( PDF ) Compactificação de poincaré de campos polinomiais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

COMPACTIFICAÇÃO DE POINCARÉ DE CAMPOS POLINOMIAIS

Francisco Braun

SÃO CARLOS

2007

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

COMPACTIFICAÇÃO DE POINCARÉ DE CAMPOS POLINOMIAIS

Francisco Braun

Dissertação apresentada ao Pro-

grama de Pós-Graduação em Mate-

mática da Universidade Federal de

São Carlos, como parte dos requi-

sitos para a obtenção do Título de

Mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. José Ruidi-

val Soares dos Santos Filho.

SÃO CARLOS

2007

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Para meus pais Inácio e Elice

“U m p o u c o d e g e o m e t r i a :

A curva é o caminho mais agra-

dável entre dois pontos.”

(Mário Quintana)

Agradecimentos

Agradeço a Deus;

ao Inácio e à Elice — meus pais —, p or terem sempre me incentivado e auxiliado

na minha formação;

ao Professor Ruidival — meu orientador —, por ter me guiado até aqui e por ter

aceito me conduzir também na próxima etapa: o Doutorado;

a todos os professores que tive até agora (desde o primário);

à Camila;

aos demais amigos (em especial ao “Achoôm” — meu colega de república —) e

familiares que me deram força;

e à Capes pelo apoio ﬁnanceiro.

Resumo

Neste trabalho, apresentamos a Compactiﬁcação de Poincaré de campos vetoriais

polinomiais e provamos uma série de propriedades dela, principalmente para campos

vetoriais hamiltonianos.

Palavras-chave: Análise Matemática. Campos vetoriais. Campos polinomiais.

Abstract

In this work, we present the Poincaré Compactiﬁcation of polinomial vector ﬁelds

and prove some properties of it, mainly to hamiltonian vector ﬁelds.

Keywords: Mathematical Analysis. Vector ﬁelds. Polinomial ﬁelds.

Sumário

0 Introdução 8

1 Preliminares 11

1.1 Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Primeiras deﬁnições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.2 O Teorema de Sard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.3 Variedades com fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1.4 Homotopia e Isotopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.1.5 Variedades orientáveis e o grau de uma transformação . . . . 24

1.1.6 O Teorema da “Esfera Cabeluda” . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2 Compactiﬁcações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 A técnica da Compactiﬁcação de Poincaré 33

2.1 A Compactiﬁcação de Poincaré de um campo vetorial polinomial . . 33

2.2 Particularização para um campo vetorial polinomial hamiltoniano . 40

2.3 O ﬂuxo no inﬁnito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.4 Propriedades genéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Considerações ﬁnais e exemplos 54

3.1 Observações sobre a compactiﬁcação de Poincaré . . . . . . . . . . 54

3.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2.1 O caso planar no inﬁnito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2.2 O caso monomial no inﬁnito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2.3 Mais alguns exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Referências Bibliográﬁcas 63

Capítulo 0

Introdução

A Compactiﬁcação de Poincaré de campos vetoriais polinomiais, segundo o artigo

“Poincaré compactiﬁcation of Hamiltonian polynomial vector ﬁelds” de J. Delgado,

E. A. Lacomba, J. Llibre e E. Pérez([2]), surge pela primeira vez no trabalho [1], em

que ela é usada para dar uma classiﬁcação completa do comportamento no inﬁnito

de campos polinomiais de grau três do plano cujas órbitas são limitadas. Devido

ao grande auxílio que essa técnica prestou neste e também em trabalhos posteriores

(como [3] e [4] da área de Mecânica celeste, onde os campos hamiltonianos têm um

grande papel), aparece então o já citado artigo [2] para estudar mais especiﬁcamente

a Compactiﬁcação de Poincaré, extraindo propriedades dela, principalmente quando

aplicada a campos polinomiais hamiltonianos. É este artigo que seguiremos na maior

parte do trabalho.

Nosso intuito em estudar esta técnica é, principalmente, caracterizar pro-

priedades de campos de vetores de R

através da sua Compactiﬁcação de Poincaré

e, assim, procurar descrever formas normais globais que satisfazem uma dada pro-

priedade. Em especial, pretendemos observar quando campos polinomiais tais como

aqueles descritos em [9] são globalmente resolúveis. Tais campos aparecem quando

procuramos garantir injetividade global de aplicações.

Existem muitas fomas de — acrescentando elementos — “compactiﬁcar”

, fazendo com que ele se torne um espaço top ológico compacto. Talvez a forma

mais conhecida é, através da Projeção Estereográﬁca, identiﬁcar R

com S

menos o

pólo norte e depois unir um elemento ∞a R

de tal forma que R

∪{∞} seja home-

omorfo a S

, sendo, portanto, um espaço compacto. Seguindo as idéias de Poincaré,

que trabalhou desta forma em R

, tomaremos uma compactiﬁcação de R

que é

homeomorfa ao hemisfério norte (hemisfério sul) unido com o equador da esfera S

sendo que este corresponde ao inﬁnito de R

. Tal compactiﬁcação é naturalmente

obtida através da seguinte construção, a projeção central: Identiﬁcando R

com o

plano π, tangente ao pólo norte N de S

, formemos retas r passando pela origem

de R

n+1

. Cada reta r corta S

em dois pontos, e tais retas, quando não estiverem

contidas no plano y

n+1

= 0, cortam π em um ponto. Basta, então, identiﬁcarmos

o ponto de π com o ponto de S

que estiver no hemisfério norte e também com o

ponto que estiver no hemisfério sul (chamemos os respectivos difeomorﬁsmos de Φ

CAPÍTULO 0. INTRODUÇÃO 9

e de Φ

−

). Observando a ﬁgura 0.0.1, ﬁca natural de perceber o porquê do inﬁnito

de R

corresponder ao equador de S

. Cada hemisfério unido com o equador S

n−1

(x)

−

(x)

Figura 0.0.1: Projeção central.

de S

é homeomorfo a uma compactiﬁcação de R

. Agora, dado um campo polino-

mial X : R

→R

, quando o levamos por Φ

(Φ

−

) para ser deﬁnido no hemisfério

norte (sul), ele não tem extensão contínua para o equador. O que fazemos então é

multiplicar o campo por uma função especial, obtendo assim um campo analítico



X não somente em cada hemisfério unido com o equador, mas em toda a esfera S

Dizemos que o campo



X é a Compactiﬁcação de Poincaré de X .

Veremos propriedades gerais do campo



X , como por exemplo: “Se X não

se anula em R

, então



X se anula em algum ponto do equador de S

” (Proposi-

ção 2.1.3). Também daremos as expressões de



X em coordenadas lo cais. Depois,

restringindo-nos a campos polinomiais hamiltonianos, provaremos que se H : R

→

R for a função que deﬁne o campo hamiltoniano X

, os níveis de energia {H = h}

se extendem a um mesmo conjunto invariante (pela Compactiﬁcação de Poincaré



X ) do equador. Mais ainda, mostraremos que, genericamente, na topologia fraca,

esse tal conjunto invariante é uma variedade de dimensão n − 2 e, também generi-

camente, que todos os pontos singulares da Compactiﬁcação de Poincaré de X

são

hiperbólicos. Isso tudo é feito no Capítulo 2.

No Capítulo 3, daremos uma condição para que um campo polinomial deﬁ-

nido no hemisfério norte da esfera S

seja múltiplo da Compactiﬁcação de Poincaré

de um campo polinomial em R

. Analizaremos como os campos polinomiais em S

podem, sob certas hipóteses, ser transformados em campos homogêneos, e daremos

uma série de exemplos da teoria desenvolvida.

No intuito de tornar o trabalho o mais auto-suﬁciente possível, apresenta-

mos uma grande quantidade de preliminares no Capítulo 1. A Secção 1.1 dá uma

introdução ao estudo das variedades sob o enfoque de [7], isto é, variedades mer-

gulhadas em R

. Nesta mesma secção, o conceito de grau de função é introduzido,

CAPÍTULO 0. INTRODUÇÃO 10

bem como toda a teoria necessária para fundamentá-lo (variedades com fronteira,

variedades orientáveis, homotopia e isotopia de aplicações entre variedades). Essa

teoria é essencial para uma demonstração rápida do Teorema da “Esfera Cabeluda”,

que será utilizado para a demonstração da Proposição 2.1.3. A Secção 1.2 introduz

os conceitos de compactiﬁcação de um espaço topológico: são apresentados alguns

resultados e alguns exemplos, culminando com a Compactiﬁcação de Stone-Čech.

Capítulo 1

Preliminares

1.1 Variedades

Procuramos nesta secção fazer um estudo auto suﬁciente da teoria de variedades

(pensadas aqui como mergulhadas em R

). Veremos as deﬁnições básicas, o conceito

de Valor Regular e o Teorema de Sard. Depois veremos Variedades com fronteira

e os conceitos de Homotopia e Isotopia. Por ﬁm, veremos Variedades orientáveis

e deﬁniremos o Grau de uma transformação, que, depois da deﬁnição de Campo

Vetorial, nos auxiliará na demonstração do Teorema da “Esfera Cabeluda”.

1.1.1 Primeiras deﬁnições

Daremos as deﬁnições básicas para o estudo de variedades.

Deﬁnição 1.1.1 Dizemos que uma função contínua f : U → R

, com U ⊂ R

aberto, é suave se ∂

f existe e é contínua ∀α ∈ N

tal que |α| = n, para todo

n ∈ N.

Mais geralmente, dizemos que f : X →R

, com X ⊂ R

um subconjunto qualquer, é

suave se existem U ⊂ R

aberto e F : U →R

suave, tais que F |

U∩X

= f |

U∩X

Observação: Se intX = ∅, então ∂

F é unicamente determinada em ∂X, ∀α ∈ N

tal que |α| = n, para todo n ∈ N.

Deﬁnição 1.1.2 Dizemos que uma função f : X →Y, com X ⊂ R

e Y ⊂ R

, é um

difeomorﬁsmo se f é um homeomorﬁsmo e f e f

−1

são suaves.

Neste caso, dizemos que X e Y são difeomorfos.

Deﬁnição 1.1.3 (Variedade) Dizemos que M ⊂ R

é uma variedade de dimen-

são m (ou uma m-variedade) se, para todo x ∈ M, existem uma vizinhança V

⊂ M

de x e um aberto U ⊂ R

que são difeomorfos.

Se g : V

→U é um difeomorﬁsmo, dizemos que g é uma parametrização da vizi-

nhança V

e que o par (V

,g) é uma carta local de M.

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 12

Observação: M é uma variedade de dimensão zero se cada x ∈ M tem uma

vizinhança que consiste de x somente. Neste caso, tais vizinhanças são difeomorfas

a R

Exemplos:

1. A esfera S



(x, y, z) ∈ R

| x

+ y

+ z

= 1



é uma variedade de dimensão

2. De fato,

f (x, y) =



x, y,



1 − x

− y



mapeia o disco x

+ y

< 1 na calota superior z > 0 de S

. Notemos que f é

suave (pois 1 − x

− y

> 0). Além disso,

−1

(x, y, z) = (x, y)

é suave (pois é a restrição da projeção no plano). Agora, colocando na terceira

coordenada −



1 − x

− y

, mapeamos a calota inferior. Depois, basta trocar

os papéis de x, y e z, e obteremos 6 funções que “cobrirão” toda a esfera no

sentido da deﬁnição.

2. Mais geralmente, a esfera S

n−1

⊂ R

é uma variedade de dimensão n − 1.

Podemos mostrar isso generalizando a demonstração feita no exemplo anterior.

3. O conjunto



(x, y) ∈ R

| x = 0 e y = sen





é uma 1-variedade. Isto será

um caso particular do próximo exemplo.

4. Se A ⊂ R

é aberto e f : A →R

é suave, então

= {(x, y) ∈ R

× R

| x ∈ A e y = f (x)}

é uma n-variedade. De fato, F : A → G

, deﬁnida por F (x) = (x, f (x)) é

suave (pois suas funções coordenadas são suaves). Além disso, F

−1

(x, y) = x

é suave por ser a restrição a G

da função projeção π : R

×R

→R

, que é

suave. Tal F faz com que G

e A sejam difeomorfos, provando que G

é uma

n-variedade.

5. Qualquer aberto A ⊂ R

é uma n-variedade.

Vamos passar a deﬁnir espaços tangentes e derivadas de funções entre vari-

edades. Assumiremos os conhecimentos elementares de Cálculo Avançado.

Seja M ⊂ R

uma variedade de dimensão m. Dado x ∈ M, a Deﬁnição

1.1.3 garante que existem V

vizinhança de x e U ⊂ R

aberto que são difeomorfos.

Seja g : U → V

um tal difeomorﬁsmo (o inverso de uma parametrização de V

Como g é suave, podemos calcular sua derivada no ponto u = g

−1

(x) ∈ U:

(h) = lim

t→0

g(x + th) − g(x)

, ∀h ∈ R

e teremos a

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 13

Deﬁnição 1.1.4 Deﬁnimos o espaço tangente de M no ponto x, denotado por TM

por

= dg

) .

Observação: TM

está bem deﬁnido e é um espaço vetorial m-dimensional. De

fato, devemos ver que a deﬁnição não depende da vizinhança V

e nem do difeomor-

ﬁsmo g. Se h : U



→V



é outra parametrização (na verdade, o inverso de uma para-

metrização) de uma vizinhança V



de x, e v = h

−1

(x), tomando A = g(U) ∩h(U



= g

−1

(A) e L

= h

−1

(A), temos que g = g|

e h = h|

são inversas de parame-

trizações de A. Logo, h

−1

◦g : L

→L

é um difeomorﬁsmo entre abertos de R

, e,

portanto, d(h

−1

◦ g)

é um isomorﬁsmo em R

. Então, pela regra da cadeia,

) = d



h ◦(h

−1

◦ g)



) = dh

◦ d(h

−1

◦ g)

) = dh

o que mostra que TM

está bem deﬁnido. Além disso, desde que g

−1

: V

→U é

suave, temos da Deﬁnição 1.1.1 que existe W, aberto de R

, contendo x, e F : W →

suave, que coincide com g

−1

em V

∩ W. Sendo U

= g

−1

(

W ∩ V

)

⊂ R

temos o seguinte diagrama comutativo:

inclusao

e, tomando derivadas, ﬁcamos com:

identidade

o que mostra que dg

é injetora. Logo, dim

(

)) = m, o que encerra a

demonstração da observação.

Deﬁniremos agora a derivada de funções entre variedades. Sejam M ⊂ R

e N ⊂ R

duas variedades de dimensões m e n, respectivamente, e f : M →N uma

função suave. Sabemos então, da Deﬁnição 1.1.1, que existem W ⊂ R

aberto e

F : W →R

suave, tais que F |

M∩W

= f |

M∩W

. Se x ∈ M, seja y = f (x).

Deﬁnição 1.1.5 Deﬁnimos a derivada de f no ponto x ∈ M, df

: TM

→TN

por

(v)

= dF

(v), ∀v ∈ TM

Observação: df

está bem deﬁnida, isto é, não depende do aberto W e nem de

F , além disso, dF

(TM

) ⊂ TN

. De fato, escolhendo funções g : U → M e

h : V →N como as inversas de parametrizações de vizinhanças g(U) e h(V) de x e

y, respectivamente, com u = g

−1

(x) e v = h

−1

(y), podemos assumir que g(U) ⊂ W

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 14

e f (g(U)) ⊂ h(V). Daí, teremos os seguintes diagramas, em que o segundo é obtido

tomando derivadas no primeiro:

−1

◦f ◦g

d(h

−1

◦f ◦g)

Deles, notamos que

(TM

) = dF

◦ dg

) ⊂ dh

) = TN

além disso, como dg

: R

→TM

é invertível (como visto na observação anterior),

e, por deﬁnição, df

◦dg

= dh

◦d(h

−1

◦f ◦g)

, segue a independência na deﬁnição

de df

1.1.2 O Teorema de Sard

Aqui, daremos as deﬁnições de pontos e valores regulares de funções entre variedades.

Apresentaremos também o Teorema de Sard e um seu corolário. Por ﬁm, com a

Proposição 1.1.5, aprenderemos a construir variedades como imagens inversas de

valores regulares.

Deﬁnição 1.1.6 Seja f : M → N uma função suave entre variedades M e N de

mesma dimensão, n. Dizemos que x ∈ M é um p onto regular de f se a derivada

é não singular.

Observação: Se x ∈ M é um ponto regular, então f leva uma vizinhança de x em

M difeomorﬁcamente em um aberto de N. De fato, como f é suave e M e N são

n-variedades, existem abertos W ⊂ R

e W



⊂ R

, vizinhanças de x e de y = f (x),

respectivamente, bem como abertos U,V ⊂ R

, tais que o seguinte diagrama é

comutativo (com tais abertos sutilmente modiﬁcados)



−1

◦f ◦g

onde F é uma função dada na Deﬁnição 1.1.1 e g e h são dadas na Deﬁnição

1.1.3. Pela regra da cadeia, tal diagrama é “transformado” no seguinte diagrama

comutativo

d(h

−1

◦f ◦g)

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 15

onde u = g

−1

(x) e v = h

−1

(y). Desde que df

= dF



(

))

, segue que df

◦d



−1

◦ f ◦ g



◦(dg

)

−1

. Daí, segue que d



−1

◦ f ◦ g



é isomorﬁsmo (pois

, dh

e (dg

)

−1

o são). Logo, pelo teorema da função inversa, l : U → R

deﬁnida por l = h

−1

◦f ◦ g, é um difeomorﬁsmo entre abertos U



e V



, vizinhanças

de u e v, respectivamente. Seguindo daí que f = h ◦ l ◦ g

−1

é um difeomorﬁsmo

entre os abertos g (U



) e h (V



Deﬁnição 1.1.7 Dizemos que y ∈ N é um valor regular de f se f

−1

{y} contém

somente pontos regulares.

Se df

é singular, dizemos que x é um ponto crítico de f e y = f (x) é um valor

crítico de f

Proposição 1.1.1 Se M é compacto e y ∈ N é um valor regular, então f

−1

{y} é

um conjunto ﬁnito (podendo ser vazio).

Demonstração: f

−1

{y} é compacto, pois é um fechado dentro do compacto M.

Além disso, f

−1

{y} é discreto, pois, como vimos na observação anterior, f é injetora

numa vizinhança de x.

Daí, sabendo que um conjunto compacto e discreto é ﬁnito, segue o resultado.

Proposição 1.1.2 Com as mesmas hipóteses da Proposição 1.1.1, a função

−1

{y} = “cardinalidade de f

−1

{y}”, deﬁnida somente em valores regulares de f , é

localmente constante.

