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Universidade Estadual Paulista
Campus de S˜ao Jos´e do Rio Preto
Instituto de Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas
Controlabilidade de Sistemas de
Equa¸c˜oes
Diferenciais Lineares
Marcos Pavani de Carvalho
Orientador: Prof. Dr. Adalberto Spezamiglio
Disserta¸c˜ao apresentada ao Instituto de Biociˆencias, Le-
tras e Ciˆencias Exatas da Universidade Estadual Paulista,
Campus S˜ao Jos´e do Rio Preto, como parte dos requisitos
para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.
S˜ao Jos´e do Rio Preto - SP
Julho - 2008
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MARCOS PAVANI DE CARVALHO
Controlabilidade de Sistemas de Equa¸c˜oes Diferenciais Lineares
Disserta¸c˜ao apresentada para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre
em Matem´atica, ´area de An´alise junto ao Programa de P´os-
Gradua¸c˜ao em Matem´atica do Instituto de Biociˆencias, Le-
tras e Ciˆencias Exatas da Universidade Estadual Paulista,
”Julio de Mesquita Filho”, Campus S˜ao Jos´e do Rio Preto.
BANCA EXAMINADORA
Prof. Dr. Adalberto Spezamiglio
Professor Assistente Doutor
UNESP - S˜ao Jos´e do Rio Preto
Prof. Dr. Weber Fl´avio Pereira
Professor Doutor
Universidade Federal de Uberlˆandia
Prof. Dr. Waldemar Donizete Bastos
Professor Doutor
UNESP - S˜ao Jos´e do Rio Preto
S˜ao Jos´e do Rio Preto, 14 de julho de 2008
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Dedico `a minha m˜ae,
`a minha namorada, Liliane
e aos meus irm˜aos.
Agradecimentos
Primeiramente agrade¸co a DEUS por todas as oportunidads maravilhosas que
obtive em minha vida.
Agrade¸co a minha m˜ae, Doraci Pavani da Silva, aos meus tios, Nelson Pavani
da Silva e Roberto Pavani da Silva, aos meus irm˜aos e a Liliane Martinez Antonow,
pelo amor, paciˆencia, respeito e confian¸ca.
Agrade¸co muito ao meu Orientador, Adalberto Spezamiglio, p ela orienta¸c˜ao,
seriedade e aten¸c˜ao.
Agrade¸co a banca examinadora: Prof. Dr. Waldemar Donizete Bastos, ao Prof.
Dr. Weber Fl´avio Pereira e a Prof Dr
o
. Juliana Precioso, pela disponibilidade.
Agrade¸co ao Prof. Dr. Cl´audio Aguinaldo Buzzi, por toda a ajuda nestes anos
em Rio Preto e a Prof Dr
o
. Erm´ınia de Lourdes Campello Fanti pela simpatia.
Agrade¸co aos meu professores queridos: Maria Isabel, Marisa Pina e F´abio.
Aos amigos da p´os-gradua¸c˜ao: J´ulio, Marcus, Michele, Miriam, Aline, Anderson,
Rafael, Pedro, Aguinaldo, Rodiak e Ana Paula.
Aos meus amigos do peito: Tarc´ısio, Rog´erio Silveira, F´abio Pereira, Wilsaner
Gomes, Eder Sousa, Marcio Pavani, Tairo e Paulo.
A todos que de alguma forma contribu´ıram para a conclus˜ao deste trabalho.
“Arriscar-se ´e perder o p´e por algum tempo. N˜ao se arriscar ´e perder a
vida... ”
(Soren Kiekegaard)
Resumo
Neste trabalho estudamos problemas cl´assicos de controle para sistemas de equa¸c˜oes
diferenciais ordin´arias lineares. O ponto de partida ´e a equivalˆencia entre uma
equa¸c˜ao diferencial ordin´aria linear de ordem n e um sistema de n equa¸c˜oes de
primeira ordem. Problemas de controlabilidade completa, observabilidade e estabi-
liza¸c˜ao de equil´ıbrio s˜ao considerados.
Palavras chave: controle; equivalˆencia; observabilidade; estabiliza¸c˜ao.
Abstract
We consider here classic problems on control for a system of ordinary differential
equations. The starting point is the equivalence between a linear equation of n
th
order of ordinary differential equation and a system of n equations of first order.
Problems on complete controllability, observability and stabilization of equilibrium
are considered.
Keywords: control; equivalence; observability; stabilization.
Sum´ario
1 Equivalˆencia 10
1.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Um Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Equivalˆencia e a Matriz Companheira P . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Uma Semelhan¸ca Invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Unicidade da Transforma¸c˜ao T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 A Condi¸c˜ao do posto ´e Suficiente para Equivalˆencia. . . . . . . . . . . 24
2 Controlabilidade 26
2.1 Controlabilidade Completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Observabilidade e Dualidade 33
3.1 O Sistema Linear e sua medida de sa´ıda . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Observabilidade Completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 As Formas Companheira e Diagonal de um Sistema . . . . . . . . . . 39
3.4 A Transforma¸c˜ao da Forma Companheira para a Diagonal . . . . . . 41
4 Retroalimenta¸c˜ao, Estabiliza¸c˜ao, Observadores e Dualidade 46
4.1 Sistema Linear Est´avel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Estabiliza¸c˜ao Completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3 Detectabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 Exemplos, Estabilidade e Detectabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.5 Aplica¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8
4.6 Coment´arios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.6.1 Uma breve nota sobre extens˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Bibliografia 62
Cap´ıtulo 1
Equivalˆencia
1.1 Introdu¸c˜ao
Uma equa¸c˜ao diferencial ordin´aria linear n˜ao homogˆenea de ordem n
y
(n)
+ k
1
y
(n−1)
+ ... + k
n
y = u(t), (1.1)
com k
i
∈ R, i = 1, 2, ..., n, ´e equivalente, via defini¸c˜ao padr˜ao, ao sistema de n
equa¸c˜oes diferenciais de primeira ordem
z
= P z + qu(t) (1.2)
onde z = [y y
... y
(n−1)
]
T
,
P =
0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
. . . · · · .
. . . · · · .
0 0 0 · · · 1
−k
n
−k
n−1
−k
n−2
· · · −k
1
(1.3)
e
q =
0 0 · · · 1
T
. (1.4)
11
De fato,
z
= P z + qu(t) ⇔
y
y
.
.
.
y
(n)
=
0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
. . . · · · .
. . . · · · .
0 0 0 · · · 1
−k
n
−k
n−1
−k
n−2
· · · −k
1
y
y
.
.
.
y
(n−1)
+
0
.
.
.
0
1
u(t) ⇔
y
= y
, . . . , y
(n−1)
= y
(n−1)
e y
(n)
= −k
n
y − . . . − k
1
y
(n−1)
+ u(t),
ou seja, y
(n)
+ k
1
y
(n−1)
+ . . . +k
n
y = u(t).
Estamos interessados na rec´ıproca: quando pode um sistema linear com coefi-
cientes constantes
x
= Ax + bu(t) (1.5)
onde A ´e n × n e b ´e n × 1, ser levado para (1.2) por uma transforma¸c˜ao linear
n˜ao-singular T : R
n
→ R
n
, tal que x → T x = z onde T ´e uma matriz constante?
Se z = T x, ent˜ao z
= T x
= T (Ax + bu(t)) = T Ax + T bu(t) = T AT
−1
(T x) +
(T b)u(t). Logo, devemos ter P = T AT
−1
, isto ´e, P ∼ A e T b = q.
Assim ´e f´acil ver que uma tal transforma¸c˜ao linear nem sempre ´e poss´ıvel. Con-
sidere o sistema linear
x
1
x
2
=
1 0
0 1
x
1
x
2
+
b
1
b
2
(1.6)
Temos que (1.6) ´e da forma x
= Ix + bu(t), onde u(t) ≡ 1.
Afirmamos que n˜ao existe P na forma acima que seja semelhante a I.
De fato, se P ∼ I ent˜ao existe T n˜ao-singular tal que P = T IT
−1
= T T
−1
= I,
uma contradi¸c˜ao.
12
Portanto P n˜ao ´e semelhante a I.
Em cursos avan¸cados em dinˆamica, o estudo de formas normais obtidas por
mudan¸cas de coordenadas ´e um t´opico importante. Na literatura de Teoria do
Controle matem´atico, quest˜oes alternativas sobre representa¸c˜ao de sistemas tˆem
sempre sido importantes. Entretanto, n˜ao sabemos de nenhum texto de equa¸c˜oes
diferenciais elementares fora a literatura da Teoria do Controle que sistematicamente
conduz a quest˜ao de transformar (1.5) em (1.2).
O prop´osito b´asico deste trabalho ´e introduzir um c´ırculo de id´eias em Teoria
do Controle. O acesso ´e via a quest˜ao da ”equivalˆencia”entre um sistema linear de
primeira ordem n-dimensional como (1.5) e uma equa¸c˜ao linear de ordem n como
(1.1). A resposta completa para a quest˜ao de equivalˆencia introduz conceitos cen-
trais da Teoria do Controle moderno. Obtemos alguns resultados cl´assicos relaciona-
dos `a controlabilidade e observabilidade, e tamb´em consideramos o relacionamento
desses conceitos com outros importantes t´opicos em controle, como a estabiliza¸c˜ao de
equil´ıbrio, e lineariza¸c˜ao de sistemas n˜ao lineares usando mudan¸ca de coordenadas
e retroalimenta¸c˜ao.
1.2 Um Exemplo
Vamos come¸car de forma ingˆenua transformando um exemplo simples e ent˜ao
considerar uma defini¸c˜ao precisa de equivalˆencia de sistemas.
Exemplo 1.2.1 Considere o sistema,
x
1
= −2x
1
+ 2x
2
+ u(t) (a)
x
2
= x
1
− x
2
(b)
(1.7)
na forma (1.5), com A =
−2 2
1 −1
, b =
1
0
.
Diferenciando (b) e substituindo nesta a equa¸c˜ao (a), temos
13
x
2
= x
1
−x
2
= −2x
1
+2x
2
+u(t)−x
2
= −2(x
1
−x
2
)+u(t)−x
2
= −2x
2
+u(t)−x
2
=
−3x
2
+ u(t) ⇔ x
2
+ 3x
2
= u(t), que ´e uma equa¸c˜ao da forma (1.1) com n = 2, que
po de ser levada `a forma (1.2) com
P =
0 1
0 −3
e q =
0
1
.
Uma solu¸c˜ao x
2
(t) da equa¸c˜ao acima determina uma fun¸c˜ao x
1
(t) (usando x
1
=
x
2
+ x
2
), assim o sistema (1.7) pode ser resolvido. Logo, o sistema (1.7) pode ser
dito equivalente `a equa¸c˜ao de segunda ordem y
+ 3y
= u(t).
Existe outra equa¸c˜ao de segunda ordem da forma y
+ k
1
y
+ k
0
y = u(t) que
tamb´em ´e equivalente a (1.7)?
Vamos tentar formar uma equa¸c˜ao de segunda ordem para x
1
, usando o mesmo
m´etodo acima.
Diferenciando (a) e substituindo nesta a equa¸c˜ao (b), temos
x
1
= −2x
1
+2x
2
+u
(t) = −2x
1
+2x
1
−2x
2
+u
(t) = −2x
1
−(−2x
1
+2x
2
)+u
(t) =
−2x
1
−(x
1
−u(t))+u
(t) = −3x
1
+u(t)+u
(t) se, e somente se, x
1
+3x
1
−u
(t) = u(t),
que n˜ao tem a forma (1.1).
