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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO”
FACULDADE DE ENGENHARIA - Campus de Ilha Solteira
PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
“Análise da Máquina de Indução Trifásica através das
Grandezas de Buchholz-Goodhue aplicando os Vetores
Espaciais Instantâneos nas condições de desequilíbrio e
distorção conforme a IEEE 1459-2000”
MARCELO YOSHIYUKI MOTOKI
Orientador: Prof. Dr. Dalgerti Lelis Milanese
Ilha Solteira, Junho de 2008.
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PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
“Análise da Máquina de Indução Trifásica através das
Grandezas de Buchholz-Goodhue aplicando os Vetores
Espaciais Instantâneos nas condições de desequilíbrio e
distorção conforme a IEEE 1459-2000”
MARCELO YOSHIYUKI MOTOKI
Orientador: Prof. Dr. Dalgerti Lelis Milanese
Dissertação apresentada à Faculdade de
Engenharia - UNESP – Campus de Ilha
Solteira, para obtenção do título de
Mestre em Engenharia Elétrica.
Área de Conhecimento: Automação.
Ilha Solteira – SP
junho/2008
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__________________________________________________DEDICATÓRIA
Ao meu pai Iwane Motoki
À minha mãe Toshie Motoki
____________________________________________AGRADECIMENTOS
AGRADECIMENTOS
Eu agradeço aos meus pais, aos meus irmãos Futoshi, Seiko, Toyoko, Eiko,
Kazuyoshi e Hiroaki e ao meu tio Mikio, que são meus maiores exemplos de vida.
Ao professor Dalgerti pela confiança e pelo apoio dado.
Aos funcionários da Unesp pelo empenho e paciência que tiveram durante
todo o desenvolvimento do mestrado.
Aos meus amigos de república/faculdade, José Aparecido (Russo), Danilo
(Piqüi), Cristiano (Morfético), Edivaldo (Gemada), Marco Antônio (D4), Gustavo
(Babésia), Carlos (Baguete), Guilherme (Migué), Renato, Leandro (Babinha), João
(Fusca), Semensato, Roberta, Ludmila, Lígia, Loraine, Márcia, Elaine, Renata e
Flávia. Sem eles, Ilha Solteira não teria a mesma graça.
Aos meus amigos da “Esquina”, Leandro (Bozó), Leandro (Mexicano), Kleber
e Júlio, que há muito me acompanham nesta jornada.
Aos funcionários e à diretoria da CERT, que possibilitaram o término deste
trabalho.
E agradeço, principalmente, a DEUS por tudo que tem me dado e,
especialmente, por ter colocado em meu caminho tantas pessoas iluminadas.
__________________________________________________MENSAGEM
POR QUEM OS SINOS DOBRAM
(RAUL SEIXAS)
Nunca se vence uma guerra lutando sozinho
Você sabe que a gente precisa entrar em contato
Com toda essa força contida é que vive guardada
O eco de suas palavras não repercutem em nada
É sempre mais fácil achar que a culpa é do outro
Evita o aperto de mão de um possível aliado, é
Convence as paredes do quarto, e dorme tranqüilo
Sabendo no fundo do peito que não era nada daquilo
Coragem, coragem, se o que você quer é aquilo que pensa e faz
Coragem, coragem, eu sei que você pode mais
É sempre mais fácil achar que a culpa é do outro
Evita o aperto de mão de um possível aliado
Convence as paredes do quarto, e dorme tranqüilo
Sabendo no fundo do peito que não era nada daquilo
Coragem, coragem, se o que você quer é aquilo que pensa e faz
Coragem, coragem, eu sei que você pode mais
RESUMO
RESUMO
Realiza-se neste trabalho um estudo da Teoria da Potência Complexa
Instantânea aplicada na máquina de indução trifásica, onde são mostrados os
vetores espaciais instantâneos (VEI´s), pois estes reduzem os parâmetros para
estudo (o sistema trifásico é representado por um equivalente ortogonal).
Através dos vetores espaciais instantâneos serão calculadas as grandezas de
Buchholz-Goodhue para a determinação do aproveitamento da linha (melhoria do
fator de potência) - que são recomendados pela norma IEEE 1459-2000.
A máquina estará submetida a variadas condições de assimetria e
desequilíbrio possibilitando a apresentação de novos parâmetros, que serão
utilizadas para a compensação harmônica.
Palavras-chave: Potência Complexa Instantânea; Vetores Espaciais Instantâneos;
Parâmetros de Buchholz-Goodhue.
ABSTRACT
ABSTRACT
It takes place in this work a study of the Theory of the Instantaneous Complex
Power applied will be accomplished in the three-phase induction machine, where the
instantaneous space phasors are shown (ISP´s), because these reduce the
parameters for study (the system three-phase is represented by an equivalent
orthogonal).
Through the instantaneous space phasors the parameters of Buchholz-
Goodhue will be calculated for the determination of the use of the line (improvement
of the power factor) - that are recommended by the norm IEEE 1459-2000.
The machine will be submitted to varied asymmetry conditions and unbalance
making possible the presentation of new parameters, which will be used for the
harmonic compensation.
Keywords: Instantaneous Complex Power; Instantaneous Space Phasor; Buchholz-
Goodhue parameters.
SIMBOLOGIA
Simbologia
v
Tensão instantânea
i
Corrente instantânea
p
Potência ativa instantânea
q
Potência reativa instantânea
P
Potência real
Q
Potência imaginária
m
P
Potência mecânica do eixo da máquina
cobre
P
Perdas no cobre
V
Tensão eficaz
e
V
Tensão de Buchholz-Goodhue
I
Corrente eficaz
e
I
Corrente de Buchholz-Goodhue
S
Potência aparente
e
S
Potência aparente de Buchholz-
Goodhue
^
V
Amplitude da tensão
^
I
Amplitude da corrente
~
V
Vetor espacial instantâneo de tensão
~
I
Vetor espacial instantâneo de corrente
SIMBOLOGIA
~
S
Vetor espacial instantâneo da potência
aparente complexa
~
V
Módulo do vetor espacial instantâneo de
tensão
~
I
Módulo do vetor espacial instantâneo de
corrente
~
S
Módulo do vetor espacial instantâneo da
potência aparente complexa
φ
Ângulo de fase
ω
Velocidade angular
Valor médio
n
Índice da ordem harmônica
*
~
I
Vetor espacial instantâneo corrente
conjugado
LISTA DE FIGURAS
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – Ilustração dos vetores girantes tensão e corrente..........................19
Figura 2.2 – VEI´s tensão e corrente no plano complexo, com indicação dos
eixos de referência para as fases
a
,
b
e
c
do sistema trifásico.......................20
Figura 2.3 – Decomposição do vetor espacial instantâneo
~
I
, na direção do
vetor
~
V
e em quadratura com o mesmo...............................................................23
Figura 3.1 – Correntes trifásicas em regime permanente senoidal e
equilibrado................................................................................................................27
Figura 3.2 – Vetor espacial instantâneo corrente em regime permanente
senoidal e equilibrado..............................................................................................27
Figura 3.3 – Instalação com cargas lineares e não-lineares................................29
Figura 3.4 – Correntes trifásicas para o regime permanente não-senoidal e
equilibrado................................................................................................................31
Figura 3.5 – Vetor espacial corrente para o regime permanente não-senoidal e
equilibrado................................................................................................................32
Figura 3.6 – Correntes instantâneas para o regime permanente senoidal e
desequilibrado..........................................................................................................33
Figura 3.7 – Trajetória descrita pelo vetor complexo instantâneo......................34
Figura 3.8 – Maior magnitude (
M
I
~
) e menor magnitude (
m
I
~
) do vetor
espacial instantâneo de corrente............................................................................36
Figura 3.9 – Correntes não-senoidais e desequilibradas.....................................39
LISTA DE FIGURAS
Figura 3.10 – Vetor espacial instantâneo para o regime permanente não-
senoidal e desequilibrado.......................................................................................41
Figura 3.11 – Potência complexa média e potências complexas de seqüência
positiva e negativa...................................................................................................44
Figura 4.1 – (a) Tensões instantâneas e (b) correntes instantâneas...................54
Figura 4.2 – (a) Tensão complexa instantânea (b) corrente complexa
instantânea................................................................................................................55
Figura 4.3 – (a) Tensão instantânea e (b) corrente instantânea...........................57
Figura 4.4 – (a) Tensão complexa instantânea (b) corrente complexa
instantânea................................................................................................................58
Figura 4.5 – Fontes de tensão harmônica..............................................................64
Figura 4.6 – (a) Tensão instantânea e (b) corrente instantânea...........................65
Figura 4.7 – (a) Tensão complexa instantânea (b) corrente complexa
instantânea................................................................................................................66
Figura 4.8 – (a) Tensão instantânea e (b) corrente instantânea...........................70
Figura 4.9 – (a) Tensão complexa instantânea (b) corrente complexa
instantânea................................................................................................................71
LISTA DE TABELAS
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1 – Parâmetros do modelo da MIT...........................................................52
Tabela 4.2 – Valores de amplitude e fase da fundamental para os casos de
desequilíbrio.............................................................................................................53
Tabela 4.3 – Parâmetros determinados para os casos de desequilíbrio com
VU%=10% e VU%=15%.............................................................................................61
Tabela 4.4 – Parâmetros de qualidade da MIT operando com harmônicas e
desequilíbrio (THD
V
=10%).......................................................................................62
Tabela 4.5 – Valores de amplitude e fase das componentes
harmônicas...............................................................................................................64
Tabela 4.6 – Valores de amplitude e fase das componentes
harmônicas...............................................................................................................69
Tabela 4.7 – Parâmetros determinados para os casos de desequilíbrio com
THD
V
=5%..................................................................................................................74
Tabela 4.8 – Parâmetros de qualidade da MIT operando com harmônicas e
desequilíbrio (THD
V
=5%).........................................................................................74
Tabela 4.9 – Valores fixados para as fontes de tensão para
THD
V
=10%.................................................................................................................76
Tabela 4.10 – Parâmetros de potência para a MIT operando com harmônicas e
desequilíbrio (THD
V
=10%).......................................................................................77
Tabela 4.11 – Parâmetros de qualidade da MIT operando com harmônicas e
desequilíbrio (THD
V
=10%).......................................................................................77
Tabela 4.12 – Valores fixados para as fontes de tensão para
THD
V
=15%.................................................................................................................78
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.13 – Parâmetros de potência para MIT operando com harmônicas e
desequilíbrio (THD
V
=15%).......................................................................................79
Tabela 4.14 – Parâmetros de qualidade da MIT operando com harmônicas e
desequilíbrio (THD
V
=15%).......................................................................................79
Tabela 4.15 – Valores fixados para as fontes de tensão para
THD
V
=20%.................................................................................................................80
Tabela 4.16 – Parâmetros de potência para MIT operando com harmônicas e
desequilíbrio (THD
V
=20%).......................................................................................81
Tabela 4.17 – Parâmetros de qualidade da MIT operando com harmônicas e
desequilíbrio (THD
V
=20%).......................................................................................81
Tabela 4.18 – Fator de Potência (através da Potência
Complexa).................................................................................................................82
Tabela 4.19 – Fator de Potência (através da Potência de Buchholz-
Goodhue)...................................................................................................................83
Tabela 5.1 – Rendimento da MIT para as situações de desequilíbrio e
assimetria..................................................................................................................84
SUMÁRIO
SUMÁRIO
1 – APRESENTAÇÃO ..............................................................................................16
2 – TEORIA DA POTÊNCIA COMPLEXA INSTANTÂNEA. ....................................18
2.1 – Introdução.......................................................................................................18
2.2 – Vetores girantes. ............................................................................................18
2.3 – A potência complexa instantânea.................................................................22
3 – APLICAÇÃO DOS VEI´S NO CÁLCULO DAS GRANDEZAS DE BUCHHOLZ-
GOODHUE PARA SISTEMAS TRIFÁSICOS...........................................................
