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UNIVERSIDADE FEDERAL DE S
˜
AO CARLOS
CENTRO DE CI
ˆ
ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE P
´
OS-GRADUAC¸
˜
AO EM MATEM
´
ATICA
Estimativas
´
Otimas para certos Teoremas Generalizados
de Borsuk-Ulam e Ljusternik-Schnirelmann
Fab´ıolo Moraes Amaral
Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa
de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da
UFSCar como parte dos requisitos
para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em
Matem´atica.
S˜ao Carlos - SP
Julho de 2005
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Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da
Biblioteca Comunitária da UFSCar
A485eo
Amaral, Fabíolo Moraes.
Estimativas ótimas para certos teoremas generalizados
de Borsuk-Ulam e Ljusternik-Schnirelmann/ Fabíolo Moraes
Amaral. -- São Carlos : UFSCar, 2005.
83 p.
Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São
Carlos, 2005.
1. Topologia algébrica. 2. Gênus de um Z
p
-espaço. 3.
Aplicações equivariantes. 4. Teorema de Ljusternik-
Schnirelmann. I. Título.
CDD: 514.2 (20
a
)
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Agradecimentos
Agrade¸co a Deus, por ter me concedido sabedoria, sa´ude e for¸ca ne-
cess´arias para a realiza¸c˜ao deste trabalho e principalmente por ter colocado
pessoas t˜ao especiais em meu caminho, as quais agrade¸co:
Ao meu orientador, Prof. Tomas Edson Barros, que conduziu-me
passo a passo com toda aten¸c˜ao, seguran¸ca e paciˆencia, sempre respeitando
meus limites.
Aos meus pais Orlando e Relma, que n˜ao s´o agrade¸co mas tamb´em
dedico este trabalho, pois me proporcionaram todo apoio, incentivo e seguran¸ca
principalmente nos momentos mais dif´ıceis.
Aos meus irm˜aos Fab´ıola e Thiago, que amo muito.
Aos meus avˆos e av´os, a todos os meus tios em especial Riedelma e
Lenilton, e aos meus primos.
Aos professores do Departamento de Matem´atica desta Institui¸c˜ao,
Pedro Pergher, Pedro Malagutti, Dirceu Penteado, C´esar Kondo, Ivo Machado
e aos meus professores do Departamento de Ciˆencias Exatas-UESC que me
proporcionaram base e incentivo.
Ao Prof. Emerson Leal pela colabora¸c˜ao neste trabalho.
As minhas queridas afilhadas Jennifer e Giovanna e a sua m˜ae Dul-
cin´eia.
Aos colegas do Departamento Gustavo, Paulo, Ana Cl´audia, Eliza,
3
M´arcio entre os quais destaco Eduardo Palmeira pela amizade desde a gradua¸c˜ao.
Agrade¸co tamb´em aos meus amigos Gildson, Neto, Darlan, Lizandro,
Eduardo Botelho, que sempre me apoiaram, pois acreditaram em mim.
`
A C´elia e Irma (secret´arias) que sempre nos tratam com carinho,
fazendo sempre mais que seu trabalho.
E n˜ao poderia deixar de agradecer `a uma pess oa especial que muito
amo, por todo carinho que dedica a mim e principalmente por ter compreendido
minhas ausˆencias t˜ao necess´arias para a realiza¸c˜ao deste trabalho. Obrigado,
Renata.
Ao CNPq pelo apoio financeiro.
“ O ´unico lugar onde o sucesso vem antes do trabalho ´e no dicion´ario.”
Resumo
Os conhecidos Teoremas de Borsuk-Ulam e de Ljusternik-Schnirelmann
possuem diversas generaliza¸c˜oes, dentre elas destacam-se aquelas dadas por C.
Schupp [12] e H. Steinlein [14]. Schupp generaliza o Teorema de Borsuk-Ulam,
substituindo a a¸c˜ao livre de Z
2
na esfera S
n
por uma a¸c˜ao livre de Z
p
, sendo
p um n´umero primo qualquer. Na generaliza¸c˜ao do Teorema de Ljusternik-
Schnirelmann feita por Steinlein, a esfera S
n
´e substitu´ıda por um espa¸co
normal M onde Z
p
atua livremente. Exploramos nesta Disserta¸c˜ao os resul-
tados posteriores de H. Steinlein [15] no qual s˜ao provados que as estimativas
do Teorema de Schupp s˜ao as melhores poss´ıveis e que as estimativas para o
Teorema de Steinlein podem ser melhoradas para certas situa¸c˜oes e al´em dis so
vale uma esp´ecie de rec´ıproca do Teorema de Steinlein. O conceito de gˆenus de
um Z
p
-espa¸co ´e fundamental para estes teoremas, sendo que o gˆenus da esfera
n-dimensional ´e igual a n + 1, independentemente do primo p e da Z
p
a¸c˜ao
livre em S
n
. Percebemos que os m´etodos empregados para a demonstra¸c˜ao
desse resultado pode ser usado para estimar um majorante para o gˆenus de
uma n-variedade topol´ogica que admite uma Z
p
-a¸c˜ao livre.
Abstract
The classic Theorems of Borsuk-Ulam and Ljusternik-Schnirelmann
have many generalizations, among which we point out that given by C. Schupp
[12] and H. Steinlein [14]. Schupp generalizes the B orsuk-Ulam Theorem by
replacing the Z
2
-free action on the n-sphere by a Z
p
-free action, where p is any
prime number. In the generalization of the Ljusternik-Schnirelmann Theorem
maden by Steinlein, the n-sphere is replaced by a normal space M on which Z
p
acts freely. We explore in this dissertation the subsequent results of Steinlein
[15] in which is proved that the estimates of the Schupp’s Theorem are the
best possible and the estimates for the Steinlein’s Theorem can be improved
in certain cases, furthermore a sort of converse of the Steinlein Theorem is
valid. The concept of genus of a Z
p
-space is fundamental for these theorems
and the genus of the n-sphere is n + 1 independently of the prime number
and the Z
p
-free action on S
n
. We realize that the method employed in the
proof on this result can be used to estimate an upper bound for the genus of
a topological n-manifold that admits a Z
p
-free action.
Sum´ario
1 Preliminares 9
1.1 Homotopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Grau de uma aplica¸c˜ao entre esferas de mesma dimens˜ao . . . . 11
1.3 A¸c˜ao de um grupo topol´ogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Extens˜ao de aplica¸c˜oes cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Dimens˜ao topol´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Categoria de um espa¸co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7 Fibrados e Fibrados Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Uma boa estimativa do teorema de Borsuk-Ulam 29
3 O gˆenus de um Z
p
−espa¸co 40
3.1 Defini¸c˜oes e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 O gˆenus e aplica¸c˜oes equivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 A categoria do espa¸co S
n
/f 62
5 A propriedade K
m,p
67
5.1 O Teorema de Ljusternik-Schnirelmann . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2 O gˆenus e a propriedade K
m,7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Referˆencias Bibliogr´aficas 82
Introdu¸c˜ao
Esta disserta¸c˜ao tem dentre os seus objetivos o estudo dos teore-
mas de Borsuk-Ulam generalizado devido a C. Schupp [12] e de Ljusternik-
Schnirelmann generalizado, devido a Steinlein [14]. O primeiro teorema diz
que se a esfera S
n
admite uma Z
p
-a¸c˜ao livre gerada por f : S
n
→ S
n
, sendo
p um primo, e n ≥ (m − 1)(p − 1) + 1 ent˜ao para qualquer fun¸c˜ao cont´ınua
h : S
n
→ R
m
existe x ∈ S
n
tal que h(x) = h(f(x)). J´a o Teorema de Steinlein
diz que se M ´e um espa¸co normal que admite uma Z
p
-a¸c˜ao livre para algum
primo p, gerada por f : M → M e M ´e coberta por m fechados F
1
, F
2
, . . . , F
m
tais que F
i
∩ f(F
i
) = ∅ ∀ i = 1, 2, . . . , m ent˜ao
g(M, f) ≤
(m − 3)
(p−1)
2
+ 1 se p = 3
(m − 3)
(p−1)
2
+ 2 se p > 3
(1)
sendo g(M, f) o gˆenus do Z
p
-espa¸co (M, f), o qual ´e definido por A. S.
ˇ
Svarc
em [17].
Em 1984 Steinlein [15] mostrou que a estimativa dada por Schupp ´e a
melhor poss´ıvel, no entanto a estimativa dada em (1) n˜ao ´e a melhor poss´ıvel
em certos casos. O estudo destas estimativas conduz a uma certa rec´ıproca do
Teorema de Steinlein.
Nosso interesse foi estudar estas estimativas e as propriedades do gˆenus
de um Z
p
-espa¸co.
7
8
O trabalho ´e organizado como segue. O cap´ıtulo 1 ser´a dedicado
aos conceitos preliminares, que envolvem no¸c˜oes de homotopia, grau de uma
aplica¸c˜ao entre esferas de mesma dimens˜ao, a¸c˜ao de um grupo topol´ogico,
extens˜ao de aplica¸c˜oes cont´ınuas, dimens˜ao topol´ogica, categoria de um espa¸co
e fibrados, necess´arios para o bom entendimento desta disserta¸c˜ao.
No cap´ıtulo 2 exibimos a demonstra¸c˜ao de que a estimativa do Teo-
rema de Schupp ´e a melhor poss´ıvel.
No cap´ıtulo 3 ´e definido o gˆenus de um espa¸co de Hausdorff de duas
maneiras e demonstramos que estas defini¸c˜oes coincidem se o espa¸co em quest˜ao
for normal. O resultado mais importante deste cap´ıtulo relaciona o gˆenus n de
um Z
p
-espa¸co M com a existˆencia de aplica¸c˜oes equivariantes P : M → F
n,p
,
sendo F
n,p
uma classe especial de Z
p
-espa¸co.
No cap´ıtulo 4, com aux´ılio de um resultado devido a Krasnosel’skiˇı
[5], mostramos que o gˆenus da esfera n-dimensional S
n
´e igual a n + 1, inde-
pendentemente do primo p e da Z
p
-a¸c˜ao livre em S
n
. Percebemos que nesta
demonstra¸c˜ao se p ode majorar o gˆenus de uma Z
p
-variedade n-dimensional
por n + 1.
No ´ultimo cap´ıtulo verificamos que vale de um certo modo a rec´ıproca
do teorema de Ljusternik-Schnirelmann generalizado e que a estimativa do
gˆenus para um espa¸co com uma Z
7
−a¸c˜ao livre que tem base enumer´avel e
uma propriedade K
m,7
, propriedade essa que equivale `as hip´oteses do Teorema
de Steinlein enunciado acima, pode ser melhorada.
Cap´ıtulo 1
Preliminares
Este cap´ıtulo tem como finalidade definir os conceitos b´asicos que
ser˜ao usados no presente trabalho. Iniciaremos com a defini¸c˜ao de homotopia,
na se¸c˜ao posterior definiremos grau de uma aplica¸c˜ao entre esferas de mesma
dimens˜ao e listaremos algumas de suas propriedades. O grau que definimos
aqui ´e bastante conhecido na literatura como o grau de Brower. Definiremos
tamb´em grupos topol´ogicos e a¸c˜ao de tais grupos em um espa¸co topol´ogico, ´e
a partir dessa defini¸c˜ao e de alguns resultados inerentes ao grau que veremos
que o grupo topol´ogico (Z
2
, +) ´e o ´unico grupo n˜ao trivial que pode atuar
livremente na esfera n-dimensional S
n
se n ´e par, e isto vai ser de grande
utilidade no nosso trabalho. A se¸c˜ao 1.4 ´e dedicada a extens˜ao de aplica¸c˜oes
cont´ınuas, nela veremos algumas consequˆencias do teorema de extens˜ao de H.
Tietze. Nas trˆes ´ultimas se¸c˜oes daremos ˆenfase aos conceitos de dimens˜ao
topol´ogica, categoria de um espa¸co e fibrados, respectivamente.
Ao leitor familiarizado com tais defini¸c˜oes fica a seu crit´erio dispensar
ou n˜ao a leitura deste primeiro cap´ıtulo, retornando ao mesmo conforme a
necessidade.
Para maiores detalhes sobre os assuntos mencionados neste cap´ıtulo
9
10
ver [1], [2], [3], [4], [6], [8], [9], [10], [11] e [20].
1.1 Homotopia
Sejam X e Y espa¸cos topol´ogicos e f, g : X −→ Y aplica¸c˜oes cont´ınuas,
dizemos que f ´e homot´opica `a g quando existe uma aplica¸c˜ao cont´ınua
H : X ×I −→ Y (sendo I o intervalo fechado [0, 1] ⊆ R) tal que H(x, 0) = f(x)
e H(x, 1) = g(x) para todo x ∈ X.
A aplica¸c˜ao H ´e uma homotopia entre f e g e, ´e denotada por f
H
g
ou simplesmente f g.
Exemplo 1.1.1 Se Y ⊆ R
n
´e convexo ent˜ao todas as aplica¸c˜oes cont´ınuas de
X em Y s˜ao homot´opicas , pois sejam f, g : X −→ Y ent˜ao basta definirmos
H : X × I −→ Y por H(x, t) = tf(x) + (1 − t)g(x).
Observemos tamb´em que, a rela¸c˜ao de homotopia ´e compat´ıvel com
composi¸c˜ao de fun¸c˜oes, ou seja, dadas as aplica¸c˜oes cont´ınuas f, f
: X −→ Y
e g, g
: Y −→ Z tais que f f
e g g
ent˜ao g ◦ f g
◦ f
.
Defini¸c˜ao 1.1.1 Dizemos que dois espa¸cos topol´ogicos X e Y possuem o
mesmo tipo de homotopia se existem aplica¸c˜oes cont´ınuas f : X −→ Y e
g : Y −→ X tais que:
f ◦ g id
Y
e g ◦ f id
X
sendo id
X
e id
Y
as aplica¸c˜oes identidade de X e Y , respectivamente.
A aplica¸c˜ao f ´e chamada equivalˆencia homot´opica e denotamos os
espa¸cos topol´ogicos com mesmo tipo de homotopia por X Y .
Exemplo 1.1.2 Se X e Y s˜ao homeomorfos ent˜ao possuem o mesmo tipo de
homotopia.
11
Exemplo 1.1.3 R
n
− {0} e S
n−1
possuem o mesmo tipo de homotopia. De
fato, consideremos f : S
n−1
−→ R
n
− {0} a inclus˜ao e g : R
n
− {0} −→ S
n−1
dada por g(x) =
x
x
. Assim, f ◦ g id
R
n
−{0}
e g ◦f id
S
n−1
.
Defini¸c˜ao 1.1.2 Um espa¸co topol´ogico X ´e contr´atil se a aplica¸c˜ao identi-
dade id
X
: X −→ X ´e homot´opica a uma aplica¸c˜ao constante.
Observa¸c˜ao 1.1.1 Um espa¸co X tem o mesmo tipo de homotopia que um
ponto se e somente se X ´e contr´atil.
1.2 Grau de uma aplica¸c˜ao entre esferas de
mesma dimens˜ao
Defini¸c˜ao 1.2.1 Sejam S
n
a esfera unit´aria n−dimensional, f : S
n
−→ S
n
uma aplica¸c˜ao cont´ınua, f
∗
: H
n
(S
n
) −→ H
n
(S
n
) o homomorfismo induzido
de f na n−´esima homologia de S
n
e α ∈ H
n
(S
n
)
∼
=
Z um gerador.
O grau de f ´e definido como sendo o ´unico inteiro grau(f) ∈ Z tal que
f
∗
(α) =grau(f).α .
Propriedades:
(1) Se f : S
n
−→ S
n
´e homeomorfismo, ent˜ao grau(f) = ±1.
(2) grau(id
S
n
) = 1, sendo id
S
n
: S
n
−→ S
n
a aplica¸c˜ao identidade.
(3) Se f, g : S
n
−→ S
n
s˜ao cont´ınuas e homot´opicas,ent˜ao grau(f)=grau(g).
(4) Se f, g : S
n
−→ S
n
s˜ao cont´ınuas, ent˜ao grau(g ◦ f)=grau(g).grau(f).
(5) grau(A) = (−1)
n+1
, sendo A : S
n
−→ S
n
a aplica¸c˜ao ant´ıpoda dada por
A(x) = −x .
12
Lema 1.2.1 Sejam f, g : S
n
−→ S
n
aplica¸c˜oes cont´ınuas tais que
grau(f)+(−1)
n
.grau(g)= 0. Ent˜ao ∃ x ∈ S
n
tal que f(x) = g(x).
Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que f(x) = g(x) ∀x ∈ S
n
, ent˜ao o segmento de
reta ligando f(x) a −g(x) n˜ao passa pela origem, sendo assim podemos definir
a aplica¸c˜ao cont´ınua F : S
n
×[0, 1] −→ S
n
dada por F (x, t) =
(1−t)f(x)−tg(x)
(1−t)f(x)−tg(x)
.
Observe que F ´e uma homotopia entre f e aplica¸c˜ao A◦g sendo A : S
n
−→ S
n
dada por A(x) = −x. Portanto, segue de (3), (4) e (5) que grau (f)=grau
(A ◦ g)=grau (A).grau (g)=(−1)
n+1
grau (g), ou seja, grau (f)+(−1)
n
grau
(g)= 0, o que ´e um absurdo.
Lema 1.2.2 Seja f : S
2n
−→ S
2n
uma aplica¸c˜ao cont´ınua tal que grau (f)≥ 0.
Ent˜ao ∃ x ∈ S
2n
tal que f(x) = x.
Demonstra¸c˜ao: Seja id
S
2n
: S
2n
−→ S
2n
a aplica¸c˜ao identidade. Como o
grau (id
S
2n
)= 1 temos que grau (f)+(−1)
2n
grau (id
S
n
)=grau (f)+1= 0. Us-
ando o Lema acima podemos afirmar que ∃ x ∈ S
2n
tal que f(x) = id
S
2n
(x) =
x, ou seja, f tem ponto fixo.
1.3 A¸c˜ao de um grupo topol´ogico
Defini¸c˜ao 1.3.1 Um grupo topol´ogico (G, ∗) ´e um grupo que tamb´em ´e
espa¸co topol´ogico, satisfazendo as propriedades abaixo:
(i) A opera¸c˜ao ∗ : G × G −→ G do grupo G ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua.
(ii) A aplica¸c˜ao G −→ G dada por g → g
−1
´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua.
Exemplo 1.3.1 O grupo (Z, +) ´e um grupo topol´ogico, sendo Z o conjunto
dos n´umeros inteiros.
13
Exemplo 1.3.2 (S
1
, .) ´e um grupo topol´ogico, sendo S
1
o espa¸co de todos os
n´umeros complexos z tal que z = 1.
Defini¸c˜ao 1.3.2 Uma a¸c˜ao `a esquerda (direita) de um grupo topol´ogico
(G, ∗) em um espa¸co topol´ogico X ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua G × X −→ X
(usualmente denotada por (g, x) → gx) ((g, x) → xg)) que satisfaz as seguintes
propriedades:
(i) e
G
x = x (xe
G
= x) ∀ x ∈ X, sendo e
G
o elemento neutro do grupo G.
(ii) (g
1
∗ g
2
)x = g
1
(g
2
x) (x(g
1
∗ g
2
) = (xg
1
)g
2
) ∀ x ∈ X e g
1
, g
2
∈ G.
Quando uma tal a¸c˜ao ´e dada dizemos que G atua no espa¸co X pela
esquerda (direita) .
As observa¸c˜oes, defini¸c˜oes e teoremas abaixo ser˜ao dados considerando-
se a¸c˜oes `a esquerda, no entanto tudo permanece v´alido para as correspondentes
a¸c˜oes `a direita.
Observa¸c˜ao 1.3.1 Se a a¸c˜ao definida acima satisfaz a seguinte propriedade
abaixo:
gx = x para algum x ∈ X =⇒ g = e
G
ent˜ao dizemos que a a¸c˜ao ´e livre, ou que G atua livremente no espa¸co X, e
neste caso dizemos que X ´e um G-espa¸co.
Uma a¸c˜ao G × X −→ X ´e dita ser propriamente descont´ınua
se para todo x ∈ X existe U ⊆ X aberto tal que x ∈ U e U ∩ gU = ∅
∀ g ∈ G, g = e
G
, sendo gU = {gy ∈ X ; y ∈ U}.
Lema 1.3.1 Se X ´e um espa¸co de Hausdorff e G ´e um grupo finito ent˜ao toda
a¸c˜ao livre de G em X ´e propriamente descont´ınua.
14
Prova: Seja G = {e
G
, g
1
, ..., g
k
}. Dado x ∈ X, como a a¸c˜ao ´e livre devemos
ter x = g
j
x para todo j = 1, 2, . . . , k. Como X ´e um espa¸co de Hausdorff
existem abertos U
j
e V
j
de X tais que x ∈ U
j
, g
j
x ∈ V
j
e U
j
∩V
j
= ∅ para todo
j = 1, 2, . . . , k. Seja U = ∩
k
j=1
[U
j
∩ (g
−1
j
V
j
)], temos ent˜ao que U ´e aberto e
x ∈ U. Al´em disso, U ∩g
j
U = ∅ ∀ j = 1, 2, . . . , k, pois se existisse y ∈ U ∩g
j
U
ent˜ao y ∈ U
j
e y ∈ g
j
U ⊆ g
j
(g
−1
j
V
j
) = V
j
o que ´e um absurdo.
Pode ser demonstrado sem dificuldades o seguinte teorema:
Teorema 1.3.1 Seja (G, ∗) um grupo topol´ogico atuando em um espa¸co
topol´ogico X.
(i) A rela¸c˜ao em X definida por x ∼ y ⇐⇒ gx = y para algum g ∈ G ´e uma
rela¸c˜ao de equivalˆencia.
(ii) Para cada x ∈ X, G
x
= {g ∈ G ; gx = x} ´e um subgrupo de G, chamado
subgrupo de isotropia de x ∈ G.
Teorema 1.3.2 Se um grupo topol´ogico (G, ∗) atua no espa¸co topol´ogico X,
ent˜ao esta a¸c˜ao induz um homomorfismo (G, ∗) −→ (Homeo(X), ◦), sendo
(Homeo(X), ◦) o grupo de todos os homeomorfismos de X em X munido da
opera¸c˜ao de composi¸c˜ao.
Demonstra¸c˜ao: Seja g ∈ G, a aplica¸c˜ao τ
g
: X −→ X dada por τ
g
(x) = gx ´e
uma bije¸c˜ao, onde (τ
g
)
−1
= τ
g
−1
. Al´em disso, τ
g
´e cont´ınua, pois ´e a composi¸c˜ao
da aplica¸c˜ao cont´ınua λ : X −→ G × X dada por λ(x) = (g, x) com aplica¸c˜ao
G × X −→ X dada por (g, x) → gx, o mesmo ocorre com τ
g
−1
. O conjunto
Bij(X, X) das bije¸c˜oes de X em X ´e um grupo com a opera¸c˜ao composi¸c˜ao
e Homeo(X) = {h : X −→ X; h ´e homeomorfismo } ´e um subgrupo do
grupo Bij(X, X). Considere agora a aplica¸c˜ao φ : G −→ Homeo(X) dada por
15
φ(g) = τ
g
e note que φ(g
1
∗g
2
) = τ
g
1
∗g
2
= τ
g
1
◦τ
g
2
= φ(g
1
) ◦φ(g
2
), logo φ ´e um
homomorfismo como quer´ıamos.
Observa¸c˜ao 1.3.2 Se a¸c˜ao ´e livre o homomorfismo φ do teorema acima ´e in-
jetor, al´em disso para cada elemento g = e
G
o homeomorfismo correspondente
τ
g
n˜ao fixa ponto.
Defini¸c˜ao 1.3.3 A ´orbita de x ∈ X, x = {gx ; g ∈ G} ´e a classe de
equivalˆencia de x da rela¸c˜ao de equivalˆencia definida acima.
Denotamos por X/G ao conjunto de todas as ´orbitas x da a¸c˜ao G
sobre X, o qual ´e munido da topologia quociente induzida pela aplica¸c˜ao p :
X −→ X/G que associa cada x ∈ X sua ´orbita x. O conjunto X/G munido
dessa topologia ´e chamado espa¸co de ´orbitas da a¸c˜ao G × X −→ X.
