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Tese de
Mestrado
Cancelamento de Anomalias em
Teorias de Calibre
N˜ao Abelianas
Rafael Chaves Souto Ara
´
ujo
Centro Brasileiro de Pesquisas F
´
ısicas-CBPF
Rio de Janeiro, Agosto de 2006
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“Algo s´o ´e imposs´ıvel at´e que algu´em duvide e prove o contr´ario”.
Albert Einstein
A todos aqueles que me ensinaram a trilhar o caminho do cora¸c˜ao.
i
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Agradecimentos
Primeiramente, ao meu orientador, Ti˜ao, pela confian¸ca depositada em mim, sua
disponibilidade e vontade na forma¸c˜ao dos alunos. Ao professor Helay¨el, pelo seu sempre
estampado sorriso no rosto e por me transmitir sua paix˜ao e dedica¸c˜ao `a ciˆencia. Ao
CBPF por me dar todas as ferramentas necess´arias `a minha forma¸c˜ao e `a conclus˜ao
deste trabalho.
`
A CAPES e `a FAPERJ, pelo apoio financeiro concedido, sem o qual
este trabalho n˜ao seria poss´ıvel. Aos amigos Ale, Colo, Dani, Guada, Jana, Nato, Seba,
Salib pelos momentos incr´ıveis. Aos amigos Habib e Milvi, por transformar nossa sala um
lugar perfeito. Ao Herman, pela amizade e interesse em meu trabalho. Ao rio Quilpo,
por uma tarde maravilhosa.
`
A companheira Mel, por tudo. Aos meus pais, Lu´ıs e Zo´e,
e minha irm˜a Joanna, pelo apoio incondicional.
`
A minha mulher, Ana, por quem meu
amor justificaria somente a mais bela das teorias.
ii
Resumo
Analisamos a a¸c˜ao de um mecanismo de cancelamento de anomalias na simetria de
calibre (que funciona em teorias abelianas) sobre teorias n˜ao abelianas. Expandindo os
elementos do grupo de calibre em s´erie, mostramos que este mecanismo n˜ao funciona no
caso n˜ao abeliano. Consideramos casos particulares (SU(N) em duas dimens˜oes e SU(2)
em d dimens˜oes) que confirmam o caso geral.
iii
Abstract
We analyse the action of a mechanism for gauge anomaly cancellation (which works
in abelian theories) in the context of non abelian gauge theories. Expanding the gauge
group elements in series, we show that this mechanism does not work in the non abelian
case. We consider particular cases (SU(N) in two dimensions and SU(2) in d dimensions)
that agree with the general situation.
iv
Conte´udo
Dedicat´oria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Conte´udo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Intro du¸c˜ao 1
1 Anomalias no Formalismo de Integra¸c˜ao Funcional e a Restaura¸c˜ao da
Simetria 6
1.1 O campo de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Eletromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Generaliza¸c˜ao para campos n˜ao abelianos . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 O m´etodo de Faddeev-Popov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Origem da anomalia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 O funcional de Wess-Zumino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Formula¸c˜ao invariante de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 A anomalia de ABJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
v
1.7 C´alculo da anomalia pelo m´etodo de Fujikawa . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7.1 Anomalia quiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7.2 Anomalia de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 C´alculo da A¸c˜ao Efetiva da CDQ
2
com acoplamento quiral 31
2.1 Simetrias da CDQ
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 C´alculo da corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 A¸c˜ao efetiva da CDQ
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 A¸c˜ao Efetiva da CDQ
2
com acoplamento quiral . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 O Cancelamento da Anomalia na Simetria de Calibre 45
3.1 Discuss˜ao Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.1 Caso Abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.2 Caso N˜ao Abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Conclus˜ao 56
Apˆendices 59
A Conven¸c˜oes 60
B O Exemplo do Grup o SU(2) 62
Bibliografia 72
vi
Introdu¸c˜ao
“Now the ice was broken, the ABJ anomaly opened the door to a deeper understanding of
QFT, a new era for field theory research began”
(Reinhold A. Bertlmann, Anomalies in Quantum Field Theory)
As simetrias e suas respectivas leis de conserva¸c˜ao desempenham um papel es sencial
em nossa compreens˜ao da natureza. Tais leis de conserva¸c˜ao s˜ao expressas concisamente
pelo teorema de Noether, que associa a cada simetria cont´ınua de um dado sistema f´ısico,
um conjunto de quantidades conservadas. Ao quantizarmos uma teoria esperamos que
tais simetrias permane¸cam. Entretanto, como os f´ısicos do s´eculo XX foram obrigados a
aceitar, conceitos cl´assicos quase sempre s˜ao demolidos ao considerarmos efeitos quˆanticos,
os exemplos mais comuns sendo a dualidade onda-part´ıcula e a rela¸c˜ao de incerteza de
Heisenberg. De fato, v´arias leis de conserva¸c˜ao, v´alidas classicamente, s˜ao violadas quan-
ticamente. Este fenˆomeno ´e denominado anomalia.
A importˆancia de uma anomalia em uma teoria quˆantica de campos est´a diretamente
relacionada ao princ´ıpio da simetria de calibre, sendo este a base da compreens˜ao atual
sobre as intera¸c˜oes fundamentais. A existˆencia de uma anomalia sinaliza a quebra de uma
1
invariˆancia de calibre revelando poss´ıveis inconsistˆencias da teoria. A n˜ao manuten¸c˜ao da
simetria de calibre quˆantica implica na quebra das identidades de Ward-Takahashi (ou de
Slavnov-Taylor, no caso n˜ao abeliano), fundamentais para a prova da renormalizabilidade
perturbativa da teoria. S˜ao elas que permitem relacionar constantes de renormaliza¸c˜ao e
cancelar divergˆencias que seriam intrat´aveis de outra maneira. Sem tais identidades, n˜ao
se poderia garantir a renormalizabilidade perturbativa da teoria, o que a invalidaria na
pr´atica.
Entretanto, a identifica¸c˜ao de uma anomalia, associada a um modo de evitar suas
consequˆencias, gera uma teoria com severas restri¸c˜oes e profundas previs˜oes experimen-
tais, como demonstrado p elo mo delo padr˜ao das intera¸c˜oes fundamentais. Esse modelo
descreve trˆes das quatro intera¸c˜oes conhecidas por uma teoria de calibre n˜ao abeliana,
baseada no grupo SU(3) × SU(2) × U(1). Tal modelo conseguiu, com not´avel sucesso,
delinear um quadro que, no futuro, talvez permita uma unifica¸c˜ao consistente das quatro
intera¸c˜oes.
A teoria mencionada acima incorpora a presen¸ca de b´osons vetoriais massivos, cuja
presen¸ca usualmente implica na viola¸c˜ao da simetria de calibre. O problema ´e contor-
nado pelo mecanismo de Higgs que, no entanto, exige a separa¸c˜ao dos f´ermions de Dirac
encontrados na natureza (os l´eptons e os quarks) em f´ermions de Weyl (por exemplo, o
modelo na fase de simetria n˜ao quebrada cont´em um el´etron esquerdo e um direito em
multipletos associados a simetrias distintas).
Sabe-se, contudo, que a presen¸ca de f´ermions de Weyl numa teoria de calibre tem
como conseq¨uˆencia a gera¸c˜ao de anomalias precisamente na simetria de calibre da teoria.
A solu¸c˜ao, no modelo padr˜ao, vem do fato de que, gra¸cas `a representa¸c˜ao particular na
2
qual est˜ao colocados os f´ermions quirais iniciais, a anomalia gerada pela parte leptˆonica
da teoria tem a mesma magnitude e sinal oposto que a gerada pela parte hadrˆonica. Isso
conduz a uma situa¸c˜ao em que uma das previs˜oes do modelo consiste precisamente na
igualdade do n´umero dessas fam´ılias, fato verificado atualmente ap´os a descoberta do
quark top.
Historicamente as anomalias tˆem um longo caminho percorrido. A descoberta da
anomalia quiral data dos trabalhos de Steinberger [1] em 1949, referentes a c´alculos de
amplitudes de decaimento do π
0
, dentro de um modelo do tipo p´ıon-nucleon. H. Fukuda
e Y. Miyamoto [2] realizaram independentemente c´alculos semelhantes. Dois anos de-
pois, Schwinger [3] destacou o fato de a conserva¸c˜ao da corrente axial na eletrodinˆamica
quˆantica (EDQ) ser violada ao se regularizar apropriadamente o operador de corrente.
No contexto da EDQ bidimensional sem massa, Johnson [4] apontou, em 1963, para a
competi¸c˜ao entre a simetria de calibre e a simetria axial. Seria apenas no final da d´ecada
de sessenta que a devida aten¸c˜ao seria dada a estes resultados. Apoiados pela algebra
de correntes e pela hip´otese PCAC (partial conservation of the axial current), Sutherland
[5] e Veltman [6] “provaram”que o π
0
n˜ao poderia decair em dois f´otons, negando um
conhecido fato experimental. Tal quebra-cabe¸cas foi resolvido por Bell e Jackiw [7] em
1969 utilizando o modelo sigma: uma poss´ıvel quebra da simetria axial corrigiria a taxa
de decaimento do teorema de Sutherland, em excelente acordo com os dados experimen-
tais. No mesmo ano, conclus˜oes similares obtidas por Adler [8], trabalhando com uma
eletrodinˆamica espinorial, atra´ıram definitivamente a aten¸c˜ao para as anomalias e suas
consequˆencias.
Este aumento de interesse resultou no estudo intenso das propriedades das anomalias e
3
na descoberta da importˆancia delas em outros contextos [9, 10, 11]. Importantes teoremas
foram propostos, como o de Adler-Bardeen [12], que mostrou que a anomalia ´e completa-
mente determinada pe los c´alculos em um la¸co, n˜ao recebendo, portanto, contribui¸c˜oes das
corre¸c˜oes radiativas. Outros autores foram respons´aveis pela conex˜ao entre as anomalias
e modernas t´ecnicas matem´aticas. A vis˜ao n˜ao perturbativa das anomalias, dentro do
contexto das integrais de trajet´oria (formalismo que ser´a utilizado nesta disserta¸c˜ao), foi
iniciada por Fujikawa [13] em 1979. Interpreta¸c˜oes topol´ogicas foram encontradas para a
anomalia quiral [14, 15, 16] e rela¸c˜oes com as t´ecnicas de cohomologia [17, 18] foram esta-
belecidas quando Stora e Zumino, usando t´ecnicas de geometria diferencial, encontraram
as equa¸c˜oes de descida.
Recentemente tˆem aparecido v´arias evidˆencias te´oricas, de que teorias de calibre
anˆomalas (na simetria de calibre) n˜ao s˜ao necessariamente inconsistentes. Um trabalho
de grande repercuss˜ao foi o de Jackiw e Rajaraman [19], no qual os autores mostraram
que uma teoria anˆomala pode ser completamente consistente do ponto de vista f´ısico,
desde que se tenha acesso `a sua solu¸c˜ao exata. Foi ent˜ao demonstrado, por Faddev e
Shatashvilli [20], que a anomalia poderia ser cancelada pela introdu¸c˜ao de novos graus de
liberdade quˆanticos na teoria (os campos de Wess-Zumino), que transformariam v´ınculos
de segunda classe (correlacionados `a anomalia), em v´ınculos de primeira classe (geradores
das transforma¸c˜oes de calibre). Tais graus de liberdade extras definiriam uma nova a¸c˜ao
efetiva invariante de calibre.
Conforme observado logo depois, a correta compreens˜ao do m´etodo de Faddeev-Popov
dentro de uma teoria anˆomala, traduz-se no fato de n˜ao podermos mais fatorizar o volume
do grupo de calibre, como acontece no caso n˜ao anˆomalo. Esta compreens˜ao levou `a
4
descoberta (independente) por Harada e Tsutsui [21] e Babelon, Schaposnik e Viallet [22],
de que os graus de liberdade quˆanticos extras n˜ao precisam ser introduzidos externamente
`a teoria, mas aparecem naturalmente devido `a n˜ao fatoriza¸c˜ao do volume do grupo de
calibre.
Neste contexto se insere esta disserta¸c˜ao de mestrado. Dada a invariˆancia de calibre da
a¸c˜ao efetiva (que inclui os efeitos dinˆamicos dos f´ermions e dos campos de Wess-Zumino),
nos perguntamos se ´e poss´ıvel estabelecer um an´alogo do teorema de Noether para teorias
anˆomalas. Isto implica em mostrar que, para teorias de calibre onde funcione o meca-
nismo de restaura¸c˜ao da simetria de calibre, o operador que corresponde quanticamente
`a divergˆencia covariante da corrente de Noether cl´assica tenha valor esperado no v´acuo
nulo. Este resultado foi obtido anteriormente para o caso abeliano por Dias e Prole´on Pa-
tricio [23] e suas conseq¨uˆencias apenas come¸caram a ser exploradas [23, 24]. Neste caso,
o cancelamento da anomalia ´e mostrado (com um argumento de integra¸c˜ao funcional)
independentemente do modelo e em qualquer n´umero de dimens˜oes. Seguindo a mesma
abordagem, analisaremos se o mesmo mecanismo se faz presente no caso de teorias de
calibre n˜ao-abelianas. Para tanto fazemos, no cap´ıtulo 1, uma revis˜ao do ponto de vista
funcional para as anomalias, enfatizando a formula¸c˜ao invariante de calibre, que usaremos
ao longo da tese. No cap´ıtulo 2, restringimos nossa an´alise `a CDQ
2
, revisando o c´alculo
da a¸c˜ao efetiva, enquanto que, no cap´ıtulo 3, checamos a a¸c˜ao do nosso mecanismo de
cancelamento da anomalia no caso n˜ao-abeliano. Ao final, apresentamos nossas conclus˜oes
e perspectivas e dedicamos o apˆendice A `as conven¸c˜oes utilizadas na tese e o apˆendice B
`a particulariza¸c˜ao dos nossos c´alculos do cap´ıtulo 3 para o caso do grupo SU(2).
5
Cap´ıtulo 1
Anomalias no Formalismo de
Integra¸c˜ao Funcional e a
Restaura¸c˜ao da Simetria
Neste cap´ıtulo introduziremos as t´ecnicas que nos permitir˜ao visualizar as anomalias
dentro da abordagem funcional, relacionando esta quebra quˆantica da simetria com o
Jacobiano da transforma¸c˜ao dos campos fermiˆonicos. Utilizando o m´etodo proposto por
Fujikawa, calcularemos as anomalias associadas a algumas teorias e, dentro deste contexto,
analisaremos a restaura¸c˜ao da simetria de calibre a partir da introdu¸c˜ao de graus de
liberdade extras.
6
1.1 O campo de calibre
1.1.1 Eletromagnetismo
No eletromagnetismo cl´assico a simetria de calibre ´e uma ferramenta para a elimina¸c˜ao
de graus de liberdade reduntantes, resultando, por exemplo, no car´ater transverso da
propaga¸c˜ao da luz no v´acuo. Nas modernas teorias sobre as intera¸c˜oes fundamentais,
entretanto, a simetria de calibre ´e vista como um princ´ıpio b´asico, um guia essencial
na constru¸c˜ao de modelos f´ısicos para o comportamento das part´ıculas elementares. Os
chamados campos de calibre surgem naturalmente ao considerarmos a existˆencia de uma
simetria local em uma teoria. O eletromagnetismo, como teoria de calibre abeliana, ´e
o palco mais natural para enxergarmos mais f´acil e profundamente esse mecanismo e
tentarmos a sua generaliza¸c˜ao para teorias mais complexas (leia-se teorias n˜ao abelianas).