26
3.1 – Transformação do modelo trifásico para um equivalente bifásico............26
3.1.1 – Formas de onda senoidal e equilibrada. ..................................................... 26
3.1.2 – Formas de onda não-senoidais e equilibradas..............................................29
3.1.3 – Formas de onda senoidais e desequilibradas. ..............................................32
3.1.4 – Determinação da magnitude da corrente e da tensão de seqüência positiva e
negativa.....................................................................................................................35
3.1.5 – Fator de desequilíbrio de corrente (IU%) e de tensão (VU%). ......................37
3.1.6 – Formas de onda não-senoidais e desequilibradas. .......................................38
3.1.7 – Potência complexa instantânea.....................................................................41
3.1.8 – Potência complexa de seqüência positiva e negativa. ..................................43
3.1.9 – Valores efetivos de Buchholz-Goodhue para a corrente e tensão. ...............45
3.1.10 – Potência eficaz de Buchholz-Goodhue........................................................46
4 – APLICAÇÃO DOS VEI´s NO CÁLCULO DAS GRANDEZAS DE BUCHHOLZ-
GOODHUE PARA A MIT..........................................................................................49
4.1 – Modelagem da máquina de indução trifásica com vetores espaciais
instantâneos............................................................................................................
49
4.1.1 – Introdução. ....................................................................................................49
4.2 – Materiais e métodos.......................................................................................50
4.2.1 – Introdução. ....................................................................................................50
4.3 – Configuração da MIT e fontes de tensão utilizadas para a simulação. .....51
4.4 – A MIT operando sob condição senoidal.......................................................52
4.4.1 – Introdução .....................................................................................................52
4.4.2 – Simulação e discussão de resultados. ..........................................................53
4.5 – A MIT operando sob condição não-senoidal. ..............................................63
4.5.1 – Introdução. ....................................................................................................63
4.5.2 – Simulação e discussão de resultados. ..........................................................63
4.6 – Discussão dos resultados.............................................................................82
5 - Conclusão...........................................................................................................84
SUMÁRIO
6 - Referências.........................................................................................................86
APÊNDICE A: Modelo dinâmico da máquina assíncrona trifásica, também
conhecida como máquina de indução. .................................................................90
APÊNDICE B: Esquemático do programa simulado. ...........................................93
APÊNDICE C: Cálculo da Potência Aparente de Buchholz-Goodhue (sem
condutor neutro) – uma outra abordagem............................................................95
APÊNDICE D: Distorção Harmônica Total de Corrente (THDI) e de Tensão
(THDV)......................................................................................................................
97
16
1 – APRESENTAÇÃO
Objetivando uma melhor eficiência energética o setor elétrico tem utilizado
métodos que melhor descrevam o desempenho do sistema, permitindo a construção
de dispositivos que possam minimizar eventuais perdas. A aplicação dos Vetores
Espaciais Instantâneos (VEI´s) tem se mostrado mais abrangente na análise dos
sistemas elétricos, permitindo uma avaliação tanto em regime permanente quanto no
transitório. Eles permitem uma redução nos parâmetros elétricos, uma vez que é
feita uma modelagem bifásica ao invés da trifásica, sem a perda de informações (o
equivalente bifásico pode retornar seus valores para o trifásico). Para realizar a
mudança é aplicada a transformação de Clarke, como mostra Milanez (2003).
Fazendo uma extensão das aplicações dos VEI’s são calculadas as
grandezas de Buchholz-Goodhue (IEEE WORKING GROUP ON NONSINUSOIDAL
SITUATIONS, 2000). A versatilidade dos VEI’s possibilita um estudo quanto às
condições de desequilíbrio, permitindo a separação em seqüências positiva,
negativa e nula (para este estudo não será considerada a seqüência nula).
O estudo visa aprofundar a teoria da potência complexa instantânea
juntamente com as grandezas de Buchholz-Goodhue e, proporcionar um debate
acerca dessa abordagem.
No Capítulo 2 será apresentada uma introdução à Teoria da Potência
Complexa Instantânea, baseada na abordagem de Milanez (2000), com ênfase nos
VEI´s que compõem a teoria.
No Capítulo 3 temos a aplicação dos VEI´s nas máquinas de indução trifásica
(MIT), quanto aos cálculos a serem utilizados no estudo, priorizando os parâmetros
de utilização da linha de alimentação.
17
No Capítulo 4 são mostrados os resultados obtidos para diversas situações
de desequilíbrio e assimetria adquiridos através de simulações.
No Capítulo 5 é feita uma discussão sobre o estudo desenvolvido.
18
2 – TEORIA DA POTÊNCIA COMPLEXA INSTANTÂNEA.
2.1 – Introdução.
A necessidade de métodos que possibilitem a compreensão, na plenitude das
grandezas relacionadas à potência é causa de uma intensa discussão na
comunidade científica, visto que não existe ainda um estudo que se apresente como
definitivo e único. A teoria convencional já não se aplica na maioria dos casos
práticos, pois devido às cargas não-lineares ou em desequilíbrio que estão
presentes nos sistemas elétricos, perdeu-se a linearidade entre as grandezas
elétricas Emanuel (1996).
Milanez (2000) propõem uma análise baseada nos Vetores Espaciais
Instantâneos (VEI´s) que vem a ser a Teoria da Potência Complexa Instantânea.
Essa abordagem é válida para qualquer modo de operação do sistema elétrico. No
estudo serão consideradas apenas as grandezas referentes à Máquina de Indução
Trifásica (MIT) operando em regime permanente.
2.2 – Vetores girantes.
Considerando o caso monofásico cujas equações de tensão e corrente, no
tempo, são dadas por:
)cos(2
vv
tVv
φω
+=
(2.1)
)cos(2
ii
tIi
φω
+= (2.2)
Podem-se representar estas equações instantâneas no tempo em um plano
complexo, através dos vetores girantes de tensão
~
V
e corrente
~
I
.
t
v
j
v
j
eVe
V
ωφ
2
~
= (2.3)
t
v
j
i
j
eVe
I
ωφ
2
~
= (2.4)
Na Fig. 2.1 é mostrada esta representação no plano complexo:
19
~
V
~
I
I
φ
V
φ
ω
α
β
α
V
α
I
β
I
β
V
Figura 2.1 – Ilustração dos vetores girantes tensão e corrente.
A velocidade angular do vetor tensão,
V
ω
, é a variação do ângulo de fase da
tensão,
V
φ
, em relação ao tempo t:
d
t
d
V
V
φ
ω
= (2.5)
Da mesma forma, temos para a velocidade angular do vetor corrente,
I
ω
:
dt
d
I
I
φ
ω
=
(2.5)
Deve-se observar que sendo, neste caso,
v
e
i
senoidais, os valores
angulares
v
ω
e
i
ω
são constantes.
As representações cartesianas destes vetores são as seguintes:
βα
jVVV +=
~
(2.5)
βα
jIII +=
~
(2.6)
Sendo,
vtVVV
vv
=+=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
= )cos(Re
^~
φω
α
(2.7)
20
itIII
ii
=+=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
= )cos(Re
^~
φω
α
(2.8)
Com isso, retornam-se os valores dos vetores girantes para àqueles já
conhecidos no tempo. Para o caso trifásico deve ser feita a representação para cada
uma das fases.
Na abordagem proposta por Milanez, os vetores girantes são representados
pelos VEI´s, que são determinados através da transformação de Clarke
(considerando o sistema trifásico sem neutro):
)(
3
2
2
~
cba
vaavvV ++= (2.9)
)(
3
2
2
~
cba
iaaiiI ++= (2.10)
Onde o operador unitário complexo a é:
3
2
π
j
ea =
Esses VEI’s apresentam forma cartesiana mostradas nas equações 2.5 e 2.6,
na Fig. 2.2 tem-se a trajetória destes no plano complexo.
21
~
V
~
I
I
φ
V
φ
V
ω
I
ω
α
β
α
V
α
I
β
I
β
V
b
a
c
rad
3
2
π
rad
3
2
π
Figura 2.2 – VEI´s tensão e corrente no plano complexo, com indicação dos
eixos de referência para as fases a, b e c do sistema trifásico.
A transformação de Clarke pode ser também considerada matricialmente
(sem condutor neutro):
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
c
b
a
v
v
v
V
V
2
3
2
3
0
2
1
2
1
1
3
2
β
α
(2.11)
Considerando o sistema sem neutro, tem-se:
0=++
cba
vvv
(2.12)
Pode-se então, realizar a transformação inversa, sendo que as fases de
tensão ficam:
22
α
Vv
a
= (2.13)
βα
VVv
b
2
3
2
1
+−=
(2.14)
βα
VVv
c
2
3
2
1
−−=
(2.15)
De forma dual as correntes ficam:
α
Ii
a
=
(2.16)
βα
IIi
b
2
3
2
1
+−=
(2.17)
βα
IIi
c
2
3
2
1
−−=
(2.18)
2.3 – A potência complexa instantânea.
A potência complexa instantânea trifásica definida por Milanez (1993) é dada
pela expressão.
*
~~~
2
3
IVS =
(2.19)
Em termos cartesianos tem-se a seguinte forma:
jQPS +=
~
(2.20)
Onde a parte real tem seu significado físico relacionado à potência trocada
entre os elementos armazenadores de energia do circuito elétrico e a carga, essa
transferência resulta em trabalho ou na conversão em outras formas de energia
(térmica, por exemplo) tratadas no caso das máquinas como perdas. Em regime
permanente, a parte real corresponde à energia ativa (MORAES, 2005).
