ads:
Universidade Federal de Santa Catarina
Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica e
Computa¸c˜ao Cient´ıfica
Existˆencia Global e Propriedades Assint´oticas para a
Equa¸c˜ao Semilinear da Onda em R
n
Alisson Rafael Aguiar Barbosa
Orientador: Prof. Dr. Ruy Coimbra Char˜ao
Florian´opolis
Mar¸co de 2008
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
Universidade Federal de Santa Catarina
Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica e
Computa¸c˜ao Cient´ıfica
Existˆencia Global e Propriedades Assint´oticas para a
Equa¸c˜ao Semilinear da Onda em R
n
Disserta¸c˜ao apresentada ao Curso de P´os-
Gradua¸c˜ao em Matem´atica e Computa¸c˜ao
Cient´ıfica, do Centro de Ciˆencias F´ısicas e
Matem´aticas da Universidade Federal de
Santa Catarina, para a obten¸c˜ao do grau
de Mestre em Matem´atica, com
´
Area de
Concentra¸c˜ao em Equa¸c˜oes Diferenciais
Parciais.
Alisson Rafael Aguiar Barbosa
Florian´opolis
Mar¸co de 2008
ads:
Existˆencia Global e Propriedades Assint´oticas para a
Equa¸c˜ao Semilinear da Onda em R
n
por
Alisson Rafael Aguiar Barbosa
Esta Disserta¸c˜ao foi julgada para a obten¸c˜ao do T´ıtulo de “Mestre” em Matem´atica ,
´
Area de Concentra¸c˜ao em Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais, e aprovada em sua forma
final pelo Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica e
Computa¸c˜ao Cient´ıfica.
Clovis Ca´ezar Gonsaga
Coordenador da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica
Comiss˜ao Examinadora
Prof. Dr. Ruy Coimbra Char˜ao (UFSC-Orientador)
Prof. Dr. Ademir Fernando Pazoto (UFRJ)
Prof. Dr. Jardel Morais Pereira (UFSC)
Prof. Dr. Joel Santos Souza (UFSC)
Florian´opolis, Mar¸co de 2008.
ii
Agradecimentos
Agrade¸co primeiramente a Deus, que me confortou nas horas de dificuldades.
`
A
Carolina que sempre me apoiou e esteve presente em muitos momentos importantes da
minha vida e de forma especial a minha fam´ılia.
Meus agradecimentos sinceros ao professor Dr. Ruy Coimbra Char˜ao que n˜ao somente
orientou este trabalho, mas se mostrou um grande profissional e uma pessoa de boa
´ındole.
Aos professores do Programa de Mestrado do Departamento de Matem´atica da UFSC,
com os quais tive a oportunidade de conv´ıvio.
Tamb´em n˜ao poderia esquecer dos amigos que fiz aqui ao longo desses dois anos de
curso, pois foram muitos os momentos felizes que compartilhamos juntos.
Finalmente, agrade¸co `a CAPES pelo aux´ılio financeiro durante o per´ıodo de 03/2007 e
03/2008.
Resumo
Neste trabalho estudamos a existˆencia global e unicidade de solu¸c˜oes da equa¸c˜ao da
onda, linear e semilinear, no R
n
bem como averiguamos suas propriedades assint´oticas.
Mostramos novas identidades de energia consideradas por Todorova-Yordanov em [26],
as quais s˜ao baseadas em um novo tipo de multiplicador associado a uma fun¸c˜ao
relacionada com o comportamento assint´otico da solu¸c˜ao fundamental para a equa¸c˜ao
da onda. Importante dizer tamb´em que essas identidades produzem estimativas que tˆem
v´arias aplica¸c˜oes como, por exemplo, mostrar que a energia local, fora de uma bola com
raio dependendo do tempo, decai exponencialmente.
Abstract
In this work we study the global existence and uniqueness of solutions for the linear and
semilinear wave equation in R
n
. We also study their asymptotic properties. We present
new identities of energy considered by Todorova-Yordanov in [26] which are based in a
new type of multipliers associated to a function related to the asymptotic behavior of
the fundamental solution to the wave equation . It is also important to say that these
identities produce estimates that have many applications as, for example, to show that
the local energy, outside a ball with radius depending on the time, decays exponentially.
v
Sum´ario
Introdu¸c˜ao 2
1 Resultados B´asicos 5
1.1 Espa¸cos de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Semigrupos de Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Caracteriza¸c˜ao dos Geradores de Semigrupos de Classe C
0
. . . . . 15
2 A Equa¸c˜ao da Onda em R
n
18
2.1 Resultados e Defini¸c˜oes Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Existˆencia e Unicidade do Problema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Existˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Unicidade: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Problema Semilinear - Existˆencia Local e Unicidade . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1 Problema Semilinear Abstrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.2 Existˆencia Local e Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Existˆencia Global e Comportamento Assint´otico 41
3.1 Resultados Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Novas Identidades de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1 Problema Linear - Regi˜ao com Decaimento Exponencial . . . . . . . 48
3.3 Problema Semilinear - Estimativas com Pesos . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4 Demonstra¸c˜ao dos Teoremas (9) e (10). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4.1 Demonstra¸c˜ao do Teorema (9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4.2 Demonstra¸c˜ao do Teorema (10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Referˆencias Bibliogr´aficas 82
1
Introdu¸c˜ao
No presente trabalho estudamos a existˆencia global e unicidade de solu¸c˜oes do pro-
blema de Cauchy associado `a equa¸c˜ao semi-linear da onda em R
n
, bem como averiguamos
suas propriedades assint´oticas. Nosso problema ´e dado abaixo:
u
tt
− u + u
t
= |u|
p
, (t, x) ∈ R
+
× R
n
(1)
u
|
t=0
= u
0
, u
t|
t=0
= u
1
(2)
com 1 ≤ p <
n
n−2
, se n ≥ 3 , 1 ≤ p < ∞, se n = 1 ou 2, > 0 suficientemente pequeno,
com
u
0
∈ H
1
(R
n
), u
1
∈ L
2
(R
n
)
suppu
i
⊂ B(K) ≡ {x ∈ R
n
; |x| < K}, i = 0, 1.
Neste estudo, destacamos o Teorema 9 que apresenta a existˆencia e unici-
dade global de solu¸c˜ao desse problema e o Teorema 10 que analisa o comportamento da
solu¸c˜ao para tempos grandes.
No primeiro cap´ıtulo, deste trabalho, relacionamos alguns resultados sobre
Espa¸cos de Sobolev e semigrupos lineares de classe C
0
. Mais especificamente, tratamos
nesse cap´ıtulo de resultados importantes, como a proposi¸c˜ao que estabelece a diferencia-
bilidade de um semigrupo, bem como os teoremas de Hille-Yosida e Lumer-Phillips que
tratam da caracteriza¸c˜ao de um semi-grupo de classe C
0
. No segundo cap´ıtulo, usamos
os resultados de semigrupos, desenvolvidos na primeira parte do trabalho, para mostrar
a existˆencia e a unicidade global de solu¸c˜oes do problema linear associado:
u
tt
− u + u
t
= 0, (t, x) ∈ R
+
× R
n
(3)
u
|
t=0
= u
0
, u
t|
t=0
= u
1
. (4)
Basicamente, reescrevemos o problema (3)–(4) como um problema de primeira
ordem, a saber:
dU(t)
dt
+ AU(t) = 0
U(0) = U
0
,
(5)
sendo A um operador linear. Em seguida, usando o Teorema de Lummer-Phillips, mostramos
que o operador A ´e gerador de um semigrupo S(t)
t≥0
de classe C
0
. Assim, a solu¸c˜ao do
problema linear (5) ´e dada por U(t) = S(t)U
0
.
Da mesma forma, reescrevemos o problema semilinear (1)-(2) do seguinte
modo:
dU(t)
dt
+ AU(t) = F (U)
U(0) = U
0
. (6)
Agora, sendo A gerador de um semigrupo de classe C
0
e uma vez que
tenhamos provado que F ´e uma aplica¸c˜ao Lipischitz-cont´ınua sobre conjuntos limitados,
no espa¸co de Hilbert considerado, obtem-se a existˆencia de uma ´unica solu¸c˜ao local para
(6).
Por fim, no terceiro cap´ıtulo, demonstramos a existˆencia global de solu¸c˜oes
e o comportamento assint´otico da energia. Mostramos que a energia total decai com
taxa polinomial e caracterizamos uma regi˜ao em que a energia (local) decai com taxa
exponencial. Mais especificamente, provamos que o funcional de energia
W (t) = e
ϕ(t,·)
Du(t, ·)
L
2
+ (1 + t)
n/4+1/2
Du(t, ·)
L
2
´e limitado para qualquer intervalo de tempo no qual a solu¸c˜ao esteja definida. Aqui a
fun¸c˜ao ϕ(t, x) ´e uma fun¸c˜ao relacionada com o comportamento assint´otico da solu¸c˜ao
fundamental para a equa¸c˜ao da onda.
Em geral, como neste trabalho, os resultados de existˆencia global e compor-
tamento assint´otico para problemas semilineares em dom´ınios n˜ao limitados s˜ao obtidos
apenas para dados iniciais pequenos ([6], [16], [15], [14]). O resultado de comporta-
mento assint´otico aqui mostrado, resulta de um novo m´etodo considerado por Todorova-
Yordanov em [26]. Esse m´etodo tem se mostrado eficiente e tem sido usado por outros
3
autores como em [15], [14], [16]. Inclusive esse m´etodo tem sido efetivo para outras
equa¸c˜oes como no caso de Char˜ao-Ikehata [6] que o aplicaram para o sistema de ondas
el´asticas.
4
Cap´ıtulo 1
Resultados B´asicos
1.1 Espa¸cos de Sobolev
Nesta se¸c˜ao apresentaremos alguns resultados da teoria de An´alise Fun-
cional e dos Espa¸cos de Sob olev que s˜ao necess´arios neste trabalho, como o teorema de
Lax-Milgram e um teorema de regularidade el´ıptica.
Defini¸c˜ao 1. Seja Ω um aberto do R
n
, m ∈ N e p ∈ R tal que 1 ≤ p < ∞. O Espa¸co de
Sobolev W
m,p
(Ω) ´e definido por
W
m,p
(Ω) = {f ∈ L
p
(Ω); D
α
f ∈ L
p
(Ω), ∀α ∈ N
n
, 0 ≤ |α| ≤ m},
sendo D
α
a derivada no sentido distribucional.
O espa¸co W
m,p
(Ω) ´e um espa¸co de Banach com a norma
f
W
m,p
(Ω)
=
|α|≤m
Ω
|D
α
f|
p
dx
1
p
. (1.1)
A nota¸c˜ao H
m
(Ω) ´e usada para representar o espa¸co W
m,p
(Ω), quando p = 2.
Este espa¸co H
m
(Ω) ´e um espa¸co de Hilbert com o produto interno
(f, g)
H
m
(Ω)
=
|α|≤m
(D
α
f, D
α
g)
L
2
(Ω)
. (1.2)
Naturalmente, se denota W
0,p
(Ω) = L
p
(Ω).
5
Defini¸c˜ao 2. Seja Ω um aberto do R
n
. O espa¸co W
m,p
0
(Ω) ´e definido como o fecho de
C
∞
0
(Ω) em W
m,p
(Ω). Analogamente, H
m
0
(Ω) ´e o fecho de C
∞
0
(Ω) em H
m
(Ω).
Resultados da teoria dos espa¸cos de Sobolev podem ser encontrados em [21],
[1] ou [18].
Teorema 1 (Lax-Milgram). Seja H espa¸co de Hilbert e a(u, v) forma bilinear cont´ınua
e coerciva sobre H. Seja f ∈ H
. Ent˜ao, existe ´unico u ∈ H tal que a(u, v) = (f, v),
∀v ∈ H.
A demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em Brezis [5], pg. 84.
Observa¸c˜ao 1. Uma forma bilinear a(·, ·) : H × H → R ´e cont´ınua se existe c > 0 de
modo que
|a(u, v)| ≤ cuv ∀u, v ∈ H
tal forma bilinear ´e dita coerciva se existe α > 0 tal que a(u, u) ≥ αu
2
, ∀u ∈ H.
Teorema 2 (Regularidade El´ıptica). Sejam L um operador diferencial el´ıptico de ordem
2m, m ∈ N, definido em um aberto regular Ω ⊂ R
n
e u ∈ D
(Ω), sendo D
(Ω) o espa¸co
das distribui¸c˜oes sobre Ω. Seja u solu¸c˜ao de Lu = f, no sentido distribucional, com
f ∈ L
2
(Ω). Ent˜ao, u ∈ H
2m
(Ω).
Esse teorema ´e bem conhecido e sua demonstra¸c˜ao pode ser vista na re-
ferˆencia [2].
Nota 1. Os resultados apresentados acima s˜ao utilizados, juntamente com os resultados
da teoria de semi-grupos, para mostrarmos que o problema (3.1)-(2.2) possui uma ´unica
solu¸c˜ao global. A seguir, relacionaremos alguns t´opicos da teoria de semigrupos.
1.2 Semigrupos de Operadores Lineares
Nesta se¸c˜ao, apresentamos a defini¸c˜ao de semigrupo de classe C
0
e alguns
teoremas importantes que s˜ao utilizados no Capitulo2. Come¸caremos com a defini¸c˜ao de
operador linear limitado.
6
Defini¸c˜ao 3. Sejam X e Y espa¸cos de Banach. Um operador linear ´e uma aplica¸c˜ao
linear A : D(A) ⊂ X → Y , com D(A) o dom´ınio de A. Diz-se que o operador linear ´e
limitado se existe uma constante C ≥ 0 tal que
Au
Y
≤ C u
X
, ∀u ∈ D(A).
Neste caso, se o dom´ınio de A ´e denso em X ent˜ao A pode ser estendido a
todo X(como ´e demonstrado em [19] pg 100).
Representa-se por B(X, Y ) a fam´ılia A : X → Y dos operadores lineares
limitados de X em Y . A fun¸c˜ao real . definida por
A
B(X,Y )
= sup
{x∈X:x
X
≤1}
Ax
Y
< ∞,
´e uma norma sobre B(X, Y ). Sabemos da teoria de ´analise funcional que B(X, Y ) ´e um
espa¸co de Banach e B(X) representa os operadores lineares limitados de X em X.
Defini¸c˜ao 4. Seja X um espa¸co de Banach e B(X) a ´algebra dos operadores lineares
limitados de X. Uma fam´ılia {S(t)}
t≥0
´e um Semigrupo de operadores lineares e limitados
de X se:
a. S(0) = I, com I operador identidade de X;
b. S(t + s) = S(t)S(s), ∀t, s ∈ R
+
.
Al´em disso, diz-se que o semigrupo {S(t)}
t≥0
´e de Classe C
0
se
c. lim
t→0
+
[S(t) − I]x = 0, ∀x ∈ X.
Um exemplo de semigrupo de classe C
0
´e a fun¸c˜ao exponencial S(t) = e
tA
que pode ser definida quando A for um operador linear limitado. No caso em que A ´e um
operador linear n˜ao limitado, com certas propriedades boas, pode-se tamb´em definir e
tA
.
Isso ´e feito pela teoria de semigrupos (Gomes[10], Pazy[24]).
Para iniciarmos o estudo das propriedades dos semigrupos de classe C
0
em
um espa¸co de Banach X, precisaremos do teorema abaixo, b em conhecidos da An´alise
Funcional.
7
Teorema 3 (Teorema da Limita¸c˜ao Uniforme). Sejam X espa¸co de Banach e Y espa¸co
vetorial normado. Seja (T
n
)
n∈I
fam´ılia em B(X, Y ), com I conjunto de ´ındices qualquer.
Supor que para cada x ∈ X, o conjunto {T
n
x}
n∈I
´e limitado em Y . Ent˜ao, {T
n
}
n∈I
´e
limitada em B(X, Y ), isto ´e, ∃M > 0 tal que T
n
≤ M, ∀n ∈ I, com M independente
de n.
A demonstra¸c˜ao desse resultado pode ser encontrada em Groetsch [11],
pg.51.
Proposi¸c˜ao 1. Se {S(t)}
t≥0
´e um semigrupo de classe C
0
, ent˜ao S(t) ´e uma fun¸c˜ao
limitada em qualquer intervalo limitado [0, T ].
Demonstra¸c˜ao. : Afirma¸c˜ao: Existem δ > 0 e M ≥ 1, tais que S(t) ≤ M, ∀t ∈ [0, δ].
Se isso n˜ao acontecesse, haveria uma seq¨uˆencia (t
n
)
n∈N
, t
n
→ 0
+
tal que S(t
n
) ≥ n,
∀n ∈ N. Ent˜ao, pelo teorema 3, S(t
n
)x n˜ao seria limitado para algum x ∈ X, o que
entraria em contradi¸c˜ao com o item c) da defini¸c˜ao 4.
Al´em disso, temos que M ≥ 1, pois pela condi¸c˜ao a) da defini¸c˜ao de semi-
grupo de classe C
0
, S(0) = 1.
Seja t ∈ [0, T ]. Portanto, para algum inteiro n˜ao negativo n e algum r ∈ R,
com 0 ≤ r < δ temos que t = nδ + r. Logo
S(t) = S(nδ + r)
= S(δ)
n
S(r) ≤ S(δ)
n
S(r) ≤ M
n
M = M
n+1
,
o que mostra que S(t) ´e uma fun¸c˜ao limitada em [0, T ].
Corol´ario 1. Todo semigrupo de classe C
0
´e fortemente cont´ınuo em R
+
, ou seja, se
t ∈ R
+
ent˜ao lim
s→t
S(s)x = S(t)x, ∀x ∈ X.
Demonstra¸c˜ao. :
Consideremos t ≥ 0. Para cada x ∈ X e h > 0, segue que
8
S(t + h)x − S(t)x = S(t)[S(h) − I]x
≤ S(t)[S(h) − I]x → 0
quando h → 0, pois S(t) ´e limitada e lim
h→0
[S(h) − I]x = 0, ∀x ∈ X.Tamb´em para
x ∈ X e para os valores de h tais que 0 < h < t, resulta
S(t − h)x − S(t) x = S(t − h)[I −S(h)]x
≤ S(t − h)[I − S(h)]x → 0
quando h → 0.
Portanto, lim
s→t
S(s)x = S(t)x, ∀x ∈ X.
Observa¸c˜ao 2. Sabemos que se A ´e um operador linear e limitado em X, ent˜ao
e
tA
=
∞
n=0
(tA)
n
n!
≤
∞
n=0
t
n
A
n
n!
= e
tA
t ≥ 0. (1.3)
No caso da fun¸c˜ao exponencial, se w ≥ A, ent˜ao
e
tA
≤ e
tw
, para todo
t ≥ 0. Existe uma propriedade semelhante a esta para os semigrupos, que ser´a mostrado
na pr´oxima proposi¸c˜ao.
Vamos precisar do seguinte lema:
Defini¸c˜ao 5. Uma fun¸c˜ao p : X → R, X espa¸co vetorial real ´e subaditiva se satisfaz
p(t + s) ≤ p(t) + p(s), ∀t, s ∈ X
Lema 1. Seja p uma fun¸c˜ao subaditiva em R
+
e limitada superiormente em todo intervalo
limitado. Ent˜ao,
p(t)
t
tem limite quando t → ∞ e
lim
t→∞
p(t)
t
= inf
t>0
p(t)
t
. (1.4)
9
Demonstra¸c˜ao. :
Defina w
0
= inf
t>0
p(t)
t
, sendo −∞ ≤ w
0
< ∞. A demonstra¸c˜ao ser´a dividida
em dois casos.
Caso 1: w
0
> −∞.
Seja > 0. Da defini¸c˜ao de ´ınfimo, existe T > 0 tal que
p(T )
T
≤ w
0
+ .
Sejam t > T , n ∈ N e r real com 0 ≤ r < T tais que t = nT + r.
Considerando que p ´e subaditiva, resulta da defini¸c˜ao de w
0
que
w
0
≤
p(t)
t
≤
np(T ) + p(r)
t
=
nT p(T )
T t
+
p(r)
t
≤
nT (w
0
+ )
t
+
p(r)
t
.
Tamb´em do fato que p ´e limitada superiormente em [0, T ), passando limite
quando t → ∞ na desigualdade acima, obtemos
w
0
≤ lim
t→∞
sup
p(t)
t
≤ w
0
+ .
Como ´e arbitr´ario, est´a provado (1.4) para w
0
> −∞.
Caso 2: w
0
= −∞.
Para cada real w existe T > 0 tal que
p(T )
T
≤ w. An´alogo ao caso anterior,
obt´em-se lim
t→∞
sup
p(t)
t
≤ w.
Como w ´e arbrit´ario, vemos que:
lim
t→∞
p(t)
t
= −∞.
Isso conclui a prova do lema.
