ads:
Universidade Federal de Santa Catarina
Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica e
Computa¸c˜ao Cient´ıfica
Estimativas de Erro de
Aproxima¸c˜ao de Funcionais das
Solu¸c˜oes para Equa¸c˜oes de
Difus˜ao-Advec¸c˜ao-Rea¸c˜ao
Jo˜ao Luis Gon¸calves
Orientad or: Prof. Dr. Igor Mozolevski
Florian´opolis
Fevereiro de 2007
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
Universidade Federal de Santa Catarina
Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica e
Computa¸c˜ao Cient´ıfica
Estimativas de Erro de Aproxima¸c˜ao de
Funcionais das Solu¸c˜oes para Equa¸c˜oes de
Difus˜ao-Advec¸c˜ao-Rea¸c˜ao
Disserta¸c˜ao apresentada ao Curso de P´os-
Gradua¸c˜ao em Matem´atica e Computa¸c˜ao
Cient´ıfica, do Centro de Ciˆencias F´ısicas e
Matem´aticas, da Universidade Federal de
Santa Catarina, para a obten¸c˜ao, do grau
de Mestre em Matem´atica, com
´
Area de
Concentra¸c˜ao em Matem´atica Aplicada.
Jo˜ao Luis Gon¸calves
Florian´opolis
Fevereiro de 2007
ads:
Estimativas de Erro de Aproxima¸c˜ao de
Funcionais das Solu¸c˜oes para Equa¸c˜oes de
Difus˜ao-Advec¸c˜ao-Rea¸c˜ao
por
Jo˜ao Luis Gon¸calves
Esta Disserta¸c˜ao foi julgada para a obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre,
´
Area de Concentra¸c˜ao em Matem´atica Aplicada, e aprovada em sua forma
final pelo Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica e
Computa¸c˜ao Cient´ıfica.
Cl´ovis Caesar Gonzaga
Coordenador
Comiss˜ao Examinadora
Prof. Dr. Igor Mozolevski (MTM-UFSC-Orientador)
Prof. Dr. Philippe R. B. Devloo
Profa. Dra. Sˆonia Maria Gomes
Prof. Dr. J´auber Cavalcante de Oliveira
Florian´opolis, fevereiro de 2007.
ii
`
A minha fam´ılia.
iii
Agradecimentos
Primeiramente agrade¸co a Deus, pela vida e por colocar nela pessoas
t˜ao maravilhosas como s˜ao as pessoas com quem convivo.
A minha fam´ılia, em especial a minha m˜ae Erondina Hammes Gon¸calves
e meu pai Darci Gon¸calves que n˜ao mediram esfor¸cos para me dar oportunidades.
A Mael, pelo amor e carinho.
Aos grandes amigos que a vida pˆos no meu caminho, pois muitas vezes
tudo o que precisamos ´e de um amigo pra nos reanimar e motivar a continuar e isso
nunca me faltou.
Aos mestres que me ajudaram a chegar at´e aqui, em especial os pro-
fessores Jos´e Luiz Rosas Pinho, Daniel Noberto Kozakevich e Igor Mozolevski, que
al´em de professores s˜ao grandes amigos.
Aos que muito me ajudaram na realiza¸c˜ao deste trabalho, Paulo B¨osing,
Luciane Inˆes Assmann Schuh, Tiago Forti, Edimar Cesar Rylo, Gustavo, Philippe
Remy Bernard Devloo e Rafael Casali .
Ao Laborat´orio de Mecˆanica Computacional da Faculdade de Engen-
haria Civil da Universidade Estadual de Campinas que disponibilizou sua estrutura e
ajuda em uma estadia de mais de um mˆes que foi important´ıssima para este trabalho.
`
A Universidade Federal de Santa Catarina e em especial ao Programa
de P´os Gradua¸c˜ao em M atem´atica e Computa¸c˜ao Cient´ıfica que sempre me ajudou
a participar de eventos que com certeza contribuiram muito para a minha forma¸c˜ao.
Ao CNPq, pelo suporte financeiro nestes dois anos.
iv
Sum´ario
Lista de figuras iv
Resumo ix
Abstract x
Introdu¸c˜ao 1
1 Aproxima¸c˜ao de Funcionais 4
1.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Estimativa de Erro de Aproxima¸c˜ao de Funcionais . . . . . . . . . . . 6
1.4 Exemplos de Funcionas Lineares Limitados . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 O M´etodo de Elementos Finitos de Galerkin Descont´ınuo para a
Equa¸c˜ao de Difus˜ao-Advec¸c˜ao-Rea¸c˜ao 14
2.1 Equa¸c˜ao de Difus˜ao-Advec¸c˜ao-Rea¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Nota¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Vers˜ao hp do M´etodo de Galerkin Descont´ınuo . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 An´alise da Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 An´alise de Erro a posteriori 25
4 An´alise de Erro a priori 30
5 Implementa¸c˜ao 37
5.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Algoritmo Adaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3 O Ambiente de Programa¸c˜ao Cient´ıfica PZ . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4 Compreendendo as Necessidades Computacionais . . . . . . . . . . . 39
v
6 Experimentos Num´ericos 42
6.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.3 Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.4 Exemplo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.5 Exemplo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
vi
Lista de Figuras
2.1 N´o Suspenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Exemplos de elementos condizentes e n˜ao-condizentes. . . . . . . . . . 17
6.1 Exemplo 1: Convergˆencia do DGFEM-SIP com h-refinamento. . . . . 43
6.2 Exemplo 1: Convergˆencia do DGFEM-NIP com h-refinamento. . . . . 43
6.3 Exemplo 1: Convergˆencia do Erro do DGFEM-SIP na Norma H
1
. . . 44
6.4 Exemplo 1: Convergˆencia do Erro do DGFEM-SIP na Norma L
2
. . . 44
6.5 Exemplo 1: Convergˆencia do Erro do DGFEM-NIP na Norma H
1
. . . 44
6.6 Exemplo 1: Convergˆencia do Erro do DGFEM-NIP na Norma L
2
. . . 44
6.7 Exemplo 1: Convergˆencia do DGFEM-SIP com p-refinamento. . . . . 45
6.8 Exemplo 1: Convergˆencia do DGFEM-NIP com p-refinamento. . . . . 45
6.9 Exemplo 1: Solu¸c˜ao primal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.10 Exemplo 1: Solu¸c˜ao dual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.11 Exemplo 2: h-refinamento com 25 itera¸c˜oes, 5 % de elementos refina-
dos a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao primal, p=2. . . . . . . . . . . . . . . 47
6.12 Exemplo 2: h-refinamento com 25 itera¸c˜oes, 5 % de elementos refina-
dos a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao dual, p=2. . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.13 Exemplo 2: h-refinamento com 25 itera¸c˜oes, 5 % de elementos refina-
dos a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao primal, p=3. . . . . . . . . . . . . . . 48
6.14 Exemplo 2: h-refinamento com 25 itera¸c˜oes, 5 % de elementos refina-
dos a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao dual, p=3. . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.15 Exemplo 2: h-refinamento com 20 itera¸c˜oes, 5 % de elementos refina-
dos a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao primal, p=4. . . . . . . . . . . . . . . 48
6.16 Exemplo 2: h-refinamento com 20 itera¸c˜oes, 5 % de elementos refina-
dos a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao dual, p=4. . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.17 Exemplo 2: h-refinamento × refinamento uniforme. . . . . . . . . . . 49
6.18 Exemplo 2: Ind´ıce de efetividade do estimador no h-refinamento. . . . 50
6.19 Exemplo 3: h-refin amento com 25 itera¸c˜oes, 5% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao primal, p=2. . . . . . . . . . . . . . . . . 52
vii
6.20 Exemplo 3: h-refin amento com 25 itera¸c˜oes, 5% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao dual, p=2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.21 Exemplo 3: h-refin amento com 21 itera¸c˜oes, 5% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao primal, p=3. . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.22 Exemplo 3: h-refin amento com 21 itera¸c˜oes, 5% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao dual, p=3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.23 Exemplo 3: h-refinamento × refinamento uniforme. . . . . . . . . . . 53
6.24 Exemplo 3: Ind´ıces de Efetividade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.25 Exemplo 4: Solu¸c˜ao Primal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.26 Exemplo 4: h-refin amento com 30 itera¸c˜oes, 5% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao primal, p=2. . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.27 Exemplo 4: h-refin amento com 30 itera¸c˜oes, 5% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao dual, p=2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.28 Exemplo 4: h-refin amento com 25 itera¸c˜oes, 5% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao primal, p=3. . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.29 Exemplo 4: h-refin amento com 25 itera¸c˜oes, 5% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao dual, p=3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.30 Exemplo 4: h-refin amento com 19 itera¸c˜oes, 5% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao primal, p=4. . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.31 Exemplo 4: h-refin amento com 19 itera¸c˜oes, 5% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao dual, p=4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.32 Exemplo 4: h-refin amento com 16 itera¸c˜oes, 5% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao primal, p=5. . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.33 Exemplo 4: h-refin amento com 16 itera¸c˜oes, 5% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao dual, p=5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.34 Exemplo 4: h-refinamento comparado ao refinamento uniforme. . . . 58
6.35 Exemplo 4: IE x DOF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.36 Exemplo 5: ǫ = 10
−2
, 16 itera¸c˜oes, com 10% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.37 Exemplo 5: ǫ = 10
−2
, 16 itera¸c˜oes, com 10% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.38 Exemplo 5: ǫ = 10
−4
, 16 itera¸c˜oes, com 10% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.39 Exemplo 5: ǫ = 10
−4
, 16 itera¸c˜oes, com 10% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
viii
6.40 Exemplo 5: ǫ = 10
−5
, 10 itera¸c˜oes, com 20% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.41 Exemplo 5: ǫ = 10
−5
, 10 itera¸c˜oes, com 20% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.42 Exemplo 5: ǫ = 10
−6
, 10 itera¸c˜oes, com 20% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.43 Exemplo 5: ǫ = 10
−6
, 10 itera¸c˜oes, com 20% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.44 Exemplo 5: ǫ = 10
−7
, 10 itera¸c˜oes, com 20% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.45 Exemplo 5: ǫ = 10
−7
, 10 itera¸c˜oes, com 20% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.46 Exemplo 5: ǫ = 10
−8
, 10 itera¸c˜oes, com 20% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.47 Exemplo 5: ǫ = 10
−8
, 10 itera¸c˜oes, com 20% de elementos refinados
a cada itera¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.48 Exemplo 5: Para p=2, refinamento uniforme × h-refinamento. . . . . 63
6.49 Exemplo 5: Aproxima¸c˜ao da solu¸c˜ao dual. . . . . . . . . . . . . . . . 64
ix
Resumo
Neste trabalho usaremos os m´etodos de Galerkin Descont´ınuo com Pe-
naliza¸c˜ao Interior Sim´etrico e N˜ao-Sim´etrico, para resolver problemas de Difus˜ao-
Advec¸c˜ao-Rea¸c˜ao. Com b ase na aproxima¸c˜ao obtida por esses m´etodos apresenta-
mos, conforme [19], estimativas a priori e a posteriori para o erro gerado ao us-
armos esta aproxima¸c˜ao em quantidades de interesse. As quantidades de interesse
ser˜ao representadas p or funcionais lineares limitados. Com base no indicador de erro
obtido utilizando o res´ıduo e solu¸c˜oes do problema dual, apresentado nas estimativas
a posteriori, apresentamos uma estrat´egia de adapta¸c˜ao do espa¸co de aproxima¸c˜ao
que procura melhorar as aproxima¸c˜oes nas quantidades de interesse. Os experimen-
tos num´ericos comprovam as estimativas apresentadas, mostram a importˆancia da
consistˆencia dual e ilustram o comportamento da estrat´egia adaptativa apresentada.
x
Abstract
In this work we used the symmetric and nonsymmetric discontinu-
ous Galerkin interior penalty methods, to solve problems of Diffusion-Advection-
Reaction. Based on the approximation obtained by these methods we presented,
accordingly to [19], a priori and a posteriori error estimates of interest amounts.
The interest amounts will be represented by bounded linear functional. Based on
the error indicator obtained using the residue and solutions of the dual problem,
presented in the estimates a posteriori, we presented a strategy of adaptation of the
approximating space that try to improve the approximation in the int erest amounts.
The numeric experiments prove the estimates presented, they show the importance
of the dual consistence and illustrate the behavior of the adaptive strategy presented.
xi
Introdu¸c˜ao
Em muitas situa¸c˜oes na modelagem de problemas aplicados,o que se
deseja da EDP que descreve o modelo n˜ao ´e sua solu¸c˜ao e sim alguma quantidade
dessa solu¸c˜ao, tais como derivadas, fluxo atrav´es de uma fronteira, valor m´edio sobre
um subdom´ınio, valor da solu¸c˜ao em um ponto, etc. Para tais finalidades nem
sempre o refinamento uniforme ou uma estrat´egia de hp-refinamento que privilegie
a qualidade da solu¸c˜ao s˜ao os mais apropriados pois elevam o custo computacional
sem melhorar significativamente a aproxima¸c˜ao da quantidade de interesse.
Este trabalho tem como objetivo apresentar estimativas de erro das
quantidades de interesse, conforme [19], comprovar estas estimativas numericamente,
apresentar uma estrat´egia de hp-refinamento que considere o problema dual, bem
como os argumentos que justificam o uso do problema dual, conforme [33]. Isto
ser´a feito utilizando os m´etodos de elementos finitos de Galerkin descont´ınuo com
penaliza¸c˜ao interior sim´etrico (DGFEM-SIP) e n˜ao sim´etrico (DGFEM-NIP).
O m´etodo de Elementos Finitos de Galerkin Descont´ınuo (DGFEM)
foi proposto de forma independente por Reed e Hill [47], em 1973, para a solu¸c˜ao
num´erica da equa¸c˜ao de transporte de nˆeutrons e por Nitsche [27], em 1971, como um
esquema n˜ao padr˜ao para a solu¸c˜ao de equa¸c˜oes el´ıpticas d e segunda ordem. Desde
ent˜ao muito trabalho tem sido dedicado para o desenvolvimento e an´alise desta classe
de m´etodos. Para um apanhado sobre os mais recentes avan¸cos e desenvolvimento
hist´orico destes m´etodos, veja o artigo [13] e o livro [12].
Uma das vantagens dos DGFEM, em compara¸c˜ao com os m´etodos de
elementos finitos baseado em espa¸cos de aproxima¸c˜ao conformes, ´e seu alto grau
de localidade. Deste modo, aproxima¸c˜oes hp-adaptativas de alta ordem po dem ser
controladas de maneira particularmente flex´ıvel e simples. Essa classe de m´etodos de
elementos finitos associados a estrat´egias adaptativas oferecem ganhos em eficiˆencia
de computa¸c˜ao em compara¸c˜ao com estrat´egias nas quais o refinamento uniforme ´e
empregado para um grau de interpola¸c˜ao fixado. Entretanto o custo computacional
do DGFEM permanece muito alto, em particular quando o grau de interpola¸c˜ao ´e
aumentado. Uma revis˜ao das estrat´egias de hp-refinamento recentes, ´e apresentada
1
em [20].
Neste trabalho consideramos a discretiza¸c˜ao do operador diferencial
parcial Lu = −∇ · a∇u + ∇ · (bu) + cu, conforme [19], empregamos uma classe de
m´etodos de Galerkin descont´ınuos com penaliza¸c˜ao interior, os quais conduzem a
uma discretiza¸c˜ao sim´etrica ou n˜ao-sim´etrica do operador difusivo, dependendo da
escolha de um parˆametro no esquema.
Enquanto a discretiza¸c˜ao sim´etrica do operador auto-adjunto parece
natural, o m´etod o DGFEM-NIP ´e preferido freq¨uentemente, particularmente para
problemas de advec¸c˜ao dominante cuja a matriz de rigidez subjacente ´e n˜ao-sim´etrica
de qualquer forma, devido ao fato que o m´etodo DGFEM-NIP ´e est´avel para qualquer
escolha de parˆametro de penaliza¸c˜ao C
σ
> 0. Por outro lado, o esquema DGFEM-
SIP ´e est´avel somente quando C
σ
> 0 ´e escolhido suficientemente grande. Em termos
de precis˜ao, ambos os esquemas convergem com uma taxa ´otima em termos da norma
da energia, mas a falta de consistˆencia dual do m´etodo DGFEM-NIP conduz a uma
convergˆencia sub´otima do erro na norma L
2
. Neste caso, o esquema DGFEM-SIP
ainda converge com taxa ´otima, enquanto experimentos num´ericos indicam que a
norma L
2
do erro do esquema DGFEM-NIP converge com taxa ´otima quando o grau
de interpola¸c˜ao polinomial ´e ´ımpar, conforme [21]. Portanto, na pr´atica, a perda
de otimalidade do esquema DGFEM-NIP na norma L
2
, ocorre apenas para grau de
interpola¸c˜ao par. Usando resultados te´oricos apresentados em [19], verificaremos que
a falta de consistˆencia adjunta do esquema DGFEM-NIP conduz a taxas sub´otimas
de convergˆencia para todo p ≥ 2, quando consideramos o erro de aproxima¸c˜ao de
funcionais lineares limitados, que rep resentam as quantidades de interesse. Mais
precisamente, para p fixo, o erro de aproxima¸c˜ao de um certo funcional J(·) tem
taxa de convergˆencia 2p quando h tende a zero quando o esquema DGFEM-SIP ´e
empregado, enquanto que para o esquema DGFEM-NIP, a taxa de convergˆencia ´e
de apenas p quando h tende a zero. Para trabalhos relacionados com estimativas de
erro a posteriori para DGFEM com penaliza¸c˜ao interior, veja [11],[10] e [49].
Seguindo o que foi apresentado em [33], o Cap´ıtulo 1 tem como obje-
tivo principal mostrar como surgem os argumentos de d ualidade que ser˜ao usados
nos cap´ıtulos seguintes. Outro objetivo ´e apresentar o efeito da escalabilidade da
rela¸c˜ao entre o erro no funcional e a norma da energia dos erros das aproxima¸c˜oes
primal e dual, isto ser´a apresentado atrav´es do estudo da qualidade das estimativas.
Al´em disso, apresentamos exemplos de funcionais lineares limitados que representam
algumas das principais quantidades de interesse.
No Cap´ıtulo 2 apresentamos o problema modelo, a equa¸c˜ao de difus˜ao-
2
advec¸c˜ao-rea¸c˜ao, ou seja, uma equa¸c˜ao de segunda ordem, com forma caracter´ıstica
n˜ao-negativa. Tamb´em apresentamos o m´etodo de Galerkin descont´ınuo.
