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Universidade Federal de Santa Catarina
Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica e
Computa¸c˜ao Cient´ıfica
C
∗
-´algebras geradas por isometrias
Alda Dayana Mattos
Orientador: Prof. Dr. Ruy Exel Filho
Florian´opolis
Abril de 2007
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Universidade Federal de Santa Catarina
Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica e
Computa¸c˜ao Cient´ıfica
C
∗
-´algebras geradas por isometrias
Disserta¸c˜ao apresentada ao Curso de P´os-
Gradua¸c˜ao em Matem´atica e Computa¸c˜ao
Cient´ıfica, do Centro de Ciˆencias F´ısicas e
Matem´aticas da Universidade Federal de
Santa Catarina, para a obten¸c˜ao do grau
de Mestre em Matem´atica, com
´
Area de
Concentra¸c˜ao em An´alise.
Alda Dayana Mattos
Florian´opolis
Abril de 2007
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C
∗
-´algebras geradas por isometrias
por
Alda Dayana Mattos
Esta Disserta¸c˜ao foi julgada para a obten¸c˜ao do T´ıtulo de “Mestre”,
´
Area de Concentra¸c˜ao em An´alise, e aprovada em sua forma
final pelo Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica e
Computa¸c˜ao Cient´ıfica.
Prof. Dr. Cl´ovis Caesar Gonzaga
Coordenador
Comiss˜ao Examinadora
Prof. Dr. Ruy Exel Filho (UFSC-Orientador)
Prof. Dr. Danilo Royer (UFSC)
Prof. Dr. Eliezer Batista (UFSC)
Prof. Dr. Fernando Ra ´ul Abadie Vicens
(Universidad de la Rep´ublica Oriental del Uruguay - UDELAR)
Florian´opolis, Abril de 2007.
ii
`
A minha m˜ae
iii
Agradecimentos
Em primeiro lugar gostaria de agradecer a minha fam´ılia, minha m˜ae Jussara Mattos
e meu irm˜ao Vanderlei Antˆonio de Mattos Junior, por terem sempre me apoiado e me
dado suporte para realizar meus sonhos, n˜ao importando se a princ´ıpio eles pareciam
n˜ao levar a lugar algum. Obrigado p or terem acreditado que eu seria capaz e por
terem confiado em mim.
Ao meu grande amor, Fernando de Lacerda Mortari, por ter se feito t˜ao presente,
mesmo estando fisicamente t˜ao distante, por ser quem vocˆe ´e, por ser o amor da minha
vida, o meu melhor amigo, a minha melhor companhia, o principal motivo de eu ser
t˜ao feliz. Obrigada por ter acompanhado de perto a realiza¸c˜ao deste sonho e por ter
contribu´ıdo de in´umeras formas para que ele se realizasse. Obrigada por tudo!
Ao meu orientador professor Ruy Exel Filho, por ter me aceito como sua aluna, por
toda a sua paciˆencia e dedica¸c˜ao. Foi um prazer e uma honra ter podido conviver estes
dois anos com o professor Ruy, a sua maneira de ensinar matem´atica ´e incrivelmente
eficiente, estonteantemente bela e entusiasmante.
Ao professor Eliezer Batista, a quem eu c arinhosamente chamo de Mestre, por
ter sido sempre um porto seguro, algu´e m com quem conversar, tirar d´uvidas (muitas
d´uvidas), pegar material emprestado, mas principalmente p or ter sido ao longo de to-
dos estes anos uma verdadeira fonte de energia. Obrigado por ter sempre me motivado
e acreditado no meu potencial.
Ao professor Danilo Royer, p or sempre ter estado disposto a tirar minhas d´uvidas,
por mais que ele n˜ao tivesse nada a ver com elas, por ter me ajudado em uma parte
crucial deste trabalho e por isso dedico a ele todo o cap´ıtulo 3 desta disserta¸c˜ao.
Ao professor Jos´e Luiz Rosas Pinho, que apesar de ter tantos alunos para se preocu-
par nunca se es quece de seus velho alunos. Obrigada por ter me ensinado muito do que
eu sei, por ter me apresentado o maravilhoso mundo das olimp´ıadas de matem´atica,
por ser um exemplo como professor e como pessoa.
Aos meu trˆes queridos e preciosos amigos: Rodrigo Maciel Rosa, Jucavo Savie
Rocha e Giuliano Boava. Rodrigo por ser sempre uma companhia mais do que muito
agrad´avel, tˆe-lo por perto no segundo ano do meu mestrado fez com que os dias
iv
ficassem mais alegres, descontra´ıdos e menos dif´ıceis. Jucavo por ter me acompanhado
ao longo destes anos, por ter aceito estudar
´
An´alise Funcional comigo mais do que
ele precisava, por ser um verdadeiro amigo. Giuliano por ter sido meu parceiro nestes
´ultimos dois anos, o melhor parceiro que eu poderia ter: extremamente inteligente,
prestativo e amigo. Tenho certeza de que entre a¸c˜oes parciais, representa¸c˜oes parciais
e produtos cruzados parciais nasceu uma verdadeira amizade.
A Capes, por ter me concedido uma bolsa de mestrado, que sem a qual eu n˜ao teria
feito esta disserta¸c˜ao. Gostaria de aproveitar para fazer um agradecimento e special a
toda a equipe da Capes que trabalha com as bolsas de doutorado pleno no exterior,
principalmente por todo o carinho que trataram os candidatos a bolsa durante as
entrevistas no processo de sele¸c˜ao deste ano; ´e uma sorte ter pes soas como vocˆes
trabalhando para realizar os sonhos de muitos estudantes.
Por fim, mas n˜ao menos importante, ao meu fi´eis companheiros felinos peludos
Barich e Zica por terem literalmente se debru¸cado sobre as minhas notas comigo e por
fazerem meus dias mais felizes.
v
Resumo
Sejam H um espa¸co de Hilbert separ´avel e S
1
, S
2
∈ B(H) duas isometrias. Dizemos
que S
1
e S
2
s˜ao compat´ıveis se S
1
comuta com S
2
e, para quaisquer m, n ∈ N, temos
que S
m
1
(S
∗
1
)
m
comuta com S
n
2
(S
∗
2
)
n
, isto ´e, as proje¸c˜oes finais de S
m
1
e S
n
2
(ou seja, as
proje¸c˜oes ortogonais sobre as imagens de S
m
1
e S
n
2
) comutam.
Nosso principal objetivo neste trabalho ´e caracterizar a C
∗
-´algebra gerada por duas
isometrias compat´ıveis como um produto cruzado parcial. Para isto, desenvolveremos
a teoria de a¸c˜oes parciais, representa¸c˜oes parciais e produtos cruzados parciais. Al´em
disso, no cap´ıtulo final construiremos uma classe de representa¸c ˜oes desta C
∗
-´algebra
fazendo uso da teoria de representa¸c˜oes induzidas.
vi
Abstract
Let H be a separable Hilbert space and S
1
, S
2
∈ B(H) be two isometries. We say that
S
1
and S
2
are compatible if S
1
commutes with S
2
and, for any m, n ∈ N, we have that
S
m
1
(S
∗
1
)
m
commutes with S
n
2
(S
∗
2
)
n
, that is, the final projections of S
m
1
and S
n
2
(that is,
the orthogonal projections over the images of S
m
1
and S
n
2
) commute.
Our main goal is to characterize the C
∗
-algebra generated by two compatible iso-
metries as a partial crossed product. In order to do this, we will develop the theory
of partial actions, partial representations and partial crossed products. Moreover, on
the final chapter we will construct a class of representations of this C
∗
-algebra using
the theory of induced representations.
vii
Sum´ario
Introdu¸c˜ao 1
1 C*-´algebra gerada por uma isometria 4
1.1 A C
∗
-´algebra gerada por um shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 A C
∗
-´algebra gerada pela soma direta de um operador unit´ario com um
shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 O caso geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 A C
∗
-´algebra universal gerada por uma isometria . . . . . . . . . . . . 13
2 Conceitos B´asicos e Resultados Preliminares 17
2.1 A¸c˜oes parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Produto cruzado parcial alg´ebrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 A ´algebra de multiplicadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2 A associatividade do produto cruzado parcial alg´ebrico . . . . . 39
2.3 Representa¸c˜oes parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 A ´algebra parcial de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Produto cruzado parcial e C
∗
-´algebras com geradores e rela¸c˜oes 59
3.1 Produto cruzado parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 C
∗
-´algebra parcial de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 C
∗
-´algebra parcial de grupo com mais rela¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . 78
4 Exemplos de C*-´algebras universais geradas por isometrias 86
4.1 Isometrias compat´ıveis e isometrias duplamente comutantes . . . . . . . 87
4.2 A C
∗
-´algebra universal gerada por duas isometrias compat´ıveis . . . . . 92
4.3 A C
∗
-´algebra universal gerada por duas isometrias duplamente comutantes100
5 Representa¸c˜oes Induzidas 112
viii
A C*-´algebra universal e envolvente 128
A.1 C*-´algebra universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
A.2 C*-´algebra envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
B C*-m´odulos de Hilbert e Fibrados de Fell 141
B.1 C*-m´odulos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
B.2 Fibrados de Fell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Referˆencias Bibliogr´aficas 169
ix
Introdu¸c˜ao
Quando queremos estudar um operador, temos em geral duas abordagens: podemos
estudar um operador concreto, no sentido que vocˆe conhece sua f´ormula e o espa¸co de
Hilbert onde ele age, ou podemos estudar um operador no caso mais geral poss´ıvel -
vocˆe sabe que ele satisfaz uma determinada propriedade e somente isso. Por exemplo,
podemos estudar o operador identidade entre a C
∗
-´algebra dos n´umeros complexos,
que ´e uma isometria; este se encaixa na primeira abordagem - ou, estudar o operador
que ´e uma isometria n˜ao unit´aria sobre um espa¸co de Hilbert arbitr´ario, que se encaixa
na segunda abordagem. De uma certa forma, a segunda abordagem ´e muito mais geral
do que a primeira. Uma vez querendo estudar um operador no caso geral, estudar a
C
∗
-´algebra gerada por ele nos traz informa¸c˜oes a respeito do operador.
A linguagem moderna para estudar a C
∗
-´algebra gerada por um operador abstrato
que satisfaz certas propriedades ´e estudar a C
∗
-´algebra universal gerada por ele com
as determinadas rela¸c˜oes. Uma vez constru´ıda esta C
∗
-´algebra, no intuito de estudar o
operador, ou os operadores, temos novamente dois enfoques: estudar a C
∗
-´algebra em si
ou estudar as representa¸c˜oes desta C
∗
-´algebra. Uma vez conhecendo as representa¸c˜oes,
conhecemos como os espa¸cos de Hilbert onde estes operadores agem se comportam e
sendo assim, conhecemos o comportamento destes operadores; e, quando tivermos um
operador concreto, teremos uma representa¸c˜ao deste operador e, se conhecemos todas
as representa¸c˜oes, saberemos como ele se comporta.
Em 1967 Coburn [2] caracterizou a C
∗
-´algebra gerada por uma isometria e, como
uma conseq¨uˆencia, possibilitou um estudo mais aprofundado desta C
∗
-´algebra e de
suas representa¸c˜oes. Naturalmente, uma vez conhecendo este trabalho, podemos nos
perguntar se ´e poss´ıvel caracterizar a C
∗
-´algebra gerada por duas isometrias. Como
este ´e um problema bem geral, tamb´em ´e natural acrescentarmos algumas hip´oteses
sobre estas duas isometrias, no intuito de obter uma caracteriza¸c˜ao mais espec´ıfica.
Em 2002 Exel, Laca e Quigg [5] caracterizaram as C
∗
-´algebras dadas por geradores
e um c onjunto espec´ıfico de rela¸c˜oes como produtos cruzados parciais. No desejo de
aplicar esta teoria ao estudo da C
∗
-´algebra universal gerada por duas is ometrias que
comutam, nos deparamos com a necessidade de acrescentar mais hip´oteses sobre estas
1
isometrias para poder fazer uso de tal caracteriza¸c˜ao.
Uma vez constru´ıdo o isomorfismo entre a C
∗
-´algebra universal gerada por duas
isometrias que comutam com mais alguma hip´otese e um produto cruzado parcial,
nos perguntamos se atrav´es deste isomorfismo poder´ıamos obter informa¸c˜oes sobre
as representa¸c˜oes desta C
∗
-´algebra, j´a que o estudo de representa¸c˜oes da C
∗
-´algebra
gerada por duas isometrias que somente comutam ´e muito complexo. Em geral, os
artigos conseguem decompor o espa¸co de Hilbert onde estas isometrias atuam em
muitas partes, determinam a maioria delas, mas em pelo menos uma das partes nada
conseguem afirmar. Como acrescentamos uma hip´otese adicional, nos perguntamos se
a complexidade do problema diminuiria. Foi ent˜ao que nos deparamos com o trabalho
de Hor´ak and M¨uller [8], no qual eles acrescentavam a mesma hip´otese sobre o par de
isometrias que comutam e determinavam as representa¸c˜oes da C
∗
-´algebra gerada por
elas. As t´ecnicas usadas para isto foram muito diferentes das t´ecnicas estudas nesta
disserta¸c˜ao, no entanto, conseguimos obter uma classe de representa¸c˜oes fazendo uso
do fato que podemos ver esta C
∗
-´algebra como um produto cruzado parcial. Esta classe
de representa¸c˜oes, que obtivemos fazendo uso da teoria de representa¸c˜oes induzidas,
tamb´em foi obtida no artigo [8] e, pelo que consta neste artigo, esta classe ´e muito
importante no estudo das representa¸c˜oes desta C
∗
-´algebra. Possivelmente usando
outras t´ecnicas seria poss´ıvel reconstituir o teorema principal deste artigo, no qual
os autores determinam todas as representa¸c˜oes desta C
∗
-´algebra, mas n˜ao fomos t˜ao
longe.
No cap´ıtulo 1 n´os faremos um estudo da abordagem de Coburn sobre a C
∗
-´algebra
gerada por uma isometria; apesar destas t´ecnicas serem tamb´em completamente dis-
tintas das t´ecnicas que usaremos para estudar a C
∗
-´algebra gerada por duas isometrias
que comutam e satisfazem mais uma rela¸c˜ao, achamos importante citar este trabalho,
j´a que ele nos serviu como uma motiva¸c˜ao. No cap´ıtulo 2, abordamos a teoria b´asica
de a¸c˜oes parciais e representa¸c˜oes parciais que ser´a usada no cap´ıtulo 3, para demons-
trar o teorema que d´a a caracteriza¸c˜ao de C
∗
-´algebras geradas por um conjunto de
geradores e com um conjunto espec´ıfico de rela¸c˜oes como um produto cruzado par-
cial. Uma vez feito o teorema em abstrato, iremos no cap´ıtulo 4 em busca de quais
hip´oteses acrescentar sobre o par de isometrias que comutam, para fazer uso do teo-
rema anteriormente citado. Por fim, no cap´ıtulo 5 estudamos um pouco da teoria de
representa¸c˜oes induzidas, para construir uma classe de representa¸c˜oes da C
∗
-´algebra
em quest˜ao. Al´em disso, acrescentamos a este trabalho dois apˆendices: o primeiro
trata da teoria de C
∗
-´algebra universais e envolventes, que ´e a linguagem moderna
para tratar o problema em quest˜ao e o segundo, sobre a teoria de C
∗
-m´odulos de Hil-
bert e fibrados de Fell, que s ˜ao duas teorias que nos auxiliar˜ao em alguns resultados.
2
Para a leitura deste trabalho, recomenda-se que o leitor tenha algum conhecimento
de an´alise funcional, teoria b´asica de operadores e topologia geral.
Por fim, apenas gostar´ıamos de mencionar que todo o trabalho se passa na catego-
ria das C
∗
-´algebra unitais; alguns resultados podem ser generalizados para a categoria
das C
∗
-´algebras n˜ao unitais, no entanto como o objetivo desta disserta¸c˜ao era estudar
uma C
∗
-´algebra que ´e unital nos restringimos a esta categoria. Al´em disso, toda vez
que nos referirmos a um homomorfismo, estamos nos referindo ao homomorfismo da ca-
tegoria e m quest˜ao, por exemplo, quando estivermos falando de ∗-´algebras normadas,
os homomorfismo, s˜ao os ∗-homomorfismos contrativos e assim por diante. Quando
nos referirmos aos ideais, tamb´em estaremos nos referindo aos ideais da categoria, por
exemplo, toda vez que nos referirmos aos ideais de uma C
∗
-´algebra, estamos nos refe-
rindo aos ideais bilaterais fechados, a menos que se diga o contr´ario. Tamb´em, todos
os espa¸cos topol´ogicos e conjuntos considerados ser˜ao n˜ao vazios.
3
Cap´ıtulo 1
C*-´algebra gerada por uma
isometria
Sejam H um espa¸co de Hilbert separ´avel e U ∈ B(H), onde B(H) denota a ´algebra dos
operadores lineares e limitados sobre o espa¸co de Hilbert H, com unidade denotada
por 1 (observe que a unidade desta ´algebra ´e a aplica¸c˜ao identidade sobre H), tal que
U
∗
U = 1, ou seja, U ´e uma isometria. Considere a sub-C
∗
-´algebra de B(H) gerada
por U, isto ´e, a menor sub-C
∗
-´algebra de B(H) que cont´em U, que denotaremos por
C
∗
{U}. O que po de mos determinar da estrutura de C
∗
{U}? Veremos que podemos
dizer muito a respeito desta C
∗
-´algebra. Vamos primeiramente fixar a nota¸c˜ao.
Um op erador S ∈ B(H) ´e dito ser um operador de shift `a direita sobre H, quando
existir uma base ortonormal {e
i
}
∞
i=0
⊆ H, tal que S ´e o operador determinado p or
S(e
i
) = e
i+1
, para todo i ∈ N. No que segue, nos referiremos ao operador S sim-
plesmente por um shift. Por um shift de multiplicidade α, entende-se a soma direta
de α c´opias de S, agindo sobre o espa¸co de Hilbert, que ´e a soma direta de α c´opias
de H, onde α ∈ N ∪ {∞}. F(H) denotar´a o ideal (bilateral que n˜ao ´e fechado) dos
operadores de posto finito sobre H e K(H ) o ideal dos operadores compactos sobre H.
Para come¸car, sabemos que uma isometria ´e um operador muito bem determinado.
Pelo teorema de Wold-Von Neumann (ver teorema 3.5.17 em [14]) temos que
(i) ou U ´e um operador unit´ario;
(ii) ou U = S
α
, onde S
α
denota um shift de alguma multiplicidade α ;
(iii) ou U = W ⊕ S
α
, onde W ´e um operador unit´ario.
Portanto, na se¸c˜ao 1.1 iremos estudar a C
∗
-´algebra gerada por um shift, na se¸c˜ao
1.2 iremos estudar a C
∗
-´algebra gerada por um operador que ´e a soma direta de um
4
unit´ario com um shift, e finalmente na se¸c˜ao 1.3, estudaremos o caso geral: a C
∗
-
´algebra gerada por uma isometria. Na ´ultima se¸c˜ao deste cap´ıtulo, veremos que a
C
∗
-´algebra gerada por uma isometria ´e isomorfa a C
∗
-´algebra universal gerada por
uma isometria. Al´em disso, mostraremos que a C
∗
-´algebra gerada por uma isometria
´e isomorfa a C
∗
-´algebra gerada por um shift.
Este cap´ıtulo teve como base o artigo [2].
1.1 A C
∗
-´algebra gerada por um shift
Nosso primeiro objetivo ser´a estudar os ideais de C
∗
{S}.
Dados y, z ∈ H arbitr´arios, defina o operador Ω
y,z
∈ B(H) tal que, para todo
x ∈ H, ´e dado por
Ω
y,z
(x) = x, yz.
Sabemos que F(H) ´e o espa¸co vetorial gerado pelas proje¸c˜oes de posto um (ver
teorema 2.4.6 em [14]), e que toda proje¸c˜ao P ∈ B(H) de posto um ´e da forma Ω
x,x
,
para algum x ∈ H unit´ario; e, como F(H) ´e denso em K(H) (ver teorema 2.4.5 em
[14]), segue que K(H) ´e o menor subespa¸co fechado de B(H) que cont´em todos os
operadores Ω
y,z
, j´a que todo operador de posto um ´e desta forma.
Teorema 1.1.1. A C
∗
-´algebra C
∗
{S} cont´em o ideal dos operadores compactos K(H)
e, para qualquer ideal I n˜ao trivial de C
∗
{S}, K(H) ⊆ I.
Demonstra¸c˜ao. Para demonstrar que dado qualquer ideal I n˜ao nulo da C
∗
-´algebra
C
∗
{S}, K(H) ⊆ I, mostraremos que para todo y, z ∈ H, Ω
y,z
∈ I, donde seguir´a o
resultado, pela observa¸c˜ao feita acima, j´a que I ´e fechado.
Seja x = (x
0
, x
1
, x
2
, · · ·) ∈ H arbitr´ario; note que
(1 − SS
∗
)(x) = 1(x) − SS
∗
(x) = (x
0
, x
1
, x
2
, · · ·) − SS
∗
(x
0
, x
1
, x
2
, · · ·)
= (x
0
, x
1
, x
2
, · · ·) − S(x
1
, x
2
, · · ·)
= (x
0
, x
1
, x
2
, · · ·) − (0, x
1
, x
2
, · · ·)
= (x
0
, 0, 0, · · ·) = P
0
(x),
donde segue que P
0
= (1 − SS
∗
) ∈ C
∗
{S}. Mas, temos tamb´em que P
0
∈ K(H), pois
P
0
tem posto um. Logo, C
∗
{S} ∩ K(H) ´e um ideal n˜ao nulo de C
∗
{S}.
Seja I um ideal n˜ao trivial arbitr´ario de C
∗
{S}; ent˜ao, existe T ∈ I operador n˜ao
nulo, logo T
∗
T ∈ I. Como T ´e n˜ao nulo, existe N ∈ N tal que T (e
N
) = 0.
5
Agora note que, para m ∈ N arbitr´ario, temos que
S
m
P
0
(S
m
)
∗
(x) = S
m
P
0
(S
∗
)
m
(x
0
, · · · , x
m−1
, x
m
, x
m+1
, · · ·)
= S
m
P
0
(x
m
, x
m+1
, · · ·) = S
m
(x
m
, 0, · · ·)
= (0, · · · , 0, x
m
, 0, · · ·) = P
m
(x),
donde segue que P
m
= S
m
P
0
(S
m
)
∗
∈ C
∗
{S}. Logo, P
N
T
∗
T P
N
∈ I.
Mas, tamb´em temos que
P
N
T
∗
T P
N
(x) =
∞
i=0
P
N
T
∗
T P
N
(x), e
i
e
i
=
∞
i=0
T
∗
T P
N
(x), P
N
(e
i
)e
i
= T
∗
T P
N
(x), P
N
(e
N
)e
N
= T
∗
T P
N
(x), e
N
e
N
= x, P
N
T
∗
T (e
N
)e
N
=
∞
i=0
x, e
i
e
i
, P
N
T
∗
T (e
N
)
e
N
=
∞
i=0
x, e
i
P
N
(e
i
), T
∗
T (e
N
)e
N
= x, e
N
P
N
(e
N
), T
∗
T (e
N
)e
N
= x, e
N
e
N
, T
∗
T (e
N
)e
N
= x, e
N
T (e
N
), T (e
N
)e
N
= T (e
N
), T (e
N
)x, e
N
e
N
= T (e
N
)
2
P
N
(x),
donde segue que P
N
∈ I, j´a que T (e
N
) = 0.
E, como
S
N
∗
P
N
S
N
(x) = (S
∗
)
N
P
N
S
N
(x
0
, · · · , x
N−1
, x
N
, x
N+1
, · · ·)
= (S
∗
)
N
P
N
(0, · · · , 0, x
0
, x
1
, · · ·) = (S
∗
)
N
(0, · · · , 0, x
0
, 0, · · ·)
= (x
0
, 0, · · ·) = P
0
(x),
temos que P
0
=
S
N
∗
P
N
S
N
∈ I.
Agora observe que, dado y ∈ H arbitr´ario, y =
∞
i=0
y
i
e
i
, ent˜ao
y
2
=
∞
i=0
|y, e
i
|
2
=
∞
i=0
|y
i
|
2
< +∞;
6
logo, dado ε > 0, existe l ∈ N, tal que
∞
i=l
|y
i
|
2
< ε
2
. (1.1)
Tamb´em, temos que
l
i=0
y
i
e
i
=
l
i=0
y
i
S
i
(e
0
); portanto, podemos definir um po-
linˆomio em S, dado por
p(S) =
l
i=0
y
i
S
i
∈ C
∗
{S}.
Logo, dados ε > 0 e y ∈ H arbitr´arios, existe um polinˆomio p(S) ∈ C
∗
{S}, tal que
p(S)(e
0
) − y < ε, pois
p(S)(e
0
) − y
2
=
l
i=0
y
i
S
i
(e
0
) −
∞
i=0
y
i
e
i
2
=
l
i=0
y
i
e
i
−
∞
i=0
y
i
e
i
2
=
−
∞
i=l+1
y
i
e
i
2
=
∞
i=l+1
y
i
e
i
2
=
∞
i=l+1
|y, e
i
|
2
=
∞
i=l+1
|y
i
|
2
< ε
2
,
pela equa¸c˜ao 1.1.
Portanto,
p(S)(e
0
) − y < ε. (1.2)
Observe ainda que (p(S))
∗
=
l
i=0
y
i
S
i
∗
=
l
i=0
y
i
(S
∗
)
i
, e tamb´em que
(p(S))
∗
(x) =
l
i=0
y
i
(S
∗
)
i
∞
j=0
x
j
e
j
=
l
i=0
∞
j=0
y
i
(S
∗
)
i
(x
j
e
j
);
7
logo,
P
0
◦ (p(S))
∗
(x) = P
0
l
i=0
∞
j=0
y
i
(S
∗
)
i
(x
j
e
j
)
= P
0
((y
0
x
0
, y
0
x
1
, · · ·) + (y
1
x
1
, y
1
x
2
, · · ·) + · · · + (y
l
x
l
, y
l
x
l+1
, · · ·))
=
l
i=0
y
i
x
i
e
0
.
Como
Ω
p(S)(e
0
)−y,e
0
(x) = x, p(S)(e
0
) − ye
0
=
x,
l
i=0
y
i
S
i
(e
0
) −
∞
i=0
y
i
e
i
e
0
=
x, −
∞
l+1
y
i
e
i
e
0
=
−
∞
i=l+1
y
i
e
i
, x
e
0
=
∞
i=l+1
y
i
x, e
i
e
0
=
∞
i=l+1
y
i
x
i
e
0
,
temos que
(P
0
◦ (p(S))
∗
− Ω
y,e
0
)(x) = P
0
◦ (p(S))
∗
(x) − Ω
y,e
0
(x) =
l
i=0
y
i
x
i
e
0
− x, ye
0
=
l
i=0
y
i
x
i
e
0
−
∞
i=0
y, e
i
x, e
i
e
0
=
l
i=0
y
i
x
i
e
0
−
∞
i=0
y
i
x
i
e
0
=
−
∞
i=l+1
y
i
x
i
e
0
=
∞
i=l+1
y
i
x
i
e
0
=
Ω
p(S)(e
0
)−y,e
0
(x)
≤
Ω
p(S)(e
0
)−y,e
0
x,
e portanto
P
0
◦ (p(S))
∗
− Ω
y,e
0
≤
Ω
p(S)(e
0
)−y,e
0
≤ p(S)(e
0
) − ye
0
< ε,
pela equa¸c˜ao 1.2, donde segue que Ω
y,e
0
∈ I.
Agora, de forma an´aloga a constru¸c˜ao do polinˆomio p(S), dado z ∈ H qualquer,
podemos construir um polinˆomio, q(S) =
k
i=0
z
i
S
i
∈ C
∗
{S}, tal que dado ε > 0,
8
q(S)(e
0
) − z <
ε
y
.
Portanto, dado ε > 0 arbitr´ario, temos que
(q(S) ◦ Ω
y,e
0
− Ω
y,z
)(x) = q(S) ◦ Ω
y,e
0
(x) − Ω
y,z
(x) = q(S)(x, ye
0
) − x, yz
= x, y(q(S)(e
0
) − z) = |x, y| q(S)(e
0
) − z
≤ xyε,
donde segue que
q(S) ◦ Ω
y,e
0
− Ω
y,z
< ε.
Logo, como I ´e fechado, Ω
y,z
∈ I, mas como y, z ∈ H foram tomados arbitra-
riamente, segue que, I cont´em todos os operadores de posto um, donde segue que
K(H) ⊆ I.
Por fim, tomando I = C
∗
{S}, segue que a C
∗
-´algebra C
∗
{S} cont´em o ideal dos
operadores compactos.
Corol´ario 1.1.2. A C
∗
-´algebra C
∗
{S}´e densa em B(H), na topologia forte, ou seja,
a topologia da convergˆencia pontual na norma de operadores.
Demonstra¸c˜ao. Como K(H) ´e fortemente denso em B(H) (ver exemplo 2.4.9 em [1]),
e pelo teorema anterior K(H) ⊆ C
∗
{S}, o resultado segue.
Corol´ario 1.1.3. Um shift n˜ao tem subespa¸cos reduzidos, exceto os triviais {0} e H.
Demonstra¸c˜ao. Relembrando, um operador T ∈ B(H) ´e dito redut´ıvel, se existe
V ⊆ H, que ´e denominado reduzido, tal que T(V ) ⊆ V e T
V
⊥
⊆ V
⊥
. Sabemos
que
T
V
⊥
⊆ V
⊥
⇔ T
∗
(V ) ⊆ V.
Ent˜ao, se existe V ⊆ H tal que S(V ) ⊆ V e S
∗
(V ) ⊆ V , como C
∗
{S} ´e fortemente
densa em B(H ), temos que para todo T ∈ B(H), T (V ) ⊆ V e T
∗
(V ) ⊆ V . Portanto,
V = {0} ou V = H.
Defini¸c˜ao 1.1.4. C
∗
{S} ´e denominada a ´algebra de Toeplitz.
Teorema 1.1.5. A C
∗
-´algebra C
∗
{S}/K(H) ´e isomorfa a C
S
1
, onde S
1
denota o
c´ırculo unit´ario complexo.
9
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, vamos verificar que C
∗
{S}/K(H) ´e comutativa. Seja
π : B(H) −→ B(H)/K(H) a proje¸c˜ao canˆonica, e note que C
∗
{S}/K(H) = C
∗
{π(S)}.
Logo, para mostrarmos que C
∗
{S}/K(H) ´e comutativa, basta mostrarmos que π(S
∗
S) =
π(SS
∗
), pois deste fato, segue que π(S) ´e normal, j´a que
π(S
∗
S) = π(SS
∗
) ⇒ π(S)
∗
π(S) = π(S)π(S)
∗
,
e sabemos que a C
∗
-´algebra gerada por um elemento normal ´e comutativa (ver exerc´ıcio
3.3.9 em [15]).
Agora, para mostrar que π(S
∗
S) = π(SS
∗
), mostraremos que S
∗
S − SS
∗
∈ K(H).
Tome x ∈ H arbitr´ario e observe que
(S
∗
S − SS
∗
)(x) = S
∗
S(x
0
, x
1
, x
2
, · · ·) − SS
∗
(x
0
, x
1
, x
2
, · · ·)
= S
∗
(0, x
1
, x
2
, · · ·) − S(x
1
, x
2
, · · ·)
= (x
0
, x
1
, x
2
, · · ·) − (0, x
1
, x
2
, · · ·)
= (x
0
, 0, 0, · · ·) = P
0
(x),
donde segue que S
∗
S − SS
∗
= P
0
∈ K(H).
Portanto C
∗
{S}/K(H) ´e comutativa. Logo,
C
∗
{S}/K(H)
∼
=
C(σ(π(S))),
onde σ(π(S)) denota o espectro de π(S) (ver proposi¸c˜ao 3.3.10 em [15]).
Vamos portanto determinar o espectro de π(S). Como π(S) ´e tamb´em um elemento
unit´ario, segue que σ(π(S)) ⊆ S
1
(ver proposi¸c˜ao 3.3.11 em [15]). Agora, dado λ ∈ S
1
arbitr´ario, o operador U
λ
∈ B(H) dado por U
λ
= diag
n∈N
∗
(λ
n
) ´e um operador unit´ario
tal que λDU
λ
= U
λ
S, ou seja, λS = U
λ
SU
−1
λ
. Assim, temos que
λσ(π(S)) = σ(λπ(S)) = σ
π(U
λ
)π(S)π
U
−1
λ
= σ(π(S));
segue-se da´ı que σ(π(S)) ´e um subconjunto de S
1
que ´e invariante por rota¸c˜oes ar-
bitr´arias, donde temos que σ(π(S)) = S
1
. Portanto,
C
∗
{S}/K(H)
∼
=
C
S
1
.
10
1.2 A C
∗
-´algebra gerada pela soma direta de um
operador unit´ario com um shift
Sejam H
1
, H
2
⊆ H, tais que H = H
1
⊕ H
2
, W um operador unit´ario sobre H
1
, e S
um shift sobre H
2
.
Veremos nesta se¸c˜ao que os resultados obtidos na se ¸c˜ao anterior, para a C
∗
{S},
podem ser traduzidos para o contexto da C
∗
{W ⊕ S}, de uma forma muito natural.
Come¸caremos com um lema t´ecnico, que ser´a de grande utilidade nas pr´oximas
demonstra¸c˜oes.
Lema 1.2.1. Se T
1
⊕ T
2
∈ C
∗
{W ⊕ S}, ent˜ao
T
1
≤ π
2
(T
2
),
onde π
2
: B(H
2
) −→ B(H
2
)/K(H
2
) ´e a proje¸c˜ao canˆonica.
Demonstra¸c˜ao. Existe uma seq¨uˆencia de polinˆomios, em duas vari´aveis n˜ao comutati-
vas,
p
n
(x, y) =
a
(n)
i
1
···i
k
x
i
1
y
i
2
x
i
3
· · · y
i
k
,
tais que p
n
(W, W
∗
) → T
1
e p
n
(S, S
∗
) → T
2
na topologia da norma. Esta ´e apenas uma
maneira de expressar que T
1
⊕ T
2
´e um limite de elementos da C
∗
{W ⊕ S}.
Ent˜ao, dado ε > 0, existe um N ∈ N tal que, para todo n > N, temos que
p
n
(π
2
(S), π
2
(S
∗
)) − π
2
(T
2
) = π
2
(p
n
(S, S
∗
) − T
2
) ≤ p
n
(S, S
∗
) − T
2
< ε,
e portanto,
p
n
(π
2
(S), π
2
(S
∗
)) → π
2
(T
2
).
J´a que π
2
(S) ´e normal e σ(π
2
(S)) = S
1
,
sup
λ∈S
1
|p
n
λ, λ
| =
p
n
λ, λ
= p
n
(π
2
(S), π
2
(S
∗
)) → π
2
(T
2
).
Analogamente, considerando C
∗
{W }, obtemos que
sup
λ∈σ(W )
|p
n
λ, λ
| = p
n
(W, W
∗
) → T
1
.
Logo, como σ(W ) ⊆ S
1
, j´a que W ´e unit´ario, temos que T
1
≤ π
2
(T
2
).
11
Teorema 1.2.2. C
∗
{W ⊕ S} ´e isomorfa a C
∗
{S}.
Demonstra¸c˜ao. Seja P = {p(W ⊕ S, W
∗
⊕ S
∗
) | p ´e um polinˆomio}. Claramente P ⊆
C
∗
{W ⊕ S} e ´e denso. Defina a seguinte aplica¸c˜ao:
ϕ : P −→ C
∗
{S}
p(W ⊕ S, W
∗
⊕ S
∗
) −→ p(S, S
∗
).
Note que esta aplica¸c˜ao ´e claramente um homomorfismo. Al´em disso, tomando
p ∈ P arbitr´ario, temos que
p(W, W
∗
) ⊕ p(S ⊕ S
∗
) = max(p(W, W
∗
), p(S, S
∗
));
mas, pelo lema anterior, p(W, W
∗
) ≤ p(S, S
∗
), logo
p(W, W
∗
) ⊕ p(S ⊕ S
∗
) = p(S, S
∗
).
Portanto, ϕ estende-se para uma isometria de C
∗
{W ⊕ S}, sobrejetivamente sobre
C
∗
{S}, pois a imagem de ϕ ´e densa em C
∗
{S}. Logo, ϕ ´e um isomorfismo.
Corol´ario 1.2.3. C
∗
{W ⊕ S} tem um ´unico ideal n˜ao trivial minimal I(W ⊕ S), tal
que
C
∗
{W ⊕ S}/I(W ⊕ S)
∼
=
C
S
1
.
Demonstra¸c˜ao. Pelo teorema 1.1.5, temos que C
∗
{S}/K(H) ´e isomorfa a C
S
1
e
como pelo teorema anterior, temos que C
∗
{W ⊕ S} ´e isomorfa a C
∗
{S} o resultado
segue.
Teorema 1.2.4. I(W ⊕ S) = 0 ⊕ K(H
2
) = K(H) ∩ C
∗
{W ⊕ S}, onde I(W ⊕ S) ∈
C
∗
{W ⊕ S} ´e o ideal minimal n˜ao trivial, mencionado no corol´ario acima.
Demonstra¸c˜ao. Visto que
(W
∗
⊕ S
∗
)(W ⊕ S)−(W ⊕ S)(W
∗
⊕ S
∗
) = (W
∗
W ⊕ S
∗
S)−(W W
∗
⊕ SS
∗
) = (0 ⊕ P
0
),
vemos que K(H) ∩ C
∗
{W ⊕ S} C
∗
{W ⊕ S} ´e n˜ao trivial. Agora, suponha que J ´e
qualquer ideal n˜ao trivial de C
∗
{W ⊕ S}. Pelo lema 1.2.1, se T ⊕V ´e um elemento n˜ao
nulo de J, ent˜ao V = 0. Por isso, para algum N ∈ N, temos que V (f
N
) = 0, onde
12
{f
n
}
∞
n=0
´e a base de H
2
. A demonstra¸c˜ao que 0 ⊕K(H
2
) ⊆ J ´e an´aloga a demonstra¸c˜ao
do teorema 1.1.1. Como pelo teorema anterior ϕ(K(H
2
)) ⊆ 0 ⊕ K(H
2
), segue que
I(W ⊕ S) = ϕ(K(H
2
)) = 0 ⊕ K(H
2
).
Al´em diss o, se T ⊕ V ∈ K(H) ∩ C
∗
{W ⊕ S}, ent˜ao T ∈ K(H
1
) e V ∈ K(H
2
),
e novamente segue do lema 1.2.1 que T = 0, sendo assim 0 ⊕ K (H
2
) = K(H) ⊕
C
∗
{W ⊕ S}.
1.3 O caso geral
No caso em que U ∈ B(H) ´e uma isometria arbitr´aria, podemos usar o teorema de
Wold-Von Neumann (ver teorema 3.5.17 em [14]) que nos diz que:
(i) ou U ´e um operador unit´ario;
(ii) ou U = S
α
, onde S
α
denota um shift de alguma multiplicidade α ;
(iii) ou U = W ⊕ S
α
, onde W ´e um operador unit´ario.
No primeiro caso, C
∗
{U} ´e isomorfa a C(σ(U)). No segundo caso, a aplica¸c˜ao
S ↔ S
α
, induz um isomorfismo sobre C
∗
{U} e C
∗
{S}, assim a teoria da se¸c˜ao 1.1
estende-se para C
∗
{U}. No ´ultimo caso, a aplica¸c˜ao W ⊕ S ↔ W ⊕ S
α
induz um
isomorfismo entre C
∗
{U} e C
∗
{W ⊕ S}; assim, a teoria da se¸c˜ao 1.2 estende-se para
C
∗
{U}. Nos casos (ii) e (iii), veremos na pr´oxima se¸c˜ao que C
∗
{U}
∼
=
C
∗
{S} e,
portanto, existe um ´unico ideal n˜ao trivial minimal I(U) tal que C
∗
{U}/I(U)
∼
=
C
S
1
.
Deste modo, a estrutura alg´ebrica ´e independente de W e α.
1.4 A C
∗
-´algebra universal gerada por uma isome-
tria
Seja U ∈ B(H) tal que U
∗
U = 1 e UU
∗
= 1, ou seja, U ´e uma isometria que n˜ao
´e unit´aria. Sejam tamb´em G = {T } e R = {T
∗
T = 1}. Claramente o par (G, R) ´e
admiss´ıvel, logo existe C
∗
(G, R) .
Teorema 1.4.1. C
∗
{S}
∼
=
C
∗
(G, R) .
13
Demonstra¸c˜ao. Defina
ρ : G −→ C
∗
{S}
T −→ S
Note que ρ ´e uma representa¸c˜ao de G que satisfaz R, j´a que a sua extens˜ao alg´ebrica
ρ ´e tal que
ρ(T
∗
T − 1) = ρ(T )
∗
ρ(T ) − ρ(1) = S
∗
S − 1 = 0.
Portanto, pela propriedade universal de C
∗
(G, R), existe um ´unico homomorfismo
ϕ, tal que o diagrama abaixo comuta:
G
ρ
//
ι
$$
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
C
∗
{S}
C
∗
(G, R)
ϕ
88
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Logo, ϕ(ι(T )) = ρ(T ) = S.
Agora construiremos um homomorfismo que ser´a o inverso de ϕ.
Sabemos que existe π : C
∗
(G, R) −→ B
H
, uma representa¸c˜ao isom´etrica, para
algum espa¸co de Hilbert
H (ver teorema 3.4.15 em [15]). Portanto, π
T
´e uma
isometria em B
H
, onde T denota a classe de T em C
∗
(G, R) . Logo π
T
= W ⊕S
α
,
onde W ´e um operador unit´ario e S
α
´e um shift de alguma multiplicidade α. Como
W ´e unit´ario, temos que
C
∗
{W }
∼
=
C(σ(W )) = C(X),
onde X ´e um subconjunto fechado de S
1
.
Vamos definir um homomorfismo γ
1
: C
∗
{S} −→ C
∗
{W }, da seguinte maneira:
C
∗
{S}
q
γ
1
//
C
∗
{W }
C
S
1
η
//
C(X)
θ
OO
onde q : C
∗
{S} −→ C
S
1
´e a proje¸c˜ao canˆonica sobre o ideal dos compactos, com-
14
posta com o isomorfismo entre C
∗
{S}/K(H) e C
S
1
,
η : C
S
1
−→ C(X)
f −→ f|
X
,
ou seja, η ´e simplesmente a aplica¸c˜ao de restri¸c˜ao sobre X e θ ´e o isomorfismo dado
pelo teorema do c´alculo funcional cont´ınuo (ver proposi¸c˜ao 3.3.10 em [15]). Logo,
γ
1
= θ ◦ η ◦ q. Note que,
γ
1
(S) = θ ◦ η ◦ q(S) = θ ◦ η(f
1
) = θ(f
1
|
X
) = W,
onde f
1
: X −→ C ´e a aplica¸c˜ao identidade restrita a X.
Agora, iremos construir um homomorfismo γ
2
: C
∗
{S} −→ C
∗
{S
α
}. Sabemos que
para qualquer espa¸co de Hilbert
H e qualquer k ∈ N
∗
∪ {∞}, a aplica¸c˜ao
Ψ : B
H
−→ B
⊕
k
i=1
H
V −→ ⊕
k
i=1
V
´e um isomorfismo; logo, a aplica¸c˜ao
ψ : C
∗
{V } −→ C
∗
V
k
V −→ ⊕
k
i=1
V
tamb´em ´e um isomorfismo.
Portanto, a aplica¸c˜ao
γ
2
: C
∗
{S} −→ C
∗
{⊕
α
i=1
S}
V −→ ⊕
α
i=1
V
est´a claramente bem definida, e ainda, γ
2
(S) = S
α
. Logo,
γ
1
⊕ γ
2
: C
∗
{S} −→ B
H
1
⊕ B
H
2
⊆ B
H
1
⊕
H
2
= B
H
,
onde
H
1
,
H
2
s˜ao espa¸cos de Hilbert tais que π
T
|
H
1
= W e π
T
|
H
2
= S
α
.
Agora, note que
γ
1
⊕ γ
2
(S) = γ
1
(S) ⊕ γ
2
(S) = W ⊕ S
α
= π
T
,
e ainda, claramente γ
1
⊕ γ
2
(C
∗
{S}) ⊆ C
∗
π
T
. Como C
∗
π
T
∼
=
C
∗
(G, R) ,
15
fica bem definida a aplica¸c˜ao
φ : C
∗
{S} −→ C
∗
(G, R)
S −→ T ,
onde φ = π
−1
◦ (γ
1
⊕ γ
2
).
Portanto, como claramente ϕ e φ s˜ao uma o inverso da outra, segue que, C
∗
{S}
∼
=
C
∗
(G, R) .
Observa¸c˜ao 1.4.2. Sempre que definirmos uma aplica¸c˜ao f, no intuito de mostrar
que ela ´e uma representa¸c˜ao de um par (G, R), denotaremos por
f a sua extens˜ao
alg´ebrica.
Corol´ario 1.4.3. Sejam U ∈ B(H) tal que U ´e uma isometria que n˜ao ´e unit´aria e
C
∗
(G, R) a C
∗
-´algebra universal gerada por uma isometria. Ent˜ao C
∗
{U}
∼
=
C
∗
(G, R) .
Demonstra¸c˜ao. Como U ´e uma isometria, podemos escrever U = S ⊕ Z; ent˜ao
H = H
1
⊕ H
2
e S ´e um shift sobre H
1
. Agora, note que
ϕ : C
∗
{U} −→ C
∗
{S} ⊆ B(H
1
)
V −→ P
1
◦ (V |
H
1
),
onde P
1
denota a proje¸c˜ao ortogonal de H sobre H
1
(N), est´a claramente b em definida
e, ainda, ϕ(U) = S. Observe tamb´em que ϕ ´e claramente um homomorfismo, j´a que
leva gerador em gerador e um operador em C
∗
{U} est´a associado a uma matriz de
operadores que ´e diagonal por blocos.
Pelo teorema 1.4.1 temos que
φ : C
∗
{S} −→ C
∗
(G, R)
S −→ T ,
´e um isomorfismo. Desta forma, temos o seguinte homomorfismo: φ ◦ ϕ : C
∗
{U} −→
C
∗
(G, R) , onde φ ◦ ϕ(U) = T . Como da propriedade universal de C
∗
(G, R) temos
um homomorfismo de C
∗
(G, R) em C
∗
{U} que ´e claramente a inversa de φ ◦ ϕ, segue
que C
∗
{U}
∼
=
C
∗
(G, R) .
16
Cap´ıtulo 2
Conceitos B´asicos e Resultados
Preliminares
Neste cap´ıtulo 2 trabalharemos, a menos de algumas defini¸c˜oes e exemplos, na ca-
tegoria das ´algebras, para depois, no cap´ıtulo 3, nos restringirmos a categoria das
C
∗
-´algebras, na qual o restante do trabalho ser´a desenvolvido.
Antes de definirmos o que ´e um produto cruzado parcial alg´ebrico, precisaremos
estudar algumas defini¸c˜oes e resultados de a¸c˜oes parciais e representa¸c˜oes parciais.
Uma vez feito isto, definiremos o produto cruzado parcial alg´ebrico; uma das primeiras
perguntas, que surge naturalmente ap´os a constru¸c˜ao de uma estrutura alg´ebrica, com
uma aplica¸c˜ao produto definida nela, ´e quais propriedades esta aplica¸c˜ao satisfaz,
sendo talvez a associatividade a mais b´asica delas. Veremos ent˜ao sob quais condi¸c˜oes
o produto parcial alg´ebrico ser´a associativo e, para isto, precisaremos desenvolver
algumas ferramentas da teoria de ´algebra de multiplicadores. Por fim, demonstraremos
que a ´algebra parcial de grupo ser´a isomorfa a um produto cruzado parcial alg´ebrico,
servindo como uma motiva¸c˜ao para buscarmos uma vers˜ao aprimorada deste resultado,
na categoria das C
∗
-´algebras, o que ser´a fe ito na seq¨uˆencia, no cap´ıtulo 3.
Este cap´ıtulo teve como base o artigo [3].
2.1 A¸c˜oes parciais
Defini¸c˜ao 2.1.1. Sejam G um grupo e X um conjunto. Uma a¸c˜ao parcial α de G
sobre X, ´e um par ordenado
{D
g
}
g∈G
, {α
g
}
g∈G
, onde para todo g ∈ G, D
g
´e um
subconjunto de X, α
g
: D
g
−1
−→ D
g
´e uma bije¸c˜ao e satisfazem os seguintes axiomas:
(i) D
e
= X;
(ii) α
−1
h
(D
h
∩ D
g
−1
) ⊆ D
(gh)
−1
;
17
(iii) ∀x ∈ α
h
−1
(D
h
∩ D
g
−1
), α
g
◦ α
h
(x) = α
gh
(x).
Se para todo g ∈ G, D
g
= X, dizemos que α ´e uma a¸c˜ao global de G sobre X.
Portanto, a defini¸c˜ao de uma a¸c˜ao parcial, ´e uma generaliza¸c˜ao do conceito de a¸c˜ao
global, que usualmente, ´e denominada apenas p or a¸c˜ao.
Note que as condi¸c˜oes (ii) e (iii) acima, nos dizem que a fun¸c˜ao α
gh
´e uma extens˜ao
da fun¸c˜ao α
g
◦α
h
, pois Dom(α
g
◦α
h
) = α
−1
h
(D
h
∩ D
g
−1
) ⊆ D
(gh)
−1
= Dom(α
gh
), e para
qualquer x ∈ α
h
−1
(D
h
∩ D
g
−1
) = Dom(α
g
◦ α
h
), α
g
◦ α
h
(x) = α
gh
(x).
Observe ainda que, tomando g = h
−1
no item (iii), para qualquer x ∈ α
−1
h
(D
h
) =
D
h
−1
, temos que
α
h
−1
◦ α
h
(x) = α
h
−1
h
(x) ⇒ α
h
−1
◦ α
h
(x) = x;
analogamente, tomando g = h e h = h
−1
no item (iii), para qualquer x ∈ α
−1
h
−1
(D
h
−1
) =
D
h
obtemos,
α
h
◦ α
h
−1
(x) = α
hh
−1
(x) ⇒ α
h
◦ α
h
−1
(x) = x.
Portanto, α
h
−1
= α
−1
h
.
Seguindo a seq¨uˆencia de observa¸c˜oes, temos que a condi¸c˜ao (ii), na defini¸c˜ao acima,
´e equivalente a seguinte: para quaisquer g, h ∈ G,
α
h
−1
(D
h
∩ D
g
−1
) = D
h
−1
∩ D
(gh)
−1
. (2.1)
A equa¸c˜ao 2.1 claramente implica (ii), portanto vamos verificar que (ii) implica na
equa¸c˜ao 2.1. De (ii) temos que α
−1
h
(D
h
∩ D
g
−1
) ⊆ D
(gh)
−1
, mas α
−1
h
(D
h
∩ D
g
−1
) ⊆ D
h
−1
,
logo
α
−1
h
(D
h
∩ D
g
−1
) ⊆ D
h
−1
∩ D
(gh)
−1
.
Substituindo na equa¸c˜ao acima, h por h
−1
e g por gh, n´os obtemos
α
−1
h
−1
D
h
−1
∩ D
(gh)
−1
⊆ D
h
∩ D
(ghh
−1
)
−1
= D
h
∩ D
g
−1
.
Portanto,
α
h
−1
◦ α
h
D
h
−1
∩ D
(gh)
−1
⊆ α
h
−1
(D
h
∩ D
g
−1
) ⇒ D
h
−1
∩ D
(gh)
−1
⊆ α
h
−1
(D
h
∩ D
g
−1
).
Logo, α
h
−1
(D
h
∩ D
g
−1
) = D
h
−1
∩ D
(gh)
−1
.
Por fim, as condi¸c˜oes (i) e (iii) nos dizem que α
e
´e a aplica¸c˜ao identidade de X,
18
pois temos que para todo x ∈ α
−1
e
(D
e
∩ D
e
) = D
e
= X,
α
e
◦ α
e
(x) = α
e
(x) ⇒ α
e
(x) = x.
Exemplo 2.1.2. Sejam X, Y conjuntos tais que X ⊆ Y , G um grupo, B(Y ) =
{f : Y −→ Y | f ´e bije¸c˜ao} e β : G −→ B(Y ) uma a¸c˜ao de grupo.
A partir de β vamos definir uma a¸c˜ao parcial de G sobre X. Defina para todo
g ∈ G, D
g
−1
= {x ∈ X | β
g
(x) ∈ X} = X ∩ β
g
−1
(X) e
α
g
: D
g
−1
−→ D
g
x −→ β
g
(x).
Claramente para todo g ∈ G, D
g
⊆ X e α
g
´e uma bije¸c˜ao por constru¸c˜ao. Os
axiomas (i) e (iii) de a¸c˜ao parcial s˜ao diretamente satisfeitos por α, pois β ´e uma
a¸c˜ao. Vamos portanto verificar o axioma (ii), isto ´e, que α
−1
h
(D
h
∩ D
g
−1
) ⊆ D
(gh)
−1
.