Demonstração: Se y ∈ N é dado, seja {x

, . . . ,x

} = f

−1

{y}. Tomemos vizinhan-

ças U

, . . . ,U

de x

, . . . ,x

, respectivamente, de tal forma que sejam disjuntas

e sejam mapeadas difeomorﬁcamente em V

, . . . ,V

, vizinhanças de y, em N. De-

ﬁnamos V = (V

∩ V

∩ ··· ∩V

)

(

M\(U

∪ ··· ∪U

)), que é um aberto (uma vez

que M\(U

∪ ··· ∪ U

) é um compacto). Se y



∈ V, então em cada U

existe um

único x



, tal que f (x



) = y



, i = 1,2, . . . ,s, seguindo que #f

−1

{y} = #f

−1



Consideremos agora uma função suave f : M → N, em que M é uma

m-variedade e N é uma n-variedade.

Deﬁnição 1.1.8 Dizemos que

C =



x ∈ M | df

: TM

→TN

f (x)

tem posto menor que n



é o conjunto dos pontos críticos de f .

Além disso, dizemos que f (C) é o conjunto dos valores críticos de f e N\f (C) é o

conjunto dos valores regulares de f .

Notemos que se m = n, essa deﬁnição coincide com a que demos anteriormente.

No caso particular de M = U, um aberto de R

, e N = R

, temos o

seguinte resultado:

Teorema 1.1.3 (Teorema de Sard) Seja f : U ⊂ R

→ R

, com U aberto e

f suave. Se C é o conjunto dos pontos críticos de f , então f (C) tem medida de

Lebesgue nula.

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 16

Demonstração: A demonstração será por indução em n (notemos que o resultado só

faz sentido para n ≥ 0 e p ≥ 1). Para n = 0, o resultado é verdadeiro. Suponhamos

que o resultado valha para n − 1 (com p qualquer). Seja f : U ⊂ R

→R

, suave.

Deﬁnamos C

{

x ∈ U | df

= 0

}

. Mais ainda, deﬁnamos:



x ∈ U | ∂

(x) = 0, com α ∈ N

e |α| = j, ∀j ≤ i, e r = 1, . . . ,p



Notemos que C ⊃ C

⊃ C

⊃ ··· ⊃ C

⊃ ···. Dividiremos a prova em três passos:

1. f (C\C

) tem medida nula;

2. f (C

i+1

) tem medida nula;

3. ∃k | f

(

)

tem medida nula.

Com isso, segue o resultado, pois

C = (C\C

)

∪ C

= (C\C

)

∪ (C

)

∪ (C

)

∪ ···

∪ (C

k−1

)

∪ C

o que nos mostra que f (C) tem medida nula.

Demonstração do passo 1: Podemos tomar p ≥ 2, pois se p = 1, então C = C

Para cada z ∈ C\C

, vamos encontrar uma vizinhança V ⊂ R

tal que f (V ∩ C)

tem medida nula. Daí, como C\C

é coberto por uma quantidade enumerável de

vizinhanças V, isto provará que f (C\C

) tem medida nula. Como z /∈ C

, existe

uma derivada parcial, digamos ∂f

/∂x

(sem perda de generalidade), que não se

anula em z. Consideremos h : U → R

deﬁnida por h(x) = (f

(x),x

, ···,x

Como dh

é injetora, pois







∂f

∂x

(z)

∂f

∂x

(z) ···

∂f

∂x

(z)

0 1 ··· 0

0 0 ··· 1







o Teorema da Função Inversa garante a existência de uma vizinhança V de z que é

difeomorfa ao aberto V



= h(V) ⊂ R

. A função composta g = f ◦h

−1

: V



→R

suave, e vale o seguinte: C



, o conjunto dos pontos críticos de g é igual a h(V ∩C).

De fato, x ∈ C



⇐⇒ dg

é não sobrejetora ⇐⇒ df

−1

(x)

é não sobrejetora (pois

= df

−1

(x)

◦ d(h

−1

)

e d(h

−1

)

: R

→R

é isomorﬁsmo) ⇐⇒h

−1

(x) ∈ V ∩ C

(pois C é o conjunto de pontos críticos de f , e V é a imagem de V



por h

−1

)

⇐⇒x ∈ h(V ∩ C). Donde segue que

g(C



) = g ◦ h(V ∩ C) = f (V ∩ C). (1.1.1)

Agora, para cada (t,x

, . . . ,x

) ∈ V



, g(t,x

, . . . ,x

) ∈ t × R

p−1

. Isso porque

(t,x

, . . . ,x

) = h(y), com y ∈ V, mas h(y) = (f

(y),y

, . . . y

) =⇒ f

(y) = t,

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 17

daí g(t,x

, . . . ,x

) = f (y) = (t,f

(y), . . . ,f

(y)). Isto é, g leva hiperplano em hiper-

plano. Denotemos g

: (t × R

n−1

) ∩ V



→t × R

p−1

, a restrição de g.

Aﬁrmação: Um ponto de t × R

n−1

é um ponto crítico para g

se e somente se o é

para g. De fato, basta observar que







1 0 ··· ··· 0

∂g

∂x

(x)

∂g

∂x

(x) ··· ···

∂g

∂x

(x)

∂g

∂x

(x)

∂g

∂x

(x) ··· ···

∂g

∂x

(x)









1 0

# d(g

)



daí, dg

é não sobrejetora se e somente se d(g

)

é não sobrejetora (sobre R

p−1

Agora, estamos com uma função de um aberto de R

n−1

em R

p−1

, o que, pela hipótese

de indução, nos ná que o conjunto de valores críticos de g

tem medida nula em t ×

p−1

. Logo, o conjunto g(C



) intercepta cada hiperplano t ×R

p−1

num conjunto de

medida nula. Utilizando o Teorema de Fubini-Toneli

, temos então que o conjunto

mensurável g(C



) tem medida nula. Então, de (1.1.1), segue que f (V ∩ C) tem

medida nula.

Demonstração do passo 2: Para cada z ∈ C

k+1

, existe um certo r, um certo s e

um certo multi-índice α, com |α| = k, tal que

∂

∂x

∂

(z) = 0. Assim, a função

w(x)

= ∂

(x)

se anula em z, mas ∂w/∂x

não. Suponhamos, sem p erder a generalidade, que

s = 1, e deﬁnamos h : U → R

, pondo h(x) = (w(x),x

, . . . ,x

). Tal função

leva uma vizinhança V ⊂ U de z difeomorﬁcamente sobre um aberto V



⊂ R

(para ver isso, podemos usar o mesmo argumento usado no passo 1). Notemos

que h(V ∩ C

) ⊂ 0 × R

n−1

, e consideremos g = f ◦ h

−1

: V



→ R

. Denotemos

g :



0 × R

n−1



∩ V



→R

a restrição de g. Pela hipótese de indução, o conjunto

dos valores críticos de g tem medida nula. Mas,

h(V ∩C

) ⊂ C

= Conjunto dos pontos críticos de g,

pois se x ∈ h(V ∩ C

), h

−1

(x) ∈ V ∩ C

(signiﬁcando que todas as derivadas até

ordem k de f são nulas em h

−1

(x)) =⇒dg

= dg

= df

−1

(x)

◦dh

−1

= 0. Portanto,

g(h(V ∩ C

)) tem medida nula. Mas g ◦ h(V ∩ C

) = g ◦ h(V ∩ C

) = f (V ∩ C

Seguindo que, com o mesmo argumento do passo 1, f (C

k−1

) tem medida nula.

Demonstração do passo 3: Seja I

⊂ U um cubo de lado δ. Se k >

−1, provaremos

que f (I

∩ C

) tem medida nula. Como C

pode ser coberto p or uma quantidade

enumerável de cubos, isso mostrará que f (C

) tem medida nula.

Pelo Teorema de Taylor

, a compacidade de I

e a deﬁnição de C

, vemos que

f (x + h) = f (x) + R(x,h), (1.1.2)

Ver o capítulo 7 de [10]

Olhar o Teorema 8”, página 58, de [5].

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 18

onde |R(x,h)| ≤ c|h|

k+1

, para x ∈ I

∩ C

e x + h ∈ I

, e c uma constante.

Subdividamos I

em r

cubos de lado δ/r, onde r ∈ N. Se I

é um cubo da

subdivisão que contém x ∈ C

, temos que todo ponto de I

pode ser escrito como

y = x + h, com |h| ≤

√

nδ/r. De (1.1.2), segue que f (I

) está num cubo de lado

a/r

k+1

, centrado em f (x), com a = 2c



√

nδ



k+1

. Daí, f (I

∩C

) está na união de,

no máximo, r

cubos de volume



a/r

k+1



cada, tendo, portanto, medida menor

ou igual a M = r



a/r

k+1



= a

n−(k+1)p

. Se k + 1 > n/p, como já supomos,

M →0 se r →∞. Logo, f (I

∩ C

) tem medida nula.

Algo interessante no estudo de Variedades é o

Corolário 1.1.4 (Brown) Seja f : M → N uma função suave entre variedades

de dimensões m e n respectivamente. Então o conjunto dos valores regulares de f ,

N\f (C), é denso em N.

Demonstração:

Passo 1: Dizemos que um espaço topológico X é um espaço de Baire se dada uma

coleção enumerável { A

}

∞

i=1

de abertos densos em X, a interseção



∞

i=1

também é

densa em X. O Teorema de Baire para espaços métricos

estabelece que todo espaço

métrico completo é de Baire. Desde que uma n-variedade é uma união enumerável

de abertos, cada um deles difeomorfos a R

, temos que variedades são espaços de

Baire (observando que a imagem por homeomorﬁsmo de um espaço de Baire é de

Baire, e que a união enumerável de espaços de Baire é de Baire).

Passo 2: Dado y ∈ N, temos que existem V

uma vizinhança de y em N, um

aberto U de R

e um difeomorﬁsmo h : U →V

. Para cada x ∈ f

−1

), temos que

existem uma vizinhança de x, V

⊂ f

−1

), um aberto L de R

e um difeomorﬁsmo

k : L →V

(tudo isso pela deﬁnição 1.1.3 de variedade). A função composta

g = h

−1

◦ f ◦ k : L →U ⊂ R

é suave. Sendo C

= {z ∈ L | dg

não é sobrejetora}, o Teorema de Sard garante que

g(C

) tem medida nula em R

. Mas, C

= k

−1

(C ∩ V

) (basta olhar a deﬁnição de

g acima), logo,

−1

◦ f (C ∩V

) = h

−1

◦ f ◦ k



−1

(C ∩ V

)



tem medida nula em R

. Agora, para cada a ∈ V

, conseguimos uma vizinhança V

tal que V

é compacto e V

⊂ V

. Segue que h

−1

◦f (C ∩V

) tem medida nula em

, e daí, que U\



−1

◦ f (C ∩V

)



é denso em U. Conseqüentemente, N\f (C∩V

)

é denso em N. Mas, desde que conseguimos uma quantidade enumerável de vizi-

nhanças do tipo V

, cobrindo f

−1

), bem como uma quantidade enumerável de

vizinhanças do tipo V

, cobrindo N, temos uma quantidade enumerável de vizinhan-

ças do tipo V

que cobrem M. Isto é, existe uma coleção emumerável {a

}

i∈N

pontos de M tais que

∞



i=1

= M.

Ver, por exemplo, [8], pág 294.

Ver, por exemplo, o lema 8.2 (página 185) de [8].

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 19

Temos, então, uma quantidade enumerável de conjuntos N\f (C ∪ V

), densos em

N. Como cada um deles é aberto (pois C ∪ V

é compacto =⇒ f (C ∪ V

) é

fechado), segue do passo 1 que



∞

i=1



N\f (C ∪ V

)



é denso em N. Daí, as seguintes

igualdades encerram a demontração:

∞



i=1



N\f (C ∪ V

)



= N\



∞



i=1

f (C ∩ V

)



= N\f (C).

O último resultado desta subsecção nos permitirá deﬁnir variedades através

de valores regulares.

Proposição 1.1.5 Seja f : M →N suave entre variedades de dimensões m ≥ n.

Se y ∈ f (M) ⊂ N é um valor regular, então f

−1

{y} ⊂ M é uma variedade suave de

dimensão m − n.

Demonstração: Seja x ∈ f

−1

{y}. Como y é valor regular, df

é sobrejetora de

em TN

. Do “Teorema do Núcleo e Imagem” de Álgebra Linear, temos que

Ker(df

) é um subespaço vetorial de dimensão m − n. Se M ⊂ R

, escolhamos

L : R

→R

m−n

linear, que seja injetora quando restrita a Ker(df

) (isso é possível

fazendo L levar uma base de Ker(df

) em uma base de R

m−n

, e deﬁnindo L como

zero em R

\Ker(df

) ). Deﬁnindo F : M →N ×R

m−n

por

F (ξ) =



f (ξ),L(ξ)



temos que dF

(v) =



(v),L(v)



. Aﬁrmamos que dF

é injetora. De fato, se

(v) = 0, segue que v ∈ Ker(df

) e L(v) = 0 , seguindo que v = 0, uma vez que

L é injetora em Ker(df

). Como N ×R

n−m

é uma m-variedade suave, segue que x é

ponto regular de F , e a observação após a Deﬁnição 1.1.6 garante que F mapeia uma

vizinhança de x difeomorﬁcamente sobre uma vizinhança de



y,L(x)



. Tomando



−1

{y}

, tal função mapeia uma vizinhança de x ∈ f

−1

{y} difeomorﬁcamente em

um aberto de y × R

m−n

, que pode ser considerado como aberto de R

m−n

. Isto

é, temos que uma vizinhança de x em f

−1

{y} é difeomorfa a um aberto de R

m−n

Fazendo x “percorrer” f

−1

{y}, segue que f

−1

{y} é uma m − n-variadade.

Exemplo: Uma prova fácil de que S

n−1

é uma (n − 1)-variedade. Deﬁnamos

f : R

→R por

f (x) =



i=1

e notemos que cada y = 0 é valor regular de f . Daí, é só observar que S

n−1

= f

−1

{1}.

1.1.3 Variedades com fronteira

Deﬁniremos nesta subsecção o conceito de variedade com fronteira (ou bordo), ex-

tendendo o conceito de variedade que tínhamos até agora. A Proposição 1.1.6 será

uma nova versão para a Proposição anterior

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 20

Seja H

= {(x

, . . . ,x

) ∈ R

| x

≥ 0}. Notemos que a fronteira de H

m−1

× 0.

Observação: Se f : U ⊂ H

→ V ⊂ H

é um difeomorﬁsmo entre abertos de

, então f levará pontos interiores de H

em pontos interiores de H

, e pontos

de ∂H

em pontos de ∂H

. De fato, se x ∈ intH

, então, p ela nossa deﬁnição

de difeomorﬁsmo, existe um aberto de R

, A, e F : A → V uma função suave

tal que F



A∩V

= f



A∩V

, e resultado análogo vale para f

−1

numa vizinhança de

f (x). Diminuindo A até que A ⊂ U segue, do teorema da função inversa, que

f : A →f (A) é um difeomorﬁsmo, com f (A) aberto de R

. Desde que f (A) ⊂ V,

segue que f (A) ⊂ intH

=⇒f (x) ∈ intH

. Raciocinando por absurdo sobre pontos

de ∂H

, segue que pontos de fronteira são levados em pontos de fronteira.

Deﬁnição 1.1.9 Dizemos que X ⊂ R

é uma m-variedade com fronteira se cada

x ∈ X tem uma vizinhança U

⊂ X que é difeomorfa a um aberto V

de H

Deﬁnimos a fronteira de X, ∂X, como sendo o conjunto dos pontos de X correspon-

dentes a ∂H

pelos difeomorﬁsmos que deﬁnem X.

Observação: ∂X está bem deﬁnida, e, mais ainda: (i) se ∂X = ∅, então ∂X é

uma m − 1-variedade e (ii) intX é uma m-variedade. De fato, para ver que ∂X está

bem deﬁnida, ela deve ser independente de coordenadas, o que é verdade, pois se φ

é uma coordenada de uma vizinhança de p, com φ(p) ∈ ∂H

, temos que para toda

ψ que mapeia uma vizinhança U de p em H

, podemos diminuir U e a vizinhança

mapeada por φ para um aberto L de tal forma que ψ ◦ φ

−1

: φ(L) → ψ(L) seja

um difeomorﬁsmo entre abertos de H

. Daí, p ela observação anterior, temos que

ψ(p) = (ψ◦φ

−1

)(φ(p)) ∈ ∂H

, mostrando que um ponto p estar em ∂X independe

de coordenadas. Para ver (i), basta observar que para qualquer ponto p de ∂X,

existe, pela deﬁnição anterior, uma vizinhança U

que é difeomorfa a um aberto de

. Daí, pelo que acabamos de ver, U

∩∂X é difeomorfa a um aberto de ∂H

, que

pode ser identiﬁcado como R

m−1

, seguindo que ∂X é uma m − 1-variedade. Agora,

se p ∈ intX, a vizinhança U

∩ intX de p será difeomorfa a um aberto de intH

que é um aberto de R

, mostrando (ii).

Exemplo: Se M é uma m-variedade sem fronteira, então M é uma variedade com

fronteira. Sua fronteira é o conjunto vazio.

O epaço tangente TX

de X no ponto x será deﬁnido como antes: TX

), onde g é um difeomorﬁsmo de um aberto de H

(vizinhança de u) em uma

vizinhança de x em X (notemos como podemos fazer tal deﬁnição mesmo num ponto

de fronteira, lembrando da observação logo depois da deﬁnição de difeomorﬁsmo).

O próximo resultado nos ajudará a criar exemplos de variedades com fron-

teira e será essencial para a demonstração de uma versão da proposição 1.1.5 para

variedades com fronteira.

Lema 1.1.1 Sejam M uma m-variedade sem fronteira e g : M →R uma função

suave que tem 0 como valor regular, com 0 ∈ g(M). Então A = {x ∈ M | g(x) ≥ 0}

é uma m-variedade com fronteira, sendo sua fronteira igual a g

−1

{0}.

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 21

Demonstração: Daremos aqui somente uma idéia da demonstração. Para x ∈ A,

com g(x) > 0, é fácil provar que há uma vizinhança de x que é difeomorfa a um

aberto de R

. Se x for tal que g(x) = 0, mostrar que há uma vizinhança que é

difeomorfa a um aberto de H

é praticamente seguir a demonstração da proposição

1.1.5.

