaxation, PSOR). É uma técnica

robusta para avaliar opções reais deste tipo, como ficou demonstrado.

122

O objetivo geral do trabalho, que era o de demonstrar que a abordagem das opções

reais é capaz de quantificar a flexibilidade gerencial na avaliação de um projeto de

investimento de capital sob incerteza e é capaz de modelar a decisão ótima de colheita

de um povoamento de árvores em um projeto de reflorestamento, foi atingido.

Os objetivos específicos também foram alcançados. As técnicas de precificação

de opções financeiras foram apresentadas; foi feita uma revisão bibliográfica detalhada

da teoria de análise de investimento ótimo em condições de incerteza; a teoria das

opções reais foi aplicada em dois casos práticos e os valores do povoamento de

eucalipto no Brasil e de conífera no Canadá foram obtidos; as decisões ótimas de

colheita, obtidas com os dois processos de difusão de preços MBG e RGM, foram

comparadas; e foram realizadas as análises de sensibilidade para verificar a influência

das variáveis: volatilidade, taxa de juros, velocidade de reversão à média e custos de

colheita sobre o valor da floresta e sobre a fronteira de colheita ótima.

Onze hipóteses foram formuladas para este trabalho e foram todas examinadas.

Excetuando-se a hipótese de reversão à média dos preços de madeira no Brasil, todas as

demais hipóteses foram confirmadas. O impacto do processo estocástico de difusão dos

preços da madeira sobre o valor do povoamento florestal e sobre o tempo ótimo de

colheita da floresta mostrou-se relevante. Os resultados obtidos, pressupondo-se um

movimento browniano geométrico (MBG), foram comparados com os resultados

obtidos pressupondo-se o processo de difusão de preços de madeira de reversão

geométrica à média (RGM), conhecido na literatura internacional como

Geometric

Ornstein-Uhlenbeck e constataram-se diferenças sensíveis entre os resultados obtidos

com cada um dos processos de difusão.

Verificou-se ainda a sensibilidade do valor da opção e da regra de corte ótimo à

volatilidade de preço da madeira e à taxa de desconto. Em ambos os casos estas

variáveis independentes mostraram ter influência significativa sobre o valor da opção e

sobre a regra ótima de corte.

Especificamente para o processo de difusão MBG, examinou-se a influência dos

custos de colheita sobre o valor da opção e sobre a regra ótima de corte da floresta. Esta

variável independente também mostrou ter influência significativa sobre o valor da

opção e sobre a regra ótima de corte e o resultado, para custos de colheita nulos,

confirma trabalhos anteriores.

Especificamente para o processo de difusão de preços RGM, foi verificada a

influência da velocidade de reversão à média sobre o valor da opção e sobre a regra de

123

corte ótimo. A variável independente, velocidade de reversão à média, mostrou ter

influência significativa sobre o valor da opção e sobre a regra ótima de corte. A

influência da diminuição da velocidade, neste caso, mostrou-se mais significativa do

que a influência do aumento da velocidade, talvez porque a velocidade estimada era

inicialmente alta.

5.1. Recomendações

Recomenda-se que em um próximo trabalho se modele a decisão de

investimento levando em consideração a rotação múltipla da floresta. Em países com

rápido crescimento do povoamento florestal, como o Brasil, esta abordagem pode

mostrar diferenças significativas. A rotação múltipla pode ser representada por uma

opção path dependent. Uma opção financeira path dependent é aquela cujo valor não

depende apenas do valor da ação-objeto na data de exercício, mas depende do histórico

de preços da ação-objeto. No caso da modelagem das múltiplas rotações da floresta, o

valor do povoamento hoje depende da quantidade de madeira a qual, por sua vez,

depende do prazo decorrido desde a última colheita.

Recomenda-se ainda que em um próximo trabalho a modelagem seja feita

levando em consideração que a taxa de juros também pode ser vista como uma variável

aleatória, com um processo estocástico de difusão próprio.

124

4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANUÁRIO DA AGRICULTURA BRASILEIRA. Agrianual 2006. São Paulo, IFNP,

2005.

ANUÁRIO DA AGRICULTURA BRASILEIRA.

Agrianual 2007. São Paulo, IFNP,

2006.

BATISTA, F.R.S.

Avaliação de opções de investimento em projetos de exploração e

produção de petróleo por meio da fronteira de exercício ótimo da opção, 2002.

110 p. Dissertação (Mestrado). Departamento de Engenharia Industrial, Pontifícia

Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2002.

BERREDO, M. C. II. Abordagem por opções reais na privatização do setor de

telecomunicações: o caso da Embratel. 2001. 174 p. Dissertação (Mestrado).

Departamento de Engenharia Industrial, Pontifícia Universidade Católica do Rio de

Janeiro. Rio de Janeiro, 2001.

BLACK, F. e SCHOLES, M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. The

Journal of Political Economy, vol. 81, No. 3, p. 637-654, May-Jun., 1973.

BRAMUCCI, M.

Determinação e quantificação de fatores de influência sobre a

produtividade de harvesters na colheita de madeira

. 2001. 50f. Dissertação

(Mestrado em Recursos Florestais). Esalq. Piracicaba, nov. 2001.

BRANDÃO, L. T. Uma aplicação da teoria de opções reais em tempo discreto para

avaliação de uma concessão rodoviária no Brasil

. 2002. 132 p. Tese (Doutorado).

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro.

BROCK, W. A. e ROTHSCHILD, M.

Comparative statics for multidimensional

optimal stopping problems, in SONNENSCHEIN, H. F. ed., Models of Economic

Dynamics, Springer-Verlag Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems,

No. 264, New York: Springer-Verlag, 1984.

BROCK, W. A., ROTHSCHILD, M, e STIGLITZ, J. E. Stochastic capital theory.

Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK. 1988.

BURDEN, R.L. e FAIRES, J. D., Análise Numérica, São Paulo, Thomson, 2003.

CANSIM: banco de dados. Disponível em: <http://cansim2.statcan.ca>. Acesso em:

04/08/2007.

CASTRO, A. L. Avaliação de investimento de capital em projetos de geração

termoelétrica no setor elétrico brasileiro usando a teoria das opções reais. 2000.

