( PDF ) Abordagem matemática de roll waves em escoamentos hiperconcentrados com superfície livre

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Universidade Estadual Paulista

FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA

EPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

ROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

ABORDAGEM MATEMÁTICA DE ROLL WAVES EM

ESCOAMENTOS HIPERCONCENTRADOS COM

SUPERFICIE LIVRE

Fabiana de Oliveira Ferreira

Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia de

Ilha Solteira da Universidade Estadual Paulista “Júlio de

Mesquita Filho”, como parte dos requisitos exigidos para a

obtenção do título de

Orientador: Prof. Dr. Geraldo de Freitas Maciel

Ilha Solteira, novembro de 2007.

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Dedico este trabalho aos meus pais Silvio e Maria

Luzia e ao meu irmão Silvio Cesar, estímulos que

me impulsionaram a buscar meus ideais.

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AGRADECIMENTOS

Primeiramente a Deus, por ter me concedido força e perseverança para concluir este

trabalho.

Aos meus pais e meu irmão, pelos ensinamentos, pelo carinho e confiança.

Ao meu orientador professor Geraldo de Freitas Maciel, pelo aprendizado, pela

confiança, paciência e apoio constante no decorrer do trabalho, mostrando-me caminhos ao

invés de meras soluções.

À professora Mônica Pinto Barbosa, pela confiança e pela oportunidade de fazer o

mestrado, me fazendo acreditar que poderia ser uma mestre.

Ao meu namorado Marcel, pela compreensão nos momentos de ausência e pelo

carinho e incentivo nos momentos de dificuldades.

À amiga Adriana, pelo companheirismo nos momentos felizes e também nos

momentos mais difíceis.

A todos os amigos por grandes momentos juntos, que de forma direta ou indireta

contribuíram muito para a conclusão deste trabalho.

À banca examinadora, por aceitar contribuir na discussão e certamente no

enriquecimento deste trabalho.

Ao programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, professores e funcionários.

Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que

estudam seriamente esta ciência acabam tomados de uma

espécie de paixão pela mesma. Em verdade o que

proporciona o máximo de prazer não é o conhecimento e

sim a aprendizagem, não é a posse mas a aquisição, não é

a presença mas o ato de atingir a meta.

Carl Friedrich Gauss

RESUMO

Os escoamentos em superfície livre que ocorrem em canais inclinados, tanto em fluido

Newtoniano quanto em fluido não-Newtoniano (hiperconcentrado), podem desenvolver

instabilidades, tais como ondas em forma de ressalto hidráulico, com comprimentos bem

definidos. Tais perturbações são denominadas Roll Waves. Essas ondas são comuns em canais

artificiais, em lavas torrenciais e deslizamento de avalanchas. Neste trabalho, no plano

teórico, é determinado um modelo matemático geral, com base nas equações de Navier-

Stokes integradas na vertical, em cujo tensor de tensões é introduzido a reologia de Herschel-

Bulkley. A velocidade média do escoamento é determinada levando-se em consideração que o

escoamento apresenta um perfil de velocidade parabólico na região cisalhada (próximo ao

fundo do canal) acoplado a um perfil linear na região não cisalhada (condição de plug),

característico dos escoamentos de lamas e detritos. A partir do sistema de equações

(conservação da massa e equação da quantidade de movimento) em variáveis adimensionais,

uma análise de estabilidade linear é realizada, colocando em evidência as condições de

formação dessas instabilidades, tanto em fluido hiperconcentrado como em fluido

Newtoniano. Com as condições de formação de instabilidades estabelecidas, uma teoria

analítica de Roll Waves permanente é imposta e um modelo matemático para geração de tais

instabilidades é determinado. No plano numérico, utilizando a linguagem de programação

Python, a validade do modelo é verificada, considerando que essas ondas são ajustadas por

choques devido às singularidades existentes no modelo. Com a determinação das condições

de choque e da velocidade de propagação da onda em um ponto crítico; pode-se observar a

formação de Roll Waves em fluidos não Newtonianos com reologia de Herschel-Bulkley,

Bingham, Power Law, como também em fluido Newtoniano.

Palavras-chave: Roll Waves, Herschel-Bulkley, fluido hiperconcentrado, ondas de choque.

ABSTRACT

The flows in free surface that occur in sloping canals, such as Newtonian fluid as in non-

Newtonian fluid (hyperconcentrated), they can develop instabilities, such as long waves in

form of hydraulical jumps, with well defined lengths; these instabilities are called Roll Waves,

more common in artificial canals, torrential spillways of dams, lava and avalanche landslide.

This work, in the theoretical plan, a general mathematical model is determined, on the basis of

the integrated Navier-Stokes equation in the vertical, of tensor tensions the rheology of

Herschel-Bulkley is introduced. The average velocity of the flows is determined taking itself

in consideration that the flows presents a parabolic profile of speed in the shear region (near

of the floor of canal) connected to a linear profile in the region not shear (condition of plug),

categorized as flows of mudflows and debris flows. From the system of equations

(conservation of the mass and equation of the momentum) in adimensional variables, an

analysis of linear stability is carried through, placing the conditions of formation of these

instabilities, as much in hyperconcentrated fluid as in Newtonian fluid. With the conditions of

formation of instabilities established, a analytical theory of permanent Roll Waves is imployed

and a mathematical model for geration of such stabilities it’s determined. In the numerical

plan, using the computational consol Python, the validity of model is checked, considering of

this waves are adjusted by shocks devided by the singularities existents in the model. With the

determination of conditions of shock and the velocity of propagation of wave in a critical

point; we can observe the formation of Roll Waves such in fluids non-Newtonians (Herschel-

Bulkley, Bingham, Power law) as Newtonian fluids.

Keywords: Roll Waves, Herschel-Bulkley, hyperconcentrated fluid, shock waves.

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1.1: VISUALIZAÇÃO DE ROLL WAVES............................................................................16

FIGURA 1.2: VISUALIZAÇÃO DO FENÔMENO ROLL WAVES NA RAMPA DE LAVAS TORRENCIAIS DA

UNESP-ILHA SOLTEIRA....................................................................................................16

IGURA 2.1: EXEMPLOS DE FLUIDO NEWTONIANO E FLUIDO NÃO NEWTONIANO.......................25

IGURA 2.2: REOGRAMA REPRESENTANDO DIFERENTES TIPOS DE MODELOS REOLÓGICOS. .......28

FIGURA 2.3: GEOMETRIA DO PROBLEMA....................................................................................29

FIGURA 3.1 REPRESENTAÇÃO DO PERFIL DE VELOCIDADE PARA UM FLUIDO DE HERSCHEL-

BULKLEY...........................................................................................................................44

FIGURA 3.2: PERFIL DE VELOCIDADES PARA UM FLUIDO TIPO HERSCHEL-BULKLEY .................45

FIGURA 4.1: TAXA DE CRESCIMENTO DAS PERTURBAÇÕES PARA UM FLUIDO DO TIPO HERSCHEL-

BULKLEY............................................................................................................................63

IGURA 4.2:TAXA DE CRESCIMENTO DAS PERTURBAÇÕES PARA UM FLUIDO DO TIPO POWER LAW

..........................................................................................................................................64

IGURA 4.3:TAXA DE CRESCIMENTO DAS PERTURBAÇÕES PARA UM FLUIDO BINGHAMIANO E

NEWTONIANO....................................................................................................................65

FIGURA 4.4 VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO DAS PERTURBAÇÕES PARA FLUIDO DE HERSCHEL-

BULKLEY...........................................................................................................................67

IGURA 4.5: VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO DAS PERTURBAÇÕES PARA UM FLUIDO DO TIPO

POWER LAW. ......................................................................................................................67

FIGURA 4.6: VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO DAS PERTURBAÇÕES PARA FLUIDO BINGHAMIANO E

NEWTONIANO....................................................................................................................68

FIGURA 5.1 PERFIL DE UMA ROLL WAVE....................................................................................74

FIGURA 6.1: PERFIL DAS ROLL WAVES EM FLUIDO DE HERSCHEL-BULKLEY E SEUS RESPECTIVOS

PLANOS DE FASES

, VARIANDO O VALOR DE

. ..................................................................80

FIGURA 6.2 PERFIL DAS ROLL WAVES EM FLUIDO DE HERSCHEL-BULKLEY, VARIANDO O VALOR

.................................................................................................................................81

FIGURA 6.3 PERFIL DAS ROLL WAVES PARA FLUIDO DE HERSCHEL-BULKLEY, VARIANDO O

VALOR DE

....................................................................................................................82

IGURA 6.4 PERFIL DAS ROLL WAVES EM FLUIDO DE HERSCHEL-BULKLEY VARIANDO O VALOR

n PARA

...............................................................................................................83

FIGURA 6.5: PERFIL DAS ROLL WAVES VARIANDO O VALOR DE n PARA

...........................84

LISTA DE SÍMBOLOS

SÍMBOLOS GREGOS

coeficiente de distribuição de velocidade

constante em função do número de Froude

constante em função do número de Froude em um ponto critico

comprimento de onda no sistema móvel de coordenadas

ângulo de inclinação do canal

comprimento da Roll Wave

viscosidade dinâmica ou absoluta de fluido newtoniano

índice de escoamento para fluido do tipo Power Law

viscosidade plástica (fluido de Bingham)

massa especifica

tensão de cisalhamento

tensão de cisalhamento adimensional

tensão critica ou rigidez inicial

tensão na parede

tensão normal atuante na direção

tensão normal atuante na direção y

tensão normal atuante na direção z

tensão cisalhante atuante no eixo

na direção y

tensão cisalhante atuante no eixo y na direção

tensão cisalhante atuante no eixo

na direção z

tensão cisalhante atuante no eixo z na direção

ângulo de atrito interno

freqüência das perturbações

SÍMBOLOS ARÁBICOS

C coeficiente de Chézy

g aceleração da gravidade

n índice de escoamento do fluido

U velocidade de propagação da Roll Wave

número de Froude

C coesão do fluido (em função da tensão crítica)

U componente de velocidade em notação indicial

eixos do sistema de coordenadas em notação indicial

F forças de corpo

Τ tensor de tensões

t escala de tempo

u componente de velocidade na direção

v componente de velocidade na direção y

w componente de velocidade na direção z

abcissa no sistema de coordenadas cartesianas

y ordenada no sistema de coordenadas cartesianas

z cota no sistema de coordenadas cartesianas

K índice de consistência do fluido de Herschel-Bulkley

h cota no fundo do canal

h cota na superfície livre do escoamento

Ox escala de comprimento na direção

Oy escala de comprimento na direção y

Oz escala de comprimento na direção

comprimento característico

abcissa adimensional no sistema de coordenadas cartesianas

y ordenada adimensional no sistema de coordenadas cartesianas

z cota adimensional no sistema de coordenadas cartesianas

u componente de velocidade adimensional na direção

v componente de velocidade adimensional na direção

w componente de velocidade adimensional na direção z

P pressão

P pressão na forma adimensional

velocidade média do escoamento

h profundidade total do escoamento

z profundidade do escoamento na região cisalhada

l comprimento da onda em regime uniforme

h profundidade do escoamento em regime uniforme

u componente da velocidade na direção para escoamento em regime uniforme

u velocidade média do escoamento em regime uniforme

H valor infinitesimal para altura quando o escoamento é perturbado

valor infinitesimal para a velocidade do escoamento quando perturbado

()

taxa média de crescimento das instabilidades

()

ℜ

velocidade de propagação da onda

abcissa no sistema móvel de coordenadas

c constante em função da velocidade de propagação da Roll Wave

profundidade do escoamento antes do choque

h profundidade de escoamento depois do choque

h profundidade critica do escoamento

SUMÁRIO

PREÂMBULO........................................................................................................................14

1. INTRODUÇÃO ..............................................................................................................15

1.1 R

EVISÃO BIBLIOGRÁFICA..........................................................................................17

1.2 O

BJETIVOS.................................................................................................................22

2. CONSIDERAÇÕES INICIAIS.....................................................................................23

2.1 DEFINIÇÕES DAS PROPRIEDADES FÍSICAS DOS FLUIDOS ............................................23

2.2 MODELOS REOLÓGICOS.............................................................................................25

2.3 ANÁLISE FÍSICA DO PROBLEMA.................................................................................29

2.4 ESCOAMENTO SUPERCRÍTICO, CRÍTICO E SUBCRÍTICO ..............................................30

3. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA...............................................................................32

3.1 T

RATAMENTO MATEMÁTICO DAS EQUAÇÕES GOVERNANTES...................................33

3.2 T

RATAMENTO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO .........................................................35

3.3 DETERMINAÇÃO DA PRESSÃO HIDROSTÁTICA...........................................................37

3.4 MODELO MATEMÁTICO.............................................................................................41

3.5 PERFIL DE VELOCIDADES...........................................................................................43

3.5.1 Velocidade Média em Relação à Profundidade do Escoamento. ......................46

3.6 D

ETERMINAÇÃO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO (LEI DE ATRITO)...........................46

3.7 C

OEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE......................................................49

3.8 ADIMENSIONALIZAÇÃO DAS VARIÁVEIS....................................................................51

4. ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR..................................................................57

4.1 LINEARIZAÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES...............................................................57

4.2 CONDIÇÕES PARA FORMAÇÃO DE INSTABILIDADES...................................................61

4.3 TAXA DE CRESCIMENTO DAS INSTABILIDADES..........................................................63

4.4 VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO DAS INSTABILIDADES ...............................................66

5. EQUAÇÃO DAS ROLL WAVES ..................................................................................70

5.1 ONDAS DE CHOQUE E DESCONTINUIDADES ...............................................................73

5.2 P

ERFIL DE UMA ROLL WAVE.......................................................................................73

5.2.1 Condições de Choque

..........................................................................................75

5.3 VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO DA ROLL WAVE.........................................................76

6. RESULTADOS NUMÉRICOS.....................................................................................78

6.1 A LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO PYTHON ..............................................................78

6.2 ROLL WAVES PARA A PROPOSTA REOLÓGICA DE HERSCHEL-BULKLEY......................79

7. DISCUSSÕES E PERSPECTIVAS..............................................................................86

REFERÊNCIAS .....................................................................................................................89

APÊNDICE A .........................................................................................................................95

APÊNDICE B........................................................................................................................100

APÊNDICE C .......................................................................................................................104

APÊNDICE D .......................................................................................................................106

APÊNDICE E........................................................................................................................109

APÊNDICE F........................................................................................................................114

PREÂMBULO

Este trabalho é composto de sete capítulos. O capítulo 1 apresenta uma motivação abordando

os principais aspectos pelo qual a pesquisa foi desenvolvida, apresentando algumas

referências bibliográficas marcantes no contexto de Roll Waves e as metas principais dessa

pesquisa. O capítulo 2 inicia-se com alguns conceitos sobre as propriedades físicas dos fluidos

e apresenta uma breve revisão dos modelos reológicos que serão citados no decorrer do

trabalho, além disso, mostra uma visão geral dos principais aspectos físicos pertinentes ao

problema, considerando um escoamento de águas rasas de um fluido hiperconcentrado, em

um canal inclinado. O capítulo 3 apresenta a formulação matemática do problema estudado,

para o qual, são apresentadas as equações governantes, a definição do modelo reológico a ser

utilizado, as considerações iniciais empregadas na solução do problema e o desenvolvimento

matemático para a obtenção do sistema que rege o escoamento tratado. No capítulo 4 é feita

uma análise de estabilidade linear para o escoamento uniforme, mostrando a taxa de

crescimento das instabilidades e a velocidade de propagação em função do número de ondas,

evidenciando as condições necessárias para a formação de instabilidades no escoamento. O

capítulo 5 determina o modelo matemático para geração de Roll Waves e as relações

constitutivas do modelo. No capítulo 6, encontram-se os resultados numéricos que

demonstram a potencialidade e a aplicabilidade do modelo matemático apresentado. E no

capítulo 7 são apresentadas as discussões, com embasamento teórico, dos resultados

encontrados e sugestões para trabalhos futuros.

CAPÍTULO 1

1. INTRODUÇÃO

Os escoamentos em superfícies livres, também referenciados como escoamentos em

canais, têm um grande número de aplicações práticas na engenharia. No entanto, os

escoamentos que se processam em canais com declividades podem desenvolver instabilidades

em forma de ressalto hidráulico ou bore waves. Essas instabilidades podem aparecer tanto em

fluidos Newtonianos (água limpa), quanto em fluidos não Newtonianos (fluidos

hiperconcentrados). Tais perturbações com comprimento de onda definido são denominadas

Roll Waves.