Essa quest˜ao ´e tratada usando uma precisa defini¸c˜ao de equivalˆencia. Note que
a equa¸c˜ao
y
+ 3
y
=
u
(
t
) tem a forma do sistema linear
z
=
0 1
0 −3
z +
0
1
u(t). (1.8)
N´os esperamos que exista uma transforma¸c˜ao de R
2
em R
2
, que transforma
nosso sistema original (1.7) para a forma (1.8). Desde que as equa¸c˜oes diferenciais
s˜ao lineares, esperamos que a transforma¸c˜ao seja linear, digamos z = T x. Como
vimos, a diferencia¸c˜ao nos d´a z
= T AT
−1
z + T bu(t).
14
Defini¸c˜ao 1.2.1 O sistema x
= Ax + bu(t) ´e linearmente equivalente ao sistema
z
= P z + qu(t) se existe uma matriz T n˜ao-singular tal que
T AT
−1
=
P, T b
=
q.
(1.9)
Obtemos do exemplo 1.2.1, a equa¸c˜ao de segunda ordem para x
2
, que foi (x
2
=
−3x
2
+ 0x
2
+ u(t)).
Se colocarmos z
1
= x
2
e z
2
= x
2
= x
1
− x
2
, a transforma¸c˜ao demonstrando a
equivalˆencia de (1.7) e (1.8) ´e dada por, x → T x = z onde T =
0 1
1 −1
.
De fato, temos A =
−2 2
1
−
1
, b =
1
0
. Colocando P =
0 1
0
−
3
e
q =
0
1
, temos
T AT
−1
=
0 1
1 −1
·
−2 2
1 −1
·
1 1
1 0
=
1 −1
−3 3
·
1 1
1 0
=
0 1
0 −3
= P e T b =
0 1
1 −1
·
1
0
=
0
1
= q.
Surge a natural quest˜ao sobre existˆencia, unicidade, e c´alculo de T . Antes de pro-
cedermos para a resposta dessas quest˜oes, ´e instrutivo tentar transformar o exemplo
seguinte para a forma (1.2). Antes, temos o seguinte
Lema 1.2.1 Sejam A, B ∈ M
n
. Se B ´e semelhante `a A, ent˜ao o polinˆomio carac-
ter´ıstico de B ´e o mesmo que o de A.
Demonstra¸c˜ao. Sejam p
A
, p
B
, polinˆomios caracter´ıstico de A e B, onde A ∼ B.
Logo existe P n˜ao-singular tal que, B = P
−1
AP .
Assim, p
B
(λ) = det(B − λI) = det(P
−1
AP − λI) = det{P
−1
(A − λI)P } =
detP
−1
· det(A − λI) · detP = det(A − λI) = p
A
(λ).
15
Exemplo 1.2.2 Seja A =
−2 2
1 −1
como no exemplo 1.2.1, mas seja b =
1
1
. Mostre que o sistema x
= Ax + bu(t) n˜ao pode ser transformado para a
forma (1.2).
De fato, seja P =
0 1
−k
2
−k
1
. Se A ∼ B, temos que o polinˆomio carac-
ter´ıstico de A ´e igual ao de P , isto ´e, λ
2
+ k
1
λ + k
2
= p
P
(λ) = p
A
(λ) = λ
2
+ 3λ.
Assim, k
1
= 3 e k
2
= 0. Logo,
P =
0 1
0 −3
e da´ı podemos deduzir que T =
0 1
1 −1
. Portanto,
T b =
0 1
1 −1
·
1
1
=
1
0
=
0
1
= q,
e o sistema n˜ao pode ser transformado para (1.2).
1.3 Equivalˆencia e a Matriz Companheira P
O sistema (1.2) ´e muito especial, chamado de sistema companheiro e P ´e a
matriz companheira. A matriz companheira ´e definida pela equa¸c˜ao caracter´ıstica
λ
n
+k
1
λ
n−1
+...+k
n−1
λ+k
n
= 0. Um fato conhecido ´e que o polinˆomio caracter´ıstico
de P ´e o que define a equa¸c˜ao caracter´ıstica.
De fato,
p
P
(λ) = det(P −λI) = 0 ⇔
−λ 1 0 · · · 0
0 −λ 1 · · · 0
. . . · · · .
. . . · · · .
0 0 0 · · · 1
−k
n
−k
n−1
−k
n−2
· · · (−k
1
− λ)
(n×n)
= 0
16
⇔ (−λ)·(−1)
1+1
−λ 1 0 · · · 0
0 −λ 1 · · · 0
. . . · · · .
. . . · · · .
0 0 0 · · · 1
−k
n−1
−k
n−2
−k
n−3
· · · (−k
1
− λ)
(n−1)×(n−1)
+
+ 1(−1)
1+2
·
0 1 0 · · · 0
0 −λ 1 · · · 0
. . . · · · .
. . . · · · .
0 0 0 · · · 1
−k
n
−k
n−2
−k
n−3
· · · (−k
1
− λ)
(n−1)×(n−1)
= 0.
Assim, desenvolvendo o segundo determinante pela primeira coluna, obtemos
(−λ) ·
−λ 1 0 · · · 0
0 −λ 1 · · · 0
. . . · · · .
. . . · · · .
0 0 0 · · · 1
−k
n−1
−k
n−2
−k
n−3
· · · (−k
1
− λ)
(n−1)×(n−1)
+ (−1)
n
k
n
= 0
Continuando, repetindo o racioc´ınio acima com o determinante de ordem n − 1,
teremos
17
(−λ) · (−λ)(−1)
1+1
·
−λ 1 0 · · · 0
0 −λ 1 · · · 0
. . . · · · .
. . . · · · .
0 0 0 · · · 1
−k
n−2
−k
n−3
−k
n−4
· · · (−k
1
− λ)
(n−2)×(n−2)
+
λ
0 1 0 · · · 0
0 −λ 1 · · · 0
. . . · · · .
. . . · · · .
0 0 0 · · · 1
−k
n−1
−k
n−3
−k
n−4
· · · (−k
1
− λ)
(n−2)×(n−2)
+ (−1)
n
k
n
= 0
Desenvolvendo o ´ultimo determinante pela primeira coluna obtemos
λ
2
·
−λ 1 0 · · · 0
0 −λ 1 · · · 0
. . . · · · .
. . . · · · .
0 0 0 · · · 1
−k
n−2
−k
n−3
−k
n−4
· · · (−k
1
− λ)
(n−2)×(n−2)
− (−1)
n−1
k
n−1
λ+(−1)
n
k
n
= 0
Novamente, repetindo o racioc´ınio acima com o determinante de ordem n − 2,
teremos
18
−λ
3
·
−λ 1 0 · · · 0
0 −λ 1 · · · 0
. . . · · · .
. . . · · · .
0 0 0 · · · 1
−k
n−3
−k
n−4
−k
n−5
· · · (−k
1
− λ)
(n−3)×(n−3)
+
(−1)
n−2
k
n−2
λ
2
− (−1)
n−1
k
n−1
λ + (−1)
n
k
n
= 0.
Assim, continuando o racioc´ınio at´e que a ordem do determinante seja n
−
(
n
−
1),
teremos
(−1)
n−1
λ
n−1
det
−λ − k
1
+...−(−1)
n−1
k
n−1
λ+(−1)
n
k
n
= (−1)
n
λ
n
+(−1)
n
k
1
λ
n−1
+
... - (−1)
n−1
k
n−1
λ + (−1)
n
k
n
= 0, ou seja,
λ
n
+ k
1
λ
n−1
+ ... + k
n−1
λ + k
n
= 0.
Vemos assim que a equa¸c˜ao p
P
(λ) = 0 coincide com a equa¸c˜ao caracter´ıstica da
equa¸c˜ao diferencial de ordem n que deu origem `a matriz P .
O exemplo 1.2.1, mostra que o sistema (1.5) pode ser equivalente ao sistema
companheiro e vimos dois exemplos de (1.5) que n˜ao s˜ao equivalentes a um sistema
companheiro, o exemplo 1.2.2 e o sistema (1.6) bi-dimensional com diagonal, tendo
dois autovalores repetidos.
1.4 Uma Semelhan¸ca Invariante
´
E conveniente dar a defini¸c˜ao a seguir.
Defini¸c˜ao 1.4.1 Um vetor x ∈ R
n
´e um vetor c´ıclico para uma matriz quadrada A
de ordem n se os n vetores x, Ax, A
2
x, ... , A
n−1
x s˜ao linearmente independentes.
19
Exemplo 1.4.1 O vetor q =
0 0 · · · 1
T
´e c´ıclico para a matriz
P =
0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
. . . · · · .
. . . · · · .
0 0 0 · · · 1
−k
n
−k
n−1
−k
n−2
· · · −k
1
.
De fato,
q P q P
2
q · · · P
n−1
q
=
0 0 0 · · · 1
0 0 0 · · · ∗
. . . · · · .
. . . · · · .
0 1 ∗ · · · ∗
1 ∗ ∗ · · · ∗
,
que ´e n˜ao-singular.
Portanto, q ´e vetor c´ıclico para P .
A existˆencia de um vetor c´ıclico para uma matriz ´e invariante por semelhan¸ca,
isto ´e, se T AT
−1
= P e q ´e c´ıclico para P , ent˜ao A tem um vetor c´ıclico dado por
T
−1
q.
De fato:
{T
−1
q, AT
−1
q, A
2
T
−1
q, ..., A
n−1
T
−1
q} ´e um conjunto linearmente independente
pois, aplicando T a cada um deles, obtemos
20
T T
−1
q = q
T AT
−1
q = P q
T A
2
T
−1
q = P
2
q
.
.
.
T A
n−1
T
−1
q = P
n−1
q
,
que ´e um conjunto linearmente independente, por hip´otese. Como T ´e n˜ao-singular,
segue, que o conjunto {T
−1
q, AT
−1
q, ..., A
n−1
T q} ´e linearmente independente.
Portanto T
−1
q ´e vetor c´ıclico para a matriz A.
No que segue, utilizaremos os dois lemas abaixo. Lembramos que o polinˆomio
m´ınimo de uma matriz A ´e o polinˆomio de menor grau que se anula em A, cujo
coeficiente do termo de maior grau ´e igual a 1.
Lema 1.4.1 Matrizes semelhantes tˆem o mesmo polinˆomio m´ınimo.
Demonstra¸c˜ao. Sejam q
A
, q
B
, polinˆomios m´ınimos de A e B, respectivamente,
onde A ∼ B.
Logo existe T n˜ao-singular tal que, B = T
−1
AT .
Assim, q
A
(B) = q
A
(T
−1
AT ) = T
−1
q
A
(A)T = 0.
Logo, gr(q
B
(λ)) ≤ gr(q
A
(λ)), onde ”gr” significa ”grau”.
Por outro lado, q
B
(A) = q
B
(T BT
−1
) = T q
B
(B)T
−1
= 0.
Logo, gr(q
A
)(λ) ≤ gr(q
B
(λ)).
Portanto esses dois polinˆomios tˆem o mesmo grau, se anulam em A e em B ent˜ao
eles devem ser idˆenticos por, [3, teo : 3.3.1].
Lema 1.4.2 Os polinˆomios caracter´ıstico e m´ınimo de uma matriz companheira P
s˜ao idˆenticos.
21
Demonstra¸c˜ao.
Considere
P =
0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
. . . · · · .
. . . · · · .
0 0 0 · · · 1
−k
n
−k
n−1
−k
n−2
· · · −k
1
e seja I a matriz identidade de ordem n.