113 p. Dissertação (Mestrado). Departamento de Engenharia Industrial, Pontifícia

Universidade Católica do Rio de Janeiro. Rio de Janeiro.

125

CEPEA: Informativo CEPEA Setor Florestal. Esalq USP. Disponível em:

<http://www.cepea.esalq.usp.br/florestal

>. Acesso em: 09/12/2007.

CERVO, Amado Luiz; BERVIAN, Pedro Alcino. Metodologia científica. 5. ed. São

Paulo: Prentice-Hall, 2002.

CLARKE, H. R. e REED, W. J. The tree-cutting problem in a stochastic environment.

J. Econom. Dynam. Control 13, 569-595. 1989.

CONRAD, J. M. On the option value of old growth Forest. Ecol. Econom. 22. 97-102.

(1997).

DEZEN, F. J. P. Opções reais aplicadas à escolha de alternativa tecnológica para o

desenvolvimento de campos marítimos de petróleo. 2001. 84 p. Dissertação

(Mestrado). Faculdade de Engenharia Mecânica e Instituto de Geociências,

Universidade de Campinas, Campinas.

DIAS, A. N., LEITE, H. G., SILVA, M. L. da, CARVALHO, A. F. de. Avaliação

Financeira de Plantações de Eucalipto Submetidas a Desbaste. Revista Árvore, v.

29, n.03, p. 419-429, maio-junho 2005.

DIAS, M. A Note on Bibliographical Evolution of Real Options, in TRIGEORGIS,

L. ed., Real Options and Business Strategy: applications to decision making. Risk

books, London, 1999.

DIXIT, A. K. e PINDYCK, R. S. Investment under Uncertainty. Princeton University

Press. 1994.

DUFFY, Daniel J. Financial Instrument Pricing Using C++. England, John Wiley &

Sons, 2004.

FORSYTH, M. On the option value of preserving a wilderness area. Canadian Journal

of Economics, 33. 413-434. 2000.

FRANSES, P. H. Time series models for business and economic forecasting. United

Kingdom, Cambridge University Press, 2002.

FUNDAÇÃO Getulio Vargas. Fgvdados - Informação econômica online. Disponível

em: <http://fgvdados.fgv.br>. Acesso em 21/06/2008.

GOMES, L. Avaliação de termoelétricas no Brasil estudando o melhor momento de

investimento por modelos de opções reais. 94 p. 2002. Tese (Doutorado)

Departamento de Engenharia Industrial, Pontifícia Universidade Católica do Rio de

Janeiro. Rio de Janeiro, 2002.

HAIGHT, R. G. e HOLMES, T. P. Stochastic price models and optimal tree cutting:

Results for Loblolly Pine. Natural Resources Modeling 5. 1991.

HALL, C. A. e PORSCHING, T. A. Numerical analysis of partial differential

equations. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ. 1990.

126

HULL, J. C. Options, futures, and other derivatives. 5

Ed. New Jersey, Prentice-Hall,

2002.

INSLEY, M. A real options approach to the valuation of a forestry investment.

Journal of Evironmental Economics and Management, 44. 471-492. 2002.

KERLINGER, Fred Nichols. Metodologia da pesquisa em ciências sociais: um

tratamento conceitual. São Paulo: EPU, 2003.

KERMAN, J.

Numerical methods for option pricing: binomial and finite-difference

approximations

. Tese (Doutorado). Courant Institute of Mathematical Sciences. New

York, 2002.

MARCONI, M. de A.; LAKATOS, E. M. Metodologia do Trabalho Científico. 6. ed.,

rev. e ampl. São Paulo: Atlas, 2001.

LEVY, H. e SARNAT, M. Capital investment and financial decisions. 5

Ed.

Prentice-Hall International (UK) Ltd. 1994.

LUENBERGER, D. G. Investment science. Oxford University Press. New York. 1998.

MALLIARIS, A. G. e BROCK, W. A. Stochastic methods in economics and finance.

North-Holland. Amsterdam. 1982.

MARRECO, J. M. Otimização dinâmica sob condição de incerteza. 2001. 88 p.

Dissertação (Mestrado). Centro de Pós-Graduação e Pesquisa em Administração,

Universidade Federal de Minas Gerais. Belo Horizonte.

MILLER, R. A. e VOLTAIRE, K. A stochastic analysis of the tree paradigm. Journal

of Economic Dynamics & Control 6. 371-386. 1983.

MYERS, S. C. Determinants of corporate borrowing. Journal of Financial Economics

5. 147-175. 1977.

NICHOLSON, W. Microeconomic Theory: basic principles and extensions. 8

Ed.

Thomson Learning, Inc. 2002.

NOGUEIRA, C. R. O exercício ótimo da opção de abandono de uma lavoura de

café na região de Franca. 2005. 92 p. Dissertação (Mestrado). Programa de Pós-

Graduação em Administração de Empresas, Universidade Presbiteriana Mackenzie, São

Paulo, 2005.

PADILHA, E. R. A avaliação da implantação de unidades de redes varejistas: um

estudo de opções reais. 2003. 155 p. Dissertação (Mestrado). Faculdade de Economia,

Administração e Contabilidade, Universidade de São Paulo. São Paulo.

PAULY, O. Numerical simulation of American options. Diplomarbeit in

Wirtschaftsmathematik. Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften,

Universität Ulm, Ulm, 2004.

127

PINDYCK, R. S. e RUBINFELD, D. L., Microeconomics. 4

Ed., Prentice Hall, Inc.

1998.

PLANTINGA, A. J. The optimal timber rotation: an option value approach. Forest Sci.

44, 192-202. 1998.

REED, W. e CLARKE, H. Harvest decisions and asset valuation for biological

resources exhibiting size-dependent stochastic growth. International Economic

Review, 31. 147-169. 1990.

REED, W. The decision to conserve or harvest old growth forest. Ecol. Econom., 8.

45-68. 1993.

RICHARDSON, R. J., PERES, J. A. de S.,WANDERLEY, J. C. V., CORREIA, L. M.,

PERES, M. de H. de M.

Pesquisa social: métodos e técnicas. 3ª Ed., 8a Reimpr., São

Paulo. Ed. Atlas. 2008.