Exemplo: O disco unitário D



x ∈ R



i=1

≤ 1



é uma m-variedade

com fronteira consistindo de S

m−1

. De fato, se deﬁnimos g : R

→R por g(x) =

1 −



i=1

, vemos que g

−1

{0} = S

m−1

e que 0 é valor regular de g. Logo, pelo lema

anterior, D

{

x ∈ R

| g(x) ≥ 0

}

é uma m-variedade com fronteira igual a S

m−1

Proposição 1.1.6 Seja f : X →N suave, onde X é uma m-variedade com fronteira

e N é uma n-variedade (com ou sem fronteira), com m > n. Se y ∈ f (X) ⊂ N é

um valor regular para f , então f

−1

{y} ⊂ X é uma m − n-variedade com fronteira.

Mais ainda, sua fronteira é igual a f

−1

{y} ∩ ∂X.

Demonstração: O que devemos provar é local, daí basta provar para f : H

→R

(pois X é localmente H

e M é localmente R

). Dado x ∈ f

−1

{y}, se x ∈ intH

seja U

uma vizinhança de x tal que U

⊂ intX. Então, da proposição 1.1.5, segue

que f

−1

{y} ∩ U

é uma variedade suave de dimensão m − n. Se não há pontos em

−1

{y} ∩ ∂X, segue o resultado. Do contrário, se x ∈ ∂H

, precisamos fazer uma

construção: sabemos que existe g : U →R

suave, onde U é uma vizinhança de x

em R

e g



U∩H

= f



U∩H

. Como f não tem pontos críticos em uma vizinhança de

x (por continuidade), podemos assumir (diminuindo U se necessário) que g não tem

pontos críticos, seguindo que g

−1

{y} é uma m − n-variedade (como “subvariedade”

de R

)(pela proposição 1.1.5). Seja π : g

−1

{y} →R a projeção

π(x

, . . . ,x

) = x

Aﬁrmamos que π tem 0 como valor regular. De fato, seja z ∈ g

−1

{y} tal que

π(z) = 0. Temos dπ

= (0,0, . . . ,1) como uma função de T



−1

{y}



em R. Devemos

mostrar que dπ

não se anula completamente em T



−1

{y}



, isto é, que existe

a ∈ T



−1

{y}



tal que a

= 0, o que é verdade, pois T



−1

{y}



é o Kernel

de df

= dg

: R

→ R

(isso ocorre pois se h : A ⊂ R

m−n

→ g

−1

{y} for um

difeomorﬁsmo que deﬁne g

−1

{y} como variedade numa vizinhança h(A) de z, onde

A é um aberto, então T



−1

{y}



= dh

m−n

), onde u = h

−1

(z); e, calculando

em T



−1

{y}



, teremos dg

(dh

(v)) = d(g ◦ h)

(v) = 0 , ∀v ∈ R

m−n

, pois

g ◦ h = cte = y, seguindo que T



−1

{y}



⊂ Ker(dg

); daí, por um argumento de

dimensão, segue a igualdade), e daí, se não existisse a tal que a

= 0 em T



−1

{y}





−1

{y}



⊂ R

m−1

×{0}, seguindo que Ker(df

) = Ker(dg

) ⊂ R

m−1

×{0} = ∂H

o que signiﬁcaria que y não seria valor regular de f



∂H

, um absurdo. Agora,

−1

{y} ∩ U = g

−1

{y} ∩ H

consiste dos pontos z ∈ g

−1

{y} tais que π(z) ≥ 0,

seguindo da aﬁrmação acima e do lema anterior que f

−1

∩U é uma m − 1-variedade

com fronteira, e sua fronteira consiste de Π

−1

{0} = f

−1

{y}∩U∩∂H

. Para terminar,

basta notar que f

−1

{y} ∩ U é uma vizinhança de x em f

−1

{y}, e “percorrer” f

−1

{y}

com x.

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 22

1.1.4 Homotopia e Isotopia

Seja f : M →N suave, com M uma m-variedade compacta sem fronteira e N uma

m-variedade conexa. Já sabemos da Proposição 1.1.1 que #f

−1

{y}, com y valor

regular de f , é ﬁnito. Mostraremos que a classe de resíduo módulo 2 de #f

−1

{y}

não depende do valor regular y.

Deﬁnição 1.1.10 (Homotopia) Sejam X ⊂ R

e y ⊂ R

dois subconjuntos quais-

quer, e f ,g : X →Y duas funções suaves. Dizemos que f é homotópica a g se existe

uma função suave F : X ×[0,1] →Y tal que

F (x,0) =f (x)

F (x,1) =g(x) , ∀x ∈ X .

Neste caso, dizemos que F é uma homotopia entre f e g.

Observação: A relação de homotopia é de equivalência. De fato, a reﬂexividade e

a simetricidade são óbvias. Para ver a transitividade, devemos usar a existência de

uma função suave ϕ : [0,1] →[0,1] tal que ϕ(t) = 0 para 0 ≤ t ≤ 1/3, e ϕ(t) = 1

para 2/3 ≤ t ≤ 1. Para obtermos uma tal ϕ, seja

λ(t) =



0, t ≤ 0

−1/t

, t > 0,

que é sabidamente suave, e ϕ(t) = λ(t − 1/3)/



λ(t − 1/3) + λ(2/3 − t)



, para

t ∈ [0,1], faz o que queremos. Daí, se F é uma homotopia entre f e g, a função

(x,t) = F (x,ϕ(t)) é tal que

(x,t) = f (x), t ∈ [0,1/3]

(x,t) = g(x), t ∈ [2/3,1] .

Sendo G uma homotopia entre g e h, e tomando L

(x,t) = G(x,ϕ(t)), deﬁnimos

M (x,t) =



(x,2t), t ∈ [0,1/2]

(x,2t − 1), t ∈ [1/2,1],

e teremos que M (x,0) = f (x) e M (x,1) = h(x). Além disso, M é suave, pois no

intervalo (1/2 − 1/6,1/2 + 1/6), M (x,t) = g(x), para todo x. Seguindo que f e h

são homotópicas.

Deﬁnição 1.1.11 (Isotopia) Sejam f,g : X →Y difeomorﬁsmos. Dizemos que f

é isotópica a g se existe uma homotopia F : X × [0,1] →Y entre f e g tal que para

cada t ∈ [0,1], a correspondência

x −→F (x,t)

é um difeomorﬁsmo entre X e Y.

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 23

Observação: Isotopia também é uma relação de equivalência.

Antes do próximo resultado, devemos ver primeiro a

Observação: Se M é uma m-variedade sem fronteira, M × [0,1] é uma m + 1-

variedade com fronteira M × 0 ∪ M ×1.

Além disso, precisaremos do seguinte

Lema 1.1.2 Toda 1-variedade compacta com fronteira sempre tem um número par

de pontos em sua fronteira.

Lema 1.1.3 (da Homotopia) Sejam f ,g : M → N homotópicas, com M e N

variedades de mesma dimensão, e M compacta e sem fronteira. Se y é um valor

regular para f e para g, então

−1

{y} ≡ #g

−1

{y} mod 2 .

Demonstração: Se #f

−1

{y} = 0 = #g

−1

{y}, então temos o resultado (isso é o que

acontece quando y não está na imagem nem de f e nem de g). Se um dos dois

números não for nulo, consideremos F : M ×[0,1] →N uma homotopia entre f e g.

A prova seguirá em dois casos:

Caso 1: Suponhamos que y é um valor regular para F . Então, da observação

anterior e da Proposição 1.1.6 (as hipóteses da proposição estão satisfeitas pois



∂(M×[0,1])

ou é f ou é g), teremos que F

−1

{y} é uma 1-variedade com fronteira

igual ao conjunto

−1

{y} ∩ (M × 0 ∪M × 1) = f

−1

{y} × 0 ∪ g

−1

{y} × 1.

Então o número de pontos na fronteira de F

−1

{y} é

−1

{y} + #g

−1

{y} .

Do lema 1.1.2, segue que esse número é par, isto é: #f

−1

{y} ≡ #g

−1

{y} mod 2.

Caso 2: Se y não é um valor regular de F . Temos da proposição 1.1.2 que existem

vizinhanças V

e V

de y, tais que

−1



} = #f

−1

{y}, ∀y



∈ V

e #f

−1



} = #f

−1

{y}, ∀y



∈ V

. (1.1.3)

Mas, pelo corolário 1.1.4, temos que existe um valor regular z de F em V

∩V

(no-

temos que F

−1

{z} não é vazio), seguindo do passo 1 que # f

−1

{z} ≡ #g

−1

{z} mod 2,

o que, juntamente com (1.1.3), mostra que #f

−1

{y} ≡ #g

−1

{y} mod 2.

Lema 1.1.4 Sejam y e z pontos arbitrários do interior de uma variedade conexa

N. Então existe um difeomorﬁsmo h : N →N que é isotópico à função identidade

e tal que h(y) = z.

Demonstração: Olhar a página 22 de [7].

Agora, o resultado principal desta subsecção:

Para uma demonstração ver o Apêndice de [7]

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 24

Teorema 1.1.7 Seja f : M → N suave, com M compacta sem fronteira e N co-

nexa, M e N de mesma dimensão. Se y e z são valores regulares arbitrários de f ,

então

−1

{y} ≡ #f

−1

{z} mod 2.

Mais ainda, tal classe comum, que denotaremos por deg

(f ), depende somente da

classe de homotopia de f .

Demonstração: Dados y e z valores regulares de f , temos do Lema 1.1.4 que

existe h : N →N um difeomorﬁsmo isotópico à identidade que leva y em z. Daí,

z é valor regular de h ◦ f (pois (h ◦ f )

−1

{z} = f

−1

{y}, e a sobrejetividade de df

garante a sobrejetividade de d(h ◦ f )

). Notemos que h ◦ f é homotópica a f (pois

se F : N × [0,1] →N é uma função de isotopia entre h e a identidade, deﬁnamos

G : M × [0,1] →M pondo G(x, t) = F (f (x),t); G é suave e G(x,0) = F(f (x),0) =

h ◦ f (x) e G(x,1) = F (f (x),1) = f (x) ), seguindo do Lema 1.1.3 da Homotopia que

#(h ◦f )

−1

{z} ≡ #f

−1

{z} mod 2 .

Mas (h ◦f )

−1

{z} = f

−1

{y}, seguindo que #f

−1

{y} ≡ #f

−1

{z} mod 2, o que mostra a

primeira parte do teorema, e nos permite deﬁnir deg

(f ) como a classe de #f

−1

{y}.

Sendo g homotópica a f , temos do Corolário 1.1.4 que existe y um valor regular de f

e g, seguindo do Lema 1.1.3 que #f

−1

{y} ≡ #g

−1

{y} mod 2. Daí, do que acabamos

de mostrar, deg

(f ) = deg

(g).

Deﬁnição 1.1.12 Dizemos que deg

(f ) é o grau módulo 2 de f .

1.1.5 Variedades orientáveis e o grau de uma transformação

Para deﬁnirmos o grau de uma função como um número inteiro, e não como uma

classe de resíduos, introduziremos nesta subsecção o conceito de orientação em nos-

sas variedades.

Deﬁnição 1.1.13 Seja A um espaço vetorial real n-dimensional. Dizemos que duas

bases ordenadas β

= {b

, . . . ,b

} e β

= {a

, . . . ,a

} de A são equivalentes se a

matriz mudança de base de β

para β

tem determinante positivo.

Observação: A relação deﬁnida acima é de equivalência.

Deﬁnição 1.1.14 Dizemos que duas bases ordenadas β

e β

determinam a mesma

orientação se são equivalentes.

determina orientação oposta a β

se não são equivalentes.

Observação: Podemos dessa forma colocar uma orientação num espaço vetorial,

a orientação correspondente a uma dada base ﬁxada. Dizemos, então, que o espaço

está com sua orientação positiva se tomarmos a orientação correspondente a essa

determinada base, e está com sua orientação negativa quando seguirmos bases que

não determinam a mesma orientação que a base ﬁxada.

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 25

Observação: A orientação positiva do R

nós a tomaremos correspondendo à

base canônica {e

, . . . ,e

}, onde e

= (0, . . . ,1

  

,0 . . . ,0).

Observação: Para um espaço vetorial de dimensão zero, adotaremos uma orien-

tação com os símbolos +1 ou −1 sempre que for necessário.

Deﬁnição 1.1.15 Dizemos que uma m-variedade M, com m ≥ 1, é orientável se é

possível deﬁnirmos uma orientação em cada espaço tangente TM

de tal forma que:

para todo x ∈ M, existe uma vizinhança U ⊂ M e um difeomorﬁsmo h mapeando

U em um aberto de R

, ou H

, que preserva orientação, no seguinte sentido:

∀y ∈ U, o isomorﬁsmo dh

: TM

→ R

leva a orientação pré deﬁnida de TM

na orientação positiva de R

, signiﬁcando que, se β é uma base de TM

com a

orientação escolhida em TM

, então a base α = dh

{β} tem a mesma orientação

da base canônica de R

Colocaremos a seguir uma orientação positiva na fronteira de uma variedade

orientável M. Se M tem fronteira, podemos distinguir três tipos de vetores no espaço

tangente TM

, em um ponto de fronteira x:

1. há os vetores tangentes à fronteira formando um espaço m − 1-dimensional;

2. há os vetores “interiores”, que formam um meio espaço aberto limitado por

T(∂M)

;

3. há os vetores “exteriores”, que formam um meio espaço complementar.

Esses três tipos de vetores são os correspondentes a imagens por (dg

)

−1

dos três

tipos de vetores em R

: vetores em ∂H

, vetores em intH

, vetores em R

respectivamente, onde g é uma parametrização de uma vizinhança de x (observemos

a ﬁgura 1.1.1). Agora, se dimM ≥ 2, para cada x ∈ ∂M, seja {v

, . . . ,v

} uma

✲ R

n−1

✻

✁

✁☛

(dg

)

−1

tipo 2

✁

✁☛

(dg

)

−1

tipo 1

✁

✁☛

(dg

)

−1

tipo 3

Figura 1.1.1: Os três tipos de vetores.

base de TM

, com a orientação positiva de TM

, tal que v

, . . . ,v

são tangentes à

fronteira (isto é, são do primeiro tipo) e tal que v

é exterior (sempre é possível fazer

isso através de rotações). Então, {v

, . . . v

} determina uma orientação para ∂M em

x. Se dimM = 1, para cada p onto x em ∂M, colocamos a orientação −1 ou +1,

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 26

de acordo com o vetor orientação em x ser interior ou exterior, respectiamente. Tal

orientação será sempre tomada como positiva para a fronteira de M, utilizá-la-emos

sempre para ∂M, salvo menção em contrário.

Passaremos a deﬁnir o grau de uma função como um número inteiro. Sejam

M e N variedades orientáveis e sem fronteira de mesma dimensão n, com M com-

pacta e N conexa, e f : M →N uma função suave. Seja x ∈ M um ponto regular de

f , então df

: TM

→TN

f (x)

é um isomorﬁsmo entre espaços vetoriais orientáveis.

Deﬁnamos o sinal de df

como +1 ou −1 se df

preserva ou não a orientação (isto

é, se df

leva bases com a mesma orientação ﬁxada em TM

em bases com a mesma

orientação ﬁxada em TM

f (x)

, ou não).

Deﬁnição 1.1.16 Seja y um valor regular de f . Deﬁnimos o grau de f em y,

deg(f ; y), por

deg(f ; y) =



x∈f

−1

{y}

sinal df

Observação: deg(f ; y) está bem deﬁnido. Isso é claro pela compacidade de M e

a Proposição 1.1.1.

Observação: Além disso, notemos que quando y /∈ f (M), deg(f ; y) = 0.

Observação: deg(f ; y) é localmente constante como uma função de y deﬁnida no

conjunto dos valores regulares de f . Isso segue da proposição 1.1.2 e da orientabili-

dade de M e N.

Teorema 1.1.8 O inteiro deg(f ; y) não depende da escolha do valor regular y.

Demonstraremos o teorema acima utilizando alguns resultados que ainda iremos

estabelecer. Agora, já usando esse teorema, temos a seguinte

Deﬁnição 1.1.17 Deﬁnimos o inteiro dado no teorema anterior por grau de f , e

o denotamos por deg f .

Provaremos ainda o seguinte

Teorema 1.1.9 Se f é homotópica a g, então deg f = deg g.

Lema 1.1.5 Suponhamos que M é a fronteira de uma m-variedade orientável e

compacta X, e que M está orientada como a fronteira de X (de acordo com a ori-

entação positiva da fronteira). Se f : M → N estende-se a uma função suave

F : X →N, então deg(f ; y) = 0, para todo y valor regular de f .

Demonstração: Olhar o lema 1 da página 28 de [7].

Lema 1.1.6 Se as duas funções suaves f ,g : M →N são homotópicas, então

deg(f ; y) = deg(g; y),

para todo valor regular y comum a f e a g.

Para a deﬁnição de grau de f em y não foi relevante a conexidade de N, porém o resultado

principal concernente ao grau — sua independência em relação a y (teorema 1.1.8) — utilizará tal

fato. Assim, já assumimos isso previamente.

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 27

Demonstração: A variedade X ×[0,1] pode ser orientada como um produto, onde a

fronteira M×0∪M×1 estará orientada com a orientação positiva que estabelecemos

ao orientarmos fronteiras. Mas daí, para que isso ocorra, as orientações de M × 0

e M × 1 precisam ser opostas (como podemos ver na ﬁgura 1.1.2). Se F for uma

Figura 1.1.2: Orientação da fronteira.

função de homotopia entre f e g, com F (x,0) = f (x) e F (x,1) = g(x), temos, por

deﬁnição, que o grau de F



∂(M×[0,1])

em um valor regular y é o número

deg(g; y) − deg(f ; y) ou − deg(g; y) + deg(f ; y) .

Pelo Lema 1.1.5, essa diferença é 0, seguindo que deg(g; y) = deg(f ; y).

Agora, se y e z são ambos valores regulares def : M → N, seja h : N → N um

difeomorﬁsmo que leva y em z e é suavemente isotópico à identidade (a existên-

cia de h é garantida pelo Lema 1.1.4). Desde que dh

preserva a orientação (se

não preservasse, deg(h; y) = −1 em algum ponto y, seguindo do lema 1.1.6 que

deg(identidade; y) = −1, uma contradição), temos que d(h ◦ f )

= dh

f (x)

◦ df

preserva a orientação se e somente se df

preserva, donde seque que

deg(f ; y) = deg(h ◦ f ; h(y)) . (1.1.4)

Mas como f é homotópica a h ◦ f , o Lema 1.1.6 dá que

deg(h ◦f ; z) = deg(f ; z) (1.1.5)

Desde que h(y) = z, temos de (1.1.4) e (1.1.5) que deg(f ; y) = deg(f ; z), o que

mostra o Teorema 1.1.8. A prova do Teorema 1.1.9 é conseqüência direta do Teorema

1.1.8 e do Lema 1.1.6.