Seja, p
P
(λ) = λ
n
+ k
1
λ
n−1
+ · · · + k
n−1
λ + k
n
polinˆomio caracter´ıstico de P .
Observe que, se e
j
representa o j-´esimo vetor da base canˆonica do R
n
, j =
1, 2, . . . , n, ent˜ao
e
1
I = (1, 0, · · · , 0) = e
1
= e
1
I
e
1
P = (0, 1, 0, · · · , 0) = e
2
= e
1
P
e
2
P = (0, 0, 1, 0, · · · , 0) = e
3
= e
1
P
2
.
.
.
e
n−1
P = (0, 0, 0, 0, · · · , 1) = e
n
= e
1
P
n−1
e
n
P = (−k
n
, −k
n−1
, · · · , −k
1
) = −e
1
k
n
− e
2
k
n−1
− · · · − e
n
k
1
⇔
e
1
P
n
= −e
1
Ik
n
− e
1
P k
n−1
− · · · − e
1
P
n−1
k
1
⇔
e
1
P
n
+ e
1
k
1
P
n−1
+ · · · e
1
k
n−1
P + e
1
k
n
I = 0 ⇔
e
1
(P
n
+ k
1
P
n−1
+ · · · k
n−1
P + k
n
I) = 0 ⇔
e
1
p
P
(P ) = 0
Al´em disso, e
k
p
P
(P ) = e
1
P
k−1
p
P
(P ) = 0 para cada k = 1, 2, · · · , n, desde que
e
k
p
P
(P ) = 0 para cada vetor e
k
. Conclu´ımos que p
P
(P ) = 0, e portanto p
P
(λ) ´e um
polinˆomio de grau n que se anula em P .
22
Se existe um polinˆomio q(t) = t
m
+ b
1
t
m−1
+ · · · + tb
m−1
+ b
m
, com m < n que
se anula em P , ent˜ao
0 = e
1
q(P )
= e
1
P
m
+ e
1
b
1
P
m−1
+ · · · + e
1
b
m−1
P + e
1
b
m
I
= e
m+1
+ b
1
e
m
+ · · · + b
m−1
e
2
+ b
m
e
1
⇔ e
m+1
= −b
1
e
m
− · · · − b
m−1
e
2
− b
m
e
1
⇒ e
m+1
´e linearmente dependente com os vetores base e
1
, e
2
, · · · , e
m
, ab-
surdo.
Portanto, p
P
(λ) = λ
n
+ k
1
λ
n−1
+ · · · + k
n−1
λ + k
n
´e tamb´em o polinˆomio
m´ınimo.
Proposi¸c˜ao 1.4.1 Uma matriz A ´e semelhante `a matriz companheira P definida
pelo seu polinˆomio caracter´ıstico se, e somente se, os polinˆomios m´ınimo e carac-
ter´ıstico de A s˜ao idˆenticos.
Demonstra¸c˜ao. Sabemos que matrizes semelhantes tˆem os mesmos polinˆomios
m´ınimo e caracter´ıstico.
Supondo A ∼ P , ent˜ao p
P
(λ) = p
A
(λ) e q
P
(λ) = q
A
(λ) onde, p ´e o polinˆomio
caracter´ıstico e q ´e o polinˆomio m´ınimo. Pelo Lema 1.4.2, p
P
(λ) = q
P
(λ), e da´ı
segue que os polinˆomios caracter´ıstico e m´ınimo de A s˜ao idˆenticos.
Por outro lado, se o polinˆomio m´ınimo e o polinˆomio caracter´ıstico de A s˜ao
idˆenticos, ent˜ao a forma canˆonica de Jordan de A deve conter exatamente um bloco
de Jordan para cada autovalor distinto, e a ordem de cada bloco ´e igual `a multiplici-
dade do autovalor correspondente como zero do polinˆomio caracter´ıstico (e m´ınimo)
de A.
Pelo lema 1.4.2, os polinˆomios caracter´ıstico e m´ınimo da matriz companheira
P s˜ao idˆenticos. Assim, a matriz companheira P tem os mesmos blocos de Jordan
de A. Logo por transitividade segue que A ´e semelhante a P .
23
´
E f´acil construir um exemplo de matriz que tem (ou n˜ao tem) vetores c´ıclicos. Os
exemplos 1.2.1 e 1.2.2 possuem condi¸c˜ao de semelhan¸ca onde o polinˆomio m´ınimo
e caracter´ıstico de A ´e p(λ) = λ(λ + 3). Conclu´ımos que existe alguma outra ob-
stru¸c˜ao no exemplo 1.2.2 para a equivalˆencia com o sistema (1.2), e a obstru¸c˜ao
deve envolver o vetor b. Assim, o problema com a transforma¸c˜ao no exemplo 1.2.2
est´a relacionado `a forma com que a fun¸c˜ao for¸cante u ingressa as equa¸c˜oes. Exam-
inaremos essas quest˜oes na pr´oxima se¸c˜ao.
1.5 Unicidade da Transforma¸c˜ao T
Assuma que temos uma matriz T n˜ao-singular tal que T AT
−1
= P e T b = q.
Ent˜ao, T AT
−1
q = T Ab, e T A
k
b = T A
k
T
−1
q = (T AT
−1
)
k
q = P
k
q, para todo
k ≥ 0 inteiro.
A n˜ao-singularidade de T implica que, se q ´e c´ıclico para P ,
n = rank
q P q · · · P
n−1
q
= rank
T b T Ab · · · T A
n−1
b
= rank
b Ab · · · A
n−1
b
.
Al´em disso, T ´e determinada univocamente por suas a¸c˜oes na base definida pelos
vetores
b, Ab, · · · A
n−1
b
.
Assim, n´os temos o resultado de unicidade a seguir e condi¸c˜ao necess´aria.
Proposi¸c˜ao 1.5.1 H´a no m´aximo uma transforma¸c˜ao linear n˜ao-singular z = T x,
levando (1.5) para a forma companheira (1.2). Tal T existe somente se
rank
b Ab · · · A
n−1
b
= n. (1.10)
O exemplo 1.2.2 ´e explicado por este resultado pois,
b Ab
=
1 0
1 0
,
24
rank = 2.
Voltaremos mais adiante ao exemplo 1.2.2 para estudo adicional.
A Proposi¸c˜ao 1.5.1. tamb´em explica porque n´os n˜ao podemos obter uma equa¸c˜ao
de segunda ordem da forma (1.1) para a vari´avel x
1
no exemplo 1.2.1: a equa¸c˜ao de
segunda ordem para y = z
1
deve ser uma combina¸c˜ao linear ´unica das componentes
de x.
Mostraremos em seguida que a condi¸c˜ao (1.10) ´e tamb´em suficiente para garantir
a existˆencia de uma transforma¸c˜ao n˜ao-singular que leve (1.5) a (1.2). Mostraremos
tamb´em como construir T por um m´etodo direto e simples.
1.6 A Condi¸c˜ao do posto ´e Suficiente para Equiva-
lˆencia.
Referindo-se anteriormente pelo exemplo 1.2.1, a chave em transformar (1.5) para
(1.2) ´e identificar a vari´avel z
1
que satisfaz uma equa¸c˜ao de ordem n equivalente a
(1.1).
Note que,
z
1
=(primeira linha de
T
)
·
x
. Vamos denotar a primeira linha de T
por
τ
.
Assim, desde que T b = q =
0 0 · · · 1
T
e T A
k
b = P
k
q, devemos ter,
τb = 0, τ Ab = 0, · · · , τA
n−2
b = 0, τA
n−1
b = 1.
Escrevemos isso como
τ
b Ab · · · A
n−1
b
=
0 0 · · · 0 1
T
= q
T
. (1.11)
Agora, se assumirmos rank
b Ab · · · A
n−1
b
= n, h´a uma ´unica solu¸c˜ao
para τ em (1.11)
Novamente, a vari´avel z
1
deve ser uma combina¸c˜ao linear ´unica das coordenadas
de x.
25
Seja agora z
2
=(segunda linha de T )·x = z
1
= τ x
= τ (Ax + bu(t)) = τAx +
τbu(t) = τ Ax.
Portanto, z
2
= τAx.
Continuando desse modo, as equa¸c˜oes que definem τ e a forma do sistema z
implicam que,
T =
τ
τA
.
.
.
τA
n−1
(1.12)
Combinamos esse argumento com a Proposi¸c˜ao 1.5.1, temos o seguinte resultado:
Teorema 1.6.1 O sistema x
= Ax + bu(t) com x ∈ R
n
pode ser transformado no
sistema companheiro z
= P z + qu(t), por uma transforma¸c˜ao linear n˜ao-singular
z = T x se, e somente se, r ank
b Ab · · · A
n−1
b
= n. Neste caso, T ´e definida
univocamente por (1.12) onde τ ´e a ´unica solu¸c˜ao de (1.11).
O Teorema 1.6.1 responde nossa quest˜ao original. Se os fatos alg´ebricos b´asicos
relativos `a existˆencia de um vetor c´ıclico para a matriz companheira de A ´e enten-
dida, ent˜ao a situa¸c˜ao relativa `a equivalˆencia entre (1.5) e (1.2) se torna transparente.
Nossa quest˜ao original nos levou a esse ponto. Mas h´a muito mais envolvido aqui.
Pense em variar o termo n˜ao homogˆeneo em (1.5). E se aplicarmos diferentes fun¸c˜oes
de entrada u(t)? At´e onde isso pode afetar as solu¸c˜oes do sistema? Consideraremos
a quest˜ao de variar a entrada u(t) no pr´oximo cap´ıtulo. Fazendo assim, obtemos
um entendimento anal´ıtico, dentro da Teoria do Controle, da condi¸c˜ao do rank no
Teorema 1.6.1.
Cap´ıtulo 2
Controlabilidade
2.1 Controlabilidade Completa
O sistema (1.5) ´e freq¨uentemente chamado de sistema de entrada ´unica porque a
fun¸c˜ao de entrada u ´e escalar em vez de vetorial. Mostraremos nesta se¸c˜ao que um
conceito natural de controlabilidade para o sistema de entrada ´unica (1.5) coincide
com o fato de b ser um vetor c´ıclico para A.
Em cursos de equa¸c˜oes diferenciais elementares, o termo n˜ao-homogˆeneo em (1.1)
´e considerado fixo. Mas, perguntamos agora: o que acontece com a dinˆamica do
sistema quando mudamos u? Mais especificamente, at´e que ponto o vetor x(t) pode
ser influenciado, come¸cando em um estado inicial x
0
e usando entradas arbitr´arias
u(t)? A pr´oxima defini¸c˜ao descreve um conceito de controlabilidade completa para
(1.5). Antes de dar a defini¸c˜ao, devemos especificar um conjunto U de fun¸c˜oes de
entrada admiss´ıveis. As solu¸c˜oes de um sistema linear com coeficientes constantes
de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias s˜ao definidas em toda a reta real, e geralmente
queremos a mesma propriedade para a entrada u(t). Por´em, as entradas ser˜ao
restringidas a um intervalo [t
0
, t
f
]. Portanto, com uma restri¸c˜ao apropriada do
dom´ınio quando necess´ario, podemos considerar v´arios casos de espa¸cos vetoriais de
fun¸c˜oes para o conjunto U, incluindo fun¸c˜oes constantes por partes, cont´ınuas, ou
entradas localmente integr´avel.
27
Uma fun¸c˜ao de valores reais u(t) ´e localmente integr´avel se
t
2
t
1
|u(s)|ds < ∞,
para cada t
1
< t
2
. O conjunto de fun¸c˜oes localmente integr´avel ´e o maior espa¸co
vetorial de entradas para qual (1.5) faz sentido; ent˜ao assumimos que nossas entradas
s˜ao localmente integr´aveis.