RICHTMYER, R. D.

Difference Methods for Initial Value Problems. New York:

Interscience, 1957.

RODRIGUEZ, L.C.E., BUENO, A.R.S. e RODRIGUES, F. Rotações de eucaliptos

mais longas: análise volumétrica e econômica. Scientia Florestalis, n.51, p. 15-28,

1997).

ROLLINS, K., FORSYTH, M., BONTI-ANKOMAH, S., e AMOAH, B., A Financial

Analysis of a White Pine Improvement Cut in Ontário. Forestry Chronicle 71, 466-

471, 1995.

RUFFEIL NETO, S. M. Avaliação da viabilidade econômica de investimentos em

poços independentes de petróleo através da teoria de opções reais. 2002. 71 p.

Dissertação (Mestrado). Departamento de Engenharia Industrial, Pontifícia

Universidade Católica do Rio de Janeiro. Rio de Janeiro, 2002.

SALLES, A. P. As opções reais como um instrumento para o planejamento

adaptativo: o caso Embraer. 2002. 160 p. Dissertação (Mestrado). Departamento de

Engenharia Industrial, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Rio de

Janeiro.

SAPHORES, J. D., KHALAF, L., e PELLETIER, D. On jump and arch effects in

natural resource prices: an application to stumpage prices from Pacific Northwest

National Forests. Paper presented at the annual meeting of the Canadian Economics

Association, June 2000.

SATO, M. S. A decisão de abandono de um investimento segundo a ótica da teoria

das opções reais: o caso das lavouras de café da região de Franca. 2004. 149 p.

Dissertação (Mestrado). Programa de Pós-Graduação em Administração de Empresas,

Universidade Presbiteriana Mackenzie, São Paulo.

128

SCHWARTZ, E. S. The stochastic behavior of commodity prices: implications for

valuation and hedging

. Journal of Finance, 88. 923-973. 1997.

SCHWARTZ, E. S. e TRIGEORGIS, L. Real options and investment under

uncertainty: an overview, in SCHWARTZ, E.S. e TRIGEORGIS, L. ed., Real Options

and Investiment under Uncertainty: classical readings and recent contribuitions. The

MIT Press, Cambridge, Massachusetts. 2001.

SEDJO, R. A. The forest sector: important innovations, resources for the future.

Discussion paper, 97-42. Wahington, D.C. 1997.

SMITH, G. D. Numerical Solution of Partial Diferencial Equations: finite difference

methods. 3

Ed., New York, Oxford University Press, 1985.

SOUZA, A. N. de; REZENDE, J. L. P. de; OLIVEIRA, A. D. de. Momento ótimo de

substituição de povoamentos de Eucalyptus spp

– O caso da tecnologia constante.

Cerne, v.7, n.2, p. 093-103, 2001

SUCCI, G.; MARCHESI, M.; WILLIAMS, L.; e WELLS, D.

Extreme programming

perspectives. Addison Wesley. 2002

TAVARES, N. J. F. Um modelo para avaliação de garantia de recompra de

franquias, fundamentado na teoria das opções reais. 2003.194 p. Dissertação

(Mestrado). Escola Brasileira de Administração Pública e de Empresas, Centro de

Formação Acadêmica e Pesquisa, da Fundação Getulio Vargas. Rio de Janeiro, 2003.

TAVELLA, D. Quantitative Methods in Derivative Pricing: an introduction to

computational finance. New York, John Willey & Sons, 2002.

TAVELLA, D. e RANDALL, C. Pricing Financial Instruments. New York, John

Willey & Sons, 2000.

THOMSON, T. A. Optimal forest rotation when stumpage prices follow a difusion

process. Land Economics, 68. 329-342. 1992.

TRIGEORGIS, L. Managerial flexibility and strategy in resource allocation. 5

printing. The MIT Press, Cambridge Massachusetts. 2000.

VERGARA, Sylvia Constant. Projetos e relatórios de pesquisa em administração. 8.

ed. São Paulo: Atlas, 2007.

WILMOTT, P., DEWYNNE, J. e HOWISON, S. Option Pricing: mathematical models

and computation. Oxford Financial Press, Oxford, 1993.

WILMOTT, P., DEWYNNE, J. e HOWISON, S. The mathematics of financial

derivatives: a student introduction. Cambridge University Press, 1995.

WILMOTT, P. Derivatives: the theory and practice of financial engineering. New

York, John Wiley & Sons, 1998.

129

WILMOTT, P. Paul Wilmott on Quantitative Finance. V.2, pg. 868, Inglaterra, John

Willey & Sons, 2000.

YIN, R. e NEWMAN, D.

When to cut a stand of tress? National Resour. Model, 10.

251-261. 1997.

ZIENKIEWICZ, O. C. The Finite Element Method in Engineering Science. Londres,

McGraw Hill, 1971.

ZVAN

, R., FORSTYTH, P. A., e VETZAL, K. R. Swing low, swing high. RISK 11.

71-75. 1998.

ZVAN

, R., FORSTYTH, P. A., e VETZAL, K. R. A general finite element approach

for PDE option pricing models. Working paper, Department of Computer Science,

University of Waterloo, 1998.

130

APÊNDICE A

Solução de Sistemas de Equações utilizando decomposição LU

Seja o sistema linear de equações simultâneas proposto abaixo:

1 2

4 3 24

6 3 30

x x

 

Cuja solução é:



Matricialmente o sistema pode ser visto como:

4 3 24

6 3 30

 

   



 

   

   

 

Que é um sistema do tipo A.x = b

Decomposição da matriz A em LU

11 12

21 22

1 0

4 3

1 0

6 3

u u

l u

  

 



  

 

 

  

Resolvendo este produto matricial tem-se:

4 0

 

, logo



3 0

 

, logo



21 11

6 0

l u

 

, logo

6 4

 e

1,5

l 

21 12 22

l u u

 

, logo

3 1,5 3

   e

1,5

 

O sistema fica então sendo do tipo, L.U.x=b, mostrado a seguir:

1 0 4 3 24

1,5 1 0 1,5 30

 

    



 

    



    

 

Fazendo U.x = y, o sistema fica sendo do tipo L.y=b, que é resolvido em primeiro lugar:

