ads:
FEN/UERJ
Dissertação de Mestrado
Avaliação da Resposta Dinâmica de Pontes Rodoviárias com
Pavimentos Irregulares e Comparação com a Metodologia de
Projeto Proposta pela NBR 7187
Autor: Anderson Bastos Amorim de Amorim
Orientador: José Guilherme Santos da Silva, DSc.
Co-orientadora: Maria Elizabeth da Nóbrega Tavares, DSc.
Centro de Tecnologia e Ciências
Faculdade de Engenharia
PGECIV – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Agosto de 2007
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
ads:
Ficha Catalográfica
AMORIM, ANDERSON BASTOS AMORIM DE
Dissertação de Mestrado
Avaliação da Resposta Dinâmica de Pontes Rodoviárias
com Pavimentos Irregulares e Comparação com a
Metodologia de Projeto Proposta pela NBR 7187 [Rio de
Janeiro] 2007.
xxii , 1455 p. 29,7 cm (FEN/UERJ, Mestrado, PGECIV -
Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil - Área
de Concentração: Estruturas, 2007.)
v, 145 f. : il. ; 30 cm
Dissertação - Universidade do Estado do Rio de Janeiro
- UERJ
1. Introdução
2. Modelos Matemáticos dos Veículos
3. Modelagem do Sistema Veículo-Ponte
4. Modelos Estruturais
5. Análise de Autovalores e Autovetores
6. Análise Paramétrica
7. Considerações Finais
I. FEN/UERJ II. Título (série)
À minha mãe e à minha noiva, pela compreensão e
incentivo ao meu desenvolvimento acadêmico e
profissional.
Agradecimentos
À minha mãe, pela dedicação e apoio constantes em todas as decisões da minha
vida;
À minha noiva, pela compreensão e apoio, principalmente nos momentos de maior
trabalho;
Aos professores José Guilherme e Elizabeth, pela orientação dedicada,
conhecimentos transmitidos e, principalmente, pela amizade desenvolvida ao longo destes
anos de estudos e pesquisas;
Aos professores do Curso de Pós-Graduação do PGECIV pelos ensinamentos
transmitidos durante o programa de mestrado;
Aos professores da Faculdade de Engenharia da UERJ, pelos ensinamentos sem os
quais não teria a base sólida para desenvolver este curso;
Aos funcionários do laboratório de computação LABBAS;
Aos colegas da pós-graduação pelo apoio e amizade;
Ao CNPq pelo apoio financeiro;
Aos amigos, com os quais sempre pude contar;
Resumo
Amorim de Amorim, Anderson Bastos; Silva, José Guilherme Santos da (Orientador);
Nóbrega, Maria Elizabeth Tavares da (Co-orientadora).
Dissertação de Mestrado
Avaliação da Resposta Dinâmica de Pontes Rodoviárias com Pavimentos
Irregulares e Comparação com a Metodologia de Projeto Proposta pela NBR 7187.
Rio de Janeiro, 2007. 145p. Dissertação de Mestrado – Programa de Pós-Graduação
em Engenharia Civil, Universidade do Estado do Rio de Janeiro.
Nesta dissertação é desenvolvida uma análise dinâmica sobre pontes rodoviárias de
concreto armado devido à travessia de comboios de veículos, tipo TB-12 e TB-45, propostos
pela NBR 7188/1984, sobre o pavimento irregular dessas obras de arte. O estudo é feito
segundo metodologia de análise no domínio do tempo de acordo com um modelo
estatístico. O modelo matemático é concebido de forma a simular o conjunto dos veículos e
do tabuleiro, denominado de sistema veículo-ponte. Considera-se a participação das
massas e das rigezas dos veículos na definição das freqüências do conjunto e,
conseqüentemente, na força de interação entre os veículos e a ponte. Simula-se o tabuleiro
das obras de arte por uma viga modelada com base em elementos finitos de barras, massas
concentradas nos nós e flexibilidade distribuída. Aos nós estão associados os movimentos
de rotação no plano e de translação vertical. São considerados dois modelos distintos para
representar os veículos. Essas viaturas são simuladas por sistemas de massas, molas e
amortecedores, com graus de liberdade na translação e rotação no plano. As irregularidades
da pista são definidas por um modelo matemático não-determinístico, com base na
densidade espectral do perfil do pavimento, obtida experimentalmente. O carregamento
sobre a superestrutura das pontes é constituído por uma sucessão de veículos idênticos,
igualmente espaçados e deslocando-se com velocidade constante sobre o tabuleiro. São
estudadas as respostas de dois modelos estruturais existentes, com base em tabuleiros
isostáticos e hiperestáticos, em concreto armado, com e sem balanços respectivamente, em
seção do tipo múltiplo “T”, em termos de deslocamentos e esforços nas seções onde
ocorrem os efeitos máximos.
Observa-se a influência das características dos comboios
sobre a resposta dinâmica das pontes analisadas. As conclusões deste trabalho versam
sobre uma análise crítica acerca dos níveis de amplificação da resposta dinâmica dos
modelos estudados, confrontando esses resultados com aqueles fornecidos correntemente
pela NBR 7187/1987.
Palavras-chave
Análise Dinâmica, Pontes Rodoviárias, Irregularidades da Pista, Modelos
Não-Determinísticos, Modelagem Computacional.
Abstract
Amorim de Amorim, Anderson Bastos; Silva, José Guilherme Santos da (Advisor);
Nóbrega, Maria Elizabeth Tavares da (Co-Advisor). Evaluation of the Highway
Bridges Dynamic Response with Irregular Pavement Surfaces and Comparison
with the Brazilian Code Methodology. Rio de Janeiro, 2007. 145p. MSc. Dissertation
– Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Universidade do Estado do Rio
de Janeiro.
In this investigation, a dynamic analysis of highway bridge decks is developed
considering the vehicles crossing on rough pavement surfaces defined by a probabilistic
model. The analysis methodology is considered in the time domain based on a statistical
model. The mathematical model is developed in order to simulate the vehicles and the bridge
deck (vehicle-bridge system). Masses and the stiffness of the vehicles are considered in the
definition of the natural frequencies of the set and, consequently, in the interaction force
between the vehicles and the bridge. The bridge deck is modelled using beam finite
elements with concentrated masses and distributed stiffness. Two different models are used
in order to represent the vehicles, TB-12 and TB-45, according to NBR 7188/1982. The
vehicles are simulated as mass-spring-damper systems and the degrees of freedom of these
cars are defined as in plane vertical translations and rotations. The deck surface roughness
is defined by a well known power spectrum probability density of road pavement profiles. The
irregular pavement surface was defined like a weakly stationary and ergodic random
process. The moving load is formed by an infinite succession of equally spaced vehicles
moving with constant velocity. Only the steady-state response is considered. Response data
are produced on two investigated structural models, based on isostatic and hiperestatic
reinforced concrete bridges, assembled as simple beams, including cantilever spans and
multiple “T” sections. Conclusions are concerned with the magnitude of the vehicle-bridge
system response amplification (displacements and efforts) due to the surface irregularities
and the simplification suggested by the Brazilian code.
Key-words
Dynamical Analysis, Highway Bridges, Irregular Pavement Surface, Non-deterministic
Models, Computational Modeling.
Sumário
1. Introdução........................................................................................................................ 20
1.1. Apresentação e Relevância......................................................................................................... 20
1.2. Situação do Assunto.................................................................................................................... 21
1.3. Objetivos....................................................................................................................................... 25
1.4. Escopo do Trabalho..................................................................................................................... 26
2. Modelos Matemáticos dos Veículos.............................................................................. 28
2.1. Introdução..................................................................................................................................... 28
2.2. Equação Diferencial de Movimento............................................................................................ 28
2.3. Modelos Matemáticos.................................................................................................................. 31
2.3.1. Modelo de Veículo I (MV-I)...................................................................................................... 31
2.3.2. Modelo de Veículo II (MV-II).................................................................................................... 38
3. Modelagem do Sistema Veículo-Ponte.......................................................................... 45
3.1. Generalidades............................................................................................................................... 45
3.2. Pontes Rodoviárias...................................................................................................................... 45
3.3. Irregularidades do Pavimento..................................................................................................... 47
3.4. Sistema Veículo-Ponte................................................................................................................. 53
3.4.1. Matriz de Massa ...................................................................................................................... 53
3.4.2. Matriz de Rigidez..................................................................................................................... 54
3.4.3. Matriz de Amortecimento ........................................................................................................ 57
3.4.4. Vetor de Cargas Nodais Equivalentes .................................................................................... 58
3.4.5. Equação de Movimento........................................................................................................... 59
3.4.5.1. Modelo de Veículo I – MV-I.............................................................................................. 59
3.4.5.2. Modelo de Veículo II – MV-II............................................................................................ 60
4. Modelos Estruturais........................................................................................................ 62
4.1. Modelo Estrutural I – ME-I........................................................................................................... 62
4.2. Modelo Estrutural II – ME-II......................................................................................................... 65
4.3. Comboios de Veículos Adotados na Análise............................................................................ 67
5. Análise de Autovalores e Autovetores.......................................................................... 71
5.1. Generalidades............................................................................................................................... 71
5.2. Análise de Autovalores................................................................................................................ 71
5.3. Análise de Autovetores ............................................................................................................... 75
6. Análise Paramétrica ........................................................................................................ 81
6.1. Generalidades............................................................................................................................... 81
6.2. Metodologia Simplificada da NBR7187 [1] ................................................................................ 82
6.3. Metodologia Empregada para a Análise Estática..................................................................... 91
6.4. Resultados Obtidos na Análise Estática ................................................................................... 92
6.4.1. Modelo Estrutural I – ME-I....................................................................................................... 93
6.4.2. Modelo Estrutural II – ME-II..................................................................................................... 96
6.5. Resultados Encontrados na Análise Dinâmica....................................................................... 100
6.5.1. Generalidades e Métodos ..................................................................................................... 100
6.5.2. Comportamento Geral do Sistema........................................................................................ 101
6.5.2.1. Modelo Estrutural I – ME-I.............................................................................................. 101
6.5.2.2. Modelo Estrutural II – ME-II............................................................................................ 104
6.5.3. Análise Estatística dos Resultados ....................................................................................... 107
6.5.3.1. Modelo Estrutural I - ME-I .............................................................................................. 108
6.5.3.2. Modelo Estrutural II – ME-II............................................................................................ 111
6.5.4. Variação do Fator de Amplificação Dinâmico (FAD) de acordo com a Qualidade do
Pavimento........................................................................................................................................ 115
6.5.4.1. Modelo Estrutural I – ME-I.............................................................................................. 115
6.5.4.2. Modelo Estrutural II – ME-II............................................................................................ 121
6.5.5. Verificações sobre a Prática Corrente de Projeto................................................................. 126
6.5.5.1. Generalidades ................................................................................................................ 126
6.5.5.2. Modelo Estrutural I – ME-I.............................................................................................. 126
6.5.5.3. Modelo Estrutural II – ME-II............................................................................................ 132
7. Considerações Finais.................................................................................................... 138
7.1. Introdução................................................................................................................................... 138
7.2. Conclusões Alcançadas............................................................................................................ 138
7.3. Sugestões para Trabalhos Futuros.......................................................................................... 140
Lista de Figuras
Figura 2.1 - (a) Oscilador simples; (b) Diagrama de corpo livre do oscilador simples ......................... 29
Figura 2.2 - Modelo de veículo I............................................................................................................ 32
Figura 2.3 – Diagrama de corpo livre de forças do modelo de veículo I............................................... 33
Figura 2.4 – Diagrama de corpo livre de momentos do modelo de veículo I ....................................... 33
Figura 2.5 - Modelo de veículo II........................................................................................................... 38
Figura 2.6 – Diagrama de corpo livre de forças do modelo de veículo II.............................................. 39
Figura 2.7 – Diagrama de corpo livre de momentos do modelo de veículo II ...................................... 39
Figura 3.1 – Modelo de elemento de viga unidimensional.................................................................... 45
Figura 3.2 – Distribuição da Massa nos Elementos Finitos .................................................................. 46
Figura 3.3 – Modelo de uma ponte em elementos finitos com seus nós e elementos......................... 46
Figura 3.4 – Modelo de uma ponte em elementos finitos com seus GDL e massas concentradas..... 46
Figura 3.5 – Irregularidade não-determinística ..................................................................................... 47
Figura 3.6 – Irregularidades de condição ruim...................................................................................... 50
Figura 3.7 – Irregularidades de condição média................................................................................... 51
Figura 3.8 – Irregularidades de condição excelente ............................................................................. 52
Figura 3.9 – Modelo veículo-ponte........................................................................................................ 53
Figura 3.9 – Esquema de alteração na matriz de rigidez do sistema veículo-ponte conforme os
veículos atravessam seu tabuleiro................................................................................................ 55
Figura 4.1 – Planta de situação do viaduto – Modelo Estrutural I ........................................................ 62
Figura 4.2 – Planta baixa do viaduto – Modelo Estrutural I (unidades em cm) .................................... 63
Figura 4.3 – Corte longitudinal do viaduto – Modelo Estrutural I (unidades em cm)............................ 63
Figura 4.4 – Corte transversal do viaduto – Modelo Estrutural I (unidades em m) .............................. 64
Figura 4.5 – Modelo Estrutural I............................................................................................................ 64
Figura 4.6 – Planta baixa da ponte até o eixo de simetria (unidades em cm)...................................... 65
Figura 4.7 – Seção transversal da ponte (unidades em cm) ................................................................ 66
Figura 4.8 – Corte longitudinal da ponte até o eixo de simetria (unidades em cm).............................. 66
Figura 4.9 – Distância entre veículos e entre eixos .............................................................................. 68
Figura 4.10 – Comboios de veículos TB12 para o ME-I ....................................................................... 69
Figura 4.11 – Comboios de veículos TB12 para o ME-II ...................................................................... 70
Figura 6.1 Carreta especial para carga útil de 1450kN. Peso bruto de 2736kN [37] ........................... 82
Figura 6.2 – Caminhões e carretas de uso freqüente no brasil [37]..................................................... 83
Figura 6.3 – Trem tipo da NBR 7188 [34] ............................................................................................. 84
Figura 6.4 – Esquema de carregamento para cálculo do momento máximo ....................................... 84
Figura 6.5 – Características dos veículos-tipo [34]............................................................................... 86
Figura 6.6 – Variação de em função de L [37] ..................................................................................88
Figura 6.7– Deslocamento do comboio de três veículos TB-12 sobre o ME-II .................................... 92
Figura 6.8 – Momento Fletor Positivo na seção central do ME-I para o Comboio de 5 veículos TB-12
[34]............................................................................................................................................... 102
Figura 6.9 – Momento Fletor Negativo na seção de apoio do ME-I para o Comboio de 5 veículos TB-
12 [34].......................................................................................................................................... 102
Figura 6.10 – Esforço Cortante na seção de apoio do ME-I para o Comboio de 5............................ 102
Figura 6.11 –Deslocamento na seção central do ME-I para o Comboio de 5 veículos TB-12........... 103
Figura 6.12 – Momento Fletor Positivo na seção central do ME-II para o Comboio de 6 veículos TB-12
..................................................................................................................................................... 105
Figura 6.13 – Momento Fletor Negativo na seção de apoio do ME-II para o Comboio de 6 veículos TB-
12................................................................................................................................................. 105
Figura 6.14 – Esforço Cortante na seção de apoio do ME-II para o Comboio de 6........................... 105
Figura 6.15 – Deslocamento na seção central do ME-II para o Comboio de 6 .................................. 106
Figura 6.16 – Deslocamento na seção de extremidade do balanço do ME-II para o Comboio de 6
veículos TB-12............................................................................................................................. 106
Lista de Tabelas
Tabela 3.1 – Classificação das irregularidades do pavimento [9] e [10] .............................................. 48
Tabela 4.1 – Características geométricas da seção transversal do ME-I............................................. 64
Tabela 4.2 – Características físicas do concreto do ME-I ................................................................... 65
Tabela 4.3 – Características geométricas da seção transversal do ME-II............................................ 66
Tabela 4.4 – Características físicas concreto do ME-II......................................................................... 67
Tabela 4.5 – Velocidades de distâncias entre veículos ........................................................................ 67
Tabela 4.6 – Dados dos comboios do ME-I.......................................................................................... 68
Tabela 4.7 – Dados dos Comboios do ME-II ........................................................................................70
Tabela 5.1 – Freqüências Naturais e Carregadas do ME-I, veículos TB-12. ....................................... 72
Tabela 5.2 – Freqüências Naturais e Carregadas do ME-I, veículos TB-45. ....................................... 72
Tabela 5.3 – Freqüências naturais e carregadas do ME-II, veículos TB-12......................................... 73
Tabela 5.4 – Freqüências naturais e carregadas do ME-II, veículos TB-45......................................... 73
Tabela 5.5 – Modos de vibração do ME-I ............................................................................................. 76
Tabela 5.6 – Modos de vibração do ME-I, comboio 8-TB-12-020 ........................................................ 77
Tabela 5.7 – Modos de Vibração do ME-I, comboio 8-TB-45-020........................................................ 78
Tabela 5.8– Modos de Vibração Natural do ME-II................................................................................ 79
Tabela 6.1 – Esquema de carregamento para cálculo do momento máximo da ponte ....................... 85
Tabela 6.2 - Características dos veículos-tipo [34]............................................................................... 86
Tabela 6.3 – Esforços e Deslocamentos Solicitantes do ME-I, pela NBR 7188................................... 89
Tabela 6.4 – Esforços e Deslocamentos Portantes do ME-I ................................................................ 90
Tabela 6.5 – Esforços Solicitantes do ME-II, pela NBR7188................................................................ 90
Tabela 6.6 – Capacidades Portantes do ME-II .....................................................................................91
Tabela 6.7 – Momentos Fletores. Modelo Estrutural I. Veículos TB-12. .............................................. 93
Tabela 6.8 – Esforços Cortantes. Modelo Estrutural I. Veículos TB-12................................................ 93
Tabela 6.9 – Deslocamentos. Modelo Estrutural I. Veículos TB-12. .................................................... 94
Tabela 6.10 – Momentos Fletores. Modelo Estrutural I. Veículos TB-45. ............................................ 95
Tabela 6.11 – Esforços Cortantes. Modelo Estrutural I. Veículos TB-45.............................................. 95
Tabela 6.12 – Deslocamentos. Modelo Estrutural I. Veículos TB-45. .................................................. 95
Tabela 6.13 – Momentos Fletores. Modelo Estrutural II. Veículos TB-12. ........................................... 97
Tabela 6.14 – Esforços Cortantes. Modelo Estrutural II. Veículos TB-12............................................. 97
Tabela 6.15 – Deslocamentos. Modelo Estrutural II. Veículos TB-12. ................................................. 97
Tabela 6.16 – Momentos Fletores. Modelo Estrutural II. Veículos TB-45. ........................................... 98
Tabela 6.17 – Esforços Cortantes. Modelo Estrutural II. Veículos TB-45............................................. 98
Tabela 6.18 – Deslocamentos. Modelo Estrutural II. Veículos TB-45. ................................................. 99
Tabela 6.19 – Momentos Fletores Positivos. Modelo Estrutural I....................................................... 109
Tabela 6.20 – Momentos Fletores Negativos. Modelo Estrutural I..................................................... 109
Tabela 6.21 – Esforços Cortantes. Modelo Estrutural I. ..................................................................... 110
Tabela 6.22 – Deslocamentos. Modelo Estrutural I. ........................................................................... 110
Tabela 6.23 – Momentos Fletores Positivos. Modelo Estrutural II...................................................... 112
Tabela 6.24 – Momentos Fletores Negativos. Modelo Estrutural II.................................................... 112
Tabela 6.25 – Esforços Cortantes. Modelo Estrutural II. .................................................................... 113
Tabela 6.26 – Deslocamentos no Vão Central. Modelo Estrutural II.................................................. 113
Tabela 6.27 – Deslocamentos no Extremo do Balanço Modelo Estrutural II. .................................... 114
Tabela 6.28 – Momentos Positivos. Modelo Estrutural I..................................................................... 116
Tabela 6.29 – Momentos Negativos. Modelo Estrutural I. .................................................................. 116
Tabela 6.30 – Esforços Cortantes. Modelo Estrutural I. ..................................................................... 116
Tabela 6.31 – Deslocamentos. Modelo Estrutural I. ........................................................................... 117
Tabela 6.32 – Momentos Positivos. Modelo Estrutural I..................................................................... 118
Tabela 6.33 – Momentos Negativos. Modelo Estrutural I. .................................................................. 119
Tabela 6.34 – Esforços Cortantes. Modelo Estrutural I. ..................................................................... 119
Tabela 6.35 – Deslocamentos. Modelo Estrutural I. ........................................................................... 119
Tabela 6.36 – Momentos Positivos. Modelo Estrutural II.................................................................... 121
Tabela 6.37 – Momentos Negativos. Modelo Estrutural II. ................................................................. 121
Tabela 6.38 – Esforços Cortantes. Modelo Estrutural II. .................................................................... 122
Tabela 6.39 – Deslocamentos na Seção Central. Modelo Estrutural II. ............................................. 122
Tabela 6.40 – Deslocamentos no Extremo do Balanço. Modelo Estrutural II. ................................... 122
Tabela 6.41 – Momentos Positivos. Modelo Estrutural II.................................................................... 124
Tabela 6.42 – Momentos Negativos. Modelo Estrutural II. ................................................................. 124
Tabela 6.43 – Esforços Cortantes. Modelo Estrutural II. .................................................................... 124
Tabela 6.44 – Deslocamentos na Seção Central. Modelo Estrutural II. ............................................. 125
Tabela 6.45 – Deslocamentos no Extremo do Balanço. Modelo Estrutural II. ................................... 125
Tabela 6.46 – Momento Fletor Positivo e Razão ψ. Modelo Estrutural I. ........................................... 127
Tabela 6.47 – Momento Fletor Negativo e Razão ψ. Modelo Estrutural I. ......................................... 127
Tabela 6.48 – Esforço Cortante e Razão ψ. Modelo Estrutural I........................................................ 128
Tabela 6.49 – Deslocamento na Seção Central e Razão ψ. Modelo Estrutural I............................... 128
Tabela 6.50 – Momento Fletor Positivo e Razão ψ. Modelo Estrutural I. ........................................... 129
Tabela 6.51 – Momento Fletor Negativo e Razão ψ. Modelo Estrutural I. ......................................... 130
Tabela 6.52 – Esforço Cortante e Razão ψ. Modelo Estrutural I........................................................ 130
Tabela 6.53 – Deslocamento na Seção Central e Razão ψ. Modelo Estrutural I............................... 130
Tabela 6.54 – Momento Fletor Positivo e Razão ψ. Modelo Estrutural II. .......................................... 132
Tabela 6.55 – Momento Fletor Negativo e Razão ψ. Modelo Estrutural II. ........................................ 133
Tabela 6.56 – Esforço Cortante e Razão ψ. Modelo Estrutural II....................................................... 133
Tabela 6.57 – Deslocamento na Seção Central e Razão ψ. .............................................................. 133
Tabela 6.58 – Deslocamento no Extremo do Balanço e Razão ψ...................................................... 134
Tabela 6.59 – Momento Fletor Positivo e Razão ψ. ........................................................................... 135
Tabela 6.60 – Momento Fletor Negativo e Razão ψ........................................................................... 135
Tabela 6.61 – Esforço Cortante e Razão ψ. ....................................................................................... 135
Tabela 6.62 – Deslocamento na Seção Central e Razão ψ. .............................................................. 136
Tabela 6.63 – Deslocamento no Extremo do Balanço e Razão ψ...................................................... 136
Lista de Símbolos
d
- distância entre eixos do veículo
c
- coeficiente de amortecimento
C
- matriz de amortecimento
E
- módulo de elasticidade
[
]
v
2
b
E
- média quadrática da distribuição das irregularidades
a
f
- força de amortecimento
e
f
- força elástica
i
f
- força de inércia
v
f
- força exercida pelo eixo do veículo sobre a ponte
()
tf
- força externa atuante no sistema
()
tF
- vetor de cargas externas
J
- momento de inércia
k
- coeficiente de rigidez
K
- matriz de rigidez
*
K
- Matriz de rigidez condensada
l
- comprimento
i
m
- momento atuante a aceleração angular
m
- massa
a
m
- momento da força de amortecimento em relação ao CM da massa
e
m
- momento da força elástica em relação ao CM da massa
m
- massa distribuída
M
- matriz de massa do sistema
N
- número de harmônicos
r
- vetor de cargas nodais equivalentes
R
- vetor de cargas nodais equivalentes para toda a malha de elementos
u
- amplitude do deslocamento
u
- deslocamento
u
&
- velocidade
u
&&
- aceleração
U
- vetor de deslocamentos
U
&
- vetor de velocidades
U
&&
- vetor de acelerações
v
b
(x)
- função das irregularidades
v
bi
- amplitude real da parte harmônica
w
- ondulabilidade da pista
ϕ
- angulo de fase
φ
- modo de vibração
P
ξ
- fração de amortecimento
ν
- velocidade
ρ
- massa específica
0
ω
- freqüência natural circular
Φ(ω
0
)
- coeficiente de amplitude
()
ω
vv
Φ
bb
- densidade espectral
θ
- vetor de rotações
ψ
- razão entre os efeitos calculados pela metodologia de cálculo da NBR
7187 e os encontrados pela análise dinâmica
Lista de Abreviaturas
UERJ Universidade do Estado do Rio de Janeiro
PUC - Rio Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
NBR Norma Brasileira
ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas
“Se realmente entendemos o problema, a resposta virá dele,
porque a resposta não está separada do problema”.
Krishnamurti
1. Introdução
1.1. Apresentação e Relevância
A análise da resposta dinâmica de pontes rodoviárias submetidas às cargas móveis
tem sido um item bastante explorado por pesquisadores, tendo em vista principalmente o
avanço dos métodos computacionais que tem permitido a resolução em tempo hábil de
matrizes de graus cada vez mais elevados.
O agente motivador de tal tipo de análise é a necessidade de se garantir o
conhecimento do comportamento dinâmico dessas obras, quando submetidas às condições
normais de uso, dado o desconforto que alguns usuários sentem ao trafegar por certas
pontes.
Todas as estruturas civis devem ser projetadas segundo as Normas Brasileiras. A fim
de satisfazerem critérios de segurança contra a ruptura, as estruturas devem atender aos
Estados Limites Últimos (ELU), e para prover condições mínimas adequadas à sua
utilização, devem atender aos Estados Limites de Serviço (ELS).
Atualmente a NBR 7187 (1987) [1] permite uma simplificação do carregamento
dinâmico para um de natureza estática, preservando a possibilidade de mobilidade da carga.
A equivalência é feita pela consideração do carregamento atuando nos pontos onde gera os
piores efeitos estáticos.
Sobre tais efeitos aplica-se então um coeficiente de impacto, preconizado como
sendo
l007,04,1 −=
γ
, para se majorar tais efeitos de modo a englobar os valores obtidos
por uma análise dinâmica. Este coeficiente é função apenas do vão da ponte, o que
incorpora apenas parcialmente uma filosofia de análise dinâmica, posto que ignora todos os
outros fatores de rigidez, de amortecimento e de massa de uma estrutura.
Assim a resposta esperada, de uma análise pela simplificação da NBR 7187 (2003),
não é a mais adequada e, provavelmente, não fornece valores que reflitam a realidade física
do problema. Em face do atual estágio de evolução das técnicas de análise estrutural
dinâmica, pode-se dizer que perpetuar a utilização desta simplificação é uma prática pouco
recomendável.
Esta expectativa é reforçada pelo fato de algumas pontes e viadutos urbanos
apresentarem condições desconfortáveis de utilização, além de apresentarem sinais
precoces de deterioração. Sinais estes que têm contribuição ainda da falta de manutenção
do pavimento das pistas, dos aparelhos de apoio e das juntas de dilatação, que dada a
21
natureza dinâmica do carregamento, são fontes de amplificação dos efeitos dinâmicos, pois
a majoração desses efeitos em função da irregularidade da pista é expressiva, como é
apresentado ao longo desse trabalho.
1.2. Situação do Assunto
O estudo dos problemas oriundos do carregamento dinâmico de pontes e viadutos
não é recente, e iniciou-se em meados do século XIX, motivado pela evolução dos veículos,
que passaram a atingir maiores velocidades e aumentando sua capacidade de carga.
Entretanto nos últimos anos é que os modelos matemáticos utilizados na análise do
problema de vibração de pontes passam a ser desenvolvidos com base no método dos
elementos finitos. A partir do emprego do método dos elementos finitos, os modelos
utilizados na análise do problema apresentam-se cada vez mais refinados. Deste modo, o
estudo da vibração de pontes torna-se mais abrangente através da consideração de alguns
efeitos que até então não haviam sido estudados.
Em 1980, Gupta e Trail-Nash [2] adotaram o modelo de veículo utilizado por Huang e
Veletsos [3] para investigar os efeitos provocados pela ação conjunta da frenagem e
oscilação inicial do veículo, bem como a flexibilidade transversal da ponte, a qual é
modelada como uma viga e como uma placa.
Em 1986, Carneiro [4] desenvolveu um método de análise para vigas de pontes, para
diversas condições de apoio e restrições, sob a ação de cargas móveis. Admite a viga com
massas concentradas e modela o veículo como um sistema massa-mola-amortecedor. São
utilizadas matrizes de rigidez e amortecimento variáveis com a posição do veículo na
estrutura, e ainda considera, paralelamente, o problema da interação veículo-viga sob os
prismas da variação das propriedades dinâmicas do conjunto e da força de interação.
Em 1987, Inbanathan e Wieland [5] estudaram a resposta dinâmica de pontes
simplesmente apoiadas submetidas à ação de veículos trafegando sobre superfícies
irregulares. Admitem a viga com massas concentradas e o veículo é modelado como uma
força concentrada ou, ainda, como uma massa movendo-se com velocidade constante
sobre a estrutura. É considerado, também, o caráter não-determinístico da força dinâmica
existente entre a roda do veículo e a irregularidade do pavimento, ressaltando que essa
força dinâmica é calculada com base na densidade espectral das irregularidades
superficiais, sem levar em conta a flexibilidade da ponte. Finalmente, é dado um tratamento
estatístico à resposta dinâmica da estrutura.
Ainda em 1987, Wu, Lee e Lai [6] utilizaram um método de análise em elementos
finitos para o estudo da resposta dinâmica de placas submetidas à ação de cargas móveis.
22
Os efeitos da excentricidade e da velocidade da carga móvel, bem como do comprimento do
vão, são considerados.
Em 1988, Ramalho [7] desenvolve um estudo, onde analisa as variações impostas
pela cinemática do veículo, condições iniciais e cargas pulsativas. Avalia também os efeitos
das irregularidades ao longo da pista; os efeitos das lajes de transição; e ainda, procede a
uma investigação de aspectos relacionados às linhas de influência dinâmica. Adotou o
método de análise desenvolvido por Carneiro [4], incorporando naturalmente a força de
interação do veículo com a estrutura às equações de movimento do sistema veículo-viga.