Considerando a Lagrangeana livre de um campo escalar complexo,
L
0
= ∂
µ
φ
∗
∂
µ
φ − m
2
φ
∗
φ, (1.1)
vemos que e ssa Lagrangeana ´e sim´etrica por uma transforma¸c˜ao de calibre global (∂
µ
α =
0)
φ
= exp (−iα) φ. (1.2)
Entretanto, ao considerarmos uma transforma¸c˜ao local, vemos que, para manter a La-
grangeana invariante, temos de introduzir a chamada derivada covariante,
D
µ
φ = (∂
µ
− ieA
µ
) φ, (1.3)
que deve substituir a derivada comum na Lagrangeana do sistema (essa substitui¸c˜ao tem
uma explica¸c˜ao geom´etrica, relacionada ao conceito do transporte paralelo de vetores
7
[25]). O comutador de derivadas covariantes est´a relacionado ao tensor de intensidade de
campo da teoria:
[D
µ
, D
ν
] = −ieF
µν
= ∂
µ
A
ν
− ∂
ν
A
µ
. (1.4)
Al´em disso, a derivada covariante deve se transformar como o campo, ou seja
D
µ
φ
=
∂
µ
− ieA
µ
φ
= exp (−iα) D
µ
φ. (1.5)
Para isso ocorrer, o campo de gauge, no caso abeliano, deve se transformar como
A
µ
= A
µ
−
1
e
(∂
µ
α) . (1.6)
Para que o campo de calibre tenha uma dinˆamica pr´opria, devemos introduzir um
termo cin´etico na Lagrangeana, invariante de Lorentz e de calibre, que gere as equa¸c˜oes
de Maxwell. Observando que F
µν
´e invariante de calibre, obtemos, ap´os algumas consi-
dera¸c˜oes gerais [26],
L = (D
µ
φ)
∗
D
µ
φ − m
2
φ
∗
φ −
1
4
F
µν
F
µν
. (1.7)
Vˆe-se assim que o campo de calibre ´e introduzido naturalmente de maneira a garantir a
simetria de calibre do sistema. Como consequˆencia desse novo ponto de vista, teremos
agora equa¸c˜oes de movimento n˜ao lineares. A conserva¸c˜ao da carga el´etrica ´e um sub-
produto da simetria para o caso particular em que o parˆametro ´e global (∂
µ
α = 0), n˜ao
precisando ser imposta externamente.
Consideremos agora f´ermions de Dirac com Lagrangeana dada por
L
0
=
i
2
ψγ
µ
(∂
µ
ψ) −
∂
µ
ψ
γ
µ
ψ
− mψψ. (1.8)
Seu acoplamento com o eletromagnetismo ´e obtido justamente ao impormos a existˆencia
8
de uma simetria local. Isto modificar´a a Lagrangeana, gerando
L =
i
2
ψγ
µ
(∂
µ
ψ) − (∂
µ
ψ)γ
µ
ψ
− mψψ −
1
4
F
µν
F
µν
+ ej
µ
A
µ
, (1.9)
onde,
j
µ
= ψγ
µ
ψ, (1.10)
´e a corrente conservada em virtude da simetria global e independente de A
µ
. As novas
equa¸c˜oes de movimento s˜ao n˜ao lineares e acopladas:
D
µ
F
µν
= −ej
ν
, (1.11)
(iγ
µ
D
µ
ψ − m) ψ = 0. (1.12)
1.1.2 Generaliza¸c˜ao para campos n˜ao abelianos
O campo ir´a se transformar de acordo com representa¸c ˜oes irredut´ıveis de um grupo
de Lie, por exemplo SU(N), cuja transforma¸c˜ao gen´erica pode ser escrita como
U = exp (−iθ
a
T
a
) , (1.13)
com a = 1, ..., n
2
−1, θ
a
, parˆametros reais e T
a
sendo os geradores do grupo. A unitaridade
das transforma¸c˜oes implica em hermiticidade dos geradores:
UU
†
= U
†
U = I → T
a
= T
†
a
, (1.14)
e em que seu tra¸co seja nulo pois
det U = det (exp (−iθ
a
T
a
)) = exp(tr (−iθ
a
T
a
)) = 1 → tr (T
a
) = 0. (1.15)
Os geradores obedecem rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao caracter´ısticas da ´algebra de Lie do grupo:
[T
a
, T
b
] = if
c
ab
T
c.
(1.16)
9
A simetria de calibre local introduz, da mesma forma que no caso abeliano, um campo
de calibre A
µ
, tomando valores na ´algebra de Lie de SU (N) e transformando-se como
A
µ
= U
−1
A
µ
U +
i
e
U
−1
(∂
µ
U). (1.17)
Como pertence `a algebra de lie, A
µ
pode ser escrito como:
A
µ
= A
a
µ
T
a
. (1.18)
A derivada covariante ´e dada naturalmente por
D
µ
φ = (∂
µ
1 − ieA
µ
). (1.19)
O tensor de intensidade de campo F
µν
continua sendo dado em termos do comutador das
derivadas covariantes, mas agora n˜ao ´e mais linear em A
µ
:
F
µν
=
i
e
[D
µ
, D
ν
] = ∂
µ
A
ν
− ∂
ν
A
µ
− ie [A
µ
, A
ν
] , (1.20)
com F
µν
tamb´em tomando valores na algebra de Lie,
F
µν
= F
a
µν
T
a
. (1.21)
A partir da lei de transforma¸c˜ao para a derivada covariante podemos tirar a transforma¸c˜ao
para o tensor de intensidade de campo o que resulta em
F
µν
= UF
µν
U
−1
. (1.22)
Utilizando o tra¸co, podemos montar um objeto invariante de calibre e de Lorentz, j´a que
tr (F
µν
F
µν
)
= tr
UF
µν
U
−1
UF
µν
U
−1
= tr (F
µν
F
µν
) . (1.23)
Para que n˜ao dependamos de representa¸c˜oes particulares, normaliza-se o tra¸co por
tr (T
a
T
b
) = δ
ab
,
10
j´a que assim
tr (F
µν
F
µν
) = tr (T
a
T
b
) F
a
µν
F
bµν
=
a
F
a
µν
F
aµν
≡ F
a
µν
F
aµν
. (1.24)
Dentro deste contexto, podemos descrever uma teoria de calibre gen´erica por uma
a¸c˜ao I
ψ, ψ, A
µ
, escrita explicitamente em termos de sua parte de calibre e de sua parte
fermiˆonica, tal que
I
ψ, ψ, A
µ
= I
G
[A
µ
] + I
F
ψ, ψ, A
µ
=
dx
1
2
tr (F
µν
F
µν
) +
dxψDψ, (1.25)
com D = iγ
µ
D
µ
= iγ
µ
(∂
µ
− ieA
µ
) sendo o operador de Dirac da teoria. A a¸c˜ao possui a
propriedade cl´assica
I
ψ
U
−1
, ψ
U
−1
, A
U
µ
= I
ψ, ψ, A
µ
, (1.26)
onde a nota¸c˜ao quer dizer
ψ
U
= Uψ,
ψ
U
= ψU
−1
. (1.27)
Essa invariˆancia (no caso global) conduz `a conserva¸c˜ao cl´assica da corrente
J
µ
a
= ψγ
µ
T
a
ψ, (1.28)
tal que
(D
µ
J
µ
)
a
= 0. (1.29)
1.2 O m´etodo de Faddeev-Popov
O propagador livre de uma teoria ´e dado pelo inverso do operador da parte da Lagran-
geana que ´e quadr´atica nos campos. Ao construirmos as integrais de caminho, em algum
11
momento estaremos interessados em calcular os propagadores, j´a que ´e a partir deles que
definimos perturbativamente qualquer teoria. Por´em, ao lidarmos com teorias de calibre,
o c´alculo desse operador inverso pode n˜ao existir, justamente devido `a liberdade extra
propiciada pelas transforma¸c˜oes de calibre. Consideremos, por exemplo, a Lagrangeana
eletromagn´etica livre
L = −
1
4
F
µν
F
µν
, (1.30)
que pode ser reescrita, a menos de uma quadridivergˆencia, como
L =
1
2
A
µ
(g
µν
− ∂
µ
∂
ν
)A
ν
. (1.31)
´
E f´acil mostrar que o operador (g
µν
− ∂
µ
∂
ν
) n˜ao tem inversa. Em uma teoria abeliana
o campo de calibre se transforma como
A
µ
(x) → A
µ
(x) + ∂
µ
Λ(x). (1.32)
Assim qualquer calibre puro, ou seja
¯
A
ν
(x) = ∂
ν
Λ(x), (1.33)
constituir-se-´a num autovetor nulo do operador que queremos inverter
(g
µν
− ∂
µ
∂
ν
)∂
ν
Λ = (∂
µ
− ∂
µ
)Λ = 0, (1.34)
resultando assim na impossibilidade da invers˜ao. A ausˆe ncia de um propagador impossi-
bilita, ent˜ao, a defini¸c˜ao perturbativa da teoria.
Este problema se relaciona com o fato de que, em uma teoria de calibre, a integral
funcional usual n˜ao ´e bem definida, j´a que a integra¸c˜ao sobre o campo inclui infinitos
campos que correspondem a situa¸c˜oes f´ısicas equivalentes (que se relacionam entre si por
12
uma transforma¸c˜ao de calibre), produzindo assim um resultado infinito para o funcional
gerador. Vamos indicar, abaixo, que ao resolvermos este problema, automaticamente
conseguimos definir a teoria de modo que o propagador exista.
Nas teorias de calibre cl´assicas somos obrigados a escolher representantes, dentre todos
os campos equivalentes fisicamente, para poder resolver as equa¸c˜oes de movimento. Isto
´e feito atrav´es da escolha de condi¸c˜oes de calibre. A extens˜ao deste procedimento para a
quantiza¸c˜ao constitui o m´etodo de Faddeev-Popov. Come¸camos escolhendo condi¸c˜oes de
calibre f
a
,
f
a
[A
µ
] = 0. (1.35)
que devem satisfazer basicamente o requerimento de ser ating´ıveis (dada uma solu¸c˜ao
das equa¸c˜oes de movimento, deve existir uma transforma¸c˜ao de calibre que a leve a uma
configura¸c˜ao que satisfa¸ca `as equa¸c˜oes acima) e possuir solu¸c˜ao ´unica. Definimos, agora,
um funcional ∆
F P
[A
µ
] do campo de calibre atrav´es da seguinte rela¸c˜ao:
∆
F P
[A
µ
]
dg
a
δ
f
a
A
g
µ
= 1. (1.36)
´
E f´acil ver que ∆
F P
[A
µ
] ´e invariante de calibre e dado por (ver [27] para uma discuss˜ao
mais detalhada)
∆
F P
[A
µ
] = det
δf
a
A
g
µ
δθ
b
θ=0
, (1.37)
onde θ
b
s˜ao os parˆametros que caracterizam g. Isto nos permite escrever a amplitude
v´acuo-v´acuo como
Z =
dψdψdA
µ
dg∆
F P
[A
µ
]
a
δ
f
a
A
g
µ
exp
iI
ψ, ψ, A
µ
. (1.38)
Se fizermos uma transforma¸c˜ao de calibre A
µ
→ A
g
−1
µ
e usarmos a propriedade de simetria
da a¸c˜ao cl´assica e a invariˆancia de calibre da medida de integra¸c˜ao para o potencial de
13
calibre A
µ
dA
µ
= dA
g
−1
µ
, (1.39)
a amplitude v´acuo-v´acuo fica dada por
Z =
dψdψdA
g
−1
µ
dg∆
F P
A
g
−1
µ
a
δ
f
a
A
g
−1
µ
g
exp
iI
ψ, ψ, A
g
−1
µ
(1.40)
=
dψdψdA
µ
dg∆
F P
[A
µ
]
a
δ (f
a
[A
µ
]) exp
iI
ψ
g
, ψ
g
, A
µ
.
Desta forma, toda a dependˆencia em g est´a contida em ψ
g
. Assim, se a medida fermiˆonica
for invariante de calibre,
dψ = dψ
g
−1
(1.41)
podemos realizar mais uma mudan¸ca de vari´aveis
ψ = ψ
g
−1
, (1.42)
ψ = ψ
g
−1
, (1.43)
e eliminar completamente a dependˆencia em g da integral, fatorizando, portanto, a integral
funcional em g e gerando, assim, uma constante infinita (o volume do grupo de calibre),
que pode ser retirada com a normaliza¸c˜ao adequada. Ap´os esta normaliza¸c˜ao, a amplitude
v´acuo-v´acuo ficar´a definida como
Z =
dψdψdA
µ
∆
F P
[A
µ
]
a
δ (f
a
[A
µ
]) exp
iI
ψ, ψ, A
µ
.
Adicionando as fontes externas (poder´ıamos ter come¸cado com elas presentes , o resultado
seria o mesmo), teremos o funcional gerador. Nesta express˜ao, a delta funcional garante
que a integra¸c˜ao seja feita levando em considera¸c˜ao apenas um potencial correspondente
14
a cada situa¸c˜ao f´ısica, eliminando o infinito que provinha deste fato. Com um pouco mais
de trabalho pode-se mostrar que o propagador da teoria agora est´a bem definido tamb´e m.
Como ficar´a claro adiante, os campos de Wess-Zumino aparecer˜ao em decorrˆencia do
fato de a medida de integra¸c˜ao fermiˆonica n˜ao ser invariante. Esta n˜ao invariˆancia tamb´e m
ser´a respons´avel pelo aparecimento das anomalias, como tamb´em veremos a seguir.
1.3 Origem da anomalia
Em teorias de calibre, lidamos com funcionais geradores dados por
Z[η, η, J
µ
a
] =
dψdψdA
µ
exp
iI
ψ, ψ, A
µ
+ i
dx
ηψ + ηψ + J
µ
a
A
a
µ
. (1.44)
Conforme discutido na introdu¸c˜ao, a existˆencia da anomalia est´a vinculada `a manuten¸c˜ao,
ou n˜ao, da conserva¸c˜ao da corrente quando esta for um operador. A integra¸c˜ao da equa¸c˜ao
para o funcional gerador n˜ao deve depender das v´ariaveis utilizadas, e podemos, portanto,
realizar a seguinte transforma¸c˜ao de vari´aveis ,
ψ
θ
= (1 + iθ
a
T
a
)ψ,
ψ
θ
= ψ(1 − iθ
a
T
a
), (1.45)
que ´e uma transforma¸c˜ao de calibre infinitesimal. Como o resultado da integral deve ser
o mesmo para ambas as vari´aveis temos que
Z = Z
θ
. (1.46)
15
Assim
Z
θ
=
dψ
θ
dψ
θ
dA
µ
exp
iI
ψ
θ
, ψ
θ
, A
µ
+ i
dx
ηψ
θ
+ ψ
θ
η + J
µ
a
A
a
µ
=
J
−1
[A
µ
, θ] dψdψdA
µ
exp
iI
ψ, ψ, A
µ
+ i
dx
ηψ + ψη + J
µ
a
A
a
µ
+ i
dx(iθ
a
[D
µ
J
µ
a
+ ηT
a
ψ − ψT
a
η]), (1.47)
com J
µ
a
= ψγ
µ
T
a
ψ. Dado o car´ater infinitesimal da transforma¸c˜ao, expandimos funcio-
nalmente o Jacobiano em primeira ordem em θ
a
,
J
−1
[A
µ
, θ] = 1 −
dxθ
a
A
a
(A
µ
) + ..., (1.48)
e obtemos, exigindo a igualdade Z = Z
θ
, que
dψdψdA
µ
θ
a
−D
a
µ
J
µ
a
− A
a
(A
µ
) + ηT
a
ψ − ψT
a
η
× exp
iI
ψ, ψ, A
µ
+ i
dx
ηψ + ηψ + J
µ
a
A
a
µ
= 0. (1.49)
Fazendo as fontes externas iguais a zero, obtemos:
dψdψdA
µ
D
a
µ
J
µ
a
exp
iI
ψ, ψ, A
µ
= −
dψdψdA
µ
A
a
(A
µ
) exp
iI
ψ, ψ, A
µ
,
(1.50)
o que, pela rela¸c˜ao entre os valores esperados de operadores e a integral funcional, ´e
express˜ao de
0| D
a
µ
J
µ
a
|0 = − 0| A
a
(A
µ
) |0 . (1.51)
Atrav´es do ponto de vista funcional fica claro, ent˜ao, que a anomalia em uma simetria de
calibre ´e intrinsecamente relacionada `a n˜ao invariˆancia da medida de integra¸c˜ao fermiˆonica
sob tal transforma¸c˜ao de simetria.
