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Universidade Federal de Santa Catarina
Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica e
Computa¸c˜ao Cient´ıfica
Algumas Aplica¸c˜oes Alg´ebricas da
Teoria dos Modelos
Jucavo Savie Rocha
Orientador: Prof. Dr. Newton C. A. da Costa
Florian´opolis
Outubro de 2007
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Universidade Federal de Santa Catarina
Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica e
Computa¸c˜ao Cient´ıfica
Algumas Aplica¸c˜oes Alg´ebricas da
Teoria dos Modelos
Disserta¸c˜ao apresentada ao Curso de P´os-
Gradua¸c˜ao em Matem´atica e Computa¸c˜ao
Cient´ıfica, do Centro de Ciˆencias F´ısicas e
Matem´aticas da Universidade Federal de
Santa Catarina, para a obten¸c˜ao do grau
de Mestre em Matem´atica, com
´
Area de
Concentra¸c˜ao em L´ogica Matem´atica.
Jucavo Savie Rocha
Florian´opolis
Outubro de 2007
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Algumas Aplica¸c˜oes Alg´ebricas da
Teoria dos Modelos
por
Jucavo Savie Rocha
Esta Disserta¸c˜ao foi julgada para a obten¸c˜ao do T´ıtulo de “Mestre”,
´
Area de Concentra¸c˜ao em L´ogica Matem´atica, e aprovada em sua forma
final pelo Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica e
Computa¸c˜ao Cient´ıfica.
Prof. Dr. Cl´ovis Caesar Gonzaga
Coordenador
Comiss˜ao Examinadora
Prof. Dr. Newton Carneiro Affonso da Costa (USP-Orientador)
Prof. Dr. Ivan Pontual Costa e Silva (UFSC)
Prof. Dr. Alexandre Augusto Martins Rodrigues (USP)
Prof. Dr. D´ecio Krause (UFSC)
Prof. Dr. Eliezer Batista (UFSC)
Florian´opolis, Outubro de 2007.
ii
Agradecimentos
Em primeiro lugar gostaria de agradecer `a Carolina, o grande amor da minha vida, por
estar ao meu lado em toda essa etapa da minha vida, por sua dedica¸c˜ao, paciˆencia, alguns
empurr˜oes e, claro, muito amor. Obrigado amor, vocˆe fez muito mais por mim do que eu
poderia sequer imaginar.
Ao professor Newton da Costa por ter me dado a honra de ser meu orientador nesta
disserta¸c˜ao e ao longo desse tempo ter me ensinado um modo diferente de ver a ma-
tem´atica.
Ao professor Ivan por todos os semin´arios que fizemos, os quais garantiram a realiza¸c˜ao
deste trabalho. Professor, obrigado pelo apoio em todo este processo. Obrigado tamb´em
ao Jonas que nos acompanhou em todos os semin´arios e ao professor Antˆonio que nos
ajudou muito no come¸co.
`
A minha grande amiga Dayana, por sua eterna e sincera amizade. Estando perto, ou
n˜ao t˜ao perto, vocˆe est´a sempre disposta a ajudar, obrigado minha amiga. Ao Giuliano
por me mostrar que ´e poss´ıvel ser extremamente inteligente e ter uma humildade maior
ainda. Ao meu querido casal de amigos Rodrigo e Grasielli por toda sua ajuda e incentivo.
Obrigado ao professor Eliezer, que me incentivou muito e tamb´em por sua participa¸c˜ao
na banca examinadora. Obrigado tamb´em aos professores D´ecio e Alexandre por aceita-
rem participar da banca.
`
A Elisa por sua ajuda e paciˆencia em todo processo.
`
A Capes, por ter me concedido
uma bolsa de mestrado, sem a qual n˜ao teria conseguido fazer esta disserta¸c˜ao.
`
A minha fam´ılia, que mesmo estando distante se preocupava e me incentivava para
que eu persistisse naqueles momentos de desˆanimo.
Por fim, `as minhas meninas Alcione, Helena, Matilde e Suzana por toda alegria que
elas me trouxeram.
iii
Resumo
Seja K um corpo algebricamente fechado. Dizemos que um subconjunto de K
n
, onde n ´e
um n ´umero natural positivo, ´e construt´ıvel se for uma combina¸c˜ao booleana de conjuntos
Zariski fechados.
Na teoria dos modelos, um subconjunto de K
n
´e dito ser defin´ıvel se todos os elementos
desse conjunto, e somente estes, satisfizerem uma determinada propriedade definida por
uma f´ormula da linguagem de primeira ordem dos an´eis.
Um dos nossos principais objetivos ser´a mostrar, na teoria dos corpos algebricamente
fechados, a equivalˆencia entre os conjuntos construt´ıveis e os conjuntos defin´ıveis. Como
conseq¨uˆencia disso vamos demonstrar alguns resultados alg´ebricos, como o Nullstellensatz
de Hilbert, utilizando t´ecnicas da teoria dos modelos.
iv
Abstract
Let K be an algebraically closed field. We say that a subset of K
n
, where n is a positive
natural number, is constructible if it is a b oolean combination of Zariski closed sets.
In Model Theory, a subset of K
n
is said be definable if every elements of this set, and
only these elements, satisfy a determined property defined by a formula in the first-order
language or rings.
One of our main goals will be to show, in algebraically closed field theory, the equiva-
lence between the constructible sets and the definable sets. Finally, we will prove some
algebraic results, like the Hilbert’s Nullstellensatz, using Mo del Theory techniques.
v
Sum´ario
Introdu¸c˜ao 1
1 Estruturas 3
1.1 Linguagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Estruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 F´ormulas e Senten¸cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Imers˜oes e Equivalˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Teorias 16
2.1 Teorias e Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Conseq¨uˆencia L´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Conjuntos Defin´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Teorema da Compacidade 28
3.1 Constru¸c˜ao de Henkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Ultraprodutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Teorias Completas 45
4.1 κ-Categoricidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Teoremas de L¨owenheim-Skolem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Teoria Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 Elimina¸c˜ao de Quantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5 Corpos Algebricamente Fechados 74
5.1 Teoria CAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2 Topologia de Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3 Conjuntos Construt´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.4 Nullstellensatz de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5 Decomposi¸c˜ao Prim´aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
vi
A Extens˜oes Transcendentes 95
A.1 Extens˜oes Alg´ebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A.2 Extens˜oes Transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Referˆencias Bibliogr´aficas 105
vii
Introdu¸c˜ao
Esta ´e uma disserta¸c˜ao expositiva onde apresentaremos alguns resultados importantes
da teoria de modelos, entre eles o teorema da Compacidade e o teorema de L¨owenheim-
Skolem. Tamb´em veremos alguns resultados alg´ebricos, como o teorema da Base de
Hilbert, Nullstellensatz de Hilbert (Teorema dos Zeros de Hilbert) e o teorema da Decom-
posi¸c˜ao Prim´aria. Por´em, para a demonstra¸c˜ao de alguns desses resultados alg´ebricos,
usaremos a teoria de modelos.
A descoberta que uma teoria matem´atica pode ter mais que um modelo foi feita no
s´eculo XIX, quando Riemann e Klein estabeleceram a independˆencia do postulado das
paralelas construindo um modelo a partir de outros axiomas da geometria no qual o
postulado das paralelas falha. Esse par´agrafo foi retirado de [2].5.§8.
Trabalharemos em l´ogica de primeira ordem (veja mais em [2]) sob a teoria de con-
juntos ZF com axioma da escolha, o qual ´e equivalente ao princ´ıpio da boa ordena¸c˜ao
e ao lema de Zorn, que usaremos algumas vezes. Veja em [4] maiores detalhes sobre a
teoria de conjuntos ZF e tais equivalˆencias. Trabalharmos em l´ogica de primeira ordem ´e
essencial para obtermos alguns resultados como o teorema da compacidade e o teorema de
L¨owenheim-Skolem. Estes, em geral, falham em l´ogica de ordem superior (veja exemplo
em [14]).
No primeiro cap´ıtulo definiremos o que ´e uma linguagem e o que ´e uma estrutura para
essa linguagem. As estruturas nas quais trabalharemos mais s˜ao grupos, an´eis e corpos, e
no ´ultimo cap´ıtulo daremos uma ˆenfase maior em corpos algebricamente fechados. Ainda
no primeiro cap´ıtulo, veremos o que s˜ao termos, f´ormulas e senten¸cas, e como interpre-
tar esses termos e verificar se uma senten¸ca ou uma designa¸c˜ao para uma f´ormula s˜ao
verdadeiras numa estrutura. Definiremos tamb´em o que s˜ao homomorfismos, imers˜oes,
isomorfismos e equivalˆencias elementares entre estruturas.
No segundo cap´ıtulo veremos a defini¸c˜ao de teoria, modelo de uma teoria e satisfati-
bilidade de uma teoria. Estudaremos as conseq¨uˆencias l´ogicas de uma teoria. Dada uma
estrutura, veremos o que ´e um conjunto ser defin´ıvel nessa estrutura. Mostraremos que o
conjunto dos n´umeros reais n˜ao ´e defin´ıvel no conjunto dos n´umeros complexos.
No terceiro cap´ıtulo usaremos a constru¸c˜ao de Henkin para demonstrar o teorema da
1
Compacidade, o qual diz que uma teoria ´e satisfat´ıvel se, e somente se, qualquer subcon-
junto finito dessa teoria for uma teoria satisfat´ıvel. Veremos tamb´em uma demonstra¸c˜ao
para o teorema da Compacidade atrav´es de Ultraprodutos.
No quarto cap´ıtulo estudaremos as teorias completas. Uma teoria ´e completa se, dada
uma senten¸ca da linguagem, esta senten¸ca ou a nega¸c˜ao dela ´e conseq¨uˆencia l´ogica dessa
teoria. Na se¸c˜ao de κ-categoricidade veremos que a teoria dos corpos algebricamente fe-
chados de caracter´ıstica p, onde p = 0 ou p ´e primo, ´e uma teoria completa. Depois,
ainda nesta se¸c˜ao, veremos que toda fun¸c˜ao polinomial injetora de C
n
em C
n
´e sobreje-
tora. Na se¸c˜ao seguinte demonstraremos os teoremas de L¨owenheim-Skolem, ascendente
e descendente. Por ´ultimo, estudaremos algumas teorias que tenham elimina¸c˜ao de quan-
tificadores, isto ´e, dada qualquer f´ormula da linguagem, esta f´ormula ´e equivalente, em
qualquer modelo dessa teoria, `a outra f´ormula livre de quantificadores.
No quinto e ´ultimo cap´ıtulo mostraremos que a teoria dos corpos algebricamente fe-
chados tem elimina¸c˜ao de quantificadores. Estudaremos a topologia de Zariski. Veremos
que os conjuntos construt´ıveis (combina¸c˜ao booleana de conjuntos Zariski fechados) s˜ao
exatamente os conjuntos defin´ıveis nos corpos algebricamente fechados. Por fim, provare-
mos o teorema da Decomposi¸c˜ao Prim´aria, isto ´e, dado um ideal radical de K[x
1
, . . . , x
n
],
onde K ´e um corpo algebricamente fechado, podemos representar esse ideal de forma
´unica por uma intersec¸c˜ao de ideais primos que contenham esse ideal.
2
Cap´ıtulo 1
Estruturas
Intuitivamente uma estrutura ´e um conjunto equipado com opera¸c˜oes, rela¸c˜oes e elementos
distinguidos. Ent˜ao escolhemos uma linguagem de primeira ordem onde podemos falar
sobre tais opera¸c˜oes, rela¸c˜oes e elementos. Por exemplo, se queremos estudar a estrutura
(N, +, 0, 1) dos n´umeros naturais com adi¸c˜ao e elementos distinguidos 0 e 1, a linguagem
natural para estudar essa estrutura ´e a linguagem onde temos um s´ımbolo funcional
bin´ario e dois s´ımbolos de constante.
1.1 Linguagens
Defini¸c˜ao 1.1.1 Uma linguagem L ´e uma tripla < F, P, C > onde:
• F ´e um conjunto de s´ımbolos funcionais e para cada f ∈ F existe um n´umero
natural positivo n
f
que indica a aridade de f;
• P ´e um conjunto de s´ımbolos de predicados e para cada p ∈ P existe um n´umero
natural positivo n
p
que indica a aridade de p;
• C ´e um conjunto de s´ımbolos de constantes.
Obs.: Qualquer um dos conjuntos F, P ou C pode ser vazio.
Para simplificar a nota¸c˜ao, escreveremos
L = {s; s ∈ F ou s ∈ P ou s ∈ C}
onde ficar´a impl´ıcito o conjunto de s´ımbolos ao qual s pertence. Veja os exemplos a seguir:
Exemplo 1.1.2 Linguagem de grupos:
L
g
=
{·
, e
}
Mais precisamente temos que L
g
=< F
g
, P
g
, C
g
> com F
g
= {·} onde n
·
= 2, P
g
= ∅ e
C
g
= {e}.
3
Exemplo 1.1.3 Linguagem de an´eis ordenados: L
ao
= {+, −, ·, <, 0, 1}
F
ao
= {+, −, ·} onde n
+
= n
·
= 2 e n
−
= 1, P
ao
= {<} onde n
<
= 2 e C
ao
= {0, 1}.
Exemplo 1.1.4 Linguagem pura de conjuntos: L = ∅
Exemplo 1.1.5 Linguagem de grafos: L = {R}
Onde R ´e um s´ımbolo de predicado bin´ario, ou seja, R ∈ P e n
R
= 2.
1.2 Estruturas
Defini¸c˜ao 1.2.1 Seja L uma linguagem. Uma L-estrutura M ´e uma quadrupla
M = (M, {f
M
}
f∈F
, {p
M
}
p∈P
, {c
M
}
c∈C
)
onde:
• M ´e um conjunto, denominado universo de M;
• Para cada f ∈ F, f
M
: M
n
f
→ M;
• Para cada p ∈ P, p
M
⊂ M
n
p
;
• Para cada c ∈ C, c
M
∈ M.
Obs.: f
M
, p
M
e c
M
s˜ao ditas interpreta¸c˜oes de f , p e c na L-estrutura M e a cardina-
lidade de M ´e, por defini¸c˜ao, a cardinalidade de seu universo M.
Doravante, utilizaremos a mesma letra em tipografias caligr´afica e regular para desig-
nar uma L-estrutura o seu universo , respectivamente. Por exemplo, M ´e uma L-estrutura
com universo M.
Exemplo 1.2.2 Seja L
g
= {·, e} a linguagem de grupo vista no exemplo 1.1.2.
Uma L
g
-estrutura G = (G, ·
G
, e
G
) ´e um conjunto G equipado com uma fun¸c˜ao bin´aria ·
G
e um elemento distinguido e
G
.
Por exemplo:
G = (R
∗
, ·, 1) ·
G
= · e
G
= 1
G
= (R, ·, 1) ·
G
= · e
G
= 1
N = (Z, +, 0) ·
N
= + e
N
= 0
N
= (N, +, 0) ·
N
= + e
N
= 0
Note que G
e N
n˜ao s˜ao grupos, por´em s˜ao L
g
-estruturas.
4
Defini¸c˜ao 1.2.3 Seja L uma linguagem. Suponha que M e N s˜ao L-estruturas com
universos M e N respectivamente.
• Um L-homomorfismo σ : M → N ´e uma aplica¸c˜ao σ : M → N que preserva a
interpreta¸c˜ao dos s´ımbolos de L. Mais precisamente:
i. σ(f
M
(a
1
, . . . , a
n
f
)) = f
N
(σ(a
1
), . . . , σ(a
n
f
)), para f ∈ F e a
1
, . . . , a
n
f
∈ M;
ii. σ(p
M
) = {(σ(a
1
), . . . , σ(a
n
p
)) ∈ N
n
p
; (a
1
, . . . , a
n
p
) ∈ p
M
} ⊂ p
N
para todo
p ∈ P;
iii. σ(c
M
) = c
N
, para todo c ∈ C.
• Uma L-imers˜ao η : M → N ´e um L-homomorfismo injetor tal que η
−1
(p
N
) = p
M
.
• Se M ⊂ N e a inclus˜ao ´e uma L-imers˜ao, dizemos que M ´e uma L-sub-estrutura
de N ou que N ´e uma L-extens˜ao de M.
Exemplo 1.2.4 Seja L = L
g
∪ {p} onde L
g
´e linguagem de grupo e n
p
= 1. Sejam
M = (Z, +, 0, Z
+
) e N = ( Z, +, 0, Z) L-estruturas, ent˜ao id : M → N definida por
id(x) = x ´e um L-homomorfismo.
i. id(x + y) = x + y = id(x) + id(y)
ii. id(p
M
) = id(Z
+
) = Z
+
⊂ Z = p
N
iii. id(0) = 0
Note que id ´e injetor, por´em n˜ao ´e imers˜ao, pois id
−1
(Z) = Z = Z
+
.
Exemplo 1.2.5 Seja η : Z → R definida por η(x) = e
x
, ent˜ao η ´e uma L
g
-imers˜ao de
(Z, +, 0) em (R, ·, 1).
i. η(x + y) = e
x+y
= e
x
· e
y
= η(x) · η(y)
ii. P
g
= ∅
iii. η(0) = e
0
= 1
Injetividade: η(x) = η(y) ⇔ e
x
= e
y
⇔ x = y
Exemplo 1.2.6 (Z, +, 0) ´e uma L
g
-sub-estrutura de (R, +, 0).
Proposi¸c˜ao 1.2.7 Seja L uma linguagem. Suponha M e N L-estruturas e η uma L-
imers˜ao de M em N . Se η ´e bijetora ent˜ao η
−1
´e uma L-imers˜ao de N em M.
5
Demonstra¸c˜ao
Sejam M e N os universos de M e N , respectivamente.
i. Sejam f ∈ F e a
1
, . . . , a
n
f
∈ N
η
−1
(f
N
(a
1
, . . . , a
n
f
)) = η
−1
(f
N
(η(η
−1
(a
1
)), . . . , η(η
−1
(a
n
f
)))) =
= η
−1
(η(f
M
(η
−1
(a
1
), . . . , η
−1
(a
n
f
)))) = f
M
(η
−1
(a
1
), . . . , η
−1
(a
n
f
))
ii. Sejam p ∈ P e a
1
, . . . , a
n
p
∈ N
(a
1
, . . . , a
n
p
) ∈ p
N
⇔ (η(η
−1
(a
1
)), . . . , η(η
−1
(a
n
p
))) ∈ p
N
⇔
⇔ (η
−1
(a
1
), . . . , η
−1
(a
n
p
)) ∈ p
M
iii. Seja c ∈ C
η(c
M
) = c
N
⇒ c
M
= η
−1
(c
N
)
Obviamente η
−1
´e injetora e pelo item ii. temos que (η
−1
)
−1
(p
M
) = p
N
Defini¸c˜ao 1.2.8 Seja η uma L-imers˜ao. Se η ´e bijetora, dizemos que η ´e um L-isomorfismo.
A pr´oxima proposi¸c˜ao nos deixar´a aptos a trabalhar com subestruturas ao inv´es de
imers˜oes, sendo que toda imers˜ao p ode ser vista como uma subestrutura.
Proposi¸c˜ao 1.2.9 Sejam A e N L-estruturas e η : A → N uma L-imers˜ao. Ent˜ao
existe uma L-estrutura M tal que M N e A ⊂ M.
Demonstra¸c˜ao
Vamos definir a L-estrutura M.
Seja M = A
˙
∪(N \ η(A)). Defina a fun¸c˜ao σ : M → N por σ|
A
= η e
σ|
N\η(A)
= id
N
. Claramente σ est´a bem definida e ´e bijetora. Vejamos agora
as interpreta¸c˜oes dos s´ımbolos de L.
Se f ´e um s´ımbolo funcional n-´ario de L, ent˜ao interpretaremos f em M por
f
M
: M
n
−→ M
(a
1
, . . . , a
n
) −→ σ
−1
(f
N
(σ(a
1
), . . . , σ(a
n
)))
Se p ´e um s´ımbolo de predicado n-´ario de L, ent˜ao interpretaremos p em M
por
p
M
= {(a
1
, . . . , a
n
) ∈ M
n
; (σ(a
1
), . . . , σ(a
n
)) ∈ p
N
}
6
Se c ´e um s´ımbolo de constante de L, ent˜ao interpretaremos c em M por
c
M
= σ
−1
(c
N
)
Portanto M ´e uma L-estrutura, A ⊂ M e, por constru¸c˜ao, σ : M → N ´e um
isomorfismo.
1.3 F´ormulas e Senten¸cas
Seja S um conjunto abstrato, cujos elementos s˜ao chamados s´ımbolos, que suporemos
uni˜ao de cinco subconjuntos disjuntos denotados por:
• vari´aveis: v, v
1
, v
2
, v
3
, . . .
• igualdade: =
• conectivos booleanos: ∧, ¬
• quantificador: ∃
• auxiliares: (, [, ), ]
F´ormulas ser˜ao seq¨uˆencias finitas de s´ımbolos constru´ıdos atrav´es dos s´ımbolos de uma
linguagem e s´ımbolos de S. (Veja mais em [2] e [12])
No que segue, a menos de defini¸c˜ao expl´ıcita, fixamos uma linguagem L arbitr´aria.
Defini¸c˜ao 1.3.1 O conjunto de L-termos ´e o menor conjunto T tal que:
i. c ∈ T para todo c ∈ C;
ii. cada s´ımbolo de vari´avel v
i
∈ T , para i = 1, 2 , . . .;
iii. se f ∈ F e t
1
, . . . , t
n
f
∈ T , ent˜ao ft
1
. . . t
n
f
∈ T .
Exemplo 1.3.2 Seja L
a
= {+, −, ·, 0, 1} a linguagem de an´eis. Exemplos de L
a
-termos:
L
a
-termo Nota¸c˜ao
1. ·v
1
+ v
3
− 1 v
1
(v
3
− 1)
2. · + v
1
v
2
+ v
3
1 (v
1
+ v
2
)(v
3
+ 1)
3. +1 + 1 + 11 1 + (1 + (1 + 1))
7
O uso da nota¸c˜ao ´e para facilitar a leitura do termo. No item 1. do exemplo acima temos
que 1 ´e termo pelo item i. da defini¸c˜ao e v
1
e v
3
s˜ao termos pelo item ii., assim, pelo item
iii. temos que −1 ´e termo, depois que +v
3
− 1 ´e termo e finalmente que ·v
1
+ v
3
− 1 ´e
termo.
Na L
r
-estrutura (Z, +, −, ·, 0, 1) podemos pensar nos termos +1 + 1 + 11 como nome para
o elemento 4 e · + v
1
v
2
+ v
3
1 como nome para a fun¸c˜ao (x, y, z) → (x + y)(z + 1).
Suponha que M ´e uma L-estrutura e que t ´e um L-termo constru´ıdo usando s´ımbolos
de vari´aveis de v = (v
1
, . . . , v
m
), para algum m. Queremos interpretar t como uma fun¸c˜ao
t
M
: M
m
→ M. Para isso, seja a = (a
1
, . . . , a
m
) ∈ M
m
, vamos definir indutivamente
t
M
(a) como:
i. Se t ´e um s´ımbolo de constante c, ent˜ao t
M
(a) = c
M
;
ii. Se t ´e um s´ımbolo de vari´avel v
i
, ent˜ao t
M
(a) = a
i
;
iii. Se f ∈ F, t
1
, . . . , t
n
f
∈ T e t ´e o termo ft
1
. . . t
n
f
, ent˜ao t
M
(a) = f
M
(t
M
1
(a), . . . , t
M
n
f
(a)).
Exemplo 1.3.3 Seja L = {f, g, c}, onde c ´e s´ımbolo de constante e f e g s˜ao s´ımbolos
funcionais com n
f
= 1 e n
g
= 2. Considere os L-termos:
t
1
= gv
1
c
t
2
= fgcfv
1
t
3
= gfgv
1
v
2
gv
1
fv
2
Seja M a L-estrutura (R, exp, +, 1), onde f
M
= exp, g
M
= + e c
M
= 1. Ent˜ao
t
M
1
(a
1
) = a
1
+ 1
t
M
2
(a
1
) = e
1+e
a
1
t
M
3
(a
1
, a
2
) = e
a
1
+a
2
+ (a
1
+ e
a
2
)
Defini¸c˜ao 1.3.4 Dizemos que ϕ ´e uma L-f´ormula atˆomica se ϕ ´e:
i. t
1
= t
2
, onde t
1
, t
2
∈ T ; ou
ii. pt
1
. . . t
n
p
, onde p ∈ P e t
1
, . . . , t
n
p
∈ T .
O conjunto de L-f´ormulas ´e o menor conjunto W contendo as L-f´ormulas atˆomicas e tal
que:
I. Se ϕ ∈ W, ent˜ao ¬ϕ ∈ W;
II. Se ϕ, ψ ∈ W, ent˜ao ϕ ∧ ψ ∈ W;
8
III. Se ϕ ∈ W, ent˜ao ∃vϕ ∈ W.
Obs.: Algumas nota¸c˜oes e abrevia¸c˜oes:
• ϕ ∨ ψ := ¬(¬ϕ ∧ ¬ψ)
• ϕ → ψ := ¬ϕ ∨ ψ
• ϕ ↔ ψ := (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ)
• ∀vϕ := ¬(∃v¬ϕ)
•
n
i=1
ϕ
i
:= ϕ
1
∧ . . . ∧ ϕ
n
•
n
i=1
ϕ
i
:= ϕ
1
∨ . . . ∨ ϕ
n
Exemplo 1.3.5 Seja L
ao
= {+, −, ·, <, 0, 1} a linguagem de an´eis ordenados, ent˜ao s˜ao
exemplos de L
ao
-f´ormulas:
1. v
1
= 0 ∨ v
1
> 0
2. ∃v
2
(v
2
· v
2
= v
1
)
3. ∀v
1
(v
1
= 0 ∨ ∃v
2
(v
1
· v
2
= 1))
Intuitivamente, o item 1. do exemplo acima nos diz que v
1
≥ 0, j´a o item 2. que v
1
´e um
quadrado e o 3. que todo n´umero diferente de zero tem um inverso multiplicativo.
Gostar´ıamos de estabelecer uma rela¸c˜ao precisa entre f´ormulas e o que elas dizem
sobre estruturas, e em particular, definir o que significa para uma f´ormula ser verdadeira
ou falsa numa estrutura. Enquanto em qualquer L
ao
-estrutura o item 3. do exemplo acima
´e ou verdadeira ou falsa, os itens 1. e 2. expressam propriedades que podem ou n˜ao serem
verdadeiras para algum particular elemento da estrutura. Por exemplo, na L
ao
-estrutura
(Z, +, −, ·, <, 0, 1), 2. ´e verdade para v
1
= 9, mas n˜ao para v
1
= 8.
Para isso, definiremos indutivamente o que significa uma vari´avel, ocorrendo numa
f´ormula, ser livre.
Defini¸c˜ao 1.3.6 • Se ψ ´e uma f´ormula livre de quantificadores, ent˜ao toda vari´avel
ocorrendo em ψ ´e livre .
• Seja
ϕ
uma f´ormula. Se
ψ
=
∃
vϕ
, ent˜ao toda ocorrˆencia de
v
em
ψ
´e
limitada
em ψ. Al´em disso, se w ´e outra vari´avel ocorrendo em ψ, w ´e limitada em ψ se, e
somente se, w ´e limitada em ϕ. An´alogo para o caso onde ψ = ∀vϕ.
9
• Dada uma f´ormula ψ, dizemos que uma vari´avel v ocorrendo em ψ ´e livre se ela
n˜ao for limitada em ψ.
No exemplo anterior temos que v
1
´e livre nos itens 1. e 2., e limitada no item 3., j´a v
2
´e limitada nos itens 2. e 3.. Observe que uma mesma vari´avel pode ser livre e limitada
numa mesma f´ormula. Veja por exemplo a f´ormula
∀v[v = w ∧ ∃w(w = v)] → ∃u(v = u)
As trˆes primeiras ocorrˆencias de v s˜ao limitadas e a ´ultima ´e livre, a primeira ocorrˆencia
de w ´e livre e as outras duas s˜ao limitadas, e as duas ocorrˆencias de u s˜ao limitadas.
Ent˜ao dizemos que uma vari´avel v ´e livre numa f´ormula ψ se ela ocorre ao menos uma
vez em ψ como vari´avel livre. Logo, no nosso ´ultimo exemplo, v e w s˜ao vari´aveis livres,
por´em u n˜ao ´e.
Defini¸c˜ao 1.3.7 Uma L-senten¸ca ´e uma L-f´ormula sem vari´aveis livres.
Dada uma L-estrutura M, veremos que cada L-senten¸ca ou ´e verdadeira ou ´e falsa em
M. Por outro lado, se ϕ ´e uma f´ormula com vari´aveis livres entre v
1
, . . . , v
n
, veremos
ϕ como expressando uma propriedade de elementos de M
n
. Escreveremos ϕ(v
1
, . . . , v
n
)
para deixar expl´ıcito quais s˜ao as vari´aveis de ϕ.
Definiremos o que significa ϕ(v
1
, . . . , v
n
) ser satisfeita por uma n-upla (a
1
, . . . , a
n
) ∈ M
n
,
dita ser uma designa¸c˜ao para v
1
, . . . , v
n
em M.
Defini¸c˜ao 1.3.8 Seja ϕ uma f´ormula com vari´aveis livres v = (v
1
, . . . , v
n
) e seja
a = (a
1
, . . . , a
n
) ∈ M
n
. Indutivamente definimos a rela¸c˜ao M ϕ(a), e dizemos que
M satisfaz ϕ(a) ou que ϕ(a) ´e verdadeira em M da seguinte maneira:
i. Se ϕ ´e t
1
= t
2
, ent˜ao M ϕ(a) sse t
M
1
(a) = t
M
2
(a);
ii. Se ϕ ´e pt
1
. . . t
n
p
, ent˜ao M ϕ(a) sse (t
M
1
(a), . . . , t
M
n
p
(a)) ∈ p
M
;
iii. Se ϕ ´e ¬ψ, ent˜ao M ϕ(a) sse M ψ(a);
1
iv. Se ϕ ´e ψ ∧ α, ent˜ao M ϕ(a) sse M ψ(a) e M α(a);
v. Se ϕ ´e ∃v
j
ψ(v, v
j
), ent˜ao M ϕ(a) sse existe b ∈ M tal que M ψ(a, b).