Proposi¸c˜ao 2. Seja {S(t)}
t≥0
um semigrupo de classe C
0
. Ent˜ao
lim
t→∞
log S(t)
t
= inf
t>0
log S(t)
t
= w
0
(1.5)
e para cada w > w
0
existe uma constante M ≥ 1 tal que
S(t) ≤ Me
wt
, ∀t ≥ 0. (1.6)
Demonstra¸c˜ao. :
A fun¸c˜ao log S(t) ´e subaditiva. De fato,
10
log S(t + s) = log S(t)S(s)
≤ log (S(t)S(s))
= log S(t) + log S(s).
Pela proposi¸c˜ao 1, a fun¸c˜ao S(t) ´e limitada superiormente em todo in-
tervalo limitado. Assim, log S(t) ´e uma fun¸c˜ao limitada superiormente em intervalos
limitados e pelo lema 1. Tomando p(t) = log S(t), conclui-se que (1.5) ´e v´alida.
Da defini¸c˜ao de limite e de (1.5), se w > w
0
, existe t
0
tal que para t > t
0
vale a desigualdade
log S(t)
t
< w. (1.7)
Do fato que S(t) ≤ M
0
, ∀t ∈ [0, t
0
] e S(0) = 1, concluimos que M
0
≥ 1.
Agora, considerando w ≥ 0 em (1.7), obtemos:
log S(t) ≤ wt + log M
0
, ∀t ≥ 0.
Aplicando a exponencial em ambos os lados da desigualdade acima, vemos
que:
S(t) ≤ e
wt
e
log M
0
= M
0
e
wt
, ∀t ≥ 0.
No caso em que M = M
0
, verifica-se (1.6).
De modo an´alogo, se w < 0 em (1.7), chega-se a
log S(t) ≤ wt − wt
0
+ log M
0
, ∀t ≥ 0. (1.8)
Da mesma forma que o procedimento anterior
S(t) ≤ e
wt
e
−wt
0
e
log M
0
= M
0
e
−wt
0
e
wt
, ∀t ≥ 0.
Tomando M = M
0
e
−wt
0
, obtemos (1.6).
Para concluir a prova, podemos observar que M ≥ 1 em ambos os casos,
pois M
0
≥ 1.
Observa¸c˜ao 3. Quando w
0
< 0, ´e poss´ıvel tomar w = 0, assim a proposi¸c˜ao 2 nos diz
que existe uma constante M ≥ 1 tal que S(t) ≤ M, para todo t ≥ 0. Neste caso,
11
{S(t)}
t≥0
´e dito Semigrupo Uniformemente Limitado de classe C
0
.Tamb´em diz-se que
{S(t)}
t≥0
´e Semigrupo de Contra¸c˜oes de classe C
0
, se para w
0
< 0 tivermos M = 1. Isto
´e, S(t) ≤ 1, ∀t ≥ 0.
Defini¸c˜ao 6. Seja X espa¸co de Banach e seja {S(t)}
t≥0
semigrupo de classe C
0
. O
operador linear
A : D(A) ⊂ X → X,
definido por
D(A) =
x ∈ X : lim
h→0
+
S(h) − I
h
x existe
Ax = lim
h→0
+
S(h) − I
h
x, ∀x ∈ D(A)
´e chamado Gerador Infinitesimal ou simplesmente Gerador do semigrupo {S(t)}
t≥0
. A
nota¸c˜ao A
h
, com h > 0, representar´a o operador linear limitado dado por
S(h) − I
h
.
A pr´oxima proposi¸c˜ao tratar´a da diferenciabilidade de um semigrupo asso-
ciado a seu gerador infinitesimal.
Proposi¸c˜ao 3. Seja A o gerador de um semigrupo de classe C
0
, {S(t)}
t≥0
. Temos que
i. Se x ∈ D(A) e t ≥ 0, ent˜ao S(t)x ∈ D(A) e a fun¸c˜ao R
+
→ X, dada por t → S(t)x
´e diferenci´avel e
dS(t)x
dt
= AS(t)x = S(t)Ax, x ∈ D(A). (1.9)
ii. Se x ∈ D(A), ent˜ao
S(t)x − S(s)x =
t
s
AS(τ)xdτ =
t
s
S(τ)Axdτ. (1.10)
iii. Se x ∈ X e t ∈ R com t ≥ 0, ent˜ao
lim
h→0
1
h
t+h
t
S(τ)xdτ = S(t)x.
iv. Para x ∈ X, tem-se
t
0
S(τ)xdτ ∈ D(A) e al´em disso,
S(t)x − x = A
t
0
S(τ)xdτ. (1.11)
12
Demonstra¸c˜ao. :
i. Seja {S(t)}
t≥0
semigrupo de classe C
0
e A seu gerador. Para t > 0 e h > 0, vale a
identidade
S(t + h) − S(t)
h
x =
S(h) − I
h
S(t)x = A
h
S(t)x = S(t)A
h
x.
Assim, para x ∈ D(A), o termo S(t)A
h
x tem um limite quando h → 0, isto ´e,
S(t)
S(h) − I
h
x = S(t)A
h
x → S(t)Ax,
pela defini¸c˜ao de A ser gerador infinitesimal.
Logo, S(t)x ∈ D(A) e
d
+
dt
S(t)x = AS(t)x = S(t)Ax. (1.12)
Tamb´em para 0 < h < t e x ∈ D(A), segue que
S(t − h) − S(t)
−h
x = S(t − h)A
h
x
= S(t − h)(A
h
x − Ax) + S(t − h)Ax → S(t)Ax
quando h → 0.
Isso se justifica pois A
h
x → Ax, quando h → 0 e pela proposi¸c˜ao 1, S(t) ´e limitada
para 0 < h < t. Assim, o termo S(t −h)(A
h
x −Ax) → 0 quando h → 0. Al´em disso,
da continuidade forte do semigrupo { S(t)}
t≥0
temos que S(t − h)Ax → S(t)Ax.
Portanto
d
−
dt
S(t)x = S(t)Ax. (1.13)
De (1.12) e (1.13), temos (1.9).
ii. Consideremos x ∈ D(A) e t, s n´umeros positivos. Integrando (1.9) de s a t, obtemos
(1.10), ou seja
S(t)x − S(s)x =
t
s
AS(τ)xdτ =
t
s
S(τ)Axdτ .
13
iii) Pelo corol´ario 1, lim
τ→t
S(τ)x = S(t)x, ∀x ∈ X e t ≥ 0. Isto ´e, dado > 0, existe
δ > 0 tal que para |τ − t| < δ resulta S(τ)x − S(t)x < . Conseq¨uentemente, para
x ∈ X e 0 < |h| ≤ δ,
1
h
t+h
t
(S(τ)x − S(t)x)dτ
≤
1
h
t+h
t
S(τ)x − S(t)xdτ < .
iii. Agora para x ∈ X e h > 0 obtemos
A
h
t
0
S(τ)xd(τ ) =
S(h) − I
h
t
0
S(τ)xdτ =
1
h
t
0
S(h + τ)xdτ −
1
h
t
0
S(τ)xdτ
=
1
h
t+h
t
S(τ)xdτ −
1
h
h
0
S(τ)xdτ .
Tomando limite quando h → 0, ´e conseq¨uˆencia do item iii) anterior que
A
t
0
S(τ)xd(τ ) = S(t)x − x.
Proposi¸c˜ao 4. O gerador de um semigrupo de classe C
0
´e um operador fechado com
dom´ınio denso em X.
Demonstra¸c˜ao. :
Sejam {S(t)}
t≥0
um semigrupo de classe C
0
e A seu gerador infinitesimal.
Seja x ∈ X. Para h > 0, definimos:
x
h
=
1
h
h
0
S(t)xdt. (1.14)
Da proposi¸c˜ao 3 resulta que x
h
∈ D(A), ∀h > 0 e x
h
→ x quando h → 0.
Isso mostra que x ∈ D(A). Logo, D(A) ´e denso em X.
Mostraremos que A ´e fechado.Tomando (x
n
)
n∈N
uma seq¨uˆencia no dom´ınio
de A tal que x
n
→ x e Ax
n
→ y, quando n → ∞, conclui-se da proposi¸c˜ao 3 que
S(h)x
n
− x
n
=
h
0
S(t)Ax
n
dt. (1.15)
14
Para os valores de t tais que 0 ≤ t ≤ h, temos da proposi¸c˜ao 1 que existe
M > 0 tal que
S(t)Ax
n
− S(t)y ≤ S(t)Ax
n
− y ≤ M Ax
n
− y.
Como Ax
n
→ y quando n → ∞, concluimos que S(t)Ax
n
→ S(t)y uni-
formemente em [0, h]. Assim, passando limite quando n → ∞ em (1.15), segue que
S(h)x − x =
h
0
S(t)ydt .
Da proposi¸c˜ao 3, obtemos
S(h)x − x
h
=
1
h
h
0
S(t)ydt → y
quando h → 0, o que prova que lim
h→0
S(h) − I
h
x existe. Assim, x ∈ D(A) e Ax = y.
Portanto, A ´e um operador fechado.
1.2.1 Caracteriza¸c˜ao dos Geradores de Semigrupos de Classe C
0
Nesta subse¸c˜ao, apresentamos os teoremas de Hille-Yosida e Lumer-Phillips,
os quais caracterizam geradores de semigrupos de classe C
0
. O teorema de Lumer-Phillips
´e estudado aqui para o caso espec´ıfico dos semigrupos lineares de contra¸c˜oes de classe C
0
.
Defini¸c˜ao 7. Seja A um operador linear em X, sendo X um espa¸co de Banach. O
conjunto λ ∈ C, para os quais o operador linear λI−A ´e invers´ıvel e seu inverso ´e limitado
e tem dom´ınio denso em X, ´e chamado Conjunto Resolvente de A e ´e representado por
ρ(A). O operador linear R(λ, A) = (λI − A)
−1
´e dito Resolvente de A.
Teorema 4 (Hille-Yosida). Seja X um espa¸co de Banach. Para que um operador linear
A, definido em D(A) ⊂ X e com valores em X seja gerador de um semigrupo de classe
C
0
, ´e necess´ario e suficiente que
i. A seja operador fechado com dom´ınio denso em X;
ii. Exista M e w n´umeros reais tais que, para cada real λ > w, se tenha λ ∈ ρ(A) e para
cada n ∈ N
15
R(λ, A)
n
≤
M
(λ − w)
n
.
Neste caso, o semigrupo {S(t)}
t≥0
satisfaz a condi¸c˜ao S(t) ≤ Me
wt
, t ≥ 0.
Este ´e um importante teorema na teoria de semigrupos, pois ele nos diz
quando um operador A ´e gerador de um semigrupo de classe C
0
. Encontramos sua
demonstra¸c˜ao em [10].
Corol´ario 2. Para que o operador A seja gerador de um semigrupo de classe C
0
, {S(t)}
t
≥
0
tal que para t ≥ 0 se tenha S(t) ≤ e
wt
, ´e suficiente que A seja fechado, com dom´ınio
denso e exista um n´umero real w, de modo que se λ > w, λ ∈ ρ(A) e R(λ, A) ≤
1
λ − w
.
Demonstra¸c˜ao. :
Como R(λ, A)
n
≤ R(λ, A)
n
≤
1
(λ − w)
n
, ent˜ao o operador A satisfaz
as condi¸c˜oes do Teorema 4 com M = 1.
Corol´ario 3. Para que um operador A seja gerador infinitesimal de um semigrupo de
contra¸c˜oes de classe C
0
, ´e necess´ario e suficiente que A seja fechado, seu dom´ınio denso
em X, (0, ∞) ⊂ ρ(A) e para todo λ > 0, λR(λ, A) ≤ 1.
Este corol´ario caracteriza gerador de semigrupos de contra¸c˜oes de classe C
0
e sua demonstra¸c˜ao ´e um caso particular do corol´ario anterior, tomando w = 0.
Nota 2. Para facilitar a linguagem, usaremos a express˜ao A ∈ G(M, w) para indicar
que A ´e gerador de um semigrupo de operadores lineares limitados de classe C
0
, ao qual
chamaremos de {S(t)}
t≥0
, que satisfaz a condi¸c˜ao S(t) ≤ Me
wt
, t ≥ 0.
Uma outra caracteriza¸c˜ao dos geradores de semigrupos de contra¸c˜oes lin-
eares de classe C
0
´e devida a Lumer e Phillips, cujo o enunciado segue abaixo.
Seja X um espa¸co de Banach e X
o dual de X. Para cada x ∈ X, define-se
o conjunto dualidade J(x) ⊆ X
por
J(x) = {x
∈ X
|(x, x
) = x
2
= x
2
}.
Pelo teorema de Hahn-Banach (Brezis [5], pg. 03), J(x) = φ, ∀x ∈ X.
16
Uma aplica¸c˜ao dualidade ´e uma aplica¸c˜ao j : X → X
em que j(x) ∈
J(x), ∀x ∈ X. Da defini¸c˜ao de j resulta que j(x) = x.
Defini¸c˜ao 8. Um operador linear A : D(A) ⊂ X → X ´e dissipativo relativamente a
uma aplica¸c˜ao dualidade j, se
Re (Ax, j(x)) ≤ 0, ∀x ∈ D(A). (1.16)
Teorema 5 (Lumer-Phillips). Seja X um espa¸co de Banach e A : D(A) ⊂ X → X um
operador linear. Se A ∈ G(1, 0), ent˜ao
(i) A ´e dissipativo relativamente a qualquer aplica¸c˜ao dualidade;
(ii) R(λ − A) = X, ∀λ > 0.
Reciprocamente, se
(iii) D(A) ´e denso em X;
(iv) A ´e dissipativo relativamente a alguma aplica¸c˜ao dualidade;
(v) R(λ
0
− A) = X para algum λ
0
> 0 ent˜ao A ∈ G(1, 0).
O teorema de Lumer-Phillips estabelece quais s˜ao as condi¸c˜oes para que
um operador seja gerador infinitesimal de um semigrupo de contra¸c˜oes. Este resultado
ser´a de grande importˆancia na prova da existˆencia e unicidade se solu¸c˜oes do problema
(3.1)-(3.2). Sua prova pode ser encontrada em [10] ou [24].
17
Cap´ıtulo 2
A Equa¸c˜ao da Onda em R
n
Neste cap´ıtulo, estudamos a existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes para o
seguinte problema de Cauchy associado com a equa¸c˜ao da onda em R
n
com um termo
dissipativo
u
tt
− u + u
t
= 0, (t, x) ∈ R
+
× R
n
(2.1)
u(0) = u
0
, u
t
(0) = u
1
., (2.2)
sendo que
u
0
∈ H
1
(R
n
) e u
1
∈ L
2
(R
n
).
Nosso objetivo ´e, ap´os estudar o problema linear, resolver o problema semi-
linear associado que aparece em (3.1)-(3.2). Uma vez resolvido o problema de existˆencia
e unicidade para o problema linear, pode-se usar o m´etodo do ponto fixo para se obter
existˆencia de solu¸c˜ao para o problema semilinear.
2.1 Resultados e Defini¸c˜oes Preliminares
Nesta se¸c˜ao, consideramos H como sendo um espa¸co de Hilbert real. Aqui
apresentaremos alguns resultados e defini¸c˜oes necess´arias nas pr´oximas se¸c˜oes.
Defini¸c˜ao 9. Seja A : D(A) ⊂ H → H um operador linear n˜ao limitado. Diz-se que A
´e mon´otono se
(Av, v) ≥ 0, ∀v ∈ D(A).
18
Assim, devido ao teorema da representa¸c˜ao de Riesz, a defini¸c˜ao de A oper-
ador mon´otono equivale `a defini¸c˜ao de −A dissipativo ( defini¸c˜ao 8). Ent˜ao, o problema
de Cauchy dado por
du
dt
= Au, t > 0
u(0) = u
0
, u
0
∈ D(A)
(2.3)
pode ser estudado a partir de agora, substituindo-se A por −A.
Ou seja, ser´a considerado o seguinte problema de valor inicial para um
operador mon´otono A
du
dt
+ Au = 0, t ≥ 0
u(0) = u
0
, u
0
∈ D(A).
(2.4)
Defini¸c˜ao 10. O operador A ´e dito maximal mon´otono se A ´e mon´otono e ainda
R(I + A) = H. Isto ´e, ∀f ∈ H, ∃u ∈ D(A) tal que (I + A)u = f.
Proposi¸c˜ao 5. Seja A um operador maximal mon´otono e H um espa¸co de Hilbert. Ent˜ao,
(a) D(A) ´e denso em H;
(b) A ´e um operador fechado.
Demonstra¸c˜ao. (a) Vamos usar um corol´ario do teorema de Hahn-Banach (Brezis [5],
pg. 07) para mostrar que D(A) ´e denso em H. Para isso, vamos tomar f ∈ H em que
(f, v) = 0, ∀v ∈ D(A). Como A ´e maximal mon´otono, ∃v
0
∈ D(A) tal que v
0
+ Av
0
= f.
Assim,
0 = (f, v
0
) = (v
0
+ Av
0
, v
0
) = v
0
2
+ (Av
0
, v
0
) ≥ v
0
2
pois A ´e operador mon´otono. Logo, v
0
= 0, o que implica f = 0.
Pelo corol´ario do teorema de Hahn-Banach, D(A) ´e denso em H.
(b) Para provar essa condi¸c˜ao, faremos o seguinte: Afirma¸c˜ao: para todo f ∈ H, existe
´unico u ∈ D(A) tal que u+Au = f. A existˆencia ´e conseq¨uˆencia do fato que A ´e maximal
mon´otono.
Agora, considerando u outra solu¸c˜ao de u + Au = f, obtemos que
(u − u) + A(u − u) = 0.
19
Conseq¨uentemente,
A(u − u) = −(u − u).
Como A ´e operador mon´otono, segue que
(A(u − u), u − u) = (−(u −u), (u − u)) = −u − u
2
≥ 0.
Isso implica que
u − u
2
= 0.
Assim, u = u. Isto prova a afirma¸c˜ao. Portanto, I + A ´e bijetivo, ou seja,
existe (I + A)
−1
.
Mostraremos que (I + A)
−1
´e cont´ınuo (limitado).
De fato, como A ´e mon´otono, tem-se que
(u + Au, u) = (u, u) + (Au, u) ≥ u
2
, ∀u ∈ D(A ).
Isto ´e,
((I + A)u, u) ≥ u
2
, ∀u ∈ D(A ).
Do fato que I + A ´e bijetivo segue que
v, (I + A)
−1
v
≥
(I + A)
−1
v
2
, ∀v ∈ H.
A partir da desigualdade de Schwarz, conclui-se que
(I + A)
−1
v
≤ v, ∀v ∈ H.
Isso mostra que (I + A)
−1
´e operador limitado (cont´ınuo).
Provaremos agora que A ´e um operador fechado. Seja (u
n
)
n∈N
seq¨uˆencia no
dom´ınio de A tal que u
n
→ u e Au
n
→ f. Vamos mostrar que u ∈ D(A) e Au = f. Claro
que
u
n
+ Au
n
→ u + f.
Agora, sendo (I + A)u
n
= u
n
+ Au
n
, como (I + A)
−1
´e cont´ınuo, temos
20
u
n
= (I + A)
−1
(u
n
+ Au
n
) → (I + A)
−1
(u + f) .
Conseq¨uentemente, u = (I + A)
−1
(u + f), o que implica que u ∈ D(A)
e u + Au = u + f. Assim, provamos que u ∈ D(A) e Au = f. Logo, A ´e operador
fechado.
Consideramos agora o problema de valor inicial
du(t)
dt
+ Au(t) = f (u(t)), t > 0
u(0) = u
0
(2.5)
em que A gera um semigrupo de classe C
0
, {S(t)}
t≥0
sobre X, f : R
+
→ X ´e uma fun¸c˜ao
cont´ınua, X ´e um espa¸co de Banach e u
0
∈ X. Definimos agora o que ´e uma solu¸c˜ao forte
de (2.5).
Defini¸c˜ao 11. Dizemos que uma fun¸c˜ao u : R
+
→ X ´e uma Solu¸c˜ao Forte do problema
de valor inicial (2.5), se u for cont´ınua para todo t ≥ 0 e continuamente diferenci´avel
para t > 0. Al´em disso, para todo t > 0, u(t) ∈ D(A) e satisfaz (2.5).
Observa¸c˜ao 4. Seja u = u(t) com t > 0 uma solu¸c˜ao forte de (2.5) e {S(t)}
t≥0
o
semigrupo de classe C
0
gerado por A. A fun¸c˜ao g(s) = S(t − s)u(s) ´e diferenci´avel para
0 ≤ s ≤ t e por (2.5), tem-se
dg(s)
ds
= AS(t − s)u(s) + S(t − s)
du(s)
ds
= AS(t − s)u(s) + S(t − s) (−Au(s) + f(u(s)))
= AS(t − s)u(s) − AS(t − s)u(s) + S(t − s)f(u(s))
= S(t − s)f(u(s)).