Teorema 1.3.3 Se um grupo topol´ogico G atua no espa¸co topol´ogico X, ent˜ao
o cardinal da ´orbita de x ∈ X ´e o ´ındice [G : G
x
].
Demonstra¸c˜ao: Sejam g, h ∈ G. Como
gx = hx ⇐⇒ (g
−1
∗ h)x = x ⇐⇒ g
−1
∗ h ∈ G
x
⇐⇒ h ∗ G
x
= g ∗ G
x
segue que a aplica¸c˜ao g ∗ G
x
→ gx ´e uma bije¸c˜ao bem definida de G/G
x
em
x = {gx ; g ∈ G}.
Observa¸c˜ao 1.3.3 Dada uma aplica¸c˜ao f : M −→ M, ent˜ao para cada n ∈ N
denotamos f
n
: M −→ M como sendo f
0
= id
M
e f
n
= f ◦ f
(n−1)
se n > 0.
Teorema 1.3.4 Seja G = Z
p
= Z/pZ o grupo dos inteiros m´odulo p sendo p
um n´umero primo, seja M um espa¸co topol´ogico e f : M → M uma aplica¸c˜ao
cont´ınua tal que f
p
= id
M
e f(x) = x ∀ x ∈ M, ent˜ao G atua livremente em
M.
16
Demonstra¸c˜ao: Definamos a seguinte aplica¸c˜ao ψ : G ×M −→ M dada por
ψ(k, x) = f
k
(x) ∀ x ∈ M. N˜ao ´e dificil verificar que a aplica¸c˜ao ψ satisfaz
as propriedades da defini¸c˜ao 1.3.2; basta ent˜ao mostrar que essa a¸c˜ao ´e livre.
Pelo teorema de Lagrange, temos que |G| = [G : G
x
].|G
x
| ∀ x ∈ M(|G| denota
o cardinal de G), mas pelo teorema 1.3.3 temos que p = |x|.|G
x
|, da´ı segue
que |x| = 1 e |G
x
| = p ou |x| = p e |G
x
| = 1. Como a ´orbita de x ∈ M ´e dada
por x = {f
k
(x) ; k ∈ G} e f(x) = x ∀ x ∈ M podemos afirmar que |x| ´e no
m´ınimo 2. Portanto, necessariamente devemos ter |x| = p e |G
x
| = 1, ou seja,
G
x
= {0} e consequentemente ψ ´e uma a¸c˜ao livre.
Defini¸c˜ao 1.3.4 Quando uma aplica¸c˜ao f : M −→ M satisfaz `as hip´oteses
do teorema acima, ent˜ao dizemos que f gera uma Z
p
-a¸c˜ao livre em M.
Exemplo 1.3.3 Seja M = S
n
a esfera n-dimensional e A : S
n
−→ S
n
a
aplica¸c˜ao ant´ıpoda dada por A(x) = −x, observe que A ´e cont´ınua, A
2
= id
S
n
e A(x) = x ∀ x ∈ S
n
, logo A gera uma Z
2
-a¸c˜ao livre em S
n
, ψ : Z
2
×S
n
−→ S
n
dada por ψ(0, x) = x e ψ(1, x) = −x.
Exemplo 1.3.4 Seja T o toro em R
3
formado pela rota¸c˜ao do c´ırculo
(x − 3)
2
+ z
2
= 1 sobre o eixo-z. Seja f : T −→ T definida por f(x, y, z) =
(−x, −y, −z) a reflex˜ao em torno da origem. A aplica¸c˜ao f gera uma Z
2
−a¸c˜ao
livre em T .
Exemplo 1.3.5 Seja S
2n−1
= {z = (z
1
, ..., z
n
) ∈ C
n
; z = 1}, e =
e
2πi
k
sendo k ∈ N
∗
os naturais sem o zero. Considere q
1
, ..., q
n
n´umeros in-
teiros que s˜ao primos relativos com k. Ent˜ao f : S
2n−1
−→ S
2n−1
dada
por f(z
1
, ..., z
n
) = (
q
1
z
1
, ...,
q
n
z
n
) gera uma Z
k
−a¸c˜ao livre em S
2n−1
. O
espa¸co de ´orbitas S
2n−1
/Z
k
dessa a¸c˜ao ´e chamado espa¸co lenticular de tipo
17
(k; q
1
, q
2
, . . . , q
n
) e denotado por
L(k; q
1
, q
2
, . . . , q
n
).
Teorema 1.3.5 Z
2
´e o ´unico grupo n˜ao trivial que pode atuar livremente na
esfera n-dimensional S
n
se n ´e par.
Demonstra¸c˜ao: Desde que o grau de um homeomorfismo deve ser ±1, a a¸c˜ao
de um grupo (G, ∗) em S
n
determina uma fun¸c˜ao d : G −→ {±1} dada por
d(g) =grau τ
g
, onde τ
g
: S
n
−→ S
n
´e um homeomorfismo e {−1, 1} ´e um grupo
com a multiplica¸c˜ao usual. A aplica¸c˜ao d ´e um homomorfismo, pois d(g
1
∗g
2
)
= grau (τ
g
1
∗g
2
) = grau (τ
g
1
◦ τ
g
2
) = grau (τ
g
1
).grau(τ
g
2
)=d(g
1
).d(g
2
). Veremos
agora que quando n ´e par o n´ucleo do homomorfismo d ´e trivial. Para isso
suponha que exista g = e
G
tal que g ∈ N´ucleo(d) = {g ∈ G; d(g) = 1}, ou
seja, o grau (τ
g
) = 1. Usando o lema 1.2.2 temos que τ
g
tem um ponto fixo, o
que ´e um absurdo, pois a a¸c˜ao ´e livre. Portanto, quando n ´e par G ´e isomorfo
a d(G) que ´e um subgrupo de {−1, 1}.
1.4 Extens˜ao de aplica¸c˜oes cont´ınuas
Um dos problemas mais importantes da topologia ´e o da extens˜ao
de aplica¸c˜oes cont´ınuas. Nesse problema, ´e dada uma aplica¸c˜ao cont´ınua
f : A −→ Y , definida num subconjunto fechado A de um espa¸co topol´ogico X
e indaga-se sobre a possibilidade de estender f a X, ou seja, sobre a existˆencia
de f : X −→ Y cont´ınua tal que a restri¸c˜ao de f ao subconjunto A coincida
com f, ou s eja, f|
A
= f.
Resultados importantes concernentes `a extens˜ao de fun¸c˜oes cont´ınuas
s˜ao o famoso teorema de Tietze e suas consequˆencias imediatas os quais lista-
mos abaixo.
18
Teorema 1.4.1 (H. Tietze)([9]) Seja X um espa¸co normal e A um subcon-
junto fechado de X.
(a) Qualquer aplica¸c˜ao cont´ınua de A sobre o intervalo fechado [a, b] de R
pode ser estendida a uma aplica¸c˜ao cont´ınua de X sobre [a, b].
(b) Qualquer aplica¸c˜ao cont´ınua de A sobre R pode ser estendida a uma
aplica¸c˜ao cont´ınua de X sobre R.
Antes de enunciar algumas consequˆencias b´asicas do teorema acima,
vamos fixar as seguintes nota¸c˜oes:
I
n
= [a, b] × [a, b] × ... × [a, b], a, b ∈ R, a < b
S
n
= {(x
1
, ..., x
n
, x
n+1
) ∈ R
n+1
; x
2
1
+ ... + x
2
n
+ x
2
n+1
= 1}
S
n
+
= {(x
1
, ..., x
n
, x
n+1
) ∈ S
n
; x
n+1
≥ 0}
D
n
= {(x
1
, ..., x
n
) ∈ R
n
; (x
1
, ..., x
n
) ≤ 1}
Corol´ario 1.4.1 Seja X um espa¸co normal e A ⊂ X um subconjunto fechado.
Seja f : A −→ I
n
cont´ınua, ent˜ao f pode ser estendida continuamente a X.
Prova: Note que f = (f
1
, ..., f
n
) onde f
i
: A −→ [a, b] ´e cont´ınua ∀ i =
1, .., n. Sendo assim pelo teorema acima cada f
i
pode ser estendida para
uma aplica¸c˜ao cont´ınua f
i
: X −→ [a, b]. Defina f : X −→ I
n
como sendo
f(x) = (f
1
(x), ..., f
n
(x)) ∀ x ∈ X. Como suas coordenadas s˜ao cont´ınuas
podemos afirmar que f ´e cont´ınua, al´em disso dado a ∈ A temos f(a) =
(f
1
(a), ..., f
n
(a)) = (f
1
(a), ..., f
n
(a)) = f(a). Portanto, f ´e uma extens˜ao
cont´ınua de f.
Corol´ario 1.4.2 Seja X um espa¸co normal e A ⊂ X um subconjunto fechado.
Seja f : A −→ R
n
cont´ınua, ent˜ao f pode ser estendida continuamente a X.
19
Prova: A prova ´e an´aloga a do corol´ario anterior.
Corol´ario 1.4.3 Seja X um espa¸co normal e A ⊆ X um subconjunto fechado
de X. Se Y ´e homeomorfo a R
n
ou a I
n
para algum n ≥ 1, ent˜ao toda fun¸c˜ao
cont´ınua f : A −→ Y possui extens˜ao cont´ınua f : X −→ Y .
Prova: Suponhamos que h : Y −→ R
n
seja um homeomorfismo entre Y e R
n
,
ent˜ao h ◦ f : A −→ R
n
admite uma extens˜ao cont´ınua h ◦ f : X −→ R
n
pelo
corol´ario acima. Defina f = h
−1
◦ h ◦ f : X −→ Y e observe que f ´e cont´ınua
pois ´e composi¸c˜ao de fun¸c˜oes cont´ınuas, al´em disso dado a ∈ A temos f(a) =
(h
−1
◦ h ◦ f)(a) = h
−1
((h ◦ f)(a)) = h
−1
((h ◦f)(a)) = (h
−1
◦ h)(f(a)) = f(a).
Portanto, f ´e uma extens˜ao cont´ınua de f. No caso em que Y ´e homeomorfo
a I
n
a prova ´e an´aloga.
Uma vez que,
S
n
− {p} ≈ R
n
(p ∈ S
n
)
D
n
≈ I
n
S
n
+
≈ D
n
≈ I
n
seguem os resultados abaixo, sendo que ≈ denota homeomorfismo.
Corol´ario 1.4.4 Seja X um espa¸co normal e A ⊂ X um subconjunto fechado.
Seja f : A −→ S
n
cont´ınua e n˜ao sobrejetora, ent˜ao f pode ser estendida
continuamente a X.
Corol´ario 1.4.5 Seja X um espa¸co normal e A ⊂ X um subconjunto fechado.
Seja f : A −→ D
n
cont´ınua, ent˜ao f pode ser estendida continuamente a X.
Corol´ario 1.4.6 Seja X um espa¸co normal e A ⊂ X um subconjunto fechado.
Seja f : A −→ S
n
+
cont´ınua, ent˜ao f pode ser estendida continuamente a X.
20
1.5 Dimens˜ao topol´ogica
Nesta se¸c˜ao definiremos o conceito de dimens˜ao topol´ogica, e a partir
da´ı enunciaremos alguns resultados pertinentes a teoria da dimens˜ao.
Defini¸c˜ao 1.5.1 Uma cole¸c˜ao Γ de subconjuntos de um espa¸co X ´e dito ter
ordem m + 1 se algum ponto de X est´a em m + 1 elementos de Γ, e nenhum
ponto de X est´a em mais do que m + 1 elementos de Γ.
Defini¸c˜ao 1.5.2 Sejam Γ e β cole¸c˜oes de conjuntos, dizemos que β refina Γ
se para cada B ∈ β, existe A ∈ Γ tal que B ⊆ A.
Defini¸c˜ao 1.5.3 Um espa¸co X ´e dito ter dimens˜ao finita se existe algum
inteiro m tal que para toda cobertura aberta Γ de X, existe uma cobertura
aberta β de X que refina Γ e tem ordem menor ou igual a m + 1. A dimens˜ao
topol´ogica de X ´e definida como sendo o menor valor de m para que isto ocorra.
Observa¸c˜ao 1.5.1 A dimens˜ao topol´ogica de um espa¸co X ´e denotado por
dim X.
Exemplo 1.5.1 Todo conjunto com a topologia discreta tem dimens˜ao
topol´ogica igual a 0.
Listaremos abaixo alguns resultados que envolvem dimens˜ao topol´ogica.
Defini¸c˜ao 1.5.4 Uma n−variedade topol´ogica ´e um espa¸co M de Hausdorff
com base enumer´avel tal que para cada ponto p ∈ M existe uma vizinhan¸ca
aberta de p que ´e homeomorfa a um aberto do espa¸co euclidiano R
n
.
Teorema 1.5.1 ([9]) Se M ´e uma n-variedade topol´ogica ent˜ao dim M = n.
Segue diretamente das defini¸c˜oes de n−variedade topol´ogica e de a¸c˜ao
propriamente descont´ınua o seguinte resultado
21
Teorema 1.5.2 Se G ´e um grupo topol´ogico que atua sobre uma n−variedade
topol´ogica M de tal forma que essa a¸c˜ao ´e propriamente descont´ınua ent˜ao o
espa¸co de ´orbitas M/G ´e ainda uma n−variedade topol´ogica.
Corol´ario 1.5.1 Se M ´e uma n−variedade topol´ogica que ´e um G−espa¸co
sendo G um grupo finito, ent˜ao o espa¸co de ´orbitas M/G ´e uma n−variedade
topol´ogica e portanto dim M/G = n = dim M.
Prova: Pelo lema 1.3.1 a a¸c˜ao ´e propriamente descont´ınua, logo pelos teoremas
1.5.2 e 1.5.1 acima segue o resultado.
1.6 Categoria de um espa¸co
Em 1930, Ljusternick e Schnirelmann ([8]) introduziram a no¸c˜ao de
categoria de uma variedade M. Essa mesma defini¸c˜ao se aplica a um espa¸co
topol´ogico arbitr´ario, al´em disso a categoria de um espa¸co X ´e um invariante
homot´opico.
Defini¸c˜ao 1.6.1 A categoria de um espa¸co topol´ogico X ´e o menor n´umero
de conjuntos fechados e contr´ateis em X que formam uma cobertura de X.
Observa¸c˜ao 1.6.1 Na defini¸c˜ao acima quando dizemos que F ⊆ X ´e um
conjunto fechado ”contr´atil em X”, queremos dizer que a inclus˜ao j : F → X
´e homot´opica a uma aplica¸c˜ao constante. Assim, por exemplo S
1
´e contr´atil
em S
2
, embora S
1
n˜ao seja contr´atil.
Observa¸c˜ao 1.6.2 Denotaremos a categoria de X por cat X.
Teorema 1.6.1 cat X = 1 se e somente se X ´e contr´atil.
22
Teorema 1.6.2 Se X tem o mesmo tipo de homotopia que Y ent˜ao
cat X = cat Y.
Prova: Como X Y ent˜ao existem aplica¸c˜oes cont´ınuas f : X −→ Y e
g : Y −→ X tais que f ◦ g id
Y
e g ◦ f id
X
. Note que Y = ∪
n
i=1
g
−1
(A
i
),
sendo cada g
−1
(A
i
) fechado em Y ,pois A
i
´e fechado em X e g ´e cont´ınua.
Verifiquemos que g
−1
(A
i
) ´e contr´atil em Y para i = 1, ..., n. Seja a aplica¸c˜ao
H
i
: A
i
× I −→ X tal que H
i
(x, 0) = x e H
i
(x, 1) = e
x
sendo e
x
um caminho
constante. Consideremos agora F
i
: g
−1
(A
i
) × I −→ Y como sendo F
i
(y, t) =
(f ◦ H
i
)(g(y), t), assim F
i
(y, 0) = (f ◦ H
i
)(g(y), 0) = f(g(y)) = (f ◦ g)(y) e
F
i
(y, 1) = (f ◦ H
i
)(g(y), 1) = f(e
x
) = e
y
sendo e
y
um caminho constante.
Sendo G : Y × I −→ Y uma homotopia entre f ◦ g e id
Y
, ent˜ao G|
g
−1
(A
i
)×I
´e uma homotopia entre f ◦ g|
g
−1
(A
i
)
e i : g
−1
(A
i
) −→ Y a inclus˜ao. Portanto
cat Y ≤ cat X, e de maneira an´aloga mostra-se que cat X ≤ cat Y .
Exemplo 1.6.1 cat S
n
= 2, n ≥ 0.
Exemplo 1.6.2 cat (R
n+1
−{0}) = cat (D
n+1
−{0}) = 2, porque ambos tˆem
o mesmo tipo de homotopia da S
n
, sendo que D
n+1
= {x ∈ R
n+1
; x ≤ 1}.
Listaremos abaixo outro resultado pertinente a categoria de um espa¸co
(c.f.[4]).
Teorema 1.6.3 Se X ´e conexo por caminhos e paracompacto ent˜ao
cat X ≤ dim X + 1.
1.7 Fibrados e Fibrados Principais
A defini¸c˜ao de fibrados que daremos nesta se¸c˜ao pode ser encarada
como a generaliza¸c˜ao de espa¸cos de recobrimento , ou seja, localmente como o
23
produto do espa¸co base por sua fibra.
Defini¸c˜ao 1.7.1 Sejam X,B e F espa¸cos (de Hausdorff ) e p : X −→ B
uma aplica¸c˜ao cont´ınua. D izemos que p ´e uma fibra¸c˜ao localmente trivial
com fibra F se para cada b ∈ B existe uma vizinhan¸ca U tal que b ∈ U e um
homeomorfismo φ : U ×F −→ p
−1
(U) tal que p(φ(b, y)) = b para todo b ∈ U e
y ∈ F .
Observa¸c˜ao 1.7.1 Observe que em p
−1
(U), p corresponde `a proje¸c˜ao
U × F −→ U. Assim, a aplica¸c˜ao φ ´e chamada de trivializa¸c˜ao local.
Observemos tamb´em que se b ∈ U ent˜ao a restri¸c˜ao de φ a {b}×F −→ p
−1
(b)
´e um homeomorfismo , ou seja, se p : X −→ B ´e uma fibra¸c˜ao localmente
trivial com fibra F , ent˜ao F ≈ p
−1
(b) ∀ b ∈ B.
Exemplo 1.7.1 Seja p : B × F −→ B dada por p(x, e) = x, ent˜ao p ´e
uma fibra¸c˜ao localmente trivial, pois dado b ∈ B existe U = B tal que
φ : B × F −→ p
−1
(U) = B × F dada por φ(x, e) = (x, e) ´e uma trivializa¸c˜ao
local.
Exibiremos agora a defini¸c˜ao de fibrado.
Defini¸c˜ao 1.7.2 Seja G um grupo topol´ogico atuando livremente pela direita
num espa¸co (de Hausdorff ) F como um grupo de homeomorfismos. Sejam
X e B espa¸cos (de Hausdorff ). Um fibrado ξ sobre um espa¸co base B,
com espa¸co total X, fibra F e grupo estrutural G, consiste numa fibra¸c˜ao
localmente trivial p : X −→ B junto com uma cole¸c˜ao Ω de trivializa¸c˜oes
locais φ : U × F −→ p
−1
(U), chamadas cartas sobre U, tais que:
(i) cada ponto de B possui uma vizinhan¸ca sobre a qual existe uma carta em
Ω.
24
(ii) se φ : U × F −→ p
−1
(U) est´a em Ω e V ⊂ U, ent˜ao a restri¸c˜ao de φ `a
V × F est´a em Ω.
(iii) se ψ, φ ∈ Ω s˜ao cartas sobre U, ent˜ao existe uma aplica¸c˜ao θ : U −→ G
tal que ψ(u, y) = φ(u, yθ(u)).
(iv) o conjunto Ω ´e maximal satisfazendo (i),(ii) e (iii).
Denotamos o fibrado acima por ξ = (X, p, B, F, G). Algumas vezes, o
espa¸co total de um fibrado ξ ´e denotado por E(ξ) e o espa¸co base por B(ξ).
Observa¸c˜ao 1.7.2 Dadas as cartas φ e ψ sobre U, temos que
φ
−1
ψ : U × F −→ U × F ´e um homeomorfismo que comuta com a
proje¸c˜ao π : U × F −→ U. Assim, segue que φ
−1
ψ(u, y) = (u, µ(u, y)), sendo
µ : U × F −→ F a aplica¸c˜ao cont´ınua dada por µ = π
F
φ
−1
ψ, com
π
F
: U ×F −→ F a proje¸c˜ao em F . Definindo θ : U −→ G por yθ(u) = µ(u, y),
temos que θ do item (iii) da defini¸c˜ao acima ´e completamente determinado
pelas cartas φ e ψ.
Exemplo 1.7.2 O Fibrado Produto ξ = (B × F, p, B, F, {id}).
J´a vimos que a fibra¸c˜ao localmente trivial ´e a proje¸c˜ao na primeira vari´avel,
φ = id e U = B. Observe que o grupo estrutural consiste apenas do elemento
neutro (id : F −→ F ).
Defini¸c˜ao 1.7.3 Dados G−espa¸cos X e Y , dizemos que uma fun¸c˜ao cont´ınua
f : X −→ Y ´e equivariante se f(g · x) = g · f(x) ∀ g ∈ G, x ∈ X, ou seja,
o diagrama
G × X
id
G
×f
φ
//
X
f
G × Y
ψ
//
Y
25
comuta, sendo φ e ψ as a¸c˜oes de G em X e Y respectivamente.
Teorema 1.7.1 Considere o fibrado ξ = (X, p, B, F, K), suponha que G atua
sobre F pela esquerda e que as a¸c˜oes G e K comutam ((g(yk) = (gy)k ∀ g ∈
G, k ∈ K e y ∈ F ). Ent˜ao exi ste uma ´unica a¸c˜ao de G sobre X tal que
p(gx) = p(x) ∀ g ∈ G e ∀ x ∈ X e cada carta ϕ : U × F −→ p
−1
(U) ´e
equivariante [onde G atua em U × F por (g, (u, y)) → (u, gy)].
Prova: A a¸c˜ao ´e definida pela equivariˆancia das cartas e ´e suficiente provar
que esta independe da escolha das cartas sobre U. Sendo assim, ´e s´o mostrar
que cada ϕ
−1
ψ : U × F −→ U × F ´e equivariante. Mas
g(ϕ
−1
ψ(u, y)) = g(u, yθ(u))
= (u, g(yθ(u)))
= (u, (gy)θ(u))
= ϕ
−1
ψ(u, gy) = ϕ
−1
ψ(g(u, y)).
Defini¸c˜ao 1.7.4 Um fibrado ξ = (X, p, B, F, G) ´e chamado G-fibrado prin-
cipal se sua fibra F coincide com seu grupo estrutural G e a a¸c˜ao G×G −→ G
´e dada pela multiplica¸c˜ao do grupo.
Por raz˜oes ´obvias denotaremos tal fibrado principal por (X, p, B, G).
Segue imediatamente do teorema 1.7.1 e da defini¸c˜ao acima o seguinte
corol´ario
Corol´ario 1.7.1 Seja (X, p, B, G) um fibrado principal, ent˜ao existe uma
a¸c˜ao livre de G sobre X tal que p(gx) = p(x) ∀ g ∈ G e ∀ x ∈ X . A aplica¸c˜ao
26
p : X −→ B induz um homeomorfismo X/G
≈
−→B, sendo X/G o espa¸co de
´orbitas da a¸c˜ao.
Reciprocamente, se X ´e um G−espa¸co `a esquerda ent˜ao (X, π, X/G, G)
´e um G−fibrado principal, sendo π : X −→ X/G a proje¸c˜ao de X sobre o
espa¸co de ´orbitas da a¸c˜ao.
Exemplo 1.7.3 Sejam G um grupo topol´ogico, X um espa¸co topol´ogico e
G×G −→ G a multiplica¸c˜ao de G ent˜ao se p : X ×G −→ X ´e a proje¸c˜ao natu-
ral temos que (X×G, p, X, G) ´e um G−fibrado principal, chamado G−fibrado
trivial sobre X e denotado por ε(X, G). A a¸c˜ao de G em X × G ´e dada por
g(x, h) = (x, gh).