1 0 24

1,5 1 30

 

   



 

   

   

 

, resolvendo-se obtém-se:

0 24

 

, portanto



1 2

1,5 30

y y

 

, portanto

36 30

 

 

Resolvendo agora o sistema restante que é do tipo U.x = y, tem-se:

131

4 3 24

0 1,5 6

 

   



 

   

 

   

 

e, resolvendo este produto matricial, obtém-se:

1 2

4 3 24

x x

 

(1)

1 2

0 1,5 6

x x

  

, donde:



substituindo-se



na equação (1) anterior tem-se:

4 12 24

 

e, portanto



A solução do sistema é



132

APÊNDICE B

Solução de Sistemas de Equações utilizando os métodos interativos

Seja o sistema linear de equações simultâneas proposto abaixo:

1 2

1 2 3

2 3

3 5

4 1,5 15

1,5 5 23

x x

x x x

x x

 

  

 

Cuja solução é:

1,00

2,00

4,00



Arrumando o sistema para colocá-lo em forma matricial:

1 2 3

3 0 5

4 1,5 15

0 1,5 5 23

x x x

  

Matricialmente o sistema pode ser visto como:

3 1 0 5

1 4 1,5 15

0 1,5 5 23

x x

 

   

 

   



 

   

 

   

 

Verifica-se inicialmente a condição de convergência

ii ij

a a





. De fato, 3 + 4 + 5 =

12, enquanto que 1 + 1,5 + 0 = 2,5 e 12 >> 2,5; logo a condição foi satisfeita.

Solução interativa pelo método de Jacobi

Resolvendo-se o sistema proposto para as variáveis x

, x

e x

, calculando x

a partir da

primeira equação, x

a partir da segunda equação e x

a partir da terceira equação tem-

se:



 (1)

1 3

15 1,5

x x

 

 (2)

23 1,5



 (3)

1ª Interação

Adota-se a solução trivial para as variáveis do sistema, para iniciar as interações:

133



Substituindo-se estes valores em (1), (2) e (3), tem-se:

1,67

3,75

4,60



2ª Interação

Substituindo-se os valores acima em (1), (2) e (3), tem-se:

0,42

1,61

3, 48



3ª Interação

Substituindo-se os valores acima em (1), (2) e (3), tem-se:

1,13

2,34

4,12



4ª Interação

Substituindo-se os valores acima em (1), (2) e (3), tem-se:

0,89

1,92

3,90



5ª Interação

Substituindo-se os valores acima em (1), (2) e (3), tem-se:

1,03

2,07

4,02



6ª Interação

Substituindo-se os valores acima em (1), (2) e (3), tem-se:

0,98

1,98

3,98



7ª Interação

Substituindo-se os valores acima em (1), (2) e (3), tem-se:

134

1,01

2,01

4,00



Fica claro agora que, quando são utilizados métodos interativos, é necessário definir o

grau de precisão com que se deseja obter a solução. É necessário definir o parâmetro de

tolerância ε, para estabelecer o fim das interações em um programa de computador.

Neste exemplo foi utilizado um ε = 10

-2

, isto significa que será necessário continuar as

interações (No

software BobPsor, em linguagem C

desenvolvido neste trabalho, o

parâmetro de tolerância utilizado foi ε = 10

-6

8ª Interação

Substituindo-se os valores acima em (1), (2) e (3), tem-se:

1,00

2,00

4,00



Com esta interação atingiu-se a tolerância desejada, então encerra-se as interações e os

valores obtidos nesta 8ª e última interação são considerados a solução do sistema

proposto.

Solução interativa pelo método de Gauss-Seidl

Este método é semelhante ao Jacobi, entretanto utiliza os novos valores tão logo

eles são obtidos, de modo que a convergência é mais rápida.

Fazendo, inicialmente:





(1)

1 3

15 1,5

x x

 



(2)

23 1,5





(3)

1ª Interação

Adota-se a solução trivial para as variáveis do sistema:



Substituindo-se o valor de x

em (1), obtém-se: x

= 1,67

135

No cálculo de x

, com a equação (2), utiliza-se o valor trivial inicial de x

, mas

utiliza-se o valor de x

recém obtido, x

= 1,67 em vez de x

= 0 e obtém-se: x

= 3,33

No cálculo de x

, com a equação (3), utiliza-se o x

= 3,33 recém obtido, em vez do

valor trivial x

= 0 e obtém-se x

= 3,60, então após a 1ª interação os resultados são:

1,67

3,33

3,60



2ª Interação

Substituindo-se o valor de x

= 3,33, em (1), obtém-se: x

= 0,56

No cálculo de x

, com a equação (2), utiliza-se o valor de x

obtido acima, após a

1ª interação (x

= 3,60), mas utiliza-se o valor de x

recém obtido, x

= 0,56, em vez do

valor de obtido após a 1ª interação (x

= 1,67) e obtém-se: x

= 2,26.

No cálculo de x

, com a equação (3), utiliza-se o x

= 2,26, recém obtido, em vez do

valor obtido após a 1ª interação (x

= 3,33) e obtém-se x

= 3,92, então após a 2ª

interação os resultados são:

0,56

2,26

3,92



3ª Interação

Repete-se o processo, sempre utilizando nas equações (1), (2) e (3), os valores de x

, x

, mais recentemente obtidos. Após a 3ª interação os resultados são:

0,91

2,05

3,98



4ª Interação

Repete-se novamente o mesmo processo e obtém-se:

0,98

2,01

4,00



Percebe-se que os valores quase convergiram para o nível de tolerância escolhido,

entretanto será necessária mais uma interação, que produz finalmente os resultados

dentro do nível de tolerância escolhido.

136

5ª. Interação

1,00

2,00

4,00



Note-se que o método de Jacobi necessitou de oito (8) interações para produzir

os resultados dentro do limite de tolerância estipulado, enquanto que o método de

Gauss-Seidl necessitou de apenas cinco (5) interações.

Solução interativa pelo método SOR (successive over relaxation)

Este método, assim como o de Gauss-Seidl, utiliza os novos valores assim que

eles são obtidos, entretanto, com intuito de acelerar a convergência, o método utiliza um

parâmetro de extrapolação w.