Ao final dos anos 80, com base no refinamento dos modelos empregados na análise
da resposta dinâmica de pontes, a comunidade científica que estuda o problema tomou
consciência da absoluta importância dos efeitos produzidos pelas irregularidades
superficiais sobre o comportamento dos tabuleiros rodoviários. Ressalta-se ainda que o
caráter não-determinístico dessas irregularidades passa a ter destaque no que tange a
modelagem das mesmas, de forma que os modelos traduzam o problema de maneira mais
realista em consonância com situações práticas.
Em 1990, Sedlacek e Drosner [8] propuseram uma metodologia de análise
considerando a ponte discretizada em massas concentradas, sendo que o veículo é
modelado de duas formas distintas: o primeiro modelo é o veículo simples com um número
qualquer de eixos acoplados sobre uma massa rígida, da carroceria. O segundo é um
veículo pesado, no qual o cavalo mecânico e a carroceria estão ligados através de um apoio
elástico, sendo ambos os modelos constituídos por sistemas massa-mola-amortecedor.
Especial atenção é dada às irregularidades da pista, as quais são concebidas segundo
modelo não-determinístico com base na densidade espectral do pavimento levantada
experimentalmente por Braun [9 e 10], em trechos rodoviários suíços. A força dinâmica
proveniente dessas irregularidades é calculada considerando-se a ponte como uma
superfície rígida. Os resultados obtidos por esses pesquisadores são utilizados para a
concepção de um modelo de carga europeu único, a ser empregado no cálculo de pontes
rodoviárias.
Em 1991, Ferreira [11], a partir de um estudo mais elaborado sobre o comportamento
real de viaturas usuais e de uma reavaliação do modelo do veículo utilizado por Carneiro [4]
e Ramalho [7], propôs um modelo de veículo com base em um sistema de massas, molas e
amortecedores, constituído de duas massas e representado por um único eixo. Neste
modelo, são considerados apenas os movimentos verticais das massas, desprezando-se as
rotações no plano. Desenvolve, ainda, uma análise paramétrica sobre os efeitos causados
pela ação das cargas móveis nos tabuleiros das pontes rodoviárias, devidos à mobilidade
dos veículos e ao impacto dos mesmos sobre irregularidades na superfície da pista,
objetivando verificar a adequação do coeficiente de impacto recomendado pela NBR 7187
23
(1987) [1]. Ferreira [11] utiliza, em suas investigações, o mesmo procedimento de análise
empregado nos trabalhos de Carneiro [4] e Ramalho [7].
De 1992 a 1994, Wang e Huang [12, 13, 14, 15 e 16] apresentam cinco trabalhos
que possuem como objetivo comum o estudo da resposta dinâmica de tabuleiros
rodoviários. Os modelos estruturais descrevem diversos tipos de pontes, tais como
biapoiadas, contínuas, estaiadas e em quadro rígido. Dependendo da modelagem, são
utilizados elementos finitos de barra ou de cabo. O modelo para o veículo é estabelecido
com base nos códigos da AASHTO-1989, para o que utilizam os caminhões do tipo H20-44
e HS20-44. O modelo H20-44 possui sete graus de liberdade e o HS20-44 apresenta doze
graus de liberdade, sendo que ambos são constituídos por sistemas massa-mola-
amortecedor. São levados em conta, na análise, os efeitos dinâmicos produzidos pelas
irregularidades da pista, as quais são geradas segundo modelo não-determinístico com
base na densidade espectral do pavimento proposta por Braun [9 e 10], destacando que a
força dinâmica devida a essas irregularidades é calculada levando-se em consideração a
flexibilidade da ponte. Este conjunto de trabalhos atende a um projeto junto ao
departamento de transportes do estado da Flórida, EUA, para avaliar o desempenho de
diversos sistemas estruturais de pontes rodoviárias com pistas irregulares submetidas ao
tráfego de veículos.
Em 1993, Chompooming e Yener [17] fizeram uma análise do problema da interação
veículo-ponte em que são considerados os efeitos dinâmicos causados pelo salto do veículo
devidos às irregularidades da pista e a variação de velocidade do veículo. Exemplos
numéricos, ilustrando a influência de irregularidades da pista e desaceleração do veículo na
resposta dinâmica de estruturas de pontes, são apresentados.
Em 1993, Nowak [18] desenvolveu um modelo baseado em uma simulação analítica
do comportamento real da ponte. Os resultados indicaram que as cargas dinâmicas não
dependem somente do vão, mas também da rugosidade da superfície rodoviária e das
características dinâmicas do veículo.
Em 1994, Chang e Lee [19] investigaram o comportamento dinâmico de pontes
rodoviárias simplesmente apoiadas submetidas ao tráfego de veículos sobre a superfície
irregular do tabuleiro. Um modelo apropriado para o veículo é proposto com base na
comparação da resposta dinâmica da ponte, a qual é submetida ao tráfego de quatro
modelos distintos de veículos: força constante e massa constante, ambos sem considerar as
características dinâmicas do veículo; e, ainda, veículo com uma ou duas massas, os quais
levam em conta os efeitos dinâmicos da suspensão. São considerados nessa investigação
os efeitos provenientes das irregularidades da pista, as quais são concebidas segundo
modelo não-determinístico baseado na densidade espectral do pavimento. Finalmente, com
base em uma análise paramétrica, em que são variados o vão da ponte, a velocidade do
24
veículo e a qualidade da pista, os coeficientes de impacto obtidos neste trabalho são
comparados com os especificados pelas normas vigentes.
Em 1995, Zibdeh e Rackwittz [20] estudaram o problema de vibrações em vigas
homogêneas isotrópicas, devido à passagem de diferentes tipos de cargas. Métodos
analíticos e numéricos são usados para investigar a estatística da resposta do sistema,
sujeitas a um fluxo de carregamento móvel.
Em 1996, Henchi, Fafard, Dhatt e Talbot [21] analisaram a resposta dinâmica da
estrutura sob um comboio de cargas móveis. Alguns resultados do fator de amplificação
dinâmico são mostrados também como uma função da velocidade das cargas móveis.
Em 1996 e em 2002, Silva [22 e 23] avaliou os efeitos das irregularidades superficiais
sobre o comportamento dos tabuleiros rodoviários, mediante estudo paramétrico.
Respaldado nos resultados obtidos, foi proposto um coeficiente de majoração de esforços
estáticos que considera todas as ações dinâmicas verticais provenientes dos veículos,
inclusive as irregularidades da pista. Pela análise dos resultados, percebe-se que o
coeficiente de majoração dos efeitos estáticos não abrange todas as ações dinâmicas
verticais provenientes dos veículos, inclusive as irregularidades da pista, visto que estas
últimas geram esforços dinâmicos significativamente maiores em relação aos efeitos
estáticos.
Em 2001, Zhang, Vrouwenvelder e Wandnier [24] analisaram os fatores de
amplificação dinâmicos e as cargas equivalentes uniformemente distribuídas provenientes
de tráfegos eventuais em pontes. São simulados dois tipos de irregularidades: aleatórias e
não-aleatórias. Na análise dos resultados são considerados dois tipos de tráfego: livre e
congestionado.
Em 2001, Savin [25] deduziu expressões analíticas para o cálculo do fator de
amplificação dinâmico e características do espectro de resposta para pontes fracamente
amortecidas com diversas condições de contorno, submetidas a passagem de cargas
móveis com velocidade constante.
Em 2002, Greco e Santini [26] desenvolveram uma análise paramétrica na qual
apresentam a eficácia dos coeficientes de amortecimento na redução das amplitudes das
respostas dinâmicas. Um estudo comparativo entre as respostas exatas, obtidas mediante
uma análise modal complexa, e as aproximações destas, fornecidas por uma análise modal
clássica, apresenta diferenças significativas, nas quais as respostas exatas possuem
maiores valores do que as suas aproximações.
Em 2002, Liu, Huang e Wang [27] investigaram a influência da superfície irregular do
tabuleiro rodoviário sob o tráfego de veículos pesados, simulados por cargas móveis
elevadas. Quatro comprimentos de ponte em concreto protendido são analisados e quatro
tipos comuns de veículos são selecionados para a modelagem tridimensional. A superfície
25
irregular da ponte é baseada em um processo randômico ao longo da direção transversal do
pavimento. Os resultados indicam que os valores do fator de impacto induzidos pelas cargas
elevadas são, geralmente, menores do que aqueles indicados pela “American Association of
State Higwhay and Transportation Officials Specification” [28 e 29].
Em 2003, Nassif e Liu [30] analisaram a resposta dinâmica de pontes, empregando
um modelo 3D para a avaliação da interação ponte-pavimento-veículo. As viaturas são
idealizadas como sistemas tri-dimensionais com onze graus de liberdade, possuindo um
conjunto de suspensões e pneus de comportamento não-linear. As irregularidades do
pavimento são geradas através de um processo Gaussiano randômico. Os resultados
mostram que o fator de amplificação dinâmico é fortemente dependente da qualidade da
superfície do pavimento, da suspensão do veículo e da geometria da ponte.
Em 2004, Law e Zhu [31 e 32] apresentaram dois trabalhos, nos quais avaliam o
comportamento de pontes submetidas à passagem de veículos. Em [31], é analisado o
comportamento dinâmico de pontes de concreto armado danificadas submetidas à
passagem de veículos. Estes são modelados como massas se deslocando sobre o tabuleiro
da ponte ou como sistemas com quatro graus de liberdade. Os efeitos de diversos
parâmetros, como a velocidade dos veículos e qualidade da superfície do pavimento, são
considerados em suas análises. Em [32], o comportamento dinâmico de tabuleiros contínuos
com seção não-uniforme, sobre apoios elásticos, submetidos à passagem de veículos, é
avaliado. Nesta análise, é considerada a interação entre a estrutura, a irregularidade do
pavimento e os veículos, sendo estes modelados como cargas móveis com espaçamento
fixo. O efeito da frenagem dos veículos sobre a ponte também é considerado neste trabalho.
Em 2006, Almeida [33] desenvolveu uma análise paramétrica da resposta dinâmica,
deslocamentos e esforços, de pontes rodoviárias, devido a travessia de veículos de diversos
tipos sobre um pavimento irregular. A variação da velocidade dos veículos gerou espectros
de resposta dinâmica para modelos estruturais isostáticos, com e sem balanços nas
extremidades, para seções estruturais do tipo caixão em concreto armado.
Neste trabalho, geram-se análises de projetos reais de pontes rodoviárias em
concreto armado, avaliando a influência da qualidade do pavimento na magnitude da
resposta dinâmica da estrutura.
1.3. Objetivos
Comparar os resultados obtidos com a simplificação proposta pela NBR 7187 (2003)
[1] com aquelas obtidas pela análise considerando a interação veículo-ponte com
interferência das irregularidade superficiais, definidas por um modelo não-determinístico.
26
Aplicar veículos da NBR 7188 (1984) [34] em uma análise dinâmica, dando
prosseguimento à investigação anterior de Almeida [33]. Utilizar modelos com dois e três
eixos, de modo a se obter uma comparação qualitativa e quantitativa entre os efeitos
dinâmicos (deslocamentos e esforços) obtidos com os preconizados pela NBR 7187 (2003)
[1], através de seu coeficiente de impacto.
Desenvolver uma análise paramétrica extensa de modo a avaliar o efeito da
deterioração e ausência de manutenção dos pavimentos utilizando-se três tipos distintos de
qualidade do pavimento, simulando irregularidades superficiais, a saber: excelente, média e
ruim.
1.4. Escopo do Trabalho
Com o objetivo de organizar o desenvolvimento e atingir os objetivos deste trabalho,
apresentando as metodologias, filosofias e procedimentos utilizados, este trabalho
apresenta estrutura a seguir.
O presente capítulo, apresenta-se uma introdução ao assunto. Inicialmente, mostra-
se a sua relevância e o atual estágio de desenvolvimento da análise estrutural. Apresenta-se
a situação do assunto, citando-se os trabalhos que foram base de desenvolvimento, com
seus respectivos autores, que contribuíram para o conhecimento da análise dinâmica de
pontes e viadutos. A seguir, são apresentados os objetivos a serem alcançados neste
estudo. Por fim, é mostrado como este texto se encontra estruturado, fazendo-se uma breve
apresentação de cada capítulo presente no mesmo.
No capítulo dois, são apresentados os modelos matemáticos de carregamento
adotados neste trabalho para a realização das análises dinâmicas das pontes. Faz-se uma
breve apresentação de alguns conceitos da teoria das vibrações. A seguir, é feita, para cada
modelo de carregamento, a dedução das equações de movimento e é formulada a
respectiva equação característica. É apresentado ainda o procedimento para o cálculo das
freqüências naturais e dos modos naturais de vibração.
No capítulo três, apresenta-se, de forma resumida, a formulação do modelo
matemático do sistema veículo-ponte, para cada modelo de veículo apresentado no capítulo
dois. Apresenta-se a formulação do modelo matemático da viga da ponte, sem o
carregamento dos veículos. Posteriormente, é apresentado o modelo da ponte carregada,
denominado sistema veículo-ponte, fazendo-se a formulação de suas matrizes de massa,
rigidez e amortecimento, e apresentando-se como são realizadas as alterações nas mesmas
e quando o(s) veículo(s) se desloca(m) sobre o tabuleiro.
27
No capítulo quatro, são definidos os valores das propriedades dos modelos
apresentados nos capítulos dois e três. Alguns destes valores foram adotados com base na
pesquisa de diversos trabalhos científicos pertinentes ao assunto aqui estudado, e os
demais foram obtidos por meio de cálculo, baseando-se na teoria das vibrações.
No capítulo cinco, são apresentados os resultados de diversas análises, de
autovalores e autovetores, estáticas e dinâmicas, empregando-se o programa
computacional GDYNABT [36], apresentado no Capítulo 05, com o objetivo de se validar os
resultados gerados pelo mesmo. Nestas análises, são empregados exemplos existentes em
artigos científicos e na literatura técnica, cujos resultados já são previamente conhecidos.
No capítulo seis, apresentam-se os resultados obtidos em todas as análises
propostas por este estudo. Inicialmente, são mostrados os dados gerados nas análises de
autovalores e autovetores. Em seguida, apresentam-se então os resultados obtidos nas
análises dinâmicas, necessários para se atingir os objetivos deste estudo.
No capítulo sete, faz-se a conclusão deste estudo, apresentando-se ainda,
sugestões para continuação do trabalho aqui desenvolvido.
2. Modelos Matemáticos dos Veículos
2.1. Introdução
Um modelo matemático é um sistema, um conjunto de equações matemáticas que
descreve, aproximadamente, as características de um fenômeno físico. Em outras palavras,
modelo matemático é um conjunto de relações matemáticas que traduz de forma
simplificada um fenômeno físico, uma situação real.
Os modelos matemáticos dos veículos adotados neste trabalho procuram justamente
representar de forma mais realística os veículos de Norma Brasileira, segundo os quais as
pontes e viadutos são dimensionados. Estes são modelos discretos bidimensionais
constituídos por conjuntos de massas, molas e amortecedores.
Para este estudo, foram utilizados dois modelos de veículos da NBR 7188 (1984)
[34]. O primeiro tem dois eixos e três massas, com quatro graus de liberdade, sendo três de
translação vertical e uma de rotação no plano. Este modelo de veículo desenvolvido por
Almeida [33] representa aproximadamente o veículo TB-12 e neste trabalho é tratado como
Modelo de Veículo I (MV-I). Já o segundo modelo tem três eixos e quatro massas, com
cinco graus de liberdade, sendo quatro de translação vertical e um de rotação no plano. Este
veículo, denominado como Modelo de Veículo II (MV-II), representa fielmente o TB-45 na
Norma Brasileira. Cada um destes modelos é definido e analisado separadamente a seguir,
explicitando-se suas equações de movimento e característica.
Inicialmente, porém, é feita uma apresentação breve da teoria das vibrações de
sistemas discretos, onde são expostos alguns conceitos fundamentais para a formulação
das equações de cada modelo de veículo empregado.
2.2. Equação Diferencial de Movimento
A equação diferencial de movimento de um sistema discreto com, um ou mais graus
de liberdade pode ser deduzida a partir da elaboração de seu diagrama de corpo livre
(DCL), onde o sistema em estudo é isolado de sua vizinhança e são aplicadas todas as
forças atuantes no mesmo.
A seguir, é feita a formulação desta equação para um sistema com um grau de
liberdade. Posteriormente, faz-se a generalização para sistemas com vários graus de
liberdade, empregando-se uma notação matricial.
29
O sistema com um grau de liberdade aqui empregado é um oscilador simples,
constituído por uma massa, uma mola e um amortecedor, apresentado na Figura 2.1a. As
hipóteses para este modelo são:
A mola possui massa desprezível;
As forças exercidas pela mola e pelo amortecedor são proporcionais ao deslocamento e
a velocidade, respectivamente;
O atrito entre a massa do sistema e a superfície é nulo, de forma que o único elemento
de dissipação de energia do sistema é o amortecedor.
(a) (b)
Figura 2.1 - (a) Oscilador simples; (b) Diagrama de corpo livre do oscilador simples
Com o DCL obtemos as seguintes equações, observadas as proporcionalidades
inércia-aceleração, amortecedor-velocidade e mola-deslocamento:
umf
i
&&
=
ucf
a
&
=
kuf
e
=
(2.1)
onde,
i
f
- força de inércia atuante na massa do sistema;
a
f
- força de amortecimento exercida pelo amortecedor;
e
f
- força elástica exercida pela mola;
()
tf
- força externa atuante na massa do sistema.
Aplicando-se o Princípio de D’Alembert e fazendo do equilíbrio das forças, obtém-se
a equação:
()
tfkuucum =++
&&&
(2.2)
30
A equação (2.2) é a equação diferencial de movimento do sistema, que é do tipo
ordinária, de segunda ordem, linear, não-homogênea e com coeficientes constantes.
Considerando-se este sistema sob vibração livre sem amortecimento, sua equação
de movimento fica:
0kuum =+
&&
(2.3)
A análise de vibração livre sem amortecimento em sistemas dinâmicos é de suma
importância, pois desta forma é possível se determinar duas propriedades fundamentais
intrínsecas ao sistema: suas freqüências naturais e seus modos naturais de vibração.
A solução da equação (2.3) é dada por:
()
tωcos uu
0
=
()
tωcos uωu
0
2
0
=
&&
(2.4a)
(2.4b)
onde,
u
- amplitude do deslocamento do sistema;
0
ω
- freqüência natural circular do sistema.
Substituindo-se a equação (2.4a) e sua segunda derivada (2.4b) na equação (2.3),
obtém-se a equação:
0u mωk-
2
0
=
(2.5)
A condição para a obtenção da solução não trivial da equação (2.5) prevém da
equação:
0ωk-m
2
0
-1
=
(2.6)
Esta equação é denominada de equação característica do sistema, da qual se obtém
a freqüência natural circular do mesmo, dada por:
m
k
ω
0
=
(2.7)
31
Para sistemas com vários graus de liberdade, as equações de movimento e
característica são dadas, respectivamente, na forma matricial, por:
()
tFKUUCUM =++
&&&
(2.8)
0IKM =−
−
i
2
0
1
ω
(2.9)
onde,
KCM e ,
- matriz de massa, matriz de amortecimento e matriz de rigidez do
sistema, respectivamente;
UUU e ,
&&&
- vetor de acelerações, vetor de velocidades e vetor de deslocamentos
do sistema, respectivamente;
()
tF
- vetor de cargas externas;
i
0
ω
- freqüência natural circular do i-ésimo modo de vibração do sistema.
Calculando-se o determinante do lado esquerdo da equação (2.9), obtém-se uma
equação polinomial em
2
0
ω , cujo grau é igual ao número de graus de liberdade do sistema.
As raízes desta equação são o quadrado das freqüências naturais circulares do mesmo.
As freqüências naturais circulares e os modos de vibração também podem ser
obtidos, respectivamente, pela raiz quadrada dos autovalores e pelos autovetores do
produto matricial M
-1
K. Esta forma de cálculo se apresenta bastante conveniente em se
tratando de uma implementação computacional, devido à facilidade de se trabalhar com
vetores e matrizes em uma linguagem de programação de alto nível.
2.3. Modelos Matemáticos
A seguir, são apresentados os modelos matemáticos dos veículos adotados neste
trabalho, para a realização das análises dinâmicas propostas.
2.3.1. Modelo de Veículo I (MV-I)
O Modelo de Veículo I (MV-I), que também constitui um sistema massa-mola-
amortecedor, se baseia no veículo TB-12 (Figura 6.5) preconizado pela Norma Brasileira
NBR 7188 (1984) [34]. Porém, é importante ressaltar que este embasamento diz respeito
apenas às dimensões e ao número de eixos do veículo, pois a referida norma considera que
32
o carregamento imposto pelo mesmo é constituído por um par de forças concentradas que
apresentam módulos constantes e iguais a 4t e 8t para o eixo dianteiro e traseiro,
respectivamente, ao longo do tempo. O MV-I, apresentado na Figura 2.2, possui dois eixos,
como já exposto, uma massa suspensa e duas massas não-suspensas. O significado da
massa suspensa,
m
s
, é representar a massa dos chassis, a da carroceria e a da carga que o
veículo pode carregar. As massas não-suspensas,
m
ns1
e m
ns2
, representam as massas dos
pneus, rodas e amortecedores. Os conjuntos mola-amortecedor superiores,
k
vs1
, c
vs1
e k
vs2
,
c
vs2
, representam a rigidez e o amortecimento da suspensão. Os conjuntos mola-
amortecedor inferiores,
k
vp1
, c
vp1
e k
vp2
, c
vp2
, representam a rigidez e o amortecimento dos
pneus. Este modelo apresenta quatro graus de liberdade, sendo estes os movimentos
vertical e de rotação no próprio plano da massa suspensa, descritos, respectivamente, pelas
coordenadas
u
v
e θ
v
, e os movimentos verticais das duas massas não-supensas, dados
pelas coordenadas
u
1
e u
2
.
Figura 2.2 - Modelo de veículo I
Por possuir quatro graus de liberdade, este modelo de veículo tem seu movimento
descrito por quatro equações diferenciais de movimento. Para a formulação destas
equações, inicialmente, determinam-se as forças e os momentos que atuam nas massas do
veículo analisando-se os diagramas de corpo livre de forças e de momentos, apresentados
nas Figuras 2.3 e 2.4, respectivamente.
33
Figura 2.3 – Diagrama de corpo livre de forças do modelo de veículo I
Figura 2.4 – Diagrama de corpo livre de momentos do modelo de veículo I
Estas forças e momentos são dados pelas equações (2.10) e (2.11), a seguir:
Equações de Forças:
()
vsm i
umf
s
&&
=
()
11nsm i
umf
1ns
&&
=
()
22nsm i
umf
2ns
&&
=
()
(
)
1v1vst1as
uucf
&&
−=
()
(
)
2v2vst2as
uucf
&&
−
=
()
v1vsr1as
θd cf
&
=
()
v2vsr2as
θd cf
&
=
()
(
)
1v1vst1es
uukf
−
=
()
()
2v2vst2es
uukf −
=
(2.10)
()
v1vsr1es
dθ kf =
()
v2vsr2es
dθ kf
=
11vp1ap
ucf
&
=
22vp2ap
ucf
&
=
11vp1ep
ukf
=
22vp2ep
ukf
=
34
onde,
()
sm i
f
- força de inércia atuante na massa suspensa;
()
1nsm i
f
- força de inércia atuante na massa não-suspensa 01;
()
2nsm i
f
- força de inércia atuante na massa não-suspensa 02;
()
t1as
f
- força de amortecimento exercida pela suspensão 01 devido a velocidade
relativa entre a massa suspensa e a massa não-suspensa 01;
()
t2as
f
- força de amortecimento exercida pela suspensão 02 devido velocidade
relativa entre a massa suspensa e a massa não-suspensa 02;
()
r1as
f
- força de amortecimento exercida pela suspensão 01 devido a velocidade
angular da massa suspensa;
()
r2as
f
- força de amortecimento exercida pela suspensão 02 devido a velocidade
angular da massa suspensa;
()
t1es
f
- força elástica exercida pela suspensão 01 devido ao deslocamento
relativo de translação entre a massa suspensa e a massa não-suspensa
01;
()
t2es
f
- força elástica exercida pela suspensão 02 devido ao deslocamento
relativo de translação entre a massa suspensa e a massa não-suspensa
02;
()
r1es
f
- força elástica exercida pela suspensão 01 devido ao deslocamento
angular da massa suspensa;
()
r2es
f
- força elástica exercida pela suspensão 02 devido ao deslocamento
angular da massa suspensa;
1ap
f
- força de amortecimento exercida pelos pneus 01 devido a velocidade da
massa não-suspensa 01;
2ap
f
- força de amortecimento exercida pelos pneus 02 devido a velocidade da
massa não-suspensa 02;
1ep
f
- força elástica exercida pelos pneus 01 devido ao deslocamento de
translação da massa não-suspensa 01;
2ep
f
- força elástica exercida pelos pneus 02 devido ao deslocamento de
translação da massa não-suspensa 02;
35
Equações de Momentos:
()
vvm i
θIm
s
&&
=
()
(
)
duucm
1v1vst1as
&&
−
=
()
()
duucm
2v2vst2as
&&
−=
()
v
2
1vsr1as
θdcm
&
=
()
v
2
2vsr2as
θdcm
&
=
()
()
duukm
1v1vst1es
−=
(2.11)
()
()
d
uukm
2v2vst2es
−=
()
v
2
1vsr1es
θdkm =
()
v
2
2vsr2es
θdkm =
onde,
()
sm i
m
- momento atuante na massa suspensa devido a sua aceleração angular;
()
t1as
m
- momento da força
()
t1as
f
em relação ao CM da massa suspensa;
()
t2as
m
- momento da força
()
t2as
f em relação ao CM da massa suspensa;
()
r1as
m
- momento da força
()
r1as
f
em relação ao CM da massa suspensa;
()
r2as
m
- momento da força
()
r2as
f em relação ao CM da massa suspensa;
()
t1es
m - momento da força
()
t1es
f em relação ao CM da massa suspensa;
()
t2es
m
- momento da força
()
t2es
f em relação ao CM da massa suspensa;
()
r1es
m
- momento da força
()
r1es
f em relação ao CM da massa suspensa;
()
r2es
m
- momento da força
()
r2es
f em relação ao CM da massa suspensa.
Uma vez definidos as forças e os momentos atuantes nas massas do veículo, efetua-
se o equilíbrio, aplicando-se o Princípio de D’Alembert, obtêm-se assim as seguintes
equações de movimento:
Equação associada ao deslocamento da massa suspensa:
(
)
(
)()
()
0dθkuuk
kuukθdcuucθdcuucum
v2vs2v2vs
1
vs1v1vsv2vs2v2vsv1vs1v1vsvs
=+−+
−−++−+−−+
&
&&
&
&&&&
(2.12)
36
Equação associada à rotação da massa suspensa:
()
(
)()
()
0θdkduukθdk
duuk θdc duuc θdcduucθI
v
2
2vs2v2vsv
2
1vs
1v1vsv
2
2vs2v2vsv
2
1vs1v1vsvv
=+−++
+−−+−++−−
&
&&
&
&&
&&
(2.13)
Equação associada ao deslocamento da massa não suspensa 1:
()
(
)
0dθkuukukθdcuucucum
v1vs1v1vs11vpv1vs1v1vs11vp11ns
=+−−++−−+
&
&&&&&
(2.14)
Equação associada ao deslocamento da massa não suspensa 2:
()
(
)
0dθk
uukukθdcuucucum
v2vs
2v2vs22vpv2vs2v2vs22vp22ns
=−
−−−+−−−+
&
&&&&&
(2.15)
Este sistema de equações é dito acoplado, pois as funções de deslocamento e suas
derivadas estão presentes em mais de uma das equações (2.12) a (2.15), de tal forma que o
deslocamento em determinado grau de liberdade influencia no deslocamento em outro grau
de liberdade.
Colocando-se as acelerações, velocidades e deslocamentos em evidência, e
escrevendo o sistema de equações resultante na forma matricial obtêm-se:
()
() ()
()
() ()
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−+−
+−
+−
+−−−+
+
+
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−+−
−+−
+−
+−−−+
+
+
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
0
0
0
θ
u
u
u
d kkdkdkd kk
dk-kk0k
dk0kkk
d kkkkkk
θ
u
u
u
d ccdcdcd cc
dccc0c
dc0ccc
d cccccc
θ
u
u
u
I00
0
0m00
00m0
000m
v
2
1
v
2
2vs1vs2vs1vs2vs1vs
2vs2vp2vs2vs
1vs1vp1vs1vs
2vs1vs2vs1vs2vs1vs
v
2
1
v
2
2vs1vs2vs1vs2vs1vs
2vs2cp2vs2vs
1vs1vp1vs1vs
2vs1vs2vs1vs2vs1vs
v
2
1
v
v
2ns
1ns
s
&
&
&
&
&&
&&
&&
&&
(2.16)
Assim como para a dedução da equação diferencial do movimento, o sistema de
equações de movimento assume a forma:
0UKUCUM
VVVVVV
=++
&&&
(2.17)
37
onde,
VVV
K e C ,M
- matriz de massa, matriz de amortecimento e matriz de rigidez do
veículo, respectivamente;
VVV
U e U ,U
&&&
- vetor de acelerações, vetor de velocidades e vetor de
deslocamentos do veículo, respectivamente.
Para o cálculo das freqüências naturais e dos modos de vibração deste modelo de
veículo, considera-se o mesmo sob vibração livre sem amortecimento. Assim, o sistema de
equações de movimento na forma matricial fica:
()
() ()
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−+−
+−
+−
+−−−+
+
+
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
0
0
0
θ
u
u
u
d kkdkdkd kk
dk-
kk0k
dk0kkk
d kkkkkk
θ
u
u
u
I000
0m00
00m0
000m
v
2
1
v
2
2vs1vs2vs1vs2vs1vs
2vs2vp2vs2vs
1vs1vp1vs1vs
2vs1vs2vs1vs2vs1vs
v
2
1
v
v
2ns
1ns
s
&&
&&
&&
&&
(2.18)
A equação característica deste sistema, conforme apresentado na seção 2.2, é:
0IωKM
2
0V
1
V
=−
−
(2.19)
Se a equação (2.19) for desenvolvida, calculando-se o determinante do lado
esquerdo desta, obter-se-á uma equação polinomial do quarto grau bastante extensa. As
quatro raízes desta equação são as freqüências naturais circulares do sistema, elevadas ao
quadrado. Conforme já exposto, o cálculo algébrico desta equação se apresenta muito
pouco prática em se tratando de uma implementação computacional. Desta forma, é mais
interessante a determinação das freqüências naturais e dos modos de vibração pelo cálculo
numérico dos autovalores e autovetores do produto M
V
-1
K
V
.