Exemplo 1.7.4 (S
n
, π, RP
n
, Z
2
) ´e um Z
2
−fibrado principal.
Exemplo 1.7.5 (S
2n−1
, π, L(p, q
1
, . . . , q
n
), Z
p
) ´e um Z
p
−fibrado principal
(c.f. exemplo 1.3.5).
Exemplo 1.7.6 Se ξ = (X, p, B, G) ´e um G−fibrado principal e A ⊆ B um
subespa¸co de B ent˜ao ξ|
A
= (p
−1
(A), p|
p
−1
(A)
, A, G) ´e tamb´em um G−fibrado
principal chamado restri¸c˜ao de ξ ao subespa¸co A.
Defini¸c˜ao 1.7.5 Dados ξ = (X, p, B, G) e η = (Y, q, C, G) dois G−fibrados
principais, ent˜ao um morfismo de G-fibrados principais, ou um
G-morfismo de ξ em η ´e um par (
ˆ
f, f) : ξ −→ η, sendo
ˆ
f : X −→ Y
uma aplica¸c˜ao equivariante, f : B −→ C cont´ınua tal que o diagrama
X
p
ˆ
f
//
Y
q
B
f
//
C
comuta, isto ´e, q ◦
ˆ
f = f ◦ p.
27
Diz-se usualmente que uma aplica¸c˜ao
ˆ
f satisfazendo `as condi¸c˜oes acima
´e uma aplica¸c˜ao que cobre f ou que f ´e coberta por
ˆ
f.
Se ξ = (X, p, B, G) e η = (Y, q, B, G) s˜ao G−fibrados principais sobre
um mesmo espa¸co base B ent˜ao um B−morfismo de ξ em η ´e um morfismo
de fibrados principais da forma (
ˆ
id
B
, id
B
).
Dois G−fibrados principais ξ = (X, p, B, G) e η = (Y, q, C, G) s˜ao
isomorfos (not. ξ
∼
=
η) se existe um G−morfismo (
ˆ
f, f) : ξ −→ η tal que
ˆ
f e f
s˜ao homeomorfismos. Notemos que neste caso (
ˆ
f
−1
, f
−1
) : η −→ ξ ´e tamb´em
um G−morfismo.
Teorema 1.7.2 Todo G−morfismo entre G− fibrados principais sobre o
mesmo espa¸co base B ´e um isomorfismo.
Defini¸c˜ao 1.7.6 Sejam ξ = (X, p, B, G) um G−fibrado principal e
f : B
1
−→ B uma fun¸c˜ao cont´ınua. O fibrado induzido ou pull-back
de ξ por f, denotado por f
∗
(ξ) = (X
1
, p
1
, B
1
, G) ´e o G−fibrado principal com
espa¸co base B
1
, espa¸co total X
1
= {(b
1
, x) ∈ B
1
×X ; f(b
1
) = p(x)} ⊆ B
1
×X,
a a¸c˜ao livre G × X
1
−→ X
1
´e dada por g(b
1
, x) = (b
1
, gx) e p
1
: X
1
−→ B
1
´e
dada por p
1
(b
1
, x) = b
1
.
Observemos que
ˆ
f : X
1
−→ X dada por
ˆ
f(b
1
, x) = x ´e uma aplica¸c˜ao
equivariante e p ◦
ˆ
f = f ◦ p
1
, ou seja, (
ˆ
f, f) : f
∗
(ξ) −→ ξ ´e um G−morfismo
de f
∗
(ξ) em ξ chamado morfismo canˆonico de um fibrado induzido.
Exemplo 1.7.7 Sejam ξ = (X, p, B, G) um G−fibrado principal e A ⊆ B
um subespa¸co de B. Se j : A → B ´e a inclus˜ao ent˜ao j
∗
(ξ)
∼
=
ξ|
A
sendo
ˆ
j : p
−1
(A) −→ E(j
∗
(ξ)) dada por
ˆ
j(x) = (p(x), x).
28
Exemplo 1.7.8 Sejam ξ = (X, p, B, G) um G−fibrado principal e
c : B
1
−→ B uma aplica¸c˜ao constante igual a x
0
∈ B. Ent˜ao c
∗
(ξ)
∼
=
ε(B
1
, G) = (B
1
× G, p
1
, B
1
, G), sendo ˆc : B
1
× G −→ E(c
∗
(ξ)) dado por
ˆc(b
1
, g) = (b
1
, φ(x
0
, g)), sendo φ : U × G −→ p
−1
(U) uma carta sobre uma
vizinhan¸ca U de x
0
.
O pr´oximo teorema que vamos enunciar abaixo vai se r de grande uti-
lidade no cap´ıtulo 4, a sua demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em [3].
Teorema 1.7.3 Sejam f, g : B −→ B
duas aplica¸c˜oes homot´opicas, sendo
B um espa¸co paracompacto, e seja ξ = (X, p, B
, G) um G-fibrado principal
sobre B
. Ent˜ao f
∗
(ξ) e g
∗
(ξ) s˜ao isomorfos.
Cap´ıtulo 2
Uma boa estimativa do teorema
de Borsuk-Ulam
Neste cap´ıtulo analisaremos uma generaliza¸c˜ao do teorema cl´assico de
Borsuk-Ulam. O intuito aqui n˜ao ´e provar o teorema, mas verificar que a
sua estimativa n˜ao pode ser melhorada. Al´em disso, enunciaremos e provare-
mos um resultado que ser´a de grande utilidade no cap´ıtulo 5. Sendo assim,
comecemos enunciando o
Teorema 2.0.4 (Borsuk-Ulam) Seja
n ≥ m (2.1)
e h : S
n
→ R
m
uma aplica¸c˜ao cont´ınua. Ent˜ao existe um x ∈ S
n
com
h(x) = h(A(x)), sendo A : S
n
→ S
n
a aplica¸c˜ao ant´ıpoda dada por A(x) = −x.
J´a vimos no Exemplo 1.3.3 que A : S
n
−→ S
n
gera uma Z
2
-a¸c˜ao livre
em S
n
, sendo assim ´e natural substituirmos a aplica¸c˜ao A por uma aplica¸c˜ao
f : S
n
−→ S
n
gerando um Z
p
−a¸c˜ao livre em S
n
e perguntarmos se para toda
aplica¸c˜ao cont´ınua h : S
n
−→ R
m
existe um x ∈ S
n
com h(x) = h(f(x)).
29
30
Essa quest˜ao tem sido extensivamente estudada n˜ao somente para as
esferas, mas para espa¸cos mais gerais. Para as esferas temos o seguinte resul-
tado:
Teorema 2.0.5 (Borsuk-Ulam generalizado)(c.f. [7], [12]) Sejam p um n´umero
primo, m, n ∈ N com
n ≥ (m − 1)(p − 1) + 1 (2.2)
e seja f : S
n
→ S
n
gerando uma Z
p
- a¸c˜ao livre em S
n
. Ent˜ao para cada
aplica¸c˜ao cont´ınua h : S
n
→ R
m
, existe um x ∈ S
n
com h(x) = h(f(x)).
Observa¸c˜ao 2.0.3 Para p = 2 a estimativa (2.2) ´e a melhor poss´ıvel, pois
neste caso se considerarmos n < (m −1)(p −1) + 1, teremos n < m, logo basta
tomarmos h : S
n
−→ R
m
como sendo a inclus˜ao que ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua
e al´em disso tem-se que h(f(x)) = h(x) ∀ x ∈ S
n
.
O que faremos agora ´e verificar que a estimativa (2.2) no teorema de
Borsuk-Ulam generalizado tamb´em n˜ao pode ser melhorada para p ≥ 3 sendo
p um n´umero primo.
Teorema 2.0.6 Sejam m ∈ N −{0, 1}, p ≥ 3 um n´umero primo,
L := {(x
1
, x
2
, ..., x
p
) ∈ (R
m−1
)
p
;
p
i=1
x
i
= 0 ∈ R
m−1
}
S := S
(m−1)p−1
∩ L
e ϕ : S −→ S dada por ϕ(x
1
, x
2
, ..., x
p
) = (x
2
, ..., x
p
, x
1
). Ent˜ao existe uma
aplica¸c˜ao cont´ınua h : S −→ R
m
com h(x) = h(ϕ(x)) ∀ x ∈ S.
Prova: Seja h
1
: S −→ R
m−1
dada por h
1
(x
1
, x
2
, ..., x
p
) = x
1
. Como h
1
´e a
primeira proje¸c˜ao temos que h
1
´e cont´ınua. Considere tamb´em d : S −→ R a
31
aplica¸c˜ao cont´ınua definida por
d(x) = (h
1
(ϕ(x)) − h
1
(x), h
1
(ϕ
2
(x)) − h
1
(ϕ(x)), ..., h
1
(ϕ
p
(x)) − h
1
(ϕ
p−1
(x)))
= (x
2
− x
1
, x
3
− x
2
, ..., x
1
− x
p
)
sendo : (R
m−1
)
p
−→ R a norma euclidiana. Desde que (x
1
, x
2
, ..., x
p
) =
(0, 0, ..., 0) e x
1
+ x
2
+ ... + x
p
= 0 temos que d(x) = 0 ∀ x ∈ S. Observe
tamb´em que pela defini¸c˜ao de d e ϕ temos d(x) = d(ϕ(x)) ∀ x ∈ S. Seja
α : R −→ [0, 1] uma aplica¸c˜ao cont´ınua com α(0) = 1 e α(t) = 0 ∀ t ≥
√
p
p
.
Seja g : S −→ R definida por
g(x) =
p−2
i=0
i
j=0
α(
h
1
(ϕ
p−j
(x)) − h
1
(ϕ
p−j−1
(x))
d(x)
)
Observe que g ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua, pois ´e soma, produto e composi¸c˜ao
de fun¸c˜oes cont´ınuas. Seja h : S −→ R
m
a aplica¸c˜ao cont´ınua dada por
h(x) = (h
1
(x), g(x)). Provaremos que h(x) = h(ϕ(x)) ∀ x ∈ S. De fato:
se h
1
(x) = h
1
(ϕ(x)) ∀ x ∈ S, ent˜ao a aplica¸c˜ao h tem a propriedade desejada.
Suponhamos ent˜ao que exista x ∈ S tal que h
1
(x) = h
1
(ϕ(x)). Pela defini¸c˜ao
de d e α deve existir j ∈ {0, 1, ..., p − 1} com
α(
h
1
(ϕ
p−j
(x)) − h
1
(ϕ
p−j−1
(x))
d(x)
) = 0
pois, se ∀ j ∈ {0, 1, ..., p − 1} tivermos α(
h
1
(ϕ
p−j
(x))−h
1
(ϕ
p−j−1
(x))
d(x)
) = 0, ent˜ao
α(
x
1
− x
p
d(x)
) = 0, α(
x
p
− x
p−1
d(x)
) = 0, ... , α(
x
2
− x
1
d(x)
) = 0
e da´ı, pela defini¸c˜ao de α teremos
x
1
− x
p
d(x)
<
√
p
p
,
x
p
− x
p−1
d(x)
<
√
p
p
, ... ,
x
2
− x
1
d(x)
<
√
p
p
.
Como a fun¸c˜ao f : [0, +∞) −→ [0, +∞) dada por f(x) = x
2
´e crescente temos
x
1
− x
p
2
(d(x))
2
+
x
p
− x
p−1
2
(d(x))
2
+...+
x
2
− x
1
2
(d(x))
2
< (
√
p
p
)
2
+(
√
p
p
)
2
+...+(
√
p
p
)
2
= 1 .
32
Mas por outro lado, como d(x) = (x
2
−x
1
, x
3
−x
2
, ..., x
1
−x
p
) e x
i
∈ R
m−1
∀ i = 1, ..., p ent˜ao
x
1
−x
p
2
(d(x))
2
+
x
p
−x
p−1
2
(d(x))
2
+ ... +
x
2
−x
1
2
(d(x))
2
=
x
1
−x
p
2
+x
p
−x
p−1
2
+...+x
2
−x
1
2
(d(x))
2
= 1
ou seja, 1 < 1 o que ´e um absurdo. Sendo assim, para esse x ∈ S com
h
1
(ϕ(x)) = h
1
(x) temos que
0 =
p−1
j=0
α(
h
1
(ϕ
p−j
(x)) − h
1
(ϕ
p−j−1
(x))
d(x)
)
=
p−2
j=0
α(
h
1
(ϕ
p−j
(x)) − h
1
(ϕ
p−j−1
(x))
d(x)
).α(
h
1
(ϕ
p−(p−1)
(x)) − h
1
(ϕ
p−(p−1)−1
(x))
d(x)
)
=
p−2
j=0
α(
h
1
(ϕ
p−j
(x)) − h
1
(ϕ
p−j−1
(x))
d(x)
).α(
h
1
(ϕ(x)) − h
1
(x)
d(x)
)
=
p−2
j=0
α(
h
1
(ϕ
p−j
(x)) − h
1
(ϕ
p−j−1
(x))
d(x)
).α(0)
=
p−2
j=0
α(
h
1
(ϕ
p−j
(x)) − h
1
(ϕ
p−j−1
(x))
d(x)
)
Ainda supondo que h
1
(x) = h
1
(ϕ(x)) temos que
g(ϕ(x)) =
p−2
i=0
i
j=0
α(
h
1
(ϕ
p−j+1
(x)) − h
1
(ϕ
p−j
(x))
d(ϕ(x))
)
= 1 +
p−2
i=1
i
j=0
α(
h
1
(ϕ
p−j+1
(x)) − h
1
(ϕ
p−j
(x))
d(x)
)
(∗)
= 1 +
p−3
i=0
i
j=0
α(
h
1
(ϕ
p−j
(x)) − h
1
(ϕ
p−j−1
(x))
d(x)
) + 0
(∗)
= 1 +
p−3
i=0
i
j=0
B
j
+
p−2
j=0
α(
h
1
(ϕ
p−j
(x)) − h
1
(ϕ
p−j−1
(x))
d(x)
)
= 1 +
p−2
i=0
i
j=0
α(
h
1
(ϕ
p−j
(x)) − h
1
(ϕ
p−j−1
(x))
d(x)
)
= 1 + g(x)
em particular g(ϕ(x)) = g(x). Portanto, se existe x ∈ S com h
1
(x) = h
1
(ϕ(x))
o que acabamos de ver acima nos garante que para esse x ∈ S teremos
h(x) = h(ϕ(x)), o que finaliza a prova do teorema.
33
(∗) Seja A
j
= α(
h
1
(ϕ
p−j+1
(x))−h
1
(ϕ
p−j
(x))
d(x)
) e B
j
= α(
h
1
(ϕ
p−j
(x))−h
1
(ϕ
p−j−1
(x))
d(x)
)
Note que, B
j
= A
j+1
∀ j ∈ {0, 1, ..., p −1} e al´em disso para h
1
(x) = h
1
(ϕ(x))
temos A
0
= α(0) = 1, da´ı segue que
p−2
i=1
i
j=0
A
j
=
1
j=0
A
j
+
2
j=0
A
j
+
3
j=0
A
j
+ ... +
p−2
j=0
A
j
= A
0
.A
1
+ A
0
.A
1
.A
2
+ ... +
A
0
.A
1
.A
2
...A
p−2
= A
1
+ A
1
.A
2
+ ... + A
1
.A
2
...A
p−3
.A
p−2
.
Por outro lado temos que
p−3
i=0
i
j=0
B
j
=
0
j=0
B
j
+
1
j=0
B
j
+
2
j=0
B
j
+ ... +
p−3
j=0
B
j
= B
0
+ B
0
.B
1
+ B
0
.B
1
.B
2
+... + B
0
.B
1
...B
p−4
.B
p−3
= A
1
+ A
1
.A
2
+ A
1
.A
2
.A
3
+ ... + A
1
.A
2
...A
p−3
.A
p−2
As pr´oximas duas afirma¸c˜oes abaixo v˜ao nos permitir tirar conclus˜oes
sobre a estimativa (2.2) do teorema de Borsuk-Ulam generalizado.
Afirma¸c˜ao 2.0.1 S ´e uma esfera ((m −1)(p −1) −1) −dimensional contida
em S
(m−1)p−1
.
Prova: Para m ≥ 2 e p um n´umero primo temos que (m − 1)(p − 1) ≤
(m − 1)p − 1. Considere T : (R
m−1
)
p
−→ R
m−1
dada por T (x
1
, x
2
, ..., x
p
) =
x
1
+ x
2
+ ... + x
p
. N˜ao ´e dif´ıcil verificar que T ´e uma transforma¸c˜ao linear
sobrejetora. Como o Ker T = L, o teorema do n´ucleo e da imagem nos garante
que dim L = (m − 1)(p − 1), ou seja, L ´e um subespa¸co vetorial de (R
m−1
)
p
com dimens˜ao (m − 1)(p − 1). Logo podemos afirmar que S := S
(m−1)p−1
∩ L
´e uma esfera ((m − 1)(p − 1) − 1)) − dimensional.
Afirma¸c˜ao 2.0.2 A aplica¸c˜ao ϕ gera uma Z
p
-a¸c˜ao livre em S.
Prova: Usando a defini¸c˜ao da aplica¸c˜ao ϕ temos que ϕ
p
(x
1
, x
2
, ..., x
p
) =
(x
1
, x
2
, ..., x
p
) ∀ x = (x
1
, x
2
, ..., x
p
) ∈ S. Al´em disso, ϕ n˜ao tem ponto fixo,
34
pois se existir x ∈ S tal que ϕ(x) = x teremos:
ϕ(x
1
, x
2
, ..., x
p
) = (x
1
, x
2
, ..., x
p
) =⇒ (x
1
, x
2
, ..., x
p
) = (x
2
, x
3
, ..., x
1
) =⇒ x
1
=
x
2
= ... = x
p
o que ´e um absurdo, pois x
1
+ x
2
+ ... + x
p
= 0 e (x
1
, x
2
, ..., x
p
) =
(0, 0, ..., 0).
Observa¸c˜ao 2.0.4 Se assumirmos que p ≥ 3, ent˜ao o n´umero (m −1)(p −1)
´e par para qualquer m ∈ N − {0, 1}. Portanto pelo Teorema 1.3.5 n˜ao existe
Z
p
-a¸c˜ao livre na S
(m−1)(p−1)
para p ≥ 3.
Juntando o teorema 2.0.6, as duas afirma¸c˜oes acima e a observa¸c˜ao
que acabamos de fazer podemos afirmar que para p ≥ 3 o n ´umero n =
(m−1)(p−1)+1 da es timativa (2.2) do teorema de Borsuk-Ulam generalizado
´e o menor poss´ıvel, pois se n < (m − 1)(p − 1) + 1 podemos encontrar uma
Z
p
−a¸c˜ao livre ϕ : S
(m−1)(p−1)−1
−→ S
(m−1)(p−1)−1
e h : S
(m−1)(p−1)−1
−→ R
m
cont´ınua tal que h(x) = h(ϕ(x)) ∀ x ∈ S
(m−1)(p−1)−1
.
O pr´oximo teorema que vamos enunciar e provar nos garante que dada
a Z
p
−a¸c˜ao livre ϕ : S
(m−1)(p−1)−1
−→ S
(m−1)(p−1)−1
como no teorema 2.0.6
existe uma cobertura da S
(m−1)(p−1)−1
por fechados U
1
, ..., U
4m
com U
i
∩ϕ(U
i
) =
∅ para i = 1, ..., 4m.
Teorema 2.0.7 Seja M um espa¸co normal, p um n´umero primo, e seja
f : M −→ M gerando uma Z
p
-a¸c˜ao livre em M. Seja m ∈ N tal que existe
uma aplica¸c˜ao cont´ınua h : M −→ R
m
com h(x) = h(f(x)) ∀ x ∈ M. Ent˜ao
existem conjuntos fechados U
1
, ..., U
4m
⊂ M com ∪
4m
j=1
U
j
= M e U
j
∩f(U
j
) = ∅
para j = 1, ..., 4m.
Demonstra¸c˜ao: Seja g : M −→ S
m−1
definida por
g(x) =
h(f(x)) − h(x)
h(f(x)) − h(x)
= (g
1
(x), g
2
(x)..., g
m
(x)) .
35
Para cada l ∈ {1, ..., m} definamos os seguintes conjuntos
R
l
= {x ∈ M; |g
l
(x)| ≥
1
√
m
}
W
+
l
= {x ∈ M; g
l
(x) ≥ 0}
W
−
l
= {x ∈ M; g
l
(x) ≤ 0}
e
R
±
l
= R
l
∩ W
±
l
.
Cada subconjunto definido acima ´e fechado em M. Fixemos l ∈ {1, ..., m} e
consideremos primeiramente R
+
l
e W
−
l
.
Seja x ∈ M com f(x) ∈ R
+
l
. Ent˜ao para algum j ∈ {0, ..., p − 1} devemos ter
(h(f
p−j+1
(x)) − h(f
p−j
(x)))
l
≤ 0
sendo (h(f
p−j+1
(x)) − h(f
p−j
(x)))
l
a l−´esima coordenada de g(f
p−j
(x)) mul-
tiplicado por h(f
p−j+1
(x)) − h(f
p−j
(x)). De fato:
Como f(x) ∈ R
+
l
, ent˜ao
g
l
(f(x)) = (
h(f
2
(x)) − h(f(x))
h(f
2
(x)) − h(f(x))
)
l
≥
1
√
m
ou seja,
1
√
m
.h(f
2
(x)) − h(f(x)) ≤ (h(f
2
(x)) − h(f(x)))
l
Suponha que (h(f
p−j+1
(x)) −h(f
p−j
(x)))
l
= (h(f
p−j+1
(x)))
l
−(h(f
p−j
(x)))
l
>
0 ∀ j ∈ {0, ..., p − 1}. Da´ı segue que
1
√
m
.h(f
2
(x)) −h(f(x)) ≤ (h(f
2
(x)) −h(f(x)))
l
= (h(f
2
(x)))
l
−(h(f(x)))
l
<
(h(f
3
(x)))
l
− (h(x))
l
< (h(f
4
(x)))
l
− (h(x))
l
< ... < (h(f
p−1
(x)))
l
− (h(x))
l
<
(h(x))
l
− (h(x))
l
= 0, o que ´e um absurdo.
Como R
+
l
e W
−
l
s˜ao fechados disjuntos, pelo Lema de Urysohn existe uma
aplica¸c˜ao cont´ınua a
+
: M −→ [0, 1] com a
+
|
R
+
l
= 1 e a
+
|
W
−
l
= 0. Sendo
36
assim, pelo que acabamos de ver acima, se x ∈ M com f(x) ∈ R
+
l
temos que
(g(f
p−j
(x)))
l
≤ 0 para algum j ∈ {0, ..., p − 1}, isto ´e, f
p−j
(x) ∈ W
−
l
. Da´ı
segue que
0 =
p−1
j=0
a
+
(f
p−j
(x)) =
p−2
j=0
a
+
(f
p−j
(x))a
+
(f
p−(p−1)
(x))
=
p−2
j=0
a
+
(f
p−j
(x)).a
+
(f(x)) =
p−2
j=0
a
+
(f
p−j
(x)).1
=
p−2
j=0
a
+
(f
p−j
(x))
Defina a aplica¸c˜ao cont´ınua b
+
: M −→ R p or b
+
(x) =
p−2
k=0
k
j=0
a
+
(f
p−j
(x)).
Provaremos agora que se x ∈ M com f(x) ∈ R
+
l
, ent˜ao b
+
(f(x)) − b
+
(x) = 1.
De fato:
b
+
(f(x)) − b
+
(x) =
p−2
k=0
k
j=0
a
+
(f
p−j+1
(x)) −
p−2
k=0
k
j=0
a
+
(f
p−j
(x))
= 1 +
p−2
k=1
k
j=0
a
+
(f
p−j+1
(x)) −
p−2
k=0
k
j=0
a
+
(f
p−j
(x))
(∗∗)
= 1 +
p−2
k=1
k
j=0
a
+
(f
p−j+1
(x)) −
p−3
k=0
k
j=0
B
j
−
p−2
j=0
B
j
(∗∗)
= 1 +
p−2
k=1
k
j=0
a
+
(f
p−j+1
(x)) −
p−3
k=0
k
j=0
a
+
(f
p−j
(x)) − 0
(∗∗)
= 1 +
p−3
k=0
k
j=0
a
+
(f
p−j
(x)) −
p−3
k=0
k
j=0
a
+
(f
p−j
(x))
= 1 + 0
= 1
(∗∗) Seja A
j
= a
+
(f
p−j+1
(x)) e B
j
= a
+
(f
p−j
(x)), note que A
0
= 1 e B
j
=
A
j+1
∀j ∈ {0, 1, .., p − 1}, logo temos que
p−2
k=1
k
j=0
a
+
(f
p−j+1
(x)) =
p−2
k=1
k
j=0
A
j
=
1
j=0
A
j
+
2
j=0
A
j
+ ... +
p−2
j=0
A
j
= A
0
.A
1
+
A
0
.A
1
.A
2
+ ... + A
0
.A
1
A
2
...A
p−2
= A
1
+ A
1
.A
2
+ ... + A
1
.A
2
...A
p−2
.