16
1.4 O funcional de Wess-Zumino
Um objeto que nos ser´a de grande valor ´e o chamado funcional de Wess-Zumino, α
1
,
em termos do qual podemos reescrever o Jacobiano da medida fermiˆonica,
J[A
µ
, θ] = exp
iα
1
A
µ
, g
−1
. (1.52)
Em θ = 0, o Jacobiano deve, obviamente ser igual `a identidade. Isso imp˜oe a seguinte
rela¸c˜ao ao funcional α
1
:
α
1
[A
µ
, 1] = 0. (1.53)
Expandindo para θ infinitesimal temos
J [A
µ
, θ] = 1 + i
dxθ
a
δα
1
[A
µ
, g
−1
]
δθ
a
θ=0
+ ... (1.54)
o que nos permite identificar
A
a
(A
µ
) = i
δα
1
[A
µ
, g
−1
]
δθ
a
θ=0
(1.55)
A grande vantagem de escrevermos a anomalia em termos deste funcional ´e que pode-
mos relacion´a-lo explicitamente com o determinante fermiˆonico do operador de Dirac D
da teoria. Notando que
dψdψ exp
i
dxψD (A
µ
) ψ]
= det D (A
µ
) , (1.56)
e que
det D (A
µ
) =
dψ
θ
dψ
θ
exp(i
dx
ψ
θ
D(A
µ
)ψ
θ
=
J
−1
[A
µ
, θ] dψdψ exp
i
dxψD
A
g
−1
µ
ψ]
= exp
−iα
1
A
µ
, g
−1
det D
A
g
−1
µ
, (1.57)
17
obtemos ent˜ao uma rela¸c˜ao de grande valia, que ser´a usada reiteradamente ao longo dos
c´alculos, a saber
α
1
[A
µ
, g
−1
] = i ln
det D (A
µ
)
det D
A
g
−1
µ
. (1.58)
1.5 Formula¸c˜ao invariante de calibre
Conforme foi visto acima, a anomalia se caracteriza justamente pela n˜ao invariˆancia
da medida de integra¸c˜ao fermiˆonica. Ao utilizarmos o m´etodo de Faddeev-Popov vemos
ent˜ao que o volume do grupo de calibre n˜ao se fatoriza, j´a que:
dψ
θ
dψ
θ
= J
A
µ
, θ
−1
dψdψ = exp
iα
1
A
µ
, g
−1
dψdψ. (1.59)
Desta forma, a amplitude v´acuo-v´acuo ser´a dada por:
Z =
dψdψdA
µ
dg∆
F P
[A
µ
]
a
δ (f
a
[A
µ
]) exp
iI
ψ, ψ, A
g
−1
µ
+ iα
1
A
µ
, g
−1
. (1.60)
A n˜ao fatoriza¸c˜ao do volume do grupo de calibre gera naturalmente novos graus de li-
berdade, expressos pelos campos de Wess-Zumino θ
a
(x), que caracterizam a integra¸c˜ao
sobre o grupo de calibre
dg ≡
a
dθ
a
(x) ≡ dθ. (1.61)
Seguindo o esp´ırito do trabalho de Harada e Tsutsui, mostraremos que a introdu¸c˜ao
desses novos graus de liberdade implica numa a¸c˜ao invariante de calibre. Para a demons-
tra¸c˜ao definamos
exp (iW [A
µ
]) = det D [A
µ
] , (1.62)
de onde podemos tirar a rela¸c˜ao
α
1
[A
µ
, g] = W
A
g
µ
− W [A
µ
] , (1.63)
18
com a qual vemos que (na equa¸c˜ao abaixo, h designa um outro elemento do grupo de
calibre)
α
1
A
h
µ
, g
−1
= W
A
hg
−1
µ
− W
A
h
µ
(1.64)
= α
1
A
µ
, hg
−1
− α
1
[A
µ
, h] .
Definimos agora uma a¸c˜ao efetiva composta dos campos originais mais os campos extras
de Wess-Zumino como
exp (iI
ef
[A
µ
]) =
dψdψdg exp
iI
ψ, ψ, A
µ
+ iα
1
A
µ
, g
−1
. (1.65)
Esta nova a¸c˜ao ´e invariante de calibre, dado que
exp(iI
ef
[A
h
µ
]) =
dψdψdg exp
iI
ψ, ψ, A
h
µ
+ iα
1
A
h
µ
, g
−1
=
dψdψdg exp
iI
ψ
h
−1
, ψ
h
−1
, A
µ
+ iα
1
A
µ
, hg
−1
− iα
1
[A
µ
, h]
=
dψdψdg exp
iI
ψ, ψ, A
µ
+ iα
1
A
µ
,
gh
−1
−1
=
dψdψd(gh
−1
) exp
iI
ψ, ψ, A
µ
+ iα
1
A
µ
,
gh
−1
−1
= exp(iI
ef
[A
µ
]). (1.66)
A invariˆancia da a¸c˜ao efetiva nos fornece um forte ind´ıcio do cancelamento da anomalia
referente `a simetria de calibre, dado que esta ´e restaurada no n´ıvel quˆantico.
1.6 A anomalia de ABJ
Em seus estudos sobre algebra de correntes, Adler [8], Bell e Jackiw [7] descobriram
que a validade da identidade de Ward para correntes vetoriais-axiais n˜ao era automatica-
mente satisfeita quando havia f´ermions na teoria. A causa disto era que alguns diagramas
19
de um la¸co introduziam termos anˆomalos que imposs ibilitavam as identidades de Ward de
se reproduzirem recursivamente em ordens mais altas da expans˜ao perturbativa. Com o
objetivo de mostrar explicitamente como as identidades de Ward se modificam na presen¸ca
de um termo anˆomalo, consideraremos o contexto da eletrodinˆamica.
Comecemos considerando as amplitudes de trˆes part´ıculas na eletrodinˆamica, dadas
por
T
µνλ
(k
1
, k
2,
q) = i
d
4
xd
4
yd
4
z exp (ik
1
x + ik
2
y − iqz) 0| T
j
µ
(x) j
ν
(y) j
5
λ
(z)
|0 ,
T
µν
(k
1
, k
2
, q) = i
d
4
xd
4
yd
4
z exp (ik
1
x + ik
2
y − iqz) 0| T (j
µ
(x) j
ν
(y) P (z)) |0 ,
(1.67)
onde j
µ
(x), j
5
µ
(x) e P (x) s˜ao as correntes vetorial, vetorial axial e pseudoescalar respecti-
vamente, dadas por
j
µ
(x) =
ψ(x)γ
µ
ψ(x),
j
5
µ
(x) = ψ(x)γ
µ
γ
5
ψ(x),
P (x) = ψ(x)γ
5
ψ(x). (1.68)
Para estabelecer a identidade de Ward precisamos diferenciar as amplitudes acima. No
espa¸co dos momenta, ap´os uma integra¸c˜ao por partes, teremos a rela¸c˜ao
q
λ
T
µνλ
(k
1
, k
2,
q) = i
d
4
xd
4
yd
4
z exp (ik
1
x + ik
2
y − iqz) ∂
λ
z
0| T
j
µ
(x) j
ν
(y) j
5
λ
(z)
|0 .
(1.69)
Usando a lei cl´assica para a conserva¸c˜ao da corrente axial,
∂
µ
j
5
µ
(x) = 2imP (x), (1.70)
20
e considerando cuidadosamente a contribui¸c˜ao dos comutadores das componentes zero das
correntes, obtemos, ap´os a dife rencia¸c˜ao da amplitude, a seguinte identidade
q
λ
T
µνλ
(k
1
, k
2,
q) = 2mi
d
4
xd
4
yd
4
z exp (ik
1
x + ik
2
y − iqz) 0| T (j
µ
(x) j
ν
(y) P (z)) |0 ,
= 2mT
µν
. (1.71)
Obtemos, assim, a chamada identidade de Ward axial
q
λ
T
µνλ
(k
1
, k
2,
q) = 2mT
µν
. (1.72)
Procedendo da mesma forma, obtemos a identidade de Ward vetorial dada por
k
µ
T
µνλ
= k
ν
T
µνλ
= 0. (1.73)
Entretanto ao calcularmos a contribui¸c˜ao de primeira ordem para T
µνλ
e T
µν
vemos
que essas identidades n˜ao s˜ao respeitadas. Especificamente, ao calcularmos os diagramas
relevantes, realizamos um transla¸c˜ao na vari´avel de integra¸c˜ao, a¸c˜ao n˜ao leg´ıtima numa
integral divergente [28]. Esta divergˆencia traduz-se em uma defini¸c˜ao n˜ao ´unica de T
µνλ
e
T
µν
. C´alculos detalhados [29] mostram que, ao le varmos em conta essas divergˆenc ias, as
identidades de Ward axial e vetorial ficam modificadas por
q
λ
T
µνλ
(k
1
, k
2,
q) = 2mT
µν
−
1 − ∆
4π
2
ε
µναβ
k
α
1
k
β
2
,
k
µ
1
T
µνλ
=
1 + ∆
8π
2
ε
νλαβ
k
α
1
k
β
2
, (1.74)
sendo ∆ um parˆametro relacionado `a regulariza¸c˜ao das divergˆencias que aparecem nos
diagramas. De forma a eliminar os infinitos da teoria temos de realizar a correta regu-
lariza¸c˜ao desses diagramas. Vemos, assim, que as identidades de Ward vetorial e axial
21
n˜ao podem ser satisfeitas com a mesma escolha de ∆. Se identidade axial ´e satisfeita a
vetorial n˜ao ´e, e vice versa.
Tanto no contexto da regulariza¸c˜ao de Pauli-Villars [30] quanto na regulariza¸c˜ao di-
mensional [31, 32], vemos que a amplitude regularizada satisfaz automaticamente a iden-
tidade de Ward vetorial enquanto a axial n˜ao. Pode-se dizer que estas regulariza¸c˜oes
selecionam a identidade a ser conservada, no caso, a identidade vetorial. Em termos da
corrente axial, esta anomalia se traduz em um termo extra na lei de conserva¸c˜ao cl´assica
∂
µ
j
5
µ
(x) = 2imP + A, (1.75)
sendo A o famoso termo anˆomalo de ABJ
A =
e
2
16π
2
ε
µναβ
F
µν
F
αβ
. (1.76)
Como veremos a seguir, num exemplo em duas dimenses, essa anomalia pode ser calculada
mais facilmente no c ontexto das integrais de trajet´oria.
1.7 C´alculo da anomalia pelo m´etodo de Fujikawa
O m´etodo de Fujikawa para o c´alculo de anomalias se baseia nas integrais funcio-
nais. Conforme mostrado na se¸c˜ao 1.3 , sob o ponto de vista funcional, as anomalias
resultam da n˜ao-invariˆancia da medida de integra¸c˜ao funcional sob uma transforma¸c˜ao
de simetria. Como a anomalia envolve apenas termos de primeira ordem no parˆametro
da transforma¸c˜ao, estaremos interessados em calcular det [D + δD] / det [D]. Esta fra¸c˜ao
pode ser escrita em termos de uma integral funcional como
det [D + δD]
det [D]
=
DcDce
−S[D+δD]
DcDce
−S[D]
, (1.77)
22
com c representando os campos fermiˆonicos, ou seja,
S [D] =
d
d
xcDc (1.78)
(vale observar que estamos trabalhando no espa¸co euclideano, nesta se¸c˜ao; nossos resulta-
dos, por´em, podem ser facilmente continuados para o espa¸co de Minkowski). Da mesma
forma temos
S [D + δD] =
d
d
x
c(1 +
1
2
δDD
−1
)D(1 +
1
2
D
−1
δD)c
+ O((δD)
2
). (1.79)
Realizando uma redefini¸c˜ao dos campos fermiˆonicos tal que
c → c
= (1 +
1
2
D
−1
δD)c,
c → c
= (1 +
1
2
δDD
−1
)c, (1.80)
teremos
S [D + δD] =
d
d
xc
Dc
+ O((δD)
2
). (1.81)
O Jacobiano desta transforma¸c˜ao, definido por
DcDc = JDc
Dc
, (1.82)
est´a relacionado ao operador de Dirac atrav´es de (1.77)
J =
det [D + δD]
det [D]
. (1.83)
O c´alculo do Jacobiano pode ser realizado expandindo os campos c (c) em um conjunto
completo de fun¸c˜oes ortogonais ϕ
n
tal que
c(x) =
a
n
ϕ
n
(x),
c(x) =
a
n
ϕ
n
(x),
dµ(x)ϕ
n
ϕ
n
= δ
nm
. (1.84)
23
Sendo o campo c (c) fermiˆonico, os a
n
(a
n
) devem pe rtencer a uma ´algebra de G rassman.
Da mesma forma os campos transformados c
(c
) ter˜ao uma expans˜ao correspondente com
coeficientes a
n
(a
n
), de modo que os dois conjuntos de coeficientes estar˜ao relacionados
por uma transforma¸c˜ao unit´aria
a
= Ua,
a
= a
U, (1.85)
com
U
mn
= δ
mn
+
dµ(x)ϕ
m
(x)
1
2
D
−1
δDϕ
n
(x)
U
mn
= δ
mn
+
dµ(x)ϕ
m
(x)
1
2
δDD
−1
ϕ
n
(x) (1.86)
Usando a propriedade dos determinantes
ln det D = tr ln D, (1.87)
teremos que
n
da
n
da
n
=
n
da
n
da
n
e
−tr ln(UU )
, (1.88)
onde o sinal de menos aparece por estarmos tratando de vari´aveis de Grassman, situa¸c˜ao
na qual o determinante do Jacobiano ´e justamente o inverso do caso bosˆonico. Em termos
dos campos fermiˆonicos originais, dado que
DcDc →
n
da
n
n
da
n
, (1.89)
temos
DcDc = exp
1
2
dµ(x)ϕ
n
(x)(δDD
−1
+ D
−1
δD)ϕ
n
(x)
Dc
Dc
. (1.90)
24
A express˜ao acima ´e divergente (dado que, explicitando a forma de δD e D, podemos iden-
tificar nela um tra¸co funcional envolvendo a quantidade
n
ϕ
n
(x)ϕ
n
(x) = δ(0)) necessi-
tando, portanto, ser regularizada apropriadamente. Formalmente a medida de integra¸c˜ao
fermiˆonica pode ser escrita como
DcDc = e
−tr D
−1
δD
Dc
Dc
, (1.91)
o que nos permite escrever o Jacobiano como
ln J = tr D
−1
δD = δw
D
. (1.92)
O c´alculo do Jacobiano dado acima n˜ao depende da escolha das fun¸c˜oes de base, mas
depende da maneira escolhida para se realizar a regulariza¸c˜ao. A escolha da regulariza¸c˜ao,
por sua vez , desde que possibilite ao tra¸co da express˜ao acima ser bem definido, depende
da simetria que queremos preservar. Consideraremos a seguir dois casos ilustrativos em
duas dimens˜oes: primeiramente, a transforma¸c˜ao associada `a anomalia quiral e depois a
transforma¸c˜ao associada `a anomalia de calibre da CDQ
2
com acoplamento quiral (a serem
discutidas no cap´ıtulo 2) .