O Cap´ıtulo 3 aborda as estimativas de erro a posteriori para o funcional
que representa a quantidade interesse, usando o problema dual para obter o indicador
de erro necess´ario ao processo adaptativo. Nesse cap´ıtulo, verificamos que o m´etodo
sim´etrico ´e dual consistente e que o mesmo n˜ao acontece com o m´etodo n˜ao-sim´etrico.
No Cap´ıtulo 4 obtemos as estimativas de erro a priori para o funcional
alvo, tamb´em usando solu¸c˜oes do problema dual.
O Cap´ıtulo 5 tem como objetivo apresentar o algoritmo adaptativo
referente `a teoria apresent ada nos Cap´ıtulos 2, 3 e 4. Al´em disso, os principais
aspectos da implementa¸c˜ao e o ambiente computacional utilizado s˜ao apresentados.
No Cap´ıtulo 6 apresentamos os experimentos num´ericos realizados com
base no que foi anteriormente apresentado, sendo quatro exemplos de problemas de
difus˜ao e um de difus˜ao-advec¸c˜ao. Os funcionais lineares que utilizamos representam
o valor m´edio da solu¸c˜ao sobre o dom´ınio e a integral sobre um subdom´ınio.
3
Cap´ıtulo 1
Aproxima¸c˜ao de Funcionais
1.1 Introdu¸c˜ao
Seguindo o que foi apresentado por Oden e Prudhomme em [33], ire-
mos mostrar como surge o problema dual quando o objetivo da an´alise ´e estimar a
aproxima¸c˜ao de funcionais da solu¸c˜ao. Al´em disso, apresentaremos alguns funcionais
lineares e limitados que representam quantidades de interesse em problemas pr´aticos.
1.2 Problema
Neste cap´ıtulo n˜ao consideraremos nenhuma equa¸c˜ao em particular e
nenhum m´etodo de elementos finitos em espec´ıfico, portanto as defini¸c˜oes ser˜ao feitas
da forma mais abstrata poss´ıvel.
Seja Ω um dom´ınio aberto limitado contido em R
d
com fronteira ∂Ω
Lipschitziana. Consideremos o operador diferencial L e o problema de valor de
fronteira associado a L, dado por:
Lu = f em Ω (1.1)
com as condi¸c˜oes de fronteira
∂u
∂n
= g em Γ
N
(Neumann) (1.2)
e
u = 0 em Γ
D
(Dirichlet). (1.3)
As fronteiras Γ
D
e Γ
N
s˜ao tais que Γ
D
∩ Γ
N
= ∅ e
Γ
D
∪ Γ
N
= ∂Ω.
4
Vamos supor que f, ∂Ω, Γ
N
e Γ
D
satisfazem as condi¸c˜oes que garantem a existˆencia
e unicidade da solu¸c˜ao u.
Multiplicando (1.1) por uma fun¸c˜ao de teste v e integrando por partes,
obtemos a formula¸c˜ao variacional, dada por:
Encontrar u ∈ V tal que,
B(u, v) = F (v), ∀ v ∈ V (1.4)
onde V ´e assumido como um espa¸co de Hilbert, que ´e definido de acordo com o
problema considerado.
A forma bilinear B(·, ·) em (1.4), embora n˜ao seja especificada, ser´a
assumida como sim´etrica e definida positiva em V xV . Assim, B(·, ·) define um
produto interno em V , do qual a norma associada ´e a chamada de norma da energia,
definida como segue
|||v||| =
B(v, v). (1.5)
A defini¸c˜ao do espa¸co de aproxima¸c˜ao depende muito do m´etodo que
ser´a utilizado para obter a aproxima¸c˜ao. No entanto, como n˜ao estamos especificando
nenhum m´etodo, apenas denotaremos este espa¸co por V
hp
, e o definiremos quando
o m´etodo for apresentado. Por enquanto basta saber que V
hp
tem dimens˜ao finita e
V
hp
⊂ V .
A aproxima¸c˜ao u
h,p
´e definida como u
h,p
∈ V
hp
, tal que
B(u
h,p
, v) = F (v) ∀ v ∈ V
hp
. (1.6)
Com a aproxima¸c˜ao definida, partimos para a an´alise do erro. Defini-
mos o erro num´erico como a fun¸c˜ao
e = u − u
h,p
, (1.7)
observamos que e ∈ V .
Usando a linearidade da forma B(·, ·), (1.6) e (1.7), obtemos que o err o
satisfaz a equa¸c˜ao
B(e, v) = R
u
h,p
(v) ∀ v ∈ V (1.8)
onde R
u
h,p
denota o res´ıduo. O res´ıduo mede quanto a aproxima¸c˜ao falha ao satisfazer
5
a formula¸c˜ao variacional (1.4) e ´e definido por:
R
u
h,p
(v) = F (v) − B(u
h,p
, v), v ∈ V. (1.9)
Desta defini¸c˜ao fica claro que R
h,p
´e um funcional linear e como o
res´ıduo est´a definido em V , temos que R
h,p
∈ V
′
, onde V
′
denota o espa¸co dual de
V .
De (1.6) e (1.9) temos que
R
u
h,p
(v) = 0, ∀ v ∈ V
hp
. (1.10)
Para obtermos a ortogonalidade de Galerkin, basta observar (1.8) e
(1.10) e concluir que:
B(e, v) = 0, ∀ v ∈ V
hp
. (1.11)
1.3 Estimativa de Erro de Aproxima¸c˜ao de Fun-
cionais
O objetivo da estimativa de erro de aproxima¸c˜ao de funcionais ´e es-
timar a precis˜ao de funcionais da solu¸c˜ao, ao inv´es de alguma norma do erro de
aproxima¸c˜ao da pr´opria solu¸c˜ao.
Os fun cionais que representar˜ao as quantidades de interesse ser˜ao fun-
cionais lineares e limitados, assim vamos tomar J pertencente ao espa¸co dual de V
e nosso objetivo ser´a avaliar a aproxima¸c˜ao de J(u).
Usando a linearidade de J, definimos o erro na ap roxima¸c˜ao do fun-
cional, ε
L
∈ R, como:
ε
J
= J(u) − J(u
h,p
) = J(u − u
h,p
) = J(e). (1.12)
Assim o que precisamos estimar ´e J(e). Uma possibilidade para avaliar
J(e) ´e aproximar e usando (1.8) e aplicar em J, mas essa possibilidade tem problemas
pois ela tem um custo computacional t˜ao grande quanto resolver o problema original,
al´em do que estar´ıamos obtendo apenas u ma aproxima¸c˜ao, o implica que ter´ıamos
mais um erro para nos preocuparmos e n˜ao saber´ıamos se a estimativa obtida ´e um
cota inferior ou superior.
Considerando que o res´ıduo cont´em todas as informa¸c˜oes sobre o erro
e, se descobrirmos a rela¸c˜ao entre o res´ıduo e J(e) obteremos uma estimativa para
6
J(e) sem termos que aproximar o erro e, uma vez que o res´ıduo depende apenas da
solu¸c˜ao u
h,p
e dos dados do problema.
Com base nisso, desejamos encontrar a rela¸c˜ao entre J(e) e R
u
h,p
. Va-
mos supor que exista um funcional linear ω que represente essa rela¸c˜ao da seguinte
forma:
J(e) = ω(R
u
h,p
). (1.13)
O funcional ω ´e chamado de Fun¸c˜ao de Influˆencia, pois ele deve indicar
a influˆencia do res´ıduo em J(e). Como ω atua sobre V
′
, temos que ω ´e um elemento
do bidual de V .
Lembrando que V foi assumido como um espa¸co de Hilbert, e portanto
um espa¸co reflexivo, podemos reescrever (1.13) como
J(e) = R
u
h,p
(ω) (1.14)
onde ω agora representa um elemento de V . No entanto ainda n˜ao sabemos como
obter a fun¸c˜ao de influˆencia e este ser´a nosso pr´oximo passo.
De (1.8) e (1.14), conclu´ımos que ω satisfaz a seguinte igualdade
J(e) = B(e, ω). (1.15)
Como e ∈ V , (1.15) ser´a necessariamente satisfeito quando ω ∈ V ´e solu¸c˜ao de
B(v, ω) = J(v), ∀ v ∈ V, (1.16)
problema o qual ´e denominado problema dual ou adjunto do p roblema primal (1.4).
Ent˜ao, agora temos uma forma de obter a fun¸c˜ao de influˆencia, resolvendo o problema
dual. Como a forma bilinear B(·, ·) ´e a mesma do problema primal e assumimos que
J(·) ´e um funcional linear e limitado, pelo teorema de Lax-Milgram podemos concluir
a existˆencia e unicidade da solu¸c˜ao de (1.16).
Mais do que apenas obtermos a fun¸c˜ao de influˆencia, encontramos uma
forma de relacionar o erro no funcional com a forma bilinear e consequentemente com
a norma da energia. Como est´a rela¸c˜ao pode ser estabelecida ´e o que mostraremos
no Lema 1.1.
7
Lema 1.1. Se ω
h,p
∈ S
p
(Ω, τ
h
, F) ´e uma aproxima¸c˜ao de ω, tal que
B(v, ω
h,p
) = J(v), ∀ v ∈ V
hp
(1.17)
Ent˜ao,
J(e) = B(e, ε), (1.18)
onde ε ∈ V denota o erro num´erico em ω
h,p
, isso quer dizer ε = ω −ω
h,p
.
Prova: Da propriedade de ortogonalidade (1.11) temos:
B(e, ω
h,p
) = R
u
h,p
(ω
h,p
) = 0 (1.19)
e combinando (1.4) e (1.5):
J(e) = B(e, ω) − B(e, ω
h,p
) = B(e, ω −ω
h,p
) = B(e, ε) (1.20)
como afirmamos.
Conforme apresentad o por [5], a rela¸c˜ao entre J(e) e a norma da energia
pode ser da seguinte forma:
Teorema 1.1. Sobre as defini¸c˜oes anteriores e condi¸c˜oes assumidas
J(e) = B(e, ε) =
1
4
|||e + ε|||
2
−
1
4
|||e − ε|||
2
(1.21)
Prova: Notamos que,
|||e + ε|||
2
= B(e + ε, e + ε) = B(e, e) + 2B(e, ε) + B(ε, ε) (1.22)
|||e − ε|||
2
= B(e − ε, e − ε) = B(e, e) − 2B(e, ε) + B(ε, ε). (1.23)
Combinando esses dois resultados, temos
|||e − ε|||
2
− |||e + ε|||
2
= 4B(e, ε) (1.24)
o qual, com o Lema 1.1, prova a rela¸c˜ao.
Uma vers˜ao modificada de ( 1.21) usando um fator d e escala s ∈ R, foi
proposta por [33], como:
J(e) = B(e, ε) = B(se,
ε
s
) =
1
4
|||se +
ε
s
|||
2
−
1
4
|||se −
ε
s
|||
2
(1.25)
8
O valor de s ´e escolhido de forma a igualar as quantidades |||se||| e
|||
ε
s
|||, isso implica
s =
|||ε|||
|||e|||
. (1.26)
A equa¸c˜ao (1.25) estabiliza a rela¸c˜ao entre o erro J(e) e a norma da
energia da combina¸c˜ao linear de e e ε.
Vamos supor que tenhamos estimativas superiores e inferiores para
|||se +
ε
s
||| e |||se −
ε
s
|||. Com base nestes estimativas vamos obter estimativas para
J(e) e analisar a qualidade das mesmas.
Sejam η
+
low
, η
+
upp
, η
−
low
e η
−
upp
, n´umeros reais tais que as estimativas
seguintes s˜ao v´alidas:
η
+
low
|||se +
ε
s
||| η
+
upp
, (1.27)
e
η
−
low
|||se −
ε
s
||| η
−
upp
. (1.28)
Ent˜ao ´e simples obter as seguintes aproxima¸c˜oes de J(e) :
J(e) ≈ η
J
eel
=
1
4
(η
+
low
)
2
−
1
4
(η
−
low
)
2
(1.29)
e
J(e) ≈ η
J
eeu
=
1
4
(η
+
uup
)
2
−
1
4
(η
−
uup
)
2
, (1.30)
t˜ao bem quanto a aproxima¸c˜ao m´edia:
J(e) ≈ η
J
eea
=
1
2
(η
J
eel
+ η
J
eeu
). (1.31)
Teorema 1.2. (Limites Inferior e Superior) Sejam as quantidades η
J
low
e η
J
upp
sendo
definidas como:
η
J
low
=
1
4
(η
+
low
)
2
−
1
4
(η
−
upp
)
2
(1.32)
e
η
J
upp
=
1
4
(η
+
upp
)
2
−
1
4
(η
−
low
)
2
. (1.33)
Ent˜ao, η
J
low
e η
J
upp
s˜ao estimativas inferior e superior de J(e), como
segue:
η
J
low
J(e) η
J
upp
. (1.34)
Notamos que a m´edia de η
J
low
e η
J
upp
d´a η
J
eea
9
Prova: Segue imediatamente de (1.25).
Avaliaremos a qualidade das estimativas η
J
low
e η
J
upp
em termos do ´ındice
de efetividade de η
+
low
, η
+
upp
, η
−
low
e η
−
upp
. Os ´ındices de efetividade s˜ao:
λ
−
low
=
η
−
low
|||se −
ε
s
|||
, λ
−
upp
=
η
−
upp
|||se −
ε
s
|||
,
λ
+
low
=
η
+
low
|||se +
ε
s
|||
, λ
+
upp
=
η
+
upp
|||se +
ε
s
|||
.
Assim, usando (1.25) e assumindo J(e) diferente de zero, temos:
η
J
low
J(e)
=
1
J(e)
(
1
4
(η
+
low
)
2
−
1
4
(η
−
upp
)
2
)
=
1
J(e)
(
1
4
(λ
+
low
)
2
|||se +
ε
s
|||
2
−
1
4
(λ
−
upp
)
2
|||se −
ε
s
|||
2
)
=
1
J(e)
(
1
4
(λ
+
low
)
2
|||se +
ε
s
|||
2
−
1
4
(λ
−
upp
)
2
|||se +
ε
s
|||
2
+ (λ
−
upp
)
2
J(e))
ent˜ao o seguint e ´ındice de efetividade para a estimativa inferior em J(e) ´e dada por:
λ
J
low
=
η
J
low
J(e)
= (λ
−
upp
)
2
+
1
4
((λ
+
low
)
2
− (λ
−
upp
)
2
)
|||se +
ε
s
|||
2
J(e)
.
Da mesma maneira, temos para o limite superior
λ
J
upp
=
η
J
upp
J(e)
= (λ
−
low
)
2
+
1
4
((λ
+
upp
)
2
− (λ
−
low
)
2
)
|||se +
ε
s
|||
2
J(e)
.
Podemos observar que a qualidade das estimativas depende direta-
mente da raz˜ao
|||se+
ε
s
|||
2
J(e)
. Essa raz˜ao pode tomar um valor grande dependendo da
quantidade de interesse. Quando o objetivo da adaptatividade ´e controlar J(e) ao
inv´es de |||e|||, essa raz˜ao tem uma tendˆencia a crescer. Obtendo os ´ındices de efetivi-
dade λ
J
low
e λ
J
upp
pr´oximos a um, o ´ındice de efetividade com respeito a quantidade em
norma da energia ser´a excelente, isto ´e, muito pr´oximo a um, tal que (λ
+
low
)
2
−(λ
−
upp
)
2
e (λ
+
upp
)
2
− (λ
−
low
)
2
s˜ao pr´oximos de zero.
Caso contr´ario podemos esperar que λ
J
low
e λ
J
upp
se d eteriorem quando
a raz˜ao tornar-se muito grande.
10
Por outro lado, o ind´ıce de efetividade da estimativa η
J
eel
´e dado por:
λ
J
eel
=
η
J
low
J(e)
= (λ
−
low
)
2
+
1
4
((λ
+
low
)
2
− (λ
−
low
)
2
)
|||se +
ε
s
|||
2
J(e)
.
Dessa vez esperamos que a diferen¸ca (λ
+
low
)
2
− (λ
−
low
)
2
esteja muito
pr´oximo de zero. Ent˜ao a qualidade de η
J
eel
n˜ao depender´a tanto da raz˜ao
|||se+
ε
s
|||
2
J(e)
.
A observa¸c˜ao ´e an´aloga para as estimativas η
J
eeu
e η
J
eea
.
1.4 Exemplos de Funcionas Lineares Limitados
Apresentaremos aqui alguns exemplos de quantidades de interesse e
as caracterizaremos em termos de funcionais lineares limitados. Em aplica¸c˜oes de
elementos finitos, o uso de funcionais lineares limitados ´e muito conveniente para
expressar a quantidade de interesse e se poss´ıvel, na forma de uma integral sobre o
dom´ınio Ω, visto que a integra¸c˜ao ´e muito utilizada nos c´odigos de elementos finitos.
Assumimos V = H
1
0
(Ω) nesta se¸c˜ao.
Uma quantidade de poss´ıvel interesse ´e a m´edia da solu¸c˜ao u sobre u m
subdom´ınio Ω
s
∈ Ω. O correspondente funcional linear ´e escrito como:
J(u) =
1
|Ω
s
|
Ω
k(x)u(x)dx (1.35)
onde k(x) ´e igual a 1 se x ∈ Ω
s
e 0 caso contr´ario, onde |Ω
s
| defi ne a ´area ou volume
de Ω
s
.
Proposi¸c˜ao 1.1. Se ja u ∈ H
1
0
(Ω). Ent˜ao, o funcional J(u) =
Ω
kudx ´e limitado
em H
1
0
(Ω).
Prova: Visto que u ∈ H
1
0
(Ω) e k ∈ L
2
(Ω), usando a desigualdade de
Minkowski:
J(u) =
Ω
kudx k
0
u
0
C
0
|Ω
s
||u|
1
(1.36)
onde C
0
´e a constante de Poincar´e .
Quando a solu¸c˜ao ´e uma fun¸c˜ao vetorial em (H
1
0
(Ω))
d
, pode ser de
interesse o fluxo atrav´es da ∂Ω
s
de Ω
s
, nesse caso o funcional, ser´a:
J(u) =
∂Ω
s
u · nds =
Ω
s
∇ · udx =
Ω
k(x)∇ · u(x)dx (1.37)
Isso tamb´em define um funcional linear limitado.
11
Tamb´em pode acontecer que o objetivo seja avaliar uma quantidade
n˜ao-linear N(u) da solu¸c˜ao u tal como:
N(u) =
Ω
s
u
2
dx. (1.38)
Nesse caso, o erro ε
L
ser´a:
ε
N
= N(u) − N(u
h,p
) =
Ω
s
(u
2
− u
2
h,p
)dx = 2
Ω
s
u
h,p
edx +
Ω
s
e
2
dx (1.39)
Negligenciando, o ter mo de maior ordem em e, podemos considerar o
seguinte funcional linear, o qual ´e limitado,
L(e) = 2
Ω
s
u
h,p
edx = 2
Ω
k(x)u
h,p
(x)e(x)dx (1.40)
e aplicamos a metodologia de estimativa de erro de aproxima¸c˜ao de funcionais, para
obter a estimativa ε
N
≈ J(e).