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
~
Re SalP (2.21)
A potência imaginária corresponde à amplitude da potência reativa
instantânea determinada em qualquer fase do sistema trifásico quando a velocidade
23
angular do vetor instantâneo corrente é constante. Em sistemas lineares o
significado físico dessa potência equivale à energia trocada entre os elementos
armazenadores internamente no circuito elétrico. No entanto, para casos não-
lineares perde-se o significado físico, uma vez que esta potência era medida através
da defasagem entre a corrente e a tensão, mas este fato ocorre também nas
situações em que não existem elementos armazenadores como discutido por
Emanuel.
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
~
Im SagQ (2.22)
Para se determinar as expressões instantâneas das potências ativa e reativa,
é feita a decomposição do vetor corrente em suas componentes em fase e em
quadratura em relação ao vetor tensão, como proposto por Milanez e Nabae
(MORAES, 2005).
Figura 2.3 – Decomposição do vetor espacial instantâneo
~
I
, na direção do vetor
~
V
e em quadratura com o mesmo.
As potências reativas instantâneas, das fases
α
e
β
podem ser obtidas
utilizando-se a expressão para a potência real devida à componente da corrente,
Q
I
~
, em quadratura com a tensão:
24
0Re
*
~~
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
Q
Q
IValP (2.23)
a qual pode ser decomposta da seguinte forma (uma vez que a potência reativa
instantânea não contribui na transferência de energia entre a fonte e a carga para o
sistema trifásico):
0=+=
βα
QQQ
PPP (2.24)
onde
()
Q
VQ
IsenVP
~
φ
αα
−= (2.24)
e a parcela
β
Q
P fica
()
Q
IQ
IVP
~
cos
φ
ββ
= (2.25)
O significado dos sinais (positivo e negativo) das potências reativas de
mesmo módulo, segundo Akagi (MORAES, 2005), é devido à troca de energia entre
os elementos armazenadores de energia, indutores e capacitores.
As potências ativas instantâneas são obtidas considerando-se a componente
do vetor corrente,
P
I
~
, em fase com o vetor tensão, como descrito na expressão:
PIValP
P
P
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
*
~~
Re (2.23)
Que se decompõe também em duas parcelas:
βα
PPP
PPP
+
= (2.24)
onde
()
P
VP
IVP
~
sen
φ
βα
= (2.24)
e
()
P
IP
IVP
~
cos
φ
ββ
= (2.25)
25
Podem-se definir as potências ativas e reativas instantâneas matricialmente,
dadas por:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
β
α
αβ
βα
i
i
vv
vv
P
P
Q
P
(2.26)
26
3 – APLICAÇÃO DOS VEI´S NO CÁLCULO DAS GRANDEZAS DE BUCHHOLZ-
GOODHUE PARA SISTEMAS TRIFÁSICOS.
3.1 – Transformação do modelo trifásico para um equivalente bifásico.
Visando a redução de variáveis, será implementada a transformação de
Clarke que possibilitará a transformação do modelo trifásico para um equivalente
bifásico. Inicialmente serão consideradas as formas de onda (corrente e tensão)
como senoidal e equilibrada, depois serão inseridos os efeitos das componentes
harmônicas, depois será considerada a situação de desequilíbrio sem harmônicas e,
enfim, o caso mais genérico onde as formas de onda são não-senoidais e
desequilibradas. O uso dos vetores espaciais instantâneos simplifica
significativamente o equacionamento e a representação gráfica, também permitindo
a recuperação das informações, posteriormente.
3.1.1 – Formas de onda senoidal e equilibrada.
Considerando o motor operando com tensão de entrada simétrica (senoidal) e
equilibrada (com a mesma magnitude e defasada de 120
0
elétricos), as correntes
instantâneas que circulam nos enrolamentos do estator e que irão produzir o campo
girante são as seguintes:
27
)cos(
^
aa
tIi
φω
+⋅⋅= (3.1)
)
3
2
cos(
^
π
φω
⋅
−+⋅⋅=
bb
tIi (3.2)
)
3
2
cos(
^
π
φω
⋅
++⋅⋅=
cc
tIi (3.3)
A critério de ilustração tem-se a Fig. 3.1, onde está um exemplo de ondas
senoidais e equilibradas.
7500 7550 7600 7650 7700 7750 7800
-15
-10
-5
0
5
10
15
TEMPO (ms)
CORRENTE (A)
Figura 3.1 – Correntes trifásicas em regime permanente senoidal e equilibrado.
Pela transformação de Clarke, consideram-se as correntes representadas por
um vetor girante em um plano complexo (VEI).
)(
3
2
2
~
cba
iaiaiI ⋅+⋅+⋅= (3.4)
28
Para exemplificar a curva descrita pelo vetor espacial instantâneo corrente no
regime permanente senoidal e equilibrado, é mostrada a Fig. 3.2.
-15 -10 -5 0 5 10 15
-15
-10
-5
0
5
10
15
REAL (A)
IM A G (A )
~
I
I
ω
Fase a
F
a
s
e
b
F
a
s
e
c
Eixo β
Eixo α
Figura 3.2 – Vetor espacial instantâneo corrente em regime permanente senoidal e
equilibrado.
Da mesma forma, as tensões nos enrolamentos do estator são representadas
por:
)(
3
2
2
~
cba
vavavV ⋅+⋅+⋅= (3.5)
29
As equações 3.4 e 3.5 podem ser reescritas da seguinte forma cartesiana:
βα
IjII ⋅+=
~
(3.6)
βα
VjVV ⋅+=
~
(3.7)
3.1.2 – Formas de onda não-senoidais e equilibradas.
Considerando uma instalação elétrica com dois motores, um alimentado
através de inversor de freqüência e outro com partida direta, conectados ao mesmo
barramento, têm-se correntes harmônicas circulando pelos enrolamentos dos
mesmos, que foram injetadas pelo inversor de freqüência. Esse é um caso particular,
mas pode-se tratá-lo mais genericamente como sendo uma instalação ligada a um
mesmo barramento em que as cargas instaladas possuem características lineares e
não-lineares, devido a presença destas últimas existem correntes harmônicas que
circulam pelas instalações e pelas cargas sem que resulte em trabalho, constando
apenas como perdas.
H
I
~
H
V
~
Δ
H
I
~
H
I
~
L
Z
~
Figura 3.3 – Instalação com cargas lineares e não-lineares.
30
A Figura 3.3 mostra a corrente harmônica circulante na instalação devido à
carga não-linear (no caso um inversor de freqüência), verifica-se também que parte
dessas correntes podem ser transferidas para o primário do transformador, podendo
resultar em quedas de tensão harmônicas na linha de distribuição. Neste caso, as
tensões no barramento das cargas serão distorcidas.
Nessas condições, as correntes no estator de ambos os motores serão
consideradas como:
[]
∑
∞=
=
+⋅⋅⋅=
n
n
anna
tnsenIi
1
^
φω
(3.8)
∑
∞=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⋅
−⋅⋅⋅=
n
n
bnnb
tnsenIi
1
^
)
3
2
(
φ
π
ω
(3.9)
∑
∞=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⋅
+⋅⋅⋅=
n
n
cnnc
tnsenIi
1
^
)
3
2
(
φ
π
ω
(3.10)
onde o índice n representa a ordem harmônica.
Sendo a MIT considerada com rotor gaiola de esquilo, devido a sua
construção, não há componentes das ordens pares e múltiplas de três, ou seja, o
índice n não irá assumir valores como 2, 3, 4, 6, 8, 9, etc. Assim 3.8, 3.9 e 3.10 são
reescritas como:
...
1311751
+
+
+++=
aaaaaa
iiiiii (3.11)
...
1311751
+
+
+++=
bbbbbb
iiiiii
(3.12)
...
1311751
+
+
+++=
cccccc
iiiiii (3.13)
As correntes trifásicas para esta condição operativa podem ser
exemplificadas pela Fig. 3.4.
31
7500 7550 7600 7650 7700 7750 7800
-15
-10
-5
0
5
10
15
TEMPO (ms)
CORRENTE (A)
Figura 3.4 – Correntes trifásicas para o regime permanente não-senoidal e
equilibrado.
A transformação de Clarke fica:
()
()
()
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+++++⋅+
++++++⋅+
++++++
⋅=
...
...
...
3
2
1311751
2
1311751
1311751
~
ccccc
bbbbb
aaaaa
iiiiia
iiiiia
iiiii
I
(3.14)
A equação 3.14 é, então, reescrita da seguinte forma:
...
13
~
11
~
7
~
5
~
1
~~
+++++= IIIIII (3.15)
De modo análogo o vetor espacial instantâneo tensão:
...
13
~
11
~
7
~
5
~
1
~~
+++++= VVVVVV (3.16)
32
Mostra-se na Fig. 3.5 a trajetória do VEI corrente para um caso típico, com
este conteúdo de harmônicos.
-15 -10 -5 0 5 10 15
-15
-10
-5
0
5
10
15
REAL (A)
IM A G (A )
~
I
I
ω
Fase a
F
a
s
e
b
F
a
s
e
c
Eixo β
Eixo α
Figura 3.5 – Vetor espacial corrente para o regime permanente não-senoidal e
equilibrado.
3.1.3 – Formas de onda senoidais e desequilibradas.
Quando existe uma diferença entre as amplitudes ou nos ângulos das fases
das tensões ou correntes, diz-se que existe um desequilíbrio das mesmas. Para
33
representar e analisar o desequilíbrio separa-se as componentes de corrente de
seqüência positiva, negativa e zero, como nas equações abaixo.
0
aaaa
iiii ++=
−+
(3.17)
0
bbbb
iiii ++=
−+
(3.18)
0
cccc
iiii ++=
−+
(3.19)
A Fig. 3.6. traz uma ilustração de correntes desequilibradas:
7500 7550 7600 7650 7700 7750 7800
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
TEMPO (ms)
CORRENTE (A)
Figura 3.6: Correntes instantâneas para o regime permanente senoidal e
desequilibrado.
Considerando a MIT com rotor gaiola de esquilo, não serão obtidas
componentes de seqüência zero.
A transformação de Clarke para o desequilíbrio fica:
34
()
(
)
−−−+++
++⋅+++⋅=
cbacba
iaaiiiaaiiI
22
~
3
2
3
2
(3.20)
Ou
−+
+=
~~~
I
I
I
(3.21)
Neste caso o vetor complexo instantâneo de corrente descreverá uma elipse
semelhante a da Figura 3.7, onde se observa que a fase b está com amplitude muito
inferior às demais.
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
-15
-10
-5
0
5
10
15
REAL (A)
IM A G (A )
~
I
I
ω
Fase a
F
a
s
e
b
F
a
s
e
c
Eixo β
Eixo α
Figura 3.7: Trajetória descrita pelo vetor complexo instantâneo.
35
Será observado mais adiante que a trajetória descrita pelo vetor complexo
para o caso desequilibrado é uma elipse que se acentua conforme o desequilíbrio.
De forma semelhante da corrente, o equacionamento é válido também para a
tensão, ou seja:
−+
+=
~~~
VVV
(3.22)
3.1.4 – Determinação da magnitude da corrente e da tensão de seqüência
positiva e negativa.