Defini¸c˜ao 2.1.1 O sistema linear (1.5) ´e completamente control´avel, se dados quais-
quer x
0
, x
f
∈ R
n
, existe um t
f
> 0 e uma fun¸c˜ao controle u(t) definida para
0 ≤ t ≤ t
f
, tais que a solu¸c˜ao de (1.5), com condi¸c˜ao inicial x(0) = x
0
, satis-
faz x(t
f
) = x
f
.
A solu¸c˜ao para (1.5) com x(0) = x
0
´e dada por,
x(t) = e
tA
x
0
+
t
0
e
−sA
bu(s)ds
(2.1)
onde,
e
tA
= I + tA +
t
2
2!
A
2
+ · · · +
t
k
k!
A
k
+ · · · .
Pelo M-test de Weierstrass, esta s´erie converge uniformemente e absolutamente
se |t| ≤ t
f
para t
f
finito. O sistema (1.5) ´e completamente control´avel se para
quaisquer x
0
, x
f
dados, existe algum t
f
e alguma fun¸c˜ao u localmente integr´avel em
0 ≤ t ≤ t
f
tais que,
x(t
f
) = e
t
f
A
x
0
+
t
f
0
e
−sA
bu(s)ds
= x
f
. (2.2)
´
E uma surpresa que a solvabilidade de (2.2) para arbitr´arios x
0
, x
f
´e determinada
por um crit´erio puramente alg´ebrico. A explica¸c˜ao est´a no Teorema de Cayley-
Hamilton: a matriz A satisfaz p
A
(A) = 0, onde p
A
(λ) ´e o polinˆomio caracter´ıstico
de A. A condi¸c˜ao rank (1.10) ´e conhecida como condi¸c˜ao de controlabilidade do
posto, e a matriz
b Ab · · · A
n−1
b
´e chamada matriz de controlabilidade, por
causa do Teorema 2.1.1 em seguida.
Antes, vejamos um lema.
28
Lema 2.1.1 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Para cada k ≥ n, A
k
pode
ser escrita como uma combina¸c˜ao linear das potˆencias A, A
2
, · · · , A
n−1
.
Demonstra¸c˜ao. Seja p
A
(λ) = λ
n
+ k
1
λ
n−1
+ · · · + k
n−1
λ + k
n
polinˆomio
caracter´ıstico de A.
Pelo teorema de Cayley-Hamilton,
p
A
(A) = A
n
+ k
1
A
n−1
+ · · · + k
n−1
A + k
n
I = 0.
Ent˜ao,
A
n
= −k
1
A
n−1
− · · · − k
n−1
A − k
n
I, provando que para k = n o resultado ´e
verdadeiro.
Por indu¸c˜ao, suponhamos que vale para k ≥ n, ou seja, A
k
= α
1
A
n−1
+ · · · +
α
n−1
A + α
n
I, com α
i
∈ R, i = 1, 2, . . . , n.
Assim,
A
k+1
= A
k
A = (α
1
A
n−1
+ · · · + α
n−1
A + α
n
I)A
= α
1
A
n
+ · · · + α
n−1
A
2
+ α
n
A
= α
1
(−k
1
A
n−1
− · · · − k
n−1
A − k
n
I) + α
2
A
n−1
+ · · · + α
n−1
A
2
+ α
n
A
= (α
2
− α
1
k
1
)A
n−1
+ (α
3
− α
1
k
2
)A
n−2
+ · · · + (α
n
− α
1
k
n−1
)A − α
1
k
n
I.
Logo A
k+1
pode ser escrito como combina¸c˜ao linear das potˆencias A, A
2
, · · · , A
n−1
.
Portanto, A
k
po de ser escrita como uma combina¸c˜ao linear das potˆencias
A, A
2
, · · · , A
n−1
para todo k ≥ n.
Lembramos que o espa¸co coluna de uma matriz n×n ´e o subespa¸co do R
n
gerado
pelas colunas da matriz, consideradas como vetores do R
n
. Tamb´em, se M ´e um
subespa¸co vetorial de dimens˜ao finita de um espa¸co normado E, ent˜ao M ´e fechado
em E.
Teorema 2.1.1 O sistema linear x
= Ax + bu(t) em (1.5) ´e completamente con-
trol´avel se, e somente se, rank
b Ab · · · A
n−1
b
= n.
29
Demonstra¸c˜ao. Seja R o espa¸co coluna de
b Ab · · · A
n−1
b
. Como R
tem dimens˜ao finita, R ´e um subespa¸co fechado do R
n
.
Pela defini¸c˜ao de matriz exponencial temos
e
−sA
b = Ib − sAb +
s
2
2!
A
2
b −
s
3
3!
A
3
b + · · · + (−1)
k
s
k
k!
A
k
b + · · · .
Pelo lema 2.1.1 e do fato de que R ser subespa¸co fechado no R
n
, conclu´ımos que
e
−sA
b est´a em R, para todo s ∈ R.
Ent˜ao a integral no lado direito, da express˜ao abaixo,
x(t) = e
tA
x
0
+
t
0
e
−sA
bu(s)ds
,
est´a em R, para todo s, j´a que ´e limite de uma sequˆencia de elementos de R.
Tomando x
0
= 0, os estados que s˜ao alcan¸cados a partir da origem num tempo
finito, por meio de alguma entrada u(t), est˜ao todos em R.
Portanto, se a condi¸c˜ao do rank n˜ao estiver satisfeita, ent˜ao o sistema n˜ao ser´a
completamente control´avel, porque existir˜ao pontos em R
n
\ R que n˜ao poder˜ao ser
alcan¸cados a partir de x
0
.
Reciprocamente, suponha rank
b Ab · · · A
n−1
b
= n.
Mostraremos que x
(t) = Ax(t) + bu(t) ´e completamente control´avel.
Seja t
f
> 0 um tempo finito, e considere a matriz sim´etrica de ordem n,
M =
t
f
0
e
−sA
bb
T
e
−sA
T
ds.
Primeiro mostraremos que M ´e n˜ao singular.
Assim, suponhamos que Mv = 0 para algum v ∈ R
n
. Ent˜ao, v
T
Mv = 0, o que
implica que,
0 =
t
f
0
v
T
e
−sA
bb
T
e
−sA
T
vds =
t
f
0
v
T
e
−sA
b(v
T
e
−sA
b)
T
ds =
tf
0
(ψ(s))
2
ds,
30
onde ψ(s) = v
T
e
−sA
b. Como (ψ(s))
2
´e cont´ınua e n˜ao negativa, conclu´ımos que
ψ(s) ≡ 0 em [0, t
f
].
Segue que,
ψ(0) = v
T
b = 0, ψ
(0) = −v
T
Ab = 0, . . ., ψ
n−1
(0) = (−1)
n
v
T
A
(n−1)
b = 0.
Portanto v ´e perpendicular a R.
Como por hip´otese,
rank
b Ab · · · A
n−1
b
= n,
s´o pode ser v = 0.
Portanto M ´e n˜ao singular.
Agora mostraremos que a n˜ao singularidade de M implica controlabilidade com-
pleta.
Dados x
0
, x
f
∈ R
n
, definimos o controle u(s) = b
T
e
−sA
T
x para 0 ≤ s ≤ t
f
,
onde x ser´a escolhido convenientemente.
A solu¸c˜ao x(t) com entrada u e condi¸c˜ao inicial x
0
tem ponto final x
f
no tempo
t
f
desde que x possa ser escolhido de modo que,
x(t
f
) = e
t
f
A
x
0
+
t
f
0
e
−sA
bb
T
e
−sA
T
ds
x
= e
t
f
A
(x
0
+ M x) = x
f
.
Mas, e
t
f
A
´e n˜ao singular e M ´e n˜ao singular, assim
x
f
= e
t
f
A
(x
0
+ M x) ⇔ e
−t
f
A
x
f
= x
0
+ M x ⇔ x = M
−1
(e
−t
f
A
x
f
− x
0
)
Portanto qualquer x
0
po de ser direcionado para qualquer x
f
em um tempo finito,
e assim o sistema ´e completamente control´avel.
Ilustraremos o Teorema 2.1.1 e a id´eia de controlabilidade re-examinando o
exemplo 1.2.2.
31
Exemplo 2.1.1 (Continua¸c˜ao do exemplo 1.2.2 ) O sistema ´e
x
=
−2 2
1 −1
x +
1
1
u.
Note que p
A
(λ) = λ
2
+ 3λ, logo λ = 0 ´e autovalor de A e b =
1 1
T
´e um
autovetor correspondente. Assim, a condi¸c˜ao de controlabilidade do posto n˜ao se
verifica, pois
b Ab
=
1 0
1 0
.
Entretanto, A ´e semelhante `a sua matriz companheira P =
0 1
0 −3
.
Usando T calculada anteriormente e z = T x, temos,
z
=
0 1
0 −3
z +
1
0
u(t),
e da´ı,
z
1
= z
2
+ u(t) (∗)
z
2
= −3z
2
(∗∗)
.
Diferenciando (∗ ) e substituindo em (∗∗) obtemos, z
1
− 3z
1
= 3u + u
, que n˜ao
tem a forma (1.1) devido o termos u
.
Uma integra¸c˜ao produz uma equa¸c˜ao de primeira ordem
z
1
+ 3z
1
= 3
ud(s) + u,
que mostra que a a¸c˜ao de entradas arbitr´arias u afetam a dinˆamica em somente
um espa¸co um-dimensional. A equa¸c˜ao original para x usada leva a pensar que u
po deria afetar completamente ambos x
1
e x
2
, mas note que a equa¸c˜ao para z
2
diz
que u n˜ao afeta a dinˆamica da diferen¸ca x
1
− x
2
= z
2
. Somente se a condi¸c˜ao inicial
para z envolver z
2
(0) = 0, u pode ser usado para controlar uma traj´etoria.
32
Isto ´e, as entradas controlam completamente somente os estados que est˜ao no
subespa¸co,
span
b Ab
= span{b} = span
1 1
T
.
Solu¸c˜oes partindo com x
1
(0) = x
2
(0) satisfazem x
1
(t) = x
2
(t) =
t
0
ud(s) +
x
1
(0).
Pode-se conduzir ao longo da reta x
1
= x
2
de algum ponto inicial para algum
ponto final x
1
(t
f
) = x
2
(t
f
) em um tempo finito t
f
por uma escolha apropriada de
u. Por outro lado, se a condi¸c˜ao inicial se encontra fora da reta x
1
= x
2
, ent˜ao a
diferen¸ca z
2
= x
1
− x
2
decai exponencialmente. Assim, n˜ao existe possibilidade de
conduzir para um estado final arbitr´ario em um tempo finito.
Quando um sistema ´e completamente control´avel, geralmente existem muitas
fun¸c˜oes de entrada que podem fazer a transferˆencia de x
0
para x
f
. Essa flexi-
bilidade pode ser explorada em algumas aplica¸c˜oes para otimizar o comportamento
do sistema de alguma maneira, por exemplo, minimizando a medida do custo de
executar a transferˆencia. Em particular, se o custo da a¸c˜ao controle ´e medida pela
integral
t
f
t
0
|u(s)|
2
d(s),
ent˜ao um controle que minimiza esse custo pode ser determinado.