38
2.3.2.Modelo de Veículo II (MV-II)
Este é o modelo de veículo mais complexo empregado neste trabalho, pois é o que
apresenta o maior número de graus de liberdade entre os considerados, com um total de
cinco. Este modelo, que pode ser visto na Figura 2.5, é baseado no veículo Tipo 45 (Figura
6.5) da Norma Brasileira NBR 7188 (1984) [34]. Ressalva feita quanto ao carregamento de
norma ser considerado como três forças concentradas, que apresentam módulos constantes
e iguais a 15t por eixo, ao longo do tempo. Mais uma vez, o veículo é modelado como um
sistema massa-mola-amortecedor, possuindo três eixos, uma massa suspensa,
m
s
, três
massas não-suspensas,
m
ns1
, m
ns2
e m
ns3
, três conjuntos mola-amortecedor superiores,
k
vs1
,c
vs1
, k
vs2
,c
vs2
e k
vs3
,c
vs3
, e mais três conjuntos mola-amortecedor inferiores, k
vp1
,c
vp1
,
k
vp2
,c
vp2
e k
vp3
,c
vp3
, com os mesmos significados considerados para o modelo II.
Figura 2.5 - Modelo de veículo II
Por apresentar cinco graus de liberdade, este modelo de veículo tem seu movimento
descrito por cinco equações diferenciais de movimento. Estas equações são deduzidas a
partir da consideração dos diagramas de corpo livre de forças e momentos, apresentados
nas Figuras 2.6 e 2.7, respectivamente.
39
Figura 2.6 – Diagrama de corpo livre de forças do modelo de veículo II
Figura 2.7 – Diagrama de corpo livre de momentos do modelo de veículo II
Com base nestes diagramas, as equações de forças e de momentos atuantes neste sistema
são:
Equações de Força:
()
vsm i
umf
s
&&
=
()
11nsm i
umf
1ns
&&
=
()
22nsm i
umf
2ns
&&
=
()
33nsm i
umf
3ns
&&
=
()
(
)
1v1vst1as
uucf
&&
−
=
()
(
)
2v2vst2as
uucf
&&
−
=
()
(
3v3vst3as
uucf
&&
−=
()
v1vsr1as
θd cf
&
=
()
v3vsr3as
θd cf
&
=
(2.20)
()
(
)
1v1vst1es
uukf −=
()
(
)
2v2vst2es
uukf
−
=
()
(
)
3v3vst3es
uukf −
=
()
v1vsr1es
dθ kf =
()
v3vsr3es
dθ kf
=
11vp1ap
ucf
&
=
40
22vp2ap
ucf
&
=
33vp3ap
ucf
&
=
11vp1ep
ukf
=
(2.20)
22vp2ep
ukf =
33vp3ep
ukf
=
onde,
()
sm i
f
- força de inércia atuante na massa suspensa;
()
1nsm i
f
- força de inércia atuante na massa não-suspensa 01;
()
2nsm i
f
- força de inércia atuante na massa não-suspensa 02;
()
3nsm i
f
- força de inércia atuante na massa não-suspensa 03;
()
t1as
f
- força de amortecimento exercida pela suspensão 01 devido a velocidade
relativa entre a massa suspensa e a massa não-suspensa 01;
()
t2as
f
- força de amortecimento exercida pela suspensão 02 devido velocidade
relativa entre a massa suspensa e a massa não-suspensa 02;
()
t3as
f
- força de amortecimento exercida pela suspensão 03 devido velocidade
relativa entre a massa suspensa e a massa não-suspensa 03;
()
r1as
f
- força de amortecimento exercida pela suspensão 01 devido a velocidade
angular da massa suspensa;
()
r3as
f
- força de amortecimento exercida pela suspensão 03 devido a velocidade
angular da massa suspensa;
()
t1es
f
- força elástica exercida pela suspensão 01 devido ao deslocamento
relativo de translação entre a massa suspensa e a massa não-suspensa
01;
()
t2es
f
- força elástica exercida pela suspensão 02 devido ao deslocamento
relativo de translação entre a massa suspensa e a massa não-suspensa
02;
()
t3es
f
- força elástica exercida pela suspensão 03 devido ao deslocamento
relativo de translação entre a massa suspensa e a massa não-suspensa
03;
()
r1es
f
- força elástica exercida pela suspensão 01 devido ao deslocamento
angular da massa suspensa;
()
r3es
f
- força elástica exercida pela suspensão 03 devido ao deslocamento
angular da massa suspensa;
41
1ap
f
- força de amortecimento exercida pelos pneus 01 devido a velocidade da
massa não-suspensa 01;
2ap
f
- força de amortecimento exercida pelos pneus 02 devido a velocidade da
massa não-suspensa 02;
3ap
f
- força de amortecimento exercida pelos pneus 03 devido a velocidade da
massa não-suspensa 03;
1ep
f
- força elástica exercida pelos pneus 01 devido ao deslocamento de
translação da massa não-suspensa 01;
2ep
f
- força elástica exercida pelos pneus 02 devido ao deslocamento de
translação da massa não-suspensa 02;
3ep
f
- força elástica exercida pelos pneus 03 devido ao deslocamento de
translação da massa não-suspensa 03;
Equações de Momento:
()
vvm i
θIm
s
&&
=
()
(
)
duucm
1v1vst1as
&&
−
=
()
()
duucm
3v3vst3as
&&
−=
()
v
2
1vsr1as
θdcm
&
=
()
v
2
3vsr3as
θdcm
&
=
()
()
duukm
1v1vst1es
−=
(2.21)
()
()
duukm
3v3vst3es
−=
()
v
2
1vsr1es
θdkm =
()
v
2
3vsr3es
θdkm =
onde,
()
sm i
m
- momento atuante na massa suspensa devido a sua aceleração angular;
()
t1as
m - momento da força
()
t1as
f em relação ao CM da massa suspensa;
()
t3as
m
- momento da força
()
t3as
f
em relação ao CM da massa suspensa;
()
r1as
m
- momento da força
()
r1as
f em relação ao CM da massa suspensa;
()
r3as
m
- momento da força
()
r3as
f em relação ao CM da massa suspensa;
()
t1es
m - momento da força
()
t1es
f em relação ao CM da massa suspensa;
()
t3es
m - momento da força
()
t3es
f em relação ao CM da massa suspensa;
42
()
r1es
m
- momento da força
()
r1es
f em relação ao CM da massa suspensa;
()
r3es
m
- momento da força
()
r3es
f
em relação ao CM da massa suspensa.
Conhecidas as forças e os momentos que atuam nas quatro massas que constituem
este modelo de veículo, aplica-se o equilíbrio, considerando-se o Princípio de D’Alembert,
obtendo assim a cinco equações de movimento:
Equação relativa ao deslocamento da massa suspensa
(
)
(
)
(
)
() ()()
0dθkuukuukdθkuuk
θdcuucuucθdcuucum
v3vs3v3vs2v2vsv1vs1v1vs
v3vs3v3vs2v2vsv1vs1v1vsvs
=+−+−+−−+
++−+−+−−+
&
&&&&
&
&&&&
(2.22)
Equação relativa à rotação da massa suspensa
()
(
)()
()
0 θdkduukθdk
uukθdcduucθdcduuc θI
v
2
3vs3v3vsv
2
1vs
1v1vsv
2
3vs3v3vsv
2
1vs1v1vsvv
=+−++
−−+−++−−
&
&&
&
&&
&&
(2.23)
Equação relativa ao deslocamento da massa não suspensa1
()
(
)
dθkuukukθdcuucucum
v1vs2v1vs11vpv1vs1v1vs11vp11ns
=
+−−++−−+
&
&&&&&
(2.24)
Equação relativa ao deslocamento da massa não suspensa 2
()
(
)
0uukukuucucum
2v2vs22vp2v2vs22vp22ns
=
−
−
+
−
−+
&&&&&
(2.25)
Equação relativa ao deslocamento da massa não suspensa 3
()
(
)
d
θ
kuukukθdcuucucum
3vs3v3vs33vpv3vs3v3vs33vp33ns
−−−+−−−+
&
&&&&&
(2.26)
Assim como para os sistemas de equações do modelo de veículo, este sistema de
equações diferenciais também é dito acoplado, pois as funções
u
v
, u
1
, u
2
e u
3
, e suas
derivadas, aparecem em mais de uma das equações (2.22) a (2.26).
Colocando os deslocamentos, velocidades e acelerações em evidência, este sistema
de equações, na forma matricial, é escrito como:
43
()
() ()
()
() ()
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
θ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
++−+−
+−
+−
+−
−+−−−−++
+
+
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
θ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
++−
+−
+−
+−
+−
−+−−−−++
+
+
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
θ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
0
0
0
u
u
u
u
dkkkdkdkdkdkkk
dkkk00k
dk0kk0k
dk00kkk
dkkkkkkkk
k
u
u
u
u
dcccdcdcdcdccc
dccc00c
dc0cc0c
dc00ccc
dccccccccc
u
u
u
u
I0000
0m000
00m00
000m0
0000m
v
3
2
1
v
2
3vs2vs1vs3vs2vs1vs3vs2vs1vs
3vs3vp3vs3vs
2vs2vp2vs2vs
1vs1vp1vs1vs
3vs2vs1vs3vs2vs1vs3vs2vs1vs
v
3
2
1
v
2
3vs2vs1vs3vs2vs1vs3vs2vs1vs
3vs3vp3vs3vs
2vs2
vp2vs2vs
1vs1vp1vs1vs
3vs2vs1vs3vs2vs1vs3vs2vs1vs
v
3
2
1
v
v
1ns
1ns
1ns
s
&
&
&
&
&
&&
&&
&&
&&
&&
(2.27)
Novamente, o sistema de equações que descreve o movimento do sistema assume a
forma:
0UKUCUM
VVVVVV
=++
&&&
(2.28)
onde,
VVV
K e C ,M
- matriz de massa, matriz de amortecimento e matriz de rigidez do
veículo, respectivamente;
VVV
U e U ,U
&&&
- vetor de acelerações, vetor de velocidades e vetor de
deslocamentos do veículo, respectivamente.
Para a determinação das freqüências naturais e dos modos de vibração do modelo
de veículo II, considera-se o mesmo sob vibração livre sem amortecimento. Nesta situação,
a equação de movimento passa a ser simplesmente:
44
()
() ()
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
θ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
++−+−
+−
+−
+−
−+−−−−++
+
+
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
θ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
0
0
0
u
u
u
u
dk
kkdkdkdkdkkk
dkkk00k
dk0kk0k
dk00kkk
dkkkkkkkkk
u
u
u
u
I0000
0m000
00m00
000m0
0000m
v
3
2
1
v
2
3vs2vs1vs3vs2vs1vs3vs2vs1vs
3vs3vp3vs3vs
2vs2vp2vs2vs
1vs1vp1vs1vs
3vs2vs1vs3vs2vs1vs3vs2vs1vs
v
3
2
1
v
v
1ns
1ns
1ns
s
&&
&&
&&
&&
&&
(2.29)
A equação característica deste modelo de veículo é:
0IωKM
2
0V
1
V
=−
−
(2.30)
As freqüências naturais circulares e os modos de vibração são obtidos pelos
autovalores e autovetores do produto M
V
-1
K
V
, respectivamente.
45
3. Modelagem do Sistema Veículo-Ponte
3.1. Generalidades
Neste capítulo, é apresentado o modelo matemático do sistema veículo-ponte
proposto por Silva [24 e 25] e Almeida [33], que procura representar o comportamento
conjunto do tabuleiro da ponte rodoviária quando esta é atravessada por um ou mais
veículos, para diferentes condições de qualidade do pavimento.
Inicialmente, apresenta-se como são modelados os tabuleiros das pontes
rodoviárias, empregando-se técnicas de elementos finitos. Em seguida, mostra-se a
modelagem numérica das irregularidades do pavimento, segundo um modelo não-
determinístico. Por fim, apresenta-se, em detalhes, a modelagem do sistema veículo-
ponte, no que diz respeito às suas matrizes de massa, amortecimento e rigidez, seu
vetor de cargas nodais equivalentes e suas equações de movimento.
3.2. Pontes Rodoviárias
O tabuleiro das pontes rodoviárias é modelado neste trabalho utilizando-se
elementos finitos de viga unidimensional, de acordo com a teoria do Método dos
Elementos Finitos (MEF). Cada elemento finito que participa da discretização da ponte
possui, portanto, dois graus de liberdade por nó, tendo, então, quatro graus de
liberdade no total (dois graus de translação vertical e dois graus de rotação no próprio
plano), conforme Figura 3.1. A inércia de rotação e a deformação por cisalhamento
não são consideradas.
12
4
3
L
Figura 3.1 – Modelo de elemento de viga unidimensional
A massa do tabuleiro encontra-se concentrada nos nós dos elementos finitos,
sendo que em cada nó estará concentrada a metade da massa correspondente ao
46
elemento finito que converge ao mesmo. Os nós restritos, ou seja, localizados nos
pontos de apoio da estrutura, não recebem massa.
Figura 3.2 – Distribuição da Massa nos Elementos Finitos
Onde:
m: é a massa por unidade de comprimento da viga;
L: é o comprimento da viga;
Todos os apoios da estrutura são modelados como rígidos. A seção transversal
é do tipo múltiplas vigas “T” e seu momento de inércia em relação à linha neutra pode
variar ao longo do comprimento do tabuleiro. Neste estudo considera-se as seções
transversais constantes.
Na Figura 3.3, apresenta-se o modelo de uma ponte biapoiada, com balanços
nas extremidades, discretizada por n nós (numeração acima do eixo da viga na
Figura), que geram n-1 elementos finitos de viga (numeração abaixo do eixo da viga
na Figura).
Figura 3.3 – Modelo de uma ponte em elementos finitos com seus nós e elementos
Na Figura 3.4, apresenta-se o modelo desta mesma ponte, entretanto realçam-
se suas atribuições para entrada no programa. Demonstra-se o modo como as
massas são concentradas nos nós do modelo que estão vinculados a grau de
liberdade de deslocamento vertical, já que conforme foi explicado anteriormente, a
inclusão das massas sobre os apoios no processamento não traz melhoria no
resultado do processamento, apenas incorrendo em maior tempo computacional.
Figura 3.4 – Modelo de uma ponte em elementos finitos com seus GDL e massas
concentradas
47
Estudam-se neste trabalho dois sistemas estruturais, um em viga contínua e
hiperestática e outra em viga biapoiada com balanços nas extremidades.
3.3. Irregularidades do Pavimento
No que tange à modelagem das irregularidades não-determinísticas, o ponto de
partida desta abordagem é a representação da função das irregularidades, v
b
(x), com
base em seu espectro complexo de Fourier. Assim, a função das irregularidades,
v
b
(x), Figura 3.5, é definida pela equação (3.1).
() ()
∫
ωω=
+∞
∞−
ω
devxv
xi
bb
(3.1)
+v
b
-v
b
v (x)
b
x(m)
X
Figura 3.5 – Irregularidade não-determinística
Adota-se para as irregularidades aleatórias uma distribuição normal e um
processo randômico fracamente estacionário de segunda ordem. Deste modo, chega-
se a uma relação entre a média quadrática da distribuição das irregularidades, E[v
b
2
], e
sua densidade espectral,
()
ω
bb
vv
Φ , avaliado em medição no campo, expressa pela
equação (3.2):
[]
()
∫
ωωΦ=
+∞
∞−
dvE
bb
vv
2
b
(3.2)
Como modelo matemático adota-se, para representação da densidade
espectral das irregularidades, a função exponencial proposta por [9 e 10], utilizada
também por outros autores [8, 12, 13, 14, 15 e 16], dada pela equação (3.3):
48
() ( )
w
0
0vv
bb
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ω
ω
ωΦ=ωΦ
(3.3)
onde:
Φ(ω
0
) - coeficiente de amplitude, função da qualidade do pavimento e de ω
0;
ω
0
-
freqüência básica das irregularidades, igual a 1 m
-1
;
w
-
ondulabilidade da pista.
Para avaliação dos parâmetros que descrevem a densidade espectral das
irregularidades, equação (3.3), utiliza-se a classificação das irregularidades do
pavimento proposta por [9 e 10], segundo os valores da função
(
)
0
ω
Φ
, mostrada na
Tabela 3.1. Este coeficiente de amplitude representa o volume das irregularidades em
relação a uma superfície perfeitamente plana, sendo seus valores expressos em
cm³/m para uma freqüência básica das irregularidades equivalente a uma por metro e
ondulabilidade da pista igual a dois.
Tabela 3.1 – Classificação das irregularidades do pavimento [9] e [10]
PAVIMENTOS LIMITE
INFERIOR
VALOR MÉDIO LIMITE
SUPERIOR
Excelente 0,5 1
< 2
Bom 2 4
< 8
Médio 8 16
< 32
Ruim 32 64
< 128
Muito Ruim 128 256
< 512
Com a finalidade de gerar um conjunto de amostras de irregularidades, propõe-
se a discretização da função
v
b
(x). Deste modo, aproxima-se a distribuição das
irregularidades por uma série finita de harmônicos, como mostra a expressão (3.4):
()
[]
∑
ϕ−ω=
=
N
1i
iibib
xcosvxv
(3.4)
49
onde:
v
bi
-
amplitude real da parte harmônica;
ω
i
-
freqüência do harmônico i;
ϕ
i
-
ângulo de fase do harmônico i;
N
-
número de harmônicos.
A amplitude da parte harmônica das irregularidades,
v
bi
, é determinada através
da densidade espectral das irregularidades Φ
vbvb
(
ω). Assim:
()
ivvbi
bb
2v ωΦω∆=
(3.5)
Onde ∆ω denota o intervalo de discretização.
Uma vez que o espectro de Φ
vbvb
(
ω) não possui informações sobre os ângulos
de fase dos harmônicos, ϕ
i
, os mesmos são fixados por meio de números gerados
randomicamente.
A fim de ilustrar a forma e amplitude das irregularidades, a seguir são
apresentadas algumas delas, geradas para o caso de irregularidades ruins, médias e
excelentes, para se ter noção das amplitudes utilizadas. No eixo das abscissas estão
representadas, em metros, as coordenadas horizontais ao longo do comprimento da
ponte e no das ordenadas, em milímetros, as amplitudes das irregularidades. Foi
utilizada uma escala deformada para permitir a visualização da natureza randômica
das irregularidades empregadas.
50
-300,00
-200,00
-100,00
0,00
100,00
200,00
300,00
0 5 10 15 20 25 30 35
-300,00
-200,00
-100,00
0,00
100,00
200,00
300,00
0 5 10 15 20 25 30 35
-300,00
-200,00
-100,00
0,00
100,00
200,00
300,00
0 5 10 15 20 25 30 35
-300,00
-200,00
-100,00
0,00
100,00
200,00
300,00
0 5 10 15 20 25 30 35
-300,00
-200,00
-100,00
0,00
100,00
200,00
300,00
0 5 10 15 20 25 30 35
Figura 3.6 – Irregularidades de condição ruim
51
-60,00
-30,00
0,00
30,00
60,00
0 5 10 15 20 25 30 35
-60,00
-30,00
0,00
30,00
60,00
0 5 10 15 20 25 30 35
-90,00
-60,00
-30,00
0,00
30,00
60,00
90,00
0 5 10 15 20 25 30 35
-60,00
-30,00
0,00
30,00
60,00
0 5 10 15 20 25 30 35
-60,00
-30,00
0,00
30,00
60,00
0 5 10 15 20 25 30 35
Figura 3.7 – Irregularidades de condição média
52
-20,00
-10,00
0,00
10,00
20,00
0 5 10 15 20 25 30 35
-20,00
-10,00
0,00
10,00
20,00
0 5 10 15 20 25 30 35
-20,00
-10,00
0,00
10,00
20,00
0 5 10 15 20 25 30 35
-20,00
-10,00
0,00
10,00
20,00
0 5 10 15 20 25 30 35
-20,00
-10,00
0,00
10,00
20,00
0 5 10 15 20 25 30 35
Figura 3.8 – Irregularidades de condição excelente
53
3.4. Sistema Veículo-Ponte
O modelo matemático do sistema veículo-ponte é formulado com o objetivo de
se simular o comportamento do conjunto veículo(s) e tabuleiro. A seguir, são
apresentadas as matrizes de massa, amortecimento e rigidez, e o vetor de cargas
nodais equivalentes, deste sistema, e por fim a formulação de sua equação de
movimento. Na Figura 3.9 pode-se visualisar de modo esquemático a aplicação dos
veículos sobre a ponte num determinado instante de tempo.
Figura 3.9 – Modelo veículo-ponte
3.4.1.Matriz de Massa
Esta é uma matriz diagonal, cujos elementos na diagonal principal são os
valores das massas discretizadas do(s) veículo(s) e da ponte. As primeiras linhas e
colunas desta matriz são reservadas para os valores de massa do(s) veículo(s). Desta
forma, esta matriz é constituída por duas submatrizes, sendo estas a matriz de massa
do(s) veículo(s) e a matriz de massa da ponte.
Considerando-se, por exemplo, um sistema veículo-ponte, com i veículos MV-I
com dois graus de liberdade e n massas discretizadas no tabuleiro, sua matriz de
massa fica:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
pn
2p
1p
nsi
si
1ns
1s
P
V
VP
m00000000
00000000
00m000000
000m00000
0000m0000
00000m000
00000000
0000000m0
00000000m
M0
0M
M
O
O
(3.6)
onde,
54
si
m
- massa suspensa do veículo i;
nsi
m
- massa não suspensa do veículo i;
pn
m
- massa concentrada no nó n da ponte.
V
M
- matriz de massa do(s) veículo(s);
P
M
- matriz de massa da ponte.
Se a ponte possui inércia constante ao longo de seu comprimento, os valores
de
m
p1
até m
pn
são todos iguais entre si; já se a inércia do tabuleiro é variável, então,
os valores destas massas diferem uns dos outros.
Esta matriz não sofre alterações com a travessia do(s) veículo(s) sobre o
tabuleiro da ponte. Portanto, a mesma permanece constante durante a integração das
equações de movimento do sistema veículo-ponte.
3.4.2.Matriz de Rigidez
A matriz de rigidez da ponte,
P
K , é obtida a partir da matriz de rigidez de cada
elemento finito que participa da discretização da mesma, de acordo com a teoria do
Método dos Elementos Finitos.
O elemento finito de viga, com dois graus de liberdade por nó, empregado na
modelagem do tabuleiro, conforme Figura 3.1, possui a seguinte matriz de rigidez
conhecida:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
22
22
3
EF
L4L6-L2L6
L6-12L6-12-
L2L6-L4L6
L612-L612
L
EI
K
(3.7)
onde,
E
- módulo de elasticidade do material que constitui o elemento;
I
- momento de inércia da seção do elemento em relação ao seu eixo neutro;
L
- comprimento do elemento.
Uma vez obtida a matriz de rigidez
K
P
, monta-se a matriz de rigidez do sistema
veículo-ponte,
K
VP
, para o estado inicial deste sistema. Este estado corresponde ao
primeiro eixo do único veículo ou primeiro veículo do comboio posicionado no primeiro
nó da estrutura. No caso de uma ponte biapoiada ou contínua, sem balanços, este
55
eixo estaria, então, sobre o apoio esquerdo do tabuleiro. Já no caso de uma ponte
com balanços, o primeiro eixo do veículo estaria posicionado na extremidade do
balanço esquerdo.
As primeiras linhas e colunas desta matriz são destinadas aos coeficientes de
rigidez do(s) veículo(s). Desta forma, a matriz
K
VP
é constituída por duas submatrizes,
a do(s) veículo(s) e a da ponte, ficando conforme a equação (3.6):
A partir do instante correspondente ao estado inicial, os veículos iniciam seu
deslocamento ao longo do tabuleiro, exercendo um carregamento dinâmico sobre o
mesmo. Durante este deslocamento, as características de rigidez da ponte são
alteradas pelos veículos que se encontram sobre ela, pois conforme já exposto, estes
são tratados como um único sistema. Estas alterações modificam os coeficientes de
rigidez da matriz
K
VP
associados aos nós da viga nos quais os veículos se encontram.
A Figura 3.9 ilustra estas modificações de forma esquemática, para um sistema
veículo-ponte com três veículos simples, com um eixo e uma massa, atravessando
uma ponte biapoiada sem balanços.
Figura 3.10 – Esquema de alteração na matriz de rigidez do sistema veículo-ponte
conforme os veículos atravessam seu tabuleiro
Estes acréscimos, que correspondem ao coeficiente de rigidez do veículo
associado aos pneus, k
VP
, são efetuados somente nos coeficientes da diagonal
principal associados aos graus de liberdade translacionais dos nós da ponte.
A rigor, estas modificações na matriz de rigidez
K
VP
devem ser efetuadas a
cada avanço do veículo sobre o tabuleiro. Porém, este procedimento geraria um
aumento do tempo computacional durante as análises. Sendo assim, com o objetivo
de se reduzir este tempo de processamento, efetuam-se as alterações na matriz de
rigidez, e conseqüentemente na matriz de amortecimento, somente quando os
56
veículos ultrapassam a metade do elemento finito nos quais se encontram. Este
método diminui consideravelmente o esforço computacional, sem acarretar prejuízos
significativos nos resultados obtidos [24].
Assim sendo, percebe-se que existe uma diferença entre as ordens das
matrizes de rigidez e de massa deste sistema. Isto ocorre pelo fato de se
desconsiderar a inércia a rotação das massas da viga. Então, para se possa realizar o
processo de integração numérica das equações de movimento, é necessário que se
reduza a ordem da matriz
K
VP
, para a mesma ordem da matriz M
VP
, sem a perda de
seus dados. Para isto, emprega-se a técnica de condensação estática, demonstrada a
seguir, obtendo-se assim a matriz de rigidez condensada do sistema veículo-ponte,
K*
VP
.
Inicialmente, considera-se a matriz
K
VP
constituída por quatro submatrizes, K
VV
,
K
Vθ
, K
θV
e K
θθ
. Desta forma, a equação de movimento do sistema veículo-ponte, sem
se considerar o amortecimento, fica:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
B
F
θ
V
KK
KK
θ
V
00
0M
θθθv
vθvv
VP
&&
&&
(3.8)
Expandindo-se a equação (3.13), tem-se:
()
FθKVKVM
vθvvVP
=++
&&
(3.9)
BθKVK
θθθv
=
+
(3.10)
Escrevendo-se
θ
em função de V na equação (3.15), obtém-se:
()
VK-BKθ
θv
-1
θθ
=
(3.11)
Substituindo-se a expressão do lado direito da equação (3.16) na equação
(3.14), tem-se:
(
)
BKK-FVKKKKVM
-1
θθvθθv
-1
θθvθvvVP
=−+
&&
(3.12)
A equação (3.17) pode ser reescrita como:
57
BKK-FVKVM
-1
θθvθ
*
VPVP
=+
&&
(3.13)
A matriz
K*
VP
é denominada de matriz de rigidez condensada do sistema
veículo-ponte, sendo dado, então, por:
θv
-1
θθvθvv
*
VP
KKKKK −=
(3.14)
3.4.3.Matriz de Amortecimento
A matriz de amortecimento do sistema veículo-ponte é obtida a partir das
matrizes de amortecimento do(s) veículo(s) e da ponte, sendo dada por:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
P
V
VP
C0
0C
C
(3.15)
onde;
V
C
- matriz de amortecimento do(s) veículo(s);
P
C
- matriz de amortecimento da ponte.
O cálculo da matriz de amortecimento do(s) veículo(s),
C
V
, foi apresentado em
detalhes no Capítulo 02, para cada modelo de veículo considerado neste trabalho.
A matriz de amortecimento da ponte,
C
P
, é proporcional à submatriz K*
VP(P)
que
correspondente à parte referente à estrutura da matriz de rigidez condensada do
sistema veículo-ponte
K*
VP
. Estas matrizes K*
VP(P)
e K*
VP
são apresentadas mais
adiante, ainda neste capítulo.
A matriz de amortecimento
C
P
é dada pela equação:
()
*
PVP1P
KaC =
(3.16)
O coeficiente de proporcionalidade
a
1
é determinado a partir da freqüência
fundamental
P01
ω e da fração de amortecimento
P
ξ da ponte. Assim, este coeficiente
é dado pela equação:
01P
P
1
ω
2ξ
a =
(3.17)
58
A matriz de amortecimento do sistema veículo-ponte, ao contrário da matriz de
massa, é variável ao longo da travessia do veículo ou do comboio de veículos sobre o
tabuleiro. Isto porque sua submatriz
C
P
é proporcional à submatriz K*
VP(P)
, da matriz de
rigidez condensada do sistema, que por sua vez varia com a posição do(s) veículo(s)
sobre a ponte, conforme será apresentado adiante.
3.4.4.Vetor de Cargas Nodais Equivalentes
O carregamento exercido pelo(s) veículo(s) sobre a ponte é formado por cargas
concentradas aplicadas nos pontos de contato deste(s) com o tabuleiro. O módulo
destas cargas pode ser constante ou variável ao longo do tempo, dependendo do tipo
de análise que está sendo processada. No caso de uma análise estática, a força
exercida pelo(s) veículo(s) será dada apenas pelo seu peso. Esta mesma situação
ocorre, no caso de uma análise dinâmica na qual se deseja analisar somente o efeito
da mobilidade dos veículos sobre a ponte. Já no caso de uma análise dinâmica, onde
se deseja estudar o efeito da interação do(s) veículo(s) com as irregularidades do
pavimento, o módulo desta força será variável, função do peso do veículo e das
características deste e das irregularidades do tabuleiro, sendo dado por:
(
)
(
)
(
)
ir_ij_ij1vp_ijir_ij_ij1vp_ijns_ijs_iV_ij
uukuucgmmf
−
−
−
−+=
&&
(3.18)
onde;
v_ij
f
- força exercida pelo eixo j do veículo i do comboio;
s_i
m
- massa suspensa do veículo i;
ns_ij
m
- massa não-suspensa no eixo j do veículo i;
vp_ij
c
- coeficiente de amortecimento dos pneus no eixo j do veículo i;
vp_ij
k
- rigidez dos pneus no eixo j do veículo i;
ijij
u e u
&
- deslocamento e velocidade da massa não-suspensa j do veículo i,
respectivamente;
irrirr
u e u
&
- função irregularidade e sua primeira derivada no eixo j do veículo i,
respectivamente;
59
Calculada a força exercida por cada eixo do(s) veículo(s), determina-se o vetor
de cargas nodais equivalentes para o tabuleiro discretizado em elementos finitos. Este
vetor, para um elemento de viga com uma carga concentrada fora do nó, é dado por:
()
()
()
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
−
+−
+−
=
lala
aa2l3
alaal2l
a2la3l
l
f
r
2
2
22
323
3
v
(3.19)
onde;
v
f
- carga concentrada exercida no elemento finito;
l
- comprimento do elemento finito;
a
- distância entre o nó esquerdo do elemento e o ponto de aplicação da
carga;
O vetor de cargas nodais equivalentes para toda a malha de elementos que
constitui o tabuleiro
R
P
é obtido a partir do vetor r, de acordo com a teoria do Método
dos Elementos Finitos.