Observação: Convencionaremos que quando f não tem valor regular, deg f = 0.

Proposição 1.1.10 Um difeomorﬁsmo f : M →N tem grau +1 ou −1, conforme

preserva ou não a orientação em algum ponto x ∈ M.

Demonstração: A demonstração é imediata se utilizarmos o Teorema 1.1.8 e a

deﬁnição 1.1.17 de grau de f .

Seja r

: S

→S

a função deﬁnida por

, . . . ,x

n+1

) = (x

, . . . , − x

, . . . ,x

n+1

) .

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 28

É fácil ver que r

é um difeomorﬁsmo tal que dr

inverte a orientação. Daí, deg r

−1. Assim, a função antipodal a(x) = −x, deﬁnida em S

, tem grau (−1)

n+1

, uma

vez que a(x) = r

◦ r

◦ ··· ◦ r

n+1

(x). Segue dessa argumentação que, se n é par,

a função antipodal não é homotópica à identidade, um fato que não era detectado

pelo grau módulo 2.

1.1.6 O Teorema da “Esfera Cabeluda”

Daremos a seguir a deﬁnição de Campo Vetorial. Além disso, utilizaremos os resul-

tados das subsecções anteriores para provar o Teorema da “Esfera Cabeluda”.

Deﬁnição 1.1.18 (Campo Vetorial) Seja M ⊂ R

uma m-variedade. Dizemos

que uma função suave v : M →R

é um Campo Vetorial se

v(x) ∈ TM

, ∀x ∈ M .

Observação: No caso de M = S

, a condição de ser campo vetorial signiﬁca

v(x) • x = 0 , ∀x ∈ S

Teorema 1.1.11 (Teorema da “Esfera Cabeluda”) S

admite um Campo Ve-

torial que não se anula em nenhum ponto se e somente se n é ímpar. Em particular,

se n é par, todo Campo Vetorial em S

se anula em algum ponto.

Demonstração: Seja v um Campo Vetorial que não se anula em nenhum ponto de

. Podemos assumir que v(x) • v(x) = 1, ∀x ∈ S

, pois senão podemos tomar

v(x) = v(x)/|v(x)|. Isto é, v é uma função de S

em S

. Deﬁnamos F : S

[0,1] →S

, pondo F (x,t) = cos(πt)x + sen(πt)v(x). Notemos que F (x,t) é suave

e “chega” em S

, pois F (x,t) • F (x,t) = cos

(πt)|x|

+ 2 cos(πt)sen(πt)x • v(x) +

sen

(πt)|v(x)|

= 1, além disso, F(x,0) = x e F (x,1) = −x, o que mostra que a

função antipodal a(x) = −x é homotópica à função identidade. Se n é par, o que

vimos no ﬁnal da última subsecção garante que isso é impossível, demonstrando

uma aﬁrmação do teorema — isto é, v precisa se anular em algum ponto de S

Reciprocamente, sendo n = 2k − 1, podemos deﬁnir v(x

, . . . ,x

) = (x

, − x

, −

, . . . ,x

, − x

2k−1

), que é um Campo que não se anula em nenhum ponto de S

1.2 Compactiﬁcações

Veremos nesta secção uma introdução à teoria de compactiﬁcar espaços topológicos.

Veremos uma condição suﬁciente para compactiﬁcar um espaço topológico. Por ﬁm,

veremos a compactiﬁcação de Stone-Čech, que é aquela em que toda função contínua

no espaço pode ser estendida continuamente para a sua compactiﬁcação.

Deﬁnição 1.2.1 Seja X um espaço topológico Hausdorﬀ. Y é dito uma compacti-

ﬁcação de X se Y é compacto e Hausdorﬀ, X ⊂ Y

e X = Y.

Aqui, a topologia de X deve coincidir com a topologia induzida por Y.

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 29

Exemplo: Se X = (0, 1), então Y = [0, 1] é uma compactiﬁcação de X.

Veremos alguns tipos de compactiﬁcações. Começaremos com a compacti-

ﬁcação a um ponto. Para isso, precisaremos da

Deﬁnição 1.2.2 Um espaço topológico X é dito localmente compacto se, para todo

x ∈ X, existem C ⊂ X um compacto e V ⊂ X uma vizinhança de x, tais que

x ∈ V ⊂ C.

Exemplo: R

é localmente compacto.

Seja X um espaço topológico localmente compacto e Hausdorﬀ. Tomemos um ponto

∞ /∈ X, e seja Y

= X ∪ {∞}. Deﬁnamos a seguinte topologia em Y:

= {U ⊂ X | U é aberto de X} ∪ {Y\C | C é compacto de X}

Vejamos que τ é uma topologia: ∅ ∈ τ, pois é aberto de X, Y ∈ τ, pois Y = Y\∅, e ∅

é compacto. As interseções ﬁnitas de elementos de τ estão em τ, pois, se A,B estão,

então temos três casos: (i) Se A e B são abertos de X, então A ∩B é aberto de X,

logo está em τ; (ii) Se A é aberto de X e B = Y\C, então A ∩ B = A ∩ (X\C), que

é um aberto de X, pois como C é compacto no espaço de Hausdorﬀ X, segue que C

é fechado em X; (iii) Se A = Y\C

e B = Y\C

, então A ∩ B = Y\(C

∪ C

), que

está em Y porque união ﬁnita de compactos é um compacto. As seguintes relações

mostram que uniões de elementos de τ estão em τ:



= U ∈ τ



(Y\C

) = Y\(



) = Y\C ∈ τ

(



) ∪





(Y\C

)



= U ∪ (Y\C) = Y\(C\U) ∈ τ,

onde a última pertinência vale pois C\U é um fechado dentro do compacto C.

Proposição 1.2.1 Seja X Hausdorﬀ e localmente compacto, mas não compacto.

Se Y for construído como acima, então Y é uma compactiﬁcação de X.

Demonstração: Mostremos primeiro que a topologia τ induz a topologia de X. De

fato, se A ∈ τ, então A ∩ X é aberto de X, pois: se A é aberto de X, A ∩ X = A;

se A = Y\C, A ∩ X = (Y\C) ∩ X = X\C, um aberto de X (pois C é fechado em

X). Por outro lado, se A for aberto de X, então A = A ∩X (sendo um elemento da

topologia induzida, pois A está em τ). Além disso, vejamos que X é denso em Y.

De fato, qualquer vizinhança de ∞ é do tipo Y\C. Daí, como X não é compacto,

qualquer dessas vizinhanças intercepta X, e segue que ∞∈ X. Como X ⊂ X, segue

que Y = X. Y é compacto, pois, se A é uma cobertura de Y por abertos, então existe

A ∈ A que contém ∞, sendo por isso A = Y\C. Da compacidade de C, segue que

existem A

, A

, . . ., A

em A, que cobrem C. Logo, A, A

, . . ., A

constituem

uma subcobertura aberta e ﬁnita de Y. Por ﬁm, vejamos que Y é Hausdorﬀ: dados

x = y ∈ Y, se ambos estiverem em X, então são separados por abertos de X (pois X

é Hausdorﬀ). Se y = ∞, como X é localmente compacto, existem C compacto e V

vizinhança de x tais que x ∈ V

⊂ C. Tomando Y\C como vizinhança de y, temos

que (Y\C) ∩ V

= ∅.

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 30

Deﬁnição 1.2.3 Y com a topologia τ é dito a compactiﬁcação a um ponto de X.

Exemplo: Via projeção estereográﬁca, é possível mostrar que a compactiﬁcação a

um ponto de R, R ∪ {∞} é homeomorfa a S

A proposição anterior pede que o espaço seja de Hausdorﬀ, localmente com-

pacto, mas não compacto para admitir uma compactiﬁcação a um ponto. O Lema

1.2.1 a seguir fornece uma condição suﬁciente diferente para que o espaço admita

alguma compactiﬁcação: e esta é construída na demonstração do citado Lema. Ob-

servemos primeiro a

Deﬁnição 1.2.4 Sejam X e Y espaços topológicos. Uma função injetora e contínua

h : X →Y é dita um mergulho se a restrição de h à sua imagem é um homeomor-

ﬁsmo

Lema 1.2.1 Seja X um espaço topológico Hausdorﬀ. Se existem Z um espaço com-

pacto e Hausdorﬀ e um mergulho h : X →Z, então X admite uma compactiﬁcação

Demonstração: Sejam X

= h(X) ⊂ Z e Y

= X

. Y

é compacto e Hausdorﬀ, pois é

um subconjunto fechado de um espaço compacto e Hausdorﬀ. Seja A um conjunto

disjunto de X, tal que existe k : A →Y

uma bijeção. Deﬁnamos Y

= X ∪A e a

bijeção H : Y →Y

pondo

H (x) =



h(x), x ∈ X

k(x), x ∈ A.

Coloquemos a seguinte topologia em Y:

U ⊂ Y é aberto de Y se, e somente se, H (U) é aberto de Y

Dessa forma, H é um homeomorﬁsmo. Aﬁrmamos que Y é uma compactiﬁcação de

X. De fato, como H é homeomorﬁsmo, segue que Y = H

−1

) é compacto e Haus-

dorﬀ, pois homeomorﬁsmos preservam tais propriedades. Além disso, a seguinte

relação mostra que X é denso em Y:

H (X) = H (X) = X

= Y

= H (Y).

Resta ver que a topologia de X coincide com a topologia induzida por Y. De fato, se

L é aberto de X, então H (L) = h(L) é aberto de X

, seguindo que H (L) = M ∩X

com M um aberto de Y

. Daí, N = H

−1

(M) é aberto de Y, e L = N ∩X. Por outro

lado, se L for aberto de Y, então H (L) é aberto de Y

. Daí, h(L∩X) = H (L)∩h(X) =

H (L) ∩ X

=⇒h(L ∩ X) é aberto de X

=⇒L ∩ X é aberto de X.

Observação: Y como na proposição é métrico quando Z for métrico, pois se d

for a métrica de Z, basta tomar

, y

)

= d

(H (y

), H (y

)),

Queremos dizer com isso que a função h

∗

: X →h(X), deﬁnida pala regra h

∗

(x) = h(x), é um

homeomorﬁsmo

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 31

que d

é uma métrica que induz os abertos de Y.

Podemos colocar uma hipótese no espaço X para que ele sempre admita ser

mergulhado num espaço compacto e Hausdorﬀ (e portanto, admitir uma compacti-

ﬁcação):

Deﬁnição 1.2.5 Seja X um espaço topológico. Dizemos que X é completamente

regular se subconjuntos formados por somente um ponto são fechados, e se, dados

∈ X e A ⊂ X fechado tal que x

/∈ A, então existe f : X →[0, 1] contínua com a

seguinte propriedade:

f (x

) = 1 e f (A) = {0}.

Corolário 1.2.2 Subespaço de espaço completamente regular é regular, e produto

cartesiano de espaços completamente regulares é completamente regular.

Observação: Se Γ for um conjunto de índices, denotaremos Y

como sendo o

produto cartesiano na topologia produto



γ∈Γ

, com Z

= Y, ∀γ ∈ Γ .

Teorema 1.2.3 (Teorema do Mergulho) Seja X um espaço de Hausdorﬀ. Su-

ponhamos que {f

}

γ∈Γ

é uma coleção de funções contínuas, f

: X →R, satisfazendo:

“para cada x

∈ X e cada fechado A, com x

/∈ A, existe γ

∈ Γ tal que

) > 0 e f

(A) = {0} ”.

Então a função F : X →R

, deﬁnida por

F (x)



(x)



γ∈Γ

é um mergulho de X em R

Demonstração: Ver página 220 de [8].

Corolário 1.2.4 Seja X completamente regular. Então existem um espaço de Haus-

dorﬀ compacto Z e um mergulho h : X →Z. Em particular, X tem uma compactiﬁ-

cação.

Demonstração: Basta tomarmos a coleção {f

}

γ∈Γ

de todas as funções contínuas

da Deﬁnição 1.2.5 de completamente regular e notar que tal coleção satisfaz as

hipóteses do Teorema do Mergulho. Tomando então h = F , temos um mergulho

em [0,1]

. Além disso, o espaço de Hausdorﬀ [0,1]

é compacto, pelo Teorema de

Tychonoﬀ

. Em particular, pelo Lema 1.2.1, X admite uma compactiﬁcação.

Se X é um espaço de Hausdorﬀ e Y é uma sua compactiﬁcação, nem sempre

é possível estender uma função real contínua deﬁnida em X para uma função que

seja contínua em Y. Como um exemplo, só conseguimos estender uma função f

O Teorema aﬁrma que o produto de espaços compactos é compacto. Ver a Secção 5.1 de [8]

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 32

deﬁnida em (0,1) para uma função contínua em [0,1] se existem lim

x→0

f (x) e

lim

x→1

−

f (x). Mas existe uma compactiﬁcação que tem essa propriedade (isto é,

toda função contínua em X é estendível continuamente à essa tal compactiﬁcação

de X). Sejam X completamente regular e {f

}

γ∈Γ

a coleção de todas as funções

contínuas e limitadas f

: X → R (notemos que as funções da Deﬁnição 1.2.5 de

completamente regular estão aí inclusas). Para cada γ ∈ Γ , seja

= [ínff

(X) , supf

(X)] .

Deﬁnamos h : X →



γ∈Γ

, colocando h(x)



(x)



γ∈Γ

. Pelo Teorema do

Mergulho, h é um mergulho, e, pelo Teorema de Tychonoﬀ,



γ∈Γ

é compacto.

Assim, o Lema 1.2.1 e sua demonstração nos dão uma compactiﬁcação Y de X.

Deﬁnição 1.2.6 Dizemos que Y acima construída é a compactiﬁcação de Stone-

Čech de X. Denotaremo-la por β(X).

Teorema 1.2.5 Se X é completamente regular, então toda função contínua e limi-

tada, f : X →R, pode ser unicamente estendida a uma função contínua em β(X).

Demonstração: β(X) é induzida pelo mergulho h : X →



γ∈Γ

. Pelo que vimos,

h se estende a um mergulho H : β(X) →



γ∈Γ

. Agora, dada uma função f real,

limitada e contínua em X, então f = f

, para algum γ

∈ Γ. Seja



γ∈Γ

→I

a projeção no intervalo I

. Deﬁnamos g

= π

◦H . A função g é contínua e deﬁnida

em β(X). Além disso, ∀x ∈ X, g(x) = π

(h(x)) = f

(x) = f (x), isto é, g estende

f . A unicidade vem do

Lema 1.2.2 Sejam A ⊂ X e f : A →Z uma função contínua de A num espaço de

Hausdorﬀ Z. Então existe no máximo uma extensão contínua de f a uma função

contínua g : A →Z

Demonstração: Suponhamos que g, g



: A → Z são duas extensões de f , e que

exista x ∈ A\A tal que g(x) = g



(x). Como Z é Hausdorﬀ, existem V e V



abertos

disjuntos contendo g(x) e g



(x), respectivamente. Seja U = g

−1

(V) ∩g

−1



). U é

um aberto de A, que contém x. Mas U intercepta A em um ponto y (pois x está

no fecho de A), daí, g(y) = f(y) = g



(y) ∈ V ∩ V



, uma contradição.

Capítulo 2

A técnica da Compactiﬁcação de

Poincaré

2.1 A Compactiﬁcação de Poincaré de um campo

vetorial polinomial

Introduziremos a Compactiﬁcação de Poincaré de um campo vetorial polinomial

qualquer e daremos as suas expressões em coordenadas locais. Por último, provare-

mos um resultado a respeito de campos que não se anulam em R

Seja X =



, . . . ,P



um campo vetorial polinomial em R

. Iden-

tiﬁquemos R

com π =



y ∈ R

n+1

| y

n+1

= 1



, que é o plano tangente a S

pólo norte N. Tal identiﬁcação é dada pelo difeomorﬁsmo dg

: R

→TS

, onde

g : U ⊂ R

→ V ⊂ S

é a inversa de uma parametrização de uma vizinhança V

de N, e u = g

−1

(N). Tomando uma projeção central, façamos duas cópias de π

em S

, uma em H

— o hemisfério norte sem o equador — e outra em H

−

— o

hemisfério sul sem o equador —, da seguinte forma: considerando r uma reta que

passa por 0 ∈ R

n+1

e corta π no ponto x, temos que r corta S

em dois pontos y

, y

∈ H

e y

∈ H

−

. Daí, cada ponto x ∈ π será relacionado com um ponto em

e com um ponto em H

−

(observemos a ﬁgura 0.0.1 na introdução do trabalho).

Mais concretamente, deﬁnamos Φ

: R

→H

e Φ

−

: R

→H

−

por

(x) =

∆(x)

, . . . ,x

,1) e Φ

−

(x) =

−1

∆(x)

, . . . ,x

,1),

com

∆(x) =



1 +



i=1



1/2

. (2.1.1)

Proposição 2.1.1 Φ

e Φ

−

são difeomorﬁsmos.

Demonstração: Φ

é uma função C

∞

de R

em H

⊂ R

n+1

. Basta, então, mostrar

que Φ

tem inversa C

∞

de H

em R

. Para isto, notemos que

, . . . ,z

n+1

)



n+1

, . . . ,

n+1



CAPÍTULO 2. A TÉCNICA DA COMPACTIFICAÇÃO DE POINCARÉ 34

deﬁnida em H

, é a inversa de Φ

, pois

◦ f

, . . . ,z

n+1

) =



1 +



i=1

n+1





n+1

, . . . ,

n+1



= (z

, . . . ,z

n+1

) e

◦ Φ

, . . . x

) = f



∆(x)

, . . . ,

∆(x)



= (x

, . . . ,x

Além disso, f

é de classe C

∞

, pois para cada z ∈ H

, há sempre uma vizinhança

de z tal que y

n+1

> 0, ∀(y

, . . . ,y

n+1

) ∈ V.

Para Φ

−

, basta notar que f

−

, . . . z

n+1

) = (z

n+1

, . . . ,z

n+1

), deﬁnida em H

−

é a sua inversa.

Observação: Notemos que S

e S

−

são homeomorfos a compactiﬁcações

(no sentido da Deﬁnição 1.2.1) de R

Com isso em mãos, podemos fazer X induzir um campo vetorial

X em

∪ H

−

, deﬁnido por

X (y) =



dΦ

(X (x)) , se y = Φ

(x)

dΦ

−

(X (x)) , se y = Φ

−

(x),

(2.1.2)

que pode ser escrito como

X (y) =







dΦ

(Φ

)

−1

(y)





(Φ

)

−1

(y)





, se y ∈ H

dΦ

−

(Φ

−

)

−1

(y)





(Φ

−

)

−1

(y)





, se y ∈ H

−

(2.1.2



)

mostrando que

X está bem deﬁnido. Observemos que, de fato,

X é um campo

vetorial, pois é deﬁnido por derivadas, satisfazendo a Deﬁnição 1.1.18.