Note que
α
h
−1
: D
h
−→ D
h
−1
x −→ β
h
−1
(x) = β
−1
h
(x).
Agora tome x ∈ α
−1
h
(D
h
∩ D
g
−1
) arbitr´ario; ent˜ao, existe y ∈ D
h
∩ D
g
−1
tal que
x = α
h
−1
(y) = β
h
−1
(y). Como y ∈ D
h
∩ D
g
−1
, temos que y = β
h
(z) e y = β
g
−1
(w)
para algum z, w ∈ X. Ent˜ao, temos que
x = α
h
−1
(y) = β
h
−1
(y) = β
h
−1
(β
g
−1
(w)) = β
h
−1
g
−1
(w) = β
(gh)
−1
(w),
donde segue que x ∈ D
(gh)
−1
.
Portanto α ´e uma a¸c˜ao parcial de G sobre X.
A defini¸c˜ao de uma a¸c˜ao parcial ´e um conceito que pode ser estendido para v´arias
categorias, como veremos no que segue.
Defini¸c˜ao 2.1.3. Seja G um grupo e X um espa¸co topol´ogico. Uma a¸c˜ao parcial α
de G sobre X, ´e uma a¸c˜ao parcial α de G sobre o conjunto X, onde para todo g ∈ G,
D
g
´e um aberto de X e α
g
´e um homeomorfismo.
Defini¸c˜ao 2.1.4. Seja G um grupo e A uma ´algebra. Uma a¸c˜ao parcial α de G sobre
A , ´e uma a¸c˜ao parcial α de G sobre o conjunto A, onde para todo g ∈ G, D
g
´e um
ideal de A e α
g
´e um isomorfismo.
19
Defini¸c˜ao 2.1.5. Um sistema dinˆamico parcial, ´e uma tripla ordenada (A, G, α), onde
A ´e uma ´algebra, G ´e um grupo e α ´e uma a¸c˜ao parcial de G sobre A.
Esta ´e uma defini¸c˜ao que nos ser´a muito ´util, visto que, ao nos referirmos a um
sistema dinˆamico parcial, estaremos nos referindo `a ´algebra, ao grupo e `a a¸c˜ao parcial
desta ´algebra neste grupo.
Exemplo 2.1.6. Sejam X um conjunto, G um grupo, α uma a¸c˜ao parcial de G sobre
X e K um corpo. D efina A = {f : X −→ K | f ´e fun¸c˜ao}. Note que A ´e uma ´algebra
com as opera¸c˜oes ponto a ponto.
Queremos a partir de α construir uma a¸c˜ao parcial de G sobre A. Como α ´e uma
a¸c˜ao parcial, existem para todo g ∈ G, os subconjuntos D
g
, e a partir deles vamos
definir ideais I
g
de A, da seguinte forma:
I
g
= {f ∈ A | ∀x /∈ D
g
, f(x) = 0}.
Note que para todo g ∈ G, I
g
claramente ´e um ideal de A. Agora para g ∈ G
arbitr´ario, defina θ
g
: I
g
−1
−→ I
g
, tal que para qualquer f ∈ I
g
(θ
g
(f))(x) =
f ◦ α
g
−1
(x), se x ∈ D
g
;
0, se x /∈ D
g
.
Vamos verificar primeiramente que, para todo g ∈ G, θ
g
´e um isomorfismo.
Tome g ∈ G arbitr´ario.
• Homomorfismo: Note que para quaisquer f, h ∈ I
g
−1
, α ∈ K e x ∈ D
g
temos que
1.
(θ
g
(αf + h))(x) = (αf + h) ◦ α
g
−1
(x) = αf ◦ α
g
−1
(x) + h ◦ α
g
−1
(x)
= (αθ
g
(f))(x) + (θ
g
(h))(x),
e portanto, θ
g
(αf + h) = αθ
g
(f) + θ
g
(h);
2.
(θ
g
(fh))(x) = (fh) ◦ α
g
−1
(x) = (fh)(α
g
−1
(x)) = f(α
g
−1
(x))h(α
g
−1
(x))
= (f ◦ α
g
−1
(x))(h ◦ α
g
−1
(x)) = (θ
g
(f))(x)(θ
g
(h))(x),
e portanto, θ
g
(fh) = θ
g
(f)θ
g
(h).
• Injetividade: Tome f ∈ I
g
−1
tal que θ
g
(f) = 0. Ent˜ao, para todo x ∈ D
g
,
(θ
g
(f))(x) = 0, isto ´e, f ◦ α
g
−1
(x) = 0, e como α
g
−1
´e invers´ıvel, segue que para todo
x ∈ D
g
, f = 0, e portanto, f ≡ 0, j´a que por defini¸c˜ao, para todo x ∈ X\D
g
, f = 0.
• Sobrejetividade: Tome h ∈ I
g
arbitr´aria. Defina
20
h ◦ α
g
(x) =
h ◦ α
g
(x), se x ∈ D
g
−1
;
0, se x /∈ D
g
−1
.
Note que h ◦ α
g
∈ I
g
−1
e, al´em disso,
1. se x ∈ D
g
−1
, θ
g
(h ◦ α
g
) = h ◦ α
g
◦ α
g
−1
= h;
2. se x /∈ D
g
−1
, 0 = θ
g
(h ◦ α
g
) = h.
Portanto, θ
g
´e um isomorfismo.
Agora vamos verificar que θ satisfaz os axiomas de a¸c˜ao parcial. Tome g, h ∈ G
arbitr´arios. Ent˜ao, temos que
(i) I
e
= A por vacuidade.
(ii) Queremos mostrar que θ
h
−1
(I
h
∩ I
g
−1
) ⊆ I
(gh)
−1
. Para isto, tome f ∈ θ
h
−1
(I
h
∩ I
g
−1
)
arbitr´aria; ent˜ao, para alguma ξ ∈ I
h
∩ I
g
−1
, f = θ
h
−1
(ξ). Temos que provar que
f ∈ I
(gh)
−1
, logo basta mostrarmos que para todo x /∈ D
(gh)
−1
, f (x) = 0. Note
que por ξ ∈ I
h
∩ I
g
−1
, temos que
∀x /∈ D
h
, ξ(x) = 0, e ∀x /∈ D
g
−1
, ξ(x) = 0,
logo para todo x /∈ D
h
∩ D
g
−1
, ξ(x) = 0.
Note tamb´em que
f(x) = (θ
h
−1
(ξ))(x) =
ξ ◦ α
h
(x), se x ∈ D
h
−1
;
0, se x /∈ D
h
−1
.
Tome x /∈ D
(gh)
−1
; relembrando, queremos mostrar que f(x) = 0.
• Caso 1: Se x /∈ D
h
−1
, ent˜ao f(x) = 0.
• Caso 2: Se x ∈ D
h
−1
, ent˜ao temos que
f(x) = ξ ◦ α
h
(x) = ξ(α
h
(x)).
Sabemos que se z ∈ X\(D
h
∩ D
g
−1
) = (X\D
h
)∪(X\D
g
−1
), ent˜ao ξ(z) = 0.
Como α
h
(x) ∈ D
h
, vamos mostrar que α
h
(x) /∈ D
g
−1
, d onde seguir´a que
f(x) = ξ(α
h
(x)) = 0, como quer´ıamos.
Suponha que α
h
(x) ∈ D
g
−1
; ent˜ao, α
h
(x) ∈ D
g
−1
∩ D
h
, mas como α ´e a¸c˜ao
parcial, temos que
x = α
h
−1
(α
h
(x)) ∈ D
(gh)
−1
,
21
o que ´e uma contradi¸c˜ao, j´a que tomamos x /∈ D
(gh)
−1
.
Portanto, f ∈ I
(gh)
−1
, donde segue que θ
h
−1
(I
h
∩ I
g
−1
) ⊆ I
(gh)
−1
.
(iii) Queremos mostrar que para toda f ∈ θ
h
−1
(I
h
∩ I
g
−1
), θ
g
◦ θ
h
(f) = θ
gh
(f). Tome
f ∈ θ
h
−1
(I
h
∩ I
g
−1
) arbitr´aria, ent˜ao temos que
(θ
g
◦ θ
h
(f))(x) =
θ
h
(f) ◦ α
g
−1
(x), se x ∈ D
g
;
0, se x /∈ D
g
.
Mas temos ainda que se x ∈ D
g
θ
h
(f)◦α
g
−1
(x) =
f ◦ α
h
−1
(α
g
−1
(x)) = f ◦ (α
h
−1
◦ α
g
−1
)(x), se α
g
−1
(x) ∈ D
h
;
0, se α
g
−1
(x) /∈ D
h
.
Agora note que x ∈ D
g
e α
g
−1
(x) ∈ D
h
se, e somente se, x ∈ α
g
(D
h
∩ D
g
−1
),
logo
(θ
g
◦ θ
h
(f))(x) =
=
f ◦
α
h
−1
◦ α
g
−1
(x)
= f ◦ α
(gh)
−1
(x), se x ∈ α
g
(D
h
∩ D
g
−1
) = D
gh
∩ D
g
;
0, se x /∈ α
g
(D
h
∩ D
g
−1
) = D
gh
∩ D
g
,
j´a que α ´e a¸c˜ao parcial.
Como
(θ
gh
(f))(x) =
f ◦ α
(gh)
−1
(x), x ∈ D
gh
;
0, x /∈ D
gh
,
temos que
(a) se x ∈ D
gh
∩ D
g
, ent˜ao θ
g
◦ θ
h
(f) = θ
gh
(f).
(b) se x /∈ D
gh
∩ D
g
, ent˜ao
α
(gh)
−1
(x) /∈ α
(gh)
−1
(D
gh
∩ D
g
) ⇒ α
(gh)
−1
(x) /∈ D
(gh)
−1
∩ D
h
−1
⇒ f ◦ α
(gh)
−1
(x) = 0
e, portanto, θ
g
◦ θ
h
(f) = θ
gh
(f).
Logo, segue que para toda f ∈ θ
h
−1
(D
h
∩ D
g
−1
), θ
g
◦ θ
h
(f) = θ
gh
(f).
Portanto θ ´e uma a¸c˜ao parcial de G sobre A.
22
Defini¸c˜ao 2.1.7. Seja G um grupo e A uma ∗-´algebra normada. Uma a¸c˜ao parcial α
de G sobre A , ´e uma a¸c˜ao parcial α de G sobre a ´algebra A, onde para todo g ∈ G,
α
g
´e um isomorfismo isom´etrico.
Defini¸c˜ao 2.1.8. Seja G um grupo e A uma C
∗
-´algebra. Uma a¸c˜ao parcial α de G
sobre A, ´e uma a¸c˜ao parcial α de G sobre o conjunto A, onde para todo g ∈ G, D
g
´e
um ideal fechado de A e α
g
´e um isomorfismo de C
∗
-´algebras.
No que segue, veremos um exemplo que ser´a de grande importˆancia no cap´ıtulo 3;
nele, a partir de uma a¸c˜ao parcial de um espa¸co topol´ogico localmente compacto
Hausdorff X, construiremos uma a¸c˜ao parcial de C
∗
-´algebras sobre C
0
(X), que ´e a C
∗
-
´algebra das fun¸c˜oes cont´ınuas de X em C que se anulam no infinito, isto ´e, f ∈ C
0
(X)
precisamente quando f : X −→ C ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua tal que, para qualquer ε > 0,
existe um subconjunto compacto K ⊆ X tal que, para todo x /∈ K, |f(x)| < ε. Ser´a
de grande importˆancia caracterizarmos os ideais desta C
∗
-´algebra. Sabemos que se
I C
0
(X) ´e fechado, ent˜ao existe U ⊆ X aberto tal que I ´e a C
∗
-´algebra das fun¸c˜oes
cont´ınuas de X em C que se anulam no infinito de X e se anulam no complementar
de U, ou seja, se f ∈ I, ent˜ao para todo x ∈ X\U, f(x) = 0 (ver exerc´ıcio 3.2.3 em
[15]). Denotaremos esta C
∗
-´algebra por
C
0
(U).
Na pr´oxima proposi¸c˜ao veremos uma identifica¸c˜ao da C
∗
-´algebra
C
0
(U) com a C
∗
-
´algebra C
0
(U), ou seja, a C
∗
-´algebra das fun¸c˜oes cont´ınuas de U em C que se anulam
no infinito de U.
Proposi¸c˜ao 2.1.9. C
0
(U) e
C
0
(U) s˜ao C
∗
-´algebras isomorfas.
Demonstra¸c˜ao. Tome f ∈ C
0
(U) arbitr´aria. Queremos definir a partir de f uma
fun¸c˜ao de
C
0
(U); ´e natural pensarmos em estender f para X como simplesmente sendo
a fun¸c˜ao nula em X\U. A primeira dificuldade est´a em mostrar que esta extens˜ao ´e
cont´ınua. Defina a fun¸c˜ao g como sendo
g(x) =
f(x), se x ∈ U;
0, se x ∈ X\U.
Vamos verificar que g ´e cont´ınua. Dado x ∈ U arbitr´ario, como U ´e aberto e
g|
U
= f , temos que g ´e cont´ınua em x; al´em disso, para todo x ∈ X\U, onde U denota
o fecho de U relativo a X, e como g|
X\U
= 0, de modo an´alogo temos que g cont´ınua
em x. Logo, s´o nos resta verificar a continuidade de g em U\U . Tome x
0
∈ U\U e
ε > 0 arbitr´arios. Considere a bola centrada em g(x
0
) de raio ε, que denotaremos por
B(g(x
0
), ε); ent˜ao, existe K ⊆ U compacto tal que, para todo x ∈ U\K,
|g(x)| = |f(x)| <
ε
2
23
(tal compacto existe, pois f ∈ C
0
(U)). Estamos em busca de uma vizinhan¸ca V de x
0
tal que g(V ) ⊆ B(g(x
0
), ε). Como K tamb´em ´e um c ompacto relativo a X (a no¸c˜ao
de compacidade independe do espa¸co ambiente), podemos tomar V = X\K (K ´e um
subconjunto fechado de X (ver teorema 17.5 em [17]). Claramente x
0
∈ V e, al´em
disso, para todo x ∈ V temos que
|g(x) − g(x
0
)| ≤ |g(x)| + |g(x
0
)| <
ε
2
+
ε
2
= ε,
donde segue que g(V ) ⊆ B(g(x
0
), ε) e portanto g ´e cont´ınua em U\U.
Vamos agora verificar que g se anula no infinito de X. Dado ε > 0 arbitr´ario, como
f ∈ C
0
(U), existe K ⊆ U compacto tal que, para todo x ∈ U\K, |f(x)| < ε, mas
como a no¸c˜ao de compacto independe do espa¸co ambiente, podemos tomar este como
sendo o compacto de X, e como a fun¸c˜ao g se anula para todo x ∈ X\U, temos o
desejado. Sendo assim, fica bem definida a seguinte aplica¸c˜ao:
ϕ : C
0
(U) −→
C
0
(U)
f −→ g,
onde g ´e como definida acima. ϕ claramente ´e C-linear, separa produto e preserva a
involu¸c˜ao. Logo, s´o nos resta verificar que ϕ ´e uma bije¸c˜ao.
• Injetividade: se f ∈ C
0
(U) ´e tal que ϕ(f) = 0, ent˜ao em particular f se anula
em U, e portanto f ≡ 0.
• Sobrejetividade: dada g ∈
C
0
(U) arbitr´aria, considere a fun¸c˜ao g|
U
, que ´e clara-
mente cont´ınua. Vamos verificar que g|
U
se anula no infinito de U. Dado ε > 0
defina o seguinte conjunto:
F = {x ∈ U | |g|
U
(x)| ≥ ε}.
F ´e claramente fechado em U. Al´em disso, como g ∈
C
0
(U), existe K ⊆ X
compacto tal que, para todo x ∈ X\K, |g(x)| < ε. Ent˜ao, tome
K = K ∩ F
que ´e um subconjunto compacto de U e note que
x ∈ U\
K ⇔ x ∈ U\(K ∩ F ) ⇔ x ∈ (U\K) ∪ (U\F ).
Logo,
– se x ∈ U\K, ent˜ao x ∈ X\K, e da´ı segue que |g(x)| < ε.
24
– se x ∈ U\F, ent˜ao por defini¸c˜ao de F , segue que |g(x)| < ε.
Sendo assim, g|
U
se anula no infinito de U, donde segue que ϕ(g|
U
) = g.
Portanto ϕ ´e um isomorfismo.
Exemplo 2.1.10. Sejam G um grupo, X um espa¸co topol´ogico localmente compacto
Hausdorff e
{X
g
}
g∈G
, {θ
g
}
g∈G
uma a¸c˜ao parcial de G sobre X. A partir desta a¸c˜ao
parcial de espa¸co topol´ogico, iremos construir uma a¸c˜ao parcial de C
∗
-´algebras sobre
C
0
(X).
Defina, para todo g ∈ G,
D
g
= {f ∈ C
0
(X) | ∀x /∈ X
g
, f(x) = 0};
ent˜ao, sabemos que D
g
C
0
(X) (ver exerc´ıcio 3.2.3 em [15]); defina tamb´em
α
g
: D
g
−1
−→ D
g
f −→ α
g
(f),
onde
α
g
(f)(x) =
f ◦ θ
g
−1
(x), se x ∈ X
g
;
0, se x /∈ X
g
.
Note que α
g
est´a claramente bem definida, j´a que para toda f ∈ D
g
−1
, α
g
(f) se
anula fora de X
g
e α
g
(f) ∈ C
0
(X), pela proposi¸c˜ao acima. A demonstra¸c˜ao de que
{D
g
}
g ∈ G
, {α
g
}
g ∈ G
´e uma a¸c˜ao parcial de G sobre C
0
(X), ´e similar ao exemplo an-
terior. Usando o fato de que para todo g ∈ G, as fun¸c˜oes θ
g
s˜ao homeomorfismos e que
cada D
g
pode ser identificado com C
0
(X
g
), novamente pela proposi¸c˜ao acima, segue
que as fun¸c˜oes definidas nas demonstra¸c˜oes s˜ao cont´ınuas e se anulam no infinito.
Defini¸c˜ao 2.1.11. Um C
∗
-sistema dinˆamico parcial, ´e uma tripla ordenada (A, G, α),
onde A ´e uma C
∗
-´algebra, G ´e um grupo e α ´e uma a¸c˜ao parcial de G sobre A.
Dados um C
∗
-sistema dinˆamico parcial (A, G, α) e I um ide al de A, veremos sob
quais hip´oteses podemos criar um novo C
∗
-sistema dinˆamico parcial (A/I, G, α).
Defini¸c˜ao 2.1.12. Seja (A, G, α) um C
∗
-sistema dinˆamico parcial. Um ideal I de A,
´e dito ser α-invariante, se para todo g ∈ G, temos que
α
g
(D
g
−1
∩ I) ⊆ D
g
∩ I.
25
Proposi¸c˜ao 2.1.13. Seja I um ideal α-invariante de A; ent˜ao, para todo g ∈ G,
temos que
α
g
(D
g
−1
∩ I) = D
g
∩ I.
Demonstra¸c˜ao. Tome g ∈ G arbitr´ario; ent˜ao,
α
g
(D
g
−1
∩ I) ⊆ D
g
∩ I ⇒ α
g
−1
◦ α
g
(D
g
−1
∩ I) ⊆ α
g
−1
(D
g
∩ I)
⇒ D
g
−1
∩ I ⊆ α
g
−1
(D
g
∩ I). (2.2)
Como g ∈ G foi tomado arbitrariamente, podemos tomar g
−1
no lugar de g em
B.3, logo
α
g
(D
g
−1
∩ I) ⊇ D
g
∩ I,
donde o resultado segue.
Agora vamos definir uma a¸c˜ao parcial em A/I, onde I A ´e α-invariante; inicial-
mente, poder´ıamos pensar em definir para todo g ∈ G
α
g
: D
g
−1
/(D
g
−1
∩ I) −→ D
g
/(D
g
∩ I)
x −→ α
g
(x),
mas note que estamos tomando o quociente por dois ideais diferentes, um no dom´ınio
e outro no contradom´ınio, por isso iremos fazer uso do seguinte resultado: para todo
g ∈ G,
D
g
/D
g
∩ I
∼
=
(D
g
+ I)/I.
Proposi¸c˜ao 2.1.14. Seja I um ideal α-invariante de A. Defina para todo g ∈ G
α
g
: (D
g
−1
+ I)/I −→ (D
g
+ I)/I
a
g
−1
+ i −→ α
g
(a
g
−1
).
Ent˜ao,
{(D
g
+ I)/I}
g∈G
, {α
g
}
g∈G
´e uma a¸c˜ao parcial de G sobre A/I.
Demonstra¸c˜ao. Sejam g, h ∈ G arbitr´arios. Ent˜ao, temos que mostrar que
• (D
g
+ I)/I A/I: isto segue do fato que (D
g
+ I) A.
• α
g
est´a bem definida: tome a
g
−1
+ i, b
g
−1
+ j ∈ (D
g
+ I)/I classes arbitr´arias,
tais que a
g
−1
+ i = b
g
−1
+ j, onde a
g
−1
, b
g
−1
∈ D
g
e i, j ∈ I. Logo, temos que
26
mostrar que α
g
a
g
−1
+ i
= α
g
b
g
−1
+ j
, mas note que
α
g
(a
g
−1
) = α
g
a
g
−1
+ i
= α
g
b
g
−1
+ j
= α
g
(b
g
−1
).
Tamb´em, observe que
a
g
−1
+ i = a
g
−1
+ 0 + 0 + i = a
g
−1
+ 0 + 0 + i = a
g
−1
,
pois 0 ∈ D
g
∩ I. Analogamente temos que b
g
−1
+ j = b
g
−1
, e como
a
g
−1
= a
g
−1
+ i = b
g
−1
+ j = b
g
−1
,
segue que a
g
−1
− b
g
−1
∈ I, pois eles pertencem a mesma classe. Al´em dis so,
a
g
−1
− b
g
−1
∈ D
g
−1
, donde s egue que a
g
−1
− b
g
−1
∈ D
g
−1
∩ I; mas I ´e α-invariante,
logo temos que α
g
(a
g
−1
− b
g
−1
) ∈ D
g
∩ I, e portanto,
α
g
(a
g
−1
) − α
g
(b
g
−1
) = α
g
(a
g
−1
− b
g
−1
) = 0 ⇒ α
g
(a
g
−1
) = α
g
(b
g
−1
),
como quer´ıamos mostrar.
• α
g
´e um isomorfismo: para isto, primeiramente observe que α
g
´e claramente um
homomorfismo e al´em disso, para qualquer a
g
−1
+ i ∈ (D
g
−1
+ I)/I, temos que
α
g
−1
◦ α
g
a
g
−1
+ i
= α
g
−1
α
g
(a
g
−1
)
= α
g
−1
◦ α
g
(a
g
−1
) = a
g
−1
= a
g
−1
+ i,
e por outro lado, temos que para qualquer a
g
+ i ∈ (D
g
+ I)/I,
α
g
◦ α
g
−1
a
g
+ i
= α
g
α
g
−1
(a
g
)
= α
g
◦ α
g
−1
(a
g
) = a
g
= a
g
+ i.
Portanto, α
g
−1
= (α
g
)
−1
, donde segue que α
g
´e um isomorfismo.
• α satisfaz os axiomas de a¸c˜ao parcial.
(i) (D
e
+ I)/I = (A + I)/I = A/I.
(ii) Tome x ∈ ((D
g
−1
+ I)/I)∩((D
h
+ I)/I) = ((D
g
−1
+ I)/I)((D
h
+ I)/I) (ver
p. 82 em [14]) arbitr´aria, ent˜ao existem a
g
−1
∈ D
g
−1
, a
h
∈ D
h
e i, j ∈ I,
tais que
x =
a
g
−1
+ i
a
h
+ j
= (a
g
−1
)(a
h
) = a
g
−1
a
h
;
27
logo,
α
g
(x) = α
g
(a
g
−1
a
h
) = α
g
(a
g
−1
a
h
) ∈ (D
gh
+ I)/I,
pois α
g
(a
g
−1
a
h
) ∈ D
gh
.
Portanto, α
g
(x) ∈ ((D
g
+ I)/I) ∩ ((D
gh
+ I)/I), donde segue que
α
g
(((D
g
−1
+ I)/I) ∩ ((D
h
+ I)/I)) ⊆ ((D
g
+ I)/I) ∩ ((D
gh
+ I)/I).
(iii) Tome x ∈ ((D
h
−1
+ I)/I)∩
D
(gh)
−1
+ I
/I
= ((D
h
−1
+ I)/I)
D
(gh)
−1
+ I
/I
arbitr´aria, ent˜ao existem a
h
−1
∈ D
h
−1
, a
(gh)
−1
∈ D
(gh)
−1
e i, j ∈ I, tais que
x =
a
h
−1
+ i
a
(gh)
−1
+ j
= (a
h
−1
)
a
(gh)
−1
= a
h
−1
a
(gh)
−1
;
logo, temos que
α
g
◦ α
h
(x) = α
g
◦ α
h
a
h
−1
a
(gh)
−1
= α
g
α
h
a
h
−1
a
(gh)
−1
= α
g
◦ α
h
a
h
−1
a
(gh)
−1
= α
gh
a
h
−1
a
(gh)
−1
= α
gh
a
h
−1
a
(gh)
−1
= α
gh
(x).
Portanto,
{(D
g
+ I)/I}
g∈G
, {α
g
}
g∈G
´e uma a¸c˜ao parcial de G sobre A/I.
A proposi¸c˜ao acima ser´a importante para a constru¸c˜ao de um pro duto cruzado
parcial que ser´a feita na se¸c˜ao 3.3.
Defini¸c˜ao 2.1.15. Sejam (A , G, α) e
A , G, α
dois sistemas dinˆamicos parciais.
N´os dizemos que α e α s˜ao a¸c˜oes parciais equivalentes, se existe um isomorfismo
φ : A −→
A , tal que para todo g ∈ G temos que
(i) φ(D
g
) =
D
g
;
(ii) ∀x ∈ D
g
−1
, α
g
◦ φ(x) = φ ◦ α
g
(x).
A importˆancia da defini¸c˜ao acima ficar´a mais evidente quando tivermos a defini¸c˜ao
de representa¸c˜oes parciais equivalentes, que ser´a dada na se¸c˜ao 2.3, e verificarmos
que, dadas duas a¸c˜oes parciais equivalentes, as representa¸c˜oes parciais associadas a
elas s˜ao tamb´em equivalentes e, reciprocamente, dadas duas representa¸c˜oes parciais
equivalentes, as a¸c˜oes parciais associadas a elas s˜ao tamb´em equivalentes.
28
2.2 Produto cruzado parcial alg´ebrico
Sejam (A, G, α) um sistema dinˆamico parcial e F o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes de G
em A . Dados g ∈ G e a
g
∈ D
g
arbitr´arios denote por a
g
δ
g
a fun¸c˜ao a
g
δ
g
: G −→ A ,
definida da seguinte maneira:
a
g
δ
g
(h) =
a
g
, se h = g;
0, se h = g.
Considere o subespa¸co vetorial de F gerado pelo conjunto {a
g
δ
g
| g ∈ G, a
g
∈ D
g
},
denote-o por B. Observe que B ´e um subespa¸co das fun¸c˜oes quase nulas, ou seja, das
fun¸c˜oes que se anulam a menos de uma quantidade finita de elementos de G, tais que
para todo g ∈ G e para toda f ∈ B, f(g) ∈ D
g
. Agora vamos definir uma opera¸c˜ao
produto em B: para quaisquer g, h ∈ G defina
(a
g
δ
g
)(b
h
δ
h
) = α
g
(α
g
−1
(a
g
)b
h
)δ
gh
.
Portanto a opera¸c˜ao produto em B, que denotaremos por ∗, ser´a a extens˜ao linear
da opera¸c˜ao definida acima, que para a =
g∈G
a
g
δ
g
, b =
h∈G
b
h
δ
h
∈ B arbitr´arios ´e dada
por:
a ∗ b =
g∈G
a
g
δ
g
∗
h∈G
b
h
δ
h
=
g,h∈G
a
g
δ
g
b
h
δ
h
=
k∈G
gh=k
α
g
(α
g
−1
(a
g
)b
h
)
δ
k
=
k∈G
g∈G
α
g
(α
g
−1
(a
g
)b
g
−1
k
)
δ
k
=
g∈G
h∈G
α
h
(α
h
−1
(a
h
)b
h
−1
g
)
δ
g
.
Defini¸c˜ao 2.2.1. Dado um sistema dinˆamico parcial (A, G, α), o produto cruzado
parcial alg´ebrico de A por G, correspondente a α, denotado p or A
α
G, ´e o subespa¸co
vetorial B definido acima, munido com a opera¸c˜ao produto tamb´em definida acima.
Observe que a multiplica¸c˜ao est´a bem definida, pois α
g
−1
(a
g
) ∈ D
g
−1
e α
g
−1
(a
g
)b
h
∈
D
g
−1
∩ D
h
, j´a que D
g
−1
e D
h
s˜ao ideais bilaterais.
Note tamb´em que a aplica¸c˜ao A a −→ aδ
e
∈ A
α
G ´e uma “inclus˜ao” que nos
permite identificar A com Aδ
e
.
29
Como mencionado na introdu¸c˜ao do cap´ıtulo, uma das primeiras perguntas que
surge, ap´os definir esta estrutura, ´e se este produto ´e associativo ou n˜ao. A associ-
atividade desta constru¸c˜ao foi provada em [4] no contexto de C
∗
-´algebras, visto que
a prova C
∗
-´alg´ebrica usa propriedades especiais de C
∗
-´algebras, como a existˆencia de
unidade aproximada, por exemplo; sendo assim, a quest˜ao da associatividade permane-
ceu em aberto, para a¸c˜oes parciais sobre ´algebras gerais, at´e a publica¸c˜ao de [3]. Antes
de enunciarmos sob quais hip´oteses o produto cruzado parcial alg´ebrico ´e associativo,
precisaremos ver alguns resultados que envolvem a ´algebra de multiplicadores.
2.2.1 A ´algebra de multiplicadores
Sejam A uma ´algebra e I um ideal de A. Tome x ∈ A arbitr´ario e defina as seguintes
aplica¸c˜oes:
L
x
: I −→ I
a −→ xa,
e
R
x
: I −→ I
a −→ ax.
Ent˜ao L = L
x
e R = R
x
s˜ao transforma¸c˜oes lineares de I, tais que as seguintes
propriedades s˜ao satisfeitas para quaisquer a, b ∈ I:
(i) L(ab) = L(a)b, pois
L(ab) = L
x
(ab) = x(ab) = (xa)b = L
x
(a)b = L(a)b;
(ii) R(ab) = aR(b), pois
R(ab) = R
x
(ab) = (ab)x = a(bx) = aR
x
(b) = aR(b);
(iii) R(a)b = aL(b), pois
R(a)b = R
x
(a)b = (ax)b = a(xb) = L
x
(b) = aL(b).
Note que estas propriedades s˜ao conseq¨uˆencias imediatas da associatividade de A.
30
Defini¸c˜ao 2.2.2. A ´algebra de multiplicadores de uma ´algebra A, ´e o conjunto M(A)
de todos os pares ordenados (L, R), onde L e R s˜ao transforma¸c˜oes lineares de A que
satisfazem as propriedades (i)-(iii) acima. Para (L, R), (L
, R
) ∈ M(A) e α ∈ K
arbitr´arios, as opera¸c˜oes s˜ao dadas por:
1. Multiplica¸c˜ao por escalar: α(L, R) = (αL, αR);
2. Adi¸c˜ao: (L, R) + (L
, R
) = (L + L
, R + R
);
3. Multiplica¸c˜ao: (L, R)(L
, R
) = (L ◦ L
, R
◦ R).
N´os dizemos que L ´e um multiplicador `a esquerda e R ´e um multiplicador `a direita
de A.
´
E imediatamente verific´avel que M(A) ´e uma ´algebra associativa com unidade
(L
e
, R
e
), onde L
e
e R
e
s˜ao as aplica¸c˜oes identidades; no caso de considerarmos M(I)
para um ideal I em uma ´algebra unital A, L
e
e R
e
podem ser considerados as aplica¸c˜oes
de multiplica¸c˜ao `a esquerda e `a direita pela unidade de A, respectivamente.
Note que a aplica¸c˜ao
φ : A −→ M(A)
x −→ (L
x
, R
x
)
´e um homomorfismo de ´algebras, pois para quaisquer x, y ∈ A, α ∈ K arbitr´arios
temos que
φ(αx + y) = (L
αx+y
, R
αx+y
) = (αL
x
+ L
y
, αR
x
+ R
y
) = (αL
x
, αR
x
) + (L
y
, R
y
)
= α(L
x
, R
y
) + (L
y
, R
y
) = φ(x) + φ(y),
e
φ(xy) = (L
xy
, R
xy
) = (L
x
◦ L
y
, R
y
◦ R
x
) = (L
x
, R
x
)(L
y
, R
y
) = φ(x)φ(y).
Defini¸c˜ao 2.2.3. N´os diremos que uma ´algebra A ´e n˜ao degenerada, se a aplica¸c˜ao φ
mencionada acima for injetiva.
Na verdade, a defini¸c ˜ao padr˜ao, encontrada na literatura, para uma ´algebra n˜ao
degenerada A, n˜ao ´e a dada acima. Usualmente, diz-se que uma ´algebra A ´e n˜ao
degenerada, se para todo elemento n˜ao nulo a ∈ A, existe b ∈ A, tal que ab = 0
ou ba = 0. Veremos na pr´oxima proposi¸c˜ao que, na verdade, es tas defini¸c˜oes s˜ao
equivalentes.
31
Denote por Anq
e
(A) e Anq
d
(A) o aniquilador `a esquerda e `a direita de A em A,
respectivamente, ou seja, Anq
e
(A) = {x ∈ A | ∀a ∈ A, xa = 0} e Anq
d
(A) = {x ∈
A | ∀a ∈ A, ax = 0}. Observe que ker (φ) ´e a intersec¸c˜ao de Anq
e
(A) com Anq
d
(A),
pois
x ∈ Anq
e
(A) ∩ Anq
d
(A) ⇔ ∀a ∈ A, xa = 0 = ax ⇔ ∀a ∈ A, L
x
(a) = 0 = R
x
(a)
⇔(L
x
, R
x
) = (0, 0) ⇔ φ(x) = (0, 0) ⇔ x ∈ ker (φ).
Proposi¸c˜ao 2.2.4. A ´e n˜ao degenerada se, e somente se, para todo elemento n˜ao
nulo a ∈ A, existe b ∈ A tal que ab = 0 ou ba = 0.
Demonstra¸c˜ao. (⇒) A ´e n˜ao degenerada, ent˜ao φ ´e inje tora. Suponha que existe
a ∈ A n˜ao nulo, tal que para todo b ∈ A temos que ab = 0 e ba = 0. Logo,
(L
a
, R
a
) = (0, 0), donde a ∈ ker (φ), o que ´e uma contradi¸c˜ao. Portanto, para todo
elemento n˜ao nulo a ∈ A, existe b ∈ A tal que ab = 0 ou ba = 0.
(⇐) Tome a ∈ A tal que φ(a) = (0, 0), ent˜ao temos que (L
a
, R
a
) = (0, 0), logo
qualquer que seja b ∈ A temos que 0 = L
a
(b) = ab e 0 = R
a
(b) = ba, portanto a = 0,
donde segue que φ ´e injetora.
Defini¸c˜ao 2.2.5. N´os diremos que uma ´algebra A ´e n˜ao degenerada `a direita , se para
cada elemento n˜ao nulo a ∈ A, temos que aA = 0. Analogamente, uma ´algebra A ´e
n˜ao degenerada `a esquerda, se para cada elemento n˜ao nulo a ∈ A, temos que Aa = 0.
Note que o homomorfismo φ : I −→ M (I) pode ser estendido naturalmente para
um homomorfismo da ´algebra A,
φ : A −→ M(I)
a −→ (L
a
, R
a
),
cujo n´ucleo ´e a intersec¸c˜ao do aniquilador `a esquerda de I em A com o aniquilador `a
direita de I em A, ou seja, ker(
φ) = {x ∈ A | ∀i ∈ I, xi = 0} ∩ {x ∈ A | ∀i ∈ I, ix = 0}.
Proposi¸c˜ao 2.2.6. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras:
(i) φ(A) ´e um ideal de M(A);
(ii) φ ´e um isomorfismo se, e somente se, A ´e uma ´algebra unital.
Demonstra¸c˜ao.
32
(i) Sejam x, y ∈ A, α ∈ K arbitr´arios; ent˜ao, temos que
αφ(x) + φ(y) = φ(αx + y) ∈ φ(A),
j´a que φ ´e um homomorfismo. Agora tome (L, R) ∈ M(A) e a ∈ A arbitr´arios;
ent˜ao, temos que
(L
x
, R
x
)(L, R) = (L
x
◦ L, R ◦ R
x
).
Note que
L
x
◦ L(a) = L
x
(L(a)) = xL(a) = R(x)a = L
R(x)
(a),
e tamb´em que
R ◦ R
x
(a) = R(ax) = aR(x) = R
R(x)
(a).
Portanto,
(L
x
, R
x
)(L, R) = (L
x
◦ L, R ◦ R
x
) =
L
R(x)
, R
R(x)
∈ φ(A),
pois R(x) ∈ A.
Por outro lado,
(L, R)(L
x
, R
x
) = (L ◦ L
x
, R
x
◦ R).
Agora observe que
L ◦ L
x
(a) = L(xa) = L(x)a = L
L(x)
(a),
e tamb´em que
R
x
◦ R(a) = R(a)x = aL(x) = R
L(x)
(a).
Portanto,
(L, R)(L
x
, R
x
) = (L ◦ L
x
, R
x
◦ R) =
L
L(x)
, R
L(x)
∈ φ(A),
pois L(x) ∈ A. Logo, φ(A) ´e um ideal de M(A).
(ii) (⇒) M (A) ´e unital e φ ´e isomorfismo, logo A tamb´em ´e unital.
(⇐) A ´e unital, logo A ´e n˜ao degenerado, pois para todo a ∈ A n˜ao nulo, existe
1 ∈ A, a unidade de A, tal que a1 = 0 e 1a = 0, donde segue que φ ´e injetora.
Para verificar que φ ´e sobrejetiva, basta tomar (L, R) ∈ M(A) arbitr´ario e notar
33
que para a ∈ A arbitr´ario, temos que
L(a) = L(1a) = L(1)a = L
L(1)
(a),
e tamb´em que
R(a) = R(a)1 = aL(1) = R
L(1)
(a),
donde segue que (L, R) =
L
L(1)
, R
L(1)
= φ(L(1)).
Portanto, como φ ´e homomorfismo, segue que φ ´e isomorfismo.
Agora dados (L, R), (L
, R
) ∈ M(A) arbitr´arios, estamos interessados na validade
da equa¸c˜ao
R
◦ L = L ◦ R
.
Note que se x, x
∈ A, (L, R) = (L
x
, R
x
) e (L
, R
) = (L
x
, R
x
) a equa¸c˜ao acima
´e conseq¨uˆencia direta da associatividade da ´algebra, pois para a ∈ A qualquer temos
que
R
◦ L(a) = R
x
◦ L
x
(a) = R
x
(xa) = (xa)x
= x(ax
)
= xR
x
(a) = L
x
(R
x
(a))
= L
x
◦ R
x
(a) = L ◦ R
(a),
e portanto, R
◦ L = L ◦ R
.
Por´em, este n˜ao ´e sempre o caso: tome A = R
3
com a multiplica¸c˜ao trivial, isto ´e,
para quaisquer x, y ∈ R
3
, xy = 0. Ent˜ao, qualquer par (L, R) de operadores lineares
sobre R
3
constituir´a um multiplicador de R
3
, p ois para quaisquer x, y ∈ R
3
, temos que
(i) L(xy) = 0 = L(x)y;
(ii) R(xy) = 0 = xR(y);
(iii) R(x)y = 0 = xL(y).
Agora tome L, R
∈ B
R
3
tais que L(e
1
) = e
2
, L(e
2
) = e
1
, L(e
3
) = e
3
, R
(e
1
) = e
1
,
R
(e
2
) = e
3
e R
(e
3
) = e
2
. Observe que
R
◦ L(e
1
) = R
(e
2
) = e
3
= e
2
= L(e
1
) = L ◦ R
(e
1
).
Defini¸c˜ao 2.2.7. Uma ´algebra A ´e dita s er (L, R)-associativa se, dados quaisquer
dois multiplicadores (L, R), (L
, R
) ∈ M(A), temos que R
◦ L = L ◦ R
.
34
O seguinte resultado nos d´a duas condi¸c˜oes suficientes para que uma ´algebra seja
(L, R)-associativa.
Proposi¸c˜ao 2.2.8. Uma ´algebra A ´e (L, R) − associativa quando qualquer uma das
seguintes condi¸c˜oes ´e v´alida:
(i) A ´e n˜ao degenerada, ou
(ii) A ´e idempotente.
Demonstra¸c˜ao. Sejam (L, R), (L
, R
) ∈ M(A) arbitr´arios.
(i) Dados a, b ∈ A arbitr´arios, temos que
R(L
(a))b = L
(a)L(b) = L
(aL(b)) = L
(R(a)b) = L
(R(a))b,
logo
R(L
(a))b − L
(R(a))b = 0 ⇒ [R(L
(a)) − L
(R(a))]b = 0
⇒ R(L
(a)) − L
(R(a)) ∈ Anq
e
(A),
j´a que b ∈ A foi tomado arbitrariamente.
Por outro lado, temos que
bL
(R(a)) = R
(b)R(a) = R(R
(b)a) = R(bL
(a)) = bR(L
(a)),
e portanto,
bR(L
(a)) − bL
(R(a)) = 0 ⇒ b[R(L
(a)) − L
(R(a))]
⇒ R(L
(a)) − L
(R(a)) ∈ Anq
d
(A),
j´a que b ∈ A foi tomado arbitrariamente.
Portanto, R(L
(a))−L
(R(a)) ∈ Anq(A). Mas A ´e n˜ao degenerado, logo Anq(A) =
{0}, donde segue que
R(L
(a)) − L
(R(a)) = 0 ⇒ R(L
(a)) = L
(R(a)),
e como a ∈ A foi tomado arbitrariamente, temos que R ◦ L
= L
◦ R, e portanto
A ´e (L, R)-associativa.
35
(ii) Sejam a, b ∈ A arbitr´arios e tome c = ab; note que
R ◦ L
(c) = R(L
(c)) = R(L
(ab)) = R(L
(a)b) = L
(a)R(b)
= L
(aR(b)) = L
(R(ab)) = L
(R(c)) = L
◦ R(c),
e como A ´e idempotente, temos que qualquer elemento x ∈ A pode ser escrito
como uma combina¸c˜ao linear de produtos de elementos de A, donde segue o
resultado, j´a que L e R s˜ao lineares.
No que segue, ser´a importante considerarmos a¸c˜oes parciais tais que todos os ideais
D
g
, s˜ao assumidos ser (L, R)-associativos. Portanto, ´e ´util termos uma maneira de
decidir quando todos os ideais de uma certa ´algebra possuem esta propriedade; o
pr´oximo resultado vai nesta dire¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 2.2.9. Seja A uma ´algebra. As seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes:
(i) Todo ideal n˜ao nulo de A ´e n˜ao degenerado;
(ii) Todo ideal n˜ao nulo de A ´e idempotente ou n˜ao degenerado;
(iii) Todo ideal n˜ao nulo de A ´e n˜ao degenerado `a direita ;
(iv) Todo ideal n˜ao nulo de A ´e n˜ao degenerado `a esquerda;
(v) A ´e semiprima, isto ´e, A n˜ao tem ideais nilpotentes n˜ao nulos.
Demonstra¸c˜ao. Vamos demonstrar a seguinte seq¨uˆencia de implica¸c˜oes:
(i) ⇒ (ii) ⇒ (v) ⇒ (iii) ⇒ (i).
Note que podemos substituir (iii) por (iv) pela simetria.
(i) obviamente implica (ii).
(ii) ⇒ (v) Seja IA n˜ao nulo, ent˜ao por (ii) I ´e idempotente ou I ´e n˜ao degenerado.
Queremos mostrar que n˜ao existe n ∈ N
∗
, tal que I
n
= {0}.
• Caso 1: I ´e idempotente.
Seja n ∈ N
∗
qualquer. Claramente I
n
= I, e como I = 0, segue que para
qualquer n ∈ N
∗
, I
n
= I = {0}.
36
• Caso 2: I ´e n˜ao degenerado.
Suponha por contradi¸c˜ao que I seja nilpontente. Ent˜ao tome o menor n ∈ N,
tal que I
n
= {0}. Observe que I
n−1
I = II
n−1
= 0. Logo, dado a ∈ I
n−1
⊆ I
n˜ao nulo arbitr´ario, n˜ao existe b ∈ I, tal que ab = 0 ou ba = 0, o que contradiz
a hip´otese de I ser n˜ao degenerado.
Portanto A ´e semiprima.
(v) ⇒ (iii) Suponha, por contradi¸c˜ao, que existe I A, n˜ao nulo, e a ∈ I, tamb´em
n˜ao nulo, tais que aI = {0}. Seja J ´e o ideal gerado por a, ou seja, J = AaA + aA +
Aa + aK. Note que J = {0}, pois a ∈ J e a = 0. Ent˜ao temos que
J
2
= (AaA + aA + Aa + aK)(AaA + aA + Aa + aK)
= A aAAaA + AaAaA + AaAAa + AaAaK
+ aAAaA + aAaA + aA Aa + aAaK
+ AaAaA + AaaA + AaA a + AaaK
+ aKAaA + aKaA + aKAa + aKaK
= 0,
j´a que aA ⊆ I, bem como, Aa ⊆ I e aI = {0}. Logo, J
2
= {0}, o que ´e uma
contradi¸c˜ao, pois A ´e semiprima.
(iii) obviamente implica (i).
Note que, se alguma das condi¸c˜oes da proposi¸c˜ao anterior f or satisfeita, segue da
proposi¸c˜ao 2.2.8, que todo ideal de A ´e (L, R)-associativo.
Seja π : A −→ B um isomorfismo de ´algebras. Note que para qualquer (L, R) ∈
M(A), temos que (π ◦ L ◦ π
−1
, π ◦ R ◦ π
−1
) ∈ M(B), pois π ◦ L ◦ π
−1
e π ◦ R ◦ π
−1
s˜ao
claramente lineares, j´a que π, π
−1
, L e R o s˜ao, e satisfazem para quaisquer a, b ∈ B
as condi¸c˜oes:
(i)
π ◦ L ◦ π
−1
(ab) = π ◦ L
π
−1
(a)π
−1
(b)
= π
L
π
−1
(a)
π
−1
(b)
= π
L
π
−1
(a)
π
π
−1
(b)
=
π ◦ L ◦ π
−1
(a)
b.
(ii)
π ◦ R ◦ π
−1
(ab) = π
R
π
−1
(a)π
−1
(b)
= π
π
−1
(a)R
π
−1
(b)
= π
π
−1
(a)
π
R
π
−1
(b)
= a
π ◦ R ◦ π
−1
(b)
.
37
(iii)
π ◦ R ◦ π
−1
(a)
b = π
R
π
−1
(a)
b = π
R
π
−1
(a)
π
π
−1
(b)
= π
R
π
−1
(a)
π
−1
(b)
= π
π
−1
(a)L
π
−1
(b)
= a
π ◦ L ◦ π
−1
(b)
.
Proposi¸c˜ao 2.2.10. A aplica¸c˜ao
π : M(A) −→ M(B)
(L, R) −→
π ◦ L ◦ π
−1
, π ◦ R ◦ π
−1
´e um isomorfismo de ´algebras.
Demonstra¸c˜ao. Vamos verificar primeiramente que π ´e um homomorfismo de ´algebras.
Sejam (L, R), (L
, R
) ∈ M(A) e α ∈ K arbitr´arios; ent˜ao, temos que
π(α(L, R) + (L
, R
)) = π(αL + L
, αR + R
) =
π ◦ (αL + L
) ◦ π
−1
, π ◦ (αR + R
) ◦ π
−1
=
π ◦ αL ◦ π
−1
+ π ◦ L
◦ π
−1
, π ◦ αR ◦ π
−1
+ π ◦ R
◦ π
−1
=
α
π ◦ L ◦ π
−1
, α
π ◦ R ◦ π
−1
+
π ◦ L
◦ π
−1
, π ◦ R
◦ π
−1
= α
π ◦ L ◦ π
−1
, π ◦ R ◦ π
−1
+
π ◦ L
◦ π
−1
, π ◦ R
◦ π
−1
= απ(L, R) + π(L
, R
),
e tamb´em que
π(L, R)π(L
, R
) =
π ◦ L ◦ π
−1
, π ◦ R ◦ π
−1
π ◦ L
◦ π
−1
, π ◦ R
◦ π
−1
=
π ◦ L ◦ π
−1
π ◦ L
◦ π
−1
, π ◦ R
◦ π
−1
π ◦ R ◦ π
−1
=
π ◦ L ◦ L
◦ π
−1
, π ◦ R
◦ R ◦ π
−1
= π(L ◦ L
, R
◦ R)
= π((L, R)(L
, R
)).
Agora tome (L, R) ∈ M(A) tal que π(L, R) = (0, 0). Ent˜ao, (π ◦ L ◦ π
−1
, π ◦ R ◦ π
−1
) =
(0, 0), e portanto, π ◦ L ◦ π
−1
= 0 e π ◦ R ◦ π
−1
= 0. Como π ´e um isomorfismo, segue
que L = 0 e R = 0. Logo, π ´e injetor.
Por fim, tome (L, R) ∈ M(B) arbitr´ario. Note que (π
−1
◦ L ◦ π, π
−1
◦ R ◦ π) ∈
M(B), e tamb´em que
π
π
−1
◦ L ◦ π, π
−1
◦ R ◦ π
=
π ◦
π
−1
◦ L ◦ π
π
−1
, π ◦
π
−1
◦ R ◦ π
π
−1
= (L, R),
donde segue que π ´e sobrejetor.
38
Portanto π ´e um isomorfismo de ´algebras.
2.2.2 A associatividade do produto cruzado parcial alg´ebrico
Teorema 2.2.11. Seja (A , G, α) um sistema dinˆamico parcial, tal que para todo
g ∈ G, D
g
´e (L, R)-associativo. Ent˜ao o produto cruzado parcial A
α
G ´e associativo.
Demonstra¸c˜ao. Obviamente, A
α
G ´e associativo se, e somente se, para g, h, k ∈ G,
a ∈ D
h
, b ∈ D
g
e c ∈ D
k
arbitr´arios,
(aδ
h
bδ
g
)cδ
k
= aδ
h
(bδ
g
cδ
k
). (2.3)
Primeiramente, calcularemos o lado esquerdo da igualdade acima. N´os temos ent˜ao
que
(aδ
h
bδ
g
)cδ
k
= (α
h
(α
h
−1
(a)b)δ
hg
)cδ
k
= α
hg
α
(hg)
−1
(α
h
(α
h
−1
(a)b))c
δ
hgk
.
Note que
α
h
−1
(a)b ∈ D
h
−1
∩ D
g
⇒ α
h
(α
h
−1
(a)b) ∈ α
h
(D
h
−1
∩ D
g
) = D
h
∩ D
hg
,
ent˜ao temos que
α
(hg)
−1
(α
h
(α
h
−1
(a)b)) = α
g
−1
h
−1
(α
h
(α
h
−1
(a)b)) = α
g
−1
(α
h
−1
(α
h
(α
h
−1
(a)b)))
= α
g
−1
(α
h
−1
(a)b).
Observe tamb´em que
α
h
−1
(a)b ∈ D
h
−1
∩ D
g
⇒ α
g
−1
(α
h
−1
(a)b) ∈ α
g
−1
(D
h
−1
∩ D
g
) = D
g
−1
∩ D
g
−1
h
−1
,
logo
α
hg
α
(hg)
−1
(α
h
(α
h
−1
(a)b))c
= α
hg
(α
g
−1
(α
h
−1
(a)b)c) = α
h
(α
g
(α
g
−1
(α
h
−1
(a)b)c)).
Portanto, (aδ
h
bδ
g
)cδ
k
= α
h
(α
g
(α
g
−1
(α
h
−1
(a)b)c))δ
hgk
.
Agora computando o lado direito da equa¸c˜ao 2.3, obtemos
aδ
h
(bδ
g
cδ
k
) = aδ
h
(α
g
(α
g
−1
(b)c)δ
gk
) = α
h
(α
h
−1
(a)α
g
(α
g
−1
(b)c))δ
hgk
.