1.7.1 Anomalia quiral
Neste caso estaremos lidando com uma transforma¸c˜ao sobre o operador de Dirac tal
que
i
/
D → e
γ
5
θ
a
(x)T
a
i
/
D
e
γ
5
θ
a
(x)T
a
, (1.93)
o que implica em
δ
i
/
D
→
i
/
D
γ
5
θ
a
T
a
+ γ
5
θ
a
T
a
i
/
D
. (1.94)
25
Impondo que o operador D utilizado anteriormente seja tal D =
i
/
D
2
, relacionado ao
tipo de regulariza¸c˜ao que queremos fazer, teremos δD
δD → Dγ
5
θ
a
T
a
+ 2D
1/2
γ
5
θ
a
T
a
D
1/2
+ γ
5
θ
a
T
a
D. (1.95)
Podemos assim escrever
ln J = δw
D
= δw
(
i
/
D
)
2
= lim
→0
4tr
e
−D
γ
5
θ
a
T
a
, (1.96)
onde o fator de amortecimento e
−D
foi introduzido de forma a regularizar o tra¸co. Po-
demos reescrever a equa¸c˜ao acima de forma a explicitar o fator anˆomalo tal que
δw
D
=
d
d
xA(x)θ
a
(x)T
a
, (1.97)
com
A(x) = 2 lim
→0
n
ϕ
†
n
(x)γ
5
e
−
(
i
/
D
)
2
ϕ
n
(x). (1.98)
A express˜ao acima n˜ao deve depender da escolha da base. Portanto, escolhendo as fun¸c˜oes
ϕ
n
(x) para que sejam ondas planas e notando que
i
/
D
2
= −D
µ
D
µ
+ X,
com X =
ie
4
[γ
µ
, γ
ν
] F
µν
, (1.99)
sendo F
µν
o tensor de intensidade de campo para a teoria n˜ao abeliana, temos portanto
i
/
D
2
e
ipx
= (−D
µ
D
µ
+ X) e
ipx
,
(−D
µ
D
µ
+ X) e
ipx
= e
ipx
(p
µ
− iD
µ
)
2
+ X
. (1.100)
A anomalia pode, ent˜ao, ser escrita como
A(x) = 2 lim
ε→0
tr
γ
5
d
d
p
(2π)
2
e
−ip·x
e
−εD
e
ip·x
= 2 lim
ε→0
tr
γ
5
d
d
p
(2π)
2
e
−ε(p
2
−2ip·D−D
2
+X)
. (1.101)
26
Fazendo uma mudan¸ca de vari´aveis (ε)
1
2
p = k e expandindo em potˆencias de ε temos
A(x) = 2 lim
ε→0
tr
γ
5
1
ε
d
2
d
d
k
(2π)
2
e
−k
2
1 + 2i(ε)
1
2
k · D + εD
2
− εX + O(ε
3
2
)
. (1.102)
Obviamente, para duas dimens˜oes, n˜ao precisamos computar termos de ordem mais ele-
vada. Usando o fato de que
d
2
k
(2π)
2
e
−k
2
=
1
4π
e
tr (γ
5
) = 0,
teremos, para a anomalia quiral,
A =
1
2π
tr {γ
5
X} =
e
2π
µν
F
µν
. (1.103)
1.7.2 Anomalia de calibre
Nesse caso a tranforma¸c˜ao sobre o operador de Dirac com acoplamento quiral direito
ser´a dada por
i
/
D → Ui
/
DU, (1.104)
com
U = exp(iθ
a
T
a
+ iγ
5
θ
a
T
a
) = exp(2iP
+
θ
a
T
a
), (1.105)
U = exp(−iθ
a
T
a
+ iγ
5
θ
a
T
a
) = exp(−2iP
−
θ
a
T
a
),
o que implica em
δ(i
/
D) → (i
/
D)2iP
+
θ
a
T
a
− 2iP
−
θ
a
T
a
(i
/
D). (1.106)
27
Desta vez para que o operador D seja positivo definido fazemos D = (i
/
D)
†
(i
/
D), o que
nos d´a δD
δD → −D2iP
+
θ
a
T
a
− D
1/2
2iP
+
θ
a
T
a
D
1/2
+ D
1/2
2iP
−
θ
a
T
a
D
1/2
+ 2iP
−
θ
a
T
a
D. (1.107)
Assim, obtemos
ln J
(+)
= δw
D
a
= δw
(i
/
D)
†
(i
/
D)
= − lim
→0
4tr
e
−D
γ
5
θ
a
T
a
, (1.108)
equa¸c˜ao equivalente a (1.96) por´em com sinal oposto e com o operador D definido dife-
rentemente. O sinal (+) se refere ao tipo de acoplamento com o qual estamos lidando.
Para o acoplamento quiral esquerdo devemos substituir P
+
por P
−
e vice versa, de
forma que
ln J
(−)
= δw
D
a
= δw
(i
/
D)
†
(i
/
D)
= lim
→0
4tr
e
−D
γ
5
θ
a
T
a
. (1.109)
Veremos que esse sinal oposto em J
+
e J
−
ser´a o respons´avel pelo cancelamento da
anomalia no modelo padr˜ao. Realizando agora c´alculos semelhantes aos da anomalia
quiral, vemos que a anomalia de calibre esquerda ser´a
A
(−)
(x) = 2 lim
ε→0
tr
γ
5
1
ε
d
2
d
d
p
(2π)
2
e
(−k
2
+2e(ε)
1
2
P
+
k·A−iεeP
+
(∂
µ
A
µ
)−εe
2
P
+
A
µ
A
µ
+εP
+
X)
= 2 lim
ε→0
tr
γ
5
1
ε
d
2
d
d
k
(2π)
2
e
−k
2
[1 + 2e(ε)
1
2
P
+
k · A − iεeP
+
(∂
µ
A
µ
) − εe
2
P
+
A
µ
A
µ
+2e
2
εP
+
(k · A)
2
+ εP
+
X]
Notando que
d
d
k
(2π)
2
e
−k
2
=
1
4π
,
e
d
2
k
(2π)
2
e
−k
2
k
µ
k
ν
= Aη
µν
, (1.110)
28
com a constante A determinada por
η
µν
d
2
k
(2π)
2
e
−k
2
k
µ
k
ν
= η
µν
Aη
µν
= 2A, (1.111)
o que fornece
A =
1
2
d
2
k
(2π)
2
e
−k
2
k
2
=
1
8π
du(e
−u
u)
=
1
8π
,
vemos que esses dois termos se cancelam
= 2 lim
ε→0
tr
γ
5
1
ε
d
d
k
(2π)
2
e
−k
2
[−εe
2
P
+
A
µ
A
µ
+ 4e
2
εP
+
(k · A)
2
]
= 2 lim
ε→0
tr
γ
5
(−
1
4π
e
2
P
+
A
µ
A
µ
+ Aη
µν
1
4π
e
2
P
+
A
µ
Aν]
= 0,
o que nos permite calcular a anomalia como
A
(−)
(x) = 2 lim
ε→0
tr
γ
5
1
ε
d
2
d
d
k
(2π)
2
e
−k
2
[−iεeP
+
(∂
µ
A
µ
) + εP
+
X
a
]
=
1
2π
tr {γ
5
[−ieP
+
(∂
µ
A
µ
) + P
+
X]}
=
1
4π
tr {γ
5
[−ieγ
5
(∂
µ
A
µ
) + X]}
= −
1
4π
ie(∂
µ
A
µ
) +
e
2
µν
F
µν
.
Da mesma forma teremos
A
(+)
(x) = +
1
4π
ie(∂
µ
A
µ
) +
e
2
µν
F
µν
. (1.112)
Vemos assim que uma teoria com acoplamento quiral direito tem a mesma anomalia por´em
com sinal oposto ao de uma teoria com acoplamento quiral esquerdo. Vemos assim que
29
teorias com f´ermions de Dirac (sem massa) acoplados vetorialmente, que s˜ao equivalentes
a dois f´ermions de Weyl, um direito e outro esquerdo, acoplados de modo quiral, n˜ao tˆem
anomalia na simetria de calibre.
30
Cap´ıtulo 2
C´alculo da A¸c˜ao Efetiva da CDQ
2
com acoplamento quiral
Neste cap´ıtulo calcularemos inicialmente a a¸c˜ao efetiva para o modelo da CDQ
2
sem
acoplamento quiral seguindo o m´etodo delineado em [33], que requer o c´alculo da cor-
rente em termos dos campos de calibre, a partir da integra¸c˜ao da equa¸c˜ao da anomalia.
Mostraremos, em seguida, que a a¸c˜ao efetiva do modelo com o acoplamento quiral pode
ser obtida a partir daquela do modelo sem acoplamento com uma escolha adequada do
calibre no cone de luz.
2.1 Simetrias da CDQ
2
Queremos calcular a a¸c˜ao efetiva da CDQ
2
, definida pela densidade de Lagrangeana
31
L = −
1
4
tr (F
µν
F
µν
) + ψDψ, (2.1)
com F
µν
sendo o tensor de intensidade de campo e ψ representando um multipleto de cam-
pos fermiˆonicos na representa¸c˜ao fundamental do grup o de calibre. Estamos interessados
inicialmente em um modelo no qual o operador de Dirac seja
D = i
/
∂ + e
/
A.
As equa¸c˜oes de campo derivadas dessa Lagrangeana s˜ao
D
ab
µ
F
µν
b
+ eψγ
ν
τ
a
ψ = 0,
i
/
Dψ = γ
µ
(i∂
µ
+ eτ
a
A
a
µ
)ψ = 0, (2.2)
com D
ab
µ
= (δ
ab
∂
µ
+ ef
acb
A
c
µ
) sendo a derivada covariante na representa¸c˜ao adjunta. As
transforma¸c˜oes de calibre associadas a ψ s˜ao
ψ
= Uψ,
ψ
= ψ
†
γ
0
= ψ
†
U
†
γ
0
= ψU
†
. (2.3)
onde
U = exp(iθ
a
T
a
),
U
†
= exp(−iθ
a
T
a
). (2.4)
Pela aplica¸c˜ao do teorema de Noether vemos que a corrente conservada covariantemente
ser´a J
a
µ
= ψγ
µ
T
a
ψ
D
ab
µ
J
µb
= 0. (2.5)
32
Da mesma forma, a teoria tem simetria quiral cl´assica, sob transforma¸c˜oes ψ
= U
5
ψ, com
U
5
dado por
U
5
= exp(γ
5
θ
a
T
a
), (2.6)
que leva `a conserva¸c˜ao covariante de J
5a
µ
= ψγ
5
γ
µ
T
a
ψ
D
ab
µ
J
5bµ
= 0.
Na teoria quˆantica, a corrente de calibre ser´a representada por um operador, cujo valor
esperado no v´acuo define a quantidade J
a
µ
(x| A):
J
a
µ
(x| A) =
ψγ
µ
τ
a
ψ
. (2.7)
Levando em considera¸c˜ao a defini¸c˜ao de a¸c˜ao efetiva dada no cap´ıtulo 1, ´e imediato ver
que
eJ
a
µ
(x| A) =
δW [A]
δA
µ
a
(x)
, (2.8)
onde observamos que
W [A] = −i ln
det i
/
D[A]
det i∂
.
No n´ıvel quˆantico, contudo, a conserva¸c˜ao da corrente axial n˜ao ser´a mantida, conforme
demonstrado na se¸c˜ao 1.6. Utilizaremos essa quebra da simetria quiral para o c´alculo da
corrente de calibre J
a
µ
(x| A).
2.2 C´alculo da corrente
Integrando a rela¸c˜ao (2.8) podemos calcular a a¸c˜ao efetiva. Para tanto devemos saber
quem ´e a corrente J
a
µ
(x| A) explicitamente em termo dos campos de calibre A
µ
. Notando
33
que no caso bidimensional, devido `a rela¸c˜ao γ
µ
γ
5
= ε
µν
γ
ν
, temos uma rela¸c˜ao entre a
corrente de calibre e a corrente quiral:
J
b
5µ
(x| A) =
ψγ
µ
γ
5
τ
b
ψ
A
= ε
µν
J
νb
(x| A). (2.9)
Utilizando a equa¸c˜ao para a anomalia quiral obtida em (1.103) teremos
D
ab
µ
J
5µb
= −
D
ab
µ
J
µb
=
e
2π
ε
µν
F
a
µν
.
Integrando a equa¸c˜ao acima podemos, portanto, calcular a corrente J
a
µ
(x| A), o que fare-
mos a seguir. Utilizaremos, alternadamente, ´ındices de Minkowski e ´ındices de cone de
luz, dependendo de qual seja a escolha mais conveniente (ver apˆendice A para defini¸c˜oes).
Introduzindo a f un¸c˜ao de Green do operador D
ab
µ
atrav´es da equa¸c˜ao
D
ab
±
K
bc
±
= ∓δ
ac
δ(x − y), (2.10)
teremos
J
a
5±
=
e
2π
d
2
yK
ab
±
(x, y| A)A(y), (2.11)
sendo A(y) a anomalia na conserva¸c˜ao da corrente. A fun¸c˜ao de Green K
µ
depende do
campo de calibre externo A
µ
, o qual pode ser escrito em termos de campos que tomam
valores na representa¸c˜ao adjunta,
A
ab
µ
= f
acb
A
c
µ
, (2.12)
de forma que
D
ab
±
δ(x − y) = (δ
ab
∂
±
+ ef
acb
A
c
±
)δ(x − y) = (δ
ab
∂
±
+ eA
ab
±
)δ(x − y). (2.13)
Notando que a fun¸c˜ao K
±
´e justamente a inversa do operador de Dirac D
∓
, ou seja,
formalmente,
K
±
=
1
D
∓
[A
∓
]
=
1
∂
∓
+ eA
∓
=
1
∂
∓
(1 + e∂
−1
∓
A
∓
)
, (2.14)
34
podemos expandir a express˜ao acima em uma s´erie geom´etrica para obtermos
1
∂
∓
(1 + e∂
−1
∓
A
∓
)
= (1 − e∂
∓
A
∓
+ e
2
∂
−1
∓
A
∓
∂
−1
∓
A
∓
− ...)∂
−1
∓
. (2.15)
Com as fun¸c˜oes de dois pontos definidas de modo que
D
±
(x) = ∂
±
D
F
(x),
D
F
(x) = −
i
4π
ln(−x
2
+ i),
∂
∓
D
±
(x) = δ
2
(x), (2.16)
K
µ
pode ser expandido em uma s´erie nos campos A
ab
µ
:
K
ab
±
(x, y| A) = ∓δ
ab
D
±
(x − y) ∓
∞
n=1
(−e)
n
d
2
x
1
· · · d
2
x
n
D
±
(x − x
1
) · · · D
±
(x − x
n
)×
× [A
∓
(x
1
) · · · A
∓
(x
n
)]
ab
. (2.17)
Reescrevendo os campos de calibre A
ab
µ
na representa¸c˜ao f undamental, a equa¸c˜ao acima
fica:
K
ab
±
(x, y| A) = ∓δ
ab
D
±
(x − y) ∓
∞
n=1
(ie)
n
d
2
x
1
· · · d
2
x
n
D
±
(x − x
1
) · · · D
±
(x − x
n
)×
× tr {T
a
[A
∓
(x
1
), [A
∓
(x
2
), · · · [A
∓
(x
n
), τ
b
]}. (2.18)
Usando o fato de que
F
+−
= −∂
−
A
+
+ D
+
A
−
,
F
−+
= −D
−
A
+
+ ∂
+
A
−
, (2.19)
e que
ε
ρσ
F
ρσ
(y) = 2F
01
(y) = −F
+−
(y),
35
a corrente J
b
5µ
(x| A) pode ser escrita como
J
a
5±
(x| A) =
e
2π
d
2
yK
ab
±
(x, y| A)A(y)
=
e
2π
d
2
yK
ab
±
(x, y| A)ε
ρσ
F
ρσb
(y)
= −
e
2π
d
2
yK
ab
±
F
+−b
=
e
2π
A
±
(x) ±
e
2π
d
2
yK
ab
±
∂
±
A
b
∓
, (2.20)
onde no ´ultimo passo foi utilizada a equa¸c˜ao (2.10).
Se notarmos que ε
ρσ
F
ρσb
´e um escalar, veremos que ∂
±
A
b
∓
tem que ser uma bidi-
vergˆencia, o que nos autoriza a realizar uma integra¸c˜ao parcial nas vari´aveis de cone de
luz e por a zero os termos de fronteira. Assim, a equa¸c˜ao para a corrente fica
J
a
5±
=
e
2π
A
a
±
(x) −
e
2π
d
2
y∂
±
D
±
(x − y)A
a
∓
(y)
+
i
2π
∞
n=2
(ie)
n
d
2
x
1
· · · d
2
x
n
D
±
(x − x
1
) · · · D
±
(x − x
n
)×
× tr {T
a
[A
∓
(x
1
), [A
∓
(x
2
), · · · [A
∓
(x
n−1
), ∂
±
A
∓
(x
n
)]}. (2.21)
Usando
T
(n)
±
=
1
2π
d
2
x
1
· · · d
2
x
n
D
±
(x − x
1
) · · · D
±
(x − x
n
)×
× [A
∓
(x
1
), [A
∓
(x
2
), · · · [A
∓
(x
n−1
), ∂
±
A
∓
(x
n
)], (2.22)
a corrente se ree screve como
eJ
a
5±
=
e
2
2π
A
a
±
(x) −
e
2
2π
d
2
y∂
±
D
±
(x − y)A
a
∓
(y) + tr
∞
n=2
(ie)
n+1
T
a
T
(n)
±
. (2.23)
Definimos um funcional
T
±
(x| A
(r)
) =
∞
n=1
(ie)
n+1
T
(n)
±
(x| A
(r)
), (2.24)
36
com
T
(1)
±
(x| A
(r)
) =
1
2π
dzD
±
(x − z)∂
±
A
(r)
∓
(z),
e
A
(r)
∓
(x) = rA
∓
(x),
de modo que a corrente possa ser escrita sucintamente como
eJ
a
5±
=
e
2
2π
A
a
±
(x) + tr [T
a
T
±
(x| A)]. (2.25)
2.3 A¸c˜ao efetiva da CDQ
2
Pelas parametriza¸c˜oes realizadas acima vˆe-se que a a¸c˜ao pode ser escrita como
W [A] = W [0] +
e
2
4π
d
2
xA
+
A
−
(2.26)
+
1
2
tr
1
0
dr
d
2
x
A
−
(x)T
+
(x| A
(r)
) + A
+
(x)T
−
(x| A
(r)
)
. (2.27)
Utilizando a equa¸c˜ao (2.25) e a conserva¸c˜ao covariante da corrente, vemos que os funcio-
nais geradores T
±
(x| A) obdecem `a seguinte equa¸c˜ao diferencial
∂
∓
T
±
= −
e
2
2π
∂
±
A
(r)
∓
+ ie
A
(r)
∓
, T
±
(2.28)
Os campos de gauge em duas dimens˜oes sempre podem ser parametrizados por
eA
(r)
+
= U
−1
r
i∂
+
U,
eA
(r)
−
= V
r
i∂
−
V
−1
r
. (2.29)
com
eA
+
=
∂
∂r
U
−1
r
i∂
+
U
.