Entretanto, existem quantidades de interesse, as quais n ˜ao podem ser
caracterizadas por um funional linear limitado. Esse ´e o caso para o valor da solu¸c˜ao
em um ponto do dom´ınio.
A estimativa de erro pontual objetiva avaliar a precis˜ao da solu¸c˜ao
em um ponto dado x
0
∈
Ω. Infelizmente, para u ∈ H
1
(Ω), Ω ⊂ R
d
, sabemos
do Teorema de Imers˜ao de Sobolev que u n˜ao pode ser definido em x
0
quando a
dimens˜ao geom´etrica d ´e maior ou igual que dois. Em outras palavras, o funcional
corresponde a quantidade de interesse u(x
0
),
J(u) = u(x
0
), (1.41)
n˜ao ´e necessariamente limitado.
Apelamos para o uso de fun¸c˜oes suavizantes para driblar esse inconve-
niente, o qual nos permite introduzir o seguinte funcional
J(u) = u
e
(x
0
) =
Ω
u(x)k
ǫ
(x − x
0
)dx, (1.42)
onde os suavizantes k
ǫ
formam uma fam´ılia de fun ¸c˜oes infinitamente suaves em
(−∞, +∞)
d
caracterizado pelo parˆametro ǫ. A quantidade u
ǫ
(x
0
) ´e vista como
uma m´edia de u sobre uma pequena vizinhan¸ca de x
0
. Os suavizantes k
ǫ
s˜ao escol-
12
hidos da forma:
k
ǫ
(x) =
c · exp(
|x|
2
ǫ
2
− 1)
−1
, se |x| < ǫ;
0, se |x| ǫ,
(1.43)
onde a constante c, a qual depende de d, ǫ e x
0
´e selecionado para satisfazer
Ω
k
ǫ
(x − x
0
)dx = 1. (1.44)
Como uma observa¸c˜ao, notamos que os suavizantes n˜ao s˜ao n ecessariamente empre-
gados para obter um funcional linear limitado em H
1
(Ω).
Nossa motiva¸c˜ao para usar o processo de suaviza¸c˜ao conta com as
propriedades de que quando u ∈ L
2
(Ω), a fun¸c˜ao x
0
→ u
ǫ
(x
0
) converge para u
quando ǫ tende para zero e quando u ´e constante ou linear na bola B(x
0
, ǫ) ⊂ Ω,
temos u
ǫ
(x
0
) = u(x
0
) independente do valor de ǫ.
Observamos que para calcular J(u) em (1.42) e a constante c em (1.44),
´e necess´aria a integra¸c˜ao num´erica do suavizante k
ǫ
. Essas fun¸c˜oes s˜ao muito locais e
por isso a integra¸c˜ao ´e geralmente realizada usando a regra de quadratura de Gauss
cl´assica, ela mostra-se necess´aria para limitar o tamanho do suporte de k
ǫ
(x − x
0
),
igual a 2ǫ, com respeito ao tamanho da malha h do elemento contendo o ponto x
0
.
No entanto, requer que:
k
2ǫ
h
(1.45)
onde k ´e um n´umero fracion´ario dado, 0 < k 1. De fato, para alcan¸car uma
precis˜ao aceit´avel para L, evitando tamb´em muitos pontos de Gauss, foi sugerido o
valor k =
1
4
em [41].
Essa aproxima¸c˜ao tamb´em aplica-se para estimar o erro pontual das
derivadas direcionais da solu¸c˜ao. Ent˜ao consideramos o funcional limitado:
J(u) = n · ∇u
ε
(x
0
) =
Ω
n · ∇u(x)kǫ(x − x
0
)dx (1.46)
onde n ´e o vetor unit´ario representando a dire¸c˜ao de interesse.
13
Cap´ıtulo 2
O M´etodo de Elementos Finitos de
Galerkin Descont´ınuo para a
Equa¸c˜ao de
Difus˜ao-Advec¸c˜ao-Rea¸c˜ao
Neste cap´ıtulo ser˜ao apresentados os M´etodos de Elementos Finitos de
Galerkin Descont´ınuo com Penaliza¸c˜ao Interior Sim´etrico e N˜ao-Sim´etrico, respec-
tivamente abreviados pelas siglas DGFEM-SIP e DGFEM-NIP, para a equa¸c˜ao de
Difus˜ao-Advec¸c˜ao-Rea¸c˜ao, conforme foram apresentados em [19].
2.1 Equa¸c˜ao de Difus˜ao-Advec¸c˜ao-Rea¸c˜ao
Consideremos Ω um dom´ınio poliedral, aberto e limitado em R
d
, com
a dimens˜ao d 2, e seja Γ a uni˜ao das faces (d −1)-dimensionais abertas de ∂Ω. A
equa¸c˜ao de Difus˜ao-Advec¸c˜ao-Rea¸c˜ao, ´e dada por
Lu ≡ −∇ · (a∇u) + ∇ · (bu) + cu = f , (2.1)
assumimos que f ∈ L
2
(Ω), c ∈ L
∞
(Ω) e f e c s˜ao fun¸c˜oes a valores reais. Al´em
disso b = {b
i
}
d
i=1
´e uma fun¸c˜ao vetorial cujas entradas b
i
s˜ao fun¸c˜oes a valores reais,
Lipschitz cont´ınuas em
Ω e a = {a
ij
}
d
i,j=1
´e um tensor sim´etrico, cujas entradas a
ij
s˜ao fun¸c˜oes a valores reais, limitadas, cont´ınuas por partes, definidas em
Ω e que
satisfazem a seguinte desigualdade
ζ
T
a(x)ζ 0 ∀ζ ∈ R
d
, a.e. x ∈
Ω. (2.2)
14
Assumidas estas hip´oteses, chamamos (2.1) de uma Equa¸c˜ao Diferen-
cial Parcial com Forma Caracter´ıstica N˜ao-Negativa. Por n(x) = n
i
(x)
d
i=1
denotamos
o vetor normal unit´ario exterior a Γ em x ∈ Γ.
A Fun¸c˜ao de Fichera, b · n, apresentada em [34], ´e definida no ponto
x por
(b · n)(x) =
d
i=1
b
i
(x)n
i
(x).
Definimos tamb´em os seguintes tipos de fronteira:
Γ
0
= {x ∈ Γ : n(x)
T
a(x)n(x)},
Γ
−
= {x ∈ Γ \ Γ
0
: b(x) · n(x) < 0} (Entrada de Fluxo),
Γ
+
= {x ∈ Γ \ Γ
0
: b(x) · n(x) > 0} (Sa´ıda de Fluxo).
Se Γ
0
´e n˜ao vazio, ent˜ao Γ
0
ser´a a uni˜ao de dois subconjuntos disjuntos
Γ
D
e Γ
N
, com Γ
D
n˜ao vazio e aberto relativamente a Γ. Com as fronteiras definidas
dessa forma podemos complementar a equa¸c˜ao (2.1) com as condi¸c˜oes de fronteira
u = g
D
em Γ
D
∪ Γ
−
, n · (a∇u) = g
N
em Γ
N
. (2.3)
Adotaremos ainda as hip´oteses de que b · n 0 em Γ
N
e que vale a hip´otese de
positividade: existe ξ ∈ R
d
tal que
c(x) +
1
2
∇ · b(x) + b(x) · ξ > 0 q.s. x ∈ Ω. (2.4)
Para simplificar a apresenta¸c˜ao do m´etodo, assumimos que (2.4) vale
com ξ ≡ 0 e com base nesta hip´otese, definimos a fun¸c˜ao positiva c
0
como segue:
(c
0
(x))
2
= c(x) +
1
2
∇ · b(x) q.s. x ∈ Ω. (2.5)
Para ver que o problema (2.1), (2.3), est´a bem posto, no caso de
condi¸c˜oes de fronteira homogˆeneas, veja [21].
2.2 Nota¸c˜ao
Consideramos τ
h
= {Ω
i
} uma malha regular, que particiona o dom´ınio
Ω, em elementos Ω
i
, abertos, com poss´ıveis n´os suspensos. N´o suspenso ´e como
15
denominamos o v´ertice de um elemento quando ele pertence a uma face de um
elemento vizinho, como por exemplo o v´ertice A na Figura 2.1,
Ω
Ω
Ω
1
2
3
A
Figura 2.1: N´o Suspenso
Vamos considerar que a malha nesta descri¸c˜ao do m´etodo, tem no
m´aximo um n´o suspenso por face, o qual assumimos como sendo o baricentro da
face. Uma malha nestas condi¸c˜oes ´e chamada de 1-irregular.
Por h denotamos a fun¸c˜ao dependente da malha, constante por partes,
definida por h(x) ≡ h
i
= diam(Ω
i
) quando x ∈ Ω
i
.
Assumimos que cada Ω
i
∈ τ
h
´e a imagem por uma fun¸c˜ao bijetiva suave
de um elemento de referˆencia fixo
Ω, o qual chamaremos de Elemento Mestre. Ou
seja, Ω
i
= F
i
(
Ω) ∀ Ω
i
∈ τ
h
, em que
Ω ´e ou um aberto unit´ario simplex
Ω
s
= {x = (x
1
, ..., x
d
) ∈ R
d
: 0 < x
1
+ ... + x
d
< 1, x
i
> 0, i = 1, ..., d}
ou um hipercubo aberto
Ω
c
= (−1, 1)
d
∈ R
d
.
Sobre o elemento mestre
Ω definimos os espa¸cos d os polinˆomios de grau
p ≥ 1. Se o elemento mestre for um hipercubo o espa¸co dos polinˆomios ser´a definido
como
ζ
p
= span{x
α
: 0 ≤ α
i
≤ p, 1 ≤ i ≤ d},
se o elemento mestre for um simplex, o espa¸co dos polinˆomios ser´a
P
p
= span{x
α
: 0 ≤ |α| ≤ p}.
Para cada elemento Ω
i
∈ τ
h
, denotamos por p
i
o grau de interpola¸c˜ao
no elemento, observamos que p
i
´e um inteiro e maior que 1. Tamb´em a cada elemento
Ω
i
∈ τ
h
, denotamos por F
i
a fun¸c˜ao afim tal que F
i
(
Ω) = Ω
i
. Agrupando os p
i
e
F
i
nos vetores p = {p
i
: Ω
i
∈ τ
h
} e F = {F
i
: Ω
i
∈ τ
h
}, respectivamente, podemos
16
introduzir o espa¸co dos elementos finitos como
S
p
(Ω, τ
h
, F) = {u ∈ L
2
(Ω) : u|
Ω
i
◦ F
i
∈ ζ
p
i
se F
−1
i
(Ω
i
) =
Ω
c
ou u|
Ω
i
◦ F
i
∈ P
p
i
se F
−1
i
(Ω
i
) =
Ω
s
; Ω
i
∈ τ
h
}.
Associado com a parti¸c˜ao τ
h
, introduzimos o espa¸co particionado de
Sobolev de ordem composta s d efinido por
H
s
(Ω, τ
h
) = {u ∈ L
2
(Ω) : u|
Ω
i
∈ H
s
i
(Ω
i
) ∀Ω
i
∈ τ
h
}.
Lembramos que o espa¸co de Sobolev de ordem s, H
s
(Ω) ´e definido como:
H
s
(Ω) = {u ∈ L
2
(Ω) : D
α
u ∈ L
2
(Ω), |α| ≤ s}.
O espa¸co particionado de Sobolev de ordem comp osta s, est´a equipado
com a norma particionada d e Sobolev e correspondente seminorma, respectivamente
dadas por
||u||
s,τ
h
= (
Ω
i
∈τ
h
||u||
2
H
s
i
)
1
2
, |u|
s,τ
h
= (
Ω
i
∈τ
h
|u|
2
H
s
i
)
1
2
. (2.6)
Quando s
i
= s
j
= s, para todo Ω
i
e Ω
j
∈ τ
h
, simplificaremos a nota¸c˜ao
de H
s
(Ω, τ
h
) para H
s
(Ω, τ
h
) e analogamente a norma e semi-norma ser˜ao denotadas
por ||u||
s,τ
h
e |u|
s,τ
h
. Se u ∈ H
1
(Ω, τ
h
) definimos o gradiente particionado de u por
(∇
τ
h
u)|
Ω
i
= ∇(u|
Ω
i
), Ω
Ω
i
∈ τ
h
.
Uma face interior de τ
h
´e definida como o interior (n−1)-dimensional de
∂Ω
i
∩∂Ω
j
, em que, Ω
i
e Ω
j
s˜ao dois elementos adjacentes de τ
h
, n˜ao necessariamente
condizentes. Dois elementos s˜ao ditos condizentes quando a intersec¸c˜ao de suas
fronteiras ´e uma aresta ou uma face inteira para cada um dos elementos. Na figura
(2.2), temos exemplos de elementos condizentes e n˜ao-condizentes.
Ω
1 2
Ω Ω
Ω
Ω
5
4
3
Elementos Condizentes
Elementos Nao−Condizentes
~
Figura 2.2: Exemplos de elementos condizentes e n˜ao-condizentes.
17
Uma face de fronteira de τ
h
´e definida como o interior n˜ao-vazio e
(d − 1)-dimensional de ∂Ω
i
∩ Γ, em que Ω
i
´e um elemento de τ
h
.
Definimos Γ
int
como a uni˜ao de todas as faces interiores de τ
h
. Dada
uma face γ ⊂ Γ
int
, formada por dois elementos Ω
i
e Ω
j
, tais que os ´ındices i e j
satisfazem i > j, por n
γ
denotaremos o vetor unit´ario e normal a γ de Ω
i
para
Ω
j
, portanto dependente da numera¸c˜ao dos elementos na parti¸c˜ao. Nas faces de
fronteira, o vetor n
γ
aponta para fora do elemento e substitu´ıremos a nota¸c˜ao n
γ
por
n apenas. Al´em disso, para v ∈ H
1
(Ω, τ
h
) definimos o salto de v sobre γ e o valor
m´edio de v em γ, respectivamente, por
[v] = v|
∂Ω
i
∩γ
− v|
∂Ω
j
∩γ
e v =
1
2
(v|
∂Ω
i
∩γ
+ v|
∂Ω
j
∩γ
). (2.7)
Seja γ uma face de fronteira. Definimos o salto e a m´edia em γ como:
[v] = v|
∂Ω
i
∩γ
e v = v|
∂Ω
i
∩γ
.
Agora vamos estabelecer a nota¸c˜ao para o tr a¸co. Dada uma fun¸c˜ao
v ∈ H
1
(Ω, τ
h
) e um elemento Ω
i
∈ τ
h
, denotaremos por v
+
i
o tra¸co interior de v em
∂Ω
i
e de forma an´aloga denotaremos por v
−
i
o tra¸co exterior v em ∂Ω
i
\Γ. Sempre que
estiver claro no contexto a qual elemento Ω
i
de τ
h
o tra¸co se refere, simplificaremos
a nota¸c˜ao dos tra¸cos suprimindo o ´ındice que indica o elemento e escreveremos, v
+
e v
−
.
2.3 Vers˜ao hp do M´etodo de Galerkin Descont´ınuo
Seja Ω
i
um elemento da parti¸c˜ao τ
h
, denotamos por ∂Ω
i
a uni˜ao das
faces (d −1)-dimensionais abertas de Ω
i
. Se x ∈ ∂Ω
i
, defi nimos a fun¸c˜ao n
i
(x) como
o vetor unit´ario normal exterior a ∂Ω
i
em x. Definimos o fluxo interior e o fluxo
exterior das partes de ∂Ω
i
, respectivamente, por:
∂
−
Ω
i
= {x ∈ ∂Ω
i
; b(x) · n(x) < 0} e ∂
+
Ω
i
= {x ∈ ∂Ω
i
; b(x) · n(x) ≥ 0}.
Vamos supor que as entradas da matriz a s˜ao constantes em cada
elemento Ω
i
∈ τ
h
. Isto ´e,
a ∈ [S
0
(Ω, τ
h
, F )]
dxd
sym
. (2.8)
Notamos que, com apenas uma pequena mudan¸ca, nossos resultados podem facil-
mente serem estendidos para o caso
√
a ∈ [S
q
(Ω, τ
h
, F )]
dxd
sym
, em que o vetor q, tem
entradas n˜ao-negativas. Escrevemos
a = |
√
a|
2
2
, em que |·|
2
denota a norma matricial
18
subordinada `a norma vetorial l
2
em R
d
e a
i
= a|
Ω
i
. Por a
i
denotamos a m´edia
aritm´etica dos valores
a
′
j
sobre os elementos Ω
′
j
(incluindo o pr´oprio Ω
i
) que possuem
uma face (d − 1)-dimensional comum com Ω
i
.
A hp-DGFEM aproxima¸c˜ao de (2.1), (2.3) ´e definida como segue:
Encontrar u
DG
em S
p
(Ω, τ
h
, F) tal que
B
DG
(u
DG
, v) = l
DG
(v), (2.9)
para qualquer v ∈ S
p
(Ω, τ
h
, F ).
A forma bilinear B
DG
(·, ·) ´e definida por:
B
DG
(u, v) = B
a
(u, v) + B
b
(u, v) + θB
γ
(v, u) − B
γ
(u, v) + B
σ
(u, v),
sendo
B
a
(u, v) =
Ω
i
∈τ
h
Ω
i
a∇u · ∇vdx,
B
b
(u, v) =
Ω
i
∈τ
h
−
Ω
i
(ub·∇v−cuv)dx+
∂
+
Ω
i
(b·n
i
)u
+
v
+
ds+
∂
−
Ω
i
\Γ
(b·n
i
)u
−
v
+
ds
,
B
γ
(u, v) =
Γ
int
Γ
D
(a∇u) · n
γ
[v]ds,
B
σ
(u, v) =
Γ
int
Γ
D
σ[u][v]ds,
e o funcional linear l
DG
(·) ´e dado por
l
DG
=
Ω
i
∈τ
(
Ω
i
fvdx −
∂
−
Ω
i
∩(Γ
D
∪Γ
−
)
(b · n
i
)g
D
v
+
+
∂Ω
i
∩Γ
D
θg
D
((a∇v
+
) · n
i
)ds +
∂Ω
i
∩Γ
N
g
N
v
+
ds +
∂Ω
i
∩Γ
σg
D
v
+
ds).
19
O parˆametro σ ´e chamado de parˆametro de penaliza¸c˜ao descont´ınuo e
´e definido por
σ|
γ
= C
σ
ap
2
h
para γ ⊂ Γ
int
∪ Γ
D
, (2.10)
com C
σ
uma constante positiva, conforme apresentada em [21]. As arestas γ ⊂
(Γ
int
∪ Γ
D
) com σ|
γ
= 0 s˜ao omitidas das integrais que aparecem na defini¸c˜ao de
B
σ
(u, v) e l
DG
(v).