39
Logo, comparando os dois lados da equa¸c˜ao 2.3, temos que
α
h
(α
g
(α
g
−1
(α
h
−1
(a)b)c))δ
hgk
= α
h
(α
h
−1
(a)α
g
(α
g
−1
(b)c))δ
hgk
,
e portanto a equa¸c˜ao 2.3 ´e v´alida se, e somente se,
α
g
(α
g
−1
(α
h
−1
(a)b)c) = α
h
−1
(a)α
g
(α
g
−1
(b)c). (2.4)
Agora note que como a ∈ D
h
foi tomado arbitrariamente, α
h
−1
(a) percorre todo
D
h
−1
, j´a que α
h
−1
´e um isomorfismo, conseq¨uentemente a equa¸c˜ao 2.4 ´e equivalente a
α
g
(α
g
−1
(ab)c) = aα
g
(α
g
−1
(b)c). (2.5)
Na equa¸c˜ao acima os elementos a ∈ D
h
−1
, b ∈ D
g
, c ∈ D
k
e h, k ∈ G s˜ao arbitr´arios.
Agora, observe que se tomarmos h = k = e, ent˜ao D
h
= D
k
= A, e ent˜ao A
α
G ´e
associativo se, e somente se, a equa¸c˜ao 2.5 ´e v´alida, para quaisquer g ∈ G, a, c ∈ A e
b ∈ D
g
; isto ´e equivalente a dizer que, para quaisquer g ∈ G, a, c ∈ A, temos
(α
g
◦ R
c
◦ α
g
−1
) ◦ L
a
= L
a
◦ (α
g
◦ R
c
◦ α
g
−1
), (2.6)
pois dado b ∈ D
g
arbitr´ario, temos que
(α
g
◦ R
c
◦ α
g
−1
) ◦ L
a
(b) = (α
g
◦ R
c
◦ α
g
−1
)(ab) = α
g
◦ R
c
(α
g
−1
(ab))
= α
g
(α
g
−1
(ab)c) = aα
g
(α
g
−1
(b)c)
= L
a
◦ α
g
(α
g
−1
(b)c) = L
a
◦ (α
g
◦ R
c
◦ α
g
−1
)(b).
Portanto, considere R
c
como um multiplicador `a direita de D
g
−1
e L
a
como um
multiplicador `a esquerda de D
g
. Pela proposi¸c˜ao 2.2.10, n´os temos que α
g
◦ R
c
◦ α
g
−1
´e um multiplicador de D
g
, e como por hip´otese D
g
´e (L, R)-associativo, a equa¸c˜ao 2.6
´e v´alida, donde segue que A
α
G ´e associativo.
Segue diretamente da proposi¸c˜ao 2.2.8 e do teorema 2.2.11, o seguinte resultado:
Corol´ario 2.2.12. Se (A , G, α) ´e um sistema dinˆamico parcial, tal que para todo
g ∈ G, D
g
´e idempotente ou n˜ao degenerado, ent˜ao o produto cruzado parcial alg´ebrico
A
α
G ´e associativo.
Defini¸c˜ao 2.2.13. N´os dizemos que uma ´algebra A ´e fortemente associativa se, para
qualquer grupo G e para qualquer a¸c˜ao parcial α de G sobre A, o produto cruzado
parcial alg´ebrico A
α
G ´e associativo.
40
Como uma conseq¨uˆencia imediata, da proposi¸c˜ao 2.2.9 e do corol´ario 2.2.12, n´os
temos:
Corol´ario 2.2.14. Uma ´algebra semiprima ´e fortemente associativa.
No que segue, veremos um exemplo simples de um produto cruzado parcial alg´ebrico
que n˜ao ´e associativo.
Exemplo 2.2.15. Seja A um K-espa¸co vetorial quadridimensional, ou seja, dim (A) =
4, com base {1, t, u, v}. Defina a multiplica¸c˜ao sobre A, da seguinte maneira: u
2
=
v
2
= uv = vu = tu = ut = t
2
= 0, tv = vt = u e para todo a ∈ A, 1a = a1 = a. Prova-
se que A com a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao definida acima, ´e uma K-´algebra associativa
com unidade.
Seja G = g : g
2
= 1, isto ´e, o grupo c´ıclico, gerado por g, com a rela¸c˜ao g
2
= 1;
e I o ideal de A gerado por v. Note que, I ´e o subespa¸co de A, gerado por v e u.
Considere a a¸c˜ao parcial de G sobre A, dada por D
g
= I e
α
g
: D
g
−1
= D
g
−→ D
g
u −→ v
v −→ u.
Note que por defini¸c˜ao, D
1
= A e α
1
´e a aplica¸c˜ao identidade de A. Tome x =
tδ
1
+ uδ
g
∈ A
α
G; ent˜ao, temos que
(xx)x = [(tδ
1
+ uδ
g
)(tδ
1
+ uδ
g
)]x = (tδ
1
tδ
1
+ tδ
1
uδ
g
+ uδ
g
tδ
1
+ uδ
g
uδ
g
)x
= (α
1
(α
1
−1
(t)t)δ
11
+ α
1
(α
1
−1
(t)u)δ
1g
+ α
g
(α
g
−1
(u)t)δ
g1
+ α
g
(α
g
−1
(u)u)δ
gg
)x
=
t
2
δ
1
+ tuδ
g
+ α
g
(vt)δ
g
+ α
g
(vu)δ
1
x
= (0δ
1
+ 0δ
g
+ α
g
(u)δ
g
+ α
g
(0)δ
1
)x = vδ
g
x = vδ
g
(tδ
1
+ uδ
g
)
= vδ
g
tδ
1
+ vδ
g
uδ
g
= α
g
(α
g
−1
(v)t)δ
g1
+ α
g
(α
g
−1
(v)u)δ
gg
= α
g
(ut)δ
g
+ α
g
u
2
δ
1
= α
g
(0)δ
g
+ α
g
(0)δ
1
= 0.
Mas, por outro lado, temos que
x(xx) = (tδ
1
+ uδ
g
)(vδ
g
) = tδ
1
vδ
g
+ uδ
g
vδ
g
= α
1
(α
1
−1
(t)v)δ
1g
+ α
g
(α
g
−1
(u)v)δ
gg
= α
1
(tv)δ
g
+ α
g
v
2
δ
1
= α
1
(u)δ
g
+ α
g
(0)δ
1
= uδ
g
.
Portanto, (xx)x = x(xx), donde segue que A
α
G n˜ao ´e associativo.
41
2.3 Representa¸c˜oes parciais
Nesta se¸c˜ao, ser˜ao usados produtos cruzados parciais alg´ebricos para relacionar a¸c˜oes
parciais com representa¸c˜oes parciais de grupo.
Defini¸c˜ao 2.3.1. Uma representa¸c˜ao parcial de um grupo G sobre uma ´algebra unital
A, ´e uma aplica¸c˜ao π : G −→ A, que satisfaz para quaisquer g, h ∈ G, as seguintes
propriedades:
(i) π(e) = 1;
(ii) π(g)π(h)π(h
−1
) = π(gh)π(h
−1
);
(iii) π(g
−1
)π(g)π(h) = π(g
−1
)π(gh).
Observa¸c˜ao 2.3.2. Quando uma representa¸c˜ao parcial π de um grupo G sobre uma
´algebra unital A ´e tal que, para todo g, h ∈ G satisfaz que
π(g)π(h) = π(gh),
dizemos que π ´e uma representa¸c˜ao de G sobre A.
Defini¸c˜ao 2.3.3. Uma ∗-representa¸c˜ao parcial de um grupo G sobre uma ∗-´algebra
unital A, ´e uma representa¸c˜ao parcial, de G sobre a ´algebra A que satisfaz, para to do
g ∈ G,
π
g
−1
= π(g)
∗
. (2.7)
Note que, em uma ∗-representa¸c˜ao parcial, o axioma (iii) decorre do axioma (ii) e
da equa¸c˜ao 2.7, pois para todo g, h ∈ G, temos que
π(g)π(h)π
h
−1
= π(gh)π
h
−1
⇒
π(g)π(h)π
h
−1
∗
=
π(gh)π
h
−1
∗
⇒ π
h
−1
∗
π(h)
∗
π(g)
∗
= π
h
−1
∗
π(gh)
∗
⇒ π(h)π
h
−1
π
g
−1
= π(h)π
h
−1
g
−1
,
agora basta tomarmos g
−1
= h e h
−1
= g, na equa¸c˜ao acima, para obtermos
π
g
−1
π(g)π(h) = π
g
−1
π(gh).
Vamos agora definir um objeto que ser´a de grande relevˆancia no trabalho.
Defini¸c˜ao 2.3.4. Sejam H, K espa¸cos de Hilbert. Um operador U ∈ B(H, K) que
satisfaz a equa¸c˜ao U = UU
∗
U ´e denominado uma isometria parcial.
42
Observe que se π ´e uma ∗-representa¸c˜ao parcial, ent˜ao para todo g ∈ G, π(g) ´e
uma isometria parcial. De fato, dado g ∈ G arbitr´ario, temos que
π(g) = 1π(g) = π(e)π(g) = π
gg
−1
π(g)
= π(g)π
g
−1
π(g) = π(g)π(g)
∗
π(g).
Exemplo 2.3.5. Seja S o shift `a direita sobre
2
(N
∗
), isto ´e, para todo i ∈ N
∗
,
S(e
i
) = e
i+1
, onde {e
i
}
∞
i=1
´e a base canˆonica de
2
(N
∗
).
Considere o grupo aditivo Z e a fun¸c˜ao π : Z −→ B(
2
(N
∗
)), que para todo n ∈ Z,
´e dada por:
π(n) =
S
n
, se n ≥ 0;
(S
∗
)
|n|
, se n < 0.
Note que S
∗
´e o shift `a esquerda sobre
2
(N
∗
), e que para quaisquer m, n ∈ N temos
que (S
∗
)
m+n
= (S
∗
)
n
(S
∗
)
m
, S
m+n
= S
m
S
n
, e tamb´em (S
∗
)
n
S
n
= I.
Vamos verificar que π ´e uma ∗-representa¸c˜ao parcial de Z sobre B(
2
(N
∗
)).
(i) π(0) = S
0
= 1, onde 1 denota a unidade de B(
2
(N
∗
)).
(ii) Tome m, n ∈ Z arbitr´arios, queremos verificar que
π(n)π(m)π(−m) = π(n + m)π(−m).
• Caso 1: Se m, n ≥ 0, temos que
π(n + m) = S
n+m
= S
n
S
m
= π(n)π(m).
Logo, π(n)π(m)π(−m) = π(n + m)π(−m).
• Caso 2: Se m, n < 0, temos que
π(n + m) = (S
∗
)
−n−m
= (S
∗
)
−n
(S
∗
)
−m
= π(n)π(m).
Logo, π(n)π(m)π(−m) = π(n + m)π(−m).
• Caso 3: Se n < 0 < m.
43
– Caso 3.1: Se m + n ≥ 0, ou seja, que m ≥ |n| , temos que
π(n)π(m)π(−m) = (S
∗
)
|n|
S
m
(S
∗
)
|−m|
= (S
∗
)
|n|
S
(|n| + (m − |n| ))
(S
∗
)
m
= (S
∗
)
|n|
S
|n|
S
(m − |n| )
(S
∗
)
m
= S
(m − |n| )
(S
∗
)
m
= S
(n + m)
(S
m
)
∗
= π(m + n)π(m)
∗
= π(m + n)π(−m).
– Caso 3.2: Se m + n < 0, ou seja, m < |n| , temos que
π(n)π(m)π(−m) = (S
∗
)
|n|
S
m
(S
∗
)
|−m|
= (S
∗
)
|n|
S
m
(S
∗
)
m
= (S
∗
)
((|n| − m) + m)
S
m
(S
∗
)
m
= (S
∗
)
(|n| − m)
(S
∗
)
m
S
m
(S
∗
)
m
= (S
∗
)
(|n| − m)
(S
∗
)
m
= (S
∗
)
(−n − m)
(S
∗
)
m
= (S
∗
)
|n + m|
(S
m
)
∗
= π(m + n)π(m)
∗
= π(m + n)π(−m).
• Caso 4: Falta apenas analisarmos se m < 0 < n, mas neste caso, a de-
monstra¸c˜ao ´e completamente an´aloga ao caso 3.
(iii) Aqui tamb´em precisaremos dividir a demonstra¸c˜ao em casos. Tome n ∈ Z ar-
bitr´ario.
• Caso 1: Se n ≥ 0, temos que
π(−n) = (S
∗
)
|−n|
= (S
∗
)
n
= (S
n
)
∗
= π(n)
∗
.
• Caso 2: Se n < 0, temos que
π(−n) = S
−n
=
S
−n
∗
∗
=
(S
∗
)
|n|
∗
= π(n)
∗
.
Portanto, π ´e uma ∗-representa¸c˜ao parcial de Z sobre B(
2
(N
∗
)).
44
Exemplo 2.3.6. Considere a seguinte aplica¸c˜ao
ρ : Z −→ B(
2
(N
∗
))
n −→
π(n), se 7|n;
0, se 7 n;
onde π ´e a ∗-representa¸c˜ao parcial definida no exemplo anterior. Vamos verificar que
ρ ´e uma ∗-representa¸c˜ao parcial de Z sobre B(
2
(N
∗
)).
(i) 7|0 ⇒ ρ(0) = π(0) = 1.
(ii) Tome m, n ∈ Z arbitr´arios, queremos verificar que
ρ(n)ρ(m)ρ(−m) = ρ(n + m)ρ(−m).
• Caso 1: Se 7|n e 7|m, ent˜ao 7|(n + m). Logo,
ρ(n)ρ(m)ρ(−m) = π(n)π(m)π(−m) = π(n + m)π(−m) = ρ(n + m)ρ(−m).
• Caso 2: Se 7 n e 7 m, segue que
ρ(n)ρ(m)ρ(−m) = 0 = ρ(n + m)ρ(−m).
• Caso 3: Se 7|n e 7 m, segue que
ρ(n)ρ(m)ρ(−m) = 0 = ρ(n + m)ρ(−m).
• Caso 4: Se 7 n e 7|m, segue que ρ(n)ρ(m)ρ(−m) = 0. Agora, note que,
se 7 n e 7|m, ent˜ao 7 (n + m). Logo, ρ(n + m)ρ(−m) = 0, e portanto,
ρ(n)ρ(m)ρ(−m) = 0 = ρ(n + m)ρ(−m).
(iii) Aqui tamb´em precisaremos dividir a demonstra¸c˜ao em casos. Tome n ∈ Z ar-
bitr´ario.
• Se 7|n, ent˜ao temos que ρ(−n) = π(−n) = π(n)
∗
= ρ(n)
∗
.
• Se 7 n, ent˜ao temos que ρ(−n) = 0 = ρ(n) = ρ(n)
∗
.
Portanto, ρ ´e uma ∗-representa¸c˜ao parcial de Z sobre B(
2
(N
∗
)).
45
No que segue, veremos um resultado que ter´a como hip´otese um s istema dinˆamico
parcial (A , G, α), onde para todo g ∈ G, D
g
´e um ideal unital, com unidade 1
g
. Por
isso, primeiramente, faremos algumas observa¸c˜oes a respeito de unidades de ideais,
que ser˜ao ´uteis na demonstra¸c˜ao deste pr´oximo resultado e de outras demonstra¸c˜oes
futuras tamb´em.
Seja A um ´algebra e I A, tal que I ´e um ideal unital com unidade 1
I
. Note que
1
2
I
= 1
I
, e para todo a ∈ A temos que
1
I
a = (1
I
a)1
I
= 1
I
(a1
I
) = a1
I
,
e portanto, a unidade de um ideal ´e um idempotente central.
Agora seja J A, tal que J ´e um ideal unital com unidade 1
J
. Observe que 1
I
1
J
ser´a unidade do ideal I ∩ J, pois para x ∈ I ∩ J arbitr´ario, temos que
1
I
1
J
x = 1
I
x = x = x1
I
= x1
I
1
J
.
Por fim, se considerarmos um sistema dinˆamico (A , G, α) , onde para todo g, ∈ G,
D
g
´e um ideal unital com unidade 1
g
, como para todo h ∈ G temos que α
g
(D
g
−1
∩ D
h
) =
D
g
∩ D
gh
, segue que
α
g
(1
g
−1
1
h
) = 1
g
1
gh
. (2.8)
A equa¸c˜ao acima ser´a usada por diversas vezes ao longo do trabalho, principalmente
no cap´ıtulo 3.
Lema 2.3.7. Seja (A , G, α) um sistema dinˆamico parcial tal que, para todo g ∈ G,
D
g
´e um ´algebra unital, com unidade 1
g
. Ent˜ao a aplica¸c˜ao
π
α
: G −→ A
α
G
g −→ 1
g
δ
g
´e uma representa¸c˜ao parcial de G sobre A
α
G.
Demonstra¸c˜ao. Tome g, h ∈ G arbitr´arios.
(i) π
α
(e) = 1
e
δ
e
, pois 1
e
δ
e
´e unidade do A
α
G, j´a que dado a
g
δ
g
∈ A
α
G ar-
bitr´ario, temos que
(a
g
δ
g
)(1
e
δ
e
) = α
g
(α
g
−1
(a
g
)1
e
)δ
ge
= α
g
(α
g
−1
(a
g
))δ
g
= a
g
δ
g
,
46
e tamb´em
(1
e
δ
e
)(a
g
δ
g
) = α
e
(α
e
−1
(1
e
)a
g
)δ
eg
= α
e
(1
e
a
g
)δ
g
= a
g
δ
g
.
(ii)
π
α
(g)π
α
(h)π
α
h
−1
= (1
g
δ
g
1
h
δ
h
)1
h
−1
δ
h
−1
= (α
g
(α
g
−1
(1
g
)1
h
)δ
gh
)1
h
−1
δ
h
−1
= (α
g
(1
g
−1
1
h
)δ
gh
)1
h
−1
δ
h
−1
= 1
g
1
gh
δ
gh
1
h
−1
δ
h
−1
= α
gh
α
(gh)
−1
(1
g
1
gh
)1
h
−1
δ
ghh
−1
= α
gh
1
(gh)
−1
1
h
−1
1
h
−1
δ
g
= α
gh
1
(gh)
−1
1
h
−1
δ
g
= α
gh
α
(gh)
−1
(1
gh
)1
h
−1
δ
ghh
−1
= 1
gh
δ
gh
1
h
−1
δ
h
−1
= π
α
(gh)π
α
h
−1
.
(iii)
π
α
g
−1
π
α
(g)π
α
(h) = (1
g
−1
δ
g
−1
1
g
δ
g
)1
h
δ
h
= α
g
−1
(α
g
(1
g
−1
)1
g
)δ
g
−1
g
1
h
δ
h
= α
g
−1
(1
g
1
g
)δ
e
1
h
δ
h
= α
g
−1
(1
g
)δ
e
1
h
δ
h
= 1
g
−1
δ
e
1
h
δ
h
= α
e
(α
e
−1
(1
g
−1
)1
h
)δ
h
= α
e
(1
g
−1
1
h
)δ
h
= 1
g
−1
1
h
δ
h
.
Por outro lado, temos que
π
α
g
−1
π
α
(gh) = 1
g
−1
δ
g
−1
1
gh
δ
gh
= α
g
−1
(α
g
(1
g
−1
)1
gh
)δ
g
−1
gh
= α
g
−1
(1
g
1
gh
)δ
h
= 1
g
−1
1
h
δ
h
.
Logo, π
α
(g
−1
)π
α
(g)π
α
(h) = π
α
(g
−1
)π
α
(gh).
Portanto π
α
´e uma representa¸c˜ao parcial de G sobre A
α
G.
Defini¸c˜ao 2.3.8. Sejam G um grupo, B e
B ´algebras unitais. Duas representa¸c˜oes
parciais π : G −→ B e π : G −→
B s˜ao ditas equivalentes, se existe um isomorfismo
ϕ : B −→
B, tal que para todo g ∈ G
ϕ(π(g)) = π(g).
Sejam (A, G, α) e
A , G, α
dois sistemas dinˆamicos parciais, tais que as a¸c˜oes
parciais α e α s˜ao equivalentes ( ver defini¸c˜ao 2.1.15). Sendo assim, note que, π
α
e
π
α
ser˜ao representa¸c˜oes parciais equivalentes, pois como α e α s˜ao equivalentes, existe
um isomorfismo φ : A −→
A , tal que para todo g ∈ G
(i) φ(D
g
) =
D
g
;
47
(ii) ∀x ∈ D
g
−1
, α
g
◦ φ(x) = φ ◦ α
g
(x);
e podemos definir a seguinte aplica¸c˜ao:
ϕ : A
α
G −→
A
α
G
g∈G
a
g
δ
g
−→
g∈G
φ(a
g
)
δ
g
,
que claramente ´e um isomorfismo, j´a que φ o ´e. Logo, para todo g ∈ G, temos que
ϕ(1
g
δ
g
) = φ(1
g
)
δ
g
=
1
g
δ
g
,
donde segue que
ϕ(π
α
(g)) = ϕ(1
g
δ
g
) =
1
g
δ
g
= π
α
(g),
e portanto π
α
e π
α
s˜ao representa¸c˜oes parciais equivalentes.
Sejam G um grupo, B uma ´algebra e π : G −→ B uma representa¸c˜ao parcial.
Defina para todo g ∈ G
ε
g
= π(g)π
g
−1
.
Os elementos definidos acima ser˜ao de grande importˆancia no trabalho. Por isso,
na seq¨uˆencia, demonstraremos uma s´erie de propriedades que eles satisfazem.
Lema 2.3.9. Sejam g, h ∈ G arbitr´arios. Ent˜ao temos que
(i) ε
2
g
= ε
g
;
(ii) π(g)ε
h
= ε
gh
π(g);
(iii) ε
h
π(g) = π(g)ε
g
−1
h
;
(iv) ε
g
ε
h
= ε
h
ε
g
.
Demonstra¸c˜ao.
(i)
ε
2
g
= π(g)π
g
−1
π(g)π
g
−1
= π(g)π
g
−1
g
π
g
−1
= π(g)π(e)π
g
−1
= π(g)π
g
−1
= ε
g
.
(ii) Por um lado, temos que
π(g)ε
h
= π(g)π(h)π
h
−1
= π(gh)π
h
−1
,
e por outro lado, temos que
48
ε
gh
π(g) = π(gh)π
(gh)
−1
π(g) = π(gh)π
h
−1
g
−1
g
= π(gh)π
h
−1
.
Portanto, π(g)ε
h
= ε
gh
π(g).
(iii) Por um lado, temos que
ε
h
π(g) = π(h)π
h
−1
π(g) = π(h)π
h
−1
g
,
e por outro lado, temos que
π(g)ε
g
−1
h
= π(g)π
g
−1
h
π
g
−1
h
−1
= π(g)π
g
−1
h
π
h
−1
g
= π
gg
−1
h
π
h
−1
g
= π(h)π
h
−1
g
.
Portanto, ε
h
π(g) = π(g)ε
g
−1
h
.
(iv) ε
g
ε
h
= π(g)π(g
−1
)ε
h
= π(g)ε
g
−1
h
π(g
−1
) = ε
gg
−1
h
π(g)π(g
−1
) = ε
h
ε
g
.
Seja A a sub´algebra de B gerada por todos ε
g
’s. Note que, A ´e uma ´algebra
abeliana pelo item (iv) do lema acima. Agora tome g ∈ G arbitr´ario e defina D
g
, o
ideal de A gerado por ε
g
, que denotaremos por ε
g
. Observe que ε
g
= ε
g
A = Aε
g
,
pois claramente ε
g
A ´e o menor ideal de A que cont´em ε
g
, bem como ε
g
; a segunda
igualdade decorre do fato de A ser comutativa. Portanto, D
g
= ε
g
A. Observe ainda
que ε
g
´e a unidade de D
g
, pois para a ∈ D
g
arbitr´ario, temos que a = ε
g
a, para algum
a ∈ A. Logo,
ε
g
a = aε
g
= ε
g
aε
g
= ε
g
ε
g
a = ε
g
a = a.
Lema 2.3.10. Seja g ∈ G arbitr´ario. Defina
α
π
g
: D
g
−1
−→ D
g
a −→ π(g)aπ
g
−1
,
onde D
g
´e como definido acima. Ent˜ao, α
π
´e uma a¸c˜ao parcial de G sobre A.
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente vamos verificar que π(g)Aπ(g
−1
) ⊆ A. Tome em par-
ticular a = ε
h
1
· · · ε
h
n
a
∈ A e note que
π(g)aπ
g
−1
= π(g)ε
h
1
· · · ε
h
n
a
π
g
−1
= ε
gh
1
· · · ε
gh
n
a
π(g)π
g
−1
= ε
gh
1
· · · ε
gh
n
a
ε
g
∈ D
g
⊆ A.
49
Logo, α
π
g
est´a bem definida.
Agora, vamos verificar que α
π
g
´e um isomorfismo de ´algebras. Como a linearidade ´e
imediata, vamos verificar primeiramente que α
π
g
separa o produto. Sejam a, b ∈ D
g
−1
arbitr´arios; ent˜ao, temos que
α
π
g
(a)α
π
g
(b) = π(g) a π
g
−1
π(g) b π
g
−1
= π(g) a ε
g
−1
b π
g
−1
= π(g) ab π
g
−1
= α
π
g
(ab).
Al´em disso, para x ∈ D
g
−1
arbitr´ario,
α
π
g
−1
◦ α
π
g
(x) = π
g
−1
π(g) x π
g
−1
π(g) = ε
g
−1
x ε
g
−1
= x.
Logo, s´o nos falta verificar que α
π
satisfaz os axiomas de a¸c˜ao parcial.
(i) Como ε
e
= π(e)π(e
−1
), D
e
= A .
(ii) Seja h ∈ G arbitr´ario. Queremos mostrar que
α
π
h
−1
(D
h
∩ D
g
−1
) ⊆ D
(gh)
−1
.
Tome a ∈ D
h
∩ D
g
−1
arbitr´ario; ent˜ao, existem a
1
, a
2
∈ A, tais que a = ε
h
a
1
=
ε
g
−1
a
2
. Note que
ε
h
ε
h
a
1
= ε
h
a = ε
h
ε
g
−1
a
2
⇒ ε
h
a
1
= a = ε
h
ε
g
−1
a
2
.
Logo,
α
π
h
−1
(a) = π
h
−1
ε
g
−1
a
2
π(h) = π
h
−1
ε
h
ε
g
−1
a
2
π(h)
= π
h
−1
ε
g
−1
ε
h
a
2
π(h) = ε
h
−1
g
−1
π
h
−1
ε
h
a
2
π
h
−1
= ε
(gh)
−1
α
π
h
−1
(ε
h
a
2
) ∈ D
(gh)
−1
,
donde segue que α
π
h
−1
(D
h
∩ D
g
−1
) ⊆ D
(gh)
−1
.
(iii) Tome a ∈ α
π
h
−1
(D
h
∩ D
g
−1
) = D
h
−1
∩ D
(gh)
−1
e h ∈ G arbitr´arios. Ent˜ao temos
50
que
α
π
g
◦ α
π
h
(a) = α
π
g
π(h) a π
h
−1
= π(g)π(h) a π
h
−1
π
g
−1
= π(g)π(h) ε
h
−1
a ε
h
−1
π
h
−1
π
g
−1
= π(g)π(h)π
h
−1
π(h) a π
h
−1
π(h)π
h
−1
π
g
−1
= π(gh)π
h
−1
π(h) a π
h
−1
π(h)π
h
−1
g
−1
= π(gh) ε
h
−1
a ε
h
−1
π
(gh)
−1
= π(gh) a π
(gh)
−1
= α
π
gh
(a).
Portanto α
π
´e uma a¸c˜ao parcial de G sobre A.
Dadas duas representa¸c˜oes parciais equivalentes (ver defini¸c˜ao 2.3.8), π : G −→ B
e π : G −→
B, observe que as a¸c˜oes parciais α
π
e α
π
(como definidas no lema anterior)
ser˜ao equivalentes. De fato, como π e π s˜ao equivalentes, existe um isomorfismo
ϕ : B −→
B, tal que para todo g ∈ G, temos que π(g) = ϕ(π(g)). Agora, sejam
A ⊆ B e
A ⊆
B, como definidas no contexto do lema anterior; ent˜ao, temos que para
g ∈ G arbitr´ario
ϕ(D
g
) = ϕ(ε
g
A) = ϕ(ε
g
)ϕ(A) = ϕ
π(g)π
g
−1
A
= ϕ(π(g))ϕ
π
g
−1
A = π(g)π
g
−1
A = ε
g
A =
D
g
,
e para x ∈ D
g
−1
arbitr´ario
ϕ ◦ α
π
g
(x) = ϕ
α
π
g
(x)
= ϕ
π(g) x π
g
−1
= ϕ(π(g))ϕ(x)ϕ
π
g
−1
= π(g)ϕ(x)π
g
−1
= α
π
g
(ϕ(x)) = α
π
g
◦ ϕ(x),
donde segue portanto que as a¸c˜oes parciais α
π
e α
π
s˜ao equivalentes.
Proposi¸c˜ao 2.3.11. Seja (A , G, α) um sistema dinˆamico parcial, tal que para todo
g ∈ G, D
g
´e um ´algebra unital, com unidade 1
g
. Seja tamb´em,
A a sub´algebra de
A
α
G gerada por todos os 1
g
δ
e
. Ent˜ao, existe um monomorfismo, ϕ
α
:
A −→ A,
tal que para todo g ∈ G temos que
(i) ϕ
α
(1
g
δ
e
) = 1
g
;
(ii) ϕ
α
◦α
π
α
g
= α
g
◦ϕ
α
, onde π
α
´e como definida no lema 2.3.7 e α
π
α
g
´e como definida
no lema 2.3.10.
51
Em particular, se A ´e gerada pelos elementos 1
g
, ent˜ao as a¸c˜oes parciais α
π
α
e α
s˜ao equivalentes.
Demonstra¸c˜ao. Sabemos que existe um monomorfismo
ψ : A −→ A
α
G
a −→ aδ
e
.
Logo, se restringirmos o contradom´ınio de ψ para Aδ
e
, ψ ser´a um isomorfismo.
Como
A ⊆ Aδ
e
, basta definir ϕ
α
= ψ
−1
|
A
, que claramente ´e um monomorfismo de
A em A, tal que para todo g ∈ G, ϕ
α
(1
g
δ
e
) = 1
g
.
Agora, de acordo com o lema 2.3.7, n´os temos uma representa¸c˜ao parcial
π
α
: G −→ A
α
G
g −→ 1
g
δ
g
,
que pelo le ma 2.3.10 induz uma a¸c˜ao parcial sobre uma sub´algebra de A
α
G , gerada
pelos elementos π
α
(g)π
α
(g
−1
) (para todo g ∈ G). Note que
π
α
(g)π
α
g
−1
= 1
g
δ
g
1
g
−1
δ
g
−1
= α
g
(α
g
−1
(1
g
)1
g
−1
)δ
gg
−1
= α
g
(1
g
−1
1
g
−1
)δ
e
= α
g
(1
g
−1
)δ
e
= 1
g
δ
e
,
logo esta sub´algebra ´e exatamente
A .
Relembrando, para todo g ∈ G, temos que
α
π
α
g
:
D
g
−1
−→
D
g
aδ
e
−→ π
α
(g) aδ
e
π
α
g
−1
,
onde
D
g
= ε
g
A = 1
g
δ
e
A . Ent˜ao, temos que
ϕ
α
◦ α
π
α
g
(aδ
e
) = ϕ
α
π
α
(g) aδ
e
π
α
g
−1
= ϕ
α
(1
g
δ
g
aδ
e
1
g
−1
δ
g
−1
)
= ϕ
α
(1
g
δ
g
a 1
g
−1
δ
g
−1
) = ϕ
α
(α
g
(α
g
−1
(1
g
)a1
g
−1
)δ
gg
−1
)
= ϕ
α
(α
g
(1
g
−1
a 1
g
−1
)δ
e
) = ϕ
α
(α
g
(a)δ
e
) = α
g
(a) = α
g
(ϕ
α
(aδ
e
))
= α
g
◦ ϕ
α
(aδ
e
).
E, por fim, se A ´e gerada pelos elementos 1
g
, e nt˜ao claramente ϕ
α
:
A −→ A ´e
um isomorfismo que d´a a equivalˆencia das a¸c˜oes parciais α
π
α
e α.
52
No que segue, vamos em dire¸c˜ao da demonstra¸c˜ao que a ´algebra parcial de grupo,
que ser´a definida na pr´oxima se¸c˜ao, ser´a isomorfa a um produto cruzado parcial
alg´ebrico. O pr´oximo resultado nos auxiliar´a nesta demonstra¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 2.3.12. Seja π : G −→ B uma representa¸c˜ao parcial do grupo G sobre a
´algebra B. Suponha que a sub´algebra A ⊆ B, bem como a a¸c˜ao parcial α
π
, de G sobre
A, sejam como definidas no contexto do lema 2.3.10. Ent˜ao, a aplica¸c˜ao
φ
π
: A
α
π
G −→ B
g∈G
a
g
δ
g
−→
g∈G
a
g
π(g)
´e um homomorfismo de ´algebras, tal que φ
π
◦ π
α
π
= π. Em particular, se φ
π
´e um
isomorfismo, as representa¸c˜oes parciais π e π
α
π
s˜ao equivalentes.
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, observe que para quaisquer g, h ∈ G, temos que
ε
g
π(gh) = π(g)π
g
−1
π(gh) = π(g)π
g
−1
gh
= π(g)π(h)
= π(g)π
g
−1
g
π(h) = π(g)π
g
−1
π(g)π(h) = ε
g
π(g)π(h).
Portanto, para a
g
∈ D
g
e b
h
∈ D
h
arbitr´arios, temos que
φ
π
(a
g
δ
g
b
h
δ
h
) = φ
π
α
π
g
α
π
g
−1
(a
g
)b
h
δ
gh
= α
π
g
α
π
g
−1
(a
g
)b
h
π(gh)
= α
π
g
α
π
g
−1
(a
g
)b
h
ε
g
π(gh) = α
π
g
α
π
g
−1
(a
g
)b
h
ε
g
π(g)π(h)
= α
π
g
α
π
g
−1
(a
g
)b
h
π(g)π(h) = π(g)α
π
g
−1
(a
g
)b
h
π
g
−1
π(g)π(h)
= π(g)α
π
g
−1
(a
g
)b
h
ε
g
−1
π(h) = π(g)α
π
g
−1
(a
g
)b
h
π(h)
= π(g)π
g
−1
a
g
π(g) b
h
π(h) = ε
g
a
g
π(g) b
h
π(h)
= a
g
π(g) b
h
π(h) = φ
π
(a
g
δ
g
)φ
π
(b
h
δ
h
),
donde segue que φ
π
´e um homomorfismo de ´algebras.
Note ainda, que para g ∈ G qualquer, temos
φ
π
◦ π
α
π
(g) = φ
π
(ε
g
δ
g
) = ε
g
π(g) = π(g)π
g
−1
π(g) = π(g).
Ent˜ao, φ
π
◦ π
α
π
= π.
Por fim, se φ
π
´e um isomorfismo, claramente, segue que as representa¸c˜oes parciais
π
α
π
e π s˜ao equivalentes.
53
2.4 A ´algebra parcial de grupo
Agora n´os veremos que a ´algebra parcial de grupo pode ser naturalmente dotada com
uma estrutura de produto cruzado parcial. Primeiramente, iremos relembrar alguns
conceitos.
Defini¸c˜ao 2.4.1. Sejam G um grupo e K um corpo. A ´algebra de grupo ´e o conjunto
KG = {
g∈G
finita
a
g
δ
g
| g ∈ G, a
g
∈ K},
onde o produto ´e definido para quaisquer
g∈G
a
g
δ
g
,
h∈G
b
h
δ
h
∈ KG por
g∈G
a
g
δ
g
h∈G
b
h
δ
h
=
g,h∈G
a
g
b
h
δ
gh
=
k∈G
l∈G
a
l
b
l
−1
k
δ
k
.
Defini¸c˜ao 2.4.2. Sejam S um conjunto n˜ao vazio e · : S × S −→ S uma opera¸c˜ao
produto. Dizemos que o par ordenado (S, ·) ´e um semigrupo (ou tamb´em denominado
mon´oide) se, para quaisquer s
1
, s
2
, s
3
∈ S, temos que
(i) s
1
(s
2
s
3
) = (s
1
s
2
)s
3
;
(ii) existe e ∈ S, tal que para todo s ∈ S, es = se = s.
Seja G um conjunto. Defina S como sendo o conjunto das palavras formais, finitas,
escritas com eleme ntos de G. Note que S ´e um semigrupo com a opera¸c˜ao de con-
catena¸c˜ao de palavras cujo elemento neutro ´e a palavra vazia. Seja R um conjunto
de rela¸c˜oes, isto ´e, R ´e um conjunto cujos elementos s˜ao pares de palavras de S. A
motiva¸c˜ao para definir R desta forma ´e o desejo de que uma rela¸c˜ao expresse quando
duas palavras de S s˜ao iguais.
Defini¸c˜ao 2.4.3. Uma rela¸c˜ao de equivalˆencia no conjunto S ´e dita invariante ´a
esquerda se, para todo u, v ∈ S tais que u ´e equivalente a v, ent˜ao para todo w ∈ S,
wu ´e equivalente a wv.
De forma similar, define-se uma rela¸c˜ao de equivalˆencia no conjunto S ser invariante
´a direita.
Agora tome a menor rela¸c˜ao de equivalˆencia no conjunto S que cont´em o conjunto
R e ´e invariante `a esquerda e `a direita, ou seja, a intersec¸c˜ao de todas as rela¸c˜oes
de equivalˆencia do conjunto S que cont´em R e s˜ao invariantes `a esquerda e `a direita.
54
Denotaremos esta rela¸c˜ao de equivalˆencia por ∼. Observe que, dadas duas palavras
s, t ∈ S arbitr´arias, teremos que s ∼ t se, atrav´es de uma quantidade finita de trocas
das rela¸c˜oes, chegamos de uma palavra na outra. Dado s ∈ S arbitr´ario, denotaremos
por s a classe de equivalˆencia do elemento S referente `a rela¸c˜ao de equivalˆencia ∼.
Queremos dar ao conjunto S/ ∼ uma estrutura de semigrupo. Portanto, dados
s, t ∈ S defina a seguinte aplica¸c˜ao: s · t = s · t.
´
E f´acil ver que esta aplica¸c˜ao
independe do representante tomado na classe, logo ela est´a bem definida. O fato de
que S/ ∼ munido com a op era¸c˜ao definida acima ´e um semigrup o decorre diretamente
do fato que S ´e um se migrupo.
Defini¸c˜ao 2.4.4. S/ ∼ ´e denominado o semigrupo universal do par (G, R).
A universalidade de S/ ∼ ´e no sentido que se existe um semigrupo G, tal que
existe uma aplica¸c˜ao f : G −→ G, tal que as palavras formadas pela imagem dos
geradores obedece as mesmas rela¸c˜oes R, s´o que agora em G, ent˜ao existe um ´unico
homomorfismo de semigrupo ϕ : S/ ∼ −→ G, tal que o diagrama abaixo comuta, onde
π denota a proje¸c˜ao canˆonica:
G
f
//
π
!!
C
C
C
C
C
C
C
C
G
S/ ∼
ϕ
==
z
z
z
z
z
z
z
z
Defini¸c˜ao 2.4.5. Seja S um semigrupo e K um corpo. A ´algebra de semigrupo ´e o
conjunto
KS = {
s∈S
finita
a
s
δ
s
| s ∈ S, a
s
∈ K},
onde o produto ´e definido para quaisquer
s∈S
a
s
δ
s
,
r∈S
b
r
δ
r
∈ KS por
s∈S
a
s
δ
s
r∈S
b
r
δ
r
=
s,r∈S
a
s
b
r
δ
sr
=
k∈S
s,r∈S
δ
sr,k
a
s
b
r
δ
k
,
e para todo s, r ∈ S, δ
s,r
denota o delta de Kr¨onecker.
Defini¸c˜ao 2.4.6. Sejam G um grupo, com unidade denotada por e, e K um corpo. A
´algebra parcial de grupo, do grupo G sobre o corpo K, que ser´a denotada por Kpar(G),
´e a ´algebra de semigrupo KS(G), onde S(G) ´e o semigrupo universal, gerado pelo
conjunto [G] = {[g] | g ∈ G}, sujeitos as seguintes rela¸c˜oes, para quaisquer g, h ∈ G:
(i) [g
−1
][g][h] = [g
−1
][gh];
55
(ii) [g][h][h
−1
] = [gh][h
−1
];
(iii) [g][e] = [e][g] = [g].
Claramente,
π : G −→ Kpar(G)
g −→ [g]
´e uma representa¸c˜ao parcial, do grupo G na ´algebra Kpar(G). Note que, Kpar(G)
possui a seguinte propriedade universal: para toda representa¸c˜ao parcial π de G
em uma ´algebra unital B qualquer, existe um ´unico homomorfismo de ´algebras, ψ :
Kpar(G) −→ B, tal que π = ψ ◦ π. De fato, seja π uma representa¸c˜ao parcial de G
sobre uma ´algebra unital B. Suponha que exista
ψ : Kpar(G) −→ B, tal que π =
ψ ◦ π.
Ent˜ao, para g ∈ G arbitr´ario, n´os temos que
ψ([g]) = ψ ◦ π(g) = π(g) =
ψ ◦ π(g) =
ψ([g]) ⇒ ψ =
ψ.
Observe ainda, que para todo homomorfismo de ´algebras ψ : Kpar(G) −→ B, a
aplica¸c˜ao ψ ◦ π ´e uma representa¸c˜ao parcial de G sobre B. De fato, para quaisquer
g, h ∈ G temos, por exemplo, que
(ψ ◦ π)
g
−1
(ψ ◦ π)(g)(ψ ◦ π)(h) = ψ
g
−1
ψ([g])ψ([h]) = ψ
g
−1
[g][h]
= ψ
g
−1
[gh]
= ψ
g
−1
ψ([gh])
= (ψ ◦ π)
g
−1
(ψ ◦ π)(gh).
Os outros dois axiomas de representa¸c˜ao parcial s ˜ao demonstrados de maneira
similar.
Teorema 2.4.7. Seja G um grupo e
π : G −→ Kpar(G)
g −→ [g],
que como visto anteriormente, ´e uma representa¸c˜ao parcial de G sobre Kpar(G). Seja
tamb´em A a sub´algebra de Kpar(G)gerada por todos os elementos ε
g
= π(g)π(g
−1
) =
56
[g][g
−1
]. Ent˜ao, o homomorfismo
φ
π
: A
α
π
G −→ Kpar(G)
g∈G
a
g
δ
g
−→
g∈G
a
g
π(g)
´e um isomorfismo.
Demonstra¸c˜ao. Como visto anteriormente na proposi¸c˜ao 2.3.12, φ
π
´e de fato um
homomorfismo. N´os mostraremos que ele possui inversa, donde seguir´a que ele ´e um
isomorfismo.
Pela propriedade universal da ´algebra parcial de grupo Kpar(G), temos que dada
a representa¸c˜ao parcial
π
α
π
: G −→ A
α
π
G
g −→ ε
g
δ
g
existe um ´unico homomorfismo ψ : Kpar(G) −→ A
α
π
G, tal que π
α
π
= ψ ◦ π; logo,
para todo g ∈ G, temos que
π
α
π
(g) = ψ ◦ π(g) = ψ([g]) ⇒ ψ([g]) = ε
g
δ
g
.
Primeiramente, verificaremos que φ
π
◦ ψ = id
Kpar(G)
. Tome g ∈ G arbitr´ario.
Ent˜ao, temos que
φ
π
◦ ψ([g]) = φ
π
(ε
g
δ
g
) = ε
g
π(g) = [g]
g
−1
[g] = [g].
Como a ´algebra Kpar(G) ´e gerada pelos elementos [g], e φ
π
, bem como ψ, s˜ao
homomorfismos, segue que φ
π
◦ ψ = id
Kpar(G)
.
Agora, vamos verificar que ψ ◦ φ
π
= id
A
α
π
G
.
Note que, para g ∈ G arbitr´ario,
ε
g
δ
g
ε
g
−1
δ
g
−1
= α
π
g
α
π
g
−1
(ε
g
)ε
g
−1
δ
gg
−1
= α
π
g
(ε
g
−1
ε
g
−1
)δ
e
= α
π
g
(ε
g
−1
)δ
e
= ε
g
δ
e
.
Relembrando, para todo g ∈ G, D
g
= ε
g
A. Ent˜ao, dado a
g
∈ D
g
arbitr´ario,
57
a
g
= ε
g
ε
h
1
· · · ε
h
s
. Ent˜ao, note que
ψ ◦ φ
π
(a
g
δ
g
) = ψ(φ
π
(a
g
δ
g
)) = ψ(a
g
π(g)) = ψ(ε
g
ε
h
1
· · · ε
h
s
π(g))
= ψ
[g]
g
−1
[h
1
]
(h
1
)
−1
· · · [h
s
]
(h
s
)
−1
[g]
= ψ([g])ψ
g
−1
ψ([h
1
])ψ
h
−1
1
· · · ψ([h
s
])ψ
h
−1
s
ψ([g])
= ε
g
δ
g
ε
g
−1
δ
g
−1
ε
h
1
δ
h
1
ε
h
−1
1
δ
h
−1
1
· · · ε
h
s
δ
h
s
ε
h
−1
1
δ
h
−1
s
ε
g
δ
g
= ε
g
δ
e
ε
h
1
δ
e
· · · ε
h
s
δ
e
ε
g
δ
g
= (ε
g
ε
h
1
· · · ε
h
s
)δ
e
ε
g
δ
g
= ε
g
ε
h
1
· · · ε
h
s
ε
g
δ
g
= ε
g
ε
g
ε
h
1
· · · ε
h
s
δ
g
= ε
g
ε
h
1
· · · ε
h
s
δ
g
= a
g
δ
g
.
Logo, como ψ e φ
π
s˜ao homomorfismos, segue que para
g∈G
a
g
δ
g
∈ A
α
π
G
arbitr´ario, temos que
ψ ◦ φ
π
g∈G
a
g
δ
g
=
g∈G
ψ ◦ φ
π
(a
g
δ
g
) =
g∈G
a
g
δ
g
,
e portanto, ψ ◦ φ
π
= id
A
α
π
G
.
58
Cap´ıtulo 3
Produto cruzado parcial e
C
∗
-´algebras com geradores e
rela¸c˜oes
Na primeira se¸c˜ao deste cap´ıtulo, definiremos o produto cruzado parcial e desenvolve-
remos um pouco de sua teoria b´asica. Na se¸c˜ao 3.2, definiremos a C
∗
-´algebra parcial
de grupo e demonstraremos que ela ´e isomorfa a um produto cruzado parcial. Por
fim, na se¸c˜ao 3.3, veremos que a C
∗
-´algebra parcial de grupo, com mais um conjunto
espec´ıfico de rela¸c˜oes, tamb´em ´e isomorfa a um produto cruzado parcial. Este ´ultimo
resultado ser´a o resultado que utilizaremos para identificar a C
∗
-´algebra universal ge-
rada por duas isometrias compat´ıve is, com um produto cruzado parcial no pr´oximo
cap´ıtulo, que ´e um dos resultados principais desta disserta¸c˜ao.
Este cap´ıtulo teve como base o artigo [5].
3.1 Produto cruzado parcial
Seja (A, G, α) um C
∗
-sistema dinˆamico parcial. Ent˜ao, pela teoria desenvolvida no
cap´ıtulo anterior, temos um produto cruzado parcial alg´ebrico associado a este C
∗
-
sistema dinˆamico parcial, j´a que ele ´e em particular um sistema dinˆamico parcial.
Mas como A possui estruturas adicionais, faz sentido querermos transportar estas
estruturas para o A
α
G. Portanto, defina para todo g ∈ G e a
g
∈ D
g
a seguinte
opera¸c˜ao:
(a
g
δ
g
)
∗
= α
g
−1
a
∗
g
δ
g
−1
.
59
Observe que para g, h ∈ G, a
g
∈ D
g
e a
h
D
h
arbitr´arios, temos que
((a
g
δ
g
)
∗
)
∗
=
α
g
−1
a
∗
g
δ
g
−1
∗
= α
g
α
g
−1
a
∗
g
∗
δ
g
= α
g
(α
g
−1
(a
g
))δ
g
= a
g
δ
g
,
e tamb´em que,
((a
g
δ
g
)(a
h
δ
h
))
∗
= (α
g
(α
g
−1
(a
g
)a
h
)δ
gh
)
∗
= α
(gh)
−1
((α
g
(α
g
−1
(a
g
)a
h
))
∗
)δ
(gh)
−1
= α
(gh)
−1
(α
g
(a
∗
h
(α
g
−1
(a
g
))
∗
))δ
(gh)
−1
= α
h
−1
g
−1
α
g
a
∗
h
α
g
−1
a
∗
g
δ
(gh)
−1
= α
h
−1
a
∗
h
α
g
−1
a
∗
g
δ
(gh)
−1
= α
h
−1
α
h
(α
h
−1
(a
∗
h
))α
g
−1
a
∗
g
δ
h
−1
g
−1
= α
h
−1
(a
∗
h
)δ
h
−1
α
g
−1
a
∗
g
δ
g
−1
= (a
h
δ
h
)
∗
(a
g
δ
g
)
∗
.
Portanto, a aplica¸c˜ao
∗ : A
α
G −→ A
α
G
g∈G
a
g
δ
g
−→
g∈G
(a
g
δ
g
)
∗
´e uma involu¸c˜ao sobre A
α
G, donde segue que agora A
α
G ´e uma ∗-´algebra.
Vamos agora definir uma norma sobre A
α
G.
Proposi¸c˜ao 3.1.1. A aplica¸c˜ao definida por
·
1
: A
α
G −→ R
+
g∈G
a
g
δ
g
−→
g∈G
a
g
A
,
´e uma norma sobre A
α
G, e al´em disso, satisfaz a seguinte propriedade para todo
a ∈ A
α
G:
a
∗
1
= a
1
.
Demonstra¸c˜ao. Sejam
g∈G
a
g
δ
g
,
g∈G
b
g
δ
g
∈ A
α
G e λ ∈ C arbitr´arios. Ent˜ao, temos
que
(i)
g∈G
a
g
δ
g
1
= 0 ⇔
g∈G
a
g
A
= 0 ⇔ ∀g ∈ G, a
g
A
= 0 ⇔
g∈G
a
g
δ
g
= 0.
60
(ii) Para verificarmos que
g∈G
a
g
δ
g
g∈G
b
g
δ
g
1
≤
g∈G
a
g
δ
g
1
g∈G
b
g
δ
g
1
, basta
verificarmos que para quaisquer g, h ∈ G temos que
(a
g
δ
g
)(b
h
δ
h
)
1
≤ a
g
δ
g
1
b
h
δ
h
1
.
De fato,
(a
g
δ
g
)(b
h
δ
h
)
1
= α
g
(α
g
−1
(a
g
)b
h
)δ
gh
1
= α
g
(α
g
−1
(a
g
)b
h
)
A
= α
g
−1
(a
g
)b
h
A
≤ α
g
−1
(a
g
)
A
b
h
A
= a
g
A
b
h
A
= a
g
δ
g
1
b
h
δ
h
1
.
Como a aplica¸c˜ao ·
1
´e claramente sub-linear, segue que ela ´e uma norma sobre
A
α
G, e al´em disso,
g∈G
a
g
δ
g
∗
1
=
g∈G
α
g
−1
a
∗
g
δ
g
−1
1
=
g∈G
α
g
−1
a
∗
g
A
=
g∈G
a
∗
g
A
=
g∈G
a
g
A
=
g∈G
a
g
δ
g
1
.
Seja
B = (A
α
G, ∗, ·
1
). (3.1)
Logo, B ´e uma ∗-´algebra normada.
Defini¸c˜ao 3.1.2. Dado um C
∗
-sistema dinˆamico parcial (A, G, α), o produto cruzado
parcial de A por G, correspondente a α, ´e a C
∗
-´algebra envolvente (ver defini¸c˜ao A.2.1)
de B, onde B ´e como definida acima.
Observa¸c˜ao 3.1.3. Denotaremos o produto cruzado parcial de A por G, correspon-
dente a α, tamb´em p or A
α
G, adotando a conven¸c˜ao de que sempre que tivermos um
C
∗
-sistema dinˆamico parcial, A
α
G denota C
∗
e
(B) e quando tivermos simplesmente
um sistema dinˆamico parcial, A
α
G denota o produto cruzado parcial alg´ebrico.
Note que o produto cruzado parcial ´e associativo, j´a que todo ideal de uma C
∗
-
´algebra ´e idempotente (ver p. 82 em [14]).
A constru¸c˜ao da C
∗
-´algebra envolvente de uma ∗-´algebra normada envolve um
quociente por um ideal (ver a constru¸c˜ao feita no apˆendice A), mas na constru¸c˜ao do
produto cruzado parcial este ideal ´e o ideal trivial nulo, pelo teorema B.2.13.
61
No cap´ıtulo anterior, demonstramos que, dado (A , G, α) um sistema dinˆamico
parcial tal que para todo g ∈ G, D
g
´e um ´algebra unital, com unidade 1
g
, ent˜ao a
aplica¸c˜ao
π
α
: G −→ A
α
G
g −→ 1
g
δ
g
´e uma representa¸c˜ao parcial de G sobre A
α
G (lema 2.3.7). Note que se tiv´essemos
como hip´otese um C
∗
-sistema dinˆamico parcial, ent˜ao ter´ıamos que π ´e uma ∗- repre-
senta¸c˜ao de G sobre A
α
G, j´a que
(π(g))
∗
= (1
g
δ
g
)
∗
= α
g
−1
(1
g
∗
)δ
g
−1
= α
g
−1
(1
g
)δ
g
−1
= 1
g
−1
δ
g
−1
= π
g
−1
.