Como f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, podemos integrar de 0 a t. Assim,
t
0
dg(s)
ds
ds =
t
0
S(t − s)f(u(s))ds.
Agora, usando a defini¸c˜ao de g(s), concluimos que
u(t) = S(t)u
0
+
t
0
S(t − s)f(u(s))ds. (2.6)
21
Essa ´e uma condi¸c˜ao necess´aria para que u seja solu¸c˜ao forte do problema
de valor inicial (2.5). Se u = u(t) ´e apenas uma fun¸c˜ao cont´ınua que satisfaz (2.6) ent˜ao
diz que u ´e uma solu¸c˜ao fraca (ou generalizada) de (2.5).
2.2 Existˆencia e Unicidade do Problema Linear
Finalmente mostramos a existˆencia e unicidade do problema (2.1) − (2.2).
Para isso, utilizaremos os resultados apresentados at´e ent˜ao sobre semigrupos.
2.2.1 Existˆencia
Para estudarmos a existˆencia ´e necess´aria a proposi¸c˜ao abaixo:
Proposi¸c˜ao 6. Sejam A ∈ G(1, 0) e B ∈ B(X). Ent˜ao A + B ∈ G(1, B).
Essa proposi¸c˜ao fala sobre perturba¸c˜oes de um operador linear A por um
operador linear B, isto ´e bem conhecido e por esse motivo n˜ao apresentaremos, aqui, sua
demonstra¸c˜ao. Essa prova pode, por exemplo, ser encontrada em ([26], pg 87). Outros
resultados da teoria de perturba¸c˜oes de operadores p odem ser tamb´em vistas em (Yosida,
[29]).
Se v = u
t
em (2.1)(2.2), obtemos que
u
t
− v = 0 em R
+
× R
n
v
t
− u + v = 0 em R
+
× R
n
.
(2.7)
Agora, denotando
U =
u
v
, U
0
=
u
0
u
1
, A =
0 −I
− I
, (2.8)
podemos escrever o sistema (2.7) como
d
dt
U + AU = 0. (2.9)
O operador A em (2.8) ´e definido como
A : D(A) ⊂ H → H, (2.10)
22
com H = H
1
(R
n
) × L
2
(R
n
) e D(A) = H
2
(R
n
) × H
1
(R
n
).
Mostraremos, aqui, que o operador A gera um semigrupo de classe C
0
. Para
isso notamos que
A =
0 −I
− I
=
0 −I
− + I I
+
0 0
−I 0
. (2.11)
Assim, podemos escrever A = A
+ B com
A
=
0 −I
− + I I
e B =
0 0
−I 0
. (2.12)
Notamos que D(A) = D(A
).
Bastar´a provar que A
∈ G(1, 0), B ∈ B(H) e usar a Proposi¸c˜ao 6 para
concluir que A ∈ G(1, B). Logo, feito isso, o problema (2.9) com dado inicial U
0
∈ D(A)
ter´a como solu¸c˜ao
U(t) = S(t)U
0
, (2.13)
sendo S(t) o semigrupo de classe C
0
gerado por A..
Para provarmos que A
∈ G(1, 0), mostraremos que A
´e maximal e mon´otono
e a conclus˜ao seguir´a do Teorema 5(Lumer-Philips).
A
´e monotono:
Precisamos definir o seguinte produto interno em H = H
1
(R
n
) × L
2
(R
n
).
Sejam
U =
u
1
v
1
, V =
u
2
v
2
∈ H
ent˜ao
U, V = (∇u
1
, ∇u
2
) + (u
1
, u
2
) + (v
1
, v
2
),
em que os produtos internos do lado direito da igualdade acima, s˜ao os produtos internos
usuais de L
2
(R
n
).
Temos que para U ∈ D(A
), A
U, U ≥ 0.
De fato,
23
A
U, U =
−v
−u + u + v
,
u
v
= −(∇v, ∇u) − (v, u) + (−u + u + v, v)
= −(∇v, ∇u) − (v, u) − (u, v) + (v, v) + (u, v)
= −(∇v, ∇u) − (v, u) + (∇u, ∇v) + (v, v) + (u, v) = (v, v) = v
2
≥ 0.
A
´e maximal:
Com efeito, provaremos que, dado F =
f
g
∈ H, existe U =
u
v
∈ D(A
) tal que
(A
+ I) U = F,
ou seja,
−v
−u + v + u
+
u
v
=
f
g
.
Isso nos leva ao sistema
−v + u = f
−u + 2v + u = g.
Assim, isolando v na primeira equa¸c˜ao e substituindo-o na segunda, vemos
que
−u + 3u = g + 2f. (2.14)
Portanto, para mostrar que A
´e maximal, basta verificar que existe u ∈
H
2
(R
n
) que satisfa¸ca (2.14). Para essa tarefa, usaremos o teorema de Lax-Milgram.
Como H
1
= H
1
(R
n
) ´e um espa¸co de Hillbert, definimos
a(·, ·) :H
1
× H
1
→ R
(u, v) → (∇u, ∇v) + 3(u, v).
24
´
E claro que a(·, ·) ´e bilinear. Vemos que a(·, ·) ´e cont´ınua, pois
|a(u, v)| = |(∇u, ∇v) + 3(u, v)|
≤ |(∇u, ∇v) | + 3|(u, v)|
≤ ∇u∇v + 3uv
≤ 4u
H
v
H
1
, ∀u, v ∈ H
1
.
Mostramos agora que a(·, ·) ´e coerciva. De fato,
a(u, u) = (∇u, ∇u) + 3(u, u) = ∇u
2
+ 3u
2
≥ ∇u
2
+ u
2
= u
2
H
1
, ∀u ∈ H
1
.
Definimos ainda o funcional
L :H
1
→ R
v → (g + 2f, v).
Verifica-se fac´ılmente que L ´e um funcional linear. Constatamos tamb´em
que L ´e cont´ınuo.
Efetivamente,
|L(v)| = |(g + 2f, v)| ≤ g + 2fv ≤ g + 2fv
H
1
, ∀v ∈ H
1
.
Logo, pelo Teorema 1 (Lax-Milgram), existe ´unico u ∈ H
1
(R
n
) tal que
a(u, v) = L(v) = (g + 2f, v),
para todo v ∈ H
1
(R
n
). Isto ´e,
(∇u, ∇v) + 3(u, v) = (g + 2f, v), ∀v ∈ H
1
0
(R
n
).
Em part´ıcular, temos
25
(∇u, ∇θ) + 3(u, θ) = (g + 2f, θ), ∀θ ∈ D(R
n
)
sendo D(R
n
) o espa¸co das fun¸c˜oes testes.
Isso mostra que
−∆u + 3u = g + 2f
no sentido de D
(R
n
).
Tamb´em para f ∈ H
1
(R
n
) e g ∈ L
2
(R
n
), aplicando o teorema da Regular-
idade El´ıptica para o operador el´ıptico 3I − ∆ sobre L
2
(R
n
), resulta que u ∈ H
2
(R
n
).
Mas, como u, f ∈ H
1
(R
n
), vemos que v = u − f ∈ H
1
(R
n
). Portanto existe um ´unico
U =
u
v
∈ D(A
) = H
2
(R
n
) × H
1
(R
n
)
tal que
(A
+ I) U = F.
Assim, concluimos que A
´e maximal e mon´otono. Logo, segue do Teorema
de Lumer-Phillips que A
∈ G(1, 0). Portanto A
gera um semi-grupo de classe C
0
.
Motremos agora que B ∈ B(H).Temos que
B(U)
H
=
0 0
−I 0
u
v
H
=
0
−u
H
= u
L
2
≤ u
H
1
≤ u
H
1
+ v
L
2
= U
H
.
Logo, pela Proposi¸c˜ao 6, A = A
+ B ´e gerador de um semigrupo {S(t)}
t≥0
de classe C
0
. Agora , para U
0
=
u
0
u
1
∈ D(A) temos que U(t) = S(t)U
0
´e solu¸c˜ao do
problema de valor inicial
dU
dt
+ AU = 0 ∀t ≥ 0
U(0) = U
0
.
(2.15)
De fato, da Proposi¸c˜ao 3 se deduz que
a) U(t) = S(t)U
0
∈ D(−A) = D(A);
26
b)
dU(t)
dt
=
d
dt
(S(t)U
0
) = −AS(t)U
0
= −AU(t), t ≥ 0;
c) U(0) = S(0)U
0
= U
0
, pois S(0) = I.
De b) e c) resulta que a fun¸c˜ao U ´e diferenci´avel em t ≥ 0 e satisfaz o
problema de valor inicial (2.15).
Uma vez que para U
0
∈ D(A), obtemos da Proposi¸c˜ao 3 que U(t) =
S(t)U
0
∈ D(A) e do fato que S(t) ´e cont´ınua resulta que, U ∈ C ([0, ∞); D(A)). Tamb´em
segue da proposi¸c˜ao 3 que
U
(t) = −AU(t) = −AS(t)U
0
= −S(t)AU
0
∈ H.
Como S(t)AU
0
´e fun¸c˜ao cont´ınua, concluimos que
U ∈ C
1
([0, ∞); H) .
Logo, U ∈ C
1
([0, ∞); H) ∩ C ([0, ∞); D(A)) dado que U(t) = S(t)U
0
´e a solu¸c˜ao ´e de
(2.15) se U
0
∈ D(A). Isto ´e:
U ∈ C
1
([0, ∞); H) ∩ C ([0, ∞); D(A)) . (2.16)
Interpretemos (2.16). Do fato que U =
u
v
´e solu¸c˜ao de (2.15) se
obtem em particular que v = u
t
.
Assim
U =
u
u
t
∈ C
1
[0, ∞); H
1
(R
n
) × L
2
(R
n
)
∩ C
[0, ∞); H
2
(R
n
) × H
1
(R
n
)
.
Isso prova que
u ∈ C
1
([0, ∞); H
1
(R
n
));
u
t
∈ C
1
([0, ∞); L
2
(R
n
)), ou seja, u ∈ C
2
([0, ∞); L
2
(R
n
));
u ∈ C ([0, ∞); H
2
(R
n
));
u
t
∈ C ([0, ∞); H
1
(R
n
)), ou seja, u ∈ C
1
([0, ∞); H
1
(R
n
)).
Concluimos ent˜ao disso para (u
0
, u
1
) ∈ H
2
× H
1
, a solu¸c˜ao de (2.1)-(2.2)
satisfaz
u ∈ C
[0, ∞); H
2
(R
n
)
∩ C
1
[0, ∞); H
1
(R
n
)
∩ C
2
[0, ∞); L
2
(R
n
)
. (2.17)
27
Al´em disso, a Proposi¸c˜ao 3 implica que, se (u
0
, u
1
) ∈ H
1
× L
2
, o problema
(2.1)-(2.2) possui uma solu¸c˜ao fraca na classe
u ∈ C([0, ∞), L
2
(R
n
)) ∩ C([0, ∞), H
1
(R
n
)).
2.2.2 Unicidade:
Provamos a unicidade utilizando a proposi¸c˜ao dada abaixo.
Proposi¸c˜ao 7. Sejam {S
1
(t)}
t≥0
e {S
2
(t)}
t≥0
semigrupos de classe C
0
que possuem o
mesmo gerador infinitesimal A. Ent˜ao {S
1
(t)}
t≥0
= {S
2
(t)}
t≥0
.
Demonstra¸c˜ao. :
Definamos a fun¸c˜ao W (s) = S
1
(s)S
2
(t − s). Sabemos da Proposi¸c˜ao 3 que
W
(s) = AS
1
(s)S
2
(t − s) + S
1
(s)(−AS
2
(t − s))
= AS
1
(s)S
2
(t − s) − AS
1
(s)S
2
(t − s) = 0.
Logo W (s) ´e uma fun¸c˜ao constante em s. Mas,
W (0) = S
2
(t)
e
W (t) = S
1
(t).
Portanto, S
1
(t) = S
2
(t).
Suponhamos agora que V = V (t) seja outra solu¸c˜ao do problema de valor
inicial (2.15). Ent˜ao devemos ter
d
dt
V (t) = AV (t) e V (0) = U(0).
Logo nossa solu¸c˜ao ´e da forma
V (t) = T (t)U
0
,
28
sendo {T (t)}
t≥0
um semigrupo gerado por A. Portanto segue da Proposi¸c˜ao 7 que {S(t)}
t≥0
=
T (t)
t≥0
, ou seja, U=V.
Consequentemente concluimos que existe uma ´unica fun¸c˜ao u = u(x, t) que
satisfaz o problema de valor inicial (2.1)-(2.2).
Al´em disso, para dados iniciais (u
o
, u
1
) ∈ H
2
× H
1
a solu¸c˜ao do problema
linear, est´a na classe
u ∈ C
[0, ∞); H
2
(R
n
)
∩ C
1
[0, ∞); H
1
(R
n
)
∩ C
2
[0, ∞); L
2
(R
n
)
.
2.3 Problema Semilinear - Existˆencia Local e Unici-
dade
Nesta se¸c˜ao, mostraremos a existˆencia e unicidade da solu¸c˜ao local, usando
o m´etodo do ponto fixo, para a equa¸c˜ao semilinear associada com o problema linear (2.1)–
(2.2). A existˆencia global ser´a apresentada no pr´oximo cap´ıtulo.
O problema semilinear associado com (2.1)–(2.2) ´e:
u
tt
− u + u
t
= |u|
p
, (t, x) ∈ R
+
× R
n
(2.18)
u
|
t=0
= u
0
, u
t|
t=0
= u
1
. (2.19)
Aqui p satisfaz 1 < p <
n
n−2
se n ≥ 3, 1 < p < ∞ se n = 1, 2. Da mesma
maneira que na se¸c˜ao anterior, tomando v = u
t
, podemos reescrever o problema de valor
inicial (2.18)-(2.19) na forma
dU(t)
dt
+ A
U = F (U), U ∈ D(A
) = H
2
(R
n
) × H
1
(R
n
) ⊂ H = H
1
(R
n
) × L
2
(R
n
).
U(0) = U
0
U
0
=
u
0
u
1
(2.20)
em que A
´e o operador dado em (2.12) e
29
F :H → H
U → F (U) =
0
|u|
p
+ u
,
para U =
u
v
∈ H.
Aqui, H = H
1
(R
n
) × L
2
(R
n
), como na se¸c˜ao anterior.
Mostramos agora que F est´a bem definida para o expoente p com 1 < p ≤
n
n − 2
.
De fato, seja U =
u
v
∈ H. Devemos mostrar que |u|
p
+u ∈ L
2
(R
n
).
Temos que u ∈ H
1
(R
n
), assim para provar que |u|
p
∈ L
2
(R
n
). Consideremos
dois casos:
Caso 1 n > 2:
Sabemos da teoria dos Espa¸cos de Sobolev que
H
1
(R
n
) → L
p
(R
n
) (2.21)
se 2 ≤ p ≤
2n
n − 2
.
Agora para u ∈ H
1
(R
n
) e usando a imers˜ao (2.21), observamos que para
1 ≤ p ≤
n
n − 2
vale
u
p
2
L
2
=
|u|
2p
dx = u
2p
L
2p
≤ Cu
2p
H
1
< +∞
Portanto, podemos concluir que |u|
p
∈ L
2
(R
n
).
Caso 2 n=1,2:
Para este ´ultimo caso, observamos que, se n = 1 ent˜ao a teoria de Sobolev
diz que ( Kensavan[18], Brezis[5])
H
1
(R
n
) → L
∞
(R
n
) ∀p ≥ 1. (2.22)
30
Agora, se n = 2 tem-se que
H
1
(R
n
) →⊂ L
q
(R
n
) ∀p ≥ 2. (2.23)
Logo, basta proceder, de modo an´alogo, como no caso 1 e teremos |u|
p
∈
L
2
(R
n
). Conclus˜ao:
u ∈ H
1
→ |u|
p
∈ L
2
.
Portanto, concluimos, observando o fato ´obvio que 0 ∈ H
1
(R
n
), que F
aplica H em H, com H = H
2
× L
2
.
Para mostrar que o problema de valor inicial (2.20) possui uma ´unica solu¸c˜ao
local, precisaremos de alguns resultados que apresentaremos abaixo.
2.3.1 Problema Semilinear Abstrato
Consideraremos o seguinte problema abstrato de valor inicial: (2.24)
du
dt
+ Au = F (u)
u(0) = u
0
(2.24)
em um espa¸co normado X, em que F ´e uma aplica¸c˜ao de X em X, u
0
∈ X um valor
inicialdado dado e A ´e u o gerador infinitesimal de um semigrupo de contra¸c˜oes.
Vamos apresentar agora dois teoremas que discutem a existˆencia e unicidade
de solu¸c˜oes para o problema (2.24). O primeiro diz que se F ´e globalmente Lipschitz
cont´ınua, o problema (2.24) possui solu¸c˜ao(Fraca) definida para t ≥ 0. J´a o segundo
teorema garante, caso F seja Lipschitz cont´ınua sobre conjuntos limitados, que (2.24)
possui ´unica solu¸c˜ao em um intervalo da forma [0, T
m
], com T
m
> 0 convenientemente.
Esses teoremas aparecem na Disserta¸c˜ao de Mestrado Menoncini[22].
Teorema 6 (Ponto Fixo de Banach). Seja (X, d) espa¸co m´etrico completo e P : X → X
uma aplica¸c˜ao tal que
d(P (u), P (v)) ≤ kd(u, v) , ∀u, v ∈ X,
para algum k fixado tal que 0 < k < 1.
Ent˜ao P tem ´unico ponto fixo, isto ´e, existe ´unico u ∈ X tal que P u = u.
31
Este teorema de ponto fixo ´e bem conhecido e por isso sua demonstra¸c˜ao
aqui n˜ao se faz necess´aria.
Proposi¸c˜ao 8 (Desigualdade de Gronwall). Sejam g(t) ≥ 0 e h(t) ≥ 0 fun¸c˜oes reais tais
que
g(t) ≤ C +
t
0
g(s)h(s)ds, 0 ≤ t ≤ T, (2.25)
com C ≥ 0 uma constante e h(t) satisfaz
T
0
h(t)dt < ∞.
Ent˜ao,
g(t) ≤ Cexp
T
0
h(t)dt
, 0 ≤ t ≤ T .
Observa¸c˜ao 5. Para a desigualdade de Gronwall devemos tomar g, h tais que
t
0
g(s)h(s)ds < ∞.
Demonstra¸c˜ao. Consideramos a fun¸c˜ao real
φ(t) = C +
t
0
g(s)h(s)ds, com t ∈ [0, T ].
Ent˜ao, usando (2.25) temos
dφ(t)
dt
= g(t)h(t) ≤ φ(t)h(t),
ou seja,
dφ(t)
dt
− φ(t)h(t) ≤ 0, t ∈ [0, T ].
Notando que
exp
−
t
0
h(s)ds
dφ(t)
dt
− φ(t)h(t)
=
d
dt
φ(t)exp
−
t
0
h(s)ds
≤ 0
e integrando essa desigualdade de 0 at´e t, obtemos
t
0
d
dr
φ(r)exp
−
r
0
h(s)ds
dr = φ(t)exp
−
t
0
h(s)ds
− φ(0) ≤ 0.
32
Logo,
φ(t)exp
−
t
0
h(s)ds
≤ φ(0) = C
e portanto
φ(t) ≤ Cexp
t
0
h(s)ds
≤ Cexp
T
0
h(t)dt
, t ∈ [0, T ].
Defini¸c˜ao 12. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico. Uma aplica¸c˜ao F : X → X ´e dita global-
mente Lipschitz cont´ınua se existe uma constante positiva L tal que
d(F (v), F (u)) ≤ Ld(v, u), ∀u, v ∈ X .
Teorema 7. Seja um X espa¸co de Banach. Seja A gerador de um semigrupo de con-
tra¸c˜oes. Seja F globalmente Lipschitz cont´ınua sobre X e seja u
0
∈ X. Ent˜ao, existe uma
´unica solu¸c˜ao global fraca u = u(t) de (2.24) no sentido que u ∈ C ([0, ∞), X) e
u(t) = S(t)u
0
+
t
0
S(t − s)F (u(s))ds, (2.26)
para todo t ≥ 0, sendo {S(t)}
t≥0
o semigrupo de constra¸c˜oes gerado pelo operador A.
Al´em disso, existe a dependˆencia cont´ınua de u em rela¸c˜ao a u
0
, isto ´e,
v(t) − u(t) ≤ e
Lt
v
0
− u
0
para todo t ≥ 0, com v a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (2.26) com
valor inicial v
0
.
Demonstra¸c˜ao. Provaremos primeiro a unicidade de solu¸c˜oes. Sejam u e v solu¸c˜oes de
(2.26). Como F ´e globalmente Lipschitz e {S(t)}
t≥0
´e um semigrup o de contra¸c˜oes, vemos
que
u(t) − v(t) ≤ L
t
0
u(s) − v(s)ds.