Lema 2.1.1

X (y) = y

n+1







1 − y

−y

··· −y

−y

1 − y

··· −y

−y

··· 1 − y

−y

n+1

−y

n+1

··· −y

n+1







P(y),

onde

P =



, . . . ,



, . . . y

n+1

) = P



n+1

, . . . ,

n+1



, i = 1, . . . ,n

Demonstração: Calculemos as matrizes

dΦ







∂Φ

∂x

(x) ···

∂Φ

∂x

(x)

∂Φ

n+1

∂x

(x) ···

∂Φ

n+1

∂x

(x)







e dΦ

−







∂Φ

−

∂x

(x) ···

∂Φ

−

∂x

(x)

∂Φ

−

n+1

∂x

(x) ···

∂Φ

−

n+1

∂x

(x)







(2.1.3)

CAPÍTULO 2. A TÉCNICA DA COMPACTIFICAÇÃO DE POINCARÉ 35

com x = ( Φ

)

−1

(y), y ∈ H

, e x = (Φ

−

)

−1

(y), y ∈ H

−

, respectivamente. Para

i = 1, . . . ,n, temos que

∂Φ

∂x

(x) =

∆(x) − x

∆(x)

−1

(∆(x))

;

se x = (y

n+1

, . . . ,y

n+1

), ∆(x) = 1/|y

n+1

|, e ﬁcamos com

∂Φ

∂x

(x) = |y

n+1

|(1 − y

) = y

n+1

(1 − y

pois aqui, y

n+1

> 0. A mesma conta para

∂Φ

−

∂x

(x), com x = (Φ

−

)

−1

(y) — y ∈ H

−

—, mostra que

∂Φ

−

∂x

(x) = −|y

n+1

|(1 − y

) = y

n+1

(1 − y

pois agora y

n+1

< 0; isto é, tanto para y ∈ H

como para y ∈ H

−

, temos a mesma

expressão para as entradas a

das matrizes em (2.1.3). As entradas a

, com i = j

e i ≤ n serão:

∂Φ

∂x

(x) =

−x

∆(x)

−1

∆(x)

= |y

n+1

|(−y

) = y

n+1

(−y

)

e a mesma expressão para

∂Φ

−

∂x

(x). Os elementos a

(n+1)j

serão −y

n+1

, obtidos

com cálculos análogos. Agora,

X (x) =



X ((Φ

)

−1

(y)), y ∈ H

X ((Φ

−

)

−1

(y)), y ∈ H

−





n+1

, . . . ,

n+1



, . . . ,P



n+1

, . . . ,

n+1



P(y).

Substituindo tudo isso em (2.1.2), segue o lema.

O equador S

n−1

= {y ∈ S

| y

n+1

= 0} de S

corresponde ao “inﬁnito” de

(uma vez que é limite de Φ

(x) quando |x| tende a ∞), e a propriedade chave

do campo

X , deﬁnido em S

n−1

, é poder de alguma forma ser estendido para

. Daí conseguiremos estudar as órbitas de X no inﬁnito de R

. Seja, assim,

m = max



grau(P

), . . . ,grau(P

)



. Deﬁnamos



X (y)

= y

m−1

n+1

X (y) . (2.1.4)

Daí, colocando



, . . . ,y

n+1

) = y

n+1

, . . . ,y

n+1

), k = 1, . . . n, (2.1.5)

CAPÍTULO 2. A TÉCNICA DA COMPACTIFICAÇÃO DE POINCARÉ 36

teremos do Lema 2.1.1 que



X (y) =







1 − y

−y

··· −y

−y

1 − y

··· −y

−y

··· 1 − y

−y

n+1

−y

n+1

··· −y

n+1















(y)



(y)



(y)







, (2.1.6)

que é um campo analítico em todo S

. Que a função



X é analítica em todo S

fácil de ver, uma vez que é polinomial e sua expressão garante sua suavidade em S

Para ver que é um campo vetorial, basta mostrar que



X (y) • y = 0, ∀y ∈ S

n−1

(de

acordo com a Deﬁnição de campo vetorial 1.1.18), o que é fato pela continuidade

da função produto escalar (pois tal produto é 0 nos pontos de S

n−1

Deﬁnição 2.1.1 Dizemos que o campo



X é a Compactiﬁcação de Poincaré do

campo X .

Observação: Estudar o campo



X no hemisfério norte sem o equador, em termos

de órbitas, é o mesmo que estudar o campo

X , pois apenas multiplicamos

X pela

função sempre positiva y

m−1

n+1

(resultando nas mesmas órbitas). Igualmente para



no hemisfério sul sem o equador (onde multiplicamos

X pela função sempre negativa

m−1

n+1

Deﬁnição 2.1.2 Dado um polinômio P : R

→ R de grau l, a decomposição em

suas partes homogêneas é dada por

P = P

+ P

+ ··· + P

onde P

é seu termo homogêneo de grau j.

Observação:



, . . . ,y

n+1

) deﬁnidos em (2.1.5) são polinômios homogêneos

de grau m. De fato, se P

= P

+ P

+ ··· + P

é a decomposição nas partes

homogêneas de P



, . . . ,y

n+1

) = y

n+1



n+1

, . . . ,

n+1



+ ··· + P



n+1

, . . . ,

n+1



daí, desde que o i-ésimo termo da soma acima é y

m−i

n+1

, . . . ,y

), segue que



é homogêneo de grau m.

Calcularemos agora



X considerando uma família de cartas locais de S

Cubramos S

com 2(n + 1) cartas locais (U

,Φ

), (V

,Ψ

) com i = 1, . . . ,n + 1, onde



= {y ∈ S

| y

> 0}

= {y ∈ S

| y

< 0} ,



: U

→R

: V

→R

CAPÍTULO 2. A TÉCNICA DA COMPACTIFICAÇÃO DE POINCARÉ 37

são deﬁnidas pela mesma regra

, . . . ,y

n+1

) −→



, . . . ,

i−1

i+1

, . . . ,

n+1



Notemos que Φ

e Ψ

são difeomorﬁsmos, pois as funções

, . . . ,x

) −→

∆(x)

, . . . ,x

i−1

,1,x

, . . . ,x

)

, . . . ,x

) −→

−1

∆(x)

, . . . ,x

i−1

,1,x

, . . . ,x

deﬁnidas em R

, são suas inversas, respectivamente (os cálculos são análogos aos da

Proposição 2.1.1). Observemos que (Φ

)

−1

= Φ

n+1

e H

= U

n+1

, e (Φ

−

)

−1

= Ψ

n+1

e H

−

= V

n+1

. Escrevamos

, . . . ,z

) = Φ

, . . . ,y

n+1

) =



, . . . ,

i−1

i+1

, . . . ,

n+1



as coordenadas locais em U

, observando que, para cada i, (z

, . . . ,z

) tem signiﬁ-

cados distintos.

Calculemos



X em U

, nas coordenadas (z

, . . . ,z

). Seja y ∈ U

. Desde

que d(Φ

)

está deﬁnido em T (U

)

(= T (S

)

), o campo



X nas coordenadas

, . . . ,z

) será deﬁnido por d(Φ

)





X (y)



, com y = Φ

−1

(z). Temos então

Lema 2.1.2 O campo



X em U

, nas coordenadas z = (z

, . . . ,z

), tem a seguinte

expressão:

∆(z)

m−1



−z



, − z



, . . . , − z

n−1



, − z





onde



(1,z

, . . . ,z

)

Demonstração: Se y ∈ U

∩ H

d(Φ

)





X (y)



= d(Φ

)



m−1

n+1

X (y)



= y

m−1

n+1

d(Φ

)



d(Φ

)

(X (x))



= y

m−1

n+1

d(Φ

◦ Φ

)

(X (x)), (2.1.7)

onde y = Φ

−1

(z) = Φ

(x). Mas

◦ Φ

(x) = Φ



∆(x)

, . . . ,x

,1)



, . . . ,x

,1),

donde segue que

d(Φ

◦ Φ

)







−x

1/x

0 ··· 0

−x

0 1/x

··· 0

−x

0 0 ··· 1/x

−1/x

0 0 ··· 0







CAPÍTULO 2. A TÉCNICA DA COMPACTIFICAÇÃO DE POINCARÉ 38

e daí

d(Φ

◦ Φ

)

(X (x))=



−x

+ x

,− x

+ x

, . . . ,− x

+ x

,− P



(2.1.8)

onde P

= P

, . . . ,x

). Considerando (z

, . . . ,z

) = (y

, . . . ,y

n+1

), e

lembrando que (x

, . . . ,x

) = (y

n+1

, . . . ,y

n+1

)

, temos que

n+1

, x

n+1

, . . . , x

n+1

n−1

o que, de (2.1.8), nos dá

d(Φ

◦ Φ

)

(X (x))= z



−z

+ P

,− z

+ P

, . . . ,− z

n−1

+ P

,− z



onde P

= P

(1/z

, . . . ,z

n−1

). Substituindo a expressão acima em (2.1.7),

observando que

n+1

∆(x)



1 + 1/z



n−1

i=1



1 +



i=1

∆(z)

, (2.1.9)

onde a última igualdade se dá porque z

= y

n+1

> 0, segue que

d(Φ

)

(



X (y))=

∆(z)

m−1



−z

+ P

,− z

+ P

, . . . ,− z

n−1

+ P

,− z



com P

= P

(1/z

, . . . ,z

n−1

Desde que



(1,z

, . . . ,z

) = z

(1/z

, . . . ,z

n−1

), segue que

d(Φ

)

(



X (y))=

∆(z)

m−1



−z



,− z



, . . . ,− z

n−1



,− z





com



(1,z

, . . . ,z

Se y ∈ U

∩H

−

, teremos a mesma expressão que acima, já que d(Φ

◦Φ

−

)

(X (x))

tem a mesma expressão, e

n+1

−1

∆(x)

−|z

∆(z)

, (2.1.10)

já que agora z

= y

n+1

< 0. Nos pontos y ∈ U

∩ S

n−1

, a expressão será a

mesma por continuidade.

Multiplicando a expressão de



X em coordenadas z

’s pela função positiva

∆(z)

m−1

, temos uma expressão Z(z

, . . . ,z

), que deﬁniremos como sendo o campo



X em U

, nas coordenadas (z

, . . . ,z

CAPÍTULO 2. A TÉCNICA DA COMPACTIFICAÇÃO DE POINCARÉ 39

Com cálculos semelhantes aos do Lema 2.1.2 para as demais cartas locais

,Φ

), i = 2, . . . ,n + 1, chegamos às seguintes expressões do campo



X , multipli-

cado pela função ∆(z)

m−1

Em U



−z



,− z



, . . . ,− z

n−1



,− z





onde



(1,z

, . . . ,z

);

em U



−z



,− z



, . . . ,− z

n−1



,− z





onde



,1, . . . ,z

);

em U



−z



,− z



,− z



, . . . ,− z

n−1



,− z





onde



,1,z

, . . . ,z

);

em U



−z



,− z



, . . . ,− z

n−1



n−1

,− z





onde



, . . . ,z

,1);

em U

n+1



, . . . ,P



onde P

= P

, . . . ,z

Notemos como a expressão em U

n+1

é diferente das outras. Seu cálculo foi feito

de uma forma bem fácil, pois U

n+1

= H

e Φ

n+1

= (Φ

)

−1

, como já tínhamos

observado antes. O que acontece é que o campo tem a mesma expressão que o

campo X . Trataremos com mais detalhes disso no Capítulo 3.

Agora, a expressão de



X na vizinhança V

é a mesma que em U

, multi-

plicada por (−1)

m−1

. Isso ocorre pois Ψ

tem a mesma expressão que Φ

, e, em

m−1

n+1



−z

∆(z)



m−1

= (−1)

m−1



∆(z)



m−1

onde a primeira igualdade pode ser provada refazendo os cálculos (2.1.9) e (2.1.10),

com y

< 0. Dessa forma, temos o campo



X escrito em cada uma das 2(n +

1) vizinhanças, nas coordenadas (z

, . . . ,z

), lembrando que em cada vizinhança

, . . . ,z

)’s têm sigiﬁcados distintos, e que a expressão ﬁnal está multiplicada pela

função ∆(z)

m−1

Deﬁnição 2.1.3 Dizemos pontos singulares ﬁnitos ( inﬁnitos) de



X os pontos sin-

gulares que pertencem a S

n−1

Observação: Nas vizinhanças U

, V

, i = 1,2, . . . ,n, os pontos de S

n−1

são

levados pelas respectivas parametrizações nas coordenadas (z

, . . . ,z

), com z

= 0.

Isso ocorre, pois z

= y

n+1

, daí, se y

n+1

= 0 segue que z

= 0.

Deﬁnição 2.1.4 Seja Y : M →R

um campo de vetores, onde M ⊂ R

é uma

variedade. Dizemos que um conjunto A ⊂ M é invariante pelo ﬂuxo de Y , ou

invariante por Y , se dado um ﬂuxo Φ(t) de Y tal que Φ(t

) ∈ A, então Φ(t) ∈

A, ∀t ∈ I, em que I é o intervalo maximal de deﬁniçãp de Φ.

CAPÍTULO 2. A TÉCNICA DA COMPACTIFICAÇÃO DE POINCARÉ 40

Proposição 2.1.2 O inﬁnito é invariante por



X .

Demonstração: Seja Φ um ﬂuxo de



X , com Φ(t

) ∈ S

n−1

(aqui, já consideramos Φ

em coordenadas (Φ

, . . . ,Φ

) ). Isso signiﬁca que Φ satisfaz a equação diferencial

determinada por



X , o que nos dá, em particular, que (a menos de uma multiplicação

por uma função positiva), nas vizinhanças U

, i = 1, . . . ,n,



(t) = −Φ

(t)



(Φ

(t), . . . ,Φ

i−1

,1,Φ

(t), . . . ,Φ

(t)) , Φ

) = 0,

que são EDO’s de solução Φ

(t) = 0, mostrando que Φ(t) ∈ S

n−1

, ∀t ∈ I. Nas

vizinhanças V

, os cálculos são análogos, a menos de uma multiplicação por (−1)

m−1

Observação: Se m é ímpar, então



X é simétrico em relação à origem de R

n+1

Isso o corre pois se y ∈ U

, por exemplo, o simétrico de y pela origem é −y ∈ V

;

daí, z

= y

= (−y

)/(−y

) são os mesmos para y ou para −y. Logo a única

coisa que muda na expressão de



X é uma multiplicação por (−1)

m−1

(conforme as

considerações acima), daí, sendo m ímpar, ocorre a simetria. Vale observar também

que as órbitas (ou ﬂuxos) de



X são simétricas, só mudando a direção conforme m

é ou não par.

Um resultado bastante interessante que obtivemos é conseqüência do Teo-

rema 1.1.6 (da “Esfera Cabeluda”):

Proposição 2.1.3 Se X (p) = 0, ∀p ∈ R

, então existe q ∈ S

n−1

tal que



X (q) = 0.

Demonstração: De fato, temos que



X (y) = 0, ∀y ∈ H

∪ H

−

= S

n−1

(do

contrário, pela deﬁnição, X anular-se-ia em R

). Se n = 2d, o Teorema da “Esfera

Cabeluda” garante que



X precisa se anular em algum ponto de S

, seguindo que se

anula em algum ponto de S

n−1

. Se n = 2d + 1, o mesmo Teorema garante que



X se

anula num ponto de S

n−1

, pois, agora, n − 1 = 2d (observemos que, da Proposição

2.1.2,





n−1

continua um campo vetorial).

2.2 Particularização para um campo vetorial poli-

nomial hamiltoniano

Particularizaremos agora o estudo feito na secção anterior. Tomaremos um campo

especíﬁco.

Seja H : R

→ R uma função polinomial, com n = 2d. Nesse caso,

diremos que H é um polinômio hamiltoniano. Deﬁnamos o campo vetorial polinomial

hamiltoniano associado a H como



∂H

∂y

d+1

, . . . ,

∂H

∂y

, −

∂H

∂y

, . . . , −

∂H

∂y



. (2.2.1)

Como veremos a seguir, a Compactiﬁcação de Poincaré de X

será dada em termos

das derivadas de H . Antes, vejamos o

CAPÍTULO 2. A TÉCNICA DA COMPACTIFICAÇÃO DE POINCARÉ 41

Lema 2.2.1 (Teorema de Euler) Se F : R

→R é um polinômio homogêneo de

grau s, então



i=1

∂F

∂x

(p) = sF (p), ∀p ∈ R

Demonstração: Da homogeneidade, temos que

F (γp

, . . . ,γp

) = γ

F (p

, . . . ,p

), ∀γ ∈ R.

Derivando esta expressão em relação a γ, teremos

∂F

∂x

(γp

, . . . ,γp

+ ··· +

∂F

∂x

(γp

, . . . ,γp

= sγ

s−1

F (p).

Fazendo γ = 1 , segue o lema.