Obs.: Se ϕ ´e uma senten¸ca, n˜ao tem vari´aveis livres, ent˜ao n˜ao depende de uma
designa¸c˜ao para verificar sua veracidade, depende apenas da estrutura. Poder´ıamos ver
da seguinte forma: seja ψ a f´ormula (v = v) ∧ ϕ e M uma estrutura, ent˜ao ψ tem uma
1
Usaremos o s´ımb olo , de forma ´obvia, como a nega¸c˜ao da rela¸c˜ao .
10
vari´avel livre v, por´em para todo a ∈ M temos que a = a, logo M ϕ sse M ψ(a)
para todo a ∈ M.
´
E importante notar que os quantificadores (∃ e ∀) agem somente sobre os elementos
da estrutura. Por exemplo, a propriedade de um corpo ordenado ser completo (todo
subconjunto limitado possui supremo) n˜ao pode ser expressa como uma f´ormula porque
n˜ao podemos quantificar sobre subconjuntos. O fato de estarmos limitados `a quantifica¸c˜ao
sobre elementos da estrutura ´e uma caracter´ıstica fundamental da l´ogica de primeira
ordem.
1.4 Imers˜oes e Equivalˆencias
Se uma f´ormula possui um quantificador existencial e ela ´e satisfeita numa determinada
estrutura por uma designa¸c˜ao, ent˜ao existe, nesta estrutura, uma testemunha para esse
quantificador. Se tomarmos uma subestrutura dessa anterior, nada garante que nesta
haver´a tamb´em uma testemunha para tal quantificador. Veja exemplo 1.4.3. Da mesma
forma, se uma f´ormula p ossui um quantificador universal, e ´e satisfeita numa determinada
estrutura, ent˜ao todo elemento desta estrutura tem que ser uma testemunha para esse
quantificador. O que n˜ao necessariamente acontece para uma extens˜ao dessa estrutura.
Veremos agora que se uma f´ormula sem quantificadores ´e verdadeira em alguma es-
trutura, ent˜ao ela ´e verdadeira em qualquer extens˜ao desta.
Nota¸c˜ao: Se M e N s˜ao L-estruturas, a = (a
1
, . . . , a
n
) ∈ M
n
e η ´e uma L-imers˜ao de
M em N , notaremos por η(a) a n-upla (η(a
1
), . . . , η(a
n
)) ∈ N
n
.
Proposi¸c˜ao 1.4.1 Suponha M e N L-estruturas e η uma L-imers˜ao de M em N . Sejam
a ∈ M
n
e ϕ(v) uma f´ormula livre de quantificadores. Ent˜ao M ϕ(a) se, e somente se,
N ϕ(η(a)).
Demonstra¸c˜ao
Primeiro veremos que se t(v) ´e um termo e b ∈ M
n
, ent˜ao η(t
M
(b)) = t
N
(η(b)).
Isto ´e provado por indu¸c˜ao sobre termos:
i. Se t ´e um s´ımbolo de constante c, ent˜ao
η(t
M
(b)) = η(c
M
) = c
N
= t
N
(η(b))
ii. Se t ´e um s´ımbolo de vari´avel v
i
, ent˜ao
η(t
M
(b)) = η(b
i
) = t
N
(η(b))
11
iii. Sejam f ∈ F e t
1
, . . . , t
n
f
∈ T e suponha η (t
M
i
(b)) = t
N
i
(η(b)) para
i = 1, . . . , n
f
. Se t ´e igual a f t
1
. . . t
n
f
, ent˜ao
η(t
M
(b)) = η(f
M
(t
M
1
(b), . . . , t
M
n
f
(b))) =
= f
N
(η(t
M
1
(b)), . . . , η(t
M
n
f
(b))) =
= f
N
(t
N
1
(η(b)), . . . , t
N
n
f
(η(b))) =
= t
N
(η(b))
Vamos agora provar a proposi¸c˜ao por indu¸c˜ao sobre as f´ormulas
i. Se ϕ ´e t
1
= t
2
, ent˜ao
M ϕ(a) ⇔ t
M
1
(a) = t
M
2
(a) ⇔ η(t
M
1
(a)) = η(t
M
2
(a)) ⇔
⇔ t
N
1
(η(a)) = t
N
2
(η(a)) ⇔ N ϕ(η(a))
ii. Se ϕ ´e pt
1
. . . t
n
p
, onde p ∈ P, ent˜ao
M ϕ(a) ⇔ (t
M
1
(a), . . . , t
M
n
p
(a)) ∈ p
M
⇔
⇔ (η(t
M
1
(a)), . . . , η(t
M
n
p
(a))) ∈ p
N
⇔
⇔ (t
N
1
(η(a)), . . . , t
N
n
p
(η(a))) ∈ p
N
⇔
⇔ N ϕ(η(a))
Ent˜ao a proposi¸c˜ao ´e verdadeira para as f´ormulas atˆomicas. Suponha que a
proposi¸c˜ao seja verdadeira para ψ e que ϕ ´e ¬ψ, ent˜ao
M ϕ(a) ⇔ M ψ(a) ⇔ N ψ(η(a)) ⇔ N ϕ(η(a))
Finalmente, suponha que a proposi¸c˜ao seja verdadeira para ψ
1
e ψ
2
e que
ϕ = ψ
1
∧ ψ
2
, ent˜ao
M ϕ(a) ⇔ M ψ
1
(a) e M ψ
2
(a) ⇔
⇔ N ψ
1
(η(a)) e N ψ
2
(η(a)) ⇔ N ϕ(η(a))
Corol´ario 1.4.2 Suponha M subestrutura de N . Sejam a
1
, . . . , a
n
∈ M e ϕ(v
1
, . . . , v
n
)
uma f´ormula livre de quantificadores. Ent˜ao M ϕ(a) se, e somente se, N ϕ(a).
Demonstra¸c˜ao
Como M ´e subestrutura de N , a inclus˜ao de M em N ´e uma imers˜ao. To-
12
mando η da proposi¸c˜ao anterior igual a essa inclus˜ao temos
M ϕ(a) ⇔ N ϕ(η(a)) ⇔ N ϕ(a)
Exemplo 1.4.3 Contra-exemplo com quantificador.
Sejam L
a
= {+, −, ·, 0, 1}, M = (Z, +, −, ·, 0, 1) e N = (R, +, −, ·, 0, 1).
Tome
ϕ(v) := v = 0 → ∃x(x · v = 1)
e
ψ(v) := v = 0 ∧ ∀x(x · v = 1)
Note que M ϕ(2), por´em N ϕ(2). E como ψ = ¬ϕ, M ψ(2) e N ψ(2)
Observe que nesse exemplo M ´e subestrutura de N . Se tomarmos uma extens˜ao A de
N , teremos que A ϕ(2). Assim como se tomarmos uma subestrutura B de M, teremos
que B ψ(2). Vejamos ent˜ao um resultado que esclare¸ca melhor essa situa¸c˜ao.
A pr´oxima proposi¸c˜ao nos diz que se ϕ ´e uma f´ormula sem quantificador universal
satisfeita por uma estrutura M, ent˜ao qualquer extens˜ao desta satisfaz tal f´ormula.
Proposi¸c˜ao 1.4.4 Sejam ϕ(v
1
, . . . , v
n
) uma L-f´ormula livre de quantificadores e M ⊂ N
L-estruturas. Ent˜ao M ∃v
1
. . . ∃v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
) implica N ∃v
1
. . . ∃v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
).
Demonstra¸c˜ao
Suponha que
M ∃v
1
. . . ∃v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
)
ent˜ao existe a
1
, . . . , a
n
∈ M tal que M ϕ(a
1
, . . . , a
n
). Assim, pelo corol´ario
1.4.2, N ϕ(a
1
, . . . , a
n
), portanto
N ∃v
1
. . . ∃v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
)
Como corol´ario temos que se ϕ ´e uma f´ormula sem quantificador existencial satisfeita por
uma estrutura N , ent˜ao qualquer subestrutura desta satisfaz tal f´ormula.
Corol´ario 1.4.5 Sejam ϕ(v
1
, . . . , v
n
) uma L-f´ormula livre de quantificadores e M ⊂ N
L-estruturas. Ent˜ao N ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
) implica M ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
).
13
Demonstra¸c˜ao
Suponha que
M ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
)
ent˜ao
M ¬∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
)
logo
M ∃v
1
. . . ∃v
n
¬ϕ(v
1
, . . . , v
n
)
pela proposi¸c˜ao anterior,
N ∃v
1
. . . ∃v
n
¬ϕ(v
1
, . . . , v
n
)
portanto
N ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
)
Defini¸c˜ao 1.4.6 Dizemos que duas L-estruturas M e N s˜ao elementarmente equivalen-
tes e escrevemos M ≡ N quando M ϕ ⇔ N ϕ, para toda L-senten¸ca ϕ.
O conjunto das L-senten¸cas ϕ tais que M ϕ, denotado por T h(M) ´e dito teoria de M.
Proposi¸c˜ao 1.4.7 M ≡ N se, e somente se, T h(M) = T h(N ).
Demonstra¸c˜ao
Suponha primeiramente que M ≡ N , ent˜ao
ϕ ∈ T h(M) ⇔ M ϕ ⇔ N ϕ ⇔ ϕ ∈ T h(N )
logo T h(M) = T h(N ).
Agora suponha que T h(M) = T h(N ), ent˜ao
M ϕ ⇔ ϕ ∈ T h(M) ⇔ ϕ ∈ T h(N ) ⇔ N ϕ
logo M ≡ N .
14
Proposi¸c˜ao 1.4.8 Suponha M e N L-estruturas isomorfas, e η : M → N ´e um iso-
morfismo. Sejam a ∈ M
n
e ϕ(v) uma f´ormula. Ent˜ao M ϕ(a) se, e somente se,
N ϕ(η(a)).
Demonstra¸c˜ao
J´a vimos que se ϕ(v) ´e uma f´ormula livre de quantificadores, a proposi¸c˜ao ´e
verdadeira, pois η ´e uma imers˜ao. Basta-nos ent˜ao, mostrar que tamb´em ´e
v´alida com quantificadores.
Se ϕ(v) ´e igual a ∃wψ(v, w) e a proposi¸c˜ao ´e verdadeira para ψ, ent˜ao
M ϕ(a) ⇔ existe b ∈ M tal que M ψ(a, b) ⇔
⇔ existe c ∈ N tal que N ψ(η(a), c) ⇔
⇔ N ϕ(η(a))
Corol´ario 1.4.9 Se M e N s˜ao isomorfos, ent˜ao M ≡ N .
Demonstra¸c˜ao
Imediata da proposi¸c˜ao anterior.
A no¸c˜ao de equivalˆencia elementar, no entanto, ´e estritamente mais fraca do que a
de isomorfismo entre estruturas. No cap´ıtulo 4 veremos com o teorema de L¨owenheim-
Skolem que existem mo delos elementarmente equivalentes com cardinalidades distintas, e
portanto n˜ao isomorfos.
15
Cap´ıtulo 2
Teorias
2.1 Teorias e Modelos
Defini¸c˜ao 2.1.1 Uma L-teoria T ´e simplesmente um conjunto de L-senten¸cas.
Nos referimos freq¨uentemente a L-teorias simplesmente como teorias, se n˜ao houver perigo
de confus˜ao.
Defini¸c˜ao 2.1.2 Dizemos que uma L-estrutura M ´e um modelo de uma teoria T e de-
notamos por M T, se M ϕ para toda senten¸ca ϕ ∈ T.
Exemplo 2.1.3 O conjunto T = {∀x(x = 0), ∃x(x = 0)} ´e uma teoria, por´em n˜ao
tem modelo, pois suas senten¸cas s˜ao contradit´orias. Isto ´e, se M ∀x(x = 0), ent˜ao
M ∃x(x = 0).
Defini¸c˜ao 2.1.4 Uma teoria ´e satisfat´ıvel se ela tem algum modelo.
Dizemos que uma classe de L-estruturas K ´e uma classe elementar se existe uma L-teoria
T tal que K = {M; M T}.
Exemplo 2.1.5 Conjuntos infinitos
T = {∃x
1
∃x
2
. . . ∃x
n
i<j≤n
x
i
= x
j
ϕ
n
, para todo n}
Os ´unicos modelos para T s˜ao estruturas de cardinalidade infinita.
Exemplo 2.1.6 Ordem linear L = {<}
ϕ
1
:= ∀x¬(x < x)
ϕ
2
:= ∀x∀y∀z((x < y ∧ y < z) → x < z)
ϕ
3
:= ∀x∀y(x < y ∨ x = y ∨ y < x)
16
T
ol
= {ϕ
1
, ϕ
2
, ϕ
3
}
Densidade
ϕ
4
:= ∀x∀y(x < y → ∃z(x < z ∧ z < y))
T
old
= T
ol
∪ {ϕ
4
}
Sucessor
ϕ
5
:= ∀x∃y(x < y ∧ ∀z(x < z → (z = y ∨ y < z)))
T
ols
= T
ol
∪ {ϕ
5
}
Exemplo 2.1.7 Rela¸c˜ao de Equivalˆencia
L = {E} onde E ´e s´ımbolo de predicado e n
E
= 2
ϕ
1
:= ∀xE(x, x)
ϕ
2
:= ∀x∀y(E(x, y) → E(y, x))
ϕ
3
:= ∀x∀y∀z((E(x, y) ∧ E(y, z)) → E(x, z))
T
e
= {ϕ
1
, ϕ
2
, ϕ
3
}
Dois elementos por classe
ϕ
4
:= ∀x∃y(x = y ∧ E(x, y) ∧ ∀z(E(x, z) → (z = x ∨ z = y)))
T
e
= T
e
∪ {ϕ
4
}
Duas classes
ϕ
5
:= ∃x∃y(¬E(x, y) ∧ ∀z(E(x, z) ∨ E(y, z)))
T
e
= T
e
∪ {ϕ
5
}
Exemplo 2.1.8 Aritm´etica de Peano
L = {+, ·, s, 0}
ϕ
1
:= ∀x(s(x) = 0)
ϕ
2
:= ∀x(x = 0 → ∃y(s(y) = x))
ϕ
3
:= ∀x(x + 0 = x)
ϕ
4
:= ∀x∀y(x + s(y) = s(x + y))
ϕ
5
:= ∀x(x · 0 = 0)
ϕ
6
:= ∀x∀y(x · s(y) = (x · y) + x)
e para cada f´ormula ψ(v, w) defina a senten¸ca:
ϕ
ψ
:= ∀w[(ψ(0, w) ∧ ∀v(ψ(v, w) → ψ(s(v), w))) → ∀xψ(x, w)]
17
T = {ϕ
1
, ϕ
2
, ϕ
3
, ϕ
4
, ϕ
5
, ϕ
6
} ∪ {ϕ
ψ
; ψ(v, w) ´e f´ormula}
Exemplo 2.1.9 Grupos L
g
= {+, 0}
ϕ
1
:= ∀x(0 + x = x + 0 = x)
ϕ
2
:= ∀x∀y∀z((x + y) + z = x + (y + z))
ϕ
3
:= ∀x∃y(x + y = y + x = 0)
T
g
= {ϕ
1
, ϕ
2
, ϕ
3
}
Grupos abelianos
ϕ
4
:= ∀x∀y(x + y = y + x)
T
ga
= T
g
∪ {ϕ
4
}
Grupos abelianos ordenados L
go
= {+, <, 0}
ϕ
5
:= ∀x∀y∀z(x < y → (x + z < y + z))
T
gao
= T
ga
∪ T
ol
∪ {ϕ
5
}
Exemplo 2.1.10 An´eis L
a
= {+, −, ·, 0, 1}
ϕ
1
:= ∀x∀y∀z(x − y = z ↔ x = y + z)
ϕ
2
:= ∀x(x · 0 = 0)
ϕ
3
:= ∀x∀y∀z(x · (y · z) = (x · y) · z)
ϕ
4
:= ∀x(x · 1 = 1 · x = x)
ϕ
5
:= ∀x∀y∀z(x · (y + z) = (x · y) + (x · z))
ϕ
6
:= ∀x∀y∀z((x + y) · z) = (x · z) + (y · z)
T
a
= T
ga
∪ {ϕ
1
, ϕ
2
, ϕ
3
, ϕ
4
, ϕ
5
, ϕ
6
}
An´eis comutativos
ϕ
7
:= ∀x∀y(x · y = y · x)
T
ac
= T
a
∪ {ϕ
7
}
Dom´ınios de integridade
ϕ
8
:= ∀x∀y(x · y = 0 → (x = 0) ∨ (y = 0))
T
d
= T
ac
∪ {ϕ
8
}
18
Corpos
ϕ
9
:= ∀x(x = 0 → ∃y(x · y = 1))
T
c
= T
ac
∪ {ϕ
9
}
Corpos algebricamente fechados
µ
n
:= ∀a
0
. . . ∀a
n−1
∃x
x
n
+
n−1
i=0
a
i
x
i
= 0
CAF = T
c
∪ {µ
n
; n ∈ N
∗
}
Corpos algebricamente fechados de caracter´ıstica p
ψ
p
:= ∀x x + . . . + x
p vezes
= 0
Se p ´e primo
CAF
p
= CAF ∪ {ψ
p
}
Se p = 0
CAF
0
= CAF ∪ {¬ψ
p
; p > 0}
Exemplo 2.1.11 Corpos ordenados L
ao
= L
a
∪ {<}
ϕ
1
:= ∀x∀y∀z(x < y → x + z < y + z)
ϕ
2
:= ∀x∀y∀z((x < y ∧ 0 < z) → x · z < y · z)
T
co
= T
ol
∪ T
c
∪ {ϕ
1
, ϕ
2
}
2.2 Conseq¨uˆencia L´ogica
Defini¸c˜ao 2.2.1 Sejam T uma L-teoria e ϕ uma L-senten¸ca. Dizemos que ϕ ´e con-
seq¨uˆencia l´ogica de T, e denotamos por T ϕ, se M ϕ sempre que M T.
Exemplo 2.2.2 Sejam L = L
go
e T = T
gao
, como no exemplo 2.1.9. Ent˜ao a senten¸ca
ϕ := ∀x(x = 0 → x + x = 0) ´e uma conseq¨uˆencia l´ogica de T.
Suponha M = (M, +, <, 0) um modelo de T, isto ´e, um grupo abeliano orde-
nado. Seja a ∈ M \ {0}, devemos mostrar que a + a = 0. Bom, temos que
a < 0 ou 0 < a. Se a < 0 ent˜ao a + a < 0 + a = a < 0, e como ¬(0 < 0), temos
a + a = 0. Se 0 < a ent˜ao 0 < a = 0 + a < a + a, logo a + a = 0. Portanto,
19
como tomamos M um modelo arbitr´ario de T e a senten¸ca ϕ ´e verdadeira em
M, temos que ϕ ´e conseq¨uˆencia l´ogica de T.
Exemplo 2.2.3 Seja T a teoria de grupos onde todo elemento tem ordem 2, ou seja,
T = T
g
∪ {∀x(x + x = 0)}. Ent˜ao ϕ := ∃x
1
∃x
2
∃x
3
(x
1
= x
2
∧ x
2
= x
3
∧ x
1
= x
3
) n˜ao ´e
consequencia l´ogica de T.
Claramente Z
2
´e modelo de T, por´em Z
2
ϕ.
Defini¸c˜ao 2.2.4 Sejam T e T
L-teorias. Dizemos que T
´e conseq¨uˆencia de T se T ϕ
para toda senten¸ca ϕ ∈ T
, e denotamos por T T
. Al´em disso, se T
T, dizemos que
T
´e uma axiomatiza¸c˜ao de T.
Exemplo 2.2.5 T
c
T
d
Para isso basta ver que
T
c
∀x∀y(x · y = 0 → (x = 0) ∨ (y = 0))
De fato, sejam M T e a, b ∈ M tais que a · b = 0. Suponha que a = 0,
ent˜ao, como
M ∀x(x · 1 = 1 · x = x)
M ∀x(x = 0 → ∃y(x · y = 1))
M ∀x∀y(x · y = y · x)
M ∀x∀y∀z(x · (y · z) = (x · y) · z)
M ∀x(x · 0 = 0)
existe c ∈ M tal que
b = 1 · b = (a · c) · b = (c · a) · b = c · (a · b) = c · 0 = 0
Logo M T
d
e portanto T
c
T
d
2.3 Conjuntos Defin´ıveis
Defini¸c˜ao 2.3.1 Seja M = (M, {f
M
}
f∈F
, {p
M
}
p∈P
, {c
M
}
c∈C
) uma L-estrutura. Di-
zemos que X ⊂ M
n
´e defin´ıvel se existem uma L-f´ormula ϕ(v
1
, . . . , v
n
, w
1
, . . . , w
m
) e
b ∈ M
m
tais que X = {a ∈ M
n
; M ϕ(a, b)}. Neste caso dizemos que ϕ(v, b) define
X. Tamb´em dizemos que X ´e A-defin´ıvel ou defin´ıvel por A se existem uma L-f´ormula
ψ(v
1
, . . . , v
n
, w
1
, . . . , w
l
) e d ∈ A
l
, onde A ⊂ M, tais que ψ(v, d) define X.
20
Exemplo 2.3.2 Seja L
a
= {+, −, ·, 0, 1} linguagem de an´eis. Suponha M = (R, +, −, ·, 0, 1)
um anel. Seja p(X) ∈ R[X]. Ent˜ao Y = {x ∈ R; p(x) = 0} ´e defin´ıvel.
Suponha
p(X) =
n
i=0
a
i
X
i
Seja ϕ(v, w
0
, . . . , w
n
) a f´ormula
w
n
v
n
+ . . . + w
1
v + w
0
= 0
Ent˜ao ϕ(v, a
0
, . . . , a
n
) define Y , logo Y ´e A-defin´ıvel para qualquer
A ⊃ {a
0
, . . . , a
n
}.
Exemplo 2.3.3 Suponha L
a
como no exemplo anterior e M = (R, +, −, ·, 0, 1) o corpo
dos n´umeros reais. Ent˜ao Or = {(a, b) ∈ R
2
; a < b} ´e defin´ıvel.
Seja ϕ(x, y) a f´ormula
∃z(z = 0 ∧ y = x + z
2
)
Ent˜ao a < b sse M ϕ(a, b), logo Or ´e ∅-defin´ıvel.
Exemplo 2.3.4 Sejam L
ao
a linguagem dos an´eis ordenados e M = (R, +, −, ·, 0, 1) o
corpo ordenado dos n´umeros reais. Suponha que X ⊂ R
n
´e A- defin´ıvel. Ent˜ao o fecho
topol´ogico de X tamb´em ´e A-defin´ıvel.
Suponha que ϕ(v, a), para algum a ∈ A
m
, define X.
Seja ψ(v, w) a f´ormula
∀ε
ε > 0 → ∃y
1
. . . ∃y
n
ϕ(y, w) ∧
n
i=1
(v
i
− y
i
)
2
< ε
Ent˜ao b est´a no fecho de X sse M ψ(b, a). Portanto X ´e A-defin´ıvel.
Vejamos agora uma caracteriza¸c˜ao para a defini¸c˜ao de conjuntos defin´ıveis.
Defini¸c˜ao 2.3.5 Seja M uma L-estrutura. Dizemos que D = (D
n
⊂ P(M
n
); n ≥ 1) ´e a
menor cole¸c˜ao tal que:
i. M
n
∈ D
n
;
ii. para todo s´ımbolo funcional f n-´ario de L, o gr´afico de f
M
est´a em D
n+1
;
21
iii. para todo s´ımbolo de predicado p n-´ario de L, p
M
∈ D
n
;
iv. para todo i < j ≤ n, {(x
1
, . . . , x
n
) ∈ M
n
; x
i
= x
j
} ∈ D
n
;
v. se X ∈ D
n
, ent˜ao M × X ∈ D
n+1
;
vi. cada D
n
´e fechado com rela¸c˜ao ao complementar, uni˜ao e intersec¸c˜ao;
vii. se X ∈ D
n+1
e π
n
: M
n+1
→ M
n
´e a proje¸c˜ao definida por π
n
(x
1
, . . . , x
n+1
) =
(x
1
, . . . , x
n
), ent˜ao π
n
(X) ∈ D
n
;
viii. se X ∈ D
n+m
e b ∈ M
m
, ent˜ao { a ∈ M
n
; (a, b) ∈ X} ∈ D
n
.
Lema 2.3.6 Sejam X ∈ D
n
e α
n
: {1, . . . , n} → {1, . . . , n} uma bije¸c˜ao. Ent˜ao
Y =
(y
1
, . . . , y
n
) ∈ M
n
; ∃x
1
. . . ∃x
n
n
i=1
(y
i
= x
α
n
(i)
) ∧ (x ∈ X)
∈ D
n
.
Demonstra¸c˜ao
Pelo item iv. da defini¸c˜ao, temos que
A
i
= {(y, x) ∈ M
2n
; y
i
= x
α
n
(i)
} ∈ D
2n
Usando o item v. n vezes, temos que
M
n
× X ∈ D
2n
Portanto, pelo item vi. e usando o item vii. n vezes, temos
Y =
(y
1
, . . . , y
n
) ∈ M
n
; ∃x
1
. . . ∃x
n
n
i=1
(y
i
= x
α
n
(i)
) ∧ (x ∈ X)
=
= π
n
◦ . . . ◦ π
2n−1
n
i=1
A
i
∩ (M
n
× X)
∈ D
n
Teorema 2.3.7 X ⊂ M
n
´e defin´ıvel se, e somente se, X ∈ D
n
.
Demonstra¸c˜ao
Primeiro veremos que os conjuntos defin´ıveis satisfazem as propriedades
(i.-viii.). Como D ´e a menor cole¸c˜ao com tais propriedades, cada X ∈ D
n
ser´a defin´ıvel.
22
i. Seja ϕ(v) a f´ormula v
1
= v
1
, ent˜ao
M
n
= {x ∈ M
n
; x
1
= x
1
} = {x ∈ M
n
; M ϕ(x)}
´e defin´ıvel;
ii. Sejam f um s´ımbolo funcional n-´ario e ϕ(v, w) a f´ormula fv
1
. . . v
n
= w,
ent˜ao
Graf(f) = {(x, y) ∈ M
n+1
; f(x) = y} = {(x, y) ∈ M
n+1
; M ϕ(x, y)}
´e defin´ıvel;
iii. Sejam p um s´ımbolo de predicado n-´ario e ϕ(v) a f´ormula pv
1
. . . v
n
, ent˜ao
p
M
= {x ∈ M
n
; M ϕ(x)}
´e defin´ıvel;
iv. Seja ϕ
ij
(v) a f´ormula v
i
= v
j
, onde i < j ≤ n, ent˜ao
X
ij
= {x ∈ M
n
; x
i
= x
j
} = {x ∈ M
n
; M ϕ
ij
(x)}
´e defin´ıvel;
v. Suponha que X ⊂ M
n
´e definido pela f´ormula ϕ(v
1
, . . . , v
n
, a), para al-
gum a ∈ M
m
, ent˜ao
M × X ´e definido p ela f´ormula ψ(v
1
, . . . , v
n+1
, a) := ϕ(v
2
, . . . , v
n+1
, a)
vi. Se X ⊂ M
n
´e definido por ϕ(v, a) e Y ∈ M
n
´e definido por ψ(v, b), ent˜ao
M \ X ´e definido por ¬ϕ(v, a)
X ∩ Y ´e definido por ϕ(v, a) ∧ ψ(v, b)
X ∪ Y ´e definido por ϕ(v, a) ∨ ψ(v, b)
vii. Se X ⊂ M
n+1
´e definido por ϕ(v
1
, . . . , v
n+1
, a), ent˜ao
π
n
(X) ´e definido por ψ(v
1
, . . . , v
n
, a) := ∃v
n+1
ϕ(v
1
, . . . , v
n+1
, a)
viii. Se X ⊂ M
n+m
´e definido por ϕ(v
1
, . . . , v
n+m
, c) e b ∈ M
m
, ent˜ao
{a ∈ M
n
; (a, b) ∈ X} ´e definido por ϕ(v
1
, . . . , v
n
, b, c)
23
Ent˜ao, se X ∈ D
n
, X ´e defin´ıvel.
Agora mostraremos que se X ⊂ M
n
´e defin´ıvel, ent˜ao X ∈ D
n
.
Primeiro vamos provar por indu¸c˜ao sobre termos que se t(v
1
, . . . , v
n
) ´e um
termo, ent˜ao Y = {(x, y) ∈ M
n+1
; t
M
(x) = y} ∈ D
n+1
.
• Se t ´e um s´ımbolo de constante c, ent˜ao por iv. temos
A = {(x, x) ∈ M
2
} ∈ D
2
e por viii. temos
{c
M
} = {x ∈ M; (x, c
M
) ∈ A} ∈ D
1
Aplicando n vezes v. temos
Y = {(x, y) ∈ M
n+1
; t
M
(x) = y} = {(x, c
M
); x ∈ M
n
} ∈ D
n+1
• Se t ´e um s´ımbolo de vari´avel v
j
, ent˜ao por i. temos
M
n
∈ D
n
e por iv. temos
Y = {(x, y) ∈ M
n
+1
; t
M
(x) = y} = {(x, x
j
); x ∈ M
n
} ∈ D
n+1
• Seja t o termo ft
1
. . . t
m
. Por indu¸c˜ao, supomos que G
i
∈ D
n+1
onde G
i
´e o gr´afico de t
M
i
: M
n
→ M, i = 1, . . . , m. Seja G ∈ D
m+1
o gr´afico de
f
M
. Ent˜ao, para i = 1, . . . , m, por v. temos
A
i
= {(y, z
1
, . . . , z
i−1
, z
i+1
, . . . , z
m
, x, z
i
) ∈ M
m+n+1
; (x, z
i
) ∈ G
i
} =
= M
m
× G
i
∈ D
m+n+1
e
B
= {(x, z, y) ∈ M
n+m+1
; (z, y) ∈ G} = M
n
× G ∈ D
n+m+1
Logo, pelo lema anterior, temos
A
i
= {(x, y, z) ∈ M
m+n+1
; (x, z
i
) ∈ G
i
} ∈ D
m+n+1
24
e
B = {(x, y, z) ∈ M
m+n+1
; (z, y) ∈ G} ∈ D
m+n+1
Portanto, por vi. temos
Y = {(x, y) ∈ M
n+1
; t
M
(x) = y} =
= {(x, y) ∈ M
n+1
; f
M
(t
M
1
(x), . . . , t
M
m
(x)) = y} =
=
(x, y) ∈ M
n+1
; ∃z
1
. . . ∃z
m
m
i=1
(x, z
i
) ∈ G
i
∧ (z, y) ∈ G
=
= π
n+1
◦ . . . ◦ π
m+n
m
i=1
A
i
∩ B
∈ D
n+1
Agora, por indu¸c˜ao sobre f´ormulas, mostraremos que todo X ⊂ M
n
∅-defin´ıvel
est´a em D
n
.