Defini¸c˜ao 3.1.4. Dados um C
∗
-sistema dinˆamico parcial (A , G, α), C uma C
∗
-´algebra,
π : G −→ C uma representa¸c˜ao parcial e ϕ : A −→ C um homomorfismo, dizemos que
o par (ϕ, π) ´e α-covariante, se satisfaz as seguintes condi¸c˜oes, para quaisquer g ∈ G,
a
g
−1
∈ D
g
−1
e a ∈ A:
(i) ϕ(α
g
(a
g
−1
)) = π(g)ϕ(a
g
−1
)π(g)
∗
;
(ii) ϕ(a)ε
g
= ε
g
ϕ(a).
A importˆancia da defini¸c˜ao acima fica evidente ao enunciarmos o pr´oximo teorema.
Teorema 3.1.5. Seja (ϕ, π) um par α-covariante, onde ϕ : A −→ C e π : G −→ C.
Ent˜ao existe uma ´unica representa¸c˜ao (ϕ × π) : A
α
G −→ C, tal que para todo g ∈ G
e a
g
∈ D
g
(ϕ × π)(a
g
δ
g
) = ϕ(a
g
)π(g).
Demonstra¸c˜ao. Defina
ρ : B −→ C
g∈G
a
g
δ
g
−→
g∈G
ϕ(a
g
)π(g),
onde B ´e como definida em 3.1. Vamos mostrar que ρ ´e uma representa¸c˜ao contrativa
de B.
1. ρ ´e um homomorfismo: como ρ ´e claramente linear, basta verificarmos que ela
separa o produto e preserva a involu¸c˜ao.
62
• Sejam g, h ∈ G, a
g
∈ D
g
e b
h
∈ D
h
arbitr´arios. Ent˜ao, temos que
ρ((a
g
δ
g
)(b
h
δ
h
)) = ρ(α
g
(α
g
−1
(a
g
)b
h
)δ
gh
) = ϕ(α
g
(α
g
−1
(a
g
)b
h
))π(gh)
= π(g)ϕ(α
g
−1
(a
g
)b
h
)π(g)
∗
π(gh)
= π(g)ϕ(α
g
−1
(a
g
))ϕ(b
h
)π(g)
∗
π(gh)
= π(g)π
g
−1
ϕ(a
g
)π(g)ϕ(b
h
)π(g)
∗
π(gh)
= ϕ(a
g
)π(g)π
g
−1
π(g)ϕ(b
h
)π(g)
∗
π(g)π(h)
= ϕ(a
g
)π(g)π(g)
∗
π(g)ϕ(b
h
)π(h)
= ϕ(a
g
)π(g)ϕ(b
h
)π(h) = ρ(a
g
δ
g
)ρ(b
h
δ
h
).
Portanto, como ρ ´e linear, segue que para
g∈G
a
g
δ
g
,
g∈G
b
g
δ
g
∈ B arbitr´arios,
temos que
ρ
g∈G
a
g
δ
g
g∈G
b
g
δ
g
= ρ
g∈G
a
g
δ
g
ρ
g∈G
b
g
δ
g
.
• Sejam g ∈ G e a
g
∈ D
g
arbitr´arios. Ent˜ao, temos que
ρ((a
g
δ
g
)
∗
) = ρ
α
g
−1
a
∗
g
δ
g
−1
= ϕ
α
g
−1
a
∗
g
π
g
−1
= π(g)
∗
ϕ
a
∗
g
π(g)π(g)
∗
= π(g)
∗
π(g)π(g)
∗
ϕ(a
g
)
∗
= π(g)
∗
ϕ(a
g
)
∗
= (ϕ(a
g
)π(g))
∗
= ρ(a
g
δ
g
)
∗
.
E novamente, como ρ ´e linear, segue que para
g∈G
a
g
δ
g
∈ B arbitr´ario, temos
que
ρ
g∈G
a
g
δ
g
∗
= ρ
g∈G
a
g
δ
g
∗
.
63
2. ρ ´e contrativa: Seja
g∈G
a
g
δ
g
∈ B arbitr´ario. Ent˜ao, temos que
ρ
g∈G
a
g
δ
g
=
g∈G
ϕ(a
g
)π(g)
≤
g∈G
ϕ(a
g
)π(g)
≤
g∈G
ϕ(a
g
)π(g) ≤
g∈G
ϕ(a
g
)
≤
g∈G
a
g
=
g∈G
a
g
δ
g
1
.
Portanto, ρ ´e uma representa¸c˜ao contrativa de B, logo pela propriedade universal
de A
α
G, existe um ´unico homomorfismo, que denotaremos por ϕ × π, tal que o
diagrama abaixo comuta:
B
ρ
//
ι
$$
H
H
H
H
H
H
H
H
H
C
A
α
G
ϕ×π
;;
w
w
w
w
w
w
w
w
w
Portanto, para g ∈ G e a
g
∈ D
g
arbitr´arios, temos que
(ϕ × π)(a
g
δ
g
) = (ϕ × π) ◦ ι(a
g
δ
g
) = ρ(a
g
δ
g
) = ϕ(a
g
)π(g),
como quer´ıamos demonstrar.
Observa¸c˜ao 3.1.6. No teorema acima, quando C = B(H), para algum espa¸co de
Hilbert H, a rec´ıproca ´e verdadeira, ou seja, existe uma correspondˆencia bijetora entre
representa¸c˜oes covariantes de (A, G, α) sobre H e representa¸c˜oes n˜ao-degeneradas de
A
α
G sobre H (ver teorema 1.4 em [5]).
3.2 C
∗
-´algebra parcial de grupo
Seja G um grupo com unidade e, G = G × {1}, isto ´e, um conjunto que possui a
mesma cardinalidade de G e ´e disj unto de G. Dado um elemento arbitr´ario (g, 1) ∈ G,
o denotaremos simplesmente por [g]. Tome
R =
[e] = 1,
g
−1
= [g]
∗
, [g][h]
h
−1
= [gh]
h
−1
| g, h ∈ G
.
Note que o par (G, R) definido acima ´e admiss´ıvel (ver defini¸c˜ao A.1.4), j´a que,
64
para qualquer ρ representa¸c˜ao de (G, R) e para qualquer g ∈ G, temos que
ρ([g])ρ([g])
∗
ρ([g]) = ρ
[g]
g
−1
[g]
= ρ([g]),
o que implica que ρ([g])
∗
ρ([g]) ´e uma proje¸c˜ao (ver proposi¸c˜ao 4.2.2 em [15]), e por-
tanto,
ρ([g])
2
= ρ([g])
∗
ρ([g]) ≤ 1 ⇒ ρ([g]) ≤ 1.
Logo, existe C
∗
(G, R) .
Defini¸c˜ao 3.2.1. A C
∗
(G, R) definida acima, ´e denominada a C
∗
-´algebra parcial de
grupo e ser´a denotada por C
∗
p
(G).
Note que C
∗
p
(G) ´e a vers˜ao C
∗
-´alg´ebrica de K
par
(G).
Como mencionado anteriormente, um dos objetivos deste cap´ıtulo ´e demonstrar
que a C
∗
-´algebra parcial de grupo ´e isomorfa a um produto cruzado parcial. Para de-
monstrar este fato, precisamos primeiro construir um produto cruzado parcial. Vamos
tentar motivar esta constru¸c˜ao, relembrando que, na vers˜ao alg´ebrica, mostramos que
a ´algebra Kpar(G) ´e isomorfa a um produto cruzado parcial alg´ebrico A
α
G, onde
a ´algebra A ´e a ´algebra gerada pelos elementos ε
g
’s, provenientes de uma dada repre-
senta¸c˜ao parcial. Como em C
∗
p
(G) temos as rela¸c˜oes de representa¸c˜ao parcial, vamos
considerar para todo g ∈ G, ε
g
= [g][g]
∗
, onde [g][g]
∗
denota a classe de equivalˆencia do
elemento [g][g]
∗
, referente ao quo ciente pelo n´ucleo da norma definida na constru¸c˜ao
de C
∗
-´algebra universal (ver constru¸c˜ao no apˆendice 1). Ent˜ao ´e de se esperar que
exista alguma rela¸c˜ao entre a sub-C
∗
-´algebra da C
∗
-´algebra parcial de grupo, que ´e
gerada por todos estes ε
g
’s, que denotaremos por C
∗
{ε
g
| g ∈ G} e a C
∗
-´algebra do
C
∗
-sistema dinˆamico que estamos buscando.
Note que como C
∗
{ε
g
| g ∈ G} ´e comutativa, temos que
C
∗
{ε
g
| g ∈ G}
∼
=
C(E),
onde E denota o espectro da C
∗
-´algebra C
∗
{ε
g
| g ∈ G} (ver teorema 3.3.6 em [15]).
Al´em disso, E ´e compacto e Hausdorff, j´a que C
∗
{ε
g
| g ∈ G} possui unidade (ver
teorema 3.2.10 em [15]).
Continuando a motiva¸c˜ao, na tentativa de obter mais informa¸c˜oes a respeito do
espectro desta ´algebra, note que como em C
∗
p
(G) temos a rela¸c˜ao de que para todo
g ∈ G, ε
g
2
= ε
g
, para qualquer homomorfismo complexo n˜ao nulo ϕ ∈ E, temos que
ϕ(ε
g
)
2
= ϕ(ε
g
)ϕ(ε
g
) = ϕ
ε
g
2
= ϕ(ε
g
),
65
o que implica ϕ(ε
g
) ∈ {0, 1}. Ent˜ao, podemos concluir que o homomorfismo ϕ est´a
associado a um elemento de {0, 1}
G
. Sendo assim, temos uma C
∗
-´algebra candidata,
a saber, C(E), onde conclu´ımos que E tem que ser um espa¸co compacto Hausdorff e
ele est´a “associado” a um subconjunto de {0, 1}
G
. Esta foi uma tentativa de motivar
o que segue.
Considere o conjunto {0, 1} com a topologia discreta; logo, {0, 1} ´e compacto e,
portanto, {0, 1}
G
tamb´em ´e compacto pelo teorema de Tychonoff (ver teorema 17.8 em
[17]); obviamente, es tamos considerando {0, 1}
G
equipado com a topologia produto.
Ainda, como {0, 1} ´e Hausdorff, segue que {0, 1}
G
tamb´em ´e Hausdorff (ver teorema
13.8 em [17]).
Defina agora os dois seguintes conjuntos:
X
G
=
w ∈ {0, 1}
G
| w
e
= 1
e X
G
= {ξ ⊆ G | e ∈ ξ}.
Voltando a motiva¸c˜ao, a escolha desta caracter´ıstica particular de que um elemento
w ∈ X
G
se w
e
= 1, se deve ao fato, de que para a ϕ da motiva¸c˜ao, temos que ϕ(ε
e
) = 1,
j´a que ϕ ´e um homomorfismo n˜ao nulo e ε
e
´e a unidade de C
∗
p
(G).
Observe que X
G
⊆ {0, 1}
G
e X
G
⊆ P(G). Portanto, estaremos considerando a
topologia induzida de {0, 1}
G
sobre X
G
, ou seja, um net
w
λ
λ∈Λ
⊆ X
G
converge para
um elemento w ∈ X
G
se, e somente se, para todo g ∈ G, w
λ
g
→ w
g
, isto ´e, para todo
g ∈ G, existe λ
0
∈ Λ, tal que para todo λ ≥ λ
0
, w
λ
g
= w
g
. E em X
G
, estaremos
considerando a top ologia induzida de P(G), ou seja, um net {ξ
λ
}
λ∈Λ
⊆ X
G
converge
para um elemento ξ ∈ X
G
se, e somente se, para todo g ∈ G, lim
λ→∞
[g ∈ ξ
λ
] = [g ∈ ξ],
isto ´e, para todo g ∈ G, existe λ
0
∈ Λ, tal que para todo λ ≥ λ
0
, [g ∈ ξ
λ
] = [g ∈ ξ],
onde [·] denota a fun¸c˜ao boleana (isto ´e, [g ∈ ξ] = 0 se g /∈ ξ e [g ∈ ξ] = 1 se g ∈ ξ).
Existe uma identifica¸c˜ao natural entre os elementos de X
G
e X
G
. Dado um elemento
w ∈ X
G
, podemos construir um elemento ξ ∈ X
G
, da seguinte maneira:
g ∈ ξ ⇔ w
g
= 1.
Reciprocamente, dado um elemento ξ ∈ X
G
, podemos construir um elemento w ∈ X
G
,
da mesma forma. Como esta identifica¸c˜ao ´e um homeomorfismo, nos permitiremos
“confundir” estes dois conjuntos, optando pela defini¸c˜ao que for mais conveniente no
contexto.
Nosso primeiro objetivo ser´a construir uma a¸c˜ao parcial sobre X
G
. Defina portanto,
para todo g ∈ G o seguinte conjunto:
X
g
= {ξ ∈ X
G
| g ∈ ξ} ⊆ X
G
.
66
Note que a vers˜ao deste conjunto em X
G
´e a seguinte:
X
g
=
w ∈ X
G
| w
g
= 1
.
E novamente como X
g
e X
g
s˜ao homeomorfos, nos permitiremos “confundir” estes dois
conjuntos, optando pela defini¸c˜ao que for mais conveniente no contexto.
Lema 3.2.2. Dado g ∈ G arbitr´ario, ent˜ao X
g
´e um subconjunto aberto e fechado de
X
G
.
Demonstra¸c˜ao. Observe que X
g
= π
−1
g
({1}), onde π
g
: X
G
−→ {0, 1} ´e a proje¸c˜ao
canˆonica na g-´esima entrada, que ´e cont´ınua, j´a que a topologia de X
G
´e a topologia
induzida da topologia produto de {0, 1}
G
. Logo, X
g
´e ab e rto e fechado em X
G
, pois ´e
a imagem inversa de {1} ⊆ {0, 1} que ´e aberto e fechado (pois a topologia que estamos
considerando em {0, 1} ´e a topologia discreta) por uma fun¸c˜ao cont´ınua.
Lema 3.2.3. Dado g ∈ G arbitr´ario, ent˜ao
θ
g
: X
g
−1
−→ X
g
ξ −→ gξ
´e um homeomorfismo.
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente observe que a aplica¸c˜ao θ
g
est´a bem definida, pois dado
qualquer ξ ∈ X
g
−1
, como e ∈ ξ, segue que g ∈ gξ. Al´em disso, como g
−1
∈ ξ, segue
que e ∈ gξ.
Agora note que
θ
g
−1
: X
g
−→ X
g
−1
ξ −→ g
−1
ξ
´e tal que para todo ξ ∈ X
g
−1
, temos que
θ
g
−1
◦ θ
g
(ξ) = θ
g
−1
(gξ) = g
−1
gξ = ξ,
e para todo ξ ∈ X
g
, tamb´em temos que
θ
g
θ
g
−1
(ξ) = θ
g
g
−1
ξ
= gg
−1
ξ = ξ,
portanto, θ
g
´e invers´ıvel, e ainda, θ
−1
g
= θ
g
−1
.
67
Agora vamos verificar que θ
g
´e cont´ınua. Sejam {ξ
λ
}
λ∈Λ
⊆ X
g
−1
um net e ξ ∈ X
g
−1
,
tais que ξ
λ
→ ξ. Queremos mostrar que θ
g
(ξ
λ
) → θ
g
(ξ), ou seja, que para todo h ∈ G,
existe λ
0
∈ Λ, tal que para todo λ ≥ λ
0
, [h ∈ gξ
λ
] = [h ∈ gξ].
Ent˜ao, fixe h ∈ G arbitr´ario e note que como g
−1
h ∈ G e ξ
λ
→ ξ, temos que existe
λ
0
∈ Λ, tal que para todo λ ≥ λ
0
, [g
−1
h ∈ ξ
λ
] = [g
−1
h ∈ ξ], ou seja, existe λ
0
∈ Λ, tal
que para todo λ ≥ λ
0
, [h ∈ gξ
λ
] = [h ∈ gξ], donde segue que θ
g
´e cont´ınua.
De maneira an´aloga mostra-se que θ
g
−1
tamb´em ´e cont´ınua, e portanto, θ
g
´e um
homeomorfismo.
Proposi¸c˜ao 3.2.4. O par ordenado
{X
g
}
g∈G
, {θ
g
}
g∈G
´e uma a¸c˜ao parcial de G
sobre X
G
.
Demonstra¸c˜ao. Sejam g, h ∈ G arbitr´arios. Ent˜ao, pelo lema 3.2.2, X
g
´e aberto e
pelo lema 3.2.3, θ
g
´e um homeomorfismo. Logo, nos resta apenas verificar que o par
{X
g
}
g∈G
, {θ
g
}
g∈G
satisfaz os axiomas de a¸c˜ao parcial.
(i) X
e
= {ξ ∈ X
G
| e ∈ ξ} ´e por defini¸c˜ao o conjunto X
G
.
(ii) Queremos mostrar que θ
g
(X
g
−1
∩ X
h
) ⊆ X
gh
. Ent˜ao tome ξ ∈ X
g
−1
∩ X
h
ar-
bitr´ario e note que g
−1
∈ ξ e h ∈ ξ. Logo, θ
g
(ξ) = gξ ∈ X
gh
, j´a que h ∈ ξ,
implica gh ∈ gξ. Portanto, θ
g
(X
g
−1
∩ X
h
) ⊆ X
gh
.
(iii) Queremos mostrar que para todo ξ ∈ X
h
−1
∩ X
(gh)
−1
, θ
gh
(ξ) = θ
g
◦ θ
h
(ξ). Ent˜ao,
tome ξ ∈ X
h
−1
∩ X
(gh)
−1
arbitr´ario, logo
θ
g
◦ θ
h
(ξ) = θ
g
(hξ) = ghξ = θ
gh
(ξ),
j´a que hξ ∈ X
g
−1
, pois ξ ∈ X
h
−1
∩ X
(gh)
−1
e θ
h
X
h
−1
∩ X
(gh)
−1
= X
h
∩
X
hh
−1
g
−1
= X
h
∩ X
g
−1
.
Portanto,
{X
g
}
g∈G
, {θ
g
}
g∈G
´e uma a¸c˜ao parcial de G sobre X
G
.
Agora, observe que X
G
⊆ {0, 1}
G
´e compacto Hausdorff, j´a que subconjuntos de
um espa¸co Hausdorff s˜ao Hausdorff e subconjuntos fechados de um espa¸co compacto
s˜ao compactos. Pelas mesmas raz˜oes, temos que para todo g ∈ G, X
g
⊆ X
G
tamb´em
´e compacto e Hausdorff. Portanto, defina para todo g ∈ G
D
g
= {f ∈ C(X
G
) | ∀x /∈ X
g
, f(x) = 0},
68
e tamb´em
α
g
: D
g
−1
−→ D
g
f −→ α
g
(f),
onde
α
g
(f)(x) =
f ◦ θ
g
−1
(x), se x ∈ X
g
;
0, se x /∈ X
g
.
Ent˜ao, pelo exemplo 2.1.10, temos que o par ordenado
{D
g
}
g∈G
, {α
g
}
g∈G
´e uma
a¸c˜ao parcial de G sobre C
0
(X
G
) = C(X
G
), j´a que X
G
´e compacto.
Logo, o produto cruzado parcial, proveniente deste C
∗
-sistema dinˆamico, ser´a o
nosso candidato a ser isomorfo a C
∗
p
(G). Iremos portanto, construir um homomorfismo
de C
∗
p
(G) em C(X
G
)
α
G e outro, de C(X
G
)
α
G em C
∗
p
(G) e mostrar que um ´e o
inverso do outro. O primeiro homomorfismo ser´a f´acil de construir, pois C
∗
p
(G) ´e uma
C
∗
-´algebra universal, j´a o segundo dar´a mais trabalho. Para constru´ı-lo recorreremos
a constru¸c˜ao de um par α-covariante e pelo teorema 3.1.5 teremos o homomorfismo
desejado. Mas antes, vamos fazer um estudo um pouco mais aprofundado destes ideais
D
g
’s.
Fixe g ∈ G arbitr´ario e denote por 1
g
a fun¸c˜ao caracter´ıstica de X
g
, que ´e cont´ınua,
j´a que X
g
´e aberto e fechado em X
G
. Note que 1
g
∈ D
g
e ainda, que 1
g
´e a unidade deste
ideal. Denote por D o conjunto span{1
g
1
h
1
· · · 1
h
n
| n ∈ N
∗
, h
1
, · · · , h
n
∈ G}. Clara-
mente D ´e uma sub´algebra de D
g
e observe que ela satisfaz as s eguintes condi¸c˜oes:
1. D ´e uma sub´algebra unital de D
g
, j´a que 1
g
∈ D;
2. D ´e auto-adjunta;
3. D separa pontos de X
g
, pois dados ξ = η ∈ X
g
, sem perda de generalidade,
existe h ∈ ξ, tal que h /∈ η. Logo, 1
g
1
h
(ξ) = 1
g
(ξ)1
h
(ξ) = 1 · 1 = 1 e 1
g
1
h
(η) =
1
g
(η)1
h
(η) = 1 · 0 = 0.
Portanto, pelo teorema de Stone-Weierstrass (ver teorema A.6.9 em [15]) D = D
g
.
Algumas contas b´asicas envolvendo os elementos 1
g
, como definidos acima, ser˜ao
freq¨uentes ao longo das pr´oximas demonstra¸c˜oes, por isso faremos uma pequena co-
letˆanea destas contas no pr´oximo lema.
Lema 3.2.5. Dado g ∈ G arbitr´ario, seja 1
g
como definido acima. Ent˜ao as seguintes
afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras:
(i) (1
e
δ
e
)(1
g
δ
g
) = 1
g
δ
g
;
69
(ii) (1
g
δ
g
)(1
e
δ
e
) = 1
g
δ
g
;
(iii) (1
g
δ
g
)
∗
= 1
g
−1
δ
g
−1
;
(iv) (1
g
δ
g
)(1
g
−1
δ
g
−1
) = 1
g
δ
e
.
Demonstra¸c˜ao.
(i) (1
e
δ
e
)(1
g
δ
g
) = α
e
(α
e
−1
(1
e
)1
g
)δ
eg
= α
e
(1
e
1
g
)δ
g
= α
e
(1
g
)δ
g
= 1
g
δ
g
, j´a que 1
e
´e a
unidade de X
G
.
(ii) (1
g
δ
g
)(1
e
δ
e
) = α
g
(α
g
−1
(1
g
)1
e
)δ
ge
= α
g
(1
g
−1
1
e
)δ
g
= α
g
(1
g
−1
)δ
g
= 1
g
δ
g
.
(iii) (1
g
δ
g
)
∗
= α
g
−1
(1
g
∗
)δ
g
−1
= α
g
−1
(1
g
)δ
g
−1
= 1
g
−1
δ
g
−1
.
(iv) (1
g
δ
g
)(1
g
−1
δ
g
−1
) = α
g
(α
g
−1
(1
g
)1
g
−1
)δ
gg
−1
= α
g
(1
g
−1
1
g
−1
)δ
e
= α
g
(1
g
−1
)δ
e
= 1
g
δ
e
.
Note que segue dos itens (i) e (ii) do lema acima, que 1
e
δ
e
´e a unidade de C(X
G
)
α
G.
Lema 3.2.6. Existe um homomorfismo ψ : C
∗
p
(G) −→ C(X
G
)
α
G, tal que para todo
g ∈ G, ψ
[g]
= 1
g
δ
g
.
Demonstra¸c˜ao. Defina
ρ : G −→ C(X
G
)
α
G
[g] −→ 1
g
δ
g
,
vamos verificar que ρ satisfaz R. Sejam g, h ∈ G arbitr´arios, ent˜ao temos que
(i)
ρ
g
−1
− [g]
∗
=
ρ
g
−1
− ρ([g])
∗
= 1
g
−1
δ
g
−1
− (1
g
δ
g
)
∗
= 1
g
−1
δ
g
−1
− 1
g
−1
δ
g
−1
= 0.
(ii)
ρ
[g][h]
h
−1
− [gh]
h
−1
=
ρ([g])ρ([h])ρ
h
−1
− ρ([gh])ρ
h
−1
= (1
g
δ
g
1
h
δ
h
)1
h
−1
δ
h
−1
− 1
gh
δ
gh
1
h
−1
δ
h
−1
(3.2)
Agora, observe que
(1
g
δ
g
1
h
δ
h
)1
h
−1
δ
h
−1
= (α
g
(α
g
−1
(1
g
)1
h
)δ
gh
)1
h
−1
δ
h
−1
= (α
g
(1
g
−1
1
h
)δ
gh
)1
h
−1
δ
h
−1
= (1
g
1
gh
δ
gh
)1
h
−1
δ
h
−1
= α
gh
α
(gh)
−1
(1
g
1
gh
)1
h
−1
δ
ghh
−1
= α
gh
1
(gh)
−1
1
h
−1
g
−1
g
1
h
−1
δ
g
= α
gh
1
(gh)
−1
1
h
−1
δ
g
= 1
gh
1
g
δ
g
. (3.3)
70
E tamb´em que
1
gh
δ
gh
1
h
−1
δ
h
−1
= α
gh
α
(gh)
−1
(1
gh
)1
h
−1
δ
ghh
−1
= α
gh
1
(gh)
−1
1
h
−1
δ
g
= 1
gh
1
g
δ
g
. (3.4)
Logo, substituindo as equa¸c˜oes 3.3 e 3.4 em 3.2, obtemos
ρ
[g][h]
h
−1
− [gh]
h
−1
= 0.
Portanto, ρ ´e uma representa¸c˜ao de (G, R) e pela propriedade universal de C
∗
p
(G),
temos que existe um ´unico homomorfismo ψ, tal que o diagrama abaixo comuta:
G
ρ
//
ι
!!
D
D
D
D
D
D
D
D
D
C(X
G
)
α
G
C
∗
p
(G)
ψ
88
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
Ent˜ao, para todo g ∈ G, temos que
ψ
[g]
= ψ ◦ ι([g]) = ρ([g]) = 1
g
δ
g
,
donde segue o resultado.
Agora, vamos na dire¸c˜ao da constru¸c˜ao do par α-covariante. Para isso, precisare-
mos primeiramente ver C(X
G
) como uma C
∗
-´algebra universal, que pela motiva¸c˜ao
que fizemos anteriormente, vemos que ela ter´a que ser a C
∗
-´algebra universal “ge-
rada pelos ε
g
’s”. Uma vez feita esta identifica¸c˜ao, construiremos um homomorfismo
desta C
∗
-´algebra universal para C
∗
p
(G), para ent˜ao obter o homomorfismo do par α-
covariante.
Seja G
G
= {e
g
| g ∈ G} e
R
G
=
e
e
= 1, e
g
= e
∗
g
, e
g
e
g
= e
g
, e
h
e
g
= e
g
e
h
| g, h ∈ G
.
Note que se ρ ´e uma representa¸c˜ao de (G
G
, R
G
), ent˜ao para todo g ∈ G temos que
ρ(e
g
)
2
= ρ(e
g
)ρ(e
g
)
∗
= ρ(e
g
) ⇒ ρ(e
g
) ≤ 1,
e portanto, o par (G
G
, R
G
) ´e admiss´ıvel, donde segue que existe C
∗
(G
G
, R
G
) . Observe
71
que C
∗
(G
G
, R
G
) ´e uma C
∗
-´algebra comutativa, logo
C
∗
(G
G
, R
G
)
∼
=
C(E
G
),
onde E
G
denota o espectro da C
∗
-´algebra C
∗
(G
G
, R
G
) .
Lema 3.2.7. C(X
G
) e C
∗
(G
G
, R
G
) s˜ao isomorfas.
Demonstra¸c˜ao. Para demonstrar que C(X
G
) e C
∗
(G
G
, R
G
) s˜ao isomorfas, mostrare-
mos que X
G
e E
G
s˜ao homeomorfos, pois
X
G
E
G
⇒ C(X
G
)
∼
=
C(E
G
)
∼
=
C
∗
(G
G
, R
G
) .
Portanto, defina para ξ ∈ X
G
arbitr´ario, a seguinte aplica¸c˜ao:
T
ξ
: G
G
−→ C
e
g
−→ [g ∈ ξ].
Vamos verificar que T
ξ
´e uma representa¸c˜ao de (G
G
, R
G
). Tome g, h ∈ G ar-
bitr´arios; ent˜ao, temos que
1.
T
ξ
e
g
− e
∗
g
=
T
ξ
(e
g
) − T
ξ
(e
g
)
=
[g ∈ ξ] − [g ∈ ξ]
= 0, pois [g ∈ ξ] ∈ {0, 1}.
2.
T
ξ
(e
g
e
g
− e
g
)
= T
ξ
(e
g
)T
ξ
(e
g
) − T
ξ
(e
g
) = [g ∈ ξ][g ∈ ξ] − [g ∈ ξ] = 0, no-
vamente por [g ∈ ξ] ∈ {0, 1}.
3.
T
ξ
(e
g
e
h
− e
h
e
g
)
= T
ξ
(e
g
)T
ξ
(e
h
) − T
ξ
(e
h
)T
ξ
(e
g
)
= [g ∈ ξ][h ∈ ξ] − [h ∈ ξ][g ∈ ξ] = 0.
Portanto T
ξ
´e uma representa¸c˜ao de (G
G
, R
G
) e, pela propriedade universal de
C
∗
(G
G
, R
G
) , temos que existe um ´unico homomorfismo
T
ξ
, tal que o diagrama abaixo
comuta:
G
G
T
ξ
//
ι
&&
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
C
C
∗
(G
G
, R
G
)
T
ξ
99
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
Observe que como
T
ξ
´e um homomorfismo entre C
∗
-´algebras,
T
ξ
≤ 1 (ver teorema
2.1.7 em [14]).
Note ainda que
T
ξ
´e n˜ao nulo, j´a que
T
ξ
(e
e
) =
T
ξ
◦ ι(e
e
) = T
ξ
(e
e
) = 1
72
e, sendo assim, fica bem definida a seguinte aplica¸c˜ao:
T : X
G
−→ E
G
ξ −→
T
ξ
.
Agora, resta-nos verificar que
T ´e um homeomorfismo.
• Injetividade de
T : Tome ξ, η ∈ X
G
tais que ξ = η; ent˜ao, sem perda de gene-
ralidade, existe g ∈ ξ, tal que g /∈ η. Logo, temos que
T
ξ
(e
g
) = T
ξ
(e
g
) = 1 e
T
η
(e
g
) = T
η
(e
g
) = 0, donde segue que
T
ξ
=
T
η
.
• Sobrejetividade de
T : Dado ϕ ∈ E
G
arbitr´ario, defina
ξ = {g ∈ G | ϕ(e
g
) = 1}.
Observe que ξ ∈ X
G
, pois ϕ(e
e
) = 1, j´a que e
e
´e a unidade de C
∗
(G
G
, R
G
) e ϕ
´e um homomorfismo n˜ao nulo.
• Continuidade de
T : Tome {ξ
λ
}
λ∈Λ
⊆ X
G
um net e ξ ∈ X
G
, tais que ξ
λ
→ ξ.
Mostraremos que
T
ξ
λ
→
T
ξ
.
Como ξ
λ
→ ξ, temos que para g ∈ G arbitr´ario, existe λ
0
∈ Λ tal que, para todo
λ ≥ λ
0
, [g ∈ ξ
λ
] = [g ∈ ξ]. Ent˜ao, para todo λ ≥ λ
0
, temos que
T
ξ
λ
(e
g
) = T
ξ
λ
(e
g
) = [g ∈ ξ
λ
] = [g ∈ ξ] = T
ξ
(e
g
) =
T
ξ
(e
g
)
e, portanto, como para todo ξ ∈ X
G
,
T
ξ
´e um homomorfismo, temos que para
todo x ∈ B/N, onde B/N ´e como definido na constru¸c˜ao de C
∗
-´algebra universal
(ver constru¸c˜ao no apˆendice A),
T
ξ
λ
(x) →
T
ξ
(x).
Agora, vamos mostrar que para todo y ∈ C
∗
(G
G
, R
G
) ,
T
ξ
λ
(y) →
T
ξ
(y).
Tome ε > 0 e y ∈ C
∗
(G
G
, R
G
) arbitr´arios; ent˜ao, existe x ∈ B/N tal que
y − x <
ε
3
. Sabemos tamb´em que existe λ
0
∈ Λ tal que, para todo λ ≥ λ
0
,
73
T
ξ
λ
(x) −
T
ξ
(x)
<
ε
3
. Portanto, para λ > λ
0
qualquer, temos que
T
ξ
λ
(y) −
T
ξ
(y)
=
T
ξ
λ
(y) −
T
ξ
λ
(x) +
T
ξ
λ
(x) −
T
ξ
(x) +
T
ξ
(x) −
T
ξ
(y)
≤
T
ξ
λ
(y) −
T
ξ
λ
(x)
+
T
ξ
λ
(x) −
T
ξ
(x)
+
T
ξ
(x) −
T
ξ
(y)
=
T
ξ
λ
(y − x)
+
T
ξ
λ
(x) −
T
ξ
(x)
+
T
ξ
(x − y)
≤
T
ξ
λ
y − x +
T
ξ
λ
(x) −
T
ξ
(x)
+
T
ξ
y − x
≤ y − x +
T
ξ
λ
(x) −
T
ξ
(x)
+ y − x
<
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε;
portanto,
T
ξ
λ
(y) →
T
ξ
(y), e como y ∈ C
∗
(G
G
, R
G
) foi tomado arbitrariamente,
segue que
T
ξ
λ
→
T
ξ
, j´a que a topologia do espectro E
G
´e a induzida do dual de
C
∗
(G
G
, R
G
), que ´e a topologia fraca ∗.
Por fim, como
T : X
G
−→ E
G
´e uma aplica¸c˜ao bijetora, cont´ınua, de um espa¸co
compacto (X
G
como observado anteriormente ´e compacto) em um espa¸co Hausdorff
(como C
∗
(G
G
, R
G
) ´e uma ´algebra de Banach comutativa, E
G
´e localmente compacto
Hausdorff - ver teorema 3.2.10 em [15]), temos que
T ´e um homeomorfismo (ver teo-
rema 17.14 em [17]).
Portanto, defina as seguintes aplica¸c˜oes:
γ : C(E
G
) −→ C(X
G
)
f −→ f ◦
T ,
e
τ : C(X
G
) −→ C(E
G
)
f −→ f ◦
T
−1
que s˜ao claramente homomorfismos e um o inverso do outro. Logo, γ ´e um isomorfismo.
Agora, seja ζ : C
∗
(G
G
, R
G
) −→ E
G
a transformada de Gelfand, logo para todo
g ∈ G, ζ(
e
g
) =
e
g
, onde para toda f ∈ E
G
,
e
g
(f) = f(e
g
).
Como a transformada de Gelfand e γ s˜ao isomorfismos, φ : C
∗
(G
G
, R
G
) −→
C(X
G
), definida por φ = γ ◦ ζ tamb´em ´e um isomorfismo, donde segue o resultado.
Note que do isomorfismo constru´ıdo no lema anterior, temos que para qualquer
74
g ∈ G
φ(e
g
) = γ ◦ ζ(e
g
) = γ
e
g
=
e
g
◦
T ,
e portanto, para qualquer ξ ∈ X
G
φ(e
g
)(ξ) =
e
g
◦
T (ξ) =
e
g
T
ξ
=
T
ξ
(e
g
) = T
ξ
(e
g
) = [g ∈ ξ] = 1
g
(ξ),
donde segue que para todo g ∈ G
φ(e
g
) = 1
g
.
Lema 3.2.8. Existe um homomorfismo ϑ : C
∗
(G
G
, R
G
) −→ C
∗
p
(G) tal que, para todo
g ∈ G, ϑ(e
g
) = [g][g]
∗
.
Demonstra¸c˜ao. Defina
ρ : G
G
−→ C
∗
p
(G)
e
g
−→ [g][g]
∗
,
vamos verificar que ρ satisfaz R
G
. Sejam g, h ∈ G arbitr´arios; ent˜ao, temos que
(i)
ρ
e
g
− e
∗
g
= ρ(e
g
) − ρ(e
g
)
∗
=
[g][g]
∗
−
[g][g]
∗
∗
=
[g][g]
∗
− [g][g]
∗
= 0.
(ii)
ρ(e
g
e
g
− e
g
) = ρ(e
g
)ρ(e
g
) − ρ(e
g
) =
[g][g]
∗
[g][g]
∗
− [g][g]
∗
=
[g][g]
∗
− [g][g]
∗
= 0.
(iii)
ρ(e
g
e
h
− e
h
e
g
) = ρ(e
g
)ρ(e
h
) − ρ(e
h
)ρ(e
g
) =
[g][g]
∗
[h][h]
∗
− [h][h]
∗
[g][g]
∗
=
[g][g]
∗
[h][h]
∗
− [g][g]
∗
[h][h]
∗
= 0.
Portanto, ρ ´e uma representa¸c˜ao de (G
G
, R
G
), e pela propriedade universal de
C
∗
(G
G
, R
G
) , temos que existe um ´unico homomorfismo ϑ, tal que o diagrama abaixo
comuta:
G
G
ρ
//
ι
%%
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
C
∗
p
(G)
C
∗
(G
G
, R
G
)
ϑ
88
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
75
Ent˜ao, para todo g ∈ G, temos que
ϑ(e
g
) = ψ ◦ ι(e
g
) = ρ(e
g
) = [g][g]
∗
,
donde segue o resultado.
Portanto, segue dos lemas 3.2.7 e 3.2.8 que existe um homomorfismo ϕ : C(X
G
) −→
C
∗
p
(G), a saber, ϕ = ϑ ◦ φ
−1
, tal que para todo g ∈ G, temos que
ϕ(1
g
) = ϑ ◦ φ
−1
(1
g
) = ϑ(e
g
) = [g][g]
∗
.
Agora, defina
π : G −→ C
∗
p
(G)
g −→ [g]
que ´e claramente uma representa¸c˜ao parcial de G sobre C
∗
p
(G), j´a que as rela¸c˜oes de
C
∗
p
(G) s˜ao justamente as rela¸c˜oes de representa¸c˜ao parcial.
Proposi¸c˜ao 3.2.9. O par (ϕ, π) ´e α-covariante.
Demonstra¸c˜ao. Seja g ∈ G e f ∈ D
g
−1
arbitr´arios; como
D
g
−1
= span{1
g
−1
1
h
1
· · · 1
h
n
| n ∈ N
∗
, h
1
, · · · , h
n
∈ G},
sem perda de generalidade, considere f = 1
g
−1
1
h
, para algum h ∈ G. Ent˜ao temos que
ϕ(α
g
(f)) = ϕ(α
g
(1
g
−1
1
h
)) = ϕ(1
g
1
gh
) = ϕ(1
g
)ϕ(1
gh
) = [g][g]
∗
[gh][gh]
∗
= [g]
g
−1
[gh]
(gh)
−1
= [g][h]
h
−1
g
−1
= [g][h][h]
∗
[h]
h
−1
g
−1
= [g][h][h]
∗
g
−1
= [g][h][h]
∗
[g]
∗
= [g][g]
∗
[g][h][h]
∗
[g]
∗
= [g]
g
−1
g
−1
∗
[h][h]
∗
[g]
∗
= π(g)ϕ(1
g
−1
)ϕ(1
h
)π(g)
∗
= π(g)ϕ(1
g
−1
1
h
)π(g)
∗
= π(g)ϕ(f)π(g)
∗
.
Al´em disso, para f ∈ C(X
G
) arbitr´aria que, sem perda de generalidade, podemos
considerar f = 1
e
1
h
= 1
h
, para algum h ∈ G, pois D
e
= C(X
G
), temos que
ε
g
ϕ(f) = ε
g
ϕ(1
h
) = ε
g
[h][h]
∗
= ε
g
π(h)π(h)
∗
= ε
g
ε
h
= ε
h
ε
g
= π(h)π(h)
∗
ε
g
= [h][h]
∗
ε
g
= ϕ(1
h
)ε
g
= ϕ(f )ε
g
.
76
Logo, o par (ϕ, π) ´e α-covariante.
Portanto, segue do teorema 3.1.5 que existe uma representa¸c˜ao
(ϕ × π) : C(X
G
)
α
G −→ C
∗
p
(G),
tal que para todo g ∈ G e a ∈ D
G
(ϕ × π)(aδ
g
) = ϕ(a)π(g).
Teorema 3.2.10. C
∗
p
(G) e C(X
G
)
α
G s˜ao isomorfas.
Demonstra¸c˜ao. Mostraremos que (ϕ × π) e ψ s˜ao um o inverso do outro, onde (ϕ × π)
´e como definido acima e ψ ´e como definido no lema 3.2.6.
Tome g ∈ G arbitr´ario; ent˜ao,
(ϕ × π) ◦ ψ
[g]
= (ϕ × π)(1
g
δ
g
) = ϕ(1
g
)π(g) = [g][g]
∗
[g] = [g],
e portanto, (ϕ × π) ◦ ψ = id
C
∗
p
(G)
.
Agora, tome a
g
∈ D
g
arbitr´ario que, sem perda de generalidade, podemos conside-
rar a
g
= 1
g
1
h
, para algum h ∈ G. Ent˜ao, temos que
ψ ◦ (ϕ × π)(a
g
δ
g
) = ψ ◦ (ϕ × π)(1
g
1
h
δ
g
) = ψ(ϕ(1
g
1
h
)π(g)) = ψ(ϕ(1
g
)ϕ(1
h
)π(g))
= ψ
[g][g]
∗
[h][h]
∗
[g]
= ψ
[h][h]
∗
[g][g]
∗
[g]
= ψ
[h][h]
∗
[g]
= ψ
[h]
ψ
h
−1
ψ
[g]
= 1
h
δ
h
1
h
−1
δ
h
−1
1
g
δ
g
= 1
h
δ
e
1
g
δ
g
= 1
h
1
g
δ
g
= 1
g
1
h
δ
g
= a
g
δ
g
,
e portanto, ψ ◦ (ϕ × π) = id
C(X
G
)
α
G
.
Logo, C
∗
p
(G) e C(X
G
)
α
G s˜ao isomorfas.
A motiva¸c˜ao para a constru¸c˜ao do produto cruzado parcial que ´e isomorfo a C
∗
p
(G),
come¸cou justamente observando que a C
∗
-´algebra do produto cruzado parcial deveria
estar relacionada de alguma forma com a sub-C
∗
-´algebra C
∗
{ε
g
| g ∈ G} de C
∗
p
(G). O
pr´oximo resultado confirma que esta motiva¸c˜ao estava correta.
Corol´ario 3.2.11. C(X
G
) ´e isomorfa a C
∗
{ε
g
| g ∈ G}.
77
Demonstra¸c˜ao. Observe que para f ∈ C(X
G
) arbitr´aria, temos que
(ϕ × π)(fδ
e
) = ϕ(f)π(e) = ϕ(f).
Logo, a imagem de ϕ ´e densa em C
∗
{ε
g
| g ∈ G}, portanto basta provarmos que
ϕ ´e injetora, para provarmos que C(X
G
)
∼
=
C
∗
{ε
g
| g ∈ G}, j´a que a imagem de um
homomorfismo entre C
∗
-´algebras ´e sempre fechada.
Sejam f, g ∈ C(X
G
), tais que ϕ(f) = ϕ(g), o que implica que (ϕ × π)(fδ
e
) =
(ϕ × π)(gδ
e
). Mas como (ϕ × π) ´e um isomorfismo,
fδ
e
= gδ
e
⇒ f = g,
pois C(X
G
) ´e uma C
∗
-´algebra e pelo teorema B.2.13, o n´ucleo da constru¸c˜ao do produto
cruzado parcial ´e nulo.
Portanto, ϕ ´e injetora, donde segue o resultado.
3.3 C
∗
-´algebra parcial de grupo com mais rela¸c˜oes
Vamos considerar agora, algumas rela¸c˜oes a mais em C
∗
p
(G), um conjunto que defini-
remos mais adiante, mas que para fins de uma motiva¸c˜ao, denotaremos por
R e por
C
∗
p
G,
R
a C
∗
-´algebra parcial de grup o munida com estas rela¸c˜oes adicionais. Ent˜ao
´e de se esperar que o seguinte ocorra:
C
∗
p
G,
R
∼
=
C
∗
p
(G)/ <
R >
∼
=
(C(X
G
)
α
G)/ψ<
R >,
onde · denota o ideal gerado pelo conjunto
R e ψ ´e o isomorfismo constru´ıdo na
se¸c˜ao anterior entre C
∗
p
(G) e C(X
G
)
α
G. Mas ser´a que conseguimos construir uma
a¸c˜ao parcial α e um ideal I de C(X
G
), tal que
(C(X
G
)
α
G)/ψ<
R >
∼
=
(C(X
G
)/I)
α
G ?
Esta se¸c˜ao ser´a dedicada a mostrar que a C
∗
-´algebra universal de um conjunto de
geradores provenientes de um grupo, com as rela¸c˜oes de representa¸c˜ao parcial e com
algumas rela¸c˜oes adicionais, tamb´em ser´a isomorfa a um produto cruzado parcial, que
est´a diretamente relacionado com C(X
G
)
α
G.
Proposi¸c˜ao 3.3.1. Seja R ⊆ C(X
G
) um subconjunto qualquer. O menor ideal α-
78
invariante (ver defini¸c˜ao 2.1.12) de C(X
G
), que cont´em R, ´e o ideal
I = α
g
(1
g
−1
f) | g ∈ G, f ∈ R .
Demonstra¸c˜ao. Por defini¸c˜ao, I C(X
G
), logo temos que provar apenas que I ´e o
menor ideal α-invariante de C(X
G
) que cont´em R.
Primeiramente, vamos verificar que R ⊆ I. Tome f ∈ R arbitr´aria e note que
f = α
e
(f) = α
e
(1
e
f) ∈ I,
logo R ⊆ I.
Agora, vamos verificar que I ´e α-invariante. Tome h ∈ G e x ∈ D
h
−1
∩ I ar-
bitr´arios; sem perda de generalidade, podemos considerar x = 1
h
−1
1
k
α
g
(1
g
−1
f)
f =
1
h
−1
α
g
(1
g
−1
f)1
k
f, para alguns k, g ∈ G, f ∈ R e
f ∈ C(X
G
). Ent˜ao, definindo
f = 1
k
f e observando que
f 1
g
∈ D
g
, o que implica que existe w ∈ D
g
−1
, tal que
α
g
(w) =
f 1
g
, temos que
α
h
(x) = α
h
1
h
−1
α
g
(1
g
−1
f)
f
= α
h
1
h
−1
1
g
α
g
(1
g
−1
f)
f 1
g
= α
h
1
g
1
h
−1
α
g
(1
g
−1
f)
f 1
g
= α
h
α
g
1
g
−1
1
(hg)
−1
α
g
(1
g
−1
f)α
g
(w)
= α
h
α
g
1
g
−1
1
(hg)
−1
1
g
−1
fw
= α
h
α
g
1
(hg)
−1
1
g
−1
1
g
−1
fw
= α
h
α
g
1
(hg)
−1
1
g
−1
fw
= α
hg
1
(hg)
−1
1
g
−1
fw
= α
hg
1
(hg)
−1
f 1
g
−1
w
= α
hg
1
(hg)
−1
f 1
(hg)
−1
1
g
−1
w
= α
hg
1
(hg)
−1
f
∈I
α
hg
1
(hg)
−1
1
g
−1
w
∈C(X
G
)
∈ I,
donde segue que I ´e α-invariante.
Por fim, s´o nos resta verificar que I ´e o menor ideal α-invariante de C(X
G
) que
cont´em R. Ent˜ao, tome J C(X
G
), tal que J ´e α-invariante e cont´em R. Logo, para
f ∈ R e g ∈ G arbitr´arios, temos que
f ∈ J ⇒ 1
g
−1
f ∈ J ⇒ α
g
(1
g
−1
f) ∈ J ⇒ I ⊆ J,
donde o resultado segue.
I daqui em diante, denotar´a α
g
(1
g
−1
f) | g ∈ G, f ∈ R.
79
Observe que como I C(X
G
), temos que I = C
0
(V ), para algum V ⊆ X
G
aberto
(ver exerc´ıcio 3.2.3 em [15]). Ent˜ao,
C(X
G
)/I = C(X
G
)/C
0
(V )
∼
=
C
0
(X
G
\V ) = C(X
G
\V ),
j´a que X
G
\V ´e compacto, pois ´e um subconjunto fechado de um compacto. Na pr´oxima
proposi¸c˜ao iremos identificar X
G
\V .
Proposi¸c˜ao 3.3.2. Seja Ω
R
= {ξ ∈ X
G
| ∀ f ∈ R, ∀ g ∈ ξ, f(g
−1
ξ) = 0}. Ent˜ao,
X
G
\V = Ω
R
.
Demonstra¸c˜ao. ( ⊆ ) Tome ξ ∈ X
G
\V , f ∈ R e g ∈ G arbitr´arios; ent˜ao, α
g
(1
g
−1
f)(ξ) =
0, pois α
g
(1
g
−1
f) ∈ I = C
0
(V ) = {f ∈ C(X
G
) | ∀x /∈ V, f(x) = 0}. Portanto, em par-
ticular, para g ∈ ξ arbitr´ario, temos que
0 = α
g
(1
g
−1
f)(ξ) = (1
g
−1
f) ◦ θ
g
−1
(ξ) = 1
g
−1
g
−1
ξ
f
g
−1
ξ
= f
g
−1
ξ
,
donde segue que ξ ∈ Ω
R
.
(⊇) Tome ξ ∈ Ω
R
, f ∈ R e g ∈ G arbitr´arios; ent˜ao, temos que:
• Caso 1: g ∈ ξ. Neste caso
α
g
(1
g
−1
f)(ξ) = (1
g
−1
f) ◦ θ
g
−1
(ξ) = 1
g
−1
g
−1
ξ
f
g
−1
ξ
= f
g
−1
ξ
= 0.
• Caso 2: g /∈ ξ. Neste caso, pela defini¸c˜ao de α
g
, temos que α
g
(1
g
−1
f)(ξ) = 0.
Portanto, para
f ∈ I,
f(ξ) = 0, donde segue que ξ ∈ X
G
\V .
Defini¸c˜ao 3.3.3. Ω
R
´e denominado o espectro de R.
Proposi¸c˜ao 3.3.4. Ω
R
´e θ-invariante, isto ´e, para todo g ∈ G, temos que
θ
g
(X
g
−1
∩ Ω
R
) ⊆ X
g
∩ Ω
R
,
onde θ ´e como definida no lema 3.2.3.
Demonstra¸c˜ao. Tome ξ ∈ X
g
−1
∩ Ω
R
arbitr´ario; ent˜ao, θ
g
(ξ) = gξ ∈ X
g
. Logo, para
f ∈ R e k ∈ gξ arbitr´arios, temos que f (k
−1
gξ) = 0, j´a que g
−1
k ∈ ξ e ξ ∈ Ω
R
.
80
Portanto, θ
g
(ξ) ∈ Ω
R
, donde segue que θ
g
(X
g
−1
∩ Ω
R
) ⊆ X
g
∩ Ω
R
.
Agora tome R ⊆ C(X
G
), tal que
R ⊆
n
i=1
λ
i
m
i
j
1
g
ij
| n, m
i
∈ N
∗
, λ
i
∈ C, g
ij
∈ G
.
Considere novamente G = {[g] | g ∈ G},
R =
[e] = 1,
g
−1
= [g]
∗
, [g][h]
h
−1
= [gh]
h
−1
| g, h ∈ G
e defina
R = R ∪
n
i=1
λ
i
m
i
j
[g
ij
][g
ij
]
∗
= 0 |
n
i=1
λ
i
m
i
j
1
g
ij
∈ R
.
Como o par
G,
R
´e claramente admiss´ıvel, existe a C
∗
-´algebra universal gerada
pelo conjunto G = {[g] | g ∈ G} com as rela¸c˜oes
R, que denotaremos por C
∗
p
G,
R
.
No que segue, iremos mostrar que C
∗
p
G,
R
´e isomorfa ao produto cruzado parcial
C(Ω
R
)
α
G, onde α ´e como definida na proposi¸c˜ao 2.1.14.
Lema 3.3.5. Existe um homomorfismo Υ : C
∗
p
(G) −→ C
∗
p
G,
R
tal que, para todo
g ∈ G, Υ
[g]
=
˙
[g], onde
˙
[g] denota a classe de equivalˆencia do elemento [g], referente
ao quociente pelo n´ucleo da norma definida na constru¸c˜ao de C
∗
-´algebra universal (ver
constru¸c˜ao no apˆendice 1).
Demonstra¸c˜ao. Defina a seguinte aplica¸c˜ao
ρ : G −→ C
∗
p
G,
R
[g] −→
˙
[g].