Proposição 2.2.1 Se H (x

, . . . ,x

) é um polinômio hamiltoniano de grau m + 1

em n = 2d variáveis, então:

(i) A Compactiﬁcação de Poincaré de X



, tem a seguinte expressão



∂H

∗

∂y

d+1

+ λy

, . . . ,

∂H

∗

∂y

+ λy

,−

∂H

∗

∂y

+ λy

d+1

, . . . ,−

∂H

∗

∂y

+ λy

,λy

n+1



onde

∗

, . . . ,y

n+1

) = y

m+1

n+1



n+1

, . . . ,

n+1



λ =



i=1



i+d

∂H

∗

∂y

− y

∂H

∗

∂y

i+d



(ii) O nível de energia {H

∗

= 0}



y ∈ S

n−1

| H

∗

(y) = 0



é invariante por



Demonstração: Pelo que deﬁnimos em (2.1.5) e no Lema 2.1.1, bem como da

deﬁnição de H

∗

, temos que



∂H

∂y

, . . . ,y

n+1

) = y

n+1

∂H

∂y



n+1

, . . . ,

n+1



∂H

∗

∂y

, . . . ,y

n+1

), (2.2.2)

para i = 1, . . . ,n, notando que o grau máximo dos polinômios ∂H /∂y

é m. Da

deﬁnição da Compactiﬁcação de Poincaré (equação (2.1.6)), segue que a primeira

coordenada de



∂H

∗

∂y

d+1

− y

∂H

∗

∂y

d+1

− y

∂H

∗

∂y

d+2

− ···− y

∂H

∗

∂y

+ y

d+1

∂H

∗

∂y

+ ···+ y

∂H

∗

∂y

Colocando y

em evidência e observando a deﬁnição de λ, esta expressão torna-se

simplesmente

∂H

∗

∂y

d+1

+ λy

CAPÍTULO 2. A TÉCNICA DA COMPACTIFICAÇÃO DE POINCARÉ 42

Fazendo cálculos análogos para as demais coordenadas, segue (i). Para ver (ii), seja

Φ uma curva integral do campo



, isto é:



(t) =







(Φ(t)) , ∀t ∈ I , i = 1, . . . ,n + 1 ,

onde I é o intervalo maximal de deﬁnição de Φ. Considerando l(t) = H

∗

(Φ(t)),

calculemos:



(t) =



i=1



∂H

∗

∂y



Φ(t)





(t) +

∂H

∗

∂y

i+d



Φ(t)





i+d

(t)



∂H

∗

∂y

n+1



Φ(t)





n+1

(t) =



i=1



∂H

∗

∂y



Φ(t)





∂H

∗

∂y

i+d



Φ(t)



+ λΦ

(t)



∂H

∗

∂y

i+d



Φ(t)





−

∂H

∗

∂y



Φ(t)



+ λΦ

i+d

(t)



∂H

∗

∂y

n+1



Φ(t)



λΦ

n+1

(t) =

= λ

n+1



i=1



∂H

∗

∂y



Φ(t)



(t)



= λ(m + 1)H

∗



Φ(t)



= λ(m + 1)l(t),

onde na última igualdade utilizamos o fato de H

∗

ser um polinômio homogêneo de

grau m + 1 (o que é fácil de perceber observando a deﬁnição de H

∗

) e o Lema 2.2.1.

Supondo Φ(t

) ∈ {H

∗

= 0}, isto é, H

∗

(Φ(t

)) = 0, a seqüência de igualdades acima

nos dá a seguinte EDO:





(t) = (m + 1)λ(t)l(t)

l(t

) = 0 ,

que tem solução única l(t) = 0 , ∀t ∈ I, seguindo que Φ(t) ∈ {H

∗

= 0}, ∀t ∈ I.

Daremos, agora, as expressões de



nas cartas locais (U

,Φ

)’s e (V

)’s

como na secção anterior. Comecemos os cálculos pela vizinhança U

. Da expressão

do campo



X em U

(calculada na secção anterior), e lembrando que



∂H

∂y

∂H

∗

∂y

(como calculado em (2.2.2)), segue a expressão do campo



em coordenadas, na

carta U



−z

∂H

∗

∂y

d+1

∂H

∗

∂y

d+2

, . . . , − z

d−1

∂H

∗

∂y

d+1

∂H

∗

∂y

, − z

∂H

∗

∂y

d+1

−

∂H

∗

∂y

, . . . ,

−z

2d−1

∂H

∗

∂y

d+1

−

∂H

∗

∂y

, − z

∂H

∗

∂y

d+1





(1,z

,...,z

)

. (2.2.3)

Notemos que

∗



, . . . ,

n+1





n+1



m+1



n+1

, . . . ,

n+1



m+1

∗

, . . . ,y

n+1

Daí, colocando

Γ(z

, . . . ,z

)

= H

∗

(1,z

, . . . ,z

), (2.2.4)

CAPÍTULO 2. A TÉCNICA DA COMPACTIFICAÇÃO DE POINCARÉ 43

e lembrando que z

= y

i+1

, teremos

∗

, . . . ,y

n+1

) = y

m+1

Γ(z

, . . . ,z

o que, derivando em relação a y

, nos dá

∂H

∗

∂y

, . . . ,y

n+1

) = (m + 1)y

Γ(z

, . . . ,z

) + y

m+1



i=1

−y

i+1

∂Γ

∂z

, . . . ,z

e, derivando em relação a y

, nos garante

∂H

∗

∂y

, . . . ,y

n+1

) = y

∂Γ

∂z

i−1

, . . . z

) , i = 2, . . . ,n.

Substituindo as duas últimas expressões em (2.2.3), segue a expressão do campo



em U

, nas coordenadas (z

, . . . ,z



− z

∂Γ

∂z

∂Γ

∂z

d+1

, . . . , − z

d−1

∂Γ

∂z

∂Γ

∂z

2d−1

, − (m + 1)Γ +



i=1

i=d

∂Γ

∂z

− z

d+1

∂Γ

∂z

−

∂Γ

∂z

, . . . , − z

2d−1

∂Γ

∂z

−

∂Γ

∂z

d−1

, − z

∂Γ

∂z



Em U

, consideremos a função H

∗



,1,

, . . . ,

n+1



m+1

∗

, . . . ,y

n+1

o que, deﬁnindo

Γ(z

, . . . ,z

)

= H

∗

,1, . . . ,z

), (2.2.5)

nos dá (com cálculos análogos aos que ﬁzemos no caso de U

)

∗

, . . . ,y

n+1

) = y

m+1

Γ(z

, . . . ,z

(Utilizamos a mesma notação Γ em U

, embora tenha deﬁnição diferente de Γ usado

antes). Fazendo as contas como antes, temos que

∂H

∗

∂y

∂Γ

∂z

∂H

∗

∂y

=(m + 1)y

Γ − y

m+1



∂Γ

∂z

∂Γ

∂z

+ ··· +

∂Γ

∂z

n+1



∂H

∗

∂y

∂Γ

∂z

i−1

, i = 3, . . . ,n + 1,

CAPÍTULO 2. A TÉCNICA DA COMPACTIFICAÇÃO DE POINCARÉ 44

o que, substituindo na expressão de



X calculada na secção anterior (lembrando de

(2.2.2) que



∂H

∂y

∂H

∗

∂y

), nos leva a



− z

∂Γ

∂z

d+1

∂Γ

∂z

, − z

∂Γ

∂z

d+1

∂Γ

∂z

d+2

, . . . , − z

d−1

∂Γ

∂z

d+1

∂Γ

∂z

2d−1

, − z

∂Γ

∂z

d+1

−

∂Γ

∂z

, − (m + 1)Γ +



i=1

i=d+1

∂Γ

∂z

, . . . , − z

2d−1

∂Γ

∂z

d+1

−

∂Γ

∂z

d−1

, − z

∂Γ

∂z

d+1



Em U

, U

, . . . , U

d−1

temos expressões equivalentes, lembrando que sempre deﬁni-

mos

Γ(z

, . . . ,z

) = H

∗

, . . . ,z

i−1

,1,z

i+1

, . . . ,z

) . (2.2.6)

Em U

, a expressão ﬁca:



− z

∂Γ

∂z

2d−1

∂Γ

∂z

,− z

∂Γ

∂z

2d−1

∂Γ

∂z

d+1

, . . . ,− z

d−1

∂Γ

∂z

2d−1

∂Γ

∂z

2d−2

,− z

∂Γ

∂z

2d−1

−

∂Γ

∂z

, − z

d+1

∂Γ

∂z

2d−1

−

∂Γ

∂z

, . . . , − (m + 1)Γ +



i=1

i=2d−1

∂Γ

∂z

, − z

∂Γ

∂z

2d−1



Em U

d+1

, a expressão muda um pouco de característica (mas os cálculos seguem a

mesma idéia de antes):



(m + 1)Γ −



i=1

i=1

∂Γ

∂z

∂Γ

∂z

∂Γ

∂z

d+1

, . . . ,z

∂Γ

∂z

∂Γ

∂z

2d−1

d+1

∂Γ

∂z

−

∂Γ

∂z

d+2

∂Γ

∂z

−

∂Γ

∂z

, . . . ,z

2d−1

∂Γ

∂z

−

∂Γ

∂z

∂Γ

∂z



Em U

d+2

, . . . U

2d−1

as expressões seguem a mesma idéia.

Em U

, temos:



∂Γ

∂z

∂Γ

∂z

d+1

∂Γ

∂z

∂Γ

∂z

d+2

, . . . ,z

d−1

∂Γ

∂z

∂Γ

∂z

d−1

,(m + 1)Γ −



i=1

i=d

∂Γ

∂z

d+1

∂Γ

∂z

−

∂Γ

∂z

, . . . ,z

2d−1

∂Γ

∂z

−

∂Γ

∂z

d−1

∂Γ

∂z



Por ﬁm, em U

2d+1

, ﬁcamos com



∂Γ

∂z

d+1

, . . . ,

∂Γ

∂z

, −

∂Γ

∂z

, . . . , −

∂Γ

∂z



notemos que, aqui, Γ = H .

CAPÍTULO 2. A TÉCNICA DA COMPACTIFICAÇÃO DE POINCARÉ 45

2.3 O ﬂuxo no inﬁnito

Estudaremos agora como os níveis de energia E

= H

−1

(h) se comportam quando

levados na esfera, e tiraremos alguns resultados de invariância pelo campo



principalmente quando restrito a S

n−1

. É em S

n−1

que um conjunto invariante

especial é deﬁnido. Vamos mostrar que tal conjunto é uma variedade, sob certas

condições, e que todos os pontos singulares inﬁnitos de



estão neste conjunto.

Teorema 2.3.1 Seja H : R

→ R um polinômio hamiltoniano de grau m + 1

escrito em sua decomposição homogênea H = H

+···+H

m+1

. Vale o seguinte:

(i) Consideremos E

= H

−1

(0). Então os conjuntos

= Φ

) ⊂ hemisfério norte ,

−

= Φ

−

) ⊂ hemisfério sul

são invariantes pelo ﬂuxo de



;

(ii) A restrição de



a S

n−1





n−1

, é dada por



∂H

m+1

∂y

d+1

+λy

, . . . ,

∂H

m+1

∂y

+λy

,−

∂H

m+1

∂y

+λy

d+1

, . . . ,−

∂H

m+1

∂y

+λy



onde

λ =



i=1



i+d

∂H

m+1

∂y

− y

∂H

m+1

∂y

i+d



Aqui, consideramos y ∈ S

n−1

⇐⇒y = (y

, . . . ,y

). Notemos ainda que a

última coordenada de





n−1

, que é zero (como podemos ver em (2.1.6)),

foi retirada.

(iii) O conjunto

∞



y ∈ S

n−1

| H

m+1

, . . . ,y

) = 0





y ∈ S

n−1

| H

∗

, . . . ,y

,0) = 0



é invariante pelo ﬂuxo de



(iv) As fronteiras

de E

e E

−

estão contidas em E

∞

(v) Se 0 é valor regular de H

m+1



n−1

, então E

∞

é uma (n − 2)-variedade.

(vi) Os pontos singulares de





n−1

estão em E

∞

Aqui é o conceito de fronteira de variedades, como na Deﬁnição 1.1.9.

CAPÍTULO 2. A TÉCNICA DA COMPACTIFICAÇÃO DE POINCARÉ 46

Demonstração de (i): Seja γ uma curva integral de



tal que γ(t

) ∈ E

. Mos-

tremos que γ(t) ∈ E

, ∀t. Consideremos a função real s(t) = H



(Φ

)

−1

(γ(t))



sua derivada:



(t) = dH

(Φ

)

−1

(γ(t))

· d(Φ

)

−1

γ(t)

· γ



(t) = dH

(Φ

)

−1

(γ(t))

· d(Φ

)

−1

γ(t)



(γ(t)) =

= dH

(Φ

)

−1

(γ(t))

· d(Φ

)

−1

γ(t)



n+1

(t)dΦ

(Φ

)

−1

(γ(t))

· X



(Φ

)

−1

(γ(t))





= γ

n+1

(t)dH

(Φ

)

−1

(γ(t))

· X



(Φ

)

−1

(γ(t))



= 0 ,

onde na terceira igualdade utilizamos a deﬁnição de



(conforme (2.1.2



) e (2.1.4))

e, na última, a deﬁnição de X

(conforme (2.2.1)). Daí, desde que s(t

) = 0, segue

que s(t) = 0, ∀t, o que signiﬁca que γ(t) ∈ E

, ∀t. Um raciocínio análogo mostra

a invariância de E

−

Demonstração de (ii): Da deﬁnição de H

∗

(conforme (i) da Proposição 2.2.1), temos

que

∗

, . . . ,y

,0) = H

m+1

, . . . ,y

), (2.3.1)

daí, segue que

∂H

∗

∂y

, . . . y

,0) =

∂H

m+1

∂y

, . . . y

) , i = 1, . . . ,n.

Substituindo em (i) da Proposição 2.2.1, segue o resultado desejado.

Demonstração de (iii): Notemos que de (2.3.1) a igualdade de conjuntos ocorre.

Como já sabemos da Proposição 2.1.2 que S

n−1

é invariante por



, e de (ii) da

proposição 2.2.1 que {H

∗

= 0} também é invariante por



, segue o resultado.

Demonstração de (iv): Seja y ∈ E

. Então

y = Φ

(x) =



∆(x)

, . . . ,

∆(x)



com H (x) = 0. Aplicando H

∗

, temos que

∗

(y) =



∆(x)



m+1

H (x

, . . . ,x

) = 0.

Como H

∗

é uma função contínua em S

, o raciocínio acima mostra que fazer y tender

a um ponto z ∈ ∂E

por pontos de E

, faz com que H

∗

(z) = 0. Daí, H

∗

(∂E

) = 0.

Desde que ∂E

⊂ S

n−1

, isso mostra que ∂E

⊂ E

∞

(por (iii)). Analogamente se

mostra que ∂E

−

⊂ E

∞

Demonstração de (v): De (iii), é claro que

∞



m+1



n−1



−1

{0} .

Então, como H

m+1



n−1

: S

n−1

→R é uma função suave e 0 é um seu valor regular,

a Proposição 1.1.5 garante que E

∞

é uma variedade de dimensão (n−1)−1 = n−2.

Demonstração de (vi): De acordo com (ii), os pontos singulares inﬁnitos satisfazem

∂H

m+1

∂y

d+i

(y) + λy

= 0 =

∂H

m+1

∂y

(y) − λy

d+i

, i = 1, . . . ,d.

CAPÍTULO 2. A TÉCNICA DA COMPACTIFICAÇÃO DE POINCARÉ 47

Multiplicando a equação do lado esquerdo por y

i+d

e a do lado direito por y

, para

cada i, e somando, ﬁcamos com



i=1

∂H

∂y

= 0 .

Como H

m+1

é homogêneo, o Lema 2.2.1 e a última equação garantem que (m +

1)H

m+1

(y) = 0. Seguindo, da deﬁnição de E

∞

, que todo ponto singular inﬁnito está

em E

∞

Corolário 2.3.2 Dado H : R

→ R polinomial, escrito em sua decomposição

homogênea H = H

+ H

+ ··· + H

m+1

, vale o seguinte:

(i) Se E

= H

−1

(h), para h ∈ R, então

= Φ

) e E

−

= Φ

−

)

são invariantes por



(ii) As fronteiras de E

e E

−

estão contidas em E

∞

Demonstração: Escrevendo H



= −h + H

+ H

+ ··· + H

m+1

, temos que



)

−1

(0) = {x ∈ R

| H



(x) = 0} = {x ∈ R

| H (x) = h} = E

Daí, repetimos a demonstração de (i) do Teorema anterior para H



, observando que

o resultado não depende de h. Isso mostra (i). Para (ii), basta olhar a demonstração

de (iv) do Teorema anterior e observar que (H



)

∗



n−1

= H

∗



n−1

Corolário 2.3.3 Se H = h+H

+···+H

m+1

, o nível de energia {H

∗

= 0} intercepta

o equador de S

no mesmo conjunto E

∞

para qualquer valor de h

Demonstração: Trivial, uma vez que o conjunto E

∞

só depende de H

m+1

, como

podemos ver em (iii) do Teorema anterior.

2.4 Propriedades genéricas

Deﬁnição 2.4.1 Seja P uma propriedade sobre elementos de um conjunto A ⊂ R

Dizemos que P é genérica , ou P vale genericamente, se o conjunto

{x ∈ R

| P(x) é verdadeira }

é denso em A.

CAPÍTULO 2. A TÉCNICA DA COMPACTIFICAÇÃO DE POINCARÉ 48

Exemplo: Seja Q uma propriedade em R

que vale q.t.p.. Então Q é genérica.

Isso é claro, pois o conjunto dos pontos onde Q vale tem complementar de medida

nula, logo é denso.

Mostraremos nesta Secção que, genericamente, o conjunto E

∞

(deﬁnido em

(iii) do Teorema 2.3.1) é uma variedade de dimensão n − 2 e que todos os pontos

singulares (ﬁnitos ou inﬁnitos) de



são hiperbólicos. Genericamente, aqui, será

em relação à seguinte identiﬁcação:

Seja H

m+1

=“conjunto dos polinômios hamiltonianos de grau exatamente m + 1 nas

variáveis (y

, . . . ,y

)” . Identiﬁquemos H

m+1

com um conjunto aberto de R

, onde

N é o número máximo de coeﬁcientes dos polinômios de H

m+1

. Mais precisamente,

seja Φ : H

m+1

→ R

uma função que associa cada polinômio de H

m+1

com seu

vetor de coeﬁcientes numa pré-determinada ordem. Assim, cada polinômio H será

identiﬁcado com seu vetor de coeﬁcientes Φ(H ) ∈ R

Observação 1: Não podemos identiﬁcar todo R

, uma vez que pelo menos um dos

coeﬁcientes dos termos de grau m + 1 precisa ser não nulo.

Observação 2: Φ(H

m+1

) é aberto. De fato, se na parte homogênea de grau m + 1

tivermos k termos, então

Φ(H

m+1

) =



i=1

R × ··· × R

  

N−k

×R × ···× R ×R\{0}

  

×R × ··· × R ,

que é um aberto por ser união de abertos.

Coloquemos em H

m+1

a topologia fraca induzida por Φ, isto é, os abertos de H

m+1

são



−1

(A) | A é aberto de Φ(H

m+1

) ⊂ R



Provaremos que a propriedade “H ∈ H

m+1

tal que E

∞

é uma (n − 2)-variedade”

vale genericamente em H

m+1

, identiﬁcando H

m+1

com Φ(H

m+1

) ⊂ R

e usando a

Deﬁnição 2.4.1 neste conjunto.

O teorema seguinte mostrará mais, mostrará que o conjunto

m+1



H ∈ H

m+1

| E

∞

é uma variedade suave



é tal que Φ



m+1



⊂ R

−1

(0), onde R : R

→R é uma função polinomial

não nula. Como conseqüência, desde que R

−1

(0) é denso em R

, seguirá que

Φ(H

m+1

)\R

−1

{0} será denso em Φ(H

m+1

), donde Φ(G

m+1

) será denso em Φ(H

m+1

Mostrando assim que E

∞

é uma variedade genericamente.