Aplicando a desigualdade de Gronwall com C = 0, h(t) = L e g (t) =
u(t) − v(t), concluimos que u = v.
33
Para provarmos a existˆencia de solu¸c˜oes, consideramos o espa¸co
E = {u ∈ C ([0, ∞), X) ; sup
t≥0
e
−kt
u(t) < ∞},
com k > 0 constante a ser escolhida convenientemente.
Pode-se provar de uma maneira standard que o espa¸co E com a norma
u
E
= sup
t≥0
e
−kt
u(t)
´e um espa¸co de Banach.
Agora definimos a aplica¸c˜ao φ : E → C ([0, ∞), X) dada por
φ(u)(t) = S(t)u
0
+
t
0
S(t − s)F (u(s))ds, u ∈ E e t ≥ 0.
Sendo {S(t)}
t≥0
semigrupo de contra¸c˜oes, facilmente vˆe-se que φ(u) ∈
C ([0, ∞), X), para todo u ∈ E. Assim, φ est´a bem definida. Mostraremos que φ(u) ∈ E,
para cada u ∈ E.
De fato, {S(t)}
t≥0
´e semigrupo de contra¸c˜oes, conseq¨uentemente
φ(u)(t) ≤ u
0
+
t
0
F (u(s))ds.
Uma vez que F ´e Lipschitz cont´ınua com constante L > 0,
F (u(s)) ≤ L u(s) + F (0).
Portanto,
φ(u)(t) ≤ u
0
+ t F (0) + L u
E
t
0
e
ks
ds = u
0
+ t F (0) + L
e
kt
− 1
k
u
E
.
34
Assim, para u ∈ E resulta que φ(u) ∈ E e
sup
t≥0
e
−kt
φ(u)φ(u)
E
≤ u
0
+
1
ke
F (0) +
L
k
u
E
,
pois te
−kt
≤
1
ke
, ∀t ≥ 0.
Agora vamos mostrar que φ ´e contra¸c˜ao sobre E se k > L.
Da defini¸c˜ao de φ, do fato que {S(t)}
t≥0
´e semigrupo de contra¸c˜oes e F ´e
Lipschitz, temos
φ(u)(t) − φ(v)(t) ≤ L
t
0
u(s) − v(s)ds
≤ L u − v
E
t
0
e
ks
ds = L
e
kt
− 1
k
u − v
E
≤
Le
kt
k
u − v
E
, ∀t ≥ 0.
Logo,
φ(u) − φ(v)
E
≤
L
k
u − v
E
.
Assim, escolhendo algum k > L, pelo teorema do ponto fixo de Banach,
existe ´unica fun¸c˜ao u ∈ E tal que φ(u) = u. Conseq¨uentemente, u ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao
integral (2.26) e u ∈ C ([0, ∞), X). Isto ´e, u ´e solu¸c˜ao fraca do problema (2.24).
Para finalizar a prova, mostraremos agora a dep endˆencia cont´ınua. Sejam
u e v solu¸c˜oes de (2.26) associadas aos valores iniciais u
0
e v
0
respectivamente. Ent˜ao
obtemos
u(t) − v(t) ≤ u
0
− v
0
+ L
t
0
u(s) − v(s)ds.
Da desigualdade de Gronwall, verificamos que
u(t) − v(t) ≤ u
0
− v
0
e
Lt
,
o que conclui a prova do teorema.
35
Defini¸c˜ao 13. Seja X espa¸co normado. Uma aplica¸c˜ao F : X → X ´e dita Lipschitz
cont´ınua sobre conjuntos limitados se, para cada constante positiva M, existir uma con-
stante positiva L
M
de modo que
F (v) − F (u) ≤ L
M
v − u
para todo u, v ∈ X tal que u ≤ M e v ≤ M.
Para a aplica¸c˜ao F definida acima, isto ´e, F uma aplica¸c˜ao Lipschitz cont´ınua
sobre conjuntos limitados, ´e v´alido o resultado abaixo.
Teorema 8. Para cada u
0
∈ X, existe 0 < T < ∞ e uma ´unica solu¸c˜ao fraca u de (2.24)
definida em [0, T ]. Isto ´e, u ∈ C ([0, T ], X) e (2.26) ´e v´alida para todo t ∈ [0, T ].
Demonstra¸c˜ao. :
Seja E = C ([0, T ], X) com a norma usual e T > 0 a ser escolhido conve-
nientemente. Vamos definir o conjunto
K = {u ∈ E; u(t) ≤ u
0
+ 1 para todo t ∈ [0, T ]}.
Assim, K ´e um subconjunto fechado do espa¸co de Banach E. Agora, para
u ∈ K, podemos facilmente concluir que φ(u) ∈ E sendo φ(u) dada por
φ(u)(t) = S(t)u
0
+
t
0
S(t − s)F (u(s))ds, t ∈ [0, T ]
com {S(t)}
t≥0
o semigrupo de contra¸c˜oes gerado pelo operador A dado no problema (2.24).
Tamb´em da defini¸c˜ao 13 temos que
φ(v) − φ(u)
E
≤ LT v − u
E
, (2.27)
para todo u, v ∈ K, em que L = L
M
com M = u
0
+ 1. De fato, sendo u, v ∈ K, segue
que
φ(v) − φ(u)
E
= sup
0≤t≤T
t
0
S(t − s)F (u(s))ds −
t
0
S(t − s)F (v(s))ds
36
≤ sup
0≤t≤T
t
0
F (u(s)) − F (v(s))ds
≤ sup
0≤t≤T
t
0
L
M
u(s) − v(s)ds
≤
T
0
L
M
u(s) − v(s)ds ≤ T L
M
u − v
E
, aqui usamos o fato que
F ´e localmente Lipschitz com M = u
0
+1. Tamb´em usamos que u
E
= sup
0≤t≤T
u(t)
X
.
Provaremos que φ(K) ⊆ K se T
F (0) + L (u
0
+ 1)
≤ 1.Com efeito,
φ(u)(t) ≤ u
0
+
t
0
F (u(s))ds, t ∈ [0, T ].
Usando o fato de que se u ∈ K, a desigualdade abaixo ´e v´alida
F (u(s)) − F (0) ≤ L u(s) ≤ L (u
0
+ 1) ,
para s ∈ [0, T ], L = L
M
e M = u
0
+ 1.
Ent˜ao obtemos
φ(u)(t) ≤ u
0
+ T
F (0) + L (u
0
+ 1)
, t ∈ [0, T ].
Assim, tomando T suficientemente pequeno tal que
T
F (0) + L (u
0
+ 1)
< 1 (2.28)
constatamos que φ(u) ∈ K. Assim, com a condi¸c˜ao (2.28) sobre T , φ atua de K em
K. A condi¸c˜ao (2.28) sobre T implica que T L < 1. Ent˜ao a estimativa (2.27) diz que
φ : K → K ´e contra¸c˜ao.
Portanto, φ tem um ´unico ponto fixo u ∈ K. Esse u ´e uma solu¸c˜ao local
fraca do problema (2.24).
A unicidade de u segue da defini¸c˜ao 13 e da desigualdade de Gronwall, como
na demonstra¸c˜ao do Teorema 7. Logo o Teorema 8 est´a demonstrado.
2.3.2 Existˆencia Local e Unicidade
Mostraremos agora a existˆencia e unicidade local de solu¸c˜ao do problema
(2.18)– (2.19).
37
Observa¸c˜ao 6. Seja F (s) = |s|
p
+ s, s ∈ R. Ent˜ao
F (s) − F (r) = |s|
p
− |r|
p
+ s − r.
Agora, se g(s) = |s|
p
ent˜ao g
(s) = p|s|
p−2
s. Portanto, pelo Teorema do
Valor M´edio
g(s) − g(r) = p|ξ|
p−2
ξ(|s| − |r|)
para algum ξ entre r e s. Assim
|g(s) − g(r)| ≤ p|ξ|
p−1
(|s − r|) ≤ p(|s|+ |r|)
p−1
|s − r| ≤ C
p
(|s|
p−1
+ |r|
p−1
)|r − s|,
com C
p
uma constante positiva que depende de p. Logo,
|F (s) − F (r)| ≤
C
p
(|s|
p−1
+ |r|
p−1
) + 1
|r − s|.
Agora sejam
U =
u
1
v
1
, V =
u
2
v
2
∈ H.
Ent˜ao, pela Observa¸c˜ao 6 temos
F (U) − F (V )
H
= |u
1
|
p
+ u
1
− |u
2
|
p
− u
2
L
2
(R
n
)
≤
C(|u
1
|
p−1
+ |u
2
|
p−1
) + 1
(u
1
− u
2
)
L
2
(R
n
)
,
sendo C > 0 uma constante. Assim, para U, V ∈ B(0, R), temos que
F (U) − F (V )
H
≤ C
R
n
(|u
1
|
p−1
+ |u
2
|
p−1
)
2
|u
1
− u
2
|
2
dx
≤ C
R
n
(|u
1
|
2(p−1)
+ |u
2
|
2(p−1)
)|u
1
− u
2
|
2
dx
≤
R
n
(|u
1
|
2(p−1)
+ |u
2
|
2(p−1)
)
p
p−1
p−1
p
R
n
|u
1
− u
2
|
2p
dx
1
p
,
com a ultima desigualdade devido a desigualdade de H¨older e o fato que p > 1.
Logo,
F (U) − F (V )
2
H
≤ C
R
n
(|u
1
|
2p
+ |u
2
|
2p
)dx
p−1
p
u
1
− u
2
2
L
2p
. (2.29)
Usando (2.29) e as imers˜oes de Sobolev (2.22),(2.22) e (2.23) resulta
F (U) − F (V )
2
H
≤ C
u
1
2p
H
1
+ u
2
2p
H
1
p−1
p
u
1
− u
2
2
H
1
. (2.30)
38
Assim, se U
H
, V
H
≤ R tem-se de (2.30)
F (U) − F (V )
2
H
≤ C
2R
2p
p−1
p
U − V
2
H
(2.31)
e concluimos que
F (U) − F (V )
H
≤ L
R
U − V
H
com L
R
= C
1
2
[2R
2p
]
p−1
2p
.
Potanto, F ´e localmente Lipschtz cont´ınua sobre conjuntos limitados com
M = R. Como H pode ser visto como um espa¸co m´etrico com a m´etrica induzida pela sua
norma, e na se¸c˜ao anterior provamos que A ∈ G(1, 0), estamos nas hip´oteses do Teorema
8. Assim, para algum T > 0 apropriado, existe uma ´unica fun¸c˜ao
U = U(t) ∈ C([0, T ), H = H
1
× L
2
), (2.32)
solu¸c˜ao fraca de (2.20) com dado inicial U
0
∈ H.
Interpretamos (2.32). Lembrando que se pode escrever U = (u, v) segue que
u e v, as componentes de U, satisfazem v =
∂u
∂t
= u
t
devido que U ´e solu¸c˜ao de (2.20).
Assim, (2.32) diz que
U =
u
u
t
∈ C
[0, T ); H
1
× L
2
.
Isto mostra que
u ∈ C ([0, T ); H
1
);
u
t
∈ C ([0, T ); L
2
), ou seja, u ∈ C
1
([0, T ); L
2
).
Logo, concluimos que
u ∈ C
[0, T ); H
1
∩ C
1
[0, T ); L
2
(2.33)
´e solu¸c˜ao loca fraca de (2.18)-(2.19) com dados iniciais (u
0
, u
1
) ∈ H
1
× L
2
.
Constatamos, pois, que o problema de valor inicial (2.18)-(2.19) possui uma
´unica solu¸c˜ao fraca u = u(x, t) com u satisfazendo (2.33). Isto ´e, existe ´unica fun¸c˜ao u
39
solu¸c˜ao do problema de valor inicial
u
tt
− u + u
t
= |u|
p
, (t, x) ∈ R
+
× R
n
u(0) = u
0
, u
t
(0) = u
1
.
com dados iniciais em H
1
× L
2
e p um n´umero real tal que 1 ≤ p ≤
n
n − 2
se n ≥ 3, e
1 ≤ p < ∞ se n = 1, 2.
Ou seja, existe uma ´unica fun¸c˜ao u = u(x, t) definida, para algum T > 0,
em [0, T ) e que satisfaz (2.33) e ´e solu¸c˜ao do do problema acima.
40
Cap´ıtulo 3
Existˆencia Global e Comportamento
Assint´otico
Neste cap´ıtulo, analisamos o Problema de Cauchy associado com a
equa¸c˜ao semilinear da onda em R
n
sob efeito de uma dissipa¸c˜ao friccional, a saber
u
tt
− u + u
t
= |u|
p
, (t, x) ∈ R
+
× R
n
(3.1)
u
|
t=0
= u
0
, u
t|
t=0
= u
1
(3.2)
com > 0 suficientemente pequeno,
u
0
∈ H
1
(R
n
), u
1
∈ L
2
(R
n
), (3.3)
suppu
i
⊂ B(K) ≡ {x ∈ R
n
; |x| < K}, i = 0, 1, (3.4)
e p um n´umero real tal que
1 +
2
n
< p ≤
n
n − 2
se n ≥ 3, e
1 +
2
n
< p < ∞
se n = 1, 2.
O resultado principal que mostramos neste cap´ıtulo, est´a enunciado nos
dois teoremas que aparecem na pr´oxima se¸c˜ao. Eles mostram a existˆencia global e o
comportamento assint´otico, no tempo, da solu¸c˜ao do problema (3.1)-(3.2) com dados ini-
ciais pequenos. Em geral, os resultados de existˆencia global e comportamento assint´otico
para problemas semilineares s˜ao obtidos apenas para dados iniciais pequenos ([6], [16],
41
[15], [14]). O resultado de comportamento assint´otico aqui mostrado, resulta de um novo
m´etodo considerado por Todorova-Yordanov em [26]. Esse m´etodo tem se mostrado efi-
ciente e tem sido usado por outros autores como em [15], [14], [16]. Inclusive esse m´etodo
tem sido efetivo para outras equa¸c˜oes como no caso de Char˜ao-Ikehata [6] que o aplicaram
para um sistema de ondas el´asticas.
Sobre comportamento assint´otico de semigrupos, ´e importante ainda citar
o trabalho de Ball[3].
Com respeito a existˆencia de solu¸c˜ao local do problema semilinear (3.1)-(3.2)
tem-se o seguinte resultado.
Proposi¸c˜ao 9. Suponhamos que os dados iniciais satisfazem (3.3)–(3.4) e que p ∈
[1,
n
n−2
], se n ≥ 3 e p ∈ [1, ∞), se n = 1, 2. Ent˜ao o problema de valor inicial (3.1)–
(3.2) possui uma ´unica solu¸c˜ao fraca u tal que
u ∈ C
[0, T ); H
1
(R
n
)
∩ C
1
[0, T ); L
2
(R
n
)
e
suppu(t, ·) ⊂ B(t + K), (3.5)
com T > 0 dependendo da norma Du(0)
L
2
. Al´em disso, a solu¸c˜ao pode ser estendida
continuamente al´em do intervalo [0, T ) se sup
[0,T )
Du(t)
L
2
< ∞.
A demonstra¸c˜ao da existˆencia local j´a foi feita no final do Cap´ıtulo 2. A
prova da propriedade de velocidade finita de propaga¸c˜ao para a equa¸c˜ao semilinear da
onda ´e bem conhecida. O fato que a solu¸c˜ao pode ser estendida com base na limita¸c˜ao
da norma da energia sobre intervalos limitados de existˆencia segue de resultados an´alogos
para equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias. A existˆencia local para o problema (3.1)–(3.2) n˜ao
depende de .
3.1 Resultados Principais
Os principais resultados deste trabalho est˜ao enunciados nos teoremas a
seguir.
42
Teorema 9. Seja 1 +
2
n
< p ≤
n
n − 2
, se n ≥ 3, 1 +
2
n
< p < ∞, se n = 1, 2. Ent˜ao,
existe
0
> 0 tal que o problema (3.1)-(3.2) admite uma ´unica solu¸c˜ao global na classe
u ∈ C(R
+
, H
1
(R
n
)), u
t
∈ C(R
+
, L
2
(R
n
)),
para cada 0 < <
0
.
Assim, esse ´e um teorema de existˆencia global para dados iniciais pequenos.
Teorema 10. Seja p como no Teorema 9. Ent˜ao o comportamento assint´otico da energia
local, fora da bola
B(t
1
2
+δ
) = {x ∈ R
n
: |x| < t
1
2
+δ
}, δ > 0,
para a solu¸c˜ao global de (3.1)-(3.2), tem decaimento exponencial e ´e dado por
Du(t, ·)
L
2
(R
n
\B(t
1
2
+δ
))
≤ C(e
−t
2δ/4
), t > 0, (3.6)
Al´em disso, a energia total decai a uma taxa polinomial, isto ´e
Du(t, ·)
L
2
(R
n
)
≤ C(t
−n/4−1/2
), t > 0, (3.7)
com C > 0 dependendo dos dados iniciais e δ > 0 um n´umero arbitr´ario.
Observa¸c˜ao 7. Aqui D = (
∂
∂t
, ∇
x
). Assim,
Du
2
L
2
(Ω)
=
Ω
[|u
t
|
2
+ |∇u|
2
]dx.
Observa¸c˜ao 8. Quando o expoente p satisfaz 1 < p < 1 +
2
n
, ´e poss´ıvel mostrar que o
problema (3.1)-(3.2) n˜ao possui solu¸c˜ao global. O n´umero p
c
(n) = 1 +
2
n
´e chamado o
exponte cr´ıtico do problema(3.1)-(3.2), isto ´e,
1. Se p > p
c
(n), as solu¸c˜oes de (3.1), para os dados iniciais(3.2), s˜ao globais
2. Se 1 < p < p
c
(n), as solu¸c˜oes de (3.1), para dados iniciais (3.2) positivos, divergem
para tempos grandes (Todorova-Yordanov [26]).
O caso de expoente cr´ıtico ´e tamb´em de importˆancia no estudo de problemas
semilineares, mas n˜ao ser´a tratado aqui. A esse respeito citamos os trabalhos de Fujita
[8] e Todorova-Yordanov[26].
A demonstra¸c˜ao desses resultados dependem de diversas estimativas que
s˜ao obtidas no decorrer deste cap´ıtulo.
43
3.2 Novas Identidades de Energia
Mostramos nesta se¸c˜ao novas identidades de energia consideradas por Todorova-
Yordanov [26]. Essas identidades s˜ao baseadas em um novo tipo de multiplicador associado
a uma fun¸c˜ao relacionada com o comportamento assint´otico da solu¸c˜ao fundamental para
a equa¸c˜ao da onda. Importante dizer tamb´em que essas identidades produzem estimativas
que tˆem v´arias aplica¸c˜oes, como por exemplo mostrar que a energia local, fora de uma
bola com raio dependendo do tempo, decai exponencialmente.
O multiplicador utilizado ´e dado por e
ϕ(t,x)
u
t
, onde u = u(x, t) ´e a solu¸c˜ao
do problema em quest˜ao. A fun¸c˜ao peso ϕ(t, x) ´e tomada de tal modo que se comporta
como
|x|
2
4t
, para |x|
2
/t grande. A escolha dessa fun¸c˜ao peso est´a relacionada com a solu¸c˜ao
fundamental S
2
(t, x) de ∂
tt
− + ∂
t
, a qual ´e dada por
S
2
(t, x) =
C
n
e
−
t
2
−
1
4
n
2
−1
H(t)H(t
2
− |x|
2
)I
0
1
2
t
2
− |x|
2
,
se n ´e par
C
n
e
−
t
2
−
1
4
n
2
−1
1
2
H(t)H(t
2
− |x|
2
) sinh
1
2
t
2
− |x|
2
,
se n ´e ´ımpar,
(3.8)
em que = ∂
2
t
−
x
C
n
´e uma constante que depende de n. Aqui, I
0
´e a fun¸c˜ao modificada
de Bessel de ordem zero e
I
0
(r/2) =
e
r/2
√
πr(1 + O(
1
r
))
,
quando r =
t
2
− |x|
2
→ ∞. A fun¸c˜ao H = H(t) ´e a fun¸c˜ao de Heaviside, dada por
H(t) =
1, t ≥ 0
0, t < 0
.
A express˜ao do semigrup o dada em (3.8) ´e bem conhecida, pelo menos para
n = 1, 2 e 3. Essa f´ormula pode ser encontrada em ( Kanwal [17] Cap´ıtulo 10.)
Proposi¸c˜ao 10. Se u ´e uma fun¸c˜ao regular, ent˜ao s˜ao v´alidas as seguintes express˜oes:
a.
e
2ϕ
u
t
(u
tt
− u + u
t
) =
d
dt
e
2ϕ
2
(|u
t
|
2
+ |∇u|
2
)
− div(e
2ϕ
u
t
∇u) −
e
2ϕ
ϕ
t
|ϕ
t
∇u − u
t
∇ϕ|
2
.