Não é raro encontrá-las em rios íngremes, em canais artificiais, vertedouros de

barragens, deslizamentos de avalanchas ou em corridas de lamas (mudflows) (Engelund e

Wan, 1984) e detritos (debris flows) (Forterre e Pouliquen, 2003). O fenômeno pode ser visto

em oceanos (Swaters, 2003) e lagos (Fer

et al., 2003), além disso, essas ondas são ocorrências

comuns em águas rasas e películas de fluido laminar que escoam sobre calhas e ruas em dias

chuvosos.

Essas perturbações aparecem também em várias outras situações físicas, tais como em

corrente de gravidade em laboratórios (Alavian, 1986 e Cenedese

et al., 2004), em

escoamentos multifásicos (Woods et al., 2000), em escoamentos de tubos dobráveis e canais

elásticos, com aplicações ao ar e fluxos de sangue em fisiologia (Pedley, 1980 e Brook, 1999)

e em modelo de tremor vulcânico (Julian, 1994).

Através de estudos realizados em laboratório pelo grupo de pesquisa da Unesp-Ilha

Solteira, observou-se a formação de tais instabilidades em fluido hiperconcentrado

(água+argila, água+argila+areia fina) escoando em um canal inclinado.

A formação dessas ondas pode acarretar em variações significativas na profundidade

do escoamento, vencendo algumas vezes, a borda livre de canais e provocando

“transbordamentos”. Dessa forma, visando a aplicação deste estudo em problemas de

engenharia, um modelo matemático capaz de reproduzir Roll Waves contribuiria para um

maior controle do fenômeno em questão, por exemplo, um eventual redimensionamento de

bordas livres de um canal. A Figura 1.1 mostra o fenômeno das Roll Waves na natureza no

escoamento de fluido hiperconcentrado e de um fluido Newtoniano. A Figura 1.2 mostra o

desenvolvimento das Roll Waves, geradas em lama na rampa de lavas torrenciais da UNESP -

Ilha Solteira.

a) Escoamento de fluido hiperconcentrado. b) Escoamento de fluido Newtoniano

Figura 1.1: Visualização de Roll Waves

Figura 1.2: Visualização do fenômeno Roll Waves na rampa de lavas torrenciais da UNESP-

Ilha Solteira

1.1 Revisão Bibliográfica

Quanto à geração de Roll Waves em escoamentos de fluido Newtoniano e não

Newtoniano, estudos anteriores foram realizados na busca de explicar a ocorrência do

fenômeno. Podendo aparecer tanto em escoamentos laminares quanto em escoamentos

turbulentos.

Nos escoamentos laminares, onde são preponderantes a ação das forças viscosas do

fluido, em relação à inércia, amortecendo a tendência à turbulência, as Roll Waves são

formadas com baixos números de Reynolds, o que geralmente ocorre em escoamentos de

fluidos hiperconcentrados, apresentam amplitude mais elevada e baixa velocidade de

propagação, conforme mostrado por (Benjamin, 1957), (Chen, 1992), (Ng e Mei, 1994), (Liu

e Mei, 1994), (Maciel, 2001) entre outros.

Já para os escoamentos turbulentos conforme estudado por (Jeffreys, 1925), (Dressler,

1949), (Brock, 1969), (Kranenburg, 1992), (Zanuttigh e Lamberti, 2002) e outros; o fenômeno

ocorre para números de Reynolds elevados e as ondas apresentam uma velocidade de

propagação maior quando comparadas com as que aparecem nos escoamentos laminares.

As observações do fenômeno Roll Waves, de forma detalhada foram apresentadas

primeiramente por (Cornish, 1910), embora existam relatos de que essas ondas possam ter

sido vistas mais cedo, pois aparecem em desenhos artísticos antigos (Montes, 1998). A partir

daí, cientistas investem no estudo do fenômeno e resultados importantes são determinados

para a geração de

Roll Waves.

Jeffreys (1925) foi o primeiro a estabelecer um critério sobre a formação de

Roll

Waves

em escoamentos turbulentos e deduziu a partir de uma análise de estabilidade linear,

que o escoamento uniforme tornava-se instável, se o número de Froude fosse superior a 2.

Thomas (1939) tenta descrever analiticamente

Roll Waves de grande amplitude e

considera um trem de ondas com velocidade constante compondo a superfície da água.

Dressler (1949) tentou delinear o perfil da superfície livre e verificou a formação de

Roll Waves, descrevendo o fenômeno como sendo uma série de ondas de comprimentos bem

definidos, separadas por descontinuidades da superfície livre. A análise realizada por Dressler

(1949) é baseada na formulação de águas rasas sem os termos de difusão, combinada à

equação do ressalto hidráulico. O 2º membro da equação da quantidade de movimento

compreende o efeito da gravidade adicionado ao termo que modela a turbulência (C :

coeficiente de Chézy).

Através da técnica da adimensionalização das variáveis, Dressler (1949) mostra que,

soluções regulares, periódicas e separadas por descontinuidades com picos na superfície livre

aparecem, quando

()

tan 4gC

> , (

: declividade do canal, C: coeficiente de Chézy). Essa

análise não permite, entretanto, determinar o comprimento dessas ondas.

Ishihara et al. (1954) estudaram Roll Waves em uma lâmina de fluido Newtoniano,

teórica e experimentalmente. Em suas análises, a profundidade média do escoamento é

calculada a partir das equações de águas rasas, assumindo um perfil parabólico para a

velocidade longitudinal. Também mediram as propriedades das ondas e verificaram que as

cristas eram bastante íngremes, mas não verticais.

Benjamin (1957) e Yih (1963), usando as equações de Navier-Stokes, para

escoamentos laminares e assumindo perturbações senoidais na superfície livre, determinam

que o número de Froude é maior que 0,5 para a formação dessas perturbações.

Montuori (1963) propondo uma relação do número de Froude com o comprimento do

canal (L), verifica que em canais com comprimento pequeno, não ocorre o aparecimento de

Roll Waves.

Brock (1969) observa Roll Waves em laboratório para um número de Reynolds de

aproximadamente

10 e número de Froude de 3.2.

Brock (1970), com base no trabalho de Dressler (1949), desenvolveu uma teoria para

roll waves permanente periódica, usando as equações de águas rasas e comparou com os

resultados experimentais obtidos em 1969.

Tamada e Tougou (1979) fizeram o estudo de Roll Waves para fluido newtoniano,

baseados nas equações de Navier-Stokes, os resultados mostram um trem de ondas se o

comprimento for menor do que um valor crítico, além disso, o perfil das ondas mostram-se

compatíveis com as observações experimentais.

Needham e Merkin (1983), introduzindo os efeitos viscosos, estenderam o estudo de

Dressler (1949) e verificaram que a inclusão deste termo não alterava a condição de

estabilidade do escoamento uniforme; e mais, quando o escoamento tornava-se instável, uma

família de soluções quase periódicas apareceriam, tendo como parâmetro de controle a

velocidade de perturbação.

Bakhvalov (1983) e Eglit (1984) verificaram a formação de Roll Waves em reologia

não newtoniana. Estudando avalanchas densas, efetuaram análise análoga à de Dressler

(1949), quando introduziram um termo dissipativo suplementar modelado por um atrito

sólido. A partir dessa análise chegaram a

(

)

4tantan Cg>−

φθ

, ( :

ângulo de atrito

interno), relação semelhante à de Dressler (1949), com uma mera modificação da declividade.

Needham (1984) e Merkin (1986) obtiveram informações sobre o comprimento das

perturbações, incluindo no equacionamento os termos da difusão, ainda que o termo difusivo

no equacionamento não estivesse corretamente adaptado ao grupo shallow water, isto sem

levar em conta a complexidade de aplicação direta de seus resultados a um problema de

engenharia.

Julien e Hartley (1986) obtiveram soluções similares a de Montuori (1963) ao

estudarem o processo de formação de roll waves em escoamentos de lama altamente viscosos

em canais íngremes.

Hwang e Chang (1987) usando a teoria da bifurcação verificaram a formação de Roll

Waves numericamente.

Hutter e Savage (1988) também investiram no estudo dos critérios de formação de

Roll Waves. A contribuição de Hutter e Savage (1988) reside no fato de tentar substituir o

atrito sólido pela coesão do fluido.

Kranenburg (1992), no plano numérico, utilizando-se do grupo shallow water

comprova a condição de existência já estabelecida por Dressler (1949); observando o fato que

para perturbações de diversos comprimentos de onda, a de maior comprimento prevaleceria

sobre a Roll Wave gerada.

Chen (1992) utilizando as equações de águas rasas e considerando um perfil de

velocidade do modelo reológico do tipo Power Law, obtém resultado similar ao encontrado

por Benjamin (1957) e Yih (1963).

Liu e Mei (1994) baseados nas equações de águas rasas estudaram analiticamente a

instabilidade linear de um escoamento uniforme para um fluido de Bingham e analisaram

numericamente a evolução de Roll Waves. Observaram que para um fluido quase Newtoniano

ocorre o aparecimento de perturbações periódicas com pequenas amplitudes, enquanto que,

para um fluido fortemente não Newtoniano aparecem ondas de grandes amplitudes.

Ng e Mei (1994) estudaram a formação de Roll Waves, a partir de uma proposta

reológica de fluido com comportamento pseudoplástico (Power Law) e sua análise de

estabilidade converge para o surgimento de ondas longas com grande amplitude quando

21<n ( n: índice de comportamento do escoamento).

Maciel et al. (1997) a partir do sistema shallow water invíscido, retomando o trabalho

clássico de Dressler, rededuz as condições de existência de Roll Waves e verifica o

surgimento de tais instabilidades quando o número de Froude é maior do que 2. Estendendo o

estudo, fez uma análise de estabilidade linear do sistema shallow water viscoso, apresentando

no segundo membro da equação de quantidade de movimento, os termos da gravidade, efeito

de parede tipo Chézy e os efeitos difusivos devido a viscosidade do fluido e verificou

soluções periódicas quando

2/31

< U (U : velocidade de propagação da Roll Wave).

Maciel (2001) estudando escoamentos de fluidos não Newtonianos, usando a proposta

reológica de Bingham, estabeleceu as condições de existência e estabilidade, apontando os

seguintes resultados:

22 2

Fr U

Fr Fr U

⎛⎞

−

⎜⎟

⎝⎠

⎜⎟

−+

⎜⎟

⎛⎞

⎜⎟

−

⎜⎟

⎝⎠

−+ +

⎜⎟

⎝⎠

(1.1)

ii)

()

32C

21 C

−

(1.2)

Sendo:

Fr : número de Froude

: coeficiente de distribuição da velocidade na vertical

C : coesão do fluido (parâmetro de Bingham)

U : velocidade de propagação da Roll Wave

No plano numérico, (Maciel, 2001) analisou a influência dos parâmetros determinados

para a geração de Roll Waves e observou que, aumentando o número de Froude, ocorre um

aumento na amplitude e uma diminuição no comprimento da Roll Wave; aumentando a

velocidade de propagação da Roll Wave, ocorre uma diminuição da amplitude. E quanto a

influência da coesão do fluido (

C ), foi observado que com o aumento da coesão, ocorre um

aumento na amplitude da onda, acarretando uma antecipação na formação das ondas geradas.

Madre (2001) utilizando as equações de águas rasas considera que o efeito topográfico

varia periodicamente e observa que o escoamento torna-se instável mesmo para um número

de Froude menor que 2.

Zanuttigh e Lamberti (2002) fizeram uma análise numérica baseados nas equações de

águas rasas, na qual o código numérico é aplicado para reproduzir experiências de Brock’s

sobre Roll Waves geradas em um canal retangular em laboratório e a solução numérica mostra

a evolução de Roll Waves, devido à instabilidade do escoamento uniforme.

Balmforth e Madre (2004) estudaram a dinâmica das Roll Waves em escoamentos

turbulentos e laminares, utilizando as equações de águas rasas com arrasto e viscosidade,

explorando o efeito do fundo topográfico, considerando que os cursos reais da água não são

completamente lisos e observou que para ambos os tipos de escoamentos a formação de

ressaltos hidráulicos podem desestabilizar o escoamento, quando se atinge o valor critico do

número de Froude.

Di Cristo e Vacca (2005) investigaram o processo de geração de Roll Waves para um

escoamento unidimensional do ponto de vista teórico a partir das equações das equações de

águas rasas. Considerando a velocidade média e a profundidade do escoamento, fizeram uma

análise de estabilidade linear e interpretaram a formação de Roll Waves em termos de

instabilidades do modelo unidimensional linearizado do escoamento. Observaram a evolução

de tais perturbações somente com o número de Froude e o comprimento adimensional do

canal, supostos geralmente em critérios hidráulicos de engenharia.

Pascal (2006) estudou as instabilidades de um escoamento para um fluido do tipo

Power Law sobre um plano inclinado, incluindo o efeito da permeabilidade. Através de uma

análise de estabilidade, observou numericamente a formação de Roll Waves, tanto para fluido

newtoniano quanto para fluido não newtoniano, determinando as principais características do

fenômeno, tais como: a altura, o comprimento e a velocidade de propagação da onda.

Estes estudos nos fornecem informações para acreditar que as Roll Waves podem se

desenvolver em fluidos newtonianos e também em fluidos não-newtonianos. Dentro do

contexto do estudo de Roll Waves em escoamentos de fluidos hiperconcentrados, o que mais

figura na literatura é o estudo de tais instabilidades para o fluido de Bingham e Power Law.

Portanto, a modelagem matemática a fim de predizer propriedades permitindo descrever a

dinâmica dos escoamentos que aparecem as Roll Waves, ainda é limitada. Assim, a proposta

deste trabalho, é conceber um modelo matemático que represente o fenômeno em questão.

1.2 Objetivos

Os objetivos do presente trabalho podem ser enumerados da seguinte maneira:

- analisar de forma teórica a dinâmica de escoamentos de fluidos hiperconcentrados escoando

em canal inclinado;

- determinar um modelo matemático capaz de reproduzir Roll Waves baseado na proposta

reológica de Herschel-Bulkley;

- colocar em evidência as condições de instabilidade do escoamento uniforme através de

análise de estabilidade linear;

- certificar a validade do modelo matemático desenvolvido para geração de Roll Waves

através de resolução numérica da equação determinada;

- verificar se o modelo é válido para as propostas reológicas mais simplificadas (Bingham,

Power Law, Newton).

CAPÍTULO 2

2. CONSIDERAÇÕES INICIAIS

A obtenção de soluções para as equações governantes da mecânica dos fluídos em

situações realistas representa um dos maiores desafios.

Os escoamentos podem ser representados do ponto de vista físico e matemático pelas

equações da conservação da massa, quantidade de movimento e energia. Um escoamento em

que a massa específica do fluido varia significativamente é um escoamento compressível, se a

massa específica não varia significativamente então o escoamento é incompressível. Neste

trabalho o escoamento a ser tratado é incompressível.

Este capítulo tem como objetivo mostrar alguns conceitos sobre as propriedades

físicas dos fluidos e suas implicações, fazer uma breve revisão dos modelos reológicos que

serão citados no decorrer do trabalho, fazer uma análise física do problema a ser estudado e

mostrar quais são as condições para que um escoamento seja: supercrítico, crítico ou

subcrítico.

2.1 Definições das Propriedades Físicas dos Fluidos

Fluido é toda matéria que se deforma quando submetida a uma mínima tensão de

cisalhamento.

Os fluidos diferem dos sólidos pelas características das forças de coesão entre suas

moléculas. A principal diferença prática que se pode observar entre sólidos e fluidos é que nos

sólidos uma força atuante determina a intensidade da deformação e, nos fluidos, determina a

velocidade da deformação. Tanto os gases como os líquidos são classificados como fluidos.

As características mais notáveis dos gases são a compressibilidade e a fluidez. Os líquidos são

incompressíveis e suas propriedades são determinadas pela intensidade das forças

intermoleculares.

As propriedades dos fluidos relevantes para o estudo de escoamentos são: a massa

específica, a tensão superficial, a viscosidade e as propriedades reológicas.

Massa especifica

A massa especifica de uma substância defini-se como a propriedade da matéria

correspondente à razão entre massa de uma quantidade de substância e o volume

correspondente.

Tensão superficial

Tensão superficial é um efeito que ocorre na camada superficial de um líquido que

leva a sua superfície a se comportar como uma membrana elástica. Esta tensão superficial

ocorre devido às fortes ligações intermoleculares, as quais dependem das diferenças elétricas

entre as moléculas e pode ser definida como força por unidade de comprimento que duas

camadas superficiais exercem uma sobre a outra.