Através dos vetores espaciais instantâneos, podem-se determinar as
magnitudes de seqüência positiva e negativa da corrente e tensão (no caso
desequilibrado). Considerando a Figura 3.8, temos a trajetória do vetor espacial
instantâneo de corrente (o mesmo raciocínio será válido para a tensão), onde estão
destacadas a maior magnitude (
M
I
~
) e a menor magnitude (
m
I
~
).
36
-15 -10 -5 0 5 10 15
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
REAL (A)
IM A G (A )
m
I
~
M
I
~
Figura 3.8 – Maior magnitude (
M
I
~
) e menor magnitude (
m
I
~
) do vetor espacial
instantâneo de corrente.
Segundo Milanez e Emanuel (2003), as magnitudes dos vetores correntes de
seqüência positiva e negativa são dados por:
2
~~
^
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
+
mM
II
I
(3.23)
2
~~
^
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
−
mM
II
I
(3.24)
Analogamente tem-se para as tensões:
37
2
~~
^
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
+
mM
VV
V
(3.25)
2
~~
^
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
−
mM
VV
V
(3.26)
Nota-se que no caso senoidal e equilibrado (Figura 3.2), a curva descrita é
uma circunferência, o que não resulta numa componente de seqüência negativa,
uma vez que a maior e menor magnitude são iguais.
3.1.5 – Fator de desequilíbrio de corrente (IU%) e de tensão (VU%).
O IU% é definido pela razão entre a magnitude de seqüência negativa e a
amplitude de seqüência positiva, este índice é dado em valor percentual:
+
−
⋅=
^
^
100%
I
I
IU
(3.27)
O mesmo vale para a tensão:
+
−
⋅=
^
^
100%
V
V
VU
(3.28)
38
3.1.6 – Formas de onda não-senoidais e desequilibradas.
Para representar a condição de desequilíbrio serão consideradas as
componentes simétricas.
0
aaaa
iiii ++=
−+
(3.29)
0
bbbb
iiii ++=
−+
(3.30)
0
cccc
iiii ++=
−+
(3.31)
Como já foi mencionado, na MIT gaiola de esquilo, as componentes
simétricas de seqüência zero são nulas, como já consideradas anteriormente. Como
está sendo considerada a presença de ondas não-senoidais, as equações 3.29, 3.30
e 3.31 serão reescritas como:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++++++
++++++
=
−−−−−
+++++
...)(
...)(
1311751
1311751
aaaaa
aaaaa
a
iiiii
iiiii
i
(3.32)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++++++
++++++
=
−−−−−
+++++
...)(
...)(
1311751
1311751
bbbbb
bbbbb
b
iiiii
iiiii
i
(3.33)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++++++
++++++
=
−−−−−
+++++
...)(
...)(
1311751
1311751
ccccc
ccccc
c
iiiii
iiiii
i
(3.34)
Essas correntes são semelhantes às mostradas na Figura 3.9.
39
7500 7550 7600 7650 7700 7750 7800
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
TEMPO (ms)
CORRENTE (A)
Figura 3.9 – Correntes não-senoidais e desequilibradas.
Aplicando-se a Transformação de Clarke nas equações 3.32 a 3.34, tem-se:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++++++
++++++
⋅+
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++++++
++++++
⋅+
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++++++
++++++
⋅=
−−−−−
+++++
−−−−−
+++++
−−−−−
+++++
...)(
...)(
...)(
...)(
...)(
...)(
3
2
1311751
1311751
2
1311751
1311751
1311751
1311751
~
ccccc
ccccc
bbbbb
bbbbb
aaaaa
aaaaa
iiiii
iiiii
a
iiiii
iiiii
a
iiiii
iiiii
I
(3.35)
Separando-se as correntes que possuem os mesmos índices de seqüência e
componente harmônica e, reescrevendo a equação 3.35 tem-se:
40
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
++++++
++++++
=
−−−−−
+++++
...)(
...)(
13
~
11
~
7
~
5
~
1
~
13
~
11
~
7
~
5
~
1
~
~
IIIII
IIIII
I
(3.36)
De modo análogo, o vetor espacial instantâneo tensão fica:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
++++++
++++++
=
−−−−−
+++++
...)(
...)(
13
~
11
~
7
~
5
~
1
~
13
~
11
~
7
~
5
~
1
~
~
VVVVV
VVVVV
V
(3.37)
A Fig. 3.10 ilustra este caso geral de desequilíbrio com componentes
harmônicos.
41
-15 -10 -5 0 5 10 15
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
REAL (A)
IM A G (A )
~
I
I
ω
F
a
s
e
b
F
a
s
e
c
Eixo β
Figura 3.10 – Vetor espacial instantâneo corrente para o regime permanente não-
senoidal e desequilibrado.
3.1.7 – Potência complexa instantânea.
A potência complexa instantânea como definida por Milanez (1993) é a
seguinte:
∗
⋅⋅=
~~~
2
3
IVS
(3.38)
A equação 3.38 em termos cartesianos fica:
42
QjPS ⋅+=
~
(3.39)
onde P é a potência real e Q é a potência imaginária. O módulo de
~
S
é a potência
aparente instantânea.
Considerando a situação de desequilíbrio e não-senoidal a equação 3.40 fica:
∗
−+−+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⋅
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⋅=
~~~~~
2
3
IIVVS
(3.40)
Onde:
∑
∞=
=
+++
+=
n
n
n
VVV
2
~
1
~~
(3.41)
∑
∞=
=
−−−
+=
n
n
n
VVV
2
~
1
~~
(3.42)
∑
∞=
=
+++
+=
n
n
n
III
2
~
1
~~
(3.43)
∑
∞=
=
−−−
+=
n
n
n
III
2
~
1
~~
(3.44)
Desenvolvendo a equação 3.40, tem-se:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⋅=
∗
+−
∗
−+
∗
−−
∗
++
~~~~~~~~~
2
3
IVIVIVIVS
(3.45)
Ou seja:
m
~~~~~
S
S
S
S
S
+++=
±−+
(3.46)
43
As potências
±
~
S
e
m
~
S
possuem valor médio zero (MILANEZ, 2003), sendo
assim:
−+
+=
~~~
SSS
(3.47)
E a equação (3.47), em coordenadas cartesianas, passa a ser:
QjPS ⋅+=
~
(3.48)
Onde:
∑∑
∞=
=
−−
∞=
=
++
+++=
n
n
n
n
n
n
PPPPP
2
1
2
1
(3.49)
∑∑
∞=
=
−−
∞=
=
++
+++=
n
n
n
n
n
n
QQQQQ
2
1
2
1
(3.50)
3.1.8 – Potência complexa de seqüência positiva e negativa.
Como mostrado por Milanez (2003), o valor médio da potência complexa
instantânea
~
S
se relaciona com as potências de seqüência positiva e negativa da
forma mostrada em 3.47, e aquela está também representada graficamente na
Figura 3.11.
44
-500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
REAL (W)
IMAGINÁRIO (VAr)
Smed
Spos
Sneg
)(VArQ
+
~
S
~
S
−
~
S
θ
+
θ
−
θ
)(WP
−
~
S
Figura 3.11 – Potência complexa média e potências complexas de seqüência
positiva e negativa.
Os módulos das potências complexas de seqüência positiva e negativa são
determinados em função das equações 3.23 a 3.26.
++
+
⋅⋅=
^^
2
3
IVS
(3.51)
−−
−
⋅⋅=
^^
2
3
IVS
(3.52)
Aplicando a Lei dos cossenos, determinam-se os valores da potência real e
imaginária de seqüência positiva.
45
() ()
()
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⋅
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+=
+
−+
+
2
~
2
2
2
~
2
2
arccos
SS
SSS
θθ
(3.53)
++
+
⋅=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
θ
cosRe
~
SS (3.54)
++
+
⋅=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
θ
senSS
~
Im (3.55)
E, então se calcula a potência complexa de seqüência negativa:
+−
−=
~~~
SSS (3.56)
O fator de potência da fundamental de seqüência positiva é:
+
+
+
=
1
1
1
S
P
FP
(3.57)
3.1.9 – Valores efetivos de Buchholz-Goodhue para a corrente e tensão.
Para a obtenção das grandezas de Buchholz-Goodhue, Milanez e Emanuel
(2003) propõem o uso dos vetores espaciais instantâneos (considerando a corrente):
2
2
^
2
^
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−+
II
I
e
(3.58)
46
Igualmente a tensão fica:
2
2
^
2
^
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−+
VV
V
e
(3.59)
Deve-se salientar que as equações 3.60 e 3.61 estão desconsiderando as
componentes de seqüência zero (uma vez que estas não estão presentes na MIT).
3.1.10 – Potência eficaz de Buchholz-Goodhue.
A potência eficaz de Buchholz-Goodhue, S
e
, possibilita uma relação quase
linear entre seu valor quadrático e as perdas na carga, como estudado por Emanuel
[8], o que por sua vez assegura maior consistência na análise do fator de potência
(que foi mostrado como sendo menor do que o fator de potência aritmético e vetorial)
para as seguintes condições: onda senoidal e equilíbrio, onda não-senoidal e
equilíbrio, onda senoidal e desequilíbrio e, onda não-senoidal e desequilíbrio. Esta
potência trifásica é definida por:
eee
IVS ⋅⋅= 3 (3.60)
O fator de potência de Buchholz-Goodhue é dado por:
e
e
S
P
FP =
(3.61)
Visando uma melhor definição para o aproveitamento da rede elétrica, a
equação (3.61), pode ser reescrita em função da potência ativa fundamental como:
+
+
+
=
1
1
1
S
P
FP
(3.62)
47
Sendo S
e1
a potência trifásica aparente efetiva fundamental, então a potência
aparente efetiva não-fundamental (S
eN
) é dada por:
2
1
22
eeeN
SSS −= (3.63)
Ou ainda:
2222
eHeVeIeN
SDDS ++= (3.64)
Sendo que as potências trifásicas de distorção de corrente (D
eI
) e de tensão
(D
eV
) e a potência aparente trifásica harmônica (S
eH
) são definidas por:
eHeeI
IVD ⋅⋅=
1
3
(3.65)
1
3
eeHeV
IVD ⋅⋅= (3.66)
eHeHeH
IVS ⋅⋅= 3 (3.67)
Onde
2
1
2
eeeH
III −= (3.68)
2
1
2
eeeH
VVV −= (3.69)
Ou também:
()
IeeI
THDSD
⋅
=
1
(3.70)
()
VeeV
THDSD ⋅=
1
(3.71)
()()
VIeeH
THDTHDSS ⋅⋅=
1
(3.72)
Como mostrado pelas equações anteriores as potências aparentes harmônica
e não-fundamental diferem pelo fato da primeira contar com apenas as parcelas
harmônicas e, a segunda conter também a interação entre as componentes
harmônicas e fundamental.