3.4.5.Equação de Movimento
A seguir, são apresentadas as equações de movimento do sistema veículo-
ponte, para cada modelo de veículo considerado neste trabalho. Estas equações já
incorporam as irregularidades do pavimento, que aparecem como deslocamentos de
base dos eixos dos veículos.
Vale acrescentar que todos os vetores e matrizes que constituem estas
equações foram definidos em detalhes anteriormente neste capítulo.
3.4.5.1. Modelo de Veículo I – MV-I
Inicialmente, determina-se a equação de movimento do veículo, conforme
consta no capítulo 2, sendo estas as quatro equações de movimento referentes a cada
um dos graus de liberdade do MV-I:
Equação referente ao deslocamento da massa suspensa:
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
[]
()()
[]
0dθuukuuk
dθuukθduucuucθduucum
v3v3vs2v2vs
v1v1vsv3v3vs2v2vsv1v1vsvs
=+−+−
+−−++−+−+−−+
&
&&&&
&
&&&&
(3.20)
60
Equação referente à rotação da massa suspensa:
()
[
]
{
}
(
)
[
]
{
}
(
)
[
]
{
}
()
[]
{}
0d dθuuk
d dθuukd θduucd θd-uucθI
v3v3vs
v1v1vsv3v3vsv1v1vsvv
=+−
+−−−+−+−−
&
&&
&
&&
&&
(3.21)
Equação referente ao deslocamento da massas não suspensa 1:
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
0dθuukuukθduucuucum
v2v1vsir11vpv1v1vsir11vp11ns
=−−−−+−−−−+
&
&&&&&&
(3.22)
(
)
[
]
(
)
[
]
ir1vpir1vpv2v1vs11vpv1v1vs11vp11ns
ukucdθuukukθduucucum +=−−−+−−−+
&
&
&&&&&
(3.23)
Equação referente ao deslocamento da massas não suspensa 2:
()
(
)
(
)
(
)
0uukuukuucuucum
2v2vsir22vp2v2vsir22vp22ns
=
−
−
−
+
−
−−+
&&&&&&
(3.24)
()
(
)
ir2vpir2vp2v2vs22vp2v2vs22vp22ns
ukucuukukuucucum
+
=
−
−
+
−−+
&&&&&&
(3.25)
A equação de movimento da ponte é dada por:
PpPpPPP
RUKUCUM =++
&&&
(3.26)
Então, a equação do sistema veículo-ponte é obtida considerando-se as
equações 3.22 a 3.28 como um único sistema, obtendo-se:
VPVP
*
VPVPVPVPVP
FUKUCUM =++
&&&
(3.27)
3.4.5.2. Modelo de Veículo II – MV-II
Empregando-se para este modelo de veículo o mesmo desenvolvimento
utilizado nos anteriores, têm-se:
Equação referente ao deslocamento da massa suspensa:
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
[]
()()
[]
0dθuukuuk
dθuukθduucuucθduucum
v3v3vs2v2vs
v1v1vsv3v3vs2v2vsv1v1vsvs
=+−+−
+
−−++−+−+−−+
&
&&&&
&
&&&&
(3.28)
Equação referente à rotação da massa suspensa:
61
()
[
]
{
}
(
)
[
]
{
}
(
)
[
]
{
}
()
[]
{}
0d dθuuk
d dθuukd θduucd θd-uucθI
v3v3vs
v1v1vsv3v3vsv1v1vsvv
=+−
+−−−+−+−−
&
&&
&
&&
&&
(3.29)
Equação referente ao deslocamento da massas não suspensa 1:
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
0dθuukuukθduucuucum
v2v1vsir11vpv1v1vsir11vp11ns
=−−−−+−−−−+
&
&&&&&&
(3.30)
()
[
]
(
)
[
]
ir1vpir1vpv2v1vs11vpv1v1vs11vp11ns
ukucdθuukukθduucucum +=−−−+−−−+
&
&
&&&&&
(3.31)
Equação referente ao deslocamento da massas não suspensa 2:
(
)
(
)
(
)
(
)
0uukuukuucuucum
2v2vsir22vp2v2vsir22vp22ns
=
−
−
−
+
−
−−+
&&&&&&
(3.32)
()
(
)
ir2vpir2vp2v2vs22vp2v2vs22vp22ns
ukucuukukuucucum
+
=
−
−
+
−−+
&&&&&&
(3.33)
Equação referente ao deslocamento da massas não suspensa 3:
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[]
0dθuukuukθduucuucum
v3v3vsir33vpv3v3vsir33vp33ns
=+−−−++−−−+
&
&&&&&&
(3.34)
(
)
[
]
(
)
[
]
3vpir3vpv3v3vs33vpv3v3vs33vp33ns
ukucdθuukukθduucucum +=+−−++−−+
&
&
&&&&&
(3.35)
A equação de movimento da ponte é dada por:
PpPpPPP
RUKUCUM =++
&&&
(3.36)
Então, a equação do sistema veículo-ponte é obtida considerando-se as
equações 3.22 a 3.28 como um único sistema, obtendo-se:
VPVP
*
VPVPVPVPVP
FUKUCUM =++
&&&
(3.37)
62
4. Modelos Estruturais
Os projetos das pontes rodoviárias empregados neste estudo são constituídos
de concreto armado, em seção tipo tabuleiro apoiado sobre longarinas e inércia
constante ao longo do seu comprimento. Suas características geométricas são
baseadas nas especificadas em projeto para um viaduto sobre a BR-040, no município
de Duque de Caxias, e uma ponte na BR 101, no litoral bahiano.
4.1. Modelo Estrutural I – ME-I
O Modelo Estrutural I (ME-I) é um viaduto de interseção da BR-040, no município
de Duque de Caxias. O ME-I é constituído de três vãos, sendo dois vãos extremos de
9,5m apoiados nos encontros, e um vão central de 35m apoiado em duas
transversinas de 1,8m de largura, perfazendo um comprimento total da obra de arte
especial de 54,0m.
Na Figura 4.1 apresenta-se uma planta de situação do viaduto, onde pode-se
observar a BR-040 e o viaduto projetado para permitir a sobreposição.
Figura 4.1 – Planta de situação do viaduto – Modelo Estrutural I
63
Em seguida apresenta-se metade da planta baixa da estrutura, com dimensões
em centímetros, a indicação dos eixos de apoio das longarinas sobre os cavaletes de
apoio. Estas informações constam da Figura 4.2.
Figura 4.2 – Planta baixa do viaduto – Modelo Estrutural I (unidades em cm)
Já na Figura 4.3, mostra-se meio corte longitudinal da estrutura, para que se
possa ter o pleno conhecimento da estrutura real antes de partir para a modelagem
numérica, as dimensões estão em centímetros.
Figura 4.3 – Corte longitudinal do viaduto – Modelo Estrutural I (unidades em cm)
A seção transversal é de cinco longarinas em seção “I” com mísulas, com
altura total de 1,8m, que suportam o tabuleiro de 12,0m de largura e 23cm de
espessura sobre o qual incidirá a carga oriunda do tráfego de veículos, chega-se
assim à altura total de 2,03m. A seção real é apresentada na Figura 4.4, enquanto a
seção utilizada no modelo é apresentada Figura 4.5 e detalhada na Figura 4.6.
64
0,23
12,00
1,80
0,40
0,70
2,73
Figura 4.4 – Corte transversal do viaduto – Modelo Estrutural I (unidades em m)
A partir deste projeto real, foi implementada a modelagem da estrutura da
forma apresentada na Figura 4.5, onde os vãos extremos medem 9,0m e o central
mede 34,5m. Estes ajustes nas medidas do projeto foram feitas para utilizar elementos
finitos de 1,5m de comprimento, que simplifica o modelo e reduz o tempo de
processamento, sendo também o maior comprimento possível de elemento devido a
distância entre eixos de veículos TB-45 ser de 1,5m.
9,0m 34,5m 9,0m
Figura 4.5 – Modelo Estrutural I
A Tabela 4.1 apresenta as características transversais da seção do Modelo
Estrutural I (ME-I).
Tabela 4.1 – Características geométricas da seção transversal do ME-I
Propriedade Valor
Área 7,34m²
Momento de Inércia 3,2189m
4
Massa distribuída 18.350kg/m
Outra propriedade da seção necessária é o módulo de elasticidade do concreto.
Como o projeto prevê concretos de resistências diferentes para o tabuleiro e para as
vigas, calcula-se um módulo de elasticidade equivalente em função da proporção dos
materiais no cálculo do momento de inércia. A Tabela 4.2 apresenta as características
físicas deste modelo.
65
Tabela 4.2 – Características físicas do concreto do ME-I
Propriedade Valor
Módulo de Elasticidade 31,5 GPa
Coeficiente de Poisson 0,2
4.2. Modelo Estrutural II – ME-II
Para a segunda análise escolheu-se a ponte sobre o Rio Carrapato, executada
pelo Departamento Estadual de Estradas de Rodagem da Bahia. A ponte situa-se na
BR-251, trecho Potiraguá – BR-101, próximo ao litoral baiano.
A estrutura considera uma ponte em viga com duas vigas principais espaçadas
de 5,20m e largura total do tabuleiro de 10,00m. O sistema estrutural é constituído por
um vão central de 24,00m e dois balanços de 6,00m, resultando num comprimento
total de 36,00m. A solução analisada constitui um exemplo típico de ponte rodoviária
utilizada, inicialmente, nas rodovias federais pelo então Departamento Nacional de
Estradas de Rodagem (DNER) e posteriormente, aproveitado por vários
departamentos estaduais.
Cabe registrar que para todos os elementos da superestrutura foi considerado
um concreto com resistência característica à compressão igual a 20MPa, de acordo
com o projeto original. As Figuras 4.7, 4.8 e 4.9 apresentam a seção transversal, meia
planta baixa e meio corte longitudinal da ponte, respectivamente.
Figura 4.6 – Planta baixa da ponte até o eixo de simetria (unidades em cm)
66
Figura 4.7 – Seção transversal da ponte (unidades em cm)
Figura 4.8 – Corte longitudinal da ponte até o eixo de simetria (unidades em cm)
A Tabela 4.3 apresenta as características transversais da seção do Modelo
Estrutural II (ME-II).
Tabela 4.3 – Características geométricas da seção transversal do ME-II
Propriedade Valor
Área 3,74m²
Momento de Inércia 1,2550m
4
Massa Distribuída 9.350kg/m
A Tabela 4.4 apresenta as características físicas do concreto do Modelo
Estrutural II (ME-II).
67
Tabela 4.4 – Características físicas concreto do ME-II
Propriedade Valor
Módulo de Elasticidade 25,0 GPa
Coeficiente de Poisson 0,2
4.3. Comboios de Veículos Adotados na Análise
Para levar em consideração diversas possibilidades reais de tráfego sobre as
obras de arte especiais, foram utilizadas diversas características do deslocamento dos
veículos, tais como distância entre veículos, velocidade e tipo de veículo.
A princípio, utilizou-se a vivência pessoal no trânsito urbano e de estradas para
se definir uma relação entre distância e velocidade dos veículos de modo a refletir da
forma mais fidedigna possível a realidade das estradas brasileiras. Foi tomada esta
posição pelo fato de não terem sido encontrados estudos ou levantamentos
estatísticos com enfoque neste tipo de característica e as distâncias de segurança
calculadas entre veículos não refletirem a realidade. Tem-se, por exemplo, que o
tempo de reação de uma pessoa gira em torno de 1,5s e o tempo de frenagem de um
veículo em torno de 0,5s, assim um comboio que se desloca a 80km/h (22m/s),
necessita de uma distância de segurança entre veículos de 44m (deslocamento do
veículo por 2s). Assim foi gerada a seguinte relação entre velocidade dos veículos e
distância entre os mesmos, lembrando que tais distâncias foram consideradas de
pára-choque a pára-choque.
Tabela 4.5 – Velocidades de distâncias entre veículos
Velocidade (km/h) Distância entre veículos (m)
20 1,5
80 3,0
100 4,5
110 7,5
120 12,0
Para fins de entrada no programa GDYNABT [36] devem ser adicionados 3,0m
a esta distância, pelo fato de o programa definir a distância entre veículos como a
68
distância entre o último eixo do primeiro veículo e o primeiro eixo do seguinte,
conforme Figura 4.6, com dimensões em metros.
Figura 4.9 – Distância entre veículos e entre eixos
Em função da distância entre os veículos e do comprimento da ponte, cada
comboio é composto por um determinado número de veículos. A fim de se simplificar a
denominação dos comboios, os mesmos foram nomeados segundo a regra primeiro
apresentar o número de veículos do comboio, em seguida o tipo de veículo e por fim a
velocidade dos mesmos, assim o 2-TB45-120 é o comboio formado por dois veículos
do tipo TB-45, com velocidade de 120km/h. A velocidade foi adicionada à
denominação para não gerar confusão de nomear dois comboios de velocidade
diferentes da mesma forma, já que há comboios com o mesmo número de veículos em
ambas as pontes, porém, deslocando-se com velocidades diferentes.
Assim para o ME-I, geram-se 10 comboios, com cinco velocidades e dois tipos
de veículos, o TB-12 e o TB-45. A Tabela 4.6 a seguir mostra as informações
necessárias à entrada no programa.
Tabela 4.6 – Dados dos comboios do ME-I
Comboio Velocidade (m/s) Distância entre eixos (m)
4-TB12-120 33,333 15,0
5-TB12-110 30,555 10,5
6-TB12-100 27,777 7,5
7-TB12-080 22,222 6,0
8-TB12-020 5,5555 4,5
4-TB45-120 33,333 15,0
5-TB45-110 30,555 10,5
6-TB45-100 27,777 7,5
7-TB45-080 22,222 6,0
8-TB45-020 5,5555 4,5
69
A seguir para ilustrar os comboios considerados, as Figuras 4.7 a 4.11
apresentam os arranjos esquemáticos dos mesmos, sendo o primeiro, o 4-TB12-120,
o segundo o 5-TB12-110 e assim sucessivamente. Para o TB-45 foi seguido o mesmo
arranjo, diferenciado apenas pelo fato de o TB-45 ter três eixos, em relação aos dois
do TB-12. Porém, como ambos possuem 6,0m de comprimento, total o arranjo dos
veículos sobre a viga-ponte não é alterado.
Figura 4.10 – Comboios de veículos TB12 para o ME-I
Para o Modelo Estrutural II (ME-II), foram gerados 10 comboios, com cinco
velocidades e dois tipos de veículos, o TB-12 e o TB-45. Entretanto dada a
peculiaridade da Ponte 2 no tocante ao seu comprimento, foi gerado um comboio extra
de dois veículos especificamente para carregar a estrutura de modo a gerar momentos
nos balanços. A Tabela a seguir mostra as informações necessárias à entrada no
programa.
70
Tabela 4.7 – Dados dos Comboios do ME-II
Comboio Velocidade (m/s) Distância entre eixos (m)
2-TB12-120 33,333 30,0
3-TB12-110 30,555 10,5
4-TB12-100 27,777 7,5
5-TB12-080 22,222 6,0
6-TB12-020 5,5555 4,5
2-TB45-120 33,333 30,0
3-TB45-110 30,555 10,5
4-TB45-100 27,777 7,5
5-TB45-080 22,222 6,0
6-TB45-020 5,5555 4,5
A seguir, para ilustrar os comboios considerados, as Figuras 4.7 a 4.11
apresentam os arranjos esquemáticos dos mesmos, sendo o primeiro, o 6-TB12-020,
o segundo o 5-TB12-080, e assim sucessivamente.
Figura 4.11 – Comboios de veículos TB12 para o ME-II
71
5. Análise de Autovalores e Autovetores
5.1. Generalidades
Neste capítulo, são realizadas análises de autovalores e autovetores, com o
objetivo de se tomar conhecimento das freqüências e modos de vibração, calculados
pelo programa GDYNABT [36]. Os casos aqui analisados são comboios de veículos
descritos no capítulo anterior para ambos os modelos estruturais apresentados.
São obtidos os autovalores e autovetores, calculados não somente para a
situação de ponte descarregada (freqüências naturais e modos naturais de vibração),
mas também para as situações de carregamento. Avalia-se desta forma, a magnitude
da variação do valor das freqüências naturais devido ao carregamento da estrutura,
bem como se há alterações significativas nos modos de vibração, que são passíveis
de alteração devido à inserção dos parâmetros dinâmicos dos veículos.
As análises de autovalores e autovetores realizadas a partir deste capítulo são
referenciadas como freqüências naturais ou freqüências carregadas. Entretanto, faz-se
necessário ressaltar que as freqüências aqui designadas por carregadas são na
realidade, freqüências ainda naturais, pois ainda são modelos dinâmicos de vibração
livre. Porém, para se ter a resposta dinâmica da estrutura carregada na etapa de
análises de autovalores e autovetores inserem-se os valores de rigidez dos veículos
na matriz de rigidez do sistema e estes valores alteram tal matriz.
5.2. Análise de Autovalores
Considerando-se o modelo de viga contínua, designado por Modelo Estrutural I
(ME-I), apresentado no capítulo anterior, calculam-se os valores de suas cinco
primeiras freqüências naturais e carregadas com a rigidez dos veículos, utilizando o
programa GDYNABT [36].
O Modelo Estrutural I (ME-I) é composto de sistema de viga contínua, em três
vãos, projetado em concreto armado com o comprimento de vão central de 34,5m e
comprimento total de obra de arte de 52,5m.
Os resultados são apresentados na Tabela 5.1, para os veículos de 12
toneladas (TB-12) e na Tabela 5.2 para os veículos de 45 toneladas (TB-45).
72
Tabela 5.1 – Freqüências Naturais e Carregadas do ME-I, veículos TB-12.
Freqüência
Natural (Hz)
Freqüência ME-I Carregado pelo Comboio (Hz)
Freqüência
Descarregado 4-TB12 5-TB12 6-TB12 7-TB12 8-TB12
f
1
5,52 5,56 5,57 5,59 5,62 5,62
f
2
15,73 15,70 15,67 15,64 15,62 15,62
f
3
31,01 31,05 31,04 31,08 31,10 31,09
f
4
47,81 47,83 47,83 47,84 47,86 47,85
f
5
56,98 56,99 56,99 57,00 57,02 57,01
Tabela 5.2 – Freqüências Naturais e Carregadas do ME-I, veículos TB-45.
Freqüência
Natural (Hz)
Freqüência ME-I Carregado pelo Comboio (Hz)
Freqüência
Descarregado 2-TB45 3-TB45 4-TB45 5-TB45 6-TB45
f
1
5,52 5,71 5,75 5,78 5,86 5,83
f
2
15,73 15,51 15,49 15,43 15,37 15,39
f
3
31,01 31,12 31,15 31,27 31,37 31,28
f
4
47,81 47,88 47,9 47,92 47,98 47,92
f
5
56,98 57,00 57,02 57,05 57,12 57,07
Pode-se observar que houve pouca variação no valor das freqüências quando
se passa do regime descarregado para o carregado. Fato que era esperado posto que
o peso do comboio de veículos frente ao peso da ponte pode ser considerado
desprezível.
Percebe-se ainda que a magnitude da variação entre f
c
e f
n
é da ordem de 1%
a 2% para veículos TB-12, e que para análises com veículos leves (TB-12) pode-se
considerar a freqüência da estrutura carregada é igual à freqüência natural da
estrutura sem incorrer em prejuízo.
Para o caso das análises com veículos pesados (TB-45), constataram-se
diferenças da ordem de 6% (conforme Tabela 5.2), que são desprezíveis numa análise
de autovalores, valendo a mesma conclusão obtida para os veículos leves.
A maior diferença entre as freqüências naturais e carregadas dos comboios de
veículos TB-45 em relação aos de veículos TB-12 pode ser explicada pela maior
rigidez apresentada pelos veículos TB-45 em relação aos veículos TB-12. Tal
73
diferença reflete no resultado da equação diferencial de movimento que amplia os
valores da matriz de rigidez e, conseqüentemente, os módulos de cada autovalor
obtido, já que a freqüência é diretamente proporcional à rigidez do sistema.
Observa-se também que o módulo dos autovalores também cresce ao mesmo
tempo em que aumenta o número de veículos sobre a estrutura. Fato este também
oriundo da alteração da matriz de rigidez do sistema pela inserção dos coeficientes de
rigidez dos veículos sobre a matriz de rigidez no sistema, aumentando por
conseqüência os módulos dos autovalores para cada grau de liberdade estudado.
Considerando-se agora o modelo de viga biapoiada com balanços do Modelo
Estrutural II (ME-II), apresentado no capítulo anterior, calculam-se os valores de suas
cinco primeiras freqüências naturais e carregadas, pelo método numérico utilizando o
programa GDYNABT [36]. .Os resultados são apresentados nas Tabelas 5.3 e 5.4.
Tabela 5.3 – Freqüências naturais e carregadas do ME-II, veículos TB-12
Freqüência
Natural (Hz)
Freqüência ME-II Carregado pelo Comboio (Hz)
Freqüência
Descarregado 4-TB12 5-TB12 6-TB12 7-TB12 8-TB12
f
1
4,4 4,5 4,53 4,57 4,63 4,67
f
2
11,18 12,5 11,18 11,18 11,17 11,17
f
3
16,43 18,2 16,38 16,36 16,33 16,28
f
4
28,72 29,81 28,79 28,85 28,9 28,91
f
5
52,98 53,28 53,02 53,01 53,05 53,05
Tabela 5.4 – Freqüências naturais e carregadas do ME-II, veículos TB-45
Freqüência
Natural (Hz)
Freqüência ME-IICarregada pelo Comboio (Hz)
Freqüência
Descarregado 2-TB45 3-TB45 4-TB45 5-TB45 6-TB45
f
1
4,4 4,67 4,67 4,75 4,83 4,93
f
2
11,18 11,15 11,15 11,15 11,14 11,13
f
3
16,43 16,16 16,16 16,13 16,08 15,97
f
4
28,72 28,92 28,92 29,09 29,17 29,21
f
5
52,98 53,09 53,09 53,06 53,13 53,15
74
Pode-se observar que houve alguma variação no valor das freqüências quando
se passa do regime descarregado para o carregado. Fato este que vai de encontro ao
esperado para o ME-I, mas que é conseqüência das características geométricas do
ME-II. O peso do comboio de veículos frente ao peso da ponte passa a ser
considerado, pois a ponte apresenta uma solução estrutural mais leve e esbelta, com
menor relação rigidez por massa. A seguir, apresenta-se a variação das freqüências
da ponte carregada em relação às suas freqüências naturais.
Percebe-se ainda que a magnitude da variação entre f
c
e f
n
é da ordem de 2%
a 6% para veículos TB-12, e que para análises com veículos leves (TB-12) pode-se
considerar a freqüência da estrutura carregada é igual à freqüência natural da
estrutura sem incorrer em prejuízo.
Para o caso de análise com veículos pesados (TB-45), constataram-se
diferenças da ordem de 6% a 12% (conforme Tabela 5.4), que não é desprezível numa
análise estrutural, nem no campo dos autovalores. Esta diferença é sensível e pesa
sobre a análise de vibração imposta pela NBR 6118 (2003) [38], que prescreve que a
freqüência natural da estrutura deve estar afastada de 20% em relação à freqüência
da excitação. Neste caso, uma diferença de 12% pode ser o diferencial entre estar e
não estar em conformidade com a Norma.
Recomenda-se que deve ser calculada a freqüência das pontes sob efeito do
carregamento de maior peso. Como foi observado neste estudo, as diferenças entre a
freqüência natural e a freqüência de carregamento cresce em razão diretamente
proporcional ao incremento de carga sobre a estrutura. Quanto mais significativo for o
peso do carregamento em relação ao peso da estrutura, maior será a diferença entre a
freqüência de carregamento e a freqüência natural.
Mostra-se interessante a análise dinâmica, para fins de análise de autovalores,
apenas da hipótese em que a ponte encontra-se mais carregada. Procedendo-se
então a comparação entre os valores de freqüências naturais e de carregamento,
tendo-se conhecimento de que todas as hipóteses intermediárias apresentam valores
também intermediários entre o valor da freqüência natural e o valor da freqüência de
carregamento.
75
5.3. Análise de Autovetores
Já analisados os autovalores dos sistemas estruturais aqui avaliados,
apresentam-se agora as análises de autovetores referentes a cada autovalor obtido
anteriormente, visando obter os modos de vibração dos dois modelos estruturais.
Considerando-se o Modelo Estrutural I (ME-I), faz-se a determinação dos seus
cinco primeiros modos de vibração, empregando-se o programa GDYNABT [36]. Os
modos apresentados foram determinados tanto para a situação de vibração livre
(ponte descarregada) quanto para a vibração livre carregada (matriz de rigidez
alterada pelo carregamento dos veículos).
Na Tabela 5.5 apresentam-se os cinco primeiros modos de vibração livre do
ME-I, sendo, portanto, os modos de vibração referentes às cinco primeiras freqüências
naturais da mesma estrutura, citadas nas Tabelas 5.1 e 5.2.
Em todas as hipóteses constatou-se que ocorreram pouquíssimas alterações
nos modos de vibração da estrutura. Não houve alteração no primeiro modo de
vibração e as poucas alterações ocorreram no segundo e terceiro modos. Assim
apresentam-se aqui apenas os modos que sofreram alteração devido à inserção do
carregamento na estrutura.
Para as hipóteses dos comboios de veículos TB-12, apenas uma alterou o
modo de vibração natural da estrutura. O comboio 08-TB12-020, composto de 8 (oito)
veículos do tipo TB-12 deslocando-se com velocidade constante de 20km/h. Tal
constatação evidencia a suscetibilidade das estruturas quando encontram situações
de extremo carregamento, nem tanto pela velocidade dos veículos mais leves, mas
principalmente pelo peso dos veículos atuando sobre a estrutura ainda que em baixa
velocidade. Isto deve-se à introdução da rigidez dos veículos no sistema estrutural.
Para o comboio 8-TB12-020, encontram-se os modos de vibração
demonstrados na Tabela 5.6. Pode-se observar que na realidade, não houve alteração
dos modos de vibração, e sim a supressão do 2º modo, que passou a ter seu máximo
deslocamento no veículo e não na ponte. Assim o modo que era o terceiro da vibração
natural passou a ser o segundo de vibração forçada (ponte carregada), e assim
sucessivamente.
76
Tabela 5.5 – Modos de vibração do ME-I
Modo de
Vibração
ME-I Descarregado
Φ
1
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1020304050
Φ
2
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1020304050
Φ
3
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1020304050
Φ
4
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1020304050
Φ
5
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1020304050
77
Tabela 5.6 – Modos de vibração do ME-I, comboio 8-TB-12-020
Modo de
Vibração
ME-I Comboio 8-TB12-020
Φ
1
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1020304050
Φ
2
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1020304050
Φ
3
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1020304050
Φ
4
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1020304050
Φ
5
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1020304050
Nas análises com os comboios compostos por veículos TB-45, de maior rigidez
que os TB-12, notaram-se as mesmas alterações notadas nas análises dos comboios
de veículos TB-12.. A Tabela 5.7 demonstra os cinco primeiros modos de vibração.
78
Tabela 5.7 – Modos de Vibração do ME-I, comboio 8-TB-45-020
Modo de
Vibração
ME-I Comboio 8-TB45-020
Φ
1
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1020304050
Φ
2
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1020304050
Φ
3
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1020304050
Φ
4
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1020304050
Φ
5
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1020304050
Considerando-se agora o Modelo Estrutural II (ME-II), faz-se a determinação
também dos seus cinco primeiros modos de vibração, a exemplo do modelo anterior.
Na Tabela 5.8 apresentam-se os cinco primeiros modos de vibração livre do ME-II.
79
Tabela 5.8– Modos de Vibração Natural do ME-II
Modo de
Vibração
ME-II Descarregado
Φ
1
-1
-0.5
0
0.5
1
0 102030
Φ
2
-1
-0.5
0
0.5
1
0 102030
Φ
3
-1
-0.5
0
0.5
1
0 102030
Φ
4
-1
-0.5
0
0.5
1
0 102030
Φ
5
-1
-0.5
0
0.5
1
0 102030
Os modos apresentados foram determinados tanto para a situação de vibração
livre (ponte descarregada) quanto para a vibração livre carregada (matriz de rigidez
alterada pelo carregamento dos veículos).
Na Tabela 5.8 apresentam-se os cinco primeiros modos de vibração livre do
ME-II, que são os modos de vibração referentes às cinco primeiras freqüências
naturais da mesma estrutura, citadas nas Tabelas 5.3 e 5.4.
Em todas as hipóteses constatou-se que não houve alteração nos modos de
vibração da estrutura. Portanto, esta ponte sendo menos rígida que a anteriormente
estudada, oferece uma característica interessante de manter seus modos de vibração
de forma independente da carga a que está submetida.
Todos os modos de vibração, portanto, são ilustrados na Tabela 5.8. Tanto os
modos de vibração livre quanto os de vibração livre quando adicionadas as rigezas
dos veículos, posto que não apresentam diferenças significativas de forma.
80
O mesmo efeito obtido com o carregamento da estrutura pelo comboio de
veículos TB-12 foi observado quando do carregamento com veículos TB-45. O que
demonstra que o comportamento dos modos de vibração, neste caso, não varia com a
rigidez do conjunto, já que a mudança de tais aspectos resultaram em modos de
vibração similares.
81
6. Análise Paramétrica
6.1. Generalidades
Neste capítulo serão analisadas várias hipóteses possíveis de carregamento
atuantes sobre as duas estruturas em estudo. Variam-se diversos parâmetros, tais
como tipo de veículo que trafega sobre a pista (TB-12 ou TB-45) [34], velocidade do
comboio e o conseqüente espaçamento entre veículos, bem como a qualidade da
pista, a fim de simular os efeitos provenientes da falta de manutenção do pavimento.
Serão utilizados para as análises, os Modelos Estruturais I e II (ME-I e ME-II),
conforme foram descritos nas Figuras 4.1 a 4.5 e nas Figuras 4.6 a 4.8,
respectivamente. Sobre estas estruturas simula-se o carregamento de uma
diversidade de comboios, conforme apresentado nas Figuras 4.10 a 4.19. Cada
possibilidade de número de veículos foi associada a uma velocidade e um
espaçamento entre veículos atribuídos empiricamente pela observação do trânsito.