Viscosidade

Viscosidade é a medida da resistência de um fluido à deformação causada por uma

tensão, ou seja, quando um fluido sofre deformação, ocorre uma interação interna entre as

partículas, com comportamentos diferentes para cada tipo de fluido, isso ocorre devido à

resistência interna (viscosidade) da interação das partículas. Uma definição clássica para a

viscosidade, é dizer que a mesma é a variação da tensão de cisalhamento pela variação da taxa

de deformação, mantendo-se constante em um fluido Newtoniano.

Uma maior ou menor viscosidade de um fluido implica na velocidade de deformação

do mesmo, quando submetido a uma tensão de cisalhamento, ou seja, quanto maior a

viscosidade, menor a velocidade em que o fluido se movimenta. No entanto, os fluidos podem

ser classificados de acordo com a relação entre a tensão de cisalhamento aplicada e a taxa de

deformação, podendo ser denominados como fluidos Newtonianos e não Newtonianos,

conforme mostra a Figura 2.1.

(a) Fluido Newtoniano (b) Fluido não Newtoniano

Figura 2.1: Exemplos de fluido Newtoniano e fluido não Newtoniano.

2.2 Modelos Reológicos

A reologia é a ciência que estuda a taxa de deformação da matéria, tendo importância

em diversas áreas, tais como a ciência dos materiais, a física e as engenharias.

Neste item são apresentados alguns modelos matemáticos que representam diferentes

tipos de comportamentos reológicos, considerando a condição de cisalhamento simples e

regime permanente, ou seja, as propriedades reológicas independem do tempo de aplicação da

tensão de cisalhamento, podendo ser divididos em fluidos sem tensão inicial de escoamento e

com tensão inicial de escoamento.

O modelo mais simples que se tem é o do fluido Newtoniano em que a tensão de

cisalhamento é diretamente proporcional à taxa de deformação. A constante de

proporcionalidade é a viscosidade do fluido, então:

τµ

∂

(2.1)

Sendo:

: tensão de cisalhamento (Pa )

: viscosidade dinâmica ou absoluta (

.Pa s

)

∂

: gradiente de velocidade (

−

)

A concentração de sedimentos determina se um fluido é Newtoniano ou não, portanto,

um fluido com uma pequena concentração de sedimentos permanece com propriedades

newtonianas, podendo apresentar, variação na sua viscosidade se a concentração de

sedimentos aumentar.

Quanto aos fluidos não newtonianos, diversos modelos foram desenvolvidos.

Numerosas equações empíricas têm sido propostas para elaborarem o modelo matemático das

relações observadas entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação.

Para muitas aplicações práticas de engenharia, as relações entre a tensão de

cisalhamento e a taxa de deformação podem ser adequadamente representadas pelo modelo

exponencial, conhecido como lei das potências, determinado por (Ostwald, 1925), na qual,

tensão de cisalhamento é dada por:

τµ

⎛⎞

∂

⎜⎟

∂

⎝⎠

(2.2)

Sendo que

n representa o índice de escoamento do fluido, para 1n < tem-se um fluido

pseudoplástico e para

1n > tem-se um fluido dilatante.

Os fluidos pseudoplásticos são substâncias que, em repouso, apresentam suas

moléculas em um estado desordenado, e quando submetidas a uma tensão de cisalhamento,

suas moléculas tendem a se orientar na direção da força aplicada. E quanto maior esta força,

maior será a ordenação e, conseqüentemente, menor será a viscosidade.

O dilatantes são fluidos que apresentam um aumento de viscosidade com a tensão de

cisalhamento. No caso de suspensões, a medida que se aumenta a tensão de cisalhamento, o

líquido intersticial que lubrifica a fricção entre as partículas, não preenche os espaços, devido

a um aumento de volume que acompanha o fenômeno. Ocorre então, o contato direto entre as

partículas sólidas e, conseqüentemente, um aumento da viscosidade.

Existem fluidos que se comportam como um sólido até que uma tensão de

cisalhamento mínima seja excedida, ou seja, têm tendências a suportar pequenas tensões de

cisalhamento aplicadas, sem apresentar deformação. Esta tensão, a qual o fluido pode resistir

sem se deformar, é chamada tensão crítica de cisalhamento ou tensão inicial de escoamento,

ou de corte.

Um fluido que apresenta tais características é o fluido plástico de Bingham, ou

simplesmente fluido de Bingham, na qual a relação tensão de cisalhamento e taxa de

deformação é linear, e o modelo apropriado é dado por (Bingham e Green, (1920), é

representado da seguinte forma:

cB c

τµ ττ

ττ

∂

=+ >

∂

(2.3)

Sendo:

: tensão crítica ou rigidez inicial

: viscosidade plástica

Uma proposta reológica considerada mais generalizada é determinada por (Herschel e

Bulkley, 1926). Esse tipo de fluido também necessita de uma tensão inicial para começar a

escoar. Entretanto, a relação entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação não é

linear. Esta relação depende do expoente adimensional

n, característico para cada fluido, dada

por:

cn c

τµ ττ

ττ

⎛⎞

∂

=+ >

⎜⎟

∂

⎝⎠

∂

(2.4)

A modelagem de um escoamento necessita da escolha de um modelo reológico

apropriado ao tipo fluido que será estudado. A Figura 2.2 mostra as curvas típicas da tensão

de cisalhamento em função da taxa de deformação para os diferentes tipos de modelos

reológicos apontados neste trabalho.

Figura 2.2: Reograma representando diferentes tipos de modelos reológicos.

Deve-se analisar os modelos reológicos com bastante cautela, observando as hipóteses

restritivas na aplicação de problemas. No que diz respeito às misturas (água+argila,

água+areia fina+argila), foram feitas investigações de reometria, o que permitiu, a partir dos

estudos de Coussot (1994), Piau (1996), Huang e Garcia (1998), Lledo (2003), comprovar que

a reologia desses fluidos (sem sedimentação), pode ser descrita pelo modelo reológico não-

linear tipo Herschel-Bulkley, com condições de cisalhamento simples e em regime

permanente.

Com o propósito de se fazer uma análise global do fenômeno

Roll Waves, neste

trabalho será utilizado o modelo reológico de Herschel-Bulkley, por ser um modelo

representativo e “mais generalizado” de fluido hiperconcentrado, permitindo tomar como

particularidades outras propostas reológicas, tais como, a lei das potências (

Power Law), os

modelos Binghamiano e Newtoniano.

2.3 Análise Física do Problema

Muitos problemas aplicados normalmente podem ser resolvidos a partir da construção

de um modelo matemático que descreve o fenômeno físico.

Esta seção apresenta uma visão geral dos principais aspectos físicos pertinentes ao

problema a ser modelado. Sabendo-se que a formação de

Roll Waves geralmente ocorre em

escoamentos de águas rasas e em canais inclinados; além do tipo de fluido, deve-se levar em

consideração a geometria do canal e as forças que regem o escoamento. A Figura (2.3) mostra

a geometria do problema em questão:

Figura 2.3: Geometria do problema.

Em escoamentos de águas rasas (quase horizontal), o comprimento característico (

deve ser maior do que a profundidade do escoamento (h). Conforme Ribeiro et al.(2001), para

que um escoamento seja considerado quase horizontal, a seguinte relação deve ser satisfeita:

(2.5)

Esta hipótese mostra que somente ondas longas, isto é, ondas onde o comprimento é

maior que a altura, são levadas em consideração. Nesta situação, uma característica

interessante que merece ser ressaltada, no que diz respeito ao balanço de forças na direção

perpendicular ao escoamento, é que as acelerações e tensões verticais podem ser desprezadas,

resultando num campo de pressão hidrostático.

O escoamento se dá primordialmente pela ação direta da gravidade através da

componente do peso do fluido na direção do declive, ou seja, nesse tipo de canal o fluido está

literalmente, “descendo uma ladeira”, caracterizando-se por um único sentido de movimento.

Outro ponto importante refere-se à possibilidade dos escoamentos se processarem em

regime permanente. De fato, admitindo que o declive do fundo não mude, a componente do

peso acima referida só variará se houver alteração da quantidade de fluido a ser transportado.

Portanto, as propriedades físicas do escoamento se mantém constante no tempo, ou seja, tem-

se um escoamento em regime permanente.

Sabendo que a largura do canal é muito maior do que a altura da coluna do fluido

pode-se simplificar o cálculo das forças de resistência, desprezando a contribuição de paredes

laterais, considerando apenas a tensão do fluido com o fundo do canal.

Nesses escoamentos as forças provenientes de gradientes de pressão na direção do

fluxo, que nesse caso surgem quando a superfície do fluido se inclina em relação ao fundo do

canal, tem uma participação muito pequena quando comparadas à força gravitacional. Esta

característica dá origem a um tipo de escoamento no qual a componente peso é

contrabalançada pela força de resistência que o fundo do canal exerce sobre o fluido na seção

considerada.

2.4 Escoamento Supercrítico, Crítico e Subcrítico

Em estudos de canais, pode-se classificar os escoamentos em supercrítico, crítico ou

subcrítico. Um adimensional muito utilizado é o número de Froude, definido como a raiz

quadrada da relação entre a força de inércia e a força de gravidade, ou a razão entre a

velocidade média do escoamento e a velocidade de pequenas instabilidades, que aparecem no

escoamento, é expresso por:

uL u

== (2.6)

em que

u é a velocidade média do escoamento, g é a aceleração da gravidade e

L é uma

dimensão característica do escoamento. Nos canais, é comum definir como dimensão

característica a profundidade do escoamento, e o número de Froude é apresentado como:

(2.7)

Esse adimensional é utilizado para classificar os escoamentos livres que ocorrem nas

aplicações práticas, como se segue:

- Escoamento supercrítico ou torrencial, (

1Fr > ).

- Escoamento subcrítico ou fluvial, (

1Fr

) .

- Escoamento crítico (

1Fr = ).

Onde o escoamento supercrítico é chamado de escoamento rápido, enquanto que o

subcrítico é chamado de escoamento lento. Sintetizando-tem-se:

hh uu>→< (escoamento subcrítico)

hh uu<→>

hh uu=→=

Sendo que:

h é a altura crítica e

u é a velocidade crítica.

Neste capítulo, foram apresentados conceitos que serão utilizados no decorrer do

trabalho.

CAPÍTULO 3

3. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

A modelagem matemática dos mais variados problemas em física e em engenharia é

uma atividade que tem auxiliado de maneira decisiva para a compreensão dos fenômenos

naturais, permitindo a representação dos conceitos e processos envolvidos, propiciando o

entendimento de aspectos de problemas que não se revelam facilmente. Por tanto, esta seção

visa apresentar as equações que serão utilizadas no desenvolvimento de um modelo

matemático que represente o fenômeno em questão.

O escoamento de um fluido hiperconcentrado pode ser descrito a partir de três

variáveis. Entretanto, são necessárias três equações para descrever o escoamento: a lei da

conservação da massa, a equação da quantidade de movimento e da energia.

Neste caso, o binômio massa-quantidade de movimento responde à necessidade. Essas

equações a derivadas parciais permitem determinar o campo de velocidade e de pressão,

quando submetidas a condições de contorno apropriadas, representam matematicamente um

problema particular.

Conservação da Massa:

Sabe-se que em um fluido real a massa deve ser conservada, e a equação da

conservação da massa, em formulação diferencial, é dada por:

Dt X

∂

(3.1)

Sendo:

: variação total da massa específica

∂

divergência da velocidade

Equação da Quantidade de Movimento:

Se há variação da quantidade de movimento, há forças, seja de superfície (tensões), de

corpo (forças de inércia, gravidade e eletromagnetismo) ou ambas. Então, quando uma força é

aplicada a uma partícula, uma aceleração proporcional é induzida. Para um fluido, o balanço

entre a aceleração e as forças atuantes, é dado por:

Dt Xj

∂Τ

∂

(3.2)

Sendo:

: aceleração total

F : forças de corpo

∂Τ

∂

: gradiente do tensor de tensões

3.1 Tratamento Matemático das Equações Governantes

Como em qualquer problema de mecânica, as equações governantes devem ser

referidas a um sistema de coordenadas convenientemente escolhido em função das

características específicas de cada caso. Neste trabalho, será utilizado o sistema cartesiano,

por representar bem as características do problema a ser estudado.

Portanto a determinação do modelo matemático que rege o escoamento segue a

seguinte linha:

1. Utilização das equações da conservação da massa e da quantidade de movimento.

- Equação da conservação da massa:

uvw

xyz

∂∂∂

++ =

∂∂∂

(3.3)

- Equações da quantidade de movimento:

Na direção

xxz

u u uv uw

txy z x y z

ττ

∂

⎛⎞

∂∂

∂∂ ∂ ∂

+++ = + +

⎜⎟

∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎝⎠

(3.4 a)

Na direção

yyyyz

vuvv vw

txy z x y z

τττ

∂∂∂

⎛⎞

∂∂ ∂ ∂

+++ = + +

⎜⎟

∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎝⎠

(3.4 b)

Na direção

wuwvww

txyz x y z

∂

⎛⎞

∂

∂∂ ∂ ∂

+++= ++ −

⎜⎟

∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎝⎠

(3.4 c)

Sendo que as tensões são dadas por:

xx x

∂

⎛⎞

=− +

⎜⎟

∂

⎝⎠

(3.5 a)

yy y

⎛⎞

∂

=− +

⎜⎟

∂

⎝⎠

(3.5 b)

zz z

∂

⎛⎞

=− +

⎜⎟

∂

⎝⎠

(3.5 c)

xy yx c n

τττ

⎛⎞

∂∂

==+ +

⎜⎟

∂∂

⎝⎠

(3.5 d)

yz zy c n

τττ

⎛⎞

∂∂

==+ +

⎜⎟

∂∂

⎝⎠

(3.5 e)

xz zx c n

τττ

∂∂

⎛⎞

==+ +

⎜⎟

∂∂

⎝⎠

(3.5 f)

2. Aplicação das condições de contorno.

3. Utilização do modelo reológico de Herschel-Bulkley no tensor de tensões.

ττ

∂

⎛⎞

⎜⎟

∂

⎝⎠

(3.6)

4. Determinação do perfil de velocidades.

5. Adimensionalização das variáveis em escalas convenientes.

3.2 Tratamento das Condições de Contorno

Deve-se considerar as condições de impermeabilidade no fundo do canal e na

superfície livre, além disso, considera-se as tensões no fundo do canal.

∂

−

∂

∇





(3.7)

Sendo:

∇



(vetor unitário normal) (3.8)

Condições de impermeabilidade no fundo:

Considerando as coordenadas

(

)

zx, e

(

)

hxzt a cota no fundo do canal, pode-se

definir uma função da seguinte forma:

() ()

,, ,, 0

Fxzt z h xzt=− = (3.9)

()

zhxzt= (3.10)

∂

⎛⎞

∇=−

⎜⎟

∂

⎝⎠

(3.11)

∂

⎛⎞

∇= − +

⎜⎟

∂

⎝⎠

(3.12)

Seja:

()

Un uw

∂

⎛⎞

−

⎜⎟

∂

⎝⎠

∂

⎛⎞

⎜⎟

∂

⎝⎠





(3.13)

Note que:

∂

=−

∂∇

 

(3.14)

()

,,1

∂

⎛⎞

∂

−= −

⎜⎟

∂∂

⎝⎠

(3.15)

∂∂

⎛⎞⎛ ⎞

−= −

⎜⎟⎜ ⎟

∂∂

⎝⎠⎝ ⎠

(3.16)

∂∂

=− +

∂∂

(3.17)

() ()

wh uh

∂

∂∂

(3.18)

Analogamente, na superfície livre:

()

wh uh

∂∂

(3.19)

3.3 Determinação da Pressão Hidrostática

Deve-se partir de grandezas apropriadas para justificar as hipóteses adotadas,

aplicando o modelo reológico de Herschel-Bulkley. Além disso, é importante justificar o fato

da adoção de uma pressão hidrostática, condição na qual é obtida a partir da equação da

quantidade de movimento.

Pode-se definir as seguintes grandezas adimensionais, onde os termos sobrescritos

com (*) são adimensionais:

escala de comprimento:

()

(

)

***

,, , ,Ox Oy Oz L x y h z

escala de velocidades:

()

** *

,, , ,

uvw gL u gL v gL w

⎡

⎤

⎛⎞⎛⎞

⎜⎟⎜⎟

⎢

⎥

⎝⎠⎝⎠

⎣

⎦

escala de tempo:

A adimensionalização da tensão de cisalhamento e da pressão é feita a partir do peso

da coluna líquida.

Pressão:

()

cosPgh P

ρθ

Tensão de cisalhamento:

()

cos

ρθτ

Sendo:

: declividade média

Para a determinação da pressão hidrostática, serão introduzidas as variáveis

adimensionais na equação da quantidade de movimento, na direção Oz.