Claramente, ρ ´e uma representa¸c˜ao de (G, R); logo, pela propriedade universal de
C
∗
p
(G), temos que existe um ´unico homomorfismo Υ tal que o diagrama abaixo comuta:
G
ρ
//
ι
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
C
∗
p
G,
R
C
∗
p
(G)
Υ
::
t
t
t
t
t
t
t
t
t
81
Portanto, para todo g ∈ G, temos que
Υ
[g]
= Υ ◦ ι([g]) = ρ(g) =
˙
[g].
Proposi¸c˜ao 3.3.6. Exis te um homomorfismo Θ : C(Ω
R
)
α
G −→ C
∗
p
G,
R
tal que,
para todo g ∈ G, Θ
¨
1
g
δ
g
=
˙
[g], onde
¨
1
g
δ
g
denota a classe de equivalˆenc ia do elemento
1
g
δ
g
, referente ao quociente pelo n´ucleo da norma definida na constru¸c˜ao de C
∗
-´algebra
envolvente (ver constru¸c˜ao no apˆendice 1).
Demonstra¸c˜ao. Para mostrar a existˆencia deste homomorfismo, iremos recorrer `a
constru¸c˜ao de um par α-covariante.
Defina
π : G −→ C
∗
p
G,
R
g −→
˙
[g]
que ´e claramente uma representa¸c˜ao de G sobre C
∗
p
G,
R
, j´a que, em
R temos as
rela¸c˜oes de representa¸c˜ao parcial.
Seja
Φ = Ψ ◦ ϕ, onde Ψ ´e como definida no lema 3.3.5 e ϕ ´e como definida ap´os
a demonstra¸c˜ao do lema 3.2.8. Portanto,
Φ : C(X
G
) −→ C
∗
p
G,
R
e para g ∈ G
qualquer,
Φ(1
g
) = Ψ ◦ ϕ(1
g
) = Ψ
[g][g]
∗
=
˙
[g][g]
∗
.
Agora, observe que para f =
n
i=1
λ
i
m
i
j=1
1
g
ij
∈ R e h ∈ G arbitr´arios, temos que
Φ(α
h
(1
h
−1
f)) =
Φ
α
h
1
h
−1
n
i=1
λ
i
m
i
j=1
1
g
ij
=
Φ
α
h
n
i=1
λ
i
m
i
j=1
1
h
−1
1
g
ij
=
Φ
n
i=1
λ
i
m
i
j=1
α
h
1
h
−1
1
g
ij
=
Φ
n
i=1
λ
i
m
i
j=1
1
h
1
hg
ij
=
n
i=1
λ
i
m
i
j=1
Φ(1
h
)
Φ
1
g
ij
=
n
i=1
λ
i
m
i
j=1
˙
[h][h]
∗
˙
[hg
ij
][hg
ij
]
∗
=
n
i=1
λ
i
[h]
m
i
j=1
˙
[g
ij
][g
ij
]
∗
˙
[h]
∗
=
˙
[h]
n
i=1
λ
i
m
i
j=1
˙
[g
ij
][g
ij
]
∗
˙
[h]
∗
= 0.
82
Portanto, existe um homomorfismo Φ : C(Ω
R
) = C(X
G
)/I −→ C
∗
p
G,
R
tal que,
para todo g ∈ G, Φ
¨
1
g
=
˙
[g][g]
∗
.
Agora, vamos verificar portanto que o par (Φ, π) ´e α-covariante.
(i) Sejam g ∈ G,
¨
a
g
−1
+ i ∈ (D
g
−1
+ I)/I arbitr´arios. Sem perda de generalidade,
podemos considerar
¨
a
g
−1
=
¨
1
g
−1
1
h
, para algum h ∈ G. Ent˜ao, temos que
Φ
α
g
¨
a
g
−1
+ i
= Φ
α
g
¨
a
g
−1
= Φ
α
g
¨
1
g
−1
1
h
= Φ
¨
1
g
1
gh
= Φ
¨
1
g
Φ
¨
1
gh
=
˙
[g][g]
∗
[gh][gh]
∗
=
˙
[g][h]
h
−1
g
−1
=
˙
[g][h][h]
∗
[g]
∗
=
˙
[g][h][h]
∗
[g]
∗
[g][g]
∗
= π(g)Φ
¨
1
h
Φ
¨
1
g
−1
π(g)
∗
= π(g)Φ
¨
1
h
1
g
−1
π(g)
∗
= π(g)Φ
¨
1
g
−1
1
h
π(g)
∗
= π(g)Φ
¨
a
g
−1
π(g)
∗
= π(g)Φ
¨
a
g
−1
+ i
π(g)
∗
.
(ii) Sejam g ∈ G e f ∈ C(Ω
R
) arbitr´arios. Sem perda de generalidade, podemos
considerar f =
¨
1
e
1
k
=
¨
1
k
, para algum k ∈ G. Ent˜ao, temos que
Φ(f)π(g)π(g)
∗
= Φ
¨
1
k
π(g)π(g)
∗
=
˙
[k][k]
∗
[g][g]
∗
=
˙
[g][g]
∗
[k][k]
∗
= π(g)π(g)
∗
Φ
¨
1
k
= π(g)π(g)
∗
Φ(f).
Portanto, pelo teorema 3.1.5, existe uma ´unica representa¸c˜ao (Φ × π) : C(Ω
R
)
α
G −→
C
∗
p
G,
R
, tal que para todo g ∈ G e
¨
a
g
−1
+ i ∈ (D
g
−1
+ I)/I, temos que
(Φ × π)
¨
a
g
−1
+ i δ
g
= Φ
¨
a
g
−1
+ i
π(g).
Ent˜ao, para todo g ∈ G,
(Φ × π)
¨
1
g
δ
g
= Φ
¨
1
g
π(g) =
˙
[g][g]
∗
[g] =
˙
[g].
Logo, basta tomarmos Θ = Φ × π e o resultado segue.
Proposi¸c˜ao 3.3.7. Existe um homomorfismo Γ : C
∗
p
G,
R
−→ C(Ω
R
)
α
G tal que,
para todo g ∈ G, Γ
˙
[g]
=
¨
1
g
δ
g
.
83
Demonstra¸c˜ao. Defina
ρ : G −→ C(Ω
R
)
α
G
[g] −→
¨
1
g
δ
g
,
vamos verificar que ρ satisfaz
R. As demonstra¸c˜oes que para g, h ∈ G arbitr´arios,
ρ([g
−1
] − [g]
∗
) = 0 e ρ([g][h][h
−1
] − [gh][h
−1
]) = 0, s˜ao completamente an´alogas
as demonstra¸c˜oes dos itens (i) e (ii) no lema 3.2.6. Por isso, faremos apenas a demons-
tra¸c˜ao de que para f =
n
i=1
λ
i
m
i
j=1
1
g
ij
∈ R arbitr´aria,
ρ
n
i=1
λ
i
m
i
j=1
[g
ij
][g
ij
]
∗
= 0.
Observe que
ρ
n
i=1
λ
i
m
i
j=1
[g
ij
][g
ij
]
∗
=
n
i=1
λ
i
m
i
j=1
ρ([g
ij
])ρ(g
ij
)
∗
=
n
i=1
λ
i
m
i
j=1
¨
1
g
ij
δ
g
ij
¨
1
(g
ij
)
−1
δ
(g
ij
)
−1
=
n
i=1
λ
i
m
i
j=1
¨
1
g
ij
δ
e
=
¨
f δ
e
e como f =
n
i=1
λ
i
m
i
j=1
1
g
ij
∈ R, temos que f ≡ 0.
Portanto, ρ ´e uma representa¸c˜ao de
G,
R
e pela propriedade universal de C
∗
p
G,
R
,
temos que existe um ´unico homomorfismo Γ, tal que o diagrama abaixo comuta:
G
ρ
//
ι
""
F
F
F
F
F
F
F
F
F
C(Ω
R
)
α
G
C
∗
p
G,
R
Γ
88
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
Ent˜ao, para todo g ∈ G, temos que
Γ
˙
[g]
= Γ ◦ ι([g]) = ρ([g]) =
¨
1
g
δ
g
,
donde segue o resultado.
Teorema 3.3.8. C
∗
p
G,
R
e C(Ω
R
)
α
G s˜ao isomorfas.
Demonstra¸c˜ao. Tome x ∈ C(Ω
R
)
α
G arbitr´ario; ent˜ao,
x = lim
n
i=1
λ
i
¨
a
g
δ
g
,
84
onde obviamente, para todo g ∈ G,
¨
a
g
∈ (D
g
+ I)/I.
Al´em disso, para g, h ∈ G arbitr´arios, temos que
(1
h
δ
h
1
h
−1
δ
h
−1
)1
g
δ
g
= 1
h
δ
e
1
g
δ
g
= 1
h
1
g
δ
g
= 1
g
1
h
δ
g
.
Logo, o conjunto dos 1
g
’s gera o conjunto dos 1
g
1
h
’s e, como D
g
= 1
g
1
h
| h ∈ G,
fica evidente que os homomorfismos Φ × π e Γ, como definidos nas proposi¸c˜oes 3.3.6 e
3.3.7, respectivamente, s˜ao um o inverso do outro, donde segue que
C
∗
p
G,
R
∼
=
C(Ω
R
)
α
G.
85
Cap´ıtulo 4
Exemplos de C*-´algebras universais
geradas por isometrias
Como citado na introdu¸c˜ao do trabalho, nosso grande objetivo ´e estudar a C
∗
-´algebra
universal gerada p or duas isometrias que comutam, utilizando as ferramentas desen-
volvidas nos cap´ıtulos anteriores. Para isto, precisaremos relacionar de alguma forma
esta C
∗
-´algebra com uma C
∗
-´algebra gerada por um conjunto de geradores e rela¸c˜oes,
tais como no cap´ıtulo anterior, pois desta forma poderemos caracteriz´a-la como um
produto cruzado parcial. Sabendo que o estudo da C
∗
-´algebra universal gerada por
duas isometrias que comutam ´e muito complexo, estamos na busca de quais hip´oteses
adicionar `as isometrias, para que possamos utilizar a nossa teoria.
Vamos ent˜ao estudar a C
∗
-´algebra universal gerada por um grupo G (com unidade
e) com as rela¸c˜oes de representa¸c˜ao parcial e com a rela¸c˜ao adicional que dois elementos
em particular s˜ao isometrias. Ent˜ao, se G = {S
g
| g ∈ G} e para um determinado g ∈ G
queremos que S
g
seja uma isometria, temos o seguinte:
S
∗
g
S
g
= 1 ⇔ ε
g
−1
= ε
e
,
e desta forma pela teoria desenvolvida no cap´ıtulo anterior temos que adicionar a
rela¸c˜ao 1
g
−1
− 1
e
. Agora note que a C
∗
-´algebra universal que tem como conjunto gera-
dor o grupo Z×Z, com as rela¸c˜oes de representa¸c˜ao parcial e com as rela¸c˜oes adicionais
de que dois elementos em particular s˜ao isometrias ´e um produto cruzado parcial, j´a que
dados G = Z × Z, G = {S
g
| g ∈ G}, R =
1
(−1, 0)
− 1
(0, 0)
, 1
(0, −1)
− 1
(0, 0)
⊆ C(X
G
),
R =
S
e
= 1, S
∗
g
= S
g
−1
, S
g
S
h
S
∗
h
= S
gh
S
∗
h
| g, h ∈ G
e
R = R ∪ {S
∗
(1, 0)
S
(1, 0)
= 1,
S
∗
(0, 1)
S
(0, 1)
= 1}, o par
G,
R
´e admiss´ıvel, logo existe C
∗
G,
R
e, p e lo teorema
3.3.8, temos que
C
∗
G,
R
∼
=
C(Ω
R
)
α
(Z × Z).
86
Sendo assim, tentaremos relacionar C
∗
G,
R
com a C
∗
-´algebra gerada por duas
isometrias que comutam e, na dire¸c˜ao de encontrar as rela¸c˜oes que devermos adicio-
nar a estas duas isometrias que comutam, para obter o isomorfismo desejado, iremos
primeiramente na se¸c˜ao 4.1, que teve como base o artigo [8], definir o que s˜ao duas
isometrias compat´ıveis, bem como o que s˜ao duas isometrias duplamente comutantes
e desenvolver alguns resultados b´asicos, para ent˜ao, na se¸c˜ao seguinte, encontrar as
rela¸c˜oes desejadas. A raz˜ao pela escolha do grupo Z×Z e das rela¸c˜oes de representa¸c˜ao
parcial ficar´a mais evidente pelo teorema 4.2.2. Por fim, na ´ultima se¸c˜ao, iremos ca-
racterizar a C
∗
-´algebra universal gerada por duas isometrias duplamente comutantes.
4.1 Isometrias compat´ıveis e isometrias duplamente
comutantes
Seja H um espa¸co de Hilbert separ´avel. No que segue, o s´ımbolo denotar´a comuta-
tividade, ou seja, x y denota xy = yx.
Defini¸c˜ao 4.1.1. Sejam S
1
, S
2
∈ B(H) isometrias. Dizemos que S
1
e S
2
s˜ao com-
pat´ıveis se S
1
S
2
e para quaisquer m, n ∈ N, temos que S
m
1
(S
∗
1
)
m
S
n
2
(S
∗
2
)
n
, isto ´e, as
proje¸c˜oes finais de S
m
1
e S
n
2
(ou seja, as proje¸c˜oes ortogonais sobre as imagens de S
m
1
e S
n
2
) comutam.
Defini¸c˜ao 4.1.2. Sejam S
1
, S
2
∈ B(H) isometrias. Dizemos que S
1
e S
2
s˜ao dupla-
mente comutantes se S
1
S
2
e S
1
S
∗
2
.
Note que, se duas isometrias S
1
, S
2
∈ B(H) s˜ao duplamente comutantes, ent˜ao elas
s˜ao compat´ıveis. De fato, sejam m, n ∈ N arbitr´arios; ent˜ao, temos que
S
m
1
(S
∗
1
)
m
S
n
2
(S
n
2
)
∗
= S
m
1
S
n
2
(S
∗
1
)
m
(S
∗
2
)
n
= S
n
2
S
m
1
(S
∗
1
)
m
(S
∗
2
)
n
= S
n
2
S
m
1
(S
∗
2
)
n
(S
∗
1
)
m
= S
n
2
(S
∗
2
)
n
S
m
1
(S
∗
1
)
m
,
j´a que s e T, W ∈ B(H) s˜ao tais que T W , prova-se por indu¸c˜ao que, para quaisquer
m, n ∈ N, T
m
W
n
.
Sejam S um semigrupo comutativo (aditivo), com unidade 0 e
T : S −→ B(H)
s −→ T
s
uma representa¸c˜ao de S em B(H), ou seja, uma aplica¸c˜ao que preserva identidade e
87
separa produto, tal que para todo s ∈ S, T
∗
s
T
s
= 1. Sendo assim, o c onjunto {T
s
}
s∈S
tamb´em possui uma estrutura de semigrup o multiplicativo, com unidade 1.
Defini¸c˜ao 4.1.3. N´os dizemos que o semigrupo {T
s
}
s∈S
de isometrias ´e compat´ıvel,
se {T
s
T
∗
s
}
s∈S
forma uma fam´ılia de proje¸c˜oes finais que comutam.
O seguinte teorema, mostra que para um par de isometrias, as duas no¸c˜oes de
compatibilidade coincidem.
Teorema 4.1.4. Sejam S
1
, S
2
∈ B(H) isometrias que comutam. Ent˜ao, S
1
e S
2
s˜ao compat´ıveis se, e somente se, o conjunto {S
m
1
S
n
2
}
(m, n)∈N×N
´e um semigrupo de
isometrias compat´ıvel.
Demonstra¸c˜ao. (⇒) Tome para todo m, n ∈ N, T
(m, n)
= S
m
1
S
n
2
. Sejam s = (s
1
, s
2
), t =
(t
1
, t
2
) ∈ N × N arbitr´arios. Note que o semigrupo N × N ´e parcialmente ordenado
pela rela¸c˜ao:
(s
1
, s
2
) ≤ (t
1
, t
2
) ⇔ s
1
≤ t
1
, s
2
≤ t
2
.
Ent˜ao,
• se s ≤ t, segue que
T
s
T
∗
s
T
t
T
∗
t
= T
s
T
∗
s
T
s+t−s
T
∗
t
= T
s
T
∗
s
T
s
T
t−s
T
∗
t
= T
s
T
t−s
T
∗
t
= T
t
T
∗
t
= T
t
T
∗
s+t−s
= T
t
(T
s
T
t−s
)
∗
= T
t
T
∗
t−s
T
∗
s
= T
t
T
∗
t−s
T
∗
s
T
s
T
∗
s
= T
t
T
∗
t
T
s
T
∗
s
.
• se t ≤ s, a demonstra¸c˜ao ´e an´aloga ao item anterior.
• se s e t n˜ao s˜ao compar´aveis, defina r = (min (s
1
, t
1
), min (s
2
, t
2
)); ent˜ao, s − r,
t − r s˜ao da forma (m, 0) ou (n, 0). Note que
T
(m, 0)
T
∗
(m, 0)
= S
m
1
(S
∗
1
)
m
S
n
2
(S
n
2
)
∗
= T
(0, n)
T
∗
(0, n)
.
Sem perda de generalidade, considere s − r = (m, 0) e t − r = (0, n). Portanto,
temos que
T
s
T
∗
s
= T
r+s−r
T
∗
r+s−r
= T
r
T
s−r
(T
r
T
s−r
)
∗
= T
r
T
s−r
T
∗
s−r
T
∗
r
e atrav´es de uma conta an´aloga, obtemos tamb´em que
T
t
T
∗
t
= T
r
T
t−r
T
∗
t−r
T
∗
r
.
88
Logo,
T
s
T
∗
s
T
t
T
∗
t
= T
r
T
s−r
T
∗
s−r
T
∗
r
T
r
T
t−r
T
∗
t−r
T
∗
r
= T
r
T
s−r
T
∗
s−r
T
(m, 0)
T
∗
(m, 0)
T
t−r
T
∗
t−r
T
(0, n)
T
∗
(0, n)
T
∗
r
= T
r
T
t−r
T
∗
t−r
T
s−r
T
∗
s−r
T
∗
r
= T
r
T
t−r
T
∗
t−r
T
∗
r
T
r
T
s−r
T
∗
s−r
T
∗
r
= T
t
T
∗
t
T
s
T
∗
s
.
Portanto, {T
s
}
s∈N×N
= {S
m
1
S
n
2
}
(m, n)∈N×N
´e compat´ıvel.
(⇐) Tomando T como definido anteriormente, temos que para quaisquer m, n ∈ N,
S
m
1
(S
∗
1
)
m
= T
(m, 0)
T
∗
(m, 0)
T
(0, n)
T
∗
(0, n)
= S
n
2
(S
∗
2
)
n
,
donde segue que S
1
e S
2
s˜ao compat´ıveis.
Exemplo 4.1.5 (duas isometrias que comutam e n˜ao s˜ao compat´ıveis). Seja H um
espa¸co de Hilbert com uma base ortonormal {e
i
}
∞
i=1
∪ {f
i
}
∞
i=1
. Defina os operadores
V, W ∈ B(H) pelas seguintes rela¸c˜oes, para todo i, j ∈ N:
• V (e
i
) = e
i+1
;
• V (f
i
) = f
i+1
;
• W (e
i
) =
1
2
(e
i
+ e
i+1
+ f
i
− f
i+1
);
• W (f
i
) =
1
2
(f
i+1
+ f
i+2
+ e
i+1
− e
i+2
).
Primeiramente, vamos verificar que V W . Para isto, ´e suficiente verificarmos a
igualdade nos vetores da base. Tome i, j ∈ N arbitr´arios; ent˜ao, temos que
V W (e
i
) = V
1
2
(e
i
+ e
i+1
+ f
i
− f
i+1
)
=
1
2
(V (e
i
) + V (e
i+1
) + V (f
i
) − V (f
i+1
))
=
1
2
(e
i+1
+ e
i+2
+ f
i+1
− f
i+2
) = W (e
i+1
) = W V (e
i
),
e tamb´em,
V W (f
j
) = V
1
2
(f
j+1
+ f
j+2
+ e
j+1
− e
j+2
)
=
1
2
(V (f
j+1
) + V (f
j+2
) + V (e
j+1
) − V (e
j+2
))
=
1
2
(f
j+2
+ f
j+3
+ e
j+2
− e
j+3
) = W (f
j+1
) = W V (f
j
).
89
Portanto, V W .
Agora, note que como V ´e um “shift”, ´e sabido que para todo i ∈ N, V
∗
(e
i
) = e
i−1
,
bem como V
∗
(f
i
) = f
i−1
. Vamos portanto calcular W
∗
. Tome i ∈ N arbitr´arios; ent˜ao,
temos que
W
∗
(e
i
) =
∞
j=1
W
∗
(e
i
), e
j
e
j
+
∞
k=1
W
∗
(e
i
), f
k
f
k
=
∞
j=1
e
i
, W (e
j
)e
j
+
∞
k=1
e
i
, W (f
k
)f
k
=
∞
j=1
e
i
,
1
2
(e
j
+ e
j+1
+ f
j
− f
j+1
)
e
j
+
∞
k=1
e
i
,
1
2
(f
k+1
+ f
k+2
+ e
k+1
− e
k+2
)
f
k
=
∞
j=1
1
2
(e
i
, e
j
+ e
i
, e
j+1
+ e
i
, f
j
− e
i
, f
j+1
)e
j
+
∞
k=1
1
2
(e
i
, f
k+1
+ e
i
, f
k+2
+ e
i
, e
k+1
− e
i
, e
k+2
)f
k
=
∞
j=1
1
2
(δ
i,j
+ δ
i,j+1
)e
j
+
∞
k=1
1
2
(δ
i,k+1
+ δ
i,k+2
)f
k
=
1
2
(e
i
+ e
i−1
+ f
i−1
− f
i−2
),
e tamb´em que
W
∗
(f
i
) =
∞
j=1
W
∗
(f
i
), e
j
e
j
+
∞
k=1
W
∗
(f
i
), f
k
f
k
=
∞
j=1
f
i
, W (e
j
)e
j
+
∞
k=1
f
i
, W (f
k
)f
k
=
∞
j=1
f
i
,
1
2
(e
j
+ e
j+1
+ f
j
− f
j+1
)
e
j
+
∞
k=1
f
i
,
1
2
(f
k+1
+ f
k+2
+ e
k+1
− e
k+2
)
f
k
=
∞
j=1
1
2
(f
i
, e
j
+ f
i
, e
j+1
+ f
i
, f
j
− f
i
, f
j+1
)e
j
+
∞
k=1
1
2
(f
i
, f
k+1
+ f
i
, f
k+2
+ f
i
, e
k+1
− f
i
, e
k+2
)f
k
=
∞
j=1
1
2
(δ
i,j
− δ
i,j+1
)e
j
+
∞
k=1
1
2
(δ
i,k+1
+ δ
i,k+2
)f
k
=
1
2
(e
i
− e
i−1
+ f
i−1
+ f
i−2
).
Agora, vamos verificar que de fato, V e W s˜ao isometrias. Tome i ∈ N arbitr´ario;
logo, V
∗
V (e
i
) = V
∗
(e
i+1
) = e
i
, e tamb´em, V
∗
V (f
i
) = V
∗
(f
i+1
) = f
i
, donde segue que
V
∗
V = 1.
90
Al´em disso, temos que
W
∗
W (e
i
) = W
∗
1
2
(e
i
+ e
i+1
+ f
i
− f
i+1
)
=
1
2
(W
∗
(e
i
) + W
∗
(e
i+1
) + W
∗
(f
i
) − W
∗
(f
i+1
))
=
1
2
(
1
2
(e
i
+ e
i−1
+ f
i−1
− f
i−2
) +
1
2
(e
i+1
+ e
i
+ f
i
− f
i−1
)
+
1
2
(e
i
− e
i−1
+ f
i−1
+ f
i−2
) −
1
2
(e
i+1
− e
i
+ f
i
+ f
i−1
))
=
1
4
(e
i
+ e
i−1
+ f
i−1
− f
i−2
+ e
i+1
+ e
i
+ f
i
− f
i−1
+ e
i
− e
i−1
+ f
i−1
+ f
i−2
− e
i+1
+ e
i
− f
i
− f
i−1
) =
1
4
(4e
i
) = e
i
,
e tamb´em,
W
∗
W (f
i
) = W
∗
1
2
(f
i+1
+ f
i+2
+ e
i+1
− e
i+2
)
=
1
2
(W
∗
(f
i+1
) + W
∗
(f
i+2
) + W
∗
(e
i+1
) − W
∗
(e
i+2
))
=
1
2
(
1
2
(e
i+1
− e
i
+ f
i
+ f
i−1
) +
1
2
(e
i+2
− e
i+1
+ f
i+1
+ f
i
)
+
1
2
(e
i+1
+ e
i
+ f
i
− f
i−1
) −
1
2
(e
i+2
+ e
i+1
+ f
i+1
− f
i
))
=
1
4
(e
i+1
− e
i
+ f
i
+ f
i−1
+ e
i+2
− e
i+1
+ f
i+1
+ f
i
+ e
i+1
+ e
i
+ f
i
− f
i−1
− e
i+2
− e
i+1
− f
i+1
+ f
i
) =
1
4
(4f
i
) = f
i
,
donde segue que W
∗
W = 1.
Por fim, vamos verificar que V V
∗
W W
∗
= W W
∗
V V
∗
. Note que
V V
∗
W W
∗
(e
1
) = V V
∗
W
1
2
e
1
= V V
∗
1
2
1
2
(e
1
+ e
2
+ f
1
− f
2
)
=
1
4
V V
∗
(e
1
+ e
2
+ f
1
− f
2
) =
1
4
V
∗
(V
∗
(e
1
) + V
∗
(e
2
) + V
∗
(f
1
) − V
∗
(f
2
))
=
1
4
V (e
1
− f
1
) =
1
4
(V (e
1
) − V (f
1
)) =
1
4
(e
2
− f
2
)
= 0 = W W
∗
V (0) = W W
∗
V V
∗
(e
1
).
Portanto, V e W s˜ao isometrias que comutam e que n˜ao s˜ao compat´ıveis.
91
4.2 A C
∗
-´algebra universal gerada por duas isome-
trias compat´ıveis
Como mencionado anteriormente, nosso objetivo ´e descobrir quais rela¸c˜oes devemos
impor sobre duas isometrias que comutam, para que a C
∗
-´algebra universal gerada
por estas isometrias com estas rela¸c˜oes, seja isomorfa a C
∗
G,
R
, onde C
∗
G,
R
´e
como definida na introdu¸c˜ao do cap´ıtulo.
Vamos primeiramente observar que
˙
S
(1, 0)
˙
S
(0, 1)
, onde
˙
S
(1, 0)
e
˙
S
(0, 1)
denotam as
classes de equivalˆencia dos elementos S
(0, 1)
e S
(1, 0)
, respectivamente, referente ao quo-
ciente pelo n´ucle o da norma definida na constru¸c˜ao de C
∗
-´algebra universal (ver cons-
tru¸c˜ao no apˆendice 1). Para demonstrar este fato, precisaremos fazer uso do seguinte
resultado:
Proposi¸c˜ao 4.2.1. Sejam G um grupo, A uma C
∗
-´algebra, π : G −→ A uma repre-
senta¸c˜ao parcial de G sobre A e g ∈ G, tal que π(g) ´e uma isometria. Ent˜ao, para
todo h ∈ G,
π(h)π(g) = π(hg).
Demonstra¸c˜ao. Seja h ∈ G arbitr´ario; ent˜ao, temos que
π(h)π(g) = π(h)π(g)π(g)
∗
π(g) = π(hg)π(g)
∗
π(g) = π(hg).
Ent˜ao, podemos considerar a seguinte aplica¸c˜ao:
π : G −→ C
∗
G,
R
(4.1)
g −→
˙
S
g
que ´e claramente uma representa¸c˜ao parcial de G sobre C
∗
G,
R
. Al´em disso,
˙
S
(1, 0)
e
˙
S
(0, 1)
s˜ao isometrias. Logo, p e la proposi¸c˜ao acima, temos que
˙
S
(1, 0)
S
(0, 1)
= π(1, 0)π(0, 1) = π((1, 0) + (0, 1)) = π(1, 1)
= π((0, 1) + (1, 0)) = π(0, 1)π(1, 0) =
˙
S
(0, 1)
S
(1, 0)
,
donde segue que
˙
S
(1, 0)
˙
S
(0, 1)
.
Vamos formalizar uma nota¸c˜ao para a C
∗
-´algebra gerada pelas duas isometrias que
comutam. Sejam G = {S
1
, S
2
} e R o conjunto de rela¸c˜oes desejadas; sabemos que
pelo menos temos as trˆes seguintes rela¸c˜oes em R: S
∗
1
S
1
= 1, S
∗
2
S
2
= 1 e S
1
S
2
= S
2
S
1
.
92
Note que apesar de n˜ao termos especificado todas as rela¸c˜oes de R, o par (G , R) ´e
admiss´ıvel, logo existe C
∗
(G , R).
Continuando a motiva¸c˜ao, seria tamb´em natural pensar que para quaisquer m, n ∈
N,
˙
S
(m, n)
deveria estar relacionada com S
m
1
S
n
2
, onde S
m
1
S
n
2
denota a classe de equi-
valˆencia do elemento S
m
1
S
n
2
, referente ao quociente pelo n´ucleo da norma definida na
constru¸c˜ao de C
∗
-´algebra universal (ver constru¸c˜ao no apˆendice 1). Note que desta
forma temos uma fun¸c˜ao definida em um sub-semigrupo de Z × Z, a saber N × N e,
al´em disso, esta aplica¸c˜ao ´e uma representa¸c˜ao de sub-semigrupo. De fato, defina
σ : N × N −→ C
∗
(G , R) (4.2)
(m, n) −→ S
n
1
S
m
2
e note que para m, n, p, q ∈ N arbitr´arios, temos que
(i) σ(0, 0) = S
0
1
S
0
2
= 1;
(ii)
σ((m, n) + (p, q)) = σ(m + p, n + q) = S
m+p
1
S
n+q
2
= S
m
1
S
p
1
S
n
2
S
q
2
= S
m
1
S
n
2
S
p
1
S
q
2
= σ(m, n)σ(p, q).
Logo, no desejo de definir uma representa¸c˜ao ρ : G −→ C
∗
(G , R) que satisfa¸ca
o par
G,
R
, para podermos fazer uso da propriedade universal de C
∗
G,
R
, nos
deparamos com a seguinte quest˜ao: sob quais condi¸c˜oes conseguimos estender uma
representa¸c˜ao de um sub-semigrupo para uma representa¸c˜ao parcial do grupo. O
teorema seguinte nos dar´a condi¸c˜oes suficientes.
Teorema 4.2.2. Sejam G um grupo abeliano, P ⊆ G um sub-semigrupo tal que G =
P − P , A uma C
∗
-´algebra unital, com unidade 1 e σ uma representa¸c˜ao do sub-
semigrupo P sobre A tal que, para todo n ∈ P , σ(n)
∗
σ(n) = 1. Se para todo m, n ∈ P ,
σ(m)σ(m)
∗
σ(n)σ(n)
∗
, ent˜ao existe uma representa¸c˜ao parcial σ de G sobre A, tal
que para todo n ∈ P , σ(n) = σ(n).
Demonstra¸c˜ao. Tome g ∈ G arbitr´ario; ent˜ao, sabemos que existe m, n ∈ P tais que
g = n − m. Isto nos motiva a querer definir σ da seguinte maneira:
σ(g) = σ(n − m) = σ(m)
∗
σ(n),
mas como a representa¸c˜ao de g n˜ao ´e ´unica, temos que mostrar que a aplica¸c˜ao est´a
bem definida. Para isto, temos que mostrar que para n, n
, m, m
∈ P arbitr´arios, tais
que n − m = n
− m
,
σ(m)
∗
σ(n) = σ(m
)
∗
σ(n
).
93
Sabemos que dados quaisquer m, n, k ∈ P, n − m = (n + k) − (m + k), logo note
que
σ(m + k)
∗
σ(n + k) = σ(k + m)
∗
σ(k + n) = (σ(k)σ(m))
∗
σ(k)σ(n)
= σ(m)
∗
σ(k)
∗
σ(k)σ(n) = σ(m)
∗
σ(n),
pois σ(k) ´e uma isometria por hip´otese.
Agora tome n, n
, m, m
∈ P arbitr´arios, tais que n − m = n
− m
. Defina k =
n
+ m
, n
= n + k e m
= m + k; claramente, k, n
, m
∈ P . Como n − m = n
− m
,
segue que n + m
= n
+ m. Portanto, definindo q = n + m
= n
+ m, temos que
n
− n
= n + k − n
= n + n
+ m
− n
= n + m
= q ⇒ n
+ q = n
,
e tamb´em que
m
− m
= m + k − m
= m + n
+ m
− m
= m + n
= q ⇒ m
= q + m
.
Note que n − m = (n + k) − (m + k) = n
− m
, ent˜ao temos que
σ(m)
∗
σ(n) = σ(m + k)
∗
σ(n + k) = σ(m
)
∗
σ(n
).
Por outro lado, como n
− m
= (n
+ q) − (m
+ q) = n
− m
, segue que
σ(m
)
∗
σ(n
) = σ(m
+ q)
∗
σ(n
+ q) = σ(m
)
∗
σ(n
).
Portanto, σ(m)
∗
σ(n) = σ(m
)
∗
σ(n
), donde segue que a aplica¸c˜ao σ : G −→ A,
definida para todo g ∈ G, por σ(g) = σ(m)
∗
σ(n), onde g = n−m, est´a bem definida, j´a
que mostramos que ela independe da representa¸c˜ao escolhida. Note que para qualquer
n ∈ P , n = n − 0, logo
σ(n) = σ(0)
∗
σ(n) = σ(n).
Vamos verificar, portanto, que σ satisfaz os axiomas de representa¸c˜ao parcial. Se-
jam g, h ∈ G arbitr´arios; ent˜ao; existem m, n, p, q ∈ P , tais que g = n − m e h = p − q.
Logo, temos que
(i) σ(0) = σ(0) = 1.
(ii) σ(−g) = σ(−n + m) = σ(n)
∗
σ(m) = (σ(m)
∗
σ(n))
∗
= σ(n − m)
∗
= σ(g)
∗
.
(iii) Como σ independe do representante, podemos escolher aquele que nos for mais
conveniente, por isso, note que g = (n + q) − (m + q) e h = (p + n) − (q + n).
94
Portanto, tomando a = n + q, b = m + q e c = p + n obtemos que g = a − b e
h = c − a, logo
σ(g)σ(h)σ(h)
∗
= σ(a − b)σ(c − a)σ(−c + a) = σ(b)
∗
σ(a)σ(a)
∗
σ(c)σ(c)
∗
σ(a)
= σ(b)
∗
σ(c)σ(c)
∗
σ(a)σ(a)
∗
σ(a) = σ(b)
∗
σ(c)σ(c)
∗
σ(a)
= σ(−b + c)σ(−c + a) = σ((a − b) + (c − a))σ(−c + a)
= σ(g + h)σ(h)
∗
.
Portanto, σ ´e uma representa¸c˜ao parcial de G, sobre A, que estende σ.
Agora note N×N ´e um sub-semigrupo de Z×Z, tal que (N × N)−(N × N) = Z×Z
e ainda que σ, como definida em 4.2, ´e uma representa¸c˜ao do sub-semigrupo N × N
sobre C
∗
(G , R), que satisfaz para quaisquer (n, m), (p, q) ∈ N × N,
σ(n, m)
∗
σ(n, m) = (S
n
1
S
m
2
)
∗
S
n
1
S
m
2
= (S
∗
2
)
m
(S
∗
1
)
n
S
n
1
S
m
2
= 1.
Logo, s´o nos resta verificar a ´ultima hip´otese do teorema acima, que para quaisquer
(n, m), (p, q) ∈ N × N, σ(n, m)σ(n, m)
∗
σ(p, q)σ(p, q)
∗
, ou seja, que
S
n
1
S
m
2
(S
n
1
S
m
2
)
∗
S
p
1
S
q
2
(S
p
1
S
q
2
)
∗
.
Portanto, este fato nos motiva a impor esta rela¸c˜ao em R. Sendo assim,
R = {S
∗
1
S
1
= 1, S
∗
2
S
2
= 1, S
1
S
2
= S
2
S
1
, S
n
1
S
m
2
(S
n
1
S
m
2
)
∗
S
p
1
S
q
2
(S
p
1
S
q
2
)
∗
=
S
p
1
S
q
2
(S
p
1
S
q
2
)
∗
S
n
1
S
m
2
(S
n
1
S
m
2
)
∗
| m, n, p, q ∈ N}.
Agora note que, em virtude do teorema 4.1.4, temos que a ´ultima rela¸c˜ao imposta
´e equivalente `a seguinte:
S
m
1
(S
∗
1
)
m
S
n
2
(S
∗
2
)
n
= S
n
2
(S
∗
2
)
n
S
m
1
(S
∗
1
)
m
,
ou seja, as rela¸c˜oes que est´avamos em busca, eram simplesmente a rela¸c˜ao das duas
isometrias serem compat´ıveis.
Portanto, σ ´e uma representa¸c˜ao do sub-semigrupo N × N que satisfaz todas as
hip´oteses do teorema acima, j´a que a ´ultima hip´otese do teorema ´e satisfeita, uma
vez que foi a ´ultima rela¸c˜ao imposta em R. Logo, existe σ : Z × Z −→ C
∗
(G , R)
representa¸c˜ao parcial, tal que para todo (n, m) ∈ N × N, σ(n, m) = σ(n, m) e para
95
(z
1
, z
2
) ∈ Z × Z arbitr´ario, onde (z
1
, z
2
) = (m, n) − (r, s), para algum m, n, r, s ∈ N ´e
dada por:
σ(z
1
, z
2
) = σ((n, m) − (r, s)) = σ(r, s)
∗
σ(n, m) = (S
r
1
S
s
2
)
∗
(S
n
1
S
m
2
) = (S
∗
2
)
s
(S
∗
1
)
r
S
n
1
S
m
2
.
Vamos agora, analisar melhor a imagem de σ(z
1
, z
2
):
• Caso 1: se n ≥ r e m ≥ s, e nt˜ao temos que
σ(z
1
, z
2
) = (S
∗
2
)
s
(S
∗
1
)
r
S
n
1
S
m
2
= (S
∗
2
)
s
S
n−r
1
S
m
2
= (S
∗
2
)
s
S
m
2
S
n−r
1
= S
m−s
2
S
n−r
1
= S
z
2
2
S
z
1
1
.
• Caso 2: se n ≥ r e m < s, e nt˜ao temos que
σ(z
1
, z
2
) = (S
∗
2
)
s
(S
∗
1
)
r
S
n
1
S
m
2
= (S
∗
2
)
s
S
n−r
1
S
m
2
= (S
∗
2
)
s
S
m
2
S
n−r
1
= (S
∗
2
)
s−m
S
n−r
1
= (S
∗
2
)
−z
2
S
z
1
1
.
• Caso 3: se n < r e m ≥ s, e nt˜ao temos que
σ(z
1
, z
2
) = (S
∗
2
)
s
(S
∗
1
)
r
S
n
1
S
m
2
= (S
∗
2
)
s
(S
∗
1
)
r−n
S
m
2
= (S
∗
1
)
r−n
(S
∗
2
)
s
S
m
2
= (S
∗
1
)
−z
1
S
z
2
2
.
• Caso 4: se n < r e m < s, e nt˜ao temos que
σ(z
1
, z
2
) = (S
∗
2
)
s
(S
∗
1
)
r
S
n
1
S
m
2
= (S
∗
2
)
s
(S
∗
1
)
r−n
S
m
2
= (S
∗
1
)
r−n
(S
∗
2
)
s
S
m
2
= (S
∗
1
)
r−n
(S
∗
2
)
s−m
= (S
∗
1
)
−z
1
(S
∗
2
)
−z
2
= (S
∗
2
)
−z
2
(S
∗
1
)
−z
1
.
Defina a seguinte aplica¸c˜ao:
f : G −→ Z × Z
S
(z
1
, z
2
)
−→ (z
1
, z
2
).
Portanto fica definida uma representa¸c˜ao de G que claramente satisfaz
R, a saber,
ρ = σ ◦ f.
96
Logo, pela propriedade universal de C
∗
G,
R
, existe um ´unico homomorfismo
ϕ : C
∗
G,
R
−→ C
∗
(G , R), (4.3)
tal que para todo z
1
, z
2
∈ Z,
ϕ
˙
S
(z
1
, z
2
)
= ϕ ◦ ι
S
(z
1
, z
2
)
= ρ
S
(z
1
, z
2
)
.
Lema 4.2.3. Existe um homomorfismo ψ : C
∗
(G , R) −→ C
∗
G,
R
tal que ψ
S
1
=
˙
S
(1, 0)
e ψ
S
2
=
˙
S
(0, 1)
.
Demonstra¸c˜ao. Defina
ρ : G −→ C
∗
G,
R
S
1
−→
˙
S
(1, 0)
S
2
−→
˙
S
(0, 1)
.
Vamos verificar que ρ ´e uma representa¸c˜ao do par (G , R).
(i) ρ(S
∗
1
S
1
− 1) = ρ(S
1
)
∗
ρ(S
1
) − ρ(1) =
˙
S
∗
(1, 0)
S
(1, 0)
−
˙
1
= 0, analogamente
ρ(S
∗
2
S
2
− 1) = 0.
(ii) Segue da observa¸c˜ao feita ap´os a proposi¸c˜ao 4.2.1 que
ρ(S
1
S
2
− S
2
S
1
) = ρ(S
1
)ρ(S
2
) − ρ(S
2
)ρ(S
1
) =
˙
S
(1, 0)
S
(0, 1)
−
˙
S
(0, 1)
S
(1, 0)
= 0.
(iii) Para facilitar nossas contas, vamos optar por provar a rela¸c˜ao que ´e equiva-
lente a ´ultima rela¸c˜ao imposta em R. Tome n, m ∈ N arbitr´arios. Note
que como π (definida na equa¸c˜ao 4.1) ´e uma representa¸c˜ao parcial, temos que
π(m, 0)π(m, 0)
∗
π(0, n)π(0, n)
∗
, ou seja,
˙
S
(m, 0)
S
∗
(m, 0)
˙
S
(0, n)
S
∗
(0, n)
. Ent˜ao temos
que
ρ(S
m
1
(S
∗
1
)
m
S
n
2
(S
∗
2
)
n
− S
n
2
(S
∗
2
)
n
S
m
1
(S
∗
1
)
m
)
=
ρ(S
1
)
m
(ρ(S
1
)
∗
)
m
ρ(S
2
)
n
(ρ(S
2
)
∗
)
n
− ρ(S
2
)
n
(ρ(S
2
)
∗
)
n
ρ(S
1
)
m
(ρ(S
1
)
∗
)
m
=
˙
S
m
(1, 0)
S
∗
(1, 0)
m
S
n
(0, 1)
S
∗
(0, 1)
n
−
˙
S
n
(0, 1)
S
∗
(0, 1)
n
S
m
(1, 0)
S
∗
(1, 0)
m
=
˙
S
(m, 0)
S
∗
(m, 0)
S
(0, n)
S
∗
(0, n)
−
˙
S
(0, n)
S
∗
(0, n)
S
(m, 0)
S
∗
(m, 0)
= 0
97
Portanto, ρ ´e uma representa¸c˜ao do par (G , R), logo pela propriedade universal de
C
∗
(G , R), existe um ´unico homomorfismo ψ, tal que ψ
S
1
= ψ◦ι(S
1
) = ρ(S
1
) =
˙
(S
1,0
)
e ψ
S
2
= ψ ◦ ι(S
2
) = ρ(S
2
) =
˙
S
(0, 1)
.
Teorema 4.2.4. C
∗
G,
R
´e isomorfa a C
∗
(G , R).
Demonstra¸c˜ao. Para demonstrar este fato, basta mostrarmos que os homomorfismos
ϕ e ψ, como definidos em 4.3 e 4.2.3, respectivamente, s˜ao um o inverso do outro e ´e
suficiente verificarmos nos geradores. Logo, temos que
ϕ ◦ ψ
S
1
= ϕ
˙
S
(1, 0)
= S
1
1
S
0
2
= S
1
e tamb´em,
ϕ ◦ ψ
S
2
= ϕ
˙
S
(0, 1)
= S
0
1
S
1
2
= S
2
.
Portanto, ϕ ◦ ψ = id
C
∗
(G , R)
.
Por outro lado, para qualquer (z
1
, z
2
) ∈ Z × Z, onde (z
1
, z
2
) = (m, n) − (r, s), para
algum m, n, r, s ∈ N, temos que
• Caso 1: se n ≥ r e m ≥ s,
ψ ◦ ϕ
˙
S
(z
1
, z
2
)
= ψ
S
z
2
2
S
z
1
1
= ψ
S
2
z
2
ψ
S
1
z
1
=
˙
S
z
2
(0, 1)
S
z
1
(1, 0)
=
˙
S
(z
1
, z
2
)
.
• Caso 2: se n ≥ r e m < s,
ψ ◦ ϕ
˙
S
(z
1
, z
2
)
= ψ
(S
∗
2
)
−z
2
S
z
1
1
=
ψ
S
2
−z
2
∗
ψ
S
1
z
1
=
˙
S
−z
2
(0, 1)
∗
S
z
1
(1, 0)
=
˙
S
∗
(0, −z
2
)
S
(z
1
, 0)
=
˙
S
(0, z
2
)
S
(z
1
, 0)
=
˙
S
(z
1
, z
2
)
.
• Caso 3: se n < r e m ≥ s,
ψ ◦ ϕ
˙
S
(z
1
, z
2
)
= ψ
(S
∗
1
)
−z
1
S
z
2
2
=
ψ
S
1
−z
1
∗
ψ
S
2
z
2
=
˙
S
−z
1
(1, 0)
∗
S
z
2
(0, 1)
=
˙
S
∗
(−z
1
, 0)
S
(0, z
2
)
=
˙
S
(z
1
, 0)
S
(0, z
2
)
=
˙
S
(z
1
, z
2
)
.
98
• Caso 4: se n < r e m < s,
ψ ◦ ϕ
˙
S
(z
1
, z
2
)
= ψ
(S
∗
2
)
−z
2
(S
∗
1
)
−z
1
=
ψ
S
2
−z
2
∗
ψ
S
1
−z
1
∗
=
˙
S
−z
2
(0, 1)
∗
S
−z
1
(1, 0)
∗
=
˙
S
∗
(0, −z
2
)
S
∗
(−z
1
, 0)
=
˙
S
(0, z
2
)
S
(z
1
, 0)
=
˙
S
(z
1
, z
2
)
.
Portanto, ψ ◦ ϕ = id
C
∗
G, R
.
Logo, a C
∗
-´algebra universal gerada por duas isometrias compat´ıveis ´e isomorfa a
um produto cruzado parcial, pois
C
∗
(G , R)
∼
=
C
∗
G,
R
∼
=
C(Ω
R
)
α
(Z × Z).
Vamos portanto determinar o espectro Ω
R
. Relembrando,
Ω
R
= {ξ ∈ X
G
| ∀ f ∈ R, ∀ g ∈ G, f(−g + ξ) = 0}.
Ent˜ao, tome ξ ∈ Ω
R
e g = (m, n) ∈ ξ arbitr´arios. Note que (0, 0) ∈ (−g + ξ), pois
g ∈ ξ. Logo, temos que
1
(−1, 0)
− 1
(0, 0)
(−g + ξ) = 0 ⇒ 1
(−1, 0)
(−g + ξ) − 1
(0, 0)
(−g + ξ) = 0
⇒ 1
(−1, 0)
(−g + ξ) = 1
⇒ (−1, 0) ∈ (−g + ξ) ⇒ g + (−1, 0) ∈ ξ
⇒ (m − 1, n) ∈ ξ.
Al´em disso,
1
(0, −1)
− 1
(0, 0)
(−g + ξ) = 0 ⇒ 1
(0, −1)
(−g + ξ) − 1
(0, 0)
(−g + ξ) = 0
⇒ 1
(0, −1)
(−g + ξ) = 1
⇒ (0, −1) ∈ (−g + ξ) ⇒ g + (0, −1) ∈ ξ
⇒ (m, n − 1) ∈ ξ.
Portanto, se (m, n) ∈ ξ, ent˜ao qualquer ( m, n) ∈ G, tal que m ≤ m e n ≤ n,
( m, n) ∈ ξ.
Por outro lado, dado um conjunto ξ ⊆ G, tal que (0, 0) ∈ ξ e se (m, n) ∈ ξ, ent˜ao
qualquer ( m, n) ∈ G, tal que m ≤ m e n ≤ n, ( m, n) ∈ ξ, temos que ξ ∈ Ω
R
, pois
99
tomando g = (m, n) ∈ ξ arbitr´ario e observando que (0, 0) ∈ (−g + ξ), pois g ∈ ξ;
(−1, 0) ∈ (−g + ξ), pois (m − 1, n) ∈ ξ e (0, −1) ∈ (−g + ξ), pois (m, n − 1) ∈ ξ,
temos que
1
(−1, 0)
− 1
(0, 0)
(−g + ξ) = 1
(−1, 0)
(−g + ξ) − 1
(0, 0)
(−g + ξ) = 1 − 1 = 0,
e tamb´em que
1
(0, −1)
− 1
(0, 0)
(−g + ξ) = 1
(0, −1)
(−g + ξ) − 1
(0, 0)
(−g + ξ) = 1 − 1 = 0.
Portanto, ξ ∈ Ω
R
se, e somente se, (0, 0) ∈ ξ e para qualquer (m, n) ∈ ξ, se
( m, n) ∈ G ´e tal que, m ≤ m e n ≤ n, e nt˜ao ( m, n) ∈ ξ.
4.3 A C
∗
-´algebra universal gerada por duas isome-
trias duplamente comutantes
Podemos nos perguntar se em C
∗
(G , R) temos a seguinte rela¸c˜ao: S
∗
1
S
2
= S
2
S
∗
1
.
Se esta rela¸c˜ao fosse satisfeita, pelo isomorfismo que constru´ımos na se¸c˜ao anterior,
ter´ıamos que
ψ
S
∗
1
S
2
= ψ
S
2
S
∗
1
⇒
˙
S
∗
(1, 0)
S
(0, 1)
=
˙
S
(0, 1)
S
∗
(1, 0)
⇒
˙
S
(−1, 0)
S
(0, 1)
=
˙
S
(0, 1)
S
(−1, 0)
.
Al´em disso, pelo isomorfismo constru´ıdo na se¸c˜ao 3.3 entre C
∗
G,
R
e C(Ω
R
)
α
(Z × Z), ter´ıamos que
¨
1
(−1, 0)
δ
(−1, 0)
¨
1
(0, 1)
δ
(0, 1)
=
¨
1
(0, 1)
δ
(0, 1)
¨
1
(−1, 0)
δ
(−1, 0)
.
Desenvolvendo os dois lados da equa¸c˜ao acima, obtemos que
¨
1
(−1, 0)
δ
(−1, 0)
¨
1
(0, 1)
δ
(0, 1)
= α
(−1, 0)
α
(1, 0)
¨
1
(−1, 0)
¨
1
(0, 1)
δ
(−1, 1)
= α
(−1, 0)
¨
1
(1, 0)
¨
1
(0, 1)
δ
(−1, 1)
=
¨
1
(−1, 0)
¨
1
(−1, 1)
δ
(−1, 1)
100
e
¨
1
(0, 1)
δ
(0, 1)
¨
1
(−1, 0)
δ
(−1, 0)
= α
(0, 1)
α
(0, −1)
¨
1
(0, 1)
¨
1
(−1, 0)
δ
(−1, 1)
= α
(0, 1)
¨
1
(1, 0)
1
0,1
δ
(−1, 1)
=
¨
1
(−1, 0)
1
(−1, 1)
δ
(−1, 1)
.
Logo, para ξ ∈ Ω
R
, tal que ξ = {(−n, 1), (−p, −q) | n, p, q ∈ N} temos que
¨
1
(0, 1)
¨
1
(−1, 1)
(ξ) =
¨
1
(0, 1)
(ξ)
¨
1
(−1, 1)
(ξ) = 0 · 1 = 0,
mas
¨
1
(−1, 0)
¨
1
(−1, 1)
(ξ) =
¨
1
(−1, 0)
(ξ)
¨
1
(−1, 1)
(ξ) = 1 · 1 = 1.
Portanto, como
¨
1
(−1, 0)
¨
1
(−1, 1)
δ
(−1, 1)
δ
(−1, 1)
=
¨
1
(0, 1)
¨
1
(−1, 1)
δ
(−1, 1)
δ
(−1, 1)
, temos que
S
∗
1
S
2
= S
2
S
∗
1
.
Sendo assim, podemos nos perguntar, se ´e poss´ıvel escrever esta rela¸c˜ao na lingua-
gem dos ε
g
s, onde para todo g ∈ G = Z × Z, ε
g
= π(g)π(g)
∗
e π ´e como definida em
4.1, para que possamos acrescent´a-la em
R. Note que
S
∗
1
S
2
= S
2
S
∗
1
⇔ S
∗
1
S
2
− S
2
S
∗
1
= 0 ⇔ (S
∗
1
S
2
− S
2
S
∗
1
)(S
∗
1
S
2
− S
2
S
∗
1
)
∗
= 0.