44
b.
e
2ϕ
u
t
(u
tt
− u + u
t
− |u|
p
) =
d
dt
e
2ϕ
2
(|u
t
|
2
+ |∇u|
2
) −
e
2ϕ
p + 1
|u|
p+1
− div(e
2ϕ
u
t
∇u)
−
e
2ϕ
ϕ
t
|ϕ
t
∇u − u
t
∇ϕ|
2
+
2ϕ
t
p + 1
e
2ϕ
|u|
p+1
,
sendo ϕ = ϕ(t, x) uma fun¸c˜ao satisfazendo a seguinte equa¸c˜ao diferencial;
ϕ
t
= ϕ
2
t
− |∇ϕ|
2
. (3.9)
Demonstra¸c˜ao. :
Para (a) temos
e
2ϕ
u
t
(u
tt
− u + u
t
) = e
2ϕ
u
t
((∂
2
t
−
x
)u + u
t
)
= e
2ϕ
u
t
u
tt
− e
2ϕ
u
t
x
u + e
2ϕ
|u
t
|
2
.
Desenvolvemos cada um dos termos `a direita da igualdade acima. Assim,
temos:
i.
d
dt
e
2ϕ
2
|u
t
|
2
= 2
e
2ϕ
2
u
t
u
tt
+ |u
t
|
2
ϕ
t
e
2ϕ
2
= e
2ϕ
u
t
u
tt
+ |u
t
|
2
ϕ
t
e
2ϕ
por conseguinte,
e
2ϕ
u
t
u
tt
=
d
dt
e
2ϕ
2
|u
t
|
2
− |u
t
|
2
ϕ
t
e
2ϕ
ii. Aqui utilizamos
div(f.F ) = f.divF + ∇f, F (3.10)
sendo F um campo de vetores e f uma fun¸c˜ao escalar, regulares.
45
Tomando f = e
2ϕ
u
t
e F = ∇u e usando (3.10), temos
div(e
2ϕ
u
t
∇u) = e
2ϕ
u
t
div∇u + ∇(e
2ϕ
u
t
) · ∇u
= e
2ϕ
u
t
u + e
2ϕ
∇u
t
· ∇u
+ 2e
2ϕ
u
t
∇ϕ · ∇u.
Ent˜ao
e
2ϕ
u
t
u = div(e
2ϕ
u
t
∇u) − e
2ϕ
∇u
t
∇u − 2e
2ϕ
u
t
∇ϕ∇u.
Observamos que
e
2ϕ
∇u
t
∇
x
u = e
2ϕ
d
dt
|∇u|
2
2
=
d
dt
e
2ϕ
|∇u|
2
2
− e
2ϕ
|∇u|
2
ϕ
t
.
Logo
e
2ϕ
u
t
u = div(e
2ϕ
u
t
∇u)
−
d
dt
e
2ϕ
|∇
x
u|
2
2
+ e
2ϕ
|∇
x
u|
2
ϕ
t
− 2e
2ϕ
u
t
∇
x
ϕ∇
x
u.
Agora, com (i) e (ii), obtemos
e
2ϕ
u
t
(u
tt
− u + u
t
) =
d
dt
e
2ϕ
2
|u
t
|
2
− |u
t
|
2
ϕ
t
e
2ϕ
− div(e
2ϕ
u
t
∇
x
u) +
d
dt
e
2ϕ
|∇
x
u|
2
2
− e
2ϕ
|∇
x
u|
2
ϕ
t
+ 2e
2ϕ
u
t
∇ϕ · ∇u + e
2ϕ
|u
t
|
2
=
d
dt
e
2ϕ
2
(|u
t
| + |∇u|
2
)
− div(e
2ϕ
u
t
∇
x
u)
−
e
2ϕ
ϕ
t
|∇
x
u|
2
ϕ
2
t
− 2u
t
ϕ
t
(∇u) · (∇ϕ) − ϕ
t
|u
t
|
2
− |u
t
|
2
ϕ
t
e
2ϕ
.
46
Ent˜ao, lembrando que ϕ deve satisfazer a equa¸c˜ao(3.9), obtemos que
−
e
2ϕ
ϕ
t
|∇
x
u|
2
ϕ
2
t
− 2u
t
ϕ
t
(∇u) · (∇ϕ) − ϕ
t
|u
t
|
2
− |u
t
|
2
ϕ
t
e
2ϕ
=
−
e
2ϕ
ϕ
t
|∇u|
2
ϕ
2
t
− 2u
t
ϕ
t
(∇u) · (∇ϕ) + |u
t
|
2
|∇ϕ|
2
+ ϕ
t
|u
t
|
2
e
2ϕ
− |u
t
|
2
ϕ
t
e
2ϕ
=
= −
e
2ϕ
ϕ
t
|ϕ
t
∇
x
u − u
t
∇
x
ϕ|.
A demonstra¸c˜ao do item (a) est´a conclu´ıda.
Para provar (b), basta ver que
d
dt
e
2ϕ
|u|
p+1
= 2ϕe
2ϕ
|u|
p+1
+ (p + 1)e
2ϕ
|u|
p
u
t
e usar o item a. Isso finaliza a demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao .
Vamos, agora, impor que a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (3.9) satisfa¸ca ϕ
t
< 0.
Uma solu¸c˜ao com essa propriedade ´e dada por
ϕ(t, x) =
1
2
(t + K −
(t + K)
2
− |x|
2
), |x| < t + K (3.11)
com K uma constante positiva.
Verificaremos que (3.11) ´e solu¸c˜ao de (3.9).Temos
ϕ
t
(t, x) =
1
2
1 −
t + K
(t + K)
2
− |x|
2
(3.12)
e
∇
x
ϕ(t, x) =
1
2
x
(t + K)
2
− |x|
2
. (3.13)
Utilizando (3.12 e 3.13), facilmente concluimos que
ϕ
2
t
− |∇
x
ϕ|
2
=
1
4
1 −
t + K
(t + K)
2
− |x|
2
2
−
1
4
|x|
2
(t + K)
2
− |x|
2
= ϕ
t
.
Notamos tamb´em que essa solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (3.9) ´e bem regular em seu
suporte e tamb´em satisfaz
ϕ(t, x) ≥
|x|
2
4(t + K)
, se |x| < t + K. (3.14)
47
De fato, para ver isso basta observar que
0 ≤ (t + K −
(t + K)
2
− |x|
2
)
2
= (t + K)
2
− 2(t + K)
(t + K)
2
− |x|
2
+ (t + K)
2
− |x|
2
.
Ou, equivalentemente,
0 ≤ 2(t + K) − 2
(t + K)
2
− |x|
2
−
|x|
2
t + K
.
3.2.1 Problema Linear - Regi˜ao com Decaimento Exponencial
Uma motiva¸c˜ao para se provar a primeira parte do Teorema 10 ´e dado pela
pr´oxima proposi¸c˜ao, a qual ´e v´alida para solu¸c˜oes fracas da equa¸c˜ao linear
u
tt
− u + u
t
= 0. (3.15)
Proposi¸c˜ao 11. Seja u a solu¸c˜ao fraca do problema linear (2.1)–(2.2) obtida no Cap´ıtulo
2. Ent˜ao o comportamento assint´otico de u ´e exponencial sobre a regi˜ao
R
n
\B(t
1
2
+δ
),
isto ´e
Du(t, ·)
L
2
(R
n
\B(t
1
2
+δ
))
≤ C(e
−t
2δ/4
)
com C uma constante positiva dependendo dos dados iniciais em (2.2) e δ > 0 um n´umero
arbitr´ario.
Demonstra¸c˜ao. : A prova dessa proposi¸c˜ao ´e baseada na identidade (a) da Proposi¸c˜ao 10
Integrando sobre o R
n
a igualdade dada pela proposi¸c˜ao ( 10 ) item (a),
temos
0 =
d
dt
e
2ϕ
2
(|u
t
|
2
+ |∇
x
|
2
)dx (3.16)
−
div(e
2ϕ
u
t
∇
x
u)dx (3.17)
−
e
2ϕ
ϕ
t
|ϕ
t
∇
x
u − u
t
∇
x
ϕ|
2
dx. (3.18)
Estimamos cada uma das integrais acima.
48
i.
div(e
ϕ
u
t
∇
x
u)dx
1
=
|x|<t+k
div(e
2ϕ
u
t
∇
x
u)dx
2
=
|x|=t+K
e
2ϕ
u
t
∇
x
u · ηdΓ
3
= 0
aqui utilizamos Γ = ∂B(t + K) e η ´e o vetor normal `a esfera n-dimensional B(t + K).
Seguem abaixo as justificativas de cada uma das passagens acima.
1
´
E conseq¨uˆencia de
supp(u) ⊂ B(t + K);
2 Baseia-se no teorema da divergˆencia de Gauss
3 Novamente, segue do fato que
supp(u) ⊂ B(t + K)
ii. Como ϕ
t
< 0, temos que −ϕ
t
> 0. Ent˜ao
−
e
2ϕ
ϕ
t
|ϕ
t
∇
x
u − u
t
∇
x
ϕ|
2
dx =
e
2ϕ
−ϕ
t
|ϕ
t
∇
x
u − u
t
∇
x
ϕ|
2
dx ≥ 0.
Assim, usando (3.16), (3.15), (3.16), (i) e (ii), devemos ter
d
dt
e
2ϕ
2
(|u
t
|
2
+ |∇
x
u|
2
)dx ≤ 0. (3.19)
Agora, integrando de 0 at´e t (3.19), teremos
t
0
d
dt
e
2ϕ(t,x)
2
(|u
t
(t, x)|
2
+ |∇
x
(t, x)|
2
)dx =
e
2ϕ(t,x)
2
(|u
t
(t, x)|
2
+ |∇
x
u(t, x)|
2
)dx
(3.20)
−
e
2ϕ(0,x)
2
(|u
t
(0, x)|
2
+ |∇
x
u(0, x)|
2
)dx,
(3.21)
Portanto, de(3.19), (3.20) e (3.19), chegamos a
49
e
2ϕ(t,x)
2
(|u
t
(t, x)|
2
+|∇u(t, x )|
2
)dx ≤
e
2ϕ(o,x)
2
(|u
t
(0, x)|
2
+|∇u(0, x )|
2
)dx = C. (3.22)
Assim, conclui-se de (3.14 e 3.22)
R
2
\B(t
1/2+δ
)
(|u
t
(t, x)|
2
+ |∇
x
u(t, x)|
2
)dx ≤ C(e
−t
2δ/4
). (3.23)
De (3.23) e para δ > 0, obtemos
Du
L
2
(R
n
\B(t
1/2+δ
))
=
R
2
\B(t
1/2+δ
)
(|u
t
(t, x)|
2
+ |∇
x
u(t, x)|
2
)dx ≤ C(e
−t
δ/4
), (3.24)
ou seja,
Du
L
2
(R
n
\B(t
1/2+δ
))
≤ Ce
−t
2δ/4
.
3.3 Problema Semilinear - Estimativas com Pesos
Agora, provamos algumas estimativas a priori para a energia, com pesos,
que s˜ao usadas nas demonstra¸c˜oes dos Teoremas 9 e 10. Essas estimativas s˜ao feitas com
base na identidade (b), associada ao problema semilinear, da Proposi¸c˜ao 10.
Proposi¸c˜ao 12. Seja u = u(t, x) uma solu¸c˜ao fraca do problema de Cauchy (3.1)– (3.2)
no intervalo [0, T ). Ent˜ao vale a seguinte estimativa com peso para energia:
(1 + t)
n/4+1/2
Du(t, ·)
L
2
≤ C + C[ max
τ∈[0,t]
(1 + τ)
β
e
δϕ(τ,·)
u(τ, ·)
L
2p
]
p
, (3.25)
para todo t ∈ [0, T ). Aqui, ϕ(t, x) ´e a fun¸c˜ao dada por (3.11), β >
n
4p
+
1
p
e δ > 0 ´e um
n´umero fixado arbitrariamente.
Proposi¸c˜ao 13. Seja u(t, x) uma solu¸c˜ao fraca do problema de Cauchy (3.1)–(3.2) no
intervalo [0, T ). Ent˜ao tem-se a seguinte estimativa:
e
ϕ(t,·)Du(t,·)
L
2
≤ C + C[ max
τ∈[0,t]
(τ + 1)
δ
e
γϕ(τ,·)
p+1
]
p+1/2
, (3.26)
para todo t ∈ [0, T ), sendo ϕ(t, x) a fun¸c˜ao dada por (3.11), γ >
2
p + 1
e δ > 0 um
n´umero fixado.
50
Para demonstrarmos as Proposi¸c˜oes 12 e 13, precisamos dos seguintes re-
sultados:
Proposi¸c˜ao 14. Seja θ = θ(q, n) = n
1
2
−
1
q
tal que 0 ≤ θ ≤ 1 e 0 < σ ≤ 1. Se
u ∈ H
1
(R
n
) com supp(u) ⊂ B(t + K), para t ≥ 0, ent˜ao
e
σϕ(t,·)
u
L
q
≤ C
k
(1 + t)
(1−θ)/2
∇u
1−σ
L
2
e
ϕ(t,·)
∇u
σ
L
2
, (3.27)
sendo ϕ(t, ·) a fun¸c˜ao peso dada por (3.11).
Observamos que essa proposi¸c˜ao ´e v´alida mesmo que u n˜ao seja solu¸c˜ao da
equa¸c˜ao da onda. Sua demonstra¸c˜ao aparece em Todorova-Yordanov [26] e ser´a apresen-
tada aqui neste trabalho devido `a sua importˆancia.
Demonstra¸c˜ao. :
Ser´a necess´ario o seguinte lema:
Lema 2. Seja u ∈ H
1
(R
n
), com supp(u) ⊂ B(t + K), t ≥ 0. Para σ > 0, temos
σn
2
(t + K)
−1
e
σϕ(t,·)
u
2
L
2
+ ∇(e
σϕ(t,·)
u)
2
L
2
≤ e
σϕ(t,·)
∇u
2
L
2
, (3.28)
em que ϕ(t, ·) ´e a fun¸c˜ao peso dada por (3.11).
Demonstra¸c˜ao. :
Para provarmos esse lema, tomamos f = e
σϕ
u, para σ > 0. Ent˜ao
u = e
−σϕ
f, (3.29)
assim, utilizando (3.29), chegamos-a
∇u = ∇e
−σϕ
f + e
−σϕ
∇f = −σe
−σϕ
f∇ϕ + e
−σϕ
∇f = e
−σϕ
(∇f − σf∇ϕ) .
Logo
e
σϕ(t,·)
∇u
2
L
2
= ∇f − σf∇ϕ
2
L
2
= ∇f − σf∇ϕ, ∇f − σf∇ϕ
=
|∇f|
2
dx + σ
2
f
2
|∇ϕ|
2
− 2σ
f(∇f · ∇ϕ)dx.
Al´em disso, sabemos que
f∇f =
∇f
2
2
(3.30)
51
e usando (3.10) conclu´ımos que
∇f
2
∇ϕ = div(f
2
∇ϕ) − f
2
ϕ. (3.31)
Portanto, verificamos de (3.30) e (3.31), que
−2σ
f(∇f · ∇ϕ)dx = −2σ
∇f
2
2
· ∇ϕdx
= −σ
div(f
2
∇ϕ)dx −
f
2
ϕdx
(1)
= −
−σ
f
2
ϕdx
= σ
f
2
ϕdx.
A igualdade em (1) ´e verificada observando que
supp(f) ⊂ B(t + K), (3.32)
o que, do teorema da divergˆencia , resulta em
div(f
2
∇
x
ϕ)dx =
B(t+K)
div(f
2
∇
x
ϕ)dx
=
Γ
f
2
∇
x
ϕηdΓ = 0.
em que Γ = ∂B(t + K).
Observa¸c˜ao 9. Notemos que de (3.11), obtemos
x
ϕ(t, x) =
1
2
n
((t + K)
2
− |x|
2
)
1/2
+
|x|
2
((t + K)
2
− |x|
2
)
3/2
≥
n
2
(t + K)
−1
. (3.33)
Portanto,
e
σϕ(t,·)
∇u
2
L
2
=
|∇f|
2
dx + σ
2
f
2
|∇ϕ|
2
dx − 2σ
f(∇f · ∇ϕ)dx
=
|∇f|
2
dx + σ
2
f
2
|∇ϕ|
2
dx + σ
f
2
x
ϕdx
≥
|∇f|
2
dx + σ
f
2
x
ϕdx
≥
|∇f|
2
dx + σ
f
2
n
2
(t + K)
−1
dx
=
|∇f|
2
dx +
n
2
(t + K)
−1
σ
f
2
dx
= ∇f
2
L
2
+
σn
2
(t + K)
−1
f
2
L
2
= ∇(e
σϕ(t,·)
u)
2
L
2
+
σn
2
(t + K)
−1
e
σϕ(t,·)
u
2
L
2
52
Essa estimativa conclui a demonstra¸c˜ao do Lema 2.
Voltamos aqui `a demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 14. Pela desigualdade de
Gagliardo-Nirenberg-Sobolev, tomando f = e
σϕ
u, temos que
f
L
q
≤ Cf
1−θ(q)
L
2
∇f
θ(q)
L
2
. (3.34)
onde θ = θ(q) = θ(q, n) = n(
1
2
−
1
q
) ´e tal que 0 ≤ θ ≤ 1. Agora, pelo Lema 2, vemos que
∇f
L
2
≤ e
σϕ(t,·)
∇u
L
2
(3.35)
e
f
L
2
≤
2
σn
1
2
(t + K)
1
2
e
σϕ(t,·)
∇u
L
2
. (3.36)
Logo, a partir de (3.34), (3.35) e (3.36) chega-se a
f
L
q
≤ C(1 + t)
(1−θ(q))/2
e
σϕ(t,·)
∇u
1−θ(q)
L
2
e
σϕ(t,·)
∇u
θ(q)
L
2
= C(1 + t)
(1−θ(q))/2
e
σϕ(t,·)
∇u
L
2
. (3.37)
Observamos que
e
2σϕ
|∇u|
2
= e
2σϕ
|∇u|
2σ
|∇u|
2(1−σ)
, (3.38)
Assim, utilizando (3.38) e interpola¸c˜ao, constatamos que
e
σϕ
∇u
2
L
2
≤ e
ϕ
∇u
σ
L
2
∇u
1−σ
L
2
.
Portanto, usando (3.37), conclu´ımos
f
L
q
≤ C(1 + t)
(1−θ(q))/2
e
ϕ
∇u
σ
L
2
∇u
1−σ
L
2
.
Proposi¸c˜ao 15. Seja m ∈ [1, 2]. Ent˜ao,
∂
k
t
∇
α
x
S
2
(t) ∗ f
L
2
≤ C(1 + t)
n/4−n/2m−|α|/2−k
(f
L
m
+ f
H
k+|α|−1
), (3.39)
para cada f ∈ L
m
(R
n
) ∩ H
k+|α|−1
(R
n
).
53
Para a demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 15, ser´a preciso o resultado que desen-
volvemos agora.
Consideremos a seguinte equa¸c˜ao
u
tt
− ∆u + u
t
= 0, (3.40)
com condi¸c˜oes iniciais bem regulares dadas por
u(x, 0) = Φ(x)
u
t
(x, 0) = Ψ(x).
(3.41)
Assim, se u = u(t, x) ´e solu¸c˜ao de (3.40), ´e poss´ıvel escrever u = u(x, t)
como
u(x, t) = K
1
∗ Ψ + K
2
∗ Φ. (3.42)
Seja R
i
(t, ξ) a transformada de Fourier de K
i
(t, x) (i = 1, 2). Aplicando-a
em (3.40), teremos
d
2
dt
2
R
i
+
d
dt
R
i
+ |ξ|
2
R
i
= 0 (3.43)
R
i
(0, ξ) =
Φ(ξ)
d
dt
R
i
(0, ξ) =
Ψ(ξ).
(3.44)
Proposi¸c˜ao 16. Se em (3.44) tomarmos
Φ(ξ) = 0 e
Ψ(ξ) = 1, para i = 1 e
Φ(ξ) = 1, e
Ψ(ξ) = 0 para i = 2, ent˜ao
i.
R
1
(t, ξ) =
2e
−
t
2
1 − 4|ξ|
2
sinh
1 − 4|ξ|
2
2
t
, |ξ| ≤
1
2
2e
−
t
2
4|ξ|
2
+ 1
sin
4|ξ|
2
+ 1
2
t
, |ξ| >
1
2
ii.
R
2
(t, ξ) =
2e
−
t
2
cosh
1 − 4|ξ|
2
2
t
, |ξ| ≤
1
2
2e
−
t
2
cos
4|ξ|
2
+ 1
2
t
, |ξ| >
1
2
iii.