• Seja ϕ a f´ormula t
1
= t
2
, onde t
1
e t
2
s˜ao termos. Ent˜ao
X = {x ∈ M
n
; t
M
1
(x) = t
M
2
(x)} =
= {x ∈ M
n
; ∃y(t
M
1
(x) = y ∧ t
M
2
(x) = y)} =
= π
n
({(x, y) ∈ M
n+1
; t
M
1
(x) = y} ∩ {(x, y) ∈ M
n+1
; t
M
2
(x) = y}) ∈ D
n
• Seja ϕ a f´ormula pt
1
. . . t
m
, onde p ∈ P e t
1
, . . . , t
m
s˜ao termos. Ent˜ao,
para i = 1, . . . , m, temos
A
i
= {(z
1
, . . . , z
i−1
, z
i+1
, . . . , z
m
, x, z
i
) ∈ M
m+n
; (t
M
i
(x), z
i
) ∈ G
i
} =
= M
m−1
× G
i
∈ D
m+n
e
B = M
n
× p
M
∈ D
n+m
Logo, pelo lema anterior, temos
A
i
= {(x, z) ∈ M
m+n
; (t
M
i
(x), z
i
) ∈ G
i
} ∈ D
m+n
Portanto, por vi. temos
X = {x ∈ M
n
; (t
M
1
(x), . . . , t
M
m
(x)) ∈ p
M
} =
=
x ∈ M
n
; ∃z
1
. . . ∃z
m
m
i=1
(t
M
i
(x), z
i
) ∈ G
i
∧ z ∈ p
M
=
= π
n
◦ . . . ◦ π
m+n−1
m
i=1
A
i
∩ B
∈ D
n
25
Suponha que {x ∈ M
n
; M ψ(x)}, {x ∈ M
n
; M α(x)} ∈ D
n
. Ent˜ao
• Se ϕ ´e ¬ψ, ent˜ao
X = {x ∈ M
n
; M ϕ(x)} = {x ∈ M
n
; M ψ(x)} =
= M
n
\ {x ∈ M
n
; M ψ(x)} ∈ D
n
• Se ϕ ´e ψ ∧ α , ent˜ao
X = {x ∈ M
n
; M ϕ(x)} = {x ∈ M
n
; M ψ(x) e M α(x)} =
= {x ∈ M
n
; M ψ(x)} ∩ {x ∈ M
n
; M α(x)} ∈ D
n
• Se ϕ(v
1
, . . . , v
n−1
) ´e ∃v
n
ψ(v
1
, . . . , v
n
), ent˜ao
X = {x ∈ M
n−1
; M ϕ(x)} =
= {x ∈ M
n−1
; existe y ∈ M tal que M ψ(x, y)} =
= π
n−1
({(x, y) ∈ M
n
; M ψ(x, y)}) ∈ D
n−1
Portanto temos que todos os conjuntos ∅-defin´ıveis est˜ao em D. Agora suponha
X ⊂ M
n
definido por ϕ(v, a), onde a ∈ M
m
. Ent˜ao, seja Y ⊂ M
n+m
definido
por ϕ(v, w). Note que Y ´e ∅-defin´ıvel, logo Y ∈ D
n+m
. Assim, pelo item viii.
X = {x ∈ M
n
; M ϕ(x, a)} = {x ∈ M
n
; (x, a) ∈ Y } ∈ D
n
Proposi¸c˜ao 2.3.8 Seja M uma L-estrutura. Se X ⊂ M
n
´e A-defin´ıvel, ent˜ao, para
qualquer L-automorfismo σ tal que σ(a) = a para todo a ∈ A, σ(X) = X.
Demonstra¸c˜ao
Suponha que ψ(v, a) define X, onde a ∈ A
m
. Seja σ um automorfismo de M
tal que σ(a) = a e seja b ∈ M
n
. Em particular σ ´e um isomorfismo, ent˜ao
M ψ(b, a) ⇔ M ψ(σ(b), σ(a)) ⇔ M ψ(σ(b), a)
Portanto b ∈ X sse σ(b) ∈ X.
Exemplo 2.3.9 Contra-exemplo da rec´ıproca da proposi¸c˜ao anterior.
26
Seja σ : C → C um automorfismo.
Ent˜ao devemos ter que σ(0) = 0 e σ(1) = 1.
Pelas propriedades de homomorfismo temos que σ(a) = a para todo a ∈ Z,
pois se a > 0,
σ(a) = σ(1 + . . . + 1
a×
) = σ(1) + . . . + σ(1)
a×
= 1 + . . . + 1
a×
= a
se a < 0,
σ(a) = −σ(−a) = −(−a) = a
Portanto qualquer automorfismo de C fixa Z, por´em veremos no corol´ario 5.3.4
que Z n˜ao ´e defin´ıvel em C.
Corol´ario 2.3.10 O conjunto dos n´umeros reais n˜ao ´e defin´ıvel no corpo dos n ´umeros
complexos.
Demonstra¸c˜ao
Suponha que R seja defin´ıvel em C. Ent˜ao existe um conjunto A ⊂ C finito
tal que R seja A-defin´ıvel. Seja K
1
= K[A] o corpo gerado por A e seja
η
1
: K
1
→ K
1
igual `a identidade. Como A ´e finito, K
1
e seu fecho alg´ebrico
s˜ao enumer´aveis. Assim, existem r, s ∈ C com r ∈ R e s /∈ R tais que r e s
sejam algebricamente independentes sobre K
1
.
Tome K
2
= K
1
(r, s). Pelo teorema A.2.3, podemos estender η
1
para um
isomorfismo η
2
: K
2
→ K
2
onde η
2
(r) = s e η
2
(s) = r. Pelo teorema A.2.12,
podemos estender η
2
para um isomorfismo η : C → C.
Como supomos que R ´e A-defin´ıvel em C e η fixa todos os pontos de A,
pela proposi¸c˜ao anterior, temos que η(R) = R, o que ´e um absurdo, pois
η(r) = η
2
(r) = s /∈ R. Portanto R n˜ao ´e defin´ıvel em C.
27
Cap´ıtulo 3
Teorema da Compacidade
Sejam L uma linguagem e T uma L-teoria. Ent˜ao T ´e satisfat´ıvel se, e somente se, todo
subconjunto finito de T ´e uma teoria satisfat´ıvel. Claramente todo modelo de T ´e modelo
de qualquer subconjunto de T. Veremos agora, duas formas distintas de provar a outra
implica¸c˜ao.
3.1 Constru¸c˜ao de Henkin
Fixe L uma linguagem.
Defini¸c˜ao 3.1.1 Seja T uma L-teoria. Ent˜ao
• T ´e finitamente satisfat´ıvel se todo subconjunto finito de T ´e satisfat´ıvel.
• T tem a propriedade do testemunho se, sempre que ϕ(v) ´e uma f´ormula com uma
vari´avel livre, existe um s´ımbolo de constante c ∈ L tal que T (∃vϕ(v)) → ϕ(c).
• T ´e maximal se para toda f´ormula ϕ, ou ϕ ∈ T ou ¬ϕ ∈ T.
Lema 3.1.2 Seja T uma L-teoria maximal. Ent˜ao ϕ ∈ T se, e somente se, T ϕ.
Demonstra¸c˜ao
Se ϕ ∈ T, obviamente T ϕ.
Agora, suponha que T ϕ e ϕ /∈ T, ent˜ao, pela maximalidade de T, ¬ϕ ∈ T.
Assim, para todo M T, M ¬ϕ o que implica M ϕ, absurdo, visto que
T ϕ ⇒ M ϕ.
28
Lema 3.1.3 Seja T uma L-teoria maximal e finitamente satisfat´ıvel. Se ∆ ⊂ T ´e finito
e ∆ ϕ ent˜ao ϕ ∈ T.
Demonstra¸c˜ao
Suponha que ϕ /∈ T, como T ´e maximal, ¬ϕ ∈ T. Mas ent˜ao ∆ ∪ {¬ϕ} ´e
finito e insatisfat´ıvel, pois se M fosse modelo de ∆ ∪ {¬ϕ}, tamb´em o seria
de ∆ e logo M ϕ o que implica M ¬ϕ, absurdo. Portanto ϕ ∈ T.
Lema 3.1.4 Seja T uma L-teoria maximal, finitamente satisfat´ıvel com a propriedade do
testemunho. Ent˜ao T ´e satisfat´ıvel. Al´em disso, se κ ´e um cardinal e L tem no m´aximo
κ s´ımbolos de constante, ent˜ao existe M T com |M| ≤ κ.
Demonstra¸c˜ao
Seja C o conjunto de s´ımbolos de constante de L. Dados c, d ∈ C, dizemos que
c ∼ d sse c = d ∈ T.
Note que ∼ ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia. De fato, obviamente c = c ∈ T,
e se c = d, d = e ∈ T, ent˜ao, pelo lema 3.1.3, d = c, c = e ∈ T, visto que
{c = d} d = c e {c = d ∧ d = e} c = e.
O universo de nosso modelo ser´a M = C/ ∼. Claramente |M| ≤ κ.
Denotaremos por c
∗
a classe de equivalˆencia de c e interpretaremos c pela
classe de equivalˆencia, isto ´e, c
M
= c
∗
.
Seja p um s´ımbolo de predicado n-´ario de L. Suponha c
1
, . . . , c
n
, d
1
, . . . , d
n
∈ C
e c
i
∼ d
i
para i = 1, . . . , n, ent˜ao, como c
i
= d
i
∈ T, pelo lema 3.1.3 temos
que
pc
1
. . . c
n
∈ T ⇒
n
i=1
c
i
= d
i
, pc
1
. . . c
n
pd
1
. . . d
n
⇒ pd
1
. . . d
n
∈ T
pd
1
. . . d
n
∈ T ⇒
n
i=1
c
i
= d
i
, pd
1
. . . d
n
pc
1
. . . c
n
⇒ pc
1
. . . c
n
∈ T
Portanto pc
1
. . . c
n
∈ T sse pd
1
. . . d
n
∈ T.
Interpretaremos p como
p
M
= {(c
∗
1
, . . . , c
∗
n
); pc
1
. . . c
n
∈ T}
29
Sejam f um s´ımbolo funcional n-´ario de L e c
1
, . . . c
n
∈ C, como T tem a
propriedade do testemunho e ∅ ∃vfc
1
. . . c
n
= v, pelo lema 3.1.3, existe
c
n+1
∈ C tal que f c
1
. . . c
n
= c
n+1
∈ T.
T ⊃ {∃vfc
1
. . . c
n
= v → fc
1
. . . c
n
= c
n+1
} fc
1
. . . c
n
= c
n+1
Como anteriormente, se d
1
, . . . , d
n+1
∈ C e c
i
= d
i
∈ T, para i = 1, . . . , n + 1,
ent˜ao fd
1
. . . d
n
= d
n+1
∈ T. Al´em disso, por f ser um s´ımbolo funcional, se
e
1
, . . . , e
n+1
∈ C, c
i
= e
i
∈ T, para i = 1, . . . , n, e fe
1
. . . e
n
= e
n+1
∈ T, ent˜ao
c
n+1
= e
n+1
∈ T.
Assim, interpretaremos f como a fun¸c˜ao f
M
: M
n
→ M definida por
f
M
(c
∗
1
, . . . , c
∗
n
) = d
∗
sse fc
1
. . . c
n
= d ∈ T
Seja t um termo com n vari´aveis livres v
1
, . . . , v
n
. Mostraremos que, se
c
1
, . . . , c
n
, d ∈ C, ent˜ao t(c
1
, . . . , c
n
) = d ∈ T sse t
M
(c
∗
1
, . . . , c
∗
n
) = d
∗
.
Suponha que t(c
1
, . . . , c
n
) = d ∈ T. Veremos por indu¸c˜ao sobre termos que
t
M
(c
∗
1
, . . . , c
∗
n
) = d
∗
.
i. Se t ´e um s´ımbolo de constante c ∈ C, ent˜ao c = d ∈ T e t
M
(c
∗
) = c
∗
= d
∗
.
ii. Se t ´e um s´ımbolo de vari´avel v
i
, ent˜ao c
i
= d ∈ T e t
M
(c
∗
) = c
∗
i
= d
∗
.
iii. Se t ´e o termo ft
1
. . . t
m
, onde f ´e um s´ımbolo funcional m-´ario de L e,
para i = 1, . . . , m, t
i
´e um termo tal que, se c
i
1
, . . . , c
i
n
, d
i
∈ C, ent˜ao
t
i
(c
i
1
, . . . , c
i
n
) = d
i
∈ T sse t
M
i
(c
∗
i
1
, . . . , c
∗
i
n
) = d
∗
i
. Ent˜ao, pela propri-
edade do testemunho e pelo lema 3.1.3, existem d
1
, . . . , d
m
, e ∈ C tais
que, para i = 1, . . . , m, t
i
(c
1
, . . . , c
n
) = d
i
∈ T, f d
1
. . . d
m
= e ∈ T e con-
seq¨uentemente f t
1
(c) . . . t
m
(c) = e ∈ T. Assim, pela hip´otese de indu¸c˜ao,
para i = 1, . . . , m, t
M
i
(c
∗
1
, . . . , c
∗
n
) = d
∗
i
, f
M
(d
∗
1
, . . . , d
∗
m
) = e
∗
e portanto
t
M
(c
∗
1
, . . . , c
∗
n
) = e
∗
. Mas t(c
1
, . . . , c
n
) = d ∈ T e, novamente pelo lema
3.1.3, d = e ∈ T. Portanto d
∗
= e
∗
e t
M
(c
∗
1
, . . . , c
∗
n
) = d
∗
.
Agora suponha que t
M
(c
∗
1
, . . . , c
∗
n
) = d
∗
. Ent˜ao, pela propriedade do testemu-
nho e pelo lema 3.1.3, existe e ∈ C tal que t(c
1
, . . . , c
n
) = e ∈ T. Pelo que
acabamos de mostrar, t
M
(c
∗
1
, . . . , c
∗
n
) = e
∗
, logo d
∗
= e
∗
, conseq¨uentemente
d = e ∈ T. Portanto, pelo lema 3.1.3, t(c
1
, . . . , c
n
) = d ∈ T.
Sejam ϕ(v
1
, . . . , v
n
) uma L-f´ormula e c
1
, . . . , c
n
∈ C. Provaremos por indu¸c˜ao
sobre f´ormulas que M ϕ(c
∗
1
, . . . , c
∗
n
) sse ϕ(c
1
, . . . , c
n
) ∈ T.
30
i. Se ϕ ´e igual `a t
1
= t
2
, onde t
1
e t
2
s˜ao termos. Ent˜ao, pela propri-
edade do testemunho e pelo lema 3.1.3, existem d
1
, d
2
∈ C tais que
t
1
(c
1
, . . . , c
n
) = d
1
∈ T e t
2
(c
1
, . . . , c
n
) = d
2
∈ T, logo t
M
1
(c
∗
1
, . . . , c
∗
n
) = d
∗
1
e t
M
2
(c
∗
1
, . . . , c
∗
n
) = d
∗
2
. Assim, pelo lema 3.1.3,
M ϕ(c
∗
1
, . . . , c
∗
n
) ⇔ d
∗
1
= d
∗
2
⇔ d
1
= d
2
∈ T ⇔ t
1
(c) = t
2
(c) ∈ T
ii. Se ϕ ´e igual `a pt
1
. . . t
m
, onde p ´e um s´ımbolo de predicado m-´ario e
t
1
, . . . , t
m
s˜ao termos. Ent˜ao pela propriedade do testemunho e pelo lema
3.1.3, existem d
1
, . . . , d
m
∈ C tais que, para i = 1, . . . , m, t
i
(c) = d
i
∈ T
e portanto t
M
i
(c
∗
) = d
∗
i
. Logo
M ϕ(c
∗
1
, . . . , c
∗
n
) ⇔ (d
∗
1
, . . . , d
∗
m
) ∈ p
M
⇔ pd
1
. . . d
m
∈ T ⇔
⇔ pt
1
(c) . . . t
m
(c) ∈ T
iii. Se ϕ(v) ´e igual `a ¬ψ(v), onde dados d
1
, . . . , d
n
∈ C, M ψ(d
∗
1
, . . . , d
∗
n
)
sse ψ(d
1
, . . . , d
n
) ∈ T. Ent˜ao
M ϕ(c
∗
1
, . . . c
∗
n
) ⇔ M ¬ψ(c
∗
1
, . . . c
∗
n
) ⇔ M ψ(c
∗
1
, . . . c
∗
n
) ⇔
⇔ ψ(c) /∈ T
†
⇔ ¬ψ(c) ∈ T
†(⇒) maximalidade de T.
†(⇐) T ´e finitamente satisfat´ıvel e {ψ(c), ¬ψ(c)} n˜ao possui modelo.
iv. Se ϕ(v) ´e igual `a ψ
1
(v) ∧ ψ
2
(v), onde dados d
1
, . . . , d
n
∈ C, para i = 1, 2,
M ψ
i
(d
∗
1
, . . . , d
∗
n
) sse ψ
i
(d
1
, . . . , d
n
) ∈ T. Ent˜ao, pelo lema 3.1.3,
M ϕ(c
∗
1
, . . . c
∗
n
) ⇔ M ψ
1
(c
∗
1
, . . . c
∗
n
) e M ψ
2
(c
∗
1
, . . . c
∗
n
) ⇔
⇔ ψ
1
(c) ∈ T e ψ
2
(c) ∈ T ⇔ ψ
1
(c) ∧ ψ
2
(c) ∈ T
v. Se ϕ(v) ´e igual `a ∃wψ(v, w), onde dados d
1
, . . . , d
n+1
∈ C, temos que
M ψ(d
∗
1
, . . . , d
∗
n+1
) sse ψ(d
1
, . . . , d
n+1
) ∈ T. Ent˜ao
M ϕ(c
∗
1
, . . . c
∗
n
) ⇔ existe d ∈ C tal que M ψ(c
∗
1
, . . . c
∗
n
, d
∗
) ⇔
⇔ existe d ∈ C tal que ψ(c, d) ∈ T
†
⇔ ∃wψ(c, w) ∈ T
†(⇒) lema 3.1.3.
†(⇐) propriedade do testemunho.
Portanto M T.
31
Lema 3.1.5 Seja T uma L-teoria finitamente satisfat´ıvel. Ent˜ao existem L
∗
⊃ L e
T
∗
⊃ T uma L
∗
-teoria finitamente satisfat´ıvel tal que qualquer L
∗
-teoria estendendo T
∗
tem a propriedade do testemunho. Pode-se escolher L
∗
tal que |L
∗
| = |L| + ℵ
0
.
Demonstra¸c˜ao
Mostraremos primeiro que existem uma linguagem L
1
⊃ L e uma L
1
-teoria
finitamente satisfat´ıvel T
1
⊃ T tal que, para qualquer L-f´ormula ϕ(v), existe
um s´ımbolo de constante c ∈ L
1
tal que T
1
∃vϕ(v) → ϕ(c).
Para cada L-f´ormula ϕ(v), seja c
ϕ
um novo s´ımbolo de constante. Defina
L
1
= L ∪ {c
ϕ
; ϕ(v) ´e uma L-f´ormula}. Para cada L-f´ormula ϕ(v), seja θ
ϕ
a
L
1
-senten¸ca ∃vϕ(v) → ϕ(c
ϕ
). Defina T
1
= T ∪ {θ
ϕ
; ϕ(v) ´e uma L-f´ormula}.
Vejamos que T
1
´e finitamente satisfat´ıvel.
Seja ∆ ⊂ T
1
finito. Ent˜ao ∆ = ∆
0
∪ {θ
ϕ
1
, . . . , θ
ϕ
n
}, onde ∆
0
⊂ T ´e finito
e, para i = 1, . . . , n, ϕ
i
(v) ´e L-f´ormula. Como T ´e finitamente satisfat´ıvel,
existe uma L-estrutura M tal que M ∆
0
. Seja M
uma L
1
-estrutura com
o mesmo universo de M tal que a interpreta¸c˜ao dos s´ımbolos de L em M
seja a mesma feita em M. Assim, M
∆
0
. Para cada L-f´ormula ϕ(v),
interpretaremos o s´ımbolo c
ϕ
∈ L
1
\ L em M
. Se M ∃vϕ(v), escolha um
elemento a ∈ M tal que M ϕ(a) e defina c
M
ϕ
= a, caso contr´ario defina c
M
ϕ
um elemento qualquer de M . Ent˜ao, para i = 1, . . . , n,
M
θ
ϕ
i
⇔ M
∃vϕ
i
(v) → ϕ
i
(c
ϕ
i
) ⇔ M
∃vϕ
i
(v) ou M
ϕ
i
(c
ϕ
i
)
Logo M
∆ e portanto T
1
´e finitamente satisfat´ıvel.
Analogamente constru´ımos uma seq¨uˆencia de linguagens L ⊂ L
1
⊂ L
2
⊂ . . .
e uma seq¨uˆencia de L
i
-teorias T ⊂ T
1
⊂ T
2
⊂ . . . tal que se ϕ(v) ´e uma
L
i
-f´ormula, ent˜ao existe um s´ımbolo de constante c
ϕ
∈ L
i+1
tal que T
i+1
∃vϕ(v) → ϕ(c
ϕ
).
Seja L
∗
= ∪L
i
e T
∗
= ∪T
i
. Por constru¸c˜ao, se ϕ(v) ´e uma L
∗
-f´ormula, ϕ (v) ´e
uma L
i
-f´ormula, para algum i, logo T
i+1
∃vϕ(v) → ϕ(c
ϕ
) e portanto T
∗
tem
a propriedade do testemunho. Observe que qualquer L
∗
-teoria estendendo T
∗
ter´a a mesma propriedade. Agora, se ∆ ⊂ T
∗
´e finito, ent˜ao ∆ ⊂ T
i
para
algum i. Portanto ∆ ´e satisfat´ıvel e T
∗
´e finitamente satisfat´ıvel. Finalmente,
se |L
i
| ´e o n´umero de s´ımbolos de L
i
, ent˜ao L
i
possui |L
i
| + ℵ
0
L
i
-f´ormulas,
logo, por indu¸c˜ao, |L
∗
| = |L| + ℵ
0
.
32
Lema 3.1.6 Sejam T uma L-teoria e ϕ uma L-senten¸ca. Ent˜ao, T ϕ se, e somente
se, T ∪ {¬ϕ} n˜ao ´e satisfat´ıvel.
Demonstra¸c˜ao
Se T ϕ, ent˜ao dado M T, M ϕ. Suponha que existe uma estrutura N
tal que N T ∪ {¬ϕ}, ent˜ao N T e N ¬ϕ, absurdo. Logo T ∪ {¬ϕ} n˜ao
´e satisfat´ıvel.
Por outro lado, se T ∪ {¬ϕ} n˜ao ´e satisfat´ıvel, ent˜ao n˜ao existe modelo M tal
que M T ∪ {¬ϕ}, logo dado N tal que N T, N ¬ϕ, isto ´e, dado N tal
que N T, N ϕ. Portanto T ϕ.
Lema 3.1.7 Sejam T uma L-teoria finitamente satisfat´ıvel e ϕ uma L-senten¸ca. Ent˜ao,
T ∪ {ϕ} ou T ∪ {¬ϕ} ´e finitamente satisfat´ıvel.
Demonstra¸c˜ao
Suponha que T ∪ {ϕ} n˜ao seja finitamente satisfat´ıvel. Ent˜ao existe ∆ ⊂ T
finito tal que ∆ ∪ {ϕ} n˜ao seja satisfat´ıvel, e pelo lema anterior, ∆ ¬ϕ. Seja
Σ ⊂ T finito. Como ∆ ∪ Σ ´e satisfat´ıvel e ∆ ∪ Σ ¬ϕ, dado M um modelo
de ∆ ∪ Σ, temos que M ¬ϕ e M Σ o que implica M Σ ∪ {¬ ϕ}, logo
Σ ∪ {¬ϕ} ´e satisfat´ıvel. Portando T ∪ {¬ϕ} ´e finitamente satisfat´ıvel.
Corol´ario 3.1.8 Seja T uma L-teoria finitamente satisfat´ıvel. Ent˜ao existe uma L-teoria
maximal finitamente satisfat´ıvel T
⊃ T.
Demonstra¸c˜ao
Seja X = {Σ ⊃ T; Σ ´e finitamente satisfat´ıvel}. Considere a inclus˜ao como
ordem parcial de X . Seja C ⊂ X uma cadeia e tome T
C
=
Σ∈C
Σ, se ∆ ⊂ T
C
´e
finito, ent˜ao ∆ ⊂ Σ para algum Σ ∈ C, como Σ ´e finitamente satisfat´ıvel, ∆ ´e
satisfat´ıvel e portanto T
C
´e finitamente satisfat´ıvel. Claramente Σ ⊂ T
C
, para
todo Σ ∈ C, e T ⊂ T
C
. Ent˜ao, toda cadeia de X tem um limitante superior.
Pelo lema de Zorn, existe um elemento maximal T
∈ X , com respeito `a ordem
parcial.
33
Pelo lema anterior, T
∪ {ϕ} ou T
∪ {¬ϕ} ´e finitamente satisfat´ıvel. Como T
´e maximal em rela¸c˜ao `a ordem, ϕ ∈ T
ou ¬ϕ ∈ T
. Portanto T
´e uma teoria
maximal.
Teorema 3.1.9 (Compacidade) Sejam T uma L -teoria finitamente satisfat´ıvel e κ um
cardinal infinito com κ ≥ |L|. Ent˜ao T tem um modelo com cardinalidade no m´aximo κ.
Demonstra¸c˜ao
Pelo lema 3.1.5, existem uma linguagem L
∗
⊃ L e T
∗
⊃ T uma L
∗
-teoria
finitamente satisfat´ıvel tais que, qualquer L
∗
-teoria que estenda T
∗
tem a
propriedade do testemunho e a cardinalidade de L
∗
´e no m´aximo κ. Pelo
corol´ario 3.1.8, existe uma L
∗
-teoria T
⊃ T
∗
maximal finitamente satisfat´ıvel.
Como T
tem a propriedade do testemunho, o lema 3.1.4 implica que existe
uma L
∗
-estrutura M
tal que M
T
e |M
| ≤ κ. Mas T ⊂ T
, ent˜ao
M
T, e como T s´o depende dos s´ımbolos de L, podemos tomar M uma
L-estrutura com o mesmo universo de M
tal que M T.
Corol´ario 3.1.10 Sejam T uma L-teoria e ϕ uma L-senten¸ca tais que T ϕ. Ent˜ao
existe ∆ ⊂ T finito tal que ∆ ϕ.
Demonstra¸c˜ao
Se T ϕ, ent˜ao, pelo lema 3.1.6, T ∪ {¬ϕ} n˜ao ´e satisfat´ıvel. Logo, pelo
teorema anterior, T ∪ {¬ϕ} n˜ao ´e finitamente satisfat´ıvel. Portanto existe
∆ ⊂ T finito tal que ∆ ∪ {¬ϕ} n˜ao ´e satisfat´ıvel, e novamente pelo lema 3.1.6,
∆ ϕ.
Observe que o corol´ario anterior ´e equivalente ao teorema da compacidade. Vimos que
o teorema implica no corol´ario. Agora se T n˜ao ´e satisfat´ıvel, ent˜ao T ∀v(v = v), mas
pelo corol´ario, existe ∆ ⊂ T finito tal que ∆ ∀v(v = v) e portando ∆ n˜ao ´e satisfat´ıvel,
conseq¨uentemente T n˜ao ´e finitamente satisfat´ıvel.
Proposi¸c˜ao 3.1.11 Seja T uma teoria com modelos finitos arbitrariamente grandes.
Ent˜ao T tem modelo infinito.
34
Demonstra¸c˜ao
Para n ≥ 2, seja ϕ
n
a senten¸ca
∃v
1
. . . ∃v
n
i<j
v
i
= v
j
Tome
T
∗
= T ∪ {ϕ
n
; n = 2, 3, . . .}
Observe que todo modelo de T
∗
, se existir, ´e necessariamente infinito.
Seja ∆ ⊂ T
∗
finito, ent˜ao
∆ ⊂ T ∪ {ϕ
2
, . . . , ϕ
m
}
Como T tem modelos finitos arbitrariamente grandes, basta tomar um destes
com cardinalidade maior que m. Assim ∆ ´e satisfat´ıvel e portanto T
∗
´e fi-
nitamente satisfat´ıvel. Logo, pelo teorema da compacidade, T
∗
´e satisfat´ıvel.
Assim, como T ⊂ T
∗
, T tem modelo com cardinalidade infinita.
3.2 Ultrafiltros
Defini¸c˜ao 3.2.1 Seja I um conjunto. Um filtro sobre I ´e uma cole¸c˜ao D ⊂ P(I) tal que:
i. I ∈ D e ∅ /∈ D;
ii. se A, B ∈ D, ent˜ao A ∩ B ∈ D;
iii. se A ∈ D e A ⊂ B ⊂ I, ent˜ao B ∈ D.
Proposi¸c˜ao 3.2.2 Sejam κ um cardinal infinito e I um conjunto com |I| ≥ κ. Ent˜ao
D = {X ⊂ I; |I \ X| < κ} ´e um filtro. Se κ = ℵ
0
, dizemos que D ´e um filtro de Frechet.
Demonstra¸c˜ao
i. |I \ I| = 0 < κ, logo I ∈ D
|I \ ∅| = |I| ≥ κ, logo ∅ /∈ D
ii. Sejam A, B ∈ D, ent˜ao |I \ A| < κ e |I \ B| < κ. Como κ ´e um cardinal
infinito, |I \ A ∪ I \ B| < κ, logo |I \ (A ∩ B)| < κ e portanto A ∩ B ∈ D.
35
iii. Sejam A ∈ D e A ⊂ B ⊂ I, ent˜ao I \ B ⊂ I \ A, logo |I \ B| ≤ |I \ A| < κ
e portanto B ∈ D.
Lema 3.2.3 Sejam I um conjunto e x ∈ I. Ent˜ao D = {X ⊂ I; x ∈ X} ´e um filtro, e o
denotamos por filtro principal.