1º) Introduzindo as variáveis adimensionais no primeiro membro da equação (3.4 c), tem-se:

wuwvww

txyz

∂∂ ∂ ∂

+++=

∂∂ ∂ ∂

*** **2*2

*2* *2

hgw h uw hvwhLw

gL gL gL gL g

LL LL hz

tLx yL

⎛⎞

∂∂ ∂∂

=+ + +=

⎜⎟

∂

∂∂ ∂

⎝⎠

***** *2

** **

hgwhguwhgvwhgw

LL L L

tx yz

∂∂ ∂ ∂

=+ + + =

∂∂ ∂ ∂

***** *2

** **

hg w u w v w w

tx yz

⎛⎞

∂∂ ∂ ∂

=+++

⎜⎟

∂∂ ∂ ∂

⎝⎠

(3.20)

2º) Será trabalhado o segundo membro da equação (3.4c), dado por:

111

ρρρ

∂

=− + + +

∂∂∂

(3.21)

Introduzindo os tensores em (3.21), tem-se:

cn cn

wu vw

gK K

xxzyzy

ττ

ρρ

⎡⎤

⎛⎞

⎡⎤

⎛⎞

∂∂∂ ∂∂∂

⎛⎞

⎢⎥

⎜⎟

⎢⎥

=− + ⎜ + + ⎟ + + + +

⎜⎟

∂∂∂∂∂∂

⎢⎥

⎝⎠

⎢⎥

⎝⎠

⎣⎦

⎝⎠

⎣⎦

⎡

⎤

∂

⎛∂⎞

⎛⎞

+−+

⎢

⎥

⎜⎟

∂∂

⎝⎠

⎣

⎦

(3.22)

Admitindo que

K e

são independentes de

, y e z , a relação (3.22) fica da

seguinte forma:

ncn n

KKK

wu vw P w

xxz y yzdy z

ρρρρρ

⎡⎤

⎛⎞

∂

∂∂ ∂ ∂∂∂ ∂ ∂

⎛⎞

⎢⎥

=− + + + + + − +

⎢⎥

⎜⎟

∂∂∂ ∂ ∂∂ ∂

⎝⎠ ⎢ ⎥ ∂

⎢⎥ ⎝⎠

⎣⎦

(3.23)

Introduzindo as variáveis adimensionais em (3.23), tem-se:

2**2*2*

**2*2**

gL gL gL gL

hhwuhwu

ggLvn

LLLhL Lh

xzLx xz

−

⎛⎞⎛ ⎞

⎛⎞

∂∂ ∂ ∂

−+ + + +

⎜⎟⎜ ⎟

⎜⎟

⎜⎟⎜ ⎟

∂∂ ∂ ∂∂

⎝⎠

⎝⎠⎝ ⎠

2***2*

** **2*2

gL gL gL h gL

hvhwvw

gL v n

LLhL Lh

zy yzLy

λλ

−

⎛⎞⎛ ⎞

⎛⎞

∂∂ ∂ ∂

++ +−

⎜⎟⎜ ⎟

⎜⎟

⎜⎟⎜ ⎟

∂∂ ∂∂∂

⎝⎠

⎝⎠⎝ ⎠

()

*2*2

cos

hgLhgL

zLhz

ρθ

∂∂

−+

∂∂

(3.24)

Considerando:

gL gL

hw u

LL h

−

⎛⎞

∂∂

⎜⎟

∂∂

⎝⎠

(3.25)

gL gL

vh w

Lh L

−

⎛⎞

∂∂

⎜⎟

∂∂

⎝⎠

(3.26)

A relação (3.24), fica:

22*2*

3*2 **

hgL gL

hwu

ga gL

LLh

Lx xz

⎛⎞

∂∂

−+ + +

⎜⎟

∂∂∂

⎝⎠

()

2*2**2*

* *

** 2 *2 * *2

cos 2

gL gL

hvhwphgw

bgL g

LLh L L

yz y z z

νθν

⎛⎞

∂∂ ∂∂

++−+

⎜⎟

∂∂ ∂ ∂ ∂

⎝⎠

2* 2* * 2*

*2 * * * * *2

hwhgu hgvhghw

gav g bv

LL LL

xxz yz y

⎡⎤⎡ ⎤

∂∂ ∂ ∂

⎛⎞ ⎛⎞

−+ + + + −

⎢⎥⎢ ⎥

⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠∂ ∂∂ ∂∂ ⎝⎠∂

⎢⎥⎢ ⎥

⎣⎦⎣ ⎦

*2*

**2

Phg w

∂∂

−+

∂∂

(3.27)

Toma-se como hipótese que o escoamento é de águas rasas, então: 1

<< e que

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Estabelecendo a igualdade entre as relações (3.20) e (3.27); e dividindo todos os

termos da igualdade por g, tem-se a seguinte equação:

()

01cos

∂

=− −

∂

(3.28)

Retornando as seguintes variáveis dimensionais:

()

cos

= (3.29)

Pode-se determinar uma equação para a pressão dada por:

()

1cos

cos

gH z z

ρθ

∂∂

=− ⇒ =−

∂∂

(3.30)

Integrando, a equação (3.30), tem-se:

() ()

()

cos cos

Pg zg hh

ρθ ρθ

∂=− ∂=− −

∫∫

(3.31)

()

(

)

cos

Pz g h h

ρθ

=− − (3.32)

Sendo:

h : profundidade do escoamento

h : cota no fundo do canal

Assim, pode-se concluir que a distribuição de pressão é hidrostática.

3.4 Modelo Matemático

O modelo matemático que represente esse fenômeno é obtido através da integração na

vertical das equações de Navier-Stokes, incluindo o modelo reológico de Herschel-Bulkley no

tensor de tensões, utilizando a regra de Leibniz, dada por:

()

(

)

()

(

)

()

,,, ,

Qxydy Qxydy Qx x Qx x

xxx

ββ

αα

βα

∂∂

=+ −

∂∂ ∂∂

∫∫

(3.33)

Integrando as equações da conservação da massa e da quantidade de movimento,

aplicando as condições de contorno (3.18), (3.19) e o conceito de pressão hidrostática, o

sistema que rege o escoamento é demonstrado no apêndice A.

Conservação da massa:

uh h

∂∂

(3.34)

Conservação da quantidade de movimento:

() ()

cos

uh u h h

gghsen Tdz

ttx z

θθ

⎛⎞

∂∂ ∂ ∂

+=− + +

⎜⎟

∂∂∂ ∂

⎝⎠

∫

(3.35)

Sabendo que

hh h=−

, sendo

(fundo do canal), tem–se:

() ()

cos

xz f xz i

uh u h h

gghsenThTh

ttx

θθ

⎛⎞

∂∂ ∂

⎡

⎤

+=− + + −

⎜⎟

⎣

⎦

⎜⎟

∂∂∂

⎝⎠

(3.36)

Considerando que a tensão cisalhante é nula na superfície livre (

T = ), a equação

(3.36) fica da seguinte forma:

() ()

()

cos

xz i

uh u h h

gghsenTh

ttx

θθ

⎛⎞

∂∂ ∂

⎡

⎤

+=− + +−

⎜⎟

⎣

⎦

⎜⎟

∂∂∂

⎝⎠

(3.37)

Sabendo que

()

Th representa as tensões (efeito de atrito de parede no fundo

do canal). Esse termo é composto pela tensão de cisalhamento à qual é adicionada a proposta

reológica de Herschel-Bulkley.

() ()

cos

uh u h h

gghsen

ttx

θθτ

⎛⎞

∂∂ ∂

⎡

⎤

+=− + +−

⎜⎟

⎣

⎦

⎜⎟

∂∂∂

⎝⎠

(3.38)

Sendo:

h : profundidade do escoamento;

u : velocidade média na vertical;

declividade do canal;

: massa específica do fluido;

tensão cisalhamento.

A partir daí, é necessário calcular o perfil de velocidades com base no modelo

reológico de Herschel-Bulkley.

3.5 Perfil de Velocidades

Os fluidos hiperconcentrados podem apresentar uma resistência à deformação, ou seja,

resiste a pequenas tensões (tensão crítica) antes de escoar. Sendo assim, apresenta um perfil

de velocidades parabólico na região em que ocorre a tensão de cisalhamento (próximo ao

fundo do canal) e um perfil de velocidade linear na região não cisalhada (Plug), o que

geralmente ocorre em escoamentos de lamas e detritos, concreto fresco e géis.

Nesse item será determinado o perfil de velocidade de um escoamento

hiperconcentrado, a partir da proposta reológica de Herschel-Bulkley, tomando-se como

hipóteses, que o escoamento seja permanente, uniforme e laminar, de um fluido

incompressível escoando em um canal inclinado. Considerando que o atrito no fundo do canal

é dado por:

()

gsen h z

τρ θ

=− (3.39)

E baseado na proposta reológica de Herschel-Bulkley, tem-se:

()( )

gsen h z K

ρθ τ

⎛⎞

−=+

⎜⎟

⎝⎠

(3.40)

()( )

sen

ghz

dz K

θτ

−−

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

(3.41)

Resolvendo a equação diferencial (3.41), após alguns desenvolvimentos matemáticos

(Apêndice B), pode-se obter o perfil de velocidade u(z) para o fluido em questão.

Região cisalhada:

()

sen

nK z

ρθ

⎡

⎤

⎛⎞

⎢

⎥

=−−

⎜⎟

⎢

⎥

⎜⎟

⎝⎠

⎢

⎥

⎣

⎦

para

0 zz

≤

≤ (3.42)

Região não cisalhada (plug):

()

gsen

uz uz z

ρθ

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

para

zzh

≤

≤ (3.43)

()

gsen

=− (3.44)

Sendo

n o índice de escoamento do fluido e

K o índice de consistência do fluido

A Figura (3.1) ilustra o perfil de velocidade para o fluido de Herschel-Bulkley, na qual

o perfil de velocidade é parabólico na região cisalhada e constante na região não cisalhada

(plug).

Figura 3.1 Representação do perfil de velocidade para um fluido de Herschel-Bulkley.

Com o objetivo de verificar numericamente o perfil de velocidade determinado, são

considerados os seguintes grupos adimensionais:

= ,

()

(3.45)

Substituindo as variáveis adimensionais dadas pelas relações (3.45), na equação

(3.43), tem-se a seguinte equação para o perfil de velocidade na região cisalhada:

() ( )

UZ Z

=− − , para 1

≤ (3.46)

Substituindo as relações (3.45) na equação (3.43), tem-se o perfil de velocidade na

região não cisalhada (superfície livre) do escoamento, dada por:

()

1=ZU , para

≤≤

−

(3.47)

Sendo:

ghsen

= (3.48)

Assim, pode-se analisar a distribuição do perfil de velocidades na Figura (3.2), através

de resolução numérica, para diferentes valores de

n (índice de escoamento do fluido).

Figura 3.2: Perfil de velocidades para um fluido tipo Herschel-Bulkley

Pode-se observar que na região cisalhada (próxima ao fundo do canal), o perfil de

velocidade é parabólico e na zona de

plug, ou seja, na região não cisalhada, o perfil de

velocidade é constante, conforme mostrado por (Huang e Garcia, 1998).

3.5.1 Velocidade Média em Relação à Profundidade do Escoamento.

Esse item tem como objetivo determinar a velocidade média em relação à

profundidade do escoamento, ou seja, no intervalo

≤

0 , para adequar ao modelo

matemático.

Sabendo que:

u udz

∫

, então no intervalo hz

≤

0 , tem-se que:

uudzudz

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

∫∫

(3.49)

Após alguns desenvolvimentos matemáticos (apêndice C), determina-se a velocidade

média do escoamento:

() ()

()

121

g sen h g sen h g sen

n K gsen n h gsen

ρθ ρθτ ρθτ

ρθ ρθ

⎡

⎤

⎛⎞⎛⎞

−−⎛⎞

=−

⎢

⎥

⎜⎟⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟⎜⎟

⎢

⎥

⎝⎠

⎝⎠⎝⎠

⎣

⎦

(3.50)

3.6 Determinação da Tensão de Cisalhamento (Lei de Atrito)

Note que, para determinar a tensão de cisalhamento, é necessário calcular a derivada

da velocidade em relação à z, como a velocidade na zona de

plug é constante, basta calcular

na região cisalhada.

()

sen

du n z n

dz n z z n K

ρθ

⎛⎞

⎛⎞⎛⎞

⎛⎞ ⎛⎞

=− − −

⎜⎟

⎜⎟⎜⎟

⎜⎟ ⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

⎝⎠⎝⎠

⎝⎠

(3.51)

()

sen

du z

dz z z K

ρθ

⎛⎞

=−

⎜⎟

⎝⎠

(3.52)

Note que, para

zz = , a taxa de deformação do fluido é nula, o que geralmente ocorre

na superfície livre (região não cisalhada) de escoamentos de lamas e detritos, concreto fresco

e géis, que são fluidos que só se deformam com aplicação de uma tensão mínima de

cisalhamento, sendo assim, tem-se:

(3.53)

Para

0=z (fundo do canal), a taxa de deformação do fluido é determinada da seguinte

maneira:

()

sen

dz z K

ρθ

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

(3.54)

Para determinar a derivada da velocidade em função de

u (velocidade média), basta

fazer a seguinte ponderação:

(3.55)

() ()

sen sen

121

gz gz

zK n K nh

ρθ ρθ

⎛⎞⎛⎞

⎛⎞

=−

⎜⎟⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠

⎝⎠⎝⎠

(3.56)

()( )

()

12 1

(2 1)

nnh

nn hnz z

+−

(3.57)

Portanto a tensão de cisalhamento pode ser expressa da seguinte forma:

()( )

()

12 1

(2 1)

pc n

nnuh

nn hnz z

ττ

⎡⎤

⎢⎥

+−

⎣⎦

(3.58)

Sabendo que

sen

=− , tem-se:

()()()

()

12 1

pc n

ugsen n n h

hgsen nn hgsen n

ρθ

ττ

ρθτ ρθτ

⎡⎤

⎢⎥

−+ +

⎣⎦

(3.59)

Deve-se ressaltar que a tensão de cisalhamento encontrada neste trabalho é a mesma

encontrada por (Huang e Garcia, 1998) ao estudarem escoamentos de lama, aplicando o

modelo reológico de Herschel-Bulkley.

Conforme demonstrado, se tratando de fluidos não newtonianos, aplicando a proposta

reológica de Herschel-Bulkley, o sistema de equações para escoamentos de águas rasas

(

shallow water equations) é determinado e representado pelas equações da conservação da

massa e da quantidade de movimento.

Equação da conservação da massa:

uh h

∂∂

(3.60)

Equação da quantidade de movimento:

cos

uh u h h

gghsen

tx x

θθ

∂∂ ∂

++ = −−

∂∂ ∂

()()()

()

12 1

ugsen n n h

hgsen nn gsen n

ρθ

ρθτ ρθτ

⎡⎤

⎢⎥

−

⎢⎥

−+ +

⎣⎦

(3.61)

Sendo:

h : profundidade do escoamento

u : velocidade média na vertical

declividade do canal

: massa específica do fluido

: viscosidade do fluido

tensão crítica (rigidez inicial)

(coeficiente de distribuição de velocidade)

Considerando a tensão crítica nula

(

)

, ou seja, para uma proposta reológica de

fluido com comportamento pseudoplástico (

Power Law), o sistema de equações concebido

neste trabalho, reproduz o sistema produzido por Ng e Mei (1994).

3.7 Coeficiente de Distribuição de Velocidade

É possível determinar a expressão analítica que representa o coeficiente de

distribuição de velocidade na vertical, para um escoamento laminar, permanente e uniforme

de um fluido do tipo Herschel-Bulkley sobre um plano infinito.

A relação que permite efetuar esse cálculo é dada por:

()

udz

∫

(3.62)

Após alguns desenvolvimentos matemáticos, conforme mostra o apêndice D, tem-se a

seguinte expressão para o coeficiente de distribuição de velocidade:

() ( )

() ()

21 43

121

nhgsen nn

h g sen

ρθτ

ρθ τ

⎡⎤

+++

⎛⎞

⎣⎦

⎜⎟

⎡⎤

⎝⎠

++++

⎢⎥

⎣⎦

(3.63)

Note que, se a tensão crítica for nula ( 0

), tem-se um fluido com comportamento

reológico do tipo

Power Law, e o coeficiente de distribuição de velocidade é o mesmo

determinado por (Ng e Mei, 1994), conforme mostra a expressão a seguir:

()

22 1

(3.64)

Se a tensão crítica for nula

(

)

e o índice de comportamento do fluido for igual a

()

1=n

, tem-se um fluido newtoniano e o coeficiente de distribuição de velocidade confere

com a literatura.