R
3
(t, ξ) = R
1
(ξ, t) + R
2
(ξ, t)
54
Demonstra¸c˜ao. : De (3.43), deduzimos que
α
2
+ α + |ξ|
2
= 0. (3.45)
A equa¸c˜ao (3.45) tem duas solu¸cˆoes:
α
1
= −
1
2
+
1 − 4|ξ|
2
2
(3.46)
α
2
= −
1
2
−
1 − 4|ξ|
2
2
(3.47)
Assim, chegamos aos seguintes casos:
1
o
caso:
1 − 4|ξ|
2
> 0 ⇒ |ξ| ∈
0,
1
2
.
Ao utilizar (3.46) e (3.47), obteremos
R
1
(t, ξ) = Ae
−
1
2
+
√
1−4|ξ|
2
2
t
+ Be
−
1
2
−
√
1−4|ξ|
2
2
t
(3.48)
e
dR
1
dt
(t, ξ) =
−
1
2
+
1 − 4|ξ|
2
2
Ae
−
1
2
+
√
1−4|ξ|
2
2
t
+
−
1
2
−
1 − 4|ξ|
2
2
Be
−
1
2
−
√
1−4|ξ|
2
2
t
(3.49)
Impondo que R
1
(0, ξ) = 0 e
d
dt
R
1
(ξ, 0) = 1, temos de (3.48) e (3.49) que
A =
1
1 − 4|ξ|
2
B =
−1
1 − 4|ξ|
2
. (3.50)
Ent˜ao,
R
1
(t, ξ) =
1
1 − 4|ξ|
2
e
−
1
2
+
√
1−4|ξ|
2
2
t
−
1
1 − 4|ξ|
2
e
−
1
2
−
√
1−4|ξ|
2
2
t
=
2e
−
t
2
1 − 4|ξ|
2
e
√
1−4|ξ|
2
2
− e
−
√
1−4|ξ|
2
2
2
=
2e
−
t
2
1 − 4|ξ|
2
sinh
1 − 4|ξ|
2
2
,
se 1 − 4|ξ| > 0.
55
2
o
caso :
1 − 4|ξ|
2
< 0 ⇒ |ξ| ∈
1
2
, ∞
.
Portanto, de (3.43) chega-se a
R
1
(t, ξ) = e
−
t
2
A cos
4|ξ|
2
− 1
2
t
+ B sin
4|ξ|
2
− 1
2
t
(3.51)
e
d
dt
R
1
(t, ξ) = −
1
2
e
−
t
2
A sin
4|ξ|
2
− 1
2
t
+ B cos
4|ξ|
2
− 1
2
t
−
e
−
t
2
2
A
4|ξ|
2
− 1
2
cos
4|ξ|
2
− 1
2
t
+ B
4|ξ|
2
− 1
2
sin
4|ξ|
2
− 1
2
t
. (3.52)
Com a condi¸c˜ao de R
1
(0, ξ) = 0 e
d
dt
R
1
(0, ξ) = 1, deduzimos, de (3.51) e
(3.52), que
A = 0 e B =
2
4|ξ|
2
− 1
.
Logo, obtemos
R
1
(t, ξ) =
2e
−
t
2
4ξ|
2
− 1
sin
4|ξ|
2
− 1
2
t
.
Neste ponto, usando (3.43) e tomando R
2
(ξ, 0) = 0 e
d
dt
R
2
(ξ, 0) = 1, pode-
mos demonstrar, de maneira an´aloga `a que fizemos acima, que
R
2
(t, ξ) =
2e
−
t
2
cosh
1 − 4|ξ|
2
2
t
, |ξ| ≤
1
2
2e
−
t
2
cos
4|ξ|
2
+ 1
2
t
, |ξ| >
1
2
e
R
3
(t, ξ) = R
1
(t, ξ) + R
2
(t, ξ)
Agora, enunciamos o lema que nos ajudar´a na demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao
15. A demonstra¸c˜ao ´e obtida de (Matsumura, [20], pg 178).
Lema 3. Seja f ∈ L
m
(R
n
)
H
[n/2]+i+|α|
(R
n
) com 1 ≤ m ≤ 2. Ent˜ao
i.
∂
i
∂t
i
∂
α
∂x
α
(K
1
∗ f)
∞
≤ c (1 + t)
−
n
2m
−i−
|α|
2
f
L
m
+ f
[
n
2
]+i+|α|
;
ii.
∂
i
∂t
i
∂
α
∂x
α
(K
1
∗ f)
L
2
≤ c (1 + t)
n
4
−
n
2m
−i−
|α|
2
f
L
m
+ f
i+|α|−1
.
56
Se f ∈ L
m
(R
n
)
H
[
n
2
]+i+|α|+1
(R
n
) e 1 ≤ m ≤ 2.
Temos
iii.
∂
i
∂t
i
∂
α
∂x
α
(K
2
∗ f)
∞
≤ c (1 + t)
−
n
2m
−i−
|α|
2
f
L
m
+ f
[
n
2
]+i+|α|+1
;
iv.
∂
i
∂t
i
∂
α
∂
α
x
(K
2
∗ f)
L
2
≤ c (1 + t)
n
4
−
n
2m
−i−
|α|
2
f
L
m
+ f
i+|α|
.
Antes de come¸carmos a demonstra¸c˜ao do lema acima, demonstramos as
seguintes afirma¸cˆoes
Afirma¸c˜ao 1. Se R
1
´e a fun¸c˜ao dada pela proposi¸c˜ao (16), ent˜ao:
i.
d
i
dt
i
R
1
(t, ξ)
≤ Ce
−
t
2
(1 +
4|ξ|
2
− 1)
i
4|ξ|
2
− 1
ii.
d
i
dt
i
R
1
(t, ξ)
≤ Ce
−
t
2
1 + sup
1
2
<|ξ|<1
1
4|ξ|
2
− 1
sin
4|ξ|
2
− 1
2
t
iii.
d
i
dt
i
R
1
(t, ξ)
≤ Ce
−
t
2
1 + sup
δ<|ξ|<
1
2
1
4|ξ|
2
− 1
sinh
4|ξ|
2
− 1
2
t
+ sup
δ<|ξ|≤
1
2
cosh
4|ξ|
2
− 1
2
t
iv.
d
i
dt
i
R
1
(t, ξ)
≤ C
(1 −
1 − 4|ξ|
2
)
i
1 − 4|ξ|
2
e
−
t
2
(1−
√
1−4|ξ|
2
)
+
(1 +
1 − 4|ξ|
2
)
i
1 − 4|ξ|
2
e
−
t
2
(1+
√
1+4|ξ|
2
)
Come¸camos com a demonstra¸c˜ao do item (i).
Demonstra¸c˜ao. :
Para |ξ| ≥ 1, temos R(ξ, t) =
2e
−
t
2
4|ξ|
2
− 1
sin
4|ξ|
2
− 1
2
t
. Por simplici-
dade, vamos tomar β =
4|ξ|
2
− 1. Podemos escrever R(t, ξ) =
2e
−
t
2
β
sin
β
2
t
.
Assim, temos para i = 1
d
dt
R(t, ξ) = −
e
−
t
2
β
sin
β
2
t
+ e
−
t
2
cos
β
2
t
57
e da´ı
d
dt
R(t, ξ)
=
−
e
−
t
2
β
sin
β
2
t
+ e
−
t
2
cos
β
2
t
≤ Ce
−
t
2
1 +
1
β
= Ce
−
t
2
1 + β
β
= Ce
−
t
2
1 +
4|ξ|
2
− 1
4|ξ|
2
− 1
No caso de i = 2,
d
2
dt
2
R(t, ξ) = e
−
t
2
1 − β
2
2β
sin
β
2
t
− cos
β
2
t
e assim,
d
2
dt
2
R(t, ξ)
= e
−
t
2
1 − β
2
2β
sin
β
2
t
− cos
β
2
t
≤ Ce
−
t
2
1 + β
2
2β
+ 1
= Ce
−
t
2
(1 + β)
2
2β
= Ce
−
t
2
(1 +
4|ξ|
2
− 1)
2
4|ξ|
2
− 1
Para i = 3,
d
3
dt
3
R(t, ξ) = e
−
t
2
3β
2
− 1
4β
sin
β
2
t
+
3 − β
2
4
cos
β
2
t
logo,
d
3
dt
3
R(t, ξ)
= e
−
t
2
3β
2
− 1
4β
sin
β
2
t
+
3 − β
2
4
cos
β
2
t
≤ Ce
−
t
2
1 + β
2
4β
+
3 + β
2
4
= Ce
−
t
2
1 + β
2
+ 3β + β
3
4β
≤ Ce
−
1
2
(1 + β)
3
4β
= Ce
−
t
2
(1 +
4|ξ|
2
− 1)
3
4|ξ|
2
− 1
Repetindo esse processo i-vezes, obtemos o resultado em i .
Agora demonstramos o item (ii).
58
Demonstra¸c˜ao. Para demonstrarmos ii, basta observar que de i
d
i
dt
i
R(t, ξ) = e
−
t
2
C
|ξ|
cos
4|ξ|
2
− 1
2
t
+
C
|ξ|
4|ξ|
2
− 1
sin
4|ξ|
2
− 1
2
e assim,
d
i
dt
i
R(t, ξ)
= e
−
t
2
C
|ξ|
cos
4|ξ|
2
− 1
2
t
+
C
|ξ|
4|ξ|
2
− 1
sin
4|ξ|
2
− 1
2
≤ Ce
−
t
2
1 + sup
1
2
<|ξ|<1
1
4|ξ|
2
− 1
sin
4|ξ|
2
− 1
2
t
.
o que demonstra ii.
Agora demonstramos o item (iii)
Demonstra¸c˜ao. :
Para δ < |ξ| <
1
2
, e tomando novamente β =
1 − 4|ξ|
2
, temos, da
proposi¸c˜ao (16),
R
1
(t, ξ) =
2e
−
t
2
β
sinh
β
2
t
.
No caso de i = 1
d
dt
R(t, ξ) = e
−
t
2
−
1
β
sinh
β
2
t
+ cosh
β
2
t
portanto,
d
dt
R(t, ξ)
= e
−
t
2
−
1
β
sinh
β
2
t
+ cosh
β
2
t
≤ Ce
−
t
2
1 + sup
δ<|ξ|≤
1
2
1
β
sinh
β
2
t
= Ce
−
t
2
1 + sup
δ<|ξ|≤
1
2
1
1 − 4|ξ|
2
sinh
1 − 4|ξ|
2
2
t
Para i = 2,
d
2
dt
2
R(t, ξ) = e
−
t
2
β
2
+ 1
2β
sinh(
β
2
t) −
β + 1
2β
cosh
β
2
t
59
logo,
d
2
dt
2
R(t, ξ)
= e
−
t
2
β
2
+ 1
2β
sinh(
β
2
t) −
β + 1
2β
cosh
β
2
t
≤ Ce
−
t
2
1 + sup
δ<|ξ|≤
1
2
1
β
sinh
β
2
t
= Ce
−
t
2
1 + sup
δ<|ξ|≤
1
2
1
1 − 4|ξ|
2
sinh
1 − 4|ξ|
2
2
t
Repetindo o processo acima i-vezes, verificamos que iii.
Agora demonstramos o item (iv).
Demonstra¸c˜ao. Quando |ξ| ≤ δ, constatamos novamente que
R
1
(t, ξ) =
2e
−
t
2
β
sinh
β
2
t
.
Para i = 1,
d
dt
R(t, ξ) = e
−
t
2
−
1
β
sinh
β
2
t
+ cosh
β
2
t
ent˜ao,
d
dt
R(t, ξ)
= e
−
t
2
−
1
β
sinh
β
2
t
+ cosh
β
2
t
≤ Ce
−
t
2
1
β
e
β
2
t
− e
−
β
2
t
2
+
e
β
2
t
+ e
−
β
2
t
2
= C
1 + β
2β
e
−
t
2
(1−β)
+
1 + β
2β
e
−
t
2
(1+β)
= C
(1 −
1 − 4|ξ|
2
)
2
1 − 4|ξ|
2
e
−
t
2
(1−
√
1−4|ξ|
2
)
+
(1 +
1 − 4|ξ|
2
)
2
1 − 4|ξ|
2
e
−
t
2
(1+
√
1−4|ξ|
2
)
No caso de i = 2,
d
2
dt
2
R(t, ξ) = e
−
t
2
β
2
+ 1
2β
sinh(
β
2
t) −
β + 1
2β
cosh
β
2
t
60
assim,
d
2
dt
2
R(t, ξ)
= e
−
t
2
β
2
+ 1
2β
sinh(
β
2
t) −
β + 1
2β
cosh
β
2
t
= Ce
−
t
2
β
2
+ 1
2β
e
β
2
t
− e
−
β
2
t
2
−
β + 1
2β
e
β
2
t
+ e
−
β
2
t
2
≤ C
(1 − β)
2
β
e
−
t
2
(1−β)
+
(1 + β)
2
β
e
−
t
2
(1+β)
= C
(1 −
1 − 4|ξ|
2
)
2
1 − 4|ξ|
2
e
−
t
2
(1−
√
1−4|ξ|
2
)
+
(1 +
1 − 4|ξ|
2
)
2
1 − 4|ξ|
2
e
−
t
2
(1+
√
1−4|ξ|
2
)
.
Procedendo dessa forma i − vezes, obtemos iv.
Afirma¸c˜ao 2.
i.
δ
0
|ξ|
k
e
−c|ξ|
2
t
dξ ≤ C(1 + t)
−
(k+n)
2
, ∀t ≥ 0;
ii. sup
0≤|ξ|≤δ
{|ξ|
k
e
−c|ξ|
2
t
} ≤ C(1 + t)
−
k
2
, ∀t ≥ 0.
Demonstra¸c˜ao. : Demonstramos primeiro o item(i).
δ
0
|ξ|
k
e
−c|ξ|
2
t
dξ =
δ
0
|ξ|=r
r
k
e
−cr
2
t
dS
ξ
dr =
δ
0
r
k
e
−cr
2
t
|ξ|=r
dS
ξ
dr
= ω
n
δ
0
r
k+n−1
e
−cr
2
t
dr = ω
n
√
tδ
0
z
k+n−1
e
−z
2
t
k+n−1
2
dz
t
1
2
= ω
n
t
−
k+n
2
√
tδ
0
z
k+n−1
e
−z
2
dz
,em que w
n
=
|ξ|=1
dS
ξ
.
Agora, observamos que
√
tδ
0
z
k+n−1
e
−z
2
dz ≤
∞
0
z
k+n−1
e
−z
2
dz ≤ C.
e existe C > 0 tal que
t
−s
≤ C (1 + t)
s
, ∀t ≥ 0.
Ent˜ao
δ
0
|ξ|
k
e
−c|ξ|
2
t
dξ ≤ C (1 + t)
−
k+n
2
, ∀t ≥ 0,
como quer´ıamos mostrar.
61
Demonstra¸c˜ao. Demontramos agora o item (ii)
Notamos que:
lim
t→∞
|ξ|
k
e
−c|ξ|
2
t
(1 + t)
k
2
= 0
, ou seja, existem N > 0 e C > 0 tais que se t ≥ N
|ξ|
k
e
−c|ξ|
2
t
(1 + t)
k
2
≤ C, ∀t ≥ 0.
Isso prova ii
Proposi¸c˜ao 17. ( Desigualdade de Hausdorff-Young )
Seja f ∈ L
m
H
[
n
2
]+i+|α|
com 1 ≤ m ≤ 2, ent˜ao
f
L
k
≤ (2π)
n
2
−
n
k
f
L
m
,
1
k
+
1
m
= 1, sendo
f a transformada de Fourier de f .
A demonstra¸c˜ao dessa proposi¸c˜ao pode ser encontrada em(Reed-Simon,[25]).
Vamos agora demonstrar o Lema 3.
Demonstra¸c˜ao. do Lema 3: Usando a Proposi¸c˜ao 17 e A = (2π
n
2
−
n
k
), chega-se a
∂
i
∂t
i
∂
α
∂x
α
(K
1
∗ f)
∞
≤ A
(iξ)
α
d
i
dt
i
R(ξ, t)
f(ξ)
L
1
≤ C
|ξ|
|α|
d
i
dt
i
R(ξ, t)
|
f(ξ)|dξ,
em que C = Ai
|α|
Seja δ > 0 com δ ≤
1
2
.
Podemos, nesse contexto, dividir a integral acima da seguinte forma :
|ξ|
|α|
d
i
dt
i
R(ξ, t)
|
f(ξ)|dξ =
|ξ|≥1
|ξ|
|α|
d
i
dt
i
R(ξ, t)
|
f(ξ)|dξ
+
1
2
<|ξ|<1
|ξ|
|α|
d
i
dt
i
R(ξ, t)
|
f(ξ)|dξ
+
δ≤|ξ|≤
1
2
|ξ|
|α|
d
i
dt
i
R(ξ, t)
|
f(ξ)|dξ
+
|ξ|≤δ
|ξ|
|α|
d
i
dt
i
R(ξ, t)
|
f(ξ)|dξ.
Estimamos, a partir de ent˜ao, as integrais acima.
62
i
|ξ|≥1
|ξ|
|α|
d
i
dt
i
R(ξ, t)
|
f(ξ)|dξ
1
≤
ξ|≥1
|ξ|
|α|
Ce
−
t
2
(1 +
4|ξ|
2
− 1)
i
4|ξ|
2
− 1
|
f(ξ)|
≤ Ce
−
t
2
sup
|ξ|≥1
(1 +
4|ξ|
2
− 1)
i
|ξ|
i−1
4|ξ|
2
− 1
|ξ|≥1
|ξ|
|α|+i−1
|
f(ξ)|dξ
2
≤ Ce
−
t
2
|ξ|≥1
|ξ|
|α|+[
n
2
]−[
n
2
]+i−1
|
f(ξ)|dξ
= Ce
−
t
2
|ξ|≥1
|ξ|
−[
n
2
]−1
|ξ|
|α|+[
n
2
]+i
|
f(ξ)|dξ
3
≤ Ce
−
t
2
|ξ|
−2[
n
2
]−2
1
2
|ξ|
2|α|+2[
n
2
]+2i
|
f(ξ)|
2
dξ
1
2
≤ Ce
−
t
2
1 + |ξ|
2
|α|+[
n
2
]+i
|
f(ξ)|
2
dξ
1
2
4
= Ce
−
t
2
f
|α|+[
n
2
]+1
Justificamos as desigualdades 1, 2, 3 e a iguadade 4
1. Segue da afirma¸c˜ao(1) item (i).
2. Ressaltamos que
lim
|ξ|→∞
(1 +
4|ξ|
2
− 1)
i
|ξ|
i−1
4|ξ|
2
− 1
= 2
i−1
ent˜ao existe C > 0 tal que:
sup
|ξ|≥1
(1 +
4|ξ|
2
− 1)
i
|ξ|
i−1
4|ξ|
2
− 1
≤ C
.
3. Primeiramente, sabemos que, se n ´e par
|ξ|≥1
|ξ|
−2[
n
2
]−2
dξ =
|ξ|≥1
|ξ|
−n−2
dξ =
∞
1
|ξ|=r
r
−n−2
dS
ξ
dr =
∞
1
r
−n−2
ω
n
r
n−1
dr
= ω
n
∞
1
1
r
3
dr ≤ ω
n
C ≤ K
63
e, para f ∈ H
|α|+[
n
2
]+i
,
|ξ|≥1
|ξ|
2|α|+2[
n
2
]+2i
|
f(ξ)|
2
dξ ≤
1 + |ξ|
2
2|α|+2[
n
2
]+2i
|
f(ξ)|
2
dξ
≤ f(ξ)
|α|+[
n
2
]+i
< ∞
Ent˜ao, usando a desigualdade de H¨older, constatamos que
|ξ|≥1
|ξ|
−2[
n
2
]−2
|ξ|
2|ξ|+2[
n
2
]+2i
|
f(ξ)|
2
dξ ≤
|ξ|≥1
|ξ|
−2[
n
2
]−2
1
2
|ξ|≥1
|ξ|
2|ξ|+2[
n
2
]+2i
|
f(ξ)|dξ
1
2
≤ K
|ξ|
2|ξ|+2[
n
2
]+2i
|
f(ξ)|
2
dξ
1
2
.
Para n ´ımpar, o processo ´e an´alogo, o que demonstra a passagem (3).
4. Segue do fato que f ∈ H
|ξ|+[
n
2
]+i
ii
1
2
<|ξ|<1
|ξ|
|α|
d
i
dt
i
R(ξ, t)
|
f(ξ)|dξ
1
≤
Ce
−
t
2
1 + sup
1
2
<|ξ|<1
1
4|ξ|
2
− 1
sin
4|ξ|
2
− 1
2
t
1
2
<|ξ|<1
|ξ|
|α|
|
f((ξ))|dξ
2
≤
C(1 + t)e
−
t
2
|
f(ξ)|
2
dξ
1
2
3
= C(1 + t)e
−
t
2
f
L
2
.