Por outro lado temos que
37
p−3
k=0
k
j=0
a
+
(f
p−j
(x)) =
p−3
k=0
k
j=0
B
j
=
0
j=0
B
j
+
1
j=0
B
j
+ ... +
p−3
j=0
B
j
= B
0
+ B
0
.B
1
+... + B
0
.B
1
...B
p−3
= A
1
+ A
1
.A
2
+ ... + A
1
.A
2
...A
p−2
.
Defina c
+
: M −→ S
1
por c
+
(x) = e
b
+
(x)πi
e os seguintes conjuntos
D
1
= {e
2πit
; 0 ≤ t ≤
1
3
}
D
2
= {e
2πit
;
1
3
≤ t ≤
2
3
}
D
3
= {e
2πit
;
2
3
≤ t ≤ 1}
Al´em disso defina tamb´em G
+
d,l
= R
+
l
∩ c
−1
+
(D
d
) para d ∈ {1, 2, 3} e l ∈
{1, 2, ..., m}. Como c
+
´e cont´ınua temos que G
+
d,l
´e fechado em M para cada d.
Da mesma maneira que foi feito anteriormente podemos definir uma fun¸c˜ao
a
−
: M −→ [0, 1] com a
−
|
R
−
l
= 1 e a
−
|
W
+
l
= 0, obtendo-se ainda uma
fun¸c˜ao b
−
: M −→ R dada por b
−
(x) =
p−2
k=0
k
j=0
a
−
(f
p−j
(x)), tal que ∀ x ∈ M
com f(x) ∈ R
−
l
tem-se b
−
(f(x)) − b
−
(x) = 1. Al´em disso podemos definir
c
−
: M −→ S
1
por c
−
= e
b
−
(x)πi
e os conjuntos fechados G
−
d,l
= R
−
l
∩ c
−1
−
(D
d
)
para d = 1, 2, 3. Sendo assim, defina os seguintes conjuntos H
1,l
= G
+
1,l
∪ G
−
1,l
,
H
2,l
= G
+
2,l
, H
3,l
= G
−
2,l
e H
4,l
= G
+
3,l
∪ G
−
3,l
.
´
E obvio que os conjuntos H
i,l
s˜ao
fechados em M para i = 1, 2, 3, 4, e al´em disso ´e f´acil ver que R
l
= ∪
4
i=1
H
i,l
sendo l ∈ { 1, 2, ..., m}. J´a sabemos que se x ∈ M com f (x) ∈ R
+
l
teremos
b
+
(f(x)) = b
+
(x) + 1. Da´ı segue que b
+
(f(x)).πi = b
+
(x).πi + πi. Logo
c
+
(f(x)) = e
b
+
(f(x)).πi
= e
b
+
(x).πi
.e
πi
= e
b
+
(x).πi
.(−1) = −e
b
+
(x).πi
= −c
+
(x), ou
seja, n˜ao existe d ∈ {1, 2, 3} com c
+
(x), c
+
(f(x)) ∈ D
d
simultaneamente.
Afirma¸c˜ao 2.0.3 H
i,l
∩ f(H
i,l
) = ∅ ∀ i ∈ {1, 2, 3, 4} e l ∈ { 1, 2, ..., m}.
Prova: A prova desta afirma¸c˜ao ser´a divida em dois casos:
Caso 1: G
+
d,l
∩ f(G
+
d,l
) = ∅ ∀ d ∈ {1, 2, 3} e l ∈ {1, 2, ..., m}.
Suponha que exista x ∈ G
+
d,l
∩f(G
+
d,l
). Isso implica que x ∈ G
+
d,l
= R
+
l
∩c
−1
+
(D
d
)
38
e x ∈ f(G
+
d,l
), ou seja, x = f(y) onde y ∈ G
+
d,l
. Como c
+
(x) = c
+
(f(y)) ∈ D
d
e
c
+
(y) ∈ D
d
, a discuss˜ao acima nos garante que isso ´e um absurdo. Portanto,
G
+
d,l
∩ f(G
+
d,l
) = ∅, e de maneira an´aloga mostra-se que G
−
d,l
∩ f(G
−
d,l
) = ∅
∀ d ∈ {1, 2, 3}.
Caso 2: G
+
d,l
∩ f(G
−
d,l
) = ∅ ∀ d ∈ {1, 3} e l ∈ {1, 2, ..., m}.
Suponha que x ∈ G
+
d,l
∩ f(G
−
d,l
). Isso implica que x = f(y) onde y ∈ G
−
d,l
=
R
−
l
∩ c
−1
−
(D
d
) ⊂ R
−
l
⊂ W
−
l
e x ∈ G
+
d,l
= R
+
l
∩ c
−1
+
(D
d
). Usando a defini¸c˜ao
da aplica¸c˜ao a
+
temos a
+
(f(y)) = 1 e a
+
(y) = 0. Assim para 1 ≤ k ≤ p − 2
temos que
k
j=0
a
+
(f
p−j+1
(y)) = a
+
(f(y)).a
+
(y).a
+
(f
p−1
(y)) ... a
+
(f
p−k+1
(y)) = 0
Logo, b
+
(f(y)) =
p−2
k=0
k
j=0
a
+
(f
p−j+1
(y)) = a
+
(f(y)) = 1 e consequentemente
c
+
(f(y)) = e
b
+
(f(y))πi
= e
πi
∈ D
2
\D
1
∪ D
3
, ou seja, f(y) ∈ G
+
2,l
\G
+
1,l
∪ G
+
3,l
.
Portanto, G
+
d,l
∩ f(G
−
d,l
) = ∅ e analogamente mostra-se que G
−
d,l
∩ f(G
+
d,l
) = ∅
∀ d ∈ {1, 3}.
Afirma¸c˜ao 2.0.4 M = ∪
m
l=1
R
l
Prova: Basta mostar que M ⊂ ∪
m
l=1
R
l
. Para isso seja x ∈ M. Como
g : M −→ S
m−1
temos que g(x) = (g
1
(x), ..., g
l
(x), ..., g
m
(x)). Sendo assim
para algum l ∈ {1, ..., m} temos que g
l
(x) ≤
−1
√
m
ou g
l
(x) ≥
1
√
m
. Isso implica
que x ∈ R
l
para algum l, ou s eja, x ∈ ∪
m
l=1
R
l
.
Portanto, pela afirma¸c˜ao acima M = ∪
m
l=1
R
l
= ∪
m
l=1
(∪
4
i=1
H
i,l
) =
∪
(i,l)∈A
H
i,l
, sendo A = {1, 2, 3, 4} × {1, ..., m}. Como a cardinalidade de A
´e 4m o teorema ´e verdadeiro.
39
Corol´ario 2.0.2 Sejam m,p e S como no teorema 2.0.6. Ent˜ao existem
conjuntos fechados U
1
,...,U
4m
⊂ S com U
j
∩ ϕ(U
j
) = ∅ ∀ j = 1, ..., 4m e
S = ∪
4m
j=1
U
j
.
Cap´ıtulo 3
O gˆenus de um Z
p
−espa¸co
Neste cap´ıtulo introduzimos duas no¸c˜oes de gˆenus de um espa¸co com
uma Z
p
-a¸c˜ao livre. Exploraremos algumas propriedades dessas no¸c˜oes e a
rela¸c˜ao entre ambas, b em como uma rela¸c˜ao entre o gˆenus de um Z
p
−espa¸co
e a existˆencia de aplica¸c˜oes Z
p
−equivariantes.
3.1 Defini¸c˜oes e exemplos
Nesta se¸c˜ao daremos duas defini¸c˜oes de gˆenus, e demonstraremos dois
lemas que relacionam as duas defini¸c˜oes. Para finalizar a se¸c˜ao veremos alguns
exemplos que permitem entender melhor a defini¸c˜ao de gˆenus.
Defini¸c˜ao 3.1.1 Seja p um n´umrero primo, ent˜ao definimos
H
p
= {(M, f) ; M ´e Hausdorff e f : M −→ M gera uma Z
p
−a¸c˜ao livre em M }
N
p
= {(M, f) ∈ H
p
; M ´e normal }
Vamos definir abaixo o primeiro conceito de gˆenus:
40
41
Defini¸c˜ao 3.1.2 Seja (M, f) ∈ H
p
ent˜ao definimos
L(M, f) = { G ⊂ M ; existem fechados disjuntos G
0
, ..., G
p−1
⊂ M com
G = ∪
p−1
i=0
G
i
e f
i
(G
0
) = G
i
∀ i = 1, .., p − 1}
S(M, f) = { ⊂ L(M, f ) ; M =
G∈
G}
e o gˆenus g(M, f) ´e definido por
g(M, f) = min{card ; ∈ S(M, f )}.
Observa¸c˜ao 3.1.1 Se g(M, f) = 1, ent˜ao existe τ ∈ S(M, f ) tal que card τ =
1, logo τ = {M}, mas como τ ⊂ L(M, f) existem G
0
, ..., G
p−1
⊂ M fechados
disjuntos com M = ∪
p−1
i=0
G
i
. Portanto, M ´e desconexo.
Observa¸c˜ao 3.1.2 Seja (M, f) ∈ H
p
e x = {x, f(x), ..., f
p−1
(x)} a ´orbita de
x. Considere τ = {x}
x∈M
. Como x ∈ L(M, f) para cada x ∈ M , temos que
τ ∈ S(M, f) e consequentemente g(M, f) ≤ card τ ≤ card M.
Antes de definirmos o segundo conceito de gˆenus, precisaremos antes
definir o que ´e uma cobertura admiss´ıvel.
Defini¸c˜ao 3.1.3 Seja M um espa¸co de Hausdorff. Dizemos que U⊂ 2
M
´e
uma cobertura admiss´ıvel de M se
(a) U ´e uma cobertura aberta de M
(b) existe uma fam´ılia (t
U
)
U∈U
de aplica¸c˜oes cont´ınuas t
U
: M −→ [0, 1] tal
que
(i) t
U
|
M− U
= 0
(ii) para todo x ∈ M existe um U ∈ U com t
U
(x) = 1
42
Seja H o conjunto dos n´umeros cardinais e ∞ um objeto que n˜ao
pertence a H. Seja H
∞
=H∪{∞} com a ordem induzida da boa ordena¸c˜ao de
H junto com α < ∞, ∀ α ∈H.
Defini¸c˜ao 3.1.4 Seja p um n´umero primo e (M, f) ∈ H
p
. Ent˜ao definimos
X
M,f
= {α ∈ H ; α ´e o cardinal de uma cobertura admiss´ıvel U ⊂ 2
M
tal que
para todo U ∈ U existem abertos disjuntos U
0
, ..., U
p−1
⊂ M com ∪
p−1
i=0
U
i
= U
e f
i
(U
0
) = U
i
∀i = 1, .., p − 1}
se tal cobertura admiss´ıvel U existe, e X
M,f
= {∞} caso contr´ario.
Como X
M,f
⊂ H
∞
´e n˜ao vazio e H
∞
´e um conjunto bem ordenado,
podemos afirmar que X
M,f
possui um elemento m´ınimo, sendo assim considere
a defini¸c˜ao abaixo.
Defini¸c˜ao 3.1.5 Seja p um n´umero primo e (M, f ) ∈ H
p
. Ent˜ao o gˆenus
g(M, f) ´e definido por
g(M, f) = minX
M,f
Observa¸c˜ao 3.1.3 Se g(M, f) = 1 ent˜ao M ´e desconexo.
Os pr´oximos dois lemas que vamos enunciar e provar v˜ao nos dizer
qual a rela¸c˜ao entre os dois gˆenus definidos acima . Al´em disso, os lemas ser˜ao
fundamentais para provar outros resultados neste e nos pr´oximos cap´ıtulos.
Lema 3.1.1 Seja (M, f) ∈ H
p
, ent˜ao g(M, f) ≤ g(M, f).
Prova: Se g(M, f) = ∞ o resultado ´e ´obvio. Suponha {D
λ
}
λ∈Ω
cobertura
admiss´ıvel de M tal que ∀ λ ∈ Ω existem abertos disjuntos D
λ
0
,D
λ
1
,...,D
λ
p−1
tais que D
λ
= D
λ
0
∪ D
λ
1
∪ ... ∪ D
λ
p−1
e D
λ
i
= f
i
(D
λ
0
) para i = 1, .., p − 1.
Defina Λ = {λ ∈ Ω ; t
D
λ
(x) = 1 para algum x ∈ M}. Seja x ∈ M. Como
{D
λ
}
λ∈Ω
´e cobertura admiss´ıvel de M, existe λ ∈ Λ tal que t
D
λ
(x) = 1. Al´em
43
disso, como t
D
λ
(M − D
λ
) = 0, podemos afirmar que x ∈ D
λ
. Mas sabendo
que D
λ
= D
λ
0
∪ D
λ
1
∪ ... ∪ D
λ
p−1
podemos supor(reindexando se necess´ario)
que x ∈ D
λ
0
. Seja C
x
a componente conexa de x em D
λ
. Logo C
x
⊂ D
λ
0
.
Como t
D
λ
: M −→ [0, 1] ´e cont´ınua ent˜ao t
D
λ
(C
x
) ´e conexo em [0, 1], logo
t
D
λ
(C
x
) ´e um intervalo em [0, 1], em outras palavras existe 0 ≤ ε
x
≤ 1 tal que
t
D
λ
(C
x
) = (ε
x
, 1] ou t
D
λ
(C
x
) = [ε
x
, 1]. Seja δ
x
=
ε
x
+1
2
. Ent˜ao [δ
x
, 1] ⊂ t
D
λ
(C
x
).
Definamos agora o seguinte conjunto:
F
λ
0
= t
−1
D
λ
([δ
x
, 1]) ∩ (M − (D
λ
1
∪ D
λ
2
∪ ... ∪ D
λ
p−1
))
Desde que t
D
λ
´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua e [δ
x
, 1] ´e fechado em [0, 1] podemos
afirmar que F
λ
0
´e um conjunto fechado em M.
Afirma¸c˜ao 3.1.1 F
λ
0
⊂ D
λ
0
Prova: Seja y ∈ F
λ
0
. Ent˜ao t
D
λ
(y) ∈ [δ
x
, 1] e y ∈ M −(D
λ
1
∪D
λ
2
∪...∪D
λ
p−1
).
Como δ
x
> 0 ent˜ao t
D
λ
(y) > 0, ou seja, y ∈ D
λ
, pois se y /∈ D
λ
ter´ıamos que
t
D
λ
(y) = 0. Mas tamb´em y /∈ D
λ
1
∪ D
λ
2
∪ ... ∪ D
λ
p−1
. Logo podemos afirmar
que y ∈ D
λ
0
, como quer´ıamos.
Defina os seguintes conjuntos: F
λ
i
= f
i
(F
λ
0
) i = 1, 2, ..., p−1. Como f
´e um homemorfismo e F
λ
0
´e fechado em M podemos afirmar que F
λ
i
´e fechado
em M, ∀ i = 1, 2, ..., p − 1.
Afirma¸c˜ao 3.1.2 F
λ
i
⊂ D
λ
i
, i = 1, .., p − 1.
Prova: Como F
λ
0
⊂ D
λ
0
e D
λ
i
= f
i
(D
λ
0
) podemos afirmar que F
λ
i
=
f
i
(F
λ
0
) ⊂ f
i
(D
λ
0
) = D
λ
i
, ou seja, F
λ
i
⊂ D
λ
i
, ∀ i = 1, .., p − 1.
Logo, pelas afirma¸c˜oes acima temos que F
λ
= ∪
p−1
i=0
F
λ
i
⊂ ∪
p−1
i=0
D
λ
i
=
D
λ
. Portanto, para todo x ∈ M existe λ ∈ Λ tal que x ∈ F
λ
, ou seja, M =
44
∪
λ∈Λ
F
λ
. Pela Defini¸c˜ao 3.1.2 p odemos afirmar que g(M, f) ≤card Λ ≤card
Ω = g(M, f), o que acaba a prova do lema .
Lema 3.1.2 Seja (M, f) ∈ N
p
, ent˜ao g(M, f) = g(M, f).
Prova: Basta mostrar que g(M, f ) ≤ g(M, f). Para isso suponha {U
λ
}
λ∈Ω
cobertura fechada de M tal que para to do λ ∈ Ω existam fechados disjuntos
U
λ
0
,U
λ
1
,. . . ,U
λ
p−1
tais que U
λ
= U
λ
0
∪ U
λ
1
∪ ··· ∪ U
λ
p−1
e U
λ
i
= f
i
(U
λ
0
),
i = 1, ..., p − 1. Desde que M ´e normal, existem abertos V
λ
0
,V
λ
1
,. . . ,V
λ
p−1
tais
que U
λ
i
⊂ V
λ
i
i = 0, . . . , p − 1 e V
λ
i
∩ V
λ
j
= ∅, ∀ i = j. Defina o seguinte
conjunto,
B
λ
0
= V
λ
0
∩ f
−1
(V
λ
1
) ∩ (f
2
)
−1
(V
λ
2
) ∩ ··· ∩ (f
p−1
)
−1
(V
λ
p−1
)
Como f
i
´e homeomorfismo ∀ i = 1, . . . , p − 1, cada V
λ
i
´e aberto e como a
intersec¸c˜ao ´e finita p odemos afirmar que B
λ
0
´e um conjunto aberto. Al´em disso,
U
λ
0
⊂ B
λ
0
pois, desde que f
i
(U
λ
0
) = U
λ
i
⊂ V
λ
i
temos que U
λ
0
⊂ (f
i
)
−1
(V
λ
i
)
∀ i = 1, . . . , p − 1. Defina B
λ
i
= f
i
(B
λ
0
) ∀ i = 1, . . . , p − 1. Como f
i
´e
homeomorfismo temos que cada B
λ
i
´e aberto em M .
Afirma¸c˜ao 3.1.3 U
λ
i
⊂ B
λ
i
, i = 1, . . . , p − 1.
Prova: Como U
λ
0
⊂ B
λ
0
e U
λ
i
= f
i
(U
λ
0
) podemos afirmar que U
λ
i
=
f
i
(U
λ
0
) ⊂ f
i
(B
λ
0
) = B
λ
i
, ou seja, U
λ
i
⊂ B
λ
i
∀i = 1, . . . , p − 1.
Logo, pela afirma¸c˜ao acima temos que U
λ
= ∪
p−1
i=0
U
λ
i
⊂ ∪
p−1
i=0
B
λ
i
= B
λ
e con-
sequentemente M ⊂ ∪
λ∈Ω
U
λ
⊂ ∪
λ∈Ω
B
λ
. Como M ´e normal e os conjuntos U
λ
e M − B
λ
s˜ao fechados disjuntos em M ∀ λ ∈ Ω, segue pelo lema de Uryshon
que existem aplica¸c˜oes cont´ınuas t
B
λ
: M −→ [0, 1] tais que t
B
λ
(U
λ
) = 1 e
t
B
λ
(M −B
λ
) = 0. Portanto, {B
λ
}
λ∈Ω
´e uma cobertura admiss´ıvel de M, sendo
assim g(M, f) ≤card Ω= g(M, f), e o lema est´a provado.
45
Exemplo 3.1.1 Seja p ≥ 2 primo e identifiquemos S
1
como sendo S
1
=
{z ∈ C ; z = 1}. Seja f : S
1
−→ S
1
dada por f(z) = ze
2πi
p
. J´a vimos
pelo Exemplo 1.3.5 que f gera uma Z
p
-a¸c˜ao livre em S
1
. Mostraremos que
g(S
1
, f) = 2. Para isso basta mostrar que g(S
1
, f) = 2, pois S
1
´e um espa¸co
normal. Considere os seguintes conjuntos
G
(1)
j
= {z ∈ S
1
;
2πj
p
≤ arg z ≤
π(2j + 1)
p
}, j = 0, . . . , p − 1
e
G
(2)
j
= {z ∈ S
1
;
π(2j + 1)
p
≤ arg z ≤
2π(j + 1)
p
}, j = 0, . . . , p − 1.
Temos que G
(1)
j
e G
(2)
j
s˜ao fechados em S
1
. Al´em disso G
(k)
j
∩ G
(k)
i
= ∅
j = i, k = 1, 2, f
j
(G
(1)
0
) = G
(1)
j
e f
j
(G
(2)
0
) = G
(2)
j
, ∀ j = 0, . . . , p−1. Portanto,
tomando G
(1)
= ∪
p−1
j=0
G
(1)
j
e G
(2)
= ∪
p−1
j=0
G
(2)
j
temos que τ = {G
(1)
, G
(2)
} ∈
S(S
1
, f) e consequentemente g(S
1
, f) ≤ 2. Por outro lado como S
1
´e conexo
a Observa¸c˜ao 3.1.1 nos garante que g(S
1
, f) > 1. Portanto, g(S
1
, f) = 2.
Exemplo 3.1.2 Seja f : T −→ T como no Exemplo 1.3.4, ent˜ao g(T, f) ≥ 2,
pois T ´e conexo e T = ∅. Para verificar que g(T, f ) ≤ 2 considere os conjuntos
abaixo
G
(1)
0
= {(x, y, z) ∈ T ; y ≥ 0 e x ≤ 0}
G
(1)
1
= {(x, y, z) ∈ T ; y ≤ 0 e x ≥ 0}
G
(2)
0
= {(x, y, z) ∈ T ; y ≤ 0 e x ≤ 0}
G
(2)
1
= {(x, y, z) ∈ T ; y ≥ 0 e x ≥ 0}
Observe que cada G
(k)
j
´e fechado em T , ∀ k = 1, 2 e ∀ j = 0, 1. Al´em disso
f(G
(k)
0
) = G
(k)
1
k = 1, 2. Portanto, τ = {G
(1)
, G
(2)
} ∈ S(T, f) sendo G
(1)
=
G
(1)
0
∪ G
(1)
1
e G
(2)
= G
(2)
0
∪ G
(2)
1
, e consequentemente g(T, f) ≤ 2. Portanto,
g(T, f) = 2.
46
Observa¸c˜ao 3.1.4 O pr´oximo exemplo que vamos colocar abaixo vai ser de
grande utilidade no ´ultimo cap´ıtulo.
Exemplo 3.1.3 Seja ϕ : S
1
−→ S
1
definida por ϕ(z) = z.e
8πi
7
. J´a vimos pelo
Exemplo 1.3.5 que ϕ gera uma Z
7
-a¸c˜ao livre em S
1
. Mostraremos agora que
g(S
1
, ϕ) = g(S
1
, ϕ) = 2. Como pelo mesmo argumento do exemplo anterior
temos que g(S
1
, ϕ) ≥ 2 basta mostrar que g(S
1
, ϕ) ≤ 2. Para isso considere
os seguintes conjuntos:
G
(1)
= ∪
6
j=0
G
(1)
j
sendo G
(1)
j
= {z ∈ S
1
;
8πj
7
≤ arg z ≤
(8j + 1)π
7
}
G
(2)
= ∪
6
j=0
G
(2)
j
sendo G
(2)
j
= {z ∈ S
1
;
(8j + 1)π
7
≤ arg z ≤
8(j + 2)π
7
}
Temos que cada G
(1)
j
e G
(2)
j
s˜ao fechados em S
1
. Al´em disso, S
1
= G
(1)
∪G
(2)
.