No que tange à análise estática realizada pelo programa GDYNABT [36], esta
considera o carregamento correspondente a uma sucessão de veículos, igualmente
espaçados, deslocando-se sobre a ponte, em apenas um sentido, e os passeios e
áreas entre e aos lados destes veículos, completamente descarregados. Ressalta-se
que esta metodologia é distinta daquela empregada pela Norma Brasileira [1], como
será exposto ao longo deste capítulo.
A análise dinâmica do sistema veículo-ponte considera uma sucessão de
veículos, igualmente espaçados, deslocando-se com velocidade constante sobre o
tabuleiro das pontes e com interação entre os pneus destes veículos e as
irregularidades superficiais, ou seja, é levado em conta o peso móvel das viaturas e,
também, o efeito dinâmico proveniente das irregularidades da pista.
O objetivo deste capítulo é o de comparar os fatores de amplificação dinâmicos
máximos médios (FAD), obtidos a partir da metodologia de análise aplicada nesta
dissertação, como uma continuação de desenvolvimentos anteriores de Silva [22] e
Almeida [33], com aquela adotada pela Norma Brasileira de Pontes em Concreto
Armado e Protendido [1]. Pretende-se efetivamente quantificar e avaliar os valores
dessas amplificações em comparação com o coeficiente de impacto determinado pela
Norma [1].
82
Cabe ressaltar que a NBR 7187 [1] associa os efeitos dinâmicos provenientes
dos veículos e da interação destes com a superfície do tabuleiro, de forma
simplificada, a um coeficiente de impacto definido apenas e tão somente com base no
vão da obra de arte. Este coeficiente de impacto não leva em consideração as
características dinâmicas do carregamento e nem do sistema estrutural.
Cabe chamar a atenção do leitor, para o fato de que o modelo matemático em
questão, implementado no programa GDYNABT [36], foi aferido em trabalhos
anteriores desenvolvidos por Silva [22] e Almeida [33], a partir de resultados obtidos
por meio de uma solução analítica desenvolvida por Timoshenko [42], e com os
resultados obtidos experimentalmente por Inbanathan e Wieland [5], para veículos se
deslocando sobre pavimentos irregulares.
6.2. Metodologia Simplificada da NBR7187 [1]
As cargas a serem consideradas no projeto das pontes rodoviárias e das
passarelas são definidas pela norma NBR 7188 [34]. Inicialmente serão feitas algumas
considerações sobre as cargas usuais nas pontes rodoviárias, com o intuito de avaliar
a ordem de grandeza destas cargas e possibilitar uma comparação com os valores
indicados pela NBR 7188 [34].
Os veículos mais pesados que trafegam pelas rodovias normalmente são os
caminhões, as carretas e as chamadas CVC – Combinações de Veículos de Carga,
que correspondem a uma unidade tratora com unidades rebocadas.
Deve-se lembrar ainda que as pontes rodoviárias são sujeitas ao tráfego de
veículos específicos como a carreta para transporte de transformadores apresentado
na Figura 6.1. Também deve ser considerada a possibilidade de tráfego de veículos
militares, como tanques. Na Figura 6.2, apresentam-se alguns tipos representativos de
caminhões e carretas utilizados no Brasil. Apresenta-se a carga distribuída equivalente
determinada considerando a carga total do veículo uniformemente distribuída.
Figura 6.1 Carreta especial para carga útil de 1450kN. Peso bruto de 2736kN [37]
83
Figura 6.2 – Caminhões e carretas de uso freqüente no brasil [37]
Após essas considerações preliminares apresentam-se os valores indicados
pela norma NBR 7187 [1]. Segundo a norma em questão, em pontes rodoviárias, a
carga móvel é constituída por um veículo e por cargas q e q' uniformemente
distribuídas, como mostrado na Figura 6.3.
A carga q é aplicada em todas as faixas da pista de rolamento, nos
acostamentos e afastamentos, descontando-se apenas a área ocupada pelo veículo. A
84
carga q' é aplicada nos passeios. Essas cargas são fictícias, e procuram levar em
consideração a ação de multidão e de outros veículos mais leves ou mais afastados
das zonas onde as cargas produzem maiores esforços solicitantes, com um esquema
de carregamento que facilita o cálculo.
Figura 6.3 – Trem tipo da NBR 7188 [34]
Assim, por exemplo, ao pesquisar-se o máximo momento fletor em uma
determinada seção de uma viga contínua, o veículo é colocado no tramo desta seção,
colocando-se ainda as cargas q e q' nos tramos onde essas cargas provoquem
aumento desse momento, conforme apresenta-se na Figura 6.4. Transversalmente
essas cargas se estenderão até onde possam contribuir para aumentar esse
momento.
Figura 6.4 – Esquema de carregamento para cálculo do momento máximo
da seção 25 [37]
Para efeito de escolha das cargas móveis, a norma NBR 7188 [34] divide as
pontes rodoviárias em três classes, discriminadas a seguir:
• Classe 45: na qual a base do sistema é um veículo-tipo de 450 kN de peso total;
• Classe 30: na qual a base do sistema é um veículo tipo de 300 kN de peso total;
• Classe 12: na qual a base do sistema é um veículo tipo de 120 kN de peso total.
85
Na Tabela 6.1 apresentam-se o peso do veículo e os valores das cargas q e q'
para cada uma das classes de pontes.
Tabela 6.1 – Esquema de carregamento para cálculo do momento máximo da ponte
Carga Uniformemente Distribuída
q (em toda a pista) q’ (em toda a pista)
Classe da Ponte
Veículo
Peso Total
(kN)
kN/m² kN/m²
45 450 5 3
30 300 5 3
12 120 4 3
Comparando os valores da carga distribuída q com os valores das cargas
distribuídas observa-se que o valor de q corresponderia a uma situação normal de
utilização das pontes. Naturalmente, uma situação de congestionamento sobre as
pontes pode levar a valores de cargas distribuídas equivalentes superiores.
Considerando uma situação de congestionamento em que o espaçamento
entre veículos consecutivos seria cerca de 2 m, as cargas equivalentes dos casos
mais críticos, caminhão basculante de 450 kN (Figura 6.5) e Bi-trem de 740 kN (Figura
6.2), a carga distribuída equivalente chegaria à casa dos 8,0 kN/m2. Esta situação de
congestionamento, só com veículos pesados e carregados com as cargas máximas,
teria uma probabilidade muito baixa, o que permite considerar como uma situação de
combinação excepcional.
A Figura 6.5 apresenta os veículos utilizados na NBR 7188 [34] para
dimensionamento de estruturas rodoviárias, dos quais foram utilizados os veículos
Classe 12 e Classe 45. O veículo Classe 12 é considerado como o mais freqüente no
trânsito brasileiro, enquanto o Classe 45 é o atual dimensionante de projeto da maioria
das obras de arte brasileiras.
Na Tabela 6.2 são apresentados elementos de informações complementares
que não estão descritas na Figura 6.5. Esses elementos são de fundamental
conhecimento para que se possa modelar correta e detalhadamente a forma de
carregamento da estrutura.
86
Figura 6.5 – Características dos veículos-tipo [34]
Tabela 6.2 - Características dos veículos-tipo [34]
Item Unidade Tipo 45 Tipo 30 Tipo 12
Quantidade de eixos eixo 3 3 2
Peso total do veículo kN 450 300 120
Peso de cada roda dianteira kN 75 50 20
Peso de cada roda intermediária kN 75 50 -
Peso de cada roda traseira kN 75 50 40
Largura de contato b1 - roda dianteira m 0,50 0,40 0,30
Largura de contato b2 - roda intermediária m 0,50 0,40 -
Largura de contato b3 - roda traseira m 0,50 0,40 0,30
Comprimento de contato da roda m 0,20 0,20 0,20
Distância entre eixos m 1,50 1,50 3,00
Distância entre centros das rodas de cada eixo m 2,00 2,00 2,00
Usualmente no estudo das estruturas supõe-se que as cargas sejam aplicadas
de maneira que sua intensidade cresça gradualmente desde zero até o valor total, no
entanto as cargas móveis reais nas pontes são aplicadas bruscamente.
A simples consideração de cargas estáticas não corresponderia à realidade em
virtude das oscilações provocadas pelos veículos e causadas pela ação das molas,
87
irregularidades da pista, força centrífuga causada e deformação da ponte sob a ação
das cargas.
A análise de todos estes efeitos deve ser feita pela teoria da Dinâmica das
Estruturas, e resulta bastante trabalhosa; daí levar-se em conta na prática, o efeito
dinâmico das cargas móveis de maneira global, dando a elas um acréscimo e
considerando-as como se fossem aplicadas estaticamente.
Esse acréscimo é dado por um coeficiente γ, chamado coeficiente de impacto,
ou coeficiente de amplificação dinâmica, não menor que 1, pelo qual são multiplicadas
as cargas que têm ação dinâmica.
estáticodinâmico
FF
⋅
γ≅ (6.1)
É importante observar que o efeito dinâmico das cargas atuantes é tanto maior
quanto mais leve for a estrutura em relação a essas cargas. Isto é diretamente
salientado pela seguinte expressão encontrada na literatura técnica [37]:
Q/G41
6,0
L2,01
4,0
1
+
+
⋅+
+=γ (6.2)
Onde: L é o vão em metros;
G é a carga permanente e;
Q a carga móvel máxima para a estrutura em estudo.
A partir dessa observação, conclui-se imediatamente que a influência do efeito
dinâmico das cargas deve decrescer à medida que aumentar o vão da ponte, pois
nesse caso o peso G da estrutura vai aumentando mais rapidamente do que a carga
correspondente Q. De fato, observações experimentais mostram que se deve dar ao
coeficiente de impacto variação sensivelmente hiperbólica, tendendo assintoticamente
a 1 ao aumentar o vão L, como mostrado na Figura 6.6 [37].
Ao contrário, em pontes pequenas o coeficiente de impacto é maior. Assim, na
expressão (6.2), o coeficiente γ cresce para 2 ao diminuir-se o vão L e a relação G/Q
entre o peso G da estrutura e a carga Q que produz o efeito dinâmico. A Figura 6.6
[37] compara os resultados obtidos experimentalmente (a esquerda) com os obtidos
pela equação (6.2), a direita na Figura.
88
Figura 6.6 – Variação de γ em função de L [37]
Ainda em decorrência disso, vê-se que a influência da ação dinâmica das
cargas há de ser maior em pontes metálicas do que em pontes de concreto, mais
pesadas. A norma NBR 7187 [1] fornece a equação (6.3) para o cálculo do coeficiente
de impacto.
1L007,04,1 >⋅−=
γ
(6.3)
Nesta equação, L é o comprimento, em metros, do vão teórico do elemento
carregado, qualquer que seja o sistema estrutural. Nota-se que desta maneira a
relação entre a carga permanente e a carga móvel que produz efeito dinâmico é
considerada de forma indireta, através do vão L.
Em pontes rodoviárias, obtém-se γ = 1,0 para L = 57,14 m; considera-se que,
para vãos maiores, os efeitos dinâmicos traduzidos pelo coeficiente de impacto são
desprezíveis.
No caso de elementos contínuos de vãos desiguais permite-se considerar um
vão ideal equivalente à média aritmética dos vãos teóricos, desde que o menor vão
seja igual ou superior a 70% do maior vão. No caso de elementos em balanço, o valor
de L a ser empregado na expressão corresponde a duas vezes o comprimento do
balanço.
O efeito dinâmico das cargas pode ser desprezado, tomando-se o coeficiente
de impacto igual a 1,0 em algumas situações, como na determinação do empuxo de
terra provocado pelas cargas móveis. A razão desta recomendação da norma ocorre
em virtude da atenuação dos efeitos dinâmicos através do maciço arrimado. Também
é desconsiderado no cálculo das fundações. Neste caso pode-se invocar o que se
disse a respeito de G/Q e do recebimento indireto, atenuado, dos efeitos dinâmicos.
γ
– 1
γ
–1
L
(
m
)
L
(
m
)
89
Aplicando-se tais preceitos no Modelo Estrutural I (ME-I), obtém-se
primeiramente o coeficiente de impacto para o vão central e para os vãos extremos
pela metodologia simplificada da Norma Brasileira [1]. Assim:
16,15,34007,04,1L007,04,1
central
vão
central
vão
=
⋅
−
=
⋅−=
γ
(6.4)
34,10,9007,04,1L007,04,1
extremo
vão
extremo
vão
=⋅−=⋅−=γ (6.5)
O coeficiente de impacto do vão extremo é apenas apresentado para fins de
comparação, pois os piores esforços e deslocamentos estão no vão central, onde está
o foco da presente análise.
E agora para o Modelo Estrutural II (Figura 4.5) calcula-se o coeficiente de
impacto para o vão central e para os balanços pela metodologia simplificada da Norma
Brasileira [1]. Assim:
23,10,24007,04,1L007,04,1
central
vão
central
vão
=⋅−=⋅−=γ
(6.6)
32,10,62007,04,1L2007,04,1
balanço
extremo
vão
=
⋅
⋅
−
=
⋅⋅−=
γ
(6.7)
O coeficiente de impacto do balanço é apresentado para fins de correlação com
os Fatores de Amplificação Dinâmicos encontrados a seguir, posto que há
deslocamentos a serem verificados no extremo do balanço, e esta verificação é ponto
de observação desta análise.
Após a obtenção dos coeficientes de impacto, multiplicam-se os mesmos pelos
valores característicos calculados segundo a metodologia simplificada, a qual está
sendo apresentada e discutida neste item da dissertação, alcançando assim, os
valores de dimensionamento da estrutura para Classe 45 (veículo TB-45) [34], que são
apresentados na Tabela 6.3. Tais valores serão utilizados adiante para definir o grau
de variação da resposta da estrutura em função da variação da qualidade da pista.
Tabela 6.3 – Esforços e Deslocamentos Solicitantes do ME-I, pela NBR 7188
Esforços e Deslocamentos Solicitantes Unidade Valor
Momento Fletor Positivo Máximo kN.m 5.373,00
Momento Fletor Negativo Máximo kN.m 6.735,00
Esforço Cortante Máximo kN 1.245,00
Deslocamento Máximo mm 3,90
90
Dada a seção geométrica transversal em tabuleiro sobre vigas longarinas
definida para a estrutura, conforme apresentado na Figura (4.4), conhecida a
armadura dimensionada e os limites de norma, pode-se calcular as capacidades
limites de resistência da estrutura. As capacidades portantes do Modelo Estrutural I
(ME-I) são apresentadas na Tabela 6.4. Esses valores serão utilizados a seguir para
definir a razão ψ, obtida pela comparação destes valores com os adquiridos nas
análises dinâmicas de vários comboios possíveis, não necessariamente prováveis.
Tabela 6.4 – Esforços e Deslocamentos Portantes do ME-I
Esforços e Deslocamentos Portantes Unidade Valor
Momento Fletor Positivo Máximo kN.m 5.373,00
Momento Fletor Negativo Máximo kN.m 6.735,00
Esforço Cortante Máximo kN 3.910,00
Deslocamento Máximo mm 57,50
Pode-se fazer a imediata observação de que o efeito para o qual a estrutura
deste viaduto é dimensionada, é o momento fletor. Como o dimensionamento da
armadura é o objeto do cálculo estrutural, esta variável é a que é afinada, sendo as
demais tomadas como conseqüência do dimensionamento.
A área da seção transversal e seu momento de inércia são bem maiores do que
o necessário para resistir aos esforços e evitar deslocamentos excessivos, o que está
em consonância com a necessidade de se garantir uma boa execução construtiva da
obra de arte, gerando uma seção transversal coerente com a armadura necessária.
Aplicando-se os mesmos preceitos no modelo estrutural II (ME-II), obtêm-se os
valores de dimensionamento da estrutura para classe 45 (veículo TB-45), que são
apresentados na Tabela 6.5.
Tabela 6.5 – Esforços Solicitantes do ME-II, pela NBR7188
Esforços e Deslocamentos Solicitantes Unidade Valor
Momento Fletor Positivo Máximo kN.m 6.000,00
Momento Fletor Negativo Máximo kN.m 2.770,00
Esforço Cortante Máximo kN 1.440,00
Deslocamento Máximo no Meio do Vão mm 9,62
Deslocamento Máximo no Extremo do Balanço mm 4,51
91
Dada a mesma concepção estrutural do ME-II, em seção geométrica transversal
em tabuleiro sobre vigas longarinas definida para a estrutura, conforme apresentado
na Figura 4.7, conhecida a armadura dimensionada e os limites de norma, pode-se
calcular as capacidades limites de resistência da estrutura. Observa-se ainda que os
deslocamentos admissíveis por norma são muito maiores do que os de cálculo.
Tais capacidades portantes do Modelo Estrutural II (ME-II) são apresentadas na
Tabela 6.6. Tais valores serão também utilizados a seguir para definir a razão ψ da
estrutura.
Tabela 6.6 – Capacidades Portantes do ME-II
Esforços e Deslocamentos Portantes Unidade Valor
Momento Fletor Positivo Máximo kN.m 6.000,00
Momento Fletor Negativo Máximo kN.m 2.770,00
Esforço Cortante Máximo kN 2.334,00
Deslocamento Máximo no Meio do Vão mm 40,00
Deslocamento Máximo no Extremo do Balanço mm 20,00
Novamente observa-se que o efeito para o qual a estrutura é dimensionada, é o
momento fletor. A área da seção transversal e seu momento de inércia são bem
maiores do que os limítrofes e obtêm-se valores superiores do esforço cortante
resistente, como demonstrado ser próximo a duas vezes maior esta resistência em
relação ao esforço solicitado. Aqui também os deslocamentos admissíveis por norma
são muito maiores do que os de cálculo.
6.3. Metodologia Empregada para a Análise Estática
Esta análise estática considera apenas o carregamento gerado pelos veículos
deslocando-se sobre a ponte, em apenas um sentido, com o restante da ponte
descarregada. Assim, é simulado o deslocamento dos veículos sobre o tabuleiro da
ponte, segundo a velocidade e a distância entre veículos, a fim de refletir de modo
mais realista o trânsito da carga sobre a estrutura. A Figura 6.7 ilustra a metodologia
de aplicação das cargas sobre as obras de arte.
Entretanto, apesar de se considerar a mobilidade da carga, não é considerado
nenhum efeito oriundo do caráter dinâmico da carga. Desta forma, obtém-se para cada
instante, os esforços e deslocamentos em cada seção discretizada no modelo
estrutural.
92
Figura 6.7– Deslocamento do comboio de três veículos TB-12 sobre o ME-II
Após a passagem completa do comboio sobre a ponte obtém-se um conjunto
de efeitos máximos e os respectivos instantes em que os mesmos ocorrem. Estes
instantes podem ser traduzidos em uma fotografia da posição do comboio sobre a
estrutura. Em última análise, esta metodologia corresponde a gerar uma linha de
influência para cada seção (cada nó discretizado).
Vale ressaltar que esta análise não inclui os valores de massa da ponte e dos
veículos na matriz de massa. Assim a equação de movimento fica reduzida à equação
de equilíbrio estática relacionando apenas as rigezas e os deslocamentos às forças
externas aplicadas.
6.4. Resultados Obtidos na Análise Estática
Esta análise permite fazer uma comparação do ponto de vista estritamente
estático entre a metodologia simplificada da NBR 7187 [1] e uma série de
carregamentos possíveis tendo por base os mesmos veículos prescritos pela norma
anteriormente citada.
93
A Norma Brasileira [1] define apenas um veículo tipo (TB-12, TB-30 ou TB-45)
atuando sobre a estrutura, conforme apresentado na Figura 6.4. Assim, esta análise
estática é uma extrapolação para uma condição possivelmente real de carregamento.
Analisam-se aqui dois modelos estruturais dimensionados como classe 45, ou seja, no
seu dimensionamento foi utilizado o carregamento por um veículo TB-45, que pesa
450kN [34].
6.4.1.Modelo Estrutural I – ME-I
Considerando-se o modelo de viga contínua, em três vãos, projetado em
concreto armado com o comprimento de vão central de 34,5m e comprimento total de
obra de arte de 52,5m, designado por Modelo Estrutural I (ME-I), apresentado no
capítulo anterior, Figura 4.5, simula-se o tráfego de onze comboios distintos, utilizando
o programa GDYNABT [36]. Os resultados para comboios de veículo TB-12 são
apresentados na Tabela 6.7 para momentos fletores máximos positivos e negativos,
na Tabela 6.8 para cortantes máximos e na Tabela 6.9 para deslocamentos máximos.
Tabela 6.7 – Momentos Fletores. Modelo Estrutural I. Veículos TB-12.
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Momento
Positivo
(kN.m)
Momento
Negativo
(kN.m)
8 4,5 1.727,00 2.280,00
7 6,0 1.274,00 1.727,00
6 7,5 1.029,00 1.394,00
5 10,5 773,50 1.039,00
4 15,0 573,60 754,80
Tabela 6.8 – Esforços Cortantes. Modelo Estrutural I. Veículos TB-12.
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Cortante
(kN)
8 4,5 492,3
7 6,0 375,9
6 7,5 308,8
5 10,5 237,8
4 15,0 180,8
94
Tabela 6.9 – Deslocamentos. Modelo Estrutural I. Veículos TB-12.
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Deslocamento
(mm)
8 4,5 1,503
7 6,0 1,129
6 7,5 0,910
5 10,5 0,655
4 15,0 0,467
Observa-se a coerência dos resultados obtidos pela análise estática dos
momentos fletores positivos e negativos, que mantêm entre si uma relação de 1,31 a
1,35 para cada caso isolado de carregamento. Razão esta muito próxima daquela
obtida pela NBR 7187 [1] que é de 1,25. Esta proporcionalidade é causada pela
hiperestaticidade da estrutura, que busca naturalmente uma distribuição dos
momentos fletores negativos e positivos.
Os resultados obtidos para o esforço cortante não são críticos, uma vez que a
ponte foi dimensionada para o veículo tipo TB-45, e a solicitação do TB-12 é menos
que um terço da do TB-45.
Esta análise dos deslocamentos provocados pelo carregamento de veículos
TB-12 [34], não provoca efeito significativo na estrutura, sendo bastante inferior ao
calculado e ainda menor em relação ao limite imposto pela Norma [1].
Para a análise dos comboios compostos por veículos TB-45, tomou-se a
decisão de incluir mais uma possibilidade. Como este veículo é hipotético e, portanto,
sua ocorrência é rara, comboios compostos exclusivamente de tal tipo de veículo são
muito raros de acontecer. Assim foi incluída a possibilidade de um comboio de apenas
dois veículos TB-45 [34], com 30m de espaçamento entre os veículos, carregando a
estrutura. Os resultados para comboios de veículo TB-45 [34] são apresentados na
Tabela 6.10 para momentos fletores máximos positivos e negativos, na Tabela 6.11
para cortantes máximos e na Tabela 6.12 para deslocamentos máximos.
95
Tabela 6.10 – Momentos Fletores. Modelo Estrutural I. Veículos TB-45.
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Momento
Positivo
(kN.m)
Momento
Negativo
(kN.m)
8 4,5 6.330,00 8.510,00
7 6,0 4.788,00 6.497,00
6 7,5 3.839,00 5.257,00
5 10,5 2.933,00 3.916,00
4 15,0 2.174,00 2.844,00
2 30,0 1.839,00 2.014,00
Tabela 6.11 – Esforços Cortantes. Modelo Estrutural I. Veículos TB-45.
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Cortante
(kN)
8 4,5 1.660,00
7 6,0 1.298,00
6 7,5 1.080,00
5 10,5 836,30
4 15,0 642,20
2 30,0 461,20
Tabela 6.12 – Deslocamentos. Modelo Estrutural I. Veículos TB-45.
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Deslocamento
(mm)
8 4,5 5,644
7 6,0 4,239
6 7,5 3,418
5 10,5 2,458
4 15,0 1,754
2 30,0 1,351
Observa-se a mesma coerência dos resultados de análise estática de momentos
fletores que foi demonstrada para os comboios de veículos TB-12, exceção feita ao
96
último comboio, de apenas dois veículos, onde a razão entre momento fletor negativo
e positivo é próxima a 1,10. Isto porque os veículos de tal comboio nunca estão
simultaneamente no mesmo tramo da viga, o que isola os efeitos de seu
carregamento, aproximando um do outro os módulos dos momentos fletores.
Nota-se ainda que o comboio composto por oito veículos já ultrapassa o valor
indicado pela análise da Norma Brasileira [1] já considerando o coeficiente de impacto.
O que demonstra que a classe da ponte não indica a sua resistência a um
carregamento completo de veículos que determinam sua classe, como no caso de um
congestionamento. Vale ressaltar ainda que se está carregando apenas metade da
ponte nesta análise estática, e se supõe a mesma totalmente carregada pela hipótese
da NBR 7187 [1].
Na análise de esforço cortante nota-se, a exemplo do ocorrido na análise de
momento fletor, que o cálculo simplificado pela Norma Brasileira [1] não abrange um
possível carregamento de um comboio denso deslocando-se a baixa velocidade sobre
o tabuleiro. Entretanto, o dimensionamento da seção agrega uma reserva de
resistência ao esforço cortante (Tabela 6.4), devido à excessiva área de concreto na
seção transversal, que é necessária para garantir a qualidade da concretagem, à
resistência do tabuleiro quando solicitado como laje, etc.
O mesmo raciocínio pode ser aplicado para o deslocamento, onde apesar dos
resultados obtidos pela análise estática proposta já serem superiores aqueles obtidos
pela metodologia da NBR 7187 [1], acaba por ser pouco significativo, pois o limite
estabelecido para o deslocamento da estrutura é muito superior aos valores obtidos
pela análise estática (Tabela 6.4).
6.4.2.Modelo Estrutural II – ME-II
Considerando-se agora o Modelo Estrutural II (ME-II), em viga biapoiada com
balanços nas extremidades, de comprimento total de 36,0m, como apresentado na
Figura 4.6, simula-se o tráfego de dez comboios distintos, utilizando o programa
GDYNABT [36].
Os resultados para comboios de veículo TB-12 são apresentados na Tabela
6.13 para momentos fletores máximos positivos e negativos, na Tabela 6.14 para
cortantes máximos e na Tabela 6.15 para deslocamentos máximos no meio do vão
central e no extremo do balanço.
97
Tabela 6.13 – Momentos Fletores. Modelo Estrutural II. Veículos TB-12.
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Momento
Positivo
(kN.m)
Momento
Negativo
(kN.m)
6 4,5 1.903,00 720,00
5 6,0 1.350,00 540,00
4 7,5 1.106,00 540,00
3 10,5 823,30 539,90
2 15,0 833,20 540,00
Tabela 6.14 – Esforços Cortantes. Modelo Estrutural II. Veículos TB-12.
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Cortante
(kN)
6 4,5 370,60
5 6,0 292,50
4 7,5 237,30
3 10,5 180,00
2 15,0 180,00
Tabela 6.15 – Deslocamentos. Modelo Estrutural II. Veículos TB-12.
Deslocamento (mm)
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Vão Central Balanço
6 4,5 3,586 2,857
5 6,0 2,564 2,035
4 7,5 2,081 1,664
3 10,5 1,481 1,198
2 15,0 1,526 1,559
Aqui pode-se notar uma situação típica de estruturas isostáticas, onde a variação
do número de veículos não causa interferência no momento fletor negativo. Dada a
estrutura ser isostática, apenas o comboio de seis veículos é capaz de carregar o
balanço com mais de um veículo e incrementar o momento fletor negativo na seção do
apoio que é obtido exclusivamente pela carga e sua distribuição ao longo do trecho em
98
balanço da estrutura. A partir deste ponto, todos os demais comboios, mesmo com a
redução do número de veículos, não reduz o momento fletor negativo e as diferenças
encontradas são de origem meramente numérica.
Os resultados obtidos para o esforço cortante não são críticos, uma vez que a
ponte foi dimensionada para o veículo tipo TB-45, e a solicitação do TB-12 é menos
que um terço da do TB-45, a exemplo do observado para o modelo estrutural anterior.
Da mesma forma a análise de deslocamento devido ao carregamento de
veículos TB-12 tampouco provoca efeito significativo na estrutura, sendo bastante
inferior ao calculado para a estrutura e ainda menor em relação ao limite imposto pela
Norma [1].
Passando-se à análise do carregamento de comboios de veículos tipo TB-45,
pode-se observar que os resultados são apresentados na Tabela 6.16 para momentos
fletores máximos positivos e negativos, na Tabela 6.17 para cortantes máximos e na
Tabela 6.18 para deslocamentos máximos no meio do vão central e no extremo do
balanço.
Tabela 6.16 – Momentos Fletores. Modelo Estrutural II. Veículos TB-45.
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Momento
Positivo
(kN.m)
Momento
Negativo
(kN.m)
6 4,5 7.107,00 2.276,00
5 6,0 5.188,00 2.025,00
4 7,5 4.166,00 2.025,00
3 10,5 4.517,00 2.025,00
2 15,0 2.957,00 2.025,00
Tabela 6.17 – Esforços Cortantes. Modelo Estrutural II. Veículos TB-45.
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Cortante
(kN)
6 4,5 1.265,00
5 6,0 984,90
4 7,5 844,80
3 10,5 844,60
2 15,0 459,70
99
Tabela 6.18 – Deslocamentos. Modelo Estrutural II. Veículos TB-45.
Deslocamento (mm)
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Vão Central Balanço
6 4,5 13,500 10,790
5 6,0 9,695 7,728
4 7,5 7,883 6,347
3 10,5 8,472 6,824
2 15,0 5,234 5,013
Novamente nota-se que há coerência com os resultados obtidos na análise
estática de momentos fletores que foi demonstrada para os comboios de veículos tipo
TB-12.
Nota-se ainda que o comboio composto por seis veículos já carrega a ponte com
momento fletor positivo superior ao indicado pela análise da Norma Brasileira [1] já
considerando o coeficiente de impacto. O que demonstra novamente que a classe da
ponte não indica a sua resistência a um carregamento de comboio daquele veículo
que determina sua classe.
Porém, para esta estrutura isostática, a resposta do momento fletor negativo
contempla um carregamento de seis veículos TB-45 sobre a ponte.
Mais uma vez a análise de esforço cortante mostra, a exemplo do ocorrido na de
momento fletor, que o cálculo simplificado pela Norma Brasileira [1] não abrange um
possível carregamento de um comboio denso se deslocando a baixa velocidade sobre
o tabuleiro. Entretanto, o dimensionamento da seção novamente agrega uma reserva
de resistência ao esforço cortante (Tabela 6.6), pelas mesmas razões apresentadas
anteriormente.
O mesmo raciocínio pode ser aplicado para o deslocamento, onde apesar da
análise estática proposta já fornecer valores superiores aos obtidos pela metodologia
da NBR 7187 [1], acaba por se tornar pouco significativo em relação ao limite de
deslocamento da estrutura (Tabela 6.6).