Demonstra¸c˜ao
i. x ∈ I, logo I ∈ D
x /∈ ∅, logo ∅ /∈ D
ii. Sejam A, B ∈ D, ent˜ao x ∈ A e x ∈ B, logo x ∈ A ∩ B e portanto
A ∩ B ∈ D.
iii. Sejam A ∈ D e A ⊂ B ⊂ I, ent˜ao x ∈ A ⊂ B e portanto B ∈ D.
Lema 3.2.4 Suponha I um conjunto, D um filtro sobre I e X ⊂ I tal que X /∈ D. Seja
E = {Y ⊂ I; Z \ X ⊂ Y para algum Z ∈ D}. Ent˜ao E ´e filtro, D ⊂ E e I \ X ∈ E.
Demonstra¸c˜ao
Vejamos primeiramente que E ´e um filtro.
i. I ∈ D e I \ X ⊂ I, logo I ∈ E.
Suponha Z ⊂ I tal que Z \X ⊂ ∅, ent˜ao Z \X = ∅ o que implica Z ⊂ X,
logo Z /∈ D, pois caso contr´ario teriamos que X ∈ D. Portanto ∅ /∈ E.
ii. Sejam A, B ∈ E, ent˜ao existem Z
1
, Z
2
∈ D tais que
Z
1
\ X ⊂ A e Z
2
\ X ⊂ B
Observe que Z
1
∩ Z
2
∈ D e
(Z
1
∩ Z
2
) \ X = Z
1
\ X ∩ Z
2
\ X ⊂ A ∩ B
Logo A ∩ B ∈ E.
36
iii. Sejam A ∈ E e A ⊂ B ⊂ I, ent˜ao existe Z ∈ D tal que
Z \ X ⊂ A ⊂ B
Logo B ∈ E.
Agora, se Y ∈ D, ent˜ao Y \ X ⊂ Y o que implica Y ∈ E, logo D ⊂ E.
Claramente I ∈ D e I \ X ⊂ I \ X, portanto I \ X ∈ E.
Defini¸c˜ao 3.2.5 Sejam I um conjunto e D um filtro sobre I. Dizemos que D ´e um
ultrafiltro se, para todo X ⊂ I, X ∈ D ou I \ X ∈ D.
Lema 3.2.6 Todo filtro principal ´e um ultrafiltro.
Demonstra¸c˜ao
Sejam I um conjunto, x ∈ I e D = {X ⊂ I; x ∈ X}. Suponha Y ⊂ I tal que
Y /∈ D, ent˜ao x /∈ Y o que implica x ∈ I \ Y , logo I \ Y ∈ D. Portanto D ´e
ultrafiltro.
Lema 3.2.7 Sejam I um conjunto e D um filtro sobre I. Ent˜ao existe um ultrafiltro U
sobre I tal que D ⊂ U.
Demonstra¸c˜ao
Seja X = {F ⊂ P(I); D ⊂ F e F ´e filtro}. Considere a inclus˜ao como ordem
parcial de X . Seja C ⊂ X uma cadeia e tome F
C
=
F ∈C
F . Obviamente
D ⊂ F
C
. Vejamos que F
C
´e um filtro.
i. I ∈ F para todo F ∈ C, logo I ∈ F
C
.
∅ /∈ F para todo F ∈ C, logo ∅ /∈ F
C
.
ii. Sejam A, B ∈ F
C
, ent˜ao existe F ∈ C tal que A, B ∈ F , o que implica
A ∩ B ∈ F ⊂ F
C
.
iii. Sejam A ∈ F
C
e A ⊂ B ⊂ I, ent˜ao existe F ∈ C tal que A ∈ F , logo
B ∈ F ⊂ F
C
.
37
Ent˜ao, pelo lema de Zorn, existe um elemento maximal U ∈ X .
Vejamos agora que U ´e ultrafiltro. Suponha X ⊂ I tal que X /∈ U e tome
E = {Y ⊂ I; Z \ X ⊂ Y para algum Z ∈ U}. Pelo lema 3.2.4 temos que E
´e filtro, U ⊂ E e I \ X ∈ E. Observe que D ⊂ E, visto que D ⊂ U. Ent˜ao
E ∈ X e como U ´e elemento maximal de X , U = E. Logo I \ X ∈ U e
portanto U ´e ultrafiltro.
Corol´ario 3.2.8 Se D ´e um filtro de Frechet sobre I, ent˜ao U ´e um ultrafiltro n˜ao prin-
cipal.
Demonstra¸c˜ao
Seja x ∈ I, como D ´e um filtro de Frechet, I \ {x} ∈ D ⊂ U. Portanto U ´e
n˜ao principal.
3.3 Ultraprodutos
Sejam I um conjunto infinito, D um ultrafiltro sobre I e L uma linguagem. Supo-
nha que, para cada i ∈ I, M
i
´e uma L-estrutura. Definiremos uma nova L-estrutura
M =
M
i
/D, a qual chamaremos de ultraproduto de (M
i
)
i∈I
sobre D.
Seja
W =
i∈I
M
i
=
h : I −→
i∈I
M
i
; h(i) ∈ M
i
para todo i ∈ I
Defina a rela¸c˜ao ∼ sobre W por
h ∼ g sse {i ∈ I; h(i) = g(i)} ∈ D
Lema 3.3.1 ∼ ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia.
Demonstra¸c˜ao
Sejam h, g, k ∈ W , ent˜ao
i. {i ∈ I; h(i) = h(i)} = I ∈ D, logo h ∼ h.
38
ii. Se h ∼ g, ent˜ao
{i ∈ I; g(i) = h(i)} = {i ∈ I; h(i) = g(i)} ∈ D
Logo g ∼ h.
iii. Se h ∼ g e g ∼ k, ent˜ao
A = {i ∈ I; h(i) = g(i)} ∈ D e B = {i ∈ I; g(i) = k(i)} ∈ D
Logo
{i ∈ I; h(i) = g(i) = k(i)} = A ∩ B ∈ D
Mas
{i ∈ I; h(i) = g(i) = k(i)} ⊂ {i ∈ I; h (i) = k(i)}
Ent˜ao
{i ∈ I; h(i) = k(i)} ∈ D
Portanto h ∼ k.
Definimos o universo de M como M = W/ ∼. Dado h ∈ W , denotaremos sua classe por
h. Agora devemos mostrar como interpretar M como uma L-estrutura.
• Seja c um s´ımbolo de constante de L, interpretaremos c
M
como a classe de h
c
∈ W
onde h
c
(i) = c
M
i
, para todo i ∈ I.
• Seja f um s´ımbolo funcional n-´ario de L, interpretaremos f em M por
f
M
: M
n
−→ M
(
h
1
, . . . ,
h
n
) −→
h
n+1
onde h
n+1
´e definida, para cada i ∈ I, por
h
n+1
(i) = f
M
i
(h
1
(i), . . . , h
n
(i))
Vejamos que f
M
est´a bem definida. Para isto, sejam g
1
, . . . , g
n+1
∈ W tais que
f
M
(g
1
, . . . , g
n
) = g
n+1
e, para j = 1, . . . , n, g
j
∼ h
j
. Queremos provar que g
n+1
∼
h
n+1
. Assim, para j = 1, . . . , n, temos que
A
j
= {i ∈ I; g
j
(i) = h
j
(i)} ∈ D
39
Logo
A =
n
j=1
A
j
∈ D
Mas
A ⊂ B = {i ∈ I; f
M
i
(g
1
(i), . . . , g
n
(i)) = f
M
i
(h
1
(i), . . . , h
n
(i))}
Ent˜ao
{i ∈ I; g
n+1
(i) = h
n+1
(i)} = B ∈ D
Portanto g
n+1
∼ h
n+1
.
• Seja p um s´ımbolo de predicado n-´ario de L, interpretaremos
p
M
= {(
h
1
, . . . ,
h
n
) ∈ M
n
; {i ∈ I; (h
1
(i), . . . , h
n
(i)) ∈ p
M
i
} ∈ D}
Vejamos que a defini¸c˜ao de p
M
independe de representante de classe. Para isto,
sejam h
1
, . . . , h
n
, g
1
, . . . , g
n
∈ W tais que, para j = 1, . . . , n, h
j
∼ g
j
. Ent˜ao, como
j´a visto,
A =
n
j=1
{i ∈ I; h
j
(i) = g
j
(i)} ∈ D
Sejam
B
h
= {i ∈ I; (h
1
(i), . . . , h
n
(i)) ∈ p
M
i
}
B
g
= {i ∈ I; (g
1
(i), . . . , g
n
(i)) ∈ p
M
i
}
Suponha que (
h
1
, . . . ,
h
n
) ∈ p
M
, ent˜ao B
h
∈ D, logo B
h
∩ A ∈ D, mas B
h
∩ A ⊂ B
g
o que implica B
g
∈ D, portanto (g
1
, . . . , g
n
) ∈ p
M
. Analogamente temos que, se
(g
1
, . . . , g
n
) ∈ p
M
, ent˜ao (
h
1
, . . . ,
h
n
) ∈ p
M
.
Lema 3.3.2 (Teorema de L´os) Sejam ϕ(v
1
, . . . , v
n
) uma L-f´ormula e h
1
, . . . , h
n
∈ W .
Ent˜ao M ϕ(
h
1
, . . . ,
h
n
) se, e somente se, {i ∈ I; M
i
ϕ(h
1
(i), . . . , h
n
(i))} ∈ D.
Demonstra¸c˜ao
Provaremos primeiro que se t ´e um termo com n vari´aveis livres v
1
, . . . , v
n
e
h
1
, . . . , h
n
, g ∈ W , ent˜ao
t
M
(
h
1
, . . . ,
h
n
) = g ⇔ {i ∈ I; t
M
i
(h
1
(i), . . . , h
n
(i)) = g(i)} ∈ D
Para isto, usaremos indu¸c˜ao sobre termos.
40
i. Se t ´e um s´ımbolo de constante c ∈ L, ent˜ao
t
M
(
h
1
, . . . ,
h
n
) = g ⇔
h
c
= c
M
= g ⇔ h
c
∼ g ⇔
⇔ {i ∈ I; c
M
i
= h
c
(i) = g(i)} ∈ D ⇔
⇔ {i ∈ I; t
M
i
(h
1
(i), . . . , h
n
(i)) = g(i)} ∈ D
ii. Se t ´e um s´ımbolo de vari´avel v
j
, ent˜ao
t
M
(
h
1
, . . . ,
h
n
) = g ⇔
h
j
= g ⇔ h
j
∼ g ⇔
⇔ {i ∈ I; h
j
(i) = g(i)} ∈ D ⇔
⇔ {i ∈ I; t
M
i
(h
1
(i), . . . , h
n
(i)) = g(i)} ∈ D
iii. Seja t ´e o termo ft
1
. . . t
m
, onde f ´e um s´ımbolo funcional m-´ario de L e,
para j = 1, . . . , m, t
j
´e um termo tal que, se k
j
1
, . . . , k
j
n
, l
j
∈ W , ent˜ao
t
M
j
(
k
j
1
, . . . ,
k
j
n
) =
l
j
sse {i ∈ I; t
M
i
j
(k
j
1
(i), . . . , k
j
n
(i)) = l
j
(i)} ∈ D
Tome g
1
, . . . , g
m
∈ W tais que t
M
j
(
h
1
, . . . ,
h
n
) = g
j
, para j = 1, . . . , m.
Assim,
A
j
= {i ∈ I; t
M
i
j
(h
1
(i), . . . , h
n
(i)) = g
j
(i)} ∈ D
Conseq¨uentemente
A =
m
j=1
A
j
∈ D
Logo
t
M
(
h
1
, . . . ,
h
n
) = g ⇔ f
M
(t
M
1
(
h
1
, . . . ,
h
n
), . . . , t
M
m
(
h
1
, . . . ,
h
n
)) = g ⇔
⇔ f
M
(g
1
, . . . , g
m
) = g ⇔
⇔ B = {i ∈ I; f
M
i
(g
1
(i), . . . , g
m
(i)) = g(i)} ∈ D
†
⇔
⇔ C = {i ∈ I; f
M
i
(t
M
i
1
(h(i)), . . . , t
M
i
m
(h(i))) = g(i)} ∈ D ⇔
⇔ {i ∈ I; t
M
i
(h
1
(i), . . . , h
n
(i)) = g(i)} ∈ D
†(⇒) A ∩ B ⊂ C e A ∩ B ∈ D, logo C ∈ D.
†(⇐) A ∩ C ⊂ B e A ∩ C ∈ D, logo B ∈ D.
Vejamos, por indu¸c˜ao sobre f´ormulas, que se ϕ(v
1
, . . . , v
n
) ´e uma L-f´ormula e
h
1
, . . . , h
n
∈ W , ent˜ao
M ϕ(
h
1
, . . . ,
h
n
) ⇔ {i ∈ I; M
i
ϕ(h
1
(i), . . . , h
n
(i))} ∈ D
41
i. Se ϕ ´e igual `a t
1
= t
2
, onde t
1
e t
2
s˜ao termos, ent˜ao existem g
1
, g
2
∈ W
tais que, para j = 1, 2,
t
M
j
(
h
1
, . . . ,
h
n
) = g
j
Assim,
A
j
= {i ∈ I; t
M
i
j
(h
1
(i), . . . , h
n
(i)) = g
j
(i)} ∈ D
e
A = A
1
∩ A
2
∈ D
Logo
M ϕ(
h
1
, . . . ,
h
n
) ⇔ t
M
1
(
h
1
, . . . ,
h
n
) = t
M
2
(
h
1
, . . . ,
h
n
) ⇔
⇔ g
1
= g
2
⇔
⇔ B = {i ∈ I; g
1
(i) = g
2
(i)} ∈ D ⇔
⇔ A ∩ B = A ∩ C ∈ D ⇔
⇔ C = {i ∈ I; t
M
i
1
(h(i)) = t
M
i
2
(h(i))} ∈ D ⇔
⇔ {i ∈ I; M
i
ϕ(h
1
(i), . . . , h
n
(i))} ∈ D
ii. Se ϕ ´e igual `a pt
1
. . . t
m
, onde p ´e um s´ımbolo de predicado m-´ario de L
e, para j = 1, . . . , m, t
j
´e termo, ent˜ao existem g
1
, . . . , g
m
∈ W tais que,
para j = 1, . . . , m,
t
M
j
(
h
1
, . . . ,
h
n
) = g
j
Assim,
A
j
= {i ∈ I; t
M
i
j
(h
1
(i), . . . , h
n
(i)) = g
j
(i)} ∈ D
e
A =
m
j=1
A
j
∈ D
Logo
M ϕ(
h
1
, . . . ,
h
n
) ⇔ (t
M
1
(
h
1
, . . . ,
h
n
), . . . , t
M
m
(
h
1
, . . . ,
h
n
)) ∈ p
M
⇔
⇔ (g
1
, . . . , g
m
) ∈ p
M
⇔
⇔ B = {i ∈ I; (g
1
(i), . . . , g
m
(i)) ∈ p
M
i
} ∈ D ⇔
⇔ A ∩ B = A ∩ C ∈ D ⇔
⇔ C = {i ∈ I; (t
M
i
1
(h(i)), . . . , t
M
i
m
(h(i))) ∈ p
M
i
} ∈ D ⇔
⇔ {i ∈ I; M
i
ϕ(h
1
(i), . . . , h
n
(i))} ∈ D
42
iii. Seja ϕ igual `a ¬ψ, onde para g
1
, . . . , g
n
∈ W, M ψ(g
1
, . . . , g
n
) sse
{i ∈ I; M
i
ψ(g
1
(i), . . . , g
n
(i))} ∈ D. Ent˜ao
M ϕ(
h
1
, . . . ,
h
n
) ⇔ M ψ(
h
1
, . . . ,
h
n
) ⇔
⇔ {i ∈ I; M
i
ψ(h
1
(i), . . . , h
n
(i))} /∈ D ⇔
⇔ {i ∈ I; M
i
ψ(h
1
(i), . . . , h
n
(i))} ∈ D ⇔
⇔ {i ∈ I; M
i
ϕ(h
1
(i), . . . , h
n
(i))} ∈ D
iv. Seja ϕ igual `a ψ
1
∧ ψ
2
, onde para g
1
, . . . , g
n
∈ W , e para j = 1, 2,
M ψ
j
(g
1
, . . . , g
n
) sse {i ∈ I; M
i
ψ
j
(g
1
(i), . . . , g
n
(i))} ∈ D. Ent˜ao
M ϕ(
h
1
, . . . ,
h
n
) ⇔ M ψ
1
(
h
1
, . . . ,
h
n
) e M ψ
2
(
h
1
, . . . ,
h
n
) ⇔
⇔ {i ∈ I; M
i
ψ
1
(h(i))} ∩ {i ∈ I; M
i
ψ
2
(h(i))} ∈ D ⇔
⇔ {i ∈ I; M
i
ψ
1
(h(i)) e M
i
ψ
2
(h(i))} ∈ D ⇔
⇔ {i ∈ I; M
i
ϕ(h
1
(i), . . . , h
n
(i))} ∈ D
v. Seja ϕ(v
1
, . . . , v
n
) igual `a ∃wψ(v
1
, . . . , v
n
, w), onde para g
1
, . . . , g
n+1
∈ W ,
M ψ(g
1
, . . . , g
n+1
) sse {i ∈ I; M
i
ψ(g
1
(i), . . . , g
n+1
(i))} ∈ D. Ent˜ao
M ϕ(
h
1
, . . . ,
h
n
) ⇔ existe g ∈ W tal que M ψ(
h
1
, . . . ,
h
n
, g) ⇔
⇔ existe g ∈ W tal que A
g
= {i ∈ I; M
i
ψ(h(i), g(i))} ∈ D
†
⇔
⇔ B = {i ∈ I; existe b
i
∈ M
i
tal que M
i
ψ(h(i), b
i
)} ∈ D ⇔
⇔ {i ∈ I; M
i
ϕ(h
1
(i), . . . , h
n
(i))} ∈ D
†(⇒) A
g
⊂ B, logo B ∈ D.
†(⇐) Tome g ∈ W tal que, para todo i ∈ B, g(i) = b
i
, onde b
i
´e tal que
M
i
ψ(h(i), b
i
). Ent˜ao, para esse g, temos que A
g
= B. Logo existe
g ∈ W tal que A
g
∈ D.
Teorema 3.3.3 (Compacidade via Ultrafiltros) Seja T uma L-teoria finitamente
satisfat´ıvel. Ent˜ao T ´e satisfat´ıvel.
Demonstra¸c˜ao
Se T ´e uma teoria finita, o resultado ´e imediato. Suponha T uma teoria
infinita.
Seja
I = {∆ ⊂ T; ∆ ´e finito}
43
Defina, para cada Θ ∈ I,
X
Θ
= {∆ ∈ I; Θ ⊂ ∆}
Observa¸c˜ao: se ϕ ´e uma senten¸ca de T, denotaremos X
{ϕ}
por X
ϕ
.
Seja
D = {Y ⊂ I; X
Θ
⊂ Y para algum Θ ∈ I}
Vejamos que D ´e um filtro sobre I.
i. X
Θ
⊂ I para todo Θ ∈ I, logo I ∈ D.
Para todo Θ ∈ I, X
Θ
= ∅, visto que Θ ∈ X
Θ
, logo ∅ /∈ D.
ii. Sejam A, B ∈ D, ent˜ao existem ∆, Θ ∈ I tais que X
∆
∈ A e X
Θ
∈ B.
Observe que X
∆∪Θ
= X
∆
∩ X
Θ
.
Σ ∈ X
∆∪Θ
⇔ ∆ ∪ Θ ⊂ Σ ⇔ ∆ ⊂ Σ e Θ ⊂ Σ ⇔
⇔ Σ ∈ X
∆
e Σ ∈ X
Θ
⇔ Σ ∈ X
∆
∩ X
Θ
Assim, X
∆∪Θ
⊂ A ∩ B, logo A ∩ B ∈ D.
iii. Sejam A ∈ D e A ⊂ B ⊂ I, ent˜ao existe ∆ ∈ I tal que
X
∆
⊂ A ⊂ B
Logo B ∈ D.
Agora seja U um ultrafiltro sobre I contendo D, e para cada ∆ ∈ I, seja M
∆
um modelo de ∆.
Defina
M =
∆∈I
M
∆
/U
Seja ϕ ∈ T, ent˜ao
X
ϕ
= {∆ ∈ I; ϕ ∈ ∆} ∈ D
Como X
ϕ
⊂ {∆ ∈ I; M
∆
ϕ},
{∆ ∈ I; M
∆
ϕ} ∈ D ⊂ U
Logo M ϕ e portanto M T.
44
Cap´ıtulo 4
Teorias Completas
Uma L-teoria T ´e dita completa se para qualquer L-senten¸ca ϕ, T ϕ ou T ¬ϕ.
Por exemplo, T h(M), onde M ´e uma L-estrutura, ´e completa. Teorias maximais s˜ao
obviamente completas. Um exemplo de teoria n˜ao completa ´e a teoria de corpos . Pois R
e Q s˜ao corpos, por´em R ∀x(x > 0 → ∃y(y
2
= x)) e Q ∀x(x > 0 → ∃y(y
2
= x)).
4.1 κ-Categoricidade
Proposi¸c˜ao 4.1.1 Seja T uma L-teoria com modelos infinitos. Se κ ´e um cardinal infi-
nito e |L| ≤ κ, ent˜ao existe um modelo de T com cardinalidade κ.
Demonstra¸c˜ao
Sejam I um conjunto de ´ındices com cardinalidade κ, L
∗
= L ∪ { c
α
; α ∈ I} e
T
∗
a L
∗
-teoria T ∪ {c
α
= c
β
; α, β ∈ I e α = β}.
Claramente se M T
∗
, ent˜ao M T e M tem cardinalidade pelo menos
igual `a κ.
Seja ∆ ⊂ T
∗
finito, ent˜ao
∆ ⊂ T ∪ {c
α
= c
β
; α, β ∈ I
0
e α = β}
onde I
0
⊂ I ´e finito. Seja N um modelo infinito de T. Podemos interpretar
os s´ımbolos {c
α
; α ∈ I
0
} como |I
0
| elementos distintos de N. Assim N ´e
modelo de ∆, logo T
∗
´e finitamente satisfat´ıvel e portanto, pelo teorema da
compacidade, T
∗
possui um modelo M com |M| ≤ κ, visto que |L
∗
| = κ.
45
Defini¸c˜ao 4.1.2 Sejam κ um cardinal infinito e T uma teoria com modelos de cardinali-
dade κ. Dizemos que T ´e κ-categ´orica se quaisquer dois modelos de T com cardinalidade
κ s˜ao isomorfos.
Exemplo 4.1.3 Seja L = ∅. Ent˜ao a teoria de conjuntos infinitos ´e κ-categ´orica para
todo cardinal κ infinito.
T = {∃x
1
. . . ∃x
n
i<j≤n
x
i
= x
j
; n = 2, 3, . . .}
Exemplo 4.1.4 Sejam L = {E}, onde E ´e um s´ımbolo de predicado bin´ario, e T a
teoria da rela¸c˜ao de equivalˆencia com exatamente duas classes, com infinitos elementos
cada classe. Veja o exemplo 2.1.7, ent˜ao
T = T
e
∪
∀x∃x
1
. . . ∃x
n
i<j≤n
x
i
= x
j
∧
n
i=1
E(x, x
i
)
; n = 2, 3, . . .
Logo T ´e ℵ
0
-categ´orica, pois cada classe de um modelo de T ter´a exatamente ℵ
0
elementos.
Por´em T n˜ao ´e κ-categ´orica para κ > ℵ
0
, pois poderiam existir modelos com κ elementos
em cada classe e outros com κ elementos em uma e ℵ
0
elementos na outra classe.
Sejam L = {<} e OLD a L-teoria da ordem linear densa sem extremos (veja exemplo
2.1.6) ent˜ao,
OLD = T
old
∪ {∀x∃y∃z(y < x ∧ x < z)}
Proposi¸c˜ao 4.1.5 OLD ´e ℵ
0
-categ´orica.
Demonstra¸c˜ao
Sejam A e B dois modelos enumer´aveis de OLD. Assim, podemos supor
A = {a
0
, a
1
, a
2
, . . .} e B = {b
0
, b
1
, b
2
, . . .}.
Construiremos uma seq¨uˆencia de bije¸c˜oes
f
n
: A
n
→ B
n
onde, para cada n ∈ N, A
n
e B
n
s˜ao finitos, A
n
⊂ A
n+1
⊂ A, B
n
⊂ B
n+1
⊂ B,
f
n+1
|
A
n
= f
n
e se x, y ∈ A
n
com x < y, ent˜ao f
n
(x) < f
n
(y). Faremos isso de
forma que A =
A
n
, B =
B
n
e existe uma bije¸c˜ao f : A → B tal que, para
n ∈ N, f|
A
n
= f
n
.
46
Construiremos tais seq¨uˆencias indutivamente. Dividiremos a constru¸c˜ao em
etapas ´ımpares, nas quais garantiremos que A =
A
n
, e etapas pares, nas
quais garantiremos que B =
B
n
.
Etapa 0
Tome A
0
= B
0
= f
0
= ∅.
Etapa n + 1 = 2m + 1
Vamos garantir que a
m
∈ A
n+1
.
Se a
m
∈ A
n
ent˜ao tome A
n+1
= A
n
, B
n+1
= B
n
e f
n+1
= f
n
. Suponha que
a
m
/∈ A
n
. Para adicionarmos a
m
em A
n+1
precisamos achar um b ∈ B \ B
n
tal
que
α < a
m
⇔ f
n
(α) < b
para todo α ∈ A
n
.
Exatamente um dos seguintes casos acontece:
i. α < a
m
para to do α ∈ A
n
. Neste caso, como B n˜ao tem extremos e B
n
´e finito, existe b ∈ B tal que β < b para todo β ∈ B
n
, ou seja, f
n
(α) < b
para todo α ∈ A
n
.
ii. a
m
< α para todo α ∈ A
n
. Neste caso, como B n˜ao tem extremos e B
n
´e finito, existe b ∈ B tal que b < β para todo β ∈ B
n
, ou seja, b < f
n
(α)
para todo α ∈ A
n
.
iii. Existem γ, δ ∈ A
n
tais que γ < a
m
< δ e, para todo α ∈ A
n
, α ≤ γ
ou δ ≤ α. Por hip´otese indutiva, f
n
´e uma bije¸c˜ao de A
n
em B
n
que
preserva a ordem. Como B ´e denso e B
n
´e finito, existe b ∈ B tal que
f
n
(γ) < b < f
n
(δ).
Portanto, considerando todos os casos, existe b ∈ B \ B
n
tal que
α < a
m
⇔ f
n
(α) < b
para todo
α
∈
A
n
.
Assim, tome A
n+1
= A
n
∪ {a
m
}, B
n+1
= B
n
∪ {b} e estenda a bije¸c˜ao f
n
para
f
n+1
: A
n+1
→ B
n+1
definindo f
n+1
(a
m
) = b.
Etapa n + 1 = 2m + 2
Vamos garantir que b
m
∈ B
n+1
.
47
Se b
m
∈ B
n
ent˜ao tome A
n+1
= A
n
, B
n+1
= B
n
e f
n+1
= f
n
. Suponha que
b
m
/∈ B
n
. Para adicionarmos b
m
em B
n+1
precisamos achar um a ∈ A \ A
n
tal
que
α < a ⇔ f
n
(α) < b
m
para todo α ∈ A
n
.
Os casos nesta etapa s˜ao analogos aos casos da etapa anterior. Assim, tome
A
n+1
= A
n
∪ {a}, B
n+1
= B
n
∪ {b
m
} e estenda f
n
para f
n+1
: A
n+1
→ B
n+1
definindo f
n+1
(a) = b
m
.
Claramente, pela constru¸c˜ao, temos que A =
A
n
e B =
B
n
. Defina
f : A → B por f(a) = f
n
(a), onde a ∈ A
n
para algum n ∈ N. Observe que f
est´a bem definida, pois dado a ∈ A, existe n ∈ N tal que a ∈ A
n
, e se m ∈ N
´e tal que a ∈ A
m
, temos que f
n
(a) = f
m
(a). Defina tamb´em g : B → A
por g(b) = f
−1
n
(b), onde b ∈ B
n
para algum n ∈ N. Claramente g est´a bem
definida e g ´e a inversa de f. Portanto f ´e bijetora.
Agora sejam x, y ∈ A. Ent˜ao existe n ∈ N tal que x, y ∈ A
n
, logo
x < y ⇔ f(x) = f
n
(x) < f
n
(y) = f(y)
Portanto f ´e isomorfismo.
Sejam L = {+, 0} a linguagem de grupo e GAD a L-teoria dos grupos abelianos com
divis˜ao livres de tor¸c˜ao n˜ao triviais. Sejam
Div = {∀x∃y(y + . . . + y
n vezes
= x); n = 1, 2, . . .}
LT or = {∀x(x = 0 → x + . . . + x
n vezes
= 0); n = 1, 2, . . .}
Veja o exemplo 2.1.9, ent˜ao
GAD = T
ga
∪ Div ∪ LT or ∪ {∃x(x = 0)}
Proposi¸c˜ao 4.1.6 GAD ´e κ-categ´orica para todo κ > ℵ
0
.
Demonstra¸c˜ao
Primeiramente vamos verificar que modelos de GAD s˜ao essencialmente espa¸cos
48
vetoriais sobre Q. Claramente todo espa¸co vetorial sobre Q ´e um modelo de
GAD. Agora, se G GAD, g ∈ G e n ∈ N
∗
, ent˜ao, como GAD tem divis˜ao,
existe h ∈ G tal que nh = h + . . . + h
n vezes
= g, e se f ∈ G tal que nf = g, ent˜ao
n(h − f) = 0, logo, como GAD ´e livre de tor¸c˜ao, h = f e portanto existe um
´unico h ∈ G tal que nh = g, denotaremos tal elemento por g/n. Assim, pode-
mos ver G como um espa¸co vetorial sobre Q definindo o produto por escalar
da seguinte forma:
m
n
g = m
g
n
onde g ∈ G e
m
n
= q ∈ Q, com m ∈ Z e n ∈ N
∗
.
Sabemos que espa¸cos vetoriais sobre Q s˜ao isomorfos sse tˆem mesma dimens˜ao.