Se o parâmetro w > 1, diz-se que o método é de super-relaxação, enquanto que

quando o parâmetro 0 < w < 1, diz-se que o método é de sub-relaxação.

Se a escolha de w for ótima, então w ótimo (w*) fará com que a convergência

neste método seja mais rápida do que no método de Gauss-Seidl.

O cálculo do parâmetro de relaxação ótimo é proibitivo do ponto de vista de

tempo de computação, então a escolha é feita por meio de tentativa e erro, programa-se

o software de modo que a execução do programa seja interrompinda após cada uma das

primeiras interações, computando-se o tempo de processamento de cada uma, de modo

que o parâmetro de relaxação possa ir sendo ajustado para produzir os resultados mais

rapidamente. Inicia-se com w = 1 e a cada interação faz-se um pequeno incremento no

w, por exemplo 0,05, até se obter o resultado mais rápido, então o computador é

liberado para rodar todas as interações necessárias até atingir o valor de tolerância.

Neste exemplo isto não foi feito e utilizou-se w = 1,105.

As equações (1), (2) e (3) tem que ser modificadas para incluir o parâmetro de

relaxação, transformando-as nas equações (4), (5) e (6) abaixo:





 

w w x

 



 

 

 

 

(4)





 

1 0

1 3

15 1,5

x x

w w x

 

 

 

 

 

 

(5)

137





 

23 1,5

w w x

 



 

 

 

 

(6)

onde w é o parâmetro de relaxação e, nos valores de

o subscrito a indica que se trata

da variável, x

, x

, ou x

, respectivamente, enquanto que o super-escrito b indica se o

valor de x

que está sendo utilizado naquele momento, foi obtido na solução trivial

inicial, neste caso o super-escrito é

0, ou na 1ª interação, então o super-escrito é 1 ou na

segunda interação, então o super-escrito é 2 e assim sucessivamente até se atingir o

valor do parâmetro de tolerância.

1ª Interação produz os valores:

1,84

3, 63

3,88



2ª Interação produz os valores:

0,31

2,07

3,99



3ª Interação produz os valores:

1,05

1,98

4,01



4ª Interação produz os valores:

1,00

2,00

4,00



Atingindo, finalmente, o valor de tolerância estipulado.

Note-se que o método SOR produziu os resultados em quatro (4) interações.

Embora, neste exemplo tão simples, isto possa parecer pouco, quando se tem um

sistema com grande número de equações e incógnitas como é o caso dos sistemas de

diferenças finitas, por exemplo 1000 equações, o tempo de processamento economizado

é significativo.

138

APÊNDICE C

Valor de opção de venda tipo europeu pelo método diferenças finitas implícitas

Será resolvido um exercício proposto por Hull (2002). Seja uma opção de venda do tipo

americano, com vencimento em 5 meses, sobre uma ação que não paga dividendos e

cujo preço atual está em $50. O preço de exercício da opção é de $50, a taxa de juros

livre de risco, capitalizada continuamente, é de 10% ao ano e a volatilidade do preço da

ação é de 40% ao ano. A seguinte notação será utilizada:

Preço da ação a vista, S

= $50

Preço de exercício, K = $50

Taxa livre de risco, r = 0.10 ao ano

Volatilidade do preço da ação, = 0.40 ao ano

Tempo remanescente para o exercício,

0,4167

T  

anos

O valor da opção será calculado pelo método das diferenças finitas implícitas e serão

utilizadas as equações (119), (120), (121) e (122) deste trabalho, listadas abaixo:

, 1 , , 1 1,

j i j j i j j i j i j

a f b f c f f

  

   (122)

onde:

2 2

1 1

2 2

a rj t j t

  

 

(119)

2 2

b j t r t

  

  

(120)

2 2

1 1

2 2

c rj t j t

  

  

(121)

A malha de discretização (figura 1) será construída supondo-se que o máximo valor que

a ação possa atingir até o vencimento da opção seja S

max

= $100, o dobro do preço atual

da ação. Adotando ainda, neste exemplo, M = 20, N = 10, resulta:

100



 

, que é tamanho do passo da discretização espacial (ver item 2.8)

0,4167

0,04167



  , que é o tamanho do passo da discretização da variável tempo

(ver item 2.8), na malha para facilidade de visualização utilizaremos o tempo em meses

embora o cálculo seja todo feito em anos.

Os valores da opção numa célula genérica





i j

é dado por

i j

. O eixo das abcissas vai

de i = 0 a N, enquanto que o eixo das ordenadas vai de j = 0 a M.

139

Figura 1: Malha de discretização para diferenças finitas implícitas

Em seguida aplicam-se as fórmulas (119), (120) e (121) para calcular os valores de a, b,

e c, em cada linha j. Os valores calculados são mostrados na tabela 1, abaixo.

Tabela 1: Valores de a, b, c, calculados para cada j

Os valores da opção são calculados recursivamente, portanto inicia-se no

extremo esquerdo da malha e progride-se até o extremo direito. Em outras palavras

-39.50

81.05

-40.50

-35.63

73.25

-36.58

-31.95

65.85

-32.85

-28.48

58.85

-29.33

-25.20

52.25

-26.00

-22.13

46.05

-22.88

-19.25

40.25

-19.95

-16.58

34.85

-17.23

-14.10

29.85

-14.70

-11.83

25.25

-12.38

-9.75

21.05

-10.25

-7.88

17.25

-8.33

-6.20

13.85

-6.60

-4.73

10.85

-5.08

-3.45

8.25

-3.75

-2.38

6.05

-2.63

-1.50

4.25

-1.70

-0.83

2.85

-0.98

-0.35

1.85

-0.45

-0.08

1.25

-0.13

0.00

1.05

0.00

Preço Ação

em $

4.5

3.5

2.5

1.5

0.5

100

0,20

1,20

2,30

3,20

4,20

5,20

6,20

7,20

8,20

9,20

10,20

7,19

8,19

9,19

10,19

7,18

8,18

9,18

10,18

7,17

8,17

9,17

10,17

7,16

8,16

9,16

10,16

7,15

8,15

9,15

10,15

7,14

8,14

9,14

10,14

7,13

8,13

9,13

10,13

7,12

8,12

9,12

10,12

7,11

8,11

9,11

10,11

i,j

7,10

8,10

9,10

10,10

7,9

8,9

9,9

10,9

7,8

8,8

9,8

10,8

7,7

8,7

9,7

10,7

7,6

8,6

9,6

10,6

7,5

8,5

9,5

10,5

7,4

8,4

9,4

10,4

7,3

8,3

9,3

10,3

7,2

8,2

9,2

10,2

7,1

8,1

9,1

10,1

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

i (0 a N)

j (0 a M)

Tempo restante até o vencimento (em meses)

140

inicia-se no tempo para vencimento igual a zero e progride-se até a data atual. A

primeira coluna a ser calculada será a coluna onde i = N.