Escolhendo o parˆametro θ = 1 teremos o m´etodo com penaliza¸c˜ao
interior n˜ao sim´etrico (DGFEM -NIP), enquanto que para θ = −1 teremos o m´etodo
com penaliza¸c˜ao interior sim´etrico (DGFEM-SIP).
2.4 An´alise da Estabilidade
Como se sabe da teoria de elementos finitos a coercividade da forma
bilinear garante a estabilidade do m´etodo de elementos finitos.
Portanto, antes de analisar o erro do m´etodo de Galerkin Descont´ınuo
(2.9), vamos obter alguns resultados preliminares referentes a coercividade da forma
bilinear. Introduzimos a norma DG, | · |
DG
como:
|u|
2
DG
=
Ω
i
∈τ
h
(
√
a∇u
2
L
2
(Ω
i
)
+ c
0
u
2
L
2
(Ω
i
)
+
1
2
u
+
2
∂
−
Ω
i
∩(Γ
D
∪Γ
−
)
+
1
2
u
+
− u
−
2
∂
−
Ω
i
\Γ
+
1
2
u
+
2
∂
+
Ω
i
∩Γ
)+
Γ
int
∪Γ
D
σ[u]
2
ds +
Γ
int
∪Γ
D
1
σ
(a∇u) · n
γ
2
ds (2.11)
em que ·
γ
, γ ⊂ ∂Ω
i
, denota a (semi)norma associada com o (semi) produto interno
(v, u)
γ
=
γ
|b · n
i
|vuds,
e c
0
est´a definida como em (2.5). Lembramos que a defini¸c˜ao acima de ||| · |||
DG
representa uma leve modifica¸c˜ao da norma considerada na referˆencia [21]; no caso
b = 0, (2.11) corresponde a norma proposta por Baumann et. al [9], [28] e Baker et.
al [8], conforme [35].
Com essa nota¸c˜ao, agora nos munimos do seguinte r esultado de coer-
cividade para a forma bilinear B(·, ·) sobre S
p
(Ω, τ
h
, F)xS
p
(Ω, τ
h
, F).
20
Teorema 2.1. Com σ definido como em (2.10), existe uma constante positiva C, a
qual depende apenas da dimens˜ao d e da regularidade da forma de τ
h
, tal que
B
DG
(v, v) C|v|
2
DG
∀ v ∈ S
P
(Ω, τ
h
, F ), (2.12)
desde que a constante C
σ
que surge na defini¸c˜ao do parˆametro de penaliza¸c˜ao de-
scont´ınuo σ seja escolhido tal que C
σ
> 0 quando θ = 1 e C
σ
> C
′
σ
quando θ = −1,
C
′
σ
´e uma constante positiva suficientemente grande
Para a demonstra¸c˜ao desse teorema veja [19], [35] e [21].
O teorema (2.1) indica que o esquema DGFEM-NIP ´e coercivo sobre
S
p
(Ω, τ
h
, F) x S
p
(Ω, τ
h
, F) para qualquer escolha da constante C
σ
> 0 na defini¸c˜ao
do parˆametro de penaliza¸c˜ao σ, enquanto o esquema DGFEM-SIP ´e coercivo apenas
se C
σ
´e escolhido suficientemente grande.
Seguindo com a an´alise do erro, assumimos que a solu¸c˜ao u para o
problema de valor de fronteira (2.1), (2.3) ´e suficientemente lisa, isto ´e u ∈ H
2
(Ω, τ
h
)
e as fun¸c˜oes u e (a∇u)·n
e
s˜ao cont´ınuas atrav´es de cada face e ⊂ ∂Ω
i
\Γ que intersecta
o subdom´ınio de elipticidade, Ω
0
= {x ∈
Ω : ξ
T
a(x)ξ > 0 ∀ ξ ∈ R
d
}. Se a suavidade
solicitada ´e violada, o m´etodo de discretiza¸c˜ao t em que ser modificado conforme
[21]. Sob estas hip´oteses, o m´etodo ´e consistente com o problema considerado e a
propriedade de ortogonalidade de Galerkin ´e verdadeira, ou seja,
B
DG
(u − u
DG
, v) = 0 ∀ v ∈ S
p
(Ω, τ
h
, F). (2.13)
Ser´a assumido na an´alise procedente, e tamb´em na obten¸c˜ao de esti-
mativas a priori, que o vetor velocidade b satisfaz a seguinte hip´otese:
b · ∇
τ
h
v ∈ S
p
(Ω, τ
h
, F), ∀ v ∈ S
p
(Ω, τ
h
, F). (2.14)
Para assegurar que as curvas caracter´ısticas do operador advectivo es-
tejam corretamente definidas, iremos assumir que b ∈ [W
1
∞
(Ω)]
d
.
Denotamos por Π
p
o projetor ortogonal de L
2
(Ω) sobre o espa¸co de
elementos finitos S
p
(Ω, τ
h
, F); isto ´e, dado u ∈ L
2
(Ω), definimos Π
p
u por
(u − Π
p
u, v) = 0, ∀v ∈ S
p
(Ω, τ
h
, F),
em que (·, ·) denota o produto interno de L
2
(Ω).
21
Notemos que (2.14) implica que
(u − Π
p
u, b · ∇
τ
h
v) = 0, (2.15)
para qualquer v ∈ S
p
(Ω, τ
h
, F), conforme as provas do lema e do teorema abaixo.
Lembramos que se o esquema (2.9) ´e suplement ado por estabiliza¸c˜ao
do tipo streamline-diffusion, ent˜ao uma escolha diferente de Π
p
pode ser empregada
tal que maximize as propriedades de hp-aproxima¸c˜ao.
Vamos decompor o erro global u − u
DG
como
u − u
DG
= (u − Π
p
u) + (Π
p
u − u
DG
) ≡ η + ξ. (2.16)
Com esta defini¸c˜ao podemos enunciar o seguinte lema,
Lema 2.1. Assuma que (2.4) e (2.14) valem e que β
1
|
k
= ||c/(c
0
)
2
||
L
∞
(Ω
k
)
. Ent˜ao
as fun¸c˜oes ξ e η definidas em (2.16) satisfazem a seguinte desigualdade
|||ξ|||
2
DG
≤ C(
Ω
k
∈τ
h
(||
√
aη||
2
L
2
(Ω
k
)
+ β
2
1
||c
0
η||
2
L
2
(Ω
k
)
+ ||η
+
||
2
∂
+
Ω
k
∩Γ
+ ||η
−
||
2
∂
−
Ω
k
∩Γ
)
+
Γ
int
∪Γ
D
1
σ
(a∇η) · n
γ
2
ds +
Γ
int
∪Γ
D
σ[η]
2
ds)
sendo C ´e uma constante que depende apenas da dimens˜ao d e da constante de
regularidade de τ
h
.
Prova: Da propriedade de ortogonalidade de Galerkin (2.13), deduzi-
mos que
B
DG
(ξ, ξ) = −B
DG
(η, ξ), (2.17)
em que ξ e η s˜ao definidos como em (2.16). Aplicando a coercividade de B(·, ·),
temos que
|||ξ|||
DG
≤ −
1
C
B
DG
(η, ξ).
Vamos estimar B
DG
(η, ξ). Para tal, considere os seguintes resultados:
Resultado 1:
Ω
k
∈τ
h
∂
+
Ω
k
(b · n
k
)η
+
ξ
+
ds +
∂
−
Ω
k
\Γ
(b · n
k
)η
−
ξ
+
ds
22
=
Ω
k
∈τ
h
∂
−
Ω
k
\Γ
(b · n
k
)η
−
[ξ]ds +
∂
+
Ω
k
∩Γ
(b · n
k
)η
+
ξ
+
ds
≤
Ω
k
∈τ
h
∂
−
Ω
k
\Γ
2(b · n
k
)(η
−
)
2
ds
1
2
∂
−
Ω
k
\Γ
1
2
(b · n
k
)[ξ]
2
ds
1
2
+
∂
+
Ω
k
∩Γ
2(b · n
k
)(η
+
)
2
ds
1
2
∂
+
Ω
k
∩Γ
1
2
(b · n
k
)(ξ
+
)
2
ds
1
2
Resultado 2: Usando (2.15), temos que
Ω
k
ηb · ∇ξdx = 0
Agora vamos estimar B
DG
(η, ξ):
B
DG
(η, ξ) =
Ω
k
∈τ
h
Ω
k
a∇η · ∇ξdx +
Ω
k
∈τ
h
Ω
k
−ηb · ∇ξdx +
Ω
k
c
c
2
0
c
4
0
η(c
2
0
)ξdx
+
Ω
k
∈τ
h
∂
+
Ω
k
(b · n
k
)η
+
ξ
+
ds +
∂
−
Ω
k
\Γ
(b · n
k
)η
+
ξ
+
ds
+θ
Γ
int
∪Γ
D
(a∇ξ) · n
e
[η]ds −
Γ
int
∪Γ
D
(a∇η) · n
e
[ξ]ds +
Γ
int
∪Γ
D
σ[η][ξ]ds
≤
Ω
k
∈τ
h
Ω
k
a(∇η)
2
dx
1
2
Ω
k
a(∇ξ)
2
dx
1
2
+
Ω
k
∈τ
h
Ω
k
cc
2
0
c
4
0
(η)
2
dx
1
2
Ω
k
c
2
0
(ξ)
2
dx
1
2
+
Ω
k
∈τ
h
∂
−
Ω
k
2|b · n
k
|(η
−
)
2
dx
1
2
∂
−
Ω
k
1
2
|b · n
k
|[ξ]
2
dx
1
2
+
Ω
k
∈τ
h
∂
+
Ω
k
∩Γ
2|b · n
k
|(η
+
)
2
dx
1
2
∂
+
k
∩Γ
1
2
|b · n
k
|(ξ)
2
dx
1
2
+
γ∈Γ
int
∪Γ
D
γ
1
σ
(a∇ξ) · n
e
2
ds
1
2
γ
σ[η]
2
dx
1
2
+
γ∈Γ
int
∪Γ
D
γ
1
σ
(a∇η) · n
e
2
ds
1
2
γ
σ[ξ]
2
dx
1
2
23
+
γ∈Γ
int
∪Γ
D
γ
σ[η]
2
dx
1
2
γ
σ[ξ]
2
dx
1
2
≤
Ω
k
∈τ
h
√
a∇ξ
2
L
2
(Ω
k
)
+ c
0
ξ
2
L
2
(Ω
k
)
+
1
2
ξ
+
− ξ
−
2
∂
−
Ω
k
\Γ
+
1
2
ξ
+
2
∂
+
Ω
k
∩Γ
+
Γ
int
∪Γ
D
σ[ξ]
2
ds +
Γ
int
∪Γ
D
1
σ
(a∇ξ) · n
e
2
ds
1
2
x
Ω
k
∈τ
h
√
a∇η
2
L
2
(Ω
k
)
+ β
2
1
c
0
η
2
L
2
(Ω
k
)
+ 2η
+
2
∂
+
Ω
k
∩Γ
+ η
−
2
∂
−
Ω
k
\Γ
+
2
Γ
int
∪Γ
D
σ[η]
2
ds +
Γ
int
∪Γ
D
1
σ
(a∇η) · n
γ
2
ds
1
2
≤ C|||ξ|||
DG
Ω
k
∈τ
h
√
a∇η
2
L
2
(Ω
k
)
+ β
2
1
c
0
η
2
L
2
(Ω
k
)
+ 2η
+
2
∂
+
Ω
k
∩Γ
+ η
−
2
∂
−
Ω
k
\Γ
+
2
Γ
int
∪Γ
D
σ[η]
2
ds +
Γ
int
∪Γ
D
1
σ
(a∇η) · n
γ
2
ds
1
2
. (2.18)
Logo substituindo (2.18) em (2.17), obtemos o resultado desejado. Este
lema nos mostra que o erro do m´etodo ´e limitado pelo erro de um interpolador da
solu¸c˜ao exata.
24
Cap´ıtulo 3
An´alise de Erro a posteriori
An´alise exposta neste cap´ıtulo segue a apresentada em [19]. Neste
cap´ıtulo deduzimos um indicador do erro tipo a posteriori para um funcional de in-
teresse, este indicador ser´a composto de estimativas do erro por elemento da parti¸c˜ao.
Usaremos este indicador de erro no processo adaptativo aproveitando a consistˆencia
dual do m´etodo sim´etrico (DGFEM-SIP).
Com base na teoria apresentada no Cap´ıtulo 1, come¸camos a an´alise
considerando o seguinte problema dual ou adjunto: encontrar z ∈ H
2
(Ω, τ
h
) tal que
B
DG
(v, w) = J(v) ∀v ∈ H
2
(Ω, τ
h
). (3.1)
A existˆencia e aunicidade da solu¸c˜ao de (3.1) depende do funcional
linear J(·). Vamos assumir que este funcional ´e escolhido tal que (3.1) tenha ´unica
solu¸c˜ao.
O primeiro passo na obten¸c˜ao das estimativas do erro a posteriori, na
forma como faremos aqui, ´e a defini¸c˜ao dos res´ıduos. Consideremos um funcional
linear dado J(·). O primeiro tipo de res´ıduo ´e o res´ıduo interno, este ´e definido sobre
cada elemento Ω
i
∈ τ
h
da seguinte forma,
R
int
|
Ω
i
= (f − Lu
DG
)|
Ω
i
.
O res´ıduo interno mede quanto u
DG
falha ao satisfazer a equa¸c˜ao difer-
encial nos elementos Ω
i
da parti¸c˜ao τ
h
.
Como u
DG
aproxima apenas de maneira fraca as condi¸c˜oes de fronteira
(2.3), podemos definir res´ıduos sobre as fronteiras Γ
D
∪ Γ
−
e Γ
N
da seguinte forma
R
D
|
∂Ω
i
∩(Γ
D
∪Γ
−
)
= (g
D
− u
+
DG
)|
∂Ω
i
∩(Γ
D
∪Γ
−
)
,
25
R
N
|
∂Ω
i
∩Γ
N
= (g
N
− (a∇u
+
DG
) · n)|
∂Ω
i
∩Γ
N
.
Usando os res´ıduos acima definidos e o teorema da divergˆencia a pro-
priedade de ortogonalidade (2.13) pode ser reescrita da sequinte forma,
0 = B
DG
(u − u
DG
, v) = l
DG
(v) − B
DG
(u
DG
, v)
=
Ω
i
∈τ
h
Ω
i
R
int
vdx −
∂
−
Ω
i
∩Γ
(b · n
i
)R
D
v
+
ds
+
∂
−
Ω
i
\Γ
(b · n
i
)[u
DG
]v
+
ds +
∂Ω
i
∩Γ
D
θR
D
((a∇v
+
) · n
i
)ds
+
∂Ω
i
∩Γ
D
σR
D
v
+
ds +
∂k∩Γ
N
R
N
v
+
ds
−
∂Ω
i
\Γ
θ
2
[u
DG
](a∇v
+
) · n
i
+
1
2
[(a∇u
DG
) · n
i
]v
+
ds
−
∂Ω
i
\Γ
σ[u
DG
]v
+
ds
(3.2)
para todo v ∈ S
p
(Ω, τ
h
, F).
O teorema seguinte ´e o principal resultado deste cap´ıtulo e seu corol´ario
fornece a estimativa de erro a posteriori.
Teorema 3.1. Se u e u
DG
denotam as solu¸c˜oes de (2.1), (2.3) e (2.9), respectiva-
mente, e supondo que a solu¸c˜ao dual w esteja definida por (3.1), ent˜ao vale a seguin te
f´ormula de representa¸c˜ao do erro:
J(u) − J(u
DG
) = ε
Ω
(u
DG
, h, p, w − w
hp
) ≡
Ω
i
∈τ
h
η
i
, (3.3)
26
em que
η
i
=
Ω
i
R
int
(w − w
hp
)dx −
∂
−
Ω
i
∩Γ
(b · n
i
)R
D
(w − w
hp
)
+
ds
+
∂
−
Ω
i
\Γ
(b · n
i
)[u
DG
](w − w
hp
)
+
ds +
∂Ω
i
∩Γ
D
θR
D
((a∇(w − w
hp
)
+
) · n
i
)ds
+
∂Ω
i
∩Γ
D
σR
D
(w − w
hp
)
+
ds +
∂Ω
i
∩Γ
N
R
N
(w − w
hp
)
+
ds
−
∂Ω
i
\Γ
θ
2
[u
DG
](a∇(w − w
hp
)
+
) · n
i
+
1
2
[(a∇u
DG
) · n
i
](w − w
hp
)
+
ds
−
∂Ω
i
\Γ
σ[u
DG
](w − w
hp
)
+
ds (3.4)
para todo w
hp
∈ S
p
(Ω, τ
h
, F).
Prova: Escolhendo v = u − u
DG
em (3.1), lembrando da linearidade
de J(·) e da propriedade de ortogonalidade de Galerkin (3.2), deduzimos que
J(u) − J(u
DG
) = J(u − u
DG
)
= B
DG
(u − u
DG
, w)
= B
DG
(u − u
DG
, w − w
hp
), (3.5)
e logo segue (3.3).
Portanto, aplicando a desigualdade triangular obtemos uma estimativa
a posteriori para o erro.
Corol´ario 3.1. Sob as hip´oteses do Teorema 3.1, vale o seguinte limitante a poste-
riori para o erro:
|J(u) − J(u
DG
)| ≤ ε
|Ω|
(u
DG
, h, p, w − w
hp
) ≡
Ω
i
∈τ
h
|η
i
|, (3.6)
em que η
i
est´a definido como em (3.4).
Os termos locais envolvendo a diferen¸ca entre a solu¸c˜ao dual w e sua
aproxima¸c˜ao obtida pelo m´etodo de Galerkin descont´ınuo w
hp
∈ S
p
(Ω, τ
h
, F), que
aparecem na estimativa a posteriori (3.6) cont´em informa¸c˜oes ´uteis sobre o trans-
porte global do erro. Desta forma, evitamos eliminar os termos envolvendo a solu¸c˜ao
dual, w, mesmo que esta seja desconhecida, depois a aproximaremos numericamente
de uma forma mais precisa que w
hp
.
27
Agora vamos an alisar a estrutura do problema dual defin ido por (3.1).