37
Com essa parametriza¸c˜ao vemos que (2.28) ´e resolvida por T
±
(x| A
(r)
) escritos como
T
+
= −
e
2π
V
r
i∂
+
V
−1
r
,
T
−
= −
e
2π
U
−1
r
i∂
−
U
r
. (2.30)
De modo a simplificar o c´alculo podemos fazer uso da invariˆancia de calibre da a¸c˜ao ef etiva.
Assim, se escolhermos um calibre no cone de luz tal que A
−
= 0 teremos equivalentemente
V = 1. Introduzindo A
(r)
±
e T
±
na express˜ao para a a¸c˜ao efetiva e fazendo uso do calibre
citado teremos:
W [A] − W [0] =
1
2π
tr
1
0
dr
d
2
xA
+
(x)T
−
(x| A
(r)
)
=
1
2π
tr
1
0
dr
d
2
x(U
−1
r
i∂
−
U
r
)
∂
∂r
(U
−1
r
i∂
+
U)
=
1
4π
tr
1
0
dr
d
2
x
(U
−1
r
i∂
−
U
r
)
∂
∂r
(U
−1
r
i∂
+
U) + (U
−1
r
i∂
+
U
r
)
∂
∂r
(U
−1
r
i∂
−
U)
+
1
4π
tr
1
0
dr
d
2
x
(U
−1
r
i∂
−
U
r
)
∂
∂r
(U
−1
r
i∂
+
U) − (U
−1
r
i∂
+
U
r
)
∂
∂r
(U
−1
r
i∂
−
U)
.
(2.31)
Notamos que o primeiro termo envolve uma derivada total em rela¸c˜ao r e o que nos d´a
justamente a a¸c˜ao do modelo sigma principal (veja por exemplo, o cap´ıtulo 9 da referˆencia
[33]) enquanto o segundo termo pode ser manipulado de forma a gerar a a¸c˜ao de Wess-
Zumino, ap´os uma integra¸c˜ao parcial em ∂
+
. Temos como resultado final, portanto,
W [A] − W [0] =
1
4π
tr
d
2
x(U
−1
∂
+
U)(U
−1
∂
−
U) (2.32)
−
1
4π
tr
1
0
dr
d
2
xU
−1
r
˙
U
r
(U
−1
r
∂
+
U
r
), (U
−1
r
∂
−
U)
,
38
onde U = U
1
e
˙
U
r
denota diferencia¸c˜ao em rela¸c˜ao a r. A simetria de calibre da a¸c˜ao
efetiva nos permite concluir que o resultado, em um calibre arbitr´ario, pode ser obtido
simplesmente pelas substitui¸c˜oes
U
r
→ G
r
= U
r
V
r
,
U → G = UV, (2.33)
de forma que a a¸c˜ao efetiva pode ser escrita no espa¸co de Minkowski como
W [A] − W [0] = −Γ[G] = −
1
8π
d
2
xtr (∂
µ
G)G
−1
(∂
µ
G)
−
1
4π
tr
1
0
dr
d
2
x
µν
tr
G
−1
r
˙
G
r
G
−1
r
(∂
µ
G
r
)G
−1
r
(∂
ν
G
r
)
= −S
W Z
− S
P σM
. (2.34)
Γ[G] ´e chamada de a¸c˜ao de Wess-Zumino-Witten (WZW) que pode ser escrita como a
soma do termo de Wess-Zumino S
W Z
e a a¸c˜ao do modelo sigma principal S
P σM
.
Este mesmo resultado pode ser obtido pelo procedimento de Polyakov-Wiegmann [34].
2.4 A¸c˜ao Efetiva da CDQ
2
com acoplamento quiral
Neste caso, com acoplamento quiral (esquerdo), o operador de Dirac se modifica para:
D = i
/
∂
µ
+ eP
−
/
A
µ
, (2.35)
com
P
−
=
1
2
(1 − γ
5
). (2.36)
39
A simetria global associada ao termo ψDψ ser´a
U = exp(iθ
a
T
a
− iγ
5
θ
a
T
a
) = exp(2iP
−
θ
a
T
a
), (2.37)
U = exp(−iθ
a
T
a
− iγ
5
θ
a
T
a
) = exp(−2iP
+
θ
a
T
a
),
com campo de gauge A
µ
se tranformando como
A
µ
= U
g
A
µ
U
†
g
−
i
g
(∂
µ
U
g
)U
†
g
,
com U
g
= exp(iθ
a
T
a
). Vamos mostrar a invariˆancia do termo fermiˆonico explicitamente:
ψ
D
ψ
= ψUγ
µ
(i∂
µ
+ eP
−
A
µ
)Uψ
= iψUγ
µ
U(∂
µ
ψ) + iψUγ
µ
(∂
µ
U)ψ + ψUγ
µ
eP
−
A
µ
Uψ
= iψγ
µ
∂
µ
ψ + iψγ
µ
U
†
(∂
µ
U)ψ + ψγ
µ
U
†
eP
−
A
µ
Uψ. (2.38)
Notando que
e
iP
−
M
= 1 + iP
−
M + (iP
−
M)
2
+ (iP
−
M)
3
+ ...
= 1 + P
−
(iM + (iM)
2
+ (iM)
3
+ ...)
= 1 + P
−
(e
iM
− 1),
teremos
iU
†
∂
µ
U = i(1 + P
−
(U
†
g
− 1))∂
µ
(1 + P
−
(U
g
− 1))
= i(P
−
+ P
−
P
−
U
†
g
− P
−
P
−
1))∂
µ
(U
g
)
= iP
−
(U
†
g
)∂
µ
(U
g
), (2.39)
40
e
eψγ
µ
U
†
P
−
A
µ
Uψ = eψγ
µ
(1 + P
−
(U
†
g
− 1))P
−
A
µ
Uψ
= eψγ
µ
P
−
U
†
g
A
µ
Uψ
= eψγ
µ
U
†
g
A
µ
P
−
Uψ
= eψγ
µ
P
−
U
†
g
A
µ
U
g
ψ. (2.40)
Substitu´ındo na equa¸c˜ao original teremos
ψ
D
ψ
= iψγ
µ
∂
µ
ψ + iψγ
µ
P
−
(U
†
g
)∂
µ
(U
g
)ψ + eψγ
µ
P
−
U
†
g
A
µ
Uψ
= iψγ
µ
∂
µ
ψ + iψγ
µ
P
−
(U
†
g
)∂
µ
(U
g
)ψ + eψγ
µ
P
−
U
†
g
U
g
A
µ
U
†
g
U
g
ψ
− iψγ
µ
P
−
U
†
g
(∂
µ
U
g
)U
†
g
U
g
ψ (2.41)
= ψγ
µ
(i∂
µ
ψ + eP
−
A
µ
)ψ = ψDψ. (2.42)
Vale notar que caso tiv´essemos um acoplamento quiral direito, tal que
D = i
/
∂
µ
+ eP
+
/
A
µ
, (2.43)
com
P
+
=
1
2
(1 + γ
5
). (2.44)
todas as contas efetuadas acima continuariam v´alidas, com P
−
substitu´ıdo por P
+
. En-
tretanto, conforme notado na se¸c˜ao 1.7, a anomalia associada teria a mesma forma, mas
sinal oposto.
A corrente cl´assica c onservada covariantemente ser´a J
a
µ
= ψγ
µ
T
a
P
−
ψ tal que
D
ab
µ
J
µb
= 0.
41
Conforme demonstrado na se¸c˜ao 1.6, o an´alogo quˆantico para essa corrente, dado por
J
a
µ
(x| A) =
ψγ
µ
τ
a
P
−
ψ
, (2.45)
n˜ao obedece `a lei cl´assica de conserva¸c˜ao. A princ´ıpio, poder´ıamos calcular a a¸c˜ao efetiva
associada seguindo o mesmo m´etodo delineado nas se¸c˜oes anteriores. Ao realizar esse
processo nos deparamos com equa¸c˜oes diferenciais an´alogas a (2.28), para as quais n˜ao
conseguimos, contudo, uma solu¸c˜ao. Um m´etodo alternativo para o c´alculo dessa a¸c˜ao
efetiva se d´a ao notarmos que a Lagrangeana da CDQ
2
, sem o acoplamento quiral, pode
ser escrita explicitamente em termos de f´ermions direitos e esquerdos como:
ψ
i
/
∂ + e
/
A
ψ = ψ
i
/
∂ + e
/
A
P
+
ψ + ψ
i
/
∂ + e
/
A
P
−
ψ
= ψ
R
(i∂
+
+ eA
+
) ψ
R
+ ψ
L
(i∂
−
+ eA
−
) ψ
L
. (2.46)
Assim, utilizando um procedimento de regulariza¸c˜ao invariante de calibre para a teoria
vetorial, poder´ıamos obter, por exemplo, W
L
[A] (a a¸c˜ao efetiva para o caso de acopla-
mento quiral esquerdo), a partir de (2.32) simplesmente fazendo A
+
= 0. Isto equivale a
por U = 1 nas express˜oes
eA
+
= U
−1
i∂
+
U,
eA
−
= V i∂
−
V
−1
, (2.47)
ou,
eA
µ
=
1
2
(g
µν
+
µν
)V
−1
i∂
ν
V.
Assim, vemos que W
L
[A] = −Γ[V ], ´e justamente a a¸c˜ao WZW, particularizada para U =
1. A transforma¸c˜ao de gauge A
µ
→ A
h
µ
, pelas equa¸c˜oes acima equivale `a transforma¸c˜ao
42
V → hV . Chamaremos de γ
1
o funcional de Wess-Zumino definido em (1.58), obtido
para uma regulariza¸c˜ao invariante de calibre da teoria vetorial (j´a que n˜ao existem tais
regulariza¸c˜oes no caso quiral). Ele ser´a dado, portanto, por
γ
1
[A, h] = Γ[hV ] − Γ[V ], (2.48)
que, pelo uso da f´ormula de Polyakov-Wiegmann [34],
Γ[AB] = Γ[A] + Γ[B] +
1
4π
d
2
xtr [(A
−1
∂
+
A)(B∂
−
B
−1
)], (2.49)
se reescreve c omo
γ
1
[A, h] = Γ[h] −
ie
4π
d
2
xtr [A
µ
h
−1
(∂
µ
−
∂
µ
)h]. (2.50)
Esta, entretanto, ´e somente uma de v´arias regulariza¸c˜oes poss´ıveis. Em geral, regula-
riza¸c˜oes n˜ao invariantes de calibre implicam na adi¸c˜ao de um termo massivo na forma
ae
2
8π
tr A
2
µ
`a a¸c˜ao efetiva, com a sendo um parˆametro real. Considerando a invariˆancia da
medida de integra¸c˜ao sobre o grupo de calibre, j´a usada na se¸c˜ao 1.4, a a¸c˜ao W
L
[A] se
escreve como
e
iW
L
[A]
= e
ae
2
4π
tr A
2
µ
Dhe
iγ
1
[A,h]
(2.51)
Nesse caso α
1
[A, g] para a teoria obtida atrav´es de uma regulariza¸c˜ao gen´erica, ser´a:
α
1
[A, g] = −(1 − a)S
P σM
[g] − S
W Z
[g] +
ie
4π
d
2
xtr
A
µ
g
−1
((1 − a)∂
µ
+
∂
µ
)g
. (2.52)
No limite em que a → 0, temos obviamente que γ
1
[A, h] = α
1
[A, g] .
A anomalia pode ser obtida atrav´es de α
1
[A, g], o que nos d´a
A
a
(x) = i
δα
1
[A, g]
δθ
a
(x)
θ
a
=0
=
ie
4π
(1 − a)∂
µ
−
∂
µ
A
µ,a
(x). (2.53)
43
Juntando todas essas considera¸c˜oes, o resultado final, ap´os a integra¸c˜ao sobre os
f´ermions, ´e uma a¸c˜ao efetiva bosonizada (lembremos que ainda h´a integra¸c˜oes sobre A
µ
,
h e g a serem feitas):
I
Bos
=
d
2
xtr
−
1
4
F
µν
F
µν
+
ae
2
8π
A
µ
A
µ
+ γ
1
[A, h] + α
1
[A, g] . (2.54)
´
E poss´ıvel mostrar que as equa¸c˜oes de movimento que se seguem desta a¸c˜ao bosonizada
s˜ao:
D
µ
F
µν
+ eJ
ν
= 0,
D
µ
−ih
−1
∂
µ
−
˜
∂
µ
h
= −e
∂
µ
−
˜
∂
µ
A
µ
,
D
µ
−ig
−1
(1 − a) ∂
µ
−
˜
∂
µ
g
= −e
(1 − a) ∂
µ
−
˜
∂
µ
A
µ
, (2.55)
onde
J
µ
:= −
i
4π
h
−1
∂
µ
−
˜
∂
µ
h +
i
4π
g
−1
(a − 1) ∂
µ
−
˜
∂
µ
g +
ae
4π
A
µ
(2.56)
´e a express˜ao bosonizada para a corrente que deveria ser conservada em fun¸c˜ao da simetria
de calibre
J
µ
a
=
i
¯
ψγ
µ
T
a
P
−
ψ
h,g,A
(2.57)
(o subscrito indica que a integra¸c˜ao funcional n˜ao est´a abrangendo os campos A
µ
, h e g).
Ela, de fato, ´e conservada, mesmo considerando o campo A
µ
externo
D
µ
J
µ
= 0. (2.58)
Este resultado, conseq¨uencia da invariˆancia de calibre da a¸c˜ao efetiva, nos incentiva a bus-
car mecanismos de cancelamento da anomalia, dos quais trataremos no cap´ıtulo seguinte.
44
Cap´ıtulo 3
O Cancelamento da Anomalia na
Simetria de Calibre
Conforme demonstrado no Cap´ıtulo 1 a presen¸ca dos campos de Wess-Zumino ´e res-
pons´avel pela restaura¸c˜ao quˆantica da simetria de calibre em n´ıvel n˜ao pe rturbativo,
restaura¸c˜ao esta expressa pela invariˆancia da a¸c˜ao efetiva.
´
E natural supor que, com a
simetria restaurada, tenhamos conserva¸c˜ao quˆantica das correntes classicamente conser-
vadas, ou seja, que deva existir algum mecanismo atrav´es do qual a anomalia se cancele.
Investigaremos, inicialmente, teorias de calibre abelianas em dimens˜oes arbitr´arias, onde
a integra¸c˜ao funcional nos permitir´a visualizar tal mecanismo de cancelamento. Aplica-
remos, ent˜ao, o mesmo racioc´ınio para teorias n˜ao abelianas.
45
3.1 Discuss˜ao Geral
O valor esperado no v´acuo da anomalia ´e dado por
A
a
(x) = i
dψd
¯
ψdA
µ
A
a
(x) exp(iI
ψ,
¯
ψ, A
µ
). (3.1)
Inserindo o “1”de Faddeev-Popov, como no cap´ıtulo 1, e fazendo as mesmas manipula¸c˜oes
anteriores, ´e imediato ver que chegamos a
A
a
(x) = i
dψd
¯
ψDA
µ
dθA
g
−1
a
(x) (3.2)
× exp(iI
ψ,
¯
ψ, A
µ
+ iα
1
A
µ
, g
−1
),
onde, como antes, dθ ≡
a
dθ
a
e definimos
DA
µ
:= dA
µ
∆
FP
[A
µ
]
a
δ(f
a
(A
µ
)).