Cap´ıtulo 3
Observabilidade e Dualidade
3.1 O Sistema Linear e sua medida de sa´ıda
Suponha que temos o sistema (1.5) para o qual uma certa combina¸c˜ao linear das
componentes x
i
de x ´e medida diretamente, possivelmente por alguma combina¸c˜ao
de instrumentos.
Escrevemos o sistema e sua medida de sa´ıda como
x
= Ax + bu(t) (a)
y = c
T
x (b)
(3.1)
onde c ´e um vetor constante. A fun¸c˜ao y(t) ´e a sa´ıda conhecida.
Perguntamos, quando c
T
´e a primeira linha de uma transforma¸c˜ao T para o
sistema companheiro (1.2), onde y ´e a vari´avel dependente em (1.1)?
Se tal T existe, T deve ter a forma,
T =
τ
τA
.
.
.
τA
n−1
34
com τ = c
T
.
Devemos ter T b = q =
0 0 · · · 1
T
.
Assim,
rank(T ) = rank
c
T
c
T
A
.
.
.
c
T
A
n−1
= n (3.2)
Al´em disso, desde que T b = q temos,
c
T
c
T
A
.
.
.
c
T
A
n−1
b =
0
0
.
.
.
0
1
=
b
T
b
T
A
T
.
.
.
b
T
(A
n−1
)
T
c (3.3)
Podemos checar que a equa¸c˜ao diferencial para z = [y y
... y
n−1
]
T
realmente
´e a forma companheira (1.2), lembrando que A anula seu p olinˆomio caracter´ıstico,
A
n
+ k
1
A
n−1
+ · · · + k
n−1
A + k
n
I = 0. Pelos resultados vistos anteriormente, temos
a seguinte
Proposi¸c˜ao 3.1.1 Existe uma transforma¸c˜ao T n˜ao singular transformando (3.1a)
para a forma companheira (1.2) com z
1
= c
T
x se, e somente se, as condi¸c˜oes (3.2)
e (3.3) est˜ao satisfeitas. Neste caso, T ´e univocamente determinada, e ´e a matriz
em (3.2).
35
Note que a matriz
c
T
c
T
A
.
.
.
c
T
A
n−1
tem o mesmo rank que a matriz
c A
T
c · · · (A
n−1
)
T
c
. Assim, y = c
T
x satisfaz
(1.1) se, e somente se, o sistema
x
= A
T
x + cu (3.4)
´e completamente control´avel, pelo Teorema 2.1.1.
Al´em disso, (3.3) mostra que b
T
´e a primeira linha da transforma¸c˜ao que leva
(3.4) para a forma companheira.
A liga¸c˜ao da prop osi¸c˜ao 3.1.1 com o sistema (3.4) conduz para uma dualidade
fundamental entre controlabilidade completa e o conceito de observabilidade com-
pleta. A condi¸c˜ao do rank (3.2) ´e conhecida como a condi¸c˜ao de observabilidade do
posto e, a matriz
c
T
c
T
A
.
.
.
c
T
A
n−1
(3.5)
´e chamada a matriz observabilidade para o sistema (3.1). A condi¸c˜ao do posto
implica que o sistema em x pode ser reconstru´ıdo a partir do conhecimento de y, u
e de suas derivadas.
36
3.2 Observabilidade Completa
Defini¸c˜ao 3.2.1 O sistema (3.1) ´e completamente observ´avel se para qualquer x
0
=
x(0), existe um tempo t
f
> 0 finito tal que o conhecimento da entrada u e da sa´ıda
y em [0, t
f
] s˜ao suficientes para determinar x
0
de maneira ´unica.
A sa´ıda do sistema para uma condi¸c˜ao inicial x(0) = x
0
e uma entrada u ´e dada
por,
y(t) = c
T
e
tA
x
0
+ c
T
t
0
e
(t−s)A
bu(s)ds.
Logo, assumindo y e u conhecidos em um intervalo [0, t
f
], estudar observabilidade
resume-se a obter x
0
a partir de u(t) e y(t). Vemos que a Defini¸c˜ao 3.2.1 pode ser
reformulada usando somente a entrada u ≡ 0.
Para ver como a determina¸c˜ao de x
0
´e feita quando a condi¸c˜ao de observabilidade
do posto ´e satisfeita, diferenciamos a equa¸c˜ao de sa´ıda (3.1b) n − 1 vezes e fazemos
t = 0 para obter
y(0)
y
(0)
.
.
.
y
n−1
(0)
=
c
T
c
T
A
.
.
.
c
T
A
n−1
x
0
+ termos dependentes de u. (3.6)
De fato,
temos,
x
= Ax + u(t)
y = c
T
x
Assim,
• y(0) = c
T
x(0) = c
T
x
0
.
• y
(t) = c
T
x
(t) = c
T
(Ax(t) + bu(t)) = c
T
Ax(t) + c
T
bu(t). Logo,
y
(0) = c
T
Ax(0) + c
T
bu(0).
• y
(t) = c
T
Ax
(t) + c
T
bu
(t) = c
T
A(Ax(t) + bu(t)) + c
T
bu
(t) = c
T
A
2
x(t) +
c
T
Abu(t) + c
T
bu
(t) ent˜ao, de onde se tem
37
y
(0) = c
T
A
2
x
0
+ c
T
Abu(0) + c
T
bu
(0).
.
.
.
• y
n−1
(0) = c
T
A
n−1
x
0
+ c
T
A
n−2
bu(0) + . . . + c
T
bu
n−2
(0), por indu¸c˜ao.
Pela condi¸c˜ao de observabilidade do posto, os coeficientes de x
0
s˜ao n˜ao-singulares,
e podemos resolver para x
0
em termos de u, y e suas derivadas.
Para exemplificar, considere o sistema do exemplo 1.2.2 com sa´ıda y =
1 0
x.
Assim,
y(0)
y
(0)
=
c
T
c
T
A
x
0
+
0
c
T
b
u =
1 0
−2 2
x
0
+
0
1
u.
Portanto o sistema ´e completamente observ´avel.
Teorema 3.2.1 O sistema (3.1) ´e completamente observ´avel se, e somente se, a
condi¸c˜ao de observabilidade do posto (3.2) ´e satisfeita.
Demonstra¸c˜ao. J´a mostramos a suficiˆencia da condi¸c˜ao do posto (3.2).
Agora assuma que temos observabilidade completa. Devemos mostar que (3.2)
´e satisfeita.
Suponha,
rank
c
T
c
T
A
.
.
.
c
T
A
n−1
< n.
Ent˜ao existe um vetor v diferente de zero tal que,
38
c
T
c
T
A
.
.
.
c
T
A
n−1
v = 0 (3.7)
Usando a entrada u ≡ 0, temos a sa´ıda y(t) = c
T
e
tA
x
0
. Tomando x
0
= v,
temos
y(t) = ( c
T
I + tc
T
A +
t
2
2!
c
T
A
2
+ · · · +
t
k
k!
c
T
A
k
+ · · · )v.
Usando (3.7) e o lema 2.1.1, segue que,
c
T
v = 0
tc
T
Av = t · 0 = 0
.
.
.
t
k
k!
c
T
A
k
v =
t
k
k!
· 0 = 0
.
.
.
Assim y ≡ 0. Mas esta ´e tamb´em a sa´ıda quando x
0
= 0, com entrada zero. Isto
contradiz a suposi¸c˜ao de observabilidade completa.
Portanto, (3.2) ´e satisfeita.
Motivado pelos coment´arios em rela¸c˜ao `a proposi¸c˜ao 3.1.1, definimos o sistema
dual de (3.1) por,
x
= A
T
x + cu(t) (a)
y = b
T
x (b)
(3.8)
Ent˜ao, o dual do dual de um sistema ´e o sistema original. Com esta defini¸c˜ao
po demos reunir a discuss˜ao feita at´e agora com o seguinte enunciado:
39
Teorema 3.2.2 O sistema (3.1) ´e completamente observ´avel se, e somente se,
(3.8a) ´e completamente control´avel. O sistema (3.1a) ´e completamente control´avel
se, e somente se, o sistema (3.8) ´e completamente observ´avel.
3.3 As Formas Companheira e Diagonal de um
Sistema
Obteremos duas formas de sistemas de entrada ´unica definidas pela equa¸c˜ao
y
− 2y
+ y
− 2y = u. (3.9)
(a) A forma companheira
Usando as vari´aveis de estado definidas acima, temos
x
1
= y, x
2
= y
e x
3
= y
, ent˜ao
x
1
= x
2
x
2
= x
3
x
3
= 2x
1
− x
2
+ 2x
3
+ u
(3.10)
Portanto
x
1
x
2
x
3
=
0 1 0
0 0 1
2 −1 2
x
1
x
2
x
3
+
0
0
1
u (3.11)
e y =
1 0 0
x
1
x
2
x
3
.
(b) A forma diagonal
O modo da escolha das vari´aveis abaixo pode n˜ao ser claro, mas esperamos que
40
isto mude depois de ser trabalhado na se¸c˜ao 3.4. Sejam
x
1
=
1
5
y +
1
5
y
x
2
=
1
5
(2 + i)y −
1
2
iy
+
1
10
(−1 + 2i)y
x
3
=
1
5
(2 − i)y +
1
2
iy
−
1
10
(1 + 2i)y
(3.12)
(onde i
2
= −1).
Ent˜ao
x
1
=
1
5
y
+
1
5
y
=
1
5
y
+
1
5
(2y
− y
+ 2y + u)
=
2
5
(y
+ y) +
1
5
u.
Da mesma forma, obt´em-se
x
2
= ix
2
+
1
10
(−1 + 2i)u e x
3
= −ix
3
−
1
10
(1 + 2i)u.
Na forma matricial escrevemos como
x
1
x
2
x
3
=
2 0 0
0 i 0
0 0 −i
x
1
x
2
x
3
+
1
10
2
−1 + 2i
−1 − 2i
u (3.13)
e na adi¸c˜ao das equa¸c˜oes (3.12)
y = x
1
+ x
2
+ x
3
(3.14)
isto ´e y =
1 1 1
x
1
x
2
x
3
.
41
3.4 A Transforma¸c˜ao da Forma Companheira para
a Diagonal
Considere o sistema
x
= P x + qu(t) (a)
y = c
T
x (b)
(3.15)
onde P ´e uma matriz de ordem n na forma (1.3), q e c s˜ao matrizes n × 1.
Considere alguma matriz T n˜ao-singular de ordem n. Se
z = T x, (3.16)
as equa¸c˜oes (3.15) podem ser escritas como
z
= Dz + q
1
u(t) (a)
y = c
T
1
z (b)
(3.17)
onde D = T P T
−1
, q
1
= T q e c
1
= (T
−1
)
T
c.
Como vimos, as matrizes P e D s˜ao semelhantes. Nosso interesse particular s˜ao
nas transforma¸c˜oes onde D ´e diagonal e P na forma companheira (1.3). Assumimos
que a matriz P tem autovalores λ
1
, λ
2
, . . ., λ
n
distintos.
Correspondente aos autovalores λ
i
existem os autovetores x
i
tais que
P x
i
= λ
i
x
i
(i = 1, 2 . . . , n). (3.18)
Definimos a matriz M tendo nas colunas os autovetores x
1
, x
2
, . . . , x
n
, isto ´e
M =
x
1
x
2
· · · x
n
.
M ´e chamada ”matriz modal”; ela ´e n˜ao-singular e pode ser usada para obter a
T acima. Podemos escrever as n equa¸c˜oes definidas pela equa¸c˜ao (3.18) como
P M = DM (3.19)
42
onde
D =
λ
1
0 . . . 0
0 λ
2
. . . 0
0 0 . . . λ
n
= diag{λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
}.