100
6.5. Resultados Encontrados na Análise Dinâmica
6.5.1.Generalidades e Métodos
Desenvolve-se uma análise paramétrica com o objetivo de se avaliar os efeitos
dinâmicos provenientes das irregularidades superficiais existentes no tabuleiro sobre o
comportamento das pontes rodoviárias e suas conseqüências sobre as atitudes
correntes de projeto. A metodologia de análise é desenvolvida no domínio do tempo
de acordo com um modelo estatístico [9] e [10], conforme explicado em detalhes no
capítulo três desta dissertação.
O modelo matemático é concebido de forma a simular o conjunto do veículo e
do tabuleiro, denominado neste trabalho de sistema veículo-ponte. Simula-se o
tabuleiro das obras de arte por uma viga modelada com base em elementos finitos de
barra unidimensionais e discretizada com massas concentradas e flexibilidade
distribuída.
São considerados dois modelos distintos para representar os veículos do
comboio na análise paramétrica, com dois ou três eixos, todos simulados por sistemas
de massas, molas e amortecedores e descritos por graus de liberdade à translação e
rotação no plano.
As irregularidades da pista são definidas por um modelo matemático não-
determinístico, com base na densidade espectral do perfil do pavimento, obtida
experimentalmente [9]. São empregados três tipos de pavimentos, associados a pistas
de qualidade excelente, média e ruim [10].
O carregamento sobre a superestrutura das pontes é constituído por uma
sucessão infinita de veículos, igualmente espaçados e deslocando-se com velocidade
constante sobre o tabuleiro. Este tipo de simulação do carregamento dinâmico aponta
para a obtenção da resposta das pontes na fase permanente, de interesse especial
para análises de fadiga dessas estruturas.
São estudadas as respostas dos modelos estruturais, com base em tabuleiros
isostáticos e hiperestáticos de concreto armado, com e sem balanços, em seção do
tipo múltiplo “T”, em termos de deslocamentos e esforços nas seções onde ocorrem os
efeitos máximos.
101
6.5.2.Comportamento Geral do Sistema
Neste item são avaliados os efeitos de irregularidades superficiais no tabuleiro
sobre o comportamento de pontes rodoviárias submetidas à passagem de veículos no
domínio do tempo. Deste modo, realiza-se um estudo paramétrico com base na
variação dos sistemas estruturais (ME-I e ME-II), da velocidade e espaçamento entre
veículos e da qualidade do pavimento.
Convém chamar a atenção do leitor para o fato de que, em termos qualitativos,
as respostas dinâmicas dos modelos analisados, ao logo do tempo, basicamente,
possuem o mesmo aspecto. Assim sendo, de forma a limitar o espaço, são
apresentadas apenas as respostas no tempo para pistas com qualidade excelente,
obtidas com base no emprego de um dos comboios de veículos do tipo TB-12 para
cada modelo estrutural apresentado, tomando-se sempre por referência o comboio
que gerar maiores amplificações dinâmicas no sistema.
6.5.2.1. Modelo Estrutural I – ME-I
Considerando-se o modelo de viga hiperestática, em três vãos, projetado em
concreto armado com o comprimento total de 52,5m, designado por Modelo Estrutural
I (ME-I), apresentado na Figura 4.4, simula-se o tráfego de um comboio de 5 (cinco)
veículos tipo TB-12 [34], utilizando o programa GDYNABT [36].
Os resultados obtidos para a resposta dinâmica do sistema veículo-ponte, ao
longo do tempo, são apresentados nas Figuras 6.8 a 6.11, para momentos fletores
positivos (nó central do vão central), momentos fletores negativos (nó sobre o apoio
esquerdo do vão central), reações verticais do apoio esquerdo do vão central e
deslocamentos no meio do vão central, respectivamente.
Os gráficos a seguir, Figuras 6.8 a 6.11 apresentam no eixo das abscissas o
Fator de Amplificação Dinâmico (FAD), dado pela relação entre o valor da grandeza
dinâmica e seu correspondente valor estático máximo, a cada instante t, onde t é o
tempo decorrido na análise dinâmica, e no eixo das ordenadas a relação t/t
1
, onde t
1
é
o tempo de travessia de um veículo do comboio a uma determinada velocidade.
Todos os gráficos referem-se ao comboio de 5 veículos tipo TB-12 [34] e
qualidade de pista excelente, visto que todos os gráficos apresentam basicamente a
mesma configuração qualitativa, apenas variando de um para outro as amplitudes dos
Fatores de Amplificação Dinâmicos. Para esta análise específica foi utilizada apenas
uma amostra de irregularidade superficial, de forma a ilustrar o comportamento geral
do sistema veículo-ponte.
102
-6
-4
-2
0
2
4
6
0,0
1,
0
2,
0
3
,0
t/t1
FAD
Figura 6.8 – Momento Fletor Positivo na seção central do ME-I para o Comboio de 5
veículos TB-12 [34]
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0,0
1,0
2
,
0
3,
0
t/t1
FAD
Figura 6.9 – Momento Fletor Negativo na seção de apoio do ME-I para o Comboio de 5
veículos TB-12 [34]
-3
-2
-1
0
1
2
3
0,0
1,0
2
,
0
3,
0
t/t1
FAD
Figura 6.10 – Esforço Cortante na seção de apoio do ME-I para o Comboio de 5
veículos TB-12 [34]
103
-5
-3
-1
1
3
5
0,0
1,0
2
,
0
3,
0
t/t1
FAD
Figura 6.11 –Deslocamento na seção central do ME-I para o Comboio de 5 veículos TB-12
Inicialmente, pode-se relembrar os resultados obtidos de pesquisas anteriores
[22] e [33], onde foi demonstrado que as amplificações para pontes rodoviárias em
geral, devidas ao efeito da mobilidade dos veículos não são muito elevadas, sendo
próximas da unidade (FAD ≈ 1).
Analisando-se os gráficos das Figuras 6.8 a 6.11, nota-se, inicialmente, que
aquelas amplificações crescem drasticamente, até 400%, se considerarmos, ainda, o
efeito dinâmico produzido pelas irregularidades da pista correspondentes a um
pavimento de qualidade excelente.
Claramente, constata-se que as ações devidas às irregularidades da pista são
mais severas que as da mobilidade da carga, chegando mesmo a ultrapassar com boa
margem as produzidas pela presença estática dos veículos.
Verifica-se, também, que os valores máximos da resposta do sistema veículo-
ponte ocorrem na fase permanente dos gráficos, Figuras 6.8 a 6.11, onde observa-se
a nítida predominância de um período de 0,44 s (T
0
=0,44s), associado a uma
freqüência de travessia dos veículos (ou de excitação) igual a 2,26Hz (f
t
=2,26Hz). Este
período de 0,44s correspondente ao tempo de travessia entre dois veículos
subseqüentes do comboio, ou seja: T
0
= L
ev
/υ, onde L
ev
representa o espaçamento
entre veículos subseqüentes do comboio, neste caso 13,5m, e υ corresponde a
velocidade dos veículos, conforme mostrado na Figura 4.10. A freqüência de 2,26Hz
corresponde, praticamente, a primeira freqüência natural do sistema, f
01
(2,30Hz),
indicando que este comboio em particular provoca ressonância, no que tange a esta
freqüência do sistema veículo-viga (f
t
= f
01
).
Constata-se na fase transiente de todos os gráficos, a sucessiva entrada na
ponte dos veículos do comboio, pelas mudanças bruscas da curva nos instantes em
que esses veículos encontram-se na posição correspondente à distância que os
separa dos veículos anteriores. Assim sendo, as curvas representativas da resposta
104
do sistema deslocam-se para a direita com amplificações bem mais elevadas, até que
as pontes estejam completamente carregadas e os sistemas atinjam a fase
permanente da resposta.
Pode-se observar que a fase transiente do sistema, para este caso específico
de carregamento, estende-se até o instante em que o último veículo do segundo
comboio passa sobre o último nó da estrutura, ou seja, quando o tempo t é igualado
ao dobro do tempo t
1
que o carregamento leva para ocupar plenamente a estrutura.
Após esse tempo de carregamento inicial a fase permanente predomina na estrutura,
onde pode-se então observar as respostas do sistema.
Por fim, verifica-se que amplificação das ações devidas apenas à qualidade da
pista de rolamento já são mais severas que o coeficiente de impacto preconizado na
NBR 7187 [1], chegando a atingir valores da ordem de 4 (quatro). O que implica um
FAD de 5 (cinco) quando adiciona-se a amplificação das ações devida ao peso dos
veículos, em contraposição a um coeficiente de impacto [1] de no máximo 1,4 e, para
esta ponte, foi calculado em 1,16.
6.5.2.2. Modelo Estrutural II – ME-II
Considerando-se agora o Modelo Estrutural II (ME-II), constituído por um vão
central de 24,00m e dois balanços de 6,00m, isostático, como ilustrado na Figura 4.5,
simula-se o tráfego de um comboios de 6 (seis) veículos tipo TB-12, lembrando que
este comboio foi escolhido por se tratar daquele que gerou valores de Fator de
Amplificação Dinâmico (FAD) mais significativos, e que toda esta simulação foi feita
utilizando-se o programa GDYNABT [36].
Os resultados para comboios são apresentados nas Figuras 6.12 a 6.16 para
momentos fletores positivos (nó central do vão central), momentos fletores negativos
(nó sobre o apoio esquerdo do vão central), reações verticais do apoio esquerdo do
vão central, deslocamentos no meio do vão central e deslocamentos translacionais
verticais do nó de extremidade do balanço, respectivamente.
Todos os gráficos referem-se ao comboio de 6 (seis) veículos do tipo TB-12,
previsto pela Norma Brasileira NBR 7188 [34] e qualidade de pista excelente, visto que
todos os gráficos apresentam basicamente a mesma aparência do ponto de vista
qualitativo dos resultados, variando de um para outro os valores das amplitudes dos
Fatores de Amplificação Dinâmicos (FAD’s). Assim para não tornar massiva a
apresentação de resultados que serviriam apenas para ilustrar a repetição da
configuração de resposta dinâmica do sistema veículo-ponte, foram suprimidos os
demais gráficos.
105
-0,5
-0,3
-0,1
0,1
0,3
0,5
0,
0
1,
0
2,0
3,0
t/t1
FAD
Figura 6.12 – Momento Fletor Positivo na seção central do ME-II para o Comboio de 6
veículos TB-12
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0,0
1,0
2,0
3,0
t/t1
FAD
Figura 6.13 – Momento Fletor Negativo na seção de apoio do ME-II para o Comboio de 6
veículos TB-12
-0,5
-0,3
-0,1
0,1
0,3
0,5
0,0
1,0
2,0
3,0
t/t1
FAD
Figura 6.14 – Esforço Cortante na seção de apoio do ME-II para o Comboio de 6
veículos TB-12
106
-0,5
-0,3
-0,1
0,1
0,3
0,5
0,0
1,0
2,0
3,0
t/t1
FAD
Figura 6.15 – Deslocamento na seção central do ME-II para o Comboio de 6
veículos TB-12
-0,5
-0,3
-0,1
0,1
0,3
0,5
0,0
1,0
2,0
3,0
t/t1
FAD
Figura 6.16 – Deslocamento na seção de extremidade do balanço do ME-II para o
Comboio de 6 veículos TB-12
Constata-se que as ações devidas às irregularidades da pista podem atingir
valores mais severos que as da mobilidade da carga, chegando mesmo a ultrapassar
com alguma margem, as produzidas pela presença estática dos veículos.
Verifica-se, também, que os valores máximos da resposta do sistema veículo-
ponte ocorrem na transição da fase transiente para a fase permanente dos gráficos,
Figuras 6.12 a 6.16, sendo na fase permanente onde observa-se a nítida
predominância de um período de 0,81s (T
0
=0,81s), associado a uma freqüência de
travessia dos veículos (ou de excitação) igual a 1,23Hz (f
t
=1,23Hz). Este período de
0,81s correspondente ao tempo de travessia entre dois veículos subseqüentes do
comboio, ou seja: T
0
= L
ev
/υ, onde L
ev
representa o espaçamento entre veículos
subseqüentes do comboio, neste caso 7,5m, e υ corresponde a velocidade dos
veículos, conforme mostrado na Figura 4.12. Neste caso, pode-se observar que esta
107
freqüência não está associada a nenhuma freqüência natural do sistema veículo-
ponte, não resultando, portanto, em uma situação de ressonância.
Observa-se nos gráficos, a sucessiva entrada de veículos na ponte, dadas as
mudanças bruscas da curva nos instantes em que esses veículos encontram-se na
posição correspondente à distância que os separa dos veículos anteriores. Assim
sendo, as curvas representativas da resposta do sistema deslocam-se para a direita
com amplificações bem mais elevadas, até que as pontes estejam completamente
carregadas e os sistemas atinjam a fase permanente da resposta.
Pode-se observar que a fase transiente do sistema termina no momento em
que o último veículo do primeiro comboio passa sobre o último nó da estrutura, ou
seja, quando o tempo t é igualado ao tempo t
1
que o carregamento leva para ocupar
plenamente a estrutura. Após esse tempo de carregamento inicial, a fase permanente
predomina na estrutura, onde observam-se as respostas do sistema. Nota-se que as
amplificações são significativas, ainda que considerando apenas o efeito dinâmico
produzido pela irregularidade da pista.
Finalmente, verifica-se que os fatores de amplificação das ações devidas
apenas às irregularidades das pistas não são mais severos que o coeficiente de
impacto preconizado na NBR 7187 [1], entretanto quando adiciona-se a amplificação
das ações devida ao peso dos veículos chega-se a valores de até 1,90 em
contraposição a um coeficiente de impacto [1] de no máximo 1,4 e que no presente
caso foi calculado em 1,23 para os efeitos no vão central e em 1,32 para o
deslocamento na extremidade do balanço.
6.5.3.Análise Estatística dos Resultados
Passa-se agora para a análise estatística. É feita a apresentação de tabelas
mostrando os efeitos máximos médios para as seções principais dos modelos
estruturais (seção no meio do vão central, seção de apoio e seção de extremo de
balanço), considerando-se as pontes com a superfície do tabuleiro irregular utilizando
uma qualidade de pista excelente e apenas os fatores de amplificação dinâmicos
relativos às irregularidades da pista, desta forma a introdução do FAD relativo à
parcela da massa dos veículos é feita pela soma de uma unidade ao FAD relativo às
irregularidades, obtendo-se desta forma o FAD total.
As Tabelas 6.19 a 6.27 apresentam os resultados da análise com base nos
valores do fator de amplificação máximo médio, FAD, definido pela relação entre os
efeitos dinâmicos máximos médios, E[R], e os efeitos estáticos; onde R representa
uma variável genérica da resposta do sistema. São apresentadas, ainda, a média
108
quadrática, E[R
2
], a variância, σ
R
2
, e o desvio padrão, σ
R
, todos associados à resposta
do sistema.
Na presente análise, calculam-se os valores do Fator de Amplificação Dinâmico
Máximo Médio (FAD), a partir de uma média dos valores das amplificações máximas,
obtidas com base na travessia de cada comboio de veículos sobre o tabuleiro das
obras de arte, considerando-se par tal cinqüenta amostras de irregularidades distintas
[22] e [33]. Tal procedimento será adotado ao longo do restante de toda a dissertação.
Calcula-se a média estatística dos valores máximos da resposta na fase
permanente, E[R], em valor absoluto, utilizando-se a expressão:
[]
∑
=
=
N
1i
i
r
N
1
RE
(6.8)
onde R é uma variável genérica da resposta do sistema e N o número de
irregularidades utilizadas na análise. Obtém-se, ainda, a variância, σ²
R
, e o desvio
padrão, σ
R
:
[
]
[]
{}
RE
R
E
2
2
2
R
−=
σ
(6.9)
[]
[]
{}
RE
R
E
2
2
2
RR
−=
σ
=
σ
(6.10)
onde E[R
2
] representa a média quadrática da resposta do sistema veículo-viga, sendo
obtida pela expressão:
[]
∑
=
=
N
1i
2
i
2
r
N
1
R
E (6.11)
São apresentados apenas os resultados para os comboios de veículos TB-12,
por serem os mais freqüentes no trânsito brasileiro e o pavimento de qualidade
excelente, pois, conforme será demonstrado a seguir, as demais qualidades de
pavimento geram esforços excessivamente altos para os padrões de projeto.
6.5.3.1. Modelo Estrutural I - ME-I
Considerando-se o modelo de viga hiperestática de 52,5m, dividida, em três
vãos, sendo o vão central de 34,5m, designado por Modelo Estrutural I (ME-I),
ilustrado na Figura 4.4, simula-se o tráfego de cinco comboios de veículos tipo TB-12
distintos, utilizando o programa GDYNABT [36].
109
Os resultados para comboios são apresentados na Tabela 6.19 para momentos
fletores positivos (nó central do vão central), na Tabela 6.20 para momentos fletores
negativos (nó sobre o apoio esquerdo do vão central), na Tabela 6.21 para esforços
cortantes na seção sobre o apoio esquerdo do vão central e na Tabela 6.22 para
deslocamentos no meio do vão central.
Tabela 6.19 – Momentos Fletores Positivos. Modelo Estrutural I.
Veículos TB-12. Análise Estatística
Comboio FAD
E[M]
(kN.m)
E[M²]
(kN².m²)
σ
2
M
(kN².m²)
σ
2
M
(kN.m)
[]
ME
2
M
σ
4 veículos
120km/h
1,64 3.108,60 9,79E+06 1,24E+05 352,00 11%
5 veículos
110km/h
2,09 2.165,80 5,07E+06 3,76E+05 613,00 28%
6 veículos
100km/h
0,73 1.749,30 3,10E+06 4,02E+04 201,00 11%
7 veículos
80km/h
0,60 4.254,25 1,85E+07 4,47E+05 212,00 5%
8 veículos
20km/h
0,57 1.720,80 3,05E+06 8,53E+04 292,00 17%
Tabela 6.20 – Momentos Fletores Negativos. Modelo Estrutural I.
Veículos TB-12. Análise Estatística
Comboio FAD
E[M]
(kN.m)
E[M²]
(kN².m²)
σ
2
M
(kN².m²)
σ
2
M
(kN.m)
[]
ME
2
M
σ
4 veículos
120km/h
1,35 3.648,00 1,33E+07 3,27E+04 181,00 5%
5 veículos
110km/h
1,94 2.245,10 5,18E+06 1,41E+05 376,00 17%
6 veículos
100km/h
0,60 2.648,60 7,02E+06 9,43E+03 97,10 4%
7 veículos
80km/h
0,56 4.675,50 2,19E+07 1,82E+04 135,00 3%
8 veículos
20km/h
0,55 1.887,00 3,58E+06 2,21E+04 149,00 8%
110
Tabela 6.21 – Esforços Cortantes. Modelo Estrutural I.
Veículos TB-12. Análise Estatística
Comboio FAD
E[Q]
(kN)
E[Q²]
(kN²)
σ
2
Q
(kN²)
σ
2
Q
(kN)
[]
QE
2
Q
σ
4 veículos
120km/h
1,23 3.648,00 4,15E+05 5,15E+03 72,00 11%
5 veículos
110km/h
1,57 2.245,10 2,48E+05 9,44E+03 97,10 20%
6 veículos
100km/h
0,79 2.648,60 3,13E+05 3,70E+03 60,90 11%
7 veículos
80km/h
0,63 4.675,50 9,08E+05 2,92E+03 54,00 6%
8 veículos
20km/h
0,52 1.887,00 1,92E+05 3,39E+03 58,30 13%
Tabela 6.22 – Deslocamentos. Modelo Estrutural I.
Veículos TB-12. Análise Estatística
Comboio FAD
E[v]
(mm)
E[v²]
(mm²)
v
2
σ
(mm²)
v
2
σ
(mm)
[]
vE
2
v
σ
4 veículos
120km/h
1,40 2,56 6,56 0,006 0,080 3%
5 veículos
110km/h
1,93 1,47 2,17 0,009 0,095 6%
6 veículos
100km/h
0,52 1,27 1,62 0,007 0,084 7%
7 veículos
80km/h
0,47 3,27 10,70 0,007 0,084 3%
8 veículos
20km/h
0,49 1,26 1,59 0,002 0,049 4%
Observa-se ainda que todas as tabelas apresentam os resultados, referentes à
resposta do sistema veículo-viga, com base na geração de 50 amostras de
irregularidades definidas segundo o modelo não-determinístico, conforme o capítulo
três desta dissertação.
111
Dentro do propósito desta análise, focalizam-se, agora, os valores dos fatores
de amplificação máximos médios, FAD, que representam a relação entre os efeitos
dinâmicos máximos médios e os efeitos estáticos, Tabelas 6.19 a 6.22.
Verifica-se, novamente, que as ações dinâmicas provenientes exclusivamente
das irregularidades superficiais com qualidade da pista excelente, Tabelas 6.19 a 6.22,
representam parcela considerável na resposta do sistema veículo-ponte, chegando
mesmo a ultrapassar, em determinados casos, as produzidas pela mobilidade da
carga [22, 33] e, também, as ações estáticas devidas ao peso das viaturas. O
problema cresce de importância no caso de irregularidades superficiais com qualidade
da pista ruim, conforme foi verificado ao logo desta investigação e será apresentado
no item 6.5.4 deste capítulo.
Os fatores de amplificação que incluem os efeitos da mobilidade da carga e
das irregularidades da pista de qualidade excelente, atuando em conjunto, crescem
consideravelmente com relação aos devidos, exclusivamente, ao efeito da mobilidade
da carga, indicando, mais uma vez, a importância da consideração dos efeitos
dinâmicos provenientes das irregularidades superficiais, em pista de qualidade inferior,
sobre o comportamento dos tabuleiros rodoviários.
6.5.3.2. Modelo Estrutural II – ME-II
Considerando-se agora o Modelo Estrutural II (ME-II), viga isostática com
balanços, constituído por um vão central de 24,0m e dois balanços de 6,0m, como
apresentado no Capítulo 4, Figura 4.5, simula-se o tráfego de cinco comboios distintos
de veículos TB-12, utilizando o programa GDYNABT [36].
Os resultados para comboios de veículos TB-12 são apresentados nas Tabelas
6.23 a 6.27 para momentos fletores positivos (nó central do vão central), para
momentos fletores negativos (nó sobre o apoio esquerdo do vão central), para
esforços cortantes na seção sobre o apoio esquerdo do vão central, para
deslocamentos no meio do vão central e para deslocamentos no extremo do balanço,
respectivamente.
112
Tabela 6.23 – Momentos Fletores Positivos. Modelo Estrutural II.
Veículos TB-12. Análise Estatística
Comboio FAD
E[M]
(kN.m)
E[M²]
(kN².m²)
σ
2
M
(kN².m²)
σ
2
M
(kN.m)
[]
M
2
M
E
σ
2 veículos
120km/h
1,05 2.854,50 8,29E+06 1,42E+05 377,00 13%
3 veículos
110km/h
0,98 1.890,00 3,71E+06 1,38E+05 372,00 20%
4 veículos
100km/h
0,45 1.437,80 2,08E+06 1,68E+04 130,00 9%
5 veículos
80km/h
0,35 1.234,95 1,55E+06 2,00E+04 142,00 11%
6 veículos
20km/h
0,45 1.416,44 2,05E+06 3,94E+04 198,00 14%
Tabela 6.24 – Momentos Fletores Negativos. Modelo Estrutural II.
Veículos TB-12. Análise Estatística
Comboio FAD
E[M]
(kN.m)
E[M²]
(kN².m²)
σ
2
M
(kN².m²)
σ
2
M
(kN.m)
[]
M
2
M
E
σ
2 veículos
120km/h
0,83 1.224,00 1,51E+06 1,30E+04 114,00 9%
3 veículos
110km/h
0,94 1.134,00 1,31E+06 2,72E+04 165,00 15%
4 veículos
100km/h
0,62 1.026,00 1,12E+06 6,35E+04 79,70 8%
5 veículos
80km/h
0,56 1.025,81 1,06E+06 9,89E+03 99,40 10%
6 veículos
20km/h
0,79 972 9,95E+05 5,05E+04 225,00 23%
113
Tabela 6.25 – Esforços Cortantes. Modelo Estrutural II.
Veículos TB-12. Análise Estatística
Comboio FAD
E[Q]
(kN)
E[Q²]
(kN²)
σ
2
Q
(kN²)
σ
2
Q
(kN)
[]
Q
2
Q
E
σ
2 veículos
120km/h
1,82 481,78 2,34E+05 2,15E+03 46,40 10%
3 veículos
110km/h
1,08 380,25 1,47E+05 2,07E+03 45,40 12%
4 veículos
100km/h
0,56 379,68 1,45E+05 7,00E+02 26,50 7%
5 veículos
80km/h
0,46 414,00 1,77E+05 5,51E+03 23,40 6%
6 veículos
20km/h
0,46 612,00 3,86E+05 1,17E+04 34,30 6%
Tabela 6.26 – Deslocamentos no Vão Central. Modelo Estrutural II.
Veículos TB-12. Análise Estatística
Comboio FAD
E[v]
(mm)
E[v²]
(mm²)
v
2
σ
(mm²)
v
2
σ
(mm)
[]
v
2
v
E
σ
2 veículos
120km/h
1,14 4,30 18,50 0,010 0,100 2%
3 veículos
110km/h
0,93 3,33 11,09 0,001 0,033 1%
4 veículos
100km/h
0,39 3,12 9,74 0,006 0,075 2%
5 veículos
80km/h
0,31 2,07 4,29 0,005 0,071 3%
6 veículos
20km/h
0,44 2,59 6,71 0,002 0,044 2%
114
Tabela 6.27 – Deslocamentos no Extremo do Balanço Modelo Estrutural II.
Veículos TB-12. Análise Estatística
Comboio FAD
E[v]
(mm)
E[v²]
(mm²)
v
2
σ
(mm²)
v
2
σ
(mm)
[]
v
2
v
E
σ
2 veículos
120km/h
0,96 3,71 13,77 0,006 0,077 2%
3 veículos
110km/h
0,88 2,85 8,13 0,008 0,087 3%
4 veículos
100km/h
0,40 2,66 7,08 0,004 0,066 2%
5 veículos
80km/h
0,33 1,92 3,69 0,004 0,060 3%
6 veículos
20km/h
0,49 2,96 8,77 0,008 0,092 3%
Concentra-se agora a atenção do leitor sobre os valores do fator de
amplificação máximo médio, FAD, que representa a relação entre os efeitos dinâmicos
máximos médios e os efeitos estáticos, descritos nas Tabelas 6.23 a 6.27.
Nota-se, novamente, que as ações dinâmicas provenientes exclusivamente das
irregularidades superficiais com qualidade da pista excelente, Figura 3.8, representam
uma parcela significativa na resposta do sistema veículo-ponte, chegando mesmo a
ultrapassar, em determinados casos, as produzidas pela mobilidade da carga. A
questão torna-se de maior relevância no caso de qualidade de pista ruim, conforme foi
verificado ao longo desta investigação e será apresentado no item 6.5.4 deste
capítulo.
Os FAD’s que incluem os efeitos da mobilidade da carga e das irregularidades
da pista de qualidade excelente, atuando em conjunto, crescem consideravelmente
com relação aos devidos, exclusivamente, ao efeito da mobilidade da carga,
indicando, mais uma vez, a importância de se levar em conta os efeitos dinâmicos
provenientes das irregularidades superficiais, em pista de qualquer qualidade, sobre o
comportamento dos tabuleiros rodoviários.
115
6.5.4.Variação do Fator de Amplificação Dinâmico (FAD) de acordo com a
Qualidade do Pavimento
6.5.4.1. Modelo Estrutural I – ME-I
Considerando-se o modelo de viga contínua, em três vãos, projetado em
concreto armado com o comprimento de vão central de 34,5m e comprimento total de
obra de arte de 52,5m, designado por Modelo Estrutural I (ME-I), Figura 4.4, simula-se
o tráfego de onze comboios distintos, utilizando o programa GDYNABT [36].
Os Fatores de Amplificação Dinâmicos (FAD’s) para comboios de veículo TB-
12 são apresentados na Tabela 6.28 para momentos fletores máximos positivos, na
Tabela 6.29 para momentos fletores máximos negativos, na Tabela 6.30 para
cortantes máximos e na Tabela 6.31 para deslocamentos máximos.
Destaca-se que o Fator de Amplificação Dinâmico Máximo Médio (FAD) é
definido pela relação entre os efeitos dinâmicos máximos médios (esforços e
deslocamentos) e os efeitos estáticos na seção do sistema estrutural considerada na
análise. Para tal, são consideradas cinqüenta amostras de irregularidades superficiais
distintas, como já explicado anteriormente.
É conveniente utilizar-se o Fator de Amplificação Dinâmico Máximo Médio
(FAD), já que o mesmo exprime uma quantidade integral, no tempo e no espaço, que
pode bem representar as diversas variações e singularidades do problema em estudo;
isto porque existe uma afinidade destacada entre a definição do FAD e a metodologia
utilizada, na prática de projeto, para cálculo das diversas grandezas determinantes do
dimensionamento. Assim, o FAD pode prestar-se a uma crítica às recomendações da
NBR 7187 [1].
Vale ressaltar que o momento fletor máximo positivo encontra-se no meio do
vão central e que o momento fletor máximo negativo encontra-se sobre o segundo
apoio deste modelo estrutural. Assim por se tratarem de pontos diferentes, possuem
FAD’s distintos também.
116
Tabela 6.28 – Momentos Positivos. Modelo Estrutural I.
Veículos TB-12. Análise de FAD
FAD
Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Velocidade
(km/h)
Excelente Média Ruim
8 4,5 20 1,80 3,21 5,42
7 6,0 80 1,70 3,34 5,67
6 7,5 100 1,70 3,88 6,77
5 10,5 110 5,50 9,11 17,23
4 15,0 120 3,00 6,30 14,54
Tabela 6.29 – Momentos Negativos. Modelo Estrutural I.
Veículos TB-12. Análise de FAD
FAD
Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Velocidade
(km/h)
Excelente Média Ruim
8 4,5 20 1,60 2,90 4,79
7 6,0 80 1,30 2,93 4,86
6 7,5 100 1,90 3,24 5,48
5 10,5 110 4,50 7,44 13,87
4 15,0 120 2,50 7,77 11,61
Tabela 6.30 – Esforços Cortantes. Modelo Estrutural I.
Veículos TB-12. Análise de FAD
FAD
Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Velocidade
(km/h)
Excelente Média Ruim
8 4,5 20 1,30 2,85 4,71
7 6,0 80 1,30 3,19 5,38
6 7,5 100 1,80 3,75 6,51
5 10,5 110 4,00 7,73 14,45
4 15,0 120 2,40 6,13 11,26
117
Tabela 6.31 – Deslocamentos. Modelo Estrutural I.