48
Define-se também a Distorção Harmônica Total equivalente para a corrente
(THD
eI
) e tensão (THD
eV
):
1e
eH
eI
I
I
THD = (3.73)
1e
eH
eV
V
V
THD
= (3.74)
A equação 3.63 pode ser reescrita como:
()
2
22
1
eVeIeVeIeeN
THDTHDTHDTHDSS ⋅++⋅= (3.75)
A potência de desequilíbrio da fundamental (S
U1
) permite a análise do
desequilíbrio da carga, ou seja:
()
2
1
2
11
+
−= SSS
eU
(3.76)
49
4 – APLICAÇÃO DOS VEI´s NO CÁLCULO DAS GRANDEZAS DE BUCHHOLZ-
GOODHUE PARA A MIT.
4.1 – Modelagem da máquina de indução trifásica com vetores espaciais
instantâneos.
4.1.1 – Introdução.
O acionamento com velocidade variável sempre foi um grande empecilho
para a aplicação da máquina de indução trifásica (MIT), pois esta possuía a
alimentação fixa de tensão e freqüência. O progresso da eletrônica de potência e da
informática permitiu que fossem produzidos conversores de freqüência que
conciliassem confiabilidade e economia, tornando a MIT muito mais interessante do
que a máquina de corrente contínua (que era a mais utilizada para situações com
controle de velocidade), já que ela (considerando o rotor gaiola de esquilo) tem uma
série de vantagens, tais como:
• Custo de aquisição menor do que o motor de corrente contínua.;
• Custo de manutenção reduzido (devido à ausência de escovas);
• Operação em ambientes hostis;
• Construção simples;
• Robustez.
Esse mesmo desenvolvimento que possibilitou o uso extensivo da MIT gerou
alguns inconvenientes, pois o sistema elétrico passou a contar com um alto
conteúdo harmônico, além disso, a expansão do sistema elétrico aumentou o
desequilíbrio entre as fases de tensão de suprimento. A análise do comportamento
50
da MIT pelo modelo convencional passou, então, a não ser satisfatória para o
sistema atual, em condição de desequilíbrio ou com presença de harmônicas, para
corrigir algumas distorções presentes no modo convencional são utilizadas as
grandezas de Buchholz-Goodhue (IEEE WORKING GROUP ON NONSINUSOIDAL
SITUATIONS, 2000).
Será, então, utilizada para a determinação dos parâmetros uma abordagem
proposta por Milanez (1993).
4.2 – Materiais e métodos.
4.2.1 – Introdução.
Será analisada a eficácia da aplicação dos vetores espaciais em
concordância com a IEEE 1459-2000 através da simulação do motor de indução tipo
gaiola-de-esquilo em situações variadas de equilíbrio e simetria. Para analisar a
relação entre perdas serão levadas em conta apenas as perdas no cobre.
Considerar-se-á componentes harmônicas de tensão em um barramento que
alimenta uma MIT, cujas ordens são além da fundamental:
• Quinta;
• Sétima;
• Décima primeira;
• Décima terceira.
Para condição de desequilíbrio será considerado o Fator de Desequilíbrio de
Tensão (VU%), cujos valores adotados, serão:
51
• 0 %;
• 5%;
• 10%;
• 15%.
Neste trabalho será utilizado como simulador do sistema, o software
SIMULINK do MATLAB 5.3 (as equações envolvidas no modelo da MIT, encontram-
se no APÊNDICE A). O esquemático do modelo construído se encontra no
APÊNDICE B.
4.3 – Configuração da MIT e fontes de tensão utilizadas para a simulação.
Para a simulação digital foram utilizados os seguintes parâmetros para a MIT,
definidos na Tabela 4.1, abaixo:
52
Tabela 4.1 – Parâmetros do modelo da MIT.
Potência Nominal (HP) 3
Tensão Nominal (Vrms) 220
Freqüência (Hz) 60
Pólos 4
Velocidade (rpm) 1780
Resistência Série (Ω)
0,435 Estator
Indutância de dispersão (mH) 2
Resistência Série (Ω)
0,816 Rotor
Indutância de dispersão (mH) 2
Indutância Mútua (mH) 69,31
Momento de Inércia (Kg.m
2
) 0,089
Torque Nominal (N.m) 11,9
4.4 – A MIT operando sob condição senoidal.
4.4.1 – Introdução
Primeiramente, considerar-se-á uma situação simétrica e totalmente
equilibrada, depois será incluído um desequilíbrio e, o mesmo será acentuado para
que se possam aplicar as definições propostas pela IEEE 1459-2000.
53
4.4.2 – Simulação e discussão de resultados.
Para as simulações ter-se-ão as fontes configuradas da forma mostrada na
Tabela 4.2, para avaliação de quatro casos distintos, considerando diferentes
condições operativas da MIT.
Tabela 4.2 – Valores de amplitude e fase da fundamental para os casos de
desequilíbrio.
VU%
CASO 1 CASO 2 CASO 3 CASO 4
0 5 10 15
a
V
•
180∟0
0
180∟0
0
180∟0
0
180∟0
0
b
V
•
180∟-120
0
165∟120
0
150∟-120
0
140∟120
0
c
V
•
180∟120
0
173∟-124,31 167,03∟128,95
0
163,71∟-132,22
0
CASO 1 – VU%=0%.
Nessa condição as formas de onda instantâneas da tensão e da corrente
apresentaram-se como mostradas na Fig. 4.1:
54
7500 7550 7600 7650 7700 7750 7800
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
TEMPO (ms)
TENSÃO (V)
(a)
7500 7550 7600 7650 7700 7750 7800
-10
-5
0
5
10
TEMPO (ms)
CORRENTE (A)
(b)
Figura 4.1 – (a) Tensões instantâneas e (b) correntes instantâneas.
A trajetória descrita pela tensão e corrente uma vez feita a transformação de
Clarke é mostrada na Figura 4.2:
55
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
REAL (V)
IM A G (V )
(a)
-10 -5 0 5 10
-10
-5
0
5
10
REAL (I)
IM A G (I)
(b)
Figura 4.2 – (a) Tensão complexa instantânea (b) corrente complexa instantânea.
56
Observa-se da Fig. 4.2. que, tanto a tensão quanto a sua corrente
apresentam uma trajetória circular, com raio constante. Os VEI´s descrevem
trajetórias no sentido anti-horário.
O valor médio da potência complexa instantânea como mostrada no Capítulo
3, obtido experimentalmente, fica igual a:
19052324
~
jQjPQjPS +=+=+=
++
VA
3005
~
=S
VA
A potência aparente de Buchholz-Goodhue calculada é:
30053 ==
eee
IVS
VA
Tem-se nesta condição, tem-se que:
+
== SSS
e
~
O fator de potência por sua vez é dado por:
+
===== FPFP
S
P
FP
e
77,0cos
~
θ
As perdas relacionadas ao motor (tanto no estator quanto no rotor) estão
vinculadas, como já determinadas antes, apenas às perdas no cobre. Pela
simulação foi obtida a potência mecânica,
m
P
:
17521492324
=
−
=
−=
mcobre
PPP W
Neste caso não existem perdas adicionais devido ao desequilíbrio e às
harmônicas.
57
CASO 2 – VU%=5%.
Acrescenta-se agora um desequilíbrio (determinado pelo índice VU%). Nesta
situação as formas de onda de tensão e corrente no tempo ficam da seguinte forma:
7500 7550 7600 7650 7700 7750 7800
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
TEMPO (ms)
TENSÃO (V)
(a)
7500 7550 7600 7650 7700 7750 7800
-15
-10
-5
0
5
10
15
TEMPO (ms)
CORRENTE (A)
(b)
Figura 4.3 – (a) Tensão instantânea e (b) corrente instantânea.
A trajetória descrita pela tensão e corrente uma vez feita a transformação de
Clarke é mostrada na Figura 4.4:
58
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
REAL (V)
IM A G (V )
(a)
-15 -10 -5 0 5 10 15
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
REAL (I)
IM A G (I)
(b)
Figura 4.4 – (a) Tensão complexa instantânea (b) corrente complexa instantânea.
59
Observa-se que, nessa condição tanto a tensão quanto a sua corrente
apresentam uma trajetória elíptica. Esse achatamento ocorre devido ao desequilíbrio
de tensão.
O valor médio da potência complexa instantânea como mostrada no Capítulo
3 fica igual:
17212375
~
jQjPS +=+= VA
3087
~
=S VA
Verifica-se que, neste caso, o valor médio
~
S
é diferente da potência
aparente de Buchholz-Goodhue, S
e
,
08,3226=
e
S
VA
Calculou-se a potência aparente de seqüência positiva e, através dela obtém-
se os valores das potências ativa e reativa de seqüência positiva.
6,2940=
+
S VA
De onde se obtém a potência ativa de seqüência positiva, na realidade esta é
aquela da qual se subtrai o trabalho útil no eixo da MIT.
2343=
+
P W
A potência reativa de seqüência positiva é:
1777=
+
Q VAr
Como determinado no capítulo anterior, a potência aparente de desequilíbrio
fundamental fica:
60
85,598=
U
S VA
Este índice representa as perdas decorrentes ao desequilíbrio, que estão
intrínsecas à potência aparente de Buchholz-Goodhue.
Como as potências aparentes em estudo não são iguais como no item
anterior, temos os seguintes fatores de potência:
1. Considerando a Potência Aparente Complexa:
81,0
~
==
S
P
FP
2. Considerando a Potência Aparente de Buchholz-Goodhue:
74,0==
e
e
S
P
FP
3. Considerando a Potência Aparente Seqüência Positiva Fundamental:
80,0
1
1
1
==
+
+
+
S
P
FP
Os dois primeiros fatores de potência relacionam a potência total do sistema,
sendo que o primeiro, FP, não relaciona as perdas na linha, já a FP
e
leva em conta
estas perdas, sendo este o melhor índice que deve ser escolhido para a análise do
circuito. Considerando o fator de potência do item 3, temos a relação entre as
potências ativa e aparente que desenvolve o trabalho útil e, servirão de parâmetros
para se determinar dispositivos compensadores de energia.
As perdas relacionadas ao motor (tanto no estator quanto no rotor) estão
vinculadas, como já determinadas antes, apenas à dissipação no cobre.
23521402375
=
−=−=
mcobre
PPP W
61
Essas perdas remetem à exigência de mais potência de entrada para que o
motor mantenha a potência mecânica, resultando em um acréscimo de perdas e, ao
menor aproveitamento da capacidade de condução dos condutores. Por isso a
importância de um índice que utilize parâmetros mais adequados que possibilitem
uma melhor escolha para qualquer tomada de decisão na correção do fator de
potência.