Introduzindo agora as condições de contorno temos que:

1. Os valores da coluna N são os valores de

payout, ou seja os valores da opção no

vencimento, dados por,





max ,0

S K

 



 

2. Os valores da linha j = 0 são dados pelo valor da opção de venda, quando a ação

vale zero. O valor de uma opção de compra quando a ação-objeto vale zero é K,

o valor do exercício. Então em todas as colunas (células) da linha j = 0 o valor

da opção é igual ao valor do preço de exercício K, logo

i M



3. O valor da opção de venda é nulo, quando o valor da ação tende a infinito, em

nossa malha discretizada o valor de S não tende a infinito, mas se assume que

quando S = S

max

o valor da opção é zero. Então todas as colunas (células) da

linha j = M, o valor da opção é igual a $0, logo



Substituindo-se estes valores nas células apropriadas, a malha ficará como mostra a

figura 2, abaixo.

Figura 2: Malha de discretização após a inserção das condições de contorno

Os demais valores da opção, f

i,j

na malha, devem ser calculados com a equação

(122) e com os valores de a

, b

e c

, mostrados na tabela 1. Começa-se pela coluna

correspondente aos valores no tempo (

T t





). A equação (122) com i = (N – 1) fica:

1, 1 1, 1, 1 ,

j N j j N j j N j N j

a f b f c f f

    

   (122a)

Preço Ação

em $

4.5

3.5

2.5

1.5

0.5

100

0.00

7,19

8,19

9,19

0.00 19

7,18

8,18

9,18

0.00 18

7,17

8,17

9,17

0.00 17

7,16

8,16

9,16

0.00 16

7,15

8,15

9,15

0.00 15

7,14

8,14

9,14

0.00 14

7,13

8,13

9,13

0.00 13

7,12

8,12

9,12

0.00 12

7,11

8,11

9,11

0.00 11

i,j

7,10

8,10

9,10

0.00 10

7,9

8,9

9,9

5.00 9

7,8

8,8

9,8

10.00 8

7,7

8,7

9,7

15.00 7

7,6

8,6

9,6

20.00 6

7,5

8,5

9,5

25.00 5

7,4

8,4

9,4

30.00 4

7,3

8,3

9,3

35.00 3

7,2

8,2

9,2

40.00 2

7,1

8,1

9,1

45.00 1

50.00

i (0 a N)

j (0 a M)

Tempo restante até o vencimento (em meses)

141

que deverá ser resolvida para j = 1, 2,......(M -1). Os valores de

N j

já são conhecidos

devido às condições de contorno, bem como os valores de

1,0N

f K





e de

N M





Fica claro então que as equações (122a) para a coluna



(i = 9), formam um sistema

linear, mostrado na figura 3 abaixo, com



equações simultâneas com



incógnitas.

Sistema de



equações e incógnitas que resolve os valores da opção em (i = 9)

9,18 9,19 9,20

35,63 73, 25 36,58 45

f f f

   

(122a_01)

9,17 9,18 9,19

31,95 65,85 32,85 40

f f f

   

(122a_02)

9,16 9,17 9,18

28,48 58,85 29,33 35

f f f

   

(122a_03)

9,15 9,16 9,17

25,20 52,25 26,00 30

f f f

   

(122a_04)

9,14 9,15 9,16

22,13 46,05 22,88 25

f f f

   

(122a_05)

9,13 9,14 9,15

19,25 40, 25 19,95 20

f f f

   

(122a_06)

9,12 9,13 9,14

16,58 34,85 17, 23 15

f f f

   

(122a_07)

9,11 9,12 9,13

14,10 29,85 14,70 10

f f f

   

(122a_08)

9,10 9,11 9,12

11,83 25, 25 12,38 5

f f f

   

(122a_09)

9,9 9,10 9,11

9,75 21,05 10, 25 0

f f f

   

(122a_10)

9,8 9,9 9,10

7,88 17, 25 8,33 0

f f f

   

(122a_11)

9,7 9,8 9,9

6,20 13,85 6,60 0

f f f

   

(122a_12)

9,6 9,7 9,8

4,73 10,85 5,08 0

f f f

   

(122a_13)

9,5 9,6 9,7

3, 45 8, 25 3,75 0

f f f

   

(122a_14)

9,4 9,5 9,6

2,38 6,05 2,63 0

f f f

   

(122a_15)

9,3 9,4 9,5

1,50 4,25 1,70 0

f f f

   

(122a_16)

9,2 9,3 9,4

0,83 2,85 0,98 0

f f f

   

(122a_17)

9,1 9,2 9,3

0,35 1,85 0,45 0

f f f

   

(122a_18)

9,0 9,1 9,2

0,08 1,25 0,13 0

f f f

   

(122a_19)

142

Figura 3: Sistema de equações com matriz tridiagonal para resolver a coluna N-1

Além disso, sabe-se pelas condições de contorno que :

9,0



9,20



portanto o sistema tem 19 equações e 19 incógnitas e pode ser resolvido matricialmente

por qualquer dos métodos apresentados nos Apêndices A e B. A solução fornecerá os

valores da opção na coluna



, portanto os valores

. Recursivamente volta-se

para a coluna



e calculam-se os valores

e assim sucessivamente até que a

malha de discretização seja totalmente resolvida.