(3.65)

Para tensão crítica não nula e índice de comportamento do fluido igual a 1

()

, tem-

se o fluido de Bingham e o coeficiente de distribuição de velocidade confere com a literatura,

conforme mostrado por (Maciel, 2001).

()

gsen

hgsen

ρθ

ττ

ρθ

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

(3.66)

Sendo:

gsen

: profundidade do fluido na região não cisalhada (plug)

Note que, para um perfil de velocidades uniforme, ou seja, quando:

gsen

= , o

coeficiente de distribuição de velocidades é igual a 1

(

)

, conforme mostrado por (Maciel,

2001)

3.8 Adimensionalização das Variáveis

O objetivo desse item é determinar os parâmetros que evidenciam o desenvolvimento

de instabilidades, por isso torna-se necessário fazer uma adimensionalização das variáveis em

escalas convenientes, nas equações (3.60 e 3.61). A adimensionalização permite encontrar

termos representativos para o problema estudado e viabiliza a interpretação. As escalas

adotadas para a adimensionalização das variáveis são dadas por:

- escala de comprimento:

lx= e

()

(

)

,,hz h h z=

- escala de velocidades:

uuu=

- escala de tempo:

- número de Froude:

()

Sendo:

sen

= (comprimento de onda)

sen sen

sen

1 sen 2 1 sen

hg hg

ng n

nK g nhg

ρθτ ρθτ

ρθ

ρθ ρθ

⎡

⎤

⎛⎞ ⎛ ⎞

⎛⎞

−−

=−

⎢

⎥

⎜⎟ ⎜ ⎟

⎜⎟

⎝⎠

⎝⎠ ⎝ ⎠

⎣

⎦

(velocidade)

O sub-índice (

) indica condições de escoamentos em regime uniforme e o asterisco

(*) as variáveis adimensionais.

Considerando que o escoamento seja uniforme e introduzindo as variáveis

adimensionais na equação da conservação da massa, tem-se a seguinte equação:

***

000

huh

∂∂

(3.67)

***

huh

∂∂

(3.68)

As variáveis adimensionais são introduzidas na equação da quantidade de movimento,

conforme segue.

) Introduzindo as variáveis adimensionais no primeiro membro da equação (3.61), tem-se:

** * * *2

00 0 0 0

** *

00 0

111

cos

uh u h h

uh u h gh

ll l

tx x

∂∂ ∂

(3.69)

Dividindo os termos de (3.69) por

u e considerando

cosgh

, tem-se os

seguintes termos para o primeiro membro da equação de quantidade de movimento:

** *2

** *

uh u h h

tx x

αβ

∂∂ ∂

(3.70)

Inserindo a variáveis adimensionais no 2

membro da equação (3.61) tem-se o

seguinte resultado:

()()

()

**2

sen 1 (2 1) ]

sen

sen 1 sen

uu g n n h h

gh h

hh g nn hh g n

ρθ

ρρ

ρθτ ρθτ

⎡⎤

⎢⎥

−−

⎢⎥

−+ +

⎣⎦

(3.71)

Dividindo o resultado obtido em (3.71) pelo termo (

gh sen

) e inserindo a

velocidade

u (em condição de regime uniforme), tem-se:

()

cn c

ugsen

Khgsen

gsen

g h sen g h sen K gsen

hh gsen

ρθ

τρθτ

ρθ

ρθρθ ρθ

ρθτ

⎡

⎛⎞

−

⎢

−− ×

⎜⎟

⎢

−

⎝⎠

⎢

⎣

()( )

()

12 1

121

nnhh

h g sen

n n h g sen

nn hh gsen n

ρθτ

ρθ

ρθτ

⎤

⎛⎞

−

⎛⎞

⎥

×−

⎜⎟

⎝⎠ + +

⎥

⎝⎠

⎦

(3.72)

Note que, através de procedimentos matemáticos, o índice de consistência do fluido

(

K ) é eliminado, e a equação (3.72), torna-se:

(

)

()

sen

sen sen

sen

gh h g

hh g

ρθ

ρθτ

ρθ ρθ

ρθτ

⎡⎤

⎢⎥

−

−− ×

⎢⎥

−

⎢⎥

⎣⎦

()

00 0

21 sen sen 21

21 sen

1sen

nhg nhg n nhh

nhg

nhhg n

ρθ ρθτ

ρθ

ρθτ

⎡⎤

⎛⎞

+−+ +

⎢⎥

⎜⎟

⎢⎥

⎝⎠

⎣⎦

(3.73)

Rearranjando os termos da equação (3.73), tem-se:

(

)

()

(sen )

sen sen

sen

gh h g

hh g

τρθτ

ρθ ρθ

ρθτ

⎡⎤

⎢⎥

−

−− ×

⎢⎥

−

⎢⎥

⎣⎦

()

1sen

nhg n

nhhg n

ρθτ

⎡

⎤

⎛⎞

⎢

⎥

×+ +

⎜⎟

⎢

⎥

⎝⎠

⎣

⎦

(3.74)

Fazendo os cálculos necessários para simplificar a equação (3.74), tem-se a seguinte a

equação:

sen sen

gh h g

ττ

ρθ ρθ

⎛⎞

−−− ×

⎜⎟

⎝⎠

()

1sen

sen

sen 1 sen

nhg nh

uh g

hh g n hh g n

ρθτ

ρθτ ρθτ

⎧⎫

⎡⎤

⎡

⎤

−

⎪⎪

⎢⎥

⎢

⎥

⎨⎬

⎢⎥

−+ +

⎢

⎥

⎪⎪

⎣

⎦

⎣⎦

⎩⎭

(3.75)

Portanto, através das equações (3.70) e (3.71), tem-se a equação da quantidade de

movimento em variáveis adimensionais:

** *2

** *

2sensen

uh u h h

hg hg

tx x

ττ

αβ

θρθ

⎛⎞

∂∂ ∂

++ =− −− ×

⎜⎟

∂∂ ∂

⎝⎠

()

1sen

sen

sen 1 sen

nhg nh

uh g

hh g n hh g n

ρθτ

ρθτ ρθτ

⎧⎫

⎡⎤

⎡

⎤

−

⎪⎪

⎢⎥

⎢

⎥

⎨⎬

⎢⎥

−+ +

⎢

⎥

⎪⎪

⎣

⎦

⎣⎦

⎩⎭

(3.76)

Aplicando a regra da cadeia no primeiro membro da equação (3.76), tem-se:

(

)

* *** * *

*******

** ** * * *

hhhuuh

uuuhhuh

tx t t t x x

αα αβ

⎛⎞

∂

⎜⎟

∂∂∂∂∂∂

+−+++ +=

⎜⎟

∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎜⎟

⎝⎠

sen sen

hg hg

ττ

ρθ ρθ

⎛⎞

=− −− ×

⎜⎟

⎝⎠

()

1sen

sen

sen 1 sen

nhg nh

uh g

hh g n hh g n

ρθτ

ρθτ ρθτ

⎧⎫

⎡⎤

⎡

⎤

−

⎪⎪

⎢⎥

⎢

⎥

⎨⎬

⎢⎥

−+ +

⎢

⎥

⎪⎪

⎣

⎦

⎣⎦

⎩⎭

(3.77)

Usando a equação da conservação da massa, a equação da quantidade de movimento

em (3.77), torna-se:

()

** ***

sen sen

uu uhh

hg hg

tx htx

ττ

αα β

θρθ

⎛⎞

∂∂ ∂∂

+−− +=− −− ×

⎜⎟

∂∂ ∂∂

⎝⎠

()

1sen

sen

sen 1 sen

nhg nh

uh g

hh g n hh g n

ρθτ

ρθτ ρθτ

⎧⎫

⎡⎤

⎡

⎤

−

⎪⎪

⎢⎥

⎢

⎥

⎨⎬

⎢⎥

−+ +

⎢

⎥

⎪⎪

⎣

⎦

⎣⎦

⎩⎭

(3.78)

Omitindo os asteriscos (*) e as barras (−) após a adimensionalização, conforme

demonstrado, tem-se o sistema de equações para o escoamento de fluido hiperconcentrado,

em canal inclinado, a partir da proposta reológica de Herschel-Bulkley em variáveis

adimensionais. Esse sistema é dado pela equação da conservação da massa e da quantidade de

movimento.

Equação da conservação da massa:

()

∂

∂∂

(3.79)

Equação da quantidade de movimento:

()

uu uhh

tx htx

αα β

∂∂ ∂∂

+−− +=

∂∂ ∂∂

()

uC n nCh

hC n hnC

⎧⎫

⎡

⎤⎡ ⎤

−++

⎪⎪

⎢

⎥⎢ ⎥

=− − −

⎨⎬

⎢

⎥⎢ ⎥

−++

⎪⎪

⎣

⎦⎣ ⎦

⎩⎭

(3.80)

Sendo:

h g sen

= (3.81)

Introduzindo as variáveis adimensionais no coeficiente de distribuição de velocidade

()

, tem-se:

()

() ( )

() ()

21 43

121

n h h gsen n n

n h h g sen n n

hh gsen

ρθτ

ρθ τ

⎡⎤

+++

⎣⎦

⎡⎤

++++

⎢⎥

⎣⎦

(3.82)

Assim, neste capítulo foi estabelecido o sistema de equações que rege o escoamento

laminar de um fluido hiperconcentrado, escoando em um canal inclinado, em variáveis

adimensionais, a partir de uma “proposta reológica mais generalizada”, conforme mostra as

equações (3.79) e (3.80).

A partir do modelo matemático concebido em variáveis adimensionais, tem-se o

objetivo de determinar condições para a formação de instabilidades. Essas condições podem

ser estabelecidas, a partir de uma análise de estabilidade linear.

CAPÍTULO 4

4. ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR

A teoria da estabilidade linear é uma ferramenta que tem permitido obter informações

importantes, tais como a taxa de crescimento das instabilidades e a velocidade de propagação,

em função do número de ondas.

Esse capítulo tem como objetivo colocar em evidência as condições necessárias para

que ocorra a formação de instabilidades no escoamento laminar e uniforme de um fluido

hiperconcentrado, em um canal inclinado.

Para estabelecer a análise de estabilidade linear, uma perturbação infinitesimal será

adicionada às equações (3.79) e (3.80).

Sendo:

()

1,hHxt=+ (4.1)

()

1,uVxt=+ (4.2)

Considerando

1, <<VH

, as equações (3.79) e (3.80) serão linearizadas para a

obtenção de uma equação em

H .

4.1 Linearização do Sistema de Equações

Substituindo as relações (4.1) e (4.2) no modelo matemático determinado em variáveis

adimensionais, dado pelas equações (3.79) e (3.80), tem-se um novo sistema de equações em

função das variáveis

e H .

Equação da Conservação da Massa:

()

(

)

111

110

HVH

txx

∂+ ∂+ ∂+

++ ++ =

∂∂∂

(4.3)

VHH

∂∂∂

=− −

∂∂∂

(4.4)

Equação da Quantidade de Movimento:

() () ()() () ()

11211 1 1

VH V H H

HV HV V H

tt x x x

ααβ

∂∂ ∂ ∂ ∂

++++++++ ++ =

∂∂ ∂ ∂ ∂

()

(1 )

11(1)

nnCH

HC C

HC n H nC

⎧

⎫

⎡

⎤

++ +

⎡⎤

−

⎪

⎢

⎥

=+ − −−

⎢⎥

⎨

⎬

⎢

⎥

+− + + +

⎢⎥

⎪

⎣⎦

⎣

⎦

⎩⎭

(4.5)

O conceito de onda envolve as noções de espaço e tempo e deve satisfazer uma

equação, “a equação de onda”, na qual o atributo essencial é exibir o movimento de

propagação. Para a determinação dessa equação, segue-se os seguintes passos:

1º) Deriva-se a equação (4.4), em relação a

, obtendo a seguinte relação:

∂

−

∂∂

∂

−=

∂

(4.6)

2º) Deriva-se a equação (4.4), em relação a

t e obtém-se a seguinte igualdade:

∂∂

∂

−

∂

−=

∂∂

∂

(4.7)

3º) Deriva-se a equação (4.5) em relação a

e obtém-se a seguinte relação:

22 2

VH V H H

xt xt

αα β

∂∂ ∂ ∂ ∂

++ + + =

∂∂ ∂∂

∂

∂∂

()

11 1 1

1((1)(1))

VC n nC H

HC n H nC

−

⎧⎫

⎡⎤⎡ ⎤

+− ++ +

∂

⎪⎪

⎢⎥⎢ ⎥

=−− ×

⎨⎬

⎢⎥⎢ ⎥

∂

−− + + +

⎪⎪

⎣⎦⎣ ⎦

⎩⎭

()

11 11

VHC VC

⎧

⎡∂ ∂

⎛⎞

×++−−+−×

⎨

⎜⎟

⎢

∂∂

⎝⎠

⎣

⎩

()

()( )

()

nnC H

nHnC

⎤

⎛⎞

++ +

⎥

⎜⎟

×+

⎥

⎜⎟

+++

+−

⎥

⎝⎠

⎦

()

()( )

()

111

nnCn HnC

⎡

⎛⎞

+−

∂

⎛

⎢

⎜⎟

++++++−

⎜

⎢

⎜⎟

∂

+− ⎝

⎢

⎝⎠

⎣

()

()( )

()

()( )

111

nnCn HnC

nHnC

⎫

∂⎤

⎪

⎞

−++ +++

⎬

⎟

⎥

∂

⎡

⎤

⎠

⎦+++

⎪

⎣

⎦

⎭

(4.8)

4º) Substituindo as equações (4.4), (4.6) e (4.7) em (4.8), tem-se uma equação diferencial

parcial de segunda ordem, dada por:

() ()

221 0

HHHHH

xt x t

αβ α

∂∂∂∂∂

+− + + + + =

∂∂ ∂ ∂

∂∂

(4.9)

Considera-se como solução da equação (4.9), a seguinte relação:

(

)

ikx t

HHe

−

= (4.10)

Sendo:

:k número de ondas;

ωω

=+ (freqüência)

Substituindo a relação (4.10) na equação (4.9), pode-se determinar a equação da

dispersão, na qual relaciona o número de ondas com a taxa de crescimento e a velocidade de

propagação dessas ondas. Essa equação é dada por:

()()()

2210kni k n ki

ωα ωαβ

−−+−−+= (4.11)

Resolvendo a equação (4.11), tem-se:

kni abi

ωα

⎡⎤

=−±+

⎣⎦

(4.12)

Sendo:

()

222

4aakn

αβ

=−+− (4.13)

()

42 1bn nki

=+− (4.14)

Por definição uma onda ao se propagar percorrerá a distância de um comprimento de

onda (

) em um período T . Lembrando que

= é a freqüência, e

= é o número de

ondas, a velocidade de propagação da onda ou velocidade de fase é dada por:

=⇒= (4.15)

Portanto, separando a parte real da parte imaginária em (4.12), pode-se determinar

analiticamente as expressões que definem a taxa de crescimento das perturbações e a

velocidade de propagação, em função do número de ondas, tais relações são dadas por:

()

(

)

naba

⎡⎤

=−± +−

⎢⎥

⎣⎦

(4.16)

()

kaba

ωα

⎡⎤

ℜ= ± ++

⎢⎥

⎣⎦

(4.17)

Sendo:

()

: taxa média de crescimento das instabilidades;

()

ℜ

: velocidade de fase ou velocidade de propagação da onda.

4.2 Condições para Formação de Instabilidades

Sabendo que

01n<≤

01.2

≤

, tem-se

0b >

, para

≠

. Para ( ) 0I

< ,

()

−

tende a se estabilizar.

Para determinar uma condição de formação de instabilidade para o escoamento

uniforme, deve-se considerar que

(

)

> .

Contudo,

(

)

, se e somente se:

()

naba−< + − (4.18)

Substituindo as relações (4.13) e (4.14) na equação (4.18), tem-se a seguinte relação:

()

21nn

ααβ

+−

−+<

(4.19)

Substituindo a relação (4.1) na equação (3.82), tem-se o seguinte resultado para o

coeficiente de distribuição de velocidade (

()

() ( )

() ()

*2*2

21 43

12 1

nCnn

nnCnnC

⎡⎤

++ +

⎣⎦

⎡⎤

++ ++

⎣⎦

(4.20)

Substituindo a equação (4.20) na relação (4.19), tem-se que o escoamento torna-se

instável se:

()

()( )

() ()

*2*2

21 43

12 1

nnnCn

nnnCnC

⎧⎫

⎡⎤

++ +

⎪⎪

⎣⎦

<+− =

⎨⎬

⎡⎤

++ + +

⎪⎪

⎣⎦

⎩⎭

(4.21)

Para um fluido com comportamento reológico do tipo Power Law 0

=C , tem-se o

seguinte critério de instabilidade:

(4.22)

Essa relação de instabilidade está em consonância com a literatura, conforme mostrado

por (Ng e Mei, 1994).