Assim, vemos que o operador relevante a ser considerado na teoria com campos de Wess-
Zumino ´e a transformada de calibre da anomalia, A
g
−1
a
(x). Vamos considerar separa-
damente os casos abeliano e n˜ao abeliano. Para chamar a aten¸c˜ao sobre o campo de
Wess-Zumino, mudaremos um pouco a nota¸c˜ao, usando A
θ
µ
(x) para denotar o que antes
cham´avamos de A
g
µ
(x) e chamando a transformada de calibre da anomalia de A
θ
a
(x).
3.1.1 Caso Abeliano
Vamos considerar o caso U (1), para o qual o elemento do grupo ´e caracterizado por
um ´unico parˆametro θ:
g = e
iθ(x)
.
46
Utilizando (1.64), vemos que a anomalia pode ser reescrita como
A (x) =
δW
A
θ
µ
δθ (x)
θ=0
=
dz
δW
A
θ
µ
δA
θ
µ
(z)
δA
θ
µ
(z)
δθ (x)
θ=0
=
dz
δW [A
µ
]
δA
µ
(z)
δA
θ
µ
(z)
δθ (x)
θ=0
. (3.3)
O termo δW [A
µ
] /δA
µ
(z) depende da teoria espec´ıfica sob considera¸c˜ao. Para avan¸car
na discuss˜ao geral, precisamos calcular
δA
θ
µ
δθ (x)
θ=0
.
No caso abeliano, sabemos que
A
θ
µ
= A
µ
−
1
g
∂
µ
θ (x) .
Com isso, podemos escrever
A (x) = −
1
g
dz
δW [A
µ
]
δA
µ
(z)
∂
µ
δ (z − x) (3.4)
=
1
g
∂
µ
δW [A
µ
]
δA
µ
(x)
.
Vamos mostrar que a transformada de calibre da anomalia A
θ
(x) pode ser escrita
como a derivada funcional de α
1
[A
µ
, g], em rela¸c˜ao a θ. Utilizando a express˜ao para a
anomalia dada acima e considerando sua transformada de calibre vemos que
A
θ
=
1
g
∂
µ
δW [A
µ
]
δA
µ
(z)
θ
=
1
g
∂
µ
δW
A
θ
µ
δA
θ
µ
(x)
= −
1
g
dz
δW
A
θ
µ
δA
θ
µ
(z)
∂
µ
δ (z − x)
=
dz
δW
A
θ
µ
δA
θ
µ
(z)
δA
θ
µ
(z)
δθ (x)
=
δW
A
θ
µ
δθ (x)
=
δα
1
[A
µ
, g]
δθ (x)
. (3.5)
47
O valor esperado para a anomalia, considerando explicitamente os campos de Wess-
Zumino, ser´a portanto
A (x) = −
dψd
¯
ψDA
µ
dθ ×
δ
δθ (x)
α
1
A
µ
, g
−1
exp(iI
ψ,
¯
ψ, A
µ
+ iα
1
A
µ
, g
−1
)
= i
dψd
¯
ψDA
µ
dθ ×
δ
δθ (x)
[exp(iI
ψ,
¯
ψ, A
µ
+ iα
1
A
µ
, g
−1
)]. (3.6)
Integrando explicitamente os graus de liberdade fermiˆonicos obtemos o determinante
fermiˆonico que, embora n˜ao possa ser calculado de forma fechada, para dimens˜oes su-
periores a 2, pode s er tornado numa quantidade finita e bem definida em cada ordem de
g, atrav´es de regulariza¸c ˜ao e renormaliza¸c˜ao [23, 24]. N˜ao h´a resultados exatos tamb´em
para a integra¸c˜ao posterior, sobre A
µ
. Contudo, a integra¸c˜ao sobre os campos de Wess-
Zumino θ nos d´a
A (x) =
dθ
δ
δθ
F [θ] = 0, (3.7)
o que ´e uma conseq¨uˆencia da invariˆancia translacional da integra¸c˜ao funcional
1
. Podemos
dizer, assim, que se a teoria for bem definida n˜ao perturbativamente, teremos fortes
1
A invariˆancia translacional da integral funcional requer que
dφF [φ + δφ] =
dφF [φ] .
Da´ı
dφ
F [φ] +
dx
δF [φ]
δφ (x)
δφ (x)
=
dφF [φ]
⇒
dx
dφ
δF [φ]
δφ (x)
δφ (x) = 0.
Como δφ (x) ´e arbitr´ario, a ´unica forma da igualdade acima ser sempre v´alida ´e
dφ
δF [φ]
δφ (x)
= 0
48
indica¸c˜oes de que a anomalia se cancela. N˜ao dizemos que temos uma prova devido ao
car´ater extremamente formal da integral funcional em teoria quˆantica de campos.
Exemplos
De maneira a exemplificar o cancelamento da anomalia para o caso abeliano, consi-
deremos dois modelos espe c´ıficos em 2D: o modelo de Schwinger e o modelo de Schwinger
quiral (estudos detalhados des tes modelos podem ser achados em [33]). Nestes modelos,
as integra¸c˜oes sobre os f´ermions podem ser efetuadas exatamente, resultando em a¸c˜oes
efetivas dadas por:
W
S
[A
µ
] =
d
2
x
−
1
4
F
µν
F
µν
+
e
2
2π
A
µ
(a + 1)
2
η
µν
−
∂
µ
∂
ν
A
ν
, (3.8)
W
Sq
[A
µ
] =
d
2
x
−
1
4
F
µν
F
µν
+
e
2
8π
A
µ
aη
µν
− (η
µα
−
µα
)
∂
α
∂
β
η
βν
−
βν
A
ν
,
(3.9)
com o parˆametro a representando uma ambiguidade no c´alculo dos determinantes fermiˆonicos
associados. Os termos de Wess-Zumino associados `a anomalia podem ser facilmente cal-
culados pela equa¸c˜ao (1.64):
α
S
1
[A
µ
, θ] =
(a + 1)
π
d
2
x
1
2
(∂
µ
θ)(∂
µ
θ) + eθ∂
µ
A
µ
, (3.10)
α
Sq
1
[A
µ
, θ] =
1
4π
d
2
x
(a − 1)
2
(∂
µ
θ)(∂
µ
θ) − eθ [(a − 1)∂
µ
A
µ
+
µν
∂
µ
A
ν
]
. (3.11)
Consideremos o valor esperado da anomalia no modelo de Schwinger. Usando (1.55), a
anomalia se escreve como
A
S
[A
µ
] = −i
e(a + 1)
π
∂
µ
A
µ
. (3.12)
Computando o valor esperado teremos
A
S
= −i
dψd
¯
ψdA
µ
dg
e(a + 1)
π
∂
µ
A
µ
exp(iI[ψ, ψ, A
g
−1
µ
]).
49
Introduzindo o “1”de Fadeev-Popov e realizando as transforma¸c˜oes de calibre necess´arias
o valor esperado se reescreve como
A
S
= −i
dψd
¯
ψdA
µ
dθ∆
F P
[A
µ
]δ(f[A
µ
])
e(a + 1)
π
∂
µ
A
µ
+
1
e
θ
× exp(iI[ψ, ψ, A
g
−1
µ
] + (iα
1
[A
µ
, θ
−1
])). (3.13)
Observando que
e(a + 1)
π
∂
µ
A
µ
+
1
e
θ
=
δα
1
[A
µ
, θ
−1
]
δθ (x)
teremos uma integra¸c˜ao do tipo desc rito em (3.7), que se anula por invariˆancia transla-
cional da integral funcional. O c´alculo para o modelo de Schwinger quiral segue linhas
inteiramente similares, conduzindo, tamb´em, `a anula¸c˜ao do valor esperado da anomalia.
3.1.2 Caso N˜ao Abeliano
Neste caso a transforma¸c˜ao de calibre sobre os campos A
µ
ser´a dada por
A
θ
µ
= h
−1
A
µ
h +
i
g
h
−1
(∂
µ
h) ,
onde h (x) = exp (iθ
a
(x) T
a
) e A
µ
= A
a
µ
T
a
, com
[T
a
, T
b
] = if
abc
T
c
. (3.14)
50
Seguindo a inspira¸c˜ao obtida com o caso abeliano vamos calcular a anomalia atrav´es da
f´ormula (1.55). Em primeira ordem, ent˜ao:
h
−1
A
µ
h =
1 − iθ
a
T
a
+
i
2
2!
θ
a
T
a
θ
b
T
b
−
i
3
3!
θ
a
T
a
θ
b
T
b
θ
c
T
c
+ ...
A
µ
×
1 + iθ
a
T
a
+
(i)
2
2!
θ
a
T
a
θ
b
T
b
+
(i)
3
3!
θ
a
T
a
θ
b
T
b
θ
c
T
c
+ ...
= A
µ
− iθ
a
T
a
A
µ
+ A
µ
iθ
a
T
a
+ O
θ
2
= A
µ
− iθ
a
A
b
µ
[T
a
, T
b
] + O
θ
2
= A
µ
+ θ
a
A
b
µ
f
abc
T
c
+ O
θ
2
. (3.15)
Para calcular o segundo termo h
−1
(∂
µ
h), primeiramente observemos a forma de ∂
µ
h:
∂
µ
h = ∂
µ
1 + iθ
a
T
a
+
i
2
2!
θ
a
T
a
θ
b
T
b
+
i
3
3!
θ
a
T
a
θ
b
T
b
θ
c
T
c
+ ...
= i (∂
µ
θ
a
) T
a
+
i
2
2!
(∂
µ
θ
a
) T
a
θ
b
T
b
+ θ
a
T
a
∂
µ
θ
b
T
b
+
i
3
3!
(∂
µ
θ
a
) T
a
θ
b
T
b
θ
c
T
c
+ θ
a
T
a
∂
µ
θ
b
T
b
θ
c
T
c
+θ
a
T
a
θ
b
T
b
(∂
µ
θ
c
) T
c
+ ... (3.16)
Multiplicando por h
−1
,
h
−1
(∂
µ
h) = i (∂
µ
θ
a
) T
a
+
i
2
2!
(∂
µ
θ
a
) θ
b
[T
a
, T
b
] +
i
3
3!
(∂
µ
θ
a
) θ
b
θ
c
[[T
a
, T
b
] , T
c
] + ...
= i (∂
µ
θ
y
) T
y
+
i
2
2!
(∂
µ
θ
a
) θ
b
f
y
ab
T
y
+
i
3
3!
(∂
µ
θ
a
) θ
b
θ
c
f
d
ab
f
y
dc
T
y
+ ... (3.17)
51
Ao considerarmos a quantidade (1.55) vemos que apenas os termos de primeira ordem em
θ ir˜ao contribuir, j´a que faremos θ
a
= 0 ao final. Assim,
δA
θ
µ
(z)
δθ
a
(x)
θ=0
=
δ
δθ
a
(x)
A
µ
(z) + θ
a
(z) A
c
µ
f
acb
T
b
+
i
g
i∂
µ
θ
b
(z)
T
b
+ O
θ
2
θ=0
= +δ (z − x) A
c
µ
f
acb
T
b
−
1
g
δ
b
a
(∂
µ
δ (z − x)) T
b
= −
1
g
∂
µ
δ (z − x) T
b
+ δ (z − x) f
acb
A
c
µ
T
b
= −
1
g
δ
b
a
∂
µ
− gf
acb
A
c
µ
T
b
δ (z − x) .
Escrevendo A
θ
µ
(z) = A
θ,b
µ
(z) T
b
e usando a independˆencia linear dos T
b
,
δA
θ,b
µ
(z)
δθ
a
(x)
θ=0
= −
1
g
δ
b
a
∂
µ
− gf
acb
A
c
µ
δ (z − x) . (3.18)
Com isso, podemos escrever
A
a
(x) = −
dz
δW [A
µ
]
δA
b
µ
(z)
1
g
(D
µ
)
b
a
δ (z − x)
= −
dz
δW [A
µ
]
δA
b
µ
(z)
1
g
δ
b
a
∂
µ
− gf
acb
A
c
µ
δ (z − x)
=
1
g
δ
b
a
∂
µ
+ gf
acb
A
c
µ
δW [A
µ
]
δA
b
µ
(z)
=
1
g
δ
b
a
∂
µ
− gf
bca
A
c
µ
δW [A
µ
]
δA
b
µ
(z)
=
1
g
(D
µ
)
a
b
δW [A
µ
]
δA
b
µ
(x)
. (3.19)
Esta express˜ao ´e equivalente `a do caso abeliano, dada por (3.4).
Para tentar obter o cancelamento da anomalia pelo mesmo caminho que foi trilhado
no caso abeliano, de vemos mostrar que a transformada de calibre da anomalia pode ser
escrita como a derivada funcional, em rela¸c˜ao a θ
a
, do termo de Wess-Zumino α
1
[A
µ
, θ].
52
Tomando a express˜ao da anomalia c alculada acima e considerando a sua transformada de
calibre,
A
θ
a
=
1
g
(D
µ
)
a
b
δW [A
µ
]
δA
b
µ
(x)
θ
=
1
g
D
θ
µ
a
b
δW
A
θ
µ
δA
θ,b
µ
(x)
= −
dz
δW
A
θ
µ
δA
θ,b
µ
(z)
1
g
D
θ
µ
b
a
δ (z − x) . (3.20)
Vamos, ent˜ao, investigar se
1
g
D
θ
µ
b
a
δ (z − x) =
δA
θ,b
µ
(z)
δθ
a
(x)
.
Se isto for verdade, poderemos escrever
A
θ
a
(x) =
dz
δW
A
θ
µ
δA
θ,b
µ
(z)
δA
θ,b
µ
(z)
δθ
a
(x)
=
δW
A
θ
µ
δθ
a
(x)
=
δα
1
[A
µ
, θ]
δθ
a
(x)
,
o que demonstraria o cancelamento do valor esperado da anomalia, pelos mesmos argu-
mentos utilizados anteriormente.
Queremos mostrar ent˜ao que
1
g
(δ
b
a
∂
µ
− gf
acb
A
θ,c
µ
)δ(z − x) =
δA
b,θ
µ
δθ(x)
a
.
Essa igualdade pode ser separada em duas, uma dependente da constante de acoplamento
g e outra n˜ao. Considerando o termo h
−1
A
µ
h , explicitamente a igualdade se reescreve
como (estaremos usando a conven¸c ˜ao f
b
ac
= f
bac
= f
acb
):
−f
b
ac
(h
−1
A
µ
h)
c
δ(z − x) =
δ(h
−1
A
µ
h)
b
δθ(x)
a
. (3.21)
53
Usando a expans˜ao para o termo h
−1
A
µ
h e usando a rela¸c˜ao acima para a compara¸c˜ao
termo a termo da s´erie (at´e O(θ
3
)), vemos que, para a identidade acima ser satisfeita,
devemos ter:
A
x
µ
f
z
mx
= A
w
µ
f
z
mw
,
1
2
A
x
µ
θ
a
(f
w
mx
f
z
aw
+ f
w
ax
f
z
mw
) = A
x
µ
θ
a
f
z
mw
f
w
ax
.
Usando a identidade de Jacobi em termos das constantes de estrutura
f
m
jk
f
n
lm
+ f
m
lj
f
n
km
+ f
m
kl
f
n
jm
= 0,
podemos reescrever os termos de ordem mais baixa como
(f
w
mx
f
z
aw
+ f
w
ax
f
z
mw
) = −f
w
am
f
z
xw
+ 2f
w
ax
f
z
mw
(f
w
mx
f
g
aw
f
z
bg
+ f
w
ax
f
g
mw
f
z
bg
+ f
w
ax
f
g
bw
f
z
mg
)
= (−f
w
am
f
g
xw
f
z
bg
− 2f
w
ax
f
g
bm
f
z
wg
+ 3f
w
ax
f
g
bw
f
z
mg
).
Vˆe-se assim que cada termo da expans˜ao de δ(h
−1
A
µ
h)
b
/δθ(x)
a
tem um termo igual `a
de −f
b
ac
(h
−1
A
µ
h)
c
, por´em geram-se n termos extras para cada ordem n da expans˜ao em
s´erie. A princ´ıpio, estes termos extras ser˜ao infinitos, sem forma fechada e diferentes
de zero, como o c´alculo dos termos de mais baixa ordem para o caso SU(2) demonstra.