Veremos agora que G
(1)
j
∩ G
(1)
i
= ∅ para i, j = 0, . . . , 6 e i = j. De fato:
Sem perda de generalidade podemos supor que i < j. Logo teremos que
(8i+1)π
7
<
8πj
7
, pois como i < j e i, j s˜ao n´umeros inteiros positivos temos
que j − i >
1
8
, ou seja, 8j − 8i > 1 e isso implica que
(8i+1)π
7
<
8πj
7
. Portanto,
se z ∈ G
(1)
j
∩G
(1)
i
ent˜ao arg z ≤
(8i+1)π
7
e arg z >
(8i+1)π
7
o que ´e um absurdo.
De maneira an´aloga mostra-se que G
(2)
j
∩G
(2)
i
= ∅ para i, j = 0, . . . , 6 e i = j.
Para concluirmos que g(S
1
, ϕ) ≤ 2 s´o nos resta provar que ϕ(G
(1)
j
) = G
(1)
j+1
e
ϕ(G
(2)
j
) = G
(2)
j+1
. Mas isto segue direto da defini¸c˜ao dos conjuntos G
(1)
j
e G
(2)
j
∀ j = 0, . . . , 6.
Observa¸c˜ao 3.1.5 No pr´oximo cap´ıtulo veremos que se (S
n
, f) ∈ N
p
, ent˜ao
g(S
n
, f) = n + 1.
3.2 O gˆenus e aplica¸c˜oes equivariantes
A partir do Teorema 1.3.4 podemos reformular a defini¸c˜ao 1.7.3 de
aplica¸c˜ao equivariante entre Z
p
−espa¸cos da seguinte forma:
47
Defini¸c˜ao 3.2.1 Seja p um n´umero primo e (M
1
, f
1
), (M
2
, f
2
) ∈ H
p
. Dizemos
que P : (M
1
, f
1
) −→ (M
2
, f
2
) ´e uma aplica¸c˜ao equivariante, se P : M
1
−→ M
2
´e cont´ınua e P ◦ f
1
= f
2
◦ P , ou seja o diagrama
M
1
f
1
P
//
M
2
f
2
M
1
P
//
M
2
comuta.
Verifica-se facilmente que se p ´e primo, (M
1
, f
1
), (M
2
, f
2
) ∈ H
p
e
P : (M
1
, f
1
) −→ (M
2
, f
2
) ´e uma aplica¸c˜ao equivariante, ent˜ao P ◦f
k
1
= f
k
2
◦P ,
∀ k ∈ N.
Lema 3.2.1 Seja p um n´umero primo e (M
1
, f
1
), (M
2
, f
2
) ∈ H
p
. Seja
P : (M
1
, f
1
) −→ (M
2
, f
2
) uma aplica¸c˜ao equivariante. Ent˜ao, g(M
1
, f
1
) ≤
g(M
2
, f
2
).
Prova: Se g(M
2
, f
2
) = ∞ ´e ´obvio que g(M
1
, f
1
) ≤ g(M
2
, f
2
). Suponha ent˜ao
que D = {D
λ
}
λ∈Ω
seja cobertura admiss´ıvel de M
2
tal que ∀ λ ∈ Ω existem
abertos disjuntos D
λ
0
,D
λ
1
,. . . ,D
λ
p−1
tais que D
λ
= D
λ
0
∪ D
λ
1
∪ ··· ∪ D
λ
p−1
e
D
λ
i
= f
i
2
(D
λ
0
) i = 1, . . . , p − 1.
Afirma¸c˜ao 3.2.1 U ={P
−1
(D
λ
)}
λ∈Ω
´e uma cobertura aberta de M
1
.
Prova: Como P ´e cont´ınua temos que P
−1
(D
λ
) ´e aberto em M
1
, ∀ λ ∈ Ω.
Seja x ∈ M
1
. Ent˜ao P (x) ∈ M
2
e como {D
λ
}
λ∈Ω
´e uma cobertura aberta de
M
2
temos que P (x) ∈ D
λ
para algum λ ∈ Ω. Da´ı segue que x ∈ P
−1
(D
λ
).
Afirma¸c˜ao 3.2.2 Existe uma fam´ılia (t
P
−1
(D
λ
)
)
P
−1
(D
λ
)∈U
de aplica¸c˜oes
cont´ınuas t
P
−1
(D
λ
)
: M
1
−→ [0, 1] tais que t
P
−1
(D
λ
)
|
M
1
− P
−1
(D
λ
)
= 0 e ∀ x ∈ M
1
,
∃ P
−1
(D
λ
) ∈ U tal que t
P
−1
(D
λ
)
(x) = 1.
48
Prova: Como D = {D
λ
}
λ∈Ω
´e uma cobertura admiss´ıvel de M
2
existe uma
fam´ılia (t
D
λ
)
D
λ
∈D
de aplica¸c˜oes cont´ınuas t
D
λ
: M
2
−→ [0, 1] com
t
D
λ
|
M
2
− D
λ
= 0 e ∀ x ∈ M
2
, ∃ D
λ
∈ D com t
D
λ
(x) = 1. Sendo assim,
considere t
P
−1
(D
λ
)
= t
D
λ
◦ P : M
1
−→ [0, 1] e note que se x ∈ M
1
− P
−1
(D
λ
)
ent˜ao P (x) /∈ D
λ
, e da´ı segue que t
P
−1
(D
λ
)
(x) = (t
D
λ
◦P )(x) = t
D
λ
(P (x)) = 0,
ou seja, t
P
−1
(D
λ
)
(x) = 0 ∀ x ∈ M
1
−P
−1
(D
λ
). Note tamb´em que, se x ∈ M
1
e
portanto x ∈ M
2
ent˜ao existe D
λ
∈ D tal que t
D
λ
(P (x)) = 1, ou seja, existe
P
−1
(D
λ
) ∈ U tal que t
P
−1
(D
λ
)
(x) = (t
D
λ
◦ P )(x) = t
D
λ
(P (x)) = 1.
Como D
λ
= D
λ
0
∪ D
λ
1
∪ ... ∪ D
λ
p−1
com D
λ
i
∩ D
λ
j
= ∅ ∀ i = j, temos que
P
−1
(D
λ
) = P
−1
(D
λ
0
)∪P
−1
(D
λ
1
)∪...∪P
−1
(D
λ
p−1
) com P
−1
(D
λ
i
)∩P
−1
(D
λ
j
) =
∅, ∀ i = j. Sendo assim, para finalizar a prova do lema basta mostrar que
P
−1
(D
λ
i
) = f
i
1
(P
−1
(D
λ
0
)) i = 1, .., p − 1. De fato:
P
−1
(D
λ
i
) = P
−1
(f
i
2
(D
λ
0
)) = ((f
i
2
)
−1
◦ P )
−1
(D
λ
0
) =
= (f
p−i
2
◦ P )
−1
(D
λ
0
) = (P ◦ f
p−i
1
)
−1
(D
λ
0
) =
= (P ◦ (f
i
1
)
−1
)
−1
(D
λ
0
) = f
i
1
(P
−1
(D
λ
0
))
Portanto,
g(M
1
, f
1
) ≤card Ω= g(M
2
, f
2
), e o lema est´a provado.
Definiremos a seguir um conjunto especial denotado por F
n,p
( onde p
´e primo e n ∈ N), e uma Z
p
-a¸c˜ao livre ϕ
n,p
: F
n,p
−→ F
n,p
. A partir da´ı exibire-
mos algumas propriedades desse conjunto e mostraremos que g(F
n,p
, ϕ
n,p
) ≤ n.
Al´em disso, dado (M, f) ∈ N
p
relacionaremos o gˆenus g(M, f) com a existˆencia
de uma aplica¸c˜ao equivariante P : (M, f) −→ (F
n,p
, ϕ
n,p
) para algum n ∈ N.
Defini¸c˜ao 3.2.2 Seja n ∈ N e p um n´umero primo. Seja
l
2
= {z = (z
1
, z
2
, ...) ∈ C
N
∗
;
∞
j=1
|z
j
|
2
< ∞}
49
com a norma usual do espa¸co de Hilbert. D efina
F
n,p
=
∅, se n = 0
{z = (z
1
, ..., z
n
2
, 0, ...) ∈ l
2
; z = 1} se n ∈ {2, 4, 6, ...}
{z = (z
1
, ..., z
(n+1)
2
, 0, ...) ∈ l
2
; z = 1, z
(n+1)
2
= |z
(n+1)
2
|e
(
k
p
)2πi
para algum k ∈ {0, 1, ..., p − 1}}, se n ∈ {1, 3, 5, ...}
e ϕ
n,p
: F
n,p
−→ F
n,p
dada por ϕ
n,p
(z) = (z
1
e
2πi
p
, z
2
e
2πi
p
, ...).
Propriedades:
(1) Se n ´e par F
n,p
´e a esfera S
n−1
, independentemente do n´umero primo p.
(2) F
1,p
= {1, e
2πi
p
, e
4πi
p
, ..., e
2(p−1)πi
p
} ⊂ S
1
(3) Se n > 1 ´e ´ımpar, temos que F
n,p
⊂ S
n
e F
n,p
= X
0
∪ X
1
∪ ... ∪ X
p−1
sendo que X
0
= S
n−1
+
e X
k
≈ S
n−1
+
para k = 1, ..., p−1, sendo o conjunto
S
n−1
+
= {(x
1
, ..., x
n
) ∈ S
n−1
⊂ R
n
; x
n
≥ 0}.
Seja X
k
= {z = (z
1
, ..., z
(n+1)
2
, 0, ...) ∈ l
2
; z = 1, z
(n+1)
2
= |z
(n+1)
2
|e
(
k
p
)2πi
}
sendo k ∈ {0, ..., p − 1}. Sendo assim ´e f´acil ver que X
0
= S
n−1
+
.
Para k = 1, ..., p − 1 considere a seguinte aplica¸c˜ao h
k
: X
k
−→ S
n−1
dada por h
k
(z
1
, ..., z
(n−1)
2
, z
(n+1)
2
, 0, ...) = (x
1
, x
2
, ...., x
n−2
, x
n−1
, |z
(n+1)
2
|)
sendo que z
1
= x
1
+ ix
2
, ..., z
(n−1)
2
= x
n−2
+ ix
n−1
. Observe que h
k
´e cont´ınua, pois suas coordenadas s˜ao cont´ınuas. Considere agora a
aplica¸c˜ao h
−1
k
: S
n−1
+
−→ X
k
dada por
h
−1
k
(x
1
, ..., x
n−1
, x
n
) = (z
1
, ..., z
(n−1)
2
,
1 − (x
2
1
+ ... + x
2
n−1
)e
2kπi
p
, 0, ...) e
z
1
= x
1
+ ix
2
, ..., z
(n−1)
2
= x
n−2
+ ix
n−1
. Como h
−1
k
´e uma aplica¸c˜ao
cont´ınua e h
k
◦ h
−1
k
= id
S
n−1
+
e h
−1
k
◦ h
k
= id
X
k
podemos afirmar que h
k
´e homeomorfismo para k = 1, ..., p − 1.
(4) X
k
∩X
s
= S
n−2
para k, s = 0, ..., p −1 e k = s, sendo X
k
e X
s
definidos
como no item anterior.
50
Seja z = (z
1
, ..., z
(n−1)
2
, z
(n+1)
2
, 0, ...) ∈ X
k
∩X
s
. Ent˜ao z
(n+1)
2
= |z
(n+1)
2
|e
2kπi
p
e z
(n+1)
2
= |z
(n+1)
2
|e
2sπi
p
. Como e
2kπi
p
= e
2sπi
p
temos que |z
(n+1)
2
| = 0, isto
´e, z
(n+1)
2
= 0 e consequentemente X
k
∩ X
s
= {z = (z
1
, ..., z
(n−1)
2
, 0, ...) ∈
l
2
; z = 1} = S
n−2
.
(5) Se n ≤ s ent˜ao F
n,p
⊆ F
s,p
, al´em disso ϕ
s,p
|
F
n,p
= ϕ
n,p
.
(6) F
n,p
´e um espa¸co normal.
Desde que F
n,p
⊂ l
2
e l
2
´e um espa¸co m´etrico, temos que F
n,p
´e um espa¸co
m´etrico com a m´etrica induzida de l
2
. Logo F
n,p
´e um espa¸co normal.
(7) ϕ
n,p
´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua.
Basta observar que suas coordenadas s˜ao aplica¸c˜oes cont´ınuas.
(8) ϕ
p
n,p
(z) = z, ∀ z = (z
1
, ..., z
j
, 0, ...) ∈ F
n,p
.
Segue direto da defini¸c˜ao de ϕ
n,p
.
(9) ϕ
n,p
(z) = z, ∀ z = (z
1
, ..., z
j
, 0, ...) ∈ F
n,p
.
Suponha que exista z = (z
1
, ..., z
j
, 0, ...) ∈ F
n,p
tal que ϕ
n,p
(z) = z, isto
´e, (z
1
e
2πi
p
, ..., z
j
e
2πi
p
, 0, ...) = (z
1
, ..., z
j
, 0, ...). Como (z
1
, ..., z
j
, 0, ...) =
(0, ..., 0, 0, ...) ent˜ao existe algum z
j
= 0 tal que z
j
e
2πi
p
= z
j
. Isso implica
que e
2πi
p
−1 = 0, ou seja,
2π
p
= 2πk onde k ´e inteiro. Da´ı segue que p =
1
k
o que ´e um absurdo, pois p ≥ 2 ´e um n´umero primo.
Defini¸c˜ao 3.2.3 Seja (F
n,p
, ϕ
n,p
) ∈ N
p
como acima e k = 1, ..., n. Ent˜ao
definimos os seguintes conjuntos:
F
(k)
j
= {z ∈ F
n,p
; |z
(k+1)
2
|
2
≥
2
n + 1
,
2πj
p
≤ arg z
(k+1)
2
≤
(2j + 1)π
p
}
se k ´e ´ımpar e
F
(k)
j
= {z ∈ F
n,p
; |z
k
2
|
2
≥
2
n + 1
,
(2j + 1)π
p
≤ arg z
k
2
≤
2(j + 1)π
p
}
51
se k ´e par, e
F
(k)
= ∪
p−1
j=0
F
(k)
j
Afirma¸c˜ao 3.2.3 F
n,p
= ∪
n
k=1
F
(k)
.
Prova: Mostraremos para n um n´umero par. No caso em que n ´e um n´umero
´ımpar a prova ´e an´aloga. Note que ∪
n
k=1
F
(k)
⊂ F
n,p
. Basta ent˜ao mostrar que
F
n,p
⊂ ∪
n
k=1
F
(k)
. De fato:
Seja z = (z
1
, ..., z
n
2
, 0, ...) ∈ F
n,p
. Ent˜ao |z
1
|
2
+ ... + |z
n
2
|
2
= 1. Da´ı segue
que |z
l
|
2
≥
1
n
2
=
2
n
para algum l = 1, ...,
n
2
. Al´em disso temos que
2πj
p
≤
arg z
l
≤
(2j+1)π
p
ou
(2j+1)π
p
≤ arg z
l
≤
2(j+1)π
p
para algum j = 0, ..., p − 1.
Portanto como
2
n
>
2
n+1
temos que z = (z
1
, ..., z
l
, ..., z
n
2
, 0, ...) ∈ F
(2l)
j
ou z =
(z
1
, ..., z
l
, ..., z
n
2
, 0, ...) ∈ F
(2l−1)
j
para algum j = 0, ..., p − 1. Em ambos os
casos temos que z = (z
1
, ..., z
l
, ..., z
n
2
, 0, ...) ∈ F
(k)
j
⊂ F
(k)
para algum k =
1, .., l, ..., 2l − 1, 2l, ..., n.
Afirma¸c˜ao 3.2.4 F
(k)
j
∩ F
(k)
i
= ∅ ∀ i, j = 0, ..., p − 1 com i = j.
Prova: Mostraremos para k um n´umero par. No caso em que k ´e um n´umero
´ımpar a prova ´e an´aloga. Suponha que z = (z
1
, ..., z
l
, 0, ...) ∈ F
(k)
j
∩ F
(k)
i
. Da´ı
segue que |z
k
2
|
2
≥
2
n+1
,
(2j+1)π
p
≤ arg z
k
2
≤
2(j+1)π
p
e
(2i+1)π
p
≤ arg z
k
2
≤
2(i+1)π
p
. Como i = j podemos supor sem perda de ge-
neralidade que i < j, logo teremos que
2(i+1)π
p
<
(2j+1)π
p
, pois como i < j e i, j
s˜ao n´umeros inteiros positivos temos que j − i >
1
2
, ou seja, 2j −2i > 1 e isso
implica que 2(i + 1) = 2i + 2 < 2j + 1. Consequentemente
2(i+1)π
p
<
(2j+1)π
p
.
Portanto, arg z
k
2
≤
2(i+1)π
p
e arg z
k
2
>
2(i+1)π
p
o que ´e um absurdo.
Afirma¸c˜ao 3.2.5 ϕ
n,p
(F
(k)
j
) = F
(k)
j+1
∀ k = 1, ..., n e ∀ j = 0, ..., p − 1.
Prova: Mostraremos para k um n´umero par. No caso em que k ´e um
n´umero ´ımpar a prova ´e an´aloga. Seja z ∈ ϕ
n,p
(F
(k)
j
). Da´ı segue que z =
52
ϕ
n,p
(z
1
, ..., z
l
, 0, ...) tal que (z
1
, ..., z
l
, 0, ...) ∈ F
(k)
j
. Sendo assim |z
k
2
|
2
≥
2
n+1
e
(2j+1)π
p
≤ arg z
k
2
≤
2(j+1)π
p
. Observe que z = ϕ
n,p
(z
1
, ..., z
l
, 0, ...) =
(e
2πi
p
z
1
, ..., e
2πi
p
z
l
, 0, ...) ∈ F
n,p
e |e
2πi
p
z
k
2
|
2
= |e
2πi
p
|
2
|z
k
2
|
2
= |z
k
2
|
2
≥
2
n+1
. Al´em
disso arg (e
2πi
p
z
k
2
) ´e dado por
(2j + 1)π
p
+
2π
p
≤ arg (e
2πi
p
z
k
2
) ≤
2(j + 1)π
p
+
2π
p
ou equivalentemente,
(2j + 3)π
p
≤ arg (e
2πi
p
z
k
2
) ≤
2(j + 2)π
p
Portanto, z = ϕ
n,p
(z
1
, ..., z
l
, 0, ...) ∈ F
(k)
j+1
= {z ∈ F
n,p
; |z
k
2
|
2
≥
2
n+1
,
(2j+3)π
p
≤
arg (e
2πi
p
z
k
2
) ≤
2(j+2)π
p
} e consequentemente ϕ
n,p
(F
(k)
j
) ⊂ F
(k)
j+1
. Por outro
lado, seja z = (z
1
, ..., z
l
, 0, ...) ∈ F
(k)
j+1
. Da´ı segue que z = (z
1
, ..., z
l
, 0, ...) ∈
F
n,p
tal que |z
k
2
|
2
≥
2
n+1
e
(2j+3)π
p
≤ arg z
k
2
≤
2(j+2)π
p
. Sendo assim,
tomemos w = (z
1
e
−2πi
p
, ..., z
k
2
e
−2πi
p
, ..., z
n
2
e
−2πi
p
, 0, ...) ∈ F
n,p
se n ´e par e w =
(z
1
e
−2πi
p
, ..., z
k
2
e
−2πi
p
, ..., |z
(n+1)
2
|e
2(s−1)πi
p
, 0, ...) ∈ F
n,p
para s ∈ {0, ..., p−1} se n ´e
´ımpar. Observe que |e
−2πi
p
.z
k
2
|
2
= |z
k
2
|
2
≥
2
n+1
e
(2j+3)π
p
−
2π
p
≤ arg (e
−2πi
p
z
k
2
) ≤
2(j+2)π
p
−
2π
p
, ou seja,
(2j+1)π
p
≤ arg (e
−2πi
p
z
k
2
) ≤
2(j+1)π
p
e consequentemente
w ∈ F
(k)
j
. Portanto, ϕ
n,p
(w) = (z
1
, ..., z
k
2
, ..., z
n
2
, 0, ...) = z se n ´e par e
ϕ
n,p
(w) = (z
1
, ..., z
k
2
, ..., |z
(n+1)
2
|e
2sπi
p
, 0, ...) = z se n ´e ´ımpar, logo podemos
afirmar que F
(k)
j+1
⊂ ϕ
n,p
(F
(k)
j
).
Lema 3.2.2 Seja ϕ
n,p
: F
n,p
−→ F
n,p
dada por ϕ
n,p
(z) = (z
1
e
2πi
p
, z
2
e
2πi
p
, ...).
Ent˜ao g(F
n,p
, ϕ
n,p
) = g(F
n,p
, ϕ
n,p
) ≤ n.
Prova: Como F
n,p
´e normal j´a sabemos que g(F
n,p
, ϕ
n,p
) = g(F
n,p
, ϕ
n,p
). Basta
ent˜ao mostrar que g(F
n,p
, ϕ
n,p
) ≤ n. Mas pelo fato que F
(k)
j
´e fechado em F
n,p
∀ j = 0, ..., p − 1 e ∀ k = 1, .., n, sendo os F
(k)
j
definidos como acima, temos
pelas trˆes afirma¸c˜oes anteriores que g(F
n,p
, ϕ
n,p
) ≤ n.
53
Lema 3.2.3 Seja p um n´umero primo e (M, f) ∈ N
p
. Se s = g(M, f) ´e
finito, ent˜ao s ´e o menor n´umero tal que existe uma aplica¸c˜ao equivariante
P : (M, f) −→ (F
s,p
, ϕ
s,p
).
Prova: Como s = g(M, f) temos que M = ∪
s
j=1
G
(j)
sendo cada G
(j)
=
G
(j)
0
∪...∪G
(j)
p−1
e G
(j)
t
s˜ao subconjunos fechados disjuntos de M ∀t = 0, ..., p−1.
Al´em disso f
t
(G
(j)
0
) = G
(j)
t
. Mostraremos que para cada j ∈ {1, ..., s} existem
aplica¸c˜oes P
j
: ∪
j
i=1
G
(i)
−→ F
j,p
com P
j
◦ f| ∪
j
i=1
G
(i)
= ϕ
j,p
◦ P
j
. Observe
que se isto ocorrer teremos P = P
s
, pois M = ∪
s
i=1
G
(i)
. Considere os passos
abaixo:
Passo 1: Para j = 1 considere a aplica¸c˜ao cont´ınua P
1
: G
(1)
−→ F
1,p
dada
por P
1
(x) = e
2tπi
p
se x ∈ G
(1)
t
onde t = 0, ..., p − 1. Note que P
1
´e uma
aplica¸c˜ao equivariante pois, se x ∈ G
(1)
t
ent˜ao f(x) ∈ f(G
(1)
t
) = f(f
t
(G
(1)
0
)) =
f
t+1
(G
(1)
0
) = G
(1)
t+1
. Logo (P
1
◦f)(x) = P
1
(f(x)) = e
2(t+1)πi
p
. Mas por outro lado,
temos que (ϕ
1,p
◦ P
1
)(x) = ϕ
1,p
(P
1
(x)) = ϕ
1,p
(e
2tπi
p
) = e
2tπi
p
.e
2πi
p
= e
2(t+1)πi
p
.
Passo 2: Suponhamos que para j ∈ {1, ..., s −1} existam aplica¸c˜oes cont´ınuas
P
j
: ∪
j
i=1
G
(i)
−→ F
j,p
com P
j
◦f|∪
j
i=1
G
(i)
= ϕ
j,p
◦P
j
. Mostraremos que existe
P
j+1
: ∪
j+1
i=1
G
(i)
−→ F
j+1,p
com P
j+1
◦ f| ∪
j+1
i=1
G
(i)
= ϕ
j+1,p
◦ P
j+1
. Note que,
ainda para j ∈ {1, ..., s − 1} temos que ∪
j
i=1
G
(i)
⊂ ∪
j
i=1
G
(i)
∪ G
(j+1)
0
e al´em
disso ∪
j
i=1
G
(i)
´e fechado em ∪
j
i=1
G
(i)
∪ G
(j+1)
0
que ´e normal.
Passo 3: Se j ∈ {1, ..., s − 1} ´e ´ımpar j´a vimos que F
j,p
⊂ S
j
= F
j+1,p
. Logo
pelo Corol´ario 1.4.4 podemos estender continuamente a aplica¸c˜ao
P
j
: ∪
j
i=1
G
(i)
−→ F
j,p
⊂ S
j
para uma aplica¸c˜ao cont´ınua
P
j+1
: ∪
j
i=1
G
(i)
∪ G
(j+1)
0
−→ S
j
= F
j+1,p
.