Na Tabela 4.3 estão os parâmetros calculados para a THD
V
=0% (o índice é
determinado no APÊNDICE D). Semelhantemente, para os demais casos de
desequilíbrio (caso 3 e caso 4, Tabela 4.2), os índices determinados estão na Tabela
4.3.
Tabela 4.3 – Parâmetros determinados para os casos de desequilíbrio com
THD
V
=0%
%V
U
~
S
(VA)
P
(W)
Q
(VAr)
e
S
(VA)
+
S
(VA)
+
P
(W)
+
Q
(VAr)
0 3005 2324 1905 3005 3005 2324 1905
5 3087 2375 1721 3226,08 2940,6 2343 1777
10 2902 2523 1433,902 3877,5 2916,9 2395 1665
15 2930 2677 1191,038 4428,14 3621 2858 2225
Com os dados obtidos na Tabela 4.3, obtém-se os parâmetros referentes à
utilização do sistema elétrico, os quais são apresentados na Tabela 4.4. a seguir:
62
Tabela 4.4 – Parâmetros de qualidade da MIT operando com harmônicas e
desequilíbrio (THD
V
=0%).
%V
U
F
P
e
FP
+
1
FP
cobre
P
(W)
m
P
(W)
1U
S
(VA)
η
0 0,77 0,77 0,7 175 2149 0 0,92
5 0,81 0,74 0,80 235 2140 598,85 0,90
10 0,87 0,66 0,82 396 2127 2554,8 0,84
15 0,91 0,60 0,79 560 2117 2994,8 0,79
Observa-se uma diminuição da potência mecânica
m
P , com o aumento do
desequilíbrio, e também um aumento das perdas no cobre,
cobre
P
.
Embora a potência mecânica diminua, aumenta a potência ativa demandada
da rede,
P
, pois as perdas aumentam numa proporção maior.
Há uma diminuição significativa do rendimento como era esperado.
Observa-se também, um aumento do fator de potência,
F
P, calculado
utilizando-se o módulo da potência complexa instantânea como potência aparente.
Este procedimento deve ser descartado, pois não existe nenhuma base física que a
justifique.
Quanto às potências de seqüência positiva, deve-se observar que também
são pouco significativas.
63
4.5 – A MIT operando sob condição não-senoidal.
4.5.1 – Introdução.
A situação, aqui neste estudo, é decorrente da presença de correntes
harmônicas presentes no barramento em que está acoplado o motor, essas são
causadas por cargas não-lineares. As harmônicas são um sério inconveniente, uma
vez que influenciam na queda de rendimento da máquina, assim como diminuem o
fator de potência, causando sobre aquecimento e vibrações mecânicas.
Na análise serão levados em conta os efeitos das harmônicas de primeira,
quinta, sétima, décima - primeira e décima - terceira ordem. Posteriormente serão
também somados às situações os efeitos do desequilíbrio, mostrados no item
anterior.
4.5.2 – Simulação e discussão de resultados.
Para simular a máquina alimentada por um sistema contendo harmônicas, foi
considerado cada componente harmônico como sendo uma fonte de tensão em
série. Conforme é ilustrado na Fig. 4.5:
64
Figura 4.5: Fontes de tensão harmônica.
CASO 1 – VU%=0% e THD
V
=5%.
Na Tabela 4.5, tem-se os valores que foram determinados para cada
componente.
Tabela 4.5 – Valores de amplitude e fase das componentes harmônicas.
THD
V
=5%
1 5 7 11 13
ah
V
•
180∟0
0
7∟0
0
4∟0
0
2∟0
0
1∟0
0
bh
V
•
180∟-120
0
7∟120
0
4∟-120
0
2∟120
0
1∟-120
0
ch
V
•
180∟120
0
7∟-120
0
4∟120
0
2∟-120
0
1∟120
0
A tensão e a corrente instantâneas estão mostradas na Figura 4.6.
65
7500 7550 7600 7650 7700 7750 7800
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
TEMPO (ms)
TENSÃO (V)
(a)
7500 7550 7600 7650 7700 7750 7800
-15
-10
-5
0
5
10
15
TEMPO (ms)
CORRENTE (A)
(b)
Figura 4.6 – (a) Tensão instantânea e (b) corrente instantânea.
A trajetória descrita pela tensão e corrente uma vez feita a transformação de
Clarke é mostrada na Figura 4.7:
66
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
REAL (V)
IM A G (V )
(a)
-15 -10 -5 0 5 10 15
-15
-10
-5
0
5
10
15
REAL (A)
IM A G (A )
(b)
Figura 4.7 – (a) Tensão complexa instantânea (b) corrente complexa instantânea.
67
Observa-se nesta figura que a trajetória descrita pelos VEI´s, apresenta
deformações, decorrentes das harmônicas. Neste caso, assim, como nos anteriores
o sentido de rotação dos VEI´s é anti-horário (seqüência positiva) – já mostrado no
Capítulo 3.
A potência complexa instantânea como mostrada no Capítulo 3 fica igual:
18972326
~
jQjPS +=+= VA
5,3001
~
=S VA
A potência aparente de Buchholz-Goodhue, por sua vez:
08,3021=
e
S VA
3005
1
=
e
S VA
Calculando a potência aparente de seqüência positiva fundamental:
3005
1
=
+
S VA
A potência ativa de seqüência positiva fundamental:
2326
1
=
+
P W
A potência reativa de seqüência positiva fundamental:
1905
1
=
+
Q VAr
Neste caso a potência aparente de desequilíbrio fica:
0
1
=
U
S VA
Outras potências aparentes, dadas pelas grandezas de Buchholz-Goodhue, a
serem consideradas são a Potência aparente harmônica e a Potência aparente não-
fundamental. Neste sentido, são eles:
68
Potência aparente harmônica:
22,12=
eH
S VA
Esta potência aparente representa os efeitos causados pelas componentes
harmônicas de mesma freqüência.
Potência aparente não-fundamental:
73,360=
eN
S VA
Esta potência aparente representa os efeitos resultantes pelas componentes
harmônicas de mesma freqüência ou não.
Com relação ao estudo dos fatores de potência, tem-se que:
1 – Considerando a Potência Aparente Complexa:
77,0
~
==
S
P
FP
2 – Considerando a Potência Aparente de Buchholz-Goodhue:
77,0==
e
e
S
P
FP
3 – Considerando a Potência Aparente de Seqüência Positiva Fundamental:
77,0
1
1
1
==
+
+
+
S
P
FP
As perdas ficam:
17721492326
=
−
=
−=
mcobre
PPP W
Portanto, para os casos cuja THD
V
seja inferior a 5%, não houve influência no
desempenho da MIT (IEEE, 1992), além disso, a análise é feita corretamente,
69
independente do método escolhido. Bem seja dito, nesta condição não há
desequilíbrio.
CASO 2 – VU%=5% e THD
V
=5%.
Na Tabela 4.6, temos os valores que foram determinados para cada
componente.
Tabela 4.6 – Valores de amplitude e fase das componentes harmônicas.
THD
V
=5%
1 5 7 11 13
ah
V
•
180∟0
0
7∟0
0
4∟0
0
2∟0
0
1∟0
0
bh
V
•
165∟-120
0
7∟120
0
4∟-120
0
2∟120
0
1∟-120
0
ch
V
•
173∟124,31
0
7∟-120
0
4∟120
0
2∟-120
0
1∟120
0
A tensão e a corrente instantâneas são mostradas na Fig. 4.8, a seguir:
70
7500 7550 7600 7650 7700 7750 7800
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
TEMPO (ms)
TENSÃO (V)
(a)
7500 7550 7600 7650 7700 7750 7800
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
TEMPO (ms)
CORRENTE (A)
(b)
Figura 4.8 – (a) Tensão instantânea e (b) corrente instantânea.
A trajetória descrita pela tensão e corrente uma vez feita a transformação de
Clarke é mostrada na Figura 4.9:
71
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
REAL (A)
IM A G (A )
(a)
-15 -10 -5 0 5 10 15
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
REAL (A)
IM A G (A )
(b)
Figura 4.9 – (a) Tensão complexa instantânea (b) corrente complexa instantânea.
72
Analogamente aos casos anteriormente analisados, tem-se que:
17112377
~
jQjPS +=+= VA
8,2928
~
=S VA
A potência aparente de Buchholz-Goodhue, por sua vez:
66,3240=
e
S VA
7,3890
1
=
e
S VA
Calculando a potência aparente de seqüência positiva fundamental:
9,2950
1
=
+
S VA
A potência ativa de seqüência positiva fundamental:
2343
1
=
+
P W
A potência reativa de seqüência positiva fundamental:
92,7931
1
=
+
Q VAr
Como determinado no Capítulo 3, a potência aparente de desequilíbrio fica:
7,1303
1
=
U
S VA
Outras potências aparentes, dadas pelas grandezas de Buchholz-Goodhue, a
serem consideradas são a Potência aparente harmônica e a Potência aparente não-
fundamental, que são apresentados a seguir:
Potência aparente harmônica:
80,12=
eH
S
VA
73
Potência aparente não-fundamental:
97,367=
eN
S VA
Fazendo um estudo dos fatores de potência, obtém-se que:
1 – Considerando a Potência Aparente Complexa:
81,0
~
==
S
P
FP
2 – Considerando a Potência Aparente de Buchholz-Goodhue:
73,0==
e
e
S
P
FP
3 – Considerando a Potência Aparente de Seqüência Positiva Fundamental:
79,0
1
1
1
==
+
+
+
S
P
FP
As perdas ficam:
23721402377
=
−
=
−=
mcobre
PPP W
Na Tabela 4.7 estão os parâmetros para todos os casos de desequilíbrio, para
THD
V
=5%:
74
Tabela 4.7 – Parâmetros determinados para os casos de desequilíbrio com
THD
V
.=5%.
%V
U
~
S
(VA)
P
(W)
1
Q
(VAr)
e
S
(VA)
1e
S
(VA)
+
1
S
(VA)
+
1
P
(W)
+
1
Q
(VAr)
0 3001,5 2326 1905 3021,08 3005 3005 2326 1905
5 2928,8 2377 1718,96 3240,66 3890,7 2950,9 2343 1793,92
10 2899,8 2525 1433,9 3890,72 3877,5 2917,7 2523 1665
15 2928,6 2679 1191,04 4440,97 4428,14 3260,5 2677 1573
Com os dados obtidos na Tabela 4.7, determinamos os parâmetros referentes
à utilização do sistema elétrico, Tabela 4.8.
Tabela 4.8 – Parâmetros de qualidade da MIT operando com harmônicas e
desequilíbrio (THD
V
=5%).