Para um fluido Binghamiano, a relação de instabilidade é dada por:

()

⎡⎤

⎛⎞

⎢⎥

⎜⎟

<− =

⎢⎥

⎜⎟

⎢⎥

⎝⎠

⎣⎦

(4.23)

Para a reologia Newtoniana, tem-se:

<= (4.24)

Conforme mostrado por (Prokopiou et al., 1991) quando fez análise uma análise de

estabilidade linear para escoamento de fluido Newtoniano (

), considerando que o perfil

de velocidade do escoamento era parabólico.

4.3 Taxa de Crescimento das Instabilidades

O objetivo desse item é mostrar numericamente a taxa de crescimento das

instabilidades em função do número de ondas para escoamentos de fluidos hiperconcentrados

(Herschel-Bulkey, Bingham e Power Law) e também Newtoniano.

- Taxa de crescimento da perturbação para fluido de Herschell-Bulkley

A Figura (4.1) mostra numericamente a taxa de crescimento das perturbações

(

)

(

)

em função do número de ondas (

k ), para vários valores

. Fixando o valor do parâmetro

0.1C = , pode-se verificar a influência o índice de escoamento do fluido (

(a) (b)

Figura 4.1: Taxa de crescimento das perturbações para um fluido do tipo Herschel-Bulkley.

- Taxa de crescimento das perturbações para o modelo reológico do tipo Power Law.

A Figura (4.2) mostra numericamente a taxa de crescimento das perturbações

(

)

(

)

em função do número de ondas (

k ), para vários valores

. Verifica-se a influência o índice

de escoamento do fluido (

(a) (b)

Figura 4.2:Taxa de crescimento das perturbações para um fluido do tipo Power Law

- Taxa de crescimento das perturbações para fluido Binghamiano e Newtoniano.

As Figuras 4.3a e 4.3b mostram a taxa de crescimento das perturbações para

escoamentos de fluido Binghamiano e fluido Newtoniano, respectivamente.

(a) (b)

Figura 4.3:Taxa de crescimento das perturbações para um fluido Binghamiano e Newtoniano.

Comentários:

Através das Figuras (4.1), (4.2) e (4.3) observa-se que as curvas neutras da

estabilidade ocorrem quando

0=k e

e que para todos os valores de k o ponto inicial

da instabilidade depende n e

C . Se

> , todas as perturbações com 0≠k são menores

do que zero.

É importante ressaltar que para

≤

, quanto maior for o valor de n, menor será o

valor de

Comparando as Figuras (4.1) e (4.2), observa-se que para um fluido de Herschel-

Bulkley, com 1.0

=C e 4.0=n , o valor de

e o comportamento da função são

semelhantes ao que foi encontrado por (Ng e Mei 1994), quando utilizou o modelo reológico

do tipo Power Law.

Observando as Figuras (4.3a) e (4.3b), nota-se a semelhança no critério de estabilidade

entre um fluido de Bingham e um fluido Newtoniano, no qual 3

, conforme mostra a

literatura.

A análise de estabilidade linear do escoamento uniforme mostra que a taxa de

crescimento das instabilidades aumenta com o número fixo de ondas, e conseqüentemente é

insuficiente para sugerir um comprimento de onda para a Roll Wave, dessa forma, conclui-se

não existir uma seleção do comprimento de ondas.

4.4 Velocidade de Propagação das Instabilidades

Através da equação (4.17) pode-se determinar a velocidade de propagação das

perturbações, para vários valores de

, considerando o modelo de Herschel-Bulkley. De

acordo com os valores utilizados para os parâmetros (

n e

C ), determina-se também a

velocidade de propagação em outros modelos reológicos (Power Law, Binghamiano e

Newtoniano).

- Velocidade de propagação das perturbações para um fluido do tipo Herschel-Bulkley

A Figura 4.4, mostra a velocidade de propagação em função de

(nº de ondas), para

diferentes valores de

. Fixando o valor do parâmetro (

C ), verifica-se a influência do índice

de escoamento do fluido (

(a) (b)

Figura 4.4 Velocidade de propagação das perturbações para fluido de Herschel-Bulkley

- Velocidade de propagação das perturbações para um fluido do tipo Power law.

A Figura (4.5) mostra numericamente a velocidade de propagação em função do

número de ondas (

k ), para vários valores

. Verifica-se a influência o índice de escoamento

do fluido (

n ).

(a) (b)

Figura 4.5: Velocidade de propagação das perturbações para um fluido do tipo Power Law.

- Velocidade de propagação dos distúrbios para fluido Binghamiano e Newtoniano.

As Figuras 4.6a e 4.6b mostra a taxa de crescimento das perturbações para

escoamentos de fluido Binghamiano e fluido Newtoniano, respectivamente.

(a) (b)

Figura 4.6: Velocidade de propagação das perturbações para fluido Binghamiano e

Newtoniano.

Comentários:

Comparando os resultados através das Figuras (4.4), (4.5) e (4.6), pode-se observar

que para os diferentes tipos de modelos reológicos, ao aumentar o valor de

, ou seja,

diminuído o número de Froude (

Fr ), ocorre um aumento significativo na velocidade de

propagação das instabilidades. Nota-se, que esse resultado está em concordância com a

definição do número de Froude.

Observando a Figura (4.5) nota-se que o comportamento da função que define a

velocidade de propagação das perturbações está em consonância com os resultados

encontrados por (Ng e Mei, 1994), quando utilizou o modelo reológico do tipo Power Law

(

0C = ).

Pode-se observar também que os resultados obtidos com análise feita neste capítulo

estão em concordância com os resultados apontados na literatura.

Neste capítulo, através de uma análise de estabilidade linear, foram determinadas as

condições para formação de instabilidades no escoamento estudado, tanto para fluido

hiperconcentrado quanto para fluido Newtoniano.

No entanto, a análise feita, garante a formação de instabilidades a partir das condições

verificadas e determina a velocidade de propagação das perturbações, mas não é o suficiente

para garantir o aparecimento de Roll Waves.

No capítulo 5, será determinada uma equação geral para geração de tais

instabilidades, impondo uma teoria analítica de Roll Wave permanente, na qual, serão

utilizadas as condições de formação de instabilidades, obtidas nesse capítulo, para verificar se

ocorre a geração do fenômeno estudado.

CAPÍTULO 5

5. EQUAÇÃO DAS ROLL WAVES

Para a determinação de um modelo global de geração de Roll Waves, o sistema de

equações para escoamento de águas rasas (shallow water equations), em variáveis

adimensionais, determinado no capítulo 3, pelas equações (3.79) e (3.80), deverá ser reescrito

em um sistema móvel de coordenadas, na qual, o método utilizado descreve o movimento de

uma única onda no sistema de coordenadas.

Por hipótese, tem-se:

=− , sendo que U representa uma velocidade constante de propagação (celeridade).

A partir dessa hipótese, pode-se estabelecer as seguintes relações:

uux u

txt x

∂∂∂ ∂

==−

∂∂∂ ∂

(5.1)

uux u

∂∂∂ ∂

(5.2)

hhx h

txt x

∂∂∂ ∂

==−

∂∂∂ ∂

(5.3)

hhx h

∂∂∂ ∂

(5.4)

Assim, a equação da conservação da massa, torna-se:

()

hx x

xt x

∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂ ∂

(5.5)

Derivando o sistema móvel de coordenadas e aplicando na equação (5.5), tem-se a

seguinte equação para a conservação da massa:

()

∂

−+ =

∂∂

(5.6)

()

Uh hu

∂

−+ =

∂

(5.7)

()

hu U c−= (constante) (5.8)

Note que, em regime permanente, pode-se considerar que: ( , ) (1,1)hu

= é solução da

equação, portanto a equação da conservação da massa fica da seguinte forma:

()

1hu U U−=− (5.9)

A equação da quantidade de movimento torna-se:

()

111

'' '' sen sen

uh uhh

Uu U

xx hxxhghhg

ττ

αα β

ρθ ρθ

⎛⎞

∂∂ ∂∂

−+ +− + =− −− ×

⎜⎟

∂∂ ∂∂

⎝⎠

()

1sen

sen

sen 1 sen

nhg nh

uh g

hg n hhg n

ρθτ

ρθτ ρθτ

⎧⎫

⎡

⎤

⎡⎤

−

⎪⎪

⎢

⎥

⎨⎬

⎢⎥

−+ +

⎢

⎥

⎣⎦

⎪⎪

⎣

⎦

⎩⎭

(5.10)

Substituindo a equação da conservação da massa na equação de quantidade de

movimento e omitindo o sobrescrito (') do sistema de equações, a variável u é eliminada,

assim, tem-se a seguinte equação:

()

Uhh

zhgsen hgsen

ττ

αβ

θρθ

⎛⎞

−

⎛⎞

∂

⎜⎟

−− + =− −− ×

⎜⎟

∂

⎝⎠

()

Uh h gsen

nhgsenn

hh gsen n h h gsen n

ρθτ

ρθτ ρθτ

⎧⎫

⎡⎤

+− −

⎡

⎤

⎪⎪

⎢⎥

⎨⎬

⎢

⎥

−++

⎢⎥

⎣

⎦

⎪⎪

⎣⎦

⎩⎭

(5.11)

Portanto, rearranjando os termos da equação (5.11), tem-se uma equação diferencial

para a geração de Roll Waves, dada por:

()

111

Uh C

nnC

hC C

nhnC

αβ

⎧⎫

⎡⎤

+−−

⎡

⎤

⎪⎪

⎢⎥

−−−

⎢

⎥

⎨⎬

⎢⎥

−

⎢

⎥

⎪⎪

⎣

⎦

∂

⎣⎦

⎩⎭

∂

⎛⎞

−

⎜⎟

−− +

⎜⎟

⎝⎠

(5.12)

Sendo:

cos

uFr

(5.13)

sen

= (5.14)

()

() ( )

()

*2*

21 43

12(1)

nhCnn

nhnnCnCh

⎡⎤

++ +

⎣⎦

⎡⎤

+++ +

⎢⎥

⎣⎦

(5.15)

O modelo matemático determinado para a geração de Roll Waves é uma equação

diferencial ordinária de primeira ordem, não linear, que apresenta singularidades. Portanto,

tais ondas serão tratadas como ondas de choque, conforme os apontamentos da literatura,

Dressler (1949), Ng e Nei (1994), Noble (2001), entre outros.

É importante ressaltar que o modelo proposto neste trabalho verifica o resultado obtido

por Ng e Mei (1994), utilizando o modelo reológico do tipo Power Law (

0C = ).

5.1 Ondas de Choque e Descontinuidades

O termo onda de choque é reservado na literatura aos casos de descontinuidades

evolutivas, podendo ser caracterizada por perturbações em propagação, onde as propriedades

como a velocidade, variam de maneira abrupta e quase descontinua, apresentando um perfil

de onda bem demarcado com um “pico para baixo”. Estas ondas podem ocorrer tanto em

meios físicos, propagando de maneira mecânica, quanto em campos elétricos e magnéticos.

Essas ondas são bastante comuns na natureza. Para ilustrar este fato, tem-se como

exemplo, a figura 1.1 do capítulo 1.

5.2 Perfil de uma Roll Wave

Matematicamente, a Roll Wave é definida como onda cinemática, periódica e com

velocidade constante, na qual a velocidade da onda deve ser maior do que a velocidade do

fluido.

No comprimento de cada onda, existe uma transição de escoamento supercrítico

(

1Fr >

) para escoamento subcrítico (

1Fr

). Dressler (1949), mostrou que existe uma seção

crítica, no sistema móvel de coordenadas, desde que:

()

() 1

−

(5.16)

Sendo que:

u é a velocidade do escoamento e U é a velocidade de propagação da onda.

Devido a essa transição de escoamento, a formação de Roll Waves consiste de um

perfil contínuo entre choques sucessivos aumentando no sentido do declive do canal, assim,

através da equação (5.12), procura-se solução do tipo:

()

hFh

xGh

∂

(5.17)

A Figura (5.1) mostra o perfil de uma Roll Wave e as regiões de transições do

escoamento

Figura 5.1 Perfil de uma Roll Wave.

Observando a Figura (5.1), pode-se definir

como sendo o comprimento da Roll

Wave,

h a altura antes do choque,

h a altura crítica do escoamento e

h a altura depois do

choque.

A partir da equação (5.12), tem-se:

()

() ()

111

()

Uh C

nnC

hC C

nhnC

hFh

UUhh

αα β

−

⎧⎫

⎡⎤

+− −

⎡⎤

⎪⎪

⎢⎥

−−−

⎢⎥

⎨⎬

⎢⎥

−

⎢⎥

⎪⎪

⎣⎦

∂

⎣⎦

⎩⎭

=≡

∂

⎡⎤

−−− +

⎣⎦

(5.18)

Em conseqüência, tem-se:

()

hx dx

∫

(5.19)

A integração numérica da equação (5.18) determina

(

)

hx, mostrando o perfil das

Roll Waves, além disso, pode-se definir o comprimento da onda, da seguinte forma:

()

∫

(5.20)

É necessário verificar as condições de choque, para determinar os limites de

integração (

h e

h ).

5.2.1 Condições de Choque

Esse item tem como objetivo determinar a profundidade do escoamento depois do

choque; para isso é necessário estabelecer algumas condições.

Sabe-se que as equações para a onda de choque admitindo um salto nos parâmetros do

escoamento foram estabelecidas em 1870 por Rankine. Destas equações pode-se determinar

as relações entre os parâmetros imediatamente antes e após o choque, as chamadas condições

de Rankine-Hugoniot (SHAPIRO, 1953). Essas condições são derivadas da equação da

conservação da massa e da equação da quantidade de movimento. Para o problema em

questão, as condições são dadas por:

[] []

Uh uh=

(5.21)

[]

Uuh uh h

αβ

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

(5.22)

Sendo que:

[]

hhh=− é o salto da propriedade.

Usando a relação (5.9) e eliminando

u da equação (5.21), determina-se a relação entre

as duas alturas

h e

h .

()

22 2 2

12 1 2 12

(1 ) 1 0

UhhU hh hh

ααββ

−− −− − = (5.23)

Resolvendo para

h com 0

> , segue:

()

αα

ββ

⎧⎫

⎡⎤

−

⎪⎪

=+− + −−−

⎢⎥

⎨⎬

⎢⎥

⎪⎪

⎣⎦

⎩⎭

(5.24)

Para 0

= (parede vertical), tem-se:

()

−

(5.25)

5.3 Velocidade de Propagação da Roll Wave

Ng e Mei (1994), fazendo o estudo de Roll Waves, para a reologia do tipo Power Law,

mostram que na seção crítica, o denominador e o numerador da equação da Roll Wave são

nulos.

Dessa forma, considerando a equação (5.12), pode-se determinar analiticamente a

velocidade de propagação da Roll Wave em um ponto crítico, sendo que

h deve pertencer ao

intervalo

(

)

,hh , ou seja,

12c

hhh<<.

Através das equações (5.8) e (5.9), tem-se o valor da constante c:

1cU=− (5.26)

Assim

()

Fh e

(

)

Gh podem ser expressas da seguinte maneira, respectivamente:

()

() 1 0

cUh C

nnC

Fh h C C

nhnC

⎧⎫

⎡⎤

+−

⎡⎤

⎪⎪

⎢⎥

=− −− =

⎢⎥

⎨⎬

⎢⎥

−

⎢⎥

⎪⎪

⎣⎦

⎩⎭

(5.27)

()

() 1 0

Gh U h

αβ

⎛⎞

⎜⎟

=− − + =

⎜⎟

⎝⎠

(5.28)

Considerando

(

)

Fh = , pode-se determinar a velocidade de propagação em função

h :

()

1(1)

hC n hnC

CnnC

⎛⎞⎡ ⎤

−++

⎜⎟

⎢⎥

=−

⎜⎟

−++

⎢⎥

⎝⎠⎣ ⎦

(5.29)

Substituindo a equação (5.29) em (5.28) e considerando que a velocidade de

propagação da Roll Wave deve maior que zero (

0U >

) determina-se valor da constante c, da

seguinte forma:

()

nhnC

CnnC

⎡⎤

⎛⎞

−

=− − +

⎢⎥

⎜⎟

−++

⎢⎥

⎝⎠

⎣⎦

()

(1)

hC n hnC

CnnC

αα β

⎧⎫

⎡⎤

⎛⎞

⎪⎪

−++

⎪⎪

−− +

⎢⎥

⎜⎟

⎨⎬

⎜⎟

−++

⎢⎥

⎪⎪

⎝⎠

⎣⎦

⎪⎪

⎩⎭

(5.30)

Com a determinação das condições de choque e da velocidade de propagação em um

ponto critico o modelo matemático desenvolvido neste trabalho para geração de Roll Waves é,

na seqüência, avaliado numericamente.