Antes do teorema, vamos introduzir o conceito de resultante entre dois

polinômios, que nos será útil. Sejam P(x) e Q(x) dois polinômios na variável x e

coeﬁcientes em R. A resultante entre P e Q, Res

(P,Q), será um número (obtido

como função polinomial dos coeﬁcientes de P e Q), tal que se P e Q tiverem uma

raiz em comum, então Res

(P,Q) = 0. Precisamente, se

P(x) =a

+ a

n−1

+ ··· + a

n−1

x + a

Q(x) =b

+ b

m−1

+ ··· + b

m−1

x + b

CAPÍTULO 2. A TÉCNICA DA COMPACTIFICAÇÃO DE POINCARÉ 49

deﬁnamos a matriz

(P,Q)







··· ··· a

··· ··· b

















m linhas











n linhas ,

onde os espaços vazios são preenchidos com zeros. Coloquemos a seguinte

Deﬁnição 2.4.2 Deﬁnimos a resultante entre os polinômios P e Q como:

Res

(P,Q) = det



(P,Q)



Observação 1 (propriedade chave da resultante): Notemos que se t

∗

é uma

raiz comum a P e Q, então

y =



∗

n+m−1

∗

n+m−2

, . . . ,t

∗



é uma solução não trivial do sistema homogêneo A

(P,Q)y = 0. Garantindo-nos

que Res

(P,Q) = 0.

Observação 2: Se exigirmos que P tenha sempre grau n e Q tenha sempre grau

m, a função Res

(P,Q) (polinomial nos coeﬁcientes a

, . . . ,a

, . . . ,b

) não é

identicamente nula. Para ver isso, basta colocar P

(x) = x

e Q

(x) = x

+ 1 e

observar que Res

) = 1.

Ainda, antes do teorema, estabeleceremos o

Lema 2.4.1 Dado H = H

+ H

+ ··· + H

m+1

, um polinômio hamiltoniano já

decomposto em suas partes homogêneas de graus 0,1, . . . ,m + 1, respectivamente,

então

∂H

∂y

∂H

∂y

+ ··· +

∂H

m+1

∂y

onde ∂H

/∂y

≡ 0, ou ∂H

/∂y

é homogêneo de grau j − 1. Além disso, existe i

tal que a segunda opção ocorre para j = m + 1 — isto é, tal que ∂H

m+1

/∂y

homogêneo de grau m.

Demonstração: Se H

tem y

em sua formação, então ∂H

/∂y

é homogêneo de grau

j−1, senão é 0. Além disso, se ∂H

m+1

/∂y

= 0, ∀i, H

m+1

é constante, contradizendo

o fato de ser um polinômio de grau m + 1.

Teorema 2.4.1 Existe R : R

→ R, uma função polinomial não identicamente

nula, tal que, se H ∈ H

m+1

, então R

(

φ(H )) = 0.

CAPÍTULO 2. A TÉCNICA DA COMPACTIFICAÇÃO DE POINCARÉ 50

Demonstração: Se H /∈ G

m+1

, então de (v) do Teorema 2.3.1, segue que 0 não é valor

regular de H

m+1



n−1

. Daí, da Deﬁnição 1.1.7, segue que existe um ponto crítico

de H

m+1



n−1

, (y

∗

, . . . ,y

∗

) em S

n−1

(notemos que, novamente, estamos olhando

y ∈ S

n−1

⊂ S

sem a sua última coordenada — que é zero — ). Do Teorema dos

Multiplicadores de Lagrange

, temos que existe µ ∈ R tal que

∂H

m+1

∂y

∗

, . . . ,y

∗

) + µy

∗

= 0 , i = 1, . . . ,n (2.4.1)

(uma vez que estamos olhando um ponto crítico da função H

m+1

na esfera S

n−1

, que

é obtida como no exemplo do ﬁnal da Subsecção 1.1.2). Multiplicando a i-ésima

equação por y

∗

, para cada i, e somando, teremos



i=1

∗

∂H

m+1

∂y

+ µ



i=1

∗

)

= 0. (2.4.2)

Como H

m+1

é homogêneo de grau m + 1, o Lema 2.2.1 garante que



i=1

∗

∂H

m+1

∂y

∗

, . . . ,y

∗

) = (m + 1)H

m+1

∗

, . . . ,y

∗

e daí, como (y

∗

, . . . ,y

∗

) ∈ S

n−1

∩H

−1

m+1

(0), segue de (2.4.2) que µ = 0. Dessa forma,

(2.4.1) nos dá que o sistema polinomial











∂H

m+1

∂y

, . . . ,y

) = 0

∂H

m+1

∂y

, . . . ,y

) = 0

(2.4.3)

tem uma solução não nula (y

∗

, . . . ,y

∗

) ∈ S

n−1

. Tomando L

= ∂H

m+1

/∂y

, k =

1, . . . ,n, deﬁnamos

, . . . ,y

)

=Res



(1,y

, . . . ,y

),L

(1,y

, . . . ,y

)



k = 2,3, . . . ,n , (2.4.4)

onde Res



(1,y

, . . . ,y

),L

(1,y

, . . . ,y

)



= Res



P(y

),Q(y

)



, com

P(y

) =L

(1,y

, . . . ,y

) e

Q(y

) =L

(1,y

, . . . ,y

Ver página 171 de [6]

CAPÍTULO 2. A TÉCNICA DA COMPACTIFICAÇÃO DE POINCARÉ 51

Mais ainda, deﬁnamos indutivamente

, . . . ,y

)

=Res



, . . . ,y

),R

, . . . ,y

)



k = 3,4, . . . ,n ,

23k

, . . . ,y

)

=Res



, . . . ,y

),R

, . . . ,y

)



k = 4,5, . . . ,n ,

234k

, . . . ,y

)

=Res



234

, . . . ,y

),R

23k

, . . . ,y

)



k = 5, . . . ,n ,

23···n

=Res



23···(n−2)(n−1)

),R

23···(n−2)n

)



Notemos que no último passo, R

23···n

é um número (na verdade, é uma função poli-

nomial nos coeﬁcientes do polinômio H , pois, por construção, R

, . . . ,y

) é um

polinômio em y

, . . . ,y

e nos coeﬁcientes dos polinômios ∂H

m+1

/∂y

e ∂H

m+1

/∂y

que têm coeﬁcientes como múltiplos dos coeﬁcientes de H

m+1

. Daí, pode ser consi-

derado como polinomial em y

, . . . ,y

e nos coeﬁcientes do polinômio H . Indutiva-

mente, chegamos que R

23···n

é polinomial nos coeﬁcientes de H ). Aﬁrmamos que se

a solução (y

∗

, . . . ,y

∗

) do sistema (2.4.3) for tal que y

∗

= 0, então R

23···n

= 0. De

fato, se y

∗

= 0, tomando y

= y

∗

, k = 2, . . . ,n, os polinômios

ξ −→L

(1,ξ,y

, . . . y

) , i = 1, . . . ,n ,

têm ξ = y

como raiz comum, pois da homogeneidade de L

(que vem do Lema

2.4.1), segue que

(1,y

, . . . ,y

) = L



∗

, . . . ,y

∗

)





∗



∗

, . . . ,y

∗

) = 0.

Então, da propriedade chave de resultante (conforme a observação antes do teo-

rema), segue que R

, . . . ,y

) = 0, para k = 2, . . . ,n. Daí, R

(ξ,y

, . . . ,y

), k =

2, . . . ,n têm a raiz ξ = y

em comum, seguindo que R

, . . . ,y

) = 0. Repetindo

tal argumento indutivamente, chegamos que R

23···n

= 0. Deﬁnamos

= R

23···n

que é uma função polinomial nos coeﬁcientes de H , não identicamente nula (pela

observação 2 após a Deﬁnição 2.4.2), com a propriedade de que se H /∈ G

m+1

e o

ponto crítico (y

∗

, . . . ,y

∗

) tiver a primeira coordenada não nula, então R

(Φ(H )) =

0. Mas nem sempre teremos y

∗

= 0, a única garantia é que existe j tal que y

∗

= 0

(pois y

∗

∈ S

n−1

). Neste caso, basta deﬁnir R

de maneira análoga à R

, onde em

(2.4.4) devemos trocar L

(1,y

, . . . ,y

) por

, . . . ,1

  

, . . . ,y

CAPÍTULO 2. A TÉCNICA DA COMPACTIFICAÇÃO DE POINCARÉ 52

Por ﬁm, basta deﬁnir



i=1

que é uma função polinomial não identicamente nula nos coeﬁcientes dos polinômios

de H

m+1

, com a propriedade de que se H /∈ G

m+1

, R(Φ(H )) = 0.

Deﬁnição 2.4.3 Seja Y : M → R

um campo de vetores, onde M ⊂ R

é uma

m-variedade. Dizemos que um ponto singular y de Y é hiperbólico se todos os

autovalores de dY

têm parte real não nula (com Y escrito em um sistema de

coordenadas).

Mais ainda, dizemos que y é um nó se tais autovalores têm parte real de mesmo

sinal: nó estável se o sinal for positivo e nó instável se o sinal for negativo.

Observação: Observemos que essa deﬁnição não depende do sistema de coorde-

nadas.

No mesmo sentido de antes, mostraremos agora que, genericamente em H

m+1

, todos

os p ontos singulares (tanto ﬁnitos como inﬁnitos) de



são hiperbólicos. Isso será

consequência do próximo teorema. Antes, vejamos o

Lema 2.4.2 Dado um polinômio real q(x), deﬁnamos os polinômios reais q

(x) e

(x) por q(ix) = q

(x) + iq

(x). Então os coeﬁcientes de q

(x), j = 1,2, são funções

polinomiais dos coeﬁcientes de q(x), e, se q(x) tem uma raiz puramente imaginária

ib, então Res

) = 0.

Demonstração: Que q

e q

estão bem deﬁnidos e que seus coeﬁcientes são funções

polinomiais dos coeﬁcientes de q pode ser visto trivialmente decompondo o número

complexo q(ix) em suas partes real e imaginária. Se q(ib) = 0, então q

(b) +

(b) = 0 ⇐⇒ q

(b) = q

(b) = 0, isto é, b é raiz comum entre q

e q

, seguindo

da nossa propriedade chave de resultante que Res

) = 0.

Seja

m+1



H ∈ H

m+1

| todos os pontos singulares de



são hiperbólicos



Teorema 2.4.2 Existe



R : R

→ R, uma função polinomial não identicamente

nula, tal que, se H ∈ H

m+1

, então



R(Φ(H )) = 0.

Demonstração: Consideremos as equações que deﬁnem os pontos singulares de



na carta local (U

,Φ

), com as coordenadas (z

, . . . ,z

) (conforme a Secção 2.1):

, . . . ,z

) = 0, i = 1, . . . ,n ,

e seja q(t) o polinômio característico de dZ

(dependendo de z = ( z

, . . . ,z

)). O

Lema 2.4.2 nos dá q

e q

polinômios reais deﬁnidos em função de q. Consideremos,

CAPÍTULO 2. A TÉCNICA DA COMPACTIFICAÇÃO DE POINCARÉ 53

então, o novo sistema de equações, que tem coeﬁcientes que são funções polinomiais

dos coeﬁcientes de H :











, . . . ,z

) = 0

, . . . ,z

) = 0

, . . . ,z

,t) = 0

, . . . ,z

,t) = 0

(2.4.5)

Se H /∈ J

m+1

, então existe um ponto singular de



, z

∗

= (z

∗

, . . . ,z

∗

), que não

é hiperbólico. Se z

∗

∈ U

, isto signiﬁca que existe um autovalor λ de dZ

que é

da forma λ = ib. Do Lema 2.4.2 então segue que (z

∗

, . . . ,z

∗

,b) é uma solução do

sistema (2.4.5). Usando uma construção quase análoga à usada na demonstração

do Teorema 2.4.1, temos que existe uma função polinomial



, nos coeﬁcientes dos

polinômios de H

m+1

, tal que



(Φ(H )) = 0. Os detalhes da construção seguem:

Chamando z

n+1

= t, L

= Z

, i = 1,. . . ,n e L

n+1

= q

e L

n+2

= q

, deﬁnamos

indutivamente

, . . . ,z

n+1

)

=Res



, . . . ,z

n+1

),L

, . . . ,z

n+1

)



k = 2, . . . ,n + 2 ,

, . . . ,z

n+1

)

=Res



, . . . ,z

n+1

),R

, . . . ,z

n+1

)



k = 3, . . . ,n + 2 ,

23k

, . . . ,z

n+1

)

=Res



, . . . ,z

n+1

),R

, . . . ,z

n+1

)



k = 4, . . . ,n + 2 ,

234···(n+2)

=Res

n+1



23···n(n+1)

n+1

),R

23···n(n+2)

n+1

)



Basta colocar



= R

234···(n+2)

Daí, L

∗

, . . . ,z

∗

,b) e L

∗

, . . . ,z

∗

,b) olhados como polinômios em z

têm a

raiz z

∗

em comum, seguindo que R

∗

, . . . ,z

∗

,b) = 0, e assim sucesivamente até

que R

234···(n+2)

= 0. Logo,



(Φ(H )) = 0. Por ﬁm, basta colocar



n+1



i=1



onde os



são construídos da mesma forma, considerando



em U

. Daí, se o

ponto crítico z

∗

∈ U

, segue que



(Φ(H )) = 0. Como a união dos U

’s cobrem S

segue o resultado.

Capítulo 3

Considerações ﬁnais e exemplos

3.1 Observações sobre a compactiﬁcação de Poin-

caré

A compactiﬁcação de Poincaré não é uma aplicação injetora, como podemos ver no

Lema 3.1.1 Seja X

= ∆(x)



, . . . ,P



, com os P

’s polinomiais e ∆ como em

(2.1.1). Então



, para todos i,j ∈ N.

Demonstração: Basta observar que o grau de X

é m + 2k, onde m é o máximo

dos graus dos P

’s, e que ∆



(Φ

)

−1

(y)



= 1/y

n+1

. Daí vemos que



P, onde

P =



, . . . ,P



. Isso porque de (2.1.2) e (2.1.4), temos



= y

m+2k−1

n+1



n+1





dΦ

(P)

dΦ

−

(P)



O próximo teorema coloca uma condição suﬁciente em um campo deﬁnido

no hemisfério norte H

para que ele seja um múltiplo da compactiﬁcação de Poincaré

de um campo polinomial deﬁnido em R

Teorema 3.1.1 Seja Y =



, . . . ,Y

n+1



um campo polinomial deﬁnido em H

⊂

com os graus das partes homogêneas de todos Y

’s côngruos módulo 2, isto é:

“os graus das componentes homogêneas não nulas de Y

são todos pares, para todo

i = 1, . . . ,n + 1, ou são todos ímpares”. Então existe um inteiro k ≥ −1 tal que

Y = y

n+1





onde



X é a compactiﬁcação de Poincaré de algum campo polinomial X de R

Demonstração: Utilizando a notação da demonstração da Proposição 2.1.1, temos

que







1/y

n+1

0 ··· 0 −y

n+1

0 1/y

n+1

··· 0 −y

n+1

0 0 ··· 1/y

n+1

−y

n+1







CAPÍTULO 3. CONSIDERAÇÕES FINAIS E EXEMPLOS 55

e, se y =



/∆(x), . . . ,x

/∆(x),1/∆(x)



, com ∆ deﬁnida em (2.1.1),

= ∆(x)







1 0 ··· 0 −x

0 1 ··· 0 −x

0 0 ··· 1 −x







. (3.1.1)

Agora, colocando

m = max



grau(Y

), . . . ,grau(Y

n+1

)



deﬁnamos

X (x

, . . . ,x

) = ∆(x)

m−1

(Y (y)) ,

com y = Φ

(x). Aﬁrmamos que X é polinomial, com

= max



grau(X

), . . . ,grau(X

)



≤ m + 1. (3.1.2)

De fato, se deﬁnirmos

A(x)







1 0 ··· 0 −x

0 1 ··· 0 −x

0 0 ··· 1 −x







temos de (3.1.1) que

X (x) = A(x)



∆(x)



∆(x)

, . . .

∆(x)





e, se Y

for a parte homogênea de grau j de Y

∆(x)



∆(x)

, . . . ,

∆(x)



= ∆(x)

m−j

, . . . ,x

,1),

que é uma expressão polinomial (pois m − j é par) com grau ≤ m, seguindo que X

é polinomial de “grau” l ≤ m + 1. Agora, compactiﬁcando, temos



X (y) = y

l−1

n+1

dΦ

(

X (x)) = y

l−1

n+1

d(f

−1

)



∆(x)

m−1

(

Y (y))



= y

l−1

n+1

∆(x)

m−1

Y (y) = y

l−m

n+1

Y (y),

(onde na última igualdade ﬁzemos o seguinte cálculo: ∆(y

n+1

, . . . ,y

n+1

) =







n+1

i=1



n+1

= 1/y

n+1

, observando que estamos olhando somente y

n+1

> 0),

seguindo que Y (y) = y

m−l

n+1



X (y). Chamando k = m − l, temos de (3.1.2) que

k ≥ −1.

CAPÍTULO 3. CONSIDERAÇÕES FINAIS E EXEMPLOS 56

Observação: A compactiﬁcação de Poincaré de um campo X satisfaz a condição

colocada no teorema acima, isto é, os graus das partes homogêneas de todas as

coordenadas de X são côngruos módulo 2. Para ver isso, basta observar a expressão

(2.1.6).

Observemos ainda que um campo vetorial deﬁnido em S

pode não ter uma única

forma de escrita, por exemplo, em S

, seja o campo Y = (Y

), com

= y

− 1.

Desde que vale y

+ y

= 1, podemos também escrever

= −y

Assim, a formulação do teorema acima depende fortemente da maneira em que

o campo está escrito. Além disso, quando analisamos a expressão de um campo

polinomial em S

, não podemos aﬁrmar “à primeira vista” se ele tem ou não uma

representação homogênea, isto é, se ele tem uma representação em que todas as

suas coordenadas tenham mesmo grau. Desde que 1 − y



n+1

i=j=1

, a expressão

(2.1.6) garante que a compactiﬁcação de Poincaré de um campo polinomial tem

uma representação homogênea. Dessa forma, se um campo satisfaz as hipóteses do

teorema acima, ele tem uma representação homogênea, ou tem uma representação

em que é homogêneo multiplicado por y

−1

n+1

. Isso dá o seguinte

Corolário 3.1.2 Se Y for um campo polinomial em H

com a hipótese do Teo-

rema 3.1.1, então ele tem uma representação em que suas coordenadas são todas

homogêneas de mesmo grau, ou ele é da forma (y

−1

n+1

× “homogêneo”).