Assim, se G visto como um espa¸co vetorial sobre Q tem dimens˜ao λ ent˜ao
|G| = λ + ℵ
0
. Se κ > ℵ
0
e G tem cardinalidade κ, ent˜ao G tem dimens˜ao
κ. Portanto, para κ > ℵ
0
, GAD ´e κ-categ´orica. Note que GAD n˜ao ´e ℵ
0
-
categ´orica, pois espa¸cos vetoriais de cardinalidade ℵ
0
podem ter dimens˜oes
1, 2, . . . , ℵ
0
.
Proposi¸c˜ao 4.1.7 CAF
p
´e κ-categ´orica para todo cardinal κ n˜ao enumer´avel.
Demonstra¸c˜ao
Sejam F e L corpos algebricamente fechados de caracter´ıstica p e cardinalidade
κ n˜ao enumer´avel.
Se p = 0, ent˜ao podemos ver Q como subcorpo de F e de L, logo
gtr(F/Q) = κ = gtr(L/Q)
Se p ´e primo, podemos ver Z
p
como subcorpo de F e de L, logo
gtr(F/Z
p
) = κ = gtr(L/Z
p
)
Portanto, pelo teorema A.2.12, F e L s˜ao isomorfos.
Lema 4.1.8 Seja T uma L-teoria. Ent˜ao T ´e completa se, e somente se, para todo M e
N modelos de T, M ≡ N .
49
Demonstra¸c˜ao
Suponha T uma teoria completa e ϕ uma senten¸ca. Sejam M e N modelos de
T. Ent˜ao, se M ϕ, necessariamente temos que T ϕ, pois caso contr´ario,
como T ´e completa, T ¬ϕ o que contradiz o fato de M ser modelo de T.
Logo
M ϕ ⇔ T ϕ ⇔ N ϕ
Portanto M ≡ N .
Agora, suponha que para todo M e N modelos de T, M ≡ N . Seja ϕ uma
senten¸ca. Se T ϕ ent˜ao existe um modelo M de T tal que M ϕ, ou
seja, M ¬ϕ. Mas se N ´e um outro modelo qualquer de T, N ¬ϕ, pois
M ≡ N . Logo T ¬ϕ e p ortanto T ´e completa.
Teorema 4.1.9 (Teste de Vaught) Seja T uma L-teoria satisfat´ıvel sem modelos fini-
tos que ´e κ-categ´orica para algum cardinal infinito κ ≥ |L|. Ent˜ao T ´e completa.
Demonstra¸c˜ao
Suponha que T n˜ao ´e completa. Ent˜ao existe uma senten¸ca ϕ tal que T ϕ
e T ¬ϕ. Pelo lema 3.1.6, T
0
= T ∪ {ϕ} e T
1
= T ∪ {¬ϕ} s˜ao satisfat´ıveis.
Observe que T
0
e T
1
tˆem modelos infinitos, pois todos os modelos de T
0
e
de T
1
s˜ao modelos de T, que n˜ao tem modelo finito. Ent˜ao, pela proposi¸c˜ao
4.1.1, existem estruturas M
0
e M
1
de cardinalidade κ tais que M
0
T
0
e
M
1
T
1
. Como M
0
ϕ e M
1
¬ϕ, M
0
e M
1
n˜ao s˜ao elementarmente
equivalentes e portanto n˜ao isomorfas, o que contradiz a κ-categoricidade de
T.
Corol´ario 4.1.10 OLD e GAD s˜ao completas.
Demonstra¸c˜ao
Todo modelo de OLD ´e denso e sem extremos, logo n˜ao ´e finito. Portando,
pela proposi¸c˜ao 4.1.5 e pelo teste de Vaught, OLD ´e completa.
Todo modelo de GAD ´e livre de tor¸c˜ao e n˜ao trivial, logo infinito. Portanto,
pela proposi¸c˜ao 4.1.6 e pelo teste de Vaught, GAD ´e completa.
50
Lema 4.1.11 Todo corpo algebricamente fechado ´e infinito.
Demonstra¸c˜ao
Seja F um corpo algebricamente fechado. Suponha F finito. Ent˜ao podemos
escrever F = {a
1
, . . . , a
n
} para algum n ∈ N
∗
. Para cada i = 1, . . . , n
(x − a
i
) ∈ F [x]
logo
n
i=1
(x − a
i
) ∈ F [x]
Assim,
1 +
n
i=1
(x − a
i
) ∈ F [x]
Por´em, para qualquer a ∈ F ,
1 +
n
i=1
(a − a
i
) = 1
O que contradiz o fato de F ser algebricamente fechado.
Corol´ario 4.1.12 CAF
p
´e completa.
Demonstra¸c˜ao
Pela proposi¸c˜ao 4.1.7, CAF
p
´e κ-categ´orica e, pelo lema anterior, todo modelo
de CAF
p
´e infinito. Logo, pelo teste de Vaught, CAF
p
´e completa.
Veremos agora uma aplica¸c˜ao da completude de CAF
0
.
Lema 4.1.13 Seja ϕ uma senten¸ca na linguagem dos an´eis. S˜ao equivalentes:
i. ϕ ´e verdadeira em C.
ii. ϕ ´e verdadeira em todo corpo algebricamente fechado de caracter´ıstica 0.
iii. ϕ ´e verdadeira em algum corpo algebricamente fechado de caracter´ıstica 0.
51
iv. Existe p primo arbitrariamente grande tal que ϕ ´e verdadeira em algum corpo alge-
bricamente fechado de caracter´ıstica p.
v. Existe m ∈ N tal que para todo p primo maior que m, ϕ ´e verdadeira em todo corpo
algebricamente fechado de caracter´ıstica p.
Demonstra¸c˜ao
C ´e um corpo algebricamente fechado de caracter´ıstica 0. Logo, como CAF
0
´e completa, temos a equivalˆencia de i., ii., iii..
v. ⇒ iv.
Por v. existe tal m, tome p > m primo. Como p ´e primo, existe
um corpo algebricamente fechado de caracter´ıstica p. Novamente
por v., ϕ ´e verdadeira para todo corpo algebricamente fechado de
caracter´ıstica p, portanto iv..
ii. ⇒ v.
Suponha que CAF
0
ϕ. Pelo corol´ario 3.1.10, existe ∆ ⊂ CAF
0
finito tal que ∆ ϕ. Ent˜ao, escolhendo m suficientemente grande,
temos que, para p > m, CAF
p
∆. Portanto CAF
p
ϕ para todo
p > m.
iv. ⇒ ii.
Suponha que CAF
0
ϕ. Como CAF
0
´e completa, CAF
0
¬ϕ.
Ent˜ao, pelo argumento anterior, existe m ∈ N tal que, para todo
p > m, CAF
p
¬ϕ, o que contradiz iv. .
Teorema 4.1.14 Toda fun¸c˜ao polinomial injetora de C
n
em C
n
´e sobrejetora.
Demonstra¸c˜ao
Lembrando primeiramente que se S ´e um corpo finito, ent˜ao toda fun¸c˜ao
injetora de S
n
em S
n
´e sobrejetora.
Seja F
p
um corpo com p elementos, denotaremos por F
p
o seu fecho alg´ebrico.
Vejamos agora que to da fun¸c˜ao polinomial injetora
f
: F
n
p
→
F
n
p
, onde
p
´e primo, ´e sobrejetora. Suponha que n˜ao. Sejam b
1
, . . . , b
m
∈ F
p
os coe-
ficientes de f e (a
1
, . . . , a
n
) ∈ F
n
p
\ Im(f). Seja S o subcorpo gerado por
52
a
1
, . . . , a
n
, b
1
, . . . , b
m
. Ent˜ao f |
S
n
´e uma fun¸c˜ao polinomial injetora, mas n˜ao
sobrejetora de S
n
em S
n
. O que ´e um absurdo, p ois S ´e um corpo finito, visto
que ´e um corpo de caracter´ıstica p primo gerado por finitos elementos.
Suponha que o teorema seja falso. Seja
f(x
1
, . . . , x
n
) = (f
1
(x
1
, . . . , x
n
), . . . , f
n
(x
1
, . . . , x
n
))
um contra-exemplo, onde cada f
i
∈ C[x
1
, . . . , x
n
] tem grau no m´aximo igual
`a d, para algum d ∈ N.
Seja ϕ
n,d
a senten¸ca
∀a
(i
1
,...,i
n
)
1
i
j
≤d
. . . ∀a
(i
1
,...,i
n
)
n
i
j
≤d
∀x
1
. . . ∀x
n
∀y
1
. . . ∀y
n
n
k=1
i
j
≤d
a
(i
1
,...,i
n
)
k
n
l=1
x
i
l
l
=
i
j
≤d
a
(i
1
,...,i
n
)
k
n
l=1
y
i
l
l
→
n
i=1
(x
i
= y
i
)
→
→ ∀u
1
. . . ∀u
n
∃x
1
. . . ∃x
n
n
k=1
i
j
≤d
a
(i
1
,...,i
n
)
k
n
l=1
x
i
l
l
= u
k
Como vimos anteriormente, F
p
ϕ
n,d
para todo p primo. Ent˜ao, pelo lema
anterior, C ϕ
n,d
, o que contradiz o fato de f ser um contra-exemplo.
4.2 Teoremas de L¨owenheim-Skolem
Defini¸c˜ao 4.2.1 Se M e N s˜ao L-estruturas, ent˜ao uma L-imers˜ao η : M → N ´e dita
uma L-imers˜ao elementar se
M ϕ(a
1
, . . . , a
n
) ⇔ N ϕ(η(a
1
), . . . , η(a
n
))
para toda L-f´ormula ϕ(v
1
, . . . , v
n
) e quaisquer a
1
, . . . , a
n
∈ M.
Se M ´e uma sub-estrutura de N e a inclus˜ao ´e elementar, ent˜ao M ´e dita uma sub-
estrutura elementar de N , e denotamos por M ≺ N . Neste caso, N ´e dita uma extens˜ao
elementar de M.
Defini¸c˜ao 4.2.2 Suponha M uma L-estrutura. Seja L
M
= L ∪ M, onde cada elemento
de M ´e considerado uma nova constante.
53
• O diagrama atˆomico de M ´e
Diag(M) = {ϕ(a
1
, . . . , a
n
); ϕ ´e uma L-f´ormula atˆomica
ou nega¸c˜ao de uma, e M ϕ(a
1
, . . . , a
n
)}
• O diagrama elementar de M ´e
Diag
el
(M) = {ϕ(a
1
, . . . , a
n
); ϕ ´e uma L-f´ormula e M ϕ(a
1
, . . . , a
n
)}
Obs.: Toda L
M
-estrutura pode ser vista como uma L-estrutura, apenas ignorando a
interpreta¸c˜ao dos novos s´ımbolos de constante.
Lema 4.2.3 Sejam M uma L-estrutura e N uma L
M
-estrutura.
i. Se N Diag(M), ent˜ao existe uma L-imers˜ao de M em N .
ii. Se N Diag
el
(M), ent˜ao existe uma L-imers˜ao elementar de M em N .
Demonstra¸c˜ao
Seja η : M → N definida p or η(a) = a
N
.
i. Suponha que N Diag(M).
Se a
1
, a
2
∈ M s˜ao distintos, ent˜ao a
1
= a
2
∈ Diag(M), logo
η(a
1
) = a
N
1
= a
N
2
= η(a
2
)
portanto η ´e injetora.
Se f ´e um s´ımbolo funcional n-´ario de L e f
M
(a
1
, . . . , a
n
) = a
n+1
, onde
a
1
, . . . , a
n+1
∈ M, ent˜ao fa
1
. . . a
n
= a
n+1
∈ Diag(M), logo
f
N
(η(a
1
), . . . , η(a
n
)) = f
N
(a
N
1
, . . . , a
N
n
) = a
N
n+1
= η(a
n+1
)
Se p ´e um s´ımbolo de predicado n-´ario de L e (a
1
, . . . , a
n
) ∈ p
M
, ent˜ao
pa
1
. . . a
n
∈ Diag(M), logo
(η(a
1
), . . . , η(a
n
)) = (a
N
1
, . . . , a
N
n
) ∈ p
N
Reciprocamente, se (
a
1
, . . . , a
n
)
/
∈
p
M
, ent˜ao
¬
pa
1
. . . a
n
∈
Diag
(
M
),
logo
(η(a
1
), . . . , η(a
n
)) = (a
N
1
, . . . , a
N
n
) /∈ p
N
54
Se c ´e um s´ımbolo de constante de L, ent˜ao c = c
M
∈ Diag( M),logo
c
N
= c
M
N
= η(c
M
)
Portanto η ´e uma L-imers˜ao.
ii. Suponha que N Diag
el
(M).
Como Diag(M) ⊂ Diag
el
(M), N Diag(M), logo, pelo item i., η ´e
uma L-imers˜ao.
Sejam ϕ(v
1
, . . . , v
n
) uma L-f´ormula e a
1
, . . . , a
n
∈ M, ent˜ao
M ϕ(a
1
, . . . , a
n
) ⇒ ϕ(a
1
, . . . , a
n
) ∈ Diag
el
(M) ⇒
⇒ N ϕ(η(a
1
), . . . , η(a
n
))
e
M ϕ(a
1
, . . . , a
n
) ⇒ ¬ϕ(a
1
, . . . , a
n
) ∈ Diag
el
(M) ⇒
⇒ N ϕ( η(a
1
), . . . , η(a
n
))
Portanto η ´e uma L-imers˜ao elementar.
Podemos ver tamb´em a L-estrutura M como uma L
M
-estrutura, interpretando canonica-
mente os novos s´ımbolos. Assim, o item ii. do lema anterior nos diz que quaisquer modelo
de Diag
el
(M) ´e elementarmente equivalente `a M, logo, p elo lema 4.1.8, Diag
el
(M) ´e
uma L
M
-teoria completa.
Teorema 4.2.4 (L¨owenheim-Skolem Ascendente) Sejam M uma L-estrutura infi-
nita e um cardinal κ ≥ |M| + |L|. Ent˜ao existem uma L-estrutura N de cardinalidade κ
e uma L -imers˜ao elementar η : M → N .
Demonstra¸c˜ao
Como M ´e um modelo infinito de Diag
el
(M), ent˜ao, pela proposi¸c˜ao 4.1.1,
existe um modelo N de Diag
el
(M) com cardinalidade κ. E pelo lema anterior,
existe uma L-imers˜ao elementar η : M → N .
Em particular, temos o interessante resultado que a Aritm´etica de Peano possui modelos
de todas as cardinalidades ≥ ℵ
0
.
55
Proposi¸c˜ao 4.2.5 (Teste de Tarski-Vaught) Sejam M e N L-estruturas tais que
M ⊂ N . Ent˜ao M ≺ N se, e somente se, para cada L-f´ormula ϕ(v
1
, . . . , v
n
, w) e
a
1
, . . . , a
n
∈ M, se existe b ∈ N tal que N ϕ(a
1
, . . . , a
n
, b), ent˜ao existe c ∈ M tal que
N ϕ(a
1
, . . . , a
n
, c).
Demonstra¸c˜ao
Suponha primeiramente que M ≺ N . Sejam ϕ(v
1
, . . . , v
n
, w) uma L-f´ormula
e a
1
, . . . , a
n
∈ M. Ent˜ao
existe b ∈ N tal que N ϕ(a, b) ⇒ N ∃wϕ (a, w) ⇒ M ∃wϕ(a, w) ⇒
⇒ existe c ∈ M tal que M ϕ(a, c) ⇒
⇒ existe c ∈ M tal que N ϕ(a, c)
Agora suponha que para cada L-f´ormula ϕ(v
1
, . . . , v
n
, w) e a
1
, . . . , a
n
∈ M,
se existe b ∈ N tal que N ϕ(a
1
, . . . , a
n
, b), ent˜ao existe c ∈ M tal que
N ϕ(a
1
, . . . , a
n
, c). Sejam ϕ(v
1
, . . . , v
n
) uma L-f´ormula e a
1
, . . . , a
n
∈ M.
Pelo corol´ario 1.4.2 temos que, se ϕ ´e livre de quantificadores,
M ϕ(a
1
, . . . , a
n
) ⇔ N ϕ(a
1
, . . . , a
n
)
Suponha ent˜ao que essa equivalˆencia tamb´em seja v´alida para a L-f´ormula
ψ(v
1
, . . . , v
n
, w), e sejam ϕ(v) a f´ormula ∃wψ(v, w) e a
1
, . . . , a
n
∈ M. Ent˜ao
M ϕ(a) ⇔ existe c ∈ M tal que M ψ(a, c) ⇔
⇔ existe c ∈ M tal que N ψ(a, c) ⇔
⇔ existe b ∈ N tal que N ψ(a, b) ⇔
⇔ N ϕ(a)
Defini¸c˜ao 4.2.6 Uma L-teoria T ´e dita ter a propriedade de fun¸c˜oes Skolem se para
toda L-f´ormula ϕ(v
1
, . . . , v
n
, w) existe um s´ımbolo funcional n-´ario f de L tal que
T ∀v
1
. . . ∀v
n
((∃wϕ(v
1
, . . . , v
n
, w)) → ϕ(v
1
, . . . , v
n
, fv
1
. . . v
n
))
Obs.: Tal teoria nos diz que existem s´ımbolos funcionais suficientes na linguagem para
testemunhar todas as formula¸c˜oes existenciais.
Lema 4.2.7 Seja T uma L-teoria. Ent˜ao, existem L
∗
⊃ L, com |L
∗
| = |L| + ℵ
0
, e
T
∗
⊃ T uma L
∗
-teoria tal que T
∗
tem a propriedade de fun¸c˜oes Skolem, e se M T,
56
ent˜ao pode-se interpretar os novos s´ımbolos de L
∗
em M tal que M T
∗
. Denotamos
T
∗
por skolemiza¸c˜ao de T.
Demonstra¸c˜ao
Primeiro construiremos uma seq¨uˆencia de linguagens L = L
0
⊂ L
1
⊂ L
2
⊂ . . .
e uma seq¨uˆencia de teorias T = T
0
⊂ T
1
⊂ T
2
⊂ . . ., onde cada T
i
´e uma
L
i
-teoria.
Defina indutivamente
L
i+1
= L
i
∪ {f
ϕ
; ϕ(v
1
, . . . , v
n
, w) ´e uma L
i
-f´ormula}
onde f
ϕ
´e um s´ımbolo funcional n-´ario.
Para cada L
i
-f´ormula ϕ(v
1
, . . . , v
n
, w), seja ψ
ϕ
a senten¸ca
∀v
1
. . . ∀v
n
((∃wϕ(v
1
, . . . , v
n
, w)) → ϕ(v
1
, . . . , v
n
, f
ϕ
v
1
. . . v
n
))
Defina
T
i+1
= T
i
∪ {ψ
ϕ
; ϕ ´e uma L
i
-f´ormula}
Vejamos agora que se M ´e uma L
i
-estrutura e M T
i
, ent˜ao podemos
interpretar os s´ımbolos de L
i+1
\ L
i
em M tal que M T
i+1
.
Sejam c ∈ M e ϕ(v
1
, . . . , v
n
, w) uma L
i
-f´ormula. Defina uma fun¸c˜ao g :
M
n
→ M tal que, se a
1
, . . . , a
n
∈ M e X
a
= {b ∈ M; M ϕ(a, b)} = ∅ ,
ent˜ao, g(a) ∈ X
a
, sen˜ao, se X
a
= ∅, ent˜ao g(a) = c.
Assim, se M ∃wϕ(a, w), ent˜ao X
a
= ∅, logo M ϕ(a, g(a)). Portanto,
interpretando f
M
ϕ
= g, temos M ψ
ϕ
.
Sejam L
∗
=
L
i
e T
∗
=
T
i
.
Se ϕ(v
1
, . . . , v
n
, w) ´e uma L
∗
-f´ormula, ent˜ao ϕ ´e uma L
i
-f´ormula para algum
i ∈ N, logo ψ
ϕ
∈ T
i+1
⊂ T
∗
, portanto T
∗
tem a propriedade de fun¸c˜oes
Skolem. J´a vimos que se M T
i
, ent˜ao podemos interpretar os s´ımbolos
de L
i+1
\ L
i
em M tal que M T
i+1
, assim, indutivamente temos que, se
M T, ent˜ao podemos interpretar os s´ımbolos de L
i
\L em M tal que M T
i
para todo i ∈ N. Portanto, interpretanto os s´ımbolos de L
∗
\ L em M temos
que M T
∗
. Como adicionamos um s´ımbolo funcional em L
i+1
para cada
L
i
-f´ormula, |L
i+1
| = |L
i
| + ℵ
0
, logo |L
∗
| = |L| + ℵ
0
.
57
Teorema 4.2.8 (L¨owenheim-Skolem Descendente) Sejam M uma L-estrutura e
X ⊂ M. Ent˜ao existe N ≺ M tal que X ⊂ N e |N | ≤ |X| + |L| + ℵ
0
.
Demonstra¸c˜ao
Obviamente M T h(M), ent˜ao, p elo lema anterior, existem uma linguagem
L
∗
⊃ L, com |L
∗
| = |L| + ℵ
0
, e uma L
∗
-teoria T
∗
⊃ T h(M) tais que, T
∗
tem
a propriedade de fun¸c˜oes Skolem e interpretando os novos s´ımbolos de L
∗
em
M temos que M T
∗
. Observe que, a princ´ıpio, T h(M) ´e uma L-teoria,
por´em considerando M como uma L
∗
-estrutura, temos que T h(M) ´e uma
L
∗
-teoria, e como T h(M) ´e maximal, T h(M) ⊃ T
∗
, e portanto T h(M) tem a
propriedade de fun¸c˜oes Skolem. Observe tamb´em que toda L-f´ormula ´e uma
L
∗
-f´ormula, assim, se mostrarmos a existˆencia de uma L
∗
-estrutura N tal que
N ≺ M, claramente ignorando as interpreta¸c˜oes dos s´ımbolos de L
∗
\ L em
N e M, vendo-os agora como L-estruturas, ainda teremos que N ≺ M.
Seja X
0
= X e defina indutivamente
X
i+1
= X
i
∪ {f
M
(a
1
, . . . , a
n
); n ∈ N
∗
, f ´e um s´ımbolo funcional
n-´ario de L
∗
e a
1
, . . . , a
n
∈ X
i
}
Vamos agora definir uma L
∗
-estrutura N .
Seja N =
i∈N
X
i
, assim X ⊂ N e |N | ≤ |X| + |L
∗
| + ℵ
0
= |X| + |L| + ℵ
0
.
Seja f um s´ımbolo funcional n-´ario de L
∗
, interpretaremos f em N como
f
N
= f
M
|
N
n
Vejamos que f
N
est´a bem definida. Se (a
1
, . . . , a
n
) ∈ N
n
, ent˜ao para algum
i ∈ N, a
1
, . . . , a
n
∈ X
i
, logo f
M
(a
1
, . . . , a
n
) ∈ X
i+1
⊂ N.
Seja p um s´ımbolo de predicado n-´ario de L
∗
, interpretaremos p em N como
p
N
= p
M
∩ N
n
Observe que dado (a
1
, . . . , a
n
) ∈ N
n
, (a
1
, . . . , a
n
) ∈ p
N
sse (a
1
, . . . , a
n
) ∈ p
M
.
Seja c um s´ımbolo de constante de L
∗
. Ent˜ao existe uma fun¸c˜ao Skolem
f
c
∈ L
∗
tal que f
M
c
(x) = c
M
para todo x ∈ M. De fato, se ϕ(v, w) ´e a f´ormula
w = c, ent˜ao existe um s´ımbolo funcional f
c
∈ L
∗
tal que
T h(M) ∀v(∃w(w = c) → f
c
(v) = c)
58
Ent˜ao, dado x ∈ X
i
, para qualquer i ∈ N,
c
M
= f
M
c
(x) ∈ X
i+1
⊂ N
Assim, interpretaremos c em N como
c
N
= c
M
Portanto N ´e sub-estrutura de M.
Agora sejam ϕ(v
1
, . . . , v
n
, w) uma L
∗
-f´ormula de a
1
, . . . , a
n
∈ N. Se b ∈ M
e M ϕ(a, b), ent˜ao M ϕ(a, f (a)) para algum s´ımbolo funcional f ∈ L
∗
.
Por constru¸c˜ao f
M
(a) ∈ N. Logo, pela proposi¸c˜ao 4.2.5, N ≺ M.
4.3 Teoria Universal
Defini¸c˜ao 4.3.1 Uma senten¸ca universal ´e uma senten¸ca da forma ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
),
onde ϕ ´e uma f´ormula livre de quantificadores.
Defini¸c˜ao 4.3.2 Seja T uma L-teoria. A teoria universal de T, denotada por T
∀
, ´e o
conjunto de todas as senten¸cas universais que s˜ao conseq¨uˆencias l´ogicas de T. Isto ´e,
T
∀
= {ϕ; ϕ ´e senten¸ca universal e T ϕ}.
Lema 4.3.3 Sejam T uma L-teoria e M T
∀
. Ent˜ao T ∪ Diag(M) ´e uma L
M
-teoria
satisfat´ıvel.
Demonstra¸c˜ao
Suponha que T ∪ Diag(M) n˜ao seja satisfat´ıvel. Ent˜ao, pelo teorema da
compacidade, existe ∆ = {ψ
1
, . . . ψ
n
} ⊂ Diag(M) tal que T ∪ ∆ n˜ao seja
satisfat´ıvel. Sejam c
1
, . . . , c
m
∈ L
M
\ L os s´ımbolos de constante usados em
ψ
1
, . . . , ψ
n
, ent˜ao, para i = 1, . . . , n, ψ
i
´e a L
M
-senten¸ca ϕ
i
(c
1
, . . . , c
m
), onde
ϕ
i
´e uma L-f´ormula livre de quantificadores.
Se existisse um modelo para a L-teoria T ∪ {∃v
1
. . . ∃v
m
n
i=1
ϕ
i
(v
1
, . . . , v
m
)},
ent˜ao poderiamos ver esse modelo como uma L
M
-estrutura interpretando
c
1
, . . . , c
m
como testemunha para a L-f´ormula existencial, desta forma T ∪ ∆
seria satisfat´ıvel. Logo, pelo lema 3.1.6,
59
T ∀v
1
. . . ∀v
m
n
i=1
¬ϕ
i
(v
1
, . . . , v
m
)
o que implica
∀v
1
. . . ∀v
m
n
i=1
¬ϕ
i
(v
1
, . . . , v
m
) ∈ T
∀
contradizendo o fato de M T
∀
, visto que M
n
i=1
ϕ
i
(c
1
, . . . , c
m
).
Portanto T ∪ Diag(M) ´e satisfat´ıvel.
Proposi¸c˜ao 4.3.4 Seja T uma L-teoria. Ent˜ao A T
∀
se, e somente se, existe M T
com A ⊂ M.
Demonstra¸c˜ao
Suponha primeiramente que A T
∀
. Ent˜ao, pelo lema anterior, existe um
modelo N para a L
A
-teoria T ∪ Diag(A). Obviamente N T, e pelo lema
4.2.3, existe uma L-imers˜ao η : A → N . Portanto, pela proposi¸c˜ao 1.2.9,
existe M T com A ⊂ M.
Agora suponha M T e seja A ⊂ M. Como T T
∀
, M T
∀
. Assim, visto
que as senten¸cas de T
∀
s˜ao da forma ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
), temos que para
qualquer N ⊂ M
M ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
) ⇒ N ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
)
Logo N T
∀
, em particular A T
∀
.
Corol´ario 4.3.5 Sejam T e T
L-teorias. Suponha que A T
se, e somente se, existe
M T com A ⊂ M. Ent˜ao T
´e uma axiomatiza¸c˜ao de T
∀
.
Demonstra¸c˜ao
Segue imediata da proposi¸c˜ao anterior.
A T
⇔ existe M T com A ⊂ M ⇔ A T
∀
60
Defini¸c˜ao 4.3.6 Dizemos que uma L-teoria T tem uma axiomatiza¸c˜ao universal se existe
um conjunto de L-senten¸cas universais Γ tal que, para toda L-estrutura M, M Γ se, e
somente se, M T.
Teorema 4.3.7 Seja T uma L-teoria. Ent˜ao T tem axiomatiza¸c˜ao universal se, e so-
mente se, para todo M T, se N ⊂ M ent˜ao N T.
Demonstra¸c˜ao
Suponha que T tem uma axiomatiza¸c˜ao universal Γ. Assim, pela defini¸c˜ao,
T Γ e Γ T. Observe que Γ ⊂ T
∀
, logo T
∀
T, e como T T
∀
, T
∀
tamb´em
´e uma axiomatiza¸c˜ao universal de T. Sejam M T e N ⊂ M. Ent˜ao, pela
proposi¸c˜ao 4.3.4, N T
∀
, o que implica N T.
Suponha agora que para todo M T, se N ⊂ M ent˜ao N T. Seja A T
∀
,
ent˜ao, pela proposi¸c˜ao 4.3.4, existe M T com A ⊂ M, logo, por hip´otese,
A T. Portanto T
∀
´e uma axiomatiza¸c˜ao universal de T.
4.4 Elimina¸c˜ao de Quantificadores
Veremos nesta se¸c˜ao que algumas f´ormulas com quantificadores podem ser equivalentes `a
outras sem quantificadores. Por exemplo, seja ϕ(a, b, c) a f´ormula ∃x(ax
2
+ bx + c = 0).
Ent˜ao
R ∀a∀b∀c(ϕ(a, b, c) ↔ [(a = 0 ∧ b
2
− 4ac ≥ 0) ∨ (a = 0 ∧ (b = 0 ∨ c = 0))])
e
C ∀a∀b∀c(ϕ(a, b, c) ↔ (a = 0 ∨ b = 0 ∨ c = 0))
Em ambos os casos ϕ ´e equivalente a uma f´ormula livre de quantificadores.
Teorias com elimina¸c˜ao de quantificadores tˆem conjuntos defin´ıveis relativamente f´aceis
de caracterizar, e, em exemplos espec´ıficos, tˆem estrutura interessante em aplica¸c˜oes.
Defini¸c˜ao 4.4.1 Seja T uma L-teoria. Dizemos que T tem elimina¸c˜ao de quantifica-
dores se para toda L-f´ormula ϕ(v
1
, . . . , v
n
) existe uma L-f´ormula livre de quantificadores
ψ(v
1
, . . . , v
n
) tal que
T ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
) ↔ ψ(v
1
, . . . , v
n
)
61
Mostraremos que OLD tem elimina¸c˜ao de quantificadores. Para isso precisamos de uma
variante da proposi¸c˜ao 4.1.5.