CAPÍTULO 6

6. RESULTADOS NUMÉRICOS

Neste capítulo serão apresentados os resultados numéricos da equação (5.12), através

de uma rotina de cálculo desenvolvida utilizando-se a linguagem de programação Python,

mostrando o comportamento da função

(

)

hx, verificando a formação e a evolução das

instabilidades estudadas.

6.1 A Linguagem de Programação Python

O Python é uma linguagem de programação clara e expressiva, permitindo uma maior

concentração do programador sobre o algoritmo e não sobre o código. É dinamicamente

interpretada e orientada a objetos. Sendo de alto nível, sua utilização não é condicionada por

detalhes, tais como gerenciamento de memória, tipos de dados ou outras limitações.

A estrutura orientada a objetos permite a construção de algoritmos complexos e com

alta legibilidade, contribuindo para um melhor reaproveitamento do código, assim como para

sua extensão e otimização.

O interpretador mais comum de Python, (Cpython), é escrito em C, o que permite que

códigos também escritos nessa linguagem sejam compilados em módulos e carregados na

forma de uma biblioteca dentro de um script, com perda de desempenho computacional

próximo de zero.

No presente trabalho, para realizar a resolução numérica do modelo matemático de

geração de Roll Waves, primeiramente determina-se o comprimento da onda através da

equação (5.19), utilizando a função “quad” do módulo Scipy.integrate, essa função utiliza

como método de integração a Quadratura de Gauss. Em seguida, é utilizada a função “odeint”

da biblioteca de Fortran compilada em Python, para a resolução da equação (5.12) e

determinação da função ( )hx, mostrando o perfil das Roll Waves.

A função odeint no pacote Scipy.integrate, utiliza o método Isoda para a resolução de

equações diferenciais ordinárias, desenvolvido por Hindmarsh (1980) e Petzold (1983) no

laboratório Lawrence Livermore, como parte do pacote odepack.

Para maior comodidade do leitor, o algoritmo desenvolvido neste trabalho, utilizando

as funções citadas (quad e odeint) está no apêndice (E).

Procedimentos numéricos:

i) É necessário especificar os parâmetros constantes

C e

h , sendo que os

valores utilizados para

, são obtidos através da análise de estabilidade linear.

ii)

Entrar com

h (altura antes do choque), para determinar o valor de

h , obtido

através das condições de choque.

iii)

Determinar

(comprimento de onda), integrando numericamente a equação

(5.19).

iv)

Integrar a equação (5.12) para determinar o perfil da Roll Wave.

6.2 Roll Waves para a Proposta Reológica de Herschel-Bulkley

a) Influência do parâmetro

Através do resultado de análise de estabilidade linear, para 4.0

n e 1.0

=C , tem-se

a seguinte condição para que ocorra a formação de instabilidade:

3437.11

A Figura 6.1, mostra o perfil das Roll Waves através de resultados numéricos da

equação (5.12) e seus respectivos planos de fases, para 0

e 1

, variando a velocidade

de propagação U, que é obtida numericamente através da equações (5.28) e (5.29).

(a) Perfil das Roll Waves para 0

(b) Perfil das Roll Waves para 1

(d) Plano de fases para

(b) Plano de fases para 1

Figura 6.1: Perfil das Roll Waves em fluido de Herschel-Bulkley e seus respectivos planos de

fases, variando o valor de

Ao analisar os resultados numéricos mostrados na fig. (6.1), fixando

4.0

n e

1.0

=C , nota-se que:

- ocorre a presença de Roll Waves estabilizadas;

- aumentando o valor do parâmetro

, ocorre um aumento na velocidade de propagação da

onda, ou seja, quanto menor o número de Froude, maior será a velocidade da Roll Wave, o

que está de acordo com a definição do número de Froude;

- aumentando o valor de

ocorre um aumento significativo no comprimento da Roll Wave e

uma diminuição na amplitude da mesma.

A figura 6.2 mostra o perfil das Roll Waves através de resultados numéricos da

equação (5.12), para 5

= e 11

= , fixando 4.0

n e

1.0

= (C) 8

(d)

Figura 6.2 Perfil das Roll Waves em fluido de Herschel-Bulkley, variando o valor de

Ao analisar os resultados numéricos mostrados na fig. (6.2), fixando

4.0

n e

1.0

, nota-se que:

- quanto mais próximo da curva neutra de estabilidade, onde

, menores serão as

amplitudes das instabilidades e maiores serão os comprimentos;

- na tentativa de utilizar

> , não houve geração de instabilidades.

b) Influência do parâmetro

C (coesão do fluido)

Fixando os valores de 1

= e 0.4n

, a Figura (6.3) mostra numericamente o perfil

das Roll Waves para fluido de Herschel-Bulkley variando a coesão do fluido

()C

(b)

0.2C =

(b)

0.3C =

(c)

0.5C =

(d)

0.6C =

Figura 6.3 Perfil das Roll Waves para fluido de Herschel-Bulkley, variando o valor de

Ao analisar a Figura 6.3, observa-se que:

- um aumento no parâmetro

C (coesão do fluido), causa uma pequena diminuição no

comprimento das Roll Waves geradas, além disso a velocidade de propagação também

diminui;

- na tentativa de utilizar

0.6C > , não houve geração de instabilidades.

c) Influência do índice de escoamento do fluido (n)

Para 0

= e

0.1C = , a Figura (6.4) mostra o perfil das Roll Waves através de

resultados numéricos, variando o valor do índice de escoamento (n).

(a)

0.2n =

(b)

0.6n =

Figura 6.4 Perfil das Roll Waves em fluido de Herschel-Bulkley variando o valor de

para

Analisando a Figura (6.4), observa-se que:

- o aumento do índice de escoamento (n) causa um pequeno aumento no comprimento das

ondas geradas;

- ocorre também um aumento na velocidade de propagação.

Considerando 1

= e

0.1C =

, a Figura (6.5) também mostra o a formação de Roll

Waves, variando o índice de escoamento (n).

(a) 0.2n = (b) 0.6n =

Figura 6.5:

Perfil das Roll Waves variando o valor de n para 1

= .

Observando a Figura (6.5), verifica-se que:

- aumentando o valor de n ocorre um aumento significativo no comprimento das ondas

geradas;

- o aumento ocorrido no comprimento dessas ondas é maior do que o aumento que ocorreu

para 0

= , observado na Figura (6.4).

Nota: Uma vez analisados os resultados para a reologia de Herschel-Bulkley, teve-se o

interesse de checar a evolução das Roll Waves para outras reologias, cumprindo com os

objetivos desta dissertação. De plano, os resultados aparecem no apêndice F, apresentando

comportamentos semelhantes com o que foi apresentado neste capítulo.

CAPÍTULO 7

7. DISCUSSÕES E PERSPECTIVAS

Discussões

Este trabalho apresentou um modelo matemático para geração de Roll Waves em

fluidos hiperconcentrados, escoando em um canal inclinado, utilizando o modelo reológico de

Herschel-Bulkley, apontando os seguintes resultados:

- através de uma análise de estabilidade linear verifica-se o aparecimento de Roll Waves

quando :

> , sendo:

()

()( )

() ()

*2*2

21 43

12 1

nnnCn

nnnCnC

⎧⎫

⎡⎤

++ +

⎪⎪

⎣⎦

=+−

⎨⎬

⎡⎤

++ + +

⎪⎪

⎣⎦

⎩⎭

, onde: Fr é o número de Froude, n

o índice de escoamento do fluido e

C a coesão do fluido.

- o modelo também gera Roll Waves para propostas reológicas mais simplificados (Bingham,

power law e fluido newtoniano);

Quanto aos resultados numéricos mostrando a evolução das instabilidades, a partir das

condições de existência, observa-se que:

- quanto menor o número de Froude, maior será a velocidade de propagação da Roll Wave;

- quanto maior o número de Froude (

Fr ), maior será o comprimento da onda gerada e menor

a amplitude;

- quanto maior a tensão crítica (

), menor será o comprimento da onda;

- com o aumento do índice de escoamento (n) do fluido, ocorre um aumento do comprimento

da Roll Wave, ou seja, quanto mais próximo de ser Newtoniano, ondas mais longas aparecem;

- para fluidos do tipo Power Law e Binghamiano, os resultados estão em consonância com o

que foi predito por (Ng e Mei, 1994) e (Maciel, 2001).

Comentários Finais

Este trabalho de pesquisa foi desenvolvido com base em referências do contexto de

Roll Waves, tanto em fluido hiperconcentrado quanto em fluido Newtoniano. De uma maneira

geral, pode-se tratar de aspectos importantes na geração e propagação do fenômeno Roll

Waves.

No plano teórico, foi adquirido conhecimentos na formulação do sistema de equações

para águas rasas (shallow water equations), suas propriedades e aplicações. Ainda nesse

contexto, pôde-se avançar para determinar as condições de existência de instabilidades através

de uma análise de estabilidade linear. A partir dessa base foi determinada a velocidade de

propagação dessas instabilidades e a taxa de crescimento das mesmas.

Um modelo matemático para geração de Roll Waves em escoamentos

hiperconcentrados e laminares foi determinado, a partir de uma teoria analítica de Roll Wave

permanente. As condições de choques foram estudadas e determinadas para o modelo em

questão.

No plano numérico, utilizando-se da linguagem de programação Phyton, pode-se

verificar a funcionabilidade do modelo matemático desenvolvido neste trabalho, tanto para

fluido hiperconcentrado quanto para fluido Newtoniano.

Sugestões

Além dos desenvolvimentos matemáticos e resultados numéricos apresentados ao

longo deste trabalho, ainda que de forma global, acredita-se que este estudo deva ser

continuado e sistematizado das formas que se seguem:

- fazer uma análise dimensional do modelo matemático determinado neste trabalho;

- dar seqüência a abordagem matemática de Roll Waves em canais sobre forte declividade,

considerando uma condição de permeabilidade no fundo do canal, ou seja, considerando a

porosidade, levando-se em consideração que os canais não são totalmente lisos e que a

porosidade pode influenciar na formação de instabilidades, conforme mostrado por Pascal

(2006). Neste caso, utilizar a Lei de Darcy como condição de contorno, adaptada ao modelo

reológico de Herschel-Bulkley;

- realizar uma análise comparativa entre resultados obtidos com a condição de

impermeabilidade e de permeabilidade do fundo do canal.

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APÊNDICE A

Demonstração do sistema de equações que rege o escoamento

Considerando um escoamento bidimensional de um fluido hiperconcentrado em um

canal inclinado, o sistema de coordenadas

(

)

z é definido com o eixo

ao longo do canal e

z o eixo normal ao plano inclinado. As componentes de velocidades longitudinal e vertical

são dadas por

()

,uw e a pressão por

, sendo a altura total do escoamento dada por h .

Condições de contorno

() ()

wh uh

∂∂

()

wh uh

∂∂

Integrando a equação da conservação da massa de

Integral de

∂

() ()

dz udz u h u h

xxx

∂

∂∂

=−−

∂∂ ∂ ∂

∫∫

Seja:

u udz

−

∫

hhh−= A4

udz

∂∂

∫

Portanto:

()

uh uh

∂

−+

∂∂∂

Integral de

∂

() ()

dz w h w h

∂

=−

∂

∫

Somando as equações A4 e A5, temos:

() () () ()

ifi

uh uh wh wh

xxx

∂

−++−

∂∂∂

Aplicando as condições de contorno:

()

() () ()

if fi i

fi f i

hhh hhh

uh uh uh uh

xxt xtx

∂∂∂ ∂∂∂

∂

−+++−−

∂∂∂∂ ∂∂∂

Logo, a equação da conservação da massa fica:

uh h

∂∂

A10

O procedimento será o mesmo para a equação da quantidade de movimento, na

direção OX.

Integral de

∂

() ()

dz udz u h u h

tt t t

∂

∂∂

=−+

∂∂ ∂ ∂

∫∫

A11

Seja:

u udz

−

∫

A12

udz

∂∂

∫

A13

Portanto:

()

uuh

dz uh uh

tt t t

∂

∂∂

=− +

∂∂ ∂ ∂

∫

A14

Integral de

∂

() ()

22 2

dz u dz u h u h

xxx

∂

∂∂

=−+

∂∂ ∂ ∂

∫∫

A15

Seja:

uudz

−

∫

A16

udz

∂∂

∫

A17

Portanto:

() ()

uuh

dz uh uh

xxx

∂

∂∂

=− +

∂∂ ∂ ∂

∫

A18

Integral de

∂

()()

fii

dz uh wh uh wh

∂

=−

∂

∫

A19

Somando os resultados das integrais 15, 16 e 17, temos:

() () () ()

ifi

fi f i

hh h h

uh u h

uh uh u h u h

tttx xx

∂∂ ∂ ∂

∂∂

−++− ++

∂∂∂∂ ∂ ∂

(

)

(

)

(

)

(

)

fii

uh wh uh wh+− A20

Aplicando as condições de contorno:

()

() () ()

ifi

fi f i

hh h h

uh u h

uh uh u h u h

tttx xx

∂∂ ∂ ∂

∂∂

−++− ++

∂∂∂∂ ∂ ∂

() () () ()

ffii

hhh

uh uh uh uh

tx tx

∂∂∂

∂

⎛⎞⎛⎞

++−+

⎜⎟⎜⎟

∂∂ ∂∂

⎝⎠⎝⎠

A21

Portanto o lado esquerdo da equação da quantidade de movimento na direção OX fica

da seguinte forma:

u u uw uh u h

tx z t x

⎛⎞

∂∂ ∂ ∂ ∂

++ =+

⎜⎟

∂∂ ∂ ∂ ∂

⎝⎠

∫

A22

O lado direito da equação da quantidade de movimento fica:

xx xz

dz dz

ττ

ρρ

∂∂

∫∫

A23

()

cos

gdz

ρθ τ

ρρ

⎛⎞

∂∂

−+

⎜⎟

∂∂

⎝⎠

∫

A24

Assim, a partir das equações 23 e 24, tem-se a equação da quantidade de movimento:

() ()

cos

uh u h h

gghsen dz

ttx z

θθτ

⎛⎞

∂∂ ∂ ∂

+=− + +

⎜⎟

∂∂∂ ∂

⎝⎠

∫

A25

Sabendo que, 0

= na superfície livre, tem–se:

() ()

()

cos

uh u h h

gghsenh

ttx

θθτ

⎛⎞

∂∂ ∂

⎡

⎤

+=− + −

⎜⎟

⎣

⎦

⎜⎟

∂∂∂

⎝⎠

A26

APÊNDICE B

Cálculo do Perfil de Velocidade

O equacionamento abaixo tem como hipóteses um escoamento uniforme, laminar, de

um fluido incompressível, em canal inclinado, baseado na lei de Herschel-Bulkley.

()( )

gsen h z K

ρθ τ

⎛⎞

−=+

⎜⎟

⎝⎠

()( )

sen

ghz

dz K

θτ

−−

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Resolvendo a equação diferencial (B2), pode-se obter, após alguns desenvolvimentos

matemáticos, o perfil de velocidade u(z) para o fluido em questão:

Seja:

= , então:

()

sen

ghz

ρθ τ

−−

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

()

sen

ghz

ρθ τ

−−

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Integrando de 0 à z:

()

sen

ghz

uz dz

ρθ

µµ

−

⎛⎞

=−

⎜⎟

⎝⎠

∫

Note que:

() ()

sen sen

nnn

ghg z

ρθρθ

µµµ

⎡⎤

−−≥

⎢⎥

⎣⎦

gsen

ρθ

−− ≥ B7

gsen

ρθ

−≥ B8

Seja:

gsen

=− ,

0 zz≤≤ B9

Sendo:

z : profundidade do fluido na região cisalhada

Multiplicando a equação (B9) por

sen

e subtraindo

()

sen

, tem-se:

()

sen

nnn

gzz

ghz

ρθ

µµ

−

=− B10

Logo,

()

sen

gzz

uz dz

ρθ

⎛⎞

−

⎜⎟

⎝⎠

∫

B11

()

sen

uz z z dz

ρθ

⎛⎞

=−

⎜⎟

⎝⎠

∫

B12

Considerando

sen

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

, tem-se:

()

uz z z dz

=−

∫

B13

Integrando por substituição:

dzds

zzs −=⇒−=⇒−= 1

B14

Logo:

()

uz sds

⎡⎤

==−

⎢⎥

⎣⎦

∫

B15

()

(

)

uz z z

=−−

B16

Portanto, tem-se o perfil de velocidade na região não cisalhada (“parte em plug”):

()

uz uz z

para

zzh

≤

≤ B17

Perfil de velocidade na região cisalhada:

()

uz z z z

⎡⎤

=−−

⎢⎥

⎣⎦

para

0 zz

≤

B18

Sabendo que:

sen

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

, o perfil de velocidades na região cisalhada

pode ser representado pela seguinte expressão:

()

sen

ρθ

⎡⎤

⎛⎞

⎢⎥

=−−

⎜⎟

⎢⎥

⎜⎟

⎝⎠

⎢⎥

⎣⎦

B19

APÊNDICE C

Velocidade Média em Relação à Profundidade do Escoamento

Esse item tem como objetivo determinar a velocidade média em relação à

profundidade do escoamento, ou seja, no intervalo

≤

0 , para adequar ao modelo

matemático.