Passo 4: Se j ∈ {1, ..., s − 1} ´e par j´a vimos que F
j,p
= S
j−1
⊂ S
j
+
⊂
F
j+1,p
. Logo pelo Corol´ario 1.4.6 podemos estender continuamente a aplica¸c˜ao
P
j
: ∪
j
i=1
G
(i)
−→ F
j,p
⊂ S
j
+
para uma aplica¸c˜ao cont´ınua
54
P
j+1
: ∪
j
i=1
G
(i)
∪ G
(j+1)
0
−→ S
j
+
⊂ F
j+1,p
.
Passo 5: Defina P
j+1
: ∪
j+1
i=1
G
(i)
−→ F
j+1,p
como sendo
P
j+1
=
P
j+1
(x), se x ∈ ∪
j
i=1
G
(i)
∪ G
(j+1)
0
ϕ
l
j+1,p
(P
j+1
(f
p−l
(x))), se x ∈ G
j+1
l
(l = 1, ..., p − 1)
(1) Se x ∈ G
(j+1)
l
para l = 1, ..., p − 1 temos que f
p−l
(x) ∈ f
p−l
(G
(j+1)
l
) =
f
p−l
(f
l
(G
(j+1)
0
)) = f
p
(G
(j+1)
0
) = G
(j+1)
0
. Portanto faz sentido P
j+1
(f
p−l
(x)),
e consequentemente ϕ
l
j+1,p
(P
j+1
(f
p−l
(x))).
(2) Se x ∈ (∪
j
i=1
G
(i)
∪ G
(j+1)
0
) ∩ G
(j+1)
l
= (∪
j
i=1
G
(i)
) ∩ G
(j+1)
l
para l =
1, ..., p − 1 temos que
ϕ
l
j+1,p
(P
j+1
(f
p−l
(x))) =
1
ϕ
l
j,p
(P
j
(f
p−l
(x))) =
2
P
j
(f
l
(f
p−l
(x))) = P
j
(f
p
(x)) =
P
j
(x) = P
j+1
(x)
Juntando os itens (1) e (2) acima podemos afirmar que a aplica¸c˜ao
P
j+1
: ∪
j+1
i=1
G
(i)
−→ F
j+1,p
est´a bem definida e, al´em disso, pelo lema da
colagem P
j+1
´e cont´ınua. Sendo assim, veremos agora que P
j+1
◦f|∪
j+1
i=1
G
(i)
=
ϕ
j+1,p
◦ P
j+1
. Para isso analisemos os trˆes casos abaixo:
Caso 1: Se x ∈ ∪
j
i=1
G
(i)
´e f´acil ver que f(x) ∈ ∪
j
i=1
G
(i)
. Da´ı segue que
(P
j+1
◦ f)(x) = P
j+1
(f(x)) = P
j+1
(f(x)) = P
j
(f(x)) = (P
j
◦ f)(x) =
= (ϕ
j,p
◦ P
j
)(x) = ϕ
j,p
(P
j
(x)) = ϕ
j+1,p
(P
j
(x)) =
= ϕ
j+1,p
(P
j+1
(x)) = (ϕ
j+1,p
◦ P
j+1
)(x)
1
Se x ∈ ∪
j
i=1
G
(i)
ent˜ao f
p−l
(x) ∈ ∪
j
i=1
G
(i)
2
Desde que P
j
◦ f |
∪
j
i=1
G
(i)
= ϕ
j,p
◦ P
j
ent˜ao P
j
◦ f
l
|
∪
j
i=1
G
(i)
= ϕ
l
j,p
◦ P
j
55
Caso 2: Se x ∈ G
(j+1)
l
(l = 0, ..., p − 2), f(x) ∈ f(G
(j+1)
l
) = f(f
l
(G
(j+1)
0
)) =
f
l+1
(G
(j+1)
0
) sendo l + 1 ∈ {1, ..., p − 1}. Da´ı segue que
(P
j+1
◦ f)(x) = P
j+1
(f(x)) = ϕ
l+1
j+1,p
(P
j+1
(f
p−(l+1)
(f(x)))) =
= ϕ
j+1,p
(ϕ
l
j+1,p
(P
j+1
(f
p−l
(x)))) =
= ϕ
j+1,p
(P
j+1
(x)) = (ϕ
j+1,p
◦ P
j+1
)(x)
Caso 3: Se x ∈ G
(j+1)
p−1
, f(x) ∈ f(G
(j+1)
p−1
) = f(f
p−1
(G
(j+1)
0
)) = f
p
(G
(j+1)
0
) =
G
(j+1)
0
. Da´ı segue que
(P
j+1
◦ f)(x) = P
j+1
(f(x)) = P
j+1
(f(x)) =
= ϕ
j+1,p
(ϕ
p−1
j+1,p
(P
j+1
(f
p−(p−1)
(x)))) =
= ϕ
j+1,p
(P
j+1
(x)) = (ϕ
j+1,p
◦ P
j+1
)(x)
Portanto, existe P = P
s
: M −→ F
s,p
equivariante. Para finalizar a prova
basta mostrar que s = g(M, f) = g(M, f) ´e o menor n´umero tal que existe
essa aplica¸c˜ao P . Para isso, suponha que n < s e que exista P : M −→ F
n,p
equivariante. Pelo Lema 3.2.1 e sabendo que g(F
n,p
, ϕ
n,p
) ≤ n temos que
s = g(M, f) ≤ g(F
n,p
, ϕ
n,p
) ≤ n, o que ´e um absurdo.
Definiremos abaixo quando um espa¸co topol´ogico M ´e n−conexo para
n ≥ 0 e logo ap´os veremos em que condi¸c˜oes dado (M, f) ∈ H
p
existe uma
aplica¸c˜ao equivariante P : (F
n+2,p
, ϕ
n+2,p
) −→ M.
Defini¸c˜ao 3.2.4 Um espa¸co topol´ogico M ´e dito ser n−conexo n ≥ 0, se toda
fun¸c˜ao cont´ınua f : S
j
−→ M com j ≤ n admite uma extens˜ao cont´ınua
f : D
j+1
−→ M.
Exemplo 3.2.1 A esfera S
n+1
´e n−conexa.
56
Lema 3.2.4 Seja n ∈ N e p um n´umero primo. Seja (M, f) ∈ H
p
com M n˜ao-
vazio e n-conexo. Ent˜ao existe uma aplica¸c˜ao P : (F
n+2,p
, ϕ
n+2,p
) −→ (M, f)
equivariante.
Prova: Mostraremos que para m ∈ {1, ..., n + 2} existem aplica¸c˜oes
P
m
: F
m,p
−→ M equivariante. Observe que se isto ocorrer, teremos en-
contrado P = P
n+2
: F
n+2,p
−→ M equivariante. Considere os passos abaixo:
Passo 1: Desde que M ´e n˜ao-vazio existe x ∈ M. Sendo assim defina
P
1
: F
1,p
−→ M como sendo P
1
(e
2kπi
p
) = f
k
(x) ∀ k = 0, ..., p −1. Notemos que
(P
1
◦ϕ
1,p
)(e
2kπi
p
) = P
1
(ϕ
1,p
(e
2kπi
p
)) = P
1
(e
2πi
p
.e
2kπi
p
) = P
1
(e
2(k+1)πi
p
) = f
k+1
(x) =
f(f
k
(x)) = f(P
1
(e
2kπi
p
)) = (f ◦ P
1
)(e
2kπi
p
)
Portanto, P
1
: (F
1,p
, ϕ
1,p
) −→ (M, f) ´e uma aplica¸c˜ao equivariante.
Passo 2: Sup onha que para 1 ≤ m ≤ n + 1 exista P
m
: F
m,p
−→ M equivari-
ante. Mostraremos que existe P
m+1
: F
m+1,p
−→ M tal que P
m+1
◦ ϕ
m+1,p
=
f ◦ P
m+1
. Para isso considere os itens (a) e (b) abaixo:
(a) Se m ´e um n´umero par temos que S
m
+
⊂ F
m+1,p
. Al´em disso, sabemos
que, existe um homeomorfismo h
m
: S
m
+
−→ D
m
tal que h
m
(F
m,p
) =
S
m−1
, onde F
m,p
= S
m−1
⊂ S
m
+
. Como por hip´otese de indu¸c˜ao
m−1 ≤ n e M ´e n−conexo, a defini¸c˜ao 3.2.4 nos garante que a aplica¸c˜ao
P
m
◦h
−1
m
: S
m−1
−→ M admite uma extens˜ao cont´ınua φ
m
: D
m
−→ M.
Sendo assim, defina a aplica¸c˜ao P
m+1
: F
m+1,p
−→ M como sendo
P
m+1
(z) = (f
k
◦φ
m
◦h
m
◦ϕ
p−k
m+1,p
)(z) ∀ z = (z
1
, ..., z
m
2
, |z
(m+2)
2
|e
2kπi
p
, 0, ...) ∈
F
m+1,p
onde k = 0, ..., p − 1. Para vermos que P
m+1
est´a bem definida
observe a afirma¸c˜ao abaixo:
57
Afirma¸c˜ao 3.2.6 ϕ
p−k
m+1,p
(F
m+1,p
) ⊂ S
m
+
para k = 0, ..., p − 1, sendo
ϕ
m+1,p
: F
m+1,p
−→ F
m+1,p
como na defini¸c˜ao 3.2.2.
Prova: Dado z = (z
1
, ..., z
m
2
, |z
(m+2)
2
|e
2kπi
p
, 0, ...) ∈ F
m+1,p
ent˜ao pela defini¸c˜ao
de ϕ
m+1,p
temos que
ϕ
p−k
m+1,p
(z) = (z
1
e
2(p−k)πi
p
, ..., z
m
2
e
2(p−k)πi
p
, |z
m+2
2
|e
2(p−k+k )πi
p
, 0, ...)
= (z
1
e
2(p−k)πi
p
, ..., z
m
2
e
2(p−k)πi
p
, |z
m+2
2
|, 0, ...)
Como |z
m+2
2
| ≥ 0 podemos afirmar que ϕ
p−k
m+1,p
(z) ∈ S
m
+
.
Afirma¸c˜ao 3.2.7 P
m+1
´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua. Al´em disso P
m+1
´e uma
aplica¸c˜ao equivariante.
Prova: Como P
m+1
´e composi¸c˜ao de aplica¸c˜oes cont´ınuas, logo ´e cont´ınua.
Seja z = (z
1
, ..., z
m
2
, |z
(m+2)
2
|e
2kπi
p
, 0, ...) ∈ F
m+1,p
. Ent˜ao pela defini¸c˜ao de
ϕ
m+1,p
temos que ϕ
m+1,p
(z) = (z
1
e
2πi
p
, ..., z
m
2
e
2πi
p
, |z
(m+2)
2
|e
2(k+1)πi
p
, 0, ...) sendo
k ∈ {0, ..., p − 1}. Por outro lado pela defini¸c˜ao de P
m+1
temos que
(P
m+1
◦ ϕ
m+1,p
)(z) = (f
k+1
◦ φ
m
◦ h
m
◦ ϕ
p−k−1
m+1,p
)(ϕ
m+1,p
(z)) =
= (f
k+1
◦ φ
m
◦ h
m
◦ ϕ
p−k
m+1,p
)(z) =
= (f ◦ f
k
◦ φ
m
◦ h
m
◦ ϕ
p−k
m+1,p
)(z) =
= f((f
k
◦ φ
m
◦ h
m
◦ ϕ
p−k
m+1,p
)(z)) =
= f(P
m+
1
(z)) = (f ◦ P
m+1
)(z)
(b) Seja m um n´umero ´ımpar, ent˜ao F
m+1,p
= {z = (z
1
, ..., z
(m+1)
2
, 0, ...) ∈
l
2
; z = 1}. Seja 0 ≤ s < 1 e k um n´umero natural. Defina o seguinte
conjunto:
S
k,s
= {z = (z
1
, ..., z
k
, 0, ...) ∈ l
2
; z = 1, 0 ≤ arg z
k
≤ 2πs}.
58
Da´ı segue que
S
(m+1)
2
,
1
p
= {z = (z
1
, ..., z
(m+1)
2
, 0, ...) ∈ F
m+1,p
; 0 ≤ arg z
(m+1)
2
≤
2π
p
}
Sabemos que o argumento do n´umero complexo z = 0 n˜ao est´a bem
definido, mas aqui assumimos que os elementos z = (z
1
, ..., z
(m−1)
2
, 0, ...)
∈ F
m+1,p
tamb´em pertencem ao conjunto S
(m+1)
2
,
1
p
.
Afirma¸c˜ao 3.2.8 S
(m+1)
2
,
1
2
= S
m
+
.
Prova : Seja z = (z
1
, ..., z
(m−1)
2
, z
(m+1)
2
, 0, ...) ∈ S
(m+1)
2
,
1
2
. Ent˜ao z
(m+1)
2
=
|z
(m+1)
2
|e
iθ
sendo 0 ≤ θ ≤ π. Como sen θ ≥ 0 ∀ θ ∈ [0, π], temos que z =
(z
1
, ..., z
(m−1)
2
, |z
(m+1)
2
|cos θ, |z
(m+1)
2
|sen θ, 0, ...) ∈ S
m
+
. Logo S
(m+1)
2
,
1
2
⊂ S
m
+
.
Por outro lado, seja (x
1
, ..., x
m
, x
m+1
) ∈ S
m
+
. Considere z
1
= x
1
+ ix
2
, ...,
z
(m−1)
2
= x
m−2
+ ix
m−1
, z
(m+1)
2
= x
m
+ ix
m+1
. Como x
m+1
≥ 0 temos que
arg z
(m+1)
2
∈ [0, π]. Da´ı segue que (z
1
, ..., z
(m−1)
2
, z
(m+1)
2
, 0, ...) ∈ S
(m+1)
2
,
1
2
. Por-
tanto, S
m
+
⊂ S
(m+1)
2
,
1
2
.
Afirma¸c˜ao 3.2.9 A aplica¸c˜ao h
m
: S
(m+1)
2
,
1
p
−→ D
m
dada por
h(z) = (Re z
1
, Im z
1
, ..., Re z
(m−1)
2
, Im z
(m−1)
2
, |z
(m+1)
2
|cos(
p
2
arg z
(m+1)
2
))
´e um homeomorfismo.
Prova: Seja g
m
: S
(m+1)
2
,
1
p
−→ S
(m+1)
2
,
1
2
dada por g
m
(z
1
, ..., z
(m−1)
2
, z
(m+1)
2
, 0, ...) =
(z
1
, ..., z
(m−1)
2
, |z
(m+1)
2
|e
i
p
2
arg z
(m+1)
2
, 0, ...). Observe que g
m
´e cont´ınua, pois suas
coordenadas s˜ao cont´ınuas. Al´em disso g
−1
m
: S
(m+1)
2
,
1
2
−→ S
(m+1)
2
,
1
p
dada por
g
−1
m
(z
1
, ..., z
(m−1)
2
, z
(m+1)
2
, 0, ...) = (z
1
, ..., z
(m−1)
2
, |z
(m+1)
2
|e
i
2
p
arg z
(m+1)
2
, 0, ...) ´e uma
aplica¸c˜ao cont´ınua. Como g
m
◦ g
−1
m
= id
S
(m+1)
2
,
1
2
e g
−1
m
◦ g
m
= id
S
(m+1)
2
,
1
p
temos
que g
m
´e um homeomorfismo. Sabendo que f : S
m
+
−→ D
m
definida por
f(x
1
, ..., x
m
, x
m+1
) = (x
1
, ..., x
m
) ´e um homeomorfismo, pela afirma¸c˜ao 3.2.8
59
podemos compor f ◦ g
m
, logo h
m
= f ◦ g
m
: S
(m+1)
2
,
1
p
−→ D
m
dada por
h
m
(z
1
, ..., z
(m+1)
2
, 0, ...) = (z
1
, ..., z
(m−1)
2
, |z
(m+1)
2
|cos(
p
2
arg z
(m+1)
2
)) ´e um homeo-
morfismo.
Afirma¸c˜ao 3.2.10 Seja h
m
: S
(m+1)
2
,
1
p
−→ D
m
dada como na afirma¸c˜ao an-
terior. Ent˜ao
h
m
(S
(m+1)
2
,
1
p
∩ F
m,p
) = h
m
({z ∈ S
(m+1)
2
,
1
p
| arg z
m+1
2
= 0 ou arg z
m+1
2
=
2π
p
}) =
S
m−1
.
Prova: Seja z = h
m
(w) onde w = (z
1
, ..., z
(m+1)
2
, 0, ...) ∈ S
m+1
2
,
1
p
∩F
m,p
. Ent˜ao
h
m
(w) = (Re z
1
, Im z
1
, Re z
2
, Im z
2
, ...Re z
(m−1)
2
, Im z
(m−1)
2
, ±|z
(m+1)
2
|) ∈
S
m−1
, logo h
m
(S
(m+1)
2
,
1
p
∩F
m,p
) ⊂ S
m−1
. Por outro lado, seja (x
1
, ..., x
m−1
, x
m
) ∈
S
m−1
. Ent˜ao considere z = x
1
+ ix
2
, ..., z
(m−1)
2
= x
m−2
+ ix
m−1
e z
(m+1)
2
=
x
m
se x
m
≥ 0 ou z
(m+1)
2
= x
m
e
(2−p)πi
p
se x
m
< 0. Da´ı segue que z =
(z
1
, ..., z
(m−1)
2
, z
(m+1)
2
, 0, ...) ∈ S
(m+1)
2
,
1
p
∩F
m,p
, e h
m
(z) = (x
1
, ..., x
m−1
, x
m
). Por-
tanto, S
m−1
⊂ h
m
(S
(m+1)
2
,
1
p
∩ F
m,p
).
Pela afirma¸c˜ao acima faz sentido compormos a aplica¸c˜ao
P
m
: F
m,p
−→ M com h
−1
m
: S
m−1
−→ S
(m+1)
2
,
1
p
∩ F
m,p
⊂ F
m,p
. Sendo
assim P
m
◦ h
−1
m
: S
m−1
−→ M ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua. Mas como por
hip´otese de indu¸c˜ao m −1 ≤ n e M ´e n−conexo, a defini¸c˜ao 3.2.4 nos garante
que a aplica¸c˜ao P
m
◦ h
−1
m
: S
m−1
−→ M admite uma extens˜ao cont´ınua
φ
m
: D
m
−→ M. Defina a aplica¸c˜ao P
m+1
: F
m+1,p
−→ M como sendo
P
m+1
(z) = (f
k
◦φ
m
◦h
m
◦ϕ
p−k
m+1,p
)(z) sabendo que
2kπ
p
≤ arg z
(m+1)
2
<
2(k+1)π
p
,
k ∈ {0, ..., p−1}. Para vermos que P
m+1
est´a bem definida observe a afirma¸c˜ao
abaixo:
Afirma¸c˜ao 3.2.11 Seja ϕ
m+1,p
: F
m+1,p
−→ F
m+1,p
como na defin¸c˜ao 3.2.2,
ent˜ao
ϕ
p−k
m+1,p
(F
m+1,p
) ⊂ S
(m+1)
2
,
1
p
∀ k = 0, .., p − 1.
60
Prova : Dado z = (z
1
, ..., z
(m−1)
2
, z
(m+1)
2
, 0, ...) ∈ F
m+1,p
temos que
ϕ
p−k
m+1,p
(z
1
, ..., z
(m+1)
2
, 0, ...) = (z
1
e
2(p−k)πi
p
, ..., z
(m+1)
2
e
2(p−k)πi
p
, 0, ...). Sabendo que
2kπ
p
≤ arg z
(m+1)
2
<
2(k+1)π
p
para algum k ∈ {0, ..., p − 1} , isso implica que
2kπ
p
+
2(p−k)π
p
≤ arg z
(m+1)
2
e
2(p−k)πi
p
<
2(k+1)π
p
+
2(p−k)π
p
. Sendo assim podemos
afirmar que 0 ≤ arg z
(m+1)
2
e
2(p−k)πi
p
<
2π
p
. Portanto, ϕ
p−k
m+1,p
(z
1
, ..., z
(m+1)
2
, 0, ...) ⊂
S
(m+1)
2
,
1
p
.
Afirma¸c˜ao 3.2.12 P
m+1
´e uma aplica¸c˜ao equivariante.
Prova: Como P
m+1
´e composi¸c˜ao de aplica¸c˜oes cont´ınuas, logo ´e cont´ınua.
Seja z = (z
1
, ..., z
(m+1)
2
, 0, ...) ∈ F
m+1,p
. Ent˜ao ϕ
m+1,p
(z
1
, ..., z
(m+1)
2
, 0, ...) =
(z
1
e
2πi
p
, ..., z
(m+1)
2
e
2πi
p
, 0, ...). Al´em disso temos que
2π
p
+
2kπ
p
≤ arg z
(m+1)
2
e
2πi
p
<
2(k + 1)π
p
+
2π
p
ou equivalentemente
2(k + 1)π
p
≤ arg z
(m+1)
2
e
2πi
p
<
2[(k + 1) + 1]π
p
para k ∈ {0, .., p − 1}. Logo pela defini¸c˜ao de P
m+1
temos que
(P
m+1
◦ ϕ
m+1,p
)(z) = (f
k+1
◦ φ
m
◦ h
m
◦ ϕ
p−k−1
m+1,p
)(ϕ
m+1,p
(z)) =
= (f
k+1
◦ φ
m
◦ h
m
◦ ϕ
p−k
m+1,p
)(z) =
= (f ◦ f
k
◦ φ
m
◦ h
m
◦ ϕ
p−k
m+1,p
)(z) =
= f((f
k
◦ φ
m
◦ h
m
◦ ϕ
p−k
m+1,p
)(z)) =
= f(P
m+
1
(z)) = (f ◦ P
m+1
)(z)
Portanto, existe P = P
n+2
: F
n+2,p
−→ M equivariante, o que finaliza a prova
do lema.
O pr´oximo resultado ´e uma simples consequˆencia dos dois ´ultimos
lemas.
61
Lema 3.2.5 Seja m ≥ 2 inteiro e p um n´umero primo. Seja (S, ϕ) como no
Teorema 2.0.6 e (M, f) ∈ N
p
. Ent˜ao g(M, f) ≤ (m − 1)(p − 1) se, e somente
se, existe uma aplica¸c˜ao equivariante P : (M, f) −→ (S, ϕ).
Prova: (=⇒) Se n = g(M, f) ≤ (m − 1)(p − 1), ent˜ao pelo Lema 3.2.3
n ´e o menor n´umero tal que existe uma aplic˜a¸c˜ao equivariante
P
1
: (M, f) −→ (F
n,p
, ϕ
n,p
). Como n ≤ (m − 1)(p − 1) e sabendo que
F
n,p
⊆ F
(m−1)(p−1),p
podemos considerar a inclus˜ao j : F
n,p
−→ F
(m−1)(p−1),p
que ´e uma aplica¸c˜ao equivariante, isto ´e, j ◦ ϕ
n,p
= ϕ
(m−1)(p−1),p
◦ j. Al´em
disso como S ´e uma esfera ((m −1)(p −1) −1)-dimensional ent˜ao temos que
S ´e ((m − 1)(p − 1) − 2)-conexo. Da´ı pelo Lema 3.2.4 existe uma aplica¸c˜ao
equivariante P
2
: (F
(m−1)(p−1),p
, ϕ
(m−1)(p−1),p
) −→ (S, ϕ). Usando a propriedade
equivariante de P
1
, P
2
e j mostraremos que P = P
2
◦j ◦P
1
: (M, f) −→ (S, ϕ)
´e uma aplica¸c˜ao equivariante. De fato:
P ´e cont´ınua, pois ´e composi¸c˜ao de aplica¸c˜oes cont´ınuas. Al´em disso,
P ◦f = P
2
◦ j ◦ P
1
◦ f = P
2
◦ j ◦ ϕ
n,p
◦ P
1
=
= P
2
◦ ϕ
(m−1)(p−1),p
◦ j ◦ P
1
=
= ϕ ◦ P
2
◦ j ◦ P
1
= ϕ ◦ P.