Veículos TB-12. Análise de FAD
FAD
Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Velocidade
(km/h)
Excelente Média Ruim
8 4,5 20 1,70 2,95 4,91
7 6,0 80 1,30 2,87 4,75
6 7,5 100 1,40 3,06 5,11
5 10,5 110 5,00 8,67 16,34
4 15,0 120 2,70 6,65 12,31
Observando-se os valores dos FAD’s mostrados nas Tabelas 6.28 a 6.31,
percebe-se, claramente, o nível bastante elevado das amplificações existentes sobre
as obras de arte rodoviárias analisadas, mesmo considerando-se pavimentos de
qualidade excelente, algo difícil de encontrar-se nas rodovias e pontes do país.
Percebe-se que à medida que a qualidade do pavimento diminui essas amplificações
aumentam drasticamente, denotando que o problema em questão é grave e que o
coeficiente de impacto da norma brasileira de pontes [1] necessita de uma revisão.
Como já é conhecido da comunidade científica que estuda o problema [22, 23,
27, 31, 35], o FAD não é função exclusiva da velocidade e/ou do número de veículos,
pois podem ser observados níveis de amplificações distintos com a variação destes
parâmetros, conforme é ilustrado nas Tabelas 6.28 a 6.31.
Na realidade o FAD depende de uma possível condição de ressonância que
ocorre quando a freqüência proveniente da excitação (comboio de veículos) é igual ou
mesmo próxima de uma das freqüências naturais do sistema veículo-ponte. Sob essas
condições, o tabuleiro atingirá uma situação em que predomina a fase permanente da
resposta, que incorpora repetições de valores extremos, de interesse direto para uma
análise de fadiga do material [38].
Os casos investigados nesta dissertação o tabuleiro das obras de arte não foi
colocado propositalmente em ressonância com a excitação dinâmica proveniente das
viaturas, o que demonstra que essas amplificações, bastante elevadas, podem surgir,
correntemente, em situações reais da prática de projeto. Percebe-se, também, que
essas amplificações (deslocamentos e esforços) variam de acordo com o número de
veículos do comboio, velocidade dos veículos e qualidade da pista.
Por outro lado, constata-se que a linha das Tabelas 6.28 a 6.31,
correspondente ao comboio de cinco veículos com velocidade de 110km/h certamente
118
encontra-se associada a uma condição de ressonância em relação ao sistema veículo-
ponte, conforme verificação feita (f
t
= f
02
), pois apresenta as maiores amplificações da
presente análise (Veículos TB-12).
Deste modo, a amplificação máxima média no ME-I, Figura 4.4, considerando-
se um pavimento de qualidade excelente e somente para os comboios TB-12
considerados nesta análise, Tabelas 6.28 a 6.31, ocorre quando a velocidade dos
veículos é igual a 110 km/h. Estes valores de amplificação são iguais a 5,5 para o
momento fletor positivo, 4,5 para o momento fletor negativo, 4,0 para o esforço
cortante e 5,0 para o deslocamento translacional vertical. Portanto, como mencionado
anteriormente, essas amplificações são muito elevadas.
A causa de tal magnitude referente as amplificações foi abordada e analisada
anteriormente no item 6.5.3, onde mostrou-se a proximidade do valor da freqüência de
carregamento e do valor da freqüência natural do sistema veículo-ponte, denotando-se
desta forma uma situação de ressonância (f
t
= f
02
).
São apresentadas, na seqüência do texto, as Tabelas 6.32 a 6.35, referentes
aos valores dos FAD’s obtidos mediante o emprego dos comboios de veículos TB-45.
Evidentemente, a análise dos resultados, basicamente, é a mesma, modificando-se
apenas o peso e o número de eixos dos veículos.
Tendo em vista que a análise estática dos esforços resultantes da passagem
dos comboios TB-45 já eleva sobremaneira os valores de cálculo e que os FAD’s para
qualidade de pista excelente também sobrepujam os valores estabelecido para
coeficiente de impacto do modelo estrutural em questão, são analisados apenas o
FAD’s para qualidade de pista excelente e apenas o comboio de dois veículos TB-45,
que foi o comboio que menos carregou a estrutura, foi analisado para as qualidades
de pista média e ruim.
Tabela 6.32 – Momentos Positivos. Modelo Estrutural I.
Veículos TB-45. Análise de FAD
FAD
Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Velocidade
(km/h)
Excelente Média Ruim
8 4,5 20 1,30 - -
7 6,0 80 1,80 - -
6 7,5 100 1,70 - -
5 10,5 110 2,80 - -
4 15,0 120 2,30 - -
2 30,0 120 2,73
7,92 14,84
119
Tabela 6.33 – Momentos Negativos. Modelo Estrutural I.
Veículos TB-45. Análise de FAD
FAD
Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Velocidade
(km/h)
Excelente Média Ruim
8 4,5 20 1,20 - -
7 6,0 80 1,80 - -
6 7,5 100 1,50 - -
5 10,5 110 2,60 - -
4 15,0 120 2,30 - -
2 30,0 120 2,30
8,74 16,48
Tabela 6.34 – Esforços Cortantes. Modelo Estrutural I.
Veículos TB-45. Análise de FAD
FAD
Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Velocidade
(km/h)
Excelente Média Ruim
8 4,5 20 1,30 - -
7 6,0 80 1,50 - -
6 7,5 100 1,70 - -
5 10,5 110 2,80 - -
4 15,0 120 2,70 - -
2 30,0 120 2,70 6,72 12,44
Tabela 6.35 – Deslocamentos. Modelo Estrutural I.
Veículos TB-45. Análise de FAD
FAD
Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Velocidade
(km/h)
Excelente Média Ruim
8 4,5 20 1,20 - -
7 6,0 80 1,40 - -
6 7,5 100 1,70 - -
5 10,5 110 2,90 - -
4 15,0 120 2,00 - -
2 30,0 120 2,00
8,75 16,50
120
Analisando-se os valores dos Fatores de Amplificação Dinâmicos Máximos
Médios mostrados nas Tabelas 6.32 a 6.35, percebe-se, claramente, o elevado nível
de amplificação atuante nas obras de arte rodoviárias analisadas, ainda que
considerando-se apenas os pavimentos de qualidade excelente. Percebe-se que com
a deterioração do pavimento essas amplificações aumentam exponencialmente,
denotando que o problema em questão é grave.
Estudos recentes da comunidade científica que estuda o problema [22, 23, 27,
31, 35], já demonstram que o FAD não é função exclusiva da velocidade e/ou do
número de veículos, pois podem ser observados níveis de amplificações distintos com
a variação destes parâmetros, fato que é reiterado pelos resultados apresentados nas
Tabelas 6.32 a 6.35.
Vale ressaltar que nos casos investigados nesta dissertação o sistema
estrutural das obras de arte não foi colocado propositalmente em ressonância com a
excitação dinâmica proveniente da passagem dos comboios de veículos, o que
demonstra que essas amplificações, bastante elevadas, podem surgir,
corriqueiramente, em situações da prática de projeto. No modelo estrutural (ME-I), por
exemplo, para os comboios de veículos TB-45 [34] empregados na presente análise, a
condição de ressonância não ocorre.
Percebe-se, também, que essas amplificações, tanto de deslocamentos quanto
de esforços, variam de acordo com os parâmetros analisados, ou seja, o número de
veículos do comboio, velocidade dos veículos e qualidade da pista. Dentre os
comboios de veículos TB-45, o comboio de cinco veículos com velocidade de
110km/h, já não encontra-se associada a uma condição de ressonância em relação ao
sistema veículo-ponte, como estava o comboio de cinco veículos TB-12, pois a
primeira freqüência natural do sistema veículo-ponte é diferente em função do veículo
ser um TB-12 ou um TB-45, dadas suas distintas características de massa, rigidez e
amortecimento. Assim o comboio de cinco veículos apresenta a mesma ordem de
grandeza de amplificações das demais análises (Veículos TB-45).
Deste modo, a amplificação máxima média ME-I, Figura 4.4, considerando-se
um pavimento de qualidade excelente e somente para os comboios TB-45
considerados nesta análise, Tabelas 6.32 a 6.35, ocorre quando a velocidade dos
veículos é igual a 110 km/h. Estes valores de amplificação são iguais a 2,8 para o
momento fletor positivo, 2,6 para o momento fletor negativo, 2,8 para o esforço
cortante e 2,9 para o deslocamento translacional vertical. Portanto, como mencionado
anteriormente, essas amplificações são muito elevadas.
121
6.5.4.2. Modelo Estrutural II – ME-II
Considerando-se, agora, o modelo de viga biapoiada, projetado em concreto
armado com o comprimento de vão central de 24m, dois balanços extremos de 6m
cada e comprimento total de obra de arte de 36m, designado por Modelo Estrutural II
(ME-II), apresentado na Figura 4.5, simula-se o tráfego de dez comboios distintos,
utilizando o programa GDYNABT [36]. Repete-se, novamente, que são empregadas
cinqüenta amostras de irregularidades superficiais distintas [22 e 33].
Os Fatores de Amplificação Dinâmicos (FAD’s) para comboios de veículo TB-
12 são apresentados na Tabela 6.36 para momentos fletores máximos positivos, na
Tabela 6.37 para momentos fletores máximos negativos, na Tabela 6.38 para
cortantes máximos, na Tabela 6.39 para deslocamentos máximos no meio do vão
central e na Tabela 6.40 para deslocamentos máximos na extremidade do balanço.
Tabela 6.36 – Momentos Positivos. Modelo Estrutural II.
Veículos TB-12. Análise de FAD
FAD
Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Velocidade
(km/h)
Excelente Média Ruim
6 4,5 20 1,50 2,80 3,59
5 6,0 80 1,40 2,42 2,83
4 7,5 100 1,30 4,59 3,59
3 10,5 110 1,50 4,85 7,70
2 30,0 120 1,70 5,21 8,43
Tabela 6.37 – Momentos Negativos. Modelo Estrutural II.
Veículos TB-12. Análise de FAD
FAD
Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Velocidade
(km/h)
Excelente Média Ruim
6 4,5 20 1,70 7,04 12,06
5 6,0 80 2,10 4,12 8,25
4 7,5 100 1,90 9,64 8,64
3 10,5 110 1,90 5,82 9,64
2 30,0 120 1,80 4,52 7,04
122
Tabela 6.38 – Esforços Cortantes. Modelo Estrutural II.
Veículos TB-12. Análise de FAD
FAD
Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Velocidade
(km/h)
Excelente Média Ruim
6 4,5 20 1,3 2,92 3,84
5 6,0 80 1,3 5,96 9,91
4 7,5 100 1,6 9,88 8,88
3 10,5 110 2,3 6,09 10,18
2 30,0 120 3,4 6,16 10,31
Tabela 6.39 – Deslocamentos na Seção Central. Modelo Estrutural II.
Veículos TB-12. Análise de FAD
FAD
Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Velocidade
(km/h)
Excelente Média Ruim
6 4,5 20 1,2 2,77 3,55
5 6,0 80 1,3 2,21 2,43
4 7,5 100 1,5 4,08 3,08
3 10,5 110 1,4 4,66 7,32
2 30,0 120 1,7 5,42 8,84
Tabela 6.40 – Deslocamentos no Extremo do Balanço. Modelo Estrutural II.
Veículos TB-12. Análise de FAD
FAD
Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Velocidade
(km/h)
Excelente Média Ruim
6 4,5 20 1,3 2,96 3,93
5 6,0 80 1,4 2,72 3,43
4 7,5 100 1,6 4,89 3,89
3 10,5 110 1,6 5,60 9,19
2 30,0 120 1,9 6,21 10,42
Por observação dos valores dos FAD’s mostrados nas Tabelas 6.36 a 6.40,
percebem-se níveis bastante elevados de amplificações sobre as obras de arte
123
rodoviárias estudadas, mesmo considerando-se pavimentos de qualidade excelente,
do mesmo modo como na ponte anterior.
Percebe-se que à medida que a qualidade do pavimento decai, essas
amplificações aumentam significativamente, denotando que o problema em questão é
relevante.Na realidade o FAD depende da razão entre a freqüência proveniente da
excitação (comboio de veículos) e as freqüências naturais do sistema veículo-ponte,
quanto mais próxima for esta relação da unidade, maiores serão as amplificações, o
que indica uma situação de possível ressonância.
Sob essas condições, o tabuleiro atingirá uma situação tal em que predomina a
fase permanente da resposta, que incorpora repetições de valores extremos,
interessantes para uma análise de fadiga do material [38].
Lembra-se, novamente, que nos casos investigados nesta dissertação o
tabuleiro das obras de arte não foi colocado propositalmente em ressonância com a
excitação dinâmica proveniente das viaturas, o que demonstra que essas
amplificações, bastante elevadas, podem surgir, correntemente, em situações reais da
prática de projeto, independentemente de uma situação de ressonância.
Essas amplificações de deslocamentos e esforços variam de acordo com o
número de veículos do comboio, velocidade dos veículos e qualidade da pista, que
foram parâmetros variados, gerando várias respostas distintas.
Assim, a amplificação máxima no ME-II, Figura 4.5, considerando-se um
pavimento de qualidade excelente e somente para os comboios TB-12 considerados
nesta análise, Tabelas 6.36 a 6.40, ocorre quando a velocidade dos veículos é igual a
120 km/h. Estes valores de amplificação são iguais a 1,7 para o momento fletor
positivo, 1,8 para o momento fletor negativo, 3,4 para o esforço cortante, 1,7 para o
deslocamento translacional vertical na seção central e 1,9 para o deslocamento na
seção de extremidade do balanço. Portanto, como mencionado anteriormente, essas
amplificações são muito elevadas.
São apresentadas, na seqüência do texto, as Tabelas 6.41 a 6.45, referentes
aos valores dos FAD’s para momentos fletores positivos, momentos fletores negativos,
esforços cortantes, deslocamentos na seção central e deslocamentos no extremo do
balanço, respectivamente, obtidos mediante o emprego dos comboios de veículos TB-
45. A análise dos resultados, basicamente, é a mesma, modificando-se apenas o peso
e o número de eixos das viaturas dos comboios.
Tendo em vista que a análise estática dos esforços resultantes da passagem
dos comboios TB-45 já eleva sobremaneira os valores de cálculo e que os FAD’s para
qualidade de pista excelente também superam os valores estabelecidos para
coeficiente de impacto do modelo estrutural em questão, são analisados apenas o
124
FAD’s para qualidade de pista excelente, sendo apenas o comboio de dois veículos
TB-45 analisado para as qualidades de pista média e ruim.
Tabela 6.41 – Momentos Positivos. Modelo Estrutural II.
Veículos TB-45. Análise de FAD
FAD
Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Velocidade
(km/h)
Excelente Média Ruim
6 4,5 20 1,20 - -
5 6,0 80 1,30 - -
4 7,5 100 1,40 - -
3 10,5 110 2,20 - -
2 30,0 120 1,90 6,27 10,53
Tabela 6.42 – Momentos Negativos. Modelo Estrutural II.
Veículos TB-45. Análise de FAD
FAD
Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Velocidade
(km/h)
Excelente Média Ruim
6 4,5 20 1,70 - -
5 6,0 80 2,30 - -
4 7,5 100 1,70 - -
3 10,5 110 4,00 - -
2 30,0 120 2,10 5,28 8,56
Tabela 6.43 – Esforços Cortantes. Modelo Estrutural II.
Veículos TB-45. Análise de FAD
FAD
Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Velocidade
(km/h)
Excelente Média Ruim
6 4,5 20 1,30 - -
5 6,0 80 1,60 - -
4 7,5 100 1,70 - -
3 10,5 110 2,40 - -
2 30,0 120 3,00 8,28 14,57
125
Tabela 6.44 – Deslocamentos na Seção Central. Modelo Estrutural II.
Veículos TB-45. Análise de FAD
FAD
Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Velocidade
(km/h)
Excelente Média Ruim
6 4,5 20 1,20 - -
5 6,0 80 1,30 - -
4 7,5 100 1,60 - -
3 10,5 110 2,40 - -
2 30,0 120 1,90 6,69 11,40
Tabela 6.45 – Deslocamentos no Extremo do Balanço. Modelo Estrutural II.
Veículos TB-45. Análise de FAD
FAD
Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Espaçamento
entre Veículos
(m)
Velocidade
(km/h)
Excelente Média Ruim
6 4,5 20 1,20 - -
5 6,0 80 1,30 - -
4 7,5 100 1,80 - -
3 10,5 110 2,80 - -
2 30,0 120 2,00 7,62 13,25
Nota-se nas Tabelas 6.41 a 6.45, o elevado grau de amplificação dinâmica nas
pontes rodoviárias analisadas, ainda que utilizando-se pavimentos de qualidade
excelente. Percebe-se que conforme a deterioração do pavimento se desenvolve,
essas amplificações aumentam substancialmente, denotando que a questão é grave.
O FAD depende de uma possível condição de ressonância que ocorre quando
a freqüência proveniente da excitação (comboio de veículos) é igual ou mesmo
próxima da freqüência fundamental do sistema veículo-ponte. Portanto, nos casos
investigados nesta dissertação o tabuleiro das obras de arte não foi colocado
propositalmente em ressonância com a excitação dinâmica proveniente das viaturas, o
que demonstra que essas amplificações, bastante elevadas, podem surgir em
situações reais.
Sob essas condições, o tabuleiro atingirá uma situação em que predomina a
fase permanente da resposta, que incorpora repetições de valores extremos, de
interesse direto para uma análise de fadiga do material [38].
126
Observa-se, ainda, que as amplificações (deslocamentos e esforços) variam de
acordo com o número de veículos do comboio, velocidade dos veículos e qualidade da
pista. Dentre os comboios de veículos TB-45, o comboio de três veículos com
velocidade de 110km/h, provavelmente encontra-se associado a uma condição de
ressonância em relação ao sistema veículo-ponte, pois apresenta ordem de grandeza
de amplificações superior à das demais análises (Veículos TB-45).
Deste modo, a amplificação máxima no ME-II, Figura 4.5, considerando-se um
pavimento de qualidade excelente e somente para os comboios TB-45 considerados
nesta análise, Tabelas 6.41 a 6.45, ocorre quando a velocidade dos veículos é igual a
110 km/h. Estes valores de amplificação são iguais a 2,2 para o momento fletor
positivo, 4,0 para o momento fletor negativo, 2,4 para o esforço cortante, 2,4 para o
deslocamento translacional vertical na seção central e 2,8 para o deslocamento na
seção de extremidade do balanço. Portanto, como mencionado anteriormente, essas
amplificações são muito elevadas.
6.5.5.Verificações sobre a Prática Corrente de Projeto
6.5.5.1. Generalidades
Neste item da dissertação pretende-se confrontar os valores das amplificações
dinâmicas encontradas ao longo da análise com aquelas obtidas pela metodologia
simplificada preconizada pela NBR 7187 [1]. Considera-se uma razão ψ, definido como
sendo a relação entre o efeito de projeto da Norma Brasileira [1] e o efeito dinâmico
máximo médio (esforços e deslocamentos) obtido na investigação. Para tal, são
consideradas cinqüenta amostras de irregularidades superficiais distintas [22 e 33].
Desta forma é possível verificar quais os sistemas estruturais que encontram-se
dimensionados de modo a resistir às cargas aplicadas.
6.5.5.2. Modelo Estrutural I – ME-I
Considerando-se primeiramente o Modelo Estrutural I, em viga hiperestática,
de três vãos, conforme Figura 4.4, simula-se o tráfego de onze comboios distintos,
utilizando o programa GDYNABT [36]. As Tabelas 6.46 a 6.49 apresentam,
respectivamente, os valores dos momentos fletores máximos positivos, momentos
fletores máximos negativos, esforços cortantes máximos e deslocamentos máximos na
seção central, provenientes da análise dinâmica dos modelos considerando-se para tal
a superfície irregular do tabuleiro.
127
Estes valores são confrontados com a razão ψ, correspondente às grandezas
da reposta dinâmica do sistema veículo-ponte, sendo definido pela relação entre o
efeito máximo calculado via recomendações da NBR 7187 [1] e o respectivo efeito
dinâmico máximo médio oriundo da análise do sistema.
Tabela 6.46 – Momento Fletor Positivo e Razão ψ. Modelo Estrutural I.
Veículo TB-12. Análise Dinâmica
Momento Positivo Dinâmico
(kN.m)
ψ
Qualidade da Pista Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Velocidade
(km/h)
Momento
Positivo
NBR
(kN.m)
Excelente Média Ruim Excelente Média Ruim
8 20 3.108,60 5.543,67 9.360,34 1,73 0,97 0,57
7 80 2.165,80 4.255,16 7.223,58 2,48 1,26 0,74
6 100 1.749,30 3.992,52 6.966,33 3,07 1,35 0,77
5 110 4.254,25 7.046,59 13.327,41 1,26 0,76 0,40
4 120
5.373,00
1.720,80 3.613,68 8.340,14 3,12 1,49 0,64
Tabela 6.47 – Momento Fletor Negativo e Razão ψ. Modelo Estrutural I.
Veículo TB-12. Análise Dinâmica
Momento Positivo Dinâmico
(kN.m)
ψ
Qualidade da Pista Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Velocidade
(km/h)
Momento
Negativo
NBR
(kN.m)
Excelente Média Ruim Excelente Média Ruim
8 20 3.648,00 6.612,00 10.921,20 1,85 1,02 0,62
7 80 2.245,10 5.060,11 8.393,22 3,00 1,33 0,80
6 100 2.648,60 4.516,56 7.639,12 2,54 1,49 0,88
5 110 4.675,50 7.730,16 14.410,93 1,44 0,87 0,47
4 120
6.735,00
1.887,00 5.864,80 8.763,23 3,57 1,15 0,77
128
Tabela 6.48 – Esforço Cortante e Razão ψ. Modelo Estrutural I.
Veículo TB-12. Análise Dinâmica
Cortante Dinâmico (kN)
ψ
Qualidade da Pista Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Velocidade
(km/h)
Cortante
NBR
(kN)
Excelente Média Ruim Excelente Média Ruim
8 20 639,99 1.403,06 2.318,73 1,95 0,89 0,54
7 80 488,67 1.199,12 2.022,34 2,55 1,04 0,62
6 100 555,84 1.158,00 2.010,29 2,24 1,08 0,62
5 110 951,20 1.838,19 3.436,21 1,31 0,68 0,36
4 120
1.245,00
433,92 1.108,30 2.035,81 2,87 1,12 0,61
Tabela 6.49 – Deslocamento na Seção Central e Razão ψ. Modelo Estrutural I.
Veículo TB-12. Análise Dinâmica
Deslocamento Dinâmico
(mm)
ψ
Qualidade da Pista Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Velocidade
(km/h)
Deslocamento
NBR
(mm)
Excelente Média Ruim Excelente Média Ruim
8 20 2,56 4,43 7,38 1,52 0,88 0,53
7 80 1,47 3,24 5,36 2,65 1,20 0,73
6 100 1,27 2,78 4,65 3,07 1,40 0,84
5 110 3,27 5,68 10,70 1,19 0,69 0,36
4 120
3,90
1,26 3,11 5,75 3,10 1,25 0,68
Observando-se os resultados apresentados nas Tabelas 6.46 a 6.49, percebe-
se nitidamente que para pistas de qualidade excelente a razão ψ, é maior do que a
unidade (Ψ > 1), indicando que a estrutura resiste, até com certa folga, aos esforços
induzidos pela ação dinâmica dos comboios distintos trafegando sobre a superfície
irregular do tabuleiro. No que tange a pavimentos de qualidade média a situação
começa a se modificar, pois nos casos em que os comboios de oito e cinco veículos,
que trafegam com velocidades de 20km/h e 110km/h, respectivamente, tem-se que
Ψ<1 , o que não é recomendável.
Deve-se ressaltar que o ME-I, Figura 4.4, foi dimensionado de acordo com a
NBR 7187 [1], ou seja, foram empregados veículos pesados (TB-45, 450kN) para este
fim. Todavia, destaca-se, com base nos resultados mostrados na Tabela 6.46, que a
parcela de resistência estrutural destinada a carga móvel é sobrepujada pelos
129
comboios de veículos associados ao TB-12, mesmo para pavimentos de qualidade
regular. Por outro lado, como já era esperado, na medida em que a pista sofre
deteriorações passando a ter uma qualidade de pavimento ruim, percebe-se que em
todos os casos, associados aos comboios utilizados com uma larga faixa de
velocidade (20km/h até 120km/h) os valores de Ψ são sempre inferiores a unidade (Ψ
< 1), o que pode ser o indicativo de que os critérios da Norma Brasileira [1] devem ser
revistos.
Certamente, as ações mais severas transmitidas aos tabuleiros das pontes são
ocasionadas pela ocorrência de irregularidades superficiais correspondendo, em
situações extremas referentes ao caso em questão, relacionadas a pavimentos de
qualidade inferior, a cerca de três vezes os valores admitidos em projeto.
Pode-se adiantar uma conclusão desta investigação, no sentido de que propor
recomendações de projeto para tais solicitações seria antieconômico e fora de
propósito. Assim sendo, recomenda-se como uma solução importante para o problema
realizar uma conservação permanente, preventiva e corretiva do pavimento dos
tabuleiros das obras de arte.
Seguindo-se o mesmo procedimento, as Tabelas 6.50 a 6.53 apresentam os
resultados encontrados com a utilização de comboios de veículos TB-45 [34], a saber:
momentos fletores máximos positivos, momentos fletores máximos negativos, esforços
cortantes máximos e deslocamentos máximos na seção central.
Os valores são confrontados com o razão ψ, correspondente às grandezas da
reposta dinâmica do sistema veículo-ponte, sendo definido pela relação entre o efeito
máximo calculado via recomendações da NBR 7187 [1] e o respectivo efeito dinâmico
máximo médio oriundo da análise.
Tabela 6.50 – Momento Fletor Positivo e Razão ψ. Modelo Estrutural I.
Veículo TB-45. Análise Dinâmica
Momento Positivo Dinâmico
(kN.m)
ψ
Qualidade da Pista Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Velocidade
(km/h)
Momento
Positivo
NBR
(kN.m)
Excelente Média Ruim Excelente Média Ruim
8 20 8.229,00 - - 0,65 - -
7 80 8.618,40 - - 0,62 - -
6 100 6.526,30 - - 0,82 - -
5 110 8.212,40 - - 0,65 - -
4 120 5.000,20 - - 1,07 - -
2 120
5.373,00
5.020,47 14.564,88 27.290,76 1,07 0,37 0,20
130
Tabela 6.51 – Momento Fletor Negativo e Razão ψ. Modelo Estrutural I.
Veículo TB-45. Análise Dinâmica
Momento Negativo Dinâmico
(kN.m)
ψ
Qualidade da Pista Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Velocidade
(km/h)
Momento
Negativo
NBR
(kN.m)
Excelente Média Ruim Excelente Média Ruim
8 20 10.212,00 - - 0,66 - -
7 80 11.694,60 - - 0,58 - -
6 100 7.885,50 - - 0,85 - -
5 110 10.181,60 - - 0,66 - -
4 120 6.541,20 - - 1,03 - -
2 120
6.735,00
4.632,20 17.602,36 33.190,72 1,45 0,38 0,20
Tabela 6.52 – Esforço Cortante e Razão ψ. Modelo Estrutural I.
Veículo TB-45. Análise Dinâmica
Cortante Dinâmico (kN)
ψ
Qualidade da Pista Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Velocidade
(km/h)
Cortante
NBR
(kN)
Excelente Média Ruim Excelente Média Ruim
8 20 2,158,00 - - 0,58 - -
7 80 1.947,00 - - 0,64 - -
6 100 1.836,00 - - 0,68 - -
5 110 2.341,64 - - 0,53 - -
4 120 1.733,94 - - 0,72 - -
2 120
1.245,00
1.245,24 3.099,26 5.737,33 1,00 0,40 0,22
Tabela 6.53 – Deslocamento na Seção Central e Razão ψ. Modelo Estrutural I.
Veículo TB-45. Análise Dinâmica
Deslocamento Dinâmico
(mm)
ψ
Qualidade da Pista Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Velocidade
(km/h)
Deslocamento
NBR
(mm)
Excelente Média Ruim Excelente Média Ruim
8 20 6,77 - - 0,58 - -
7 80 5,93 - - 0,66 - -
6 100 5,81 - - 0,67 - -
5 110 7,13 - - 0,55 - -
4 120 3,51 - - 1,11 - -
2 120
3,90
2,70 11,82 22,29 1,44 0,33 0,17
131
Observando-se os resultados apresentados nas Tabelas 6.50 a 6.53, percebe-
se nitidamente que para pistas de qualidade excelente a razão ψ, já é menor do que a
unidade (Ψ < 1), o que não é recomendado.
Deve-se ressaltar que o ME-I, Figura 4.4, foi dimensionado de acordo com a
NBR 7187 [1], ou seja, foram empregados veículos pesados (TB-45, 450kN) para este
fim. Todavia, destaca-se, com base nos resultados mostrados nas Tabelas 6.50 a
6.53, que a parcela de resistência estrutural destinada a carga móvel já é superada
pelos comboios de veículos associados ao TB-45, mesmo para pavimentos de
qualidade excelente.
E como é esperado, na medida em que a pista sofre deteriorações passando a
ter uma qualidade de pavimento média ou ruim, percebe-se que em todos os casos,
associados aos comboios utilizados com uma larga faixa de velocidade (20km/h até
120km/h) os valores de Ψ são sempre inferiores a unidade (Ψ < 1), o que pode ser o
indicativo de que os critérios da Norma Brasileira [1] devem ser revistos.
Certamente, as ações mais severas transmitidas aos tabuleiros das pontes são
ocasionadas pela ocorrência de irregularidades superficiais correspondendo, em
situações extremas referentes ao caso em questão, relacionadas a pavimentos de
qualidade inferior, a cerca de três vezes os valores admitidos em projeto.
Pode-se adiantar uma conclusão desta investigação, no sentido de que propor
recomendações de projeto para tais solicitações seria antieconômico e totalmente fora
de propósito. Assim sendo, recomenda-se como uma solução importante para o
problema realizar uma conservação permanente, preventiva e corretiva.
Vale lembrar que as resistências da seção ao esforço cortante e ao
deslocamento possuem valores maiores que os de cálculo, conforme apresenta-se na
Tabela 6.4, dado o fato de serem os momentos fletores positivos e negativos os
esforços dimensionantes da seção, assim os parâmetros críticos desta análise são os
momentos positivos e negativos dinâmicos médios máximos, apresentados nas
Tabelas 6.52 e 6.53, cuja supremacia sobre a capacidade resistente do sistema
estrutural pode gerar problemas de deformação excessiva, abertura de fissuras
quando da introdução da carga acidental e sobrecarga da armadura quando tomado o
limite de tensão adequado para evitar a ruptura por fadiga [38].
132
6.5.5.3. Modelo Estrutural II – ME-II
Considerando-se agora o Modelo Estrutural II, em viga isostática biapoiada
com balanços, conforme Figura 4.5, simula-se o tráfego de onze comboios distintos,
utilizando o programa GDYNABT [36].