Vamos supor que o objetivo final ´e aproximar o valor m´edio (ponderado) da solu¸c˜ao
u, isto ´e, o funcional linear ´e J(·) ≡ M
Ψ
(·), com
M
Ψ
(u) =
Ω
uΨdx,
em que Ψ ∈ L
2
(Ω). Integrando por partes o problema dual (3.1), encontramos que a
solu¸c˜ao dual w deve satisfazer o seguinte problema dependente da malha: encontrar
w tal que
L
∗
w ≡ −∇ · (a∇w) − b · ∇w + cw = Ψ em Ω
i
, (3.7)
sujeito `as seguintes condi¸c˜oes nas interfaces,
(b · n
k
)[w] + (1 + θ)(a∇w) ·n
i
+ σ[w] = 0 em ∂
+
Ω
i
\ Γ, (3.8)
(1 + θ)(a∇w) ·n
i
+ σ[w] = 0 em ∂
−
Ω
i
\ Γ, (3.9)
[w] = 0 em ∂
Ω
i
∩ Ω
a
, (3.10)
e condi¸c˜oes de fronteira,
w = 0 em ∂Ω
i
∩ (Γ
D
∪ Γ
+
), (3.11)
(b · n
i
)w + (a∇w) · n
i
= 0 em ∂Ω
i
∩ Γ
N
, (3.12)
(1 + θ)(a∇w) ·n
i
= 0 em ∂Ω
i
∩ Γ
D
, (3.13)
para todo Ω
i
∈ τ
h
. Caso θ = −1, a dependˆencia da malha da solu¸c˜ao dual po de ser
removida usando a continuidade de w no dom´ınio de elipticidade Ω
a
e o problema
dual (3.7),(3.8),(3.9),(3.10), (3.11),(3.12) e (3.13) reduz-se a encontrar w tal que
L
∗
w ≡ −∇ · (a∇w) − b · ∇w + cw = Ψ em Ω, (3.14)
w = 0 em Γ
D
∪ Γ
+
, (b ·n)w + (a∇w) · n = 0 em Γ
N
. (3.15)
Desta forma, para θ = −1 o problema dual correspondente est´a bem
posto para esta escolha de funcional alvo. Observamos que a solu¸c˜ao pr oblema
formado transpondo os argumentos na forma bilinear B
DG
(·, ·) resolve o problema
adjunto formal dado pelo operador diferencial parcial adjunto a L, L
∗
. Portanto
conforme a defini¸c˜ao de consistˆencia dual apresentada em [14], podemos dizer que
28
B
DG
(·, ·) ´e dual consistente. Por outro lado, quando θ = 1 a forma bilinear B
DG
(·, ·)
n˜ao ´e dual consistente e, neste caso, os termos envolvendo o fluxo difusivo em (3.8),
(3.9) e (3.13) e as condi¸c˜oes de fronteira for¸cam que ambos w e (a∇w) · n sejam
iguais a zero em Γ
D
. Al´em disso as condi¸c˜oes nas interfaces tornam-se inconsistentes
no sentido que enquanto (3.10) for¸ca a continuidade de z em Ω
a
, (3.9) requer que
(a∇w)|
∂Ω
l
∩γ
· n
i
= −(a∇w)|
∂Ω
j
∩γ
· n
i
para todas as arestas γ ⊂ ∂Ω
i
, em que k
l
e k
j
s˜ao dois elementos vizinhos com a aresta
comum γ. Em geral ambas as condi¸c˜oes n˜ao po dem ser satisfeitas simultaneamente.
Essa falta de regularidade quando θ = 1 levar´a `a degrada¸c˜ao da taxa de convergˆencia
do erro no funcional J(·), quando o espa¸co de elementos finitos S
p
(Ω, τ
h
, F) ´e enrique-
cido. Em contraste, quando o esquema DGFEM-SIP ´e empregado, o problema dual
´e simplesmente o problema adjunto, sujeito a condi¸c˜oes de fronteira adequadas, con-
forme feito acima. Portanto para o DGFEM-SIP, taxas de convergˆencia ´otimas ser˜ao
observadas para dados suficientementes suaves nos problemas primal e dual. Estas
observa¸c˜oes ser˜ao feitas mais precisamente no pr´oximo cap´ıtulo, no qual trataremos
da an´alise de erro a priori do hp-DGFEM.
29
Cap´ıtulo 4
An´alise de Erro a priori
Conforme apresentado em [19], obteremos estimativas a priori para o
erro de aproxima¸c˜ao de funcionais de interesse das solu¸c˜oes dos m´etodos DGFEM-
SIP e DGFEM-NIP, introduzidos no Cap´ıtulo 2.
Usaremos os sobrescritos DGFEM-NIP e DGFEM-SIP para distinguir
os dois m´etodos. Portanto para a forma bilinear vamos usar a nota¸c˜ao B
SIP
DG
(·, ·)
quando θ = −1 e B
NIP
DG
(·, ·) quando θ = 1.
As solu¸c˜oes num´ericas u
SIP
DG
e u
NIP
DG
satisfazem os seguintes problemas:
encontrar u
SIP
DG
em S
p
(Ω, τ
h
, F) tal que
B
SIP
DG
(u
SIP
DG
, v) = l
DG
(v) ∀v ∈ S
p
(Ω, τ
h
, F);
e encontrar u
NIP
DG
em S
p
(Ω, τ
h
, F) tal que
B
NIP
DG
(u
NIP
DG
, v) = l
DG
(v) ∀v ∈ S
p
(Ω, τ
h
, F),
respectivamente. Usando a identidade (3.5) adaptada a nota¸c˜ao que acabamos de
definir, temos que
J(u) − J(u
SIP
DG
) = B
SIP
DG
(u − u
SIP
DG
, w
SIP
− w
h,p
), (4.1)
quando o esquema DGFEM-SIP ´e empregado, enquanto para o esquema DGFEM-
NIP, temos
J(u) − J(u
NIP
DG
) = B
NIP
DG
(u − u
NIP
DG
, w
NIP
− w
h,p
), (4.2)
para todo w
h,p
em S
p
(Ω, τ
h
, F). Aqui, w
SIP
e w
NIP
s˜ao as solu¸c˜oes anal´ıticas dos
30
seguintes problemas duais: encontrar w
SIP
∈ H
2
(Ω, τ
h
) tal que
B
SIP
DG
(v, w
SIP
) = J(v) ∀v ∈ H
2
(Ω, τ
h
),
e encontrar w
NIP
∈ H
2
(Ω, τ
h
) tal que
B
NIP
DG
(v, w
NIP
) = J(v) ∀v ∈ H
2
(Ω, τ
h
), (4.3)
respectivamente.
Agora reescreveremos a f´ormula (4.2) para o erro no funcional quando
o esquema DGFEM-NIP ´e empregado em termos de w
SIP
ao inv´es da solu¸c˜ao dual
w
NIP
. O objetivo desta estrat´egia ´e contar com a regularidade da solu¸c˜ao dual.
Enquanto que a regularidade da solu¸c˜ao dual w
SIP
pode ser facilmente determinada,
visto que o problema de valor de fronteira subjacente `a equa¸c˜ao diferencial parcial
´e o problema adjunto, sujeito a dados apropriados, a regularidade de Sobolev da
solu¸c˜ao do problema dual no caso n˜ao-sim´etr ico depende da malha (4.3) e n˜ao est´a
bem compreendida, portanto para h > 0, esperamos que w
NIP
n˜ao seja uma fun¸c˜ao
cont´ınua.
Notamos que
J(u) − J(u
NIP
DG
) = B
NIP
DG
(u − u
NIP
DG
, w
SIP
− w
h,p
) − 2B
e
(w
SIP
, u − u
NIP
DG
)
para todo w
h,p
∈ S
p
(Ω, τ
h
, F). Assim, o erro de aproxima¸c˜ao do funcional, pode ser
escrito de forma unificada como:
J(u) − J(u
DG
) = B
DG
(u − u
DG
, w
SIP
− w
h,p
) − (1 + θ)B
e
(w
SIP
, u − u
NIP
DG
), (4.4)
para todo w
h,p
∈ S
p
(Ω, τ
h
, F). O segundo termo do lado direito da equa¸c˜ao (4.4)
aparece somente quando o esquema DGFEM-NIP ´e empregado, isto ´e, quando θ = 1.
Al´em disso, esperamos que este termo seja de ordem menor do que o primeiro termo
em (4.4) e isso tornar´a a taxa de convergˆencia sub ´otima para o m´eto d o DGFEM-
NIP quando o espa¸co de elementos finitos S
p
(Ω, τ
h
, F) for enriquecido. Antes de
embarcar na an´alise de erro a priori, primeiro vamos apresentar o seguinte resultado
sobre as propriedades de aproxima¸c˜ao do projetor ortogonal Π
p
, anteriormente intro-
duzido. Por conveniˆencia, vamos assumir que as malhas s˜ao no m´aximo 1-irregulares
e tamb´em que consistem de elementos afim equivalentes a d-paralelep´ıpedos, ou seja
as func˜oes F
i
s˜ao fun¸c˜oes afins e o elemento mestre ´e um d-paralelep´ıpedo.
31
Lema 4.1. Suponha que Ω
i
∈ τ
h
´e um d-paralelep´ıpedo de diˆametro h
i
e que u|
Ω
i
∈
H
k
i
(Ω
i
), k
i
≥ 0, para Ω
i
∈ τ
h
. Ent˜ao, valem os seguintes resultados de aproxima¸c˜ao
||u − Π
p
u||
L
2
(Ω
i
)
≤ C
h
s
i
i
p
k
i
i
||u||
H
k
i
(Ω
i
), ||u − Π
p
u||
L
2
(∂Ω
i
)
≤ C
h
s
i
−
1
2
i
p
k
i
−
1
2
i
||u||
H
k
i
(Ω
i
),
|u − Π
p
u|
H
1
(Ω
i
)
≤ C
h
s
i
−1
i
p
k
i
−
3
2
i
||u||
H
k
i
(Ω
i
), |u − Π
p
u|
H
1
(∂Ω
i
)
≤ C
h
s
i
−
3
2
i
p
k
i
−
5
2
i
||u||
H
k
i
(Ω
i
),
em que 1 ≤ s
i
≤ min(p
i
+ 1, k
i
) e C ´e uma constante independente de u, h
i
e p
i
,
mas dependente da dimens˜ao d e da regularidade de τ
h
.
Prova:Veja [4 ].
Para o resto deste cap´ıtulo, assumiremos que o vetor dos graus polino-
miais de interpola¸c˜ao p, com p
i
≥ 1 para cada Ω
i
∈ τ
h
, tem varia¸c˜ao local limitada,
isto ´e, existe uma constante ρ ≥ 1 tal que, para qualquer par de elementos Ω
i
e Ω
j
os quais possuem uma face (d − 1)-dimensional em comum,
ρ
−1
≤
p
i
p
j
≤ ρ. (4.5)
Sob estas hip´oteses, combinando as aproxima¸c˜oes do Lema 4.1 com o
Lema 2.1, deduzimos que
|||ξ|||
2
DG
≤ C
Ω
i
∈τ
h
(α
h
2(s
i
−1)
i
p
2(k
i
−
3
2
)
i
+ β
2
h
2s
i
i
p
2k
i
i
+ γ
h
2(s
i
−
1
2
)
i
p
2(k
i
−
1
2
)
i
)||||
2
H
k
i
(Ω
i
)
(4.6)
em que α|
Ω
i
=
a
i
, β
2
|
Ω
i
= (β
1
|
Ω
i
)
2
||c
0
||
2
L
∞
(Ω
i
)
, (β
1
|
Ω
i
= ||
c
(c
0
)
2
||
L
∞
(Ω
i
)
), γ|
Ω
i
=
||b||
L
∞
(Ω
i
)
e C ´e uma constante positiva que depende apenas de d, do parˆametro
ρ em (4.5) e da regularidade e forma d e τ
h
.
Com esses resultados de apr oxima¸c˜ao, procedemos agora a prova do
principal teorema deste cap´ıtulo.
Teorema 4.1. Seja Ω ⊂ R
d
um dom´ınio poliedral limitado,J um funcional linear
limitado em Ω, τ
h
uma subdivis˜ao regular de Ω em d-paralelep´ıpedos e p o vetor dos
graus dos polinˆomios, de varia¸c˜ao local limitada. Assumindo que as condi¸c˜oes sobre
os dados (2.4), (2.8), e (2.14), s˜ao verdadeiras e que u|
Ω
i
∈ H
k
i
(Ω
i
), k
i
≥ 2, para
Ω
i
∈ τ
h
, w
SIP
|
Ω
i
∈ H
l
i
, l
i
≥ 2, para Ω
i
∈ τ
h
, ent˜ao solu¸c˜ao u
DG
∈ S
p
(Ω, τ
h
, F) de
32
(2.9) obedece a seguinte estimativa para o erro
|J(u) − J(u
DG
)|
2
≤ C
Ω
i
∈τ
h
α
h
2(s
i
−1)
i
p
2(k
i
−
3
2
)
i
+ β
3
h
2s
i
i
p
2k
i
i
+ γ
h
2(s
i
−
1
2
)
i
p
2(k
i
−
1
2
)
i
||u||
2
H
k
i
(4.7)
×
Ω
i
∈τ
h
(α
h
2(t
i
−1)
i
p
2(l
i
−
3
2
)
i
+ β
4
h
2t
i
i
p
2l
i
i
+ γ
h
2(t
i
−
1
2
)
i
p
2(l
i
−1)
i
)||w
SIP
||
2
H
l
i
+ (1 + θ)||w
SIP
||
2
2,τ
h
para 1 ≤ s
i
≤ min(p
i
+1, k
i
), 1 ≤ t
i
≤ min(p
i
+1, l
i
), p
i
≥ 1, Ω
i
∈ τ
h
, com α|
Ω
i
= a
i
,
β
3
|
Ω
i
= (1 + (β
1
|
Ω
i
)
2
)||c
0
||
2
L
∞
(Ω
i
)
, β
1
|
Ω
i
= ||
c(x)
(c
0
(x))
2
||
L
∞
(Ω
i
)
, β
4
|
Ω
i
= ||c + ∇ · b||
2
L
∞
(Ω
i
)
,
γ|
Ω
i
= ||b||
L
∞
(Ω
i
)
e C ´e uma constante dependente da dime ns˜ao d, do parˆametro ρ
de (4.5) e da regularidade de τ
h
.
Prova: Decompondo o erro u − u
DG
como em (2.16), observamos da
equa¸c˜ao (4.4) que o erro no funcional J(·) pode ser expresso como segue:
J(u) − J(u
DG
) = B
DG
(η, w
SIP
− w
h,p
) + B
DG
(ξ, w
SIP
− w
h,p
)
−(1 + θ)B
e
(w
SIP
, η) − (1 + θ)B
e
(w
SIP
, ξ) ≡ I + II + III + IV. (4.8)
Come¸camos tratando o termo I. Para isso, definimos w
h,p
− Π
p
w
SIP
.
Empregando os resultados de aproxima¸c˜ao apresentados no lema (4.1),
I
2
= B
2
DG
(η, w
SIP
− Πw
SIP
) ≤ |||η|||
2
DG
|||w
SIP
− Πw
SIP
|||
2
DG
=
(
Ω
i
∈τ
h
(||
√
a∇η||
2
L
2
(Ω
i
)
+||c
0
η||
L
2
(Ω
i
)
2
+
1
2
||η
+
||
∂
−
Ω
i
∩(Γ
D
∪Γ
−
)
+
1
2
||η
+
−η
−
||
2
∂
−
Ω
i
\Γ
+
1
2
||η
+
||
2
∂
+
Ω
i
∩Γ
)
Γ
int
∪Γ
D
σ[η]
2
ds +
Γ
int
∪Γ
D
1
σ
(a∇η)n
γ
2
ds)
x(
Ω
i
∈τ
h
(||
√
a∇(w
SIP
− Πw
SIP
)||
2
L
2
(Ω
i
)
+ ||c
0
(w
SIP
− Πw
SIP
)||
L
2
(Ω
i
)
2
+
1
2
||(w
SIP
−Πw
SIP
)
+
||
∂
−
Ω
i
∩(Γ
D
∪Γ
−
)
+
1
2
||(w
SIP
−Πw
SIP
)
+
−(w
SIP
−Πw
SIP
)
−
||
2
∂
−
Ω
i
\Γ
+
Γ
int
∪Γ
D
σ[(w
SIP
− Πw
SIP
)]
2
ds +
Γ
int
∪Γ
D
1
σ
(a∇(w
SIP
− Πw
SIP
))n
γ
2
ds)
≤ (
Ω
i
∈τ
h
(|
√
a|
2
2
C
h
2(s
i
−1)
i
p
2(k
i
−
3
2
)
i
||u||
2
H
k
i
+||c
0
||
2
L
∞
(Ω
i
)
C
h
2s
i
i
p
2k
i
i
||u||
2
H
k
i
+
||b||
L
∞
(Ω
i
)
2
C
h
2(s
i
−
1
2
)
i
p
2(k
i
−
1
2
)
i
||u||
2
H
k
i
)
33
+
Ω
i
∈τ
h
|
√
a|
2
2
C
h
2(s
i
−1)
i
p
2(k
i
−
3
2
)
i
||u||
2
H
k
i
+
Ω∈τ
h
|
√
a|
2
2
C
h
2(s
i
−1)
i
p
2(k
i
−
3
2
)
i
||u||
2
H
k
i
)
×
Ω∈τ
h
(|
√
a|
2
2
C
h
2(t
i
−1)
i
p
2(l
i
−
3
2
)
i
||w
SIP
||
2
H
l
i
+||c
0
||
2
L
∞
(Ω)
C
h
2t
i
i
p
2l
i
i
||w
SIP
||
2
H
l
i
+
||b||
L
∞
(Ω
i
)
2
C
h
2(t
i
−
1
2
)
i
p
2(l
i
−
1
2
)
i
||w
SIP
||
2
H
l
i
)
+
Ω∈τ
h
|
√
a|
2
2
C
h
2(t
i
−1)
i
p
2(l
i
−
3
2
)
i
||w
SIP
||
2
H
l
i
+
Ω
i
∈τ
h
|
√
a|
2
2
C
h
2(t
i
−1)
i
p
2(l
i
−
3
2
)
i
||w
SIP
||
2
H
l
i
≤ c
Ω
i
∈τ
(α
h
2(s
i
−1)
i
p
2(k
i
−
3
2
)
i
+ ||c
0
||
2
L
∞
(Ω
i
)
h
2s
i
i
p
2k
i
i
+ γ
h
2(s
i
−
1
2
)
i
p
2(k
i
−
1
2
)
i
)||u||
2
H
k
i
(Ω
i
)
×
Ω
i
∈τ
(α
h
2(t
i
−1)
i
p
2(l
i
−
3
2
)
i
+ β
4
h
2t
i
i
p
2l
i
i
+ γ
h
2(t
i
−
1
2
)
i
p
2(l
i
−
1
2
)
i
)||w
SIP
||
2
H
l
i
(Ω
i
)
. (4.9)
Agora consideramos o termo II. Aqui, notamos que um limite an´alogo
ao (2.18) visto na prova do Lema (2.1) vale com η e ξ trocados por ξ e w
SIP
− w
hp
,
em (2.18), respectivamente. De fato, aplicando o lema (5.1), temos
(II)
2
= B
DG
(ξ, w
SIP
− Πw
SIP
)
≤ C|||ξ|||
2
DG
×
Ω
i
∈τ
h
(||
√
a∇(w
SIP
− Πw
SIP
)||
2
L
2
(ω
i
)
+ β
2
1
||c
0
(w
SIP
− Πw
SIP
)||
2
L
2
(Ω
i
)
+||(w
SIP
−Πw
SIP
)
+
||
2
∂
+
Ω
i
∩Γ
+||(w
SIP
−Πw
SIP
)
−
||
2
∂
−
Ω
i
\Γ
)+
Γ
int
∩Γ
D
1
σ
(a∇η)
2
ds+
Γ
int
∩Γ
D
σ[η]
2
ds
≤ C|||ξ|||
2
DG
×
Ω
i
∈τ
h
α
h
2(t
i
−1)
i
p
2(l
i
−
3
2
)
i
+ β
4
h
2t
i
i
p
2l
i
i
+ γ
h
2(t
i
−
1
2
)
i
p
2(l
i
−
1
2
)
i
||w
SIP
||
2
H
l
i
(Ω
i
)
. (4.10)
Aqui notamos a importˆancia de escolher w
hp
como a proje¸c˜ao ortogonal de w
SIP
de
L
2
(Ω) no espa¸co de elementos finitos S
p
(Ω, τ
h
, F), visto que a identidade (2.15) foi
necess´aria para obtermos (4.10).