Portanto, se g(M, f) ≤ (m−1)(p−1) existe P : (M, f) −→ (S, ϕ) equivariante.
(⇐=) Suponha que exista uma aplica¸c˜ao equivariante P : (M, f) −→ (S, ϕ).
Ent˜ao pelo Lema 3.2.1 e pela Observa¸c˜ao 3.1.5 temos que g(M, f) ≤ g(S, ϕ) =
(m − 1)(p − 1).
Cap´ıtulo 4
A categoria do espa¸co S
n
/f
Seja f : S
n
−→ S
n
cont´ınua, gerando uma Z
p
−a¸c˜ao livre sobre S
n
.
Baseado num resultado de Krasnosel’skiˇı [5] ser´a mostrado neste cap´ıtulo que
se S
n
/f ´e o espa¸co de ´orbitas dessa a¸c˜ao ent˜ao a categoria de Ljusternik-
Schnirelmann de S
n
/f , cat (S
n
/f) ´e igual a n + 1, e como consequˆencia desse
resultado ser´a mostrado que g(S
n
, f) = n + 1 qualquer que seja a aplica¸c˜ao
f : S
n
−→ S
n
gerando Z
p
−a¸c˜ao livre em S
n
. A t´ecnica usada nos permitir´a
obter um majorante para o gˆenus de uma classe ampla de Z
p
−espa¸co.
Teorema 4.0.1 ([5]) Seja (S
n
, f) ∈ N
p
, e sejam G
(i)
j
⊂ S
n
i = 1, 2, ..., r e
j = 0, 1, ..., p−1 subconjuntos fechados tais que S
n
= ∪
r
i=1
G
(i)
, G
(i)
= ∪
p−1
j=0
G
(i)
j
e f
j
(G
(i)
0
) = G
(i)
j
∀ i = 1, ..., r e ∀ j = 0, ..., p − 1. Ent˜ao
r ≥ n + 1.
Corol´ario 4.0.1 Se (S
n
, f) ∈ N
p
ent˜ao g(S
n
, f) ≥ n + 1.
Corol´ario 4.0.2 Se (S
n
, f) ∈ N
p
ent˜ao cat (S
n
/f) = n + 1 .
Prova: Suponha que cat (S
n
/f) = r. Ent˜ao existem fechados U
1
,U
2
,...,U
r
de S
n
/f tais que as inclus˜oes q
i
: U
i
−→ S
n
/f s˜ao homot´opicas `a uma
62
63
aplica¸c˜ao constante c
i
: U
i
−→ S
n
/f dada por c
i
(x) = y
i
∀ i = 1, .., r.
Sendo S
n
/f conexo por caminhos podemos considerar todos os pontos y
i
iguais a um ´unico ponto y ∈ S
n
/f. Consideremos o Z
p
−fibrado principal
ξ
n
= (S
n
, p, S
n
/f, Z
p
) sendo p : S
n
−→ S
n
/f a proje¸c˜ao que leva cada ponto
x ∈ S
n
em sua classe. Segue do Teorema 1.5.2 que S
n
/f ´e uma n−variedade
topol´ogica, donde S
n
/f ´e paracompacto [18] e como todo subespa¸co fechado
de um espa¸co paracompacto ´e paracompacto segue que cada U
i
´e paracom-
pacto. Sendo q
i
c
i
o Teorema 1.7.3 nos garante que q
∗
i
(ξ
n
) ´e isomorfo a
c
∗
i
(ξ
n
) ∀ i = 1, ..., r. Mas pelo Exemplo 1.7.7 o Z
p
-fibrado principal q
∗
i
(ξ
n
)
´e isomorfo ao Z
p
-fibrado principal ξ|
U
i
= (X
, p
, U
i
) sendo X
= p
−1
(U
i
) e
p
= p|
p
−1
(U
i
)
e pelo Exemplo 1.7.8 o Z
p
-fibrado principal c
∗
i
(ξ
n
) ´e isomorfo
ao Z
p
-fibrado principal produto ε(U
i
, Z
p
) = (U
i
× Z
p
, p
1
, U
i
, Z
p
). Sendo
assim, existe um homeomorfismo h
i
: U
i
× Z
p
−→ p
−1
(U
i
) ∀ i = 1, ..., r tal
que sh
i
(x, k) = h
i
(s(x, k)), ou seja, f
s
◦ h
i
(x, k) = h
i
(x, s + k). Notemos que
S
n
= ∪
r
i=1
p
−1
(U
i
)
e
p
−1
(U
i
) = h
i
(U
i
× {0}) ∪ h
i
(U
i
× {1}) ∪ ... ∪ h
i
(U
i
× {p − 1})
sendo a uni˜ao acima disjunta, e h
i
(U
i
× {k}) ´e fechado em p
−1
(U
i
) ∀ k =
0, ..., p − 1 e ∀ i = 1, ..., r, pois h
i
´e homeomorfismo e U
i
× {k} ´e fechado
em U
i
× Z
p
. Usando a defini¸c˜ao das a¸c˜oes e a propriedade equivariante do
homeomorfismo h
i
temos tamb´em que
f
k
(h
i
(U
i
× {0})) = h
i
(U
i
× {k})
∀ k = 0, ..., p − 1 e ∀ i = 1, ..., r. Sendo assim, definamos:
64
G
(i)
k
= h
i
(U
i
× {k})
G
(i)
= ∪
p−1
k=0
G
(i)
k
.
Como S
n
= ∪
r
i=1
G
(i)
e f
k
(G
(i)
0
) = G
(i)
k
∀ k = 0, ..., p − 1 temos pelo Teorema
4.0.1 que r ≥ n + 1, ou seja, cat (S
n
/f) ≥ n + 1. Pelo Corol´ario 1.5.1 e o
Teorema 1.6.3 temos que cat (S
n
/f) ≤ n + 1. Assim cat (S
n
, f) = n + 1.
Corol´ario 4.0.3 Se (S
n
, f) ∈ N
p
ent˜ao o g(S
n
, f) = n + 1.
Prova: Como cat (S
n
, f) = n+1, usando os mesmos argumentos do Corol´ario
4.0.2 encontramos fechados G
(1)
, G
(2)
, ..., G
(n+1)
⊂ S
n
tais que S
n
= ∪
n+1
i=1
G
(i)
,
G
(i)
= ∪
p−1
k=0
G
(i)
k
e f
k
(G
(i)
0
) = G
(i)
k
∀ k = 0, ..., p−1 e ∀ i = 1, ..., n+1. Portanto,
pela defini¸c˜ao do gˆenus g(S
n
, f) podemos afirmar que g(S
n
, f) ≤ n + 1. Mas
pelo Corol´ario 4.0.1 temos que g(S
n
, f) ≥ n+1 e consequentemente g(S
n
, f) =
n + 1.
Os argumentos empregados na demonstra¸c˜ao do Corol´ario 4.0.2 nos
permitem concluir o seguinte resultado
Teorema 4.0.2 Sejam M uma n−variedade topol´ogica conexa por caminhos
e f : M −→ M gerando uma Z
p
−a¸c˜ao livre em M, ent˜ao
g(M, f) ≤ n + 1.
Prova: Suponha que cat (M/f) = r. Segue do Teorema 1.6.3 e Corol´ario
1.5.1 que
r = cat (M/f) ≤ dim (M/f) + 1 = n + 1
sendo M/f o espa¸co de ´orbitas da a¸c˜ao gerada por f. Tamb´em existem fecha-
dos F
1
,F
2
, ..., F
r
em M/f tais que as inclus˜oes q
i
: F
i
→ M/f s˜ao homot´opicas
65
`a uma aplica¸c˜ao constante c
i
: F
i
−→ M/f, c
i
(x) = y
i
∀ x ∈ F
i
e ∀ i =
1, ...r. Como F
i
´e paracompacto se gue do Teorema 1.7.3 que q
∗
i
(ξ(M, f))
∼
=
c
∗
i
(ξ(M, f)) sendo ξ(M, f) o Z
p
−fibrado principal (M, p, M/f, Z
p
). Pelos Exem-
plos 1.7.7 e 1.7.8 temos que os espa¸cos totais E(q
∗
i
(ξ(M, f))) e E(c
∗
i
(ξ(M, f)))
s˜ao respectivamente equivariantemente homeomorfos a p
−1
(F
i
) e F
i
×Z
p
. Por-
tanto existem homeomorfismos e quivariantes h
i
: F
i
× Z
p
−→ p
−1
(F
i
) donde
p
−1
(F
i
) = ∪
p−1
j=0
h
i
(F
i
× {j})
Definindo G
(i)
= p
−1
(F
i
) e G
(i)
j
= h
i
(F
i
× {j}) temos que
M = ∪
r
i=1
G
(i)
G
(i)
= ∪
p−1
j=0
G
(i)
j
G
(i)
j
s˜ao fechados de M
G
(i)
j
∩ G
(i)
l
= ∅ se j = l ∀ i = 1, ..., r
f
j
(G
(i)
0
) = G
(i)
j
∀ j = 0, ..., p − 1, ∀ i = 1, ..., r.
Logo pela defini¸c˜ao do gˆenus g(M, f) temos que g(M, f) ≤ r ≤ n + 1.
Exemplo 4.0.2 Para a esfera S
n
vimos acima que o g(S
n
, f) coincide com
o majorante n + 1 dado pelo Teorema 4.0.2 acima , qualquer que seja a a¸c˜ao
gerada por f.
Exemplo 4.0.3 Pelo Exemplo 3.1.2 exibimos uma f : T −→ T gerando uma
Z
2
−a¸c˜ao livre no toro T tal que g(T, f) = 2 < 2 + 1.
Exemplo 4.0.4 A a¸c˜ao do Exemplo 4.0.2 acima foi obtida pela restri¸c˜ao da
ant´ıpoda A : R
3
−→ R
3
no toro. O mesmo procedimento pode ser feito com o
bitoro, tritoro, etc., dispostos de maneira conveniente em R
3
de tal forma que
A : R
3
−→ R
3
quando restrita a essas superf´ıcies tenham suas imagens ainda
66
contidas nas respectivas superf´ıcies. Isso fornece exemplos de Z
2
−a¸c˜oes livres
em qualquer superf´ıcie compacta orientada bidimensional. Temos pelo Teorema
4.0.2 acima que o gˆenus dessas superf´ıcies munidas por estas Z
2
−a¸c˜oes livres
ou qualq uer outra Z
p
−a¸c˜ao livre que possa existir deve ser menor ou igual a
3.
Cap´ıtulo 5
A propriedade K
m,p
Neste cap´ıtulo analisaremos o Teorema de Ljusternik-Schnirelmann
generalizado, provado por Steinlein [14]. A partir da´ı, definiremos quando um
espa¸co com uma Z
p
-a¸c˜ao livre tem a propriedade K
m,p
, sendo p um n´umero
primo e m natural, e veremos como melhorar a estimativa do gˆenus para um
par (M, f) ∈ N
7
que tem a propriedade K
m,p
, ∀ m ≥ 3, quando M tem base
enumer´avel.
5.1 O Teorema de Ljusternik-Schn irelmann
Nesta se¸c˜ao abordaremos uma generaliza¸c˜ao do teorema cl´assico de
Ljusternick-Schinirelmann e veremos que de um certo modo vale a rec´ıproca
deste teorema generalizado.
Teorema 5.1.1 (Ljusternik-Schnirelmann) Sejam M
1
, ..., M
m
conjuntos fecha-
dos da S
n
tal que S
n
= ∪
m
i=1
M
i
e M
i
∩ A(M
i
) = ∅ para i = 1, ..., m, sendo
A : S
n
−→ S
n
dada por A(x) = −x. Ent˜ao
g(S
n
, A) = n + 1 ≤ m − 1.
67
68
No Teorema acima surge a id´eia muito natural de substituirmos S
n
por
um espa¸co de Hausdorff M, e A : S
n
−→ S
n
por uma aplica¸c˜ao
f : M −→ M gerando uma Z
p
−a¸c˜ao livre e perguntarmos em que condi¸c˜oes
existe uma cobertura de M por m fechados M
1
, ..., M
m
com M
i
∩ f(M
i
) = ∅
para i = 1, ..., m. Com este intuito considere a seguinte defini¸c˜ao:
Defini¸c˜ao 5.1.1 Seja m ∈ N e p um n ´umero primo. Dizemos que o par
(M, f) ∈ H
p
tem a propriedade K
m,p
, se existem M
1
, M
2
, ..., M
m
⊂ M conjun-
tos fechados tais que M = ∪
m
i=1
M
i
e M
i
∩ f(M
i
) = ∅ ∀i = 1, ..., m.
Em [14] temos o seguinte resultado:
Teorema 5.1.2 (Ljusternik-Schnirelmann generalizado) Sejam m natural,
m ≥ 3 e (M, f) ∈ N
p
tal que (M, f) tem a propriedade K
m,p
. Ent˜ao
g(M, f) ≤
(m − 3)
p−1
2
+ 1, se p = 3
(m − 3)
p−1
2
+ 2, se p > 3
Para responder se vale de um certo modo a rec´ıproca do Teorema
acima, comecemos definindo os seguintes n´umeros:
Defini¸c˜ao 5.1.2 Seja m natural e p um n´umero primo. Defina ent˜ao
r
1
(m, p) = max{n ∈ N ; ∀ (M, f) ∈ N
p
com g(M, f) ≤ n
tem a propriedade K
m,p
}
r
2
(m, p) = max{n ∈ N ; ∃ (M, f) ∈ N
p
com g(M, f) = n e
(M, f) tem a propriedade K
m,p
}
O pr´oximo resultado que vamos enunciar e provar abaixo nos fornece
uma rela¸c˜ao entre os n´umeros r
1
(m, p) e r
2
(m, p). Al´em disso, veremos que
r
1
(m, p) ≥ ([
m
4
] − 1)(p − 1) para p ≥ 3 e m ≥ 4.
69
Teorema 5.1.3 Seja m ∈ N, m ≥ 4 e p ≥ 3 um n´umero primo. Ent˜ao,
([
m
4
] − 1)(p − 1) ≤ r
1
(m, p) ≤ r
2
(m, p)
sendo [
m
4
] = max{n ∈ Z ; n ≤
m
4
}.
Prova: Mostraremos inicialmente a primeira desigualdade. Seja (M, f) ∈ N
p
com g(M, f) ≤ ([
m
4
] − 1)(p − 1) e (S, ϕ) como no Teorema 2.0.6 com [
m
4
] em
vez de m. Pelo Lema 3.2.5, existe uma aplica¸c˜ao equivariante P : (M, f) −→
(S, ϕ). Pelo Corol´ario 2.0.2 sabemos que S pode ser coberto por 4[
m
4
] ≤ m
conjuntos fechados V
1
, ..., V
4[
m
4
]
com V
i
∩ ϕ(V
i
) = ∅ para i = 1, ..., 4[
m
4
]. Seja
U
i
= P
−1
(V
i
). Como P ´e cont´ınua temos que cada U
i
´e fechado em M. Al´em
disso temos que
U
i
∩f(U
i
) = P
−1
(V
i
)∩f(P
−1
(V
i
)) ⊂
1
P
−1
(V
i
)∩P
−1
(ϕ(V
i
)) = P
−1
(V
i
∩ϕ(V
i
)) =
P
−1
(∅) = ∅ ∀ i = 1, ..., 4[
m
4
]. Como S = ∪
4[
m
4
]
j=1
V
j
podemos afirmar que
M = ∪
4[
m
4
]
j=1
U
j
. Se 4[
m
4
] < m podemos completar a cobertura {U
j
} de M com
U
4[
m
4
]+1
= U
4[
m
4
]+2
= ... = U
m
= ∅, e assim concluimos que (M, f) tem a
propriedade K
m,p
donde vale a primeira desigualdade. Para mostrar a outra
desigualdade, suponha que r
2
(m, p) < r
1
(m, p). Da´ı segue que ∀ (M, f ) ∈ N
p
com g(M, f) > r
2
(m, p) n˜ao existem conjuntos fechados M
1
, ..., M
m
com M =
∪
m
i=1
M
i
e M
i
∩f(M
i
) = ∅, ∀ i = 1, .., m. Em particular para g(M, f) = r
1
(m, p);
o que ´e um absurdo, pois contraria a defini¸c˜ao do n´umero r
1
(m, p). Portanto,
r
1
(m, p) ≤ r
2
(m, p).
Segue imediatamente do Teorema acima o seguinte resultado
1
Basta observar que f(P
−1
(V
i
)) ⊂ P
−1
(ϕ(V
i
)). Para tanto, seja x ∈ f(P
−1
(V
i
)) =⇒
∃ y ∈ P
−1
(V
i
) tal que x = f(y) =⇒ P (x) = P (f(y)) = ϕ(P (y)), pois P ´e equivariante. E
como y ∈ P
−1
(V
i
) segue que P (y) ∈ V
i
, ou seja, P (x) ∈ ϕ(V
i
) donde x ∈ P
−1
(ϕ(V
i
)).
70
Teorema 5.1.4 Seja (M, f) ∈ N
p
tal que g(M, f ) ≤ ([
m
4
] − 1)(p − 1) sendo
m ≥ 4 e p ≥ 3 um n´umero primo. Ent˜ao o par (M, f) tem a propriedade
K
m,p
.
O Teorema acima nos diz que de um certo modo vale a rec´ıproca do
teorema 5.1.2.
Corol´ario 5.1.1 Se (M, f) ∈ N
p
e M ´e uma n−variedade topol´ogica com
n ≤ ([
m
4
] − 1)(p − 1) − 1, m ≥ 8 e p ≥ 3 um n´umero primo ent˜ao existem
fechados M
1
, M
2
, ..., M
m
tais que M = ∪
m
i=1
M
i
e M
i
∩ f(M
i
) = ∅.
Observa¸c˜ao 5.1.1 Algumas estimativas para o n´umero r
2
(m, p) tamb´em s˜ao
conhecidas. Em [13] e [19] temos que
r
2
(m, 2) ≤ m − 1, m ∈ N
∗
e pelo Teorema 5.1.2 temos que para m ≥ 3
r
2
(m, p) ≤
(m − 3)
p−1
2
+ 1, se p = 3
(m − 3)
p−1
2
+ 2, se p > 3
Diante da estimativa acima poder´ıamos nos perguntar se esta pode ser
melhorada. Na pr´oxima se¸c˜ao nos restringiremos a verificar que a estimativa
para o n´umero r
2
(m, 7) sendo m ≥ 3 pode ser reduzida considerando que o
espa¸co M dos pares (M, f ) ∈ N
7
tem base enumer´avel.
5.2 O gˆenus e a propriedade K
m,7
Nesta se¸c˜ao, nos dedicaremos a mostrar que dado um par (M, f) ∈ N
7
com a propriedade K
m,7
onde M tem base enumer´avel, g(M, f) ≤ 2(m − 2),
71
∀ m ≥ 3, e consequentemente pela defini¸c˜ao do n´umero r
2
(m, 7) veremos
tamb´em que a sua estimativa pode ser reduzida em rela¸c˜ao a j´a extistente em
[14].
Iniciemos com o seguinte resultado:
Lema 5.2.1 ([12]) Sejam p primo e (M, f ) ∈ N
p
. Sejam A
0
, A
1
, ..., A
n
⊂ M
subconjuntos fechados com ∅ = A
0
⊂ A
1
⊂ ... ⊂ A
n
= M, f(A
i
) = A
i
e
g(A
i
− A
i−1
, f) finito para i = 1, .., n. Ent˜ao g(M, f) ≤
n
i=1
g(A
i
− A
i−1
, f).
Dado o par (M, f) ∈ N
p
com a propriedade K
m,p
, definiremos abaixo
conjuntos especiais A
j
para j = 0, ..., m tais que estes conjuntos satisfazem as
hip´oteses do Lema acima.
Defini¸c˜ao 5.2.1 Seja (M, f) ∈ N
p
com a propriedade K
m,p
. Ent˜ao para j =
1, ..., m defina
A
j
= {x ∈ M; {x, f(x), ..., f
p−1
(x)} ⊂ ∪
j
l=1
M
l
}
e A
0
= ∅.
Para verificar que os conjuntos A
j
definidos acima satisfazem as hip´oteses
do Lema anterior observe as afirma¸c˜oes abaixo:
Afirma¸c˜ao 5.2.1 A
1
⊂ A
2
⊂ ... ⊂ A
m
= M.
Prova: Suponha que j < i para i, j = 0, ..., m e considere o conjunto
A
j
= {x ∈ M; {x, f(x), ..., f
p−1
(x)} ⊂ ∪
j
l=1
M
l
}. C omo ∪
j
l=1
M
l
⊂ ∪
i
l=1
M
l
podemos afirmar que A
j
⊂ A
i
. Para ver que o conjunto A
m
= M basta
observar que ∪
m
l=1
M
l
= M.
Observa¸c˜ao 5.2.1 A
1
= A
2
= ∅. Para p ≥ 3, para ver que A
1
= ∅ basta
observar que se existe x ∈ A
1
ent˜ao, pela defini¸c˜ao do pr´oprio A
1
, temos que
72
x, f(x) ∈ M
1
o que ´e um absurdo, pois M
1
∩ f(M
1
) = ∅. Para vermos que
A
2
= ∅, observe que se existe x ∈ A
2
ent˜ao x ∈ M
1
ou x ∈ M
2
. Ssuponha que
x ∈ M
1
. Como M
1
∩ f (M
1
) = ∅ e M
2
∩ f (M
2
) = ∅ temos que f
k
(x) ∈ M
1
para todo k par. Logo pelo fato de que p ≥ 3 ´e ´ımpar teremos f
p−1
(x) ∈ M
1
o
que ´e um absurdo, pois assim teremos x ∈ M
1
∩ f(M
1
) = ∅. No caso em que
x ∈ M
2
a prova ´e an´alga desde que M
2
∩ f(M
2
) = ∅.
Afirma¸c˜ao 5.2.2 Os conjuntos A
j
s˜ao fechados em M para j = 1, ..., m.
Prova: Mostraremos que M − A
j
´e aberto em M para j = 1, ..., m. Para
isso considere a aplica¸c˜ao cont´ınua f
k
: M −→ M sendo k ∈ {0, ..., p − 1}.
Como ∪
j
l=1
M
l
´e fechado em M temos que M − ∪
j
l=1
M
l
´e aberto em M,
logo ∪
p−1
k=0
(f
k
)
−1
(M − ∪
j
l=1
M
l
) ´e aberto em M. Portanto basta mostrar que
M − A
j
= ∪
p−1
k=0
(f
k
)
−1
(M − ∪
j
l=1
M
l
). Para isso seja x ∈ M − A
j
. Ent˜ao
x /∈ A
j
. Da´ı existe k = 0, ..., p − 1 tal que f
k
(x) /∈ ∪
j
l=1
M
l
, ou seja,
x ∈ (f
k
)
−1
(M − ∪
j
l=1
M
l
) e consequentemente x ∈ ∪
p−1
k=0
(f
k
)
−1
(M − ∪
j
l=1
M
l
).
Logo M − A
j
⊂ ∪
p−1
k=0
(f
k
)
−1
(M − ∪
j
l=1
M
l
).
Por outro lado, tomemos x ∈ ∪
p−1
k=0
(f
k
)
−1
(M − ∪
j
l=1
M
l
). Ent˜ao x ∈
(f
k
)
−1
(M − ∪
j
l=1
M
l
) para algum k ∈ {0, ..., p − 1}. Da´ı segue que f
k
(x) ∈
M − ∪
j
l=1
M
l
, ou seja, x /∈ A
j
e consequentemente x ∈ M − A
j
. Logo
∪
p−1
k=0
(f
k
)
−1
(M − ∪
j
l=1
M
l
) ⊂ M − A
j
.
Afirma¸c˜ao 5.2.3 f(A
j
) = A
j
∀ j = 1, ..., m.
Prova: Se x ∈ f(A
j
) ent˜ao x = f(a) sendo a ∈ A
j
, ou seja, o conjunto
{a, f(a), ..., f
p−1
(a)} ⊂ ∪
j
l=1
M
l
. Como x = f(a) temos que f(x) = f
2
(a),
f
2
(x) = f
3
(a), ... , f
p−1
(x) = f
p
(a) = a. Portanto, {f
p−1
(x), x, ..., f
p−2
(x)} =
{a, f(a), ..., f
p−1
(a)} ⊂ ∪
j
l=1
M
l
e consequentemente x ∈ A
j
. Logo f (A
j
) ⊂ A
j
.