Logo, estas rela¸c˜oes se traduzem de maneira geral em C
∗
(G, R) da seguinte forma,
onde g, h ∈ G s˜ao arbitr´arios, tais que S
g
e S
h
s˜ao isometrias:
˙
S
∗
g
S
h
− S
h
S
∗
g
S
∗
g
S
h
− S
h
S
∗
g
∗
=
˙
S
∗
g
S
h
− S
h
S
∗
g
(S
∗
h
S
g
− S
g
S
∗
h
)
=
˙
S
∗
g
S
h
S
∗
h
S
g
− S
∗
g
S
h
S
g
S
∗
h
− S
h
S
∗
g
S
∗
h
S
g
+ S
h
S
∗
g
S
g
S
∗
h
(4.4)
Mas, pela proposi¸c˜ao 4.2.1 temos que S
g
comuta com S
h
; al´em disso, como
˙
S
g
=
π(g), onde π ´e a representa¸c˜ao parcial definida em 4.1, temos que
˙
S
∗
g
ε
h
˙
S
g
= π(g)
∗
ε
h
π(g) = ε
g
−1
h
π(g)
∗
π(g) = ε
g
−1
h
,
pois π(g) por hip´otese ´e isometria. Logo, fazendo uso destes dois fatos, temos que a
equa¸c˜ao 4.4 ´e igual a seguinte:
˙
S
∗
g
ε
h
˙
S
g
−
˙
S
∗
g
S
g
S
h
S
∗
h
− S
h
S
∗
h
S
∗
g
S
g
+ S
h
S
∗
h
= ε
g
−1
h
− ε
h
− ε
h
+ ε
h
= ε
g
−1
h
− ε
h
.
101
Portanto,
˙
S
∗
g
S
h
− S
h
S
∗
g
S
∗
g
S
h
− S
h
S
∗
g
∗
= 0 ⇔ ε
g
−1
h
= ε
h
.
Agora, note que S
∗
1
S
2
= S
2
S
∗
1
⇔ S
∗
2
S
1
= S
1
S
∗
2
. Como n˜ao ´e evidente que ε
g
−1
h
=
ε
h
⇔ ε
h
−1
g
= ε
g
, demonstraremos este fato na pr´oxima proposi¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 4.3.1. Se para todo g ∈ G, ε
g
´e como definido acima, ent˜ao para g, h ∈
G = Z × Z arbitr´arios, tais que
˙
S
g
e
˙
S
h
s˜ao isometrias temos que
ε
g
−1
h
= ε
h
⇔ ε
h
−1
g
= ε
g
.
Demonstra¸c˜ao. Relembrando, para todo g ∈ G,
˙
S
g
= π(g), onde π ´e a representa¸c˜ao
parcial definida em 4.1. Logo, pela proposi¸c˜ao 4.2.1 temos que
˙
S
h
−1
g
= π
h
−1
g
= π
h
−1
π(g) =
˙
S
h
−1
S
g
,
pois por hip´otese π(g) ´e isometria. Sendo assim, temos que
ε
h
−1
g
=
˙
S
h
−1
g
S
∗
h
−1
g
=
˙
S
h
−1
g
S
g
−1
h
=
˙
S
h
−1
S
g
S
g
−1
S
h
=
˙
S
∗
h
S
g
S
∗
g
S
h
.
Logo, ε
h
−1
g
= ε
g
se, e somente se,
˙
S
∗
h
S
g
S
∗
g
S
h
=
˙
S
g
S
∗
g
.
Analogamente, ε
g
−1
h
= ε
h
se, e somente s e,
˙
S
∗
g
S
h
S
∗
h
S
g
=
˙
S
h
S
∗
h
. (4.5)
(⇒) Basta verificarmos que
˙
S
∗
h
S
g
S
∗
g
S
h
− S
g
S
∗
g
S
∗
h
S
g
S
∗
g
S
h
− S
g
S
∗
g
∗
=
˙
0.
De fato,
˙
S
∗
h
S
g
S
∗
g
S
h
− S
g
S
∗
g
S
∗
h
S
g
S
∗
g
S
h
− S
g
S
∗
g
∗
=
˙
S
∗
h
S
g
S
∗
g
S
h
− S
g
S
∗
g
S
∗
h
S
g
S
∗
g
S
h
− S
g
S
∗
g
=
˙
S
∗
h
S
g
S
∗
g
S
h
S
∗
h
S
g
S
∗
g
S
h
− S
∗
h
S
g
S
∗
g
S
h
S
g
S
∗
g
− S
g
S
∗
g
S
∗
h
S
g
S
∗
g
S
h
+ S
g
S
∗
g
S
g
S
∗
g
(4.6)
Agora, fazendo uso da equa¸c˜ao 4.5 e do fato que
˙
S
g
comuta com
˙
S
h
, temos que a
102
equa¸c˜ao 4.6 ´e igual a seguinte:
˙
S
∗
h
S
g
S
h
S
∗
h
S
∗
g
S
h
− S
∗
h
S
g
S
∗
g
S
g
S
h
S
∗
g
− S
g
S
∗
h
S
∗
g
S
g
S
∗
g
S
h
+ S
g
S
∗
g
=
˙
S
∗
h
S
h
S
g
S
∗
h
S
∗
g
S
h
− S
∗
h
S
g
S
h
S
∗
g
− S
g
S
∗
h
S
∗
g
S
h
+ S
g
S
∗
g
=
˙
S
g
S
∗
h
S
∗
g
S
h
− S
∗
h
S
h
S
g
S
∗
g
− S
g
S
∗
g
S
∗
h
S
h
+ S
g
S
∗
g
=
˙
S
g
S
∗
g
S
∗
h
S
h
− S
g
S
∗
g
− S
g
S
∗
g
+ S
g
S
∗
g
=
˙
S
g
S
∗
g
− S
g
S
∗
g
=
˙
0.
Portanto, ε
h
= ε
g
−1
h
⇒ ε
g
= ε
h
−1
g
.
Analogamente, prova-se que ε
g
= ε
h
−1
g
⇒ ε
h
= ε
g
−1
h
.
Ent˜ao tomando g = (1, 0) e h = (0, 1) em ε
g
= ε
h
−1
g
, obtemos
ε
(1, 0)
= ε
(0, −1)+(1, 0)
⇒ ε
(1, 0)
= ε
(1, −1)
,
e portanto, a rela¸c˜ao que precisamos acrescentar em
R =
1
(−1, 0)
− 1
(0, 0)
, 1
(0, −1)
− 1
(0, 0)
⊆ C(X
G
),
para que tenhamos a rela¸c˜ao S
∗
1
S
2
= S
2
S
∗
1
em R ´e a seguinte:
1
(1, 0)
− 1
(1, −1)
.
Portanto, acrescentando a rela¸c˜ao desejada, temos que
R =
1
(−1, 0)
− 1
(0, 0)
, 1
(0, −1)
− 1
(0, 0)
, 1
(1, 0)
− 1
(1, −1)
⊆ C(X
G
),
R = R ∪
S
∗
(1, 0)
S
(1, 0)
= 1, S
∗
(0, 1)
S
(0, 1)
= 1, S
∗
(1, 0)
S
(0, 1)
= S
(0, 1)
S
∗
(1, 0)
,
e
R = {S
∗
1
S
1
= 1, S
∗
2
S
2
= 1, S
1
S
2
= S
2
S
1
, S
∗
1
S
2
= S
2
S
∗
1
}.
Note que tiramos de
R a rela¸c˜ao de que S
1
e S
2
s˜ao compat´ıveis, pois vimos na
primeira se¸c˜ao deste cap´ıtulo, que se duas isometrias s ˜ao duplamente comutantes,
ent˜ao elas s˜ao compat´ıveis.
Como os pares
G,
R
e
G ,
R
s˜ao claramente admiss´ıveis, existem C
∗
G,
R
e
C
∗
G ,
R
. Ent˜ao, pelo teorema 3.3.8, temos que
C
∗
G,
R
∼
=
C
Ω
R
α
(Z × Z),
103
e pelo isomorfismo constru´ıdo na se¸c˜ao anterior, temos que
C
∗
G,
R
∼
=
C
∗
G ,
R
,
logo
C
∗
G ,
R
∼
=
C
Ω
R
α
(Z × Z).
Vamos, agora portanto, determinar o espectro Ω
R
. Claramente, Ω
R
⊆ Ω
R
. Logo,
precisamos analisar somente a ´ultima rela¸c˜ao acrescentada em R. Relembrando, mais
uma vez,
Ω
R
=
ξ ∈ X
G
| ∀f ∈
R, ∀g ∈ G, f(−g + ξ) = 0
.
Ent˜ao, tomando ξ ∈ Ω
R
e g = (m, n) ∈ ξ arbitr´arios, temos que
¨
1
(1, 0)
−
¨
1
(1, −1)
(−g + ξ) = 0 ⇔
¨
1
(1, 0)
(−g + ξ) =
¨
1
(1, −1)
(−g + ξ)
⇔ [(1, 0) ∈ (−g + ξ)] = [(1, −1) ∈ (−g + ξ)]
⇔ [g + (1, 0) ∈ ξ] = [g + (1, −1) ∈ ξ]
⇔ [(m + 1, n) ∈ ξ] = [(m + 1, n − 1) ∈ ξ].
Agora, dado ξ ∈ Z × Z arbitr´ario, defina
x
M
= sup
(m, n)∈ξ
{π
1
(m, n)} e y
M
= sup
(m, n)∈ξ
{π
2
(m, n)},
onde π
1
: Z × Z −→ Z e π
2
: Z × Z −→ Z, denotam as proje¸c˜oes canˆonicas na primeira
e segunda coordenada, respectivamente. Note que x
M
, y
M
∈ N ∪ {+∞}. Logo, para
ξ ∈ Ω
R
arbitr´ario, temos que
• Caso 1: se x
M
, y
M
< +∞, ent˜ao (0, 0) ∈ ξ e para qualquer (x, y) ∈ Z × Z, tal
que x ≤ x
M
e y ≤ y
M
, (x, y) ∈ ξ.
• Caso 2: se x
M
= +∞ e y
M
< +∞, ent˜ao (0, 0) ∈ ξ e para qualquer (x, y) ∈ Z×Z,
tal que y ≤ y
M
, (x, y) ∈ ξ.
• Caso 3: se x
M
< +∞ e y
M
= +∞, ent˜ao (0, 0) ∈ ξ e para qualquer (x, y) ∈ Z×Z,
tal que x ≤ x
M
, (x, y) ∈ ξ.
• Caso 4: se x
M
= y
M
= +∞, e nt˜ao ξ = Z × Z.
Agora, tome ξ ⊆ Z × Z, tal que ξ satisfaz um dos quatro casos citados acima.
Ent˜ao ´e imediato verificar que para qualquer g = (m, n) ∈ Z × Z, [(m + 1, n) ∈ ξ] =
[(m + 1, n − 1) ∈ ξ], donde segue que
¨
1
(1, 0)
−
¨
1
(1, −1)
(−g + ξ) = 0.
104
Portanto, ξ ∈ Ω
R
se, e somente se, ξ satisfaz um dos quatro casos citados acima.
Sendo assim, podemos caracterizar Ω
R
de uma forma ainda melhor.
Teorema 4.3.2. Ω
R
e (N ∪ {+∞}) × (N ∪ {+∞}) s˜ao homeomorfos, onde estamos
considerando em N a topologia discreta, em (N ∪ {+∞}) a topologia do compactifi-
cado de Alexandroff (ver defini¸c˜ao 19.2 em [17]) e em (N ∪ {+∞}) × (N ∪ {+∞}) a
topologia produto.
Demonstra¸c˜ao. Defina
f : (N ∪ {+∞}) × (N ∪ {+∞}) −→ Ω
R
(x, y) −→ ξ
(x, y)
,
onde ξ
(x, y)
= {(m, n) ∈ Z × Z | m ≤ x, n ≤ y}. Pela caracteriza¸c˜ao feita anterior-
mente do espectro, temos que para todo (x, y) ∈ (N ∪ {+∞}) × (N ∪ {+∞}), ξ
(x, y)
∈
Ω
R
. Logo, a aplica¸c˜ao f est´a bem definida. Vamos mostrar que f ´e um homeomor-
fismo.
f ´e injetora, pois dados (x, y), (z, w) ∈ (N ∪ {+∞}) ×(N ∪ {+∞}) arbitr´arios, tais
que f(x, y) = f (z, w), temos que ξ
(x, y)
= ξ
(z, w)
, logo (x, y) ∈ ξ
(z, w)
, o que implica
x ≤ z e y ≤ w, e tamb´em, temos que (z, w) ∈ ξ
(x, y)
, o que implica z ≤ x e w ≤ y,
donde segue que (x, y) = (z, w).
f ´e sobrejetora, pois pela caracteriza¸c˜ao feita do espectro anteriormente, temos que
dado ξ ∈ Ω
R
arbitr´ario, existem x
M
, y
M
∈ N ∪ {+∞}, tais que
ξ = {(m, n) ∈ Z × Z | m ≤ x
M
, n ≤ y
M
},
e portanto, f(x
M
, y
M
) = ξ.
Vamos verificar agora, que f ´e cont´ınua. Tome {(x
λ
, y
λ
)}
λ∈Λ
⊆ (N ∪ {+∞}) ×
(N ∪ {+∞}) um net e (x
0
, y
0
) ∈ (N ∪ {+∞}) × (N ∪ {+∞}), tais que (x
λ
, y
λ
) →
(x
0
, y
0
).
• Caso 1: (x
0
, y
0
) ∈ N × N.
Tome U = {(x
0
, y
0
)}. Claramente U ´e uma vizinhan¸ca aberta de (x
0
, y
0
) e como
(x
λ
, y
λ
) → (x
0
, y
0
), existe λ
0
∈ Λ, tal que para todo λ ≥ λ
0
, (x
λ
, y
λ
) ∈ U, ou
seja, para todo λ ≥ λ
0
, (x
λ
, y
λ
) = (x
0
, y
0
).
Portanto, temos que para todo λ ≥ λ
0
, ξ
(x
λ
, y
λ
)
= ξ
(x
0
, y
0
)
, logo para todo g ∈ G,
g ∈ ξ
(x
λ
, y
λ
)
=
g ∈ ξ
(x
0
, y
0
)
.
• Caso 2: (x
0
, y
0
) = (+∞, y
0
) ∈ (N ∪ {+∞}) × N.
105
Note que devido a topologia produto, sabemos que (x
λ
, y
λ
) → (x
0
, y
0
) se, e
somente se, x
λ
→ x
0
e y
λ
→ y
0
. Portanto, tomando U = {y
0
}, existe λ
0
∈ Λ, tal
que para todo λ ≥ λ
0
, y
λ
∈ U , ou seja, para todo λ ≥ λ
0
, y
λ
= y
0
.
Agora, temos que provar que para todo g ∈ G, existe
λ
0
∈ Λ, tal que para todo
λ ≥
λ
0
,
g ∈ ξ
(x
λ
, y
λ
)
=
g ∈ ξ
(x
0
, y
0
)
.
– Caso 2.1: Tome g = (x, y) ∈ G, tal que y > y
0
. Portanto, para todo λ ≥ λ
0
,
(x, y) ∈ ξ
(x
λ
, y
λ
)
=
(x, y) ∈ ξ
(x
λ
, y
0
)
= 0 =
(x, y) ∈ ξ
(x
0
, y
0
)
,
j´a que y > y
0
.
– Caso 2.2: Tome g = (x, y) ∈ G, tal que y ≤ y
0
. Como x
λ
→ +∞,
existe λ
1
∈ Λ, tal que para todo λ ≥ λ
1
, x
λ
> x. Agora tomando
λ
0
= max {λ
0
, λ
1
}, temos que para todo λ >
λ
0
,
(x, y) ∈ ξ
(x
i
, y
i
)
= 1 =
(x, y) ∈ ξ
(x
0
, y
0
)
, j´a que y ≤ y
0
= y
λ
e x ≤ x
λ
.
• Caso 3: (x
0
, y
0
) = (x
0
, +∞) ∈ (N × N ∪ {+∞}).
Demonstra¸c˜ao an´aloga ao caso anterior.
• Caso 4: (x
0
, y
0
) = (+∞, +∞).
Tome (x, y) ∈ G arbitr´ario. Como x
λ
→ +∞ e y
λ
→ +∞, existem λ
1
, λ
2
∈ Λ,
tais que para todo λ ≥ λ
1
, x
λ
≥ x e para todo λ ≥ λ
2
, y
λ
≥ y. Ent˜ao,
escolhendo λ
0
= max {λ
1
, λ
2
}, temos que para todo λ ≥ λ
0
,
(x, y) ∈ ξ
(x
λ
, y
λ
)
=
1 = [(x, y) ∈ ξ
x
0
,y
0
].
Portanto, para todo g ∈ G, existe λ
0
∈ Λ, tal que para todo λ ≥ λ
0
,
g ∈ ξ
(x
λ
, y
λ
)
=
g ∈ ξ
(x
0
, y0)
, ou seja, f(x
λ
, y
λ
) = ξ
(x
λ
, y
λ
)
→ ξ
(x
0
, y
0
)
= f(x
0
, y
0
), donde segue que f ´e
cont´ınua.
Por fim, como (N ∪ {+∞}) × (N ∪ {+∞}) ´e compacto e Ω
R
´e Hausdorff, segue que
f ´e um homeomorfismo.
Portanto, como Ω
R
(N ∪ {+∞}) × (N ∪ {+∞}), temos que
C
Ω
R
∼
=
C((N ∪ {+∞}) × (N ∪ {+∞})).
Logo,
C
∗
G ,
R
∼
=
C((N ∪ {+∞}) × (N ∪ {+∞}))
α
(Z × Z).
106
No pr´oximo teorema, veremos que a C
∗
-´algebra universal, gerada por duas iso-
metrias duplamente comutantes, ´e isomorfa a C
∗
{S} ⊗ C
∗
{S}, onde C
∗
{S} denota
a C
∗
-´algebra universal gerada por uma isometria. Por isso, antes faremos algumas
observa¸c˜oes a respeito do produto tensorial de duas C
∗
-´algebras unitais.
Sejam A e B duas C
∗
-´algebras unitais. Considere o conjunto G = (A × {1}) ∪
(B × {2}), ou seja, um conjunto que possui a mesma cardinalidade de A ∪ B e ´e
disjunto de A ∪ B . Para todo a ∈ A, denotaremos um elemento da forma (a, 1) por
a ⊗ 1
B
e, analogamente, para todo b ∈ B, denotaremos um elemento da forma (b, 2)
por 1
A
⊗ b. Considere tamb´em o seguinte conjunto de rela¸c˜oes:
R ={(a ⊗ 1
B
)
∗
= a
∗
⊗ 1
B
,
(a
1
⊗ 1
B
)(a
2
⊗ 1
B
) = a
1
a
2
⊗ 1
B
,
λ(a
1
⊗ 1
B
) + (a
2
⊗ 1
B
) = (λa
1
+ a
2
) ⊗ 1
B
,
a ⊗ 1
B
≤ a
A
,
(1
A
⊗ b)
∗
= 1
A
⊗ b
∗
,
(1
A
⊗ b
1
)(1
A
⊗ b
2
) = 1
A
⊗ b
1
b
2
,
λ(1
A
⊗ b
1
) + (1
A
⊗ b
2
) = 1
A
⊗ (λb
1
+ b
2
),
1
A
⊗ b ≤ b
B
,
(a ⊗ 1
B
)(1
A
⊗ b) = (1
A
⊗ b)(a ⊗ 1
B
), |
λ ∈ C, a, a
1
, a
2
∈ A , b, b
1
, b
2
∈ B}.
Note que o par
G, R
´e admiss´ıvel, logo existe C
∗
G, R
.
Defini¸c˜ao 4.3.3. C
∗
G, R
´e denominada o produto tensorial de A p or B, que deno-
taremos por A ⊗ B.
Observa¸c˜ao 4.3.4. Na verdade a defini¸c˜ao padr˜ao encontrada na literatura para o
produto tensorial de duas C
∗
-´algebras unitais n˜ao ´e a dada acima, mas ´e equivalente
a ela. Mais sobre a teoria de produto tensorial de C
∗
-´algebras pode ser encontrada no
apˆendice T em [16].
Dados a ∈ A e b ∈ B arbitr´arios, denotaremos por
˜
a ⊗ b a classe de equivalˆencia
do elemento (a ⊗ 1
B
)(1
A
⊗ b), referente ao quociente pelo n´ucleo da norma definida na
constru¸c˜ao de C
∗
-´algebra universal (ver constru¸c˜ao no apˆendice 1).
Teorema 4.3.5. C
∗
G ,
R
´e isomorfa a C
∗
{S} ⊗ C
∗
{S}.
107
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, iremos usar a propriedade universal de C
∗
G ,
R
.
Defina
ρ : G −→ C
∗
{S} ⊗ C
∗
{S}
S
1
−→
˜
S ⊗ 1
S
2
−→
˜
1 ⊗ S.
Note que a rigor, um elemento de C
∗
{S}⊗C
∗
{S} ´e da forma
˜
x ⊗ y, onde x ∈ C
∗
{S}
e y ∈ C
∗
{S}, que a rigor tamb´em s˜ao classes, j´a que C
∗
{S} tamb´em ´e uma C
∗
-
´algebra universal. Para n˜ao sobrecarregarmos a nota¸c˜ao, identificaremos os elementos
w ∈ C
∗
{S} simplesmente por w, salientando p ortanto apenas a nota¸c˜ao de classe no
produto tensorial.
Vamos verificar que ρ satisfaz
R.
(i)
ρ(S
∗
1
S
1
− 1) = ρ(S
1
)
∗
ρ(S
1
) − ρ(1) =
˜
S ⊗ 1
∗
˜
S ⊗ 1
−
˜
1 ⊗ 1
=
˜
(S
∗
⊗ 1)(S ⊗ 1) −
˜
1 ⊗ 1
=
˜
S
∗
S ⊗ 1 − 1 ⊗ 1
=
˜
1 ⊗ 1 − 1 ⊗ 1
= 0.
(ii) A demonstra¸c˜ao de que para todo W ∈ G , ρ(S
∗
2
S
2
− 1) = 0, ´e an´aloga ao item
anterior.
(iii)
ρ(S
1
S
2
− S
2
S
1
) = ρ(S
1
)ρ(S
2
) − ρ(S
2
)ρ(S
1
)
=
˜
(S ⊗ 1)(1 ⊗ S) −
˜
(1 ⊗ S)(S ⊗ 1)
=
˜
S ⊗ S − S ⊗ S
= 0.
(iv)
ρ(S
∗
1
S
2
− S
2
S
∗
1
) = ρ(S
1
)
∗
ρ(S
2
) − ρ(S
2
)ρ(S
1
)
∗
=
˜
(S ⊗ 1)
∗
(1 ⊗ S) −
˜
(1 ⊗ S)(S ⊗ 1)
∗
=
˜
(S
∗
⊗ 1)(1 ⊗ S) −
˜
(1 ⊗ S)(S
∗
⊗ 1)
=
˜
S
∗
⊗ S − S
∗
⊗ S
= 0.
Portanto, ρ satisfaz
R; logo, pela propriedade universal de C
∗
G ,
R
, existe um
108
´unico homomorfismo ϕ tal que o diagrama abaixo comuta:
G
ρ
//
ι
##
G
G
G
G
G
G
G
G
G
C
∗
{S} ⊗ C
∗
{S}
C
∗
G ,
R
ϕ
77
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Ent˜ao, temos que ϕ
S
1
= ϕ◦ι(S
1
) = ρ(S
1
) =
˜
S ⊗ 1 e ϕ
S
2
= ϕ◦ι(S
2
) = ρ(S
2
) =
˜
1 ⊗ S.
Agora, vamos usar a propriedade universal de C
∗
{S}. Defina a seguinte aplica¸c˜ao:
η : {S, 1} −→ C
∗
G ,
R
S −→ S
1
,
e note que η satisfaz a rela¸c˜ao de C
∗
{S}, pois
η(S
∗
S − 1) = η(S)
∗
η(S) − η(1) =
S
∗
1
S
1
− 1
=
1 − 1
= 0.
Portanto, pela propriedade universal de C
∗
{S}, existe um ´unico homomorfismo ψ
1
,
tal que o diagrama abaixo comuta:
{S, 1}
η
//
ι
##
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
C
∗
G ,
R
C
∗
{S}
ψ
1
99
s
s
s
s
s
s
s
s
s
Logo, ψ
1
(S) = ψ
1
◦ ι(S) = η(S) = S
1
.
De forma completamente an´aloga, podemos construir um homomorfismo ψ
2
:
C
∗
{S} −→ C
∗
G ,
R
, tal que ψ
2
(S) = S
2
.
Agora, vamos mostrar que a imagem de ψ
1
comuta com a imagem de ψ
2
, pois desta
forma, existir´a um homomorfismo ψ : C
∗
{S} ⊗ C
∗
{S} −→ C
∗
G ,
R
, tal que para
todo
˜
x ⊗ y ∈ C
∗
{S} ⊗ C
∗
{S},
ψ
˜
x ⊗ y
= ψ
1
(x)ψ
2
(y).
Portanto, tome w um elemento arbitr´ario da imagem de ψ
1
; ent˜ao ,w = lim
n→+∞
n
i=1
λ
n
i
S
r
n
1
(S
∗
1
)
s
n
.
Da mesma forma, tome z um elemento arbitr´ario da imagem de ψ
2
; ent˜ao, z =
109
lim
n→+∞
n
i=1
β
n
i
S
u
n
2
(S
∗
2
)
v
n
. Como S
1
S
2
e S
∗
1
S
2
, temos que
wz =
lim
n→+∞
n
i=1
λ
n
i
S
r
n
1
(S
∗
1
)
s
n
lim
n→+∞
n
i=1
β
n
i
S
u
n
2
(S
∗
2
)
v
n
= lim
n→+∞
n
i=1
λ
n
i
S
r
n
1
(S
∗
1
)
s
n
n
i=1
β
n
i
S
u
n
2
(S
∗
2
)
v
n
= lim
n→+∞
n
i=1
β
n
i
S
u
n
2
(S
∗
2
)
v
n
n
i=1
λ
n
i
S
r
n
1
(S
∗
1
)
s
n
=
lim
n→+∞
n
i=1
β
n
i
S
u
n
2
(S
∗
2
)
v
n
lim
n→+∞
n
i=1
λ
n
i
S
r
n
1
(S
∗
1
)
s
n
= zw,
donde segue que a imagem de ψ
1
comuta com a imagem de ψ
2
e desta forma existe o
homomorfismo ψ mencionada acima.
Finalmente, vamos verificar que ϕ e ψ s˜ao um o inverso do outro, donde seguir´a
que C
∗
G ,
R
e C
∗
{S} ⊗ C
∗
{S} s˜ao isomorfas.
Como C
∗
G ,
R
´e gerada por S
1
, S
2
e 1, basta verificarmos a composi¸c˜ao dos
homomorfismos ϕ e ψ nos geradores. Ent˜ao, temos que
1. ψ ◦ ϕ
S
1
= ψ
˜
S ⊗ 1
= ψ
1
(S)ψ
2
(1) = S
1
1 = S
1
;
2. ψ ◦ ϕ
S
2
= ψ
˜
1 ⊗ S
= ψ
1
(1)ψ
2
(S) = 1S
2
= S
2
;
Portanto, ψ ◦ ϕ = id
C
∗
G , R
.
Por fim, vamos fazer uso da propriedade universal de C
∗
{S} ⊗ C
∗
{S}, para provar
que ϕ◦ψ = id
C
∗
{S}⊗C
∗
{S}
. Seja G o conjunto gerador de C
∗
{S}⊗C
∗
{S} (como definido
na discuss˜ao que precede este teorema). Como as C
∗
-´algebras que comp˜oem este pro-
duto tensorial s˜ao a mesma, faremos a seguinte defini¸c˜ao: G
1
= {x ⊗ 1 | x ∈ C
∗
{S}}
e G
2
= {1 ⊗ x | x ∈ C
∗
{S}}. Logo, G
1
˙
∪G
2
= G. Ent˜ao, claramente a aplica¸c˜ao
ι : G
1
˙
∪G
2
−→ C
∗
{S} ⊗ C
∗
{S}
G
1
x −→
˜
x ⊗ 1
G
2
y −→
˜
1 ⊗ y
´e uma representa¸c˜ao de G
1
˙
∪G
2
, que satisfaz o conjunto de rela¸c˜oes (tamb´em como
definido na discuss˜ao que precede este teorema). Logo, pela propriedade universal de
110
C
∗
{S} ⊗ C
∗
{S}, existe um ´unico homomorfismo φ tal que o diagrama abaixo comuta:
G
1
˙
∪G
2
ι
//
ι
''
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
C
∗
{S} ⊗ C
∗
{S}
C
∗
{S} ⊗ C
∗
{S}
φ
55
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
Agora, note que ι = id
C
∗
{S}⊗C
∗
{S}
◦ ι; portanto, pela unicidade da propriedade
universal, segue que φ = id
C
∗
{S}⊗C
∗
{S}
. Como C
∗
{S} ⊗ C
∗
{S} ´e uma C
∗
-´algebra
universal, basta verificarmos que ϕ ◦ ψ faz o diagrama acima comutar nos seus gera-
dores; mas C
∗
{S} tamb´em ´e uma C
∗
-´algebra universal, portanto basta verificarmos
que ϕ ◦ ψ = ι no conjunto {S, 1}, lembrando que devemos analisar dois casos: o con-
junto {S, 1} como conjunto gerador, referente a primeira entrada do produto tensorial
e o conjunto {S, 1} como conjunto gerador, referente a segunda entrada do produto
tensorial. Logo, temos que
1. ϕ ◦ ι(S) = ϕ ◦ ψ
˜
S ⊗ 1
= ϕ(ψ
1
(S)ψ
2
(1)) = ϕ
S
1
1
= ϕ
S
1
=
˜
S ⊗ 1 = ι(S);
2. ϕ ◦ ι(S) = ϕ ◦ ψ
˜
1 ⊗ S
= ϕ(ψ
1
(1)ψ
2
(S)) = ϕ
1S
2
= ϕ
S
2
=
˜
1 ⊗ S = ι(S);
Portanto, pela unicidade de φ = id
C
∗
{S}⊗C
∗
{S}
no diagrama acima, segue que ϕ◦ψ =
id
C
∗
{S}⊗C
∗
{S}
.
Portanto,
C
∗
{S} ⊗ C
∗
{S}
∼
=
C
∗
G ,
R
∼
=
C((N ∪ {+∞}) × (N ∪ {+∞}))
α
(Z × Z).
111
Cap´ıtulo 5
Representa¸c˜oes Induzidas
Neste ´ultimo cap´ıtulo, nosso objetivo ser´a construir uma representa¸c˜ao da C
∗
-´algebra
universal, gerada por duas is ometrias compat´ıveis. Iremos primeiramente desenvolver
um pouco da teoria de representa¸c˜oes induzidas, para ent˜ao concluir que dado um
produto cruzado parcial A
α
G e uma representa¸c˜ao de A, podemos induzir uma
representa¸c˜ao sobre A
α
G. Desta forma, teremos a representa¸c˜ao desejada, uma vez
que no cap´ıtulo anterior mostramos que a C
∗
-´algebra em quest˜ao ´e isomorfa a um
produto cruzado parcial. Mais sobre a teoria de representa¸c˜oes induzidas, pode ser
encontrada em [12].
Sejam A e B C
∗
-´algebras unitais, M
B
um Hilbert B -m´odulo `a direita (ver defini¸c˜ao
B.1.8) e L(M
B
) = {T : M
B
−→ M
B
| T ´e adjunt´avel} (ve r defini¸c˜ao de um operador
adjunt´avel em B.1.11).
Defini¸c˜ao 5.0.6. Uma A-B-correspondˆencia ´e um par ordenado (M
B
, κ), onde
κ : A −→ L(M
B
)
a −→ κ
a
´e um homomorfismo.
Queremos definir uma estrutura de A -m´odulo `a esquerda sobre M
B
, portanto
defina para todo m ∈ M
B
, am = κ
a
(m).
Proposi¸c˜ao 5.0.7. Se (M
B
, κ) ´e uma A-B-correspondˆencia, ent˜ao
A
M
B
´e um A-B-
bim´odulo.
Demonstra¸c˜ao. Sejam a, a
1
, a
2
∈ A e m, m
1
, m
2
∈ M
B
quaisquer; ent˜ao, temos que
(i) a
1
(a
2
m) = κ
a
1
(κ
a
2
(m)) = κ
a
1
◦ κ
a
2
(m) = κ
a
1
a
2
(m) = (a
1
a
2
)m.
112
(ii) a(m
1
+ m
2
) = κ
a
(m
1
+ m
2
) = κ
a
(m
1
) + κ
a
(m
2
) = am
1
+ am
2
.
(iii) (a
1
+ a
2
)m = κ
a
1
+a
2
(m) = κ
a
1
(m) + κ
a
2
(m) = a
1
m + a
2
m.
Logo, M
B
´e um A-m´odulo `a esquerda. Al´em disso, para b ∈ B arbitr´ario, temos
que
a(mb) = κ
a
(mb) = (κ
a
(m))b = (am)b,
e portanto,
A
M
B
´e um A-B-bim´odulo.
Agora, sejam H um espa¸co de Hilbert e π : B −→ B(H ) uma representa¸c˜ao qual-
quer; para todo b ∈ B e para todo ξ ∈ H defina
bξ := π(b)(ξ).
Note que π induz uma estrutura de B-m´odulo `a esquerda sobre H. No que segue,
seja (M
B
, κ) uma A-B-correspondˆencia. O nosso objetivo ´e induzir uma representa¸c˜ao
de A a partir da π, mas para isto, primeiramente precisamos construir um espa¸co de
Hilbert.
Considere o produto tensorial de m´odulos entre M e H, que denotaremos por
M ⊗
B
H. Observe que este produto tensorial est´a bem definido, j´a que M ´e um
B-m´odulo `a direita e H ´e um B-m´odulo `a esquerda. Queremos definir um produto
interno em M ⊗
B
H. Dados m ⊗ ξ, n ⊗ ω ∈ M ⊗
B
H, poder´ıamos pensar em definir o
produto interno da maneira canˆonica, ou seja, m ⊗ ξ, n ⊗ ω = (mξ)
∗
(nω), mas note
que esta equa¸c˜ao n˜ao tem sentido, j´a que estamos usando opera¸c˜oes que n˜ao est˜ao
definidas. Para fins de uma motiva¸c˜ao, continuaremos esta equa¸c˜ao no intuito de dar
a ela um sentido. Ent˜ao, note que podemos pensar em m
∗
n como sendo m, n
B
, que
est´a definido, mas mesmo assim, n˜ao podemos multiplicar um elemento de H por um
elemento de B, mas podemos fazer isto atrav´es da representa¸c˜ao π. Logo, ter´ıamos
algo do tipo
(mξ)
∗
(nω) = ξ
∗
m
∗
nω = ξ
∗
m, n
B
ω = ξ
∗
π(m, n
B
)ω,
mas ainda assim esta equa¸c˜ao n˜ao faz sentido, j´a que em H n˜ao temos uma opera¸c˜ao
de involu¸c˜ao definida. No entanto, poder´ıamos pensar que
ξ
∗
π(m, n
B
)ω = ξ, π(m, n
B
)ω.
Esta foi uma tentativa de motivar a constru¸c˜ao que segue.
113
Fixe n
0
∈ M
B
e ω
0
∈
B
H arbitr´arios e defina a seguinte aplica¸c˜ao:
ϕ
(n
0
, ω
0
)
: M
B
×
B
H −→ C
(m, ξ) −→ ξ, m, n
0
B
ω
0
.
Note que ϕ
(n
0
, ω
0
)
´e B-balanceada, pois para quaisquer b ∈ B, m ∈ M
B
e ξ ∈
B
H,
temos que
ϕ
(n
0
, ω
0
)
(m, bξ) = bξ, m, n
0
B
ω
0
= ξ, b
∗
m, n
0
B
ω
0
= ξ, mb, n
0
B
ω
0
= ϕ
(n
0
, ω
0
)
(mb, ξ).
Al´em disso ϕ
(n
0
, ω
0
)
´e claramente anti-linear sobre C, logo existe uma ´unica aplica¸c˜ao
ϕ
(n
0
, ω
0
)
: M
B
⊗
B
H −→ C anti-linear sobre C, tal que para todo m ∈ M
B
e para todo
ξ ∈
B
H, temos que
ϕ
(n
0
, ω
0
)
(m ⊗ ξ) = ϕ
(n
0
, η
0
)
(m, ξ) = ξ, m, n
0
B
ω
0
.
Agora, defina F = {f : M
B
⊗
B
H −→ C | f ´e C − anti-linear} e
ψ : M
B
×
B
H −→ F
(n, ω) −→ ϕ
(n, ω)
.
Observe que ψ ´e B-balanceada, pois para quaisquer b ∈ B, m ∈ M
B
e ξ ∈
B
H
temos que
ϕ
(nb, ω)
(m ⊗ ξ) = ξ, m, nb
B
ω = ξ, m, n
B
bω = ϕ
(n, bω)
(m ⊗ ξ).
Logo, ψ(nb, ω) = ϕ
(nb, ω)
= ϕ
(n, bω)
= ψ(n, bω).
Al´em disso, ψ ´e claramente C-linear, logo existe uma ´unica aplica¸c˜ao
ψ : M ⊗
B
H −→
F, tal que para todo m, n ∈ M
B
e para todo ξ, ω ∈
B
H, temos que
ψ(n, ω)(m ⊗ ξ) = ψ(n, ω)(m, ξ) = ξ, m, n
B
ω.
Nosso pr´oximo passo, ser´a mostrar que a aplica¸c˜ao
ψ ´e um semi-produto interno.
Para provar a sua positividade, precisaremos do seguinte lema:
Lema 5.0.8. Sejam n ∈ N e T = (T
ij
)
n
i,j=1
∈ M
n
(B) arbitr´arios, onde M
n
(B) denota
a C
∗
-´algebra das matrizes quadradas de ordem n, com entradas em B. Ent˜ao, T ≥ 0
114
se, e somente se, para todo b
1
, · · · , b
n
∈ B,
n
i,j=1
b
∗
i
T
ij
b
j
≥ 0.
Demonstra¸c˜ao. (⇒) Como T ´e um elemento positivo de M
n
(B), existe C = (C
ij
)
n
i,j=1
∈
M
n
(B), tal que T = C
∗
C. Agora, tome b
1
, · · · , b
n
∈ B arbitr´arios e note que
n
i,j=1
b
∗
i
T
ij
b
j
=
n
i,j,k=1
b
∗
i
(C
ki
)
∗
C
kj
b
j
=
n
i,j,k=1
(C
ki
b
i
)
∗
(C
kj
b
j
) = (Cb)
∗
(Cb) ≥ 0,
onde (Cb)
∗
denota o vetor linha Cb.
(⇐) Primeiramente vamos provar que sob a hip´otese de que para todo b
1
, · · · , b
n
∈
B,
n
i,j=1
b
∗
i
T
ij
b
j
≥ 0, o operador T ´e auto-adjunto, isto ´e, para todo i, j ∈ {1, · · · , n},
T
ji
= T
∗
ij
. Defina a seguinte aplica¸c˜ao:
ϕ : B
n
× B
n
−→ C
(b, c) −→
n
i,j=1
b
∗
i
T
ij
c
j
.
Note que a aplica¸c˜ao ϕ ´e claramente uma forma sesquilinear, logo satisfaz a iden-
tidade de polariza¸c˜ao (ver observa¸c˜ao 2.1.5 em [15]). Portanto, temos que
ϕ(b, c)
∗
=
1
4
4
n=1
i
−n
ϕ(b + i
n
c, b + i
n
c)
=
1
4
4
n=1
i
−n
ϕ
i
n
i
−n
b + c
, i
n
i
−n
b + c
=
1
4
4
n=1
i
−n
i
−n
i
n
ϕ
i
−n
b + c, i
−n
b + c
=
1
4
4
m=1
i
m
ϕ(c + i
m
b, c + i
m
b)
= ϕ(c, b).
Logo, como
n
i,j=1
b
∗
i
T
ij
c
j
∗
=
n
i,j=1
c
∗
j
T
∗
ij
b
i
,
temos que
n
i,j=1
c
∗
j
T
∗
ij
b
i
=
n
i,j=1
c
∗
i
T
ij
b
j
=
n
i,j=1
c
∗
j
T
ji
b
i
⇒ ∀i, j ∈ {1, · · · , n}, T
∗
ij
= T
ji
.
115
Ent˜ao como T ´e auto-adjunto, existem R, S ∈ M
n
(B)
+
, tais que T = R − S e
RS = 0. Tome x = (x
1
, · · · , x
n
) ∈ B
n
arbitr´ario e defina para todo i ∈ {1, · · · , n},
y
i
=
n
i,j=1
S
ij
x
j
. Logo, como todo elemento positivo ´e auto-adjunto e
T = R − S ⇒ T S = RS − S
2
⇒ T S = −S
2
,
temos que
0 ≤
n
i,j=1
y
∗
i
T
ij
y
j
=
n
i,j,k,l=1
x
∗
k
(S
ik
)
∗
T
ij
S
jl
x
l
=
n
k,l=1
x
∗
k
n
i,j=1
S
∗
ki
T
ij
S
jl
(S
∗
T S)
kl
x
l
= −
n
k,l=1
x
∗
k
S
3
kl
x
l
= −
S
3
x, x
≤ 0,
pois S ´e positivo, o que implica S
3
x, x ≥ 0.
Portanto, S
3
x, x = 0 e pela identidade de polariza¸c˜ao (ver exerc´ıcio 2.1.3 em
[15]), temos que para qualquer y ∈ B
n
, S
3
x, y = 0. Logo, tomando i, j ∈ {1, . . . , n}
arbitr´arios, x = e
j
(o vetor que ´e nulo em todas as entradas, exceto na j-´esima, que ´e
igual a 1) e y = e
i
, temos que S
3
ij
= 0, donde segue que S
3
= 0. Mas, se S
3
= 0, temos
que
S
2
2
= (SS)
∗
(SS) =
S
3
S
≤
S
3
S = 0 ⇒
S
2
= 0.
Da mesma forma, se S
2
= 0, temos que
S
2
= S
∗
S = SS = 0 ⇒ S = 0 ⇒ S = 0.
Portanto, T = R ≥ 0.
Proposi¸c˜ao 5.0.9. A aplica¸c˜ao
·, · : (M ⊗
B
H) × (M ⊗
B
H) −→ C
(x, y) −→
ψ(y)(x)
´e um semi-produto interno.
116
Demonstra¸c˜ao. Note que a C-linearidade segue diretamente da constru¸c˜ao de ·, ·.
Logo, vamos demonstrar os demais axiomas de um semi-produto interno.
• Anti-simetria: Sejam x, y ∈ M ⊗
B
H arbitr´arios; ent˜ao, existem m
i
, n
j
∈ M
B
e
ξ
i
, ω
j
∈
B
H, onde i, j ∈ {1, · · · , n}, tais que x =
n
i=1
m
i
⊗ ξ
i
e y =
n
j=1
n
j
⊗ ω
j
.
Logo, temos que
x, y =
n
i=1
m
i
⊗ ξ
i
,
n
j=1
n
j
⊗ ω
j
=
n
i,j=1
m
i
⊗ ξ
i
, n
j
⊗ ω
j
=
n
i,j=1
ξ
i
, m
i
, n
j
B
ω
j
=
n
i,j=1
m
i
, n
j
B
ω
j
, ξ
i
=
n
i,j=1
ω
j
, m
i
, n
j
B
∗
ξ
i
=
n
i,j=1
ω
j
, n
j
, m
i
B
ξ
i
=
n
i,j=1
n
j
⊗ ω
j
, m
i
⊗ ξ
i
=
n
j=1
n
j
⊗ ω
j
,
n
i=1
m
i
⊗ ξ
i
= y, x.
• Positividade: Queremos mostrar que para todo x ∈ M ⊗
B
H, x, x ≥ 0. Ob-
serve que para m ∈ M
B
e ξ ∈
B
H arbitr´arios, temos que m ⊗ ξ, m ⊗ ξ =
ξ, m, m
B
ξ, mas sabemos que m, m
B
≥ 0, logo existe b ∈ B, tal que m, m
B
=
b
∗
b, portanto
m ⊗ ξ, m ⊗ ξ = ξ, m, m
B
ξ = ξ, b
∗
bξ = bξ, bξ ≥ 0.
No entanto, n˜ao basta mostrarmos a positividade de ·, · nos geradores de M⊗
B
H. Logo, tome x ∈ M⊗
B
H arbitr´ario; como mencionado anteriormente, existem
m
i
∈ M
B
e ξ
i
∈
B
H, onde i ∈ {1, · · · , n}, tais que x =
n
i=1
m
i
⊗ ξ
i
. Portanto,
x, x =
n
i=1
m
i
⊗ ξ
i
,
n
j=1
m
j
⊗ ξ
j
=
n
i,j=1
m
i
⊗ ξ
i
, m
j
⊗ ξ
j
=
n
i,j=1
ξ
i
, m
i
, m
j
B
ξ
j
. (5.1)
117
Agora note que, para b
1
, · · · , b
n
∈ B arbitr´arios, temos que
n
i,j=1
b
∗
i
m
i
, m
j
b
j
=
n
i=1
b
i
m
i
,
n
j=1
b
j
m
j
≥ 0,
logo pelo lema 5.0.8 temos que
m
i
, m
j
B
ij
∈ M
n
(B)
+
e desta forma, existe
C = (C
ij
)
ij
∈ M
n
(B), tal que
m
i
, m
j
B
ij
= C
∗
C. Portanto, substituindo
m
i
, m
j
B
ij
por (C
∗
C)
ij
=
n
k=1
(C
∗
)
ik
C
kj
=
n
k=1
(C
ki
)
∗
C
kj
na equa¸c˜ao 5.1,
obtemos
x, x =
n
i,j=1
ξ
i
, m
i
, m
j
B
ξ
j
=
n
i,j,k=1
ξ
i
, (C
ki
)
∗
(C
kj
)ξ
j
=
n
i,j,k=1
C
ki
ξ
i
, C
kj
ξ
j
=
n
k=1
n
i=1
C
ki
ξ
i
,
n
j=1
C
kj
ξ
j
=
n
k=1
n
i=1
C
ki
ξ
i
2
≥ 0.
Portanto a aplica¸c˜ao ·, · ´e semi-produto interno.
Note que nada nos garante a n˜ao degenerecˆencia da aplica¸c˜ao ·, ·; por isso, defina
N = {z ∈ M ⊗
B
H | z, z = 0}. Vamos provar que N ´e um subespa¸co de M ⊗
B
H,
mas para isto, precisaremos do seguinte lema:
Lema 5.0.10. Seja z ∈ M ⊗
B
H arbitr´ario. Ent˜ao, z, z = 0 se, e somente se, para
todo x ∈ M ⊗
B
H, z, x = 0.
Demonstra¸c˜ao. (⇒) Note que para x ∈ M ⊗
B
H arbitr´ario, pela desigualdade de
Cauchy-Schwarz temos que
z, x ≤ zx = z, z
1/2
x, x
1/2
= 0.
Portanto, z, x = 0.
(⇐) Basta tomar x = z.
Proposi¸c˜ao 5.0.11. N ´e um subespa¸co de M ⊗
B
H.
Demonstra¸c˜ao. Sejam λ ∈ C e z, w ∈ N arbitr´arios; ent˜ao, temos que
118
(i) λz, λz = |λ|
2
z, z = 0 ⇒ λz ∈ N;
(ii) z + w, z + w = z, z + w, z + z, w + w, w = 0, j´a que pelo lema anterior
w, z = 0 = z, w.
Logo, N ´e um subespa¸co de M ⊗
B
H.
Portanto, (M ⊗
B
H)/N ´e um subespa¸co vetorial e
·, · : (M ⊗
B
H)/N × (M ⊗
B
H)/N −→ C
(
x, y) −→ x, y
´e um produto interno. Seja
H o completamento de (M ⊗
B
H)/N, na norma induzida
pelo produto interno ·, ·; logo,
H ´e um espa¸co de Hilbert.
Relembrando, o nosso objetivo ´e a partir da representa¸c˜ao π : B −→ B(H) induzir
uma representa¸c˜ao de A . Uma vez j´a constru´ıdo o espa¸co de Hilbert, sobre o qual
esta representa¸c˜ao ir´a agir, vamos definir a representa¸c˜ao.
Tome a ∈ A arbitr´ario e defina a seguinte aplica¸c ˜ao:
ζ
a
: M
B
×
B
H −→
H
(m, ξ) −→ κ
a
(m) ⊗ ξ,
onde κ ´e o homomorfismo dado pela A-B-correspondˆencia. Observe que a rigor um
elemento de
H ´e uma classe de equivalˆencia. Por abuso de nota¸c˜ao, denotaremos um
elemento da imagem de ζ
a
pelo representante da sua classe.
Note que ζ
a
´e B-balanceada, pois para m ∈ M
B
, b ∈ B e ξ ∈
B
H arbitr´arios, temos
que
ζ
a
(mb, ξ) = κ
a
(mb) ⊗ ξ = a(mb) ⊗ ξ = (am)b ⊗ ξ
= am ⊗ bξ = κ
a
(m) ⊗ bξ = ζ
a
(m, bξ).
Al´em disso, como ζ
a
´e claramente C-linear, existe uma ´unica
ζ
a
, extens˜ao C-linear
de ζ
a
, para o produto tensorial alg´ebrico M⊗
B
H. Logo, para x =
n
i=1
m
i
⊗ξ
i
∈ M⊗
B
H
arbitr´ario, temos que
ζ
a
(x) =
ζ
a
n
i=1
m
i
⊗ ξ
i
=
n
i=1
am
i
⊗ ξ
i
.
119
Agora, vamos querer estender
ζ
a
para o completamento de (M ⊗
B
H)/N. Para
isto, temos que provar que
ζ
a
´e cont´ınua e se anula sobre N, j´a que ela por constru¸c˜ao
´e linear. Para demonstrar a continuidade, precisaremos da seguinte proposi¸c˜ao:
Proposi¸c˜ao 5.0.12. Seja x =
n
i=1
m
i
⊗ ξ
i
∈ M ⊗
B
H arbitr´ario. Ent˜ao,
a
2
n
i,j=1
ξ
i
, m
i
, m
j
B
ξ
j
−
n
i,j=1
ξ
i
, am
i
, am
j
B
ξ
j
≥ 0.
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, note que
a
2
n
i,j=1
ξ
i
, m
i
, m
j
B
ξ
j
−
n
i,j=1
ξ
i
, am
i
, am
j
B
ξ
j
=
n
i,j=1
ξ
i
,
a
2
m
i
, m
j
B
− am
i
, am
j
B
ξ
j
.
Agora tomando T =
a
2
m
i
, m
j
− am
i
, am
j
ij
∈ M
n
(B) e ξ = (ξ
1
, · · · , ξ
n
) ∈
H
n
, temos que
ξ, T (ξ) =
n
i,j=1
ξ
i
,
a
2
m
i
, m
j
B
− am
i
, am
j
B
ξ
j
.
Logo, para provarmos o desejado, basta provarmos que T ∈ M
n
(B)
+
, pois desta
forma teremos que ξ, T (ξ) ≥ 0. Para provarmos que T ∈ M
n
(B)
+
usaremos o lema
5.0.8. Sejam b
1
, · · · , b
n
∈ B arbitr´arios, ent˜ao
n
i,j=1
b
∗
i
T
ij
b
j
=
n
i,j=1
b
∗
i
a
2
m
i
, m
j
− am
i
, am
j
b
j
=
n
i,j=1
a
2
m
i
b
i
, m
j
b
j
− am
i
b
i
, am
j
b
j
=
n
i,j=1
a
2
m
i
b
i
, m
j
b
j
− am
i
b
i
, am
j
b
j
. (5.2)
Mas, note que
am
i
b
i
, am
j
b
j
= κ
a
(m
i
b
i
), κ
a
(m
j
b
j
) = κ
∗
a
◦ κ
a
(m
i
b
i
), m
j
b
j
= κ
a
∗
(am
i
b
i
), m
j
b
j
= a
∗
am
i
b
i
, m
j
b
j
. (5.3)
Portanto, substituindo a equa¸c˜ao 5.3 na equa¸c˜ao 5.2 e observando que como a
2
−
120
a
∗
a ≥ 0, existe c ∈ A, tal que a
2
− a
∗
a = c
∗
c, obtemos que
n
i,j=1
b
∗
i
T
ij
b
j
=
n
i,j=1
a
2
m
i
b
i
, m
j
b
j
− am
i
b
i
, am
j
b
j
=
n
i,j=1
a
2
m
i
b
i
, m
j
b
j
− a
∗
am
i
b
i
, m
j
b
j
=
n
i,j=1
a
2
− a
∗
a
m
i
b
i
, m
j
b
j
=
n
i,j=1
c
∗
cm
i
b
i
, m
j
b
j
=
n
i,j=1
cm
i
b
i
, cm
j
b
j
=
n
i=1
cm
i
b
i
,
n
j=1
cm
j
b
j
≥ 0.