Para limitar os termos III e IV , primeiro notamos que dado uma
interface/aresta γ ⊂ ∂Ω
i
, para algum Ω
i
∈ τ
h
, usando a desigualdade multiplicativa
do tra¸co
||w
SIP
||
2
L
2
(γ)
≤ C
t
(||w
SIP
||
L
2
(Ω
i
)
||∇w
SIP
||
L
2
(Ω)
+ h
−1
i
||w
SIP
||
2
L
2
(Ω
i
)
), (4.11)
34
deduzimos que
|w
SIP
|
2
H
1
(γ)
≤
C
h
i
||w
SIP
||
2
H
2
(Ω)
.
Portanto empregando o Lema (4.1), teremos
III ≤ −(1 + θ)B
γ
(w
SIP
, η) = −(1 + θ)
Γ
int
∪Γ
D
(a∇w
SIP
)n
γ
[η]ds
≤ (1 + θ)(
Γ
int
∪Γ
D
(a∇w
SIP
)n
γ
2
ds)
1
2
(
Γ
int
∪Γ
D
[η]
2
ds)
1
2
≤ (1+θ)(
Γ
int
∪Γ
D
2|(a∇w
SIP
)
|
L
n
γ
|
2
+2|(a∇w
SIP
)
|
R
n
γ
|
2
ds)
1
2
(
Γ
int
∪Γ
D
|η
|
L
|
2
+|η
|
R
|
2
ds)
1
2
≤ (1 + θ)(
Ω
i
∈τ
h
∂Ω
i
∩(Γ
int
∪Γ
D
)
2|(a∇w
SIP
)|
2
|n
γ
|
2
ds)
1
2
(
Ω
i
∈τ
h
∂Ω
i
∩(Γ
int
∪Γ
D
)
|η|
2
ds)
1
2
≤ (1 + θ)(|
√
a|
2
)(
Ω
i
∈τ
h
∂Ω
i
∩(Γ
int
∪Γ
D
)
2|∇w
SIP
|
2
ds)
1
2
(
Ω
i
∈τ
h
∂Ω
i
∩(Γ
int
∪Γ
D
)
|η|
2
ds)
1
2
≤ (1 + θ)(
Ω
i
∈τ
h
|w
SIP
|
H
1
(∂∩(Γ
int
∪Γ
D
))
C|
√
a|
2
(
Ω
i
∈τ
h
2(s
i
−
1
2
)
i
p
2(k
i
−
1
2
)
i
||u||
2
H
k
i
(Ω
i
)
)
1
2
≤ (1 + θ)(
Ω
i
∈τ
h
C
h
1
2
i
||w
SIP
||
2,τ
h
C|
√
a|
2
(
Ω
i
∈τ
h
2(s
i
−
1
2
)
i
p
2(k
i
−
1
2
)
i
||u||
2
H
k
i
(Ω
i
)
)
1
2
≤ (1 + θ)(
Ω
i
∈τ
h
||w
SIP
||
2,τ
h
C((
Ω
i
∈τ
α
h
2(s
i
−1)
i
p
2(k
i
−
1
2
)
i
||u||
2
H
k
i
(Ω
i
)
)
1
2
, (4.12)
IV = −(1 + θ)B
γ
(w
SIP
, ξ) = −(1 + θ)
Γ
int
∪Γ
D
(a∇w
SIP
)n
γ
[ξ]ds
≤ (1 + θ)(
1
σ
Γ
int
∪Γ
D
(a∇w
SIP
)n
γ
2
ds)
1
2
(σ
Γ
int
∪Γ
D
[ξ]
2
ds)
1
2
≤ (1 + θ)(
1
σ
Γ
int
∪Γ
D
(a∇w
SIP
)n
γ
2
ds)
1
2
|||ξ|||
DG
≤ (1 + θ)(
Ω
i
∈τ
h
C
1
σ
∂Ω
i
∩(Γ
int
∪Γ
D
)
|
√
a|
2
|∇w
SIP
|
2
ds)
1
2
|||ξ|||
DG
≤ (1 + θ)(
Ω
i
∈τ
h
C
1
σ
||
H
1
(∂Ω
i
∩(Γ
int
∪Γ
D
))
|||ξ|||
DG
35
≤ C|||ξ|||
DG
||w
SIP
||
2,τ
h
. (4.13)
Finalmente, colecionando as estimativas dos termos I, II, III e IV dados em (4.9),
(4.10), (4.12) e(4.13), respectivamente, e empregado (4.6), obtemos o que o teorema
afirma.
Dois casos particulares muito comuns da equa¸c˜ao que estamos tratando
s˜ao as equa¸c˜oes difusiva dominante e extritamente hiperb´olica. Os Corol´arios 4.1 e
4.2, mostram como fica a estimativa do Teorema 4.1 nestes casos.
Corol´ario 4.1. Vamos supor que as condi¸c˜oes do Teorema 4.1 s˜ao v´alidas e as
ordens s˜ao uniformes, isto ´e, p
i
= p, s
i
= s, t
i
= t, k
i
= k, l
i
= l, s, t, k e l inteiros,
e h
i
= h para todo Ω
i
em τ
h
. Caso a equa¸c˜ao seja de difus˜ao dominante, b muito
pr´oximo ao v etor nulo, ent˜ao o erro no funcional pode ser limitado como segue
|J(u)−J(u
DG
)| ≤ C
h
s+t−2
p
k+l−2
p||u||
H
k
(Ω)
||w
SIP
||
H
l
(Ω)
+(1+θ)
h
s−1
p
k−
3
2
||u||
H
k
(Ω)
||w
SIP
||
H
2
(Ω)
,
(4.14)
com 1 ≤ s ≤ min(p + 1, k) e 1 ≤ t ≤ min(p + 1, l).
Portanto quando o esquema DGFEM-SIP ´e empregado, isto ´e, quando
θ = −1, esta estimativa de erro ´e ´otima com respeito a h e sub ´otimo em p por
uma ordem completa. Entretanto, quando θ = 1 esta estimativa indica que o erro de
aproxima¸c˜ao do funcional alvo calculado comp orta- se como O(
h
s−1
p
s−
3
2
) quando h → 0
e p → ∞. Portanto a ordem dobrada da taxa de convergˆencia de |J(u) − J(u
DG
)|
observada quando o esquema DGFEM-SIP ´e empregado ´e perdida quando o esquema
DGFEM-NIP ´e empregado. Isso ´e verificado nos experimentos num´ericos.
Corol´ario 4.2. Vamos supor que as condi¸c˜oes do Teorema 4.1 s˜ao v´alidas e que as
ordens s˜ao uniformes, isto ´e, p
i
= p, s
i
= s, t
i
= t, k
i
= k, l
i
= l, s, t, k e l inteiros,
e h
i
= h para todo Ω
i
em τ
h
. Caso a equa¸c˜ao seja estritamente hiperb´olica, a ≡ 0 ,
ent˜ao o erro no funcional pode ser limitado como segue
|J(u) − J(u
DG
)| ≤ C
h
s+t−1
p
k+l−1
p
1
2
||u||
H
k
(Ω)
||w
SIP
||
H
l
(Ω)
. (4.15)
Esta estimativa ´e ´otima em h e sub ´otimo em p por p
1
2
. Esta estimativa
´e an´aloga a obtida em [22] e a prova apresentada em [22] ´e baseada em um argumento
totalmente diferente.
36
Cap´ıtulo 5
Implementa¸c˜ao
5.1 Introdu¸c˜ao
O objetivo deste cap´ıtulo ´e apresentar os principais aspectos da im-
plementa¸c˜ao computacional necess´aria para por em pr´atica a teoria apresentada nos
Cap´ıtulos 2, 3 e 4.
5.2 Algoritmo Adaptativo
O objetivo do algoritmo adaptativo ´e obter um hp espa¸co de elementos
finitos S
p
(Ω, τ
h
, F) tal que
|J(u) − J(u
DG
)| ≤ TOL, (5.1)
com T OL uma tolerˆancia pr´e determinada. Al´em disso, desejamos que o n´umero de
graus de liberdade de S
p
(Ω, τ
h
, F) seja minimizado.
O algoritmo que utilizamos nos experimentos num´ericos est´a apresen-
tado no Algoritmo 1.
No Algoritmo 1, no passo 7, precisamos de um crit´erio para optar
entre o h-refinamento/desrefinamento ou p-enriquecimento. Esse crit´erio deve estar
relacionado a suavidade da solu¸c˜ao obt ida. Como n˜ao chegamos a estudar esses
crit´erios, em nossos experimentos optamos pelo crit´erio mais simples que ´e usar
apenas h-refinamento ou apenas p-enriquecimento.
O Algoritmo 1 est´a apresentado de forma bem simplificada. Muitos
detalhes importantes e suas respectivas dificuldades s´o s˜ao percebidos no momento da
implementa¸c˜ao do algoritmo. Por este motivo, preferimos comentar estes detalhes,
37
juntamente com a apresenta¸c˜ao das ferramentas computacionais que utilizamos.
Algoritmo 1: Algoritmo Adaptativo
Entrada: T OL, tolerˆancia ao erro da aproxima¸c˜ao de J.
Φ, percentual de elementos refinados a cada itera¸c˜ao.
p
inc
, graus de incremento do espa¸co enriquecido S
p
(Ω, τ
h
, F).
τ
h
, parti¸c˜ao inicial. p, graus de interpola¸c˜ao inicial.
Sa´ıda: S
p
(Ω, τ
h
, F) e J(u
DG
).
Resolver: encontrar u
DG
tal que1
B
DG
(u
DG
, v) = F (v) ∀ v ∈ S
p
(Ω, τ
h
, F)- Problema Primal.
Resolver: encontrar w
hp
tal que2
B
DG
(v, w
hp
) = J(v) ∀ v ∈ S
p
(Ω, τ
h
, F)- Problema Dual.
Resolver: encontrar w tal que3
B
DG
(v, w
hp
) = J(v) ∀ v ∈ S
p
(Ω, τ
h
, F).- Problema Dual
Enriquecido.
Calcular o estimador de erro η
i
como apresentado em (3.4),4
por´em com w substitu´ıdo por w, em cada elemento.
Verificar o crit´erio de parada:5
ε
|Ω|
≡ ε
|Ω|
(u
DG
, h, p, w − w
hp
) ≤ TOL.
Caso o crit´erio de parada n˜ao for satisfeito, refin ar os Φ%6
elementos que tˆem os maiores estimadores de erro, definindo
uma nova parti¸c˜ao τ
h
e um novo vetor de graus de
interpola¸c˜ao p.
Voltar ao passo 2, lembrando que S
p
(Ω, τ
h
, F) est´a com τ
h
e p7
atualizados.
5.3 O Ambiente de Programa¸c˜ao Cient´ıfica PZ
A parte num´erica deste trab alho foi desenvolvida usando o Ambiente de
Programa¸c˜ao Cient´ıfica Orientado a Objetos PZ, que ´e um c´odigo livre, desenvolvido
com ferramentas GNU, dispon´ıvel para a comu nidade cient´ıfica atrav´es de reposit´orio
CVS livre (http://labmec.fec.unicamp.br/pz/download). Para maiores informa¸c˜oes
sobre o PZ veja [16] e [17].
O ambiente PZ ´e um conjunt o de classes em linguagem C++, com
o objetivo de permitir a implementa¸c˜ao de m´etodos de elementos finitos. O PZ
´e constitu´ıdo de m´odulos bem diferenciados, cada qual com fun¸c˜oes espec´ıficas, os
quais combinados adquirem as funcionalidades necess´arias para a implenta¸c˜ao de
38
m´etodos de elementos finitos.
No ambiente PZ existe uma distin¸c˜ao grande entre os aspectos geom´etricos
e de interpola¸c˜ao.
As classes TPZGeoMesh e TPZGeoEL e suas classes derivadas definem
a geometria da malha e de seus elementos. A classe TPZCompEl e suas classes
derivadas, implementam o espa¸co de interpola¸c˜ao.
O m´etodo de G alerkin descont´ınuo, usado neste trab alho, ´e implemen-
tado pelas classes TPZCompElDisc e TPZInterfaceElement, ambas derivam da classe
TPZCompEl.
5.4 Compreendendo as Necessidades Computacionais
O PZ ´e desenvolvido usando programa¸c˜ao orientada a objetos e por-
tanto tem como um de seus grandes trunfos a reutiliza¸c˜ao de c´odigo (objetos e
m´etodos), pois a maioria das partes de um c´odigo de elementos finitos s˜ao muito
semelhantes de uma formula¸c˜ao para outra. Desta forma, antes de mais nada, pre-
cisamos compreender o que ´e necess´ario, e o que j´a est´a pronto no PZ.
As formula¸c˜oes para a equa¸c˜ao de Difus˜ao-Advec¸c˜ao-Rea¸c˜ao, que foram
apresentadas anteriormente, s˜ao idˆenticas as j´a implementadas na classe TPZMat-
Poisson3d, exceto pelos termos de rea¸c˜ao, mas esta ´e uma modifica¸c˜ao muito sim-
ples. Assim sendo, usamos a classe TPZMatPoisson3d acrescida dos termos de
rea¸c˜ao.
Para colocar em pr´atica o Algoritmo 1 ´e necess´ario que resolvamos
trˆes problemas distint os em malhas com a mesma geometria, sendo um problema
primal e os outros dois problemas duais mas com ordens de interpola¸c˜ao diferentes.
Usando a linguagem do PZ, precisamos trabalhar com dois materiais diferentes.
Um material, para a formula¸c˜ao fraca do problema primal e um para a formula¸c˜ao
fraca do problema dual.
´
E poss´ıvel que estas formula¸c˜oes sejam iguais, ou muito
semelhantes, por exemplo quando o problema for apenas difusivo.
Quando estivermos de posse das trˆes solu¸c˜oes sobre a mesma malha
geom´etrica, precisaremos calcular o estimador de erro em cada elemento, conforme
(3.4). Calcularemos o estimador de erro nos elementos, nas interfaces e nas fron-
teiras, ent˜ao ´e necess´ario que as trˆes malhas, iguais, dos trˆes problemas se conhe¸cam,
ou seja, que possamos acessar as trˆes solu¸c˜oes, p ara elementos respectivos. Para
suprir a esta necessidade o Prof. Philippe Devloo criou uma classe derivada da
classe TPZCompMesh, chamada TPZCompMeshReferred que permite identi-
39
ficar elementos correspondentes em malhas distintas e conseq¨uentemente as solu¸c˜oes
nestes elementos.
Com a formula¸c˜ao variacional pronta, basta acrescentar a esta classe
m´etodos para calcular o estimador. Na verdade, ao inv´es de acrescentar m´etodos `a
classe j´a existente, optamos por criar uma classe derivada da classe TPZMatPois-
son3d, a classe TPZMatPoisson3dEstimator. Nesta classe derivada criamos os
seguintes m´etodos:
ContributeErrorsDual: que calcula o estimador nos elementos 2D,
ou seja, de (3.4), o termo
k
R
int
(z −z
hp
)dx.
ContributeInterfaceErrorsDual: que calcula o estimador nas in-
terfaces (internas), ou seja, de (3.4), os termos
∂
−
k\Γ
(b · n
k
)[u
DG
](z −z
hp
)
+
ds,
−
∂k\Γ
{
θ
2
[u
DG
](a∇(z −z
hp
)
+
) · n
k
+
1
2
[(a∇u
DG
) · n
k
](z −z
hp
)
+
}ds e
−
∂k\Γ
σ[u
DG
](z −z
hp
)
+
ds.
ContributeInterfaceBCErrorsDual: que calcula o estimador nas
interfaces de fronteira, ou seja, de (3.4), os termos
−
∂
−
k
∩Γ
(b · n
k
)R
D
(z −z
hp
)
+
ds,
∂k∩Γ
D
θR
D
((a∇(z −z
hp
)
+
) · n
k
)ds,
∂k∩Γ
D
σR
D
(z −z
hp
)
+
ds e
∂k∩Γ
N
R
N
(z −z
hp
)
+
ds.
Estes m´etodos calculam o estimador em pontos. Logo, ´e necess´ario
um m´etodo que organize este c´alculos. Para tal, criamos o m´etodo AssembleError
que faz um loop sobre os elementos (1D e 2D)(pontos de integra¸c˜ao) e calcula o
estimador de forma apropriada ao tipo de elemento.
Depois do m´etod o AssembleError ser aplicado, teremos uma matriz
cuja uma coluna ´e o valor do estimador e outra indica o respectivo elemento(2D, pois
os estimadores nos elementos 1D, contribuem para o estimador no elemento 2D uma
vez que s´o podemos refinar elementos 2D). Agora, dado um crit´erio de parada e um
percentual de refinamento, verificamos se o crit´erio de parada ´e satisfeito. Caso n˜ao
seja, precisamos decidir quais elementos devem ser refinados, al´em de transmitir a
informa¸c˜ao de quais elementos ser˜ao refinados para todas as malhas computacionais.
Isso tudo ´e feito pelos m´etodos WhichRefine, MarkElementsRefine e FindRe-
ferred e ent˜ao refinamos os elementos marcados.
40
Os m´etodos para realizar o h-refinamento ou o p-enriquecimento s˜ao
m´etodos padr˜oes do PZ.