Lema 4.4.2 Sejam (A, <) e (B, <) modelos de OLD enumer´aveis, a
1
, . . . , a
n
∈ A e
b
1
, . . . , b
n
∈ B tais que a
1
< . . . < a
n
e b
1
< . . . < b
n
. Ent˜ao existe um isomorfismo
f : A → B tal que f(a
i
) = b
i
, para todo i = 1, . . . , n.
Demonstra¸c˜ao
Modificando a demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao 4.1.5, tome A
0
= {a
1
, . . . , a
n
},
B
0
= {b
1
, . . . , b
n
} e f
0
: A
0
→ B
0
onde f
0
(a
i
) = b
i
, para i = 1, . . . , n. No que
segue, a demonstra¸c˜ao ´e igual.
Teorema 4.4.3 OLD tem elimina¸c˜ao de quantificadores.
Demonstra¸c˜ao
Observe primeiramente que Q OLD, e como OLD ´e completa, dada uma
senten¸ca ϕ, O LD ϕ sse Q ϕ.
Agora, se ϕ ´e uma senten¸ca e OLD ϕ, ent˜ao
OLD ∀vϕ ↔ v = v
enquanto, se OLD ¬ϕ, ent˜ao
OLD ∀vϕ ↔ v = v
Suponha que ϕ ´e uma f´ormula com vari´aveis livres v
1
, . . . , v
n
, n ≥ 1. Mostra-
remos que existe uma f´ormula livre de quantificadores ψ com vari´aveis entre
v
1
, . . . , v
n
tal que
Q ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
) ↔ ψ(v
1
, . . . , v
n
)
e portanto
OLD ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
) ↔ ψ(v
1
, . . . , v
n
)
Defina uma fun¸c˜ao
σ : {(i, j); 1 ≤ i < j ≤ n} → {0, 1, 2}
62
Seja χ
σ
(v
1
, . . . , v
n
) a f´ormula
σ(i,j)=0
v
i
= v
j
∧
σ(i,j)=1
v
i
< v
j
∧
σ(i,j)=2
v
j
< v
i
Dizemos que σ ´e uma fun¸c˜ao sinal e que χ
σ
´e uma condi¸c˜ao de sinal.
Observe que se a
1
, . . . , a
n
∈ Q, ent˜ao podemos achar uma fun¸c˜ao sinal σ
tal que Q χ
σ
(a
1
, . . . , a
n
). Basta verificar as rela¸c˜oes entre a
i
e a
j
, para
1 ≤ i < j ≤ n.
Seja
Γ
ϕ
= {σ; σ ´e uma fun¸c˜ao sinal e existem a
1
, . . . , a
n
∈ Q
tal que Q χ
σ
(a
1
, . . . , a
n
) ∧ ϕ(a
1
, . . . , a
n
)}
Caso Γ
ϕ
= ∅, temos que
Q ∀v
1
. . . ∀v
n
¬ϕ(v
1
, . . . , v
n
)
assim,
Q ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
) ↔ v
1
= v
1
Caso Γ
ϕ
= ∅, defina
ψ
ϕ
(v
1
, . . . , v
n
) :=
σ∈Γ
ϕ
χ
σ
(v
1
, . . . , v
n
)
Note que ψ
ϕ
est´a bem definida, pois Γ
ϕ
´e finito, visto que existem apenas
finitas possibilidades para a fun¸c˜ao sinal σ.
Pela defini¸c˜ao de Γ
σ
, temos
Q ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
) → ψ
ϕ
(v
1
, . . . , v
n
)
De fato, se a
1
, . . . , a
n
∈ Q e Q ϕ(a
1
, . . . , a
n
), basta tomar uma fun¸c˜ao sinal
σ tal que Q χ
σ
(a
1
, . . . , a
n
). Claramente σ ∈ Γ
ϕ
.
Agora suponha que b
1
, . . . , b
n
∈ Q e Q ψ
ϕ
(b
1
, . . . , b
n
). Seja σ ∈ Γ
ϕ
tal que
Q χ
σ
(b
1
, . . . , b
n
). Ent˜ao existe a
1
, . . . , a
n
∈ Q tal que
Q ϕ(a
1
, . . . , a
n
) ∧ χ
σ
(a
1
, . . . , a
n
)
Pelo lema anterior, existe um automorfismo f de Q tal que f(a
i
) = b
i
, para
i = 1, . . . , n, e pelo teorema 1.4.8, Q ϕ(b
1
, . . . , b
n
).
63
Portanto OLD ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
) ↔ ψ
ϕ
(v
1
, . . . , v
n
).
Teorema 4.4.4 Sejam L uma linguagem contendo um s´ımbolo de constante c, T uma
L-teoria e ϕ(v
1
, . . . , v
n
) uma L-f´ormula. S˜ao equivalentes:
i. Existe uma L-f´ormula livre de quantificadores ψ(v
1
, . . . , v
n
) tal que
T ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
) ↔ ψ(v
1
, . . . , v
n
)
ii. Se M e N s˜ao modelos de T, A ´e uma L-estrutura contida em M e em N e
a
1
, . . . , a
n
∈ A, ent˜ao
M ϕ(a
1
, . . . , a
n
) ⇔ N ϕ(a
1
, . . . , a
n
)
Demonstra¸c˜ao
(i. ⇒ ii.)
Suponha que
T ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
) ↔ ψ(v
1
, . . . , v
n
)
onde ψ ´e livre de quantificadores.
Seja a
1
, . . . , a
n
∈ A, onde A ´e uma subestrutura comum de M e N , as quais
s˜ao modelos de T. Pelo corol´ario 1.4.2, f´ormula livre de quantificadores s˜ao
preservadas por subestruturas e extens˜oes. Logo
M ϕ(a
1
, . . . , a
n
) ⇔ M ψ(a
1
, . . . , a
n
) ⇔ A ψ(a
1
, . . . , a
n
) ⇔
⇔ N ψ(a
1
, . . . , a
n
) ⇔ N ϕ(a
1
, . . . , a
n
)
(ii. ⇒ i.)
Se T ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
), T ∀v
1
. . . ∀v
n
(ϕ(v
1
, . . . , v
n
) ↔ c = c), e
se T ∀v
1
. . . ∀v
n
¬ϕ(v
1
, . . . , v
n
), T ∀v
1
. . . ∀v
n
(ϕ(v
1
, . . . , v
n
) ↔ c = c).
Suponha que T ∪ {∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
)} e T ∪ {∀v
1
. . . ∀v
n
¬ϕ(v
1
, . . . , v
n
)}
s˜ao satisfat´ıveis. Sejam d
1
, . . . , d
n
novos s´ımbolos de constante de L. E seja
Γ(d
1
, . . . , d
n
d
) = {ψ(d); ψ ´e livre de quantificadores e T ϕ(d) ↔ ψ(d)}
64
Mostraremos que T ∪ Γ(d) ϕ(d), pois sendo assim, pelo teorema da compa-
cidade, existem ψ
1
(d), . . . , ψ
m
(d) ∈ Γ(d) tais que
T ∪ {ψ
1
(d), . . . , ψ
m
(d)} ϕ(d)
assim,
T
m
i=1
ψ
i
(d) → ϕ(d)
mas cada ψ
i
(d) ∈ Γ(d), logo
T ϕ(d) ↔
m
i=1
ψ
i
(d)
como os s´ımbolos d
1
, . . . , d
n
foram tomados de forma arbitr´aria, isto ´e, inde-
pendentes de interpreta¸c˜ao, temos
T ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
) ↔
m
i=1
ψ
i
(v
1
, . . . , v
n
)
onde
m
i=1
ψ
i
(v
1
, . . . , v
n
) ´e livre de quantificadores.
Vejamos ent˜ao que T ∪ Γ(d) ϕ(d).
Suponha que T ∪ Γ(d) ϕ(d), ent˜ao, pelo lema 3.1.6, seja
M T ∪ Γ(d) ∪ {¬ϕ(d)}
Seja A ⊂ M uma subestrutura gerada por {d
M
1
, . . . , d
M
n
}. Tome
Σ = T ∪ Diag(A) ∪ {ϕ(d)}
Suponha que Σ ´e insatisfat´ıvel. Ent˜ao existem ψ
1
(d), . . . , ψ
m
(d) ∈ Diag(A)
tais que
T ∪ {ψ
1
(d), . . . , ψ
m
(d)} ¬ϕ(d)
assim,
T
m
i=1
ψ
i
(d) → ¬ϕ(d)
65
logo
T ϕ(d) →
m
i=1
¬ψ
i
(d)
o que implica
m
i=1
¬ψ
i
(d)
ψ
∈ Γ(d)
Como M Γ(d), M ψ, e como ψ ´e livre de quantificadores, A ψ,
contradizendo o fato de que A ψ
i
(d) para todo i = 1, . . . , m. Portanto Σ ´e
satisfat´ıvel.
Seja N Σ. Ent˜ao N ϕ(d), e como Diag(A) ⊂ Σ, pelo lema 4.2.3,
A ⊂ N . Mas M ¬ϕ(d), ent˜ao, por ii., N ¬ϕ(d), contradi¸c˜ao. Portanto
T ∪ Γ(d) ϕ(d).
Lema 4.4.5 Seja T uma L-teoria. Suponha que para qualquer f´ormula livre de quan-
tificadores θ(v
1
, . . . , v
n
, w) existe uma f´ormula ψ(v
1
, . . . , v
n
) livre de quantificadores tal
que
T ∀v
1
. . . ∀v
n
(∃wθ(v
1
, . . . , v
n
, w) ↔ ψ(v
1
, . . . , v
n
))
Ent˜ao T tem elimina¸c˜ao de quantificadores.
Demonstra¸c˜ao
Seja ϕ(v
1
, . . . , v
n
) uma L-f´ormula. Queremos mostrar que
T ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
) ↔ ψ(v
1
, . . . , v
n
)
para alguma f´ormula ψ(v
1
, . . . , v
n
) livre de quantificadores.
Mostraremos isso por indu¸c˜ao sobre f´ormulas. Se ϕ(v
1
, . . . , v
n
) ´e uma f´ormula
atˆomica, nada a fazer. Suponha que para i = 0, 1
T ∀v
1
. . . ∀v
n
θ
i
(v
1
, . . . , v
n
) ↔ ψ
i
(v
1
, . . . , v
n
)
onde ψ
i
(v
1
, . . . , v
n
) ´e livre de quantificadores.
Se ϕ ´e igual `a ¬θ
0
, ent˜ao
T ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
) ↔ ¬ψ
0
(v
1
, . . . , v
n
)
66
Se ϕ ´e igual `a θ
0
∧ θ
1
, ent˜ao
T ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
) ↔ ψ
0
(v
1
, . . . , v
n
) ∧ ψ
1
(v
1
, . . . , v
n
)
Agora suponha que
T ∀v
1
. . . ∀v
n
∀w
θ(v
1
, . . . , v
n
, w) ↔ ψ
0
(v
1
, . . . , v
n
, w)
onde ψ
0
´e livre de quantificadores. Se ϕ(v
1
, . . . , v
n
) ´e igual `a ∃wθ(v
1
, . . . , v
n
, w),
ent˜ao
T ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
) ↔ ∃wψ
0
(v
1
, . . . , v
n
, w)
Por hip´otese, existe uma f´ormula ψ(v
1
, . . . , v
n
) livre de quantificadores tal que
T ∀v
1
. . . ∀v
n
∃wψ
0
(v
1
, . . . , v
n
, w) ↔ ψ(v
1
, . . . , v
n
)
Portanto
T ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
) ↔ ψ(v
1
, . . . , v
n
)
Teorema 4.4.6 Seja T uma L-teoria. Suponha que para toda f´ormula ϕ(v
1
, . . . , v
n
, w)
livre de quantificadores, se M e N s˜ao modelos de T, A ´e uma subestrutura comum de
M e N , a
1
, . . . , a
n
∈ A e existe b ∈ M tal que M ϕ(a
1
, . . . , a
n
, b), ent˜ao existe c ∈ N
tal que N ϕ(a
1
, . . . , a
n
, c). Ent˜ao T tem elimina¸c˜ao de quantificadores.
Demonstra¸c˜ao
Sejam M e N modelos de T, A subestrutura comum de M e N e a
1
, . . . , a
n
∈
A. Por hip´otese
M ∃wϕ(a
1
, . . . , a
n
, w) ⇒ N ∃wϕ(a
1
, . . . , a
n
, w)
e
N ∃wϕ(a
1
, . . . , a
n
, w) ⇒ M ∃wϕ(a
1
, . . . , a
n
, w)
logo
M ∃wϕ(a
1
, . . . , a
n
, w) ⇔ N ∃wϕ(a
1
, . . . , a
n
, w)
Assim, pelo teorema 4.4.4, existe uma f´ormula ψ(v
1
, . . . , v
n
) livre de quantifi-
67
cadores tal que
T ∀v
1
. . . ∀v
n
∃wϕ(v
1
, . . . , v
n
, w) ↔ ψ(v
1
, . . . , v
n
)
Portanto, pelo lema anterior, T tem elimina¸c˜ao de quantificadores.
Defini¸c˜ao 4.4.7 Seja T uma L-teoria. Dizemos que T tem modelos algebricamente
primos, se dado A T
∀
, existem M T e uma imers˜ao i : A → M tais que , para
quaisquer N T e j : A → N imers˜ao, existe uma imers˜ao h : M → N tal que j = h ◦ i.
No que segue, vamos considerar GAD, a teoria dos grupos abelianos com divis˜ao livres
de tor¸c˜ao, vista na linguagem L
g
= {+, −, 0} por uma quest˜ao de conveniˆencia, pois nesta
linguagem uma subestrutura de um grupo ´e um subgrupo.
Proposi¸c˜ao 4.4.8 GAD
tem modelos algebricamente primos.
Demonstra¸c˜ao
Vejamos primeiramente que GAD
∀
´e uma axiomatiza¸c˜ao da teoria dos grupos
abelianos livres de tor¸c˜ao. Claramente todo subgrupo de um grupo abeliano
com divis˜ao livre de tor¸c˜ao ´e um grupo abeliano livre de tor¸c˜ao.
Agora, seja G um grupo abeliano livre de tor¸c˜ao. Se G = {0}, ent˜ao H = Q ´e
um modelo de GAD contendo G, e como vimos na demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao
4.1.6, H est´a imerso em qualquer outro modelo de GAD. Suponha G um grupo
n˜ao trivial. Seja
X = {(g, n), g ∈ G e n ∈ N
∗
}
Vamos pensar intuitivamente em (g, n) como g/n. Defina uma rela¸c˜ao de
equivalˆencia ∼ em X por
(g, n) ∼ (h, m ) ⇔ mg = nh
Seja H = X/ ∼. Para (g, n) ∈ X, denote por [g, n] a ∼-classe de (g, n). Defina
a opera¸c˜ao + em H por
[g, n] + [h, m] = [mg + nh, mn]
68
Vejamos que + est´a bem definida. Suponha (g
0
, n
0
) ∼ (g, n), ent˜ao ng
0
= n
0
g,
logo, como G ´e abeliano,
mn
0
(mg + nh) = mmn
0
g + mn
0
nh = mmng
0
+ mnn
0
h = mn(ng
0
+ n
0
h)
portanto
(mg
0
+ n
0
h, mn
0
) ∼ (mg + nh, mn)
e
[g, n] + [h, m] = [mg + nh, mn] = [mg
0
+ n
0
h, mn
0
] = [g
0
, n
0
] + [h, m]
O elemento neutro de H ´e [0, 1] e o oposto ´e [g, n] = [−g, n].
Claramente H ´e abeliano.
[g, n] + [h, m] = [mg + nh, mn] = [nh + mg, nm] = [h, m] + [g, n]
Se [g, m] ∈ H e n > 0, ´e f´acil ver por indu¸c˜ao que n[g, m] = [ng, m]. Se
(ng, m) ∼ (0, k), ent˜ao kng = 0, como G ´e livre de tor¸c˜ao, g = 0. Logo
[g, m] = [0, 1] e portanto H ´e livre de tor¸c˜ao.
Suponha novamente [g, m] ∈ H e n > 0, ent˜ao n[g, nm] = [ng, nm] = [g, m],
logo H tem divis˜ao.
Defina uma imers˜ao i : G → H por i(g) = [g, 1]. Claramente [g, 1] + [h, 1] =
[g + h, 1] e se g = h, [g, 1] = [h, 1].
Portanto, pelo corol´ario 4.3.5, GAD
∀
´e uma axiomatiza¸c˜ao para a teoria dos
grupos abelianos livres de tor¸c˜ao.
Agora suponha H
GAD e j : G → H
uma imers˜ao. Seja k : H → H
definida por
k([g, n ]) = j(g)/n
Vejamos que k est´a bem definida. Dado g ∈ G e n > 0, como H
tem divis˜ao,
existe h ∈ H
tal que j(g) = nh, se h
0
∈ H
´e tal que j(g) = nh
0
, ent˜ao
n(h − h
0
) = 0, o que implica h = h
0
, pois H
´e livre de tor¸c˜ao. Agora sejam
(g, n), (h, m) ∈ X, ent˜ao
(g, n) ∼ (h, m ) ⇔ mg = nh ⇔ j(mg) = j(nh) ⇔
⇔ mj(g) = nj(h) ⇔
j(g)
n
=
j(h)
m
69
Portanto k est´a bem definida e ´e injetora. Agora vejamos que k preserva a
soma.
k([g, n] + [h, m]) = k([mg + nh, mn]) =
j(mg + nh)
mn
=
=
mj(g) + nj(h)
mn
=
j(g)
n
+
j(h)
m
Logo k ´e uma imers˜ao e dado g ∈ G
k ◦ i(g) = k([g, 1]) = j(g)/1 = j(g)
Defini¸c˜ao 4.4.9 Sejam T uma L-teoria e M, N T com M ⊂ N . Dizemos que M ´e
simplesmente fechado em N e denotamos por M ≺
s
N , se para quaisquer f´ormula livre
de quantificadores ϕ(v
1
, . . . , v
n
, w) e a
1
, . . . , a
n
∈ M, N ∃wϕ(a
1
, . . . , a
n
, w) implica
M ∃wϕ(a
1
, . . . , a
n
, w).
Proposi¸c˜ao 4.4.10 Sejam G, H GAD com G ⊂ H. Ent˜ao G ≺
s
H.
Demonstra¸c˜ao
Seja ϕ(v
1
, . . . , v
n
, w) uma f´ormula livre de quantificadores, ent˜ao existem f´ormulas
θ
i
(v
1
, . . . , v
n
, w) atˆomicas ou nega¸c˜oes de atˆomicas tais que ϕ ´e igual `a
r
i=1
θ
i
.
Observe que, para os modelos de GAD, se θ(v
1
, . . . , v
n
, w) ´e uma f´ormula
atˆomica, ent˜ao existem d
1
, . . . , d
n
, m ∈ Z tais que θ(v
1
, . . . , v
n
, w) ´e equivalente
`a
n
j=1
d
j
v
j
+ mw = 0
Sejam a
1
, . . . , a
n
∈ G, ent˜ao podemos assumir que ϕ(a
1
, . . . , a
n
, w) ´e igual `a
s
i=1
n
j=1
d
ij
a
j
g
i
+m
i
w = 0
∧
s
i=1
n
j=1
d
ij
a
j
h
i
+m
i
w = 0
Note que g
i
, h
i
∈ G . Suponha b ∈ H tal que H ϕ(a
1
, . . . , a
n
, b). Se, para
algum i = 1, . . . , s, m
i
= 0, ent˜ao b = −g
i
/m
i
∈ G, pois G tem divis˜ao, e
portanto G ϕ(a
1
, . . . , a
n
, b). Por outro lado, suponha que ϕ(a
1
, . . . , a
n
, w)
70
´e igual `a
s
i=1
(h
i
+ m
i
w = 0). Ent˜ao ϕ(a
1
, . . . , a
n
, w) ´e satisfeita por qualquer
elemento de H diferente de −h
i
/m
i
, onde i = 1, . . . , s
. Como G GAD, G ´e
infinito, logo existe c ∈ G tal que G ϕ(a
1
, . . . , a
n
, c).
Teorema 4.4.11 Seja T uma L-teoria tal que
i. T tem modelos algebricamente primos;
ii. M ≺
s
N sempre que M ⊂ N s˜ao modelos de T.
Ent˜ao T tem elimina¸c˜ao de quantificadores.
Demonstra¸c˜ao
Sejam M
1
, M
2
T, A subestrutura comum de M
1
e M
2
e ϕ(v
1
, . . . , v
n
, w)
uma f´ormula livre de quantificadores . Suponha a
1
, . . . , a
n
∈ A e b ∈ M
1
tais
que M
1
ϕ(a
1
, . . . , a
n
, b). Pela proposi¸c˜ao 4.3.4, A T
∀
. Por i., existem
N T e η
1
e η
2
imers˜oes de N em M
1
e M
2
, respectivamente. Por ii.,
N ∃wϕ(a
1
, . . . , a
n
, w). Logo M
2
∃wϕ(a
1
, . . . , a
n
, w). Portanto, pelo
teorema 4.4.6, T tem elimina¸c˜ao de quantificadores.
Corol´ario 4.4.12 GAD tem elimina¸c˜ao de quantificadores.
Demonstra¸c˜ao
Pela proposi¸c˜ao 4.4.8, GAD tem modelos algebricamente primos, e pela pro-
posi¸c˜ao 4.4.10, G ≺
s
H sempre que G ⊂ H s˜ao modelos de GAD . Portanto,
pelo teorema anterior, GAD tem elimina¸c˜ao de quantificadores.
Podemos ver exemplos interessantes de conjuntos defin´ıveis em modelos de GAD. Supo-
nha ϕ(v
1
, . . . , v
n
, w
1
, . . . , w
m
) uma f´ormula atˆomica. Ent˜ao existem inteiros k
1
, . . . , k
n
, l
1
, . . . , l
m
tais que ϕ seja equivalente `a
n
i=1
k
i
v
i
+
m
i=1
l
i
w
i
= 0
71
Se G GAD e b
1
, . . . , b
m
∈ G, ent˜ao ϕ(v
1
, . . . , v
n
, b
1
, . . . , b
m
) define o conjunto
(g
1
, . . . , g
n
) ∈ G
n
;
n
i=1
k
i
g
i
+
m
i=1
l
i
b
i
= 0
um hiperplano de G
n
. Como em GAD qualquer f´ormula ´e equivalente `a uma combina¸c˜ao
booleana de f´ormulas atˆomicas, qualquer subconjunto defin´ıvel em G
n
´e uma combina¸c˜ao
booleana de hiperplanos. Em particular, se b
1
, . . . , b
m
∈ G e ϕ(v, b
1
, . . . , b
m
) define um
subconjunto de G. Como hiperplanos de G s˜ao apenas pontos, temos que o conjunto
{g ∈ G; G ϕ(g, b
1
, . . . , b
m
)} ´e finito ou cofinito. Lembrando que um conjunto ´e cofinito
se o seu complementar ´e finito.
Defini¸c˜ao 4.4.13 Uma L-teoria T ´e dita fortemente minimal se, para qualquer M T,
os subconjuntos defin´ıveis de M s˜ao finitos ou cofinitos.
Exemplo 4.4.14 GAD ´e fortemente minimal
Defini¸c˜ao 4.4.15 Seja T uma L-teoria. Dizemos que T ´e modelo-completa se M ≺ N
sempre que M ⊂ N s˜ao modelos de T.
Teorema 4.4.16 Seja T uma L-teoria. Se T tem elimina¸c˜ao de quantificadores, ent˜ao
T ´e modelo-completa.
Demonstra¸c˜ao
Sejam M ⊂ N modelos de T e ϕ(v
1
, . . . , v
n
) uma L-f´ormula. Como T tem
elimina¸c˜ao de quantificadores, existe uma f´ormula ψ(v
1
, . . . , v
n
) livre de quan-
tificadores tal que
T ∀v
1
. . . ∀v
n
ϕ(v
1
, . . . , v
n
) ↔ ψ(v
1
, . . . , v
n
)
Sejam a
1
, . . . , a
n
∈ M. Como f´ormulas livres de quantificadores s˜ao preserva-
das por subestruturas e extens˜oes,
M ϕ(a
1
, . . . , a
n
) ⇔ M ψ(a
1
, . . . , a
n
) ⇔
⇔ N ψ(a
1
, . . . , a
n
) ⇔ N ϕ(a
1
, . . . , a
n
)
Portanto T ´e mo delo-completa.
Teorema 4.4.17 Seja T uma teoria modelo-completa. Suponha que existe M
0
T tal
que M
0
est´a imerso em qualquer modelos de T. Ent˜ao T ´e completa.
72
Demonstra¸c˜ao
Seja M T. A imers˜ao de M
0
em M ´e elementar, pois T ´e modelo-completa.
Em particular, M
0
≡ M. Ent˜ao quaisquer dois modelos de T s˜ao elementar-
mente equivalentes. Portanto T ´e completa.
Obs.: Como Q est´a imerso em qualquer modelo de GAD, esta ´e uma outra prova de
que GAD ´e completa.
73
Cap´ıtulo 5
Corpos Algebricamente Fechados
5.1 Teoria CAF
Seja L
a
= {+, −, ·, 0, 1} a linguagem dos an´eis. Suponha θ(v
1
, . . . , v
n
) uma f´ormula
atˆomica. Como n˜ao temos s´ımbolos de predicados em L
a
, temos que θ(v
1
, . . . , v
n
) ´e
igual `a t
1
(v
1
, . . . , v
n
) = t
2
(v
1
, . . . , v
n
), onde t
1
e t
2
s˜ao termos. Mas o s´ımbolo funcional
“-” est´a em L
a
. Assim, t
1
− t
2
tamb´em ´e um termo. Logo, em qualquer L
a
-estrutura
temos que a f´ormula θ(v
1
, . . . , v
n
) ´e equivalente `a t(v
1
, . . . , v
n
) = 0, onde t ´e um termo.
Agora observe que se t ´e um termo livre de vari´aveis, ent˜ao t ´e 0, ou t ´e 1, ou t ´e um
termo envolvendo esses s´ımbolos de constante e os s´ımbolos funcionais +, −, ·. Ou seja,
em qualquer estrutura, t ser´a interpretado como um n´umero inteiro. Se t ´e um termo
dependendo de no m´aximo uma vari´avel v, ent˜ao, da mesma forma, temos que t ser´a
interpretado como um polinˆomio em Z[v]. Indutivamente, t(v
1
, . . . , v
n
) ser´a interpretado
como um polinˆomio em Z[v
1
, . . . , v
n
].
Lema 5.1.1 CAF
∀
´e uma axiomatiza¸c˜ao da teoria dos dom´ınios de integridade.
Demonstra¸c˜ao
Se D ´e um dom´ınio de integridade, ent˜ao o fecho alg´ebrico do seu corpo de
fra¸c˜oes ´e um modelo de CAF .
De acordo com o exemplo 2.2.5, CAF T
d
, onde T
d
´e a teoria dos dom´ınios de
integridade. Mas as senten¸cas de T
d
s˜ao todas universais. Logo, pelo corol´ario
1.4.5, toda subestrutura de CAF ´e um dom´ınio de integridade.
Portanto, pelo corol´ario 4.3.5, CAF
∀
´e uma axiomatiza¸c˜ao de T
d
.
74
Teorema 5.1.2 CAF tem elimina¸c˜ao de quantificadores.
Demonstra¸c˜ao
Vamos mostrar que CAF tem modelos algebricamente primos e que se M ⊂ N
s˜ao modelos de CAF , ent˜ao M ≺
s
N , pois assim teremos que CAF tem
elimina¸c˜ao de quantificadores.
Se D ´e um dom´ınio de integridade, ent˜ao o fecho alg´ebrico do corpo de fra¸c˜oes
de D est´a imerso em qualquer corpo algebricamente fechado contendo D.
Assim, CAF tem modelo algebricamente primo.
Agora sejam F ⊂ K corpos algebricamente fechados, ϕ(x, y
1
, . . . , y
m
) uma
f´ormula livre de quantificadores e b
1
, . . . , b
m
∈ F tais que K ϕ(a, b
1
, . . . , b
m
)
para algum a ∈ K.
Como ϕ ´e livre de quantificadores, podemos assumir que ϕ ´e uma conjun¸c˜ao
de f´ormulas atˆomicas e de nega¸c˜oes de atˆomicas. Na linguagem dos an´eis L
a
,
f´ormulas atˆomicas θ(v
1
, . . . , v
n
) s˜ao equivalentes, em qualquer L
a
-estrutura, `a
p(v
1
, . . . , v
n
) = 0 onde p ∈ Z[x
1
, . . . , x
n
].
Se p(xy
1
, . . . , y
m
) ∈ Z[x, y
1
, . . . , y
m
], podemos ver p(x, b
1
, . . . , b
m
)como um po-
linˆomio em F [x]. Ent˜ao existem polinˆomios p
1
, . . . , p
r
, q
1
, . . . , q
s
∈ F [x] tais
que ϕ(v, b
1
, . . . , b
m
) ´e equivalente `a
r
i=1
p
i
(v) = 0
∧
s
i=1
q
i
(v) = 0
Se algum p
i
for n˜ao nulo, ent˜ao a ´e alg´ebrico sobre F . Como F ´e algebri-
camente fechado, a ∈ F. Suponha ent˜ao que ϕ(v, b
1
, . . . , b
m
) ´e equivalente
`a
s
i=1
q
i
(v) = 0
Mas q
i
(v) = 0 tem apenas uma quantidade finita de solu¸c˜oes para cada i ≤ s.
Ent˜ao existem apenas finitos elementos de F que n˜ao satisfaz ϕ. Como corpos
algebricamente fechados s˜ao infinitos, existe c ∈ F tal que F ϕ(c, b
1
, . . . , b
m
).
Logo F ≺
s
K.
Portanto CAF tem elimina¸c˜ao de quantificadores.
No cap´ıtulo anterior, corol´ario 4.1.12, vimos atrav´es do Teste de Vaught que CAF
p
´e
completa. Agora daremos uma outra demonstra¸c˜ao para esse mesmo fato.
75
Corol´ario 5.1.3 CAF ´e modelo-completa e CAF
p
´e completa, onde p = 0 ou p ´e primo.
Demonstra¸c˜ao
CAF tem elimina¸c˜ao de quantificadores, logo, pelo teorema 4.4.16, CAF ´e
modelo-completa.
Suponha K, L CAF
p
e seja ϕ uma senten¸ca na linguagem dos an´eis.