Neste exemplo, muito simples, não é necessário utilizar a forma matricial para resolver

o sistema. Pode-se resolvê-lo por substituição, iniciando de baixo para cima e usando a

equação (122a) para a linha j = 1 para achar o valor de

1,2



em função de

1,1



. A

equação da linha j = 2, pode ser usada para expressar

1,2



em termos de

1,2



e assim

por diante. A equação final da linha j = 19, graças ao valor conhecido do contorno, pode

ser resolvida para determinar o valor de

1,1



, que por sua vez pode ser usado para

determinar todos os outros valores de

N j



Para a linha j = 1, a equação (122a) fica sendo:

1, 1 1, 1, 1 ,

0,08 1, 25 0,13

N j N j N j N j

f f f f

    

    (122 b)

N-1,1

N,1

N-1,2

N,2

N-1,3

N,3

N-1,4

N,4

N-1,5

N,5

N-1,6

N,6

N-1,7

N,7

N-1,8

N,8

N-1,9

N,9

N-1,10

N,10

N-1,11

N,11

N-1,12

N,12

N-1,13

N,13

N-1,14

N,14

N-1,15

N,15

N-1,16

N,16

N-1,17

N,17

N-1,18

N,18

N-1,19

N,19

143

Substituindo-se em (122 b) os valores conhecidos de

50,00

N j

f 

e lembrando que para

j = 1, o valor de

1, 1 1,0

N j N

f f

  

 e é também conhecido devido às condições de contorno,

de modo que temos:

1,1 1,2

1,25 0,13 45,00

N N

f f

 

  , ou seja:

1,2 1,1

10,00 360,00

N N

f f

 

  (122c)

Repetindo-se a mesma operação para a linha j = 2, tem-se:

1,3 1,1

40,33 1692,22

N N

f f

 

 

(122d)

A operação é repetida sucessivamente, para cada linha j = 3, até linha j = 19, e então se

utiliza novamente a condição de contorno, pois se sabe que

9,20

0,00

f 

. Isto resolve o

sistema por substituição. A figura 4 mostra a malha totalmente preenchida. O valor da

opção é $ 4,07.

Figura 4: Malha de discretização mostrando todos os resultados obtidos

Fonte: Hull (2002)

Hull (2002) lembra ainda que, com uma malha semelhante para uma opção de

venda do tipo europeu, obteve-se o valor para a opção de US$ 3,91. Utilizando uma

técnica conhecida como control variate, ele lembra que a opção de venda do tipo

europeu tem solução analítica exata pela fórmula de Black e Scholes, a qual fornece o

valor de US$ 4,08 para esta mesma opção de venda do tipo europeu. Hull (2002) faz

então uma correção no preço estimado por diferenças finitas implícitas, conforme

mostrado abaixo e obtém o valor de $ 4,24 para a opção de venda do tipo americano:

4.07 4.08 3,91 $4,24

  

Preço Ação

em $

4.5

3.5

2.5

1.5

0.5

100

0.00

0.02

0.01

0.00

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

0.09

0.07

0.05

0.03

0.02

0.01

0.00

0.16

0.12

0.09

0.07

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

0.27

0.22

0.17

0.13

0.09

0.06

0.03

0.02

0.01

0.00

0.47

0.39

0.32

0.25

0.18

0.13

0.08

0.04

0.02

0.00

0.82

0.71

0.60

0.49

0.38

0.28

0.19

0.11

0.05

0.02

0.00

1.42

1.27

1.11

0.95

0.78

0.62

0.45

0.30

0.16

0.05

0.00

2.43

2.24

2.05

1.83

1.61

1.36

1.09

0.81

0.51

0.22

0.00

4.07

3.88

3.67

3.45

3.19

2.91

2.57

2.17

1.66

0.99

0.00

45 6.58 6.44 6.29 6.13 5.96 5.77 5.57 5.36 5.17 5.02 5.00 9

40 10.15 10.10 10.05 10.01 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 8

15.00

20.00

25.00

20 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 4

15 35.00 35.00 35.00 35.00 35.00 35.00 35.00 35.00 35.00 35.00 35.00 3

40.00

45.00

50.00

i (0 a N)

j (0 a M)

Tempo restante até o vencimento (em meses)

144

Na figura 5 abaixo é mostrada a planilha de saída do software BobPsor estimada

com a mesma malha do exemplo do Hull (2002). A parte inferior da planilha onde

aparecem somente números 1 e 0, indica os pontos onde os valores da opção, depois de

comparados aos valores de payout, foram trocados por serem menores do que estes. Na

tela de saída do

software estes valores aparecem em vermelho, para maior destaque.

Esta informação permite a construção da fronteira de exercício ótimo.

Figura 5: Mesma malha produzida como dado de saída pelo software BobPsor

Utilizando-se ainda o software BobPsor, mas usando uma malha com um

número de divisões bem maior (M = 400 e N = 200), o valor obtido para a opção de

venda do tipo americano foi de $ 4,28, esta planilha de saída é muito extensa e por isso

foi reproduzida apenas parcialmente na figura 6, abaixo.

Exercicio 50.000000

Tempo 0.416700

Juros 0.100000

Desvio Padrao 0.400000

| 0 0.0417 0.0833 0.125 0.1667 0.2084 0.25 0.2917 0.3334 0.375 0.4167

100 | 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

95 | 0.02 0.02 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

90 | 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

85 | 0.09 0.07 0.05 0.03 0.02 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00

80 | 0.16 0.12 0.09 0.07 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 0.00 0.00

75 | 0.27 0.22 0.17 0.13 0.09 0.06 0.03 0.02 0.01 0.00 0.00

70 | 0.47 0.39 0.32 0.25 0.18 0.13 0.08 0.04 0.02 0.00 0.00

65 | 0.82 0.71 0.60 0.49 0.38 0.28 0.19 0.11 0.05 0.02 0.00

60 | 1.42 1.27 1.11 0.95 0.78 0.62 0.45 0.30 0.16 0.05 0.00

55 | 2.43 2.24 2.05 1.83 1.61 1.36 1.09 0.81 0.51 0.22 0.00

50 | 4.07 3.88 3.67 3.45 3.19 2.91 2.57 2.17 1.66 0.99 0.00

45 | 6.58 6.44 6.29 6.13 5.96 5.77 5.57 5.36 5.17 5.02 5.00

40 | 10.15 10.10 10.05 10.01 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00