Pela equa¸c˜ao(3.19) obtemos
D = M
−1
P M, (3.20)
e vemos que T ´e definida pela matriz M
−1
.
A matriz P tem a forma companheira.
P =
0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
. . . · · · .
. . . · · · .
0 0 0 · · · 1
−k
n
−k
n−1
−k
n−2
· · · −k
1
Logo a equa¸c˜ao caracter´ıstica ´e
λ
n
+ k
n−1
+ . . . + . . . k
1
λ + k
0
= 0.
Resolvendo essa equa¸c˜ao obtemos os autovalores λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
. Os correspon-
dentes autovetores tˆem uma forma interessante. Considere um dos autovalores λ e
o correspondente autovetor
x =
α
1
α
2
.
.
.
α
n
.
Ent˜ao a equa¸c˜ao P x = λx corresponde para o sistema de equa¸c˜oes
43
α
2
= λα
1
α
3
= λα
2
= λ
2
α
1
.
.
.
α
n
= λα
n−1
= λ
n−1
α
1
.
Pondo α
1
= 1, obtemos x =
1
λ
λ
2
.
.
.
λ
n−1
.
Considerando todos os autovalores, temos que a matriz modal neste caso tem a
forma
M =
1 1 . . . 1
λ
1
λ
2
. . . λ
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
λ
n−1
1
λ
n−1
2
. . . λ
n−1
n
. (3.21)
Nesta forma a matriz M ´e chamada matriz de Vandermond; ela ´e n˜ao-singular
desde que os autovalores λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
s˜ao distintos. Algum m´etodo para invers˜ao
de matrizes pode ser usado para calcular M
−1
.
Consideremos agora a equa¸c˜ao (3.9), e a obten¸c˜ao da transforma¸c˜ao da forma
companheira para a forma diagonal. A equa¸c˜ao
y
− 2y
+ y
− 2y = u
´e escrita na forma companheira como
x
1
x
2
x
3
=
0 1 0
0 0 1
2 −1 2
x
1
x
2
x
3
+
0
0
1
u,
e a sa´ıda ser´a
44
y =
1 0 0
x
1
x
2
x
3
.
Encontraremos a transforma¸c˜ao que levar´a esta equa¸c˜ao ao sistema na forma
diagonal.
A equa¸c˜ao caracter´ıstica de P ´e
|P − λI| = λ
3
− 2λ
2
+ λ − 2 = 0
isto ´e (λ − 2)(λ
2
+ 1) = 0 da´ı λ
1
= 2, λ
2
= i e λ
3
= −i.
Da equa¸c˜ao (3.21) a matriz modal ´e
M =
1 1 1
2 i −i
4 −1 −1
e sua inversa
M
−1
=
1
20
4 0 4
8 + 4i −10i −2 + 4i
8 − 4i 10i −2 − 4i
.
A transforma¸c˜ao definida pela equa¸c˜ao (3.16) ´e
z = M
−1
x.
A escolha original para x na se¸c˜ao (3.3) foi
x =
y y
y
T
.
Assim, a transforma¸c˜ao M
−1
x fica definida por
45
z
1
z
2
z
3
=
1
20
4 0 4
8 + 4i −10i −2 + 4i
8 − 4i 10i −2 − 4i
y
y
y
a qual, escrita nas suas componentes, ´e
z
1
=
1
5
y +
1
5
y
z
2
=
1
5
(2 + i)y −
1
2
iy
+
1
10
(−1 + 2i)y
z
3
=
1
5
(2 − i)y +
1
2
iy
−
1
10
(1 + 2i)y
.
Assim obtemos o sistema (3.17), isto ´e,
z
= Dz + q
1
u(t)
y = c
T
1
z
onde
D = M
−1
AM = diag{2, i, −i},
q
1
= M
−1
q =
1
10
2
−1 + 2i
−1 − 2i
e c
1
= (T
−1
)
T
c =
1 1 1
.
Podemos tamb´em obter uma transforma¸c˜ao para a forma companheira. Essa
transforma¸c˜ao ´e poss´ıvel somente quando o sistema ´e control´avel.
Cap´ıtulo 4
Retroalimenta¸c˜ao, Estabiliza¸c˜ao,
Observadores e Dualidade
4.1 Sistema Linear Est´avel
Um tema importante na Teoria do Controle ´e o uso da retroalimenta¸c˜ao para
modificar um sistema dinˆamico e alcan¸car algum comportamento desejado, por
exemplo, estabilizar um ponto de equil´ıbrio inst´avel. Nesta se¸c˜ao indicaremos algu-
mas vantagens de uma equivalˆencia com o sistema companheiro (1.2) relacionadas a
esse tema. Tamb´em apresentaremos uma conseq¨uˆencia adicional da dualidade. As
considera¸c˜oes nesta se¸c˜ao ajudam a mostrar que se po de fazer muito com o controle
de sistemas lineares, e assim ´e desej´avel ter uma extens˜ao da solu¸c˜ao do problema de
equivalˆencia envolvendo o sistema (1.2) e (1.5) para o caso onde (1.5) ´e substitu´ıdo
por um sistema n˜ao linear de entrada ´unica.
Defini¸c˜ao 4.1.1 O sistema linear x
= Ax ´e est´avel se todos autovalores de A est˜ao
no semi-plano esquerdo aberto do plano complexo.
Da teoria das equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias lineares, ´e conhecido que todas
as solu¸c˜oes x(t) → 0 quando t → ∞ se todos os autovalores de A tˆem parte real
negativa. Neste caso, o equil´ıbrio na origem ´e assintoticamente est´avel.
47
Defini¸c˜ao 4.1.2 No sistema (1.5), a retroalimenta¸c˜ao linear ´e tomada por u = Kx
onde K ´e uma matriz real 1 × n. O correspondente sistema de la¸co fechado ´e
x
= (A + bK)x.
Considere a forma companheira z
= P z + qu(t). Usando uma retroalimenta¸c˜ao
u =
Kz, ´e poss´ıvel atribuir autovalores arbitrariamente para o sistema de la¸co
fechado resultante, desde que os autovalores complexos de A + bK ocorram em
pares conjugados. Especificamente, pondo
u =
Kz =
−α
n
−α
n−1
. . . −α
1
z,
em z
= P z + qu(t), obtemos o sistema de la¸co fechado z
=
P z onde
P tem a forma
de P , exceto a ´ultima linha de
P .
De fato,
z
=
0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
. . . · · · .
0 0 . · · · 1
−k
n
−k
n−1
−k
n−2
· · · −k
1
z+
0
0
.
.
.
0
1
−α
n
−α
n−1
. . . −α
1
z.
Ent˜ao,
z
=
0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
. . . · · · .
0 0 . · · · 1
−k
n
−k
n−1
−k
n−2
· · · −k
1
z+
0 0 0 · · · 0
0 0 . · · · 0
. . . · · · .
0 0 . · · · 0
−α
n
−α
n−1
−α
n−2
· · · −α
1
z.
Logo,
48
z
=
0 1 · · · 0
0 0 · · · 0
. . · · · .
0 0 · · · 1
−(k
n
+ α
n
) −(k
n−1
+ α
n−1
) · · · −(k
1
+ α
1
)
z =
P z.
Seja, p
P
(λ) = λ
n
+ (k
1
+ α
1
)λ
n−1
+ · · · + ( k
n−1
+ α
n−1
)λ + (k
n
+ α
n
) polinˆomio
caracter´ıstico de
P . Suponha que m
1
, m
2
, . . . , m
n
s˜ao os coeficientes desejados
do polinˆomio caracter´ıstico de
P . Como k
i
s˜ao conhecidos e m
i
s˜ao especificados,
ent˜ao, α
i
= m
i
− k
i
. Portanto os coeficientes do polinˆomio caracter´ıstico de P + q
K
po dem ser escolhidos de modo que todas as ra´ızes estejam no semi-plano esquerdo
aberto, o mesmo acontecendo para A+bK. E a taxa de convergˆencia exponencial de
z(t) para a origem pode incrementar-se, por exemplo, transladando as ra´ızes para a
esquerda no plano complexo.
Um sistema que n˜ao ´e est´avel poderia ser feito est´avel se modificado por uma
retroalimenta¸c˜ao apropriada.
Exemplo 4.1.1 Considere o sistema x
=
−2 2
1 −1
x +
1
0
u. Sabemos
que existe T =
0 1
1 −1
que leva nosso sistema na forma companheira
z
=
0 1
0 −3
z +
0
1
u.
Considere u =
Kz =
−α
2
−α
1
z, retroalimenta¸c˜ao para o sistema com-
panheiro.
Da´ı, z
=
0 1
0 −3
z +
0 0
−α
2
−α
1
z =
0 1
−α
2
−3 − α
1
z.
Temos que, p
P
(λ) = λ
2
+ (3 + α
1
)λ + α
2
´e o polinˆomio caracter´ıstico, com
m
1
= 3 + α
1
e m
2
= α
2
.
49
Pondo λ
2
+ (3 + α
1
)λ + α
2
= 0, sendo λ
1
e λ
2
as ra´ızes da equa¸c˜ao, temos
λ
1
+ λ
2
= −3 − α
1
e λ
1
· λ
2
= α
2
Podemos escolher λ
1
e λ
2
arbitrariamente, por exemplo, λ
1
= −1 e λ
2
= −4.
Assim, m
1
= 5, m
2
= 4, α
1
= 2 e α
2
= 4. Portanto u =
−4 −2
z ´e a
retroalimenta¸c˜ao desejada para o sistema companheiro.
Sabemos que K =
KT =
−4 −2
·
0 1
1 −1
=
−2 −2
. Da´ı,
u = Kx =
−2 −2
´e retroalimenta¸c˜ao linear para, x
=
−2 2
1 −1
x +
1
0
u =
−2 2
1 −1
x +
1
0
−2 −2
=
−4 0
1 −1
x.
Portanto, p(λ) = λ
2
+ 5λ + 4, ´e o polinˆomio caracter´ıstico, −4 e −1 s˜ao auto-
valores.
4.2 Estabiliza¸c˜ao Completa
Defini¸c˜ao 4.2.1 O sistema linear x
= Ax + bu(t) ´e estabiliz´avel se existe uma
matriz real K, 1 × n tal que o sistema linear x
= (A + bK)x ´e est´avel.
Teorema 4.2.1 Se x
= Ax+bu ´e completamente control´avel ent˜ao ´e estabiliz´avel e
os autovalores de x
= (A+bK)x podem ser determinados arbitrariamente (desde que
os autovalores complexos ocorram em pares conjugados) por uma escolha apropriada
de K.
Demonstra¸c˜ao. Examinamos a prova somente para o caso especial do sistema
companheiro (1.2). Devemos mostrar que x
= Ax + bu(t) ´e estabiliz´avel. Isto ´e,
existe uma matriz K, 1 × n tal que o sistema x
= (A + bK)x ´e est´avel. Ou seja,
devemos mostrar que os autovalores da matriz A + bK est˜ao no semi-plano esquerdo
aberto do plano complexo.
Pela controlabilidade completa de x
= Ax + bu(t), exite uma transforma¸c˜ao
linear T : R
n
→ R
n
, n˜ao singular, com z = T x tal que,
50
z
= T x
= T (Ax + bu(t)) = T AT
−1
T x + T bu(t) = T AT
−1
z + T bu(t) ´e um
sistema companheiro.