Conclu´ımos, assim, que a abordagem que utilizamos para o caso abeliano falha para o
caso n˜ao abeliano.
Exemplo
Consideremos o modelo da CDQ
2
com acoplamento quiral para o qual sabemos haver
uma anomalia associada `a simetria de calibre. No cap´ıtulo 2 calculamos explicitamente o
54
funcional α
1
associado a esta teoria e podemos portanto investigar se a igualdade
A
θ
= C ·
δα
1
[A
µ
, θ]
δθ (x)
´e satisfeita neste caso, com a constante C a ser estabelecida.
Podemos separar nossa an´alise em uma parte dependente do campo de gauge A
µ
e em
outra, n˜ao dependente. Considerando a parte que depende de A
µ
vemos que a expans˜ao
do funcional α
1
pode ser escrita como
α
1
[A, g] =
ie
4π
d
2
xtr
A
µ
g
−1
((1 − a)∂
µ
−
∂
µ
)g
=
ie
4π
d
2
xA
µy
i((1 − a)∂
µ
−
∂
µ
)θ
y
+
i
2
2!
(((1 − a)∂
µ
−
∂
µ
)θ
a
)θ
b
f
y
ab
+
i
3
3!
(((1 − a)∂
µ
−
∂
µ
)θ
a
)θ
b
θ
c
f
d
ab
f
y
dc
+ O
θ
4
. (3.22)
Realizando a derivada funcional em rela¸c˜ao ao parˆametro de transforma¸c˜ao θ
a
obtemos
δα
1
[A, g]
δθ
m
(x)
= −i((1 − a)∂
µ
−
∂
µ
)A
µm
+ i
2
A
µy
((1 − a)∂
µ
−
∂
µ
)θ
a
f
y
am
+
i
2
2!
(((1 − a)∂
µ
−
∂
µ
)A
µy
)θ
a
f
y
am
+
i
3
2
A
µy
((1 − a)∂
µ
−
∂
µ
)θ
a
θ
b
f
d
am
f
y
db
−
i
3
3!
(((1 − a)∂
µ
−
∂
µ
)A
µy
)θ
b
θ
c
f
d
mb
f
y
dc
+ O
θ
3
. (3.23)
Conforme mostrado no cap´ıtulo 2, a anomalia associada ´e dada por
A
a
(x) = −
δα
1
[A, g]
δθ
a
(x)
θ
a
=0
=
ie
4π
(1 − a)∂
µ
−
∂
µ
A
µ,a
(x). (3.24)
Considerando agora a anomalia transformada, vemos que a parte dependente de A
µ
pode
55
ser escrita, a menos de uma constante multiplicativa como
(1 − a)∂
µ
−
∂
µ
(hA
µ
h
−1
)
m
= i((1 − a)∂
µ
−
∂
µ
)A
m
µ
+ i
2
(((1 − a)∂
µ
−
∂
µ
)A
x
µ
)θ
a
f
m
ax
+ i
2
A
x
µ
(((1 − a)∂
µ
−
∂
µ
)θ
a
)f
m
ax
+
i
3
2
(((1 − a)∂
µ
−
∂
µ
)A
x
µ
)θ
a
θ
b
f
e
ax
f
m
be
+
i
3
2
A
x
µ
(((1 − a)∂
µ
−
∂
µ
)θ
a
)θ
b
f
e
ax
f
m
be
+
i
3
2
A
x
µ
θ
b
(((1 − a)∂
µ
−
∂
µ
)θ
a
)f
e
bx
f
m
ae
+ O
θ
3
. (3.25)
Vemos, portanto, que A
a,θ
(x) cont´em termos, em sua expans˜ao, iguais aos de δα
1
[A, g]/δθ
a
(x).
H´a, por´em, termos extras que s˜ao dados por
A
θ,m
(x)−
δα
1
[A, g]
δθ
m
(x)
= +
i
2
2
(∂
µ
A
x
µ
)θ
a
f
m
ax
+
i
3
3
(∂
µ
A
x
µ
)θ
a
θ
b
f
e
ax
f
m
be
+
i
3
2
A
x
µ
(∂
µ
θ
a
)θ
b
f
e
ax
f
m
be
+O
θ
3
.
(3.26)
Da mesma forma que no caso geral, investigado anteriormente, estes termos extras n˜ao
parecem ter forma fechada, o que nos impossibilita afirmar algo sobre sua integra¸c˜ao fun-
cional. Conclu´ımos, assim, que o mecanismo respons´avel pelo cancelamento da anomalia
no caso abeliano n˜ao se repete no caso n˜ao abeliano.
Fizemos uma tentativa de organizar a dependˆencia funcional em θ
a
desses termos,
calculando-os para o caso em que o grupo de calibre ´e SU (2). N˜ao pudemos interpretar
os resultados obtidos de modo que pud´essemos progredir na resposta `a quest˜ao sobre o
cancelamento ou n˜ao da anomalia, no caso n˜ao abeliano. Exibimos esse c´alculo em detalhe
no apˆendice B.
56
Conclus˜ao
Ap´os um longo caminho percorrido, as anomalias s˜ao entendidas hoje como parte
essencial na correta quantiza¸c˜ao de teorias de calibre, sendo estas o paradigma sob o
qual as intera¸c˜oes entre as part´ıculas fundamentais s˜ao entendidas. A compreens˜ao das
anomalias teve um papel decisivo no entendimento tanto experimental quanto te´orico de
diversos fenˆomenos relacionados `a f´ısica de part´ıculas, culminando na previs˜ao de um novo
constituinte fundamental da mat´eria, o quark top. Do ponto de vista te´orico, a n˜ao con-
serva¸c˜ao quˆantica da simetria de calibre, ´e um dos principais problemas a ser enfrentado
no processo de renormaliza¸c˜ao de uma teoria, dado que identidades essenciais na prova de
renormalizabilidade n˜ao s˜ao v´alidas na presen¸ca de uma anomalia na simetria de calibre.
Sendo assim, a possibilidade do cancelamento da anomalia, tema desta disserta¸c˜ao, ´e um
crit´erio valioso na escolha de teorias concorrentes em uma mesma situa¸c˜ao f´ısica.
A ferramenta fundamental ao longo deste trabalho foi o formalismo de integra¸c˜ao
funcional, que nos permitiu enxergar com relativa facilidade, no contexto de teorias abeli-
anas, o fato do valor esperado da anomalia anular-se, resultando na conserva¸c˜ao ao n´ıvel
quˆantico, de quantidades cl´assicas. Este cancelamento ´e apoiado pela restaura¸c˜ao da si-
57
metria de calibre, a qual surge naturalmente ao compreendermos que teorias anˆomalas
geram graus de liberdade extras que, por sua vez, definem uma a¸c˜ao efetiva invariante
de calibre. Guiados por essa invariˆancia e pelo sucesso obtido pelo formalismo no caso
abeliano, buscamos explorar suas consequˆencias em teorias n˜ao abelianas. A n˜ao comuta-
tividade dos geradores imp˜oe s´erias dificuldades em nossa an´alise dado que as quantidades
nas quais estamos interessados n˜ao possuem, em geral, uma forma fechada. As expans˜oes
em s´erie s˜ao, portanto, a ´unica alternativa imediata (a menos de casos particulares, como
aquele em que o grupo de calibre ´e SU(2), tratado no apˆendice B).
Conforme esperamos que tenha ficado claro ao longo do texto, a condi¸c˜ao essencial
para o cancelamento da anomalia de calibre em nossa abordagem ´e a igualdade entre
a anomalia transformada e a derivada funcional do termo de Wess-Zumino em rela¸c˜ao
aos parˆametros de transforma¸c˜ao. Consideramos, assim, teorias de calibre n˜ao abelianas,
gen´ericas e d-dimensionais, nas quais realizamos uma compara¸c˜ao termo a termo em nossas
expans˜oes. N˜ao foi poss´ıvel enxergar, a princ´ıpio, o mesmo mecanismo de cancelamento
de anomalias que age no caso abeliano.
As teorias bidimensionais s˜ao um bom campo de testes para nossas id´eias, dado que,
neste caso, existem m´etodos para realizar a integra¸c˜ao sobre os campos fermiˆonicos, o
que nos permite calcular expressamente a a¸c˜ao efetiva associada. Utilizando o m´etodo
delineado ao longo do Cap´ıtulo 2, calculamos a a¸c˜ao e fetiva da QCD
2
com acoplamento
quiral (porque este ´e um caso em que, notoriamente, existe anomalia na simetria de
calibre). A partir da´ı, obtivemos uma express˜ao para a anomalia na simetria de calibre,
que pudemos utilizar para seguir com nossas an´alises, nos mesmos moldes do caso abeliano.
As conclus˜oes obtidas foram consistentes com o caso geral, previamente analisado.
58
A semelhan¸ca entre as an´alises e conclus˜oes tanto no caso d-dimensional quanto no caso
bidimensional nos permitem uma nova pe rspectiva de investiga¸c˜ao. Para o caso da QCD
2
considerado, fortes conjecturas apoiam a id´eia de que a corrente de Noether associada `a
simetria de calibre se conserve no n´ıvel quˆantico, resultando, portanto, no cancelamento
da anomalia. Se conseguirmos enxergar como esse mecanismo se manifesta em nosso
formalismo poder´ıamos, em princ´ıpio, aplic´a-lo a teorias d-dimensonais, possibilitando
toda uma gama de novas investiga¸c˜oes. O cancelamento de anomalias em uma teoria
real´ıstica resultaria, por exemplo, na n˜ao necessidade da igualdade entre o n´umero de
quarks e de l´eptons no modelo padr˜ao. Como conseq¨uˆencia, um novo c aminho na f´ısica
de part´ıculas e em teorias de cordas poderia ser explorado.
Por fim, esperamos ter ressaltado, neste trabalho, a riqueza e complexidade de teorias
de calibre anˆomalas. Elas n˜ao s˜ao, necessariamente, teorias inconsistentes. Ao contr´ario,
mostram caracter´ısticas profundas e n˜ao exploradas. A compreens˜ao mais detalhada do
papel das anomalias em Teorias Quˆanticas de Campos se faz essencial para o entendimento
das variadas possibilidades do mundo sub-atˆomico.
59
Apˆendice A
Conven¸c˜oes
Ao longo da tese estamos trabalhando no espa¸co de Minkowski. A m´etrica ser´a dada
por
g
00
= −g
11
= 1, (A.1)
g
µν
= g
µν
.
O tensor de Levi-Civita ε
µν
´e
ε
01
= −ε
01
= 1, (A.2)
ε
µν
= −ε
νµ
.
Para o espa¸co dual usamos a nota¸c˜ao
a
µ
= ε
µν
a
ν.
(A.3)
Os vetores no cone de luz podem ser obtidos a partir dos vetores em Minkowski pela
60
rela¸c˜ao
a
±
= (a
0
± a
1
), (A.4)
a partir da qual obtemos
∂
±
=
1
2
(∂
0
∓ ∂
1
) (A.5)
e
a
µ
b
µ
=
1
2
(a
+
b
−
+ a
−
b
+
). (A.6)
Trabalhamos na representa¸c˜ao de Weyl, na qual as matrizes γ podem ser escritas
como:
γ
0
= σ
x
=
0 1
1 0
, (A.7)
γ
1
= −iσ
y
=
0 −1
1 0
, (A.8)
γ
5
= γ
5
= γ
0
γ
1
= σ
z
=
1 0
0 −1
, (A.9)
obedecendo as seguintes propriedades
γ
µ
γ
5
=
µν
γ
ν
, (A.10)
{γ
µ
, γ
ν
} = 2g
µν
, (A.11)
[γ
µ
, γ
ν
] = −2
µν
γ
5
. (A.12)
61
Apˆendice B
O Exemplo do Grupo SU(2)
A id´eia subjacente aos c´alculos que se seguem ´e a de procurar observar a forma exata
dos termos que violam a f´ormula
i
g
D
θ
µ
b
a
δ (z − x) =
δA
θ,b
µ
(z)
δθ
a
(x)
,
que, como vimos no cap´ıtulo 3, ´e o que precisamos para mostrar, via integral funcional,
o cancelamento da anomalia. Isso n˜ao ´e vi´avel para grupos arbitr´arios. No entanto, para
o grupo SU(2), a forma fechada para o elemento gen´erico do grupo ´e conhecida. No que
se segue, iremos calcular os dois lados da equa¸c˜ao acima e procurar compar´a-los, para o
caso em quest˜ao.
Vamos considerar o caso do grupo SU (2) na representa¸c˜ao fundamental, com os T
a
dados por
T
1
=
1
2
0 1
1 0
, T
2
=
1
2
0 −i
i 0
, T
3
=
1
2
1 0
0 −1
,
que satisfazem `a ´algebra
[T
a
, T
b
] = iε
abc
T
c
.
62
Al´em disso, os T
a
acima possuem as seguintes propriedades
T
2
a
=
1
4
1,
{T
a
, T
b
} =
1
2
δ
ab
1,
(α
a
T
a
)
β
b
T
b
=
i
2
α ×
β
c
T
c
+
1
4
α ·
β1,
(θ
a
T
a
)
θ
b
T
b
=
1
4
θ ·
θ1.
Usando essas propriedades, podemos obter uma forma fechada para o elemento geral de
SU (2):
exp (iθ
a
T
a
) = 1 + iθ
a
T
a
+
i
2
2!
θ
a
T
a
θ
b
T
b
+
i
3
3!
θ
a
T
a
θ
b
T
b
θ
c
T
c
+ ...
= 1 + iθ
a
T
a
+
i
2
2!
1
4
θ ·
θ1
+
i
3
3!
1
4
θ ·
θ1
θ
a
T
a
+
i
4
4!
1
4
θ ·
θ1
2
+
i
5
5!
1
4
θ ·
θ1
2
θ
a
T
a
+ ...
= 1
1 +
i
2
2!
1
4
θ ·
θ
+
i
4
4!
1
4
θ ·
θ
2
+ ...
+iθ
a
T
a
1 +
i
2
3!
1
4
θ ·
θ
+
i
4
5!
1
4
θ ·
θ
2
+ ...
Definimos o vetor n atrav´es de
1
2
θ =
1
2
θn, n
2
= 1,
θ =
(θ
1
)
2
+ (θ
2
)
2
+ (θ
3
)
2
Isso simplifica a f´ormula acima
exp (iθ
a
T
a
) = 1
1 +
i
2
2!
θ
2
2
+
i
4
4!
θ
2
4
+ ...
+2i
θ
a
T
a
θ
θ
2
+
i
2
3!
θ
2
3
+
i
4
5!
θ
2
5
+ ...
= cos
θ
2
+ 2in
a
T
a
sen
θ
2
.
63
Vamos, ent˜ao, calcular
δA
θ,b
µ
(z)
δθ
a
(x)
Primeiramente, necessitamos de A
θ,b
µ
(z). Vamos extra´ı-lo de
A
θ,b
µ
(z) T
b
=
h
−1
A
c
µ
T
c
h
b
T
b
−
1
g
h
−1
(∂
µ
h)
b
T
b
.
Come¸camos pelo primeiro termo:
h
−1
A
c
µ
T
c
h = A
c
µ
exp (iθ
a
T
a
) T
c
exp (−iθ
a
T
a
)
= A
c
µ
cos
θ
2
− 2in
a
T
a
sen
θ
2
T
c
cos
θ
2
+2in
a
T
a
sen
θ
2
= A
c
µ
T
c
cos
2
θ
2
− 2in
a
A
c
µ
[T
a
, T
c
] sen
θ
2
cos
θ
2
+4A
c
µ
n
a
n
b
T
a
T
c
T
b
sen
2
θ
2
= A
c
µ
T
c
cos
2
θ
2
− 2in
a
A
c
µ
[T
a
, T
c
] sen
θ
2
cos
θ
2
+4A
c
µ
T
c
n
a
n
b
T
a
T
b
sen
2
θ
2
+ 4A
c
µ
[T
a
, T
c
] n
a
n
b
T
b
sen
2
θ
2
= A
c
µ
T
c
cos
2
θ
2
− 2in
a
A
c
µ
[T
a
, T
c
] sen
θ
2
cos
θ
2
+A
c
µ
T
c
sen
2
θ
2
+ 4A
c
µ
[T
a
, T
c
] n
a
n
b
T
b
sen
2
θ
2
.