Como CAF tem elimina¸c˜ao de quantificadores, existe uma senten¸ca ψ livre
de quantificadores tal que
CAF ϕ ↔ ψ
Como senten¸cas livres de quantificadores s˜ao preservadas por subestruturas e
extens˜oes, temos
K ψ ⇔ F
p
ψ ⇔ L ψ
onde, se p ´e primo, F
p
= Z
p
, que est´a imerso em qualquer corpo de carac-
ter´ıstica p, e se p = 0, F
p
= Q, que est´a imerso em qualquer corpo de carac-
ter´ıstica 0.
Assim
K ϕ ⇔ K ψ ⇔ L ψ ⇔ L ϕ
Logo K ≡ L e portanto CAF
p
´e completa.
5.2 Topologia de Zariski
Nesta se¸c˜ao introduziremos uma topologia natural em conjuntos de zeros de polinˆomios.
Defini¸c˜ao 5.2.1 Sejam K um corpo, n ∈ N
∗
e R ⊂ K[x
1
, . . . , x
n
]. Defina
V(R) = {(a
1
, . . . , a
n
) ∈ K
n
; p(a
1
, . . . , a
n
) = 0 para todo p ∈ R}
Dizemos que X ⊂ K
n
´e Zariski fechado se X = V(S) para algum S ⊂ K[x
1
, . . . , x
n
].
No teorema a seguir trataremos de espa¸co top ol´ogico com a topologia de fechados. Para
maiores detalhes sobre espa¸cos topol´ogicos consulte [7].
Teorema 5.2.2 Sejam K um corpo e n ∈ N
∗
. Defina
τ = {V(S); S ⊂ K[x
1
, . . . , x
n
]}
76
Ent˜ao (K
n
, τ) ´e um espa¸co topol´ogico.
Demonstra¸c˜ao
i. ∅ = V({1})
K
n
= V({0})
ii. Sejam X = V(S) e Y = V(R) onde S, R ⊂ K[x
1
, . . . , x
n
]. Defina
SR = {s · r; s ∈ S e r ∈ R}
Claramente X ∪Y ⊂ V(SR). Agora seja (a
1
, . . . , a
n
) ∈ V(SR) e suponha
que (a
1
, . . . , a
n
) /∈ Y . Ent˜ao existe r
0
∈ R tal que
r
0
(a
1
, . . . , a
n
) = 0
Mas, para todo s ∈ S,
(s · r
0
)(a
1
, . . . , a
n
) = 0
o que implica
s(a
1
, . . . , a
n
) = 0
Portanto (a
1
, . . . , a
n
) ∈ X.
iii. Sejam (X
λ
)
λ∈Λ
Zariski fechados. Ent˜ao existem S
λ
⊂ K[x
1
, . . . , x
n
] tais
que
X
λ
= V(S
λ
)
para cada λ ∈ Λ. Vejamos que
∩X
λ
= V(∪S
λ
)
De fato,
(a
1
, . . . , a
n
) ∈ ∩X
λ
se, e somente se, para todo λ ∈ Λ,
p(a
1
, . . . , a
n
) = 0
qualquer que seja p ∈ S
λ
. O que ´e necess´ario e suficiente para
(a
1
, . . . , a
n
) ∈ V(∪S
λ
)
77
Mais tarde veremos que esse espa¸co topol´ogico ´e compacto e, em geral, n˜ao ´e Hausdorff.
Mas antes observe que K[x
1
, . . . , x
n
] ´e um anel comutativo. Veremos agora alguns resul-
tados relativos a esse anel. Para isso tamb´em veremos a defini¸c˜ao de anel Noetheriano.
Obs.: Se A ´e um anel e S ⊂ A, denotaremos por < S > o ideal gerado por S.
Teorema 5.2.3 Seja A um anel. Ent˜ao as seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes:
i. Todo ideal de A ´e finitamente gerado.
ii. Toda cadeia ascendente de ideais distintos de A ´e finita.
iii. Todo conjunto n˜ao vazio de ideais de A tem um elemento maximal (com respeito `a
ordem parcial de inclus˜ao).
Nesse caso, se alguma dessas e portanto todas essas condi¸c˜oes forem verdadeiras, dizemos
que A ´e um anel Noetheriano.
Demonstra¸c˜ao
i. ⇒ ii.
Suponha I
1
⊂ I
2
⊂ I
3
⊂ . . . uma cadeia ascendente de ideais de
A. Seja J a uni˜ao desses ideais. Ent˜ao J ´e finitamente gerado.
Sejam j
1
, . . . , j
r
geradores de J, assim cada gerador est´a em algum
I
k
. Ent˜ao existe um ´ındice n tal que
j
1
, . . . , j
r
∈ I
n
Logo
< j
1
, . . . , j
r
>⊂ I
n
⊂ J =< j
1
, . . . , j
r
>
Portanto vale a igualdade.
ii. ⇒ iii.
Seja S um conjunto de ideais de A e seja I
0
um elemento de S. Se I
0
n˜ao ´e um elemento maximal, ent˜ao existe um ideal I
1
∈ S contendo
propriamente I
0
. Se I
1
n˜ao ´e um elemento maximal, ent˜ao existe
um ideal I
2
contendo propriamente I
1
. Indutivamente, se temos I
n
n˜ao maximal, ent˜ao existe um ideal I
n+1
contendo propriamente I
n
.
Dessa maneira poderiamos construir uma cadeia infinita de ideais
de A, o que ´e um absurdo.
78
iii. ⇒ i.
Sejam J um ideal de A e j
0
∈ J. Se J =< j
0
>, ent˜ao existe j
1
∈ J
tal que j
1
/∈< j
0
>. Procedendo indutivamente, podemos construir
uma cadeia ascendente de subideais de J, a saber
< j
0
>⊂< j
0
, j
1
>⊂< j
0
, j
1
, j
2
>⊂ . . .
onde cada inclus˜ao ´e pr´opria. O conjunto desses subideais tem um
elemento maximal, digamos < j
0
, . . . , j
r
>. Claramente esse ele-
mento ´e igual `a J.
Teorema 5.2.4 (Base de Hilbert) Seja A um anel comutativo Noetheriano. Ent˜ao o anel
polinomial A[x] tamb´em ´e Noetheriano.
Demonstra¸c˜ao
Seja U um ideal de A[x]. Para cada n ∈ N, sejam
U
n
= {p ∈ U; p tem grau n}
I
n
= {a
n
∈ A; a
n
x
n
+ . . . + a
1
x + a
0
∈ U
n
} ∪ {0}
Vejamos que I
n
´e ideal de A. Sejam a, b ∈ I
n
, ent˜ao existem p, q ∈ U
n
tais
que os coeficientes de x
n
sejam, respectivamente, a e b. Se a = b, ent˜ao
a − b = 0 ∈ I
n
. Se a = b, p − q ∈ U
n
, visto que U ´e ideal e p − q tem grau
n, logo a − b ∈ I
n
. Obviamente 0 · a = 0 ∈ I
n
, agora se 0 = c ∈ A, ent˜ao
c · p ∈ U
n
, logo c · a ∈ I
n
.
Observe que se p ∈ U
n
para algum n, ent˜ao x · p ∈ U
n+1
, conseq¨uentemente
I
0
⊂ I
1
⊂ I
2
⊂ . . .
Como A ´e Noetheriano, pelo item ii. do teorema anterior, existe r ∈ N tal
que, para todo s > r, I
s
= I
r
. Ent˜ao, pelo item i. do teorema, para cada
i = 0, . . . , r, seja
I
i
=< a
i1
, . . . , a
in
i
>
79
Agora, para cada i = 0, . . . , r e j = 1, . . . , n
i
, seja p
ij
∈ U
i
onde a
ij
´e o
coeficiente de x
i
. Mostraremos que os polinˆomios p
ij
formam um conjunto de
geradores de U.
Seja q ∈ U de grau d. Veremos por indu¸c˜ao sobre d que q est´a em um ideal
gerado pelos p
ij
. Sup onha d ≥ 0, se d > r, ent˜ao os coeficientes de x
d
dos
polinˆomios
x
d−r
p
r1
, . . . , x
d−r
p
rn
r
geram I
d
. Logo, existem elementos c
1
, . . . , c
n
r
∈ A tais que o polinˆomio
q − c
1
x
d−r
p
r1
− . . . − c
n
r
x
d−r
p
rn
r
tem grau menor que d, e claramente esse polinˆomio pertence a U. Se d ≤ r,
podemos subtrair uma combina¸c˜ao linear para obter o polinˆomio
q − c
1
p
d1
− . . . − c
n
d
p
dn
d
de grau menor que d, tamb´em pertencente a U. Observe que o polinˆomios
que subtra´ımos de q est˜ao no ideal gerado pelos p
ij
. Por indu¸c˜ao, podemos
subtrair um polinˆomio f no ideal gerado pelos p
ij
tal que q − f = 0 e portanto
U ´e exatamente o ideal gerado pelos p
ij
.
Corol´ario 5.2.5 Seja A um anel comutativo Noetheriano. Ent˜ao o anel polinomial
A[x
1
, . . . , x
n
] tamb´em ´e Noetheriano.
Demonstra¸c˜ao
Pelo teorema anterior, A[x
1
] ´e Noetheriano, e claramente tamb´em ´e comuta-
tivo. Assim, podemos ver indutivamente que
A[x
1
, . . . , x
n
] = A[x
1
, . . . , x
n−1
][x
n
]
´e Noetheriano.
Sejam A um anel e I ⊂ A um ideal. Denotaremos por
Rad(I) = {a ∈ A; a
n
∈ I para algum n ∈ N
∗
}
o radical de I.
80
Defini¸c˜ao 5.2.6 Sejam A um anel e I ⊂ A um ideal. Dizemos que I ´e um ideal radical
se I = Rad(I).
Defini¸c˜ao 5.2.7 Sejam K um corpo e Y ⊂ K
n
. Defina
I(Y ) = {p ∈ K[x
1
, . . . , x
n
]; p(a
1
, . . . , a
n
) = 0 para todo (a
1
, . . . , a
n
) ∈ Y }
Lema 5.2.8 Sejam K um corpo, R, S ⊂ K[x
1
, . . . , x
n
] e X, Y ⊂ K
n
, ent˜ao
i. I(X) ´e um ideal radical.
ii. S ⊂ I(V(S))
iii. X ⊂ V(I(X))
iv. X ⊂ Y ⇒ I(Y ) ⊂ I(X)
v. S ⊂ R ⇒ V(R) ⊂ V(S)
Demonstra¸c˜ao
i. Sejam p, q ∈ I(X) e f ∈ K[x
1
, . . . , x
n
]. Se a ∈ X, ent˜ao
p(a) − q(a) = 0 = f(a) · p(a)
Logo I(X) ´e ideal. Agora se f
m
∈ I(X), ent˜ao f
m
(a) = 0, logo f(a) = 0.
Portanto I(X) ´e ideal radical.
ii. Sejam p ∈ S e a ∈ V(S), ent˜ao p(a) = 0, logo p ∈ I(V(S)).
iii. Sejam a ∈ X e p ∈ I(X), ent˜ao p(a) = 0, logo a ∈ V(I(X)).
iv. Seja p ∈ I(Y ), ent˜ao p(a) = 0 para todo a ∈ Y , em particular para todo
a ∈ X, logo p ∈ I(X).
v. Seja a ∈ V(R), ent˜ao p(a) = 0 para todo p ∈ R, em particular para todo
p ∈ S, logo a ∈ V(S).
Corol´ario 5.2.9 Sejam K um corpo e X ⊂ K
n
Zariski fechado. Ent˜ao X = V(I(X)).
Demonstra¸c˜ao
Pelo lema anterior, X ⊂ V(I(X)). Como X ´e Zariski fechado, X = V(S) para
algum S ∈ K[x
1
, . . . , x
n
]. Mas pelo lema anterior, S ⊂ I(V(S)). Logo
V(I(X)) = V(I(V(S))) ⊂ V(S) = X
81
Corol´ario 5.2.10 Seja K um corpo e S ⊂ K[x
1
, . . . , x
n
], ent˜ao V(S) = V(< S >).
Demonstra¸c˜ao
Pelo lema 5.2.8, V(< S >) ⊂ V(S). Agora, sejam a ∈ V(S) e p ∈< S >.
Ent˜ao existem q
1
, . . . , q
m
∈ S e f
1
, . . . , f
m
∈ K[x
1
, . . . , x
n
] tais que
p = f
1
q
1
+ . . . + f
m
q
m
Logo
p(a) = f
1
(a)q
1
(a) + . . . + f
m
(a)q
m
(a) = f
1
(a)0 + . . . + f
m
(a)0 = 0
Portanto a ∈ V(< S >).
Proposi¸c˜ao 5.2.11 Seja K um corpo algebricamente fechado. Ent˜ao K n˜ao ´e Hausdorff
na topologia de Zariski.
Demonstra¸c˜ao
Sejam a, b ∈ K distintos.
Suponha A, B ⊂ K abertos tais que a ∈ A, b ∈ B e A ∩ B = ∅. Assim
X = K \ A ´e Zariski fechado e cont´em B.
Mas X = V(I(X)) e I(X) ´e um ideal. Como K[x] ´e Noetheriano, I(X) ´e
finitamente gerado, digamos por p
1
, . . . , p
n
. Assim, pelo corol´ario anterior,
X = V({p
1
, . . . , p
n
}).
Logo, como K ´e um corpo algebricamente fechado, X ´e finito, e portanto A ´e
infinito. Analogamente prova-se que B ´e infinito, o que ´e um absurdo, visto
que B ⊂ X.
Teorema 5.2.12 i. Toda cadeia descendente de conjuntos Zariski fechados ´e finita.
ii. Se X
λ
´e Zariski fechado para todo λ ∈ Λ, onde Λ ´e um conjunto de ´ındices, ent˜ao
existe Λ
0
⊂ Λ finito tal que
λ∈Λ
X
λ
=
λ∈Λ
0
X
λ
82
Demonstra¸c˜ao
i. Seja
X
0
⊃ X
1
⊃ X
2
⊃ . . .
uma cadeia descendente de conjuntos Zariski fechados, ent˜ao
I(X
0
) ⊂ I(X
1
) ⊂ I(X
2
) ⊂ . . .
´e uma cadeia ascendente de ideais radicais. Como K[x
1
, . . . , x
n
] ´e No-
etheriano, essa cadeia ´e finita, logo a primeira cadeia tamb´em ´e finita,
visto que para todo i ∈ N, X
i
= V(I(X
i
)).
ii. Suponha que n˜ao exista tal Λ
0
finito. Ent˜ao existe uma c´opia de N em
Λ tal que, para todo n ∈ N,
n+1
i=0
X
i
n
i=0
X
i
Contradizendo o item i..
Corol´ario 5.2.13 O espa¸co topol´ogico (K
n
, τ), como definido no teorema 5.2.2, ´e com-
pacto.
Demonstra¸c˜ao
Defina os conjuntos abertos em K
n
como sendo os complementares dos con-
juntos Zariski fechados.
Seja (A
λ
)
λ∈Λ
uma cobertura de abertos de K
n
. Ent˜ao, pelo teorema anterior,
existe Λ
0
⊂ Λ finito tal que
K
n
⊂
λ∈Λ
A
λ
= K
n
\
λ∈Λ
(K
n
\ A
λ
)
= K
n
\
λ∈Λ
0
(K
n
\ A
λ
)
=
λ∈Λ
0
A
λ
83
5.3 Conjuntos Construt´ıveis
Nesta se¸c˜ao mostraremos como a elimina¸c˜ao de quantificadores de CAF permite uma
caracteriza¸c˜ao particularmente interessante dos conjuntos defin´ıveis.
Lema 5.3.1 Seja K um corpo. Os subconjuntos de K
n
definidos por f´ormulas atˆomicas
s˜ao exatamente aqueles da forma V({p}) para algum p ∈ K[x
1
, . . . , x
n
]. Um subconjunto
de K
n
´e definido por uma f´ormula livre de quantificadores se, e somente se, ´e uma com-
bina¸c˜ao booleana de conjuntos Zariski fechados.
Demonstra¸c˜ao
Se ϕ(v
1
, . . . , v
n
, w
1
, . . . , w
m
) ´e uma f´ormula atˆomica, ent˜ao existe
q(x
1
, . . . , x
n
, y
1
, . . . , y
m
) ∈ Z[x
1
, . . . , x
n
, y
1
, . . . , y
m
]
tal que ϕ(v
1
, . . . , v
n
, w
1
, . . . , w
m
) ´e equivalente `a
q(v
1
, . . . , v
n
, w
1
, . . . , w
m
) = 0
Se
X = {(a
1
, . . . , a
n
) ∈ K
n
; ϕ(a
1
, . . . , a
n
, b
1
, . . . , b
m
)}
ent˜ao
q(x
1
, . . . , x
n
, b
1
, . . . , b
m
) ∈ K[x
1
, . . . , x
n
]
e
X = V({q(x
1
, . . . , x
n
, b
1
, . . . , b
m
)})
Por outro lado, se p ∈ K[x
1
, . . . , x
n
], ent˜ao existem
q ∈ Z[x
1
, . . . , x
n
, y
1
, . . . , y
m
]
e (b
1
, . . . , b
m
) ∈ K
m
tais que
p(x
1
, . . . , x
n
) = q(x
1
, . . . , x
n
, b
1
, . . . , b
m
)
Logo V({p}) ´e definido pela f´ormula
q(x
1
, . . . , x
n
, b
1
, . . . , b
m
) = 0
84
Se X ´e Zariski fechado, ent˜ao existem p
1
, . . . , p
r
∈ K[x
1
, . . . , x
n
] tais que
X = V({p
1
, . . . , p
r
}) = V({p
1
}) ∩ . . . ∩ V({p
r
})
Como conjuntos defin´ıveis por f´ormulas livres de quantificadores s˜ao exata-
mente combina¸c˜oes booleanas de conjuntos defin´ıveis por f´ormulas atˆomicas,
eles s˜ao exatamente combina¸c˜oes booleanas de conjuntos Zariski fechados.
Considere o corpo R. Seja p ∈ R[x, y] um polinomio definido por p(x, y) = y. Claramente
V
(
{
p
}
) =
R
× {
0
}
. Assim
R
× {
0
}
´e defin´ıvel em
R
2
. Como vimos no corol´ario 2.3.10
que R n˜ao ´e defin´ıvel em C, a bije¸c˜ao canˆonica de R
2
em C n˜ao ´e um homeomorfismo na
topologia de Zariski.
Defini¸c˜ao 5.3.2 Dizemos que X ⊂ K
n
´e construt´ıvel se X ´e uma combina¸c˜ao booleana
de conjuntos Zariski fechados.
Teorema 5.3.3 Seja K um corpo algebricamente fechado.
i. X ⊂ K
n
´e construt´ıvel se, e somente se, ´e defin´ıvel.
ii. (Teorema de Chevalley) A imagem de um conjunto construt´ıvel por uma fun¸c˜ao po-
linomial ´e construt´ıvel.
Demonstra¸c˜ao
i. Pelo lema anterior, os conjuntos construt´ıveis s˜ao exatamente os defin´ıveis
por f´ormulas livres de quantificadores. Como CAF tem elimina¸c˜ao de
quantificadores, todo conjunto defin´ıvel ´e defin´ıvel por uma f´ormula livre
de quantificadores.
ii. Seja X ⊂ K
n
construt´ıvel e p : K
n
→ K
m
uma fun¸c˜ao polinomial. Ent˜ao
p(X) = {y ∈ K
m
; existe x ∈ X tal que p(x) = y}
Suponha que X seja defin´ıvel por ϕ(v
1
, . . . , v
n
, c
1
, . . . , c
k
). Ent˜ao
p(X) = {y ∈ K
m
; ∃x(ϕ(x, c
1
, . . . , c
k
) ∧ (p(x) = y)}
85
Corol´ario 5.3.4 Se K CAF e X ⊂ K ´e defin´ıvel, ent˜ao X ou K \ X ´e finito. Isto ´e,
CAF ´e fortemente minimal.
Demonstra¸c˜ao
Pela elimina¸c˜ao de quantificadores, X ´e uma combina¸c˜ao finita de conjuntos
da forma V({p}) onde p ∈ K[x]. Mas V({p}) ´e o conjunto das ra´ızes de p,
logo, se p = 0, V({p}) ´e finito e se p = 0, V({p}) = K.
5.4 Nullstellensatz de Hilbert
Defini¸c˜ao 5.4.1 Seja A um anel comutativo. Dizemos que S ⊂ A n˜ao vazio ´e um
subconjunto multiplicativo, se dados a, b ∈ S ent˜ao a · b ∈ S.
Defini¸c˜ao 5.4.2 Sejam A um anel e P ⊂ A um ideal. Dizemos que P ´e um ideal primo
se P = A e dados a, b ∈ A tais que a · b ∈ P implica a ∈ P ou b ∈ P .
Proposi¸c˜ao 5.4.3 Sejam A um anel e P ⊂ A um ideal. Ent˜ao P ´e um ideal primo se,
e somente se, P = A e dados G, H ⊂ A tais que GH ⊂ P implica G ⊂ P ou H ⊂ P .
Demonstra¸c˜ao
Suponha primeiramente que P ´e um ideal primo. Sejam G, H ⊂ A tais que
GH ⊂ P . Se G n˜ao est´a contido em P , ent˜ao existe g ∈ G\P . Como GH ⊂ P ,
gh ∈ P para todo h ∈ H. Mas P ´e primo e g /∈ P , logo h ∈ P . Portanto
H ⊂ P .
Por outro lado, sejam a, b ∈ A tais que ab ∈ P . Tome G =< a > e H =< b >.
Assim, dados g ∈ G e h ∈ H, existem r, s ∈ A tais que g = ra e h = sb. Logo
gh = rsab ∈ P
Conseq¨uentemente GH ⊂ P . Portanto
a /∈ P ⇒ G P ⇒ H ⊂ P ⇒ b ∈ P
86
Lema 5.4.4 Suponha A um anel comutativo. Sejam S ⊂ A um conjunto multiplicativo
e I ⊂ A um ideal tais que S ∩ I = ∅. Ent˜ao existe um ideal primo P ⊂ A tal que I ⊂ P
e P ∩ S = ∅.
Demonstra¸c˜ao
Seja
X = {J ⊂ A; J ´e ideal, I ⊂ J e J ∩ S = ∅}
com a ordem parcial da inclus˜ao. Note que X = ∅ pois I ∈ X .
Seja C ⊂ X uma cadeia. Claramente
J∈C
J ∈ X
Logo, pelo lema de Zorn, X possui um elemento maximal. Seja P um tal
elemento.
Como S = ∅, P = A. Sejam G, H ⊂ A ideais tais que GH ⊂ P . Suponha
que G P e H P . Assim, cada ideal P + G e P + H cont´em propriamente
P e portanto tem intersec¸c˜ao n˜ao vazia com S. Conseq¨uentemente, existem
p, q ∈ P , g ∈ G e h ∈ H tais que
p + g = s ∈ S
e
q + h = r ∈ S
Ent˜ao
sr = pq + ph + gq + gh ∈ P + GH ⊂ P
O que ´e uma contradi¸c˜ao, pois sr ∈ S e S ∩ P = ∅. Portanto P ´e ideal primo.
Teorema 5.4.5 Sejam A um anel comutativo e I um ideal de A. Ent˜ao I ´e um ideal
radical se, e somente se, I = ∩{P ⊂ A; P ´e ideal primo e I ⊂ P }
Demonstra¸c˜ao
Seja
J = ∩{P ⊂ A; P ´e ideal primo e I ⊂ P }
87
Vamos mostrar que I = J.
Obviamente I ⊂ J. Ent˜ao suponha que a /∈ I, como I ´e ideal radical, a
n
/∈ I
para todo n ∈ N
∗
. Assim,
S = {a
n
+ b; n > 0 e b ∈ I}
´e claramente um conjunto mutiplicativo e S ∩ I = ∅. Logo, pelo lema anterior,
existe um ideal primo P ⊂ A tal que I ⊂ P e P ∩ S = ∅. Mas ent˜ao a /∈ P .
Portanto a /∈ J.
Suponha agora I = ∩{P ⊂ A; P ´e ideal primo e I ⊂ P }. Seja a ∈ A e n ∈ N
tais que a
n
∈ I, ent˜ao a
n
∈ P para todo ideal primo P ⊂ A com I ⊂ P . Como
P ´e primo, a ∈ P , logo a ∈ I. Portanto I ´e um ideal radical.
Lema 5.4.6 Sejam K um corpo, P ⊂ K[x
1
, . . . , x
n
] um ideal primo e L = K[x
1
, . . . , x
n
]/P .
Ent˜ao existe um monomorfismo η : K → L.
Demonstra¸c˜ao
Claramente a “inclus˜ao”
ι : K → K[x
1
, . . . , x
n
]
´e um monomorfismo. Vamos mostrar que η = π ◦ ι ´e monomorfismo, onde
π : K[x
1
, . . . , x
n
] → K[x
1
, . . . , x
n
]/P
´e a proje¸c˜ao canˆonica.
Vejamos primeiramente que ι(K) ∩ P = {0}. Como ι ´e um monomorfismo,
assumiremos K = ι(K). Suponha que existe k ∈ K ∩ P , com k = 0, ent˜ao
1 =
1
k
k ∈ P e portanto P = K[x
1
, . . . , x
n
], o que contradiz o fato de P ser um
ideal primo.
Como π ´e homomorfismo, basta mostrar que π|
K
´e injetor. Para isso, seja
a ∈ K tal que π(a) = 0. Mas π(a ) = 0 sse a ∈ P , logo a = 0. Portanto η ´e
monomorfismo.
88
Teorema 5.4.7 Seja K um corpo algebricamente fechado. Suponha que H e J s˜ao ideais
radicais de K[x
1
, . . . , x
n
] e K J. Ent˜ao V(J) V(H). Al´em disso, X → I(X) ´e uma
bije¸c˜ao entre os conjuntos Zariski fechados e os ideais radicais.
Demonstra¸c˜ao
Seja q ∈ J \ H. Pelo teorema 5.4.5, existe um ideal primo P ⊃ H tal que
q /∈ P . Queremos mostrar que existe y ∈ V(P ) ⊂ V(H) tal que q(y) = 0.
Como P ´e ideal primo, L = K[x
1
, . . . , x
n
]/P ´e um dom´ınio. Tome F = F
alg
L
o
fecho alg´ebrico do corpo de fra¸c˜oes de L.
Sejam p
1
, . . . , p
m
∈ K[x
1
, . . . , x
n
] geradores de P , e para j = 1, . . . , n, sejam
a
j
= x
j
/P ∈ L ⊂ F . Pelo lema anterior, podemos ver K como um subcorpo
de F . Assim, temos que
p ∈ P ⇔ p(x
1
, . . . , x
n
)/P = 0 ⇔ p(a
1
, . . . , a
n
) = 0
Ent˜ao
F
m
i=1
p
i
(a
1
, . . . , a
n
) = 0
∧
q(a
1
, . . . , a
n
) = 0
Logo
F ∃v
1
. . . ∃v
n
m
i=1
p
i
(v
1
, . . . , v
n
) = 0
∧
q(v
1
, . . . , v
n
) = 0
Como CAF ´e modelo-completa,
K ∃v
1
. . . ∃v
n
m
i=1
p
i
(v
1
, . . . , v
n
) = 0
∧
q(v
1
, . . . , v
n
) = 0
Assim, existe (d
1
, . . . , d
n
) ∈ K
n
tal que, para i = 1, . . . , m, p
i
(d
1
, . . . , d
n
) = 0
e q(d
1
, . . . , d
n
) = 0. Portanto ( d
1
, . . . , d
n
) ∈ V(P ) \ V(J).
Agora vejamos que a fun¸c˜ao definida por X → I(X) entre os conjuntos Zariski
fechados e os ideais radicais ´e bijetora.
Claramente tal fun¸c˜ao ´e injetora, pois dados X, Y Zariski fechados,
I(X) = I(Y ) ⇒ X = V(I(X)) = V(I(Y )) = Y
89
Para ver a sobrejetividade, seja J um ideal radical, ent˜ao
J ⊂ I(V(J))
Logo
V(J) ⊃ V(I(V(J)))
Mas
V(J) ⊂ V(I(V(J)))
O que implica
V(J) = V(I(V(J)))
Portanto, pelo resultado provado neste teorema,
J = I(V(J))
Corol´ario 5.4.8 (Nullstellensatz de Hilbert) Sejam K um corpo algebricamente fechado
e J ⊂ K[x
1
, . . . , x
n
] um ideal. Ent˜ao Rad(J) = I(V(J)).
Demonstra¸c˜ao
Claramente
I(V(J)) ⊂ I(V(Rad(J)))
e pelo teorema anterior
I(V(Rad( J))) = Rad(J)
Agora sejam p ∈ Rad (J) e a ∈ V(J). Ent˜ao p
n
∈ J para algum n ∈ N
∗
. Logo
p
n
(a) = 0
o que implica
p(a) = 0
Portanto p ∈ I(V(J)).
90
5.5 Decomposi¸c˜ao Prim´aria
Defini¸c˜ao 5.5.1 Sejam K um corpo e X ⊂ K
n
Zariski fechado. Dizemos que X ´e
redut´ıvel se X = Y ∪ Z onde Y e Z s˜ao Zariski fechados, Y = X e Z = X. Caso
contr´ario, dizemos que X ´e irredut´ıvel.
Proposi¸c˜ao 5.5.2 Sejam K um corpo e X ⊂ K
n
Zariski fechado. Ent˜ao X ´e irredut´ıvel
se, e somente se, I(X) ´e um ideal primo.
Demonstra¸c˜ao
Suponha primeiramente que I(X) n˜ao ´e primo. Ent˜ao existem p, q ∈ K[x
1
, . . . , x
n
]
tais que p /∈ I(X), q /∈ I(X) e pq ∈ I(X). Sejam
Y = X ∩ V({p})
e
Z = X ∩ V({q})
Claramente Y X e Z X, pois p, q /∈ I(X). Vejamos que X = Y ∪ Z. De
fato,
X ∩ V({p})
∪
X ∩ V({q})
= X ∩
V({p}) ∪ V({q})
= X ∩ V({pq}) = X
Portanto X ´e redut´ıvel.
Agora suponha que X seja redut´ıvel. Ent˜ao existem Y X e Z X Zariski
fechados tais que
X
=
Y
∪
Z
. Assim, pelo teorema 5.4.7, temos que
I(X) I(Y )
e
I(X) I(Z)
Logo, existem p ∈ I(Y ) e q ∈ I(Z) tais que p, q /∈ I(X).