3.2 Exemplos

Nesta secção apresentaremos alguns exemplos.

3.2.1 O caso planar no inﬁnito

Consideraremos aqui polinômios hamiltonianos H : R

→R, de grau m + 1. Só que

vamos considerar outro sistema de coordenadas em S

: as coordenadas cilíndricas.

Se (y

) ∈ S

, para cada −1 < y

< 1 ﬁxo, consideremos a circunferência





1 − y

cos θ,



1 − y

senθ



que circunda S

na altura y

. Se −π/2 < θ < π/2,

isso dá uma parametrização da vizinhança

= S

\ {(y

,0,y

) | 0 ≤ y

≤ 1 e − 1 ≤ y

≤ 1} .

Mais precisamente, seja

B =



(θ,y

) ∈ R

| −

< θ <

e − 1 < y

< 1



CAPÍTULO 3. CONSIDERAÇÕES FINAIS E EXEMPLOS 57

e L : B →A

, deﬁnida por

L(θ,y

) =





1 − y

cos θ,



1 − y

senθ,y



Desde que T : A

→B deﬁnida por

T (y

) =



arctan





é a inversa de L, segue que T é uma parametrização para a vizinhança A

. (Para

ver que uma é a inversa da outra, basta perceber que, em A

arccos





1 − y



= arcsen





1 − y



= arctan





pois, se y



1 − y

cos θ, então y



1 − y

− y



(1 − y

)(1 − cos

θ) =



1 − y

senθ, seguindo que θ = arcsen





1 − y



e, dividindo adequadamente,

que θ = arctan (y

) ). Trocando-se os papéis de y

com y

, por exemplo, e

tomando y

com cuidado, conseguimos outra vizinhança e cobrimos a esfera. Os

resultados a seguir serão feitos para a vizinhança A

(uma vez que somente uma

semi-circunferência é deixada fora), mas podem ser feitos analogamente para a outra

vizinhança.

Lema 3.2.1 O campo



escrito nas coordenadas (θ,y

) tem a seguinte expressão:

Z (θ,y

) =



∂R

∂y

(θ,y

) − (m + 1)R(θ,y

), − y

∂R

∂θ

(θ,y

)



onde

R(θ,y

) = H

∗

◦ T

−1

(θ,y

) = H

∗





1 − y

cosθ,



1 − y

senθ,y



, (3.2.1)

e H

∗

) é deﬁnida em (i) da Proposição 2.2.1.

Demonstração: Como já ﬁzemos anteriormente, o campo



nas coordenadas

(θ,y

) será calculado por Z (θ,y

) = dT

◦



(y), com y = T

−1

(θ,y

◦



(y) =





∂

∂y

(arctan(y

))

∂

∂y

(arctan(y

)) 0

0 0 1















onde



) =



(y) =



∂H

∗

∂y

+ λy

, −

∂H

∗

∂y

+ λy

,λy



CAPÍTULO 3. CONSIDERAÇÕES FINAIS E EXEMPLOS 58

com λ = y

∂H

∗

/∂y

− y

∂H

∗

/∂y

, conforme (i) da Proposição 2.2.1. Seguindo daí

que

Z (θ,y

) =



−



1 − y



1 − y

, y







−

1 − y



∂H

∗

∂y

+ y

∂H

∗

∂y





∂H

∗

∂y

− y

∂H

∗

∂y





. (3.2.2)

Agora, como

∂R

∂y

(θ,y

) = −

∂H

∗

∂y

· (1 − y

)

−

cos θ −

∂H

∗

∂y

· (1 − y

)

−

senθ +

∂H

∗

∂y

= −

1 − y

∂H

∗

∂y

−

1 − y

∂H

∗

∂y

∂H

∗

∂y

usando o Lema 2.2.1 em H

∗

, temos

∂R

∂y

− (

)

= −

1 − y



∂H

∗

∂y

∂H

∗

∂y



+ y

∂H

∗

∂y

−

1 − y



(1 − y

)

∂H

∗

∂y

+ y

(1 − y

)

∂H

∗

∂y



− y

∂H

∗

∂y

= −

1 − y



∂H

∗

∂y

+ y

∂H

∗

∂y



. (3.2.3)

Além disso,

∂R

∂θ

= y



∂H

∗

∂y



1 − y

senθ −

∂H ∗

∂y



1 − y

cos θ



= y



∂H

∗

∂y

− y

∂H

∗

∂y



. (3.2.4)

Substituindo (3.2.3) e (3.2.4) em (3.2.2), temos que

Z (θ,y

) =



∂R

∂y

(θ,y

) − (m + 1)R(θ,y

), − y

∂R

∂θ

(θ,y

)



As propriedades de



no inﬁnito estão resumidas no seguinte

Teorema 3.2.1 (i) O conjunto dos pontos singulares inﬁnitos é E

∞

(ii) Os pontos singulares inﬁnitos são dados pelas raízes da função periódica de

período 2π, R(θ,0).

(iii) Se (θ

∗

,0) é um ponto singular, então (θ

∗

+ π,0) também o é. O que signiﬁca

que os pontos singulares aparecem aos pares.

CAPÍTULO 3. CONSIDERAÇÕES FINAIS E EXEMPLOS 59

(iv) Se θ

∗

é uma raiz simples de R(θ,0), então o ponto singular (θ

∗

,0) é um nó.

Neste caso, temos duas possibilidades:

(a) se m + 1 é par e (θ

∗

,0) é um nó estável, então (θ

∗

+ π,0) também é

um nó estável;

(b) se m + 1 é ímpar e (θ

∗

,0) é um nó estável, então (θ

∗

+ π,0) é um nó

instável, e vice e versa.

Demonstração: Já sabemos do Teorema 2.3.1 que os pontos singulares estão em

∞

. Se existe x ∈ E

∞

que não é ponto singular de Z =



, então o ﬂuxo Φ que

passa por x tem dimensão 1 e está em E

∞

(uma vez que (iii) do Teorema 2.3.1

garante que E

∞

é invariante por



). Mas isso é uma contradição, pois na Secção

2.4 mostramos que E

∞

é uma variedade de dimensão n − 2 = 0. Isso mostra (i).

Como E

∞

= (H

∗

)

−1

(0) ∩ {(θ,0)}, a deﬁnição de R em (3.2.1) e o que acabamos de

ver garantem que os pontos singulares são todos dados por R(θ,0) = 0, provando

(ii). Da homogeneidade de H

∗

, segue que

R(θ,0) = H

∗

(cos θ,senθ,0) = (−1)

m+1

∗

(

cos(θ + π),sen(θ + π),0

) =

= (−1)

m+1

R(θ + π,0), (3.2.5)

o que, juntamente com (ii), mostra (iii). Para provar (iv), observemos a matriz

jacobiana de Z =



num ponto singular (θ

∗

,0) (a expressão de Z foi dada no

Lema 3.2.1 acima):







−(m + 1)

∂R

∂θ

(θ

∗

,0) #

0 −

∂R

∂θ

(θ

∗

,0)







Seus autovalores são −(m + 1)

∂R

∂θ

(θ

∗

,0) e −

∂R

∂θ

(θ

∗

,0). Assim, se θ

∗

é uma raiz

simples,

∂R

∂θ

(θ

∗

,0) = 0, o que mostra que (θ

∗

,0) é um ponto singular hiperbólico,

de fato, um nó, uma vez que os autovalores têm parte real de mesmo sinal. Mais

ainda, da relação (3.2.5), segue

∂R

∂θ

(θ

∗

,0) = (−1)

m+1

∂R

∂θ

(θ

∗

+ π,0).

Então, sendo m + 1 par e (θ

∗

,0) um nó estável (instável), segue que (θ

∗

+ π,0)

também é do mesmo tipo. Se m + 1 for ímpar, (θ

∗

,0) e (θ

∗

+ π,0) têm estabilidades

opostas, como podemos ver.

3.2.2 O caso monomial no inﬁnito

Consideraremos aqui um polinômio hamiltoniano H : R

→R, de grau m + 1, tal

que sua parte homogênea de maior grau tenha a forma

m+1

, . . . ,x

) = x

···x

CAPÍTULO 3. CONSIDERAÇÕES FINAIS E EXEMPLOS 60

onde α

∈ N, j = 1, . . . n, e



= m + 1. Daremos uma descrição completa de E

∞

e do ﬂuxo invariante em E

∞

. Seja

n−2



, . . . ,y

) ∈ S

n−1

| y

= 0



Proposição 3.2.2 (i) E

∞



≥1

n−2

(ii) Se α

≥ 2, então S

n−2

consiste inteiramente de pontos singulares (isto é,

n−2

⊂ P, onde P é o conjunto dos pontos singulares de



(iii) Se α

, α

≥ 1, j = k, e n ≥ 4, então S

n−2

∩S

n−2

é uma esfera formada por

pontos singulares.

(iv) Se α

= 1, então em S

n−2

não há mais pontos críticos do que os descritos

em (iii). Mais ainda:

(a) se α

j+d

≥ 1, então toda solução começa em alguma esfera de pontos

singulares S

n−2

∩ S

n−2

e termina em S

n−2

∩ S

n−2

j+d

;

(b) se α

j+d

= 0, então toda solução começa e termina em alguma esfera

de pontos singulares S

n−2

∩ S

n−2

Demonstração: E

∞

⊂ S

n−1

está deﬁnido pela equação H

n+1

, . . . ,y

) = 0, isto

é: y

···y

= 0, que tem solução exatamente em



≥1

n−2

o que mostra (i). De (ii) do Teorema 2.3.1, temos que





n−1

tem as seguintes

entradas



∂H

m+1

∂y

i+d

+ λy



i+d

= −

∂H

m+1

∂y

+ λy

i+d

, (3.2.6)

para i = 1, . . . ,d, e

λ =



i=1



i+d

∂H

m+1

∂y

− y

∂H

m+1

∂y

i+d



Se α

≥ 2, em ∂H

m+1

/∂y

, para cada i = 1, . . . ,n, existe uma potência positiva de y

ou ∂H

m+1

/∂y

= 0. Daí, se y

= 0, todas as entradas de





n−1

se anulam, como

podemos observar nas equações acima. Portanto, se y ∈ S

n−2

, segue que y é ponto

singular, o que mostra (ii). Para ver (iii), basta observar que em ∂H

m+1

/∂y

existe

uma potência positiva de y

ou de y

(ou ∂H

m+1

/∂y

= 0). Daí, se y

= y

= 0,

CAPÍTULO 3. CONSIDERAÇÕES FINAIS E EXEMPLOS 61

segue que



= 0. Para demonstrar (iv), vamos primeiro observar duas coisas. A

primeira delas é que ∀k, com a

≥ 1, S

n−2

é invariante, p ois para k ≤ d, se Φ é um

ﬂuxo de





n−1

, com Φ

) = 0, de acordo com as equações (3.2.6), temos que



(t) = Φ

(t)

···Φ

(t)

···Φ

k+d

(t)

k+d

−1

···Φ

(t)

+ λΦ

(t),

seguindo que Φ

(t) = 0, ∀t, o que signiﬁca que Φ(t) ∈ S

n−2

, ∀t. O mesmo raciocínio

segue se k > d. A segunda coisa a ser vista é que se a

= 1, para j ≤ d, as expressões

do campo





n−1

restrito a S

n−2

são



j+d



−1 + y

j+d



∂H

m+1

∂y



j+d

∂H

m+1

∂y

, k = j + d, (3.2.7)

o que segue do seguinte: se y ∈ S

n−2

, λ = y

j+d

∂H

m+1

/∂y

(como se vê facilmente

da deﬁnição de λ), seguindo de (3.2.6) que se k ≤ d, y



= y

j+d

∂H

m+1

/∂y

. Se

k = i + d, com i = j, segue que y



= y

j+d

∂H

m+1

/∂y

. Agora, se k = j +d, y

j+d

−∂H

m+1

/∂y

+ y

j+d

∂H

m+1

/∂y

j+d



−1 + y

j+d



∂H

m+1

/∂y

. Dessa forma, de

(3.2.7), os pontos singulares estão somente em alguma esfera S

n−2

∩ S

n−2

. Mais

ainda, se temos um ﬂuxo com condição inicial Φ(t

) /∈ S

n−2

∩ S

n−2

para todo k,

segue que no intervalo −1 < y

j+d

< 0 nenhuma coordenada Φ

(t) se anula (senão

Φ(t) ∈ S

n−2

∩ S

n−2

, ∀t, pela invariância vista acima). Daí, se a

j+d

= 0, a solução

não pára em S

n−2

∩ S

n−2

j+d

, seguindo para S

n−2

∩ S

n−2

(pois o campo só será zero se

= 0, como podemos ver nas equações (3.2.7)). Se a

j+d

≥ 1, é fácil de ver que a

solução pára em S

n−2

∩ S

n−2

j+d

3.2.3 Mais alguns exemplos

Exemplo (Compactiﬁcação de Poincaré para um campo gradiente): Seja

H : R

→R um polinômio de grau m + 1. O campo gradiente de H é

∇H (x) =



∂H

∂x

, . . . ,

∂H

∂x



Utilizando a expressão (2.1.6), onde



(y) = y

n+1

∂H

∂x



n+1

, . . . ,

n+1



∂H

∗

∂y

(y), i = 1, . . . ,n,

em que H

∗

é como deﬁnido em (i) da Proposição 2.2.1, temos que a primeira coor-

denada da Compactiﬁcação de Poincaré de ∇H ,



∇H , é



∇H

∂H

∗

∂y

− y

∂H

∗

∂y

− y

∂H

∗

∂y

− ··· − y

∂H

∗

∂y

∂H

∗

∂y

+ y



−(m + 1)H

∗

(y) +

∂H

∗

∂y

n+1



CAPÍTULO 3. CONSIDERAÇÕES FINAIS E EXEMPLOS 62

onde utilizamos a homogeneidade de H

∗

e o Teorema de Euler (Lema 2.2.1). Com

considerações análogas nas demais coordenadas, chegamos ao seguinte:



∇H =



∂H

∗

∂y

+ λ



, . . . ,

∂H

∗

∂y

+ λ



,λ



n+1



, (3.2.8)

onde



= −(m + 1)H

∗

+ y

n+1

∂H

∗

∂y

n+1

Uma observação interessante que pode ser feita é que, embora em R

temos que

∇H =



0 −1

1 0



não existe nenhuma transformação linear entre





∇H , como podemos ver to-

mando algum polinômio particular, ou mesmo para um H qualquer observando as

expressões destes dois campos em S

(em (i) da proposição 2.2.1 e em (3.2.8)).

Em (ii) da Proposição 2.2.1, provamos que {H

∗

= 0} é invariante por



O próximo exemplo mostra que isso não ocorre para



∇H .

Exemplo: { H

∗

= 0} não é invariante por



∇H , pois seja H (x

) = x

. Temos

que H

∗

) = y

e λ



= −y

, logo



∇H =



1 − y

, − y



Mas, seja Φ(t) =



tanh(t),Φ

(t),Φ

(t)



, de tal forma que Φ seja ﬂuxo de



∇H .

Notemos que Φ

(0) = tanh(0) = 0, seguindo que H

∗

(Φ(0)) = 0, porém H

∗

(Φ(t)) =

(t) = tanh(t) = 0 ⇔t = 0.

Observação: Este mesmo exemplo também nos diz que E

∞

não é invariante por



∇H .

Com uma pequena variação neste exemplo, também segue que {H

∗

= c} não é

invariante por



∇H para nenhuma constante c. Agora, mesmo para



, temos o

seguinte

Exemplo: Para toda constante c = 0, {H

∗

= c} não é invariante por



, pois, em

, tomemos H (x

) = x

. Aqui, H

∗

) = y

e λ = y

, seguindo que





, − 1 + y



. (3.2.9)

Se {H

∗

= c} fosse invariante por



, um ﬂuxo Φ = (Φ

,Φ

) de



tal que

l(t

) = H

∗

(Φ(t

)) = c (onde l = H

∗

◦ Φ), teria que manter l(t) = c, ∀t. Daí

0 = l



(t) = λl(t) = Φ

(t)c, ∀t (podemos ver a segunda igualdade com cálculos

análogos aos da prova de (ii) da Proposição 2.2.1), seguindo que Φ

(t) = 0, ∀t.

Mas Φ(t) = (Φ

(t),0,Φ

(t)) não pode ser ﬂuxo de



, como podemos ver em

(3.2.9).

Referências Bibliográﬁcas

[1] CIMA, A.; LLIBRE, J. Bounded polynomial vector ﬁelds. Transactions of

the American Mathematical Society. v. 318, n. 2, 1990. p. 557-579.

[2] DELGADO, J.; LACOMBA, E. A.; LLIBRE, J.; PÉREZ, E. Poincaré compac-

tiﬁcation of Hamiltonian polynomial vector ﬁelds. In: HAMILTONIAN DYNA-

MICAL SYSTEMS, 1992, Cincinnati, OH. Proceedings... New York: Sprin-

ger, 1995. p. 99-114.

[3] DELGADO, J.; LACOMBA, E. A.; LLIBRE, J.; PÉREZ, E. Poincaré com-

pactiﬁcation of the collinear three body problem. In: INTERNATIONAL SYM-

POSIUM ON HAMILTONIAN SYSTEMS AND CELESTIAL MECHANICS,

1991, Guanajuato, México. Proceedings... River Edge, NJ: World Sci. Publ.,

1993. p. 85-100.

[4] DELGADO, J.; LACOMBA, E. A.; LLIBRE, J.; PÉREZ, E. Poincaré com-

pactiﬁcation of the Kepler and the collinear three body problem. In: SEMINAR

ON DYNAMICAL SYSTEMS, 1991, Saint Petersburg, Russia. Proceedings...

Basel: Birkhäuser, 1994. p. 117-128.

[5] LIMA, E. L. Análise no espaço R

. Brasília-DF: Editora Universidade de

Brasília, 1970. 98p.

[6] LIMA, E. L. Curso de Análise Volume 2. Sexta Edição. Rio de Janeiro:

Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPQ, 2000. 547p.

[7] MILNOR, J. W. Topology from the diﬀerentiable viewpoint. Seventh

printing. Charlottesville: The University Press of Virginia, 1988. 64p.

[8] MUNKRES, J. R. Topology: a ﬁrst course. Englewood Cliﬀs, New Jersey:

Prentice-Hall, Inc., 1975. 413p.

[9] DOS SANTOS FILHO, J. R. S. Injective mappings and solvable vector ﬁelds

of Euclidian spaces. Topology and its Applications, v. 136, n. 1-3, 2004, p.

261-274.

[10] RUDIN, W. Real and Complex Analysis. New York: McGraw-Hill, 1966.

412p.

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