Substituindo as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao,
h
−1
A
c
µ
T
c
h = A
c
µ
T
c
+ 2n
a
A
c
µ
ε
acd
T
d
sen
θ
2
cos
θ
2
+4iA
c
µ
ε
acd
T
d
n
a
n
b
T
b
sen
2
θ
2
= A
c
µ
T
c
+ 2
n ×
A
µ
c
T
c
sen
θ
2
cos
θ
2
+4i
A
c
µ
− n
c
n ·
A
µ
T
c
sen
2
θ
2
,
64
onde usamos, na passagem para a segunda linha, que
A
c
µ
ε
acd
T
d
n
a
n
b
T
b
=
n ×
A
µ
d
T
d
n
b
T
b
=
i
2
n ×
A
µ
× n
c
T
c
.
Com isto, escrevemos, finalmente:
h
−1
A
c
µ
T
c
h =
A
b
µ
+ 2sen
θ
2
cos
θ
2
n ×
A
µ
b
−2sen
2
θ
2
A
b
µ
− n
b
n ·
A
µ
T
b
=
A
b
µ
+ 2sen
θ
2
cos
θ
2
n ×
A
µ
b
−2sen
2
θ
2
δ
bc
− n
b
n
c
A
b
µ
T
b
,
de onde lemos
h
−1
A
c
µ
T
c
h
b
= A
b
µ
+ 2sen
θ
2
cos
θ
2
n ×
A
µ
b
−2sen
2
θ
2
A
b
µ
− n
b
n ·
A
µ
.
Vamos agora abordar o termo h
−1
∂
µ
h:
h
−1
∂
µ
h =
cos
θ
2
− 2in
a
T
a
sen
θ
2
∂
µ
cos
θ
2
+ 2in
a
T
a
sen
θ
2
=
cos
θ
2
− 2in
a
T
a
sen
θ
2
−sen
θ
2
∂
µ
θ
2
+2i (∂
µ
n
a
) T
a
sen
θ
2
+ 2in
a
T
a
cos
θ
2
∂
µ
θ
2
Antes de prosseguir, vamos trabalhar um pouco as rela¸c˜oes abaixo:
∂
µ
θ = ∂
µ
(θ
a
θ
a
)
1/2
=
1
2
θ
b
θ
b
−1/2
2θ
a
∂
µ
θ
a
=
θ
a
θ
∂
µ
θ
a
= n
a
∂
µ
θ
a
,
65
∂
µ
n
a
= ∂
µ
θ
a
θ
=
1
θ
∂
µ
θ
a
−
θ
a
θ
2
∂
µ
θ
=
1
θ
∂
µ
θ
a
−
θ
a
θ
2
n
b
∂
µ
θ
b
=
1
θ
δ
ab
− n
a
n
b
∂
µ
θ
b
e
(n
a
T
a
) (∂
µ
n
a
T
a
) =
1
2
(n × ∂
µ
n)
c
T
c
+
1
4
n · (∂
µ
n) 1
=
1
2θ
n × ∂
µ
θ
c
T
c
.
Com isto,
h
−1
∂
µ
h = −sen
θ
2
cos
θ
2
∂
µ
θ
2
+ 2in
b
T
b
sen
2
θ
2
∂
µ
θ
2
+2i
1
θ
δ
bc
− n
b
n
c
∂
µ
θ
c
T
b
sen
θ
2
cos
θ
2
+2
1
θ
n × ∂
µ
θ
b
T
b
sen
2
θ
2
+2in
b
T
b
cos
2
θ
2
∂
µ
θ
2
+ sen
θ
2
cos
θ
2
∂
µ
θ
2
= 2in
b
T
b
∂
µ
θ
2
+ 2i
1
θ
δ
bc
− n
b
n
c
∂
µ
θ
c
T
b
sen
θ
2
cos
θ
2
+2
1
θ
n × ∂
µ
θ
b
T
b
sen
2
θ
2
.
Daqui lemos (h
−1
∂
µ
h)
b
:
h
−1
∂
µ
h
b
= 2in
b
∂
µ
θ
2
+ 2i
1
θ
δ
bc
− n
b
n
c
∂
µ
θ
c
sen
θ
2
cos
θ
2
+2
1
θ
n × ∂
µ
θ
b
sen
2
θ
2
.
Novamente, interrompemos nossa progress˜ao para calcular algumas quantidades que nos
ser˜ao convenientes:
δθ (z)
δθ
a
(x)
=
δ
δθ
a
(x)
θ
b
θ
b
1/2
(z) =
1
2
θ
b
θ
b
−1/2
(z) 2θ
c
(z)
δθ
c
(x)
δθ
a
(x)
=
θ
a
θ
(z) δ (z − x) = n
a
(z) δ (z − x)
66
e
δn
b
(z)
δθ
a
(x)
=
δ
δθ
a
(x)
θ
b
θ
(z)
=
1
θ
δ
ba
δ (z − x) −
θ
b
θ
2
δθ
δθ
a
(x)
=
1
θ
δ
ba
δ (z − x) −
θ
b
θ
2
n
a
(z) δ (z − x)
=
1
θ
δ
ba
− n
b
n
a
(z) δ (z − x) .
Derivando funcionalmente em rela¸c˜ao a θ
a
a equa¸c˜ao para
h
−1
A
c
µ
T
c
h
b
,
δ
h
−1
A
c
µ
T
c
h
b
(z)
δθ
a
(x)
= cos
2
θ
2
n ×
A
µ
b
δθ (z)
δθ
a
(x)
−sen
2
θ
2
n ×
A
µ
b
δθ (z)
δθ
a
(x)
+2sen
θ
2
cos
θ
2
δ
n ×
A
µ
b
(z)
δθ
a
(x)
+4isen
θ
2
cos
θ
2
A
b
µ
− n
b
n ·
A
µ
δθ (z)
δθ
a
(x)
−4isen
2
θ
2
δ
n
b
n ·
A
µ
(z)
δθ
a
(x)
.
Notamos que precisamos desenvolver mais algumas express˜oes:
δ
n ×
A
µ
b
(z)
δθ
a
(x)
=
δ
ε
bcd
n
c
A
d
µ
b
(z)
δθ
a
(x)
=
1
θ
ε
bcd
(δ
ca
− n
c
n
a
) A
d
µ
(z) δ (z − x)
=
1
θ
ε
bad
A
d
µ
(z) δ (z − x) −
1
θ
n
a
ε
bcd
n
c
A
d
µ
(z) δ (z − x)
=
1
θ
ε
bad
A
d
µ
(z) δ (z − x) −
1
θ
n
a
n ×
A
µ
b
δ (z − x) ,
67
δ
n
b
n ·
A
µ
(z)
δθ
a
(x)
=
δ
n
b
n
c
A
c
µ
(z)
δθ
a
(x)
=
δn
b
δθ
a
(x)
n
c
A
c
µ
(z) +
δn
c
δθ
a
(x)
n
b
A
c
µ
(z)
=
1
θ
δ
ba
− n
b
n
a
n
c
A
c
µ
(z) δ (z − x)
+
1
θ
(δ
ca
− n
c
n
a
) n
b
A
c
µ
(z) δ (z − x)
=
1
θ
δ
ba
− n
b
n
a
n ·
A
µ
(z) δ (z − x)
+
1
θ
n
b
A
a
µ
− n
b
n
a
n ·
A
µ
(z) δ (z − x)
=
1
θ
δ
ba
− 2n
b
n
a
n ·
A
µ
+ n
b
A
a
µ
(z) δ (z − x)
Assim,
δ
h
−1
A
c
µ
T
c
h
b
(z)
δθ
a
(x)
= cos
2
θ
2
n ×
A
µ
b
n
a
(z) δ (z − x)
− sen
2
θ
2
n ×
A
µ
b
n
a
(z) δ (z − x)
+ 2sen
θ
2
cos
θ
2
1
θ
ε
bad
A
d
µ
(z) δ (z − x) −
1
θ
n
a
n ×
A
µ
b
δ (z − x)
+ 4isen
θ
2
cos
θ
2
A
b
µ
− n
b
n ·
A
µ
n
a
(z) δ (z − x)
− 4isen
2
θ
2
1
θ
δ
ba
− 2n
b
n
a
n ·
A
µ
+ n
b
A
a
µ
(z) δ (z − x)
= cos θ
n ×
A
µ
b
n
a
(z) δ (z − x)
+ sen θ
1
θ
ε
bad
A
d
µ
(z) δ (z − x) −
1
θ
n
a
n ×
A
µ
b
δ (z − x)
+ 2isen θ
A
b
µ
− n
b
n ·
A
µ
n
a
(z) δ (z − x)
− 4isen
2
θ
2
1
θ
δ
ba
− 2n
b
n
a
n ·
A
µ
+ n
b
A
a
µ
(z) δ (z − x)
.
68
Vamos `a segunda parte:
δ (h
−1
∂
µ
h)
b
(z)
δθ
a
(x)
= i
δn
b
(z)
δθ
a
(x)
∂
µ
θ (z) + in
b
(z) ∂
µ
δθ (z)
δθ
a
(x)
+ 2i
δ
δθ
a
(x)
1
θ
δ
bc
− n
b
n
c
∂
µ
θ
c
(z)
sen
θ (z)
2
cos
θ (z)
2
+ i
1
θ
δ
bc
− n
b
n
c
∂
µ
θ
c
(z)
cos
2
θ (z)
2
− sen
2
θ (z)
2
δθ (z)
δθ
a
(x)
+ 2
δ
δθ
a
(x)
1
θ
n × ∂
µ
θ
b
(z)
sen
2
θ (z)
2
+ 2
1
θ
n × ∂
µ
θ
b
(z)
sen
θ (z)
2
cos
θ (z)
2
δθ (z)
δθ
a
(x)
.
Novamente, temos que calcular algumas express˜oes intermedi´arias:
δ
δθ
a
(x)
1
θ
δ
bc
− n
b
n
c
∂
µ
θ
c
(z) = −
1
θ
2
δθ (z)
δθ
a
(x)
δ
bc
− n
b
n
c
∂
µ
θ
c
(z)
+
1
θ
δ
δ
bc
− n
b
n
c
(z)
δθ
a
(x)
∂
µ
θ
c
(z) +
1
θ
δ
bc
− n
b
n
c
∂
µ
δθ
c
(z)
δθ
a
(x)
= −
1
θ
2
n
a
δ
bc
− n
b
n
c
(∂
µ
θ
c
(z)) δ (z − x)
+
1
θ
−
1
θ
δ
ba
− n
b
n
a
n
c
−
1
θ
(δ
ca
− n
c
n
a
) n
b
∂
µ
θ
c
(z) δ (z − x)
+
1
θ
δ
ba
− n
b
n
a
(∂
µ
δ (z − x))
=
1
θ
2
−n
a
δ
bc
− n
b
n
c
− n
b
(δ
ca
− n
c
n
a
) − n
c
δ
ab
− n
a
n
b
∂
µ
θ
c
(z) δ (z − x)
+
1
θ
δ
ab
− n
a
n
b
(∂
µ
δ (z − x)) .
69
δ
δθ
a
(x)
1
θ
n × ∂
µ
θ
b
(z)
= −
1
θ
2
δθ (z)
δθ
a
(x)
n × ∂
µ
θ
b
(z)
+
1
θ
δ
n × ∂
µ
θ
b
(z)
δθ
a
(x)
= −
1
θ
2
n
a
n × ∂
µ
θ
b
(z) δ (z − x)
+ ε
bcd
δn
c
δθ
a
∂
µ
θ
d
+ n
c
δ
da
∂
µ
δ (z − x)
= −
1
θ
2
n
a
n × ∂
µ
θ
b
(z) δ (z − x)
+ ε
bcd
1
θ
(δ
ca
− n
c
n
a
)
∂
µ
θ
d
δ (z − x) + n
c
δ
da
∂
µ
δ (z − x)
.
Voltando `a express˜ao para δ (h
−1
∂
µ
h)
b
(z) /δθ
a
(x),
δ (h
−1
∂
µ
h)
b
(z)
δθ
a
(x)
=
in
c
1
θ
δ
ba
− n
b
n
a
∂
µ
θ
c
+ in
b
1
θ
(δ
ac
− n
a
n
c
) ∂
µ
θ
c
+
i
θ
2
−n
a
δ
bc
− n
b
n
c
− n
b
(δ
ca
− n
c
n
a
) − n
c
δ
ab
− n
a
n
b
∂
µ
θ
c
sen θ
+ i
1
θ
n
a
δ
bc
− n
b
n
c
∂
µ
θ
c
cos θ + n
a
1
θ
n × ∂
µ
θ
b
sen θ
−
1
θ
2
n
a
n × ∂
µ
θ
b
+ ε
bcd
1
θ
(δ
ca
− n
c
n
a
)
∂
µ
θ
d
(1 − cos θ)
δ (z − x)
+
in
b
n
a
+
1
θ
δ
ab
− n
a
n
b
sen θ + ε
bca
n
c
(1 − cos θ)
∂
µ
δ (z − x) .
70
Vamos juntar os resultados obtidos at´e agora:
δA
θ,b
µ
(z)
δθ
a
(x)
=
δ
δθ
a
(x)
h
−1
A
c
µ
T
c
h
b
−
1
g
h
−1
(∂
µ
h)
b
= cos θ
n ×
A
µ
b
n
a
(z) δ (z − x)
+ sen θ
1
θ
ε
bad
A
d
µ
(z) δ (z − x) −
1
θ
n
a
n ×
A
µ
b
δ (z − x)
+ 2isen θ
A
b
µ
− n
b
n ·
A
µ
n
a
(z) δ (z − x)
− 4isen
2
θ
2
1
θ
δ
ba
− 2n
b
n
a
n ·
A
µ
+ n
b
A
a
µ
(z) δ (z − x)
−
1
g
in
c
1
θ
δ
ba
− n
b
n
a
∂
µ
θ
c
+ in
b
1
θ
(δ
ac
− n
a
n
c
) ∂
µ
θ
c
+
i
θ
2
−n
a
δ
bc
− n
b
n
c
− n
b
(δ
ca
− n
c
n
a
) − n
c
δ
ab
− n
a
n
b
∂
µ
θ
c
sen θ
+ i
1
θ
n
a
δ
bc
− n
b
n
c
∂
µ
θ
c
cos θ + n
a
1
θ
n × ∂
µ
θ
b
sen θ
−
1
θ
2
n
a
n × ∂
µ
θ
b
+ ε
bcd
1
θ
(δ
ca
− n
c
n
a
)
∂
µ
θ
d
(1 − cos θ)
δ (z − x)
−
1
g
in
b
n
a
+
1
θ
δ
ab
− n
a
n
b
sen θ + ε
bca
n
c
(1 − cos θ)
∂
µ
δ (z − x) .
Comparamos com
i
g
D
θ
µ
b
a
δ (z − x) =
i
g
−δ
b
a
∂
µ
− igε
bca
A
θ,c
µ
δ (z − x). Coletamos, pri-
meiramente, os termos que comp˜oe A
θ,c
µ
:
A
θ,c
µ
=
h
−1
A
a
µ
T
a
h
c
−
1
g
h
−1
∂
µ
h
c
= A
c
µ
+ 2sen
θ
2
cos
θ
2
n ×
A
µ
c
−2sen
2
θ
2
A
c
µ
− n
c
n ·
A
µ
−
i
g
2in
c
∂
µ
θ
2
+ 2i
1
θ
δ
cd
− n
c
n
d
∂
µ
θ
d
sen
θ
2
cos
θ
2
+2
1
θ
n × ∂
µ
θ
c
sen
2
θ
2
.
71
Assim,
i
g
D
θ
µ
b
a
δ (z − x) = −
i
g
δ
b
a
∂
µ
δ (z − x)
+ε
bca
A
c
µ
+ 2sen
θ
2
cos
θ
2
n ×
A
µ
c
−2sen
2
θ
2
A
c
µ
− n
c
n ·
A
µ
−
i
g
2in
c
∂
µ
θ
2
+ 2i
1
θ
δ
cd
− n
c
n
d
∂
µ
θ
d
sen
θ
2
cos
θ
2
+2
1
θ
n × ∂
µ
θ
c
sen
2
θ
2
δ (z − x) .
Conforme pode ser visto, a estrutura dos termos que divergem de uma express˜ao para
a outra ´e extremamente complexa, n˜ao permitindo a visualiza¸c˜ao de nada que permita
supor o seu cancelamento.
72
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75
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