%V
U
F
P
e
FP
+
1
FP
cobre
P
(W)
m
P
(W)
eH
S
(VA)
eN
S
(VA)
1U
S
(VA)
η
0 0,77 0,77 0,77 177 2149 12,22 360,73 0 0,92
5 0,81 0,73 0,79 237 2140 1280 367,97 1303,7 0,90
10 0,87 0,65 0,82 398 2127 12,78 390 2553,8 0,84
15 0,92 0,60 0,88 562 2117 12,78 412,5 2996,2 0,79
75
Considerando a MIT operando aos mesmos fatores de desequilíbrio, VU%,
estudadas, tem-se agrupado em tabelas o desempenho da máquina para uma
THD
V
=10%, THD
V
=15% e THD
V
=20%, e são apresentados nas Tabelas 4.9 a 4.17,
respectivamente.
76
Tabela 4.9: Valores fixados para as fontes de tensão para THD
V
=10%:
HARMÔNICA VU%=0 %
1 5 7 11 13
ah
V
•
180∟0
0
13∟0
0
10∟0
0
5∟0
0
3∟0
0
bh
V
•
180∟-120
0
13∟120
0
10∟-120
0
5∟120
0
3∟-120
0
ch
V
•
180∟120
0
13∟-120
0
10∟120
0
5∟-120
0
3∟120
0
HARMÔNICA VU%=5 %
1 5 7 11 13
ah
V
•
180∟0
0
13∟0
0
10∟0
0
5∟0
0
3∟0
0
bh
V
•
180∟-120
0
13∟120
0
10∟-120
0
5∟120
0
3∟-120
0
ch
V
•
173∟124,31
0
13∟-120
0
10∟120
0
5∟-120
0
3∟120
0
HARMÔNICA VU%=10 %
1 5 7 11 13
ah
V
•
180∟0
0
13∟0
0
10∟0
0
5∟0
0
3∟0
0
bh
V
•
150∟-120
0
13∟120
0
10∟-120
0
5∟120
0
3∟-120
0
ch
V
•
167,03∟128,95
0
13∟-120
0
10∟120
0
5∟-120
0
3∟120
0
HARMÔNICA VU%=15 %
1 5 7 11 13
ah
V
•
180∟0
0
13∟0
0
10∟0
0
5∟0
0
3∟0
0
bh
V
•
140∟-120
0
13∟120
0
10∟-120
0
5∟120
0
3∟-120
0
ch
V
•
163,71∟132,22
0
13∟-120
0
10∟120
0
5∟-120
0
3∟120
0
77
Tabela 4.10 – Parâmetros de potência para a MIT operando com harmônicas e
desequilíbrio (THD
V
=10%).
%V
U
~
S
(VA)
P
(W)
1
Q
(VAr)
e
S
(VA)
1e
S
(VA)
+
1
S
(VA)
+
1
P
(W)
+
1
Q
(VAr)
0 2997,2 2331 1905 3067,88 3005 3005 2324 1905
5 2925,3 2382 1719 3283,96 3226,08 2940,6 2343 1777
10 2888,3 2528 1418 3878,26 3837,51 2905,8 2396 1644,04
15 2928,8 2685 1196 4471,04 4428,14 3260,5 2856 152,94
Tabela 4.11 – Parâmetros de qualidade da MIT operando com harmônicas e
desequilíbrio (THD
V
=10%).
%V
U
F
P
e
FP
+
1
FP
cobre
P
(W)
m
P
(W)
eH
S
(VA)
eN
S
(VA)
1U
S
(VA)
η
0 0,78 0,76 0,77 182 2149 52,19 729,83 0 0,92
5 0,81 0,72 0,80 242 2140 52,19 736,49 1326,7 0,89
10 0,88 0,65 0,82 402 2126 40,7 684,79 2506,6 0,84
15 0,91 0,60 0,88 568 2117 42,12 752,66 2996,2 0,79
78
Tabela 4.12: Valores fixados para as fontes de tensão para THD
V
=15%:
HARMÔNICA VU%=0 %
1 5 7 11 13
ah
V
•
180∟0
0
20∟0
0
15∟0
0
10∟0
0
5∟0
0
bh
V
•
180∟-120
0
20∟120
0
15∟-120
0
10∟120
0
5∟-120
0
ch
V
•
180∟120
0
20∟-120
0
15∟120
0
10∟-120
0
5∟120
0
HARMÔNICA VU%=5 %
1 5 7 11 13
ah
V
•
180∟0
0
20∟0
0
15∟0
0
10∟0
0
5∟0
0
bh
V
•
180∟-120
0
20∟120
0
15∟-120
0
10∟120
0
5∟-120
0
ch
V
•
173∟124,31
0
20∟-120
0
15∟120
0
10∟-120
0
5∟120
0
HARMÔNICA VU%=10 %
1 5 7 11 13
ah
V
•
180∟0
0
20∟0
0
15∟0
0
10∟0
0
5∟0
0
bh
V
•
150∟-120
0
20∟120
0
15∟-120
0
10∟120
0
5∟-120
0
ch
V
•
167,03∟128,95
0
20∟-120
0
15∟120
0
10∟-120
0
5∟120
0
HARMÔNICA VU%=15 %
1 5 7 11 13
ah
V
•
180∟0
0
20∟0
0
15∟0
0
10∟0
0
5∟0
0
bh
V
•
140∟-120
0
20∟120
0
15∟-120
0
10∟120
0
5∟-120
0
ch
V
•
163,71∟132,22
0
20∟-120
0
15∟120
0
10∟-120
0
5∟120
0
79
Tabela 4.13 – Parâmetros de potência para a MIT operando com harmônicas e
desequilíbrio (THD
V
=15%).
%V
U
~
S
(VA)
P
(W)
1
Q
(VAr)
e
S
(VA)
1e
S
(VA)
+
1
S
(VA)
+
1
P
(W)
+
1
Q
(VAr)
0 2983,8 2341 1905 3155,07 3005 3005 2324 1905,05
5 2914,4 2392 1719 3365,45 3226,08 2941,4 2344 1776,94
10 2880,8 2538 1363 3966,47 3837,51 2906,3 2396 1644,92
15 2925 2695 1191 4555,09 4428,14 3257,8 2851 1575,99
Tabela 4.14 – Parâmetros de qualidade da MIT operando com harmônicas e
desequilíbrio (THD
V
=15%).
%V
U
F
P
e
FP
+
1
FP
m
P
(W)
cobre
P
(W)
eH
S
(VA)
eN
S
(VA)
1U
S
(VA)
η
0 0,78 0,74 0,77 2149 192 126,91 1134,21 0 0,92
5 0,82 0,71 0,80 2140 252 126,91 1145,47 1325 0,89
10 0,88 0,64 0,82 2125 413 126,9 1215,5 2505,9 0,84
15 0,92 0,59 0,88 2117 578 126,95 1298,62 2999,4 0,79
80
Tabela 4.15: Valores fixados para as fontes de tensão para THD
V
=20%:
HARMÔNICA VU%=0 %
1 5 7 11 13
ah
V
•
180∟0
0
25∟0
0
20∟0
0
15∟0
0
10∟0
0
bh
V
•
180∟-120
0
25∟120
0
20∟-120
0
15∟120
0
10∟-120
0
ch
V
•
180∟120
0
25∟-120
0
20∟120
0
15∟-120
0
10∟120
0
HARMÔNICA VU%=5 %
1 5 7 11 13
ah
V
•
180∟0
0
25∟0
0
20∟0
0
15∟0
0
10∟0
0
bh
V
•
180∟-120
0
25∟120
0
20∟-120
0
15∟120
0
10∟-120
0
ch
V
•
173∟124,31
0
25∟-120
0
20∟120
0
15∟-120
0
10∟120
0
HARMÔNICA VU%=10 %
1 5 7 11 13
ah
V
•
180∟0
0
25∟0
0
20∟0
0
15∟0
0
10∟0
0
bh
V
•
150∟-120
0
25∟120
0
20∟-120
0
15∟120
0
10∟-120
0
ch
V
•
167,03∟128,95
0
25∟-120
0
20∟120
0
15∟-120
0
10∟120
0
HARMÔNICA VU%=15 %
1 5 7 11 13
ah
V
•
180∟0
0
25∟0
0
20∟0
0
15∟0
0
10∟0
0
bh
V
•
140∟-120
0
25∟120
0
20∟-120
0
15∟120
0
10∟-120
0
ch
V
•
163,71∟132,22
0
25∟-120
0
20∟120
0
15∟-120
0
10∟120
0
81
Tabela 4.16 – Parâmetros de potência para a MIT operando com harmônicas e
desequilíbrio (THD
V
=20%).
%V
U
~
S
(VA)
P
(W)
1
Q
(VAr)
e
S
(VA)
1e
S
(VA)
+
1
S
(VA)
+
1
P
(W)
+
1
Q
(VAr)
0 2977,6 2352 1905,00 3257,41 3005 3005 2324 1905,05
5 2909,3 2403 1718,94 3470,65 3234 2941,4 2344 1776,94
10 2879,7 2550 1363,26 4098,94 3877,5 2918,5 2397 1664,94
15 2925,2 2706 1190,94 4647,57 4428,19 3257,6 2851 1575,99
Tabela 4.17 – Parâmetros de qualidade da MIT operando com harmônicas e
desequilíbrio (THD
V
=20%).
%V
U
F
P
e
FP
+
1
FP
m
P
(W)
cobre
P
(W)
eH
S
(VA)
eN
S
(VA)
1U
S
(VA)
η
0 0,79 0,72 0,77 2149 203 219,19 1479,22 0 0,91
5 0,83 0,69 0,80 2140 263 219,27 1499,23 1344,1 0,89
10 0,89 0,62 0,82 2125 425 219,27 1602,62 2552,9 0,83
15 0,93 0,58 0,88 2117 589 219,27 1707,14 2999,4 0,78
82
4.6 – Discussão dos resultados.
Analisando os resultados obtidos com a aplicação das grandezas de
Buchholz-Goodhue, observa-se que existe uma coerência entre os parâmetros de
qualidade, o aproveitamento da linha está em concordância com a relação de
perdas, aumentando o desequilíbrio ou aumentando as harmônicas diminui-se o
fator de potência. A Potência Complexa Instantânea, assim como a teoria
convencional, não relaciona as perdas da linha, os resultados acabam sendo
“mascarados” pelo aumento da potência exigida para que seja desenvolvido o
mesmo torque no eixo. Na Tabela 4.18, nota-se o aumento do Fator de Potência –
quando considerado a módulo do valor médio da Potência Complexa Instantânea –
com o aumento tanto da distorção quanto do desequilíbrio.
TABELA 4.18 – Fator de Potência (através da Potência Complexa)
VU% THD
V
(%)
0 5 10 15
0 0,77 0,77 0,87 0,91
5 0,78 0,81 0,87 0,92
10 0,78 0,81 0,88 0,92
15 0,79 0,83 0,88 0,92
20 0,79 0,83 0,89 0,92
Quando aplicado a Potência de Buchholz-Goodhue, Tabela 4.19, são obtidos
resultados mais coerentes. À medida que são aumentadas as distorções ou os
desequilíbrios ocorre a diminuição do fator de potência:
83
TABELA 4.19 – Fator de Potência (através da Potência de Buchholz-Goodhue).