Justicamos as desigualdades 1, 2 e a igualdade 3:
1. Segue da afirma¸c˜ao (1) (ii)
2. Notamos que
lim
|ξ|→
1
2
1
4|ξ|
2
− 1
sin
4|ξ|
2
− 1
2
t
=
t
2
≤ t.
e
lim
|ξ|→1
1
4|ξ|
2
− 1
sin
4|ξ|
2
− 1
2
t
=
1
√
3
sin(
t
2
√
3) ≤
1
√
3
t
√
3
2
=
t
2
≤ t
64
portanto,
1 + sup
1
2
<|ξ|<1
1
4|ξ|
2
− 1
sin
4|ξ|
2
− 1
2
t
≤ C(1 + t)
e, al´em disso,
1
2
<|ξ|<1
|ξ|
|α|
|
f(ξ)|dξ ≤
|ξ|<1
|
f(ξ)|dξ
≤
|ξ|<1
1
2
dξ
1
2
|ξ|<1
|
f(ξ)|
2
dξ
1
2
≤ C
|
f(ξ)|
2
dξ
1
2
Isso demonstra 2
3. Basta aplicar a identidade de Parseval. Ou seja, de Parseval sabemos que
f
L
2
=
f
L
2
,
ent˜ao
C(1 + t)e
−
t
2
|
f(ξ)|
2
dξ
1
2
= C(1 + t)e
−
t
2
f
L
2
= C(1 + t)e
−
t
2
f
L
2
.
iii
δ<|ξ|≤
1
2
|ξ|
|α|
d
i
dt
i
R(ξ, t)
|
f(ξ)|dξ
1
≤
Ce
−
t
2
1 + sup
δ<|ξ|<
1
2
1
4|ξ|
2
− 1
sinh
4|ξ|
2
− 1
2
t
+ sup
δ<|ξ|≤
1
2
cosh
4|ξ|
2
− 1
2
t
δ<|ξ|≤
1
2
|
f(ξ)|dξ
2
≤ Ce
−(1−
√
1−4|ξ|
2
)
t
2
f
L
2
.
Justificamos abaixo as desigualdades (1 e 2) :
1. A justificativa vem da afirma¸c˜ao (1) item (iii).
65
2. Note que
e
−
t
2
4|ξ|
2
− 1
sinh
4|ξ|
2
− 1
2
t
= e
−
t
2
e
√
1−4|ξ|
2
2
t
− e
−
√
1−4|ξ|
2
2
t
2
1 − 4|ξ|
2
= e
−
t
2
(1−
√
1−4|ξ|
2
)
1 − e
−
√
1−4|ξ|
2
t
2
1 − 4|ξ|
2
.
Como
lim
t→∞
1 − e
−
√
1−4|ξ|
2
t
2
1 − 4|ξ|
2
=
1
2
1 − 4|ξ|
2
,
logo
sup
δ<|ξ|≤
1
2
e
−
t
2
4|ξ|
2
− 1
sinh
4|ξ|
2
− 1
2
t
≤ Ce
−
t
2
(1−
√
1−4|ξ|
2
)
.
Analogamente, temos
sup
δ<|ξ|≤
1
2
e
−
t
2
cosh
4|ξ|
2
− 1
2
t
≤ Ce
−
t
2
(1−
√
1−4|ξ|
2
)
.
Al´em disso,
δ<|ξ|≤
1
2
|ξ|
|α|
|
f(ξ)|dξ ≤
|ξ|≤
1
2
|
f(ξ)|dξ
Holder
≤
|ξ|≤
1
2
1
2
dξ
1
2
|ξ|≤
1
2
|
f(ξ)|
2
dξ
1
2
≤ C
|
f(ξ)|
2
dξ
1
2
=
f(ξ)
L
2
P arseval
= f(ξ)
L
2
.
Isso mostra a desigualdade (2).
iv
|ξ|≤δ
|ξ|
|α|
d
i
dt
i
R(ξ, t)
|
f(ξ)|dξ
1
≤
C
|ξ|≤δ
|ξ|
|α|
(1 −
1 − 4|ξ|
2
)
i
1 − 4|ξ|
2
e
−
t
2
(1−
√
1−4|ξ|
2
)
+
(1 +
1 − 4|ξ|
2
)
i
1 − 4|ξ|
2
e
−
t
2
(1+
√
1+4|ξ|
2
)
|
f(ξ)|dξ
2
≤
C
|ξ|≤δ
|ξ|
2i+|α|−|ξ|
2
t
|
f(ξ)|dξ + Ce
−
t
2
|ξ|≤δ
|
f(ξ)|dξ
3
≤
C
(1 + t)
−(n+m(2i+|α|))
2
1
m
f
L
k
4
≤ C(1 + t)
−
n
2m
−i−
|α|
2
f
L
m
.
66
As desigualdades (1, 2, 3 e 4) ser˜ao aqui justificadas:
1. Segue da afirma¸c˜ao(1) item (iv).
2. Observamos que
−4|ξ|
2
≤ −1 +
1 − 4|ξ|
2
≤ −2|ξ|
2
para |ξ| <
1
2
.
Portanto
e
t
2
(−1+
√
1−4|ξ|
2
)
≤ e
t
2
(−2|ξ|
2
)
= e
−t|ξ|
2
e
|(1 −
1 − 4|ξ|
2
)
i
| = | − 1 +
1 − 4|ξ|
2
)
i
| ≤ |(−2|ξ|
2
)
i
| = 2
i
|ξ|
2i
.
Agora, se |ξ| ≤ δ
|ξ|
|α|
(1 +
1 − 4|ξ|
2
)
i
1 − 4|ξ|
2
≤
2
i
δ
|α|
1 − 4|ξ|
2
≤ C.
Logo, de acordo com o que foi feito acima
|ξ|≤δ
|ξ|
|α|
(1 −
1 − 4|ξ|
2
)
i
1 − 4|ξ|
2
e
−
t
2
(1−
√
1−4|ξ|
2
)
≤
C
|ξ|≤
|ξ|
2i+|α|
e
−|ξ|
2
t
|
f(ξ)|dξ
e
|ξ|≤δ
(1 +
1 − 4|ξ|
2
)
i
1 − 4|ξ|
2
e
−
t
2
(1+
√
1+4|ξ|
2
)
|
f(ξ)|dξ ≤
Ce
−
t
2
|ξ|≤δ
|
f(ξ)|dξ.
Isso conclui 2.
67
3. Para
1
m
+
1
k
= 1, temos, pela desigualdade de H¨older, que
|ξ|≤δ
|ξ|
|α|
(1 −
1 − 4|ξ|
2
)
i
1 − 4|ξ|
2
e
−
t
2
(1−
√
1+4|ξ|
2
)
|
f(ξ)|dξ
2
≤
C
|ξ|≤
|ξ|
2i+|α|
e
−|ξ|
2
t
|
f(ξ)|dξ
Holder
≤
C
|ξ|≤δ
|ξ|
m(2i+|α|)
e
−m|ξ|
2
t
1
m
|ξ|≤δ
|
f(ξ)|
k
1
k
.
e, novamente, usando a desigualdade de H¨older,
|ξ|≤δ
(1 +
1 − 4|ξ|
2
)
i
1 − 4|ξ|
2
e
−
t
2
(1+
√
1+4|ξ|
2
)
|
f(ξ)|dξ ≤
Ce
−
t
2
|ξ|≤δ
|
f(ξ)|dξ
Holder
≤
Ce
−
t
2
|ξ|≤δ
1
m
dξ
1
m
|ξ|≤δ
|
f(ξ)|
k
dξ
1
k
≤
Ce
−
t
2
|
f(ξ)|
k
1
k
.
Da Afirma¸c˜ao 2 item(i), obtemos que
|ξ|≤δ
|ξ|
|α|
(1 −
1 − 4|ξ|
2
)
i
1 − 4|ξ|
2
e
−
t
2
(1−
√
1−4|ξ|
2
)
≤
C
(1 + t)
−
m(2i+|α|)+n
2
1
m
|ξ|≤δ
|
f(ξ)|
k
1
k
≤
C
(1 + t)
−
m(2i+|α|)+n
2
1
m
|
f(ξ)|
k
1
k
.
Observa¸c˜ao 10.
´
E poss´ıvel observar que existe C > 0 tal que
e
−
t
2
≤ C(1 + t)
−
n+m(|α|+2i)
2m
∀t ≥ 0.
Para mostrar esse fato, basta verificar que existe C > 0 de forma que a fun¸c˜ao
f(t) = e
−
t
2
− C(1 + t)
−
n+m(|α|+2i)
2m
seja:
68
i. f(0) ≤ 0;
ii. Se t
1
< t
2
, f(t
1
) ≥ f(t
2
).
Demonstra¸c˜ao. :
Dado que
f(0) = 1 − C ≤ 0
, basta tomar C ≥ 1
Agora derivaremos a fun¸c˜ao f
f
(t) = −
e
−
t
2
2
+ C
n + m(|α| + 2i)
2m
(1 + t)
−
n+m(|α|+2i)
2m
≤ 0
Portanto, como t ≥ 0, verificamos que
C
n + m(|α| + 2i)
m
≤ 1
Como devemos ter, pela primeira condi¸c˜ao, que C ≥ 1,tomaremos
C = max
1,
m
n + m(|α| + 2i)
.
As coloca¸c˜oes acima demonstram nossa observa¸c˜ao.
Finalmente, da observa¸c˜ao (10), constamos que
Ce
−
t
2
|
f(ξ)|
1
k
+ C
(1 + t)
−
m(2i+|α|)+n
2
1
m
|
f(ξ)|
k
1
k
≤ C
(1 + t)
−
m(2i+|α|)+n
2
1
m
f
L
k
4. Basta usar a Proposi¸c˜ao 17. Assim, decorre da Proposi¸c˜ao 17, que
(1 + t)
−
m(2i+|α|)+n
2
1
m
ˆ
f
L
k
≤ A(1 + t)
−
n
2m
−i−
|α|
2
f
L
m
Agora, utilizando (
i
,
ii
,
iii
,
iv
),
f
L
2
≤
f
[
n
2
]+i+|α|
e a observa¸c˜ao(10),
chegamos:
∂
i
∂t
i
∂
α
∂x
α
(K
1
∗ f)
∞
≤ Ce
−
t
2
f
[
n
2
]+i+|α|
+ C(1 + t)e
−
t
2
f
L
2
+ Ce
−
t
2
(1−
√
1−δ
2
)
f
L
2
+ C(1 + t)
−
n
2m
−i−
|α|
2
f
L
m
≤ C(1 + t)
−
n
2m
−i−
|α|
2
f
[
n
2
]+i+|α|
+ C(1 + t)
−
n
2m
−i−
|α|
2
f
[
n
2
]+i+|α|
+ C(1 + t)
−
n
2m
−i−
|α|
2
f
L
m
≤ C(1 + t)
−
n
2m
−i−
|α|
2
f
[
n
2
+i+|α|]
+ f
L
m
.
69
De forma an´aloga podemos demonstramos (ii,iii e iv).
Demonstra¸c˜ao. : A demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 15 segue do Lema 3 item ii.
Demonstramos agora a Proposi¸c˜ao 12.
Demonstra¸c˜ao. Proposi¸c˜ao 12: Reescrevendo o problema de Cauchy (3.1)(3.2) na equa¸c˜ao
integral
u(t) = u
L
(t) +
t
0
S
2
(t − τ) ∗ |u(τ)|
p
dτ, (3.53)
em que u
L
(t) = ∂
t
S
2
(t)∗u
0
+S
2
(t)∗(u
0
+u
1
) ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao linear (∂
tt
++∂
t
)u
L
= 0
com dados iniciais u
L
|
t=0
= u
0
, ∂
t
u
L
= u
1
, e S
2
´e a solu¸c˜ao fundamental dada por (3.8).
Observamos que a justificativa do porquˆe podemos reescrever o problema (3.1)–(3.2) na
igualdade (3.53) ´e similar ao que fizemos na observa¸c˜ao(4), sendo assim, n˜ao a faremos
aqui.
Usando a Proposi¸c˜ao 15 com m = 1, o termo linear ´e limitado por:
Du
L
(t, ·)
L
2
= D(∂
t
S
2
(t) ∗ u
0
+ S
2
(t) ∗ (u
0
+ u
1
))
L
2
≤ (∂
t
DS
2
(t) ∗ u
0
L
2
+ DS
2
(t) ∗ (u
0
+ u
1
)
L
2
)
≤ C(1 + t)
−
n
4
−
1
2
(u
0
L
1
+ u
0
H
1
)
+ C(1 + t)
−
n
4
−
1
2
(u
1
L
1
+ u
1
L
2
)
≤ C(1 + t)
−
n
4
−
1
2
(u
0
L
1
+ u
0
H
1
+ u
1
L
1
+ u
1
L
2
).
Como supp(u
i
) ⊂ B(t + K), i = 0, 1, obtemos
Du
L
(t, ·)
L
2
≤ C(t + 1)
−
n
4
−
1
2
. (3.54)
Agora vamos estimar a integral em (3.53). Observemos que
t
0
S
2
(t) ∗ |u(τ)|
p
dτ =
t
2
0
S
2
(t) ∗ |u(τ)|
p
dτ +
t
t
2
S
2
(t) ∗ |u(τ)|
p
dτ. (3.55)
Para a primeira integral, vamos aplicar a Proposi¸c˜ao 15, com m = 1. Logo,
DS
2
∗ |u(τ)|
p
L
2
≤ C(t − τ + 1)
−
n
4
−
1
2
(|u(τ)|
p
|
L
1
+ |u(τ)|
p
L
2
) (3.56)
≤ C(t − τ + 1)
−
n
4
−
1
2
(u(τ)
p
L
p
+ u(τ)
p
L
2p
). (3.57)
70
A partir do fato de que supp(u) ⊂ B(t + K) e da desiqualdade de Cauchy,
destacamos que
u(τ)
p
L
p
=
|u(τ, x)|
p
dx =
B(t+K)
|u(τ, x)|
p
dx =
B(t+K)
e
−pδϕ(τ,·)
e
−pδϕ(τ,·)
|u(τ, x)|
p
dx
≤
B(t+K)
e
−pδϕ(τ,·)
dx
B(t+K)
e
pδϕ(τ,·)
|u(τ, x)|
p
dx
.
Observa¸c˜ao 11. Sabemos que
e
−|z|
2
dz =
n
√
π. (3.58)
e
|x|=r
dS = r
n−1
ω
n
, (3.59)
sendo ω
n
a medida da casca esf´erica.
Por conseguinte, obtemos
e
−
pδ|x|
2
2(τ+K)
dx =
∞
0
|x|=r
e
−
pδ|r|
2
2(τ+K)
dS
x
dr = ω
n
∞
0
r
n−1
e
−
pδ|r|
2
2(τ+K)
dr
= ω
n
∞
0
2(τ + K)
pδ
n−1
2
2(τ + K)
pδ
1
2
e
−|z|
2
dz
= ω
n
2π
pδ
n
2
(τ + K)
n
2
≤ C
K,δ
(τ + 1)
n
2
.
Portanto, de (3.14), obtemos
B(t+K)
e
−pδϕ(τ,·)
dx ≤
B(t+K)
e
−
pδ|x|
2
2(τ+K)
dx
≤
e
−
pδ|x|
2
2(τ+K)
dx
≤ C
K,δ
(τ + 1)
n
2
.
Logo conclu´ımos, atrav´es da Observa¸c˜ao 11, que
u(τ)
p
L
p
≤ C
K,δ
(τ + 1)
n
4
e
δϕ(τ,·)
u(τ, ·)
p
L
2p
. (3.60)
sendo δ > 0 arbitr´ario.
Dando seq¨uˆencia ao racioc´ınio, visto que ϕ > 0, concluimos que
u(τ)
p
L
2p
≤ C
δ
(τ + 1)
n
4
e
δϕ(τ,·)
u(τ, ·)
p
L
2p
. (3.61)
71
Usando (3.56), (3.57), (3.60) e (3.61), vemos que
t
2
0
S
2
(t) ∗ |u(τ)|
p
dτ ≤
t
2
0
DS
2
∗ |u(τ)|
p
L
2
dt
≤ C
t
2
0
(t − τ + 1)
−
n
4
−
1
2
[(τ + 1)
n
4p
e
δϕ(τ,·)
u(τ, ·)
L
2p
]
p
dτ
≤ C
t
2
0
(t − τ + 1)
−
n
4
−
1
2
max
[0,t]
(τ + 1)
n
4p
e
δϕ(τ,·)
u(τ, ·)
L
2p
p
dτ
≤ C
t
2
(t + 1)
−
n
4
−
1
2
max
[0,t]
(τ + 1)
n
4p
e
δϕ(τ,·)
u(τ, ·)
L
2p
p
dτ
≤ C(t + 1)
−
n
4
−
1
2
max
[0,t]
t
1
p
(τ + 1)
n
4p
e
δϕ(τ,·)
u(τ, ·)
L
2p
p
dτ
≤ C(t + 1)
−
n
4
−
1
2
max
[0,t]
(τ + 1)
n
4p
+
1
p
e
δϕ(τ,·)
u(τ, ·)
L
2p
p
dτ
≤ (t + 1)
−
n
4
−
1
2
max
[0,t]
(τ + 1)
β
e
δϕ(τ,·)
u(τ, ·)
L
2p
p
dτ.
Portanto,
t
2
0
S
2
(t) ∗ |u(τ)|
p
dτ ≤ (t + 1)
−
n
4
−
1
2
max
[0,t]
(τ + 1)
β
e
δϕ(τ,·)
u(τ, ·)
L
2p
p
dτ. (3.62)
Para a segunda integral, usamos a Proposi¸c˜ao 15 com m = 2. Assim, temos
DS
2
∗ |u(τ)|
p
L
2
≤ C(t − τ + 1)
n
4
−
n
4
−
1
2
−0
(|u(τ)|
p
L
2
+ |u(τ)|
p
H
0+1−1
)
= C(t − τ + 1)
−
1
2
(|u(τ)|
p
L
2
+ |u(τ)|
p
L
2
)
= C(t − τ + 1)
−
1
2
(u(τ)
p
L
2p
).
Al´em disso, vemos que
u(τ)
p
L
2p
= (1 + t)
−
n
4
−1
(1 + t)
n
4
+1
u(τ)
p
L
2p
≤ C(1 + t)
−
n
4
−1
max
[
t
2
,t]
(1 + t)
n
4p
+
1
p
u(τ)
L
2p
p
,
e, portanto,
DS
2
∗ |u(τ)|
p
L
2
≤ C(t − τ + 1)
−
1
2
(1 + t)
−
n
4
−1
max
[
t
2
,t]
(1 + t)
n
4p
+
1
p
u(τ)
L
2p
p
(3.63)
72
Observa¸c˜ao 12. Observamos que
t
t
2
(t − τ + 1)
−
1
2
dτ = C(1 + t)
1
2
. (3.64)
Assim, a partir da Observa¸c˜ao 12 e de (3.63), obtemos que:
t
t
2
DS
2
∗ |u(τ)|
p
L
2
dτ ≤ C
t
t
2
(t − τ + 1)
−
1
2
u(τ, ·)
p
L
2p
dτ
≤ C(1 + t)
−
n
4
−
1
2
max
[
t
2
,t]
(1 + t)
n
4p
+
1
p
u(τ)
L
2p
p
.
Como ϕ > 0 e δ > 0
t
t
2
S
2
(t) ∗ |u(τ)|
p
dτ ≤ C(1 + t)
−
n
4
−
1
2
max
[
t
2
,t]
(1 + t)
n
4p
+
1
p
e
δϕ(τ,·)
u(τ)
L
2p
p
. (3.65)
Ent˜ao, juntando (3.54), (3.62) e (3.65) chegamos-a
Du(τ, ·)
L
2
≤ (1 + t)
−
n
4
−
1
2
C + C(max
[0,t]
(1 + τ)
β
e
δϕ(τ,·)
u(τ, ·)
L
2p
)
p
. (3.66)
Isso demonstra a proposi¸c˜ao (12).
Demonstra¸c˜ao. da Proposi¸c˜ao 13:
Integrando em [0, t]×R
n
a desigualdade b na Proposi¸c˜ao 10, deduzimos que
−
2
p + 1
t
0
ϕ
t
e
2ϕ
|u|
p+1
dxdt ≥
t
0
d
dt
e
2ϕ
2
(|u
t
|
2
+ |∇u|
2
) −
e
2ϕ
p + 1
|u|
p+1
dxdt
−
t
0
div(e
2ϕ
u
t
∇u)dxdt
−
t
0
e
2ϕ
ϕ
t
|ϕ
t
∇u − u
t
∇ϕ|
2
dxdt
Observamos que:
i. Sabemos que
t
0
div(e
2ϕ
u
t
∇u)dxdt = 0,
e
−
t
0
e
2ϕ
ϕ
t
|ϕ
t
∇u − u
t
∇ϕ|
2
dxdt ≥ 0.