O que at´e o momento n˜ao est´a consolidado ´e o crit´erio para decidir
quando ser´a realizado h e quando ser´a realizado p refinamento. Por este motivo, n˜ao
realizaremos simula¸c˜oes com hp-refinamento.
Sem o P Z, seria muito dif´ıcil realizar as simula¸c˜oes, pois ter´ıamos que
implementar muita coisa al´em do que fizemos. Gra¸cas ao PZ pudemos nos concentrar
nas estimativas e na adaptatividade.
41
Cap´ıtulo 6
Experimentos Num´ericos
6.1 Exemplo 1
Neste exemplo temos como objetivo, confirmar as ordens de aprox-
ima¸c˜ao do funcional alvo para os m´etodos DGFEM-SIP e DGFEM-NIP para uma
equa¸c˜ao el´ıptica, conforme o que foi apresentado na an´alise de erro a priori e confir-
mar tamb´em as ordens de convergˆencia das solu¸c˜oes primal e dual.
Consideramos a equa¸c˜ao de Poisson, com dom´ınio Ω = (0, 1)
2
, f ´e
escolhida de forma que a solu¸c˜ao anal´ıtica de (2.1) seja
u(x, y) =
(1 + x)
2
4
sin(4πxy).
O funcional alvo ou de interesse escolhido, J(·) representa o valor m´edio de u, com
peso ψ sobre Ω,
J(u) ≡
Ω
uψdx,
em que a fun¸c˜ao ψ ´e escolhida como ψ = sin
2
(2πx)sin
2
(2πy)e
−(x+y)
.
Conhecendo a solu¸c˜ao anal´ıtica sabemos que J(u) = 0.025728908663892675043
e desta forma podemos verificar as estimativas a priori.
Os gr´aficos apresentados nas Figuras 6.1 e 6.2 mostram as ordens de
convergˆencia dos erros do funcional alvo, nos m´etodos DGFEM-SIP e DGFEM-NIP,
respectivamente
42
10
−2
10
−1
10
0
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
10
−4
10
−2
10
0
h
|J(u)−J(u
DG
)|
ORDENS DE CONVERGENCIA NO FUNCIONAL −SIP
p=2
p=3
p=4
1
1
1
4
6
8
Figura 6.1: Exemplo 1: Convergˆencia do
DGFEM-SIP com h-refinamento.
10
−1
10
0
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
10
−4
10
−2
10
0
h
|J(u)−J(u
DG
)|
ORDENS DE CONVERGENCIA NO FUNCIONAL −NIP
p=2
p=3
p=4
p=5
p=6
1
1
1
1
1
2
4
4
6
6
Figura 6.2: Exemplo 1: Convergˆencia do
DGFEM-NIP com h-refinamento.
Observamos que as ordens calculadas num´ericamente s˜ao as mesmas
obtidas nas estimativas a priori, al´em disso podemos observar que o m´etodo DGFEM-
NIP perde a ordem de convergˆencia 2p do DGFEM-SIP, como comentamos na an´alise
de erro a priori. Observamos a ordem de convergˆencia do DGFEM-NIP ´e p para p
par e p + 1 para p ´ımpar.
Os gr´aficos apresentados nas Figuras 6.4 e 6.6 mostram a convergˆencia
da solu¸c˜ao primal, nos m´etodos DGFEM-SIP e DGFEM-NIP, e confirmam as ordens
estimadas em [21]. No m´etodo DGFEM-NIP a ordem de convergˆencia ´e ´otima para
p ´ımpar e igual a p + 1 e para p par ´e sub´otima e igual a p. Assim podemos dizer
as ordens de convergˆencia do erro da aproxima¸c˜ao do funcional, comportam-se como
as ordens do erro da solu¸c˜ao em norma L
2
. Este fato, obviamente, se explica pela
desigualdade de Cauchy-Schwarz como segue:
|J(u) − J(u
DG
)| = |
Ω
(u − u
DG
)Ψdx| ≤ ||Ψ||
L
2
(Ω)
||u − u
DG
||
L
2
(Ω)
.
As Figuras 6.7 e 6.8, mostram que o m´etodo DGFEM-SIP apresen-
tou melhores taxas de convergˆencia n a aproxima¸c˜ao do funcional quando no p-
refinamento. Com base nas estimativas a priori apresentadas no Cap´ıtulo 5 e confir-
madas neste exemplo, usaremos apenas o m´etodo DGFEM-SIP nos demais exemplos.
43
10
−2
10
−1
10
0
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
h
||u−u
DG
||
H
1
CONVERGENCIA DO ERRO DA SOLUÇÃO NA NORMA H
1
−SIP
p=2
p=3
p=4
1
1
1
2
3
4
Figura 6.3: Exemplo 1: Convergˆencia do
Erro do DGFEM-SIP na Norma H
1
.
10
−2
10
−1
10
0
10
−6
10
−5
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
h
CONVERGENCIA DO ERRO DA SOLUÇÃO NA NORMA L
2
−SIP
||u−u
DG
||
L
2
p=2
p=3
data3
1
1
1
3
4
5
Figura 6.4: Exemplo 1: Convergˆencia do
Erro do DGFEM-SIP na Norma L
2
.
10
−2
10
−1
10
0
10
−6
10
−5
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
h
||u−u
DG
||
H
1
ORDENS DE CONVERGENCIA DAS NORMAS H
1
−NIP
p=2
p=3
p=4
p=5
5
4
3
2
Figura 6.5: Exemplo 1: Convergˆencia do
Erro do DGFEM-NIP na Norma H
1
.
10
−2
10
−1
10
0
10
−8
10
−7
10
−6
10
−5
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
h
||u−u_{DG}||_{L^{2}
ORDENS DE CONVERGENCIA DAS NORMAS L
2
−NIP
p=2
p=3
p=4
p=5
6
4
4
2
Figura 6.6: Exemplo 1: Convergˆencia do
Erro do DGFEM-NIP na Norma L
2
.
44
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
10
−4
10
−2
p
|J(u)−J(u
DG
)|
ORDENS DE CONVERGENCIA DO ERRO DA APROX. DO FUNCIONAL −SIP
4 x 4
8 x 8
16 x 16
Figura 6.7: Exemplo 1: Convergˆencia do
DGFEM-SIP com p-refinamento.
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
10
−8
10
−7
10
−6
10
−5
10
−4
10
−3
10
−2
p
|J(u)−J(u
DG
)|
ORDENS DE CONVERGENCIA DO ERRO DA APROX. DO FUNCIONAL −NIP
4 x 4
8 x 8
16 x 16
Figura 6.8: Exemplo 1: Convergˆencia do
DGFEM-NIP com p-refinamento.
45
6.2 Exemplo 2
Uma vez que j´a confirmamos as ordens de convergˆencia dos m´etodos
a priori passamos a focar os exemplos nos aspectos do processo adaptativo. Neste
exemplo tamb´em resolveremos a equa¸c˜ao de Poisson. Os dados foram fornecidos d e
forma que as solu¸c˜oes primal e dual exatas sejam conhecidas, s˜ao elas:
Primal : u(x) = 0.0005x
2
(1 − x)
2
y
2
(1 − y)
2
e
10x
2
+10y
e
Dual : z(x) = x
3
(1 − x)
3
y
3
(1 − y)
3
.
As Figuras 6.9 e 6.10 mostram as solu¸c˜oes primal e dual.
Figura 6.9: Exemplo 1: Solu¸c˜ao primal.
O funcional que estaremos avaliando, assim como no exemplo anterior,
ser´a:
J(u) =
Ω
u∆zdx.
Pretendemos observar o comportamento do h-refinamento e compar´a-
lo com o refinamento uniforme e al´em disso, analisar a qualidade do estimador de
erro atrav´es dos ind´ıces de efetividade. Nas Figuras de 6.11 a 6.16 mostramos as
malhas obtidas no h-refinamento com o respectivo n´umero de itera¸c˜oes e as cores
representam os valores das respectivas solu¸c˜oes calculadas no espa¸co.
46
Figura 6.10: Exemplo 1: Solu¸c˜ao dual.
Figura 6.11: Exemplo 2: h-refinamento
com 25 itera¸c˜oes, 5 % de elementos refi-
nados a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao primal,
p=2.
Figura 6.12: Exemplo 2: h-refinamento
com 25 itera¸c˜oes, 5 % de elementos refi-
nados a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao dual,
p=2.
47
Figura 6.13: Exemplo 2: h-refinamento
com 25 itera¸c˜oes, 5 % de elementos refi-
nados a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao primal,
p=3.
Figura 6.14: Exemplo 2: h-refinamento
com 25 itera¸c˜oes, 5 % de elementos refi-
nados a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao dual,
p=3.
Figura 6.15: Exemplo 2: h-refinamento
com 20 itera¸c˜oes, 5 % de elementos refi-
nados a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao primal,
p=4.
Figura 6.16: Exemplo 2: h-refinamento
com 20 itera¸c˜oes, 5 % de elementos refi-
nados a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao dual,
p=4.
48
Como podemos observar nas Figuras de 6.11 a 6.16, para ordem de
aproxima¸c˜ao baixa, o algoritmo come¸ca a refinar a malha nas ´areas onde o gradiente
da solu¸c˜ao primal ´e maior. Quando a ordem de aproxima¸c˜ao aumenta, a necessi-
dade de h-refinamento diminui devido `a r´apid a convergˆencia espectral do m´etodo de
Galerkin descont´ınuo.
A Figura 6.17 compara o h-refinamento e o refinamento uniforme.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
10
−4
10
−2
DOF
|J(u)−J(u
DG
)|
h−Refinamento X Refinamento Uniforme
p=2 Unif
p=3 Unif
p=4 Unif
p=5 Unif
p=2 h Ref
p=3 h Ref
p=4 h Ref
p=5 h Ref
Figura 6.17: Exemplo 2: h-refinamento × refinamento uniforme.
Esper´avamos que com uma solu¸c˜ao dual suave o h-refinamento, com
essa estrat´egia que considera o problema dual al´em d o res´ıduo do problema primal,
talvez n˜ao tivesse um bom desempenho pois o estimador envolve a diferen¸ca entre
a solu¸c˜ao dual hp e h(p+1). Entretanto, como apresentado na Figura 6.17, o h-
refinamento mostrou-se superior ao refinamento uniforme. Portanto a estrat´egia
adaptativa ´e relevante mesmo quando a solu¸c˜ao dual for suave.
A eficiˆencia dos indicadores de erro ´e medida pelos ´ındices de efetivi-
49
dade. O ´ındice de efetividade ´e definido por
IE =
|
k∈τ
h
η
k
|
|J(u) − J(u
DG
)|
.
Os estimadores tˆem um desempenho considerado bom, ao estimar o
erro, se os IE est˜ao pr´oximos a 1. A Figura 6.18 mostra gr´afico dos ind´ıces de
efetividade para este exemplo:
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
DOF
IE
Indíces de Efetividade
p=2
p=3
p=4
p=5
Figura 6.18: Exemplo 2: Ind´ıce de efetividade do estimador no h-refinamento.
50
Como podemos observar na Figura 6.18, para um n´umero de graus de
liberdade suficientemente grande, o ind´ıce de efetividade se aproxima 1, para todos
os graus de aproxima¸c˜ao usados. Assim podemos concluir que o estimador ´e de fato
eficiente.
Um estudo que consideramos interessante, mas que n˜ao coube neste
trabalho pelo curto tempo, ´e analisar os ind´ıces de efetividade em cada elemento,
porque isso pode nos mostrar poss´ıveis deficiˆencias do estimador e uma vez que pode-
mos usar v´arios estimadores poder´ıamos mescl´a-los ou utilizar um outro de acordo
com a suavidade da solu¸c˜ao (mesmo crit´erio para optar entre h ou p refinamento na
adapta¸c˜ao).
51
6.3 Exemplo 3
No exemplo anterior exploramos uma solu¸c˜ao primal com regi˜oes de
grande gradiente e solu¸c˜ao dual suave e observamos adapt a¸c˜ao de malha nas ´areas
de grandes gradientes da solu¸c˜ao primal.
Neste experimento trocamos as solu¸c˜oes do primal e do dual do exem-
plo anterior, alterando o funcional respectivamente.
Desejamos novamente observar o comportamento do h-refinamento,
compar´a-lo com o refinamento uniforme e analisar a qualidade do estimador de erro
atrav´es dos ´ındices de efetividade.
Esperamos que a estrat´egia adaptativa privilegie as regi˜oes de grandes
gradientes da solu¸c˜ao dual e que isso contribua na convergˆencia do funcional.
As Figuras 6.19 a 6.22, como esper´avamos, mostram que o h-refinamento
privilegiam as ´areas de grandes gradientes da solu¸c˜ao dual.
Figura 6.19: Exemplo 3: h-refinamento
com 25 itera¸c˜oes, 5% de elementos refi-
nados a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao primal,
p=2.
Figura 6.20: Exemplo 3: h-refinamento
com 25 itera¸c˜oes, 5% de elementos refi-
nados a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao dual,
p=2.
Podemos observar que o refinamento capta a solu¸c˜ao dual, como es-
per´avamos, mas para p > 4 o h−refinamento mostrou-se pior que o refinamento
uniforme.
Na Figura 6.23 podemos comparar o refinamento uniforme e o h-
refinamento e verificar o que foi dito acima.
52
Figura 6.21: Exemplo 3: h-refinamento
com 21 itera¸c˜oes, 5% de elementos refi-
nados a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao primal,
p=3.
Figura 6.22: Exemplo 3: h-refinamento
com 21 itera¸c˜oes, 5% de elementos refi-
nados a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao dual,
p=3.
0 500 1000 1500 2000 2500
10
−11
10
−10
10
−9
10
−8
10
−7
10
−6
10
−5
10
−4
10
−3
DOF
|J(u)−J(u
DG
)|
h−Refinamento X Refinamento Uniforme
p=2 Unif
p=3 Unif
p=4 Unif
p=5 Unif
p=2 h Ref
p=3 h Ref
p=4 h Ref
p=5 h Ref
Figura 6.23: Exemplo 3: h-refinamento × refinamento uniforme.
53
0 500 1000 1500
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
DOF
IE
Indíces de Efetividade
p=2
p=3
p=4
p=5
Figura 6.24: Exemplo 3: Ind´ıces de Efetividade.
Tamb´em podemos perceber na Figura 6.24 que embora o ind´ıce de
efetividade para p = 4 esteja pr´oximo a zero, todos os ind´ıces est˜ao relativamente
pr´oximos a 1, o que indica que o estimador foi eficiente. Assim esperamos que
para um n´umero maior de graus de liberdade, o h-refinamento supere o refinamento
uniforme. N˜ao realizamos este experimento para um n´umero maior de graus de
liberdade porque isso seria in´util visto que a precis˜ao real de nossos computadores ´e
10
−12
, a partir desse valor o erro num´erico domina os resultados.
Outro fato que pode explicar a melhor convergˆencia do refinamento
uniforme ´e a grande diferen¸ca nas ordens dos erros de aproxima¸c˜ao das solu¸c˜oes dos
problemas primal e dual, neste caso o estimador do erro n˜ao acompanha de maneira
correta as singularidades da solu¸c˜ao dual. Assim para obter um estimador mais
eficiente dever´ıamos usar as t´ecnicas apresentadas no Cap´ıtulo 1 para equilibrar a
influˆencia das ordens do erros dos problemas primal e dual no estimador.
54
6.4 Exemplo 4
Neste exemplo tomaremos os termos de fonte e condi¸c˜oes de fronteira
tais que as solu¸c˜oes anal´ıticas primal e dual n˜ao sejam suaves. O objetivo disso ´e
observar se a estrat´egia de adapta¸c˜ao desenvolvida capta as ´areas de grande gradiente
da solu¸c˜ao dual quando a solu¸c˜ao primal n˜ao ´e suave.
As solu¸c˜oes anal´ıticas s˜ao:
Primal:
u(x, y) = 0.0005x
2
(1 − x)
2
y
2
(y − 1)
2
e
10(1−x)
2
+10(1−y)
+ 0.0005sin(4πxy)
e Dual:
z(x, y) = 0.0005x
2
(1 − x)
2
y
2
(y − 1)
2
e
10x
2
+10y
+ 0.0005sin(4π(1 − x)(1 − y)).
A Figura 6.25 mostra como ´e a solu¸c˜ao primal. A dual ´e igual `a primal
apenas rotacionada de forma que o pico fique pr´oximo do ponto (1,1) ao inv´es de
(0,0).
Figura 6.25: Exemplo 4: Solu¸c˜ao Primal.
Como podemos observar nas Figuras 6.26 at´e 6.33 as ´areas de grandes
gradientes das solu¸c˜oes primal e dual s˜ao captadas corretamente. Comparando o
refinamento adaptativo e o refinamento uniforme na Figura 6.34, podemos concluir
55
que o erro no h-refinamento tem convergˆencia melhor que o refinamento uniforme.
O Gr´afico na Figura 6.35 mostra os ´ındices de efetividade, os quais
est˜ao relativamente pr´oximos de 1, confirmando assim que a eficiˆencia do processo
adaptativo, como tamb´em podemos ver na Figura 6.34.
Figura 6.26: Exemplo 4: h-refinamento
com 30 itera¸c˜oes, 5% de elementos refi-
nados a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao primal,
p=2.
Figura 6.27: Exemplo 4: h-refinamento
com 30 itera¸c˜oes, 5% de elementos refi-
nados a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao dual,
p=2.
56
Figura 6.28: Exemplo 4: h-refinamento
com 25 itera¸c˜oes, 5% de elementos refi-
nados a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao primal,
p=3.
Figura 6.29: Exemplo 4: h-refinamento
com 25 itera¸c˜oes, 5% de elementos refi-
nados a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao dual,
p=3.
Figura 6.30: Exemplo 4: h-refinamento
com 19 itera¸c˜oes, 5% de elementos refi-
nados a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao primal,
p=4.
Figura 6.31: Exemplo 4: h-refinamento
com 19 itera¸c˜oes, 5% de elementos refi-
nados a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao dual,
p=4.
57
Figura 6.32: Exemplo 4: h-refinamento
com 16 itera¸c˜oes, 5% de elementos refi-
nados a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao primal,
p=5.
Figura 6.33: Exemplo 4: h-refinamento
com 16 itera¸c˜oes, 5% de elementos refi-
nados a cada itera¸c˜ao e a solu¸c˜ao dual,
p=5.
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
10
−8
10
−7
10
−6
10
−5
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
DOF
|J(u)−J(u
DG
)|
h−Refinamento X Refinamento Uniforme
hRef. p=2
hRef. p=3
hRef. p=4
hRef. p=5
Ref.Unif. p=2
Ref.Unif. p=3
Ref.Unif. p=4
Ref.Unif. p=5
Figura 6.34: Exemplo 4: h-refinamento comparado ao refinamento uniforme.