Ent˜ao, com uma retroalimenta¸c˜ao linear u =
Kz para o sistema companheiro
z
= T AT
−1
z + T bu(t), temos
z
= T AT
−1
z + T b
Kz = (T AT
−1
+ T b
K)z, e assim os autovalores da matriz
T AT
−1
+ T b
K podem ser determinados como desejados.
Agora, a semelhan¸ca
T AT
−1
+ T b
K = T (A + b
KT )T
−1
= T (A + bK)T
−1
; K ≡
KT , mostra que
os autovalores de A + bK podem ser determinados por uma escolha apropriada da
retroalimenta¸c˜ao u = Kx.
4.3 Detectabilidade
Defini¸c˜ao 4.3.1 O sistema (3.1) ´e detect´avel se existe uma matriz L n × 1 tal que
o sistema x
= (A + Lc
T
)x ´e est´avel.
Como os autovalores de A + Lc
T
s˜ao os mesmos que os para A
T
+ cL
T
, for-
mar a matriz A + Lc
T
corresponde `a retroalimenta¸c˜ao u = L
T
x no sistema dual
x
= A
T
+ cu(t). Portanto um sistema ´e detect´avel se, e somente se, o sistema dual
´e estabiliz´avel. Uma interpreta¸c˜ao anal´ıtica de detectabilidade deriva da implica¸c˜ao
que a sa´ıda da retroalimenta¸c˜ao linear po de ser usada para ”detectar” traj´etorias
de forma assint´otica por meio de uma constru¸c˜ao conhecida como um sistema ob-
servador. Especificamente, considere o sistema
ξ
(t) = Aξ(t) + bu(t) − L(y(t) − c
T
ξ(t)) (4.1)
onde ξ ´e um estado auxiliar que pode ser iniciado em algum vetor ξ(0). O estado
auxiliar ξ tem como objetivo aproximar o estado verdadeiro x, e L, conhecida como
”matriz erro de sa´ıda”, deve ser escolhida de modo que ξ se aproxima de x. Defina
51
o erro por
e = x − ξ.
O objetivo ´e escolher L de modo que e −→ 0 quando t −→ ∞. Agora fazendo a
diferen¸ca de (3.1a) e (4.1) obtemos,
x
−ξ
= Ax+bu−[Aξ +bu−L(y −c
T
ξ)] = Ax−Aξ +Lc
T
x−Lc
T
ξ = (A+Lc
T
)e,
onde y = c
T
x.
Logo,
e
= (A + Lc
T
)e.
Temos o seguinte resultado:
Teorema 4.3.1 Se o sistema (3.1) ´e detect´avel ent˜ao L pode ser escolhida no sis-
tema (4.1) de modo que e = x − ξ −→ 0 quando t −→ ∞, independentemente da
condi¸c˜ao inicial ξ(0).
Alguns coment´arios nessa constru¸c˜ao devem ser feitos. O sistema observador
(4.1) ´e uma alternativa para calcular as solu¸c˜oes do sistema (3.1) com um m´etodo
num´erico direto. Usando os conhecidos dados fornecidos por A, b e c, juntamente com
y e u, o sistema (4.1) pode ser simulado numericamente com a garantia que o estado
estimado assintoticamente reconstr´oi o sistema verdadeiro de estado x para (3.1),
independentemente da condi¸ca˜o inicial ξ(0). Se por sorte tomarmos ξ(0) = x(0),
ent˜ao a equa¸c˜ao observadora (4.1) implica que ξ(t) = x(t) para todo t, uma estima-
tiva p erfeita. Pode-se pensar de (4.1) como um sistema com entradas u e y e com
sa´ıda ξ, a aproxima¸c˜ao desejada.
`
A estimativa ξ pode-se dar a retroalimenta¸c˜ao
via u = Kξ, no lugar do verdadeiro estado com a finalidade de estabilizar (3.1a),
desde que (3.1a) seja estabiliz´avel. Em outras palavras, os autovalores do sistema
de la¸co fechado podem ser colocados em algum lugar no semi-plano esquerdo aberto
mesmo se somente a sa´ıda y ´e mensur´avel. Al´em disso, uma importante carac-
ter´ıstica dessa constru¸c˜ao ´e que o controlador (matriz K) e o observador (matriz L)
po dem ser determinados independentemente enquanto que se garanta que o sistema
observador/controlador inter-conectado seja est´avel.
52
Para ver isto, usando (3.1a) juntamente com (4.1), escrevemos o sistema combi-
nado para (x, ξ) como
x
ξ
=
A bK
−Lc
T
A + Lc
T
+ bK
x
ξ
. (4.2)
Podemos obter o polinˆomio caracter´ıtico para esse sistema usando a seguinte
transforma¸c˜ao de semelhan¸ca:
I 0
−I I
A bK
−Lc
T
A + Lc
T
+ bK
I 0
I I
=
A + bK bK
0 A + Lc
T
. (4.3)
Assim o polinˆomio caracter´ıstico da matriz dos coeficientes em (4.1) ´e o pro duto
dos polinˆomios caracter´ısticos de A + bK e de A + Lc
T
, ou seja, os autovalores λ
desse sistema s˜ao dados por:
det(A + bK − λI) · det(A + Lc
T
− λI) = 0
Isto significa que K pode ser determinada sem considerar o fato que somente o
estado estimado ser´a retroalimentado, e a matriz erro L pode ser determinada sem
referˆencia para o fato de que o estado estimado resultante seja retroalimentado com
a finalidade de estabiliza¸c˜ao.
4.4 Exemplos, Estabilidade e Detectabilidade
Vamos considerar dois exemplos ilustrando estabiliza¸c˜ao e detectabilidade.
Exemplo 4.4.1 Retornamos novamente ao exemplo 1.2.2, com a equa¸c˜ao de sa´ıda
y = x
1
. Ent˜ao as matrizes dos coeficientes s˜ao
A =
−2 2
1 −1
, b =
1
1
, c
T
=
1 0
.
53
Esse sistema ´e ao mesmo tempo estabiliz´avel e detect´avel, usando a matriz K
de retroalimenta¸c˜ao e a matriz observadora L dadas por, K =
−2 0
, L =
0
−1
.
De fato,
• A + bK =
−2 2
1 −1
+
1
1
·
−2 0
=
−4 2
−1 −1
.
Da´ı, p
A+bK
(λ) =
−4 − λ 2
−1 −1 − λ
= λ
2
+ 5λ + 6. Logo A + bK tem
autovalores λ
1
= −2 e λ
2
= −3.
• A + Lc
T
=
−2 2
1 −1
+
0
−1
·
1 0
=
−2 2
0 −1
.
Sendo diagonal, os autovalores s˜ao λ
1
= −1 e λ
2
= −2.
Outras escolhas para K e L s˜ao poss´ıveis.
De fato, se queremos que os autovalores do sistema de la¸co fechado x
= (A+bK)x
sejam −1 ± i, com os coment´arios da defini¸c˜ao (4.1.2), determinemos a retroali-
menta¸c˜ao K.
Sabemos que A =
−2 2
0 −1
∼ P =
0 1
0 −3
e T =
0 1
1 −1
Considere u =
Kz =
−α
2
−α
1
z, retroalimenta¸c˜ao para o sistema
companheiro.
Da´ı, z
=
0 1
0 −3
z +
0 0
−α
2
−α
1
z =
0 1
−α
2
−3 − α
1
z.
Ent˜ao, p
P
(λ) = λ
2
+ (3 + α
1
)λ + α
2
e m
1
= 3 + α
1
, m
2
= α
2
.
λ
2
+ (3 + α
1
)λ + α
2
= 0, sendo λ
1
e λ
2
as ra´ızes da equa¸c˜ao, temos,
λ
1
+ λ
2
= −3 − α
1
e λ
1
· λ
2
= α
2
Sejam λ
1
= −1 + i e λ
2
= −1 − i. Portanto u =
−2 1
z ´e a retroali-
menta¸c˜ao para o sistema companheiro.
54
Sabemos que K =
KT =
−2 1
·
0 1
1 −1
=
1 −3
, da´ı
u = Kx =
1 −3
´e a retroalimenta¸c˜ao linear para, x
=
−2 2
1 −1
x +
1
1
u =
−2 2
1 −1
x +
1
1
1 −3
=
−1 −1
2 −4
x.
Portanto, p(λ) = λ
2
+ 6λ + 4, e −3, −2 s˜ao os autovalores.
Uma outra maneira para determinar a matriz K de retroalimenta¸c˜ao ´e usar as
consequˆencias do sistema conbinado (x, ξ).
De fato,
A + bK − λI =
−2 2
1 −1
+
1
1
−α
2
−α
1
−
λ 0
0 λ
−
−2 − α
2
− λ 2 − α
1
1 − α
2
−1 − α
1
− λ
.
Logo, det(A + bk − λI) = λ
2
+ (3 + α
1
+ α
2
)λ + 3α
1
+ 3α
2
, de onde segue que,
λ
1
+ λ
2
= −3 − α
1
− α
2
e λ
1
· λ
2
= 3α
1
+ 3α
2
.
Podemos escolher λ
1
e λ
2
arbitrariamente. Sejam λ
1
= −3 e λ
2
= −2. Da´ı,
α
1
+ α
2
= 2, que implica K =
−α
2
α
2
− 2
.
• Com o mesmo rac´ıocinio acima determinemos uma outra matriz observadora
L para o sistema.
De fato,
A + Lc
T
− λI =
−2 2
1 −1
+
l
1
l
2
1 0
−
λ 0
0 λ
=
−2 + l
1
− λ 2
1 + l
2
−1 − λ
.
55
Logo, det(A + Lc
T
− λI) = λ
2
+ (3 − l
1
)λ − l
1
− 2l
2
, de onde segue que,
λ
1
+ λ
2
= l
1
− 3 e λ
1
· λ
2
= −l
1
− 2l
2
.
Podemos escolher λ
1
e λ
2
arbitrariamente. Sejam λ
1
= −3 e λ
2
= −2. Da´ı,
l
1
= l
2
= −2, o que implica L =
−2
−2
.
Se tiv´essemos escolhido λ
1
= −2 e λ
2
= −1 ter´ıamos L =
0
−1
.
Exemplo 4.4.2 Estabilidade e detectabilidade n˜ao s˜ao garantidas. Considere o sis-
tema linear, cujas matrizes dos coeficientes s˜ao:
A =
0 1
0 0
, b =
1
0
, c
T
=
0 1
.
Neste caso, qualquer matriz K 1 × 2 de retroalimenta¸c˜ao produz uma matriz de
la¸co fechado A + bK com um autovalor nulo. Portanto, n˜ao ´e estabiliz´avel. Igual-
mente, qualquer matriz L 2 × 1 produz uma matriz com autovalor nulo. Portanto,
o sistema n˜ao ´e detect´avel.
4.5 Aplica¸c˜ao
Para analisar o controle de um l´ıquido em um tanque devemos considerar a
entrada e sa´ıda regulares. A figura mostra um tanque com:
• taxa de vaz˜ao de entrada q
e
• taxa de vaz˜ao de sa´ıda q
0
• altura do l´ıquido h
•
´
Area da base do tanque S (suposto na forma de paralelep´ıpedo reto-retˆangulo).
56
h
Se q = q
e
−q
0
´e a varia¸c˜ao do l´ıquido que entra no tanque ao longo de um per´ıodo
∆t e ∆h correspondente a mudan¸ca no n´ıvel, ent˜ao q∆t = S∆h e no limite quando
∆t −→ 0,
q = S
dh
dt
.