73
ii. Por Fubini, verificamos que
t
0
d
dt
e
2ϕ
2
(|u
t
|
2
+ |∇u|
2
) −
e
2ϕ
p + 1
|u|
p+1
dxdt
=
t
0
d
dt
e
2ϕ
2
(|u
t
|
2
+ |∇u|
2
) −
e
2ϕ
p + 1
|u|
p+1
dtdx
=
1
2
e
ϕ
Du(t, ·)
2
−
1
2
e
ϕ(0,·)
Du(0, ·)
2
−
t
0
d
dt
e
2ϕ
p + 1
|u|
p+1
dxdt.
Portanto, usando (i) e (ii), conclu´ımos que
1
2
e
ϕ
Du(t, ·)
2
−
1
2
e
ϕ(0,·)
Du(0, ·)
2
−
t
0
d
dt
e
2ϕ
p + 1
|u|
p+1
dxdt
≤
−2
p + 1
t
0
ϕ
t
e
2ϕ
|u|
p+1
dxdt. (3.67)
Como u(0, x) = u
0
e u
t
(0, x) = u
1
, com supp u
0
, u
1
⊂ B(K) verifi-
camos que:
1.
e
ϕ(0,·)
Du(0, ·)
2
=
2
e
ϕ(0,x)
(|u
0
|
2
+ |∇u
1
|
2
)dx
≤
2
B(K)
sup
B(K)
e
ϕ(0,x)
(|u
0
|
2
+ |∇U
1
|
2
)
dx ≤ C
2
2.
t
0
d
dt
e
2ϕ(t,x)
p + 1
|u|
p+1
dxdt =
e
2ϕ(t,x)
p + 1
|u(t, x)|
p+1
dx−
e
2ϕ(0,x)
p + 1
|u(0, x)|
p+1
dx ≤
e
2ϕ(t,x)
p + 1
|u(t, x)|
p+1
dx + C
p+1
=
e
2/p+1ϕ(t,·)
u(τ, ·)
p+1
L
p+1
+ C
p+1
.
3.
t
0
ϕ
t
(τ, x)e
2ϕ(τ,x)
|u(t, x)|
p+1
dxdt ≤
t
0
|ϕ
t
(τ, x)|e
2ϕ(t,x)
|u(t, x)|
p+1
dxdt
≤
t
0
max
supp(u(τ,·))
ψ(τ, x)
e
γϕ(τ,·)
u(τ, x)
p+1
L
p+1
dτ
em que ψ(τ, x) = |ϕ
t
(τ, x)|e
(2−γ(p+1))ϕ(τ,x)
, γ >
2
(p + 1)
.
74
Ent˜ao usando 1,2 e 3 obtemos,
e
ϕ(τ,·)
Du(t, ·)
2
L
2
≤ C + Ce
(2/p+1)ϕ(t,·)
u(τ, ·)
p+1
L
p+1
(3.68)
+ C
t
0
max
supp(u(τ,·))
ψ(τ, x)
e
γϕ(τ,·)
u(τ, x)
p+1
L
p+1
dτ (3.69)
Para terminarmos a demonstra¸c˜ao, basta provarmos que
max
suppu(τ,·)
{ψ(τ, x)} ≤
C
τ + 1
(3.70)
pois,
t
0
max
suppu(τ,·)
ψ(τ, x)
e
γϕ(τ,·)
u(τ, x)
p+1
L
p+1
dτ ≤
t
0
C
τ + 1
e
γϕ(τ,·)
u(τ, x)
p+1
L
p+1
dτ
≤ max
[0,t]
{e
γϕ(τ,·)
u(τ, x)
p+1
L
p+1
}
t
0
C
τ + 1
dτ
≤ max
[0,t]
{ln(τ + 1)e
γϕ(τ,·)
u(τ, x)
p+1
L
p+1
}
Observa¸c˜ao 13. Dado δ > 0, existe C
δ
> 0 e de modo que
ln(τ + 1) ≤ C
δ
(τ + 1)
δ
.
De fato, dado δ > 0, consideremos a fun¸c˜ao
f(s) = ln(s) − C(s + 1)
δ
. (3.71)
Assim, basta mostrar que f(s) ≤ 0, ∀s ≥ 0. Observemos que
1. f(0) = − C;
2. f
(s) =
1
s + 1
− Cδ(s + 1)
δ−1
.
Impondo que f
(s) ≤ 0, devemos tomar C ≥
1
δ
. Portanto, pela observa¸c˜ao (13), con-
clu´ımos que
t
0
max
suppu(τ,·)
ψ(τ, x)
e
γϕ(τ,·)
u(τ, x)
p+1
L
p+1
dτ ≤ C
δ
max
[0,t]
{(τ + 1)
δ
e
γϕ(τ,·)
u(τ, x)
p+1
L
p+1
}.
(3.72)
Logo, chegamos a
e
ϕ(τ,·)
Du(t, ·)
2
L
2
≤ C + Ce
(2/p+1)ϕ(t,·)
u(τ, ·)
p+1
L
p+1
+ C max
[0,t]
{(τ + 1)
δ
e
γϕ(τ,·)
u(τ, x)
p+1
L
p+1
},
75
e assim,
e
ϕ(τ,·)
Du(t, ·)
L
2
≤ C + C max
[0,t]
{(τ + 1)
δ
e
γϕ(τ,·)
u(τ, x)
p+1
2
L
p+1
}.
Vamos demonstrar (3.70). Sabemos que
|ϕ
t
| =
1
2
((t + K)
2
− |x|
2
)
1
2
− t + K
((t + K)
2
− |x|
2
)
1
2
, (3.73)
para |x| < t + K.
Observa¸c˜ao 14. Escrevendo α = (t + K) e r = |x|
2
, consideremos a fun¸c˜ao
f(r) = 2Cr
2
− α
2
+ α(α
2
− r
2
)
1
2
com 0 ≤ r ≤ α. Ent˜ao, existe C > 0 tal que f(r) ≥ 0, se 0 ≤ r < α. A demonstra¸c˜ao ´e
an´aloga `a feita na Observa¸c˜ao 13.
Portanto, conclu´ımos, da Observa¸c˜ao 14, que
|ϕ
t
(τ, x)| ≤
C|x|
2
(t + K)[(t + K)
2
− |x|
2
]
1
2
. (3.74)
´
E conhecido que as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao (3.1) com dados iniciais (3.2) satis-
fazem a propriedade da velocidade de propaga¸c˜ao finita. Ou seja, como supp(u
0
), supp(u
1
) ⊂
B(K −d ), suppu(t, ·) ⊂ B(t + K −d) em que d =distˆancia(supp(u
0
)
supp(u
1
)). Assim,
|ϕ
t
(t, x)| =
1
2
((t + K)
2
− |x|
2
)
1
2
− t + K
((t + K)
2
− |x|
2
)
1
2
≤
1
2
t + K
((|x| + d)
2
− |x|
2
)
1
2
≤
C(t + K)
d
portanto,
|ϕ
t
(t, x)| ≤
C(t + K)
d
. (3.75)
76
Logo, se |x| ≤
(τ + K)
2
e utilizando (3.14) e (3.74), temos
ψ(τ, x) = |ϕ
τ
(τ, x)|e
(2−γ(p+1))ϕ(τ,x)
|
≤
C|x|
2
(τ + K)[(τ + k)
2
− |x|
2
]
1
2
e
(2−γ(p+1))(|x|
2
/[4(τ+K)])
≤
C|x|
2
(τ + K)4(τ + k)
e
(2−γ(p+1))(|x|
2
/[4(τ+K)])
.
Como γ >
2
p + 1
, verifica-se facilmente que
|x|
2
4(τ + k)
e
(2−γ(p+1))(|x|
2
/[4(τ+K)])
≤ C.
Ent˜ao,
ψ(τ, x) ≤
C
k
(τ + K)
. (3.76)
Agora, se |x| >
(τ + K)
2
e usando (3.14) resulta que
ϕ(τ, x) ≥
|x|
2
4(τ + K)
≥
(τ + k)
2
16(τ + K)
=
(τ + K)
16
.
Como γ >
2
p + 1
, constatamos que existe C > 0 tal que
(τ + k)
2
e
(2−γ(p+1)(t+K)/16)
≤ C.
Assim obtemos, de (3.75), que
ψ(τ, x) = |ϕ
t
(τ, x)|e
(2−γ(p+1)ϕ(τ,x)
≤
C(t + K)
d
e
(2−γ(p+1)(τ +K)/16)
≤
C
d
(τ + K)
(τ + K)
2
e
(2−γ(p+1)(τ +K)/16)
≤
C
K,d
(τ + K)
.
Portanto,
ψ(τ, x) ≤
C
K,d
(τ + K)
, (3.77)
e, dos resultados dados por (3.76) e (3.77), concluimos (3.70), o que completa a demon-
stra¸c˜ao.
77
3.4 Demonstra¸c˜ao dos Teoremas (9) e (10).
3.4.1 Demonstra¸c˜ao do Teorema (9)
Iniciaremos a demonstra¸c˜ao do Teorema (9). Faremos uso da Proposi¸c˜ao
17 para a existˆencia global e unicidade de solu¸c˜oes do problema (3.1)-(3.2), ou seja,
mostraremos que a energia ´e limitada para qualquer intervalo limitado para o tempo
t ≥ 0.
Demonstra¸c˜ao. :
Consideramos o funcional de energia com peso
W (t) = e
ϕ(t,·)
Du(t, ·)
L
2
+ (1 + t)
n/4+1/2
Du(t, ·)
L
2
, (3.78)
em que a fun¸c˜ao peso (1 + t)
n/4+1/2
indica a propriedade de decaimento da equa¸c˜ao linear.
Mostrarenos que W (t) ≤ K para alguma constante K, com K dependendo
dos dados iniciais. Das Proposi¸c˜oes 12 e 13, constatamos que
W (t) ≤ C + C(max
[0,t]
(τ + 1)
β
e
δϕ(τ,·)
u(τ, ·)
L
2p
)
p
+ C(max
[0,t]
(τ + 1)
δ
e
γϕ(τ,·)
u(τ, ·)
p+1
)
(p+1)/2
.
(3.79)
Usaremos a Proposi¸c˜ao 14 para estimar o lado direito da desigualde (3.79).
Observamos que como p
c
(n) < p ≤
n
(n−2)
, temos
0 ≤ θ(2p ) = n
1
2
−
1
2p
≤ n
1
2
−
n − 2
2n
= n
2
2n
= 1
0 ≤ θ(p + 1) = n
1
2
−
1
p + 1
≤ n
1
2
−
n − 2
2(n − 1)
= n
2
2(n − 1)
≤ 1.
Assim, aplicando a Proposi¸c˜ao (14), obtemos
e
δϕ(τ,·)
u(τ, ·)
L
2p
≤ C
k
(τ + 1)
(1−θ(2p))/2
∇u
1−δ
L
2
∇u
δ
L
2
≤ C
k
(τ + 1)
(1−θ(2p))/2
(τ + 1)
(−n/4−1/2)(1−δ)
(τ + 1)
(n/4+1/2)(1−δ)
∇u
1−δ
L
2
∇u
δ
L
2
≤ C
k
(τ + 1)
(1−θ(2p))/2
(τ + 1)
(−n/4−1/2)(1−δ)
W (t)
1−δ
W (t)
δ
= C
k
(τ + 1)
(1−θ(2p))/2−(n/4+1/2)(1−δ)
W (t).
78
Portanto,
e
δϕ(τ,·)
u(τ, ·)
L
2p
≤ C
k
(τ + 1)
(1−θ(2p))/2−(n/4+1/2)(1−δ)
W (t). (3.80)
Analogamente, obtemos tamb´em que
e
γϕ(τ,·)
u(τ, ·)
L
2p
≤ C
k
(τ + 1)
(1−θ(p+1))/2−(n/4+1/2)(1−γ)
W (t). (3.81)
Logo, utilizando (3.79),(3.80) e (3.81), conclu´ımos que
W (t) ≤ C + C max
[0,t]
(τ + 1)
pβ+p(1−θ(2p))/2−p(n/4+1/2)(1−δ)
(W (t))
p
+ C max
[0,t]
(τ + 1)
(p+1)β+(p+1)(1−θ(p+1))/2−(p+1)(n/4+1/2)(1−γ)
× (W (t))
(p+1)/2
. (3.82)
Mostramos que pode-se escolher constantes positivas δ, β e γ tais (3.82) ´e
reescrito como
max
[0,t]
W (s) ≤ C + C(max
[0,t]
W (s))
(p+1)/2
+ C(max
[0,t]
W (s))
p
. (3.83)
Observemos que dessa desigualdade podemos concluir que
W (t) ≤ K = K(p,
0
, C) (3.84)
com K ≤ C. Com efeito, considere a fun¸c˜ao
F (x) = C + Cx
p+1
2
+ Cx
p
− x. (3.85)
Notemos que F (0) = C ≥ 0 e, para algum δ > 0 tal que para todo
0 < ≤ δ existe x
0
> 0 tal que F (x
0
) < 0. Assim, podemos tomar 0 <
0
< δ, de forma
que 0 < x ≤ x
p
< x
0
e F (x) ≥ 0, se ≤
0
.
Agora, fazendo x = max
[0,t]
W (s) temos de (3.83) e (3.85), que F (max
[0,t]
W (s)) ≥
0. Portanto, constatamos que max
[0,t]
W (s) ≤ x
p
, isto ´e, W (t) ≤ K. Logo, se provarmos
(3.83), estar´a conclu´ıda a demonstra¸c˜ao do Teorema 9.
Recordemos que p > 1 +
2
n
, β >
n
4
+
1
p
e γ >
2
p + 1
.
Ent˜ao existem
1
e
2
positivos tais que
β =
n
4
+
1
p
+
1
γ =
2
p + 1
+
2
.
79
Logo, para o expoente do primeiro termo do lado direito de (3.82), deduzi-
mos que
pβ + p
1
2
− p
θ(2p)
2
− p
n
4
+ p
1
2
+
n
4
δ (3.86)
= p
1
+
1
p
+
n
2p
−
n
2
+
1
2
+
n
4
δ
(3.87)
= p
1
+
1
2
+
n
4
δ
−
p − 1 −
2
n
n
2
, (3.88)
como p > 1 +
2
n
, podemos escolher δ e
1
de forma que (3.88) seja negativo.
Agora, para o segundo termo do lado direito de (3.82), temos
(p + 1)
δ
2
+
1
4
−
θ(p + 1)
4
−
1
2
−
n
4
+
1
2
+
n
4
γ
(3.89)
≤ (p + 1)
2
2
+
1
p + 1
−
1
4
+
1
2
+
n
4
γ
(3.90)
= (p + 1)
2
2
+
1
2
+
n
4
γ
−
(p + 1)(n + 1)
4
− 1
, (3.91)
assim, como p > 1, podemos escolher γ e
2
de forma que (3.91) seja negativo. Isso
verifica (3.83).
Agora, denotando M(t) = max
[0,t]
W (t), segue de (3.83) que M(t) ≤ K =
K(p,
0
, C), para > 0 suficientemente pequeno chegamos na seguinte estimativa:
W (t) = e
ϕ(t,·)
Du(t, ·)
L
2
+ (1 + t)
n/4+1/2
Du(t, ·)
L
2
≤ K. (3.92)
3.4.2 Demonstra¸c˜ao do Teorema (10)
A demonstra¸c˜ao do Teorema 10 ´e conseq¨uˆencia direta da desigualdade
(3.92), como vemos abaixo:
Demonstra¸c˜ao. : Usando (3.92), observamos que
K ≥ e
ϕ(t,·)
Du(t, ·)
L
2
(R
n
)
≥ e
|x|
2
/4(t+k)
Du(t, ·)
L
2
(R
n
\B(t
1/2+δ
))
≥ e
t
1+2δ
/4(t+k)
Du(t, ·)
L
2
(R
n
\B(t
1/2+δ
))
.
80
Portanto:
Du(t, ·)
L
2
(R
n
\B(t
1/2+δ
))
≤ Ke
−t
1+2δ
. (3.93)
Analogamente:
Du(t, ·)
L
2
(R
n
)
≤ K(1 + t)
−n/4−1/2
. (3.94)
Isso conclui a demonstra¸c˜ao.
81
Referˆencias Bibliogr´aficas
[1] R. A. Adams, Sobolev spaces. Academic Press, New York, 1975.
[2] S. Agmon, H. Douglis, L. Nirenberg, Estimates near the boundary for solutions of
elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions II. Comm.
Pure Appl. Math. 17 (1964), 35–92.
[3] J. M. Ball, Strngly continuous semigrups, weak solutions, and the variation of the
constant formula, Proc. AMS 63 (1977), n
o
2, 370–373.
[4] H. Brezis, T. Cazenave, Nonlinear evolution equations. 1994.
[5] H. Brezis, Analyse fonctionnelle: the´orie et applications. Masson, Paris, 1983.
[6] R. C. Char˜ao, R. Ikehata, Decay of solutions for a semilinear system of elastic waves
in an exterior domain with damping near infinity, Nonlinear Analysis 67 (2007), 398–
429.
[7] W. Dan, Y. Shibata, On a local energy decay of solutions of a dissipative wave equation,
Funkcial. Ekvac. 38 (1995), 545–568.
[8] H. Fujita, On the blowing up of solutions the Cauchy problem for u
t
= u + u
1α
, J.
Fac Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. 13 (1990), 109–124.
[9] J. A. Goldstein, Semigroups of linear operators and applications. Oxford Mathematical
Monographs, Copyright, New York, 1985.
[10] A. M. Gomes, Semigrupos de operadores lineares e aplica¸c˜oes `as equa¸c˜oes de evolu¸c˜ao.
Instituto de Matem´atica - UFRJ, Rio de Janeiro, 1985.
[11] C. W. Groetsch, Elements of applicable functional analysis. Marcel Dekker, New York
and Basel, 1983.
[12] R. Ikehata, Fast decay of solutions for linear wave equations with dissipation localized
near infinity in an exterior domain , J. Differential Equations 188 (2003), 390–405.
[13] R. Ikehata, Local energy decay for linear wave equations with non-compactly supported
initial data, Math. Meth. Appl. Sci. 27 (2004), 1881–1892.
[14] R. Ikehata, Global existence of solutions for 2-D semilinear wave equations with
dissipation localized near infinity in an exterior domain, Math. Meth. Appl. Sci. 29
(2006), 479–496.
[15] R. Ikehata, Y. Inoue, Total energy decay for semilinear wave equations with a critical
potential type of damping, Nonlinear Analysis (in press).
[16] R. Ikehata, K. Tanizawa, Global existence of solutions for semilinear damped wave
equations in R
n
with non-compactly supported initial data, Nonlinear Analysis 61
(2005), 1189–1208.
[17] R. Kanwal, Generalized functions: theory and technique, Academic Press, New York,
1983.
[18] S. Kesavan, Topics in functional analysis and applications. Copyright, Bangalore,
India, 1989.
[19] E. Kreyszig, Introductory functional analysis with applications. John Wiley e Sons,
1978.
[20] A. Matsumura, On the Asymptotic Behavior of Solutions of Semi-linear Wave Equa-
tions. Publ. Res. Institute Math. Sciences Kyoto University, 12 (1976), 169–189.
[21] L. A. Medeiros, P. H. Rivera, Espa¸cos de Sobolev e aplica¸c˜oes `as equa¸c˜oes diferenciais
parciais. Textos de M´etodos Matem´aticos n´umero 9, IM-UFRJ, Rio de Janeiro.
[22] L. Menoncini, Existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes globais de equa¸c˜oes de evolu¸c˜ao
semilineares via semigrupos. Disserta¸c˜ao de Mestrado. Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em
Matem´atica e Computa¸c˜ao Cient´ıfica, Universidade Federal de Santa Catarina, 2005.
[23] M. Nakao, Energy decay for the linear and semilinear equations in exterior domains
with some localized dissipations, Math. Z. 238 (2001), 781–797.
83
[24] A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial differential equa-
tions. Springer-Verlag, New York, 1983.
[25] M. Reed, B. Simon, Methods of Moder Mathematical Physics, vol. II: Fourier Analysis
and Self-adjointness, Academic Press, New York, 1975.
[26] G. Todorova, B. Yordanov, Critical exponent for a nonlinear wave equation with
damping, J. Diff. Eqns 174 (2001), 464–489.
[27] G. Todorova, B. Yordanov, Nonlinear dissipative wave equations with potential, AMS
Contemporary Math. 426 (2007), 317–337.
[28] G. Todorova, B. Yordanov, Weighted L
2
-estimates for dissipative wave equations with
variable coefficients, J. Diff. Eqs. (to app ear).
[29] K. Yosida, Functional analysis. Springer-Verlag, Berlim-Heildelberg, New York, 1966.
[30] E. Zuazua, Exponential decay for the semilinear wave equation with localized damping
in unbounded domains, J. Math. Pures Appl. 70 (1991) 513–529.
84
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