As Tabelas 6.54 a 6.58 apresentam, respectivamente, os valores dos
momentos fletores máximos positivos, momentos fletores máximos negativos, esforços
cortantes máximos, deslocamentos máximos na seção central e deslocamentos
máximos na extremidade do balanço, provenientes da análise dinâmica dos modelos
considerando-se para tal a superfície irregular do tabuleiro.
Estes valores são confrontados com a razão ψ, definida pela relação entre o
efeito máximo calculado via recomendações da NBR 7187 [1] e o respectivo efeito
dinâmico máximo médio oriundo da análise dinâmica do sistema.
Deve-se ressaltar que o ME-II, Figura 4.5, foi dimensionado de acordo com a
NBR 7187 [1], onde foram empregados veículos pesados tipo TB-45, com peso total
de 450kN para este fim.
Todavia, destaca-se, com base nos resultados mostrados nas Tabelas 6.54 a
6.58, que a parcela de resistência estrutural destinada a carga móvel é ultrapassada
pelos comboios de veículos associados ao TB-12, mesmo para alguns pavimentos de
qualidade média.
Tabela 6.54 – Momento Fletor Positivo e Razão ψ. Modelo Estrutural II.
Veículo TB-12. Análise Dinâmica
Momento Positivo Dinâmico
(kN.m)
ψ
Qualidade da Pista Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Velocidade
(km/h)
Momento
Positivo
NBR
(kN.m)
Excelente Média Ruim Excelente Média Ruim
6 20 2.854,50 5.328,40 6.831,77 2,10 1,13 0,88
5 80 1.890,00 3.267,00 3.820,50 3,17 1,84 1,57
4 100 1.437,80 5.076,54 3.970,54 4,17 1,18 1,51
3 110 1.234,95 3.993,01 6.339,41 4,86 1,50 0,95
2 120
6.000,00
1.416,44 4.340,97 7.023,88 4,24 1,38 0,85
133
Tabela 6.55 – Momento Fletor Negativo e Razão ψ. Modelo Estrutural II.
Veículo TB-12. Análise Dinâmica
Momento Negativo Dinâmico
(kN.m)
ψ
Qualidade da Pista Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Velocidade
(km/h)
Momento
Negativo
NBR
(kN.m)
Excelente Média Ruim Excelente Média Ruim
6 20 1.224,00 5.068,80 8.683,20 2,26 0,55 0,32
5 80 1.134,00 2.224,80 4.455,00 2,44 1,25 0,62
4 100 1.026,00 5.205,60 4.665,60 2,70 0,53 0,59
3 110 1.025,81 3.142,22 5.204,64 2,70 0,88 0,53
2 120
2.770,00
972,00 2.440,80 3.801,60 2,85 1,13 0,73
Tabela 6.56 – Esforço Cortante e Razão ψ. Modelo Estrutural II.
Veículo TB-12. Análise Dinâmica
Cortante Dinâmico (kN)
ψ
Qualidade da Pista Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Velocidade
(km/h)
Cortante
NBR
(kN)
Excelente Média Ruim Excelente Média Ruim
6 20 481,78 1.082,15 1.423,10 2,99 1,33 1,01
5 80 380,25 1.743,30 2.898,68 3,79 0,83 0,50
4 100 379,68 2.344,52 2.107,22 3,79 0,61 0,68
3 110 414,00 1.096,20 1.832,40 3,48 1,31 0,79
2 120
1.440,00
612,00 1.108,80 1.855,80 2,35 1,30 0,78
Tabela 6.57 – Deslocamento na Seção Central e Razão ψ.
Modelo Estrutural II. Veículo TB-12. Análise Dinâmica
Deslocamento Dinâmico
(mm)
ψ
Qualidade da Pista Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Velocidade
(km/h)
Deslocamento
NBR
(mm)
Excelente Média Ruim Excelente Média Ruim
6 20 4,30 9,93 12,73 2,24 0,97 0,76
5 80 3,33 5,67 6,23 2,89 1,70 1,54
4 100 3,12 8,49 6,41 3,08 1,13 1,50
3 110 2,07 6,90 10,84 4,64 1,39 0,89
2 120
9,62
2,59 8,27 13,49 3,71 1,16 0,71
134
Tabela 6.58 – Deslocamento no Extremo do Balanço e Razão ψ.
Modelo Estrutural II. Veículo TB-12. Análise Dinâmica
Deslocamento Dinâmico
(mm)
ψ
Qualidade da Pista Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Velocidade
(km/h)
Deslocamento
NBR
(mm)
Excelente Média Ruim Excelente Média Ruim
6 20 3,71 8,46 11,23 1,21 0,53 0,40
5 80 2,85 5,54 6,98 1,58 0,81 0,65
4 100 2,66 8,14 6,47 1,69 0,55 0,70
3 110 1,92 6,71 11,01 2,35 0,67 0,41
2 120
4,51
2,96 9,68 16,24 1,52 0,47 0,28
Observando-se os resultados advindos das Tabelas 6.54 a 6.58, percebe-se
nitidamente que para pistas de qualidade excelente a razão ψ, é maior do que a
unidade (Ψ > 1), indicando que a estrutura resiste, até com certa folga, aos esforços
induzidos pela ação dinâmica dos comboios distintos trafegando sobre a superfície
irregular do tabuleiro. No que tange a pavimentos de qualidade média a situação
começa a se modificar, pois em alguns casos tem-se que Ψ < 1, o que não é
recomendável. Conseqüentemente, na medida em que a pista sofre deteriorações
passando a ter uma qualidade de pavimento ruim, percebe-se que via de regra,
utilizando uma larga faixa de velocidade (20km/h até 120km/h), os valores de Ψ são
inferiores a unidade (Ψ< 1), o que pode ser o indicativo de que os critérios da Norma
Brasileira [1] devem ser revistos.
Certamente, as ações mais severas transmitidas aos tabuleiros das pontes são
ocasionadas pela ocorrência de irregularidades superficiais correspondendo, em
situações extremas referentes ao caso em questão, relacionadas a pavimentos de
qualidade inferior, a cerca de três vezes os valores admitidos em projeto.
Passando agora para a análise dos resultados encontrados com a utilização de
comboios de veículos TB-45 [34], as Tabelas 6.59 a 6.63 apresentam,
respectivamente, os valores dos momentos fletores máximos positivos, momentos
fletores máximos negativos, esforços cortantes máximos, deslocamentos máximos na
seção central e deslocamentos máximos na extremidade do balanço, provenientes da
análise dinâmica dos modelos considerando-se para tal a superfície irregular do
tabuleiro. Estes valores são confrontados com a razão ψ, definido pela relação entre o
momento fletor máximo positivo calculado via recomendações da NBR 7187 [1] e o
respectivo momento fletor oriundo da análise dinâmica do sistema.
135
Tabela 6.59 – Momento Fletor Positivo e Razão ψ.
Modelo Estrutural II. Veículo TB-45. Análise Dinâmica
Momento Positivo Dinâmico
(kN.m)
ψ
Qualidade da Pista Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Velocidade
(km/h)
Momento
Positivo
NBR
(kN.m)
Excelente Média Ruim Excelente Média Ruim
6 20 8.528,40 - - 0,70 - -
5 80 6.744,40 - - 0,89 - -
4 100 5.832,40 - - 1,03 - -
3 110 9.937,40 - - 0,60 - -
2 120
6.000,00
5.618,30 18.540,39 31.137,21 1,07 0,32 0,19
Tabela 6.60 – Momento Fletor Negativo e Razão ψ.
Modelo Estrutural II. Veículo TB-45. Análise Dinâmica
Momento Negativo Dinâmico
(kN.m)
ψ
Qualidade da Pista Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Velocidade
(km/h)
Momento
Negativo
NBR
(kN.m)
Excelente Média Ruim Excelente Média Ruim
6 20 3.869,20 - - 0,72 - -
5 80 4.657,50 - - 0,59 - -
4 100 3.442,50 - - 0,80 - -
3 110 8.100,00 - - 0,34 - -
2 120
6.735,00
4.252,50 10.692,00 17.334,00 0,65 0,26 0,16
Tabela 6.61 – Esforço Cortante e Razão ψ.
Modelo Estrutural II. Veículo TB-45. Análise Dinâmica
Cortante Dinâmico (kN)
ψ
Qualidade da Pista Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Velocidade
(km/h)
Cortante
NBR
(kN)
Excelente Média Ruim Excelente Média Ruim
6 20 1.644,50 - - 0,88 - -
5 80 1.575,84 - - 0,91 - -
4 100 1.436,16 - - 1,00 - -
3 110 2.027,04 - - 0,71 - -
2 120
1.440,00
1.379,10 3.806,32 6.697,83 1,04 0,38 0,21
136
Tabela 6.62 – Deslocamento na Seção Central e Razão ψ.
Modelo Estrutural II. Veículo TB-45. Análise Dinâmica
Deslocamento Dinâmico
(mm)
ψ
Qualidade da Pista Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Velocidade
(km/h)
Deslocamento
NBR
(mm)
Excelente Média Ruim Excelente Média Ruim
6 20 16,20 - - 0,59 - -
5 80 12,60 - - 0,76 - -
4 100 12,61 - - 0,76 - -
3 110 20,33 - - 0,47 - -
2 120
9,62
9,94 35,02 59,51 0,97 0,27 0,16
Tabela 6.63 – Deslocamento no Extremo do Balanço e Razão ψ.
Modelo Estrutural II. Veículo TB-45. Análise Dinâmica
Deslocamento Dinâmico
(mm)
ψ
Qualidade da Pista Qualidade da Pista
Número
de
Veículos
Velocidade
(km/h)
Deslocamento
NBR
(mm)
Excelente Média Ruim Excelente Média Ruim
6 20 12,95 - - 0,35 - -
5 80 10,05 - - 0,45 - -
4 100 11,42 - - 0,39 - -
3 110 19,11 - - 0,24 - -
2 120
4,51
10,03 38,20 66,42 0,45 0,12 0,07
Observando-se os resultados apresentados nas Tabelas 6.59 a 6.63, percebe-
se nitidamente que para pistas de qualidade excelente a razão ψ, já é menor do que a
unidade (Ψ < 1), o que não é recomendado.
Deve-se ressaltar que o ME-II, Figura 4.5, foi dimensionado de acordo com a
NBR 7187 [1], ou seja, foram empregados veículos pesados (TB-45, 450kN) para este
fim. Todavia, destaca-se, com base nos resultados mostrados nas Tabelas 6.59 a
6.63, que a parcela de resistência estrutural destinada a carga móvel é superada pela
carga dos comboios de veículos associados ao TB-45, mesmo para pavimentos de
qualidade excelente.
E na medida em que a pista sofre deteriorações passando a ter uma qualidade
de pavimento média ou ruim, percebe-se que em todos os casos, associados aos
comboios utilizados com uma larga faixa de velocidade (20km/h até 120km/h) os
137
valores de Ψ são sempre inferiores a unidade (Ψ < 1), o que pode ser o indicativo de
que os critérios da Norma Brasileira [1] devem ser revistos.
Certamente, as ações mais severas transmitidas aos tabuleiros das pontes são
ocasionadas pela ocorrência de irregularidades superficiais correspondendo, em
situações extremas referentes ao caso em questão, relacionadas a pavimentos de
qualidade inferior, a cerca de oito vezes os valores admitidos em projeto.
Para evitar tais amplificações dinâmicas, faz-se necessário garantir uma
execução e manutenção do pavimento com qualidade compatível com a importância
da ponte ou viaduto e, assim, evitar a deterioração de uma obra em várias vezes mais
onerosa do que a simples manutenção de um pavimento.
138
7. Considerações Finais
7.1. Introdução
Inúmeras conclusões encontram-se distribuídas ao longo dos capítulos
anteriores desta dissertação. No presente capítulo são resumidas apenas as
observações mais importantes e as sugestões relativas ao tema desenvolvido, de
modo a permitir a implementação de trabalhos futuros.
7.2. Conclusões Alcançadas
Ressalta-se que todos os modelos estruturais simulados são correspondentes
a pontes rodoviárias isostáticas e hiperestáticas de concreto armado, com e sem
balanços, em seção de múltiplas vigas “T”. Esses modelos são submetidos à travessia
de diversos tipos de comboios de veículos, variando-se o peso e a velocidade destes,
sobre a superfície irregular do tabuleiro. A qualidade da pista das obras de arte
assume valores que vão de excelente até ruim, de acordo com índices propostos por
Braun [9] e [10].
No que tange à questão qualitativa dos resultados encontrados ao longo desta
dissertação, tais observações podem ser estendidas a outras combinações de
dimensões. Quanto aos aspectos quantitativos, é possível uma extensão desde que
acompanhada por criteriosa avaliação.
Os valores dos fatores de amplificação dinâmicos máximos médios relativos a
deslocamentos e esforços são muito elevados, na razão direta do decréscimo de
qualidade do pavimento, devido às ações dinâmicas provenientes da interação dos
pneus dos veículos dos comboios com as irregularidades da pista. Em diversos casos,
essas amplificações chegam mesmo a ultrapassar com boa margem as produzidas
pela presença estática dos veículos sobre as pontes.
Ao longo do trabalho foi verificado que as ações mais severas transmitidas à
superestrutura das pontes são ocasionadas pela ocorrência de irregularidades
superficiais ao longo da pista de rolamento, correspondendo, em situações extremas,
relacionadas a pavimentos de qualidade inferior, a mais de dezessete vezes os
valores admitidos em projeto (valores de deslocamentos e esforços). Tal situação é
139
bastante relevante e merece ser tratada com cuidado no âmbito das normas
brasileiras que tratam da regulamentação desse tipo de estrutura [1].
A travessia dos comboios de veículos, representativos das viaturas existentes
na Norma Brasileira [34], sobre a superfície irregular dos tabuleiros rodoviários de
concreto armado, geram sobre essas obras de arte fatores de amplificação dinâmicos,
correspondentes a deslocamentos e esforços, bem superiores ao valor do coeficiente
de impacto preconizado na Norma de Pontes[1], exceção feita em alguns casos
específicos às pistas de qualidade excelente.
Convém chamar a atenção do leitor para o fato de que, considerando-se a
análise dos valores de deslocamentos e esforços (momentos fletores e esforços
cortantes), sabe-se que, em termos de normas de projeto de pontes rodoviárias [1,
38], apenas os momentos fletores (positivos e negativos) são considerados grandezas
dimensionantes. Os valores dos esforços cortantes e deslocamentos translacionais
verticais são apenas confrontados com a resistência da seção definida no projeto e os
limites impostos para os deslocamentos devidos à carga acidental, respectivamente.
Assim sendo, é comum serem encontrados valores de resistência ao esforço
cortante da seção de projeto, calculados segundo a NBR 6118 [38], muito superiores
àqueles esforços obtidos pela metodologia da Norma Brasileira de Pontes, NBR 7187
[1]. Tal fato repete-se em relação aos deslocamentos, pois os valores limites da norma
de concreto armado, NBR 6118 [38], em diversas situações, são superiores aqueles
calculados pela norma brasileira de pontes, NBR 7187 [1].
Deste modo, apesar dos valores severos encontrados para as amplificações
referentes a deslocamentos e esforços, a capacidade resistente da seção de projeto
dos sistemas estruturais analisados nesta dissertação, associados às pontes
existentes, apresenta uma folga considerável, no que tange a deslocamentos e
esforços cortantes [1,38]. Contudo, tal fato não ocorre para os momentos fletores
positivos e negativos, indicando que os sistemas estruturais analisados certamente
poderão vir a sofrer com a ocorrência de fissuras inesperadas e, com o passar do
tempo, devido ao efeito das cargas dinâmicas (cargas móveis), os efeitos relativos à
fadiga podem vir a ser determinantes na resposta do sistema estrutural.
Com base no exposto ao longo desta investigação, propor recomendações de
projeto para atender as solicitações dinâmicas oriundas do efeito das irregularidades
superficiais, principalmente para pavimentos de qualidade inferior, seria totalmente
antieconômico e fora de propósito. Deste modo, a partir dos resultados obtidos nesta
dissertação, recomenda-se como uma solução urgente para o projeto dessas obras de
arte a realização de um trabalho de conservação permanente, preventivo e corretivo,
de forma a assegurar que as superfícies de rolamento das pontes estejam livres de
140
irregularidades acentuadas, sonorizadores, quebra-molas e juntas de dilatação
desniveladas.
7.3. Sugestões para Trabalhos Futuros
Para dar seqüência a esta linha de pesquisa são observadas a seguir algumas
sugestões, com o objetivo de dar continuidade a esta investigação:
• Estudar os valores dos fatores de amplificação dinâmicos da resposta do
sistema veículo-ponte, deslocamentos e esforços, para comboios de veículos
intermediários (TB-30), de acordo com a Norma Brasileira de Pontes [1];
• Avaliar os fatores de amplificação dinâmicos gerados pela passagem de um
único veículo na travessia, analisando caso a caso cada um dos tipos
propostos pela NBR7188 [34];
• Estudar outras obras de arte rodoviárias além da viga reta (pontes rodoviárias
estaiadas, suspensas, em arco, etc.);
• Implementar novos veículos, a fim de se avaliar outras situações de
carregamento que podem vir a ocorrer na realidade prática de projeto;
• Implementar modelos tridimensionais para os veículos e, bem como, para as
obras de arte, de forma a considerar o problema da interação dinâmica veículo-
estrutura, de maneira ainda mais realista, considerando-se os esforços
torcionais;
• Verificar as formulações apresentadas com estudo experimental de campo e
de laboratório;
• Divulgar os resultados e conclusões do estudo feito para sensibilizar os órgãos
e entidades vinculadas aos sistemas viários nacionais;
• Medição da qualidade da pavimentação nas pistas brasileiras, nos trechos
sobre pontes e viadutos.
141
Referências Bibliográficas
1 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, ABNT.
Projeto e Execução
de Pontes de Concreto Armado e Protendido - NBR 7187
. 1987.
2 TRAIL-NASH, W. R. and GUPTA, R. K.
Bridge Dynamic Loading due to Road
Surface Irregularities and Breaking of Vehicle
. 1980. Intl. J. Earthquake Engr.
Struc. Dyn., Vol. 8, pp.83-96, 1980.
3 HUANG, T. and VELETSOS, A. S.
Analysis of Dynamic Response of Highway
Bridges
. 1970. ASCE, J. Mech. Div., Vol. 96, 1970.
4 CARNEIRO, R. J. F. M.
Análise de Pontes Rodoviárias sob a Ação de Cargas
Móveis
. 1986. PUC - Rio - Tese de Mestrado, RJ, 1986.
5 INBANATHAN, B. M. J. and WIELAND, M.
Bridge Vibrations due to Vehicle
Moving over Rough Surface
. 1987. ASCE, J. Struc. Engr., Vol. 113, nº 9,
pp.1994-2009, 1987.
6 WU, J. S., LEE, M. L. and LAI, T. S.
The Dynamic Analysis of a Flat Plate under a
Moving Load by the Finite Element Method
. 1987. Intl. J. Num. Meth. Engr.,
Vol. 24, pp.743-762, 1987.
7 RAMALHO, F. N. M.
Pontes Rodoviárias Submetidas a Situações Especiais de
Carregamento Dinâmico
. 1988. PUC - Rio - Tese de Mestrado, RJ, 1988.
8 SEDLACEK, G. and DROSNER, St.
Dynamik bei Brücken. 1990. Institut für
Stahlbau, RWTH Aschen, Mies van der Rohe Str. 1, 5100, Aachen, U.
Braunschweig, U. Hannover. 1990.
9 BRAUN, H.
Untersuchungen Von Fahrbahnunebenheiten und Anwendungen
der Ergebnisse
. 1969. Von der Fakültat für Maschinenbau und Elektrotechnik der
Technischen Universität Carolo-Wilhelmina zu Braunschweig, Dissertation, 1969.
10 BRAUN, H.
Untersuchungen über Fahrbahnunebenheiten. 1966. Deutsche
Kraftfahrtforschung und Strassenverkehrstechnik. 1966.
11 FERREIRA, K. I. I.
Avaliação do Critério para Cálculo dos Efeitos das Cargas
Móveis em Pontes Rodoviárias
. 1991. PUC - Rio - Tese de Mestrado, RJ, 1991.
12 WANG, T. L. and HUANG, D.
Cable-Stayed Bridge Vibrations due to Road
Surface Roughness
. 1992. ASCE, J. Struc. Engr., Vol. 118, nº 5, pp.1354-1374,
1992.
142
13 WANG, T. L., HUANG, D. and SHAHAWY, M. Dynamic Response of Multigirder
Bridges
. 1992. ASCE, J. Struc. Engr., Vol. 118, pp.2222-2238, 1992.
14 WANG, T. L., HAUNG, D. and SHAHAWY, M.
Impact Analysis of Continuous
Multigirder Bridges due to Moving Vehicles
. 1992. ASCE, J. Struc. Engr., Vol.
118, nº 12, pp.3427-3443, 1992.
15 WANG, T. L., HUANG, D. and SHAHAWY, M.
Impact Studies of Multigirder
Concrete Bridges
. 1993. ASCE, J. Struc. Engr., Vol. 119, nº 8, pp.2387-2402,
1993.
16 WANG, T. L., HUANG, D. and SHAHAWY, M.
Dynamic Behavior of Slant-Legged
Rigid Frame Highway Bridge
. 1994. ASCE, J. Struc. Engr., Vol. 120, nº 3,
pp.885-902, 1994.
17 CHOMPOOMING, K. and YENER, M.
The Influence of Roadway Surface
Irregularities and Vehicle Deceleration on Bridge Dynamics Using the
Method of Lines
, 1995. J. of Sound and Vibration, 183 (4). 567-589, 1995.
18 NOWAK, A. S.
Load Model for Bridge Design Code. 1994. Can. J. Civ. ng., Vol.
21, pp. 36-49, 1994.
19 CHANG, D. and LEE, H.
Ïmpact Factors for Simple-Span Highway Girder
Bridges
. 1994. ASCE, J. Struc. Engr., Vol.120, n°3, pp.704-715, 1994.
20 ZIBDEH, H. S. and RACKWITZ, R.
Moving Loads on Beams with General
Boundary Conditions
. 1996. J. of Sound and Vibration, 195 (1), 85-102, 1996.
21 HENCHI, K., FAFARD, M., DHATT, G. and TALBOT, M.
Dynamic Behaviour of
Multi-Span Beams Under Moving Loads
. 1997. J. of Sound and Vibration,
199(1), 33-50, 1997.
22 SILVA, J. G. S.
Análise Dinâmica Não-Determinística de Tabuleiros de Pontes
Rodoviárias com Irregularidades Superficiais
. 1996. PUC-Rio-Tese de
Doutorado, RJ, 1996.
23 SILVA, J. G. S.
Comportamento dinâmico de pontes rodoviárias à travessia de
veículos sobre a superfície irregular do pavimento
. 2002. Revista
Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño em Ingeniería, Vol.18,
nº4, pp. 521-540, Espanha, 2002.
24 ZHANG, Q. L., VROUWENVELDER, A. and WANDNIER, J.
Dynamic
Amplifcation Factors and EUDL of Bridges under random traffic flows
. 2001.
Engineering Structures, Vol.23, pp. 663–672, 2001.
143
25 SAVIN, E. Dynamic Amplification factor and response spectrum for the
evaluation of vibrations of beams under successive moving loads
. 2001.
Journal of Sound and Vibration 248(2), 267-288, 2001.
26 GRECO, A. and SANTINI, A.
Dynamic response o a flexural non-classically
damped continuous beam under moving loadings
. 2002. Computers and
Structures, Vol. 80, pp.1945 –1953, 2002.
27 LIU, C., HUANG, D. and WANG, T.
Analytical dynamic impact study based on
correlated road roughness
. 2002. Computers and Structures, 80, 1639-1650,
2002.
28 AASHTO.
Standard specifications for highway bridges. 1996. 16th ed.
Washington, DC: American Association of State Highway and Transportation
Officials; 1996.
29 AASHTO.
LRFD bridge design specifications-customary US units. 1998.
second ed. Washington, DC: American Association of State Highway and
Transportation Officials (AASHTO); 1998.
30 NASSIF, H. H. and LIU, M.
Analytical modeling of bridge-road-vehicle dynamic
interaction system
. 2003. Journal of Vibration and Control, 10: 215-241, 2004.
31 LAW, S. S. and ZHU, X. Q.
Dynamic behavior of damaged concrete bridge
structures under moving vehicular loads
. 2004. Artigo em impressão, 2004.
32 LAW, S. S. and ZHU, X. Q.
Bridge dynamic responses due to road surface
roughness and braking of vehicle
. 2004. Artigo em impressão. 2004.
33 ALMEIDA, R. S.
Análise de Vibrações em Pontes Rodoviárias Induzidas pelo
Tráfego de Veículos sobre Pavimentos Irregulares
. 2006. UERJ - Dissertação
de Mestrado, RJ, 2006.
34 Associação Brasileira de Normas Técnicas – ABNT.
Carga Móvel em Ponte
Rodoviária e Passarela de Pedestre – NBR 7188
. Abril, 1984.
35 MARTHA, L. F. F-TOOL - Programa Gráfico-Interativo para Ensino de
Comportamento de Estruturas. 2002. PUC - Rio, Pontifícia Universidade Católica
do Rio de Janeiro, versão 2.11, 2002.
36 SILVA, J. G. S., ALMEIDA, R. S.
GDYNABT - Programa para Análise Dinâmica,
no Dominio do Tempo, de estruturas de pontes rodoviarias em viga reta
.
2005. UERJ, versão 2.1, 2005.
37 PFEIL, W.
Pontes em Concreto Armado. 1990. LTC, Rio de Janeiro, 1990.
144
38 Associação Brasileira de Normas Técnicas – ABNT. Projeto de Estruturas em
Concreto Armado e Protendido – Procedimentos – NBR 6118
. Abril, 2003.
39 WILLIS, R.
Appendix to the Report of the Commissioners Appointed to Inquire
into the Application of Iron to Railway Structures
. 1849. Stationary Office,
London, 1849.
40 STOKES, G.
Discussion of a Differential Equation Relating to the Breaking of
Railway Bridges
. 1849. Trans. Cambridge Philosophic Soc., Vol. 8, 1849.
41 KRILOV, A. N.
Uber Die Erzwungenen Schwingugen Von Gleichförmigen
Elastichen Stäben
. 1905. Mathematische Annalen, Vol. 61, 1905.
42 TIMOSHENKO, S.
Vibration Problems in Engineering. 1964. 3rd Edition, D. Van
Nostraud
, 1964.
43 INGLIS, C. E.
A Mathematical Treatise on Vibrations in Railway Bridges. 1934.
Cambridge Univ. Press, London, 1934.
44 HILLERBORG, A.
Dynamics Influences of Smoothly Running Loads on Simply
Supported Girders
. 1951. Inst. Struc. Engr. Bridge Building, Royal Inst. Tech.
Stockholm, 1951.
45 AYRE, R. S., FORD, G. and JACOBSEN, L. S.
Transverse Vibration of a Two
Span Beam under Action of a Moving Constant Force
. 1950. Journal of
Applied Mechanics, Trans. ASME, Vol. 17, pp.1-12, 1950.
46 LOONEY, C. T.
Impact on Railway Bridges. 1944. Univ. of Illinois Bulletin, Series
nº 352, 1944.
47 EDGERTON, R. C. and BEECROFT, G. W.
Dynamic Studies of Two Continuous
Plate Girder Bridges
. 1955. Hwy. Res. Bd. Bull., nº 124, Washington D.C., pp.33-
46, 1955.
48 SCHEFFEY, C. F.
Dynamic Load Analysis and Design of Highway Bridges.
1955. Hwy. Res. Bd. Bull., nº 124, Washington D.C., pp.16-32, 1955.
49 TUNG, T. P., GOODMAN, L. E., CHEN, T. Y. and NEWMARK, N. M.
Highway
Bridge Impact Problems
. 1956. Hwy. Res. Bd. Bull, nº 124, 1956.
50 BIGGS, J. M., SUER, H. S. and LOUW, J. M.
Vibration of Simple-Span Highway
Bridges
. 1959. Trans. ASCE, Vol. 124, p.291, 1959
51 BIGGS, J. M.
Introduction to Structural Dynamics. 1964. McGraw Hill, 1964.
52 WEN, R. K.
Dynamic Response of Beams Traversed by Two-Axle Loads. 1960.
ASCE, J. Mech. Div., Vol. 86. 1960.
145
53 STANISIC, M. M. and HARDIN, J. C. On the Response of Beams to an Arbitrary
Number of Concentrated Moving Masses
. 1969. J. Franklin Inst., Vol. 287,
pp.115-123, 1969.
54 YOSHIDA, D. M. and WEAVER, W.
Finite Element Analysis of Beams and
Plates with Moving Loads
. 1971. Pub. Intl. Assoc. Bridge Struc. Engr., Vol. 31,
p.179, 1971.
55 DAYLEY, G., CAYWOOD, W. C. and O’CONNOR, J. S.
A General Purpose
Computer Program for the Dynamic Simulation of Vehicle-Guideway
Interactions
. 1973. AIAA J., Vol. 11, p.278, 1973.
56 SMITH, J. W.
Finite Strip Analysis of the Dynamic Response of Beam and Slab
Highway Bridges
. 1973. Intl. J. Earthquake Engr. Struc. Dyn., Vol. 1, pp.357-370,
1973.
57 TING, E. C., GENIN, J. and GINSBERG, J. H.
A General Algorithm for the
Moving Mass Problem
. 1974. J. Sound Vib., Vol. 33, p.49, 1974.
58 MOLA, S.
Fundamentals of Vehicle Dynamics. 1969. Product Engineering
Departament, General Motors Institute, 1969.
59 HARRIS, C. M. and CREDE, C. E.
Shock and Vibration Handbook. 1961. Vol. 1,
2 e 3, McGraw Hill, 1961
60 HEHL, M. E.
Linguagem de Programação Estruturada - FORTRAN 77. 1986.
McGraw Hill, 1986.
61 GERE, J. M. and WEAVER, W.
Análise de Estruturas Reticuladas. 1981.
Guanabara Dois, 1981.
62 IMSL LYBRARY.
Reference Manual. 1979. Vol. 1, Chapters A to E, 1979.
63 NEWMARK, N. M.
A Method of Computation for Structural Dynamics. 1959.
ASCE, J. Mech. Div., Vol. 85, 1959.
64 PRESS, W. H., TEUKOLSKY, S. A., FLANNERY, B. P. and VETERLING, W. T.
Numerical Recipes - The Art of Scientific Computing. 1986. Cambridge
University Press, 1986.
65 WARBURTON, G. B.
The dynamical behaviour of structures. 1976. 2
nd
. ed.
Pergamon Press Ltd, Oxford, 1976.
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