35 | 15.00 15.00 15.00 15.00 15.00 15.00 15.00 15.00 15.00 15.00 15.00

30 | 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00

25 | 25.00 25.00 25.00 25.00 25.00 25.00 25.00 25.00 25.00 25.00 25.00

20 | 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00

15 | 35.00 35.00 35.00 35.00 35.00 35.00 35.00 35.00 35.00 35.00 35.00

10 | 40.00 40.00 40.00 40.00 40.00 40.00 40.00 40.00 40.00 40.00 40.00

5 | 45.00 45.00 45.00 45.00 45.00 45.00 45.00 45.00 45.00 45.00 45.00

0 | 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00

100 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

95 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

90 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

85 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

80 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

75 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

70 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

65 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

60 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

55 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

50 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

45 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

40 | 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0

35 | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

30 | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

25 | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

20 | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

15 | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

10 | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

5 | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

0 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-------------------------------------------

145

Figura 6: Trecho da malha (400 x 200) para opção americana de venda produzida

como relatório de saída do

software BobPsor.

A título de verificação, calculando-se, com a malha maior (M=400 e N=200), a

opção de venda do tipo europeu, que tem solução analítica exata com a fórmula de

Black e Scholes, obteve-se o valor de $ 4,07, praticamente igual ao valor exato de US$

4,08. Portanto, aparentemente, para este grau de precisão e com uma malha deste

tamanho, o software produz o resultado muito próximo do resultado exato, de modo que

o valor de $ 4.28, calculado pelo software BobPsor deve estar mais próximo do valor

real do que o valor de $ 4.24 calculado pela técnica da variável de controle (control

variate) apresentado por Hull (op.cit.). A malha foi reproduzida parcialmente na figura

7 abaixo.

Opcao Americana

Opcao Venda

Stock 50.000000

Exercicio 50.000000

Tempo 0.416700

Juros 0.100000

Desvio Padrao 0.400000

| 0 0.0021 0.0042 0.0063 0.0083 0.0104 0.0125 0.0146

52.00 | 3.51 3.51 3.50 3.49 3.48 3.47 3.46 3.45

51.75 | 3.60 3.59 3.58 3.58 3.57 3.56 3.55 3.54

51.50 | 3.69 3.68 3.68 3.67 3.66 3.65 3.64 3.63

51.25 | 3.79 3.78 3.77 3.76 3.75 3.74 3.73 3.72

51.00 | 3.88 3.87 3.86 3.85 3.84 3.84 3.83 3.82

50.75 | 3.98 3.97 3.96 3.95 3.94 3.93 3.92 3.91

50.50 | 4.07 4.07 4.06 4.05 4.04 4.03 4.02 4.01

50.25 | 4.17 4.17 4.16 4.15 4.14 4.13 4.12 4.11

50.00 | 4.28 4.27 4.26 4.25 4.24 4.23 4.22 4.22

49.75 | 4.38 4.37 4.36 4.36 4.35 4.34 4.33 4.32

49.50 | 4.49 4.48 4.47 4.46 4.45 4.44 4.44 4.43

49.25 | 4.60 4.59 4.58 4.57 4.56 4.55 4.55 4.54

49.00 | 4.71 4.70 4.69 4.68 4.67 4.66 4.66 4.65

48.75 | 4.82 4.81 4.80 4.80 4.79 4.78 4.77 4.76

48.50 | 4.94 4.93 4.92 4.91 4.90 4.89 4.89 4.88

48.25 | 5.05 5.05 5.04 5.03 5.02 5.01 5.00 5.00

48.00 | 5.17 5.17 5.16 5.15 5.14 5.13 5.12 5.12

47.75 | 5.30 5.29 5.28 5.27 5.26 5.26 5.25 5.24

47.50 | 5.42 5.41 5.40 5.40 5.39 5.38 5.37 5.36

47.25 | 5.55 5.54 5.53 5.52 5.52 5.51 5.50 5.49

146

Figura 7: Trecho da malha (400 x 200) para opção européia de venda produzida

como relatório de saída do

software BobPsor.

Opcao Europeia

Opcao Venda

Stock 50.000000

Exercicio 50.000000

Tempo 0.416700

Juros 0.100000

Desvio Padrao 0.400000

51 | 3.7 3.7 3.7 3.69 3.69 3.69 3.68 3.68

50.9 | 3.74 3.74 3.73 3.73 3.73 3.72 3.72 3.72

50.8 | 3.77 3.77 3.77 3.77 3.76 3.76 3.76 3.75

50.7 | 3.81 3.81 3.8 3.8 3.8 3.8 3.79 3.79

50.6 | 3.85 3.84 3.84 3.84 3.84 3.83 3.83 3.83

50.5 | 3.88 3.88 3.88 3.88 3.87 3.87 3.87 3.86

50.4 | 3.92 3.92 3.92 3.91 3.91 3.91 3.9 3.9

50.3 | 3.96 3.96 3.95 3.95 3.95 3.94 3.94 3.94

50.2 | 4 3.99 3.99 3.99 3.99 3.98 3.98 3.98

50.1 | 4.04 4.03 4.03 4.03 4.02 4.02 4.02 4.01

50 | 4.07 4.07 4.07 4.06 4.06 4.06 4.06 4.05

49.9 | 4.11 4.11 4.11 4.1 4.1 4.1 4.09 4.09

49.8 | 4.15 4.15 4.15 4.14 4.14 4.14 4.13 4.13

49.7 | 4.19 4.19 4.18 4.18 4.18 4.18 4.17 4.17

49.6 | 4.23 4.23 4.22 4.22 4.22 4.22 4.21 4.21

49.5 | 4.27 4.27 4.26 4.26 4.26 4.26 4.25 4.25

49.4 | 4.31 4.31 4.3 4.3 4.3 4.3 4.29 4.29

49.3 | 4.35 4.35 4.35 4.34 4.34 4.34 4.33 4.33

49.2 | 4.39 4.39 4.39 4.38 4.38 4.38 4.37 4.37

49.1 | 4.43 4.43 4.43 4.42 4.42 4.42 4.42 4.41

49 | 4.47 4.47 4.47 4.47 4.46 4.46 4.46 4.45

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