Para um sistema mais complicado, constitu´ıdo de dois tanques interconectados,
n´os devemos obter explicitamente uma equa¸c˜ao para a taxa de sa´ıda q
0
em termos da
resistˆencia oferecida pela v´alvula de sa´ıda. Estaremos supondo que a resistˆencia R
da v´alvula de sa´ıda ´e diretamente proporcional `a altura do l´ıquido. Especificamente,
vamos supor que q
i
· R
i
= h
i
, i = 1, 2, onde q
i
´e a vaz˜ao de sa´ıda do tanque i, R
i
´e
a resistˆencia da v´alvula e h
i
´e a altura do l´ıquido no tanque i.
R
2
h
2
h
1
1
R
1
q
1
2
Para o tanque 1,
S
1
dh
1
dt
= q −
1
R
1
(h
1
− h
2
) ou
57
h
1
=
1
S
1
q −
1
S
1
R
1
h
1
+
1
S
1
R
1
h
2
(4.4)
onde h
1
=
dh
1
dt
.
Para o tanque 2,
S
2
dh
2
dt
=
1
R
1
(h
1
− h
2
) −
1
R
2
h
2
ou
h
2
=
1
S
2
R
1
h
1
−
1
S
2
1
R
1
+
1
R
2
h
2
(4.5)
onde h
2
=
dh
2
dt
.
N´os podemos escrever (4.4) e (4.5) em forma matricial como
h
1
h
2
=
−
1
S
1
R
1
1
S
1
R
1
1
S
2
R
1
−
1
S
2
(
1
R
1
+
1
R
2
)
h
1
h
2
+
1
S
1
0
q
que tem a forma
h
= Ah + bq (4.6)
onde h =
h
1
h
2
, A =
−
1
S
1
R
1
1
S
1
R
1
1
S
2
R
1
−
1
S
2
(
1
R
1
+
1
R
2
)
e b =
1
S
1
0
.
Podemos tamb´em escrever simultˆaneamente as equa¸c˜oes de primeira ordem (4.4)
e (4.5) como uma equa¸c˜ao diferencial de segunda ordem.
Diferenciando (4.5) e substituindo nesta a equa¸c˜ao (4.4), temos
h
2
=
1
S
2
R
1
h
1
−
1
S
2
1
R
1
+
1
R
2
h
2
=
1
S
2
R
1
1
S
1
q −
1
S
1
R
1
h
1
+
1
S
1
R
1
h
2
−
1
S
2
1
R
1
+
1
R
2
h
2
=
1
S
1
S
2
R
1
q −
1
S
1
S
2
R
2
1
h
1
+
1
S
1
S
2
R
2
1
h
2
−
1
S
2
1
R
1
+
1
R
2
h
2
=
1
S
1
S
2
R
1
q−
1
S
1
R
1
h
2
+
1
S
2
1
R
1
+
1
R
2
h
2
+
1
S
1
S
2
R
2
1
h
2
−
1
S
2
1
R
1
+
1
R
2
h
2
58
= −
1
S
2
1
R
1
+
1
R
2
+
1
S
1
R
1
h
2
+
1
S
1
S
2
R
2
1
−
1
S
1
S
2
R
1
1
R
1
+
1
R
2
h
2
+
1
S
1
S
2
R
1
q.
Assim obtemos,
h
2
+
1
S
2
1
R
1
+
1
R
2
+
1
S
1
R
1
h
2
−
1
S
1
S
2
R
2
1
−
1
S
1
S
2
R
1
1
R
1
+
1
R
2
h
2
=
1
S
1
S
2
R
1
q.
´
E uma equa¸c˜ao diferencial de ordem 2 da forma y
+k
1
y
+k
0
y = u(t). Logo pode-
mos analisar a controlabilidade e observabilidade da situa¸c˜ao descrita no tanque.
De fato,
rank
b Ab
= rank
1
S
1
−
1
S
2
1
R
1
0
1
S
1
S
2
R
1
= 2.
Ent˜ao ´e completamente control´avel, pelo Teorema 2.1.1.
Isso significa que, partindo de alturas iniciais h
0
1
, h
0
2
, e pr´e-fixadas duas alturas
arbitr´arias h
f
1
, h
f
2
, existe uma vaz˜ao de entrada no primeiro tanque que, num tempo
finito, produzir´a as alturas h
f
1
e h
f
2
.
Consideremos a sa´ıda y =
1 0
h.
Assim,
c
T
=
1 0
e A =
−
1
S
1
R
1
1
S
1
R
1
1
S
2
R
1
−
1
S
2
(
1
R
1
+
1
R
2
)
.
Da´ı,
rank
c
T
c
T
A
= rank
1 0
−
1
S
1
R
1
1
S
1
R
1
= 2
Ent˜ao o sistema ´e completamente observ´avel, pelo Teorema 3.2.1. Isto ´e, conhecendo-
se a vaz˜ao de entrada q e as alturas dos tanques, pode-se determinar o n´ıvel inicial
(h
0
1
, h
0
2
) do tanque de maneira ´unica.
59
4.6 Coment´arios
4.6.1 Uma breve nota sobre extens˜oes
Vamos descrever brevemente uma extens˜ao da nossa discuss˜ao dos sistemas de
entrada ´unica nos cap´ıtulos 2 − 4 para o caso de sistemas lineares com entrada e
sa´ıda m´ultiplas,
x
= Ax + Bu(t) (a)
y = Cx, (b)
(4.7)
onde u ∈ R
m
, y ∈ R
p
, e assim B ´e n×m e C ´e p×n. Como observado antes, o teste do
rank para controlabilidade e observalidade permite uma dualidade alg´ebrica entre
esses conceitos, uma vez que identificamos um sistema dual apropriado. O mesmo
princ´ıpio extendido para (4.7).
A Defini¸c˜ao 2.1.1 (Controlabilidade Completa) faz sentido para o caso de m-
entradas. As fun¸c˜oes admiss´ıveis para controle ser˜ao fun¸c˜oes u(t) com valores em
R
m
tal que toda coordenada seja localmente integr´avel.
A caracteriza¸c˜ao de controlabilidade completa no Teorema 2.1.1 pode ser trans-
portada diretamente para (5.1a) sem nenhuma mudan¸ca. Neste caso, a matriz de
controlabilidade
B AB A
2
B · · · A
n−1
B
tem ordem n × nm e a prova pro-
cede a partir de (2.1). Com aten¸c˜ao para as dimens˜oes envolvidas, a mesma prova
funciona. A matriz M ´e ainda n × n enquanto ψ ´e 1 × m.
Observabilidade completa do sistema (4.7) ´e definida exatamente como na defini¸c˜ao
3.2.1, e o sistema (4.7) ´e completamente observ´avel se e s´o se a matriz,
C
CA
.
.
.
CA
n−1
,
que ´e agora pn × n, tiver rank = n. Uma prova do Teorema 3.2.1 ´e obtida como
antes.
60
O sistema dual de (4.7) ´e definido por
x
= A
T
x + C
T
u(t) (a)
y = B
T
x, (b)
(4.8)
com as dimens˜oes das matrizes determinadas naturalmente, por (4.7). O Teorema
3.2.2, o qual documenta a dualidade alg´ebrica da observabilidade completa e con-
trolabilidade completa, ´e tamb´em v´alido quando aplicado para (4.7) e seu dual.
A extens˜ao do Teorema 4.2.1 para o caso de sistema control´avel de m-entradas
po de ser baseado no resultado de entrada ´unica (ver [7, pp 49 − 51]).
As Defini¸c˜oes 4.2.1 e 4.3.1 tˆem extens˜oes diretas para o caso das m-entradas e
p-sa´ıdas. O Teorema 4.3.1 na constru¸c˜ao observ´avel ´e facilmente extendido para
(4.7); a extens˜ao ´e basicamente notacional.
Se considerarmos sistemas lineares com as matrizes dos coeficientes dependente
de t, t´ecnicas adicionais s˜ao necess´arias para observabilidade, controlabilidade, e
sua dualidade, embora v´arias extens˜oes tˆem sido feitas. Essas defini¸c˜oes envolvem
o tempo inicial t
0
, o particular estado inicial x
0
considerado, e o intervalo de tempo
sobre o qual o controle age. O leitor interessado nesse assunto ´e convidado a ex-
plorar as referˆencias. Vejamos um exemplo para ilustrar que tais sistemas requerem
alternativas apropriadas a fim de descrever propriedades de controlabilidade.
Exemplo 4.6.1 Considere o sistema x
=
1 0
0 2
x +
b
1
(t)
b
2
(t)
u
A solu¸c˜ao geral ´e x(t) =
x
1
(t)
x
2
(t)
=
e
t
(x
1
(0) +
t
0
e
−s
b
1
(s)u(s)ds)
e
2t
(x
2
(0) +
t
0
e
−2s
b
2
(s)u(s)ds)
.
Se b
1
e b
2
s˜ao constantes, ent˜ao o Teorema 2.1.1 garante que o sistema ´e comple-
tamente control´avel. Suponha agora que b
1
= e
s
e b
2
= e
2s
; a solu¸c˜ao ´e ent˜ao,
x(t) =
x
1
(t)
x
2
(t)
=
e
t
(x
1
(0) +
t
0
u(s)ds)
e
2t
(x
2
(0) +
t
0
u(s)ds)
.
61
Portanto, solu¸c˜oes que partem da reta x
2
= x
1
quando t = 0, sempre satisfazem
a condi¸c˜ao x
2
(t) = e
t
x
1
(t), e desta condi¸c˜ao p odemos concluir que o sistema n˜ao
´e completamente control´avel de acordo com a defini¸c˜ao 2.1.1. De fato, se x
1
(0) =
x
2
(0), ent˜ao o movimento ´e limitado ao primeiro ou terceiro quadrantes, desde que
x
1
e x
2
tˆem o mesmo sinal. Em particular, o conjunto de pontos acess´ıveis a partir
da origem est´a dentro desses dois quadrantes. Se considerarmos a condi¸c˜ao de
controlabilidade do rank de modo pontual, isto ´e, se considerarmos a seguinte matriz
para cada instante t,
B(t) AB(t)
=
e
t
e
t
e
2t
2e
2t
,
obtemos uma matriz n˜ao-singular. Este exemplo mostra que uma interpreta¸c˜ao
pontual da condi¸c˜ao controlabilidade do p osto do Teorema 2.1.1 n˜ao conduz a um
crit´erio satisfat´orio para controlabilidade completa de um sistema linear dependente
de t.
Referˆencias Bibliogr´aficas
[1] Burghes, D.; Graham, A. Control and Optimal Control Theories with
Applications. Chichester: Horwood, 2004.
[2] Coelho, F. U.; Louren¸co M. L. Um Curso de
´
Algebra Linear. S˜ao
Paulo: Editora da Universidade de S˜ao Paulo, 2001.
[3] Figueiredo, D. G.; Neves, A. F. Equa¸c˜oes Diferenciais Aplicadas. Rio
de Janeiro: IMPA, 2001.
[4] Horn, R. A.; Johnson, C. R. Matrix Analysis. New York: Cambridge
Uneversity Press, 1999.
[5] Lima. E. L.
´
Algebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA, 2001.
[6] Monteiro, L. H. A. Sistemas Dinˆamicos. S˜ao Paulo: Livraria da F´ısica,
2006.
[7] Nering. E. D. Linear Algebra and Matriz Theory. New york: John
Wiley, 1970.
[8] Terrell, W. J. Some Fundamental Control Theory I: Controllability,
Observability, and Duality. American Mathematical Monthy, v.106,
n.8, p.705-719, 1999.
[9] Wonham. W. M. Linear Multivariable Control. Third Edition,
Springer-Verlag, 1985.
62
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