58
0 500 1000 1500
−2
0
2
4
6
8
10
12
14
DOF
IE
DOFxIE
p=2
p=3
p=4
p=5
Figura 6.35: Exemplo 4: IE x DOF.
59
6.5 Exemplo 5
Neste exemplo, investigamos como a estrat´egia adaptativa apresentada
comporta-se quando o funcional alvo ´e a integral da solu¸c˜ao sobre um subdom´ınio,
para a equa¸c˜ao de difus˜ao-advec¸c˜ao. Consideremos a equa¸c˜ao,
−ǫ∆u + ∇ · bu = f
em que ǫ ∈ R. Consideramos o dom´ınio Ω = (0, 1)
2
, o campo b = (1, 1). A fun¸c˜ao
f e as condi¸c˜oes de fronteira, homogˆeneas, foram escolhidas tais que a solu¸c˜ao exata
do problema primal seja u = sin(πx)sin(πy).
O funcional alvo, ou de interesse, ´e dado por:
J(u) =
Ω
s
udx,
em que Ω
s
= (x, y) : 0.745 < x < 0.995 e 0.375 < y < 0.625. Ent˜ao podemos ree-
screver J(u) da seguinte forma:
J(u) =
Ω
K(x, y)u,
em que K(x, y) = 1 se (x, y) ∈ Ω
s
e K(x, y) = 0 se (x, y) ∈ Ω \ Ω
s
.
Lembramos que o problema dual difere do p rimal pelo sinal do termo
advectivo neste caso.
As Figuras de 6.36 a 6.47 abaixo mostram as malhas depois de suces-
sivos refinamentos, para p=2 e para v´arias escolhas de ǫ, sendo `a esquerda as solu¸c˜oes
primais e `a direita as solu¸c˜oes duais.
60
Figura 6.36: Exemplo 5: ǫ = 10
−2
, 16
itera¸c˜oes, com 10% de elementos r efina-
dos a cada itera¸c˜ao.
Figura 6.37: Exemplo 5: ǫ = 10
−2
, 16
itera¸c˜oes, com 10% de elementos r efina-
dos a cada itera¸c˜ao.
Figura 6.38: Exemplo 5: ǫ = 10
−4
, 16
itera¸c˜oes, com 10% de elementos r efina-
dos a cada itera¸c˜ao.
Figura 6.39: Exemplo 5: ǫ = 10
−4
, 16
itera¸c˜oes, com 10% de elementos r efina-
dos a cada itera¸c˜ao.
Figura 6.40: Exemplo 5: ǫ = 10
−5
, 10
itera¸c˜oes, com 20% de elementos r efina-
dos a cada itera¸c˜ao.
Figura 6.41: Exemplo 5: ǫ = 10
−5
, 10
itera¸c˜oes, com 20% de elementos r efina-
dos a cada itera¸c˜ao.
61
Figura 6.42: Exemplo 5: ǫ = 10
−6
, 10
itera¸c˜oes, com 20% de elementos r efina-
dos a cada itera¸c˜ao.
Figura 6.43: Exemplo 5: ǫ = 10
−6
, 10
itera¸c˜oes, com 20% de elementos r efina-
dos a cada itera¸c˜ao.
Figura 6.44: Exemplo 5: ǫ = 10
−7
, 10
itera¸c˜oes, com 20% de elementos r efina-
dos a cada itera¸c˜ao.
Figura 6.45: Exemplo 5: ǫ = 10
−7
, 10
itera¸c˜oes, com 20% de elementos r efina-
dos a cada itera¸c˜ao.
Figura 6.46: Exemplo 5: ǫ = 10
−8
, 10
itera¸c˜oes, com 20% de elementos r efina-
dos a cada itera¸c˜ao.
Figura 6.47: Exemplo 5: ǫ = 10
−8
, 10
itera¸c˜oes, com 20% de elementos r efina-
dos a cada itera¸c˜ao.
62
Podemos perceber que a estrat´egia de adapta¸c˜ao refina a malha de
forma a melhorar a aproxima¸c˜ao da solu¸c˜ao dual, acompanhando assim a propaga¸c˜ao
da singularidade da fonte no problema dual ao longo das caracter´ısticas do termo
advectivo. Como o problema dual tem condi¸c˜oes de fronteira z = 0 em ∂Ω, mas
para ǫ at´e 10
−6
, o campo advectivo for¸ca a solu¸c˜ao dual a ser maior que zero muito
pr´oximo `a fronteira, formando assim uma camada limite ao longo da p arte de sa´ıda
de fluxo da fronteira. Com isso podemos perceber que a m alha ´e b astante refinada
nesta regi˜ao para capt ar essa quase descontinuidade. Na Figura 6.48 mostramos
como a adapta¸c˜ao melhora a convergˆencia do funcional.
0 500 1000 1500 2000 2500
10
−6
10
−5
10
−4
10
−3
10
−2
DOF
|J(u)−J(u
DG
)|
h−refinamento X refinamento uniforme
ε = 10
−2
h−Ref
ε = 10
−5
h−Ref
ε = 10
−8
h−Ref
ε = 10
−2
Ref. Unif.
ε = 10
−5
Ref. Unif.
ε = 10
−8
Ref. Unif.
Figura 6.48: Exemplo 5: Para p=2, refinamento uniforme × h-refinamento.
Uma aproxima¸c˜ao da solu¸c˜ao dual para ǫ = 10
−8
, ´e apresentada na
Figura 6.49, lembramos que neste exemplo a solu¸c˜ao dual ´e desconhecida.
Podemos ressaltar tamb´em que o algoritmo adaptativo torna-se mais
eficiente para valores de ǫ pequenos.
63
Figura 6.49: Exemplo 5: Aproxima¸c˜ao da solu¸c˜ao dual.
64
Conclus˜oes
Neste trabalho mostramos como a solu¸c˜ao do problema dual pode ser
usada para relacionar o res´ıduo da aproxima¸c˜ao primal com o erro de um funcional
da solu¸c˜ao primal. O problema dual ou adjunto ´e determinado pela forma bilinear
associada ao problema primal e pelo funcional da solu¸c˜ao que desejamos aproximar.
Na an´alise da vers˜ao hp dos m´etodos de elementos finitos de Galerkin
descont´ınuo com penaliza¸c˜ao interior sim´etrico (DGFEM-SIP) e n˜ao-sim´etrico (DGFEM-
NIP) estudamos estimativas a priori do erro de aproxima¸c˜ao do funcional alvo que
mostram que o m´etodo sim´etrico tem t axa de convergˆencia 2p quando h tende a zero,
enquanto que o m´etodo n˜ao-sim´etrico perde ordem 2p, devido a falta de consistˆencia
dual do m´etodo n˜ao-sim´etrico. Essas taxas foram comprovadas numericamente no
Exemplo 1, do Cap´ıtulo 6.
Conclu´ımos que o indicador de erro, proveniente das estimativas a
posteriori do erro no funcional e que utiliza os argumentos de dualidade, capta as
regi˜oes de grandes gradientes tanto na solu¸c˜ao primal quanto na solu¸c˜ao dual. Dessa
forma, a malha obtida pelo processo adaptativo baseado neste indicador, capta as
propriedades do funcional alvo. Isso ´e muito importante, pois sem um indicador de
erros que use a dualidade do problema, n˜ao saber´ıamos onde refinar a malha para
melhorar a convergˆencia da aproxima¸c˜ao do funcional de interesse.
Os experimentos num´ericos em que as solu¸c˜ao do problema primal ´e
suave e a solu¸c˜ao do problema dual tem regi˜oes de grandes gradientes, mostraram
que a t´ecnica de escalabilidade, que ´e aplicada p ara equilibrar as ordens dos erros
das solu¸c˜oes dos problemas primal e dual, apresentada no Cap´ıtulo 1, ´e relevante
para que a estrat´egia adaptativa seja superior ao refinamento uniforme.
Em trabalhos futuros pretendemos incorporar t´ecnicas de escalabili-
dade, tais como a apresentada no Cap´ıtulo 1, a indicadores de erros obtidos com
argumentos de dualidade, al´em de implementar a hp adaptatividade.
65
Referˆencias Bibliogr´aficas
[1] AINSWORTH, M.; ODEN, J. T. A posteriori error estimation in finite element
analysis. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 142:1–88,
1997.
[2] AINSWORTH, M.; ODEN, J.T. A Posteriori Error Estimation in Finite Ele-
ment Analysis. WILEY-INTERSCIENCE, 2000.
[3] AINSWORTH, M. A hierarchical domain decomposition precondiditioner for
h-p finite element approximation on locally meshes. SIAM, 1996.
[4] BABUSKA, I.; SURI, M. The p and h-p versions of the finite elements methods,
an overview. Computer Methods in Applied Mechanics and Engi neering, 80:5–
26, 1990.
[5] BABUSKA, I.; STROUBOLIS, T.; COPPS, K.; GANGARAJ, S. K.; UPAD-
HYAY, C. S. A posteriori error estimation for finite element and generalized
finite element method. Technical report, TICAM, 1998.
[6] BABUSKA, I.; RHEINBOLDT, W. C. A posteriori error estimates for
the finite element method. International Journal Numerical Methods Engrg,
12:1597–1615, 1978.
[7] BABUSKA, I.; RHEINBOLDT, W. C. A posteriori error analysis of finite
element solutions for one dimensional p roblems. Journal Numerical Analysis,
18:565–589, 1981.
[8] BAKER, G. A.; JUREIDINI, W. N.; KARAKASHIAN, O. A. Piecewise
solenoidal vector fields and the Stokes problems. SIAM J. Numer. Anal.,
27:1466–1485, 1990.
[9] BAUMANN, C. An hp-adaptive discontinuos Galerkin FEM for computational
fluid dynamics. PhD thesis, TICAM, 1997.
66
[10] BECKER, R.; HANSBO, P.; LARSON, M. G. Energy norm a posteriori error
estimation for discontinuos G alerkin methods. Comput. Methods Appl. Mech.
Engrg., Volume 192, Issues 5-6, Pages 723-733, 2003.
[11] BECKER, R.; HANSBO , P. Discontinuos Galerkin methods for convection-
diffusion problems with arbitrary p´eclet number. In Numerical Mathematics
and Advanced Applications: Proceedings of the 3rd Eurpeans Conference., 2000.
[12] COCKBURN, B.; KARNIADAKIS, G. E.; SHU, C.-W. Discontinuos Galerkin
Finite Element Methods. Springer, 2000.
[13] COCKBURN, B.; KARNIADAKIS, G. E.; SHU, C.-W. The development of
discontinuos Galerkin methods, chapter 1. Springer, 2001.
[14] COCKBURN, B.; D. ARNOLD, D.; BREZZI, F.. Unified analysis of dis-
continuos Galerkin methods for elliptic problems. SIAM J. Numer. Anal.,
39:1749–1779, 2002.
[15] DEMKOWICZ, L.; DEVLOO, P. R. B.; ODEN, J. T. On an h-type mesh
refinement strategy based on minimization of interpolations errors. Computer
Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1-2:63–87, 1986.
[16] DEVLOO, P. R. B. PZ : An object oriented environment for scientific program-
ming. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 150:133–153,
1997.
[17] DEVLOO, P. R. B. PZ- object oriented finite element software. Technical
report, FEC-UNICAMP, 2005.
[18] GILES, B. M.; S
¨
ULI, E. Adjoint methods for pdes: a posteriori error analysis
and postprocessing by duality. Acta Numerica, pages 145–236, 2002.
[19] HARRIMAN, K.; HOUSTON, P.; SENIOR, B.; S
¨
ULI, E.. hp-Version Discon-
tinuos Galerkin Methods with Interior Penalty for Partial Differential Equa-
tions with Nonnegative Characteristic Form. In C.-W. Shu, T. Tang, and S.-Y.
Cheng, editors, Recent Advances in Scientific Computing and Partial Differen-
tial Equations. Contemporary Mathematics Vol. 330, pp. 89-119, AMS, 2003.
[20] HOUSTON, P.; SENIOR, B.; S
¨
ULI, E.. Sobolev regularity estimation for
hp-adaptive finite element methods. 2002.
67
[21] HOUSTON, P.; SCHWAB, C.; S
¨
ULI, E. Discontinuos hp-finite element
method for advection-diffusion-reaction problems. SIAM Journal Numer.
Anal., 39(6):2133–2163, 2002.
[22] HOUSTON, P.; S
¨
ULI, E. hp-adaptive discontinuos Galerkin finite element
methods for hyperbolic problems. SIA M J. Sci. Comp., 23:1225–1251, 2001.
[23] HOUSTON, P.; S
¨
ULI, E. Stabilized hp-finite element approximation of partial
differential equations with non-negative characteristic form. Computing, 66:99–
119, 2001.
[24] HOUSTON, P.; RANNACHER, R.; S
¨
ULI, E. A posteriori error analysis for
stabilised finite element approximations of transport problems. Technical re-
port, 1999.
[25] KARAKASHIAN, O. A.; PASCAL, F. A posteriori error estimates for a dis-
continuos Galerkin approximation of second-order elliptic problems. SIAM
Jornal Numerical Analysis, 41:2374–2399, 2003.
[26] KARAKASHIAN, O. A.; PASCAL, F. Adaptative discontinuos Galerkin ap-
proximations of second-order elliptic problems. 2004.
[27] NITSCHE, J.
¨
Uber ein variationsprinzip zur l¨osung von dirchlet-problemen
bei verwendung von teilr¨aumen, die keinen randbedingungen unterworfen sind.
Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 36:9–15, 1971.
[28] ODEN, J. T.;BABUSKA, I.;BAUMANN, C. A discontinuos hp-fem for diffu-
sion problems. J. Comput. Phys, 146:491–519, 1998.
[29] ODEN, J. T.;PRUDHOMME, S. Goal-oriented error estimation and adaptivity
for the finite element method. Technical report, Texas Institute for Computa-
tional and Applied Mathematics, 1999.
[30] ODEN, J. T.;PRUDHOMME, S. New aproaches to error estimation and adap-
tivty for the Stokes and Oseen equations. International Journal for Numerical
Methods in Fluids, 31:3–15, 1999.
[31] ODEN, J. T.;PRUDHOMME, S. Development of a post-processor for a posteri-
ori error estimation of quantities os interest. Technical report, Texas Institute
for Computacional and Applied Mathematics, 2001.
68
[32] ODEN, J. T.;PRUDHOMME, S. Progress on pratical methods of error esti-
mation for engineering calculations. In ECCM-2001, European Conference on
Compuattional Mechanics, 2001.
[33] ODEN, J. T.;PRUDHOMME, S. Goal-oriented error estimation and adaptivity
for the finite element method. C omputers & Mathematics with applications,
41:735–756, 2001.
[34] OLEINIK, O. A.; RADKEVIC, E. V. Second Order Equations with Nonn ega-
tive Characteristic Form. American Mathematical Society, 1973.
[35] PRUDHOMME, S.; PASCAL, F.; ODEN, J. T.; ROMKES, A. Review of a
priori error estimation for discontinuos Galerkin methods. Technical report,
Texas Institute for Computational and Applied Mathematics, 2000.
[36] PRUDHOMME, S.; ODEN, J. T. ;WESTERMANN, T.; BASS, J.; BOTKIN,
M. E. Practical methods for a posteriori error estimation in engineering ap-
plications. Journal Numer. Meth. Engng, 2001.
[37] PRUDHOMME, S.;ODEN, J. T.; WESTERMANN, T.; BASS, J.; BOTKIN,
M. E. International Jornal For Numerical Methods in Engeneerin g, 56:1193–
1224, 2003.
[38] PRUDHOMME, S.; ODEN, J. T. ; ROMKES, A.; CAREY, G. F.. On a
posteriori error estimator for the discontinuos galerkin method. DOD Users
Group Meeting, 2001.
[39] PRUDHOMME, S.; NOBILE, F.; CHAMION, L.; ODEN, J. T. Analysis of a
subdomain-based error estimstor for finite element approximations of elliptic
problems. Numerical Methods for Partial Differential Equations, vol. 20(2),
pp. 165-192, 2004.
[40] PRUDHOMME, S.; ODEN, J. T. Computable error estimators and adaptive
techniques for fluid flow problems. In Error Estimation and Adaptive Dis-
cretization Methods in Computational Fluid Dynamics, T. Barth and H. De-
coninck (eds), Lecture Notes in Computational Science and Engineering, vol.
25, Springer-Verlag, Heidelberg, pp. 207-268, 2002.
[41] PRUDHOMME, S.; ODEN, J. T. On goal-oriented error estimation for elliptic
problems: Application to the control of pointwise errors. Computer Methods
in Applied Mechanics and Engeneering, 176:313–331, 1999.
69
[42] PRUDHOMME, S.; ODEN, J. T. Simple techniques to impr ove the reliability
of a posteriori error estimates for finite element. In European Conference on
Computacional Mechnics, 2001.
[43] PRUDHOMME, S. Adaptive Control of Error and Stability of h-p Approxima-
tions of the Transient Navier-Stokes Equations. PhD thesis, The University of
Texas at Austin, 1999.
[44] RACHOWICZ, W.; ODEN, J. T.; DEMKOWICZ, L. Toward a universal h-p
version of the finite element strategy. Computer Methods in Applied Mechanics
and Engineering, pages 181–212, 1989.
[45] RANNACHER, R. Adaptive Galerkin finite element methods for partial dif-
ferential equations. J. Comput. Appl. Math. 128, 205-233, 2001.
[46] RANNACHER, R. ;BECKER, R. An optimal control approach to a posteriori
error estimation in finite element methods, 2001.
[47] REED, W.; HILL, T. R. Triangular mesh methods for the neutron transport
equation. Technical report, Los Alamos Scientific Laboratory, 1973.
[48] REPIN, S.; SAUTER, S.; SMOLIANSKI, A. A posteriori error estimation
for the poisson equation with mixed Dirichlet/Neumann boundary conditions.
Journal Computational and Applied Mathematics, 164-165:601–612, 2004.
[49] RIVI
`
ERE, B.; WHEELER, M. F. A posteriori error estimates and mesh adap-
tation strategy for discontinuos Galerkin methods applied to diffusion prob-
lems. Computers & Mathematics with Applications , Volume 46, Number 1 p.
141-163, 2003.
[50] ROMKES, A.; PRUDHOMME, S.; ODEN, J. T. A posteriori error estima-
tion for a new stabilized discontinuos Galerkin method. Applied Mathematics
Letters, vol. 16(4), pp. 447-452, 2003.
[51] ROMKES, A.; PRUDHOMME, S.; ODEN, J. T. A posteriori error estima-
tion for a new stabilized discontinuos Galerkin method. Applied Mathematics
Letters, 16:447–452, 2003.
[52] ZIENKIEWICZ, O. C. The background of error estimation and adaptivity
in finite element computations. Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering, 195:207–213, 2006.
70
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