Sabendo que:

u udz

∫

, então no intervalo hz

≤

0 , tem-se que:

uudzudz

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

∫∫

()

sen

sen 1 1

nzn

ugz dz dz

hn z n

ρθ

⎡ ⎤

⎛⎞

⎢ ⎥

⎜⎟

=−−+

⎜⎟

⎢ ⎥

⎜⎟

⎝⎠

⎜⎟

⎢ ⎥

⎝⎠

⎣ ⎦

∫∫

()

00 0

sen

zz h

udzdzdz

nhz

ρθ

⎡⎤

⎛⎞

⎢⎥

=−−+

⎜⎟

⎢⎥

⎜⎟

⎝⎠

⎢⎥

⎣⎦

∫∫ ∫

Integrando por substituição:

vdvdz

=− ⇒ =−

, então:

121

00 0

21 21

znzn

dz z v dv z v z

znzn

⎛⎞ ⎛⎞

−=− =− =−−

⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

∫∫

Então:

()

[]

sen

121

nzn

uzzz

nhzn

ρθ

⎧⎫

⎡⎤

⎪⎪

⎛⎞

⎪⎢ ⎥ ⎪

=+−+

⎜⎟

⎨⎬

⎜⎟

⎢⎥

⎜⎟

⎝⎠

⎪⎪

⎝⎠

⎢⎥

⎣⎦

⎪⎪

⎩⎭

()

00 0

sen

121

uzzhz

nhn

ρθ

⎛⎞

⎡⎤

=−+−

⎜⎟

⎢⎥

⎜⎟

⎣⎦

⎝⎠

()

sen

121

nnh

ρθ

⎛⎞

⎡⎤

=−

⎜⎟

⎢⎥

⎜⎟

⎣⎦

⎝⎠

Sabendo que:

sen

=− , tem-se:

121

hgsen hgsen

ngsen n

n g sen n h g sen

ρθτ ρθτ

ρθ

µρθ ρθ

⎡

⎤

⎛⎞

⎛⎞⎛⎞

−−

=−

⎜⎟ ⎢ ⎥

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

⎝⎠

⎣

⎦

APÊNDICE D

Cálculo do Coeficiente de Distribuição de Velocidade

Para efetuar o cálculo do coeficiente de distribuição de velocidade, tem-se a seguinte

relação:

()

udz

∫

()

sen

dz dz

hn z

ρθ

⎡

⎤

⎛⎞

⎢

⎥

⎛⎞

⎜⎟

⎛⎞

=−−+

⎢

⎥

⎜⎟

⎝⎠

⎢

⎥

⎝⎠

⎜⎟

⎝⎠

⎢

⎥

⎣

⎦

∫

()

sen

ρθ

⎛⎞

=×

⎜⎟

⎝⎠

122

121 1

dz dz

⎡⎤

⎛⎞

⎛⎞⎛⎞

⎢⎥

⎜⎟

×−−+− +

⎜⎟⎜⎟

⎢⎥

⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

⎜⎟

⎢⎥

⎝⎠

⎣⎦

∫∫

()

sen

ρθ

⎛⎞

=×

⎜⎟

⎝⎠

122

21 1

21 32

zn z n

⎡⎤

⎛⎞ ⎛⎞

⎢⎥

×+ − +− +

⎜⎟ ⎜⎟

⎢⎥

⎝⎠ ⎝⎠

⎢⎥

⎣⎦

()

[]

sen

ρθ

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

()

00 0 0

sen

12132

nnn

zz z hz

hn n n

ρθ

⎛⎞

⎡

⎤

⎛⎞ ⎛ ⎞

=−−+−

⎜⎟

⎜⎟ ⎜ ⎟

⎢

⎥

⎜⎟

+++

⎝⎠ ⎝ ⎠

⎣

⎦

⎝⎠

()

() ()()

()()

000

sen 2 3 2 2 1

12132

gz znnznn

hn n n

ρθ

⎛⎞

⎡

⎤

⎛⎞

+− +

⎛⎞

=−

⎜⎟

⎢

⎥

⎜⎟

+++

⎝⎠

⎢

⎥

⎝⎠

⎣

⎦

⎝⎠

()

() ()

()()

sen 4 3

12132

gz nn

hn h n n

ρθ

⎛⎞

⎡

⎤

⎛⎞

=−

⎜⎟

⎢

⎥

⎜⎟

+++

⎝⎠

⎢

⎥

⎝⎠

⎣

⎦

⎝⎠

Sabendo que:

()

sen

121

nnh

ρθ

⎛⎞

⎡

⎤

⎛⎞

=−

⎜⎟

⎢

⎥

⎜⎟

⎝⎠

⎣

⎦

⎝⎠

Substituindo a equação (8) em (7), tem-se:

()

()()

()

2132

21.

hn n

nhnz

⎡⎤

⎛⎞

−

⎢⎥

⎜⎟

⎢⎥

⎝⎠

⎣⎦

⎡⎤

+−

⎢⎥

⎣⎦

()() ()

(

)

() ()

2132 4321

21 32

nnhznn nh

nhnz n

++− + +⎡⎤

⎣⎦

+− +⎡⎤

⎣⎦

D10

Substituindo:

sen

=− , tem-se a seguinte expressão para o coeficiente de

distribuição de velocidade:

() ( )

() ()

21 43

121

nhgsen nn

hgsen

ρθτ

ρθ τ

⎡⎤

+++

⎛⎞

⎣⎦

⎜⎟

⎡⎤

⎝⎠

++++

⎢⎥

⎣⎦

D11

APÊNDICE E

Código para resolução numérica do modelo para geração de Roll Waves

# -*- coding: latin-1 -*-

from scipy import *

from scipy.integrate import odeint, quad

from pylab import figure, close, axes, subplot, show

from pylab import *

from matplotlib.numerix import arange, sin, pi

def F(H, alf, U, n, q):

""" Comprimento da onda"""

#Valor necessário

Ah=H-C-(1.0-C)*pow(((((1-U)+U*H)*(1.0-C)/(H-C))*(((n+1.0)+n*C)/((n+1.0)*H+n*C))),n)

Bh = ((alf-1)*pow(U,2)-alf*pow(q,2)/pow(H,2)+B*H)

h_ = Bh/Ah

return h_

def f(H, z, alf, U, n, q):

""" Perfil da Roll Wave"""

Ah=H-C-(1.0-C)*pow(((((1-U)+U*H)*(1.0-C)/(H-C))*(((n+1.0)+n*C)/((n+1.0)*H+n*C))),n)

Bh = ((alf-1)*pow(U,2)-alf*pow(q,2)/pow(H,2)+B*H)

h_ = Ah/Bh

return h_

"""Plano de Fases"""

def dhdz(H, z, alf, U, n, q):

""" Faz o cálculo da derivada!"""

Ah=H-C-(1.0-C)*pow(((((1-U)+U*H)*(1.0-C)/(H-C))*(((n+1.0)+n*C)/((n+1.0)*H+n*C))),n)

Bh = ((alf-1)*pow(U,2)-alf*pow(q,2)/pow(H,2)+B*H)

return Ah/Bh

def alfa_(n, C):

return((2.0*pow(n+1.0,2.0)+C*n*((4.0*n)+3.0))*((2.0*n)+1.0))/((pow(n+1.0,2.0)+(2.0*n*C*

(n+1.0))+pow(n,2.0)*pow(C,2.0))*((3.0*n)+2.0))

def q_(n, C, hc, alf):

return- pow((hc-C)/(1.0-C),(1.0+n)/n)*(((n+1.0)*hc+n*C)/((n+1.0)+n*C))*(alf-1) - pow((alf*

(alf-1)*pow((hc-C)/(1.0-C),2*(1.0+n)/n)*pow(((n+1.0)+n*C)/((n+1.0)+n*C),2)+B*pow(hc,3)

),0.5)

def U_(n, C, hc, q):

return pow((hc-C)/(1.0-C),(1.0+n)/n)*(((n+1.0)*hc+n*C)/(n+1.0+n*C))*(1/hc)-(q/hc)

def h2_(alf, U, q, B, h1):

if B == 0 :

h2 = alf*pow(q,2)/((alf-1)*pow(U,2)*h1)

else:

h2 = -((h1/2.0)+(alf-1.0)*(pow(U,2.0))/B)+pow((pow(((h1/2.0)+(alf-1.0)*(pow(U,2.0)))

/B),2.0)+(2.0*alf*pow(q,2.0))/(B*h1)),0.5

return h2

def lanbda_(F, alf, U, n, q, h1, h2):

# Integrando para calcular o comprimento do intervalo

return quad(lambda h: F(h, alf, U, n, q), h1, h2)[0]

def h_(f,alf, U, n, q, y0):

#Integrando a ODE

return odeint(lambda H, z: f(H, z, alf, U, n, q), y0, z)[:, 0]

def plota(x,y):

fig = plot(x, y, '-', linewidth=1.0)

show()

if __name__ == "__main__":

# Constantes

B=1.0

n = 0.2

C=0.1

hc = 1.0

h1 = 0.65

y0 = 0.65 #Valor inicial

tam = 1000 # Numero de dados para cada intervalo

alf = alfa_(n, C)

q = q_(n, C, hc, alf)

U = U_(n, C, hc, q)

h2 = h2_(alf, U, q, B, h1)

lanbda = lanbda_(F, alf, U, n, q, h1, h2)

num = 20

repeticoes = int(num/lanbda)

## print repeticoes

z = r_[0:lanbda:1000j]

h = h_(f, alf, U, n, q, y0)

## print z

h_ = zeros((repeticoes, len(h))).tolist()

z_ = zeros((repeticoes, len(h))).tolist()

for i in range(repeticoes):

z_[i][:] = r_[lanbda*i:lanbda*(i+1):1000j][:]

h_[i][:] = h[:]

h_ = reshape(h_, (1, repeticoes*len(h)))[0]

z_ = reshape(z_, (1, repeticoes*len(h)))[0]

print len(h_)

print len(z_)

## h.reshape

hm = (1-q)/U

## print h

plota(z_, h_)

print 'valores dados:'

print ' n = ', n

print ' beta = ', B

print ' C = ', C

print ' h1 = ', h1,'\n'

print 'valores calculados:'

print " U = ", U

print " h2 = ", h2

print " hm = ", hm

print " alf = ", alf

print " lambda = ", lanbda

APÊNDICE F

ESTUDO DE CASOS

Este capítulo tem como objetivo mostrar a validade do modelo matemático para

geração de Roll Waves, considerando as propostas reológicas mais simplificadas, tais como o

modelo reológico do tipo Power Law, Binghamiano e Newtoniano.

Geração de Roll Waves para um fluido do tipo Power Law

Considerando que a tensão crítica de escoamento seja nula ( 0

= ), tem-se um

modelo reológico do tipo Power Law e a equação para geração de Roll Waves, fica da

seguinte forma:

()

() ()

hUhhU

UUhh

αα β

−−

−

−− +

∂

⎡⎤

−−− +

⎣⎦

(F1)

Sendo o coeficiente de distribuição de velocidade, dado por:

()

22 1

(F2)

Comparando o modelo determinado neste trabalho com o que foi obtido por (Ng e

Mei, 1994), quando utilizou como proposta reológica a lei das potências (Power Law),

observar-se que os modelos estão em consonância.

Através de uma resolução numérica da equação (7.1) verifica-se a formação de Roll

Waves e a influência do parâmetro

, na geração e no comportamento de tais instabilidades.

a) Influência do parâmetro

Fixando

0.4n

, a Figura (1) mostra o perfil das Roll Waves através de resultados

numéricos da equação (F1), variando o valor do parâmetro

e conseqüentemente o número

de Froude.

(a) 0

= (b) 1

(d) 5

= (d) 10

Figura1: Perfil das Roll Waves para um fluido do tipo Power Law, variando o valor de

Através da figura (1), observa-se:

- a formação de Roll Waves para

, ou seja, para

, conforme predito

na análise de estabilidade linear;

- a geração de instabilidades com pequenas amplitudes, porém muito longas, quando

→ ,

conforme mostrado na análise de estabilidade linear;

- um aumento significativo no comprimento das ondas e uma diminuição na amplitude, com o

aumento do parâmetro

, conforme mostrado por (Ng e Mei, 1994).

Geração de Roll Waves em fluido de Bingham

Para uma tensão crítica não nula e o índice de comportamento do fluido igual a 1

(n=1), tem-se o fluido de Bingham e a equação de geração de Roll Waves torna-se:

()

(

)

()

() ()

111

Uh C

hC C

hnC

UUhh

αα β

−

⎧⎫

⎡⎤

+− −

⎛⎞

⎪⎪

⎢⎥

−−−

⎜⎟

⎨⎬

⎜⎟

⎢⎥

−

⎪⎪

⎝⎠

∂

⎣⎦

⎩⎭

∂

⎡⎤

−−− +

⎣⎦

(F3)

Sendo o coeficiente de distribuição de velocidade, dado por:

()

(

)

44 /

hC C h

(F4)

A resolução numérica do modelo mostra o perfil das

Roll Waves e a influência dos

parâmetros

C (coesão do fluido) na dinâmica do escoamento.

a) Influência do parâmetro

A Figura (2) mostra o perfil das roll waves para um fluido de Bingham, através de

resultados numéricos da equação (F3), para

0.1C = , variando o valor de

(a)

. (b)

= (d) 3.0

Figura 2:

Perfil das Roll Waves para fluido de Bingham variando o valor do parâmetro

Através da Figura (2) observa-se que:

- o aparecimento de pequenas instabilidades quando

→ , conforme observado nos

resultados obtidos na análise de estabilidade linear;

- aumentando o valor do adimensional

, ou seja, diminuindo o número de Froude, ocorre

um aumento no comprimento da onda gerada e uma diminuição na amplitude da mesma,

conforme mostrado por (Maciel, 2001).

(b) Influência do parâmetro

As Figuras (3) mostra o perfil das Roll Waves em fluido de Binghamiano, para 0

e 1

= respectivamente, variando a coesão do fluido

C .

- Para 0

= :

(a)

0.2C =

(b)

0.4C =

Figura 3: Perfil das Roll Waves em fluido de Bingham, para 0

= variando

- Para 1

(a)

0.2C = (b)

0.4C =

Figura 4

: Perfil das Roll Waves em fluido de Bingham, para 1

= variando

Pode-se observar através das Figuras (3) e (4) que:

- ocorre uma antecipação na formação das ondas com o aumento do parâmetro

C ;

- o aumento do parâmetro

C , provoca uma diminuição no comprimento da Roll Wave,

conforme mostrado por (Maciel, 2001) em uma análise numérica de roll waves para fluido de

Bingham.

Geração de Roll Waves em Fluido Newtoniano

Sabe-se que para uma tensão crítica nula (

) e o índice de escoamento do fluido

igual a 1 (

1n = ), tem-se um fluido Newtoniano e o modelo para a Geração de Roll Waves,

fica da seguinte forma:

()

() ()

hUhhU

UUhh

αα β

−−

−

⎡⎤

−− +

∂

⎣⎦

∂

⎡⎤

−−− +

⎣⎦

(F5)

Sendo o coeficiente de distribuição de velocidade dado por:

1.2

A Figura (5) mostra o perfil das

Roll Waves, através de resultados numéricos para um

fluido Newtoniano obtidos a partir da equação (F5), variando o valor de

(a) 0

= (b) 1

(d) 2.5

Figura

5: Perfil das Roll Waves para fluido newtoniano, variando

Com base na figura (5), observa-se que:

- aumentando valor de

, ocorre o um aumento no comprimento das instabilidades e um

diminuição na amplitude das mesmas;

- para um fluido de reologia newtoniana as

Roll Waves aparecem quando 3

< , conforme

mostrado por (Ng e Mei, 1994) , ou seja, para

Fr > .

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