Vejamos que pq ∈ I(X). Se (a
1
, . . . , a
n
) ∈ X, ent˜ao (a
1
, . . . , a
n
) ∈ Y ou
(a
1
, . . . , a
n
) ∈ Z, logo p(a
1
, . . . , a
n
) = 0 ou q(a
1
, . . . , a
n
) = 0, donde
pq(a
1
, . . . , a
n
) = 0
Portanto I( X) n˜ao ´e ideal primo.
91
Lema 5.5.3 Sejam K um corpo algebricamente fechado e W ⊂ P(K
n
) uma cole¸c˜ao n˜ao
vazia de conjuntos Zariski fechados. Ent˜ao W possui um elemento minimal.
Demonstra¸c˜ao
Seja
S = {I(X); X ∈ W}
Pelo teorema 5.2.3, S possui um elemento maximal. Suponha que I(X
0
)
seja um tal elemento maximal. Portanto, pelo lema 5.2.8, X
0
´e um elemento
minimal de W.
Teorema 5.5.4 Sejam K um corpo algebricamente fechado e X ⊂ K
n
Zariski fechado.
Ent˜ao existem ´unicos X
1
, . . . , X
m
Zariski fechados irredut´ıveis tais que
X = X
1
∪ . . . ∪ X
m
e
X
i
j=i
X
j
para todo i = 1 , . . . , m.
Demonstra¸c˜ao
Seja W = {X ⊂ K
n
; X ´e Zariski fechado e n˜ao ´e uni˜ao finita de conjuntos
Zariski fechados irredut´ıveis}. Provaremos que W = ∅.
Se W = ∅, ent˜ao, pelo lema anterior, existe X
0
∈ W minimal. Observe que,
pela defini¸c˜ao de W, X
0
´e redut´ıvel. Assim, existem Y X
0
e Z X
0
Zariski
fechados tais que X
0
= Y ∪ Z. Como X
0
´e minimal, temos que Y, Z /∈ W,
portanto Y e Z admitem uma decomposi¸c˜ao em n´umero finito de conjuntos
Zariski fechados irredut´ıveis, uma contradi¸c˜ao.
Em conseq¨uˆencia, todo conjunto Zariski fechado admite tal decomposi¸c˜ao.
Agora, se tivermos
X
i
⊂
j=i
X
j
92
para algum i = 1, . . . , n, ent˜ao podemos eliminar X
i
da decomposi¸c˜ao, uma
vez que
X
i
∪
j=i
X
j
=
j=i
X
j
Para provar a unicidade, suponhamos
X = X
1
∪ . . . ∪ X
m
= Y
1
∪ . . . ∪ Y
r
Ent˜ao, para cada i = 1, . . . , m,
X
i
= X
i
∩ X = X
i
∩ (Y
1
∪ . . . ∪ Y
r
) = (X
i
∩ Y
1
) ∪ . . . ∪ (X
i
∩ Y
r
)
Como X
i
´e irredut´ıvel, X
i
= X
i
∩ Y
s
para algum s = 1, . . . , r, isto ´e, X
i
⊂ Y
s
.
Por outro lado, para esse s, teremos que Y
s
⊂ X
k
para algum k. Portanto,
X
i
⊂ X
k
, o que implica i = k, pois do contr´ario ter´ıamos X
i
⊂
j=i
X
j
.
Corol´ario 5.5.5 (Decomposi¸c˜ao Prim´aria) Sejam K um corpo algebricamente fechado
e J ⊂ K[x
1
, . . . , x
n
] um ideal radical. Ent˜ao existem ´unicos ideais primos P
1
, . . . , P
m
contendo J tais que
J = P
1
∩ . . . ∩ P
m
e
P
i
j=i
P
j
para todo i = 1 , . . . , m.
Demonstra¸c˜ao
Pelo teorema 5.4.7, existe um ´unico X ⊂ K
n
Zariski fechado tal que
I(X) = J
E pelo teorema anterior, existem ´unicos X
1
, . . . , X
n
⊂ K
n
Zariski fechados
irredut´ıveis tais que
X = X
1
∪ . . . ∪ X
m
e
X
i
j=i
X
j
93
para todo i = 1, . . . , n. Assim, pela proposi¸c˜ao 5.5.2, para cada i, I(X
i
) ´e um
ideal primo e
J = I(X
1
) ∩ . . . ∩ I(X
m
)
A unicidade e o fato de
I(X
i
)
j=i
I(X
j
)
para todo i = 1, . . . , m, s˜ao conseq¨uˆencias imediatas do teorema anterior e do
teorema 5.4.7.
94
Apˆendice A
Extens˜oes Transcendentes
Mostraremos neste apˆendice alguns resultados necess´arios para o trabalho sobre extens˜oes
transcendentes. Para isto, precisamos inicialmente de alguns resultados de extens˜oes
alg´ebricas.
A.1 Extens˜oes Alg´ebricas
Veremos nesta se¸c˜ao apenas os enunciados dos teoremas que precisaremos para a pr´oxima
se¸c˜ao. As demonstra¸c˜oes destes teoremas podem ser vistas em [6] e [8].
Teorema A.1.1 Seja R um dom´ınio de integridade considerado como um subanel de seu
corpo quociente F . Se E ´e um corpo e f : R → E ´e um monomorfismo, ent˜ao existe um
´unico monomorfismo de corpos f : F → E tal que f|
R
= f.
Teorema A.1.2 Sejam F uma extens˜ao de um corpo K e u
1
, . . . , u
m
∈ F . Ent˜ao o
subcorpo K(u
1
, . . . , u
m
) consiste de todos os elementos da forma
p(u
1
, . . . , u
m
)/q(u
1
, . . . , u
m
) = p(u
1
, . . . , u
m
)q(u
1
, . . . , u
m
)
−1
onde p, q ∈ K[x
1
, . . . , x
m
] e q(u
1
, . . . , u
m
) = 0.
Teorema A.1.3 Sejam F uma extens˜ao de um corpo K e X ⊂ F . Ent˜ao o subcorpo
K(X) consiste de todos os elementos da forma
p(u
1
, . . . , u
n
)/q(u
1
, . . . , u
n
) = p(u
1
, . . . , u
n
)q(u
1
, . . . , u
n
)
−1
onde n ∈ N
∗
, p, q ∈ K[x
1
, . . . , x
n
], u
1
, . . . , u
n
∈ X e q(u
1
, . . . , u
n
) = 0.
Teorema A.1.4 Sejam F uma extens˜ao de um corpo K e X ⊂ F . Ent˜ao para cada
u ∈ K(X), existe X
⊂ X finito tal que u ∈ K(X
).
95
Teorema A.1.5 Sejam F uma extens˜ao de um corpo K e X ⊂ F tais que F = K(X) e
todo elemento de X ´e alg´ebrico sobre K. Ent˜ao F ´e uma extens˜ao alg´ebrica sobre K.
Teorema A.1.6 Se F ´e uma extens˜ao alg´ebrica sobre E e E ´e uma extens˜ao alg´ebrica
sobre K, ent˜ao F ´e uma extens˜ao alg´ebrica sobre K.
Teorema A.1.7 Sejam F uma extens˜ao de um corpo K e u ∈ F alg´ebrico sobre K.
Ent˜ao K(u) = K[u]. Al´em disso K(u)
∼
=
K[x]/( p), onde p ∈ K[x] ´e um polinˆomio
mˆonico irredut´ıvel com grau n ≥ 1 unicamente determinado pela condi¸c˜ao que p(u) = 0.
Teorema A.1.8 Sejam K
1
e K
2
corpos e F
1
, F
2
seus respectivos fechos alg´ebricos. Ent˜ao
todo isomorfismo K
1
∼
=
K
2
se estende para um isomorfismo F
1
∼
=
F
2
.
A.2 Extens˜oes Transcendentes
Defini¸c˜ao A.2.1 Sejam F uma extens˜ao de um corpo K e S um subconjunto de F .
Dizemos que S ´e algebricamente independente sobre K, se para qualquer polinˆomio
p ∈ K[x
1
, . . . , x
n
] e para quaisquer s
1
, . . . , s
n
∈ S distintos, p(s
1
, . . . , s
n
) = 0 implica
p = 0. Dizemos que S ´e algebricamente dependente sobre K se n˜ao for algebricamente
independente sobre K.
Obs.: A express˜ao “sobre K” pode ser omitida quando o contexto for claro.
Doravante considere K um corpo.
Teorema A.2.2 Seja F ⊃ K uma extens˜ao e {s
1
, . . . , s
n
} um subconjunto de F algebri-
camente independente sobre K. Ent˜ao existe um K-isomorfismo
K( s
1
, . . . , s
n
) F
K
(x
1
, . . . , x
n
)
onde F
K
(x
1
, . . . , x
n
) ´e o corpo de fun¸c˜oes racionais com n vari´aveis sobre K.
Demonstra¸c˜ao
Seja
η : F
K
(x
1
, . . . , x
n
) → K(s
1
, . . . , s
n
)
p(x
1
,...,x
n
)
q(x
1
,...,x
n
)
→
p(s
1
,...,s
n
)
q(s
1
,...,s
n
)
Claramente η ´e um homomorfismo.
Agora seja z ∈ K(s
1
, . . . , s
n
), ent˜ao, pelo teorema A.1.2, podemos escrever
z =
f(s
1
, . . . , s
n
)
g(s
1
, . . . , s
n
)
96
onde f, g ∈ K[x
1
, . . . , x
n
] e g(s
1
, . . . , s
n
) = 0, logo η ´e epimorfismo.
Se p/q ∈ F
K
(x
1
, . . . , x
n
) com η(p/q) = 0, ent˜ao
p(s
1
, . . . , s
n
)
q(s
1
, . . . , s
n
)
= 0
mas {s
1
, . . . , s
n
} ´e algebricamente independente sobre K, logo p/q = 0.
Portanto η ´e isomorfismo, e se p/q = c ∈ K ent˜ao η(c) = c.
Teorema A.2.3 Sejam F
1
e F
2
extens˜oes de K
1
e K
2
, respectivamente, e para i = 1, 2,
seja S
i
⊂ F
i
algebricamente independente sobre K
i
. Se f : S
1
→ S
2
´e uma fun¸c˜ao
injetora e σ : K
1
→ K
2
´e um monomorfismo de corpos, ent˜ao podemos estender σ para
um monomorfismo σ : K
1
(S
1
) → K
2
(S
2
) tal que σ(s) = f (s) para todo s ∈ S
1
. Al´em disso,
se f for bijetora e σ for isomorfismo, ent˜ao podemos estender σ para um isomorfismo σ.
Demonstra¸c˜ao
Dado z ∈ K
1
(S
1
), pelo teorema A.1.3, podemos escrever
z =
p(s
1
, . . . , s
n
)
q(s
1
, . . . , s
n
)
( I )
onde n ∈ N
∗
, p, q ∈ K
1
[x
1
, . . . , x
n
], s
1
, . . . , s
n
∈ S
1
e q(s
1
, . . . , s
n
) = 0. Po-
demos assumir que n ´e tal que para i = 1, . . . , n, z depende de cada s
i
e s´o
desses.
Dado r ∈ N
∗
, seja µ
r
: K
1
[x
1
, . . . , x
r
] → F
K
2
(x
1
, . . . , x
r
) definida por
µ
r
i
1
,...,i
r
≤m
a
i
1
,...,i
r
r
j=1
x
i
j
j
=
i
1
,...,i
r
≤m
σ(a
i
1
,...,i
r
)
r
j=1
x
i
j
j
onde m ∈ N
∗
e cada a
i
1
,...,i
r
∈ K
1
. Claramente µ
r
´e um monomorfismo de
an´eis, logo, pelo teorema A.1.1, podemos estender µ
r
para um monomorfismo
de corpos
µ
r
: F
K
1
(x
1
, . . . , x
r
) → F
K
2
(x
1
, . . . , x
r
)
( II )
Lembrando que, para i = 1, 2, S
i
´e algebricamente independente sobre K
i
e
f
:
S
1
→
S
2
´e injetora, se
s
1
, . . . , s
k
∈
S
1
distintos, ent˜ao
{
f
(
s
1
)
, . . . , f
(
s
k
)
}
tamb´em ´e algebricamente independente sobre K
2
. Logo, pelo teorema anterior,
existem isomorfismos
97
η
1
k
: F
K
1
(x
1
, . . . , x
k
) → K
1
(s
1
, . . . , s
k
)
η
2
k
: F
K
2
(x
1
, . . . , x
k
) → K
2
(f(s
1
), . . . , f(s
k
))
( III )
Agora defina σ : K
1
(S
1
) → K
2
(S
2
) por
σ(z) = η
2
n
µ
n
η
−1
1
n
(z)
onde z ´e da forma descrita em ( I ).
Vejamos que σ est´a b em definida. Suponha, assim como em ( I ), que tamb´em
podemos escrever
z =
g(b
1
, . . . , b
m
)
h(b
1
, . . . , b
m
)
onde m ∈ N
∗
, g, h ∈ K
1
[x
1
, . . . , x
m
], b
1
, . . . , b
m
∈ S
1
e h(s
1
, . . . , s
n
) = 0.
Como, para i = 1, . . . , n, z depende de s
i
e s´o desses, e como S
1
´e alge-
bricamente independente, temos que m = n e {s
1
, . . . , s
n
} = {b
1
, . . . , b
m
}.
Portanto σ est´a bem definida, e por ( II ) e ( III ), σ ´e monomorfismo. Agora,
se σ ´e isomorfismo e r ∈ N, ent˜ao µ
r
tamb´em ´e isomorfismo, logo η
2
r
µ
r
η
−1
1
r
´e
isomorfismo, e se f ´e bijetora, ent˜ao σ ´e isomorfismo.
Seja F uma extens˜ao de K. Defina o conjunto
X = {S ⊂ F ; S ´e algebricamente independente sobre K}
Considere a ordem da inclus˜ao em X .
Seja C ⊂ X uma cadeia e tome
T =
S∈C
S
Vejamos que T ∈ X . Dados p ∈ K[x
1
, . . . , x
n
] e s
1
, . . . , s
n
∈ T , existe S ∈ C tal que
s
1
, . . . , s
n
∈ S. Como S ´e algebricamente independente sobre K, p(s
1
, . . . , s
n
) = 0 o que
implica p = 0. Portanto T ∈ X .
Pelo lema de Zorn, X possui um elemento maximal.
Defini¸c˜ao A.2.4 Seja F uma extens˜ao de K. Uma base de transcendˆencia de F sobre
K ´e um subconjunto S ⊂ F algebricamente independente sobre K e maximal no conjunto
de todos subconjuntos de F algebricamente independente sobre K.
98
Teorema A.2.5 Sejam F ⊃ K uma extens˜ao, S ⊂ F algebricamente independente sobre
K e u ∈ F \ K(S). Ent˜ao S ∪ {u} ´e algebricamente independente sobre K se, e somente
se, u ´e transcendente sobre K(S).
Demonstra¸c˜ao
Suponha primeiramente que u ´e transcendente sobre K(S).
Sejam s
1
, . . . , s
n
∈ S distintos e f ∈ K[x
1
, . . . , x
n+1
] tais que
f(s
1
, . . . , s
n
, u) = 0
ent˜ao u ´e uma raiz de f(s
1
, . . . , s
n
, x
n+1
) ∈ K(S)[x
n+1
].
Mas f ∈ K[x
1
, . . . , x
n
, x
n+1
] = K[x
1
, . . . , x
n
][x
n+1
], assim
f = h
r
x
r
n+1
+ . . . + h
1
x
n+1
+ h
0
onde h
i
∈ K[x
1
, . . . , x
n
]. Como u ´e transcendente sobre K(S), temos
f(s
1
, . . . , s
n
, x
n+1
) = 0
logo h
i
(s
1
, . . . , s
n
) = 0 para cada i = 1, . . . , r. Como S ´e algebricamente
independente sobre K, h
i
= 0 para todo i, logo f = 0. Portanto S ∪ {u } ´e
algebricamente independente sobre K.
Agora suponha que S ∪ {u} ´e algebricamente independente sobre K. Seja
f ∈ K(S)[x] tal que f(u) = 0. Podemos escrever
f(x) =
n
i=0
a
i
x
i
onde a
i
∈ K(S). Assim, pelo teorema A.1.3, existem s
1
, . . . , s
r
∈ S tal que,
para i = 0, . . . , n,
a
i
=
p
i
(s
1
, . . . , s
r
)
q
i
(s
1
, . . . , s
r
)
onde p
i
, q
i
∈ K[x
1
, . . . , x
r
] e q
i
(s
1
, . . . , s
r
) = 0.
Seja q = q
0
q
1
. . . q
n
, e para i = 0, . . . , n, tome p
i
= p
i
q
0
. . . q
i−1
q
i+1
. . . q
n
.
Observe que q, p
i
∈ K[x
1
, . . . , x
r
]. Ent˜ao
a
i
=
p
i
(s
1
, . . . , s
r
)
q(s
1
, . . . , s
r
)
99
e
f(x) =
n
i=0
a
i
x
i
=
n
i=0
p
i
(s
1
, . . . , s
r
)
q(s
1
, . . . , s
r
)
x
i
=
n
i=0
p
i
(s
1
, . . . , s
r
)x
i
q(s
1
, . . . , s
r
)
Seja
h(x
1
, . . . , x
r
, x) =
n
i=0
p
i
(x
1
, . . . , x
r
)x
i
∈ K[x
1
, . . . , x
r
, x]
Como f(u) = 0 e
1
q(s
1
, . . . , s
r
)
= 0, temos que
h(s
1
, . . . , s
r
, u) = 0
A independˆencia alg´ebrica de S ∪ {u} implica h = 0, e conseq¨uentemente
p
i
= 0 para cada i, pois {1, x, . . . , x
n
} ´e linearmente independente. Ent˜ao
cada a
i
= 0 e f = 0. Portanto u ´e transcendente sobre K(S).
Corol´ario A.2.6 Sejam F ⊃ K uma extens˜ao e S ⊂ F algebricamente independente
sobre K. Ent˜ao S ´e uma base de transcendˆencia de F sobre K se, e somente se, F ´e
alg´ebrico sobre K(S).
Demonstra¸c˜ao
Suponha que F n˜ao ´e alg´ebrico sobre K(S). Ent˜ao existe u ∈ F transcen-
dente sobre K(S). Assim, pelo teorema anterior, S ∪ {u} ´e algebricamente
independente sobre K, logo S n˜ao ´e base de transcendˆencia sobre K.
Por outro lado, se S n˜ao ´e base. Ent˜ao, por defini¸c˜ao, existe u ∈ F tal que
S ∪ {u} ´e algebricamente independente sobre K, e pelo teorema anterior, u ´e
transcendente sobre K(S), portanto F n˜ao ´e alg´ebrico sobre K(S).
Corol´ario A.2.7 Seja F ⊃ K uma extens˜ao e suponha F alg´ebrico sobre K(X), onde
X ⊂ F . Ent˜ao X cont´em uma base de transcendˆencia de F sobre K.
Demonstra¸c˜ao
Seja
S
⊂
X
algebricamente independente sobre K maximal. Tal
S
existe
pelo lema de Zorn. Ent˜ao, pelo teorema A.2.5, se u ∈ X \ S, ent˜ao u ´e
alg´ebrico sobre K(S). Logo, pelo teorema A.1.5, K(X) ´e alg´ebrico sobre
100
K(S). Conseq¨uentemente, pelo teorema A.1.6, F ´e alg´ebrico sobre K(S).
Portanto, pelo corol´ario anterior, S ´e uma base de transcendˆencia de F sobre
K.
Teorema A.2.8 Seja F uma extens˜ao de K. Se S ´e uma base de transcendˆencia finita
de F sobre K, ent˜ao qualquer base de transcendˆencia de F sobre K tem o mesmo n´umero
de elementos de S.
Demonstra¸c˜ao
Seja S = {s
1
, . . . , s
n
} e T uma base de transcendˆencia qualquer de F sobre
K.
Vamos verificar que existe t
1
∈ T transcendente sobre K(s
2
, . . . , s
n
).
Suponha que n˜ao. Ent˜ao T ´e alg´ebrico sobre K(s
2
, . . . , s
n
). Logo, pelo te-
orema A.1.5, K(s
2
, . . . , s
n
)(T ) ´e alg´ebrico sobre K(s
2
, . . . , s
n
). Como, pelo
corol´ario A.2.6, F ´e alg´ebrico sobre K(T ), F ´e necessariamente alg´ebrico so-
bre K(T )(s
2
, . . . , s
n
) = K(s
2
, . . . , s
n
)(T ). Portanto, pelo teorema A.1.6, F ´e
alg´ebrico sobre K(s
2
, . . . , s
n
). Em particular s
1
´e alg´ebrico sobre K(s
2
, . . . , s
n
),
o que, pelo teorema A.2.5, ´e uma contradi¸c˜ao, pois S = {s
1
, . . . , s
n
} ´e algebri-
camente independente sobre K.
Logo existe t
1
∈ T transcendente sobre K(s
2
, . . . , s
n
), e portanto {t
1
, s
2
, . . . , s
n
}
´e algebricamente independente sobre K.
Agora, se s
1
fosse transcendente sobre K(t
1
, s
2
, . . . , s
n
), ent˜ao {t
1
, s
1
, . . . , s
n
}
seria algebricamente independente sobre K, o que contradiz o fato de S ser
base. Assim, s
1
´e alg´ebrico sobre K( t
1
, s
2
, . . . , s
n
), logo K(S)(t
1
) = K(t
1
, s
2
, . . . , s
n
)(s
1
)
´e alg´ebrico sobre K(t
1
, s
2
, . . . , s
n
). Ent˜ao F ´e alg´ebrico sobre K(t
1
, s
2
, . . . , s
n
)
e portanto {t
1
, s
2
, . . . , s
n
} ´e base de transcendˆencia de F sobre K.
Analogamente prova-se que existe t
2
∈ T transcendente sobre K(t
1
, s
3
, . . . , s
n
)
e que {t
1
, t
2
, s
3
, . . . , s
n
} ´e base de F sobre K. Procedendo indutivamente,
obtemos t
1
, . . . , t
n
∈ T tais que {t
1
, . . . , t
n
} ´e base de F sobre K. Claramente,
como T ´e algebricamente independente, devemos ter T = {t
1
, . . . , t
n
}.
Teorema A.2.9 Seja
F
⊃
K
uma extens˜ao. Se
S
´e uma base de transcendˆencia infi-
nita de F sobre K, ent˜ao qualquer base de transcendˆencia de F sobre K tem o mesma
cardinalidade de S.
101
Demonstra¸c˜ao
Seja T uma outra base de transcendˆencia de F sobre K. Claramente, pelo
teorema anterior, T ´e infinito. Se s ∈ S, ent˜ao s ´e alg´ebrico sobre K(T ), pois
caso contr´ario, T ∪ {s} seria algebricamente independente sobre K. Assim,
pelo teorema A.1.7, K(T )(s) = K(T )[s] e existe p ∈ K(T )[x] irredut´ıvel tal
que p(s) = 0. Ent˜ao, pelo teorema A.1.4, os coeficientes de p aparecem todos
em K(T
s
) para algum T
s
⊂ T finito. Logo p ∈ K(T
s
)[x] e s ´e alg´ebrico sobre
K(T
s
).
Para cada s ∈ S tome T
s
⊂ T finito como acima. Note que
T
∗
=
s∈S
T
s
⊂ T
e portanto ´e algebricamente independente sobre K. Como todo elemento de
S ´e alg´ebrico sobre K(T
∗
), temos que K(T
∗
)(S) ´e alg´ebrico sobre K(T
∗
). E
como K(S) ⊂ K(T
∗
)(S), todo elemento de K(S) ´e alg´ebrico sobre K(T
∗
).
Lembrando que F ´e alg´ebrico sobre K(S), temos que F ´e alg´ebrico sobre
K(T
∗
). Logo T
∗
´e uma base de transcendˆencia de F sobre K e portanto
T
∗
= T .
Observe que os conjuntos T
s
n˜ao s˜ao necessariamente disjuntos. Como estamos
trabalhando em ZFC, podemos dar uma boa ordem `a S e denotar o menor
elemento por s
0
.
Seja T
s
0
= T
s
0
e para cada s
0
< s ∈ S defina
T
s
= T
s
\
i<s
T
i
Claramente cada T
s
´e finito e n˜ao tem intersec¸c˜ao com nenhum outro, e
s∈S
T
s
=
s∈S
T
s
= T
Para cada s ∈ S, escolha uma ordem fixa para os elementos de T
s
= {t
s
1
, . . . , t
s
k
s
}.
Defina a fun¸c˜ao
h :
s∈S
T
s → S × N
t
s
i
→ (s, i )
102
Claramente essa fun¸c˜ao ´e injetora. Logo
|T | =
s∈S
T
s
≤ |S × N| = |S||N| = |S|ℵ
0
= |S|
Procedendo desde o in´ıcio da demonstra¸c˜ao de forma an´aloga, prova-se que
|S| ≤ |T |. Portanto |T | = |S|.
Defini¸c˜ao A.2.10 Seja F extens˜ao de K. O grau de transcendˆencia de F sobre K
(denotado por gtr(F/K)) ´e a cardinalidade |S|, onde S ´e base de transcendˆencia de F
sobre K.
Teorema A.2.11 Se F ´e uma extens˜ao de E e E ´e uma extens˜ao de K, ent˜ao
gtr(F/K) = gtr(F/E) + gtr(E/K)
Demonstra¸c˜ao
Sejam S base de E/K e T base de F/E. Como S ⊂ E e T ´e algebricamente
independente sobre E, temos S ∩ T = ∅.
Ent˜ao ´e suficiente mostrar que S ∪ T ´e base de F/K, pois neste caso
gtr(F/K) = |S ∪ T | = |T | + |S| = gtr(F/E) + gtr(E/K)
Primeiro note que todo elemento de E ´e alg´ebrico sobre K(S), e portanto
sobre K(S ∪ T ). Ent˜ao, pelo teorema A.1.5, K(S ∪ T )(E) ´e alg´ebrico sobre
K(S ∪ T ). Como
K(S ∪ T ) = K(S)(T ) ⊂ E(T ) ⊂ K(S ∪ T )(E)
ent˜ao E(T ) ´e alg´ebrico sobre K(S ∪ T ). Mas F ´e alg´ebrico sobre E(T ) e
portanto sobre K(S ∪ T ).
Agora basta mostrar que S ∪ T ´e algebricamente independente sobre K.
Seja p ∈ K[x
1
, . . . , x
n
, y
1
, . . . , y
m
] tal que
p(s
1
, . . . , s
n
, t
1
, . . . , t
m
) = 0
103
para distintos s
1
, . . . , s
n
∈ S e t
1
, . . . , t
m
∈ T . Seja
q(y
1
, . . . , y
m
) = p(s
1
, . . . , s
n
, y
1
, . . . , y
m
) ∈ K(S)[y
1
, . . . , y
m
] ⊂ E[y
1
, . . . , y
m
]
Como q(t
1
, . . . , t
m
) = 0, a independˆencia alg´ebrica de T sobre E implica q = 0.
Agora escreva
p(x
1
, . . . , x
n
, y
1
, . . . , y
m
) =
r
i=1
f
i
(x
1
, . . . , x
n
)g
i
(y
1
, . . . , y
m
)
onde f
i
∈ K[x
1
, . . . , x
n
] e g
i
∈ K[y
1
, . . . , y
m
]. Como
p(s
1
, . . . , s
n
, y
1
, . . . , y
m
) = q(y
1
, . . . , y
m
) = 0
temos que f
i
(s
1
, . . . , s
n
) = 0 para cada i. A independˆencia alg´ebrica de S sobre
K implica f
i
= 0 para todo i. Logo p = 0 e portanto S ∪ T ´e algebricamente
independente sobre K.
Teorema A.2.12 Sejam F
1
e F
2
respectivas extens˜oes algebricamente fechados dos cor-
pos K
1
e K
2
. Se gtr(F
1
/K
1
) = gtr(F
2
/K
2
), ent˜ao todo isomorfismo K
1
∼
=
K
2
se estende
para um isomorfismo F
1
∼
=
F
2
.
Demonstra¸c˜ao
Suponha σ : K
1
→ K
2
um isomorfismo. Para i = 1, 2, seja S
i
a base de
transcendˆencia de F
i
/K
i
. Como |S
1
| = |S
2
|, pelo teorema A.2.3, podemos
estender σ para σ : K
1
(S
1
) → K
2
(S
2
). Cada F
i
´e algebricamente fechado e
alg´ebrico sobre K
i
(S
i
). Portanto, pelo teorema A.1.8, σ se estende para um
isomorfismo F
1
∼
=
F
2
.
104
Referˆencias Bibliogr´aficas
[1] M. F. Atiyah and I. G. Macdonald. Introduction to Commutative Algebra. Addison-
Wesley Publishing Company, Inc., London, 1969.
[2] J. L. Bell and M. Machover. A Course in Mathematical Logic. Elsevier Science
Publishers B.V., Amsterdam, third impression: 1993 edition, 1977.
[3] C. C. Chang and H. J. Keisler. Model Theory. North-Holland, Amsterdam, 1990.
[4] A. A. Fraenkel, Y. Bar-Hillel, and A. L´evy. Foundations of set theory. North-Holland,
Amsterdam, 1984.
[5] R. Hartshorne. Algebraic Geometry. Springer-Verlag, New York, 1977.
[6] T. W. Hungerford. Algebra. Springer-Verlag, New York, 1974.
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[8] S. Lang. Algebra. Springer-Verlag, New York, revised third edition, 2002.
[9] D. Marker. Model Theory: An Introduction. Springer-Verlag, New York, 2002.
[10] D. Marker, M. Messmer, and A. Pillay. Model theory of fields. Springer Lecture
Notes in Logic 5, 1996.
[11] J. D. Monk. Mathematical Logic. Springer-Verlag, New York, 1976.
[12] J. R. Shoenfield. Mathematical Logic. Addison-Wesley Publishing Company, Inc.,
London, 1967.
[13] A. Tarski and R. L. Vaught. Arithmetical extensions of relational systems. Compositio
Mathematica, 13:81–102, 1956-1958.
[14] J. V¨a¨an¨anen. Second-order logic and foundations of mathematics. The Bulletin of
Symbolic Logic, 7(4):504–520, 2001.
105
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