73
Por outro lado, seja x ∈ A
j
. Como f ´e bije¸c˜ao existe s ∈ M tal que
x = f(s). Basta ent˜ao mostrar que s ∈ A
j
. De fato:
s = f
p
(s) = f
p−1
(f(s)) = f
p−1
(x), f(s) = x, f
2
(s) = f (f(s)) = f(x), ... ,
f
p−1
(s) = f
p−2
(f(s)) = f
p−2
(x)
Como {x, f(x), ..., f
p−2
(x), f
p−1
(x)} ⊂ ∪
j
l=1
M
l
temos que o conjunto
{s, f(s), ..., f
p−1
(s)} ⊂ ∪
j
l=1
M
l
, ou seja, s ∈ A
j
e consequentemente o ponto
x = f(s) ∈ f(A
j
). Logo A
j
⊂ f(A
j
).
Observa¸c˜ao 5.2.2 Como f ´e uma bije¸c˜ao e f(A
j
) = A
j
, n˜ao ´e dif´ıcil ver que
f(A
j
− A
j−1
) = A
j
− A
j−1
∀ j = 1, ..., m.
Afirma¸c˜ao 5.2.4 g(A
j
− A
j−1
, f) ´e finito para j = 1, ..., m.
Prova: g(A
1
− A
0
, f) = g(A
2
− A
1
, f) = 0 pois, A
0
= A
1
= A
2
= ∅. Seja
(M, f) ∈ N
p
com a propriedade K
m,p
. Pelo Teorema 5.1.2 segue que g(M, f)
´e finito se m ≥ 3. Sendo assim, considere i : A
j
− A
j−1
−→ M a aplica¸c˜ao
inclus˜ao.
´
E f´acil ver que i ´e uma aplica¸c˜ao equivariante. Logo pelo Lema 3.2.1
temos que g(A
j
− A
j−1
, f) ≤ g(M, f). Consequentemente g(A
j
− A
j−1
, f) ´e
finito ∀ j = 1, ..., m.
Portanto, pelo lema anterior temos g(M, f) ≤
m
j=1
g(A
j
−A
j−1
, f) =
m
j=3
g(A
j
− A
j−1
, f), sendo os conjuntos A
j
como na Defini¸c˜ao 5.2.1.
O nosso objetivo agora ´e estimar um majorante para g(A
j
−A
j−1
, f) e
a partir disso melhorar a estimativa da Observa¸c˜ao 5.1.1 para r
2
(m, p), p ≥ 3,
m ≥ 3, supondo que os espa¸cos envolvidos tem base enumer´avel.
Afirma¸c˜ao 5.2.5 Se x ∈ A
j
− A
j−1
ent˜ao {x, f(x), ..., f
p−1
(x)} ∩ M
j
= ∅.
Prova : Se x ∈ A
j
−A
j−1
temos que {x, f(x), ..., f
p−1
(x)} ⊂ ∪
j
l=1
M
l
, e existe
i = 0, ..., p − 1 tal que f
i
(x) ∈ M
j
pois, caso contr´ario, se ∀ i = 0, ..., p − 1
74
tivermos f
i
(x) ∈ M
1
∪... ∪M
j−1
, ent˜ao {x, f(x), ..., f
p−1
(x)} ⊂ M
1
∪... ∪M
j−1
,
isto ´e, x ∈ A
j−1
o que ´e um absurdo.
Fixado j ∈ {3, ..., m} definiremos abaixo uma subdivis˜ao especial de
A
j
− A
j−1
.
Defini¸c˜ao 5.2.2 Seja N ⊂ Z
p
qualquer subconjunto. Ent˜ao defina
< N >= {x ∈ A
j
− A
j−1
; f
a
(x) ∈ M
j
⇐⇒ a ∈ N}
Observa¸c˜ao 5.2.3 Para a
1
, ..., a
l
∈ Z
p
escrevemos < a
1
, ..., a
l
> em vez de
< {a
1
, ..., a
l
} >.
Veremos abaixo algumas propriedades do conjunto < N >:
(1) < N >= ∅ =⇒ a ± 1 /∈ N ∀ a ∈ N.
Prova: Suponha que a + 1 ∈ N para algum a ∈ N. Da´ı se existe
x ∈ < N > ent˜ao f
a
(x) ∈ M
j
e f(f
a
(x)) = f
a+1
(x) ∈ M
j
. Logo
M
j
∩ f(M
j
) = ∅, o que ´e um absurdo. O caso em que a − 1 ∈ N ´e
an´alogo.
Observa¸c˜ao 5.2.4 Pela propriedade (1) podemos afirmar que < N >= ∅ se
card N ≥
p+1
2
sendo p ≥ 3. Basta observar que ∀ N ⊂ Z
p
com card N ≥
p+1
2
vai existir um elemento s ∈ N tal que s = a ± 1 para algum a ∈ N .
(2) Seja a ∈ Z
p
ent˜ao f(< a + 1 >) =< a >.
Prova: Mostraremos primeiramente que f(< a + 1 >) ⊆ < a >. Para
isso, seja x ∈ f(< a + 1 >), ent˜ao x = f(y) sendo que o elemento y
pertence a < a + 1 >, ou seja, y ∈ A
j
− A
j−1
e f
a+1
(y) ∈ M
j
. Como
f(A
j
−A
j−1
) = A
j
−A
j−1
temos que x ∈ A
j
−A
j−1
e al´em disso f
a
(x) =
f
a
(f(y)) = f
a+1
(y) ∈ M
j
. Portanto, x ∈ < a >. Por outro lado, suponha
que
75
x ∈< a >. Ent˜ao x ∈ A
j
− A
j−1
e f
a
(x) ∈ M
j
. Queremos mostrar
que existe y ∈ < a + 1 > tal que x = f(y). Tome y = f
p−1
(x). Ob-
serve que f
a+1
(y) = f
a+1+p−1
(x) = f
a
(f
p
(x)) = f
a
(x) ∈ M
j
, isto ´e,
y ∈ < a + 1 >. Portanto, x = f(y) ∈ f(< a + 1 >) e consequentemente
temos que < a > ⊆ f(< a + 1 >).
(3) f
l
(< a
1
, a
2
, ..., a
q
>) =< p − l + a
1
, p − l + a
2
, ..., p − l + a
q
>.
Prova: Mostraremos primeiramente que
f
l
(< a
1
, a
2
, ..., a
q
>) ⊆< p − l + a
1
, p − l + a
2
, ..., p − l + a
q
> .
Para isso, seja x ∈ f
l
(< a
1
, a
2
, ..., a
q
>), ent˜ao x = f
l
(y) sendo
y ∈< a
1
, a
2
, ..., a
q
>, ou seja, y ∈ A
j
− A
j−1
e f
k
(y) ∈ M
j
⇐⇒ k ∈
{a
1
, a
2
, ..., a
q
}. Como f(A
j
−A
j−1
) = A
j
−A
j−1
temos que x ∈ A
j
−A
j−1
e al´em disso f
p−l+k
(x) = f
k
(y) ∈ M
j
⇐⇒ k ∈ {a
1
, a
2
, ..., a
q
}, logo x ∈
< p − l + a
1
, p − l + a
2
, ..., p − l + a
q
>.
Por outro lado, suponha que x ∈< p − l + a
1
, p − l + a
2
, ..., p − l + a
q
>,
ent˜ao x ∈ A
j
−A
j−1
e f
p−l+k
(x) ∈ M
j
⇐⇒ k ∈ {a
1
, a
2
, ..., a
q
}. Queremos
mostrar que existe y ∈< a
1
, a
2
, ..., a
q
> tal que x = f
l
(y). Tome y =
f
p−l
(x). Observe que f
k
(y) = f
p−l+k
(x) ∈ M
j
⇐⇒ k ∈ {a
1
, a
2
, ..., a
q
}.
Reciprocamente se f
k
(y) ∈ M
j
teremos que f
p−l+k
(x) ∈ M
j
, mas isso
implica que p − l + k = p − l + a
i
para algum i = 1, ..., q, logo k = a
i
para algum i = 1, ..., q. Assim x = f
l
(y) ∈ f
l
(< a
1
, a
2
, ..., a
q
>).
(4) Seja N ⊂ Z
p
ent˜ao
N⊆ V ⊆ Z
p
< V >
´e fechado em A
j
− A
j−1
.
Prova: Sejam N = {a
1
, ..., a
l
} ⊂ Z
p
e o conjunto B dado por B =
76
(f
a
1
)
−1
(M
j
) ∩ (f
a
2
)
−1
(M
j
) ∩ ... ∩ (f
a
l
)
−1
(M
j
). Mostraremos que
B ⊂
N⊆ V ⊆ Z
p
< V > .
Para isso seja x ∈ B. Ent˜ao f
a
l
(x) ∈ M
j
∀ a
l
∈ N. Sej a V ⊆ Z
p
tal que
f
a
(x) ∈ M
j
⇐⇒ a ∈ V . Da´ı segue que N ⊆ V e x ∈ < V >, ou seja,
x ∈
N⊆ V ⊆ Z
p
< V >. Mostraremos agora que
N⊆ V ⊆ Z
p
< V > ⊂ B.
Para isso seja x ∈
N⊆ V ⊆ Z
p
< V >. Ent˜ao existe V ⊇ N tal que
x ∈< V >. Da´ı segue que f
a
(x) ∈ M
j
, ∀ a ∈ V , em particular f
a
l
(x) ∈
M
j
∀ a
l
∈ N ⊆ V . Logo x ∈ B. Concluimos portanto que o conjunto
B = ∩
l
i=1
(f
a
i
)
−1
(M
j
) =
N⊆ V ⊆ Z
p
< V > .
Como f
a
l
: A
j
−A
j−1
−→ M ´e cont´ınua para todo a
l
∈ N e M
j
´e fechado
em M, temos que B = (f
a
1
)
−1
(M
j
) ∩ (f
a
2
)
−1
(M
j
) ∩ ... ∩ (f
a
l
)
−1
(M
j
) ´e
fechado e m A
j
− A
j−1
. Consequentemente,
N⊆ V ⊆ Z
p
< V > ´e fechado
em A
j
− A
j−1
.
O pr´oximo resultado nos d´a uma estimativa para o g(A
j
− A
j−1
, f)
quando p = 7.
Teorema 5.2.1 Se (M, f) ∈ N
7
tem a propriedade K
m,7
∀ m ≥ 3 e M tem
base enumer´avel, ent˜ao g(A
j
− A
j−1
, f) ≤ 2 para j = 3, ..., m, sendo os A
j
definidos como na Defini¸c˜ao 5.2.1.
Prova: Definiremos uma aplica¸c˜ao equivariante P : (A
j
−A
j−1
, f) −→ (S
1
, ϕ)
sendo ϕ : S
1
−→ S
1
a Z
7
-a¸c˜ao livre definida por ϕ(z) = z.e
8πi
7
. Pela Afirma¸c˜ao
77
5.2.5 e pela propriedade (1) do conjunto < N > temos que
A
j
− A
j−1
= < 0, 2, 4 > ∪ < 0, 2 > ∪ < 0, 4 > ∪ < 0 > ∪
∪ < 1, 3, 5 > ∪ < 1, 3 > ∪ < 1, 5 > ∪ < 1 > ∪
∪ < 2, 4, 6 > ∪ < 2, 4 > ∪ < 2, 6 > ∪ < 2 > ∪
∪ < 3, 5, 0 > ∪ < 3, 5 > ∪ < 3, 0 > ∪ < 3 > ∪
∪ < 4, 6, 1 > ∪ < 4, 6 > ∪ < 4, 1 > ∪ < 4 > ∪
∪ < 5, 0, 2 > ∪ < 5, 0 > ∪ < 5, 2 > ∪ < 5 > ∪
∪ < 6, 1, 3 > ∪ < 6, 1 > ∪ < 6, 3 > ∪ < 6 >
e pela defini¸c˜ao de < N > temos que a uni˜ao acima ´e disjunta. Pela pro-
priedade (3) do conjunto < N > podemos rescrever o conjunto A
j
− A
j−1
como sendo
A
j
− A
j−1
= f(< 1, 3, 5 >) ∪ f (< 1, 3 >) ∪ f(< 1, 5 >) ∪ f (< 1 >) ∪
∪ < 1, 3, 5 > ∪ < 1, 3 > ∪ < 1, 5 > ∪ < 1 > ∪
∪ f
6
(< 1, 3, 5 >) ∪ f
6
(< 1, 3 >) ∪ f
6
(< 1, 5 >) ∪ f
6
(< 1 >) ∪
∪ f
5
(< 1, 3, 5 >) ∪ f
5
(< 1, 3 >) ∪ f
5
(< 1, 5 >) ∪ f
5
(< 1 >) ∪
∪ f
4
(< 1, 3, 5 >) ∪ f
4
(< 1, 3 >) ∪ f
4
(< 1, 5 >) ∪ f
4
(< 1 >) ∪
∪ f
3
(< 1, 3, 5 >) ∪ f
3
(< 1, 3 >) ∪ f
3
(< 1, 5 >) ∪ f
3
(< 1 >) ∪
∪ f
2
(< 1, 3, 5 >) ∪ f
2
(< 1, 3 >) ∪ f
2
(< 1, 5 >) ∪ f
2
(< 1 >)
Seja N = {1, 5} ⊆ Z
7
. Pela propriedade (4) do conjunto < N > temos que
{1,5}⊆ V ⊆ Z
7
< V > = < 1, 3, 5 > ∪ < 1, 5 >
78
´e fechado em A
j
−A
j−1
. Como f
l
: A
j
−A
j−1
−→ A
j
−A
j−1
´e homeomorfismo
para l = 0, ..., 6 temos que f
l
(< 1, 3, 5 > ∪ < 1, 5 >) ´e fechado em A
j
−A
j−1
,
logo A = ∪
6
l=0
f
l
(< 1, 3, 5 > ∪ < 1, 5 >) ´e fechado em A
j
− A
j−1
. Defina a
aplica¸c˜ao P
1
: A −→ S
1
por P
1
(x) = e
8πli
7
se x ∈ f
l
(< 1, 3, 5 > ∪ < 1, 5 >).
Mostraremos que P
1
´e equivariante. De fato:
P
1
´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua, pois em cada x ∈ f
l
(< 1, 3, 5 > ∪ < 1, 5 >)
l = 0, ..., 6 P
1
´e uma aplica¸c˜ao constante e f
l
(< 1, 3, 5 > ∪ < 1, 5 >) ∩ f
k
(<
1, 3, 5 > ∪ < 1, 5 >) = ∅ ∀ k, l = 0, ..., 6 com k = l p ela propriedade (3) e
defini¸c˜ao do conjunto < N >. Suponha que x ∈ f
l
(< 1, 3, 5 > ∪ < 1, 5 >)
para algum l ∈ {0, 1, ..., 6}, ent˜ao f(x) ∈ f
l+1
(< 1, 3, 5 > ∪ < 1, 5 >). Da´ı pela
defini¸c˜ao de P
1
temos que P
1
(f(x)) = e
8π(l+1)i
7
. Por outro lado, pela defini¸c˜ao de
ϕ temos que ϕ(P
1
(x)) = ϕ(e
8πli
7
) = e
8πli
7
.e
8πi
7
= e
8π(l+1)i
7
. Portanto, (P
1
◦f)(x) =
(ϕ◦P
1
)(x) ∀ x ∈ A. O pr´oximo passo ´e estender P
1
continuamente ao conjunto
A ∪ < 1, 3 >. Para isso observe que A ∪ < 1, 3 > ´e um subespa¸co de M que ´e
regular e tem base enumer´avel, logo A ∪ < 1, 3 > ´e um espa¸co normal. Como
A ´e fechado em A
j
−A
j−1
temos que A ´e fechado em A ∪ < 1, 3 >. Ent˜ao pelo
Teorema de Extens˜ao de Tietze podemos estender continuamente P
1
para uma
aplica¸c˜ao P
1
: A ∪ < 1, 3 >−→ S
1
tal que P
1
(< 1, 3 >) ⊂ {e
2dπi
; 0 ≤ d ≤
1
7
}.
Defina ent˜ao a aplica¸c˜ao P
2
: ∪
6
l=0
f
l
(< 1, 3, 5 > ∪ < 1, 5 > ∪ < 1, 3 >) −→ S
1
por:
P
2
(x) =
P
1
(x), se x ∈ A ∪ < 1, 3 >
ϕ
l
(P
1
(f
7−l
(x))), se x ∈ f
l
(< 1, 3 >)(l = 1, ..., 6)
(1) Se x ∈ f
l
(< 1, 3 >) temos que f
7−l
(x) ∈ f
7−l
(f
l
(< 1, 3 >)) =< 1, 3 > para
l = 1, ..., 6. Portanto faz sentido P
1
(f
7−l
(x)), e consequentemente, ϕ
l
(P
1
(f
7−l
(x))).
(2) Se x ∈ (A ∪ < 1, 3 >) ∩ (f
l
(< 1, 3 >)) para l = 1, ..., 6 temos que
79
ϕ
l
(P
1
(f
7−l
(x))) =
2
ϕ
l
(P
1
(f
7−l
(x))) =
3
P
1
(f
l
(f
7−l
(x))) = P
1
(f
7
(x)) = P
1
(x)
Juntando os itens (1) e (2) acima podemos afirmar que a aplica¸c˜ao
P
2
: ∪
6
l=0
f
l
(< 1, 3, 5 > ∪ < 1, 5 > ∪ < 1, 3 >) −→ S
1
definida como acima
est´a bem definida e al´em disso, pelo lema da colagem, P
2
´e cont´ınua. Sendo
assim, veremos agora que P
2
◦ f|
B
= ϕ ◦ P
2
sendo B o seguinte conjunto
B = ∪
6
l=0
f
l
(< 1, 3, 5 > ∪ < 1, 5 > ∪ < 1, 3 >). Para isso analisemos os trˆes
casos abaixo:
Caso 1: Se x ∈ A
(P
2
◦ f)(x) = P
2
(f(x)) = P
1
(f(x)) = P
1
(f(x)) =
= (P
1
◦ f)(x) = (ϕ ◦ P
1
)(x) = ϕ(P
1
(x)) =
= ϕ(P
1
(x)) = ϕ(P
2
(x)) = (ϕ ◦ P
2
)(x)
Caso 2: Se x ∈ f
l
(< 1, 3 >)(l = 0, ..., 5)
f(x) ∈ f(f
l
(< 1, 3 >)) = f
l+1
(< 1, 3 >) sendo l + 1 ∈ {1, ..., 6}. Da´ı segue que
(P
2
◦ f)(x) = P
2
(f(x)) = ϕ
l+1
(P
1
(f
7−(l+1)
(f(x)))) =
= ϕ(ϕ
l
(P
1
(f
7−l
(x)))) = ϕ(P
2
(x)) =
= (ϕ ◦ P
2
)(x)
2
Se x ∈ f
l
(< 1, 3, 5 > ∪ < 1, 5 >) ent˜ao f
7−l
(x) ∈ A
3
ϕ
l
◦ P
1
= P
1
◦ f
l
80
Caso 3: Se x ∈ f
6
(< 1, 3 >)
f(x) ∈ f(f
6
(< 1, 3 >)) = f
7
(< 1, 3 >) =< 1, 3 >. Da´ı segue que
(P
2
◦ f)(x) = P
2
(f(x)) = P
1
(f(x)) =
= ϕ(ϕ
6
(P
1
(f
7−6
(x)))) =
= ϕ(P
2
(x)) = (ϕ ◦ P
2
)(x)
Portanto, P
2
´e uma aplica¸c˜ao equivariante. Veremos agora que P
2
pode ser
estendida continuamente ao conjunto B ∪ < 1 >. Para isso seja N = {1, 3}.
Ent˜ao pela propriedade (4) do conjunto < N > temos que
{1,3}⊆V ⊆ Z
7
< V > =< 1, 3, 5 > ∪ < 1, 3, 6 > ∪ < 1, 3 >
´e fechado em A
j
− A
j−1
. Logo ∪
6
l=0
f
l
(<
1, 3, 5 > ∪ < 1, 3, 6 > ∪ < 1, 3 >)
´e fechado em A
j
− A
j−1
, pois f
l
´e homeomorfismo para l = 0, ..., 6. Como o
conjunto B p ode ser escrito B = ∪
6
l=0
f
l
(< 1, 3, 5 > ∪ < 1, 5 > ∪ < 1, 3 >) =
A ∪ (∪
6
l=0
f
l
(< 1, 3, 5 > ∪ < 1, 3, 6 > ∪ < 1, 3 >)) temos que B ´e fechado em
A
j
−A
j−1
e consequentemente ´e fechado em B ∪ < 1 >. Desde que B ∪ < 1 >
´e um sub es pa¸co normal, pois ´e regular e enumer´avel o Teorema de Extens˜ao
de Tietze nos garante que P
2
pode ser estendida continuamente para uma
aplica¸c˜ao P
2
: B ∪ < 1 >−→ S
1
tal que P
2
(< 1 >) ⊂ {e
2dπi
; 0 ≤ d ≤
2
7
}.
Defina ent˜ao P : ∪
6
l=0
f
l
(< 1, 3, 5 > ∪ < 1, 5 > ∪ < 1, 3 > ∪ < 1 >) −→ S
1
por:
P (x) =
P
2
(x), se x ∈ B ∪ < 1 >
ϕ
l
(P
2
(f
7−l
(x))), se x ∈ f
l
(< 1 >)(l = 1, ..., 6)
De maneira an´aloga ao que foi feito para a aplica¸c˜ao P
2
, podemos mostrar que
P ´e uma aplica¸c˜ao que est´a bem definida, cont´ınua e equivariante. Portanto,
sabendo que A
j
− A
j−1
= ∪
6
l=0
f
l
(< 1, 3, 5 > ∪ < 1, 5 > ∪ < 1, 3 > ∪ < 1 >)
81
acabamos de mostrar que existe uma aplica¸c˜ao P : (A
j
− A
j−1
, f) −→ (S
1
, ϕ)
equivariante. Logo pelo Lema 3.2.1 e Exemplo 3.1.3 podemos afirmar que
g(A
j
− A
j−1
, f) ≤ g(S
1
, ϕ) = 2.
Corol´ario 5.2.1 Se M tem base enumer´avel ent˜ao r
2
(m, 7) ≤ 2(m − 2),
∀ m ≥ 3.
Prova: Se m ≥ 3, r
2
(m, 7) ´e o maior n´umero pertencente ao conjunto N tal
que existe um par (M, f ) ∈ N
7
com g(M, f) = r
2
(m, 7) e tem a propriedade
K
m,7
. Mas para esse par (M, f ) ∈ N
7
podemos definir os conjuntos A
j
como
na Defini¸c˜ao 5.2.1 e, al´em disso, como M tem base enumer´avel ent˜ao pe lo
Teorema acima temos que
r
2
(m, 7) = g(M, f) ≤
m
j=3
g(A
j
− A
j−1
, f) ≤ 2(m − 2)
No caso de p = 5 o Teorema anterior ´e demonstrado de maneira
anal´oga, ou seja, se um par (M, f) ∈ N
5
tem a propriedade K
m,5
e M tem
base enumer´avel ent˜ao r
2
(m, 5) ≤ 2(m − 2), ∀ m ≥ 3, mas essa estimativa ´e
igual `a dada na Observa¸c˜ao 5.1.1 .
No caso de um par (M, f) ∈ N
3
ter a propriedade K
m,3
e M tem base
enumer´avel, pode se mostrar sem maiores dificuldades que g(A
j
−A
j−1
, f) = 1,
∀ j = 3, ...m, se ndo os A
j
como na Defini¸c˜ao 5.2.1. Logo para esse par temos
que r
2
(m, 3) ≤ (m−2), ∀ m ≥ 3, mas essa estimativa tamb´em ´e igual ´a dada na
Observa¸c˜ao 5.1.1 . Portanto, para p = 3 e p = 5 a t´ecnica usada por Steinlein
e exposta acima para reduzir a estimativa do n´umero r
2
(m, 7) quando M tem
base enumer´avel ´e insuficiente para reduzir a estimativa dos n´umeros r
2
(m, 3)
e r
2
(m, 5).
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