Portanto, pelo lema 5.0.8 temos que T ∈ M
n
(B)
+
, donde o resultado segue.
Proposi¸c˜ao 5.0.13.
ζ
a
´e cont´ınua.
Demonstra¸c˜ao. Seja x =
n
i=1
m
i
⊗ ξ
i
∈ M ⊗
B
H arbitr´ario. Ent˜ao, temos que
ζ
a
(x)
2
=
n
i=1
am
i
⊗ ξ
i
2
=
n
i=1
am
i
⊗ ξ
i
,
n
i=j
am
j
⊗ ξ
j
=
n
i,j=1
am
i
⊗ ξ
i
, am
j
⊗ ξ
j
=
n
i,j=1
ξ
i
, am
i
, am
j
B
ξ
j
Como pela proposi¸c˜ao acima, sabemos que
n
i,j=1
ξ
i
, am
i
, am
j
B
ξ
j
≤ a
2
n
i,j=1
ξ
i
, m
i
, m
j
B
ξ
j
,
segue que
121
ζ
a
(x)
2
=
n
i,j=1
ξ
i
, am
i
, am
j
B
ξ
j
≤ a
2
n
i,j=1
ξ
i
, m
i
, m
j
B
ξ
j
= a
2
n
i,j=1
m
i
⊗ ξ
i
, m
j
⊗ ξ
j
= a
2
n
i=1
m
i
⊗ ξ
i
,
n
j=1
m
j
⊗ ξ
j
= a
2
n
i=1
m
i
⊗ ξ
i
2
= a
2
x
2
.
Portanto,
ζ
a
(x)
≤ ax, donde segue que
ζ
a
´e cont´ınua.
Agora note que para z ∈ N arbitr´ario, temos que
ζ
a
(z)
≤ az = az, z
1/2
= 0 ⇒
ζ
a
(z) = 0.
Portanto,
ζ
a
: (M ⊗
B
H)/N −→
H est´a bem definida, al´em de ser linear e cont´ınua.
Logo, existe uma extens˜ao linear de
ζ
a
para o completamento de (M ⊗
B
H)/N. Denote
por
ζ
a
esta extens˜ao. Portanto, fica bem definida a seguinte aplica¸c ˜ao
ζ : A −→ B
H
a −→
ζ
a
.
S´o nos resta verificar que ζ ´e uma representa¸c˜ao de A em B
H
.
Proposi¸c˜ao 5.0.14. A aplica¸c˜ao
ζ : A −→ B
H
a −→
ζ
a
´e uma representa¸c˜ao de A em B
H
.
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, observe que a aplica¸c˜ao ζ ´e claramente C-linear. Al´em
122
disso, para a ∈ A e m ⊗ ξ, n ⊗ ω ∈ (M ⊗
B
H)/N arbitr´arios, temos que
ζ
a
m ⊗ ξ
, n ⊗ ω
=
am ⊗ ξ, n ⊗ ω
=
κ
a
(m) ⊗ ξ, n ⊗ ω
= ξ, κ
a
(m), n
B
ω = ξ, m, κ
∗
a
(n)
B
ω
= ξ, m, κ
a
∗
(n)
B
ω = ξ, m, a
∗
n
B
ω
=
m ⊗ ξ, a
∗
n ⊗ ω
=
m ⊗ ξ,
ζ
a
∗
(n ⊗ ω)
.
Logo, como o produto interno e
ζ
a
s˜ao C-lineares e cont´ınuos segue que ζ(a)
∗
=
ζ(a
∗
).
Por fim, tomando a
1
, a
2
∈ A e m ⊗ ξ ∈ (M ⊗
B
H)/N arbitr´arios, temos que
ζ(a
1
a
2
)
m ⊗ ξ
= (a
1
a
2
)m ⊗ ξ = κ
a
1
a
2
(m) ⊗ ξ
= κ
a
1
◦ κ
a
2
(m) ⊗ ξ = ζ(a
1
)
κ
a
2
(m) ⊗ ξ
=
ζ(a
1
) ◦
ζ(a
2
)
m ⊗ ξ
.
Logo, como
ζ
a
1
a
2
e
ζ
a
1
◦
ζ
a
2
s˜ao C-lineares e cont´ınuas, segue que ζ(a
1
a
2
) = ζ(a
1
) ◦
ζ(a
2
).
Portanto, ζ ´e uma representa¸c˜ao de A em B
H
.
Teorema 5.0.15. Sejam H um espa¸co de Hilbert, A e B C
∗
-´algebras, (M
B
, κ) uma
A-B-correspondˆencia e π : B −→ B(H) uma representa¸c˜ao. Ent˜ao existe uma repre-
senta¸c˜ao ζ : A −→ B
H
, onde
H ´e como constru´ıdo acima tal que, para todo a ∈ A
e para todo m ⊗ ξ ∈ (M ⊗ H)/N,
ζ(a)
m ⊗ ξ
= am ⊗ ξ.
Demonstra¸c˜ao. Basta tomar a representa¸c˜ao definida na proposi¸c˜ao acima.
Portanto, a partir de uma representa¸c˜ao π : B −→ B(H), n´os induzimos uma
representa¸c˜ao de A .
Agora, veremos que a partir de uma esperan¸ca condicional (ver defini¸c˜ao B.2.17),
podemos construir uma A-B-correspondˆencia. Sejam A uma C
∗
-´algebra, B uma sub-
C
∗
-´algebra de A, ambas unitais e E : A −→ B uma esperan¸ca condicional.
123
Proposi¸c˜ao 5.0.16. A aplica¸c˜ao
·, · : A × A −→ B
(m, n) −→ E(m
∗
n)
´e um semi-produto interno.
Demonstra¸c˜ao. Sejam m, n, a ∈ A, b ∈ B e λ ∈ C arbitr´arios. Ent˜ao, temos que
(i) m, nb = E(m
∗
nb) = E(m
∗
n)b = m, nb;
(ii) m, n
∗
= E(m
∗
n)
∗
= E(n
∗
m) = n, m;
(iii) m, m = E(m
∗
m) ≥ 0, pois m
∗
m ∈ A
+
;
(iv) m, λn = E(m
∗
λn) = λE(m
∗
n) = λm, m;
(v) a, m + n = E(a
∗
(m + n)) = E(a
∗
m + a
∗
n) = E(a
∗
m) + E(a
∗
n) = a, m +
a, n.
Logo, ·, · ´e um semi-produto interno tomando valores em B.
Note que nada nos garante a n˜ao degenerecˆenc ia da aplica¸c˜ao ·, ·, por isso de-
fina N = {a ∈ A | E(a
∗
a) = 0}. Na pr´oxima proposi¸c˜ao, mostraremos que N ´e um
subespa¸co de A.
Proposi¸c˜ao 5.0.17. N ´e um subespa¸co de A.
Demonstra¸c˜ao. Sejam a, n ∈ N e λ ∈ C arbitr´arios. Ent˜ao, temos que
(i) E((λa)
∗
(λa)) = E
a
∗
λλa
= E
|λ|
2
a
∗
a
= |λ|
2
E(a
∗
a) = 0 ⇒ λa ∈ N;
(ii) E((a + n)
∗
(a + n)) = a + n, a + n = a, a + a, n + n, a + n, n = 0, pois
por um resultado similar ao lema 5.0.10, temos que a, n = 0 = n, a.
Logo, N ´e um subespa¸co de A.
124
Agora queremos dar uma estrutura de B-m´odulo a A/N, ´e natural pensarmos em
definir a seguinte aplica¸c˜ao:
· : A/N × B −→ A/N
(a, b) −→ ab,
onde ab := ab, mas para isto, precisamos verificar primeiramente que esta aplica¸c˜ao
est´a bem definida. Note que para b ∈ B e a, n ∈ A/N arbitr´arios, tais que a = n,
temos que
E(((a − n)b)
∗
((a − n)b)) = E(b
∗
(a − n)
∗
(a − n)b) = b
∗
E((a − n)
∗
(a − n))b = 0.
Ent˜ao,
(a − n)b = 0 ⇒ ab − nb = 0 ⇒ ab = nb.
Sendo assim, A/N ´e um pr´e-Hilbert B-m´odulo. Portanto, a aplica¸c˜ao
· : A/N −→ R
m −→ E(m
∗
m)
1/2
define uma norma sobre A/N. Seja M o completamento de A/N na norma definida
acima. Note que, M ´e um B-m´odulo `a direita.
Defina a seguinte aplica¸c˜ao para todo a ∈ A
κ
a
: A /N −→ M
m −→ am,
onde am := am. Temos que mostrar que esta aplica¸c˜ao est´a bem definida, logo tome
m, n ∈ A/N arbitr´arios, tais que m = n. Como m
∗
a
2
− a
∗
a
m ≥ 0,
E
m
∗
a
2
− a
∗
a
m
≥ 0 ⇒ E
m
∗
a
2
m − m
∗
a
∗
am
≥ 0
⇒ a
2
E(m
∗
m) ≥ E(m
∗
a
∗
am),
logo am = an, pois
am = an ⇔ a(m − n) = 0 ⇔ E((a(m − n))
∗
(a(m − n))) = 0,
125
de fato, temos
E((a(m − n))
∗
(a(m − n))) = E((m − n)
∗
a
∗
a(m − n)) ≤ a
2
E((m − n)
∗
(m − n)) = 0.
Portanto, a aplica¸c˜ao κ
a
est´a bem definida. Agora, vamos mostrar que κ
a
´e
cont´ınua. Tome m ∈ A/N arbitr´ario. Ent˜ao, temos que
am
2
= am
2
= E(m
∗
a
∗
am) ≤ E(m
∗
m)a
2
= m
2
a
2
.
Ent˜ao, am ≤ ma o que implica que κ
a
´e limitada e como esta aplica¸c˜ao ´e
claramente linear, ela pode ser estendida para M. Seja κ
a
a extens˜ao de κ
a
. Agora s´o
falta provarmos que κ
a
´e adjunt´avel para termos uma A-B-correspondˆencia.
Sejam m, n ∈ A/N e a ∈ A arbitr´arios; ent˜ao,
κ
a
(m), n = am, n = am, n = E(m
∗
a
∗
n) = m, a
∗
n
= m, a
∗
n = m, κ
a
∗
(n).
Logo, para x, y ∈ M arbitr´arios, sabemos que existem {x
n
}
n∈N
, {y
n
}
n∈N
⊆ A/N
seq¨uˆencias, tais que x
n
→ x e y
n
→ y. Portanto,
κ
a
(x), y =
κ
a
lim
n→+∞
x
n
, lim
m→+∞
y
n
= lim
n,m→+∞
κ
a
(x
n
), y
m
= lim
n,m→+∞
κ
a
(x
n
), y
m
= lim
n,m→+∞
(x
n
), κ
a
∗
(y
m
)
=
lim
n→+∞
x
n
, lim
m→+∞
κ
a
∗
(y
m
)
= x, κ
a
∗
(y).
Logo, κ
∗
a
= κ
a
∗
, donde segue que κ
a
∈ L(M), e portanto, (M, κ) ´e uma A-B-
correspondˆencia.
Teorema 5.0.18. Dada uma esperan¸ca condicional E : A −→ B e uma representa¸c˜ao
π : B −→ B (H), ent˜ao podemos induzir uma representa¸c˜ao de A .
Demonstra¸c˜ao. Pela constru¸c˜ao feita acima, dada uma esperan¸ca condicional cons-
tru´ımos uma A- B-correspondˆencia. Logo, a partir da representa¸c˜ao π : B −→ B(H) e
desta A- B-correspondˆencia, pelo teorema 5.0.15 podemos induzir uma representa¸c˜ao
de A , donde o res ultado segue.
Segue do teorema B.2.21 que dado um produto cruzado parcial A
α
G, existe
uma esperan¸ca condicional E : A
α
G −→ Aδ
e
; logo, pela teoria desenvolvida neste
126
cap´ıtulo, se tivermos uma representa¸c˜ao de Aδ
e
, podemos induzi-la para o produto
cruzado parcial. Para finalizar, iremos construir uma representa¸c˜ao da C
∗
-´algebra
universal gerada por duas isometrias compat´ıveis.
Relembrando, no cap´ıtulo anterior definimos C
∗
(G , R) como sendo a C
∗
-´algebra
universal gerada por duas isometrais compat´ıveis e vimos que
C
∗
(G , R)
∼
=
C(Ω
R
)
α
(Z × Z),
onde ξ ∈ Ω
R
se, e somente se, (0, 0) ∈ ξ e para qualquer (m, n) ∈ ξ, se ( m, n) ∈ G ´e
tal que, m ≤ m e n ≤ n, ent˜ao ( m, n) ∈ ξ.
Seja µ uma medida positiva sobre Ω
R
; ent˜ao, temos uma representa¸c˜ao canˆonica
π : C(Ω
R
) −→ B(L
2
(Ω
R
, µ)), onde para toda f ∈ C(Ω
R
) e para toda ϕ ∈ L
2
(Ω
R
, µ),
π(f)(ϕ) = f · ϕ, onde · denota o produto pontual.
Portanto, como C(Ω
R
)
∼
=
C(Ω
R
)δ
e
(ver observa¸c˜ao B.2.20), temos pela teoria
desenvolvida, que podemos induzir uma representa¸c˜ao de C(Ω
R
)
α
(Z × Z).
127
Apˆendice A
C*-´algebra universal e envolvente
Dada uma C
∗
-´algebra A e x ∈ A , faz todo o sentido pensarmos na sub-C
∗
-´algebra de
A , gerada pelo elemento x, por exemplo. Mas se tivermos apenas s´ımbolos e quisermos
atribuir a estes s´ımbolos algumas rela¸c˜oes em uma linguagem alg´ebrica formal, ser´a que
existir´a uma C
∗
-´algebra, onde estes s´ımbolos passam a ser elementos e estas rela¸c˜oes
passam a ser de fato rela¸c˜oes alg´ebricas? Para responder a esta pergunta, precisaremos
formalizar a no¸c˜ao de conjunto gerador e de rela¸c˜oes, uma vez feito isso veremos que
somente para alguns casos a resposta para esta pergunta ser´a afirmativa. Quando a
constru¸c˜ao for poss´ıvel iremos querer um pouco mais desta C
∗
-´algebra, iremos querer
que ela satisfa¸ca uma dada propriedade universal, que decididamente ser´a muito ´util
na hora de construirmos homomorfismos.
A.1 C*-´algebra unive rsal
Seja G um conjunto qualquer e G
∗
= G × {1}, isto ´e, G
∗
´e um conjunto que possui a
mesma cardinalidade de G e ´e disjunto de G. Dado um elemento arbitr´ario (g, 1) ∈ G
∗
,
o denotaremos simplesmente por g
∗
. Tome F
G
como sendo o conjunto formado por
todas as seq¨uˆencias finitas com entradas em G ∪ G
∗
. Ent˜ao, um elemento x ∈ F
G
arbitr´ario ´e uma seq¨uˆencia de n elementos de G ∪ G
∗
, para algum n ∈ N; denotaremos
este elemento por r
1
· · · r
n
, onde para todo i ∈ {1, · · · , n}, r
i
∈ G ∪ G
∗
, e ´e a i-´esima
entrada da seq¨uˆencia x. Podemos interpretar F
G
como sendo o conjunto das “palavras”
finitas escritas com as letras do “alfabeto” G ∪ G
∗
; por isso, `as vezes nos referiremos ao
conjunto G como sendo o conjunto de geradores. Agora, em F
G
considere o produto
dado pela concatena¸c˜ao de seq¨uˆencias, isto ´e, para quaisquer r
1
· · · r
n
, s
1
· · · s
m
∈ F
G
,
r
1
· · · r
n
· s
1
· · · s
m
:= r
1
· · · r
n
s
1
· · · s
m
128
e considere tamb´em a s eq¨uˆencia vazia, isto ´e, a seq¨uˆencia que n˜ao possui nenhuma
entrada, que denotaremos por e. Podemos tamb´em definir uma opera¸c˜ao de involu¸c˜ao
de uma forma natural em F
G
, para todo r
1
· · · r
n
∈ F
G
,
(r
1
· · · r
n
)
∗
:= r
n
∗
· · · r
1
∗
, onde ∀i ∈ {1, · · · , n} , r
i
∗
=
g, se r
i
= g
∗
g
∗
, se r
i
= g
,
com g ∈ G.
Defina agora o conjunto B, como sendo o conjunto das combina¸c˜oes lineares formais
finitas com escalares complexos de elementos de F
G
. Iremos c onsiderar duas op era¸c˜oes
sobre este conjunto: a opera¸c˜ao produto e a opera¸c˜ao de involu¸c˜ao, que ser˜ao as
extens˜oes lineares das fun¸c˜oes produto e involu¸c˜ao definidas acima em F
G
. Claramente
B, munido com estas duas opera¸c˜oes, al´em das duas opera¸c˜oes que naturalmente est˜ao
definidas pela sua constru¸c˜ao, a soma e produto por escalar, possui uma estrutura de
∗-´algebra.
E o que seria uma rela¸c˜ao? Futuramente, iremos considerar certas representa¸c˜oes
de G em uma ∗-´algebra normada e iremos querer que a imagem dos elementos de G
satisfa¸cam rela¸c˜oes como por exemplo, para um determinado g ∈ G, queremos que
a imagem dele por uma representa¸c˜ao ρ seja auto-adjunta. Ent˜ao, temos a seguinte
equa¸c˜ao:
ρ(g) − ρ(g)
∗
= 0.
Poder´ıamos ent˜ao pensar em abreviar esta equa¸c˜ao, traduzindo ela para um par
(g − g
∗
, 0). Esta foi uma tentativa de motivar a seguinte defini¸c ˜ao:
Defini¸c˜ao A.1.1. Uma rela¸c˜ao ´e um par (x, η) ∈ B × R
+
.
Quando (x, η) ´e tal que η = 0, a rela¸c˜ao quer nos dizer que a norma da imagem
de x por uma determinada representa¸c˜ao dever´a ser menor ou igual ao n´umero η. Por
isso, toda vez que uma rela¸c˜ao for algo do tipo (x − y, 0), a denotaremos por x = y e,
quando for algo do tipo (x, η), a denotaremos por x ≤ η.
Proposi¸c˜ao A.1.2. Sejam G um conjunto e D uma ∗-´algebra normada. Dada uma
fun¸c˜ao ρ : G −→ D existe uma fun¸c˜ao ρ : B −→ D que ´e a extens˜ao linear de ρ para
B.
Demonstra¸c˜ao. Defina a fun¸c˜ao ρ : B −→ D da seguinte maneira:
1. para todo g ∈ G, ρ(g) = ρ(g);
2. para todo g
∗
∈ G
∗
, ρ(g
∗
) = ρ(g)
∗
;
129
3. para todo r
1
· · · r
n
∈ F
G
, ρ(r
1
· · · r
n
) = ρ(r
1
) · · · ρ(r
n
);
4. para todo x ∈ B, x =
n
x
i=1
λ
i
x
i
, onde para todo i ∈ {1, · · · , n
x
}, x
i
∈ F
G
,
ρ(x) =
n
x
i=1
λ
i
ρ(x
i
).
Portanto, ρ ´e uma extens˜ao linear de ρ para B.
Defini¸c˜ao A.1.3. Sejam G um conjunto de geradores, R um conjunto de rela¸c˜oes,
D uma ∗-´algebra normada e ρ : G −→ D uma fun¸c˜ao. Dizemos que ρ ´e uma repre-
senta¸c˜ao de G que satisfaz R se, para quaisquer (x, η) ∈ R,
ρ(x) ≤ η,
onde ρ ´e a extens˜ao linear definida na proposi¸c˜ao acima.
Sempre que nos referirmos a uma representa¸c˜ao ρ de (G, R) estamos querendo dizer
que ρ ´e uma representa¸c˜ao de G que satisfaz R.
Uma vez bem definidos o conjunto de geradores e rela¸c˜oes, dados G e R queremos
construir uma C
∗
−´algebra C a partir deste conjunto de geradores e rela¸c˜oes que tenha
a seguinte propriedade universal: dada qualquer representa¸c˜ao ρ de (G, R) em B(H),
existe um ´unico homomorfismo unital ψ de C para B(H) tal que o diagrama abaixo
comuta, onde ι ´e a representa¸c˜ao canˆonica de G em C, isto ´e, a “inclus˜ao natural” de
G em C:
G
ρ
//
ι
=
=
=
=
=
=
=
=
B(H)
C
ψ
==
z
z
z
z
z
z
z
z
Esta propriedade universal, de uma certa maneira, nos diz que esta C
∗
-´algebra que
iremos construir, ser´a a “maior” C
∗
-´algebra que cont´em o conjunto de geradores como
elementos, satisfazendo as rela¸c˜oes R.
Defini¸c˜ao A.1.4. Um par (G, R) ´e dito ser admiss´ıvel se, para todo x ∈ G, existe
c
x
∈ R tal que, para toda representa¸c˜ao ρ de G que satisfaz R,
ρ(x) ≤ c
x
.
130
O que determinar´a se podemos, ou n˜ao, construir uma C
∗
-´algebra a partir de um
conjunto de geradores G com rela¸c˜oes R ser´a o fato do par (G, R) ser admiss´ıvel ou n˜ao.
Agora note que se (G, R) ´e admiss´ıvel, ent˜ao para qualquer x ∈ B
sup
ρ rep. de (G,R)
ρ(x) < +∞.
De fato, tome x =
n
x
i=1
λ
i
x
i
∈ B arbitr´ario; ent˜ao, temos que para todo i ∈
{1, · · · , n
x
}, x
i
= r
i
1
· · · r
i
n
i
, onde para todo j ∈ {1, · · · , n
i
}, r
i
j
∈ G ∪ G
∗
; al´em disso,
tome ρ uma representa¸c˜ao de (G, R) . Logo,
ρ(x
i
) =
ρ
r
i
1
· · · r
i
n
i
=
ρ
r
i
1
· · · ρ
r
i
n
i
≤
ρ
r
i
1
· · ·
ρ
r
i
n
i
≤ c
r
i
1
· · · c
r
i
n
i
=: c
x
i
.
Portanto,
ρ(x) = ρ(
n
x
i=1
λ
i
x
i
) =
n
x
i=1
λ
i
ρ(x
i
) ≤
n
x
i=1
λ
i
ρ(x
i
) =
n
x
i=1
|λ
i
|ρ(x
i
)
≤
n
x
i=1
|λ
i
|c
x
i
< +∞,
donde claramente segue que
sup
ρ rep. de (G,R)
ρ(x) < +∞.
Exemplo A.1.5 (de um par (G, R) que n˜ao ´e admiss´ıvel). Considere G = {x} e
R = {(x − x
∗
, 0)}.
Defina
ρ : G −→ C
x −→ λ
onde λ ∈ R ´e tal que |λ| > 1. Note que estamos tomando H tal que dim(H) = 1, logo
B(H) = C.
Como
ρ(x − x
∗
) = ρ(x) − ρ(x)
∗
= |λ − λ| = |λ − λ| = 0,
j´a que λ ∈ R, ρ ´e uma representa¸c˜ao de (G, R) . Agora, note que para cada n ∈ N
131
podemos construir
ρ
n
: G −→ C
x −→ λ
n
que claramente tamb´em ser´a uma representa¸c˜ao de (G, R) . Vimos que se (G, R) ´e
admiss´ıvel ent˜ao para qualquer x ∈ B
sup
ρ rep. de (G,R)
ρ(x) < +∞,
mas no nosso exemplo temos que
+∞ = sup
n∈N
|λ
n
| = sup
n∈N
ρ
n
(x) ≤ sup
ρ rep. de (G,R)
ρ(x).
Portanto, (G, R) n˜ao ´e admiss´ıvel. Logo n˜ao ´e poss´ıvel construir uma C
∗
-´algebra
universal (que ser´a definido mais adiante) a partir simplesmente de um “elemento”
auto-adjunto.
No que segue sempre que nos refe rirmos a um par (G, R) ele ser´a admiss´ıvel, a
menos que se mencione o contr´ario.
Temos por enquanto apenas uma ∗-´algebra, a saber B. Iremos agora caminhar na
dire¸c˜ao de “transformar” B em uma C
∗
-´algebra, mas para isso precisaremos primei-
ramente definir uma norma em B.
Defina o conjunto ∆ como sendo o conjunto das representa¸c˜oes de (G, R) em B(H)
(para todo espa¸co de Hilbert H) e a fun¸c˜ao ||| · ||| : B −→ R
+
que para todo x ∈ B ´e
dada por
||| x ||| = sup
ρ∈∆
ρ(x).
´
E imediata, usando apenas algumas propriedades de supremo, a verifica¸c˜ao que
esta fun¸c˜ao ´e uma C
∗
-semi-norma. Note que nada nos garante que
||| x ||| = 0 ⇒ x = 0.
Logo, como queremos construir uma C
∗
-norma, ´e natural pensarmos em tomar
o quociente em B pelo n´ucleo da fun¸c˜ao ||| · |||. Para isto, basta definirmos N =
{x ∈ B | ||| x ||| = 0} e verificar que N ´e um ideal de B. De fato, se n ∈ N segue que
sup
ρ∈∆
ρ(n) = 0 ⇒ ∀ρ representa¸c˜ao de G que satisfaz R ρ(n) = 0,
132
logo, para x ∈ B e n, m ∈ N arbitr´arios temos que
||| xn ||| = sup
ρ∈∆
ρ(xn) = sup
ρ∈∆
ρ(x)ρ(n)
≤ sup
ρ∈∆
ρ(x)ρ(n) = 0;
de maneira an´aloga prova-se que ||| nx ||| = 0 e, al´em disso,
||| n + m ||| = sup
ρ∈∆
ρ(n + m) = sup
ρ∈∆
ρ(n) + ρ(m)
≤ sup
ρ∈∆
ρ(n) + ρ(m) = 0.
Portanto, N ´e um ideal bilateral de B.
Ent˜ao, claramente temos que
· : B/N −→ R
+
x −→ ||| x |||
´e uma norma em B/N.
Denotaremos por C
∗
(G, R) o completamento de B/N na norma ·. Sendo assim,
claramente C
∗
(G, R) ´e uma C
∗
-´algebra e
ι : G −→ C
∗
(G, R)
g −→ g,
onde g denota a classe de equivalˆencia do elemento g referente ao quociente pelo
n´ucleo da tripla norma definida acima, ´e uma representa¸c˜ao de (G, R). Agora basta
verificarmos que C
∗
(G, R) satisfaz a propriedade universal que esper´avamos.
Teorema A.1.6. Se ρ ´e uma representa¸c˜ao de (G, R) , ent˜ao existe um ´unico homo-
morfismo ψ : C
∗
(G, R) −→ B(H) tal que o diagrama abaixo comuta:
G
ρ
//
ι
$$
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
B(H)
C
∗
(G, R)
ψ
99
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente vamos verificar que ρ : B −→ B(H) se anula em N.
133
De fato, tome x ∈ N; e nt˜ao, por defini¸c˜ao de N, temos que
0 = ||| x ||| = sup
ρ∈∆
ρ(x) ≥ ρ(x).
Logo, ρ(x) = 0, donde segue que ρ(x) = 0 e, desta forma, a seguinte aplica¸c˜ao
fica bem definida:
ψ : B/N −→ B(H)
x −→ ρ(x).
Segue diretamente das propriedades de ρ que ψ ´e um homomorfismo. Al´em disso,
para x ∈ B/N arbitr´ario, temos que
ψ(x)
B(H)
= ρ(x)
B(H)
≤ ||| x |||
B
= x
C
∗
(G, R)
e, portanto, ψ se estende para C
∗
(G, R) , j´a que ψ ´e homomorfismo contrativo em
B/N. Por fim, note que para g ∈ G arbitr´ario temos que
ψ(ι(g)) = ψ(g) = ρ(g).
Logo, o diagrama comuta.
• Unicidade: Suponha que exista ϕ : C
∗
(G, R) −→ B(H) ∗-homomorfismo tal
que para todo g ∈ G ϕ(ι(g)) = ρ(g). Ent˜ao temos que para g ∈ G arbitr´ario,
ϕ(ι(g)) = ρ(g) = ψ(ι(g)) ⇒ ϕ = ψ,
j´a que G gera C
∗
(G, R) , donde o resultado segue.
Observa¸c˜ao A.1.7. Quando nos referimos a representa¸c˜ao canˆonica, no sentido de
inclus˜ao natural de G em C
∗
(G, R) , a rigor estamos falando da proje¸c˜ao canˆonica
de G em C
∗
(G, R) , que pode n˜ao ser injetora mas, por uma quest˜ao de motiva¸c˜ao,
manteremos a nota¸c ˜ao de inclus˜ao, apenas neste caso, para a proje¸c˜ao canˆonica.
Defini¸c˜ao A.1.8. A C
∗
-´algebra universal gerada por G com as rela¸c˜oes R, ´e o com-
pletamento de B/N da norma ·, que denotaremos por C
∗
(G, R) .
Note que, tivemos que tomar o completamento em B/N por seguran¸ca, pois nada
nos indica que esse quociente ser´a completo ou n˜ao.
134
No decorrer deste trabalho o leitor perceber´a que a propriedade universal de C
∗
-
´algebras universais nos ser´a muito ´util, mas em muitos casos estaremos usando uma
vers˜ao um pouco modificada desta propriedade, em vez de termos uma representa¸c˜ao
de um conjunto de geradores em uma ´algebra de operadores lineares limitados, teremos
representa¸c˜oes do conjunto de geradores em uma C
∗
-´algebra.
´
E comum “confundir-
mos” C
∗
-´algebras com ´algebra de operadores lineares e limitados, mas a rigor se faz
necess´aria uma demonstra¸c˜ao de que a propriedade universal ainda ´e v´alida neste caso,
ou seja, queremos mostrar que dada uma C
∗
-´algebra A e qualquer Ψ : G −→ A re-
presenta¸c˜ao de (G, R) existe um ´unico homomorfismo Φ : C
∗
(G, R) −→ A tal que o
diagrama abaixo comuta:
G
Ψ
//
ι
$$
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
A
C
∗
(G, R)
Φ
::
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
Sabemos que dada qualquer C
∗
-´algebra A , existe um espa¸co de Hilbert H , tal que
existe π : A −→ B(H) representa¸c˜ao isom´etrica. Note que π ◦ Ψ : G −→ B(H) ´e uma
representa¸c˜ao de (G, R) , pois para qualquer (x, η) ∈ R
π ◦
Ψ(x)
=
π(
Ψ(x))
=
Ψ(x)
≤ η,
e os axiomas que π ◦
Ψ ´e uma extens˜ao linear de π ◦ Ψ seguem diretamente do fato
que π ´e um homomorfismo.
Ent˜ao podemos aplicar a propriedade universal de C
∗
(G, R) para a representa¸c˜ao
π ◦ Ψ, logo existe um ´unico ϕ : C
∗
(G, R) −→ B(H) homomorfismo tal que o diagrama
abaixo comuta:
G
Ψ
//
ι
$$
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
A
π
//
B(H)
C
∗
(G, R)
ϕ
99
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
O homomorfismo Φ : C
∗
(G, R) −→ A que procur´avamos ser´a π
−1
◦ ϕ, j´a que
Im(ϕ) ⊆ π(A) e π restrito a sua imagem ´e um isomorfismo. Logo, basta verificar-
mos que π
−1
◦ ϕ faz o diagrama comutar e ´e ´unico.
• Comutatividade do diagrama: Segue diretamente do fato que
π ◦ Ψ = ϕ ◦ ι ⇒ Ψ = (π
−1
◦ ϕ) ◦ ι.
135
• Unicidade: Suponha que exista ζ : C
∗
(G, R) −→ A homomorfismo tal que o
diagrama abaixo comuta:
G
Ψ
//
ι
$$
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
A
C
∗
(G, R)
ζ
::
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
Ent˜ao teremos que
π ◦ Ψ = ϕ ◦ ι ⇒ π ◦ (ζ ◦ ι) = π ◦ Ψ = ϕ ◦ ι
⇒ (π ◦ ζ) ◦ ι = π ◦ Ψ = ϕ ◦ ι
⇒ π ◦ ζ = ϕ (pela unicidade de ϕ)
⇒ ζ = π
−1
◦ ϕ = Φ.
Portanto Φ ´e ´unico.
Uma vez constru´ıda a C
∗
-´algebra universal, dado um par (G, R) , podemos nos
perguntar, se existe um outro par (U, ζ), onde U ´e uma C
∗
-´algebra e ζ : G −→ U ´e uma
representa¸c˜ao de (G, R) , tal que esse par satisfaz a propriedade universal de C
∗
-´algebra
universal, no sentido que, dada uma outra representa¸c˜ao de (G, R) , ρ : G −→ A onde
A ´e uma C
∗
-´algebra, existe um ´unico homomorfimo ϕ, tal que o diagrama abaixo
comuta:
G
ρ
//
ζ
?
?
?
?
?
?
?
A
U
ϕ
>>
}
}
}
}
}
}
}
}
Veremos que se (U, ζ) satisfaz a propriedade universal de C
∗
-´algebra universal,
ent˜ao U e C
∗
(G, R) s˜ao isomorfas.
Teorema A.1.9. Dado o par (G, R) , se (U, ζ) ´e como definido acima, ent˜ao U
∼
=
C
∗
(G, R) .
Demonstra¸c˜ao. Note que, pela propriedade universal de C
∗
(G, R) , existe um ´unico
homomorfismo ψ, tal que o diagrama
G
ζ
//
ι
$$
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
U
C
∗
(G, R)
ψ
::
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
comuta e pela propriedade que o par (U, ζ) satisfaz, temos que existe um ´unico homo-
136
morfimo ϕ, tal que o diagrama
G
ι
//
ζ
>
>
>
>
>
>
>
>
C
∗
(G, R)
U
ϕ
::
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
comuta, j´a que, ι ´e uma representa¸c˜ao de (G, R) , como mencionado anteriormente.
Agora, observe que o diagrama
G
ζ
//
ζ
?
?
?
?
?
?
?
U
U
ψ◦ϕ
??
tamb´em comuta, pois ψ ◦ ϕ ◦ ζ = ψ ◦ ι = ζ, mas como a aplica¸c˜ao id
U
tamb´em
faz o diagrama acima comutar, segue da propriedade que o par (U, ζ) satisfaz, que
ψ ◦ ϕ = id
U
.
Por outro lado, temos que o seguinte diagrama
G
ι
//
ι
$$
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
C
∗
(G, R)
C
∗
(G, R)
ϕ◦ψ
77
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
tamb´em comuta, mas como a aplica¸c˜ao id
C
∗
(G, R)
tamb´em faz o diagrama acima co-
mutar, segue da propriedade universal que C
∗
(G, R) satisfaz, que ϕ ◦ ψ = id
C
∗
(G, R)
, e
portanto, U e C
∗
(G, R) s˜ao isomorfas.
Exemplo A.1.10. Sejam G = {u} e R = {u
∗
u = uu
∗
, uu
∗
= 1}.
Ser´a que existe C
∗
(G, R) ? Em outras palavras, ser´a que existe a C
∗
-´algebra uni-
versal gerada por um unit´ario e pela identidade? Para respondermos a esta pergunta
precisamos verificar se o conjunto de rela¸c˜oes ´e admiss´ıvel.
Seja ρ : G −→ B(H) uma representa¸c˜ao n˜ao nula de (G, R) arbitr´aria. Note que,
ρ(u)
2
= ρ(u)ρ(u)
∗
= ρ(1) = 1,
j´a que ρ(1) ´e uma proje¸c˜ao n˜ao nula, em virtude das rela¸c˜oes. P ortanto, ρ(u) =
1. Logo para qualquer g ∈ G , existe c
g
∈ R
+
, a saber c
g
= 1, tal que para toda
representa¸c˜ao ρ de (G, R) temos ρ(g) ≤ 1, donde segue que o conjunto de rela¸c˜oes
´e admiss´ıvel e, portanto, existe C
∗
(G, R) .
137
Agora vamos tentar caracterizar de uma maneira um pouco mais concreta esta
C
∗
-´algebra. Como u ∈ C
∗
(G, R) , faz sentido nos perguntarmos quem seria o espec-
tro deste elemento, que denotaremos por σ(u). Como u ´e um elemento unit´ario da
C
∗
(G, R) sabemos que σ(u) ⊆ S
1
(ver proposi¸c˜ao 3.3.11 em [15]). Mostraremos que
σ(u) = S
1
.
Tome H um espa¸co de Hilbert tal que dim H = 1, logo B(H)=C. Defina para um
λ ∈ S
1
arbitr´ario a seguinte fun¸c˜ao:
ρ : G −→ C
u −→ λ
Claramente ρ ´e uma representa¸c˜ao de (G, R) . Logo, pela propriedade universal de
C
∗
(G, R) existe ´unico homomorfismo ψ
λ
: C
∗
(G, R) −→ C tal que o diagrama abaixo
comuta:
G
ρ
//
ι
$$
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
C
C
∗
(G, R)
ψ
λ
::
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
Portanto, ψ
λ
(u) = λ. Note que
ψ
λ
(u) = λ ⇒ ψ(u − λ1) = 0.
Para mostrar que σ(u) = S
1
, mostraremos que u − λ1 n˜ao ´e invers´ıvel, e como
λ ∈ S
1
foi tomado arbitrariamente, teremos que S
1
⊆ σ(u).
Tome x ∈ C
∗
(G, R) qualquer, ent˜ao
ψ
λ
(x(u − λ1)) = ψ
λ
(x)ψ
λ
(u − λ1) = 0,
logo n˜ao existe x ∈ C
∗
(G, R) tal que ψ
λ
(x)ψ
λ
(u − λ1) = 1; sendo assim, u − λ1 n˜ao
´e invers´ıvel e, portanto, σ(u) = S
1
.
Pelo teorema 3.4.15 em [15] sabemos que existe uma representa¸c˜ao isom´etrica π
de C
∗
(G, R) em algum B(H), ent˜ao temos que
C
∗
(G, R)
∼
=
π(C
∗
(G, R) ) = C
∗
(π(u)),
e como C
∗
(π(u)) ´e uma C
∗
-´algebra comutativa temos que C
∗
(π(u))
∼
=
C(σ(π(u)))
(ver proposi¸c˜ao 3.3.10 em [15]), mas π ´e uma representa¸c˜ao isom´etrica, logo preserva
138
espectro, ent˜ao C(σ(π(u))) = C(σ(u)) = C(S
1
), donde segue que
C
∗
(G, R)
∼
=
C(S
1
),
ou seja, a C
∗
-´algebra universal gerada por um elemento unit´ario ´e a C
∗
-´algebra das
fun¸c˜oes cont´ınuas do c´ırculo unit´ario em C.
A.2 C*-´algebra e nvolvente
Agora vamos estudar um caso particular de C
∗
-´algebra universal, que tamb´em ser´a de
grande relevˆancia ao longo do nosso trabalho. Ao inv´es de come¸carmos com um simples
conjunto de s´ımbolos como conjunto de geradores, come¸caremos com uma ∗-´algebra
normada, sendo assim o conjunto de geradores seria o c onjunto de to dos os elementos
da ´algebra e, as rela¸c˜oes seriam as rela¸c˜oes alg´ebricas da pr´opria ´algebra, devidamente
traduzidas para a nossa defini¸c˜ao de rela¸c˜ao. Ser´a que ´e poss´ıvel fazermos a C
∗
-´algebra
universal deste conjunto de geradores com estas rela¸c˜oes? Nada nos garante que este
par ser´a admiss´ıvel, na verdade para ser, precisaremos impor mais uma rela¸c˜ao.
Seja A uma ∗-´algebra normada qualquer. Considere G = A × {1}, isto ´e, G
´e um conjunto que possui a mesma cardinalidade de A e ´e disjunto de A. Dado
um elemento arbitr´ario (a, 1) ∈ G , o denotaremos simplesmente por [a]. Considere
tamb´em o seguinte conjunto de rela¸c˜oes:
R = {[a]
∗
= [a
∗
], [a][b] = [ab], α[a] + [b] = [αa + b], [a] ≤ a
A
| a, b ∈ A , α ∈ C}.
Vamos verificar que (G, R) ´e admiss´ıvel. De fato, seja [a] ∈ G arbitr´ario, pela
´ultima rela¸c˜ao temos que para qualquer ρ representa¸c˜ao de (G, R)
ρ([a]) ≤ a
A
.
Logo, c
[a]
= a
A
∈ R
+
, donde segue que (G, R) ´e admiss´ıvel e, sendo assim existe
C
∗
(G, R) .
Agora note que dada qualquer ρ representa¸c˜ao de (G, R), ρ ser´a uma repres enta¸c˜ao
contrativa de A , com as devidas identifica¸c˜oes. Portanto temos que para qualquer
139
x ∈ B
||| x ||| = sup
ρ rep. de (G,R)
ρ(x)
= sup
π:A −→B(H)
rep. contrativa
π(x).
Defini¸c˜ao A.2.1. A C
∗
-´algebra envolvente de A ´e o completamento de B/N na
norma ·, que denotaremos por C
∗
e
(A ).
Logo este objeto satisfaz a seguinte propriedade universal: para qualquer π : A −→
B(H) representa¸c˜ao contrativa (para qualquer espa¸co de Hilbert H) existe ´unico ξ :
C
∗
e
(A) −→ B(H) homomorfismo tal que o diagrama abaixo comuta:
A
π
//
ι
##
F
F
F
F
F
F
F
F
F
B(H)
C
∗
e
(A )
ξ
::
u
u
u
u
u
u
u
u
u
140
Apˆendice B
C*-m´odulos de Hilbert e Fibrados
de Fell
No cap´ıtulo 3 definimos o produto cruzado parcial de uma C
∗
-´algebra A por um grupo
G, como sendo a C
∗
-´algebra envolvente de B =
finita
a
g
δ
g
| g ∈ G, a
g
∈ D
g
, isto
´e, o completamento de B/N, onde
N = {x ∈ B | ||| x ||| = sup
π:B−→B(H)
rep. contrativa
π(x) = 0},
na norma · que ´e definida para todo x ∈ B da seguinte maneira:
x = sup
π:B−→B(H)
rep. contrativa
π(x).
Por´em, neste caso, N ser´a nulo. Para demonstrar este fato bastaria, p or exemplo,
exibir uma representa¸c˜ao contrativa de B que fosse injetiva. No entanto, este re-
sultado ´e v´alido em uma categoria mais geral, na categoria dos fibrados de Fell. O
resultado que iremos demonstrar, ser´a que toda ´algebra seccional de um fibrado de
Fell admite um homomorfismo injetor e, como veremos, o produto cruzado parcial ´e
uma C
∗
-´algebra seccional de um fibrado de Fell, de onde seguir´a portanto que N = 0.
Para demonstrar este fato, ser´a preciso usar conceitos e resultados b´asicos da teoria de
C
∗
-m´odulos de Hilbert, por isso come¸caremos este apˆendice com estes conceitos e re-
sultados b´asicos, para depois introduzir tamb´em alguns conceitos e resultados b´asicos
da teoria de fibrados de Fell e, finalmente, com as ferramentas necess´arias desenvol-
vidas, iremos demonstrar o teorema. Mais sobre a teoria de C
∗
-m´odulos de Hilbert
pode ser encontrada em [9] e sobre a teoria de Fibrados de Fell em [6] e [7].
141
B.1 C*-m´odulos de Hilbert
Em ´algebra temos o conceito de um A -m´odulo `a direita, isto ´e, um grupo abeliano
que possui uma lei de composi¸c˜ao externa sobre o anel A , que satisfaz alguns axiomas
(para mais detalhes ver defini¸c˜ao II.1.1 e m [13]). Em an´alise temos a defini¸c˜ao de
um espa¸co de Hilbert, isto ´e, um espa¸co vetorial, com um produto interno definido,
que ´e completo na norma induzida por este produto interno (para mais detalhes ver
defini¸c˜ao 2.1.1 em [15]). A defini¸c˜ao de um C
∗
-m´odulo de Hilbert ser´a uma defini¸c˜ao
que englobar´a, de uma certa forma, estes dois conceitos, como veremos a seguir.
Defini¸c˜ao B.1.1. Um pr´e-Hilbert A -m´odulo ´e um espa¸co vetorial complexo M , que
tamb´em ´e um A -m´odulo `a direita, equipado com uma aplica¸c˜ao ·, · : M × M −→
A , que ´e C-linear na segunda vari´avel e que satisfaz as seguintes rela¸c˜oes para quais-
quer m, n ∈ M e a ∈ A:
(i) m, na = m, na;
(ii) m, n
∗
= n, m;
(iii) m, m ≥ 0;
(iv) m, m = 0 ⇒ m = 0
Note que se m = 0
M
, ent˜ao m, m = 0
A
, pois
m, m = 0
M
, 0
M
= 0
M
, 0
M
· 0
A
= 0
M
, 0
M
0
A
= 0
A
.
Portanto, m, m = 0 se, e somente se, m = 0.
Observa¸c˜ao B.1.2. Em geral ficar´a subentendido pelo contexto qual zero estamos
nos referindo, se o da ´algebra, ou o do espa¸co vetorial; somente em alguns casos iremos
salientar explicitamente fazendo o uso de ´ındices.
´
E implicitamente assumido na defini¸c˜ao acima que a estrutura de grupo abeliano
(+) de M, vinda da estrutura de A -m´odulo, ´e a mesma que a estrutura aditiva de
espa¸co vetorial.
Como temos muita estrutura em M , ´e preciso mostrar algumas compatibilidades
mas, antes, vamos demonstrar um pequeno lema que ser´a usado em diversas demons-
tra¸c˜oes deste apˆendice.
Lema B.1.3. Seja M um pr´e-Hilbert A -m´odulo. Se m
1
, m
2
∈ M s˜ao tais que para
todo n ∈ M,
n, m
1
= n, m
2
,
142
ent˜ao m
1
= m
2
.
Demonstra¸c˜ao. Basta tomar n = m
1
− m
2
e desta forma obtemos
m
1
− m
2
, m
1
= m
1
− m
2
, m
2
⇒ m
1
− m
2
, m
1
− m
2
= 0 ⇒ m
1
= m
2
.
Proposi¸c˜ao B.1.4. A multiplica¸c˜ao por escalar e a estrutura de A -m´odulo `a direita
de um pr´e-Hilbert A -m´odulo M s˜ao compat´ıveis, no sentido que para quaisquer λ ∈
C, a ∈ A e m ∈ M
(λm)a = λ(ma) = m(λa).
Demonstra¸c˜ao. Sejam λ ∈ C, a ∈ A e m ∈ M arbitr´arios. Tome n ∈ M arbitr´ario.
Note que
n, (λm)a = n, λma = (λn, m)a = λ(n, ma)
= λn, ma = n, λ(ma).
Portanto, pelo lema 5.0.10 segue que (λm)a = λ(ma).
Al´em disso, note que
n, λ(ma) = λn, ma = λ(n, ma) = n, mλa = n, m(λa)
e, portanto, novamente pelo lema 5.0.10 segue que (λm)a = λ(ma) = m(λa).
Exemplo B.1.5. Seja A uma C
∗
-´algebra com unidade, k ∈ N
∗
e M =
k
i=1
A .
Defina
·, · : M × M −→ A
(a, b) −→
k
i=1
a
∗
i
b
i
.
Claramente, M ´e um pr´e-Hilbert A -m´odulo.
J´a que temos um “produto interno” definido em M, ´e natural pensar em definir
uma norma induzida por este “produto interno” da forma canˆonica; no entanto, uma
pequena modifica¸c˜ao ´e necess´aria, j´a que a aplica¸c˜ao ·, · tem como contradom´ınio
uma C
∗
-´algebra e n˜ao um corpo.
143
Lema B.1.6. Seja M um pr´e-Hilbert A -m´odulo. Defina
· : M −→ R
m −→ m, m
1/2
A
.
Ent˜ao, M ´e um espa¸co vetorial normado, e as seguintes desigualdades s˜ao v´alidas para
quaisquer a ∈ A e m, n ∈ M:
ma ≤ ma
A
; (B.1)
m, n
A
≤ mn. (B.2)
Demonstra¸c˜ao. N´os provaremos a ´ultima inequa¸c˜ao primeiro. Sejam m, n ∈ M
arbitr´arios. Podemos assumir sem perda de generalidade que m, n
A
= 0, pois
caso contr´ario as desigualdades acima s˜ao obviamente satisfeitas.
Observe que m, nm, n
∗
´e um elemento normal n˜ao nulo, logo (pelo teorema
3.3.6 em [14]) existe φ um estado de A tal que
|φ(m, nm, n
∗
)| = m, nm, n
∗
A
= m, n
2
A
,
e como m, nm, n
∗
´e um elemento positivo,
|φ(m, nm, n
∗
)| = φ(m, nm, n
∗
).
Portanto,
φ(m, nm, n
∗
) = m, n
2
A
.
Agora tome a =
m, n
∗
m, n
A
∈ A , e note que
φ(m, na) = φ
m, n
m, n
∗
m, n
A
=
1
m, n
A
φ(m, nm, n
∗
)
=
1
m, n
A
m, n
2
A
= m, n
A
.
Logo,
φ(m, nm, n
∗
) = m, n
2
A
= (φ(m, na))
2
. (B.3)
Note que φ ◦ ·, · ´e uma claramente uma forma sesquilinear positiva semidefinida,
portanto podemos fazer uso da desigualdade de Cauchy-Schwarz (ver observa¸c˜ao 2.1.5
144
(1) em [15]); logo,
|φ(m, na)|
2
≤ φ(m, m)φ(na, na).
Mas como m, na ´e um elemento positivo, pois
m, na = m, na = m, n
m, n
∗
m, n
A
,
e φ ´e um estado, temos que |φ(m, na)| = φ(m, na). Logo,
(φ(m, na))
2
= |φ(m, na)|
2
≤ φ(m, m)φ(na, na).
Portanto, voltando na equa¸c˜ao B.3 obtemos
m, n
2
A
= (φ(m, na))
2
≤ φ(m, m)φ(na, na)
= φ(m, m)φ(a
∗
n, na). (B.4)
Agora, como a
∗
n, na ´e um elemento positivo e φ ´e um estado, segue-se que
φ(a
∗
n, na) = |φ(a
∗
n, na)| ≤ φa
∗
n, na
A
= a
∗
n, na
A
.
Por argumenta¸c˜ao an´aloga, temos que φ(m, m) ≤ m, m
A
. Voltando na
equa¸c˜ao B.4 temos que
m, n
2
A
= φ(m, m)φ(a
∗
n, na) ≤ m, m
A
a
∗
n, na
A
≤ m, m
A
a
∗
A
n, n
A
a
A
= m, m
A
a
2
A
n, n
A
.
Mas, note que
a
2
A
=
m, n
∗
m, n
A
2
A
=
1
m, n
2
A
m, n
∗
2
A
=
1
m, n
2
A
m, n
2
A
= 1.
145
Portanto,
m, n
2
A
≤ m, m
A
a
2
A
n, n
A
= m, m
A
n, n
A
= m
2
n
2
,
donde segue-se que m, n
A
≤ mn.
Para provar B.1 simplesmente note que
ma
2
= ma, ma
A
= a
∗
m, ma
A
≤ a
∗
A
m, m
A
a
A
= a
2
A
m, m
A
= a
2
A
m
2
,
e portanto ma ≤ ma
A
.
Agora, s´o falta verificarmos que · satisfaz os axiomas de norma. Sejam m, n ∈ M
e λ ∈ C arbitr´arios; ent˜ao,
(i) m = 0 ⇔ m, m
1/2
A
= 0 ⇔ m, m
A
= 0 ⇔ m, m = 0 ⇔ m = 0;
(ii)
λm = λm, λm
1/2
A
=
λλm, m
1/2
A
=
|λ|
2
m, m
1/2
A
=
|λ|
2
m, m
A
1/2
= |λ| m, m
1/2
A
= |λ| m;
(iii)
m + n
2
= m + n, m + n
A
= m, m + n, m + m, n + n, n
A
≤ m, m
A
+ n, m
A
+ m, n
A
+ n, n
A
= m
2
+ n, m
∗
A
+ m, n
A
+ n
2
= m
2
+ 2m, n
A
+ n
2
≤ m
2
+ 2mn + n
2
= (m + n)
2
Logo, m + n ≤ m + n.
Portanto M ´e um espa¸co vetorial normado.
Observa¸c˜ao B.1.7. As desigualdades B.1 e B.2 no lema acima ainda s˜ao v´alidas se
retirarmos o axioma (iv) da defini¸c˜ao B.1.1, j´a que nas suas demonstra¸c˜oes este axioma
146
n˜ao foi necess´ario. No decorrer do trabalho, surgir´a a necessidade de usar estas duas
desigualdades sem termos o axioma (iv).
Defini¸c˜ao B.1.8. Um Hilbert A-m´odulo ´e um pr´e-Hilbert A-m´odulo que ´e completo
na norma definida acima.
Observe que as inequa¸c˜oes obtidas no lema B.1.6 nos asseguram que o “produto
interno” do pr´e-Hilbert A-m´odulo M, bem como a estrutura de A-m´odulo `a direita,
podem ser estendidas por continuidade para o completamento de M, fazendo com
que o completamento tenha uma estrutura de Hilbert A-m´odulo. Deste modo, o
completamento de um pr´e-Hilbert A-m´odulo ´e um Hilbert A-m´odulo.