VU% THD
V
(%)
0 5 10 15
0 0,77 0,74 0,65 0,60
5 0,77 0,73 0,65 0,60
10 0,76 0,72 0,65 0,60
15 0,74 0,71 0,64 0,59
20 0,72 0,69 0,62 0,58
No entanto, o uso dos VEI´s que é a base da Teoria da Potência Complexa
Instantânea, facilita a determinação das grandezas d Buchholz-Goodhue, tanto na
modelagem, que passa a contar com variáveis ortogonais, reduzindo
consideravelmente o tempo de simulação (PONTES; FERNANDES NETO;
MENEZES, 2004).
84
5 – Conclusão
Foram apresentados neste estudo parâmetros relativos às recomendações da
IEEE 1459-2000, derivadas das grandezas de Buchholz-Goodhue. Pela análise do
comportamento da MIT sob variadas condições de desequilíbrio e assimetria,
encontrou-se uma diferenciação entre os fatores de potência, obtidos pela potência
aparente complexa e pela potência aparente de Buccholz-Goodhue. A escolha da
potência aparente complexa dada pela Teoria da Potência Complexa Instantânea foi
feita, baseando-se no princípio de que os VEI´s incorporam os efeitos das 3 fases,
ao contrário da teoria convencional que considera o circuito trifásico como 3 circuitos
monofásicos (WATANABE ; AREDES, 1998), essa idéia também é a base da
potência aparente de Buchholz-Goodhue.
Ao contrário do esperado não foi possível atingir valores próximos entre as
duas potências, uma vez que a potência de Buchholz-Goodhue possui intrínseca ao
seu cálculo perdas relacionadas às linhas e estas são mais evidenciadas na
presença de desequilíbrio e harmônicas (S
U1
e S
eN
). Comparando os efeitos
causados entre a assimetria e o desequilíbrio, é notável que a variação do
rendimento é maior para um mesmo THD
V
(%) do que para um mesmo índice VU(%).
Na Tabela 5.1 é apresentado o rendimento da MIT em relação às condições
de desequilíbrio e assimetria, sendo que o cálculo do rendimento é feito da seguinte
forma:
P
P
m
=
η
85
TABELA 5.1 – Rendimento da MIT para as situações de desequilíbrio e assimetria.
VU% THDV(%)
0 5 10 15
0
0,92 0,90 0,84 0,79
5
0,92 0,9 0,84 0,79
10
0,92 0,89 0,84 0,79
15
0,92 0,89 0,84 0,79
20
0,91 0,89 0,83 0,78
Pelas grandezas de Buchholz-Goodhue, a potência aparente não é composta
apenas por uma parcela ativa e outra reativa – esta se refere apenas aos elementos
armazenadores de energia (WATANABE; AREDES, 1998), mas sim dividida entre
uma parcela responsável pelo trabalho e a energia armazenada fundamental (S
e1
) e
outra que corresponderiam às perdas causadas pelas harmônicas e eventuais
desequilíbrios (S
eN
). Dentro da potência aparente de Buchholz-Goodhue
fundamental, existe uma parcela que corresponde ao desequilíbrio (S
U1
), que é
também indesejável. Tem-se como parcela que efetua o trabalho propriamente dito,
a grandeza
+
1
S , que pode ser tratada como tendo uma parcela real (ativa) e outra
imaginária (reativa).
86
6 - Referências
BALDIN, M. C. Aplicação da teoria da potência complexa instantânea na
compensação de potência reativa em sistemas elétricos de potência usando as
definições de Buchholz-Goodhue. 2003. 72f. Dissertação (Mestrado em
Engenharia Elétrica) – Faculdade de Engenharia, Universidade Estadual Paulista,
Ilha Solteira, 2003.
BARBI, I. Teoria fundamental do motor de indução. Florianópolis: UFSC, 1985,
237 p.
MORAES, J.P. Aplicação da teoria da potência complexa instantânea na análise
e estimação de parâmetros da máquina síncrona em condições transitórias.
2005. 113f. Dissertação (Mestrado) – Faculdade De Engenharia, Universidade
Estadual Paulista, Ilha Solteira, 2005.
DEL TORO, V. Fundamentos de máquinas elétricas. Rio de Janeiro: LTC, 1994,
550 p.
EMANUEL, A.E. Apparent power definitions for three-phase systems. IEEE Trans.
on Power Delivery, New York, v.14, n. 3, p. 767-772, 1999.
87
EMANUEL, A.E. The Buchholz-Goodhue apparent power definition: the practical
approach for nonsinusoidal and unbalanced systems. IEEE Trans. on Power
Delivery, New York, v.13, n.2, p. 344-350, 1998.
IEEE WORKING GROUP ON NONSINUSOIDAL SITUATIONS. Trial-Use for
Standard Definitions for the Measurement of Electric Power Quantities Under
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90
APÊNDICE A: Modelo dinâmico da máquina assíncrona
trifásica, também conhecida como máquina de indução.
O bloco da Máquina Assíncrono opera tanto como gerador ou como motor. O
modo de operação é ditado pelo sinal do torque mecânico:
• Se Tm for positivo, a máquina age como um motor.
• Se Tm for negativo, a máquina age como um gerador.
As variáveis elétricas são referidas aos parâmetros do estator. Isto é indicado
pelos sinais principais nas equações de máquina dadas abaixo. Todas as grandezas
do estator e do rotor estão no plano de referência de dois-eixos arbitrários (plano d-
q). Os sub-índices usados estão definidos como segue:
Simbologia Definição
d
Grandeza relativa ao eixo d
q
Grandeza relativa ao eixo q
r
Grandeza relativa ao rotor
s
Grandeza relativa ao estator
l
Indutância de dispersão
m
Indutância de magnetização
Sistema elétrico
s
R
+
−
ds
ωϕ
+
−
'
)(
drr
ϕωω
−
'
r
R
'
lr
L
ls
L
m
L
qs
V
'
qr
V
qs
i
'
qr
i
+
−
+
−
s
R
+
−
qs
ωϕ
+
−
'
)(
drr
ϕωω
−
'
r
R
'
lr
L
ls
L
m
L
ds
V
'
dr
V
ds
i
'
dr
i
+
−
+
−
ds
qs
qssqs
d
t
d
iRV
ωϕ
ϕ
++=
qs
ds
qssds
d
t
d
iRV
ωϕ
ϕ
−+=
91
'
'
'''
)(
drr
qr
qrrqr
d
t
d
iRV
ϕωω
ϕ
−++=
'
'
'''
)(
qrr
dr
drrdr
d
t
d
iRV
ϕωω
ϕ
−−+=
)(
2
3
dsqsqsdse
iipT
ϕϕ
−=
Onde
'
qrmqssqs
iLiL +=
ϕ
'
drmdssds
iLiL +=
ϕ
qsmqrrqr
iLiL +=
'''
ϕ
dsmdrrdr
iLiL +=
'''
ϕ
mlss
LLL +=
mlrr
LLL +=
''
Sistema Mecânico
)(
2
1
mme
m
TFT
H
d
t
d
−−=
ω
ω
m
m
d
t
d
ω
θ
=
O bloco da máquina assíncrona tem os seguintes parâmetros (todas as
grandezas são referidas ao estator):
Parâmetro Definição
ss
LR ,
Resistência do estator e indutância de dispersão
''
,
lrr
LR
Resistência do rotor e indutância de dispersão
m
L
Indutância magnetização
'
,
rs
LL
Indutância total do estator e do rotor
qsqs
iV ,
Tensão e corrente do estator no eixo q
''
,
qrqr
iV
Tensão e corrente do rotor no eixo q
qsds
iV ,
Tensão e corrente do estator no eixo d
92
''
,
drdr
iV
Tensão e corrente do rotor no eixo d
dsqs
ϕ
ϕ
,
Fluxo no estator nos eixos q e d
''
,
drqr
ϕϕ
Fluxo no rotor nos eixos q e d
m
ω
Velocidade angular do rotor
m
θ
Posição angular do rotor
p
Número de pares de pólo
r
ω
Velocidade angular elétrico )( p
m
×
ω
r
θ
Posição angular elétrico do rotor )( p
m
×
θ
e
T
Torque eletromagnético
m
T
Torque da carga
J
Momento de inércia
H
Constante de inércia combinado do rotor e carga
F
Coeficiente de atrito viscoso
93
APÊNDICE B: Esquemático do programa simulado.
94
Bloco para o cálculo da amplitude de seqüência positiva e negativa tanto da
corrente quanto da tensão.
95
APÊNDICE C: Cálculo da Potência Aparente de Buchholz-
Goodhue (sem condutor neutro) – uma outra abordagem.
As grandezas de Buchholz-Goodhue podem de ser alcançadas através de
outras abordagens.
Considerando inicialmente os valores determinados convencionalmente.
A corrente fica:
()
3
222
cba
e
III
I
++
=
A tensão fica:
()
3
222
cabcab
e
VVV
V
++
=
De onde se calcula a potência aparente:
eee
IVS 3=
Considerando os valores determinados pelos VEI´s.
A corrente fica:
2
2
~
I
I
e
=
96
A tensão fica:
2
2
~
V
V
e
=
Finalmente a potência aparente fica:
2
~
2
~
2
~
2
~
2
3
22
33 IV
IV
IVS
eee
===
97
APÊNDICE D: Distorção Harmônica Total de Corrente
(THD
I
) e de Tensão (THD
V
).
Uma maneira de se quantificar e analisar os efeitos das harmônicas se faz
pelo uso da THD (Total Harmonic Distortion), que é a relação entre os valores
eficazes dos módulos das componentes harmônicas e a sua fundamental. Essa
grandeza, no entanto, não permite uma compreensão particular dos efeitos de cada
componente, mas possibilita visualizar o seu efeito geral e, também viabiliza a
determinação de outras grandezas que serão mostradas neste mesmo capítulo.
A THD
I
é definida por:
1
2
2
100
I
I
THD
n
n
n
I
∑
∞=
=
⋅=
(3.17)
De modo semelhante THD
V
fica:
1
2
2
100
V
V
THD
n
n
n
V
∑
∞=
=
⋅= (3.18)
Na Tabela 3.1 tem-se os valores recomendados pela IEEE Standard 519-
1992 quanto a THD de tensão, considerando como referência o ponto de
acoplamento comum (PAC) – que é o ponto em que estão ligadas as diversas
cargas do circuito.
98
Tabela 3.1 – Limites da distorção harmônica para a tensão.
Tensão no PAC Distorção Individual de
Tensão (%)
Distorção Harmônica Total
(THD%)
< 69 kV 3,0 5,0
≥69 kV e ≤161 kV 1,5 2,5
≥161 kV 1,0 1,5
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