Exemplo B.1.9. A ´e um Hilbert A-m´odulo sobre ela mesma. O “produto interno” ´e
definido da seguinte maneira: para quaisquer a, b ∈ A a, b = a
∗
b. Observe que as
duas normas definidas em A s˜ao equivalentes, j´a que para qualquer a ∈ A temos que
a = a, a
1/2
A
= a
∗
a
1/2
A
= a
A
.
Claramente todo ideal `a direita fechado de A ´e tamb´em um Hilbert A-m´odulo com
este “produto interno”.
Exemplo B.1.10. Seja M =
∞
i=1
A , ou seja, M ´e o conjunto das seq¨uˆencias que
s˜ao nulas exceto para uma quantidade finita de ´ındices, cujas entradas est˜ao em A .
Defina para quaisquer (a
1
, a
2
, · · ·), (b
1
, b
2
, · · ·) ∈ M
(a
1
, a
2
, · · ·), (b
1
, b
2
, · · ·) =
∞
n=1
a
∗
n
b
n
.
Ent˜ao, M ´e um pr´e-Hilbert A-m´odulo, e o Hilbert A-m´odulo que n´os obtemos,
atrav´es do completamento, n´os denotaremos por M
A
. Note que se A = C, ent˜ao
M
A
=
2
(N).
Daqui em diante, sejam M
1
e M
2
Hilbert A-m´odulos.
Defini¸c˜ao B.1.11. Seja T : M
1
−→ M
2
uma fun¸c˜ao. Dizemos que T ´e adjunt´avel
se existe V : M
2
−→ M
1
tal que, para quaisquer x ∈ M
1
e y ∈ M
2
,
T (x), y
M
2
= x, V (y)
M
1
.
As pr´oximas trˆes proposi¸c˜oes ser˜ao sobre as propriedades que um operador ad-
junt´avel satisfaz. Veremos que se T ´e um operador adjunt´avel ent˜ao V ser´a ´unico, e
ambos ser˜ao C-A-lineares e c ont´ınuos.
147
Proposi¸c˜ao B.1.12. Se T : M
1
−→ M
2
´e adjunt´avel, ent˜ao V ´e ´unico.
Demonstra¸c˜ao. Suponha que existe W : M
2
−→ M
1
tal que, para quaisquer x ∈ M
1
e y ∈ M
2
,
T (x), y
M
2
= x, W (y)
M
1
.
Logo, para x ∈ M
1
e y ∈ M
2
arbitr´arios, obtemos que
x, V (y) = T(x), y = x, W (y).
Portanto, pelo lema 5.0.10 segue que V (y) = W (y) e, como y foi tomado arbitra-
riamente, segue que W = V .
Logo, se T ´e adjunt´avel, ent˜ao V ´e ´unico.
Se T : M
1
−→ M
2
´e adjunt´avel, ent˜ao denotaremos por T
∗
o operador que, para
quaisquer x ∈ M
1
e y ∈ M
2
, satisfaz
T (x), y
M
2
= x, T
∗
(y)
M
1
.
Al´em disso, T
∗
´e denominado o adjunto de T .
Proposi¸c˜ao B.1.13. Se T : M
1
−→ M
2
´e adjunt´avel, ent˜ao T e T
∗
s˜ao C-A-lineares.
Demonstra¸c˜ao. Sejam x, x
1
, x
2
∈ M
1
, y ∈ M
2
, λ ∈ C e a ∈ A arbitr´arios. Ent˜ao
temos que
T (λx
1
+ x
2
), y = λx
1
+ x
2
, T
∗
(y) = λx
1
, T
∗
(y) + x
2
, T
∗
(y)
= λx
1
, T
∗
(y) + x
2
, T
∗
(y) = λT (x
1
), y + T (x
2
), y
= λT (x
1
), y + T (x
2
), y = λT (x
1
) + T (x
2
), y.
Logo, pelo lema 5.0.10 temos que
T (λx
1
+ x
2
) = λT (x
1
) + T (x
2
).
Tamb´em temos que
T (xa), y = xa, T
∗
(y) = a
∗
x, T
∗
(y)
= a
∗
T (x), y = T (x)a, y,
148
e, portanto, novamente segue do lema 5.0.10 que
T (xa) = T (x)a.
Sendo assim, fica demonstrado que T ´e C-A-linear. A demonstra¸c˜ao de que T
∗
tamb´em ´e C-A-linear ´e completamente an´aloga.
Proposi¸c˜ao B.1.14. Se T : M
1
−→ M
2
´e adjunt´avel, ent˜ao T e T
∗
s˜ao cont´ınuos.
Demonstra¸c˜ao. Sejam {x
n
}
n∈N
∗
⊆ M
1
e x ∈ M
1
tais que x
n
→ x. Suponha que
{T (x
n
)}
n∈N
∗
⊆ M
2
´e tal que T (x
n
) → y; ent˜ao, para qualquer w ∈ M
2
temos
y, w = lim
n→+∞
T (x
n
), w = lim
n→+∞
x
n
, T
∗
(w) = x, T
∗
(w) = T (x), w.
Portanto, como w ∈ M
2
foi tomado arbitrariamente, temos pelo le ma 5.0.10 que
y = T (x), donde se gue pelo teorema do gr´afico fechado (ver teorema 4.13-2 em [10])
que T ´e cont´ınuo.
Analogamente, prova-se que T
∗
tamb´em ´e cont´ınuo.
Defini¸c˜ao B.1.15. L(M
1
, M
2
) = {T : M
1
−→ M
2
| T ´e adjunt´avel}.
Note que segue das duas proposi¸c˜oes anteriores que L(M
1
, M
2
) ⊆ B(M
1
, M
2
),
mas veremos no exemplo a seguir que, na verdade, esta inclus˜ao pode ser estrita.
Exemplo B.1.16 (de um operador cont´ınuo C-A-linear que n˜ao ´e adjunt´avel). Seja
B uma C
∗
-´algebra com unidade e I B tal que I n˜ao tem unidade. Note que I e B
s˜ao B-m´odulos de Hilbert (ver exemplo B .1.9). Defina
T : I −→ B
x −→ x.
Claramente, T ´e C-A-linear cont´ınua. Agora, suponha que existe T
∗
: B −→ I; ent˜ao,
para x ∈ I arbitr´ario, segue que
x
∗
T
∗
(1) = x, T
∗
(1) = T (x), 1 = x, 1 = x
∗
1 = x
∗
.
Portanto, T
∗
(1) ´e uma unidade `a direita para I, mas ´e f´acil ver que em uma C
∗
-´algebra
ter unidade `a direita implica ter unidade, logo temos que T
∗
(1) ´e uma unidade para
I, o que ´e uma contradi¸c˜ao.
149
Logo, T n˜ao ´e adjunt´avel, donde segue que L(I, B) B(I, B).
Teorema B.1.17. L(M ) ´e uma C
∗
-´algebra, com a opera¸c˜ao de involu¸c˜ao definida
acima.
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente verificaremos que L(M ) satisfaz os axiomas de ∗-
´algebra. Sejam T, V ∈ L(M) , λ ∈ C, x, y ∈ M arbitr´arios; ent˜ao, temos que:
(i) combina¸c˜ao C-linear de adjunt´aveis ´e adjunt´avel:
(λT + V )(x), y = λT (x) + V (x), y = λT (x), y + V (x), y
= λy, T
∗
(x) + x, V
∗
(y) =
y,
λT
∗
+ V
∗
(y)
.
Portanto, (λT + V ) ∈ L(M) e (λT + V )
∗
= λT
∗
+ V
∗
.
(ii) composi¸c˜ao de adjunt´aveis ´e adjunt´avel:
T V (x), y = V (x), T
∗
(y) = x, V
∗
T
∗
(y).
Portanto, T V ∈ L(M) e (T V )
∗
= V
∗
T
∗
.
(iii) (T
∗
)
∗
= T :
T
∗
(x), y = y, T
∗
(x)
∗
= T (y), x
∗
= x, T (y),
e portanto, (T
∗
)
∗
= T .
Como L(M) ⊆ B(M) , segue que L(M) ´e um espa¸co normado, com a norma de
operador induzida de B(M) . A demonstra¸c˜ao de que para quaisquer T, V ∈ L(M)
T V ≤ T V ,
´e an´aloga a demonstra¸c˜ao em B(H), onde H ´e um espa¸co de Hilbert. Agora demons-
traremos que, para T ∈ L(M) , T = T
∗
. Tome x ∈ M arbitr´ario tal que x ≤ 1.
Note que
T (x)
2
= T (x), T(x)
A
= x, T
∗
T (x)
A
,
e usando a desigualdade B.2 na equa¸c˜ao acima obtemos
T (x)
2
= x, T
∗
T (x)
A
≤ xT
∗
T (x) ≤ T
∗
T (x),
e por conseguinte,
T
2
= sup
x≤1
T (x)
2
≤ T
∗
T . (B.5)
150
Mas note que
T
2
≤ T
∗
T ⇒ T ≤ T
∗
e
T
∗
2
≤ TT
∗
⇒ T
∗
≤ T ,
donde segue que T = T
∗
.
Verificaremos agora que L(M) ´e fechado em B(M) , e portanto, completo.
Seja {T
n
}
N
⊆ L(M) uma seq¨uˆencia convergente em B(M) , logo {T
n
}
N
´e de Cau-
chy. Note que
{T
n
}
N
de Cauchy ⇒ {T
∗
n
}
N
de Cauchy.
Portanto, {T
∗
n
}
N
´e convergente em B(M) . Seja S ∈ B(M) tal que T
∗
n
→ S.
Vamos verificar que se T
n
→ T , ent˜ao T
∗
= S. Sejam x, y ∈ M quaisquer, ent˜ao
temos que
T (x), y =
lim
n→∞
T
n
(x), y
= lim
n→∞
T
n
(x), y = lim
n→∞
x, T
∗
n
(y) = x, S(y),
e portanto, T
∗
= S.
Agora s´o nos resta verificar que a norma em L(M) satisfaz a identidade C
∗
. Seja
T ∈ L(M) qualquer; note que da equa¸c˜ao B.5 temos que
T
2
≤ T
∗
T ≤ T
∗
T = T
2
,
donde segue que T
2
= T
∗
T , e portanto, L(M) ´e uma C
∗
-´algebra.
B.2 Fibrados de Fell
Defini¸c˜ao B.2.1. Um fibrado de Fell ´e uma tripla B =
{B
g
}
g∈G
, ∗, ·
, onde G ´e um
grupo, {B
g
}
g∈G
´e uma fam´ılia de espa¸cos de Banach, e para todo g, h, k ∈ G
∗ : B
g
−→ B
g
−1
´e tal que:
(i) ´e C-conjugada linear, isto ´e, para quaisquer a, b ∈ B
g
e λ ∈ C,
(λa + b)
∗
= λa
∗
+ b
∗
;
(ii) para todo b ∈ B
g
, (b
∗
)
∗
= b;
151
(iii) para todo b ∈ B
g
, b
B
g
= b
∗
B
g
−1
;
e
· : B
g
× B
h
−→ B
gh
´e tal que:
(i) ´e bi-linear, isto ´e, para quaisquer b
g
, a
g
∈ B
g
, b
h
, a
h
∈ B
h
e λ ∈ C,
(λb
g
+ a
g
)b
h
= λb
g
b
h
+ a
g
b
h
e
b
g
(λb
h
+ a
h
) = λb
g
b
h
+ b
g
a
h
;
(ii) ´e associativo, isto ´e, para quaisquer b
g
∈ B
g
, b
h
∈ B
h
e b
k
∈ B
k
,
(b
g
b
h
)b
k
= b
g
(b
h
b
k
);
(iii) para quaisquer b
g
∈ B
g
e b
h
∈ B
h
, (b
g
b
h
)
∗
= b
∗
h
b
∗
g
.
Al´em disso, as seguintes condi¸c˜oes tamb´em devem ser satisfeitas para todo g, h ∈ G,
b
g
∈ B
g
e b
h
∈ B
h
:
(i)
b
∗
g
b
g
B
e
= b
g
2
B
g
;
(ii) b
g
b
h
B
gh
≤ b
g
B
g
b
h
B
h
;
(iii) existe a ∈ B
e
tal que b
∗
g
b
g
= a
∗
a, isto ´e , b
∗
g
b
g
∈ B
+
e
.
Note que decorre dos axiomas acima que B
e
´e uma C
∗
-´algebra.
Exemplo B.2.2 (Produto cruzado parcial). Dado um C
∗
-sistema dinˆamico (A, G, α)
temos um fibrado de Fell canˆonico associado a ele, basta para cada g ∈ G tomar
B
g
= D
g
δ
g
. As opera¸c˜oes ∗ e · s˜ao as definidas no produto cruzado parcial (ver
defini¸c˜ao 3.1.2).
Pelo exemplo acima, vemos que dado um produto cruzado parcial, temos um fi-
brado de Fell associado a ele, mas dado um fibrado de Fell arbitr´ario, ser´a que ele
prov´em de um produto cruzado parcial?
Seja B um fibrado de Fell arbitr´ario. Suponha que para alguma a¸c˜ao parcial α e
para todo g ∈ G, B
g
= D
g
. Note que,
B
∗
g
B
g
= span{(a
g
δ
g
)
∗
(b
g
δ
g
) | a
g
, b
g
∈ D
g
} = span
α
−1
g
a
∗
g
b
g
δ
e
| a
g
, b
g
∈ D
g
= D
g
−1
.
Analogamente, B
g
B
∗
g
= D
g
; como D
g
´e isomorfo a D
g
−1
, se B
∗
g
B
g
n˜ao for isomorfo
a B
g
B
∗
g
, o fibrado de Fell n˜ao prov´em de um produto cruzado parcial.
152
Exemplo B.2.3 (de um fibrado de Fell que n˜ao prov´em de um produto cruzado
parcial). Considere o grupo Z e a C
∗
-´algebra das matrizes quadradas de ordem 3,
com entradas complexas, que denotaremos por M
3
(C). Tome B
0
= C
M
2
(C), B
1
como sendo o subespa¸co de M
3
(C) formado pelas matrizes que s˜ao nulas a menos das
entradas a
12
e a
13
, B
−1
como sendo o subespa¸co de M
3
(C) formado pelas matrizes
que s˜ao nulas a menos das entradas a
21
e a
31
e, para todo g ∈ Z\{−1, 0, 1}, defina
B
g
como sendo o subespa¸co nulo de M
3
(C). Considerando as opera¸c˜oes usualmente
definidas em M
3
(C) ´e f´acil verificar que {B
g
}
g∈Z
´e um fibrado de Fell. Agora note que
B
1
B
∗
1
ser´a o subespa¸co de M
3
(C) formado pelas matrizes que s˜ao nulas a menos da
entrada a
11
, e B
∗
1
B
1
ser´a o subespa¸co de M
3
(C) formado pelas matrizes que s˜ao nulas
a menos das entradas a
22
, a
23
, a
32
e a
33
. Logo, B
1
B
∗
1
e B
∗
1
B
1
n˜ao s˜ao isomorfos, donde
segue que este fibrado de Fell n˜ao prov´em de um produto cruzado parcial.
Proposi¸c˜ao B.2.4. Seja B um fibrado de Fell arbitr´ario e {µ
λ
}
λ∈Λ
uma unidade
aproximada de B
e
. Ent˜ao para g ∈ G e b
g
∈ B
g
arbitr´arios, temos que
lim
λ→+∞
b
g
µ
λ
= lim
λ→+∞
µ
λ
b
g
= b
g
.
Demonstra¸c˜ao. Note que
b
g
µ
λ
− b
g
2
B
g
= (b
g
µ
λ
− b
g
)
∗
(b
g
µ
λ
− b
g
)
B
e
=
µ
∗
λ
b
∗
g
− b
∗
g
(b
g
µ
λ
− b
g
)
B
e
=
µ
∗
λ
b
∗
g
b
g
µ
λ
− µ
∗
λ
b
∗
g
b
g
− b
∗
g
b
g
µ
λ
+ b
∗
g
b
g
.
Logo,
lim
λ→∞
b
g
µ
λ
− b
g
2
B
g
= lim
λ→∞
µ
∗
λ
b
∗
g
b
g
µ
λ
− µ
∗
λ
b
∗
g
b
g
− b
∗
g
b
g
µ
λ
+ b
∗
g
b
g
= 0,
j´a que b
∗
g
b
g
∈ B
e
. Portanto, lim
λ→+∞
b
g
µ
λ
= b
g
.
Por outro lado, temos que
µ
λ
b
g
− b
g
2
B
g
= (µ
λ
b
g
− b
g
)(µ
λ
b
g
− b
g
)
∗
B
e
=
(µ
λ
b
g
− b
g
)
b
∗
g
µ
∗
λ
− b
∗
g
B
e
=
µ
λ
b
g
b
∗
g
µ
∗
λ
− µ
λ
b
g
b
∗
g
− b
g
b
∗
g
µ
∗
λ
+ b
g
b
∗
g
.
Logo,
lim
λ→∞
µ
λ
b
g
− b
g
2
B
g
= lim
λ→∞
µ
λ
b
g
b
∗
g
µ
∗
λ
− µ
λ
b
g
b
∗
g
− b
g
b
∗
g
µ
∗
λ
+ b
g
b
∗
g
= 0,
153
j´a que b
g
b
∗
g
∈ B
e
. Portanto, lim
λ→+∞
µ
λ
b
g
= b
g
.
Corol´ario B.2.5. Seja B um fibrado de Fell arbitr´ario. Se B
e
´e uma C
∗
-´algebra
unital, com unidade 1
e
, ent˜ao para g ∈ G e b
g
∈ B
g
arbitr´arios, temos que
1
e
b
g
= b
g
1
e
= b
g
.
Iremos agora definir o que ´e a ´algebra seccional de um fibrado de Fell.
Seja B um fibrado de Fell. Defina
C
0
=
g∈G
B
g
,
com as seguintes aplica¸c˜oes:
• Soma: + : C
0
× C
0
−→ C
0
, definida coordenada a coordenada;
• Produto por escalar: · : C × C
0
−→ C
0
, tamb´em definida coordenada a coorde-
nada;
• Produto: · : C
0
× C
0
−→ C
0
, onde para todo (b
g
)
g∈G
, (c
g
)
g∈G
∈ C
0
´e dado por
(b
g
)
g∈G
(c
g
)
g∈G
= (d
k
)
k∈G
, onde d
k
=
g∈G
b
g
c
g
−1
k
.
Note que C
0
, com as aplica¸c˜oes citadas acima, ´e claramente uma ´algebra.
Proposi¸c˜ao B.2.6. A aplica¸c˜ao
∗ : C
0
−→ C
0
(b
g
)
g∈G
−→
b
∗
g
−1
g∈G
,
´e uma involu¸c˜ao sobre C
0
.
Demonstra¸c˜ao. Sejam (b
g
)
g∈G
, (c
g
)
g∈G
∈ C
0
e λ ∈ C arbitr´arios, ent˜ao temos que
(i)
(b
g
)
g∈G
∗
∗
=
b
∗
g
−1
g∈G
∗
=
b
g
−1
−1
g∈G
= (b
g
)
g∈G
.
(ii)
λ(b
g
)
g∈G
+ (c
g
)
g∈G
∗
=
(λb
g
+ c
g
)
g∈G
∗
= ((λb
g
−1
+ c
g
−1
)
∗
)
g∈G
=
λb
∗
g
−1
+ c
∗
g
−1
g∈G
= λ
b
∗
g
−1
g∈G
+
c
∗
g
−1
g∈G
= λ
(b
g
)
g∈G
∗
+
(c
g
)
g∈G
∗
.
154
(iii)
(b
g
)
g∈G
(c
g
)
g∈G
∗
=
g∈G
b
g
c
g
−1
k
k∈G
∗
=
g∈G
b
g
c
g
−1
k
−1
∗
k∈G
=
g∈G
(b
g
c
g
−1
k
−1
)
∗
k∈G
=
g∈G
c
∗
g
−1
k
−1
b
∗
g
k∈G
=
g∈G
c
∗
g
−1
b
∗
k
−1
g
k∈G
=
c
∗
g
−1
g∈G
b
∗
g
−1
g∈G
=
(c
g
)
g∈G
∗
(b
g
)
g∈G
∗
.
Portanto, ∗ ´e uma aplica¸c˜ao de involu¸c˜ao sobre C
0
.
Proposi¸c˜ao B.2.7. A aplica¸c˜ao
·
1
: C
0
−→ R
+
(b
g
)
g∈G
−→
g∈G
b
g
´e uma norma sobre C
0
.
Demonstra¸c˜ao. Note que a aplica¸c˜ao ·
1
´e claramente n˜ao degenerada e C-linear.
Logo, vamos verificar os demais axiomas de norma. Sejam (b
g
)
g∈G
, (c
g
)
g∈G
∈ C
0
e
λ ∈ C arbitr´arios; ent˜ao, temos que
(i)
(b
g
)
g∈G
(c
g
)
g∈G
1
=
g∈G
b
g
c
g
−1
k
k∈G
1
=
k∈G
g∈G
b
g
c
g
−1
k
≤
k∈G
g∈G
b
g
c
g
−1
k
≤
k∈G
g∈G
b
g
c
g
−1
k
=
h∈G
g∈G
b
g
c
h
=
g∈G
b
g
h∈G
c
h
=
(b
g
)
g∈G
1
(c
h
)
h∈G
1
=
(b
g
)
g∈G
1
(c
g
)
g∈G
1
.
(ii)
(b
g
)
g∈G
∗
1
=
b
∗
g
−1
g∈G
1
=
g∈G
b
∗
g
−1
=
g∈G
b
g
−1
=
g∈G
b
g
=
(b
g
)
g∈G
1
.
155
Portanto, ·
1
´e uma norma sobre C
0
.
Logo, (C
0
, +, ·, ∗, ·
1
) ´e claramente uma ∗-´algebra normada.
Defini¸c˜ao B.2.8. A ´algebra seccional de um fibrado de Fell ´e a ∗-´algebra C
0
, como
definida acima.
Defini¸c˜ao B.2.9. A C
∗
-´algebra seccional de um fibrado de Fell ´e a C
∗
-´algebra envol-
vente da ´algebra seccional do fibrado de Fell, que denotaremos por C
∗
(B).
Note que, dado um C
∗
-sistema dinˆamico (A , G, α), se para todo g ∈ G, B
g
= D
g
δ
g
,
ent˜ao a C
∗
-´algebra seccional deste fibrado de Fell ´e A
α
G.
Assim como todo homomorfismo de uma ´algebra de Banach em uma C
∗
-´algebra
´e contrativo (ver teorema 2.1.7 em [14]), veremos na pr´oxima proposi¸c˜ao que todo
homomorfismo da C
∗
-´algebra seccional de um fibrado de Fell tamb´em ´e contrativo.
Proposi¸c˜ao B.2.10. Seja B um fibrado de Fell, D uma C
∗
-´algebra e ϕ : C
0
−→ D
um homomorfismo de C
0
em D. Ent˜ao ϕ ´e contrativo com rela¸c˜ao a ·
1
.
Demonstra¸c˜ao. Defina
E =
g∈G
E
g
; ∀g ∈ G E
g
=
0, se g = e;
B
g
, se g = e.
Note que E ⊆ C
0
, e ´e uma sub´algebra; al´em disso, E ´e uma C
∗
-´algebra, j´a que E
´e isomorfo a B
e
. Ent˜ao,
ϕ|
E
: E −→ D
´e um homomorfismo de C
∗
-´algebra e, portanto, contrativo.
Tome g ∈ G arbitr´ario e b = (b
h
)
h∈G
∈ C
0
tal que a ´unica entrada n˜ao nula de b
seja a g-´esima; ent˜ao, b
∗
= (c
h
)
h∈G
´e tal que a ´unica entrada n˜ao nula ´e a g
−1
-´esima,
e esta ´e igual a b
∗
g
. Logo,
b
∗
b = (d
k
)
k∈G
; ∀k ∈ G, d
k
=
l∈G
c
l
b
l
−1
k
= c
g
−1
b
gk
= b
∗
g
b
gk
,
e se gk = g, temos que d
k
= 0; portanto, a ´unica entrada n˜ao nula de b
∗
b ´e a e-´esima,
e esta ´e igual a b
∗
g
b
g
. Assim,
ϕ(b)
D
= ϕ(b)
∗
ϕ(b)
1/2
D
= ϕ(b
∗
)ϕ(b)
1/2
D
= ϕ(b
∗
b)
1/2
D
= ϕ|
E
(b
∗
b)
1/2
D
≤ b
∗
b
1/2
E
=
b
∗
g
b
g
1/2
B
e
= b
g
B
g
= b
1
.
156
Agora tomando b = (b
g
)
g∈G
∈ C
0
arbitr´ario, temos que
ϕ(b)
D
=
ϕ
g∈G
(b
g
δ
gh
)
h∈G
D
=
g∈G
ϕ
(b
g
δ
gh
)
h∈G
D
≤
g∈G
ϕ
(b
g
δ
gh
)
h∈G
D
≤
g∈G
b
g
B
g
= b
1
.
Portanto, ϕ ´e um homomorfismo contrativo com rela¸c˜ao a ·
1
.
Antes de demonstrarmos o teorema principal deste apˆendice, vamos demonstrar
alguns resultados que nos auxiliar˜ao nesta demonstra¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao B.2.11. Se p ∈ B
+
e
e b
g
∈ B
g
, ent˜ao (b
∗
g
p b
g
) ∈ B
+
e
.
Demonstra¸c˜ao. Como p ∈ B
+
e
, existe z ∈ B
e
tal que p = z
∗
z (ver proposi¸c˜ao 3.3.16
em [15]). Logo,
b
∗
g
p b
g
= b
∗
g
z
∗
zb
g
= (zb
g
)
∗
(zb
g
),
e como (zb
g
) ∈ B
g
, existe w ∈ B
e
tal que (zb
g
)
∗
(zb
g
) = w
∗
w, donde segue que
b
∗
g
p b
g
= (zb
g
)
∗
(zb
g
) = w
∗
w ∈ B
+
e
.
Lema B.2.12. Se p ∈ B
+
e
e b
g
∈ B
g
, ent˜ao
b
∗
g
p b
g
≤ pb
∗
g
b
g
.
Demonstra¸c˜ao. Dividiremos esta demonstra¸c˜ao em dois casos.
• Caso 1: Se B
e
possui unidade, ent˜ao sabemos que p ≤ p, logo pela proposi¸c˜ao
B.2.11, temos que
p − p ≥ 0 ⇒ b
∗
g
(p − p)b
g
≥ 0 ⇒ b
∗
g
pb
g
− b
∗
g
pb
g
≥ 0 ⇒ b
∗
g
p b
g
≤ pb
∗
g
b
g
.
• Caso 2: Se B
e
n˜ao possui unidade, seja
B
e
a unitiza¸c˜ao de B
e
(ver exerc´ıcio 3.1.3
em [15]). Portanto, (p, 0) ≤ (0, p).
Seja {µ
λ
}
λ∈Λ
⊆ B
e
uma unidade aproximada. Note que para todo λ ∈ Λ pela
proposi¸c˜ao B.2.11 temos que
(µ
λ
, 0)
∗
(p, 0)(µ
λ
, 0) ≤ (µ
λ
, 0)
∗
(0, p)(µ
λ
, 0) ⇒ (µ
∗
λ
pµ
λ
, 0) ≤ (pµ
∗
λ
µ
λ
, 0),
157
e portanto,
µ
∗
λ
pµ
λ
≤ pµ
∗
λ
µ
λ
.
Novamente, pela proposi¸c˜ao B.2.11 temos que
b
∗
g
µ
∗
λ
pµ
λ
b
g
≤ b
∗
g
pµ
∗
λ
µ
λ
b
g
,
e portanto, pela proposi¸c˜ao B.2.4 segue que
b
∗
g
p b
g
≤ pb
∗
g
b
g
.
Finalmente, vamos ao teorema principal deste apˆendice:
Teorema B.2.13. Seja B um fibrado de Fell arbitr´ario. Ent˜ao existe um homomor-
fismo injetivo da ´algebra seccional de B.
Demonstra¸c˜ao. Esta demonstra¸c˜ao s er´a dividida em duas grandes partes; na primeira,
iremos construir a C
∗
-´algebra D que ser´a o contradom´ınio do homomorfismo, e na
segunda iremos construir o homomorfismo.
´
E na primeira parte que usaremos a teoria
de C
∗
-m´odulos de Hilbert, j´a que a C
∗
-´algebra D ser´a um L(M) , onde M ser´a um
m´odulo de Hilbert que iremos construir.
Para construir um m´odulo de Hilbert, precisamos inicialmente de um espa¸co veto-
rial e de uma C
∗
-´algebra. Dado o fibrado de Fell B, temos
g∈G
B
g
que ´e claramente
um espa¸co vetorial complexo e B
e
que ´e uma C
∗
-´algebra, logo nosso candidato natural
a Hilbert B
e
-m´odulo ser´a
g∈G
B
g
; sendo assim, temos que de finir duas aplica¸c˜oes: a
multiplica¸c˜ao pelo escalar da C
∗
-´algebra e o “produto interno”.
Seja M
0
=
g∈G
B
g
. Defina as seguintes aplica¸c˜oes:
· : M
0
× B
e
−→ M
0
((b
g
)
g∈G
, b
e
) −→ (b
g
b
e
)
g∈G
e
·, · : M
0
× M
0
−→ B
e
((b
g
)
g∈G
, (c
g
)
g∈G
) −→
g∈G
b
∗
g
c
g
.
Note que M
0
, com a multiplica¸c˜ao por escalar definida acima, ´e claramente um
B
e
-m´odulo `a direita. Agora vamos verificar que M
0
satisfaz os axiomas de pr´e-Hilbert
158
B
e
-m´odulo. Observe que a aplica¸c˜ao ·, · ´e claramente C-linear na segunda entrada
e, al´em disso, para (b
g
)
g∈G
, (c
g
)
g∈G
∈ M
0
, b
e
∈ B
e
arbitr´arios
(b
g
)
g∈G
, (c
g
)
g∈G
b
e
=
(b
g
)
g∈G
, (c
g
)
g∈G
b
e
e
(b
g
)
g∈G
, (c
g
)
g∈G
∗
=
(c
g
)
g∈G
, (b
g
)
g∈G
. Logo, nos resta ve-
rificar a positividade e a n˜ao-degenerecˆencia desta aplica¸c˜ao. Tome (b
g
)
g∈G
∈ M
0
arbitr´ario; ent˜ao, temos que
(i)
(b
g
)
g∈G
, (b
g
)
g∈G
≥ 0, pois para todo g ∈ G, existe a
g
∈ B
e
tal que b
∗
g
b
g
=
a
∗
g
a
g
≥ 0, e como a soma de elementos positivos de uma C
∗
-´algebra ´e um elemento
positivo (ver proposi¸c˜ao 3.3.13 em [15]), segue que
(b
g
)
g∈G
, (b
g
)
g∈G
=
g∈G
b
∗
g
b
g
=
g∈G
a
∗
g
a
g
≥ 0;
(ii)
(b
g
)
g∈G
, (b
g
)
g∈G
= 0 implica (b
g
)
g∈G
= 0, pois
(b
g
)
g∈G
, (b
g
)
g∈G
= 0 ⇒
g∈G
b
∗
g
b
g
= 0,
e para todo g ∈ G, existe a
g
∈ B
e
tal que b
∗
g
b
g
= a
∗
g
a
g
≥ 0; como em uma
C
∗
-´algebra a soma de elementos positivos ser nula implica que todas as parcelas
desta soma s˜ao nulas, segue que (b
g
)
g∈G
= 0.
Portanto, M
0
´e um pr´e-Hilbert B
e
-m´odulo. Seja M o completamento de M
0
na
norma induzida pelo “produto interno”, logo M ´e um Hilbert B
e
-m´odulo.
Uma vez constru´ıdo o contradom´ınio do nosso homomorfismo, a saber L(M), va-
mos construir o homomorfismo. Para isto, iremos construir operadores sobre M
0
, que
mostraremos posteriormente que s˜ao C-lineares e cont´ınuos, e portanto, poder˜ao ser
estendidos para M . Ainda teremos que mostrar que eles s˜ao B
e
-lineares e adjunt´aveis,
para a aplica¸c˜ao estar bem definida.
Sejam h ∈ G e a
h
∈ B
h
arbitr´arios. Defina
T
0
a
h
: M
0
−→ M
0
(b
g
)
g∈G
−→ (a
h
b
h
−1
g
)
g∈G
.
Claramente, esta aplica¸c˜ao ´e C-A-linear. Veremos que, al´em disso, ela ´e cont´ınua.
159
Tome (b
g
)
g∈G
∈ M
0
arbitr´ario. Note que
T
0
a
h
(b
g
)
g∈G
2
=
(a
h
b
h
−1
g
)
g∈G
, (a
h
b
h
−1
g
)
g∈G
B
e
=
g∈G
(a
h
b
h
−1
g
)
∗
(a
h
b
h
−1
g
)
B
e
=
g∈G
b
∗
h
−1
g
a
∗
h
a
h
b
h
−1
g
B
e
,
e usando o lema B.2.12 nesta equa¸c˜ao, obtemos
T
0
a
h
(b
g
)
g∈G
2
=
g∈G
b
∗
h
−1
g
a
∗
h
a
h
b
h
−1
g
B
e
≤
g∈G
a
h
2
B
h
b
∗
h
−1
g
b
h
−1
g
B
e
= a
h
2
B
h
g∈G
b
∗
h
−1
g
b
h
−1
g
B
e
= a
h
2
B
h
g
∈G
b
∗
g
b
g
B
e
= a
h
2
B
h
(b
g
)
g
∈G
2
,
donde segue que T
0
a
h
´e cont´ınua.
Como T
0
a
h
´e C-linear e cont´ınua, T
0
a
h
´e uniformemente cont´ınua, logo pode ser esten-
dida para M. Seja T
a
h
a extens˜ao de T
0
a
h
para M. Temos que provar ainda, que T
a
h
∈
L(M) , para isto, basta verificarmos que T
a
h
´e adjunt´avel. Sejam (b
g
)
g∈G
, (c
g
)
g∈G
∈
M
0
arbitr´arios, ent˜ao, temos que
T
0
a
h
(b
g
)
g∈G
, (c
g
)
g∈G
=
(a
h
b
h
−1
g
)
g∈G
, (c
g
)
g∈G
=
g∈G
(a
h
b
h
−1
g
)
∗
c
g
=
g∈G
b
∗
h
−1
g
a
∗
h
c
g
.
Tomando g
= h
−1
g na equa¸c˜ao acima, obtemos que
T
0
a
h
(b
g
)
g∈G
, (c
g
)
g∈G
=
g∈G
b
∗
h
−1
g
a
∗
h
c
g
=
g
∈G
b
∗
g
a
∗
h
c
hg
=
(b
g
)
g
∈G
, (a
∗
h
c
hg
)
g
∈G
=
(b
g
)
g
∈G
, T
0
a
∗
h
(c
g
)
g
∈G
.
Logo, dados x, y ∈ M arbitr´arios, como existem {x
n
}
n∈N
, {y
m
}
m∈N
⊆ M
0
, tais que
160
x
n
→ x e y
m
→ y, temos que
T
a
h
(x), y =
T
a
h
lim
n→+∞
x
n
, lim
n→+∞
y
n
= lim
n→+∞
T
a
h
(x
n
), y
n
= lim
n→+∞
T
0
a
h
(x
n
), y
n
= lim
n→+∞
x
n
, T
0
a
∗
h
(y
n
)
=
lim
n→+∞
x
n
, lim
n→+∞
T
0
a
∗
h
(y
n
)
=
x, T
a
∗
h
(y)
,
e portanto, T
∗
a
h
= T
a
h
∗
, donde segue que T
a
h
∈ L(M).
Ser´a ´util em contas futuras, sabermos como se comporta a composi¸c˜ao destes ope-
radores. Sejam h, k ∈ G, λ ∈ C, a
h
, d
h
∈ B
h
, a
k
∈ B
k
e (b
g
)
g∈G
∈ M
0
quaisquer.
Ent˜ao, temos que
T
0
a
h
◦ T
0
a
k
(b
g
)
g∈G
= T
0
a
h
(a
k
b
k
−1
g
)
g∈G
= (a
h
(a
k
b
h
−1
k
−1
g
))
g∈G
=
(a
h
a
k
)b
(kh)
−1
g
g∈G
= T
0
a
h
a
k
(b
g
)
g∈G
,
e tamb´em que,
T
0
λa
h
+d
h
(b
g
)
g∈G
= ((λa
h
+ d
h
)b
h
−1
g
)
g∈G
= λ(a
h
b
h
−1
g
)
g∈G
+ (d
h
b
h
−1
g
)
g∈G
= λT
0
a
h
(b
g
)
g∈G
+ T
0
d
h
(b
g
)
g∈G
.
Logo, dado x ∈ M arbitr´ario, como existe {x
n
}
n∈N
⊆ M
0
, tal que x
n
→ x, temos
que
T
a
h
◦ T
a
k
(x) = T
a
h
◦ T
a
k
lim
n→+∞
x
n
= lim
n→+∞
T
a
h
◦ T
a
k
(x
n
)
= lim
n→+∞
T
0
a
h
◦ T
0
a
k
(x
n
) = lim
n→+∞
T
0
a
h
a
k
(x
n
)
= T
a
h
a
k
(x),
e tamb´em que,
T
λa
h
+d
h
(x) = T
λa
h
+d
h
lim
n→+∞
x
n
= lim
n→+∞
T
λa
h
+d
h
(x
n
)
= lim
n→+∞
T
0
λa
h
+d
h
(x
n
) = lim
n→+∞
λT
0
a
h
(x
n
) + T
0
d
h
(x
n
)
= λT
a
h
(x) + T
d
h
(x).
161
Finalmente, defina
ϕ : C
0
−→ L(M)
(b
g
)
g∈G
−→
g∈G
T
b
g
.
Vamos primeiramente verificar que ϕ ´e um homomorfismo. Claramente, ϕ ´e
C-linear e separa produto. Vamos, portanto, verificar os demais axiomas. Sejam
(b
g
)
g∈G
, (c
g
)
g∈G
∈ C
0
e λ ∈ C arbitr´arios; ent˜ao, temos que
(i)
ϕ
(b
g
)
g∈G
(c
g
)
g∈G
= ϕ
g∈G
b
g
c
g
−1
k
k∈G
=
k∈G
T
g∈G
b
g
c
g
−1
k
=
k∈G
g∈G
T
b
g
c
g
−1
k
=
k∈G
g∈G
T
b
g
◦ T
c
g
−1
k
=
g∈G
T
b
g
k∈G
T
c
g
−1
k
=
g∈G
T
b
g
k
∈G
T
c
k
= ϕ
(b
g
)
g∈G
ϕ
(c
k
)
k
∈G
;
(ii) Note que (b
g
)
g∈G
=
g∈G
(b
g
δ
gh
)
h∈G
, logo
ϕ
(b
g
)
g∈G
∗
= ϕ
g∈G
(b
g
δ
gh
)
h∈G
∗
= ϕ
g∈G
b
∗
g
δ
g
−1
h
h∈G
=
g∈G
ϕ
b
∗
g
δ
g
−1
h
h∈G
=
g∈G
h∈G
T
b
∗
g
δ
g
−1
h
=
g∈G
T
b
∗
g
=
g∈G
T
∗
b
g
=
g∈G
T
b
g
∗
= ϕ
(b
g
)
g∈G
∗
.
Agora, s´o falta provarmos que ϕ ´e injetor. Tome (b
g
)
g∈G
∈ ker ϕ, logo
0 = ϕ
(b
g
)
g∈G
=
g∈G
T
b
g
.
Portanto, para qualquer (c
h
)
h∈G
∈ M
0
temos que
g∈G
T
b
g
(c
h
)
h∈G
=
g∈G
T
0
b
g
(c
h
)
h∈G
=
g∈G
(b
g
c
g
−1
h
)
h∈G
= 0.
162
Tomando k ∈ G arbitr´ario e (c
h
)
h∈G
∈ M
0
tal que, para todo h ∈ G,
c
h
=
b
∗
k
, se h=k;
0, se h = k,
e substituindo na equa¸c˜ao acima, obtemos
0 =
g∈G
T
b
g
(c
h
)
h∈G
=
g∈G
(b
g
c
g
−1
h
)
h∈G
= (b
hk
c
k
−1
)
h∈G
= (b
hk
b
∗
k
)
h∈G
,
donde temos que b
k
b
∗
k
= 0, e logo b
k
= 0; mas como k ∈ G foi tomado arbitrariamente,
segue que (b
g
)
g∈G
=0.
Defini¸c˜ao B.2.14. O homomorfismo ϕ definido no teorema acima ´e denominado
representa¸c˜ao regular da ´algebra seccional do fibrado de Fell B.
Como uma conseq¨uˆencia direta do teorema acima, temos que o n´ucleo da aplica¸c˜ao
||| · ||| definida na constru¸c˜ao do produto cruzado parcial ´e nulo.
Apenas por uma quest˜ao de completude, iremos dar as duas defini¸c˜oes seguintes.
Defini¸c˜ao B.2.15. A C
∗
-´algebra reduzida de um fibrado de Fell B, denotada por
C
∗
r
(B), ´e o fecho de ϕ(C
0
) na norma de L(M), onde ϕ e M s˜ao os constru´ıdos no
teorema anterior.
Defini¸c˜ao B.2.16. Seja (A , G, α) um C
∗
-sistema dinˆamico. O produto cruzado par-
cial reduzido de A por G, denotado por A
α,r
G, ´e por defini¸c˜ao a C
∗
-´algebra reduzida
do fibrado de Fell associado ao C
∗
-sistema dinˆamico (A , G, α).
Por fim iremos provar que, dado um fibrado de Fell, existe uma esperan¸c a condici-
onal canˆonica associada a ele. Este resultado ser´a usado no cap´ıtulo 5.
Defini¸c˜ao B.2.17. Sejam A uma C
∗
-´algebra e B ⊆ A uma sub-C
∗
-´algebra. Uma
aplica¸c˜ao E : A −→ B ´e dita ser uma esperan¸ca condicional, se as seguintes condi¸c˜oes
s˜ao satisfeitas:
(i) E ´e uma aplica¸c˜ao C-linear sobrejetora;
(ii) E
2
= E;
(iii) E(A
+
) ⊆ B
+
;
(iv) ∀a ∈ A , ∀b ∈ B, E(ba) = bE(a).
163
Note que se E : A −→ B ´e uma esperan¸ca condicional, ent˜ao para quaisquer
a ∈ A e b ∈ B, temos que E(a)b = E(ab). De fato, como E ´e uma aplica¸c˜ao C-linear
positiva, E preserva involu¸c˜ao, e ent˜ao temos que
E(a)b = (b
∗
E(a)
∗
)
∗
= (b
∗
E(a
∗
))
∗
= (E(b
∗
a
∗
))
∗
= E(ab).
Seja B um fibrado de Fell. Nosso objetivo ´e construir uma esperan¸ca condicional
E : C
∗
(B) −→
B
e
, onde
B
e
=
g ∈ G
B
g
e
B
g
=
B
e
, se g = e;
0, se g = e.
Mas antes, precisamos verificar que
B
e
´e de f ato, uma sub-C
∗
-´algebra de C
∗
(B).
Para provar este fato, precisaremos de uma equa¸c˜ao que provaremos na demonstra¸c˜ao
do seguinte lema:
Lema B.2.18. Seja (a
h
)
h∈G
∈ C
0
arbitr´aria. Ent˜ao temos que
T
a
e
≤
h∈G
T
a
h
,
onde T
a
e
e
h∈G
T
a
h
s˜ao como definidos na demonstra¸c˜ao do teorema B.2.13.
Demonstra¸c˜ao. Tome (b
g
)
g∈G
∈ C
0
e k ∈ G arbitr´arios. Relembrando,
T
a
k
(b
g
)
g∈G
= (a
k
b
k
−1
g
)
g∈G
.
Defina a seguinte fun¸c˜ao:
π
0
e
: M
0
−→ M
(c
g
)
g∈G
−→ (c
e
δ
eg
)
g∈G
.
Observe que ela ´e claramente C-linear e, al´em disso, para qualquer (c
g
)
g∈G
∈ M
0
,
164
temos que
π
0
e
(c
g
)
g∈G
=
(c
e
δ
eg
)
g∈G
=
(c
e
δ
eg
)
g∈G
, (c
e
δ
eg
)
g∈G
1/2
B
e
= c
∗
e
c
e
1/2
B
e
≤
g∈G
c
∗
g
c
g
1/2
B
e
=
(c
g
)
g∈G
, (c
g
)
g∈G
1/2
B
e
=
(c
g
)
g∈G
.
Portanto π
0
e
´e uma aplica¸c˜ao C-linear e cont´ınua, logo podemos estendˆe-la para
M. Seja π
e
a extens˜ao de π
0
e
.
Agora observe que
T
a
e
◦ π
e
= π
e
◦
h∈G
T
a
h
◦ π
e
,
pois
h∈G
T
a
h
◦ π
e
(b
g
)
g∈G
= (a
h
b
e
)
h∈G
,
donde segue que
π
e
◦
h∈G
T
a
h
◦ π
e
(b
g
)
g∈G
= π
e
(a
h
b
e
)
h∈G
= (a
e
b
e
δ
eg
)
g∈G
= T
a
e
◦ π
e
(b
g
)
g∈G
.
Ent˜ao temos que
T
a
e
◦ π
e
=
π
e
◦
h∈G
T
a
h
◦ π
e
≤
h∈G
T
a
h
. (B.6)
Para finalizar a demonstra¸c˜ao, iremos verificar que as normas de T
a
e
◦ π
e
e de T
a
e
s˜ao iguais.
Claramente,
T
a
e
◦ π
e
≤ T
a
e
. (B.7)
Agora tome
a
∗
e
a
e
B
e
δ
eg
g∈G
∈ M
0
, e note que,
T
a
e
◦ π
e
a
∗
e
a
e
B
e
δ
eg
g∈G
=
a
e
a
∗
e
a
e
B
e
δ
eg
g∈G
.
165
Logo,
T
a
e
◦ π
e
= sup
(c
g
)
g∈G
≤1
(T
a
e
◦ π
e
)
(c
g
)
g∈G
≥
(T
a
e
◦ π
e
)
a
∗
e
a
e
B
e
δ
eg
g∈G
=
a
e
a
∗
e
a
e
B
e
δ
eg
g∈G
=
a
e
a
∗
e
a
e
a
∗
e
a
e
2
B
e
1/2
B
e
=
1
a
e
B
e
(a
e
a
∗
e
)(a
e
a
∗
e
)
∗
1/2
B
e
=
a
e
2
B
e
a
e
B
e
= a
e
B
e
. (B.8)
Mas, por outro lado, para qualquer (c
g
)
g∈G
∈ M
0
temos que
(a
e
c
g
)
g∈G
2
M
=
(a
e
c
g
)
g∈G
, (a
e
c
g
)
g∈G
B
e
=
g∈G
c
∗
g
a
∗
e
a
e
c
g
B
e
≤
g∈G
a
e
2
B
e
c
∗
g
c
g
B
e
= a
e
2
g∈G
c
∗
g
c
g
B
e
= a
e
2
(c
g
)
g∈G
, (c
g
)
g∈G
B
e
= a
e
2
(c
g
)
g∈G
2
M
,
donde segue que
T
a
e
= sup
(c
g
)
g∈G
≤1
T
a
e
(c
g
)
g∈G
= sup
(c
g
)
g∈G
≤1
(a
e
c
g
)
g∈G
≤ a
e
B
e
.
Agora novamente tomando
a
∗
e
a
e
B
e
δ
eg
g∈G
∈ M
0
, temos que T
a
e
a
∗
e
a
e
B
e
δ
eg
g∈G
=
a
e
a
∗
e
a
e
B
e
δ
eg
g∈G
, donde
T
a
e
a
∗
e
a
e
B
e
δ
eg
g∈G
=
a
e
a
∗
e
δ
eg
a
e
B
e
g∈G
= a
e
B
e
.
Ent˜ao,
T
a
e
= a
e
B
e
. (B.9)
Portanto, das equa¸c˜oes B.7,B.8 e B.9 obtemos que
T
a
e
◦ π
e
= T
a
e
.
166
Logo, voltando na equa¸c˜ao B.6 segue que
T
a
e
≤
h∈G
T
a
h
,
como quer´ıamos demonstrar.
Proposi¸c˜ao B.2.19.
B
e
, como definido acima, ´e uma sub-C
∗
-´algebra de C
∗
(B)
Demonstra¸c˜ao. Note que
B
e
⊆ C
∗
(B), j´a que, pelo teorema B.2.13, o n´ucleo da tripla
norma (norma da envolvente) ´e nulo. Al´em disso,
B
e
´e claramente uma sub-∗-´algebra
de C
∗
(B); logo, basta verificarmos que ela ´e fechada e, como a aplica¸c˜ao B
e
b
e
↔
(b
e
δ
e,g
)
g∈G
∈
B
e
´e claramente um isomorfismo, basta verificarmos que ele ´e isom´etrico.
Temos que
||| (b
e
δ
e,g
)
g∈G
||| ≤
(b
e
δ
e,g
)
g∈G
1
= b
e
B
e
,
e por outro lado, segue da equa¸c˜ao B.9 que
ϕ
(b
e
δ
e,g
)
g∈G
= T
b
e
= b
e
B
e
,
onde ϕ e T
b
e
s˜ao como definidos na demonstra¸c˜ao do teorema B.2.13. Portanto,
||| (b
e
δ
e,g
)
g∈G
||| = b
e
B
e
,
donde segue o que quer´ıamos demonstrar.
Observa¸c˜ao B.2.20. Note que no de correr da demonstra¸c˜ao acima, provamos que
B
e
e B
e
s˜ao C
∗
-´algebras isomorfas. Logo, como uma conseq¨uˆencia deste fato, temos
que dado um produto cruzado parcial A
α
G, Aδ
e
∼
=
A.
Agora, defina a seguinte aplica¸c˜ao:
E
0
: C
0
−→
B
e
(a
h
)
h∈G
−→ (a
e
δ
eh
)
h∈G
.
Note que ela ´e claramente C-linear. No que segue, provaremos que E
0
´e uma
aplica¸c˜ao cont´ınua, e portanto pode ser estendida para C
∗
(B). Por fim, verificaremos
que a sua extens˜ao ser´a uma esperan¸ca condicional. Para provar a continuidade de E
0
faremos uso do lema B.2.18.
167
Observe que para (b
h
)
h∈G
∈ M
0
arbitr´ario,
E
0
(b
h
)
h∈G
=
(b
e
δ
eh
)
h∈G
= b
e
= T
b
e
≤
h∈G
T
b
h
=
ϕ(b
h
)
h∈G
≤ ||| (b
h
)
h∈G
|||.
Portanto, E
0
´e uma aplica¸c˜ao C-linear e cont´ınua. Logo, pode ser estendida para
C
∗
(B). Seja E a extens˜ao de E
0
.
Teorema B.2.21. A aplica¸c˜ao E : C
∗
(B) −→
B
e
, definida acima, ´e uma esperan¸ca
condicional.
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente observe que E, por constru¸c˜ao, ´e C-linear. Vamos
verificar portanto que E satisfaz os demais axiomas de es peran¸ca condicional. Sejam
(a
h
)
h∈G
, (c
h
)
h∈G
∈ C
0
, (b
e
δ
eh
)
h∈G
∈
B
e
e λ ∈ C arbitr´arios; ent˜ao, temos que
(i) E
(b
e
δ
eh
)
h∈G
= (b
e
δ
eh
)
h∈G
. Logo, E ´e sobrejetora.
(ii) E
2
(a
h
)
h∈G
= E ◦ E
(a
h
)
h∈G
= E
(a
e
δ
eh
)
h∈G
= (a
e
δ
eh
)
h∈G
, donde segue que
E
2
= E.
(iii)
E
(b
e
δ
eh
)
h∈G
(a
h
)
h∈G
= E
(b
e
a
h
)
h∈G
= (b
e
a
e
δ
eh
)
h∈G
= (b
e
δ
eh
)
h∈G
(a
e
δ
eh
)
h∈G
= (b
e
δ
eh
)
h∈G
E
(a
h
)
h∈G
.
(iv) Note que, E
(a
h
)
h∈G
∗
(a
h
)
h∈G
=
h∈G
a
∗
h
a
h
≥ 0. Agora, tome x ∈ C
∗
(B)
arbitr´ario; ent˜ao, existe {y
λ
}
λ∈Λ
⊆ C
0
tal que y
λ
→ x, logo y
∗
λ
y
λ
→ x
∗
x. C omo
E ´e cont´ınua, temos que
E(x
∗
x) = E
lim
λ→∞
y
∗
λ
y
λ
= lim
λ→∞
E(y
∗
λ
y
λ
) ≥ 0,
e ent˜ao E
C
∗
(B)
+
⊆
B
e
+
.
Portanto, E ´e uma esperan¸ca condicional.
168
Referˆencias Bibliogr´aficas
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∗
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[11] E. L. Lima. Espa¸cos m´etricos. Projeto Euclides. Livros T´ecnicos e Cient´ıficos
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170
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